חדוא 3־ תרגיל בית 1

‫חדוא ‪3‬־ תרגיל בית ‪1‬‬
‫‪ .1‬בשאלה זו נדון בקבוצות פתוחות וסגורות‪ .‬הוכח‪/‬הפרך את הטענות הבאות‪:‬‬
‫)א( איחוד כלשהו של קבוצות פתוחות הוא פתוח‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫נכון‪ :‬תהיינה ‪ {Uα }α∈I‬קבוצה כלשהי של קבוצות פתוחות ויהי ‪ .x ∈ SUα‬בפרט קיים ‪α0‬‬
‫כך ש־ ‪ x ∈ Uα0‬ומשום שזו קבוצה פתוחה קיים ‪ d > 0‬כך ש־ ‪.B(x, d) ⊂ Uα0 ⊂ Uα‬‬
‫קבוצות סגורות הוא סגור‪.‬‬
‫)ב( איחוד ‬
‫כלשהו של ‪ 1‬‬
‫‪1‬‬
‫לא נכון‪ Fn = n , 1 − n :‬כולן קבוצות סגורות‪ ,‬אך ‪Fn‬‬
‫‪S‬‬
‫= )‪ (0, 1‬אינה קבוצה סגורה‪.‬‬
‫)ג( איחוד סופי של קבוצות פתוחות הוא פתוח‪.‬‬
‫כמובן‪ ,‬שכן לפי א כל איחוד הוא פתוח בפרט איחוד סופי‪.‬‬
‫)ד( איחוד סופי של קבוצות סגורות הוא סגור‪.‬‬
‫נכון‪ :‬זה נובע מהנכונות של סעיף ז והעובדה שקבוצה סגורה היא כזו שהמשלים שלה פתוח‪.‬‬
‫)ה( חיתוך כלשהו של קבוצות פתוחות הוא פתוח‪.‬‬
‫לא נכון‪ :‬ראו כדוגמא את הקבוצות המשלימות של סעיף ב‪.‬‬
‫)ו( חיתוך כלשהו של קבוצות סגורות הוא סגור‪.‬‬
‫נכון‪ :‬תהיינה ‪ {Fα }α∈I‬קבוצה של קבוצות סגורות‪ .‬נסמן ‪ .Uα := Fαc‬מההגדרה של קבוצה‬
‫סגורה ‪ Uα‬הינה קבוצה פתוחה‪ .‬עתה‪,‬‬
‫[‬
‫‪c [ c‬‬
‫\‬
‫= ‪Fα‬‬
‫= ) ‪(Fαc‬‬
‫‪Uα‬‬
‫ולכן קבוצה סגורה כמשלים של קבוצה פתוחה )לפי סעיף א(‪.‬‬
‫)ז( חיתוך סופי של קבוצות פתוחות הוא פתוח‪.‬‬
‫‪ {Un }N‬קבוצה סופית של קבוצות פתוחות ויהי ‪ .x ∈ Un‬משום שהקבוצות‬
‫נכון‪ :‬תהי ‪n=1‬‬
‫הן פתוחות לכל ‪ 1 ≤ n ≤ N‬קיים ‪ dn > 0‬כך ש־ ‪ .B(x, dn ) ⊆ Un‬נסמן =‪d :‬‬
‫ומוגדר היטב‪ .‬לכל ≤ ‪1 ≤ n‬‬
‫} ‪ ,min {dn ; 1 ≤ n ≤ N‬משום ש ‪ N‬מספר סופי הרי ש־ ‪T d > 0‬‬
‫‪ N‬מתקיים לפי ההגדרה ש־ ‪ B(x, d) ⊆ B(x, dn ) ⊆ Un‬ולכן ‪ B(x, d) ⊆ Un‬כנדרש‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫)ח( חיתוך סופי של קבוצות סגורות הוא סגור‪.‬‬
‫כמובן‪ ,‬שכן לפי ו כל חיתוך הוא סגור בפרט חיתוך סופי‪.‬‬
‫‪ .2‬נגדיר את הפונקציה ‪ f : (0, ∞) × (0, ∞) → R‬על ידי‪:‬‬
‫ ‬
‫‪1‬‬
‫‪f (x, y) = y · sin‬‬
‫‪x‬‬
‫בדוק האם הגבולות קיימים‪ ,‬אם כן חשב אותם‪ ,‬אם לא נמק מדוע אינם קיימים‪.‬‬
‫)א(‬
‫‪|y| = 0‬‬
