בחינה - GOOL

‫מתמטיקה ‪ 4‬יח"ל שאלון ‪ 804‬בחינות חזרה‬
‫‪1‬‬
‫תוכן העניינים‪:‬‬
‫בחינה מספר ‪4 ..................................................................................................................................... 1‬‬
‫בחינה מספר ‪6 ..................................................................................................................................... 2‬‬
‫בחינה מספר ‪8 ..................................................................................................................................... 3‬‬
‫בחינה מספר ‪10.................................................................................................................................... 4‬‬
‫בחינה מספר ‪12.................................................................................................................................... 5‬‬
‫בחינה מספר ‪14.................................................................................................................................... 6‬‬
‫בחינה מספר ‪17.................................................................................................................................... 7‬‬
‫בחינה מספר ‪20.................................................................................................................................... 8‬‬
‫בחינה מספר ‪23.................................................................................................................................... 9‬‬
‫בחינה מספר ‪26.................................................................................................................................. 10‬‬
‫בחינה מספר ‪29.................................................................................................................................. 11‬‬
‫בחינה מספר ‪32.................................................................................................................................. 12‬‬
‫בחינה מספר ‪35.................................................................................................................................. 13‬‬
‫בחינה מספר ‪38.................................................................................................................................. 14‬‬
‫בחינה מספר ‪41.................................................................................................................................. 15‬‬
‫בחינה מספר ‪43.................................................................................................................................. 16‬‬
‫בחינה מספר ‪46.................................................................................................................................. 17‬‬
‫בחינה מספר ‪49.................................................................................................................................. 18‬‬
‫בחינה מספר ‪52.................................................................................................................................. 19‬‬
‫בחינה מספר ‪55.................................................................................................................................. 20‬‬
‫בחינה מספר ‪58.................................................................................................................................. 21‬‬
‫בחינה מספר ‪61.................................................................................................................................. 22‬‬
‫בחינה מספר ‪64.................................................................................................................................. 23‬‬
‫בחינה מספר ‪67.................................................................................................................................. 24‬‬
‫בחינה מספר ‪70.................................................................................................................................. 25‬‬
‫בחינה מספר ‪73.................................................................................................................................. 26‬‬
‫בחינה מספר ‪76.................................................................................................................................. 27‬‬
‫בחינה מספר ‪79.................................................................................................................................. 28‬‬
‫בחינה מספר ‪82.................................................................................................................................. 29‬‬
‫בחינה מספר ‪85.................................................................................................................................. 30‬‬
‫‪2‬‬
‫תשובות סופיות‪88................................................................................................................................ :‬‬
‫בחינה ‪88........................................................................................................................................ :1‬‬
‫בחינה ‪88........................................................................................................................................ :2‬‬
‫בחינה ‪88........................................................................................................................................ :3‬‬
‫בחינה ‪89........................................................................................................................................ :4‬‬
‫בחינה ‪89........................................................................................................................................ :5‬‬
‫בחינה ‪89........................................................................................................................................ :6‬‬
‫בחינה ‪90........................................................................................................................................ :7‬‬
‫בחינה ‪90........................................................................................................................................ :8‬‬
‫בחינה ‪90........................................................................................................................................ :9‬‬
‫בחינה ‪90...................................................................................................................................... :10‬‬
‫בחינה ‪91...................................................................................................................................... :11‬‬
‫בחינה ‪91...................................................................................................................................... :12‬‬
‫בחינה ‪91...................................................................................................................................... :13‬‬
‫בחינה ‪92...................................................................................................................................... :14‬‬
‫בחינה ‪92...................................................................................................................................... :15‬‬
‫בחינה ‪93...................................................................................................................................... :16‬‬
‫בחינה ‪93...................................................................................................................................... :17‬‬
‫בחינה ‪93...................................................................................................................................... :18‬‬
‫בחינה ‪94...................................................................................................................................... :19‬‬
‫בחינה ‪94...................................................................................................................................... :20‬‬
‫בחינה ‪94...................................................................................................................................... :21‬‬
‫בחינה ‪95...................................................................................................................................... :22‬‬
‫בחינה ‪95...................................................................................................................................... :23‬‬
‫בחינה ‪95...................................................................................................................................... :24‬‬
‫בחינה ‪96...................................................................................................................................... :25‬‬
‫בחינה ‪96...................................................................................................................................... :26‬‬
‫בחינה ‪97...................................................................................................................................... :27‬‬
‫בחינה ‪97...................................................................................................................................... :28‬‬
‫בחינה ‪98...................................................................................................................................... :29‬‬
‫בחינה ‪99........................................................................................................................................30‬‬
‫‪3‬‬
‫בחינה מספר ‪1‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬אופנוע עובר מרחק של ‪ 200‬ק"מ במהירות מסוימת‪.‬‬
‫לאחר מכן מאיץ האופנוע ומגדיל את מהירותו ב‪.40%-‬‬
‫הוא נוסע במהירות זו ועובר מרחק של ‪ 280‬ק"מ‪.‬‬
‫המהירות הממוצעת של האופנוע היא ‪ 96‬קמ"ש‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה זמן נסע האופנוע?‬
‫ב‪ .‬באיזו מהירות התחיל האופנוע את נסיעתו?‬
‫‪ .2‬נתון ישר שמשוואתו ‪ . y  2 x  10‬הישר חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה ‪ A‬ואת ציר ה‪y -‬‬
‫בנקודה ‪ .B‬בנקודה ‪ A‬מעבירים משיק למעגל שהקטע ‪ AB‬הוא קוטרו‪.‬‬
‫המשיק חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה ‪ .C‬מצא את אורך הקטע ‪.BC‬‬
‫‪ 70% .3‬מאוהדי מכבי ת"א הם גברים והשאר נשים‪ 40% .‬מהאוהדים מעשנים‪.‬‬
‫נתון כי ‪ 45%‬מהאוהדים הם גברים שאינם מעשנים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו אחוז הנשים המעשנות מבין אוהדי מכבי?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי אוהד מכבי‪ .‬מה ההסתברות שהוא גבר או שהוא מעשן?‬
‫ג‪ .‬בוחרים באקראי אישה שאוהדת מכבי‪ .‬מה ההסתברות שהיא מעשנת?‬
‫ד‪ .‬האם מין האוהד והעובדה שהוא מעשן הם מאורעות תלויים?‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ DE .4‬הוא קוטר במעגל‪ .‬בנקודה ‪ D‬מעבירים משיק למעגל‪.‬‬
‫מנקודה ‪ ,A‬שעל המעגל‪ ,‬מעבירים ישר המקביל לקוטר ‪.DE‬‬
‫הישר חותך את המשיק למעגל בנקודה ‪( F‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. AD2  AF  DE :‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ 4 :‬ס"מ = ‪ 9 , AF‬ס"מ = ‪.DE‬‬
‫חשב את שטח הטרפז ‪.AFDE‬‬
‫‪4‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ .5‬במחומש משוכלל ‪( ABCDE‬ראה איור)‬
‫ידוע כי אורך האלכסון ‪ AC‬הוא ‪ 15‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את שטח המחומש‪.‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪9  x2‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫ג‪ .‬תחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫ד‪ .‬נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫ה‪ .‬אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ו‪ .‬סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ . f  x  ‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ .7‬נתונה הפונקציה‪( y   x 2  6 x  5 :‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את השיעורים של נקודת המקסימום של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהי משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודת‬
‫המקסימום שלה?‬
‫ג‪ .‬מצא את השטח המוגבל על ידי המשיק בנקודת‬
‫המקסימום‪ ,‬הצירים וגרף הפונקציה (השטח‬
‫המקווקו בציור)‪.‬‬
‫‪ .8‬במשולש ישר זווית ‪ ( C  90 ) ABC‬סכום אורכי הניצבים הוא ‪ 8‬ס"מ‪.‬‬
‫על היתר ‪ AB‬בונים ריבוע ‪ .ABDE‬מה צריכים להיות אורכי הניצבים‪,‬‬
‫כדי ששטח המחומש ‪ AEDBC‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪5‬‬
‫בחינה מספר ‪2‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬סוחר קנה שולחנות במחיר כולל של ‪.₪ 18,000‬‬
‫‪ 10‬שולחנות הוא מכר ברווח של ‪ 60%‬לשולחן‪ 20 ,‬שולחנות הוא מכר בלי רווח‬
‫ואת שאר השולחנות הוא מכר בהפסד של ‪ 15%‬לשולחן‪.‬‬
‫סה"כ הרוויח הסוחר בעסקאות אלו ‪.₪ 450‬‬
‫א‪ .‬כמה שולחנות קנה הסוחר?‬
‫ב‪ .‬מה המחיר ששים הסוחר בעבור כל שולחן?‬
‫‪ .2‬נתון מעוין ‪ ABCD‬שבו נתונים הקדקודים ‪ A  9,1‬ו‪. B  5, 7  -‬‬
‫משוואת הישר עליו מונח האלכסון ‪ AC‬היא‪. x  3 y  6  0 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הישר עליו מונח האלכסון ‪.BD‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הישר עליו מונחת הצלע ‪.BC‬‬
‫‪ .3‬בכד יש ‪ 12‬כדורים חלקם אדומים וחלקם שחורים‪ .‬מוציאים עם החזרה שני כדורים מהכד‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מספר הכדורים האדומים שבכד אם ידוע כי ההסתברות ששני הכדורים‬
‫שהוצאו הם שחורים היא‪.4/9 :‬‬
‫ב‪ .‬חלק מהכדורים עשויים מעץ והשאר עשויים מפלסטיק‪ .‬ידוע כי ‪ 25%‬מהכדורים‬
‫האדומים עשויים מעץ וכי ‪ 50%‬מהכדורים העשויים מעץ הם אדומים‪.‬‬
‫מצא את ההסתברות לבחור כדור שחור העשוי מפלסטיק‪.‬‬
‫ג‪ .‬מוציאים מהכד ‪ 5‬כדורים בזה אחר זה עם החזרה‪.‬‬
‫מה ההסתברות להוציא ‪ 4‬כדורים אדומים העשויים מפלסטיק?‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬במשולש ‪ ABC‬הנקודות ‪ D‬ו‪ E-‬נמצאות על הצלעות ‪ BC‬ו‪ AB-‬בהתאמה‪.‬‬
‫נתון כי‪. ADC  BED , DE AC :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המשולשים ‪ ADC‬ו‪ BED-‬דומים‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. AD  BD  AB  DE :‬‬
‫ג‪ .‬ידוע כי הנקודה ‪ D‬מחלקת את הצלע ‪ BC‬באופן‬
‫‪BD 4‬‬
‫וכי‪. AD  BD  16 :‬‬
‫הבא‪ :‬‬
‫‪DC 5‬‬
‫חשב את המכפלה‪. AB  AC :‬‬
‫‪6‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ .5‬נתון טרפז ‪ ABCD‬שאורכי צלעותיו נתונים בשרטוט‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את שטח הטרפז‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זוויות הטרפז‪.‬‬
‫‪5cm‬‬
‫‪20cm‬‬
‫‪A‬‬
‫‪13cm‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪26cm‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .6‬נתון גרף של פונקציה‪.‬‬
‫צייר על אותה מערכת צירים את גרף הנגזרת‪.‬‬
‫נמק את שיקוליך בשרטוט‪.‬‬
‫‪ .7‬נתונה הפונקציה‪. f  x    x2  ax :‬‬
‫הפונקציה עוברת דרך הנקודה ‪( A  2,8‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬הפונקציה חותכת את ציר ה‪ x -‬בנקודה ‪O  0, 0 ‬‬
‫ובנקודה ‪ .B‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה‪,‬‬
‫המיתר ‪ AB‬וציר ה‪. x -‬‬
‫‪ .5‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2 x  A‬‬
‫‪ A) , f  x  ‬פרמטר חיובי)‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫ידוע כי שיפוע הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪ y -‬הוא‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. A‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‬
‫בנקודת החיתוך עם ציר ה‪. y -‬‬
‫‪f  x‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬הראה כי המשיק חותך את גרף הפונקציה‬
‫בנקודה שבה‪. x  4.5 :‬‬
‫ד‪ .‬העבר ישר אופקי מנקודת החיתוך של המשיק וגרף הפונקציה מהסעיף הקודם‪.‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך הנוספת של ישר זה עם גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ה‪ .‬חשב את השטח כלוא בין המשיק‪ ,‬הישר וגרף הפונקציה (היעזר באיור)‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪7‬‬
‫בחינה מספר ‪3‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬סירה שטה בנהר שבו מהירות הזרם היא ‪ 3‬קמ"ש עם כיוון זרם המים‪.‬‬
‫לאחר חצי שעה החליטו אנשי הסירה לשנות את כיוונם וחזרו במשך שעתיים לנקודת‬
‫המוצא שלהם‪ .‬מהירות הסירה במים עומדים קבועה במשך כל השייט‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מהירות הסירה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו המרחק הכולל ששטה הסירה?‬
‫‪ .2‬נתון מעגל שמשוואתו ‪.  x  3   y  4   25‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של המעגל עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬העבירו קוטר במעגל‪ ,‬המאונך לציר ה‪ . x -‬מצא את שטח המרובע הנוצר על ידי‬
‫נקודות החיתוך שמצאת בסעיף א' ונקודת החיתוך של הקוטר עם המעגל הנמצאת‬
‫ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪ .3‬בית ספר תיכון מציע לתלמידיו ‪ 3‬מגמות ריאליות לבחירה‪ :‬פיזיקה‪ ,‬כימיה ומחשבים‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫מתלמידי הכימיה‬
‫‪ 40%‬מתלמידי מגמות אלה הם בנים‪ .‬הבנים מהווים מתלמידי הפיזיקה‪,‬‬
‫‪12‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ו‪ -‬מתלמידי המחשבים‪ .‬מהבנים הם תלמידי פיזיקה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪ .‬האם יש תלות בין העובדה שתלמיד לומד פיזיקה למין התלמיד?‬
‫ב‪ .‬מהו אחוז לומדי המחשבים מקרב הבנים?‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ MN .4‬הוא קטע במעגל שמרכזו ב‪ PK .O-‬משיק למעגל‬
‫בנקודה ‪ P‬ומאונך ל‪ .NQ-‬הנקודה ‪ Q‬נמצאת על המשך‬
‫המיתר ‪( MP‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. MP  KN  PK  PN :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪. MP  PQ :‬‬
‫‪8‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪P‬‬
‫‪K‬‬
‫‪N‬‬
‫‪O‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ .5‬מהנקודה ‪ O‬מעבירים את הקטעים ‪ OC , OB , OA‬ו‪.OD-‬‬
‫ידוע כי זווית ‪ AOB‬שווה לזווית ‪ COD‬והיא מסומנת ב‪.  -‬‬
‫המשולש ‪ COD‬הוא ישר זווית ‪.  CDO  90‬‬
‫נתונים האורכים‪. AO  8 , BO  9 , DO  10 :‬‬
‫מסמנים‪. BC  1.4m , CD  1.5m :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬את ‪. sin ‬‬
‫(העזר במשולש ‪ COD‬ובטא תחילה את ‪.)CO‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי‪ . AB  m :‬מצא את ‪ m‬אם ידוע כי‬
‫‪2‬‬
‫רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ AOB‬הוא ‪. 8‬‬
‫‪3‬‬
‫ג‪ .‬חשב את זווית ‪.BOC‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .6‬מצא וסווג את נקודות הקיצון של הפונקציה‪. f  x   x3  3b2 x :‬‬
‫שרטט סקיצה של גרף הפונקציה אם ידוע כי‪. b  0 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .7‬נתונות שתי פונקציות‪ f  x   x 2 :‬ו‪. g  x    -‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫מסמנים נקודה ‪ A‬על גרף הפונקציה ‪ f  x ‬ונקודה ‪ B‬על גרף‬
‫הפונקציה ‪ g  x ‬כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬עבורן אורך הקטע ‪AB‬מינימלי‪.‬‬
‫‪ .8‬נתונה הפונקציה‪( f  x   3x 2  6 x  9 :‬ראה איור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מסמנים ב‪ A-‬את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪y -‬‬
‫וב‪ B-‬את נקודת החיתוך החיובית של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫מעבירים את הישר ‪.AB‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה והישר ‪.AB‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪9‬‬
‫בחינה מספר ‪4‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬בריבוע שלפניך חסומים שני חצאי עיגולים הפוכים זה לזה‪.‬‬
‫ידוע כי סכום ההיקפים של שני החצאים יחדיו הוא ‪.10‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך צלע הריבוע‪.‬‬
‫ב‪ .i .‬מצא את סכום השטחים של שני חצאי העיגולים‬
‫(השטח המקווקו)‪.‬‬
‫‪ .ii‬מצא את השטח הכלוא בין העיגולים והריבוע (השטח הלבן)‪.‬‬
‫‪ .2‬באיור שלפניך נתון מעגל שמשוואתו‪ a,  x  a    y  1  5 :‬פרמטר‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ידוע כי המעגל חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה‪. A 10,0  :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬אם ידוע כי‪. a  10 :‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הנקודה ‪ - B‬נקודת החיתוך השנייה של המעגל‬
‫‪M‬‬
‫עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת הקוטר העובר דרך הנקודה ‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫ומרכז המעגל ‪.M‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודת החיתוך השנייה של הקוטר עם המעגל‪.‬‬
‫ה‪ .‬מעבירים אנך מנקודת החיתוך שמצאת בסעיף הקודם לציר ה‪ y -‬בנקודה ‪.D‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא הנקודה בעלת שיעור ה‪ y -‬הגדול ביותר על המעגל‪.‬‬
‫מחברים את הנקודות ‪ E‬ו‪ D-‬כך שנוצר המחומש ‪ .DECBO‬חשב את שטחו‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ .3‬בחדר ‪ x‬גברים ו‪ 3x -‬נשים‪ .‬מוציאים באקראי שני אנשים מהחדר‪.‬‬
‫ההסתברות שהם יהיו מאותו מין היא ‪.0.6‬‬
‫א‪ .‬מצא את גודלו של ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬חוזרים על התהליך ‪ 4‬פעמים‪ .‬מה הסיכוי שבשלוש מתוך ‪ 4‬הפעמים‬
‫ייצאו מהחדר שתי נשים?‬
‫‪10‬‬
‫‪D‬‬
‫‪O‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪ ABCD‬הוא טרפז ‪ .  BC AD ‬הצלעות ‪ BC‬ו‪ CD-‬הן מיתרים במעגל‪.‬‬
‫הצלע ‪ AB‬משיקה למעגל בנקודה ‪( B‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. ABD DCB :‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ 5 :‬ס"מ = ‪12.8 , BC‬ס"מ = ‪.AD‬‬
‫חשב את אורך האלכסון ‪.BD‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .5‬משולש שווה שוקיים ‪  BC  BE  , BCE‬חסום במעגל שרדיוסו ‪. R‬‬
‫זווית הבסיס של המשולש ‪ BCE‬היא ‪. ‬‬
‫‪F‬‬
‫בנקודה ‪ E‬העבירו משיק למעגל החותך את המשך‬
‫השוק ‪ BC‬בנקודה ‪( F‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬בטא את שטח המשולש ‪ BEF‬באמצעות ‪ R‬ו‪.  -‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הערך של ‪ ‬שבעבורו שטח‬
‫המשולש ‪ BCE‬שווה לשטח המשולש ‪. BEF‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .6‬נתון גרף הנגזרת של פונקציה‪.‬‬
‫צייר על אותה מערכת צירים את גרף הפונקציה‬
‫אם ידוע שהיא עוברת בראשית הצירים‪.‬‬
‫נמק את שיקוליך בשרטוט‪.‬‬
‫‪ .7‬נתונה נגזרת של פונקציה‪. f '  x   2 x  6 :‬‬
‫ערך הפונקציה בנקודת הקיצון שלה הוא ‪.5‬‬
‫מצא את הפונקציה‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ .8‬מבין כל החרוטים שאורך הקו היוצר שלהם הוא ‪ 10‬ס"מ (ראה ציור)‪,‬‬
‫מהו נפח החרוט שנפחו מקסימלי?‬
‫בהצלחה!‬
‫‪11‬‬
‫בחינה מספר ‪5‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬סוחר קנה ‪ 450‬תיקים‪ .‬הוא מכר ‪ 150‬מהם ברווח של ‪ 15%‬ואת השאר בהפסד של ‪.₪ 5‬‬
‫בסה"כ הפסיד הסוחר בעסקה ‪.₪ 600‬‬
‫א‪ .‬בכמה כסף קנה הסוחר כל תיק?‬
‫ב‪ .‬אם הסוחר היה מוכר את שאר התיקים בהפסד של ‪ 2‬שקלים במקום ‪ 5‬שקלים‪,‬‬
‫האם עדיין הוא היה מפסיד מהעסקה?‬
‫‪ .2‬מצא את משוואות המשיקים למעגל ‪  x  1   y  2   25‬בנקודות על המעגל שבהן ‪. y  5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 65% .3‬מהפחיות המיוצרות במפעל משקאות הן רגילות והשאר דיאט‪.‬‬
‫‪ 80%‬מהפחיות המיוצרות תקינות והשאר פגומות‪.‬‬
‫נתון כי ‪ 7%‬מהפחיות הן פחיות דיאט פגומות‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים באקראי פחית‪ .‬מה ההסתברות שהיא פחית רגילה ותקינה?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי פחית דיאט‪ .‬מה ההסתברות שהיא פגומה?‬
‫ג‪ .‬בוחרים באקראי פחית פגומה‪ .‬מה ההסתברות שהיא דיאט?‬
‫ד‪ .‬האם סוג הפחית ותקינותה הם מאורעות תלויים?‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬בין המשיקים המקבילים ‪ m‬ו‪ n -‬מעבירים מעגל כך ש‪AB-‬‬
‫הוא הקוטר היוצא משתי נקודות ההשקה שלהם‪.‬‬
‫הנקודות ‪ D‬ו‪ C-‬נמצאות על המשכי המשיקים כך‬
‫שהמרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז‪.‬‬
‫אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה ‪ E‬שנמצאת על היקף המעגל‪.‬‬
‫ידוע כי‪ . SABC  3  SDAB :‬שטח המשולש ‪ ADE‬יסומן ב‪. S -‬‬
‫בטא באמצעות ‪ S‬את שטח הטרפז ‪.ABCD‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ .5‬משולש שווה שוקיים ‪  AD  AE ,ADE‬חסום במעגל שרדיוסו ‪. R‬‬
‫ישר המשיק למעגל בנקודה ‪ D‬חותך את המשך הצלע ‪AE‬‬
‫בנקודה ‪( F‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪.  60    180 , DAE   :‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫א‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ ADF‬באמצעות ‪ R‬ו‪.  -‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את היחס שבין שטח‬
‫המשולש ‪ ADE‬ובין שטח המשולש ‪.ADF‬‬
‫ג‪ .‬חשב את ‪ ‬אם שטח המשולש ‪ ADE‬שווה‬
‫לשטח המשולש ‪.ADF‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪a  x2‬‬
‫חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫ג‪ .‬תחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫ד‪ .‬נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫ה‪ .‬אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ו‪ .‬סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.  a  0 , f  x  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .7‬נתונות שתי פונקציות‪, g  x   x :‬‬
‫‪x2‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות‪,‬‬
‫הישר ‪ x  2‬וציר ה‪. x -‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ .8‬טרפז ‪ ABCD‬חסום בין גרף הפרבולה ‪ y  9  x 2‬לבין‬
‫ציר ה‪( x -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬כדי ששטח‬
‫הטרפז ‪ ABCD‬יהיה מקסימלי?‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המקסימלי של טרפז ‪.ABCD‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪13‬‬
‫בחינה מספר ‪6‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬מחירו של מוצר א' גדול ב‪ 20-‬שקלים ממחירו של מוצר ב'‪.‬‬
‫מוצר א' התייקר ב‪ 5%-‬ומוצר ב' התייקר ב‪.50%-‬‬
‫המחיר הכולל של שני המוצרים לאחר ההתייקרות גדול ב‪ 25%-‬מהמחיר המקורי של שני המוצרים‪.‬‬
‫מהו המחיר המקורי של כל מוצר?‬
‫‪ .2‬הישרים‪ 9 y  11x  94 :‬ו‪ y  3x  14 -‬נחתכים בנקודה ‪.B‬‬
‫דרך נקודה זו עובר מעגל שמרכזו הוא‪. M  9,1 :‬‬
‫ידוע כי מעגל זה חותך את הישרים (חוץ מהנקודה ‪ )B‬בשתי‬
‫נקודות ‪ A‬ו‪( C-‬ראה איור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪ – A‬נקודת החיתוך של הישר‬
‫שמשוואתו‪ y  3x  14 :‬עם המעגל‪.‬‬
‫‪ .3‬בבית ספר בעיר מסוימת נערכו שני מבחנים‪ 80% .‬מהתלמידים עברו את המבחן הראשון‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫מבין התלמידים שעברו את המבחן הראשון עברו גם את השני ו‪ -‬מהתלמידים שנכשלו‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫במבחן הראשון נכשלו גם בשני‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים באקראי תלמיד‪ .‬מה ההסתברות שהוא עבר את אחד המבחנים בלבד?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 4‬תלמידים‪.‬‬
‫מה ההסתברות שבדיוק אחד מהם עבר את אחד המבחנים בלבד?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מבין התלמידים שנכשלו במבחן השני מהווה קבוצת התלמידים‬
‫שנכשלו גם במבחן הראשון?‬
‫‪14‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬מעבירים משיק ‪ AE‬למעגל הנתון באיור‪ .‬מנקודת ההשקה מעבירים את‬
‫המיתרים ‪ AB‬ו‪ AC-‬כך שנוצר המשולש ‪ .ABC‬ידוע כי‪. AC  BC :‬‬
‫המשך המיתר ‪ BC‬נפגש עם המשיק בנקודה ‪E‬‬
‫המיתר ‪ AB‬חוצה את זווית ‪. CBD‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הקטע ‪ BD‬מקביל למיתר ‪.AC‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ ABD CBA :‬וכתוב את יחס הדמיון‪.‬‬
‫‪DE BD‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪BE AB‬‬
‫‪ .5‬במשולש ‪ ABC‬אורך הצלע ‪ AC‬הוא ‪ 8‬ס"מ ואורך הצלע ‪ AB‬הוא ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא אמצע הצלע ‪ AC‬והנקודה ‪ D‬מקיימת‪ 3 :‬ס"מ = ‪.AD‬‬
‫‪DE 2‬‬
‫ידוע כי‪ :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪BC 5‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הקטע ‪.DE‬‬
‫ב‪ .‬חשב את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪.ADE‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המרובע ‪.BCED‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪kx‬‬
‫‪ k , f ( x) ‬פרמטר חיובי‪.‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪k  x2‬‬
‫א‪ .i .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? (בטא באמצעות ‪.) k‬‬
‫‪ .ii‬מהן האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬הראה כי הפונקציה עולה עבור כל ערך של ‪ k‬בתחום הגדרתה‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫(בטא באמצעות ‪.) k‬‬
‫ד‪ .‬המשיק אשר מצאת בסעיף הקודם חותך את אחת האסימפטוטות של הפונקציה בנקודה ‪. A‬‬
‫ידוע כי שטח המשולש הכלוא בין המשיק‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והאסימפטוטה הנ"ל הוא‪ 4 :‬סמ"ר ‪. S ‬‬
‫מצא את ‪. k‬‬
‫‪15‬‬
‫‪ .7‬נתון מלבן שאורכי צלעותיו הם ‪ 8‬ס"מ ו‪ 12 -‬ס"מ כמתואר באיור‪.‬‬
‫מקצים קטעים באורכים של ‪ x‬ו‪ 4x -‬על צלעות המלבן כך שנוצרים‬
‫המלבנים המקווקווים‪.‬‬
‫מצא את ‪ x‬עבורו סכום שטחי המלבנים הוא מינימלי‪.‬‬
‫‪ .8‬נתונות הפונקציות‪ f ( x)   x  2  :‬ו‪ g ( x)    x  2  -‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫התאם בין הפונקציות לגרפים ‪ I‬ו‪.II-‬‬
‫מסמנים את השטחים שבין כל פונקציה‬
‫והצירים ב‪ S1 -‬ו‪ S 2 -‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫הראה כי השטחים ‪ S1‬ו‪ S 2 -‬שווים זה לזה‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪16‬‬
‫בחינה מספר ‪7‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬רכבת נוסעים נוסעת מדי יום מעיר א' לעיר ב'‪ ,‬שהמרחק בניהן הוא ‪ 360‬ק"מ‪.‬‬
‫רכבת משא יוצאת מעיר ב' לעיר א' גם היא על בסיס יומי ובאותן שעות היציאה של רכבת הנוסעים‪.‬‬
‫ידוע כי מהירות רכבת הנוסעים גדולה ב‪ 20%-‬ממהירות רכבת המשא‪.‬‬
‫יום אחד‪ ,‬רכבת הנוסעים התעכבה ויצאה מהתחנה שבעיר א' לאחר ‪ 40‬דקות אך הגיעה לתחנה‬
‫שבעיר ב' ‪ 20‬דקות לפני רכבת המשא‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הן המהירויות של שתי הרכבות?‬
‫ב‪ .‬כמה זמן נסעה רכבת הנוסעים מעיר א' לעיר ב'?‬
‫‪ .2‬באיור שלפניך נתונה מקבילית ‪.ABCD‬‬
‫ידועים קדקודי המקבילית הבאים‪ A  1, y  :‬ו‪ x ( . B  x, 4  -‬ו‪ y -‬נעלמים)‪.‬‬
‫שיפוע הצלע ‪ CD‬הוא ‪ 0.2‬ואורכה הוא‪. dCD  104 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ x‬ו‪ y -‬אם ידוע כי ‪ B‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי הקדקוד ‪ C‬נמצא על ציר ה‪ x -‬בחלקו החיובי‬
‫וכי‪ . dBC  17 :‬מצא את שיעורי הקדקוד ‪C‬‬
‫(תן שתי אפשרויות)‪.‬‬
‫ג‪ .‬סמן את נקודת החיתוך של הצלע ‪ AB‬עם ציר ה‪ y -‬ב‪.E-‬‬
‫שטח המרובע ‪ EOCB‬הוא ‪ 25.9‬יחידות שטח‪.‬‬
‫מצא את האפשרות הנכונה עבור הנקודה ‪ C‬מבין אלו שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪ .3‬בתוך כד ישנם ‪ 8‬כדורים‪ ,‬חלקם אדומים וחלקם לבנים‪.‬‬
‫מוציאים באקראי כדור‪ ,‬מניחים אותו בצד ומוציאים כדור נוסף‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה כדורים יש בכד מכל צבע אם ידוע כי ההסתברות שהכדור‬
‫‪3‬‬
‫השני שהוצא הוא לבן היא ‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי הכדור השני שהוצא הוא לבן‪.‬‬
‫מה ההסתברות שהכדור הראשון שיצא הוא אדום?‬
‫‪17‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬נתון משולש ‪ .ABC‬על הצלע ‪ BC‬של המשולש ‪ ABC‬בונים משולש נוסף ‪.BDC‬‬
‫הצלעות ‪ DC‬ו‪ AB-‬נחתכות בנקודה ‪.M‬‬
‫הצלע ‪ AB‬חוצה את זווית ‪ B‬וידוע כי‪. 2 ACD  B :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ACM DBM :‬‬
‫‪AC AM‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC CM‬‬
‫‪AM 8‬‬
‫וכי אורך הצלע ‪ BD‬הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי‪ :‬‬
‫‪CM 5‬‬
‫סכום הצלעות ‪ AC‬ו‪ BC-‬הוא ‪ 19.5‬ס"מ‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫חשב את היחס‪. BDM :‬‬
‫‪S BMC‬‬
‫‪ .5‬נתון משולש ‪ .ABC‬הקודקודים ‪ B‬ו‪ C-‬של המשולש ‪ ABC‬נמצאים‬
‫על מעגל שמרכזו ‪ .O‬מרכז המעגל ‪ O‬מונח על הצלע ‪.AC‬‬
‫אורך הצלע ‪ AB‬הוא ‪ 12‬ס"מ ואורך הקטע ‪ AO‬הוא ‪ 4.5‬ס"מ‪.‬‬
‫זווית ‪ BAC‬היא ‪. 60‬‬
‫א‪ .‬חשב את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים את הקוטר ‪ BD‬ואת הקטע ‪ AD‬כך שנוצר‬
‫המשולש ‪ .ADB‬חשב את זווית ‪.ADB‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪x2  m‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪ax  4‬‬
‫ידוע כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך של הפרמטר ‪. m‬‬
‫ב‪ .‬הצב את הערך של ‪ m‬שמצאת בסעיף א' והבע באמצעות ‪ a‬את‪:‬‬
‫‪ .i‬תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .ii‬נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫‪ .iii‬האסימפטוטות לגרף הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה וסמן בה את נקודות הקיצון ואת משוואות האסימפטוטות‬
‫שהבעת באמצעות ‪ a‬בסעיף הקודם‪.‬‬
‫ד‪ .‬ידוע כי נקודת הקיצון שאינה על ציר ה‪ , y -‬נמצאת במרחקים שווים מהצירים‪.‬‬
‫מצא את הערך של הפרמטר ‪. a‬‬
‫ה‪ .‬נתון הישר‪ . y  k :‬מצא עבור אילו ערכים של ‪ k‬אין לישר ולגרף הפונקציה‬
‫נקודות משותפות כלל‪.‬‬
‫‪ a, m , y ‬פרמטרים קבועים כאשר‪. a  0 :‬‬
‫‪18‬‬
‫‪ .7‬נתונים שלושה מספרים שסכומם הוא ‪ .36‬ידוע שמספר אחד זהה לשני‪.‬‬
‫א‪ .‬מה צריכים להיות שלושת המספרים כדי שמכפלתם תהיה מקסימלית?‬
‫ב‪ .‬כיצד תשתנה התוצאה אם מספר אחד יהיה גדול פי ‪ 2‬מהשני במקום זהה לו?‬
‫ג‪ .‬באיזה מקרה תהיה מכפלה גדולה יותר?‬
‫‪1‬‬
‫‪ .8‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫מעבירים שני אנכים לציר ה‪ x -‬והם‪ x  4 :‬ו‪.  t  4  , x  t -‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫‪ - S1‬השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה‪. x -‬‬
‫‪ - S 2‬השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והאנכים‪.‬‬
‫‪. f ( x)  1 ‬‬
‫ידוע כי‪ . 8S1  S2 :‬מצא את ‪. t‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪19‬‬
‫בחינה מספר ‪8‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬לרפי מטבח מלבני שמידותיו הם‪ 12 X 18 :‬מטרים ריבועיים (מ"ר)‪.‬‬
‫רפי מחלק את המטבח לשני מלבנים כך ששטח אחד גדול פי ‪ 2‬מהשטח של השני כמתואר באיור‪.‬‬
‫רפי רוצה לרצף את השטח הקטן ברצפת שיש יוקרתית (השטח הימני) לעומת השטח הגדול שאותו‬
‫ירצף ברצפה רגילה (השטח השמאלי)‪ .‬ידוע כי המחיר של מ"ר אחד מהרצפה הרגילה מהווה ‪60%‬‬
‫מהמחיר של מ"ר אחד מרצפת השיש היוקרתית‪.‬‬
‫רפי השקיע בריצוף המבטח סכום כולל של ‪.₪ 3168‬‬
‫כמה עולה מ"ר מכל סוג?‬
‫רצפת‬
‫שיש‬
‫יוקרתי‬
‫‪ .2‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מעוין‪.‬‬
‫ידוע כי שיעורי אחד מקדקודי המעוין הם‪.  0, 6  :‬‬
‫כמו כן‪ ,‬ידוע גם כי משוואת האלכסון ‪ AC‬היא‪y  1.5x  6 :‬‬
‫ואחת ממשואות הצלעות היא‪. 5 y  x  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת האלכסון השני‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שאר קדקודי המעוין‪.‬‬
‫‪ .3‬מפעל מייצר שולחנות וכיסאות‪ .‬בוחרים ‪ 4‬רהיטים‪.‬‬
‫ידוע כי ההסתברות שכולם יהיו כיסאות זהה להסתברות שיהיה שולחן אחד בדיוק בניהם‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ההסתברות לבחור כיסא‪.‬‬
‫במפעל צובעים את הרהיטים בשחור או לבן‪.‬‬
‫רבע מהשולחנות נצבעים בשחור ורבע מהכיסאות נצבעים בלבן‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות לבחור כיסא שחור?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מבין הרהיטים הלבנים מהווים השולחנות?‬
‫‪20‬‬
‫רצפה‬
‫רגילה‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬נתון משולש ‪ .ABC‬על הצלע ‪ AB‬של המשולש ‪ ABC‬בונים משולש שווה צלעות ‪.ABD‬‬
‫הצלע ‪ AC‬חותכת את הצלע ‪ BD‬בנקודה ‪ E‬אשר ממנה מעבירים ישר ‪ EF‬המקביל לצלע ‪.BC‬‬
‫נתון כי‪. DCB  40 , DBC  80 :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המשולשים ‪ ABE‬ו‪ CDE-‬דומים‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. FC  CE  AE  DF :‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי‪. BC  1.5  EF :‬‬
‫‪AE 1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .i‬הוכח‪ :‬‬
‫‪CE 2‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ .ii‬חשב את יחס השטחים הבא‪. ABE :‬‬
‫‪SCDE‬‬
‫‪ .5‬המשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים ‪  AB  AC ‬החסום במעגל שרדיוסו ‪. R‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא אמצע הבסיס ‪ BC‬והנקודה ‪ D‬היא אמצע הקשת ‪. AB‬‬
‫ידוע כי זווית הבסיס של המשולש היא ‪. 80‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את הקטעים ‪ CD‬ו‪.DE-‬‬
‫ב‪ r .‬הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪.CED‬‬
‫הבע באמצעות ‪ R‬את ‪. r‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪xa‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את השיעורים של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה‬
‫עם ציר ה‪ x -‬ועם ציר ה‪. y -‬‬
‫ד‪ .i .‬מצא עבור אילו ערכים של ‪ a‬הפונקציה )‪ f ( x‬עולה לכל ‪ x‬בתחום ההגדרה‪.‬‬
‫‪ .ii‬ישר המשיק לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬בנקודה שבה ‪ x  a‬מקביל לישר המשיק‬
‫לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪. x  2 :‬‬
‫מצא את הערך של ‪ a‬אם נתון כי הפונקציה עולה לכל ‪. x‬‬
‫‪.  a  1 , f ( x) ‬‬
‫‪21‬‬
‫‪ .7‬במשולש ישר הזווית ‪ AD  B  90  , ABC‬הוא תיכון לניצב ‪.BC‬‬
‫ידוע כי סכום אורכי הניצבים הוא ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫מצא מה צריכים להיות אורכי הניצבים עבורם‬
‫אורך התיכון ‪ AD‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪ .8‬נתונה פונקציה )‪ . f ( x‬משוואת המשיק לפונקציה )‪ f ( x‬בנקודה‬
‫שבה‪ x  2 :‬היא‪. y  x  13 :‬‬
‫הנגזרת של הפונקציה היא‪. f '( x)  4 x  7 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין המשיק‪ ,‬גרף הפונקציה‬
‫וציר ה‪( y -‬ראה איור)‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪22‬‬
‫בחינה מספר ‪9‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתונה מנסרה שבסיסה הוא משולש שווה שוקיים‪ .‬ידוע כי שטח הפאה הבנויה על מקצוע‬
‫הבסיס של המשולש מהווה ‪ 80%‬משטח הפאה הסמוכה לה‪ .‬כמו כן ידוע כי אורך מקצוע‬
‫השוק במשולש הבסיס גדול ב‪ 4-‬ס"מ מאורך מקצוע הבסיס במשולש זה‪.‬‬
‫גובה המנסרה הוא ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מידות משולש הבסיס‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה שטח המעטפת של המנסרה?‬
‫ג‪ .‬מה יהיה סכום כל מקצועות המנסרה?‬
‫‪ .2‬נתון מעגל המשיק לציר ה‪ x -‬בנקודה ‪.A‬‬
‫מהנקודה ‪ E‬שעל ציר ה‪ x -‬מעלים אנך המשיק למעגל בנקודה ‪( B‬ראה איור)‪.‬‬
‫הקטע ‪ BC‬מקביל לציר ה‪ x -‬ו‪ O-‬היא נקודת ראשית הצירים‪.‬‬
‫יוצרים טרפז ישר זווית ‪ ABCO‬ששטחו הוא ‪ 170‬סמ"ר‪.‬‬
‫ידוע כי‪ C  0,10  :‬ו‪ 10 -‬ס"מ ‪. AE ‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ .i‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬
‫‪ .ii‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬
‫כתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫‪ .3‬בחדר יש פי ‪ 4‬נשים מגברים‪ .‬משחקים את המשחק הבא‪ :‬בוחרים באקראי אדם מהחדר‪.‬‬
‫אם נבחר גבר אז הוא יוצא מהחדר ואם נבחרה אישה אז היא נשארת‪.‬‬
‫לאחר מכן בוחרים אדם נוסף‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה גברים יש בחדר אם ידוע כי ההסתברות שייבחרו‬
‫‪236‬‬
‫‪.‬‬
‫שני אנשים שונים היא‪:‬‬
‫‪725‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי בפעם השנייה נבחר גבר‪ ,‬מה ההסתברות שגם בפעם הראשונה יבחר גבר?‬
‫ג‪ .‬משחקים את המשחק ‪ 4‬פעמים‪ .‬ידוע כי בכל ארבעת הפעמים נבחר גבר בפעם השנייה‪.‬‬
‫מה ההסתברות שברוב המקרים יצא גבר גם בפעם הראשונה?‬
‫‪23‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ AB .4‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪ .O‬מהנקודה ‪ C‬שעל היקף המעגל מעבירים את הרדיוס ‪CO‬‬
‫ואת המיתר ‪ CD‬החותך את הקוטר בנקודה ‪. E‬‬
‫מהנקודה ‪ D‬מעבירים את המיתרים ‪ BD‬ו‪.AD-‬‬
‫‪AD AE‬‬
‫‪ .‬נתון‪. AD  DE :‬‬
‫ידוע כי המיתר ‪ CD‬מקיים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪BD BE‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הרדיוס ‪ CO‬מאונך לקוטר ‪.AB‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. COE BDA :‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי אורך המיתר ‪ BD‬הוא ‪ 16.2‬ס"מ‬
‫ואורך הקטע ‪ CE‬הוא ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪ .5‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן‪ .‬מעבירים את האלכסון ‪ BD‬וממשיכים אותו עד לנקודה ‪ E‬שמחוץ למלבן‪.‬‬
‫מחברים את הנקודה ‪ E‬עם הקודקוד ‪.C‬‬
‫ידוע כי אורך הצלע ‪ AD‬של המלבן הוא ‪ 6‬ס"מ‬
‫וכי אורך הקטע ‪ BE‬הוא ‪ 9‬ס"מ‪ .‬הזווית ‪ CBE‬היא ‪.115‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הקטע ‪CE‬‬
‫(בתשובתך כתוב עד לשני מספרים אחרי הנקודה)‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורך האלכסון ‪.BD‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.DCE‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪x2  3‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה והישר הנמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואות המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח שנוצר בין המשיק והצירים‪.‬‬
‫‪ f ( x) ‬ונתון הישר‪. y  2 x :‬‬
‫‪24‬‬
‫‪ .7‬נתונות הפונקציות‪ f ( x)  x 2  12 :‬ו‪ g ( x)  2 x  x 2 -‬כמתואר באיור הסמוך‪.‬‬
‫הנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬נמצאות בהתאמה על הגרפים‬
‫של הפונקציות‪ f ( x) :‬ו‪ g ( x) -‬כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪A‬‬
‫כדי שאורך הקטע ‪ AB‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪ .8‬נתונה פונקציה )‪ f ( x‬שנגזרתּה היא‪. f '( x)  3x 2  6 x  9 :‬‬
‫ישר ששיפועו ‪ 15‬משיק לפונקציה ברביע הרביעי בנקודה שבה‪. y  20 :‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬האם יש עוד משיקים לגרף הפונקציה בעלי שיפוע ‪?15‬‬
‫‪x‬‬
‫אם כן‪ -‬מצא אותם‪.‬‬
‫ג‪ .i .‬הראה כי הנקודה שבה ‪ x  7‬משותפת למשיק‬
‫שמצאת בסעיף הקודם ולפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫‪ .ii‬מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה והמשיק שמצאת בסעיף הקודם‬
‫(ראה איור)‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪25‬‬
‫בחינה מספר ‪10‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬סוחר קנה שולחנות במחיר כולל של ‪.₪ 18,000‬‬
‫‪ 10‬שולחנות הוא מכר ברווח של ‪ 60%‬לשולחן‪ 20 ,‬שולחנות הוא מכר ללא רווח ואת שאר‬
‫השולחנות הוא מכר בהפסד של ‪ 15%‬לשולחן‪ .‬סה"כ הרוויח הסוחר בעסקאות אלו ‪.₪ 450‬‬
‫א‪ .‬כמה שולחנות קנה הסוחר?‬
‫ב‪ .‬מה המחיר ששילם הסוחר עבור כל שולחן?‬
‫‪ .2‬הנקודה )‪ A(17, 4‬נמצאת על המעגל שמשוואתו‪. ( x  7)2  ( y  4)2  R 2 :‬‬
‫הישר ‪ x  1‬חותך את המעגל בשתי נקודות ‪ B‬ו‪ C-‬כך‬
‫ש‪ B-‬נמצאת ברביע הרביעי‪ .‬מעבירים את הקטע ‪AD‬‬
‫המאונך לישר ‪ BC‬וידוע כי הנקודה ‪ D‬היא אמצע ‪.BC‬‬
‫א‪ .‬מצא את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ B‬ו‪.C-‬‬
‫ג‪ .i .‬חשב את מרחק הנקודה ‪ A‬מהישר‪. x  1 :‬‬
‫‪ .ii‬חשב את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪ .3‬בכד ישנם ‪ 12‬כדורים‪ ,‬חלקם לבנים וחלקם שחורים‪.‬‬
‫א‪ .‬אם מוציאים עם החזרה שני כדורים מהכד ההסתברות ששניהם‬
‫‪13‬‬
‫‪.‬‬
‫יהיו בעלי אותו הצבע היא‬
‫‪18‬‬
‫מה ההסתברות להוציא כדור שחור אם ידוע כי יש יותר כדורים שחורים?‬
‫על ‪ 40%‬מהכדורים השחורים רשום מספר ועל מחצית הכדורים הלבנים רשום מספר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות להוציא מהכד כדור שחור שרשום עליו מספר?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מבין הכדורים שרשום עליהם מספר מהווים הכדורים הלבנים?‬
‫‪26‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬המעגלים שמרכזם בנקודות ‪ M‬ו‪ N-‬משיקים זה לזה מבפנים בנקודה ‪A‬‬
‫כך שהיקף המעגל הפנימי עובר בנקודה ‪.M‬‬
‫דרך הנקודה ‪ A‬מעבירים משיק‪.‬‬
‫‪ AB‬הוא קוטר במעגלים ו‪ C-‬היא נקודה הנמצאת‬
‫על היקף המעגל הפנימי כך שהמיתר ‪ BD‬משיק‬
‫למעגל הפנימי בנקודה זו‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ ABD CBN :‬וחשב את יחס הדמיון‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪. AD  8 :‬‬
‫חשב את רדיוס המעגל הגדול‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכח‪. 2CD  BC :‬‬
‫‪ .5‬המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז ‪.  AB CD ‬‬
‫ממשיכים את השוקיים ‪ AD‬ו‪ BC-‬עד לפגישתם בנקודה ‪.E‬‬
‫ידוע כי‪. DE  CE :‬‬
‫מעבירים את האלכסון ‪ AC‬אשר חוצה את זווית ‪.C‬‬
