docמבחני השוואה, המשך
download 
Report Transcription
מבחני השוואה, המשך
טורים חיוביים 1 הקדמה בפרק זה נדון במחלקה מסוימת של טורים שנקראים טורים חיוביים. הגדרה :טור חיובי הנו טור שכל אבריו ( פרט אולי למספר סופי שלהם ) הם אי שליליים. לפיכך ,סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיוביsn n1 , הנה סדרה מונוטונית עולה וככזו מתכנסת אםם היא חסומה . 2 הקדמה ,המשך מסקנה: טור חיובי מתכנס אםם סדרת הסכומים החלקיים שלו חסומה. כעת נדון במבחנים שונים להתכנסות טורים חיוביים, המבוססים ברובם על המסקנה דלעיל. 3 הקדמה ,המשך נתייחס למבחנים הבאים: מבחני השוואה :מבחן השוואה 1 מבחן השוואה .2 מבחני דלמבר וקושי. מבחן האינטגרל. 4 מבחני השוואה נציג שני מבחני התכנסות ( התבדרות ) של טורים המבוססים על השוואה לטור שהתכנסותו ( התבדרותו ) ידועה. נתונים שני טורים חיוביים b n 5 n 1 B ; n a n 1 . A מבחני השוואה ,המשך נסמן ב An -ו Bn -את סדרות הסכומים החלקיים שלהם בהתאמה. משפט ( :מבחן השוואה ) 1 בתנאי ההקדמה ,אם לכל ( nהחל ממקום מסוים ) מתקיים an bn 6 1 מבחני השוואה ,המשך אזי, א) מהתכנסותו של הטור ( )Bנובעת התכנסותו של (.)A ב) מהתבדרותו של הטור ( )Aנובעת התבדרותו של (.)B הוכחה: מהנתון ( )1נובע כי An Bn 2 א) לפי הגדרת התכנסות הטור ( )Bנובע כי lim Bn B 3סופי. n 7 ולכן, מבחני השוואה ,המשך הסדרה A מונוטונית עולה ( כי הטור ( )Aחיובי ) וחסומה ע"י ( Bנובע מ )2(-ו ,) )3( -ולכן הגבול lim An n מש"ל (א) קיים ולפי הגדרה ,הטור ( )Aמתכנס. n n 1 ב) אם הטור ( )Aמתבדר אזי (לפי הגדרת התכנסות טור ) מתקיים lim An , 4 n 8 מבחני השוואה ,המשך מ )2( -ו )4( -נובע גם כי lim Bn n 5 ומכאן ( לפי הגדרת התכנסות טור ) נובעת התבדרותו מש"ל (ב) של הטור (.)B מש"ל 9 מבחן השוואה - 1דוגמאות 1 דוגמא :1נבדוק התכנסות הטור החיובי . 2 n 1 n לכל n 2מתקיים אי השוויון הבא: 1 1 an 2 bn n )n(n 1 1 הטור bn n2 )n 2 n ( n 1 10 * מתכנס כטור טלסקופי, מבחן השוואה ,1המשך דוגמאות ולכן לפי מבחן השוואה 1ואי השוויון (*) הטור 1 מתכנס יחד עמו. a 2 n n2 n n2 לסיום נעיר כי הטור הנתון נבדל מהטור הנ"ל באבר אחד ולכן בוודאי מתכנס (לפי משפט קודם שלמדנו ) 11 מבחן השוואה ,1המשך דוגמאות 1 דוגמא :2נבדוק התכנסות הטור החיובי )n(n 1 . n 1 לכל n 1מתקיים אי השוויון 1 bn )( n 1 12 1 2 )( n 1 1 )n( n 1 an * מבחן השוואה ,1המשך דוגמאות 1 bn מתבדר כטור הרמוני, הטור n 1 n 1 n 1 ולכן ,לפי מבחן השוואה ,1הטור הנתון מתבדר יחד עמו. 13 מבחן השוואה ,1המשך דוגמאות 1 דוגמא :3נבדוק התכנסות הטור החיובי . 1 cos n n 1 נשתמש בזהות הטריגונומטרית 1 cos2 2 sin 2 ונקבל הצגה שקולה של הטור: 1 2 1 . 1 cos 2 sin n n 1 2n n 1 14 מבחן השוואה ,1המשך דוגמאות לכל , n 1מתקיים ( לפי ) sin x xאי השוויון הבא: 2 1 1 1 an 2 sin 2 bn 2 2n 2n 2n 2 1 bn הטור 2 n 1 n 1 2 n * 1 מתכנס יחד עם הטור , 2 n 1 n ( דוגמא + 1כפל בקבוע ) 15 מבחן השוואה ,1המשך דוגמאות לכן לפי אי השוויון (*) ומבחן השוואה 1נובע כי הטור הנתון מתכנס. 