‫‪lim‬‬
‫)‪(x,y)→(0,0‬‬
‫‪x,y>0‬‬
‫≤ |)‪|f (x, y‬‬
‫‪lim‬‬
‫)‪(x,y)→(0,0‬‬
‫‪x,y>0‬‬
‫)ב(‬
‫‪lim+ lim+ f (x, y) = lim+ lim+ 0 = 0‬‬
‫‪y→0‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y→0‬‬
‫‪x→0‬‬
‫)ג( )‪ : lim+ lim+ f (x, y‬הגבול הזה לא קיים‪ ,‬שכן כפי שראינו בקורסי חדוא קודמים הגבול‬
‫‪x→0‬‬
‫‪y→0‬‬
‫הפנימי אינו קיים ולכן הגבול כולו אינו מוגדר היטב‪.‬‬
‫! נסיק כי כי הגבולות החוזרים אינם שווים‪.‬‬
‫החוזרים שלעיל קיימים ושווים אך ‪ f‬אינה רציפה?‬
‫‪) .3‬א( האם יתכן שהגבולות ‬
‫‪π‬‬
‫כן‪ ,‬לשם כך מספיק ש־ ‪ .h(0) = h 2‬ניקח את )‪ h(θ) = sin(2 ∗ θ‬אז ‪ h‬אינה קבועה ולכן‬
‫לפי מה שראינו בכיתה הפונקציה אינה רציפה‪ .‬ואולם מההגדרה‬
‫‬
‫ ‪ y‬‬
‫‪lim lim f (x, y) = lim+ lim+ h arctan‬‬
‫‪= h(0) = 0‬‬
‫‪x→0+ y→0+‬‬
‫‪x→0 y→0‬‬
‫‪x‬‬
‫‬
‫ ‪ y‬‬
‫ ‪π‬‬
‫‪lim+ lim+ f (x, y) = lim+ lim+ h arctan‬‬
‫‪=h‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪y→0 x→0‬‬
‫‪y→0 x→0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫)ב( נזכור כי פונקציה ראציונלית הינה מנה של שני פולינומים‪ .‬האם יתכן ש ‪ f‬פונקציה ראציונלית‬
‫והגבולות החוזרים קיימים ושווים‪ ,‬אך ‪ f‬אינה רציפה?‬
‫כן למשל‬
‫‪) .f (x, y) = x2x·y‬וודאו לעצמכם את הפרטים(‪.‬‬
‫‪+y 2‬‬
‫)ג( ‪...‬‬
‫‪ .4‬נגדיר את הפונקציה ‪ g : R2 \ {0} → R‬על ידי‬
‫)‪g(x, y) = f (x2 , y‬‬
‫כאשר ‪ f‬פונקציה קבועה על קרניים‪.‬‬
‫)א( הוכיחו שלכל )‪ (a, b) 6= (0, 0‬קיים הגבול )‪ lim g(ta, tb‬וחשבו אותו‪.‬‬
‫‪t→0‬‬
‫חישוב יראה כי‪:‬‬
‫‬
‫‪ .i‬אם ‪ a = 0‬אז הפונקציה כל הזמן שווה ל־ ‪ h π2‬ובפרט הגבול קיים ושוה לערך זה‪.‬‬
‫‪ .ii‬אם ‪ b = 0‬אז הפונקציה כל הזמן שווה ל־ )‪ h (0‬ובפרט הגבול קיים ושוה לערך זה‪.‬‬
‫ ‬
‫‪ .iii‬אם שניהם שונים מ־‪ ,0‬אז הגבול שווה ל־ ‪.h sign ab · π2‬‬
‫)ב( האם יתכן שהגבול )‪g(x, y‬‬
‫‪lim‬‬
‫)‪(x,y)→(0,0‬‬
‫אינו קיים? תנו דוגמא‪.‬‬
‫כן‪ .‬למשל נזכר בחדוא ‪ 2‬בדוגמא שבה לכל ‪ θ‬הגבול ‪ lim f (r cos θ, r sin θ) = 0‬ואולם‬
‫‪r→0‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪ .(f (r, θ) = rr2sin‬תרגום של דוגמא‬
