docחוברת אנליזה נומרית
download 
Report Transcription
חוברת אנליזה נומרית
אנליזה
נומרית
0509.2804
בהצלחה,
ועד הנדסה
הפקולטה להנדסה ע"ש פליישמן
ENGINEERING FACULTY
בחינה בקורס" :אנליזה נומרית"
מר' ב .סובר ,מר' י .דביר
מר' ג.פרגייר ,מר' ר .מיץ
סמסטר א' ,מועד א'
8.02.15
ת .ז_______________ .
מס .מחברת__________
משך הבחינה 3 :שעות.
יש לענות על ארבע שאלות .משקל כל שאלה .25%
יש לכתוב את התשובות והנימוקים על גבי טופס הבחינה .המחברת משמשת בתור טיוטה.
חומר עזר מותר :מחשבון כיס ,דפי הנוסחאות המצורפים לטופס הבחינה.
לשימוש הבודק בלבד!!!:
שאלה 1
שאלה 2
שאלה 3
שאלה 4
שאלה 5
ציון בחינה
עמ' 1
שאלה 1
נרצה למצוא קירוב לפונקציה f ( x) x 3על הקטע ] [1,1על ידי פולינום ) p( xמדרגה .2
א .מצאו קירוב על-ידי הדרישה ) p ( xi ) f ( xiעבור xi 1, a,1כאשר aהוא מספר ממשי כלשהו בקטע הנדון.
פתרון:
נשתמש בשיטת ניוטון .טבלת ההפרשים המחולקים הינה:
]*f [*,
]*f [*,*,
a
a3 1
a2 a 1
a 1
1 a3
a2 a 1
1 a
] f [ xi
xi
1
1
a3
a
1
1
ולכן פולינום האינטרפולציה הינו p( x) 1 (a 2 a 1)( x 1) a( x 1)( x a) a( x 2 1) x
ב .הראו כי אם מציבים a 1בפולינום ) p( xשמצאתם בסעיף ,1אזי מתקיים:
)p(1) f (1), p(1) f (1), p '(1) f '(1
פתרון:
אם מציבים a 1מקבלים , p( x) x 2 x 1שמקיים ) p(1) 1, p(1) 1, p '(1) 3 f '(1כנדרש.
ג .הראו כי אם מציבים a 1בפולינום ) p( xשמצאתם ,אזי מתקיים:
)p(1) f (1), p(1) f (1), p '(1) f '(1
פתרון:
אם מציבים a 1מקבלים , p ( x) x 2 x 1שמקיים ) p(1) 1, p(1) 1, p '(1) 3 f '(1כנדרש.
ד .הוכיחו :תהא ) f ( xפונקציה גזירה בקטע ] , a b, [a, bותהא ) p( xפונקציה לינארית המקיימת
) . p(a) f (a), p(b) f (bכעת נגדיר( lim p( x) P( x) :כלומר ) P( xהוא הגבול של ) p( xכאשר bשואף ל .) a -אזי
b a
)P(a) f (a), P '(a) f '(a
פתרון:
)f (b) f (a
יש הרבה דרכים לכתוב את ) . p( xלצרכנו ,הכי טוב יהיה )( x a
ba
, b aמקבלים ) , p( x) P( x) f (a) f '(a)( x aאשר אכן מקיים ) , P '(a) f '(a), P(a) f (aכנדרש.
. p( x) f (a) רואים מיד שכאשר
ת.ז:.
.
עמ' 3
2 שאלה
ah
f ( x)dx
a
f ( a ) f ( a h)
f '(a) f '(a h) 2
h
h :נתון כלל הטרפז המתוקן לאינטגרציה
2
12
) פולינום הרמיט: שקיבלתם? (רמזC, k , p מהם ערכיCf ( k ) h p תנו ביטוי לשגיאת הכלל מהצורה.א
:פתרון
בנקודותf ( x) המקרב אתP( x) זהו כלל המגיע מפולינום הרמיט
P '(a) f '(a), P(a) f (a), P '(a h) f '(a h), P(a h) f (a h)
:ולכן שגיאת האינטרפולציה היא
2
2
e( x) f a, a, a h, a h, x x a x a h
:נבצע אינטגרציה על השגיאה
ah
E ( x)
ah
e( x)dx
a
f a, a, a h, a h, c
f a , a , a h, a h , x x a x a h
2
2
dx
a
h /2
x h / 2 x h / 2
2
2
dx f a, a, a h, a h, c
h /2
f a, a, a h, a h, c
h /2
h /2
h /2
x4
x
2
h 2 / 4 dx
2
h /2
xh h
f ( ) h
dx
2
4
4! 30
2
2
4
(4)
5
ba
כאשרa x0 , b xN , xi x0 ih קטעים שווים ונסמןN ל a, b מחלקים את הקטע.ב
N
N 1
f (a) f (b)
: הוכיחו כי כלל הטרפז המתוקן המורכב הינו. TN h f ( xi )
המורכב על הקטע הנ"ל מוגדר להיות
2
i 1
b
f '(a) f '(b) 2
h O (h 4 )
a f ( x)dx TN
12
כלל הטרפז. h
:פתרון
f '( xi ) f '( xi 1 ) 2
f ( xi ) f ( xi 1 )
h
h O(h5 )
2
12
i 1
N 1
b
f ( x)dx
a
f '( xN 1 ) f '( xN )
f (a) f (b)
f '( x0 ) f '( x1 ) f '( x1 ) f '( x2 )
h2
...
O (h 4 )
2
12
12
12
i 1
f '(a) f '(b)
TN h 2
O(h 4 )
12
N 1
h f ( xi )
b
f ( x)dx T
N
T2 N O(h 4 ) מהצורה4 בנו נוסחת אינטגרציה מסדר קירוב.ג
a
:מהסעיף הקודם קיבלנו
b
a
TN f ( x)dx
b
a
T2 N f ( x)dx
f '(a) f '(b) 2
h O h4
12
2
f '(a) f '(b) h
4
O h
12
2
b
TN T2 N f ( x)dx
a
f '(a) f '(b)
4
12
h2 O h4
:ולכן נאלץ
1
1
3
4
0
4
3
5 'עמ
.
:.ז.ת
שאלה 3
נגדיר מכפלה פנימית חדשה ביחס למרחב הפולינומים ממעל קטנה או שווה ל 2 2באופן הבא:
1
)f , g f (i) g (i
i 1
א .הראו כי ההגדרה הנ"ל היא אכן מכפלה פנימית.
פתרון:
.1קומוטטיביות (מעל הממשיים):
1
f , g f (i) g (i) g , f
i 1
.2לינאריות:
1
1
1
f g , h f (i ) g (i ) h(i ) f (i)h(i) g (i)h(i) f , h g , h
i 1
i 1
i 1
1
1
i 1
i 1
f , h f (i)h(i) f (i)h(i) f , h
.3אי שליליות:
1
f , f f (i) 0
2
i 1
ושוויון מתקיים אם"ם הפולינום ) f ( xמתאפס בשלוש נקודות .כיוון שזה במרחב 2זה קורה רק כאשר f ( x) 0
מיחידות פולינום האינטרפולציה.
ב .מצאו בסיס אורתוגונלי למרחב 2ביחס למכפלה הפנימית הנ"ל.
פתרון:
מבצעים גראם-שמידט לבסיס הסטנדרטי
1, x, x
2
0 1
1 x 0 1 x
2
2
2 x 2 0 x 1 x 2
3
3
ג .הגדירו נורמה לפי המכפלה הפנימית שהוגדרה בסעיפים הקודמים.
פתרון:
f, f
f
ד .מצאו את הפולינום ממעלה 1המקרב באופן מיטבי (מבחינת הנורמה שהגדרתם) את הפולינום x2 3
פתרון:
נבנה את מערכת המשוואות הנורמליות:
7
0
ולכן
2
3 0 c0 x 3x,1
0 2 c 2
1 x 3x, x
7
c0
, c1 0
3
כלומר הפולינום הוא:
ת.ז:.
p( x) 3x 1
.
עמ' 7
4 שאלה
y ' f x, y
. בנו סכימה לקירוב הפתרון אשר מבוססת על כלל הטרפז,
עבור בעיית התחלה כללית מהצורה.א
y x0 y0
. xn nh , n 0,1,... : נפרוש רשת של נקודות
: של שני האגפים xn , xn 1 נבצע אינטגרציה בקטע
y xn 1 y xn
xn1
f x, y dx
xn
y xn yn נקרב,
xn1
f x, y dx
xn
xn1
ydx
xn
xn1
f x, y dx
y ' f x, y
xn
h
f xn 1 , y ( xn 1 ) f xn , y ( xn ) - ו:נשתמש בכלל הטרפז ונקרב
2
. y x0 y0 עם תנאי התחלהyn1 yn
h
f xn1, yn1 f xn , yn : נקבל
2
x 2 x
הראו כי הפתרון המקורב לפי הסכימה מסעיף א' שואף לפתרון האנליטי.
) נתונה בעית התחלה הבאה. נק8( .ב
x 0 1
.) h 0 ( של הבעיה הנתונה כאשר המרחק בין שתי נקודות רשת עוקבות שואף לאפס
y 2 y
:הפתרון האנליטי
x e2t
y 0 1
: בנוסחת הקירובf x, y 2 y נציב
1 h
yn 1
yn yn 1 1 h yn 1 h 0 yn 1 yn h yn 1 yn
1 h
1 h
yn
1 h
n
1 h
n 1
n
n
1 h 1 h 0 : yn נחפס פתרון מהצורה:1 דרך
1 h
1 h
1 h 1 h
1 h 1 h
yn
, ... , y2 y1
=
, y1 y0
=
:2 דרך
1 h
1 h 1 h
1 h 1 h
n
2
: x nh סופי נקבלx עבור
1
1 hh
ex
1 h
lim yn lim
x nh x e2 x
lim
1
h 0
h 0 1 h
h 0
nh
e
1 h h
n
nh
y ' y
ג .מקרבים את הפתרון של בעיית ההתחלה
y 0 1
הסכימה יציבה?
ע"י הסכימה מסעיף א' .עבור אלה ערכים של הפרמטר הממשי
עבור משוואה הנדונה:
yn1 yn
h
2
n
yn1 yn
1 h
1 h
, yn1 2h ynלכן נקבל , n 1 2h 0
1 2
1 2
לכן עבור 0הסכימה יציבה.
ד .נבצע קירוב לנגזרת של פונקציה )f ( x
בנקודה 0מהצורה הבאה Bf :
4
4
f '(0) Af
מצאו Aו Bכך שנוסחת הקירוב תיתן תוצאה מדויקת עבור הפונקציות ) cos( xו )sin(x
1
A B
2
B cos
1
B A
2
4
4
f ( x) cos( x) : 0 sin(0) f '(0) A cos
B sin
4
4
f ( x) sin( x) : 1 cos(0) f '(0) A sin
ולכן נקבל את האילוצים:
2
B
A B 0
2
B A 2
2
A
2
ת.ז:.
.
עמ' 9
שאלה 5
בשאלה זו נעסוק בקירוב השורש של המשוואה f ( x) 0כאשר fפונקציה גזירה פעמיים ברציפות.
א .נתון כי הוא שורש פשוט של המשוואה , f ( x) 0כלומר f ( ) 0, f '( ) 0הוכיחו כי קיימת סביבה עבורה
לכל ניחוש התחלה מסביבה זו שיטת ניוטון מתכנסת לפתרון המשוואה . f ( x) 0
)f ( x
) f ( xn
xn 1 xn כך ש-
שיטת ניוטן
) f '( xn
)f '( x
) f (
. g ( )
f '( )
f ( ) 0
התנאי לקיום סביבה להתכנסות האיטרציות הוא | g '( ) | 1
. g ( x) x נראה תחילה כי g ( ) f ( ) 0ואכן
ואכן f '( x) f ''( x) f ( x) f ''( x) f ( x) :
g '( x) 1
2
2
f '( x)
f '( x)
2
0
) f ''( ) f (
2
f '( )
g '( ) ולכן קיימת סביבה עבורה לכל ניחוש התחלה מסביבה זו שיטת ניוטון מתכנסת לפתרון
המשוואה . f ( x) 0
ב .נניח כי עבור השורש הפשוט של המשוואה f ( x) 0מתקיים . f ''( ) 1הוכיחו כי לכל ניחוש התחלה בסביבה
מסעיף א' ,שיטת ניוטון מתכנסת עם סדר התכנסות בדיוק .2
היות ו -
) f (
) f ''( ) f (
) f ''(
0 , g ( )
g '( ) ובנוסף 0
2
) f '(
) f '(
f '( )
f ( ) 0
לקביעת סדר התכנסות כי שיטת ניוטון מתכנסת עם סדר התכנסות בדיוק .2
g ''( ) נובע לפי קריטריון
ג .נתון כי הוא שורש כפול של המשוואה , f ( x) 0כלומר f ( ) f '( ) 0, f ''( ) 0הוכיחו כי קיימת סביבה
) f ( xn
עבורה לכל ניחוש התחלה מסביבה זו השיטה , n 0,1, 2,...
