אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות

‫‪-1-‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק‬
‫קוראים יקרים‬
‫לפניכם אוסף של ‪ 125‬תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונותיהם‪ .‬תרגילים אלה הוצעו ונאספו במסגרת של פרויקט‬
‫פיתוח הספר באנליזה למורה אשר התקיים בטכניון במשך מספר שנים והסתיים בהוצאה לאור של הספר בשם "ללמוד וללמד‬
‫אנליזה"‪ .‬אוסף זה לא הוצא לאור והוא מוגש לקהל המורים על ידי מפתחותיו‪ ,‬בנדיבות הפרויקט וברשות הנהלתו‪ .‬היות‬
‫ואנליזה כמקצוע מתמטי קיים בזכות עצמו ואינו תלוי בהצגתו בספר זה או אחר‪ ,‬תרגילים אלה עשויים ללוות כל ספר לימוד‬
‫באנליזה שהמורה משתמש בו בעבודתו בהוראת מקצוע זה בבית ספר תיכון‪.‬‬
‫התרגילים שבאוסף נועדים בראש ובראשונה להבהרת מושגים ועובדות בסיסיים באנליזה‪ .‬כל תרגיל מלווה בפתרון‪ ,‬וההנחה‬
‫וההמלצה הן שהקורא ינסה קודם לפתור את התרגיל בעצמו ואחר כך ישווה את פתרונו עם הפתרון המוגש‪ .‬המיוחדות של‬
‫התרגילים המוצעים היא בכך שהדגש בהם מושם על עניינים קונצפטואליים ולא ביצועיים‪ .‬כך‪ ,‬אין תרגילים לפיתוח מיומנויות‬
‫גזירה ואינטגרציה אלא יש תרגילים המתייחסים לתכונות של נגזרת ואינטגרל ויישומן‪.‬‬
‫התרגילים נועדים למורים אשר מלמדים או מתכוננים ללמד אנליזה בחטיבה העליונה של בית ספר תיכון‪ ,‬ומטרתם היא חידוד‬
‫והעמקת הידע במקצוע זה‪ .‬אחדים מהם יכולים לשמש נקודות מוצא לעבודת מחקר של המורה‪ ,‬או לעבודות מיני‪ -‬מחקר של‬
‫התלמידים המתקדמים בהנחיית המורה‪.‬‬
‫התרגילים באוסף ממוספרים ברצף תחת כותרות של הנושאים להם שייכים‪ .‬הטבלה להלן מציגה את פיזור התרגילים לפי‬
‫הנושאים‪.‬‬
‫נושאים‬
‫מספרי תרגילים‬
‫פונקציות‬
‫‪25 – 1‬‬
‫גבולות‬
‫‪30 -26‬‬
‫רציפות פונקציות‬
‫‪48 - 31‬‬
‫נגזרת ראשונה בנקודה ומושגים נלווים‬
‫‪53 - 49‬‬
‫הפונקציה הנגזרת וחוקי הגזירה‬
‫‪65 - 54‬‬
‫הקשר בין תכונות פונקציה ותכונות‬
‫‪75 - 66‬‬
‫הפונקציה הנגזרת‪.‬‬
‫נגזרות מסדר ‪ n ≥ 2‬והקשר בין‬
‫תכונותיהן ותכונות הפונקציה‬
‫‪90 - 76‬‬
‫פונקציה קדומה‬
‫‪101 - 91‬‬
‫אינטגרל בלתי מסוים‬
‫‪107 - 102‬‬
‫אינטגרל מסוים‬
‫‪125 – 108‬‬
‫אנו מקוות שעבודתנו תועיל לפעילותם והשתלמותם של המורים למתמטיקה בחטיבה העליונה ונודה על כל תגובה והערה‬
‫שתגענה לכתובותינו‪:‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫נובמבר ‪2014‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪-2-‬‬
‫תרגילים בנושא "פונקציות"‬
‫‪ .1‬בטבלה להלן מתוארות סיטואציות בהן מוגדרות שתי קבוצות ‪ A‬ו‪ . B -‬בכל‬
‫מקרה נא לענות על השאלות הבאות‪:‬‬
‫•‬
‫האם הקבוצה ‪ A‬היא קבוצה סופית או אינסופית?‬
‫•‬
‫כנ"ל לגבי הקבוצה ‪. B‬‬
‫•‬
‫מהו האופי של ההתאמה בין הקבוצה ‪ A‬לבין הקבוצה ‪ :? B‬התאמה חד‪-‬ערכית או רב‪-‬‬
‫ערכית?‬
‫•‬
‫האם ההתאמה הנ"ל היא פונקציה? אם כן‪ ,‬מהו התחום שלה? ומהם הטווח‬
‫וקבוצת הערכים שלה?‬
‫•‬
‫האם לפונקציה הנ"ל‪ ,‬במקרה וקיימת‪ ,‬יש פונקציה הפוכה? אם כן‪ ,‬איך ניתן‬
‫לתאר אותה? מה הם מאפייניה‪ :‬התחום‪ ,‬הטווח‪ ,‬קבוצת הערכים?‬
‫‪#‬‬
‫סיטואציה‬
‫‪1‬‬
‫במפעל מסוים הוחלט להעניק לקראת השנה החדשה לכל עובד‬
‫קבוצה‬
‫פרס כספי כאשר גודל הפרס תלוי בהיקף ואיכות עבודתו של‬
‫‪A‬‬
‫קבוצת כל העובדים‬
‫קבוצה‬
‫‪B‬‬
‫קבוצת כל הפרסים‬
‫העובד‬
‫‪2‬‬
‫בתוכנית חיסכון דו – שנתית של לקוח בנק מסוים הוכנס סכום‬
‫כסף התחלתי‪ .‬הבנק מחשב ריבית בסוף כל חודש‬
‫קבוצת ‪ 24‬חודשים בהם‬
‫קבוצת ‪ 24‬סכומי כסף‬
‫פועלת התוכנית‬
‫בחשבון הלקוח בסופי‬
‫החודשים בהם פועלת‬
‫התוכנית‬
‫‪3‬‬
‫בבית מרקחת גדול התור נקבע על ידי תלישת מספרים‬
‫מהמתקן ליד הכניסה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫קבוצת כל מבקרי בית‬
‫קבוצת כל המספרים‬
‫המרקחת במשך היום‬
‫שנתלשו במשך היום‬
‫רופא המשפחה במרפאה מקבל חולים בכל אחד מימי החול‬
‫א'‪ -‬ה' משעה ‪ 8‬עד שעה ‪ .12‬ליד חדר הקבלה שלו תלויה כל‬
‫קבוצת כל החולים‬
‫יום רשימת החולים שנרשמו ליום זה וסדר כניסתם לרופא הוא‬
‫שהתקבלו על ידי הרופא‬
‫כמו סדר הופעתם ברשימה‪ .‬בין החולים שהתקבלו בחודש יולי‬
‫במשך חודש יולי השנה‪.‬‬
‫קבוצת כל ערכי הזמן‬
‫‪t‬‬
‫משעה ‪ 8‬עד שעה ‪,12‬כלומר‬
‫הקטע‬
‫‪≤ 12‬‬
‫‪.8 ≤ t‬‬
‫היו כאלה שבאו לרופא מספר פעמים לבדיקה‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫שני רצים מתחילים לרוץ בו‪ -‬זמנית מנקודה אחת באותו כיוון‬
‫בשביל עגול‪ ,‬די רחב כדי להימנע מהיתקלות‪ .‬הרץ שיחזור‬
‫ראשון לאותה הנקודה ינצח‪.‬‬
‫קבוצת רגעי הזמן‬
‫קבוצת המרחקים בין הרצים‬
‫מתחילת הריצה עד סיומה‬
‫הנמדדים בכל רגע במשך‬
‫על ידי אחד הרצים‬
‫הריצה )בכיוון הריצה(‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪-3‬‬‫פתרון‬
‫)‪(1‬‬
‫הקבוצות ‪ A, B‬הן קבוצות סופיות‪ .‬לכל איבר של קבוצה ‪) A‬העובד( מותאם איבר אחד של הקבוצה‬
‫‪) B‬פרס כספי ‪ -‬סכום הכסף(‪ .‬ההתאמה היא חד‪-‬ערכית‪ ,‬ולכן היא פונקציה‪ .‬התחום שלה הוא קבוצת‬
‫העובדים ‪ A‬והטווח הוא קבוצת הפרסים ‪ B‬שהיא גם קבוצת הערכים של הפונקציה‪ .‬ייתכנו שני מקרים‪:‬‬
‫א‪ .‬הפונקציה ‪ A → B‬אינה חד‪ -‬חד ‪-‬ערכית כלומר יש עובדים שונים שקיבלו אותו סכום כסף‪ .‬במקרה זה‬
‫לפונקציה ‪ A → B‬אין פונקציה הפוכה‪ .‬ב‪ .‬הפונקציה ‪ A → B‬כן חד‪-‬חד‪-‬ערכית‪ ,‬כלומר עובדים שונים‬
‫קיבלו פרסים שונים‪ .‬במקרה זה קיימת פונקציה הפוכה ‪ B → A‬אשר מתאימה לכל פרס שהוענק את‬
‫העובד אשר קיבל אותו‪ .‬התחום של פונקציה זו הוא קבוצת הפרסים ‪ , B‬הטווח שלה הוא קבוצת‬
‫העובדים ‪ , A‬וגם קבוצת הערכים שלה היא הקבוצה ‪. A‬‬
‫) ‪(2‬‬
‫הקבוצות ‪ A, B‬הן קבוצות סופיות‪ :‬כל אחת מכילה ‪ 24‬איברים‪ .‬לכל איבר בקבוצה ‪) A‬כל חודש במשך‬
‫שנתיים( מותאם איבר של הקבוצה ‪) B‬סכום הכסף הנצבר בחשבון בסוף החודש(‪ .‬ההתאמה היא חד‪-‬‬
‫ערכית ולכן היא פונקציה עם התחום ‪ A‬והטווח וגם קבוצת הערכים ‪ . B‬פונקציה זו חד‪-‬חד‪-‬ערכית‪,‬‬
‫בהנחה שהריבית שונה מאפס‪ ,‬כי סכום כסף הנצבר בסוף כל חודש גדול מהסכום הנחסך בסוף החודש‬
‫הקודם‪ .‬לכן לפונקציה ‪ A → B‬יש פונקציה הפוכה ‪ B → A‬אשר מתאימה לסכום ביניים הנחסך‬
‫בתהליך החיסכון את מספר החודש בו הוא נחסך‪ .‬התחום של הפונקציה ההפוכה הוא קבוצת הסכומים‬
‫הנצברים בסופי החודשים והטווח שלה וגם קבוצת הערכים שלה מתלכדים‪ ,‬כל אחד‪ ,‬עם קבוצת ‪24‬‬
‫החודשים בהם פעלה תוכנית החיסכון‪.‬‬
‫)‪(3‬‬
‫הקבוצות ‪ A, B‬הן קבוצות סופיות‪ .‬לכל איבר של הקבוצה ‪) A‬מבקר בית המרקחת במשך היום( מותאם‬
‫איבר של הקבוצה ‪) B‬מספר הכרטיס הנתלש על ידיו מהמתקן(‪ .‬ההתאמה היא חד‪-‬ערכית ולכן היא‬
‫פונקציה‪ .‬התחום שלה הוא ‪) A‬קבוצת כל מבקרי בית המרקחת במשך היום( ‪ ,‬הטווח הוא קבוצת כל‬
‫המספרים שהיו על הכרטיסים במתקן ביום זה וקבוצת הערכים היא ‪) B‬קבוצת כל המספרים שנתלשו‬
‫במשך היום(‪ .‬ההתאמה ‪ A → B‬היא התאמה חד‪-‬חד‪-‬ערכית ולכן קיימת פונקציה הפוכה ‪. B → A‬‬
‫פונקציה זו מתאימה לכל מספר הנתלש את האדם שתלשו‪.‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪-4‬‬‫)‪(4‬‬
‫הקבוצה ‪ A‬היא קבוצה סופית‪ ,‬כי מספר החולים שהתקבלו על ידי הרופא במשך חודש יולי הוא מספר‬
‫סופי‪ .‬הקבוצה ‪ B‬היא קבוצה אינסופית כי יש אינסוף רגעי זמן בין השעה ‪ 8‬לבין השעה ‪ 12‬אף ביום אחד‪.‬‬
‫לכל איבר בקבוצה ‪) A‬החולה שהתקבל על‪-‬ידי הרופא ביולי( מותאמים רגעי הזמן של כניסתו לרופא‪.‬‬
‫היות ויש חולים שנכנסו לרופא מספר פעמים‪ ,‬ההתאמה היא לא חד‪-‬ערכית ולכן היא לא פונקציה‪.‬‬
‫)‪(5‬‬
‫הקבוצה ‪ A‬היק קבוצה אינסופית‪ ,‬הקבוצה ‪ B‬יכולה להיות סופית‪ ,‬כאשר יש מספר סופי של מרחקים‬
‫שונים בין הרצים במשך הריצה‪ ,‬ויכולה להיות אינסופית כאשר יש אינסוף מרחקים כאלה‪ .‬לכל איבר של‬
‫הקבוצה ‪) A‬רגע זמן( מותאם איבר אחד של הקבוצה ‪) B‬המרחק בין הרצים באותו רגע(‪ .‬ההתאמה‬
‫‪ A → B‬היא התאמה חד‪-‬ערכית ולכן היא פונקציה‪ .‬התחום שלה הוא הקבוצה ‪ A‬של כל רגעי הזמן‬
‫מהתחלת הריצה עד סופה‪ .‬הטווח הוא קבוצת כל המרחקים בין כל שתי נקודות במסלול הריצה‪ .‬קבוצת‬
‫הערכים היא הקבוצה ‪ B‬של המרחקים בין הרצים בכל רגעי הריצה‪ .‬אם היו רגעים שונים בריצה בהם בין‬
‫הרצים היה אותו מרחק‪ ,‬הפונקציה ‪ A → B‬אינה חד‪-‬חד‪-‬ערכית ובמקרה זה אין לה פונקציה הפוכה‪.‬‬
‫אם ברגעים שונים המרחקים בין הרצים היו שונים‪ ,‬אזי הפונקציה ‪ A → B‬כן חד‪-‬חד‪-‬ערכית ועבורה‬
‫קיימת פונקציה הפוכה ‪ . B → A‬פונקציה זו מתאימה לכל מרחק בין הרצים מהקבוצה ‪ B‬את אותו רגע‬
‫זמן בו הושג מרחק זה‪ .‬התחום של פונקציה זו היא הקבוצה ‪ B‬של המרחקים בין הרצים‪ ,‬וקבוצת‬
‫הערכים היא הקבוצה ‪ A‬של רגעי זמן הריצה‪.‬‬
‫‪ .2‬הבא דוגמה של פונקציה אשר מוגדרת בשלושה קטעים נפרדים‪ ,‬מונוטונית בכל אחד מהם‪,‬‬
‫אבל אינה מונוטונית בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫פתרון‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות‪:‬‬
‫‪+‬‬
‫‪x x −1‬‬
‫= ) ‪ . f ( x‬פונקציה זו מוגדרת בשלושה קטעים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ו‪-‬‬
‫∞ < ‪ . −∞ < x < 0, 0 < x < 1, 1 < x‬בכל אחד מקטעים אלה כל אחת משתי פונקציות‬
‫‪x −1 x‬‬
‫היא פונקציה יורדת‪ .‬היות וסכום של פונקציות יורדות בקטע מסוים הוא גם פונקציה יורדת באותו קטע‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫הפונקציה הנתונה‬
‫‪+‬‬
‫‪x x −1‬‬
‫= ) ‪ f ( x‬יורדת בכל אחד משלושת הקטעים הנ"ל‪ .‬אבל היא אינה יורדת‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪-5‬‬‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫= )‪, f (1.1‬כאשר ‪= 0‬‬
‫‪+‬‬
‫בכל תחומה‪ ,‬כי למשל‪> 10 ,‬‬
‫‪0.5 0.5 − 1‬‬
‫‪1.1 0.1‬‬
‫= ) ‪, f ( 0.5‬כך ש‪-‬‬
‫‪. f (1.1) > f ( 0.5) .‬‬
‫‪ .3‬הוכח כי כל מספר ממשי השונה מ‪ 0-‬הוא מחזור של פונקציה ממשית ) ‪ f ( x‬אם ורק‬
‫אם ) ‪ f ( x‬היא פונקציה קבועה‪.‬‬
‫פתרון‬
‫כיוון ראשון‪ :‬נניח כי ) ‪ f ( x‬פונקציה קבועה‪ .‬אזי ) ‪ f ( x + T ) = f ( x‬לכל ‪ x‬ממשי וכל ‪ T‬ממשי‪ ,‬ולכן‬
‫כל מספר ממשי ‪ T ≠ 0‬הוא מחזור של ) ‪. f ( x‬‬
‫כיוון שני‪ :‬נניח כי כל ‪ T ≠ 0‬הוא מחזור של ) ‪ . f ( x‬אזי ) ‪ f (T ) = f ( 0‬לכל ‪ T‬ממשי‪ .‬מכאן‬
‫‪ f ( x ) = f ( 0 ) = c‬לכל ‪ x‬ממשי‪ ,‬כלומר ) ‪ f ( x‬היא פונקציה קבועה‪.‬‬
‫‪ .4‬הבא דוגמה של פונקציה ממשית מחזורית אשר אינה קבועה ואין לה מחזור יסודי‪.‬‬
‫פתרון‬
‫תהי ) ‪ f ( x‬פונקצית דיריכלה‪ ,‬כלומר ‪ f ( x ) = 1‬לכל ‪ x‬רציונלי ו‪ f ( x ) = 0 -‬לכל ‪ x‬אי‪-‬רציונלי‪ .‬אז כל‬
‫מספר רציונלי ‪ T‬הוא מחזור של ) ‪ . f ( x‬היות ובין המספרים הרציונליים חיוביים אין מספר מינימלי‪,‬‬
‫לפונקציה לא קיים מחזור יסודי‪.‬‬
‫‪ .5‬הוכח כי במתיחה‪/‬כיווץ של פונקציה מחזורית מתקבלת פונקציה מחזורית‪ .‬איך משתנה המחזור‬
‫היסודי של הפונקציה בפעולות אלה?‬
‫פתרון‬
‫אם מתיחה‪/‬כיווץ של פונקציה מחזורית מבוצעת‪/‬מבוצע בכיוון אנכי‪ ,‬המחזור היסודי אינו משתנה כלל‪ .‬אם‬
‫מתיחה‪/‬כיווץ של פונקציה מחזורית ) ‪ f ( x‬מבוצעת‪/‬מבוצע בכיוון אופקי‪ ,‬כלומר עוברים לפונקציה‬
‫‪T‬‬
‫) ‪ f ( ax‬כאשר ‪ , a > 0‬כל מחזור ‪ T‬של ) ‪ f ( x‬עובר למחזור‬
‫‪a‬‬
‫של ) ‪ , f ( ax‬כי התנאי‬
‫) ‪ f ( x + T ) = f ( x‬לכל ‪ x‬ממשי גורר ש‪-‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪-6‬‬‫‪T ‬‬
‫) ‪ = f ( ax + T ) = f ( ax‬‬
‫‪a  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ f  a  x +‬לכל ‪ x‬ממשי‪.‬‬
‫בכך הוכח כי במתיחה‪/‬כיווץ של פונקציה מחזורית מתקבלת פונקציה מחזורית‬
‫בדומה ניתן להוכיח כי אם ‪ T1‬הוא מחזור של ) ‪ , f ( ax‬אז ‪ aT1‬הוא מחזור של ) ‪ . f ( x‬מכאן נובע כי אם‬
‫‪T‬‬
‫‪ T‬הוא המחזור היסודי של ) ‪ f ( x‬אז‬
‫‪a‬‬
‫הוא המחזור היסודי של ) ‪, f ( ax‬‬
‫לבסוף נציין כי מחזור ‪ T‬של ) ‪ f ( x‬הוא לא בהכרח מחזור של ) ‪ . f ( ax‬למשל ‪ T = 2π ,‬הוא מחזור‬
‫‪3‬‬
‫של ‪ f ( x ) = sin x‬אבל ‪ T = 2π‬לא מהווה מחזור של ‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. f (1.5 x ) = sin‬‬
‫‪ .6‬הבא דוגמה למשפחת פונקציות ממשיות המוגדרות לכל ‪ x ∈ ℝ‬אשר בה כל בת משפחה ניתנת‬
‫להצגה מדויקת וחד‪-‬משמעית על ידי טבלת ערכיה בשלוש נקודות‪.‬‬
‫פתרון‬
‫במשפחת פונקציות ריבועיות מהצורה ‪ , a ≠ 0 , f ( x ) = ax 2 + bx + c‬כל פונקציה מוצגת במדויק‬
‫וחד‪-‬משמעית על ידי טבלת ערכיה בשלוש נקודות שונות‪ ,‬כלומר בהינתן טבלה כזו ניתן לשחזר פונקציה‬
‫אחת ויחידה מהמשפחה‪ ,‬בעלת ערכים אלה‪ .‬לשם כך יש לפתור מערכת של שלוש משוואות ליניאריות‬
‫בלתי תלויות עם שלושה נעלמים ‪ a, b, c‬מהצורה‬
‫‪k = 1, 2,3‬‬
‫‪. axk 2 + bxk + c = yk ,‬‬
‫כאשר ‪ ( k = 1, 2,3) xk , yk‬הם הערכים הנתונים בטבלה‪.‬‬
‫‪ .7‬הבא דוגמה של פונקציה אלמנטרית מחזורית אשר חסומה מלמעלה ולא‬
‫חסומה מלמטה‪.‬‬
‫פתרון‬
‫‪1‬‬
‫אחת מאינסוף תשובות אפשריות‪:‬‬
‫‪sin 2 x‬‬
‫‪. f ( x) = −‬‬
‫‪ .8‬הבא דוגמה של פונקציה אלמנטרית אשר מוגדרת‪ ,‬חסומה ומונוטונית ב‪. ℝ -‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪-7‬‬‫פתרון‬
‫אחת מאינסוף תשובות אפשריות‪ . f ( x ) = arctan x :‬לפי ההגדרה של פונקציה זו‪ ,‬התחום שלה הוא‬
‫∞ < ‪ ℝ : −∞ < x‬וקבוצת הערכים היא הקטע‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫<‪<y‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . −‬הפונקציה אי‪-‬זוגית ועולה בכל התחום‪,‬‬
‫כפי שרואים בהצגתה הגרפית‪:‬‬
‫‪ .9‬הוכח כי כל פונקציה ממשית המוגדרת ב‪ ℝ -‬ניתן להציג כסכום של פונקציה זוגית ופונקציה אי‪-‬‬
‫זוגית‪.‬‬
‫פתרון‬
‫תהי ) ‪ f ( x‬מוגדרת לכל מספר ממשי ‪ . x‬נגדיר‬
‫)‪f ( x) − f ( −x‬‬
‫)‪f ( x) + f (−x‬‬
‫= ) ‪, f2 ( x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪. f1 ( x‬‬
‫קל לבדוק כי ) ‪ f1 ( x‬היא פונקציה אי‪-‬זוגית‪ ,‬ו‪ f 2 ( x ) -‬היא פונקציה זוגית‪ .‬הסכום של פונקציות אלה היא‬
‫פונקצית המוצא‪:‬‬
‫) ‪. f1 ( x ) + f 2 ( x ) = f ( x‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪-8‬‬‫‪ .10‬הצג את הפונקציה ‪ f ( x ) = e x‬כסכום של פונקציה זוגית ופונקציה אי‪-‬זוגית‪.‬‬
‫פתרון‬
‫לפונקציה הנתונה ‪ f ( x ) = e x‬נגדיר‬
‫)‪f ( x) − f (−x‬‬
‫‪e x − e− x‬‬
‫=‬
‫‪= sinh x,‬‬
‫= ) ‪f1 ( x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ( x ) + f ( − x ) e x + e− x‬‬
‫=‬
‫‪= cosh x.‬‬
‫= ) ‪f2 ( x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪, f ( x ) = e x = sinh x + cosh x‬‬
‫כאשר ‪ sinh x‬היא פונקציה אי‪-‬זוגית ו‪ - cosh x -‬פונקציה זוגית‪.‬‬
‫‪ .11‬רשום את סדרת הפעולות של הזזה‪/‬מתיחה‪/‬כיווץ‪ /‬שיקוף אשר מעבירה את הפונקציה‬
‫‪ f ( x ) = sin x‬לפונקציה ‪. g ( x ) = 5sin ( 6 − 3x ) + 10‬‬
‫פתרון‬
‫את המעבר מהפונקציה ‪ f ( x ) = sin x‬לפונקציה‬
‫‪g ( x ) = 5sin ( 6 − 3 x ) + 10 = 5sin ( −3 ( x − 2 ) ) + 10‬‬
‫ניתן לבצע על ידי הפעולות הבאות‪ :‬א‪ .‬שיקוף ביחס לציר ה‪ , y -‬ב‪ .‬כיווץ אופקי פי ‪, 3‬‬
‫ג‪ .‬הזזה אופקית ב‪ 2-‬ימינה‪ ,‬ד‪ .‬מתיחה אנכית פי ‪ , 5‬ה‪ .‬הזזה אנכית ב‪ 10 -‬למעלה‪.‬‬
‫‪ .12‬תאר את תחום ההגדרה והמחזור היסודי של הפונקציה ‪. f ( x ) = sin x + cos x‬‬
‫פתרון‬
‫תחום ההגדרה של ) ‪ f ( x‬הוא אוסף של קטעים נפרדים‬
‫‪π‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  2π k , 2π k +‬כאשר ‪ k‬מספר שלם‬
‫כלשהו‪ .‬המחזור היסודי של ) ‪ f ( x‬הוא ‪. T = 2π‬‬
‫‪ .13‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה המורכבת ‪. f ( x ) = 1 − x + ln x‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪-9‬‬‫פתרון‬
‫‪1‬‬
‫תהי ‪ . g ( x ) = 1 − x + ln x‬פונקציה זו מוגדרת בתחום ‪ . x > 0‬הפונקציה הנגזרת‬
‫‪x‬‬
‫‪g ′ ( x ) = −1 +‬‬
‫חיובית בקטע ‪ 0 < x < 1‬ושלילית בקרן ‪ . x > 1‬מכאן נובע כי בנקודה ‪ x = 1‬הפונקציה ) ‪ g ( x‬מקבלת‬
‫את הערך המקסימלי שלה בכל התחום והוא ‪ . g (1) = 0‬לכן‬
‫‪ g ( x ) = 1 − x + ln x < 0‬כאשר ‪ x > 0, x ≠ 1‬ו‪. g (1) = 0 -‬‬
‫)*(‬
‫מ‪ (*)-‬נובע כי ) ‪g ( x‬‬
‫= ) ‪ f ( x‬מוגדרת רק עבור ‪ , x = 1‬כלומר תחום הגדרתה הוא }‪. D = {1‬‬
‫הערה‬
‫דרך אחרת לקביעת אי השוויון )*(‪ ,‬הנמצאת גם במסגרת החשבון הדיפרנציאלי‪ ,‬אבל ללא שימוש‬
‫במבחני קיצון‪ ,‬מתבססת על העובדות הבאות‪ (1) :‬המשיק לגרף ‪ y = ln x‬בנקודה ) ‪ (1, 0‬הוא הישר‬
‫‪1‬‬
‫‪ (2) , y = x − 1‬הגרף ‪ y = ln x‬קעור כלפי מטה‪ ,‬היות ו‪< 0 -‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ y′′ = −‬לכל ‪. x > 0‬‬
‫גרף הקעור כלפי מטה ממוקם מתחת לכל משיקו‪ ,‬בכל נקודה‪ ,‬למעט נקודת ההשקה‪.‬‬
‫בפרט‪ ,‬הגרף ‪ y = ln x‬נמצא מתחת לישר ‪ y = x − 1‬כאשר‬
‫‪ , x ≠ 1 , x > 0‬כפי שרואים בתמונה של שני הגרפים‪.‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫⇐ ‪ g ( x ) = 1 − x + ln x < 0‬לכל ‪, x > 0‬‬
‫‪ln x < x − 1‬‬
‫למעט ‪. x = 1‬‬
‫‪ .14‬ציין‪ ,‬עבור אילו ערכים טבעיים של ‪ n‬הנוסחה‬
‫‪( ) = n ln x‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ln x‬נכונה ועבור אילו – לא נכונה‪ .‬נמק את טענותיך‪.‬‬
‫פתרון‬
‫הנוסחה נכונה לכל ‪ n‬אי‪-‬זוגי )‪ ( n = 1,3, 4,...‬ואינה נכונה לכל ‪ n‬זוגי )‪. ( n = 2, 4,6,...‬‬
‫נימוק‪ :‬שוויון פונקציות כולל את התלכדות תחומי הגדרתן‪ .‬כאשר ‪ n‬זוגי‪ ,‬הפונקציה‬
‫) (‬
‫‪n‬‬
‫‪ ln x‬מוגדרת‬
‫לכל ‪ x‬ממשי‪ ,‬למעט ‪ , x = 0‬והפונקציה ‪ ln x‬מוגדרת רק עבור ‪. x > 0‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 10‬‬‫‪cos x‬‬
‫‪ .15‬קיימות שתי דרכים להגדרת הפונקציה ‪ . f ( x ) = cot x‬דרך אחת‪:‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪tan x‬‬
‫= ‪ , cot x‬דרך אחרת‪:‬‬
‫= ‪ . cot x‬האם שתי הגדרות אלה שקולות? נמק את תשובתך‪.‬‬
‫פתרון‬
‫‪1‬‬
‫‪cos x‬‬
‫= ) ‪ f ( x‬ו‪-‬‬
‫ההגדרות אינן שקולות‪ ,‬כי לפונקציות‬
‫‪tan x‬‬
‫‪sin x‬‬
‫= ) ‪ g ( x‬יש תחומי הגדרה שונים‪.‬‬
‫הפונקציה ) ‪ f ( x‬מוגדרת לכל ‪ x‬ממשי‪ ,‬למעט ‪ , x = kπ‬כאשר ‪ k‬שלם כלשהו‪ .‬הפונקציה ) ‪g ( x‬‬
‫‪π‬‬
‫מוגדרת לכל ‪ x‬ממשי‪ ,‬למעט ‪ x = kπ‬וגם ‪+ kπ‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ , x‬כאשר ‪ k‬שלם כלשהו‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .16‬נתונה פונקציה מורכבת ‪ . y = esin x‬תאר את תחום הגדרתה‪ ,‬קבוצת ערכיה ואת כל תכונותיה‬
‫הבסיסיות‪.‬‬
‫פתרון‬
‫‪2‬‬
‫תחום ההגדרה של ‪ f ( x ) = esin x‬הוא ∞ < ‪ . ℝ : −∞ < x‬היות והפונקציה ‪ sin 2 x‬מקבלת את כל‬
‫הערכים בין ‪ 0‬ל‪ ,1-‬קבוצת הערכים של הפונקציה‬
‫‪sin 2 x‬‬
‫‪ f ( x ) = e‬היא הקטע ‪ . 1 ≤ y ≤ e‬הפונקציה‬
‫הנתונה רציפה‪ ,‬חסומה‪ ,‬זוגית ומחזורית‪ .‬המחזור היסודי הוא ‪. T = π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪ .17‬מצא את הפונקציה ההפוכה לפונקציה ‪ tan x‬בתחום‬
‫<‪<x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫פתרון‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫הפונקציה ‪ arctan x‬הפוכה לפונקציה ‪ tan x‬בקטע < ‪< x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . −‬מכאן ניתן להסיק כי הפונקציה‬
‫‪π‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪ g ( x ) = π + arctan x‬הפוכה לפונקציה ‪ f ( x ) = tan x‬בקטע‬
‫<‪<x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .‬אכן קבוצת הערכים ‪ℝ‬‬
‫‪π‬‬
‫‪3π‬‬
‫של ‪ f ( x ) = tan x‬היא תחום ההגדרה של ‪ , g ( x ) = π + arctan x‬ותחום ההגדרה‬
‫<‪<x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪ f ( x‬היא קבוצת הערכים של ) ‪ . g ( x‬בנוסף‪ ,‬לכל ‪ x ∈ ℝ‬מתקיים‪:‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪. f g ( x ) = tan (π + arctan x ) = tan ( arctan x ) = x‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫של‬
‫‪- 11 -‬‬
‫‪π‬‬
‫‪3π‬‬
‫בכך‪,‬הפונקציה ‪ g ( x ) = π + arctan x‬אכן הפוכה לפונקציה ‪ f ( x ) = tan x‬בקטע‬
‫<‪<x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .18‬פעולת חשבון בשתי פונקציות אלמנטריות מביאה תמיד לפונקציה אלמנטרית‪ .‬האם פעולות‬
‫חשבון בשתי פונקציות לא אלמנטריות תמיד מביאה לפונקציה לא אלמנטרית?‬
‫פתרון‬
‫התשובה לשאלה היא שלילית‪ .‬דוגמה‪ :‬הפונקציות ‪) f ( x ) =  x ‬החלק השלם של ‪ ( x‬ו‪-‬‬
‫‪ g ( x ) = x +  x ‬אינן פונקציה אלמנטריות‪ .‬אבל פונקצית ההפרש ‪ g ( x ) − f ( x ) = x‬היא פונקציה‬