‫השאיפה לא הייתה יוניפורמית ולכן הגבול לא היה קיים )‬
‫‪+θ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪) .f (x, y) = x2 +y2 +arctan‬וודאו‬
‫זו לקורדינטות קרטזיות יתן לנו את הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫) ‪( xy‬‬
‫לעצמכם את הפרטים(‪.‬‬
‫‪ .5‬תהי ‪ .K ⊂ Rn‬הראו כי ‪ K‬היא קבוצה קומפקטית אם ורק אם כל פונקציה רציפה ‪f : K → R‬‬
‫היא חסומה‪.‬‬
‫אם ‪ K‬קומפקטית‪ ,‬ממשפט כל פונקציה רציפה על קבוצה קומפקטית משיגה את חסימה ובפרט‬
‫היא חסומה‪.‬‬
‫אם ‪ K‬אינה קומפקטית‪ ,‬ישנן שתי אפשרויות‪ :‬או שהיא אינה סגורה או שהיא אינה חסומה )או‬
‫שניהם(‪ .‬אם ‪ K‬אינה סגורה‪ ,‬אז קיימת סדרה ‪ {xn } ⊂ K‬שמתכנסת לאיבר שאינו בקבוצה‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ f (x) = ||x−x‬זו פונקציה רציפה על ‪ K‬אך אינה חסומה‪.‬‬
‫נסמנו ‪ .x0‬נגדיר את הפונקציה‬
‫|| ‪0‬‬
‫‪n‬‬
‫אם ‪ K‬אינה חסומה‪ ,‬נגדיר את הפונקציה ||‪ f (x) = ||x‬היא רציפה על כל ‪ R‬ובפרט על ‪ ,K‬אך‬
‫משום ש־ ‪ K‬אינה חסומה גם הפונקציה אינה חסומה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .6‬תהי ‪ .f : Rn → Rm‬הוכח‪/‬י או הפרכ‪/‬י‪:‬‬
‫)א( לכל קבוצה ‪ K‬קומפקטית‪ ,‬אם ‪ f‬רציפה על ‪ K‬אז )‪ f (K‬בהכרח קומפקטית‪.‬‬
‫נכון‪ :‬נראה שלכל כיסוי פתוח של )‪ f (K‬יש תת כיסוי סופי‪ .‬יהי } ‪ {Uα‬כיסוי פתוח כלשהו ל־‬
‫‪−1‬‬
‫פתוחות משום ש־‬
‫=‪ .Wα :‬הקבוצות ‪ Wα‬הן‬
‫‪S‬‬
‫)‪ f (K‬ונגדיר את הכיסוי הבא ל־‪S f (Uα ) :K‬‬
‫‪ f‬רציפה‪ ,‬ולכן קיימים ‪ α1 , · · · , αn‬כך ש־ ‪ .K ⊂ Wαj‬נותר להראות ש־ ‪,f (K) ⊂ Uαj‬‬
‫אולם זה פשוט מההגדרה של הקבוצה‪.‬‬
‫)ב( לכל ‪ B‬קבוצה חסומה‪ ,‬אם ‪ f‬רציפה על ‪ , B‬אז )‪ f (B‬בהכרח חסומה‪.‬‬
‫לא נכון‪ :‬ניקח את הקטע ]‪ (0, 1‬שהוא קבוצה חסומה ואת הפונקציה הרציפה‬
‫)ג( לכל ‪ C‬קבוצה סגורה אם ‪ f‬רציפה על ‪ ,C‬אז )‪ f (C‬בהכרח סגורה‪.‬‬
‫לא נכון‪ :‬ניקח את הקטע )∞ ‪ [1,‬שהוא קבוצה סגורה ואת הפונקציה הרציפה‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫= )‪.f (x‬‬
‫= )‪.f (x‬‬
‫)ד( כל קבוצה פתוחה ב־ ‪ Rn‬היא תמונה רציפה של קבוצה סגורה‪.‬‬
‫רמז‪ :‬הקבוצה הסגורה אינה בהכרח קשירה‪.‬‬
