x - GOOL

Transcription

x - GOOL

‫מכינה במתמטיקה‬
‫‪1‬‬
‫תלמידים יקרים‬
‫ספר תרגילים זה הוא פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהגשה לבחינות‬
‫הבגרות במתמטיקה הן בבתי הספר התיכוניים‪ ,‬הן בבתי הספר‬
‫הפרטיים והן במכינות האוניברסיטאיות‪.‬‬
‫שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את‬
‫הדרך הנכונה לעומדים בפני מקצוע חשוב זה‪.‬‬
‫הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד על פי תכנית‬
‫הלימודים של משרד החינוך‪ .‬הניסיון מלמד כי לתרגּול בקורס זה‬
‫חשיבות יוצאת דופן‪ ,‬ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים‬
‫המופיעים בו‪.‬‬
‫לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר ‪www.GooL.co.il‬‬
‫הפתרונות מוגשים בסרטוני וידאו המלווים בהסבר קולי‪ ,‬כך שאתם‬
‫רואים את התהליכים בצורה מובנית‪ ,‬שיטתית ופשוטה‪ ,‬ממש כפי‬
‫שנעשה בשיעור פרטי‪ .‬הפתרון המלא של השאלה מכוון ומוביל לדרך‬
‫חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה‪.‬‬
‫תקוותי היא שספר זה ישמש מורה‪-‬דרך לכם התלמידים ויוביל אתכם‬
‫להצלחה‪.‬‬
‫יוחאי טוויג‬
‫‪2‬‬
‫תוכן העניינים‪:‬‬
‫פרק ‪ - 1‬טכניקה אלגברית‪6 ...................................................................................... :‬‬
‫פירוק הטרינום‪6 .................................................................................................:‬‬
‫משוואות‪7 ......................................................................................................... :‬‬
‫משוואה ממעלה ראשונה‪7 ............................................................................................... :‬‬
‫מערכת שתי משוואות בשני נעלמים ממעלה ראשונה‪8 ....................................................... :‬‬
‫משוואות עם אינסוף פתרונות וללא פתרון‪9 ...................................................................... :‬‬
‫משוואה ממעלה שנייה‪9 .................................................................................................. :‬‬
‫משוואות ממעלה שלישית ומשוואות דו‪-‬ריבועיות‪10 ......................................................... :‬‬
‫משוואות עם פרמטרים‪10 ................................................................................................ :‬‬
‫משוואות עם שורשים‪11 .................................................................................................. :‬‬
‫משוואות עם ערך מוחלט‪11 ............................................................................................. :‬‬
‫מערכת משוואות ממעלה שנייה‪12 ....................................................................................:‬‬
‫תשובות סופיות‪12 ........................................................................................................... :‬‬
‫אי שוויוניים‪14 .................................................................................................. :‬‬
‫אי‪-‬שוויונים ממעלה ראשונה‪14 ........................................................................................ :‬‬
‫אי‪-‬שוויונים ממעלה שנייה‪14 ........................................................................................... :‬‬
‫אי‪-‬שוויונים ממעלה שלישית‪15 ........................................................................................ :‬‬
‫אי‪-‬שוויונים עם מנה‪15 .................................................................................................... :‬‬
‫אי‪-‬שוויונים כפולים ‪ -‬מערכת וגם‪15 ................................................................................. :‬‬
‫שאלות מסכמות – אי ‪-‬שוויונים‪16 .................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪17 ........................................................................................................... :‬‬
‫חוקי חזקות‪18 ................................................................................................... :‬‬
‫שאלות יסודיות – חוקי חזקות ושורשים‪18 ...................................................................... :‬‬
‫משוואות מעריכיות‪19 .......................................................................................... :‬‬
‫שאלות יסודיות – משוואות מעריכיות‪19 .......................................................................... :‬‬
‫שאלות עם מערכת משוואות מעריכיות‪20 ......................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪20 ........................................................................................................... :‬‬
‫משוואות לוגריתמיות‪21 ....................................................................................... :‬‬
‫שאלות יסודיות – חוקי הלוגריתמים ומשוואות לוגריתמיות‪22 .......................................... :‬‬
‫שאלות עם מערכת משוואות לוגריתמיות‪24 ...................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪25 ........................................................................................................... :‬‬
‫מערכת משוואות לוגריתמיות ומעריכיות‪26 ............................................................... :‬‬
‫שאלות עם מערכת משוואות מעריכיות‪-‬לוגריתמיות‪26 ...................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪26 ........................................................................................................... :‬‬
‫אי שוויונים מעריכיים‪27 ...................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪27 ........................................................................................................... :‬‬
‫אי‪-‬שוויונים לוגריתמיים‪27 .................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪27 ........................................................................................................... :‬‬
‫‪3‬‬
‫תחום הגדרה‪28 .................................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪28 ........................................................................................................... :‬‬
‫פרק ‪ -2‬טריגונומטריה במישור‪29 ............................................................................. :‬‬
‫משולש ישר זווית‪29 ............................................................................................ :‬‬
‫תשובות סופיות‪32 ........................................................................................................... :‬‬
‫זהויות טריגונומטריות‪32 ......................................................................................:‬‬
‫משוואות טריגונומטריות‪35 .................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪38 ........................................................................................................... :‬‬
‫טריגונומטריה במישור‪39 ..................................................................................... :‬‬
‫שאלות שונות‪56 ................................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪64 ........................................................................................................... :‬‬
‫פרק ‪ –3‬חשבון דיפרנציאלי‪ :‬פולינומית‪ ,‬רציונאלית‪ ,‬אי‪-‬רציונאלית וטריגונומטרית‪66 ........... :‬‬
‫נגזרות ומשיקים‪66 ............................................................................................. :‬‬
‫שאלות יסודיות – גזירת פונקציות‪67 ................................................................................:‬‬
‫שאלות שונות – שימושי הנגזרת‪70 ................................................................................... :‬‬
‫שאלות עם פרמטרים‪71 ................................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪73 ........................................................................................................... :‬‬
‫חקירת פונקצית פולינום‪75 ................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪79 ........................................................................................................... :‬‬
‫חקירת פונקציות מנה ופונקציות שורש‪81 .................................................................:‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪83 ................................................................................................... :‬‬
‫מציאת נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה‪84 .................................................................. :‬‬
‫מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪84 ...................................................................... :‬‬
‫חקירת פונקצית מנה‪86 ................................................................................................... :‬‬
‫חקירת פונקצית שורש‪90 ................................................................................................. :‬‬
‫שאלות עם תחומי קעירות ונקודות פיתול‪95 ..................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪97 ........................................................................................................... :‬‬
‫חקירת פונקציות עם פרמטר‪103 ............................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪105.......................................................................................................... :‬‬
‫חקירת פונקציות טריגונומטריות‪106 ....................................................................... :‬‬
‫הגדרות כלליות‪106.......................................................................................................... :‬‬
‫שאלות‪108.......................................................................................................................:‬‬
‫תשובות סופיות‪114.......................................................................................................... :‬‬
‫פרק ‪ - 4‬חשבון דיפרנציאלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות‪117 .................................. :‬‬
‫פונקציות מעריכיות‪117 ........................................................................................ :‬‬
‫הגדרות כלליות‪117.......................................................................................................... :‬‬
‫שאלות יסודיות – חישובי נגזרות‪119................................................................................ :‬‬
‫שאלות העוסקות בשימושי הנגזרת‪119.............................................................................. :‬‬
‫שאלות שונות העוסקות בחקירה של פונקציות מעריכיות‪120............................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪126.......................................................................................................... :‬‬
‫‪4‬‬
‫פונקציות לוגריתמיות‪130 ...................................................................................... :‬‬
‫הגדרות כלליות‪130.......................................................................................................... :‬‬
‫שאלות יסודיות – חישובי נגזרות‪131................................................................................ :‬‬
‫שאלות העוסקות בשימושי הנגזרת‪133.............................................................................. :‬‬
‫שאלות שונות העוסקות בחקירה‪133................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪139.......................................................................................................... :‬‬
‫פרק ‪ -5‬חשבון אינטגרלי‪ :‬פולינומית‪ ,‬רציונאלית‪ ,‬אי ‪-‬רציונאלית וטריגונומטרית‪143 .............. :‬‬
‫סיכום כללי האינטגרציה‪143 ................................................................................. :‬‬
‫הגדרה וחוקים יסודיים‪143.............................................................................................. :‬‬
‫חישוב שטחים באמצעות האינטגרל (מקרים פרטיים)‪143................................................... :‬‬
‫חישוב נפחים באמצעות האינטגרל‪144.............................................................................. :‬‬
‫שאלות לפי נושאים‪144 ........................................................................................ :‬‬
‫שאלות יסודיות – חישובי אינטגרלים‪144.......................................................................... :‬‬
‫שאלות יסודיות – מציאת פונקציה קדומה‪147...................................................................:‬‬
‫האינטגרל המסוים‪148..................................................................................................... :‬‬
‫חישובי שטחים – פונקציה פולינומית‪149.......................................................................... :‬‬
‫שאלות עם פרמטר‪156...................................................................................................... :‬‬
‫חישובי שטחים כאשר נתונה נגזרת הפונקציה‪156.............................................................. :‬‬
‫חישובי שטחים – פונקציה רציונאלית‪158......................................................................... :‬‬
‫חישובי שטחים – פונקצית שורש‪159................................................................................. :‬‬
‫חישובי שטחים – פונקציות טריגונומטריות‪162................................................................. :‬‬
‫מציאת נפח גוף סיבוב‪164................................................................................................. :‬‬
‫בעיות קיצון עם אינטגרלים‪165........................................................................................ :‬‬
‫תשובות סופיות‪166.......................................................................................................... :‬‬
‫הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת‪170 ................................................................ :‬‬
‫פרק ‪ - 6‬חשבון אינטגרלי של פונקציות מעריכית ולוגריתמית‪175 ....................................... :‬‬
‫פונקציות מעריכיות‪175 ........................................................................................ :‬‬
‫שאלות יסודיות – אינטגרל כללי‪175................................................................................. :‬‬
‫שאלות יסודיות – אינטגרל מסוים‪176.............................................................................. :‬‬
‫חישובי שטחים‪176.......................................................................................................... :‬‬
‫חישובי נפחים‪178............................................................................................................ :‬‬
‫תשובות סופיות‪179.......................................................................................................... :‬‬
‫פונקציות לוגריתמיות‪180 ...................................................................................... :‬‬
‫שאלות יסודיות – אינטגרל כללי‪180................................................................................. :‬‬
‫שאלות יסודיות – אינטגרל מסוים‪180.............................................................................. :‬‬
‫חישובי שטחים‪181.......................................................................................................... :‬‬
‫חישובי נפחים‪183............................................................................................................ :‬‬
‫תשובות סופיות‪184.......................................................................................................... :‬‬
‫‪5‬‬
:‫ טכניקה אלגברית‬- 1 ‫פרק‬
:‫פירוק הטרינום‬
:‫פרק את הביטויים הבאים לפי פירוק טרינום‬
2 x2  7 x  15
)2
4 x2  8x  3
)1
6 x2  5x  1
)4
3x2  11x  6
)3
x2  5x  4
)6
2 x2  x  6
)5
x2  33x  62
)8
x2  8x  15
)7
:‫פרק את הביטויים הבאים‬
4 x2  8x  3
)9
6 x2  5x  1 )10
x2  5x  4 )11
:‫תשובות סופיות‬
 3x  2 x  3 )3  2 x  3 x  5 )2  2 x  1 2 x  3 )1
 x  1 x  4 )6  x  2 2 x  3 )5  3x  1 2 x  1 )4
 2 x  1 2 x  3 )9  x  2 x  31 )8
 x  3 x  5 )7
.  x  1 x  4 )11  3x  1 2 x  1 )10
6
:‫משוואות‬
:‫משוואה ממעלה ראשונה‬
2 x  x  24
7  2x  7
.‫ג‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬1
.‫ב‬
6 x  2  8 .‫א‬
7 x  5  2 x  4 x 13
.‫ה‬
2x  6  8  x
.‫ד‬
2  5x  7  3x  8
.‫ז‬
6 x  3  5  7 x  x  5x  7
.‫ו‬
7 x  4 3  4x    x
.‫ב‬
3  x  1  4  2
.‫א‬
5x   3x  7  4  21
.‫ד‬
6  4  x    6  x   3x
.‫ג‬
.‫ו‬
x  x  5  x 2  7 x  8
.‫ה‬
 7  x 1  x    x  3
2
0
4 x 3x

1
15 10
.‫ב‬
5 x  1 6 x  1 3x  1


1
6
5
4
.‫ד‬
 x x
5    x  1
3 7
.‫ו‬
x x
  4 .‫א‬
3 9
2
4
7
x x  x
3
5
15
.‫ג‬
2
3
 x  3   4  x   x  2 . ‫ה‬
5
15
1
x

 0 .‫ב‬
2 x 1
1 2
  0 .‫א‬
4 x
5
4
.‫ד‬

2 x  1 3x  2
3
1

x x2
.‫ג‬
x5 1 1
.‫ה‬


3x 2 6 x x
7
x2  2
3x  1
.‫א‬

2
3x  5 x 9 x  15
7
2
3


 0 .‫ב‬
x 1 x  1 2  2x
2
4 x 2  24 x  36
 12 .‫ד‬
x 3
3
2  x
2

5
0
12  3x 2
.‫ג‬
:‫מערכת שתי משוואות בשני נעלמים ממעלה ראשונה‬
5 x  2 y  14
.‫ב‬

5 x  3 y  23
x  3y  5
.‫א‬

x  3y  3
5 x  2 y  2
.‫ג‬

x  4 y  4
3x  2 y  16
.‫ב‬

 x  5 y  14
3x  y  11
.‫א‬

y  5
y  x 3
.‫ה‬

 y  2x  4
2 x  3 y  5
.‫ד‬

5 x  7 y  11
 x  3 x  y y 1



16
4
.‫ב‬
 8
3  2 x  y   4 x  11  0

3 y  x  2  4 x  2  3 y
.‫א‬

2 x  3  y  5 y  4 x  3
3
 3x  1 2
 4  5  x  y   10  x  3

 x 1  y  1
 4
2
.‫ג‬
7

4 x  y  3

.‫ג‬

2
5 x   7

y
3 3
x  y  2

.‫ב‬

 9  4  7
 x y
8
3 1
x  y  4

.‫א‬

5  1  4
 x y
‫‪ )10‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xy  20‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪20‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  y  2   y  xy  5‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x  y  2‬‬
‫‪5 x  4 xy  22‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪6 x  xy  20‬‬
‫משוואות עם אינסוף פתרונות וללא פתרון‪:‬‬
‫א‪6  x  2   2 x  5  4 x .‬‬
‫ב‪5 x  3  x  4 x  2 x  3 .‬‬
‫‪‬‬
‫‪2  x  y   4 y  1  x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪7‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x  2 y  1‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪4 x  8 y  5‬‬
‫משוואה ממעלה שנייה‪:‬‬
‫א‪x2  3x  10  0 .‬‬
‫ב‪ x  10 x  16  0 .‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪2 x 2  6 x  5  0 .‬‬
‫ג‪25x2  20 x  4  0 .‬‬
‫ב‪ x  x  5  1  3x 1  x   4 .‬‬
‫א‪4 x2  5x  7  4  x2  3 .‬‬
‫ג‪2  x  5   2 x  3  10 x  21 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )14‬פתור את המשוואות הבאות (משוואה חסרת ‪:) b‬‬
‫ב‪32 x  18  0 .‬‬
‫א‪x2  36  0 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )15‬פתור את המשוואות הבאות (משוואה חסרת ‪:) c‬‬
‫ב‪5 x  x  0 .‬‬
‫א‪7 x2  14 x  0 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9‬‬
x 9
 x  x 2  18 .‫ב‬
x3
2
4x 1 x  2 2
.‫א‬


3
2
x
3
2x  5
4


 0 .‫ג‬
2
2 x  2 2  x  1 1  x 2
:‫ריבועיות‬-‫משוואות ממעלה שלישית ומשוואות דו‬
x 4  3x 2  2  0 . ‫ב‬
5x4  3x2  8  0 .‫א‬
2 x3  5 x 2  2 x  5  0 . ‫ד‬
2 x3  7 x 2  7 x  2  0 . ‫ג‬
:‫משוואות עם פרמטרים‬
mx  3m  5x  1 .‫א‬
1
1
 a  3x    ax  3 .‫ב‬
3
a
 x  2a  x  2b   x2  2  a2  b2  .‫ג‬
m  1 m 1
.‫ד‬

x 1 x  1
x
1
ax  x
2
.‫ה‬

 3
 3
2
a  a 2a 2a  4a  2a a  2a 2  a
2
:‫) פתור את מערכות המשוואות הבאות‬19
ax  y  2
.‫ב‬

 x  ay  4
 x  my  1
.‫א‬

x  y  m

 m  1 x   2m  3 y  5
.‫ד‬

m

2
x

2
m

1
y

10
m






x
 ym
.‫ג‬
m
2
x  m y  1


 2a  b  x   2a  b  y  8ab
.‫ה‬

2
2
2
a

b
x

2
a

b
y

8
a

2
b






10
:‫) פתור את המשוואות הריבועיות הבאות‬20
x2  2 x  4a  a 2  3 .‫ב‬
x2  2mx  m2  1  0 .‫א‬
1
1
1
 
 0 .‫ד‬
ax a ax
x2  m  x  10   2m2  5x .‫ג‬
a 1 x
  b
x b a
m
.‫ו‬
2
 1 x 2  m2 x  1  0 .‫ה‬
x
1 a b a b


x a b a b
.‫ז‬
:‫משוואות עם שורשים‬
x2  x
.‫ב‬
4x  3  5
.‫א‬
2 x  16  3 x  1
.‫ד‬
3x  1  x  13
.‫ג‬
x2  5x  12  2 6  x
.‫ו‬
3x  5  x  17
.‫ה‬
2x 1  3  7 x  1
.‫ח‬
x  1  2 x  5  11  x 2
.‫ז‬
2x  3  3  x  2
.‫י‬
9 x  8  3 x  4  2
.‫ט‬
2 x  2  5 x  4  3x  2
.‫יב‬
x  3  x  2  4 x  1 .‫יא‬
3 x 1  2 x  3  2 x  2
.‫יג‬
:‫משוואות עם ערך מוחלט‬
3x  24  x
.‫ב‬
2 x  11  7 .‫א‬
2 x  8  x  10
.‫ד‬
12  x  3x
.‫ג‬
14  3x  2 x  5
.‫ו‬
4 x  5  2 x  13
.‫ה‬
x  2  6  2x  4
.‫ח‬
x  7  2x
.‫ז‬
10  3x  x  4  2 x  6
.‫י‬
x  2  2x  6  4x  8
.‫ט‬
11
:‫מערכת משוואות ממעלה שנייה‬
:‫) פתור את מערכות המשוואות הבאות‬23
2
2

2 x  y  36
 2

 x  3 y  10
.‫ב‬
 x 2  2 y 2  17

 xy  10
.‫ד‬
 x 2  2 xy  8 y 2  8


2

3xy  2 y  4
 x 2  y 2  20

x  y  6
.‫א‬
2
2

3x  4 y  16
 2
2

5 x  3 y  17
.‫ג‬
.‫ו‬
 x 2  xy  20 y 2  0

x  6 y  1
.‫ה‬
16 x 2  y 2  391

4 x  y  23
.‫ח‬
 x 2  y 2  33

 x  y  11
.‫ז‬
3
3

 x  y  91
 2
2

 x y  xy  30
.‫י‬
 x3  y 3  243

x  y  9
.‫ט‬

 xy  24

2

 y  x   7  y  x   10  0
.‫יב‬
 x
y 10



x 3
 y
 2
2
 x  y  9 xy  25
.‫יד‬
3 5
 x  y  21

.‫יא‬

 8  1  13
 x y
2
2

 x y  xy  84
 2
2

 x  2 xy  y  5 x  5 y  24
.‫יג‬
1
.‫ ז‬x  3 .‫ ו‬x  2 .‫ ה‬x  2 .‫ ד‬x  8 .‫ ג‬x  0 .‫ ב‬x  1
2
1
1
. x  1 .‫ ו‬x  4 .‫ ה‬x  1 .‫ ד‬x  2 .‫ ג‬x  .‫ ב‬x  3
4
2
. x  21 .‫ ו‬x  10 .‫ ה‬x  1 .‫ ד‬x  1 .‫ ג‬x  30 .‫ ב‬x  18
. x  2 .‫ ה‬x  2 .‫ ד‬x  3 .‫ ג‬x  1 .‫ ב‬x  8
4
1
.   ,9  .‫ ב‬ 4,  .‫) א‬6 . x  6 , x  3 .‫ ד‬x  7 .‫ ג‬x  7 .‫ ב‬x  6
 5 
 3
.  7, 10  .‫ ה‬ 2,3 .‫ ד‬ 0,1 .‫ ג‬ 4, 2  .‫ ב‬ 2,5
.x
. 1,1 .‫ ג‬ 3,1 .‫ ב‬1,1 .‫) א‬9
12
.‫) א‬1
.‫) א‬2
.‫) א‬3
.‫) א‬4
.‫) א‬5
.‫) א‬7
 7, 2  .‫ ג‬ 7,1 .‫ ב‬ 6,5 .‫) א‬8
 2, 4  .‫ ג‬ 2,10  .‫ ב‬ 1, 3 .‫) א‬10
‫ אין פתרון למערכת המשוואות‬.‫ג‬
‫ אינסוף פתרונות‬.‫ אין פתרון ב‬.‫) א‬11
.‫ אינסוף פתרונות‬.‫ד‬
2
.‫ ג‬x1  2 , x2  8 .‫ ב‬x1  2 , x2  5
5
1
. x1  1 , x2  10 .‫ ג‬x1  1 , x2  1 .‫ ב‬x1  0 , x2  1
4
1
3
x1  0 , x2  .‫ ב‬x1  0 , x2  2 .‫) א‬15 x   .‫ ב‬x  6
5
4
. x1  0 , x2  5 .‫ ג‬x  5 , x  3 .‫ ב‬x1  2 , x2  1.2
1
.‫ ד‬x1  1 , x2  2 , x3  .‫ ג‬x  1 .‫ ב‬x  1,  2
2
.‫ אין פתרון למשוואה‬.‫ ד‬x 
.‫) א‬12
.‫) א‬13
.‫) א‬14
.‫) א‬16
.‫) א‬17
. x1  1 , x2  1 , x3  2
1
2
a2  9
3m  1
.‫ ב‬m  5, x 
.‫) א‬18
6a
m5
m 1 
 2a  4 4a  2 
, 2
 2m  1, m  2 .‫ ד‬ m2  m  1,
 .‫ ב‬ m  1, 1 .‫) א‬19
 .‫ ג‬ 2
m 
 a 1 a 1 

x  m  5, 2m .‫ ג‬x  a  1,3  a .‫ ב‬x  m  1, m 1 .‫) א‬20  2a  b, 2a  b  .‫ה‬
. x  a  1 .‫ ה‬x  m .‫ ד‬x  a  b .‫ ג‬x 
a b a b
a
1
.‫ ז‬b  0, x  , ab .‫ ו‬x  1,  2
.‫ ה‬a  0, x  a 3 .‫ד‬
,
a b a b
b
m 1
x  5 .‫ ח‬x  3 .‫ ז‬x  4, 3 .‫ ו‬x  6 .‫ ה‬x  5 .‫ ד‬x  8 .‫ ג‬x  2 .‫ ב‬x  7 .‫) א‬21
8
. x  2 .‫ יג‬x  1 .‫ יב‬x  6 .‫ יא‬x  2, 2 .‫ י‬x  12 .‫ט‬
9
4
1
x  7 .‫ ז‬x  24, .‫ ו‬x  9, 1 .‫ ה‬x  6 .‫ ד‬x  3 .‫ ג‬x  6,12 .‫ ב‬x  2,9 .‫) א‬22
5
3
1
. x  0 .‫ י‬x  0, 12 .‫ ט‬x  12, 1 .‫ח‬
3
.  5, 2 ,  5, 2  .‫ ד‬ 2, 1 .‫ ג‬ 4, 2  .‫ ב‬ 2, 4  ,  4, 2  .‫) א‬23
.x
.  5, 3 .‫ ח‬ 7, 4  .‫ז‬
1
1  5 1 
 1 

 3,  ,  3,   ,  2,1 ,  2, 1 .‫ ו‬ 2,  ,  ,  .‫ה‬
2
2   11 11 
 2 

1 1
.  ,  .‫ יא‬ 6,5 ,  5, 6  .‫ י‬ 3,6  ,  6,3 .‫ט‬
 2 3
.  4,6 ,  6, 4 ,  3,8 ,  8, 3 .‫יב‬
.  1.65,6.35 ,  6.35,1.65  7, 4  ,  4, 7  .‫יג‬
.  5, 45 ,  5, 45 ,  45,5 ,  45, 5 .‫יד‬
13
‫אי שוויוניים‪:‬‬
‫מה אסור?‬
‫מה מותר?‬
‫‪ .1‬לכפול או לחלק בביטוי שלא יודעים‬
‫את סימנו‪.‬‬
‫‪ .1‬לחבר או לחסר כל מספר או ביטוי‪.‬‬
‫‪ .2‬לכפול או לחלק בכל מספר או ביטוי חיובי‪.‬‬
‫‪ .2‬להעלות בחזקה זוגית כשיש אגף‬
‫שלילי‪.‬‬
‫‪ .3‬לכפול או לחלק בכל מספר או ביטוי שלילי‬
‫תוך הפיכת סימן אי‪-‬השוויון‪.‬‬
‫‪ .4‬להעלות בחזקה אי זוגית‪.‬‬
‫‪ .5‬להעלות בחזקה זוגית אם שני אגפי‬
‫אי‪-‬השוויון אינם שליליים‪.‬‬
‫אי‪-‬שוויונים ממעלה ראשונה‪:‬‬
‫פתור את אי‪-‬השוויונים הבאים‪:‬‬
‫‪45x  26  109 )1‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪6 x  2  3x  1‬‬
‫‪)4‬‬
‫‪ 4   x  2   20‬‬
‫‪4  6 x  8   8  3x  4 ‬‬
‫‪7  x 3x  1 x  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪7‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪)3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 4x  6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪)5‬‬
‫‪8 x  4 9  x  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪)6‬‬
‫‪)7‬‬
‫‪x6 x4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 12  x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪)8‬‬
‫‪2  x  5 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  2‬‬
‫אי‪-‬שוויונים ממעלה שנייה‪:‬‬
‫פתור את אי‪-‬השוויונים הבאים‪:‬‬
‫‪)9‬‬
‫‪x 2  144‬‬
‫‪x  12 x  32 )10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  2 x  5  0 )11‬‬
‫‪ x  2 x  4  35 )12‬‬
‫‪ x2  13x  30  0 )13‬‬
‫‪ x  3 x  7   8x  56 )14‬‬
‫‪)15‬‬
‫‪ x  x  2   89‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  5‬‬
‫‪3x2  12 x  0 )17‬‬
‫‪)19‬‬
‫‪  x  1 x  6   x 2  3x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  3‬‬
‫‪14‬‬
‫‪ 4  x  3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 5x  6‬‬
‫‪)16‬‬
‫‪2‬‬
‫‪)18‬‬
‫‪x2  10 x  25  0‬‬
‫‪)20‬‬
‫‪2 x2  2 x  24  0‬‬
:‫שוויונים ממעלה שלישית‬-‫אי‬
:‫השוויונים הבאים‬-‫פתור את אי‬
 x 1 x  2 x  3  0 )21
x  x  x  1  0 )22
2
x
2
x3  25x  0 )24
 2x
2
 3x  2   x  1  0
)23
 8x  20   3x  5  0 )26
x
2
 3x  5   x  2   0
)25
x
x3  6 x2  9 x  0 )28
2
 x  6   x  1  0
x
 x  2 x  4 x 1  0 )30
2
)27
 6   x  3  0 )29
:‫שוויונים עם מנה‬-‫אי‬
x 1
 0 )31
x2  9
x 1
 3 )32
3x  2
x 3
 0 )34
2 x  10 x  12
1
0
x  16
)33
1
0
3  x  1
2x 1
0
x 5
)35
2
2
)36
1
 0 )38
x  5x  6
x 1
 1 )37
x2
1
 0 )40
2
x  8 x  12
x2  7 x  6
 0 )39
 x 2  3x  7
2
:‫ מערכת וגם‬- ‫שוויונים כפולים‬-‫אי‬
0
0
6
1
 2 )42
x4
3  x  1  5 )41
8  3x
 4 )44
5  2x
2 x  10 7 x  20

)46
3
5
4 x  5 3x  8 9  x


 11 )48
15
5
3
15
1 
x 1
 1 )43
x 1
6x  38  x  3  5x  7 )45
1 
2x  6 x  2

4
3
)47
:‫שוויונים‬-‫שאלות מסכמות – אי‬
x  x  5  3x  15  2 x  1  x(4  x) )50
x
 x  5 3x  1  0 )52
 2  x  x  7 
x  x  3 2 x  5  0 )54
5  2x
 x  8
2
 x  6   x  1  0 )55
2
 0 )56
x  4x
0
x  2x  3
x7
0
2
x  x3
2 x2
x
x


2
x  6x  8 x  4 x  2
3
2
1
1
 0 

x 1 x
x  3 1 x
x2
x 3
 0 )57
x2  2
x2  6x  9
 0 )59
x3  x
x
1
1


)61
2
x 4 x2 x2
2
2
3
 2  x  5  0  x  8 )49
4
 x  4  x  2   0 )51
x 1
 2 x  3 x  12   0 )53
 x  1 4  x 
)58
)60
)62
x2  3x  10  6  5x  x 2 )63
)64
1
? g  x 
x 1
 2 )65
x4
x 1
x
‫ מעל הפונקציה‬f  x  
‫ נמצאת הפונקציה‬x ‫) לאלו ערכי‬66
x3
x 3
16
. x  13 )8 x  12 )7 x ‫) אף‬6 x  5 )5 x  2 )4 x ‫) אף‬3 x ‫) כל‬2 x  3 )1
. 9  x  3 )12 5  x  2 )11 x  4 , x  8 )10 12  x  12 )9
. 4  x  0 )16 4  x  8 )15 x  7 , x  11 )14 x  2 , x  15 )13
. x ‫) כל‬20 x  3 , x  5 )19 x  5 , x  5 )18 0  x  4 )17
1
)23 x  0 )22 1  x  2 ‫ או‬x  3 )21
2
2
. x  3 )29 x  0 , x  3 )28 x  2 , 1  x  3 )27 x  1 )26 x  2 )25
3
2
1
. x   , x   )32 3  x  1 , x  3 )31 x  1 , 2  x  4 )30
3
2
1
. x  2 )37 x  1 )36  x  5 )35 2  x  3 , x  3 )34 x  4 , x  4 )33
2
1
. x  0 )43 x  3 )42 2  x  4 )41 x  2 , x  6 )40 1  x  6 )39 2  x  3 )38
2
3
2
2
2  x   )49 .  )48 1  x  13 )47 x  10 )46 2.5  x  7 )45 x  2 , x  2 )44
5
3
4
1
x  7 ,   x  2 , 5  x )52 x  2 , 1  x  4 )51 x  4 )50
3
. x  1 , 2  x  6 , 6  x )55 x  3 , 0  x  2.5 )54 . 1  x  1.5 , 4  x  12 )53
. x  3 , 0  x  1 , x  4 )58 3  x )57 2.5  x  8 , 8  x )56
. x  2 , 2  x  4 )61 7  x )60 1  x  0 , 1  x  3 , 3  x )59
. x  7 )65 x  1 )64 x ‫) אף‬63 x  0 , 1  x  2 , 4  x )62
3
. 3  x   , 3  x )66
5
5  x  0 , x  5 )24 2  x  1 , x 
17
:‫חוקי חזקות‬
:‫סיכום חוקי החזקות‬
a n  a m  a nm
.3
a1  a
a m  bm   a  b 
.6
 a n   a nm .5
a
 
b
m
b
 
a
m
a 0  1 .1
.2
an
 a nm
m
a
m
m
am 
.9
1
am
am  a 
 
bm  b 
.8
.4
m
.7
:‫סיכום חוקי השורשים‬
n
m
an  a m
n m
1
.3
m
a  mn a .6
m
1
a  am
.2
a ma

b
b
.5
m
a  a2
m
.1
a  m b  m a  b .4
:‫שאלות יסודיות – חוקי חזקות ושורשים‬
:‫) חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הבאים‬1
9  27
39  81
.‫ב‬
23  25
.‫ד‬
3
k 
k 
.‫א‬
.‫ג‬
:‫) פשט את הביטויים הבאים‬2
2 m 2
2m 3
23  2 7
2 4  25
109  255  81
403 1255
2

k
 2a b    ab 
13 m
2
.‫ב‬
1
3 2
4
 a2 
4ab 2   
 b 
4b 3
4b 1  4b  2
k 7 m4
1 x n 3  x n 5

x2
x n2
3
.‫ד‬
.‫א‬
.‫ג‬
22  8
. 5
:‫) חשב ללא מחשבון את ערך הביטוי הבא‬3
128
5
18
:‫) הכנס לתוך שורש את המספרים החופשיים‬4
36
2
63
.‫ג‬
5 3
.‫ב‬
3 2
.‫א‬
x x
.‫ה‬
23 3
.‫ד‬
:‫) הוצא מהשורש את הכופל הגדול ביותר‬5
48 .‫ב‬
12 .‫א‬
.‫ג‬
3
.‫ה‬
x5
54
.‫ד‬
:‫משוואות מעריכיות‬
. x  y :‫ הוא‬a x  a y :‫ פתרון כללי של משוואת מעריכית מהצורה‬.1
. a x  1  a0 :‫ שכן‬x  0 :‫ הוא‬a x  1 :‫ פתרון של משוואה מהצורה‬.2
.‫ ללא תלות בבסיסים‬a x  b x  1 :‫ שכן‬x  0 :‫ הוא‬a x  b x :‫ פתרון של משוואה מהצורה‬.3
:‫שאלות יסודיות – משוואות מעריכיות‬
:‫פתור את המשוואות הבאות‬
 25  0.2 
2x 2
1 x
 1 


 125 
1
2  32   
8
)8
2  2  16 )14
x
2x
13 x
e  e
x
3 x 1
1
 x 
e 
)13
2  6 x  6 x  2  6 x 1  227 )17
5  3x  3x1  162 )16
22 x  6  2 x  8  0 )20
e2  e x  e x 1  e  1 )19
x
4 5 3
    
9 2 2
 x 1
35 x 3  33 x  7 )6
)7
1
27     9 3 )10
3
3x  5x )11
x
x
2x
3
 
4
2 x
3x
4
9
    
3
 16 
3 x
5
 1 


 8
7 x
)9
2 x /3 2
)12
e x  2e x  3e4 )15
1 x

2
5 x  25 2
 5 x 1  145 )18
2
)23
3
6 x  4  6 x  3  0 )22
5  25x  26  5x  5  0 )21
e1 x  e1 x  e2  1 )26
e2 x  e x  2  0 )25
20
8
)24
 3 x
9 1
9 1

19
x
‫שאלות עם מערכת משוואות מעריכיות‪:‬‬
‫‪ )27‬פתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫‪ y  3x‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y  18  3‬‬
‫‪52 x  5 y  5x  25‬‬
‫‪.‬‬
‫‪y  x  2‬‬
‫‪ )29‬פ תור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ 3 y  4  3x  2  3x  2  3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪4 y  256 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪5x  2 y  13‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪2  5  2  2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪2  3  3  2  42‬‬
‫‪.  x 1‬‬
‫‪y 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪3  2  73‬‬
‫‪52 x 1  8 10 x  22 y  4  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪3  27 6‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪6  4 x  7  6 y 1  2  3x  y  6 y‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪. 4 x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 5  5 5  125  5‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪2b3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .‬ב‪ . k .‬ג‪ . 3 .‬ד‪.  x .‬‬
‫‪ )1‬א‪ . 2 .‬ב‪ . .‬ג‪ . .‬ד‪ )2 . 40 .‬א‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. 2 )3‬‬
‫‪ )4‬א‪ . 18 .‬ב‪ . 75 .‬ג‪ . 9 .‬ד‪ . 3 24 .‬ה‪. x3 .‬‬
‫‪ )5‬א‪ . 2 3 .‬ב‪ . 4 3 .‬ג‪ . 3 7 .‬ד‪ . 3 3 2 .‬ה‪. x  1 )7 . x  5 )6 . x 2 x .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪)13 . x  3 )12 . x  0 )11 . x   )10 . x  2 )9 . x  1 )8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. x  1, 2 )20 . x  1 )19 . x  2 )18 . x  1 )17 . x  4 )16 . x  4 )15‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. x  1 )26 . x  0 )25 . x  1,  )24 . x  0,1 )23 . x  0 )22 . x  1 )21‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. 1, 2  ,  1,0  )33  1, 2  )32  3, 2  )31 1,3 )30 1, 2  )29  0, 2  ,  2, 4  )28  2,9  )27‬‬
‫‪. x  3 )14 . x  1,‬‬
‫‪20‬‬
‫משוואות לוגריתמיות‪:‬‬
‫‪ .1‬הגדרת הלוגריתם‪ a x  b  loga b  x :‬כאשר‪. a , b  0 , a  1 :‬‬
‫לוגריתם על בסיס ‪ a‬של ‪ b‬מוגדר כחזקה שיש להעלות את ‪ a‬על מנת שיהיה שווה ל‪. b -‬‬
‫ערך חזקה זו הוא ‪ . x‬ערך לוגריתם יכול להיות חיובי‪ ,‬שלילי או אפס‪.‬‬
‫נפתור משוואות לוגריתמיות ע"י מעבר לפי ההגדרה למשוואה מעריכית מתאימה‪.‬‬
‫‪ .2‬דוגמאות כלליות‪:‬‬
‫‪. 2  8  log 2 8  3 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪. 3  81  log3 81  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪. 102  100  log10 100  2‬‬
‫‪. 16  4  log16 4  0.5‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ log5‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫‪. 60  1  log6 1  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪. 52 ‬‬
‫‪ .3‬חוקי יסוד בלוגריתמים‪:‬‬
‫ב‪. log a 1  0 .‬‬
‫א‪log a a  1 .‬‬
‫‪ .4‬חוקי הלוגריתמים‪:‬‬
‫א‪ .‬מכפלה לסכום‪. log a  x  y   log a x  log a y :‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬מנה להפרש‪. log a    log a x  log a y :‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ ‬‬
‫ג‪ .‬מקדם למעריך‪. loga bn  n loga b :‬‬
‫‪ .5‬חזקה לוגריתמית‪. alog x  x :‬‬
‫‪a‬‬
‫‪log m b‬‬
‫‪ .6‬מעבר מבסיס לבסיס‪:‬‬
‫‪log m a‬‬
‫‪ , log a b ‬כאשר‪. a , m  0 ; a , m  1 ; b  0 :‬‬
‫‪ .7‬לוגריתם על בסיס ‪ e‬נקרא הלוגריתם הטבעי ומסומן‪. loge x  ln x :‬‬
‫‪21‬‬
‫שאלות יסודיות – חוקי הלוגריתמים ומשוואות לוגריתמיות‪:‬‬
‫‪ )1‬חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הלוגריתמים הבאים‪:‬‬
‫ג‪log 25 5 .‬‬
‫א‪log 2 32 .‬‬
‫ב‪log1000 .‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪log8 4‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a a‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪16‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪log 4‬‬
‫‪log a a 4‬‬
‫‪log a‬‬
‫‪ )2‬חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הלוגריתמיים הטבעיים הבאים‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ln e 2‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪e4‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ln‬‬
‫‪1‬‬
‫‪e e‬‬
‫‪ln‬‬
‫‪ )3‬פת ור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (שימוש בהגדרת הלוג)‪:‬‬
‫ב‪log 2 x  16 .‬‬
‫א‪log36 6  x .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪log 1 x  1.5‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪log x 64  3‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪log x 25  2‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪log x  3x  4   2‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪ln x  2‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ln x  ‬‬
‫‪ )4‬חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הבאים (שימוש בחוקי הלוגים)‪:‬‬
‫ב‪2log 2  log 25 .‬‬
‫א‪log6 8  log6 9  log6 2 .‬‬
‫‪log3 2  log3 4‬‬
‫‪3log3 6   2  log 3 12 ‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ )5‬נתון‪ . log3 2  a :‬הבע באמצעות ‪ a‬את ערכי הביטויים הבאים‪:‬‬
‫ג‪log3 24 .‬‬
‫ב‪log3 6 .‬‬
‫א‪log3 16 .‬‬
‫ד‪. log3 1.5 .‬‬
‫‪ )6‬נתון‪ . log2 3  a , log 2 5  b :‬הבע באמצעות ‪ a‬ו‪ b -‬את ערכי הביטויים הבאים‪:‬‬
‫א‪log 2 45 .‬‬
‫ב‪log 2 60 .‬‬
‫ג‪. log 2 7.5 .‬‬
‫‪ )7‬חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הבאים (חזקה לוגריתמית)‪:‬‬
‫ב‪4log 5 .‬‬
‫ד‪. e2 ln 3 .‬‬
‫ג‪eln 3 .‬‬
‫א‪6log 8 .‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪22‬‬
‫‪ )8‬נתון‪ . log2 3  a , log3 5  b :‬הבע באמצעות ‪ a‬ו‪ b -‬את ערכי הביטויים הבאים‪:‬‬
‫ב‪ log 2 30 .‬ג‪log5 22.5 .‬‬
‫א‪log3 50 .‬‬
‫‪ )9‬פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (שימוש בהגדרת הלוג מספר פעמים)‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪log x  x 2  6 x   3‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪log3 log x  x 2  6 x   1‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪log5 log 2  x 2  7   0‬‬
‫‪‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪log5  25x  20   x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )10‬פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (שימוש בחוקי הלוגריתמים)‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ln  e2 x    ln 2  x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2log 2  2 x  2   log 2 16  x   log 2  x  1  1‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪log5  4 x  3  log5 7‬‬
‫‪ )11‬פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (הצבת ‪ t‬וקבלת משוואה ריבועית)‪:‬‬
‫א‪log 22 x  log 2 x  2  0 .‬‬
‫ב‪3ln 2 x  ln x  2 .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪log 4 x  log x 4  2.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ln  ex 2 ‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪log x  log x 10 x   2‬‬
‫‪ln  e2 x3   ln‬‬
‫‪ )12‬פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (הוצאת לוג משני אגפי המשוואה)‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪x log3 x  81‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪25‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x ln x  e6 x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪log5 x  x  1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪log5 x  x  1‬‬
‫‪log 5 x  x  1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪  x1ln x‬‬
‫‪e‬‬
‫‪x log5 x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪log 2 x 6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2 3ln x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪ )13‬פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (בסיסים שונים)‪:‬‬
‫ג‪e  2 .‬‬
‫ב‪5 x  8 .‬‬
‫א‪2 x  5 .‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ex ‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪e x  1‬‬
‫‪23‬‬
‫שאלות עם מערכת משוואות לוגריתמיות‪:‬‬
‫‪ y  log 2 x‬‬
‫‪ y  6  log 2 x‬‬
‫‪.‬‬
‫‪log 62 x  log 6  2 y  2   2‬‬
‫‪.  1‬‬
‫‪ x  y 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪log 3  x  y   log 3  4 x  y   2‬‬
‫‪log‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 5‬‬
‫‪.‬‬
‫‪log 2  log 3  x  y    1‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪log 5  x  y  11  log 25 x  log 5  y  2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪log5 x  6 log 4 y  11‬‬
‫‪10 log5 x  2 log 4 y  17‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪log 2 x  log 3 y  9‬‬
‫‪.‬‬
‫‪log x  log 3 y  1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪log 5 x  2log2 y  6‬‬
‫‪‬‬
‫‪. y‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪x  5‬‬
‫‪ xy  27‬‬
‫‪9‬‬
‫‪log3 y‬‬
‫‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2 x y‬‬
‫‪log 7‬‬
‫‪ log 12  2 x  y ‬‬
‫‪15‬‬
‫‪7‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪log 3 x  log 3 y ‬‬
‫‪log 28 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪24‬‬
2
1
.‫ ד‬. .‫ ג‬.3 .‫ ב‬.5 .‫) א‬1
3
2
1
. x  e2 .‫ ז‬. x  4 .‫ ו‬. x  5 .‫ ה‬. x  4 .‫ ד‬. x  27 .‫ ג‬. x  65,536 .‫ ב‬. x  .‫) א‬3
2
1
.1  a .‫ ד‬.3a  1 .‫ ג‬. a  1 .‫ ב‬. 4a .‫) א‬5 .3 .‫ ג‬. 2 .‫ ב‬. 2 .‫) א‬4 . x 
.‫ח‬
e
1
1
1
.9 .‫ ד‬.3 .‫ ג‬. 25 .‫ ב‬.8 .‫) א‬7 . a  b  .‫ ג‬. 2  a  b .‫ ב‬. 2a  b .‫) א‬6
2
2
2
2
1
1 a ab
1
. 1
.‫ ג‬.  
.‫ ב‬. 2b  .‫) א‬8
b
ab
2 2 2
a
. x  1 .‫ ד‬. x  3 .‫ ג‬. x  3 .‫ ב‬. x  3 .‫) א‬9
. x  6 .‫ ג‬. x  2.5 .‫ ב‬. x  0 .‫) א‬10
1
1
1
1 1
,10 .‫ ד‬. x  16, 2 .‫ ג‬. x  3 e2 , .‫ ב‬. x  4, .‫) א‬11
. x  3 , .‫ ה‬. x 
100
e
2
e e
1
1
1
1
. x  e , e .‫ ו‬. x  3 .‫ ה‬. x  16, .‫ ד‬. x  e3 , 2 .‫ ג‬. x  ,5 .‫ ב‬. x  9, .‫) א‬12
4
e
25
9
.  .‫ ה‬. x  0.693 .‫ ד‬. x  0.693 .‫ ג‬. x  1.292 .‫ ב‬. x  2.322 .‫) א‬13
. 1.5 .‫ ג‬. 4 .‫ ב‬. 2 .‫) א‬2 . 1.5 .‫ ז‬.4 .‫ ו‬. 2 .‫ ה‬.


