אינפי 2 - Technion moodle

Transcription

אינפי 2 - Technion moodle
‫אינפי ‪2‬‬
‫פרופ׳ י‪ .‬בנימיני‬
‫חורף תשס״ח‬
‫אלה רשימות מפורטות של ההרצאות‪ .‬אין ספק שיש בהן טעויות רבות‪ ,‬שגיאות‬
‫דפוס‪ ,‬אי־בהירויות ואפילו טעויות מתמטיות‪ .‬תודתי נתונה מראש לכל מי שיעביר‬
‫אלי הערות ותיקונים מכל סוג‪.‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪1‬‬
‫חשבון אינטגרלי‬
‫‪ 1.1‬אינטגרל לא מסוים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 1.2‬אינטגרל מסוים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 1.3‬הקשר בין האינטגרל המסויים לפונקציה הקדומה‪.‬‬
‫‪ 1.4‬שימושים של האינטגרל המסוים ‪. . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 1.5‬חישוב האינטגרל המסוים ‪. . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 1.6‬חישובים מקורבים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 1.7‬אינטגרלים מוכללים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪18‬‬
‫‪21‬‬
‫‪24‬‬
‫‪25‬‬
‫‪27‬‬
‫‪2‬‬
‫טורי מספרים‬
‫‪ 2.1‬מושגים כלליים ‪. . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.2‬טורים עם אברים חיוביים ‪.‬‬
‫‪ 2.3‬טורים עם סימנים מתחלפים‬
‫‪ 2.4‬טורים עם אברים כלשהם ‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪33‬‬
‫‪33‬‬
‫‪35‬‬
‫‪40‬‬
‫‪41‬‬
‫‪3‬‬
‫סדרות וטורים של פונקציות‬
‫‪ 3.1‬התכנסות במידה שווה של סדרות של‬
‫‪ 3.2‬טורי פונקציות ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.3‬טורי חזקות ‪. . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.4‬דוגמא לשימוש בטורי חזקות ‪. . . . . .‬‬
‫פונקציות ‪.‬‬
‫‪. . . . . . . .‬‬
‫‪. . . . . . . .‬‬
‫‪. . . . . . . .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪49‬‬
‫‪49‬‬
‫‪55‬‬
‫‪57‬‬
‫‪64‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪66‬‬
‫‪66‬‬
‫‪71‬‬
‫‪72‬‬
‫‪77‬‬
‫‪78‬‬
‫‪. . . . .‬‬
‫הנשנה‬
‫‪. . . . .‬‬
‫‪. . . . .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪83‬‬
‫‪83‬‬
‫‪85‬‬
‫‪87‬‬
‫‪91‬‬
‫‪. . . . . .‬‬
‫‪. . . . . .‬‬
‫לסירוגין‪.‬‬
‫‪. . . . . .‬‬
‫‪ 4‬פונקציות של כמה משתנים ממשיים‬
‫‪ 4.1‬המרחב האוקלידי ה־ ‪n‬־ממדי ‪. . .‬‬
‫‪ 4.2‬פונקציות ממשיות בכמה משתנים ‪.‬‬
‫‪ 4.3‬חשבון דיפרנציאלי בכמה משתנים‬
‫‪ 4.4‬נגזרות מסדר גבוה ‪. . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 4.5‬אינטגרל התלוי בפרמטר ‪. . . . . .‬‬
‫‪5‬‬
‫האינטגרל הכפול‬
‫‪ 5.1‬הגדרת האינטגרל הכפול ‪. .‬‬
‫‪ 5.2‬האינטגרל הכפול והאינטגרל‬
‫‪ 5.3‬הנוסחה להחלפת משתנים ‪.‬‬
‫‪ 5.4‬אינטגרלים מוכללים ‪. . . . .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪92‬‬
‫‪ 6‬אינטגרלים קוויים‬
‫‪ 6.1‬אורך קשת ‪92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 6.2‬אינטגרל קווי ‪94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 6.3‬משפט גרין ‪100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪2‬‬
‫פרק ‪1‬‬
‫חשבון אינטגרלי‬
‫‪1.1‬‬
‫אינטגרל לא מסוים‬
‫‪R‬‬
‫נסמן ב־ ‪ f (x)dx‬פונקציה קדומה לפונקציה ‪ ,f‬כלומר פונקציה שנגזרתה היא‬
‫האינטגרל הלא מסוים של ‪) .f‬לפעמים נקצר‬
‫ונקרא לה גם‬
‫הפונקציה הנתונה ‪,f‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫את הסימון ונכתוב )‪ , f (x‬או אפילו ‪ .( f‬בשלב זה יש להתייחס לסימון כאל‬
‫סימון בלבד‪ .‬הוא אמנם נראה משונה‪ ,‬אך ההסבר יבוא מאוחר יותר‪.‬‬
‫עלינו לטפל בשלוש שאלות‪:‬‬
‫קיום‪ :‬שאלה זו תטופל בפרק על האינטגרל המסויים‪.‬‬
‫יחידות‪ :‬אנו כבר יודעים את התשובה לשאלה זו‪ .‬פונקציה קדומה נקבעת עד כדי‬
‫קבוע‪ :‬אם ‪ ,F 0 = G0‬אז יש קבוע ‪ C‬כך ש־ ‪ F (x) = G(x) + C‬לכל ‪ ,x‬כי מהנתון‬
‫נובע שמתקיים ‪ ,(FR − G)0 = 0‬ולכן ‪ F − G‬פונקציה קבועה‪.‬‬
‫באופן פורמלי ‪ f (x)dx‬הוא‪ ,‬לכן‪ ,‬סימון למשפחה של פונקציות הנבדלות זו‬
‫מזו בקבועים בלבד‪ .‬אנחנו נציין‪ R‬את הקבועים רק כשנטפל בפונקציות מפורשות‪,‬‬
‫כמו למשל ‪. cos xdx = sin x + C‬‬
‫חישוב‪ :‬זהו הנושא העיקרי בסעף זה‪ .‬אנחנו נתאר מספר שיטות‪ ,‬שכולן מבוססות‬
‫על כך שאינטגרציה היא ״הפעולה ההפוכה״ לפעולת הגזירה‪.‬‬
‫לינאריות‬
‫אם ל־ ‪ f‬ול־ ‪ g‬יש פונקציות קדומות‪ ,‬אז גם ל־ ‪ af + bg‬יש‪ ,‬ומתקיים השוויון‬
‫‪Z‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪(af (x) + bg(x))dx = a f (x)dx + b g(x)dx‬‬
‫כי גוזרים את שני אגפי המשוואה עפ״י כלל הגזירה ‪(aF + bG)0 = aF 0 + bG0‬‬
‫ומקבלים שלשניהם אותה נגזרת‪.‬‬
‫אינטגרלים מיידיים‬
‫כשלמדנו לחשב נגזרות פיתחנו לעצמנו ״טבלת נגזרות״ של אותן פונקציות‬
‫שאנו פוגשים לעתים קרובות‪ ,‬למשל ‪ (xα )0 = αxα−1‬או ‪ .sin0 x = cos x‬כשנקרא‬
‫את הטבלה ״בכיוון ההפוך״ נקבל נוסחאות לפונקציות קדומות רבות‪ ,‬למשל‬
‫‪3‬‬
‫‪R‬‬
‫‪. cos x = sin x + C‬‬
‫‪R‬‬
‫‪. cos12 x = tan x + C‬‬
‫‪R‬‬
‫‪. x−1 = ln |x| + C‬‬
‫‪R‬‬
‫‪β+1‬‬
‫= ‪.β‬‬
‫‪ xβ = xβ+1 + C‬כאשר ‪6 −1‬‬
‫‪R‬‬
‫‪. ex dx = ex + C‬‬
‫‪R 1‬‬
‫‪. 1+x‬‬
‫‪2 = arctan x + C‬‬
‫‪R‬‬
‫‪1‬‬
‫‪) √1−x‬בידקו כי ‪,arcsin x+arccos x = π/2‬‬
‫‪= arcsin x+C = − arccos x+C‬‬
‫‪2‬‬
‫וכך שתי התשובות שנראות שונות זו מזו אכן נבדלות‪ ,‬למעשה‪ ,‬רק בקבוע(‪.‬‬
‫לפונקציות קדומות שאנחנו מקבלים ע״י ״הסתכלות בטבלה״ נקרא אינטגרלים‬
‫מידיים‪ .‬זה איננו מושג מתמטי מדוייק ־ ואנשים שונים ״זוכרים״ טבלאות שונות‬
‫של אינטגרלים מיידיים‪.‬‬
‫אינטגרציה בחלקים‬
‫״נהפוך״ כעת את הנוסחה לנגזרת של המכפלה ‪ .(uv)0 = uv 0 + u0 v‬כשנבודד‬
‫את המחובר ‪ uv 0‬ונבצע אינטגרציה‪ ,‬נקבל את הנוסחה הבאה שנקראת ״נוסחת‬
‫האינטגרציה בחלקים״‬
‫‪Z‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪u0 v‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫)‪(i‬‬
‫‪uv 0 = uv −‬‬
‫‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫‪0‬‬
‫לחישוב ‪ x ln xdx‬נשתמש ב־ ‪ u(x) = ln x‬ו־ ‪ v (x) = x‬ונקבל‬
‫‪Z‬‬
‫‪Z 2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪.‬‬
‫= ‪x ln xdx‬‬
‫‪ln x −‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪ln x −‬‬
‫‪+C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫)‪) . ln xdx = 1 ln xdx = x ln x − x x1 dx = x ln x − x + C (ii‬כאן השתמשנו‬
‫ב־ ‪ u(x) = ln x‬ו־ ‪.(v 0 (x) = 1‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ . exR sin xdx‬נבצע אינטגרציה בחלקים עם ‪ u = ex‬ו־ ‪ v 0 = sin x‬ונקבל‬
‫)‪(iii‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫אינטגרציה נוספת בחלקים‬
‫ע״י‬
‫נחשב‬
‫האינטרגל‬
‫את‬
‫‪.−e‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪x+‬‬
‫‪e‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪xdx‬‬
‫את‬
‫‪R‬‬
‫עם ‪ u = ex‬ו־ ‪ v 0 = cos x‬ונקבל שהוא שווה ל־ ‪ .ex sin xR− ex sin xdx‬וכשנאסוף‬
‫את כל המחוברים נקבל ‪.2 ex sin xdx = ex sin x − ex cos x + C‬‬
‫‪R‬‬
‫)‪ . cosn xdx (iv‬נסמן את האינטגרל ב־ )‪ .Fn (x‬נבצע אינטגרציה בחלקים עם‬
‫‪ u = cosn−1 x‬ו־ ‪ v 0 = cos x‬ונשתמש בזהות ‪ sin2 x = 1 − cos2 x‬ונקבל‬
‫‪Z‬‬
‫‪sin2 x cosn−2 dx‬‬
‫)‪x + (n − 1‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪sin x cos‬‬
‫= )‪Fn (x‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪= sin x cosn−1 x + (n − 1) (1 − cos2 x) cosn−2 dx‬‬
‫‪³‬‬
‫´‬
‫)‪= sin x cosn−1 x + (n − 1) Fn−2 (x) − Fn (x‬‬
‫‪4‬‬
‫או‪ ,‬אחרי העברה באגפים‬
‫‪Z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪cosn xdx = sin x cosn−1 x +‬‬
‫‪cosn−2 xdx‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪.‬‬
‫נותן לבסוף‪ ,‬עפ״י הזוגיות של‪ ,n R‬תוצאה שבה‬
‫שימוש בנוסחה זו פעם אחרי פעם ‪R‬‬
‫יש לחשב או את האינטגרל ‪ 1dx = x‬או את ‪. cos xdx = sin x‬‬
‫אינטגרציה ע״י הצבה‬
‫כאן ״הופכים״ את כלל השרשרת‪.(F (g(x))0 = F 0 (g(x))g 0 (x) ,‬‬
‫‪ F 0 = f‬ונבצע אינטגרציה נקבל כי‬
‫‪Z‬‬
‫‪f (g(x))g 0 (x)dx = F (g(x)) + C.‬‬
‫אם נסמן‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ . 2xex dx‬כאן נשתמש ב־ ‪) f (t) = et‬כלומר ‪ (F (t) = et‬וב־ = )‪g(x‬‬
‫)‪(i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪) x2‬ואז ‪ ,(g 0 (x) = 2x‬ונקבל שהאינטגרל הוא ‪.F (g(x)) + C = ex + C‬‬
‫באופן מעשי איטגרציה ע״י הצבה מתבצעת כך‪ :‬אנחנו מציבים ‪y = x2‬‬
‫‪dy‬‬
‫וכותבים את הנגזרת של ‪ y‬בצורה ‪= 2x‬‬
‫‪ . dx‬כאן אנחנו ״מרמים״ ומתייחסים‬
‫‪dy‬‬
‫כעת‬
‫לביטוי הפורמלי ‪ dx‬כאילו היה מנה של מספרים וכותבים ‪R y .dy = y2xdx‬‬
‫כותבים את האינטגרנד ואת ‪ dx‬בעזרת המשתנה ‪ y‬ומקבלים ‪ e dy = e + C‬־‬
‫‪2‬‬
‫שאותו ״מתרגמים״ חזרה לשפת המשתנה ‪ x‬כ־ ‪.ex + C‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪) . e2xe +1 dx = y2dy+1 = arctan y + C = arctan ex + C (ii‬הצבנו ‪ y = ex‬ולכן‬
‫‪.(dy = ex dx‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R sin x‬‬
‫‪R −dy‬‬
‫‪) . tan xdx = cos‬הצבנו ‪ y = cos x‬ולכן‬
‫)‪(iii‬‬
‫= ‪x dx‬‬
‫‪y = − ln | cos x| + C‬‬
‫‪.(dy = − sin xdx‬‬
‫)‪R 0 (x‬‬
‫)‪ , ff (x‬כי‬
‫באופן כללי יותר מקבלים את הנוסחה ‪dx = ln |f (x)| + C‬‬
‫)‪(iv‬‬
‫מציבים )‪ y = f (x‬ואז ‪ dy = f 0 (x)dx‬והאינטגרל הופך להיות‬
‫‪Z 0‬‬
‫‪Z‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪.‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪= ln |y| + C = ln |f (x)| + C‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪y‬‬
‫האינטגרל‬
‫)‪R √ (v‬לעתים יש‬
‫√ לצרף שיטות אינטגרציה שונות‪ .‬למשל‪ ,‬לחישוב ‪R‬‬
‫‪ e x dx‬נציב ‪) t = x‬כלומר ‪ (x = t2‬ואז ‪ dx = 2tdt‬ומקבלים ‪ , et 2tdt‬שאותו‬
‫מחשבים ע״י אינטגרציה בחלקים‪.‬‬
‫הערה‪ .‬חישוב נגזרות הוא מאוד שיטתי‪ ,‬וכשנתונה פונקציה מסובכת יש בידנו כללי‬
‫גזירה המאפשרים לחשב את נגזרתה ע״י רדוקציה לנגזרות של רכיביה הפשוטים‪.‬‬
‫חישוב הפונקציה הקדומה‪ ,‬לעומת זאת‪ ,‬איננו ״מובנה״ ודורש נסיון ודמיון‪ .‬יתר על‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫כן‪ ,‬יש פונקציות שנראות פשוטות מאד‪ ,‬כמו למשל ‪ ex‬או ‪ , sinx x‬שאפשר להוכיח‬
‫שאי אפשר בכלל להציג את הפונקציה הקדומה שלהן כפונקציה אלמנטרית!‬
‫מצד שני הבדיקה אם חישוב של פונקציה קדומה הוא נכון היא מאד פשוטה‪:‬‬
‫גוזרים ובודקים שוויון לפונקציה הנתונה )כך שאין כל תרוץ לתשובה לא נכונה‬
‫בבחינה‪.(...‬‬
‫אינטגרציה של פונקציות רציונליות‪.‬‬
‫נשתמש בשתי עובדות אלגבריות‪ :‬חלוקת פולינומים עם שארית ופירוק פולינומים‬
‫לגורמים אי פריקים )שהם כידוע מדרגה ‪ 1‬או ‪.(2‬‬
‫חילוק המונה של פונקציה רציונלית במכנה שלה מאפשר את הצגתה כסכום‬
‫של פולינום ושל שבר שבו דרגת המונה קטנה מדרגת המכנה‪ .‬אין בעיה לחשב‬
‫את האינטגרל של הפולינום‪ ,‬ולכן נוכל להניח מעתה שהשבר הוא אכן כזה‪.‬‬
‫הפירוק לגורמים אי־פריקים הוא‪ ,‬לעתים קרובות‪ ,‬לא מעשי )כי אין נוסחאות‬
‫לחישובו(‪ ,‬אבל לעתים הוא כן מעשי ־ ואפילו אולי נתון מראש‪.‬‬
‫דוגמא‪.‬‬
‫‪−2x+4‬‬
‫)‪ (x2 +1)(x−1‬כבר נתון כשדרגת המונה קטנה מדרגת המכנה וכשהמכנה‬
‫השבר ‪2‬‬
‫‪−2x+4‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪Cx+D‬‬
‫מוצג כמכפלת גורמיו האי פריקים‪ .‬נציג ‪(x2 +1)(x−1)2 = x−1 + (x−1)2 + x2 +1‬‬
‫כאשר ‪) C = 2, D = 1, A = −2, B = 1‬הצגה זו נקראת ההצגה כסכום של שברים‬
‫חלקיים(‪ .‬לכן‬
‫‪Z‬‬
‫‪−2x + 4‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪(x2 + 1)(x − 1)2‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2x + 1‬‬
‫‪dx +‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪+‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x−1‬‬
‫)‪(x − 1‬‬
‫‪x2 + 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−2 ln |x − 1| −‬‬
‫‪+ ln(x2 + 1) + arctan x + C.‬‬
‫‪x−1‬‬
‫=‬
‫=‬
‫אנחנו נסתפק בדוגמא האפיינית הזו ולא ניתן כאן את הנוסחאות הכלליות‬
‫להצגה כסכום של שברים חלקיים ולא נוכיח כי השיטה אכן תקפה באופן כללי‪.‬‬
‫משהצגנו את השבר בעזרת שברים חלקיים‪ ,‬עלינו לדעת איך לחשב את‬
‫האינטגרלים שלהם‪ .‬אחרי שינויי משתנה לינאריים הם יהיו בעלי אחת מהצורות‬
‫הבאות‪:‬‬
‫‪R‬‬
‫‪(x−a)−j+1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪) (x−a)j dx = −j+1 + C (i‬או ‪ ln |x − a| + C‬כאשר ‪.(j = 1‬‬
‫‪(x2 +a2 )−j+1‬‬
‫‪−j+1‬‬
‫)‪(ii‬‬
‫)‪(iii‬‬
‫=‬
‫‪2x‬‬
‫‪(x2 +a2 )j dx‬‬
‫‪R‬‬
‫‪.‬‬
‫‪+C‬‬
‫‪R‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−2j+1‬‬
‫‪cos2j−2 tdt‬‬
‫‪(x2 +a2 )j dx = a‬‬
‫‪R‬‬
‫)בעזרת ההצבה ‪.(x = a tan t‬‬
‫ביטויים עם שרשים‬
‫בביטויים כאלה אפשר בדר״כ להעזר בזהויות טריגונומטריות‪ ,‬למשל‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫‪R‬‬
‫√‪R‬‬
‫‪ .‬הציבו ‪ ,x = sin u‬ואז ‪ dx = cos u du‬ומקבלים ‪. cos2 udu‬‬
‫‪1 − x2 dx‬‬
‫)‪(i‬‬
‫כעת נשתמש בזהות ‪ cos2 u = (1 + cos 2u)/2‬והאיטגרל הוא‬
‫‪Z‬‬
‫‪p‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪(1 + cos 2u)du = (u + sin 2u)/2 + C = (arcsin x + x 1 − x2 )/2 + C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫√‬
‫)‪ (ii‬אם נציב ‪ x = cos u‬ב־ )‪ (i‬נקבל ‪ (− arccos x+x 1 − x2 )/2‬שהיא‪ ,‬לכאורה‪,‬‬
‫תשובה שונה‪ ,‬אך למעשה הן נבדלות רק בקבוע כי ‪.arcsin x + arccos x = π/2‬‬
‫√‬
‫)‪ (iii‬אם יש ביטוי רציונלי המכיל ‪ a2 − x2‬מתבקש לנסות את ההצבה = ‪x‬‬
‫‪ a sin u‬או ‪.x = a cos u‬‬
‫‪R‬‬
‫‪dx‬‬
‫לדוגמא‪ ,‬לחישוב‬
‫‪ √2x−x‬נשלים לריבוע ונציב ‪ u = x − 1‬ואח״כ ‪.y = cos u‬‬
‫‪2‬‬
‫√‬
‫בביטויים רציונליים המכילים ‪ a2 + x2‬כדאי לנסות את ההצבה = ‪x‬‬
‫)‪(iv‬‬
‫‪ a tan u‬ולהשתמש בזהות ‪.1 + tan2 u = cos12 u‬‬
‫√‬
‫)‪ (iv‬בביטויים רציונליים המכילים ‪ x2 − a2‬כדאי לנסות את ההצבה ‪.x = sina t‬‬
‫‪1.2‬‬
‫אינטגרל מסוים‬
‫נתונה קבוצה במישור‪ .‬מהו שטחה? לשאלה זו שני פנים‪ :‬השאלה האחת היא‬
‫עקרונית‪ ,‬האם אפשר‪ ,‬ואם כן אז איך‪ ,‬להגדיר שטח של קבוצה מישורית כללית‬
‫או‪ ,‬לפחות‪ ,‬של קבוצות מסויימות? השאלה השניה היא איך מחשבים את השטח‪.‬‬
‫נקודת המוצא היא הגדרת שטח המלבן‪ :‬אורך הבסיס כפול הגובה‪ .‬מכאן‬
‫נקבל גם תשובה פשוטה למשולש‪ :‬ע״י חיתוך והרכבה השטח זהה לחצי שטח‬
‫מלבן עם אותו בסיס ואותו גובה‪ .‬אך מה עם עיגול? כבר ארכימדס נתן שיטה‬
‫לחישוב מקורב של שטח העיגול‪ :‬נחסום בעיגול מצולע משוכלל עם ‪ n‬צלעות‪.‬‬
‫את שטחו קל לחשב‪ ,‬כי הוא מורכב ממשולשים שאת שטחם אנו יודעים לחשב‪.‬‬
‫כאשר ‪ n‬גדול המצולע מכסה כמעט את כל העיגול‪ ,‬ולכן שטח העיגול הוא הגבול‪,‬‬
‫כאשר ∞ → ‪ ,n‬של שטחים אלה‪.‬‬
‫אנחנו נשתמש באותו רעיון כדי להגדיר את מושג השטח‪ ,‬ונעשה זאת בשלב זה‬
‫רק לקבוצות המוגבלות בין הגרף של פונקציה לבין ציר ה־ ‪x‬־ים‪) .‬כמובן שאח״כ‬
‫נוכל לטפל גם בקבוצות הניתנות לפירוק והרכבה מקבוצות כאלה‪ ,‬ואפילו צורות‬
‫כלליות יותר(‪.‬‬
‫השטח המוגבל בין הגרף של ‪ f‬לקטע ]‪ [a, b‬נקרא האינטגרל של ‪ f‬בקטע‪,‬‬
‫‪Rb‬‬
‫‪Rb‬‬
‫ונסמנו ב־ ‪) a f‬ולפעמים ב־ ‪.( a f (x)dx‬‬
‫הערות‪ (i) .‬בשלב זה‪ ,‬זהו רק סימון‪ .‬הקשר שלו עם הפונקציה הקדומה )שהוא‬
‫אחד מההשגים הגדולים של המתמטיקה( יתברר רק בהמשך‪.‬‬
‫‪Rb‬‬
‫ה־ ‪ x‬בסימון ‪ a f (x)dx‬הוא רק שם למשתנה )כמו ‪ j‬בסכום מהצורה‬
‫)‪(ii‬‬
‫‪PN‬‬
‫‪ ( j=M aj‬ואפשר להחליף את ‪ x‬בכל סימן אחר‪ ,‬כגון ‪ y, t, s‬וכדומה‪.‬‬
‫האינטגרל הוא מספר ואינו תלוי ב־ ‪!x‬‬
‫)‪ (iii‬השטח שנגדיר יהיה שטח עם סימן‪ :‬שטח מעל ציר ה־ ‪x‬־ים יקבל סימן‬
‫חיובי‪ ,‬ושטח מתחת לציר יקבל סימן שלילי‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫הצורה הבסיסית שאנו יודעים את שטחה היא המלבן‪ ,‬ולכן אבני הבנין‬
‫היסודיות בתורה שנפתח תהיינה פונקציות המגבילות צורה מלבנית‪ :‬פונקציות‬
‫שהן קבועות בקטע‪ .‬המקרה הכללי יטופל בשלושה צעדים עפ״י ה״מורכבות״ של‬
‫‪.f‬‬
‫צעד ‪ :1‬יהי ‪ I‬קטע חסום )שיכול להיות סגור‪ ,‬פתוח או חצי פתוח( עם קצוות ‪a‬‬
‫ו־ ‪ ,b‬ונניח ש־ ‪ f‬מקבלת את הערך הקבוע ‪ c‬בקטע‪ .‬אז השטח ש־ ‪ f‬מגבילה‬
‫‪Rb‬‬
‫הוא )‪) c(b − a‬שהוא שלילי אם ‪ c‬שלילי(‪ ,‬ולכן )‪. a f = c(b − a‬‬
‫צעד ‪ :2‬נניח ש־ ‪ f‬היא ״פונקצית מדרגה״‪ ,‬כלומר‪ ,‬הקטע ]‪ [a, b‬מחולק ל־ ‪n‬‬
‫קטעים חלקיים הנקבעים ע״י נקודות החלוקה ‪ ,a = a0 < a1 < . . . < an = b‬כך‬
‫ש־ ‪ f‬מקבלת ערך קבוע ‪ ci‬בקטע שבין ‪ ai−1‬ו־ ‪) ai‬אין זה חשוב אם ‪f (ai ) = ci‬‬
‫או ‪ .(ci−1‬הגרף של ‪ f‬מגביל איחוד זר של מלבנים‪ ,‬עם בסיסים באורך ‪ai − ai−1‬‬
‫‪Rb‬‬
‫‪Pn‬‬
‫וגבהים ‪ ci‬בהתאמה‪ ,‬ולכן ) ‪. a f = i=1 ci (ai − ai−1‬‬
‫צעד ‪ :3‬בשלב הסופי והעיקרי‪ ,‬שלפיתוחו יוקדש סעיף זה‪ ,‬נשתמש בתהליך גבולי‪.‬‬
‫כמו ארכימדס נקרב את השטח המבוקש ע״י צורות ״פשוטות״‪ ,‬ודרך טבעית‬
‫לעשות זאת היא ע״י קירוב של השטח ע״י פונקציות מדרגה עם חלוקה מאוד‬
‫עדינה של ]‪ [a, b‬וכאשר ערכה בקטע ה־ ‪ i‬הוא‪ ,‬למשל‪.ci = f (ai ) ,‬‬
‫מסיבות מתמטיות יש צורך ביותר גמישות בבחירת הגבהים ‪ ,ci‬ונבחר אותם‬
‫כערכים ) ‪ ci = f (ti‬של ‪ f‬כשמרשים בחירה שרירותית של הנקודות ] ‪.ti ∈ [ai−1 , ai‬‬
‫נפנה כעת להגדרות פורמליות‪.‬‬
‫סימונים‪.‬‬
‫חלוקה ‪ P‬של הקטע ]‪ [a, b‬היא קבוצה סופית } ‪ P = {ai‬של נקודות בקטע כך‬
‫ש־ ‪.a = a0 < a1 < · · · < an−1 < an = b‬‬
‫נסמן ב־ ‪ ∆i = ai − ai−1‬את אורך הקטע החלקי ה־ ‪i‬־י‪ ,‬כלומר את האורך‬
‫של ] ‪.[ai−1 , ai‬‬
‫הקוטר של החלוקה ‪ P‬הוא ‪.λ(P ) = max ∆i‬‬
‫‪1≤i≤n‬‬
‫הגדרה‪ .‬תהי ‪ f‬פונקציה המוגדרת בקטע ]‪ .[a, b‬יהיו } ‪ P = {ai‬חלוקה של הקטע ו־‬
‫] ‪ .ti ∈ [ai−1 , ai‬סכום רימן של הפונקציה ‪ f‬ביחס לחלוקה ‪ P‬ולבחירה ‪ ti‬הוא‬
‫‪X‬‬
‫= ) ‪R(P, f, ti‬‬
‫‪f (ti )∆i‬‬
‫הגדרה‪ .‬נאמר שהפונקציה ‪ f‬המוגדרת בקטע ]‪ [a, b‬היא פונקציה אינטגרבילית רימן‬
‫בקטע‪ ,‬ושהאינטגרל שלה הוא המספר ‪ ,I‬אם לכל ‪ ε > 0‬יש ‪ δ > 0‬עם התכונה‬
‫הבאה‪ :‬לכל חלוקה } ‪ P = {ai‬של הקטע עם קוטר ‪ λ(P ) < δ‬ולכל בחירה של נקודות‬
‫] ‪ ,ti ∈ [ai−1 , ai‬סכום רימן המתאים יקיים‬
‫‪X‬‬
‫¯‬
‫¯‬
‫‪. ¯I −‬‬
‫‪f (ti )∆i ¯ < ε‬‬
‫את האינטגרל של ‪ f‬נסמן ב־ ‪f‬‬
‫‪Rb‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫טענה‪ .‬אם ‪ f‬אינטגרבילית בקטע‪ ,‬אז היא חסומה בו‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח כי ‪ f‬אינה חסומה‪ ,‬ואז לכל חלוקה ‪ P‬יש קטע חלקי ] ‪[aj−1 , aj‬‬
‫אינה חסומה‪ .‬נבחר את ה־ ‪ti‬־ים עבור ‪ i 6= j‬באופן כלשהו ונסמן‬
‫¯שגם בו ‪f‬‬
‫‪¯P‬‬
‫¯ = ‪.A‬‬
‫¯ ‪f (ti )∆i‬‬
‫‪i6=j‬‬
‫נבחר נקודה ‪ tj‬בקטע החלוקה ה־ ‪j‬־י כך ש־‬
‫כי ‪ f‬אינה חסומה בקטע זה(‪ ,‬ואז‬
‫‪1‬‬
‫) ‪λ(P‬‬
‫‪) |f (tj )∆j | > A +‬יש כזו‬
‫¯‬
‫‪¯ n‬‬
‫¯‬
‫‪¯X‬‬
‫‪1‬‬
‫¯‬
‫¯‬
‫> ‪f (ti )∆i ¯ ≥ |f (tj )∆j | − A‬‬
‫∞→‬
‫¯‬
‫¯‬
‫¯‬
‫‪λ(P‬‬
‫)‬
‫‪i=1‬‬
‫כאשר ‪.λ(P ) → 0‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫)‪(i‬‬
‫לא כל פונקציה חסומה היא אינטגרבילית‪ .‬פונקצית דיריכלה‬
‫(‬
‫כאשר ‪ x‬רציונלי ‪0‬‬
‫= )‪D(x‬‬
‫כאשר ‪ x‬אירציונלי ‪1‬‬
‫איננה אינטגרבילית‪ ,‬כי לכל חלוקה נוכל לבחור את ה־ ‪ti‬־ים כרציונלים )ואז‬
‫סכום רימן המתאים הוא ‪ ,(0‬או לבחור אותם אי־רציונלים )ואז הסכום הוא ‪(1‬‬
‫־ והקוטר של החלוקה איננו רלבנטי כלל‪.‬‬
‫הדוגמא הזו אומרת‪ ,‬בפרט‪ ,‬שיש קבוצות במישור שאי אפשר כלל להגדיר להן‬
‫שטח בשיטה זו! )בקורסים מתקדמים יותר תראו אינטגרל כללי יותר‪ ,‬אינטגרל‬
‫לבג‪ ,‬ופונקצית דיריכלה כן תהיה אינטגרבילית עפ״י לבג‪ .‬אך אפילו אז‪ ,‬אם‬
‫דורשים שהמושג ״שטח״ יקיים מספר דרישות טבעיות מאוד‪ ,‬עדיין יש קבוצות‬
‫שאי אפשר להגדיר עבורן שטח‪.(.‬‬
‫)‪ (ii‬קשה מאוד להשתמש באופן ישיר בהגדרה של אינטגרביליות רימן‪ ,‬כי זה‬
‫מצריך התייחסות לכל החלוקות ולכל הבחירות האפשריות של נקודות ‪ ti‬בקטעי‬
‫החלוקה‪ ,‬ומטרתנו הבאה תהיה מציאת שיטות יעילות יותר‪ .‬אך לפני שנעשה זאת‬
‫נביא דוגמא פשוטה שבה בבחירה מסוימת של החלוקות ושל הנקודות אכן ניתן‬
‫הגבול‪.‬‬
‫לחשב את‬
‫‪R1‬‬
‫‪ 0 xdx = 1/2‬מכיון שזה שטח של משולש‪ ,‬ונבנה סכומי רימן שנותנים תוצאה‬
‫זו‪ .‬לכל ‪ n‬נסתכל בסכום רימן של ‪ f (x) = x‬המתאים לחלוקה האחידה‪ ,‬שנסמנה‬
‫ב־ ‪Pn‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪0‬‬
‫‪< =1‬‬
‫‪0 = < < ...‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫ולבחירה‬
‫‪i‬‬
‫‪n‬‬
‫= ‪) ti‬כלומר לקצוות הימניים של הקטעים החלקיים(‪ .‬ואז‬
‫‪µ‬‬
‫‪¶ X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i i‬‬
‫‪i−1‬‬
‫‪i 1‬‬
‫)‪n(n + 1‬‬
‫= ) ‪. R(P, f, ti‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫= ·‬
‫‪→ 1/2‬‬
‫‪n n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n n‬‬
‫‪2n2‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪9‬‬
‫נשים לב כי בדוגמא האחרונה ‪ ,λ(Pn ) → 0‬ולכן אילו ידענו שהפונקציה = )‪f (x‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪ x‬אינטגרבילית‪ ,‬אז החישוב שעשינו היה אכן מראה ש־ ‪ . 0 xdx = 1/2‬הנושא‬
‫הבא שלנו יהיה‪ ,‬לכן‪ ,‬מציאת תנאים שיבטיחו אינטגרביליות של פונקציה‪.‬‬
‫הגדרה‪ .‬תהי ‪ f‬חסומה בקטע ותהי } ‪ P = {ai‬חלוקה שלו‪ .‬נסמן‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪inf‬‬
‫‪ai−1 ≤x≤ai‬‬
‫;‬
‫= ‪mi‬‬
‫‪sup‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪ai−1 ≤x≤ai‬‬
‫= ‪Mi‬‬
‫)‪ (i‬סכום דרבו העליון של ‪ f‬ביחס לחלוקה ‪ P‬הוא‬
‫‪Mi ∆i‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ) ‪. U (P, f‬‬
‫‪i=1‬‬
‫באופן דומה סכום דרבו התחתון הוא ‪mi ∆i‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ) ‪.L(P, f‬‬
‫)‪ (ii‬האינטגרל העליון של ‪ f‬על ]‪ [a, b‬הוא‬
‫‪Z‬‬
‫‪b‬‬
‫) ‪f = inf U (P, f‬‬
‫‪P‬‬
‫‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫בדומה לזה האינטגרל התחתון של ‪ f‬על ]‪ [a, b‬הוא ) ‪f = supP L(P, f‬‬
‫‪Rb‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.‬‬
‫נשים לב שאם ‪ m ≤ f (x) ≤ M‬ב־ ]‪ [a, b‬אז‬
‫)‪M ∆i = M (b − a‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫≤ ) ‪m∆i ≤ L(P, f ) ≤ U (P, f‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪m(b − a‬‬
‫‪i=1‬‬
‫לכל חלוקה ‪ ,P‬ולכן האינטגרל העליון והתחתון סופיים‪.‬‬
‫סימונים‪.‬‬
‫)‪ (i‬נאמר שחלוקה } ‪ Q = {bi‬היא עידון של החלוקה } ‪ P = {ai‬אם ‪.Q ⊃ P‬‬
‫העידון המשותף של החלוקות ‪ P‬ו־ ‪ P 0‬הוא החלוקה ‪.Q = P ∪ P 0‬‬
‫)‪(ii‬‬
‫התנודה של הפונקציה ‪ f‬בקטע ‪ I‬היא ‪.ω(f, I) = sup f − inf f‬‬
‫‪x∈I‬‬
‫‪x∈I‬‬
‫למה‪ .‬תהי ‪ f‬חסומה בקטע ‪ ,I‬ונסמן ב־ ‪ Ω‬את התנודה של ‪ f‬בקטע‪ .‬תהיינה ‪ P, Q‬חלוקות‬
‫של ‪ I‬כך ש־ ‪ Q‬עידון של ‪.P‬‬
‫)‪ L(P, f ) ≤ L(Q, f ) (i‬ו־ ) ‪.U (Q, f ) ≤ U (P, f‬‬
‫)‪ (ii‬אם ‪ Q‬מתקבלת מ־ ‪ P‬ע״י הוספת ‪ m‬נקודות חלוקה‪ ,‬אז‬
‫‪ U (Q, f ) ≥ U (P, f ) − mλ(P )Ω‬ו־‬
‫‪10‬‬
‫‪L(Q, f ) ≤ L(P, f ) + mλ(P )Ω‬‬
‫הוכחה‪ .‬נוכיח רק את הטענות על סכומי דרבו התחתונים‪ .‬ההוכחה לסכומים‬
‫העליונים דומה‪.‬‬
‫‪ Q‬מתקבלת מ־ ‪ P‬ע״י סדרה של עידונים כשבכל אחד מהם מוסיפים בדיוק‬
‫נקודה אחת‪ ,‬לכן די להוכיח את שני חלקי הלמה כאשר ‪ Q‬מתקבל מ־ ‪ P‬ע״י‬
‫הוספת נקודה אחת ‪ c‬הנמצאת‪ ,‬למשל‪ ,‬בקטע ה־ ‪j‬־י‪) .‬נשים לב שבאגף ימין‬
‫של )‪ (ii‬מופיעות‪ ,‬בשלבים השונים‪ ,‬חלוקות שונות‪ .‬אך כולן מעדנות את ‪ ,P‬ולכן‬
‫הקוטר שלהן אינו עולה על ) ‪.(λ(P‬‬
‫כל המחוברים ב־ ) ‪ L(P, f‬ו־ ) ‪ L(Q, f‬פרט לאלה המתאימים לקטע ה־ ‪j‬־י‬
‫זהים‪ .‬המחובר ה־ ‪j‬־י ב־ ) ‪ L(P, f‬הוא ) ‪ ,mj (aj − aj−1‬ואם נסמן‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪inf‬‬
‫‪c≤x≤aj‬‬
‫; )‪f (x‬‬
‫= ‪k2‬‬
‫‪inf‬‬
‫‪aj−1 ≤x≤c‬‬
‫= ‪k1‬‬
‫אז ב־ ) ‪ L(Q, f‬מופיעים במקומו שני המחוברים )‪ .k1 (c − aj−1 ) + k2 (aj − c‬עפ״י‬
‫ההגדרות ) ‪ mj ≤ min(k1 , k2‬ו־ ‪ ,max(k1 , k2 ) ≤ mj + Ω‬ולכן‬
‫) ‪k1 (c − aj−1 ) + k2 (aj − c) ≤ (mj + Ω)(aj − aj−1‬‬
‫) ‪mj (aj − aj−1 ) + Ωλ(P‬‬
‫≤ ) ‪mj (aj − aj−1‬‬
‫≤‬
‫כמבוקש‪.‬‬
‫מסקנה‪ .‬תהי ‪ f‬חסומה בקטע ‪ .I‬אז לכל שתי חלוקות ‪ P‬ו־ ‪ P 0‬של ‪ I‬מתקיים‬
‫) ‪L(P, f ) ≤ U (P 0 , f‬‬
‫הוכחה‪ .‬תהי ‪ Q‬עידון משותף של ‪ P‬ושל ‪ .P 0‬עפ״י חלק )‪ (i‬של הלמה נקבל כי‬
‫) ‪L(P, f ) ≤ L(Q, f ) ≤ U (Q, f ) ≤ U (P 0 , f‬‬
‫משפט‪ .‬תהי ‪ f‬חסומה בקטע ]‪ ,[a, b‬אז התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫)‪(i‬‬
‫‪ f‬אינגרבילית רימן בקטע‪.‬‬
‫)‪ (ii‬האינטגרל העליון והאינטגרל התחתון של ‪ f‬שווים‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪f‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Z‬‬
‫=‪f‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪ (iii‬לכל ‪ ε‬יש חלוקה ‪ Q‬של הקטע כך ש־‬
‫‪0 ≤ U (Q, f ) − L(Q, f ) < ε‬‬
‫‪11‬‬
‫‪Rb‬‬
‫‪Rb‬‬
‫הוכחה‪ .‬מהמסקנה נובע מיד כי ‪ , a f ≤ a f‬ונראה תחילה את השקילות של‬
‫התנאים )‪ (ii‬ו־ )‪.(iii‬‬
‫אם )‪ (ii‬מתקיים‪ ,‬אז עפ״י הגדרת האינטגרל העליון והתחתון יש‪ ,‬לכל ‪,ε > 0‬‬
‫‪Rb‬‬
‫‪Rb‬‬
‫‪Rb‬‬
‫חלוקות ‪ P‬ו־ ‪ P 0‬כך ש־ ‪ U (P, f ) ≤ a f + 2ε‬וכך ש־ ‪,L(P 0 , f ) ≥ a f − 2ε = a f − 2ε‬‬
‫ולכן ‪ .U (P, f ) ≤ L(P 0 , f ) + ε‬עפ״י )‪ (i‬בלמה נקבל שאם ‪ Q‬עידון משותף שלהן‬
‫אז גם ‪ ,U (Q, f ) ≤ L(Q, f ) + ε‬ו־ )‪ (iii‬מתקיים‪.‬‬
‫אם )‪ (ii‬אינו מתקיים‪ ,‬אז לכל חלוקה ‪ Q‬יתקיים‬
‫‪Z‬‬
‫‪b‬‬
‫‪f = ε0 > 0‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪b‬‬
‫‪f−‬‬
‫‪a‬‬
‫≥ ) ‪U (Q, f ) − L(Q, f‬‬
‫‪a‬‬
‫להוכחת השקילות של )‪ (i‬לתנאים האחרים‪ ,‬נשים תחילה לב כי בהנתן חלוקה‬
‫‪ P‬אז כל סכום רימן עבור חלוקה זו מקיים ) ‪) L(P, f ) ≤ R(P, f, ti ) ≤ U (P, f‬כי‬
‫לכל בחירה של ‪ ti‬בקטע החלוקה ה־ ‪i‬־י מתקיים ‪.(mi ≤ f (ti ) ≤ Mi‬יתר על כן‪,‬‬
‫אם כל ה־ ‪mi‬־ים וה־ ‪Mi‬־ים מתקבלים‪ ,‬אפשר לבחור את ה־ ‪ti‬־ים כנקודות בהן‬
‫הם מתקבלים ולקבל את ) ‪ L(P, f‬ו־ ) ‪ U (P, f‬כסכומי רימן‪ .‬גם אם מישהו מהם‬
‫אינו מתקבל אז עדיין אפשר‪ ,‬בבחירות מתאימות של ה־ ‪ti‬־ים‪ ,‬לקרב כרצוננו את‬
‫) ‪ L(P, f‬ו־ ) ‪ U (P, f‬ע״י סכומי רימן המתאימים‪.‬‬
‫אינטגרבילית רימן‪¯ ,‬ואז בהנתן ‪ ε‬נוכל לבחור חלוקה עדינה‬
‫כעת נניח ש־ ‪f‬‬
‫¯¯ ‪R b‬‬
‫¯‬
‫מספיק ‪ P‬כך ש־ ‪ ¯R(P, f ) − a f ¯ < 2ε‬לכל סכום רימן המתאים ל־ ‪ .P‬ע״ס‬
‫¯‬
‫¯‬
‫¯¯ ‪R b‬‬
‫¯¯ ‪R b‬‬
‫¯‬
‫¯‬
‫ההערה לעיל נקבל שגם ‪ ¯L(P, f ) − a f ¯ < 2ε‬וגם ‪ ,¯U (P, f ) − a f ¯ < 2ε‬ותנאי‬
‫)‪ (iii‬מתקיים‪.‬‬
‫‪Rb‬‬
‫‪Rb‬‬
‫להפך‪ ,‬ונניח ש־ )‪ (ii‬מתקיים ונסמן ‪. a f = a f = I‬‬
‫נבחר חלוקה ∗ ‪ P‬כך ש־ ‪ U (P ∗ , f ) < I + 2ε‬ונניח שיש בה ‪ m‬נקודות‪ .‬נסמן‬
‫‪ε‬‬
‫‪ .δ1 = 2mΩ‬תהי ‪ P‬חלוקה המקיימת‬
‫ב־ ‪ Ω‬את התנודה של ‪ f‬בקטע ונבחר‬
‫∗‬
‫‪ ,λ(P ) < δ1‬ונסמן ב־ ‪ Q‬את העידון המשותף של ‪ P‬ו־ ‪ P‬ונשים לב כי ב־ ‪ Q‬יש‬
‫לכל היותר ‪ m‬נקודות יותר מאשר ב־ ‪ .P‬עפ״י הלמה )חלק )‪ (ii‬לאי השוויון השני‬
‫ו־ )‪ (i‬לרביעי( ועפ״י בחירת ‪ δ1‬נקבל כי כל סכום רימן המתאים ל־ ‪ P‬יקיים‬
‫‪≤ U (P, f ) ≤ U (Q, f ) + mλ(P )Ω‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪< U (Q, f ) + ≤ U (P ∗ , f ) + < I + ε‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪R(P, f‬‬
‫באופן דומה נמצא ‪ δ2‬כך שלכל חלוקה ‪ P‬המקיימת ‪ λ(P ) < δ2‬ולכל סכום‬
‫רימן המתאים לה יתקיים ‪ .R(P, f ) > I − ε‬אם ‪ P‬תקיים ) ‪λ(P ) < min(δ1 , δ2‬‬
‫יתקיימו שני התנאים ביחד‪ ,‬ולכן ‪.|R(P, f ) − I| < ε‬‬
‫הערות‪ (i) .‬נשים לב שקבלנו מההוכחה שאם ‪ f‬אינטגרבילית רימן אז‬
‫מתלכד עם האינטגרל העליון והתחתון‪.‬‬
‫‪f‬‬
‫‪Rb‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪ (ii‬את השקילות של אינטגרביליות רימן לתנאי )‪ (iii‬ניתן לנסח בצורה הנוחה‬
‫הבאה‪ ,‬שבה נשתמש בפועל‪:‬‬
‫‪12‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ f‬אינטגבילית רימן בקטע ‪ I‬אםם לכל ‪ ε > 0‬יש חלוקה ‪ Q‬כך ש־ ‪, ωi ∆i < ε‬‬
‫כאשר ) ‪ ωi = ω(Ii , f‬הוא התנודה של ‪ f‬בקטע החלוקה ה־ ‪i‬־י‪ ,Ii ,‬של ‪.Q‬‬
‫במשפטים הבאים נשתמש בקריטריון שמצאנו כדי להראות שפונקציות חסומות‬
‫מטיפוסים מסויימים הן אינטגרביליות‪.‬‬
‫משפט‪ .‬תהי ‪ f‬רציפה בקטע סגור ]‪ ,[a, b‬אז היא אינטגרבילית שם‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נזכור מאינפי ‪ 1‬כי פונקציה רציפה בקטע סגור רציפה בו במידה שווה‪,‬‬
‫כלומר‪ ,‬לכל ‪ ε > 0‬קיים )‪ δ = δ(ε‬כך שלכל שתי נקודות ‪ x, y‬בקטע המקיימות‬
‫‪ |x − y| < δ‬מתקיים ‪.|f (x) − f (y)| < ε‬‬
‫בפרט נקבל כי אם ‪ P‬חלוקה המקיימת ‪ ,λ(P ) < δ‬אז ‪ ωi < ε‬לכל ‪ ,i‬ולכן‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ωi ∆i < ε‬‬
‫)‪∆i = ε(b − a‬‬
‫והביטוי )‪ ε(b − a‬קטן כרצוננו‪.‬‬
‫מהמשפט נובע שהפונקציה ‪ ,f (x) = x‬שראינו בדוגמא‪ ,‬היא אכן אינטגרבילית‪,‬‬
‫ולכן החישוב שעשינו אכן מראה שהאינטגרל שלה הוא ‪. 21‬‬
‫משפט‪ .‬תהי ‪ f‬מונוטונית בקטע סגור ]‪ ,[a, b‬אז היא אינטגרבילית שם‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח למשל ש־ ‪ f‬לא יורדת‪ .‬נסתכל בחלוקה האחידה ‪ Pn‬של הקטע ל־‬
‫‪ ∆i = b−a‬לכל ‪ ,i‬ובקטע החלוקה ה־ ‪i‬־י ] ‪[ai−1 , ai‬‬
‫‪ n‬קטעים חלקיים שווים‪ ,‬ואז ‪n‬‬
‫מתקיים ש־ ) ‪ mi = f (ai−1‬ו־ ) ‪ .Mi = f (ai‬ולכן‬
‫¡‪X‬‬
‫‪¢‬‬
‫‪¢‬‬
‫¡‪b − a X‬‬
‫= ‪f (ai ) − f (ai−1 ) ∆i‬‬
‫) ‪f (ai ) − f (ai−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪¢‬‬
‫¡ )‪(b − a‬‬
‫‪f (b) − f (a) → 0‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫=‬
‫‪ωi ∆i‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫משפט‪ .‬אם ‪ f‬חסומה ויש לה רק מספר סופי של נקודות אי־רציפות ב־ ]‪ ,[a, b‬אז ‪f‬‬
‫אינטגרבילית בקטע‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬כדי לפשט את הסימונים נניח שיש ל־ ‪ f‬רק נקודת אי רציפות אחת‪,‬‬
‫ונסמנה ב־ ‪ .c‬נניח גם כי ‪ c‬נקודה פנימית )ההוכחה דומה כשהיא נקודת קצה(‪.‬‬
‫נקבע ‪ .ε > 0‬היות ו־ ‪ f‬חסומה‪ ,‬יש לה תנודה סופית ‪ ,Ω‬ונבחר ‪ η > 0‬כך‬
‫רציפה‪ ,‬ולכן אינטגרבילית‪ .‬לכן יש‬
‫ש־ ‪ .2ηΩ < 3ε‬בקטע ]‪[a, c − η‬‬
‫‪P‬‬
‫הפונקציה ‪P f‬‬
‫‪ε‬‬
‫)כאשר אנחנו מסמנים ב־ ‪P‬‬