‫מסמנים את הבסיס הגדול ‪ DC‬ב‪ k -‬ואת‪. ACD   :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את הבסיס הקטן‬
‫של הטרפז ‪.AB‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪ ABC‬כאשר‪ 12 ,   15 :‬ס"מ ‪. k ‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪ d ) , y  3x3  6 x 2  4 x  d :‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע כי הפונקציה חותכת של ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה‪. x  2 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. d‬‬
‫ב‪ .‬האם יש לפונקציה נקודות קיצון?‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה וירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ה‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪27‬‬
‫‪ .7‬ליוסי משטח פח אשר הוא רוצה לבנות תיבה ממנו שנפחה הכולל‬
‫הוא ‪ 225‬סמ"ק‪ .‬יוסי רוצה שאורך הבסיס יהיה גדול פי ‪ 5‬מרוחבו‬
‫כמתואר באיור הסמוך‪ .‬כמות הפח שיש בידי יוסי מוגבלת ולכן הוא‬
‫רוצה לדעת מה היא הכמות המינימלית‬
‫של פח שעליו להשתמש בכדי להשיג את מבוקשו‪.‬‬
‫מצאו את כמות הפח המינימלית‪.‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a  x2‬‬
‫‪ .8‬גרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה )‪.(6,0‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪,‬‬
‫ציר ה‪ x -‬והישר‪. x  2 :‬‬
‫‪ a) f ( x) ‬קבוע)‬
‫בהצלחה!‬
‫‪28‬‬
‫בחינה מספר ‪11‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬שני הולכי רגל יוצאים משני יישובים ‪ A‬ו‪ B-‬המרוחקים זה מזה ‪ 13‬ק"מ‪.‬‬
‫היישוב ‪ A‬ממוקם בצפון מערב ביחס ליישוב ‪ B‬כמתואר באיור ממול‪.‬‬
‫הולך הרגל מיישוב ‪ A‬הולך דרומה והולך הרגל מיישוב ‪ B‬הולך מערבה‪.‬‬
‫הולך הרגל מיישוב ‪ A‬יוצא שעתיים לפני הולך הרגל השני‪.‬‬
‫לאחר שלוש שעות מיציאתו של הולך הרגל מיישוב ‪ ,A‬נפגשו שני הולכי הרגל‪.‬‬
‫מהירות הולך הרגל מיישוב ‪ B‬גדולה ב‪ 25%-‬ממהירות הולך הרגל השני‪.‬‬
‫באיזו מהירות הלך כל אחד משני הולכי הרגל?‬
‫‪A‬‬
‫‪ 13‬ק"מ‬
‫‪B‬‬
‫‪ .2‬המשולש ‪ ABC‬הוא משולש שווה שוקיים ‪.  AB  AC ‬‬
‫מעבירים במשולש את הגובה לבסיס ‪ AD‬ומסמנים נקודה ‪ E‬על הבסיס ‪BC‬‬
‫כך שמתקיים‪ . BE  DE :‬קדקוד הראש ‪ A‬נמצא בראשית הצירים‬
‫ונתון כי‪. D(5,7) , E(8.5, 2.5) :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי שאר קדקודי המשולש‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת השוק ‪.AC‬‬
‫‪ .3‬במפעל גדול ההסתברות שמתוך ‪ 4‬עובדים לפחות אחד ירכיב משקפיים היא ‪.0.5904‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לבחור עובד שלא מרכיב משקפיים?‬
‫ידוע כי ‪ 40%‬מהפועלים שמרכיבים משקפיים הם מעשנים ו‪ 20%-‬מבין העובדים‬
‫המעשנים הם מרכיבים משקפיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות לבחור עובד שמרכיב משקפיים בלבד או מעשן בלבד?‬
‫ג‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 5‬עובדים‪ .‬מה ההסתברות שרוב העובדים שנבחרו הם מעשנים?‬
‫‪29‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ AB .4‬הוא קוטר במעגל‪ .‬מהנקודה ‪ A‬מעבירים מיתר ‪.AC‬‬
‫הנקודה ‪ D‬נמצאת מחוץ למעגל וממנה מעבירים משיק ‪CD‬‬
‫וישר חותך ‪ .DE‬ידוע כי הישר ‪ DE‬חותך את הקוטר ‪ AB‬בנקודה ‪G‬‬
‫ומאונך למיתר ‪ AC‬בנקודה ‪.H‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ACD  BGE :‬‬
‫‪S‬‬
‫‪AH‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ AHG  :‬חשב את היחס‪:‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪SGHCB 5‬‬
‫‪ .5‬נתון משולש ‪ .ABC‬מעבירים את הקטע ‪ AD‬כך שנוצרת זווית‪. ADB  60 :‬‬
‫ידוע כי ‪ 28‬ס"מ ‪ AB ‬וכי הצלע ‪ AD‬במשולש ‪ ABD‬גדולה פי ‪ 1.5‬מהצלע ‪.BD‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הצלע ‪.BD‬‬
‫ב‪ .‬היקף המשולש ‪ ABC‬הוא‪ 5 7  7 :‬ס"מ ‪. P ‬‬
‫‪‬‬
‫‪.i‬‬
‫‪.ii‬‬
‫‪‬‬
‫סמן‪ DC  t :‬והבע באמצעות ‪ t‬את אורך הצלע ‪.AC‬‬
‫מצא את ‪. t‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪a2 x  4‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪2x2 1‬‬
‫ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪ x  1 :‬הוא‪. m  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את כל הערכים האפשריים עבור ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך בין המשיק הנתון ומשיק העובר דרך‬
‫נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫‪ a) , y ‬קבוע)‪.‬‬
‫‪30‬‬
‫‪ .7‬במשולש ישר זווית סכום אורכי הניצבים הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מה צריך להיות אורך כל ניצב‪ ,‬כדי שטח המשולש יהיה מקסימלי?‬
‫ב‪ .‬מהו השטח המקסימלי?‬
‫ג‪ .‬מה יהיה אורך היתר במשולש במקרה זה?‬
‫‪a‬‬
‫‪ .8‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪ f ( x)  2 x 2 :‬ו‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫בתחום‪ . x  0 :‬ידוע כי הגרפים נחתכים ברביע הראשון בנקודה הנמצאת‬
‫על הישר‪. y  4 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הגרפים ואת ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים‪ ,‬ציר ה‪x -‬‬
‫והישר‪. x  4 :‬‬
‫‪ a) , g ( x) ‬קבוע)‬
‫בהצלחה!‬
‫‪31‬‬
‫בחינה מספר ‪12‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬במלבן ‪ ABCD‬ידוע כי הצלע ‪ AD‬גדולה ב‪ 6-‬ס"מ מהצלע ‪.AB‬‬
‫על הצלע ‪ AB‬מקצים נקודות ‪ E‬ו‪ F-‬כך ששלושת הקטעים הנוצרים על צלע זו שווים‪.AF=EF=BE :‬‬
‫מעבירים אנכים לצלע ‪ AB‬דרך הנקודות ‪ E‬ו‪ F-‬עד לנקודות ‪ G‬ו‪ H-‬שבתוך המלבן כך שנוצר‬
‫מלבן פנימי ‪ .EFGH‬מרחק הצלע ‪ GH‬מהצלע ‪ DC‬הוא ‪ 3‬ס"מ‪.‬‬
‫ידוע כי שטח המלבן הפנימי מהווה ‪ 30%‬משטח המלבן ‪ .ABCD‬נסמן ב‪ x -‬את אורך הקטע ‪.EF‬‬
‫א‪ .i .‬הבע באמצעות ‪ x‬את צלעות המלבן ‪.ABCD‬‬
‫‪ .ii‬הבע באמצעות ‪ x‬את שטח המלבן ‪ABCD‬‬
‫ושטח המלבן הפנימי ‪.EFGH‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ x‬ואת צלעות המלבן ‪.ABCD‬‬
‫ג‪ .‬עבור ה‪ x -‬שמצאת מה יהיה שטח המלבן ‪?EFGH‬‬
‫‪ .2‬נתון משולש ‪ .ABC‬משוואות הצלעות ‪ AB‬ו‪ BC-‬במשולש ‪ ABC‬הן בהתאמה‪2 y  x  56 :‬‬
‫ו‪ . 8 y  x  104 -‬מעבירים גבהים לצלעות ‪ AB‬ו‪ BC-‬אשר נחתכים בנקודה )‪M(0, 2‬‬
‫שבתוך המשולש (ראה איור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואות הגבהים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המעגל שמרכזו בנקודה ‪ M‬ורדיוסו‬
‫הוא הקטע ‪.BM‬‬
‫‪ .3‬במפעל לייצור ברגים פועלים שני פסי ייצור – פס ייצור א' ופס ייצור ב'‪.‬‬
‫ידוע כי אם בוחרים ‪ 5‬ברגים אז ההסתברות ש‪ 3-‬מהם מיוצרים ע"י פס הייצור השני גדולה‬
‫פי ‪ 4.5‬מההסתברות שאחד מהם מיוצר ע"י פס הייצור הנ"ל‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ההסתברות לבחור בורג המיוצר ע"י פס הייצור הראשון‪.‬‬
‫מתוך כל ‪ 100‬ברגים שהמפעל מייצר ‪ 7‬פגומים ומתוך כל ‪ 10‬ברגים היוצאים מפס הייצור הראשון‬
‫אחד הוא פגום‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו אחוז הברגים התקינים שמיוצרים ע"י פס הייצור השני?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מבין הברגים הפגומים מהווים אלו שיוצאים מפס הייצור הראשון?‬
‫‪32‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬נתונים שני מעגלים בעלי רדיוס זהה ‪ M‬ו‪.N-‬‬
‫מעבירים שני משיקים למעגלים ‪ AB‬ו‪ CD-‬הנחתכים בנקודה ‪.K‬‬
‫מעבירים את הרדיוסים ‪ AN‬ו‪ DN-‬במעגל השמאלי ו‪ BM-‬ו‪ CM-‬במעגל הימני‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. KN  KM :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ ACMN‬הוא טרפז שווה שוקיים‪.‬‬
‫ג‪ .‬רדיוס המעגלים הוא ‪ R‬וידוע כי המשולש ‪BKC‬‬
‫הוא שווה צלעות‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ R‬את היקף הטרפז ‪.ACMN‬‬
‫‪ .5‬הקטע ‪ DE‬מקביל לצלע ‪ BC‬במשולש ‪ ABC‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫נתון כי‪. BD  129 , BC  15 , CE  13 :‬‬
‫ידוע כי זווית ‪ AED‬היא ‪. 60‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪ DE‬אם ידוע כי הוא קטן מ‪ 10-‬ס"מ‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.ADE‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪xk‬‬
‫‪, g ( x) ‬‬
‫‪ .6‬נתונות שתי הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪xk‬‬
‫ידוע כי הפונקציות חותכות זו את זו בנקודה שבה‪. x  0.8 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬האם הפונקציות נחתכות בנקודה נוספת מלבד לנקודה הנתונה? אם כן – מצא אותה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬בנקודה שבה‪. x  0.52 :‬‬
‫‪ k ) , f ( x) ‬פרמטר חיובי)‪.‬‬
‫‪33‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .7‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬והנקודה ‪ B‬נמצאת על גרף הישר כך‬
‫שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬כדי שאורך‬
‫הקטע ‪ AB‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪ f ( x) ‬ונתון הישר‪. y   x  3 :‬‬
‫‪ .8‬באיור שלפניך חותך גרף הפונקציה‪ f ( x)  x 2 :‬את גרף הפונקציה )‪ g ( x‬בנקודה שבה ‪. x  2‬‬
‫הנגזרת של הפונקציה )‪ g ( x‬היא‪. g '( x)  2 x  8 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. g ( x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים וציר ה‪( x -‬המסומן)‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪34‬‬
‫בחינה מספר ‪13‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬במלבן שלפניך חסומים שני עיגולים וחצי בעלי רדיוס זהה‪.‬‬
‫השטח שנוצר בין העיגולים וצלעות המלבן הוא ‪. 250  62.5‬‬
‫א‪ .i .‬מצא את רדיוס העיגולים‪.‬‬
‫‪ .ii‬מצא את אורכי צלעות המלבן‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את סכום שטחי העיגולים‪.‬‬
‫‪ .2‬באיור שלפניך נתון מעגל שמשוואתו‪ R,  x  5   y  3  R 2 :‬רדיוס המעגל‪.‬‬
‫ידוע כי המעגל עובר בראשית הצירים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את רדיוס המעגל וכתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הנקודות ‪ A‬ו‪ - B -‬החיתוך של המעגל עם הצירים (ראה איור)‪.‬‬
‫ג‪ .‬מסמנים נקודה ‪ C‬על ציר ה‪ x -‬כך ש‪ A-‬היא אמצע הקטע ‪.CO‬‬
‫‪ .i‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ABC‬‬
‫‪ .ii‬חשב את שטח המשולש‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .3‬רפי קנה במכולת חבילה של מסטיק "מנטוס"‪.‬‬
‫ידוע כי יש בחבילה ‪ 10‬סוכריות‪ ,‬חלקן ורודות וחלקן צהובות‪.‬‬
‫רפי מוציא באקראי (ללא החזרה) שתי סוכריות מהחבילה שקנה‪.‬‬
‫ידוע כי ההסתברות ששתי הסוכריות תהיינה ורודות קטנה פי ‪ 4‬מההסתברות להוציא‬
‫סוכריות בצבעים שונים‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה סוכריות מכל צבע יש בכל חבילה?‬
‫רפי מחזיר את הסוכריות לחבילה ומוציא באקראי ‪ 3‬סוכריות (ללא החזרה)‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שכל הסוכריות שהוציא רפי הן צהובות?‬
‫שלומי‪ ,‬חברו הטוב של רפי‪ ,‬קנה ‪ 3‬חבילות "מנטוס"‪.‬‬
‫ג‪ .‬שלומי מוציא באקראי סוכרייה מכל חבילה‪.‬‬
‫האם ההסתברות של שלומי להוציא ‪ 3‬סוכריות צהובות גבוהה או נמוכה מזו של רפי?‬
‫ד‪ .‬שלומי מוציא מכל חבילה שתי סוכריות‪.‬‬
‫מה ההסתברות שלו להוציא מכל חבילה סוכרייה ורודה ואחר כך צהובה?‬
‫‪35‬‬
‫‪y‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ AB .4‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪.O‬‬
‫מהנקודה ‪ A‬מעבירים את המיתרים ‪ AC‬ו‪ AG-‬ואת המשיק ‪AD‬‬
‫כך שהמשולש ‪ ACD‬שווה שוקיים‪.‬‬
‫הישר ‪ CD‬חותך את היקף המעגל בנקודה ‪ ,E‬את‬
‫המיתר ‪ AG‬בנקודה ‪ F‬ועובר דרך מרכז המעגל ‪.O‬‬
‫המיתר ‪ BG‬מקביל לישר החותך ‪.CD‬‬
‫א‪ .‬חשב את זוויות המשולש ‪.ACD‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪. AF  FG :‬‬
‫‪DC‬‬
‫‪‬‬
‫‪3R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪ .‬רדיוס המעגל יסומן ב‪ . -‬הוכח כי‪:‬‬
‫‪ .5‬במשולש ‪ ABC‬הקטע ‪ BE‬חוצה את זווית ‪.B‬‬
‫הנקודה ‪ D‬היא אמצע הצלע ‪ AB‬ומקיימת‪. DE  CE :‬‬
‫ידוע כי‪. BC  6 , BE  8 , BD  9 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את זווית ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.ADE‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪x 2  ax  6‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫ידוע שאחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך של ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬הצב את הערך של ‪ a‬שמצאת בסעיף א' ומצא‪:‬‬
‫‪ .i‬את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .ii‬את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫‪ .iii‬את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫‪ .iv‬את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫ג‪ .‬עבור אלו ערכי ‪ x‬הפונקציה שלילית?‬
‫ד‪ .‬נתון הישר‪ . y  k :‬עבור אלו ערכי ‪ k‬אין נקודות משותפות לישר ולגרף הפונקציה? נמק‪.‬‬
‫‪ a) , f ( x) ‬פרמטר)‪.‬‬
‫‪36‬‬
‫‪ .7‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)  36  x 2 :‬על גרף הפונקציה ברביע הראשון מסמנים נקודה ‪.A‬‬
‫מהנקודה ‪ A‬מעבירים ישר המקביל לציר ה‪ x -‬שחותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה ‪.C‬‬
‫הנקודה ‪ B‬היא נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪ x -‬ו‪ O-‬ראשית הצירים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬כדי ששטח‬
‫הטרפז ‪ ABCO‬יהיה מקסימלי?‬
‫ב‪ .‬מה יהיה שטח הטרפז במקרה זה?‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ f ( x) ‬ו‪-‬‬
‫‪ .8‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫מעבירים שני ישרים‪ x  k :‬ו‪ x  t -‬אשר חותכים של את הגרפים של הפונקציות‬
‫ויוצרים את הקטעים ‪ AB‬ו‪ .CD-‬ידוע כי‪. AB  2CD :‬‬
‫א‪ .‬הראה כי‪. k  4t :‬‬
‫ב‪ .‬השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות‬
‫והישרים‪ x  k :‬ו‪ x  t -‬הוא‪. S  12 :‬‬
‫מצא את ‪.t‬‬
‫‪. g ( x)  ‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪37‬‬
‫בחינה מספר ‪14‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬אוטובוס נוסע מעיר א' לעיר ב' הרחוקה ממנה ‪ 800‬ק"מ‪.‬‬
‫לאחר שעבר האוטובוס ‪ 135‬ק"מ במהירות קבועה הוא עצר להתרעננות של חצי שעה‪.‬‬
‫לאחר מכן המשיך האוטובוס את נסיעתו במהירות הגדולה ב‪ 43-‬קמ"ש ממהירותו הקודמת‬
‫עד לעיר ב'‪ .‬סך כל הזמן שהיה האוטובוס על הדרך הוא ‪ 7‬שעות‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הייתה המהירות ההתחלתית של האוטובוס?‬
‫ב‪ .‬מה היה המרחק שעבר האוטובוס אחרי ההתרעננות עד לעיר ב'?‬
‫‪ .2‬באיור שלפניך מתואר המעגל‪.  x  4    y  3  25 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫המעגל חותך את הצירים בנקודות ‪ B , A‬ו‪.O-‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של המעגל עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא נקודה ‪ C‬הנמצאת על היקף המעגל ברביע הראשון‬
‫כך שהמרובע ‪ ABCO‬יהיה מלבן‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את היקף המלבן‪.‬‬
‫‪ .3‬בעיר מסוימת נערכות בחירות‪ .‬ידוע כי אם בוחרים ‪ 4‬תושבים אז ההסתברות שלפחות אחד מהם‬
‫‪65‬‬
‫‪.‬‬
‫יצביע למועמד ב' היא‬
‫‪81‬‬
‫א‪ .‬איזה חלק מהתושבים הצביעו למועמד א'?‬
‫בעיר יש תושבים מבוגרים וצעירים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫ידוע כי מהצעירים הצביעו למועמד א' וכי ההסתברות לבחור מבוגר שהצביע למועמד ב' היא‬
‫‪15‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪ .‬מהו אחוז התושבים הצעירים שהצביעו למועמד ב'?‬
‫ג‪ .‬איזה אחוז מהווים התושבים הצעירים מבין אלו שהצביעו למועמד א'?‬
‫‪38‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬במעגל שרדיוסו הוא ‪ 10‬ס"מ המיתרים ‪ AB‬ו‪ BC-‬מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫הנקודה ‪ D‬היא אמצע הקשת ‪ . BC‬הקטע ‪ AD‬חותך את המיתר ‪BC‬‬
‫בנקודה ‪ .E‬אורך המיתר ‪ AB‬הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪.BE‬‬
‫ב‪ .‬מהנקודה ‪ D‬מעבירים מיתר החותך את המיתר ‪BC‬‬
‫בנקודה ‪ F‬ומקביל למיתר ‪.AB‬‬
‫הוכח כי מיתר זה עובר דרך מרכז המעגל‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪.FE‬‬
‫‪ .5‬נתון המעוין ‪.ABCD‬‬
‫אורך האלכסון הגדול במעוין ‪ AC‬גדול פי ‪ 1.8‬מצלע המעוין‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את זוויות המעוין‪.‬‬
‫מהקודקוד ‪ D‬מעבירים את הקטע ‪ DE‬שאורכו הוא ‪. m‬‬
‫הקטע ‪ DE‬חותך את האלכסון ‪ AC‬בנקודה ‪.G‬‬
‫הזווית ‪ EDC‬תסומן ב‪.  -‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬ו‪  -‬את אורך הקטע ‪.CE‬‬
‫ג‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬ו‪  -‬את שטח המשולש ‪.EGC‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪x2  2 x‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫א‪ .‬מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות קיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. -‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫‪39‬‬
‫‪x  12‬‬
‫‪ .7‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2  3‬‬
‫מקצים נקודה ‪ A‬על גרף הפונקציה וממנה מורידים אנכים לצירים‬
‫כך שנוצר המלבן ‪ ABCO‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬עבורם‬
‫שטח המלבן יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬עבורם שטח‬
‫המלבן יהיה מינימלי בתחום הנ"ל‪.‬‬
‫‪ f ( x) ‬בתחום‪. x  0 :‬‬
‫‪ .8‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)   x  2  :‬‬
‫מנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪ y -‬מעבירים משיק‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין המשיק‪ ,‬גרף הפונקציה וציר ה‪x -‬‬
‫(השטח המסומן)‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪40‬‬
‫בחינה מספר ‪15‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתונה תיבה שבסיסה הוא מלבן‪ .‬ידוע כי צלע אחת של המלבן גדול ב‪ 50%-‬מהצלע הסמוכה לה‪.‬‬
‫כמו כן גובה המלבן גדול ב‪ 50%-‬מצלע המלבן הגדולה‪.‬‬
‫סכום ארבעת הגבהים של המלבן גדול ב‪ 32-‬ס"מ מהיקף בסיס המלבן‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מידות המלבן‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המעטפת של התיבה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את נפח התיבה‪.‬‬
‫‪ .2‬המעגל‪ a  4 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  a    y  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ a  0 ,‬חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של המעגל הנתון עם המעגל‪ 10 :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫כתוב את משוואת הישר העובר דרך נקודות החיתוך של שני המעגלים‪.‬‬
‫חשב את שטח המשולש שיוצר הישר שמצאת בסעיף הקודם עם הצירים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.  x  1   y  2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .3‬בכד יש ‪ 9‬כדורים‪ ,‬חלקם כחולים והשאר לבנים‪.‬‬
‫מוציאים כדור מהכד‪ ,‬אם הוא כחול אז מחזירים אותו לכד ומוסיפים ‪ 4‬כדורים לבנים‬
‫ואם הוא לבן אז מחזירים אותו לכד ומוסיפים ‪ 4‬כדורים כחולים‪ .‬לאחר מכן מוציאים כדור נוסף‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪.‬‬
‫ידוע כי ההסתברות שהכדור הראשון שיצא הוא כחול אם ידוע כי הכדור השני כחול היא‬
‫‪11‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה כדורים כחולים יש בכד‪.‬‬
‫ב‪ .‬חוזרים על התהליך ‪ 6‬פעמים‪ ,‬כלומר בכל פעם מחזירים את המצב לקדמותו‪,‬‬
‫מוציאים באקראי כדור ופועלים בהתאם לחוקים‪.‬‬
‫מצא את ההסתברות שלפחות פעם אחת יבחרו שני כדורים כחולים בזה אחר זה‪.‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪.‬‬
‫‪ A‬גובה לצלע ‪ BC‬ו‪ AE-‬קוטר במעגל‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BAD  EAC :‬‬
‫נתון גם כי‪CE  21 , AD  6 , CD  8 :‬‬
‫ב‪ .‬חשב את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪41‬‬
‫‪ .5‬המרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל כמתואר באיור‪.‬‬
‫ידוע כי‪. AB  b , BC  a , CD  a , AD  3b :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬ו‪ b -‬את ‪. cos BCD‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי אם ‪ BD‬קוטר אז מתקיים‪. a  b 5 :‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי רדיוס המעגל הוא ‪ 3‬ס"מ‪.‬‬
‫הסתמך על סעיף ב' וחשב את שטח המרובע ‪.ABCD‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪kx‬‬
‫‪ k  0 , f ( x) ‬פרמטר‪.‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪k  x2‬‬
‫א‪ .i .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? (בטא באמצעות ‪.) k‬‬
‫‪ .ii‬מהן האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬הראה כי הפונקציה עולה עבור כל ערך של ‪ k‬בתחום הגדרתה‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫(בטא באמצעות ‪.) k‬‬
‫ד‪ .‬המשיק אשר מצאת בסעיף הקודם חותך את האסימפטוטה החיובית של הפונקציה בנקודה ‪. A‬‬
‫ידוע כי שטח המשולש הכלוא בין המשיק‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והאסימפטוטה הנ"ל הוא‪. S  4 :‬‬
‫מצא את ‪. k‬‬
‫‪ .7‬חיים הוא אחד מעובדי חברת "דפוס יהלום בע"מ"‪.‬‬
‫תפקידו של חיים הוא להדביק גלויות על משטחי קרטון בעלי שטח‬
‫מינימלי כך שיישארו רווחים של ‪ 3‬ס"מ מקצות הקרטון העליון‬
‫והתחתון‪ ,‬ו‪ 5-‬ס"מ מצידי הקרטון (ראה איור)‪.‬‬
‫יום אחד קיבל חיים שיחת טלפון מלקוח אנונימי ששאל‬
‫אותו את השאלה הבאה‪" :‬יש לי מגוון גדול של גלויות במידות שונות‬
‫אשר שטחן זהה והוא ‪ 60‬סמ"ר‪ .‬מה הן המידות של גלויה אשר שטח‬
‫משטח הקרטון שלה יהיה מינימלי?"‬
‫א‪ .‬עזור לחיים לענות ללקוח על שאלתו והראה דרך חישוב‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיו מידות הקרטון עבור הגלויה המסוימת?‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .8‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)  x 2  6 x  12 :‬ישר העובר בראשית הצירים‬
‫חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה ‪ x  4‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הישר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך השנייה של הישר והפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין הישר‪ ,‬גרף הפונקציה‪,‬‬
‫ציר ה‪ x -‬והישר ‪. x  4‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪42‬‬
‫בחינה מספר ‪16‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬סוחר קנה כיסאות ב‪ .₪ 7,200-‬הסוחר השקיע ‪ ₪ 1,000‬בשיפוץ כל הכיסאות ואז מכר אותם‪.‬‬
‫‪ 20‬כיסאות הוא מכר ברווח של ‪ ₪ 70‬לכיסא‪ .‬את שאר הכיסאות הוא מכר בהפסד של ‪ ₪ 15‬לכיסא‪.‬‬
‫הסוחר הפסיד בעסקה ‪.₪ 650‬‬
‫א‪ .‬כמה כיסאות קנה הסוחר?‬
‫ב‪ .‬כמה שילם הסוחר עבור כל כיסא?‬
‫‪ .2‬המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז‪ .‬הנקודה ‪ E‬היא אמצע הבסיס ‪ AB‬וידוע כי היא נמצאת‬
‫על ציר ה‪ .x -‬שיעורי הנקודה ‪ B‬הם ‪  3, 2 ‬והצלע ‪ AD‬מונחת על הישר‪.x  5 :‬‬
‫אורך הקטע ‪ DE‬הוא ‪ 80‬כך ש‪ D-‬ברביע השלישי וכן‪. DEC  90 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ D , A‬ו‪.E-‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הקטע ‪CE‬‬
‫ואת משוואת הבסיס ‪.CD‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.DEC‬‬
‫‪ .3‬בסיטונאות מזון ידוע כי ‪ 40%‬מתוך הסכו"ם החד‪-‬פעמי הוא תוצרת חו"ל והשאר תוצרת הארץ‪.‬‬
‫‪ 40%‬מבין הסכו"ם המיובא מחו"ל הם צבעוניים והשאר שקופים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לבחור בסיטונאות המזון סכו"ם שקוף המיובא מחו"ל?‬
‫ב‪ .i .‬בוחרים ‪ 5‬כלים בחנות באופן אקראי‪.‬‬
‫מה ההסתברות שלכל היותר כלי אחד הוא כלי שקוף תוצרת חו"ל?‬
‫‪ .ii‬מה ההסתברות שבדיוק אחד מחמשת הכלים הוא כלי שקוף תוצרת חו"ל‪,‬‬
‫אם ידוע כי לכל היותר כלי אחד הוא שקוף תוצרת חו"ל?‬
‫ג‪ .‬בוחרים שני כלים באופן אקראי וידוע כי ההסתברות ששניהם שקופים היא ‪.0.4096‬‬
‫איזה חלק מהווים כלי הסכו"ם השקופים מבין כלי הסכו"ם תוצרת הארץ?‬
‫‪43‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬מהקדקוד ‪ C‬של המשולש ‪ BCD‬מעבירים את הקטע ‪ AC‬כך שהמשולש ‪ACD‬‬
‫הוא שווה שוקיים ‪ .  AC  AD ‬הנקודה ‪ F‬נמצאת על הצלע ‪CD‬‬
‫כך שמתקיים‪. D  CBF , 3  ACD  BEC :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הקטע ‪ BF‬חוצה את זווית ‪. B‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪.AEB FEC :‬‬
‫‪BE AE‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC FC‬‬
‫‪ .5‬המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל כמתואר באיור‪.‬‬
‫מעבירים את המיתר ‪ AD‬החוצה את זווית ‪.BAC‬‬
‫ידוע כי‪ . BAC  40 , ACB  60 :‬מסמנים‪. AD  k :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬את אורך המיתר ‪.BD‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי שטח המשולש ‪ ABD‬הוא ‪ 7.368‬סמ"ר‪.‬‬
‫מצא את ‪( k‬עגל למספר שלם)‪.‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪.6‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪9  x2‬‬
‫‪ f ( x)  2‬יש נקודת קיצון שנמצאת על ציר ה‪. y -‬‬
‫הוכח כי לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x k‬‬
‫הוכח כי הפונקציה )‪ f ( x‬מוגדרת לכל ‪ x‬אם ידוע כי שיעור ה‪ y -‬של נקודת הקיצון הוא ‪.3‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה וקבע בכמה נקודות יחתוך אותו הישר ‪. y  1‬‬
‫נמק את תשובתך‪.‬‬
‫‪44‬‬
‫‪ .7‬באיור שלפניך מתוארים תיבה שבסיסה ריבוע וגליל החסום בתוך התיבה‪.‬‬
‫רדיוס הגליל יסומן ב‪ x -‬וגובהו ב‪ . h -‬ידוע כי הסכום של ‪ x‬ו‪ h -‬הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את אורך מקצוע הבסיס של התיבה‪.‬‬
‫ב‪ .i .‬הבע באמצעות ‪ x‬את נפח הגליל‪.‬‬
‫‪ .ii‬הבע באמצעות ‪ x‬את נפח התיבה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪ x‬עבורו הנפח הכלוא בין התיבה לגליל יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫‪x‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ .8‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והישר‪. x  9 :‬‬
‫‪ f ( x ) ‬ו ‪. g ( x)  2 x -‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪45‬‬
‫בחינה מספר ‪17‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬משאית מביאה סחורה מידי יום מיישוב א' ליישוב ב' המרוחק ממנו ‪ 630‬ק"מ‪.‬‬
‫המשאית נוסעת במהירות קבועה בכל יום‪.‬‬
‫יום אחד נסעה המשאית במהירות הנמוכה ממהירותה הרגילה ב‪.20%-‬‬
‫לאחר ‪ 3‬שעות ראה נהג המשאית כי הוא עומד לאחר ולכן הגביר את מהירותו ב‪ 21-‬קמ"ש‬
‫ממהירותו הנוכחית‪ .‬המשאית הגיעה ליעדה בדיוק באותו הזמן שהיא מגיעה בכל יום‪.‬‬
‫באיזו מהירות נוסעת המשאית בכל יום?‬
‫‪ .2‬הנקודות ‪ M‬ו‪ D-‬נמצאות על הישר‪. y  12 :‬‬
‫ידוע כי שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ M‬הוא ‪ 9‬וכי המרחק של הנקודה ‪ M‬מראשית הצירים גדול ב‪6 -‬‬
‫מהמרחק בין הנקודות ‪ D‬ו‪( M-‬ראה איור)‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫בונים מעגל שמרכזו נמצא בנקודה ‪ M‬ורדיוסו והוא האורך ‪.DM‬‬
‫א‪ .i .‬מצא את מרחק הנקודה ‪ M‬מראשית הצירים‪.‬‬
‫‪y  12‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ .ii‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪.D‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם המעגל הזה חותך את הצירים?‬
‫הראה חישוב מתאים לטענתך‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .3‬בכד יש פי ‪ 5‬כדורים כחולים מאדומים‪ .‬מוציאים מהכד כדור‪.‬‬
‫אם הוא כחול אז משאירים אותו בחוץ ואם הוא אדום אז מחזירים אותו לכד‪.‬‬
‫לאחר מכן מוציאים כדור נוסף מהכד‪.‬‬
‫‪175‬‬
‫‪.‬‬
‫ידוע כי ההסתברות להוציא שני כדורים בצבעים שונים היא‪:‬‬
‫‪612‬‬
‫א‪ .‬כמה כדורים מכל צבע יש בכד?‬
‫ב‪ .‬ידוע כי הכדור השני שנבחר הוא כחול‪ ,‬מה ההסתברות שהכדור הראשון שנבחר היה אדום?‬
‫ג‪ .‬חוזרים על התהליך ‪ 5‬פעמים‪.‬‬
‫ידוע כי בכל הפעמים הכדור השני שהוצא הוא כחול‪.‬‬
‫מה ההסתברות שברוב הפעמים הכדור הראשון שיצא הוא אדום?‬
‫‪46‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬המרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל‪ .‬המשכי המיתרים ‪ AB‬ו‪ ED-‬נפגשים בנקודה ‪.F‬‬
‫הקטע ‪ FD‬חותך את היקף המעגל בנקודה ‪ E‬כך שמתקיים‪. AB  AE :‬‬
‫נתון כי הזווית ‪ BCD‬היא ישרה‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הקטע ‪ DF‬שווה לקוטר המעגל‪.‬‬
‫נתון כי‪ DF  BF :‬וכי רדיוס המעגל הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ AEDB‬הוא טרפז‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את היקף הטרפז ‪.AEDB‬‬
‫‪ .5‬המשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים ‪ .  AB  AC ‬ממשיכים את הצלע ‪ AC‬עד‬
‫לנקודה ‪ D‬כך שאורך שוק המשולש גדולה פי ‪ 3.8‬מהקטע ‪.AD‬‬
‫ידוע כי‪ . D  60 :‬אורך הקטע ‪ BD‬הוא ‪ 21‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הקטע ‪.AD‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 16 23‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ax  6‬‬
‫‪ a , f ( x) ‬פרמטר‪.‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪9  x2‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ידוע כי הוא מקביל לישר‪. 3 y  x  0 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬כתוב את התחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪47‬‬
‫‪9x‬‬
‫‪x 8‬‬
‫‪ f ( x) ‬והישר‪:‬‬
‫‪ .7‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪25‬‬
‫‪x 1‬‬
‫הנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬נמצאות על הגרפים של הפונקציות כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫מהנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬מותחים אנכים לציר ה‪ y -‬כך שנוצר המלבן ‪.ABCD‬‬
‫‪y‬‬
‫נסמן את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬ב‪. t -‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את היקף המלבן ‪.ABCD‬‬
‫מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ t‬עבורו היקף המלבן הוא‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪B‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה ההיקף במקרה זה?‬
‫‪.y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .8‬באיור שלפניך מתוארים גרף הפונקציה )‪ f ( x‬והישר‪. y  2 x :‬‬
‫נגזרת הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪ f '( x)  2 x  6 :‬וידוע הישר חותך את הפונקציה‬
‫בנקודה שבה ערך ה‪ y -‬הוא ‪.16‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬האם יש לגרף הפונקציה ולישר עוד נקודות חיתוך? אם כן מצא אותן‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה והישר‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪48‬‬
‫בחינה מספר ‪18‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪ 16 23‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬בעל חנות כלי נגינה קנה גיטרות ב‪ ,₪ 50,000-‬מחיר כל הגיטרות זהה‪.‬‬
‫בשבוע הראשון מכר בעל החנות ‪ 3‬גיטרות ברווח של ‪.85%‬‬
‫בשבוע השני מכר בעל החנות גיטרה אחת במחיר שקנה אותה ובשבוע השלישי והרביעי‬
‫מכר בעל החנות את שאר הגיטרות בהפסד של ‪.5%‬‬
‫סה"כ הרוויח בעל החנות מעסקי הגיטרות ‪.₪ 11,250‬‬
‫כמה גיטרות קנה בעל החנות ובאיזה מחיר לגיטרה?‬
‫‪ .2‬מעגל שמרכזו בנקודה ‪ M 15,12 ‬משיק לציר ה‪ y -‬בנקודה ‪ B‬וחותך את‬
‫ציר ה‪ x -‬בשתי נקודות ‪ A‬ו‪ C-‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬כתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫מהנקודה ‪ C‬מעלים אנך לציר ה‪ x -‬שחותך את המעגל בנקודה נוספת ‪.D‬‬
‫דרך הנקודה ‪ D‬עובר משיק למעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ C‬ו‪.D-‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה ‪.D‬‬
‫‪ .3‬לכבוד חנוכה קנתה סבתא תקווה לשתי נכדותיה‪ ,‬שני ושרון‪ ,‬סביבונים עם סוכריות בתוכם‪.‬‬
‫בכל סביבון יש ‪ 7‬סוכריות שוקולד ו‪ 4-‬סוכריות מנטה‪.‬‬
‫שרון לקחה סביבון אחד והוציאה ממנו באקראי (ללא החזרה) ‪ 4‬סוכריות‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שכל הסוכריות שהוציאה שרון הן סוכריות מנטה?‬
‫שני לקחה ‪ 4‬סביבונים (אחרים) והוציאה באקראי מכל סביבון סוכרייה אחת‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם ההסתברות ששני תוציא ‪ 4‬סוכריות מנטה גבוהה יותר או נמוכה יותר מההסתברות‬
‫שחשבת בסעיף א'? נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬שני הוציאה באקראי סוכרייה אחת מכל סביבון מתוך ארבעת הסביבונים שברשותה‪.‬‬
‫ידוע שבין הסוכריות שבידה יש יותר סוכריות מנטה‪.‬‬
‫מה ההסתברות שכל הסוכריות שיש לשני ביד יהיו בטעם מנטה?‬
‫‪49‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן‪ .‬הקטע ‪ DF‬חותך את הצלע ‪ BC‬בנקודה ‪ E‬כך‬
‫שהקטע ‪ CE‬גדול פי ‪ 2‬מהקטע ‪ F .BE‬נמצאת על המשך הצלע ‪ AB‬של המלבן‪.‬‬
‫מעבירים את הקטע ‪ MN‬המקביל לצלעות ‪ AD‬ו‪ BC-‬של המלבן ואת הקטע ‪MG‬‬
‫‪AM 3‬‬
‫‪.‬‬
‫המאונך לקטע ‪ .DF‬נתון‪ :‬‬
‫‪BM 5‬‬
‫א‪ .‬פי כמה גדול הקטע ‪ MN‬מהקטע ‪?BE‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי המשולשים ‪ MGN‬ו‪ FAD-‬דומים ‪.‬‬
‫‪DF‬‬
‫‪GN 3‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי‪:‬‬
‫‪ .‬הוכח‪ 90 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪BE‬‬
‫‪DF 40‬‬
‫‪ .5‬המשולש ‪ ABC‬הוא ישר זווית ‪C  90 ‬‬
‫‪‬‬
‫ובו‪. B  2 :‬‬
‫מעבירים מעגל שרדיוסו ‪ R‬דרך הקדקודים ‪ B‬ו‪ C-‬אשר חותך את צלעות‬
‫המשולש בנקודות ‪ D‬ו‪ .E-‬המיתר ‪ BE‬חוצה את זווית ‪.B‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬ו‪  -‬את שטח המשולש ‪.ABE‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי המשולש ‪ ABE‬הוא שווה שוקיים‬
‫וכי אורך המיתר ‪ CE‬הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪.ABE‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום הגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬כמה נקו דות יש לגרף הפונקציה שהמשיק העובר דרכן מקביל לציר ה‪ ? x -‬מצא אותן‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואות המשיקים בנקודות שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫‪50‬‬
‫‪ .7‬המרובע ‪ ABCD‬הוא ריבוע‪ .‬הנקודה ‪ E‬נמצאת על הצלע ‪ AD‬של הריבוע והנקודה ‪G‬‬
‫נמצאת על המשך הצלע ‪ .AD‬מעבירים את הקטעים ‪ BE‬ו‪ BG-‬ומוסיפים את הנקודה ‪F‬‬
‫כך שהמרובע ‪ BEFG‬הוא מלבן כמתואר באיור‪ .‬הקטע ‪ AG‬גדול פי ‪ 2‬מהצלע ‪ BE‬של המלבן‬
‫והסכום של הצלע ‪ BE‬והאלכסון ‪ GE‬הוא ‪ 16‬ס"מ‪ .‬הקטע ‪ BE‬יסומן ב‪. x -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את אורך הקטע ‪.AE‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ x‬עבורו אורך צלע הריבוע תהיה מקסימלית‪.‬‬
‫(העזר במשולש ‪.)ABE‬‬
‫‪ .8‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)  kx  x 2 :‬הישר ‪ y  9‬חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות‪.‬‬
‫ידוע כי שיעור ה‪ x -‬של אחת מנקודות החיתוך הוא ‪. x  9‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך השנייה בין שני הגרפים‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪ ,‬הישר‬
‫וציר ה‪( x -‬השטח המסומן)‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪51‬‬
‫בחינה מספר ‪19‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתון ריבוע ‪ .ABCD‬בונים משולש ישר זווית ‪ EFC‬כך ש‪ E-‬ו‪ F-‬הן‬
‫נקודות על המשכי הצלעות ‪ BC‬ו‪ DC-‬של הריבוע בהתאמה‪.‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על יתר המשולש ‪.EF‬‬
‫הקטע ‪ BE‬מהווה ‪ 50%‬מצלע הריבוע והקטע ‪ FD‬גדול‬
‫פי ‪ 2‬מצלע הריבוע‪.‬‬
‫ידוע כי שטח המשולש ‪ EFC‬הוא ‪ 81‬סמ"ר‪.‬‬
‫מצא את אורך צלע הריבוע‪.‬‬
‫‪ AD .2‬ו‪ BE-‬הם בהתאמה גבהים לצלעות ‪ BC‬ו‪ AC-‬במשולש ‪.ABC‬‬
‫ידוע כי שיעורי נקודת פגישת הגבהים ‪ K‬הם‪. 1,3 :‬‬
‫שיעורי הנקודות ‪ D‬ו‪ E-‬הם‪. D  2, 4  , E  3,5 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את משוואת הגובה ‪ AD‬ואת משוואת הצלע ‪.AC‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪.A‬‬
‫מצא את משוואת הגובה ‪ BE‬ואת משוואת הצלע ‪.BC‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪.B‬‬
‫‪ .3‬בחדר יש ‪ x‬גברים ו‪ 3x -‬נשים‪ .‬משחקים את המשחק הבא‪ :‬בוחרים באקראי שני אנשים‬
‫מהחדר בזה אחר זה (ללא החזרה)‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫‪.‬‬
‫ידוע כי ההסתברות לבחור שני אנשים מאותו המין היא‬
‫‪22‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה נשים יש בחדר‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי האדם השני שנבחר הוא גבר‪ ,‬מה ההסתברות שגם הראשון שנבחר הוא גבר?‬
‫ג‪ .‬משחקים את המשחק ‪ 4‬פעמים‪.‬‬
‫ידוע כי בכל הפעמים נבחר גבר בפעם השנייה‪.‬‬
‫מה ההסתברות שבדיוק ב‪ 3-‬פעמים יבחר גבר גם בפעם הראשונה?‬
‫‪52‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬הטרפז ‪ ABCD‬הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫חוסמים מעגל בתוך הטרפז אשר משיק לו בנקודות ‪ F ,E‬ו‪ G-‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫הקטעים ‪ DF‬ו‪ CE-‬חוצים את זוויות הטרפז ונחתכים בנקודה ‪.M‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הנקודה ‪ M‬היא מרכז המעגל החסום‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זוויות הטרפז‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫ממשיכים את ‪ GF‬ואת ‪ AD‬כך שהם נפגשים בנקודה ‪.H‬‬
‫‪EM‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את היחס‬
‫‪FH‬‬
‫‪H‬‬
‫‪G‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ .5‬במקבילית ‪ ABCD‬אורך האלכסון ‪ AC‬הוא ‪ 79‬ס"מ‪.‬‬
‫היקף המקבילית הוא ‪ 20‬ס"מ וידוע כי‪. B  120 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורכי צלעות המקבילית‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המקבילית‪.‬‬
‫ג‪ .‬מסמנים נקודה ‪ E‬על האלכסון ‪ AC‬כך‬
‫שהמרובע ‪ CBED‬הוא בר חסימה‪.‬‬
‫חשב את רדיוס המעגל החוסם את המרובע ‪.CBED‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ax 2  20 x  28‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 2  2a‬‬
‫ידוע כי גרף הפונקציה חותך את האסימפטוטה האופקית שלו בנקודה ‪.  0.5,3‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪ a‬וכתוב את הפונקציה ואת תחום הגדרתה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ה‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ו‪ .‬העזר בגרף הפונקציה וקבע עבור אלו ערכים של ‪ k‬הישר‪ y  k :‬יחתוך את גרף‬
‫הפונקציה בנקודה אחת בלבד‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫‪53‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ .7‬נתון ריבוע בעל אורך צלע של ‪ 16‬ס"מ‪.‬‬
‫מקצים קטע שאורכו ‪ x‬על הצלע העליונה ושני קטעים שאורכם ‪2x‬‬
‫על הצלעות הצדדיות כמתואר באיור כך שנוצר המחומש המקווקו‪.‬‬
‫מצא מה צריך להיות ערכו של ‪ x‬עבורו שטח המחומש יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .8‬באיור שלפניך נתונה הפונקציה‪ x :‬‬
‫‪2x‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת המינימום שלה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מנקודת המינימום של הפונקציה מעבירים ישר‬
‫‪x‬‬
‫לנקודה‪  2, 0  :‬שעל ציר ה‪. x -‬‬
‫מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬הישר ואנך לציר ה‪x -‬‬
‫היוצא מהנקודה ‪  2, 0 ‬עד לנקודת החיתוך עם גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪54‬‬
‫בחינה מספר ‪20‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪ 16 23‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתונה מנסרה שבסיסה הוא משולש ישר זווית‪.‬‬
‫הניצב הגדול ארוך ב‪ 4 -‬ס"מ מהניצב הקטן‪ ,‬וקצר ב‪ 4-‬ס"מ מהיתר‪.‬‬
‫נפח המנסרה הוא ‪ 2880‬סמ"ק‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מידות משולש הבסיס‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את גובה המנסרה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שטח המעטפת של המנסרה‪.‬‬
‫‪ .2‬נתון מעוין ‪.ABCD‬ידוע כי הצלע ‪ CD‬מונחת על הישר ‪. y  7‬‬
‫‪y‬‬
‫אלכסוני המעוין ‪ AC‬ו‪ BD-‬נפגשים בנקודה‪. M  0.5, 3 :‬‬
‫‪B‬‬
‫שיפוע האלכסון ‪ AC‬הוא ‪.-4‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת האלכסון ‪.AC‬‬
‫‪M‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫‪C‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.BMC‬‬
‫(היעזר בתכונה כי אלכסוני המעוין מחלקים אותו ל‪ 4-‬משולשים שווי‪-‬שטח)‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .3‬בעיר מסוימת נערכו בחירות מקומיות‪ .‬ידוע כי אם בוחרים באקראי ‪ 4‬אזרחים ההסתברות‬
‫שתמַ צא אישה אחת ביניהם קטנה פי ‪ 16‬מההסתברות להיתקל באישה באופן אקראי‪.‬‬
‫ִ‬
‫א‪ .‬מה הוא אחוז הגברים בעיר?‬
‫‪1‬‬
‫בעיר שלושה מועמדים‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫מהמצביעים למועמד א' הם גברים‪ 60% ,‬מהמצביעים למועמד ב' הם‬
‫גברים ו‪ 25%-‬מהמצביעים למועמד ג' הם גברים‪ .‬אחוז המצביעים למועמד ג' הוא ‪.20%‬‬
‫ב‪ .‬איזה מועמד קיבל את רוב הקולות?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מבין כל הנשים מהווה קבוצת הנשים שהצביעו למועמד המנצח?‬
‫‪55‬‬
‫‪D‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬במשולש ‪ ABC‬הזווית ‪ C‬היא‪. 60 :‬‬
‫מעבירים את הקטע ‪ AD‬כך שנוצרים המשולשים ‪ ACD‬ו‪.ABD-‬‬
‫ידוע כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ ACD‬הוא‪ 3 :‬ס"מ ‪. R1 ‬‬
‫כמו כן רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ ABD‬הוא‪ 3 :‬ס"מ ‪. R2 ‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המשולש ‪ ABC‬הוא ישר זווית‪.‬‬
‫ב‪ .‬היקף המשולש ‪ ABC‬הוא‪ 12  4 3 :‬ס"מ ‪. P ‬‬
‫חשב את שטח המשולש‪.‬‬
‫‪ .5‬דרך הקדקודים ‪ C , A‬ו‪ D-‬של המקבילית ‪ ABCD‬מעבירים מעגל‪.‬‬
‫היקף המעגל חוצה את הצלע ‪ AB‬בנקודה ‪.  AE  BE  , E‬‬
‫נתון כי ‪ DC‬הוא קוטר במעגל וכי המיתר ‪ DE‬חוצה את זווית ‪.D‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המיתר ‪ CE‬חוצה את זוויות ‪.C‬‬
‫ב‪ .‬רדיוס המעגל יסומן ב‪. R -‬‬
‫הבע באמצעות ‪ R‬את היקף המקבילית‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את רדיוס המעגל אם ידוע כי שטח המקבילית‬
‫הוא ‪ 16 3‬סמ"ר‪.‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪5x  1‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x5‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נקודות קיצון וסוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬תחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫ד‪ .‬חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫ה‪ .‬מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ו‪ .‬סרטוט סקיצה‪.‬‬
‫‪ . f ( x)  1.5 x ‬חקור לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪ x‬ו‪ y -‬הם שני מספרים חיוביים המקיימים‪. x  6 y  60 :‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ y‬באמצעות ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬מה צריכים להיות המספרים ‪ x‬ו‪ y -‬כדי שמכפלת ריבועיהם תהיה מקסימלית?‬
‫ג‪ .‬מהי המכפלה הנ"ל?‬
‫‪56‬‬
‫‪32‬‬
‫‪ .8‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪ f ( x)  x 2 :‬ו‪-‬‬
‫‪x‬‬
‫מעבירים ישר ‪ x  a‬החותך את גרף הפונקציה )‪ g ( x‬ויוצר את השטח הכלוא בין שני הגרפים‪,‬‬
‫‪ g ( x) ‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ציר ה‪ x -‬והישר (השטח המסומן)‪ .‬ידוע כי שטח זה שווה ל‪. S  85 -‬‬
‫‪3‬‬
‫מצא את ‪. a‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x a‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪57‬‬
‫בחינה מספר ‪21‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬המחיר של ‪ 3‬מקלדות ו‪ 5-‬עכברים הוא ‪.₪ 490‬‬
‫לאחר חצי שנה חנות המחשבים יצאה למבצע והכריזה כי כל המקלדות בהנחה מיוחדת של ‪50%‬‬
‫וכל העכברים בהנחה של ‪ .10%‬כעת ניתן לקנות ‪ 4‬עכברים ו‪ 8-‬מקלדות במחיר של ‪.₪ 500‬‬
‫א‪ .‬מה היו המחירים של מקלדת ושל עכבר לפני ההנחה?‬
‫ב‪ .‬מה הם המחירים של מקלדת ושל עכבר לאחר ההנחה?‬
‫ג‪ .‬בכמה אחוזים גדול המחיר הראשוני של מקלדת מהמחיר הראשוני של עכבר?‬
‫‪ .2‬באיור שלפניך נתון מעגל שמרכזו בנקודה ‪.M‬‬
‫המעגל חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫מעבירים משיק למעגל‪ 6 x  7 y  191:‬דרך הנקודה ‪. C 12,17  :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫כתוב את משוואת הרדיוס ‪.MC‬‬
‫ידוע כי הנקודה ‪ M‬נמצאת על הישר‪. y  10 :‬‬
‫‪ .i‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.M‬‬
‫‪ .ii‬מצא את אורך רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪ .iii‬כתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה‪. y -‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪.AMB‬‬
‫‪y‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .3‬כדי להתקבל לעבודה בחברת "קוקה‪-‬קולה" יש לעבור שלושה ראיונות ע"י שלושה בעלי תפקידים‬
‫בסדר הבא‪:‬‬
‫אחראי משמרת‪ ,‬מנהל ראשי ומנכ"ל החברה‪ .‬כל בעל מקצוע נותן חוות דעת חיובית או שלילית בלבד‪.‬‬
‫כדי שמועמד יקבל עבודה בחברה עליו לעבור בהצלחה לפחות את אחד מהראיונות עם אחראי המשמרת‬
‫והמנהל הראשי אך הראיון עם המנכ"ל חייב לעבור בהצלחה (כדי שמועמד יקבל עבודה המנכ"ל צריך‬
‫‪1‬‬
‫לתת לו חוות דעת חיובית)‪ .‬ידוע כי אחראי המשמרת נותן חוות דעת חיובית ל‪-‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫המנהל הראשי קורא את חוות הדעת של אחראי המשמרת וב‪ -‬מהמקרים נותן חוות דעת הפוכה מזו‬
‫‪3‬‬
‫מהמועמדים‪.‬‬
‫של אחראי המשמרת‪ .‬מנכ"ל החברה נותן חוות דעת חיובית ל‪ 80%-‬מהמועמדים ללא קשר לחוות‬
‫הדעת הקודמות‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לקבל חוות דעת חיובית מהמנהל הראשי?‬
‫ב‪ .‬ידוע כי המנהל הראשי נתן חוות דעת חיובית‪ ,‬מה ההסתברות שגם אחראי‬
‫המשמרת נתן חוות דעת חיובית?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות להתקבל לחברה?‬
‫‪58‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬הקטע ‪ AB‬משיק למעגל בנקודה ‪.A‬‬
‫מהנקודה ‪ B‬מעבירים ישר חותך למעגל החותך אותו בנקודות ‪ C‬ו‪.D-‬‬
‫‪ E‬היא נקודה על המעגל כך ש‪. AEC  90 -‬‬
‫נתון כי המיתר ‪ AC‬חוצה את זווית ‪.BCE‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ABC EAC :‬‬
‫ב‪ .‬נסמן ב‪ R -‬את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪BC  CE‬‬
‫‪.R‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬איזה מרובע יהיה המרובע ‪ ADCE‬אם‬
