docתרגילים פתורים – ת אלגברה לינארי ליניאריות משוואות מערכות
download 
Report Transcription
תרגילים פתורים – ת אלגברה לינארי ליניאריות משוואות מערכות
אלגברה לינארית – תרגילים פתורים פרק - 1מערכות משוואות ליניאריות תרגיל 1 פתור את מערכות המשוואות הבאות: א. ב. 3𝑥1 + 4𝑥2 + 5𝑥3 = 6 2𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 = 7 4𝑥1 − 2𝑥2 − 4𝑥3 = 4 ג. 𝑥1 − 4𝑥2 + 2𝑥3 = 1 −3𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥3 = 7 5𝑥1 − 10𝑥2 − 𝑥3 = 8 𝑥1 − 4𝑥2 + 2𝑥3 = 1 −3𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥3 = 7 5𝑥1 − 10𝑥2 − 𝑥3 = −5 תרגיל 2 מצא לאילו ערכי 𝑎 למערכת המשוואות הבאה יש פתרון יחיד ,אינסוף פתרונות ואין פתרון 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 2 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 3 𝑎 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑎2 − 5 𝑥3 תרגיל 3 פתור את מערכת המשוואות הבאה: 𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑥4 = 0 −2𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 + 5𝑥4 = 0 𝑥1 − 2𝑥2 + 10𝑥3 + 8𝑥4 = 0 5𝑥1 − 10𝑥2 + 8𝑥3 − 2𝑥4 = 0 תרגיל 4 יהיו 𝑛 𝑎, 𝑏 ∈ ℝפתרונות למערכת המשוואות ההומוגנית 𝐴𝑥 = 0כאשר 𝐴 מסדר 𝑛𝑥𝑛. הוכח כי לכל 𝜆1 , 𝜆2 ∈ ℝמתקיים כי 𝑏 𝜆1 𝑎 + 𝜆2פתרון למערכת זו. © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 054-5-290106 1 [email protected] פתרון 1א' נרשום את המערכת הנתונה בצורה מטריציונית: 𝑥1 6 𝑥2 = 7 𝑥3 4 5 −3 −4 3 2 4 4 1 −2 נדרג בשיטת האלימינציה של גאוס את מטריצת המקדמים ביחד עם מטריצת המקדמים החופשיים: −1 𝑅3 =𝑅3 −3𝑅2 1 3 8 −1 9 0 −5 −19 9 8 0 1 21 −19 1 +55𝑅3 1 0 0 1 𝑅= −55 56 𝑅𝑅1 2 =𝑅2 −21𝑅3 0 1 0 2 21 −19 0 0 1 −1 1 −1 2 −2𝑅1 1 3 8 𝑅= 8 −1 𝑅𝑅2 4 5 6 𝑅1 =𝑅1 −𝑅2 1 3 3 =𝑅3 −4𝑅1 2 1 −3 7 0 −5 −19 1 −3 7 4 −2 −4 4 0 −14 −36 −2 −4 4 1 1 −3𝑅2 1 3 𝑅= 8 −1 𝑅𝑅1 0 −55 56 𝑅3 = 𝑅3 1 0 𝑅3 ↔𝑅2 1 3 =𝑅3 +5𝑅2 86 0 1 21 −19 0 1 21 −19 0 1 0 −5 −19 9 0 0 86 −86 0 0 3 2 4 קיבלנו כי המטריצה המייצגת את מערכת המשוואות שקולת שורות למטריצת היחידה ,ולכן למערכת יש פתרון יחיד .