ודית יק מ 806 שאלון ל"חי 5 מתמטיקה

Comments

Transcription

ודית יק מ 806 שאלון ל"חי 5 מתמטיקה
‫מתמטיקה ‪ 5‬יח"ל שאלון ‪ 806‬מיקודית‬
‫‪1‬‬
‫תוכן העניינים‪:‬‬
‫בחינה מספר ‪3 ................................... ................................ ................................ 1‬‬
‫בחינה מספר ‪7 ................................... ................................ ................................ 2‬‬
‫בחינה מספר ‪10 ................................. ................................ ................................ 3‬‬
‫בחינה מספר ‪13 ................................. ................................ ................................ 4‬‬
‫בחינה מספר ‪17 ................................. ................................ ................................ 5‬‬
‫תשובות סופיות‪21 .............................. ................................ ................................ :‬‬
‫בחינה ‪21 ..................................... ................................ ................................ :1‬‬
‫בחינה ‪21 ..................................... ................................ ................................ :2‬‬
‫בחינה ‪22 ..................................... ................................ ................................ :3‬‬
‫בחינה ‪22 ..................................... ................................ ................................ :4‬‬
‫בחינה ‪23 ..................................... ................................ ................................ :5‬‬
‫‪2‬‬
‫בחינה מספר ‪1‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ )1‬רוכב אופניים יצא ממקום ‪ A‬למקום ‪ B‬והגיע לאחר ‪ 8‬שעות‪.‬‬
‫נהג אופנוע יצא לאחר זמן מסוים ממקום ‪ A‬לכיוון מקום ‪ B‬והגיע ‪ 3.5‬שעות לפני רוכב‬
‫האופניים‪ .‬ידוע כי השניים נפגשו לאחר פרק זמן השווה להפרש בין זמני היציאה של רוכב‬
‫האופניים ונהג האופנוע מ‪.A-‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה זמן אחרי רגע היציאה של רוכב האופניים יצא נהג האופנוע‪.‬‬
‫ב‪ .‬נהג האופנוע התעכב שעה בנקודה ‪ B‬וחזר מיד לכיוון ‪.A‬‬
‫ידוע כי הוא נסע באותה המהירות כפי שנסע מ‪ A-‬כלפי ‪.B‬‬
‫לאחר כמה זמן יפגוש (אם בכלל) את רוכב האופניים?‬
‫במידה והם ייפגשו‪ ,‬מצא את זמן הפגישה מרגע יציאת רוכב האופניים‪.‬‬
‫במידה והם לא ייפגשו‪ ,‬נמק מדוע‪.‬‬
‫‪ )2‬לפניך שלושה איברים סמוכים בסדרה חשבונית‪. 2 x  23 , x  16 , x  5 :‬‬
‫א‪ .1 .‬מצא את ‪. x‬‬
‫‪ .2‬מצא את הפרש הסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי‪ . a12  0 :‬מצא את ‪. a1‬‬
‫ג‪ .‬האיבר האחרון בסדרה הוא‪. an  308 :‬‬
‫מצא את סכום כל האיברים החיוביים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים‪.‬‬
‫‪ )3‬במדינה מסוימת ‪ 19/60‬מהאזרחים הם גברים ו‪ 41/60-‬הן נשים‪ 30% .‬מבין מרכיבי‬
‫המשקפיים במדינה זו הם גברים ו‪ 40%-‬מבין אלו שלא מרכיבים משקפיים הם גברים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות למצוא אישה במדינה זו שלא מרכיבה משקפיים?‬
‫ב‪ .‬בוחרים ‪ 4‬אנשים‪ .‬מה ההסתברות שבדיוק שניים מהם הם נשים שלא מרכיבות‬
‫משקפיים?‬
‫ג‪ .‬בוחרים אזרח‪ .‬ידוע כי הוא גבר‪ .‬מה ההסתברות שהוא מרכיב משקפיים?‬
‫‪3‬‬
‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על אחת מהשאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ AB )4‬ו‪ CD-‬הם קטרים במעגל שמרכזו ‪.O‬‬
‫מעבירים מיתר החותך את ‪ AB‬בנקודה ‪ M‬כך שמתקיים‪2AM  BM :‬‬
‫ואת ‪ CD‬בנקודה ‪ F‬כך שמתקיים‪ . FM  CD :‬ידוע כי זווית ‪ BMF‬היא ‪. 30‬‬