‫אלמנטרית‪.‬‬
‫‪ .19‬הבא דוגמה של שתי פונקציות ממשיות‪ f ( x ) :‬המוגדרת ב‪ ℝ : −∞ < x < ∞ -‬ו‪g ( x ) -‬‬
‫(‬
‫)‬
‫המוגדרת ב‪ , ℝ + : 0 ≤ x < ∞ -‬כאלה שהרכבתן ) ‪ g f ( x‬מוצגת על ידי סדרה אינסופית של‬
‫נקודות מבודדות‪.‬‬
‫פתרון‬
‫אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות‪x :‬‬
‫)‬
‫= ) ‪ . f ( x ) = − sin 2 x, g ( x‬הפונקציה המורכבת‬
‫(‬
‫‪ g f ( x ) = − sin 2 x‬מוגדרת רק בנקודות ‪ , x = kπ‬כאשר ‪ k‬מספר שלם כלשהו‪ .‬גרף פונקציה זו‬
‫הוא סדרה אינסופית של נקודות מבודדות ) ‪ , ( kπ , 0‬כאשר ‪. k = 0, ±1, ±2,...‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪ .20‬נתונות שתי פונקציות קבועות ‪ f ( x ) = c1‬ו‪ g ( x ) = c2 -‬לכל ‪ x‬ממשי‪ .‬מצא את ) ‪ f g ( x‬ו‪-‬‬
‫)‬
‫(‬
‫) ‪ . g f ( x‬האם הרכבת שתי פונקציות קבועות היא פעולה חילופית?‬
‫פתרון‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫מהגדרת הפונקציות ) ‪ f ( x‬ו‪ g ( x ) -‬נובע כי ‪ f g ( x ) = c1‬ו‪ . g f ( x ) = c2 -‬מכאן נובע כי פעולת‬
‫ההרכבה של שתי פונקציות קבועות שונות אינה פעולה חילופית‪.‬‬
‫‪ .21‬באיזה תנאי הרכבת שתי פונקציות ליניאריות ‪ f ( x ) = ax + b‬ו‪ g ( x ) = mx + n -‬היא פעולה‬
‫חילופית?‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 12‬‬‫פתרון‬
‫אם ‪ f ( x ) = ax + b‬ו‪ g ( x ) = mx + n -‬אז‪:‬‬
‫‪f ( g ( x ) ) = a ( mx + n ) + b = amx + an + b‬‬
‫‪g ( f ( x ) ) = m ( ax + b ) + n = m ⋅ ax + mb + n‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫מכאן נובע כי ) ‪ f g ( x ) = g f ( x‬אם ורק אם ‪ an + b = mb + n‬או ‪. ( a − 1) n = ( m − 1) b‬‬
‫בפרט‪ ,‬הרכבת פונקציות ‪ f ( x ) = x + b‬ו‪ g ( x ) = x + n -‬חילופית והרכבת פונקציות ‪f ( x ) = ax + b‬‬
‫ו‪ g ( x ) = mx -‬אינה חילופית כאשר ‪. m ≠ 1, b ≠ 0‬‬
‫אכן‪ ,‬במקרה זה‪:‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫‪. f g ( x ) = amx + b ≠ g f ( x ) = amx + mb‬‬
‫‪ .22‬תאר את תחום ההגדרה‪ ,‬קבוצת הערכים ואת כל התכונות הבסיסיות של הפונקציה‬
‫‪. f ( x ) = x− 2‬‬
‫פתרון‬
‫הפונקציה ‪ y = x − 2‬היא פונקצית חזקה עם מעריך אי‪ -‬רציונלי שלילי‪ .‬פונקציה זו מוגדרת בתחום‬
‫∞ < ‪ . 0 < x‬קבוצת הערכים שלה היא ∞ < ‪ . 0 < y‬הפונקציה יורדת בכל התחום ויש לה שתי‬
‫אסימפטוטות‪ :‬אופקית ‪ y = 0‬ואנכית ‪. x = 0‬‬
‫‪ .23‬נתונה משפחת פונקציות לוגריתמיות ‪ f ( x ) = log a x‬כאשר ‪ a‬הוא מספר חיובי כלשהו השונה‬
‫מ‪ .1-‬גרף של כל פונקציה מהמשפחה חותך את הישר ‪ x = e‬בנקודה אחת‪ .‬הוכח כי שיעור ה‪-‬‬
‫‪ y‬של נקודה זו הוא פונקציה אלמנטרית של המשתנה ‪ . a‬מצא תבנית מפורשת‪ ,‬תחום‬
‫ההגדרה וקבוצת הערכים של פונקציה זו‪.‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 13‬‬‫פתרון‬
‫‪1‬‬
‫לפי הנתון‪,‬‬
‫‪ln a‬‬
‫= ‪ . y = log a e‬הפונקציה ‪ ln a‬היא פונקציה אלמנטרית בסיסית של הארגומנט ‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫ולכן הפונקציה‬
‫‪ln a‬‬
‫היא פונקציה אלמנטרית של ‪ . a‬תחום ההגדרה של פונקציה זו הוא‪:‬‬
‫‪ . a > 0 , a ≠ 1‬קבוצת הערכים היא‪. −∞ < y < ∞, y ≠ 0 :‬‬
‫‪ .24‬הבא דוגמה של פונקציה פולינומיאלית ממעלה רביעית אשר חסומה מלמעלה והגרף שלה אינו‬
‫חותך את ציר ה‪. x -‬‬
‫פתרון‬
‫אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות‪. f ( x ) = − x 4 − 1 :‬‬
‫‪ .25‬הבא דוגמה של תבנית עם פרמטר שהוא מספר טבעי כלשהו‪ ,‬המתארת משפחת פונקציות‬
‫רציונליות‪ ,‬כאשר כל אחת מהן מקיימת את התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪ (1‬מוגדרת בכל ה‪, ℝ -‬‬
‫‪ (2‬זוגית‪,‬‬
‫‪ (3‬חסומה‪,‬‬
‫‪ (4‬מתאפסת בנקודה ‪, x = 0‬‬
‫‪ (5‬בעלת אסימפטוטה אופקית ‪ y = −1‬ב‪. ±∞ -‬‬
‫פתרון‬
‫‪x2n‬‬
‫התבנית‬
‫‪ , f ( x ) = − 2 n‬עם פרמטר טבעי ‪ n = 1, 2,3,...‬מתארת אינסוף פונקציות אשר כל אחת‬
‫‪x +1‬‬
‫מהן מקיימת את התנאים ‪ (5-(1‬דלעיל‪.‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪- 14 -‬‬
‫תרגילים בנושא "גבולות"‬
‫‪ .26‬מצא גבולות של הסדרות הבאות‪:‬‬
‫}‬
‫∞‬
‫‪n =1‬‬
‫{‬
‫‪( −1)n n‬‬
‫)‪(2‬‬
‫} ‪{2‬‬
‫} ‪( 6 ) {− n‬‬
‫∞ ‪n‬‬
‫‪n =1‬‬
‫∞‬
‫‪n =1‬‬
‫∞‬
‫‪ ( −1)n ‬‬
‫‪(1) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n n =1‬‬
‫‪( 3) {n}∞n=1‬‬
‫)‪( 4‬‬
‫}‬
‫∞‬
‫‪2‬‬
‫‪n =1‬‬
‫{‬
‫‪( 5) ( −1)n 2n‬‬
‫פתרון‬
‫)‪(1‬‬
‫∞‬
‫‪1 ‬‬
‫הסדרה‬
‫‪ n n =1‬‬
‫‪  ‬שואפת ל‪ 0-‬והסדרה‬
‫} )‪{( −1‬‬
‫∞ ‪n‬‬
‫‪n =1‬‬
‫‪n‬‬
‫חסומה‪ .‬לכן ‪= 0‬‬
‫)‪( −1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪. lim‬‬
‫∞→ ‪n‬‬
‫)‪(2‬‬
‫תת‪-‬סדרה של הסדרה הנתונה‪ ,‬המכילה איברים עם ערכי ‪ n‬זוגיים‪ ,‬שואפת ל‪ ∞ -‬ותת‪-‬סדרה עם ערכי‬
‫‪ n‬אי‪-‬זוגיים שואפת ל‪ . ( −∞ ) -‬לכן לסדרה אין גבול‪ ,‬לא סופי ולא אינסופי‪.‬‬
‫)‪(4) ,(3‬‬
‫הגבול של סדרה הוא ∞ ‪.‬‬
‫)‪(5‬‬
‫לסדרה אין גבול‪ .‬הנימוק כמו ב‪.(2)-‬‬
‫)‪(6‬‬
‫) (‬
‫היות ו‪ n 2 -‬שואפת ל‪ ∞ -‬כאשר ∞ → ‪ , n‬מתקיים‪. lim − n 2 = −∞ :‬‬
‫‪ .27‬הבא דוגמה של סדרה }) ‪{ f ( n‬‬
‫∞→ ‪n‬‬
‫‪ ,‬כאשר ) ‪ f ( x‬היא פונקציה אלמנטרית‪ ,‬שיש בה תת‪-‬סדרה‬
‫המתכנסת ל‪ 0-‬ותת‪-‬סדרה השואפת ל‪ . ∞ -‬מה ניתן לומר לגבי גבול הסדרה?‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 15‬‬‫פתרון‬
‫בסדרה }) ‪{ f ( n‬‬
‫אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות‪. f ( n ) = n − (−1) n n :‬‬
‫כל האיברים עם ‪ n‬זוגי‬
‫שווים ‪ 0‬ולכן גבול של תת‪-‬הסדרה של איברים אלה הוא ‪ ,0‬וכל האיברים עם ‪ n‬אי‪-‬זוגי שווים ‪ 2n‬וגבול‬
‫של תת‪-‬הסדרה של איברים אלה הוא ∞ ‪ .‬לכן לסדרה השלמה אין גבול‪.‬‬
‫‪ .28‬הבא דוגמה של סדרה }) ‪{ f ( n‬‬
‫‪ ,‬כאשר ) ‪ f ( x‬היא פונקציה אלמנטרית‪ ,‬שיש בה תת‪-‬סדרה‬
‫המתכנסת ל‪ ,0-‬תת‪-‬סדרה המתכנסת ל‪ 1-‬ותת‪-‬סדרה המתכנסת ל‪ .(-1)-‬מה ניתן לומר לגבי‬
‫גבול הסדרה?‬
‫פתרון‬
‫∞‬
‫‪nπ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .  f ( n ) = sin‬כל האיברים בתת‪-‬סדרה של‬
‫אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות היא ‪‬‬
‫‪2 n =1‬‬
‫‪‬‬
‫)‪f (n‬‬
‫עם ‪ n = 2, 4, 6,8,...‬שווים ל‪ 0-‬ולכן הגבול של תת‪-‬סדרה זו הוא ‪ .0‬בתת‪-‬סדרה של ) ‪f ( n‬‬
‫עם ‪ n = 1,5,9,13,...‬כל האיברים שווים ל‪ 1-‬ולכן הגבול של תת‪-‬סדרה זו הוא ‪ .1‬בתת‪-‬סדרה של ) ‪f ( n‬‬
‫עם ‪ n = 3, 7,11,15,...‬כל האיברים שווים ל‪ ( −1) -‬ולכן הגבול של תת‪-‬סדרה זו הוא )‪ . ( −1‬לסדרה‬
‫כולה אין גבול‪.‬‬
‫‪ .29‬על סמך שיקולים איכותניים וחישוביים‪ ,‬שער גבולות של כל אחת מהפונקציות הבאות בשפת‬
‫תחום הפונקציה‪ .‬השווה את התוצאות עם תוצאות קריאת גבולות מהגרף הממוחשב‪.‬‬
‫א‪f ( x ) = ln 2 x .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ln x‬‬
‫= )‪f ( x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪f ( x) = e‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪cos x‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫= )‪f ( x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪−‬‬
‫= )‪f ( x‬‬
‫= )‪f ( x‬‬
‫‪f ( x) = e‬‬
‫‪1‬‬
‫ח‪f ( x ) = sin   .‬‬
‫‪x‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 16‬‬‫פתרון‬
‫א‪ .‬תחום ההגדרה של ‪ f ( x ) = ln 2 x‬הוא‪ . 0 < x < ∞ :‬גבולות בשפת התחום‪:‬‬
‫‪. lim ln 2 x = ∞ ,‬‬
‫∞ = ‪lim ln 2 x‬‬
‫‪x →0 +‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬תחום ההגדרה של הפונקציה‬
‫‪ln x‬‬
‫= ) ‪ f ( x‬הוא איחוד של הקטע ‪ 0 < x < 1‬והקרן ∞ < ‪. 1 < x‬‬
‫הגבולות בשפת תחום ההגדרה הם‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= 0, lim−‬‬
‫‪= −∞, lim+‬‬
‫‪= ∞. lim‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪x‬‬
‫∞→‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫→‬
‫‪x‬‬
‫→‬
‫‪ln x‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪. lim+‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪1‬‬
‫ג‪ .‬תחום ההגדרה של ‪ f ( x ) = 3‬הוא איחוד של שתי קרניים‪ −∞ < x < 0 :‬ו‪. 0 < x < ∞ -‬‬
‫‪x‬‬
‫הגבולות בשפת תחום ההגדרה הם‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫∞=‬
‫‪x3‬‬
‫‪lim+‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= 0, lim− 3 = −∞,‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x →±∞ x‬‬
‫‪x →0 x‬‬
‫‪. lim‬‬
‫‪1‬‬
‫ד‪ .‬תחום ההגדרה של ‪ f ( x ) = 4‬הוא איחוד של שתי קרניים‪ −∞ < x < 0 :‬ו‪-‬‬
‫‪x‬‬
‫∞ < ‪ . 0 < x‬הגבולות בשפת תחום ההגדרה הם‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫∞=‬
‫‪x4‬‬
‫‪lim+‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= 0, lim− 4 = ∞,‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x →0 x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. lim‬‬
‫∞‪x →±‬‬
‫ה‪ .‬תחום ההגדרה של הפונקציה ‪ f ( x ) = e x‬הוא הקרן החצי סגורה ∞ < ‪ . 0 ≤ x‬הגבולות‬
‫בשפת תחום ההגדרה הם‪:‬‬
‫∞=‬
‫ו‪ .‬תחום ההגדרה של הפונקציה‬
‫‪1‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫‪= e 0 = 1, lim e‬‬
‫∞→ ‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. lim+ e‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪ f ( x ) = e‬הוא איחוד של שתי קרניים‪ −∞ < x < 0 :‬ו‪-‬‬
‫∞ < ‪ . 0 < x‬הגבולות בשפת תחום ההגדרה הם‪:‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪− 3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪lim+ e‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪= ∞,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪− 3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪= 1, lim− e‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪− 3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. lim e‬‬
‫∞‪x →±‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 17‬‬‫‪cos x‬‬
‫ז‪ .‬תחום ההגדרה של הפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫= ) ‪ f ( x‬הוא איחוד של שתי קרניים‪ −∞ < x < 0 :‬ו‪-‬‬
‫∞ < ‪ . 0 < x‬הגבולות בשפת תחום ההגדרה הם‪:‬‬
‫‪cos x‬‬
‫∞=‬
‫‪x‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x → 0+‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪= 0, lim−‬‬
‫‪= −∞,‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫→‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. lim‬‬
‫∞‪x →±‬‬
‫‪1‬‬
‫ח‪ .‬תחום ההגדרה של הפונקציה ‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ f ( x ) = sin ‬הוא איחוד של שתי קרניים‪ −∞ < x < 0 :‬ו‪-‬‬
‫∞ < ‪ . 0 < x‬הגבולות בשפת תחום ההגדרה הם‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪, lim sin   = 0‬‬
‫∞‪x →±‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ lim− sin  ‬אינו קיים‪ lim+ sin   ,‬אינו קיים‪,‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪x →0‬‬
‫כדי לאשר שתי טענות אחרונות‪ ,‬נבחר בסדרת ערכי ה‪: x -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+ kπ‬‬
‫‪π‬‬
‫= ‪xk‬‬
‫‪2‬‬
‫כאשר ‪ . k = 1, 2,3,...‬סדרה זו שואפת ל‪ x = 0 -‬כאשר ∞ → ‪ . k‬יחד עם זאת‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪k −1‬‬
‫‪π‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ = sin  + kπ  = ( −1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ולסדרה }‪= {1, −1,1, −1,...‬‬
‫} )‪{( −1‬‬
‫∞ ‪k −1‬‬
‫‪k =1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f ( xk ) = sin ‬‬
‫‪ xk‬‬
‫אין גבול‪ .‬מכאן נובע כי הגבול ) ‪ lim+ f ( x‬לא קיים‪ .‬היות‬
‫‪x →0‬‬
‫‪1‬‬
‫והפונקציה ‪ f ( x ) = sin  ‬אי‪-‬זוגית‪ ,‬מסיקים כי הגבול ) ‪ lim− f ( x‬גם הוא לא קיים‪.‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .30‬לכל אחד מהסעיפים א'‪-‬ה' להלן‪ ,‬נא להביא דוגמה של פונקציה רציונלית אשר מקיימת את כל‬
‫התנאים הנתונים בסעיף‪ .‬שרטט את הגרף הממוחשב של הפונקציה ובדוק אם התנאים‬
‫הדרושים אכן מתקיימים‪.‬‬
‫א‪lim f ( x ) = −∞ .‬‬
‫‪x → 2−‬‬
‫ב‪lim f ( x ) = 1 .‬‬
‫∞‪x→−‬‬
‫‪lim f ( x ) = ∞,‬‬
‫‪x →2+‬‬
‫‪lim f ( x ) = ∞,‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪lim f ( x ) = 1, lim f ( x ) = ∞,‬‬
‫ג‪lim f ( x ) = −∞ .‬‬
‫‪x →1+‬‬
‫‪x →1‬‬
‫‪lim f ( x ) = ∞,‬‬
‫‪x →1−‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫‪lim f ( x ) = 0,‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 18‬‬‫ד‪lim f ( x ) = ∞ .‬‬
‫‪x →1+‬‬
‫ה‪f ( x ) = ∞ .‬‬
‫‪+‬‬
‫‪lim f ( x ) = 0,‬‬
‫‪lim f ( x ) = −∞,‬‬
‫‪x →1−‬‬
‫‪f ( x ) = −∞,‬‬
‫‪lim‬‬
‫) ‪x→( −2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪lim‬‬
‫) ‪x→( −2‬‬
‫‪lim f ( x ) = 1,‬‬
‫∞‪x→−‬‬
‫פתרון‬
‫בכל סעיף מובאת דוגמה אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. f ( x) = 2 +‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪x−2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x2 + 1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪( x − 1‬‬
‫‪1‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1− x‬‬
‫= )‪. f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪x −1‬‬
‫= )‪. f ( x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪+ 2‬‬
‫‪x + 2 x +1‬‬
‫= )‪. f ( x‬‬
‫= )‪. f ( x‬‬
‫תרגילים בנושא "רציפות פונקציות"‬
‫‪ .31‬מצא ואפיין את נקודות אי‪-‬הרציפות של כל אחת מהפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪x2 − 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x − 3x + 2‬‬
‫פתרון‬
‫כל הפונקציות הנתונות הן פונקציות אלמנטריות‪ .‬לפונקציה אלמנטרית נקודות אי‪-‬רציפות הן נקודות אי‪-‬‬
‫הגדרה הנמצאות בשפת תחום ההגדרה‪ .‬סוג אי‪-‬הרציפות נקבע על ידי בדיקת גבולות חד‪-‬צדדיים‬
‫בנקודות כאלה‪ .‬הבדיקה מביאה לתשובות הבאות‪:‬‬
‫א'‪-‬ג'‪.‬‬
‫לפונקציה יש נקודת אי‪-‬רציפות יחידה ‪ x = 0‬והיא נקודת אי‪-‬רציפות מסוג שני‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫לפונקציה יש שתי נקודות אי‪-‬רציפות‪ - x = 1 :‬נקודת אי‪-‬רציפות סליקה ו‪ - x = 2 -‬נקודת אי‪-‬‬
‫רציפות מסוג שני‪.‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪- 19 -‬‬
‫‪ .32‬מצא ואפיין את נקודות אי‪-‬הרציפות של כל אחת מהפונקציות הבאות‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪e‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x −1‬‬
‫ד‪e ( ) .‬‬
‫‪2‬‬
‫פתרון‬
‫א'‪-‬ג'‪.‬‬
‫הנקודה ‪ x = 0‬היא נקודת אי‪-‬רציפות מסוג שני‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫הנקודה ‪ x = 1‬היא נקודת אי‪-‬רציפות סליקה‪.‬‬
‫‪ .33‬מצא ואפיין את נקודות אי‪-‬הרציפות של כל אחת מהפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪1‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin x‬‬
‫פתרון‬
‫לפונקציה יש אינסוף נקודות אי‪-‬רציפות ‪ x = kπ‬כאשר ‪ k‬מספר שלם כלשהו‪ .‬כולן נקודות אי‪-‬‬
‫א‪,‬ב‬
‫רציפות מסוג שני‪.‬‬
‫לפונקציה יש אינסוף נקודות אי‪-‬רציפות ‪+ kπ‬‬
‫ג‪,‬ד‪.‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ , x‬כאשר ‪ k‬מספר שלם כלשהו‪ .‬כולן‬
‫נקודות אי‪-‬רציפות מסוג שני‪.‬‬
‫‪ .34‬אתר ואפיין את נקודות אי‪-‬הרציפות של כל אחת מהפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ln x‬‬
‫= )‪f ( x‬‬
‫) (‬
‫ה‪f ( x ) = ln x 2 .‬‬
‫ד‪f ( x ) = ln 2 x .‬‬
‫)‬
‫(‬
‫= )‪f ( x‬‬
‫ז‪f ( x ) = ln 1 − x 2 .‬‬
‫ח‪.‬‬
‫)‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪ln x + 1‬‬
‫= )‪f ( x‬‬
‫‪1‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ln x‬‬
‫= )‪f ( x‬‬
‫(‬
‫)‬
‫ו‪f ( x ) = ln x 2 − 1 .‬‬
‫ט‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫) (‬
‫‪2‬‬
‫= )‪f ( x‬‬
‫‪ln x‬‬
‫פתרון‬
‫כל הפונקציות הנתונות הן פונקציות אלמנטריות‪ .‬לפונקציה אלמנטרית נקודות אי‪-‬רציפות הן נקודות אי‪-‬‬
‫הגדרה הנמצאות בשפת תחום ההגדרה‪ .‬סוג אי‪-‬רציפות נקבע על ידי בדיקת גבולות חד‪-‬צדדיים בנקודות‬
‫כאלה‪ .‬הבדיקה מביאה לתשובות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬לפונקציה יש שלוש נקודות אי‪-‬רציפות ‪ . x = 0, x = 1, x = −1 :‬הנקודות ‪ x = 1‬ו‪-‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 20‬‬‫‪ x = −1‬הן נקודות אי‪-‬רציפות מסוג שני‪ ,‬הנקודה ‪ x = 0‬היא נקודת אי‪-‬רציפות‬
‫סליקה‪.‬‬
‫ב‪ .‬לפונקציה יש שתי נקודות אי‪-‬רציפות ‪ . x = 0, x = 1 :‬הנקודות ‪ x = 1‬היא נקודת אי‪-‬רציפות מסוג‬
‫שני‪ ,‬הנקודה ‪ x = 0‬היא נקודת אי‪-‬רציפות סליקה‪.‬‬
‫ג‪ .‬לפונקציה יש נקודת אי‪-‬רציפות יחידה ‪ x = 1‬שהיא נקודת אי‪-‬רציפות מסוג שני‪.‬‬
‫ד‪ .‬לפונקציה יש נקודת אי‪-‬רציפות יחידה ‪ x = 0‬והיא נקודת אי‪-‬רציפות מסוג שני‪.‬‬
‫ה‪ .‬כנ"ל‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫לפונקציה יש שתי נקודות אי‪-‬רציפות ‪ , x = 1, x = −1‬שתיהן נקודות אי‪-‬רציפות מסוג שני‪.‬‬
‫ז‪ .‬כנ"ל‬
‫ח‪ .‬לפונקציה אין אף נקודת אי‪-‬רציפות‪.‬‬
‫ט‪ .‬לפונקציה יש שלוש נקודות אי‪-‬רציפות‪ . x = 0, x = 1, x = −1 :‬הנקודות ‪ x = 1‬ו‪ x = −1 -‬הן נקודת‬
‫אי‪-‬רציפות מסוג שני‪ ,‬הנקודה ‪ x = 0‬היא נקודת אי‪-‬רציפות סליקה‪.‬‬
‫‪ .35‬הבא דוגמה של פונקציה אלמנטרית ) ‪ f ( x‬אשר יש לה נקודת אי‪-‬רציפות אחת בלבד ובתחום‬
‫הגדרתה היא זהה לפונקציה ליניארית‪.‬‬
‫פתרון‬
‫הפונקציה‬
‫‪( x − 1)2‬‬
‫‪x −1‬‬
‫= )‪f ( x‬‬
‫מוגדרת לכל ‪x ≠ 1‬‬
‫ובתחום זה היא זהה לפונקציה ליניארית‬
‫‪ . g ( x ) = x − 1‬לפונקציה ) ‪ f ( x‬יש נקודת אי‪-‬רציפות יחידה ‪ x = 1‬שהיא נקודת אי‪-‬רציפות סליקה‪.‬‬
‫‪ .36‬הבא דוגמה של פונקציה אלמנטרית ) ‪ f ( x‬אשר יש לה נקודת אי‪-‬רציפות אחת בלבד ובתחום‬
‫הגדרתה היא זהה לפונקציה ריבועית‪.‬‬
‫פתרון‬
‫הפונקציה‬
‫‪2‬‬
‫‪x − 1)3‬‬
‫(‬
‫=‬
‫‪x −1‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫מוגדרת לכל ‪x ≠ 1‬‬
‫ובתחום זה היא זהה לפונקציה ריבועית‬
‫)‪ . g ( x ) = ( x − 1‬לפונקציה ) ‪ f ( x‬יש נקודת אי‪-‬רציפות יחידה ‪ x = 1‬שהיא נקודת אי‪-‬רציפות סליקה‪.‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪- 21 -‬‬
‫‪ .37‬האם ניתן לטעון כי אם ‪ x = x0‬היא נקודת אי‪-‬רציפות של שתי פונקציות ) ‪ , g ( x ) , f ( x‬אזי‬
‫כל אחת מהפונקציות ) ‪ f ( x ) − g ( x ) , f ( x ) + g ( x‬אינה רציפה בנקודה ‪ ? x = x0‬נמק את‬
‫תשובתך‪.‬‬
‫פתרון‬
‫לא ניתן לטעון כך‪ .‬למשל לפונקציה ‪) f ( x ) =  x ‬החלק השלם של ‪ ( x‬ולפונקציה ‪g ( x ) = x −  x ‬‬
‫)החלק השברי של ‪ ( x‬יש אינסוף נקודות אי‪-‬רציפות ‪ . x = 0, ±1, ±2, ±3,...‬אבל לפונקצית הסכום‬
‫‪ f ( x ) + g ( x ) = x‬אין אף נקודת אי‪-‬רציפות‪.‬‬
‫נציין‪ ,‬כי בדוגמה לעיל‪ ,‬בתור ) ‪ f ( x‬ניתן לבחור כל פונקציה אשר מוגדרת לכל ‪ x‬ממשי ויש לה נקודות‬
‫כאשר ) ‪ s ( x‬מוגדרת‬
‫אי‪-‬רציפות‪ ,‬אחת לפחות‪ ,‬ובתור ) ‪ - g ( x‬פונקציה ) ‪g ( x ) = s ( x ) − f ( x‬‬
‫ורציפה לכל ‪ x‬ממשי‪.‬‬
‫‪ .38‬האם ניתן לטעון כי אם ‪ x = x0‬היא נקודת אי‪-‬רציפות של לפחות אחת מהפונקציות‬
‫) ‪ , g ( x ) , f ( x‬אזי היא גם נקודת אי‪-‬רציפות של לפחות אחת מהפונקציות‬
‫) ‪ ? s ( x ) = f ( x ) + g ( x ) , r ( x ) = f ( x ) − g ( x‬נמק את תשובתך‪.‬‬
‫פתרון‬
‫טענה זו נכונה‪ .‬נניח ששתי הפונקציות ) ‪ s ( x ) = f ( x ) + g ( x‬ו‪ r ( x ) = f ( x ) − g ( x ) -‬רציפות‬
‫בנקודה ‪ . x = x0‬אזי כל אחת מהפונקציות '‬
‫)‪s ( x) + r ( x‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪, f ( x‬‬
‫)‪s ( x) − r ( x‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪, g ( x‬רציפה‬
‫בנקודה ‪ . x = x0‬מכאן נובע כי אם בנקודה ‪ x = x0‬לפחות אחת מהפונקציות ) ‪ g ( x ) , f ( x‬אינה‬
‫רציפה‪ ,‬אזי בנקודה זו לפחות אחת מהפונקציות ) ‪ r ( x ) = f ( x ) − g ( x ) , s ( x ) = f ( x ) + g ( x‬אינה‬
‫רציפה‪.‬‬
‫‪ .39‬הבא דוגמא של פונקציה אלמנטרית אשר יש לה חמש נקודות אי‪-‬רציפות בדיוק‪,‬כולן מסוג שני‪,‬‬
‫בעלות האופי הבא‪:‬‬
‫‪ (1‬נקודת אי‪-‬רציפות עם אסימפטוטה חד‪-‬צדדית בכיוון מעלה‪,‬‬