‫יתקיים‪ . 2CE  BC :‬נמק‪.‬‬
‫‪ .5‬באיור שלפניך נתון משושה משוכלל ששטחו הכולל הוא‪. S :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ S‬את אורך צלע המשושה‪.‬‬
‫מעבירים אלכסונים במשושה כך שנוצר המלבן ‪.BFEC‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ S‬את שטח המלבן‪.‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .6‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪ f ( x)  x :‬ו‪. g ( x)  x 2 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬העובר‬
‫)‪g ( x‬‬
‫דרך נקודת החיתוך שמצאת הנמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך הנוספת של המשיק שמצאת עם‬
‫גרף הפונקציה )‪. g ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪59‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x  10‬‬
‫‪ .7‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫מסמנים נקודה ‪ A‬על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬ברביע הראשון ו‪ B-‬על‬
‫גרף המשיק כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪ A‬עבורן אורך הקטע ‪ AB‬הוא מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה אורך הקטע ‪ AB‬במקרה זה?‬
‫‪ .8‬נגזרת הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪. f '( x)  3x 2  8x  12 :‬‬
‫הישר ‪ y  5‬חותך את גרף הפונקציה )‪ f ( x‬על ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין הישר והפונקציה (ראה איור)‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪60‬‬
‫בחינה מספר ‪22‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬סוחר קנה שני סוגי בד במחיר כולל של ‪.₪ 900‬‬
‫את הבד מהסוג הראשון הוא מכר בהצלחה רבה ברווח של ‪72%‬‬
‫אך את הבד השני הוא מכר בהפסד של ‪.15%‬‬
‫הסוחר מכר את הבדים במחיר כולל של ‪.₪ 1,113‬‬
‫כמה שילם הסוחר עבור שני סוגי הבדים?‬
‫‪ .2‬נתון מרובע ‪ ABCD‬שקדקודיו הם‪. A(3,13) , B(2, 4) , C(9,3) , D(8,14) :‬‬
‫מורידים גבהים ‪ AE‬ו‪ CF-‬לאלכסון ‪.BD‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת האלכסון ‪ BD‬ואת אורכו‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ E‬ו‪.F-‬‬
‫ג‪ .‬מצא את אורכי הגבהים ‪ AE‬ו‪.CF-‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המרובע ‪.ABCD‬‬
‫‪ .3‬במדינה מסוימת‬
‫‪41‬‬
‫‪19‬‬
‫מהאזרחים הם גברים ו‪-‬‬
‫‪60‬‬
‫‪60‬‬
‫הן נשים‪.‬‬
‫‪ 30%‬מבין מרכיבי המשקפיים במדינה זו הם גברים ו‪ 40%-‬מבין אלו שלא מרכיבים משקפיים‬
‫הם גברים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות למצוא אישה במדינה זו שלא מרכיבה משקפיים?‬
‫ב‪ .‬בוחרים ‪ 4‬אנשים‪ .‬מה ההסתברות שבדיוק שניים מהם הם נשים שלא‬
‫מרכיבות משקפיים?‬
‫ג‪ .‬בוחרים אזרח‪ .‬ידוע כי הוא גבר‪ .‬מה ההסתברות שהוא מרכיב משקפיים?‬
‫‪61‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬במעגל שמרכזו ‪ O‬מעבירים את הקטרים ‪ AB‬ו‪ CD-‬המאונכים זה לזה‪.‬‬
‫‪ E‬היא נקודה על היקף המעגל המקיימת‪ 15 :‬ס"מ ‪. BE  DE ‬‬
‫מעבירים את המיתר ‪ .AE‬הקטע ‪ OM‬מאונך למיתר ‪AE‬‬
‫ושווה למיתר ‪.DE‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ OMEB‬הוא טרפז ישר זווית‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורך המיתר ‪.BE‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי שטח הטרפז הוא ‪ 90‬סמ"ר‪.‬‬
‫מצא את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪ .5‬המשולש ‪ ABC‬הוא ישר זווית ‪.  A  90 ‬‬
‫הקטעים ‪ AD‬ו‪ AE-‬הם בהתאמה גובה ליתר וחוצה זווית‪.‬‬
‫מסמנים‪. DAE   , DE  k :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪ABC‬‬
‫אם ידוע כי‪   30 :‬ו‪ k  2 -‬ס"מ‪.‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ax  4‬‬
‫‪ .6‬לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ f ( x) ‬יש נקודת קיצון שבה ‪. x  8‬‬
‫‪62‬‬
‫‪ .7‬הנקודות ‪ K , L , M , N‬מקצות קטעים שווים במלבן ‪ABCD‬‬
‫כך ש‪. BK  BL  DM  DN  x :‬‬
‫צלעותיו של המלבן הן ‪ 20‬ס"מ ו‪ 12-‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את סכום שטחי המשולשים‪:‬‬
‫‪. AKN  BKL  CLM  DNM‬‬
‫ב‪ .‬מצא מה צריך להיות ‪ x‬כדי ששטח‬
‫המרובע ‪ LKNM‬יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה הוא השטח של המרובע ‪ LKNM‬במקרה זה?‬
‫‪a  x2‬‬
‫‪ .8‬גרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪,‬‬
‫ציר ה‪ x -‬והישר‪. x  2 :‬‬
‫‪ f ( x) ‬חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה ‪.  6, 0 ‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪63‬‬
‫בחינה מספר ‪23‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬מכונית ומונית יוצאות בו זמנית מנקודה ‪ A‬לנקודה ‪ .B‬המכונית נוסעת במהירות‬
‫קבועה ומגיעה לנקודה ‪ B‬כעבור ‪ 4‬שעות‪ .‬המונית נוסעת במשך ‪ 3‬שעות במהירות הקטנה‬
‫ב‪ 10-‬קמ"ש ממהירות המכונית ולאחר מכן מגבירה את מהירותה ב‪ 50%-‬ומגיעה‬
‫לנקודה ‪ B‬יחד עם המכונית‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות המכונית?‬
‫ב‪ .‬מה המרחק בין הנקודה ‪ A‬לנקודה ‪?B‬‬
‫‪ .2‬באיור שלפניך נתון מעגל שמרכזו בנקודה ‪ M‬הנמצאת על ציר ה‪. x -‬‬
‫המעגל חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה ‪ .A‬מסמנים את ראשית הצירים ב‪.O-‬‬
‫ידוע כי ‪ A‬היא אמצע הקטע ‪ MO‬ושיעוריה הם‪. A  5, 0  :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫מצא את משוואת המעגל‪.‬‬
‫כתוב את משוואת הישר שעובר דרך הנקודה ‪ A‬ושיפועו הוא ‪.0.5‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך הנוספת של הישר שמצאת עם המעגל‪.‬‬
‫סמן את הנקודה שמצאת בסעיף הקודם ב‪ B-‬וחשב את שטח המשולש ‪.AMB‬‬
‫‪M‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .3‬כדי להתקבל לחברת היי‪-‬טק יש לעבור ראיונות משלושה בעלי תפקידים בסדר הבא‪:‬‬
‫מהנדס ראשי‪ ,‬אחראי משמרת ומנכ"ל החברה‪ .‬כל אחד מבעלי התפקידים נותן חוות דעת חיובית‬
‫או שלילית על המועמד לעבודה‪.‬‬
‫מועמד שמתקבל לחברה חייב לקבל חוות דעת חיובית משלושת בעלי התפקידים‪.‬‬
‫ידוע כי המהנדס הראשי נותן חוות דעת חיובית ל‪ 3/5-‬מהמועמדים‪.‬‬
‫אחראי המשמרת קורא את חוות הדעת של המהנדס הראשי וב‪ 1/6-‬מהמקרים נותן חוות דעת‬
‫הפוכה מזו של המהנדס הראשי‪ .‬מנכ"ל החברה קורא את חוות הדעת של אחראי המשמרת וב‪7/10-‬‬
‫נותן חוות דעת זהה לשלו‪.‬‬
‫א‪ .i .‬מה ההסתברות שמועמד יקבל חוות דעת חיובית מאחראי המשמרת?‬
‫‪ .ii‬ידוע כי אחראי המשמרת נתן חוות חיובית‪.‬‬
‫מה ההסתברות שהמהנדס הראשי נתן חוות דעת שלילית‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שמועמד יקבל עבודה בחברה?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שמועמד יקבל חוות דעת שלילית מהמנכ"ל?‬
‫ד‪ .‬לאחר העדר עובדים שינתה החברה את מדיניותה וקבעה כי כדי להתקבל לעבודה‬
‫יש לעבור לפחות שני ראיונות בהצלחה‪ ,‬אך חוות הדעת של המנכ"ל חייבת להיות חיובית‪.‬‬
‫מה ההסתברות כעת לקבל עבודה בחברה?‬
‫‪64‬‬
‫‪O‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז‪.  AB CD  ,‬‬
‫מעבירים את קטע האמצעים ‪ EF‬החותך את אלכסון הטרפז ‪BD‬‬
‫בנקודה ‪ .K‬ידוע כי הקטע ‪ AK‬מקביל לשוק ‪ BC‬של הטרפז‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ ABFK‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫ב‪ .‬נסמן‪. SBKF  S :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ S‬את שטח הטרפז ‪.ABCD‬‬
‫‪ .5‬המיתר ‪ AB‬הוא קוטר במעגל שרדיוסו‪ R‬ו‪ AD-‬הוא מיתר‪.‬‬
‫ממשיכים את המיתר ‪ BD‬ומעבירים משיק מהנקודה ‪.A‬‬
‫המשיק והמשך המיתר נפגשים בנקודה ‪.C‬‬
‫מסמנים‪. BAD   :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ R-‬את שטח המשולש ‪.ABD‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ R-‬את שטח המשולש ‪.ACD‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪ ‬אם ידוע כי שטח המשולש ‪ ABD‬קטן‬
‫פי ‪ 4‬משטח המשולש ‪.ACD‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬האם ניתן להעביר משיק לגרף הפונקציה המקביל לציר ה‪ ? x -‬נמק והראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המשולש הכלוא בין המשיק והצירים‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫‪65‬‬
‫‪ .7‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪ .‬מהקדקוד ‪ B‬מעבירים את הצלע ‪ EF‬הנפגשת‬
‫עם המשכי הצלעות ‪ DC‬ו‪.AD-‬‬
‫ידוע כי מידות המקבילית הן‪ 2 :‬ס"מ ‪ 8 , AB ‬ס"מ ‪. AD ‬‬
‫מסמנים את אורך הצלע ‪ DE‬ב‪. x -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את אורך הצלע ‪.DF‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ x‬עבורו סכום הצלעות ‪ DE‬ו‪ DF-‬הוא מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה הוא הסכום המינימלי?‬
‫‪ .8‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬המתוארת באיור שלפניך היא‪. f '( x)  3  2 x :‬‬
‫ישר ‪ AB‬שמשוואתו‪ y  6 :‬חותך את גרף הפונקציה )‪ f ( x‬בנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫מנקודות אלו מורידים אנכים לציר ה‪ x -‬כך שנוצר מלבן ‪.ABCD‬‬
‫ידוע ששיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬הוא ‪.4‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬המלבן וציר ה‪. x -‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪66‬‬
‫בחינה מספר ‪24‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ AH .1‬הוא גובה לצלע ‪ BC‬במשולש ‪ .ABC‬על הגובה ‪ AH‬מקצים נקודה ‪ D‬כך‬
‫שהקטע ‪ DH‬מהווה ‪ 40%‬מהקטע ‪ .AD‬כמוכן המשולש ‪ BDC‬הוא ישר‬
‫זווית ‪ D  90‬והניצב ‪ BD‬גדול ב‪ 2-‬ס"מ מהניצב ‪.CD‬‬
‫אורך הצלע ‪ BC‬הוא ‪ 10‬ס"מ ושטח המשולש ‪ ABC‬הוא ‪ 84‬סמ"ר‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורכי הקטעים ‪ AD‬ו‪.DH-‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הניצבים ‪ CD‬ו‪.BC-‬‬
‫ג‪ .‬העזר בשטחי המשולשים ‪ ABC‬ו‪ BCD-‬ומצא את‬
‫שטח המרובע ‪.ABDC‬‬
‫‪ .2‬באיור שלפניך נתון מעגל שמשוואתו היא‪.  x  4    y  2   8 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מסמנים את נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה‪ x -‬ב‪ A-‬ו‪( B-‬ראה איור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪Q‬‬
‫מעבירים אנך לציר ה‪ y -‬מנקודת מרכז המעגל ‪ M‬ומסמנים‬
‫את חיתוכם ב‪.P-‬‬
‫ב‪ .‬מצא נקודה ‪ Q‬כך שהמרובע ‪ AMPQ‬יהיה מקבילית‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת הישר ‪.PQ‬‬
‫ד‪ .‬הוכח כי הישר שמצאת בסעיף הקודם משיק למעגל בנקודה ‪.  2, 4 ‬‬
‫נמק את שיקוליך באמצעות חישוב מתאים‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ .3‬בעיר מסוימת ההסתברות לבחור אדם מעשן גדולה פי ‪ 3‬מההסתברות לבחור אדם המרכיב משקפיים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫ידוע כי החלק של התושבים שמרכיבים משקפיים מבין כל התושבים המעשנים הוא‬
‫‪12‬‬
‫א‪ .‬מצא מהי ההסתברות לבחור מעשן מתוך כל מרכיבי המשקפיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי ‪ 15%‬מהתושבים הם מרכיבים משקפיים בלבד‪.‬‬
‫מצא את ההסתברות לבחור תושב שלא מרכיב משקפיים‪.‬‬
‫ג‪ .‬בוחרים ‪ 6‬תושבים באופן אקראי‪ .‬מה ההסתברות שמחצית‬
‫מהם אינם מרכיבים משקפיים ואינם מעשנים?‬
‫‪67‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬המשולש ‪ ABC‬הוא שווה צלעות‪.‬‬
‫הקטע ‪ DE‬עובר דרך הקדקוד ‪ A‬כך שנוצרים‬
‫שני משולשים ‪ ABD‬ו‪.ACE-‬‬
‫ידוע כי ‪ AC‬חוצה את זווית ‪ DCE‬במשולש ‪.DCE‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. AB CE :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. BC  DE  DC  AE :‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪ 8 :‬ס"מ ‪ DC ‬וכי‪. AC  DE :‬‬
‫‪ .i‬חשב את שטח המשולש ‪.DCE‬‬
‫‪ .ii‬חשב את שטח המשולש ‪.ABD‬‬
‫‪ .5‬המשולש‪ ABC‬הוא שווה שוקיים ‪  AB  AC ‬בעל זווית ראש ‪. 36‬‬
‫ידוע כי המשולש חסום במעגל בעל קוטר של ‪ 16‬ס"מ‪.‬‬
‫מעבירים את התיכון ‪ BD‬לשוק ‪.AC‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הבסיס ‪ BC‬במשולש‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך התיכון ‪.BD‬‬
‫ג‪ .‬מסמנים‪ - r1 :‬רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪.ABD‬‬
‫‪ - r2‬רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪.BCD‬‬
‫‪r‬‬
‫הוכח את היחס הבא‪. 1  2 cos 36 :‬‬
‫‪r2‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪2 x2  5x  2‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪4x‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫ג‪ .‬קביעת סוג הקיצון ותחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫ד‪ .‬חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫ה‪ .‬מציאת אסימפטוטה אנכית‪.‬‬
‫ו‪ .‬סרטוט סקיצה‪.‬‬
‫‪ . y ‬חקור לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪68‬‬
‫‪ .7‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪. f ( x)  6  3 x :‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון‪.‬‬
‫מהנקודה ‪ A‬מותחים אנכים לצירים אשר חותכים אותם‬
‫בנקודות ‪ B‬ו‪ C-‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫נסמן את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬ב‪. t -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את סכום הקטעים ‪.AC+AB‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערכו של ‪ t‬עבורו סכום הקטעים הנ"ל יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪2 1‬‬
‫א‪ .‬מבין כל המשיקים לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 2 x3‬‬
‫מצא את משוואת המשיק ששיפועו מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה והמשיק שמצאת בסעיף א'‪.‬‬
‫חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬המשיק ואנך לציר ה‪x -‬‬
‫היוצא מנקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה‪. x -‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪69‬‬
‫בחינה מספר ‪25‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬סוחר קנה שולחנות במחיר כולל של ‪.₪ 18,000‬‬
‫‪ 10‬שולחנות הוא מכר ברווח של ‪ 60%‬לשולחן‪ 20 ,‬שולחנות הוא מכר ללא רווח ואת שאר‬
‫השולחנות הוא מכר בהפסד של ‪ 15%‬לשולחן‪ .‬סה"כ הרוויח הסוחר בעסקאות אלו ‪.₪ 450‬‬
‫א‪ .‬כמה שולחנות קנה הסוחר?‬
‫ב‪ .‬מה המחיר ששילם הסוחר עבור כל שולחן?‬
‫ג‪ .‬השולחנות שמכר הסוחר במחיר שונה מזה שרכש נמכרו לשני בתי עסק‪.‬‬
‫בית העסק הראשון רכש כמות שולחנות במחיר הזול וכמות שולחנות במחיר היקר‪.‬‬
‫סך כל השולחנות שרכש בית העסק הראשון הוא ‪ 10‬שולחנות‪.‬‬
‫בית העסק השני רכש את שאר השולחנות‪ ,‬חלקם במחיר הזול וחלקם במחיר היקר‪.‬‬
‫ידוע כי בית העסק השני שילם ‪ ₪ 4650‬יותר מאשר בית העסק הראשון עבור הקנייה הנ"ל‪.‬‬
‫מצא כמה שולחנות קנה בית העסק הראשון במחיר היקר‪.‬‬
‫‪ .2‬על הישר ‪ y  5‬מסמנים את הנקודות‪. A  7, 5 ; B 2, 5 :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪y‬‬
‫הנקודה ‪ C‬נמצאת על הישר‪. y  x  5 :‬‬
‫נסמן את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ C‬ב‪. t -‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את שיעור ה‪ y -‬של הנקודה ‪.C‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי אורך הצלע ‪ AC‬הוא ‪ 17‬ס"מ‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ .i‬הבע באמצעות ‪ t‬את המרחקים של ‪ C‬מ‪ A-‬ומ‪.B-‬‬
‫‪ .ii‬מצא את ‪ t‬ואת אורך הצלע ‪.BC‬‬
‫ג‪ .‬מסמנים נקודה ‪ D‬על המשך הצלע ‪ .AB‬ידוע כי ‪ D‬נמצאת ברביע השלישי‪.‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪ D‬המקיימת ששטח המשולש ‪ DAC‬יהיה גדול ב‪16-‬‬
‫יחידות משטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪ .3‬בבית ספר מסוים ישנם תלמידים המרכיבים משקפיים‪.‬‬
‫ידוע כי אם בוחרים ‪ 3‬תלמידים אז ההסתברות ששלושתם מרכיבים משקפיים היא ‪.0.027‬‬
‫א‪ .‬מצא את אחוז מרכיבי המשקפיים בבית הספר‪.‬‬
‫בבית הספר ההסתברות להיתקל בבן גדולה ב‪ 0.1-‬מההסתברות להיתקל בבת ומספר הבנים‬
‫שמרכיבים משקפיים זהה למספר הבנות שמרכיבות משקפיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות להיתקל בתלמיד (בן) שאינו מרכיב משקפיים?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מכלל הבנות בבית הספר מהוות מרכיבות המשקפיים?‬
‫ד‪ .‬בוחרים ‪ 4‬תלמידים‪ .‬ידוע כי כולן בנות‪ .‬מה ההסתברות כי אחת מהן תרכיב משקפיים?‬
‫‪70‬‬
‫‪A‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ AB .4‬ו‪ CD-‬הם קטרים במעגל שמרכזו ‪.O‬‬
‫מעבירים מיתר החותך את ‪ AB‬בנקודה ‪ M‬כך שמתקיים‪2AM  BM :‬‬
‫ואת ‪ CD‬בנקודה ‪ F‬כך שמתקיים‪. FM  CD :‬‬
‫ידוע כי זווית ‪ BMF‬היא ‪. 30‬‬
‫מעבירים את המיתרים ‪ AC‬ו‪ AD-‬כך שנוצר המשולש ‪.ACD‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. CAB  BMF :‬‬
‫ב‪ .i .‬הוכח כי המשולשים ‪ ADC‬ו‪ FOM-‬דומים‪.‬‬
‫‪ .ii‬פי כמה קטן הקטע ‪ FO‬מרדיוס המעגל?‬
‫ג‪ .‬מעבירים מהקדקוד ‪ D‬של המשולש ‪ ACD‬קטע העובר‬
‫דרך הנקודה ‪ M‬וחותך את המיתר ‪ AC‬בנקודה ‪.G‬‬
‫חשב פי כמה גדול שטח המשולש ‪ DGC‬משטח‬
‫המשולש ‪.MOF‬‬
‫‪ .5‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪3CE‬‬
‫‪‬‬
‫‪DE‬‬
‫‪.‬‬
‫הקטע ‪ AE‬מקצה על הצלע ‪ DC‬קטעים המקיימים‪:‬‬
‫מעבירים תיכון ‪ DF‬לצלע ‪ AE‬במשולש ‪.ADE‬‬
‫ידוע כי‪ . ADF  CDF   :‬מסמנים‪. CE  k :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את אורך הקטע ‪.AE‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים את האלכסון ‪.AC‬‬
‫הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את היקף המשולש ‪.ACE‬‬
‫ג‪ .‬היקף המשולש ‪ ACE‬הוא ‪ . 4.5k‬מצא את ‪.‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪3x 2‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪2 x2  8‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום הגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודות החיתוך עם הצירים של הפונקציה‪.‬‬
‫ה‪ .‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪.‬‬
‫ו‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫‪71‬‬
‫‪ .7‬נתונה תיבה שבסיסה הוא מלבן שבו צלע אחת גדולה פי ‪ 2‬מהצלע‬
‫הסמוכה לה כמתואר באיור‪.‬‬
‫ידוע כי גובה התיבה ‪ h‬וצלע המלבן הקטנה ‪ x‬מקיימים‪. x  h  9 :‬‬
‫מצא מה צריכים להיות מידות בסיס התיבה כדי שנפחּה יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ .8‬באיור שלפניך מתוארת הפונקציה‪:‬‬
‫‪2x 1‬‬
‫מעבירים את הישרים המקבילים לצירים‪x  13 :‬‬
‫ו‪ y  3 -‬כך שנוצר המלבן ‪ ABCD‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫הישר ‪ y  3‬חותך את גרף הפונקציה בנקודה ‪.M‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.M‬‬
‫ב‪ .‬מסמנים את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‬
‫והישרים ב‪ S1 -‬ואת שטח המלבן ב‪. S 2 -‬‬
‫‪S‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. 1 ‬‬
‫הראה כי‪:‬‬
‫‪S2 13‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪72‬‬
‫בחינה מספר ‪26‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬מכונת כביסה עולה ‪.₪ 4,000‬‬
‫לאחר שנה עלה מחיר מכונת הכביסה ב‪ 20%-‬ושנה לאחר מכן עלה מחירה בעוד ‪.20%‬‬
‫א‪ .‬מה מחיר מכונת הכביסה לאחר שנתיים?‬
‫ב‪ .‬בכמה אחוזים מהמחיר המקורי התייקרה מכונת הכביסה?‬
‫ג‪ .‬בחנות למוצרי חשמל מוכרים מכונות כביסה במחיר מסוים‪.‬‬
‫רפי קנה ‪ 3‬מכונות כביסה למכבסה שברשותו‪ .‬ידוע כי לאחר שנה חלה התייקרות‬
‫ב‪ p -‬אחוזים וכך גם בשנה שאחריה‪ .‬בתום השנתיים‪ ,‬החליט רפי לקנות ‪ 2‬מכונות‬
‫כביסה נוספות‪ .‬מבדיקה שערך רפי‪ ,‬גילה כי המחיר הכולל ששילם בקנייה השנייה שווה‬
‫למחיר ששילם בקנייה הראשונה‪ .‬מהו ‪? p‬‬
‫‪ .2‬נתון מעגל שרדיוסו ‪  R  16  , R‬ומשיק לציר ה‪ x -‬בנקודה שבה‪. x  16 :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את משוואת המעגל וציין האם הוא חותך את ציר ה‪ y -‬או לא‪ .‬נמק‪.‬‬
‫מהנקודה ‪ A  22,18‬שעל המעגל מעבירים משיק‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מצא את ‪ R‬וכתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫כתוב את משוואת המשיק למעגל בנקודה ‪.A‬‬
‫מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה ‪ B‬שבה‪xB  xM :‬‬
‫אם ידוע כי הוא מאונך למשיק הקודם‪.‬‬
‫המשיקים נחתכים בנקודה ‪.C‬‬
‫‪ .i‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .ii‬מצא את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪y‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪16, 0 ‬‬
‫‪ .3‬כדי לקבל עבודה בחברת ‪ Makido‬יש לעבור ראיונות משני בעלי מקצוע‪ :‬מהנדס ראשי ומנכ"ל החברה‪.‬‬
‫המהנדס הראשי נותן חוות דעת חיובית ברבע מהמקרים‪ ,‬בשליש מהמקרים הוא נמנע מלתת חוות דעת‬
‫ובשאר המקרים הוא נותן חוות דעת שלילית‪ .‬מנכ"ל החברה קורא את חוות הדעת של המהנדס וקובע‬
‫את חוות דעתו באופן הבא‪:‬‬
‫אם המהנדס נתן חוות דעת חיובית אז הוא נותן חוות דעת חיובית ב‪ 90%-‬מהמקרים‬
‫וב‪ 10%-‬מהמקרים הוא נמנע מלתת חוות דעת‪.‬‬
‫אם המהנדס נמנע מלקבוע אז המנכ"ל נותן חוות דעת שלילית במחצית המקרים או חיובית במחצית‬
‫המקרים‪ .‬אם המהנדס נותן חוות דעת שלילית אז ההסתברות שהמנכ"ל ייתן חוות דעת חיובית גדולה‬
‫פי ‪ 2‬מההסתברות שימנע מלתת חוות דעת וההסתברות שימנע מלתת חוות דעת גדולה פי ‪ 2‬מההסתברות‬
‫שייתן חוות דעת שלילית‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שמועמד יקבל חוות דעת חיובית לפחות באחד הראיונות?‬
‫ב‪ .‬אם ידוע כי מועמד קיבל חוות דעת חיובית אחת לפחות‪,‬מה ההסתברות שהמהנדס‬
‫ימנע מלתת לו חוות דעת?‬
‫ג‪ .i .‬מה ההסתברות שמתוך ‪ 5‬מועמדים לפחות אחד יקבל עבודה אם ידוע כי כדי להתקבל לעבודה‬
‫יש לקבל שתי חוות דעת חיוביות?‬
‫‪ .ii‬כיצד תשתנה התוצאה של חלק ‪ i‬אם כדי לקבל עבודה יש לקבל לפחות חוות דעת חיובית אחת‬
‫אך אף חוות דעת שלילית?‬
‫‪73‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬מהנקודה ‪ A‬שעל היקף המעגל מעבירים את המיתרים ‪ AC , AB‬ו‪.AD-‬‬
‫הקטע ‪ BE‬חותך את המיתר ‪ AD‬בנקודה ‪ E‬כך‬
‫שהקטעים ‪ DE‬ו‪ BC-‬שווים‪ .‬המיתרים ‪ AC‬ו‪ BD-‬שווים זה לזה‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ABC  BED :‬‬
‫‪ .i‬הוכח כי המשולש ‪ ABE‬הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ .ii‬הוכח כי‪. BAE  CBA  180 :‬‬
‫‪ .5‬במלבן ‪ ABCD‬מסמנים את הנקודות ‪ E‬ו‪ F-‬הנמצאות על הצלעות ‪ AB‬ו‪BC-‬‬
‫בהתאמה כך ש‪ E-‬מקיימת‪ 3AE  BE :‬ו‪ F-‬היא אמצע הצלע ‪.BC‬‬
‫אורך הצלע ‪ AD‬שווה לאורך הקטע ‪.BE‬‬
‫מעבירים את הקטעים ‪ DF , EF‬ו‪ DE-‬כך שנוצר במשולש ‪.DEF‬‬
‫א‪ .‬סמן ב‪ t -‬את אורך הקטע ‪ AE‬והבע באמצעות ‪ t‬את‬
‫אורכי צלעות המשולש ‪.DEF‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זוויות המשולש ‪.EDF‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪ A . f ( x)  3x  A x :‬פרמטר‪.‬‬
‫שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪ x  25 :‬הוא ‪.0‬‬
‫א‪ .i .‬מה תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫‪ .ii‬מצא את ערך הפרמטר ‪. A‬‬
‫באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה מנקודת החיתוך שלו עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪350‬‬
‫כמו כן‪ ,‬מעבירים פרבולה‬
‫‪g  x    x 2  Bx ‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪15‬‬
‫‪3‬‬
‫כך שקדקודּה הוא נקודת הקיצון של )‪. f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. B‬‬
‫ד‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין המשיק‪ ,‬הפרבולה וציר ה‪. y -‬‬
‫‪74‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪ .7‬אלינה קיבלה משימה בשיעור מלאכה‪:‬‬
‫יש להכין מסגרת לתמונה מלוח עץ ששטחו הכולל הוא ‪ 242‬סמ"ר‬
‫כך שעובי המסגרת בצדדים יהיה ‪ 2‬ס"מ ובקצוות העליון והתחתון –‪ 4‬ס"מ (ראה איור)‪.‬‬
‫כדי לבחור את מידות לוח העץ‪ ,‬אלינה צריכה לדעת את השטח המקסימלי שעליה לנסר‬
‫עבור המקום לתמונה (השטח המסומן)‪.‬‬
‫א‪ .‬מה יהיו מידות לוח העץ שאלינה‬
‫צריכה להזמין עבור המשימה?‬
‫ב‪ .‬מה יהיה השטח המקסימלי לתמונה‬
‫עבור המידות שאלינה בחרה?‬
‫‪ .8‬באיור שלפניך מתוארות הפונקציות שנגזרותיהן‪. f '( x)  4  2 x , g '( x)  2 x  1 :‬‬
‫ידוע ששתי הפונקציות חותכות את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה ‪. x  4‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של שתי הפונקציות‬
‫וציר ה‪( x -‬המסומן)‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪75‬‬
‫בחינה מספר ‪27‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬אופנוע יוצא מהעיר בשעה ‪ 7:00‬דרומה‪ .‬לאחר שעה יוצאת מכונית מעיר לכיוון מזרח‪.‬‬
‫מהירות האופנוע היא ‪ 50‬קמ"ש ומהירות המכונית היא ‪ 100‬קמ"ש‪.‬‬
‫לאחר פרק זמן מסוים המרחק בין המכונית לאופנוע הוא ‪ 250‬ק"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו שעה המרחק בין המכונית והאופנוע הוא ‪ 250‬ק"מ ?‬
‫ב‪ .‬באיזה מרחק הייתה המכונית מהעיר כאשר היא הייתה במרחק של ‪ 250‬ק"מ מהאופנוע?‬
‫‪ .2‬המשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים ‪  AB  BC ‬ובו נתון‪ B  x, 6  , A  4,12  :‬ו‪-‬ו‪. C  4,8 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי המשולש הוא ישר זווית‪.‬‬
‫ג‪ .i .‬מצא את משוואת הצלע ‪.AC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .ii‬מסמנים את נקודת החיתוך של הצלע ‪ AC‬עם ציר ה‪ y -‬ב‪.D-‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪.D‬‬
‫ד‪ .i .‬מצא נקודה ‪ E‬ברביע הראשון ‪  xE  5‬כך שהמשולש ‪DCE‬‬
‫יהיה גם שווה שוקיים וישר זווית ‪.  C  90 ‬‬
‫‪.ii‬‬
‫‪S DCE‬‬
‫חשב את יחס השטחים בין המשולשים‪:‬‬
‫‪S ABC‬‬
‫‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ .3‬כדי להתקבל לעבוד בחברת ההיי‪-‬טק ‪ Techno‬יש לעבור שני ראיונות משני בעלי מקצוע‪ ,‬תחילה‬
‫ע"י המהנדס הראשי ואחריו ע"י מנכ"ל החברה‪.‬‬
‫כל בעל מקצוע נותן חוות דעת חיובית‪ ,‬שלילית או שנמנע מלקבוע‪.‬‬
‫כדי שמועמד יתקבל לחברה עליו לעבור לפחות ראיון אחד עם חוות דעת חיובית‪.‬‬
‫ידוע כי המהנדס הראשי נותן חוות דעת חיובית ל‪ 1/5-‬מהמועמדים ו‪ 2/7-‬מהם הוא משאיר ללא קביעה‪.‬‬
‫המנכ"ל קורא את חוות הדעת של המהנדס הראשי וקובע את חוות הדעת שלו בצורה הבאה‪:‬‬
‫אם המהנדס נתן חוות דעת חיובית אז המנכ"ל ייתן גם חוות דעת חיובית ב‪ 60%-‬מהמקרים‪.‬‬
‫אם המהנדס נתן חוות דעת שלילית אז המנכ"ל נמנע מלקבוע ב‪ 60%-‬מהמקרים ובשאר המקרים הוא‬
‫נותן חוות דעת חיובית‪ .‬אם המהנדס נמנע מלקבוע אז המנכ"ל ייתן חוות דעת חיובית או שלילית בלבד‪.‬‬
‫הסיכוי שהמנכ"ל ייתן במקרה זה חוות דעת חיובית גדול פי ‪ 3‬מהסיכוי שייתן חוות דעת שלילית‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לקבל חוות דעת חיובית מהמנכ"ל?‬
‫ב‪ .‬ידוע כי המנכ"ל נתן חוות דעת חיובית‪ ,‬מה ההסתברות שגם המהנדס נתן חוות דעת חיובית?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות להתקבל לחברה?‬
‫ד‪ .‬ביום מסוים הגיעו ‪ 5‬מועמדים‪ .‬מה ההסתברות שבדיוק ‪ 3‬מהם קיבלו עבודה באותו היום?‬
‫‪76‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬במשולש ‪ ABC‬מעבירים את התיכונים ‪ BD‬ו‪ CE-‬אשר נפגשים בנקודה ‪.M‬‬
‫במשולש ‪ BDC‬מעבירים את התיכונים ‪ CL‬ו‪ BK-‬הנפגשים בנקודה ‪.O‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. 3LM  BL :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪. AC MO :‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪ 27 :‬סמ"ר ‪ . SBLC ‬חשב את שטח המשולש ‪.MOL‬‬
‫‪ .5‬באיור שלפניך נתון המרובע ‪ .ABCD‬ידוע כי‪. D  90 :‬‬
‫נסמן את הצלעות באופן הבא‪. AB  6 x , BC  5x , CD  8x , AD  3x :‬‬
‫א‪ .‬חשב את זווית ‪.BCD‬‬
‫‪ E‬היא נקודה הנמצאת על אמצע הצלע ‪.BC‬‬
‫מעבירים את הקטעים ‪ AE‬ו‪.DE-‬‬
‫‪S ABE‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את היחס הבא‪:‬‬
‫‪S ECD‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪ A :‬‬
‫‪x2‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. A‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי גרף הפונקציה יורד לכל ‪. x‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ה‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ו‪ .‬נתון הישר‪ . y  k :‬האם קיים ערך של ‪ k‬עבורו הישר חותך את גרף הפונקציה‬
‫בשתי נקודות שונות? נמק‪.‬‬
‫‪ A ( , y ‬פרמטר)‪ .‬גרף הפונקציה עובר בנקודה‪.  3 A, A :‬‬
‫‪77‬‬
‫‪ .7‬נתונה תיבה שגובהה הוא ‪ h‬ובסיסה הוא ריבוע שאורך צלעו היא ‪. x‬‬
‫נתון כי צלע הריבוע וגובה התיבה מקיימים‪. 4 x  h  63 :‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ h‬באמצעות ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬הבע את שטח הפנים של התיבה באמצעות ‪. x‬‬
‫ג‪ .‬מה צריך להיות ערכו של ‪ x‬כדי ששטח הפנים יהיה מקסימלי?‬
‫‪x x 8‬‬
‫‪ .8‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬ענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ .i‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .ii‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪ .iii‬הראה כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫‪ . m ‬מצא את נקודת ההשקה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים משיק לגרף הפונקציה ששיפועו הוא‪:‬‬
‫‪16‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה‪ x -‬ואנך לציר ה‪ x -‬מנקודת‬
‫ההשקה שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪78‬‬
‫בחינה מספר ‪28‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן שמידותיו הם‪.AB=12 , AD=20 :‬‬
‫על הצלע ‪ AB‬של המלבן ‪ ABCD‬מקצים את הנקודות ‪ E‬ו‪ F-‬כך‬
‫שנוצרים שלושה קטעים שווים ‪.AF=EF=BE‬‬
‫מותחים אנכים לצלע ‪ AB‬מהנקודות ‪ E‬ו‪ F-‬עד לנקודות ‪ G‬ו‪H-‬‬
‫שבתוך המלבן כך שנוצר מלבן פנימי ‪.EFGH‬‬
‫מרחק הצלע ‪ GH‬מצלע המלבן ‪ DC‬הוא ‪ L‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .i .‬חשב את שטח המלבן ‪.ABCD‬‬
‫‪ .ii‬הבע באמצעות ‪ L‬את שטח המלבן הפנימי ‪.EFGH‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ L‬אם ידוע כי שטח המלבן הפנימי ‪ EFGH‬מהווה ‪ 20%‬משטח המלבן ‪.ABCD‬‬
‫‪ BD .2‬הוא התיכון לצלע ‪ AC‬במשולש ‪ ABC‬שבו נתון הקודקוד ‪. A  6,1‬‬
‫משוואת התיכון ‪ BD‬היא ‪ x  y  1‬ומשוואת הצלע ‪ BC‬היא‪. 3x  5 y  67 :‬‬
‫מצא את שיעורי הקודקוד ‪.C‬‬
‫‪ .3‬במבחן רב ברירה עם ‪ 5‬שאלות שוות ניקוד‪ ,‬לכל שאלה יש ‪ n‬תשובות מהן רק אחת נכונה‪.‬‬
‫ישנו סיכוי של ‪ 50%‬ששי יידע את התשובה הנכונה לשאלה במבחן‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫אם שי לא יודע את התשובה לשאלה הוא מנחש‪ .‬ההסתברות ששי יקבל במבחן ‪ 60‬גדולה פי‬
‫‪3‬‬
‫מההסתברות שיקבל ‪ .80‬מצא את ערכו של ‪. n‬‬
‫‪79‬‬
‫‪1‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .4‬במשולש ‪ ABC‬נתון כי‪15 :‬ס"מ = ‪ 18 ,AC = AB‬ס"מ = ‪.BC‬‬
‫דרך מרכז המעגל ‪ O‬החסום במשולש עובר הקטע ‪EF‬‬
‫המקביל לבסיס ‪ FN .BC‬ו‪ EM-‬הם אנכים לבסיס ‪.BC‬‬
‫חשב את שטח המלבן ‪.EFNM‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪N‬‬
‫‪E‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ .5‬נתון משולש שצלעותיו ‪. t , 2t , kt‬‬
‫א‪ .‬לאיזה ערכים של הקבוע ‪ k‬המשולש הוא קהה זווית?‬
‫ב‪ .‬נתון ‪ . k  7‬חשב את אורך חוצה הזווית הקהה‪.‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪; g ( x) ‬‬
‫‪ .6‬לפניך הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫א‪ .‬קבע אילו מהטענות הבאות נכונות ואלו אינן נכונות‪.‬‬
‫הצדק את קביעותיך באמצעות חישוב מתאים‪:‬‬
‫‪ .i‬לשתי הפונקציות יש את אותו תחום ההגדרה‪.‬‬
‫‪ .ii‬לשתי הפונקציות יש נקודות קיצון הנמצאות על הישר‪. y  x :‬‬
‫‪ .iii‬הפונקציות לא חותכות זו את זו‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫מגדירים פונקציה נוספת והיא‪. h( x)   g ( x)  :‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫כתוב באופן מפורש את הפונקציה החדשה‪. h( x) :‬‬
‫האם תחום ההגדרה של הפונקציה‪ h( x) :‬זהה לשל‪ ? g ( x) :‬נמק‪.‬‬
‫באיור הסמוך ישנם שני גרפים‪.‬‬
‫קבע על סמך הסעיפים הקודמים איזו פונקציה כל גרף מתאר‬
‫מבין הפונקציות‪ . f ( x) , g ( x) , h( x) :‬נמק את בחירותיך‪.‬‬
‫‪ .7‬הפונקציות ‪ y  2 x 2‬ו‪  a  0  , y  ax 2  bx -‬נחתכות‬
‫בנקודות‪  0, 0  :‬ו‪ . 1, 2  -‬ידוע כי השטח הכלוא‬
‫בין הגרפים של שתי הפונקציות הוא ‪ 0.5‬יחידות שטח‪.‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪. b , a‬‬
‫‪80‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .8‬נקודה ‪ B‬נמצאת על גרף הפונקציה ‪ y  x‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪ A‬היא הנקודה ‪  0, a ‬כאשר ידוע כי ‪( a  0.5‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬בטא באמצעות ‪ a‬את שיעורי הנקודה ‪,B‬‬
‫שעבורה המרחק ‪ AB‬הוא מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא עבור איזה ערך של ‪ a‬המרחק המינימלי הוא ‪.2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪81‬‬
‫בחינה מספר ‪29‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתונים שלושה ריבועים‪ ,‬אחד בתוך השני כך שצלע כל אחד מהם גדולה ב‪ 2-‬ס"מ מצלע‬
‫הריבוע שבתוכו (ראה איור)‪ .‬ידוע כי השטח של הקטן (המקווקו הפנימי) שווה לשטח הכלוא‬
‫בין שני הריבועים האמצעי והגדול (המקווקו בצורה 'מסגרת')‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מידות הצלעות של שלושת הריבועים‪.‬‬
‫ב‪ .‬כמה אחוזים מתוך השטח הכללי מהווה השטח הלבן?‬
‫‪ .2‬במרובע ‪ ABCD‬ידוע כי שיפוע הצלע ‪ BC‬הוא ‪3‬‬
‫ושיעורי הנקודה ‪ A‬הם‪. 1, 4  :‬‬
‫א‪ .‬הסבר מדוע לא ניתן להסיק דבר על סוג המרובע ‪.ABCD‬‬
‫‪1‬‬
‫נתון גם‪, D  4,13 :‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪ .‬איזה מרובע הוא המרובע ‪ ABCD‬כעת? הראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫‪ mCD  ‬ו‪ -‬ס"מ ‪. BC  90‬‬
‫נתון גם‪. B  8, 7  :‬‬
‫ג‪ .‬איזה מרובע הוא המרובע ‪ ABCD‬כעת? הראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המרובע ‪.ABCD‬‬
‫‪ .3‬באוניברסיטה מסוימת ידוע כי חלק מהסטודנטים נעזרים בספרי לימוד חיצוניים להעשרת הידע שלהם‪.‬‬
‫ידוע כי ההסתברות לבחור ‪ 2‬סטודנטים הנעזרים בספרי לימוד חיצוניים קטנה ב‪ 0.1-‬מההסתברות‬
‫לבחור שני סטודנטים שלא נעזרים בספרי לימוד חיצוניים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו אחוז הסטודנטים שנעזרים בספרי לימוד חיצוניים?‬
‫האוניברסיטה מוכרת ספרי לימוד ב‪ 3-‬מקצועות לכלל הסטודנטים‪ :‬ספר א'‪ ,‬ספר ב' וספר ג'‪.‬‬
‫חלק מהסטודנטים נעזרים בנוסף בספרי לימוד חיצוניים‪.‬‬
‫ידוע כי כמות הסטודנטים שקנו את ספר א' וכמות הסטודנטים שקנו את ספר ג' זהות‪.‬‬
‫כמו כן‪ 6/7 ,‬מאלו שקנו את ספר ג' נעזרים גם בספרים חיצוניים‪.‬‬
‫‪ 1/3‬מהסטודנטים שקנו את ספר ב' נעזרים בספרי לימוד חיצוניים והסטודנטים שקנו את ספר א'‬
‫מהווים ‪ 1/9‬מכלל הסטודנטים שנעזרים בספרי לימוד חיצוניים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו אחוז הסטודנטים שקנו את ספר ב' ולא נעזרים בספרי לימוד חיצוניים?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מהווים הסטודנטים שקנו את ספר ג' מכלל הסטודנטים שלא נעזרים‬
‫בספרי לימוד חיצוניים?‬
‫ד‪ .‬בוחרים ‪ 4‬סטודנטים שלא נעזרים בספרי לימוד חיצוניים‪.‬‬
‫מה ההסתברות שאחד מהם קנה את ספר ג'?‬
‫‪82‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬במשולש שווה שוקיים ‪ BD ,  AB  AC  ,ABC‬הוא‬
‫תיכון לשוק ‪ .AC‬נתון גם כי‪. CBD  30 :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי משולש ‪ ABC‬הוא משולש שווה צלעות‪.‬‬
‫(הדרכה‪ :‬הורד אנכים ‪ AF‬ו‪ DE-‬לבסיס ‪BC‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫והוכח כי‪.) DE  AF  BD :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬אם נתון כי אורך התיכון ‪ BD‬הוא ‪ a‬ס"מ‪,‬‬
‫חשב אם אורך צלע המשולש ואת שטחו‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ .5‬נתונה מקבילית ‪ ABCD‬ובה מעבירים את האלכסונים ‪ AC‬ו‪BD-‬‬
‫אשר נחתכים בנקודה ‪ M‬כמתואר באיור‪ .‬מסמנים‪BDC   , ACD   :‬‬
‫‪AC sin ‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי אלכסוני המקבילית מקיימים‪:‬‬
‫‪BD sin ‬‬
‫ב‪ .i .‬הבע באמצעות ‪  , ‬ו‪ k -‬את שטח המשולש ‪.DMC‬‬
‫‪ .ii‬הבע באמצעות ‪  , ‬ו‪ k -‬את שטח‬
‫המקבילית ‪.ABCD‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪ .‬הראה כי שטח המקבילית‬
‫ג‪ .‬נתון כי‪ 2 :‬‬
‫‪BD‬‬
‫‪4k 2 sin 2 ‬‬
‫‪.‬‬
‫הוא‪:‬‬
‫‪sin    ‬‬
‫‪83‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. AB  k ,‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x4‬‬
‫א‪ .‬כתוב בצורה מפורשת את הפונקציה )‪. g ( x‬‬
‫ב‪ .‬לפניך מספר טענות המתייחסות לפונקציות )‪ f ( x‬ו‪. g ( x) -‬‬
‫קבע אילו מהטענות הבאות נכונות ואלו אינן נכונות‪.‬‬
‫הצדק את קביעותיך באמצעות חישוב מתאים‪:‬‬
‫‪ .i‬לפונקציות תחום הגדרה זהה‪.‬‬
‫‪ .ii‬שתי הפונקציות עולות בכל תחום הגדרתן‪.‬‬
‫‪ .iii‬שתי הפונקציות חותכות את ציר ה‪ x -‬באותה נקודה‪.‬‬
‫‪ .iv‬לשתי הפונקציות יש אסימפטוטה משותפת‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של כל פונקציה עם ציר ה‪. -‬‬
‫ד‪ .‬אסף פתר את סעיפים א' ו‪-‬ב' והחליט לטעון את הטענה הבאה‪:‬‬
‫היות והפונקציה )‪ g ( x‬מוגדרת להיות‪ g ( x)  f ( x) :‬אזי ניתן למצוא את שיעור‬
‫ה‪ y -‬של כל נקודה שעל גרף הפונקציה )‪ f ( x‬ע"י כך שנמצא תחילה את שיעור ה‪y -‬‬
‫של הנקודה בעלת אותו שיעור ‪ x‬על הגרף של )‪ g ( x‬ונעלה אותה בריבוע‪.‬‬
‫האם אסף צודק? נמק בצורה איכותית (חישובים אינם נדרשים) את שיקולך‪.‬‬
‫‪ . f ( x) ‬מגדירים פונקציה נוספת‪f ( x) :‬‬
‫‪. g ( x) ‬‬
‫‪ .7‬חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות‪. f  x   x3 , g  x   x :‬‬
‫‪ .8‬מחוט שאורכו ‪ a‬ס"מ יש לבנות מנסרה משולשת ישרה‪,‬‬
‫שבסיסה הוא משולש שווה צלעות‪.‬‬
‫מצא איזה חלק מאורך החוט יש להקצות לצלע הבסיס ‪x‬‬
‫ואיזה חלק לגובה ‪ y‬כדי שיתקיים‪:‬‬
‫א‪ .‬שטח המעטפת של המנסרה יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬נפח המנסרה יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪84‬‬
‫בחינה מספר ‪30‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬סוחר קנה ‪ 60‬כיסאות זהים במחיר זהה לכיסא‪.‬‬
‫‪ 5‬כיסאות נשברו לו ואת שאר הכיסאות הוא מכר במחיר הגדול ב‪ ₪ 40-‬מהמחיר שקנה אותם‪.‬‬
‫בסה"כ הרוויח הסוחר בעסקה ‪.₪ 1950‬‬
‫א‪ .‬באיזה מחיר קנה הסוחר כל כיסא?‬
‫ב‪ .‬בעסקה אחרת‪ ,‬קנה הסוחר ‪ 60‬כיסאות אחרים במחיר זהה לכיסא‪.‬‬
‫ידוע כי המחיר של כיסא בודד גדול ב‪ 30%-‬מהמחיר של כיסא בודד‬
‫שרכש הסוחר בעסקה הראשונה‪ .‬במהלך ההובלה נגנבו ‪ 8‬כיסאות‪.‬‬
‫הסוחר רוצה להרוויח ממכירת הכיסאות הנותרים לפחות ‪ ₪ 2000‬בעסקה זו‪.‬‬
‫נסמן ב‪ p -‬את אחוז ההתייקרות שבו צריך למכור הסוחר כיסא בודד‪.‬‬
‫מצא את ‪ p‬המינימלי עבורו יעמוד הסוחר ביעדו‪.‬‬
‫‪ .2‬נתון משולש ‪ .ABC‬הנקודה ‪ D‬נמצאת על הצלע ‪ BC‬של המשולש ‪ ABC‬כך‬
‫שהקטע ‪ AD‬מחלק אותו לשני משולשים שווי שטח ‪ ABD‬ו‪.ACD-‬‬
‫הצלע ‪ BC‬מונחת על הישר‪ y  4 :‬וידוע כי שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ C‬הוא‪. xC  1 :‬‬
‫כמו כן נתון‪. mAB  2 , A(7,8) :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הצלע ‪.AB‬‬
‫ב‪ .i .‬איזה קטע הוא ‪ AD‬בתוך המשולש ‪?ABC‬‬
‫‪ .ii‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ B‬ו‪.D-‬‬
‫ג‪ .i .‬חשב את אורך הצלע ‪ BC‬ואת אורך הקטע ‪.AD‬‬
‫‪ .ii‬איזה משולש הוא המשולש ‪?ABC‬‬
‫‪ .3‬בחדר ‪ x‬גברים ו‪ x  2 -‬נשים‪ .‬זורקים קוביית משחק מאוזנת‪.‬‬
‫אם מתקבל מספר הגדול מ‪ 4-‬אז מוסיפים לחדר ‪ x‬גברים ואם מתקבל מספר הקטן או שווה‬
‫ל‪ 4-‬אז מוסיפים לחדר ‪ x‬נשים‪ .‬לאחר מכן מוציאים אדם מהחדר‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה נשים יש בחדר אם ידוע כי ההסתברות לבחור אישה היא‪:‬‬
‫‪33‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי יצאה אישה מהחדר‪ .‬מה ההסתברות שהמספר בקובייה היה קטן או שווה ל‪?4-‬‬
‫אנשי החדר הנמצאים בו במקור (לפני זריקת הקובייה) לובשים חולצות אדומות או לבנות בלבד‪.‬‬
‫ידוע כי החלק היחסי של האנשים הלובשים חולצות לבנות בחדר גדול פי ‪ 16‬מהחלק היחסי של הגברים‬
‫הלובשים חולצות אדומות‪ .‬כמו כן‪ ,‬פרופורציית הגברים מבין כל אלו שלובשים חולצות אדומות היא ‪.0.25‬‬
‫ג‪ .‬מצא מה ההסתברות לבחור גבר הלובש חולצה אדומה בחדר‪.‬‬
‫ד‪ .‬בוחרים ‪ 5‬אנשים מהחדר (עם החזרה) וידוע כי כולם לובשים חולצות אדומות‪.‬‬
‫מה ההסתברות שרובם נשים?‬
‫‪85‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬הישרים ‪ AB‬ו‪ AC-‬חותכים את המעגל בנקודות ‪ D‬ו‪ E-‬בהתאמה כך שהמיתרים ‪ BD‬ו‪BC-‬‬
‫מאונכים זה לזה‪ .‬הקטע ‪ CG‬חוצה את הקשת הקטנה ‪ BGD‬וחותך את המיתר ‪ BD‬בנקודה ‪.F‬‬
‫‪AC 13‬‬
‫‪ .‬נסמן‪. AB  t :‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB 12‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את אורך המיתר ‪.BC‬‬
‫‪BF 3‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי רדיוס המעגל הוא ‪ 5‬ס"מ וכי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪DF 5‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪.AB‬‬
‫‪ .5‬המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז ‪.  AB CD ‬‬
‫מעבירים את האלכסון ‪ BD‬המקיים‪. BCD  ADB :‬‬
‫נתון כי‪ 20 :‬ס"מ ‪ 10 , CD ‬ס"מ ‪ 5 , AD ‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫כמוכן ידוע כי השוק ‪ BC‬גדולה פי ‪ 2‬מהאלכסון ‪.BD‬‬
‫א‪ .‬הראה כי השוק ‪ BC‬שווה לבסיס ‪.CD‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זווית ‪.C‬‬
‫ג‪ .‬ממשיכים את שוקי הטרפז ‪ AD‬ו‪ BC-‬עד‬
‫לנקודה ‪ E‬שמחוץ לטרפז‪.‬‬
‫חשב את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪.CDE‬‬
‫‪86‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪k  x2‬‬
‫‪ .6‬לפניך שלוש פונקציות‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪k  x2‬‬
‫א‪ .‬קבע אילו מהטענות הבאות נכונות ואלו אינן נכונות‪.‬‬
‫הצדק את קביעותיך באמצעות חישוב מתאים‪:‬‬
‫‪ .i‬לפונקציות )‪ f ( x‬ו‪ g ( x) -‬תחום הגדרה זהה‪ ,‬השונה מתחום ההגדרה של )‪. h( x‬‬
‫‪ .ii‬קיימת פונקציה אשר אינה חותכת את ציר ה‪ x -‬כלל‪.‬‬
‫‪ .iii‬הפונקציות )‪ h( x‬ו‪ g ( x) -‬הפוכות זו מזו בתחומי העלייה והירידה שלהן‬
‫(כאשר אחת עולה השנייה יורדת)‪.‬‬
‫‪ .iv‬לפונקציה )‪ f ( x‬יש נקודת קיצון אחת בלבד‪.‬‬
‫‪; h( x ) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪.  k  0  ; f ( x)  x 2 k  x 2 ; g ( x ) ‬‬
‫‪‬‬
‫מסמנים נקודה ‪ A 0, 12‬על ציר ה‪. y -‬‬
‫ידוע כי מרחקה מאחת מנקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪f ( x‬‬
‫עם ציר ה‪ x -‬שאינה בראשית הוא‪. d  6 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪. k‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של גרף הפונקציה )‪ f ( x‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ד‪ .‬לפניך איור ובו משורטטות הסקיצות של שלושת הפונקציות‪.‬‬
‫קבע עפ"י הסעיפים הקודמים איזה גרף שייך לכל פונקציה‪.‬‬
‫‪ .7‬נתונה תיבה שבסיסה ריבוע ושטח פניה (ללא המכסה) הוא ‪ 75‬סמ"ר‪.‬‬
‫מצא את אורך צלע הבסיס של התיבה שנפחּה הוא מקסימלי‪.‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬מצא עבור איזה ערך של ‪ a‬יתקיים‪ 1dx  0 :‬‬
‫‪  ‬אם ידוע ש‪. a  1 -‬‬
‫‪2x 1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪ 1 :‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫‪2x 1‬‬
‫מעבירים שני אנכים לציר ה‪ x -‬והם‪ x  1 :‬ו‪x  13 -‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪S2‬‬
‫כך שנוצרים השטחים‪ S1 :‬ו‪. S 2 -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‬‫ג‪ .i .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה‬
‫)‪f ( x‬‬
‫והאנך ‪.  S1  , x  1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ .ii‬היעזר בתוצאה שקיבלת ובסעיף א' ומצא את השטח ‪ . S 2‬נמק את טענתך‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪87‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫בחינה ‪:1‬‬
‫‪.12.5 .2‬‬
‫‪ .1‬א‪ 5 .‬שעות‪ .‬ב‪ 80 .‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ .3‬א‪ .15% .‬ב‪ . 0.85 .‬ג‪ . 0.5 .‬ד‪ .‬כן‪.‬‬
‫‪ .4‬ב‪ 29.07 .‬סמ"ר ‪‬‬
‫‪ .6‬א‪ 3  x  3 .‬וגם ‪x  0‬‬
‫ב‪ max  3,0  .‬קצה‪ min  3,0  ,‬קצה ג‪ .‬תחומי עלייה‪ :‬אף ‪, x‬‬
‫תחומי ירידה‪ 3  x  0 , 0  x  3 :‬ד‪.‬‬
‫ה‪ . x  0 .‬ו‪ .‬סקיצה בצד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .7‬א‪  3, 4  .‬ב‪ y  4 .‬ג‪ 6 .‬יח"ש‪.8 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 147.86 .5 . S AFDE‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ 3,0 ,  3,0‬‬
‫‪. AC  BC  4cm‬‬
‫בחינה ‪:2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .2‬א‪ . lBD : y  3x  22 .‬ב‪. lBC : y   x  6 .‬‬
‫‪ .1‬א‪ 60 .‬ב‪₪ 300 .‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪15‬‬
‫‪7‬‬
‫ג‪ 0.0146 .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .3‬א‪ 4 .‬כדורים‪ .‬ב‪.‬‬
‫‪1024‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ .4‬ג‪.36 .‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪ .5‬א‪ S  186cm2 .‬ב‪36.86,143.13,67.38,112.6 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .7‬א‪ . a  6 .‬ב‪ . B  6, 0  .‬ג‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .8‬א‪ . A  6 .‬ב‪ y   x  .‬ד‪  1.5,  .‬ה‪ .‬יח"ש ‪. S ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 25‬יח"ש‪.‬‬
‫בחינה ‪:3‬‬
‫‪ .2‬א‪  0,0  ,  6,0  ,  0, 8 .‬ב‪ 27 .‬יח"ש‪.‬‬
‫‪ .1‬א‪ 5 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 8 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪1.5m‬‬
‫‪ .3‬א‪ .‬בלתי תלויים‪ .‬ב‪.12.5% .‬‬
‫‪min  b, 2b3  , max  b,2b3  .6‬‬
‫‪ .8‬א‪.‬‬
‫‪ 1,0 ,  3,0 ,  0, 9‬‬
‫‪ sin  ‬ב‪ m  16 .‬ג‪. 56.95 .‬‬
‫‪ .5‬א‪.‬‬
‫‪100  2.25m2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪. A 1,  , B 1, 1 .7‬‬
‫‪ 2‬‬
‫ב‪ 13.5 .‬יח"ר‪.‬‬
‫‪88‬‬
:4 ‫בחינה‬
. SDECBO
. S  100  25  21.4 .ii . S  25 .i .‫ ב‬.‫ ס"מ‬10 .‫ א‬.1
 ‫ סמ"ר‬11  5 5 .‫ ה‬. 10, 2  .‫ ד‬. y  0.5x  3 .‫ ג‬. B  6,0  .‫ ב‬. a  8 .‫ א‬.2
. 0.299 .‫ ב‬. x  4 .‫ א‬.3
2 R  sin 3   sin 2
.   45 .‫ ב‬SBEF 
.‫ א‬.5
sin 3
2
.‫ סמ"ק‬403.1 .8 f ( x)  x  6 x  14 .7
.6
.BD = ‫ ס"מ‬8 .‫ ב‬.4
:5 ‫בחינה‬
.‫ לא‬.‫ ב‬.₪ 40 .‫ א‬.1
4 x  3 y  27 -‫ ו‬4 x  3 y  35  0 .2
.‫ בלתי תלויים‬.‫ ד‬. 0.35 .‫ ג‬. 0.2 .‫ ב‬. 0.52 .‫ א‬.3
.16S .4

