מתמטיקה - משרד החינוך

‫מדינת ישראל‬
‫‬
‫סוג הבחינה‪:‬‬
‫‬
‫מועד הבחינה‪:‬‬
‫מספר השאלון‪:‬‬
‫‬
‫נספח‪:‬‬
‫משרד החינו ך‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫בגרות לבתי ספר על־יסודיים‬
‫חורף תשע"א‪2011 ,‬‬
‫‪035807‬‬
‫דפי נוסחאות ל־‪ 4‬ול־‪ 5‬יחידות לימוד‬
‫ מתמטיקה‬
‫‪ 5‬יחידות לימוד — שאלון שני‬
‫תכנית ניסוי‬
‫(שאלון שני לנבחנים בתכנית ניסוי‪ 5 ,‬יחידות לימוד)‬
‫הוראות לנבחן‬
‫א‪.‬‬
‫משך הבחינה‪ :‬שעתיים‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מבנה השאלון ומפתח ההערכה‪ :‬בשאלון זה שני פרקים‪.‬‬
‫פרק ראשון — גאומטריה אנליטית‪ ,‬וקטורים‪,‬‬
‫‬
‫‬
‫טריגונומטריה במרחב‪,‬‬
‫‬
‫‬
‫מספרים מרוכבים‬
‫פרק שני‬
‫‬
‫‬
‫— גדילה ודעיכה‪,‬‬
‫פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות‬
‫—‬
‫‪1‬‬
‫‪33 3 #2‬‬
‫—‬
‫‬
‫—‬
‫‪1‬‬
‫‪33 3 #1‬‬
‫—‬
‫סה"כ —‬
‫‪2‬‬
‫‪66 3‬‬
‫נקודות‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪33 3‬‬
‫נקודות‬
‫‪ 100‬נקודות‬
‫‬
‫ג‪ .‬חומר עזר מותר בשימוש‪:‬‬
‫(‪ )1‬מחשבון לא גרפי‪ .‬אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות‪.‬‬
‫שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות במחשבון עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫‬
‫(‪ )2‬דפי נוסחאות (מצורפים)‪.‬‬
‫ד‪ .‬הוראות מיוחדות‪:‬‬
‫(‪ )1‬אל תעתיק את השאלה; סמן את מספרה בלבד‪.‬‬
‫(‪ )2‬התחל כל שאלה בעמוד חדש‪ .‬רשום במחברת את שלבי הפתרון‪ ,‬גם כאשר‬
‫החישובים מתבצעים בעזרת מחשבון‪.‬‬
‫‬
‫הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת‪.‬‬
‫‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫‬
‫(‪ )3‬לטיוטה יש להשתמש במחברת הבחינה או בדפים שקיבלת מהמשגיחים‪.‬‬
‫שימוש בטיוטה אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫‬
‫ההנחיות בשאלון זה מנוסחות בלשון זכר ומכוונות לנבחנות ולנבחנים כאחד‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪/‬המשך מעבר לדף‪/‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"א‪ ,‬מס' ‪035807‬‬
‫‪ +‬נספח‬
‫‪--‬‬
‫השאלות‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫‬
‫פרק ראשון — גאומטריה אנליטית‪ ,‬וקטורים‪ ,‬טריגונומטריה במרחב‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫מספרים מרוכבים ( ‪ 66 3‬נקודות)‬
‫‪1‬‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-1‬לכל שאלה — ‪ 33 3‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪ A‬ו– ‪ B‬הן נקודות כלשהן על‬
‫‬
‫הפרבולה ‪p 2 0 , y2 = 2px‬‬
‫‬
‫כך שהמיתר ‪ AB‬מקביל לציר ה– ‪. y‬‬
‫‬
‫ישר‪ ,‬המשיק לפרבולה בנקודה ‪, A‬‬
‫‬
‫חותך בנקודה ‪ C‬את הישר שעובר‬
‫‬
‫דרך הנקודה ‪ B‬ומקביל לציר ה– ‪( x‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫הבע באמצעות ‪ p‬את משוואת המקום הגאומטרי של הנקודות ‪C‬‬
‫א‪)1( .‬‬
‫הנוצרות באופן שתואר‪.‬‬
‫‬
‫(‪ )2‬סרטט במערכת צירים סקיצה של המקום הגאומטרי שאת משוואתו מצאת‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫נתון כי שיעור ה– ‪ y‬של נקודה ‪ , C‬הנמצאת על המקום הגאומטרי שאת משוואתו‬
‫מצאת‪ ,‬הוא ‪. y =-2p‬‬
‫‬
‫חשב במקרה זה את הזווית שבין המשיק לפרבולה‪ , CA ,‬ובין ציר ה– ‪. x‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"א‪ ,‬מס' ‪035807‬‬
‫‪ +‬נספח‬
‫‪-‬‬‫‪.2‬‬
‫נתון מקבילון '‪ABCDA'B'C'D‬‬
‫‬
‫(גוף שכל פאותיו הן מקביליות)‪.‬‬
‫'‪C‬‬
‫‪K‬‬
‫נקודה ‪ L‬היא אמצע המקצוע '‪. DD‬‬
‫‬
‫נקודה ‪ E‬נמצאת על המקצוע '‪BB‬‬
‫‪'E‬‬
‫‪. B‬‬
‫כך ש– ‪EB = 3‬‬
‫‬
‫‬
‫‪C‬‬
‫נתון כי המקצוע '‪ AA‬מאונך למישור ‪. AEL‬‬
‫‬
‫‬
‫המישור חותך את המקצוע '‪ CC‬בנקודה ‪K‬‬
‫‬
‫(ראה ציור)‪.‬‬
‫‬
‫נסמן‪AB = u :‬‬
‫‪,‬‬
‫‪AD = v‬‬
‫'‪D‬‬
‫‪,‬‬
‫'‪B‬‬
‫'‪A‬‬
‫‪L‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪CK = mCC' , AA' = w‬‬
