תרגילים פתורים – ת אלגברה לינארי ליניאריות משוואות מערכות

Transcription

תרגילים פתורים – ת אלגברה לינארי ליניאריות משוואות מערכות
‫אלגברה לינארית – תרגילים פתורים‬
‫פרק ‪ - 1‬מערכות משוואות ליניאריות‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫פתור את מערכות המשוואות הבאות‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪3𝑥1 + 4𝑥2 + 5𝑥3 = 6‬‬
‫‪2𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 = 7‬‬
‫‪4𝑥1 − 2𝑥2 − 4𝑥3 = 4‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪𝑥1 − 4𝑥2 + 2𝑥3 = 1‬‬
‫‪−3𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥3 = 7‬‬
‫‪5𝑥1 − 10𝑥2 − 𝑥3 = 8‬‬
‫‪𝑥1 − 4𝑥2 + 2𝑥3 = 1‬‬
‫‪−3𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥3 = 7‬‬
‫‪5𝑥1 − 10𝑥2 − 𝑥3 = −5‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫מצא לאילו ערכי 𝑎 למערכת המשוואות הבאה יש פתרון יחיד‪ ,‬אינסוף פתרונות ואין פתרון‬
‫‪𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 2‬‬
‫‪𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 3‬‬
‫𝑎 = ‪𝑥1 + 𝑥2 + 𝑎2 − 5 𝑥3‬‬
‫תרגיל ‪3‬‬
‫פתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫‪𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑥4 = 0‬‬
‫‪−2𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 + 5𝑥4 = 0‬‬
‫‪𝑥1 − 2𝑥2 + 10𝑥3 + 8𝑥4 = 0‬‬
‫‪5𝑥1 − 10𝑥2 + 8𝑥3 − 2𝑥4 = 0‬‬
‫תרגיל ‪4‬‬
‫יהיו 𝑛‪ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ‬פתרונות למערכת המשוואות ההומוגנית ‪ 𝐴𝑥 = 0‬כאשר 𝐴 מסדר 𝑛𝑥𝑛‪.‬‬
‫הוכח כי לכל ‪ 𝜆1 , 𝜆2 ∈ ℝ‬מתקיים כי 𝑏 ‪ 𝜆1 𝑎 + 𝜆2‬פתרון למערכת זו‪.‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪1‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫פתרון ‪ 1‬א'‬
‫נרשום את המערכת הנתונה בצורה מטריציונית‪:‬‬
‫‪𝑥1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪𝑥2 = 7‬‬
‫‪𝑥3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪−4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−2‬‬
‫נדרג בשיטת האלימינציה של גאוס את מטריצת המקדמים ביחד עם מטריצת המקדמים‬
‫החופשיים‪:‬‬
‫‪−1 𝑅3 =𝑅3 −3𝑅2 1 3‬‬
‫‪8 −1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪0 −5 −19 9‬‬
‫‪8‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪21 −19‬‬
‫‪1 +55𝑅3 1‬‬
‫‪0 0 1‬‬
‫𝑅= ‪−55 56 𝑅𝑅1‬‬
‫‪2 =𝑅2 −21𝑅3‬‬
‫‪0 1 0 2‬‬
‫‪21 −19‬‬
‫‪0 0 1 −1‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪2 −2𝑅1 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫𝑅= ‪8 −1 𝑅𝑅2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5 6 𝑅1 =𝑅1 −𝑅2 1 3‬‬
‫‪3 =𝑅3 −4𝑅1‬‬
‫‪2 1 −3 7‬‬
‫‪0 −5 −19‬‬
‫‪1 −3 7‬‬
‫‪4 −2 −4 4‬‬
‫‪0 −14 −36‬‬
‫‪−2 −4 4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 −3𝑅2 1‬‬
‫‪3‬‬