‫‪ (2‬נקודת אי‪-‬רציפות עם אסימפטוטה חד‪-‬צדדית בכיוון מטה‪,‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 22‬‬‫‪ (3‬נקודת אי‪-‬רציפות עם אסימפטוטה דו‪-‬צדדית בכיוון מעלה‪,‬‬
‫‪ (4‬נקודת אי‪-‬רציפות עם אסימפטוטה דו‪-‬צדדית בכיוון מטה‪,‬‬
‫‪ (5‬נקודת אי‪-‬רציפות עם אסימפטוטה דו‪-‬צדדית בכיוונים שונים מצדדים שונים‪.‬‬
‫פתרון‬
‫אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות היא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x−5‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪( x − 4‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪( x − 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. f ( x ) = e x −1 − e x −2 +‬‬
‫הנקודות ‪ x = 5 , x = 4 , x = 3 , x = 2 , x = 1‬מקיימות את התנאים ‪ (5 -(1‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪ .40‬תהי ) ‪ f ( x‬פונקציה זוגית או אי‪-‬זוגית‪ .‬הוכח כי ל‪ f ( x ) -‬יש מספר אי‪-‬זוגי של נקודות אי‪-‬‬
‫רציפות אם ורק אם הנקודה ‪ x = 0‬היא נקודת אי‪-‬רציפות של ) ‪. f ( x‬‬
‫פתרון‬
‫אם ) ‪ f ( x‬היא פונקציה זוגית או אי‪-‬זוגית ו‪ x0 ≠ 0 -‬היא נקודת אי‪-‬רציפות של ) ‪ , f ( x‬אזי גם הנקודה‬
‫(‬
‫)‬
‫‪ − x0‬היא נקודת אי‪-‬רציפות של ) ‪ . f ( x‬מכאן נובע כי מספר נקודות אי‪-‬רציפות של ) ‪ f ( x‬השונות מ‪-‬‬
‫‪ 0‬הוא בהכרח מספר זוגי‪ .‬לכן ל‪ f ( x ) -‬יש מספר אי‪-‬זוגי של נקודות אי‪-‬רציפות אם ורק אם ) ‪f ( x‬‬
‫הנקודה ‪ x = 0‬היא נקודת אי‪-‬רציפות של ) ‪. f ( x‬‬
‫‪ .41‬הבא דוגמה של פונקציה אשר מוגדרת בכל ‪ ℝ‬ויש לה נקודת רציפות יחידה ‪. x = 1‬‬
‫פתרון‬
‫תהי ‪ - ℚ‬קבוצת כל המספרים הממשיים הרציונליים‪ .‬אז ‪ ℝ − ℚ‬היא קבוצת כל המספרים הממשיים‬
‫האי‪-‬רציונליים‪ .‬לכל ‪ x‬ממשי נגדיר‪:‬‬
‫‪ x − 1, x ∈ ℚ‬‬
‫‪x∈ℝ −ℚ‬‬
‫‪0,‬‬
‫‪. f ( x) = ‬‬
‫מהגדרה זו נובע כי לכל מספר ממשי ‪ x0‬השונה מ‪ ,1 -‬הגבול ) ‪ lim f ( x‬אינו קיים‪ .‬לעומת זאת‪,‬‬
‫‪x → x0‬‬
‫)‪ . lim f ( x ) = 0 = f (1‬מכאן נובע כי הנקודה ‪ x = 1‬היא נקודת הרציפות היחידה של הפונקציה‬
‫‪x→1‬‬
‫)‪. f ( x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .42‬אתר ואפיין את כל נקודות הרציפות והאי‪-‬רציפות של ‪. f ( x ) = x sin  ‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 23‬‬‫פתרון‬
‫הפונקציה הנתונה היא פונקציה אלמנטרית המוגדרת לכל ‪ x‬ממשי‪ ,‬למעט ‪ . x = 0‬לכן כל נקודה ‪x ≠ 0‬‬
‫היא נקודת רציפות של הפונקציה הנתונה‪ .‬הנקודה ‪ x = 0‬היא נקודת רציפות סליקה של פונקציה זו כי‬
‫‪1‬‬
‫קיים גבול סופי‪ = 0 :‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪. lim x sin ‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪ .43‬תהי ‪ x = x0‬נקודת אי‪-‬רציפות מסוג שני בלי אסימפטוטה לשתי פונקציות ) ‪ f ( x‬ו‪ . g ( x ) -‬האם‬
‫ייתכן כי לפונקציה ) ‪ f ( x ) + g ( x‬הנקודה‬
‫‪ x = x0‬היא נקודת אי‪ -‬רציפות מסוג שני עם‬
‫אסימפטוטה? אם כן‪ ,‬הבא דוגמה‪ .‬אם לא‪ ,‬נמק‪.‬‬
‫פתרון‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫המצב הזה אפשרי‪ .‬דוגמה‪ :‬יהיו ‪− 2 sin   , f ( x ) = 2 sin  ‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪x‬‬
‫= ) ‪ . g ( x‬כאשר ‪ x‬שואף‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫ל‪, 0 -‬מימין או משמאל‪ ,‬ערכי הפונקציה ‪ sin  ‬נודדות בין ‪ −1‬ו‪ . 1 -‬מכאן נובע ערכי הפונקציות‬
‫) ‪ g ( x ) , f ( x‬נודדות בין ∞‪ −‬ו‪ ∞ -‬כאשר ‪ x‬שואף ל‪, 0 -‬מימין או משמאל‪ .‬לכן לפונקציה ) ‪f ( x‬‬
‫ולפונקציה ) ‪ g ( x‬בנקודה ‪ x = 0‬אין גבול‪ ,‬וכתוצאה מכך הישר ‪ x = 0‬אינו מהווה אסימפטוטה של‬
‫‪1‬‬
‫) ‪ f ( x‬ושל ) ‪ . g ( x‬לעומת זאת‪ ,‬לפונקצית הסכום‬
‫‪x‬‬
‫= ) ‪ f ( x ) + g ( x‬הישר ‪ x = 0‬כן משמש‬
‫אסימפטוטה אנכית‪.‬‬
‫‪ .44‬הבא דוגמה של פונקציה ) ‪ f ( x‬אשר מוגדרת בכל ציר ה‪ , x -‬יש לה אינסוף נקודות אי‪-‬רציפות‬
‫קפיצה ולפונקציה ) ‪ f 2 ( x‬אין אף נקודת אי‪-‬רציפות‪ .‬האם קיימת דוגמה כזו לפונקציה ) ‪f ( x‬‬
‫אלמנטרית? נמק את תשובתך‪.‬‬
‫פתרון‬
‫נגדיר‪:‬‬
‫‪ x ‬‬
‫‪ f ( x ) = (−1) ‬כאשר ‪  x ‬מסמן חלק שלם של ‪ . x‬מהגדרה זו נובע כי ‪ f ( x ) = 1‬בכל קטע‬
‫)‪ [ 2k , 2k + 1‬ו‪ f ( x ) = −1 -‬בכל קטע ) ‪[ 2k + 1, 2k‬‬
‫כאשר ‪ k‬מספר שלם כלשהו‪ .‬לכן‪ ,‬לפונקציה‬
‫) ‪ f ( x‬יש אינסוף נקודות קפיצה ‪ . x = 0, ±1, ±2, ±3,...‬הפונקציה ) ‪ f 2 ( x‬מקבלת ערך ‪ 1‬לכל ‪, x‬‬
‫כלומר היא פונקציה קבועה‪ .‬לכן אין לה אף נקודת אי‪-‬רציפות‪.‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪- 24 -‬‬
‫הפונקציה‬
‫‪ x ‬‬
‫‪ f ( x ) = (−1) ‬אינה פונקציה אלמנטרית‪ .‬הדוגמה המבוקשת עם פונקציה ) ‪f ( x‬‬
‫אלמנטרית אינה קיימת‪ .‬נימוק‪ :‬כל פונקציה אלמנטרית רציפה בכל נקודה בה היא מוגדרת‪ ,‬לכן לא קיימת‬
‫פונקציה אלמנטרית ) ‪ f ( x‬אשר מוגדרת בכל ציר ה‪ x -‬ויש לה אינסוף נקודות אי‪-‬רציפות‪.‬‬
‫‪ .45‬הבא דוגמה של שתי פונקציות אלמנטריות ) ‪ g ( x ) , f ( x‬המתאפסות בנקודה ‪ , x = 1‬עבורן‬
‫לפונקצית המנה‬
‫)‪f ( x‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫בנקודה ‪ x = 1‬יש אסימפטוטה חד‪-‬צדדית בכיוון מעלה‪.‬‬
‫פתרון‬
‫אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות‪ g ( x ) = ( x − 1) , f ( x ) = x − 1 + x − 1 :‬מתאפסות בנקודה ‪. x = 1‬‬
‫‪2‬‬
‫פונקצית המנה שלהן היא‪:‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪, x >1‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪=  x −1‬‬
‫‪g ( x) ‬‬
‫‪x <1‬‬
‫‪0,‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫לפונקציה זו בנקודה ‪ x = 1‬יש אסימפטוטה מצד ימין בכיוון מעלה‪.‬‬
‫‪ .46‬הבא דוגמה של שתי פונקציות ) ‪ f ( x‬ו‪ g ( x ) -‬אשר רציפות בכל התחום‬
‫)‪g ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫ו‪-‬‬
‫∞ < ‪ −∞ < x‬ולכל אחת מהמנות‬
‫)‪f ( x‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫יש אינסוף נקודות אי‪-‬רציפות‪.‬‬
‫פתרון‬
‫אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות‪ f ( x ) = sin x :‬ו‪ . g ( x ) = cos x -‬פונקציות אלה מוגדרות ורציפות לכל‬
‫‪cos x‬‬
‫‪sin x‬‬
‫= ‪ tan x‬ו‪-‬‬
‫‪ x‬ממשי ולכל אחת מפונקציות המנה‬
‫‪sin x‬‬
‫‪cos x‬‬
‫= ‪ cot x‬יש אינסוף נקודות אי‪ -‬רציפות‬
‫שהן נקודות האיפוס של המכנה‪.‬‬
‫‪ .47‬האם ייתכן שלשתי פונקציות ) ‪ f ( x‬ו‪ g ( x ) -‬שכל אחת מהן אינה רציפה בנקודה בנקודה‬
‫‪ x = x0‬תהיה מכפלה ) ‪ f ( x ) g ( x‬הרציפה בנקודה זו?‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 25‬‬‫פתרון‬
‫מצב זה אפשרי‪ .‬למשל‪ ,‬תהי ‪) f ( x ) =  x ‬החלק השלם של ‪ ( x‬ו‪ . g ( x ) = 1 +  x  -‬פונקציות אלה‬
‫מוגדרות לכל ‪ x‬ממשי‪ .‬עבור כל אחת מהן הנקודה ‪ x = 0‬היא נקודת אי‪-‬רציפות‪ .‬היות ו‪f ( x ) = 0 -‬‬
‫בקטע ‪ 0 ≤ x < 1‬ו‪ g ( x ) = 0 -‬בקטע ‪ , −1 ≤ x < 0‬מתקיים‪ f ( x ) g ( x ) = 0 :‬בקטע ‪. −1 ≤ x < 1‬‬
‫מכאן נובע כי פונקצית המכפלה ) ‪ f ( x ) g ( x‬רציפה בנקודה ‪. x = 0‬‬
‫‪ .48‬הוכח כי לפונקציה ‪ f ( x ) = x 3 + e x‬יש נקודת איפוס‪ ,‬אחת לפחות‪.‬‬
‫פתרון‬
‫הפונקציה הנתונה רציפה לכל ‪ x‬ממשי‪ .‬ברור כי ‪ f ( x ) > 0‬כאשר ‪ x ≥ 0‬ו‪ f ( x ) < 0 -‬כאשר‬
‫‪ . x ≤ −1‬על פי תכונת הערך הביניים של פונקציה רציפה‪ ,‬קיימת ) ‪ , x0 ∈ ( −1, 0‬כך ש‪. f ( x0 ) = 0 -‬‬
‫תרגילים בנושא " נגזרת ראשונה בנקודה ומושגים נלווים"‬
‫בפתרון התרגילים ‪ 49-53‬להלן יש להתבסס על הגדרות של נגזרת בנקודה ומושגים נלווים ועל תכונות‬
‫של גבולות‪ .‬אין צורך בשימוש בחוקי גזירה ובטכניקות של גזירה‪.‬‬
‫‪ .49‬א‪ .‬על סמך ההגדרה של נגזרת בנקודה כמנת הפרשים‪ ,‬הוכח‪ ,‬כי הפונקציה ‪f ( x ) = n x‬‬
‫כאשר ‪ n ≥ 2‬מספר טבעי‪ ,‬אינה גזירה בנקודה ‪. x = 0‬‬
‫ב‪ .‬על סמך הגדרת המשיק לגרף של פונקציה ‪ ,‬הוכח כי לגרף ‪ y = n x‬בנקודה ) ‪ O ( 0, 0‬יש‬
‫משיק והוא ציר ‪. y‬‬
‫פתרון‬
‫א‪.‬‬
‫אם ‪ n ≥ 2‬מספר זוגי‪ ,‬הפונקציה ‪ f ( x ) = n x‬מוגדרת בתחום ‪ , x ≥ 0‬ואם ‪ n ≥ 2‬מספר אי‪-‬זוגי‪ ,‬היא‬
‫מוגדרת בתחום ∞ < ‪ . −∞ < x‬בכל מקרה‪ ,‬ניתן לחפש את הנגזרת בנקודה ‪ x = 0‬מצד ימין‪:‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 26‬‬‫‪n‬‬
‫)‪f ( x ) − f (0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪= lim+‬‬
‫‪= lim+ 1‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪x−0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x n‬‬
‫‪1‬‬
‫היות ו‪> 0 -‬‬
‫‪n‬‬
‫‪. f +′ ( 0 ) = lim+‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪ 1 −‬עבור ‪ , n ≥ 2‬המכנה של השבר האחרון שואף ל‪ 0 -‬והשבר שואף ל‪ , ∞ -‬כאשר ‪x‬‬
‫שואף ל‪ 0-‬מימין‪ .‬לכן הנגזרת ) ‪ f +′ ( 0‬אינה קיימת‪ ,‬ומכאן הנגזרת ) ‪ f ′ ( 0‬אינה קיימת‪ ,‬כלומר‬
‫‪ f ( x ) = n x‬אינה גזירה בנקודה ‪ , x = 0‬לכל ‪ n ≥ 2‬טבעי ‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫יהי ‪ n ≥ 2‬מספר טבעי‪ ,‬תהי ‪ f ( x ) = n x‬ו‪-‬‬
‫)‬
‫(‬
‫) ‪ A x, f ( x‬נקודה על הגרף ‪ y = n x‬השונה‬
‫מהנקודה ) ‪ . O ( 0, 0‬השיפוע של המיתר ‪ OA‬הוא‪:‬‬
‫‪f ( x ) − f (0) n x‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪= 1‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪x−0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x n‬‬
‫שיפוע זה שואף ל‪ ∞ -‬כאשר ‪ , x → 0 +‬ולכן המיתר ‪ OA‬שואף לחצי ציר ה‪ y -‬העליון‪ ,‬כאשר הנקודה ‪A‬‬
‫הולכת ומתקרבת ל‪ O -‬מצד ימין‪ .‬מסקנה זו תקפה לכל ‪ n ≥ 2‬טבעי‪ .‬אם ‪ n‬מספר אי‪-‬זוגי‪ ,‬אז‬
‫הפונקציה ‪ f ( x ) = n x‬היא פונקציה אי‪-‬זוגית‪ ,‬ומהמסקנה דלעיל נובע כי כאשר הנקודה ‪ A‬הולכת‬
‫ומתקרבת ל‪ O -‬מצד שמאל‪ ,‬המיתר ‪ OA‬שואף לחצי ציר ה‪ y -‬התחתון‪ . .‬בכך מקבלים‪ ,‬שלכל ‪n ≥ 2‬‬
‫טבעי ציר ה‪ y -‬הוא המשיק לגרף של הפונקציה ‪ f ( x ) = n x‬בנקודה ) ‪. O ( 0, 0‬‬
‫‪ .50‬נתונה פונקציה‬
‫‪x≠0‬‬
‫‪x=0‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x sin   ,‬‬
‫‪f ( x) = ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0,‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר ‪ n‬מספר טבעי‪ . n = 1, 2,3,... :‬הוכח‪:‬‬
‫א‪ .‬אם ‪ , n = 1‬אזי ) ‪ f ( x‬אינה גזירה בנקודה ‪ , x = 0‬ובנקודה ) ‪ O ( 0, 0‬לגרף שלה אין אף משיק חד‪-‬‬
‫צדדי‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ , n ≥ 2‬אזי ) ‪ f ( x‬גזירה בנקודה ‪ , x = 0‬ולגרף שלה בנקודה זו יש משיק‬
‫‪) y = 0‬ציר ‪.( x‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 27‬‬‫פתרון‬
‫א‪.‬‬
‫אם ‪ , n = 1‬אז‬
‫‪x≠0‬‬
‫‪x=0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x sin   ,‬‬
‫‪. f ( x) = ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0,‬‬
‫‪‬‬
‫)‪f ( x ) − f ( 0‬‬
‫‪1‬‬
‫על פי הגדרת הנגזרת ‪= lim sin   ,‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f ′ ( 0 ) = lim‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫ערכי הפונקציה ‪ , sin  ‬כאשר ‪ , x → 0‬מימין או משמאל‪ ,‬נודדים בין )‪ ( −1‬ו‪ . ( +1) -‬לכן אף אחד‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫מהגבולות החד‪-‬צדדיים ‪ lim+ sin  ‬ו‪ lim− sin   -‬אינו קיים‪ ,‬סופי או אינסופי‪ .‬מכאן נובע כי‬
‫‪x →0‬‬
‫‪x →0‬‬
‫לפונקציה לא קיימות נגזרות חד‪-‬צדדיות בנקודה ‪ , x = 0‬ולגרף שלה לא קיימים משיקים חד‪-‬צדדיים‬
‫בנקודה ) ‪. O ( 0, 0‬‬
‫מהנ"ל מסיקים שלפונקציה בנקודה ‪ x = 0‬אין נגזרת‪ ,‬כלומר הפונקציה אינה גזירה בנקודה זו‪,‬‬
‫ולגרף הפונקציה אין משיק בנקודה ) ‪. O ( 0, 0‬‬
‫ב‪.‬‬
‫אם ‪ n ≥ 2‬אז‬
‫)‪f ( x) − f ( 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= x n −1 sin  ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫כאשר ‪ . n − 1 ≥ 1‬במקרה זה ‪ . lim x n −1 = 0‬מכאן‪ ,‬היות והפונקציה ‪ sin  ‬חסומה‪ ,‬נובע כי‬
‫‪x→0‬‬
‫)‪f ( x ) − f (0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= lim x n −1 sin   = 0‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f ′ ( 0 ) = lim‬‬
‫‪x→0‬‬
‫לכן הפונקציה ) ‪ f ( x‬גזירה בנקודה ‪ x = 0‬ולמשיק לגרף שלה בנקודה ) ‪ ( 0, 0‬יש שיפוע ‪,0‬‬
‫כלומר המשיק הוא ציר ה‪.( y = 0 ) x -‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 28‬‬‫הערה‬
‫במקרה ‪ , n ≥ 2‬הגרף של הפונקציה הנתונה ) ‪ f ( x‬בכל סביבה של הנקודה ) ‪ ( 0, 0‬חותך את‬
‫המשיק ‪ y = 0‬אינסוף פעמים‪.‬‬
‫דוגמה זו מראה כי הדעה שהגרף בסביבה די קטנה של נקודת ההשקה חייב להימצא מצד אחד של‬
‫המשיק או לעבור בנקודה זו מצד אחד לצידו השני של המשיק – דעה זו אינה נכונה‪ .‬קיימת עוד אופציה‬
‫שלישית‪ ,‬כאשר הגרף בכל סביבה של נקודת ההשקה מתנודד אינסוף פעמים סביב המשיק‪.‬‬
‫‪ .51‬נתונה הפונקציה ‪x‬‬
‫= ) ‪ . f ( x‬האם פונקציה זו גזירה בנקודה ‪ ? x = 0‬אם כן‪,‬מהו ערך‬
‫הנגזרת? האם לגרף הפונקציה יש משיק בראשית הצירים? אם כן‪ ,‬מהו?‬
‫פתרון‬
‫הפונקציה הנתונה מוגדרת בכל התחום ∞ < ‪ −∞ < x‬והיא פונקציה זוגית‪ .‬אם ‪ , x ≥ 0‬אז‬
‫‪ . f ( x ) = x‬מכאן ומהתוצאות של תרגיל ‪ 49‬במקרה ‪ n = 2‬נובע כי הפונקציה ‪x‬‬
‫= ) ‪ f ( x‬אינה‬
‫גזירה בנקודה ‪ , x = 0‬אבל בראשית הצירים לגרף של פונקציה יש משיק והוא ציר ‪. y‬‬
‫‪ .52‬הבא דוגמה של פונקציה אשר‪ (1) :‬מוגדרת בכל ציר ה‪ (2) , x -‬אינה גזירה בשלוש נקודות‬
‫לפחות‪ (3) ,‬לגרף שלה יש משיק בכל נקודה‪.‬‬
‫פתרון‬
‫אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות‪x − 2 :‬‬
‫‪x −1 +‬‬
‫‪x +‬‬
‫= ) ‪ . f ( x‬פונקציה זו מוגדרת לכל ‪x‬‬
‫ממשי‪ ,‬היא גזירה בכל נקודה ‪ , x‬למעט הנקודות ‪ . x = 0, x = 1, x = 2‬בנקודות אלה לגרף קיים‬
‫משיק המאונך לציר ה‪) x -‬ר' תרגיל ‪.(51‬‬
‫‪ .53‬א‪ .‬מהן כל הנקודות של אי‪-‬גזירות של הפונקציה ‪ ? f ( x ) = sin x‬האם בנקודות אלה לגרף של‬
‫הפונקציה יש משיק? אם כן‪ ,‬מהו? נמק את תשובתך‪.‬‬
‫ב‪ .‬אותה שאלה לגבי ‪sin x‬‬
‫= )‪. f ( x‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 29‬‬‫פתרון‬
‫א‪.‬‬
‫הפונקציה ‪ f ( x ) = sin x‬גזירה בכל נקודה ‪ , x ∈ ℝ‬למעט נקודות התאפסותה ‪ , x = kπ‬כאשר ‪k‬‬
‫מספר שלם כלשהו‪ .‬בנקודות אלה לגרף הפונקציה יש שני משיקים חד‪-‬צדדיים שונים‪ ,‬אחד בעל שיפוע ‪1‬‬
‫ושני בעל שיפוע )‪ . ( −1‬לכן לא קיים משיק לגרף של הפונקציה בנקודות הנ"ל‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הפונקציה ‪sin x‬‬
‫= ) ‪ f ( x‬גזירה גם היא בכל נקודה ‪ , x ∈ ℝ‬למעט נקודות התאפסותה ‪, x = kπ‬‬
‫כאשר ‪ . k = 0, ±1, ±2,...‬אבל בכל אחת מנקודות אלה לגרף הפונקציה קיים משיק המאונך לציר ה‪. x -‬‬
‫היות והפונקציה מחזורית במחזור ‪ , π‬מספיק להוכיח כי המשיק בראשית הצירים הוא ציר ה‪ . y -‬נמצא‬
‫את גבול שיפועי החותכים העוברים דרך הנקודות )) ‪ ( x, f ( x‬ו‪, ( 0, 0 ) -‬כאשר ‪: x > 0‬‬
‫)‪f ( x) − f ( 0‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪sin x 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= lim+‬‬
‫‪= lim+‬‬
‫⋅‬
‫‪= 1 ⋅ lim+‬‬
‫∞=‬
‫‪x →0‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫היות והפונקציה ‪sin x‬‬
‫‪. lim+‬‬
‫‪x →0‬‬
‫= ) ‪ f ( x‬היא פונקציה זוגית‪ ,‬מהתוצאה לעיל נובע כי גם‬
‫)‪f ( x ) − f ( 0‬‬
‫)‪f ( − x ) − f (0‬‬
‫)‪f ( x ) − f ( 0‬‬
‫‪= − lim−‬‬
‫‪= − lim+‬‬
‫∞‪= −‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪, lim−‬‬
‫‪x →0‬‬
‫כלומר‪ ,‬שיפועי החותכים ‪ OB‬כאשר הנקודה ‪ B‬על גרף הפונקציה שואפת לראשית הצירים מצד ימין‪,‬‬
‫שואפים ל‪ , ∞ -‬ומצד שמאל – ל‪ . ( −∞ ) -‬מכאן נובע כי הפונקציה אינה גזירה בנקודה ‪ , x = 0‬אבל‬
‫לגרף שלה בנקודה ) ‪ ( 0,0‬יש משיק המאונך לציר ה‪ , x -‬כלומר ציר ה‪. y -‬‬
‫תרגילים בנושא "הפונקציה הנגזרת וחוקי הגזירה"‬
‫‪ .54‬בהנחה כי ‪ x 0 = 1‬לכל ‪ x‬ממשי‪ ,‬הוכח כי עבור כל ‪ n‬טבעי מתקיים‪:‬‬
‫)*(‬
‫‪n −1‬‬
‫‪( )′ = nx‬‬
‫‪ x n‬לכל ‪, x ∈ ℝ‬‬
‫בשתי דרכים שונות‪ (1) :‬בשיטת האינדוקציה‪ (2) ,‬על סמך בינום ניוטון‪.‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 30‬‬‫פתרון‬
‫)‪ (1‬הוכחה באינדוקציה‬
‫א‪ .‬בדיקה עבור ‪n = 1‬‬
‫מהגדרה גיאומטרית של נגזרת כשיפוע משיק לגרף של פונקציה נובע כי ‪ ( x )′ = 1‬לכל ‪ x‬ממשי‪.‬‬
‫בהנחת כי ‪ x 0 = 1‬לכל ‪ x‬ממשי‪ ,‬מתקיים‪ ( x )′ = 1 ⋅ x1−1 :‬לכל ‪ , x ∈ ℝ‬כלומר הטענה )*( נכונה‬
‫עבור ‪. n = 1‬‬
‫ב‪ .‬מעבר מ‪ n = k -‬ל‪: n = k + 1 -‬‬
‫) (‬
‫נניח כי הטענה )*( נכונה עבור ‪ n = k‬טבעי כלשהו ‪ ,‬כלומר נניח כי ‪ . x k ' = kx k −1‬בהסתמך על כך‬
‫)‬
‫(‬
‫נוכיח כי הטענה נכונה עבור ‪ n = k + 1‬כלומר‪ . x k +1 ' = ( k + 1) x k ,‬על פי חוק גזירת המכפלה‬
‫‪ ( uv )′ = u ′v + uv′‬והנחת האינדוקציה‪ ,‬מקבלים‪:‬‬
‫‪f ' ( x ) = kx k −1 ⋅ x + x k ⋅1 = kx k + x k = ( k + 1) x k‬‬
‫⇒ ‪f ( x ) = x k +1 = x k ⋅ x‬‬
‫כלומר הטענה )*( נכונה גם עבור ‪. n = k + 1‬‬
‫נכונה עבור ‪ n = 1‬וכי מנכונותה עבור ‪ n = k‬נובעת נכונותה עבור‬
‫סיכום‪ :‬הוכחנו כי הטענה )*(‬
‫‪ . n = k + 1‬לפי עיקרון האינדוקציה‪ ,‬הטענה )*( נכונה לכל ‪ n‬טבעי‪.‬‬
‫)‪ (2‬הוכחה על סמך בינום ניוטון‬
‫נוסחת הבינום של ניוטון היא‪:‬‬
‫)**(‬
‫‪= a n + Cn1 a n −1b1 + Cn2 a n − 2b 2 + . . . + Cnk a n − k b k + ... + b n‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪(a + b‬‬
‫כאשר ‪ n, k‬מספרים טבעיים ו‪-‬‬
‫!‪n‬‬
‫! ) ‪k !( n − k‬‬
‫=‬
‫)‪n ( n − 1)( n − 2 ) ... ( n − k + 1‬‬
‫‪k ( k − 1)( k − 2 ) ...1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k ‬‬
‫= ‪. Cnk =  ‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 31‬‬‫בהתבסס על הנוסחה )**( ועל הגדרת הפונקציה הנגזרת‪ ,‬מוצאים עבור כל ‪ n‬טבעי‪:‬‬
‫⇒ ‪f ( x ) = xn‬‬
‫‪x n + Cn1 x n −1h + Cn2 x n − 2 h 2 + ... Cnk x n − k h k + ... + h n − x n‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪h →0‬‬
‫‪h‬‬
‫)‬
‫‪− xn‬‬
‫‪h + Cn3 x n −3 h 2 + ... + Cnk x n − k h k −1 + ... + h n −1‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪( x + h‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪h→0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪2 n−2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪+C x‬‬
‫‪n −1‬‬
‫(‬
‫)‪f '( x‬‬
‫‪h nx‬‬
‫‪h‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪h →0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪= lim  nx n −1 + Cn2 x n − 2 h + ... + Cnk x n − k h k −1 + ... + h n −1  = nx n −1‬‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪h →0 ‬‬
‫‪→0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ובכך מסתיימות הוכחת הטענה )*( על סמך בינום ניוטון‪.‬‬
‫‪ .55‬נתונה הפונקציה ‪ f ( x ) = x + 2 + 2 x − 3‬המוגדרת בתחום ∞ < ‪ . −∞ < x‬מצא את‬
‫הפונקציה הנגזרת ) ‪ f ′ ( x‬ותאר את התחום שלה‪.‬‬
‫פתרון‬
‫על פי הגדרת פונקציה של ערך מוחלט‪ ,‬ניתן לפרט את הפונקציה הנתונה באופן הבא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪− x − 2 − 2 x + 3 = −3 x + 1,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ( x ) =  x + 2 − 2 x + 3 = − x + 5,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x + 2 + 2 x − 3 = 3 x − 1,‬‬
‫‪x ≤ −2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫≤ ‪−2< x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪<x‬‬
‫‪2‬‬
‫מכאן נובע כי הפונקציה הנגזרת היא‬
‫‪x < −2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫< ‪−2< x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪<x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪−3,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. f ′ ( x ) = −1,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3,‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 32‬‬‫‪3‬‬
‫פונקציה זו מוגדרת לכל ‪ x‬ממשי למעט ‪ x = −2‬ו‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ . x‬בנקודות אלה הפונקציה ) ‪ f ( x‬אינה גזירה‪,‬‬
‫כי‬
‫‪f −′ ( −2 ) = −3 ≠ f +′ ( −2 ) = −1‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪, f −′   = −1 ≠ f +′   = 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ולכן ) ‪ f ′ ( −2‬ו‪ f ′   -‬אינן קיימות‪ .‬בכך‪ ,‬התחום של הפונקציה הנגזרת הוא ‪. ℝ \  −2, ‬‬