על מנת להציג את הפתרון נחזור למערכת משוואות מהמטריצה האחרונה בדירוג: 𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 = 1 0𝑥1 + 𝑥2 + 0𝑥3 = 2 0𝑥1 + 0𝑥2 + 𝑥3 = −1 קיבלנו פתרון יחיד למערכת המשוואות𝑥3 = −1 ,𝑥2 = 2 ,𝑥1 = 1 : פתרון 1ב' נרשום את המערכת הנתונה בצורה מטריציונית: 𝑥1 1 𝑥2 = 7 𝑥3 −5 2 5 −1 −4 2 −10 1 −3 5 נדרג בשיטת האלימינציה של גאוס את מטריצת המקדמים ביחד עם מטריצת המקדמים החופשיים: 1 𝑅2 =− 𝑅2 10 2 1 11 10 0 0 −4 −10 0 1 0 0 𝑅3 =𝑅3 +𝑅2 2 +3𝑅1 1 1 −4 𝑅= 2 1 𝑅𝑅2 −4 2 1 3 =𝑅3 −5𝑅1 −3 2 5 7 0 −10 11 10 5 −10 −1 −5 0 10 −11 −10 1 −4 2 1 𝑅1 =𝑅1 +4𝑅2 1 0 −2.4 −3 0 1 −1.1 −1 0 1 −1.1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 קיבלנו כי במטריצה המייצגת את מערכת המשוואות לאחר דירוג ישנה עמודה ללא ""1 מוביל ,ולכן למערכת יש אינסוף פתרונות. © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 054-5-290106 2 [email protected] על מנת להציג את הפתרון נחזור למערכת משוואות מהמטריצה האחרונה בדירוג: 𝑥1 − 2.4𝑥3 = −3 𝑥2 − 1.1𝑥3 = −1 נסמן את המשתנה עבורו אין " "1מוביל במטריצה המדורגת ב 𝑡 -ונקבל: 𝑥1 − 2.4𝑡 = −3 𝑥2 − 1.1𝑡 = −1 ולכן הפתרון הכללי הוא: 𝑥1 𝑡−3 + 2.4 −3 2.4 𝑥2 = −1 + 1.1𝑡 = −1 + 𝑡 1.1 𝑥3 𝑡 0 1 לכל 𝑡 ∈ ℝ פתרון 1ג' נרשום את המערכת הנתונה בצורה מטריציונית: 𝑥1 1 𝑥2 = 7 𝑥3 8 2 5 −1 −4 2 −10 1 −3 5 נדרג בשיטת האלימינציה של גאוס את מטריצת המקדמים ביחד עם מטריצת המקדמים החופשיים: 2 1 11 10 0 13 −4 −10 0 1 0 0 𝑅3 =𝑅3 +𝑅2 2 1 11 10 −11 3 −4 −10 10 1 0 0 𝑅2 =𝑅2 +3𝑅1 𝑅3 =𝑅3 −5𝑅1 2 1 5 7 −1 8 −4 2 −10 1 −3 5 קיבלנו כי במטריצה המייצגת את מערכת המשוואות לאחר דירוג ישנה שורת סתירה: 0𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 = 13 ולכן למערכת המשוואות הנתונה אין פתרון. © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 054-5-290106 3 [email protected] פתרון 2 נרשום את המערכת הנתונה בצורה מטריציונית: 𝑥1 2 𝑥2 = 3 𝑥3 𝑎 1 1 𝑎2 − 5 1 2 1 1 1 1 נדרג בשיטת האלימינציה של גאוס את מטריצת המקדמים ביחד עם מטריצת המקדמים החופשיים: )∗( 1 1 0 1 2 0 1 𝑎2 − 6 𝑎 − 2 1 0 0 𝑅2 =𝑅2 −𝑅1 𝑅3 =𝑅3 −𝑅1 1 2 1 3 𝑎 𝑎2 − 5 1 2 1 1 1 1 מקרה א' – כאשר 𝑎2 − 6 ≠ 0כלומר 𝑎 ≠ ± 6 נמשיך לדרג את המטריצה )∗( : 2 1 1 0 𝑎−2 1 2 𝑎 −6 1 1 0 1 𝑅3 = 2 𝑅3 𝑎 −6 1 0 0 1 2 0 1 𝑎2 − 6 𝑎 − 2 1 1 0 1 0 0 קיבלנו כי המטריצה המייצגת את מערכת המשוואות שקולת שורות למטריצת היחידה ,ולכן למערכת יש פתרון יחיד. מקרה ב' – כאשר 𝑎2 − 6 = 0כלומר 𝑎 = ± 6 מהמטריצה ∗ נקבל: 1 2 0 1 0 𝑎−2 1 1 0 1 0 0 וברור כי .