2 R 2  cos3  sin 
SADE
cos(1.5 )
2

.   90 .‫ג‬
.‫ ב‬SADF 
S ADF
cos(0.5 )
cos(1.5 )
1
 1

. max  a,  , min  a,   .‫ ב‬x ‫כל‬
a
 a

. x  a ‫ או‬x  a :‫ תחומי ירידה‬, a  x  a :‫תחומי עלייה‬
y  0 .‫ ה‬ 0,0 
.32 .‫ ב‬. A(1,8) .‫ א‬.8
.‫ א‬.5
.‫ א‬.6
.‫ג‬
.‫ד‬
. S  ‫ יח"ש‬1 .7
:6 ‫בחינה‬
.  4, 2  .‫ ( ג‬x  9)2  ( y  1)2  170 .‫ ב‬ 2,8 .‫ א‬.2
.‫ סמ"ר‬21.48 .‫ ג‬.‫ ס"מ‬2 .‫ ב‬.DE = ‫ ס"מ‬2.53 .‫ א‬.5
. k  4 .‫ ד‬. y  k x .‫ ג‬. f '( x) 
k2
k  x 
2 1.5
.
.₪ 80 -‫ ו‬₪ 100 .1
1
189
.‫ ג‬P 
.‫ ב‬P  0.7 .‫ א‬.3
7
2500
 0 :‫ הנגזרת היא‬.‫ ב‬. x   k .ii .  k  x  k .i .‫ א‬.6
. II  g ( x) , I  f ( x) .‫ א‬.8
89
x  2.75 .7
‫בחינה ‪:7‬‬
‫‪ .1‬א‪ 60 .‬קמ"ש ‪ 72 ,‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 5 .‬שעות‪.‬‬
‫‪ .2‬א‪ . x  9 ; y  2 .‬ב‪ . C 8,0  , C 10,0  .‬ג‪. C  8,0  .‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ .3‬א‪ 5 .‬אדומים ו‪ 3-‬לבנים‪ .‬ב‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ .6‬א‪( m  0 .‬מתקבל‪ am  0 :‬וידוע כי‪ a  0 :‬לכן נותרנו עם הפתרון הנ"ל)‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 8 16 ‬‬
‫ב‪ . x  .iii . Max  0, 0  , Min  , 2  .ii . x  .i .‬ד‪ . a  2 .‬ה‪. 0  k  4 .‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a a ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. t  16 .8‬‬
‫‪ .7‬א‪ .12 , 12 , 12 .‬ב‪ .16 , 12 , 8 .‬ג‪ .‬מקרה א'‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .4‬ג‪.0.8 .‬‬
‫‪ .5‬א‪ 10.5 .‬ס"מ = ‪ R‬ב‪. 24.32 .‬‬
‫‪y‬‬
‫‪16‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪a‬‬
‫‪4‬‬
‫‪a‬‬
‫בחינה ‪:8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ₪ 20 .1‬ו‪.₪ 12-‬‬
‫‪ .2‬א‪x  1 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .4‬ג‪.0.25 .ii .‬‬
‫‪ .3‬א‪ P  0.8 .‬ב‪ P  0.6 .‬ג‪. .‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ .5‬א‪ DE  1.48R CD  R 3 .‬ב‪. r  1.15R .‬‬
‫‪ .6‬א‪ x  1 .‬ב‪ x  1 , y  1 .‬ג‪  a,0  , 0, a  .‬ד‪. a  2 .ii a  1 .i .‬‬
‫‪ . y ‬ב‪. (5,5) , (4,0) , (1,1) .‬‬
‫‪ 4 .7‬ס"מ ‪ 16 ,‬ס"מ‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .8‬א‪ . f ( x)  2 x2  7 x  5 .‬ב‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.S 5‬‬
‫בחינה ‪:9‬‬
‫‪ .1‬א‪ 16 .‬ס"מ ו‪ 20-‬ס"מ‪ .‬ב‪ S  224 .‬ג‪ 124 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2‬א‪ . A  22, 0  .ii . B 12,10 .i .‬ב‪.  x  22    y  10   100 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪25‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ .3‬א‪ .‬בחדר יש ‪ 6‬גברים (ו‪ 24-‬נשים)‪.‬‬
‫‪141‬‬
‫‪ .5‬א‪ 12.75 .‬ס"מ ב‪ 14.19 .‬ס"מ ג‪ 63.05 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ .4‬ג‪ 9 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. A  0.5,12.25 .7‬‬
‫‪ .6‬א‪ 1, 2  .‬ב‪ . y  1.5x  3.5 .‬ג‪ 4 .‬יח"ש ‪. S ‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ .8‬א‪ . f ( x)  x3  3x 2  9 x .‬ב‪ . y  15x  28 .‬ג‪ 546.75 .ii .  7,133 .i .‬יח"ש ‪. S ‬‬
‫‪ .‬ג‪.0.0193 .‬‬
‫בחינה ‪:10‬‬
‫‪ .2‬א‪ . R  10 .‬ב‪ . C(1,12) , B(1, 4) .‬ג‪ 128 .ii . d  16 .i .‬יח"ש ‪. S ‬‬
‫‪ .1‬א‪ 60 .‬ב‪.₪ 300 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ .3‬א‪ P  .‬ב‪ P  .‬ג‪ .4 . .‬א‪ 2 .‬ב‪ 4 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k tan  sin 2‬‬
‫‪k tan ‬‬
‫ג‪ 7.754 .‬יח"ש ‪. S ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ .5‬א‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 tan 2‬‬
‫‪tan 2‬‬
‫‪ .6‬א‪ . d  8 .‬ב‪ .‬לא‪ .‬ג‪ .‬יורדת בכל תחום הגדרתה‪ .‬ד‪ (0,8) .‬ה‪x .‬‬
‫‪ 270 .7‬סמ"ר‪ 3( .‬ס"מ ‪ 15 ,‬ס"מ ו ‪ 5 -‬ס"מ)‪.‬‬
‫‪36  x 2‬‬
‫‪ .8‬א‪, a  36 .‬‬
‫‪ f ( x) ‬ב‪. S  8 .‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪90‬‬
‫‪x‬‬
:11 ‫בחינה‬
. y  8 x .‫ ב‬. B(12, 2) , C(2,16) .‫ א‬.2
.‫ קמ"ש‬5-‫ קמ"ש ו‬4 .‫ א‬.1
2
. .‫ ב‬.4 . P  0.31744 .‫ ג‬P  0.44 .‫ ב‬P  0.8 .‫ א‬.3
3
.3 .ii .1.5 28  3  t .i.‫ ב‬.4 .‫ א‬.5
. 1, 0  ‫ אשר עובר בנקודה‬y  4 x  4 :‫ המשיק‬.‫ ג‬1,0  ,  0, 4  .‫ ב‬. a  2 .‫ א‬.6
.‫ ס"מ‬6 2  8.48 .‫ג‬
.‫ סמ"ר‬18 .‫ ב‬.‫ ס"מ‬6-‫ ס"מ ו‬6 .‫ א‬.7
1
. S  ‫ יח"ש‬13 .‫ ב‬ 2,8 , a  32 .‫ א‬.8
3
:12 ‫בחינה‬
. S  ‫ יח"ש‬216 .‫ ג‬.‫ ס"מ‬24-‫ ס"מ ו‬30 , x  8 .‫ ב‬. 9 x2  18x , 3x 2  3x .ii 3x , 3x  6 .i .‫ א‬.1
. x2  ( y  2)2  900 .‫ ג‬ 24,16  .‫ ב‬. y  8x  2 ; y  2 x  2 .‫ א‬.2
4
.‫ ג‬95% .‫ ב‬. P  0.4 .‫ א‬.3
7
. y  0.74 x  0.1352 .‫ ג‬ 0.6,0.57  .‫ כן‬.‫ ב‬k  0.48 .‫ א‬.6
.‫ סמ"ר‬34.48 .‫ ס"מ ב‬7 .‫ א‬.5
. A  2, 2  .7
. 9R .‫ ג‬.4
.
1
. S  ‫ יח"ש‬5 .‫ ב‬. g ( x)  ( x  4)2 .‫ א‬.8
3
:13 ‫בחינה‬
. S  ‫ סמ"ר‬62.5 .‫ ב‬.‫ ס"מ‬50-‫ ס"מ ו‬10 .ii .‫ ס"מ‬5 .i .‫ א‬.1
2
2
. A 10,0  ; B  0,6  .‫ ב‬.  x  5   y  3  34 , R  ‫ ס"מ‬34 .‫ א‬.2
. SABC  ‫ סמ"ר‬30 .ii . C  20, 0  .i .‫ג‬
1
 27 1 
  ‫ גבוהה‬.‫ ג‬.‫ ב‬.‫ צהובות‬6-‫ ורודות ו‬4 .‫ א‬.3
. P  0.0189.‫ ד‬
6
 125 6 
. S  12.52 .‫ ב‬40.72 .‫ א‬.5 . 30,30,120 .‫ א‬.4
. 3  k  5 .‫ ד‬. x  2 .‫ ג‬. x  2 .iv Max  3,0  , Min  4,5 .iii
 0, 3 .ii
. t  1 .‫ ב‬.8
91
x  2 .i .‫ ב‬. a  3 .‫ א‬.6
. S  ‫ יח"ש‬128 .‫ ב‬. A(2,32) .‫ א‬.7
:14 ‫בחינה‬
. S  ‫ יח"ש‬28 .‫ ג‬C  8, 6  .‫ ב‬O  0,0  , A  0,6  , B 8,0  .‫ א‬.2 .‫ ק"מ‬665 .‫ ב‬.‫ קמ"ש‬90 .‫ א‬.1
.‫ ס"מ‬2 .‫ ג‬.‫ ס"מ‬6 .‫ א‬.4 .60% .‫ ג‬20% .‫ב‬
.
0.35m2 sin 2  sin 128.32   
.‫ ג‬1.27m sin  .‫ ב‬128.32 ; 51.68 .‫ א‬.5
sin  25.84   
y
.‫ד‬
x
2
.‫ א‬.3
3
 2, 0 
. S  ‫יח"ש‬
1 

