הסתברות למתמטיקאים ־ תרגיל בית מס` 6

‫הסתברות למתמטיקאים ־ תרגיל בית מס' ‪6‬‬
‫‪ .1‬מצאו קבוצת בורל ‪ A‬ב ‪ RN‬כך שסדרה ‪ X1 , X2 , . . .‬של מ"מ ב"ת ש"ה מקיימת ‪(X1 , X2 , . . .) ∈ A‬כ"ב אם ההתפלגות של‬
‫∈ )‪(X1 , X2 , . . .‬כ"ב לכל התפלגות אחרת‪.‬‬
‫‪ X1‬היא )‪ N (0, 1‬אבל ‪/ A‬‬
‫‪ .2‬יהיו ‪ X1 , X2 , . . .‬מ"מ ונסמן ‪ .Sn = X1 + X2 + . . . + Xn‬קבעו האם המאורעות הבאים הינם מאורעות זנב או מצאו דוגמה‬
‫נגדית‪.‬‬
‫)א( ‪ Sn‬סדרה מתכנסת‪.‬‬
‫)ב( ‪ Sn‬סדרה חסומה‪.‬‬
‫)ג( ‪lim inf Sn > 1‬‬
‫)ד( ‪−−−−→ 0‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i=1 Xi‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Sn‬‬
‫‪) .3‬א( יהיו ‪ X1 , X2 , .S. .‬מ"מ ב"ת‪ .‬נסמן ) ‪ ,F1n = σ (X1 , . . . , Xn‬אזי ∞‪ F1∞ = σ (E) ,F1n ↑ σ (X1 , X2 , . . .) = F1‬כאשר‬
‫‪ .E = n F1n‬הוכיחו כי ‪ E‬היא אלגברה אבל לא בהכרח ‪σ‬־אלגברה‪.‬‬
‫רמז‪ :‬היעזרו בספרות בינאריות‪.‬‬
‫)ב( אם ‪σ‬־אלגברה היא ב"ת )בכל המאורעות( של אלגברה ‪ E‬אזי היא ב"ת ב )‪.σ (E‬‬
‫‪ .4‬נסמן ב ‪ (Sn )n‬הילוך מקרי פשוט‪ .‬הוכיחו כי כ"ב מתקיים כי‪ lim inf n Sn = −∞ ,supn |Sn | = ∞ :‬ו ∞ = ‪,lim supn Sn‬‬
‫}‪.sup {n : Sn = 0‬‬
‫רמז‪ ,maxk (Skn+n − Skn ) = n :‬היעזרו בשאלה ‪.2‬‬
‫‪ .5‬נתונה סדרה ‪ X1 , X2 , . . .‬של מ"מ ב"ת ש"ה כך ש‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪ .P (X1 = −1) = P (X1 = 1‬נגדיר‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪Xn‬‬
‫)‪n (n + 1‬‬
‫‪p‬‬
‫= ‪.Y‬‬
‫‪n=1‬‬
‫הוכיחו או הפריכו‪:‬‬
‫)א( הטור ‪ Y‬מתכנס כ"ב‪.‬‬
‫)ב( ∞ < }| ‪ E {|Y‬ו ‪.E {Y } = 0‬‬
‫)ג( ‪P (|Y | < 10) ≥ 0.99‬‬
‫‪ .6‬האם קיימים }‪ s1 , s2 , . . . ∈ {−1, 1‬כך שלכל ‪ k = 0, 1, 2, . . .‬הסדרות‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪sn sn+1 · · · sn+k‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מתכנסות?‬
‫∞‪P‬‬
‫‪ .7‬יהיו ‪ X1 , X2 , . . .‬מ"מ ב"ת ‪ E {Xn } < ∞ ,Xn ≥ 0‬ו ∞ = } ‪. n=1 E {Xn‬‬
‫∞‪P‬‬
‫)א( האם נובע בהכרח כי ∞ = ‪ n=1 Xn‬כ"ב?‬
‫)ב( כמו סעיף א'‪ ,‬כאשר נתון בנוסף כי ‪ Xn ≤ 1‬לכל ‪.n‬‬
‫‪ .8‬נגדיר‬
‫‪x2 ,‬‬
‫‪|x| ,‬‬
‫‪|x| < 1‬‬
‫‪|x| ≥ 1‬‬
‫(‬
‫= )‪.ψ (x‬‬
‫הוכיחו שאם ‪ X1 , X2 , . . .‬הם מ"מ ב"ת כך ש ‪ E {Xn } = 0‬ו ∞ < }) ‪E {ψ (Xn‬‬
‫‪1‬‬
‫‪P‬‬
‫‪n‬‬
‫אזי ∞ < ‪Xn‬‬
‫‪P‬‬
‫כ"ב‪.‬‬