‫מעבירים את המיתרים ‪ AC‬ו‪ AD-‬כך שנוצר המשולש ‪.ACD‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. CAB  BMF :‬‬
‫ב‪ .1 .‬הוכח כי המשולשים ‪ ADC‬ו‪ FOM-‬דומים‪.‬‬
‫‪ .2‬פי כמה קטן הקטע ‪ FO‬מרדיוס המעגל?‬
‫ג‪ .‬מעבירים מהקדקוד ‪ D‬של המשולש ‪ ACD‬קטע‬
‫העובר דרך הנקודה ‪ M‬וחותך את המיתר ‪AC‬‬
‫בנקודה ‪ .G‬חשב פי כמה גדול שטח‬
‫המשולש ‪ DGC‬משטח המשולש ‪.MOF‬‬
‫‪ )5‬המשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים ‪  AB  AC ‬בעל זווית ראש ‪ 36‬החסום במעגל‬
‫שקוטרו ‪ 16‬ס"מ‪ .‬מעבירים תיכון ‪ BD‬לשוק ‪.AC‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הבסיס ‪ BC‬במשולש ‪.ABC‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך התיכון ‪.BD‬‬
‫ג‪ .‬מסמנים‪:‬‬
‫‪ - r1‬רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪.ABD‬‬
‫‪ - r2‬רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪.BCD‬‬
‫‪r1‬‬
‫הוכח את היחס הבא‪ 2cos 36 :‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות שורש‪ ,‬של פונקציות רציונאליות‬
‫ושל פונקציות טריגונומטריות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ )6‬באיור שלפניך נתונים הגרפים של הפונקציות ‪ f  x ‬ושל ‪: f '  x ‬‬
‫ידוע כי גרף ‪ I‬עובר בראשית הצירים וכי נקודת המקסימום של גרף ‪ II‬נמצאת על ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬קבע מי מבין הפונקציות ‪ f '  x  , f  x ‬היא זוגית ומי היא אי‪-‬זוגית‪.‬‬
‫ב‪ .1 .‬כמה נקודות פיתול יש לפונקציה ‪? f  x ‬‬
‫‪ .2‬סרטט באותה מערכת צירים את הגרפים של הפונקציות הנ"ל‬
‫והוסף עליהם את הגרף של ‪. f ''  x ‬‬
‫‪t‬‬
‫ג‪ .‬נסמן ב‪ . S  t    f '  x  dx -‬ידוע כי ל‪ S  t  -‬יש נקודת מקסימום‪. S 1  4 :‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ .1‬מצא את שיעורי נקודת המקסימום של ‪. f  x ‬‬
‫‪ .2‬היעזר בסעיף א' ומצא את נקודת המינימום של הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫‪ )7‬משולש חסום בקטע הפרבולה ‪,  k  0  , y  kx 2‬‬
‫שבין הנקודות ‪  a, ka 2 ‬ו‪  b, kb2  -‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫הראה שלמשולש השטח הגדול ביותר‬
‫‪ab‬‬
‫‪ x ‬ומצא את שטח זה‪.‬‬
‫הוא כאשר‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ )8‬נתונה הפונקציה‪. f  x   3  cos2 x :‬‬
‫א‪ .1 .‬הוכח כי נגזרת הפונקציה היא‪. f '  x   sin 2 x :‬‬
‫‪ .2‬הסבר מדוע גם ‪ f  x ‬וגם ‪ f '  x ‬מוגדרות לכל ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬מגדירים את הפונקציה‪f '  x  :‬‬
‫‪. g  x ‬‬
‫‪ .1‬האם הפונקציה ‪ g  x ‬מוגדרת לכל ‪ ? x‬נמק‪.‬‬
‫‪ .2‬השטח הכלוא בין ‪ g  x ‬וציר ה‪ x -‬בתחום‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 0  x ‬מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬
‫חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬
‫בהצלחה! ‪‬‬
‫‪6‬‬
‫בחינה מספר ‪2‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ )1‬אבי ושמוליק השיפוצניקים מבצעים עבודת שיפוץ מסוימת במשך ‪ 14‬שעות כאשר הם‬
‫עובדים יחדיו מתחילתה ועד סופה‪ .‬אם שמוליק יבצע רבע מהשיפוץ לבדו‪ ,‬ואבי יבצע את‬
‫שארית השיפוץ לאחר ששמוליק יסיים את חלקו‪ ,‬העבודה עצמה תתבצע במשך ‪ 28‬שעות‪.‬‬
‫א‪ .‬הראה כי אבי ושמוליק יעילים באותה המידה אם ידוע כי כל פועל מבצע לבדו את‬
‫עבודת השיפוץ ביותר מ‪ 20-‬שעות‪.‬‬
‫ב‪ .‬כמה זמן ייקח לכל אחד מהם לבצע את כל השיפוץ לבדו?‬
‫‪ )2‬נתונה הסדרה הבאה‪ . 4 , 12 , 36 ,...., an :‬מוסיפים לכל איבר בסדרה זו שישית‬
‫מהאיבר הבא אחריו ויוצרים סדרה חדשה ‪ bn‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪, b2  a2  3 , b3  a3  4 , ...... , bn  an  n1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הסדרה ‪ bn‬היא סדרה הנדסית ומצא את מנתה‪.‬‬