‫חלוקה ‪ P‬של ]‪ [a, c − η‬המקיימות ‪P ωi ∆i < 3‬‬
‫את הסכום על קטעי החלוקה ‪.(P‬‬
‫‪P‬‬
‫באופן דומה יש חלוקה ‪ S‬של ]‪ [c + η, b‬המקיימת ‪. S ωi ∆i < 3ε‬‬
‫‪13‬‬
‫נסתכל כעת בחלוקה ‪ Q‬המתקבלת מצרוף שתי החלוקות ‪ P‬ו־ ‪ ,S‬כשגם הקטע‬
‫]‪ Ic = [c − η, c + η‬הוא קטע בחלוקה ‪ .Q‬ואז עפ״י בחירת ‪ η‬נקבל‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ωi ∆i + ωIc 2η +‬‬
‫‪ωi ∆i‬‬
‫= ‪ωi ∆i‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪+ 2ηΩ + < ε‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪Q‬‬
‫≤‬
‫נעבור כעת לדון בתכונות הבסיסיות של האינטגרל‪.‬‬
‫משפט‪ .‬תהיינה ‪ f‬ו־ ‪ g‬פונקציות אינטגרביליות בקטע ]‪ ,[a, b‬אז‬
‫)‪ (i‬לכל ‪ α, β ∈ R‬גם הפונקציה ‪ αf + βg‬אינטגרבילית בקטע‪ ,‬ומתקיים‬
‫‪Z‬‬
‫‪b‬‬
‫‪g‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪b‬‬
‫‪f +β‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪ (ii‬אם ‪ f ≤ g‬בקטע אז‬
‫‪a‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪g‬‬
‫בפרט‪ ,‬אם ‪ f ≥ 0‬אז ‪f ≥ 0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪(αf + βg) = α‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Rb‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Z‬‬
‫≤‪f‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ ,‬ואם ‪ m ≤ f (x) ≤ M‬לכל ‪ x‬בקטע‪ ,‬אז‬
‫‪Z‬‬
‫‪b‬‬
‫≤ )‪m(b − a‬‬
‫)‪f ≤ M (b − a‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪ (iii‬אם ‪ a < c < b‬אז ‪ f‬אינטגרבילית בכל אחד מהקטעים החלקיים ]‪ [a, c‬ו־ ]‪[c, b‬‬
‫ומתקיים‬
‫‪Z b‬‬
‫‪Z c‬‬
‫‪Z b‬‬
‫=‪f‬‬
‫‪f+‬‬
‫‪f‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫הוכחה‪ .‬נקבע חלוקה ‪ P‬ונקודות ‪ ti‬בקטעי החלוקה‪ ,‬ואז סכומי רימן של ‪ g ,f‬ו־‬
‫‪ αf + βg‬מקיימים‬
‫) ‪R(P, αf + βg, ti ) = αR(P, f, ti ) + βR(P, g, ti‬‬
‫ואם ‪ f ≤ g‬אז‬
‫) ‪R(P, f, ti ) ≤ R(P, g, ti‬‬
‫וכעת )‪ (i‬ו־ )‪ (ii‬נובעים ע״י מעבר לגבול כאשר ‪.λ(P ) → 0‬‬
‫להוכחת )‪ (iii‬נוכיח תחילה ש־ ‪ f‬אינגרבילית בקטעים החלקיים ]‪ [a, c‬ו־ ]‪:[c, b‬‬
‫היות ו־ ‪ f‬אינטגרבילית ב־ ]‪ [a, b‬יש לכל ‪ ε > 0‬חלוקה ‪ P‬של ]‪ [a, b‬כך ש־‬
‫‪P‬‬
‫)∗(‬
‫‪ωi ∆i < ε‬‬
‫‪14‬‬
‫ע״י הוספת הנקודה ‪ c‬ל־ ‪ P‬הביטוי הזה רק יקטן‪ ,‬ולכן בה״כ ‪ c ∈ P‬והחלוקה‬
‫‪ P‬משרה חלוקות ‪ P1‬ו־ ‪ P2‬של ]‪ [a, c‬ו־ ]‪ [c, b‬בהתאמה‪ f .‬אינטגרבילית בקטעים‬
‫החלקיים כי גם חלוקות אלה תקיימנה את )∗( )כסכומים חלקיים מתאימים של‬
‫הסכום באגף שמאל(‪.‬‬
‫משהוכחנו שאגף ימין מוגדר היטב‪ ,‬השוויון נובע ע״י מעבר לגבול בסכומי רימן‪,‬‬
‫כמו בהוכחת )‪ (i‬ו־ )‪ ,(ii‬כשמשתמשים רק בחלוקות המכילות את הנקודה ‪.c‬‬
‫‪Rb‬‬
‫ראינו במשפט כי אם ‪ f ≥ 0‬אז ‪ . a f ≥ 0‬בד״כ העובדה שיש‬
‫הערות‪(i) .‬‬
‫‪Rb‬‬
‫נקודה ‪ x0‬שבה ‪ f (x0 ) > 0‬אינה מספיקה כדי לקבל אי שוויון חריף ‪, a f > 0‬‬
‫למשל‪ ,‬אם ‪ f‬זהותית ‪ 0‬פרט לערך חיובי בנקודה הבודדת ‪ .x0‬אך אם ‪ f‬רציפה‬
‫אכן מתקבל אי שוויון חריף‪ :‬אם ‪ f (x0 ) = c > 0‬אז מרציפות ‪ f‬נובע שיש סביבה‬
‫]‪ [x0 − δ, x0 + δ‬שבה מתקיים ‪ ,f (x) ≥ 2c > 0‬ולכן‬
‫‪c‬‬
‫‪>0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪x0 +δ‬‬
‫‪f+‬‬
‫‪f ≥ 2δ‬‬
‫‪x0 +δ‬‬
‫‪x0 −δ‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪f+‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Z‬‬
‫=‪f‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x0 −δ‬‬
‫‪a‬‬
‫כי כל המחוברים אי־שליליים‪ ,‬והמחובר האמצעי גדול מ־ ‪.2δ 2c‬‬
‫‪Rb‬‬
‫)‪ (ii‬האינטגרל ‪ a f‬הוגדר עבור ‪ .a < b‬באופן פורמלי נגדיר כעת‬
‫‪b‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪f‬‬
‫‪a‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪f =−‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫הגדרה זו משחררת מהצורך להשגיח על סדר הגבולות‪ ,‬וכל כללי האינטגרל‬
‫נשמרים‪ .‬בפרט הנוסחה ב־ )‪ (iii‬נשארת בתוקף‪ ,‬ואם ‪ f‬אינטגרבילית בקטע‬
‫]‪ [a, b‬אז לכל ]‪ α, β, γ ∈ [a, b‬מתקיים‬
‫‪Z‬‬
‫‪β‬‬
‫‪f‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪f+‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪β‬‬
‫‪Z‬‬
‫=‪f‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫בלי תלות בסדר של ‪) .α, β, γ‬הוכיחו זאת כתרגיל!(‪.‬‬
‫את הוכחת המשפט הבא נשאיר כתרגיל‬
‫משפט‪ .‬אם ‪ f‬אינטגרבילית בקטע ]‪ ,[a, b‬ואם ‪ g = f‬פרט למספר סופי של נקודות‪ ,‬אז‬
‫‪Rb‬‬
‫‪Rb‬‬
‫גם ‪ g‬אינטגרבילית בקטע ומתקיים ש־ ‪. a g = a f‬‬
‫נסיים את הפרק על אינגרל רימן בעוד כמה תוצאות על אינטגרביליות‪.‬‬
‫משפט‪ .‬תהי ‪ f‬אינטגרבילית ב־ ]‪ ,[a, b‬ותהי ‪ ϕ‬רציפה בקטע סגור ‪ I‬המכיל את הטווח‬
‫של ‪ ,f‬אז גם ההרכבה ‪ ϕ ◦ f‬אינטגרבילית ב־ ]‪.[a, b‬‬
‫‪15‬‬
‫הוכחה‪ .‬נקבע ‪ .ε > 0‬הפונקציה ‪ ϕ‬רציפה בקטע סגור‪ ,‬לכן היא חסומה בו‪ ,‬ויש‬
‫לה תנודה סופית בקטע שנסמנה ב־ ‪ .Ω‬היא גם רציפה ב־ ‪ I‬במ״ש‪ ,‬ולכן יש‬
‫‪ δ > 0‬כך שלכל ‪ s, t ∈ I‬כך ש־ ‪ |s − t| < δ‬מתקיים ‪ .|ϕ(s) − ϕ(t)| < ε‬בה״כ נוכל‬
‫להניח כי ‪.δ < ε‬‬
‫‪P‬‬
‫נבחר כעת חלוקה ‪ P‬של ]‪ [a, b‬כך ש־ ‪ , ωif ∆i < δ 2‬כאשר ‪ ωif‬היא התנודה‬
‫של ‪ f‬בקטע החלוקה ה־ ‪i‬־י‪ ,‬ונסמן ב־ ‪ ωiϕ◦f‬את התנודה של ‪ ϕ◦f‬בקטע החלוקה‬
‫ה־ ‪i‬־י‪.‬‬
‫המשפט יוכח כשנראה כי‬
‫‪P ϕ◦f‬‬
‫)∗(‬
‫)‪ωi ∆i < ε(b − a + Ω‬‬
‫לשם כך נסמן‬
‫}‪I2 = {i : ωif ≥ δ‬‬
‫;‬
‫}‪I1 = {i : ωif < δ‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫כאשר‬
‫‪1+‬‬
‫)∗( לשני סכומים חלקיים‪2 :‬‬
‫ונפרק את הסכום באגף שמאל של‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫הוא הסכום על ‪ ,i ∈ I2‬ונעריך כל אחד‬
‫הוא הסכום על ‪ ,i ∈ I1‬ו־ ‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫מהסכומים האלה לחוד‪.‬‬
‫אם ‪ ,i ∈ I1‬אז עפ״י בחירת ‪ δ‬נקבל כי ‪ ,ωiϕ◦f < ε‬ולכן‬
‫‪X X ϕ◦f‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫‪ωi ∆i < ε‬‬
‫)‪∆i ≤ ε(b − a‬‬
‫‪i∈I1‬‬
‫‪i∈I1‬‬
‫להערכת‬
‫‪P‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫נששתמש בכך ש־ ‪ ωif ≥ δ‬לכל ‪ i ∈ I2‬ולכן‬
‫‪X f‬‬
‫‪X f‬‬
‫‪X‬‬
‫> ‪δ2‬‬
‫≥ ‪ωi ∆i‬‬
‫≥ ‪ωi ∆i‬‬
‫‪δ∆i‬‬
‫‪i∈I2‬‬
‫‪i∈I2‬‬
‫וע״י חלוקה ב־ ‪ δ‬נקבל כי ‪∆i < δ‬‬
‫‪∆i < δΩ < εΩ‬‬
‫‪P‬‬
‫‪i∈I2‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ ,‬והיות ש־ ‪ ωiϕ◦f ≤ Ω‬לכל ‪ i‬נקבל‬
‫‪ωiϕ◦f ∆i ≤ Ω‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i∈I2‬‬
‫‪i∈I2‬‬
‫=‬
‫‪X‬‬
‫‪2‬‬
‫הדוגמאות )‪ (ii‬ו־ )‪ (iii‬הבאות חשובות מאוד ומשתמשים בהן לעתים קרובות‪.‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫)‪ (i‬אם נקח ‪ ,ϕ(t) = t2‬נקבל כי ‪ f 2‬אינטגרבילית לכל ‪ f‬אינטגרבילית‪) .‬ובאופן‬
‫דומה גם ‪ f n‬אינטגרבילית לכל ‪ f‬אינטגרבילית(‪.‬‬
‫אם ‪ f‬ו־ ‪ g‬אינטגרביליות כך גם ‪ ,f g‬כי נציג‬
‫)‪(ii‬‬
‫הפונקציות באגף ימין אינטגרביליות ע״ס )‪.(i‬‬
‫‪(f +g)2 −f 2 −g 2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ ,f g‬וכל‬
‫)‪ (iii‬אם נקח |‪ ,ϕ(t) = |t‬נקבל כי | ‪ |f‬אינטגרבילית לכל ‪ f‬אינטגרבילית‪ .‬הפעלת‬
‫‪¯Rb ¯ Rb‬‬
‫≤ ¯ ‪.¯ f‬‬
‫אי שוויון המשולש על סכומי רימן תיתן גם כי | ‪|f‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪ (iv‬אם נקח ‪ ,ϕ(t) = 1/t‬נקבל כי ‪ 1/f‬אינטגרבילית לכל ‪ f‬אינטגרבילית כך‬
‫שיש ‪ c > 0‬באופן ש־ ‪ |f (x)| ≥ c‬לכל ‪.x‬‬
‫‪16‬‬
‫הדוגמאות הקודמות מראות שביצוע פעולות ״אלגבריות״ על ‪ f‬שומר על‬
‫)‪(v‬‬
‫תכונת האינטגרביליות‪ .‬אך‪ ,‬כפי שהדוגמא הבאה מראה תהליכי גבול אינם‬
‫שומרים בהכרח על האינטגרביליות‪ ,‬ויש לטפל בהם בזהירות רבה‪) .‬אנחנו נטפל‬
‫בתהליכי גבול כאלה בהמשך(‪.‬‬
‫נסדר את הרציונלים בקטע ]‪ [0, 1‬בסדרה } ‪ ,{sn‬ונגדיר‬
‫(‬
‫כאשר } ‪0 x ∈ {s1 , . . . , sn‬‬
‫= )‪fn (x‬‬
‫אחרת ‪1‬‬
‫אז ה־ ‪fn‬־ים אינטגרביליות )כי יש להן רק מספר סופי של נקודות אי רציפות(‪,‬‬
‫אך לכל ]‪ x ∈ [0, 1‬מתקיים כי )‪ ,limn→∞ fn (x) = D(x‬כאשר ‪ D‬היא פונקצית‬
‫דיריכלה‪ ,‬וכפי שראינו היא אינה אינטגרבילית‪.‬‬
‫הגדרה‪ .‬קבוצה ‪ E ⊂ R‬נקראת ״בעלת מידה ‪0‬״ אם לכל ‪ ε‬יש כיסוי של ‪ E‬ע״י סדרת‬
‫קטעים )סופית או אינסופית( } ‪ {In‬שסכום ארכיהם קטן מ־ ‪.ε‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫כל קבוצה בת מניה היא בעלת מידה ‪ ,0‬כי נסמן את אבריה ב־ } ‪,{an‬‬
‫)‪(i‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪ε‬‬
‫ובהנתן ‪ ε‬נגדיר ) ‪ ,In = (an − 2n+1 , an + 2n+1‬ואז סכום ארכיהם הוא = ‪n≥1 2n‬‬
‫‪.ε‬‬
‫יש גם קבוצות לא בנות מניה שהן בעלת מידה ‪ .0‬בתרגיל תבנו קבוצה‬
‫)‪(ii‬‬
‫כזו‪ :‬קבוצת קנטור‪.‬‬
‫הוכיחו כתרגיל שקטע לא מנוון ]‪ [a, b‬אינו בעל מידה ‪) .0‬רמז‪ :‬הוכיחו‬
‫)‪(iii‬‬
‫תחילה שאם הקטע מכוסה ע״י מספר סופי של קטעים‪ ,‬אז סכום ארכיהם הוא‬
‫לפחות ‪ .b − a‬אח״כ הראו כי בה״כ אפשר להניח כי קטעי הכיסוי פתוחים‪,‬‬
‫והשתמשו בלמה של היינה־בורל כדי לעבור לתת כיסוי סופי(‪.‬‬
‫נסיים במשפט המאפיין באופן מלא מתי פונקציה היא אינטגרבילית‪.‬‬
‫משפט‪].‬לבג[ פונקציה חסומה ‪ f‬המוגדרת בקטע ‪ I‬היא אינטגרבילית שם אםם קבוצת‬
‫נקודות אי הרציפות שלה היא בעלת מידה ‪.0‬‬
‫הוכחה‪ .‬נביא רק את ההוכחה של צד אחד של המשפט‪ :‬אם קבוצת נקודות אי‬
‫הרציפות של ‪) f‬שנסמנה ב־ ‪ (E‬היא בעלת מידה ‪ ,0‬אז היא אינטגרבילית‪.‬‬
‫נסמן את ארכו ב־ |‪.|J‬‬
‫נסמן את התנודה של ‪ f‬ב־ ‪ .Ω‬לכל קטע ‪P J‬‬
‫נקבע ‪ ε > 0‬ונמצא חלוקה ‪ P‬כך ש־ ‪ . wi ∆i < ε‬לשם כך נגדיר כיסוי פתוח‬
‫של ‪ I‬באופן הבא‪ :‬לכל נקודת רציפות ‪ x ∈ I‬של ‪ f‬נמצא קטע פתוח ‪ Ix‬המכיל‬
‫‪ε‬‬
‫|‪ .ω(f, Ix ) < 2|I‬האיחוד ‪ ∪Ix‬בוודאי מכסה את ‪ ,I \ E‬וכדי לקבל‬
‫אותה כך ש־‬
‫‪ P‬נוסיף לכיסוי עוד סדרת קטעים פתוחים ‪ In‬המכסה את ‪ E‬וכך‬
‫כיסוי של כל ‪I‬‬
‫‪ε‬‬
‫ש־‬
‫‪. |In | < 2Ω‬‬
‫‪17‬‬
‫ע״ס הלמה של היינה־בורל יש לכיסוי הזה תת כיסוי סופי‪ ,‬ונסמן ב־ ‪ P‬את‬
‫ע״י קצוות הקטעים בתת הכיסוי הסופי הזה‪.‬‬
‫החלוקה הנקבעת ‪P‬‬
‫נבחין בשני סוגים של קטעי חלוקה‪ .‬הסוג הראשון הוא‬
‫להערכת ‪wi ∆i‬‬
‫קטעים המוכלים בקטע מהטיפוס ‪ .Ix‬בכל קטע כזה התנודה ‪ ωi‬של ‪ f‬בקטע‬
‫‪ε‬‬
‫|‪ 2|I‬ותרומתם הכוללת לסכום היא‬
‫קטנה מ־‬
‫‪ε X‬‬
‫‪ε‬‬
‫≤ ‪∆i‬‬
‫‪1‬‬
‫|‪2|I‬‬
‫‪2‬‬
‫≤ ‪wi ∆i‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫כי סכום ארכיהם בודאי אינו עולה על אורך הקטע ‪ I‬כולו‪.‬‬
‫הסוג השני הוא קטעים המוכלים בקטע מהטיפוס ‪ ,In‬ותרומתם הכוללת‬
‫לסכום היא‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪wi ∆i ≤ Ω‬‬
‫‪∆i ≤ Ω‬‬
‫≤ | ‪|In‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪. |In | ≤ 2Ω‬‬
‫כי‬
‫יש אולי קטעי חלוקה שהם גם מסוג הראשון וגם מסוג השני‪ ,‬ואלה נספרים‬
‫פעמיים‪ ,‬ולכן‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ε ε‬‬
‫≤ ‪wi ∆i‬‬
‫‪wi ∆i +‬‬
‫‪wi ∆i < + = ε‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫הצד שהוכחנו של המשפט מכיל‪ ,‬כמובן‪ ,‬את המשפט שפונקציה חסומה עם‬
‫מספר סופי של נקודות אי־רציפות היא אינטגרבילית‪ .‬כפי שהטענה הבאה מראה‪,‬‬
‫הוא מכיל גם את המשפט שפונקציה מונוטונית בקטע סגור היא אינטגרבילית‪.‬‬
‫טענה‪ .‬לפונקציה מונוטונית בקטע סגור יש לכל היותר מספר בן מניה של נקודות אי־‬
‫רציפות‬
‫הוכחה‪ .‬כזכור‪ ,‬נקודות אי הרציפות של פונקציה מונוטונית הן נקודות קפיצה‪.‬‬
‫לכל ‪ n‬נסמן ב־ ‪ Cn‬את קבוצת הנקודות שבהן יש ל־ ‪ f‬קפיצה גדולה מ־ ‪1/n‬‬
‫ונראה כי כל ‪ Cn‬היא סופית‪ .‬לכן קבוצת כל נקודות אי־הרציפות‪ ,∪Cn ,‬בת מניה‪.‬‬
‫נניח כי ‪ f‬אינה יורדת והקטע הוא ]‪ ,[a, b‬ונסמן ב־ ‪ Jx‬את הקפיצה של ‪f‬‬
‫בנקודה ‪ ,x‬ואז‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫≥ )‪f (b) − f (a‬‬
‫| ‪Jx ≥ |Cn‬‬
‫‪n‬‬
‫‪x∈Cn‬‬
‫ולכן ∞ < ))‪.|Cn | ≤ n(f (b) − f (a‬‬
‫‪ 1.3‬הקשר בין האינטגרל המסויים לפונקציה הקדומה‪.‬‬
‫‪Rx‬‬
‫= )‪ .F (x‬הפונקציה‬
‫תהי ‪ f‬אינטגרבילית בקטע ]‪ [a, b‬ונגדיר פונקציה חדשה ‪f‬‬
‫‪ F‬מוגדרת היטב בקטע‪ ,‬ונחקור את תכונותיה‪.‬‬
‫‪Rx‬‬
‫משפט‪ .‬תהי ‪ f‬אינטגרבילית בקטע ]‪ ,[a, b‬אז הפונקציה ‪ F (x) = a f‬רציפה בו‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪18‬‬
‫הוכחה‪ .‬אם ‪ f‬אינטגרבילית ב־ ]‪ [a, b‬אז היא חסומה בו ונניח כי ‪|f (x)| ≤ M‬‬
‫לכל ]‪ .x ∈ [a, b‬נראה כי ‪ F‬רציפה במ״ש‪ .‬נקבע ‪ ε > 0‬ונבחר ‪ .δ = ε/M‬אם‬
‫‪ x < y‬מקיימות ‪ ,y − x < δ‬אז‬
‫‪Z y‬‬
‫‪Z x‬‬
‫‪Z y‬‬
‫= )‪F (y) − F (x‬‬
‫‪f−‬‬
‫=‪f‬‬
‫‪f‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫ולכן‬
‫‪y‬‬
‫‪|f | ≤ M |y − x| < δM = ε‬‬
‫‪x‬‬
‫‪¯ Z‬‬
‫¯‬
‫≤ ¯¯ ‪f‬‬
‫‪y‬‬
‫‪¯Z‬‬
‫¯‬
‫¯¯ = |)‪. |F (y) − F (x‬‬
‫‪x‬‬
‫משפט‪].‬המשפט היסודי של החדו״א[ תהי ‪ f‬אינטגרבילית ב־ ]‪ [a, b‬ורציפה בנקודה ∈ ‪x0‬‬
‫‪Rx‬‬
‫]‪ ,[a, b‬אז ‪ F (x) = a f‬גזירה ב־ ‪ x0‬ומתקיים‬
‫) ‪. F 0 (x0 ) = f (x0‬‬
‫)אם ‪ x0‬נקודת קצה של הקטע אז הנגזרת היא חד־צדדית(‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נבדוק נגזרת מימין‪ .‬נבחר ‪ x > x0‬ונציג‬
‫‪Z x‬‬
‫‪Z x0‬‬
‫‪Z x‬‬
‫= ) ‪. F (x) − F (x0‬‬
‫‪f−‬‬
‫=‪f‬‬
‫‪f‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪a‬‬
‫נסמן )‪ Mx = sup f (t‬ו־ )‪f (t‬‬
‫‪x0 ≤t≤x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪inf‬‬
‫‪x0 ≤t≤x‬‬
‫= ‪ ,mx‬ואז אי השוויונים‬
‫‪x‬‬
‫‪Z‬‬
‫≤ ) ‪mx (x − x0‬‬
‫) ‪f ≤ Mx (x − x0‬‬
‫‪x0‬‬
‫נותנים כי‬
‫) ‪F (x) − F (x0‬‬
‫≤ ‪mx‬‬
‫‪≤ Mx‬‬
‫‪x − x0‬‬
‫אך רציפות ‪ f‬ב־ ‪ x0‬נותנת כי ) ‪ , lim+ mx = lim+ Mx = f (x0‬ולכן‬
‫‪x→x0‬‬
‫‪x→x0‬‬
‫) ‪F (x) − F (x0‬‬
‫) ‪= f (x0‬‬
‫‪x→x0 +‬‬
‫‪x − x0‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪.‬‬
‫באופן דומה מראים כי ) ‪.F−0 (x0 ) = f (x0‬‬
‫(‬
‫‪−1 x < 0‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫הערה‪ .‬הנחת הרציפות של ‪ f‬ב־ ‪ x0‬חיונית‪ .‬למשל‪ ,‬הפונקציה‬
‫‪1‬‬
‫‪x≥0‬‬
‫אינה רציפה בנקודה ‪ ,x0 = 0‬וחישוב ישיר מראה כי |‪ ,F (x) = |x‬שאינה גזירה‬
‫בנקודה‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫מסקנה‪ .‬אם ‪ f‬רציפה ב־ ]‪ [a, b‬אז יש לה פונקציה קדומה בקטע‪ .‬פונקציה קדומה כזו‬
‫‪Rx‬‬
‫ניתנת ע״י הנוסחה ‪.F (x) = a f‬‬
‫התחתון בהגדרת ‪ F‬דוקא כקצה הקטע‬
‫הערות‪ (i) .‬אין חשיבות לקביעת הגבול‬
‫‪Rx‬‬
‫‪ .a‬אם נבחר איזושהי נקודה ‪ c‬בקטע ונגדיר ‪ F1 (x) = c f‬אז ‪ F1 −F‬היא הקבוע‬
‫‪Rc‬‬
‫‪ a f‬ולכן יש להן אותה נגזרת‪.‬‬
‫אם‬
‫אפשר להסתכל על האינטגרל גם כפונקציה של הגבול התחתון‪.‬‬
‫)‪(ii‬‬
‫‪Rx‬‬
‫‪Rb‬‬
‫‪ G(x) = x f‬אז נוכל גם להציג ‪ G(x) = − b f‬ולכן )‪.G0 (x) = −f (x‬‬
‫)‪R b(x‬‬
‫אם )‪ b(x‬פונקציה גזירה ואם ‪ H(x) = a f‬אז ))‪H(x) = F (b(x‬‬
‫)‪(iii‬‬
‫וכשגוזרים עפ״י כלל השרשרת מקבלים )‪.H 0 (x) = f (b(x))b0 (x‬‬
‫)‪R b(x‬‬
‫)‪ (iv‬באופן כללי יותר‪ ,‬אם ‪ φ(x) = a(x) f‬אז ))‪ φ(x) = F (b(x)) − F (a(x‬ולכן‬
‫)‪.φ0 (x) = f (b(x))b0 (x) − f (a(x))a0 (x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪7x‬‬
‫‪d‬‬
‫‪. dx‬‬
‫למשל‪sin tdt = 14x sin(7x2 ) − (− sin x) sin(cos x) ,‬‬
‫‪cos x‬‬
‫המשפט הבא )והמשפט שלאחריו( הם תרגום של המשפט היסודי של החדוא‬
‫לנוסחה מעשית לחישוב האינטגרל המסויים‬
‫משפט‪].‬נוסחת ניוטון־לייבניץ[ תהי ‪ f‬רציפה ב־ ]‪ [a, b‬ותהי ‪ G‬פונקציה קדומה שלה‪ ,‬אז‬
‫‪b‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪f = G(b) − G(a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪Rx‬‬
‫הוכחה‪ .‬הפונקציה ‪ F (x) = a f‬גם היא פונקציה קדומה של ‪ ,f‬ולכן יש קבוע ‪C‬‬
‫כך ש־ ‪ .G = F + C‬נציב ‪ ,x = a‬ואז ‪ F (a) = 0‬נותן כי )‪,C = G(a) − F (a) = G(a‬‬
‫ולכן‬
‫‪Z b‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪f = F (b) = G(b) − C = G(b) − G(a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪Rb‬‬
‫נוסחת ניוטון לייבניץ מאפשרת לחשב את ‪ a f‬בלי חלוקות ובלי קירובים ־‬
‫פשוט מוצאים פונקציה הקדומה ל־ ‪ f‬ומשתמשים בנוסחה‪ .‬למשל‬
‫‪Z π‬‬
‫‪¯π‬‬
‫¯‬
‫‪sin xdx = − cos x¯ = − cos π − (− cos 0) = 2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫למעשה ניתן להשתמש בנוסחה דומה גם בתנאים יותר כלליים‪ ,‬ולהחליש את‬
‫הדרישה שהאינטגרנד הוא פונקציה רציפה‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫משפט‪ .‬תהי ‪ f‬אינטגרבילית ב־ ]‪ [a, b‬ונניח שיש פונקציה רציפה ‪ G‬כך ש־ ‪ G‬גזירה‬
‫ומקיימת )‪ G0 (x) = f (x‬לכל ‪ x‬בקטע פרט לקבוצה סופית } ‪ C = {ci‬של נקודות‪ .‬אז‬
‫‪Z‬‬
‫‪b‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪f = G(b) − G(a‬‬
‫‪a‬‬
‫הוכחה‪ .‬נתבונן בחלוקה } ‪ P = {ai‬המעדנת את החלוקה הנקבעת ע״י ‪ ,C‬ואז בכל‬
‫קטע חלוקה ‪ G‬מקיימת את תנאי משפט לגרנז׳‪ ,‬ולכן יש נקודה ] ‪ ti ∈ [ai−1 , ai‬כך‬
‫ש־‬
‫‪G(ai ) − G(ai−1 ) = G0 (ti )∆i = f (ti )∆i‬‬
‫ולכן‬
‫‪¢ X‬‬
‫= ) ‪G(ai ) − G(ai−1‬‬
‫‪f (ti )∆i‬‬
‫¡‪X‬‬
‫= )‪G(b) − G(a‬‬
‫אך אגף ימין הוא סכום רימן של ‪ f‬ולכן שואף‪ ,‬כשהחלוקה ‪ P‬מתעדנת‪ ,‬ל־‬
‫‪Rb‬‬
‫‪. af‬‬
‫למשל‪ G(x) = |x| ,‬רציפה‪ ,‬גזירה פרט לנקודה הבודדת ‪ ,x0 = 0‬ונגזרתה שם‬
‫היא‬
‫(‬
‫‪−1 x < 0‬‬
‫‪0‬‬
‫= )‪G (x) = f (x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x>0‬‬
‫‪¯b‬‬
‫‪Rb‬‬
‫¯‬
‫ואכן ¯|‪ a f = |x‬לכל ‪.a, b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ 1.4‬שימושים של האינטגרל המסוים‬
‫)‪ (i‬אפשר לחשב בעזרת אינטגרלים גם שטחים של קבוצות יותר כלליות‪ .‬למשל‪,‬‬
‫השטח שבין שני גרפים ניתן לחישוב כהפרש השטחים שהם מגבילים‪ .‬לדוגמא‪,‬‬
‫השטח )הגיאומטרי( שבין הגרפים של ‪ x2‬ושל ‪ x3‬מעל הקטע ]‪ [0, 2‬הוא‬
‫‪(x3 − x2 )dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(x − x )dx +‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪|x − x |dx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪ (ii‬גוף נע לאורך הציר הממשי כשמהירותו בזמן ‪ t‬היא )‪ v(t‬ס״מ‪/‬לשניה‪ .‬בזמן‬
‫‪ t = 0‬הוא נמצא בנקודה ‪ .a‬איפה הוא ימצא בזמן ‪?t = T‬‬
‫נסמן את מיקומו בזמן ‪ t‬ב־ )‪ .S(t‬כידוע )‪ S 0 (t) = v(t‬ולכן )בהנחה ש־ ‪v‬‬
‫‪RT‬‬
‫פונקציה רציפה‪ ,‬כך שנוסחת ניוטון לייבניץ תקפה( ‪.S(T ) = a + 0 v(t)dt‬‬
‫הערה‪ (a) .‬הגדרת האינטגרל כשלילי כשהפונקציה שלילית נראתה ״מלאכותית״‬
‫כשעסקנו בחישובי שטחים‪ .‬כשאנחנו מסתכלים על הנוסחאות לאינטגרל כמבטאות‬
‫את מיקומו של הגוף זה מובן מאליו‪ :‬הגוף נע ימינה כשהמהירות חיובית ושמאלה‬
‫כשהיא שלילית!‬
‫‪21‬‬
‫אם רוצים לחשב את הדרך הכוללת שהגוף עובר עד לזמן ‪) T‬ולא את מיקומו(‬
‫‪RT‬‬
‫אז הנוסחה היא ‪ . 0 |v(t)|dt‬לדוגמא‪ ,‬נניח כי ‪ v(t) = sin t‬ו־ ‪ .a = 0‬אז = ) ‪S(T‬‬
‫‪ ,− cos T‬שיכול להיות )עפ״י הערך של ‪ (T‬חיובי‪ ,‬שלילי או אפס‪ .‬המרחק הכולל‬
‫‪RT‬‬
‫שהגוף יעבור עד לזמן ‪ T‬הוא ‪. 0 | sin t|dt‬‬
‫‪RT‬‬
‫)‪ (b‬חשוב מאוד להבין את הנוסחה ‪ S(T ) = a + 0 v(t)dt‬גם עפ״י ההגדרה של‬
‫האינטגרל כגבול של סכומי רימן‪ :‬נקח חלוקה עדינה ‪ 0 < t1 < . . . < tN = T‬של‬
‫הקטע ] ‪ ,[0, T‬ואז הגוף מועתק בקטע החלוקה ה־ ‪i‬־י בערך ב־ ) ‪,v(ti )(ti − ti−1‬‬
‫‪PN‬‬
‫הוא קירוב של ההעתק הכללי האמיתי‬
‫ולכן סכום רימן ) ‪i=1 v(ti )(ti − ti−1‬‬
‫בפרק הזמן שבין ‪ t = 0‬לבין ‪.t = T‬‬
‫אבל מבחינה מתמטית סכום זה גם מקרב )עפ״י הגדרת האינטגרל( את‬
‫‪RT‬‬
‫האינטגרל ‪ . 0 v(t)dt‬ולכן כשעוברים לגבול מקבלים כי האינטגרל מתלכד עם‬
‫ההעתק‪.‬‬
‫לחשוב‬
‫)‪ (c‬זה גם המקום להסביר את הסימון לאינטגרל המסוים‪ .‬דרך טובה‬
‫‪Pn‬‬
‫על האינטגרל המסוים היא כעל ״סכום רציף״‪ .‬נסתכל בסכום רימן ‪i=1 f (ti )∆i‬‬
‫של ‪ f‬בקטע ]‪ [a, b‬ביחס לחלוקה מסוימת } ‪ .P = {ai‬כשהחלוקה הולכת ומתעדנת‬
‫המחוברים הולכים וקטנים ומספרם גדל‪ .‬בגבול מחליפים את האורך )הקטן( ‪∆i‬‬
‫ב״אורך האיפיניטיסימלי״ ‪ ,dx‬את המחוברים ‪ f (ti )∆i‬ב״מחובר האיפיניטיסימלי״‬
‫‪ f (x)dx‬ואת המספור שלהם‪ ,‬שהוא ‪ i‬בין ‪ 1‬ל־ ‪ ,n‬ב״מספור רציף״ שהוא ‪ x‬בין‬
‫‪Rb‬‬
‫‪Pn‬‬
‫מוחלף בסימן האינטגרל ‪ a‬ו־ ‪ ∆i‬מוחלף ב־‬
‫‪ a‬לבין ‪) .b‬ובאופן קליגרפי ‪i=1‬‬
‫‪ .(dx‬האנלוגיה הזו הביאה להכללת ה־ ‪ dx‬בסימון‪.‬‬
‫יתר על כן‪ ,‬לכל גורם בתוך האינטגרל יש יחידות‪ :‬ל־ )‪ f (x‬יש היחידות של‬
‫‪ f‬ול־ ‪ dx‬היחידות של ‪ ,∆i‬כלומר של ‪ .x‬באופן כזה ל״סכום הרציף״‪ ,‬האינטגרל‬
‫‪Rb‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪ , a f (x)dx‬יש אותן יחידות כמו לסכומי רימן ‪. i=1 f (xi )∆i‬‬
‫‪Rb‬‬
‫בחישובי השטחים הן ל־ ‪ x‬והן ל־ ‪ f‬יש יחידות אורך‪ ,‬ולכן לאינטגרל ‪f (x)dx‬‬
‫‪a‬‬
‫יש יחידות שטח‪ .‬בדוגמא עם המהירות ל־ ‪ t‬יש יחידות זמן ול־ ‪ v‬יש יחידות‬
‫‪Rb‬‬
‫מהירות‪ ,‬כלומר אורך‪/‬זמן‪ ,‬ולכן לאינטגרל ‪ a v(t)dt‬יש יחידות אורך‪.‬‬
‫ההסתכלות על האינטגרל כסכום רציף היא מאוד אינטואיטיבית ויעילה‪,‬‬
‫ומהנדסים ופיסיקאים משתמשים בה לעתים קרובות‪ .‬אנחנו נדגים זאת גם בחלק‬
‫מהדוגמאות הבאות‪.‬‬
‫)‪ (iii‬תיל )המזוהה מתמטית עם הקטע ]‪ ([a, b‬הוא בעל צפיפות משתנה‪ .‬נסמן‬
‫ב־ )‪ m(x‬את המסה של הקטע ]‪ ,[a, x‬ואז צפיפות המסה בנקודה ‪ x‬ניתנת ע״י‬
‫)‪ ,ρ(x) = limh→0 m(x+h)−m(x‬כלומר )‪.ρ(x) = m0 (x‬‬
‫הקשר‬
‫‪h‬‬
‫אם נתונה הצפיפות‪ ,ρ(x) ,‬אז‪ R‬עפ״י המשפט היסודי של החדו״א אפשר לשחזר‬
‫‪x‬‬
‫את המסה ע״י הנוסחה ‪ .m(x) = a ρ(t)dt‬היחידות של ‪ ρ‬הן מסה‪/‬אורך‪ ,‬היחידות‬
‫של ‪ x‬הן אורך‪ ,‬ושל ‪ m‬מסה‪.‬‬
‫בהסתכלות על האינטגרל כסכום רציף אנחנו מסכמים את המסה האיפיניטיסימלית‪,‬‬
‫‪ ,ρ(x)dx‬של הקטע האיפיניטיסימלי ]‪ [x, x + dx‬עבור כל ערכי ‪ x‬בין ‪ a‬בין ‪.b‬‬
‫הערה‪ .‬המכנה המשותף לדוגמאות בהן יופיע אינטגרל הוא שלגודל הפיסיקלי‬
‫שאותו מנסים לחשב )שטח‪ ,‬העתק‪ ,‬מסה וכו׳( יש שתי תכונות‪:‬‬
‫אדיטיביות ־ כשמפרקים קטע של המשתנה החפשי ‪ x‬לקטעים חלקיים‪ ,‬הגודל‬
‫הכולל המבוקש )שטח‪ ,‬העתק‪ ,‬מסה( הוא סכום הגדלים בקטעים החלקיים‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫מכפלה ־ כאשר הפונקציה הנתונה קבועה בקטע )גובה‪ ,‬מהירות‪ ,‬צפיפות( אז‬
‫הגודל המבוקש הוא מכפלת הקבוע באורך הקטע‪Pn.‬‬
‫כשתכונות אלה מתקיימות הסכומים ‪ i=1 f (ti )∆i‬נותנים קירוב של התוצאה‬
‫המבוקשת‪ ,‬כי הם מקרבים את ‪ f‬ע״י פונקצית המדרגות המקבלת את הערך‬
‫הקבוע ) ‪ f (ti‬בקטע החלוקה ה־ ‪i‬־י‪ .‬אך הסכומים הם בדיוק סכומי רימן‬
‫‪Rb‬‬
‫המקרבים את ‪. a f‬‬
‫דוגמא נוספת מאותו סוג‪ :‬העבודה הנעשית כשגוף בעל מסת יחידה נע‬
‫)‪(iv‬‬
‫לאורך הקטע ]‪ [a, b‬כאשר הכח הפועל עליו בנקודה ‪ x‬הוא )‪ .f (x‬אם הכח‬
‫)‪ f (x‬הוא קבוע‪ ,F1 ,‬אז העבודה היא המכפלה ‪) (b − a)F1‬בנירמול מתאים של‬
‫היחידות(‪ ,‬כמו כן הסכום של העבודות בקטעים זרים נותן את העבודה הכוללת‪.‬‬
‫‪Rb‬‬
‫לכן כאשר ‪ f‬אינה קבועה העבודה הכוללת היא ״הסכום הרציף״ ‪. a f (x)dx‬‬
‫‪Rb‬‬
‫)‪ (v‬הערך הממוצע של ‪ f‬בקטע ]‪ [a, b‬הוא )‪ a f (x)dx/(b−a‬והממוצע המשוקלל‬
‫‪Rb‬‬
‫‪Rb‬‬
‫הוא ‪ , a f (x)w(x)dx‬כאשר פונקצית השקלול היא ‪ w(x) ≥ 0‬ו־ ‪. a w(x)dx = 1‬‬
‫)‪ (vi‬תהי ‪ f‬פונקציה גזירה ברציפות בקטע ]‪ ,[a, b‬אז האורך של הגרף שלה ניתן‬
‫‪Rbp‬‬
‫ע״י הנוסחה ‪ . a 1 + (f 0 (x))2 dx‬נראה זאת בשתי דרכים‪ ,‬אך נתחיל בהגדרת‬
‫האורך של הגרף‪ .‬נזכור כי אורך הקטע המחבר את הנקודות ) ‪ (a1 , a2‬ו־ ) ‪(b1 , b2‬‬
‫¡‬
‫‪¢1‬‬
‫במישור הוא ‪. (a1 − a2 )2 + (b1 − b2 )2 2‬‬
‫הגדרה‪ .‬תהי ‪ f‬מוגדרת בקטע ]‪ .[a, b‬לכל חלוקה סופית } ‪ P = {ai‬של הקטע נסתכל‬
‫‪¢1‬‬
‫¡‪P‬‬
‫באורך ‪(ai − ai−1 )2 + (f (ai ) − f (ai−1 ))2 2‬‬
‫של המצולע המקשר בין הנקודות‬
‫)) ‪ .(ai , f (ai‬אם הגבול‬
‫‪¢ 12‬‬
‫‪(ai − ai−1 )2 + (f (ai ) − f (ai−1 ))2‬‬
‫¡‪X‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪λ(P )→0‬‬
‫קיים וערכו ‪ ,L‬נאמר שלגרף של ‪ f‬יש אורך‪ ,‬ושהאורך הוא ‪.L‬‬
‫נראה כעת את הדרך המתמטית המדוייקת להוכחת הנוסחה‪ .‬נשים לב‬
‫שבסימונים המקובלים שלנו ‪ ,ai − ai−1 = ∆i‬וכי ע״ס משפט לגרנז׳‪ ,‬יש < ‪ai−1‬‬
‫ש־ ‪ .f (ai ) − f (ai−1 ) = f 0 (ti )∆i‬עפ״י ההנחות הפונקציה = )‪g(x‬‬
‫‪ ti < ai‬כך ‪p‬‬
‫‪ 1 + (f 0 (x))2‬רציפה‪ ,‬ולכן אינטגרבילית‪ .‬לכן נוכל להציג‬
‫‪Xp‬‬
‫‪1 + f 0 (ti )2 ∆i‬‬
‫=‬
‫‪¢ 12‬‬
‫‪(ai − ai−1 )2 + (f (ai ) − f (ai−1 ))2‬‬
‫¡‪X‬‬
‫‪Rb‬‬
‫‪Rbp‬‬
‫שהוא סכום רימן המתכנס לאינטגרל ‪. a g(x)dx = a 1 + (f 0 (x))2 dx‬‬
‫הדרך האינטואיטיבית להוכחת הנוסחה היא להסתכל במשולש האיפיניטיסימלי‬
‫הוא‬
‫‪) [(x,‬אורך הקטע הזה ‪p‬‬
‫ישר הזווית שבסיסו הוא הקטע ]))‪p f (x)), (x + dx, f (x‬‬
‫‪ (dx‬וגבהו ‪ .f 0 (x)dx‬ולכן אורך היתר הוא ‪, (dx)2 + (f 0 (x)dx)2 = 1 + (f 0 (x))2 dx‬‬
‫ואורך הגרף הוא ״הסכום״ של כל ארכי היתרים האלה ״כשמסכמים״ על כל ה־‬
‫‪Rbp‬‬
‫‪x‬־ים‪ ,‬כלומר ‪. a 1 + (f 0 (x))2 dx‬‬
‫דוגמא‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫ההיקף של מעגל היחידה‪ .‬לשם כך נחשב את אורך הגרף של‬
‫נחשב את‬
‫√‬
‫הפונקציה ‪ f (x) = 1 − x2‬ב־ ]‪ ,[−1, 1‬שהוא חצי ההיקף‪ .‬בדוגמא זו = )‪f 0 (x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪√ −x‬‬
‫‪ 1 + (f 0 (x))2 = 1−x‬ואורך הגרף הוא‬
‫ולכן ‪2‬‬
‫‪1−x2‬‬
‫‪¯1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪π −π‬‬
‫‪= arcsin x¯−1 = −‬‬
‫‪= π.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1−x‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪1‬‬
‫√‬
‫‪−1‬‬
‫ולכן הקף המעגל כולו הוא ‪.2π‬‬
‫בהמשך הקורס נדון בעקומים כלליים )שאינם בהכרח גרפים של פונקציות(‬
‫ונקבל נוסחה לחישוב ארכם‪.‬‬
‫חישוב האינטגרל המסוים‬
‫‪1.5‬‬
‫בחישוב של האינטגרל המסויים נשתמש בשיטות שפיתחנו למציאת הפונקציה‬
‫הקדומה )אינטגרציה בחלקים והצבה(‪ ,‬אך נעשה זאת תוך התייחסות לגבולות‬
‫האינטגרל‪) .‬מבחינה מעשית זה לפעמים אפילו מפשט את החישוב(‪.‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e sin xdx‬‬
‫)‪(i‬‬
‫‪Rπ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ .‬נסמן את האינטגרל ב־ ‪ I‬ונבצע שתי אינטגרציות בחלקים‬
‫‪Z π‬‬
‫‪¯π Z π‬‬
‫¯‬
‫‪x‬‬
‫‪= e sin x¯ −‬‬
‫‪e cos xdx = −‬‬
‫‪ex cos xdx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫½‬
‫¾‬
‫‪¯π Z π‬‬
‫¯‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪= − e cos x¯ +‬‬
‫}‪e sin xdx = −{−eπ − 1 + I‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪I‬‬
‫‪0‬‬
‫ולכן ‪.I = (eπ + 1)/2‬‬
‫√‪R1‬‬
‫)‪(ii‬‬
‫‪) I = 0 1 − x2 dx‬זה השטח של רבע מעיגול היחידה(‪ .‬נציב ‪x = sin t‬‬
‫‪R π/2‬‬
‫‪2‬‬
‫ואז ‪ ,dx = cos tdt‬ולכן ‪.I = 0 cos tdt‬‬
‫ניתן שלוש שיטות לחישוב האינטגרל ‪.I‬‬
‫א‪ .‬נבצע אינטגרציה בחלקים ונקבל‬
‫‪¯π/2 Z‬‬
‫¯‬
‫¯‪cos t cos tdt = cos t sin t‬‬
‫‪+‬‬
‫‪π/2‬‬
‫‪sin t sin tdt‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪π‬‬
‫‪−I‬‬
‫‪2‬‬
‫ולכן‬
‫‪π‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪(1 − cos2 t)dt‬‬
‫‪π/2‬‬
‫‪π/2‬‬
‫‪Z‬‬
‫=‬
‫‪Z‬‬
‫‪I‬‬
‫‪0‬‬
‫‪= 0+‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪.I‬‬
‫ב‪ .‬נשתמש בזהות ‪ cos2 t = (1 + cos 2t)/2‬ונקבל‬
‫‪sin 2t ´¯¯π/2‬‬
‫‪= π/4‬‬
‫¯‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪+‬‬
‫‪³t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π/2‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪(1 + cos 2t)/2dt‬‬
‫‪π/2‬‬
‫= ‪cos tdt‬‬
‫‪0‬‬
‫‪24‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫ג‪ .‬במקום ‪ x = sin t‬נציב ‪ x = cos t‬ונקבל ‪sin2 tdt‬‬
‫‪R π/2‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪sin2 tdt‬‬
‫עפ״י הזהות ‪ sin2 + cos2 = 1‬נקבל‬
‫‪Z π/2‬‬
‫‪Z π/2‬‬
‫‪Z π/2‬‬
‫= ‪2I‬‬
‫‪cos2 tdt +‬‬
‫= ‪sin2 tdt‬‬
‫‪dt = π/2‬‬
‫‪0‬‬
‫ו־ ‪) .I = π/4‬שכנעו עצמכם כי ‪sin2 tdt‬‬
‫בגרפים(‪.‬‬
‫‪1.6‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪R π/2‬‬
‫‪R π/2‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪cos2 tdt‬‬
‫‪0‬‬
‫‪R0‬‬
‫‪π/2‬‬
‫‪.I = −‬‬
‫גם ע״י הסתכלות‬
‫חישובים מקורבים‬
‫כפי שהערנו כבר אין דרך שיטתית למציאת הפונקציה הקדומה‪ .‬יתר על כן‪,‬‬
‫אפילו אם מוצאים פונקציה מפורשת‪ ,‬כגון ‪ ,sin x‬כשמציבים את הגבולות התוצאה‪,‬‬
‫בדר״כ‪ ,‬איננה מספר ״פשוט״ ויש להשתמש בשיטות קירוב לחישובו‪.‬‬
‫שיקולים אלה אומרים שעבודתנו לא הסתיימה עם המשפט היסודי של החדו״א‬
‫ועלינו ללמוד איך מחשבים את האינטגרל באופן מקורב‪.‬‬
‫דרך מתבקשת אחת היא לקרב את האינטגרנד בעזרת משפט טיילור‪ ,‬ונראה‬
‫כי זה אכן מכשיר יעיל מאד‪.‬‬
‫דוגמא‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫לחישוב ‪sin x dx‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪0‬‬
‫נשתמש בנוסחת טיילור עבור ‪sin t‬‬
‫‪t3‬‬
‫‪t5‬‬
‫‪t2n+1‬‬
‫‪+ ... ±‬‬
‫)‪+ Rn (t‬‬
‫!‪3! 5‬‬
‫!)‪(2n + 1‬‬
‫‪sin t = t −‬‬
‫‪2n+3‬‬
‫|‪|t‬‬
‫עם שארית המקיימת‬
‫!)‪.|Rn (t)| ≤ (2n+3‬‬
‫נציב ‪ ,t = x2‬נבצע אינטגרציה ונקבל‬
‫‪Z‬‬
‫‪n‬‬
‫‪o‬‬
‫‪x6‬‬
‫‪x10‬‬
‫‪x4n+2‬‬
‫‪x2 −‬‬
‫‪+‬‬
‫‪... ±‬‬
‫‪+ Rn (x2 ) dx‬‬
‫!‪3‬‬
‫!‪5‬‬
‫!)‪(2n + 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫‪... ±‬‬
‫‪+ En‬‬
‫!‪3 7 · 3! 11 · 120‬‬
‫!)‪(4n + 3) · (2n + 1‬‬
‫‪R 1 4n+6 dt‬‬
‫‪1‬‬
‫!)‪.|En | ≤ 0 x(2n+3‬‬
‫!)‪= (4n+7)(2n+3‬‬
‫כאשר‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Z‬‬
‫= ‪sin x dx‬‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫משפט‪].‬כלל המלבן[ תהי ‪ f‬בעלת שתי נגזרות רציפות בקטע ]‪ ,[a, b‬ונסמן את אמצע‬
‫‪Rb‬‬
‫‪ .c = a+b‬אז ‪ a f = f (c)(b − a) + R‬כאשר השגיאה ‪ R‬מקיימת‬
‫הקטע ב־ ‪2‬‬
‫‪(b − a)3‬‬
‫|)‪max |f 00 (x‬‬
‫]‪24 x∈[a,b‬‬
‫‪25‬‬
‫≤ |‪. |R‬‬
‫הוכחה‪ .‬נשתמש בפיתוח טיילור מסדר ‪ 1‬סביב ‪ c‬ונקבל כי‬
‫‪1‬‬
‫‪f (t) = f (c) + f 0 (c)(t − c) + f 00 (γt )(t − c)2‬‬
‫‪2‬‬
‫כאשר ‪ γt‬נקודת ביניים בין ‪ c‬לבין ‪ .t‬כעת נבצע אינטגרציה בין ‪ a‬ל־ ‪ b‬ונשים לב‬
‫כי המחובר השני באגף ימין יתאפס‪ ,‬ואילו השלישי חסום ע״י‬
‫‪1‬‬
‫‪(b − a)3‬‬
‫= ‪(t − c)2 dt‬‬
‫|)‪max |f 00 (x‬‬
‫‪2‬‬
