doc– מבוא לאנליזה נומרית na161 Assignment 2 – Finding Roots of
download 
Report Transcription
– מבוא לאנליזה נומרית na161 Assignment 2 – Finding Roots of
מבוא לאנליזה נומרית – na161 Assignment 2 – Finding Roots of Nonlinear Equations הנחיות :בכל שאלה בה אתם נדרשים לספק קוד מטלב יש לצרף לכל שאלה בצורה מסודרת הדפסה של הקוד (הפונקציות) ושל שורות הפקודה הרלוונטיות בהן השתמשתם על מנת להריצו .יש לדאוג כי הקוד מוצג בצורה קומפקטית וקריאה ולא מתפרש על פני מספר רב של עמודים .עבודות אשר יוגשו בצורה מרושלת או שלא יהיו קריאות לא ייבדקו והניקוד עליהן יהיה בהתאם. שאלה מספר : 1 היכן נחתכים הגרפים של ) y cos(xושל ? y x 3 1 א .ממש ב Matlab-את הפונקציות ) regula(f,a,b,tolו ,newton(f,x0,tol)-שמממשות את השיטות למציאת שורשים Regula Falsiו ,Newton-בהתאמה 2 .הפונקציות מקבלות כפרמטרים את הפונ' f לה צריך למצוא שורש ,ואת ,tolהוא קריטריון העצירה 𝛿 > 0כך ש .|𝑓(𝑥𝑛 )| ≤ 𝛿 :בנוסףregula , מקבלת את קצות הקטע ] [a,bשמכיל את השורש ,ו newton-מקבלת את ,x0הערך ההתחלתי לאלגוריתם. מאחר ובשיטת ניוטון יש לחשב את הנגזרת ,פונקציית הקלט fעבורה צריכה להיות סימבולית .לצורך כך תוכלו להעזר בפונקציות של ,subs, diff, eval :Matlabוכמובן ב.help- ב .מצאו פונקציה fשהשורש שלה הוא חיתוך הגרפים הנזכרים לעיל. ג .בדקו את האלגוריתמים שמימשתם על ידי הרצתם עם הפונקציה שמצאתם ב-ב', ,x0 = 3, a = −3, b = 3עבור ,𝛿 = 0.01ופעם נוספת עבור .𝛿 = 0.0001עבור כל ניסוי דווחו על מספר האיטרציות ואופן התקדמות הניחוש. שאלה מספר :2 בעת חקירת תופעה מסוימת ,נתקל חוקר בצורך למצוא את השורשים של הפונקציה 𝑥 1 .𝑓(𝑥) = sin(𝑥) + 6 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -2.5 -10 ציור גרף של הפונקציה גילה שלפונקציה חמישה שורשים שונים אשר תחומים בקטע ]( [6, 6ראה איור) .נסמן את אותם שורשים 𝑥𝑖 , 𝑖 = 1, … ,5כך ש . x1 x2 x3 x4 x5 בהנחה שחיפוש השורש מתחיל מ bracketכלשהו ] [a, bכך ש x5 bו , a x1ובהנחה שלעולם אין הקירוב החדש באיטרציה כלשהי נופל בדיוק על שורש ,הוכח או הפרך עבור החוקר שלנו את הטענות הבאות: א) קיימים a, bכך ששיטת החצייה תתכנס ל . x1 ב) קיימים a, bכך ששיטת regula falsiתתכנס ל . x2 לאחר בחינת כל התכונות הנ"ל ,החליט החוקר שאת x3ברצונו לקרב בעזרת שיטת ניוטון ,אלא שהצורך בניחוש התחלתי קרוב לשורש מעט הרתיע אותו .הוכח או הפרח עבור החוקר שלנו את הטענה הבאה: ג) קיימים 𝑑 𝑐,המקיימים 𝑑 < 𝑐 < 𝑥3כך שיטת ניוטון תתכנס ל x3 -מכל ניחוש התחלתי בקטע )𝑑 .(𝑐, שאלה מספר 3 מהנדסים רוצים לבנות גשר שיחבר אי לחוף .קו החוף נתון כמשוואה .𝑦 = 2 𝑥 + 3קו המתאר של האי 1 1 נתון בהצגה פרמטרית כ.𝑡 ∈ [0,2𝜋], 𝑒(𝑡) = (cos 𝑡 , sin 𝑡 − 10 (𝑡 2 − 2𝜋𝑡) : היכן צריך לבנות את הגשר כדי שיהיה הקצר ביותר? א. ב. ג. ד. ה. בטאו את הבעייה כפונקציה )𝑡(𝑓 שעבור אחד משורשיה 𝑧 𝑒(𝑧) ,היא הנקודה על שפת האי הקרובה ביותר לחוף. פתחו את איטרצית נקודת השבת )𝑥(𝑔 ,המתאימה ל 𝑓(𝑥)-בשיטת ניוטון. מצאו קטע ]𝜋 ,[𝑎, 𝑏] ⊂ [0,2כך שהשורש המתאים למינימום תחום בקטע ,ולכל נקודה התחלתית ]𝑏 𝑥 ∈ [𝑎,איטרציית ניוטון מתכנסת מנקודה זו. מיצאו פתרון מקורב למשוואה בעזרת שיטת ניוטון .הוכיחו כי מובטחת התכנסות מהתחום ההתחלתי שסיפקתם .כמה איטראציות נדרשות כדי להגיע לשגיאה של ?𝛿 = 0.0001 מקמו על פני התרשים את הנקודה )𝑧(𝑒 המתאימה לפתרון. תזכורת :מרחק נקודה ) (𝑥0 , 𝑦0מישר 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0נתון על ידי: |𝑐|𝑎𝑥0 +𝑏𝑦0 + √𝑎2 +𝑏 2 . שאלה מספר :4 בחן את איטרצית נקודת השבת הבאה ) xn ( xn 2 3a 3 xn 2 a xn 1 א. הראה כי זו איטרציית נקודת שבת המתכנסת ל (ולכן יכולה לחשב את) . a ב. ג. הוכח את סדר ההתכנסות של האיטרציה. נגדיר את האיטרציה הבאה לחישוב שורש ריבועי של :mהמבוססת על שתי סדרות של מספרים שלמים: 2 2 𝑖𝑏 ∗ 𝑚 𝑎𝑖+1 = 𝑎𝑖 + 𝑖𝑏 ∗ 𝑖𝑎 ∗ 𝑏𝑖+1 = 2 𝑖𝑎 √𝑚 = lim 𝑖𝑏 ∞→𝑖 בצע 4איטרציות בשיטה זו כדי למצוא את השורש הריבועי של 2כש .𝑎0 = 1, 𝑏0 = 2כתוב את הערך המתקבל לאחר כל איטרציה בטבלה .השווה את הערכים ל 4איטרציות של שיטת המיתר ושיטת החציה עבור .𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 2האם יכול להיות שלשיטה שהוצגה סדר התכנסות טוב יותר משיטת המיתר למרות שאחרי 4איטרציות קבלנו בשיטת המיתר תוצאה יותר טובה? ד. מה סדר ההתכנסות של השיטה שהוצגה בסעיף ג? (הוכחה) שאלה מספר :5 כמה נקודות שבת יש לפונקציה בקטע ] . [0,1הוכח את תשובתך! שאלה מספר :6 תכנן פונקצית נקודת שבת המתכנסת לוקלית ל a g ( x) cos cos 19 x3 18 x 2 15 x בסדר התכנסות !! 4 א .פרט שלבי התכנון והוכח כי הפונקציה עונה לדרישות הנ"ל. ב .מצא את קבוע ההתכנסות האסימפטוטי של הפונקציה.