16 מבחני השוואה ,המשך משפט ( :מבחן השוואה ) 2 an lim בתנאי ההקדמה ,אם קיים הגבול L n b n ו- 1 א) , 0 L אזי הטורים ( )Aו )B( -מתכנסים או מתבדרים יחדיו. ב) , L 0אזי מהתכנסות ( )Bנובעת התכנסות (.)A 17 מבחני השוואה ,המשך מבחן השוואה ,2המשך ג) , L אזי מהתכנסות הטור ( )Aנובעת התכנסות הטור (.)B הוכחה :נוכיח את חלק א' נתון ( ,)1לכן לפי הגדרת הגבול לכל , 0בפרט עבור 0שעבורו , L 0קיים ) N ( 18 מבחני השוואה ,המשך כך שלכל ) n N (מתקיים: an L bn an L L bn נזכור כי הטורים חיוביים ( ) bn 0ולכן bn L an bn L 19 * מבחני השוואה ,המשך נפרק את אי השוויון הכפול (*) לשני אי שוויונים ונטפל בכל אחד בנפרד ע"מ להוכיח הדרוש. )**( : לפי אי השוויון bn L an כזכור בחרנו את 0כך ש L 0 -ולכן הטור bn L הנו טור חיובי. n 1 טור זה מתכנס או מתבדר יחד עם הטור 20 b n n 1 (כפל בקבוע ) מבחני השוואה ,המשך לפי מבחן השוואה 1ושימוש באי השוויון (**) ,נובע כי אם הטור ( )Aמתכנס אזי הטור ה"קטן" ממנו bn L n 1 מתכנס אף הוא ולכן מתכנס גם הטור (.)B באופן דומה אם נשתמש באי השוויון an bn L 21 *** מבחני השוואה ,המשך ובמבחן השוואה ראשון נוכל להסיק כי מהתכנסות הטור ( ,)Bהשקולה להתכנסות הטור החיובי bn L n 1 ,נובעת התכנסות הטור (.)A מש"ל 22 מבחני השוואה ,המשך מבחן השוואה -2הערות )1שימו לב כי מקרים ב) ו-ג) במבחן השוואה 2פועלים רק בכיוון אחד!! כלומר ,אם , L והטור ( )Bמתכנס ,אזי אין להסיק על התכנסות הטור (.)A באופן דומה אם , L 0והטור ( )Aמתכנס ,אין להסיק על התכנסות הטור (.)B 23 מבחני השוואה ,המשך )2ניתן בהחלט להשתמש במקרים ב) ו -ג) במבחן השוואה 2על דרך השלילה ,כלומר: אם , L 0והטור ( )Aמתבדר אזי הטור ()B מתבדר אף הוא. באופן דומה ,אם , L והטור ( )Bמתבדר ,אזי הטור ( )Aמתבדר אף הוא. )3שימו לב למונה ולמכנה בגבול (.)1 24 מבחן השוואה - 2דוגמאות דוגמא :1בדקו התכנסות הטור החיובי 1 נבחר לשם השוואה את הטור המתכנס 2 n מתקיים: 1 1 . 3 n 1 n n 1 3 an 1 n L lim lim lim 0 n b n 1 n n n 2 n 25 מבחן השוואה , 2המשך דוגמאות קבלנו ( L 0מקרה ב' ) ולכן לפי מבחן השוואה שני הטור הנתון מתכנס יחד עם הטור 26 1 . 2 n 1 n מבחן השוואה , 2המשך דוגמאות 2 . sin דוגמא :2בדקו התכנסות הטור n n 1 2 מתקיים 0 sin sin 2 n נעיר כי לכל 1 n כלומר הטור הנו טור חיובי ולכן נוכל להשתמש במבחן השוואה 2לבדיקת התכנסות /התבדרות. 1 . נבחר לשם השוואה את הטור ההרמוני המתבדר n 1 n 27 מבחן השוואה , 2המשך דוגמאות 2 sin מתקיים: an n L lim lim 2 n b n 1 n n קבלנו , 0 L 2 לכן הטור הנתון מתבדר יחד עם הטור ההרמוני. 28 מבחן השוואה , 2המשך דוגמאות דוגמא :3נבדוק התכנסות הטור n14 20n 1 5 1 2n 7 . n 1 במקרים בהם האבר הכללי של הטור הנו ביטוי רציונלי של nעד כדי שורשים ,כדאי לעשות בחירה "נבונה" של הטור להשוואה .עושים זאת ע"י בחינת ההתנהגות האסימפטוטית ( גבולית ) של האיבר הכללי .נדגים זאת כעת: 29 המשך דוגמאות, 2 מבחן השוואה n14 20n 1 7 n14 n2 1 an 5 3 bn 5 5 n n n 1 2n 1 . 