‫]‪24 x∈[a,b‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1 00‬‬
‫|)‪f (γt )(t − c)2 dt ≤ max |f 00 (x‬‬
‫‪2‬‬
‫]‪x∈[a,b‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪b‬‬
‫‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫בעזרת כלל המלבן אפשר‪ ,‬למשל‪ ,‬להעריך את השגיאה בקירוב האינטגרל על‬
‫ידי סכומי רימן‪ :‬כשנשתמש בו עם החלוקה האחידה אז האורך של כל קטע‬
‫‪ ai − ai−1 = b−a‬ונקבל כי‬
‫חלקי הוא ‪n‬‬
‫´‬
‫‪X³‬‬
‫‪f (ci )(ai − ai−1 ) + Ri‬‬
‫‪ai‬‬
‫=‪f‬‬
‫‪i≤n‬‬
‫´‬
‫‪P³‬‬
‫‪P‬‬
‫ולכן ההפרש ‪f (ci )(ai − ai−1 ) = − Ri‬‬
‫‪XZ‬‬
‫‪ai−1‬‬
‫‪f−‬‬
‫‪Rb‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Z‬‬
‫=‪f‬‬
‫‪a‬‬
‫‪i≤n‬‬
‫= ‪ E‬מקיים‬
‫‪3‬‬
‫‪( b−a‬‬
‫‪(b − a)3‬‬
‫) ‪n‬‬
‫= |)‪max |f 00 (x‬‬
‫|)‪max |f 00 (x‬‬
‫]‪24 x∈[a,b‬‬
‫]‪24n2 x∈[a,b‬‬
‫‪. |E| ≤ n‬‬
‫נציג כעת שימוש אחר של כלל המלבן שידגים איך אינטגרלים מופיעים במקומות‬
‫לא צפויים מראש‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫משפט‪].‬נוסחת סטירלינג[ ‪2πn nen‬‬
‫√‬
‫!‪n‬‬
‫≈ !‪ ,n‬כלומר‪,‬‬
‫‪. √2πn‬‬
‫‪nn → 1‬‬
‫‪en‬‬
‫הוכחה‪ .‬אנחנו לא נוכיח כי הגבול הוא ‪ ,1‬אלא רק שיש קבועים ‪ α, β > 0‬כך ש־‬
‫!‪ ,α ≤ (n+n‬וזה ינבע כשנראה שיש סדרה חסומה ‪ En‬כך ש־ ‪.n! = eEn‬‬
‫‪≤β‬‬
‫)‪1‬‬
‫‪−n‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫נקבע ‪ ,j ≥ 2‬ונציג עפ״י כלל המלבן‬
‫‪ln tdt = ln j + Rj‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫כאשר‬
‫=‬
‫‪x2‬‬
‫‪(j − 12 )2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪<1‬‬
‫‪n‬‬
‫¶‬
‫‪=1−‬‬
‫‪max‬‬
‫‪1‬‬
‫] ‪x∈[j− 2 ,j+ 12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪j−1 j‬‬
‫‪µ‬‬
‫‪j+ 12‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪j− 12‬‬
‫≤ | ‪ .24|Rj‬הסדרה ‪Rj‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪j=2‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫< ‪1 2‬‬
‫‪j(j − 1) j=2‬‬
‫) ‪(j − 2‬‬
‫‪j=2‬‬
‫וכעת נציג‬
‫‪26‬‬
‫= ‪ An‬חסומה‪ ,‬כי‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪j=2‬‬
‫≤ | ‪.24|An‬‬
‫!‬
‫‪ln tdt − Rj‬‬
‫‪j+ 21‬‬
‫‪ÃZ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪j− 12‬‬
‫= ‪ln j‬‬
‫‪j=2‬‬
‫‪¯n+ 12‬‬
‫¯‬
‫‪ln xdx − An = (x ln x − x)¯ 1 − An‬‬
‫‪1+ 2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )!‪ln(n‬‬
‫‪j=2‬‬
‫‪n+ 12‬‬
‫‪Z‬‬
‫=‬
‫‪1+ 21‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= (n + ) ln(n + ) − (n + ) − Bn = (n + ) ln n − n + En‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫כאשר הסדרה‬
‫‪− Bn‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ln 32 −‬‬
‫‪n+ 21‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 ) ln n‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ Bn = An +‬היא סדרה חסומה‪ .‬נשים לב שגם הסדרה‬
‫‪ En = (n +‬חסומה‪ ,‬כי‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 n+ 1‬‬
‫= ‪) 2 → ln e 2‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= ln(1 +‬‬
‫‪n+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(n + ) ln‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫ולכן‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. n! = e(n+ 2 ) ln n−n+En = nn+ 2 e−n Cn‬‬
‫‪ 1.7‬אינטגרלים מוכללים‬
‫עד עתה טיפלנו באינטגרלים של פונקציות חסומות בקטע חסום‪.‬‬
‫להכליל את האינטגרל למקרים בהם תנאים אלה אינם מתקיימים‪.‬‬
‫כעת נרצה‬
‫תהי ‪ f‬פונקציה המוגדרת בקרן )∞ ‪ [a,‬ואינטגרבילית בכל קטע חלקי ]‪.[a, c‬‬
‫הגדרה‪Z c (i) .‬‬
‫‪ lim‬קיים נאמר שהאינטגרל המוכלל של ‪ f‬בקרן קיים )ובקיצור נאמר‬
‫אם הגבול ‪f‬‬
‫‪a‬‬
‫∞→‪c‬‬
‫פשוט ש־ ‪ f‬אינטגרבילית בקרן(‪ ,‬ונסמן‬
‫∞ ‪Z‬‬
‫‪Z c‬‬
‫‪.‬‬
‫‪f = lim‬‬
‫‪f‬‬
‫∞→‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪ (ii‬תהי ‪ f‬פונקציה‪Z‬המוגדרת בקטע )‪ [a, b‬ואנטגרבילית בכל קטע חלקי ]‪ .[a, c‬אם קיים‬
‫‪c‬‬
‫הגבול משמאל ‪f‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ lim−‬נאמר שהאינטגרל המוכלל של ‪ f‬בקטע ]‪ [a, b‬קיים )ובקיצור‬
‫‪c→b‬‬
‫נאמר פשוט ש־ ‪ f‬אינטגרבילית בקטע(‪ ,‬ונסמן‬
‫‪c‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪f‬‬
‫‪a‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪b‬‬
‫‪f = lim−‬‬
‫‪c→b‬‬
‫‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫באופן דומה מגדירים אינטגרל מוכלל בקרן שמאלית‪ ,‬או בקטע סופי כשהסינגולריות‬
‫היא בקצה השמאלי‪.‬‬
‫‪27‬‬
‫אם הגבול קיים רק במובן הרחב והוא ∞‪) +‬או ∞‪ ,(−‬נאמר לפעמים כי האינטגרל‬
‫מתבדר ל־ ∞ )או ∞‪.(−‬‬
‫∞‪R‬‬
‫הערה‪ .‬קיומו או אי קיומו של האינטגרל ‪ a f‬תלוי רק בהתנהגות של ‪ f‬באינסוף‬
‫ולא בבחירת הנקודה ‪) a‬אולם ערכו של האינטגרל‪ ,‬אם הוא קיים‪ ,‬כן תלוי‪ ,‬כמובן‪,‬‬
‫ב־ ‪ ,(a‬כי אם ‪ a < c‬אז‬
‫∞ ‪Z‬‬
‫‪Z c‬‬
‫∞ ‪Z‬‬
‫‪.‬‬
‫=‪f‬‬
‫‪f+‬‬
‫‪f‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫∞‪R‬‬
‫קיים בלי לציין כלל גבול תחתון‪ .‬הערה דומה‬
‫לפעמים נאמר לכן כי ‪f‬‬
‫תקפה ביחס לאינטגרל של פונקציה לא חסומה בקטע סופי‪.‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫)‪ (i‬האינטגרל ‪sin x‬‬
‫∞ → ‪.c‬‬
‫∞‪R‬‬
‫‪0‬‬
‫לא קיים‪ ,‬כי ל־ ‪sin x = cos c − 1‬‬
‫‪Rc‬‬
‫‪Rc‬‬
‫‪0‬‬
‫אין גבול כאשר‬
‫∞‪R‬‬
‫)‪ (ii‬האינטגרל ‪ 0 e−x‬מתכנס כי ‪e−x = 1 − e−c → 1‬‬
‫∞‪R‬‬
‫)‪ (iii‬נבדוק את ‪. 1 x−p‬‬
‫‪R c −1‬‬
‫אם ‪ p = 1‬אז ∞ → ‪ 1 x = ln c‬והאינטגרל מתבדר‪.‬‬
‫‪Rc‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1 x−p = −p+1‬והגבול כאשר ∞ → ‪ c‬לא קיים אם‬
‫אם ‪ p 6= 1‬אז )‪(c−p+1 − 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ p−1‬אם ‪.p > 1‬‬
‫‪ ,p < 1‬והוא‬
‫‪R1‬‬
‫נבדוק את ‪ . 0 x−p‬כאן הבעיה היא ב־ ‪ ,0‬ועפ״י חישוב דומה ל־ )‪(iii‬‬
‫)‪(iv‬‬
‫‪R 1 −p‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−p+1‬‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫‪(1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪c‬‬
‫)‬
‫→‬
‫מקבלים‬
‫‪p‬‬
‫<‬
‫‪1‬‬
‫ועבור‬
‫מתבדר‪,‬‬
‫‪p‬‬
‫≥‬
‫‪1‬‬
‫ל־‬
‫האינטגרל‬
‫‪−p+1‬‬
‫‪c‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1−p‬כאשר ‪.c → 0‬‬
‫‪0‬‬
‫כאשר ∞ → ‪.c‬‬
‫אם יש ל־ ‪ f‬מספר סינגולריות )ב־ ∞‪ ±‬או מימין או משמאל בנקודות סופיות(‬
‫יש לבדוק כל אחת מהן בנפרד‪ ,‬והאינטגרל המוכלל קיים רק כאשר הוא קיים‬
‫בכל אחת מהן‪.‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫‪R1‬‬
‫∞‪R‬‬
‫האינטגרל ‪ 0 x−p dx‬לא קיים לאף ‪ ,p‬כי אם ‪ p ≥ 1‬אז ‪x−p dx‬‬
‫)‪(i‬‬
‫‪R ∞ −p‬‬
‫מתכנס‪ ,‬ואם ‪ p ≤ 1‬אז ‪ 1 x dx‬לא מתכנס‪.‬‬
‫‪R ∞ 2xdx‬‬
‫‪ x22x‬איזוגית‪ ,‬ולכן ניתן היה לחשוב כי ‪ . −∞ x2 +1 = 0‬יתר על‬
‫)‪(ii‬‬
‫הפונקציה ‪+1‬‬
‫‪R R 2xdx‬‬
‫כן‪ ,‬אם לא נזהרים‪ ,‬מחשבים כי ‪ −R x2 +1 = 0‬לכל ‪ ,R‬ואז ועוברים לגבול כאשר‬
‫∞ → ‪ R‬אכן מקבלים ‪.0‬‬
‫‪R ∞ 2xdx‬‬
‫∞‪R‬‬
‫‪R 0 2xdx‬‬
‫ו־‬
‫המוכללים‬
‫האינטגרלים‬
‫שני‬
‫כי‬
‫קיים‪,‬‬
‫‪ −∞ x2xdx‬לא‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫אבל ‪2 +1‬‬
‫‪0 x +1‬‬
‫‪−∞ x +1‬‬
‫לא קיימים‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪28‬‬
‫לא‬
‫לאינטגרל המוכלל יש התכונות הרגילות של האינטגרל‪:‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪Z‬‬
‫∞ ‪Z‬‬
‫‪Z c‬‬
‫∞ ‪Z‬‬
‫‪(f1 + f2 ) = f1 + f2‬‬
‫;‬
‫=‪f‬‬
‫‪f+‬‬
‫‪f‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫וכמו כן אם ‪ f ≤ g‬אז ‪g‬‬
‫‪R‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪f‬‬
‫;‬
‫‪Z‬‬
‫‪cf = c‬‬
‫‪R‬‬
‫≤‪. f‬‬
‫הוכחת המשפט הבא מיידית‪.‬‬
‫∞‪R‬‬
‫משפט‪].‬קריטריון קושי[ תהי ‪ f‬אינטגרבילית ב־ ]‪ [a, b‬לכל ∞ < ‪ .a < b‬אזי ‪f‬‬
‫¯ ‪¯Rb‬‬
‫אםם מתקיים תנאי קושי‪ :‬לכל ‪ ε > 0‬יש ‪ B > a‬כך ש ‪ ¯ b12 f ¯ < ε‬לכל ‪.b2 > b1 > B‬‬
‫‪a‬‬
‫קיים‬
‫אינטגרלים מוכללים של פונקציות אי־שליליות‪.‬‬
‫משפט‪ .‬תהי ‪ f‬אי־שלילית בקרן )∞ ‪ ,[a,‬ונסמן ‪f‬‬
‫חסומה‪.‬‬
‫‪Rx‬‬
‫‪a‬‬
‫= )‪ .F (x‬אז‬
‫∞‪R‬‬
‫‪a‬‬
‫קיים אםם ‪F‬‬
‫הוכחה‪ .‬אי השליליות של ‪ f‬גוררת כי ‪ F‬מונוטונית עולה‪ ,‬וידוע כי לפונקציה‬
‫מונוטונית יש גבול אםם היא חסומה‪.‬‬
‫משפט פשוט זה )והאנלוג שלו לאינטגרל מוכלל בקטע סופי( הם המפתח לכך‬
‫שהטיפול באינטגרלים מוכללים של פונקציות בעלות סימן קבוע פשוט יותר מזה‬
‫של פונקציות כלליות‪ :‬במקום לבדוק קיום גבול יש רק לבדוק חסימות! זה מודגם‬
‫היטב במשפט הבא‪:‬‬
‫משפט‪] .‬קריטריון ההשוואה[‪ .‬תהיינה ‪ f‬ו־ ‪ g‬אי־שליליות בקרן )∞ ‪ [a,‬ואינטגרביליות ב־‬
‫אם קיים קבוע חיובי ‪ K >R 0‬כך ש־ )‪ 0 ≤ f (x) ≤ Kg(x‬לכל ‪x‬‬
‫]‪ [a, b‬לכל ∞ < ‪R ∞ .a < b‬‬
‫∞‬
‫בקרן‪ ,‬ואם האינטגרל ‪ a g‬קיים ‪ ,‬אז גם ‪ a f‬קיים ו־‬
‫∞ ‪Z‬‬
‫∞ ‪Z‬‬
‫‪.‬‬
‫‪f ≤K‬‬
‫‪g‬‬
‫‪a‬‬
‫‪Rx‬‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן ‪ F (x) = a f‬ו־ ‪g‬‬
‫‪ ,KG‬לכן גם ‪ F‬חסומה‪.‬‬
‫‪Rx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫= )‪ .G(x‬עפ״י הנתון ‪ G‬חסומה ו־ ≤ ‪0 ≤ F‬‬
‫∞‪R‬‬
‫הערה‪ .‬כדי שהאינטגרל ‪ a f‬יתכנס אין צורך ש־ )‪ 0 ≤ f (x) ≤ Kg(x‬יתקיים‬
‫לכל ‪ ,x ≥ a‬ומספיק שזה יתקיים על איזשהי קרן חלקית )∞ ‪ ,[c,‬כלומר עבור‬
‫ערכי ‪ x‬שהם גדולים מספיק‪.‬‬
‫מסקנה‪ .‬תהיינה ‪ f, g ≥ 0‬בקרן )∞ ‪ ,[a,‬אינטגרביליות בכל קטע סופי חלקי‪ ,‬כך ש־‬
‫∞‪R‬‬
‫∞‪R‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫קיים‪.‬‬
‫קיים אםם ‪g‬‬
‫‪ . lim‬אם ∞ < ‪ 0 < L‬אז ‪f‬‬
‫‪=L‬‬
‫)‪x→∞ g(x‬‬
‫‪29‬‬
‫‪3L‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫)‪g(x‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי הגדרת הגבול נמצא ‪ c > a‬כך ש־‬
‫והמסקנה נובעת מהמשפט‪.‬‬
‫∞‪R‬‬
‫∞‪R‬‬
‫קיים‪.‬‬
‫קיים‪ ,‬אז גם ‪f‬‬
‫הוכחה דומה מראה שאם ‪ L = 0‬ו־ ‪g‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫)‪(i‬‬
‫האינטגרל ‪dx‬‬
‫‪−x2‬‬
‫‪e‬‬
‫∞‪R‬‬
‫<‬
‫<‬
‫< ‪ 0‬לכל ‪,x ≥ c‬‬
‫מתכנס‪ .‬ואמנם האיטגרנד הוא פונקציה זוגית‪,‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪−x‬‬
‫‪≤ e‬‬
‫‪−x2‬‬
‫‪ 0 < e‬עבור‬
‫ולכן די לבדוק כי האינטגרל מתכנס‪ R‬בקרן ימנית‪ ,‬אך‬
‫∞‬
‫∞ < ‪ ,1 ≤ x‬וראינו כבר כי ‪ 1 e−x dx‬מתכנס‪.‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪ 0 sinxxdx‬מתכנס אםם ‪ .q < 2‬כי‬
‫)‪(ii‬‬
‫‪q‬‬
‫‪.‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪lim q‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪q−1‬‬
‫‪x→0 x‬‬
‫‪x→0 x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ xdx‬מתכנס‪ ,‬וזה קורה אםם ‪,q −1 < 1‬‬
‫ועפ״י המסקנה האינטגרל מתכנס אםם ‪q−1‬‬
‫כלומר כאשר ‪.q < 2‬‬
‫‪R ∞ x−1 −t‬‬
‫‪ .Γ(x) = 0 t‬זהו‬
‫הפונקציה ‪ Γ‬מוגדרת עבור ‪ x > 0‬ע״י ‪e dt‬‬
‫)‪(iii‬‬
‫אינטגרל של ‪R‬פונקציה חיובית על תחום אינסופי‪ ,‬ויש לבדוק את ההתכנסות של‬
‫∞‬
‫‪ . 1 tx−1 e−t dt‬כאשר ‪ x < 1‬הפונקציה גם אינה חסומה ב־ ‪ ,0‬לכן עלינו לבדוק‬
‫‪R 1 x−1 −t‬‬
‫‪. 0 t‬‬
‫בנפרד גם את ההתכנסות של ‪e dt‬‬
‫‪R ∞ −t/2‬‬
‫‪x−1 −t‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ 1 e‬מתכנס‪ ,‬מקבלים‬
‫‪ lim t e−t/2‬והיות שהאינטגרל ‪dt‬‬
‫היות ש־ ‪= 0‬‬
‫∞→‪t‬‬
‫‪R ∞ x−1 −t‬‬
‫‪ 1 t‬מתכנס‪.‬‬
‫שגם ‪e dt‬‬
‫‪R1‬‬
‫עבור ‪ 0 ≤ t ≤ 1‬מתקיים כי ‪ 13 tx−1 ≤ tx−1 e−t ≤ tx−1‬ולכן ‪ 0 tx−1 e−t dt‬ו־‬
‫‪R1‬‬
‫‪ 0 tx−1 dt‬מתכנסים או מתבדרים ביחד ־ והאינטגרל השני מתכנס לכל ‪,x > 0‬‬
‫ובפרט לכל ‪.0 < x < 1‬‬
‫פונקצית ‪ Γ‬מופיעה בענפים רבים של המתמטיקה כמו תורת המספרים‪ ,‬הסתברות‪,‬‬
‫ועוד‪ .‬נראה תכונה פשוטה שלה‪ :‬לכל ‪ x > 0‬מתקיים‬
‫)‪Γ(x + 1) = xΓ(x‬‬
‫כי אינטגרציה בחלקים נותנת‬
‫∞ ‪¯∞ Z‬‬
‫¯‬
‫= )‪Γ(x + 1‬‬
‫‪tx e−t dt = −e−t tx ¯ +‬‬
‫‪xtx−1 e−t dt‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫∞ ‪Z‬‬
‫‪= 0+x‬‬
‫)‪tx−1 e−t dt = xΓ(x‬‬
‫∞‬
‫‪Z‬‬
‫‪0‬‬
‫∞¯‬
‫¯‬
‫נשתמש כעת בכך ש־ ‪t0 e−t dt = −e−t ¯ = 1‬‬
‫כי לכל ‪ k‬טבעי‬
‫‪0‬‬
‫∞‪R‬‬
‫‪0‬‬
‫= )‪ ,Γ(1‬ונקבל באינדוקציה‬
‫!)‪. Γ(k) = (k − 1)Γ(k − 1) = . . . = (k − 1‬‬
‫בהמשך נחשב גם את )‪.Γ(1/2‬‬
‫‪30‬‬
‫אינטגרלים מתכנסים בהחלט ובתנאי‬
‫ההתכנסות של אינטגרל מוכלל של פונקציות אי שלילית תלויה ב״קצב הדעיכה״‬
‫של ‪ f‬באינסוף‪ ,‬או ב״קצב הגידול״ שלה בקטע סופי‪ .‬כאשר ‪ f‬מקבלת גם ערכים‬
‫חיוביים וגם שליליים האינטגרל יכול להתכנס מסיבה נוספת‪ :‬התרומות החיוביות‬
‫והשליליות של ‪ f‬יכולות לבטל חלקית אלה את אלה‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫המוכלל ‪) f‬על קרן‪ R‬אינסופית או על קטע סופי( מתכנס‬
‫שהאינטגרל‬
‫‪R‬‬
‫הגדרה‪ .‬נאמר ‪R‬‬
‫בהחלט אם | ‪ |f‬מתכנס‪ .‬אם ‪ f‬מתכנס אך | ‪ |f‬לא מתכנס נאמר שההתכנסות היא‬
‫בתנאי‪.‬‬
‫משפט‪ .‬אם אינטגרל מוכלל מתכנס בהחלט אז הוא מתכנס‪ .‬כלומר‪ ,‬אם ∞ < | ‪|f‬‬
‫∞‪R‬‬
‫אז גם ‪ a f‬מתכנס‪ ,‬ובאופן דומה לאינטגרל המוכלל על קטע סופי‪.‬‬
‫∞‪R‬‬
‫‪a‬‬
‫‪¯R‬‬
‫¯‬
‫‪Rb‬‬
‫¯ ‪¯ b‬‬
‫הוכחה‪ .‬ההוכחה מיידית בעזרת קריטריון קושי‪ .‬היות ו־ | ‪ ¯ b12 f ¯ ≤ b12 |f‬לכל‬
‫‪ ,b2 > b1‬הרי שאם בחירת ‪ b1 , b2 > B‬מבטיחה כי אגף ימין קטן כרצוננו‪ ,‬אז‬
‫בודאי שגם אגף שמאל קטן כרצוננו‪.‬‬
‫ניתן גם הוכחה נוספת שתבהיר יותר טוב מה באמת קורה‪ .‬נסמן‬
‫(‬
‫(‬
‫‪f (x) f (x) ≥ 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪f (x) > 0‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫= )‪. f (x‬‬
‫;‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪f (x) < 0‬‬
‫‪−f (x) f (x) ≤ 0‬‬
‫‪+‬‬
‫ואילו ‪ .|f | = f + + f −‬אם‬
‫הפונקציות האלה אי־שליליות ו־ ‪f −‬‬
‫שתי‬
‫‪R∞ f = f R−‬‬
‫∞‪R‬‬
‫∞‬
‫∞ < | ‪ a |f‬אז ממשפט ההשוואה גם ‪ a f +‬וגם ‪ a f −‬מתכנסים‪ ,‬ואז מתכנס‬
‫גם‬
‫∞ ‪Z‬‬
‫∞ ‪Z‬‬
‫∞ ‪Z‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫‪.‬‬
‫=‪f‬‬
‫‪f −‬‬
‫‪f‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫)‪(i‬‬
‫∞‪R‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪x2 dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪x dx‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(ii‬‬
‫בחלקים‬
‫∞‪R‬‬
‫מתכנס בהחלט כי‬
‫‪1‬‬
‫‪x2‬‬
‫≤‬
‫|‪| cos x‬‬
‫‪x2‬‬
‫ו־ ∞ <‬
‫‪dx‬‬
‫‪x2‬‬
‫∞‪R‬‬
‫‪. 1‬‬
‫מתכנס‪ ,‬אך לא בהחלט‪ .‬לבדיקת ההתכנסות נבצע אינטגרציה‬
‫∞ ‪Z‬‬
‫‪sin x‬‬
‫∞¯¯ ‪− cos x‬‬
‫‪cos x‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪¯ −‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Z‬‬
‫∞‬
‫‪1‬‬
‫והאינטגרל האחרון מתכנס עפ״י )‪) .(i‬השתמשנו כאן בכתיבה פורמלית של נוסחת‬
‫האינטגרציה בחלקים כשהגבול העליון הוא ∞‪ .‬משמעות הנוסחה ־ והוכחתה! ־‬
‫היא שלוקחים גבול כאשר ∞ → ‪ b‬בביטויים המתקבלים כשהגבול העליון הוא ‪.(b‬‬
‫‪R ∞ sin2 x‬‬
‫האינטגרל אינו מתכנס בהחלט כי ‪ | sin x| ≥ sin2 x‬ונראה כי ‪dx‬‬
‫‪R1∞ cosx2x‬‬
‫‪R∞ 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1−cos 2x‬‬
‫מתבדר‪ :‬נשתמש בזהות‬
‫= ‪ ,sin x‬ואז ∞ = ‪ 1 2x dx‬ואילו ‪2x dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪31‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪x dx‬‬
‫מתכנס‪ ,‬כפי שרואים ע״י אינטגרציה בחלקים כמו בהוכחה ש־‬
‫המשפט הבא יכליל את השיטה שבה הראנו כי‬
‫‪sin x‬‬
‫‪x dx‬‬
‫∞‪R‬‬
‫‪1‬‬
‫∞‪R‬‬
‫‪1‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫‪Rx‬‬
‫משפט‪].‬דיריכלה[ תהי ‪ f‬רציפה בקרן )∞ ‪ [a,‬כך שהפונקציה ‪ F (x) = a f (t)dt‬חסומה‬
‫∞‪R‬‬
‫בקרן‪ .‬תהי ‪ g‬גזירה בקרן כך שהאינטגרל | ‪ a |g 0‬קיים‪ ,‬וכך ש־ ‪ . lim g(x) = 0‬אז‬
‫∞→‪x‬‬
‫∞‪R‬‬
‫האינטגרל המוכלל ‪ a f g‬מתכנס‪.‬‬
‫מונוטונית בקרן חלקית )∞ ‪ ,[c,‬כי אז יש ל־ ‪ g 0‬סימן‬
‫בפרט התנאי מתקיים‬
‫∞ ‪R‬כאשר ‪R ∞ g‬‬
‫קבוע‪ ,‬ולכן )‪. b |g 0 | = ± b g 0 = ∓g(b‬‬
‫הוכחה‪ .‬אינטגרציה בחלקים נותנת‬
‫‪¯x Z x‬‬
‫‪x‬‬
‫¯‬
‫‪f (t)g(t)dt = F (t)g(t)¯ −‬‬
‫‪F (t)g 0 (t)dt‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪a‬‬
‫המחובר הראשון סופי כי ‪ lim g(x) = 0‬ו־ ‪ F‬חסומה‪ .‬המחובר השני מתכנס‬
‫∞→‪x‬‬
‫∞‪R‬‬
‫∞‪R‬‬
‫בהחלט‪ ,‬כי ‪ |F (x)| ≤ C‬לכל ‪ x‬ולכן ∞ < ‪. a |F (t)g 0 (t)|dt ≤ C a |g 0 (t)|dt‬‬
‫דוגמא )‪ (ii‬התקבלה עבור ‪ f (x) = sin x‬ו־ ‪.g(x) = x−1‬‬
‫‪32‬‬
‫פרק ‪2‬‬
‫טורי מספרים‬
‫‪2.1‬‬
‫מושגים כלליים‬
‫נתונה סדרת מספרים ‪ ,a1 , a2 , . . . , aj , . . .‬ונרצה לסכם את כל אבריה ולדבר על‬
‫הסכום האינסופי‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= ‪a1 + a2 + a3 + . . .‬‬
‫‪ai‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪Pn‬‬
‫ונעשה זאת ע״י תהליך גבולי‪ .‬נסמן ב־ ‪ai‬‬
‫האברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪,{S‬‬
‫מתכנס כאשר סדרת הסכומים החלקיים שלו‪n } ,‬‬
‫הגדרה‪ .‬נאמר שהטור ‪k=1 ak‬‬
‫∞‪P‬‬
‫מתכנסת‪ .‬אם גבולה הוא ‪ lim Sn = S‬נאמר שסכום הטור הוא ‪ S‬ונסמן ‪. k=1 ak = S‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ‪ Sn‬את הסכום החלקי של ‪n‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫אם ‪ lim Sn‬לא קיים נאמר שהטור מתבדר‪.‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫המינוח האנגלי הוא ‪) sequence‬סדרה( ו־ ‪) series‬טור(‪.‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫)‪(i‬‬
‫טור גיאומטרי אינסופי ‪q k−1‬‬
‫∞‬
‫‪P‬‬
‫= ‪.1 + q + q 2 + q 3 + . . .‬‬
‫‪k=1‬‬
‫כאשר ‪ q 6= 1‬הסכומים החלקיים הם‬
‫‪1 − qn‬‬
‫‪1−q‬‬
‫אם ‪ |q| < 1‬אז הגבול‬
‫= ‪. Sn = 1 + q + q 2 + q 3 + . . . + q n−1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1−q‬‬
‫=‬
‫‪1−q n‬‬
‫‪n→∞ 1−q‬‬
‫‪ lim Sn = lim‬קיים‪ ,‬ולכן‬
‫‪1‬‬
‫‪1−q‬‬
‫= ‪q k−1‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪.‬‬
‫‪k=1‬‬
‫מתקבלים‬
‫מתבדר‪ .‬בפרט עבור ‪P∞ q = ±1‬‬
‫אם ‪ |q| ≥ 1‬הגבול לא קיים‪ ,‬והטור ∞‪P‬‬
‫ו־ ‪. n=1 (−1)n = −1 + 1 − . . .‬‬
‫הטורים המתבדרים ‪n=1 1 = 1 + 1 + . . .‬‬
‫‪33‬‬
‫)‪(ii‬‬
‫הטור‬
‫∞‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪k=1 k(k+1‬‬
‫מתכנס וסכומו ‪ ,1‬כי נציג את האבר הכללי בצורה‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= −‬‬
‫)‪k(k + 1‬‬
‫‪k k+1‬‬
‫= ‪ak‬‬
‫ולכן‬
‫¶‬
‫‪n µ‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫)‪k(k + 1‬‬
‫‪k k+1‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪¶ µ‬‬
‫‪¶ µ‬‬
‫¶‬
‫‪µ‬‬
‫¶‬
‫‪µ‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+ ... +‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪3 4‬‬
‫‪n n+1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪→1‬‬
‫‪n+1‬‬
‫=‬
‫‪Sn‬‬
‫=‬
‫=‬
‫)סכום שבו ניתן להציג ‪ ,ak = bk − bk−1‬ולכן ‪(bk − bk−1 ) = bn − b0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫= ‪ak‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪,‬‬
‫‪k=1‬‬
‫נקרא ״סכום טלסקופי״(‪.‬‬
‫‪P 1‬‬
‫הטור √‬
‫מתבדר כי‬
‫)‪(iii‬‬
‫‪j‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫√‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫∞→‪√ ≥n· √ = n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪j‬‬
‫‪j=1‬‬
‫= ‪. Sn‬‬
‫התכונות היסודיות של טורים מתקבלות ע״י תרגום של התוצאות האנלוגיות‬
‫לסדרות‪ .‬לא ניתן את ההוכחה המידית למשפט הבא‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס‪,‬‬
‫מתכנס אז לכל מספר ממשי ‪ c‬גם הטור ‪cak‬‬
‫‪ P‬הטור ‪ak‬‬
‫משפט‪ (i) .‬אם‬
‫וסכומו הוא ‪.c ak‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנסים‪ ,‬אז גם ) ‪ (ak + bk‬מתכנס וסכומו הוא‬
‫ו־ ‪bk‬‬
‫הטורים ‪ak‬‬
‫)‪ P(ii‬אם ‪P‬‬
‫‪) . ak + bk‬הכיוון ההפוך אינו נכון כמובן‪ .‬תנו דוגמא נגדית!(‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס אםם לכל ‪ ε > 0‬קיים )‪ N = N (ε‬כך שלכל‬
‫)‪) (iii‬קריטריון קושי(‪ .‬הטור ‪ak‬‬
‫‪ m > n > N‬מתקיים‬
‫¯‬
‫¯‬
‫‪¯ m‬‬
‫¯‬
‫‪¯ X‬‬
‫¯‬
‫¯¯ ‪.‬‬
‫‪aj ¯¯ = |Sm − Sn | < ε‬‬
‫¯ ‪¯j=n+1‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫)‪(i‬‬
‫הטור‬
‫‪1‬‬
‫‪j2‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס‪ ,‬כי‬
‫‪µ‬‬
‫¶‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫≤‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪j2‬‬
‫‪j(j − 1) j=n+1 j‬‬
‫‪j+1‬‬
‫‪j=n+1‬‬
‫‪j=n+1‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫<‬
‫‪<ε‬‬
‫‪n+1 m+1‬‬
‫‪n+1‬‬
‫=‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪34‬‬
‫‪aj‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪j=n+1‬‬
‫בתנאי ש־ ‪.n + 1 > 1/ε‬‬
‫)‪ (ii‬הטור ההרמוני‬
‫‪ ,m = 2n‬ואז‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪P‬‬
‫מתבדר כי אינו מקיים את תנאי קושי‪ :‬בהנתן ‪ n‬נבחר‬
‫‪2n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫·‪≥n‬‬
‫‪= 6→ 0‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪k=n+1‬‬
‫משפט‪ .‬אם הטור ‪ak‬‬
‫∞‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס אז ‪.lim ak = 0‬‬
‫‪k=1‬‬
‫הוכחה‪ .‬נציג ‪an = Sn − Sn−1 → S − S = 0‬‬
‫להדגיש שהמשפט נותן רק תנאי הכרחי שאיננו מספיק‪ .‬ראינו למשל‬
‫חשוב ‪P 1‬‬
‫שהטור √‬
‫והטור ההרמוני מתבדרים‪ ,‬למרות שסדרת אבריהם שואפת לאפס‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫הערה‪ .‬שינוי של מספר סופי מאברי הטור אינו משפיע על התכנסותו או התבדרותו‪) .‬כאשר‬
‫כמובן‪ ,‬להשפיע על ערך הסכום(‪.‬‬
‫הטור מתכנס השינוי יכול‪P∞ ,‬‬
‫לטור מהצורה ‪ rm = k=m+1 ak‬נקרא ״זנב של הטור״ )או ״שארית הטור״(‬
‫‪P‬‬
‫‪ . ak‬ע״ס ההערה מקבלים שהטור המקורי מתכנס אםם הזנבות שלו הם טורים‬
‫מתכנסים‪ ,‬ובמקרה זה ‪. lim rm = 0‬‬
‫∞→‪m‬‬
‫‪ 2.2‬טורים עם אברים חיוביים‬
‫מוכללים בקרן אינסופית‪.‬‬
‫לטיפול באינטגרלים ∞ ‪R‬‬
‫הטיפול בטורים אינסופיים דומה מאד∞‪P‬‬
‫כאינטגרל ‪ 1 f (x)dx‬עבור הפונקציה ‪f‬‬
‫למעשה‪ ,‬ניתן להציג כל טור ‪k=1 ak‬‬
‫המוגדרת ע״י‬
‫‪ f (x) = ak‬כאשר ‪ x‬בקטע )‪. [k, k + 1‬‬
‫כמו שעשינו באינטגרלים מוכללים‪ ,‬גם כאן נטפל תחילה בטורים עם אברים‬
‫בעלי סימן קבוע‪ ,‬ובה״כ נניח שהם חיוביים‪ .‬המפתח לכך שהטיפול בטורים עם‬
‫אברים בעלי סימן קבוע פשוט יותר מהטיפול בטורים כלליים הוא המשפט הבא‬
‫משפט‪ .‬אם ‪ an ≥ 0‬לכל ‪ ,n‬אז ‪an‬‬
‫סדרה חסומה‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס אםם סדרת הסכומים החלקיים ‪ Sn‬היא‬
‫הוכחה‪ .‬מאי השליליות של ה־ ‪an‬־ים נובע שהסדרה ‪ Sn‬מונוטונית עולה‪ ,‬וידוע כי‬
‫לסדרה מונוטונית יש גבול אםם היא חסומה‪.‬‬
‫‪35‬‬
‫המשפט מאפשר בדיקת ההתכנסות של טור חיובי ע״י בדיקה פשוטה יותר ־‬
‫)לטורים עם אברים חיוביים בלבד!(‬
‫חסימות‪ .‬אנחנו גם נשתמש ‪P‬‬
‫עלינו רק לבדוק ‪P‬‬
‫לטור מתבדר‪.‬‬
‫לטור מתכנס וב־ ∞ = ‪an‬‬
‫בסימון ∞ < ‪an‬‬
‫משפט‪] .‬קריטריון ההשוואה[‪ .‬יהיו ‪an‬‬
‫קבוע חיובי ‪ K > 0‬כך שלכל ‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫ו־ ‪bn‬‬
‫‪P‬‬
‫טורים עם אברים אי־שליליים‪ .‬אם קיים‬
‫‪0 ≤ an ≤ Kbn‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס ו־ ‪bn‬‬
‫מתכנס‪ ,‬אז גם ‪an‬‬
‫ואם הטור ‪bn‬‬
‫‪P‬‬
‫‪an ≤ K‬‬
‫‪P‬‬
‫‪.‬‬
‫‪PN‬‬
‫‪PN‬‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן ב־ ‪ AN = n=1 an‬ו־ ‪ BN = n=1 bn‬את הסכומים החלקיים‬
‫של הטורים‪ .‬עפ״י הנתון ‪ BN‬סדרה חסומה ו־ ‪ 0 ≤ AN ≤ KBN‬לכל ‪ ,N‬לכן גם‬
‫‪ AN‬חסומה ולכן מתכנסת‪ .‬אי השוויון בין סכומי הטורים נובע ממעבר לגבול‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫אין צורך‬
‫הערה‪ .‬להתכנסות הטור ‪an‬‬
‫שיש ‪ N‬כך שזה יתקיים רק לכל ‪> N‬‬
‫ברור שאז אי השוויון בין הסכומים אינו‬
‫גם למשפטים רבים בהמשך ובדר״כ לא‬
‫לדרוש כי ‪ 0 ≤ an ≤ Kbn‬לכל ‪ n‬ומספיק‬
‫‪ ,n‬כלומר עבור ‪ n‬גדולים מספיק ־ אך‬
‫חייב להתקיים‪ .‬הערה דומה תהיה נכונה‬
‫נציין אותה במפורש‪.‬‬
‫המסקנה המיידית הבאה נוחה מאד לשימוש‪.‬‬
‫מסקנה‪ .‬נניח כי ‪ an , bn‬חיוביים וכי ‪= L‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫אםם ‪bn‬‬
‫‪an‬‬
‫‪n→∞ bn‬‬
‫‪ . lim‬אם ∞ < ‪ 0 < L‬אז ‪an‬‬
‫‪3L‬‬
‫‪2‬‬
‫<‬
‫‪an‬‬
‫‪bn‬‬
‫<‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס‬
‫< ‪ 0‬לכל ‪,n ≥ N‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי הגדרת הגבול נמצא ‪ N‬כך ש־‬
‫והמסקנה נובעת מהמשפט‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫מתכנס‪ ,‬אז גם ‪an‬‬
‫הוכחה דומה מראה שאם ‪ L = 0‬ו־ ‪bn‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫)‪(i‬‬
‫‪P 1‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪P‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫מתכנס‪ ,‬כי לכל ‪ n > 1‬מתקיים ש־ ‪< 2‬‬
‫‪n‬‬
‫הטור ‪n3 −1‬‬
‫´ ‪³3 −1 .n2‬‬
‫מתכנס‪ .‬לחילופין‪ ,‬נשתמש במסקנה ובכך ש־ ‪.lim n3n−1 n12 = 1‬‬
‫< ‪ 0‬והטור‬
‫‪¡1¢‬‬
‫‪P‬‬
‫לכל ‪ x > 0‬קטן מתקיים ‪ ,x/2 < sin x < x‬ולכן הטורים החיוביים ‪sin n‬‬
‫)‪¡ 1 ¢(ii‬‬
‫‪P 1‬‬
‫‪P1‬‬
‫‪P‬‬
‫בהתאמה‪ ,‬וראינו כי הטור‬
‫ו־‬
‫הטורים‬
‫כמו‬
‫מתנהגים‬
‫‪sin‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪n‬‬
‫ו־ ‪P 1 n2‬‬
‫‪P 1‬‬
‫ואילו‬
‫מתבדר‪,‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫‪n2‬‬
‫ההרמוני ‪n‬‬
‫‪sin x‬‬
‫לחילופין‪ ,‬אפשר להשתמש במסקנה כי ‪.limx→0 x = 1‬‬
‫מבחני ההתכנסות הבאים הם מאוד שימושיים‪ .‬שניהם נובעים בקלות ממשפט‬
‫ההשוואה כאשר משווים עם טור גיאומטרי מתכנס‪.‬‬
‫משפט‪ .‬יהיו ‪ an‬חיוביים‪.‬‬
‫‪36‬‬
‫השורש )קושי([ אם קיימים ‪ 0 < q < 1‬ו־ ‪ N‬כך ש־ ‪an ≤ q‬‬
‫)‪] (i‬מבחן ‪P‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫אז הטור ‪an‬‬
‫√‬
‫‪n‬‬
‫לכל ‪,n ≥ N‬‬
‫)ד׳אלמבר([ אם קיימים ‪ 0 < q < 1‬ו־ ‪ N‬כך ש־ ‪≤ q‬‬
‫)‪] (ii‬מבחן המנה ‪P‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫‪ ,n ≥ N‬אז הטור ‪an‬‬
‫‪an+1‬‬
‫‪an‬‬
‫לכל‬
‫הוכחה‪ .‬בלי הגבלת הכלליות ‪.N = 1‬‬
‫נעלה את אי השוויון בחזקת ‪ n‬ונקבל כי‬
‫)‪(i‬‬
‫הכללי של טור גיאומטרי מתכנס‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ,an ≤ q‬ואגף ימין הוא האבר‬
‫)‪ (ii‬רואים באידוקציה כי ‪ ,an ≤ a1 q n−1‬ושוב אגף ימין הוא האבר הכללי של‬
‫טור גיאומטרי מתכנס‪.‬‬
‫√‬
‫הערה‪ .‬תנאי המשפט שקולים לכך ש־ ‪ lim sup n an < 1‬או‪ ,‬בהתאמה‪ ,‬לכך ש־‬
‫‪ .lim sup aan+1‬במקרים שהגבולות קיימים )ואין צורך לעבור לגבולות חלקיים(‪,‬‬
‫‪<1‬‬
‫‪n‬‬
‫פשוט מחשבים את הגבול‪.‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+4‬‬
‫)‪(i‬‬
‫מתכנס כי מאי השוויונים ‪ 2n + 4n < 2 · 4n‬ו־‬
‫‪3n +5n‬‬
‫כי‬
‫נובע‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪n + 4n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪4‬‬
‫‪n 2 · 4‬‬
‫‪n 2‬‬
‫‪.‬‬
‫<‬
‫‪→ < 1.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪3 +5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫)‪(ii‬‬
‫‪P An‬‬
‫!‪n‬‬
‫מתכנס לכל ‪ ,A > 0‬כי ‪→ 0 < 1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪3n + 5n > 5n‬‬
‫‪. aan+1‬‬
‫=‬
‫‪n‬‬
‫√‬
‫‪n‬‬
‫אי השוויון החריף ‪ q < 1‬חשוב‪ ,‬והתנאי החלש יותר ‪an < 1‬‬
‫הערות‪(i) .‬‬
‫<‬
‫‪1‬‬
‫לכל ‪) n‬או‬
‫‪ ( aan+1‬אינו מספיק ואינו נותן שום אינפורמציה‪ .‬לדוגמא‪ ,‬אם‬
‫‪n‬‬
‫√‬
‫‪P‬‬
‫√‬
‫מתכנס ו־‬
‫‪ an = n12‬ו־ ‪ bn = n1‬אז ‪ n an < 1‬וגם ‪ n bn < 1‬לכל ‪ ,n‬אך ‪an‬‬
‫‪P‬‬
‫‪an+1‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪ bn+1‬לכל ‪.(n‬‬
‫מתבדר! )ובאופן דומה גם ‪ an < 1‬ו־ ‪bn < 1‬‬
‫√‬
‫הפוכים״‪ ,‬למשל‪ ,‬אם ‪ ,lim sup n an = q > 1‬או אם‬
‫)‪ (ii‬אפשר לנסח ״משפטים‬
‫‪P‬‬
‫מתבדר‪ .‬אין טעם לנסות ולזכור אותם בע״פ‬
‫‪ lim inf aan+1‬אז הטור ‪an‬‬
‫‪=q>1‬‬
‫‪n‬‬
‫־ בכולם הסיבה להתבדרות היא ״טריביאלית״ ־ האבר הכללי אינו שואף לאפס‬
‫־ ובדוגמאות קונקרטיות קל לראות זאת ישירות‪.‬‬
‫השימוש במבחן המנה מוגבל כי אפשר להשתמש בו רק כאשר כל ה־‬
‫)‪(iii‬‬
‫‪an‬־ים )החל ממקום מסוים( חיוביים ממש‪ .‬מבחינה זו וודאי שמבחן השורש כללי‬
‫יותר‪ ,‬אך למעשה הוא חזק ממבחן המנה במובן בסיסי יותר‪ :‬אם מתקיימים‬
‫‪ aan+1‬לכל ‪ ,n‬אז גם לכל ‪k‬‬
‫תנאי מבחן המנה‪ ,‬כלומר‪ ,‬אם ‪≤ q < 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ak‬‬
‫‪a2 a3‬‬
‫·‬
‫· ‪· ...‬‬
‫‪≤ a1 q k−1‬‬
‫‪a1 a2‬‬
‫‪ak−1‬‬
‫‪37‬‬
‫· ‪ak = a1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪k‬‬
‫√‬
‫‪k‬‬
‫ולכן ‪a1 q k−1 ≤ q1 < 1‬‬
‫מבחן השורש‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬אם כי מבחן המנה הוא לעתים נוח יותר לשימוש‪ ,‬הרי שבאופן עקרוני‬
‫כל פעם שאפשר להשתמש בו אז ההתכנסות היתה נובעת גם משימוש במבחן‬
‫השורש‪.‬‬
‫≤ ‪ak‬‬
‫אם רק ‪ k‬גדול מספיק‪ ,‬ומתקיימים גם תנאי‬
‫טורים חיוביים ומונוטוניים‬
‫כאשר מוסיפים להנחת החיוביות של ה־ ‪an‬־ים גם את ההנחה שהסדרה ‪an‬‬
‫מונוטונית יורדת‪ ,‬מקבלים מבחני התכנסות )או התבדרות( חזקים בהרבה‪.‬‬
‫נתחיל בדוגמא פשוטה הנותנת תנאי הכרחי חזק יותר מאשר ‪ an → 0‬להתכנסות‬
‫טורים כאלה‪.‬‬
‫משפט‪ .‬תהי } ‪ {an‬סדרה אי שלילית ויורדת‪ .‬אם הטור ‪an‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס אז ‪. lim nan = 0‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫הוכחה‪ .‬המונוטוניות וקריטריון קושי עבור ‪ m = 2n‬נותנים כי‬
‫‪aj → 0‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪X‬‬
‫≤ ‪na2n‬‬
‫‪j=n+1‬‬
‫ולכן גם ‪ ,2na2n → 0‬ומהמונוטוניות נובע כי למעשה ‪.nan → 0‬‬
‫המשפט נותן רק תנאי הכרחי שאינו מספיק‪ .‬נראה בהמשך כי‬
‫‪(i) P‬‬
‫הערות‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.n n ln‬‬
‫=‬
‫→‬
‫‪0‬‬
‫ש־‬
‫למרות‬
‫מתבדר‬
‫‪n‬‬
‫‪ln n‬‬
‫‪n ln n‬‬
‫)‪ (ii‬המשפט נותן הוכחה נוספת שהטור ההרמוני מתבדר‪ :‬הסדרה ‪ n−1‬יורדת‬
‫אך ‪.n · n−1 6→ 0‬‬
‫המשפט הבא נותן קשר פורמלי בין התכנסות של טור להתכנסות אינטגרל‬
‫מוכלל‪.‬‬