𝑎 − 2 ≠ 0קיבלנו כי במטריצה המייצגת את מערכת המשוואות לאחר דירוג ישנה שורת סתירה .0𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 = 𝑎 − 2 ≠ 0 :ולכן למערכת אין פתרון. לסיכום: כאשר 𝑎 ≠ ± 6למערכת יש פתרון יחיד. כאשר 𝑎 = ± 6למערכת אין פתרון. -לא קיין ערך של 𝑎 עבורו למערכת יש אינסוף פתרונות. © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 054-5-290106 4 [email protected] פתרון 3 נרשום את המערכת הנתונה בצורה מטריציונית: 0 0 0 0 = 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 1 5 8 −2 3 1 10 8 −2 4 −2 −10 1 −2 1 5 נדרג בשיטת האלימינציה של גאוס את מטריצת המקדמים ביחד עם מטריצת המקדמים החופשיים: 1 1 0 0 3 1 0 0 −2 0 0 0 1 0 0 0 1 𝑅2 = 𝑅2 7 1 7 0 0 3 7 0 0 −2 0 0 0 1 0 0 0 𝑅3 =𝑅3 −𝑅2 𝑅4 =𝑅4 +𝑅2 1 7 7 −7 3 7 7 −7 −2 0 0 0 1 0 0 0 𝑅2 =𝑅2 +2𝑅1 𝑅3 =𝑅3 −𝑅1 𝑅4 =𝑅4 −5𝑅1 1 5 8 −2 3 1 10 8 −2 4 −2 −10 1 −2 1 5 קיבלנו כי במטריצה המייצגת את מערכת המשוואות לאחר דירוג ישנן שתי עמודות ללא " "1מוביל (עמודה שנייה ורביעית) ,ולכן למערכת יש אינסוף פתרונות. על מנת להציג את הפתרון נחזור למערכת משוואות מהמטריצה האחרונה בדירוג: 𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑥4 = 0 𝑥3 + 𝑥4 = 0 נסמן את המשתנים עבורם אין " "1מוביל במטריצה המדורגת ב 𝑥2 = 𝑡 -ו 𝑥4 = 𝑠 -ונקבל: 𝑥1 − 2𝑡 + 3𝑥3 + 𝑠 = 0 𝑥3 + 𝑠 = 0 ולכן הפתרון הכללי הוא: 2 −2 1 0 𝑡= 𝑠+ 0 −1 0 1 © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 𝑠2𝑡 − 2 𝑡 𝑠− 𝑠 = 054-5-290106 5 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 לכל 𝑡, 𝑠 ∈ ℝ [email protected] פתרון 4 נרשום את פתרונות המערכת 𝑛 𝑎, 𝑏 ∈ ℝבצורה מפורשת: 𝑛𝑎 𝑎 = 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑛𝑏 𝑏 = 𝑏1 , 𝑏2 , … , מערכת המשוואות 𝐴𝑥 = 0מסדר 𝑛 ולכן שורה 𝑛 ≤ 𝑖 ≤ 1של המערכת היא מהצורה: 𝛼𝑖1 𝑥1 + 𝛼𝑖2 𝑥2 + ⋯ + 𝛼𝑖𝑛 𝑥𝑛 = 0 אם 𝑛 𝑎, 𝑏 ∈ ℝפתרונות למערכת אזי מתקיים: 𝛼𝑖1 𝑎1 + 𝛼𝑖2 𝑎2 + ⋯ + 𝛼𝑖𝑛 𝑎𝑛 = 0 𝛼𝑖1 𝑏1 + 𝛼𝑖2 𝑏2 + ⋯ + 𝛼𝑖𝑛 𝑏𝑛 = 0 נכפיל את המשוואה הראשונה ב 𝜆1 -ואת המשוואה השניה ב:𝜆2 - 𝛼𝑖1 𝜆1 𝑎1 + 𝛼𝑖2 𝜆1 𝑎2 + ⋯ + 𝛼𝑖𝑛 𝜆1 𝑎𝑛 = 𝜆1 0 = 0 𝛼𝑖1 𝜆2 𝑏1 + 𝛼𝑖2 𝜆2 𝑏2 + ⋯ + 𝛼𝑖𝑛 𝜆2 𝑏𝑛 = 𝜆2 0 = 0 נחבר את המשוואות ונקבל: 𝛼𝑖1 𝜆1 𝑎1 + 𝛼𝑖1 𝜆2 𝑏1 + 𝛼𝑖2 𝜆1 𝑎2 + 𝛼𝑖2 𝜆2 𝑏2 + ⋯ + 𝛼𝑖𝑛 𝜆1 𝑎𝑛 + 𝛼𝑖𝑛 𝜆2 𝑏𝑛 = 0 נכנס איברים ונקבל: 𝛼𝑖1 𝜆1 𝑎1 + 𝜆2 𝑏1 + 𝛼𝑖2 𝜆1 𝑎2 + 𝜆2 𝑏2 … + 𝛼𝑖𝑛 𝜆1 𝑎𝑛 + 𝜆2 𝑏𝑛 = 0 מהמשוואה האחרונה ניתן לראות כי לכל שורה 𝑛 ≤ 𝑖 ≤ 1של המערכת 𝜆1 𝑎 + 𝜆2 𝑏 ,פתרון שלה. © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 054-5-290106 6 [email protected]