3 להשוואה את הטור המתכנס,אם כן,נבחר n 1 n :מתקיים 14 7 n 20n 1 5 an 1 1 2n L lim lim 5 n b n 1 3 2 n n 7 30 מבחן השוואה , 2המשך דוגמאות 1 0 L קבלנו 32 לכן הטור הנתון מתכנס יחד עם הטור הנבחר לפי מבחן השוואה שני. 31 מבחני דלמבר וקושי מבחני השוואה אלו מבוססים על השוואה עם הטור הגיאומטרי . qבשני המקרים נביא את הגרסא הרגילה ואת הגרסא הגבולית. n n 1 משפט ( :מבחן דלמבר ) אם החל ממקום מסוים אברי הטור החיובי 0 32 an , n a n 1 1 מבחני דלמבר וקושי ,המשך מקיימים an 1 q 1 an אזי הטור ( )1מתכנס. אם מתקיים an 1 1 an 2 3 אזי הטור מתבדר. ללא הוכחה. 33 מבחני דלמבר וקושי ,המשך דוגמא :נבדוק התכנסות הטור מתקיים 2 1 : n 4 n 2 1 . n 4 n 1 n an 1 2 1 an 4 n 1 n 1 2 1 3 1 n 4 4 2 1 n 1 הטור מתכנס! 34 מבחני דלמבר וקושי ,המשך הערה :במבחן דלמבר לא ניתן להחליף את אי השוויון a . ( )2באי השוויון 1 a נראה דוגמאות שמחדדות את ההערה: הטור 1מקיים את אי השוויון n 1 n n n 1 an 1 n , 1 an n 1 אך הוא טור הרמוני מתבדר. 35 מבחני דלמבר וקושי ,המשך 1 ואילו הטור 2 n n 1 שמקיים אף הוא את אי השוויון 2 an 1 n , 1 2 an n 1 הנו טור מתכנס. 36 מבחני דלמבר וקושי ,המשך משפט ( :מבחן דלמבר -גרסא גבולית ) יהי a nטור חיובי .אם קיים הגבול n 1 an 1 lim L n a n אזי אם א) , L 1הטור ( )1מתכנס. 37 4 מבחני דלמבר וקושי ,המשך ב) , L 1הטור ( )1מתבדר. ג) , L 1לא ניתן להסיק על התבדרות/התכנסות הטור ( )1לפי מבחן זה. ללא הוכחה. 38 מבחן דלמבר-דוגמאות n 2 . דוגמא :1נבדוק התכנסות הטור !n 1 n n 1 מתקיים: an 1 2 !n L lim lim n n a n n 1! 2 n !2 2 n n 2 lim lim 0 n n n!n 1 2 n n 1 קבלנו , L 0 1לכן לפי מבחן דלמבר הטור מתכנס. 39 המשך דוגמאות,מבחן דלמבר n n!b .b R , n נבדוק התכנסות הטור:2 דוגמא n 1 n :מתקיים n 1 n an 1 n 1!b n L lim lim n 1 n n a n n 1 n!b n n!n 1 b n b n n b nn lim lim n n n n n 1 n 1 n!b n n 1 b b lim n n e 1 1 40 n מבחן דלמבר ,המשך דוגמאות כן אם , קבלנו e Lb ולכן: אם b eאזי L 1והטור מתכנס לפי מ.דלמבר. אם b eאזי L 1והטור מתבדר לפי מ.דלמבר. אם b eאזי L 1ומ.דלמבר לא נותן תשובה. 41 מבחן דלמבר ,המשך דוגמאות נעיר כי במקרה , b eשלגביו לא ניתן להכריע לפי מבחן דלמבר ,מקבלים את הטור n!e n n n אנו טיפלנו כבר בטור זה ( תנאי הכרחי להתכנסות טור ) וראינו כי הוא מתבדר כי מתקיים n!e n lim an lim 0 n n n n 42 n 1 מבחני דלמבר וקושי ,המשך משפט ( :מבחן קושי ) יהי a nטור חיובי. n 1 הטור מתכנס אם החל ממקום מסוים אברי הטור מקיימים an q 1 n ומתבדר אם החל ממקום מסוים an 1 43 n 5 6 מבחני דלמבר וקושי ,המשך משפט ( :מבחן קושי – גרסא גבולית ) טור חיובי .אם קיים הגבול יהי a n n 1 an L n lim n 7 אזי אם א) , L 1הטור מתכנס .ב) , L 1הטור מתבדר. ג) L 1לא ניתן להסיק על התכנסות/התבדרות ללא הוכחה. הטור לפי מבחן זה. 44 מבחן קושי -דוגמאות n 3 דוגמא :1נבדוק התכנסות הטור . n 1 n מתקיים: n 3 3 3 n lim n n n an lim n n L lim n n קבלנו L 3 1 45 ,לכן הטור מתבדר לפי מ.