035804

‫‪-2-‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬דצמבר ‪ ,4102‬תשע"ה‪ ,‬מועד ד‪,‬‬
‫מס' ‪+802 ,185312‬נספח‬
‫ההששאאללו ותת‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה גאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות‬
‫)‪ 40‬נקודות (‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 0-8‬לכל שאלה ‪ 20 −‬נקודות )‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .0‬סוחר קנה מספר מסוים של מזגנים‪ ,‬כולם באותו מחיר‪.‬‬
‫כאשר פרק אותם הסוחר מן המשאית התקלקלו שישה מן המזגנים‪ ,‬ולכן הוא נאלץ למכור‬
‫את ששת המזגנים האלה ב‪ 51% -‬מן המחיר שקנה אותם‪.‬‬
‫את שאר המזגנים מכר הסוחר ברווח של ‪ 21%‬מן המחיר שקנה אותם‪.‬‬
‫ממכירת כל המזגנים הוא קיבל סך הכול ‪ 38,821‬שקלים‪.‬‬
‫אילו היה מוכר את כל המזגנים ברווח של ‪ ,21%‬הוא היה מקבל ‪ 33,411‬שקלים‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזה סכום קנה הסוחר כל אחד מן המזגנים?‬
‫ב‪ .‬חשב כמה מזגנים סך הכול קנה הסוחר?‬
‫‪ .4‬מעגל שמרכזו בנקודה )‪ M(3,5‬חותך את ציר ה‪y-‬‬
‫‪y‬‬
‫בנקודה )‪ A(0,1‬וגם בנקודה ‪( B‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ BD :‬הוא קוטר במעגל‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪.D‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת הישר המשיק למעגל בנקודה ‪.D‬‬
‫ד‪ .‬המשיק שמצאת בסעיף ג חותך את ציר ב‪ x-‬בנקודה ‪.E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪X‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪.ADE‬‬
‫‪ .8‬בקבוצה גדולה של תלמידי תיכון (בנים ובנות) נערך סקר שבדק כמה תלמידים עוסקים‬
‫בספורט‪ 01% .‬מן המשתתפים בסקר היו בנות‪ .‬ידוע כי ‪ 31%‬מן הבנים שהשתתפו בסקר‬
‫עוסקים בספורט‪.‬‬
‫נמצא שמבין משתתפי הסקר‪ ,‬מספר הבנות שאינן עוסקות בספורט גדול פי ‪ 2‬ממספר הבנים‬
‫שאינם עוסקים בספורט‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים באקראי תלמיד (בן‪/‬בת) שהשתתף בסקר‪.‬‬
‫(‪ )0‬מה ההסתברות שנבחרה בת שעוסקת בספורט?‬
‫(‪ )4‬ידוע שנבחרה בת‪ .‬מהי ההסתברות שהיא עוסקת בספורט?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 5‬תלמידים (בנים‪/‬בנות) מבין המשתתפים בסקר‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שלפחות ‪ 2‬מהם עוסקים בספורט?‬
‫המשך בעמוד ‪8‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬דצמבר ‪ ,4102‬תשע"ה‪ ,‬מועד ד‪,‬‬
‫מס' ‪+802 ,185312‬נספח‬
‫‪-3‬‬‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור )‪ 20‬נקודות(‬
‫ענה על אחת מהשאלות ‪.2-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחבתך‪.‬‬
‫‪ .2‬נתון מלבן ‪.MNPQ‬‬
‫‪T‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Q‬‬
‫המשיכו את הצלע ‪ QM‬עד לנקודה ‪.T‬‬
‫הקטע ‪ QT‬הוא יתר במשולש ישר זווית ‪.QRT‬‬
‫קדקוד המלבן ‪ N‬מונח על הניצב ‪.RT‬‬
‫‪N‬‬
‫הניצב ‪ QR‬חותך את צלע המלבן ‪ PN‬בנקודה ‪( K‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪K‬‬
‫‪R‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪.PK ∙ KN = QK ∙ KR‬‬