) f '( xn
xn 1 xn 2מתכנסת לפתרון המשוואה f ( x) 0
עם סדר התכנסות .2
) f (
?
) f '(
g ( ) נבדוק את הגבול
f '( ) 0
f ''( ) 0
)f '( x
)f ''( x
x2
x
lim
0
L
0
)f ( x
)f '( x
lim x g ( x) lim x x 2
לכן יש קונסיסטנטיות.
) f '( x) f ''( x) f ( x) 1 2 f ''( x) f ( x
g '( x) 1 2מכאן נשים לב כי ) g '(לא מוגדר ולכן נבדוק את
2
2
f '( x)
f '( x)
2
'' f ''' f f ' f
'' 2 f ' f
1 2
)f ''( x) f ( x
x
lim
f
('
x
)
0
2
lim x g '( x) lim x 1 2
L
0
' f '''' f f ''' f
0
' ( f '') 2 f ''' f
הגבול
lim x
f ''' f
'' f ' f
lim x
0
L
0
לכן סדר ההתכנסות הוא לפחות ( 2מי שקיבל תוצאה זו קיבל את מלוא הנק')
ד .מצאו מבחן עצירה עבור שיטות איטרטיביות לקירוב השורש של המשוואה f ( x) 0אשר עושה שימוש בערכי
) f ( xn ), f '( xnכלומר קבעו תנאי אשר עושה שימוש בערכים הללו שעבורו מתקיים . | xn | נמקו את תשובתכם!
נגדיר . en xnנפתח את הערך ) f (לטור טיילור סביב : xn
. 0 f ( ) f ( xn ) f '( xn )en
לכן
) f ( xn
) f '( xn
ת.ז:.
.
| en |
עמ' 11
הפקולטה להנדסה ע"ש פליישמן
ENGINEERING FACULTY
בחינה בקורס" :אנליזה נומרית"
דר' א .מוחוב ,מר' י .דביר
מר' ר.לוי ,מר' ס .פונריוב
סמסטר ב' ,מועד ב'
42..7.12
ת .ז_______________ .
מס .מחברת__________
משך הבחינה 3 :שעות.
יש לענות על ארבע שאלות .משקל כל שאלה .52%
יש לכתוב את התשובות והנימוקים על גבי טופס הבחינה .המחברת משמשת בתור טיוטה.
חומר עזר מותר :מחשבון כיס ,דפי הנוסחאות המצורפים לטופס הבחינה.
לשימוש הבודק:
שאלה 1
שאלה 4
שאלה 3
שאלה 2
שאלה 5
ציון
עמ' 1
1 שאלה
מצאו קירוב מסדר דיוק אלגברי מקסמלי מהצורה. פונקציה בעלת חמש נגזרות רציפותf x ) תהי.' נק7( .א
h
. f x dx Af 0 Bf h Cf 0 Df 0
0
0
0
f 0
f 0
f 0
2
f 0
f 0
0
h
f 0
f h f 0
h
f h
f h f 0 hf 0
h2
2 f h 2 f 0 2hf 0 2h 2 f 0
2h3
f 0 2 2 f h 2 f 0 2hf 0 2h 2 f 0 3
x
x
2
2h 3
2
h
h2
h3 2 f h 2 f 0 2hf 0 h f 0 h 4
f x dx P x dx f 0 h f 0 f 0
2
6
2h3
4
0
P x f 0 f 0 x
h
0
3h
h2
h3
h
f 0
f 0
f 0 f h
4
4
24
4
. ע"י דרישת סדר דיוק אלגברי:דרך שניה
? מהו סדר השגיאה ומהו סדר הדיוק האלגברי.') פתחו את הביטוי לשגיאת הקירוב מסעיף א.' נק6( .ב
h
h
E (h) f 0, 0, 0, h, x x ( x h) dx f 0, 0, 0, h, c x 3 ( x h) dx
3
0
0
f
(4)
c h5 h h 4
4!
5
4
f
(4)
0
0
c h5
4!
20
3 סדר דיוק אלגברי,5 הנוסחה היא מסדר
dt
x
. קרבו את אינטגרל אשר באגף שמאל של המשוואה הנתונה ע"י שיטת
ג 7( .נק' ).נתונה המשוואה 2 x 1
1 et
גאוס-לג'נדר בשלוש נקודות ורשמו את המשוואה הנתונה אחרי הקירוב.
הדרכה :מצאו החלפת משתנים מתאימה לפני קירוב האינטגרל.
x
נעבור ממשתנה אינטגרציה tלמשתנה חדש - x ( , zהינו פרמטר):
x
1
t xz dt xdz
dt
dz
dz
x
.
לקרב
יש
לכן
,
t2
x2 z 2
x2 z 2
t x z 1
x 1 e
1 1 e
1 1 e
1
5 3 3
z
יש למצא שורשים של פולינום לג'נדר ממעלה z z 5 z 2 3 : 3
2
2
2
נמצא מקדמים ע" י דרישת דיוק אלגברי עבור , f z 1, z, z 2מערכת למציאת המקדמים היא ,
z1,2,3 0, 0.6 P2 z
A1 A2 A3 2
A1 0.6 A3 0.6 0
A 0.6 A 0.6 2 / 3
3
1
A2 2 2 A1
8 5 5
A1 A3המקדמים הם , ,
9 9 9
2 A 0.6 2 / 3
1
A1,2,3
5
1
8 1
1 10
לכן הנוסחת הקירוב הינה 4
0
x 2 0.6
x 2 0.6
9 1 e
9 1 e
9 1 e
1
dz
x 10
4 x 1 x
נרשום משוואה אחרי הקירוב 4 :
x2 z 2
x 2 0.6
9 1 e
1 1 e
A1 z1 A2 z2 A3 z3 2
ד 5( .נק' ).האם ניתן לחשב את האינטגרל 1 e x dx
2
dz
x2 z 2
1
1 e
1
x 10
2
9 1 e x 0.6
2
5 3x x
4
במדוייק בעזרת קירוב גאוס? אם כן מצאו את
0
מספר הנקודות הדרוש לחישוב האינטגרל .נמקו היטב את תשובתכם.
הדרכה :שימו לב כי הפונקציה 5 3 x 4 x 2 1 e xהיא פונקציה זוגית.
2
2
1
הפונקציה הינה זוגית ,לכן dx 5 3x 4 x 2 1 e x dx
2
x2
1 e
2
x
4
. 5 3x
0
מכאן ניתן לראות כי הקטע הוא , וf ( x) 5 3x 4 x 2 1 , w( x) e x -
לכן ניתן להשתמש בפולינומים אורטוגונלים של הרמיט.
b
) f 2 n 2 (c
שגיאה בשיטת גאוס ( x) 2 w( x)dx :
, E x כלומר הנוסחה מדוייקת לפולינומים ממעלה קטנה או
(2n 2)! a
שווה . 2n 1
) f ( xהיא פולינום ממעלה , 6לכן כדי ששיטה תהי מדוייקת צריך להתקיים , n 2 2n 2 6
כלומר החל מ. n 3 -
ניקח , n 3לכן יש למצא - x0 , x1 , x2 , x3שורשים של פולינום הרמיט ממעלה . 4
2
ת.ז:.
.
עמ' 3
שאלה 5
1 2 w
, כאשר w 0הינו פרמטר.
בסעיפים א' ו -ב' מקרבים ע"י שיטת יעקובי את הפתרון של המערכת x b
1 8 1 3
א 6( .נק' ).מצאו את כל ערכי הפרמטר wעבורם שיטת יעקובי תתכנס לפתרון המערכת לכל ניחוש התחלה.
נמצא את המטריצת האיטרציית יעקובי:
w
0 2w
.
3
0
0
8
נחשב את ): (B
0
2 0
B D (L U )
1
0 3
8
1
2w
0 2 3 w 3 w ( B ) 3 w.
det( B I ) det 3
4
4
4
8
נדרוש ש ( B) 1 -וביחד עם הנתון כי w 0נקבל
4
.0 w
3
ב 7( .נק' ).הוכיחו כי עבור w 1 6ו w 1 4 -יש התכנסות לפתרון מערכת לכל ניחוש התחלה .מבין הערכים w 1 6
ו w 1 4 -איזה ערך יוביל להתכנוסת מהירה יותר? נמקו.
, w 1 4 4 3 , w 1 6 4 3לכן יש התכנסות לכל ערך התחלתי.
מתקיים
)(0
e
k
BJ
)(0
e
BJ k
)(0
BJ k e
השגיאה תשאף לאפס מהר ויותר
0 1 3
=
3
8
B
J
עבור w 1 6נקבל
3 8 0
0 1 2
BJ =1 2 BJ
עבור w 1 4נקבל
3 8 0
מכאן עבור w 1 6ההתכנוסת מהירה יותר.
BJ
) (k
, eלכן ככול שנורמת המטירצה
BJקטנה יותר
4
, ( F ( xi ) yi ) 2 שממזער את הביטויF ( x) a bx cx 2 ומטה מהצורה4 ) מצאו פולינום ממעלה.' נק8( .ג
i 0
: ( נתונות כדלהלןxi , yi ) באשר הנקודות
xi
2
1
yi
15
5
ונקבל את המערכת הבאה0 x
0
0
2
1
2
1
1
1
1 , 1 x 0 , 2 x
1
1
1
2
2
1
2
1
5
4
15
1
5
0 , f 2 בהתאם לדרישות נגדיר
1
1
4
5
: a, b, c למציאת המקדמים
(0 , 0 ) (0 , 1 ) (0 , 2 ) a ( f , )
(1 , 0 ) (1 , 1 ) (1 , 2 ) b ( f , )
( , ) ( , ) ( , ) c ( f , )
2 1
2
2
2 0
46
5 0 10 a 28 a 35
46 12
15 2
12
0 10 0 b 24 b 5 F ( x) 35 5 x 7 x .
10 0 34 c 86 c
15
7
.? נמקו4 ) האם הנקודות מהטבלה מסעיף ג' נדגמו מפולינום אשר מעלתו קטנה שווה. נק2( .ד
אז מיחידות הקר"פ נקבל שיוויון בין הקירוב4 כי אם הדגימות היו מפולינום שמעלתו קטנה שווה,לא
F (2)
F (1)
46
. F3
f3 2 אבלf לבין הוקטורF F (0)
35
F (1)
F (2)
5 'עמ
.
:.ז.ת
שאלה 3בשאלה זו נעסוק בקירוב הפתרון של המשוואה x3 a 0עבור . a 0
w
א 5( .נק' ).נתונה האיטרציה , n 0,1,...
xn 2
xn 1 xn (1 w) aכאשר w 0פרמטר ממשי .הוכיחו שאם האיטרציה
הנתונה מתכנסת אז היא מתכנסת לשורש של המשוואה . x 3 a 0, a 0
היות ו האיטרצייה מתכנסת נקבל כאשר n כי
aw
2
x x(1 w)
x
3
wx aw
3
x a
כלומר האיטרצייה מתכנסת לפתרון המשוואה הנתונה.