‫𝑅= ‪8 −1 𝑅𝑅1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−55‬‬
‫‪56‬‬
‫‪𝑅3 = 𝑅3 1 0‬‬
‫‪𝑅3 ↔𝑅2 1‬‬
‫‪3 =𝑅3 +5𝑅2‬‬
‫‪86‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪21 −19‬‬
‫‪0 1 21 −19‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪0 −5 −19 9‬‬
‫‪0 0 86 −86‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫קיבלנו כי המטריצה המייצגת את מערכת המשוואות שקולת שורות למטריצת היחידה‪ ,‬ולכן‬
‫למערכת יש פתרון יחיד‪ .‬על מנת להציג את הפתרון נחזור למערכת משוואות מהמטריצה‬
‫האחרונה בדירוג‪:‬‬
‫‪𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 = 1‬‬
‫‪0𝑥1 + 𝑥2 + 0𝑥3 = 2‬‬
‫‪0𝑥1 + 0𝑥2 + 𝑥3 = −1‬‬
‫קיבלנו פתרון יחיד למערכת המשוואות‪𝑥3 = −1 ,𝑥2 = 2 ,𝑥1 = 1 :‬‬
‫פתרון ‪ 1‬ב'‬
‫נרשום את המערכת הנתונה בצורה מטריציונית‪:‬‬
‫‪𝑥1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑥2 = 7‬‬
‫‪𝑥3‬‬
‫‪−5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪5‬‬
‫נדרג בשיטת האלימינציה של גאוס את מטריצת המקדמים ביחד עם מטריצת המקדמים‬
‫החופשיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑅2 =− 𝑅2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪11 10‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪−4‬‬
‫‪−10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪𝑅3 =𝑅3 +𝑅2‬‬
‫‪2 +3𝑅1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−4‬‬
‫𝑅= ‪2 1 𝑅𝑅2‬‬
‫‪−4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3 =𝑅3 −5𝑅1‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5 7‬‬
‫‪0 −10 11 10‬‬
‫‪5 −10 −1 −5‬‬
‫‪0 10 −11 −10‬‬
‫‪1 −4‬‬
‫‪2 1 𝑅1 =𝑅1 +4𝑅2 1 0 −2.4 −3‬‬
‫‪0 1 −1.1 −1‬‬
‫‪0 1 −1.1 −1‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪0 0‬‬
‫קיבלנו כי במטריצה המייצגת את מערכת המשוואות לאחר דירוג ישנה עמודה ללא "‪"1‬‬
‫מוביל‪ ,‬ולכן למערכת יש אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪2‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫על מנת להציג את הפתרון נחזור למערכת משוואות מהמטריצה האחרונה בדירוג‪:‬‬
‫‪𝑥1 − 2.4𝑥3 = −3‬‬
‫‪𝑥2 − 1.1𝑥3 = −1‬‬
‫נסמן את המשתנה עבורו אין "‪ "1‬מוביל במטריצה המדורגת ב‪ 𝑡 -‬ונקבל‪:‬‬
‫‪𝑥1 − 2.4𝑡 = −3‬‬
‫‪𝑥2 − 1.1𝑡 = −1‬‬
‫ולכן הפתרון הכללי הוא‪:‬‬
‫‪𝑥1‬‬
‫𝑡‪−3 + 2.4‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪2.4‬‬
‫‪𝑥2 = −1 + 1.1𝑡 = −1 + 𝑡 1.1‬‬
‫‪𝑥3‬‬
‫𝑡‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫לכל ‪𝑡 ∈ ℝ‬‬
‫פתרון ‪ 1‬ג'‬
‫נרשום את המערכת הנתונה בצורה מטריציונית‪:‬‬
‫‪𝑥1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑥2 = 7‬‬
‫‪𝑥3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪5‬‬
‫נדרג בשיטת האלימינציה של גאוס את מטריצת המקדמים ביחד עם מטריצת המקדמים‬
‫החופשיים‪:‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪11 10‬‬