 25,8 )18 16, 7  )17 8, 5 )16  36,19  ,  6 ,112  )15 8,3 )14
1

1

 1
.  4, 7  )22  3,9  ,  9,3 )21  25, 4  ,  625, 2  )20 16,  )19
 3
25
‫מערכת משוואות לוגריתמיות ומעריכיות‪:‬‬
‫שאלות עם מערכת משוואות מעריכיות‪-‬לוגריתמיות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y  log 2  4  2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y  2x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪25 y  5 5 x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪log 5 x  log 5 y  log 5 3‬‬
‫‪3 y  5log 6 x  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 y‬‬
‫‪1 4 y‬‬
‫‪216  x  6‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  log 2 3  log 2‬‬
‫‪9‬‬
‫‪‬‬
‫‪log  9 x  27   2 y  log 12‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2  1  4 y  3  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  log 2  y  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  log 4  5  9 y ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪log 2  2  3  log 4 29   3  3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1,  ,  2,1 )4  36, 3 ,  6, 1  )3  3,3 )2 1,1 )1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪. 1, 0  )6‬‬
‫‪26‬‬
‫‪1,1 ,  2,3 )5‬‬
:‫אי שוויונים מעריכיים‬
. 0  a  1 :‫ עבור‬x  y - ‫ ו‬a  1 :‫ עבור‬x  y :‫ הוא‬a x  a y :‫השוויון‬- ‫פתרון אי‬
:‫פתור את אי השיוויונים הבאים‬
x 2 1
1
1 x
3
1
4
32 x 1  27
2 4
)2
x
e  3 )4
x
e
5x
x 1
e
2x
)1
)3
13 x
1
1
)5
   
7
7
e2 x  5e x  4  0 )7
25x  5  6  5x )6
e2 x  2e x  1  0 )8
x
1
)5
8
x  ln 3 )4
0  x  1 )3
. x  0 )8
1
2
x  1  1  x )2 x  )1
4
3
x  0  ln 4  x )7 0  x  1 )6
:‫שוויונים לוגריתמיים‬-‫אי‬
. 0  a  1 :‫ עבור‬x  y - ‫ ו‬a  1 :‫ עבור‬x  y :‫ הוא‬loga x  log a y :‫השוויון‬- ‫פתרון אי‬
log6  x 2  5 x   1 )2
log 2 x  log 2  5x  20  )1
log 1 1  3x   log 1  7  x  )4
log3 x  log9 15  2 x  )3
2
2
ln x  ln  x 2  12  )5
ln x  3 )6
6
1
 2
)8
2
ln x
ln x
ln 2 x  6ln x  7 )7
2 3  x  4 )5 3  x 
1
1
)4 3  x  7 )3 1  x  0 , 5  x  6 )2 x  5 )1
3
2
. x  1 ‫וגם‬
1
e
27
3
 x  e 2 )8
1
 x  e7 )7 0  x  e3 )6
e
:‫תחום הגדרה‬
:‫) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות‬1
f  x  2 x  3
.‫ב‬
f  x  x
.‫א‬
5x
x4
x2
.‫ד‬
f  x   3x 1  2 x
.‫ג‬
.‫ו‬
f  x   x 2  3x  10
.‫ה‬
x 1
x 2 x
.‫ז‬
f  x 
f  x 
x  9x
3
f  x 
:‫) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות‬2
f  x 
1
x x6
x2  5x  6
f  x 
x 1
f  x 
.‫ב‬
.‫ד‬
x  2 3
.‫א‬
2x2  x  3
f  x  2
x  5x  9
.‫ג‬
x  5 , x  2 .‫ ה‬x  4 .‫ ד‬x 
1
.‫ ג‬x  3 .‫ ב‬x  0 .‫) א‬1
2
. x  2 , 2  x  1 , 1  x  2 .‫ ז‬3  x  0 , x  3 .‫ו‬
1
2
. x  3 , 2  x  1 .‫ ד‬x  1 , x  1 .‫ ג‬6  x  2 .‫ ב‬x  7 .‫) א‬2
28
‫פרק ‪ - 2‬טריגונומטריה במישור‪:‬‬
‫משולש ישר זווית‪:‬‬
‫הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות‪:‬‬
‫הניצב שמול הזווית‬
‫היתר‬
‫הניצב שליד הזווית‬
‫היתר‬
‫הניצב שמול הזווית‬
‫הניצב שליד הזווית‬
‫משפט פיתגורס‪. a2  b2  c2 :‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬מצא את ערכו של ‪  / x‬במשולשים ישרי הזווית הבאים‪:‬‬
‫‪750‬‬
‫‪400‬‬
‫‪700‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )2‬המשולש ‪ ABC‬שבציור הוא משולש ישר זווית ( ‪.) B  90o‬‬
‫‪ AD‬הוא התיכון לניצב ‪. BC‬‬
‫נתון‪. AB  6cm , C  28o :‬‬
‫מצא‪. AD  ? , BAD  ? :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ BD‬הוא התיכון ליתר ו‪ AE -‬הוא חוצה הזווית ‪. A‬‬
‫נתון‪. BC  8cm , BD  5.6cm :‬‬
‫מצא‪. BE  ? , BAE  ? :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪29‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )4‬מצא את זויותיו של מעויין שאורכי אלכסוניו ‪ 24‬ס"מ ו ‪ 18-‬ס"מ‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )5‬המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל כך שהצלע ‪ AC‬היא קוטר המעגל‪.‬‬
‫המשיק למעגל בנקודה ‪ A‬והמשך הצלע ‪ CB‬נפגשים בנקודה ‪. D‬‬
‫נתון‪. DAB  32o , BD  4cm :‬‬
‫מצא את אורכו של רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )6‬במשולש שווה שוקיים שבו השוק ארוכה ב‪ 4 -‬ס"מ מהבסיס נתון כי זווית הראש‬
‫היא ‪ . 34.92o‬מצא את שטח המשולש‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫נתון‪. AB  a , A   :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ a -‬את היקף המשולש‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ AD‬הוא התיכון לניצב ‪. BC‬‬
‫נתון‪. AB  b , C   :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ b -‬את אורכי הקטעים ‪ BD‬ו ‪. AD -‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )9‬במשולש ישר זווית אחת הזוויות החדות היא ‪ ‬ואורך חוצה זווית זו הוא ‪. k‬‬
‫הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ k -‬את שטח המשולש ואת אורך היתר‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )10‬טרפז ‪ ABCD‬הוא טרפז ישר זווית ( ‪.) B  C  90o‬‬
‫הנקודה ‪ G‬נמצאת על השוק ‪ BC‬כך ש‪. AG  DG -‬‬
‫נתון‪. BAG   , AG  DG  m :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ m -‬את שטח הטרפז‪.‬‬
‫‪G‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )11‬המשולש ‪ ABC‬הוא ישר זווית ‪.  A  90‬‬
‫הקטעים ‪ AD‬ו‪ AE-‬הם בהתאמה גובה ליתר וחוצה זווית‪.‬‬
‫מסמנים‪. DAE   , DE  k :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪ABC‬‬
‫אם ידוע כי‪   30 :‬ו ‪. k  2 -‬‬
‫‪30‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )12‬במלבן ‪ ABCD‬מסמנים את הנקודות ‪ E‬ו ‪ F-‬הנמצאות‬
‫על הצלעות ‪ AB‬ו‪ BC-‬בהתאמה כך ש‪E-‬‬
‫מקיימת‪ 3AE  BE :‬ו ‪ F-‬היא אמצע הצלע ‪.BC‬‬
‫אורך הצלע ‪ AD‬שווה לאורך הקטע ‪.BE‬‬
‫מעבירים את הקטעים ‪ DF , EF‬ו‪ DE-‬כך‬
‫שנוצר במשולש ‪.DEF‬‬
‫א‪ .‬סמן ב‪ t -‬את אורך הקטע ‪ AE‬והבע באמצעות ‪t‬‬
‫את אורכי צלעות המשולש ‪.DEF‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זוויות המשולש ‪.EDF‬‬
‫‪ )13‬משולש שווה שוקיים שאורך שוקו ‪ k‬וזווית הבסיס שלו היא ‪ ‬חוסם מעגל‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ k -‬את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪ )14‬בטרפז ישר זווית חסום מעגל‪ .‬אורך השוק הארוכה בטרפז היא ‪ b‬והזווית שהיא‬
‫יוצרת עם הבסיס הגדול היא ‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ b -‬את אורכו של הבסיס‬
‫הגדול בטרפז ואת שטחו‪.‬‬
‫* הערה‪ :‬השאלות הבאות משלבות ידע בגיאומטריה ובטריגונומטריה יחד‪:‬‬
‫‪ )15‬דרך הקדקודים ‪ C , A‬ו‪ D-‬של המקבילית ‪ABCD‬‬
‫מעבירים מעגל‪ .‬היקף המעגל חוצה את הצלע ‪AB‬‬
‫בנקודה ‪ .(AE=BE) E‬נתון כי ‪ DC‬הוא קוטר במעגל‬
‫וכי המיתר ‪ DE‬חוצה את זווית ‪.D‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המיתר ‪ CE‬חוצה את זוויות ‪.C‬‬
‫ב‪ .‬רדיוס המעגל יסומן ב‪ . R -‬הבע באמצעות ‪ R‬את היקף המקבילית‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את רדיוס המעגל אם ידוע כי שטח המקבילית הוא ‪ 16 3‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ )16‬מהנקודה ‪ A‬שמחוץ למעגל מעבירים משיק ‪ AB‬וישר חותך ‪.ACD‬‬
‫מעבירים את המיתרים השווים ‪ BC‬ו ‪ .BE-‬כמו כן מעבירים‬
‫את המיתר ‪ .DE‬אורך המיתר ‪ CE‬שונה מאורך המשיק ‪.AB‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ ABEC‬הוא טרפז‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪. 2  BEC  EDC :‬‬
‫ג‪ .‬איזה מרובע יהיה המרובע ‪BEDC‬‬
‫אם יתקיים‪? EDC  90 :‬‬
‫ד‪ .‬נתונים‪ 6 , A  40 :‬ס"מ = ‪ 9 ,AC‬ס"מ = ‪ 8 , AB‬ס"מ = ‪.CE‬‬
‫חשב את שטח המרובע ‪.ABEC‬‬
‫‪31‬‬
.  29.745 .‫ ה‬  40.005 .‫ ד‬x  3.931cm .‫ ג‬x  8.114cm .‫ ב‬x  15.665cm .‫) א‬1
. BE  3.294cm , BAE  22.792 )3 AD  8.236cm , BAD  43.24 )2
. S  28.618cm )6 R  6.04cm )5 73.74, 73.74, 106.26, 106.26 )4
2
. AD  b2 
b2
4 tan 2 
, BD 
b
2 tan 

)8 P  a 1  tan  


1 
 )7
cos  

tan 
2
. AC 
,S 
)9
cos 
2
2
m sin   m cos  

k2
.‫ סמ"ר‬24 .‫ ב‬S 
.‫) א‬11
)10
2
cos 2 tan 2 
. 81.86 , 51 , 47.14 .‫ ב‬DE  t 10 , EF  t 11.25 , DF  t 18.25 .‫) א‬12
1
b sin 
1
1

2
, S  b2 sin  1  sin   )14 R  k cos  tan )13
b sin  

2
2
2
tan
2
.‫ סמ"ר‬34.43 .‫ ד‬.‫ ריבוע‬.‫) ג‬16 .‫ ס"מ‬4 .‫ ג‬6R .‫) ב‬15
k cos
2
k 2 cos 2
:‫זהויות טריגונומטריות‬
:‫זהויות של סכום והפרש זוויות‬
:‫זהויות היסוד‬
:‫זהויות של זווית כפולה‬
:‫המעגל הטריגונומטרי‬
‫המעגל הטריגונומטרי הוא מעגל היחידה‬
.)1 ‫(מעגל קנוני שרדיוסו‬
32
:‫טבלת ערכי הפונקציות הטריגונומטריות לזוויות המיוחדות‬

0
sin 

0
0  

 2 
cos 

4
1  

 2 
3
2
2
2
tan 
0
3
3
cot 

3
30
1
2
45
60
90
2
2
3
2

4
1  

 2 

1
 

 2 

1
 

 2 

0
0  

 2 
1
3

1
3
3
0
1
2
: 90 ‫ערכים עבור זוויות בכפולות של‬
sin 0o  0
cos 0o  1
tan 0o  0
sin 90o  1
cos 90o  0
tan 90o  
sin180o  0
cos180o  1
tan180o  0
sin 270o  1
cos 270o  0
tan 270o  
:‫הזהויות של המעגל הטריגונומטרי‬
tan 180o      tan 
cos 180o      cos 
sin 180o     sin 
tan 180o     tan 
cos 180o      cos 
sin 180o      sin 
tan      tan 
cos     cos 
sin      sin 
33
:‫שאלות‬
:‫) הוכח את הזהויות הבאות‬1
sin 
 tan 
sin  90     cos3 
3
o
tan 2   sin 2   tan 2  sin 2 
cos3   cos  sin 2   cos 
.‫ב‬
sin 2 
sin 2 

2
1  cos  1  cos 
.‫ד‬
. tan   tan  
4sin  cos  cos 2  sin 4
 sin 3  cos3 
sin    
cos  cos 
.‫א‬
.‫ג‬
:‫) הוכח את הזהות הבאה‬2
:‫) הוכח את הזהויות הבאות‬3
2
 sin   cos    1  sin 2 .‫א‬
.‫ב‬
 1  sin 6
.‫ד‬
cos4   sin 4   cos 2
.‫ג‬
cos  sin 

 2cot 2
sin  cos 
.‫ו‬
cos 2  2sin 2  cos 2 1
 cot 2
sin 4
2
.‫ה‬
2
:‫) ענה בלי להשתמש במחשבון‬4
cos  45  
tan 225o 
sin150o 
sin 510o 
cos930o 
sin 315o 
cos120o 
cos 210o 
tan120o 
o
tan  225o  
.
tan  30o  
sin 180o     sin  90o   
cos  2 

34
sin 330o 
1
:‫) הוכח את הזהות הבאה‬5
cos   sin 
‫משוואות טריגונומטריות‪:‬‬
‫תזכורת – פתרון כללי של משוואה טריגונומטרית‪:‬‬
‫פתרון כללי של המשוואה‪ sin x  sin  :‬הוא מהצורה‪. x1    2 k , x2      2 k :‬‬
‫פתרון כללי של המשוואה‪ cos x  cos :‬הוא מהצורה‪. x1,2    2 k :‬‬
‫פתרון כללי של המשוואה‪ tan x  tan  :‬הוא מהצורה‪. x     k :‬‬
‫‪ )1‬פתור את המשוואות הבאות (כתוב פתרון כללי)‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪sin x ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin x  ‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin x ‬‬
‫‪sin x  ‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪tan x ‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪tan x  1‬‬
‫ט‪sin x  0.7 .‬‬
‫י‪.‬‬
‫‪cosx  0.6‬‬
‫‪1‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪cos x ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪cos x  ‬‬
‫יא‪tan x  5 .‬‬
‫‪ )2‬כתוב את הפתרון הכללי של המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪2cos 2 x   3 .‬‬
‫‪sin 3x ‬‬
‫ג‪tan5x  1 .‬‬
‫ד‪3sin 2 x  2 .‬‬
‫ה‪3cos3x  1 .‬‬
‫ו‪2 tan 4 x  1 .‬‬
‫‪35‬‬
:)‫) כתוב את הפתרון הכללי של המשוואות הבאות (זווית מורכבת‬3
cos  75  3x  
2
.‫ב‬
2
sin x  sin 3x .‫ד‬
sin x  sin 120  x 
sin  2 x  30   
3
.‫א‬
2
tan  50  x   1.3 .‫ג‬
.‫ו‬
sin 2 x  sin  x  30 .‫ה‬
cos x  cos  40  x  .‫ח‬
cos x  cos3x .‫ז‬
tan2 x  tan  60  x 
tan x  tan 3x .‫ט‬
.‫י‬
:‫) כתוב את הפתרון הכללי של המשוואות הבאות‬4
sin x  1 .‫ב‬
sin x  0 .‫א‬
cos x  0 .‫ד‬
sin x  1 .‫ג‬
cos x  1 .‫ו‬
cos x  1 .‫ה‬
tan x  1 .‫ח‬
tan x  0 .‫ז‬
:)‫) כתוב את הפתרון הכללי של המשוואות הבאות (טכניקה אלגברית‬5
sin 2 x 
1
.‫ב‬
4
cos 2 x 
3
.‫א‬
4
sin x cos3x  0 .‫ד‬
tan 2 2 x  3 .‫ג‬
2cos2 x  3 cos x  0 .‫ו‬
sin 2 x  2sin 2 2 x  0 .‫ה‬
3sin 2 x  sin x  2 .‫ח‬
2sin 2 x  sin x 1  0 .‫ז‬
cos2 x  2cos x  3 .‫י‬
6sin 2 x  sin x  1  0 .‫ט‬
tan 2 x  4 tan x  1 .‫יב‬
tan 2 x  3tan x  4  0 .‫יא‬
36
:)‫) כתוב את הפתרון הכללי של המשוואות הבאות (שימוש בזהויות יסוד‬6
sin x  cos  x  45 .‫ב‬
sin x  cos x .‫א‬
2
cos x  sin 2 x .‫ג‬
3
1
.‫ה‬
sin 2 x  cos x 
4
2cos2 x  3sin x .‫ד‬
cos2 x  sin 2 x  sin x
.‫ו‬
sin x  tan x  0 .‫ח‬
sin 2 x  2cos2 x  1.5 .‫ז‬
:)‫) כתוב את הפתרון הכללי של המשוואות הבאות (שימוש בזהויות ממעגל היחידה‬7
cos 2 x   cos3x .‫ב‬
sin x   sin 3x .‫א‬
sin 3x   cos 180  x  .‫ד‬


sin  x     cos x
6

.‫ג‬
:)‫ (כתוב פתרון כללי‬cos x -‫) פתור את המשוואות הבאות ע"י חלוקה ב‬8
3sin x  cos x .‫ב‬
sin x  2cos x .‫א‬
2sin x  5cos x .‫ד‬
4sin x  7cos x .‫ג‬
3sin 2 x  cos2 x
sin 2 x  8cos2 x .‫ה‬
.‫ו‬
:)‫) כתוב את הפתרון הכללי של המשוואות הבאות (שימוש בזהויות של זווית כפולה‬9
2 sin x  sin 2 x  0 .‫ב‬
sin x  sin 2 x  0 .‫א‬
2cos 2 x  sin 4 x  0 .‫ד‬
4cos x  sin 2 x .‫ג‬
cos 2 x  2sin x
.‫ו‬
3cos x  cos 2 x  0 .‫ה‬
2sin 2 x  cos 2 x  2 .‫ח‬
sin x  cos 2 x  1 .‫ז‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות בתחום המצוין לידן‬10
0  x   : cos 4 x  sin 2 x  1
.‫ב‬
180,180 : cos 4 x  1  3sin 2 x .‫א‬
37
x1  45  360k , x2  135  360k .‫ ב‬x1  30  360k , x2  150  360k .‫) א‬1
x1  30  360k , x2  210  360k .‫ ד‬x1  60  360k , x2  240  360k .‫ג‬
. x  30  180k .‫ ז‬x1,2  150  360k .‫ ו‬x1,2  60  360k .‫ה‬
. x1  44.42  360k , x2  135.57  360k .‫ ט‬x  45  180k .‫ח‬
. x  78.69  180k .‫ יא‬x1,2  126.87  360k .‫י‬
. x1  75  180k , x2  105  180k .‫ ב‬x1  10  120k , x2  50  120k .‫) א‬2
x1  20.9  180k , x2  69.09  180k .‫ ד‬x  9  36k .‫ג‬
. x  6.64  45k .‫ ו‬x1,2  23.5  120k .‫ה‬
x1  10  180k , x2  40  180k .‫ ב‬x1  30  180k , x2  90  180k .‫) א‬3
. x1  45  90k , x2  180k .‫ ד‬x  2.431  180k .‫ג‬
. x  60  180k .‫ ו‬x1  30  360k , x2  50  120k .‫ה‬
. x  20  60k .‫ י‬x  90k .‫ ט‬x  20  180k .‫ ח‬x  90k .‫ז‬
x  90  180k .‫ ד‬x  270  360k .‫ ג‬x  90  360k .‫ ב‬x  180k .‫) א‬4
. x  45  180k .‫ ח‬x  180k .‫ ז‬x  180  360k .‫ ו‬x  360k .‫ה‬
x1,2  30  360k , x3,4  150  360k .‫) א‬5
x1  30  360k , x2  150  360k , x3  30  360k , x4  210  360k .‫ב‬
x1  180k , x2  30  60k .‫ ד‬x1  30  90k , x2  30  90k .‫ג‬
x1  90  180k , x2,3  150  360k .‫ ו‬x1  90k , x2  15  180k , x3  75  180k .‫ה‬
. x1  90  360k , x2  210  360k , x3  30  360k .‫ז‬
x1  90  360k , x2  41.8  360k , x3  221.8  360k .‫ח‬
x1  30  360k , x2  150  360k , x3  19.4  360k , x4  199.4  360k .‫ט‬
x1  75.96  180k , x2  45  180k .‫ יא‬x  360k .‫י‬
. x1  75  180k , x2  15  180k .‫יב‬
. x1,2  60  360k .‫ ג‬x  22.5  180k .‫ ב‬x  45  180k .‫) א‬6
. x1,2  60  360k .‫ ה‬x1  30  360k , x2  150  360k .‫ד‬
. x1  30  360k , x2  150  360k , x3  270  360k .‫ו‬
. x  180k .‫ ח‬. x1,2  45  360k , x3,4  135  360k .‫ז‬
x  120  180k .‫ ג‬x1  36  72k , x2  180  360k .‫ ב‬x  90k .‫) א‬7
. x1  22.5  90k , x2  45  180k .‫ד‬
x  60.25  180k .‫ ג‬x  18.43  180k .‫ ב‬x  63.43  180k .‫) א‬8
. x  30  180k .‫ ו‬x  70.52  180k .‫ ה‬x  68.19  180k .‫ד‬
x1  180k , x2,3  135  360k .‫ ב‬x1  360k , x2  60  120k .‫) א‬9
x1  45  90k , x2  135  180k .‫ ד‬x  90  180k .‫ג‬
x1  21.1  360k , x2  158.9  360k .‫ ו‬x1,2  106.3  360k .‫ה‬
. x1  180k , x2  30  360k , x3  150  360k .‫ז‬
. x1  60  360k , x2  120  360k , x3  60  360k , x4  240  360k .‫ח‬
. x  0,0.38 ,0.615 ,  .‫ ב‬x1,2,3,4  165, 105,15,75 .‫) א‬10
38
‫טריגונומטריה במישור‪:‬‬
‫משפט הסינוסים‪:‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫במשולש‪ ,‬צלע חלקי סינוס הזווית שמולה הוא גודל קבוע‬
‫והוא שווה לפעמיים רדיוס המעגל החוסם‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫בצורה מתמטית‪ 2 R :‬‬
‫‪sin  sin  sin ‬‬
‫‪.‬‬
‫משפט הקוסינוסים‪:‬‬
‫‪c2  a 2  b2  2ab cos ‬‬
‫או‬
‫‪a 2  b2  c 2‬‬
‫‪2ab‬‬
‫‪. cos  ‬‬
‫מתי נשתמש בכל משפט‪:‬‬
‫‪ ‬נשתמש במשפט הסינוסים כאשר‪:‬‬
‫א‪ .‬נתונות שתי זוויות וצלע‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתונות שתי צלעות והזווית מול אחת מהן‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון רדיוס המעגל החוסם וצלע‪/‬זווית נוספת‪.‬‬
‫‪ ‬נשתמש במשפט הקוסינוסים כאשר‪:‬‬
‫א‪ .‬נתונות שתי צלעות והזווית ביניהן‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתונות שלוש צלעות‪.‬‬
‫‪ ‬כאשר ישנם יותר נתונים מאשר בסעיפים שלהלן ייתכן שנוכל להשתמש בשני‬
‫המשפטים‪ .‬בבחירת המשפט שבו נשתמש כדאי לזכור שבמשפט הסינוסים‬
‫ייתכנושתי תשובות לזווית‪ ,‬גם אם בפועל רק אחת נכונה‪ ,‬ובמשפט הקוסינוסים‬
‫תתקבל בוודאות הזווית הנכונה‪.‬‬
‫שטחים של משולשים ומרובעים‪:‬‬
‫‪a  h ab sin  a sin  sin ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫שטח משולש ניתן לחישוב ע"י‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2sin ‬‬
‫‪k k sin ‬‬
‫‪.S  1 2‬‬
‫שטח מרובע ניתן לחישוב ע"י אלכסוניו‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪39‬‬
‫‪. S ‬‬
‫‪ )1‬מצא את ערכו של ‪  / x / y‬במשולשים הבאים‬
‫(‪ R‬הוא רדיוס המעגל החוסם‪ ,‬נתוני הצלעות בס"מ)‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪1150‬‬
‫‪420‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪560‬‬
‫‪220‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪600‬‬
‫‪ )2‬מצא את ערכו של ‪  / x‬במשולשים הבאים‪:‬‬
‫‪ )3‬נתון משולש שווה שוקיים ‪ ) AB  AC ( ABC‬שאורך השוק שלו הוא ‪ 22‬ס"מ‬
‫וגודלה של זווית הבסיס בו הוא ‪ CD . 70o‬הוא חוצה זווית הבסיס ‪. C‬‬
‫מצא את אורכו של הקטע ‪. AD‬‬
‫‪40‬‬
‫‪ )4‬אלכסוני המלבן ‪ ABCD‬נפגשים בנקודה ‪. M‬‬
‫הנקודה ‪ G‬נמצאת על המשך הצלע ‪. AD‬‬
‫נתון‪. DG  1.2cm , AB  4cm , AD  3cm :‬‬
‫מצא את גודלו של הקטע ‪. GM‬‬
‫‪ )5‬מרובע שאורכי אלכסוניו ‪ 8‬ס"מ ו‪ 11-‬ס"מ חסום במעגל שאורך רדיוסו הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את זוויות המרובע‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )6‬הצלע ‪ AB‬במשולש ‪ ABC‬היא מיתר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫הצלע ‪ AC‬עוברת במרכז המעגל כמתואר בשרטוט‪.‬‬
‫נתון‪. BAC  38o , OC  3cm , BC  9cm :‬‬
‫מצא את אורכם של רדיוס המעגל ושל הצלע ‪. AB‬‬
‫‪O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )7‬אחד האלכסונים במקבילית יוצר זווית של ‪ 30o‬עם צלע אחת של המקבילית‬
‫וזווית של ‪ 61.05‬עם הצלע הסמוכה לה‪ .‬אחת מצלעות המקבילית גדולה ב‪3-‬‬
‫ס"מ מהצלע הסמוכה לה‪ .‬חשב את היקף המקבילית‪.‬‬
‫‪ )8‬המשולש ‪ ABD‬חסום במעגל שרדיוסו ‪ . R‬המשך‬
‫הצלע ‪ AD‬והמשיק למעגל בנקודה ‪ B‬נפגשים בנקודה ‪.C‬‬
‫נתון‪. ADB   , C   :‬‬
‫הבע באמצעות ‪  , R‬ו ‪  -‬את אורך הקטע ‪. BC‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ BE )9‬ו‪ CF-‬הם תיכונים במשולש ‪ ABC‬הנפגשים בנקודה ‪.M‬‬
‫מהנקודה ‪ F‬מעבירים קטע ‪ GD‬כך שמתקיים‪ AC  DC :‬ו‪. GD BE -‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪AG 3‬‬
‫הוכח‪ :‬‬
‫‪BD 4‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ 4 :‬ס"מ ‪ . ME ‬חשב את אורך הקטע ‪.DG‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי‪. ACD  48.189 :‬‬
‫הוכח כי המשולש ‪ DGC‬הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪ )10‬נתון משולש ‪ .ABC‬הקודקודים ‪ B‬ו‪ C-‬של המשולש ‪ ABC‬נמצאים‬
‫על מעגל שמרכזו ‪ .O‬מרכז המעגל ‪ O‬מונח על הצלע ‪.AC‬‬
‫אורך הצלע ‪ AB‬הוא ‪ 12‬ס"מ ואורך הקטע ‪ AO‬הוא ‪ 4.5‬ס"מ‪.‬‬
‫זווית ‪ BAC‬היא ‪. 60‬‬
‫א‪ .‬חשב את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים את הקוטר ‪ BD‬ואת הקטע ‪ AD‬כך‬
‫שנוצר המשולש ‪ .ADB‬חשב את זווית ‪.ADB‬‬
‫‪41‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )11‬המשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים ‪  AB  AC ‬החסום במעגל‬
‫שרדיוסו ‪ . R‬הנקודה ‪ E‬היא אמצע הבסיס ‪ BC‬והנקודה ‪D‬‬
‫היא אמצע הקשת ‪. AB‬‬
‫ידוע כי זווית הבסיס של המשולש היא ‪. 80‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את הקטעים ‪ CD‬ו‪.DE-‬‬
‫ב‪ r .‬הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪.CED‬‬
‫הבע באמצעות ‪ R‬את ‪. r‬‬
‫‪ AC ,AB )12‬ו ‪ AD-‬הם מיתרים במעגל המקיימים‪. BC  BD :‬‬
‫מהנקודה ‪ E‬שעל המעגל מעבירים את המיתרים ‪ AE‬ו ‪.BE-‬‬
‫המיתרים ‪ BE‬ו‪ AD-‬נחתכים בנקודה ‪.F‬‬
‫נתון כי‪. AC  AF  EF :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ABF  ABC :‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם‪. 3  CAB  DAE :‬‬
‫הוכח כי המשולש ‪ AFE‬הוא שווה צלעות‪.‬‬
‫‪ )13‬המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז שווה שוקיים ‪.  AB CD , AD  BC‬‬
‫מידות הטרפז הן‪ 12 :‬ס"מ ‪ 8 , CD ‬ס"מ ‪ 6 , BC ‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫א‪ .‬מצא את זווית ‪( C‬עגל למספר שלם)‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורך אלכסון הטרפז‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את רדיוס המעגל החוסם את הטרפז‪.‬‬
‫‪ )14‬המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז ישר זווית ‪.  AB CD , B  90‬‬
‫מסמנים את הבסיס‪ AB  t :‬וידוע כי‪. AD  3t , DC  1.6t :‬‬
‫היקף הטרפז הוא‪ 40 :‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את אורך האלכסון ‪.AC‬‬
‫ב‪ .‬ידוע גם כי‪. D  60 :‬‬
‫‪ .1‬חשב את אורך הקטע ‪.AC‬‬
‫‪ .2‬חשב את שטח הטרפז‪.‬‬
‫‪ )15‬המשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים ‪  AB  AC ‬בעל זווית ראש ‪ 36‬החסום‬
‫במעגל שקוטרו ‪ 16‬ס"מ‪ .‬מעבירים תיכון לשוק ‪.BD‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הבסיס ‪ BC‬במשולש‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך התיכון ‪.BD‬‬
‫ג‪ .‬מסמנים‪:‬‬
‫‪ - r1‬רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪.ABD‬‬
‫‪ - r2‬רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪.BCD‬‬
‫‪r1‬‬
‫הוכח את היחס הבא‪ 2cos 36 :‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪42‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )16‬המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז ‪.  AB CD ‬‬
‫מעבירים את האלכסון ‪ BD‬המקיים‪. BCD  ADB :‬‬
‫נתון כי‪ 20 :‬ס"מ ‪ 10 , CD ‬ס"מ ‪ 5 , AD ‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫כמו כן ידוע כי השוק ‪ BC‬גדולה פי ‪ 2‬מהאלכסון ‪.BD‬‬
‫א‪ .‬הראה כי השוק ‪ BC‬שווה לבסיס ‪.CD‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זווית ‪.C‬‬
‫ג‪ .‬ממשיכים את שוקי הטרפז ‪ AD‬ו ‪ BC-‬עד לנקודה ‪ E‬שמחוץ לטרפז‪.‬‬
‫חשב את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪.CDE‬‬
‫‪ )17‬באיור שלפניך נתון המרובע ‪ .ABCD‬ידוע כי‪ . D  90 :‬נסמן את הצלעות‬
‫באופן הבא‪. AB  6 x , BC  5x , CD  8x , AD  3x :‬‬
‫א‪ .‬חשב את זווית ‪.BDC‬‬
‫ב‪ E .‬היא נקודה הנמצאת על אמצע הצלע ‪.BC‬‬
‫מעבירים את הקטעים ‪ AE‬ו‪ DE-‬כך ש‪DE-‬‬
‫‪S ABE‬‬
‫מקביל ל‪ .AB-‬חשב את היחס הבא‪:‬‬
‫‪S ECD‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )18‬מהנקודה ‪ O‬מעבירים את הקטעים ‪ OC , OB , OA‬ו‪.OD-‬‬
‫ידוע כי זווית ‪ AOB‬שווה לזווית ‪ COD‬והיא מסומנת ב‪.  -‬‬
‫המשולש ‪ COD‬הוא ישר זווית ‪.  CDO  90‬‬
‫נתונים האורכים‪. BO  9 , DO  10 :‬‬
‫מסמנים‪. BC  1.4m , CD  1.5m :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬את ‪. sin ‬‬
‫(העזר במשולש ‪ COD‬ובטא תחילה את ‪.)CO‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי‪ . AB  m :‬מצא את ‪ m‬אם ידוע כי רדיוס המעגל החוסם את‬
‫‪2‬‬
‫המשולש ‪ AOB‬הוא‬
‫‪3‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫חשב את זווית ‪.BOC‬‬
‫‪ )19‬במשולש ‪ ABC‬הזווית ‪ A‬היא בת ‪. 60‬‬
‫מעבירים את הקטע ‪ AD‬כך שנוצרת זווית‪. ADB  60 :‬‬
‫ידוע כי ‪ AB  28‬וכי הצלע ‪ AD‬במשולש ‪ ABD‬גדולה פי ‪ 1.5‬מהצלע ‪.BD‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הצלע ‪.BD‬‬
‫ב‪ .‬היקף המשולש ‪ ABC‬הוא‪. P  5 7  7 :‬‬
‫‪ .1‬סמן‪ DC  t :‬והבע באמצעות ‪ t‬את אורך הצלע ‪.AC‬‬
‫‪ .2‬מצא את ‪. t‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪43‬‬
‫‪ )20‬מהנקודה ‪ A‬מעבירים את הקטעים ‪ AB‬ו‪ .AC-‬הנקודה ‪D‬‬
‫היא אמצע ‪ AC‬וממנה מעבירים את ‪ DE‬המקביל ל‪.AB-‬‬
‫הנקודות ‪ E , C‬ו ‪ F-‬נמצאות על אותו הישר‪.‬‬
‫ידוע כי המשולשים ‪ DEF , ABD‬ו‪ DCE-‬הם‬
‫שווי שוקיים‪.  AB  BD , DC  CE , EF  DE  :‬‬
‫נתון כי‪. AD  8 :‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪.BF‬‬
‫ב‪ .‬מחברים את הנקודות ‪ B‬ו‪.C -‬‬
‫חשב את אורך הצלע ‪.BC‬‬
‫‪ )21‬בשרטוט נתון‪. AD  5cm , AC  8cm , AB  6cm :‬‬
‫הנקודה ‪ D‬היא אמצע הצלע ‪. BC‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. BC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )22‬הצלע ‪ AC‬במשולש ‪ ABC‬גדולה פי ‪ 4‬מהצלע ‪. AB‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא אמצע הצלע ‪ AC‬והנקודה ‪ D‬נמצאת על הצלע ‪BC‬‬
‫כך שמתקיים ‪ . DC  2BD‬נתון‪. BC  b , AB  a :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ a‬ו‪ b -‬את אורך הקטע ‪. DE‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )23‬המשולש ‪ ABD‬חסום במעגל שרדיוסו ‪. R‬‬
‫המשך הצלע ‪ AD‬והמשיק למעגל בנקודה ‪ B‬נפגשים בנקודה ‪.C‬‬
‫נתון‪. ADB   , C   :‬‬
‫הבע באמצעות ‪  , R‬ו ‪  -‬את אורך הקטע ‪. BC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ AC )24‬ו‪ BD -‬הם מיתרים במעגל שרדיוסו ‪ , R‬שנפגשים בנקודה ‪. M‬‬
‫זווית ‪ B‬היא זווית ישרה‪.‬‬
‫נתון‪. DC  q , DM  p , AB  k :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ p , k , R‬ו‪ q -‬את אורך הקטע ‪. MC‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )25‬חשב את שטחי המשולשים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪240‬‬
‫‪320‬‬
‫‪480‬‬
‫‪44‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )26‬חשב את שטחו של טרפז שווה שוקיים שאורך האלכסון שלו ‪ 8‬ס"מ והוא יוצר‬
‫זווית של ‪ 15‬עם הבסיסים‪.‬‬
‫‪ )27‬אורכו של מלבן הוא ‪ m‬ורוחבו ‪ . n‬הזווית שבין אלכסוני המלבן היא ‪.‬‬
‫הוכח כי מתקיים‪. sin   22 mn 2 :‬‬
‫‪m n‬‬
‫‪ )28‬במשולש ישר זווית ‪) B  90o ( ABC‬‬
‫נתון‪. A   , AB  m :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ m -‬את שטח המשולש ‪. BCD‬‬
‫‪BD‬‬
‫חוצה את הזווית‬
‫‪B‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )29‬באיור שלפניך נתון משושה משוכלל ששטחו הכולל הוא‪. S :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ S‬את אורך צלע המשושה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים אלכסונים במשושה כך שנוצר המלבן ‪.BFEC‬‬
‫ג‪ .‬הבע באמצעות ‪ S‬את שטח המלבן‪.‬‬
‫‪ )30‬המשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים בעל זווית ראש ‪.  AB  AC , ‬‬
‫אורך הבסיס ‪ BC‬הוא ‪ . k‬על השוק ‪ AB‬בונים משולש ישר זווית ‪ABD‬‬
‫ובו ‪. D  90‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את אורך שוק המשולש ‪.ABC‬‬
‫ב‪ .‬הניצב ‪ AD‬במשולש ‪ ABD‬שווה ל‪ 0.85k -‬וכי‪. ABD  40 :‬‬
‫מצא את זוויות המשולש ‪.ABC‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המרובע ‪ ABCD‬אם ידוע כי ‪. k  6‬‬
‫‪ )31‬במשולש ‪ ABC‬אורך הצלע ‪ AC‬הוא ‪ 8‬ס"מ ואורך הצלע ‪ AB‬הוא ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא אמצע הצלע ‪ AC‬והנקודה ‪ D‬מקיימת‪ :‬ס"מ ‪. AD  3‬‬
‫‪DE 2‬‬
‫ידוע כי‪ :‬‬
‫‪BC 5‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הקטע ‪.DE‬‬
‫ב‪ .‬חשב את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪.ADE‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המרובע ‪.BCED‬‬
‫הקטע ‪ AC‬הוא אלכסון בטרפז‪.‬‬
‫מסמנים‪. AC  m , ACD   , ADC   :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪  , ‬ו‪ m -‬את אורך הבסיס הגדול ‪.DC‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪SADC‬‬
‫נתון כי האלכסון ‪ AC‬מקיים‪ 3 :‬‬
‫‪SABC‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חשב את שטח הטרפז אם ידוע כי‪   40 ,   60 :‬ו‪. m  8 -‬‬
‫‪45‬‬
‫‪ .‬הבע באמצעות ‪  , ‬ו‪ m -‬את הבסיס ‪.AB‬‬
‫‪ )33‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן‪ .‬מעבירים את האלכסון ‪BD‬‬
‫וממשיכים אותו עד לנקודה ‪ E‬שמחוץ למלבן‪.‬‬
‫מחברים את הנקודה ‪ E‬עם הקודקוד ‪.C‬‬
‫ידוע כי אורך הצלע ‪ AD‬של המלבן הוא ‪ 6‬ס"מ‬
‫וכי אורך הקטע ‪ BE‬הוא ‪ 9‬ס"מ‪ .‬הזווית ‪ CBE‬היא ‪.115‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הקטע ‪.CE‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורך האלכסון ‪.BD‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.DCE‬‬
‫ממשיכים את השוקיים ‪ AD‬ו ‪ BC-‬עד לפגישתם בנקודה ‪.E‬‬
‫ידוע כי‪. DE  CE :‬‬
‫מעבירים את האלכסון ‪ AC‬אשר חוצה את זווית ‪.C‬‬
‫מסמנים את הבסיס הגדול ‪ DC‬ב ‪ k -‬ואת‪. ACD   :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את הבסיס הקטן של הטרפז ‪.AB‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪ ABC‬כאשר‪ 12 ,   15 :‬ס"מ ‪. k ‬‬
‫‪ )35‬נתונה מקבילית ‪ ABCD‬ובה מעבירים את האלכסונים ‪ AC‬ו‪ BD-‬אשר נחתכים‬
‫בנקודה ‪ M‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫מסמנים‪. AB  k , BDC   , ACD   :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪AC sin ‬‬
‫‪‬‬
‫הוכח כי אלכסוני המקבילית מקיימים‪:‬‬
‫‪BD sin ‬‬
‫‪ .1‬הבע באמצעות ‪  , ‬ו‪ k -‬את שטח המשולש ‪.DMC‬‬
‫‪ .2‬הבע באמצעות ‪  , ‬ו‪ k -‬את שטח המקבילית ‪.ABCD‬‬
‫‪.‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪4k 2 sin 2 ‬‬
‫נתון כי‪ 2 :‬‬
‫‪ .‬הראה כי שטח המקבילית הוא‪:‬‬
‫‪BD‬‬
‫‪sin    ‬‬
‫‪ )36‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מעוין ובו ‪ . D  60‬מעבירים את‬
‫האלכסון ‪ AC‬ואת הקטע ‪ CE‬כך שהנקודה ‪ E‬נמצאת על‬
‫‪BE‬‬
‫הצלע ‪ AB‬ומחלקת אותה ביחס‪ 4 :‬‬
‫‪AE‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את זווית ‪.AEC‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי שטח המשולש ‪ AEC‬הוא ‪ 8.66‬סמ"ר‪.‬‬
‫חשב את שטח המעוין‪.‬‬
‫‪46‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )37‬הקטע ‪ DE‬מקביל לצלע ‪ BC‬במשולש ‪ ABC‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫נתון כי‪. BD  129 , BC  15 , CE  13 :‬‬
‫ידוע כי זווית ‪ AED‬היא ‪. 60‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪ DE‬אם ידוע כי הוא קטן מ‪ 10-‬ס"מ‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.ADE‬‬
‫‪ )38‬המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל כך ש ‪ AB-‬הוא קוטר‪.‬‬
‫הנקודה ‪ D‬היא אמצע הקשת ‪ BC‬וממנה מעבירים את‬
‫המיתרים ‪ AD‬ו ‪ BD-‬ומעלים גובה ‪ DE‬לצלע ‪. BC‬‬
‫מסמנים‪ DE  k :‬ונתון כי‪. ABC  10 :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬את שטח המשולש ‪.ABF‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪ k‬אם ידוע כי שטח המשולש ‪ ABF‬הוא ‪ 15.363‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ )39‬במשולש ‪ ABC‬הקטע ‪ BE‬חוצה את זווית ‪.B‬‬
‫הנקודה ‪ D‬היא אמצע הצלע ‪ AB‬ומקיימת‪. DE  CE :‬‬
‫ידוע כי‪. BC  6 , BE  8 , BD  9 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את זווית ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.ADE‬‬
‫‪ )40‬נתון המעוין ‪.ABCD‬אורך האלכסון הגדול במעוין ‪ AC‬גדול פי ‪ 1.8‬מצלע המעוין‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את זוויות המעוין‪.‬‬
‫מהקודקוד ‪ D‬מעבירים את הקטע ‪ DE‬שאורכו הוא ‪. m‬‬
‫הקטע ‪ DE‬חותך את האלכסון ‪ AC‬בנקודה ‪.G‬‬
‫הזווית ‪ EDC‬תסומן ב ‪. -‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬ו‪  -‬את אורך הקטע ‪.CE‬‬
‫ג‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬ו‪  -‬את שטח המשולש ‪.EGC‬‬
‫‪ )41‬המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל כמתואר באיור‪.‬‬
‫מעבירים את המיתר ‪ AD‬החוצה את זווית ‪.BAC‬‬
‫ידוע כי‪ . BAC  40 , ACB  60 :‬מסמנים‪. AD  k :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬את אורך המיתר ‪.BD‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי שטח המשולש ‪ ABD‬הוא ‪ 7.368‬סמ"ר‪.‬‬
‫מצא את ‪( k‬עגל למספר שלם)‪.‬‬
‫‪47‬‬
‫‪ )42‬המשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים ‪ .  AB  AC ‬ממשיכים את‬
‫הצלע ‪ AC‬עד לנקודה ‪ D‬כך שאורך שוק המשולש גדולה פי ‪3.8‬‬
‫מהקטע ‪ .AD‬ידוע כי‪ . D  60 :‬אורך הקטע ‪ BD‬הוא ‪ 21‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הקטע ‪.AD‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪ )43‬במקבילית ‪ ABCD‬אורך האלכסון ‪ AC‬הוא ‪ 79‬ס"מ‪.‬‬
‫היקף המקבילית הוא ‪ 20‬ס"מ וידוע כי‪. B  120 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורכי צלעות המקבילית‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המקבילית‪.‬‬
‫ג‪ .‬מסמנים נקודה ‪ E‬על האלכסון ‪ AC‬כך‬
‫שהמרובע ‪ CBED‬הוא בר חסימה‪.‬‬
‫חשב את רדיוס המעגל החוסם את המרובע ‪.CBED‬‬
‫‪ )44‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן החסום במעגל‪ .‬מהקדקוד ‪ D‬מעבירים‬
‫את המיתר ‪ DF‬החותך את הצלע ‪ AB‬בנקודה ‪.E‬‬
‫ידוע כי‪ . AF  CF :‬הצלע ‪ AD‬של המלבן תסומן ב‪. a -‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המשולש ‪ DAE‬הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי‪. BC  BF :‬‬
‫‪ .1‬הבע באמצעות ‪ a‬את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪ .2‬חשב את הזוויות המרכזיות של הקשתות‪AB ; BC :‬‬
‫(אין צורך לסרטט אותן)‪.‬‬
‫‪ )45‬המרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל כמתואר באיור‪.‬‬
‫ידוע כי‪. AB  b , BC  a , CD  a , AD  3b :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬ו‪ b -‬את ‪. cos BCD‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי אם ‪ BD‬קוטר אז מתקיים‪. a  b 5 :‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי רדיוס המעגל הוא ‪ 3‬ס"מ‪.‬‬
‫הסתמך על סעיף ב' וחשב את שטח המרובע ‪.ABCD‬‬
‫‪ )46‬המשולש ‪ ABC‬הוא ישר זווית ‪  C  90‬ובו‪. B  2 :‬‬
‫מעבירים מעגל שרדיוסו ‪ R‬דרך הקדקודים ‪ B‬ו‪ C-‬אשר חותך‬
‫את צלעות המשולש בנקודות ‪ D‬ו‪.E-‬‬
‫המיתר ‪ BE‬חוצה את זווית ‪.B‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬ו‪  -‬את שטח המשולש ‪.ABE‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי המשולש ‪ ABE‬הוא שווה שוקיים וכי אורך‬
‫המיתר ‪ CE‬הוא ‪ 6‬ס"מ‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.ABE‬‬
‫‪48‬‬
‫‪ )47‬במשולש שווה שוקיים ‪ ) AB  AC ( ABC‬שאורך השוק בו הוא ‪ k‬וזווית‬
‫הבסיס שלו היא ‪ BE , ‬חוצה את זווית ‪ B‬ו‪ CD -‬הוא הגובה לשוק ‪. AB‬‬
‫הוכח כי שטח המשולש ‪ ADE‬הוא‪:‬‬
‫‪sin 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k 2 sin‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4sin‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. SADE  ‬‬
‫‪ )48‬נתון משולש שווה שוקיים ‪  AB  AC  ABC‬החסום במעגל‪.‬‬
‫מהקדקוד ‪ C‬מעבירים את המיתר ‪ CE‬החותך את השוק ‪AB‬‬
‫בנקודה ‪ .D‬ידוע כי ‪ E‬היא אמצע הקשת ‪ AB‬והיחס בין‬
‫הקטעים ‪ BD‬ו‪ CD-‬הוא ‪ .4:7‬מסמנים‪. ACD   :‬‬
‫א‪ .‬מצא את זוויות המשולש ‪( ABC‬עגל למספרים שלמים)‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך המיתר ‪ BE‬אם ידוע כי רדיוס המעגל‬
‫החוסם שווה ל‪ 8-‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ AC )49‬ו‪ BD-‬הם מיתרים במעגל שרדיוסו ‪ , R‬שנפגשים בנקודה ‪. M‬‬
‫זווית ‪ B‬היא זווית ישרה‪.‬‬
‫נתון‪. MCB   , MBC   :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪  , R‬ו ‪  -‬את שטח המשולש ‪. BDC‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ . SBDC  R 2 ,   2 :‬חשב את ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )50‬בטרפז שווה שוקיים‪ ,‬שאורך השוק שבו הוא ‪ b‬והזווית שליד הבסיס הגדול‬
‫היא ‪ ‬נתון שהאלכסונים מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ b -‬את אורכי בסיסי הטרפז‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ‪ ‬אם ידוע שהבסיס הגדול ארוך פי ‪ 3‬מהבסיס הקטן‪.‬‬
‫‪ )51‬המיתר ‪ AB‬הוא קוטר במעגל שרדיוסו‪ R‬ו‪ AD-‬הוא מיתר‪.‬‬
‫ממשיכים את המיתר ‪ BD‬ומעבירים משיק מהנקודה ‪.A‬‬
‫המשיק והמשך המיתר נפגשים בנקודה ‪.C‬‬
‫מסמנים‪. BAD   :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ R-‬את שטח המשולש ‪.ABD‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ R-‬את שטח המשולש ‪.ACD‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪ ‬אם ידוע כי שטח המשולש ‪ ABD‬קטן‬
‫פי ‪ 4‬משטח המשולש ‪.ACD‬‬
‫‪49‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )52‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪ .‬הקטע ‪ AE‬מקצה על‬
‫הצלע ‪ DC‬קטעים המקיימים‪. 3CE  DE :‬‬
‫מעבירים תיכון ‪ DF‬לצלע ‪ AE‬במשולש ‪.ADE‬‬
‫ידוע כי‪ . ADF  CDF   :‬מסמנים‪. CE  k :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את אורך הקטע ‪.AE‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים את האלכסון ‪.AC‬‬
‫הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את היקף המשולש ‪.ACE‬‬
‫ג‪ .‬היקף המשולש ‪ ACE‬הוא ‪ . 4.5k‬מצא את ‪. ‬‬
‫*הערה‪ :‬השאלות הבאות משלבות ידע בגיאומטריה ובטריגונומטריה יחד‪:‬‬
‫‪ )53‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן‪ .‬מעבירים את האלכסונים ‪ AC‬ו ‪.BD-‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על הצלע ‪ AB‬של המלבן ומחלקת אותה‬
‫כך ש ‪ . 2BE  AE -‬ידוע כי הקטע ‪ OE‬מאונך לאלכסון ‪AC‬‬
‫ושווה ל‪ .BE-‬הקטע ‪ CE‬חותך את האלכסון ‪ BD‬בנקודה ‪.G‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הקטע ‪ CE‬מאונך לאלכסון ‪.BD‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי מתקיים‪. 4GE  AE :‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי שטח המשולש ‪ BEG‬הוא ‪ 5‬סמ"ר‪.‬‬
‫חשב את שטח המלבן ‪.ABCD‬‬
‫‪ )54‬באיור שלפניך נתון מחומש משוכלל ‪ACBDE‬‬
‫(כל זוויותיו הן ‪ )108‬בעל אורך צלע ‪. a‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את אלכסון המחומש ‪.AD‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את רדיוס המעגל החוסם את המחומש‪.‬‬
‫ג‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את שטח המחומש‪.‬‬
‫ד‪ .‬אורך רדיוס המעגל החוסם את המחומש הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את שטח המחומש‪.‬‬
‫‪50‬‬
‫‪ )55‬במשולש ‪ ABC‬הזווית ‪ C‬היא‪. 60 :‬מעבירים את הקטע ‪ AD‬כך שנוצרים‬
‫המשולשים ‪ ACD‬ו‪.ABD-‬‬
‫ידוע כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ ACD‬הוא‪ 3 :‬ס"מ ‪. R1 ‬‬
‫כמו כן רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ ABD‬הוא‪ 3 :‬ס"מ ‪. R2 ‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המשולש ‪ ABC‬הוא ישר זווית‪.‬‬
‫ב‪ .‬היקף המשולש ‪ ABC‬הוא‪12  4 3 :‬ס"מ ‪. P ‬‬
‫חשב את שטח המשולש‪.‬‬
‫‪ )56‬המשולש ‪ ABC‬הוא שווה צלעות‪ .‬הקטע ‪ DE‬עובר דרך הקדקוד ‪ A‬כך שנוצרים‬
‫שני משולשים ‪ ABD‬ו ‪ .ACE-‬ידוע‬
‫כי ‪ AC‬חוצה את זווית ‪ DCE‬במשולש ‪.DCE‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. AB CE :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. BC  DE  DC  AE :‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪ 8 :‬ס"מ ‪ DC ‬וכי‪. AC  DE :‬‬
‫‪ .1‬חשב את שטח המשולש ‪.DCE‬‬
‫‪ .2‬חשב את שטח המשולש ‪.ABD‬‬
‫‪ )57‬מהנקודה ‪ A‬מעבירים את הקטעים ‪ AD , AC , AB‬ו‪ AE-‬כך‬
‫שמתקיים‪ BAC  CAD   :‬ו ‪. AB  AE -‬‬
‫מעבירים את האלכסון ‪ BE‬במחומש ‪.ABCDE‬‬
‫מתקיים‪ . BE CD :‬ידוע כי המרובע ‪ BCDE‬הוא בר חסימה‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ BCDE‬הוא טרפז שווה שוקיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי המשולש ‪ ACD‬הוא ש"ש ( ‪.) AC  AD‬‬
‫הוכח כי‪. ABD  ACE :‬‬
‫ג‪ .‬ידוע כי‪ ADC  3  2.5 :‬ו‪. ADE  3 10 -‬‬
‫הוכח כי משולש ‪ ADE‬הוא ישר זווית‪.‬‬
‫ד‪ .‬נסמן‪. AB  m :‬‬
‫‪ .1‬הבע באמצעות ‪ m‬את צלעות הטרפז ‪.BCDE‬‬
‫‪ .2‬הבע באמצעות ‪ m‬את שטח המחומש ‪.ABCDE‬‬
‫‪ .3‬מצא את ‪ m‬אם ידוע כי שטח המחומש ‪ ABCDE‬הוא ‪ 46.284‬סמ"ר‪.‬‬
‫(עגל למספר שלם)‪.‬‬
‫‪51‬‬
‫‪ )58‬הטרפז ‪ ABCD‬הוא שווה שוקיים‪ .‬חוסמים מעגל בתוך‬
‫הטרפז אשר משיק לו בנקודות ‪ F ,E‬ו‪ G-‬כמתוארבאיור‪.‬‬
‫הקטעים ‪ DF‬ו‪ CE-‬חוצים את זוויות הטרפז ונחתכים‬
‫בנקודה ‪.M‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הנקודה ‪ M‬היא מרכז המעגל החסום‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זוויות הטרפז‪.‬‬
‫ג‪ .‬ממשיכים את ‪ GF‬ואת ‪ AD‬כך שהם‬
‫‪EM‬‬
‫נפגשים בנקודה ‪ .H‬חשב את היחס‬
‫‪FH‬‬
‫‪H‬‬
‫‪B‬‬
‫‪G‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪M‬‬
‫‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )59‬המרובע ‪ BDEC‬הוא טרפז ‪.  BC DE ‬‬
‫המשכי השוקיים ‪ BD‬ו‪ CE-‬נפגשים בנקודה ‪ A‬כך‬
‫שהמשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים ‪.  AB  BC‬‬
‫נתון‪ 18 :‬ס"מ ‪. ADE  30 , AB ‬‬
‫א‪ .‬סמן את אורך הבסיס ‪ DE‬ב‪ x -‬ואת שטח‬
‫הטרפז ‪ BDEC‬ב ‪ . S -‬הבע את ‪ S‬באמצעות ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬על הקטע ‪ AD‬בונים ריבוע‪ .‬ידוע כי שטחו קטן ב‪ 1-‬סמ"ר משטח הטרפז ‪.BDEC‬‬
‫‪S ADE‬‬
‫חשב את היחס‪:‬‬
‫‪S ABC‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )60‬במעגל שמרכזו ‪ O‬מעבירים את הקטרים ‪ AB‬ו‪ CD-‬המאונכים זה לזה‪.‬‬
‫‪ E‬היא נקודה על היקף המעגל המקיימת‪ 15 :‬ס"מ ‪. BE  DE ‬‬
‫מעבירים את המיתר ‪ .AE‬הקטע ‪ OM‬מאונך למיתר ‪AE‬‬
‫ושווה למיתר ‪.DE‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ OMEB‬הוא טרפז ישר זווית‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורך המיתר ‪.BE‬‬
‫נתון כי שטח הטרפז הוא ‪ 90‬סמ"ר‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את זווית ‪.B‬‬
‫‪52‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )61‬דרך הנקודה ‪ A‬מעבירים שני משיקים למעגל ‪ AB‬ו‪.AC-‬‬
‫הנקודות ‪ D‬ו‪ E-‬נמצאות על היקף המעגל ומהן מעבירים את המיתרים ‪ DE , DC‬ו ‪.BD-‬‬
‫ממשיכים את המיתר ‪ BE‬עד לנקודה ‪ F‬שמחוץ למעגל כך ש‪ DF-‬מאונך למיתר ‪BD‬‬
‫ושווה באורכו לרדיוס המעגל‪ .‬נתון כי‪. BFD  BDC :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. BFD  ABC :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ ADFB‬הוא טרפז‪.‬‬
‫אורך המשיק ‪ AC‬הוא ‪ 8‬ס"מ ואורך‬
‫המיתר ‪ CD‬הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח הטרפז‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את זוויות הטרפז‪.‬‬
‫‪ BD )62‬הוא אלכסון במרובע הבר‪-‬חסימה ‪ .ABCD‬הנקודות ‪ E‬ו ‪ F-‬הן בהתאמה‬
‫אמצעי הצלעות ‪ AD‬ו‪ AB-‬במרובע‪ .‬מעבירים את הקטעים ‪ BE‬ו‪CF-‬‬
‫כך ש‪ . BE CD :‬נתון כי הזוויות ‪ A‬ו‪ BFE -‬משלימות ל ‪.180 -‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BCD BFE :‬‬
‫‪1‬‬
‫נתון כי‪ BE  7.5 :‬וכי‪:‬‬
‫‪15‬‬
‫‪. GE  HD  17‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪.FE‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪BED‬‬
‫הוא‪ 4.001 :‬ס"מ = ‪ .R‬מצא את זווית ‪. EBD‬‬
‫‪53‬‬
  138.618 ‫ או‬  41.382 .‫ ג‬  34.231 .‫ ב‬x  18.585cm , y  22.199cm .‫) א‬1
.  73.898, x  3.606cm .‫ ה‬  24.474 ‫ או‬  155.526 .‫ד‬
. AD  13.064cm )3   90 .‫ ד‬  105.962 .‫ ג‬  20.742 .‫ ב‬x  5.646cm .‫) א‬2
. 66.444, 113.556, 41.810, 138.190 )5 GM  3.360cm )4
. R  5.395cm , AC  10.790cm )8 P  22cm )7 R  9.242cm , AB  14.56cm )6
24.32 .‫ ב‬.R = ‫ ס"מ‬10.5 .‫) א‬10 DG  18 .‫) ב‬9
. R  ‫ ס"מ‬6.29 .‫ ס"מ ג‬11.66 .‫ ב‬68 .‫) א‬13 . r  1.15R .‫ ב‬DE  1.48R CD  R 3 .‫) א‬11
.‫ סמ"ר‬78 .2 .‫ ס"מ‬13 .1 .‫ ב‬AC  32.36t 2  448t  1600 .‫) א‬14
R  13.77 .‫ ג‬C  28.9 .‫) ב‬16 ‫ ס"מ‬10.1 .‫ ס"מ ב‬9.4 .‫) א‬15
.56.89 .‫ ג‬m  16 .‫ ב‬sin  
1.5m
100  2.25m2
.‫) א‬18 .
SABE
 0.934 .‫ ב‬37.72 .‫) א‬17
SECD
.‫ ס"מ‬17.19 .‫ ס"מ ב‬4.94 .‫) א‬20 S  18.18 .‫ ג‬3 .2 1.5 28  3  t .1 .‫ ב‬4 .‫) א‬19
. BC 
. S  16cm )26
2 R sin  sin     
sin 
)23 DE 
1 2
b  a 2 )22 BC  10cm )21
9
S  8.641cm2 .‫ ב‬S  75.801cm2 .‫) א‬25
2
2
3
. S .‫ב‬
2S
 0.62S .‫) א‬29
27
SBCD 
MC 
p2  q2 
pqk
)24
R
m2 tan 2  sin 45 cos 
2sin   45 
. S  37.18 .‫ ג‬44.4 , 67.78 , 67.78 .‫ב‬
)28
k
.‫) א‬30
2sin 2
. S  21.48 .‫ ג‬R  2 .‫ ב‬DE  1.6  1.26 .‫) א‬31
. SABCD  31.2 .‫ ג‬AB 
m sin    
m sin    
.‫ ב‬DC 
.‫) א‬32
3sin 
sin 
.‫ ס"מ‬63.05 .‫ ס"מ ג‬14.19 .‫ ס"מ ב‬12.75 .‫) א‬33
k 2 tan 2  sin 2
k tan 
.‫ב‬
.‫) א‬34
S  ‫ סמ"ר‬7.754 .‫ג‬
2
2 tan 2
tan 2
2k 2 sin  sin 
k 2 sin  sin 
. S  86.6 .‫ ב‬109.1 .‫) א‬36 .
.2
.1 .‫) ב‬35
sin    
2sin    
.‫ סמ"ר‬34.48 .‫ ס"מ ב‬7 .‫) א‬37
2
k sin10
k
 0.426k 2 .‫ ב‬R 
 1.21k .‫) א‬38
3
2sin 50sin 40
2sin 2 40
. S  12.52 .‫ ב‬40.72 .‫) א‬39
2
2
0.35m sin  sin 128.32   
.
.‫ ג‬1.27m sin  .‫ ב‬128.32 ; 51.68 .‫) א‬40
sin  25.84   
. k  6 .‫ ג‬S 
. S  172.77 .‫ ס"מ ב‬5 .‫) א‬42 k  7 .‫ ב‬BD 
.R 
k sin 20
.‫) א‬41
sin100
37
 .‫ ג‬S  ‫ סמ"ר‬18.18 .‫ ב‬AB= ‫ ס"מ‬7 - ‫ ו‬BC = ‫ ס"מ‬3 .‫) א‬43
3
54
2
 1.3a .1 .‫) ב‬44
2
a 2  5b2
‫ סמ"ר‬S  14.4 .‫ ג‬cos BCD  2
.‫) א‬45
a  3b2
. BE  7.75 .‫ ב‬58 , 58 , 64 .‫) א‬48
. 45 , 135 .2 R  a 1 
. S  36 .‫ ב‬S  R 2 tan 2 .‫) א‬46
.  22.5 .‫ ב‬S  2R2 sin  cos  sin  90      .‫) א‬49
.   75 .‫ב‬
  14.47 .‫ ג‬PACE
b sin 135   
,
b sin    45 
.‫) א‬50
sin 45
sin 45
2
3
2R cos 
.  26.56 .‫ ג‬S 
.‫ ב‬S  R 2 sin 2 .‫) א‬51
sin 
 k  6k sin   k 25  24cos 2 .‫ ב‬AE  6k sin  .‫) א‬52
. S  8 3 .‫) ב‬55 . S  85.57 .‫ ד‬1.72a 2 .‫ ג‬0.85a .‫ ב‬1.618a .‫) א‬54 .‫ סמ"ר‬120 .‫) ג‬53
. SABD  4 3 .2 SCDE =16 3 .1 .‫) ג‬56
. BC  0.4663m , DE  0.4663m , CD  0.4776m , BE  1.2175m .1 .‫) ד‬57
.
2
.‫ג‬
3
60 ,120 .‫) ב‬58 m  ‫ ס"מ‬8 .3 0.7232m2 .2
S ADE 16