ב 7( .נק' ).נניח שהניחוש ההתחלתי מספיק קרוב לשורש של המשוואה הנתונה ,עבור אילו ערכים של הפרמטר wצפויה
התכנסות לשורש של המשוואה . x 3 a 0, a 0
נגזור את פונקצית האיטרצייה ונקבל
aw
,
x2
2aw
g '( x) (1 w) 3 .
x
g ( x) x(1 w)
נדרוש ( | g '( ) | 1כאשר הוא השורש של המשוואה הנתונה כלומר ) 3 aונקבל :
||1 3w | 1
2aw
3
| g '( ) || (1 w)
2
0 w .
3
ג 5( .נק' ).נניח שהניחוש ההתחלתי מספיק קרוב לשורש של המשוואה הנתונה ,עבור אילו ערכים של הפרמטר wסדר
ההתכנסות הוא הגבוה ביותר.
נוכל להבטיח סדר התכנסות לפחות 4אם נדרוש ש : g '( ) 0 -
1
3
6aw
g '( ) 1 3w 0 w
2
0
3
a
6w
w 1 3
6w
4
g ( ) 0 g ( )
Ba Ca 2
ד 8( .נק' ).מצאו מקדמים A, B, Cכך שהאיטרציה המוגדרת באופן הבא, n 0,1,... :
xn 2 xn5
xn 1 Axn תהיה
בעלת סדר התכנסות מקסימלי.
Ba Ca
פונקצית האיטרצייה היא
x 2 x5
g ( x) Ax נדרוש כי
g ( )
g '( ) 0
g ''( ) 0
5
5
1
מפתירת שלושת המשוואות נקבל . A , B , c
9
9
9
ת.ז:.
.
עמ' 7
x '(t ) f t , x
לפי שיטת אוילר קדמי.
שאלה 4בסעיפים א' ו ב' נקרב את הפתרון לבעיית התחלה
x t0 x0
נסמן - xk , tk t0 k h :פתרון לפי שיטת אוילר.
א 6( .נק' ).תהי fפונקציה בעלת נגזרות חלקיות רציפות בכל הישר הממשי ,הראו כי מתקיים ) x(tk
. xk
k
kh t F t0
נדרש להוכיח כי 0
, xk x(t F ) כלומר צריך להראות ששגיאה שואפת לאפס.
k
חסם השגיאה לפי משפט אוילר:
M t k t0 L
f
ek xk x(tk ) h
e
1 ,
L, x M
2L
x
Y tk t0 L
, C אם C אז 0 :
xk x(tk ) hC כאשר t kקבוע.
e
נסמן 1
h 0
2L
נותר להראות כי , L, M למעשה מספיק להראות שהפונקציות f x , xרציפות בקטע ] . [t0 , t F
מהתנאי על fנובע כי fרציפה ב , [t0 , t F ] -כמו כןx f t ff x x f :
כלומר xרציפה ב [t0 , t F ] -ולכן גם xרציפה ב[t0 , t F ] -
x '(t ) xt
ב 6( .נק' ).נתונה בעיית ההתחלה
, מקרבים את הערך ) x(3בשיטת אויילר קדמי ,מהו גודל הצעד h
x 1 3
אשר יבטיח שגיאה קטנה מ? 103 -
בתחום המבוקש קיים ויחיד פתרון למד"ר ,כמו כן קיים פתרון זהותית אפס ולכן כל פתרון אחר לא מתאפס .עבור תנאי
התחלה נתון fנשארת שלילית בתחום ולכן ) x(tזו פונקציה מונוטונית יורדת ,כלומר . max{x(t)} 3נבדוק האם
1t 3
אפשר למצוא חסמים על הנגזרות : x, f x
f x t f x 3 L
x ft ff x x xt 2 x 3 27 30 M
אכן קיימים חסמים ולכן יש התכנסות:
M tk t0 L
ek h
e
1 5h e2 1
2L
רוצים למצוא hכך שהשגיא לא תעלה על : 2.13 103
103
5h e 2 1 10 3 h
5 e 2 1
ג 8( .נק' ).פתחו סכימה נומרית עם שגיאה לוקאלית מסדר גודל ) O (h3לקירוב הפתרון של בעיית ההתחלה
x '(t ) x 2
.
x 0 1
נדרש רק לפתח סכימה ,ללא הגבלה על סוג ולא נדרשת הוכחת התכנסות .לכן נקח סכימה כלשהי שמקיימת זאת:
h
) f ( x(tn )) f ( x(tn1 )) O(h3
2
f ( x(t ))dt
tn h
x(tn 1 ) x(tn )
tn
h
f ( xn ) f ( xn1 )
2
נציב את הנתון:
h
xn1 xn xn2 xn21
2
למעשה בכל צעד מקבלים משוואה ריבועית עבור
xn 1 xn
: xn 1
h 2
1
xn 1 xn 1 Cn 0 , Cn hxn2 2 xn
2
2
1
1
xn 1 1 12 hCn 1 1 h hxn2 2 xn
h
h
קל לראות שהפתרון של מד"ר לא מתאפס ויורד מונוטונית ,כלומר 0 x(t ) 1עבור 0 t
לכן נבחר את הפתרון החיובי ,כלומר הסכימה המבוקשת:
1
1
1 2
xn 1 1 1 h 2 xn hxn2
xn xn2
h
h
h2 h
הערה :ניתן לפתח גם ע"י שיטת טיילור
ד 2( .נק' ).הוכיחו את הזהות הבאהf ( h) f (h) h f ( h) f (h) O(h3 ) :
h
) f ( x)dx h f (h) f (h) O(h
3
f ( h) f ( h)
h
כאשר בצד ימין מופיעה קירוב אינטגרל לפי כלל הטרפז.
ת.ז:.
.
עמ' 9
שאלה 2תהי ) f ( xפונקציה בעלת ארבע נגזרות רציפות .בנוסף נתונים ערכי ) f ( xבנקודות , 2h, h, ahכאשר
a, hקבועים חיוביים.
א 7( .נק') חשבו את פולינום האינטרפולציה ל f ( x) -אשר עושה שימוש בערכי ) f ( xבנקודות . 2h, h, ah
ולכן
ב 6( .נק') מצאו קירוב ל f '(0) -מסדר דיוק אלגברי מקסימלי ,אשר עושה שימוש בערכי ) f ( xבנקודות
. 2h, h, ah
נחפש קירוב מהצורה
אשר מדוייק לבסיס פולינומים ממעלה מירבית .נעבוד עם הבסיס
לכן נדרוש
ונשים לב כי הקירוב המתקבל מקיים
כאשר
הוא פולינום האינטרפולציה מסעיף א.
ג 6( .נק ).מצאו aעבורו סדר השגיאה בקירוב מסעיף ב' הוא מקסימלי.
מכוון ש
ו-
מקורב ע"י
מתקיים שהשגיאה בקירוב
היא
באופן כללי סדר הקירוב הוא ,4אלא אם כן נבחר
מקסימלי.
,עבורו סדר הקירוב הוא .3בחירה זו תוביל לסדר קירוב
ד 6( .נק ).יהי ) pn ( xפולינום אינטרפולציה לפונקציה ) f ( xבנקודות . x0 ,..., xnתהי xנקודה שונה מ x0 ,..., xn -הוכיחו
כי ) . En ( x ) f ( x ) pn ( x ) f [ x0 ,..., xn , x ]( x x0 ) ... ( x xn
ההוכחה מופיעה בסיכומים ובספרים.
ת.ז:.
.
עמ' 11
הפקולטה להנדסה ע"ש פליישמן
ENGINEERING FACULTY
בחינה בקורס" :אנליזה נומרית"
דר' א .מוחוב ,מר' י .דביר
מר' ר.לוי ,מר' ס .פונריוב
סמסטר ב' ,מועד א'
42..6.12
ת .ז_______________ .
מס .מחברת__________
משך הבחינה 3 :שעות.
יש לענות על ארבע שאלות .משקל כל שאלה .52%
יש לכתוב את התשובות והנימוקים על גבי טופס הבחינה .המחברת משמשת בתור טיוטה.
חומר עזר מותר :מחשבון כיס ,דפי הנוסחאות המצורפים לטופס הבחינה.
לשימוש הבודק:
שאלה 1
שאלה 4
שאלה 3
שאלה 2
שאלה 5
ציון בחינה
עמ' 1
שאלה 1
א 6 ( .נק' ).תהי ) f ( xפונקציה אשר גזירה ברציפות 2פעמים בקטע ] . [h, hהאם קיים פולינום ) p( xיחיד
ממעלה קטנה שווה 3אשר מקיים:
p ( h) f ( h),
p '( h) f '( h),
p (h) f (h),
p '(h) f '(h).
אם כן הוכיחו אחרת תנו דוגמה נגדית.
פתרון:
קיום אפשר לראות לפי הבניה הסטנדרטית של פולינום הרמיט.
ו המקיימים את תנאי האינטרפולציה.
נניח שיש שני פולינומים עד מעלה 3
נשים לב שהפולינום s=p-qמקיים את התנאים
ז"א ש ל -יש ארבעה שורשים (כולל ריבויים) .מכוון שלכל פולינום עד מעלה 3יש לכל היותר שלושה שורשים ,או
.
שהוא פולינום האפס ,מתקיים ש חייב להיות פולינום האפס ,ו
ב 5 ( .נק' ).תהי ) f ( xפונקציה אשר גזירה ברציפות 4פעמים בקטע ] . [h, hהאם קיים פולינום ) q( xיחיד
ממעלה קטנה שווה 4אשר מקיים ) p(h) f (h), p(h) f (hנמקו את תשובתכם.
פתרון:
לא .לדוגמה ,שני הפולינומים (השונים זה מזה)
ו-
מקיימים את תנאי האינטרפולציה ,ולכן הפתרון לא יחיד.
ג 8 ( .נק' ).תהי ) f ( xפונקציה אשר גזירה שלוש פעמים ברציפות .עבור h 0קטן כרצוננו וקבוע ממשי , k 1
בנו קירוב מהצורה ) f '(0) Af (h) Bf (khכך שהקירוב יהיה מדוייק לפולינומים ממעלה מקסימלית.
(הקבועים A, Bתלויים ב h -ו) k -
פתרון:
מכוון שיש שני פרמטרים חופשיים
נדרוש שהנוסחה מדוייקת עבור ו-
,ניתן לדרוש דיוק עבור פולינומים עד מעלה אחד.
ונקבל את התוצאה
עבור x 2לא מדוייק.
ד 6( .נק' ).עבור הקירוב שמצאתם בסעיף ב' מצאו k 1עבורו סדר הקירוב הוא מקסימלי.
פתרון:
מכוון שהנוסחה מסעיף 3מדוייקת לכל פולינום ממעלה ,1היא גם מדוייקת עבור פולינום האינטרפולציה
.לכן
המזדהה עם בנקודות הדגימה
של
היא שגיאת האינטרפולציה .קיבלנו ש השגיאה בנוסחת
הם הקבועים שחושבו בסעיף הקודם ו
כאשר
הגזירה היא הנגזרת של שגיאת האינטרפולציה באפס ,ולכן נחקור אותה ונמצא עבודו השגיאה מסדר מקסימלי.
ולכן
ו-
עלמנת להגיע לסדר קירוב מירבי ניפטר מהאיבר מהסדר הראשון ע"י בחירת
ת.ז:.
.
.
עמ' 3
שאלה 5
f a f b
f ' a f ' b
2
b a
א 6( .נק' ).נתון כלל הטרפז המתוקן b a
2
12
b
, f x dx אשר מדוייק לפולינומים
a
ממעלה קטנה שווה .3מה הסדר השגיאה בכלל הטרפז המתוקן?
פתרון:
את כלל הטרפז המתוקן ניתן לפתח ע"י חישוב האינטגרל של פולינום אינטרפולציה בצורת הרמיט ל f ( x) -בנקודות
a, a, b, bמעל הקטע ] . [a, bולכן השגיאה בכלל היא
b
f [a, a, b, b, c] ( x a ) 2 ( x b) 2 dx
a
b
( x a )2 ( x b )2 0
E f [a, a, b, b, x]( x a) ( x b) dx
2
2
a
) (
( x a) 2 ( x b) 2 dx
4! a
b
)(4
f
) E C O (h5
כאשר h b aולכן סדר השגיאה בכלל הוא .5
f a f b n1
f x dx Tn h
ב 7( .נק' ).עבור כלל הטרפז המורכב נסמן f xi
2
i 1
b
a
נסח והוכח את כלל הטרפז המתוקן המורכב.