‫עולה בקרן ‪ ,x ≥ 0‬ואינטגרבילית‬
‫משפט‪] .‬מבחן האינטגרל[ תהי ‪ f‬פונקציה חיובית לא∞ ‪Z‬‬
‫∞‪P‬‬
‫בכל קטע חלקי ]‪ .[0, b‬אז האינטגרל המוכלל ‪f (x)dx‬‬
‫מתכנס אםם הטור )‪k=1 f (k‬‬
‫‪0‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫אם הטור והאינטגרל מתכנסים אז‬
‫)‪f (k‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫∞‬
‫‪Z‬‬
‫≤ )‪f (k‬‬
‫≤ ‪f (x)dx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪38‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן )‪f (k‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫= ‪ .Sn‬הפונקציה ‪ f‬יורדת‪ ,‬ולכן )‪f (k + 1) ≤ f (x) ≤ f (k‬‬
‫‪k=1‬‬
‫כאשר ]‪ .x ∈ [k, k + 1‬אינטגרציה בקטע נותנת כי )‪f (x)dx ≤ f (k‬‬
‫‪k+1‬‬
‫‪R‬‬
‫≤ )‪,f (k + 1‬‬
‫‪k‬‬
‫וכשנסכם את אי השוויונות האלה עבור ‪ 0 ≤ k < n‬נקבל‬
‫)‪f (k‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪X‬‬
‫≤ ‪f (x)dx‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪X Z k+1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k=0‬‬
‫≤ )‪f (k + 1‬‬
‫‪k=0‬‬
‫או‬
‫‪n−1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Z‬‬
‫≤ ‪Sn‬‬
‫‪f (x)dx ≤ f (0) + Sn−1‬‬
‫‪0‬‬
‫כלומר‪ ,‬הסדרה ‪ Sn‬חסומה )ולכן הטור מתכנס( אםם סדרת האינטרלים ‪f‬‬
‫חסומה )ולכן האינטגרל מתכנס(‪.‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫∞‪R‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪.‬‬
‫≤ ‪f (k) ≤ f‬‬
‫מעבר לגבול נותן כי )‪f (k‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪Rn‬‬
‫‪0‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪0‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫המשפט‪ ,‬בצירוף השיטות שפיתחנו לחישוב והערכת אינטגרלים‪ ,‬מאפשר בדיקה‬
‫פשוטה לטורים רבים‪.‬‬
‫‪R ∞ dx‬‬
‫מתכנס עבור ‪ p > 1‬ומתבדר עבור ‪ .p ≤ 1‬לכן גם‬
‫)‪ (i‬ראינו‬
‫‪ P‬שהאינטגרל ‪xp‬‬
‫‪1‬‬
‫מתכנס עבור ‪ p > 1‬ומתבדר עבור ‪.p ≤ 1‬‬
‫הטור ‪np‬‬
‫‪P 1‬‬
‫מתכנס‪ .‬נציב באינטגרל‬
‫נבדוק לאילו ערכים של ‪ q‬הטור‬
‫)‪(ii‬‬
‫‪q‬‬
‫)‪R ∞ dyk(ln k‬‬
‫‪R ∞ dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫המתכנס אםם ‪.q > 1‬‬
‫את‬
‫ונקבל‬
‫‪dy‬‬
‫=‬
‫ואז‬
‫‪,y‬‬
‫=‬
‫‪ln‬‬
‫‪x‬‬
‫את‬
‫‪yq‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x(ln x)q‬‬
‫‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫)‪(iii‬‬
‫בדקו כתרגיל עבור אלו ערכי ‪ q‬הטור ‪k ln k(ln ln k)q‬‬
‫משפט‪] .‬מבחן הכיווץ[ תהי } ‪ {an‬סדרה חיובית יורדת‪ .‬אז הטורים ‪an‬‬
‫מתכנסים או מתבדרים ביחד‪.‬‬
‫‪Pn‬‬
‫= ‪ Sn‬וב־ ‪2j a2j‬‬
‫‪Pk‬‬
‫‪P‬‬
‫ו־ ‪2n a2n‬‬
‫‪P‬‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן ב־ ‪aj‬‬
‫של שני הטורים‪.‬‬
‫נניח תחילה כי הטור המכווץ מתכנס‪ ,‬כלומר שה־ ‪Tk‬־ים סדרה חסומה‪ ,‬ונסמן‬
‫ב־ ‪ T‬את סכום הטור‪ .‬היות שה־ ‪Sn‬־ים סדרה עולה‪ ,‬הרי שכדי לראות שזו סדרה‬
‫חסומה די להראות שיש לה תת סדרה חסומה‪ .‬ואמנם‪ ,‬מהמונוטוניות של ה־ ‪an‬־‬
‫ים נובע כי‬
‫‪j=1‬‬
‫‪j=1‬‬
‫= ‪ Tk‬את הסכומים החלקיים‬
‫‪= a1 + a2 + · · · + a2k‬‬
‫‪= a1 + (a2 + a3 ) + (a4 + . . . + a7 ) + · · · + (a2k−1 + . . . + a2k −1 ) + a2k‬‬
‫‪≤ a1 + 2a2 + 4a4 + . . . + 2k−1 a2k−1 + a2k ≤ a1 + Tk−1 + a2k ≤ T + 2a1‬‬
‫‪39‬‬
‫‪S2k‬‬
‫בכיוון ההפוך נעריך באופן דומה‬
‫‪a1 + a2 + . . . + a2k‬‬
‫=‬
‫) ‪a1 + a2 + (a3 + a4 ) + (a5 + . . . a8 ) + . . . + (a2k−1 +1 + · · · a2k‬‬
‫‪Tk‬‬
‫‪a1 + a2 + 2a4 + 4a8 + . . . + 2k−1 a2k = a1 +‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪S 2k‬‬
‫≥‬
‫ומחסימות ‪ Sn‬נקבל שגם הסדרה ‪ Tk‬חסומה‪.‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫‪−p‬‬
‫‪−p‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס אם ורק אם‬
‫‪n‬‬
‫‪ P‬יורדת‪ ,‬ולכן הטור‬
‫‪n‬‬
‫‪ p P‬הסדרה‬
‫לכל ‪> 0‬‬
‫)‪(i‬‬
‫מתכנס‪ .‬אבל זהו טור גיאומטרי עם ‪,q = 21−p‬‬
‫הטור ‪2n · 2−np = (21−p )n‬‬
‫והוא מתכנס אםם ‪ ,21−p = q < 1‬כלומר אםם ‪.p > 1‬‬
‫‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫מתכנס אםם‬
‫)‪(ii‬‬
‫לכל ‪ p > 0‬הסדרה ‪ n(ln n)p‬יורדת‪ ,‬ולכן הטור ‪n(ln n)p‬‬
‫‪P n‬‬
‫‪P 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫מתכנס‪ .‬ע״ס )‪ (i‬זה קורה אםם ‪.p > 1‬‬
‫‪2 · 2n (ln 2n )p = (ln 2)p‬‬
‫הטור ‪np‬‬
‫‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(iii‬‬
‫מתכנס‬
‫לכל ‪ p > 0‬הסדרה ‪ n ln n(ln ln n)p‬יורדת‪ ,‬ולכן הטור ‪n ln n(ln ln n)p‬‬
‫‪P n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫מתכנס‪ .‬ע״ס )‪ (ii‬הטור‬
‫= ‪2 · 2n (ln 2n )(ln ln 2n )p‬‬
‫הטור‬
‫אםם‬
‫‪ln 2·n·(ln 2+ln n)p‬‬
‫הזה מתכנס אםם ‪.p > 1‬‬
‫באותה שיטה אפשר להמשיך ולטפל בביטויים מתאימים עם איטרציות מכל‬
‫סדר של ‪.ln‬‬
‫‪ 2.3‬טורים עם סימנים מתחלפים לסירוגין‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫משפט‪].‬לייבניץ[ אם ‪ an > 0‬סדרה מונוטונית יורדת לאפס אז הטור ‪(−1)n+1 an‬‬
‫וסכומו ‪ S‬מקיים ‪P∞ .0 < S < a1‬‬
‫זנב הטור ‪ rm = n=m+1 (−1)n+1 an‬מקיים ‪ |rm | < am+1‬וסימנו ‪.(−1)m‬‬
‫מתכנס‬
‫הוכחה‪ .‬להוכחת ההתכנסות נציג‬
‫) ‪. S2n−1 = a1 − (a2 − a3 ) − (a4 − a5 ) − . . . − (a2n−2 − a2n−1‬‬
‫כל הפרש ‪ ak − ak+1‬הוא חיובי‪ ,‬ולכן ‪ S2n−1 < a1‬והסדרה } ‪ {S2n−1‬יורדת‪ .‬חישוב‬
‫דומה נותן כי‬
‫‪S2n = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 ) + · · · + (a2n−1 − a2n ) > 0‬‬
‫וכי ‪ S2n‬עולה‪ .‬כמו כן ‪ S2n = S2n−1 + a2n > S2n−1‬ו־ ‪ ,a2n → 0‬ולכן מתקיימים‬
‫תנאי הלמה של קנטור ויש לשתי הסדרות גבול משותף שנסמנו ב־ ‪ ,S‬כלומר‬
‫הטור מתכנס וסכומו ‪ .S‬ההערכה ‪ 0 < S < a1‬נובעת ממעבר לגבול‪P∞ .‬‬
‫ההערכה לזנב נובעת ממה שכבר הוכחנו‪ ,‬כי גם ‪rm = n=m+1 (−1)n+1 an‬‬
‫הוא טור עם סימנים מתחלפים לסירוגין‪.‬‬
‫‪40‬‬
‫דוגמא‪.‬‬
‫‪P (−1)n‬‬
‫מתכנס לכל ‪) p > 0‬ולא‪ ,‬כמו הטור בלי השמת הסימנים‪ ,‬רק‬
‫הטור‬
‫‪np‬‬
‫ל־ ‪ .(p > 1‬זו הקדמה טובה לנושא הבא שבו נטפל‪ :‬השמת סימנים יכולה הביא‬
‫לצמצומים שיגרמו להתכנסות הטור‪.‬‬
‫בחישובים מעשיים מחליפים טורים אינסופיים בסכומים חלקיים‬
‫הערות‪(i) .‬‬
‫מספיק רחוקים‪ .‬כדי לדעת את שגיאת החישוב יש להעריך את | ‪ ,|rm‬ומשפט‬
‫לייבניץ אכן נותן הערכה כזו‪.‬‬
‫)‪(ii‬‬
‫הנחת המונוטוניות חשובה‪ .‬לדוגמא נגדיר‬
‫כאשר ‪ j = 2k − 1‬איזוגי‬
‫כאשר ‪ j = 2k‬זוגי‬
‫ואז‬
‫(‬
‫‪1/k‬‬
‫= ‪aj‬‬
‫‪1/k 2‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1 X 1‬‬
‫‪j+1‬‬
‫=‬
‫= ‪(−1) aj‬‬
‫‪−‬‬
‫∞→‬
‫‪k‬‬
‫‪k2‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪. S2n‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪ 2.4‬טורים עם אברים כלשהם‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס בהחלט אם הטור | ‪|an‬‬
‫הגדרה‪ .‬נאמר שהטור ‪an‬‬
‫מתכנס ־ אך לא בהחלט ־ נאמר שהוא מתכנס בתנאי‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס‪ .‬אם הטור ‪an‬‬
‫‪P‬‬
‫משפט‪ .‬טור מתכנס בהחלט הוא טור מתכנס‪) .‬הכיוון ההפוך אינו נכון כמובן‪ :‬הטור‬
‫‪P (−1)n‬‬
‫מתכנס אך אינו מתכנס בהחלט(‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן‬
‫‪an > 0‬‬
‫‪an ≤ 0‬‬
‫(‬
‫‪0‬‬
‫‪−‬‬
‫= ‪an‬‬
‫‪−an‬‬
‫;‬
‫‪an ≥ 0‬‬
‫‪an < 0‬‬
‫(‬
‫‪an‬‬
‫‪+‬‬
‫= ‪. an‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫‪ .|an | = a+‬אם‬
‫ואילו ‪n + an‬‬
‫הטורים האלה אי־שליליים ו־ ‪n − an‬‬
‫‪P −an = aP‬‬
‫שני ‪P‬‬
‫‪+‬‬
‫מתכנסים‪ ,‬ואז מתכנס‬
‫וגם ‪an‬‬
‫אז ממשפט ההשוואה גם ‪an‬‬
‫∞ < | ‪|an‬‬
‫גם‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪−‬‬
‫‪.‬‬
‫= ‪an‬‬
‫‪a+‬‬
‫‪−‬‬
‫‪a‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪41‬‬
‫דוגמא‪.‬‬
‫‪P xn‬‬
‫מתכנס ומתי הוא מתכנס בהחלט‪.‬‬
‫נבדוק עבור אילו ‪x‬־ים הטור הטור ‪n‬‬
‫עבור ‪ |x| > 1‬האבר הכללי לא שואף לאפס‪ ,‬ולכן הטור מתבדר ועבור ‪|x| < 1‬‬
‫הטור מתכנס בהחלט‪.‬‬
‫עבור ‪ x = 1‬זה הטור ההרמוני המתבדר‪ ,‬ואילו עבור ‪ x = −1‬הטור מתכנס )טור‬
‫לייבניץ(‪ ,‬אך לא בהחלט‪.‬‬
‫הערה‪ .‬מבחני ההתכנסות לטורים חיוביים נותנים‪ ,‬ע״י מעבר מ־ ‪ an‬ל־ | ‪,|an‬‬
‫מבחנים דומים להתכנסות בהחלט‪ ,‬ואנחנו נשתמש בהם באופן חפשי‪.‬‬
‫אינטגרציה בחלקים היתה מכשיר חשוב בטיפול באינטגרלים מוכללים המתכנסים‬
‫בתנאי‪ .‬הלמה הבאה היא אנלוג דיסקרטי לנוסחה זו‪.‬‬
‫למה‪] .‬נוסחת הסכימה בחלקים[ תהיינה } ‪ {an‬ו־ } ‪ {bn‬סדרות כלשהן‪ ,‬ונסמן ‪ B0 = 0‬ו־‬
‫‪ .Bn = b1 + b2 + . . . + bn‬אז‬
‫) ‪Bi (ai+1 − ai‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ai bi = an Bn −‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪Rx‬‬
‫)נשים לב שע״י החלפת ‪ an‬ב־ ‪ bn ,f‬ב־ ‪ ai+1 − ai ,g‬ב־ ‪ Bn ,f 0‬ב־ ‪g‬‬
‫‪Rb‬‬
‫‪Rb‬‬
‫וסכומים באינטגרלים אכן מתקבלת הנוסחה ‪.( a f g = f (b)G(b) − a Gf 0‬‬
‫‪a‬‬
‫= )‪G(x‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫‪ai Bi−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪(ai+1 − ai )Bi‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ai Bi −‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ) ‪ai (Bi − Bi−1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫‪i=1‬‬
‫‪ai+1 Bi = an Bn −‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪ai Bi −‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ai bi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫=‬
‫‪i=1‬‬
‫כאשר בשוויון האחרון השתמשנו ב־ ‪.B0 = 0‬‬
‫‪P‬‬
‫הוא טור חסום אם קיים קבוע ‪ M‬כך שלכל ‪n ≥ 1‬‬
‫נאמר שהטור ‪Pn bn‬‬
‫מתקיים ש־ ‪.| k=1 bk | ≤ M‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫טור חסום ונניח כי ‪ an → 0‬ושהטור | ‪|an+1 − an‬‬
‫‪bnP‬‬
‫משפט‪] .‬משפט דיריכלה[ יהי‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫מתכנס‪ .‬אז גם הטור ‪an bn‬‬
‫‪P‬‬
‫בוודאי מתקיים אם הסדרה ‪ an‬מונוטונית‪ ,‬כי‬
‫‪|a‬‬
‫‪−‬‬
‫‪a‬‬
‫|‬
‫<‬
‫‪n+1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫נשים לב שהתנאי ∞‪P‬‬
‫כסכום טלסקופי‪.‬‬
‫אז | ‪|an+1 − an | = | (an+1 − an )| = |a1‬‬
‫‪42‬‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן‬
‫בחלקים‬
‫‪Pi=1‬‬
‫‪i=1 bi‬‬
‫= ‪) Bi‬ו־ ‪ ,(B0 = 0‬ונניח כי ‪ |Bi | ≤ M‬לכל ‪ .i‬עפ״י סכימה‬
‫) ‪Bi (ai+1 − ai‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ai bi = an Bn −‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫אבל ‪) an Bn → 0‬כי ‪ an → 0‬ו־ ‪ Bn‬חסומה(‪ ,‬ואילו הטור ) ‪Bi (ai+1 − ai‬‬
‫בהחלט כי‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪.‬‬
‫‪|Bi (ai+1 − ai )| ≤ M‬‬
‫∞ < | ‪|ai+1 − ai‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫הוא מקרה פרטי של המשפט כאשר‬
‫משפט‬
‫)‪(i‬‬
‫לייבניץ ‪P‬‬
‫חסום(‪.‬‬
‫‪) (−1)n‬ואז הטור ‪(−1)n‬‬
‫‪P sin nθ‬‬
‫מתכנס לכל מספר קבוע ‪ .θ‬עבור ‪ θ = 0‬אין מה להוכיח‪,‬‬
‫)‪ (ii‬הטור‬
‫‪n‬‬
‫ולכן נניח כי ‪.θ 6= 0‬‬
‫הסדרה ‪ n1‬יורדת לאפס‪ ,‬לכן ע״ס משפט דיריכלה יש רק לבדוק שהטור‬
‫‪P‬‬
‫חסום‪ ,‬ונחשב ביטוי זה בעזרת מספרים מרוכבים‪:‬‬
‫‪sin nθ‬‬
‫נזכור את הנוסחה ‪ ,eiα = cos α + i sin α‬ובפרט ) ‪ .sin α = Im(eiα‬נוסיף גם‬
‫מחובר )שהוא ממילא אפס( המתאים ל־ ‪ n = 0‬ונקבל‬
‫!‬
‫‪ÃN‬‬
‫‪µ i(N +1)θ‬‬
‫¶‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪e‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪inθ‬‬
‫‪e‬‬
‫‪= Im‬‬
‫‪sin nθ = Im‬‬
‫‪eiθ − 1‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪n=0‬‬
‫כסכום של טור גיאומטרי‪ .‬נזכור כעת כי‬
‫‪(N + 1)θ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪(N +1)θ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= 2iei‬‬
‫‪−(N +1)θ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪eiα −e−iα‬‬
‫‪2i‬‬
‫‪− ei‬‬
‫‪2i‬‬
‫‪(N +1)θ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ei‬‬
‫= ‪ an‬ו־ = ‪bn‬‬
‫= ‪ sin α‬ונקבל כי‬
‫‪(N +1)θ‬‬
‫‪2‬‬
‫ובאותו אופן ‪ .eiθ − 1 = 2ieiθ/2 sin θ2‬מנת הסינוסים‬
‫החלק המדומה של המקדם הוא‬
‫‪ei(N +1)θ − 1 = 2iei‬‬
‫‪(N +1)θ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪sin‬‬
‫ממשית‪ ,‬ואילו‬
‫´ ‪³ (N +1)θ−θ‬‬
‫‪Nθ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Im ei‬‬
‫‪= sin‬‬
‫‪2‬‬
‫ומכאן נקבל כי לכל ‪N‬‬
‫¯‬
‫¯ ¯‬
‫¯‬
‫¯ ¯‬
‫‪N‬‬
‫‪¯X‬‬
‫¯ ‪¯ ¯ sin N θ sin (N +1)θ ¯ ¯ 1‬‬
‫¯‬
‫¯‬
‫¯‬
‫¯ ¯‬
‫¯‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫¯ ‪.‬‬
‫¯ = ¯‪sin nθ‬‬
‫¯≤¯‬
‫¯‬
‫¯‬
‫¯ ¯‬
‫¯ ‪¯ ¯ sin θ2‬‬
‫‪sin θ2‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪P sin nθ‬‬
‫√‬
‫מתכנס לכל ‪ θ‬קבוע‪ .‬כאן הסדרה‬
‫)‪ (iii‬אם ‪n‬‬
‫< | ‪ |cn‬אז הטור ‪n+cn‬‬
‫‪P‬‬
‫איננה בהכרח מונוטונית‪ ,‬אך נראה שהיא מקיימת ∞ < | ‪ . |an+1 − an‬לשם כך‬
‫נראה כי לכל ‪ n > 3‬מתקיים‬
‫¯‬
‫¯‬
‫¯‬
‫¯¯ ‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫|‪|cn − cn+1 − 1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪≤ 3/2‬‬
‫¯¯ = | ‪|an+1 − an‬‬
‫≤‬
‫‪n + 1 + cn+1‬‬
‫| ‪n + cn ¯ |n + 1 + cn+1 | · |n + cn‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n+cn‬‬
‫‪43‬‬
‫‪P 1‬‬
‫‪. n3/2‬‬
‫וההתכנסות תנבע מהתכנסות הטור‬
‫√‬
‫√‬
‫ואמנם‪ |cn − cn+1 − 1| < 2 n + 1 < 3 n ,‬ואילו אי השוויונים‬
‫‪2‬‬
‫ו־ ‪ |n + 1 + cn+1 | ≥ n2‬נותנים כי ‪.|n + 1 + cn+1 | · |n + cn | ≥ n4‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫≥ | ‪|n + cn‬‬
‫פעולות מותרות על טורים‬
‫פעולת החיבור היא פעולה אסוציאטיבית וקומוטטיבית‪ ,‬והיא דיסטריבוטיבית‬
‫ביחס לכפל‪ .‬הפעלת חוקים אלה על סכומים סופיים נותנת את הכללים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬אפשר לשים בסכום סוגריים כרצוננו‪:‬‬
‫) ‪ak = (a1 + . . . + an1 ) + (an1 +1 + . . . + an2 ) + . . . + (ank +1 + . . . + an‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1‬‬
‫לכל ‪.1 ≤ n1 < n2 < . . . < nk < n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫לכל פרמוטציה ‪ π‬של }‪.{1, . . . , n‬‬
‫= ‪ak‬‬
‫ב‪aπ(k) .‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪Ã‬‬
‫!‬
‫‪¶ m‬‬
‫‪µ n‬‬
‫‪nm‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ak‬‬
‫= ‪bj‬‬
‫ג‪wi .‬‬
‫‪ ,‬כאשר ה־ ‪wi‬־ים הם כל המכפלות האפשריות‬
‫‪i=1‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪) ak bj‬מסודרות בסדר כלשהו(‪.‬‬
‫האם כללים אלה נשמרים גם לסכומים אינסופיים?‬
‫משפט‪ .‬אם הטור ‪an‬‬
‫הסכום‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס‪ ,‬אז בכל השמת סוגריים מתקבל טור מתכנס ־ ולאותו‬
‫‪Pn‬‬
‫= ‪ Sn‬את הסכום החלקי ה־ ‪n‬־י של הטור ללא‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן ב־ ‪k=1 ak‬‬
‫הסוגרים‪ ,‬וב־ ‪ S‬את סכום הטור‪.‬‬
‫ונסמן ‪ ,Ak = ank +1 + . . . + ank+1‬ואז הטור‬
‫נקבע ‪0 = n0 < n1 < n2 . . .‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ P‬סוגריים הוא ‪ . Ak‬נסמן את סדרת הסכומים החלקיים‬
‫המתקבל בהצבת‬
‫‪m‬‬
‫= ‪ .Tm‬הסדרה } ‪ {Tm‬היא תת־סדרה של סדרת הסכומים‬
‫שלו ב־ ‪k=0 Ak‬‬
‫החלקיים של הטור המקורי ‪) Sn‬כי ‪(T0 = Sn1 ; T1 = Sn2 ; . . . ; Tk−1 = Snk‬‬
‫ומאחר שהסדרה } ‪ {Sn‬מתכנסת ל־ ‪ ,S‬כך גם } ‪.{Tk‬‬
‫‪ P‬הסרת סוגריים‪ ,‬היא בדר״כ אסורה‪ .‬למשל‪ ,‬אם = ‪an‬‬
‫הפעולה ההפוכה ־‬
‫אינו מתכנס‪ ,‬אך אם נשים בסוגריים כל זוג מהטיפוס‬
‫‪ (−1)n‬אז הטור ‪an‬‬
‫‪ a2n − a2n−1‬נקבל טור של אפסים‪.‬‬
‫הסיבה היא שבלי הסוגריים מתקבלים גם סכומים חלקיים )שלא היו בטור‬
‫עם סוגריים( שבהם אין צמצומים‪ .‬לכן המשפט הבא איננו מפתיע‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫מופיעים אברים בעלי אותו‬
‫כך שבכל סוגריים‬
‫משפט‪ .‬אם מוסיפים סוגריים לטור ‪an‬‬
‫‪P‬‬
‫סימן‪ ,‬ואם הטור עם הסוגריים מתכנס‪ ,‬אז גם הטור המקורי‪ , an ,‬מתכנס ־ ולאותו‬
‫הסכום‪.‬‬
‫‪44‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪ P‬החלקי ה־ ‪n‬־י של הטור ללא‬
‫= ‪ Sn‬את הסכום‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן ב־ ‪k=1 ak‬‬
‫‪A‬‬
‫=‬
‫‪a‬‬
‫‪+.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.+a‬‬
‫כאשר‬
‫‪,‬‬
‫‪A‬‬
‫ב־‬
‫הסוגריים‬
‫עם‬
‫הטור‬
‫הסוגרים‪ .‬נסמן את‬
‫‪nk +1‬‬
‫‪nk+1‬‬
‫‪Pk‬‬
‫‪Pmk‬‬
‫ואת סדרת הסכומים החלקיים שלו ב־ ‪ .Tm = k=0 Ak‬עפ״י ההנחה הטור ‪Ak‬‬
‫מתכנס‪ ,‬ונסמן את סכומו ב־ ‪ .A‬נשים לב שמהתכנסות הטור נובע כי ‪.Ak → 0‬‬
‫בהנתן ‪ ,n‬נקבע ‪ m‬כך ש־ ‪ ,nm + 1 ≤ n ≤ nm+1‬ונציג‬
‫‪aj = Tm−1 + βn‬‬
‫כאשר ‪aj‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪j=nm +1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪j=nm +1‬‬
‫‪Ak +‬‬
‫‪m−1‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪Sn‬‬
‫‪k=1‬‬
‫= ‪ .βn‬ואז‬
‫‪|Sn − A| ≤ |Tm−1 − A| + |βn | ≤ |Tm−1 − A| + |Am | → 0‬‬
‫לפני שנעבור למשפטים הבאים נזכיר שהגדרנו‬
‫(‬
‫‪an ≥ 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪an > 0‬‬
‫‪−‬‬
‫;‬
‫= ‪an‬‬
‫‪an < 0‬‬
‫‪−an an ≤ 0‬‬
‫‪P +‬‬
‫‪P‬‬
‫ו־‬
‫מתכנס בהחלט אםם שני הטורים החיוביים‬
‫‪ ,a±‬והטור ‪an‬‬
‫ואז ‪0‬‬
‫‪n ≥P‬‬
‫‪P + an P‬‬
‫‪−‬‬
‫‪a−‬‬
‫מתכנסים‪ .‬אם הטור מתכנס בתנאי אך לא בהחלט אז = ‪an‬‬
‫= ‪an‬‬
‫‪n‬‬
‫∞‪.‬‬
‫נעבור לדון בשינוי סדר המחוברים בטור אינסופי‪.‬‬
‫(‬
‫‪an‬‬
‫‪+‬‬
‫= ‪an‬‬
‫‪0‬‬
‫משפט‪ .‬אם משנים את סדר המחוברים בטור מתכנס בהחלט‪ ,‬אז הטור החדש מתכנס ־‬
‫ולאותו הסכום‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ P‬תהי ‪ π‬פרמוטציה )כלומר‪,‬‬
‫מתכנס בהחלט ונסמן את סכומו ב־ ‪.S‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח כי ‪an‬‬
‫‪.S‬‬
‫הוא‬
‫ושסכומו‬
‫מתכנס‬
‫‪a‬‬
‫שגם‬
‫להוכיח‬
‫וצריך‬
‫‪,N‬‬
‫של‬
‫ועל(‬
‫חח״ע‬
‫העתקה‬
‫)‪π(n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P + P −‬‬
‫= ‪, an‬‬
‫שהטור חיובי‪ .‬ואמנם נציג ‪an − an‬‬
‫להניח‬
‫נוכל‬
‫כי‬
‫תחילה‬
‫נראה‬
‫‪P‬‬
‫‪P +‬‬
‫‪P‬‬
‫= )‪ , aπ(n‬ולכן די באמת להראות ששני הטורים באגף‬
‫‪aπ(n) − a−‬‬
‫ואז )‪π(n‬‬
‫ימין מתכנסים )ולאותם סכומים(‪.‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪Pk‬‬
‫נסמן ב־ ‪ Sk = i=1 ai‬וב־ )‪ Tn = i=1 aπ(i‬את הסכומים החלקיים של שני‬
‫הטורים‪.‬‬
‫נקבע ‪ n‬ונסמן })‪ .k = max{π(1), π(2), . . . , π(n‬מהחיוביות של ה־ ‪an‬־ים נובע‬
‫כי‬
‫‪Tn = aπ(1) + aπ(2) + . . . + aπ(n) ≤ a1 + a2 + . . . ak ≤ S‬‬
‫‪P‬וגבולה ‪ T‬מקיים ‪.T ≤ S‬‬
‫ולכן הסדרה המונוטונית } ‪ {Tn‬חסומה‪,‬‬
‫כטור המתקבל משינוי סדר המחוברים‬
‫שיקול דומה‪P,‬כשמסתכלים על ‪an‬‬
‫של הטור )‪ , aπ(n‬מראה כי ‪ ,S ≤ T‬ולכן ‪.T = S‬‬
‫‪P‬‬
‫טור מתכנס בתנאי )כלומר‪ ,‬הוא מתכנס ־ אך לא בהחלט(‪.‬‬
‫משפט‪].‬רימן[ יהי ‪an‬‬
‫אז לכל מספר ממשי ‪ S‬אפשר לסדר מחדש את אברי הטור כך שיתקבל טור מתכנס‬
‫שסכומו הוא ‪ .S‬יתר על כן‪ ,‬אפשר גם לסדר את אברי הטור באופן שהטור שמתקבל‬
‫מתכנס ל־ ∞ או ל־ ∞‪ −‬או שאיננו מתכנס כלל‪.‬‬
‫‪45‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ ,a−‬ואז = ‪qn‬‬
‫הוכחה‪ .‬כדי לפשט את הכתיבה נסמן ‪ an = pn‬ו־ ‪n = qn‬‬
‫∞‪ ,‬ובודאי ש־ ‪.pn , qn → 0‬‬
‫‪P‬‬
‫יהי ‪ n1 ≥ 1‬הקטן ביותר כך ש־ ‪) A1 = p1 + . . . + pn1 > S‬יש כזה כי = ‪pn‬‬
‫∞(‪ .‬ואז ‪ p1 + . . . + pn1 −1 ≤ S‬ולכן ‪,S < A1 = (p1 + . . . + pn1 −1 ) + pn1 ≤ S + pn1‬‬
‫ובפרט‬
‫‪|S − A1 | ≤ pn1‬‬
‫= ‪pn‬‬
‫כעת ‪ m1 ≥ 1‬הקטן ביותר כך ש־ ‪) A1 − (q1 + . . . + qm1 ) < S‬יש כזה כי‬
‫יהי ‪P‬‬
‫∞ = ‪ ,( qn‬ונסמן ‪ .A2 = q1 + . . . qm1‬ואז ‪ ,A1 − A2 < S ≤ A1 − A2 + qm1‬ו־‬
‫‪|S − (A1 − A2 )| ≤ qm1‬‬
‫נמשיך באינדוקציה ונגדיר ‪ 0 = n0 < n1 < n2 < . . .‬ו־ < ‪0 = m0 < m1 < m2‬‬
‫‪ . . .‬כך שאם נסמן‬
‫‪ nj+1‬‬
‫‪P‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר ‪ k = 2j + 1‬איזוגי ‪pn‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n=nj +1‬‬
‫= ‪Ak‬‬
‫‪‬‬
‫‪mP‬‬
‫‪‬‬
‫‪j+1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר )‪ k = 2(j + 1‬זוגי ‪qn‬‬
‫‪‬‬
‫‪n=mj +1‬‬
‫אז‬
‫¯‬
‫¯‬
‫‪n‬‬
‫¯‬
‫¯‬
‫‪X‬‬
‫¯‬
‫¯‬
‫‪(−1)k Ak ¯ < αn‬‬
‫‪¯S −‬‬
‫¯‬
‫¯‬
‫‪k=1‬‬
‫כאשר ‪ αn = pni‬או ‪ qmi‬בהתאם לזוגיות של ‪ .n‬היות ו־ ‪ ,pni , qmi → 0‬נקבל‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ P‬הוא ‪.S‬‬
‫מתכנס וסכומו‬
‫כי הטור ‪(−1)k Ak‬‬
‫ע״י שינוי סדר המחוברים והשמת סוגריים‪,‬‬
‫הטור הזה מתקבל מהטור ‪an‬‬
‫אבל בכל סוגר יש אברים בעלי אותו סימן )חיובי אם ‪ n‬איזוגי ושלילי אם הוא‬
‫זוגי(‪ ,‬ולכן מהתכנסות הטור המסודר מחדש עם הסוגריים נובעת גם התכנסותו‬
‫ללא הסוגריים‪.‬‬
‫את הסיפא של המשפט מוכיחים בשיטה דומה )הוכיחו זאת כתרגיל!(‪.‬‬
‫מכפלת טורים‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנסים בהחלט אז גם הטור ‪wk‬‬
‫ו־ ‪bj = B‬‬
‫משפט‪ .‬אם הטורים ‪ai = A‬‬
‫שאבריו הם כל המכפלות האפשריות ‪ ,{ai bj }i,j≥1‬כשהן מסודרות בסדר כלשהו‪ ,‬מתכנס‬
‫־ וסכומו הוא ‪.W = AB‬‬
‫הוכחה‪ .‬ע״י הסתכלות בנפרד בסכומי האברים החיוביים ובסכומי האברים השליליים‬
‫של שני הטורים )באופן דומה למה שעשינו בהוכחת המשפט על שינוי סדר‬
‫המחוברים( נוכל‪ ,‬בה״כ‪ ,‬להניח שכל הטורים הם בעלי אברים חיוביים‪.‬‬
‫‪46‬‬
‫‪Pm‬‬
‫‪Pm‬‬
‫נסמן את הסכומים החלקיים של הטורים ב־ ‪Bm = j=1 bj ,Am = i=1 ai‬‬
‫‪Pn‬‬
‫ו־ ‪ Wn = k=1 wk‬בהתאמה‪ ,‬ונסמן ב־ )‪ k(i, j‬את האינדכס ‪ k‬כך ש־ ‪.ai bj = wk‬‬
‫נקבע כעת ‪ n‬ונסמן }‪ ,m = max{max(i, j) : k(i, j) ≤ n‬כלומר ‪ m‬הוא‬
‫האינדכס הגדול ביותר )‪ i‬או ‪ (j‬שמופיע באחת המכפלות המגדירות את האברים‬
‫‪ .{wk }k≤n‬מחיוביות האברים מקבלים לכן כי‬
‫‪Ã m ! m ‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫≤ ‪w1 + . . . + wn‬‬
‫‪ai ‬‬
‫‪bj  = Am Bm ≤ AB‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪P‬‬
‫חסום ולכן מתכנס‪ ,‬וסכומו מקיים ‪.W ≤ AB‬‬
‫כלומר‪ ,‬הטור החיובי ‪wn‬‬
‫נפנה להוכחת אי השוויון ההפוך‪ .‬בהנתן ‪ m‬נגדיר }‪.n = max{k(i, j) : i, j ≤ m‬‬
‫כלומר‪ n ,‬הוא האינדכס הקטן ביותר כך שכל המכפלות ‪ {ai bj }i,j≤m‬מופיעות בין‬
‫‪ n‬ה־ ‪wk‬־ים הראשונים‪.‬‬
‫מחיוביות האברים ועפ״י הגדרת ‪ n‬מקבלים כי ‪ Am Bm ≤ Wn ≤ W‬ולכן גם‬
‫בגבול ‪.AB ≤ W‬‬
‫ללא ההנחה שהטורים מתכנסים בהחלט למשפט אין משמעות כי‬
‫הערות‪P (i) .‬‬
‫)ולכן יש חשיבות לסדר הסכימה(‪:‬‬
‫בהחלט‬
‫מתכנס‬
‫שאיננו‬
‫בודאי‬
‫‪wP‬‬
‫אז הטור ‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ . Pa+‬נקבע ‪ j0‬כך ש־ ‪) bj0 > 0‬יש‬
‫אינו‬
‫הטור ‪ai‬‬
‫מתכנס בהחלט‪ ,‬ולכן‪i = ∞P‬‬
‫‪P +‬‬
‫‪. wn+ ≥ i a+‬‬
‫כזה כי ∞ = ‪bj‬‬
‫(‪ ,‬ואז ∞ = ‪i bj0‬‬
‫‪ P‬סידור אחד ״קנוני״ שבו טור המכפלה‬
‫‪ P‬גם אין‬
‫יתר על כן‪ ,‬לא נוכיח זאת אך‬
‫ו־ ‪. bj‬‬
‫תמיד יתכנס לכל זוג טורים ‪ai‬‬
‫מכפלת הטור היא ע״י השמת סוגריים‬
‫)‪(ii‬‬
‫דרך נוחה‪ ,‬לפעמים‪ ,‬לסכם את ‪P‬‬
‫כאשר‬
‫״לאורך אלכסונים״‪ ,‬כלומר על הטור ‪dn‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪dn‬‬
‫= ‪ai bj‬‬
‫= ‪ai bn−i‬‬
‫‪an−i bi‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i+j=n‬‬
‫דוגמא‪.‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪xn‬‬
‫!‪n=0 n‬‬
‫)שאנו יודעים שהוא‬
‫נראה בהמשך כי לכל ‪ x‬ממשי סכום הטור‬
‫מתכנס בהחלט( הוא ‪ .ex‬נראה כי ‪ ex ey = ex+y‬ע״י הכפלת טורים‪.‬‬
‫נסכם‪ ,‬כפי שמוצע בהערה‪ ,‬עפ״י האלכסונים ונקבל‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫∞ ‪!Ã‬‬
‫!‬
‫∞‪Ã‬‬
‫∞‬
‫‪X yn‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X xi y j‬‬
‫‪X xn‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫=‬
‫!‪n‬‬
‫!‪n‬‬
‫!‪i! j‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪n=0 i+j=n‬‬
‫‪n=0‬‬
‫אבל עפ״י נוסחת הבינום‬
‫¶ ‪n µ‬‬
‫‪1 X n i n−i‬‬
‫‪(x + y)n‬‬
‫=‬
‫‪xy‬‬
‫=‬
‫‪n! i=0 i‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X xi y j‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪xi y n−i‬‬
‫!‪i‬‬
‫!‪j‬‬
‫‪i!(n‬‬
‫‪−‬‬
‫!)‪i‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪i+j=n‬‬
‫‪47‬‬
‫ומקבלים כי‬
Ã
x y
e e =
∞
X
xn
n!
n=0
!Ã
∞
X
yn
n!
n=0
!
48
=
∞
X
(x + y)n
= ex+y
n!
n=0
‫פרק ‪3‬‬
‫סדרות וטורים של פונקציות‬
‫‪ 3.1‬התכנסות במידה שווה של סדרות של פונקציות‬
‫נתונה סדרת פונקציות } ‪ .{fn‬בכל נקודה ‪ x‬שבה כולן מוגדרות נרצה לבדוק אם‬
‫∞})‪ {fn (x‬מתכנסת או מתבדרת‪.‬‬
‫סדרת המספרים ‪n=1‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫)‪(i‬‬
‫‪.x‬‬
‫הפונקציות‬
‫‪x‬‬
‫‪x2 +n2‬‬
‫= )‪ fn (x‬מוגדרות בכל הישר ו־ ‪ limn→∞ fn (x) = 0‬לכל‬
‫)‪ (ii‬הפונקציות ‪ fn (x) = xn‬מוגדרות בכל הישר ומקיימות ‪limn→∞ fn (x) = 0‬‬
‫אם )‪ x ∈ (−1, 1‬וכן ‪.limn→∞ fn (1) = 1‬‬
‫עבור כל ה־‪x‬־ים האחרים הסדרה המספרית })‪ {fn (x‬אינה מתכנסת‪.‬‬
‫הגדרה‪ .‬תהי ‪ fn‬סדרת פונקציות המוגדרות בקטע ‪ .I‬נאמר שהסדרה מתכנסת נקודתית‬
‫∞})‪ {fn (x‬מתכנסת‪,‬‬
‫לפונקציה ‪ f‬בקטע אם לכל נקודה ‪ x ∈ I‬הסדרה המספרית ‪n=1‬‬
‫כלומר‪ ,‬לכל ‪ x‬בקטע ולכל ‪ ε > 0‬קיים )‪ N = N (x, ε‬כך ש־ ‪ |fn (x) − f (x)| < ε‬לכל‬
‫‪.n > N‬‬
‫בהגדרת ההתכנסות הנקודתית התאמנו לכל ‪ ε‬מספר )‪ ,N = N (x, ε‬ובדר״כ‬
‫הוא תלוי ב־ ‪ .x‬כלומר סדרת המספרים )‪ fn (x‬מתקרבת למספר )‪ f (x‬בקצב‬
‫שונה בנקודות שונות‪ .‬חשיבות רבה יש למקרה המיוחד שבו אפשר לבחור את ‪N‬‬
‫כך שלא יהיה תלוי ב־ ‪ x‬אלא רק ב־ ‪ .ε‬במקרה זה קצב ההתקרבות של ‪ fn‬ל־‬
‫‪ f‬הוא אחיד בכל הקטע‪.‬‬
‫הגדרה‪ .‬תהי ‪ fn‬סדרת פונקציות המוגדרות בקטע ‪ .I‬נאמר שהסדרה מתכנסת לפונקציה‬
‫‪ f‬במידה שווה )במ״ש( בקטע אם לכל ‪ ε > 0‬קיים )‪) N = N (ε‬התלוי רק ב־ ‪ (ε‬כך ש־‬
‫‪ |fn (x) − f (x)| < ε‬לכל ‪ n > N‬ולכל ‪.x ∈ I‬‬
‫מבחינה גיאומטרית ‪ fn → f‬במ״ש אם לכל ‪ ε > 0‬מתקיים שאם ‪ n‬גדול‬
‫מספיק אז כל הגרף של ‪ fn‬מוכל ברצועה ברוחב ‪ 2ε‬שמרכזה הוא הגרף של ‪.f‬‬
‫‪49‬‬
‫כפי שנראה בהמשך‪ ,‬העובדה שכל הגרף של ‪ fn‬״קרוב״ לכל הגרף של ‪ f‬תאפשר‬
‫לנו להסיק שכאשר ל־ ‪fn‬־ים יש תכונות מסוימות )כגון רציפות או אינטגרביליות(‬
‫אז גם ל־ ‪ f‬יש אותן תכונות‪.‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫)‪ (i‬הסדרה ‪ fn (x) = x21+n‬מתכנסת במ״ש לפונקציה ‪ f (x) = 0‬על כל הישר‪.‬‬
‫כי בהנתן ‪ ε > 0‬נבחר ‪ N = 1/ε‬ואז לכל ‪ n > N‬מתקיים‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫< ≤‬
‫‪<ε‬‬
‫‪x2 + n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪N‬‬
‫<‪. 0‬‬
‫סדרת הפונקציות ‪ fn (x) = xn‬אמנם מתכנסת נקודתית ב־ )‪ (−1, 1‬ל־‬
‫)‪(ii‬‬
‫‪ ,0‬אך ההתכנסות איננה במידה שווה‪ .‬כדי לראות זאת נבחר ‪ ε0 = 14‬ונראה‬
‫‪p‬‬
‫שלכל ‪ n‬יש ‪ xn‬כך ש־ ‪ .fn (xn ) > 14‬ובאמת‪ ,‬נבחר למשל ‪ ,xn = n 1/2‬ואז‬
‫‪.fn (xn ) = 21 > 14‬‬
‫הלמה הפשוטה הבאה היא למעשה ניסוח אחר להגדרה‪.‬‬
‫למה‪ .‬תהיינה ‪ fn‬מוגדרות בקטע ‪ .I‬אז התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫)‪ (i‬הסדרה ‪ fn‬מתכנסת במ״ש לפונקציה ‪ f‬בקטע ‪.I‬‬
‫)‪.bn = supx∈I |fn (x) − f (x)| → 0 (ii‬‬
‫)‪ (iii‬יש קבועים ‪ an ≥ 0‬כך ש־ ‪ an → 0‬וכך ש־ ‪ |fn (x) − f (x)| ≤ an‬לכל ‪ x‬בקטע‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬ברור שהתנאים )‪ (ii‬ו־ )‪ (iii‬שקולים וגוררים התכנסות במ״ש‪ .‬להפך‪ ,‬אם‬
‫‪ fn → f‬במ״ש אז ההגדרה אומרת ש־ ‪.bn → 0‬‬
‫הבדיקה אם סדרה נתונה ‪ fn‬מתכנסת במ״ש בקטע ‪ I‬תעשה בשני שלבים‪:‬‬
‫שלב ‪ :1‬בדיקה שהסדרה מתכנסת נקודתית ־ וזהוי הפונקציה הגבולית ‪.f‬‬
‫שלב ‪ :2‬שימוש בלמה כדי לבדוק אם ‪ fn‬אכן מתכנסת במ״ש לפונקציה ‪ f‬שמצאנו‪.‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ fn (x) = 1+nx‬מתכנסת במ״ש על כל הישר‪ .‬הגבול הנקודתי‬
‫)‪(i‬‬
‫הסדרה ‪2 + x‬‬
‫של הסדרה הוא ‪ ,f (x) = x‬ועלינו לבדוק את ההתנהגות של |)‪.supx∈R |fn (x)−f (x‬‬
‫‪±1‬‬
‫‪x‬‬
‫√ = ‪ .x‬כמו כן‬
‫‪ (fn − f )(x) = 1+nx‬מתאפסת רק ב־‬
‫נקבע ‪ ,n‬ואז הנגזרת של ‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫לכל ‪ n‬קבוע ‪ ,limx→±∞ |fn (x) − f (x)| = 0‬ולכן | ‪ |fn − f‬אכן מקבלת מכסימום‬
‫בנקודות אלה‪ ,‬ומתקיים‬
‫¯‬
‫‪µ‬‬
‫¯¶‬
‫¯‬
‫¯ ‪±1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. max |fn (x) − f (x)| = ¯¯(fn − f ) √ ¯¯ = √ → 0‬‬
‫‪x∈R‬‬
‫‪n‬‬
‫∞→‪2 n n‬‬
‫‪50‬‬
‫)‪ (ii‬הסדרה ) ‪ fn (x) = xn (1 − xn‬מתכנסת נקודתית בקטע ]‪ [0, 1‬ל־ ‪ 0‬ונראה‬
‫שההתכנסות איננה במ״ש‪ .‬ובאמת‬
‫‪1‬‬
‫‪6→ 0‬‬
‫‪4‬‬
‫= ) ‪max |fn (x) − f (x)| = max xn (1 − xn‬‬
‫‪0≤x≤1‬‬
‫כי המכסימום של )‪ t(1 − t‬בקטע ]‪ [0, 1‬הוא‬
‫‪0≤x≤1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫)ומתקבל ב־‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ ,(t‬ונציב ‪.t = xn‬‬
‫הדוגמא הטיפוסית המדגימה באופן ברור את ההבדל בין התכנסות‬
‫)‪(iii‬‬
‫נקודתית להתכנסות במ״ש היא סדרה מהטיפוס‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 ≤ x ≤ n1‬‬
‫‪nαn x‬‬
‫‪fn (x) = 2αn − nαn x n1 ≤ x ≤ n2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫אחרת‬
‫המתכנסת נקודתית ל־ ‪ 0‬לכל בחירה של המספרים ‪ ,αn‬אך מתכנסת במ״ש אםם‬
‫‪.max fn (x) = αn → 0‬‬
‫נשאיר כתרגיל את הוכחת המשפט החשוב הבא‬
‫משפט‪] .‬תנאי קושי[ הסדרה ‪ fn‬מתכנסת במ״ש ל־ ‪ f‬בקטע ‪ I‬אםם לכל ‪ ε‬יש ‪) N‬התלוי‬
‫ב־ ‪ ε‬בלבד( כך שלכל ‪ n, m > N‬מתקיים ‪ |fn (x) − f m(x)| < ε‬לכל ‪.x ∈ I‬‬
‫הערה‪ .‬בענפים רבים של מתמטיקה‪ ,‬מדע וטכנולוגיה אנחנו זקוקים ל״מדד של‬
‫קירבה״ בין שתי פונקציות‪ .‬התכנסות במ״ש קשורה לדרך טבעית מאוד למדידת‬
‫הקירבה‪ :‬שתי פונקציות ‪ f‬ו־ ‪ g‬תחשבנה ל״קרובות זו לזו״ בקטע ‪ I‬אם הגרפים‬
‫שלהן ״קרובים״ זה לזה‪ ,‬או‪ ,‬באופן יותר מתמטי‪ ,‬אם }‪sup{|f (x) − g(x)| : x ∈ I‬‬
‫״קטן״‪.‬‬
‫כדי להדגים זאת נתאר שתי בעיות פשוטות של ״בקרה״‪:‬‬