‫‪0 13‬‬
‫‪−4‬‬
‫‪−10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪𝑅3 =𝑅3 +𝑅2‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪11 10‬‬
‫‪−11 3‬‬
‫‪−4‬‬
‫‪−10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪𝑅2 =𝑅2 +3𝑅1‬‬
‫‪𝑅3 =𝑅3 −5𝑅1‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪5 7‬‬
‫‪−1 8‬‬
‫‪−4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪5‬‬
‫קיבלנו כי במטריצה המייצגת את מערכת המשוואות לאחר דירוג ישנה שורת סתירה‪:‬‬
‫‪0𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 = 13‬‬
‫ולכן למערכת המשוואות הנתונה אין פתרון‪.‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪3‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫פתרון ‪2‬‬
‫נרשום את המערכת הנתונה בצורה מטריציונית‪:‬‬
‫‪𝑥1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑥2 = 3‬‬
‫‪𝑥3‬‬
‫𝑎‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑎2 − 5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫נדרג בשיטת האלימינציה של גאוס את מטריצת המקדמים ביחד עם מטריצת המקדמים‬
‫החופשיים‪:‬‬
‫)∗(‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑎2 − 6 𝑎 − 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪𝑅2 =𝑅2 −𝑅1‬‬
‫‪𝑅3 =𝑅3 −𝑅1‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1 3‬‬
‫𝑎 ‪𝑎2 − 5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫מקרה א' – כאשר ‪ 𝑎2 − 6 ≠ 0‬כלומר ‪𝑎 ≠ ± 6‬‬
‫נמשיך לדרג את המטריצה )∗( ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0 𝑎−2‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪𝑎 −6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑅3 = 2 𝑅3‬‬
‫‪𝑎 −6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑎2 − 6 𝑎 − 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫קיבלנו כי המטריצה המייצגת את מערכת המשוואות שקולת שורות למטריצת היחידה‪ ,‬ולכן‬
‫למערכת יש פתרון יחיד‪.‬‬
‫מקרה ב' – כאשר ‪ 𝑎2 − 6 = 0‬כלומר ‪𝑎 = ± 6‬‬
‫מהמטריצה ∗‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪0 𝑎−2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫וברור כי ‪ .𝑎 − 2 ≠ 0‬קיבלנו כי במטריצה המייצגת את מערכת המשוואות לאחר דירוג ישנה‬
‫שורת סתירה‪ .0𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 = 𝑎 − 2 ≠ 0 :‬ולכן למערכת אין פתרון‪.‬‬
‫לסיכום‪:‬‬
‫ כאשר ‪ 𝑎 ≠ ± 6‬למערכת יש פתרון יחיד‪.‬‬‫ כאשר ‪ 𝑎 = ± 6‬למערכת אין פתרון‪.‬‬‫‪ -‬לא קיין ערך של 𝑎 עבורו למערכת יש אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪4‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫פתרון ‪3‬‬
‫נרשום את המערכת הנתונה בצורה מטריציונית‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫‪𝑥1‬‬
‫‪𝑥2‬‬
‫‪𝑥3‬‬