Min(2,0) . Max  3,
 .‫ב‬
27 

.‫ג‬
2
.‫ ג‬. 1, 0  .‫ ב‬. y  4 x  4 .‫ א‬.8
3
. x  0 , x  2 .‫ א‬.6
.A(0,4) .‫ ב‬A  2, 2  .‫ א‬.7
:15 ‫בחינה‬
. V  ‫ סמ"ק‬1728 .‫ ג‬S  720 .‫ ב‬.‫ ס"מ‬8X12X18 .‫ א‬.1
. S  ‫ יח"ש‬0.25 .‫ ד‬y  2 x  1 .‫ ג‬ 0, 1 ,  2,3  .‫ ב‬a  1 .‫ א‬.2
a 2  5b2
.‫ א‬.5 .‫ יח"א‬5.5 .‫ ב‬.4 .0.88989 .‫ ב‬.‫ כדורים כחולים‬6 .‫ א‬.3
a 2  3b2
k2
. k  4 .‫ ד‬. y  k x .‫ ג‬. f '( x) 
 0 :‫ הנגזרת היא‬.‫ ב‬. x   k .ii .  k  x  k .i .‫ א‬.6
2 1.5
k  x 
. S  ‫ סמ"ר‬14.4 .‫ ג‬cos BCD 
. S  ‫ יח"ש‬7
5
.‫ ג‬.  3,3 .‫ ב‬. y   x .‫ א‬.8
6
92
.‫ ס"מ‬20 X ‫ ס"מ‬12 .‫ ב‬.‫ ס"מ‬10 X ‫ ס"מ‬6 .‫ א‬.7
‫בחינה ‪:16‬‬
‫‪ .1‬א‪ .90 .‬ב‪.₪ 80 .‬‬
‫‪ .2‬א‪. D  5, 8 , A  5, 2  , E  1,0  .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ . CE : y   x  , CD : y  x  5 .‬ג‪. C  5, 3 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k sin 20‬‬
‫‪2‬‬
‫‪30‬‬
‫‪ . BD ‬ב‪. k  7 .‬‬
‫‪ .5‬א‪.‬‬
‫ג‪. .‬‬
‫‪ .3‬א‪ 0.24 .‬ב‪0.61224 .ii 0.65389 .i .‬‬
‫‪sin100‬‬
‫‪3‬‬
‫‪49‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ .6‬ג‪ .  3, 0  ,  3, 0  .‬ד‪ . y  1 .‬ה‪ .‬באף נקודה‪ .‬הגרף שואף לישר ואינו חותך אותו‪.‬‬
‫ד‪ 30 .‬יח"ש = ‪. SDEC‬‬
‫‪ .7‬א‪ . 2x .‬ב‪. V  12 x2   x3 .i .‬‬
‫‪ .8‬א‪  4,8 .‬ב‪ 48 .‬יח"ש ‪. S ‬‬
‫‪. V  48x2  4 x3 .ii‬‬
‫ג‪. x  8 .‬‬
‫‪x‬‬
‫בחינה ‪:17‬‬
‫‪ 70 .1‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ .2‬א‪ . x  18 .ii d  15 .i .‬ב‪. ( x  9)  ( y  12)  81 .‬‬
‫ג‪ .‬המעגל אינו חותך את ציר ה‪ – x -‬כאשר מציבים ב‪ y -‬אפס מתקבלת משוואה ריבועית ללא פתרון‪.‬‬
‫המעגל חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה אחת – )‪.(12,0‬‬
‫‪17‬‬
‫ג‪. 0.03645 .‬‬
‫‪ .3‬א‪ 15 .‬כחולים ו‪ 3-‬אדומים‪ .‬ב‪.‬‬
‫‪101‬‬
‫‪ .4‬ג‪ 60 .‬ס"מ‪ .5 .‬א‪ 5 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 172.77 .‬סמ"ר ‪. S ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .6‬א‪ .a  1 .‬ב‪ .  3  x  3 .‬ג‪ . 1.5, 3 .‬ד‪ .‬יורדת‪ . 3  x  1.5 :‬עולה‪. 1.5  x  3 :‬‬
‫‪1.28t 2  0.72t  16‬‬
‫‪3‬‬
‫‪P‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ t  4 .‬ג‪ P  12.88 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ .7‬א‪.‬‬
‫‪t 1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .8‬א‪ f ( x)  x2  6 x .‬ב‪ .  0,0  .‬ג‪ 85 .‬סמ"ר ‪. S ‬‬
‫‪3‬‬
‫בחינה ‪:18‬‬
‫‪ 10 .1‬גיטרות ב‪.₪ 5,000-‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2‬א‪ .  x  15   y  12   225 .‬ב‪ . C  24,0  , D  24, 24  .‬ג‪. y   x  42 .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 256‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬ג‪ .4 . .‬א‪ .‬פי ‪.2.25‬‬
‫‪ .3‬א‪.‬‬
‫ב‪ .‬גבוהה יותר ‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪330‬‬
‫‪ 14641 330 ‬‬
‫‪ .5‬א‪ S  R 2 tan 2 .‬ב‪ 36 .‬סמ"ר ‪. S ‬‬
‫‪ .6‬א‪ x  0 , x  1 .‬ב‪  9, 6  .‬ג‪. y  6 .‬‬
‫‪ .7‬א‪ . AE  16  3x .‬ב‪. x  6 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .8‬א‪ . k  10 .‬ב‪ . 1,9  .‬ג‪ 81 .‬סמ"ר ‪. S ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪93‬‬
:19 ‫בחינה‬
1
1
. AD : y   x  3 , AC : y   x  8 .‫ א‬.2
.‫ ס"מ‬6 .1
3
3
. B  4, 2  .‫ ד‬. BE : y  x  2 , BC : y  3x  10 .‫ ג‬. A  7,1 .‫ב‬
.
.R 
:‫ סקיצה‬.‫ה‬
2
.‫ ג‬120,60 .‫ ב‬.4 . 0.0196 .‫ג‬
3
37
 ‫ ס"מ‬3.511 .‫ ג‬. S  ‫ סמ"ר‬18.18 .‫ב‬
3

. Max  2,8 , Min 3, 
y
1
3

2
.‫ ב‬.‫ נשים‬9 .‫ א‬.3
11
.AB= ‫ ס"מ‬7 -‫ ו‬BC = ‫ ס"מ‬3 .‫ א‬.5
3x 2  20 x  28
, a  3 .‫ א‬.6
.‫ ב‬. x ‫ כל‬, f ( x) 
x2  6
. 2  x  3 :‫ יורדת‬x  2 , x  3 :‫ עולה‬.‫ג‬

 

. k  8,  13 ,3 .‫ ו‬.  2,0  , 0, 4 23 , 4 23 ,0 .‫ד‬
. S  ‫ סמ"ר‬1.75 .‫ ב‬Min  0.5,1.5 .‫ א‬.8
x
. x  6 .7
:20 ‫בחינה‬
.‫ סמ"ר‬S  1440 .‫ ג‬.‫ ס"מ‬30 .‫ ב‬.‫ ס"מ‬20-‫ ס"מ ו‬16 ,‫ ס"מ‬12 .‫ א‬.1
. SBMC  SDMC  ‫ סמ"ר‬34 .‫ ג‬C  0.5, 7  .‫ ב‬y  4 x  5 .‫ א‬.2
2
.‫ ג‬.'‫ מועמד א‬.‫ ב‬25% .‫ א‬.3
3
.‫ ס"מ‬4 .‫ ג‬. 6R .‫ ב‬.5
Min  1, 0.5 , Max  9, 24.5 .‫ ב‬x  5 .‫ א‬.6
. x  5 ,  9  x  1 :‫ יורדת‬. x  9 , x  1 :‫ עולה‬.‫ג‬
. S  8 3 .‫ ב‬.4
y
x
.
.‫ סקיצה בצד‬.‫ ו‬. x  5 .‫ ה‬ 2,0  ,
. a  9 .8
 ,0 ,  0, 0.2 .‫ד‬
1
3
. M  22500 .‫ ג‬. x  30 , y  5 .‫ ב‬. y  10 
x
.‫ א‬.7
6
:21 ‫בחינה‬
.42 .‫ ד‬A  0,17 
.60%.‫ ג‬₪ 45-‫ ו‬₪ 40 .‫ ב‬₪50-‫ ו‬₪ 80 .‫ א‬.1
7
2
2
; B  0,3 .‫ ג‬.  x  6    y  10   85 .iii . 85 .ii . M  6,10  .i .‫ ב‬. y  x  3 .‫ א‬.2
6
2
26
1
11
2S
. S .‫ב‬
.‫ג‬
.‫ב‬
.‫ א‬.3
 0.62S .‫ א‬.5 .‫ ריבוע‬.‫ ג‬.4 .
3
45
11
18
27
.  0.5,0.25  .‫ ג‬y  0.5 x  0.5 .‫ ב‬ 0, 0 , 1,1 .‫ א‬.6
. AB  24 .‫ ג‬A  4, 7  .‫ ב‬y  3x  5 .‫ א‬.7
. S  ‫ יח"ש‬189
94
1
.‫ ב‬f ( x)  x3  4 x 2  12 x  5 .‫ א‬.8
3
:22 ‫בחינה‬
.₪ 500 –‫ ו‬₪ 400 .1
 200 , y  x  6 .‫ א‬.2
. SABCD  80 .‫ ד‬. dCF  72 , dAE  8 .‫ ג‬. E(5,11) , F(3,9) .‫ ב‬. dBD
15
.13 .‫ ג‬.BE = 10 .‫ ב‬.4 . .‫ ג‬P  0.0486 .‫ ב‬P  0.1 .‫ א‬.3
19
2
k
k2
. S  ‫ סמ"ר‬24 .‫ ב‬S 
.‫ א‬.5