‫)‪ (i‬במשך תהליך ייצור הטמפרטורה האידאלית הרצויה בזמן ‪ t‬צריכה להיות‬
‫)‪ h(t‬־ אבל סטיות עד לגודל ‪ ε‬מהטמפרטורה האידיאלית עדיין מותרות ואינן‬
‫פוגמות במוצר‪ .‬תפקידו של המהנדס הוא לתכנן מנגנון בקרה שיבטיח שהטמפרטורה‬
‫בפועל‪ ,f (t) ,‬תהיה ‪ε‬־קרובה‪ ,‬בכל זמן ‪ t‬במשך הייצור‪ ,‬לערך ב־ ‪ t‬של הפונקציה‬
‫האידאלית ‪.h‬‬
‫)‪ (ii‬תקציב המדינה בשנה מסויימת קובע את הוצאות הממשלה )‪ h(t‬בחודש ‪,t‬‬
‫אך החלטת הממשלה גם מתירה סטיות עד לגודל מסויים‪ .‬תפקידו של הממונה‬
‫על התקציבים הוא לדאוג שההוצאה בפועל‪ ,f (t) ,‬תקיים שהסטיה המירבית‬
‫מההוצאה המתוכננת‪ ,‬כלומר }‪ ,sup{|f (t) − g(t)| : 1 ≤ t ≤ 12‬עומדת בדרישות‬
‫שהוצבו ע״י הממשלה‪.‬‬
‫בשתי הדוגמאות המדד להצלחה הוא ה״קירבה״ של הגרפים‪ ,‬והתכנסות במ״ש‬
‫פרושה שע״י בחירת ‪ n‬גדול מספיק אפשר לשלוט בקירבה הזו‪ ,‬ולהקטין אותה‬
‫כרצוננו‪.‬‬
‫הדוגמאות הבאות מראות שתכונות חשובות של פונקציות‪ ,‬כגון רציפות או‬
‫אינטגרביליות‪ ,‬אינן נשמרות בהתכנסות נקודתית לגבול‪.‬‬
‫‪51‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫)‪ (i‬הפונקציות הרציפות ‪ fn (x) = xn‬מתכנסות נקודתית בקטע ]‪ [0, 1‬לפונקציה‬
‫הלא רציפה‬
‫(‬
‫‪0 x 6= 1‬‬
‫= )‪. f (x‬‬
‫‪1 x=1‬‬
‫)‪(ii‬‬
‫נסתכל בסדרת הפונקציות הבאות בקטע ]‪[0, 1‬‬
‫(‬
‫‪ x = pq‬כך ש־ ‪0 q ≤ n‬‬
‫= )‪. Dn (x‬‬
‫אחרת ‪1‬‬
‫לכל ‪ n‬קבוע זוהי פונקציה חסומה‪ ,‬והיא רציפה פרט למספר סופי של נקודות‪,‬‬
‫ולכן אינטגרבילית‪ .‬אך הגבול הנקודתי של הסדרה הוא פונקצית דיריכלה שאינה‬
‫אינטגרבילית‪.‬‬
‫כשהגבול הנקודתי הוא פונקציה אינטגרבילית בקטע ‪ I‬לא נובע מכך כי‬
‫)‪ (iii‬גם ‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ .limn→∞ I fn = I f‬למשל‪ ,‬בדוגמא )‪ (iii‬למעלה ‪R‬מתקיים כי ‪ fRn → 0‬נקודתית‬
‫בקטע ]‪ I = [0, 1‬לכל בחירה של ‪ ,αn‬ולכן ‪ . I f = 0‬אך ‪ I fn = αn‬ובבחירות‬
‫מתאימות של ‪ αn‬נקבל סדרה ‪ αn‬שאינה מתכנסת‪ ,‬או שהיא מתכנסת לגבול‬
‫שונה מאפס‪.‬‬
‫לעומת זאת‪ ,‬התכנסות במ״ש כן מבטיחה רציפות )או אינטגרביליות( של‬
‫פונקצית הגבול‪ .‬שימו לב איך משתמשים בהוכחות בכך שבהתכנסות במ״ש כל‬
‫הגרף של ‪ fn‬קרוב באופן אחיד לגרף של ‪.f‬‬
‫משפט‪ .‬תהי ‪ fn‬סדרת פונקציות המתכנסת במ״ש ל־ ‪ f‬בקטע ‪ .I‬אם כל ה־ ‪ fn‬רציפות‬
‫בנקודה ‪ x0‬אז גם ‪ f‬רציפה ב־ ‪ .x0‬בפרט‪ ,‬אם ‪ fn‬רציפות בכל הקטע אז גם ‪ f‬רציפה‬
‫בו‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נקבע ‪ ε > 0‬ועלינו למצוא ‪ δ > 0‬כך שאם ‪ |x−x0 | < δ‬אז < |) ‪|f (x)−f (x0‬‬
‫‪ .ε‬נעשה זאת בשני שלבים‪:‬‬
‫בשלב הראשון נבחר ‪ ,N‬ע״ס ההתכנסות במ״ש‪ ,‬כך ש־ ‪|fN (x) − f (x)| < ε/3‬‬
‫לכל ‪ x‬בקטע‪.‬‬
‫בשלב השני ננצל את הרציפות של ‪ fN‬בנקודה ‪ x0‬ונמצא ‪ δ > 0‬כך שלכל ‪x‬‬
‫בקטע המקיים ‪ |x − x0 | < δ‬מתקיים ‪.|fN (x) − fN (x0 )| < ε/3‬‬
‫זהו ה־ ‪ δ > 0‬המבוקש‪ ,‬כי כשנצרף את אי השוויונים נקבל שאם ‪|x − x0 | < δ‬‬
‫אז‬
‫≤‬
‫|) ‪|f (x) − fN (x)| + |fN (x) − fN (x0 )| + |fN (x0 ) − f (x0‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪< 3 =ε‬‬
‫‪3‬‬
‫‪52‬‬
‫|) ‪|f (x) − f (x0‬‬
‫משפט‪ .‬תהי ‪ fn‬סדרת פונקציות אינטגרביליות בקטע ]‪ [a, b‬המתכנסת במ״ש ל־ ‪f‬‬
‫‪Rb‬‬
‫‪Rb‬‬
‫בקטע‪ .‬אז גם ‪ f‬אינטגרבילית בקטע ומתקיים ש־ ‪ .lim a fn = a f‬יתר על כן‪ ,‬אם‬
‫‪Rx‬‬
‫‪Rx‬‬
‫נגדיר ‪ Fn (x) = a fn‬ו־ ‪ ,F (x) = a f‬אז ‪ Fn → F‬במ״ש בקטע‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח לשם פשטות הסימון כי הקטע הוא ]‪ ,[0, 1‬ונראה תחילה ש־ ‪f‬‬
‫אינטגרבילית‪ .‬נקבע ‪ ε‬ונבחר ‪ ,N‬ע״ס ההתכנסות במ״ש‪ ,‬כך ש־ ‪|fN (x)−f (x)| < ε‬‬
‫‪ P‬חסומה‪ ,‬בוודאי שגם ‪ f‬חסומה‪ ,‬ונראה איך למצוא‬
‫לכל ‪ x‬בקטע‪ .‬היות ש־ ‪fN‬‬
‫חלוקה עבורה ‪. ωi ∆i < 3ε‬‬
‫בשלב השני‪P‬ננצל את האינטגרביליות של ‪ fN‬ונמצא חלוקה ‪ P‬עבורה מתקיים‬
‫)כאשר ‪ ωiN‬הם התנודות של ‪ fN‬בקטעי החלוקה ‪.(P‬‬
‫כי ‪ωiN ∆i < ε‬‬
‫להערכת ‪ ωi‬נעשה חישוב דומה לזה שנעשה במשפט הקודם‪ .‬נקבע ‪ x, y‬כלשהם‬
‫בקטע החלוקה ה־ ‪i‬־י‪ ,‬ואז‬
‫|)‪|f (x) − f (y‬‬
‫|)‪≤ |f (x) − fN (x)| + |fN (x) − fN (y)| + |fN (y) − f (y‬‬
‫‪< 2ε + ωiN‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫ולכן גם ‪ ,ωi ≤ 2ε + ωiN‬ו־ ‪. ωi ∆i ≤ 2ε + ωiN ∆i < 3ε‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R1‬‬
‫כעת נראה כי ‪ . 0 fn → 0 f‬נקבע ‪ ε > 0‬ונמצא )‪ N = N (ε‬כך שלכל ‪n > N‬‬
‫מתקיים ‪ |fn (t) − f (t)| < ε‬לכל ‪ .t‬לכן‬
‫‪¯Z 1‬‬
‫¯‬
‫‪Z 1‬‬
‫‪Z 1‬‬
‫¯‬
‫¯‬
‫¯¯ ‪.‬‬
‫‪fn −‬‬
‫≤ ¯¯ ‪f‬‬
‫‪|fn (t) − f (t)|dt < ε‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫הטענה האחרונה נובעת מחישוב דומה‪ :‬לכל ‪ n > N‬ולכל ]‪ x ∈ [0, 1‬מתקיים‬
‫‪Z x‬‬
‫≤ |)‪. |Fn (x) − F (x‬‬
‫‪|fn (t) − f (t)|dt < εx ≤ ε‬‬
‫‪0‬‬
‫ראינו שהתכנסות במ״ש של סדרת פונקציות רציפות גוררת שהגבול אף הוא‬
‫רציף‪ .‬ההיפך כמובן אינו נכון )בדקו שאתם מכירים דוגמא!(‪ .‬מתברר שכאשר‬
‫ההתכנסות היא מונוטונית )כלומר או שמתקיים )‪ fn (x) ≤ fn+1 (x‬לכל ‪ n‬ולכל ‪x‬‬
‫בתחום‪ ,‬או ש־ )‪ fn (x) ≥ fn+1 (x‬לכל ‪ n‬ולכל ‪ ,(x‬אז ההתכנסות כן חייבת להיות‬
‫במ״ש‪:‬‬
‫משפט‪] .‬דיני[ נניח שסדרת פונקציות רציפות ‪ fn‬מתכנסת באופן מונוטוני לפונקציה רציפה‬
‫‪ f‬בקטע סגור ]‪ ,[a, b‬אז ההתכנסות היא במ״ש‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח בה״כ שהסדרה יורדת‪ ,‬וע״י החלפתה ב־ ‪ fn − f‬נוכל גם להניח כי‬
‫‪ .f ≡ 0‬נניח בשלילה ש־ ‪ fn‬אינה מתכנסת במ״ש ל־ ‪ 0‬בקטע ]‪ ,[a, b‬ונמצא ‪,ε0 > 0‬‬
‫אינדכסים ‪ n1 < . . . < nk < . . .‬ונקודות ‪ xnk‬בקטע ]‪ [a, b‬כך ש־‬
‫‪fnk (xnk ) > ε0‬‬
‫‪53‬‬
‫)יש כאלה כי ‪ .(max |fn (x)| 6→ 0‬הסדרה האינסופית } ‪ {xnk‬חסומה‪ ,‬ולכן ע״ס‬
‫בולצ׳אנו ווירשטראס יש לה תת־סדרה מתכנסת ]‪.xnkl → x0 ∈ [a, b‬‬
‫נקבע כעת ‪ m‬כלשהו‪ ,‬ואז בגלל המונוטוניות‪ ,‬מתקיים לכל ‪ nk > m‬כי‬
‫‪fm (xnk ) ≥ fnk (xnk ) ≥ ε0‬‬
‫ומרציפות ‪ fm‬נובע כי ‪ ,fm (x0 ) = lim fm (xnkl ) ≥ ε0‬וזה נכון לכל ‪ ,m‬בסתירה‬
‫להנחה ש־ ‪.limm→∞ fm (x0 ) = 0‬‬
‫תרגיל‪ :‬הוכיחו את המשפט בעזרת הלמה של היינה בורל‪ .‬רמז‪ :‬לכל ‪ x‬בקטע‬
‫מיצאו ‪ nx‬כך ש־ ‪ ,fnx (x) < ε/2‬וקטע פתוח ‪ Ix‬סביב ‪ x‬שבו ‪ .fnx < ε‬אח״כ‬
‫השתמשו בהיינה בורל‪.‬‬
‫ראינו שגבול במ״ש של פונקציות רציפות או אינטגרביליות הוא רציף או‬
‫אינטגרבילי בהתאמה‪ .‬האם גם גזירות נשמרת? התשובה היא שלילית כי אפשר‬
‫לעשות שינויים גדולים מאוד בשיפועים של הגרף של פונקציה בלי לשנות בהרבה‬
‫את ערכיה‪.‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫)‪(i‬‬
‫הפונקציות‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫≥ |‪|x‬‬
‫≤ |‪|x‬‬
‫(‬
‫|‪|x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪+‬‬
‫‪nx2‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪fn (x‬‬
‫מתכנסות במ״ש על כל הישר לפונקציה |‪ .f (x) = |x‬הן גזירות בכל נקודה‪,‬‬
‫אך הגבול אינו גזיר בנקודה ‪) .x = 0‬יש פונקציות רציפות שאינן גזירות באף‬
‫נקודה‪ ,‬והבניות הסטנדרטיות שלהן הן כגבולות במ״ש של פונקציות שהן גזירות‬
‫בכל מקום‪ .‬ראו גם בדוגמאות אחרי משפט ווירשטראס על התכנסות במ״ש של‬
‫טורים(‪.‬‬
‫)‪ (ii‬גם כשהגבול ‪ f‬גזיר סדרת הנגזרות אינה חייבת להתכנס לנגזרת ‪ .f 0‬למשל‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫נקח ‪ ,fn (x) = sinnn x‬ואז הן מתכנסות במ״ש ל־ ‪ ,f ≡ 0‬אך ‪,fn0 (x) = 2n cos n2 x‬‬
‫וסדרה זו אינה מתכנסת במ״ש כלל )ואפילו לא נקודתית(‪.‬‬
‫המשפט הבא מטיל תנאים נוספים על הסדרה המספיקים כדי להבטיח שהנוסחה‬
‫) ‪ (lim fn )0 = lim(fn0‬תהיה תקפה‪ ,‬אך למעשה התנאים הם כאלה שהמשפט הוא‬
‫מסקנה מיידית מהמשפט על אינטגרציה‪.‬‬
‫משפט‪ .‬תהי ‪ fn‬סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות בקטע ‪ I‬כך ש־‬
‫)‪ (i‬יש נקודה ‪ x0‬שבה הסדרה המספרית }) ‪ {fn (x0‬מתכנסת‪.‬‬
‫)‪ (ii‬הסדרה ‪ fn0‬מתכנסת במידה שווה על ‪.I‬‬
‫אז הסדרה ‪ fn‬מתכנסת במידה שווה על ‪ ,I‬גבולה שיסומן ב־ ‪ f‬גזיר‪ ,‬ומתקיימת‬
‫הנוסחה ‪.f 0 = lim fn0‬‬
‫‪54‬‬
‫פונקציות רציפות גם‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן את הגבול של ה־ ‪fn0‬־ים ב־ ‪ .ϕ‬כגבול‪ R‬במ״ש‬
‫של ‪R x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ϕ‬רציפה‪ ,‬וע״ס המשפט על אינטגרציה ‪ lim x0 fn (t)dt = x0 ϕ(t)dt‬וההתכנסות‬
‫היא במ״ש‪.‬‬
‫‪Rx‬‬
‫מצד שני ) ‪ ,fn (x) = x0 fn0 (t)dt + fn (x0‬ולכן גם הסדרה )‪ fn (x‬מתכנסת במ״ש‬
‫וגבולה הוא‬
‫‪Z x‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪ϕ(t)dt + C‬‬
‫‪x0‬‬
‫כאשר ) ‪ .C = lim fn (x0‬ע״ס המשפט היסודי של החדו״א ‪.f 0 = ϕ‬‬
‫‪ 3.2‬טורי פונקציות‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס נקודתית )או במ״ש( בקטע ‪ ,I‬וסכומו הוא‬
‫נאמר שטור הפונקציות ‪fn‬‬
‫‪PN‬‬
‫הפונקציה )‪ ,S(x‬אם סדרת הסכומים החלקיים שלו‪ ,SN (x) = n=1 fn (x) ,‬היא‬
‫סדרה מתכנסת נקודתית )או במ״ש( וגבולה הוא ‪.S‬‬
‫‪P‬‬
‫הוא‪,‬‬
‫תנאי הכרחי )אך לא מספיק( להתכנסות נקודתית )או במ״ש( של ‪fn‬‬
‫כמובן‪ ,‬ש־ ‪ fn → 0‬נקודתית )או במ״ש(‪.‬‬
‫ההגדרה נעשתה בעזרת התכנסות של סדרות של פונקציות‪ ,‬ולכן לכל המשפטים‬
‫שהוכחנו על סדרות מתכנסות של פונקציות יש משפטים מקבילים על טורי‬
‫פונקציות‪ ,‬הנובעים מהם באופן פורמלי ואין צורך להוכיחם מחדש‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫אםם לכל ‪ ε‬יש ‪) N‬התלוי ב־ ‪ε‬‬
‫מתכנס במ״ש בקטע ‪I‬‬
‫משפט‪] .‬תנאי קושי[ הטור ‪fn‬‬
‫‪Pm‬‬
‫בלבד( כך שלכל ‪ m > k > N‬מתקיים ‪ | n=k fn (x)| < ε‬לכל ‪.x ∈ I‬‬
‫‪P‬‬
‫טור פונקציות המתכנס במ״ש לפונקציה ‪ S‬בקטע ‪ .I‬אם כל ה־ ‪fn‬־ים‬
‫משפט‪ .‬יהי ‪fn‬‬
‫רציפות בנקודה ‪ x0‬אז גם ‪ S‬רציפה ב־ ‪ .x0‬בפרט‪ ,‬אם ‪ fn‬רציפות בכל הקטע אז גם ‪S‬‬
‫רציפה בו‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס במ״ש‬
‫‪fP‬‬
‫‪P‬פונקציות אינטגרביליות בקטע ‪ I‬כך‬
‫משפט‪ .‬תהיינה ‪fn‬‬
‫שהטור ‪n‬‬
‫‪R P‬‬
‫‪R‬‬
‫= ‪. I fn‬‬
‫‪f‬‬
‫ש־‬
‫ומתקיים‬
‫בקטע‬
‫אינטגרבילית‬
‫‪S‬‬
‫=‬
‫בקטע‪ .‬אז גם ‪fn‬‬
‫‪n‬‬
‫‪I‬‬
‫משפט‪] .‬דיני[ תהיינה ‪ fn‬פונקציות רציפות אי־שליליות כך שהטור ‪fn‬‬
‫בקטע סגור ‪ I‬לפונקציה רציפה ‪ .S‬אז ההתכנסות היא במ״ש‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס נקודתית‬
‫משפט‪ .‬תהי ‪ fn‬סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות בקטע ‪ I‬כך ש־‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫)‪ (i‬יש נקודה ‪ x0‬שבה הטור ) ‪fn (x0‬‬
‫‪P 0‬‬
‫מתכנס במידה שווה על ‪.I‬‬
‫)‪ (ii‬הטור ‪fn‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס במ״ש על ‪ ,I‬סכומו פונקציה גזירה‪ ,‬ומתקיימת הנוסחה‬
‫‪fn P‬‬
‫אז גם הטור‬
‫‪P 0‬‬
‫= ‪.( fn )0‬‬
‫‪fn‬‬
‫‪55‬‬
‫המשפט הבא הוא המשפט היחיד שנביא שהוא מיוחד לטורים‪.‬‬
‫בקטע ‪ I‬ושיש קבועים ‪ Mk‬כך ש־‬
‫משפט‪] .‬ויירשטראס[ נניח שהפונקציות ‪ fn‬מוגדרות ‪P‬‬
‫מתכנס אז גם טור הפונקציות‬
‫‪ |fk (x)| ≤PMk‬לכל ‪ .x ∈ I‬אם טור המספרים ‪Mk‬‬
‫מתכנס בהחלט ובמ״ש בקטע‪.‬‬
‫‪fn‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס בהחלט ע״ס מבחן ההשואה‪,‬‬
‫הוכחה‪ .‬לכל ‪ x‬קבוע הטור המספרי )‪fn (x‬‬
‫ולכן מתכנס‪ .‬נסמן את הסכום ב־)‪ S(x‬ועלינו להוכיח כי ‪ SN → S‬במ״ש‪ .‬ובאמת‬
‫¯‬
‫‪¯X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫¯‬
‫¯‬
‫≤ |)‪|fn (x‬‬
‫‪Mn → 0‬‬
‫≤ ¯)‪fn (x‬‬
‫¯ = |)‪|S(x) − SN (x‬‬
‫‪n>N‬‬
‫כי הטור ‪Mn‬‬
‫‪P‬‬
‫‪n>N‬‬
‫‪n>N‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס במ״ש )ניקח במשפט ‪ .(Mn = 2−n‬שימו לב‬
‫)‪ (i‬הטור ‪2−n sin 3n x‬‬
‫שאין לנו נוסחה מפורשת לפונקצית הסכום‪ ,‬אך ידוע לנו שהיא רציפה )כסכום‬
‫במ״ש של טור פונקציות רציפות(‪ .‬זוהי למעשה דוגמא ידועה מאד‪ :‬ווירשטראס‬
‫הראה שפונקציה רציפה זו אינה גזירה באף נקודה!‬
‫‪P n‬‬
‫מתכנס במ״ש בכל קטע מהצורה ]‪ [−r, r‬כאשר < ‪0 < r‬‬
‫הטור ‪x‬‬
‫)‪(ii‬‬
‫‪) 1‬כאן ניקח ‪ (Mn = rn‬ולכן סכומו פונקציה רציפה ב־ )‪ .(−1, 1‬למעשה זהו טור‬
‫‪1‬‬
‫‪ . 1−x‬כשנבצע איטגרציה אבר אבר נקבל כי‬
‫גיאומטרי אינסופי וסכומו ידוע לנו‪:‬‬
‫לכל ‪0 < t < 1‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪Z‬‬
‫∞‬
‫‪t‬‬
‫‪X tn+1‬‬
‫‪X t‬‬
‫‪¯t‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫= ‪xn dx‬‬
‫)‪= − ln(1 − x)¯0 = − ln(1 − t‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 1−x‬‬
‫‪n=0‬‬
‫וכשנציב ‪ t = 1/2‬ונקבל את הנוסחה המעניינת‬
‫‪1‬‬
‫‪(n+1)2n+1‬‬
‫‪P‬‬
‫= ‪.ln 2 = − ln 12‬‬
‫)‪ (iii‬משפט ווירשטראס נותן תוצאה חזקה של התכנסות בהחלט ובמ״ש‪ ,‬ויש‬
‫‪P (−1)n‬‬
‫כמובן טורים מתכנסים במ״ש שאינם מתכנסים בהחלט‪ .‬למשל הטור ‪x+n‬‬
‫מתכנס במ״ש על ]‪ [0, 1‬כי לכל ‪ x‬קבוע זהו טור לייבניץ‪ ,‬ולכן השארית ה־ ‪m‬־ית‬
‫מקיימת‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= |)‪|rm (x)| ≤ |fm+1 (x‬‬
‫≤‬
‫‪<ε‬‬
‫‪x+m+1‬‬
‫‪m+1‬‬
‫אם רק ‪ .m > 2/ε‬הערכה זו נכונה לכל ]‪ x ∈ [0, 1‬ולכן ההתכנסות היא במ״ש‪.‬‬
‫אבל הטור הזה אינו מתכנס בהחלט לאף ‪.x‬‬
‫‪56‬‬
‫‪ 3.3‬טורי חזקות‬
‫∞‪P‬‬
‫טור חזקות הוא טור מהצורה ‪ . n=0 an (x − x0 )n‬טורי חזקות הם הכללה של‬
‫פולינומים לסכומים אינסופיים‪ ,‬ויש להם תכונות מאד מיוחדות‪.‬‬
‫לשם פשטות הסימונים נבצע הזזה ב־ ‪ ,x0‬וכך נרשום בד״כ את‪P‬הטענות‬
‫∞‬
‫‪ ,xP‬כלומר‪ ,‬נסתכל בטורים מהצורה ‪. n=0 an xn‬‬
‫למקרה המיוחד שבו ‪0 = 0‬‬
‫מתכנס בנקודה ‪ .x = 0‬מה עוד אפשר לאמר על‬
‫כל טור חזקות ‪an xn‬‬
‫תחום ההתכנסות?‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫‪P xn‬‬
‫מתכנס לכל ‪ x‬־ וההתכנסות היא במ״ש בכל קטע סופי‬
‫הטור‬
‫)‪(i‬‬
‫¯ ‪¯ xn ¯ n!¯ rn‬‬
‫‪P rn‬‬
‫¯‬
‫¯‬
‫¯‬
‫¯‬
‫מתכנס לכל ‪ r‬עפ״י מבחן‬
‫]‪ .[−r, r‬כי‬
‫לכל ‪ x‬בקטע והטור !‪n‬‬
‫!‪n! ≤ n‬‬
‫המנה‪ .‬הטענה נובעת כעת ממשפט ווירשטראס‪.‬‬
‫‪P n‬‬
‫מתכנס בקטע )‪ (−1, 1‬ומתבדר עבור ‪.|x| ≥ 1‬‬
‫)‪ (ii‬ראינו שהטור ‪x‬‬
‫‪xn‬‬
‫‪n‬‬
‫הוא הקטע )‪.[−1, 1‬‬
‫)‪ (iii‬תחום ההתכנסות של הטור‬
‫‪P n n‬‬
‫מתבדר לכל ‪ ,x 6= 0‬כי אם‬
‫)‪ (iv‬הטור ‪n x‬‬
‫האיבר הכללי בטור אינו שואף לאפס‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫|‪|x‬‬
‫‪n n‬‬
‫≥ ‪ n‬אז ‪ ,|n x | ≥ 1‬ולכן‬
‫בכל הדוגמאות תחום ההתכנסות הוא קטע סימטרי סביב אפס )שיכול גם‬
‫להיות כל הישר‪ ,‬או קטע מנוון ל־ ‪ 0‬בלבד(‪ ,‬פרט אולי לאי סימטריה בהתכנסות‬
‫בנקודות הקצה‪ .‬הלמה והמשפט הבאים אומרים שזה המצב הכללי‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס בנקודה ‪ ,x = α‬אז לכל |‪ 0 ≤ r < |α‬הטור מתכנס‬
‫למה‪ .‬אם הטור ‪an xn‬‬
‫בהחלט ובמ״ש בקטע ]‪.[−r, r‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס‪ ,‬ולכן האבר הכללי שלו שואף לאפס‪ .‬בפרט זו‬
‫הוכחה‪ .‬הטור ‪an αn‬‬
‫‪n‬‬
‫סדרה חסומה ויש ‪ M‬כך ש־ ‪ |an α | ≤ M‬לכל ‪ .n‬אם |‪ |x| ≤ r < |α‬אז‬
‫‪¯ x ¯n‬‬
‫‪¯ r ¯n‬‬
‫¯ ¯‬
‫¯ ¯‬
‫¯ ¯ ‪|an xn | = |an αn | ¯ ¯ ≤ M‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫¯‪¯r‬‬
‫שהוא איבר כללי של טור גיאומטרי אינסופי עם ‪ ,q = ¯ α ¯ < 1‬ולכן הטור מתכנס‬
‫והלמה נובעת ממשפט ווירשטראס‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫יש מספר ∞ ≤ ‪ ,0 ≤ R‬הנקרא רדיוס התכנסות של‬
‫משפט‪ .‬לכל טור חזקות ‪an xn‬‬
‫הטור‪ ,‬כך שהטור מתכנס בקטע )‪ (−R, R‬ומתבדר עבור ‪) |x| > R‬כאשר ∞ = ‪R‬‬
‫הפירוש הוא שהטור מתכנס לכל ‪ x‬ו־ ‪ R = 0‬פירושו שהטור איננו מתכנס לאף ‪.(x 6= 0‬‬
‫בנקודות ‪ x = ±R‬עצמן הטור יכול או להתכנס או להתבדר‪.‬‬
‫יתר על כן‪ ,‬אם ‪ 0 ≤ r < R‬אז הטור מתכנס בהחלט ובמ״ש בקטע ]‪.[−r, r‬‬
‫‪57‬‬
‫הוכחה‪ .‬ההוכחה נובעת בקלות מהלמה‪ :‬נסמן ב־ ‪ E‬את קבוצת כל הנקודות ‪x‬‬
‫עבורן הטור מתכנס‪ .‬ע״ס הלמה ל־ ‪ E‬יש התכונה הגיאומטרית שאם ‪ α ∈ E‬ואם‬
‫|‪ 0 ≤ r < |α‬אז הקטע ]‪ [−r, r‬מוכל כולו ב־ ‪ E‬ולכן ‪ E‬מכילה איחוד של קטעים‬
‫סימטריים סביב אפס )שהואו קטע סימטרי(‪ ,‬ויכולה להכיל‪ ,‬או לא להכיל‪ ,‬גם‬
‫את נקודות הקצה‪.‬‬
‫למעשה קל לבדוק ש־ ‪ R‬ניתן ע״י הנוסחה }‪.R = sup{|x| : x ∈ E‬‬
‫המשפט הבא ייתן לנו נוסחאות מפורשות לחישוב רדיוס ההתכנסות‪.‬‬
‫משפט‪ .‬יהי ‪an xn‬‬
‫‪P‬‬
‫טור חזקות ונסמן‬
‫| ‪|an+1‬‬
‫| ‪|an‬‬
‫‪µ = lim‬‬
‫‪p‬‬
‫‪n‬‬
‫| ‪|an‬‬
‫;‬
‫‪λ = lim sup‬‬
‫אז‬
‫)‪(i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪λ‬‬
‫= ‪.R‬‬
‫|‬
‫‪ lim |a|an+1‬קיים אז‬
‫)‪ (ii‬אם‬
‫|‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪µ‬‬
‫= ‪.R‬‬
‫הערה‪ .‬חלק )‪ (ii‬נובע למעשה מחלק )‪ ,(i‬כי ראינו כבר )בזמן הדיון במבחני‬
‫‪p‬‬
‫|‬
‫‪ lim |a|an+1‬קיים אז גם | ‪ lim n |an‬קיים‬
‫השורש והמנה להתכנסות טורים( שאם‬
‫|‪n‬‬
‫ושווה לו‪.‬‬
‫חלק )‪ (ii‬גם חלש יותר כי הוא דורש קיום של גבול ואינו מסתפק בגבול עליון‬
‫או בגבול תחתון‪ .‬יחד עם זאת הוא מאד נוח לשימוש כאשר הוא ישים‪.‬‬
‫‪p‬‬
‫‪.lim sup n |an xn0 | = λ|x0 | P‬‬
‫הוכחת המשפט‪ (i) .‬נקבע ‪ ,x0‬ואז‬
‫מתכנס כאשר ‪ λ|x0 | < 1‬והוא מתבדר‬
‫עפ״י מבחן השורש הטור ‪an xn0‬‬
‫כאשר ‪.λ|x0 | > 1‬‬
‫ההוכחה של )‪ (ii‬נעשית באופן דומה ע״י שימוש במבחן המנה‪.‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫‪P xn‬‬
‫רדיוס ההתכנסות של‬
‫)‪(i‬‬
‫הנוסחאות‪.‬‬
‫|‬
‫‪1‬‬
‫‪ . |a|an+1‬כדי לראות ש־ ‪ λ = 0‬נשתמש בהערכה‬
‫‪= n+1‬‬
‫‪ µ = 0‬כי ‪→ 0‬‬
‫|‪n‬‬
‫!‪n‬‬
‫הוא ∞ = ‪.R‬‬
‫‪s‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= (n/2)−1/2 → 0.‬‬
‫‪(n/2)n/2‬‬
‫)‪(ii‬‬
‫)‪(iii‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫≤‬
‫!‪n‬‬
‫נוכיח זאת בעזרת שתי‬
‫‪r‬‬
‫‪n‬‬
‫‪.‬‬
‫‪P n‬‬
‫ושל‬
‫רדיוסי ההתכנסות של ‪x‬‬
‫‪P n n‬‬
‫הוא ‪ 0‬עפ״י נוסחת השורש‪.‬‬
‫רדיוס ההתכנסות של ‪n x‬‬
‫‪xn‬‬
‫‪n‬‬
‫‪58‬‬
‫הם ‪ 1‬עפ״י שתי הנוסחאות‪.‬‬
‫)‪(iv‬‬
‫אם‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫כאשר ‪ n‬זוגי‬
‫כאשר ‪ n‬איזוגי‬
‫(‬
‫= ‪an‬‬
‫|‬
‫|‬
‫‪ ,lim inf |a|an+1‬ולמספרים אלה אין כל קשר לרדיוס‬
‫‪ lim sup |a|an+1‬ו־ ‪= 12‬‬
‫אז ‪= 2‬‬
‫|‪n‬‬
‫|‪n‬‬
‫ההתכנסות האמיתי שהוא ‪) R = 1‬כפי שנובע ממבחן השורש(‪.‬‬
‫‪P∞ nj‬‬
‫‪P‬‬
‫הוא‬
‫רדיוס ההתכנסות של ‪ , x2n‬או באופן כללי יותר של‬
‫)‪(v‬‬
‫‪j=1 x‬‬
‫‪ ,R = 1‬ובדוגמאות אלה יש אכן להשתמש בנוסחת השורש עם הגבול העליון כי‬
‫√‬
‫‪ lim n an‬לא קיים‪.‬‬
‫כפי שראינו טור החזקות אינו חייב להתכנס בנקודות הקצה ‪ .±R‬ראינו גם‬
‫כי לכל ‪ 0 ≤ r < R‬הטור מתכנס במ״ש בקטע ]‪ ,[−r, r‬אך אינו חייב להתכנס‬
‫במ״ש בקטע )‪ .(−R, R‬המשפט הבא מקשר בין ההתכנסות בנקודות קצה לבין‬
‫ההתכנסות במ״ש בכל תחום ההתכנסות‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫טור עם רדיוס התכנסות ∞ < ‪ .0 < R‬אז הטור מתכנס בנקודה‬
‫משפט‪ .‬יהי ‪an xn‬‬
‫‪ x = R‬אםם הוא מתכנס במ״ש בקטע )‪ ,[0, R‬ובמקרה זה ההתכנסות היא‪ ,‬למעשה‪,‬‬
‫במ״ש בכל הקטע ]‪.[0, R‬‬
‫טענה דומה תקפה ביחס לנקודה ‪ x = −R‬ולקטע ]‪.(−R, 0‬‬
‫הוכחה‪ .‬נטפל רק בנקודה ‪ x = R‬ובקטע )‪ .[0, R‬נניח תחילה שהטור ‪ai Ri‬‬
‫מתכנס ונקבע ‪ .0 ≤ x ≤ R‬נשתמש בנוסחה של סכימה בחלקים‬
‫) ‪Bk (αk+1 − αk‬‬
‫‪m−1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪αk βk = αm Bm −‬‬
‫‪k=n‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=n‬‬
‫‪¡ x ¢k‬‬
‫‪Pk‬‬
‫‪ βi = ai Ri , αP‬ו־ ‪.Bk = i=n βi‬‬
‫כאשר‬
‫‪k = R‬‬
‫‪i‬‬
‫ולכן לכל ‪ ε > 0‬קיים )‪ N = N (ε‬כך שלכל‬
‫מתכנס‪,‬‬
‫‪a‬‬
‫‪R‬‬
‫הטור‬
‫‪i‬‬
‫‪¯P‬‬
‫¯‬
‫‪¯ k‬‬
‫¯‬
‫מתקיים ש־ ‪ .|Bk | = ¯ i=n ai Ri ¯ < ε‬נקבע ‪ 0 ≤ x ≤ R‬ונקבל כי‬
‫¯ ¯‬
‫¯‬
‫¯‬
‫‪m−1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪¯ ¯¡ ¢‬‬
‫‪¯X‬‬
‫‪³¡ ¢‬‬
‫¯´‬
‫‪X‬‬
‫‪¢‬‬
‫¡‬
‫‪¢‬‬
‫¡‬
‫‪k‬‬
‫‪m‬‬
‫‪k+1‬‬
‫‪k‬‬
‫¯‬
‫¯‬
‫¯‬
‫¯‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪Bm −‬‬
‫‪Bk R‬‬
‫‪− R‬‬
‫¯ =‬
‫‪(ak Rk ) R‬‬
‫‪¯=¯ R‬‬
‫¯‬
‫¯ ¯‬
‫¯‬
‫¯‬
‫‪k=n‬‬
‫‪≤ε‬‬
‫‪¡ x ¢n‬‬
‫‪R‬‬
‫‪=ε‬‬
‫‪k=n‬‬
‫´ ‪¡ x ¢k+1‬‬
‫‪R‬‬
‫‪P‬‬
‫‪−‬‬
‫‪³¡ ¢‬‬
‫‪x k‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪m−1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪+‬‬
‫‪¡ x ¢m‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪k>n>N‬‬
‫¯‬
‫¯‬
‫‪m‬‬
‫‪¯X‬‬
‫¯‬
‫¯‬
‫¯‬
‫¯ ‪ak xk‬‬
‫¯‬
‫¯‬
‫¯‬
‫‪k=n‬‬
‫≤‬
‫‪k=n‬‬
‫הערכה זו נכונה לכל ‪ 0 ≤ x ≤ R‬ולכן ע״ס קריטריון קושי הטור ‪an xn‬‬
‫מתכנס במ״ש בקטע ]‪.[0, R‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס במ״ש בקטע )‪ ,[0, R‬אז לכל ‪ ε > 0‬קיים )‪N = N (ε‬‬
‫אם הטור‪¯Pm‬‬
‫להפך‪¯ ,‬‬
‫כך ש־ ‪ ¯ k=n ak xk ¯ < ε‬לכל ‪ 0 ≤ x < R‬ולכל ‪ .m > n > N‬נקבע את ‪ m‬ו־ ‪n‬‬
‫ואז‬
‫¯‬
‫¯‬
‫¯‬
‫¯‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪¯X‬‬
‫¯‬
‫‪¯X‬‬
‫¯‬
‫¯‬
‫¯‬
‫¯‪k‬‬
‫¯‪k‬‬
‫¯ ‪ak R ¯ = lim−‬‬
‫‪ak x ¯ ≤ ε‬‬
‫¯‬
‫¯‬
‫¯ ‪¯ x→R‬‬
‫¯‬
‫‪k=n‬‬
‫‪k=n‬‬
‫‪P‬‬
‫מקיים את תנאי קושי‪ ,‬ולכן מתכנס‪.‬‬
‫כלומר הטור ‪an Rn‬‬
‫‪59‬‬
‫כפי שכבר אמרנו‪ ,‬פונקציות המתוארות ע״י טור חזקות מתכנס הן בעלות‬
‫תכונות מיוחדות )וכדי לעמוד עליהן באופן יסודי יש לעבור למישור המרוכב‬
‫ולהסתכל על טורי חזקות מרוכבים‪ ,‬כפי שתעשו בקורס בפונקציות מרוכבות(‪.‬‬
‫המשפט הבא מראה שביחס לרציפות‪ ,‬גזירות ואינטגרביליות אפשר להתייחס‬
‫אליהן כאל סכומים סופיים‪ ,‬כלומר‪ ,‬כאילו היו פולינומים‪.‬‬
‫משפט‪ .‬נתון טור ‪an xn‬‬
‫‪P‬‬
‫בעל רדיוס התכנסות ‪ R‬ונסמן את סכומו ב־ )‪ .f (x‬אז‬
‫)‪ (i‬הפונקציה ‪ f‬רציפה בתחום ההתכנסות של הטור‪.‬‬
‫‪P∞ an n+1‬‬
‫‪ n=0 n+1‬הוא ‪ ,R‬ולכל ‪ 0 ≤ r < R‬הפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫)‪ (ii‬רדיוס ההתכנסות של הטור‬
‫‪ f‬אינטגרבילית בקטע ]‪ [−r, r‬ומתקיים‬
‫‪Z x‬‬
‫‪X an‬‬
‫)∗(‬
‫= ‪f (t)dt‬‬
‫‪xn+1‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪0‬‬
‫אם הטור הנתון מתכנס ב־ ‪) x = R‬או ‪ ,(x = −R‬אז הנוסחה )∗( תקפה גם בנקודה‬
‫זו‪.‬‬
‫∞‪P‬‬
‫)‪ (iii‬רדיוס ההתכנסות של הטור ‪nan xn−1‬‬
‫)‪ (−R, R‬ומתקיים‬
‫‪X‬‬
‫= )‪f 0 (x‬‬
‫‪nan xn−1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫הוא ‪ ,R‬הפונקציה ‪ f‬גזירה בקטע‬
‫)∗∗(‬
‫אם טור הנגזרות מתכנס ב־ ‪) x = R‬או ‪ ,(x = −R‬אז גם הטור המקורי מתכנס‬
‫בנקודה זו ו־ )∗∗( תקפה שם )לנגזרת החד צדדית(‪.‬‬
‫)‪ (iv‬הפונקציה ‪ f‬גזירה מכל סדר בקטע )‪ (−R, R‬ולכל ‪ p‬טבעי מתקיים‬
‫‪n(n − 1) · . . . · (n − p + 1)an xn−p‬‬
‫‪(m + p)(m + p − 1) · . . . · (m + 1)am+p xm‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=p‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫)‪f (p) (x‬‬
‫=‬
‫‪m=0‬‬
‫ולכל הטורים האלה יש אותו רדיוס התכנסות ‪.R‬‬
‫הוכחה‪ (i) .‬אם ‪ |x0 | < r‬נבחר ‪ r‬כך ש־ ‪ .|x0 | < r < R‬הטור מתכנס במ״ש ב־‬
‫]‪ [−r, r‬ולכן ‪ f‬רציפה שם‪ ,‬ובפרט ב־ ‪.x0‬‬
‫אם הטור מתכנס גם בנקודה ‪) x = R‬או ‪ (x = −R‬אז ההתכנסות היא במ״ש‬
‫ב־ ]‪) [0, R‬או ]‪ ,([−R, 0‬ולכן ‪ f‬רציפה גם ב־ ‪ ±R‬בהתאמה‪.‬‬
‫√‬
‫)‪ lim n n = 1 (ii‬ולכן‬
‫‪p‬‬
‫¯‪r‬‬
‫¯‬
‫‪p‬‬
‫| ‪lim sup n+1 |an‬‬
‫¯ ‪n+1 ¯ an‬‬
‫‪n+1‬‬
‫√‬
‫‪lim sup‬‬
‫=‬
‫‪lim‬‬
‫‪sup‬‬
‫| ‪|an‬‬
‫= ¯ ‪¯ n+1‬‬
‫‪lim n+1 n + 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪³‬‬
‫‪´ n+1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫| ‪lim sup n |an‬‬
‫=‬
‫‪R‬‬
‫‪60‬‬
‫‪xn+1‬‬
‫‪n+1‬‬
‫הטענות האחרות נובעות מכך ש־‬
‫)‪(iii‬‬
‫= ‪tn dt‬‬
‫‪Rx‬‬
‫‪0‬‬
‫ומאינטגרציה איבר־איבר‪.‬‬
‫חישוב רדיוס ההתכנסות דומה ל־ )‪:(ii‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫√‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫= | ‪|(n + 1)an+1 | = lim n n + 1 · lim sup n |an+1‬‬
‫‪R‬‬
‫‪lim sup‬‬
‫גם שאר הטענות נובעות באופן דומה ל־ )‪.(ii‬‬
‫)‪(iv‬‬
‫חלק )‪ (iv‬נובע מחלק )‪.(iii‬‬
‫‪P‬‬
‫= )‪ f (x‬בקטע )‪ ,(−R, R‬ונציב ‪ x = 0‬בנוסחה שבחלק )‪(iv‬‬
‫נניח כי ‪an xn‬‬
‫)‪(n‬‬
‫של המשפט‪ ,‬ואז נקבל כי ‪ f (0) = n(n − 1) · . . . · 1 · an‬או‬
‫‪n = 0, 1, . . .‬‬
‫כלומר‬
‫‪−R < x < R‬‬
‫)‪f (n) (0‬‬
‫‪,‬‬
‫!‪n‬‬
‫= ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪f (n) (0) n‬‬
‫= )‪. f (x‬‬
‫‪x ,‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪n=0‬‬
‫נוסחה זו קשורה באופן הדוק לנוסחת טיילור עם שארית האומרת שאם ‪f‬‬
‫גזירה ‪ n + 1‬פעמים בסביבת הנקודה ‪ x = 0‬אז ‪ f = Tn + Rn‬בסביבה‪ ,‬כאשר ‪Tn‬‬
‫פולינום טיילור ממעלה ‪ n‬ו־ ‪ Rn‬השארית‪ ,‬והם ניתנים ע״י‬
‫)‪f (n+1) (c) (n+1‬‬
‫‪x‬‬
‫!)‪(n + 1‬‬
‫;‬
‫= )‪Rn (x‬‬
‫‪xk‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫)‪f (k) (0‬‬
‫!‪k‬‬
‫= )‪Tn (x‬‬
‫‪k=0‬‬
‫עבור איזשהו ‪ c = cx‬בין ‪ 0‬ל־ ‪.x‬‬
‫קשר זה נותן לנו את המפתח לדיון בשאלה החשובה הבאה‪ :‬נתונה פונקציה‬
‫‪ f‬המוגדרת בסביבת ‪ .x = 0‬באיזה תנאים אפשר להציג אותה שם כסכום של‬
‫טור חזקות? אם יש הצגה כזו אז הסכום החלקי ה־ ‪n‬־י הוא בדיוק פולינום‬
‫טיילור ‪ Tn‬שלה‪ ,‬ולכן ניסוח שקול לשאלה הוא מתי ‪.Rn (x) → 0‬‬
‫תנאי מוקדם לקיום הצגה כזו הוא ש־ ‪ f‬צריכה להיות גזירה אינסוף פעמים‪,‬‬
‫אך תנאי הכרחי זה אינו מספיק‪.‬‬
‫דוגמא‪.‬‬
‫הפונקציה‬
‫‪x 6= 0‬‬
‫‪x=0‬‬
‫‪( 1‬‬
‫‪e− x2‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪0‬‬
‫גזירה איסוף פעמים וכפי שנראה מיד ‪ f (n) (0) = 0‬לכל ‪ .n‬לכן ‪ Tn ≡ 0‬לכל ‪ n‬ו־‬
‫‪ Rn = f‬לכל ‪ ,n‬ובוודאי ש־ ‪.Rn (x) 6→ 0‬‬
‫נראה כעת באינדוקציה כי ‪ f (n) (0) = 0‬לכל ‪ .n‬עבור ‪n = 1‬‬
‫‪61‬‬
‫‪1‬‬
‫‪e− h2 − 0‬‬
‫)‪f (h) − f (0‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪h→0‬‬
‫‪h→0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪1‬‬
‫‪s‬‬
‫‪lim h1 = lim s2 = 0‬‬
‫‪s→∞ e‬‬
‫‪h→0 e h2‬‬
‫‪lim‬‬
‫=‬
‫)‪f 0 (0‬‬
‫=‬
‫בשלב האינדוקציה מראים תחילה )באינדוקציה!( שלכל ‪ n‬יש פולינומים ‪Pn , Qn‬‬
‫‪Pn (x) − 12‬‬
‫כך ש־ ‪e x‬‬
‫‪ f (n) (x) = Q‬לכל ‪ .x 6= 0‬ואז‪ ,‬באופן דומה למקרה ‪ n = 1‬מראים‬
‫)‪n (x‬‬
‫כי‬
‫)‪f (n) (h) − f (n) (0‬‬
‫)‪(n+1‬‬
‫‪. f‬‬
‫‪(0) = lim‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪h→0‬‬
‫‪h‬‬
‫משפט‪ .‬תהי ‪ f‬גזירה מכל סדר ב־ )‪ (−r, r‬ונניח שיש קבוע ‪ M‬כך שלכל ‪ n‬ולכל ‪|x| < r‬‬
‫¯ )‪¯ (n‬‬
‫)‪P (k‬‬
‫‪k‬‬
‫מתקיים ‪¯f (x)¯ ≤ M n‬‬
‫)‪¯ f k!(0‬מקיים‬
‫‪x‬‬
‫החזקות‬
‫טור‬
‫של‬
‫‪R‬‬
‫ההתכנסות‬
‫רדיוס‬
‫אז‬
‫‪.‬‬
‫¯‬
‫‪) .R ≥ r‬התנאי בוודאי מתקיים אם יש קבוע ‪ C = Cr‬כך ש־ ‪ ¯f (n) (x)¯ ≤ C‬לכל‬
‫‪ |x| < r‬ולכל ‪.(n‬‬
‫הוכחה‪ .‬נקבע ‪ ,|x| < r‬ואז עפ״י נוסחת השארית בפיתוח טיילור יש נקודה ‪ c‬בין‬
‫‪ 0‬ל־ ‪ x‬כך ש־‬
‫)‪¯ (n+1‬‬
‫¯‬
‫‪¯f‬‬
‫‪(c) n+1 ¯¯ M n+1 rn+1‬‬
‫¯¯ = |)‪|Rn (x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪¯ < (n + 1)! → 0‬‬
‫!)‪(n + 1‬‬
‫כי לכל קבוע ‪ A‬מתקיים ‪.lim Am /m! = 0‬‬
‫‪P‬‬
‫= )‪ ,f (x‬אנחנו קוראים לטור ״טור‬
‫אם יש ל־ ‪ f‬הצגה כטור חזקות‪an xn ,‬‬
‫‪ P‬באופן כללי יותר‪ ,‬אם יש ל־ ‪ f‬הצגה כטור חזקות‪f (x) = ,‬‬
‫טיילור של ‪f‬״‪.‬‬
‫‪ , an (x − x0 )n‬אנחנו קוראים לטור ״טור טיילור של ‪ f‬סביב הנקודה ‪x0‬״‪.‬‬
‫שימו לב שלעתים קרובות תחום ההתכנסות של הטור חלקי ממש לתחום שבו‬
‫‪ f‬מוגדרת‪.‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫)‪.f (x) = ex (i‬‬
‫כאן ‪ f (n) (x) = ex‬לכל ‪ .n‬ולכן לכל ‪ r > 0‬מתקיים ש־ ‪ |f (n) (x)| ≤ er‬לכל‬
‫‪ ,|x| ≤ r‬כלומר ∞ = ‪ .R‬כמו כן ‪ f (n) (0) = 1‬לכל ‪ ,n‬ולכן לכל ‪ x‬מתקיים‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪xn‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪xn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫)‪f (n) (0‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪62‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪. ex‬‬
‫‪1‬‬
‫!‪n‬‬
‫∞‪P‬‬
‫מהנוסחה מקבלים ש־‬
‫ואז נקבע ‪ N‬ונציג‬
‫‪N‬‬
‫∞‬
‫‪³p X‬‬
‫´‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫!‪= N‬‬
‫!‪. N‬‬
‫‪q‬‬
‫!‪n‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪ e‬הוא אי רציונלי‪ ,‬כי נניח בשלילה ש־‬
‫‪p‬‬
‫‪q‬‬
‫= ‪,e‬‬
‫‪N +1‬‬
‫אך זה בלתי אפשרי אם ‪ ,N > q‬כי אגף שמאל הוא שלם ואגף ימין הוא‬
‫מספר חיובי קטן מאחד‪ ,‬מכיוון ש־‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫≤‬
‫=‬
‫‪n! j=1 (N + 1)j‬‬
‫‪N‬‬
‫!‪. N‬‬
‫‪N +1‬‬
‫)‪.f (x) = sin x (ii‬‬
‫כאן )‪ f (n) (x‬הוא ‪ ± sin x‬או ‪ ,± cos x‬ובפרט ‪ |f (n) (x)| ≤ 1‬לכל ‪ x‬ולכל ‪n‬‬
‫ולכן ∞ = ‪ .R‬כמו כן ‪ f (2m) (0) = ± sin 0 = 0‬ואילו = ‪f (2m+1) (0) = (−1)m cos 0‬‬
‫‪ (−1)m‬ולכן לכל ‪ x‬מתקיים‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪(−1)m x2m+1‬‬
‫!)‪(2m + 1‬‬
‫‪m=0‬‬
‫תרגיל‪ :‬הראו כי‬
‫‪(−1)m x2m‬‬
‫!)‪(2m‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪m=0‬‬
‫= )‪. sin(x‬‬
‫= ‪.cos x‬‬
‫הערה‪ .‬שימו לב כי כשמפתחים פונקציה ‪ f‬לטור חזקות הטור יכול להתכנס רק‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1−x‬מוגדרת לכל ‪ ,x 6= 1‬אך‬
‫בקטע חלקי לתחום הגדרתה של הפונקציה‪ .‬למשל‬
‫הטור שלה מתכנס רק ב־ )‪.(−1, 1‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. 1−x‬‬
‫)‪ (iii‬הטור ‪ k=0 xk‬הוא טור גיאומטרי שמתכנס עבור ‪ |x| < 1‬לפונקציה‬
‫ע״י גזירה איבר איבר נקבל נוסחאות חדשות‪:‬‬
‫‪!0‬‬
‫‪Ã‬‬
‫‪µ‬‬
‫‪¶0‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k−1‬‬
‫‪k‬‬
‫=‬
‫‪kx‬‬
‫=‬
‫‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪(m + 1)xm‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪(1 − x)2‬‬
‫‪1−x‬‬
‫‪m=0‬‬
‫‪k=1‬‬
‫גזירה נוספת נותנת‬
‫‪!0‬‬
‫‪(m + 1)xm‬‬
‫‪k=0‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪Ã‬‬
‫‪¶0‬‬
‫=‬
‫‪m=0‬‬
‫‪(n + 2)(n + 1)xn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= ‪(m + 1)mxm−1‬‬
‫‪n=0‬‬
‫תרגיל‪ :‬חשבו את טורי טיילור של‬
‫)‪(iv‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(1 − x)2‬‬
‫‪µ‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪(1 − x)3‬‬
