18 מבחן בגרות מספר

‫מבחן בגרות מספר ‪18‬‬
‫קיץ תשע"ד‪ ,2014 ,‬מועד ג‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 3-1‬‬
‫‪.1‬‬
‫שני פועלים‪ ,‬פועל ‪ I‬ופועל ‪ , II‬מתקנים כביש‪ .‬ההספק של כל אחד משני‬
‫הפועלים קבוע‪ .‬ביום הראשון עבד פועל ‪ I‬לבד ‪ 4‬שעות‪ ,‬ואז הצטרף אליו‬
‫פועל ‪ , II‬והם עבדו יחד עוד ‪ 3‬שעות‪.‬‬
‫התברר כי ביום הראשון ביצעו הפועלים סך הכול ‪ 60%‬מהתיקו ן כולו‪.‬‬
‫ביום השני עבדו הפועלים יחד כל הזמן כך שסך הכול בשני ימי העבודה‬
‫ביצע כל אחד מהפועלים בדיוק מחצית מהתיקון כולו‪.‬‬
‫מצא כמה שעות עבדו הפועלים יחד ביום השני‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫נתונה סדרה חשבונית שיש בה ‪ n‬איברים )‪: (n  2‬‬
‫‪a1 , a 2 , a 3 , ... , a n 1 , a n‬‬
‫הפרש הסדרה הנתונה הוא ‪. d‬‬
‫מהסדרה הנתונה בנו סדרה חדשה של הפרשי ריבועים‪:‬‬
‫‪, ... , a 2n  a n2 1‬‬
‫‪ a 22‬‬
‫‪a 32‬‬
‫‪ a 21 ,‬‬
‫‪a 22‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הסדרה החדשה היא סדרה חשבונית שההפרש שלה הוא ‪. 2d 2‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪. a 22  a 21  64 :‬‬
‫הבע את האיבר האחרון בסדרה החדשה באמצעות ‪ n‬ו‪. d -‬‬
‫ג‪ .‬נתון גם‪d 2  1 , a 2n  a 2n 1  192 :‬‬
‫מצא את תחום הערכים של ‪. n‬‬
‫‪75‬‬
‫‪.3‬‬
‫מבין העובדים בחברה גדולה בוחרים באקראי ‪ 4‬עובדים‪.‬‬
‫ההסתברות שלכל היותר ל‪ 3 -‬עובדים יש השכלה גבוהה היא ‪. 255‬‬
‫‪256‬‬
‫א‪ .‬לאיזה אחוז מהעובדים יש השכלה גבוהה?‬
‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שמבין ‪ 4‬עובדים שבוחרים באקראי‪,‬‬
‫ל‪ 3 -‬אין השכלה גבוהה?‬
‫ג‪ 40% .‬מעובדי החברה הן נשים‪ .‬ל‪ 1 -‬מהנשים יש השכלה גבוהה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫מבין העובדים שיש להם השכלה גבוהה בחרו באקראי שני עובדים‪.‬‬
‫מהי ההסתברות ששני העובדים הם נשים?‬
‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫ענה על אחת מבין השאלות ‪. 5-4‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪C‬‬
‫במרובע ‪ BDEC‬המשכי הצלעות ‪ BD‬ו‪CE -‬‬
‫נפגשים בנקודה ‪ , A‬כמתואר בציור‪.‬‬
‫נתון כי המרובע ‪BDEC‬‬
‫‪E‬‬
‫הוא בר‪ -‬חסימה במעגל‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. ADE  ACB‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫נתון‪ :‬שטח המשולש ‪ ACB‬גדול פי ‪ 4‬משטח המשולש ‪. ADE‬‬
‫נקודה ‪ F‬נמצאת על הצלע ‪ ED‬כך ש‪. EAF  DAF -‬‬
‫המשך ‪ AF‬חותך את ‪ BC‬בנקודה ‪. G‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬הוכח כי ‪. AEF  ABG‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את היחס ‪EF‬‬
‫‪BG‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי ‪GC  AD‬‬
‫‪.‬‬
‫‪BG AE‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.‬‬
‫נתון משולש שווה‪ -‬שוקיים ‪ ADC‬שבו ‪. AD  AC‬‬
‫נקודה ‪ B‬נמצאת על הצלע ‪DC‬‬
‫כך ש‪ AB  BC -‬ו‪) DC  3BC -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את גודל הזוויות במשולש ‪. ADC‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי שטח המשולש ‪ADC‬‬
‫הוא ‪ 16 3‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ BT‬הוא גובה לצלע ‪ AC‬במשולש ‪. ABC‬‬
‫מצא את האורך של הקטע ‪. DT‬‬
‫‪76‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות רציונליות ‪ ,‬של פונקציות שורש ושל פונקציות‬
‫טריגונומטריות‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 8-6‬‬
