docטורי פונקציות - 4 ק ר פ - אלון באומן – שיעורים פרטיים ומרתונים
download 
Report Transcription
טורי פונקציות - 4 ק ר פ - אלון באומן – שיעורים פרטיים ומרתונים
פרק - 4טורי פונקציות ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 הטורים שראינו עד פרק זה ,היו טורי מספרים בלבד מהצורה . נגדיר מושג חדש ,טור של פונקציות המורכב מסדרה של פונקציות 𝑛𝑓 𝑓1 , 𝑓2 , … ,המוגדרות בתחום משותף 𝐷 .עבור 𝐷 ∈ 𝑥 מתקבלת סדרת המספרים: עבור סדרה זו מגדירים טור ∞ 𝑛𝑓 𝑛=1 𝑥 הנקרא טור פונקציות. ∞ 𝑛𝑓 𝑛=1 אם הטור מתכנס נסמן𝑥 = 𝑆(𝑥) : 𝑥 𝑛𝑓 .𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … , .עבור כל 𝑥 עבורו טור המספרים המתאים מתכנס ל- )𝑥(𝑆 ,נאמר כי 𝑥 זה שייך לתחום ההתכנסות. 𝑥 הפונקציה )𝑥(𝑆 היא סכום הטור ∞ 𝑛𝑓 𝑛=1 עבור כל 𝑥 בתחום ההתכנסות והיא נקראת הפונקציה הגבולית או הסכום של הטור. דוגמא נתונה סדרה הפונקציות הבאה: 𝑛 ⋯+ 𝑥 ln 𝑥 התחום המשותף של הפונקציות 2 + ⋯+ 𝑛 𝑥 ln 𝑥 𝑥 ln 𝑥 ln + 𝑥 𝑥 𝑛 = 𝑥 ln 𝑥 ∞ ∞ = 𝑥 𝑛𝑓 𝑛=1 𝑛=1 = 𝑥 𝑛𝑓 לכל 𝑛 ≥ 1הוא.𝐷 = 𝑥|𝑥 > 0 : נמצא את תחום ההתכנסות של הטור ואת סכום הטור )𝑥(𝑆: מתקיים: ∞ 𝑛 𝑥 ln 𝑛=1 הטור 𝑛 𝑥 ln ∞ 𝑛=1 1 𝑥 𝑛 = 𝑥 ln 𝑥 ∞ 𝑛=1 הוא טור הנדסי כאשר 𝑥 ,𝑞 = lnולכן הטור מתכנס לכל .−1 < ln 𝑥 < 1 1 כלומר הטור מתכנס לכל 𝑒 < 𝑥 < . 𝑒 נחשב את סכום הטור )𝑥(𝑆: 1 𝑥 ln 𝑥 𝑥 1 − ln ∞ = 𝑛 𝑥 ln 𝑛=1 1 𝑥 𝑛 = 𝑥 ln 𝑥 ∞ = 𝑥 𝑆 𝑛=1 תרגילים בכל אחד מטורי הפונקציות הבאים: א .מצא את התחום המשותף .1 𝑥2 ∞ 𝑛 𝑛=1 1+𝑥 2 .2 𝑛 𝑥 sin ∞ 𝑛=1 𝑥2 .3 3𝑥 4 ∞ 𝑛 𝑛=1 1+𝑥 4 ב .מצא את תחום ההתכנסות © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 054-5-290106 1 ג .חשב את סכום הטור )𝑥(𝑆 [email protected] פתרונות .2 .1א .כל 𝑥 ב .כל 𝑥 0 𝑥=0 = 𝑥 𝑆 ג. 1 𝑥≠0 א𝑥 ≠ 0 . 𝑘𝜋𝑥 ≠ + 2 2 𝜋 ב𝑥 ≠ − + 2𝜋𝑘 . 𝜋 .3 2 𝑥≠0 לכל 𝑘 ∈ ℤ ג. 𝑥 sin 1 𝑥 1−sin 𝑥2 א .כל 𝑥 ב .כל 𝑥 0 𝑥=0 = 𝑥 𝑆 ג. 3 𝑥≠0 = 𝑥 𝑆 הגדרה – התכנסות במידה שווה תהי סדרה של פונקציות המוגדרות בתחום 𝐷 ,ותהי 𝑓 פונקציה במוגדרת בקטע זה. 