.‫ ב‬S  81  0.25x2 .‫) א‬59
S ABC 81
.16.73 .‫ ג‬FE  4 .‫) ב‬62 26.56,116.56,59.19,120.8 .‫) ד‬61
. B=67.38 .‫ ד‬R  13 .‫ ג‬BE  10 .‫) ב‬60
55
‫שאלות שונות‪:‬‬
‫‪ )1‬במשולש ‪ ABC‬חסום מעגל שרדיוסו ‪ . R‬נתון כי ‪. A   , B  ‬‬
‫א‪ .‬חשב את רדיוס המעגל החוסם במשולש בעזרת ‪. ,  , R‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ .     30 :‬חשב את רדיוס המעגל החסום במשולש בעזרת ‪. R‬‬
‫‪K‬‬
‫‪ )2‬במקבילית ‪ MNPQ‬נקודה ‪ E‬נמצאת על הצלע ‪PQ‬‬
‫כך ש ‪( MEN  90 -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ 12 :‬ס"מ ‪. MNE  40 , MQP  70 , MQ ‬‬
‫מצא את הגובה ‪ , MF‬ואת הגובה ‪. NK‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ )3‬במשולש ישר ‪-‬זווית ‪  P  90 PA MNP‬הוא גובה ליתר‬
‫ו‪ NF -‬חוצה את הזווית ‪. MNP‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ PA‬ו‪ NF -‬נחתכים בנקודה ‪( E‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ 24 :‬ס"מ ‪. MNP  40 , NP ‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הקטע ‪. NA‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורך הקטע ‪. EF‬‬
‫‪ )4‬אלכסוני המלבן ‪ MNPQ‬נחתכים בנקודה ‪. O‬‬
‫מנקודה ‪ O‬מעלים אנך ל ‪ QN -‬החותך את ‪QP‬‬
‫בנקודה ‪( K‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. NP  a , MOQ  2 :‬‬
‫א‪ .‬הבע את אורך הקטע ‪ OK‬באמצעות ‪ ‬ו ‪. a -‬‬
‫ב‪ .‬הבע את היקף המשולש ‪ NOK‬באמצעות ‪‬‬
‫ו‪. a -‬‬
‫‪ )5‬בטרפז ישר ‪-‬זווית ‪ ABCD‬חסום מעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫הנקודה ‪ M‬היא נקודת ההשקה של המעגל עם‬
‫השוק ‪ . AB‬נתון‪ 12 :‬ס"מ ‪. BAD   , AM ‬‬
‫א‪ .‬הבע את רדיוס המעגל בעזרת ‪.‬‬
‫ב‪ .‬הבע את היקף הטרפז בעזרת ‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪O‬‬
‫‪a‬‬
‫‪P‬‬
‫‪2β‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪K‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪O‬‬
‫‪α‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪56‬‬
‫‪P‬‬
‫‪F‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪N‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )6‬במשולש ישר ‪-‬זווית ‪( ABC‬ראה ציור) נתון‪:‬‬
‫‪ 8‬ס"מ ‪. ABC   , ACB  90 , BC ‬‬
‫‪ CD‬הוא הגובה ליתר‪.‬‬
‫‪ CE‬הוא חוצה‪-‬הזווית ‪. ACD‬‬
‫הבע את אורך הקטע ‪ AE‬באמצעות ‪. ‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )7‬נתון מעגל שרדיוסו ‪ . R‬מצולע משוכלל בעל ‪ 9‬צלעות חוסם את המעגל הזה‪.‬‬
‫מצולע משוכלל אחר בעל ‪ 9‬צלעות חסום בתוך מעגל זה‪ .‬חשב את היחס בין‬
‫שטח המצולע החוסם את המעגל לשטח המצולע החסום במעגל זה‪.‬‬
‫‪ ABC )8‬הוא משולש שווה ‪-‬שוקיים ‪  AB  AC ‬שאורך בסיסו ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ AD‬הוא הגובה לבסיס ‪ , BC‬ו‪ CE-‬הוא הגובה לשוק ‪.AB‬‬
‫שני הגבהים נחתכים בנקודה ‪ . O‬נתון‪.   45 ABC   :‬‬
‫א‪ .‬הבע את היחס ‪ AO : DO‬באמצעות ‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי בעבור ‪   60‬הביטוי שמצאת בסעיף א' מתאים לתכונות‬
‫הגאומטריות של משולש שווה‪-‬צלעות‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )9‬במשולש ‪ ABC‬חסום מעגל שמרכזו‬
‫‪ M‬ורדיוסי ‪( r‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. B  62 , C  46 :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ r‬את אורך הצלע ‪. BC‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ 16 :‬ס"מ ‪ . BC ‬מצא את ‪. r‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )10‬במחומש משוכלל ‪( ABCDE‬ראה ציור)‬
‫אורך האלכסון ‪ AC‬הוא ‪ 15‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את שטח המחומש‪.‬‬
‫‪ )11‬מנקודה ‪ C‬הנמצאת מחוץ למעגל שמרכזו ‪ M‬ורדיוסו ‪R‬‬
‫מעבירים משיק ‪ CD‬וחותך ‪ CBA‬למעגל (ראה ציור)‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫נתון‪. CD  R :‬‬
‫‪5‬‬
‫א‪ .‬מצא את זוויות המשולש ‪. CAD‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את שטח המשולש ‪. BCD‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )12‬מנקודה ‪ , A‬הנמצאת מחוץ למעגל שמרכזו ‪, O‬‬
‫יוצאים שני משיקים למעגל‪ AB ,‬ו ‪( AC -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ 10 , BAC  2 :‬ס"מ ‪. AO ‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את ‪, S1‬‬
‫שטח המרובע ‪. ABOC‬‬
‫‪A‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את ‪, S 2‬‬
‫שטח המשולש ‪. BOC‬‬
‫ג‪ .‬הראה שאם ‪   30‬אזי ‪. S1  4S2‬‬
‫‪ ABCD )13‬הוא טרפז ישר‪-‬זווית ‪.  C  D  90‬‬
‫נקודה ‪ E‬נמצאת על הצלע ‪( DC‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ AE  BE  k , AEB  90 :‬ו ‪. CBE   -‬‬
‫הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את שטח הטרפז‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪57‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )14‬א‪ .‬במעושר משוכלל‪ ,‬ששטחו ‪ 100‬סמ"ר‪ ,‬חוסמים מעגל‪.‬‬
‫מצא את רדיוס המעגל החסום במעושר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מעושר משוכלל חסום במעגל‪ ,‬שאת רדיוסו מצאת בסעיף א'‪.‬‬
‫מצא את שטח המעושר המשוכלל הזה‪.‬‬
‫‪ ABC )15‬הוא משולש שווה ‪-‬שוקיים ‪  AB  AC ‬שבו זווית הראש היא זווית חדה‪.‬‬
‫נתון כי זווית הבסיס היא ‪ ‬ואורך הבסיס ‪ BC‬הוא ‪. 2a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ AD‬הוא הגובה לבסיס ‪ BC‬ו‪ CE -‬הוא הגובה לשוק ‪. AB‬‬
‫הגבהים ‪ AD‬ו‪ CE -‬נפגשים בנקודה ‪( O‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬ו‪  -‬את אורכי הקטעים ‪ CO‬ו ‪. CE -‬‬
‫‪CO‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את היחס‬
‫‪CE‬‬
‫‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪O‬‬
‫ג‪ .‬חשב את היחס שמצאת בסעיף ב' כאשר ‪,   60‬‬
‫שקיבלת‪.‬‬
‫והסבר מהי המשמעות הגאומטרית של התוצאה‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )16‬מנקודה ‪ A‬יוצאים שני משיקים למעגל שמרכזו ‪ , O‬שאורכם ‪m‬‬
‫(כלומר‪ .) AB  AC  m :‬נקודות ההשקה הן ‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫ו‪ , C -‬והזווית שבין המשיקים היא ‪BAC  ‬‬
‫‪α‬‬
‫(ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬ו‪  -‬את שטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬ו‪  -‬את שטח המשולש ‪. BOC‬‬
‫ג‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את היחס שבין שטחו של‬
‫המשולש ‪ BOC‬לבין שטחו של המשולש ‪. ABC‬‬
‫ד‪ .‬בדוק את תשובתך לסעיף ג' למקרה המיוחד שבו ‪.  90‬‬
‫‪ )17‬במשולש ישר ‪-‬זווית ‪ DAC‬נתון ‪. DAC  ‬‬
‫מאריכים את הניצב ‪ AC‬כך ש‪. AB  d -‬‬
‫נתון כי‪( DBA   :‬ראה ציור)‪.‬‬
‫סמן‪. AC  x :‬‬
‫הבע את ‪ x‬באמצעות ‪  , d‬ו‪.  -‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪β‬‬
‫‪α‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )18‬נתון משולש ישר‪-‬זווית ‪.  C  90 ABC‬‬
‫‪ CE‬הוא הגובה ליתר‪ AD .‬הוא חוצה‪-‬הזווית ‪. CAB‬‬
‫‪ CE‬ו‪ AD -‬נחתכים בנקודה ‪( P‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. CAB   , AC  m :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ m‬ו‪  -‬את‪:‬‬
‫א‪ .‬אורך הקטע ‪. AE‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪ .‬אורך הקטע ‪. PD‬‬
‫‪58‬‬
‫‪A‬‬
‫‪d‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪P‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )19‬בטרפז שווה‪-‬שוקיים ‪  AD  BC  ABCD‬האלכסונים‬
‫נפגשים בנקודה ‪( M‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪, DAC  DBC  90 :‬‬
‫‪ 11 , ADC  BCD  65‬ס"מ ‪. DC ‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪. AMD‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )20‬הקטעים ‪ AB‬ו‪ CD -‬נחתכים בנקודה ‪. O‬‬
‫נתון כי‪ 9 , OAC  60 :‬ס"מ ‪, CO ‬‬
‫‪ 6‬ס"מ ‪ 14 , AC ‬ס"מ ‪, OD ‬‬
‫‪ 10‬ס"מ ‪. OB ‬‬
‫חשב את ‪. ODB‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ )21‬במשולש ‪ MNP‬גודל הזווית ‪ M‬הוא ‪. 54‬‬
‫נתון כי אורך הצלע ‪ MN‬הוא ‪ 12‬ס"מ (ראה ציור)‪,‬‬
‫והצלע ‪ NP‬ארוכה ב‪ 7-‬ס"מ מהצלע ‪. MP‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך הצלע ‪. NP‬‬
‫ב‪ PA .‬הוא תיכון לצלע ‪. MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪PAN‬‬
‫‪.‬‬
‫חשב את שטח המשולש‬
‫‪54°‬‬
‫‪M‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ )22‬המשולש שווה‪-‬שוקיים ‪  AB  AC  ABC‬חסום במעגל (ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ . ABC   :‬כמו כן ידוע שאורך רדיוס המעגל הוא ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע בעזרת ‪ ‬את שטח‬
‫המשולש ‪. ABC‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪ABC‬‬
‫בעבור ‪.   45‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )23‬במשולש ‪ ABC‬הזווית ‪ C‬היא בת ‪ , 60‬אורך הצלע ‪ AB‬הוא ‪ 13‬ס"מ‪,‬‬
‫והיקף המשולש הוא ‪ 7  13‬ס"מ‪ .‬חשב את שטח המשולש‪.‬‬
‫‪ AD  BC ‬‬
‫‪ )24‬בטרפז שווה‪-‬שוקיים‬
‫אורך הבסיס הגדול ‪ AB‬שווה לאורך הלאכסון‪.‬‬
‫זווית הבסיס היא ‪ ,)   60 ( ‬ראה ציור‪ .‬הבע‬
‫באמצעות ‪ ‬את היחס שבין שטח המשולש ‪ACD‬‬
‫לשטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫‪ABCD‬‬
‫‪C‬‬
‫‪59‬‬
‫‪D‬‬
‫‪β‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )25‬הקדקודים ‪ A‬ו‪ B -‬של המשולש ‪ABD‬‬
‫נמצאים על היקף מעגל שאורך רדיוסו ‪ 12‬ס"מ ומרכזו ‪. O‬‬
‫הקדקוד ‪ D‬של המשולש ‪ ABD‬נמצא על הרדיוס ‪. OA‬‬
‫א‪ .‬הבע בעזרת ‪ ‬ו‪  -‬את שטח המשולש ‪. ABD‬‬
‫ב‪ .‬חשב את היחס שבין שטח המשולש‬
‫‪ ABC‬לשטח המשולש ‪. ABD‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪β‬‬
‫‪α‬‬
‫‪D‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ )26‬משולש ‪ MNP‬חסום במעגל‪.‬‬
‫המיתר ‪ NQ‬חוצה את הזווית ‪. MNP‬‬
‫נתון‪ MPN  70 , MNP  80 :‬ו‪ 12 -‬ס"מ ‪. NP ‬‬
‫חשב את אורך המיתר ‪. MQ‬‬
‫‪P‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ )27‬נתון טרפז ‪.) AB CD ( ABCD‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא נקודת המפגש של אלכסוני הטרפז‪.‬‬
‫נתון‪. CBD   , CEB   , BE  m , DC  BC :‬‬
‫הבע את אורכי בסיס הטרפז‪AB :‬‬
‫ו‪ CD -‬באמצעות ‪  , m‬ו ‪.  -‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪α‬‬
‫‪E‬‬
‫‪m‬‬
‫‪β‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )28‬במשולש ‪ RST‬נתון‪ QT :‬הוא חוצה‪-‬הזווית ‪, RTS‬‬
‫‪. TRQ  45 , RST   , RQ  2 , QS  m‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ sin ‬באמצעות ‪. m‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪S‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ . m ‬חשב את זוויות המשולש ‪. RST‬‬
‫‪T‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ )29‬במשולש שוום שוקיים ‪  AB  AC  ABC‬התיכון לשוק שווה באורכו לרדיוס‬
‫המעגל החוסם את המשולש‪ .‬חשב את זווית הבסיס של המשולש‪.‬‬
‫‪ )30‬נתון משולש שצלעותיו ‪. t , 2t , kt‬‬
‫א‪ .‬לאיזה ערכים של הקבוע ‪ k‬המשולש הוא קהה זווית?‬
‫ב‪ .‬נתון ‪ . k  7‬חשב את אורך חוצה הזווית ‪. BAC‬‬
‫‪ )31‬בתוך הריבוע ‪ ABCD‬נתון‪ ,‬העבירו ארבעה קטעים‬
‫היוצרים את אותה זווית ‪‬‬
‫עם צלעות הריבוע כך שהתקבל ריבוע פנימי ‪. PQRS‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪α‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪PQ‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪ cos   sin  :‬‬
‫‪AB‬‬
‫ב‪ .‬לאיזו זווית ‪ ‬מתקיים‪. PR  AB :‬‬
‫‪P‬‬
‫‪α‬‬
‫‪.‬‬
‫‪α‬‬
‫‪R‬‬
‫‪S‬‬
‫‪α‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ PS )32‬הוא גובה במשולש ‪( PMQ‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. PS  h, MPS   , SPQ   :‬‬
‫א‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪PMQ‬‬
‫באמצעות ‪  , h‬ו‪.  -‬‬
‫ב‪ .‬מעגל שקוטרו ‪ PS‬חותך את הצלעות ‪PM‬‬
‫ו‪ PQ -‬בנקודות ‪ E‬ו ‪ F -‬בהתאמה (ראה ציור)‪.‬‬
‫‪ .1‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את ‪. ESF‬‬
‫‪ .2‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את היחס בין שטח המשולש‬
‫לשטח המשולש ‪. PMQ‬‬
‫‪60‬‬
‫‪D‬‬
‫‪P‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ESF‬‬
‫‪S‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ )33‬במשולש ‪ ABC‬הצלעות הן ‪ b , a‬ו ‪ c -‬והזוויות שמונחות מולן‬
‫הן‪  , :‬ו ‪  -‬בהתאמה‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע את אורך התיכון ‪( ma‬התיכון לצלע ‪ ) a‬באמצעות הצלעות ‪ b‬ו ‪ c -‬והזווית ‪.‬‬
‫ב‪ .‬בדוק את הנוסחה שמצאת למקרה שבו המשולש ‪ ABC‬הוא שווה צלעות‪.‬‬
‫‪ )34‬במשולש שווה שוקיים ‪, ( AB  AC ) ABC‬‬
‫‪ BM‬הוא תיכון לשוק (ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ABC‬‬
‫הוא ‪ 10‬ס"מ וכן נתון ש ‪. BAC  50 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את גודל הזווית ‪. BMC‬‬
‫ב‪ .‬ממשיכים את ‪ BM‬עד לנקודה ‪ , D‬כך שרדיוס‬
‫המעגל החוסם את המשולש ‪ ABD‬הוא ‪14‬ס"מ‪.‬‬
‫מצא את שטח המשולש ‪. AMD‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ )35‬משולש שווה שוקיים ‪ ( BC  BE) BCE‬חסום‬
‫במעגל שרדיוסו ‪ . R‬זווית הבסיס של המשולש ‪BCE‬‬
‫היא ‪ .‬בנקודה ‪ E‬העבירו משיק למעגל החותך את‬
‫המשך השוק ‪ BC‬בנקודה ‪( F‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬בטא את שטח המשולש ‪ BEF‬באמצעות ‪ R‬ו ‪. -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הערך של ‪ ‬שבעבורו שטח המשולש ‪BCE‬‬
‫שווה לשטח המשולש ‪. BEF‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )36‬בטרפז ‪ ( BC ED) BCDE‬אורך הבסיס ‪ BC‬הוא ‪ 12‬ס"מ‪ .‬הזווית שבין הבסיס‬
‫‪ BC‬לשוק ‪ DC‬היא ‪ .80‬אורך האלכסון ‪ BD‬הוא ‪ 16‬ס"מ‪ ,‬והוא חוצה את‬
‫הזווית ‪ . CBE‬חשב את היקף הטרפז‪.‬‬
‫‪ )37‬במשולש ישר ‪-‬זווית ‪ APD‬מחלקים את הזווית‬
‫הישרה ‪ P‬לשלוש זוויות שוות‪.‬‬
‫כלומר‪. ( APB  BPC  CPD  30) :‬‬
‫נתון כי‪. PAD   PB  m :‬‬
‫א‪ .‬היעזר במשפט הסינוסים‪ ,‬והבע את ‪BD , AC , AB‬‬
‫ו‪ CD -‬באמצעות ‪ m‬ו ‪. -‬‬
‫‪AC  BD‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪ 3 :‬‬
‫‪AB  CD‬‬
‫‪A‬‬
‫‪α‬‬
‫‪B‬‬
‫‪m‬‬
‫‪C‬‬
‫‪30° 30°‬‬
‫‪30°‬‬
‫‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪P‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )38‬בטרפז שווה שוקיים ‪, ( AD  BC , AB DC ) ABCD‬‬
‫‪ F‬היא נקודה על השוק ‪ , BC‬כך ש ‪ DF -‬חוצה את‬
‫הזווית ‪ CDA‬ו‪ AF -‬חוצה את הזווית ‪( DAB‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. FAB   , AB  b :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ b‬ו‪  -‬את אורך הבסיס ‪. DC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪61‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪EFG‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ )39‬משולש שווה צלעות‬
‫‪ M‬היא נקודה על המעגל‪.‬‬
‫נתון‪( MGE   :‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. ME  MF  MG :‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ ME  R‬מה תוכל לומר על‬
‫‪M‬‬
‫חסום במעגל שרדיוסו ‪. R‬‬
‫‪β‬‬
‫‪? MG‬‬
‫‪F‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ )40‬משולש שווה שוקיים ‪ . ( AD  AE ) ADE‬חסום במעגל שרדיוסו ‪. R‬‬
‫ישר המשיק למעגל בנקודה ‪ D‬חותך את המשך הצלע ‪ AE‬בנקודה ‪. F‬‬
‫נתון‪. (60    180) DAE   :‬‬
‫א‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ ADF‬באמצעות ‪ R‬ו‪. -‬‬
‫‪A‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את היחס שבין שטח‬
‫‪E‬‬
‫המשולש ‪ ADE‬ובין שטח המשולש ‪. ADF‬‬
‫ג‪ .‬חשב את ‪ ‬אם שטח המשולש ‪ ADE‬שווה‬
‫לשטח המשולש ‪. ADF‬‬
‫הוכח כי‪:‬‬
‫‪25  16cos 2 ‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )41‬במעוין ‪ ABCD‬הנקודה ‪ E‬היא אמצע הצלע ‪. CD‬‬
‫נתון‪( AEB   , ADC   :‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪F‬‬
‫‪β‬‬
‫‪E‬‬
‫‪. cos  ‬‬
‫‪α‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )42‬נתון טרפז ‪ ABCD‬ונתון מעגל‪ .‬השוק ‪ DC‬הוא קוטר המעגל‪.‬‬
‫השוק ‪ AB‬משיקה למעגל‪ ,‬והבסיסים ‪ AD‬ו ‪BC -‬‬
‫משיקים גם הם למעגל בנקודות ‪ D‬ו‪ C -‬בהתאמה‪.‬‬
‫נתון כי‪. AB  d , B   :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ d‬את סכום בסיסיו של הטרפז‪.‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ d‬ו‪  -‬את היקף הטרפז‬
‫ואת השטח של הטרפז‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון שהיקף הטרפז ‪ 25‬ס"מ ושטחו ‪ 25‬סמ"ר‪.‬‬
‫חשב את הזווית החדה ‪. ‬‬
‫‪ )43‬במשולש שווה שוקיים‬
‫‪PMN‬‬
‫) ‪ A ( PM  PN‬היא‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪d‬‬
‫‪β‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫נקודה על הגובה ‪ , PB‬כך ש ‪. PA   PB -‬‬
‫הישר ‪ NA‬חותך את השוק ‪ PM‬בנקודה ‪( D‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ DNB   , DMN   :‬ו‪. BN  a -‬‬
‫א‪ .‬חשב את היחס ‪. tan  : tan ‬‬
‫‪N‬‬
‫ב‪ .‬חשב את היחס ‪. PM : DM‬‬
‫‪62‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪α‬‬
‫‪β‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ )44‬במעגל שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪ R‬מעבירים שני קטרים ‪ AB‬ו‪ CD -‬הנחתכים‬
‫בזווית של ‪ . 60‬מיתר ‪ , AE‬היוצר זווית ‪ ‬עם הקוטר ‪, AB‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫חותך את הקוטר ‪ CD‬בנקודה ‪( F‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫א‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ ACF‬באמצעות ‪ R‬ו ‪. -‬‬
‫ב‪ .‬הוכח שכאשר ‪ ,  30‬שטח המשולש ‪ACF‬‬
‫‪60° α‬‬
‫‪A‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫הוא ‪.  3  R 2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪63‬‬