‫‪.6‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪cos x‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪ f (x)  2x ‬בתחום ‪. 0  x  ‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה )‪? f (x‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬מצא את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה )‪ , f (x‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬סרטט סקיצה של גר ף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ג‪ .‬העבירו משיק לגרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫השיפוע של משיק זה הוא המקסימלי מבין השיפועים של כל המשיקים‬
‫לגרף הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬
‫מצא את הזווית שמשיק זה יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה‪. x -‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪y‬‬
‫בציור שלפניך מוצגת סקיצה של גרף‬
‫הפונקציה‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪12x  x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪, f (x) ‬‬
‫שתחום ההגדרה שלה‬
‫הוא ‪. x  2 3 , 0  x  2 3‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬הישר ‪ y  k‬חותך את גרף‬
‫הפונקציה )‪ f (x‬בשתי נקודות בדיוק‪.‬‬
‫מצא את תחום הערכים של ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה ‪, g(x)  12x  x 3‬‬
‫שתחום ההגדרה שלה הוא ‪. x  2 3 , 0  x  2 3‬‬
‫) ‪ ( 1‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )‪. g(x‬‬
‫) ‪ ( 2‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. g(x‬‬
‫) ‪ ( 3‬עבור הערכים של ‪ k‬שמצאת בסעיף א'‪ ,‬מצא בכמה נקודות‬
‫חותך הישר ‪ y  k‬את גרף הפונקציה )‪. g(x‬‬
‫‪77‬‬
‫‪.8‬‬
‫נתון כי הפונקציה )‪ f (x‬מוגדרת לכל ‪ , x‬ומקיימת‪. f '(x)  x 2  6x  5 :‬‬
‫א‪ .‬הישר ‪ y  10 2‬משיק לגרף הפונקציה )‪ f (x‬בנקודת המקסימום שלה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה )‪, f (x‬‬
‫וקבע את סוגן‪.‬‬
‫נתון כי הפונקציה )‪ f (x‬מוגדרת לכל ‪ , x‬ומקיימת‪. f '(x)  g '(x) :‬‬
‫ב‪ .‬המרחק בין נקודת המקסימום של )‪ f (x‬לנקודת המקסימום של )‪g(x‬‬
‫הוא ‪ . 1‬מצא את השיעורים של נק ודות הקיצון של הפונקציה )‪, g(x‬‬
‫וקבע את סוגן‪ .‬מצא את שתי האפשרויות‪.‬‬
‫ג‪ ( 1 ) .‬סרטט באותה מערכת צירים סקיצה של גרף הפונקציה )‪f (x‬‬
‫וסקיצות של שני הגרפים האפשריים של )‪. g(x‬‬
‫) ‪ ( 2‬כמה נקודות פגישה עם ציר ה‪ x -‬יש לכל אחד משלושת הגרפים‬
‫שסרטטת?‬
‫‪78‬‬
‫תשובות למבחן בגרות מספר ‪ – 18‬קיץ תשע"ד‪ , 2014 ,‬מועד ג ‪:‬‬
‫‪ 3 . 1‬שעות‪ . 2 .‬ב‪. 64  (n  2)  2d 2 .‬‬
‫‪ . 3‬א‪ . 25% .‬ב‪ . 27 .‬ג‪ . 4 . 0.16 .‬ב‪. 1 ( 2 ) .‬‬
‫‪64‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪. 2  n  66 .‬‬
‫‪ . 5‬א‪. 120 , 30 , 30 .‬‬
‫ב‪ 10.58 .‬ס"מ ‪ 4 7 ‬ס"מ ‪.‬‬
‫‪ . 6‬א‪ . 0  x   .‬ב‪. x   , x  0 ( 1 ) .‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪  4 ; 2  1 (2‬מינימום‪ 34 ; 32  1 ,‬‬
‫מקסימום‪.‬‬
‫)‪(3‬‬
‫ג‪. 45 .‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.7‬‬
‫א‪. 0  k  4 .‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬עלייה‪; 0  x  2 :‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪y‬‬
‫ירידה‪ 2  x  2 3 :‬או ‪. x  2 3‬‬
‫) ‪ ( 3‬ב‪ 3 -‬נקודות‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ (1;10 2 ) .‬מקסימום‪ (5;0) ,‬מינימום‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪ .‬אפשרות א'‪ (1;11 2 ) :‬מקסימום‪ (5;1) ,‬מינימום‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫אפשרות ב'‪ (1;9 ) :‬מקסימום‪ (5; 1) ,‬מינימום‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y‬‬
‫ג‪( 1 ) .‬‬
‫‪x‬‬
‫) ‪ ( 2‬לגרף של )‪) f (x‬המצויר בקו מלא( יש שתי נקודות פגישה‬
‫עם ציר ה‪. x -‬‬
‫לגרף העליון של )‪) g(x‬המצויר בקו מקווקו( יש נקודת פגישה‬
‫אחת עם ציר ה‪. x -‬‬
‫לגרף התחתון של )‪) g(x‬המצויר בקו מקווקו( יש ‪ 3‬נקודות‬
‫פגישה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪79‬‬