‫‪ .56‬הבא דוגמה של פונקציה ) ‪ f ( x‬אשר מוגדרת ורציפה בכל תחום המספרים הממשיים‬
‫והפונקציה הנגזרת שלה ) ‪ f ′ ( x‬אינה מוגדרת באינסוף נקודות‪.‬‬
‫פתרון‬
‫אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות‪ . f ( x ) = sin x :‬פונקציה זו מוגדרת ורציפה לכל ‪ x‬ממשי‪ ,‬והנגזרת‬
‫שלה ) ‪ f ′ ( x‬אינה קיימת באינסוף נקודות ‪ , x = kπ‬כאשר ‪ k‬מספר שלם כלשהו‪ ,‬כי‬
‫‪f −′ ( kπ ) = −1 ≠ f +′ ( kπ ) = 1‬‬
‫)‪ ( k = 0, ±1, ±2,..‬ולכן הנגזרת ) ‪ f ′ ( kπ‬אינה קיימת‪ .‬ניתן לוודא זאת בעזרת גרף של הפונקציה‬
‫‪ . y = sin x‬בכל נקודה ) ‪ , ( kπ , 0‬כאשר ‪ k‬מספר שלם כלשהו‪ ,‬למשיק מצד ימין יש שיפוע ‪ 1‬ולמשיק‬
‫מצד שמאל – שיפוע )‪ . ( −1‬מכאן‪ ,‬המשיק בנקודות ) ‪ ( kπ , 0‬אינו קיים‪ ,‬ובהתאם ) ‪ f ′ ( x‬אינה מוגדרת‬
‫בנקודות ‪. ( k = 0, ±1, ±2, ±3,...) x = kπ‬‬
‫‪ .57‬הבא דוגמה של פונקציה ) ‪ f ( x‬אשר מוגדרת ורציפה לכל ‪ x‬ממשי‪ ,‬לגרף שלה יש משיק בכל‬
‫נקודה‪ ,‬והפונקציה הנגזרת שלה אינה מוגדרת באינסוף נקודות‪.‬‬
‫פתרון‬
‫אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות‪sin x :‬‬
‫= ) ‪ . f ( x‬פונקציה זו מוגדרת ורציפה לכל ‪ x‬ממשי‪ .‬כפי‬
‫שהוכח בתרגיל ‪-53‬ב'‪ ,‬המשיק לגרף של פונקציה קיים בכל נקודה על הגרף‪ ,‬כולל נקודות ) ‪ ( kπ , 0‬כאשר‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 33‬‬‫‪ , k = 0, ±1, ±2, ±3,...‬בהן המשיקים לגרף מקבילים לציר ה‪ . y -‬משיקים אלה חסרי שיפוע ולכן‬
‫הפונקציה הנגזרת ) ‪ f ′ ( x‬אינה מוגדרת באינסוף נקודות ‪. ( k = 0, ±1, ±2, ±3,...) x = kπ‬‬
‫‪ .58‬תאר את תחום ההגדרה של‬
‫‪ln x‬‬
‫) ‪ f ( x ) = ( sin x‬ומצא את הפונקציה הנגזרת ) ‪. f ′ ( x‬‬
‫פתרון‬
‫בפונקציה הנתונה המשתנה ‪ x‬נמצאת הן בבסיס הן במעריך של החזקה כלומר היא מהווה ערבוב‬
‫פונקציה מעריכית ופונקצית חזקה‪ .‬פונקציה זו ניתנת לייצוג כפונקציה אקספוננציאלית‪:‬‬
‫‪) = eln x⋅ln sin x‬‬
‫(‬
‫) ‪ln ( sin x‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪. f ( x) = e‬‬
‫מייצוג זה נובע כי תחום ההגדרה של הפונקציה הנתונה נקבע על ידי התנאים‪:‬‬
‫‪x > 0‬‬
‫‪sin x > 0‬‬
‫‪.‬‬
‫הפתרון של מערכת זו הוא איחוד הקטעים ‪ 2kπ < x < 2kπ + π‬כאשר ‪. k = 0,1, 2, 3,...‬‬
‫את הפונקציה הנגזרת ) ‪ f ′ ( x‬ניתן למצוא בשתי דרכים‪.‬‬
‫דרך ראשונה‪ :‬על פי הייצוג של ) ‪ f ( x‬כפונקציה אקספוננציאלית‬
‫כדי למצוא את הפונקציה הנגזרת‪ ,‬נשתמש בכלל השרשרת וחוק גזירת המכפלה‪:‬‬
‫‪cos x ‬‬
‫‪1‬‬
‫⋅ ‪ ln sin x + ln x‬‬
‫‪‬‬
‫‪sin x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ln x‬‬
‫) ‪( ln x ⋅ ln sin x )′ = ( sin x‬‬
‫‪ln x⋅ln sin x‬‬
‫‪)′ = e‬‬
‫(‬
‫‪, f ′ ( x ) = e ln x⋅ln sin x‬‬
‫כאשר ) ‪. k = 0,1, 2,3,... , x ∈ ( 2kπ , 2kπ + π‬‬
‫דרך שנייה‪ :‬על פי הלוגריתמיזציה של הייצוג המקורי של ) ‪f ( x‬‬
‫בתבנית המוצא‬
‫‪ln x‬‬
‫) ‪ f ( x ) = ( sin x‬נעבור משוויון שני צדדים לשוויון הלוגריתמים שלהם‪ .‬נקבל‪:‬‬
‫) ‪ln f ( x ) = ln x ⋅ ln ( sin x‬‬
‫לכל ‪ x‬בתחום ההגדרה של ) ‪. f ( x‬‬
‫נגזור שוויון זה ביחס למשתנה ‪ . x‬על פי כלל השרשרת וחוק גזירת המכפלה‪ ,‬נקבל‪:‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 34‬‬‫‪1‬‬
‫‪cos x‬‬
‫⋅ ‪⋅ ln ( sin x ) + ln x‬‬
‫⇒‬
‫‪sin x‬‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫)‪f ′( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪cos x ‬‬
‫‪1‬‬
‫⋅ ‪f ′ ( x ) = f ( x ) ⋅  ⋅ ln ( sin x ) + ln x‬‬
‫‪‬‬
‫‪sin x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪cos x ‬‬
‫‪ln x  1‬‬
‫⋅ ‪= ( sin x ) ⋅  ⋅ ln ( sin x ) + ln x‬‬
‫‪‬‬
‫‪sin x ‬‬
‫‪x‬‬
‫כאשר ‪ x‬שייך לתחום ההגדרה של ) ‪ , f ( x‬כלומר ) ‪. k = 0,1, 2, 3,... , x ∈ ( 2kπ , 2kπ + π‬‬
‫התקבלה אותה תשובה כמו בדרך הראשונה‪.‬‬
‫‪ .59‬נתונה משוואה בשני נעלמים ‪ . x 2 − 2 x + y 2 + 4 y − 4 = 0‬ציין את הנקודות אשר בסביבתן‬
‫המשוואה אינה מגדירה פונקציה סתומה ) ‪ . y = y ( x‬נמק את תשובתך‪.‬‬
‫פתרון‬
‫ניתן לרשום את המשוואה הנתונה בצורה‪:‬‬
‫‪=9‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪( x − 1) + ( y + 2‬‬
‫‪2‬‬
‫משוואה זו מציגה מעגל בעל מרכז ) ‪ (1, −2‬ורדיוס ‪ . 3‬הנקודות ) ‪ ( 4, −2‬ו‪ ( −2, −2 ) -‬הן נקודות קצה של‬
‫הקוטר האופקי של המעגל‪ .‬אם קשת המעגל לא מכילה בתוכה אף אחת מנקודות אלה אז כל ישר‬
‫המקביל לציר ה‪ y -‬חותך אותה בנקודה אחת בלבד או לא חותך כלל‪ .‬קשת כזו מגדירה בדרך גרפית‬
‫את ‪ y‬כפונקציה של ‪ x‬בקטע מסוים‪ .‬אם קשת המעגל מכילה בתוכה לפחות אחת מהנקודות הנ"ל‪ ,‬אז‬
‫קיים ישר החותך אותה בשתי נקודות שונות‪ .‬קשת כזו לא מגדירה אף פונקציה )‪ . y = y ( x‬לכן‬
‫הנקודות אשר בסביבתן המשוואה הנתונה אינה מגדירה פונקציה סתומה ) ‪ y = y ( x‬הן הנקודות‬
‫) ‪ ( 4, −2‬ו‪. ( −2, −2 ) -‬‬
‫‪ .60‬עקום במישור מתואר על ידי המשוואה‬
‫‪ . e xy + y 2 = 10‬מצא את משוואת המשיק לעקום זה‬
‫בנקודה )‪. ( 0,3‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 35‬‬‫פתרון‬
‫השיפוע של המשיק המבוקש הוא ) ‪ y′ ( 0‬כאשר ) ‪ y′ ( x‬היא נגזרת של פונקציה סתומה ) ‪y = y ( x‬‬
‫המוגדרת על ידי המשוואה הנתונה בסביבת הנקודה )‪ . ( 0, 3‬על סמך גזירת המשוואה הנתונה לפי ‪, x‬‬
‫בהנחה ש‪ , y = y ( x ) -‬מוצאים‪:‬‬
‫‪ye xy‬‬
‫‪2 y + xe xy‬‬
‫‪y′ = −‬‬
‫⇒ ‪. e xy ( y + xy ′ ) + 2 y ⋅ y ′ = 0‬‬
‫מכאן‪ ,‬היות ו‪ , y ( 0 ) = 3 -‬מקבלים‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. y′ ( 0 ) = −‬‬
‫משוואת המשיק לעקום הנתון בנקודה )‪ ( 0, 3‬היא‬
‫‪1‬‬
‫)‪( x − 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y −3 = −‬‬
‫או‬
‫‪1‬‬
‫‪x+3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.y=−‬‬
‫‪ .61‬נתונה פונקציה ‪ . y = x 4 + x 2‬הוכח כי בתחום ‪ −∞ < x < 0‬יש לה פונקציה הפוכה ומצא את‬
‫התבנית המפורשת שלה‪.‬‬
‫פתרון‬
‫לפי התכונות הבסיסיות של פונקצית חזקה‪ ,‬כל אחת מהפונקציות ‪ x 2‬ו‪ x 4 -‬יורדת בתחום‬
‫‪ . −∞ < x < 0‬לכן הפונקציה הנתונה ‪ y = x 4 + x 2‬יורדת בתחום זה‪ .‬מכאן נובע כי לפונקציה הנתונה‬
‫בתחום ‪ −∞ < x < 0‬קיימת פונקציה הפוכה‪ .‬למציאת הפונקציה ההפוכה‪ ,‬נפתור את המשוואה‬
‫‪ y = x 4 + x 2‬ביחס למשתנה ‪ , x‬תוך התחשבות בכך ש‪ x 2 > 0 -‬ו‪ . x < 0 -‬נקבל‪:‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 36‬‬‫‪x4 + x2 − y = 0‬‬
‫‪−1 + 1 + 4 y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−1 + 1 + 4 y‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪x2‬‬
‫‪x=−‬‬
‫בפתרון שהתקבל ) ∞ ‪ y ∈ ( 0,‬ו‪ . x ∈ ( −∞, 0 ) -‬אם נחליף בו את ‪ y‬ב‪ x -‬ואת ‪ x‬ב‪ , y -‬נקבל‪:‬‬
‫‪−1 + 1 + 4 x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪,y=−‬‬
‫כאשר ) ∞ ‪ x ∈ ( 0,‬ו‪ . y ∈ ( −∞, 0 ) -‬זוהי הפונקציה ההפוכה לפונקציה הנתונה ‪ y = x 4 + x 2‬בתחום‬
‫‪. −∞ < x < 0‬‬
‫הערה ‪1‬‬
‫כדאי לשים לב כי תחום ההגדרה של הפונקציה ההפוכה נגדי לתחום פונקצית המקור שבו נמצאה‬
‫הפונקציה ההפוכה‪ .‬אותו הדין לגבי קבוצות הערכים של פונקציות אלה‪.‬‬
‫הערה ‪2‬‬
‫ניתן למצוא את הפונקציה המבוקשת בדרך אחרת‪ :‬קודם להחליף את שמות המשתנים במשוואה‬
‫הנתונה‪ ,‬כך שתהיה ‪:‬‬
‫‪x = y4 + y2 ⇒ y4 + y2 − x = 0‬‬
‫והתחומים ישתנו בהתאם‪ , y ∈ ( −∞, 0 ) , x ∈ ( 0, ∞ ) :‬ואחר כך לפתור משוואה זו ביחס ל‪ . y -‬נגיע‬
‫לאותה תשובה כמו קודם‪:‬‬
‫‪−1 + 1 + 4 x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.y=−‬‬
‫‪ .62‬מצא את תחומי ההגדרה‪ ,‬קבוצות הערכים והנגזרות של הפונקציות סקנס וקוסקנס‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪, csc x‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪sin x‬‬
‫= ‪. sec x‬‬
‫פתרון‬
‫‪1‬‬
‫הפונקציה‬
‫‪cos x‬‬
‫= ‪ sec x‬מוגדרת לכל ‪ x‬ממשי‪ ,‬למעט ‪+ kπ‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ x‬כאשר ‪. k = 0, ±1, ±2, ±3,...‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 37‬‬‫‪1‬‬
‫הפונקציה‬
‫‪sin x‬‬
‫= ‪ csc x‬מוגדרת לכל ‪ x‬ממשי‪ ,‬למעט ‪ x = kπ‬כאשר ‪. k = 0, ±1, ±2, ±3,...‬‬
‫קבוצת הערכים של כל אחת מהפונקציות ‪ sec x‬ו‪ csc x -‬הוא איחוד הקרניים ‪ −∞ < y ≤ −1‬ו‪-‬‬
‫∞ < ‪ 1 ≤ y‬או‪ ,‬כלומר‪ ,‬בקצרה‪ . y ≥ 1 ,‬על סמך כלל השרשרת מוצאים‪:‬‬
‫‪1 ′‬‬
‫‪1‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪,‬‬
‫= ‪⋅ ( cos x )′‬‬
‫‪ =−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪cos 2 x‬‬
‫‪ cos x ‬‬
‫‪( sec x )′ = ‬‬
‫‪1 ′‬‬
‫‪1‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪′‬‬
‫‪ = − 2 ( sin x ) = − 2‬‬
‫‪ sin x ‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪( csc x )′ = ‬‬
‫הערה‪ :‬לאותן תוצאות ניתן‪ ,‬כמובן‪ ,‬להגיע על פי חוק הגזירה של מנת הפונקציות‪.‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪ .63‬על סמך הגבול ‪= 1‬‬
‫‪x →0 x‬‬
‫‪ , lim‬מצא את הגבולות הבאים‪:‬‬
‫א‪( ) .‬‬
‫‪sin x 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪, lim‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪, lim+‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪. sin‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x→π π − x‬‬
‫פתרון‬
‫א‪.‬‬
‫‪( ) = lim sin ( x ) ⋅ x = lim sin ( x ) ⋅ lim x = 1⋅ 0 = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪sin x 2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. lim‬‬
‫‪x →0‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪sin x 1‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= lim+‬‬
‫⋅‬
‫‪= lim+‬‬
‫‪⋅ lim+‬‬
‫∞ = ∞ ⋅‪= 1‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x x →0‬‬
‫‪x x →0 x‬‬
‫‪. lim+‬‬
‫‪x →0‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪sin t‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪t →0 t‬‬
‫‪= lim‬‬
‫) ‪sin (π − t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪t →0‬‬
‫=‬
‫‬
‫‪π − x =t‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪x→π π − x‬‬
‫‪. sin‬‬
‫‪ .64‬פונקציה סתומה ) ‪ y = y ( x‬מוגדרת על ידי המשוואה‬
‫‪x + y7 + y = 4‬‬
‫מצא את ) ‪. y ′ ( 2‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪- 38 -‬‬
‫פתרון‬
‫הפונקציה הסתומה היא פתרון המשוואה‬
‫‪y7 + y = 4 − x‬‬
‫ביחס ל‪ . y -‬מהתכונות הבסיסיות של פונקציות חזקה נובע כי ‪ y 7 + y‬היא פונקציה עולה של המשתנה‬
‫‪ y‬המקבלת כל ערך ממשי פעם אחת בלבד‪ .‬לכן למשוואה דלעיל יש פתרון אחד ביחס ל‪ y -‬עבור כל‬
‫‪ x‬ממשי‪ .‬כלומר המשוואה הנתונה מגדירה פונקציה סתומה ) ‪ y = y ( x‬בכל התחום ∞ < ‪ . −∞ < x‬קל‬
‫לוודא כי ‪ . y ( 2 ) = 1‬על פי כלל מציאת הנגזרת של פונקציה סתומה‪ ,‬מוצאים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪7 ⋅1 + 1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7 ⋅ ( y ( 2)) + 1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪⇒ y′ ( 2 ) = −‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7 y +1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪. 7 y 6 y′ + y ′ = −1 ⇒ y ′ = −‬‬
‫‪ .65‬נתונה פרבולה אשר ציר הסימטריה שלה נמצא על ציר ה‪ x -‬ומשוואתה היא ‪. y 2 = 3 x − 5‬‬
‫‪4 ‬‬
‫מצא את המשוואה של משיק לענף התחתון של הפרבולה העובר דרך הנקודה ‪A  , 0 ‬‬
‫‪3 ‬‬
‫הנמצאת על ציר ה‪. x -‬‬
‫פתרון‬
‫תהי ) ‪ ( x0 , y0‬נקודת ההשקה של המשיק המבוקש לפרבולה הנתונה‪ .‬הקדקוד של הפרבולה הוא‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫הנקודה ‪ .  , 0 ‬על פי התכונה של המשיקים לפרבולה "שוכבת"‪ ,‬קדקוד הפרבולה נמצא באמצע‬
‫הקטע בין הנקודה ‪ A‬והנקודה ) ‪. ( x0 , 0‬‬
‫לכן מתקיים‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪+x‬‬
‫‪5 3 0‬‬
‫= ‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10 4 6‬‬
‫מכאן‪− = = 2 :‬‬
‫‪3 3 3‬‬
‫= ‪ . x0‬היות ונקודת ההשקה נמצאת על הענף התחתון של הפרבולה‪ ,‬מוצאים‪:‬‬
‫‪. y0 = − y02 = − 3 x0 − 5 = − 3 ⋅ 2 − 5 = − 1 = −1‬‬
‫ובכן‪ ,‬נקודת ההשקה היא )‪ . ( x0 , y0 ) = ( 2, −1‬שיפוע ‪ y ′‬של המשיק לפרבולה ‪ y 2 = 3 x − 5‬מקיים‬
‫את המשוואה‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 39‬‬‫‪3‬‬
‫‪2y‬‬
‫= ‪. 2 yy′ = 3 ⇒ y ′‬‬
‫בפרט‪ ,‬שיפוע המשיק בנקודה )‪ ( x0 , y0 ) = ( 2, −1‬הוא‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫=‬
‫‪=−‬‬
‫‪2 y0 −2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪y0′‬‬
‫ומשוואת המשיק היא‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y + 1 = − ( x − 2) ⇒ 3 x + 2 y − 4 = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫תרגילים בנושא "הקשר בין תכונות פונקציה ותכונות הפונקציה הנגזרת"‬
‫‪ .66‬התלמיד התבקש להוכיח כי אם ‪f '( x) = 0‬‬
‫לכל ) ‪ x ∈ ( a, b‬אז ) ‪ f ( x‬היא פונקציה קבועה‬
‫בקטע ) ‪ . ( a, b‬התלמיד הציע את ההוכחה הבאה‪ " :‬לפי ההנחה ‪f '( x ) = 0‬‬
‫לכל ) ‪. x ∈ ( a, b‬‬
‫אם הפונקציה ) ‪ f ( x‬לא הייתה קבועה‪ ,‬התבנית שלה הייתה מכילה משתנה ‪ , x‬וכאשר‬
‫בתבנית של פונקציה יש ‪ , x‬לא ניתן בזמן גזירתה לקבל ‪f '( x ) = 0‬‬
‫לכל ‪ . x‬לכן ) ‪ f ( x‬היא‬
‫פונקציה קבועה"‪.‬‬
‫האם הוכחה זו תקינה? אם לא‪ ,‬היכן השיקול השגוי?‬
‫פתרון‬
‫ההוכחה אינה תקינה‪ .‬בהוכחה יש טיעון‪" :‬כאשר תבניתה של פונקציה מכילה משתנה ‪ , x‬לא יכולים‬
‫בגזירתה לקבל ‪f '( x ) = 0‬‬
‫)‬
‫(‬
‫לכל ‪ ." x‬טיעון זה שגוי‪ .‬דוגמה נגדית‪ :‬תהי ‪ f ( x ) = sin π  x ‬כאשר‬
‫‪ x‬הוא מספר ממשי כלשהו ו‪  x  -‬מסמן את החלק השלם של ‪ . x‬ברור כי ‪ f ( x ) = 0‬לכל ‪ x‬ולכן‬
‫‪ f ′ ( x ) = 0‬לכל ‪. x‬‬
‫‪ .67‬הבא דוגמה של פונקציה ) ‪ f ( x‬בעלת התכונות הבאות‪:‬‬
‫א‪ f ( x ) .‬מוגדרת וגזירה לכל ‪. f ( 0 ) = 1 , x ∈ ℝ‬‬
‫ב‪ f ′ ( x ) = 0 .‬באינסוף נקודות‪.‬‬
‫ג‪ f ( x ) .‬עולה במובן החזק בכל ה‪. ℝ -‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 40‬‬‫פתרון‬
‫דוגמה מתאימה היא ‪ . f ( x ) = x + cos x‬פונקציה זו מוגדרת וגזירה לכל ‪ x ∈ ℝ‬ומקבלת ערך ‪1‬‬
‫בנקודה ‪ . x = 0‬הנגזרת שלה ‪ f ′ ( x ) = 1 − sin x‬חיובית לכל ‪ x‬ממשי‪ ,‬למעט אינסוף נקודות מבודדות‬
‫‪+ 2 kπ‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ , x‬כאשר ‪ . k = 0, ±1, ±2,...‬לכן הפונקציה ‪ f ( x ) = x + cos x‬עולה במובן החזק בכל‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪‬‬
‫קטע ‪+ 2 ( k − 1) π , + 2kπ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬לכל‬
‫‪ k‬שלם‪ .‬על פי כך‪ ,‬בהיותה פונקציה רציפה‪ ,‬היא עולה‬
‫במובן החזק בכל התחום ∞ < ‪ . −∞ < x‬יחד עם זאת‪ ,‬כפי שכבר צוין‪ f ′ ( x ) = 0 ,‬באינסוף נקודות‪.‬‬
‫הערה‬
‫הדוגמה מראה כי עליית הפונקציה בתחומה‪ ,‬אף במובן החזק‪ ,‬אינה גוררת בהכרח את חיוביות הנגזרת‬
‫בכל נקודה ונקודה בתחום‪ .‬ייתכן אף כי הנגזרת מתאפסת באינסוף נקודות בתוך התחום‪.‬‬
‫‪ .68‬נתונה פונקציה‬
‫‪n ≤ x < n + 1, n = 0, ±1, ±2, ±3,...‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪x − n‬‬
‫(‬
‫‪n‬‬
‫=‬
‫‪+ ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪. f ( x‬‬
‫הוכח כי‪:‬‬
‫א‪ .‬הפונקציה ) ‪ f ( x‬מוגדרת ורציפה בכל ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬הפונקציה ) ‪ f ( x‬גזירה בכל נקודה ‪ x ≠ n‬ואינה גזירה באף נקודה ‪ , x = n‬כאשר ‪ n‬מספר שלם‬
‫כלשהו‪.‬‬
‫ג‪ .‬הפונקציה ) ‪ f ( x‬עולה במובן החזק בכל התחום ∞ < ‪. −∞ < x‬‬
‫פתרון‬
‫א‪.‬‬
‫לפי הנתון‪ ,‬הפונקציה מוגדרת לכל ‪ x‬ממשי ורציפה לכל ‪ x‬שאינו שלם‪ .‬נראה כי היא רציפה גם לכל ‪x‬‬
‫שלם‪ .‬בכל נקודה ‪ , x = n‬כאשר ‪ n‬מספר שלם כלשהו‪ ,‬מתקיים‪:‬‬
‫‪ ( x − n )2 n  n‬‬
‫‪lim+ f ( x ) = lim+ ‬‬
‫=‪+ ‬‬
‫‪x→n‬‬
‫‪x→n ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ( x − ( n − 1) )2 n − 1  1 n − 1 n‬‬
‫‪= +‬‬
‫‪lim f ( x ) = lim− ‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪x → n−‬‬
‫‪x→n ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 41‬‬‫כלומר הגבולות החד‪-‬צדדיים בנקודה ‪ x = n‬שווים זה לזה‪ .‬מכאן נובע כי קיים‬
‫‪n‬‬
‫)‪= f (n‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪, lim f ( x‬‬
‫‪x→n‬‬
‫ולכן ) ‪ f ( x‬רציפה בנקודה ‪ . x = n‬בכך הוכח כי ) ‪ f ( x‬רציפה לכל ‪ x‬ממשי‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מן הצגת הפונקציה הנתונה ) ‪ f ( x‬נובע כי היא גזירה לכל ‪ x‬שאינו שלם‪ .‬נמצא נגזרות חד‪-‬צדדיות‬
‫של ) ‪ f ( x‬בנקודה ‪ , x = n‬כאשר ‪ . n = 0, ±1, ±2, ±3,...‬על סמך הצגת ) ‪ f ( x‬מקבלים‪:‬‬
‫)‪2 ( x − n‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x=n‬‬
‫) )‪2 ( x − ( n − 1‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪x=n‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪f +′ ( n‬‬
‫= ) ‪f −′ ( n‬‬
‫היות ו‪ , f +′ ( n ) ≠ f −′ ( n ) -‬הנגזרת ) ‪ f ′ ( n‬אינה קיימת‪ ,‬כלומר ) ‪ f ( x‬אינה גזירה בנקודה ‪, x = n‬‬
‫כאשר ‪. n = 0, ±1, ±2, ±3,...‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מההצגה של הפונקציה הנתונה ) ‪ f ( x‬נובע כי היא עולה במובן החזק בכל קטע ‪, n ≤ x < n + 1‬‬
‫כאשר ‪ . n = 0, ±1, ±2, ±3,...‬מכאן‪ ,‬היות והיא רציפה בכל התחום ∞ < ‪ , −∞ < x‬נובע כי הפונקציה עולה‬
‫במובן החזק בכל התחום ∞ < ‪. −∞ < x‬‬
‫הערה‬
‫הדוגמה מראה כי פונקציה אשר עולה בכל התחום שלה‪ ,‬אף במובן החזק‪ ,‬עלולה לא להיות גזירה‬
‫באינסוף נקודות‪.‬‬
‫‪ .69‬תהי ‪. f ( x ) = sin x‬‬
‫א‪ .‬מהן כל הנקודות של מקסימום מקומי של ) ‪? f ( x‬‬
‫ב‪ .‬מהן כל הנקודות של מינימום מקומי של ) ‪? f ( x‬‬
‫ג‪ .‬מהו ערך הנגזרת ) ‪ f ′ ( x‬בנקודות המקסימום ובנקודות המינימום?‬
‫ד‪ .‬האם לפונקציה יש נקודות קיצון מוחלט? אם כן‪ ,‬מהן?‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 42‬‬‫פתרון‬
‫מהתכונות הבסיסיות של הפונקציה ‪ sin x‬והגדרת נקודות קיצון נובע כי‪:‬‬
‫א‪ .‬נקודות מקסימום מקומי‪+ kπ :‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ x‬כאשר ‪. k = 0, ±1, ±2, ±3,...‬‬
‫ב‪ .‬נקודות מינימום מקומי‪ x = kπ :‬כאשר ‪. k = 0, ±1, ±2, ±3,...‬‬
‫ג‪ .‬בנקודות מקסימום ‪ , f ′ ( x ) = 0‬ובנקודות מינימום ) ‪ f ′ ( x‬אינה קיימת‪.‬‬
‫ד‪ .‬כל מינימום מקומי הוא גם מינימום מוחלט )‪ ,(0‬וכל מקסימום מקומי הוא גם מקסימום‬
‫מוחלט )‪.(1‬‬
‫‪ .70‬נתונה פונקציה‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x ⋅ sin   , x ≠ 0‬‬
‫‪. f ( x) = ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0, x = 0‬‬
‫‪‬‬
‫ענו על השאלות להלן ועל פי התשובות נסו לשער איך נראה הגרף של הפונקציה‪ .‬השוו בין השערתכם‬
‫וצורת הגרף הממוחשב ‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו התחום של ) ‪ ? f ( x‬האם הפונקציה זוגית? אי‪-‬זוגית?‬
‫ב‪ .‬מהן נקודות הרציפות ונקודות אי‪-‬הרציפות של ) ‪? f ( x‬‬
‫ג‪ .‬מהן נקודות הגזירות ונקודות אי‪-‬הגזירות של ) ‪? f ( x‬‬
‫ד‪ .‬כמה נקודות מקסימום מקומי יש ל‪ ? f ( x ) -‬ומינימום מקומי ?‬
‫ה‪ .‬האם יש ל‪ f ( x ) -‬בתחום הגדרתה מקסימום מוחלט? ומינימום מוחלט?‬
‫ו‪.‬‬
‫האם הנקודה ‪ x = 0‬היא נקודת קיצון מקומי?‬
‫ז‪ .‬האם הפונקציה ) ‪ f ( x‬היא פונקציה מונוטונית )עולה או יורדת( בסביבה כלשהי של ‪? x = 0‬‬
‫ח‪ .‬האם לפונקציה קיימות אסימפטוטות אנכיות?‬
‫ט‪ .‬האם לפונקציה קיימות אסימפטוטות אופקיות?‬
‫פתרון‬
‫א‪.‬‬
‫הפונקציה הנתונה מוגדרת בכל התחום ∞ < ‪ . −∞ < x‬היא פונקציה זוגית כי ) ‪. f ( − x ) = f ( x‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 43‬‬‫ב‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫הפונקציה ‪ y = x sin  ‬היא פונקציה אלמנטרית המוגדרת לכל ‪ . x ≠ 0‬לכן היא רציפה לכל ‪. x ≠ 0‬‬
‫מכאן נובע כי הפונקציה הנתונה ) ‪ f ( x‬רציפה בכל נקודה ‪ . x ≠ 0‬בנקודה ‪ x = 0‬היא גם רציפה כי‬
‫‪1‬‬
‫) ‪lim f ( x ) = lim x sin   = 0 = f ( 0‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪↓0‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪sin t <1‬‬
‫בכך‪ ,‬כל נקודה ‪ x‬בתחום של הפונקציה הנתונה ) ‪ f ( x‬היא נקודת רציפות שלה‪ .‬לפונקציה זו אין נקודות‬
‫אי‪-‬רציפות‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הפונקציה הנתונה גזירה בכל נקודה ‪ . x ≠ 0‬בנקודה זו היא לא גזירה כי למנת הפרשים‬
‫‪1‬‬
‫‪x sin   − 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫‪= sin  ‬‬
‫‪x−0‬‬
‫‪ x‬‬
‫)‪f ( x) − f (0‬‬
‫‪x−0‬‬
‫אין גבול כאשר ‪ x → 0‬ולכן הנגזרת ) ‪ f ′ ( 0‬אינה קיימת‪.‬‬
‫בכך‪ ,‬כל נקודה ‪ x ≠ 0‬היא נקודת גזירות של הפונקציה הנתונה ) ‪ , f ( x‬והנקודה ‪ x = 0‬היא נקודת אי‪-‬‬
‫גזירות שלה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫הפונקציה ‪ sin  ‬מתאפסת באינסוף נקודות‬
‫‪kπ‬‬
‫‪x‬‬
‫= ‪ x‬כאשר ‪ . k = 0, ±1, ±2, ±3,...‬בין כל שתי‬
‫נקודות אפס עוקבות פונקציה זו רציפה והיא מחליפה סימן בכל נקודת אפס‪ .‬אותן העובדות תקפות‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫לפונקציה ‪ . f ( x ) = x sin  ‬מעובדות אלה נובע שלפונקציה הנתונה יש אינסוף נקודות מינימום מקומי‬
‫ומקסימום מקומי‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫היות ו‪ sin t < t -‬לכל ‪ t ≠ 0‬מתקיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫⋅ ‪ x sin   < x‬לכל ‪. x ≠ 0‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 44‬‬‫‪ −1 < f ( x ) < 1‬לכל ‪. x ∈ ℝ‬‬
‫יחד עם זאת‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪sin  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x  =1‬‬
‫‪, lim f ( x ) = lim x sin   = lim‬‬
‫∞‪x →±‬‬
‫∞‪x →±‬‬
‫‪x‬‬
‫∞‪→±‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪x‬‬
‫כלומר הפונקציה ) ‪ f ( x‬מקבלת ערכים המתקרבים ל‪ ,1-‬אבל לא מקבלת ערך ‪ 1‬באף נקודה‪ .‬זה מעיד‬
‫שלפונקציה ) ‪ f ( x‬בתחום הגדרתה אין מקסימום מוחלט‪.‬‬
‫הפונקציה הנתונה היא פונקציה‬
‫זוגית‪ ,‬לכן ניתן להתמקד בתחום ‪ . x ≥ 0‬כאשר‬
‫מקבלת ערכים חיוביים בלבד‪ .‬בקטע‬
‫‪1‬‬
‫‪π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪π‬‬
‫> ‪ x‬הפונקציה‬
‫≤ ‪ 0 ≤ x‬הפונקציה רציפה ולכן יש לה מינימום מוחלט אשר יהיה‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪) ‬ר' גרף להלן(‪.‬‬
‫מינימום מוחלט שלה בכל התחום ∞ < ‪ . −∞ < x‬מינימום זה מתקבל בקטע‬
‫‪,‬‬
‫‪ 2π π ‬‬
‫ו‪.‬‬
‫הנקודה ‪ x = 0‬אינה נקודת קיצון מקומי‪ ,‬כי ‪ f ( 0 ) = 0‬ובכל סביבה של ‪ x = 0‬הפונקציה ) ‪f ( x‬‬
‫מקבלת ערכים חיוביים וערכים שליליים‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫הפונקציה ) ‪ f ( x‬לא עולה ולא יורדת באף סביבה של ‪ x = 0‬מהסיבה שצוינה בסעיף ז' לעיל‪.‬‬
‫ח‪.‬‬
‫לפונקציה הנתונה לא קיימות אסימפטוטות אנכיות כי אין לה נקודות אי‪-‬רציפות‪.‬‬
‫ט‬
‫הישר ‪ y = 1‬הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה הנתונה כאשר ∞ → ‪ x‬וכאשר ∞‪ x → −‬כי‬
‫‪lim f ( x ) = 1‬‬
‫∞‪x→±‬‬
‫)ר' חישוב בסעיף ה'(‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫הגרף הממוחשב של הפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫‪ y = x sin‬תואם את תוצאות החקירה דלעיל‪.‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪- 45 -‬‬
‫‪ .71‬תהי ) ‪ f ( x‬פונקציה רציפה בכל תחום הגדרתה‪ .‬לגבי כל טענה להלן יש לקבוע אם היא נכונה‬
‫או לא נכונה‪ .‬את נכונות הטענה יש לנמק ואת אי‪-‬הנכונות להדגים בדוגמה נגדית מתאימה‪.‬‬
‫א‪ .‬אם ) ‪ f ( x‬עולה בסביבה שלמה של הנקודה ‪ x = x0‬אז היא עולה גם בנקודה זו‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם ) ‪ f ( x‬עולה בנקודה ‪ x = x0‬אז היא עולה בסביבה מסוימת של ‪. x = x0‬‬
‫ג‪ .‬אם הנגזרת ) ‪ f ′ ( x‬מחליפה סימן בנקודה ‪ , x = x0‬אזי נקודה זו היא נקודת קיצון מקומי של‬
‫)‪. f ( x‬‬
‫ד‪ .‬אם ‪ x = x0‬היא נקודת קיצון מקומי של ) ‪ , f ( x‬אזי ) ‪ f ′ ( x‬מחליפה סימן בנקודה זו‪.‬‬
‫ה‪ .‬אם ‪ f ′ ( x ) > 0‬לכל ‪ x‬בתחום הגדרתה של ) ‪ f ( x‬אזי ) ‪ f ( x‬עולה בתחום זה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫אם ‪ f ′ ( x ) > 0‬לכל ) ‪ x ∈ ( a, b‬אזי ) ‪ f ( x‬עולה בקטע ) ‪. ( a, b‬‬
‫אם ‪ f ′ ( x ) = 0‬לכל ‪ x‬בתחום ההגדרה ‪ D‬של ) ‪ f ( x‬אזי ‪ f ( x ) = c‬לכל ‪. x ∈ D‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 46‬‬‫ח‪ .‬אם ‪ f ′ ( x ) = 0‬לכל ) ‪ x ∈ ( a, b‬אזי ‪ f ( x ) = c‬לכל ) ‪. x ∈ ( a, b‬‬
‫פתרון‬
‫א‪ .‬הטענה נכונה‪ .‬היא נובעת מיידית מהגדרת המושגים‪" :‬פונקציה עולה בנקודה"‪" ,‬פונקציה עולה‬
‫בתחום"‪.‬‬
‫ב‪ .‬הטענה אינה נכונה‪ .‬דוגמה נגדית‪ :‬פונקציה‬
‫‪1‬‬
‫‪ , x≠0‬‬
‫‪. f ( x) =  x‬‬
‫‪0, x = 0‬‬
‫לפי הגדרה ) ‪ f ( x‬עולה בנקודה ‪ , x = 0‬במובן החזק‪ .‬אבל הפונקציה אינה עולה באף סביבה‬
‫של ‪ , x = 0‬אף במובן החלש‪ ,‬כי היא יורדת בכל אחד מהתחומים ‪ x > 0‬ו‪. x < 0 -‬‬
‫ג‪ .‬הטענה נכונה‪ .‬היא נובעת ממבחן הנגזרת הראשונה לנקודת קיצון‪.‬‬
‫ד‪ .‬הטענה אינה נכונה‪ .‬דוגמה נגדית‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x sin   , x ≠ 0‬‬
‫‪f ( x) = ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0, x = 0‬‬
‫‪‬‬
‫הנקודה ‪ x = 0‬היא נקודת מינימום מוחלט של ) ‪ . f ( x‬כאשר ‪ x → 0‬מצד כלשהו )משמאל‬
‫או מימין( הנגזרת ) ‪ f ′ ( x‬מחליפה סימן אינסוף פעמים כלומר אין לה סימן קבוע לא מימין ולא‬
‫משמאל לנקודה ‪ . x = 0‬לכן אין לדבר על החלפת סימן של ) ‪ f ′ ( x‬בנקודה זו‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ה‪ .‬הטענה לא נכונה‪ .‬דוגמה נגדית‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫∞<‪0< x‬‬
‫‪ . f ( x ) = −‬פונקציה זו מוגדרת באיחוד הקרניים‬
‫‪1‬‬
‫‪ . −∞ < x < 0,‬בתחום זה הפונקציה רציפה ולכל ‪ x‬בו מתקיים‪> 0 :‬‬
‫‪x2‬‬
‫= )‪f ′( x‬‬
‫אבל ) ‪ f ( x‬אינה עולה בכל התחום כי‪ ,‬למשל‪. f (1) = −1 < f ( −1) = 1 ,‬‬
‫ו‪ .‬הטענה נכונה‪ .‬היא נובעת מהמשפט על תנאי מספיק של עליית פונקציה בתחום קשיר‪.‬‬
‫ז‪ .‬הטענה לא נכונה‪ .‬דוגמה נגדית‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x −1 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪. f ( x ) = sgn ‬‬
‫פונקציה זו מוגדרת ורציפה באיחוד הקרניים‪ −∞ < x < −1 :‬ו‪ 1 < x < ∞ -‬וניתנת לפירוש הבא‪:‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 47‬‬‫‪ −1, x < −1‬‬
‫‪x >1‬‬
‫‪1,‬‬
‫‪. f ( x) = ‬‬
‫ברור כי ‪ f ′ ( x ) = 0‬לכל ‪ x‬בתחום ההגדרה של ) ‪ , f ( x‬אבל ) ‪ f ( x‬אינה פונקציה קבועה בכל‬
‫התחום‪.‬‬
‫ח‪ .‬הטענה נכונה והיא נובעת מהמשפט על הקריטריון של פונקציה קבועה בתחום קשיר )קטע‪ ,‬קרן(‬
‫נציין כי הדוגמה בסעיף ז' לעיל מראה כי קשירות התחום היא התנאי המכריע לנכונות הטענה‪.‬‬
‫‪ .72‬חקרו את תכונות הפונקציה ‪ f ( x ) = esin x‬בשילוב נגזרת ראשונה‪ ,‬על סמך תוצאות החקירה‬
‫שערו את צורת הגרף שלה והשוו אותו עם הגרף הממוחשב‪.‬‬
‫פתרון‬
‫הפונקציה ‪ f ( x ) = esin x‬מוגדרת‪ ,‬רציפה וחיובית לכל ‪ x‬ממשי‪ .‬היא מחזורית במחזור ‪ . 2π‬לכן‬
‫מספיק לחקור אותה בקטע ‪ . 0 ≤ x ≤ 2π‬הפונקציה הנגזרת ‪ f ′ ( x ) = esin x ⋅ cos x‬מוגדרת לכל ‪x‬‬
‫ממשי ומתקיים‪:‬‬
‫‪. f −′ ( 2π ) = f ′ ( 2π ) = 1 , f +′ ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = 1‬‬
‫להלן טבלת החקירה של הפונקציה ‪ f ( x) = esin x , 0 ≤ x ≤ 2π‬בעזרת נגזרתה הראשונה‬
‫‪: f ′ ( x ) = esin x ⋅ cos x‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪ 3π‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , 2π ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ π 3π ‬‬
‫‪ , ‬‬
‫‪2 2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪π‬‬
‫‪ π‬‬
‫‪ 0, ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−‬‬
‫‪0‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪f ′( x‬‬
‫עולה‬
‫נקודת‬
‫יורדת‬
‫נקודת‬
‫עולה‬
‫‪1‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫מינימום‬
‫מקסימום‬
‫מקומי‪,‬‬
‫מקומי‪,‬‬
‫‪ 1‬‬
‫=‪‬‬
‫‪ e‬‬
‫‪ 3π‬‬
‫‪f‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪π ‬‬
‫‪f  =e‬‬
‫‪2‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 48‬‬‫סיכום על פי הטבלה‪:‬‬
‫• הפונקציה הנתונה חיובית בקטע ‪ 0 ≤ x ≤ 2π‬ו‪. f ( 0 ) = f ( 2π ) = 1 -‬‬
‫•‬
‫‪π‬‬
‫‪π ‬‬
‫הנקודה = ‪ x‬בה ‪ = e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ f ‬היא נקודת מקסימום מקומי של הפונקציה ) ‪ f ( x‬שהוא‬
‫גם המקסימום המוחלט שלה בקטע ‪. 0 ≤ x ≤ 2π‬‬
‫•‬
‫•‬
‫‪3π‬‬
‫‪ 1‬‬
‫הנקודה‬
‫= ‪ x‬בה = ‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ e‬‬
‫‪ 3π‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ f ‬היא נקודת מינימום מקומי של הפונקציה ) ‪ f ( x‬שהוא‬
‫גם המינימום המוחלט שלה בקטע ‪. 0 ≤ x ≤ 2π‬‬
‫לפונקציה אין אסימפטוטות‪.‬‬
‫הגרף הממוחשב בקטע ‪ 0 ≤ x ≤ 2π‬תואם את תוצאות החקירה‪.‬‬
‫הגרף השלם מתקבל על ידי שיכפול הגרף מקטע ‪ 0 ≤ x ≤ 2π‬לכל ציר ה‪ , x -‬במחזור ‪2π‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .73‬נתונה פונקציה‬
‫‪x≠a‬‬
‫‪x=a‬‬
‫)‪ g ( x‬‬
‫‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ( x ) =  ( x − a)n‬‬
‫‪c,‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר ‪ n ≥ 1‬מספר טבעי‪ a, c ,‬מספרים ממשיים קבועים‪ ,‬הפונקציה ) ‪ g ( x‬גזירה בסביבה שלמה של‬
‫הנקודה ‪ x = a‬ו‪. g ( a ) ≠ 0 -‬‬
‫הוכח כי ‪:‬‬
‫א‪ .‬הפונקציה ) ‪ f ( x‬אינה רציפה בנקודה ‪. x = a‬‬
‫ב‪ .‬הפונקציה ) ‪ f ( x‬גזירה בסביבת הנקודה‬
‫‪ , x = a‬למעט נקודה זו‪.‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 49‬‬‫ג‪ .‬הנקודה ‪ x = a‬היא נקודת קיצון מקומי של ) ‪ f ( x‬אם ורק אם ‪ n‬הוא מספר זוגי‪.‬‬
‫ד‪ .‬אם הנגזרת ) ‪ f ′ ( x‬מחליפה בנקודה ‪ x = a‬את סימנה מחיובי לשלילי‪ ,‬אזי הנקודה‬
‫‪ x = a‬היא‬
‫נקודת מינימום מקומי של ) ‪. f ( x‬‬
‫ה‪ .‬אם הנגזרת ) ‪ f ′ ( x‬מחליפה בנקודה ‪ x = a‬את סימנה משלילי לחיובי‪ ,‬אזי הנקודה‬
‫‪ x = a‬היא‬
‫נקודת מקסימום מקומי של ) ‪. f ( x‬‬
‫פתרון‬
‫א‪.‬‬
‫מהנתונים נובע כי‬
‫∞ )‪= g (a) ⋅ ∞ = (±‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪( x − a‬‬
‫‪= g ( a ) ⋅ lim+‬‬
‫‪x →a‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪( x − a‬‬
‫‪, lim+ f ( x ) = lim+‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪x→a‬‬
‫כאשר הסימן בתשובה חיובי אם ‪ g ( a ) > 0‬ושלילי ‪ -‬אם ‪ . g ( a ) < 0‬מתוצאה זו נובע כי ) ‪ f ( x‬אינה‬
‫רציפה בנקודה ‪. x = a‬‬
‫ב‪.‬‬
‫אם ‪ , x ≠ a‬אזי ) ‪ f ( x‬גזירה בסביבה )הנקובה( של‬
‫‪ x = a‬כמנה של שתי פונקציות גזירות כאשר‬
‫הפונקציה במכנה לא מתאפסת‪ ..‬בנקודה ‪ x = a‬הפונקציה הנתונה אינה רציפה ולכן אינה גזירה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫נתבונן בגבולות חד‪-‬צדדיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪( x − a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪( x − a‬‬
‫‪= g ( a ) lim+‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪= g ( a ) lim−‬‬
‫‪x→a‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪lim+ f ( x ) = lim+‬‬
‫)‪( x − a‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪f ( x ) = lim‬‬
‫‪n‬‬
‫‪x→a‬‬
‫)‪( x − a‬‬
‫‪n‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪lim−‬‬
‫‪x→a‬‬
‫כאשר ‪. g ( a ) ≠ 0‬‬
‫אם ‪ n‬אי‪-‬זוגי‪ ,‬אחד מהגבולות לעיל הוא ∞ והשני ) ∞‪ . ( −‬במצב זה‪ ,‬לכל ערך של ‪ , c‬הערך ‪f ( a ) = c‬‬
‫לא יכול להיות מינימום או מקסימום מקומי של ) ‪. f ( x‬‬
‫אם ‪ n‬זוגי ו‪ g ( a ) > 0 -‬אזי‬
‫∞ = ) ‪. lim+ f ( x ) = lim− f ( x‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪x→a‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 50‬‬‫במצב זה‪ ,‬לכל ‪ , c‬הערך ‪ f ( a ) = c‬הוא מינימום מקומי של ) ‪. f ( x‬‬
‫אם ‪ n‬זוגי ו‪ g ( a ) < 0 -‬אזי‬
‫∞‪. lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = −‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪x →a‬‬
‫במצב זה‪ ,‬לכל ‪ , c‬הערך ‪ f ( a ) = c‬הוא מקסימום מקומי של ) ‪. f ( x‬‬
‫בכך הוכח כי הנקודה ‪ x = a‬היא נקודת קיצון מקומי של ) ‪ f ( x‬אם ורק אם ‪ n‬הוא מספר זוגי‪ .‬בכך‪,‬‬
‫הטענה ג' נכונה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫אם הנגזרת ) ‪ f ′ ( x‬מחליפה בנקודה ‪ x = a‬את סימנה מחיובי לשלילי ‪ ,‬אז הפונקציה ) ‪ f ( x‬עולה‬
‫משמאל ל‪ x = a -‬ויורדת מימין ל‪ . x = a -‬היות ולפונקציה הנתונה כל אחד מהגבולות החד‪-‬צדדיים‬
‫בנקודה ‪ x = a‬שווה ∞ או ) ∞‪ , ( −‬המצב הנ"ל אפשרי אם ורק אם‬
‫∞ = ) ‪lim f ( x‬‬
‫‪x→a−‬‬
‫∞ = ) ‪lim f ( x‬‬
‫‪x→a+‬‬
‫התנאים האלה גוררים כי הערך ‪ f ( a ) = c‬הוא מינימום מקומי של ) ‪ . f ( x‬הטענה ד' נכונה‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫אם הנגזרת ) ‪ f ′ ( x‬מחליפה בנקודה ‪ x = a‬את סימנה משלילי לחיובי ‪ ,‬אז הפונקציה ) ‪ f ( x‬יורדת‬
‫משמאל ל‪ x = a -‬ועולה מימין ל‪ . x = a -‬המצב הזה לפונקציה הנתונה אפשרי אם ורק אם‬
‫∞‪lim f ( x ) = −‬‬
‫‪x→a−‬‬
‫∞‪lim f ( x ) = −‬‬
‫‪x→a+‬‬
‫התנאים האלה גוררים כי הערך ‪ f ( a ) = c‬הוא מקסימום מקומי של ) ‪ . f ( x‬הטענה ה' נכונה‪.‬‬
‫הערה‬
‫במבט הראשון נראה כי הטענות ד'‪ ,‬ה' בתרגיל ‪ 73‬נוגדות למבחן הנגזרת הראשונה לנקודת קיצון‪ .‬לפי‬
‫מבחן זה‪ ,‬אם הנגזרת מחליפה סימן בנקודה מסוימת מחיובי לשלילי או משלילי לחיובי‪ ,‬אזי נקודה זו‬
‫היא‪ ,‬בהתאם‪ ,‬נקודת מקסימום מקומי או מינימום מקומי של הפונקציה‪ .‬הטענות ד'‪ ,‬ה' לא סותרות‬
‫מבחן זה כי בו דרושה רציפות הפונקציה בנקודה‪ ,‬והפונקציה ) ‪ f ( x‬הנתונה בתרגיל הנוכחי אינה‬
‫רציפה בנקודה ‪ . x = a‬הדוגמה שבתרגיל מראה כי דרישת רציפות פונקציה חיונית לתקפות המבחן‬
‫הנ"ל‪.‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪- 51 -‬‬
‫‪ .74‬תהי ) ‪ f ( x‬מוגדרת וגזירה בתחום ‪ x > 0‬והנגזרת ) ‪ f ′ ( x‬שואפת ל‪ 0 -‬כאשר ∞ → ‪, x‬‬
‫כלומר‬
‫‪. lim f ′ ( x ) = 0‬‬
‫)*(‬
‫א‪.‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫האם לפונקציה ) ‪ f ( x‬בהכרח מתקיים‪:‬‬
‫‪, lim f ( x ) = c‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫כלומר האם ל‪ f ( x ) -‬יש אסימפטוטה אופקית עבור ∞ → ‪? x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫האם לפונקציה ) ‪ f ( x‬אשר לא רק גזירה אלא גם חסומה בתחום ‪x > 0‬‬
‫התנאי )*( בהכרח‬
‫גורר כי ל‪ f ( x ) -‬יש אסימפטוטה אופקית עבור ∞ → ‪? x‬‬
‫פתרון‬
‫א‪.‬‬
‫התשובה לשאלה היא שלילית‪ .‬למשל‪ ,‬הפונקציה ‪ f ( x ) = ln x‬מוגדרת וגזירה בתחום ‪, x > 0‬‬
‫‪1‬‬
‫הנגזרת‬
‫‪x‬‬
‫= ) ‪ f ′ ( x‬מקיימת את התנאי )*(‪ ,‬ובכל זאת לפונקציה אין אסימפטוטה אופקית כאשר‬
‫∞ → ‪ , x‬כי ∞ = ‪ . lim ln x‬דוגמה אחרת‪ :‬הפונקציה ‪ f ( x ) = x‬מוגדרת ורציפה בתחום ‪x ≥ 0‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫וגזירה בתחום ‪ . x > 0‬הנגזרת‬
‫‪1‬‬
‫‪2 x‬‬
‫= ) ‪ f ′ ( x‬מקיימת את התנאי )*( ובכל זאת לפונקציה אין‬
‫אסימפטוטה אופקית כאשר ∞ → ‪ , x‬כי ∞ = ‪x‬‬
‫‪. lim‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫התשובה לשאלה בסעיף ב' גם היא שלילית‪ .‬למשל‪ ,‬הפונקציה‬
‫)‪( x‬‬
‫‪f ( x ) = sin‬‬
‫מוגדרת ורציפה בתחום ‪ x ≥ 0‬וגזירה בתחום ‪ . x > 0‬הפונקציה הנגזרת היא‬
‫)‪( x‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪2 x‬‬
‫היות ו‪( x ) -‬‬
‫‪ cos‬היא פונקציה חסומה ו‪-‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 x‬‬
‫= )‪. f ′( x‬‬
‫שואפת ל‪ 0 -‬כאשר ∞ → ‪ , x‬מתקיים‪:‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 52‬‬‫‪, lim f ′ ( x ) = 0‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫כלומר‪ ,‬הנגזרת ) ‪ f ′ ( x‬מקיימת את התנאי )*(‪ .‬אבל‪ ,‬היות והפונקציה ) ‪( x‬‬
‫∞ → ‪ , x‬מבצעת אינסוף תנודות בין ‪ −1‬ו‪ , 1 -‬הגבול ) ‪ lim f ( x ) = lim sin ( x‬אינו קיים כלל‪ .‬לכן ל‪-‬‬
‫‪ , f ( x ) = sin‬כאשר‬
‫∞→ ‪x‬‬
‫∞→ ‪x‬‬
‫) ‪ f ( x‬אין אסימפטוטה עבור ∞ → ‪. x‬‬
‫‪ .75‬הוכח כי למשוואה פולינומיאלית ‪ , ( 2k − 1) x 2 k +1 + ( 2k + 1) x 2k −1 + C = 0‬כאשר ‪ k‬מספר‬
‫טבעי ו‪ C -‬מספר ממשי קבוע כלשהו‪ ,‬יש שורש ממשי אחד בלבד‪.‬‬
‫פתרון‬
‫תהי‬
‫‪. f ( x ) = ( 2k − 1) x 2k +1 + ( 2k + 1) x 2k −1 + C‬‬
‫היות ו‪ f ( x ) -‬רציפה בתחום ∞ < ‪ −∞ < x‬ומתקיים‪:‬‬
‫∞ = ) ‪, lim f ( x ) = −∞, lim f ( x‬‬
‫∞→ ‪x‬‬
‫∞‪x →−‬‬
‫הפונקציה ) ‪ f ( x‬מתאפסת פעם אחת לפחות‪.‬‬
‫הפונקציה הנגזרת‬
‫‪f ′ ( x ) = ( 2k − 1)( 2k + 1) x 2k + ( 2k + 1)( 2k − 1) x 2k −2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪= ( 2k − 1)( 2k + 1) x 2k −2 x 2 + 1‬‬
‫חיובית לכל ‪ x‬ממשי‪ ,‬למעט ‪ . x = 0‬מכאן נובע כי הפונקציה ) ‪ f ( x‬עולה בכל התחום ∞ < ‪. −∞ < x‬‬
‫לכן ל‪ f ( x ) -‬יש נקודת איפוס אחת בלבד‪ .‬במילים אחרות למשוואה ‪ f ( x ) = 0‬יש שורש ממשי אחד‬
‫בלבד‪.‬‬
‫תרגילים בנושא‬
‫"נגזרות מסדר ‪ n ≥ 2‬והקשר בין תכונותיהן ותכונות הפונקציה"‬
‫‪ .76‬האם קיימת פונקציה ) ‪ f ( x‬קעורה כלפי מטה או כלפי מעלה בכל התחום שלה‪ ,‬כאשר הנגזרת‬
‫השנייה ) ‪ f ′′ ( x‬מתאפסת באינסוף נקודות?‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 53‬‬‫פתרון‬
‫כן‪ ,‬פונקציה כזאת קיימת‪ .‬אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות‪. f ( x ) = x 2 + 2 cos x :‬‬
‫הנגזרת השנייה ‪ f ′′ ( x ) = 2 − 2 cos x‬חיובית בכל קטע ‪ 2kπ < x < 2 kπ + 2π‬כאשר ‪ k‬מספר שלם‬
‫כלשהו‪ .‬מכאן נובע כי הנגזרת הראשונה ) ‪ f ′ ( x‬עולה במובן החזק בכל קטע כזה ולכן‪ ,‬בהיותה פונקציה‬
‫רציפה‪ ,‬היא עולה במובן החזק בכל התחום ∞ < ‪ . −∞ < x‬מצב זה גורר כי הפונקציה‬
‫‪ f ( x ) = x 2 + 2 cos x‬קעורה כלפי מעלה בכל התחום ∞ < ‪ . −∞ < x‬יחד עם זאת‪ ,‬הנגזרת השנייה‬
‫‪ f ′′ ( x ) = 2 − 2 cos x‬מתאפסת באינסוף נקודות ‪ x = 2kπ‬כאשר ‪. k = 0, ±1, ±2, ±3,...‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪ .77‬על סמך חקירת תכונות הפונקציות‬
‫‪x−2‬‬
‫‪ ,‬בעזרת נגזרותיה הראשונה והשנייה‪ ,‬שער את צורת‬
‫הגרף שלה‪ .‬השווה בינו והגרף הממוחשב של אותה פונקציה‪.‬‬
‫פתרון‬
‫‪ex‬‬
‫הפונקציה‬
‫‪x−2‬‬
‫= ) ‪ f ( x‬מוגדרת לכל ‪ x‬ממשי למעט ‪ . x = 2‬הנקודה ‪ x = 2‬היא נקודת אי‪-‬רציפות‬
‫מסוג שני כי‬
‫‪ex‬‬
‫∞=‬
‫‪x−2‬‬
‫‪lim+ f ( x ) = lim+‬‬
‫‪x →2‬‬
‫‪x →2‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪= −∞,‬‬
‫‪x−2‬‬
‫‪. lim− f ( x ) = lim−‬‬
‫‪x→ 2‬‬
‫‪x →2‬‬
‫מתוצאות אלה נובע כי הישר ‪ x = 2‬הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה‪.‬‬
‫היות ומתקיים‬
‫‪ex‬‬
‫‪= ∞,‬‬
‫‪x →∞ x − 2‬‬
‫‪lim f ( x ) = lim‬‬
‫∞=‬
‫‪ex‬‬
‫‪x2 − 2 x‬‬
‫‪= lim‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫∞→ ‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪lim‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫לפונקציה לא קיימת אסימפטוטה אופקית או משופעת ב‪. ∞ -‬‬
‫לעומת זאת‪ ,‬ב‪ ( −∞ ) -‬לפונקציה קיימת אסימפטוטה אופקית ‪ y = 0‬כי‬
‫‪ex‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪x→−∞ x − 2‬‬
‫‪. lim f ( x ) = lim‬‬
‫∞‪x→−‬‬
‫להלן טבלאות החקירה של ) ‪ f ( x‬בעזרת שתי הנגזרות ) ‪: f ′′ ( x ) , f ′ ( x‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 54‬‬‫)‪e x ( x − 3‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪( x − 2‬‬
‫= )‪f ′( x‬‬
‫) ∞ ‪( 3,‬‬
‫‪3‬‬
‫) ‪(2, 3‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪( −∞, 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−‬‬
‫אין‬
‫‪−‬‬
‫)‪f ′( x‬‬
‫יורדת‬
‫אין‬
‫יורדת‬
‫)‪f ( x‬‬
‫עולה‬
‫מינימום‬
‫מקומי‬
‫‪f ( 3 ) = e3‬‬
‫‪x 2 − 6 x + 10‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪( x − 2‬‬
‫⋅ ‪f ′′ ( x ) = e x‬‬
‫) ∞ ‪( 2,‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪( −∞, 2‬‬
‫‪+‬‬
‫אין‬
‫‪−‬‬
‫קעורה כלפי‬
‫אין‬
‫קעורה כלפי‬
‫מעלה‬
‫‪x‬‬