פתרון:
נחלק את הקטע ] [a, bל n -קטעים באורך h 0כך ש . a x0 x1 x2 ... xn b -לכן
n 1
f xi f xi 1
f ' xi f ' xi 1
2
xi 1 xi
xi 1 xi
2
12
i 0
n 1
f x dx
i 0
n 1 xi 1
f x dx
i 0 xi
h2
h2
f '(a) f '( x1 ) f '( x1 ) f '( x2 ) .... f '(b) Tn f '(a) f '(b)
12
12
b
a
Tn
ג 8( .נק' ) .תהי ) f ( xגזירה ברציפות 4פעמים בקטע ] . [a, bנניח כי ערכי הפונקציה נתונים עם שגיאות מוחלטות שלא
גדולות מ 0 -הוכיחו כי החסם על השגיאה בכלל הטרפז המורכב חסומה כאשר . n
פתרון:
ערכי הפונקציה נתונים עם שגיאות מוחלטות שלא גדולות מ , 0 -לכן
1
1
f x dx h f ( x0 ) 0 f ( x1 ) 1 .... f ( xn 1 ) n 1 f ( xn ) n
2
2
מכאן השגיאה:
1
f ( xn ) n
2
) n 1
b
a
1
f x dx h 2 f ( x ) f ( x ) .... f ( x
b
n 1
1
0
1
0
a
n 1
)(b a) h 2 (2
1
1
f ( ) h 0 i n
12
2
i 1
2
)(b a)h 2 (2
1
1
f ( ) h 0 1 .... n 1 n
12
2
2
)(b a)h 2 (2
)(b a)h 2 (2
f ( ) hn
f ( ) (b a)
12
12
bounded
bounded
ד 2( .ק ) .מקרבים את האינטגרל dx
x2
f x e
בשיטת גאוס כך שלקירוב יש את הצורה
k
) f x e x dx Ai f ( xi
i 0
2
.מצאו kכך שהקירוב יהיה מסדר דיוק אלגברי ( .7נמקו)
פתרון:
לפי כללי אינטגרציית גאוס אם נמצא ארבע שורשים של פולינומי הרמיט הם יבטיחו שכלל גאוס יהיה בכעל סדר דיוק
אלגברי 7לכן הקירוב הוא מהצורה
3
) f x e x dx Ai f ( xi
i 0
לכן . k 3
ת.ז:.
.
2
.
עמ' 5
שאלה 3
בסעיפים א' ו ב' נעסוק בקירוב של הפונקציה f ( x) e xבקטע ]. [1,1
2
א 6( .נק' ).יהי ) q( x) A0 p0 ( x) A1 p1 ( x) A2 p2 ( xפולינום ממעלה קטנה שווה 4כך שהגודל
) e x q( xהוא
2
2
מינימלי .מצאו פולינומים ) p0 ( x), p1 ( x), p2 ( xכך שמערכת המשוואות למציאת הקבועים A0 , A1 , A2תהיה אלכסונית(.נמקו)
פתרון:
מערכת המשוואות למציאת המקדמים במקרה זה היא:
p , e x2
p0 , p2 A0 0
2
p1 , p1 A1 p1 , e x
p2 , p2 A2 p , e x2
1
p0 , p1
p1 , p1
p2 , p1
p0 , p0
1
, p1 , p0 כאשר המכפלה הפנימית מוגדרת . h, g hgdx
1
p , p
2 0
1
הפולינומים אשר אורתוגונליים ביחס למכפלה הפנימית h, g hgdxהם פולינומי לג'נדר:
p0 ( x) 1,
1
p1 ( x) x,
1
p2 ( x) (3x 2 1).
2
פולינומים אלו ילכסנו את המערכת למציאת הקבועים . A0 , A1 , A2
ב 5( .נק' ).יהי h( x) C0 C1 x C2 x 2פולינום ממעלה קטנה שווה , 4כך שהגודל ) e x h( xהוא מינימלי.
2
2
חשבו את
2
) h( x) q( xכאשר ) q( xהוא הפולינום מסעיף א'.
פתרון:
מיחידות הקר"פ נובע כי ) h( x) q( xולכן . h( x) q( x) 2 0
ג 7( .נק' ).נגדיר
2
M 1
2
. cond ( M , 2) Mנניח כי Aמטריצה המקיימת A At Iהאם קיימת מטריצה Bכך
ש ) . cond ( A, 2) cond ( A B, 2אם כן תנו דוגמה למטריצות A, Bכאלה .אחרת הוכיחו שהדבר לא יתכן.
פתרון:
לכל מטריצה הפיכה Mולכל נורמה מתקיים cond (M ) :
1
M M
1
, 1 I M Mכלומר ) . 1 cond (M
במקרה הנתון המטריצה Aמקיימת
( A A ) ( A ( A ) ) (I ) (I ) 1
1
1 t
1
t
I
I
2
cond ( A, 2) A 2 A
ולכן לא קיימת מטריצה Bכך ש. 1 cond ( A, 2) cond ( A B, 2) -
ד 7 ( .נק' ).הוכיחו את הטענה הבאה:
תהי Annמטריצה ריבועית .אז שיטת יעקובי לקירוב הפתרון של המערכת A x bמתכנסת לפתרון המערכת אם המטריצה
Aהיא בעלת התכונה אלכסון דומיננטי בשורות.
פתרון:
למטריצה Aיש אלכסון דומיננטי אם לכל iמתקיים aij aii
מתקיים :
)(0
e
k
BJ
)(0
e
BJ k
)(0
לכן ,תנאי מספיק להתכנסות השיטה הוא 1
BJ k e
) (k
n
j 1, j i
.
e
. BJנחשב את
. BJ
n
aij
1
j 1, j i
aii
max
ת.ז:.
1i n
aij
n
aii
j 1, j i
max
1i n
.
1
) D (L U
, BJכלומר aij aii
n
לכל . i
j 1, j i
עמ' 7
שאלה 4בשאלה זו נקרב פתרון למד"ר בעזרת סכימה סתומה חד-צעדית.
d
y ( x) f y
dxבנו סכימה לקירוב הפתרון ,כאשר הקירוב לאינטגרל בקטע
א 7( .נק' ).עבור בעיית התחלה מהצורה:
y x0 y0
xn , xn 1 עושה שימוש בערך הפונקציה בנקודה . xn 1מהו סדר השגיאה הלוקאלית?
פתרון:
הסכימה היחידה העונה על הדרישות היא אוילר אחורי .נראה את הבניה במפורש:
1
) f ( y ( x))dx y ( xn 1 ) y ( xn ) hf ( y ( xn 1 )) h 2 f '( y ( )) y '(
2
xn1
xn
d
y ( x)dx
dx
xn1
xn
שגיאה :נסמן )) , g ( x) f ( y( xאז
h2 h2
) f '( y ( )) y '(
2
2
xn1
)g xn 1 , x ( x xn 1 )dx g (c) ( x xn 1 )dx g (c
xn1
xn
xn
כאשר xn 1 xn hונסמן ) yn y ( xnונקבל סכימה:
) yn 1 yn hf ( yn 1
השגיאה הלוקלית זאת שגיאה שנוצרת בצעד בודד ,כלומר זאת שגיאת קירוב האינטגרל ) . O (h 2
d
y ( x) y
בסעיפים הבאים נתייחס לבעיית התחלה הבאה:
dx
y 0 1
כאשר מקרבים את הפתרון של בעיית ההתחלה לפי הסכימה מסעיף א'.
ב 7( .נק' ).עבור אלה ערכים של הפרמטר הממשי הסכימה מתכנסת לפתרון האנליטי של הבעיה הנתונה?
פתרון:
dy
d
y e x ln | y | x
dx
פתרון אנליטיy( x) y :
y
dx
בכדי לנתח התכנסות של הסכימה נבנה ונפתור משוואת ההפרשים המתאימה עם תנאי התחלה . y0 1
נציב yn 1 yn hyn 1 : f ( y) y
1 h yn1 yn
קיבלנו משוואת הפרשים לינארית הומוגנית ,קל לראות כי הפתרון הכללי:
n
y0 1 h
n
. yn 1 h
בכדי לנתח התכנסות נבחר * xומתקיים ( x* nhכלומר ככל שצעד קטן כך נדרש יותר צעדים בכדי להגיעה ל) x* -
ונראה האם הסדרה y nמתכנסת ל: e x* -
* x
hn hn x
*
1
1 h h
* e x
n
כלומר הסכימה מתכנסת תמיד לפתרון האנליטי.
1
1 h h
n
yn 1 h
ג 7( .נק' ).עבור אלה ערכים של הפרמטר הממשי הסכימה יציבה?
( כלומר נדרש לנתח השפעת של הוספת הפרעה לתנאי התחלה ,יש להניח כי ) 0 h
פתרון:
נוסיף הפרעה לתנאי התחלה:
y0 y (0) 1 ,
כלומר יש תנאי התחלה מקורי ותנאי התחלה חדש ולכן יש שתי פתרונות בהתאם .לפי סעיף הקודם:
n
n
yn y0 1 h 1 h
yn y0 1 h (1 ) 1 h
נסתכל על ההפרש בין שתי הפתרונות בכדי לנתח השפעת תנאי התחלה:
n
n
n
1 h
n
yn yn 1 h
כלומר הסימה יציבה אם ורק אם . 1 1 hיותר פשוט לנתח מתי לא יציבה:
1 1 h 1
2 h 0
0 h 2
0 h 0
, h 0לכן הסכימה יציבה כאשר
h 2
2
h
כלומר עבור - 0יציבה תמיד ועבור חיובי יש תנאי על גודל הצעד
2
.h
ד 4( .נק' ).הוכיחו את הזהות הבאהf (h) f (h) h f ( h) f ( h) O(h5 ) :
1
,
3
פתרון:
h
) f ( x)dx h f ( h) f ( h) O(h
5
f (h) f (h)
h
כאשר בצד ימין מופיעה קירוב אינטגרל לפי גאוס,רק צריך להתאים קטעt hx , 1,1 [h, h] :
h
1
בקטע 1,1הופכחם לשורשים
השורשים
3
3
בקטע ]. [h, h
הערה :ניתן לפתור גם ע"י פיתוח טיילור סביב אפס ,אך זה הרבה יותר ארוך.
ת.ז:.
.
עמ' 9
שאלה 2בשאלה זו נעסוק בקירוב שורשים למשוואה , f ( x) 0תוך שימוש בשיטה איטרטיבית מהצורה
) - , n 0,1, 2,... , xn 1 g ( xn ) xn f ( xnקבוע ממשי .ידוע כי ל f ( x) -קיים שורש ] , [a, bכמו-כן ידוע כי
0 f ( x) לכל ]. x [a, b
א 3( .נק ) .הוכיחו כי הינו שורש יחיד של המשוואה f ( x) 0בקטע ][a, b
פתרון:
נניח בשלילה כי קיימים שני שורשים , , כלומר . , f ( ) f ( ) 0
) f ( xגזירה ב [a, b] -לכן לפי משפט רול קיימת נקודה ] c [a, bכך ש , f (c) 0 -זה סותר את הנתון כי ). 0 f ( x
( f ( x) 0פונקציה מונוטונית עולה ,לכן יש רק שורש יחיד )
ב 8( .נק ) .הוכיחו כי עבור , 0,1 M כאשר ) M max f ( xהשיטה האיטרטיבית ) xn 1 g ( xn ) xn f ( xn
] x[ a ,b
מתכנסת לשורש לכל ]. x0 [a, b
הדרכה :השתמשו בפיתוח טיילור עבור fסביב . f ( x) f ( ) f (c)( x ) :
פתרון:
נבדוק g ( ) f ( ) 0 : g ( )
0
נבדוק , 0 2 M 0 M 2 0 f ( x) 2 g ( x) 1 f ( x) 1 : g ( x) 1לכן עבור
1
0,1 M בהחלט מתקיים inf f ( x) ( , g ( x) 1
M
) g ( x) 1
1
נבדוק שg :[a, b] [a, b] -
) g ( x) x f ( x) x f ( ) f (c)( x ) x f (c)( x
) f (c) (0,1] 0,1 M , M max f ( xנסמן ) , f (cלכן
] x[ a ,b
) , 0,1 , g ( x) x ( x ) x ( xכלומר ) g ( xהונו ממוצע , 1 x כלומר נמצאת בין xלבין ,
כאשר ], , x [a, b
לכן מתקיים ]. g :[a, b] [a, b
ג 8( .נק ).עבור f ( x) e x 2 , M max f ( x ) , 0,1 M ו [a, b] [0,1] -מהו סדר ההתכנסות.