2sin  45    sin  45    tan 2  cos 2 tan 2 
x4
:‫ סקיצה‬.‫ ד‬.  4, 0  .‫ ג‬. x  8 , x  0 :‫ יורדת‬, 8  x  0 :‫ עולה‬.‫ ב‬. f ( x)  2 , a  1 .‫ א‬.6
x
y
2
. S  ‫ סמ"ר‬128 .‫ ג‬. x  8 .‫ ב‬. 2 x  32 x  240 .‫ א‬.7
36  x 2
. S  ‫ סמ"ר‬8 .‫ ב‬f ( x) 
, a  36 .‫ א‬.8
x
x2
:23 ‫בחינה‬
. SAMB
.‫ ק"מ‬360 .‫ קמ"ש ב‬90 .‫ א‬.1
2
 ‫ יח"ש‬10 .‫ ד‬. B 13, 4  .‫ ג‬. y  0.5x  2.5 .‫ ב‬.  x  10   y 2  25 .‫ א‬.2
17
32
71
7
2
.‫ד‬
.‫ג‬
.‫ב‬
.ii
.i .‫ א‬.3
30
150
20
17
75
2R 2 cos3 
.   26.56 .‫ ג‬S 
.‫ ב‬S  R 2 sin 2 .‫ א‬.5
sin 
. S  ‫ יח"ש‬4 2 .‫ ד‬y  2 2 x  4 2 .‫ ג‬. f '( x)  0 :‫ היות ואין פתרון למשוואה‬,‫ לא‬.‫ ב‬ 2, 0 .‫ א‬.6
. SABCD  6S .‫ ב‬.4
. L  18 .‫ ג‬. x  6 :‫ הפתרון הוא‬. L 
.
x2  6 x
8x
:‫ מתקבלת הפונקציה‬.‫ ב‬DF 
.‫ א‬.7
x2
x2
1
. S  ‫ יח"ש‬27 .‫ ב‬. f ( x)   x2  3x  10 .‫ א‬.8
6
:24 ‫בחינה‬
. S  ‫ סמ"ר‬60 .‫ ג‬.‫ ס"מ‬6-‫ ס"מ ו‬8 .‫ ב‬.‫ ס"מ‬12-‫ ס"מ ו‬4.8 .1
. y  x  2 .‫ ג‬. Q  2, 0  .‫ ב‬. A  2,0  ; B  6,0  .‫ א‬.2
. SABD  ‫ יח"ש‬4 3 .i
SCDE  ‫ יח"ש‬16 3 .i .‫ ג‬.4
.0.1318 .‫ ג‬.0.8 .‫ ב‬.0.25 .‫ א‬.3
.‫ ס"מ‬10.1 .‫ ב‬.‫ ס"מ‬9.4 .‫ א‬.5
. x  0 ,  1  x  1 :‫ יורדת‬x  1 , x  1 :‫ עולה‬.‫ ג‬Max  1, 2.25 , Min 1, 0.25 .‫ ב‬x  0 .‫ א‬.6
.‫ סקיצה בצד‬.‫ ו‬. x  0 .‫ ה‬ 0.5,0  ,  2,0  .‫ד‬
y
. t  2.25 .‫ ב‬. l  t  6  3 t .‫ א‬.7
1
. S  ‫ יח"ש‬.‫ ב‬y   x  2 .‫ א‬.8
8
x
95
:25 ‫בחינה‬
.)₪ 480( ‫ שולחנות במחיר היקר‬6 ‫ בית העסק הראשון רכש‬.‫ ג‬.₪ 300 .‫ ב‬60 .‫ א‬.1
. t  8 ; BC  ‫ ס"מ‬10 .ii . AC  2t 2  14t  49 ; BC  2t 2  4t  4 .i .‫ ב‬. C  t , t  5 .‫ א‬.2
32 1
.‫ ד‬.‫ ג‬. P  0.4 .‫ ב‬30% .‫ א‬.3 . D  20, 5  .‫ג‬
81 3
.18 ‫ פי‬.‫ ג‬.6 ‫ פי‬.ii .‫ ב‬.4
 k  6k sin   k 25  24cos 2 .‫ ב‬AE  6k sin  .‫ א‬.5
.P 
.   14.47 .‫ג‬
PACE
. x  0 , x  2 :‫ יורדת‬. x  0 , x  2 :‫ עולה‬.‫ ג‬Max  0, 0  .‫ ב‬x  2 .‫ א‬.6
.‫ סקיצה בצד‬.‫ ו‬. x  2 , y  1.5 .‫ ה‬ 0, 0  .‫ד‬
.‫ ס"מ‬3 , ‫ ס"מ‬12 , ‫ ס"מ‬6 .7
. M  5,3 .‫ א‬.8
:26 ‫בחינה‬
 x  16   y  10
2
2
.22.4% .‫ ג‬.44% .‫ ב‬₪ 5760 .‫ א‬.1
2
2
 100 , R  10 .‫ ב‬. y -‫ המעגל אינו חותך את ציר ה‬,  x  16    y  R   R 2 .‫ א‬.2
.‫ יחידות שטח‬50 .ii . C 14, 24  .i .‫ה‬
y  43 x  5 13 .‫ד‬
y   34 x  34 12 .‫ג‬
14
55
.‫ ב‬.
.‫ א‬.3
55
84
. 81.86 , 51 , 47.14 .‫ ב‬DE  t 10 , EF  t 11.25 , DF t 18.25.‫ א‬.5
7
10
. S  ‫ יח"ש‬1377 .‫ ד‬. B 
.‫ ג‬. y  1.5x  150 .‫ ב‬. A  30 .ii x  0 .i .‫ א‬.6
3
9
. S  ‫ סמ"ר‬98 .‫ ב‬.‫ ס"מ‬22 ‫ ס"מ על‬11 .‫ א‬.7
. S  ‫ יח"ש‬46.5 .‫ ב‬. f ( x)  4 x  x2 , g ( x)   x2  x  12 .‫ א‬.8
.0.9324 .ii
96
0.7204 .i .‫ג‬
‫בחינה ‪:27‬‬
‫‪ .1‬א‪ .10:00 .‬ב‪ 200 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ .2‬א‪ . x  2 .‬ג‪D  0,10  .ii . y  0.5x  10 .i .‬‬
‫‪SDCE 1‬‬
‫ד‪ .ii . E  2, 4  .i .‬‬
‫‪SABC 2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪31‬‬
‫‪2‬‬
‫‪27‬‬
‫‪SABE‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ .3‬א‪.‬‬
‫ד‪ .4 . P  0.34414 .‬ג‪ 3 .‬סמ"ר‪ .5 .‬א‪ 64.04 .‬ב‪ 0.817 .‬‬
‫‪9‬‬
‫‪50‬‬
‫‪50‬‬
‫‪SECD‬‬
‫‪ .6‬א‪ . A  1 .‬ב‪ . x  2 .‬ג‪ .‬הנגזרת בנויה ממנה של מספר שלילי בחיובי ולכן תמיד שלילית‪:‬‬
‫‪ ( ) ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪y‬‬
‫ה‪ .‬סקיצה‪:‬‬
‫‪. y ' ‬ד‪.  0, 2.5 .‬‬
‫שלילי ‪   ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  2   () ‬‬
‫ו‪ .‬לא‪ .‬אין נקודות על גרף הפונקציה בעלות שיעור ‪ y‬זהה‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .7‬א‪ . h  63  4 x .‬ב‪ . p  14 x 2  252 x .‬ג‪. x  9 .‬‬
‫‪ .8‬א‪ .iii (4, 0) .ii x  0 .i .‬הנגזרת תמיד חיובית ב‪ (16,14) .‬ג‪ 88 .‬יח"ש‪.‬‬
‫בחינה ‪:28‬‬
‫‪ .1‬א‪ 240 .i .‬סמ"ר‪ . 4  20  L  .ii .‬ב‪. L  8 .‬‬
‫‪. C 14,5 .2‬‬
‫‪n  5 .3‬‬
‫‪ 50.625 .4‬סמ"ר ‪. S EFNM ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .5‬א‪ 5  k  3 .‬או ‪ . 1  k  3‬ב‪.  t  0.667 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .6‬א‪ .i .‬הטענה אינה נכונה‪ .‬תחומי ההגדרה הם‪. f ( x) : x  0 , x  1 ; g ( x) : x  1 :‬‬
‫‪ .ii‬הטענה נכונה‪ .‬ל‪ f ( x) -‬יש נקודת קיצון ‪  4, 4 ‬וב‪  0, 0  -‬ול‪ g ( x) -‬יש קיצון ‪.  2, 2 ‬‬
‫שתיהן נמצאות על הישר ‪. y  x‬‬
‫‪ .iii‬הטענה נכונה‪ .‬מתקבלים‪ x  0,1 :‬אשר שניהם נפסלים מחמת תחום ההגדרה של הפונקציות‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ . h( x) ‬ג‪ .‬לא‪ . h( x) : x  1 .‬ד‪. I  h( x) , II  f ( x) .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪. a  1 , b  3 .7‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .8‬א‪ . B  a  , a   .‬ב‪. 4.25 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪97‬‬
‫בחינה ‪:29‬‬
‫‪ .1‬א‪ 10 .‬ס"מ ‪ 8 ,‬ס"מ ו‪ 6-‬ס"מ‪ .‬ב‪.28% .‬‬
‫‪ .2‬א‪ .‬לא ניתן להצביע על אף תכונה של מרובע מוגדר כלשהו‪.‬‬
‫ב‪ .‬מלבן‪ .‬ניתן להראות כי יש למרובע שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות ושוות וזווית ישרה‪.‬‬
‫ג‪ .‬ריבוע‪ .‬ניתן להראות כי קיימות זוג צלעות סמוכות שוות‪.‬‬
‫ד‪ 90 .‬יח"ש ‪. S ‬‬
‫‪1‬‬
‫ד‪. P  0.2732 .‬‬
‫‪ .3‬א‪ 45% .‬ב‪ 20% .‬ג‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .4‬אורך צלע המשולש‪ ,  3  a :‬שטח המשולש‪.  3  a 2 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2k sin  sin ‬‬
‫‪k 2 sin  sin ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.ii‬‬
‫‪ .5‬ב‪.i .‬‬
‫‪sin    ‬‬
‫‪2sin    ‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ .6‬א‪.‬‬
‫‪x4‬‬
‫ב‪ .i .‬הטענה אינה נכונה‪ .‬תחומי ההגדרה הם‪. f ( x) : x  4 ; g ( x) : x  4 , x  2 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ f ( x ) ‬ו‪ 0 -‬‬
‫‪ .ii‬הטענה נכונה‪ .‬הנגזרות חיוביות‪ 0 :‬‬
‫‪. g ( x) ‬‬
‫‪2 x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  4 x4‬‬
‫‪ x  4‬‬
‫‪. g ( x) ‬‬
‫‪ .iii‬הטענה נכונה‪ .‬הנקודה היא‪.  2, 0  :‬‬
‫‪ .iv‬הטענה נכונה‪ .‬לפונקציות שתי אסימפטוטות משותפות‪ x  4 :‬ו‪. y  1-‬‬
‫ג‪ .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪; g ( x) : 0,‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪. f ( x) : 0, 12‬‬
‫ד‪ .‬אסף צודק שכן מכוח ההגדרה‪f ( x) :‬‬
‫‪ g ( x) ‬ניתן לראות כי עבור כל ערך של ‪ x0‬בחיתוך‬
‫תחום ההגדרה המשותף קיימות שתי נקודות‪ A  x0 , f ( x0 )  :‬ו‪( B  x0 , g ( x0 )  -‬אחת על כל גרף כמובן)‬
‫ושיעורי ה‪ y -‬שלהן מקיימים‪f ( x0 ) :‬‬
‫‪. g ( x0 ) ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 0.5 .7‬יח"ש ‪ .8 . S ‬א‪ . x  a , y  a .‬ב‪. x  y  a .‬‬
‫‪9‬‬
‫‪12‬‬
‫‪6‬‬
‫‪98‬‬
‫בחינה ‪:30‬‬
‫‪ .1‬א‪ .₪ 50 .‬ב‪.74.55% .‬‬
‫‪ .2‬א‪ . y  2 x  22 .‬ב‪ .i .‬תיכון ‪-‬קטע במשולש שחוצה אותו לשני משולשים שווי שטח הוא תיכון‬
‫‪. B(9, 4) , D(4, 4) .ii‬‬
‫ג‪. AD  5 , BC  10 .i .‬‬
‫‪ .ii‬משולש ישר זווית – אם במשולש יש תיכון לצלע ששווה למחציתה אז המשולש הוא ישר זווית‪.‬‬
‫‪459‬‬
‫‪16‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪ 0.05 .‬ד‪.‬‬
‫‪ .3‬א‪ 5 .‬נשים‪ .‬ב‪.‬‬
‫‪512‬‬
‫‪21‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ .4‬א‪ BC  t .‬ב‪ 14.4 .‬ס"מ = ‪.AB‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ .5‬ב‪ C  28.9 .‬ג‪. R  13.77 .‬‬
‫‪ .6‬א ‪ .i‬הטענה אינה נכונה‪ .‬תחומי ההגדרה‪:‬‬
‫‪f ( x) : - k  x  k ; g ( x) : - k  x  k ; h( x) : - k  x  k , x  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .ii‬הטענה אינה נכונה‪ .‬נקודות החיתוך הן‪. f  x  :  k ,0 ,  0,0  ; g  x  :  0,0  ; h  x  :  k ,0 :‬‬
‫‪ .iii‬הטענה נכונה‪ .‬עבור )‪ g ( x‬נקבל‪:‬‬
‫‪2 kx  x3‬‬
‫‪ k  x2 ‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪ g '( x) ‬ולכן‪ x  0 :‬נקודת מינימום‪.‬‬
‫(הנקודות ‪ x   2k‬נפסלות)‪ .‬עבור )‪ h( x‬נקבל‪:‬‬
‫‪x3  2 kx‬‬
‫‪ k  x2 ‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪ h '( x) ‬ולכן‪ x  0 :‬נקודת מקסימום‪.‬‬
‫(הנקודות ‪ x   2k‬נפסלות)‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .iv‬הטענה אינה נכונה‪ .‬לפונקציה יש ‪ 3‬נקודות קיצון‪k :‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪ . k  24 .‬ג‪ .  0,0  Min , 4,32 2 Max, ( 24,0) Min .‬ד‪. I  g ( x) , II  f ( x) , III  h( x) .‬‬
‫‪.x 0 , x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 5 .7‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .8‬א‪ . a  13 .‬ב‪  5, 0  .‬ג‪ .ii . S1  2 .i .‬לפי ‪ 1dx  0‬‬
‫‪  ‬נקבל כי‪S1  S2  0 :‬‬
‫‪2x 1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫ולכן‪. S2  S1  2 :‬‬
‫‪13‬‬
‫‪99‬‬
‫מתמטיקה ‪ 4‬יח"ל שאלון ‪ 805‬בחינות חזרה‬
‫‪1‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫בחינה מספר ‪4 ........................................................................................................................1‬‬
‫בחינה מספר ‪6 ........................................................................................................................2‬‬
‫בחינה מספר ‪8 ........................................................................................................................3‬‬
‫בחינה מספר ‪10 ......................................................................................................................4‬‬
‫בחינה מספר ‪12 ......................................................................................................................5‬‬
‫בחינה מספר ‪14 ......................................................................................................................6‬‬
‫בחינה מספר ‪16 ......................................................................................................................7‬‬
‫בחינה מספר ‪18 ......................................................................................................................8‬‬
‫בחינה מספר ‪20 ......................................................................................................................9‬‬
‫בחינה מספר ‪22 .................................................................................................................... 10‬‬
‫בחינה מספר ‪24 .................................................................................................................... 11‬‬
‫בחינה מספר ‪26 .................................................................................................................... 12‬‬
‫בחינה מספר ‪28 .................................................................................................................... 13‬‬
‫בחינה מספר ‪30 .................................................................................................................... 14‬‬
‫בחינה מספר ‪32 .................................................................................................................... 15‬‬
‫בחינה מספר ‪34 .................................................................................................................... 16‬‬
‫בחינה מספר ‪36 .................................................................................................................... 17‬‬
‫בחינה מספר ‪38 .................................................................................................................... 18‬‬
‫בחינה מספר ‪40 .................................................................................................................... 19‬‬
‫בחינה מספר ‪42 .................................................................................................................... 20‬‬
‫בחינה מספר ‪44 .................................................................................................................... 21‬‬
‫בחינה מספר ‪46 .................................................................................................................... 22‬‬
‫בחינה מספר ‪48 .................................................................................................................... 23‬‬
‫בחינה מספר ‪50 .................................................................................................................... 24‬‬
‫בחינה מספר ‪52 .................................................................................................................... 25‬‬
‫בחינה מספר ‪54 .................................................................................................................... 26‬‬
‫בחינה מספר ‪56 .................................................................................................................... 27‬‬
‫בחינה מספר ‪58 .................................................................................................................... 28‬‬
‫בחינה מספר ‪60 .................................................................................................................... 29‬‬
‫בחינה מספר ‪62 .................................................................................................................... 30‬‬
‫‪2‬‬
‫תשובות סופיות‪64 .................................................................................................................. :‬‬
‫בחינה ‪64 .......................................................................................................................... :1‬‬
‫בחינה ‪64 .......................................................................................................................... :2‬‬
‫בחינה ‪64 .......................................................................................................................... :3‬‬
‫בחינה ‪65 .......................................................................................................................... :4‬‬
‫בחינה ‪65 .......................................................................................................................... :5‬‬
‫בחינה ‪65 .......................................................................................................................... :6‬‬
‫בחינה ‪66 .......................................................................................................................... :7‬‬
‫בחינה ‪66 .......................................................................................................................... :8‬‬
‫בחינה ‪67 .......................................................................................................................... :9‬‬
‫בחינה ‪67 ........................................................................................................................ :10‬‬
‫בחינה ‪68 ........................................................................................................................ :11‬‬
‫בחינה ‪68 ........................................................................................................................ :12‬‬
‫בחינה ‪69 ........................................................................................................................ :13‬‬
‫בחינה ‪69 ........................................................................................................................ :14‬‬
‫בחינה ‪70 ........................................................................................................................ :15‬‬
‫בחינה ‪70 ........................................................................................................................ :16‬‬
‫בחינה ‪71 ........................................................................................................................ :17‬‬
‫בחינה ‪72 ........................................................................................................................ :18‬‬
‫בחינה ‪72 ........................................................................................................................ :19‬‬
‫בחינה ‪72 ........................................................................................................................ :20‬‬
‫בחינה ‪73 ........................................................................................................................ :21‬‬
‫בחינה ‪73 ........................................................................................................................ :22‬‬
‫בחינה ‪74 ........................................................................................................................ :23‬‬
‫בחינה ‪74 ........................................................................................................................ :24‬‬
‫בחינה ‪75 ........................................................................................................................ :25‬‬
‫בחינה ‪76 ........................................................................................................................ :26‬‬
‫בחינה ‪78 ........................................................................................................................ :27‬‬
‫בחינה ‪79 ........................................................................................................................ :28‬‬
‫בחינה ‪79 ........................................................................................................................ :29‬‬
‫בחינה ‪81 ........................................................................................................................ :30‬‬
‫‪3‬‬
‫בחינה מספר ‪1‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתונה סדרה המוגדרת באמצעות כלל הנסיגה הבא‪:‬‬
‫‪a  2an‬‬
‫‪.  n 1‬‬
‫‪a1  3‬‬
‫הוכח שהסדרה הנדסית ומצא מהו האיבר השמיני בה‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ .2‬הבסיס ‪ ABCD‬של פירמידה ישרה ומרובעת ‪ SABCD‬הוא מלבן (ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ 15 :‬ס"מ ‪ 20 , AD ‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫זווית הראש של הפאה הצדדית ‪ SAB‬היא בת ‪. 38‬‬
‫א‪ .‬חשב את הגובה של הפאה ‪. SAB‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫ב‪ .‬חשב את גובה הפירמידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את זווית הראש של הפאה ‪. SAD‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬ענה על שני החלקים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬נתונה הפונקציה ‪ . f  x   2 x ln 2 x‬חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫(‪ )1‬תחום הגדרה‬
‫(‪ )2‬נקודות קיצון‬
‫(‪ )4‬נקודות חיתוך עם הצירים‬
‫(‪ )5‬שרטוט‬
‫בנק א' נותן ריבית של ‪ 3%‬כל שנתיים בתוכנית חיסכון מסוימת‪.‬‬
‫בנק ב' נותן ריבית של ‪ 4.5%‬כל ‪ 3‬שנים בתוכנית חיסכון אחרת‪.‬‬
‫אדם מתכוון להפקיד סכום כסף מסוים לתקופה של ‪ 18‬שנה‪.‬‬
‫באיזה בנק כדאי לו להשקיע את כספו?‬
‫‪4‬‬
‫(‪ )3‬תחומי עלייה וירידה‬
‫‪ .4‬נתונות הפונקציות‪f  x   sin x , g  x   cos x :‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות לציר ה‪y -‬‬
‫ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪ .5‬נתונה הפונקציה‪. f  x   5  e x :‬‬
‫העבירו לפונקציה משיק ששיפועו ‪.  e‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה‪ ,‬המשיק וציר ה‪. x -‬‬
‫ניתן להשאיר ‪ e‬ו‪ ln -‬בתשובה‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪5‬‬
‫בחינה מספר ‪2‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬בסדרה הנדסית שבה ‪ 2n  1‬איברים‪ ,‬סכום ‪ n‬האיברים הראשונים קטן פי ‪ 9‬מסכום ‪n‬‬
‫האיברים הבאים אחריהם‪ .‬האיבר האחרון בסדרה גדול ב‪ 30-‬מהאיבר הראשון שבה‪.‬‬
‫מצא את האיבר הראשון בסדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬בסיסה של מנסרה ישרה ' ‪ ABCA ' B ' C‬הוא משולש ישר‪-‬זווית ושווה‪-‬שוקיים שבו‪:‬‬
‫‪BAC  90‬‬
‫‪ 4 ,‬ס"מ ‪ . AC  AB ‬נתון כי‪. CB ' A  25 :‬‬
‫הסבר מדוע ‪ CA‬מאונך ל ' ‪ , AB‬וחשב את נפח המנסרה‪.‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬ענה על שני החלקים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬נתונה נגזרת של פונקציה‪. f '  x   cos x  4sin 2 x :‬‬
‫‪ 1‬‬
‫מצא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה‪.  ,1  :‬‬
‫‪ 6 2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חומר רדיואקטיבי מתפרק בצורה מעריכית‪ .‬אם בתוך ‪ 4‬שעות הוא מאבד ‪ 20%‬ממשקלו‪,‬‬
‫תוך כמה זמן יאבד ‪ 60%‬ממשקלו?‬
‫‪1‬‬
‫‪ .4‬נתונה נגזרת שנייה של פונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪. f ''  x   6 x ‬‬
‫מצא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה ‪ 1, 2 ‬וששיפועה בנקודה זו הוא ‪.3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .5‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪3x  1‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציות הנמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים אנך לציר ה‪ x  a - x -‬הנמצאת מימין לנקודת החיתוך שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪ f ( x) ‬והישר‪. y  x :‬‬
‫האנך החותך את הגרפים ויוצר את השטחים ‪ S1‬ו‪ S 2 -‬המתוארים האיור‪.‬‬
‫‪1 2‬‬
‫ג‪ .‬מצא את הערך של ‪ a‬עבורו השטח ‪ S 2‬יהיה שווה ל‪.  ln 7 -‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪S‬‬
‫ד‪ .‬עבור ערך ה‪ a -‬שמצאת בסעיף הקודם חשב את יחס השטחים‪. 1 :‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪xa‬‬
‫‪x‬‬
‫‪S2‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪7‬‬
‫בחינה מספר ‪3‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ 1 14‬מסכום‬
‫‪ .1‬בסדרה חשבונית‪ ,‬שבה מספר אי ‪-‬זוגי של איברים‪ ,‬גדול סכום כל איברי הסדרה פי ‪15‬‬
‫איברי הסדרה הנמצאים במקומות האי‪-‬זוגיים‪.‬‬
‫כמה איברים יש בסדרה?‬
‫‪ .2‬נתונה תיבה ' ‪ ABCDA ' B ' C ' D‬שבסיסה מלבן ‪. ABCD‬‬
‫נתון‪ , ABD  60 :‬האלכסון ‪ , D ' B  d‬הזווית בין האלכסון ‪ D ' B‬לבסיס התיבה היא ‪. 30‬‬
‫בטא באמצעות ‪ d‬את נפח התיבה‪.‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬נתונה הפונקציה ‪ . f  x   e2 x  8e x  6 x  10‬חקור את הפונקציה על פי הסעיפים‬
‫הבאים‪:‬‬
‫ג‪ .‬תחומי עלייה וירידה‬
‫ב‪ .‬נקודות קיצון‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‬
‫ד‪ .‬נקודות חיתוך עם ציר ה‪y -‬‬
‫ה‪ .‬שרטוט‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה הבאה‪. f ( x)  e2 x  ae x  b :‬‬
‫גוזרים את הפונקציה פעמיים וידוע כי כאשר ‪ x  ln 23‬הנגזרות מקיימות‪. f '( x)  f ''( x)  12 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את ‪. a‬‬
‫משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה מסוימת היא‪. y  22 x  28  22ln 2 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של נקודת ההשקה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪. b‬‬
‫ד‪ .‬האם הפונקציה חותכת את ציר ה‪ ? x -‬אם כן מצא את הנקודות‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ .5‬בשעה ‪ 08:00‬נלקחו שני חומרים רדיואקטיביים‪.‬‬
‫מחומר א' נלקחו ‪ 150‬גרם וזמן מחצית החיים שלו הוא ‪ 10‬שעות‪.‬‬
‫מחומר ב' נלקחו ‪ 117.4‬גרם וזמן מחצית החיים שלו הוא ‪ 18‬שעות‪.‬‬
‫באיזו שעה משקל החומרים יהיה זהה?‬
‫בהצלחה!‬
‫‪9‬‬
‫בחינה מספר ‪4‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬סדרה מוגדרת ע"י הכלל‪. a1  3 , an1  3an  10n  5 :‬‬
‫מגדירים סדרה חדשה המקיימת לכל ‪ n‬טבעי‪. bn  an  5n :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הסדרה ‪ bn‬היא סדרה הנדסית‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את האיבר ‪. b5‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הסכום‪. b2  b4  b6  .....  b12 :‬‬
‫‪ .2‬נתונה קובייה ' ‪ ABCDA ' B ' C ' D‬שאורך המקצוע שלה הוא ‪. a‬‬
‫הנקודות ‪ , Q , P‬ו‪ R -‬נמצאות על המקצועות ' ‪A ' D ' , AA‬‬
‫'‪C‬‬
‫‪2‬‬
‫ו‪ A ' B ' -‬בהתאמה (ראה ציור) כך ש‪. A ' P  A ' R  A ' Q   a -‬‬
‫‪3‬‬
‫בטא באמצעות ‪ a‬את נפח הגוף שיתקבל לאחר שיחתכו מהקובייה‬
‫את הפירמידה ‪. A ' PQR‬‬
‫'‪D‬‬
‫‪Q‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪R‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪f  x   8x  p  2 x  q‬‬
‫לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה ‪ .  log 2 3, 19 ‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ p‬ו‪. q -‬‬
‫‪10‬‬
‫'‪A‬‬
‫‪P‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‬
‫‪ln x  1‬‬
‫‪ . f  x  ‬חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‬
‫ב‪ .‬נקודות קיצון‬
‫ד‪ .‬נקודות חיתוך עם הצירים‬
‫ה‪ .‬שרטוט‬
‫ג‪ .‬תחומי עלייה וירידה‬
‫ו‪ .‬לאלו ערכי ‪ k‬הישר ‪ y  k‬חותך את הפונקציה בשתי נקודות?‬
‫‪ .5‬אוכלוסיית הדובים בקוטב הצפוני מכפילה את עצמה כל ‪ 18‬שנה‪.‬‬
‫אם היום יש בקוטב הצפוני ‪ 6,000‬דובים‪ ,‬בעוד כמה שנים יהיו ‪ 8,000‬דובים?‬
‫בהצלחה!‬
‫‪11‬‬
‫בחינה מספר ‪5‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪an 1  an  3‬‬
‫‪ .1‬נתונה סדרה המוגדרת באמצעות כלל הנסיגה הבא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪a1  5‬‬
‫הוכח שהסדרה חשבונית ומצא מהו האיבר התשעה‪-‬עשר שלה‪.‬‬
‫‪ .2‬נתונה פירמידה ישרה ‪ . SABCD‬בסיס הפירמידה הוא ריבוע‪ ,‬שאורך צלעו ‪ 8‬ס"מ‪ .‬הזווית בין‬
‫מקצוע הפירמידה לבסיס היא ‪ . 52‬מצא את הגובה לצלע הבסיס בפאה הצדדית של הפירמידה‪.‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬ענה על שני החלקים של השאלה‪:‬‬
‫א‪ .‬אדם מפקיד ‪ k‬שקלים בתוכנית חיסכון לפי ריבית שנתית של ‪ .p%‬לאחר ‪ 5‬שנים הוא‬
‫מושך מהחיסכון ‪ k‬שקלים ולאחר ‪ 5‬שנים נוספות מתברר כי הצטבר בפיקדון שלו סך‬
‫הכול ‪ .₪ 2.5k‬מצא את ‪.p‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  ln x  :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .i )1‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫‪ .ii‬יש לגרף הפונקציה אסימפטוטה מקבילה לציר ‪ ? y‬אם כן מצא אותה‪.‬‬
‫‪ )2‬מצא את נקודת הקיצון של גרף הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫‪ )3‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫*הערה‪ :‬אין קשר בין סעיפים א' ו‪-‬ב'‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫‪2ln x  1‬‬
‫‪ .4‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ .5‬נתונה הפונקציה‪. f  x   x  2sin x :‬‬
‫בתחום שבין ראשית הצירים לנקודת המקסימום הראשונה מימינה‬
‫העבירו לפונקציה משיק ששיפועו ‪.1‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה‪ ,‬המשיק‬
‫וציר ה‪ x -‬ברביעים הראשון והשני‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪13‬‬
‫בחינה מספר ‪6‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬בסדרה חשבונית ידוע כי סכום האיברים העומדים במקומות ה‪ , 5-‬ה‪ 7-‬וה‪ 16 -‬הוא אפס‪.‬‬
‫כמו כן ידוע כי סכום שלושת האיברים הראשונים הוא ‪.132‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את האיבר הראשון בסדרה ואת הפרש הסדרה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את האיבר השלילי הראשון בסדרה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא כמה איברים יש לחבר (החל מהאיבר הראשון) כדי לקבל סכום ‪.210‬‬
‫‪ .2‬בתיבה ריבועית '‪ ABCDA'B'C'D‬מעבירים את האלכסונים '‪ B'D‬ו‪.A'C'-‬‬
‫האלכסונים נפגשים בנקודה ‪ O‬כך שנוצר המשולש ‪.BOD‬‬
‫נתון כי‪BOD  23 :‬‬
‫וכי אורך מקצוע הבסיס של התיבה הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫חשב את היקף המשולש ‪.BOD‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חשב את הזווית שנוצרת בין הצלע ‪ OD‬של המשולש ‪BOD‬‬
‫ומישור הפאה ‪.AA'D'D‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬כמות עצים ביער גדלה בצורה מעריכית לפי אחוז ריבוי של ‪ 15%‬לשנה‪.‬‬
‫בשנת ‪ 1990‬נספרו כמות עצים מסוימת ביער‪.‬‬
‫בשנת ‪ 2000‬כרתו ‪ 30,000‬עצים ולאחר ‪ 5‬שנים נוספות‪ ,‬בשנת ‪ ,2005‬נספרו ביער ‪ 753365‬עצים‪.‬‬
‫מצא כמה עצים היו ביער בשנת ‪.1990‬‬
‫‪14‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  ln x :‬‬
‫א‪.‬‬
‫מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪.‬‬
‫הוכח כי גרף הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתו‪.‬‬
‫מגדירים פונקציה נוספת‪. g ( x)  ln x :‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של שני הגרפים‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬והנקודה ‪ B‬נמצאת על גרף הפונקציה‬
‫)‪ . g ( x‬ידוע כי לנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬אותו שיעור ‪.  xA  xB  , x‬‬
‫מצא את שיעור ה‪ x -‬של שתי הנקודות אם ידוע כי המשיקים לגרפים של הפונקציות‬
‫בנקודות אלו מקבילים‪.‬‬
‫‪ .5‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪ f  x   e2x :‬ו‪. g  x   e2x -‬‬
‫מעבירים אנך לציר ה‪ x -‬את הישר ‪  a  0  x  a‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫אנך זה יוצר את השטחים ‪ S1‬ו‪. S 2 -‬‬
‫‪S1‬‬
‫ידוע כי השטח ‪ S1‬גדול פי ‪ 3‬מהשטח ‪ . S 2‬מצא את ‪. a‬‬
‫‪xa‬‬
‫‪x‬‬
‫‪S2‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪15‬‬
‫בחינה מספר ‪7‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫א‪ .‬הראה כי בסדרה הנדסית שבה ‪ 2n‬איברים היחס בין סכום האיברים העומדים‬
‫במקומות האי‪-‬זוגיים לבין סכום כל איברי הסדרה תלוי במנת בסדרה‪.‬‬
‫בסדרה הנדסית שבה מספר זוגי של איברים ידוע כי סכום כי האיברים העומדים במקומות‬
‫האי‪-‬זוגיים קטן פי ‪ 4‬מסכום כל איברי הסדרה‪ .‬האיבר הראשון בסדרה זו קטן ב‪ 2-‬ממנת‬
‫הסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב נוסחה לאיבר כללי של סדרה זו‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא שני איברים סמוכים בסדרה שסכומם הוא ‪.324‬‬
‫‪ .2‬במנסרה משולשת וישרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה משולש שווה צלעות מעבירים את‬
‫האלכסונים '‪ AB‬ו‪ AC'-‬כך שנוצר המשולש '‪.AB'C‬‬
‫הזווית שבין האנך לצלע ‪ BC‬במשולש ‪ ABC‬והאנך לצלע '‪B'C‬‬
‫במשולש '‪ AB'C‬היא ‪ . 40‬אורך גובה המנסרה הוא ‪ 14‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫חשב את שטח המשולש '‪.A'B'C‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חשב את נפח המנסרה‪.‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪e3 x‬‬
‫‪ .3‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪12 x 2  1‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪ f ( x)  a sin 2 x  5sin x  ax :‬בתחום‪. 0  x   :‬‬
‫ידוע כי הישר‪ y  ax  2 :‬חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪.x‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא נקודה על גרף הפונקציה בתחום הנתון שבה שיפוע המשיק הוא‪. m  2 :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫האם קיימות נקודות נוספות בתחום הנתון ששיפוע המשיק דרכן הוא ‪? 2‬‬
‫נמק את תשובתך‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫כתוב את משוואת המשיק העובר דרך הנקודה שמצאת‪.‬‬
‫‪a 1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ f ( x) ‬ו ‪-‬‬
‫‪ .5‬באיור שלפניך נתונות הפונקציות‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ g ( x) ‬בתחום‪. x  0 :‬‬
‫ידוע כי הגרפים של הפונקציות נחתכים בנקודה שבה ‪. x  3‬‬
‫(שימו לב – נקודת החיתוך אינה מופיעה באיור הסמוך)‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את ‪ a‬וכתוב את שתי הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חשב את השטח המוגבל ע"י הגרפים של‬
‫שתי הפונקציות‪ ,‬ציר ה‪ y -‬והישר ‪. x  e‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪17‬‬
‫בחינה מספר ‪8‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬ההפרש של סדרה חשבונית שווה למנה של סדרה הנדסית עולה‪.‬‬
‫האיבר הראשון בסדרה ההנדסית הוא ‪ 6‬וידוע כי סכום ‪ 2‬האיברים הראשונים בסדרה‬
‫החשבונית שווה לסכום שני האיברים הראשונים בסדרה ההנדסית‪ .‬האיבר השלישי בסדרה‬
‫ההנדסית גדול פי ‪ 2‬מהאיבר השלישי בסדרה החשבונית‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את שלושת האיברים של הסדרה החשבונית‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא כמה איברים יש לחבר בסדרה החשבונית החל מהאיבר הראשון כדי לקבל את‬
‫הסכום‪.60 :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את מיקומו הסידורי של איבר בסדרה ההנדסית הגדול פי ‪ 12‬מהאיבר האחרון‬
‫שחּובר בסכום הסדרה החשבונית שחישבת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪ .2‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה ריבוע בעל אורך צלע ‪. a‬‬
‫אורך מקצועות הפירמידה הוא ‪ . 3a‬מעבירים את האלכסון ‪ AC‬ועליו מסמנים‬
‫‪ CE 1 ‬‬
‫את הנקודה ‪ E‬המחלקת אותו ביחס של‪  1:3 :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ AE 3 ‬‬
‫מהקדקוד ‪ S‬מעבירים את הקטע ‪.SE‬‬
‫א‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ a‬את גובה הפירמידה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חשב את הזווית הנוצרת בין הקטע ‪ SE‬וגובה הפירמידה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את ‪ a‬אם ידוע כי שטח המעטפת של הפירמידה‬
‫הוא‪560 :‬‬
‫סמ"ר‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ f ( x) ‬ו‪-‬‬
‫‪ .3‬נתונה שתי הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ln x‬‬
‫א‪ .‬קבע אילו מהמשפטים הבאים נכונים ואלו שגויים‪ .‬נמק זאת ע"י חישוב מתאים ותקן‬
‫במשפטים השגויים את הטעות‪.‬‬
‫(‪ )1‬לשתי הפונקציות אותו תחום הגדרה‪.‬‬
‫(‪ )2‬לשתי הפונקציות יש נקודת קיצון מאותו סוג ובעלות שיעור ‪ x‬זהה‪.‬‬
‫(‪ )3‬לשתי הפונקציות תחומי עלייה וירידה זהים‪.‬‬
‫(‪ )4‬לשתי הפונקציות יש אסימפטוטות אנכיות‪.‬‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי שתי נקודות‪ ,‬אחת על כל גרף‪ ,‬כך ששיעור ה‪ x -‬שלהן זהה‪.‬‬
‫הוכח כי מכפלת שיעורי ה‪ y -‬של כל זוג נקודות כאלו שווה ל‪.1-‬‬
‫‪. g ( x) ‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪ f  x   4sin 2 x  2 :‬בתחום ‪0  x  ‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים בתחום הנתון‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה בתחום הנתון וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מעבירים את הישר ‪ . y  k‬היעזר בסקיצה ומצא לאילו ערכי ‪ k‬הישר יחתוך את גרף‬
‫הפונקציה בשתי נקודות בדיוק‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫העבירו ישר המשיק לפונקציה בנקודת המקסימום המוחלט שלה‪ .‬כמו כן העבירו‬
‫מנקודה זו אנך לציר ‪. x‬‬
‫מצא את שטח המלבן הנוצר על ידי הצירים‪ ,‬המשיק והאנך‪.‬‬
‫‪ .5‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  e2 x1  2ex  2 :‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫הנקודה ‪ A‬היא נקודת המינימום של הפונקציה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬
‫מחברים את הנקודה ‪ A‬עם ראשית הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת הישר המחבר את הנקודה ‪ A‬עם הראשית‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬הישר וציר ה‪ x -‬אם ידוע כי גרף הפונקציה‬
‫חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה ‪. x  1.7‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪19‬‬
‫בחינה מספר ‪9‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬לפניך שלושה איברים סמוכים בסדרה חשבונית‪. 2 x  23 , x 16 , x  5 :‬‬
‫א‪ (i) .‬מצא את ‪. x‬‬
‫)‪ (ii‬מצא את הפרש הסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי‪ . a12  0 :‬מצא את ‪. a1‬‬
‫ג‪ .‬האיבר האחרון בסדרה הוא‪. an  308 :‬‬
‫מצא את סכום כל האיברים החיוביים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים‪.‬‬
‫‪ .2‬נתונה תיבה '‪.ABCDA'B'C'D‬‬
‫מעבירים את האלכסונים ‪ BD‬ו‪ BD'-‬כך שמתקיים‪. DBD'  ABD   :‬‬
‫אורך האלכסון ‪ BD‬יסומן ב‪. a -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬ו‪  -‬את‪:‬‬
‫(‪ )1‬אורך התיבה – ‪.AB‬‬
‫(‪ )2‬רוחב התיבה – ‪.AD‬‬
‫(‪ )3‬גובה התיבה – '‪.AA‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ ‬אם ידוע כי נפח התיבה הוא ‪. 0.64a3‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬ערכה של דירה יורד מדי שנה באחוז קבוע של ‪.6%‬‬
‫ידוע כי ערך הדירה לאחר ‪ 10‬שנים מיום מכירתה נמוך ב‪ ₪ 35,000-‬ממחירה המקורי‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את המחיר ההתחלתי של הדירה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא לאחר כמה שנים ערך הדירה ירד מתחת ל‪.₪ 30,000-‬‬
‫‪20‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪sin mx :‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ m) , 1  m  3 , y  cos x ‬פרמטר)‪.‬‬
‫הנגזרת של הפונקציה מתאפסת כאשר‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את ‪. m‬‬
‫ב‪.‬‬
‫האם הנקודה שבה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.x‬‬
‫‪ x  ‬היא נקודת קיצון? אם כן קבע את סוגה‪.‬‬
‫אם לא נמק מדוע‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא כמה נקודות קיצון מקומיות יש לגרף הפונקציה בתחום‪. 0  x  2 :‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪ x -‬בתחום הנתון‪.‬‬
‫‪ .5‬נתונה הפונקציה‪ a ) , f  x   4 5x  6  ax :‬פרמטר) ‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫ידוע כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה ‪. x  2‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את הפרמטר ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את נקודת קיצון הקצה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ה‪.‬‬
‫באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה ‪ f  x ‬והמשיק שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f  x‬‬
‫מורידים אנך מהמשיק אל נקודת קיצון הקצה של הפונקציה שמצאת בסעיף ג'‪.‬‬
‫חשב את השטח הנוצר בין גרף הפונקציה ‪ f  x ‬והמשיק‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪21‬‬
‫בחינה מספר ‪10‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬באחת ממדינות המזרח היה מלך שאהב משחקי חשיבה‪ .‬לכבוד יום הולדתו הכין לו השר‬
‫הבכיר שבממלכתו משחק מיוחד המכיל ‪ 25‬משבצות ו‪ 2-‬חיילי משחק‪ .‬המלך‪ ,‬מרוב התלהבות‬
‫ושמחה לא ידע כיצד לגמול לשר החכם ושאל אותו מה ירצה בתמורה‪.‬‬
‫השר סרב לקבל דבר על מתנתו עד שלבסוף החליט המלך לתת לשר מחצית מכל אוצרות‬
‫הממלכה המונים כ‪ 40-‬מיליון אבנים יקרות‪ .‬לאחר ששמע על כך השר‪ ,‬הוא החליט לאתגר את‬
‫המלך והעלה את ההצעה הבאה‪ :‬תן לי אבן יקרה אחת והכפל אותה בכל משבצת שבמשבצות‬
‫המשחק באופן הבא‪ :‬כנגד המשבצת הראשונה ‪ -‬אבן אחת‪ ,‬כנגד השנייה ‪ -‬שתי אבנים‪ ,‬כנגד‬
‫השלישית ‪ -‬ארבע אבנים וכן הלאה‪ ...‬המלך הסכים להצעה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫כמה אבנים המלך ייתן לשר כנגד המשבצת האחרונה במשחק?‬
‫ב‪.‬‬
‫העזר בכמות האבנים שברשותו של השר וקבע האם הצעתו שוות‪-‬ערך יותר מהחלטת‬
‫המלך לתת לו מחצית מאוצרות הממלכה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫סמוך לפני שנתן המלך את האבנים לשר‪ ,‬הציעה בתו של המלך הצעה נוספת והיא‪:‬‬
‫תן עבור כל משבצת זוגית ‪ 2n‬אבנים‪ ,‬כאשר ‪ n‬הוא מספר המשבצת‪ .‬האם כדאי למלך‬
‫לקבל את הצעת בתו או להישאר עם ההצעה המקורית של השר?‬
‫‪ .2‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABC‬שבסיסה הוא משולש שווה צלעות‪.‬‬
‫מעבירים את הגובה ‪ SD‬בפאה הצדדית ‪ ASB‬וכן את הגובה ‪ CD‬בבסיס ‪.ABC‬‬
‫זווית הבסיס של פאה צדדית היא ‪ 50‬ושטח המעטפת הוא‪ 89.38 :‬סמ"ר‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את אורך מקצוע הבסיס של המנסרה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את גובה המנסרה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חשב את הזווית שבין הקטע ‪ SD‬ומישור בסיס הפירמידה ‪.ABC‬‬
‫ד‪.‬‬
‫חשב את הזווית שבין המקצוע ‪ SC‬ובסיס הפירמידה‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬נתונה הפונקציה‪ f ( x)  tan 2 x  8sin 2 x :‬בתחום‪. 0.25  x  0.25 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים בתחום הנתון‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫כתוב את האסימפטוטות האנכיות של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון של גרף הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪. f  x   3 x  6 x  6 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הוכח כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מגדירים פונקציה נוספת‪ . g  x    f  x  :‬קבע לגבי כל טענה האם היא נכונה‬
‫או שגויה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪ .i‬לשתי הפונקציות אותו תחום הגדרה‪.‬‬
‫‪ .ii‬שתי הפונקציות חותכות את הצירים באותן הנקודות‪.‬‬
‫‪ .iii‬שתי הפונקציות עולות בכל תחום הגדרתן‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪b‬‬
‫נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫ידוע כי משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה‬
‫‪. f ( x)  7  ax ‬‬
‫עם ציר ה‪ x -‬היא‪. y  18x  9 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את ‪ a‬ו‪ b -‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫מעבירים ישר המקביל לציר ה‪ y -‬שחותך את גרף הפונקציה בנקודה ‪ A‬ואת משוואת המשיק‬
‫בנקודה ‪ B‬כמתואר באיור‪ .‬אורך הקטע ‪ AB‬הוא ‪.18‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את משוואת הישר הנ"ל אם ידוע כי הנקודה ‪ A‬נמצאת מימין לנקודת החיתוך של‬
‫גרף הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪ ,‬המשיק והישר‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪23‬‬
‫בחינה מספר ‪11‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬בסדרה הנדסית אינסופית יורדת ‪ an‬ידוע כי סכום האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים‬
‫‪2‬‬
‫גדול פי‬
‫‪3‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪ 1‬מסכום האיברים העומדים במקומות הזוגיים‪.‬‬
‫מצא את מנת הסדרה‪.‬‬
‫מחברים כל שני איברים בסדרה הנתונה ויוצרים סדרה חדשה ‪. bn‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי הסדרה ‪ bn‬גם היא הנדסית יורדת ומצא את מנתה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הראה כי סכום הסדרה ‪ bn‬שווה לסכום הסדרה ‪. an‬‬
‫ד‪.‬‬
‫סכום שתי הסדרות יחד הוא ‪ .1000‬מצא את האיבר הראשון בסדרה ‪. an‬‬
‫‪ .2‬בתיבה '‪ ABCDA'B'C'D‬שבסיסה ריבוע מעבירים את האלכסונים '‪ AC‬ו‪.B'D-‬‬
‫האלכסונים נחתכים בנקודה ‪ O‬שבתוך התיבה‪.‬‬
‫מהנקודה ‪ O‬מעבירים את הקטע ‪ OE‬כך ש‪ E-‬היא אמצע המקצוע ‪.AD‬‬
‫ידוע כי אורך מקצוע הבסיס של התיבה הוא ‪ 8‬ס"מ‬
‫ואורך אלכסון התיבה הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את אורך גובה התיבה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את אורך הקטע ‪.OE‬‬
‫‪24‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬שני בנקים מציעים שתי תכניות חיסכון כלהלן‪:‬‬
‫בנק א' מציע תכנית חיסכון ל‪ 8-‬שנים שבסופה סכום הקרן יגדל ב‪.80%-‬‬
‫בנק ב' מציע תכנית חיסכון ל‪ 6-‬שנים שבסופה סכום הקרן יגדל ב‪.60%-‬‬
‫א‪.‬‬
‫באיזה בנק אחוז הריבית השנתית גבוה יותר?‬
‫ב‪.‬‬
‫דני משקיע סכום כסף ‪ k‬לפי תכנית חיסכון של בנק א' ובתום התוכנית הוא מעביר‬
‫את הסכום שעומד לרשותו לתכנית החיסכון של בנק ב'‪ .‬רפי משקיע סכום כסף זהה ‪k‬‬
‫לפי תכנית חיסכון של בנק ב' ובתום התכנית הוא מעביר את הסכום שעומד לרשותו‬
‫לתכנית החיסכון של בנק א'‪.‬‬
‫למי יהיה סכום גדול יותר בתום שתי התכניות? נמק את תשובתך והראה חישוב‬
‫מתאים‪.‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪ k , f  x   x3  k 3 x  8 :‬פרמטר‪.‬‬
‫ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה ‪. x  2.741‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את ערך הפרמטר ‪ , k‬עגל למספר שלם‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הראה כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת גם היא על ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫העזר בסקיצה וקבע כמה פתרונות יהיו למשוואה הבאה‪. x3  9 3 x  8 :‬‬
‫‪e x  eax‬‬
‫‪ .5‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ e3  1 ‬‬
‫‪. 1 ,‬‬
‫ידוע כי הפונקציה עוברת דרך הנקודה‪ :‬‬
‫‪4e2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה )‪ f ( x‬והישר‪. y  0.1x :‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪ ,‬הישר‪ ,‬ציר ‪ y‬והאנך‪. x  2 :‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪25‬‬
‫בחינה מספר ‪12‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬סדרה מקיימת את כלל הנסיגה‪. a1  1 , an1  3n  an  7 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫חשב את ‪ 5‬האיברים הראשונים וקבע האם הסדרה היא חשבונית‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הוכח כי לכל ‪ n‬טבעי מתקיים‪. an 2  an  3 :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫כתוב נוסחה לסכום ‪ n‬האיברים הראשונים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים בסדרה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫חשב את הסכום הבא‪. a1  a3  a5  .......  a17 :‬‬
‫‪ .2‬במנסרה משולשת וישרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה משולש שווה צלעות מעבירים בבסיס‬
‫העליון '‪ A'B'C‬את התיכונים ‪ B'E , A'D‬ו‪ C'F-‬אשר נחתכים בנקודה ‪.M‬‬
‫מהנקודה ‪ M‬מעבירים את הקטעים ‪ MC‬ו‪ MB-‬כך שנוצר המשולש ‪.MCB‬‬
‫גובה המנסרה שווה באורכו למקצוע בסיס המנסרה‪.‬‬
‫חשב את הזווית שבין האנך לצלע ‪ BC‬במשולש ‪ MCB‬למישור הבסיס ‪.ABC‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬שתי מכוניות המוצעות למכירה עולות‪ :‬מכונית א' ‪ ₪ 60,000 -‬ומכונית ב'‪.₪ 85,000-‬‬
‫ידוע כי ערך מכונית ב' יורד ב‪ 4%-‬בכל שנה וערך מכונית א' יורד ב‪ 2.5%-‬בכל שנה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא בעוד כמה שנים יהיו המחירים של שתי המכוניות זהים‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫סיגל רוצה לקנות מכונית ולרשותה עומד סכום של ‪.₪ 40,000‬‬
‫איזו מכונית תוכל לקנות סיגל קודם ולאחר כמה שנים מיום הצעתן?‬
‫‪26‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ .4‬שיפוע המשיק לגרף הפונקציה‪ f ( x)  3 x2  6 x  k :‬בנקודה שבה‪ x  1 :‬הוא‪:‬‬
‫‪10‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את ערך הפרמטר ‪ k‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫הוכח על סמך הסקיצה את אי‪-‬השוויון הבא‪ e2 :‬‬
‫‪sin 2 x  1‬‬
‫‪ .5‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3 x 2  6 x 1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. 0‬‬
‫‪ f ( x) ‬בתחום‪. 0.25  x  1.75 :‬‬
‫מעבירים משיק ‪ AB‬דרך נקודת המקסימום של הפונקציה ומעלים אנך לציר ה‪x -‬‬
‫מנקודת החיתוך הראשונה של גרף הפונקציה עם ציר ה‪ x -‬בתחום הנתון המסומנת ב‪ C -‬כך‬
‫שנוצר המלבן ‪.ABCO‬‬
‫השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה‪ x -‬יסומן ב‪( S1 -‬המקווקו)‪.‬‬
‫השטח הכלוא בין צלעות המלבן‪ ,‬גרף הפונקציה וציר ה‪ y -‬יסומן ב‪. S 2 -‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את משוואת הצלע ‪ AB‬של המלבן‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪S1‬‬
‫חשב את היחס‪:‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪27‬‬
‫בחינה מספר ‪13‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬בסדרה חשבונית ‪ a1 , a2 , a3 ..an‬ידוע כי סכום ארבעת האיברים הראשונים וסכום‬
‫האיברים ה‪ 6-‬עד ה‪ 9-‬הם מספרים נגדיים‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫הוכח‪. a5  0 :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫נתון‪ . a3  a11  24 :‬מצא את‪ a1 :‬ואת ‪. d‬‬
‫מגדירים סדרה חשבונית חדשה ‪ bn‬המקיימת‪. bn  2an  3 :‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ערך האיבר השלילי הראשון בסדרה ואת מיקומו הסידורי‪.‬‬
‫‪ .2‬נתונות שתי פירמידות ריבועיות ישרות‪ SABCD :‬ו‪.S'A'B'C'D'-‬‬
‫אורך מקצוע הבסיס בפירמידה הראשונה הוא ‪ a‬וגובהה הוא ‪. 2a‬‬
‫אורך מקצוע הבסיס בפירמידה השנייה הוא ‪ 2a‬וגובהה הוא ‪. a‬‬
‫א‪.‬‬
‫קבע לאיזו פירמידה יש נפח גדול יותר‪.‬‬
‫כעת משנים את הגובה של כל פירמידה כך שנפחן יהיה זהה והוא‪. a 3 :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את יחס בין המקצוע הצדדי של הפירמידה ‪SABCD‬‬
‫ובין המקצוע הצדדי של הפירמידה '‪.S'A'B'C'D‬‬
‫ג‪.‬‬
‫דנה טוענת כי היות ונפח שתי הפירמידות זהה אזי גם שטח‬
‫הפנים שלהן זהה‪ .‬האם דנה צודקת?‬
‫הוכח את טענתך באמצעות חישוב מתאים‪.‬‬
‫‪28‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬נתונה הפונקציה הבאה‪. f ( x)  e2 x  ae x  b :‬‬
‫גוזרים את הפונקציה פעמיים וידוע כי כאשר ‪ x  ln 23‬הנגזרות מקיימות‪. f '( x)  f ''( x)  8 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את ‪. a‬‬
‫משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה מסוימת היא‪. y  16 x  7  16ln 2 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של נקודת ההשקה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את ‪. b‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  ln  x 2  6 x  7  :‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מהן האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לציר ה‪? y -‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫לפניך ‪ 4‬גרפים‪ , III , II , I :‬ו‪ .IV-‬איזה מהגרפים מתאים לפונקציה הנתונה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪ .5‬באיור שלפניך נתונים הגרפים של הפונקציות‪. f ( x)  3 x , g ( x)  2  6 x :‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים וציר ה‪. y -‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪29‬‬
‫בחינה מספר ‪14‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬המספרים‪ x  13 , x  9 , 2x  3 :‬הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה הנדסית עולה‬
‫שכל איבריה חיוביים‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את ‪. x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫)‪ (i‬כתוב את נוסחת האיבר הכללי בסדרה זו‪.‬‬
‫)‪ (ii‬מצא שני איברים סמוכים בסדרה שסכומם הוא ‪.18750‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ידוע כי האיבר האחרון בסדרה הוא ‪ . an  511‬מצא את סכום ‪ 7‬האיברים האחרונים‬
‫בסדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬בתיבה '‪ ABCDA'B'C'D‬שבסיסה מלבן מעבירים את האלכסון '‪ B'D‬בבסיס העליון‪.‬‬
‫מאמצע האלכסון ‪ M‬מעבירים את הקטעים ‪ DM‬ו‪ BM-‬כך שנוצר המשולש ישר‬
‫הזווית ‪BMD  90 BMD‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫אורך מקצוע הבסיס ‪ AB‬הוא ‪ 5a‬ואורך הקטע ‪ DM‬הוא ‪. 4a‬‬
‫א‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ a‬את אורך המקצוע ‪.AD‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מעבירים את הקטע ‪ .AM‬חשב את זווית ‪.MAD‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את ‪ a‬אם ידוע כי שטח המשולש ‪ MAD‬הוא ‪ 125‬סמ"ר (עגל למספר שלם)‪.‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬כמות אצות בים מתרבה בצורה מעריכית‪ .‬ידוע כי לאחר ‪ 40‬שנים כמות אצות מכפילה את‬
‫עצמה‪ .‬כדי לצמצם את כמות האצות מבצעים עבודות ניקיון מדי שנה ובהן מנקים כ‪ 200-‬ק"ג‬
‫אצות‪ .‬בחוף מסוים היו בשנת ‪ 1990‬כ‪ 1200-‬ק"ג אצות‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את קצב גידול האצות השנתי‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא כמה אצות יהיו בחוף המסוים בשנת ‪ 1993‬לאחר הניקיון באותה שנה‪.‬‬
‫‪30‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪ f ( x)  cos2 x  cos x  2 :‬בתחום‪. 0  x  2 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון של גרף הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .5‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪. f '  x   4e2 x  9e x  2 :‬‬
‫ידוע כי שיעור ה‪ y -‬של נקודת המינימום הוא‪. y  ln 4  10 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את נקודת הקיצון השנייה של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫מעבירים מנקודת המינימום אנך לציר ה‪ x -‬ומנקודת הקיצון השנייה ישר המקביל לציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין שני הישרים וגרף הפונקציה‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪31‬‬
‫בחינה מספר ‪15‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬בסדרה חשבונית שבה ‪ 2n‬איברים ידוע כי סכום כל האיברים גדול ב‪ 66-‬מפעמיים סכום‬
‫האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫הוכח כי ‪. dn  66‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ידוע כי הפרש הסדרה הוא ‪ .3‬הבע באמצעות ‪ a1‬את סכום ‪ n‬האיברים הראשונים‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫סכום ‪ n‬האיברים הראשונים הוא ‪ .187‬מצא את האיבר החיובי הקטן ביותר בסדרה‬
‫ואת מיקומו הסידורי בסדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה מלבן‪.‬‬
‫ידוע כי מקצוע הבסיס ‪ BC‬שווה באורכו לגובה הפירמידה ויסומן ב‪. t -‬‬
‫כמו כן נתון כי אלכסון הבסיס ‪ AC‬גדול פי ‪ 4‬מהמקצוע ‪.BC‬‬
‫א‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ t‬את אורך המקצוע ‪.AB‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הורד גובה ‪ SH‬למקצוע ‪ BC‬במישור הפאה ‪ SBC‬וחשב את הזווית הנוצרת בינו לבין‬
‫מישור הבסיס ‪.ABCD‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חשב את הזויות שבין שני מקצועות צדדיים שאינם סמוכים‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מעבירים גובה ‪ SH‬בפאה ‪ SBC‬לבסיס ‪.BC‬‬
‫מסמנים את פגישת התיכונים בפאה ב‪ N-‬מעבירים קטע היוצא מנקודת פגישת‬
‫האלכסונים שבמישור הבסיס ‪ ABCD‬לנקודה ‪.N‬‬
‫חשב את הזווית שהוא יוצר עם הבסיס‪.‬‬
‫‪32‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬נתונה הפונקציה הבאה‪ y   sin x  1  cos x :‬בתחום‪. 0  x  1.5 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬כמה פתרונות יש למשוואה‪  sin x  1  cos x  1 :‬בתחום הנתון?‬
‫‪ .4‬נתונות הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. g  x   5 2 x  2.6 , f  x    x  2 ‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬מגדירים פונקציה חדשה‪. h  x   f  x   g  x  :‬‬
‫כתוב מפורשות את הפונקציה )‪ h( x‬ואת תחום הגדרתה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה ‪. h  x ‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪. h  x ‬‬
‫ה‪ .‬מצא עבור אלו ערכים של ‪ k‬יחתוך הישר ‪ y  k‬את גרף הפונקציה‬
‫ב‪ 3-‬נקודות שונות‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .5‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪. f '( x)  ‬‬
‫משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪ x  2 :‬היא‪. y  4  x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫באיור שלפניך מתוארים גרף הפונקציה )‪ f ( x‬והמשיק בתחום‪. x  0 :‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪ ,‬המשיק‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והישר ‪. x  e‬‬
‫‪2‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪33‬‬
‫בחינה מספר ‪16‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתונות שתי הסדרות הבאות‪ :‬סדרה חשבונית‪ a1 , a2 , a3 , .... :‬וסדרה הנדסית‪. b1 , b2 , b3 , ... :‬‬
‫ידוע כי האיבר הראשון בשתי הסדרות שווה‪.‬‬
‫האיבר השלישי בסדרה ההנדסית גדול פי ‪ 4‬מהאיבר הראשון בסדרה החשבונית‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מנת הסדרה ההנדסית אם ידוע כי היא אינה עולה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי האיבר החמישי בסדרה ההנדסית שווה לאיבר הרביעי בסדרה החשבונית‪.‬‬
‫הוכח כי הפרש הסדרה החשבונית גדול פי ‪ 5‬מהאיבר הראשון‪.‬‬
‫ג‪ .‬בכל סדרה יש ‪ 10‬איברים‪ .‬הסכום של כל האיברים של שתי הסדרות יחד הוא ‪.-212‬‬
‫מצא את האיבר הראשון של שתי הסדרות‪.‬‬
‫‪ .2‬נתונה קובייה '‪ .ABCDA'B'C'D‬מעבירים את האלכסונים '‪ A'C‬ו‪ B'D'-‬בבסיס העליון‬
‫ומסמנים ב‪ E-‬את פגישתם‪ .‬מהנקודה ‪ E‬מעבירים את הקטעים ‪ AE, BE, CE‬ו‪DE-‬‬
‫כך שנוצרת הצורה המרחבית ‪.ABCDE‬‬
‫א‪ .‬איזו צורה היא ‪ ? ABCDE‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית שנוצרת בין הקטע ‪ AE‬ומישור הפאה ‪.AA'D'D‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הנפח הכלוא בתוך הקובייה ומחוץ לצורה ‪.ABCDE‬‬
‫אם ידוע כי שטח הפנים של הקובייה הוא ‪ 384‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪34‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬נתונה הפונקציה‪f ( x)  x  a x :‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪ . (a  0‬לפונקציה יש נקודת קיצון שבה‪:‬‬
‫‪ln 2‬‬
‫‪.x‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫הנקודה שבה ‪ x  2‬היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f ( x‬עם‬
‫גרף הפונקציה‪. g ( x)  x 2  2x  kx  2x :‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪. k‬‬
‫ד‪ .‬מצא נקודה נוספת שבה הגרפים נחתכים‪.‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪. y  ln  x 2  2 x  1 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהי האסימפטוטה של הפונקציה המקבילה לציר ה‪? y -‬‬
‫ג‪ .‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬לפניך ‪ 4‬גרפים‪ , III , II , I :‬ו‪ .IV-‬איזה מהגרפים מתאים לפונקציה הנתונה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ה‪ .‬העזר בגרף שבחרת וכתוב את תחומי השליליות של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .5‬באיור שלפניך נתונה הפונקציה‪ y  sin x  x :‬בתחום‪. 0  x  2 :‬‬
‫א‪ .‬האם יש לפונקציה נקודות קיצון פנימיות בתחום הנתון? הוכח‪.‬‬
‫ב‪ .‬מורידים אנך מגרף הפונקציה לציר ה‪ x -‬בנקודה שבה‪. x  2 :‬‬
‫מעבירים ישר המקביל לציר ה‪ x -‬מהנקודה שמאפסת את הנגזרת‪.‬‬
‫הראה כי השטחים ‪ S1‬ו‪ S 2 -‬המסומנים בסרטוט שווים‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪35‬‬
‫בחינה מספר ‪17‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪150 , 144 , 138 , .....‬‬
‫‪ .1‬נתונים שני טורים חשבוניים‪:‬‬
‫‪90 , 93 , 96 , .....‬‬
‫‪ .‬לשני הטורים אותו מספר איברים‪.‬‬
‫ידוע כי סכום האיברים האחרונים של שני הטורים (האיבר האחרון מהטור הראשון והאיבר‬
‫אחרון מהטור השני) הוא אפס‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מספר האיברים שבכל טור‪.‬‬
‫מחברים את ‪ n‬האיברים הראשונים מהטור הראשון יחד עם ‪ n‬האיברים הראשונים מהטור‬
‫השני‪ .‬ידוע כי חיבור הסכומים הוא ‪.3480‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ n‬אם ידוע שהוא קטן מ‪.20-‬‬
‫‪ .2‬נתונה קובייה '‪.ABCDA'B'C'D‬‬
‫מעבירים את האלכסון '‪ A'C‬בבסיס העליון‪ .‬מהנקודה ‪ E‬שעל‬
‫האלכסון '‪ A'C‬מותחים את הקטע ‪ CE‬השווה באורכו לקטע ‪.A'E‬‬
‫כמו כן מורידים גובה ‪ EF‬ממישור הבסיס העליון '‪.A'B'C'D‬‬
‫(‪ EF‬מאונך ל‪ .)A'C'-‬הנקודה ‪ F‬נמצאת על האלכסון‬
‫הראשי ‪ .A'C‬נסמן‪A'CE   :‬‬
‫‪. A'F  m ,‬‬
‫הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ m -‬את נפח הקובייה‪.‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬ענה על שני הסעיפים הבלתי תלויים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬ערך מנייה מסוימת גדל בצורה מעריכית‪ .‬ידוע כי בשנת ‪ 1995‬הייתה המנייה שווה ‪ k‬שקלים‪.‬‬
‫המנייה גדלה באחוז קבוע של ‪ 5%‬לשנה עד לשנת ‪ 2000‬ושם צנחה בקצב של ‪ 8%‬לשנה במשך ‪6‬‬
‫שנים נוספות‪ .‬לאחר מכן גדלה המנייה בקצב שנתי קבוע עד לשנת ‪.2010‬‬
‫אדם הרוצה לקנות את המנייה בשנת ‪ 2010‬נוכח לדעת כי מחירה הוא ‪. k‬‬
‫מצא באיזה אחוז עלתה המנייה לאחר צניחתה‪.‬‬
‫‪36‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  32 x  2  31 x :‬‬
‫‪ )1‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫‪ )2‬הוכח כי גרף הפונקציה אינו חותך את ציר ה‪. x -‬‬
‫‪ )3‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪ f ( x)  x cos x  x :‬בתחום‪. 3  x  3 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ (i) .‬הראה כי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪ x -‬מאפסות את הנגזרת של‬
‫הפונקציה‪.‬‬
‫)‪ (ii‬קבע אלו נקודות מנקודות החיתוך הן נקודות קיצון ואלו אינן נקודות קיצון ומצא‬
‫את סוג הקיצון בכל מקרה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ .5‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 6  5x ‬‬
‫‪. f '( x)  ‬‬
‫‪5‬‬
‫ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה‪. x  1.2 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה )‪ , f ( x‬גרף הפונקציה‪ g ( x)  10 x :‬וציר ה‪. x -‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪37‬‬
‫בחינה מספר ‪18‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬בסדרה הנדסית שבה ‪ 12‬איברים סכום כל איברי הסדרה גדול פי ‪ 3‬מסכום האיברים כאשר‬
‫מחליפים את סימני כל האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מנת הסדרה‪.‬‬
‫ידוע כי ההפרש בין האיבר החמישי לאיבר הרביעי בסדרה הוא ‪.8‬‬
‫ב‪ .‬מצא את האיבר הראשון בסדרה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את סכום כל האיברים העומדים במקומות הזוגיים בסדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬במנסרה משולשת וישרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה משולש שווה צלעות מעבירים בבסיס‬
‫העליון '‪ A'B'C‬את התיכונים ‪ B'E , A'D‬ו‪ C'F-‬אשר נחתכים ב‪.M-‬‬
‫מהנקודה ‪ M‬מעבירים את הקטעים ‪ MA‬ו‪ MB-‬כך שנוצר המשולש ‪.MAB‬‬
‫גובה המנסרה שווה באורכו למקצוע בסיס המנסרה ויסומן ב‪. 2a -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את אורך הקטע ‪.MA‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית שבין הקטע ‪ MA‬ומישור הבסיס ‪.ABC‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הזווית שבין הגובה למקצוע ‪ AB‬במישור ‪MAB‬‬
‫לבין מישור הבסיס ‪.ABC‬‬
‫ד‪ .‬חשב את הזווית שבין ‪ MA‬והפאה ‪.AA'B'B‬‬
‫ה‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את שטח הפנים של המנסרה‪.‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬כמות חומר רדיואקטיבי קטנה בצורה מעריכית לפי אחוז קבוע ‪ p‬מדי שעה‪.‬‬
‫ביום מסוים היו ‪ k‬גרם מהחומר‪ .‬לאחר ‪ 3‬שעות הוסיפו עוד ‪ k‬גרם לכמות שנותרה ולאחר ‪3‬‬
‫שעות נוספות מתברר שנשארו ‪ k‬גרם מהחומר‪ .‬מצא את ‪.p‬‬
‫‪38‬‬
‫‪ .4‬נתונות הפונקציות הבאות‪ f ( x)  6 x  e x :‬ו‪. g ( x)  ae x  e2 x  b -‬‬
‫ידוע כי לשתי הפונקציות נקודת קיצון שבה אותו שיעור ‪ x‬וכי שתיהן נפגשות על ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו‪. b -‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי לשתי הפונקציות תחומי עלייה וירידה משותפים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .5‬באיור שלפניך נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ f ( x) ‬בתחום‪. x  0 :‬‬
‫מעבירים את הישרים‪ x  4 , x  k , x  k 2 , x  k 3 :‬כמתואר )‪. (k  4‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬את השטחים‪ S1 :‬ו‪. S 2 -‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי ההפרש‪ S2  S1 :‬אינו תלוי ב‪ k -‬וחשב את ערכו‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי השטח ‪ S 2‬גדול פי ‪ 3‬מהשטח ‪. S1‬מצא את ‪. k‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪39‬‬
‫בחינה מספר ‪19‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬סדרה מוגדרת לפי כלל הנסיגה הבא‪. an1  an  2  3n  2 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫)‪ (i‬הבע את ‪ an  2‬באמצעות ‪. an‬‬
‫ב‪.‬‬
‫)‪ (ii‬מצא את מיקומו הסידורי של איבר הגדול ב‪ 652-‬מהאיבר העומד שני מקומות לפניו‪.‬‬
‫הנוסחה לסכום ‪ n‬האיברים הראשונים של אחת מהסדרות המיוצגות ע"י כלל הנסיגה‬
‫הנ"ל היא‪. Sn  1.5  3  n  n  1.5 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫חשב את הסכום הבא‪. a6  a7  a8  ....  a11 :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מהו האיבר הראשון של הסדרה המיוצגת ע"י כלל הנסיגה ונוסחת הסכום הנ"ל?‬
‫‪ .2‬בתיבה ריבועית וישרה '‪ ABCDA'B'C'D‬מסמנים את אורך הגובה ב‪. h -‬‬
‫מעבירים את הקטעים '‪ AC , AB‬ו‪ B'C-‬כך שנוצר המשולש ‪AB'C‬‬
‫כמתואר באיור‪ .‬הזווית הנוצרת בין אנך לצלע ‪ AC‬במשולש ‪AB'C‬ומישור‬
‫הבסיס ‪ ABCD‬היא ‪. ‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ h‬ו‪  -‬את אורך מקצוע הבסיס של התיבה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ h‬ו‪  -‬את נפח התיבה‪.‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪2x  1‬‬
‫‪ .3‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪. y  ln‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫כתוב את האסימפטוטות האנכיות של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫הראה כי גרף הפונקציה יורד בכל תחום הגדרתו‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪40‬‬
‫‪5 x 2  66 x  440‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? האם יש לפונקציה אסימפטוטה אנכית?‬
‫ב‪ .‬האם הפונקציה חותכת את הצירים בתחום‪ ?  0 :18 :‬נמק ע"י חישוב‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ה‪ .‬מגדירים פונקציה נוספת‪ g  x  :‬המקיימת‪ . g  x    f  x  :‬לפניך מספר טענות‬
‫המתייחסות לפונקציה ‪ g  x ‬קבע אלו מהטענות הבאות נכונות ואלו שגויות‪ .‬נמק ע"י‬
‫הסבר או חישוב מתאים‪.‬‬
‫‪ g  x  .i‬חיובית בכל התחום ‪.  0 :18‬‬
‫‪ .ii‬ל‪ g  x  -‬אותן נקודות קיצון (אותם שיעורים ואותו סוג) כמו ‪. f  x ‬‬
‫‪ .iii‬ל‪ g  x  -‬אותו תחום הגדרה כמו ל‪. f  x  -‬‬
‫‪ .5‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪. f '( x)   cos 2 x  sin x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי ה‪ x -‬של הנקודות המקיימות‪ f '( x)  0 :‬בתחום‪. 0  x  2 :‬‬
‫ידוע כי הנקודה המקיימת ‪ f '( x)  0‬אשר אינה קיצון נמצאת על ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ג‪ .‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬
‫חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה והצירים‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪41‬‬
‫בחינה מספר ‪20‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתונה סדרה הנדסית אינסופית ‪ a1 , a2 , a3 , .....‬שמנתה היא ‪.  0  q  1 , q‬‬
‫נגדיר את הסכומים הבאים‪. T  a1  a2  a5  a6  a9  a10 , ..... . V  a3  a7  a11  ..... :‬‬
‫נתון כי‪. T  6V :‬‬
‫א‪ .‬מצא את מנת הסדרה ‪. q‬‬
‫ב‪ .‬פי כמה קטן ‪ V‬מסכום כל האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים בסדרה?‬
‫‪1‬‬
‫ג‪ .‬מצא את האיבר הראשון אם ידוע כי סכום האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים הוא‬
‫‪3‬‬
‫‪ .2‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה מלבן‪.‬‬
‫מאמצעי המקצועות הצדדיים מעבירים קטעים כך שנוצר המלבן ‪.EFGH‬‬
‫ידוע כי שטח מלבן זה הוא ‪ 48‬סמ"ר וכי אורך האלכסון שלו הוא ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫הזווית ‪ HSF‬היא בת ‪. 50‬‬
‫א‪ .‬מצא את מידות הבסיס ‪.ABCD‬‬
‫ב‪ .‬מצא את גובה הפירמידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח הפנים של הפירמידה‪.‬‬
‫‪42‬‬
‫‪. 1365‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬ערך מנייה מסוימת גדל בצורה מעריכית‪ .‬ידוע כי בשנת ‪ 1980‬הייתה המנייה שווה ‪ k‬שקלים‪.‬‬
‫המנייה גדלה באחוז קבוע של ‪ 2%‬לשנה עד לשנת ‪ 1992‬ומשם צנחה בקצב של ‪ 5%‬לשנה‬
‫במשך ‪ 8‬שנים נוספות‪ .‬לאחר מכן גדלה המנייה בקצב שנתי קבוע עד לשנת ‪.2010‬‬
‫אדם הרוצה לקנות את המנייה שנת ‪ 2010‬נוכח לדעת כי מחירה הוא ‪. 1.5k‬‬
‫מצא באיזה אחוז עלתה המנייה לאחר הצניחה שלה‪.‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  m sin x  k cos2 x :‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪ x  ‬שמשוואתו היא‪. y  6 x  6  7 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ k‬ו‪. m -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון בתחום‪. 0.5  x  1.5 :‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה וקבע עפ"י הסקיצה בכמה נקודות גרף הפונקציה חותך‬
‫את ציר ה‪ x -‬בתחום הנ"ל‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .5‬נתונות הפונקציות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f  x  ‬‬
‫‪k‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪2x  5‬‬
‫‪. g  x ‬‬
‫‪y‬‬
‫גרף הפונקציה )‪ g ( x‬חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה שבה ‪. y  0.4‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. g ( x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של שני הגרפים‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל ע"י שני הגרפים והישר ‪. x  1‬‬
‫‪x‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪43‬‬
‫בחינה מספר ‪21‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬בסדרה חשבונית שבה מספר זוגי של איברים נתון כי סכום ריבועי האיברים העומדים‬
‫במקומות ה‪ 4-‬וה‪ 5-‬שווה לריבוע האיבר העומד במקום ה‪ .6-‬האיבר הראשון אינו אפס‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח את הטענות הבאות‪:‬‬
‫‪. a1  4d .i‬‬
‫‪. S9  0 .ii‬‬
‫האיבר העומד במקום ה‪ 6-‬גדול ב‪ 2-‬מהאיבר העומד במקום ה‪.5-‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ a1‬ואת ‪. d‬‬
‫ג‪ .‬מצא את מספר איברי הסדרה אם ידוע כי סכום האיברים העומדים במקומות הזוגיים‬
‫הוא ‪.504‬‬
‫‪.2‬‬
‫נתונה מנסרה משולשת וישרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה הוא משולש שווה שוקיים‬
‫‪ .  AC  BC ‬מאמצעי המקצועות '‪ A'B‬ו‪ AB-‬מעבירים את הקטע ‪.EF‬‬
‫ידוע כי מקצוע הבסיס ‪ AB‬הוא ‪ k‬והוא קטן פי ‪ 2‬משוק הבסיס ‪.AC‬‬
‫נסמן‪. FCE   :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את נפח המנסרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את נפח המנסרה אם ידוע כי‪2EF  CE :‬‬
‫וכי שטח הבסיס ‪ ABC‬הוא‪. 15 :‬‬
‫‪44‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ .3‬לגרף הפונקציה‪ f ( x)  ax 2  ebx :‬יש נקודת קיצון‪a, b  0 . 2, 4e :‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו‪ b -‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון הנוספות של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ה‪ .‬מעבירים ישר‪ . y  k :‬באיזה תחום ערכים צריך להימצא ‪ k‬כדי שהישר יחתוך את גרף‬
‫הפונקציה ב‪ 4-‬נקודות שונות?‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה הבאה‪. f  x   x  4 9  x :‬‬
‫א‪ .‬מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה (מקומיות וקצה) וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬על סמך הסעיפים הקודמים קבע כמה פתרונות יש למשוואה הבאה‪x  4 9  x  k :‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪. k  2 .i‬‬
‫‪. k  1 .ii‬‬
‫ה‪ .‬קבע איזה מבין הגרפים הבאים מתאר את הנגזרת של הפונקציה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ .5‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה הבאות‪:‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ f ( x)  cos2 x‬ו‪ g ( x)  sin 2 x  cos x -‬בתחום‪. 0  x   :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הגרפים בתחום הנתון‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫השתמש בזהות‪cos 2  cos2   sin 2  :‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪45‬‬
‫בחינה מספר ‪22‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתונה הסדרה הבאה‪ . 4 , 12 , 36 ,...., an :‬מוסיפים לכל איבר בסדרה זו שישית מהאיבר‬
‫הבא אחריו ויוצרים סדרה חדשה ‪ bn‬כך‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪, b2  a2  3 , b3  a3  4 , ...... , bn  an  n1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪. b1  a1 ‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הסדרה ‪ bn‬היא סדרה הנדסית ומצא את מנתה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי היחס בין סכום ‪ n‬האיברים הראשונים של הסדרה ‪ an‬ובין סכום ‪ n‬האיברים‬
‫‪2‬‬
‫הראשונים של הסדרה ‪ bn‬הוא‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬מצא שני איברים סמוכים בסדרה ‪ bn‬שסכומם מהווה‬
‫‪9‬‬
‫מ‪. a8 -‬‬
‫‪ .2‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABC‬שבסיסה הוא משולש ישר זווית ‪.  ABC  90‬‬
‫בפירמידה זו מעבירים גובה ‪ SD‬בפאה הצדדית ‪ SBC‬כך שנוצר המשולש ‪.SAD‬‬
‫ידוע כי משולש זה הוא שווה שוקיים ובו נסמן‪. SA  AD  2m :‬‬
‫הזווית הנוצרת בין הגובה ‪ SD‬ומישור הבסיס תסומן ב‪. SDA   -‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הגובה ‪ SD‬בפאה ‪ SBC‬שווה באורכו למקצוע הבסיס ‪.AB‬‬
‫ב‪ .‬מה ניתן לומר על המשולשים‪ SAB‬ו‪ SAD-‬במקרה זה?‬
‫ג‪ .‬הבע באמצעות ‪ m , ‬את גובה הפירמידה‪.‬‬
‫‪46‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬מספר העופות בשמורת טבע גדל לפי אחוז קבוע של ‪ 3%‬לשנה‪.‬‬
‫בשנה מסוימת נספרו ‪ 2300‬עופות בשמורה‪ ,‬לאחר ‪ 5‬שנים הוסיפו לשמורת הטבע ‪ 1000‬עופות נוספים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה עופות יהיו בשמורה לאחר ‪ 5‬שנים נוספות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא תוך כמה שנים יהיה מספר העופות בשמורה זהה לזה שמצאת בסעיף א' אילולא‬
‫היו מוסיפים את ‪ 1000‬העופות הנוספים‪ ,‬אלא אם הייתה גדילה רציפה‪.‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪ f ( x)  tan x  kx :‬בתחום‪. 0  x   :‬‬
‫א‪ .‬מצא את האסימפטוטה האנכית של הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬
‫הפונקציה‪ g ( x)  tan 2 x  kx :‬חותכת את הפונקציה )‪ f ( x‬בשתי נקודות החיתוך שלה עם‬
‫ציר ה‪ x -‬בתחום הנתון‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪. k‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה )‪ f ( x‬בתחום הנתון וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫‪ .5‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של שלוש פונקציות‪:‬‬
‫‪. g  x   4 x .II . f  x   2 x .I‬‬
‫‪. h  x   242 x .III‬‬
‫א‪ .‬סרטט את הסקיצה וקבע איזה גרף מתאר כל פונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ B , A‬ו‪( C-‬נקודות החיתוך שבין הגרפים)‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המסומן באיור‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪47‬‬
‫בחינה מספר ‪23‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתונות שתי סדרות החשבוניות הבאות‪ an :‬שהפרשה הוא ‪ d1‬ו‪ bn -‬שהפרשה הוא ‪ . d 2‬ידוע‬
‫כי‪. d1  2d2 :‬‬
‫סכום ‪ 50‬האיברים הראשונים של שתי הסדרות שווה והאיבר העומד במקום ה‪ 20-‬בסדרה ‪an‬‬
‫גדול ב‪ 1-‬מהאיבר העומד במקום ה‪ 37-‬בסדרה ‪. bn‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את הפרש הסדרה ‪. d1 - an‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ידוע כי האיבר ‪ a10‬קטן ב‪ 1-‬מ‪ 5-‬פעמים האיבר ‪. b50‬‬
‫מצא את ‪ a1‬ואת ‪. b1‬‬
‫‪ .2‬במנסרה משולשת וישרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה הוא משולש שווה שוקיים‬
‫‪  AC  BC ‬מעבירים את האלכסונים '‪ AB‬ו‪ CB'-‬כך שנוצר המשולש ‪.AB'C‬‬
‫ידוע כי הזווית שבין אנך למקצוע ‪ AC‬במשולש ‪ ABC‬ואנך למקצוע ‪AC‬‬
‫במשולש ‪ AB'C‬היא ‪( 45‬האנכים נפגשים על המקצוע ‪ AC‬בנקודה ‪.)E‬‬
‫זוויות הבסיס ‪ ABC‬הן‪ABC  CAB  75 :‬‬
‫‪. ACB  30 ,‬‬
‫גובה המנסרה הוא ‪ 5‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך המקצוע ‪.AC‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית שבין האלכסון '‪ CB‬למישור הבסיס‪.‬‬
‫‪48‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬נתונה הפונקציה הבאה‪. f ( x)  x  ln 3 x  2ln 2 x  :‬‬
‫א‪ .‬הראה כי נגזרת הפונקציה היא‪. f '( x)  ln3 x  5ln 2 x  4ln x :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את התחום בו הפונקציה עולה‪.‬‬
‫ג‪ (i) .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫)‪ (ii‬מצא את התחום בו הפונקציה חיובית‪.‬‬
‫ד‪ .‬לפניך ‪ 4‬גרפים‪ .‬קבע איזה מהם מתאר את הפונקציה )‪ f ( x‬ונמק את בחירתך‪ .‬שים לב‪:‬‬
‫תשובה ללא נימוק לא תחשב‪.‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪ y   cos x  k  :‬בתחום‪. 0  x  2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫הפונקציה חותכת את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה‬
‫‪3‬‬
‫‪.x‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ k‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת המקסימום שאיננה מוחלטת בתחום הנתון‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם יש לגרף הפונקציה נקודות מינימום שאינן מוחלטות? אם כן מהן?‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .5‬נתונה הפונקציה‪ x 2 :‬‬
‫‪5 x 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪f  x‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x  3‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ‪ , f  x ‬המשיק וציר ה‪. y -‬‬
‫‪x‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪49‬‬
‫בחינה מספר ‪24‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬אדם המעוניין לקנות רכב קיבל שתי הצעות מחיר‪.‬‬
‫ההצעה הראשונה‪ :‬לשלם בתשלום הראשון ‪ ₪ 1000‬ובכל תשלום שאחריו סכום הגדול‬
‫ב‪ ₪ 500-‬מהתשלום הקודם‪.‬‬
‫ההצעה השנייה‪ :‬לשלם בתשלום הראשון ‪ ₪ 7200‬ובכל תשלום שאחריו סכום הקטן ב‪₪ 450-‬‬
‫מהתשלום הקודם‪.‬‬
‫ידוע כי מספר התשלומים בהצעה השנייה קטן ב‪ 4-‬ממספר התשלומים שבהצעה הראשונה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫כמה תשלומים יצטרך לשלם לפי כל הצעה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מה מחיר הרכב?‬
‫‪ .2‬ענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬הוכח את הטענה‪ :‬תיכון במשולש חוצה אותו לשני משולשים שווי שטח‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬הקטע ‪ AD‬הוא תיכון במשולש ‪ .ABC‬הראה כי‪. SABD  SACD :‬‬
‫ב‪ .‬במנסרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה הוא משולש ישר זווית ‪ABC  90‬‬
‫‪‬‬
‫הנקודות ‪ F‬ו‪ G-‬מחלקות את מקצוע הבסיס ‪ BC‬לשלושה חלקים שווים‪.‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא אמצע המקצוע '‪ .B'C‬ידוע כי אורך הקטע ‪ EF‬הוא ‪ 10‬ס"מ ואורך‬
‫המקצוע ‪ BC‬הוא ‪ 24‬ס"מ‪ .‬שטח המשולש ‪ AFG‬הוא ‪ 40‬סמ"ר‪.‬‬
‫איזה משולש הוא המשולש ‪ ?EFG‬מצא את זוויותיו‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את גובה המנסרה‪.‬‬
‫ד‪ .‬היעזר בטענה שהוכחת בסעיף א' ומצא את אורך המקצוע ‪.AB‬‬
‫(רמז‪ :‬התבונן במשולש ‪ ABF‬ומצא את הצלע ‪ AB‬באמצעות שטחו)‪.‬‬
‫ה‪ .‬חשב את שטח המעטפת של המנסרה‪.‬‬
‫‪50‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬אדם מפקיד סכום של ‪ ₪ 120,000‬לפי ריבית דריבית של ‪ 12%‬בשנה‪.‬‬
‫כעבור ‪ t‬שנים הוא משך את כל הסכום שעמד לרשותו והפקיד אותו ל‪ t -‬שנים נוספות‬
‫בתכנית חיסכון חדשה לפי ריבית דריבית של ‪ .15%‬בתום תקופה זו עמד לרשותו סכום של‬
‫‪.₪ 330,252‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. t‬‬
‫לאחר תקופה זו הוא מפקיד את סכום הכסף הסופי בתכנית לפי ריבית דריבית מסוימת‪.‬‬
‫לאחר ‪ 5‬שנים עמד לרשותו סכום של ‪.₪ 821,772‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את אחוז הריבית החדש‪.‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  ln 3 x  3ln x :‬‬
‫א‪.‬‬
‫מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f ( x‬עם הפונקציה‪. g ( x)  ln x :‬‬
‫‪ .5‬נתונה הפונקציה‪. f  x   3 x  4 x :‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪.‬‬
‫מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪.‬‬
‫באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪x‬‬
‫השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה‪ x -‬יסומן ב‪. S1 -‬‬
‫מעבירים ישר ‪ x  k‬אשר יוצר את השטח ‪ S 2‬כמתואר‪.‬‬
‫‪f  x‬‬
‫מצא את ‪ k‬אם ידוע כי‪. S1  S2 :‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪51‬‬
‫בחינה מספר ‪25‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬סדרה מוגדרת לכל ‪ n‬טבעי ע"י הנוסחה‪. a1  k , an1  8n  an  3 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ k‬את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הוכח כי סדרת האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים וסדרת האיברים העומדים‬
‫במקומות הזוגיים הן חשבוניות ומצא את הפרשן‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חשב את סכום ‪ 20‬האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬נתונות שתי פירמידות ישרות שבסיסן מלבן‪ SABCD :‬ו‪.S'A'B'C'D' -‬‬
‫הקטעים ‪ SH‬ו‪ S'H'-‬הם בהתאמה הגבהים של שתי הפירמידות‪.‬‬
‫ידוע כי‪ AB  2k , BC  k , HS  3k :‬וכי‪. A'B'  3k , B'C'  k , H'S'  2k :‬‬
‫א‪.‬‬
‫לפניך מספר טענות‪ ,‬קבע אלו מהן נכונות ואלו שגויות‪ ,‬נמק את קביעותיך‪.‬‬
‫(‪ )1‬לשתי הפירמידות אותו הנפח‪.‬‬
‫(‪ )2‬בשתי הפירמידות הזווית שבין מקצוע צדדי לבסיס הפירמידה שווה‪.‬‬
‫(‪ )3‬אורך מקצוע צדדי בפירמידה ‪ SABCD‬גדול יותר מאורך מקצוע צדדי‬
‫בפירמידה '‪.S'A'B'C'D‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את הערך של ‪ k‬עבורו סכום הנפחים של שתי הפירמידות יהיה‬
‫שווה לנפחה של קובייה בעלת אורך מקצוע של ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫‪52‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬ערכן של שתי חלקות אדמה יורד בצורה מעריכית‪.‬‬
‫ידוע כי בזמן שערכה של אדמה א' מגיע למחצית מערכה המקורי‪ ,‬ערכה של אדמה ב' מגיע ל‪-‬‬
‫‪ 30%‬מערכה המקורי‪ .‬לאחר ‪ 50‬שנים אדמה א' מאבדת ‪ 60%‬מערכה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אחוז הדעיכה של אדמה ב'‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי לאחר ‪ 100‬שנים ערכן של שתי האדמות שווה‪.‬‬
‫ערכה המקורי של אדמה ב' הוא ‪.₪ 100,000‬‬
‫מצא את ערכה המקורי של אדמה א'‪.‬‬
‫‪x2  6 x  7‬‬
‫‪ f ( x) ‬יש קיצון בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫‪ .4‬לפונקציה‪:‬‬
‫‪eax 1‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬האם יש לגרף הפונקציה נקודות קיצון נוספות? אם כן מצא אותן‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ה‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .5‬נתונות הנגזרות הבאות‪. g '( x)  sin 2 x , f '( x)  sin 2 x  cos x  k :‬‬
‫ידוע כי לפונקציות )‪ f ( x‬ו‪ g ( x) -‬יש משיק משותף בנקודה שבה‪. x  1.5 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי משוואת המשיק המשותף היא‪. y  1 :‬‬
‫הראה כי‪ f  x    cos2 x  sin x :‬ו‪. g  x   sin 2 x -‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫באיור שלפניך מתוארים הגרפים של שתי הפונקציות‬
‫בתחום‪. 0  x  1.5 :‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים בתחום הנתון‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪53‬‬
‫בחינה מספר ‪26‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪2an‬‬
‫‪ .1‬סדרה מוגדרת ע"י כלל הנסיגה‪:‬‬
‫‪an  5‬‬
‫‪. a1  6 , an 1 ‬‬
‫‪an  3‬‬
‫מגדירים סדרה חדשה ‪ bn‬המקיימת לכל ‪ n‬טבעי‪:‬‬
‫‪an‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הסדרה ‪ bn‬היא הנדסית ומצא את מנתה‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב נוסחה ל‪ bn -‬באמצעות ‪ n‬בלבד‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הסכום הבא‪. b1  b2  b3  b4  .....  b10 :‬‬
‫‪. bn ‬‬
‫‪ .2‬בתיבה הריבועית '‪ ABCDA'B'C'D‬שלפניך מעבירים את אלכסון הבסיס העליון '‪.B'D‬‬
‫הנקודות ‪ E‬ו‪ F-‬נמצאות על אמצעי המקצועות '‪ A'B‬ו‪ B'C'-‬כך שהקטע ‪ EF‬חותך את‬
‫האלכסון'‪ B'D‬בנקודה ‪.O‬‬
‫מקצים נקודה נוספת – ‪ - G‬הנמצאת על הגובה '‪ DD‬כך ש‪. DG  a :‬‬
‫מעבירים את הקטעים ‪ GO‬ו‪ DO-‬כך שנוצר המשולש ‪.DOG‬‬
‫אורך מקצוע הבסיס הוא ‪ k‬וגובה התיבה הוא ‪. h‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪ a -‬את שטח המשולש ‪.DOG‬‬
‫‪a‬‬
‫עבורו מתקיים‪. SDOG  SD'OG :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את היחס‪:‬‬
‫‪h‬‬
‫פרק שני –חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪,‬‬
‫פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬ענה על שני הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬מספר העופות בשמורת טבע גדל לפי אחוז קבוע של ‪ p‬אחוזים לשנה‪ .‬בשנה מסוימת‬
‫נספרו ‪ 3000‬עופות בשמורה‪ ,‬לאחר ‪ 4‬שנים הוסיפו לשמורה ‪ 1000‬עופות נוספים‪.‬‬
‫‪ )1‬מצא את אחוז הגידול השנתי ‪ p‬אם ידוע כי לאחר ‪ 4‬שנים נוספות היו בשמורת‬
‫‪ 5647‬עופות‪.‬‬
‫‪ )2‬מצא לאחר כמה שנים יהיו ‪ 5647‬עופות אילולא היו מוסיפים את ‪ 1000‬העופות‬
‫הנוספים‪.‬‬
‫‪54‬‬
‫‪e2 x‬‬
‫ב‪ .‬הישר ‪ x  6‬הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2  m‬‬
‫‪ )1‬מצא את ערך הפרמטר ‪ m‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )2‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫‪ )3‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪ )4‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫*הערה‪ :‬אין קשר בין סעיפים א' ו‪-‬ב'‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬פתור את המשוואה הבאה‪. ln  x  e   ln x e  ln 2  0.5 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נתונה הפונקציה‪. f ( x)  ln  x  e   ln x e :‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪. x  e :‬‬
‫‪ .5‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪. f '( x)  cos x  sin x :‬‬
‫א‪ .‬ידוע כי הפונקציה המקורית עוברת בראשית הצירים‪.‬‬
‫הוכח כי הנגזרת )‪ f '( x‬והפונקציה המקורית )‪ f ( x‬מקיימות את המשוואה‪:‬‬
‫‪. f ( x)  f '( x)  2sin x  1‬‬
‫ב‪ .‬מגדירים פונקציה חדשה )‪ g ( x‬באופן הבא‪. g ( x)  f ( x)  f '( x) :‬‬
‫‪.i‬‬
‫מצא את נקודת המקסימום הנמצאת ברביע הראשון והקרובה ביותר לציר ה‪y -‬‬
‫של הפונקציה )‪. g ( x‬‬
‫‪.ii‬‬
‫מצא את נקודת המקסימום הנמצאת ברביע הראשון והקרובה ביותר לציר ה‪y -‬‬
‫של הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫כתוב את משוואת הישר העובר דרך שתי הנקודות שמצאת‪.‬‬
‫‪.iii‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪55‬‬
‫בחינה מספר ‪27‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתונה סדרה הנדסית אינסופית ‪ a1 , a2 , a3 , .....‬שמנתה היא ‪.  q  0 , q  1 , q‬‬
‫נגדיר את הסכומים הבאים‪. T  a1  a3  a6  a8  a11  a13 , ..... . V  a2  a7  a12  ..... :‬‬
‫נתון כי‪. V  0.3T :‬‬
‫א‪ .‬מצא את מנת הסדרה ‪. q‬‬
‫מחליפים את הסימנים של כל האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים ומתקבלת סדרה‬
‫חדשה שסכומה הוא ‪.12‬‬
‫ב‪ .‬מצא את האיבר הראשון בסדרה המקורית‪.‬‬
‫ג‪ .‬מעלים את כל איברי הסדרה בריבוע‪ .‬חשב את סכום הסדרה כעת‪.‬‬
‫‪ .2‬לפניך מנסרה ישרה שבסיסה משולש ישר זווית ‪.  ABC  90‬‬
‫ידוע כי הפאה הצדדית ‪ AA'B'B‬היא ריבוע וכי אורך המקצוע ‪ BC‬גדול פי ‪ 3‬מ‪.AB-‬‬
‫הנקודות ‪ E‬ו‪ G-‬נמצאות על אמצעי המקצועות '‪ B'C‬ו‪ AB-‬בהתאמה‪.‬‬
‫מעבירים את הקטעים ‪ A'E ,A'G‬ו‪.GE-‬‬
‫א‪ .‬חשב את הזווית הנוצרת בין הקטע ‪ GE‬ומישור הבסיס‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזויות הנוצרת בין הקטע ‪ GE‬ומישור הפאה ‪.AA'B'B‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי‪ . EGA'  69 :‬חשב את זווית ‪.EA'G‬‬
‫‪56‬‬
‫פרק שני –חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫א‪ .‬כוורת דבורים ידוע כי בכל ‪ 10‬שעות כמות הדבורים גדלה פי ‪.1.5‬‬
‫‪ )1‬מצא באיזה אחוז גדלה כמות הדבורים בכל שעה‪.‬‬
‫‪ )2‬מוציאים לאחר ‪ 10‬שעות ‪ 3000‬דבורים וידוע כי נשארו ‪ 1500‬דבורים‪.‬‬
‫חשב כמה דבורים היו בתחילה בכוורת‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x3  e2 x :‬‬
‫‪ )1‬מצא את הנקודות המקיימות‪ f '( x)  0 :‬וקבע כמה מהן הן נקודות קיצון‪.‬‬
‫‪ )2‬מצא את נקודות החיתוך עם הצירים וקבע מהי האסימפטוטה האופקית‪.‬‬
‫‪ )3‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )4‬בכמה נקודות חותך הישר ‪ y  0.01‬את גרף הפונקציה?‬
‫*הערה‪ :‬אין קשר בין סעיפים א' ו‪-‬ב'‪.‬‬
‫‪xa‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪ln  x  a ‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את‪:‬‬
‫‪ .i‬תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .ii‬הנקודה המקיימת ‪. y '  0‬‬
‫‪ .iii‬נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .iv‬האסימפטוטה האנכית של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי גרף הפונקציה עולה רק בתחום‪ . x  e  2 :‬מצא את ‪. a‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום ‪. x  1‬‬
‫ד‪ .‬נתון הישר‪ . y  k :‬מצא בסקיצה את תחום הערכים של ‪ k‬עבורו לישר ולגרף‬
‫הפונקציה לא תהיה אף נקודה משותפת‪.‬‬
‫‪ a , y ‬פרמטר חיובי‪. a  1 ,‬‬
‫‪.5‬‬
‫א‪ .‬גזור את הפונקציה הבאה‪. y  e  x  1 :‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪. f ( x)  xe , g ( x)  -e :‬‬
‫מעבירים ישר ‪  a  0  , x  a‬החותך את הגרפים של שתי‬
‫)‪f ( x‬‬
‫הפונקציות ויוצר את השטח המתואר הכלוא בין הגרפים‬
‫של שניהם‪ ,‬ציר ה‪ y -‬והישר‪.‬‬
‫‪S  2e2‬‬
‫ידוע כי שטח זה שווה ל‪ . 2e 2 -‬מצא את ‪. a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪g( x‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪57‬‬
‫בחינה מספר ‪28‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון ‪ -‬סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת שסכומה ‪ .24‬מאיברי הסדרה הנתונה יצרו את סדרה‬
‫חדשה באופן הבא‪. a1  a2 , a2  a3 , a3  a4 , a4  a5 , ... :‬‬
‫א‪ .‬הוכח שהסדרה החדשה היא הנדסית אינסופית יורדת‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע שסכום כל איברי הסדרה החדשה הוא ‪ .32‬מצא את האיבר הראשון והמנה של‬
‫הסדרה המקורית‪.‬‬
‫‪ .2‬במנסרה משולשת וישרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה משולש שווה צלעות הנקודות ‪ E‬ו‪ F-‬הן‬
‫בהתאמה אמצעי המקצועות '‪ A'B‬ו‪.A'C'-‬‬
‫מעבירים את הקטעים ‪ AE‬ו‪ AF-‬כך שנוצר המשולש ‪.AEF‬‬
‫אורך מקצוע הבסיס של המנסרה הוא ‪ 10‬ס"מ וגובה המנסרה הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורכי הצלעות של המשולש ‪.AEF‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית שבין גובה המנסרה '‪ AA‬לבין מישור המשולש ‪.AEF‬‬
‫פרק שני –חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬ענה על שני הסעיפים הבלתי תלויים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ax 2  bx  9‬‬
‫נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪ex‬‬
‫הפונקציה משיקה לציר ה‪ x -‬בנקודה שבה ‪ . x  1.5‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו‪b -‬‬
‫ואת נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫זמן מחצית החיים של חומר רדיואקטיבי הוא ‪ 16‬ימים‪.‬‬
‫תוך כמה ימים יאבד שליש ממשקלו?‬
‫‪58‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה ‪ . f  x   log 24 x  log 2 x‬חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‬
‫ב‪ .‬נקודות קיצון‬
‫ד‪ .‬נקודות חיתוך עם הצירים‬
‫ה‪ .‬שרטוט‬
‫ג‪ .‬תחומי עלייה וירידה‬
‫‪.5‬‬
‫א‪ .‬נתונה הפונקציה‪. y   x cos x  2 x sin x  2cos x :‬‬
‫הוכח כי הנגזרת של הפונקציה היא‪. y '  x 2 sin x :‬‬
‫‪2‬‬
‫באיור שלפניך נתונה הפונקציה‪ f ( x)  x 2 sin x :‬בתחום‪.   x   :‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי גרף הפונקציה עובר בראשית הצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה‪ x -‬בתחום הנתון‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪59‬‬
‫בחינה מספר ‪29‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪3an‬‬
‫‪ .1‬סדרה מוגדרת ע"י כלל הנסיגה הבא‪:‬‬
‫‪2an  3‬‬
‫‪4  7an‬‬
‫‪. bn ‬‬
‫מגדירים סדרה חדשה לפי‪:‬‬
‫‪an‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הסדרה ‪ bn‬היא חשבונית ומצא את הפרשּה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הסכום הבא‪. b2  b4  b6  .....  b22 :‬‬
‫‪. a1  2 , an 1 ‬‬
‫‪ .2‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABC‬שבסיסה הוא משולש שווה שוקיים ‪.  AC  BC ‬‬
‫מעבירים גבהים למקצוע ‪ SC‬במישורי הפאות ‪ SAC‬ו‪ SBC-‬כך שהזווית הנוצרת‬
‫בין מישורים אלו היא ‪ . ADB  42‬ידוע כי אורך המקצוע ‪ AB‬הוא ‪ 8‬ס"מ‪.‬‬
‫‪DC 2‬‬
‫הגובה ‪ AD‬בפאה ‪ SAC‬מחלק את המקצוע ‪ SC‬ביחס‪ :‬‬
‫‪SD 3‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך הגובה ‪.AD‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זווית הראש בפאה ‪.SAC‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח משולש הבסיס ‪.ABC‬‬
‫‪60‬‬
‫‪.‬‬
‫פרק שני –חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬נתונות שתי כמויות התחלתיות זהות‪ ,‬האחת גדלה בצורה מעריכית והשנייה קטנה בצורה‬
‫מעריכית‪ .‬לשתי הכמויות אחוז גדילה‪/‬דעיכה קבוע והוא ‪.5%‬‬
‫א‪ .‬האם הזמן שבו הכמות הראשונה תגדל לכמות הכפולה מהכמות ההתחלתית שלה‬
‫שווה לזמן שבו תקטן הכמות השנייה למחצית מהכמות ההתחלתית שלה? נמק‬
‫והראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫ב‪ .‬ללא קשר לנתון הקודם‪ ,‬הראה כי כדי ששתי הכמויות יגיעו ליעדיהן באותו הזמן אז‬
‫הבסיסים שלהן ‪  q1 , q 2 ‬צריכים להיות מספרים הופכיים‪.‬‬
‫‪ .4‬נתונות הפונקציות הבאות‪ f ( x)  x 2  cos2 x :‬ו‪. g ( x)  x 2  sin 2 x -‬‬
‫א‪ .‬היעזר בזהות ל‪ cos 2 -‬הנמצאת בעמוד ‪ 2‬למטה בנוסחאון‬
‫הוכח כי ההפרש‪ f ( x)  g ( x) :‬שווה ל‪. cos 2x -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות בתחום‪.   x   :‬‬
‫ג‪ .‬ישר ‪  0  t  1 , x  t‬חותך את הגרפים בנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬ומהן מעבירים משיקים‬
‫לפונקציות‪ .‬ידוע כי ההפרש בין שיפוע המשיק של גרף הפונקציה )‪ g ( x‬לשיפוע‬
‫המשיק של גרף הפונקציה )‪ f ( x‬הוא ‪ .1‬מצא את כל הערכים האפשריים עבור ‪. t‬‬
‫‪ .5‬באיור מתוארים הגרפים של הפונקציות‪ f ( x)  ln  e x  1 :‬ו‪g ( x)  ln  e2 x  e3 x  -‬‬
‫בתחום‪. x  0 :‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הגרפים נחתכים על ציר ה‪. y -‬‬
‫מעבירים ישר ‪  a  1 , x  a‬המאונך לציר ה‪ x -‬אשר חותך את‬
‫הגרפים של שתי הפונקציות ויוצר את השטח ‪( S‬ראה איור)‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערכו של ‪ a‬עבורו מתקיים‪. S  4 :‬‬
‫‪y‬‬
‫‪S‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪xa‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪61‬‬
‫בחינה מספר ‪30‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתונה הסדרה ההנדסית הבאה‪ a1 , a2 , a3 , ..... , a2n :‬שמנתה היא ‪. q‬‬
‫בונים סדרה חדשה מריבועי כל האיברים הסדרה באופן הבא‪. a12 , a22 , a32 , ..... , a22n :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי היחס בין סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרת הריבועים ובין סכום כל‬
‫האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים‬
‫בסדרה הנתונה תלוי רק באיבר הראשון של הסדרה‪.‬‬
‫בסדרה הנדסית אינסופית יורדת שסכומה ‪ 640‬ידוע כי סכום ‪ 10‬האיברים הראשונים כאשר‬
‫מעלים אותם בריבוע גדול פי ‪ 320‬מסכום ‪ 10‬האיברים הראשונים העומדים במקומות האי‪-‬‬
‫זוגיים בסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את מנת הסדרה‪.‬‬
‫מחברים את כל איברי הסדרה החל מאיבר ‪ an‬כלשהו‪ .‬ידוע כי סכום זה קטן פי ‪ 16‬מסכום‬
‫הסדרה המקורי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את האיבר ‪. an‬‬
‫‪ .2‬במנסרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה הוא משולש ישר זווית ‪ABC  90‬‬
‫‪‬‬
‫הנקודות ‪ F ,E‬ו‪ G-‬הן בהתאמה אמצעי המקצועות '‪ A'C' ,B'C‬ו‪ AB-‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫מסמנים את מידות הבסיס ‪. AB  5t , BC 12 t :ABC‬‬
‫הזווית שבין הקטע ‪ GE‬ובין מישור הבסיס ‪ ABC‬היא‪. 36.86 :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את גובה המנסרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית שבין הקטע ‪ GF‬ובין מישור הבסיס ‪.ABC‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪ t‬אם ידוע כי אורך הקטע ‪ GF‬הוא‪ 3825 :‬ס"מ‪.‬‬
‫‪62‬‬
‫פרק שני –חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬לפניך הפונקציה הבאה‪. f ( x)  ln 1  ln x  :‬‬
‫א‪ .‬מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬הוכח כי הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .4‬לפניך הפונקציות הבאות‪ f ( x)   cos x :‬ו‪. g ( x)  cos x  1 -‬‬
‫הפונקציה )‪ f ( x‬מוגדרת בתחום ‪ 0.5  x  1.5‬והפונקציה )‪ g ( x‬מוגדרת‬
‫בתחום ‪. 0  x  2‬‬
‫א‪ .‬האם הגרפים חותכים את ציר ה‪ x -‬בתחום הנתון? הראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם הגרפים חותכים זה את בתחום הנתון? אם כן מצא את נקודות החיתוך‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה )‪ f ( x‬בתחום הנתון וקבע את סוגה‪.‬‬
‫ד‪ .‬לפניך ארבעה איורים‪ III , II , I :‬ו‪.IV-‬‬
‫קבע על סמך הסעיפים הקודמים איזה איור מתאר את הגרף של )‪ f ( x‬ואיזה מתאר‬
‫את הגרף של )‪ . g ( x‬נמק‪.‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪ .5‬נתונה הפונקציה‬
‫‪ex‬‬
‫‪ . f  x  ‬חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‬
‫ב‪ .‬נקודות קיצון‬
‫ד‪ .‬נקודות חיתוך עם הצירים‬
‫ה‪ .‬שרטוט‬
‫ג‪ .‬תחומי עלייה וירידה‬
‫בהצלחה!‬
‫‪63‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫בחינה ‪:1‬‬
‫‪. a8  384 .1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫א‪ 29.04 .‬ס"מ ב‪ 28.05 .‬ס"מ ג‪. 28.27 .‬‬
‫‪1 8‬‬
‫א‪max  2 , 2  , min 1, 0  )2( . 0  x )1( .‬‬
‫‪e e ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫(‪ )3‬עלייה‪ 1  x :‬או ‪ , 0  x  2‬ירידה‪. 1, 0  )4( . 2  x  1 :‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫ב‪ .‬בנק א'‪.‬‬
‫‪ 0.41‬יח"ש ‪. S ‬‬
‫‪ 0.192‬יח"ש ‪. S ‬‬
‫בחינה ‪:2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ 60.706 .2‬סמ"ק ‪. V ‬‬
‫‪ .3‬א‪ f ( x)  sin x  2cos2 x  2 .‬ב‪ 16.43 .‬שעות‪.‬‬
‫‪. a1 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. f ( x)  x  ln | x |  x  2 .4‬‬
‫‪ .5‬א‪ 1,1 .‬ב‪. a  5 .‬‬
‫‪S1‬‬
‫ג‪ 5.955 .‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪.‬‬
‫בחינה ‪:3‬‬
‫‪ 29 .1‬איברים‪.‬‬
‫‪. V  0.162d 3 .2‬‬
‫‪ .3‬א‪ .‬כל ‪ x‬ב‪max  0,3 , min  ln 3,1.59  .‬‬
‫ג‪ .‬תחומי עלייה‪ x  ln 3 :‬או ‪ x  0‬תחומי ירידה‪. 0  x  ln3 :‬‬
‫ד‪.  0,3 .‬‬
‫‪ .4‬א‪ a  7 .‬ב‪ x  ln 2 .‬ג‪ b  10 .‬ד‪ .‬לא‪.‬‬
‫‪. 16 : 00 .5‬‬
‫‪64‬‬
:4 ‫בחינה‬
. S  1594320 .‫ג‬
b5  648 .‫ב‬
bn1  3bn .‫ א‬.1
.V 
77 3
a .2
81
p  27 , q  35 .3
2
2
. min(e , e ) .‫ ב‬. 0  x  e .‫ א‬.4
. k  e2 .‫ ו‬.‫ אין‬.‫ ד‬. x  e ‫ וגם‬0  x  e2 :‫ ירידה‬, e2  x :‫ עלייה‬.‫ג‬
.‫ שנים‬7.47 .5
:5 ‫בחינה‬
. a19  59 .1
.‫ ס"מ‬8.271 .2
. 14.47 .‫ ד‬126.86 .‫ ג‬27.31 .‫ ב‬AB  t 15 .‫ א‬.3
. min(4, 1) .4
.  .‫ ב‬y  x  2 .‫ א‬.5
:6 ‫בחינה‬
. n  6 .‫ ג‬a10  4 .‫ ב‬a1  50 , d  6 .‫ א‬.1
8.1 .‫ ב‬.‫ ס"מ‬51 .‫ א‬.2
.‫ עצים‬100,000 .3
. x  4 e .‫ ד‬. 1, 0  ,  e,1 .‫ ג‬. f '( x) 
1
 0 :‫ מתקבל‬.‫ ב‬. x  1 .‫ א‬.4
2 x ln x
. a  ln 2 .5
65
‫בחינה ‪:7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .1‬א‪.‬‬
‫‪q 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a1 q 2 n 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪q 2 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪a1 q 2 n 1‬‬
‫‪q 1‬‬
‫‪ .2‬א‪ 160.68 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪Sn ( o‬‬
‫‪S2 n‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪ an  3‬ג‪. a5 , a6 .‬‬
‫ב‪ 2250 .‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪1 3 e ‬‬
‫‪ 1 e1.5 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. Max  ,‬ג‪ .‬עולה‪x  , x  :‬‬
‫‪ , Min  ,‬‬
‫‪ .3‬א‪ .‬כל ‪ . x‬ב‪ .‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 4 ‬‬
‫‪6 4 ‬‬
‫ד‪.  0,1 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫יורדת‪.  x  :‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫ה‪ .‬סקיצה בצד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .4‬א‪ f ( x)  2sin x  5sin x  2 x , a  2 .‬ב‪ ,   3  .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬לא‪ .‬אין פתרונות נוספים למשוואה בתחום הנתון‪ .‬ד‪. y  2 x  3 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .5‬א‪.‬‬
‫‪, g ( x) ‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ a  2 , f ( x) ‬ב‪ 1.76 .‬יחידות שטח ‪. S ‬‬
‫בחינה ‪:8‬‬
‫‪ .1‬א‪ .8 , 10 , 12 .‬ב‪ 5 .‬ג‪.6 .‬‬
‫‪ .2‬א‪ a 8.5 .‬ב‪ 6.9 .‬ג‪. a  2 .‬‬
‫‪ .3‬להלן הפתרון‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪ )1‬לא נכון‪ .‬תחום ההגדה של )‪ f ( x‬הוא‪ x  0 , x  1 :‬ותחום ההגדרה של )‪g ( x‬‬
‫הוא‪. x  0 :‬‬
‫‪ )2‬לא נכון‪ .‬לשתי הפונקציות נקודת קיצון שבה ‪ x  e‬אך עבור )‪ f ( x‬מדובר במינימום‬
‫ועבור )‪ g ( x‬מדובר במקסימום‪.‬‬
‫‪ )3‬לא נכון‪ .‬עבור )‪ : f ( x‬עולה‪ x  e :‬יורדת‪. x  1 , 0  x  e :‬‬
‫ועבור )‪ : g ( x‬עולה‪ 0  x  e :‬יורדת‪. x  e :‬‬
‫‪ )4‬נכון‪.‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.y‬‬
‫‪ y ‬ו‪-‬‬
‫ב‪ .‬לגבי כל נקודה נאמר כי שיעור ה‪ y -‬שלה הוא‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪x ln x‬‬
‫‪‬‬
‫נכפול‪ 1 :‬‬
‫‪.y‬‬
‫‪ln x x‬‬
‫‪66‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 5 ‬‬
‫‪ .4‬א‪.  0, 2  ;  , 0  ;  , 0  .‬‬
‫‪ 12 ‬‬
‫‪ 12 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪. min  0, 2  ; max  , 2  ; min  , 6  ; max  , 2  .‬‬
‫‪4 ‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬סקיצה בצד ד‪ 6  k  2 .‬וגם ‪ . k  2‬ה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .5‬א‪ A 1,  e  2  .‬ב‪ y    e  2  x .‬ג‪4.744 .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ S‬יחידות שטח‪.‬‬
‫בחינה ‪:9‬‬
‫‪ .1‬א‪ d  11 (ii) x  50 )i( .‬ב‪ a1  121 .‬ג‪. S  2156 .‬‬
‫‪ .2‬א‪ a tan )3( a sin  )2( a cos  )1( .‬ב‪. 53.13 .‬‬
‫‪ .3‬א‪ ₪ 75,858.5 .‬ב‪ .‬לאחר ‪ 15‬שנים‪.‬‬
‫‪ .4‬א‪ m  2 .‬ב‪ .‬פיתול‪ .‬הנגזרת חיובית לפניה ואחריה‪ .‬ג‪ 2 .‬נקודות‪ .‬ד‪.  0.5 ,0  , 1.5 ,0  .‬‬
‫‪ .5‬א‪f  x   4 5x  6  x , a  1 .‬‬
‫ב‪. x  1.2 .‬‬
‫‪27‬‬
‫‪54‬‬
‫ג‪ .  1.2,1.2  .‬ד‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪32‬‬
‫‪32‬‬
‫‪.y‬‬
‫ה‪ 0.48 .‬יחידות שטח ‪. S ‬‬
‫בחינה ‪:10‬‬
‫‪ .1‬א‪ a25  16,777, 216 .‬ב‪ .‬לפי הצעת השר יהיו לו ‪ 33,554,431‬אבנים ולפי הצעת המלך‬
‫יהיו לו ‪ 20,000,000‬אבנים‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫ג‪ .‬הסדרה שתתקבל לפי הצעת הבת היא‪ 4,16,64,..., 2 :‬וסכומה הוא‪.22,369,620 :‬‬
‫כדאי למלך לקבל את הצעת בתו‪.‬‬
‫‪ .2‬א‪ 10 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 5.21 .‬ס"מ‪ .‬ג‪ . 61 .‬ד‪. 42 .‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .3‬א‪ .  0,0  ,  0.23 ,0  .‬ב‪. Min  ,  27  , Max   , 27  .‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 6‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ . x  0.25 .‬ד‪ .‬סקיצה בצד‪.‬‬
‫‪1 26 x‬‬
‫‪ .4‬א‪ . x  0 .‬ב‪ .  64,0  ;  6,0  .‬ג‪ .‬הנגזרת‪ 0 :‬‬
‫‪6 x5/6‬‬
‫ד‪ .‬סקיצה בצד‪ .‬ה‪ .i .‬נכון‪ .ii .‬לא נכון‪ .‬החיתוך עם ציר ה‪ y -‬שונה‪ .iii .‬לא נכון‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ f '  x  ‬בת‪.‬ה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .5‬א‪, a  2 , b  4 .‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f ( x)  7  2 x ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ x  2 .‬ג‪ 11.54 .‬יחידות שטח ‪. S  6  ln 256 ‬‬
‫‪67‬‬
‫‪y‬‬
:11 ‫בחינה‬
a1q 2 n 1  q 
bn1 a2 n1  a2 n 2
a1q 2 n  a1q 2 n1