𝑛𝑓 𝑛𝑓 הסדרה מתכנסת לפונקציה 𝑓 במידה שווה בקטע 𝐷 אם ורק אם לכל 𝜀 > 0קיים מספר טבעי 𝑁 כל שלכל 𝑁 > 𝑛 מתקיים𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓(𝑥) < 𝜀 : משפט – משפט ה 𝐌 -של ווינשטראס (תנאי מספיק להתכנסות במידה שווה) תהי 𝑛𝑓 סדרה של פונקציות המוגדרות בתחום 𝐷 .נניח כי המקיימת 𝑓𝑛 (𝑥) ≤ 𝑎𝑛 :לכל 𝑛 ∈ ℕולכל 𝐷 ∈ 𝑥 ,והטור א .לכל 𝐷 ∈ 𝑥 הטור ב .הטור 𝑥 ∞ 𝑛𝑓 𝑛=1 𝑥 ∞ 𝑛𝑓 𝑛=1 ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 𝑛𝑎 סדרה של מספרים מתכנס אזי: מתכנס בהחלט. מתכנס במידה שווה. דוגמא נראה כי הטור ) 𝑥𝑛( ∞ arctan 𝑛=1 𝑛5 מתכנס במידה שווה לכל .𝑥 ∈ ℝ התחום המשותף 𝐷 לכל הפונקציות ) 𝑥𝑛( arctan 𝑛5 = 𝑛𝑓 הוא כל .𝑥 ∈ ℝמתקיים: )𝑥𝑛(arctan )𝑥𝑛(arctan 𝜋 1 ≤ ≤ 5 5 𝑛 𝑛 2 𝑛5 הטור 1 ∞ 𝑛=1 𝑛 5 𝜋 2 מתכנס ,ולכן ע"פ משפט ה 𝑀 -של ווינשטראס ,הטור ) 𝑥𝑛( ∞ arctan 𝑛=1 𝑛5 מתכנס במידה שווה. © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 054-5-290106 2 [email protected] משפט תהי 𝑛𝑓 ∞ 𝑛𝑓 𝑛=1 סדרה של פונקציות רציפות בתחום 𝐷 ,והטור מתכנס במידה שווה לפונקציה 𝑆 ,אזי הפונקציה 𝑆 פונקציה רציפה בתחום 𝐷. תרגילים לגבי כל אחד מהטורים בתרגיל הקודם ,קבע האם הוא מתכנס במידה שווה או לא ,ונמק. פתרונות .1לא .2כן .3לא משפט – אינטגרציה איבר איבר תהי 𝑛𝑓 סדרה של פונקציות אינטגרביליות בקטע ]𝑏 [𝑎,והטור ∞ 𝑛𝑓 𝑛=1 מתכנס במידה שווה לסכום )𝑥(𝑆 ,אזי הפונקציה )𝑥(𝑆 אינטגרבילית בקטע ]𝑏 [𝑎,ומתקיים: ∞ 𝑏 𝑥𝑑 )𝑥( 𝑛𝑓 𝑎 𝑛=1 ∞ = 𝑥𝑑 )𝑥( 𝑛𝑓 𝑏 𝑎 𝑛=1 משפט – גזירה איבר איבר תהי 𝑛𝑓 סדרה של פונקציות גזירות בקטע 𝐼 המתכנס לפונקציה 𝑆 ,כלומר )𝑥(𝑆 = 𝑥 לכל 𝐼 ∈ 𝑥 .נניח כי הפונקציות 𝑛𝑓 ∞ 𝑛𝑓 𝑛=1 גזירות בקטע 𝐼 וטור הנגזרות מתכנס במידה שווה בקטע 𝐼 ,אזי: .1הטור ∞ 𝑛𝑓 𝑛=1 מתכנס במידה שווה בקטע 𝐼 .2מתקיים: ′ ∞ )𝑥( 𝑓𝑛′ = 𝑛=1 © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים ∞ )𝑥( 𝑛𝑓 𝑛=1 054-5-290106 3 [email protected] דוגמא עבור הטור 2 )𝑥 𝑛( ∞ sin 𝑛=1 𝑛 8 +1 נראה כי הוא מתכנס במידה שווה לכל 𝑥 ∈ ℝונבדוק האם ניתן לבצע גזירה איבר איבר. התחום המשותף 𝐷 לכל הפונקציות )𝑥 sin (𝑛 2 𝑛 8 +1 1 𝑛4 הטור 1 ∞ 𝑛=1 𝑛 4 1 )𝑥 sin(𝑛2 ≤ 𝑛8 + 1 𝑛8 + 1 מתכנס ,ולכן ע"פ משפט ה 𝑀 -של ווינשטראס ,הטור 2 )𝑥 𝑛( ∞ sin 𝑛=1 𝑛 8 +1 שווה לכל .