] x[ a ,b
פתרון:
, f (1) e 2 0 , f (0) 1 0לכן ). (0,1
נבדוק ערך ) . (0,1) , g ( ) 1 f ( ) 1 e : g(מכאן g ( ) 0כאשר . 1 eאך עבור
M max f ( x) max e x e , 0,1 M 0,1 eמתקיים . 0 1 e 1 eלכן סדר התכנסות הוא .1
] x[ a ,b
]x[0,1
ד 6( .נק ).עבור 2 7 , [a, b] [0,1] , f ( x) e x 2בידקו כי השיטה ) xn 1 g ( xn ) xn f ( xnמתכנסת
לשורש של f ( x) 0לכל ] . x0 [0,1כמה איטרציות דרושות כך שהשגיאה היחסית תהיה קטנה מ. 106 -
פתרון:
, 0,1 M 0,1 e , M max f ( x) eלכן מספיק לבדוק כי ( 2 7 0,1 eאפשר כמוב לבדוק גם
] x[ a ,b
כל התנאים עבור 2 7כמו בסעיף א')
, 2 7 1 eלכן קיים כך ש g '( x) K 1 -והשיטה מתכנסת לכל ]. x0 [0,1
0.369
0.285
2
2
נחשב f ( x) 1 e x : K 1
7
7
2e0 5
. g ( x) 1
7
7
e
שגיאה יחסית . n :מתקיים , en K n e0כאשר
- g ( x) 1 מונוטונית יורד ,לכן עבור ]x[0,1
n
. en xn נבחר ( x0 0התכנסות לכל ] ,) x0 [0,1אז
5
,מכאן n ...
. e0 x0 לכן K 106
7
n
ת.ז:.
.
en
עמ' 11
הפקולטה להנדסה ע"ש פליישמ
ENGINEERING FACULTY
בחינה בקורס" :אנליזה נומרית"
דר' א .מוחוב ,מר' י .דביר
מר' ב.סובר ,מר' ס .פונריוב
סמסטר א' ,מועד ב'
05.02.14
ת .ז_______________ .
מס .מחברת__________
•
מש הבחינה 3 :שעות.
•
יש לענות על ארבע שאלות .משקל כל שאלה .25%
•
יש לכתוב את התשובות והנימוקי על גבי טופס הבחינה .המחברת משמשת בתור טיוטה.
•
חומר עזר מותר :מחשבו #כיס ,דפי הנוסחאות המצורפי לטופס הבחינה.
לשימוש הבודק בלבד!!!:
שאלה 1
שאלה 2
שאלה 3
שאלה 4
שאלה 5
ציו בחינה
עמ' 1
h
שאלה 1בשאלה זו נעסוק בקירוב האינטגרל , ∫ f ( x)w( x)dxכאשר ) w ( xפונקציית משקל שמקיימת w ( x ) ≥ 0
0
וגזירה אינסו %פעמי.$
h
א 8) .נק (.נתו הקירוב ) )( f (0)w(0) + f (h)w(h
2
h
≈ . ∫ f ( x) w( x)dxמהו סדר הדיוק של הקירוב? הא $הקירוב מדוייק
0
לפולינומי $ממעלה כלשהיא?
פתרו :#נסמ ) , g ( x) = f ( x) w( xאז הנוסחה
h
h
) )∫ f ( x)w( x)dx = 2 ( f (0)w(0) + f (h)w(h
הופכת ל-
0
h
h
h3
) ) , ∫ g ( x)dx = ( g (0) + g (hאז איבר השגיאה הינו
2
12
0
) E ( x) = g ′′ ( c
)g ′′ ( x ) = ( f ( x) w( x) )′′ = ( f ′( x) w( x) + f ( x) w′( x) )′ = f ′′( x) w( x) + 2 f ′( x) w′( x) + f ( x) w′′( x
h3
h3
) )= ( f ′′(c) w(c) + 2 f ′(c) w′(c) + f (c) w′′(c
לכ
12
12
מכא סדר דיוק הוא 3והנוסחה אינה מדוייקת אפילו לפונקציות קבועות.
) E ( x) = g ′′ ( c
h
ב 7) .נק ( .מצאו קירוב מהצורה
)∫ f ( x)w( x)dx ≈ Af (0) + Bf (h
כ +שהקירוב יהיה בעל סדר דיוק אלגברי לפחות .1
0
)הדרכה :המקדמי A, B $התלויי $ב( w( x) -
פתרו:#
h
∫ w( x)dx = A + B
עבור : f ( x ) = 1
0
h
עבור : f ( x ) = x
∫ xw( x)dx = Bh
0
h
h
1
⇐ B = ∫ xw( x)dx
h0
1
x
לכ xw( x)dx = ∫ w( x) 1 − dx
∫
h0
h
0
h
x
כלומר , A = ∫ w( x) 1 − dx
h
0
h
h
h
0
0
A = ∫ w( x)dx − B = ∫ w( x)dx −
h
1
B = ∫ xw( x)dx
h0
h
∫ f ( x)w( x)dx ≈ A f ( x ),
ג 7) .נק' (.מצאו קירוב מהצורה ]x0 ∈ [0, h
0
0
כ +שהכלל יהיה מדוייק עבור פולינומי $ממעלה
0
מקסימלית , mמהו ? m
פתרו :#נעזרת באנטגרצית גאוס:
b
h
)(2 n + 2
n
2
f
) (c
Ψ
(
x
)
w
(
x
)
dx
,
f
(
x
)
w
(
x
)
dx
=
) Ai f ( xi ) = A0 f ( x0
(
)
∑
n
∫0
(2n + 2)! ∫a
i =0
הוא 2n + 1
= ) ) , E ( I ( fסד דיוק אלגברי של הנוסחה
h
עבור : f ( x ) = 1
∫ w( x)dx = A
0
0
h
עבור : f ( x ) = x
∫ xw( x)dx = A x
0 0
0
h
1
⇐ xw( x)dx
A ∫0
= x0
h
h
קבלנו , ∫ w( x)dx = A0
0
∫ xw( x)dx
0
h
= x0
∫ w( x)dx
0
ד 3) .נק' (.מצאו את איבר השגיאה לקירוב אשר מצאת $בסעי %ג'
b
)f (2) (c
2
= )) E ( I ( f
נוסחת השגיאה תהי ( x − x0 ) w( x)dx
∫
(2! a
הנוסחה מדוייקת לפולינומיי $עד מעלה 2n + 1 = 1
ת.ז:.
.
עמ' 3
שאלה 2בשאלה זו נקרב פתרו למד"ר בעזרת סכימה מפורשת דו-צעדית.
)y ' = f ( y
בנו סכימה לקירוב הפתרו,
א 8) .נק' (.עבור בעיית התחלה מהצורה:
y ( x0 ) = y0
כאשר הקירוב לאינטגרל בקטע ] [ xn , xn +1עושה שימוש בערכי הפונקציה בנקודות . xn , xn −1מהו סדר השגיאה הלוקאלית?
פתרו:#
נרשו $את הבעיה בצורה:
xn+1
f ( y ( x))dx
∫
xn
xn+1
= y '( x)dx
∫
= ) y ( xn +1 ) − y ( xn
xn
נשתמש בסימו f ( y ( xn )) = f ( yn ) = f n :ונקרב את האינטגרל בעזרת פ"א בנק' : xn , xn −1
f n − f n −1
( x − xn −1 ) + f [ xn −1 , xn , x]( x − xn −1 )( x − xn ) dx
h
h
5
−
f
[
x
,
x
,
x
]
x
(
x
h
)
dx = ( 3 f n − f n−1 ) +
f ''(ξ )h3
−
1
n
n
∫h
2
12
≥0
כלומר סדר שגיאה לוקלי ) O (h3וסכימה לקירוב הפתרו:
h
) ) yn+1 = yn + ( 3 f ( yn ) − f ( yn −1
2
2h
x dx +
+
n −1
xn+1
∫ f
xn
2h
xn+1
= f ( y ( x))dx
∫
xn
f −f
[ x = x − xn−1 ] = ∫ f n−1 + n n−1
h
h
y ' = −2 y
הראו כי הפתרו המקורב לפי הסכימה מסעי %א' שוא %לפתרו
ב 12) .נק' (.נתונה בעיית התחלה הבאה:
y ( 0) = 1
האנליטי של הבעיה הנתונה ,כאשר המרחק בי שתי נקודות רשת עוקבות שוא %לאפס כלומר . h → 0
x x2
) הדרכה− + O( x3 ), e x = 1 + x + x 2 + O( x3 ) :
2 8
( 1+ x = 1+
פתרו:#
נציב בסכימה שקיבלנו ונקבל משוואת הפרשי $הבאה:
yn+1 − yn + h ( 3 yn − yn −1 ) = 0
זאת משוואה לינארית הומוגנית ,נגדיר β n = ynולאחר צימצו: n $
β 2 − (1 − 3h) β − h = 0
2 β ± = (1 − 3h) ± (1 − 3h) 2 + 4h = (1 − 3h) ± (1 − 6h + 9h 2 ) + 4h
9
4
= 1 − 3h ± 1 − h + h 2 − h 2 + O (h3 )
2
8
) β + = 1 − 2h + 2h 2 + O(h3 ), β − = − h − 2h2 + O(h3
1/2
)
(
2 β ± = (1 − 3h) ± 1 − 2h + 9h 2
ואז הפתרו הכללי:
n
3
2
n
3
2
= )) yn = c0 (1 − 2h + 2h + O(h )) + c1 (− h − 2h + O(h
) = c0 (e −2 h + O(h3 )) n + c1 (−1) n O(h n ) = c0 e −2 hn (1 + O(h3 )) + c1 (−1) n O(h n
) = c0e −2 x (1 + O(h3 )) + c1 (−1) n O(h n
כמו כ מתקייc0 β +0 + c1β −0 = y0 = 1 :$
y ' = 2λ y
ע"י הסכימה שמצאת $בסעי %א'.
ג 5) .ק ( .מקרבי $את הפתרו של בעיית ההתחלה:
y ( 0) = 1
ת.ז:.
.
עמ' 5
עבור אלה ערכי $של הפרמטר הממשי λהסכימה מתכנסת לפתרו האנליטי?