קושי. מבחן קושי ,המשך דוגמאות דוגמא :2נבדוק התכנסות הטור מתקיים: 5 1 n n 4 . n 1 1 4 1 5 6 1 n n n n n an n n 4 n 4 4 4 n 4 n לכן לפי משפט הסנדויץ' 4 an 1 כלומר הטור מתכנס לפי מ.קושי. 46 n L lim n מבחן קושי ,המשך דוגמאות 1 . דוגמא :3נבדוק לפי מ .קושי התכנסות הטור n 1 n מתקיים 1 1 n lim n n 1 n an lim n n L lim n n קבלנו , L 1לכן מ.קושי אינו נותן תשובה על התכנסות הטור .הוכחנו קודם ( קריטריון קושי ) כי הטור ההרמוני מתבדר. 47 מבחן האינטגרל ראינו כי מבחני דלמבר וקושי אינם מתאימים לבדיקת התכנסות טורי pמהצורה 1 . p n n 1 כעת נראה מבחן התכנסות לטורים חיוביים שנותן מענה לטורים מסוג זה. 48 מבחן האינטגרל ,המשך משפט ( :מבחן האינטגרל ) יהי ) f ( n n 1 n a 1 טור חיובי n 1 ו f (n) -ערך הפונקציה ) f (xבנקודה .x n אם הפונקציה ) f (x חיובית ומונוטונית לא עולה בקרן הימנית , x 1 49 מבחן האינטגרל ,המשך אזי הטור ( )1והאינטגרל הלא אמיתי f ( x)dx 2 1 מתכנסים או מתבדרים יחדיו. ללא הוכחה. 50 מבחן האינטגרל-הערה אם הפונקציה ) f (xחיובית ומונוטונית לא עולה בקרן הימנית , x mאזי יש לחקור את הטור ()1 והאינטגרל 3 f ( x)dx m 51 מבחן האינטגרל -דוגמאות דוגמא :1נבדוק התכנסות טור p 0 , p נסמן p 0 1 ; f ( x) p x 1 ; . p n 1 n ונבדוק שמתקיימים תנאי מבחן האינטגרל: f (x ) (1פונקציה חיובית לכל x 1ו. p 0 - f (x ) (2פונקציה מונוטונית יורדת לכל , p 0 52 מבחן האינטגרל ,המשך דוגמאות כי x פונקציה מונוטונית עולה לכל )f ( x , p 0 , x 1לכן הטור מתכנס ומתבדר יחד עם 1 האינטגרל הלא אמיתי 1 x p dx תזכורת: 1 . 1 ; p 1 p 1 0 P 1 53 dx p 1 ; p x 1 מבחן האינטגרל ,המשך דוגמאות מכאן נסיק כי טור p 0 p מתכנס עבור , p 1 ומתבדר עבור .0 p 1 54 1 ; , p n 1 n מבחן האינטגרל ,המשך דוגמאות דוגמא :2נבדוק התכנסות הטור p 0 נסמן p 0 1 . ; p n n 2 n ln 1 . f ( x) ; p x ln x לכל , p 0 , x 2הפונקציה ) f (xחיובית ומונוטונית יורדת ( .כי x, ln xחיוביות ומונוטוניות עולות בקטע) . 55 מבחן האינטגרל ,המשך דוגמאות לכן ,לפי מבחן האינטגרל ,הטור הנתון מתכנס או מתבדר 1 . יחד עם האינטגרל הלא אמיתי dx p x x ln 2 ראיתם בתרגיל הבית כי אינטגרל זה מתכנס עבור , p 1 ומתבדר עבור .0 p 1וכך נוהג גם הטור. 56 מבחן האינטגרל ,המשך דוגמאות דוגמא :3נבדוק התכנסות הטור 1 1 n ne . n 1 , f ( x) ונבדוק קיום תנאי מבחן נסמן xe האינטגרל: (1הפונקציה ) f (xחיובית לכל , x 1 (2הפונקציה ) f (xמונוטונית יורדת לכל , x 1 ( כי x, e xמונוטוניות עולות לכל ) .x 1 x 57 מבחן האינטגרל ,המשך דוגמאות או מתבדר מתכנס הנתון הטור , האינטגרל מבחן לפי , לכן 1 יחד עם האינטגרל הלא אמיתי .I dx x x e 1 נבדוק ,אם כן התכנסות האינטגרל: b 1 1 I dx lim dx x x b x e xe 1 1 2 2 2 blim b e e e 1 b 58 2 lim x b e מבחן האינטגרל ,המשך דוגמאות 2 קבלנו dx e 1 x xe , I כלומר האינטגרל 1 הלא אמיתי מתכנס ויחד עמו מתכנס גם הטור הנתון. 59