‫) ‪f ′′ ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫מטה‬
‫סיכום החקירה‪:‬‬
‫•‬
‫הפונקציה חיובית בתחום ‪ x > 2‬ושלילית בתחום ‪ . x < 2‬אין נקודות התאפסות‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. f (0) = −‬‬
‫ב‪( −∞ ) -‬‬
‫•‬
‫לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית ‪ x = 2‬ואסימפטוטה אופקית ‪y = 0‬‬
‫•‬
‫הפונקציה יורדת בכל אחד מהתחומים ‪ 2 < x < 3 , x < 2‬ועולה בתחום ‪. x > 3‬‬
‫•‬
‫לפונקציה יש נקודת מינימום מקומי‪. f ( 3) = e3 , x = 3 :‬‬
‫•‬
‫הפונקציה קעורה כלפי מטה בתחום ‪ x < 2‬וכלפי מעלה – בתחום ‪ . x > 2‬אין נקודות פיתול‪.‬‬
‫‪ex‬‬
‫הגרף הממוחשב של הפונקציה‬
‫= ‪ y‬תואם את תוצאות החקירה לעיל‪.‬‬
‫‪x−2‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪- 55 -‬‬
‫הערה‪ :‬בסרטוט לעיל בתחום ‪ x < 0‬הגרף נראה כמתלכד עם ציר ‪ . x‬ראיה זו אינה תואמת את‬
‫המציאות והיא נגרמה על ידי שימוש ביחידת מדידה קטנה בציר ‪ . y‬במציאות הגרף בתחום ‪ x < 0‬אינו‬
‫נוגע בציר ה‪ x -‬אלא הולך ומתקרב אליו מלמטה‪ ,‬כאשר ∞‪ , x → −‬כלומר ציר זה מהווה אסימפטוטה‬
‫אופקית של הפונקציה עבור ∞‪) x → −‬כפי שצוין בסיכום החקירה(‪.‬‬
‫‪ .78‬הוכח כי לפונקציה פולינומיאלית ממעלה רביעית‬
‫‪f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x3 + a4 x 4 , a4 ≠ 0‬‬
‫יש רק שתי אפשרויות‪:‬‬
‫)‪ f ( x ) (1‬קעורה בכיוון אחד בכל התחום ∞ < ‪, −∞ < x‬‬
‫)‪ (2‬ל‪ f ( x ) -‬קיימות שתי נקודות פיתול‪.‬‬
‫פתרון‬
‫הנגזרת השנייה של הפונקציה הנתונה היא‪:‬‬
‫‪. f ′′ ( x ) = 2a2 + 6a3 x + 12a4 x 2 , a4 ≠ 0‬‬
‫לפונקציה ) ‪ f ′′ ( x‬כפונקציה ריבועית יש רק שתי אפשרויות‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫) ‪ f ′′ ( x‬שומרת על סימן קבוע בכל התחום ∞ < ‪, −∞ < x‬אולי עם התאפסות בנקודה אחת‪,‬‬
‫או‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 56‬‬‫)‪ f ′′ ( x ) (2‬מחליפה סימן בכל אחת משתי נקודות התאפסות שונות שלה בתחום ∞ < ‪. −∞ < x‬‬
‫במקרה )‪ f ( x ) (1‬קעורה בכיוון אחד )כלפי מעלה או כלפי מטה( בכל התחום ∞ < ‪. −∞ < x‬‬
‫במקרה )‪ f ( x ) (2‬בתחום ∞ < ‪ −∞ < x‬מחליפה את כיוון הקעירות בכל אחת משתי נקודות‬
‫ההתאפסות של ) ‪ . f ′′ ( x‬לכן נקודות אלה הן נקודות הפיתול של ) ‪. f ( x‬‬
‫טענת התרגיל הוכחה במלואה‪.‬‬
‫‪ .79‬הבא דוגמה של פונקציה פולינומיאלית ) ‪ f ( x‬המקיימת את התנאים הבאים‪:‬‬
‫) ‪(1‬‬
‫‪, f ( −1) = 2‬‬
‫)‪, f ′ ( −1) = 1 (2‬‬
‫)‪ (3‬הנקודה ‪ x = −1‬היא נקודת פיתול של ) ‪. f ( x‬‬
‫פתרון‬
‫אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות‪:‬‬
‫‪. f ( x ) = 2 + ( x + 1) + ( x + 1) = 4 + 4 x + 3x 2 + x 3‬‬
‫‪3‬‬
‫קיום התנאים )‪ (2) ,(1‬ברור‪ .‬התנאי )‪ (3‬מתקיים כי הנגזרת השנייה ‪ f ′′ ( x ) = 6 + 6 x‬מחליפה סימן‬
‫בנקודה ‪. x = −1‬‬
‫‪ .80‬הבא דוגמה של פונקציה פולינומיאלית ) ‪ f ( x‬המקיימת את התנאים‪:‬‬
‫)‪, f ( 2 ) = 1 (1‬‬
‫) ‪( n ) 2 = 0 (2‬‬
‫) (‬
‫‪ f‬ל‪, n = 1, 2, 3, 4,5 -‬‬
‫)‪ (3‬הנקודה ‪ x = 2‬היא נקודת מינימום מקומי של ) ‪. f ( x‬‬
‫פתרון‬
‫אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות היא‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫)‪. f ( x ) = 1 + ( x − 2‬‬
‫קיום התנאים )‪ (2),(1‬ברור‪ .‬התנאי )‪ (3‬מתקיים כי ) ‪ f ( 2 ) = 1 ≤ f ( x‬לכל ‪ x‬ממשי‪.‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪- 57 -‬‬
‫‪ .81‬הבא דוגמה של פונקציה אשר מוגדרת‪ ,‬רציפה וגזירה בכל התחום ∞ < ‪ , −∞ < x‬אין לה אף‬
‫נקודת קיצון‪ ,‬אבל יש לה אינסוף נקודות פיתול‪.‬‬
‫פתרון‬
‫הפונקציה ‪ f ( x ) = x + cos x‬עונה לדרישות שצוינו בתרגיל‪.‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪‬‬
‫אכן‪ ,‬הנגזרת הראשונה ‪ f ′ ( x ) = 1 − sin x‬חיובית בכל קטע ‪+ 2kπ , + 2 ( k + 1) π ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , ‬כאשר‬
‫‪ . k = 0, ±1, ±2,...‬לכן ) ‪ f ( x‬עולה במובן החזק בכל אחד מהקטעים האלה‪ .‬מכאן‪ ,‬היות והפונקציה‬
‫‪ f ( x ) = x + cos x‬רציפה בכל התחום ∞ < ‪ , −∞ < x‬נובע כי היא עולה במובן החזק בתחום זה‪ .‬לכן‪,‬‬
‫אין לה אף נקודת קיצון‪ .‬יחד עם זאת‪ ,‬הנגזרת השנייה ‪ f ′′ ( x ) = − cos x‬מתאפסת באינסוף נקודות‬
‫‪+ kπ‬‬
‫‪+ kπ‬‬
‫‪π‬‬
‫= ‪ x‬כאשר ‪ . k = 0, ±1, ±2,...‬היות ובכל אחת מנקודות אלה ) ‪ f ′′ ( x‬מחליפה סימן‪ ,‬הנקודות‬
‫‪π‬‬
‫= ‪ ( k = 0, ±1, ±2,... ) x‬הן נקודות פיתול של ) ‪ . f ( x‬בכך הוכח כי ל‪ f ( x ) = x + cos x -‬יש‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫אינסוף נקודות פיתול‪.‬‬
‫‪ .82‬א‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫)‪ (1‬לכל פונקציה פולינומיאלית ממעלה ‪ n > 1‬אי‪-‬זוגית יש נקודת פיתול‪ ,‬אחת לפחות‪.‬‬
‫)‪ (2‬לכל פונקציה פולינומיאלית ממעלה ‪ n‬זוגית יש נקודת קיצון‪ ,‬אחת לפחות‪.‬‬
‫)‪ (3‬לכל פונקציה פולינומיאלית ממעלה ‪ n > 1‬יש נקודת פיתול או נקודת קיצון‪.‬‬
‫ב‪ .‬חקור‪:‬‬
‫מהו המספר המקסימלי של נקודות קיצון לפולינום ממעלה ‪? n > 1‬‬
‫ונקודות פיתול?‬
‫פתרון‬
‫פונקציה פולינומיאלית ממעלה ‪ n‬היא‪:‬‬
‫‪f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n‬‬
‫כאשר ‪ ak‬מקדמים קבועים‪ . an ≠ 0 ,‬פונקציה זו שקולה לפונקציה ‪ , an x n‬כאשר ∞‪ , x → ±‬במובן ש‪-‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪an x n‬‬
‫‪. lim‬‬
‫∞‪x →±‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪- 58 -‬‬
‫מכאן נובע כי הסימן של פונקציה פולינומיאלית כאשר ∞‪ x → ±‬זהה לסימנו של האיבר הראשי ‪. an x n‬‬
‫לכן לפונקציה פולינומיאלית ממעלה זוגית יש אותו סימן כאשר ∞ → ‪ x‬וכאשר ∞‪) x → −‬הזהה לסימנו‬
‫של המקדם ‪ ,( an‬ולפונקציה פולינומיאלית ממעלה אי‪-‬זוגית יש סימנים נגדיים כאשר ∞ → ‪ x‬ו‪-‬‬
‫∞‪) x → −‬הראשון זהה לסימנו של ‪ , an‬והשני – נגדי לו(‪.‬‬
‫היות ופונקציה פולינומיאלית ממעלה אי‪-‬זוגית רציפה ואינה שומרת על סימן קבוע בתחום ∞ < ‪, −∞ < x‬‬
‫קיימת נקודה ‪ , x‬אחת לפחות‪ ,‬בה פונקציה זו מתאפסת ומחליפה סימן‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫נקודות הקיצון ‪ xk‬של ) ‪ f ( x‬שייכות לקבוצת השורשים של המשוואה‬
‫)*(‬
‫‪. f ′ ( x ) = a1 + 2a2 x + ... + nan x n −1 = 0‬‬
‫נקודות הפיתול ‪ xm‬של ) ‪ f ( x‬שייכות לקבוצת שורשי המשוואה‬
‫)**(‬
‫‪. f ′′ ( x ) = 2a2 + ... + n ( n − 1) an x n − 2 = 0‬‬
‫)‪ (1‬אם ‪ n > 1‬הוא מספר אי‪ -‬זוגי‪ ,‬אזי המשוואה )*( שהיא משוואה פולינומיאלית ממעלה זוגית עלולה‬
‫להיות נטולת שורשים ממשיים‪ ,‬כלומר ייתכן כי ל‪ f ( x ) -‬אין אף נקודת קיצון‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬למשוואה‬
‫)**( כמשוואה פולינומיאלית ממעלה אי‪-‬זוגית בהכרח יש שורש ממשי‪ ,‬אחד לפחות‪ ,‬אשר בו‬
‫) ‪ f ′′ ( x‬מחליפה סימן ‪ .‬שורש זה הוא נקודת פיתול של ) ‪. f ( x‬‬
‫)‪ (2‬אם ‪ n‬הוא מספר זוגי‪ ,‬אזי למשוואה )*( שהיא משוואה פולינומיאלית ממעלה אי‪-‬זוגית בהכרח יש‬
‫שורש ממשי‪ ,‬אחד לפחות‪ ,‬אשר בו ) ‪ f ′ ( x‬מחליפה סימן‪ .‬שורש זה הוא נקודת קיצון של ) ‪. f ( x‬‬
‫לעומת זאת‪ ,‬המשוואה )**( כמשוואה פולינומיאלית ממעלה זוגית עלולה להיות נטולת שורשים‬
‫ממשיים‪ ,‬כלומר ייתכן כי ל‪ f ( x ) -‬אין נקודות פיתול‪.‬‬
‫)‪ (3‬מהתוצאות בסעיפים )‪ (2) ,(1‬לעיל נובע כי אם ‪ n > 1‬הוא מספר אי‪-‬זוגי‪ ,‬אזי לפונקציה‬
‫פולינומיאלית כלשהי ממעלה ‪ n‬בהכרח יש נקודת פיתול‪ .‬אם ‪ n‬הוא מספר זוגי‪ ,‬אזי לפונקציה‬
‫פולינומיאלית כלשהי ממעלה ‪ n‬בהכרח יש נקודת קיצון‪ .‬בכך‪ ,‬לכל פונקציה פולינומיאלית ממעלה‬
‫‪ n > 1‬בהכרח יש נקודת פיתול או נקודת קיצון‪.‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 59‬‬‫ב‪.‬‬
‫המספר המקסימלי האפשרי של שורשים ממשיים שונים של משוואה פולינומיאלית כלשהי שווה‬
‫למעלתה‪ .‬במקרה ולמשוואה יש מספר שורשים ממשיים שונים כמו מעלתה‪ ,‬כל השורשים הם פשוטים‬
‫והפונקציה הפולינומיאלית שבאגף השמאל של המשוואה משנה את סימנה בכל נקודת התאפסותה‪.‬‬
‫היות ונקודות קיצון של הפונקציה הפולינומיאלית ממעלה ‪ n > 1‬נמצאות בין שורשי המשוואה )*( ממעלה‬
‫‪ n − 1‬וכל נקודות הפיתול שלה – בין שורשי המשוואה )**( ממעלה ‪ , n − 2‬מהנ"ל נובע כי המספר‬
‫המקסימלי של נקודות קיצון של פונקציה פולינומיאלית ממעלה ‪ n > 1‬הוא )‪ ( n − 1‬ושל נקודות פיתול ‪-‬‬
‫)‪. ( n − 2‬‬
‫‪ .83‬הבא דוגמה של פולינום ממעלה ‪ 4‬אשר יש לו ‪ 3‬נקודות קיצון ו‪ 2-‬נקודות פיתול‪.‬‬
‫פתרון‬
‫דוגמה מתאימה היא‬
‫‪. f ( x ) = x4 − 2 x2‬‬
‫שתי הנגזרות הראשונות של פונקציה זו הן‪f ′ ( x ) = 4 x 3 − 4 x :‬‬
‫ו‪. f ′′ ( x ) = 12 x 2 − 4 -‬‬
‫הנגזרת הראשונה מתאפסת עם החלפת סימן בשלוש נקודות ‪ x = 0, x = −1, x = 1‬והנגזרת השנייה –‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫בשתי נקודות‬
‫‪,x = −‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪ . x‬בהתאם ל‪ f ( x ) -‬יש שלוש נקודות קיצון ושתי נקודות פיתול‪.‬‬
‫‪ .84‬א‪ .‬הבא דוגמה של פונקציה ) ‪ f ( x‬אשר מוגדרת‪ ,‬רציפה וגזירה אינסוף פעמים בכל התחום‬
‫∞ < ‪ , −∞ < x‬בנקודה ‪ x = 2‬מתקיים‪( n ) 2 = 0 :‬‬
‫) (‬
‫‪ f‬לכל ‪ n‬טבעי‪ ,‬ו‪ x = 2 -‬היא נקודת‬
‫קיצון של ) ‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬משימה דומה למקרה כאשר ‪ x = 2‬היא נקודת פיתול של ) ‪. f ( x‬‬
‫פתרון‬
‫א‪.‬‬
‫נגדיר‬
‫‪ − 12‬‬
‫‪ ( x −2) , x ≠ 2‬‬
‫‪. f ( x ) = e‬‬
‫‪x=2‬‬
‫‪0,‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 60‬‬‫מתבנית זו נובע מיידית כי ‪ x = 2‬היא נקודת מינימום מוחלט של ) ‪. f ( x‬‬
‫אם נחשב את הנגזרות העוקבות של ) ‪ f ( x‬בנקודה ‪ , x = 2‬על פי הגדרתן‪ ,‬נקבל‪:‬‬
‫‪f ′ ( 2 ) = 0, f ′′ ( 2 ) = 0, f ′′′ ( 2 ) = 0,..., f ( n ) ( 2 ) = 0,...‬‬
‫כלומר‪ ,‬הנגזרת מכל סדר בנקודה ‪ x = 2‬קיימת ושווה ל‪ .0-‬לפי התבנית של הפונקציה‪ ,‬בכל נקודה‬
‫‪ x ≠ 2‬היא גזירה אינסוף פעמים‪ .‬בכך‪ ,‬הפונקציה הנתונה גזירה אינסוף פעמים ולכן גם רציפה בכל‬
‫התחום ∞ < ‪ , −∞ < x‬בנקודה ‪ x = 2‬היא וכל נגזרותיה מתאפסות‪ ,‬ו נקודה זו היא נקודת קיצון‬
‫)מינימום( של ) ‪. f ( x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫נגדיר‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪‬‬
‫‪( x − 2 ) ⋅ e ( x − 2 )2 , x ≠ 2‬‬
‫‪f ( x) = ‬‬
‫‪x=2‬‬
‫‪0,‬‬
‫גם פונקציה זו גזירה אינסוף פעמים בכל נקודה בתחום ∞ < ‪ , −∞ < x‬וכל נגזרותיה בנקודה ‪ x = 2‬שוות‬
‫ל‪) 0-‬למסקנה זו מגיעים באותה דרך שצוינה ב‪ -‬א'(‪ .‬היות ו‪ f ′ ( 2 ) = 0 -‬המשיק לגרף של הפונקציה‬
‫בנקודה ) ‪ ( 2, 0‬הוא ציר ה‪ . x -‬אם ‪ , x > 2‬אז ‪ , f ( x ) > 0‬וגרף הפונקציה נמצא מעל למשיק‪ .‬אם‬
‫‪ , x < 2‬אז ‪ , f ( x ) < 0‬והגרף נמצא מתחת למשיק‪ .‬כלומר בנקודה ‪ x = 2‬הגרף עובר מצד אחד של‬
‫המשיק לצידו השני‪ .‬בכך הוכח כי ‪ x = 2‬היא נקודת פיתול של הפונקציה שהוגדרה בסעיף ב'‪.‬‬
‫‪ .85‬הבא דוגמה של פונקציה ) ‪ f ( x‬בעלת אינסוף נקודות פיתול בהן הנגזרת השנייה ) ‪ f ′′ ( x‬אינה‬
‫קיימת‪.‬‬
‫פתרון‬
‫אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות‪:‬‬
‫‪. f ( x ) = 3 sin x‬‬
‫בכל נקודה ‪ , x = kπ‬כאשר ‪ , k = 0, ±1, ±2, ±3,...‬לגרף של הפונקציה יש משיק המקביל לציר ה‪, y -‬‬
‫משיקים אלה חסרי שיפוע‪ ,‬וזה מעיד שהנגזרת הראשונה ) ‪ f ′ ( x‬בנקודות אלה אינה קיימת‪ ,‬וזה גורר את‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 61‬‬‫אי‪-‬קיום הנגזרת השנייה ) ‪ f ′′ ( x‬בהן‪ .‬יחד עם זאת גרף הפונקציה בנקודות ) ‪ ( kπ , 0‬עובר מצד אחד של‬
‫המשיק לצידו השני‪ .‬לכן כל הנקודות האלה הן נקודת פיתול של ) ‪. f ( x‬‬
‫‪ .86‬הבא דוגמה של פונקציה אשר מוגדרת ורציפה בכל ציר ה‪ , x -‬יש לא אינסוף נקודות פיתול בהן‬
‫הנגזרת השנייה מתאפסת ואינסוף נקודות קיצון בהן הנגזרת השנייה לא קיימת‪.‬‬
‫פתרון‬
‫דוגמה מתאימה היא ‪ . f ( x ) = sin 3 x ⋅ 3 cos x‬פונקציה זו מוגדרת לכל ‪ x‬ממשי ובהיותה פונקציה‬
‫אלמנטרית‪ ,‬רציפה לכל ‪ x‬ממשי‪ .‬יש לה אינסוף נקודות פיתול‪ .‬נקודות אלה הן נקודות ההתאפסות של‬
‫פונקציות ‪ sin x‬ו‪ , cos x -‬כלומר ‪ x = π k‬ו‪+ kπ -‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ x‬כאשר ‪ . k = 0, ±1, ±2, ±3,...‬בכל נקודה‬
‫) ‪ ( π k , 0‬גרף הפונקציה ‪ f ( x ) = sin 3 x ⋅ 3 cos x‬משיק לציר ה‪ x -‬ומתקיים‪:‬‬
‫‪. f (π k ) = f ′ (π k ) = f ′′ (π k ) = 0‬‬
‫‪π‬‬
‫‪‬‬
‫בכל נקודה ‪  + kπ , 0 ‬גרף הפונקציה ‪ f ( x ) = sin 3 x ⋅ 3 cos x‬משיק לישר המקביל לציר ה‪y -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪π‬‬
‫‪‬‬
‫והנגזרת ‪+ kπ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f ′′ ‬אינה קיימת‪.‬‬
‫‪ .87‬הבא דוגמה של פונקציה ) ‪ f ( x‬אשר בתחום הגדרתה משנה את כיוון הקעירות שלה פעמיים‬
‫ובכל זאת אין לה אף נקודת פיתול‪.‬‬
‫פתרון‬
‫אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות היא‬
‫‪1‬‬
‫)‪x ( x − 1‬‬
‫= )‪. f ( x‬‬
‫הפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל אחד מהתחומים ‪ x > 1 , x < 0‬וקעורה כלפי מטה בתחום ‪. 0 < x < 1‬‬
‫בכל זאת הנקודות ‪ x = 0, x = 1‬אינן נקודות פיתול כי הפונקציה אינה רציפה בנקודות אלה‪ .‬ההגדרה של‬
‫נקודת פיתול של פונקציה כוללת דרישה של רציפותה בנקודה זו‪.‬‬
‫‪ .88‬חקור‪ :‬מהו האופי של הנקודה ‪ x = 0‬בפונקציה ‪ f ( x ) = n x‬כאשר ‪ n‬מספר טבעי כלשהו‬
‫הגדול מ‪?1-‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 62‬‬‫פתרון‬
‫תוצאות החקירה‪:‬‬
‫הנקודה ‪ x = 0‬היא נקודת מינימום מוחלט של ‪ . f ( x ) = n x‬בנקודה זו הפונקציה אינה גזירה‪ ,‬אבל‬
‫לגרף שלה יש משיק אנכי ‪) x = 0‬ר' תרגיל ‪ .(49‬בכל נקודה ‪ x ≠ 0‬הפונקציה גזירה אינסוף פעמים ‪.‬‬
‫היות והפונקציה הנתונה‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ f ( x ) = x‬היא פונקציה זוגית בכל התחום ∞ < ‪ , −∞ < x‬הנגזרת השנייה‬
‫השנייה גם היא זוגית בתחום שלה ∞ < ‪ −∞ < x < 0 ∪ 0 < x‬ותבניתה היא ‪:‬‬
‫‪1 −2‬‬
‫‪11  n‬‬
‫‪ . f ′′ ( x ) =  − 1 x‬מכאן‪ f ′′ ( x ) < 0 ,‬לכל ‪ x ≠ 0‬ולכן הפונקציה ‪x‬‬
‫‪nn ‬‬
‫‪ f ( x ) = n‬קעורה כלפי‬
‫מטה הן מימין הן משמאל לנקודה ‪ . x = 0‬לכן נקודה זו אינה נקודת פיתול של הפונקציה‪.‬‬
‫כפי שכבר צוין‪ ,‬נקודה זו היא נקודת קיצון מוחלט של הפונקציה הנתונה בה הגרף שלה משיק לציר ה‪y -‬‬
‫)"נקודת חוד"(‪.‬‬
‫‪ .89‬נתונה משפחת פונקציות ‪ f ( x ) = x n e − mx‬כאשר ‪ n = 2k + 1‬מספר טבעי אי‪-‬זוגי ו‪ m -‬מספר‬
‫טבעי כלשהו‪.‬‬
‫הוכח‪ :‬לכל פונקציה במשפחה יש נקודת קיצון מקומי אחת ושלוש נקודות פיתול‪ .‬מהו סוג הקיצון?‬
‫פתרון‬
‫נציין כי כל פונקציה במשפחה הנתונה מוגדרת בכל התחום ∞ < ‪ . −∞ < x‬הנגזרות הראשונה והשנייה‬
‫של הפונקציה ‪ f ( x ) = x n e − mx‬הן‪:‬‬
‫) ‪, f ′ ( x ) = x n −1e − mx ( n − mx‬‬
‫) )‪. f ′′ ( x ) = x n − 2 e − mx ( m 2 x 2 − 2nmx + n ( n − 1‬‬
‫היות ולפי הנתון‪ ,‬המספר ‪n − 1‬‬
‫הוא מספר זוגי ‪ ,‬הנגזרת הראשונה מתאפסת ומחליפה סימן מחיובי‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫לשלילי בנקודה יחידה‬
‫= ‪) x‬בנקודה ‪ x = 0‬אין החלפת סימן(‪ .‬מכאן נובע כי הנקודה‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫נקודת הקיצון המקומי היחידה של כל פונקציה ‪ , f ( x ) = x n e − mx‬והקיצון הוא מקסימום‪.‬‬
‫נקודות הפיתול של ‪ f ( x ) = x n e − mx‬נמצאות בין פתרונות המשוואה‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫= ‪ x‬היא‬
‫ ‪- 63‬‬‫⇔ ‪f ′′ ( x ) = x n − 2 e− mx ( m 2 x 2 − 2nmx + n ( n − 1) ) = 0‬‬
‫⇔ ‪x = 0 ∨ m 2 x 2 − 2nmx + n ( n − 1) = 0‬‬
‫‪nm ± m 2 n n ± n‬‬
‫=‬
‫‪m2‬‬
‫‪m‬‬
‫=‬
‫)‪− m 2 n ( n − 1‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪( nm‬‬
‫‪nm ±‬‬
‫‪m2‬‬
‫= ‪x = 0, x‬‬
‫‪n± n‬‬
‫קל לראות שהנגזרת השנייה ) ‪ f ′′ ( x‬מחליפה סימן בכל אחת מהנקודות‬
‫‪m‬‬
‫= ‪ x‬וגם בנקודה‬
‫‪) x = 0‬היות ולפי הנתון ‪ n − 2‬הוא מספר אי‪-‬זוגי(‪ .‬לכן שלוש נקודות אלה הן ורק הן נקודות הפיתול של‬
‫הפונקציה ‪. f ( x ) = x n e − mx‬‬
‫הגרף הממוחשב של בת המשפחה ‪f ( x ) = x 3e−2 x‬‬
‫) ‪( n = 3, m = 2‬‬
‫תואם את תוצאות החקירה לעיל‪ .‬בגרף רואים שלוש נקודות פיתול ‪ P1 , P2 , P3‬עם שיעורי ה‪ x -‬בהתאם‪:‬‬
‫‪3± 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3 ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ x = 0, x‬ונקודת קיצון‪ ,‬שהוא מקסימום מוחלט‪. M  , f    ,‬‬
‫‪ .90‬מצא עקמומיות של הגרף ‪ y = cos x‬בכל נקודת קיצון ובכל נקודת פיתול‪.‬‬
‫פתרון‬
‫הנוסחה לחישוב העקמומיות של הגרף ) ‪ y = f ( x‬היא‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪- 64 -‬‬
‫) ‪f ′′ ( x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫)‬
‫)‪( x‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫= ‪.K‬‬
‫‪1+ f ′‬‬
‫נקודות הקיצון של ‪ f ( x ) = cos x‬הן ‪ , x = kπ‬כאשר ‪ k‬מספר שלם כלשהו‪ .‬בנקודות אלה מתקיים‪:‬‬
‫‪f ′ ( x ) x = kπ = − sin x x = kπ = − sin kπ = 0‬‬
‫‪f ′′ ( x ) x = kπ = − cos x x = kπ = − cos kπ = ±1‬‬
‫לכן‪ ,‬העקמומיות של הגרף ‪ y = cos x‬בנקודות קיצון היא‪ ,‬על פי הנוסחה לעיל‪. K = 1 ,‬‬
‫נקודות הפיתול של ‪ f ( x ) = cos x‬הן ‪+ kπ‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ , x‬כאשר ‪ k‬מספר שלם כלשהו‪ .‬בנקודות אלה‬
‫‪π‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ′ ( x ) x = π + kπ = − sin x x = π + kπ = − sin  + kπ  = ±1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ′′ ( x ) x = π + kπ = − cos x x = π + kπ = − cos  + kπ  = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫לכן‪ ,‬העקמומיות של הגרף ‪ y = cos x‬בנקודות פיתול היא‪ ,‬על פי הנוסחה לעיל‪. K = 0 ,‬‬
‫תרגילים בנושא "פונקציה קדומה"‬
‫‪ .91‬מצא את הפונקציה הקדומה ) ‪ F ( x‬לפונקציה‬
‫‪‬‬
‫‪sin x, − π ≤ x ≤ 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪π‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ( x ) =  x,‬‬
‫≤‪0< x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪< x ≤π‬‬
‫‪ 2 ,‬‬
‫‪2‬‬
‫המקיימת את התנאי ‪. F ( 0 ) = −2‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 65‬‬‫פתרון‬
‫הפונקציה המבוקשת היא‬
‫‪‬‬
‫‪− cos x + C1, − π ≤ x ≤ 0‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪x‬‬
‫≤‪0<x‬‬
‫‪F ( x ) =  + C2 ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪< x ≤π‬‬
‫‪ 2 x + C3 ,‬‬
‫‪2‬‬
‫כאשר ‪ Ck‬הם מספרים קבועים‪ .‬מתנאי ההתחלה ‪ F ( 0 ) = −2‬נובע כי ‪ . C1 = −1‬לפי הגדרה‬
‫הפונקציה הקדומה ) ‪ F ( x‬של הפונקציה הנתונה ) ‪ f ( x‬מקיימת את התנאי‪ F ′ ( x ) = f ( x ) :‬לכל‬
‫] ‪ . x ∈ [ −π , π‬מכאן נובע כי ) ‪ F ( x‬גזירה בקטע ] ‪ [ −π , π‬ולכן היא רציפה בקטע זה‪ .‬על פי תנאי‬
‫הרציפות של ) ‪ F ( x‬בנקודות הפיצול מקבלים‪:‬‬
‫) (‬
‫) (‬
‫‪‬‬
‫‪ C2 = −2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪⇒ ‬‬
‫‪  π −  π 2‬‬
‫‪  π +  π 2‬‬
‫‪π2‬‬
‫= ‪+ C2 = F    ‬‬
‫‪+ C3  C3 = −2 −‬‬
‫= ‪F   ‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ 2   8‬‬
‫‪ 2   4‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪F 0− = C1 − 1 = F 0+ = C2‬‬
‫‪−π ≤ x ≤ 0‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫≤‪0< x‬‬
‫‪< x ≤π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪− cos x − 1,‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪⇒ F ( x ) =  − 2,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪−‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .92‬האם לפונקציה ‪ f ( x ) = sin x‬יש פונקציה קדומה ) ‪ ? F ( x‬אם כן‪-‬מהי?‬
‫פתרון‬
‫הפונקציה ‪ f ( x ) = sin x‬היא פונקציה רציפה בכל התחום ∞ < ‪ . −∞ < x‬לכן יש לה אינסוף פונקציות‬
‫קדומות בתחום זה‪ .‬ניתן להציג את ) ‪ f ( x‬בצורה הבאה‪:‬‬
‫‪2kπ ≤ x < ( 2k + 1) π‬‬
‫‪( 2k + 1) π ≤ x < ( 2k + 2 ) π‬‬
‫‪ sin x,‬‬
‫‪f ( x) = ‬‬
‫‪ − sin x,‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 66‬‬‫כאשר ‪ . k = 0, ±1, ±2,...‬הפונקציה‬
‫)‪( k = 0, ±1, ±2,...‬‬
‫‪2kπ ≤ x < ( 2k + 1) π‬‬
‫‪( 2k + 1) π ≤ x < ( 2k + 2 ) π‬‬