פתרו:#
למעשה אפשר להשתמש בתוצאות סעי %ב':
yn+1 − yn − λ h ( 3 yn − yn −1 ) = 0
yn+1 − yn + h ( 3 yn − yn −1 ) = 0 , h = −λ h
h ולכ כל התוצאות הקודמות תקיפות:
מקוד $דרשנו רק ש h → 0 -וכא מתקיי→ 0 :$
h →0
→ e2λ x
yn = c0e 2λ x (1 + O(h3 )) + c1 (λ ) n O(h n )
h→0
שאלה 3
א 8) .נק' (.יהי ) pn −1 ( xפולינו $אינטרפולציה ל f ( x) -בנקודות x0 , x1 ,..., xn −1ויהי ) pn ( xפולינו $אינטרפולציה ל-
) f ( xבנקודות . x0 , x1 ,..., xn −1 , xnנניח כי הנקודות x0 , x1 ,..., xn −1 , xnשונות זו מזו ,הוכיחו כי
) pn ( x) = pn −1 ( x) + f [ x0 ,..., xn ]( x − x0 ) ⋅ ( x − x1 ) ⋅ .... ⋅ ( x − xn −1
פתרו:#
נגדיר ) . qn ( x) = pn ( x) − pn−1 ( xהיות ו pn ( x) ∈ Π n , pn −1 ( x) ∈ Π n −1נובע כי . qn ( x) ∈ Π n
מהדרישות עבור פולינו $האינטרפולציה נובע כי לכל i = 0,1,..., n − 1מתקיי:$
. qn ( xi ) = pn ( xi ) − pn −1 ( xi ) = f ( xi ) − f ( xi ) = 0
מכא נובע כי ל qn ( x) -יש שורשי $ב x0 , x1 ,..., xn −1 -ומהמשפט היסודי של האלגברה נובע כי ל qn ( x) -את הצורה
, qn ( x) = C ( x − x0 ) ⋅ ( x − x1 ) ⋅ ... ⋅ ( x − xn −1 ), C ∈ const
לכ ) . pn ( x) = pn −1 ( x) + C ( x − x0 ) ⋅ ( x − x1 ) ⋅ ... ⋅ ( x − xn −1
מכא ע"י השוואת מקדמי x nבשיוויו האחרו נקבל כי ] C = f [ x0 , x1 ,..., xn
ב 5) .נק' (.בנו פולינו $אינטרפולציה ל f ( x) -אשר עושה שימוש בערכי( h > 0 ) f (0), f '(0), f (h) $
פתרו:#
נבנה פולינו $אינטרפולציה לפי הרמיט ל f ( x) -בנק' : 0, 0, h
f (h) − f (0) − hf '(0) 2
x
h2
ת.ז:.
.
. p( x) = f [0] + f [0, 0]x + f [0, 0, h]x 2 = f (0) + f '(0) x +
עמ' 7
ג 5) .נק' (.הוכיחו כי הפולינו $שבנית $בסעי %ב' הוא יחיד.
פתרו:#
נניח כי קיי $פולינו $נוס q ( x) %אשר מקיי $את תנאי האינטרפולציה מסעי %ב' ונראה כי ). q ( x) ≡ p ( x
נגדיר ) , w( x) = p ( x) − q ( xמכא ש w( x) ∈ Π 2 -ומתקיי. w(0) = w(h) = 0 $
מכא לפי משפט רול קיימת נק' ) c ∈ (0, hכ +ש. w '(c) = 0 -
מכא ומכ +ש w '(0) = 0, w '( x) ∈ Π1 -נובע כי w '( x) ≡ 0ולכ , w( x) ≡ constאבל w(0) = 0לכ נסיק כי . w( x) ≡ 0
ד 7) .נק' (.מצאו נקודה ) α ∈ (0, hשעבורה הקירוב ) f '(αאשר עושה שימוש בערכי f (0), f '(0), f (h) $הוא בעל שגיאה
מסדר דיוק מקסימלי .מהו סדר דיוק השגיאה? )נמקו את תשובתכ($
פתרו:#
תחילה נמצא ביטוי לשגיאת האינטרפולציה בקטע
f (3) (c) 2
= ). E ( x
)x ( x − h), c ∈ (0, h
!3
נגזור את הביטוי לשגיאה באינטרפולציה ונקבל:
)(4
)(3
f (d ) 2
) f (c
= ). E '( x
x ( x − h) +
)(3 x 2 − 2hx), c, d ∈ (0, h
!4
!3
מכא ,על מנת לקבל סדר דיוק ) O(h3שהוא סדר הדיוק המקסימלי שאפשר לקבל עבור קירוב זה ,נאפס איברי $מסדר
2
דיוק ) . O(h 2לכ נחפש נק' ) α ∈ (0, hכ +ש 3 x 2 − 2hx = 0 -ונקבל . α = h
3
שאלה 4
א 7) .נק' (.עבור i = 1,..., 4נתונות המדידות הבאות:
4
3
2
1
xi
12
6
4
2
) f ( xi
f ( x1 )
F ( x1 )
f ( x2 )
F ( x2 )
=, F
נגדיר
F ( x3 )
f ( x3 )
f ( x4 )
F ( x4 )
b
. f = מצאו קירוב מהצורה F ( x) = a +כ +ש || F − f ||2 -תהיה מינימלית.
x
פתרו:#
1
1
1
2
1
נחפש קירוב מהצורה . F = a ⋅ φ0 + b ⋅ φ1 , φ0 = , φ1 = 1 מכא למציאת המקדמי a, b $נפתור את מהמערכת:
1
3
1
1
4
25
(φ0 , φ0 ) (φ0 , φ1 ) a ( f , φ0 ) 4
12 a 24
=
⇒ a = 148/13, b = -672/65.
⋅ =
⇒
⋅
(φ1 , φ0 ) (φ1 , φ1 ) b ( f , φ0 ) 25 205 b 9
12 144
f ( x1 )
G ( x1 )
f ( x2 )
G ( x2 )
=, G
ב 8) .נק' (.נגדיר
G ( x3 )
f ( x3 )
f ( x4 )
G ( x4 )
3
2
. f = עבור קירוב ריבועי $מינימלי $מהצורה G ( x) = Ax + Bx + Cx + D
של fחשבו את ) || G − f ||2נמקו את תשובתכ.($
פתרו:#
, || G − f ||2 = 0היות ומקרבי $וקטור ב R 4 -מתת מרחב וקטורי של R 4בעל מימד ,4לכ לפי יחידות הקר"פ נקבל
שהשגיאה היא אפס.
ת.ז:.
.
עמ' 9
1.01 0.99
−2
, הניחו כי הוקטור bמגיע ע $שגיאה δ bכ +ש. || δ b ||1 ≤ ε -
ב 8) .נק' (.נתונה המערכת x = b, b =
0.99 1.01
1
δx
מצאו תנאי על εכ +שהשגיאה היחסית בפתרו
לא תעלה על עשרה אחוזי.$
x
1
פתרו :#נחשב את מס' המצב של המערכת ונשתמש בחס $על השגיאה היחסית:
≤ 0.1
ε
3
= 100
δb 1
b1
δx
)≤ cond ( A
1
x
⇒ ε ≤ 0.003
ג 10) .נק' (.כמה איטרציות של שיטת יעקובי דרושות לקירוב הפתרו למערכת המשוואות Ax = bכ +שהשגיאה
היחסית בפתרו בנורמה ∞ תהיה קטנה מ , 10−8 -כאשר
−1
4 2 0
3 5 1
0 −3 5
3
5
1
A=
0
1
0
פתרו:#
4
נחשב את הנורמה המטריציאלית המושרת מנורמת אי סו %של מטריצת איטרציית יעקובי ונקבל =
5
0
0
מכא נשתמש בתנאי התחלה x0 = 0 ונחפש את nהשל $הראשו שמקיי:$
0
0
n
4
= < 10−8
5
ונקבל . n = 83
n
∞
δx
= B
∞
x
∞
. B
שאלה 5בשאלה זו נעסוק בקירוב שורשי $למשוואה . f ( x ) = 0
א 8) .נק ( .תהי ] g :[a, b] → [a, bרציפה בקטע ] , [a, bאז ל g ( x) -יש נקודת שבת בקטע ]. [a, b
הוכיחו כי א $קיי K < 1 $כ +ש g '( x) ≤ K < 1 -בקטע ] [a, bאז האיטרציה xn +1 = g ( xn ) , n = 0,1, 2,...מתכנסת
לנקודת השבת לכל ]. x0 ∈ [a, b
פתרו:#
נתבונ כעת בסדרה. xn +1 = g ( xn ) , n = 0,1, 2,... :
נחסיר משני האגפי α = g (α ) $ונקבל xn +1 − α = g ( xn ) − g (α ) ≤ K xn − α < xn − α
א xn ∈ [a, b] $אז ג . xn +1 ∈ [a, b] $כמו כ:
2
xn − α ≤ K xn −1 − α ≤ K xn − 2 − α ≤ ... ≤ K n x0 − α
. xn
, xn − α כלומר → α
כיוו ש K < 1 -נקבל כי → 0
∞→ n
∞→ n
בסעיפי $הבאי $מקרבי $שורש של המשוואה הבאה , f ( x ) = 0.5 x 3 + x 2 + x − 1.5 = 0בעזרת שיטה איטרטיבית.
ב 3) .נק ( .הראו כי למשוואה הנתונה קיי $שורש בקטע ]. [ 0.7, 0.8
פתרו:#
) f ( xרציפה ומחליפה סימ בקטע, f ( 0.7 ) = −0.1385 , f ( 0.8 ) = 0.196 :
לכ לפי משפט ער +הביניי $יש שורש.
ת.ז:.
.
עמ' 11
ג 6) .נק ( .נתונה האיטרציה . xk +1 = g ( xk ) = −0.5 xk 3 − xk 2 + 1.5
הסבירו הא $האיטרציה מתאימה לקירוב השורש של המשוואה הנתונה? א $כ הא $היא מתכנסת לכל ]? x0 ∈ [ 0.7, 0.8
פתרו:#
צרי +להראות כי , f (α ) = 0 ⇔ g (α ) = αאכ מתקיי. 0.5α 3 + α 2 + α − 1.5 = 0 ⇔ −0.5α 3 − α 2 + 1.5 = α $
, g ′( x) = −1.5 x 2 − 2 x = − x (1.5 x + 2 ) ⇐ g ( x) = −0.5 x 3 − x 2 + 1.5 x
מכא g ′( x) = − x (1.5 x + 2 ) < 0בקטע ] , [ 0.7, 0.8כלומר ) g ( xיורדת ,כמו-כ . g ′(0.7) = −2.135
לכ לכל ] x0 ∈ [ 0.7, 0.8מתקיי g ′( x) > 1 $לכ השיטה לא תתכנס.
ד 8) .נק ( .נתונה האיטרציה הבאה , xk +1 = g ω ( xk ) :כאשר ) , 0 < ω < 1 , g ω ( x) = (1 − ω ) x + ω g ( xכאשר ) g ( xהיא
פונקצית האיטרציה מסעי %ג' .הא $האיטרציה מתאימה לקירוב הפתרו של המשוואה הנתונה?
א $לא הסבירו למה ,א $כ מצאו תחו $עבור 0 < ω < 1כ +שהשיטה תתכנס לכל ]x0 ∈ [ 0.7, 0.8
פתרו:#
צרי +להראות כי , f (α ) = 0 ⇔ gω (α ) = αאכ מתקיי$
g ω (α ) = α ⇐ g ω (α ) = (1 − ω ) α + ωα ⇐ g ω (α ) = (1 − ω ) α + ω
) g (α
α
נמצא 0 < ω < 1כ +שg ω : I → I -
, x1 = 0, x2 = − 4 3 ⇐ g ′( x) = −1.5 x 2 − 2 x = − x (1.5 x + 2 ) = 0נקודות קיצו x1 , x2מחו 0לקטע ] , [ 0.7, 0.8לכ
gωמונטונית בקטע ,ערכי קיצו רק בקצצות .נדרוש שיתקיי , 0.7 ≤ gω (0.8) ≤ 0.8 , 0.7 ≤ g ω (0.7) ≤ 0.8 $נקבל
0 < ω < 0.51
נמצא 0 < ω < 1כ +ש: g ω′ ( x) < 1 -
)−2 < −ω + ω g ′( x) < 0 ⇐ − 1 < (1 − ω ) + ω g ′( x) < 1 ⇐ gω′ ( x) < 1 ⇐ g ω′ ( x) = (1 − ω ) + ω g ′( x
כיוו ש 0 < ω < 1 -ו g ′( x) < 0 -בקטע ] [ 0.7, 0.8נקבל כי −ω + ω g ′( x) < 0מתקיי $תמיד.
2
⇐ − 2 < −ω 1 −
מ −2 < −ω + ω g ′( x) -נסיק כי g ′( x)
)1 − g ′( x
<0
<ω
2
2
2
=
=
כיוו שלא ידוע השורש נדרוש ≈ 0.562
) x∈[ 0.7,0.8] 1 − g ′( x
) ′(0.8) 1 − ( −2.56
1
−
g
ω < min
<0
סופית :לפי חיתו +התחומי $נקבל . 0 < ω < 0.51
הפקולטה להנדסה ע"ש פליישמ
ENGINEERING FACULTY
בחינה בקורס" :אנליזה נומרית"
דר' א .מוחוב ,מר' י .דביר
מר' ב.סובר ,מר' ס .פונריוב
סמסטר א' ,מועד א'
05.02.14
ת .ז_______________ .