‫=‬
‫‪m=1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(1−x)p‬‬
‫לכל ‪ p‬טבעי‪.‬‬
‫אפשר גם לקבל נוסחאות מעניינות ע״י אינטגרציה איבר איבר‪ .‬למשל‬
‫‪Z x‬‬
‫‪∞ Z x‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪xk+1‬‬
‫‪xk‬‬
‫‪dt‬‬
‫=‬
‫= ‪tk dt‬‬
‫=‬
‫= )‪. − log(1 − x‬‬
‫‪k+1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 1−t‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪63‬‬
‫‪k+1‬‬
‫‪P‬‬
‫‪. (−1)k‬‬
‫כאן יש גם תוספת‪ :‬הטור מתכנס גם עבור ‪ x = −1‬כי זהו טור לייבניץ‬
‫כשימוש לנוסחה נשים לב שהיא תקפה גם עבור ‪ x = −1‬ולכן‬
‫‪= log 2‬‬
‫‪X (−1)k+1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪.‬‬
‫¯‬
‫¯ ‪(−1)k+1‬‬
‫יתר על כן‪ ,‬ע״ס משפט לייבניץ מקבלים כי ‪¯ < N1+1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1000‬צריך‬
‫קצב התכנסות איטי‪ .‬כדי לקבל טעות קטנה מ־‬
‫חישוב דומה )או ההצבה ‪ (t = −x‬נותנים כי‬
‫‪(−1)k+1 xk‬‬
‫‪k‬‬
‫¯‬
‫‪P‬‬
‫¯‬
‫‪) .¯log 2 − k≤N‬זהו‬
‫אלף אברים!(‪.‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪.log(1 + x) = k=1‬‬
‫שימו לב כי הטורים של )‪ log(1 ± x‬אינם מתכנסים עבור ‪ ,|x| > 1‬ולכן‬
‫מאפשרים חישוב של ‪ log s‬רק עבור ‪ .0 < s ≤ 2‬עבור ‪ s‬גדול יותר נפתור‬
‫‪1+x‬‬
‫‪ x = s−1‬וכי ‪ ,0 < x < 1‬ולכן‬
‫את המשוואה ‪ ,s = 1−x‬ונקבל כי ‪s+1‬‬
‫¶‬
‫)‪= log(1 + x) − log(1 − x‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪x2j−1‬‬
‫‪2j − 1‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪=2‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪xk‬‬
‫‪k‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1+x‬‬
‫‪1−x‬‬
‫‪µ‬‬
‫‪= log‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪(−1)k+1 xk‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪log s‬‬
‫=‬
‫‪k=1‬‬
‫‪P ¡ 3 ¢2j−1 ±‬‬
‫‪.log 7 = 2‬‬
‫למשל‪ ,‬אם ‪ s = 7‬אז ‪ x = 34‬ו־ )‪(2j − 1‬‬
‫‪4‬‬
‫הנוסחה הזו מאפשרת חישוב מהיר ויעיל יותר של ‪ log s‬גם עבור ‪.1 < s ≤ 2‬‬
‫‪P ¡ 1 ¢2j−1 ±‬‬
‫‪ .log 2 = 2‬טור זה‬
‫למשל עבור ‪ s = 2‬נקבל ‪ ,x = 13‬ולכן )‪(2j − 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪k+1‬‬
‫‪P‬‬
‫‪. (−1)k‬‬
‫מתכנס הרבה יותר מהר מ־‬
‫‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1+t‬עבור ‪.|t| < 1‬‬
‫‪ 1−x‬ונקבל ‪(−1)n t2n‬‬
‫נציב ‪ x = −t2‬בטור עבור‬
‫)‪(v‬‬
‫= ‪2‬‬
‫אינטגרציה איבר איבר נותנת‬
‫‪Z x‬‬
‫‪∞ Z x‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪(−1)n x2n+1‬‬
‫‪n 2n‬‬
‫= ‪arctan x‬‬
‫=‬
‫)‪(−1‬‬
‫‪t‬‬
‫‪dt‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2n + 1‬‬
‫‪0 1+t‬‬
‫‪n=0 0‬‬
‫‪n=0‬‬
‫עבור ‪ .|x| < 1‬הטור מתכנס גם עבור ‪ ,x = ±1‬ולכן מתכנס במ״ש על ]‪.[−1, 1‬‬
‫בפרט‪ ,‬עבור ‪ x = 1‬נקבל‬
‫∞‬
‫‪X (−1)n‬‬
‫‪π‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫= )‪= arctan(1‬‬
‫‪= 1 − + − + ...‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3 5 7‬‬
‫‪0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ 3.4‬דוגמא לשימוש בטורי חזקות‬
‫משוואה דיפרנציאלית היא משוואה שבה הנעלם הוא פונקציה‪ ,‬שנסמנה ב־ = ‪y‬‬
‫)‪ ,y(x‬והמשוואה נותנת קשרים בין ‪ y‬לבין נגזרותיה‪ .‬למשל‪.y 2 +ex y 0 −xy 00 = sin x ,‬‬
‫זה נושא חשוב מאוד שתלמדו באופן שיטתי בקורסים במד״ר ומד״ח‪ .‬כאן נדגים‬
‫‪64‬‬
‫רק שיטה אחת‪ ,‬המשתמשת בטורי חזקות‪ ,‬לפתרון משוואה מאוד פשוטה‪,y 0 = y ,‬‬
‫שאנחנו אפילו מכירים את פתרונה‪ :‬אם ננרמל ‪ y(0) = 1‬אז ‪.y = ex‬‬
‫)המתקיימים‬
‫תורת המשוואות הדיפרנציאליות מבטיחה שבמקרים מסויימים ∞‪P‬‬
‫כאן( הפתרון למשוואה ניתן לתיאור כטור חזקות‪ .‬נכתוב לכן ‪,y(x) = n=0 an xn‬‬
‫וננסה לחשב את המקדמים ‪.an‬‬
‫∞‪P‬‬
‫∞‪P‬‬
‫נגזור את הטור ונקבל כי ‪,y 0 (x) = n=1 nan xn−1 = n=0 (n + 1)an+1 xn‬‬
‫ונשווה את המקדמים של ‪ xn‬בשני האגפים של המשוואה ‪ .y = y 0‬באפן כזה‬
‫נהפוך את המשוואה הדיפרנציאלית לאוסף )אינסופי( של משוואות מספריות‪:‬‬
‫‪...‬‬
‫; ‪a2 = 3a3 ; . . .‬‬
‫‪an = (n + 1)an+1‬‬
‫‪a1 = 2a2‬‬
‫;‬
‫;‬
‫‪a0 = a1‬‬
‫וכשנתחיל מהנתון ‪ a0 = y(0) = 1‬ונמשיך באופן אידוקטיבי נקבל‬
‫‪...‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪a2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2·3‬‬
‫ומוכיחים באינדוקציה כי‬
‫= ‪a3‬‬
‫‪1‬‬
‫!‪n‬‬
‫;‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪a1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ ,an‬ולכן ‪= ex‬‬
‫‪65‬‬
‫= ‪a2‬‬
‫‪P xn‬‬
‫!‪n‬‬
‫= ‪.y‬‬
‫;‬
‫‪a1 = a0 = 1‬‬
‫פרק ‪4‬‬
‫פונקציות של כמה משתנים‬
‫ממשיים‬
‫עד עכשיו טיפלנו בפונקציות של משתנה אחד‪ ,‬אך תופעות בטבע תלויות בדר״כ‬
‫בכמה משתנים‪ .‬למשל‪ ,‬התפלגות הטמפרטורה של גוף מרחבי תלויה במיקום )שהוא‬
‫בעצמו נתון ע״י שלושה משתנים( ובזמן‪ ,‬כלומר ע״י פונקציה )‪ ,T (x, y, z, t‬כאשר‬
‫‪ x, y, z‬הן הקואורדינטות של הנקודה ו־ ‪ t‬הוא הזמן‪.‬‬
‫בפרק זה נעסוק בפונקציות של כמה משתנים ממשיים‪ ,‬נכליל את מה שלמדנו‬
‫על פונקציות של משתנה אחד ונטפל בתופעות חדשות המיוחדות לפונקציות כאלה‪.‬‬
‫‪ 4.1‬המרחב האוקלידי ה־ ‪n‬־ממדי‬
‫דרך נוחה מאוד להסתכל על פונקציות של כמה משתנים היא להסתכל עליהן‬
‫כפונקציות של משתנה אחד‪ ,‬שהוא וקטור ‪n‬־ ממדי‪ .‬נתחיל‪ ,‬לכן‪ ,‬בהבנת המבנה‬
‫של המרחב האוקלידי ה־ ‪n‬־ממדי‪.Rn ,‬‬
‫‪n‬‬
‫‪R‬‬
‫המרחק בין שתי נקודות ) ‪ P = (p1 , . . . , pn‬ו־ ) ‪ Q = (q1 , . . . , qn‬ב־‬
‫יסומן ע״י‬
‫‪Ã n‬‬
‫‪! 12‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪. d(P, Q‬‬
‫‪(pi − qi )2‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪¢1‬‬
‫‪¡Pn‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪ ,‬נסמן ב־ ‪ ,kP k‬ונקרא לו הנורמה של‬
‫את המרחק של ‪ P‬מהראשית‪,‬‬
‫‪i=1 pi‬‬
‫‪ .P‬נשים לב כי ‪.d(P, Q) = kP − Qk‬‬
‫למרחק יש התכונות הבאות‪:‬‬
‫סימטריות‪.d(P, Q) = d(Q, P ) :‬‬
‫)‪(i‬‬
‫חיוביות‪ d(P, Q) ≥ 0 :‬ו־ ‪ d(P, Q) = 0‬אםם ‪.P = Q‬‬
‫)‪(ii‬‬
‫)‪(iii‬‬
‫אי שוויון המשולש‪.d(P, R) ≤ d(P, Q) + d(Q, R) :‬‬
‫שני החלקים הראשונים טריביאליים‪ ,‬ולהוכחת השלישי נצטרך הכנות נוספות‪.‬‬
‫‪66‬‬
‫המכפלה הפנימית של שני וקטורים ב־ ‪ Rn‬ניתנת ע״י הנוסחה‬
‫‪pi qi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪. hP, Qi‬‬
‫‪i=1‬‬
‫לפעמים מסמנים את המכפלה הפנימית גם ב־ )‪ (P, Q‬או ב־ ‪ .P · Q‬נשים לב כי‬
‫‪.hP, P i = kP k2‬‬
‫למכפלה הפנימית יש התכונות הבאות‪ ,‬ששלוש הראשונות מיידיות‪:‬‬
‫)‪(i‬‬
‫)‪(ii‬‬
‫סימטריות‪.hP, Qi = hQ, P i :‬‬
‫חיוביות‪ hP, P i ≥ 0 :‬ו־ ‪ hP, P i = 0‬אםם ‪.P = 0‬‬
‫לינאריות‪) hα1 P1 + α2 P2 , Qi = α1 hP1 , Qi + α2 hP2 , Qi :‬ובאופן דומה‬
‫)‪(iii‬‬
‫בקואורדינטה השניה(‪ .‬בפרט מקבלים‪ ,‬ע״י כתיבה מפורשת של הנוסחאות ופתיחת‬
‫הסוגריים‪ ,‬כי‬
‫‪. kP + Qk2 = kP k2 + kQk2 + 2hP, Qi‬‬
‫אי שוויון קושי־שוורץ‪ ,|hP, Qi| ≤ kP k kQk :‬ויש שוויון אםם יש מספר ‪λ‬‬
‫)‪(iv‬‬
‫כך ש־ ‪ Q = λP‬או ש־ ‪.P = 0‬‬
‫הוכחת אי שוויון קושי־שוורץ‪ :‬נניח כי ‪ .P, Q 6= 0‬לכל ‪ t‬מתקיים‬
‫‪0 ≤ ktP + Qk2 = t2 kP k2 + 2thP, Qi + kQk2‬‬
‫ואגף ימין הוא פולינום ריבועי במשתנה הממשי ‪ t‬שנסמנו ב־ )‪ .f (t‬פולינום כזה‬
‫יכול להיות בעל סימן קבוע רק כאשר הדיסקרימיננטה שלו אי־חיובית‪ ,‬כלומר‬
‫כאשר‬
‫‪2‬‬
‫‪(2hP, Qi) − 4kP k kQk ≤ 0‬‬
‫ואחרי העברה באגפים והוצאת שורש זהו אי השוויון המבוקש‪.‬‬
‫אם יש שוויון‪ ,‬אז הדיסקרימיננטה היא ‪ 0‬ולמשוואה הריבועית יש שורש יחיד‪,‬‬
‫‪ .f (t0 ) = 0‬כשנציב אותו נקבל כי ‪ ,kt0 P + Qk2 = 0‬ולכן ‪ ,t0 P + Q = 0‬כלומר‬
‫‪.Q = −t0 P‬‬
‫הוכחת אי שוויון המשולש‪ .‬לכל שני ווקטורים ‪ A‬ו־‬
‫קושי שוורץ‪ ,‬כי‬
‫‪ B‬מתקיים‪ ,‬ע״ס אי שוויון‬
‫‪2‬‬
‫)‪kA + Bk2 = kAk2 + 2hA, Bi + kBk2 ≤ kAk2 + 2kAk kBk + kBk2 = (kAk + kBk‬‬
‫כלומר‪ ,kA + Bk ≤ kAk + kBk ,‬ולכן‬
‫‪= kP − Rk = k(P − Q) + (Q − R)k‬‬
‫)‪d(P, R‬‬
‫)‪≤ kP − Qk + kQ − Rk = d(P, Q) + d(Q, R‬‬
‫בעזרת המרחק נוכל להכליל מושגים רבים מהישר הממשי למרחב האוקלידי‪.‬‬
‫נסמן ב־ }‪ B(P, r) = {Q ∈ Rn : d(P, Q) < r‬את הכדור הפתוח ברדיוס ‪ r‬עם‬
‫‪67‬‬
‫מרכז ‪ .P‬כדורים כאלה ישמשו כהכללה הטבעית של קטע פתוח‪ ,‬או של סביבה‬
‫של נקודה על הישר‪.‬‬
‫אפשר גם להסתכל על סביבות מסוגים אחרים‪ ,‬כגון קוביה פתוחה שמרכזה‬
‫ב־ ‪ P‬ושאורך צלעה הוא ‪2r‬‬
‫}‪1 ≤ i ≤ n‬‬
‫; ‪C = {Q = (q1 , . . . , qn ) ∈ Rn : |qi − pi | < r‬‬
‫או‪ ,‬באופן כללי יותר‪ ,‬על תיבה שאורך צלעותיה הוא ‪ 2ri‬בהתאמה‪ ,‬כלומר על‬
‫הקבוצה המוגדרת ע״י אי השוויונות ‪.|qi − pi | < ri‬‬
‫הערה‪ .‬מבחינות רבות זה לא ישנה לנו איזה מין סביבה ניקח כי אי השוויון‬
‫| ‪n max |qi − pi‬‬
‫√‬
‫≤‬
‫‪´ 12‬‬
‫‪(qi − pi )2‬‬
‫‪³X‬‬
‫≤ | ‪max |qi − pi‬‬
‫מראה שכל כדור סביב ‪ P‬מכיל ומוכל בתיבות בגדלים מתאימים‪.‬‬
‫המושג הבסיסי בפיתוח החשבון האינפיניטיסימלי במשתנה אחד היה מושג‬
‫הגבול‪ .‬אחרי שהגדרנו את מושג המרחק במרחב האוקלידי ההכללה ברורה‬
‫הגדרה‪ .‬נאמר שסדרת נקודות ‪ Pk ∈ Rn‬מתכנסת לנקודה ‪ P‬אם ‪ ,d(Pn , P ) → 0‬ובלשון‬
‫‪ :ε, N‬אם לכל ‪ ε > 0‬יש ‪ N‬כך ש־ ‪ d(Pn , P ) < ε‬לכל ‪.n > N‬‬
‫הטענה הבאה תיתן לנו דרך נוחה מאד לבדוק אם סדרת נקודות מתכנסת‪.‬‬
‫כדי לפשט את הסימונים ננסח ונוכיח אותה רק ל־ ‪.n = 2‬‬
‫טענה‪ .‬הסדרה ) ‪ Pk = (xk , yk‬מתכנסת לנקודה )‪ P = (x, y‬אםם ‪ xk → x‬ו־ ‪.yk → y‬‬
‫הוכחה‪ .‬ההוכחה נובעת מיידית מאי השוויונות‬
‫√‬
‫¡‬
‫‪¢1‬‬
‫}|‪max{|xk − x|, |yk − y|} ≤ (xk − x)2 + (yk − y)2 2 ≤ 2 max{|xk − x|, |yk − y‬‬
‫נאמר שקבוצה ‪ A ⊂ Rn‬היא חסומה אם היא מוכלת באיזשהו כדור‪) .‬בדקו‬
‫שכל סדרה מתכנסת היא חסומה(‪.‬‬
‫משפט‪].‬משפט בולצ׳נו־ווירשטראס[ לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬כדי לפשט את הסימונים נוכיח את המשפט רק ל־ ‪ ,n = 2‬ונסמן את‬
‫אברי הסדרה ב־ ) ‪.Pk = (xk , yk‬‬
‫מחסימות הסדרה נובע שגם סדרת המספרים ‪ xk‬היא סדרה חסומה‪ ,‬ולכן‬
‫ע״ס המקרה החד ממדי של המשפט יש לה תת סדרה מתכנסת ‪.xkj‬‬
‫נסתכל כעת על הסדרה ‪ .ykj‬גם זו סדרה חסומה‪ ,‬ולכן יש לה תת סדרה‬
‫מתכנסת ‪ .ykjm‬תת הסדרה המבוקשת היא ‪ ,Pkjm‬כי הסדרה ‪ xkjm‬מתכנסת )כתת‬
‫סדרה של סדרה מתכנסת( ועפ״י הבחירה גם ‪ ykjm‬מתכנסת‪.‬‬
‫‪68‬‬
‫באופן אנלוגי למקרה החד־ממדי מגדירים סדרת קושי ומוכיחים שסדרת קושי‬
‫היא סדרה מתכנסת‪.‬‬
‫הגדרה‪ (i) .‬נאמר שהנקודה ‪ P‬היא נקודה פנימית של הקבוצה ‪ C‬אם יש סביבה של‬
‫‪) P‬כדור או תיבה( המוכלת כולה ב־ ‪ .C‬לדוגמא‪ ,‬הנקודות ה״פנימיות״ של כדור )או‬
‫קטע במקרה החד ממדי(‪.‬‬
‫)‪ (ii‬קבוצה תקרא פתוחה אם כל נקודותיה פנימיות‪ .‬למשל כדור או תיבה פתוחים‪.‬‬
‫)‪ (iii‬נאמר שהנקודה ‪ P‬היא נקודה מבודדת של הקבוצה ‪ C‬אם יש סביבה של ‪P‬‬
‫שאיננה מכילה אף נקודה של ‪ C‬פרט ל־ ‪ .P‬למשל הנקודה ‪ 1‬בסדרה } ‪.{ n1‬‬
‫)‪ (iv‬נאמר שהנקודה ‪ P‬היא נקודת הצטברות של הקבוצה ‪ C‬אם כל סביבה של ‪P‬‬
‫מכילה נקודה של ‪ C‬שונה מ־ ‪ .P‬למשל ‪ 0‬היא נקודת הצטברות של הסדרה } ‪) { n1‬ושימו‬
‫לב ש־ ‪ P‬אינה חייבת להשתייך לקבוצה ‪ ,(C‬או של הקטע ]‪.[0, 1‬‬
‫)‪ (v‬קבוצה תקרא סגורה אם היא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה‪ .‬למשל‬
‫כדור או תיבה סגורים‪.‬‬
‫)‪ (vi‬נאמר שהנקודה ‪ P‬היא נקודת שפה של הקבוצה ‪ C‬אם אינה נקודה פנימית של‬
‫‪ C‬וגם אינה נקודה פנימית של המשלים של ‪.C‬‬
‫אם ‪ P‬נקודת הצטברות של ‪ C‬אז למעשה כל סביבה שלה‬
‫הערות‪(i) .‬‬
‫מכילה אינסוף נקודות של ‪ .C‬כי אילו היה כדור פתוח )‪ B(P, r‬המכיל רק‬
‫מספר סופי ‪ P1 , . . . , Pn‬של נקודות מ־ ‪ C‬השונות מ־ ‪ ,P‬היינו מגדירים = ‪ε‬‬
‫}‪ ,min{r, min1≤i≤n kP − Pi k‬ואז הכדור הפתוח )‪ B(P, ε‬לא היה יכול להכיל אף‬
‫נקודה של ‪ C‬פרט לנקודה היחידה ‪ P‬עצמה ־ אם היא בכלל שייכת לקבוצה‪) .‬ציירו‬
‫את ההוכחה!(‪.‬‬
‫)‪ (ii‬קבוצה ‪ C‬היא פתוחה אםם משלימתה סגורה‪ .‬כי אם ‪ C‬פתוחה ו־ ‪P ∈ C‬‬
‫אז יש סביבה של ‪ P‬המוכלת כולה ב־ ‪ ,C‬ולכן ‪ P‬אינה יכולה להיות נקודת‬
‫הצטברות של המשלים של ‪ ,C‬כלומר המשלים מכיל את כל נקודות ההצטברות‬
‫שלו ־ ולכן הוא קבוצה סגורה‪ .‬הוכחת הכיוון ההפוך דומה‪.‬‬
‫הקוטר של קבוצה ‪ C‬הוא }‪.diam(C) = sup{d(P, Q) : P, Q ∈ C‬‬
‫שני החלקים של המשפט הבא הם הכללות פשוטות של המקרה החד־ממדי‪.‬‬
‫משפט‪] (i) .‬הלמה של קנטור[ אם ‪ Ck‬סדרת קבוצות סגורות וחסומות ב־ ‪ Rn‬כך ש־‬
‫‪ Ck+1 ⊂ Ck‬אז ∅ =‪ .∩Ck 6‬אם גם ‪ diam(Ck ) → 0‬אז החיתוך ‪ ∩Ck‬מכיל בדיוק נקודה‬
‫אחת‪.‬‬
‫)‪] (ii‬משפט היינה־בורל[ תהי ‪ C‬תיבה סגורה‪ ,‬אז לכל כיסוי פתוח של ‪ C‬יש תת־כיסוי‬
‫סופי‪.‬‬
‫הוכחה‪ (i) .‬לכל ‪ k‬נבחר נקודה ‪ .Pk ∈ Ck‬הקבוצה ‪ C1‬חסומה‪ ,‬וכל הקבוצות‬
‫האחרות מוכלות בה‪ ,‬לכן הסדרה ‪ Pk‬חסומה‪ .‬עפ״י משפט בולצ׳אנו ווירשטראס‬
‫יש לה תת סדרה מתכנסת‪ .‬נניח כי ‪ Pkj → P‬ונוכיח שהנקודה ‪ P‬נמצאת בחיתוך‪.‬‬
‫‪69‬‬
‫ואמנם‪ ,‬אם נקבע ‪ ,k‬אז כל ה־ ‪Pkj‬־ים‪ ,‬פרט למספר סופי מהן‪ ,‬נמצאות ב־ ‪ Ck‬־‬
‫אבל ‪ Ck‬סגורה‪ ,‬ולכן גם הגבול ‪ P‬נמצא ב־ ‪.Ck‬‬
‫אם גם ‪ diam(Ck ) → 0‬לא ייתכן שהחיתוך יכיל שתי נקודות ‪ ,Q 6= P‬כי אז‬
‫היינו מקבלים שלכל ‪ k‬מתקיים ‪ ,diam(Ck ) ≥ kP − Qk > 0‬בסתירה להנחה‪.‬‬
‫)‪ (ii‬לא ניתן את ההוכחה‪ ,‬שהיא אנלוגית להוכחה במקרה החד ממדי )בשיטת‬
‫״אריה במדבר״(‪ .‬נעיר רק שהמשפט נכון לכל קבוצה סגורה וחסומה ‪ ,C‬ולא רק‬
‫לתיבה סגורה‪ :‬נבחר תיבה סגורה ‪ T ⊃ C‬ונוסיף לכיסוי הנתון } ‪ {Uα‬את הקבוצה‬
‫הפתוחה ‪ .R \ C‬מקבלים כיסוי פתוח של התיבה ‪ ,T‬ולכן ע״ס המקרה הפרטי של‬
‫תיבה יש תת כיסוי סופי של ‪ T‬־ והוא מכסה את ‪ C‬גם אם נשמיט ממנו את‬
‫‪.R \ C‬‬
‫יש לנו כעת את ״השפה המתמטית״ הדרושה להגדרת הרציפות של פונקציות‬
‫בין קבוצות חלקיות של מרחבים אוקלידיים‪.‬‬
‫הגדרה‪ .‬תהי ‪ D‬קבוצה חלקית כלשהי ב־ ‪ ,Rn‬ותהי ‪ .f : D → Rm‬נאמר ש־ ‪ f‬רציפה‬
‫בנקודה ‪ P ∈ D‬אם לכל ‪ ε > 0‬יש ‪ δ > 0‬כך שאם ‪ Q ∈ D‬מקיימת ‪ ,kQ − P k < δ‬אז‬
‫‪.kf (P ) − f (Q)k < ε‬‬
‫הערות‪ (i) .‬כמו ביחס לפונקציות של משתנה אחד‪ ,‬הגדרה זו שקולה להגדרה‬
‫בעזרת סדרות‪ f :‬רציפה בנקודה ‪ P ∈ D‬אםם לכל סדרה של נקודות ‪Pk ∈ D‬‬
‫המתכנסת לנקודה ‪ P‬מתקיים שהסדרה ) ‪ f (Pk‬מתכנסת ל־ ) ‪.f (P‬‬
‫הסימונים שהכנסנו מאוד יעילים‪ .‬שימו לב שהמרחקים וההתכנסויות‬
‫)‪(ii‬‬
‫במקור ובתמונה הם במרחבים שונים )כי בדר״כ ‪ ,(m 6= n‬אך הכתיבה היא‬
‫״כללית״ ודומה מאוד לכתיבה במקרה החד־ממדי‪ .‬למרות האנלוגיה המלאה הזו‬
‫בכתיבה‪ ,‬הרי‪ ,‬כפי שנראה בהמשך‪ ,‬במרחב ממימד גדול מ־ ‪ 1‬יש ״יותר כיוונים״‬
‫להתקרב לנקודה ‪ P‬והגיאומטריה של התכנסות ושל גבולות יותר מסובכת מאשר‬
‫בישר‪.‬‬
‫מההגדרה נובע באופן ישיר )כמו במקרה החד ממדי( שאם ההרכבה‬
‫)‪(iii‬‬
‫‪ G ◦ F‬מוגדרת היטב‪ ,‬ואם ‪ F‬רציפה בנקודה ‪ P‬ו־ ‪ G‬רציפה בנקודה ) ‪ ,F (P‬אז‬
‫‪ G ◦ F‬רציפה בנקודה ‪.P‬‬
‫עיקר העיסוק שלנו בקורס זה יהיה בפונקציות ממשיות של כמה משתנים‪,‬‬
‫כלומר בפונקציות ‪ f : D → R‬כאשר ‪ .D ⊂ Rn‬אך בהגדרות הבאות נתעניין‬
‫דוקא בפונקציות מקטע ‪ I ⊂ R1‬לתוך ‪.Rn‬‬
‫הגדרה‪ .‬יהי ‪ I ⊂ R1‬קטע‪ .‬פונקציה רציפה ‪ γ : I → Rn‬נקראת מסילה לתוך ‪.Rn‬‬
‫אם ]‪ I = [a, b‬קטע סגור‪ ,‬אז לנקודות )‪ γ(a‬ו־ )‪ γ(b‬נקרא נקודת ההתחלה ונקודת‬
‫הסיום )בהתאמה( של ‪.γ‬‬
‫אם )‪ γ(a) = γ(b‬אז המסילה נקראת סגורה‪.‬‬
‫התמונה של ‪ γ‬היא עקום מסויים ב־ ‪ ,Rn‬ודרך טובה לחשוב על המסילה היא‬
‫שחלקיק נע על פני העקום הזה כך שבזמן ‪ t‬הוא נמצא בנקודה )‪ .γ(t‬שימו לב‬
‫שאנחנו מתייחסים כאן לפונקציה ‪ γ‬ולא‪ ,‬כפי שהיה טבעי אולי לחשוב‪ ,‬רק לעקום‬
‫שהוא תמונתו‪ .‬באופן כזה אותו עקום מתואר ע״י הרבה מסילות‪.‬‬
‫‪70‬‬
‫לדוגמא‪ γ(t) = (cos t, sin t) ,‬עבור ‪ 0 ≤ t ≤ 2π‬היא מסילה במישור שהעקום‬
‫שהיא מתארת הוא מעגל היחידה‪ .‬גם )‪ γ(t) = (cos 2t, sin 2t‬עבור ‪0 ≤ t ≤ π‬‬
‫מתאר את אותו עקום‪ ,‬וגם )‪ γ(t) = (cos t, sin t‬עבור ‪ 0 ≤ t ≤ 5π‬מתאר אותו‪ ,‬אך‬
‫שתי המסילות הראשונות עוברות על המעגל פעם אחת )והמסילה השניה מתארת‬
‫תנועה במהירות כפולה מהראשונה(‪ ,‬והשלישית מתארת הקפה של המעגל פעמיים‬
‫וחצי‪.‬‬
‫הגדרה‪ .‬קבוצה חלקית ‪ D ⊂ Rn‬נקראת קשירה מסילתית אם לכל שתי נקודות ‪ P, Q‬ב־‬
‫‪ D‬יש מסילה ‪ γ : [a, b] → D‬כך ש־ ‪ γ(a) = P‬ו־ ‪) .γ(b) = Q‬ונאמר ש־ ‪ γ‬מקשרת‬
‫בין ‪ P‬ו־ ‪.(Q‬‬
‫קבוצה פתוחה וקשירה מסילתית נקראת תחום‪.‬‬
‫הקבוצות הקשירות מסילתית בישר הן רק קטעים‪ .‬במימד גבוה יש קבוצות‬
‫רבות כאלה‪ ,‬והנחת הקשירות המסילתית תהיה התחליף הטבעי כשנרצה להכליל‬
‫משפטים על פונקציות רציפות או גזירות בקטע לפונקציות רציפות או גזירות‬
‫בקבוצות חלקיות של ‪.Rn‬‬
‫‪4.2‬‬
‫פונקציות ממשיות בכמה משתנים‬
‫לשם פשטות נצטמצם מעתה לפונקציות של שני משתנים ונכתוב )‪.z = f (x, y‬‬
‫הגרף של פונקציה כזו })‪ {(x, y, z) ∈ R3 : z = f (x, y‬הוא ״משטח״ דו ממדי‬
‫במרחב התלת ממדי‪ .‬הקבוצות }‪ {(x, y) : f (x, y) ≡ c‬נקראות קווי הגובה של‬
‫‪) .f‬חישבו על מפה טופוגרפית(‪.‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫)‪ .f (x, y) = x + y (i‬זוהי פונקציה לינארית שהגרף שלה הוא מישור‪ .‬קו הגובה‬
‫שלה המתאים לערך ‪ c‬הוא הישר ‪) .x + y = c‬״שרטטו״ את הגרף של ‪.(f‬‬
‫‪ f (x, y) = x2xy‬עבור )‪ .(x, y) 6= (0, 0‬כדי לחשב את קו הגובה שלה‬
‫)‪(ii‬‬
‫‪+y 2‬‬
‫‪xy‬‬
‫המתאים לערך ‪ c‬צריך לפתור את המשוואה ‪ . x2 +y2 = c‬במקום לעשות זאת‬
‫נשים פשוט לב שהפונקציה קבועה על כל ישר )מנוקב בראשית( מהצורה ‪,y = λx‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪) c = 1+λ‬ו־ ‪ c = 0‬על ציר ה־ ‪ y‬המנוקב בראשית( ‪.‬‬
‫וערכה עליו הוא ‪2‬‬
‫זו דוגמא טובה כדי להראות שמושג הגבול בכמה משתנים אכן יותר מורכב‬
‫מהמקרה החד ממדי‪ .‬על הישרים השונים דרך הראשית מתקבלים ערכים שונים‪,‬‬
‫והגבול בראשית לא קיים! )איך נראה הגרף של הפונקציה?(‬
‫)‪(iii‬‬
‫‪<1‬‬
‫‪x2 y‬‬
‫‪x2 +y 2‬‬
‫|‪|xy‬‬
‫‪x2 +y 2‬‬
‫= )‪ f (x, y‬עבור )‪.(x, y) 6= (0, 0‬‬
‫כאן ‪ ,limx,y→0 f (x, y) = 0‬כי‬
‫לכל ‪ ,x, y‬ולכן אפילו רק ‪ x → 0‬מספיק כדי ש־ ‪→ 0‬‬
‫‪.x x2xy‬‬
‫‪+y 2‬‬
‫אחד המכשירים שנשתמש בהם כדי להבין ולנתח את המבנה של פונקציה‬
‫)‪ f (x, y‬הוא לקבוע את הערך של אחד המשתנים )למשל לקבוע ‪ (x0‬ולהסתכל‬
‫על )‪ f (x0 , y‬כפונקציה של המשנה האחר‪ ,y ,‬בלבד‪.‬‬
‫באופן גיאומטרי הפעולה שאנחנו עושים היא צמצום של הפונקציה לאיזשהו‬
‫ישר המקביל לצירים הראשיים‪ .‬הבנה של כל הצמצומים האלה נותן כלי להבנה‬
‫‪71‬‬
‫של המבנה של הפונקציה כולה‪ .‬אך הבנה זו היא בדר״כ חלקית בלבד‪ .‬למשל‪,‬‬
‫בדוגמא )‪ ,(ii‬לכל הפונקציות )‪ f (x0 , y‬ו־ ) ‪ f (x, y0‬יש אי רציפות סליקה ב־ ‪,0‬‬
‫ואם נגדיר ‪ ,f (0, 0) = 0‬הן תהיינה כולן רציפות ־ אך לפונקציה המקורית אין‬
‫כלל גבול בראשית‪.‬‬
‫‪g‬‬
‫‪f‬‬
‫סכום‪ ,‬מכפלה‪ ,‬מנה )כשהמכנה שונה מאפס( והרכבה ‪ R2 → R → R‬של‬
‫פונקציות רציפות היא פונקציה רציפה‪ .‬גם המשפטים הבאים על פונקציות רציפות‬
‫תקפים בכמה משתנים‪.‬‬
‫משפט‪] .‬משפט ערך הביניים[ תהי ‪ f‬רציפה בקבוצה קשירה מסילתית ‪ .D‬אם ‪P0 , P1 ∈ D‬‬
‫מקיימות ש־ ) ‪ f (P0 ) < α < f (P1‬עבור איזשהו מספר ‪ ,α‬אז יש נקודה ‪ Q‬ב־ ‪ D‬כך ש־‬
‫‪.f (Q) = α‬‬
‫הוכחה‪ .‬הקבוצה ‪ D‬קשירה מסילתית‪ ,‬ולכן יש מסילה )‪ γ(t‬בקטע ]‪ [0, 1‬כך ש־‬
‫‪ γ(t) ∈ D‬לכל ‪ t‬וכך ש־ ‪ γ(0) = P0‬ו־ ‪ .γ(1) = P1‬ההרכבה ))‪ g(t) = f (γ(t‬היא‬
‫פונקציה רציפה בקטע ומקיימת )‪ g(0) < α < g(1‬ולכן‪ ,‬עפ״י משפט ערך הביניים‬
‫במשתנה אחד‪ ,‬יש ‪ t0‬בקטע כך ש־ ‪ g(t0 ) = α‬ונבחר ) ‪.Q = γ(t0‬‬
‫לא ניתן את ההוכחות של שני המשפטים הבאים‪ .‬ההוכחות חזרות על‬
‫ההוכחות במקרה החד־ממדי תוך שימוש במשפט בולצ׳אנו ווירשטראס )או היינה‬
‫בורל( עבור קבוצות ב־ ‪.Rn‬‬
‫משפט‪] .‬משפט ווירשטראס[ תהי ‪ f‬רציפה בקבוצה סגורה וחסומה ‪ .D‬אז ‪ f‬חסומה‬
‫ומקבלת ב־ ‪ D‬מכסימום ומינימום‪.‬‬
‫נאמר ש־ ‪ f‬רציפה במידה שווה בקבוצה ‪ D‬אם לכל ‪ ε > 0‬יש ‪) δ > 0‬התלוי‬
‫רק ב־ ‪ (ε‬כך ש־ ‪ |f (P ) − f (Q)| < ε‬לכל ‪ P, Q ∈ D‬המקיימות ‪.kP − Qk < δ‬‬
‫משפט‪ .‬תהי ‪ f‬רציפה בקבוצה סגורה וחסומה ‪ .D‬אז ‪ f‬רציפה שם במדה שווה‪.‬‬
‫‪4.3‬‬
‫חשבון דיפרנציאלי בכמה משתנים‬
‫הגדרה‪ .‬הנגזרת החלקית של ‪ f‬לפי ‪ x‬בנקודה ) ‪ (x0 , y0‬היא‬
‫‪∂f‬‬
‫) ‪f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0‬‬
‫‪(x0 , y0 ) = lim‬‬
‫‪∆x→0‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∆x‬‬
‫ונסמן גם ) ‪ fx (x0 , y0‬או ) ‪ fx0 (x0 , y0‬או ) ‪ .D1 f (x0 , y0‬הנגזרת החלקית‬
‫‪ ,y‬מוגדרת באופן דומה‪.‬‬
‫‪∂f‬‬
‫‪∂y‬‬
‫לפי המשתנה‬
‫‪∂f‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y−1‬‬
‫לדוגמא‪ ,‬אם ‪) f (x, y) = xy‬עבור ‪ (x > 0‬אז‬
‫‪. ∂f‬‬
‫‪ ∂x = yx‬ו־ ‪∂y = x ln x‬‬
‫קיום הנגזרות החלקיות אינו חזק כמו קיום נגזרת במשתנה אחד )ונסביר‬
‫זאת בפירוט מיד(‪ .‬הוא נותן אינפורמציה על קצב הגידול של הפונקציה רק‬
‫‪72‬‬
‫בכיוונים הראשיים‪ ,‬וזה לא מספיק אפילו להבטחת הרציפות שלה‪ .‬ראינו למשל‬
‫שהפונקציה‬
‫(‬
‫‪xy‬‬
‫)‪(x, y) 6= (0, 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f (x, y) = x +y‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪(x, y) = (0, 0‬‬
‫איננה רציפה בראשית‪ ,‬אך ‪= 0‬‬
‫הראשיים‪.‬‬
‫‪∂f‬‬
‫)‪∂x (0, 0‬‬
‫=‬
‫‪∂f‬‬
‫)‪∂y (0, 0‬‬
‫כי ‪ f‬זהותית אפס על הצירים‬
‫במשתנה אחד קיום נגזרת בנקודה ‪ x0‬אומר שהפונקציה משתנה באופן רגולרי‬
‫בסביבת הנקודה‪ :‬יש לגרף משיק )ששיפועו ) ‪ ,(f 0 (x0‬והפונקציה ניתנת לקירוב טוב‬
‫ע״י פונקציה לינארית ־ ראינו באינפי ‪ 1‬שפונקציה של משתנה אחד היא גזירה‬
‫)‪ limt→0 ε(t‬כך שמתקיים‬
‫בנקודה ‪ x0‬אםם יש קבוע ‪ A‬ופונקציה )‪ ε(t‬כך ש־ ‪t = 0‬‬
‫)‪f (x0 + ∆x) = f (x0 ) + A∆x + ε(∆x‬‬
‫)‪(4.1‬‬
‫ובמקרה זה ) ‪.A = f 0 (x0‬‬
‫קיום נגזרות חלקיות בנקודה ‪ P‬אומר רק שהפונקציה משתנה באופן מאד‬
‫רגולרי בכיוונים הראשיים בסביבת הנקודה‪ ,‬ושלגרפים של הצמצומים שלה לישרים‬
‫דרך הנקודה המקבילים לצירים יש משיקים )ששיפועיהם הם ) ‪ fx0 (P‬ו־ ) ‪.(fy0 (P‬‬
‫אך זה לא מספיק כדי לתאר את התנהגות הפונקציה בכיוונים אחרים‪ ,‬ובפרט‬
‫זה לא אומר שהיא ניתנת לקירוב טוב ע״י פונקציה לינארית‪ .‬האנלוג הדו־ממדי‬
‫המלא לגזירות הוא קיום מישור משיק לגרף בנקודה ‪ ,P‬וההגדרה הבאה היא‬
‫הניסוח האנליטי לכך‪.‬‬
‫הגדרה‪ .‬פונקציה )‪ f (x, y‬היא דיפרנציאבילית בנקודה ) ‪ P = (x0 , y0‬אם יש קבועים ‪ A‬ו־‬
‫)‪ lims,t→0 √ε(s,t‬באופן שמתקיים‬
‫‪ B‬ופונקציה )‪ ε(s, t‬כך ש־ ‪= 0‬‬
‫‪s2 +t2‬‬
‫)‪f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) = f (P ) + A∆x + B∆y + ε(∆x, ∆y‬‬
‫)‪(4.2‬‬
‫‪p‬‬
‫הערות‪ (i) .‬שימו לב כי ‪ (∆x)2 + (∆y)2‬הוא המרחק בין הנקודה ) ‪P = (x0 , y0‬‬
‫לבין הנקודה )‪ ,(x0 + ∆x, y0 + ∆y‬והגדרת הדיפרנציאביליות (‪ )4.2‬אנלוגית לגמרי‬
‫לנוסחה (‪ )4.1‬במקרה החד־מימדי‪.‬‬
‫)‪(ii‬‬
‫המישור המשיק לגרף של ‪ f‬בנקודה ‪ P‬הוא המישור‬
‫‪∂f‬‬
‫‪∂f‬‬
‫‪(P )(x − x0 ) +‬‬
‫) ‪(P )(y − y0‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪. z = f (P ) +‬‬
‫יהיה לנו נוח‪ ,‬לעתים‪ ,‬לכתוב את תנאי הדיפרנציאביליות בצורה קצת שונה‬
‫למה‪ .‬הפונקציה )‪ f (x, y‬דיפרנציאבילית בנקודה ) ‪ P = (x0 , y0‬אםם יש קבועים ‪ A‬ו־‬
‫‪ B‬ופונקציות )‪ α(s, t‬ו־ )‪ β(s, t‬כך ש־ ‪ ,lims,t→0 α(s, t) = lims,t→0 β(s, t) = 0‬וכך‬
‫שמתקיים‬
‫‪. f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) = f (P ) + A∆x + B∆y + α(∆x, ∆y)∆x + β(∆x, ∆y)∆y‬‬
‫‪73‬‬
‫הוכחה‪ .‬נוכיח רק שתנאי הלמה גוררים דיפרנציאביליות )וזה גם הכיוון שבו‬
‫נשתמש בהמשך(‪ .‬השלימו כתרגיל את הכיוון השני‪.‬‬
‫√‬
‫‪, α(s,t)s+β(s,t)t‬‬
‫→‬
‫‪0‬‬
‫כי‬
‫לבדוק‬
‫נגדיר ‪ ,ε(s, t) = α(s, t)s + β(s, t)t‬ויש רק‬
‫‪s2 +t2‬‬
‫‪p‬‬
‫√‬
‫‪2‬‬
‫ובאמת‪ ,‬עפ״י אי שוויון קושי שוורץ ‪,|α(s, t)s + β(s, t)t| ≤ α + β 2 s2 + t2‬‬
‫הגורם הראשון שואף לאפס‪ ,‬והשני מצטמצם עם המכנה‪.‬‬
‫הערה‪ .‬חישוב ישיר אומר כי לפונקציה דיפרנציאבילית יש נגזרות חלקיות‬
‫‪∂f‬‬
‫) ‪f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0‬‬
‫)‪A∆x + ε(|∆x|, 0‬‬
‫‪(P ) = lim‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪=A‬‬
‫‪∆x→0‬‬
‫‪∆x→0‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∆x‬‬
‫‪∆x‬‬
‫‪. ∂f‬‬
‫ובאופן דומה ‪∂y (P ) = B‬‬
‫הכיוון ההפוך לא נכון‪ .‬בדקו למשל עפ״י ההגדרה שהפונקציה‬
‫(‬
‫‪xy‬‬
‫)‪(x, y) 6= (0, 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f (x, y) = x +y‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪(x, y) = (0, 0‬‬
‫איננה דיפרנציאבילית ב־ )‪) .(0, 0‬בהמשך נראה שפונקציה דיפרנציאבילית היא‬
‫רציפה‪ ,‬וראינו שהפונקציה הזו איננה רציפה בראשית(‪.‬‬
‫בהגדרת הנגזרות החלקיות בדקנו את קצב השתנות הפונקציה בשני כיוונים‬
‫מסויימים שנקבעו בבחירה שרירותית של מערכת הצירים‪ .‬נגדיר כעת נגזרות‬
‫בכיוון כללי‪.‬‬
‫הגדרה‪ .‬יהי ‪ V 6= 0‬וקטור ב־ ‪ .Rn‬הנגזרת המכוונת של ‪ f‬בנקודה ‪ P‬בכיוון ‪ V‬היא‬
‫‪∂f‬‬
‫) ‪f (P + tV ) − f (P‬‬
‫‪(P ) = lim+‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t→0‬‬
‫ונשתמש גם בסימון ) ‪.DV f (P‬‬
‫באופן גיאומטרי רואים שקיום מישור משיק מבטיח קיום ישרים משיקים‬
‫לפונקציה בכל הכיוונים‪ .‬המשפט הבא אומר זאת באופן אנליטי‪ ,‬ואף נותן את‬
‫הנוסחה לחישוב הנגזרות המכוונות‪.‬‬
‫משפט‪ .‬אם ‪ f‬דיפרנציאבילית בנקודה ) ‪ P = (x0 , y0‬אז קיימות לה הנגזרות המכוונות ב־‬
‫‪ ,P‬והנגזרת המכוונת שלה בכיוון )‪ V = (v, w‬ניתנת ע״י הנוסחה‬
‫‪∂f‬‬
‫) ‪(P ) = vfx (P ) + wfy (P‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‪.‬‬
‫הווקטור )) ‪ (fx (P ), fy (P‬נקרא הגרדיאנט של ‪ f‬ב־ ‪ ,P‬והוא מסומן ע״י ) ‪.∇f (P‬‬
‫‪∂f‬‬
‫‪. ∂V‬‬
‫בסימון זה הנוסחה היא ‪(P ) = h∇f (P ), V i‬‬
‫‪74‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫) ‪fx (P ) · tv + fy (P ) · tw + ε(tV‬‬
‫‪t‬‬
‫) ‪ε(tV‬‬
‫‪h∇f (P ), V i +‬‬
‫‪−→ h∇f (P ), V i‬‬
‫‪t t→0‬‬
‫=‬
‫) ‪f (P + tV ) − f (P‬‬
‫‪t‬‬
‫=‬
‫הערה‪ .‬ל־ ) ‪ ∇f (P‬יש משמעות גיאומטרית חשובה‪ .‬זהו הכיוון שבו יש ל־ ‪ f‬קצב‬
‫גידול מכסימלי בנקודה ‪ .P‬ואמנם‪ ,‬לכל ווקטור יחידה ‪ V‬מתקיים‪ ,‬עפ״י אי שוויון‬
‫קושי שוורץ‪ ,‬אי השוויון‬
‫‪DV f (P ) = h∇f (P ), V i ≤ k∇f (P )k kV k‬‬
‫ויש בו שוויון אםם ‪ V‬ו־ ) ‪ ∇f (P‬הם באותו כיוון‪.‬‬
‫טענה‪ .‬אם ‪ f‬דיפרנציאבילית בנקודה ) ‪ ,(x0 , y0‬אז היא רציפה שם‪.‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫→‪−‬‬
‫‪∆x,∆y→0‬‬
‫)‪f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) = A∆x + B∆y + ε(∆x, ∆y‬‬
‫ראינו שקיום נגזרות חלקיות אינו גורר רציפות‪ ,‬ולכן בודאי שאינו גורר דיפרנציאביליות‪.‬‬
‫מתברר שאם הנגזרות החלקיות קיימות לא רק בנקודה‪ ,‬אלה גם בסביבה שלה‪,‬‬
‫ואם הן רציפות בנקודה‪ ,‬אז ‪ f‬אכן דיפרנציאבילית שם‪.‬‬
‫משפט‪ .‬אם יש ל־ ‪ f‬נגזרות חלקיות בסביבה של הנקודה ) ‪ (x0 , y0‬ואם הן רציפות ב־‬
‫) ‪ ,(x0 , y0‬אז ‪ f‬דיפרנציאבילית שם‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נציג‬
‫) ‪f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0‬‬
‫©‬
‫© ‪ª‬‬
‫‪ª‬‬
‫=‬
‫) ‪f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 + ∆y) + f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0‬‬
‫ונטפל בכל מחובר בנפרד‪.‬‬
‫עפ״י משפט לגרנז׳ יש ‪ ,0 < θ1 < 1‬התלוי ב־ ‪ ∆x ,y0 ,x0‬ו־ ‪ ,∆y‬כך ש־‬
‫‪f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 + ∆y) = fx (x0 + θ1 ∆x, y0 + ∆y) · ∆x‬‬
‫ולכן נוכל להציג את המחובר הראשון בצורה ‪fx (x0 , y0 )∆x+α(∆x, ∆y)∆x‬כאשר‬
‫‪α(∆x, ∆y) = fx (x0 + θ1 · ∆x, y0 + ∆y) − fx (x0 , y0 ) → 0‬‬
‫‪75‬‬
‫מכיוון ש־ ‪ fx‬רציפה ב־ ) ‪.(x0 , y0‬‬
‫באופן דומה‬
‫= ) ‪f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0‬‬
‫=‬
‫‪fy (x0 , y0 + θ2 ∆y) · ∆y‬‬
‫‪fy (x0 , y0 )∆y + β(∆x, ∆y)∆y‬‬
‫כאשר ‪.β(∆x, ∆y) = fy (x0 , y0 + θ2 ∆y) − fy (x0 , y0 ) → 0‬‬
‫הערה‪ .‬התנאי במשפט מספיק בלבד‪ ,‬ונגזרות חלקיות של פונקציה דיפרנציאבילית‬
‫אינן צריכות להיות רציפות‪ .‬למשל‪ ,‬הפונקציה‬
‫¶‬
‫‪µ‬‬
‫‪‬‬
‫‪(x2 + y 2 ) sin √ 1‬‬
‫)‪(x, y) 6= (0, 0‬‬
‫‪x2 +y 2‬‬
‫= )‪f (x, y‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪(x, y) 6= (0, 0‬‬
‫‪∂f‬‬
‫)‪∂x (x, 0‬‬
‫‪ limx→0‬לא קיים ולכן‬
‫דיפרנציאבילית ב־ )‪) (0, 0‬ניקח ‪ ,(A = B = 0‬אך‬
‫‪ fx‬בוודאי לא רציפה‪.‬‬
‫אם יש ל־ ‪ f‬נגזרות חלקיות רציפות בתחום ‪ ,D‬נאמר לפעמים ש־ ‪ f‬גזירה‬
‫ברציפות ב־ ‪.D‬‬
‫המשפט שהוכחנו מפתיע מאוד‪ .‬האינפורמציה הנתונה דנה לכאורה רק בהשתנות‬
‫של הפונקציה בכיווני הצירים הראשיים‪ ,‬אך המסקנה היא על מבנה הפונקציה‬
‫כולה ־ המישור המשיק מקרב את הפונקציה היטב בכל הכיוונים! ההסבר הוא‬
‫שתנאי הרציפות של הנגזרות החלקיות ״מכריח״ את הפונקציה להתנהג באופן‬
‫רגולרי‪ ,‬אך קשה לראות באופן גיאומטרי איך זה קורה‪ ,‬וההוכחה היא מתמטית‬
‫טכנית )שימוש במשפט לגרנז׳( ואיננה תורמת להבנה אינטואיטיבית של התופעה‪.‬‬
‫משפט‪] .‬כלל השרשרת[ תהי ‪ f‬דיפרנציאבילית בתחום קשיר מסילתית ‪ ,D‬ונניח שהפונקציות‬
‫הן פונקציות גזירות )לפי ‪ (t‬ומקיימות ש־ ‪ (x(t), y(t)) ∈ D‬לכל ‪ .t‬אז הפונקציה‬
‫‪¡ x(t), y(t)¢‬‬
‫)‪ F (t) = f x(t), y(t‬גזירה‪ ,‬ונגזרתה היא‬
‫‪dF‬‬
‫‪∂f dx ∂f dy‬‬
‫=‬
‫·‬
‫‪+‬‬
‫·‬
‫‪dt‬‬
‫‪∂x dt‬‬
‫‪∂y dt‬‬
‫או‪ ,‬בכתיבה אחרת‪.F 0 = fx · x0 + fy · y 0 ,‬‬
‫הוכחה‪ .‬מהרציפות והגזירות של )‪ x(t‬ו־ )‪ y(t‬נובע כי אם‬
‫)‪∆y = y(t + ∆t) − y(t‬‬
‫;‬
‫)‪∆x = x(t + ∆t) − x(t‬‬
‫‪∆y‬‬
‫‪∆t‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ . ∆x‬היות ש־ ‪f‬‬
‫ו־ )‪∆t → x (t‬‬
‫אז כאשר ‪ ∆t → 0‬גם ‪ ,∆x, ∆y → 0‬וכן )‪→ y 0 (t‬‬
‫דיפרנציאבילית ב־ ‪ ,D‬נציג‬
‫¡‬
‫‪¢‬‬
‫¡‬
‫‪¢‬‬
‫)‪F (t + ∆t) − F (t) = f x(t + ∆t), y(t + ∆t) − f x(t), y(t‬‬
‫‪¢‬‬
‫‪¢‬‬
‫¡ ‪∂f‬‬
‫¡ ‪∂f‬‬
‫=‬
‫‪x(t), y(t) · ∆x +‬‬
‫‪x(t), y(t) · ∆y + α · ∆x + β · ∆y‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪76‬‬