𝑥 ∈ ℝנסמן: הטור ≤ = 𝑛𝑓 הוא כל .𝑥 ∈ ℝמתקיים: 2 )𝑥 𝑛( ∞ sin 𝑛=1 𝑛 8 +1 2 )𝑥 𝑛( ∞ sin 𝑛=1 𝑛 8 +1 מתכנס במידה = 𝑥 𝑆. הוא טור מתכנס במידה שווה של פונקציות גזירות לכל ,𝑥 ∈ ℝולכן ניתן לבצע גזירה איבר איבר: cos(𝑛2 𝑥) 𝑛2 𝑛8 + 1 הטור 2 2 𝑛)𝑥 𝑛( ∞ cos 𝑛=1 𝑛 8 +1 ∞ = הטור ∞ )𝑥 sin(𝑛2 𝑛8 + 1 𝑛=1 = 𝑛=1 )𝑥 sin(𝑛2 𝑛8 + 1 = 𝑥 𝑆 𝑛=1 הוא טור הנגזרות .נראה כי הוא מתכנס במידה שווה: 1 𝑛2 1 ∞ 𝑛=1 𝑛 2 ′ ′ ∞ ′ = 𝑛2 𝑛8 ≤ 𝑛2 𝑛8 + 1 ≤ cos(𝑛2 𝑥) 𝑛2 𝑛8 + 1 מתכנס ,ולכן ע"פ משפט ה 𝑀 -של ווינשטראס ,הטור 2 2 𝑛)𝑥 𝑛( ∞ cos 𝑛=1 𝑛 8 +1 מתכנס במידה שווה לכל .𝑥 ∈ ℝ קיבלנו: א .הטור 2 )𝑥 𝑛( ∞ sin 𝑛=1 𝑛 8 +1 ב .הפונקציות 𝑛𝑓 ג .טור הנגזרות מתכנס במידה שווה לכל .𝑥 ∈ ℝ גזירות לכל .𝑥 ∈ ℝ cos (𝑛 2 𝑥)𝑛 2 𝑛 8 +1 ∞ 𝑛=1 מתכנס במידה שווה לכל .𝑥 ∈ ℝ ולכן ע"פ משפט גזירה איבר איבר ניתן לבצע גזירה איבר איבר בטור © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 054-5-290106 4 2 )𝑥 𝑛( ∞ sin 𝑛=1 𝑛 8 +1 . [email protected] .1מציאת התחום המשותף של סדרת פונקציות הקטן ביותר של 𝑛 הפונקציות בסדרה. 𝑥 𝑛𝑓 הוא תחום ההגדרה המשותף .2חישוב הסכום 𝑥 𝑆 אפשרי רק כאשר ניתן לחשב את סכום טור המספרים המתקבל עבור כל ערך של 𝑥( .טור הנדסי או טור טלסקופי). .3משפט ה 𝑀 -של ווינשטראס הוא תנאי מספיק להתכנסות במידה שווה של טור פונקציות ,כלומר אם תנאיו מתקיימים אז הטור אכן מתכנס במידה שווה ,אך אם תנאיו אינם מתקיימים אין זה מעיד על התכנסות או התבדרות טור הפונקציות. ∞ גורר רציפות של .4התכנסות במידה שווה של טור פונקציות )𝑥( 𝑛𝑓 𝑛=1 פונקציית הסכום )𝑥(𝑆 .תוצאה זו עוזרת להוכיח שטור פוקציות אינו מתכנס במידה שווה כאשר פונקציית הסכום )𝑥(𝑆 אינה רציפה. © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 054-5-290106 5 [email protected]