‫‪ − cos x,‬‬
‫‪F ( x) = ‬‬
‫‪ 2 + cos x,‬‬
‫מוגדרת וגזירה בכל התחום ∞ < ‪ −∞ < x‬ולכל ‪ x‬בתחום זה מתקיים‪ . F ′ ( x ) = f ( x ) :‬לכן ) ‪F ( x‬‬
‫היא פונקציה קדומה ל‪ . f ( x ) -‬כלל הפונקציות הקדומות עבור ) ‪ f ( x‬הוא ‪ , F ( x ) + C‬כאשר ‪ C‬קבוע‬
‫שרירותי‪.‬‬
‫‪ .93‬האם הפונקציה ‪ F ( x ) = sin x‬יכולה לשמש פונקציה קדומה לפונקציה ) ‪ f ( x‬כלשהי בתחום‬
‫∞ < ‪ ? −∞ < x‬אם כן‪ ,‬מהי ) ‪ ? f ( x‬אם לא‪ ,‬מדוע?‬
‫פתרון‬
‫הפונקציה ‪ F ( x ) = sin x‬אינה גזירה באינסוף נקודות‬
‫)‪( k = 0, ±1, ±2,...‬‬
‫‪. x = kπ‬‬
‫לכן פונקציה זו אינה יכולה לשמש פונקציה קדומה לאף פונקציה המוגדרת בתחום ∞ < ‪. −∞ < x‬‬
‫‪ .94‬מצא את כל הפונקציות הקדומות ל‪-‬‬
‫‪−1, x < 0‬‬
‫‪x>0‬‬
‫‪1,‬‬
‫‪. f ( x) = ‬‬
‫פתרון‬
‫ל‪ f ( x ) -‬יש אינסוף פונקציות קדומות והן‬
‫‪− x + C1 , x < 0‬‬
‫‪x>0‬‬
‫‪ x + C2 ,‬‬
‫‪, F ( x) = ‬‬
‫כאשר ‪ C1 , C2‬קבועים שרירותיים בלתי תלויים זה בזה‪.‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪- 67 -‬‬
‫‪ .95‬האם קיימת פונקציה קדומה ל‪-‬‬
‫‪−1, x ≤ 0‬‬
‫‪f ( x) = ‬‬
‫‪x>0‬‬
‫‪1,‬‬
‫אם כן‪ ,‬מהי? אם לא‪ ,‬מדוע?‬
‫פתרון‬
‫הפונקציה הנתונה ) ‪ f ( x‬מוגדרת בכל התחום ∞ < ‪ . −∞ < x‬אם ) ‪ F ( x‬פונקציה מוגדרת ורציפה בכל‬
‫התחום עם ‪ F ′ ( x ) = 1‬עבור ‪ x > 0‬ו‪ F ′ ( x ) = −1 -‬עבור ‪ , x > 0‬אז בהכרח ‪ . F ( x ) = x + C‬אבל‬
‫פונקציה זו אינה גזירה בנקודה ‪ x = 0‬ולכן השוויון ‪ F ′ ( 0 ) = f ( 0 ) = 1‬בלתי אפשרי‪ .‬לכן אין פונקציה‬
‫קדומה לפונקציה הנתונה‪.‬‬
‫‪ .96‬האם הפונקציה ) ‪ F ( x‬אשר מוגדרת לכל ‪ x ∈ ℝ‬ומקבלת רק שני ערכים ‪ 1‬ו‪ ( −1) -‬יכולה‬
‫לשמש פונקציה קדומה לפונקציה ) ‪ f ( x‬כלשהי ב‪ ? ℝ -‬נמק את תשובתך‪.‬‬
‫פתרון‬
‫כידוע פונקציה אשר רציפה בתחום קשיר חייבת לקבל כל ערך ביניים בין כל שני ערכיה‪ .‬מכאן נובע כי‬
‫פונקציה אשר מקבלת רק שני ערכים בתחום ∞ < ‪ −∞ < x‬בהכרח אינה פונקציה רציפה בתחום זה‪.‬‬
‫היות ופונקציה קדומה היא פונקציה גזירה ולכן בהכרח פונקציה רציפה‪ ,‬מהנ"ל נובע כי פונקציה ) ‪F ( x‬‬
‫אשר מקבלת רק שני ערכים ב‪ ℝ -‬אינה יכולה לשמש פונקציה קדומה לאף פונקציה ) ‪ f ( x‬ב‪. ℝ -‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪ .97‬מצא את כל הפונקציות הקדומות לפונקציה‬
‫‪sin x‬‬
‫= )‪. f ( x‬‬
‫פתרון‬
‫הפונקציה הנתונה מוגדרת באיחוד הקטעים‬
‫)‬
‫(‬
‫‪ 2kπ , ( 2k + 1) π‬כאשר ‪ . k = 0, ±1, ±2,...‬בתחום זה‬
‫יש לה אינסוף פונקציות קדומות‬
‫‪2π k < x < ( 2k + 1) π , k = 0, ±1, ±2,...‬‬
‫כאשר‬
‫‪ Ck‬מסמן קבוע שרירותי בקטע )‬
‫‪F ( x ) = 2 sin x + Ck ,‬‬
‫(‬
‫‪ 2kπ , ( 2k + 1) π‬וקבועים אלה בקטעים שונים אינם תלויים זה‬
‫בזה‪.‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪- 68 -‬‬
‫‪ .98‬מצא את כל הפונקציות הקדומות לפונקציה ‪x − 1‬‬
‫= )‪. f ( x‬‬
‫פתרון‬
‫הפונקציה מוגדרת בתחום ‪ . x ≥ 1‬בתחום זה‬
‫‪ − x − 1, x ≤ −1‬‬
‫‪f ( x) = ‬‬
‫‪ x − 1, x ≥ 1‬‬
‫זאת פונקציה מפוצלת כי היא מתוארת על ידי שתי נוסחאות בשני קטעים‪,‬אבל הקטעים אינם צמודים זה‬
‫לזה‪ .‬במצב זה‪ ,‬היות והפונקציה הנתונה רציפה בכל אחד מקטעים אלה‪ ,‬היא רציפה בכל נקודה‬
‫בתחומה‪ .‬לכן קיימות לה אינסוף פונקציות קדומות המתוארות על ידי הנוסחה המפוצלת הבאה‬
‫‪x ≤ −1‬‬
‫‪x ≥1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ − 3 ( − x − 1) + C1 ,‬‬
‫‪F ( x) = ‬‬
‫‪ 2 ( x − 1)3 + C ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3‬‬
‫כאשר ‪ C1, C2‬קבועים שרירותיים שאינם תלויים זה בזה‪.‬‬
‫‪ .99‬מצא את כל הפונקציה הקדומות לפונקציה‬
‫‪ x, x ≤ 1‬‬
‫‪2 x − 1, x > 1‬‬
‫‪. f ( x) = ‬‬
‫פתרון‬
‫הפונקציה הנתונה מוגדרת ורציפה בתחום ∞ < ‪. −∞ < x‬‬
‫לכן יש לה אינסוף פונקציות קדומות בתחום זה‪ ,‬מן הצורה‬
‫‪ x2‬‬
‫‪ + C1 , x ≤ 1‬‬
‫‪F ( x) =  2‬‬
‫‪ x2 − x + C , x > 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫כאשר ‪ C2 , C1‬מספרים קבועים‪ .‬היות ו‪ F ( x ) -‬חייבת להיות רציפה בנקודה ‪ , x = 1‬יש לקיים את‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫או‬
‫התנאי‪+ C1 = 1 − 1 + C2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . C2 = C1 +‬לכן‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 69‬‬‫‪ x2‬‬
‫‪ + C1 , x ≤ 1‬‬
‫‪F ( x) =  2‬‬
‫‪ x2 − x + C + 1 , x > 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫או‬
‫‪ x2‬‬
‫‪ , x ≤ 1‬‬
‫‪F ( x) = C +  2‬‬
‫‪ x2 − x + 1 , x > 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫כאשר ‪ C‬קבוע שרירותי‪.‬‬
‫‪.100‬‬
‫תהי ‪) f ( x ) =  x ‬החלק השלם של ‪.( x‬‬
‫א‪.‬מצא את כל הפונקציות ) ‪ F ( x‬אשר מוגדרות ורציפות בכל התחום ∞ < ‪ −∞ < x‬ומקיימות את‬
‫התנאי‪ F ′ ( x ) = f ( x ) :‬לכל ‪ x‬ממשי שאינו שלם‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי ל‪ f ( x ) =  x  -‬לא קיימת פונקציה קדומה באף קטע המכיל בתוכו )בתור נקודה‬
‫פנימית( ערך שלם של ‪. x‬‬
‫פתרון‬
‫א‪ .‬הפונקציה הנתונה מתוארת על ידי הנוסחאות‪:‬‬
‫‪. f ( x ) = n, n ≤ x < n + 1, n = 0, ±1, ±2, ±3,...‬‬
‫הפונקציה המבוקשת היא‬
‫‪F ( x ) = nx + Cn , n < x < n + 1, n = 0, ±1, ±2, ±3,...‬‬
‫כאשר ‪ Cn‬הם מספרים קבועים‪ .‬פונקציה זו תהיה רציפה ב‪ , ℝ -‬אם יתקיים‪:‬‬
‫) (‬
‫) (‬
‫‪, F n + = F n − , n = 0, ±1, ±2, ±3,...‬‬
‫כלומר‬
‫‪. n 2 + Cn = ( n − 1) n + Cn −1 ⇒ Cn − Cn −1 = −n, n = 0, ±1, ±2,...‬‬
‫מכאן נובע כי‬
‫‪n = 0, ±1, ±2, ±3,...‬‬
‫)‪n ( n + 1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Cn = C0 − 1 − 2 − ... − n = C0 −‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 70‬‬‫כאשר ‪ C0‬מספר קבוע כלשהו‪.‬‬
‫לכן‪,‬‬
‫)‪n ( n + 1‬‬
‫‪+ C , n ≤ x < n + 1, n = 0, ±1, ±2, ±3,...‬‬
‫‪2‬‬
‫‪, F ( x ) = nx −‬‬
‫כאשר ‪ C‬קבוע שרירותי שאינו תלוי ב‪ . n -‬מהגדרה זו של פונקציות ) ‪ F ( x‬נובע כי‬
‫‪F ′ ( x ) = n, n < x < n + 1, n = 0, ±1, ±2, ±3,...‬‬
‫כלומר ) ‪ F ( x‬שתוארו לעיל הן הפונקציות המבוקשות בסעיף א'‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם ל‪ f ( x ) =  x  -‬בקטע ) ‪ ( a, b‬יש פונקציה קדומה היא בהכרח נמצאת במשפחת פונקציות‬
‫) ‪ F ( x‬דלעיל בקטע זה ‪ .‬אבל לערכים שלמים של ‪ x‬הנגזרת ) ‪ F ′ ( x‬אינה קיימת כי‬
‫‪. F+′ ( n ) = n ≠ F−′ ( n ) = n − 1‬לכן ) ‪ F ( x‬אינה פונקציה קדומה ל‪ f ( x ) =  x  -‬בכל תחום המכיל‬
‫בתוכו ערך שלם של ‪ . x‬אבל היא קדומה ל‪ f ( x ) =  x  -‬בכל קטע )‪ ( n, n + 1‬כאשר ‪ n‬מספר שלם‬
‫כלשהו ובכל איחוד של קטעים כאלה‪ .‬לכן ניתן לקרוא ל‪ F ( x ) -‬פונקציה קדומה למקוטעין של‬
‫‪ f ( x ) =  x ‬ב‪. ℝ -‬‬
‫‪.101‬‬
‫הבא דוגמא של פונקציה ) ‪ f ( x‬אשר מוגדרת לכל ‪ x‬ממשי‪ ,‬אי‪ -‬רציפה בנקודה ‪ x = 0‬ועבורה‬
‫כן קיימת פונקציה ) ‪ F ( x‬הקדומה ל‪ f ( x ) -‬בכל ה‪. ℝ -‬‬
‫פתרון‬
‫נגדיר‪:‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x sin   , x ≠ 0‬‬
‫‪F ( x) = ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0,‬‬
‫‪x=0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫פונקציה ‪ x 2 sin  ‬רציפה וגזירה אינסוף פעמים בכל נקודה ‪ . x ≠ 0‬בנקודה ‪ x = 0‬היא רציפה כי‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫) ‪. lim x 2 sin   = 0 = f ( 0‬‬
‫‪x→0‬‬
‫היא גם גזירה‪ ,‬פעם אחת לפחות‪ ,‬בנקודה ‪ x = 0‬כי קיימת‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪- 71 -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x 2 sin  ‬‬
‫‪ x  = lim x sin  1  = 0‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f ( x) − f (0‬‬
‫‪x−0‬‬
‫‪F ′ ( 0 ) = lim‬‬
‫‪x →0‬‬
‫מתוצאה זו והגדרת ) ‪ F ( x‬נובע כי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 2 x sin   − cos   , x ≠ 0‬‬
‫‪. F′( x) = ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0,‬‬
‫‪x=0‬‬
‫‪‬‬
‫אם נגדיר‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 2 x sin   − cos   , x ≠ 0‬‬
‫‪f ( x) = ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0,‬‬
‫‪x=0‬‬
‫‪‬‬
‫נוכל להסיק מהתיאור של ) ‪ F ′ ( x‬דלעיל כי‬
‫) ‪ F ′ ( x ) = f ( x‬לכל ‪ x‬ממשי‪ ,‬כלומר ) ‪ F ( x‬היא פונקציה קדומה ל‪ f ( x ) -‬בכל ה‪ . ℝ -‬הפונקציה‬
‫) ‪ f ( x‬רציפה בכל נקודה ‪ x ≠ 0‬ולא רציפה בנקודה ‪ x = 0‬כי הגבול ) ‪ lim f ( x‬אינו קיים‪ .‬אי‪-‬קיום‬
‫‪x→0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫גבול זה בא בעקבות כך שהערך של ‪ cos  ‬בתבנית של ) ‪ f ( x‬מתנודד אינסופית בין )‪ (-1‬ו‪ ,1-‬ללא‬
‫שאיפות לאף גבול‪ ,‬כאשר ‪ . x → 0‬בכך‪ ,‬הפונקציה ) ‪ f ( x‬היא פונקציה מבוקשת‪ ,‬דהיינו פונקציה אי‪-‬‬
‫רציפה בעלת פונקציה קדומה ב‪. ℝ -‬‬
‫תרגילים בנושא "אינטגרל בלתי מסוים"‬
‫‪.102‬‬
‫תהיינה ) ‪ f ( x ) , g ( x‬שתי פונקציות רציפות בקטע ‪ . a ≤ x ≤ b‬הוכח כי לפונקציות אלה יש‬
‫אותו אינטגרל בלתי מסוים אם ורק אם ) ‪ f ( x ) = g ( x‬לכל ] ‪. x ∈ [ a, b‬‬
‫פתרון‬
‫לפי הגדרה‪ ,‬אינטגרל בלתי מסוים של פונקציה הוא אוסף של כל הפונקציות הקדומות שלה‪ ,‬בפרט‪,‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪- 72 -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C , ∫ g ( x )dx = G ( x ) + C‬‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫כאשר ) ‪ G ( x ) , F ( x‬הן פונקציות קדומות ל‪ g ( x ) , f ( x ) -‬בהתאמה‪ C1 , C2 ,‬קבועים שרירותיים‪,‬‬
‫בלתי תלויים‪ .‬מכאן נובע כי‬
‫‪∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x )dx‬‬
‫⇕‬
‫] ‪∀x ∈ [ a, b‬‬
‫‪F ( x ) = G ( x ) + C,‬‬
‫⇕‬
‫] ‪∀x ∈ [ a, b‬‬
‫‪F ′ ( x ) = G′ ( x ) ,‬‬
‫⇕‬
‫] ‪∀x ∈ [ a, b‬‬
‫‪.103‬‬
‫‪f ( x) = g ( x),‬‬
‫על סמך ההגדרה של אינטגרל בלתי מסוים‪:‬‬
‫∫‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. ln xdx = x ln x − x + C‬‬
‫∫‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪. ln x dx‬‬
‫פתרון‬
‫א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫על סמך חוקי הגזירה מוצאים שלכל ‪ x > 0‬מתקיים‪− 1 + 0 = ln x :‬‬
‫‪x‬‬
‫⋅ ‪. ( x ln x − x + C )′ = ln x + x‬‬
‫מכאן‪ ,‬לפי הגדרה‪ ,‬הפונקציה ‪ F ( x ) = x ln x − x + C‬היא פונקציה קדומה של‬
‫‪ f ( x ) = ln x‬בתחום ‪ . x > 0‬מכאן‪ ,‬לפי ההגדרה של אינטגרל בלתי מסוים נובע כי‬
‫∫‬
‫‪. ln xdx = x ln x − x + C‬‬
‫ב‪.‬‬
‫אם‬
‫‪x >1‬‬
‫‪0 < x <1‬‬
‫‪ln x,‬‬
‫‪f ( x ) = ln x = ‬‬
‫‪ − ln x,‬‬
‫אז פונקציה קדומה של ) ‪ f ( x‬היא‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 73‬‬‫‪ x ln x − x,‬‬
‫‪F ( x) = ‬‬
‫‪− x ln x + x − 2,‬‬
‫‪x ≥1‬‬
‫‪0 < x <1‬‬
‫כאשר הוספת המספר )‪ (-2‬בשורה השנייה נועדה להבטיח רציפות של ) ‪ F ( x‬בנקודה ‪. x = 1‬‬
‫נציג את ) ‪ F ( x‬בצורה הבאה‪:‬‬
‫‪ x ln x − ( x − 1) − 1,‬‬
‫‪ x ⋅ ( − ln x ) + ( x − 1) − 1,‬‬
‫‪x ≥1‬‬
‫‪. F ( x) = ‬‬
‫‪0 < x <1‬‬
‫את התבנית המפוצלת הזאת שקולה לתבנית‬
‫‪F ( x ) = x ln x − x − 1 − 1 ,‬‬
‫‪x>0‬‬
‫מכאן‪ ,‬לפי ההגדרה של אינטגרל בלתי מסוים‪ ,‬מסיקים כי‬
‫∫‬
‫‪, ln x dx = x ln x − x − 1 + C‬‬
‫כאשר ‪ C‬מספר קבוע שרירותי )המספר )‪ ( −1‬כלול בו(‪.‬‬
‫‪.104‬‬
‫מצא את האינטגרל‬
‫‪∫ f ( x )dx‬‬
‫כאשר‬
‫‪x≤0‬‬
‫‪x>0‬‬
‫‪ 2 x ,‬‬
‫‪1 − x,‬‬
‫‪. f ( x) = ‬‬
‫פתרון‬
‫) (‬
‫) (‬
‫הפונקציה הנתונה רציפה לכל ‪ x‬ממשי כי ) ‪ . f 0+ = f 0− = 1 = f ( 0‬לכן ל‪ f ( x ) -‬יש פונקציה‬
‫קדומה‪ .‬למשל הפונקציה‬
‫‪ 2x‬‬
‫‪,‬‬
‫‪x ≤ 0,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪F ( x ) =  ln 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫‪, x>0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 ln 2‬‬
‫פונקציה קדומה ל‪ , f ( x ) -‬כי ) ‪ F ( x‬רציפה ו‪ F ′ ( x ) = f ( x ) -‬לכל ‪ x‬כולל ‪. x = 0‬‬
‫לפי הגדרה‪,‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪- 74 -‬‬
‫‪x≤0‬‬
‫‪x>0‬‬
‫‪.105‬‬
‫‪ 2x‬‬
‫‪+ C,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ( x )dx = F ( x ) + C =  ln 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+ C,‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 ln 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫האם האינטגרל ‪∫ e dx‬‬
‫∫‬
‫קיים? אם כן‪ ,‬איך ניתן להציגו?‬
‫פתרון‬
‫הפונקציה‬
‫‪2‬‬
‫‪ f ( x ) = e x‬רציפה בתחום ∞ < ‪ . −∞ < x‬לפי משפט היסוד של חשבון אינטגרלי לכל‬
‫פונקציה אשר רציפה בקטע או קרן יש בתחום זה פונקציה קדומה‪ .‬לכן לפונקציה ‪ f ( x ) = e x‬יש‬
‫‪2‬‬
‫פונקציה קדומה ) ‪ . F ( x‬הבעיה היא בכך שפונקציה זו אינה פונקציה אלמנטרית ולא ניתן להציגה על ידי‬
‫תבנית המכילה מספר סופי של פונקציות אלמנטאריות‪ .‬ניתן לראות אותה בדרך אחרת‪ .‬נסמן ב‪S ( x ) -‬‬
‫‪2‬‬
‫את שטח התחום שמתחת לגרף ‪ y = e x‬ומעל לקטע בציר ה‪ x -‬בין ‪ 0‬ו‪) x -‬ר' איור(‪ .‬נציין כי‬
‫הפונקציה ) ‪ S ( x‬מוגדרת לכל ‪ x‬ממשי‪ ,‬זוגית‪ ,‬כלומר ) ‪ S ( x ) = S ( − x‬ו‪ . S ( 0 ) = 0 -‬קיימות טבלאות‬
‫של ערכי הפונקציה ) ‪ S ( x‬המחושבים בדרך נומרית‪.‬‬
‫על פי המשפט בחשבון אינטגרלי על הנגזרת‬
‫של שטח משתנה מתחת לגרף של פונקציה‪,‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ S ′ ( x ) = f ( x ) = e x‬לכל ‪. x ≥ 0‬‬
‫בכך הפונקציה ) ‪ S ( x‬היא פונקציה קדומה‬
‫ל‪ f ( x ) = e x -‬בתחום ‪ , x ≥ 0‬והפונקציה‬
‫‪2‬‬
‫הקדומה בכל התחום ∞ < ‪ −∞ < x‬היא‪:‬‬
‫‪x≥0‬‬
‫‪x<0‬‬
‫‪ S ( x ) ,‬‬
‫‪F ( x) = ‬‬
‫‪ − S ( x ) ,‬‬
‫בכך הוכח כי לפונקציה ‪ f ( x ) = e x‬קיימת פונקציה קדומה ולכן קיים עבורה אינטגרל מסוים‬
‫‪2‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 75‬‬‫‪dx = F ( x ) + C‬‬
‫‪.106‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪∫e‬‬
‫כאשר ‪ C‬קבוע שרירותי ו‪ F ( x ) -‬היא פונקציה שתוארה לעיל‪.‬‬
‫מצא את האינטגרלים הבאים‪:‬‬
‫א‪, xe − x dx .‬‬
‫‪2‬‬
‫∫‬
‫∫‬
‫ב‪, sin 5 x ⋅ cos xdx .‬‬
‫ג‪dx .‬‬
‫‪x3‬‬
‫∫‬
‫‪x4 + 1‬‬
‫‪.‬‬
‫פתרון‬
‫בכל מקרה נציג פונקציה שמתחת לאינטגרל דרך נגזרת של פונקציה מורכבת ונשתמש בשוויון הנובע‬
‫מהגדרת האינטגרל ה בלתי מסוים‪:‬‬
‫‪∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) + C‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫) (‬
‫‪1‬‬
‫‪1 − x2‬‬
‫‪− x2 ′‬‬
‫‪e‬‬
‫‪dx‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪e +C‬‬
‫∫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. xe − x dx = −‬‬
‫‪2‬‬
‫∫‬
‫ב‪.‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪′‬‬
‫‪sin 6 x dx = sin 6 x + C‬‬
‫∫‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫)‬
‫‪′‬‬
‫‪1 4‬‬
‫= ‪x 4 + 1 dx‬‬
‫‪x +1 + C‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪.107‬‬
‫∫‬
‫= ‪, sin 5 x ⋅ cos xdx‬‬
‫(‬
‫‪1‬‬
‫∫‪2‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪x4 + 1‬‬
‫∫‬
‫‪.‬‬
‫על סמך המשפט על אינטגרל בלתי מסוים של ) ‪ , f ( ax + b‬מצא‬
‫א‪ , ∫ ( 2 x − 7 ) dx .‬ב‪dx .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪( 5 − 3x‬‬
‫∫‬
‫‪,‬‬
‫ג‪. 3 (1 − 7x )dx .‬‬
‫∫‬
‫פתרון‬
‫לפי המשפט הנ"ל‪ ,‬אם ‪ a, b‬מספרים קבועים ממשיים כלשהם ו‪ a ≠ 0 -‬אז‬
‫‪1‬‬
‫‪∫ f ( ax + b ) dx = a F ( ax + b ) + C‬‬
‫⇒‬
‫‪∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C‬‬
‫א‪.‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 76‬‬‫‪11‬‬
‫)‪2x − 7‬‬
‫(‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪+C‬‬
‫‪22‬‬
‫‪x11‬‬
‫‪x‬‬
‫‪dx‬‬
‫=‬
‫⇒ ‪+C‬‬
‫∫‬
‫‪11‬‬
‫)‪∫ (2x − 7‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪( 5 − 3x )2 + 1‬‬
‫∫‬
‫⇒ ‪dx = ln x + x 2 + 1 + C‬‬
‫‪( 3 x − 5 )2 + 1 + C‬‬
‫‪1‬‬
‫∫‬
‫‪2‬‬
‫‪x +1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx = ln 3x − 5 +‬‬
‫‪3‬‬
‫‪( 3 x − 5 )2 + 1‬‬
‫∫=‬
‫ג‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫⇒ ‪xdx = x 3 + C‬‬
‫‪4‬‬
‫‪∫ 3 (1 − 7 x )dx = − ∫ 3 ( 7 x − 1)dx‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫∫‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪= − ⋅ ( 7 x − 1) + C = − ( 7 x − 1) + C‬‬
‫‪7 4‬‬
‫‪28‬‬
‫תרגילים בנושא "אינטגרל מסוים "‬
‫חשב את ערכי האינטגרלים הבאים על פי הגדרתם באמצעות פונקציה קדומה‪:‬‬
‫‪.108‬‬
‫)‬
‫‪3‬‬
‫א‪− 1 dx .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫(x‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪, ∫‬‬
‫ב‪− x  dx .‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪0‬‬
‫ג‪dx .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫) ‪∫ ( cos x + sin x‬‬
‫‪0‬‬
‫פתרון‬
‫האינטגרל המסוים בגבולות ‪ a, b‬מאת פונקציה ) ‪ , f ( x‬בעלת פונקציה קדומה ) ‪ F ( x‬הוא מספר‬
‫המחושב לפי הנוסחה‪:‬‬
‫) ‪= F (b ) − F ( a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫) ‪∫ f ( x ) dx = F ( x‬‬
‫‪a‬‬
‫)הידועה בשם "נוסחת ניוטון‪-‬לייבניץ"(‪ .‬על פי נוסחה זו מחשבים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x7 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 3‬‬
‫‪16‬‬
‫‪x − 3 x + 3x − 1 dx =  − x5 + x3 − x  = − + 1 − 1 = −‬‬
‫‪ 7 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪35‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 7 5‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫(‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫)‬
‫∫ = ‪− 1 dx‬‬
‫‪0‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫(x‬‬
‫‪0‬‬
‫ ‪- 77‬‬‫ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x3 ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫‪dx‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪x‬‬
‫‪dx‬‬
‫=‬
‫‪ln‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪∫  x ‬‬
‫‪∫  x‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4 e3 1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪= 1− e e + + − = 2 − e e +‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 3 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫ ( cos x + sin x ) dx = ∫ ( cos x + sin x + 2sin x cos x )dx = ∫ (1 + sin 2 x ) dx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪π‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪=  x − cos 2 x  =  π − cos‬‬
‫‪π  −  0 − cos‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0 = π − + = π‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪2 1  ‬‬
‫‪2 1 ‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.109‬‬
‫על סמך תכונת האדפטיביות של אינטגרל מסוים חשב את האינטגרל‬
‫‪∫  x  dx‬‬
‫כאשר ‪ x ‬‬
‫‪−2‬‬
‫מסמן את הערך השלם של ‪. x‬‬
‫פתרון‬
‫על פי התכונה הנ"ל והגדרת הפונקציה ‪  x ‬מוצאים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  dx + ∫  x  dx + ∫  x  dx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫∫‬
‫‪ x  dx +‬‬
‫‪−1‬‬
‫∫‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ x  dx‬‬
‫‪−2‬‬
‫∫‬
‫‪−2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪∫ ( −2 ) dx + ∫ ( −1) dx + ∫ 0 ⋅ dx + ∫ 1⋅ dx = −2 − 1 + 1 = −2‬‬
‫=‬
‫הערה‬
‫ניזכר‪ ,‬כי הפונקציה ‪  x ‬בקטע ]‪ [ −2, 2‬אינה רציפה ולא קיימת עבורה פונקציה קדומה )ר' תרגיל ‪100‬‬
‫ב'(‪ ,‬אבל זה לא מונע קיום של אינטגרל מסוים מעל קטע זה ואפשרות לחשב אותו כפי שנעשה לעיל‪.‬‬
‫‪.110‬‬
‫נתון כי פונקציה ) ‪ f ( x‬רציפה לכל ‪ x‬ממשי ומתקיים‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪∫ f ( t ) dt‬‬
‫= ‪. ∀x ∈ ℝ , sin 2 3 x‬‬
‫‪0‬‬
‫מצא את ) ‪. f ( x‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 78‬‬‫פתרון‬
‫מהנתון נובע כי‬
‫‪x‬‬
‫‪′‬‬
‫‪. ∀x ∈ ℝ , sin 3 x =  ∫ f ( t ) dt ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫‪′‬‬
‫(‬
‫‪2‬‬
‫מכאן על פי המשפט על הנגזרת של אינטגרל מסוים עם גבול עליון משתנה וכלל השרשרת מקבלים‪:‬‬
‫) ‪, ∀x ∈ ℝ , 2sin 3 x ⋅ cos 3 x ⋅ 3 = f ( x‬‬
‫כלומר‪ f ( x ) = 3sin 6 x ,‬לכל ‪ x‬ממשי‪.‬‬