 q 2 .‫ ב‬q  0.6 .‫ א‬.1
2n2
2 n 1
2 n2
bn
a2 n 1  a2 n
a1q
 a1q
a1q
1  q 
. a1  200 .‫ד‬
S(bn ) 
a1 1  q 
b1
a a
a
 1 22 
 1  S( an ) .‫ג‬
2
1 q
1 q
1  q 1  q  1  q
.‫ ס"מ‬4.47 .‫ ב‬.‫ ס"מ‬4 .‫ א‬.2
‫ לשניהם אותו הסכום שכן אין משמעות‬.‫ ב‬.'‫ בנק ב‬.‫ א‬.3
. k  a18  a26  k 1.8 1.6  k 1.6 1.8  2.88k :‫לסדר‬
. 1  x  1 :‫ יורדת‬, x  1 , x  1 :‫ עולה‬.‫ ג‬. Max  1,16  ; Min 1,0  .‫ ב‬. k  9 .‫ א‬.4
.2 .‫ ה‬.‫ סקיצה בצד‬.‫ד‬
y
x
. S  ‫ יחידות שטח‬1.52 .‫ ב‬f ( x) 
e x  e2 x
, a  2 .‫ א‬.5
4
:12 ‫בחינה‬
. S9( o )  117 .‫ד‬
Sn ( o )  1.5n2  0.5n .‫ ג‬a1  1 , a2  -5 , a3  4 , a4  -2 , a5  7 .‫ א‬.1
. 73.89 .2
.‫ שנים‬16 ‫ מכונית א' ולאחר‬.‫ ב‬.‫ שנים‬22.46 ‫ לאחר‬.‫ א‬.3
y
x
.‫ סקיצה בצד‬.‫ג‬
 1, e  .‫ב‬
2
1
f ( x) 
e
3 x 2  6 x 1
, k  1 .‫ א‬.4
. 0  f ( x)  e2 ‫ נמצא בתחום‬f ( x) ‫ ניתן לראות עפ"י הגרף כי ערך הפונקציה‬.‫ד‬
.
68
S1 3  2