‫‪𝑥4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪8‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪8‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫נדרג בשיטת האלימינציה של גאוס את מטריצת המקדמים ביחד עם מטריצת המקדמים‬
‫החופשיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑅2 = 𝑅2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪𝑅3 =𝑅3 −𝑅2‬‬
‫‪𝑅4 =𝑅4 +𝑅2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪−7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪−7‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪𝑅2 =𝑅2 +2𝑅1‬‬
‫‪𝑅3 =𝑅3 −𝑅1‬‬
‫‪𝑅4 =𝑅4 −5𝑅1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪8‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪8‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫קיבלנו כי במטריצה המייצגת את מערכת המשוואות לאחר דירוג ישנן שתי עמודות ללא‬
‫"‪ "1‬מוביל (עמודה שנייה ורביעית)‪ ,‬ולכן למערכת יש אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫על מנת להציג את הפתרון נחזור למערכת משוואות מהמטריצה האחרונה בדירוג‪:‬‬
‫‪𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑥4 = 0‬‬
‫‪𝑥3 + 𝑥4 = 0‬‬
‫נסמן את המשתנים עבורם אין "‪ "1‬מוביל במטריצה המדורגת ב‪ 𝑥2 = 𝑡 -‬ו‪ 𝑥4 = 𝑠 -‬ונקבל‪:‬‬
‫‪𝑥1 − 2𝑡 + 3𝑥3 + 𝑠 = 0‬‬
‫‪𝑥3 + 𝑠 = 0‬‬
‫ולכן הפתרון הכללי הוא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫𝑡=‬
‫𝑠‪+‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫𝑠‪2𝑡 − 2‬‬
‫𝑡‬
‫𝑠‪−‬‬
‫𝑠‬
‫=‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪5‬‬
‫‪𝑥1‬‬
‫‪𝑥2‬‬
‫‪𝑥3‬‬
‫‪𝑥4‬‬
‫לכל ‪𝑡, 𝑠 ∈ ℝ‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫פתרון ‪4‬‬
‫נרשום את פתרונות המערכת 𝑛‪ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ‬בצורה מפורשת‪:‬‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑎 = 𝑎1 , 𝑎2 , … ,‬‬
‫𝑛𝑏 ‪𝑏 = 𝑏1 , 𝑏2 , … ,‬‬
‫מערכת המשוואות ‪ 𝐴𝑥 = 0‬מסדר 𝑛 ולכן שורה 𝑛 ≤ 𝑖 ≤ ‪ 1‬של המערכת היא מהצורה‪:‬‬
‫‪𝛼𝑖1 𝑥1 + 𝛼𝑖2 𝑥2 + ⋯ + 𝛼𝑖𝑛 𝑥𝑛 = 0‬‬
‫אם 𝑛‪ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ‬פתרונות למערכת אזי מתקיים‪:‬‬
‫‪𝛼𝑖1 𝑎1 + 𝛼𝑖2 𝑎2 + ⋯ + 𝛼𝑖𝑛 𝑎𝑛 = 0‬‬
‫‪𝛼𝑖1 𝑏1 + 𝛼𝑖2 𝑏2 + ⋯ + 𝛼𝑖𝑛 𝑏𝑛 = 0‬‬
‫נכפיל את המשוואה הראשונה ב‪ 𝜆1 -‬ואת המשוואה השניה ב‪:𝜆2 -‬‬
‫‪𝛼𝑖1 𝜆1 𝑎1 + 𝛼𝑖2 𝜆1 𝑎2 + ⋯ + 𝛼𝑖𝑛 𝜆1 𝑎𝑛 = 𝜆1 0 = 0‬‬
‫‪𝛼𝑖1 𝜆2 𝑏1 + 𝛼𝑖2 𝜆2 𝑏2 + ⋯ + 𝛼𝑖𝑛 𝜆2 𝑏𝑛 = 𝜆2 0 = 0‬‬
‫נחבר את המשוואות ונקבל‪:‬‬
‫‪𝛼𝑖1 𝜆1 𝑎1 + 𝛼𝑖1 𝜆2 𝑏1 + 𝛼𝑖2 𝜆1 𝑎2 + 𝛼𝑖2 𝜆2 𝑏2 + ⋯ + 𝛼𝑖𝑛 𝜆1 𝑎𝑛 + 𝛼𝑖𝑛 𝜆2 𝑏𝑛 = 0‬‬
‫נכנס איברים ונקבל‪:‬‬
‫‪𝛼𝑖1 𝜆1 𝑎1 + 𝜆2 𝑏1 + 𝛼𝑖2 𝜆1 𝑎2 + 𝜆2 𝑏2 … + 𝛼𝑖𝑛 𝜆1 𝑎𝑛 + 𝜆2 𝑏𝑛 = 0‬‬
‫מהמשוואה האחרונה ניתן לראות כי לכל שורה 𝑛 ≤ 𝑖 ≤ ‪ 1‬של המערכת‪ 𝜆1 𝑎 + 𝜆2 𝑏 ,‬פתרון שלה‪.‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪6‬‬
‫‪[email protected]‬‬