‫‪.111‬‬
‫תהי ) ‪ f ( x‬פונקציה חיובית‪,‬רציפה ועולה בתחום‬
‫הפונקציה בקטע ]‪[0,x‬‬
‫‪. x≥ 0‬‬
‫יהי ) ‪ S ( x‬השטח מתחת לגרף של‬
‫כלומר‪,‬‬
‫‪x‬‬
‫‪S ( x) = ∫ f ( t )dt‬‬
‫‪0‬‬
‫עבור כל אחד מהמקרים א'‪-‬ג' להלן נא לחקור אם הוא ייתכן‪ .‬אם כן‪ ,‬הבא דוגמה מתאימה‪ .‬אם‬
‫לא‪ ,‬הסבר מדוע‪.‬‬
‫א‪= ∞ .‬‬
‫)‪S ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫ב‪= c ≠ 0 .‬‬
‫ג‪= 0 .‬‬
‫‪, lim‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫)‪S ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫)‪S ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ , lim‬כאשר ‪c‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫מספר קבוע‪,‬‬
‫‪. lim‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫פתרון‬
‫א‪.‬‬
‫מקרה זה ייתכן‪ .‬למשל‪ ,‬אם ‪f ( x) = x2‬‬
‫אז‬
‫‪x3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫= ‪S ( x) = ∫ f ( t ) dt = ∫t2dt‬‬
‫‪0‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪0‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪- 79 -‬‬
‫‪1 3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪S ( x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪= lim‬‬
‫=‬
‫∞= ‪lim x‬‬
‫‪. lim‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪x→∞ f ( x‬‬
‫‪x→∞ x‬‬
‫∞→‪3 x‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫מקרה זה גם ייתכן‪ .‬למשל‪ ,‬אם ‪ f ( x) = ex‬אז ‪S ( x) = ∫ f ( t ) dt = ∫ etdt = et = ex −1‬‬
‫‪0‬‬
‫ומתקיים‪:‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪= lim 1− x  =1‬‬
‫‪x→∞ ‬‬
‫‪e ‬‬
‫‪ex −1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e‬‬
‫‪= lim‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫)‪S ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬אולי קשה לצפות למקרה כזה‪ ,‬אבל גם הוא ייתכן‪ .‬למשל‪ ,‬אם‬
‫‪. lim‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ f ( t ) = et‬אז ‪S ( x) = ∫ et dt‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫ובעזרת כלל לופיטל לחישוב גבולות ומשפט על גזירת אינטגרל עם גבול עליון משתנה‪ ,‬מקבלים‪:‬‬
‫‪ x ( t 2 ) ′‬‬
‫‪ ∫ e dt ‬‬
‫) ‪( x2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪2‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫) ‪x →∞ ( x‬‬
‫‪x →∞ 2 x‬‬
‫‪′‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (x ) ‬‬
‫‪e‬‬
‫‪⋅ 2x‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪(t 2‬‬
‫‪e dt‬‬
‫) ‪( x2‬‬
‫‪x‬‬
‫∫‬
‫‪0‬‬
‫‪e‬‬
‫‪= lim‬‬
‫∞→ ‪x‬‬
‫)‪S ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪.112‬‬
‫‪ x 2 ,‬‬
‫‪2 − x,‬‬
‫‪0 ≤ x ≤1‬‬
‫‪1< x ≤ 2‬‬
‫‪. f ( x) = ‬‬
‫מצא את הממוצע האינטגרלי של פונקציה זו ואת הנקודות בהן הפונקציה‬
‫מקבלת ערך זה‪.‬‬
‫פתרון‬
‫לפי הגדרה‪ ,‬הממוצע האינטגרלי של ) ‪ f ( x‬בקטע ‪ a ≤ x ≤ b‬הינו מספר‬
‫‪b‬‬
‫‪∫ f ( x ) dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b−a‬‬
‫= ‪.µ‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪. lim‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫ ‪- 80‬‬‫לפי הנתון ‪ . b = 2, a = 0‬על סמך תכונת האדפטיביות של אינטגרל מסוים‪ ,‬מוצאים‪:‬‬
‫‪1 1 5‬‬
‫= ‪= +‬‬
‫‪3 2 6‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪( x − 2‬‬
‫‪x3‬‬
‫= ‪. ∫ f ( x ) dx = ∫ x 2 dx + ∫ ( 2 − x ) dx‬‬
‫‪−‬‬
‫‪3 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫מכאן‪ ,‬הממוצע האינטגרלי של הפונקציה הנתונה הוא‬
‫‪12‬‬
‫‪5‬‬
‫‪19‬‬
‫= ‪ x‬ו‪-‬‬
‫נקודות‪:‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪.113‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪ . µ‬ערך זה הפונקציה מקבלת בשתי‬
‫=‪.x‬‬
‫מצא ממוצע אינטגרלי של הפונקציה ‪ f ( x ) = ln x‬בקטע ‪ 1 ≤ x ≤ e‬ואת‬
‫הנקודה בה הפונקציה מקבלת ערך זה‪.‬‬
‫פתרון‬
‫לפי הגדרה‪ ,‬מוצאים‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪e‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪e ln e − e − ln1 + 1‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪e −1‬‬
‫‪e −1‬‬
‫‪e‬‬
‫) ‪∫ f ( x ) dx ∫ ln xdx ( x ln x − x‬‬
‫= ‪.µ‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪e −1‬‬
‫‪e −1‬‬
‫‪1‬‬
‫הנקודה ‪ x‬בה מתקבל ערך זה מקיימת את המשוואה‪:‬‬
‫‪e −1‬‬
‫‪.114‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b−a‬‬
‫= ‪ . ln x‬מכאן‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪e −1‬‬
‫‪x=e‬‬
‫הוכח כי הממוצע האינטגרלי של כל פונקציה אי‪-‬זוגית רציפה בקטע ] ‪[ −a, a‬‬
‫הוא בהכרח ‪.0‬‬
‫פתרון‬
‫לפי הגדרה‬
‫‪a‬‬
‫‪0‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪.115‬‬
‫=‬
‫‪b‬‬
‫‪∫ f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx‬‬
‫‪−a‬‬
‫) ‪a − ( −a‬‬
‫=‬
‫‪a‬‬
‫‪b−a‬‬
‫= ‪.µ‬‬
‫הבא דוגמה של פונקציה פולינומיאלית זוגית לא קבועה אשר הממוצע האינטגרלי שלה בקטע‬
‫]‪ [ −1,1‬הוא ‪ .0‬באילו נקודות בקטע ]‪ [ −1,1‬הפונקציה מקבלת את הערך של הממוצע‬
‫האינטגרלי?‬
‫פתרון‬
‫אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות היא ‪ . f ( x ) = 5 x 4 − 3 x 2‬אכן‪,‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪- 81 -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= ∫ ( 5 x 4 − 3 x 2 ) dx = ( x 5 − x 3 ) = 1 − 1 = 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪− 3 x 2 ) dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪∫ (5x‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪f ( x ) dx‬‬
‫=‬
‫‪b‬‬
‫∫‬
‫‪a‬‬
‫‪b−a‬‬
‫= ‪.µ‬‬
‫את ערך הממוצע האינטגרלי )‪ (0‬הפונקציה ‪ f ( x ) = 5 x 4 − 3 x 2‬מקבלת בשלוש נקודות בתוך הקטע‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪, x = 0, x‬‬
‫]‪: [ −1,1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪.x=−‬‬
‫פונקציות ) ‪ f ( x‬ו‪ g ( x ) -‬רציפות בתחום ∞ < ‪ −∞ < x‬ומקיימות לכל ‪ x‬את התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪.116‬‬
‫א‪, f ( x ) + g ( x ) = x 4 .‬‬
‫ב‪, f ( x ) < g ( x ) .‬‬
‫ג‪ .‬השטח המשתנה הכלוא בין הגרפים ) ‪ y = f ( x‬ו‪ y = g ( x ) -‬מעל לקטע בין ‪ 0‬ו‪ x -‬הוא‬
‫‪. S ( x ) = x2‬‬
‫מה הן הפונקציות ) ‪ f ( x‬ו‪? g ( x ) -‬‬
‫פתרון‬
‫מהתנאים ב'‪ ,‬ג' נובע כי‬
‫‪ x 2 , x ≥ 0‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪g‬‬
‫‪t‬‬
‫‪f‬‬
‫‪t‬‬
‫‪dt‬‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫‪)  2‬‬
‫( ‪∫0‬‬
‫‪ − x , x < 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.‬‬
‫על ידי גזירת שוויון זה לפי ‪ , x‬מקבלים‪:‬‬
‫‪x≥0‬‬
‫‪x<0‬‬
‫‪ 2 x,‬‬
‫‪ −2 x,‬‬
‫‪. g ( x) − f ( x) = ‬‬
‫או ‪. g ( x ) − f ( x ) = 2 x‬‬
‫תוצאה זו ותנאי א' מביאים למערכת‪:‬‬
‫‪ f ( x ) + g ( x ) = x 4‬‬
‫‪ ‬לכל ‪. x ∈ ℝ‬‬
‫‪ g ( x ) − f ( x ) = 2 x‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪x4‬‬
‫מכאן‪− x , g ( x ) = + x ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪ f ( x‬לכל ‪. x ∈ ℝ‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 82‬‬‫‪b‬‬
‫‪.117‬‬
‫‪2‬‬
‫הוכח‪ :‬אם ) ‪ f ( x‬רציפה בקטע ]‪ [ a, b‬ו‪∫ f ( x ) dx = 0 -‬‬
‫אזי ‪ f ( x ) = 0‬לכל ] ‪. x ∈ [ a, b‬‬
‫‪a‬‬
‫פתרון‬
‫‪b‬‬
‫‪2‬‬
‫אם ‪∫ f ( x ) dx = 0‬‬
‫‪a‬‬
‫אז ‪f 2 ( t ) dt = 0‬‬
‫‪x‬‬
‫∫‬
‫לכל ] ‪. x ∈ [ a, b‬‬
‫‪a‬‬
‫מתנאי זה נובע כי‬
‫‪x 2‬‬
‫‪′‬‬
‫‪  ∫ f ( t ) dt  = 0‬לכל ] ‪. x ∈ [ a, b‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪(1‬‬
‫היות והפונקציה ) ‪ f ( x‬רציפה בכל נקודה ‪ x‬בקטע ] ‪ , [ a, b‬מתקיים‪:‬‬
‫‪x 2‬‬
‫‪′‬‬
‫) ‪  ∫ f ( t ) dt  = f 2 ( x‬לכל ] ‪. x ∈ [ a, b‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪(2‬‬
‫מ‪ (2) ,(1) -‬נובע כי ‪ f 2 ( x ) = 0‬לכל ] ‪, x ∈ [ a, b‬ומכאן‪ f ( x ) = 0 ,‬לכל ] ‪. x ∈ [ a, b‬‬
‫‪π‬‬
‫‪.118‬‬
‫חשב את האינטגרל ‪sin 2x dx‬‬
‫∫‬
‫‪.‬‬
‫‪−π‬‬
‫פתרון‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪- 83 -‬‬
‫על פי צורת הגרף )ר' איור( והמשמעות הגיאומטרית של האינטגרל כשטח מתחת לגרף של פונקציה‪,‬‬
‫מסיקים כי‪:‬‬
‫‪π‬‬
‫‪−1‬‬
‫) ‪cos 2 x 02 = −2 ( cos π − cos 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫⋅ ‪sin 2 x dt = 4 ∫ sin 2 x dt = 4 ∫ sin 2 xdt = 4‬‬
‫‪π‬‬
‫∫‬
‫‪−π‬‬
‫‪= −2 ( −1 − 1) = 4‬‬
‫‪.119‬‬
‫חשב את האינטגרלים של הפונקציות הזוגיות והאי‪-‬זוגיות שלהלן‪:‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪cos xdx .‬‬
‫∫‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ד‪dx .‬‬
‫‪x −4‬‬
‫ב‪sin xdx .‬‬
‫‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫∫‬
‫‪π‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫∫‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪,‬‬
‫ה‪dx .‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪7‬‬
‫) ‪(1 + x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x13‬‬
‫∫‬
‫ג‪sin 2 xdx .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫∫‬
‫ו‪dx .‬‬
‫‪,‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−x‬‬
‫‪,‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪∫e‬‬
‫‪.‬‬
‫‪−1‬‬
‫פתרון‬
‫א‪ .‬על פי הזוגיות של הפונקציה מתחת לאינטגרל‪ ,‬מחשבים‪:‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪ π‬‬
‫‪‬‬
‫‪cos xdx = 2 ∫ cos xdx = 2sin x 02 = 2  sin − sin 0  = 2(1 − 0) = 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫∫‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪−‬‬
‫ב‪ .‬האינטגרל של פונקציה אי‪-‬זוגית בקטע סימטרי הוא ‪ .0‬לכן‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫ sin xdx = 0‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪−‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 84‬‬‫ג‪ .‬על פי הזוגיות של הפונקציה מתחת לאינטגרל‪ ,‬מחשבים‪:‬‬
‫‪π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪− sin 2 x 02‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪= x 02‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪xdx = 2 ∫ sin xdx = ∫ (1 − cos 2 x ) dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫ sin‬‬
‫‪π‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−  sin‬‬
‫‪π − sin‬‬
‫‬
‫= ‪0 ‬‬
‫‪2 2 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪π‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫ד‪ .‬על פי הזוגיות של הפונקציה מתחת לאינטגרל‪ ,‬מחשבים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫∫‪dx = 2‬‬
‫∫ ‪dx = 2‬‬
‫) ‪dx = 2 ⋅ ( ln x − 4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x −4‬‬
‫‪x −4‬‬
‫‪x−4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9‬‬
‫‪= ln‬‬
‫‪4‬‬
‫‪16‬‬
‫∫‬
‫‪−1‬‬
‫‪= 2 ⋅ ( ln 3 − ln 4 ) = 2 ⋅ ln‬‬
‫ה‪ .‬האינטגרל של פונקציה אי‪-‬זוגית בקטע סימטרי הוא ‪ .0‬לכן‬
‫‪dx = 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x13‬‬
‫‪7‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪1 + x2‬‬
‫∫‬
‫‪.‬‬
‫‪−1‬‬
‫ו‪ .‬על פי הזוגיות של הפונקציה מתחת לאינטגרל‪ ,‬מחשבים‪:‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪ 1‬‬
‫‪= 2 −e−1 + e0 = 2 1 − ‬‬
‫‪ e‬‬
‫)‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫(‬
‫‪dx = 2 ∫ e− x dx = 2 −e− x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪∫e‬‬
‫‪.‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪.120‬‬
‫א‪ .‬חשב ‪sin 2013 xdx‬‬
‫∫‬
‫‪,‬‬
‫‪−10‬‬
‫ב‪ .‬הבא דוגמה של פונקציה זוגית ) ‪ f ( x‬אשר‬
‫אינה זהה לאפס בקטע ] ‪[ −a, a‬‬
‫זאת מתקיים‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪∫ f ( x )dx = 0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪−a‬‬
‫פתרון‬
‫א‪ .‬הפונקציה מתחת לאינטגרל היא פונקציה אי‪-‬זוגית ותחום האינטגרציה הוא קטע‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 85‬‬‫‪10‬‬
‫סימטרי‪ .‬לכן‪sin 2013 xdx = 0 :‬‬
‫∫‬
‫‪.‬‬
‫‪−10‬‬
‫ב‪.‬‬
‫אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות היא ‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪2a ‬‬
‫‪π − sin‬‬
‫‪ sin‬‬
‫‬
‫‪0  = 0‬‬
‫‪π  0‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪.121‬‬
‫‪a‬‬
‫= ‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪π‬‬
‫‪a‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ . f ( x ) = cos‬פונקציה זו היא פונקציה זוגית ו‪-‬‬
‫= ‪xdx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪π‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪xdx = 2 ∫ cos‬‬
‫‪0‬‬
‫‪π‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪cos‬‬
‫∫‬
‫‪a‬‬
‫= ‪f ( x )dx‬‬
‫‪−a‬‬
‫∫‬
‫‪−a‬‬
‫‪a‬‬
‫חשב את הגבול‪dx :‬‬
‫∫‬
‫‪a →∞ x 2 + x‬‬
‫‪. lim‬‬
‫‪1‬‬
‫פתרון‬
‫קודם נחשב את האינטגרל‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪∫ x 2 + x dx = ∫ ( x + 1) x dx = ∫  x − x + 1  dx = ( ln x − ln x + 1 )1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=  ln‬‬
‫‪− ln = ln‬‬
‫‪+ ln 2‬‬
‫‪ = ln‬‬
‫‪a +1‬‬
‫‪a +1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x + 1 1‬‬
‫‪a‬‬
‫כאשר ∞ → ‪ , a‬השבר‬
‫‪a +1‬‬
‫שואף ל‪ .1-‬לכן‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪dx = ln1‬‬
‫‪ + ln 2 = ln 2‬‬
‫∫‬
‫‪a →∞ x 2 + x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪. lim‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.122‬‬
‫מצא את שטח התחום הכלוא בין גרף הפונקציה ) ‪ y = ( x + 1) ( x 2 − 2 x‬והקטע‬
‫‪ −1 ≤ x ≤ 2‬של ציר ‪. x‬‬
‫פתרון‬
‫התחום מורכב משני חלקים‪ :‬אחד מעל לציר ‪ x‬והשני מתחתיו ) ר' איור(‪ .‬נזכור כי בחישוב השטח של‬
‫תחום הנמצא מתחת לציר ‪ x‬האינטגרל מופיע עם סימן מינוס‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪- 86 -‬‬
‫מחשבים‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ x4 x3‬‬
‫‪‬‬
‫‪S1 = ∫ ( x + 1) ( x − 2 x )dx = ∫ ( x − x − 2 x )dx =  − − x 2 ‬‬
‫‪ 4 3‬‬
‫‪ −1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪1 1  5‬‬
‫= ‪= −  + − 1‬‬
‫‪ 4 3  12‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x 4 x3‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 8‬‬
‫= ‪S 2 = − ∫ ( x − x − 2 x )dx = −  − − x 2  = −  4 − − 4 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪ 4 3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5 8 37‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪+‬‬
‫‪=3‬‬
‫‪12 3 12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪S = S1 + S2‬‬
‫הערה‬
‫אם היינו מחשבים את השטח המבוקש על ידי אינטגרל אחד מעל הקטע ‪ , −1 ≤ x ≤ 2‬היינו מקבלים‬
‫‪2‬‬
‫‪ x 4 x3‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 1 ‬‬
‫‪S = ∫ ( x − x − 2 x )dx =  − − x 2  =  4 − − 4  −  + − 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 4 3 ‬‬
‫‪ 4 3‬‬
‫‪ −1 ‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪8 5‬‬
‫‪27‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=− + =−‬‬
‫‪= −2‬‬
‫‪3 12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫התשובה שהתקבלה חסרה משמעות כי גודל השטח אינו יכול להיות מספר שלילי‪ ,‬ואף ערכו המוחלט של‬
‫המספר בתשובה אינו תואם את גודל השטח האמיתי‪.‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪- 87 -‬‬
‫‪ .123‬יהי ‪ D‬תחום הכלוא בין הפרבולה ‪ y = x 2‬והישר ‪ . y = 4‬חשב את שטח התחום בשתי‬
‫דרכים‪ (1) : :‬על ידי הטלתו על ציר ‪ (2 ) , x‬על ידי הטלתו על ציר ‪. y‬‬
‫פתרון‬
‫דרך ראשונה‪ :‬ההטלה על ציר ה‪x -‬‬
‫בהטלת התחום על ציר ה‪ x -‬מתקבל קטע ‪ . −2 ≤ x ≤ 2‬השטח המבוקש הוא הפרש בין שטח‬
‫הריבוע בגובה ‪ 4‬אשר צלעו התחתונה היא הקטע ]‪ [ −2, 2‬על ציר ה‪ x -‬ושטח התחום מעל לקטע‬
‫זה ומתחת לגרף ‪ . y = x 2‬בהתאם לכך מוצאים‪:‬‬
‫‪16 32‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪= 10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= 16 −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪. S = 16 − ∫ x dx = 16 −‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−2‬‬
‫דרך שנייה‪ :‬ההטלה על ציר ה‪y -‬‬
‫בהטלת התחום על ציר ה‪y -‬‬
‫‪ . 0 ≤ y ≤ 4‬נתייחס ל‪x -‬‬
‫הגרף‬
‫‪y = x2‬‬
‫מתקבל קטע‬
‫כפונקציה של ‪ . y‬אז‬
‫מתפצל לשני ענפים‪:‬‬
‫‪ x = − y‬ו‪y -‬‬
‫= ‪) x‬ר' איור(‪ .‬בהתאם כל‬
‫התחום מתפצל לשני תחומים סימטריים בעלי‬
‫אותו שטח‪.‬‬
‫בהתאם לכך מקבלים‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪32‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ydy = 2 ⋅ y 2 = ⋅ 8‬‬
‫‪= 10‬‬
‫‪3 0 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫∫ ‪S = S1 + S 2 = 2S 2 = 2‬‬
‫‪0‬‬
‫בשתי הדרכים התקבלה אותה תשובה‪.‬‬
‫‪.124‬‬
‫מצא את שטח התחום החסום על ידי הקווים‬
‫)‪( 0 ≤ y ≤ 1‬‬
‫‪. y = ( x + 1) , x = sin π y, y = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫‪- 88 -‬‬
‫פתרון‬
‫נחשב שטח על ידי הטלת התחום על ציר ה‪ . y -‬לשם כך נפתור את משוואת הפרבולה )‪y = ( x + 1‬‬
‫‪2‬‬
‫ביחס ל‪. x -‬נקבל‪ . x = ± y − 1 :‬על אותו חלק הפרבולה אשר חוסם את התחום הנתון משמאל השיעור‬
‫‪ x‬גדול מ‪) (-1)-‬ר' איור( ולכן יש לבחור עבורו סימן פלוס בפתרון עבור ‪ x‬שהתקבל לעיל‪ ,‬כלומר‬
‫‪y −1‬‬
‫=‪x‬‬
‫= ‪ . x‬בכך‪ ,‬התחום כלוא בין העקומים ‪y − 1‬‬
‫‪ ( 0 ≤ y ≤ 1 ) x = sin π y‬והקטע ‪ −1 ≤ x ≤ 0‬של ציר ה‪. x -‬‬
‫כפי שרואים בתמונה הגרפית‪ ,‬התחום כולו מתפצל לשני חלקים ‪ -‬משמאל לציר ה‪ y -‬ומימין לציר ה‪. y -‬‬
‫בחישוב השטח של החלק שמשמאל יש לשים סימן מינוס לפני האינטגרל‪ ,‬כי השטח נמצא בתחום‬
‫‪ . x < 0‬בכך מקבלים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪1 − y dy =  y − y y  = 1 −‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪1‬‬
‫)‬
‫∫ = ‪y − 1 dy‬‬
‫‪0‬‬
‫(‬
‫‪1‬‬
‫∫ ‪S1 = −‬‬
‫‪0‬‬
‫השטח של החלק הימני של התחום הוא‪:‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫ ‪- 89‬‬‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1 2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪S 2 = ∫ sin π ydy =  − cos π y  = +‬‬
‫‪ π‬‬
‫‪0 π π π‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1 2‬‬
‫השטח המבוקש הוא‪+ :‬‬
‫‪3 π‬‬
‫= ‪. S = S1 + S2‬‬
‫באיור להלן מוצג תחום ‪ D‬אינסופי החסום על ידי הישר ‪ y = 1‬והעקום‬
‫‪.125‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ Db -‬תחום חלקי סופי הנחתך מ‪ D -‬על ידי ישר ‪ . ( b > 1) y = b‬יהי ) ‪ S ( b‬שטח התחום‬
‫‪ . Db‬נגדיר שטח ‪ S‬של התחום תחום ‪ D‬כגבול של השטחים ) ‪ S ( b‬כאשר ∞ → ‪. b‬‬
‫הוכח כי בהגדרה כזו לתחום ‪ D‬יש שטח ‪ S‬סופי ומצא אותו‪.‬‬
‫פתרון‬
‫העקום‬
‫‪1‬‬
‫= ‪ y‬מורכב משני ענפים ‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫הענף הימני‬
‫‪x‬‬
‫=‪⇐y‬‬
‫‪1‬‬
‫והענף השמאלי‬
‫‪−x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y2‬‬
‫=‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫=‪.x=− 2 ⇐ y‬‬
‫‪y‬‬
‫התחום ‪ Db‬מורכב משני חלקים סימטריים ביחס‬
‫לציר ה‪ y -‬ולפי כך ניתן לחשב את שטחו כמו‬
‫כפליים שטח של חלקו הימני בהטלתו על ציר ה‪: y -‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫∫‪. S ( b ) = 2‬‬
‫⋅ ‪dy = −2‬‬
‫‪= 2 1 − ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y1‬‬
‫‪ b‬‬
‫‪1 y‬‬
‫‪1‬‬
‫מכאן‪:‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪S = lim S ( b ) = lim 2 ⋅ 1 −  = 2 (1 − 0 ) = 2‬‬
‫∞→‪b‬‬
‫‪b→∞ ‬‬
‫‪b‬‬
‫בכך הוכח כי לתחום אינסופי ‪ D‬יש שטח סופי ‪.2‬‬
‫אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות‬
‫הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה‬
‫הטכניון‪2012 -‬‬
‫= ‪. y‬נסמן‬