תרגיל 11 – הנגזרת

‫‪Mathematics, Summer 2011 / Exercise 11‬‬
‫תרגיל ‪ – 11‬הנגזרת‬
‫‪ .1‬עבור כל אחת מן הפונקציות הבאות‪ ,‬קבעו האם היא גזירה ב־‪ 0‬והאם היא גזירה ב־‪:1‬‬
‫|‪f4 (x) = − |x − 1‬‬
‫‪f3 (x) = |x| − 1‬‬
‫|‪f2 (x) = |x − 1‬‬
‫|‪f1 (x) = |x‬‬
‫= )‪f8 (x‬‬
‫‬
‫‬
‫‪f7 (x) = x2 − 1‬‬
‫ ‬
‫ ‪f6 (x) = x2‬‬
‫|‪f5 (x) = |x| − |x − 1‬‬
‫‪x‬‬
‫√‬
‫‪5‬‬
‫‪ .2‬חשבו לפי ההגדרה )אחת מהשתיים( את הנגזרת של הפונקציה ‪.f (x) = x2 + 5x + 8‬‬
‫‪ .3‬חשבו לפי ההגדרה את הנגזרת של הפונקציה ‪.f (x) = cos x‬‬
‫‪ .4‬חשבו )בכל דרך תקינה( את הנגזרות של הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪2x3‬‬
‫‪+‬‬
‫)א(‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2x − 5‬‬
‫)ד(‬
‫‪x+3‬‬
‫‬
‫)ז(‬
‫‪1‬‬
‫‪+3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5x2‬‬
‫‪4x3‬‬
‫‪−‬‬
‫)ב(‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪f (x) = −‬‬
‫‪3‬‬
‫)ה(‬
‫‪x+2‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‬
‫‬
‫‪f (x) = x2 − 5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪+‬‬
‫)ג(‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪ .5‬חשבו )בכל דרך תקינה( את הנגזרות של הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪) f (x) = x +‬ב( )‪f (x) = 3x2 − 2 (4 + 3x‬‬
‫)א(‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫)ד(‬
‫‪4‬‬
‫)‪(5x + 2‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫)ה( ‪x4‬‬
‫‪2‬‬
‫)ז( √ = )‪f (x‬‬
‫‪x x‬‬
‫)‪x (x + 1) (x + 2‬‬
‫)ט(‬
‫)‪(x − 1) (x − 2‬‬
‫‪2‬‬
‫)ג(‬
‫‪x2 + 1‬‬
‫‪x−1‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪1‬‬
‫√ = )‪f (x‬‬
‫)ו(‬
‫‪4‬‬
‫‪x3‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫√‬
‫‪x x+1‬‬
‫)ח(‬
‫‪2 − 3x‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪f (x) = (3x + 1) 5 −‬‬
‫)ו(‬
‫‪x‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪x2 + 2x − 3‬‬
‫)ח(‬
‫‪x2 − 2x + 3‬‬
‫√‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫)ט(‬
‫‪x‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪r‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪ .6‬חשבו )בכל דרך תקינה( את הנגזרות של הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫)א( )‪f (x) = sin (2x‬‬
‫‪cos2 x + sin2 x‬‬
‫)ד(‬
‫‪sin x‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‬
‫)ז( ‪f (x) = tan sin2 x‬‬
‫)ב( ‪f (x) = cot x‬‬
‫)ג( ‪f (x) = x cos x‬‬
‫)ה( )‪f (x) = cos (sin x‬‬
‫)ו( )‪f (x) = sin (cos x‬‬
‫‬
‫)ח( ‪f (x) = cos tan3 x‬‬
‫‬
‫)ט( ? ‪f (x) = sin2 cos4 x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Mathematics, Summer 2011 / Exercise 11‬‬
‫‪ .7‬חשבו באמצעות המשפט אודות נגזרת של פונקציה הפוכה את הנגזרת של הפונקציה ‪.f (x) = arccos x‬‬
‫‪ .8‬תהי ‪ f : R → R‬פונקציה הפיכה‪ ,‬ונניח כי ‪ .f 0 (1) = 3 ,f (1) = 2‬האם )‪ f −1 (x‬גזירה ב־‪ ?2‬אם לא‪ ,‬הסבירו מדוע‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫אם כן‪ ,‬חשבו את )‪. f −1 (2‬‬
‫‪ .9‬חשבו )בכל דרך תקינה( את הנגזרות של הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪20‬‬
‫‪3 x + 1‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫)ב(‬
‫‪f (x) = x3 + 3x + 4‬‬
‫)א(‬
‫‪1−x‬‬
‫‪1‬‬
‫)ד(‬
‫‪3x2 − 1‬‬
‫√ = )‪f (x‬‬
‫‬
‫)ז( ‪f (x) = ln x7 + 3x6 + 3‬‬
‫‬
‫)ג(‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x +1‬‬
‫‪x2 − 1‬‬
‫‬
‫‪f (x) = ln‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f (x) = ex sin‬‬
‫‬
‫)ה( ‪f (x) = x arctan x2‬‬
‫)ו(‬
‫)ח( )‪f (x) = 2arcsin(3x‬‬
‫)ט( ‪f (x) = 34‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .10‬הוכיחו או הפריכו‪ :‬פונקציה שאינה חסומה ב־]‪ [a, b‬אינה גזירה בקטע הסגור ]‪.[a, b‬‬
‫‪ .11‬מצאו דוגמה לפונקציה רציפה וגזירה על כל הישר‪ ,‬מלבד נקודה אחת שבה היא אינה רציפה‪ ,‬ונקודה אחת אחרת שבה‬
‫היא רציפה אך לא גזירה‪.‬‬
‫‪ ? .12‬ידוע כי )‪ f (x‬רציפה ב־‪ ,x = 2‬ומקיימת‬
‫)‪f (x) − π − 3 (x − 2‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪x−2‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x→2‬‬
‫חשבו את )‪ f (2‬ואת )‪.f 0 (2‬‬
‫‪ .13‬יהיו )‪ f (x) , g (x‬שתי פונקציות המוגדרות על כל הישר הממשי‪ g (x) ,‬גזירה על כל הישר הממשי‪.‬‬
‫נגדיר )‪ h1 (x) = f (x) + g (x‬ו־)‪ .h2 (x) = f (x) g (x‬ענו על כל אחד מן הסעיפים הבאים בנפרד‪:‬‬
‫)א( אם ידוע כי )‪ h1 (x‬גזירה על כל הישר הממשי – האם נובע כי )‪ f (x‬גזירה על כל הישר הממשי?‬
‫)ב( אם ידוע כי )‪ h2 (x‬גזירה על כל הישר הממשי – האם נובע כי )‪ f (x‬גזירה על כל הישר הממשי?‬
‫‪ ? .14‬תנו דוגמה לפונקציה שאינה גזירה באינסוף נקודות שונות‪.‬‬
‫‪2‬‬