 
1
b) R
2
2
2
2
. KN  ‫ ס"מ‬21.52 , MF  ‫ ס"מ‬11.28
. EF  ‫ ס"מ‬5.975 .‫ ב‬. NA  ‫ ס"מ‬18.385 .‫א‬
a

a
1 
 1  tg  
.
.‫ ב‬. OK 
.‫א‬

2cos 
2sin  
cos  
. a) 4R sin sin cos
)1
)2
)3
)4



. 24  1  tg  .‫ ב‬.12  tg .‫) א‬5
2
2


tg 20
1
 1 
1 

 1.132 )7 . AE  8sin   tg   tg      8tg   tg    )6
.2
2
sin 40 cos 20
 2 
2 

tg
cos 2

 tg 2  1 .‫) א‬8
‫ (כלומר מפגש‬AO  2  DO :‫ מתקיים‬.‫ ב‬. 2 
2
tg 2
cos 
2
.)‫הגבהים הוא גם מפגש התיכונים‬
. r  16 /  tg 59  tg 67  ‫ ס"מ‬3.98 .‫ ב‬. BC  r   tg 59  tg 67  4.02  r .‫) א‬9
. S  ‫ סמ"ר‬147.86 )10
2
. S  0.0495  R .‫ ב‬. D  90 , A  16.7 , C  73.3 .‫) א‬11
. S1  100  sin   cos   50  sin 2 .‫) א‬12
. S2  50  sin 2   sin 180  2   50  sin 2   sin 2 .‫ב‬
1
2
.)‫ (או כל תשובה שקולה‬S  k 2  1  2sin  cos   )13
. S  ‫ סמ"ר‬90.45 .‫ב‬
2
:‫ היחס הוא‬.‫ג‬
3
.
CO
1

.‫ב‬
CE 2sin 2 
. r  ‫ ס"מ‬5.548 .‫) א‬14
. CE  2a  sin  , CO 
a
.‫) א‬15
sin 
.)‫(בדומה למפגש התיכונים במשולש‬
. SBOC
1

 m2  sin   tg 2
.‫ב‬
2
2
1
2
. SABC  m2  sin  .‫) א‬16
. tg 2

2
:‫ יחס השטחים‬.‫ג‬
.  tg 2 45  1 1 -‫ ויחס השטחים שווה ל‬,‫ הוא ריבוע‬ABOC ‫ במקרה זה‬.‫ד‬
. AC  x  d 
. PD 
m  1  cos  
cos

2

2m  sin 2
cos

tg 
)17
tg  tg 

2  2m  sin   tg  .‫ב‬
2
2
. AE  m  cos .‫) א‬18
2
. ODB  44.7 )20 . S  ‫ סמ"ר‬9.07 )19
. SPAN  ‫ סמ"ר‬8.2 .‫ ב‬. NP  ‫ ס"מ‬10.38 .‫) א‬21
.‫ סמ"ר‬400 .‫ ב‬. S  800  sin 2   sin 2 .‫) א‬22
. SABC  3  3  ‫ סמ"ר‬5.196 )23
64
 sin 3 
2
  1  4cos  :‫) יחס השטחים הוא‬24
sin



.‫ או כל תשובה שקולה‬ 
.
. DC  m 
sin    
.‫ב‬
sin   cos 
. SABD  288 
sin   cos 2   sin 
.‫) א‬25
sin    
sin 
sin 
, AB  m 
)27
sin    
sin    
. MQ  ‫ ס"מ‬15.43 )26
.  20.7 )29 . 45 , 60 , 75 ‫ או‬45 , 120 , 15 .‫ב‬
. sin  
1
.‫) א‬28
m
2
 t  0.667 .‫ ב‬. 1  k  3 ‫ או‬5  k  3
3
1
ESF  180  (   ) .1 .‫ ב‬SMPQ   h2  (tan   tan  )
2
1
. SEFS : SMPQ   sin 2  sin 2
4
1
3
. ma   b .‫ ב‬ma   b2  c 2  2  b  c  cos
2
2
.  15 )31
. SAMD  ‫סמ"ר‬
54.1
BMC  79.5
.‫ב‬
.‫) א‬30
.‫) א‬32
.2
.‫) א‬33
.‫) א‬34
2 R sin  sin 2
.‫) א‬35
sin 3
m
3  m  sin(30   )
3m
BD 
, AB 
, AC 
.‫) א‬37
2  sin 
2  sin(60   )  sin 
2  cos 
b  tan 
m  sin(30   )
. DC 
)38 . CD 
tan 3
2  sin(60   )  cos 
. PBCDE  51.09 )36 .  45 .‫ ב‬SBEF 
2
3
.‫הוא קוטר במעגל‬
MG
.‫) ב‬39

2 R 2  cos3  sin 
SADE
cos(1.5 )
2

.‫ ב‬SADF 
cos(1.5 )
S ADF
cos(0.5 )
1
.   30 .‫ ג‬S  d 2  sin  P  2d  d sin  .‫ ב‬AD  BC  d
2
9
4
. PM : DM   1.125 .‫ ב‬tan  : tan    0.8
8
5
2
3R  sin(30   )
.S 
4  sin(60   )
.  90 .‫ג‬
65
.‫) א‬40
.‫) א‬42
.‫) א‬43
.‫) א‬44
‫פרק ‪ - 3‬חשבון דיפרנציאלי של פונקציות פולינומית‪,‬‬
‫רציונאלית‪ ,‬אי‪-‬רציונאלית וטריגונומטרית‪:‬‬
‫נגזרות ומשיקים‪:‬‬
‫פונקציות נפוצות‪:‬‬
‫הפונקציה ‪ : f  x   x 2‬הפונקציה ‪ : f  x   x3‬הפונקציה ‪: f  x   x‬‬
‫‪5 x3  4 x‬‬
‫פונקציה עם מכנה‪ ,‬למשל‪:‬‬
‫‪x2 1‬‬
‫הפונקציה ‪: f  x   x‬‬
‫‪: f  x ‬‬
‫הנגזרת‪:‬‬
‫לכל פונקציה ‪ f  x ‬קיימת פונקציה‪ ,‬הנקראת פונקציית הנגזרת (או רק "הנגזרת")‬
‫ומסומנת ‪ , f '  x ‬המתקבלת ממנה על פי כללי הגזירה‪.‬‬
‫כללי הגזירה‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫כלל גזירה מס' ‪. f  x   xn  f '  x   n  x n1 :1‬‬
‫כלל גזירה מס' ‪( 2‬כפל בקבוע)‪. f  x   axn  f '  x   n  ax n1 :‬‬
‫כלל גזירה מס' ‪( 3‬נגזרת של קבוע)‪. f  x   a  f '  x   0 :‬‬
‫כלל גזירה מס' ‪( 4‬סכום והפרש)‪. f  x   u  v  f '  x   u '  v ' :‬‬
‫כלל גזירה מס' ‪( 5‬פונקציה מורכבת)‪. f  x   u n  f '  x   n  u n1  u ' :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .6‬כלל גזירה מס' ‪( 6‬נגזרת של )‪ f '  x    2 :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .7‬כלל גזירה מס' ‪( 7‬מכפלה)‪. f  x   u  v  f '  x   u ' v  v ' u :‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u 'v  v 'u‬‬
‫‪ .8‬כלל גזירה מס' ‪( 8‬מנה)‪:‬‬
‫‪ f ' x ‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪ .9‬כלל גזירה מס' ‪( 9‬שורש)‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪. f  x  x  f ' x ‬‬
‫‪66‬‬
‫שיפוע של פונקציה‪:‬‬
‫‪ .1‬השיפוע ( ‪ ) m‬של פונקציה ‪ f  x ‬בנקודה ‪ A  x1 , y1 ‬שעל הפונקציה הוא ערך‬
‫הנגזרת בנקודה ‪ , A  x1 , y1 ‬כלומר‪. m  f '  x1  :‬‬
‫‪ .2‬השיפוע של המשיק לפונקציה ‪ f  x ‬בנקודה ‪ A  x1 , y1 ‬שעל הפונקציה שווה‬
‫לשיפוע הפונקציה בנקודה ‪. A  x1 , y1 ‬‬
‫‪ .3‬משוואת המשיק לפונקציה ‪ f  x ‬בנקודה ‪ A  x1 , y1 ‬שעליה מתקבלת על ידי‬
‫הנוסחה למציאת ישר‪. y  y1  m  x  x1  :‬‬
‫שאלות יסודיות – גזירת פונקציות‪:‬‬
‫‪ )1‬גזור את הפונקציות הבאות (גזירה יסודית)‪:‬‬
‫ב‪f  x   x 7 .‬‬
‫א‪f  x   x3 .‬‬
‫ה‪f  x   x 3 .‬‬
‫ד‪f  x   x .‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f  x  x‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪f  x  x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f  x  x‬‬
‫‪f  x   x 1‬‬
‫ט‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪f  x  x‬‬
‫‪ )2‬גזור את הפונקציות הבאות (כפל בקבוע)‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪f  x   2 x3‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪f  x   3x 7‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1 4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪x6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪f  x   8x‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪f  x   3x 2‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f  x   6x 2‬‬
‫ט‪.‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )3‬גזור א ת הפונקציות הבאות (נגזרת של קבוע)‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪f  x   12‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ )4‬גזור את הפונקציות הבאות (סכום והפרש של ביטויים פולינומים)‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪f  x   x3  2 x 2  3x  5‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪1 4 x3 3x 2‬‬
‫‪x   ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6 4 5‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪f  x   7 x 2  23x  6‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪f  x   6 x2  8x  4‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪x  x3‬‬
‫‪2‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪ 67‬‬
‫‪8‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪67‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪f  x ‬‬
f  x   3 x  x
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (פונקציה פולינומית מורכבת‬5
5
3
f  x    5x  2  .‫א‬
f  x    x 3  6  .‫ב‬
.‫ג‬

2 2
2  x  1
f  x 
3
4
.‫ה‬
5  x 

f  x
3
.‫ד‬
4
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (פונקצית מנה עם פולינום במכנה‬6
1
x2
2
f  x 
3 x
f  x 
f  x  
.‫ג‬
f  x 
.‫ו‬
2
.‫ב‬
x
1
.‫ה‬
x  3x
2
3
.‫א‬
x
3
f  x   3 .‫ד‬
x
6
.‫ז‬
f  x 
x5
f  x 
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (מכפלת פונקציות פולינום‬7
3
f  x    5x  1 x  3 .‫א‬
f  x    5x  1  x  3 .‫ב‬
f  x   3x 2  x
.‫ד‬
f  x   x3   6  x 
f  x   x   3x  7 
.‫ו‬
f  x   x 2  x3
.‫ה‬
f  x    x  2   2 x 2  3
.‫ח‬
f  x   3x3   3x  1
.‫ז‬
f  x    3x 4  4 x  2 x 2  5x  2 
.‫י‬
f  x    3x  2   x 2  10 x 
.‫ט‬
f  x   x  x  2  3x  4 
.‫יא‬
4
.‫ג‬
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (מכפלת פונקציות מורכבות‬8
2
2
f  x   2 x3  3x  5 
.‫ב‬
f  x    x2  4
.‫א‬
f  x    x 2  1  2 x  1
3
2
f  x    x3  2   x  1
2
.‫ד‬
3
.‫ג‬
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (פונקצית מנה עם פילונום במונה ובמכנה‬9
x2  1
5 x  12
x2  8
f  x 
x 1
3
f  x  3
x
f  x 
f  x
x

2
 3
f  x 
.‫ב‬
.‫א‬
.‫ה‬
.‫ח‬
x2 1
x2  3
1
f  x 
x
2
x  1

f  x 
x 1
.‫י‬
f  x 
x3  x 2
2 1  x 
.‫ט‬
f  x 
.‫ד‬
.‫ו‬
2
x2  2
x2
f  x  2
x 4
3x  1
1  2x
68
.‫ג‬
.‫ז‬
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (פונקצית שורש‬10
f  x   4 x  1 .‫ב‬
f  x   x .‫א‬
f  x   x  1 .‫ג‬
3
f  x 
x3
x
f  x   x2 x  3
.‫ו‬
f  x    3x  1 x
.‫ה‬
.‫ד‬
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (פונקציות משולבות‬11
f  x   2 x .‫ב‬
f  x   x  1 .‫א‬
f  x   10  3x
.‫ד‬
f  x   3x 2  1
.‫ג‬
f  x   3x 2  8 x
.‫ו‬
f  x   2x2  7 x
.‫ה‬
1
x
.‫ח‬
f  x   x2 1  2x
.‫ז‬
.‫י‬
x x2  4
f  x 
2
.‫ט‬
2 x3  x 2  x  5 x
x x
.‫יא‬
1  x2
1 x
.‫יג‬
f  x  x 
f  x 
f  x 
f  x 
f  x 
x3
1  x2
3 x
x
x2  7
x2  5
x 1
x 1
f  x 
.‫יב‬
f  x 
.‫יד‬
f  x 
.‫טז‬
x
.‫טו‬
x 1
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (פרמטרים‬12
f  x 
x  2a
x  4a
f  x 
.‫ג‬
2
ax
x
  c .‫ב‬
3 b
f  x   ax 4  bx
.‫א‬
f  x   a bx 2  c
.‫ד‬
:‫) גזור פעמיים את הפונקציות הבאות‬13
x  5x  6
2 x  10
x3
f  x  2
x 4
f  x 
x2  2 x  4
2x
2x2
f  x 
( x  1)2
2
 x 1
f  x  

 x 1
f  x 
.‫ב‬
.‫ד‬
x3
f  x 
( x  1)2
3
.‫ו‬
69
.‫א‬
.‫ג‬
.‫ה‬
‫שאלות שונות – שימושי הנגזרת‪:‬‬
‫‪ )14‬מצא את שיפוע הפונקציה ‪ f  x   2 x3  7 x‬בנקודה ‪.  2, 2 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )15‬מצא את שיפוע הפונקציה‬
‫‪x 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ f  x  ‬בנקודה שבה ‪. x  2‬‬
‫‪ )16‬מצא את שיפוע המשיק לפונקציה ‪ f  x   4 x‬בנקודה שבה ‪. x  1‬‬
‫‪ )17‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה ‪ f  x   2  4 x  33‬בנקודה שבה ‪. x  1‬‬
‫‪ )18‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה ‪ f  x   8‬בנקודה שבה ‪. y  2‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ )19‬מצא את משוואות המשיקים לפונקציה ‪ f  x   x2  2 x  8‬בנקודות החיתוך‬
‫שלה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )20‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה ‪ f  x   x4  2 x‬ששיפועו ‪.2‬‬
‫‪x3  3x  1‬‬
‫‪ )21‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה‬
‫‪x2  2‬‬
‫‪ f  x  ‬בנקודה שבה ‪. x  1‬‬
‫‪ )22‬נתון כי הישר ‪ 2 y  3x  3‬משיק לגרף הפונקציה ‪. f  x   3 x‬‬
‫מצא את נקודת ההשקה‪.‬‬
‫‪ )23‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה‪ f  x   1 :‬העובר בנקודה ‪.  3, 0 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )24‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה‪ f  x    x :‬בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫‪ )25‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה ‪ f  x   3x2  8 x‬בנקודה שבה‪. x  4 :‬‬
‫‪ )26‬נתונה הפונקציה הבאה‪. f  x   4 x  2 x :‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה המקביל לישר‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ f  x  ‬אם ידוע ששטח המשולש‬
‫‪ )27‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. y  3x ‬‬
‫שהוא יוצר עם הצירים הוא ‪ 4.5‬יחידות שטח‪.‬‬
‫‪70‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ f  x  ‬ששיפועו ‪.-2‬‬
‫‪x 3‬‬
‫‪x x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ f  x  ‬בנקודה שבה ‪. x  2‬‬
‫‪ )30‬מצא את משוואות המשיקים לפונקציה ‪ f  x   1 3‬היוצרים עם הכיוון החיובי‬
‫‪3x‬‬
‫של ציר ה‪ x -‬זווית של ‪.135o‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )31‬הפונקציות‬
‫‪x‬‬
‫מצא את ‪ k‬ואת נקודת ההשקה‪.‬‬
‫‪ y ‬ו ‪ y   x 2  k -‬משיקות זו לזו‪.‬‬
‫‪ )32‬מצא את משוואת המשיקים המשותפים לפונקציות‬
‫‪1 2‬‬
‫הבאות‪. y   x  5 , y  x 2 :‬‬
‫‪4‬‬
‫שאלות עם פרמטרים‪:‬‬
‫‪ )33‬שיפוע המשיק לפונקציה ‪ f  x   ax2  4 x‬בנקודה שבה ‪ x  3‬הוא ‪.8‬‬
‫מצא את ערכו של הפרמטר ‪ a‬ואת משוואת המשיק‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )34‬נתונה הפונקציה ‪ .  a  0 , f  x   ax‬המשיק לפונקציה בנקודה שבה‬
‫‪2‬‬
‫הוא בעל שיפוע ‪ .1‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )35‬נתונה הפונקציה‪ a) , y  x3  a x :‬פרמטר)‪ .‬שיפוע המשיק לגרף הפונקציה‬
‫בנקודה שבה ‪ x  1‬הוא ‪ .5‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )36‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫בנקודה שבה ‪ x  1‬הוא ‪ .2‬מצא את ערך הפרמטר ‪. A‬‬
‫‪ A) , y  2 x ‬פרמטר)‪ .‬שיפוע המשיק לגרף הפונקציה‬
‫‪2‬‬
‫‪ )37‬הישר ‪ y  4 x  b‬משיק לגרף הפונקציה ‪ 3‬‬
‫‪x2‬‬
‫מצא את ‪ b‬ואת נקודת ההשקה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )38‬שיפוע המשיק לפונקציה‬
‫‪ax  3‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ f  x  ‬בנקודה שבה ‪ y  2‬הוא ‪.-4‬‬
‫מצא את ערכו של הפרמטר ‪ a‬ואת משוואת המשיק‪.‬‬
‫‪71‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )39‬הישר ‪ y  ax ‬משיק לגרף הפונקציה‬
‫‪xc‬‬
‫‪2‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪. c -‬‬
‫‪ g  x  ‬בנקודה ‪. x  0‬‬
‫‪ )40‬הישר ‪ y  3x‬משיק לגרף הפונקציה ‪. f  x   x x  b‬‬
‫מצא את ‪ b‬ואת נקודת ההשקה‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪bx  1‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪ b -‬ואת משוואת המשיק‪.‬‬
‫‪ f  x  ‬בנקודה ‪ 1, 6 ‬הוא ‪.-6‬‬
‫‪ )42‬לאילו ערכי ‪ k‬ישיק הישר ‪ y  5x  6‬לגרף הפונקציה ‪? f  x   x3  2 x2  4 x  k‬‬
‫לכל ערך כזה של ‪ k‬מצא את נקודת ההשקה‪.‬‬
‫‪x2  3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ f  x  ‬ונתון הישר‪. y  2 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה והישר הנמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואות המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח שנוצר בין המשיק והצירים‪.‬‬
‫‪ )44‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪ f  x   x :‬ו‪. g  x   x 2 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה ‪ f  x ‬העובר‬
‫דרך נקודת החיתוך שמצאת הנמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך הנוספת של המשיק שמצאת‬
‫עם גרף הפונקציה ‪. g  x ‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )45‬א‪ .‬בטא באמצעות ‪ t‬את משוואת המשיק לפונקציה ‪ f  x   x2  1‬בנקודה שבה ‪. x  t‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערכיו של ‪ t‬אם נתון שהמשיק עובר בנקודה ‪.  1,1‬‬
‫‪72‬‬
. 43
1
.‫ט‬
.
3
3
.
.‫ ז‬ 12 .‫ ו‬ 34 .‫ ה‬1 .‫ ד‬2x .‫ ג‬7x 6 .‫ ב‬3x 2 .‫) א‬1
x
x
2 x
5
4
6
.‫ ח‬ 2 .‫ ז‬ 3 .‫ ו‬8 .‫ ה‬6 x .‫ ד‬2x3 .‫ ג‬21x6 .‫ ב‬6x 2 .‫) א‬2
x
x
7
x
2
. 12 x  8 .‫ ד‬14 x  23 .‫ ג‬x3  x  3 .‫ ב‬3x2  4 x  3 .‫) א‬4 0 .‫ ב‬0 .‫) א‬3
2 4
. 0.5x3 .‫ ו‬x  3x2 .‫ה‬
3 3 x2
3
4 x
. 32 .‫ט‬
9 x
8  x  1
1
.‫ח‬
.‫ ה‬  5  x 2 .‫ ד‬6  x  x2  1  2 x  .‫ ג‬15x 2  x3  6  .‫ ב‬15  5x  2 2 .‫) א‬5
3
4
6
 x  5
2
4
2
.‫ז‬
3  x 
.‫ ו‬
2
2x  3
x
2
 3x 
.‫ ה‬
2
9
2
.‫ ד‬ 3
4
x
x
2
3
.‫ ב‬ 2 .‫) א‬6
2
x
x
.‫ג‬
. x2  6  x 3 18  7 x  .‫ ג‬ 5x  12  20 x  44  .‫ ב‬10 x  14 .‫) א‬7
9 x2  56 x  20 .‫ ט‬6 x2  8x  3 .‫ ח‬36 x3  9 x 2 .‫ ז‬6 x  7 .‫ ו‬5x 4 .‫ ה‬9x 2 .‫ד‬
. 9 x2  20 x  8 .‫ יא‬36x5  75x4  24x3  24x2  40x  8 .‫י‬
. 3  x  12  x3  2 3x3  2 x2  2  .‫ ג‬30 x2  x  1 3x  5 .‫ ב‬4 x  x 2  4  .‫) א‬8
. 2  2 x  1  x2  1 8x 2  3x  2  .‫ד‬
2
.
8x
 x  4  x  2  .‫ד‬
.‫ג‬
2
2
 x  1
 x 2  3
1
.‫ה‬
x2
.
1
 x  2
x
x  5 x  12 
. x  3 .‫ו‬
.‫ה‬
4x  7
2 2x  7 x
2
.‫ ה‬
3x  1
1  x 
2 1.5
 x2  2 x  1
2 1  x 
1.5
1 x
.
.
2
x 2
x2  4
.‫ יג‬
.‫ד‬
2  x  1
2
abx
bx 2  c
3x  1
2
.‫ ט‬ 1
2x x
3
2 x 3x  x
x3
2
. f '  x   2 x  20 x 262 , f ''  x  
 2 x  10
 2
2 10  3x
2
.‫י‬
2
2
x 1
.‫ד‬
2
 x  1
 2 x  10 
3
73
.‫ג‬
2 x  5x2
.‫ז‬
1 2x
.‫ח‬
1  2x 
.‫) א‬9
9
.‫ו‬
x4

.‫ז‬
2
2
.‫ ב‬1 .‫) א‬10
x 1
2 x
1
1
.‫ב‬
.‫) א‬11
2 x 1
2x
2 x
2a
448
2
5
4
.‫ו‬
x
6x 
.‫ יב‬3 x  1  1  52 .‫יא‬
.‫ טז‬
 x  4a 
.‫ב‬
2
x2  2 x  3
.‫ח‬
2
9x  1
.‫ ד‬3x
.‫ג‬
2 x
2 x3  1
3x
3
2 x3
2x x
 5 x  12 
2 x  x 2  3 x 2  7 
.‫ י‬ x .‫ט‬
2
5 x 2  24 x  5
2
x 1
2 x  x  1
.‫ג‬
2
.‫טו‬
2x x
x
x3  17 x
 x 2  5
1.5
2ax 1
.‫ ב‬4ax3  b

3
b
.‫ ב‬f '  x  
.‫יד‬
.‫) א‬12
2 x2  8
4
, f ''  x   3 .‫) א‬13
2
4x
x
. f ' x 

x 2 x 2  12
. f ' x  
x
2
4

6  x  1
2
,
f ''  x  

8 x  x 2  12
x
2
4

3

.‫ ד‬f '  x  
 x  1 x  3
, f ''  x   12
.‫ו‬
4
5
 x  1
 x  1
2
f ' x 
4x
, f ''  x  
 x  1
3
x 2  x  3
 x  1
3
4 1  2 x 
, f ''  x  
 x  1
4
6x
 x  1
4
.‫ג‬
.‫ה‬
1
2
1
2
. 1,3 )22 y  12 x  9 )21 y  2 x  3 )20 y  6x  24, y  6x  12 )19
. y   x  3 )18 y  24 x  22 )17 m  2 )16 m  4 )15 m  17 )14
1
1
1
1
y   x  2 )24 y   x  1 )23
2
2
2
2
1
3
11
15
. y  x  )29 y  2 x  8 )28 y   x  )27  1 , 0  .‫ ב‬y  3x  1 .‫) א‬26
16
8
16
4
3 
1
1
. y  2x  1 , y  2 x  1 )32 1,1 , k  1.5 )31 y   x  1 , y   x  1 )30
3
3
. A  1 )36 a  4 )35 a  2 )34 a  2 , y  8x  18 )33
. a  2 , y  4x  2 )38  1,5 , y  4 x  9 )37
. y  22 x  56 )25
1
8
. b  2 , a  6 , y  6 x  12 )41 b  4 ,  4,12 )40 a   , c  4 )39
.k 
158
27
 1 13 
:  ,  :‫ או‬k  6 :1,1 )42
3 3 
1
.‫ ג‬y  1.5x  3.5 .‫ ב‬1, 2  .‫) א‬43
12
.  0.5, 0.25 .‫ ג‬y  0.5x  0.5 .‫ ב‬ 0, 0  , 1,1 .‫) א‬44
.S  4
. t  0 , t  2 .‫ ב‬y  2tx  t 2  1 .‫) א‬45
74
‫חקירת פונקצית פולינום‪:‬‬
‫נקודות קיצון (נקודות מינימום‪/‬מקסימום)‪:‬‬
‫מינימום או מקסימום מקומי (פנימי) ‪B, C, D -‬‬
‫מינימוםאו מקסימום קצה – ‪.A‬‬
‫מינימום או מקסימום מוחלט – ‪.D‬‬
‫נקודות קיצון מקומיות‪:‬‬
‫שיפוע המשיק לפונקציה בנקודות קיצון מקומיות הוא אפס‪.‬‬
‫בנקודה שבה שיפוע המשיק לפונקציה הוא אפס תיתכן נקודת קיצון מקומית –‬
‫נקודה כזו נקראת נקודה חשודה כקיצון‪ .‬ניתן לבדוק אם היא אכן נקודת קיצון‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון מקומיות‪:‬‬
‫א‪ .‬נגזור את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נשווה את הנגזרת לאפס ונחלץ את ערכי ה‪-‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫של הנקודות החשודות כקיצון‪.‬‬
‫נציב את ערכי ה‪ x -‬מסעיף ב' בפונקציה המקורית לקבלת ערכי ה‪. y -‬‬
‫ד‪ .‬נקבע אם הנקודה היא נקודת קיצון ונסווג את סוג הקיצון על ידי טבלה או‬
‫נגזרת שנייה‪.‬‬
‫‪ )1‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה ‪. f  x   10 x  x 2‬‬
‫‪ )2‬נתונה הפונקציה ‪. f  x   x3  12 x‬‬
‫א‪ .‬מהן נקודות הקיצון של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?‬
‫‪ )3‬נתונה הפונקציה‪. f  x   x4  10 x2  9 :‬‬
‫ב‪ .‬מהם תח ומי העלייה והירידה של הפונקציה?‬
‫‪75‬‬
‫‪ )4‬נתונה הפונקציה‪. f  x   x4  4 x3  32 :‬‬
‫‪ )5‬לפונקציה‪ f  x   ax  x3  5 :‬יש נקודת קיצון בנקודה שבה ‪. x  1‬‬
‫מצא את ערכו של הפרמטר ‪. a‬‬
‫‪ )6‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   ax3  x 2 :‬ידוע שהנקודה ‪ x  1‬נקודת קיצון‪.‬‬
‫מצא את הקבוע ‪. a‬‬
‫‪ )7‬לפונקציה‪ f  x   Ax3  Bx2  1 :‬יש נקודת קיצון ששיעוריה‪.  2,3 :‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪. A , B‬‬
‫‪ )8‬לפונקציה‪ f  x   Ax3  Bx2  4 x :‬יש נקודת קיצון ב‪ x  1 -‬ו‪. x  4 -‬‬
‫מצא את הפרמטרים ואת שיעור ה‪ y -‬של שתי נקודות הקיצון‪.‬‬
‫‪ )9‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   ax3  bx2 :‬ידוע שהנקודה ‪ 1, 2 ‬נקודת קיצון‪.‬‬
‫מצא את הפרמטרים ‪. a, b‬‬
‫‪ )10‬לפונקציה‪ f  x   ax4  bx2  35 :‬יש נקודת קיצון ששיעוריה ‪.  2,3‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪. b -‬‬
‫‪ )11‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   10 x  x 2 :‬ענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ה‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )12‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   x3  12 x :‬חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מציאת נ קודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ה‪ .‬סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪76‬‬
‫‪ )13‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   x4  10 x2  9 :‬חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫ד‪ .‬מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪ )14‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   x4  4 x3  32 :‬חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫ד‪ .‬מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫‪ )15‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   x3 :‬חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ )16‬נתונה הפונקציה‪. f  x   2 x3  3ax2  54 x  50 :‬‬
‫א‪ .‬לאלו ערכים של הפרמטר ‪ a‬עולה הפונקציה בכל תחום הגדרתה?‬
‫ב‪ .‬הצב בפונקציה ‪ a  6‬וחקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪ :‬תחום‬
‫הגדרה‪ ,‬נקודות קיצון‪ ,‬תחומי עלייה וירידה‪ ,‬נקודת חיתוך עם ציר ה ‪ , y -‬סרטוט‪.‬‬
‫‪ )17‬נתונה הפונקציה‪ d ) , y  3x3  6 x2  4 x  d :‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע כי הפונקציה חותכת של ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה‪. x  2 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. d‬‬
‫ב‪ .‬האם יש לפונקציה נקודות קיצון?‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה וירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫‪77‬‬
‫‪ )18‬לפניך גרף הפונקציה‪f ( x)  x3  3x :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫ח‪.‬‬
‫מהו מספר הפתרונות של המשוואה ‪. f ( x)  5‬‬
‫מהו מספר הפתרונות של המשוואה ‪. f ( x)  2‬‬
‫מהו מספר הפתרונות של המשוואה ‪. f ( x)  0.5‬‬
‫עבור איזה ערך של ‪ k‬למשוואה ‪ f ( x)  k‬יש בדיוק פתרון אחד‪.‬‬
‫עבור איזה ערך של ‪ k‬למשוואה ‪ f ( x)  k‬יש בדיוק שני פתרונות‪.‬‬
‫עבור איזה ערך של ‪ k‬למשוואה ‪ f ( x)  k‬יש בדיוק שלושה פתרונות‪.‬‬
‫האם קיים ערך של ‪ k‬עבורו למשוואה ‪ f ( x)  k‬אין פתרון‪.‬‬
‫מצא את התחומים בהם הפונקציה היא חח"ע‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫) ‪(- ,‬‬
‫‪x‬‬
‫) ‪( ,-‬‬
‫‪78‬‬
‫‪max  5,25 )1‬‬
‫‪ )2‬א‪ 2, 16 min,  2,16 max .‬‬
‫ב‪ .‬עלייה‪ x  2 , x  2 :‬ירידה‪2  x  2 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )3‬א‪5, 16 min ,  5, 16 min .‬‬
‫‪‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ 0,9 max‬‬
‫ב‪ .‬עלייה‪ x  5 ,  5  x  0 :‬ירידה‪. x   5 , 0  x  5 :‬‬
‫‪ )4‬א‪ min  3,5 .‬ב‪ .‬עלייה‪ x  3 :‬ירידה‪. x  3 :‬‬
‫‪. A  -1 , B  3 )7 a   23 )6 a  3 )5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪, B  - ,  1, 2  ,  4, 18  )8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪6 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪16‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪6,‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4 )9‬‬
‫‪.‬‬
‫‪)10‬‬
‫‪.A ‬‬
‫‪ )11‬א‪ .‬כל ‪ x‬ב‪  5,25 max .‬ג‪ .‬עלייה‪ x  5 :‬ירידה‪ x  5 :‬ד‪. 0,0 , 10,0  .‬‬
‫‪ )12‬א‪ .‬כל ‪ x‬ב‪ (2, 16)min ,  2,16  max .‬ג‪ .‬עלייה‪x  2 , x  2 :‬‬
‫ירידה‪ 2  x  2 :‬ד‪.  0,0 ,  12,0  ,   12,0  .‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )13‬א‪ .‬כל ‪ x‬ב‪5, 16 min ,  5, 16 min .‬‬
‫‪‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ 0,9 max‬‬
‫ג‪ .‬עלייה‪ . x  5 ,  5  x  0 :‬ירידה‪ 0  x  5 :‬או ‪x   5‬‬
‫ד‪.  0,9 ,  1,0 ,  3,0  .‬‬
‫‪ )14‬א‪ .‬כל ‪ x‬ב‪ min  3,5 .‬ג‪ .‬תחומי עלייה‪ x  3 :‬תחומי ירידה‪ x  3 :‬ד‪.  0,32  .‬‬
‫‪ )15‬א‪ .‬כל ‪ x‬ב‪ .‬אין‪ .‬ג‪ .‬עולה לכל ‪ x‬ד‪.  0,0  .‬‬
‫‪ )16‬א‪ 6  a  6 .‬ב‪ .‬תחום הגדרה‪ :‬כל ‪ . x‬נקודות קיצון‪:‬אין‪ .‬תחומי עלייה‪ :‬כל ‪. x‬‬
‫תחומי ירידה‪ :‬אין‪ .‬נקודת חיתוך עם הצירים‪.  0 , 50  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )17‬א‪ d  8 .‬ב‪ .‬לא ג‪ .‬יורדת בתחום‬
‫‪3‬‬
‫‪ x ‬ד‪.  0,8 .‬‬
‫‪ )18‬א‪ .1 .‬ב‪ .2 .‬ג‪ .3 .‬ד‪ k  2 , k  2 .‬ה‪k  2 .‬‬
‫ז‪ .‬לא‪ .‬ח‪. x  1 , 1  x  1 , x  1 .‬‬
‫‪79‬‬
‫ו‪ 2  k  2 .‬‬
‫סקיצות לשאלות החקירה‪:‬‬
‫‪) 12‬‬
‫‪)11‬‬
‫‪) 14‬‬
‫‪)16‬‬
‫‪) 13‬‬
‫‪)15‬‬
‫‪)17‬‬
‫‪80‬‬
‫חקירת פונקציות מנה ופונקציות שורש‪:‬‬
‫סעיפי חקירה מלאה של פונקציה‪:‬‬
‫‪ .1‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫‪ .3‬תחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫‪ .4‬נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .5‬אסימפטוטות מקבילות לצירים‪.‬‬
‫‪ .6‬נקודות פיתול‪.‬‬
‫‪ .7‬תחומי קעירות כלפי מעלה וקעירות כלפי מטה‪.‬‬
‫‪ .8‬סרטוט‪.‬‬
‫תחום הגדרה של פונקציה‪:‬‬
‫‪ .1‬כל פולינום מוגדר לכל ‪. x‬‬
‫‪ .2‬בפונקציה עם מכנה‪ ,‬אסור שיתקבל אפס במכנה‪.‬‬
‫‪ .3‬בפונקציה עם שורש‪ ,‬אסור שיתקבל מספר שלילי בתוך השורש‪.‬‬
‫אסימפטוטות‪:‬‬
‫‪ .1‬אסימפטוטה אנכית ‪ -‬הגדרה‪:‬‬
‫‪f  x‬‬
‫הישר‪ x  k :‬הוא אסימפטוטה אנכית של פונקציה מהצורה‪:‬‬
‫‪g  x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪f  x‬‬
‫אם הוא מקיים‪ g  k   0 :‬וגם‪ . f  k   0 :‬בצורה מתמטית‪ :‬אם‪  :‬‬
‫‪g  x‬‬
‫‪f  x‬‬
‫או‪  :‬‬
‫‪g  x‬‬
‫‪ lim‬או שניהם אז הישר‪ x  k :‬הוא אסימפטוטה אנכית‬
‫‪f  x‬‬
‫לפונקציה‬
‫‪g  x‬‬
‫‪.y ‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x k‬‬
‫‪x k‬‬
‫הסבר כללי‪:‬‬
‫בעבור ערכי ‪ x‬שמאפסים את המכנה‪ ,‬אבל לא את המונה יש אסימפטוטה אנכית‪.‬‬
‫כאשר ערך ‪ x‬מאפס את המכנה וגם את המונה יש לפרק את המונה והמכנה (על ידי‬
‫נוסחאות כפל מקוצר או טרינום למשל) ולצמצם‪ .‬אם אחרי הצמצום אותו ערך של ‪x‬‬
‫עדיין מאפס את המכנה תתקבל אסימפטוטה אנכית‪ ,‬אך אם ערך ‪ x‬זה לא מאפס את‬
‫המכנה אחרי שצומצם אין אסימפטוטה אנכית אלא נקודת אי הגדרה‪.‬‬
‫‪81‬‬
‫‪ .2‬אסימפטוטה אופקית ‪ -‬הגדרה‪:‬‬
‫‪f  x‬‬
‫ישר מהצורה‪ y  n :‬הוא אסימפטוטה אופקית לפונקציה מהצורה‪:‬‬
‫‪g  x‬‬
‫‪f  x‬‬
‫‪f  x‬‬
‫‪ lim‬או‪ n :‬‬
‫אם מתקיים‪ n :‬‬
‫‪x  g  x ‬‬
‫‪g  x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ lim‬או שניהם‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫אופן החישוב הכללי‪:‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪( f  x   ax n  ...‬יש בפונקציה קו שבר אחד!)‬
‫‪m‬‬
‫‪bx  ...‬‬
‫‪ ‬אם ‪ , m  n‬לפונקציה אין אסימפטוטה אופקית‪.‬‬
‫‪ ‬אם ‪ , m  n‬לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה ‪. y  a‬‬
‫‪‬‬
‫‪b‬‬
‫אם ‪ , m  n‬לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה ‪. y  0‬‬
‫‪ .3‬חוקי גבולות לאינסוף‪:‬‬
‫במקרים רבים נרצה לדעת האם פונקציה מסוימת מתכנסת לערך כלשהו‬
‫כאשר ‪ x‬שואף לערכים ההולכים וגדלים (לאינסוף‪ ,‬או למינוס אינסוף)‪.‬‬
‫עבור ערכי ‪ x‬שהולכים וגדלים (או קטנים) נרשום‪ x   :‬או ‪ x  ‬בהתאמה‪.‬‬
‫ישנם ‪ 4‬מצבים בהם ערך הפונקציה בשאיפת ‪ x‬לאחד הקצוות ניתן לחישוב ישיר‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ ‬הגבול‪ " "  0 :‬‬
‫‪. lim‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬הגבול‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ lim‬ניתן לפיצול לשני מקרים‪:‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪ .‬אם‪( x  0 :‬מתקרב ל ‪ 0-‬מהכיוון החיובי) אז‪"   :‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 0 x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬אם‪( x  0 :‬מתקרב ל‪ 0-‬מהכיוון השלילי) אז‪ "  "   :‬‬
‫‪. xlim‬‬
‫‪0 x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ‬הגבול מהצורה ‪( ‬מכפלת שני ביטויים של ‪ x‬אשר כל אחד מהם שואף‬
‫לאינסוף בפני עצמו) מקיים‪.    :‬‬
‫‪ ‬הגבול מהצורה ‪(   ‬סכום שני ביטויים של ‪ x‬אשר כל אחד מהם שואף‬
‫לאינסוף בפני עצמו) מקיים‪.      :‬‬
‫" ‪. lim ‬‬
‫‪‬‬
‫ישנם ‪ 3‬מקרים בהם לא ניתן לדעת מהו ערך הפונקציה בלקיחת הגבול בצורה‬
‫ישירה והם‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬הגבול מהצורה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ‬הגבול מהצורה‪( :‬מנת שני ביטויים שהולכים וקטנים עם שאיפת ‪.) x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ‬הגבול מהצורה‪(    :‬הפרש של שני ביטויים שהולכים וגדלים עם שאיפת ‪.) x‬‬
‫(מנת שני ביטויים שהולכים וגדלים עם שאיפת ‪.) x‬‬
‫במקרים אלו נעזר בפישוטים שהוצגו לעיל על מנת למצוא את ערך הגבול עצמו‪.‬‬
‫‪82‬‬
‫תחומי קמירות וקעירות ונקודות פיתול‪:‬‬
‫‪ .1‬תחומי קעירות – הגדרה‪:‬‬
‫פונקציה ‪ f  x ‬קעורה כלפי מטה (קמורה) בתחום ‪  x0 : x1 ‬אם לכל ‪ x‬בתחום‬
‫הנ"ל המשיק לפונקציה נמצא מעל לגרף הפונקציה‪.‬‬
‫כדי למצוא תחומי קעירות כלפי מטה יש למצוא תחום שבו‪. f ''  x   0 :‬‬
‫פונקציה ‪ f  x ‬קעורה כלפי מעלה (קעורה) בתחום ‪  x0 : x1 ‬אם לכל ‪ x‬בתחום‬
‫הנ"ל המשיק לפונקציה נמצא מתחת לגרף הפונקציה‪.‬‬
‫כדי למצוא תחומי קעירות כלפי מעלה יש למצוא תחום שבו‪. f ''  x   0 :‬‬
‫‪ .2‬נקודת פיתול – הגדרות‪:‬‬
‫‪ ‬נקודת פיתול היא נקודה שבה הפונקציה עוברת מתחום קעירות כלפי‬
‫מטה לקעירות כלפי מעלה ולהיפך‪.‬‬
‫‪ ‬נקודת פיתול מקיימת‪ f ''  x   0 :‬כאשר ערך הנגזרת השנייה משנה‬
‫את סימנו בתחום שלפני ואחרי הנקודה המאפסת אותו‪.‬‬
‫‪ ‬בנקודת פיתול המשיק לגרף הפונקציה חותך אותה ולא רק משיק לה‬
‫מכיוון אחד‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪:‬‬
‫‪ )1‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪x .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪x 3‬‬
‫‪f  x   x2 ‬‬
‫ז‪.‬‬
‫י‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x2  x  2‬‬
‫‪4x  1‬‬
‫‪f  x  2‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ 1 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f  x  2‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪x 4‬‬
‫‪f  x   4 x3  x 2 ‬‬
‫‪x2  1‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪x2  2 x  8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f  x  3‬‬
‫יא‪.‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪83‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪f  x   x3  x 2  4 x  1‬‬
‫‪5 x3  4 x‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪x2 1‬‬
‫‪6‬‬
‫ט‪.‬‬
‫‪f  x  2‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪f  x  3‬‬
‫יב‪.‬‬
‫‪x  4x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫ב‪f  x   2 x  3 .‬‬
‫א‪f  x   x .‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪f  x   3x 1  2 x‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪x4‬‬
‫י‪.‬‬
‫יג‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x3  9 x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ח‪.‬‬
‫יא‪.‬‬
‫יד‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪f  x  x  4‬‬
‫‪f  x   x 2  3x  10‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪f  x   x2  x  2‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫ט‪.‬‬
‫‪x2  5x  6‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪x x6‬‬
‫‪x  2 3‬‬
‫יב‪.‬‬
‫‪2x2  x  3‬‬
‫‪x2  5x  9‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪x 2 x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫מציאת נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה‪:‬‬
‫‪6x‬‬
‫‪x  10 x  9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )4‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪ 3 :‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪5x2  1‬‬
‫‪ )5‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2  9‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪2 x2  5x  2‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪1  3x 2‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪ )7‬מצא את הא סימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪x  2 x  15‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪6 x3  5 x  1‬‬
‫‪1  2x2‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ax  b‬‬
‫‪x b‬‬
‫‪84‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫‪x 2  3x  2‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪. f  x  2‬‬
‫‪2x  4x‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 4‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4 x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪4 x2  1‬‬
‫‪ax 2  x  b‬‬
‫‪x2  5‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪x 2  16‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫האסימפטוטה האופקית של הפונקציה ואחת האסימפטוטות האנכיות של‬
‫הפונקציה נפגשות בנקודה ‪ .  1, 2 ‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו‪. b -‬‬
‫‪ax  8‬‬
‫‪xb x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫הפונקציה חותכת את האסימפטוטה האופקית שלה בנקודה ‪. 16, 2 ‬‬
‫‪85‬‬
‫חקירת פונקצית מנה‪:‬‬
‫‪ )20‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   x  1 :‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )21‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   2 x  1 :‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪x 3‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪6x‬‬
‫‪x  5x  4‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪ . f  x  ‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪x 2  3x‬‬
‫‪x2  3‬‬
‫‪86‬‬
‫‪6 x 2  10 x  6‬‬
‫‪3x 2  10 x  3‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מציאת אסימפטוטות המקבילות‪.‬‬
‫‪2 x2  5x  2‬‬
‫‪ )25‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪4x‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫תחום הגדרה‪.‬‬
‫נקודות קיצון‪.‬‬
‫קביעת סוג הקיצון ותחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫מציאת אסימפטוטה אנכית‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה‪.‬‬
‫‪x2  5x  6‬‬
‫‪x 3‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪ . y ‬חקור לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪x 2  3x  2‬‬
‫‪x2 1‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪87‬‬
‫‪ax  4‬‬
‫‪ )28‬לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪ f ( x) ‬יש נקודת קיצון שבה ‪. x  8‬‬
‫מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪3x 2‬‬
‫‪2 x2  8‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫מהו תחום הגדרה של הפונקציה?‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫קבע את סוג הקיצון ותחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך עם הצירים של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪.‬‬
‫‪a2 x  4‬‬
‫‪2 x2 1‬‬
‫‪ a) , y ‬קבוע)‪ .‬ידוע כי שיפוע המשיק לגרף‬
‫הפונקציה בנקודה שבה‪ x  1 :‬הוא‪. m  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את כל הערכים האפשריים עבור ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך בין המשיק הנתון ומשיק העובר דרך נקודת‬
‫החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫‪5x  1‬‬
‫‪x5‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪ . f  x   1.5x ‬חקור לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫תחום הגדרה‪.‬‬
‫נקודות קיצון וסוגן‪.‬‬
‫תחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה‪.‬‬
‫‪88‬‬
‫‪xa‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪.  a  1 , f  x  ‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את השיעורים של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה‬
‫עם ציר ה‪ x -‬ועם ציר ה ‪. y -‬‬
‫ד‪ .1 .‬מצא עבור אילו ערכים של ‪ a‬הפונקציה )‪ f ( x‬עולה לכל ‪ x‬בתחום ההגדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬ישר המשיק לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬בנקודה שבה ‪ x  a‬מקביל לישר המשיק‬
‫לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪. x  2 :‬‬
‫מצא את הערך של ‪ a‬אם נתון כי הפונקציה עולה לכל ‪. x‬‬
‫‪x 2  ax  6‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ a) , f  x  ‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע שאחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך של ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬הצב את הערך של ‪ a‬שמצאת בסעיף א' ומצא‪:‬‬
‫‪ .1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫‪ .3‬את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫‪ .4‬את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫ג‪ .‬עבור אלו ערכי ‪ x‬הפונקציה שלילית?‬
‫ד‪ .‬נתון הישר‪ . y  k :‬עבור אלו ערכי ‪ k‬אין נקודות משותפות לישר‬
‫ולגרף הפונקציה? נמק‪.‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪ )34‬נתונה הפונקציה‪ A :‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ A ( , y ‬פרמטר)‪.‬‬
‫גרף הפונקציה עובר בנקודה ‪.  3 A, A‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. A‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי גרף הפונקציה יורד לכל ‪. x‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ו‪ .‬נתון הישר‪ . y  k :‬האם קיים ערך של ‪ k‬עבורו הישר חותך את גרף‬
‫הפונקציה בשתי נקודות שונות? נמק‪.‬‬
‫‪89‬‬
‫‪ax 2  20 x  28‬‬
‫‪x 2  2a‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫ידוע כי גרף הפונקציה חותך את האסימפטוטה האופקית שלו בנקודה ‪.  0.5,3‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪ a‬וכתוב את הפונקציה ואת תחום הגדרתה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ו‪ .‬העזר בגרף הפונקציה וקבע עבור אלו ערכים של ‪ k‬הישר‪ y  k :‬יחתוך את גרף‬
‫הפונקציה בנקודה אחת בלבד‪.‬‬
‫‪9  x2‬‬
‫‪ )36‬א‪ .‬הוכח כי לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2  k‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי הפונקציה ‪ f  x ‬מוגדרת לכל ‪ x‬אם ידוע כי שיעור ה ‪ y -‬של‬
‫‪ f  x  ‬יש נקודת קיצון שנמצאת על ציר ה ‪. y -‬‬
‫נקודת הקיצון הוא ‪.3‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ד‪ .‬מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה‪.‬‬
‫ה‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה וקבע בכמה נקודות יחתוך אותו הישר ‪. y  1‬‬
‫נמק את תשובתך‪.‬‬
‫חקירת פונקצית שורש‪:‬‬
‫‪ )37‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   x  3 :‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫ה‪ .‬מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ו‪ .‬סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )38‬נתונה הפונקציה‪ . f  x    x  4 x  1 :‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫ה‪ .‬מציאת א סימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫‪90‬‬
‫‪ )39‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   x 6  x :‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪4 x‬‬
‫‪x2  3‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪9  x2‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪x2  2 x‬‬
‫‪x2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫מצא את נקודות קיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪91‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫האם ניתן להעביר משיק לגרף הפונקציה המקביל לציר ה‪? x -‬‬
‫נמק והראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך נקודת החיתוך‬
‫שלה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫חשב את שטח המשולש הכלוא בין המשיק והצירים‪.‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום הגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬כמה נקודות יש לגרף הפונקציה שהמשיק העובר דרכן מקביל לציר ה‪? x -‬‬
‫מצא אותן‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואות המשיקים בנקודות שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )45‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   9  x :‬חקור לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪ax  6‬‬
‫‪9  x2‬‬
‫‪ a , f  x  ‬פרמטר‪.‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫ידוע כי הוא מקביל לישר‪. 3 y  x  0 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬כתוב את התחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪92‬‬
‫‪x‬‬
‫‪xk‬‬
‫‪, g  x ‬‬
‫‪ )47‬נתונות שתי הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪xk‬‬
‫ידוע כי הפונקציות חותכות זו את זו בנקודה שבה‪. x  0.8 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. k‬‬
‫‪ k ) , f  x  ‬פרמטר חיובי)‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫האם הפונקציות נחתכות בנקוד ה נוספת מלבד לנקודה הנתונה? אם כן מצא אותה‪.‬‬
‫מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬בנקודה שבה‪. x  0.52 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪kx‬‬
‫‪k  x2‬‬
‫‪ k , f  x  ‬פרמטר חיובי‪.‬‬
‫‪ .1‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? (בטא באמצעות ‪.) k‬‬
‫‪ .2‬מהן האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה?‬
‫הראה כי הפונקציה עולה עבור כל ערך של ‪ k‬בתחום הגדרתה‪.‬‬
‫כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫(בטא באמצעות ‪.) k‬‬
‫המשיק אשר מצאת בסעיף הקודם חותך את אחת האסימפטוטות של‬
‫הפונקציה בנקודה ‪ .A‬ידוע כי שטח המשולש הכלוא בין המשיק‪ ,‬ציר ה ‪x -‬‬
‫והאסימפטוטה הנ"ל הוא ‪ 4‬סמ"ר ‪ . S‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪ . f ( x) ‬מגדירים פונקציה נוספת‪. g ( x)  f ( x) :‬‬
‫א‪ .‬כתוב בצורה מפורשת את הפונקציה )‪. g ( x‬‬
‫ב‪ .‬לפניך מספר טענות המתייחסות לפונקציות )‪ f ( x‬ו‪ . g ( x) -‬קבע אילו‬
‫מהטענות הבאות נכונות ואלו אינן נכונות‪ .‬הצדק את קביעותיך‬
‫באמצעות חישוב מתאים‪:‬‬
‫‪ .1‬לפונקציות תחום הגדרה זהה‪.‬‬
‫‪ .2‬שתי הפונקציות עולות בכל תחום הגדרתן‪.‬‬
‫‪ .3‬שתי הפונקציות חותכות את ציר ה‪ x -‬באותה נקודה‪.‬‬
‫‪ .4‬לשתי הפונקציות יש אסימפטוטה משותפת‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של כל פונקציה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫אסף פתר את סעיפים א' ו‪-‬ב' והחליט לטעון את הטענה הבאה‪:‬‬
‫היות והפונקציה )‪ g ( x‬מוגדרת להיות‪ g ( x)  f ( x) :‬אזי ניתן למצוא את שיעור‬
‫ה ‪ y -‬של כל נקודה שעל גרף הפונקציה )‪ f ( x‬ע"י כך שנמצא תחילה את שיעור ה‪y -‬‬
‫של הנקודה בעלת אותו שיעור ‪ x‬על הגרף של )‪ g ( x‬ונעלה אותה בריבוע‪.‬‬
‫ד‪ .‬האם אסף צודק? נמק בצורה איכותית (חישובים אינם נדרשים) את שיקולך‪.‬‬
‫‪93‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )50‬לפניך הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪; g  x ‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫א‪ .‬קבע אילו מהטענות הבאות נכונות ואלו אינן נכונות‪.‬‬
‫הצדק את קביעותיך באמצעות חישוב מתאים‪:‬‬
‫‪ .1‬לשתי הפונקציות יש את אותו תחום ההגדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬לשתי הפונקציות יש נקודות קיצון הנמצאות על הישר‪. y  x :‬‬
‫‪ .3‬הפונקציות לא חותכות זו את זו‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫מגדירים פונקציה נוספת והיא‪. h  x    g  x   :‬‬
‫ב‪ .‬כתוב באופן מפורש את הפונקציה החדשה‪. h  x  :‬‬
‫ג‪ .‬האם תחום ההגדרה של הפונקציה ‪h  x ‬‬
‫ד‪.‬‬
‫זהה לשל ‪? g  x ‬‬
‫באיור הסמוך ישנם שני גרפים‪ .‬קבע על סמך‬
‫הסעיפים הקודמים איזו פונקציה כל גרף מתאר מבין‬
‫הפונקציות‪ . f  x  , g  x  , h  x  :‬נמק את בחירותיך‪.‬‬
‫‪k  x2‬‬
‫‪ )51‬לפניך שלוש פונקציות‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪; h  x ‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪k  x2‬‬
‫‪.  k  0 ; f  x   x2 k  x2 ; g  x  ‬‬
‫קבע אילו מהטענות הבאות נכונות ואלו אינן נכונות‪ .‬הצדק את קביעותיך‬
‫באמצעות חישוב מתאים‪:‬‬
‫‪ .1‬לפונקציות ‪ f  x ‬ו‪ g  x  -‬תחום הגדרה זהה‪ ,‬השונה מתחום‬
‫ההגדרה של‪. h  x  :‬‬
‫‪ .2‬קיימת פונקציה אשר אינה חותכת את ציר ה‪ x -‬כלל‪.‬‬
‫‪ .3‬הפונקציות‪ h  x  :‬ו‪ g  x  -‬הפוכות זו מזו בתחומי העלייה והירידה‬
‫שלהן (כאשר אחת עולה השנייה יורדת)‪.‬‬
‫‪ .4‬לפונקציה‪ f  x  :‬יש נקודת קיצון אחת בלבד‪.‬‬
‫מסמנים נקודה ‪ A  0, 12 ‬עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ידוע כי מרחקה מאחת מנקודות החיתוך של גרף‬
‫הפונקציה ‪ f  x ‬עם ציר ה‪ x -‬שאינה בראשית‬
‫הוא‪. d  6 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪. k‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של גרף‬
‫הפונקציה ‪ f  x ‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ד‪ .‬לפניך איור ובו מסורטטות הסקיצות של שלושת הפונקציות‪.‬‬
‫קבע עפ"י הסעיפים הקודמים איזה גרף שייך לכל פונקציה‪.‬‬
‫‪94‬‬
‫שאלות עם תחומי קעירות ונקודות פיתול‪:‬‬
‫‪ )52‬מצא את נקודות הפיתול ואת תחומי הקעירות של הפונקציה‪. f  x   x4  6 x3  12 x 2 :‬‬
‫‪ )53‬מצא את נקודות הפיתול ואת תחומי הקעירות של הפונקציה‪. f  x   3x 2 2 :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪ )54‬מצא את נקודות הקיצון והפיתול של הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ )55‬מצא את נקודות הקיצון והפיתול של הפונקציה‪. f  x   x  x  2 3 :‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x b‬‬
‫הנקודה ‪  1,1‬היא נקודת פיתול של הפונקציה‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו‪. b -‬‬
‫‪ a , b , f  x  ‬פרמטרים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )57‬נתונה הפונקציה‪ 2 :‬‬
‫‪x2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫ח‪.‬‬
‫מציאת נקודות פיתול‪.‬‬
‫מציאת תחומי הקעירות כלפי מעלה ומטה‪.‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪x x‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ . f  x   ‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫מציאת נקודות פיתול‪.‬‬
‫מציאת תחומי הקעירות כלפי מעלה ומטה‪.‬‬
‫‪95‬‬
‫‪ )59‬חקור את הפונקציות הבאות לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬מציאת נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .3‬מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫‪ .4‬מציאת נקודות קיצון וקביעת סוגן‪.‬‬
‫‪ .5‬מציאת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .6‬מציאת נקודות הפיתול של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .7‬מציאת תחומי הקמירות והקעירות של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .8‬סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪ x 1 ‬‬
‫‪f  x  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x 1 ‬‬
‫‪3‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪x2  4 x  3‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫* ללא סעיפים ‪ 6‬ו‪.7-‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪96‬‬
‫‪2 x2‬‬
‫‪ x  1‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪ x  1‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪x2 1‬‬
‫‪ x  2  x  5‬‬
‫*ללא סעיפים ‪ 6‬ו‪.7-‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪x3  x 2‬‬
‫‪x2 1‬‬
‫‪f  x ‬‬
. x ‫ כל‬.‫י‬-‫ ט‬x  4, 2 .‫ ח‬x  1, 2 .‫ ז‬x  1 .‫ ו‬x  2 .‫ ה‬x  3 .‫ ד‬x ‫ כל‬:‫ ג‬- ‫) א‬1
. x  0,2, 2 .‫ יב‬x  0, 1 .‫יא‬
1
.‫ ד‬x  4 .‫ ג‬x  3 .‫ ב‬x  0 .‫א‬
2
. 3  x  0 , x  3 .‫ י‬x  1.5 , x  1 .‫ ט‬x  3 ,  2  x  1 , x  1 .‫ח‬
. x  7 .‫ יד‬1  x  1 .‫ יג‬x  1 , 1  x  2 .‫ יב‬6  x  2 , x  2 .‫יא‬
3
1