מס .מחברת__________
• מש הבחינה 3 :שעות.
• יש לענות על ארבע שאלות .משקל כל שאלה .25%
• יש לכתוב את התשובות והנימוקי על גבי טופס הבחינה .המחברת משמשת בתור טיוטה.
• חומר עזר מותר :מחשבו #כיס ,דפי הנוסחאות המצורפי לטופס הבחינה.
לשימוש הבודק:
שאלה 1
שאלה 2
שאלה 3
שאלה 4
שאלה 5
ציו בחינה
עמ' 1
h
שאלה 1
∫ f ( x)dx
בסעיפי" נעסוק בקירוב של האינטגרל
0
n
א 3) .נק ( .מקרבי" את האינטגרל הנתו ע"י ) f ( x )dx ≈ ∑ Ai f ( xi
i=0
h
∫
כ& שהקירוב יהיה מדויק לפולינומי" ממעלה
0
n
כלשהיא ,הוכיחו כי . ∑ Ai = h
i =0
פתרו:#
על פי הנתו הקירוב לאינטגרל מדויק לפולינומי" ממעלה כלשהיא ובפרט מדויק עבור , f ( x ) = 1לכ
n
h
i =0
0
∫ 1⋅dx = ∑ Ai ⋅1.
n
⇒ h = ∑ Ai .
i =0
h
ב 9) .נק ( .מצאו קירוב מהצורה )x1 ∈ (0, h
∫ f ( x)dx ≈ Af (h) + Bf ( x ),
1
כ& שהקירוב יהיה מדויק לפולינומי" ממעלה
0
מקסימלית.
פתרו:#
למציאת קירוב אשר יבטיח סדר דיוק מקסימלי ,נמצא תחילה ) x1 ∈ (0, hעל ידי הדרישה כי
h
∫ ( x − h)( x − x )dx = 0
1
0
h
.
3
= ⇒ x1
למציאת הקבועי" A, Bנדרוש מהכלל שיהיה מדויק עבורf ( x ) = 1, x :
h
∫ 1⋅dx = A + B ⇒ A + B = h,
0
h
h
h h2
xdx
=
Ah
+
B
⇒
Ah
+
B
= .
∫0
3
3 2
h
3h
, B= .
4
4
3h h
f ( ).
4
3
h
=⇒ A
h
∫ f ( x)dx ≈ 4 f (h) +
⇒
0
הערה :את הקבועי" A, Bוהנקודה ) x1 ∈ (0, hהיה נית לחשב ג" ע"י דרישת דיוק עבור f ( x ) = 1, x, x 2
)אותו ניקוד(
ג 7) .נק' (.מצאו ביטוי לשגיאת הקירוב אשר בסעי +ב' וקבעו את סדר השגיאה ואת סדר הדיוק האלגברי) .נית להציג
את הביטוי לשגיאה בעזרת אינטגרל מסוי"(
פתרו:#
h
3
נמצא ביטוי לשגיאת הקירוב ע"י אינטגרל על השגיאה באינטרפולציה של ) f ( xבנקודות : , h
h
h
h
h
h h
h
E = ∫ f [ , h, x]( x − )( x − h)dx
= f [ , , h, x]( x − ) 2 ( x − h)dx
=
∫
h
3
3
3 3
3
0
0
h
∫ ( x − 3 )( x − h ) dx =0
0
h
h
h
h h
h
h
) f (3) (η
h
= f [ , , h, c] ∫ ( x − ) 2 ( x − h)dx = ∫ ( x − )2 ( x − h)dx
( x − ) 2 ( x − h)dx
∫
3 3
3
3
3! 0
3
0
0
(t ) |} = M .
)(3
max{| f
E ≤ CMh 4
=
h
( x − )2 ( x − h ) ≤0
3
⇒
] t∈[0, h
מכא נובע כי סדר השגיאה הוא ) O(h 4כלומר ,4וסדר הדיוק האלגברי הוא .2
הערה :א" בסעי +הקוד" חיושב היה ע"י דרישת דיוק עבור , f ( x ) = 1, x, x 2בסעי +זה חייבי" לבדוק כי
h
h
∫ ( x − h)( x − 3 )dx = 0
0
ד 6) .נק . (.ידוע כי ערכי הפונקציה הנדגמי" לצור& הקירוב מסעי +ב' ,נדגמי" ע" רעש אשר גודלו בער& מוחלט לא
עולה על . ε > 0מצאו ביטוי לשגיאה וקבעו את סדר השגיאה) .נית להציג את הביטוי לשגיאה
בעזרת אינטגרל מסוי"(.
נמצא ביטוי לשגיאה כאשר ערכי הפונקציה נדגמי" ע" רעש:
h
h
) f (3) (η
h
= ( x − ) 2 ( x − h )dx
f ( x )dx = A( f ( h ) + ε 1 ) + B ( f ( ) + ε 2 ) +
∫
3
3! 0
3
h
∫
0
h
h
3h
h
) f (3) (η
h
= ( x − ) 2 ( x − h)dx
= ( f ( h) + ε 1 ) + ( f ( ) + ε 2 ) +
∫
4
4
3
3! 0
3
h
h
3h h h
3h
) f (3) (η
h
= f ( h) +
f ( ) + ε1 + ε 2 +
( x − )2 ( x − h)dx
∫
4
4
3
4
4
3! 0
3
noise − error
The approximation
error without noise
h
h
3h
) f (3) (η
h
⇒ E = ε1 + ε 2 +
( x − )2 ( x − h)dx ≤ ε h + CMh 4
∫
4
4
3! 0
3
noise − error
error without noise
מכא נובע כי סדר השגיאה הוא ). O(h
ת.ז:.
.
עמ' 3
שאלה 2
) y ' = f ( x, y
, בנו סכימה לקירוב הפתרו אשר מבוססת על כלל
א 7) .נק (.עבור בעיית התחלה כללית מהצורה
y ( x0 ) = y0
הטרפז.
נפרוש רשת של נקודות . xn = nh , n = 0,1,... :
נבצע אינטגרציה בקטע ] [ xn , xn +1של שני האגפי":
xn+1
) ⇐ y ' = f ( x, y
∫ f ( x, y )dx
xn+1
= y′dx
xn
∫
xn
xn+1
⇐
∫ f ( x, y )dx
= ) y ( xn +1 ) − y ( xn
xn
h
נשתמש בכלל הטרפז ונקרב :ו f ( xn +1 , y ( xn +1 ) ) + f ( xn , y ( xn ) ) .
2
h
נקבל ( f ( xn+1 , yn+1 ) + f ( xn , yn ) ) :
2
xn+1
≈
∫ f ( x, y )dx
,נקרב y ( xn ) ≈ yn
xn
yn +1 = yn +ע" תנאי התחלה . y ( x0 ) = y0
x′ = 2 x
. הראו כי הפתרו המקורב לפי הסכימה מסעי +א' שוא +לפתרו
ב 8) .נק (.נתונה בעית התחלה הבאה
x ( 0 ) = 1
האנליטי של הבעיה הנתונה כאשר המרחק בי שתי נקודות רשת עוקבות שוא +לאפס ) .( h → 0
y′ = 2 y
הפתרו האנליטי:
x = e 2t ⇐
y ( 0 ) = 1
נציב f ( x, y ) = 2 yבנוסחת הקירוב:
1+ h
yn +1 =
) yn ⇐ yn +1 (1 − h ) − yn (1 + h ) = 0 ⇐ yn +1 = yn + h ( yn +1 + yn
1− h
1+ h
n
n +1
n
⇐ β =
דר& :1נחפס פתרו מהצורה ⇐ β (1 − h ) − β (1 + h ) = 0 : yn = β
1− h
2
n
1+ h
1+ h 1+ h
1+ h 1+ h
yn =
, ... , y2 = y1
=
, y1 = y0
=
דר& :2
1− h
1− h 1− h
1− h 1− h
עבור xסופי נקבל : x = nh
ex
= e2 x
−x
e
= }= { x = nh
1
⋅nh
(1 + h ) h
= lim
⋅nh
(1 − h ) h
1
h →0
n
1+ h
lim yn = lim
h →0
h →0 1 − h
n
1+ h
yn =
1− h
ג 6) .נק ( .נניח כי תנאי התחלה לבעיה מסעי +ב' נתו ע" רעש , ε 0כלומר , ε 0 = y0 − y 0כאשר y0תנאי ההתחלה
המורעש .נסמ y nפתרו ע"י סכימה מסעי +א' ע" תנאי התחלה מורעש ,ונסמ את השגיאה ע"י . ε n = yn − y nהא"
השגיאה שואפת לאפס כאשר ∞ → ? nכלומר הא" הסכימה שפתחת" יציבה?
מסעי +ב':
yn +1 − y n +1 ) =
(
1+ h
1+ h
1+ h
, y n +1 = מכא ) yn − y n
, yn +1 = לכ y n
(
yn
1 − h
1− h
1− h
ε n+1
εn
) כלומר ε nמקיימת אותה משוואת ההפרשי" כמו , ynלכ יתנהג כמו אקספוננט ,לכ לא ישא +לאפס(
n
1+ h
1+ h
1+ h
, לכ הסכימה אינה יציבה
, ε n +1 = לכ > 1 , h > 0 ε n → 0
ε 0 ⇐ ε n +1 =
εn
1− h
1− h
1− h
y ' = λ y
ע"י הסכימה מסעי +א' .עבור אלה ערכי" של
ד 4) .נק ( .מקרבי" את הפתרו של בעיית ההתחלה
y ( 0 ) = 1
הפרמטר הממשי λהסכימה יציבה?
.
עבור משוואה הנצונה:
) ( yn +1 + yn
λh
2
n
⇐ yn +1 = yn +
1 + λh
1 + λh
, yn +1 = λ2h ynלכ נקבל , ε n +1 = λ2h ε 0
1− 2
1− 2
לכ עבור λ < 0הסכימה יציבה.
ת.ז:.
.