‫נתון‪ 01.5 :‬ס"מ = ‪ 01 , QM‬ס"מ = ‪, QK‬‬
‫‪ 4‬ס"מ = ‪.KN < PK , KR‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך ‪.PK‬‬
‫ג‪ .‬חשב את אורך ‪.PQ‬‬
‫ד‪ )0( .‬הוכח כי ‪∆QRT ~∆KRN‬‬
‫(‪ )4‬חשב את אורך ‪.QT‬‬
‫‪ .5‬בציור שלפניך מקבילית ‪.ABCD‬‬
‫‪E‬‬
‫נתון‪ 00 :‬ס"מ = ‪AD‬‬
‫‪ 42‬ס"מ = ‪AB‬‬
‫‪B‬‬
‫‪∢BAD = 54°‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך האלכסון ‪.AC‬‬
‫ב‪ .‬חשב את גודל הזווית ‪.CAD‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫ג‪ AE .‬הוא אנך ל‪ ,AB -‬כמתואר בציור‪.‬‬
‫‪ 08‬ס"מ = ‪.AE‬‬
‫חשב את היקף המשולש ‪.EAD‬‬
‫המשך בעמוד ‪2‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬דצמבר ‪ ,4102‬תשע"ה‪ ,‬מועד ד‪,‬‬
‫מס' ‪+802 ,185312‬נספח‬
‫‪-4‬‬‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות‬
‫רציונאליות ושל פונקציות שורש ) ‪ 40‬נקודות (‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 0-3‬לכל שאלה ‪ 20 −‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .0‬נתונה הפונקציה‬
‫‪x2 −2x+2‬‬
‫‪x−1‬‬
‫= )‪.f(x‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪ .‬קבע את סוגן‪.‬‬
‫ה‪ .‬איזה מהגרפים ‪ I-III‬שלפניך יכול להיות גרף הנגזרת של הפונקציה? נמק‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪I‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪II‬‬
‫‪III‬‬
‫‪ .7‬נתונה הפונקציה ‪ b , y = −x 2 − 6x + b‬הוא פרמטר‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪ )0( .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של נקודת המקסימום של הפונקציה‪.‬‬
‫(‪ )4‬נתון כי שיעור ה‪ y-‬של נקודת המקסימום של הפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫הוא ‪ .2‬מצא את הערך של ‪.b‬‬
‫הצב ‪ b = −5‬וענה על סעיף ב‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה‪ ,‬על ידי הישר ‪, y = 4‬‬
‫על ידי ציר ה‪ x -‬ועל ידי ציר ה‪( y-‬השטח המקווקו בציור)‪.‬‬
‫המשך בעמוד ‪5‬‬
‫‪-5-‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬דצמבר ‪ ,4102‬תשע"ה‪ ,‬מועד ד‪,‬‬
‫מס' ‪+802 ,185312‬נספח‬
‫‪ .3‬נתונות שתי פונקציות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f(x) = − 3 x 2 + 8 , g(x) = 6 x 2 + 2‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫בתחום הכלוא בין הגרפים של שתי הפונקציות חוסמים‬
‫‪D‬‬
‫)‪g(x‬‬
‫משולש ‪.BCD‬‬
‫הצלעות ‪ DC‬ו‪ CB -‬מקבילות לצירים‪,‬‬
‫‪B‬‬
‫הקדקוד ‪ D‬נמצא על גרף הפונקציה )‪,f(x‬‬
‫והקדקודים ‪ B‬ו‪ C -‬נמצאים על גרף הפונקציה )‪g(x‬‬
‫(ראה ציור)‪.‬‬
‫נסמן את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ B‬ב‪.t -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את שיעורי הנקודות ‪ C ,B‬ו‪.D -‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את שטח המשולש ‪.BCD‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪ t‬שעבורו שטח המשולש ‪ BCD‬הוא מקסימלי‪.‬‬
‫בהצלחה !‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