. x  3 , 3  x  9 :‫ יורדת‬x  1 , 3  x  3 :‫ עולה‬.‫ ב‬min  3,   , max  3, 1  .‫א‬
8
2


2
.‫) אין‬8 x  3 , x  5 , y  0 )7 y  )6 x  3 , y  5 )5 x  2 , y  3
3
.  2,4  :‫הגדרה‬-‫ נקודת אי‬, x  1 , y  1 )10 x  b , y  a
. x  4 .‫ ז‬2  x  1 .‫ ו‬5  x  2 .‫ ה‬x 
)2
)3
)4
)9
1
)11
2
x  2 , x  2 , y  3 )17 y  3 )16 x  1 , y  2 )15 . x  1 , y  1 )14
min 1, 2  , max  1, 2  .‫ ב‬x  0 .‫) א‬20 . b  1 , a  2 )19 b  3 , a  2 )18
x  4 )13 x  2 , y  0 )12  0,0  :‫הגדרה‬- ‫ נקודת אי‬, x  2 , y 
. x  0 .‫ אין ה‬.‫ד‬
 1
 
x  0,  1  x  1 :‫ יורדת‬, x  1 ‫ או‬1  x :‫ עולה‬.‫ג‬
1
. y  2, x  3 .‫ ה‬  , 0  ,  0,   .‫ ד‬.‫ה‬.‫ הפונקציה יורדת בכל ת‬.‫ אין ג‬.‫ ב‬x  3 .‫) א‬21
3
 2  
2

min  2,   , max  2, 6  .‫ ב‬x  1, x  4 .‫) א‬22
3

. y  0, x  1, x  4 .‫ ה‬ 0, 0  .‫ ד‬x  2 ‫ או‬2  x  4 :‫תחומי ירידה‬
, x  1,  2  x  2 :‫ תחומי עלייה‬.‫ג‬
1
1


3  x  1 :‫ יורדת‬, x  3 ‫ או‬1  x :‫ עולה‬.‫ ג‬min 1,   , max  3,1  .‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬23
2
2


. y  1 .‫ ה‬ 3, 0  ,  0, 0  .‫ד‬
3
1
1


min  1,1  , max 1,   .‫ ב‬x  , x  3 .‫) א‬24
8
2
3


1
1
. x  3 , x  , y  2 .‫ ה‬ 0,2  .‫ ד‬x  1 ‫ או‬1  x  3 :‫ תחומי ירידה‬x  ‫וגם‬
3
3
x  1 , x  1 :‫ עולה‬.‫ ג‬Max  1, 2.25 , Min 1, 0.25 .‫ ב‬x  0 .‫) א‬25
1  x  1 :‫ תחומי עלייה‬.‫ג‬
. x  0 .‫ ה‬ 0.5,0 ,  2,0  .‫ ד‬x  0 , 1  x  1 :‫יורדת‬
 0, 2 ,  2, 0  .‫ הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה ד‬.‫ א ין ג‬.‫ ב‬x  3 .‫) א‬26
.  3,1 ‫ יש נקודת אי הגדרה ששיעוריה‬,‫ אין‬.‫ה‬
 0, 2 ,  2, 0  .‫ הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה ד‬.‫ אין ג‬.‫ ב‬x  1 .‫) א‬27


1
. 1,   ‫ יש נקודת אי הגדרה ששיעוריה‬, y  1, x  1 .‫ה‬
2

x4
, a  1 .‫) א‬28
x2
. x  0 , y  0 .‫ ד‬ 4, 0  .‫ג‬
x  8 , x  0 :‫ יורדת‬8  x  0 :‫ עולה‬.‫ ב‬f  x  
97
 0, 0  .‫ ד‬x  0 , x  2 :‫ עולה‬x  0 , x  2 :‫ יורדת‬.‫ג‬
Max  0, 0  .‫ ב‬x  2 .‫) א‬29
. x  2 , y  1.5 .‫ה‬
. 1, 0  ‫ אשר עובר בנקודה‬y  4 x  4 :‫ המשיק‬.‫ ג‬1, 0  ,  0, 4  .‫ ב‬a  2 .‫) א‬30
x  9 , x  1 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  1, 0.5 , Max  9, 24.5 .‫ ב‬x  5 .‫) א‬31
. x  5 .‫ ה‬ 2,0 ,  13 ,0 ,  0, 0.2 .‫ ד‬x  5 ,  9  x  1 :‫יורדת‬
. a  2 .2 a  1 .1 .‫ ד‬ a, 0  ,  0, a  .‫ ג‬x  1 , y  1 .‫ ב‬x  1 .‫) א‬32
. 3  k  5 .‫ ד‬x  2 .‫ ג‬x  2 .4 Max  3,0 , Min  4,5 .3  0, 3 .2 x  2 .1 .‫ ב‬a  3 .‫) א‬33
. x ‫ כל‬, f ( x) 
3x 2  20 x  28
, a  3 .‫) א‬35 ‫ לא‬.‫ ו‬ 0, 2.5 .‫ ד‬x  2 .‫ ב‬A  1 .‫) א‬34
x2  6
1
2  x  3 :‫ יורדת‬x  2 , x  3 :‫ עולה‬.‫ ג‬Max  2,8 , Min 3,  3 .‫ב‬
 
 ,  4 ,0 .‫ד‬
2
. k  8,  13 ,3 .‫ ו‬ 2,0  ,  0, 4 23
3
.‫ באף נקודה‬.‫ ה‬y  1 .‫ ד‬ 3, 0  ,  3, 0  .‫ ג‬k  3 .‫) ב‬36
.‫ אין‬.‫ ה‬ 3, 0  .‫ ד‬.‫ה‬.‫ הפונקציה עולה בכל ת‬.‫ קצה ג‬min  3,0  .‫ ב‬x  3 .‫) א‬37
.1  x  2 :‫ יורדת‬2  x :‫ עולה‬.‫ קצה ג‬max 1,0 , min  2, 2  .‫ ב‬x  1 .‫) א‬38
.‫ אין‬.‫ ה‬1,0  ,  4,0  .‫ד‬


4  x  6 :‫ ירידה‬, x  4 :‫ עלייה‬.‫ קצה ג‬min  6,0  , max 4, 4 2 .‫ ב‬x  6 .‫) א‬39
‫ קצה‬min  0,0  , max 1,1 .‫ ב‬x  0 .‫) א‬40  0,0  ,  6,0  .‫ד‬
. y  0 .‫ ה‬ 0, 0  .‫ ד‬1  x :‫ יורדת‬0  x  1 :‫ עולה‬.‫ג‬
. x ‫ אף‬:‫ עולה‬.‫ קצה ג‬min  3,0  ,‫ קצה‬max  3,0  .‫ ב‬x  0 ‫ וגם‬3  x  3 .‫) א‬41
. x  0 .‫ ה‬ 3,0 ,  3,0  .‫ ד‬x  0 ,  3  x  3 :‫יורדת‬
1 

min  2, 0  , max  3,
 .‫ ב‬x  0 , x  2 .‫) א‬42
27 

S  4 2 .‫ ד‬y  2 2 x  4 2 .‫ לא ג‬.‫ ב‬ 2, 0  .‫) א‬43
 2, 0  .‫ג‬
.x  0
1.5  x  3
. y  6 .‫ ג‬ 9, 6  .‫ ב‬x  0 , x  1 .‫) א‬44
‫ קצה‬min  3,0  ,‫ קצה‬max  3,0  .‫ ב‬x  0 ‫ וגם‬3  x  3 .‫) א‬45
.‫ ה‬ 3,0 ,  3,0  .‫ ד‬x  0 ,  3  x  3 :‫ יורדת‬, x ‫ אף‬:‫ עולה‬.‫ג‬
:‫ עולה‬ 3  x  1.5 :‫ יורדת‬.‫ ד‬ 1.5, 3  .‫ ג‬ 3  x  3 .‫ ב‬a  1 .‫) א‬46
. y  0.74 x  0.1352 .‫ ג‬ 0.6, 0.57  ,‫ כן‬.‫ ב‬k  0.48 .‫) א‬47
. k  4 .‫ ד‬y  k x .‫ג‬
 
f ( x) : 0, 12

; g ( x) : 0,
f '( x) 
1
2
 .‫ג‬
h( x) : x  1 ,‫ לא‬.‫ ג‬h( x) 
k2
k  x 
2 1.5
 0 .‫ ב‬x   k .2  k  x  k .1 .‫) א‬48
‫ נכון‬.4 ‫ נכון‬.3 ‫ נכון‬.2 ‫ לא נכון‬.1 .‫ ב‬g ( x) 
x2
.‫) א‬49
x4
x2
.‫ נכון ב‬.3 ‫ נכון‬.2 ‫ לא נכון‬.1 .‫) א‬50 .‫ אסף צודק‬.‫ד‬
x 1
98
‫ד‪ )51 I  h( x) , II  f ( x) .‬א‪ .1 .‬לא נכון ‪ .2‬לא נכון ‪ .3‬נכון ‪ .4‬נכון ב‪.‬‬
‫ג‪  0, 0  Min ,  4,32 2  Max .‬ד‪. I  g ( x) , II  f ( x) , III  h( x) .‬‬
‫‪k  24‬‬
‫‪ , 1,7  ,  2,16  )52‬קעירות כלפי מעלה‪ x  2 :‬או ‪ , x  1‬קעירות כלפי מטה‪.1  x  2 :‬‬
‫‪ ,  2,1 )53‬קעירות כלפי מעלה‪ , x  2 :‬קעירות כלפי מטה‪. 0  x  2 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪8 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )54‬קיצון‪ . min  2,4  :‬פיתול‪ )55  4,  :‬קיצון‪ min  ,   :‬פיתול‪. 1, 1 ,  2,0 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 2 16 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪)56‬‬
‫‪ )57 b  3 , a  4‬א‪x  0 .‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪27‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ max  2, 2  .‬ג‪ .‬עולה‪ 0  x  2 :‬יורדת‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x0, x2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ד‪  , 0  ,  1, 0  .‬ה‪, y  2 .‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫ז‪ .‬קעירות כלפי מעלה‪ , x  3 :‬קעירות כלפי מטה‪. 0  x  3 :‬‬
‫‪ )58‬א‪ 0  x  1 .‬ב‪ .‬אין‪ .‬ג‪ .‬יורדת בכל תחום הגדרתה‪ .‬ד‪ .‬אין‪.‬‬
‫‪x0‬‬
‫ו‪.  3, 2  .‬‬
‫‪9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫ה‪ x  1 , y  2 .‬נקודת אי הגדרה‪ .  0,0  :‬ו‪ , 1 .‬‬
‫‪9‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ז‪ .‬קעירות כלפי מעלה‪ x  1 :‬או ‪ , 0  x ‬קעירות כלפי מטה‪.  x  1 :‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪)21‬‬
‫‪) 20‬‬
‫‪) 22‬‬
‫‪)23‬‬
‫‪) 25‬‬
‫‪) 26‬‬
‫‪)27‬‬
‫‪) 24‬‬
‫‪99‬‬
‫‪.‬‬
)34
)31
)37
)41
)58
) 40
) 29
) 28
) 36
)35
) 39
)57
)45
100
) 38
) 42
:59 ‫שאלה‬
. 0  x  2 :‫ עולה‬.5 max  2,0.25 .4 x  0 , y  0 .3 1, 0  .2 x  0 .1 .‫א‬


. x  3 :‫ קעורה כלפי מעלה‬.7  3,  .6 x  0 , x  2 :‫יורדת‬
 9
2
. x  0 , 0  x  3 :‫קעורה כלפי מטה‬
. x  1 , x  0 :‫ עולה‬.5 min  0,0  .4 x  1 , y  2 .3  0, 0  .2 x  1 .1 .‫ב‬
. x  1 ,  1  x 
1
1 2
:‫ קעורה כלפי מעלה‬.7  ,  .6 1  x  0 :‫יורדת‬
2
2 9
.x 
. min  12,5.2  , max   12, 5.2  .4
x  2 .3
1
:‫קעורה כלפי מטה‬
2
 0, 0  .2
x  2 .1 .‫ג‬
.  12  x  2 ,  2  x  2 , 2  x  12 :‫ יורדת‬x   12 , x  12 :‫ עולה‬.5
. 2  x  0 , x  2 :‫ קעורה כלפי מעלה‬.7 .  0, 0  .6
. x  2 , 0  x  2 :‫קעורה כלפי מטה‬
. x  3 , x  1 :‫ עולה‬.5 max  3, 6.75 .4 x  1 .3  0, 0  .2 x  1 .1 .‫ד‬
. x  0 :‫ קעורה כלפי מעלה‬.7  0, 0  .6 3  x  1 :‫יורדת‬
. x  1 , 1  x  0 :‫קעורה כלפי מטה‬
.‫ה‬.‫ יורדת בכל ת‬.5 .‫ אין‬.4 x  1 , y  1 .3  1,0 ,  0, 1 .2 x  1 .1 .‫ה‬
1

. x  1 ,  3  x  1 :‫ קעורה כלפי מעלה‬.7  3,  ,  1, 0  .6

8
. x  3 , 1  x  1 :‫קעורה כלפי מטה‬
x  2 , x  5 , y  1 .3
 0, 0.1 ,  1,0 , 1,0 .2
x  2,5 .1 .‫ו‬
. 0.359  x  2 , 2  x  2.78 :‫ עולה‬.5 min  0.359, 0.11 , max  2.78, 3.89 .4
. x  0.359 , 2.78  x  5 , x  5 :‫יורדת‬
.‫ אין‬.4 x  2 , y  1 .3  3,0 , 1,0  ,  0, 0.75 .2 x  2 .1 .‫ז‬
.‫ה‬.‫ יורדת בכל ת‬.5
101
‫ח‪. min  0,0 , max  2, 4  .4 x  1 .3  0, 0  .2 x  1 .1 .‬‬
‫‪ .5‬עולה‪ x  1 , x  2 , x  0 :‬יורדת‪. 2  x  1 , 1  x  0 :‬‬
‫‪ .6‬אין‪ .7 .‬קעורה כלפי מעלה‪ x  1 , x  1 :‬קעורה כלפי מטה‪. x  1 :‬‬
‫סקיצות‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪102‬‬
‫חקירת פונקציות עם פרמטר‪:‬‬
‫סיווג נקודות קיצון באמצעות '' ‪: y‬‬
‫אם הנקודה ‪ A  x1 , y1 ‬היא נקודה החשודה לקיצון אז‪:‬‬
‫‪ ‬אם ‪ f ''  x1   0‬הנקודה ‪ A  x1 , y1 ‬היא נקודת מינימום‪.‬‬
‫‪ ‬אם ‪ f ''  x1   0‬הנקודה ‪ A  x1 , y1 ‬היא נקודת מקסימום‪.‬‬
‫‪ )1‬מצא וסווג את נקודות הקיצון של הפונקציה‪. f  x   x3  12 x :‬‬
‫‪ )2‬מצא וסווג את נקודות הקיצון של הפונקציה‪. f  x   x2  6 x  16 :‬‬
‫‪ )3‬מצא וסווג את נקודות הקיצון של הפונקציה‪ b  0 , f  x   x3  3b2 x :‬פרמטר‪.‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪a  x2‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ .  a  0 ‬חקור לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪1  x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  b‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ .  b  1‬חקור לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪103‬‬
‫‪f  x   4 x b2  x 2‬‬
‫‪. b  0‬‬
‫חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪x2  m‬‬
‫‪ax  4‬‬
‫‪ a, m , y ‬פרמטרים קבועים כאשר‪. a  0 :‬‬
‫ידוע כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך של הפרמטר ‪. m‬‬
‫ב‪ .‬הצב את הערך של ‪ m‬שמצאת בסעיף א' והבע באמצעות ‪ a‬את‪:‬‬
‫‪ .1‬תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫‪ .3‬האסימפטוטות לגרף הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה וסמן בה את נקודות הקיצון ואת משוואות האסימפטוטות‬
‫שהבעת באמצעות ‪ a‬בסעיף הקודם‪.‬‬
‫ד‪ .‬ידוע כי נקודת הקיצון שאינה על ציר ה‪ , y -‬נמצאת במרחקים שווים מהצירים‪.‬‬
‫מצא את הערך של הפרמטר ‪. a‬‬
‫ה‪ .‬נתון הישר‪. y  k :‬‬
‫מצא עבור אילו ערכים של ‪ k‬אין לישר ולגרף הפונקציה נקודות משותפות כלל‪.‬‬
‫‪104‬‬
min  b, 2b3  , max  b,2b3  )3
min  3, 25 )2 min  2, 16  , max  2,16  )1
1
 1

. x  a, x  a :‫ יורדת‬, a  x  a :‫ עולה‬.‫ ג‬max  a,  , min  a,   .‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬4

a

a
. y  0 .‫ ה‬ 0,0  .‫ד‬
1
1
1 1 
 x  b :‫ יורדת‬, x 
‫ או‬x  b :‫ עולה‬.‫ ג‬max  , 2  .‫ ב‬x  b .‫) א‬5
b
b
 b b 1


. x  b , y  1 .‫ ה‬1,0  ,  1,0   0,
1
 .‫ד‬
b2 
 b

 b

,2b2  , min  
, 2b2  .‫ ב‬b  x  b .‫) א‬6
2
 2



b
b
b
b
x
 x  b :‫ יורדת‬
. b  x  
,
:‫ עולה‬,‫ קצה‬min  b,0 
2
2
2
2
,‫ קצה‬max  b,0  , max 
.  b,0  ,  b,0  ,  0,0  .‫ד‬
. 0  k  4 .‫ ה‬a  2 .‫ ד‬x 
4
4
 8 16 
.3 Max  0, 0  , Min  , 2  .2 x  .1 .‫ ב‬m  0 .‫) א‬7
a
a
a a 
)5
)4
)7
105
:‫סקיצות לשאלות‬
)3
)6
‫חקירת פונקציות טריגונומטריות‪:‬‬
‫הגדרות כלליות‪:‬‬
‫תיאור גרפי של פונקצית הסינוס‪: y  sin x :‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫תיאור גרפי של פונקצית הקוסינוס‪: y  cos x :‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫תיאור גרפי של פונקצית הטנגנס‪: y  tan x :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪106‬‬
‫‪y‬‬
‫הנגזרות הטריגונומטריות היסודיות‪:‬‬
‫הפונקציה‬
‫הנגזרת‬
‫‪y  sin x‬‬
‫‪y '  cos x‬‬
‫‪y  cos x‬‬
‫‪y '   sin x‬‬
‫‪y  tan x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪cos 2 x‬‬
‫‪y  cot x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪sin 2 x‬‬
‫‪y' ‬‬
‫‪y'  ‬‬
‫זוגיות של פונקציות‪:‬‬
‫‪ .1‬פונקציה ‪ f  x ‬תקרא זוגית אם היא מקיימת את התכונה הבאה‪. f  x   f   x  :‬‬
‫‪ .2‬פונקציה ‪ f  x ‬תקרא אי‪-‬זוגית אם היא מקיימת את התכונה הבאה‪. f  x    f   x  :‬‬
‫‪ .3‬פונקציה אשר אינה מקיימת אף אחת מהתכונות הנ"ל אינה זוגית ואינה אי‪-‬זוגית‪.‬‬
‫מחזוריות של פונקציות‪:‬‬
‫‪ .1‬פונקציה ‪ f  x ‬תיקרא מחזורית במחזור ‪ T‬אם היא מקיימת‪:‬‬
‫‪ f  x  T   f  x ‬לכל ‪ x‬בתחום הגדרתה‪.‬‬
‫‪ .2‬מחזור של פונקציות טריגונומטריות‪:‬‬
‫‪ ‬הפונקציה ‪ f  x   sin x‬מחזורית במחזור ‪ T  2‬שכן‪. sin  x  2   sin x :‬‬
‫‪ ‬הפונקציה ‪ f  x   cos x‬מחזורית במחזור ‪ T  2‬שכן‪. cos  x  2   cos x :‬‬
‫‪ ‬הפונקציה ‪ f  x   tan x‬מחזורית במחזור ‪ T  ‬שכן‪. tan  x     tan x :‬‬
‫‪ ‬הפונקציה ‪ f  x   cot x‬מחזורית במחזור ‪ T  ‬שכן‪. cot  x     cot x :‬‬
‫‪ .3‬מחזור של פונקציות מהצורה‪( y  a  c  f  mx  n  :‬כאשר ‪ f  x ‬מחזורית‬
‫במחזור ‪ ) T‬תלוי רק במקדם של ‪ x‬והוא‪ .T / m :‬דוגמאות‪:‬‬
‫‪ ‬הפונקציה ‪ f  x   sin  3x ‬מחזורית במחזור ‪.T  2 / 3‬‬
‫‪ ‬הפונקציה ‪ f  x   5  2cos  2 x   ‬מחזורית במחזור ‪.T  ‬‬
‫‪ ‬הפונקציה ‪ f  x   tan  0.1x ‬מחזורית במחזור ‪.T   / 0.1  10‬‬
‫‪107‬‬
‫‪ )1‬גזור את הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫א‪f  x   sin x  3cos x  x .‬‬
‫ב‪f  x   2 x sin x  4 tan x .‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪1  sin x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫א‪f  x   sin 3x  2cos5x .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫א‪f  x   sin 3 x .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪cos 2 x‬‬
‫‪1  sin 2 x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫ב‪f  x   2cos x .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪f  x   sin 2 x‬‬
‫ה‪f  x   cos2 2 x .‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪f  x   sin 3 2 x‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪f  x   tan 2 4 x‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪f  x   sin 3x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫א‪f  x   sin 2 x  cos2 x .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪sin 2 x‬‬
‫‪cos 2 x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫ב‪f  x   sin 2 x  cos 2 x .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪f  x   sin 4 x  cos4 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )6‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה‪ f  x   cos x :‬בנקודה ‪. A   , 3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ )7‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה‪ f  x   sin 2 x :‬בנקודה שבה‬
‫‪ )8‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה‪ f  x   tan 3x :‬בנקודה שבה‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪.x ‬‬
‫‪.x ‬‬
‫‪ )9‬מצא את משוואות המשיקים לפונקציה‪ f  x   4sin 2 x :‬בנקודות החיתוך של‬
‫הפונקציה עם הישר ‪ y  1‬בתחום ‪. 0,  ‬‬
‫‪ )10‬שיפוע המשיק לפונקציה‪ a ( , f  x   sin x  a :‬פרמטר) בנקודה שבה ‪y  1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫בתחום ‪ 0, ‬הוא‬
‫‪4‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫‪108‬‬
‫‪ )11‬נתונה הפונקציה‪ a (, f ( x)  a sin 2 x  5sin x  ax :‬פרמטר) בתחום‪. 0  x   :‬‬
‫ידוע כי הישר‪ y  ax  2 :‬חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪.x ‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬מצא נקודה על גרף הפונקציה בתחום הנתון שבה שיפוע המשיק הוא‪. m  2 :‬‬
‫ג‪ .‬האם קיימות נקודות נוספות בתחום הנתון ששיפוע המשיק דרכן הוא ‪? 2‬‬
‫נמק את תשובתך‪.‬‬
‫ד‪ .‬כתוב את משוואת המשיק העובר דרך הנקודה שמצאת‪.‬‬
‫‪ )12‬נתונות הפונקציות הבאות‪ f ( x)  x2  cos2 x :‬ו‪. g ( x)  x2  sin 2 x -‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ההפרש‪ f ( x)  g ( x) :‬שווה ל ‪. cos 2x -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות בתחום‪.   x   :‬‬
‫ג‪ .‬ישר ‪  0  t  1 , x  t‬חותך את הגרפים בנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬ומהן מעבירים‬
‫משיקים לפונקציות‪ .‬ידוע כי ההפרש בין שיפוע המשיק של גרף‬
‫הפונקציה )‪ g ( x‬לשיפוע המשיק של גרף הפונקציה )‪ f ( x‬הוא ‪.1‬‬
‫מצא את כל הערכים האפשריים עבור ‪. t‬‬
‫‪ )13‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות בתחום הנתון‪:‬‬
‫א‪0, 2  .‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪1  cos 2 x‬‬
‫ג‪0, 2  .‬‬
‫‪f  x   tan x‬‬
‫ב‪  ,   .‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪sin x  cos x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ )14‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪ f  x   sin x  cos x :‬בתחום‪. 0 : 2  :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )15‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪ f  x   sin x  x :‬בתחום‪. 0 : 2  :‬‬
‫‪sin x  1‬‬
‫‪ )16‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪:‬‬
‫‪sin x  1‬‬
‫‪ f  x  ‬בתחום‪. 0 : 2  :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )17‬מצא את נקודות הקיצון המוחלטות של הפונקציה‪f  x   sin 5 x  sin 3 x  2sin x :‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫בתחום‪. 0 :1.5  :‬‬
‫‪ )18‬לפונקציה‪ a, b (, f  x   a sin x  b sin3 x :‬פרמטרים) יש נקודת קיצון‬
‫‪7‬‬
‫‪‬‬
‫ששיעוריה ‪, 1‬‬
‫‪ 6‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . ‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪. b -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )19‬מצא את האסימפטוטות האנכיות לפונקציה‪:‬‬
‫‪sin 3x‬‬
‫‪109‬‬
‫‪ f  x  ‬בתחום‪. 0 :   :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )20‬מצא את האסימפטוטות האנכיות לפונקציה‪:‬‬
‫‪sin x cos x‬‬
‫‪ f  x  ‬בתחום‪. 0 :   :‬‬
‫‪ )21‬מצא את האסימפטוטות האנכיות לפונקציה‪ f  x   tan x :‬בתחום‪.  :   :‬‬
‫‪ )22‬מצא את האסימפטוטות האנכיות לפונקציה‪ f  x   sin 2 x  2sin x :‬בתחום‪. 0 : 2  :‬‬
‫‪ )23‬נתונה הפונקציה‪ f  x   x  2cos x :‬בתחום ‪ . 0, 2 ‬חקור לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מציאת נקודות הקיצון של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬תחומי עלייה וירידה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מציאת נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪ f  x   1  1‬בתחום ‪ .  0,  ‬חקור לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪cos x‬‬
‫מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות הקיצון של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫תחומי עלייה וירידה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪ )25‬נתונה הפונקציה‪ f  x   4sin 2 x  2 :‬בתחום ‪. 0  x  ‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים בתחום הנתון‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה בתחום הנתון וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מעבירים את הישר ‪ . y  k‬היעזר בסקיצה ומצא לאילו ערכי ‪ k‬הישר‬
‫יחתוך את גרף הפונקציה בשתי נקודות בדיוק‪.‬‬
‫ה‪ .‬העבירו ישר המשיק לפונקציה בנקודת המקסימום המוחלט שלה‪ .‬כמו כן‬
‫העבירו מנקודה זו אנך לציר ‪. x‬‬
‫מצא את שטח המלבן הנוצר על ידי הצירים‪ ,‬המשיק והאנך‪.‬‬
‫‪ )26‬נתונה הפונקציה‪ f ( x)  cos2 x  cos x  2 :‬בתחום‪. 0  x  2 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של גרף הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪110‬‬
‫‪1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ )27‬נתונה הפונקציה‪ m) , 1  m  3 , y  cos x  sin mx :‬פרמטר)‪.‬‬
‫הנגזרת של הפונקציה מתאפסת כאשר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.x  ‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. m‬‬
‫ב‪ .‬האם הנקודה שבה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  ‬היא נקודת קיצון? אם כן קבע את סוגה‪.‬‬
‫אם לא נמק מדוע‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא כמה נקודות קיצון מקומיות יש לגרף הפונקציה בתחום‪. 0  x  2 :‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪ x -‬בתחום הנתון‪.‬‬
‫‪ )28‬נתונה הפונקציה הבאה‪ y   sin x  1  cos x :‬בתחום‪. 0  x  1.5 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקוד ות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬כמה פתרונות יש למשוואה‪  sin x  1  cos x  1 :‬בתחום הנתון?‬
‫‪ )29‬נתונה הפונקציה‪. f  x   sin 2 x  cos x  1 :‬‬
‫א‪ .‬מצא בתחום ‪ 0,  ‬את נקודות החיתוך עם הצירים של הפונקציה ואת‬
‫נקודות הקיצון שלה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח שהפונקציה זוגית‪.‬‬
‫ג‪ .‬שרטט את הפונקציה בתחום ‪.   ,  ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ )30‬נתונה הפונקציה‪ f  x   4 x  3tan x :‬בתחום‬
‫‪3 ‬‬
‫‪.   ,‬‬
‫‪ 6‬‬
‫חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫ג‪ .‬תחומי עלייה וירידה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ה‪ .‬מציאת אסימפטוטות אנכיות‪.‬‬
‫‪ )31‬נתונה הפונקציה‪ f ( x)  tan 2 x  8sin 2 x :‬בתחום‪. 0.25  x  0.25 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים בתחום הנתון‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את האסימפטוטות האנכיות של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של גרף הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬
‫‪111‬‬
‫‪ )32‬נתונה הפונקציה‪ f  x   tan  x 2  4 x  :‬בתחום ‪.  0, 4‬‬
‫חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫ג‪ .‬סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )33‬נתונה הפונקציה‪ f ( x)  x cos x  x :‬בתחום‪. 3  x  3 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫ב‪ . 1 .‬הראה כי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪ x -‬מאפסות‬
‫את הנגזרת של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ . 2‬קבע אלו נקודות מנקודות החיתוך הן נקודות קיצון ואלו אינן‬
‫נקודות קיצון ומצא את סוג הקיצון בכל מקרה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )34‬נתונה הפונקציה‪ k , y   cos x  k  :‬פרמטר‪ ,‬בתחום‪. 0  x  2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫הפונקציה חותכת את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה‬
‫‪3‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ k‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫‪.x ‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת המקסימום שאיננה מוחלטת בתחום הנתון‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם יש לגרף הפונקציה נקודות מינימום שאינן מוחלטות? אם כן מהן?‬
‫‪ )35‬נתונה הפונקציה‪ m ( , f ( x)  m sin x  k cos2 x :‬פרמטר)‪.‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪ x  ‬שמשוואתו‪. y  6 x  6  7 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ k‬ו ‪. m -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון בתחום‪. 0.5  x  1.5 :‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה וקבע עפ"י הסקיצה בכמה נקודות גרף‬
‫הפונקציה חותך את ציר ה‪ x -‬בתחום הנ"ל‪.‬‬
‫‪ )36‬נתונה הפונקציה‪ k ( , f ( x)  tan x  kx :‬פרמטר) בתחום‪. 0  x   :‬‬
‫א‪ .‬מצא את האסימפטוטה האנכית של הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬
‫הפונקציה‪ g ( x)  tan 2 x  kx :‬חותכת את הפונקציה )‪ f ( x‬בשתי נקודות‬
‫החיתוך שלה עם ציר ה ‪ x -‬בתחום הנתון‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה )‪ f ( x‬בתחום הנתון וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫‪112‬‬
‫‪ )37‬לפניך הפונקציות הבאות‪ f  x    cos x :‬ו‪. g  x   cos x  1 -‬‬
‫הפונקציה )‪ f ( x‬מוגדרת בתחום ‪ 0.5  x  1.5‬והפונקציה )‪ g ( x‬מוגדרת‬
‫בתחום ‪. 0  x  2‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬האם הגרפים חותכים את ציר ה ‪ -‬בתחום הנתון? הראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם הגרפים חותכים זה את זה בתחום הנתון? אם כן מצא את נקודות החיתוך‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה )‪ f ( x‬בתחום הנתון וקבע את סוגה‪.‬‬
‫ד‪ .‬לפניך ארבעה איורים‪ III , II , I :‬ו‪.IV-‬‬
‫קבע על סמך הסעיפים הקודמים איזה איור מתאר את הגרף של )‪f ( x‬‬
‫ואיזה מתאר את הגרף של )‪ . g ( x‬נמק‪.‬‬
‫‪113‬‬
.
cos x
1  sin x 
2
.‫ג‬
2sin x  2 x cos x 
.
.
4
.‫ב‬
cos2 x
cos x  3sin x  1
.‫) א‬1
2
.‫ ב‬3cos3x  10sin5x .‫) א‬2
1  sin 2x
8 tan 4 x
.‫ ו‬2sin 4x .‫ ה‬6sin 2 2 x cos2 x .‫ ד‬sin 2x .‫ ג‬8cos3 x sin x .‫ ב‬3sin 2 x  cos x .‫) א‬3
2
cos 4 x
3cos3x
cos 2 2 x  1

sin
4x
4sin
4x
2sin
2x
.
.‫ג‬
.‫ב‬
.‫) א‬5
.‫ב‬
.‫) א‬4
2 sin 3x
cos 2 x cos 2 x
4
1