עמ' 5
.' ג' ו ד,' א' אינו קשור לסעיפי" ב+ סעי3 שאלה
נתו כי+ גזירה פעמיי" ברציפות ובנוסf ( x ) ( נתו כי. נק7) .א
. f ' ( x ) = f ''( x) " בה מתקייx קרבו את הנקודה. f ( 0.4 ) = 1.38 , f ( 0.2 ) = 1.2 , f ( −0.1) = 0.9
f [ xi ]
xi
f [ xi −1 , xi ]
f [ xi − 2 , xi −1 , xi ]
−0.1
0.9
0.2
1.2
1
0.4
1.38
0.9
0.9 − 1
= −0.2
0.5
P2 ( x) = 0.9 + 1 ⋅ ( x + 0.1) − 0.2( x + 0.1)( x − 0.2) = 1 + x − 0.2( x 2 − 0.1x − 0.02) = −0.2 x 2 + 1.02 x + 1.004
. P2′ ( x) ≈ P2′′ ( x) מכא, f ′′ ( x ) ≈ P2′′ ( x) . וf ′ ( x ) ≈ P2′ ( x) נקבל כיf ( x ) ≈ P2 ( x) .כיוו ש
x ≈ 3.55 לכ, x =
−1.42
= 3.55 ⇐ −
0.4 x + 1.02 = −
0.4
−0.4
P2′′ ( x )
P ′ (x)
2
גזירהf ( x ) נתו כי+ ובנוסi = ±1, ±2,... , xi = x0 + ih , x0 : בנקודותf ( x ) ( נתוני" ערכי פונקציה. נק8) .ב
. f ′′ ( x0 ) ≈ A−2 f ( x−2 ) + A−1 f ( x−1 ) + A2 f ( x2 ) : מהצורהf ′′ ( x0 ) . מצאו קירוב ל.ארבע פעמי" ברציפות
: ונשווה מקדמי" בנוסחהf ( x−2 ) , f ( x−1 ) , f ( x2 ) נרשו" טור טיילור עבור
h2
h3
′
′′
f
x
=
f
x
−
hf
x
+
f
x
−
f ′′′ ( c−1 )
( 0)
( 0)
( 0)
( −1 )
2
6
A−2 + A−1 + A2 = 0
4h 2
8h 3
A−2 ( −2h ) + A−1 ( − h ) + A2 ( 2h ) = 0 ⇐ f ( x−2 ) = f ( x0 ) − 2hf ′ ( x0 ) +
f ′′ ( x0 ) −
f ′′′ ( c−2 )
2
6
4h 2
h2
4h 2
4h 2
8h 3
A−2
+
A
+
A
=1
−1
2
′
′′
2
=
+
+
+
f
x
f
x
hf
x
f
x
f ′′′ ( c2 )
( 0)
( 0)
( 0)
( 2)
2
2
2
2
6
נציב בשלישית,
A−1 = −
A−2 = 3 A2
⇐ − A−2 + 3 A2 = 0
A−1 = −4 A2 ⇐
3 A2 + A−1 + A2 = 0
נקבל1.2 ממשוואות
h2
4h 2
h2
4h 2
2
1
1
A
A
A
A
A
A
,
=
,
=
⇐
12
=
1
⇐
3
−
4
+
=1
−2
2
2
2
2
2
3h 2
2h 2
6h 2
2
2
2
2
. f ′′ ( x0 ) ≈
1
2
1
f ( x−2 ) − 2 f ( x−1 ) + 2 f ( x2 ) לכ
2
2h
3h
6h
ג 6) .נק (.נתו כי לכל nטבעי מתקיי" . | f ( n ) ( x ) |≤ Mמצאו ביטוי לשגיאה בקירוב מסעי +ב' מהצורה ) , CMh ( m
כלומר מצאו . C , m
נשווה מקדמי" של ) : f ′′′ ( x0
1 8h 3 2 h 3 1 8h 3
h
′′′
0 = 0 ⋅ f ( x0 ) ≠ 2 −
) f ′′′ ( x0 ) = f ′′′ ( x0
− 2 − + 2
3
2h 6 3h 6 6h 6
נסמ שגיאת הקירוב קירוב ע"י ) . E 2 ( xנתו כי f ( n ) ( x ) ≤ Mלכל , n ∈ Nלכ
1 8h3
2 h3
1 8h3
2h h 2h
′′′
′′′
−
−
f
c
f
c
f ′′′ ( c2 ) ≤ M + + = Mh
(
)
(
)
−2
−1
2
2
2
2h 6
3h 6
6h 6
3 9 9
= )E2 ( x
C = 1, m = 1
ד 4) .נק ( .מצאו חס" לשגיאת הקירוב מסעי +ב' ,א" ידוע שערכי הפונקציה ) f ( xiנתוני" ע" שגיאה מוחלטת . ε i < ε
2
1
1
≤ f ′′ ( x0 ) − 2 ( f ( x−2 ) + ε −2 ) − 2 ( f ( x−1 ) + ε −1 ) + 2 ( f ( x2 ) + ε 2 )
3h
6h
2h
2
1
2
1
1
1
= f ′′ ( x0 ) − 2 f ( x−2 ) − 2 f ( x−1 ) + 2 f ( x2 ) + 2 ε −2 − 2 ε −1 + 2 ε 2
3h
6h
3h
6h
2h
2h
2 1
8
4
1
≤ hM + 2 + 2 + ε = hM + 2 ε = hM + 2 ε
6h
3h
2h 3h 6
ת.ז:.
.
עמ' 7
שאלה 4
4 1
1
. רשמו את איטרציות גאוס זיידל למערכת הנתונה והוכיחו כי היא
א 4) .נק ( .נתונה המערכת x =
1 2
1
מתכנסת לכל ניחוש התחלה.
4 1 4 0 0 1
A=
=
+
1 2 1 2 0 0
−1
−1
4 0 0 1
4 0 1
= −
x
x+
1 2 0 0
1 2 1
1 0 −2 ( n ) 1 2
x ( n +1) =
x +
80 1
8 3
1 0 −2
1 2
B=
,c=
80 1
8 3
3
1
=∞B1= , B
8
4
מתקיי" תנאי מספיק להתכסות :נורמת Bקטנה מאחד .כמו.כ למטיצת המרעכת יש אלכסו דומיננטי.
)( n +1
4 + w 0 ( n +1) w −1 ( n ) 1
מתכנסת ,הוכיחו כי היא מתכנסת
=
x
ב 4) .נק ( .נניח שהאיטרציה הבאה x +
2
1
0 0
1
לפתרו המערכת הנתונה מסעי +א'.
. x ( n +1)
→ x* , x ( n )
נתו כי יש התכסות של האיטרציות ,כלומר→ x* :
∞→ n
∞→ n
4 + w 0 * w −1 * 1
.
x =
ולכ בגבול מתקיי" x + :
2
1
0 0
1
4 1 * 1
, כלומר * xמקיי" את המ"ע מסעי +א'.
נעביר אגפי" ונקבל משוואה x = :
1 2
1
למעשה יש לנו נק' שבת שמתאימה לפתרו של המשוואה מסעי +א'.
4 + w 0 ( n +1) w −1 ( n ) 1
. מצאו כל ערכי הפרמטר wעבור"
=
x
ג 8) .נק ( .עבור האיטרציה x + , 0 ≤ w
2
1
0 0
1
האיטרציה מתכנסת לפתרו של המערכת מסעי +א' לכל ניחוש התחלה.
ראשית נייצג בצורה. x (n +1) = Bx (n) + c :
−1
4 + w 0 w −1
1 2 w −2
.B =
=
וננתח את מטריצת האיטרציות :
2 0 0 8 + 2w −w 1
1
בכדי למצוא את כל הערכי" של הפרמטר עבור" יש התכנסות ,צרי& לבדוק קיו" תנאי הכרחי.
1 + 2w
רדיוס ספקטרלי מוגדר להיות הע"ע הגדול בער מוחלט:
8 + 2w
= ). ρ (B
1 + 2w
התנאי להתכנסות הוא ) 1 > ρ (Bונתו כי 0 ≤ wולכ מקבלי"< 1 :
8 + 2w
= )ρ (B
עבור 0 ≤ wיש התכנסות איטרציות
ולפי סעי +ב' נובעה כי ההתכנסות היא לפתרו של מ"ע מקורית א'.
ג 9) .נק ( .מקרבי" את הפתרו של המערכת מסעי +א' בעזרת האיטרציות מסעי +ג' .מצאו 1 ≤ w ≤ 2אופטימלי
שעבורו השגיאה היחסית בפתרו
1
x(n) − x
x1
תקט בצורה היעילה ביותר ,נמקו את תשובתכי".
כפי שראינו בכיתה ,יעילות ההתכנסות נקבעת ע"י נורמת x (0) − x :B
n
. x(n ) − x ≤ B
מכיו ש xוג" x (0) − xקבועות ,אי השפעה על מהירות ההתכנסות מבחירת תנאי התחלה.
}max{3 w, 3
הנורמה לפי התנאי" הנתוני":
8 + 2w
=B1
3w
מכיו ש 1 < wנקבל max{3 w, 3} = 3wולכ צרי& למזער את:
8 + 2w
נמצא את הפתרו ע"י ניתוח הפונקציה למציאת מינימו" בקטע ].[2,3
.
6
1
,כלומר פונקציה מונוטונית עולה ולכ הפתרו הוא w = 2והנורמה
הנגזרת:
2
2
)( 4 + w
ת.ז:.
.
=. B1
עמ' 9
שאלה 5בשאלה זו נעסוק בקירוב שורשי" למשוואה . f ( x ) = 0
א 6) .נק ( .הוכיחו כי שיטת ניוטו לקירוב שורשי" ,מתכנסת מסדר 2א" מתקיי"
. f (α ) = 0 , f '(α ) ≠ 0, f ''(α ) ≠ 0
)f ( x
שיטת ניוטו מוגדרת על ידי
)f '( x
g ( x) = x −ולכ מקבלי" את הקונסיסטנטיות באופ מיידי לפי התנאי".
) ( f '(α )) 2 − f (α ) f ''(α ) f (α ) f ''(α
=
נגזור את פונקציית האיטרציה ונקבל= 0 :
( f '(α )) 2
( f '(α ))2
וכעת הנגזרת השנייה היא:
=0
=0
2
2
≠0
) f ′(α ) f ''(α ) + f (α ) f ′′′(α ) f '(α ) − 2 f '(α ) f (α ) f ''(α
′
) f (α ) f ''(α
) f ''(α
=
=
≠0
2
4
( f '(α ))
)) ( f '(α
f
) '(α
g '(α ) = 1 −
. g ′′(α ) =
≠0
קבלנו g ′′(α ) ≠ 0סדר ההתכנסות הינו . 2
ב 6) .נק ( .הראו כי כאשר f '(α ) = 0 , f ''(α ) ≠ 0סדר ההתכנסות הוא .1
ראשית צרי& לוודא קונסיסטנטיות:
=α
) lim f '( x
x →α
) lim f ''( x
x →α
=α −
) lim f ( x
x →α
) lim f '( x
lim g ( x ) = α −
x →α
x →α
לכ נית להגדיר הטלאה שתתנהג בדיוק כמו הפונקציה שלנו רק שתהיה רציפה בנקודה ותקיי" את הדרוש.
נבדוק נגזרת ראשונה:
2
) lim( f '( x )) − lim f ( x ) f ''( x
) lim f ( x ) f ''( x
x →α
x →α
lim g '( x ) = 1 − x →α
1
1
=
−
+
=
x →α
lim( f '( x )) 2
lim( f '( x )) 2
x →α
x →α
)lim f ( x) f ''( x) L lim f '( x) f ''( x) + f ( x) f '''( x) 1 lim f ( x) f '''( x
x →α
= x→α
= + x →α
2
))lim( f '( x
)lim 2 f '( x) f ''( x
)2 lim 2 f '( x) f ''( x
x →α
x →α
x →α
f ( x) f '''( x) L 1 lim f '( x) f '''( x) + f ( x) f ''''( x) 1
1 lim
+ x →α
= + x →α
=
2 lim 2 f '( x) f ''( x) 2 lim 2(( f ''( x)) 2 + f '( x) f '''( x)) 2
x →α
והנגזרת קטנה מאחד אבל שונה מאפס ולכ סדר ההתכנסות הוא בדיוק .1
x →α
=
=
ג 8) .נק ( .מקרבי" את השורש של המשוואה x 3 − 3 x 2 + 4 = 0בקטע ] [1,3באמצעות שיטת ניוטו .לאיזה שורש תתכנס
השיטה ומהו סדר ההתכנסות לשורש זה?
2 x3 − 3x 2 − 4 2 x3 − 3x 2 − 4
פונקצית האיטרציה לפי ניוטו יוצאת:
= )g ( x
=
3x 2 − 6 x
)3 x( x − 2
2 x3 − 3x 2 − 4
כעת נית לבצע חלוקת פולינומי"= 2 x 2 + x + 2 :
x−2
נמצא את השורש דר& מציאת נקודת השבת של הפונקציה g ( x ) = xכלומר:
2x2 + x + 2
3x
ולכ מגיעי" למשוואה הריבועית x 2 − x − 2 = 0ולה יש שורשי" ב x1 = −1 , x2 = 2
ולכ השורש המתאי" הוא . x2 = 2
כיוו שהשורש הוא מריבוי 2במשוואה המקורית ) f ( xאיטרציית ניוטו מתכנסת מסדר 1ולא מסדר .2
=x
2 x2 + x + 2
נית לבדוק זאת ג" דר& בדיקת הנגזרת הראשונה של הפונקציה
3x
2 2 1
2 2
g '( x) = − 2ולכ = g '(2) = −ואכ יש התכנסות מסדר .1
3 12 2
3 3x
= ) g ( xבשורש שיוצאת:
ד 5) .נק ( .הציעו תיקו לשיטת ניוטו מסעי +ג' לקירוב השורש ,כ& שסדר הקירוב יגדל באחד.
1
כדי לתק את השיטה נרצה להגדיר g (2) = 2וג" g '(2) = 0ולכ נגדיר )g ( x ) = g ( x ) − ( x − 2
2
ת.ז:.
.
עמ' 11
ציון90+5 :
ציון92 :
ציון90 :