 1.538 .‫ ב‬y  1 .‫ א‬.5
S2 3  2
:13 ‫בחינה‬
. b5  3 .‫ ג‬a1  12 , d  3 .‫ ב‬.1
. PSA' B 'C ' D '  9a 2  PSABCD  7a 2 ‫ דנה טועה‬.‫ ג‬4
19
4
2
‫ פי‬.‫ ב‬VS'A'B'C'D'  a3  VSABCD  a3 .‫ א‬.2
82
3
3
.  0,0  .‫ ד‬b  5 .‫ג‬
x  ln 2 .‫ ב‬a  4 .‫ א‬.3
. x  1 :‫ יורדת‬x  7 :‫ עולה‬.‫ ג‬. x  7, 1 .‫ ב‬x  1 , x  7 .‫ א‬.4
.‫ תחומי העלייה והירידה הפוכים‬IV ‫ באיור‬.‫ גרף הפונקציה לא בתחום‬II-‫ ו‬I ‫ באיורים‬:‫ הסבר‬.III .‫ד‬
.‫יח"ש‬
11
.‫ב‬
28
1,1 .‫ א‬.5
:14 ‫בחינה‬
. S7*  61,034,375 .‫( ג‬i)(ii) an  5n1 a6 , a7 .‫ ב‬x  14 .‫ א‬.1
. a  5 .‫ ג‬70.6 .‫ ב‬a 7 .‫ א‬.2
.‫ ק"ג אצות‬653.48 .‫ ב‬a  1.017 .‫ א‬.3
.  ,0  ,  0, 2  .‫ א‬.4


. Max  0, 2  , Min  , 2.25  , Max  , 0  , Min 1 23  , 2.25 , Max  2 , 2  .‫ב‬
3


y
.‫ד‬
x
.0  x 

2

2
,   x  1  :‫יורדת‬
 x   , 1   x  2 :‫ עולה‬.‫ג‬
3
3
3
3

1
 1
. S  ‫ יח"ש‬3.07 .‫ ג‬Max  ln ,  ln16  2  .‫ ב‬f ( x)  2e2 x  9e x  2 x .‫ א‬.5
8
 4
69
‫בחינה ‪:15‬‬
‫‪ .1‬ב‪ S  22a1  693 .‬ג‪. a9  1 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .2‬ב‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. a1  16, q ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ .3‬א‪.  0.5 ,0  , 1.5 ,0  .‬‬
‫‪‬‬
‫‪  5‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪.  0,1 ,  ,1.29  ,  , 1.29  , 1.5 , 0  .‬‬
‫‪6‬‬
‫‪  6‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬סקיצה בצד‪ .‬ד‪ 2 .‬פתרונות‪.‬‬
‫‪ .4‬א‪ 1.3,0 .‬‬
‫‪ .  2,0  ,‬ב‪2 x  2.6 .‬‬
‫‪2 5‬‬
‫‪ , h  x    x  2 ‬כל ‪. x‬‬
‫ג‪ . Max  1,9  ; Min  2,0  .‬ד‪ .‬סקיצה בצד‪ .‬ה‪. 0  k  9 .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .5‬א‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ f ( x) ‬ב‪ 6  4ln 2 .‬יחידות שטח‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫בחינה ‪:16‬‬
‫‪ .1‬א‪ q  2 .‬ג‪. a1  2 .‬‬
‫‪ .2‬א‪ .‬הצורה היא פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע‪ .‬כל הקטעים‪ AE , BE , CE :‬ו‪DE-‬‬
‫שווים והבסיס ‪ ABCD‬הוא ריבוע לפי הנתון‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ . GAE  24.1 .‬ג‪ 341 .‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x  ‬ג‪ k  1 .‬ד‪.  0, 0  .‬‬
‫‪ x  ‬יורדת‪:‬‬
‫‪ .3‬א‪ a  2 .‬ב‪ .‬עולה‪:‬‬
‫‪ln 2‬‬
‫‪ln 2‬‬
‫‪ .4‬א‪ x  1 .‬ב‪ x  1 .‬ג‪ .‬עולה‪ x  1 :‬יורדת‪x  1 :‬‬
‫ד‪ .I .‬הסבר‪ :‬באיור ‪ II‬תחומי העלייה והירידה הפוכים‪ .‬באיורים ‪ III‬ו‪ IV-‬יש אסימפטוטה‬
‫מיותרת‪ .‬ה‪. x  1 ,  2  x  0 .‬‬
‫‪ .5‬א‪ .‬אין נקודות קיצון‪ ,‬הנקודה‪  ,   :‬היא נקודת פיתול‪.‬‬
‫ב‪ .‬השטח המתקבל הוא‪ S  0.5 2  2  2.934 :‬יחידות שטח‪.‬‬
‫‪70‬‬
‫בחינה ‪:17‬‬
‫‪ .1‬א‪ n  81.‬ב‪. n  16 .‬‬
‫‪.  m sin 2 cos   .2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪. Min  , 3 243  .3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .3‬א‪ .‬ב‪ 6.6%-‬ב‪y   x ln81  7 .1 .‬‬
‫ב‪(ii)  0,0  , Max  2 ,0  , Min  2 ,0  .‬פיתול‪.‬‬
‫‪ .4‬א‪ 0,0 ,  2 ,0  ,  2 ,0  .‬‬
‫‪ .5‬א‪ .‬נעזר באינטגרל הכללי ונקבל‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ dx    6  5 x  5 dx  ‬‬
‫‪5 c‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪5  54  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. f ( x)    ‬‬
‫‪ 5 6  5x 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫נציב את הנקודה‪ 1.2, 0  :‬ונקבל‪. 0   6  5 1.2  5  c  c  0 :‬‬
‫‪1‬‬
‫לכן הפונקציה היא‪. f ( x)   6  5 x  5 :‬‬
‫ב‪ .‬יש לחלק את השטח לשני חלקים‪.‬‬
‫החלק הראשון כלוא בין גרף הפונקציה )‪ g ( x‬וציר ה‪ x -‬והחלק השני כלוא בין גרף‬
‫הפונקציה )‪ f ( x‬וציר ה‪ . x -‬נמצא תחילה את נקודת החיתוך של הגרפים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫נשווה‪  6  5x  5  x10 :‬ונעלה בחזקת ‪ 10‬את המשוואה‪ x :‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 6  5x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.   6  5 x  5    x10 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪10‬‬
‫פתרון המשוואה הוא‪( x  1 :‬בדקו!) וזה הוא הגבול עבור כל שטח‪ .‬נחשב כל שטח בנפרד‪:‬‬
‫נמצא את הגבול התחתון של שטח זה ע"י‪. 10 x  0  x  0 :‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ 10‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪10‬‬
‫‪x‬‬
‫‪10‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  10  0  10 .‬‬
‫‪S1   g ( x)dx   x dx  11‬‬
‫‪‬‬
‫‪   11  11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪  0 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫הגבול העליון של שטח זה נתון בגוף התרגיל ולכן נקבל‪:‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  0    1   1‬‬
‫‪f ( x)dx    6  5 x  dx ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ 5 5 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ 6 6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪10 1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 1‬‬
‫השטח המבוקש הוא‪:‬‬
‫‪11 6‬‬
‫‪66‬‬
‫‪ S  S1  S2 ‬יחידות שטח‪.‬‬
‫‪71‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪S2 ‬‬
:18 ‫בחינה‬
. S6( p)  2730 .‫ ג‬a1  1 .‫ ב‬q  2 .‫ א‬.1
4a
 2.3a .‫ א‬.2
3
.14.82% .3
. x  ln 6 :‫ יורדות‬x  ln 6 :‫ עולות‬.‫ ב‬. a  12 , b  12 .‫ א‬.4
. P  15.46a 2 .‫ה‬
14.47 .‫ ד‬73.9 .‫ ג‬60 .‫ב‬
. k  8 .‫ג‬
MA 
S2  S1  ln16 .‫ ב‬S1  2ln k  ln16 , S2  2ln k .‫ א‬.5
:19 ‫בחינה‬
. a1  5 .‫ג‬
. S611  265458 .‫ ב‬an2  an  8  3n  4 )ii( a4 )i( .‫ א‬.1
2h 3
h 2
.‫ב‬
.‫ א‬.2
2
tan 
tan 
1
1
3
. y' 
 0 :‫ מתקבל‬.‫ד‬.  2, 0  .‫ג‬. x   ,1 .‫ ב‬. x   , x  1 .‫ א‬.3
2
2
 2 x  1 x  1
.
y
.‫ סקיצה בצד‬.‫ה‬
.‫ לא‬.‫ב‬
x
y
.‫ אסימפטוטה אנכית‬x  0 , x  0 .‫ א‬.4
. Min  4, 495.27  ; Max  2, 491.77  .‫ג‬
x
.‫ נכון‬.iii
.‫ יחידות שטח‬S 
.‫ לא נכון‬.ii
.‫ נכון‬.i .‫ה‬
.‫ סקיצה בצד‬.‫ד‬
1
1
 7 11
,
.‫ ג‬f ( x)   sin 2 x  cos x .‫ ב‬x  ,
.‫ א‬.5
2
2
2
6
6
:20 ‫בחינה‬
1
.‫ א‬.1
2
.‫ סמ"ר‬823 .‫ ג‬.‫ ס"מ‬21.44 .‫ ב‬.‫ ס"מ‬16-‫ ס"מ ו‬12 .‫ א‬.2
. a1  1024 .‫ ג‬.5 ‫ פי‬.‫ ב‬q 
y
. 5.95%-‫ ב‬.3
x
.  0.5 , 6  ,  0.5 ,6  , 1.5 , 6  .‫ ב‬. m  6 , k  7 .‫ א‬.4
.‫ בשתי נקודות‬.‫ סקיצה בצד‬.‫ג‬
2
.‫ יחידות שטח‬ln 5 13  1.674 .‫ ג‬ 2, 2  .‫ ב‬g ( x) 
.‫ א‬.5
2x  5
72
:21 ‫בחינה‬
. n  36 .‫ ג‬a1  8 , d  2 .‫ ב‬.1
.‫סמ"ק‬
15
15k 3 tan 
.‫ ב‬V 
.‫ א‬.2
8
3
 x2
4

. Max  2,  , Min  0, 0  .‫ ב‬f ( x)  x 2e 4 , a  1 , b  0.25 .‫ א‬.3
e

1
y
x
.0  k 
4
.‫ ה‬.‫ סקיצה בצד‬.‫ ד‬ 0, 0  .‫ג‬
e
.‫ קצה‬Min  9, 0  ,‫ קצה‬Min  0,0  ; Max  6,3.22  .‫ב‬
. 0  x  9 .‫ א‬.4
.B .‫ ה‬.‫ שני פתרונות‬k  1 .‫ אין פתרון‬k  2 .‫ ד‬. 6  x  9 :‫ יורדת‬, 0  x  6 :‫ עולה‬.‫ג‬
.‫ יחידות שטח‬S  1.5
3
 1.299 .‫ב‬
2
2 1 
,  .‫ א‬.5
 3 4
 0,1 , 
:22 ‫בחינה‬
.
S( an ) n
S(bn ) n

 
 

4 3n 1

1
1
n
n 1
a1q n 1  q6
bn1 an 1  6 an  2 a1q  6 a1q
2



 q  3 .‫ א‬.1
 .‫ב‬
 3
bn
an  16 an 1
a1q n1  16 a1q n a1q n 1 1  q6
31
6 3n 1

31
. b5 , b6 .‫ג‬
. 2 3m cos  .‫ ג‬.‫ המשולשים חופפים‬.‫ ב‬SD  AB  4m cos  .‫ א‬.2
.‫ שנים‬20.77 .‫ ב‬.‫ עופות‬4250 .‫ א‬.3
. x  0.5 .‫ א‬.4
.‫ד‬
y
.k  
x
4
 1.27 .‫ב‬

. Max  0,0  , Min  0.15 , 0.07  , Max  0.84 , 3.9  , Min  , 4  .‫ג‬
 1

.‫ יחידות שטח‬S  1.03 .‫ ג‬A 1, 4  , B 1 , 2.52  , C  0,1 .‫ ב‬.5
 3

73
‫בחינה ‪:23‬‬
‫‪ .1‬א‪ d1  4 .‬ב‪. a1  52 , b1  95 .‬‬
‫‪ .2‬א‪ 10 .‬ס"מ‪ .‬ב‪. 26.56 .‬‬
‫‪ .3‬ב‪. x  1 , e4  x  e1 .‬‬
‫ג‪ 2 (i) .‬נקודות והן‪ . 1, 0  ,  e2 , 0  :‬הנקודה שבה‪ x  0 :‬לא קיימת עקב ת‪.‬ה‪.‬‬
‫(‪. x  1 , x  e2 )ii‬‬
‫ד‪ – III .‬בראשית הצירים יש חור ולא אסימפטוטה‪ .‬שאר הנתונים כפי שהתקבלו בסעיפים הקודמים‪.‬‬
‫‪ .4‬א‪ y   cos x  0.5 , k  0.5 .‬ב‪.  ,0.25 .‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬לא – כל נקודות המינימום הן מוחלטות‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫‪45‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .5‬א‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ y  2‬ב‪ 4.56 .‬יחידות שטח ‪. S ‬‬
‫בחינה ‪:24‬‬
‫‪ .1‬א‪ 12 .‬לפי הראשונה ו‪ 8-‬לפי השנייה ב‪.₪ 45000.‬‬
‫‪ .2‬ב‪ .‬משולש שווה שוקיים‪ 66.42, 47.15 .‬ג‪84 .‬‬
‫ס"מ‪ .‬ד‪ 10 .‬ס"מ‪ .‬ה‪ 60 84 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ .3‬א‪ t  4 .‬ב‪. p  20% .‬‬
‫‪ .4‬א‪. x  0 .‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪,0 .‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪ e ,0 ,  e‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ . 1,0  ,‬ג‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪ .‬סקיצה בצד‪ .‬ה‪. 1,0  ,  e2 , 2  ,  e2 , 2  .‬‬
‫‪ .5‬א‪ .‬כל ‪. x‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫ב‪.  0, 0  ,  , 0  ,   , 0  .‬‬
‫‪8 ‬‬
‫‪ 8 ‬‬
‫‪74‬‬
‫‪1.5‬‬
‫ג‪ 0.2296.. .‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪.k  ‬‬
‫‪8‬‬
‫בחינה ‪:25‬‬
‫‪.1‬‬
‫א‪ .‬האיבר הראשון הוא‪ . a1  k :‬נציב ‪ n  1‬בכלל הנסיגה ונקבל‪. a2  8 1  k  3  11  k :‬‬
‫נציב ‪ n  2‬בכלל הנסיגה ונקבל‪. a3  8  2  11  k   3  k  8 :‬‬
‫נציב ‪ n  3‬בכלל הנסיגה ונקבל‪. a4  8  3   k  8  3  19  k :‬‬
‫ב‪ .‬נכתוב כלל נסיגה המקשר בין ‪ an‬ל‪ an  2 -‬ונראה כי הוא קבוע‪ .‬נציב ‪ n  1‬בכלל הנסיגה‬
‫הנתון ונקבל‪. an 2  8  n  1  an1  3 :‬נציב את ‪ an1  8n  an  3‬ונפשט‪:‬‬
‫‪. an2  8  n  1  8n  an  3  3  an  8‬‬
‫קיבלנו את הכלל‪ . an 2  an  8 :‬לכן‪ . an2  an  8 :‬ההפרש בין שני איברים העומדים‬
‫במקומות הזוגיים בסדרה הוא גודל קבוע (‪ )8‬וכן ההפרש בין שני איברים העומדים במקומות‬
‫האי‪-‬זוגיים בסדרה‪ .‬לכן שתי סדרות אלו הן חשבוניות והפרשן הוא ‪.8‬‬
‫ג‪ .‬נחלק את הסכום של ‪ 20‬האיברים לסכום של ‪ 10‬איברים העומדים במקומות הזוגיים וסכום‬
‫של ‪ 10‬איברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים‪ .‬נכתוב סכום לכל קבוצה‪.‬‬
‫סדרת האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים היא חשבונית שבה‪ . a1  k , d  8 :‬סכומה‬
‫‪10‬‬
‫הוא‪ . S10   2k  8  9   10k  360 :‬סדרת האיברים העומדים במקומות הזוגיים היא‬
‫‪2‬‬
‫חשבונית שבה‪ . a2  11  k , d  8 :‬סכומה הוא‪:‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ . S10   2 11  k   8  9   470  10k‬נחבר את הסכומים ונקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. S20  470  10k  10k  360  830‬‬
‫סכום ‪ 20‬האיברים הראשונים בסדרה הוא ‪.830‬‬
‫‪ .2‬א‪ )1( .‬נכון‪ .‬הנפח הוא‪ )2( . V  2k 3 :‬לא נכון‪ .‬הזוויות המתקבלות הן‪. 69.56 , 51.67 :‬‬
‫(‪ )3‬נכון‪ .‬מתקבל‪ . k 10.25  k 6.5 :‬ב‪. k  3 16 .‬‬
‫‪ .3‬א‪ .3.13% .‬ב‪.₪ 25,909 .‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .4‬א‪ . a  1 .‬ב‪ .‬כן‪ :‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪48‬‬
‫‪. 11, 2‬ג‪ .‬עולה‪ 1  x  11 :‬יורדת‪. x  1 , x  11 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ e3‬‬
‫ד‪ .  1,0  ,  7,0  ,  0, 7e  .‬ה‪ .‬סקיצה בצד‪.‬‬
‫‪ .5‬א‪ k  0 .‬ג‪ S  1.5  1 .‬יחידות שטח‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪75‬‬
‫‪y‬‬
‫בחינה ‪:26‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪bn 1‬‬
‫א‪ .‬כדי להוכיח כי סדרה היא הנדסית יש להראות‪ :‬קבוע ‪‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪ .‬לשם כך נבטא תחילה את‬
‫‪an 1  3‬‬
‫‪ bn 1‬באמצעות ‪ an‬ע"י הצבת ‪  n  1‬בנוסחה הנתונה עבור ‪: bn‬‬
‫‪an 1‬‬
‫‪. bn 1 ‬‬
‫‪2an‬‬
‫‪3‬‬
‫‪an  5‬‬
‫‪2an‬‬
‫‪. bn 1 ‬‬
‫‪ an 1 ‬ולכן‪:‬‬
‫מכלל הנסיגה נאמר כי‪:‬‬
‫‪2an‬‬
‫‪an  5‬‬
‫‪an  5‬‬
‫נצמצם את הביטוי ע"י מכנה משותף במונה ונקבל‪:‬‬
‫‪2an‬‬
‫‪2an  3an  15‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a 5‬‬
‫‪an  5‬‬
‫‪5a  15‬‬
‫‪ . bn 1  n‬כעת יש להראות כי המנה‬
‫‪‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪2an‬‬
‫‪2an‬‬
‫‪2an‬‬
‫‪an  5‬‬
‫‪an  5‬‬
‫גודל קבוע שאינו תלוי ב‪. n -‬‬
‫‪5an  15‬‬
‫‪an  5an  15  5  an  3‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2an‬‬
‫‪. n 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נחבר את הביטוי‪ 2.5 :‬‬
‫‪an  3‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪2 an  an  3 2  an  3‬‬
‫‪an‬‬
‫‪bn 1‬‬
‫‪bn‬‬
‫היא‬
‫קיבלנו כי המנה היא קבועה ולכן הסדרה הנדסית‪ .‬מנת הסדרה היא‪. q  2.5 :‬‬
‫ב‪ .‬לאחר שגילינו כי הסדרה ‪ bn‬היא הנדסית נוכל לכתוב את נוסחת האיבר הכללי שלה‪.‬‬
‫מנת הסדרה היא‪ q  2.5 :‬ואת האיבר הראשון נמצא ע"י הצבה של‪ n  1 :‬בכלל הנתון‪:‬‬
‫‪a1  3 6  3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1.5‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ . b1 ‬נוסחת האיבר הכללי תהיה‪. bn  1.5  2.5n1 :‬‬
‫ג‪ .‬כדי לחשב את הסכום המבוקש נעזר בעובדה שהסדרה ‪ bn‬היא הנדסית‪ .‬יש לחשב את‬
‫סכום ‪ 10‬האיברים הראשונים בסדרה ההנדסית הנ"ל כאשר מחליפים את הסימנים של כל‬
‫האיברים העומדים במקומות הזוגיים ולכן‪. b1  1.5 , q*  2.5 , n  10 :‬‬
‫נמצא את הסכום‪  4086.74 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪1.5  2.5  1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2.5  1‬‬
‫‪. S10* ‬‬
‫‪.2‬‬
‫א‪ .‬המשולש ‪ DOG‬אינו ישר זווית ואינו שווה שוקיים‪ .‬ניתן לחשב את שטחו בשתי דרכים‪:‬‬
‫‪ .1‬נבטא את האורכים של שתיים מצלעותיו‪ ,‬נמצא את הזווית שבניהן ונעזר בנוסחה‪:‬‬
‫‪. S  12 ab sin ‬‬
‫‪ .2‬נמצא את השטח של המשולשים '‪ ODD‬ו‪ D'OG-‬ונחסר את שטחיהם‪.‬‬
‫היות ומציאת הזויות שבין כל זוג צלעות במשולש אינה מלאכה פשוטה‪,‬‬
‫נבחר בדרך השנייה‪ .‬ידוע כי‪. DD'  h :‬‬
‫נמצא את אורך הקטע '‪ OD‬בריבוע הבסיס העליון‪.‬‬
‫לפי הנתונים נבחין כי ‪ EF‬הוא קטע אמצעים במשולש '‪.A'B'C‬‬
‫נסמן ב‪ M-‬את פגישת האלכסונים בריבוע ונשים לב כי‪. B'O  MO :‬‬
‫נמצא את האלכסון '‪ B'D‬ונחלק אותו ל‪ 4-‬חלקים‪ .‬הקטע ‪ D'O‬הוא ‪0.75‬‬
‫‪76‬‬
.0.25 ‫ הוא‬B'O ‫מהאלכסון והקטע‬
. B'D'  A'D'2  D'C'2  k 2  k 2  k 2 :‫ ע"י משפט פיתגורס‬B'D' ‫נחשב את‬
3
3
k :‫לכן‬
. D'O  k 2 
4
2 2
D'O  D'D
3
h 3kh

k 
. SODD' 
:‫ הוא ישר זווית ושטחו הוא‬ODD' ‫המשולש‬
2
2 2 2 4 2
:‫ הוא גם ישר זווית ושטחו הוא‬OGD' ‫המשולש‬
D'O  D'G
3
h  a 3k  h  a 

k

. SOGD' 
2
2
2 2
4 2
. SDOG  SODD'  SOGD'
.
:‫ מתקבל ע"י החיסור‬DOG ‫שטח המשולש‬
3kh 3k  h  a  3ka



4 2
4 2
4 2
:‫ נחבר משוואה לפי הנתון ונקבל‬.‫ב‬
a 1
 a  h  a  2a  h 

h 2
.‫ שנים‬12.96 .2 .5% .1 .‫ א‬.3
3ka 3k  h  a 

4 2
4 2
y
. f ( x) 
x
.y
1

.4  0,   .3
6

e2 x
, m  6 .1 .‫ב‬
x2  6
 e6 
1 

Max  2,  4  , Min  3,  .2
2e 

 3
1
e
x  ln 2 .‫ ג‬. y ' 
 0 :‫ מתקבל‬.‫ ב‬. x  e .‫ א‬.4
2e
x  x  e
. y  0.746 x  4.172 .iii
77
 0.75 ,

2  1 .ii
 0.5 ,3
.i .‫ ב‬.5
‫בחינה ‪:27‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .1‬א‪ q  .‬ב‪ a1  16 .‬ג‪. S  288 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.2‬‬
‫א‪ .‬ניצור משולש שבו נמצאת הזווית הנדרשת‪ .‬נוריד גובה ‪ EH‬ונתבונן במשולש ‪.EGH‬‬
‫המשולש הוא ישר זווית כי ‪ EH‬מאונך למישור הבסיס‪.‬‬
‫כדי למצוא את הזווית הנדרשת )‪ (EGH‬יש למצוא יחס בין שתי צלעות בתוך‬
‫משולש זה‪ .‬מהנתון כי ‪ BC‬גדול פי ‪3‬‬
‫מ‪ AB-‬נבחר לסמן‪ AB  x :‬ואז‪. BC  3x :‬‬
‫נבטא את היתר בבסיס ‪ ABC‬ע"י פיתגורס‪:‬‬
‫‪. AC  AB2  BC2  9 x2  x2  x 10‬‬
‫נשים לב כי הנקודות ‪ G‬ו‪ H-‬הן אמצעי המקצועות ‪ AB‬ו‪ ,BC-‬מה שגורר כי ‪ GH‬הוא‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫קטע אמצעים במשולש הבסיס ולכן‪. GH  AC  x 10  x 2.5 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫עד כה ביטאנו צלע אחת במשולש ‪ GHE‬באמצעות ‪ . x‬את הצלע הנוספת נבטא ע"י‬
‫היעזרות בנתון כי‪ ABB'A' :‬ריבוע‪ .‬לפי הסימון שלנו נקבל כי‪. AB  BB'  x :‬‬
‫הקטע המורד ‪ EH‬שווה בגודלו לגובה המנסרה‪. EH  x :‬‬
‫לאחר שמצאנו קשר בין שתי צלעות ניתן לחשב את הזווית הנדרשת‪:‬‬
‫‪EH‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪tan EGH ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ EGH  32.31‬‬
‫‪GH x 2.5‬‬
‫‪2.5‬‬
‫ב‪ .‬נטיל את ‪ GE‬על מישור הפאה ‪ .AA'B'B‬נשים לב כי היות ובסיס המנסרה הוא משולש‬
‫ישר זווית אז המקצוע '‪ B'C‬מאונך למישור הפאה ‪ AA'B'B‬ולכן גם הקטע ‪ .B'E‬נתבונן‬
‫במשולש ‪ .EB'G‬יש למצוא את זווית ‪ B'GE‬וזאת נבצע ע"י מציאת יחסים בשתי צלעות‬
‫שבו‪ .‬הנקודה ‪ E‬היא אמצע '‪ B'C‬ולכן‪( B'E  1.5x :‬לפי הסימון שלעיל)‪.‬‬
‫את אורך הקטע ‪ B'G‬נמצא ע"י משפט פיתגורס בפאה ‪ AA'B'B‬כאשר‪:‬‬
‫‪. BG  0.5x , BB'  x‬‬
‫נקבל‪. B'G  BG 2  BB'2  0.25x2  x2  x 1.25 :‬‬
‫‪B'E‬‬
‫‪1.5 x‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כעת נחשב את הזווית‪ B'GE  53.3 :‬‬
‫‪. tan B'GE ‬‬
‫‪B'G x 1.25‬‬
‫‪1.25‬‬
‫ג‪ .‬המשולש '‪ EGA‬הוא משולש כללי‪ .‬כדי למצוא את הזווית המבוקשת נוריד גובה ‪ A'M‬ל‪EG-‬‬
‫ונפצל את החיפוש לשני משולשים‪ .‬נמשיך בעיקרון של ביטוי צלעות במשולש זה ע"י ‪ x‬ונחשב‬
‫את שני חלקי הזווית‪ .‬נשים לב כי‪( GA'M  21 :‬המשולש ‪ A'MG‬ישר זווית)‪.‬‬
‫את הצלע ‪ A'E‬נבטא ממשולש ‪ A'B'E‬שבבסיס העליון באמצעות פיתגורס ונקבל‪:‬‬
‫‪. A'E  A'B'2  B'E2  x2  2.25x2  x 3.25‬‬
‫במישור הפאה ‪ AA'B'B‬מתקיים‪. B'G  A'G  x 1.25 :‬‬
‫נבטא את ‪ A'M‬במשולש שלנו‪. A'M  x 1.25 sin 69  1.04 x :‬‬
‫‪78‬‬
. cos EA'M  A'M  1.04 x  1.04  EA'M 54.62  :EA'M ‫נמצא את זווית‬
A'E x 3.25
3.25
. GA'E  75.6 :‫לכן הזווית המבוקשת היא‬
y
.‫ דבורים‬3000 .2 .4.1%-‫ ב‬.1 .‫ א‬.3
3 

. Min  1.5, 3 e3  :‫ נקודת הקיצון היא‬. x  0, 1.5 .1 .‫ב‬
8 

.‫ שתי נקודות‬.4 y  0 .2
.3
x
a 

. x  1  a .iv.  0,
 .iii.  e  a, e  .ii
 ln a 
:‫ סקיצה‬.‫ג‬
y
. x  a , x  1  a .i .‫ א‬.4
k  e .‫ד‬
a  2 .‫ב‬
. a  2 .‫ ב‬y '  xe x .‫ א‬.5
x
:28 ‫בחינה‬
. 19.84 .‫ ב‬.‫ ס"מ‬5 ,‫ ס"מ‬13 ,‫ ס"מ‬13 .‫ א‬.1
 1 
 1

.‫ ימים‬9.36 .‫ ב‬min 1 ,0  , max  3 ,0.483  , b  12 , a  4 .‫ א‬.2
 2 
 2

. 0  x  1 :‫יורדת‬
x  1 :‫עולה‬3
Min 1,1 .2 x  0 .ii x  0 .i.1 .‫ב‬
16.63% .‫ א‬.3
. min(4, 1) .‫ ב‬. 0  x .‫ א‬.4
. (1,0) , (16,0) .‫ ד‬. 0  x  4 :‫ ירידה‬, 4  x :‫ עלייה‬.‫ג‬
.‫ יחידות שטח‬S  2  2  4  11.74
.5
:29 ‫בחינה‬
.1
.‫ הוא גודל קבוע‬bn1  bn ‫ יש להראות כי ההפרש‬.‫א‬
: an ‫ באמצעות‬bn 1 ‫נבטא את‬
. bn 1 
4  7an 1

an 1
7  3an
8an  12  21an
2an  3
2an  3
8a  12  21an 12  13an

 n

3an
3an
3an
3an
2an  3
2an  3
4
79
‫נראה כי החיסור קבוע‪:‬‬
‫‪12-13an 4-7an 12  13an  3  4  7an  12  13an  12  21an 8an‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3an‬‬
‫‪an‬‬
‫‪3an‬‬
‫‪3an‬‬
‫‪3an‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫קיבלנו גודל קבוע שאינו תלוי ב‪ n -‬ולכן הסדרה ‪ bn‬היא חשבונית והפרשה הוא ‪. d  2‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪ .‬יש לחשב את סכום ‪ 11‬האיברים העומדים במקומות הזוגיים של הסדרה החשבונית ‪. bn‬‬
‫‪bn1 -bn ‬‬
‫‪11   1  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫נקבל‪2  2   5 10   267 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪2   3 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪. S11 p  ‬‬
‫‪ .2‬א‪ 11.16 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 53.13 .‬ג‪ 47.27 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ .3‬א‪ .‬הכמות השנייה תגיע ליעדה לפני הראשונה ‪ . 13.5  14.2 ‬ב‪ .‬נשווה את שני הביטויים של‬
‫‪ln 0.5 ln 2‬‬
‫זמן ונקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ln a1 ln a2‬‬
‫או‪. ln a1   ln a2 :‬‬
‫ע"י הוצאת ‪ ln‬נקבל‪ a1  a2  1 :‬והרי שמכפלת מספרים הופכיים היא ‪.1‬‬
‫‪ 5‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .4‬ב‪ .   , 6.05  ,   ,1.11 ,  ,1.11 ,  , 6.05  .‬ג‪.‬‬
‫‪12 12‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪  4‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ .5‬ב‪. a  2 .‬‬
‫‪80‬‬
‫‪. t1,2 ‬‬
‫בחינה ‪:30‬‬
‫‪a12  q 2 n  1‬‬
‫‪q2 1‬‬
‫‪ .1‬א‪ a1 .‬‬
‫‪a1  q 2 n  1‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪Sn ( s‬‬
‫) ‪Sn ( o‬‬
‫ב‪ q  0.5 .‬ג‪. a5  20 .‬‬
‫‪q2 1‬‬
‫‪ .2‬א‪ 4.875t .‬ב‪ 39.1 .‬ג‪. t  8 .‬‬
‫‪ .3‬א‪( . 0  x  e .‬שימו לב כי תנאי ת‪.‬ה‪ .‬הם‪ 1  ln x  0 :‬וגם ‪.) x  0‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ 0 .‬‬
‫‪x 1  ln x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1x‬‬
‫‪1  ln x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ - f '( x) ‬ולכן הפונקציה יורדת בת‪.‬ה‪.‬‬
‫ג‪ . 1, 0  .‬ד‪ .‬סקיצה בצד‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .4‬א‪ .‬כן‪. g ( x) :  , 0  , f ( x) :  0.5 ,0  , 1.5 ,0  .‬‬
‫‪ 2 1   4 1 ‬‬
‫‪ . ‬ג‪. Max  ,1 .‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫ב‪ .‬כן‪ .‬‬
‫‪2  3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3‬‬
‫ד‪ .‬איור ‪ . g ( x) - I‬איור ‪ . f ( x) - II‬ניתן לאמת זאת עפ"י הסעיפים הקודמים‪.‬‬
‫‪ 27 ‬‬
‫‪ .5‬א‪ .‬כל ‪ x‬ב‪. max  3, 3  .‬‬
‫‪ e ‬‬
‫ג‪ .‬תחומי עלייה‪ , x  3 :‬תחומי ירידה‪ x  3 :‬ד‪.  0,0  .‬‬
‫‪81‬‬