‫כאשר ע״ס האמור בפתיחה ‪ .α(∆x, ∆y), β(∆x, ∆y) → 0‬ולכן‬
‫‪∆t→0‬‬
‫‪∆F‬‬
‫‪∆x‬‬
‫‪∆y‬‬
‫‪∆x‬‬
‫‪∆y‬‬
‫· ‪= fx‬‬
‫· ‪+ fy‬‬
‫·‪+α‬‬
‫·‪+β‬‬
‫‪−→ fx · x0 + fy · y 0‬‬
‫‪∆t‬‬
‫‪∆t‬‬
‫‪∆t‬‬
‫‪∆t‬‬
‫‪∆t ∆t→0‬‬
‫‪.‬‬
‫הערה‪ .‬תהי ))‪ γ(t) = (x(t), y(t‬מסילה‪ .‬נאמר שהמסילה גזירה אם הפונקציות‬
‫)‪ x(t‬ו־ )‪ y(t‬גזירות‪ .‬במקרה זה נסמן ) ‪ .γ(t)0 = (x(t)0 , y(t)0‬במונחים אלה כלל‬
‫השרשת הוא‬
‫‪d‬‬
‫‪0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪f (γ(t)) = h∇f (γ(t)), γ (t)i‬‬
‫‪dt‬‬
‫תחום פתוח¡ וקשיר מסילתית‪,‬‬
‫לפני המסקנה הבאה נציין )ללא הוכחה( שאם ‪¢ D‬‬
‫אז לכל שתי נקודות ‪ P, Q‬בתחום יש מסילה גזירה )‪ γ(t) = x(t), y(t‬המוכלת‬
‫כולה ב־ ‪ D‬כך ש־ ‪ γ(0) = P‬ו־ ‪.γ(1) = Q‬‬
‫מסקנה‪ .‬אם ‪ f‬גזירה ברציפות בתחום קשיר מסילתית ‪ D‬כך ש־ ‪ fx ≡ fy ≡ 0‬בתחום‪,‬‬
‫אז ‪ f‬קבועה ב־ ‪.D‬‬
‫¡‬
‫‪¢‬‬
‫)‪ γ(t) = x(t), y(t‬המוכלת כולה ב־‬
‫¡‬
‫הוכחה‪ .‬אם ‪ P, Q ∈ D‬אז יש מסילה גזירה‪¢‬‬
‫‪ D‬כך ש־ ‪ γ(0) = P‬ו־ ‪ ,γ(1) = Q‬ונסמן )‪ .F (t) = f γ(t‬עפ״י הנתון‬
‫‪dF‬‬
‫‪= fx · x0 + fy · y 0 ≡ 0‬‬
‫‪dt‬‬
‫ולכן ‪ F‬קבועה ומתקיים )‪ ,F (0) = F (1‬כלומר )‪.f (P ) = f (Q‬‬
‫‪4.4‬‬
‫נגזרות מסדר גבוה‬
‫הנגזרת חלקית ‪ fx‬של ‪ ,f‬יכולה גם היא להיות בעלת נגזרות חלקיות ‪ (fx )x‬או־‬
‫‪ ,(fx )y‬ונסמן אותן ב־ ‪ fxx‬ו־ ‪ fxy‬בהתאמה‪ .‬באופן דומה נסמן ‪ fyx‬ו־ ‪.fyy‬‬
‫לנגזרות ‪ fxy‬ו־ ‪ fyx‬קוראים הנגזרות המעורבות מסדר שני‪.‬‬
‫דוגמא‪.‬‬
‫(‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪xy xx2 −y‬‬
‫‪+y 2‬‬
‫= )‪ f (x, y‬אז כאשר‬
‫‪0‬‬
‫)‪(x, y) 6= (0, 0‬‬
‫בדר״כ ‪ .fxy 6= fyx‬למשל‪ ,‬אם‬
‫)‪(x, y) = (0, 0‬‬
‫) ‪[y(x2 −y2 )+xy(2x)](x2 +y2‬‬
‫= )‪ ,fx (x, y‬ובפרט‬
‫)‪ (x, y) 6= (0, 0‬מתקיים‬
‫‪(x2 +y 2 )2‬‬
‫‪(∆y)3 · (∆y)2‬‬
‫‪= −∆y‬‬
‫‪(∆y)4‬‬
‫‪77‬‬
‫‪. fx (0, ∆y) = −‬‬
‫והיות ש־‬
‫)‪f (∆x, 0) − f (0, 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪fx (0, 0) = lim‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪∆x→0‬‬
‫‪∆x→0 ∆x‬‬
‫‪∆x‬‬
‫מקבלים‬
‫‪−∆y − 0‬‬
‫)‪fx (0, ∆y) − fx (0, 0‬‬
‫= ‪= lim‬‬
‫‪= −1‬‬
‫‪∆y→0‬‬
‫‪∆y‬‬
‫‪∆y‬‬
‫‪. (fx )y (0, 0) = lim‬‬
‫‪∆y→0‬‬
‫חישוב דומה )או שימוש בזהות )‪ (f (x, y) = −f (y, x‬מראה ש־ ‪.(fy )x (0, 0) = 1‬‬
‫כלומר )‪.(fx )y (0, 0) 6= (fy )x (0, 0‬‬
‫אך מתברר שהשוויון ‪ fxy = fyx‬דוקא כן מתקיים בתנאים מאוד רחבים‪.‬‬
‫משפט‪ .‬אם שתי הנגזרות החלקיות המעורבות ‪ fxy , fyx‬קיימות בתחום ורציפות בו‪ ,‬אז הן‬
‫שוות‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬אפשר להוכיח את המשפט‪ ,‬ואפילו משפט כללי יותר‪ ,‬באופן ישיר )ראו‬
‫בספר של מייזלר(‪ .‬אנחנו נדחה את ההוכחה‪ ,‬וניתן אותה בסעיף הבא בעזרת‬
‫אינטגרלים התלויים בפרמטר‪.‬‬
‫‪ 4.5‬אינטגרל התלוי בפרמטר‬
‫הנגזרות החלקיות של פונקציה של שני משתנים מתקבלות כאשר ״מקפיאים״ את‬
‫הערך של משתנה אחד וגוזרים אותה עפ״י המשתנה האחר‪ .‬באופן דומה נוכל גם‬
‫‪Rb‬‬
‫לבצע אינטגרציה עפ״י משתנה אחד ולקבל פונקציה חדשה ‪F (u) = a f (x, u)dx‬‬
‫התלויה רק במשתנה האחר‪ .‬למשתנה ‪ u‬מתייחסים לפעמים כאל פרמטר‪ ,‬ומכאן‬
‫השם אינטגרל התלוי בפרמטר‪.‬‬
‫משפט‪ .‬תהי ‪ f‬רציפה במלבן ]‪ .[a, b] × [α, β‬אז הפונקציה ‪f (x, u)dx‬‬
‫פונקציה רציפה בקטע ]‪.[α, β‬‬
‫‪Rb‬‬
‫‪a‬‬
‫= )‪ F (u‬היא‬
‫הוכחה‪ .‬נקבע ‪ .ε > 0‬הפונקציה ‪ f‬רציפה בקבוצה סגורה וחסומה )מלבן סגור(‪,‬‬
‫ולכן היא רציפה שם במ״ש ויש )‪ δ = δ(ε‬כך ש־ ‪ |f (P ) − f (Q)| < ε‬לכל ‪P, Q‬‬
‫במלבן המקיימות ‪.d(P, Q) < δ‬‬
‫תהיינה כעת ]‪ u1 , u2 ∈ [α, β‬כך ש־ ‪ .|u1 −u2 | < δ‬אז גם ‪d((x, u1 ), (x, u2 )) < δ‬‬
‫ולכן‬
‫‪b‬‬
‫‪Z‬‬
‫)‪εdx = ε(b − a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Z‬‬
‫< ‪|f (x, u1 ) − f (x, u2 )|dx‬‬
‫‪a‬‬
‫≤ |) ‪. |F (u1 ) − F (u2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪78‬‬
‫למעשה נכון משפט כללי יותר‬
‫משפט‪ .‬תהי ‪ f‬מוגדרת במלבן ]‪ .[a, b] × [α, β‬אם ‪ f‬רציפה במלבן אז הפונקציה‬
‫‪Rt‬‬
‫‪ F (s, t, u) = s f (x, u)dx‬רציפה בתיבה ]‪.[a, b] × [a, b] × [α, β‬‬
‫בפרט‪ ,‬אם ]‪ A, B : [α, β] → [a, b‬הן שתי פונקציות רציפות‪ ,‬אז גם הפונקציה‬
‫)‪R B(u‬‬
‫‪ ϕ(u) = A(u) f (x, u)dx‬היא פונקציה רציפה בקטע ]‪.[α, β‬‬
‫הוכחה‪ .‬לשם פשטות נניח שהגבול התחתון קבוע‪ ,‬ונסתכל בפונקציה של שני‬
‫‪Rt‬‬
‫משתנים ‪.F (t, u) = a f (x, u)dx‬‬
‫נקבע ‪ ,ε > 0‬ונציג את )‪ F (t + ∆t, u + ∆u) − F (t, u‬כסכום‬
‫‪Z‬‬
‫‪t+∆t‬‬
‫‪f (x, u + ∆u)dx‬‬
‫‪¢‬‬
‫‪f (x, u + ∆u) − f (x, u) dx +‬‬
‫¡‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪a‬‬
‫ונעריך כעת כל מחובר בנפרד‪.‬‬
‫את המחובר הראשון נעריך כמו במשפט הקודם‪ .‬מרציפות במ״ש נמצא ‪δ‬‬
‫כך ש־ ‪ |f (P ) − f (Q)| < ε‬לכל ‪ P, Q‬במלבן המקיימות ‪ .d(P, Q) < δ‬ואז אם‬
‫‪ |u1 − u2 | < δ‬אז‬
‫‪t‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪|f (x, u1 ) − f (x, u2 )|dx < ε(t − a) ≤ ε(b − a‬‬
‫‪a‬‬
‫להערכת המחובר השני נשתמש בכך שפונקציה רציפה בקבוצה סגורה וחסומה‬
‫היא פונקציה חסומה‪ ,‬ונמצא ‪ M‬כך ש־ ‪ |f (x, y)| ≤ M‬לכל )‪ (x, y‬במלבן‪ .‬ואז‬
‫‪¯Z‬‬
‫¯‬
‫‪¯ t+∆t‬‬
‫¯‬
‫¯‬
‫¯‬
‫¯ ‪.‬‬
‫‪f (x, u + ∆u)dx¯ ≤ M |∆t| −→ 0‬‬
‫‪∆t→0‬‬
‫‪¯ t‬‬
‫¯‬
‫הרציפות של ‪ ϕ‬נובעת מהחלק הראשון ומהרציפות של הרכבת פונקציות‬
‫רציפות‪.‬‬
‫נעבור כעת לגזירה של האינטגרל עפ״י הפרמטר‪.‬‬
‫משפט‪] .‬כלל הגזירה מתחת לסימן האינטגרל[ תהי ‪ f‬מוגדרת במלבן ]‪ [a, b] × [α, β‬כך‬
‫‪Rb‬‬
‫‪ ∂f‬רציפות‪ .‬אז הפונקציה ‪F (u) = a f (x, u)dx‬‬
‫ש־ ‪ f‬גזירה עפ״י ‪ ,y‬וכך ש־ ‪ f‬ו־ ‪∂y‬‬
‫גזירה בקטע ]‪ ,[α, β‬ונגזרתה ניתנת ע״י הנוסחה‬
‫)‪∂f (x, u‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪a‬‬
‫‪79‬‬
‫‪dF‬‬
‫‪.‬‬
‫= )‪(u‬‬
‫‪du‬‬
‫הוכחה‪ .‬על פי משפט לגרנז׳ יש )‪ θ = θ(u, x, ∆u‬עם ‪ 0 < θ < 1‬כך ש‬
‫‪∂f‬‬
‫‪(x, u + θ∆u) · ∆u dx‬‬
‫‪∂y‬‬
‫עפ״י המשפט הקודם‬
‫)‪∂f (x, u‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪£‬‬
‫‪¤‬‬
‫= ‪f (x, u + ∆u) − f (x, u) dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪b‬‬
‫= ‪. ∆F‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪∂f (x,y‬‬
‫‪∂y dx‬‬
‫‪Rb‬‬
‫‪a‬‬
‫= )‪ G(y‬היא פונקציה רציפה‪ ,‬ולכן‬
‫)‪∂f (x, u + θ∆u‬‬
‫= )‪dx = G(u + θ∆u) −→ G(u‬‬
‫‪∆u→0‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪a‬‬
‫‪∆F‬‬
‫=‬
‫‪.‬‬
‫‪∆u‬‬
‫כמו ביחס לרציפות‪ ,‬גם כאן יש משפט כללי יותר‪.‬‬
‫משפט‪ .‬תהי ‪ f‬מוגדרת במלבן ]‪ [a, b] × [α, β‬כך ש־ ‪ f‬גזירה עפ״י ‪ ,y‬וכך ש־ ‪ f‬ו־‬
‫‪Rt‬‬
‫‪ ∂f‬רציפות במלבן‪ .‬אז הפונקציה ‪ F (s, t, u) = s f (x, u)dx‬דיפרנציאבילית בתיבה‬
‫‪∂y‬‬
‫]‪.[a, b] × [a, b] × [α, β‬‬
‫בפרט‪ ,‬אם הפונקציות ]‪ A, B : [α, β] → [a, b‬הן שתי פונקציות גזירות‪ ,‬אז גם‬
‫)‪R B(u‬‬
‫הפונקציה ‪ ϕ(u) = A(u) f (x, u)dx‬גזירה בקטע ]‪ [α, β‬ונגזרתה ניתנת ע״י הנוסחה‬
‫)‪∂f (x, u‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪∂y‬‬
‫)‪B(u‬‬
‫‪Z‬‬
‫)‪A(u‬‬
‫‪dϕ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪(u) = B 0 (u)f (B(u), u) − A0 (u)f (A(u), u) +‬‬
‫‪du‬‬
‫הוכחה‪ .‬נוכיח את הדיפרנציאביליות של ‪ F‬ע״י כך שנראה שהיא גזירה עפ״י‬
‫שלושת המשתנים‪ ,‬וכי נגזרותיה החלקיות רציפות בתיבה‪.‬‬
‫)‪R t (x,u‬‬
‫‪∂F‬‬
‫‪ , ∂u (s, t, u) = s ∂f ∂y‬וזו פונקציה רציפה‬
‫ואמנם‪ ,‬עפ״י המשפט הקודם ‪dx‬‬
‫‪ ∂f‬ועפ״י המשפט על רציפות‪.‬‬
‫בתיבה עפ״י הנחת הרציפות של ‪∂y‬‬
‫בחישוב שתי הנגזרות החלקיות האחרות ערך הפרמטר קבוע‪ ,‬ולכן נשתמש‬
‫במשפט היסודי של החדו״א ונקבל כי‬
‫‪∂F‬‬
‫)‪(s, t, u) = −f (s, u‬‬
‫‪∂s‬‬
‫;‬
‫‪∂F‬‬
‫)‪(s, t, u) = f (t, u‬‬
‫‪∂t‬‬
‫ועפ״י הנתון אלה פונקציות רציפות‪.‬‬
‫הגזירות של ‪ ,ϕ‬והנוסחה לנגזרתה נובעות מכלל השרשרת‪.‬‬
‫‪Rb‬‬
‫= )‪ F (y‬אינטגרבילית בקטע ]‪ ,[α, β‬אז לאינטגרל‬
‫‪f (x, y)dx‬‬
‫אם הפונקציה‬
‫הגדרה‪´ .‬‬
‫‪R β ³R b‬‬
‫שלה ‪ α a f (x, y)dx dy‬נקרא אינטגרל נשנה של ‪ .f‬באופן דומה אפשר גם לבצע‬
‫´‬
‫‪R b ³R β‬‬
‫את האינטגרציות בסדר הפוך‪ ,‬ולקבל את האינטגרל הנשנה ‪. a α f (x, y)dy dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪80‬‬
‫מתברר שבתנאים די כלליים שני האינטגרלים הנשנים שווים‪) .‬איפורמציה‬
‫נוספת עליהם נקבל בפרק על האינטגרל הכפול(‪ .‬אנחנו נוכיח רק מקרה מאוד‬
‫פשוט‪.‬‬
‫משפט‪ .‬אם ‪ f‬רציפה במלבן ]‪ ,[a, b] × [α, β‬אז‬
‫!‬
‫‪Z b ÃZ β‬‬
‫‪b‬‬
‫= ‪f (x, y)dx dy‬‬
‫‪f (x, y)dy dx‬‬
‫!‬
‫‪α‬‬
‫‪a‬‬
‫‪β‬‬
‫‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫הוכחה‪ .‬נגדיר שתי פונקציות של המשתנה ‪t‬‬
‫¶‬
‫‪Z b µZ t‬‬
‫;‬
‫= )‪ψ(t‬‬
‫‪f (x, y)dy dx‬‬
‫‪α‬‬
‫‪ÃZ‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪α‬‬
‫!‬
‫‪Z t ÃZ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪f (x, y)dx dy‬‬
‫‪a‬‬
‫= )‪ϕ(t‬‬
‫‪a‬‬
‫‪α‬‬
‫ונראה שהן שוות‪ ,‬ובפרט )‪ ϕ(β) = ψ(β‬כמבוקש‪ .‬היות ש־ )‪ ,ϕ(α) = ψ(α‬די‬
‫שנראה ש־ ‪ ,ϕ0 = ψ 0‬ולשם כך נשתמש במשפטים שלמדנו‪.‬‬
‫‪Rb‬‬
‫הפונקציה ‪ F (y) = a f (x, y)dx‬רציפה‪ ,‬ולכן עפ״י המשפט היסודי של החדו״א‬
‫‪Z‬‬
‫‪Z b‬‬
‫‪d t‬‬
‫‪0‬‬
‫= )‪. ϕ (t‬‬
‫= )‪F (y)dy = F (t‬‬
‫‪f (x, t)dx‬‬
‫‪dt α‬‬
‫‪a‬‬
‫‪Rt‬‬
‫שוב עפ״י המשפט היסודי של החדו״א‪ ,‬הפונקציה ‪ G(x, t) = α f (x, y)dy‬גזירה‬
‫‪ ∂G‬רציפה‪ ,‬ולכן גזירה מתחת לסימן האינטגרל‬
‫עפ״י ‪ t‬ונגזרתה )‪∂t (x, t) = f (x, t‬‬
‫נותנת כי גם‬
‫‪Z b‬‬
‫‪Z b‬‬
‫‪Z b‬‬
‫‪d‬‬
‫‪∂G‬‬
‫= )‪ψ 0 (t‬‬
‫= ‪G(x, t)dx‬‬
‫= ‪(x, t)dx‬‬
‫)‪f (x, t‬‬
‫‪dt a‬‬
‫‪a ∂t‬‬
‫‪a‬‬
‫כמבוקש‪.‬‬
‫דוגמא‪.‬‬
‫‪xb −xa‬‬
‫‪log x dx‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪ . 0‬לשם כך נשים לב כי =‬
‫נקבע ‪ 0 < a < b‬ונחשב את‬
‫‪Rb‬‬
‫‪ , a xy dy‬וע״י החלפת סדר האינטגרציה נקבל כי‬
‫‪Z 1 ³Z b‬‬
‫‪Z b³Z 1‬‬
‫´‬
‫´‬
‫= ‪xy dy dx‬‬
‫‪xy dx dy‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪Z b‬‬
‫´ ‪³ xy+1 ¯x=1‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪b+1‬‬
‫¯‬
‫= ‪dy‬‬
‫‪= log‬‬
‫¯‬
‫‪y + 1 x=0‬‬
‫‪y‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪a‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪xb − xa‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪log x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪xb −xa‬‬
‫‪log x‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫‪a‬‬
‫נחזיר כעת חוב מהסעיף הקודם ונוכיח את המשפט הבא‬
‫משפט‪ .‬אם שתי הנגזרות החלקיות המעורבות ‪ fxy , fyx‬קיימות בתחום ‪ D‬ורציפות בו‪ ,‬אז‬
‫הן שוות‪.‬‬
‫‪81‬‬
‫´‬
‫הוכחה‪ .‬נחשב תחילה את האינטגרל הנשנה ‪fyx (x, y)dx dy‬‬
‫‪R β ³R b‬‬
‫‪α‬‬
‫‪a‬‬
‫כאשר המךבן‬
‫]‪ R = [a, b] × [α, β‬מוכל ב־ ‪D‬‬
‫‪Rb‬‬
‫הפונקציה )‪ ϕ(y) = a fx (x, y)dx = f (b, y) − f (a, y‬גזירה‪ ,‬וחישוב ע״י גזירה‬
‫‪Rb‬‬
‫מתחת לסימן האינטגרל מראה שנגזרתה היא ‪ ,ϕ0 (y) = a fx,y (x, y)dx‬ולכן‬
‫!‬
‫‪Z ÃZ‬‬
‫‪Z‬‬
‫)‪ϕ0 (y)dy = ϕ(β) − ϕ(α‬‬
‫‪b‬‬
‫‪β‬‬
‫=‬
‫‪fyx (x, y)dx dy‬‬
‫‪α‬‬
‫)‪f (b, β) − f (a, β) − f (b, α) + f (a, α‬‬
‫‪β‬‬
‫‪α‬‬
‫‪a‬‬
‫=‬
‫חישוב דומה מראה שגם‬
‫!‬
‫‪β‬‬
‫‪Z b ÃZ‬‬
‫)‪fxy (x, y)dy dx = f (b, β) − f (a, β) − f (b, α) + f (a, α‬‬
‫‪α‬‬
‫´‬
‫´‬
‫‪R b ³R β‬‬
‫כלומר האינטגרלים ‪fyx (x, y)dx dy = a α fxy (x, y)dy dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪R β ³R b‬‬
‫‪a‬‬
‫שווים‪.‬‬
‫‪α‬‬
‫נניח בשלילה שיש נקודה ‪ P‬ו־ ‪ δ > 0‬כך ש־ ‪ fxy (P ) > fyx (P ) + 2δ‬ואז‪,‬‬
‫מרציפות הנגזרות המעורבות‪ ,‬נקבל שיש מלבן קטן ]‪ R = [a, b] × [α, β‬שמרכזו‬
‫ב־ ‪ P‬ויש קבוע ‪ K‬כך שלכל ‪ Q‬במלבן מתקיימים אי השוויונים ‪ fxy (Q) ≥ K‬ו־‬
‫‪ .fyx (Q) ≤ K − δ‬לכן‬
‫!‬
‫!‬
‫‪Z ÃZ‬‬
‫‪Z ÃZ‬‬
‫‪β‬‬
‫‪b‬‬
‫‪β‬‬
‫‪b‬‬
‫≤ |‪fyx (x, y)dx dy ≤ (K − δ)|R| < K|R‬‬
‫‪fxy (x, y)dy dx‬‬
‫‪α‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫בסתירה לכך ששני האינטגרלים שווים‪.‬‬
‫‪82‬‬
‫‪α‬‬
‫פרק ‪5‬‬
‫האינטגרל הכפול‬
‫נתונה פונקציה של שני משתנים המוגדרת בתחום ‪ .D‬מהו הנפח המוגבל בין‬
‫הגרף שלה לבין מישור ה־ ‪ ?x, y‬כשחישבנו שטחים אבן הבנין היסודית היתה‬
‫המלבן ששטחו הוא מכפלת אורכי הצלעות‪ .‬בחישוב נפחים הצורה הבסיסית היא‬
‫תיבה‪ ,‬ונפחה הוא מכפלת אורכי הצלעות‪.‬‬
‫‪ 5.1‬הגדרת האינטגרל הכפול‬
‫נניח תחילה כי הפונקציה מוגדרת במלבן ‪ .R‬ניצור חלוקה ‪ P‬של ‪R = ∪Rij‬‬
‫למלבנים חלקיים ע״י חלוקות של הצלעות ונסמן ב־ ‪ ∆xi‬וב־ ‪ ∆yj‬בהתאמה את‬
‫האורכים של קטעי החלוקות האלה‪ .‬שטח המלבן ‪ Rij‬יסומן ב־ ‪.|Rij | = ∆xi ∆yj‬‬
‫הקוטר של החלוקה הוא } ‪.λ(P ) = max{∆xi , ∆yj‬‬
‫‪i;j‬‬
‫הגדרה‪ .‬תהי ‪ f‬מוגדרת במלבן ‪ R‬ויהיו } ‪ P = {Rij‬חלוקה של ‪ R‬ו־ ‪ .tij ∈ Rij‬סכום‬
‫רימן של הפונקציה ‪ f‬ביחס לחלוקה ‪ P‬ולבחירה ‪ tij‬הוא‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫= ) ‪. R(P, f, tij‬‬
‫= | ‪f (tij )|Rij‬‬
‫‪f (tij )∆xi ∆yj‬‬
‫הגדרה‪ .‬נאמר שהפונקציה ‪ f‬המוגדרת במלבן ‪ R‬היא פונקציה אינטגרבילית רימן ב־ ‪,R‬‬
‫ושהאינטגרל שלה הוא המספר ‪ ,I‬אם לכל ‪ ε > 0‬יש ‪ δ > 0‬עם התכונה הבאה‪ :‬לכל‬
‫חלוקה } ‪ P = {Rij‬של ‪ R‬עם קוטר ‪ λ(P ) < δ‬ולכל בחירה של נקודות ‪ ,tij ∈ Rij‬סכום‬
‫רימן המתאים יקיים‬
‫‪X‬‬
‫¯‬
‫¯‬
‫‪. ¯I −‬‬
‫‪f (tij )|Rij |¯ < ε‬‬
‫‪RR‬‬
‫את האינטגרל של ‪ f‬נסמן ב־ ‪. R f‬‬
‫הוכחת הטענה הבאה דומה למקרה החד ממדי‪ ,‬ולא ניתן אותה‪.‬‬
‫טענה‪ .‬אם ‪ f‬אינטגרבילית במלבן‪ ,‬אז היא חסומה בו‪.‬‬
‫‪83‬‬
‫תהי ‪ f‬חסומה במלבן ‪ R‬ותהי } ‪ P = {Rij‬חלוקה שלו‪ .‬נסמן‬
‫)‪mij = inf f (x‬‬
‫‪x∈Rij‬‬
‫;‬
‫)‪. Mij = sup f (x‬‬
‫‪x∈Rij‬‬
‫הסכום העליון והסכום התחתון של ‪ f‬המתאימים לחלוקה ‪ P‬הם‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫= ) ‪U (P, f‬‬
‫| ‪Mij |Rij‬‬
‫;‬
‫= ) ‪L(P, f‬‬
‫| ‪mij |Rij‬‬
‫‪i,j‬‬
‫‪i,j‬‬
‫יש‬
‫וכמו במקרה החד ממדי ‪ f‬אינטגבילית רימן במלבן ‪ R‬אםם לכל ‪P ε > 0‬‬
‫חלוקה ‪ Q‬כך ש־ ‪ ,U (Q, f ) − L(Q, f ) < ε‬או במילים אחרות‪, ωij |Rij | < ε ,‬‬
‫כאשר ‪ ωij‬הוא התנודה ‪ ωij = ω(Rij , f ) = Mij − mij‬של ‪ f‬במלבן ‪.Rij‬‬
‫המשפט הבא נובע מקריטריון זה באופן דומה למקרה החד ממדי‪ ,‬ולא ניתן‬
‫את ההוכחה‪.‬‬
‫משפט‪ .‬תהי ‪ f‬רציפה במלבן סגור‪ ,‬אז היא אינטגרבילית שם‪.‬‬
‫כדי להגדיר את האינטגרל בתחומים כלליים יותר‪ ,‬וכדי להוכיח את האינטגרביליות‬
‫בתנאים רחבים יותר מרציפות‪ ,‬נצטרך להגדיר קבוצות בעלות שטח אפס‪.‬‬
‫במישור היא בעלת שטח אפס אם לכל ‪ ε‬יש כיסוי של ‪ F‬ע״י‬
‫הגדרה‪ .‬נאמר שקבוצה ‪P F‬‬
‫מלבנים ‪ Rk‬כך ש־ ‪. |Rk | < ε‬‬
‫לדוגמא‪ ,‬קבוצות בנות מניה‪ ,‬קטעים‪ ,‬איחוד בן מניה של קבוצות עם שטח‬
‫אפס‪ ,‬גרף של פונקציה רציפה של משתנה אחד )כי די לבדוק עבור פונקציה‬
‫רציפה בקטע סגור‪ ,‬ואז משתמשים ברציפות במ״ש ־ השלימו את ההוכחה!(‪.‬‬
‫הערה‪ .‬שימו לב כי בהגדרה אפשר לדרוש שהמלבנים יהיו סגורים‪ ,‬או פתוחים‪,‬‬
‫או כלשהם‪ .‬כמו כן אם ‪ F‬קבוצה בעלת שטח אפס שהיא סגורה וחסומה‪ ,‬אז‬
‫ניתן לכסותה ע״י מספר סופי של מלבנים ששטחם הכולל קטן כרצוננו‪.‬‬
‫משפט‪] .‬לבג[ תהי ‪ f‬חסומה במלבן ‪ ,R‬אז היא אינטגרבילית במלבן אםם קבוצת נקודות‬
‫אי הרציפות שלה היא בעלת שטח אפס‪.‬‬
‫הגדרה‪ .‬תהי ‪ f‬פונקציה חסומה בקבוצה חסומה ‪ D‬במישור‪ .‬יהי ‪ R‬מלבן המכיל את ‪D‬‬
‫ונרחיב את ‪ f‬לכל ‪ R‬ע״י הגדרתה כאפס ב־ ‪ .R \ D‬נאמר ש־ ‪ f‬אינטגרבילית ב־ ‪D‬‬
‫אם הרחבתה ל־ ‪ R‬אינטגרבילית שם‪) .‬ברור שההגדרה אינה תלויה בבחירה של ‪.(R‬‬
‫הגדרה‪ .‬נאמר שקבוצה חסומה ‪ D‬במישור היא קבוצה בעלת שטח אם הפונקציה שהיא‬
‫זהותית ‪ 1‬על ‪ D‬ואפס אחרת היא אינטגרבילית‪ .‬השטח של ‪ ,D‬שיסומן ב־ )‪ ,A(D‬הוא‬
‫‪RR‬‬
‫‪. D1‬‬
‫‪84‬‬
‫נזכיר כי השפה‪ ,∂D ,‬של קבוצה ‪ D‬היא אוסף הנקודות ‪ x‬במישור כך שכל‬
‫סביבה של ‪ x‬מכילה נקודות הן מהקבוצה ‪ D‬והן ממשלימתה‪ .‬נשים לב כי ‪∂D‬‬
‫היא תמיד קבוצה סגורה‪.‬‬
‫נשים לב כי קבוצת נקודות אי הרציפות של הפונקציה שהיא זהותית ‪ 1‬על ‪D‬‬
‫ואפס אחרת היא בדיוק ‪ .∂D‬ולכן מקבלים‬
‫מסקנה‪ .‬קבוצה חסומה ‪ D‬היא בעלת שטח אםם שפתה‪ ,∂D ,‬היא בעלת שטח אפס‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נקבע מלבן ‪ R ⊃ D‬ויש לבדוק מתי הפונקציה שהיא זהותית ‪ 1‬על ‪D‬‬
‫ואפס על המשלים היא אינטגרבילית‪ .‬אך זו בדיוק השפה של ‪ D‬ולכן ע״ס משפט‬
‫לבג היא אינטגרבילית אםם יש ל־ ‪ ∂D‬שטח אפס‪.‬‬
‫המשפט הבא מרכז את התכונות הבסיסיות של האינטגרל הכפול‪ .‬ההנחה‬
‫במשפט היא שכל הקבוצות בעלות שטח‪ .‬ההוכחות ישירות‪ ,‬ולא ניתן אותן‪.‬‬
‫משפט‪ (i) .‬אם ‪ f‬ו־ ‪ g‬אינטגרבליות ב־ ‪ ,D‬כך גם ‪ ,af + bg‬ומתקיים‬
‫‪ZZ‬‬
‫‪ZZ‬‬
‫‪ZZ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪(af + bg) = a‬‬
‫‪f + b‬‬
‫‪g‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪RR‬‬
‫‪ D‬אז ‪ . D f ≥ 0‬באופן כללי יותר‪ ,‬אם ‪f ≥ g‬‬
‫)‪ (ii‬אם ‪f ≥ 0‬‬
‫אינטגרבלית ב־ ‪RR‬‬
‫‪RR‬‬
‫אינטגרבליות ב־ ‪ D‬אז ‪ , D f ≥ D g‬ובפרט‪ ,‬אם ‪ m ≤ f ≤ M‬ב־ ‪ D‬אז‬
‫‪ZZ‬‬
‫≤ )‪. m · A(D‬‬
‫)‪f ≤ M · A(D‬‬
‫‪D‬‬
‫¯ ‪¯RR‬‬
‫)‪ (iii‬אם ‪ f‬אינטגרבלית ב־ ‪ ,D‬כך גם | ‪ ,|f‬ומתקיים ¯ ‪|f | ≥ ¯ D f‬‬
‫‪RR‬‬
‫‪D‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ (iv‬אם ‪ f‬חסומה ב־ ‪ D‬ואם ‪ ,A(D) = 0‬אז ‪ f‬אינטגרבילית ב־ ‪ ,D‬ו־ ‪f = 0‬‬
‫‪RR‬‬
‫‪D‬‬
‫‪.‬‬
‫ב־ ‪ D1‬וב־‪ D2 RR‬אז היא‪RR‬אינטגרבלית ב־ ‪ ,D1 ∪ D2‬ואם‬
‫)‪ (v‬אם ‪ f‬אינטגרבלית ‪RR‬‬
‫‪ ,A(D1 ∩ D2 ) = 0‬אז ‪. D1 ∪D2 f = D1 f + D2 f‬‬
‫‪ 5.2‬האינטגרל הכפול והאינטגרל הנשנה‬
‫נעבור כעת לחישוב האינטגרל הכפול‪ .‬מתברר שבתנאים מאוד רחבים הוא‬
‫מתלכד עם האינטגרל הנשנה‪ ,‬וכך נוכל להשתמש לחישובו בשיטות שפיתחנו‬
‫לחישוב של אינטגרלים חד־ממדיים‪.‬‬
‫משפט‪ .‬תהי ‪ f‬פונקציה אינטגרבילית במלבן ]‪ ,R = [a, b]×[c, d‬ונניח שלכל ‪ x‬האינטגרל‬
‫‪Rd‬‬
‫‪ I(x) = c f (x, y)dy‬קיים‪ .‬אז הפונקציה )‪ I(x‬אינטגרבילית בקטע ]‪ [a, b‬וקיים השוויון‬
‫!‬
‫‪ZZ‬‬
‫‪Z ÃZ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪d‬‬
‫=‪f‬‬
‫‪f (x, y)dy dx‬‬
‫‪c‬‬
‫‪85‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫הוכחה‪ .‬נקבע חלוקות } ‪ {xi‬ו־ } ‪ {yk‬של הקטעים ]‪ [a, b‬ו־ ]‪ [c, d‬בהתאמה‪ .‬נסמן‬
‫ב־ ‪ Rik‬את המלבנים החלקיים שהן יוצרות‪ ,‬וב־ ‪ Mik‬ו־ ‪ mik‬את הסופרמום‬
‫והאינפימום של ‪ f‬ב־ ‪.Rik‬‬
‫לכל ‪ i‬נבחר ‪ .xi−1 ≤ ξi ≤ xi‬היות ש־ ‪ mik ≤ f (ξi , y) ≤ Mik‬לכל ≤ ‪yk−1 ≤ y‬‬
‫‪Rd‬‬
‫‪P m R yk‬‬
‫‪ I(ξi ) = c f (ξi , y)dy = k=1 yk−1‬מקיים‬
‫‪ ,yk‬נקבל כי האינטגרל ‪f (ξi , y)dy‬‬
‫‪Mik ∆yk‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫≤ ) ‪mik ∆yk ≤ I(ξi‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪k=1‬‬
‫נכפיל ב־ ‪ ∆xi‬ונסכם על ‪ ,i‬ונקבל כי‬
‫‪X‬‬
‫≤ ‪mik ∆yk ∆xi‬‬
‫‪I(ξi )∆xi‬‬
‫‪i‬‬
‫) ‪Mik A(Rik‬‬
‫‪X‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪.‬‬
‫= ‪Mik ∆yk ∆xi‬‬
‫‪i,k‬‬
‫‪XX‬‬
‫‪k‬‬
‫‪i‬‬
‫‪k‬‬
‫‪i‬‬
‫=‬
‫) ‪mik A(Rik‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i,k‬‬
‫‪XX‬‬
‫≤‬
‫‪RR‬‬
‫‪RR‬‬
‫‪P‬‬
‫אבל לפי הגדרת ‪ , R f‬גם ) ‪mik A(Rik ) ≤ R f ≤ i,k Mik A(Rik‬‬
‫‪¯Z Z‬‬
‫¯‬
‫‪n‬‬
‫¯‬
‫‪¯ X‬‬
‫‪X‬‬
‫¯‬
‫¯‬
‫¯ ‪.‬‬
‫‪f−‬‬
‫≤ ¯ ‪I(ξi )∆xi‬‬
‫) ‪(Mik − mik )A(Rik‬‬
‫‪¯ R‬‬
‫¯‬
‫‪P‬‬
‫‪i,k‬‬
‫‪ ,‬ולכן‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i,k‬‬
‫נקבע כעת ‪ .ε > 0‬אגף ימין קטן מ־ ‪ ε‬אם רק ) ‪ max(∆xi , ∆yk‬קטן מספיק )כי‬
‫‪ f‬אינטגרבילית(‪ ,‬אך אגף שמאל לא תלוי כלל בחלוקה של‪ .[c, d]RR‬קבלנו לכן כי‬
‫סכומי רימן של )‪ I(x‬מתכנסים‪ ,‬כפי שטוען המשפט‪ ,‬ל־ ‪. R f‬‬
‫‪³‬‬
‫´‬
‫‪Rd Rb‬‬
‫‪ , c‬והמשפט‬
‫משפט אנלוגי נכון‪ ,‬כמובן גם לאינטגרל הנשנה ‪f (x, y)dx dy‬‬
‫‪a‬‬
‫נכון גם לאינטגרציה על קבוצה כללית בעלת שטח‪ ,‬כי ממילא האינטגרל מוגדר‬
‫ע״י הרחבת הפונקציה כאפס למלבן‪ .‬הרחבה זו פשוטה במיוחד כאשר ‪D‬‬
‫הוא תחום המוגבל ע״י שני גרפים של פונקציות רציפות‪D = {(x, y); x ∈ :‬‬
‫})‪ .[a, b] : α(x) ≤ y ≤ β(x‬לתחום כזה נקרא תחום נורמלי )ביחס לציר‬
‫ה־ ‪ .(x‬תחום כזה הוא בעל שטח‪ ,‬כי לשפתו‪ ,‬המורכבת מהגרפים של הפונקציות‬
‫ומשני קטעים אנכיים‪ ,‬יש שטח אפס‪ .‬והנוסחה המתקבלת היא‬
‫!‬
‫‪ZZ‬‬
‫‪Z ÃZ‬‬
‫‪b‬‬
‫)‪β(x‬‬
‫=‪f‬‬
‫‪f (x, y)dy dx‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪α(x‬‬
‫‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫)‪(i‬‬
‫אם ‪ D‬הוא המשולש שקודקודיו הם )‪ (0, 1) ,(1, 0‬והראשית‪ ,‬אז‬
‫¶‬
‫‪Z 1 µZ 1−x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪(x + xy)dxdy‬‬
‫‪(x + xy)dy dx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪µ‬‬
‫‪¶1−x‬‬
‫¶‬
‫‪Z 1µ‬‬
‫‪xy 2‬‬
‫‪x x3‬‬
‫‪x2 y +‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪−‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪2 y=0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪86‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪D‬‬
‫‪Z‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪ZZ‬‬
‫האינטגרציה״‪.‬‬
‫)‪ (ii‬כאשר התחום נורמלי בשני הכיוונים‪ ,‬יש לעתים חשיבות ל״סדר‬
‫‪RR p‬‬
‫נניח‪ ,‬למשל‪ ,‬ש־ ‪ D‬הוא רבע מעגל היחידה ברביע החיובי‪ ,‬ונחשב את ‪. D 1 − y 2‬‬
‫´‬
‫‪R 1 ³R √1−x2 p‬‬
‫‪ , 0 0‬אך החישוב יוצא מסובך‪.‬‬
‫אם כתוב אותו בצורה ‪1 − y 2 dy dx‬‬
‫לעומת זאת אם נבצע האינטגרציה בסדר ההפוך נקבל‬
‫!‬
‫‪Z 1 ÃZ √1−y2 p‬‬
‫‪Z 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫= ‪1 − y dx dy‬‬
‫‪(1 − y 2 )dy‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪RR‬‬
‫כדוגמא נוספת מאותו סוג נחשב את ‪ D ex/y‬כאשר ‪ D‬הוא המשולש‬
‫)‪(iii‬‬
‫‪R 1 ¡R y x/y ¢‬‬
‫שקודקודיו הם )‪ (0, 1) ,(1, 1‬והראשית‪ .‬נציג אותו כ־ ‪ , 0 0 e dx dy‬ונקבל‬
‫‪1‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪(ey − 1)dy‬‬
‫‪³‬‬
‫‪´y‬‬
‫‪yex/y‬‬
‫= ‪dy‬‬
‫´‬
‫אך בסדר ההפוך‪ex/y dy dx ,‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪x=0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪R 1 ³R 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ,‬אין בכלל פונקציה אלמנטרית שתתאר את‬
‫האינטגרל הפנימי!‬
‫‪5.3‬‬
‫הנוסחה להחלפת משתנים‬
‫נסתכל על הנוסחה להחלפת משתנה )הצבה( במשתנה אחד‪ .‬אם → ]‪ϕ : [a, b‬‬
‫‪Rβ‬‬
‫‪Rb‬‬
‫]‪ [α, β‬פונקציה עולה אז ‪ , α f (t)dt = a f (ϕ(s))ϕ0 (s)ds‬ואם הפונקציה ‪ ϕ‬יורדת‬
‫‪Rβ‬‬
‫‪Ra‬‬
‫סדר הגבולות מתהפך ומקבלים ‪ . α f (t)dt = b f (ϕ(s))ϕ0 (s)ds‬כתיבה אחידה‬
‫לשני המקרים היא‬
‫‪Z‬‬
‫‪b‬‬
‫‪f (ϕ(s))|ϕ0 (s)|ds‬‬
‫‪β‬‬
‫‪Z‬‬
‫= ‪f (t)dt‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.‬‬
‫‪α‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ ?| ds‬זהו היחס המקומי‬
‫מהי המשמעות הגיאומטרית של הגורם |)‪| = |ϕ0 (s‬‬
‫שבו ‪ ϕ‬משנה אורכים‪ :‬ה״מכנה״ |‪ |ds‬הוא האורך של ״קטע אינפיניטיסימלי״‬
‫בסביבת הנקודה ‪ ,s‬ואילו ״המונה״ |‪ |dt‬הוא האורך האינפיניטיסימלי של תמונתו‬
‫אינפיניטיסימלי‪ .‬באופן יותר פורמלי‪ ,‬נוסחת לגרנז׳ אומרת ש־‬
‫של אותו ¯קטע‬
‫¯‬
‫¯ )‪¯ ϕ(s+∆s)−ϕ(s‬‬
‫¯‪ .‬אגף שמאל הוא יחס האורכים בין קטע ותמונתו‪ ,‬וכעת‬
‫|)‪¯ = |ϕ0 (c‬‬
‫‪∆s‬‬
‫עוברים לגבול‪.‬‬
‫נעבור לשני משתנים‪ .‬נניח כי ‪ D‬ו־ ‪ R‬תחומים ב־ ‪ R2‬וכי ‪ ϕ : D → R‬העתקה‬
‫חח״ע‪ ,‬ונציג )‪ .ϕ(s, t) = (x, y‬באנלוגיה למקרה החד ממדי צריכה להתקבל נוסחה‬
‫מהצורה הבאה‬
‫‪ZZ‬‬
‫‪ZZ‬‬
‫= ‪f (x, y)dxdy‬‬
‫‪f (ϕ(s, t))[ ? ]dtds‬‬
‫‪D‬‬
‫‪87‬‬
‫‪R‬‬
‫כאשר במקום ] ? [ צריך לעמוד ביטוי שייצג את היחס המקומי שבו ‪ ϕ‬משנה‬
‫שטחים‪ ,‬ונראה מה צריך להיות ביטוי זה‪ .‬הטיפול שלנו בנושא זה יהיה יותר‬
‫אינטואיטיבי‪ .‬באינפי ‪ 3‬תחזרו לנושא זה‪ ,‬ותוכיחו באופן מדוייק את כל הנוסחאות‬
‫ב־ ‪ Rn‬ל־ ‪ n‬כללי‪.‬‬
‫הגדרה‪ .‬יהיו ‪ D‬ו־ ‪ R‬שני תחומים ב־ ‪ ,R2‬ותהי ‪ ϕ : D → R‬העתקה חח״ע ועל‪ .‬נציג‬
‫)‪ ϕ(s, t) = (x, y‬ונניח שהפונקציות )‪ x(s, t‬ו־ )‪ y(s, t‬הן פונקציות בעלות נגזרות חלקיות‬
‫בתחום ‪ .D‬אז הדיטרמיננטה‬
‫¶ ‪µ ∂x ∂x‬‬
‫‪∂s‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪det ∂y ∂y‬‬
‫‪∂t‬‬
‫נקראת היעקוביאן של ‪ ϕ‬ותסומן ב־‬
‫‪∂xy‬‬
‫‪∂st‬‬
‫‪∂s‬‬
‫או ‪) Jϕ‬או פשוט ‪ J‬כאשר ‪ ϕ‬ידוע(‪.‬‬
‫נשים לב‬
‫שהיעקוביאן הוא בעצמו פונקציה של שני המשתנים ‪ s‬ו־ ‪ ,t‬ולענייננו הוא ישמש‬
‫כתחליף לנגזרת במקרה החד ממדי‪.‬‬
‫הדוגמא הבאה תהיה הבסיס להבנה של משמעות היעקוביאן‪.‬‬
‫דוגמא‪.‬‬
‫‪µ‬‬
‫¶‬
‫‪a b‬‬
‫= ‪ , A‬כלומר‬
‫נניח כי ‪ ϕ‬היא פונקציה לינארית הניתנת ע״י המטריצה‬
‫‪c d‬‬
‫¶ ‪µ ∂x ∂x‬‬
‫‪∂s‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪ ∂y‬היא פשוט‬
‫‪ x(s, t) = as + bt‬ו־ ‪ .y(s, t) = cs + dt‬אז המטריצה‬
‫‪∂y‬‬
‫המטריצה הנתונה ‪ ,A‬והיעקוביאן הוא פשוט )‪.det(A‬‬
‫¶‬
‫להעתקה כללית ‪ ϕ‬המטריצה‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪∂s‬‬
‫‪µ ∂x‬‬
‫‪∂s‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂s‬‬
‫היא ״הקירוב הלינארי״ הטוב ביותר‬
‫של ההעתקה ‪ ϕ‬בסביבת הנקודה )‪ .(s, t‬כדי לעמוד על המשמעות הגיאומטרית‬
‫של היעקוביאן נבדוק מה המשמעות הגיאומטרית של הדיטרמיננטה כשההעתקה‬
‫היא בדיוק לינארית )ולא רק בקירוב(‪.‬‬
‫טענה‪ .‬אם ‪ A‬מטריצה הפיכה‪ ,‬אז |)‪ | det(A‬הוא שטח המקבילית הנוצר‪ ,‬ע״י העמודות‬
‫שלה‪ ,‬כלומר‪ ,‬השטח של תמונת ריבוע היחידה תחת הטרנספורמציה ‪.A : R2 → R2‬‬
‫¶‬
‫‪µ‬‬
‫‪a c‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח כי‬
‫‪b d‬‬
‫אינה משנה את שטח המקבילית‪ ,‬ואינה משנה את הערך המוחלט של הדיטרמיננטה‪.‬‬
‫ולכן נוכל להניח‪ ,‬בה״כ‪ ,‬כי ‪ ,b = 0‬ואז הדיטרמיננט הוא ‪ ,ad‬וזה גם שטח‬
‫המקבילית‪ ,‬כי בסיסה באורך |‪ ,|a‬וגובהה |‪.|d‬‬
‫= ‪ .A‬הפעלת סיבוב )כלומר‪ ,‬הכפלה במטריצה אורתוגונולית(‪,‬‬
‫כעת מתברר לנו מה צריך להיות מקדם שינוי השטחים‪ :‬נחלק את התחום ‪D‬‬
‫ריבוע‬
‫לריבועים קטנים מאוד‪ .‬אם ‪ ϕ‬דיפרנציאבילית‪ ,‬אז היא ניתנת לקירוב ¶בכל‬
‫‪µ‬‬
‫כזה ע״י טרנספורמציה לינארית שהמטריצה שלה היא הערך של‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂s‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂s‬‬
‫באחד מקודקודי הריבוע‪ ,‬שנסמנו ב־ ‪ .P‬לכן הריבוע עובר לתחום שהוא כמעט‬
‫‪88‬‬
‫מקבילית ששטחה |) ‪ .|Jϕ (P‬וכשעוברים לגבול )כשקוטר הריבועים שואף לאפס(‪,‬‬
‫נקבל כי היחס המקומי שבו ‪ ϕ‬משנה שטחים הוא הפונקציה | ‪.|Jϕ‬‬
‫כך ״הוכחנו״ את הנוסחה לשינוי משתנה באינטגרל‪:‬‬
‫משפט‪ .‬יהיו ‪ D‬ו־ ‪ R‬שני תחומים ב־ ‪ ,R2‬ותהי ‪ ϕ : D → R‬העתקה חח״ע ועל‪ .‬אם נסמן‬
‫)‪ ,ϕ(s, t) = (x, y‬ואם הפונקציות )‪ x(s, t‬ו־ )‪ y(s, t‬דיפרנציאביליות ב־ ‪ ,D‬אז‬
‫¯‬
‫¯‬
‫‪ZZ‬‬
‫‪ZZ‬‬
‫¯ ‪¯ ∂xy‬‬
‫‪¯ dtds‬‬
‫¯¯ ))‪f (ϕ(s, t‬‬
‫= ‪f (x, y)dxdy‬‬
‫‪.‬‬
‫¯ ‪∂st‬‬
‫‪D‬‬
‫‪R‬‬
‫דוגמא‪.‬‬
‫‪y−x‬‬
‫‪y+x‬‬
‫‪RR‬‬
‫‪ T e‬כאשר ‪ T‬הוא המשולש }‪ .{x, y ≥ 0; x + y ≤ 1‬לשם‬
‫נחשב את ‪dxdy‬‬
‫‪t−s‬‬
‫‪ ,y = t+s‬ולכן‬
‫ו־‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫ואז‬
‫‪,y‬‬
‫‪+‬‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫‪t‬‬
‫ו־‬
‫כך נציב ‪y − x = s‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫¯‬
‫¯‬
‫¶ ‪µ 1 −1‬‬
‫¯ )‪¯ ∂(x, y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪¯ = det 21‬‬
‫=‬
‫¯¯ ‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫¯‬
‫)‪∂(s, t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫התמונה של ‪ D‬תחת ההעתקה היא המשולש }‪ ,D = {|s| ≤ t ≤ 1‬ולכן‬
‫¶‬
‫‪Z µZ t‬‬
‫‪s‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪t‬‬
‫= ‪e dsdt‬‬
‫‪e ds dt‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 0‬‬
‫‪D‬‬
‫‪−t‬‬
‫‪Z‬‬
‫´‬
‫‪1 1 ³ s ¯¯t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪te t s=−t dt = (e −‬‬
‫‪2 0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ZZ‬‬
‫‪s‬‬
‫‪t‬‬
‫=‬
‫‪dxdy‬‬
‫‪y−x‬‬
‫‪y+x‬‬
‫‪ZZ‬‬
‫‪e‬‬
‫‪T‬‬
‫=‬
‫= ‪ Jϕ‬ומתקיים כי‬
‫באינפי ‪ 3‬תלמדו שאם גם ‪ ϕ−1‬דיפרנציאבילית‪ ,‬אז ‪6 0‬‬
‫‪ .Jϕ−1 = J1ϕ‬לפעמים קל יותר להשתמש בנוסחה זו ולחשב בפועל את ‪Jϕ−1‬‬
‫במקום את ‪.Jϕ‬‬
‫דוגמא‪.‬‬
‫נחשב את שטח התחום המוגבל ע״י ארבע ההיפרבולות‬
‫}‪. D = {s, t > 0; 1 ≤ st ≤ 2; 3 ≤ s2 − t2 ≤ 4‬‬
‫נציב ‪ x = st‬ו־ ‪ .y = s2 − t2‬התמונה של ‪ D‬ע״י ההעתקה היא‬
‫}‪. D0 = { (x, y) : 1 ≤ x ≤ 2, 3 ≤ y ≤ 4‬‬
‫החד חד ערכיות נובעת נובעת מכך שהעקומות ‪ st = const.‬הן היפרבולות שאינן‬
‫חותכות זו את זו‪ ,‬וכל היפרבולה כזו חותכת היפרבולה מהטיפוס ‪s2 − t2 = const.‬‬
‫בדיוק בנקודה אחת‪.‬‬
‫‪89‬‬
‫השטח המבוקש הוא‬
‫¯‬
‫¯‬
‫‪ZZ‬‬
‫‪ZZ‬‬
‫¯ )‪¯ ∂(s, t‬‬
‫‪¯ dxdy‬‬
‫= )‪. A(D‬‬
‫= ‪1 · dsdt‬‬
‫¯¯ · ‪1‬‬
‫¯ )‪∂(x, y‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D0‬‬
‫)‪∂(s,t‬‬
‫)‪ ∂(x,y‬קשה לחשב‪ ,‬כי לשם כך צריך לחלץ באופן מפורש את‬
‫את היעקוביאן‬
‫‪µ‬‬
‫¶‬
‫‪t‬‬
‫‪s‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ ∂(x,y‬ולכן‬
‫‪ s, t‬כפונקציות של ‪ .x, y‬אבל ) ‪∂(s,t) = 2s −2t = −2(s + t‬‬
‫¯‬
‫¯‬
‫¯ )‪¯ ∂(s, t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫¯‬
‫¯‬
‫‪¯ ∂(x, y) ¯ = 2(s2 + t2 ) = 2py 2 + 4x2‬‬
‫כי ‪ .(s2 + t2 )2 = (s2 − t2 )2 + 4s2 t2 = y 2 + 4x2‬ולסיכום‬
‫!‬
‫‪ZZ‬‬
‫‪Z 4 ÃZ 2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪p‬‬
‫= )‪. A(D‬‬
‫= ‪dsdt‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1 2 y + 4x‬‬
‫קואורדינטות קטביות‪ :‬הצבה חשובה מאוד היא העתקת המעבר לקואורדינטות‬
‫קטביות )‪ (x, y) = (r cos θ, r sin θ‬המעתיקה את }‪ {r ≥ 0 ; 0 ≤ θ ≤ 2π‬באופן‬
‫״כמעט״ חח״ע על כל מישור ה־ ‪ :x, y‬הנקודות ״הרעות״ מרוכזות בקרניים ≥ ‪{r‬‬
‫}‪ 0 ; θ = 0‬ו־ }‪ {r ≥ 0 ; θ = 2π‬המועתקות על הקרן }‪ .{x ≥ 0‬קרניים אלה‬