3
. y  12 x   3 )8 y  2 x   )7 y   x  
)6
3
2
12 2
1
 3
5 3
. a  )10 . y  2 3x 
 1 , y  2 3x 
 1 )9
2
3
3


. y  2 x  3 .‫ ד‬.‫ לא‬.‫ ג‬ ,   3  .‫ ב‬f ( x)  2sin 2 x  5sin x  2 x , a  2 .‫) א‬11
2

 5
 3
  
 
  3

. t1,2  ,
.‫ ג‬  , 6.05  ,   ,1.11 ,  ,1.11 ,  , 6.05  .‫) ב‬12
12 12
 4
  4
 4
  4

 3
 3
.x  ,
‫ וגם‬  x   .‫ ב‬x  ,
‫ וגם‬0  x  2 .‫) א‬13
4
4
2 2
 3
.x  ,
‫ וגם‬0  x  2 .‫ג‬
2 2
 5



.‫ קצה‬max  2 .1 ,  ,  2  min , max  , 2  ,‫ קצה‬min  0,1 )14
 4

4

 5

 3  
  ,‫ קצה‬min  0,0 
 , max  ,
 3

3 2 6
2
2
 3

 3 
. b  4 , a  3 )18 max  ,2  min  , 2  )17 .‫ מוחלט‬max  ,0 
15 
 2 15 
2
 2 




2
x , x
, x 
)21 x  0 , x  , x   )20 x  0 , x  , x 
2
2
2
3
3
 7 1   11 1 
,1 
. 0  x  2 .‫) א‬23  ,1  , 
4
 6 4  6
 

 5 5

.‫ קצה‬min  0,2  , max  ,  3  , min  ,  3  ,‫ קצה‬max  2 ,2  2  .‫ב‬
6 6

 6 6


5

5
 x  2 :‫ תחומי עלייה‬.‫ג‬
.  0,2  .‫ ד‬ x 
:‫ תחומי ירידה‬0  x 
‫או‬
6
6
6
6

3
     3 3 
x
:‫ קעירות כלפי מעלה‬.‫ ז‬ ,  ,  ,  .‫ ו‬.‫ אין‬.‫ה‬
2
2
2 2  2 2 

3
 x  2 :‫קעירות כלפי מטה‬
.0  x 
‫או‬
2
2
.‫ קצה‬max  2 ,   , min 
,
3 5

2
6
114
)15
)16
)19
)22
. min 


, 2 2
4


x
.‫ב‬

‫ וגם‬0  x   .‫) א‬24
2



 3 
:‫ תחומי ירידה‬x 
‫ וגם‬ x   :‫ תחומי עלייה‬.‫ג‬
 ,0  .‫ ד‬0  x 
4
4
2
 4 
.x  0 , x 


2
, x   :‫ אנכית‬.‫ה‬

3
5




. min  0, 2  , max  , 2  min  , 6  , max  , 2  .‫ ב‬.  0, 2  ;  , 0  ;  , 0  .‫) א‬25
 12 
 12 
4 
 4

.

.‫ ה‬k  2 ‫ וגם‬6  k  2 .‫ד‬
2


Max  0, 2  , Min  , 2.25  , Max  , 0  .‫ ב‬ , 0  ,  0, 2  .‫) א‬26
3


2
 x   , 1   x  2 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min 1 23  , 2.25 , Max  2 , 2 
3
3

2
. 0  x  ,   x  1  :‫יורדת‬
3
3
.  0.5 , 0  , 1.5 , 0  .‫ נקודות ד‬2 .‫ נקודת פיתול ג‬.‫ ב‬m  2 .‫) א‬27




3
 5

,
, 1.29  , 1.5 , 0  .‫ ב‬ ,0  ,  ,0  , 0,1  .‫) א‬28
 6

2   2 
 1
 
.‫ קצה‬min  0,0  , max  ,  ,‫ קצה‬min  , 2  :‫ קיצון‬ ,0  ,  0,0  :‫ חיתוך‬.‫) א‬29
2 
 3 4

2



 2

, max  ,0.36  ,‫ קצה‬min  ,13.57  .‫ ב‬x 
‫ וגם‬  x 
.‫) א‬30
6
3
2
6

 3


2


 

x
:‫ תחומי ירידה‬,   x 
:‫ תחומי עלייה‬.‫ קצה ג‬min   , 0.36 
6
3
6
6
 6


2


x
:‫ קעירות כלפי מעלה‬.‫ ז‬ 0,0  .‫ ו‬x  :‫ אנכית‬.‫ ה‬ 0,0  .‫ ד‬. x 
‫וגם‬
2
3
2
2


.‫ פתרונות‬2 .‫ ד‬ 0,1 ,  ,1.29 
6

.0  x 


2

:‫ קעירות כלפי מטה‬,   x  0 ‫או‬
6





. Min  ,  27  , Max   , 27  .‫ ג‬x  0.25 .‫ ב‬ 0,0 ,  0.23 ,0  .‫) א‬31
6

 6

.‫ קצה‬max  4,0  , min  2, 1.16  ,‫ קצה‬max  0,0  .‫ ב‬x  0.44 , x  3.56 ‫ וגם‬0  x  4 .‫) א‬32
.‫ פיתול‬ 0, 0  .2  0,0 , Max  2 ,0  , Min  2 ,0  .1 .‫ ב‬ 0, 0 ,  2 , 0  ,  2 , 0  .‫) א‬33
.‫ לא‬.‫ ג‬ , 0.25 .‫ ב‬y   cos x  0.5 , k  0.5 .‫) א‬34
.‫ בשתי נקודות‬.‫ ג‬.  0.5 , 6 ,  0.5 ,6  , 1.5 , 6  .‫ ב‬m  6 , k  7 .‫) א‬35
2
4
. k    1.27 .‫ ב‬x  0.5 .‫) א‬36

. Max  0,0 , Min  0.15 , 0.07  , Max  0.84 , 3.9  , Min  , 4  .‫ג‬
115
 2 1   4 1 
,
, ,
 .‫ כן‬.‫ ב‬g ( x) :  , 0  , f ( x) :  0.5 , 0  , 1.5 , 0  .‫ כן‬.‫) א‬37
2  3
2
 3
. f ( x) - II ‫ איור‬. g ( x) - I ‫ איור‬.‫ ד‬Min  0.5 ,0  , Max  ,1  , Min 1.5,0  .‫ג‬
.
116
‫פרק ‪ - 4‬חשבון דיפרנציאלי של פונקציות מעריכיות‬
‫ולוגריתמיות‪:‬‬
‫פונקציות מעריכיות‪:‬‬
‫להלן תיאורים גרפיים של פונקציה מעריכית כללית מהצורה‪f  x   a x :‬‬
‫עבור‪ a  1 :‬ו‪: 0  a  1 -‬‬
‫תכונות כלליות‪:‬‬
‫‪ .1‬הפונקציות מוגדרות לכל ‪. x‬‬
‫‪ .2‬הפונקציות תמיד חיוביות‪.‬‬
‫‪ .3‬הפונקציות תמיד חותכות את ציר ה‪ y -‬בנקודה‪.  0,1 :‬‬
‫‪ .4‬עבור‪ a  1 :‬הפונקציה עולה בכל ת‪.‬ה‪ .‬ועבור‪ 0  a  1 :‬הפונקציה יורדת בכל ת‪.‬ה‪.‬‬
‫עבור הפונקציות ‪ f  x   e x‬ו‪ f  x   e x -‬נקבל‪:‬‬
‫‪117‬‬
‫תכונות נוספות‪:‬‬
‫‪ .1‬שיפוע המשיק לגרף הפונקציה ‪ f  x   e‬בנקודת החיתוך עם ציר ה‪ y -‬הוא ‪.1‬‬
‫‪ .2‬שיפוע המשיק לגרף הפונקציה ‪ f  x   e x‬בנקודת החיתוך עם ציר ה‪ y -‬הוא ‪.-1‬‬
‫‪x‬‬
‫נגזרות של פונקציות מעריכיות‪:‬‬
‫הנגזרת‬
‫‪y  ax‬‬
‫‪y '  a x  ln a‬‬
‫‪f  x‬‬
‫‪y '  a f  x   f '  x   ln a‬‬
‫‪ya‬‬
‫‪y  ex‬‬
‫‪f  x‬‬
‫‪y '  ex‬‬
‫‪y '  e f  x  f '  x ‬‬
‫‪ye‬‬
‫תזכורת – כללי הגזירה‪:‬‬
‫מספר כלל‬
‫תיאור‬
‫‪.1‬‬
‫‪y  a  f  x‬‬
‫מכפלה בקבוע‬
‫‪.2‬‬
‫‪y  f  x  g  x‬‬
‫סכום פונקציות‬
‫‪.3‬‬
‫‪y  f  x  g  x‬‬
‫מכפלת פונקציות‬
‫‪.4‬‬
‫‪f  x‬‬
‫‪g  x‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪y  f  g  x ‬‬
‫‪y‬‬
‫מנת פונקציות‬
‫פונקציה מורכבת‬
‫‪118‬‬
‫הנגזרת‬
‫‪y '  a  f ' x‬‬
‫‪y '  f ' x  g ' x‬‬
‫‪y '  f ' x  g  x  f  x  g ' x‬‬
‫‪f ' x  g  x  f  x  g ' x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ g  x ‬‬
‫‪y '  f '  g  x   g '  x ‬‬
‫‪y' ‬‬
:‫שאלות יסודיות – חישובי נגזרות‬
f  x  e
x 2 3 x
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (סכום פונקציות‬1
f  x   3e x  e2 x  e x  2 x  1 .‫א‬
.‫ב‬
 ex
f  x   3x  4 x
2
f  x   23 x
.‫ד‬
.‫ג‬
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (מכפלת פונקציות‬2
f  x   x 2  e4x .‫ב‬
f  x   x  e x .‫א‬
f  x    x  1  2 .‫ג‬
x
:)‫) גזור את הפונקצי ות הבאות (מנת פונקציות‬3
f  x 
x
e
.‫ב‬
x
e 1
f  x 
x2
.‫א‬
ex
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (פונקציה מורכבת‬4
f  x 
e
3x
f  x   e2 x  e2 x .‫ב‬
.‫ג‬
e 1
x
f  x  e 1
x
f  x    x 2  1 e x
f  x   x3e2x
.‫ח‬
f  x   e2 x1 1  x 
.‫י‬
x3
e3x
.‫יב‬
f  x  e
x
x
f  x  e x
2
 4 x  1
1
x
2 x
f  x   e  x  4
f  x   ex 
1
f  x 
x
e e
e x  e x
ex
f  x 
1  e x 1
f  x 
x
.‫א‬
1
.‫ד‬
.‫ו‬
f  x 
3
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (שאלות שונות‬5
f  x   e2x .‫א‬
.‫ב‬
f  x  e
3 x 2
f  x   5  e2 x  1
f  x 
.‫יד‬
1
x
e
2  x2
2
ex
x2  1
f  x  x
e
.‫טז‬
.‫ג‬
.‫ה‬
.‫ז‬
.‫ט‬
.‫יא‬
.‫יג‬
.‫טו‬
:‫שאלות העוסקות בשימושי הנגזרת‬
. A 1, e  ‫ בנקודה‬f  x   e x ‫) מ צא את משוואת המשיק לפונקציה‬6
. x  0 ‫ בנקודה שבה‬f  x   e2x  xe x ‫) מצא את משוואת המשיק לפונקציה‬7
119
‫‪ )8‬מצא את משוואות המשיקים לפונקציה ‪ f  x    e  1 e x  e2 x‬בנקודות החיתוך‬
‫של הפונקציה עם הישר ‪. y  e‬‬
‫‪ )9‬נתונה הפונקציה‪. y  e2 x  3ex :‬‬
‫לפונקציה העבירו משיק דרך הנקודה שבה‪ . x  2 :‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫‪ )10‬שיפוע המשיק לפונקציה ‪ f  x   a  32 x1  3xb‬בנקודה ‪ 1,15‬הוא ‪. 21ln 3‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו‪. b -‬‬
‫שאלות שונות העוסקות בחקירה של פונקציות מעריכיות‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪2x 1‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f  x  2x‬‬
‫‪e  3e x  2‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪e  4e  3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪e 1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e  e x‬‬
‫‪f  x  x x‬‬
‫‪e e‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ex  5‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪ex 1‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪5x  2‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ )12‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה הבאה‪. f  x   x e :‬‬
‫‪2 x‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪ )13‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ax 2  bx  9‬‬
‫‪ex‬‬
‫הפונקציה משיקה לציר ה‪ x -‬בנקודה שבה ‪. x  1.5‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪ b -‬ואת נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ )15‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   8x  p  2x  q :‬לפונקציה יש נקודת קיצון‬
‫בנקודה ‪ .  log 2 3, 19 ‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ p‬ו‪. q -‬‬
‫‪ )16‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה‪f  x   e2x  e x :‬‬
‫‪e x  e x‬‬
‫‪ )17‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪e2 x‬‬
‫‪ex  5‬‬
‫‪ex 1‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪e2 x  1‬‬
‫‪ex  5‬‬
‫‪120‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪e x  e x‬‬
‫‪ )20‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה‪f  x   x  x :‬‬
‫‪e e‬‬
‫‪ex  2‬‬
‫‪e2 x  5e x  6‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪x3  1‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪e3 x  e‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ )25‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה‪f  x    x  3e x :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )26‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה‪f  x   xe x :‬‬
‫‪x2  a‬‬
‫‪be x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫לפונקציה יש נקודת פיתול בנקודה ‪. 1, 2 ‬‬
‫‪ e‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪ b -‬ואת נקודת הפיתול השנייה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )28‬חקור א ת הפונקציות הבאות עפ"י הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .3‬מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה וקביעת סוגן‪.‬‬
‫‪ .4‬כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪f  x    x  1 e x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x2‬‬
‫‪4‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪f  x  x e‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e 1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪f  x    x 2  1 e x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f  x   ex‬‬
‫‪e 1‬‬
‫‪e x 1‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪121‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ )29‬נתונה הפונקציה ‪ . f  x    x  3 e x‬חקור על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫ב‪ .‬מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬תחומי עלייה וירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪ )30‬נתונה הפונקציה ‪ . f  x   e2 x  8e x  6 x  10‬חקור על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫ב‪ .‬מצי את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )31‬נתונה הפונקציה‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e0.5 x‬‬
‫‪ . f  x  ‬חקור על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫תחומי עלייה וירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪ )32‬נתונה הפונקציה ‪ . f  x   x‬חקור על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪e‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫תחומי עלייה וירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪122‬‬
‫‪ )33‬נתונה הפונקציה ‪ . f  x   2 x  3x‬חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ . f  x   2e‬חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫ז‪ .‬לאלו ערכי ‪ m‬יש למשוואה ‪ f  x   m‬בדיוק פתרון אחד?‬
‫‪x 2 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )35‬נתונה הפונקציה ‪ . f  x   x 2e x‬חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫ו‪ .‬מציאת נקודות פיתול של הפונקציה‪.‬‬
‫ז‪ .‬כתיבת תחומי הקעירות כלפי מעלה ומטה‪.‬‬
‫ח‪ .‬סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪e3 x‬‬
‫‪12 x 2  1‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪123‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ )37‬שיפוע המשיק לגרף הפונקציה‪ f  x   3 x2 6 x  k :‬בנקודה שבה‪x  1 :‬‬
‫הוא‪10 :‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪ k‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫הוכח על סמך הסקיצה את אי‪-‬השוויון הבא‪ e2 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3 x 2  6 x 1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪. 0‬‬
‫‪ )38‬נתונה הפונקציה הבאה‪ . f  x   e2x  ae x  b :‬גוזרים את הפונקציה פעמיים‬
‫וידוע כי כאשר ‪ x  ln 23‬הנגזרות מקיימות‪. f '  x   f ''  x   8 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. a‬‬
‫משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה מסוימת היא‪. y  16 x  7  16ln 2 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של נקודת ההשקה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪. b‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪ )39‬נתונות הפונקציות הבאות‪ f  x   6 x  e x :‬ו‪. g  x   ae x  e2 x  b -‬‬
‫ידוע כי לשתי הפונקציות נקודת קיצון שבה אותו שיעור ‪ x‬וכי שתיהן‬
‫נפגשות על ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪. b -‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי לשתי הפונקציות תחומי עלייה וירידה משותפים‪.‬‬
‫‪ )40‬לגרף הפונקציה‪ f  x   ax 2  ebx :‬יש נקודת קיצון‪a, b  0 .  2, 4e  :‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪ b -‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון הנוספות של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מעבירים ישר‪ . y  k :‬באיזה תחום ערכים צריך להימצא ‪ k‬כדי שהישר‬
‫יחתוך את גרף הפונקציה ב‪ 4-‬נקודות שונות?‬
‫‪x2  6 x  7‬‬
‫‪ )41‬לפונקציה‪:‬‬
‫‪eax 1‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪ f  x  ‬יש קיצון בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫האם יש לגרף הפונקציה נקודות קיצון נוספות? אם כן מצא אותן‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪124‬‬
‫‪e2 x‬‬
‫‪. f  x  2‬‬
‫‪ )42‬הישר ‪ x  6‬הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה‪:‬‬
‫‪x m‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪ m‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪ )43‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x3  e2 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הנקודות המקיימות‪ f '  x   0 :‬וקבע כמה מהן הן נקודות קיצון‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬בכמה נקודות חותך הישר ‪ y  0.01‬את גרף הפונקציה?‬
‫‪ )44‬נתונה הפונקציה הבאה‪ . f  x   e2x  ae x  b :‬גוזרים את הפונקציה פעמיים‬
‫וידוע כי כאשר ‪ x  ln 23‬הנגזרות מקיימות‪. f '  x   f ''  x   12 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. a‬‬
‫משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה מסוימת היא‪. y  22 x  28  22ln 2 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של נקודת ההשקה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪. b‬‬
‫ד‪ .‬האם הפונקציה חותכת את ציר ה ‪ ? x -‬אם כן מצא את הנקודות‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )45‬נתונה הפונקציה‪ .  a  0  , f  x   x  a x :‬לפונקציה יש נקודת קיצון שבה‪:‬‬
‫‪ln 2‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫הנקודה שבה ‪ x  2‬היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה ‪f  x ‬‬
‫עם גרף הפונקציה‪. g  x   x2  2x  kx  2x :‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪. k‬‬
‫ד‪ .‬מצא נקודה נוספת שבה הגרפים נחתכים‪.‬‬
‫‪ )46‬נתונה הפונקציה‪. f  x   32 x  2  31 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה‬
‫עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי גרף הפונקציה אינו חותך את ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫‪125‬‬
‫‪.x  ‬‬
 2 x  3 e x 3x  e .‫ ב‬3ex  2e2 x  e x  2 .‫) א‬1
2x 1  x ln 2  ln 2  .‫ ג‬2 xe4 x 1  2 x  .‫ ב‬1  x  e x .‫) א‬2
2
x2  x
e2 x  e2 x
ex
30e2 x  e2 x  1 ‫) א‬4
.‫ג‬
.‫ב‬
.‫ב‬
.‫) א‬3
2
x
2x
2 x
x
2 x ln3  3x  ln 4  4 x .‫ ד‬3ln 2  23 x .‫ג‬
2
5e 4 x  6e3 x
2
e
x
 1
3
2
e
e e
3e3 x 2 .‫ ו‬e x   x 2  2 x  3 .‫ה‬
 1
e1/ x
 2 .‫ג‬
x
 x  1 e x .‫ד‬
2
e
e x .‫ ב‬2e2 x .‫) א‬5
e x  x  1
e 1/ x
2 x 1
2 x
2 2x
e
1

2
x

e
2
x

7
x
e
3

2
x
.‫יא‬
.‫י‬
.‫ט‬
.‫ח‬
.‫ז‬






x2
x2
2
2 x  x 2  1
3x 2 1  x 
x  1
4

ex
.‫טז‬
.‫טו‬
.‫יד‬
.‫יג‬
.‫יב‬
3x
x
x2
x
x 2
x 1 2
e
e
e
e

e


1  e 
y   e2  e  x  e2 , y   e  1 x  e )8 y  3x  1 )7
y  ex )6
x  ln5 .‫ ג‬x  0 .‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬11 b  1 , a  2 )10 y  2e4 x  3ex  3e4 )9
2
. x  0 , x  ln 3 .‫ ז‬0  x  .‫ ו‬x ‫ כל‬.‫ ה‬x  0 , x  ln 2 .‫ד‬
5
4
. min 3,e3 )13 max  2, 2  , min  0,0  )12
e 

. p  27 , q  35 )15 min 1.5,0 , max  3.5,0.483 , b  12 , a  4 )14


1
)19 x  0 , y  5 , y  1 )18 y  0 )17 y  0 )16
5
1
.  ln 2, 1 :‫ נקודת אי הגדרה‬, x  ln3 , y   , y  0 )21 . y  1 , y  1 )20
3
1
. y  0 )25 x  , y  0 )24 y  0 )23 . x  0 , y  0 )22
3
 10 
.  3, 3  , a  1 , b  1 )27  0,0  :‫ נקודת אי הגדרה‬, x  0 )26
 e 
. x  0 :‫ יורדת‬x  0 :‫ עולה‬.4 min  0, 1 .3 1,0 ,  0, 1 .2 x ‫ כל‬.1 .‫) א‬28
. x  ln5 , y  
. x  1 , x  1 :‫ עולה‬.4


‫ פיתול‬ 1,  .3  0,1 .2 x ‫ כל‬.1 .‫ב‬
e
2


4
 4

max  2,  , min  0, 0  , max  2,  .3  0, 0  .2 x ‫ כל‬.1 .‫ג‬
e
 e

. 2  x  0 , x  2 :‫ יורדת‬x  2 , 0  x  2 :‫ עולה‬.4
. x  0.5 :‫ יורדת‬x  0.5 :‫ עולה‬.4 min  0.5, e0.25  .3  0,1 .2
. x  0 :‫ יורדת‬x  0 :‫ עולה‬.4 . max  0,1 .3
. x  0 :‫ יורדת‬x  0 :‫ עולה‬.4
min  0, 2e1  .3
. x  2 :‫ תחומי ירידה‬2  x :‫ תחומי עלייה‬.‫ג‬
126
 0,1 .2
x ‫ כל‬.1 .‫ד‬
x ‫ כל‬.1 .‫ה‬
 0, 2e  .2 x
min  2,  e  .‫ב‬
1
2
‫ כל‬.1 .‫ו‬
x ‫ כל‬.‫) א‬29
.  3, 0  ,  0.  3 .‫ד‬
max  0,3 , min  ln3,1.59  .‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬30
 0,3 .‫ד‬
0  x  ln3 :‫ תחומי ירידה‬x  0 ‫ או‬x  ln 3 :‫ תחומי עלייה‬.‫ג‬
4 

 4 
1  x  1 :‫ תחומי עלייה‬.‫ ג‬. min  1,  0.5  , max 1, 0.5  .‫ ב‬. x ‫ כל‬.‫) א‬31
e 

 e 
.  0, 0  .‫ ד‬. x  1 ‫ או‬1  x :‫תחומי ירידה‬
27
.  0,0  .‫ ד‬x  3 :‫ יורדת‬, x  3 :‫ עולה‬.‫ ג‬max  3, 3  .‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬32
 e 
.  0, 0  .‫ ד‬. x  0.91 :‫ יורדת‬0.91  x :‫ עולה‬.‫ ג‬. min  0.91, 0.67  .‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬33

y  2 .‫ ה‬ 0,2 

2 

min  1,
 max 1,2 e .‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬34
e

.‫ ד‬x  1 , x  1 :‫ יורדת‬1  x  1 :‫ עולה‬.‫ג‬
. m  2, m  2 e , m 
2
.‫ז‬
e
 1 e2 
1
1
:‫ יורדת‬, x  :‫ עולה‬.‫ ג‬min  ,  .‫ ב‬x  0 .‫) א‬35
2
2
2 4 
. x  0 ‫ קעורה כלפי מעלה לכל‬.‫ ז‬.‫ אין‬.‫ ו‬ 0,0  :‫ נקודת אי הגדרה‬x  0 .‫ה‬
.‫ אין‬.‫ ד‬0  x 
x
1 3 e 
 1 e1.5 
1
1
, x  :‫ עולה‬.‫ ג‬. Max  ,
 , Min  ,
 .‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬36
6
2
2 4 
6 4 
1
6
.  0,1 .‫ ד‬.  x 
.  1, e2  .‫ ב‬f  x  
1
e
3 x 2  6 x 1
1
:‫יורדת‬
2
, k  1 .‫) א‬37
. 0  f ( x)  e2 ‫ נמצא בתחום‬f ( x) ‫ ניתן לראות עפ"י הגרף כי ערך הפונקציה‬.‫ד‬
.  0, 0  .‫ ד‬b  5 .‫ ג‬x  ln 2 .‫ ב‬a  4 .‫) א‬38
. x  ln 6 :‫ יורדות‬x  ln 6 :‫ עולות‬.‫ ב‬. a  12 , b  12 .‫) א‬39

 0, 0  .‫ ג‬. Max  2,

4
 , Min  0, 0  .‫ב‬
e
f  x   x 2e
1
 x2
4
, a  1 , b  0.25
.0  k 
127
.‫) א‬40
4
.‫ה‬
e

1
48 
:‫ כן‬.‫ ב‬. a  .‫) א‬41
2
2 

3
 e3
.  1,0 ,  7,0 ,  0, 7e  .‫ד‬
. x  1 , x  11 :‫ יורדת‬1  x  11 :‫ עולה‬.‫ ג‬. 11,
 e6 
e




.  0,   .‫ ג‬Max  2,  4  , Min  3,  .‫ ב‬. f  x   2
, m  6 .‫) א‬42
2e 
6
x 6


 3
1
1
2x


.‫ נקודות‬2 .‫ ד‬y  0 .‫ ב‬. Min  1.5, 3 e3  :‫ נקודת הקיצון היא‬. x  0, 1.5 .‫) א‬43
8
3


.‫ לא‬.‫ ד‬b  10 .‫ ג‬x  ln 2 .‫ ב‬a  7 .‫) א‬44
.  0, 0  .‫ ד‬k  1 .‫ ג‬x  
1
1
:‫ יורדת‬x  
:‫ עולה‬.‫ ב‬a  2 .‫) א‬45
ln 2
ln 2
1

. Min  , 3 243  .‫ ג‬y   x ln 81  7 .‫) א‬46
3

128
‫‪) 30‬‬
‫‪)29‬‬
‫‪)32‬‬
‫‪)35‬‬
‫‪)41‬‬
‫‪)31‬‬
‫‪)34‬‬
‫‪)33‬‬
‫‪) 36‬‬
‫‪)37‬‬
‫‪) 42‬‬
‫‪)40‬‬
‫‪)43‬‬
‫‪129‬‬
‫פונקציות לוגריתמיות‪:‬‬
‫להלן תיאורים גרפיים של פונקציה לוגריתמית כללית מהצורה‪f  x   log a x :‬‬
‫עבור‪ a  1 :‬ו‪: 0  a  1 -‬‬
‫תכונות כלליות‪:‬‬
‫‪ .1‬לפונקציות תחום הגדרה‪. x  0 :‬‬
‫‪ .2‬הפונקציות תמיד חותכות את ציר ה‪ x -‬בנקודה‪. 1, 0  :‬‬
‫‪ .3‬עבור‪ a  1 :‬הפונקציה עולה בכל ת‪.‬ה‪ .‬ועבור‪ 0  a  1 :‬הפונקציה יורדת בכל ת‪.‬ה‪.‬‬
‫עבור הפונקציות ‪ f  x   ln x  loge x‬נקבל‪:‬‬
‫תכונות נוספות‪:‬‬
‫‪ .1‬שיפוע המשיק לגרף הפונקציה ‪ f  x   ln x‬בנקודת החיתוך עם ציר ה‪ x -‬הוא ‪.1‬‬
‫‪130‬‬
:‫תחום הגדרה של פונקציה לוגריתמית‬
. f  x   0 :‫ הוא‬y  log f  x  :‫תחום ההגדרה של פונקציה לוגריתמית מהצורה‬
:‫נגזרות של פונקציות לוגריתמיות‬
‫הנגזרת‬
1
x ln a
y  log a x
f ' x
f  x   ln a
y  log a f  x 
1
x
y  ln x
f ' x
f  x
y  ln f  x 
y' 
y' 
y'
y' 
:‫שאלות יסודיות – חישובי נגזרות‬
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (סכום פונקציות‬1
.‫ ב‬f  x   3ln x  4ln  x  2  ln 5x 1 .‫א‬
f  x   ln  x  3x 
2
f  x   ln  e x  1
.‫ד‬
f  x   log 2 x  5log3  2 x  1
.‫ו‬
x 1
x 1
f  x   log 2  x   5log3  2 x  1
f  x   ln
.‫ג‬
.‫ה‬
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (מכפלה ומנה של פונקציות‬2
f  x   x ln x .‫א‬
f  x    3x  1 ln x .‫ב‬
2
f  x 
ln x  2
ln x  2
ln x
x
f  x   ln x  x
f  x 
.‫ד‬
.‫ג‬
.‫ה‬
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (פונקציות מורכבות‬3
f  x   3ln x .‫ב‬
f  x   ln 3 x .‫א‬
2
f  x 
ln 2 x  1
 ln x  1
2
f  x   x 2 ln 2 x
.‫ד‬
131
.‫ג‬
f  x   x ln x
2
f  x   ln e2 x
:)‫) גזו ר את הפונקציות הבאות (שאלות שונות‬4
f  x   ln  x  2  .‫א‬
.‫ב‬
f  x   x3 ln x .‫ג‬
.‫ד‬
f  x   e x ln x
f  x   e x  ln x
.‫ו‬
f  x   x ln x  ln x 2
.‫ח‬
.‫י‬
f  x   x 2  2ln x  1
.‫ז‬
.‫ט‬
.‫יב‬
f  x   ln 2 x  2ln x  3
.‫יא‬
f  x   ln
x2
x
.‫יג‬
f  x   ln
x 3
x3
.‫טו‬
f  x   ln x
.‫יז‬
2
f  x   ln  x 4 
f  x    ln x 
f  x   ln
4
x 1
x 1
f  x   ln  x 2 
.‫יד‬
 x  5 .‫טז‬
f  x   ln
2
 x  1
f  x   ln x 2  1 .‫יח‬
3
f  x   ln x
.‫כ‬
f  x   ln
1
2 x
.‫כב‬
f  x   ln 3
1  5x
1  5x
.‫כד‬
f  x 
ln 3 x
x
.‫כו‬
f  x
 ln x 


f  x   ln x  x 2  a 2
f  x  e
ln x
1 x
1 x
ln x
f  x 
x
f  x   ln
3
x
x
f  x  4
ln x

f  x
.‫כח‬
.‫ל‬
 ln x 

.‫יט‬
.‫כא‬
.‫כג‬
.‫כה‬
2
.‫כז‬
x
x
f  x 
ln  x 2 
.‫כט‬
1
ln 2 x
.‫לא‬
f  x   ln 2 x 
132
.‫ה‬
‫שאלות העוסקות בשימושי הנגזרת‪:‬‬
‫‪ )5‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה ‪ f  x   ln x‬בנקודה ‪. A  e,1‬‬
‫‪ln 2 x  a‬‬
‫‪ f  x  ‬בנקודה ‪  1 , 1‬הוא ‪. e‬‬
‫‪ln x  b‬‬
‫‪3‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )7‬הגרפים של הפונקציות ‪ f  x   ln x‬ו ‪ g  x   1‬נחתכים בנקודה ‪ A‬ברביע‬
‫הראשון‪ .‬בנקודה ‪ A‬העבירו משיק ל ‪. f  x  -‬‬
‫מצא את משוואת המשיק והוכח שמשיק זה עובר דרך הראשית‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪ g  x  ‬העבירו משיק בנקודה שבה ‪. x  e2‬‬
‫‪ )8‬לפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫‪ )9‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה ‪ y  x ln  x 2  1‬בנקודה שבה ‪. x  1‬‬
‫שאלות שונות העוסקות בחקירה‪:‬‬
‫ב‪f  x   ln  x 2  .‬‬
‫א‪f  x   ln x .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪f  x   ln  e x  4 ‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪f  x   ln x  1‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ln x  1‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪f  x   log3  x  8x  20 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ln x  2ln x  3‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ )11‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה הבאה‪. f  x   2ln x  x 2 :‬‬
‫‪ )12‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה הבאה‪. f  x   x 2 ln x :‬‬
‫‪2 ln x  1‬‬
‫‪ )13‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ )14‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה הבאה‪. f  x   log24 x  log2 x :‬‬
‫‪a ln x  b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . f  x  ‬הנקודה‬
‫‪2 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e ‬‬
‫הפונקציה‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪. b -‬‬
‫‪133‬‬
‫‪  e2 ,‬היא נקודת קיצון של‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . f  x   a ln x  b ln2 x‬הנקודה ‪  3 e ,  ‬היא נקודת‬
‫‪8‬‬
‫‪ ln x  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫קיצון של הפונקציה‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו‪. b -‬‬
‫‪ )17‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה‪f  x   ln  x  3 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ln x  1‬‬
‫‪2 ln x  1‬‬
‫‪ln x  1‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ln x  2‬‬
‫‪ln 2 x  4‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪x2 1‬‬
‫‪ln 2 x  1‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ )23‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה‪f  x   x ln x  2 :‬‬
‫‪ )24‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   ln x :‬מצא את נקודת הפיתול של הפונקציה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )25‬חקור את הפונקציות הבאות עפ"י הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .3‬מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה וקביעת סוגן‪.‬‬
‫‪ .4‬כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪x  4 x  3ln x‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪y  x ln x‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪y  x ln x .‬‬
‫ג‪y  x ln x  x .‬‬
‫ה‪y  x 2 ln x .‬‬
‫ו‪y  ln  x 2  1 .‬‬
‫‪ )26‬נתונה הפונקציה ‪ . f  x   2 x ln 2 x‬חקור לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫ב‪ .‬מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה וקביעת סוגן‪.‬‬
‫ד‪ .‬נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪134‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ln x  1‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪ . f  x  ‬חקור לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫תחום הגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה וקביעת סוגן‪.‬‬
‫מצא לאלו ערכי ‪ k‬הישר ‪ y  k‬חותך את הפונקציה בשתי נקודות‪.‬‬
‫‪ )28‬נתונה הפונקציה ‪ . f  x   log24 x  log2 x‬חקור לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה וקביעת סוגן‪.‬‬
‫‪ )29‬נתונה הפונקציה‪. f  x   ln x :‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬הוכח כי גרף הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתו‪.‬‬
‫מגדירים פונקציה נוספת‪. g  x   ln x :‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של שני הגרפים‪.‬‬
‫ד‪ .‬הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה ‪ f  x ‬והנקודה ‪ B‬נמצאת על גרף‬
‫הפונקציה ‪ . g  x ‬ידוע כי לנקודות ‪ A‬ו ‪ B-‬אותו שיעור ‪.  xA  xB  , x‬‬
‫מצא את שיעור ה‪ x -‬של שתי הנקודות אם ידוע כי המשיקים לגרפים‬
‫של הפונקציות בנקודות אלו מקבילים‪.‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ f  x  ‬ו‪-‬‬
‫‪ )30‬נתונה שתי הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪. g  x ‬‬
‫א‪ .‬קבע אילו מהמשפטים הבאים נכונים ואלו שגויים‪ .‬נמק זאת ע"י חישוב‬
‫מתאים ותקן במשפטים השגויים את הטעות‪.‬‬
‫‪ .1‬לשתי הפונקציות אותו תחום הגדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬לשתי הפונקציות יש נקודת קיצון מאותו סוג ובעלות שיעור ‪x‬‬
‫זהה‪.‬‬
‫‪ .3‬לשתי הפונקציות תחומי עלייה וירידה זהים‪.‬‬
‫‪ .4‬לשתי הפונקציות יש אסימפטוטות אנכיות‪.‬‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי שתי נקודות‪ ,‬אחת על כל גרף‪ ,‬כך ששיעור ה ‪ x -‬שלהן‬
‫זהה‪ .‬הוכח כי מכפלת שיעורי ה‪ y -‬של כל זוג נקודות כאלו שווה ל‪.1-‬‬
‫‪135‬‬
‫‪ )31‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  ln  x2  6 x  7  :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מהן האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לציר ה ‪? y -‬‬
‫מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫לפניך ‪ 4‬גרפים‪ , III , II , I :‬ו‪ .IV-‬איזה מהגרפים מתאים לפונקציה‬
‫הנתונה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪ )32‬נתונה הפונקציה‪. y  ln  x2  2 x  1 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מהי הא סימפטוטה של הפונקציה המקבילה לציר ה ‪? y -‬‬
‫מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫לפניך ‪ 4‬גרפים‪ , III , II , I :‬ו‪ .IV-‬איזה מהגרפים מתאים לפונקציה‬
‫הנתונה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ה‪ .‬העזר בגרף שבחרת וכתוב את תחומי השליליות של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )33‬לפניך הפונקציה הבאה‪. f  x   ln 1  ln x  :‬‬
‫א‪ .‬מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬הוכח כי הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪2x 1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪. y  ln‬‬
‫כתוב את האסימפטוטות האנכיות של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫הראה כי גרף הפונקציה יורד בכל תחום הגדרתו‪.‬‬
‫‪136‬‬
‫‪ )35‬נתונה הפונקציה הבאה‪. f  x   x  ln3 x  2ln 2 x  :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫הראה כי נגזרת הפונקציה היא‪. f '  x   ln3 x  5ln 2 x  4ln x :‬‬
‫מצא את התחום בו הפונקציה עולה‪.‬‬
‫‪ .1‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪ .2‬מצא את התחום בו הפונקציה חיובית‪.‬‬
‫לפניך ‪ 4‬גרפים‪ .‬קבע איזה מהם מתאר את הפונקציה ‪f  x ‬‬
‫ונמק את בחירתך‪.‬‬
‫‪ )36‬נתונה הפונקציה‪. f  x   ln3 x  3ln x :‬‬
‫א‪ .‬מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ה‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ‪f  x ‬‬
‫עם הפונקציה‪. g  x   ln x :‬‬
‫‪137‬‬
‫‪)37‬‬
‫א‪ .‬פתור את המשוואה הבאה‪. ln  x  e   ln  x e   ln 2  0.5 :‬‬
‫נתונה הפונקציה‪. f  x   ln  x  e   ln  x e  :‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪. x  e :‬‬
‫‪xa‬‬
‫‪ln  x  a ‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪ a , y ‬פרמטר חיובי‪. a  1 ,‬‬
‫הבע באמצעות ‪ a‬את‪:‬‬
‫‪ .1‬תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬הנקודה המקיימת ‪. y '  0‬‬
‫‪ .3‬נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .4‬האסימפטוטה האנכית של הפונקציה‪.‬‬
‫ידוע כי גרף הפונקציה עולה רק בתחום‪ . x  e  2 :‬מצא את ‪. a‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום ‪. x  1‬‬
‫נתון הישר‪ . y  k :‬מצא בסקיצה את תחום הערכים של ‪ k‬עבורו לישר‬
‫ולגרף הפונקציה לא תהיה אף נקודה משותפת‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. y  ln x ‬‬
‫א‪ .1 .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫‪ .2‬יש לגרף הפונקציה אסימפטוטה מקבילה לציר ‪ ? y‬אם כן מצא אותה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של גרף הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪138‬‬
. f ' x 
2
.‫ג‬
 x  1 x  1
f ' x 
2x  3
.‫ב‬
x 2  3x
f ' x 
1
10
1
10