‫‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את הערך של ‪. m‬‬
‫‬
‫ב‪.‬‬
‫נתון כי ההצגה הפרמטרית של הישר '‪ CC‬היא )‪, x = (4, 5, 8) + t (1, - 1, 2‬‬
‫הנקודה )‪ (2, - 1, 3‬נמצאת במישור ‪ , AEL‬ושיעורי הקדקוד '‪ C‬הם )‪. (x, y, 0‬‬
‫‬
‫מצא את מרחק הקדקוד ‪ C‬מהמישור ‪. AEL‬‬
‫‬
‫‪ z2 , z1‬ו– ‪ z3‬הם שלושה מספרים מרוכבים שונים הנמצאים על ישר אחד שעובר‬
‫‪.3‬‬
‫דרך ראשית הצירים‪ z1 .‬ו– ‪ z2‬נמצאים ברביע הראשון‪ ,‬ו– ‪ z3‬נמצא ברביע השלישי‪.‬‬
‫נסמן )‪. z1 = r1 (cos α + i sin α‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪z -z‬‬
‫האם המנה ‪ z1 - z3‬היא מספר ממשי‪ ,‬מספר מדומה טהור או מספר שהוא לא ממשי‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫ולא מדומה טהור? נמק‪.‬‬
‫‪z -z‬‬
‫נתון גם כי ‪ z1‬ו– ‪ z3‬נמצאים על מעגל היחידה‪ ,‬ו– ‪. z1 - z3 = 12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הערך המוחלט של ‪. z2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‬
‫‪ z 4‬הוא הצמוד של ‪. z1‬‬
‫הבע באמצעות ‪ α‬את שטח המשולש הנוצר על ידי הנקודות ‪. z 4 , z3 , z1‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/4‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"א‪ ,‬מס' ‪035807‬‬
‫‪ +‬נספח‬
‫‪--‬‬
‫פרק שני — גדילה ודעיכה‪ ,‬פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות‬
‫ ( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על אחת מהשאלות ‪.5-4‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫‬
‫נתונות שלוש פונקציות‪: III , II , I ,‬‬
‫‪III. y = ,nx + 2x - 4‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪II. y = ,nx‬‬
‫‪I. y = - 2x + 4‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של כל אחת מהפונקציות‪ ,‬ומצא את האסימפטוטות שלהן‬
‫המקבילות לצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫(‪ )1‬סרטט במערכת צירים אחת סקיצה של גרף הפונקציה ‪ I‬וסקיצה של גרף‬
‫ב‪.‬‬
‫‬
‫הפונקציה ‪ . II‬ציין מספרים על ציר ה– ‪. x‬‬
‫(‪ )2‬הסבר מדוע נקודת החיתוך בין הגרפים של הפונקציות ‪ I‬ו– ‪ II‬חייבת להימצא‬
‫‬
‫בתחום ‪. 1 1 x 1 2‬‬
‫(‪ )1‬מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה ‪( III‬אם יש כאלה)‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫(‪ )2‬ציין בין אילו ערכי ‪ x‬שלמים ועוקבים נמצאת נקודת החיתוך של גרף‬
‫‬
‫הפונקציה ‪ III‬עם ציר ה– ‪ . x‬נמק‪.‬‬
‫(‪ )3‬לגרפים שסרטטת בתת–סעיף ב (‪ ,)1‬הוסף בקו מרוסק (‪ )---‬סקיצה של‬
‫‬
‫ד‪.‬‬
‫גרף הפונקציה ‪. III‬‬
‫חשב את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציה ‪ , II‬על ידי הגרף של פונקציה ‪III‬‬
‫ועל ידי הישרים ‪ x = 1.5‬ו– ‪. x = 2.5‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/5‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"א‪ ,‬מס' ‪035807‬‬
‫‪ +‬נספח‬
‫‪-‬‬‫נתונה הפונקציה ‪. f (x) = (1 + x) e- x‬‬
‫‪.5‬‬
‫א‪.‬‬
‫הראה כי ‪. f '(x) = - xe- x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה )‪ , f(x‬וקבע את סוגן‬
‫‬
‫(אם יש כאלה)‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את השיעורים של נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f(x‬עם הצירים‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f(x‬‬
‫הראה כי עבור ‪ a 2 0‬מתקיים‬
‫ה‪.‬‬
‫(‪)1‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‬
‫‪a‬‬
‫‪# f (x) dx 1 e‬‬
‫‪.‬‬
‫‪-1‬‬
‫חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪ , f(x‬על ידי ציר ה– ‪x‬‬
‫ועל ידי ציר ה– ‪. y‬‬
‫(‪ )2‬הסבר מדוע עבור ‪ a 2 0‬מתקיים‬
‫‪a‬‬
‫‪# f (x) dx 2 e - 2‬‬
‫בהצלחה!‬
‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬
‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬
‫‪-1‬‬
‫‪.‬‬