‫הן קבוצות בעלות שטח אפס‪ ,‬ואינן משנות את ערכי האינטגרלים‪ ,‬ולכן נוכל‬
‫להשתמש בהצבה זו באופן חפשי‪.‬‬
‫היעקוביאן של ההעתקה הוא‬
‫‪µ‬‬
‫‪¶ µ‬‬
‫¶‬
‫)‪∂(x, y‬‬
‫‪x xθ‬‬
‫‪cos θ −r sin θ‬‬
‫‪= det r‬‬
‫=‬
‫‪=r‬‬
‫‪yr yθ‬‬
‫‪sin θ r cos θ‬‬
‫)‪∂(r, θ‬‬
‫ולכן נקבל כי לכל תחום ‪ D‬במישור‬
‫‪ZZ‬‬
‫‪f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ‬‬
‫‪ZZ‬‬
‫= ‪f (x, y)dxdy‬‬
‫‪D0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫דוגמא‪.‬‬
‫אם ‪ D‬הוא העיגול ברדיוס ‪ R‬שמרכזו בראשית‪ ,‬אז שטחו הוא‬
‫!‬
‫‪ZZ‬‬
‫‪ZZ‬‬
‫‪Z 2π ÃZ R‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪= πR2‬‬
‫‪.‬‬
‫= ‪dxdy‬‬
‫= ‪rdrdθ‬‬
‫‪rdr dθ = 2π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪90‬‬
‫‪ 5.4‬אינטגרלים מוכללים‬
‫הטיפול באינטגרלים מוכללים אנלוגי למקרה החד־ממדי‪ .‬נטפל לדוגמא במקרה‬
‫ש־ ‪ D‬תחום מישורי לא חסום ונסמן }‪.DR = {P ∈ D : kP k ≤ R‬‬
‫במישור ואינטגרבילית בכל תחום חסום בעל‬
‫הגדרה‪ .‬תהי ‪ f‬מוגדרת בתחום לא חסום ‪D‬‬
‫‪RR‬‬
‫שטח ‪ .E ⊂ D‬נאמר שהאינטגרל המוכלל ‪ D f‬קיים וערכו ‪ I‬אם לכל¯ ‪ εRR> 0‬יש ¯‪ R‬כך‬
‫שלכל קבוצה בעלת שטח ‪ E‬המקיימת ‪ D ⊃ E ⊃ DR‬מתקיים כי ‪.¯I − E f ¯ < ε‬‬
‫אם ‪ f ≥ 0‬די לבדוק כי ‪f → I‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫חסומות ‪ En‬כך ש־ ‪.∪En = D‬‬
‫‪RR‬‬
‫עבור איזושהי סדרה עולה של קבוצות‬
‫‪En‬‬
‫דוגמא‪.‬‬
‫נראה כי ‪π‬‬
‫√‬
‫‪2‬‬
‫= ‪e−x dx‬‬
‫∞‪R‬‬
‫∞‪−‬‬
‫¶‬
‫‪dx dy‬‬
‫‪−x2 −y 2‬‬
‫= ‪ .I‬לשם כך נציג‬
‫∞‬
‫‪µZ‬‬
‫‪Z‬‬
‫∞‬
‫‪e‬‬
‫¶‬
‫= ‪dy‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪µ‬‬
‫¶‬
‫∞¯¯ ‪1 −r2‬‬
‫‪rdr dθ = 2π − e‬‬
‫‪¯ =π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−r 2‬‬
‫∞‪−‬‬
‫∞‬
‫‪−y 2‬‬
‫‪Z 2π µZ‬‬
‫‪e‬‬
‫∞‬
‫‪Z‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪e‬‬
‫‪0‬‬
‫‪91‬‬
‫‪e‬‬
‫∞‪−‬‬
‫= ‪dxdy‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−x2‬‬
‫∞‬
‫‪Z‬‬
‫=‬
‫∞‪−‬‬
‫‪ZZ‬‬
‫‪−x2 −y 2‬‬
‫=‬
‫‪e‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪I‬‬
‫פרק ‪6‬‬
‫אינטגרלים קוויים‬
‫בפרק זה נרחיב תחילה בנושא של מסילות‪ ,‬ואח״כ נעבור לאינטגרלים של פונקציות‬
‫ושל שדות וקטוריים עליהן‪ .‬לשם פשטות הכתיבה נצטמצם ל־ ‪ .n = 2‬הטיפול‬
‫ברוב הנושאים ל־ ‪ n‬כללי אנלוגי לגמרי‪.‬‬
‫‪6.1‬‬
‫אורך קשת‬
‫נזכור כי מסילה היא פונקציה רציפה ‪ γ : I → Rn‬כאשר ‪ I ⊂ R1‬קטע‪ .‬אם‬
‫]‪ I = [a, b‬קטע סגור‪ ,‬אז לנקודות )‪ γ(a‬ו־ )‪ γ(b‬נקרא נקודת ההתחלה ונקודת‬
‫הסיום )בהתאמה( של ‪ .γ‬המסילה נקראת סגורה אם )‪ .γ(a) = γ(b‬היא נקראת‬
‫פשוטה אם ‪ γ‬חח״ע‪ ,‬והיא נקראת מסילה סגורה פשוטה אם )‪ γ(s) = γ(t‬מתקיים‬
‫עבור ‪ s 6= t‬רק בקצוות‪.‬‬
‫כפי שאמרנו‪ ,‬אנו מבחינים בין המסילה‪ ,‬שהיא הפונקציה ‪ ,γ‬לבין תמונתה‪,‬‬
‫שנקרא לה העקום המתואר ע״י ‪ .γ‬אותו עקום יכול‪ ,‬כמובן‪ ,‬להיות מתואר ע״י‬
‫פונקציות שונות‪ .‬לצרכינו‪ ,‬לא נרצה לעתים להבחין בין מסילות המתקבלות זו‬
‫מזו ע״י שינוי משתנה מונוטוני ממש‪.‬‬
‫הגדרה‪ .‬נאמר שהמסילות ‪ γ : I → Rn‬ו־ ‪ β : J → Rn‬הן שקולות אם יש פונקציה‬
‫רציפה ומונוטונית ממש ‪ ϕ‬מ־ ‪ I‬על ‪ J‬כך ש־ ))‪.γ(t) = β(ϕ(t‬‬
‫נשים לב שלמסילה יש ״מגמה״ )או כיוון(‪ .‬המסילה מתחילה ב־ ‪,t = a‬‬
‫ומסתיימת ב־ ‪ .t = b‬למסילות שקולות יכולה להיות אותה מגמה )כאשר ‪ ϕ‬עולה‬
‫ממש(‪ ,‬או מגמות הפוכות )כאשר ‪ ϕ‬יורדת ממש(‪.‬‬
‫הגדרה‪ .‬תהיינה ‪ γ : [a, b] → Rn‬ו־ ‪ β : [c, d] → Rn‬שתי מסילות כך שמתקיים‬
‫המסילה ‪ γ ∗ β : [a, b + d − c] → Rn‬המוגדרת ע״י‬
‫)‪ .γ(b) = β(c‬הצרוף שלהן הוא (‬
‫)‪γ(t‬‬
‫‪a≤t≤b‬‬
‫= ‪.γ ∗ β‬‬
‫‪β(t − b + c) b ≤ t ≤ b + d − c‬‬
‫באופן גיאמטרי‪ ,‬עוברים לאורך המסילה ‪ ,γ‬וכשבסיומה מגיעים לנקודת ההתחלה‬
‫של ‪ β‬־־ עוברים עליה‪.‬‬
‫‪92‬‬
‫אם ‪ γ‬מסילה סגורה‪ ,‬אז היא מפרידה את המישור לשני חלקים‪ ,‬החלק‬
‫״הפנימי״ של תמונתה‪ ,‬שהוא חסום‪ ,‬והחלק ״החיצוני״ שאיננו חסום‪ .‬זה מובן‬
‫מאליו לעקומים שאנחנו מציירים בדר״כ ואנו נשתמש בעובדה זו באופן חפשי‪,‬‬
‫אבל ההוכחה הכללית היא לגמרי לא פשוטה‪ ,‬והמשפט שמבטיח זאת‪ ,‬משפט‬
‫ג׳ורדן‪ ,‬הוא מאבני הדרך בהתפתחות הטופולוגיה‪ .‬משפט זה מאפשר לנו לדבר‬
‫על תחומים עם או בלי ״חורים״‪.‬‬
‫הגדרה‪ .‬תחום ‪ D ⊂ R2‬נקרא פשוט קשר אם לכל מסילה סגורה ופשוטה ‪ γ‬ב־ ‪) D‬כלומר‪,‬‬
‫שתמונתה מוכלת ב־ ‪ ,(D‬גם הפנים של ‪ γ‬מוכל כולו ב־ ‪.D‬‬
‫באופן אינטואיטיבי‪ ,‬זה אומר שאפשר ״לכווץ״ את התמונה של ‪ γ‬לנקודה‬
‫מבלי לצאת מהתחום ‪ .D‬לדוגמא‪ ,‬כל קבוצה קמורה היא פשוטת קשר‪ ,‬ולעומת‬
‫זאת אם מוציאים ממנה נקודה פנימית‪ ,‬היא כבר איננה פשוטת קשר‪ :‬אי אפשר‬
‫לכווץ ב־ ‪ D‬מעגל קטן המקיף את הנקב‪ .‬גם זו טענה מאוד אינטואיטיבית‪ ,‬אך‬
‫הוכחתה נעשית למעשה בעזרת איטגרלים קוויים!‬
‫נפנה כעת להגדרת האורך של מסילה‪ .‬תהי ‪ γ : [a, b] → R2‬מסילה‪ .‬לכל‬
‫חלוקה }‪ P = {a = t0 < t1 < . . . < tq = b‬נסתכל באורך של‪P‬המסילה הפוליגונלית‬
‫העוברת דרך הנקודות ) ‪ ,γ(tk‬כלומר ב־ ‪. kγ(tk ) − γ(tk−1 )k‬‬
‫‪P‬‬
‫הגדרה‪ .‬האורך‪ ,l(γ) ,‬של ‪ γ‬הוא ‪ ,sup kγ(tk ) − γ(tk−1 )k‬כאשר הסופרמום נלקח על‬
‫כל החלוקות האפשריות של הקטע‪ .‬נאמר שהמסילה היא בעלת אורך אם יש לה אורך‬
‫סופי‪.‬‬
‫ההוכחות של הטענות הבאות נובעות ישירות מההגדרות ולא ניתן אותן‪) .‬השלימו‬
‫כתרגיל!(‬
‫טענה‪ (i) .‬למסילות שקולות יש אותו האורך‪.‬‬
‫)‪ (ii‬אם ‪ γ ∗ β‬מוגדר‪ ,‬אז )‪.l(γ ∗ β) = l(γ) + l(β‬‬
‫)‪ (iii‬תהי ‪ γ‬מסילה המוגדרת בקטע ]‪ ,[a, b‬ונסמן ב־ ‪ γt‬את הצמצום של ‪ γ‬לקטע‬
‫החלקי ]‪ .[a, t‬נסמן ב־ ) ‪ s(t) = l(γt‬את האורך של הצמצום הזה‪ .‬אז הפונקציה ‪ s‬רציפה‬
‫ומונוטונית עולה‪ ,‬והיא איננה עולה ממש רק אם יש קטע חלקי שבו ‪ γ‬קבועה‪.‬‬
‫ניתן כעת נוסחה מפורשת לחישוב האורך‪ .‬ניזכר תחילה בנוסחה לאורך של‬
‫‪Rbp‬‬
‫הגרף של פונקציה גזירה ‪) a 1 + (f 0 (t))2 dt‬ראו בפרק על אינטגרלים(‪ .‬גרף‬
‫‪p‬‬
‫של פונקציה ‪ f‬הוא‪ ,‬כמובן‪ ,‬מסילה‪ .γ(t) = (t, f (t)) :‬הביטוי ‪ 1 + (f 0 (t))2‬הוא‬
‫בדיוק ‪ ,kγ 0 (t)k‬וזו גם הנוסחה למסילות גזירות כלליות‪.‬‬
‫משפט‪ .‬תהי‪ γ : I → R2 R‬מסילה גזירה ברציפות‪ .‬אז האורך שלה ניתן ע״י הנוסחה‬
‫‪.l(γ) = I kγ 0 (t)kdt‬‬
‫הוכחה‪ .‬נקבע חלוקה ‪ tk‬ונשתמש בסימון ‪∆xk = x(tk ) − , ∆k = tk − tk−1‬‬
‫) ‪ x(tk−1‬ו־ ) ‪ .∆yk = y(tk ) − y(tk−1‬עפ״י משפט לגרנז׳ יש נקודות ‪ ck‬ו־ ‪dk‬‬
‫‪93‬‬
‫בקטע החלוקה ה־ ‪i‬־י כך ש־ ‪ ∆xk = x0 (ck )∆tk‬וכך ש־ ‪ .∆yk = y 0 (dk )∆tk‬לכן‬
‫‪¢ 12‬‬
‫‪∆tk‬‬
‫‪¢ 12‬‬
‫‪(∆xk )2 + (∆yk )2‬‬
‫‪(x0 (ck ))2 + (y 0 (dk ))2‬‬
‫¡‪X‬‬
‫¡‪X‬‬
‫=‬
‫‪kγ(tk ) − γ(tk+1 )k‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫ונציג ביטוי זה כסכום של שני מחוברים‪ .‬הראשון הוא‬
‫‪∆tk‬‬
‫‪¢ 21‬‬
‫‪kγ 0 (t)k‬‬
‫‪(x0 (ck ))2 + (y 0 (ck ))2‬‬
‫‪R‬‬
‫¡‪X‬‬
‫= ‪(x0 (t))2 + (y 0 (t))2 dt‬‬
‫‪R p‬‬
‫שמתכנס לאינטגרל‬
‫השני הוא‬
‫‪o‬‬
‫¡‪X n‬‬
‫¡ ‪¢1‬‬
‫‪¢1‬‬
‫‪(x0 (ck ))2 + (y 0 (dk ))2 2 − (x0 (ck ))2 + (y 0 (ck ))2 2 ∆tk‬‬
‫‪I‬‬
‫‪I‬‬
‫כמבוקש‪ .‬המחובר‬
‫הסוגריים המשולבות )ל־ ‪ k‬קבוע( נשתמש באי השוויון‬
‫שבתוך‬
‫ולהערכת הביטוי‬
‫¯‬
‫¯‬
‫‪1‬‬
‫¯‪1‬‬
‫‪¯ 12‬‬
‫האלמנטרי ‪) ¯a − b 2 ¯ ≤ |a − b| 2‬הוכיחו אותו!(‪ ,‬ונקבל שהמחובר ה־ ‪k‬־י חסום‬
‫‪1‬‬
‫ע״י ‪.|(y 0 )2 (dk ) − (y 0 )2 (ck )| 2‬‬
‫מרציפות במ״ש של הפונקציה ) ‪ (y‬על ‪ I‬נוכל‪ ,‬בהנתן ‪ ,ε > 0‬לבחור חלוקה‬
‫מספיק כך שכל מחובר כזה קטן מ־ ‪ ,ε‬ואז המחובר השני קטן מ־‬
‫עדינה‬
‫‪P‬‬
‫|‪.ε ∆tk = ε|I‬‬
‫‪0 2‬‬
‫הערה‪ .‬הנוסחה תקפה גם בתנאים יותר כלליים‪ ,‬ובפרט כאשר ‪ γ‬גזירה ברציפות‬
‫פרט למספר סופי של נקודות‪.‬‬
‫ראינו שאם אין קטעים שעליהם ‪ γ‬קבועה‪ ,‬אז פונקצית האורך ))‪s(t) = l(γ(t‬‬
‫היא רציפה ומונוטונית ממש‪ ,‬ולכן יכולה לשמש בהצגה פרמטרית שקולה‪ .‬אם‬
‫חושבים על המסילה כמתארת מיקום של חלקיק בזמן ‪ ,t‬אז כשההצגה היא‬
‫בעזרת פרמטר האורך זה אומר שמהירות התנועה היא ‪ :1‬בפרק זמן ‪ t‬החלקיק‬
‫עובר מרחק ‪.t‬‬
‫הנגזרת )‪ γ 0 (t‬של מסילה ‪ γ‬בזמן ‪ t‬היא וקטור בכיוון המשיק לעקום בנקודה‪.‬‬
‫הוא מתאר את המהירות של החלקיק הנע במסילה בזמן ‪ .t‬אם הפרמטריזציה‬
‫היא עפ״י האורך‪ ,‬אז ‪ .kγ 0 (t)k ≡ 1‬זה ברור משיקולים פיסיקליים‪ ,‬ונובע מתמטית‬
‫‪Rt‬‬
‫מכך שבמקרה זה הפרמטר נע בקטע ]‪ ,[0, L‬ומתקיים ש־ ‪,s(t) = 0 kγ 0 (τ )kdτ = t‬‬
‫וכשניגזור את המשוואה נקבל ‪.s0 (t) = kγ 0 (t)k = 1‬‬
‫‪ 6.2‬אינטגרל קווי‬
‫הנושא העיקרי שבו נטפל יהיה אינטגרלים קוויים של שדות ווקטוריים‪ ,‬אך נתחיל‬
‫מהמקרה הפשוט של אינטגרל קווי של פונקציה סקלרית‪.‬‬
‫תהי ‪ γ : [a, b] → R2‬מסילה‪ ,‬ותהי ‪ f‬פונקציה ממשית המוגדרת על תמונת‬
‫המסילה‪) .‬בדר״כ ‪ f‬מוגדרת באיזשהו תחום ‪ ,D‬ו־ ‪ γ‬היא מסילה ב־ ‪ .(D‬מהו‬
‫״שטח הוילון״ התלוי על הגרף של ‪ f‬מעל ‪ ?γ‬אנחנו כבר יודעים איך לגשת‬
‫‪94‬‬
‫לבעיה מסוג זה‪ :‬נחלק את הקטע ]‪ [a, b‬בחלוקה עדינה ונבחר נקודה ‪ ti‬בקטע‬
‫‪ P‬נסמן ב־ ‪ li‬את אורך קטע המסילה ה־ ‪i‬־י‪ ,‬ונקרב את השטח‬
‫החלוקה ה־ ‪i‬־י‪.‬‬
‫ע״י ‪ . f (γ(ti ))li‬וכעת נעבור לגבול כאשר הפרמטר של החלוקה שואף לאפס‪.‬‬
‫ה־‬
‫אם נניח גם ש־ ‪ γ‬מסילה גזירה ברציפות‪ ,‬אז האורך של קטע המסילה ‪P‬‬
‫‪i‬־י הוא בקירוב ‪ ,kγ 0 (ti )kli‬ולכן השטח הכולל הוא בקירוב ‪, f (γ(ti ))kγ 0 (ti )kli‬‬
‫‪Rb‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ . a f (γ(t))kγ‬לאינטגרל הזה נקרא‬
‫ובגבול נקבל את הנוסחה לשטח שהיא ‪R (t)kdt‬‬
‫האינטגרל הקווי של ‪ f‬על המסילה ‪ ,γ‬ונסמנו ‪ . γ f‬ברור מהבניה שהאינטגרל הזה‬
‫איננו תלוי בפרמטריזציה של המסילה )ונוכיח זאת מייד גם ע״י כלל השרשרת(‪.‬‬
‫כמקרה פרטי מקבלים שהאורך של מסילה מתקבל‪ ,‬כמובן‪ ,‬כאינטגרל של‬
‫הפונקציה שהיא זהותית ‪.1‬‬
‫דוגמא‪.‬‬
‫נחשב את האינטגרל של ‪ f (x, y) = 1 + x3‬על המסילה )‪γ(t) = (cos3 t, sin3 t‬‬
‫כאשר ‪) .0 ≤ t ≤ π2‬לצייר את המסילה ואת ה״וילון״!(‪.‬‬
‫כאן )‪ ,γ 0 (t) = 3(− cos2 t sin t, sin2 t cos t‬ולכן‬
‫‪kγ 0 (t)k2 = 9(cos4 t sin2 t + sin4 t cos2 t) = 9 sin2 t cos2 t‬‬
‫כלומר ‪ ,kγ 0 (t)k = 3 sin t cos t‬והאינטגרל הוא‬
‫‪cos3 t‬‬
‫‪)3 sin t cos tdt‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(1 +‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫המסילה ו־ ]‪ϕ : [α, β] → [a, b‬‬
‫טענה‪ .‬אם ))‪ γ(t) = δ(ϕ(t‬הן פרמטריזציות שונות‪R‬של ‪R‬‬
‫גזירה ברציפות )וכמובן על ומונוטונית ממש( אז ‪. δ f = γ f‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח בה״כ ש־ ‪ ϕ‬עולה‪ .‬עפ״י כלל השרשת )‪ ,γ 0 (t) = δ 0 (ϕ(t))ϕ0 (t‬וההצבה‬
‫)‪ s = ϕ(t‬תתן לכן‬
‫‪f (δ(ϕ(t)))kδ 0 (ϕ(t))kϕ0 (t)dt‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪β‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪b‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪f (δ(s))kδ (s)kds‬‬
‫‪α‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪f‬‬
‫=‬
‫‪a‬‬
‫‪β‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪f (γ(t))kγ (t)kdt‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪f‬‬
‫‪δ‬‬
‫‪Z‬‬
‫=‬
‫‪α‬‬
‫בפרט יהיה נוח להשתמש בפרמטר האורך‪ ,‬ואם ‪ γ : [0, L] → R2‬נתונה ע״י‬
‫פרמטר האורך הנוסחה המתקבלת היא‬
‫‪L‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪f (γ(s))ds‬‬
‫‪Z‬‬
‫=‪f‬‬
‫‪0‬‬
‫‪95‬‬
‫‪.‬‬
‫‪γ‬‬
‫הערות‪ (i) .‬הנוסחה לאינטגרל והטענה נכונות גם בתנאים כלליים יותר‪ ,‬למשל‪,‬‬
‫אם המסילות רק גזירות פרט למספר סופי של נקודות‪.‬‬
‫)‪ (ii‬נוח לעתים להשתמש במשפט הקירוב הבא‪ ,‬שאותו לא נוכיח‪ .‬אם ‪ D‬תחום‬
‫יש סדרת מסילה גזירות מכל‬
‫פתוח‪ ,‬ואם ‪ f‬רציפה בו‪ ,‬אז לכל מסילה ‪R γ‬בתחום ‪R‬‬
‫סדר ‪ ,γn‬כך ש־ ‪ γn → γ‬במ״ש וכך ש־ ‪. γn f → γ f‬‬
‫כאשר רוצים ‪H‬להדגיש בסימון שהאינטגרציה היא על מסילה סגורה ‪,γ‬‬
‫)‪(iii‬‬
‫מסמנים אותו ע״י ‪. γ f‬‬
‫נעבור כעת לאינטרלים קוויים של שדות וקטוריים‪ ,‬כלומר של פונקציות של ‪n‬‬
‫משתנים שערכיהם הם ווקטורים ‪ n‬ממדיים‪ .‬אנחנו נטפל בשדות דו ממדיים‪ ,‬וכל‬
‫שדה כזה ניתן לכתיבה בצורה ))‪ F (x, y) = (f1 (x, y), f2 (x, y‬והוא נקרא רציף‪ ,‬או‬
‫גזיר‪ ,‬אם שתי הפונקציות ‪ f1‬ו־ ‪ f2‬הן כאלה‪.‬‬
‫שדות וקטוריים מופיעים הרבה ״בטבע״‪ ,‬למשל זרימה מתוארת ע״י שדה כזה‪,‬‬
‫כאשר )‪ F (x, y‬הוא מהירות הנוזל בנקודה )‪) .(x, y‬המהירות היא וקטור‪ ,‬ואנו‬
‫מתייחסים הן לכיוונו והן לגדלו(‪ .‬באופן דומה נוכל לדבר על שדה כוח‪ ,‬או על‬
‫שדה חשמלי‪.‬‬
‫נניח שחלקיק עם מסת יחידה נע במסילה ‪ γ‬בשדה כוח ‪ .F‬מהי העבודה‬
‫הנעשית? נתחיל במקרה הפשוט שבו ‪ γ‬היא קטע‪ ,‬והשדה ‪ F‬הוא קבוע‪ .‬אם‬
‫הכוח הוא בכיוון הקטע‪ ,‬אז העבודה )שהיא סקלר( היא המכפלה של גודל הכוח‬
‫באורך הקטע‪ .‬אם הכוח הוא בכיוון אחר‪ ,‬אז נפרק אותו כסכום ‪ F = G + H‬של‬
‫ווקטור ‪ G‬מקביל לקטע ווקטור ‪ H‬הניצב לו‪ ,‬והעבודה נעשית רק מרכיב הכוח‬
‫‪ G‬ול־ ‪ H‬אין כל תרומה‪.‬‬
‫נזכור שאם ‪ V1‬ו־ ‪ V2‬וקטורי יחידה ניצבים‪ ,‬אז הההצגה של ‪ W‬בעזרתם‬
‫ניתנת ע״י הנוסחה‬
‫‪W = hV1 , W iV1 + hV2 , W iV2‬‬
‫ואותנו יעניין רק הרכיב בכיוון המסילה‪ ,‬כי בכל נקודה על המסילה לרכיב בכיוון‬
‫הניצב למסילה אין תרומה לעבודה‪.‬‬
‫למסילה חלקה כללית ‪ γ‬כיוון המסילה בנקודה ‪ t‬הוא כיוון המשיק )‪,γ 0 (t‬‬
‫ואורכה האינפיניטיסימלי שם הוא ‪ .kγ 0 (t)kdt‬לכן אם ‪ F‬שדה ווקטורי כללי‪,‬‬
‫העבודה שנעשית במעבר על פני קטע המסילה האיפיניטיסימלי יהיה‬
‫)‪γ 0 (t‬‬
‫‪i × kγ 0 (t)kdt = hF, γ 0 (t)idt‬‬
‫‪kγ 0 (t)k‬‬
‫‪hF,‬‬
‫‪Rb‬‬
‫והעבודה הכוללת היא ‪ . a hF, γ 0 (t)idt‬וזו תהיה ההגדרה הכללית לאינטגרל הקווי‬
‫של שדה ווקטורי‪.‬‬
‫הגדרה‪ .‬יהי ‪ D‬תחום ותהי ‪ γ‬מסילה חלקה )פרט למספר סופי של נקודות( בתחום‪ .‬יהי‬
‫‪ F‬שדה וקטורי רציף בתחום ‪ .D‬אז האינטגרל הקווי של ‪ F‬על המסילה מוגדר להיות‬
‫‪R‬‬
‫‪Rb‬‬
‫‪ . a hF, γ 0 (t)idt‬לעתים קרובות נשתמש בסימון ‪. γ F‬‬
‫כתיבה מפורשת של המכפלה הפנימית מציגה את האינטגרל כסכום של שני‬
‫אינטגרלים סקלריים‪ :‬אם ))‪ γ(t) = (x(t), y(t‬כאשר ]‪ t ∈ [a, b‬ואם ) ‪,F = (f1 , f2‬‬
‫‪96‬‬
‫אז‬
‫‪f2 (γ(t))y 0 (t)dt‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪b‬‬
‫‪f1 (γ(t))x0 (t)dt +‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪.‬‬
‫= ‪F‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪a‬‬
‫בפרט‪ ,‬עפ״י כלל השרשרת‪ ,‬האינטגרל איננו תלוי בפרמטריזציה של ‪ γ‬בתנאי‬
‫נסמן‬
‫שהמגמה נשמרת )ורק הסימן משתנה כאשר המגמה מתהפכת(‪ .‬אם‬
‫‪R‬‬
‫‪ x0 (t)dt = dx‬ו־ ‪ ,y 0 (t)dt = dy‬נכתוב את האינטגרל גם בצורה ‪. γ f1 dx + f2 dy‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫ברור כי ‪. γ ∗βF = γ F + β F‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫)‪ (i‬נסתכל במסילה )‪ γ(t) = (cos t, sin t‬עבור ‪ ,0 ≤ t ≤ 2π‬ובשדה = )‪F (x, y‬‬
‫באפן גיאומטרי השדה ניצב למסילה בכל נקודה‪ ,‬ולכן צריך להתקבל כי‬
‫)‪R .(x, y‬‬
‫‪ . γ F = 0‬ובאמת‬
‫‪2π‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪0‬‬
‫‪(cos t (− sin t) + sin t cos t)dt = 0‬‬
‫‪Z‬‬
‫= ‪hF (γ(t)), γ (t)idt‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Z‬‬
‫= ‪F‬‬
‫‪0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪γ‬‬
‫)‪ (ii‬עם אותה מסילה נבחר כעת ‪ .F (x, y) = (−y, x)R‬כעת השדה באותו כיוון‬
‫כמו המסילה ויש לצפות כי ‪ , γ F 6= 0‬ובאמת‬
‫‪(sin2 t + cos2 t)dt = 2π‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪Z‬‬
‫= ‪hF (γ(t)), γ (t)idt‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Z‬‬
‫= ‪F‬‬
‫‪0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪γ‬‬
‫התוצאה גם ברורה באופן גיאומטרי‪ :‬בנקודות על המסילה ערך הפונקציה וערך‬
‫המשיק למסילה הם אותו ווקטור ־ וזהו ווקטור יחידה‪ ,‬ולכן ‪hF (γ(t)), γ 0 (t)i = 1‬‬
‫לכל ‪.t‬‬
‫האינטגרל באמת אינו תלוי בפרמטריזציה של המסילה‪ √ .‬חשבו את‬
‫)‪(iii‬‬
‫האינטגרל של ‪ F‬מדוגמא )‪ (ii‬על ) ‪ γ(t) = (cos t2 , sin t2‬עבור ‪.0 ≤ t ≤ 2π‬‬
‫הגדרה‪ .‬שדה ווקטורי ‪ F‬המוגדר בתחום ‪ D‬נקרא שדה משמר אם ‪F = 0‬‬
‫סגורה ב־ ‪.D‬‬
‫‪H‬‬
‫‪γ‬‬
‫לכל מסילה‬
‫למשל בשדה הכובד של כדור הארץ‪ ,‬העבודה הנעשית כשהולכים לאורך‬
‫מסלול סגור כלשהו בחיפה‪ ,‬היא אפס‪.‬‬
‫אנחנו נרצה לאפיין שדות משמרים‪ ,‬ונתחיל בלמה פשוטה שהיא‪ ,‬למעשה‪ ,‬רק‬
‫ניסוח אחר לכך ששדה הוא משמר‪.‬‬
‫למה‪ .‬יהי ‪RF‬שדה ווקטורי המוגדר בתחום ‪ .D‬אז ‪ F‬שדה משמר ב־ ‪ D‬אםם האינטגרלים‬
‫הקוויים ‪ γ F‬אינם תלויים בבחירת המסילה ‪ γ‬אלא רק בנקודות הקצה שלה‪.‬‬
‫‪97‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח שהשדה משמר וכי ‪ γ1‬ו־ ‪ γ2‬שתי מסילות עם אותן נקודות קצה‪.‬‬
‫נסמן ב־ ‪ −γ2‬את המסילה ‪ γ2‬כשהולכים בה בכיוון ההפוך‪ ,‬ואז הצירוף = ‪γ‬‬
‫) ‪ γ1 ∗ (−γ2‬הוא מסילה סגורה‪ ,‬ולכן‬
‫‪I‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪Z‬‬
‫=‪. 0‬‬
‫‪F−‬‬
‫‪F‬‬
‫= ‪F‬‬
‫‪γ2‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪γ1‬‬
‫‪R‬‬
‫להפך‪ ,‬אם האינטגרלים ‪ γ F‬אינם תלויים בבחירת המסילה ואם → ]‪γ : [a, b‬‬
‫‪ D‬מסילה סגורה‪ ,‬נבחר נקודה ‪ a < c < b‬ונציג ‪ γ = γ1 ∗ γ2‬כאשר ‪ γ1‬ו־ ‪ γ2‬הן‬
‫מתחילות ונגמרות באותן‬
‫החלקיים‪ .‬ואז ‪ γR1‬ו־ ‪−γR2‬‬
‫‪H‬‬
‫הצמצומים של ‪R γ‬לקטעים ‪R‬‬
‫נקודות‪ ,‬ולכן ‪ γ1 F = − γ2 F‬ו־ ‪. γ F = γ1 F + γ2 F = 0‬‬
‫הגדרה‪ .‬יהי ‪ F‬שדה ווקטורי המוגדר בתחום ‪ .D‬נאמר שפונקציה ממשית ‪ f‬היא פוטנציאל‬
‫לשדה ‪ F‬אם ‪.f = ∇F‬‬
‫לדוגמא‪ ,‬הפונקציה‬
‫‪1‬‬
‫‪x2 +y 2‬‬
‫√ = )‪ f (x, y‬היא פוטנציאל לשדה‬
‫)‪−(x,y‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(x2 +y 2 ) 2‬‬
‫= )‪.F (x, y‬‬
‫מתי יש ל־ ‪ F‬פונקצית פוטנציאל? המשפט הפשוט הבא נותן תנאים הכרחיים‪.‬‬
‫משפט‪ .‬יהי ) ‪ F = (f1 , f2‬שדה רציף בתחום ‪ ,D‬ותהי ‪ f‬פונקצית פוטנציאל ל־ ‪.F‬‬
‫‪∂f2‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. ∂f‬‬
‫= ‪∂y‬‬
‫)‪ (i‬אם יש ל־ ‪fi‬־ים נגזרות חלקיות רציפות אז‬
‫‪R‬‬
‫)‪ (ii‬לכל מסילה ‪ γ : [a, b] → D‬מתקיים כי ))‪ . γ F = f (γ(b)) − f (γ(a‬בפרט‬
‫‪R‬‬
‫האינטגרל הקווי ‪ γ F‬אינו תלוי במסילה אלא רק בנקודות הקצה שלה והשדה משמר‪.‬‬
‫הוכחה‪(i) .‬‬
‫)‪(ii‬‬
‫עפ״י המשפט על נגזרות מעורבות‬
‫‪∂f2‬‬
‫‪∂x‬‬
‫=‬
‫‪∂2f‬‬
‫‪∂x∂y‬‬
‫‪∂2f‬‬
‫‪∂y∂x‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪. ∂f‬‬
‫= ‪∂y‬‬
‫עפ״י כלל השרשרת‬
‫‪d‬‬
‫))‪f (γ(t))dt = f (γ(b)) − f (γ(a‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Z‬‬
‫= ‪hF (γ(t)), γ 0 (t)idt‬‬
‫‪a‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Z‬‬
‫= ‪F‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.‬‬
‫‪γ‬‬
‫דוגמא‪.‬‬
‫נחשב את ‪ydx + xdy‬‬
‫ההגדרה מקבלים‬
‫‪R‬‬
‫‪γ‬‬
‫כאשר‬
‫‪tπ‬‬
‫) ‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ γ(t) = ( t4 , sin3‬עבור ‪ .0 ≤ t ≤ 1‬עפ״י‬
‫‪tπ‬‬
‫‪tπ π ¢‬‬
‫‪tπ t4‬‬
‫‪+ 3 sin2‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪t3 sin3‬‬
‫¡‬
‫‪Z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫זה אולי לא נורא‪ ,‬אבל בטח לא נעים‪ .‬למזלנו יש לשדה הנתון )‪F (x, y) = (y,Rx‬‬
‫פוטנציאל‪ .f (x, y) = xy :‬ולכן ‪. γ ydx + xdy = f ( 14 , 1) − f (0, 0) = 14‬‬
‫‪98‬‬
‫משפט‪ .‬יהי ) ‪ F = (f1 , f2‬שדה רציף בתחום קשיר מסילתית ‪ .D‬אז השדה ‪ F‬משמר ב־‬
‫‪ D‬אםם יש ל־ ‪ F‬פוטנציאל ב־ ‪.D‬‬
‫הוכחה‪ .‬כיוון אחד כבר ראינו‪ .‬נניח כעת שהשדה משמר ונקבע נקודה ‪ .P‬לכל‬
‫נקודה )‪ Q = (x, y‬נבחר מסילה ‪ γ‬המתחילה ב־ ‪ P‬ומסתיימת ב־ ‪ ,Q‬ונגדיר‬
‫‪R‬‬
‫‪ .f (Q) = γ F‬זו הגדרה טובה‪ ,‬כי האינטגרל ב״ת בבחירת המסילה‪ .‬נראה כי‬
‫‪. ∂f‬‬
‫‪∂x = f1‬‬
‫נסתכל בנקודה )‪ Q1 = (x + ∆x, y‬ובמסילה )‪ δ(t) = (x + t∆x, y‬כאשר ≤ ‪0‬‬
‫‪ .t ≤ 1‬תמונת המסילה ‪ δ‬היא הקטע הישר בין ‪ Q‬ל־ ‪ ,Q1‬והצירוף ‪ γ ∗ δ‬הוא‬
‫מסילה בין ‪ P‬ל־ ‪ ,Q1‬ולכן‬
‫‪hF (δ(t)), δ 0 (t)idt‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Z‬‬
‫= ‪F‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Z‬‬
‫= ‪F‬‬
‫‪δ‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪F−‬‬
‫‪γ‬‬
‫´‬
‫‪f1 (x + t∆x, y) · ∆x + f2 (x + t∆x, y) · 0 dt‬‬
‫=‬
‫)‪f (Q1 ) − f (Q‬‬
‫‪γ∗δ‬‬
‫‪Z 1³‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪∆x‬‬
‫‪f1 (x + t∆x, y)dt‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫נחלק ב־ ‪ ∆x‬ונשאיף אותו לאפס‪ ,‬ונקבל )מרציפות ‪ (f1‬כי‬
‫‪1‬‬
‫‪Z‬‬
‫)‪f1 (x, y)dt = f1 (x, y‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪1‬‬
‫→ ‪f1 (x + t∆x, y)dt‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪f (Q1 ) − f (Q‬‬
‫=‬
‫‪∆x‬‬
‫מכיון ש־ )‪ f1 (x, y‬לא תלוי כלל ב־ ‪.t‬‬
‫אם יש לשדה ‪ F‬פוטנציאל‪ ,‬אז ההוכחה נותנת למעשה דרך לחישובו‪ :‬ערכו ב־‬
‫‪ Q‬מתקבל ע״י אינטגרציה של השדה לאורך איזשהי מסילה מהנקודה הקבועה‬
‫‪ P‬אל ‪ .Q‬באופן מעשי עושים זאת אחרת‪ .‬נתאר זאת ע״י דוגמא‪ ,‬וכדי להדגים‬
‫יותר טוב את השיטה‪ ,‬נמצא פוטנציאל לשדה תלת ממדי‪.‬‬
‫דוגמא‪.‬‬
‫נמצא פוטנציאל לשדה )‪ .F = (y cos xy − z sin xz, x cos xy, −x sin xz‬ונשים‬
‫‪∂f‬‬
‫‪∂fi‬‬
‫‪ ∂x‬אכן מתקיימים‪.‬‬
‫לב תחילה שהתנאים ההכרחיים ‪= ∂xji‬‬
‫‪j‬‬
‫‪ , ∂f‬ולכן לכל ‪ x, y‬קבועים יש קבוע‬
‫הפוטנציאל ‪ f‬צריך לקיים כי ‪∂z = −x sin xz‬‬
‫)‪ c(x, y‬כך ש־ )‪.f (x, y, z) = cos xz + c(x, y‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ,x cos xy = ∂f‬ולכן יש קבוע התלוי ב־ ‪ x‬כך שמתקיים‬
‫באופן דומה )‪∂y = cy (x, y‬‬
‫)‪ ,c(x, y) = sin xy + c(x‬כלומר‪ .f (x, y, z) = cos xz + sin xy + c(x) ,‬״למזלנו״ זה‬
‫פתרון לשאלה ואפשר לקחת )‪ c(x‬כקבוע‪.‬‬
‫ההצלחה בדוגמא לא היתה מובטחת‪ ,‬כי התנאי על הנגזרות איננו מספיק‪.‬‬
‫ואילו לא היה לשדה פוטנציאל‪ ,‬לא היינו יכולים למצוא פונקציה )‪ c(x‬כך שהנגזרת‬
‫של )‪ f (x, y, z) = cos xz + sin xy + c(x‬עפ״י ‪ x‬היתה ‪ .f1‬נסתכל בשתי דוגמאות‪:‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫‪99‬‬
‫עפ״י חוקי ניוטון כח הכובד של כדור הארץ פרפורציונלי הפוך למרחק‬
‫)‪(i‬‬
‫)‪−(x,y,z‬‬
‫ממרכזו‪ ,‬כלומר הוא ניתן‪ ,‬עד כדי קבוע‪ ,‬ע״י השדה ‪.F (x, y, z) = 2 2 2 3‬‬
‫לשדה זה יש פוטנציאל‬
‫‪1‬‬
‫‪x2 +y 2 +z 2‬‬
‫‪(x +y +z ) 2‬‬
‫√ = )‪ ,f (x, y, z‬ולכן השדה משמר בתחום בו‬
‫הוא מוגדר‪ ,‬כלומר במרחב המנוקב בראשית‪.‬‬
‫)‪(ii‬‬
‫לעומת זאת‪ ,‬השדה‬
‫‪∂f1‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂f2‬‬
‫‪∂x‬‬
‫)‪(−y,x‬‬
‫‪x2 +y 2‬‬
‫= )‪ F (x, y‬מוגדר במישור המנוקב בראשית‪,‬‬
‫)בדקו!( אך איננו משמר בתחום זה‪ ,‬כי נבחר = )‪γ(t‬‬
‫=‬
‫ומקיים שם‬
‫‪R‬‬
‫‪R 2π‬‬
‫)‪ (cos t, sin t‬עבור ‪ ,0 ≤ t ≤ 2π‬ואז ‪. γ F = 0 1dt = 2π‬‬
‫אבל השדה כן משמר בתחומים חלקיים מתאימים‪ .‬למשל‪ ,‬בחצי המישור‬
‫הימני }‪ {x > 0‬פונקצית פוטנציאל ניתנת ע״י ‪.arctan xy‬‬
‫למעשה השדה בדוגמא )‪ (ii‬משמר בכל תחום שאיננו מכיל את הראשית‪.‬‬
‫כשהתחום ‪ D‬הוא פשוט קשר‪ ,‬התנאי על הנגזרות הוא גם תנאי מספיק לכך‬
‫שהשדה ישמר‪ ,‬ולכן בתחום כזה קיים פוטנציאל ויש לנו שיטה ״מובטחת״ לחישובו‪.‬‬
‫משפט‪ .‬יהי ‪ D‬תחום פשוט קשר ויהי ) ‪ F = (f1 , f2‬שדה רציף ב־ ‪ D‬כך שיש ל־ ‪ F‬נגזרות‬
‫‪∂f2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. ∂f‬‬
‫חלקיות‪ .‬אז השדה ‪ F‬משמר אםם ‪∂y = ∂x‬‬
‫המשפט נובע מיידית ממשפט גרין שלו מוקדש הסעיף הבא‪.‬‬
‫נאמר שהשדה ‪ F‬משמר מקומית בתחום ‪ D‬אם לכל נקודה ‪ P‬ב־ ‪ D‬יש‬
‫‪∂f2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ∂f‬הוא‬
‫סביבה המוכלת ב־ ‪ D‬שבה ‪ F‬משמר‪ .‬מהמשפט נובע שהתנאי ‪∂y = ∂x‬‬
‫הכרחי ומספיק לכך שהשדה משמר מקומית‪ ,‬כי לכל ‪ P‬נוכל לקחת כסביבה‬
‫המתאימה עיגול קטן שמרכזו ב־ ‪ P‬והמוכל כולו ב־ ‪ .D‬עיגול כזה הוא פשוט‬
‫קשר‪ ,‬ולכן השדה משמר בו‪.‬‬
‫‪ 6.3‬משפט גרין‬
‫משפט‪].‬משפט גרין[ תהי ‪ γ‬מסילה גזירה סגורה ופשוטה המכוונת בכיוון המתמטי החיובי‪,‬‬
‫ויהי ‪ D‬הפנים של העקום המוגדר ע״י ‪ .γ‬יהי ) ‪ F = (f1 , f2‬שדה רציף בסביבה של ‪D‬‬
‫ושפתו כך שיש ל־ ‪ f1 , f2‬נגזרות חלקיות רציפות‪ .‬אז‬
‫¶‬
‫‪I‬‬
‫‪ZZ µ‬‬
‫‪∂f2‬‬
‫‪∂f1‬‬
‫‪.‬‬
‫= ‪F‬‬
‫‪−‬‬
‫‪dxdy‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪D‬‬
‫הוכחה‪ .‬לא נוכיח את המשפט למסילות כלליות‪ ,‬אך מה שנוכיח מספיק לשימושים‬
‫במתמטיקה ובפיסיקה‪.‬‬
‫נטפל תחילה בתחום ‪ D‬נורמלי ביחס לשני הצירים‪ .‬היות ו־ ‪ D‬נורמלי ביחס‬
‫לציר ה־ ‪x‬־ים יש פונקציות ‪ ϕ < ψ‬המגדירות אותו בקטע ]‪ ,[a, b‬ואפשר להציג‬
‫‪100‬‬
‫את ‪ γ‬כצרוף של ארבע מסילות‪ .‬עבור ‪ 1 ≤ j ≤ 4‬נסמן‬
‫‪‬‬
‫))‪(t, ϕ(t‬‬
‫‪a≤t≤b‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪(b, (1 − t)ϕ(b) + tψ(b)) 0 ≤ t ≤ 1‬‬
‫= )‪γj (t‬‬
‫‪‬‬
‫‪(t,‬‬
‫))‪ψ(t‬‬
‫‪a≤t≤b‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪(a, (1 − t)ϕ(a) + tψ(a)) 0 ≤ t ≤ 1‬‬
‫ואז ) ‪ .γ = γ1 ∗ γ2 ∗ (−γ3 ) ∗ (−γ4‬נחשב ״חצי״ מהנוסחה במשפט גרין‪ .‬נשים לב‬
‫כי ‪ dx = 0‬על ‪ γ2‬ועל ‪ γ4‬וכי ‪ dx = dt‬על ‪ γ1‬ועל ‪ .γ3‬לכן‬
‫´‬
‫‪f1 (t, ϕ(t)) − f1 (t, ψ(t)) dt‬‬
‫‪³‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪Z‬‬
‫= ‪f1 dx‬‬
‫‪γ3‬‬
‫‪a‬‬
‫!‬
‫‪ZZ‬‬
‫‪∂f1‬‬
‫‪∂f1‬‬
‫‪(t, s)ds dt = −‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪D ∂y‬‬
‫‪f1 dx −‬‬
‫‪γ1‬‬
‫‪Z ÃZ‬‬
‫)‪ψ(t‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪f1 dx‬‬
‫=‬
‫‪γ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪= −‬‬
‫)‪ϕ(t‬‬
‫‪a‬‬
‫באופן דומה‪ ,‬מהנורמליות ביחס לציר ה־ ‪y‬־ים נקבל כי‬
‫והנוסחה במשפט מקבלת כסכום של שתי הנוסחאות האלה‪.‬‬
‫‪∂f2‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪R‬‬
‫‪RR‬‬
‫‪, γ f2 dy = D‬‬
‫ההכללה לתחומים כלליים יותר תהיה פורמלית לגמרי‪ .‬נניח כי ‪ D‬הוא איחוד‬
‫של מספר תחומים נורמליים הנחתכים רק בשפתם‪ .‬למשל ‪ ,D = D1 ∪ D2‬כאשר‬
‫ה־ ‪Di‬־ים הם שני עיגולים קטומים המחוברים לאורך הקטימה‪ .‬משפט גרין ידוע‬
‫מהתחומים בנפרד‪ ,‬ונסכם את הנוסחאות‪ .‬באגף אחד נקבל את‬
‫אחד‬
‫לנו על כל ´‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪RR ³ 2‬‬
‫‪∂f1‬‬
‫‪ , D ∂f‬ובשני נקבל את ‪ . γ1 F + γ2 F‬אך נשים לב כי‬
‫‪−‬‬
‫הביטוי ‪dxdy‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂y‬‬
‫קטעי המסילות המשותפים ‪R‬ל ‪γ1‬‬
‫ולכן הסכום הוא בדיוק ‪. γ F‬‬
‫ו־ ‪ γ2‬הם בכיוונים מנוגדים ולכן מתבטלים‪,‬‬
‫באופן דומה נוכל לטפל בתחום עם ״חורים״ )וכיווני המסילות בחורים נקבעים‬
‫תמיד כך שהתחום נמצא משמאל למסילה(‪ ,‬למשל כאשר ‪ D‬טבעת‪ ,‬ואז שפתה‬
‫מורכבת משתי מסילות‪ .‬במקרה זה נוסיף קטע המקשר בינהן‪ ,‬וקטע זה‪ ,‬ביחד‬
‫עם שני המעגלים שהם שפת הטבעת‪ ,‬יגדירו מסילה המקיפה את ‪ D‬כשיש בו‬
‫״חריץ״‪ .‬הקטע הנוסף נספר פעמיים ־ ועם כיוונים מנוגדים‪ ,‬ולכן האינטגרלים‬
‫לאורכו מצמצמים זה את זה‪ ,‬ומתקבלת הנוסחה‪.‬‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫)‪(i‬‬
‫יהי ‪ D‬המשולש שקודקודיו הם )‪ (0, 0), ( π2 , 0), ( π2 , 1‬ותהי שפתו ‪ .γ‬אז‬
‫‪Z‬‬
‫‪ZZ‬‬
‫‪.‬‬
‫= ‪(y − sin x)dx + cos xdy‬‬
‫‪(− sin x − 1)dxdy = . . .‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪D‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪(ii‬‬
‫‪ .F (x, y) = ( x2−y‬הוא משמר באופן מקומי )למשל‪,‬‬
‫נזכור את השדה ) ‪+y 2 , x2 +y 2‬‬
‫‪y‬‬
‫הפוטנציאל בחצי המישור הימני הוא ‪ .(f (x, y) = arctan x‬אבל השדה אינו משמר‪,‬‬
‫כי ראינו שאם ‪ γ‬היא מעגל היחידה )כשעוברים עליו פעם אחת בכיוון המתמטי‬
‫‪101‬‬
‫‪R‬‬
‫החיובי(‪ ,‬אז ‪ . γ F = 2π‬זו גם התוצאה לכל מסילה אחרת ‪ γ‬המקיפה את‬
‫הראשית פעם אחת‪ ,‬כי השדה משמר בתחום המוגבל ע״י ‪ γ‬וע״י מעגל קטן סביב‬
‫הראשית‪.‬‬
‫אם עוברים על המעגל )או על המסילה האחרת( ‪ k‬פעמים האינטגרל הוא‬
‫‪ .2kπ‬זה מאפשר לנו לתת נוסחה המחשבת את ה״אינדכס״ של מסילה ‪ γ‬במישור‪,‬‬
‫כלומר את מספר הפעמים שהיא מקיפה את הראשית‪:‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪−ydx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪xdy‬‬
‫‪.‬‬
‫‪+ 2‬‬
‫‪2π γ x2 + y 2‬‬
‫‪x + y2‬‬
‫משפט גרין נותן נוסחה חשובה לחישוב השטח של תחום‬
‫משפט‪ .‬יהי ‪ D‬תחום שבו תקף משפט גרין‪ ,‬ותהי ‪ γ‬שפתו‪ .‬אז השטח של ‪ D‬ניתן ע״י כל‬
‫אחד מהאינטגרלים הבאים‬
‫‪Z‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪1‬‬
‫= |‪. |D‬‬
‫= ‪xdy = − ydx‬‬
‫‪−ydx + xdy‬‬
‫‪2 γ‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪γ‬‬
‫הוכחה‪ .‬משתמשים במשפט גרין עם השדות )‪ ,F (x, y) = (0, x‬או )‪ (−y, 0‬או‬
‫‪∂f1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ∂f‬בתחום ‪.D‬‬
‫)‪ 2 (−y, x‬בהתאמה‪ ,‬ושלושתם מקיימים ש־ ‪∂x − ∂y ≡ 1‬‬
‫לנוסחה הזו יש חשיבות מעשית רבה במדידות‪.‬‬
‫השטח של ‪ D‬רק עפ״י שפתו!‬
‫היא מאפשרת לדעת את‬
‫דוגמאות‪.‬‬
‫)‪ (i‬נחשב את שטח עיגול היחידה‪ .‬כאן )‪ γ(t) = (cos t, sin t‬עבור ‪,0 ≤ t ≤ 2π‬‬
‫ולכן השטח הוא‬
‫‪Z‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 2π‬‬
‫‪.‬‬
‫= ‪−ydx + xdy‬‬
‫‪(sin2 t + cos2 t)dt = π‬‬
‫‪2 γ‬‬
‫‪2 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ (ii‬נחשב את השטח המוגבל ע״י ‪ x 3 + y 3 = 1‬ברביע החיובי‪ .‬השפה מורכבת‬
‫מהמסילה )‪ γ(t) = (cos3 t, sin3 t‬עבור ‪ ,0 ≤ t ≤ π/2‬ומהקטעים ‪ γ1‬ו־ ‪γ2‬‬
‫המקשרים את הראשית עם )‪ (1, 0‬ו־ )‪ (0, 1‬בהתאמה‪ .‬אבל ‪ y = dy = 0‬על‬
‫‪ ,γ1‬ו־ ‪ x = dx = 0‬על ‪ ,γ2‬ולכן השטח הוא‬
‫‪(3 sin4 t cos2 t + 3 cos4 t sin2 t)dt‬‬
‫‪sin2 2tdt = . . .‬‬
‫‪π/2‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪cos t sin tdt‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪π/2‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪102‬‬
‫‪π/2‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Z‬‬
‫=‬
‫‪−ydx + xdy‬‬
‫‪γ‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