.‫ ו‬. f '( x) 

x ln 2 (2 x  1) ln 3
x ln 2 (2 x  1) ln 3
3x  1 
1  ln x

. f '  x   2 .‫ ג‬f '  x    3x  1  6ln x 

x
x 

1 x
. f '( x) 
.‫ה‬
2 x ln x  x
6 ln x
. f '( x)  2 x ln x(ln x  1) .‫ ג‬. f '  x  
x
3
4
5


.‫) א‬1
x x  2 5x 1
f ' x 
.‫ה‬
ex
.‫ד‬
ex  1
.‫ ב‬. f '( x)  ln x  1 .‫) א‬2
4
x(ln x  2)2
3ln 2 x
.‫ ב‬. f '  x  
x
2(ln x  1)
. f '( x) 
x(ln x  1)3
1
1

e x  ln x   .‫ ה‬2 .‫ ד‬x 2  3ln x  1 .‫ ג‬x  2ln x  1 .‫ב‬
x2
x

2  1
2 ln x  2  3x
2
4
2

.‫ יא‬ln x  1  .‫ י‬4 x ln x .‫ט‬
.‫ח‬
.‫ ז‬e x   2 x ln x 
x
x
x
x
x

3
2

.‫טז‬
x  5 x 1
6
.‫טו‬
2
x 9
. f '( x) 
.‫) א‬3
.‫ד‬
.‫) א‬4
.‫ו‬
4  ln x 
2
2
.‫ יד‬
.‫יג‬
.‫יב‬
2
x  x  2
x 1
x
3
x2  a2  x
1
e ln x
.‫כא‬
.‫כ‬
.‫יט‬
2 x ln x
2 x ln x
x x2  a2  x2  a2
2x
x2 1
1  3ln 3 x
5
1
2  ln x
.‫כו‬
.‫כה‬
.‫כד‬
.‫כג‬
2
2
3x
3 1  25x 
2  x 2  1
x x
ln  x 2   2
ln x  4
3ln 2 x  ln 3 x
.‫ל‬
.‫כט‬
.‫כח‬
ln 5 x
x2
ln 2  x 2 
. a  2 , b  2 )6
. max 1,  1
.‫ד‬
1
e
. y  x )5
.‫יח‬
1
.‫יז‬
2x
1
.‫כב‬
4  2x
2 ln x  ln 2 x
.‫כז‬
x2
.
2  ln 4 x  1
.‫לא‬
x ln 3 x
2
6
1
. y  ln 2  x  x 1 )9 y   4 x  2 )8 y  x )7
e
e
e
. x  ln 4 .‫ ד‬. x  2 ‫ או‬10  x .‫ ג‬. x  0 .‫ ב‬. x  0 .‫) א‬10
)11 . x  e .‫ ז‬. x  e3 , e1 ‫ וגם‬0  x .‫ ו‬. 0  x  e .‫ה‬
1
1
 1
. min( ,  ) )12


e 2e
. x  3 )17 . a  1 , b  1 )16 . a  1 , b  1 )15
. min(4, 1) )14 . max  e,  ,‫ קצה‬min( e , 0) )13
e
.,  0, 2  , y  2 , x 
1
‫) נקודת אי הגדרה‬19 . y  0 , x  e  0, 0  ‫) נקודת אי הגדרה‬18
e
1  1
. y  0 , x  0 )21 y  0 , x  2 ,  e2 ,  ‫) נקודת אי הגדרה‬20
e  4
139
‫‪‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪ )22‬נקודת אי הגדרה ‪ )23 .  0, 0 ‬נקודת אי הגדרה ‪ )24 .  0, 2 ‬‬
‫‪2 e3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )25‬א‪ .4 max 1, 3.5 , min  3,ln 27  7.5 .3 x  0 .1 .‬עולה‪0  x  1 , x  3 :‬‬
‫‪.  e3 ,‬‬
‫יורדת‪.1  x  3 :‬‬
‫ב‪.3 1, 0  .2 x  0 .1 .‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .4 min  e , e‬עולה‪ x  e :‬יורדת‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.0  x  e‬‬
‫ג‪ .4 min 1, 1 .3  e, 0  .2 x  0 .1 .‬עולה‪ x  1 :‬יורדת‪. 0  x  1 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ד‪ .4 min  e2 ,   .3 1, 0  .2 x  0 .1 .‬עולה‪ x  e2 :‬יורדת‪. 0  x  e2 :‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫ה‪,   .3 1, 0  .2 x  0 .1 .‬‬
‫‪e 2e ‬‬
‫ו‪ .1 .‬כל ‪min  0,0  .3  0, 0  .2 x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x ‬יורדת‪:‬‬
‫‪ .4 min ‬עולה‪:‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .4‬עולה‪ x  0 :‬יורדת‪. x  0 :‬‬
‫‪.0  x ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 8‬‬
‫‪ )26‬א‪ . 0  x .‬ב‪max  2 , 2  , min 1, 0  .‬‬
‫ג‪ .‬עלייה‪ 1  x :‬או ‪2‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e e ‬‬
‫‪1‬‬
‫ירידה‪ . 2  x  1 :‬ד‪. (1, 0) .‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )27‬א‪ 0  x  e .‬ב‪ . min(e , e ) .‬ג‪ .‬עלייה‪ , e  x :‬ירידה‪ 0  x  e :‬וגם ‪. x  e‬‬
‫‪,0  x ‬‬
‫ד‪ .‬אין‪ .‬ו‪. k  e2 .‬‬
‫‪ )28‬א‪ . 0  x .‬ב‪ . min(4, 1) .‬ג‪ .‬עלייה‪ , 4  x :‬ירידה‪ 0  x  4 :‬ד‪. (1,0) , (16,0) .‬‬
‫‪ . f '( x) ‬ג‪ . 1,0  ,  e,1 .‬ד‪. x  4 e .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )29‬א‪ . x  1 .‬ב‪ .‬מתקבל‪ 0 :‬‬
‫‪2 x ln x‬‬
‫‪ )30‬א‪ .1 .‬לא נכון‪ .‬תחום ההגדה של )‪ f ( x‬הוא‪ x  0 , x  1 :‬ותחום ההגדרה‬
‫של )‪ g ( x‬הוא‪. x  0 :‬‬
‫‪ .2‬לא נכון‪ .‬לשתי הפונקציות נקודת קיצון שבה ‪ x  e‬אך עבור )‪f ( x‬‬
‫מדובר במינימום ועבור )‪ g ( x‬מדובר במקסימום‪.‬‬
‫‪ .3‬לא נכון‪ .‬עבור )‪ : f ( x‬עולה‪ x  e :‬יורדת‪. x  1 , 0  x  e :‬‬
‫ועבור )‪ : g ( x‬עולה‪ 0  x  e :‬יורדת‪. x  e :‬‬
‫‪ .4‬נכון‪.‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.y‬‬
‫‪ y ‬ו‪-‬‬
‫ב‪ .‬לגבי כל נקודה נאמר כי שיעור ה‪ y -‬שלה הוא‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪x ln x‬‬
‫‪‬‬
‫נכפול‪ 1 :‬‬
‫‪.y‬‬
‫‪ln x x‬‬
‫‪ )31‬א‪ x  1 , x  7 .‬ב‪ . x  7, 1 .‬ג‪ .‬עולה‪ x  7 :‬יורדת‪. x  1 :‬‬
‫ד‪ .III .‬הסבר‪ :‬באיורים ‪ I‬ו‪ II-‬גרף הפונקציה לא בתחום‪.‬‬
‫באיור ‪ IV‬תחומי העלייה והירידה הפוכים‪.‬‬
‫‪ )32‬א‪ x  1 .‬ב‪ x  1 .‬ג‪ .‬עולה‪ x  1 :‬יורדת‪x  1 :‬‬
‫ד‪ .I .‬הסבר‪ :‬באיור ‪ II‬תחומי העלייה והירידה הפוכים‪.‬‬
‫באיורים ‪ III‬ו‪ IV-‬יש אסימפטוטה מיותרת‪ .‬ה‪. x  1 ,  2  x  0 .‬‬
‫‪140‬‬
.) x  0 ‫ וגם‬1  ln x  0 :‫ הם‬.‫ה‬.‫ (שימו לב כי תנאי ת‬. 0  x  e .‫) א‬33
. 1, 0  .‫ ג‬.‫ה‬.‫ ולכן הפונקציה יורדת בת‬- f '( x) 
 1x
1  ln x

1
 0 .‫ב‬
x 1  ln x 
1
2
.  2, 0  .‫ג‬. x   ,1 .‫ ב‬. x  
. y' 
1
, x  1 .‫) א‬34
2
3
 0 :‫ מתקבל‬.‫ד‬
 2 x  1 x  1
. x  1 , e4  x  e1 .‫) ב‬35
.‫ה‬.‫ לא קיימת עקב ת‬x  0 :‫ הנקודה שבה‬. 1, 0  ,  e2 , 0  :‫ נקודות והן‬2 .1 .‫ג‬
. x  1 , x  e2 .2
.‫ – בראשית הצירים יש חור ולא אסימפטוטה‬III .‫ד‬
.‫שאר הנתונים כפי שהתקבלו בסעיפים הקודמים‬

 

. Min  e, 2 , Max  e1 , 2  .‫ ג‬. 1, 0  , e 3 , 0 , e 3 , 0 .‫ ב‬. x  0 .‫) א‬36
. 1, 0 ,  e2 , 2  ,  e2 , 2  .‫ה‬
.y
1
e
x  ln 2 .‫ ג‬. y ' 
 0 :‫ מתקבל‬.‫ ב‬. x  e .‫) א‬37
2e
x  x  e

a 
. x  1  a .4 .  0,
 .3 .  e  a, e  .2 . x  a , x  1  a .1 .‫) א‬38
 ln a 
k  e .‫ד‬
a  2 .‫ב‬
. 0  x  1 :‫ יורדת‬x  1 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min 1,1 .‫ ב‬x  0 .2 x  0 .1 .‫) א‬39
141
‫סקיצות לשאלות‪:‬‬
‫‪) 27‬‬
‫‪)26‬‬
‫‪) 34‬‬
‫‪)28‬‬
‫‪)38‬‬
‫‪)36‬‬
‫‪142‬‬
‫‪)33‬‬
‫פרק ‪ - 5‬חשבון אינטגרלי של פונקציות פולינומית‪,‬‬
‫רציונאלית‪ ,‬אי‪-‬רציונאלית וטריגונומטרית‪:‬‬
‫סיכום כללי האינטגרציה‪:‬‬
‫הגדרה וחוקים יסודיים‪:‬‬
‫כלל האינטגרציה של פונקציה פולינומית‪ n  1 :‬‬
‫‪ax n1‬‬
‫עבור מקדם קבוע ‪ a‬נקבל‪ c :‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪x n 1‬‬
‫‪c ,‬‬
‫‪.  x dx ‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪.  n  1 ,  ax n dx ‬‬
‫חישוב שטחים באמצעות האינטגרל (מקרים פרטיים)‪:‬‬
‫‪ .1‬שטח הכלוא בין גרף פונקציה וציר ה‪: x -‬‬
‫‪b‬‬
‫‪S   f  x  dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ .2‬שטח הכלוא בין שני גרפים כך שגרף אחד כולו מעל השני‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪S1    g  x   f  x   dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪S 2    f  x   g  x   dx‬‬
‫‪b‬‬
‫‪S  S1  S2‬‬
‫‪ .3‬שטח הכלוא בין שני גרפים וציר ה ‪: x -‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪S   f  x  dx   g  x  dx‬‬
‫‪c‬‬
‫‪143‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫חישוב נפחים באמצעות האינטגרל‪:‬‬
‫‪ .1‬נפח הגוף שנוצר עקב סיבוב הפונקציה ‪ f  x ‬סביב ציר‬
‫ה ‪ x -‬בגבולות‪ x  a :‬ו‪ x  b -‬נתון ע"י האינטגרל הבא‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪. V     f  x   dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ .2‬בפרט עבור גוף הנ וצר ע"י בסיס שטח הכלוא בין הגרפים‬
‫של הפונקציות ‪ f  x ‬ו‪ g  x  -‬נקבל את הנוסחה הבאה‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. V     f  x     g  x    dx‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫אינטגרלים טריגונומטריים‪:‬‬
‫‪  cos x  dx  sin x  c‬‬
‫‪dx  cot x  c‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫;‬
‫‪  sin‬‬
‫‪  sin x  dx   cos x  c‬‬
‫; ‪dx  tan x  c‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ cos‬‬
‫שאלות לפי נושאים‪:‬‬
‫שאלות יסודיות – חישובי אינטגרלים‪:‬‬
‫‪ )1‬מצא את האינטגרלים הבאים‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪ x dx  .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪dx ‬‬
‫‪4‬‬
‫ה‪ 2 x5 dx  .‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫ז‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪5 4‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪16‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4 x  dx ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )2‬מצא את האינטגרלים הבאים‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪ x dx  .‬‬
‫‪12x dx ‬‬
‫‪ 2x dx ‬‬
‫‪ 7dx ‬‬
‫‪  4 x3‬‬
‫‪‬‬
‫‪2ax‬‬
‫‪2‬‬
‫ח‪  5  ax  b  b dx  .‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 dx ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 2 x  x  2 dx ‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 a x‬‬
‫‪ 1‬‬
‫ג‪  2  4  3  dx  .‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x a‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪144‬‬
:‫) מצא את האינטגרלים הבאים‬3

x dx  .‫ב‬
1
 x 2 dx  .‫א‬
 4

 3 x dx  .‫ד‬

 x

 1
dx 

 x
.‫ג‬

18
dx 
2

  6 x  5
.‫ג‬
 3  2  7x 

4
  5x 1 dx 
dx  .‫ב‬
3
.‫א‬
1

dx  .‫ד‬

 6x  3
ax  b dx  .‫ה‬
:‫) מצא את תוצאת החילוק‬5
x  x  x  14 x  3

x3
4
3
2
x  x  3x  5
 .‫ב‬
x 1
x3  5 x 2  4 x  20
 .‫ה‬
x5
3
.‫ג‬
x 2  5 x  14
 .‫א‬
x2
x3  4 x 2  9
 .‫ד‬
x 3
2
2
 x  5 x  14 dx  .‫א‬

x2

4
3
2
 x  x  x  14 x  3 dx  .‫ג‬

x3

3
2
 x  5 x  4 x  20 dx  .‫ה‬

x5

 x  x  3x  5 dx  .‫ב‬

x 1

3
2
 x  4 x  9 dx  .‫ד‬

x 3

5
4
2
 2 x  x  4 x  1 dx  .‫ו‬

2x 1

3
2

x2
dx 
 2
2
  x  4 x  1
 8x  x
2
 1 dx 
3
.‫ג‬

x
dx  .‫ב‬

2
 3
  x  6
.‫ו‬
 6x  3
dx  .‫ה‬

 x  x2
2

2x
dx  .‫א‬
 2
2
  x  1



x 2
  2  x  6x  x 
2
145
x
2
3 2
dx 
.‫ד‬
dx 
.‫ז‬
:‫) חשב את האינטגרלים הבאים‬8

4
  cos3x  2sin 4 x  cos
2

 dx .‫ב‬
3x 

4
  sin x  3cos x  cos
2

 5  dx .‫א‬
x


1  cos 2 x 
sin


x

    cos2 x  dx .‫ג‬
:)‫) חשב את האינטגרלים הבאים (שימוש בזהויות‬9
 sin 3x cos3x  dx
  2sin x cos x  dx
.‫ב‬
 sin
  sin x  dx  .‫ד‬
2
4
.‫א‬
x  cos 4 x  dx .‫ג‬
  sin x 

 dx 
2
  cos x 
  cos x 

 dx 
  sin x 
.‫ב‬
.‫א‬
  cos x sin x  dx  .‫ג‬
2
1
 cos
  cos
2
  sin 2 x  4cos 3 dx
.‫א‬
x  sin 2 x dx
.‫ד‬
 sin
1
dx
10 x
.‫ג‬
x  sin 4 x dx
.‫ה‬
 sin x cos x cos  2 x  dx
.‫ז‬
4x

2
2
4
x
.‫ב‬
 sin x  cos x  dx
 tan xdx
 sin  7 x  cos 5x  dx
 sin

dx
2

x  cos 4 x dx
 sin
 sin
 sin
.‫ח‬
.‫יב‬
4xdx
.‫יד‬
3
4xdx
.‫טז‬
4
2xdx
.‫יח‬
4

1
.‫י‬
2
sin 5 x  sin x
  cos
.‫ו‬
2
  sin x cos x 
dx
.‫ט‬
  cos x cos 2 x  sin x sin 2 x  dx
 cos xdx
 cos xdx
 cos xdx
.‫יא‬
2
2
.‫יג‬
3
.‫טו‬
4
.‫יז‬
1  cos 2 x
 sin 4 x  sin 2 x dx
.‫כ‬
 1  cos 2 x dx
.‫יט‬
1  cos3 x
 cos2 x dx
2
.‫כב‬
sin 3 x
 1  cos x dx
.‫כא‬
 sin
146
2
x cos4 xdx
.‫כג‬
‫שאלות יסודיות – מציאת פונקציה קדומה‪:‬‬
‫‪ )12‬נתונה נגזרת של פונקציה‪. f '  x   3x2  7 :‬‬
‫מצא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה ‪.  2, 1‬‬
‫‪ )13‬נתונה נגזרת של פונקציה‪. f '  x   2 x  6 :‬‬
‫ערך הפונקציה בנקודת הקיצון שלה הוא ‪ .5‬מצא את הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )14‬הנגזרת של פונקציה ‪ f  x ‬היא‪ . f '  x   x2  8x  2 :‬נתון‪. f  2   1 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. f  x ‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x  1‬‬
‫‪ )15‬נתונה הנגזרת של פונקציה ‪. f '  x   9 x2  4 : f  x ‬‬
‫ערך הפונקציה בנקודה ‪ x  1‬הוא ‪.3‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪. f  x ‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של המשיק עם הצירים‪.‬‬
‫‪ )16‬הנגזרת של פונקציה ‪ f  x ‬היא‪. f '  x   2 x  3 :‬‬
‫לפונקציה משיק ששיפועו הוא ‪.- 3‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של נקודת ההשקה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ f  x ‬אם ידוע כי ערך הפונקציה באותה הנקודה הוא ‪.7‬‬
‫‪ )17‬הנגזרת של פונקציה ‪ f  x ‬היא‪. f '  x   6 x  5 :‬‬
‫המשיק לפונקציה בנקודה ‪ A‬יוצר זווית של ‪ 45‬עם הכיוון החיובי של ציר ה‪. x -‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ f  x ‬אם ידוע כי ערך הפונקציה באותה הנקודה הוא ‪.- 6‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫‪ )18‬הנגזרת של פונקציה ‪ f  x ‬היא‪. f '  x   3x  4 :‬‬
‫הישר ‪ y  2 x  5‬משיק לגרף הפונקציה‪ .‬מצא את ‪. f  x ‬‬
‫‪ )19‬נתונה הנגזרת השנייה של פונקציה‪ . f ''  x   6 x  6 :‬שיפוע הפונקציה בנקודת‬
‫הפיתול שלה הוא ‪ - 12‬וערך הפונקציה בנקודה זו הוא ‪ .1‬מצא את הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )20‬נתונה הנגזרת השנייה של הפונקציה ‪. f ''  x   8x  6 : f  x ‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ f '  x ‬אם ידוע כי לפונקציה יש נקודת קיצון ב ‪. x  2 -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ f  x ‬אם ידוע כי ערך הפונקציה בנקודת הקיצון הוא ‪.2/3‬‬
‫‪147‬‬
‫‪ )21‬נתונה הנגזרת השנייה של הפונקציה ‪. f ''  x   2 x  3 : f  x ‬‬
‫א‪ .‬שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה שבה ‪ x  1‬הוא ‪ .4‬מצא את ‪. f '  x ‬‬
‫ב‪ .‬ערך הפונקציה בנקודת ההשקה הוא ‪ .5‬מצא את ‪. f  x ‬‬
‫‪ )22‬נתונה הנגזרת השנייה של פונקציה‪. f ''  x   1  83 :‬‬
‫‪x‬‬
‫המשיק לפונקציה בנקודת הפיתול שלה הוא הישר ‪ . y  4‬מצא את הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )23‬נתונה נגזרת של פונקציה‪. f '  x   x  2  x  1  2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה שבה‬
‫‪3‬‬
‫‪ y  5‬הוא ‪ .3‬מצא את הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )24‬נתונה נגזרת של פונקציה‪. f '  x   cos x  4sin 2 x :‬‬
‫‪‬‬
‫מצא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה ‪.  ,1 ‬‬
‫‪6 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )25‬נתונה הנגזרת השנייה של פונקציה‪. f ''  x   4sin 2 x  cos x :‬‬
‫שיפוע הפונקציה בנקודה ‪  ,  ‬הוא ‪ .3‬מצא את הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )26‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪. f '( x)  cos x  sin x :‬‬
‫א‪ .‬ידוע כי הפונקציה המקורית עוברת בראשית הצירים‪.‬‬
‫הוכח כי הנגזרת )‪ f '( x‬והפונקציה המקורית )‪ f ( x‬מקיימות את‬
‫המשוואה‪. f ( x)  f '( x)  2sin x  1 :‬‬
‫ב‪ .‬מגדירים פונקציה חדשה )‪ g ( x‬באופן הבא‪. g ( x)  f ( x)  f '( x) :‬‬
‫‪ .1‬מצא את נקודת המקסימום הנמצאת ברביע הראשון והקרובה‬
‫ביותר לציר ה ‪ y -‬של הפונקציה )‪. g ( x‬‬
‫‪ .2‬מצא את נקודת המקסימום הנמצאת ברביע הראשון והקרובה‬
‫ביותר לציר ה ‪ y -‬של הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫‪ .3‬כתוב את משוואת הישר העובר דרך שתי הנקודות שמצאת‪.‬‬
‫האינטגרל המסוים‪:‬‬
‫‪ )27‬בסרטון זה מוסבר האינטגרל המסוים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫חשב את האינטגרל המסוים הבא‪.   x 2  6 x  1 dx :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪148‬‬
‫חישובי שטחים – פונקציה פולינומית‪:‬‬
‫‪ )28‬בסרטון זה מוסבר כיצד להשתמש באינטגרל המסוים‬
‫כדי לחשב שטחים‪.‬‬
‫נתונה הפונקציה‪. y  2 x  4 :‬‬
‫חשב את השטח המוגבל שמתחת הישר‪,‬‬
‫ציר ה ‪ x -‬והישרים ‪ x  1‬ו ‪. x  2 -‬‬
‫‪ )29‬חשב את השטח המוגבל בין גרף‬
‫הפונקציה‪ , f ( x)  x 2  2 x  3 :‬ציר ה‪x -‬‬
‫והישרים ‪ x  1‬ו ‪. x  3 -‬‬
‫‪ )30‬נתונה הפונקציה ‪. y   x  3‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה לצירים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )31‬נתונה הפונקציה‪. y   x2  4 x  5 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה‬
‫עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪,‬‬
‫ציר ה ‪ x -‬וציר ה‪. y -‬‬
‫‪ )32‬נתונה הפונקציה ‪. y   x2  4‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה לציר ה ‪. x -‬‬
‫‪149‬‬
‫‪ )33‬מצא את השטח המוגבל תחת הפונקציה‪f ( x)  x3  2 x 2  x :‬‬
‫וציר ה‪ x -‬כמתואר באיור‪:‬‬
‫‪ )34‬נתונה הפונקציה ‪. y  x2  4 x  8‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין גרף‬
‫הפונקציה‪ ,‬הצירים וקדקוד הפרבולה‪.‬‬
‫‪ )35‬בסרטון זה מוסבר כיצד לחשב שטח שמתחת לציר ה‪. x -‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪. y  x2  x  6‬‬
‫חשב את השטח המוגבל שמתחת‬
‫לפונקציה ולצירים שברביע הרביעי‪.‬‬
‫‪ )36‬נתונה הפונקציה ‪. f ( x)  x  4  x 2 ‬‬
‫חשב את השטח המוגבל שמתחת‬
‫הפונקציה וציר ה‪ x -‬שברביע השלישי‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )37‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x 4  2 x 2 :‬‬
‫חשב את השטח המוגבל שבין הפונקציה לציר ה‪. x -‬‬
‫‪ )38‬חשב את האינטגרל המסוים של‬
‫הפונקציה ‪ y  x2  6 x  5‬בין ‪ 0‬ל‪.5-‬‬
‫האם התוצאה מייצגת את סכום השטחים‪? S1  S2 :‬‬
‫אם כן‪ ,‬הסבר‪ .‬אם לא‪ ,‬נמק וחשב את סכום זה‪.‬‬
‫‪150‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )39‬א‪ .‬חשב את ערך האינטגרל הבא‪.    x3  1 dx :‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה‪. f  x    x3  1 :‬‬
‫מעבירים ישרים‪ x  2 :‬ו‪ x  2 -‬כך‬
‫שנוצרים השטחים ‪ S1‬ו‪ S 2 -‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫חשב את סכום השטחים‪ S1  S2 :‬והסבר‬
‫מדוע תוצאת החישוב שונה מסעיף א'‪.‬‬
‫‪ )40‬נתונה הפונקציה‪. y  x3  x2  2 x :‬‬
‫יוצרים את השטחים ‪ S1‬ו‪ S 2 -‬בין גרף הפונקציה‬
‫וציר ה‪ x -‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה‪. x -‬‬
‫‪ )41‬נתונות הפונקציות‪f  x   x 2  1 , g  x   7  x 2 :‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין הגרפים של‬
‫הפונקציות הנ"ל‪.‬‬
‫‪ )42‬נתונות הפונקציות‪. y   x  9 ; y   x  3 :‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )43‬נתונות הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪. f  x   x2  4 x  12 , g  x   x  6‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין הגרפים‬
‫של הפונקציות הנ"ל‪.‬‬
‫‪ )44‬נתונה הפונקציה‪. y  3x2  6 x  9 :‬‬
‫א‪ .‬מצא נקודות חיתוך של הפונקציה‬
‫עם הצירים (נסמנן ב‪ A-‬ו‪.)B-‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה לישר ‪.AB‬‬
‫‪151‬‬
‫‪ )45‬נתונה הפרבולה‪ y   x2  6 x :‬והישר ‪. y  5‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין גרף הפרבולה לישר‪.‬‬
‫‪ )46‬חשב את השטח המוגבל בין גרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪. y  x2  4 x ; y   x2  6‬‬
‫‪ )47‬נתונה הפונקציה‪. f  x   x3 :‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪,‬‬
‫הישר ‪ y  8‬וציר ה‪ y -‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫‪ )48‬נתונות הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪. g  x    x  4 ; f  x    x2  4 x‬‬
‫מסמנים את השטח הכלוא בין שני הגרפים וציר ה ‪ y -‬ב‪, S1 -‬‬
‫ואת המשך השטח הכלוא בין הגרפים ב‪ S 2 -‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪S1‬‬
‫חשב את היחס שבין השטחים‪:‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )49‬נתונה הפונקציה‪ f ( x)  x3  4 x  5 :‬והישר ‪. y  5‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה והישר‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל ביניהן‪.‬‬
‫‪ )50‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x3  3x2  3x :‬‬
‫הישר ‪ AC‬חותך את גרף הפונקציה‬
‫בנקודות הבאות‪. A  0, 0 , B 1,1 , C  2, 2  :‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה לישר ‪.AC‬‬
‫‪152‬‬
‫‪ )51‬נתונות הפונקציות‪ f  x    x  2 :‬ו‪ g  x     x  2  -‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬התאם בין הפונקציות לגרפים ‪ I‬ו‪.II-‬‬
‫ב‪ .‬מסמנים את השטחים שבין כל פונקציה והצירים ב ‪S1 -‬‬
‫ו‪ S 2 -‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫הראה כי השטחים ‪ S1‬ו‪ S 2 -‬שווים זה לזה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )52‬בסרטון זה מוסבר כיצד לחשב שטח של פונקציה ללא גרף נתון‪.‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות‪. f  x   x3 , g  x   x :‬‬
‫‪ )53‬חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה ‪ f  x   x3  4 x‬לציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )54‬מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪y  x 2 :‬‬
‫לבין גרף הפונקציה‪. y  2 x  x2 :‬‬
‫‪ )55‬בסרטון זה מוסבר מהו שטח מורכב‪.‬‬
‫נתונות שתי פונקציות‪:‬‬
‫‪. f  x   x2  2x  1 , g  x   x2  6x  9‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות‬
‫ובין ציר ה‪. x -‬‬
‫‪ )56‬הפונקציות המתוארות בשרטוט הן‪. y  3x ; y  x2  4x  6 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את קדקוד הפרבולה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא נקודת חיתוך של הפרבולה עם הישר‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המסומן שבשרטוט‪.‬‬
‫‪ )57‬נתונות הפונקציות‪. y  x2  4x  14 , y  x2  4 x  6 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי ה‪ x -‬של קדקודי הפרבולות‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את נקודת החיתוך בין שתי הפונקציות‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המסומן בשרטוט‪.‬‬
‫‪ )58‬נתונות הפונקציות‪. f ( x)  ( x  3)2 , g ( x)  ( x  3)2 :‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות וציר ה ‪. x -‬‬
‫‪153‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )59‬נתונות שתי הפונקציות‪, y   x  2  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.y x‬‬
‫א‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות לציר ה ‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות לציר ה ‪. y -‬‬
‫‪ )60‬נתונות הפונקציות‪. y  x2 , y  8  x2 :‬‬
‫חשב את השטח המוגבל על ידי שתי הפונקציות‬
‫וציר ה‪ x -‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪ )61‬נתונה הפרבולה‪. y   x2  4 x  3 :‬‬
‫מעבירים ישר המקביל לציר ה ‪ x -‬מקדקוד הפרבולה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי קדקוד הפרבולה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין גרף‬
‫הפונקציה‪ ,‬הישר והצירים‪.‬‬
‫‪ )62‬נתונות הפרבולות הבאות‪:‬‬
‫‪. f ( x )   x 2  5 x , g ( x)   x 2  3 x‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין הגרפים‬
‫של הפרבולות וציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )63‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)  x2  6 x  12 :‬ישר העובר בראשית הצירים‬
‫חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה ‪ x  4‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הישר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך השנייה של הישר והפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין הישר‪ ,‬גרף הפונקציה‪,‬‬
‫ציר ה ‪ x -‬והישר ‪. x  4‬‬
‫‪ )64‬נתונה הפונקציה‪. y  2 x2 :‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה מהנקודה‪. A 1, 2  :‬‬
‫המשיק חותך את ציר ה ‪ x -‬בנקודה ‪.B‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה‪ ,‬המשיק וציר ה ‪. x -‬‬
‫‪154‬‬
‫‪ )65‬נתונה הפונקציה‪. y  3x2  2 :‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה (‪.)1,5‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה‪ ,‬המשיק וציר ‪. y‬‬
‫‪ )66‬נתונה הפונקציה‪. f  x    x  2 :‬‬
‫מנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪ y -‬מעבירים משיק‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין המשיק‪ ,‬גרף הפונקציה‬
‫וציר ה‪( x -‬השטח המסומן)‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )67‬נתונה הפונקציה ‪. y   x2  4‬‬
‫בנקודה (‪ )1,3‬העבירו משיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין הפונקציה‪,‬‬
‫המשיק וציר ה ‪. y -‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה‪,‬‬
‫המשיק וציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )68‬משוואת הפרבולה היא‪. f ( x)  2 x2  3x  2 :‬‬
‫הנקודות ‪ B  2, 0  , C  0, 2 ‬הן נקודות חיתוך של הפרבולה‬
‫עם הצירים‪ .‬המשיק לפרבולה בנקודה ‪ D‬מקביל לישר ‪.BC‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין הפרבולה‪ ,‬המשיק וציר ה ‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין הפרבולה‪ ,‬המשיק וציר ה ‪. y -‬‬
‫‪ )69‬נתונה הפונקציה‪. y   x  4  :‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה דרך הנקודה שבה‪. x  6 :‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי גרף‬
‫הפונקציה‪ ,‬המשיק וציר ה ‪. x -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪155‬‬
‫שאלות עם פרמטר‪:‬‬
‫‪ )70‬נתונה הפרבולה‪. y  ax2  8 :‬‬
‫שיפוע המשיק לגרף הפרבולה בנקודה שבה ‪ x  2‬הוא ‪.-2‬‬
‫א‪ .‬חשב את ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי המשיק‪,‬‬
‫הפרבולה וציר ‪. y‬‬
‫‪y  ax 2‬‬
‫‪ a ( ,‬פרמטר)‪.‬‬
‫‪ )71‬הפונקציה המתוארת בשרטוט היא‪:‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא ריבוע‪.‬‬
‫הקדקוד ‪ B‬נמצא על גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ידוע כי אורך צלע הריבוע היא ‪ 2‬יחידות‪.‬‬
‫מצא את ערך הפרמטר ‪ a‬ואת השטח המסומן בסרטוט‪.‬‬
‫‪ )72‬נתונה הפונקציה ‪. y  x3‬‬
‫מעבירים אנך לציר ה‪ a ( x  a : x -‬פרמטר חיובי) כך שנוצר‬
‫שטח הכלוא בין האנך‪ ,‬גרף הפונקציה וציר ה‪. x -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את השטח המקווקו בציור‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ‪ a‬אם ידוע כי שטח זה שווה ל ‪. a 2 -‬‬
‫‪ )73‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   kx  x2 :‬הישר ‪ y  9‬חותך את גרף‬
‫הפונקציה בשתי נקודות‪.‬‬
‫ידוע כי שיעור ה‪ x -‬של אחת מנקודות החיתוך הוא ‪. x  9‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך השנייה בין שני הגרפים‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪,‬‬
‫הישר וציר ה‪( x -‬השטח המסומן)‪.‬‬
‫חישובי שטחים כאשר נתונה נגזרת הפונקציה‪:‬‬
‫‪ )74‬נגזרת הפונקציה ‪ f  x ‬היא‪. f '  x   3x2  8x  12 :‬‬
‫הישר ‪ y  5‬חותך את גרף הפונקציה ‪ f  x ‬על ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין הישר והפונקציה‪.‬‬
‫‪156‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ )75‬הנגזרת של הפונקציה ‪ f  x ‬המתוארת באיור שלפניך היא‪. f '  x   3  2 x :‬‬
‫ישר ‪ AB‬שמשוואתו‪ y  6 :‬חותך את גרף הפונקציה ‪ f  x ‬בנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫מנקודות אלו מורידים אנכים לציר ה ‪ x -‬כך שנוצר מלבן ‪.ABCD‬‬
‫ידוע ששיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬הוא ‪.4‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪,‬‬
‫המלבן וציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )76‬באיור שלפניך מתוארות הפונקציות שנגזרותיהן‪:‬‬
‫‪. f '  x   4  2 x , g '  x   2 x  1‬‬
‫ידוע ששתי הפונקציות חותכות את ציר ה‪ x -‬כאשר‪. x  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של שתי‬
‫הפונקציות וציר ה‪( x -‬המסומן)‪.‬‬
‫‪ )77‬נתונה פונקציה ‪ . f  x ‬משוואת המשיק לפונקציה ‪ f  x ‬בנקודה‬
‫שבה‪ x  2 :‬היא‪. y  x  13 :‬‬
‫הנגזרת של הפונקציה היא‪. f '  x   4 x  7 :‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין המשיק‪ ,‬גרף הפונקציה וציר ה ‪. y -‬‬
‫‪ )78‬נתונה פונקציה ‪ f  x ‬שנגזרתּה היא‪. f '  x   3x2  6 x  9 :‬‬
‫ישר ששיפועו ‪ 15‬משיק לפונקציה ברביע הרביעי בנקודה שבה‪. y  20 :‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫ב‪ .‬האם יש עוד משיקים לגרף הפונקציה בעלי שיפוע ‪?15‬‬
‫אם כן ‪ -‬מצא אותם‪.‬‬
‫ג‪ .1 .‬הראה כי הנקודה שבה ‪ x  7‬משותפת למשיק שמצאת‬
‫‪x‬‬
‫בסעיף הקודם ולפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫‪ .2‬מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה והמשיק שמצאת‬
‫בסעיף הקודם (ראה איור)‪.‬‬
‫‪157‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )79‬באיור שלפניך חותך גרף הפונקציה‪ f ( x)  x2 :‬את גרף‬
‫הפונקציה )‪ g ( x‬בנקודה שבה ‪. x  2‬‬
‫הנגזרת של הפונקציה )‪ g ( x‬היא‪. g '( x)  2 x  8 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. g ( x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים וציר ה‪( x -‬המסומן)‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ )80‬באיור שלפניך מתוארים גרף הפונקציה ‪ f  x ‬והישר‪. y  2 x :‬‬
‫נגזרת הפונקציה ‪ f  x ‬היא‪ f '  x   2 x  6 :‬וידוע הישר חותך את‬
‫הפונקציה בנקודה שבה ערך ה‪ y -‬הוא ‪.16‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬האם יש לגרף הפונקציה ולישר עוד נקודות חיתוך? אם כן מצא אותן‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה והישר‪.‬‬
‫חישובי שטחים – פונקציה רציונאלית‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )81‬נתונות שתי פונקציות‪, g  x   x :‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות‪,‬‬
‫הישר ‪ x  2‬וציר ה‪. x -‬‬
‫‪)82‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪‬‬
‫מבין כל המשיקים לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 2 x3‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪y‬‬
‫מצא את משוואת המשיק ששיפועו מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה‬
‫והמשיק שמצאת בסעיף א'‪ .‬חשב את השטח הכלוא‬
‫בין גרף הפונקציה‪ ,‬המשיק ואנך לציר ה‪ x -‬היוצא‬
‫מנקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2  2x‬‬
‫‪f  x  2 , g  x ‬‬
‫‪ )83‬נתונות שתי פונקציות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x2‬‬
‫הישר ‪ x  2‬וציר ה‪. x -‬‬
‫‪158‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )84‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪f  x   2 x 2 :‬‬
‫‪a‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ a) , g  x  ‬קבוע) בתחום‪ . x  0 :‬ידוע כי הגרפים נחתכים‬
‫ברביע הראשון בנקודה הנמצאת על הישר‪. y  4 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הגרפים ואת ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והישר‪. x  4 :‬‬
‫‪a  x2‬‬
‫‪ )85‬גרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫‪ a) f ( x) ‬קבוע) חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה ‪.  6, 0 ‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪,‬‬
‫ציר ה ‪ x -‬והישר‪. x  2 :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2 x  A‬‬
‫‪ A) , f  x  ‬פרמטר)‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫ידוע כי שיפוע הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪ y -‬הוא‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. A‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪f  x‬‬
‫‪.‬‬
‫כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת‬
‫החיתוך עם ציר ה‪. y -‬‬
‫הראה כי המשיק חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה‪. x  4.5 :‬‬
‫העבר ישר אופקי מנקודת החיתוך של המשיק וגרף הפונקציה מהסעיף הקודם‪.‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך הנוספת של ישר זה עם גרף הפונקציה‪.‬‬
‫חשב את השטח כלוא בין המשיק‪ ,‬הישר וגרף הפונקציה (היעזר באיור)‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫חישובי שטחים – פונקצית שורש‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )87‬באיור שלפניך נתונה הפונקציה‪ x :‬‬
‫‪x‬‬
‫מעבירים ישר‪ y  4 x :‬החותך את גרף הפונקציה‬
‫‪. f  x ‬‬
‫בנקודה ‪ A‬המסומנת באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ‪, f  x ‬‬
‫הישר ‪ , y  4 x‬ציר ה‪ x -‬ואנך לציר ה‪. x  4 : x -‬‬
‫‪159‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )88‬באיור שלפניך נתונה הפונקציה‪ x :‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת המינימום שלה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מנקודת המינימום של הפונקציה מעבירים ישר‬
‫‪x‬‬
‫לנקודה‪  2, 0  :‬שעל ציר ה‪ . x -‬מצא את השטח‬
‫הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬הישר ואנך לציר ה‪ x -‬היוצא‬
‫מהנקודה ‪  2, 0 ‬עד לנקודת החיתוך עם גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ )89‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ f  x  ‬ו‪. g  x   2 x -‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים‪ ,‬ציר ה‪x -‬‬
‫והישר‪. x  9 :‬‬
‫‪ )90‬נתונה הפונקציה‪ . f  x    x  6 x :‬חשב את גודל השטח הכלוא בין‬
‫הפונקציה‪ ,‬המשיק לפונקציה בנקודת המינימום שלה וציר ה‪. y -‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x2  1‬‬
‫‪ f  x  ‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫ל פונקציה העבירו משיק העובר בראשית הצירים‪.‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה‪ ,‬המשיק והישר ‪. x  3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )92‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫מעבירים שני אנכים לציר ה‪ x -‬והם‪ x  4 :‬ו‪.  t  4  , x  t -‬‬
‫‪. f  x  1‬‬
‫נסמן‪ - S1 :‬השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ - S 2‬השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה ‪ x -‬והאנכים‪.‬‬
‫ידוע כי‪ . 8S1  S2 :‬מצא את ‪. t‬‬
‫‪160‬‬
‫‪x x 8‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫א‪ .‬ענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪ .3‬הראה כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים משיק לגרף הפונקציה ששיפועו הוא‪:‬‬
‫‪16‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה‪ x -‬ואנך לציר ה‪x -‬‬
‫‪ . m ‬מצא את נקודת ההשקה‪.‬‬
‫מנקודת ההשקה שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪x  b , g  x   2x‬‬
‫‪ )94‬נתונות שתי פונקציות‪:‬‬
‫גודל השטח הכלוא בין הפונקציות וציר ה‪x -‬‬
‫‪2‬‬
‫הוא‬
‫‪3‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪b  0‬‬
‫‪ 2‬יחידות שטח‪ .‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪. b‬‬
‫‪32‬‬
‫‪ )95‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪ f  x   x 2 :‬ו‪-‬‬
‫‪x‬‬
‫ברביע הראשון‪ .‬מעבירים ישר ‪ x  a‬החותך את גרף הפונקציה ‪g  x ‬‬
‫ויוצר את השטח הכלוא בין שני הגרפים‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והישר‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ידוע כי שטח זה שווה ל ‪ . S  85 -‬מצא את ‪. a‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x a‬‬
‫‪g  x ‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ f ( x ) ‬ו‪-‬‬
‫‪ )96‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫מעבירים שני ישרים‪ x  k :‬ו ‪ x  t -‬אשר חותכים של את הגרפים של הפונקציות‬
‫ויוצרים את הקטעים ‪ AB‬ו‪ .CD-‬ידוע כי‪. AB  2CD :‬‬
‫א‪ .‬הראה כי‪. k  4t :‬‬
‫‪. g ( x)  ‬‬
‫ב‪ .‬השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות‬
‫והישרים‪ x  k :‬ו‪ x  t -‬הוא‪ . S  12 :‬מצא את ‪.t‬‬
‫‪161‬‬
‫‪)97‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬מצא עבור איזה ערך של ‪ a‬יתקיים‪ 1dx  0 :‬‬
‫‪2x 1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪ .‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪ 1 :‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪2x 1‬‬
‫‪S2‬‬
‫מעבירים שני אנכים לציר ה‪ x -‬והם‪ x  1 :‬ו ‪ x  13 -‬כך‬
‫‪x‬‬
‫שנוצרים השטחים‪ S1 :‬ו‪. S 2 -‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .1 .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והאנך ‪, x  1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ . 2‬היעזר בתוצאה שקיבלת ובסעיף א' וקבע לכמה שווה השטח‪. S 2 :‬‬
‫נמק את טענתך‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ )98‬באיור שלפניך מתוארת הפונקציה‪:‬‬
‫‪2x 1‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫מעבירים את הישרים המקבילים לצירים‪x  13 :‬‬
‫ו‪ y  3 -‬כך שנוצר המלבן ‪ ABCD‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫הישר ‪ y  3‬חותך את גרף הפונקציה בנקודה ‪.M‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.M‬‬
‫ב‪ .‬מסמנים את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‬
‫‪S1 2‬‬
‫והישרים ב ‪ S1 -‬ואת שטח המלבן ב‪ . S 2 -‬הראה כי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪S2 13‬‬
‫חישובי שטחים – פונקציות טריגונומטריות‪:‬‬
‫‪ )99‬נתונות הפונקציות‪f  x   sin x , g  x   cos x :‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות‬
‫לציר ה ‪ y -‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪ )100‬נתונה הפונקציה‪. f  x   x  2sin x :‬‬
‫בתחום שבין ראשית הצירים לנקודת המקסימום‬
‫הראשונה מימינה העבירו לפונקציה משיק ששיפועו ‪.1‬‬
‫ב‪ .‬חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה‪,‬‬
‫המשיק וציר ה ‪ x -‬ברביעים הראשון והשני‪.‬‬
‫‪162‬‬
‫‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪.  S1 ‬‬
‫‪sin 2 x  1‬‬
‫‪ )101‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ f ( x) ‬בתחום‪. 0.25  x  1.75 :‬‬
‫מעבירים משיק ‪ AB‬דרך נקודת המקסימום של הפונקציה ומעלים אנך לציר ה‪x -‬‬
‫מנקודת החיתוך הראשונה של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪ x -‬בתחום הנתון המסומנת‬
‫ב ‪ C -‬כך שנוצר המלבן ‪.ABCO‬‬
‫השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה ‪ x -‬יסומן ב‪( S1 -‬המקווקו)‪.‬‬
‫השטח הכלוא בין צלעות המלבן‪ ,‬גרף הפונקציה וציר ה ‪ y -‬יסומן ב‪. S 2 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הצלע ‪ AB‬של המלבן‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪S1‬‬
‫חשב את היחס‪:‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )102‬באיור שלפניך נתונה הפונקציה‪ y  sin x  x :‬בתחום‪. 0  x  2 :‬‬
‫א‪ .‬האם יש לפונקציה נקודות קיצון פנימיות בתחום הנתון?‬
‫ב‪ .‬מורידים אנך מגרף הפונקציה לציר ה‪ x -‬בנקודה‬
‫שבה‪ . x  2 :‬מעבירים ישר המקביל לציר ה ‪ x -‬מהנקודה‬
‫שמאפסת את הנגזרת‪ .‬הראה כי השטחים ‪ S1‬ו‪S 2 -‬‬
‫המסומנים בסרטוט שווים‪.‬‬
‫‪ )103‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה הבאות‪:‬‬
‫‪ f ( x)  cos2 x‬ו‪ g ( x)  sin 2 x  cos x -‬בתחום‪. 0  x   :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הגרפים בתחום הנתון‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים‪.‬‬
‫השתמש בזהות‪. cos 2  cos2   sin 2  :‬‬
‫‪ )104‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪. f '( x)   cos 2 x  sin x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי ה‪ x -‬של הנקודות המקיימות‪ f '( x)  0 :‬בתחום‪. 0  x  2 :‬‬
‫ידוע כי הנקודה המקיימת ‪ f '( x)  0‬אשר אינה קיצון נמצאת על ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ג‪ .‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬
‫חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה והצירים‪.‬‬
‫‪163‬‬
‫‪ )105‬א‪ .‬נתונה הפונקציה‪. y   x2 cos x  2 x sin x  2cos x :‬‬
‫הוכח כי הנגזרת של הפונקציה היא‪. y '  x2 sin x :‬‬
‫באיור שלפניך נתונה הפונקציה‪f ( x)  x 2 sin x :‬‬
‫בתחום‪.   x   :‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי גרף הפונקציה עובר בראשית הצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה‪ x -‬בתחום הנתון‪.‬‬
‫‪ )106‬נתונה הפונקציה‪ a, b , f  x   a cos x  b sin x :‬פרמטרים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הפונקציה חותכת את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה ‪ x ‬והיא חיובית בתחום ‪. 0, ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫גודל השטח הכלוא מתחת לפונקציה בתחום ‪ 0, ‬הוא ‪. 2 2  2‬‬
‫‪ 4‬‬
‫מציאת נפח גוף סיבוב‪:‬‬
‫‪ )107‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   x2  1 :‬השטח הכלוא בין הפונקציה‪,‬‬
‫הישר ‪ x  3‬והצירים מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬
‫חשב את נפח גוף הסיבוב המתקבל באופן זה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )108‬בשרטוט נתונות הפונקציות ברביע הראשון‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f  x  x , g  x ‬‬
‫מצא את נפח גוף הסיבוב שנוצר‪ ,‬כאשר השטח הכלוא‬
‫בין הפונקציות והישר ‪ x  2‬מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )109‬נתונות הפונקציות‪, g  x   cos x :‬‬
‫‪cos x‬‬
‫השטח הכלוא בין הפונקציות לישר‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ x ‬המסתובב סביב‬
‫ציר ה ‪ . x -‬חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬
‫‪164‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫בעיות קיצון עם אינטגרלים‪:‬‬
‫‪2 a 1‬‬
‫‪ )110‬מצא את ערכו של‬
‫‪a‬‬
‫שבעבורו ערך האינטגרל‬
‫‪  2 x  1 dx‬‬
‫מינימלי‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b 1‬‬
‫‪ )111‬בשרטוט נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪. 1  b  2 ‬‬
‫לאיזה ערך של ‪ b‬השטח הכלוא בין הפונקציה‪,‬‬
‫הישרים ‪ x  b‬ו‪ x  2 -‬וציר ה ‪ x -‬מקסימלי?‬
‫‪f  x   2x , g  x   6  x‬‬
‫‪ )112‬בשרטוט נתונות הפונקציות‪:‬‬
‫מהנקודות ‪ A‬ו ‪ ,B-‬הנמצאות על ציר ה ‪ x -‬והמרחק ביניהן‬
‫הוא ‪ ,2‬העלו אנכים לציר ה‪ . x -‬השטח הכלוא בין האנכים‪,‬‬
‫שתי הפונקציות וציר ה‪ x -‬מסתובב סביב ציר ה ‪. x -‬‬
‫מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬כדי שנפח‬
‫גוף הסיבוב המתקבל באופן זה יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪165‬‬
‫‪A‬‬
x6
x4
x5
x4
 c .‫ה‬
 c .‫ד‬
 c .‫ ג‬2x6  c .‫ב‬
 c .‫) א‬1
5
9
2
4
x 4 ax3 ax 2
x5
x3
1
4