‫נסמן את הקבוצה הפתוחה שלנו ב־ ‪S .A‬לפתרון שני שלבים‪:‬‬
‫שלב ‪ :1‬אם ‪ A‬קבוצה פתוחה‪ ,‬אז `‪ ,A = K‬כאשר `‪ K‬קבוצה קומפקטית ב־ ‪ Rn‬וכן‬
‫האיחוד הוא בן מניה )וודאו לעצמכם שאתם מבינים מדוע(‪.‬‬
‫שלב ‪ :2‬נגדיר את הקבוצה שלנו באופן רקורסיבי‪ .‬שלב ראשון ניקח את ‪ .K1‬שלב שני־ משום‬
‫ש ‪ K1‬קומפקטית‪ ,‬הרי שהיא חסומה נניח בכדור ברדיוס ‪ ,R1‬נמקם את ‪ K2‬כך שהמרחק‬
‫בינה לבין כדור סגור סביב הראשית ברדיוס ‪ R1‬גדול שווה ‪ ,1‬נסמן את ההזזה של ‪ K2‬ב־ ‪.t2‬‬
‫עתה האיחוד של שתי הקבוצות גם הוא קומפקטי לכן חסום בכדור ברדיוס ‪ ,R2‬נמקם את‬
‫מכדור ברדיוס ‪ .R2‬כך נמשיך ונבנה את הקבוצה ברקורסיה‪ .‬הקבוצה‬
‫קבוצה ‪ K3‬במרחק ‪U 1‬‬
‫שלנו תהיהי ‪ C := Kj + tj‬כמובן קבוצה סגורה כי לכל סדרה מתכנסת החל ממקום‬
‫מסויים כל איבריה יהיו שייכים לאותה קבוצה קומפקטית ‪ Kj‬מהאוסף שממנו התחלנו‪.‬‬
‫נותר לנו להגדיר את הפונקציה‬
‫‪f (x) = x − tj , x ∈ Kj + tj‬‬
‫זו פונקציה רציפה כהזזה של הזהות‪ ,‬ואכן התמונה שלה היא `‪K‬‬
‫‪S‬‬
‫= ‪ ,A‬כנדרש‪.‬‬
‫‪ .7‬הוכח‪/‬י את למת החיתוך של קנטור למימדים גבוהים‪:‬‬
‫כל סדרה יורדת של קבוצות קומפקטיות‪ ,‬כלומר · · · ⊇ ‪ ,K1 ⊇ K2‬היא בעלת חיתוך לא ריק‪.‬‬
‫האם המשפט תקף עבור קבוצות סגורות? עבור קבוצות פתוחות? הוכיחו או הביאו דוגמא נגדית‪.‬‬
‫נסמן לכל ‪ n‬את הקבוצה ‪ ,Un := Rm \ Kn‬אז ‪ Un‬קבוצות פתוחות‪ ,‬ההכלה שאני מקבלים היא‬
‫הפוכה ‪ .U1 ⊆ U2 ⊆ · · · ...‬אם החיתוך הוא אכן ריק‪ ,‬אז } ‪ {Un‬מהווה כיסוי פתוח לקבוצה‬
‫‪ ,K1‬ומשום היא קומפקטית יש לנו תת כיסוי סופי‪ .‬תהי ‪ UN‬הקבוצה הכי גדולה בתת הכיסוי‬
‫ממההגדרה לכל ‪ n > N‬מתקיים‪ ,UN = Un ⇐ Un = K1 \ Kn ⊆ UN ⊆ Un :‬כלומר‬
‫הסופי‪ ,‬אז ‪T‬‬
‫‪ Kn = KN‬ומשום שזו קבוצה שאינה ריקה‪ ,‬הרי שלא יתכן שהחיתוך ריק‪.‬‬
‫שני התנאים )סגירות וחסימות( הם הכרחיים‪.‬‬
‫)א( חסימות‪ :‬נגדיר את הקבוצות )∞ ‪ Cn := [n,‬הרי שהן סגורות‪ ,‬אך כמובן שהחיתוך שלהן‬
‫ריק‪ ,‬והלמה אינה נכונה לקבוצות סגורות‪.‬‬
‫‬
‫)ב( סגירות‪ :‬נגדיר את הקבוצות ‪ ,Cn := 0, n1‬הן חסומות‪ ,‬אך החיתוך שלהן ריק והלמה אינה‬
‫נכונה לקבוצות פתוחות‪.‬‬
‫‪3‬‬