מכניקה אנליטית – תרגיל 5

‫מכניקה אנליטית )תשס"ג(‬
‫בית הספר לפיסיקה ואסטרונומיה‬
‫תרגיל בית ‪11‬‬
‫קריאה‬
‫חובה – ‪ H&F‬סיום פרק ‪ .4‬פרק ‪ ,5‬סעיפים ‪.5.1 – 5.2‬‬
‫רשות – ‪ Landau & Lifshitz‬פרק ‪.4‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .1‬פיזור דרך עדשה‬
‫חלקיקים בעלי מסה ‪ m‬מתפזרים דרך עדשה בעלת רדיוס ‪ R‬ומרחק פוקלי ‪ f‬על פי כללי האופטיקה‬
‫הגאומטרית‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫‪f‬‬
‫א‪ .‬חשבו את חתך הפעולה הדיפרנציאלי לפיזור זה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראו ע"י אינטגרציה של הביטוי שקבלתם שחתך הפעולה הכולל שווה לשטח החתך של העדשה‪.‬‬
‫)רמז‪ :‬היכן מופיעה התלות ב‪ R-‬באינטגרל שקבלתם?(‬
‫‪ .2‬פיזור מפוטנציאל ריבועי הופכי‬
‫חלקיק בעל מסה ‪ ,m‬מהירות התחלתית ‪ , v‬ופרמטר אימפקט ‪ , b‬מפוזר בזוית ‪ θ‬מפוטנציאל מרכזי דוחה‬
‫מהצורה ‪ , V (r ) = k / r 2‬כאשר ‪ r‬הוא המרחק בין החלקיק לבין מרכז הפיזור‪ ,‬כמתואר בשרטוט‪.‬‬
‫‪m, v‬‬
‫‪θ‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪φ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪b‬‬
‫רשמו את הלגראנג'יאן הדו‪-‬מימדי בקואורדינטות פולריות )&‪ . L = L(r , φ , r&, φ‬רשמו את התנע הזויתי‬
‫‪ l‬והאנרגיה הכוללת ‪ E‬באמצעות הקבועים ‪ . k , m, v, b‬השתמשו בעובדה ששני גדלים אלו הם‬
‫קבועים כדי לקבל משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון עבור ) ‪ r (t‬ו‪. φ (t ) -‬‬
‫פתרו את המשוואות ע"י אינטגרציה ובטאו את ) ‪ r (t‬ו‪ φ (t ) -‬באמצעות הקבועים ‪. k , m, v, b‬‬
‫השתמשו בערך של ) ‪ φ (t‬בגבולות ∞‪ t → ±‬כדי לקבל ביטוי עבור זוית הפיזור ) ‪. θ = θ (k , m, v, b‬‬
‫חשבו את חתך הפעולה הדיפרנציאלי לפיזור זה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫מכניקה אנליטית )תשס"ג(‬
‫בית הספר לפיסיקה ואסטרונומיה‬
‫‪ .3‬משפט נתר‬
‫מערכת בעלת שתי דרגות חופש מתוארת ע"י הלגראנג'יאן‬
‫) ‪. L = 12 m(q&12 + q& 22 ) − (αq1 + βq2‬‬
‫א‪ .‬הראו כי ‪ L‬אינוריאנטי תחת הטרנספורמציה‬
‫‪Q ( s, t ) = q1 + sβ‬‬
‫‪. 1‬‬
‫‪Q2 ( s, t ) = q2 − sα‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את הגודל השמור הנובע מסימטריה זו של הלגראנג'יאן‪ .‬מה המובן הפיסיקלי של גודל זה?‬
‫ג‪ .‬מצאו שתי קואורדינטות אלטרנטיביות לתאור המערכת כך שאחת מהן תהיה חסרה בלגראנג'יאן‪.‬‬
‫‪ .4‬וקטור ‪Laplace-Runge-Lenz‬‬
‫מסתבר שבבעית קפלר קיימת סימטריה נוספת שלא הבחנו בה בדיוננו בכתה‪ .‬אנחנו נשתמש באחת‬
‫הדרכים לתאור הסימטריה הזו כדי למצוא גודל שמור חדש‪ ,‬הקרוי וקטור ‪,Laplace-Runge-Lenz‬‬
‫ובאמצעותו נפתור את בעית קפלר מבלי לרשום אפילו משוואה דיפרנציאלית אחת!!‬
‫נרשום את הלגראנג'יאן בכתיב וקטורי‬
‫‪1 2 k‬‬
‫‪µr& +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪,L‬‬
‫כאשר ) ‪ , r = ( x, y , z ) ≡ ( r1 , r2 , r3‬ו‪. r = r -‬‬
‫א‪ .‬נתונות שלוש הטרנספורמציות‬
‫‪i = 1,2,3‬‬
‫) ‪. R ( s, t ) = r − sµ (2r& ri − rr&i − (r ⋅ r& )eˆ i‬‬
‫הראו כי הנגזרת של ‪ L‬לפי הפרמטר ‪ ,s‬בסביבת טרנספורמצית היחידה‪ ,‬שווה לנגזרת שלמה בזמן של‬
‫הפונקציה‬
‫‪r‬‬
‫‪. Gi = − µ 2 (r& 2 ri − (r ⋅ r& )r&i ) − µk i‬‬
‫‪i = 1,2,3‬‬
‫‪r‬‬
‫ב‪ .‬השתמשו בהכללה של משפט נתר כדי למצוא שלושה גדלים שמורים ‪ , Ai‬והראו כי אלו הם רכיבי‬
‫וקטור ‪Laplace-Runge-Lenz‬‬
‫‪r‬‬
‫‪. A = p × L − µk‬‬
‫‪r‬‬
‫ג‪ .‬אנחנו השתמשנו בכך שהתנע הזויתי ‪ L‬שמור כדי להגדיר באמצעותו את כיוון ציר ‪ z‬ולאמר‬
‫שהתנועה כולה מתרחשת במישור ‪ .x-y‬הראו כי ‪ A‬ניצב ל‪ L -‬והגדירו באמצעותו את כיוון ציר ‪.x‬‬
‫כעת השתמשו בעובדה ש‪ A ⋅ r = Ar cos φ -‬כדי למצוא את הפתרון הכללי של בעית קפלר‪.‬‬
‫זהויות שימושיות‪:‬‬
‫) ‪A × B × C = (A ⋅ C)B − (A ⋅ B )C ; A ⋅ (B × C) = C ⋅ (A × B‬‬
‫‪http://minerva.tau.ac.il/physics/bsc/2/2105‬‬
‫‪2‬‬