bx

c

4
x

 2 x 2  x  c .‫ז‬
.
.‫ח‬
5
3
b
6
6
3
2
x 2
1 1
a
x
1 1
1
. 2x   2  c .‫ ד‬  3  2   c .‫ ג‬ 2  c .‫ ב‬  c .‫) א‬2
2
x x 2 x 2a
x x
2x
x1.5
2 3
3
 c .‫) א‬3
x  c .‫ב‬
. 8 x  2 x  c .‫ ד‬2 x  c .‫ג‬
1.5
3
5
4
3 2  7 x
5 x  1
3


 c .‫ ג‬
 c .‫ב‬
 c .‫) א‬4
35
6x  5
20
. 7x  c ‫ו‬
.
x 4
2
3
.‫ה‬
2
x
x
x4


3
x
.
.‫ד‬
3 2
4
. x 2  2  c .‫ד‬
3
3
 c .‫ה‬
6x  3
 c .‫ד‬
3
2
.  2  x 2  6 x  x3  .‫ז‬
sin  3x  cos 4 x 4 tan 3x
3
 ax  b 
3a
x  x  3 .‫ ד‬x  2 x  5x  1 .‫ ג‬x2  2 x  5 .‫ ב‬x  7 .‫) א‬5
2 x3 5 x 2
x3 2 x 2
x2


 x  c .‫ג‬

 5 x  c .‫ב‬
 7 x  c .‫) א‬6
3
2
3
2
2
x5
x3
 4 x .‫ה‬
.  x 2  x  c .‫ו‬
5
3
1
1
1
 c .‫) א‬7

 c .‫ ג‬
 c .‫ ב‬2
3
2
x 1
3 x  6
2  x  4 x  1
2
2
.
2

2

3
x
2
 1  c
4
.‫ ו‬6 x  x2  c .‫ה‬
 c .‫ ב‬ cos x  3sin x  4tan x  5x  c
.‫) א‬8
sin 2 x
cos6 x
1
 c .‫ ג‬
 c .‫ ב‬ cos 2 x  c .‫) א‬9 cos(  x)  tan x  x  c .‫ג‬
2
12
2
1 3
1
1
1
 c .‫ ב‬2 sin x  c .‫) א‬10
x  sin 2 x  c .‫ד‬
. sin x  c .‫ג‬
3
cos x
2
4
1
1
1
x
 cot 10 x   c .‫ג‬
tan  4 x   c .‫ ב‬ cos 2 x  12sin  c .‫) א‬11
10
4
2
3
1
1
1
1
 cos 4 x  c .‫ ז‬x  cos 2 x  c .‫ו‬
sin 2 x  c .‫ה‬
sin 2 x  c .‫ד‬
16
2
2
2
1
1
 cos12 x  cos 2 x  c .‫ י‬tan x  cot x  c .‫ ט‬tan x  x  c .‫ח‬
24
4
1
1
1
1
3
1
x  sin 4 x  c .‫ יב‬sin x  c .‫יא‬
. x  sin 8 x  c .‫ יד‬x  sin 2 x  c .‫יג‬
2
16
2
4
4
16
3
1
3
1
 cos 4 x  cos12 x  c .‫טז‬
sin x  sin 3x  c .‫טו‬
16
48
4
12
3
1
1
3
1
1
sin16 x  c .‫יח‬
x  sin 2 x  sin 4 x  c .‫יז‬
. x  sin 8x 
8
16
128
8
4
32
1
.  cos x  cos 2 x  c .‫ כא‬2sin x  c .‫ כ‬ cot x  x  c .‫יט‬
4
.
166
.
1
1
1
1
1
x  sin 2 x  sin 4 x 
sin 6 x  c .‫ כג‬3x  sin 2 x  2sin x  c .‫כב‬
16
64
64
192
2
2
. f ( x)  x  6 x  14 )13 f ( x)  x3  7 x  5 )12
x3
2
. y  5x  27 .‫ ב‬f  x    4 x 2  2 x  23 .‫) א‬14
3
3
3
.  0, 2 ,  0.4,0  .‫ ג‬f  x   3x  4 x  4 .‫ ב‬y  5x  2 .‫) א‬15
. f  x   x2  3x  7 .‫ ב‬x  0 .‫) א‬16
. f  x 
3x 2
 4 x  11 )18
2
y  x  5 .‫ ג‬. f  x   3x 2  5x  8 .‫ ב‬x  1 .‫) א‬17
. f ( x)  x3  3x2  9 x  10 )19
4 x3
 3x 2  4 x  6 .‫ ב‬f '  x   4 x 2  6 x  4 .‫) א‬20
3
x3 3
1
. f  x    x 2  6 x  .‫ ב‬f '  x   x2  3x  6 .‫) א‬21
3 2
6
2
2
3
3
x2 4
f
(
x
)

x

2

x

1

2
x

3
.
)23 f  x     x  6 )22


 
3
3
2 x
. f ( x)  sin 2 x  cos x  x  1 )25 f ( x)  sin x  2cos2x  2 )24
. f  x 
.15 )27
. y  0.746 x  4.172 .3  0.75 , 2  1 .2  0.5 ,3 .1 .‫) ב‬26
.‫ יח"ש‬9 .‫ ב‬ 3, 0  .‫) א‬30 .‫ יח"ש‬10
2
)29 .‫ יח"ש‬15 )28
3
2
1
.‫ ב‬ 2,0 ,  2,0 .‫) א‬32 .‫ יח"ש‬33 .‫ ב‬ 1,0 ,  5,0  .‫) א‬31
3
3
1
4
2
1
. 8 )38 .‫ יח"ש‬4 )37 ‫ יח"ש‬4 )36 ‫ יח"ש‬13.5 )35 ‫ יח"ש‬10 )34 ‫) יח"ש‬33
3
12
15
3
1
1
.‫ יח"ש‬21 )41 .‫ יח"ש‬3 .‫ ב‬ 1,0 ,  0,0  ,  2,0  .‫) א‬40 ‫ יח"ש‬9.5 .‫ ב‬4 .‫) א‬39
3
12
1
2
5
.‫ יח"ש‬10 )45 .‫ יח"ש‬13.5 .‫ ב‬A  0, 9  , B 3,0  .‫) א‬44 ‫ יח"ש‬57 )43 ‫ יח"ש‬20 )42
6
3
6
1
5
. 2 .‫ ב‬1,3 ,  4,0  .‫) א‬48 .‫ יח"ש‬12 )47 .‫ יח"ש‬21 )46
3
11
1
.‫) יח"ש‬50 .‫ יח"ש‬8 .‫ ב‬ 2,5 ,  0,5 ,  2,5 .‫) א‬49
2
1
.‫) יח"ש‬54 .‫ יח"ש‬8 )53 ‫ יח"ש‬0.5 )52 . II  g  x  , I  f  x  .‫) א‬51
3
2
5
.‫ יח"ש‬3 .‫ ג‬1,3 .‫ ב‬ 2, 2  .‫) א‬56 ‫) יח"ש‬55
6
3
1
.‫ יח"ש‬18 )58 .‫ יח"ש‬65 .‫ ג‬1,11 .‫ ב‬x  2 , x  2 .‫) א‬57
3
5
7
4
.‫ יח"ש‬4 )60 ‫ יח"ש‬1 .‫ יח"ש ב‬.‫) א‬59
12
12
3
1
4
.‫ יח"ש‬16 )62 ‫ יח"ש‬.‫ ב‬ 2,1 .‫) א‬61
3
3
.‫יח"ש‬10
167
5
1
)64 .‫ יח"ש‬7 .‫ ג‬ 3,3 .‫ ב‬y   x .‫) א‬63
6
6
2
7
1
.‫יח"ש‬
.‫ ג‬.‫ יח"ש‬.‫ ב‬y  2 x  5 .‫) א‬67 .‫ יח"ש‬.‫ ג‬1, 0  .‫ ב‬y  4 x  4 .‫) א‬66
3
12
3
2
2
2
.‫ יח"ש‬.‫ ב‬y  4 x  20 .‫) א‬69 .‫ יח"ש‬.‫ ג‬.‫ יח"ש‬2 .‫ ב‬y   x  4 .‫) א‬68
3
3
3
2
1
4
1
.‫ יח"ש‬2 , a  )71 .‫ יח"ש‬.‫ ב‬a   .‫) א‬70
3
2
3
2
a4
1
a

2
81
.‫יח"ש‬
.‫ ג‬1,9  .‫ ב‬k  10 .‫) א‬73 .
.‫ב‬
.‫) א‬72
4
3
1
.‫יח"ש‬189 .‫ ב‬f  x   x3  4 x2  12 x  5 .‫) א‬74
3
1
.‫ יח"ש‬27 .‫ ב‬f  x    x2  3x  10 .‫) א‬75
6
.‫ יח"ש‬46.5 .‫ ב‬f  x   4 x  x2 , g  x    x2  x  12 .‫) א‬76
.‫ יח"ש‬1 )65 .‫יח"ש‬
1
.‫ ב‬f  x   2 x2  7 x  5 .‫) א‬77
3
 7,133 .1 .‫ ג‬y  15x  28 .‫ ב‬f  x   x3  3x2  9 x .‫) א‬78
.‫ יח"ש‬5
.‫ יח"ש‬546.75 .2
.‫ יח"ש‬5
2
1
.‫ ב‬g  x    x  4  .‫) א‬79
3
1
.‫ ג‬ 0, 0  .‫ ב‬f  x   x2  6 x .‫) א‬80
3
1
. ‫ יח"ש‬1 )83 ‫ יח"ש‬.‫ ב‬y   x  2 .‫) א‬82
8
2
36  x
1
, a  36 .‫) א‬85 ‫ יח"ש‬13 .‫ ב‬ 2,8 , a  32 .‫) א‬84
.‫ יח"ש‬8 .‫ ב‬f  x  
2
x
3
5
1
1
2

.‫ יח"ש‬.‫ ה‬ 1.5,  .‫ ד‬y   x  .‫ ב‬A  6 .‫) א‬86
8
9
6
3

‫ יח"ש‬1 )81 .‫ יח"ש‬85
‫ יח"ש‬1.75 .‫ ב‬Min  0.5,1.5 .‫) א‬88 ‫ יח"ש‬15.5 .‫ ב‬A 1, 4  .‫) א‬87
. t  16 )92 ‫ יח"ש‬0.5 )91 .‫ יח"ש‬2.26 )90 ‫ יח"ש‬48 .‫ ב‬ 4,8 .‫) א‬89
. ‫ יח"ש‬88 .‫ ג‬16,14  .‫ ב‬f '  x   1 
4
x x
 0 .3
 4, 0  .2
x0
.1 .‫) א‬93
. S2  S1  2 .2 S1  2 .1 .‫ ג‬ 5, 0  .‫ ב‬a  13 .‫) א‬97 . t  1 .‫) ב‬96 a  9 )95 b  2 )94
.‫ יח"ש‬ .‫ ב‬y  x  2 .‫) א‬100 ‫ יח"ש‬0.41 )99 . M  5,3 .‫) א‬98
.
S1 3  2

 1.538 .‫ ב‬y  1 .‫) א‬101
S2 3  2
. S  0.5 2  2  2.934 .‫ ב‬.‫ היא נקודת פיתול‬ ,   ‫ הנקודה‬,‫ אין נקודת קיצון‬.‫) א‬102
. S  1.5
168
3
 2 1 
,  .‫) א‬103
 1.299 .‫ ב‬ 0,1 , 
2
 3 4
.‫יח"ש‬
1
 7 11
1
,
.‫ ג‬f ( x)   sin 2 x  cos x .‫ ב‬x  ,
.‫) א‬104
2
2
6
6
2
. b  2 , a  2 )106 S  2  2  4 11.74 .‫) ג‬105

.V  ‫ יח"נ‬0.243 )109 V  ‫ יח"נ‬ )108

V 
3
5
‫ יח"נ‬69  )107


. A 1 , 0  )112 b  1 )111 a   )110
9
2
3
4
1

169

1
‫הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת‪:‬‬
‫חוקים כלליים עבור נגזרת ראשונה‪:‬‬
‫‪ .1‬כאשר ‪ f  x ‬עולה‪ f '  x  ,‬חיובית ולהיפך‪.‬‬
‫‪ .2‬כאשר ‪ f  x ‬יורדת‪ f '  x  ,‬שלילית ולהיפך‪.‬‬
‫‪ .3‬כאשר ל‪ f  x  -‬יש נקודת קיצון‪,‬‬
‫‪f ' x‬‬
‫מחליפה סימן (חותכת את ציר ה‪ ) x -‬ולהיפך‪.‬‬
‫חוקים כלליים עבור נגזרת שנייה‪:‬‬
‫‪ .4‬כאשר ‪ f '  x ‬עולה אז ‪ f ''  x ‬חיובית ו‪ f  x  -‬קעורה כלפי מעלה‪.‬‬
‫‪ .5‬כאשר ‪ f '  x ‬יורדת אז ‪ f ''  x ‬שלילית ו‪ f  x  -‬קעורה כלפי מטה‪.‬‬
‫‪ .6‬כאשר ל‪ f '  x  -‬יש קיצון‪ ,‬אז ‪ f ''  x ‬מחליפה סימן (חותכת את ציר ה ‪ ) x -‬ולהיפך‪.‬‬
‫דוגמא עבור הפונקציה‪. f  x   x3  12 x :‬‬
‫נגזרת הפונקציה היא‪. f '  x   3x2 12 :‬‬
‫הנגזרת השנייה היא‪. f ''  x   6 x :‬‬
‫ניתן לראות את חוקים ‪ 1-6‬לעיל באיור הסמוך‪.‬‬
‫‪ )1‬נתון גרף של פונקציה‪.‬‬
‫צייר על אותה מערכת צירים את גרף הנגזרת‪.‬‬
‫נמק את שיקוליך בסרטוט‪.‬‬
‫‪ )2‬נתון גרף של פונקציה‪.‬‬
‫צייר על אותה מערכת צירים את גרף הנגזרת‪.‬‬
‫‪ )3‬נתון גרף הנגזרת של פונקציה‪.‬‬
‫צייר על אותה מערכת צירים את גרף הפונקציה‬
‫אם ידוע שהיא עוברת בראשית הצירים‪.‬‬
‫‪170‬‬
‫‪ )4‬נתון גרף הנגזרת של פונקציה‪.‬‬
‫צייר על אותה מערכת צירים את גרף הפונקציה‬
‫אם ידוע שהיא עוברת בראשית הצירים‪.‬‬
‫‪ )5‬נתון גרף הנגזרת של פונקציה‪ .‬צייר על אותה מערכת צירים‬
‫את גרף הפונקציה אם נתון‪. f  0   0 :‬‬
‫נמק את שיקוליך בשרטוט‪.‬‬
‫את גרף הפונקציה ואת גרף הנגזרת השנייה אם נתון‪. f  0   0 :‬‬
‫את גרף הפונקציה ואת גרף הנגזרת השנייה אם נתון‪. f  0   0 :‬‬
‫‪ )8‬נתונה הפונקציה‪. f  x   x2  6 x  5 :‬‬
‫א‪ .1 .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪ f  x ‬ושל גרף הנגזרת ‪. f '  x ‬‬
‫‪ )9‬נתונה הפונקציה‪. f  x   x3  3x :‬‬
‫א‪ . 1 .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .2‬מצ א את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪ f  x ‬ושל גרף הנגזרת ‪. f '  x ‬‬
‫‪171‬‬
‫‪ )10‬לפונקציה ‪ f  x ‬יש נקודת קיצון אחת‪.‬‬
‫הערך המקסימלי שלה מתקבל בנקודה שבה‪. x  2 :‬‬
‫א‪ .‬מהו סימן הנגזרת עבור‪? x  2 :‬‬
‫ב‪ .‬מהו סימן הנגזרת עבור‪? x  2 :‬‬
‫ג‪ .‬איזה מבין הגרפים הנ"ל יכול לתאר את גרף הנגזרת‪:‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )11‬נתונה הפונקציה‪. f  x   x3  x 2  15x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬איזה מבין הגרפים הבאים מתאר סקיצה של הנגזרת ‪ ? f '  x ‬נמק‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪172‬‬
‫‪ )12‬נתונה הפונקציה‪. f  x   x4  4 x3 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬סרטט באמצעות נתונים אלו את הגרף של נגזרת הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )13‬ענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬סרטט את גרף פונקצית הנגזרת ‪ , f '  x  ,‬של ‪ , f  x ‬אם ידוע כי ל‪f  x  -‬‬
‫יש שתי נקודות קיצון‪ :‬מקסימום כאשר‪ x  1 :‬ומינימום כאשר‪. x  3 :‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה ‪ f  x ‬ולה ‪ 3‬נקודות קיצון‪ :‬מקסימום כאשר‪x  0,5 :‬‬
‫ומינימום כאשר‪ . x  2 :‬סרטט את גרף הנגזרת של הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ג‪ .‬סרטט את גרף הנגזרת ‪ , f '  x  ,‬של ‪ , f  x ‬אם ידוע כי היא יורדת לכל ‪. x‬‬
‫והנגזרת שלה מתאפסת בנקודה שבה‪. x  3 :‬‬
‫‪ )14‬בשרטוט נתונים הגרפים של פונקציה ושל נגזרתה‪.‬‬
‫א‪ .‬קבע איזה מהגרפים‪ I ,‬או ‪ ,II‬שייך לפונקציה ואיזה לנגזרת‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬כמה נקודות פיתול יש לפונקציה? נמק וסמן אותן על השרטוט‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪. Q  2,1 , P  2, 4  :‬‬
‫מצא את גודלו של השטח הכלוא בין גרף ‪I‬‬
‫לציר ה ‪( x -‬השטח המקווקו בשרטוט)‪.‬‬
‫‪I‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪II‬‬
‫‪173‬‬
)4
)3
)2
)1
)7
)6
)5
. min  3, 4 .2  5, 0 , 1, 0 ,  0,5 .1 .‫) א‬8
. min 1, 2 , max  1, 2 .2  0, 0 ,

 

3, 0 ,  3, 0 .1 .‫) א‬9
.1 .‫ ג‬. f '  x   0 .‫ ב‬. f '  x   0 .‫) א‬10
. x  0 , 0  x  3 :‫ יורדת‬x  3 :‫ עולה‬.‫) א‬12 .1 .‫ ב‬. 5  x  3 :‫יורדת‬
.‫ יח"ש‬3 .‫ ג‬.‫ נקודות‬3 .‫ ב‬I : f '  x  , II : f  x  .‫) א‬14
x  5 , x  3 :‫ עולה‬.‫) א‬11
)10
.‫) ג‬13
174
)9
:‫סקיצות לשאלות‬
)8
.‫) ב‬13
.‫) א‬13
‫פרק ‪ - 6‬חשבון אינטגרלי של פונקציות מעריכית‬
‫ולוגריתמית‪:‬‬
‫פונקציות מעריכיות‪:‬‬
‫אינטגרלים מיידים של פונקציות מעריכיות‪:‬‬
‫אינטגרלים של פונקציות מורכבות‬
‫‪a mx  n‬‬
‫‪c‬‬
‫‪m  ln a‬‬
‫‪emx  n‬‬
‫‪c‬‬
‫‪m‬‬
‫אינטגרלים יסודיים‬
‫‪ax‬‬
‫‪c‬‬
‫‪ln a‬‬
‫‪mx  n‬‬
‫‪ a dx ‬‬
‫‪c‬‬
‫‪mx  n‬‬
‫‪ e dx ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ a dx ‬‬
‫‪ e dx  e‬‬
‫‪x‬‬
‫שאלות יסודיות – אינטגרל כללי‪:‬‬
‫‪ )1‬חשב את האינטגרלים הבאים‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ 5e  e  e  1 dx .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪e4 x 1 dx‬‬
‫‪ 6‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ dx‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪ e x  dx‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ e‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪e2 x  1‬‬
‫‪ e x  1 dx‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪  e  e  dx .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪3e  5e  4e  2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪‬‬
‫‪ex 1‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2 x  42 x  103 x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪‬‬
‫‪5x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪ e ‬‬
‫‪x 1 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪  4 e  3 e4 x  dx‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪ ex ‬‬
‫‪  e x  3  dx‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 3  e  dx‬‬
‫‪  e x  3x 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪175‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪xe x dx‬‬
‫‪‬‬
‫שאלות יסודיות – אינטגרל מסוים‪:‬‬
‫‪ )5‬נתונה נגזרת של פונקציה‪. f '  x   2e x  1x :‬‬
‫‪e‬‬
‫‪1‬‬
‫מצא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה ‪.  ln 2,3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )6‬נתונה נגזרת של פונקציה‪. f '  x   e2 x  e x  2 :‬‬
‫מצא את הפונקציה אם ידוע שערך הפונקציה בנקודת המינימום שלה הוא ‪. 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )7‬נתונה נגזרת של פונקציה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪. f '  x   6 x 2e x ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫מצא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה ‪.  1, ‬‬
‫‪e‬‬
‫חישובי שטחים‪:‬‬
‫‪ )8‬נתונות הפונקציות‪. f  x   e x , g  x   e x :‬‬
‫מצא את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות‬
‫לישר ‪. x  ln 3‬‬
‫‪ )9‬נתונה הפונקציה‪. f  x   3x :‬‬
‫מצא את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה‪,‬‬
‫הישר ‪ y  9‬וציר ה‪. y -‬‬
‫‪ )10‬נתונה הפונקציה‪. f  x   e2x  e x :‬‬
‫לפונקציה העבירו משיק בראשית הצירים‪.‬‬
‫מצא את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה‪,‬‬
‫המשיק והישר ‪. x  2‬‬
‫‪ )11‬נתונות הפונקציות‪:‬‬
‫‪. f  x   e , g  x   e3x , h  x   16e x‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא שבין‬
‫שלוש הפונקציות‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪176‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )12‬נתונה הפונקציה‪. f  x   5  e x :‬‬
‫העבירו לפונקציה משיק ששיפועו ‪.  e‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא‬
‫בין הפונקציה‪ ,‬המשיק וציר ה‪. x -‬‬
‫ניתן להשאיר ‪ e‬ו ‪ ln-‬בתשובה‪.‬‬
‫‪ )13‬נתונה הפונקציה‪ .  0  b  f  x   eb x :‬גודל השטח הכלוא בין הפונקציה‪,‬‬
‫המשיק לפונקציה העובר בראשית הצירים וציר ה‪ y -‬הוא ‪. e  2‬‬
‫‪4‬‬
‫מצא את ערכו של הפרמטר ‪. b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )14‬נתונות הפונקציות‪. f  x   e 2 , g  x   e x :‬‬
‫מנקודה הנמצאת על גרף הפונקציה ‪ g  x ‬ברביע הראשון הורידו אנך לשני‬
‫הצירים‪ .‬המשך האנך לציר ה‪ y -‬חותך את הפונקציה ‪ f  x ‬ומנקודת החיתוך‬
‫יורד אנך נוסף לציר ה‪ x -‬כך שנוצר מלבן‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫הוכח כי שטחו המקסימלי של מלבן כזה הוא‬
‫‪3‬‬
‫‪e‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )15‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪f  x   e2x :‬‬
‫ו‪ . g  x   e2x -‬מעבירים אנך לציר ה‪ x -‬את הישר ‪x  a‬‬
‫כמתואר באיור‪ .‬אנך זה יוצר את השטחים ‪ S1‬ו ‪. S 2 -‬‬
‫ידוע כי השטח ‪ S1‬גדול פי ‪ 3‬מהשטח ‪ . S 2‬מצא את ‪. a‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ a  0‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪xa‬‬
‫‪x‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )16‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  e2 x1  2ex  2 :‬‬
‫הנקודה ‪ A‬היא נקודת המינימום של הפונקציה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬
‫מחברים את הנקודה ‪ A‬עם ראשית הצירים‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת הישר המחבר את‬
‫‪A‬‬
‫הנקודה ‪ A‬עם הראשית‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬הישר וציר‬
‫ה ‪ x -‬אם ידוע כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה ‪ x -‬בנקודה שבה ‪. x  1.7‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪177‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪e x  eax‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪e3  1 ‬‬
‫ידוע כי הפונקציה עוברת דרך הנקודה‪ :‬‬
‫‪4e2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. 1 ,‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה )‪ f ( x‬והישר‪. y  0.1x :‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪ ,‬הישר‪ ,‬ציר ‪ y‬והאנך‪. x  2 :‬‬
‫‪ )18‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של שלוש פונקציות‪:‬‬
‫‪. h  x   242 x .III . g  x   4x .II . f  x   2x .I‬‬
‫א‪ .‬קבע איזה גרף מתאר כל פונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ B , A‬ו‪C-‬‬
‫(נקודות החיתוך שבין הגרפים)‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המסומן באיור‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪)19‬‬
‫א‪ .‬גזור את הפונקציה הבאה‪. y  e x  x  1 :‬‬
‫ב‪ .‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של‬
‫‪x‬‬
‫הפונקציות‪. f ( x)  xe x , g ( x)  -e x :‬‬
‫)‪g( x‬‬
‫מעבירים ישר ‪  a  0 , x  a‬החותך את הגרפים של שתי‬
‫הפונקציות ויוצר את השטח המתואר הכלוא בין הגרפים של שניהם‪,‬‬
‫ציר ה ‪ y -‬והישר‪ .‬ידוע כי שטח זה שווה ל‪ . 2e2 -‬מצא את ‪. a‬‬
‫‪S  2e2‬‬
‫חישובי נפחים‪:‬‬
‫‪ )20‬נתונות הפונקציות‪. f  x   e x , g  x   e x :‬‬
‫השטח הכלוא בין הפונקציות והישר ‪x  ln 2‬‬
‫מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬
‫חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬
‫‪178‬‬
3e
2x
1
2
 c .‫ג‬
3x
52 x

 c .‫ב‬
ln 3 2ln 5
e3 x
 e x  x  c .‫) א‬1
3
1
1
. e2 x  2 x  e2 x  c .‫ד‬
2
2
5e x 
3e2 x
x
 2e x  2 x  c .‫ ב‬e  x  c .‫) א‬2
2
x
x
x
1 2 x2
1 4x x
0.4
3.2
200
e
 c .‫ב‬
e  e  c .‫) א‬3
.


 c .‫ג‬
2
4
ln 0.4 ln 3.2 ln 200
3 4 x
. 8 e x  e 3  c .‫ד‬
4
1 x2
1
. e  c .‫ ג‬x
.‫ ב‬2 e x  3  c .‫) א‬4
2
e  3x
1 2x
. f  x   e  e x  2 x  1 )6 f  x   2e x  e x  1.25 )5
2
3
1
1
S  ‫ יח"ש‬18.41 )10 S  ‫ יח"ש‬10.72 )9 S  ‫ יח"ש‬1 )8 . f  x   2e x   1 )7
x
3
1
a  ln 2 )15 . b  2 )13 S  ‫ יח"ש‬0.192 )12 S  ‫ יח"ש‬3 )11
3
. S  ‫ יח"ש‬4.744 .‫ ג‬y    e  2  x .‫ ב‬A 1,  e  2  .‫) א‬16
.
e x  e2 x
, a  2 .‫) א‬17
4
 1

. a  2 .‫ ב‬y '  xe x .‫) א‬19 . S  ‫ יח"ש‬1.03 .‫ ג‬A 1, 4  , B 1 , 2.52  , C  0,1 .‫) ב‬18
 3

1
.‫ יחידות נפח‬1  )20
8
.1.52 .‫ ב‬f  x  
179
‫פונקציות לוגריתמיות‪:‬‬
‫אינטגרלים מיידים של פונקציות לוגריתמיות‪:‬‬
‫אינטגרל של פונקציה מורכבת‬
‫‪1‬‬
‫אינטגרל יסודי‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x dx  ln x  c‬‬
‫‪ ax  b dx  a ln ax  b  c‬‬
‫שאלות יסודיות – אינטגרל כללי‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪  x  x  1  3x  1  dx‬‬
‫‪x  3x  4‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪ x2  9 dx‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪x 2  3x  5‬‬
‫‪ x  1 dx‬‬
‫ב‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪3‬‬
‫‪e x  e x‬‬
‫‪ e x  e x dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x  x  5x  6‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪ 2x‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪ sin x dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x 3‬‬
‫‪ x  1 dx‬‬
‫‪4‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪e‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪5‬‬
‫שאלות יסודיות – אינטגרל מסוים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )4‬נתונה נגזרת של פונקציה‪:‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪. f '  x   2x ‬‬
‫מצא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה ‪.  5, 28‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )5‬נתונה נגזרת שנייה של פונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪. f ''  x   6 x ‬‬
‫מצא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה ‪ 1, 2 ‬וששיפועה‬
‫בנקודה זו הוא ‪.3‬‬
‫‪180‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e‬‬
‫חישובי שטחים‪:‬‬
‫‪ )6‬נתונה הפונקציה‪. f  x   1 :‬‬
‫‪x‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה‪,‬‬
‫הישרים ‪ x  1‬ו‪ x  4 -‬וציר ה ‪. x -‬‬
‫ניתן להשאיר ‪ ln‬בתשובה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪, g  x ‬‬
‫‪ )7‬נתונות הפונקציות‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪8 x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫הישר ‪ x  4‬והצירים‪.‬‬
‫‪x2  3‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪,‬‬
‫המשיק לפונקציה בנקודה שבה ‪ x  2‬ואנך לציר‬
‫ה ‪ x -‬העובר בנקודת המינימום של הפונקציה‪.‬‬
‫אפשר להשאיר ביטוי עם ‪ ln‬בתשובה‪.‬‬
‫‪a 1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ f  x  ‬ו‪-‬‬
‫‪ )9‬באיור שלפניך נתונות הפונקציות‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x 1‬‬
‫י דוע כי הגרפים של הפונקציות נחתכים בנקודה שבה ‪. x  3‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬וכתוב את שתי הפונקציות‪.‬‬
‫‪ g  x  ‬בתחום‪. x  0 :‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל ע"י הגרפים של שתי‬
‫הפונקציות‪ ,‬ציר ה‪ y -‬והישר ‪. x  e‬‬
‫‪b‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f  x   7  ax ‬‬
‫ידוע כי משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת‬
‫החיתוך שלה עם ציר ה ‪ x -‬היא‪. y  18x  9 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬ו‪ b -‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫מעבירים ישר המקביל לציר ה ‪ y -‬שחותך את גרף‬
‫הפונקציה בנקודה ‪ A‬ואת משוואת המשיק בנקודה ‪.B‬‬
‫אורך הקטע ‪ AB‬הוא ‪.18‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הישר הנ"ל אם ידוע כי הנקודה ‪ A‬נמצאת מימין‬
‫לנקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪ ,‬המשיק והישר‪.‬‬
‫‪181‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )11‬הנגזרת של הפונקציה ‪ f  x ‬היא‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪. f ' x  ‬‬
‫משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪ x  2 :‬היא‪. y  4  x :‬‬
‫ב‪ .‬באיור שלפניך מתוארים גרף הפונקציה ‪f  x ‬‬
‫והמשיק בתחום‪ . x  0 :‬חשב את השטח המוגבל‬
‫בין גרף הפונקציה‪ ,‬המשיק‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והישר ‪. x  e2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )12‬באיור שלפניך נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫מעבירים את הישרים‪ x  4 , x  k , x  k 2 , x  k 3 :‬כמתואר )‪. (k  4‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬את השטחים‪ S1 :‬ו‪. S 2 -‬‬
‫‪ f  x  ‬בתחום‪. x  0 :‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי ההפרש‪ S2  S1 :‬אינו תלוי ב‪k -‬‬
‫וחשב את ערכו‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי השטח ‪ S 2‬גדול פי ‪ 3‬מהשטח ‪. S1‬‬
‫מצא את ‪. k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )13‬נתונות הפונקציות‪ f  x    :‬ו ‪-‬‬
‫‪2x  5‬‬
‫‪x‬‬
‫גרף הפונקציה ‪ g  x ‬חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה שבה ‪. y  0.4‬‬
‫‪. g  x ‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה ‪. g  x ‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של שני הגרפים‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל ע"י שני הגרפים והישר ‪. x  1‬‬
‫‪ )14‬באיור מתוארים הגרפים של הפונקציות‪f  x   ln  e x  1 :‬‬
‫ו‪ g  x   ln  e2 x  e3 x  -‬בתחום‪. x  0 :‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הגרפים נחתכים על ציר ה ‪. y -‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים ישר ‪  a  1 , x  a‬המאונך לציר ה‪x -‬‬
‫אשר חותך את הגרפים של שתי הפונקציות ויוצר‬
‫את השטח ‪( S‬ראה איור)‪.‬‬
‫מצא את ערכו של ‪ a‬עבורו מתקיים‪. S  4 :‬‬
‫‪182‬‬
‫‪y‬‬
‫‪S‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪xa‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )15‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪3x  1‬‬
‫‪ f  x  ‬והישר‪. y  x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציות הנמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫מעבירים אנך לציר ה‪ x  a - x -‬הנמצא מימין לנקודת‬
‫החיתוך שמצאת בסעיף הקודם‪ .‬האנך החותך את הגרפים‬
‫‪S1‬‬
‫ויוצר את השטחים ‪ S1‬ו‪ S 2 -‬המתוארים האיור‪.‬‬
‫‪xa‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הערך של ‪ a‬עבורו השטח ‪S 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫יהיה שווה ל‪.  ln 7 -‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪S1‬‬
‫עבור ערך ה ‪ a -‬שמצאת בסעיף הקודם חשב את יחס השטחים‪:‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪.‬‬
‫חישובי נפחים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ x  1‬ו‪x  3 -‬‬
‫השטח הכלוא בין הפונקציה‪ ,‬הישרים‬
‫וציר ה‪ x -‬מסתובב סביב ציר ה ‪. x -‬‬
‫מצ א את נפח גוף הסיבוב שנוצר באופן זה‪.‬‬
‫אפשר להשאיר ‪ ln‬בתשובה‪.‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪e2 x  1‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫השטח הכלוא בין הפונקציה‪ ,‬הצירים והישר ‪ x  ln 3‬מסתובב סביב ציר ה ‪. x -‬‬
‫חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f  x  x ‬‬
‫השטח הכלוא בין הפונקציה‪ ,‬הישרים ‪ x  a‬ו ‪) 0  a ( x  a  3 -‬‬
‫וציר ה‪ x -‬מסתובב סביב ציר ה ‪. x -‬‬
‫חשב את נפח גוף הסיבוב המינימלי שנוצר באופן הזה‪.‬‬
‫‪183‬‬
. ln | x  3| c .‫ ג‬.
x2
 3x  4ln x  c .‫ב‬
2
.
. 3ln x  2ln x  1 
4ln 3x  1
 c .‫) א‬1
3
x3 x 2
x2
.‫ב‬
.
  7 x  8ln | x  2 | c
 2 x  3ln | x  1| c .‫) א‬2
3
2
2
.
x 4 x3 x 2
   x  4ln | x  1| c .‫ג‬
4 3
2
1
2
. ln | e x  e x | c .‫ ד‬. ln | e x  5 | c .‫ ג‬. ln | x 2  2 x | c .‫ ב‬. ln | x2  3 | c .‫) א‬3
. f ( x)  x3  ln | x |  x  2 )5
f  x   x 2  ln x  4  3 )4
S  ‫ יח"ש‬4ln 2  2 )8 . S  ‫ יח"ש‬2.17 )7
. ln | sin x | c .‫ה‬
. S  ‫ יח"ש‬ln 4 )6
2
1
, g  x 
.‫) א‬9
x 1
x2
4
. S  6  ln 256  ‫ יח"ש‬11.54 .‫ ג‬x  2 .‫ ב‬f  x   7  2 x  , a  2 , b  4 .‫) א‬10
x
4
. S  ‫ יח"ש‬6  4ln 2 .‫ ב‬f  x   .‫) א‬11
x
. k  8 .‫ ג‬S2  S1  ln16 .‫ ב‬S1  2ln k  ln16 , S2  2ln k .‫) א‬12
2
a  2 .‫) ב‬14 . S  ‫ יח"ש‬ln 5 13  1.674 .‫ ג‬ 2, 2  .‫ ב‬g  x  
.‫) א‬13
2x  5
S

.V  ‫ יח"נ‬ln 2 )17 .V  ‫ יח"נ‬ ln 3 )16 . 1  5.955 .‫ ג‬. a  5 .‫ ב‬1,1 .‫) א‬15
S2
2
. S  ‫ יח"ש‬1.76 .‫ ב‬a  2 , f  x  


.V  ‫ יח"נ‬ 19  4 ln 4  )18

184
1
2


x - GOOL

Transcription

Similar documents

פונקציה טריגונומטרית הפוכה (אינו שייך לתוכנית הלימודים)

תרגיל 11 – הנגזרת

להורדת שאלון הבחינה

דוח מכין- פיזור ראת`רפורד

דף נוסחאות : נוסחאות הכפל ופירוק לגורמים 1. משוואה ריבועית 2. . הוא (0 פתרו

ארונות מתכת SD IP65

משוואת לפלס בגזרה

פתרון של משוואת לפלס

20152-2 חשבון אינפי `7. דף תרגילים מס באילוץ ומוחלט אקסטרמום פתרונות

להורדת שאלון הבחינה