‫‪. b1  a1 ‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי היחס בין סכום ‪ n‬האיברים הראשונים של הסדרה ‪ an‬ובין‬
‫‪2‬‬
‫סכום ‪ n‬האיברים הראשונים של הסדרה ‪ bn‬הוא‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬מצא שני איברים סמוכים בסדרה ‪ bn‬שסכומם מהווה‬
‫‪9‬‬
‫מ‪. a8 -‬‬
‫‪ )3‬במפעל גדול ההסתברות שמתוך ‪ 4‬עובדים לפחות אחד ירכיב משקפיים היא ‪.0.5904‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לבחור עובד שלא מרכיב משקפיים?‬
‫ידוע כי ‪ 40%‬מהפועלים שמרכיבים משקפיים הם מעשנים ו‪ 20%-‬מבין העובדים‬
‫המעשנים הם מרכיבים משקפיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות לבחור עובד שמרכיב משקפיים בלבד או מעשן בלבד?‬
‫ג‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 5‬עובדים‪ .‬מה ההסתברות שרוב העובדים שנבחרו הם מעשנים?‬
‫‪7‬‬
‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על אחת מהשאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ )4‬על הצלעות של המשולש ‪ ABC‬הקצו את הנקודות ‪ D‬ו‪ E-‬כך שהמרובע ‪ AEDB‬הוא‬
‫בר חסימה‪ .‬הנקודה ‪ D‬מחלקת את הצלע ‪ BC‬כך שהקטע ‪ BD‬גדול פי ‪ 3‬מהקטע ‪.DC‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ABC DEC :‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי‪. AC  CE  36 :‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪.DC‬‬
‫ג‪ .‬מעבירים מהקדקוד ‪ A‬את הקטע ‪ AF‬המקביל‬
‫לקטע ‪ .DE‬נתון כי‪ 9 :‬ס"מ = ‪.AC‬‬
‫‪DF‬‬
‫‪.‬‬
‫חשב את היחס‪:‬‬
‫‪BC‬‬
‫‪ )5‬נתון משולש ‪ .ABC‬הקדקודים ‪ B‬ו‪ C-‬של המשולש ‪ ABC‬נמצאים‬
‫על מעגל שמרכזו ‪ .O‬מרכז המעגל ‪ O‬מונח על הצלע ‪.AC‬‬
‫אורך הצלע ‪ AB‬הוא ‪ 12‬ס"מ ואורך הקטע ‪ AO‬הוא ‪ 4.5‬ס"מ‪.‬‬
‫הזווית ‪ BAC‬היא ‪. 60‬‬
‫א‪ .‬חשב את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים את הקוטר ‪ BD‬ואת הקטע ‪AD‬‬
‫כך שנוצר המשולש ‪.ADB‬‬
‫חשב את זווית ‪.ADB‬‬
‫‪8‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות שורש‪ ,‬של פונקציות רציונאליות‬
‫ושל פונקציות טריגונומטריות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ )6‬בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקצית הנגזרת ‪. f '  x ‬‬
‫האסימפטוטה היחידה המקבילה לצירים של‬
‫הפונקציה ‪ f  x ‬היא ‪. x  0‬‬
‫א‪ .‬רק על פי נתוני השאלה סרטט‬
‫סקיצה של הפונקציה ‪ . f  x ‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬פונקצית הנגזרת ‪ f '  x ‬היא‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪x2‬‬
‫כמו כן נתונים‪:‬‬
‫‪ .1‬לגרף הנגזרת יש אסימפטוטה אופקית והיא ‪.-3‬‬
‫‪ a, b , f '  x   a ‬פרמטרים שונים מ‪.0-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2‬הנגזרת מקיימת‪.  f '  x  dx  1.5 :‬‬
‫‪1‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו‪. b -‬‬
‫‪ )7‬נתונה הפונקציה‪ a , f  x   a  x :‬פרמטר‪.‬‬
‫באיור שלפניך מופיע גרף הנגזרת ‪. f '  x ‬‬
‫ידוע כי לגרף הנגזרת יש אסימפטוטה ‪. x  0‬‬
‫א‪ .‬קבע על סמך גרף הנגזרת האם ‪ a‬הוא‬
‫חיובי או שלילי‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מגדירים פונקציה‪. h  x   f  x   f '  x  :‬‬
‫‪ .1‬הראה כי‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4 x‬‬
‫‪. h  x ‬‬
‫‪ .2‬השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ‪ h  x ‬וציר ה‪ x -‬בתחום‪4  x  t :‬‬
‫הוא ‪ 2‬יח"ר‪ .‬מצא את ‪. t‬‬
‫‪ )8‬מחלקים חוט שאורכו ‪ L‬לשני חלקים‪ .‬מחלק אחד של החוט יוצרים חצי עיגול ומהאחר‬
‫יוצרים משולש שווה צלעות‪ .‬מהו סכום השטחים המינימלי של שתי הצורות?‬
‫בהצלחה! ‪‬‬
‫‪9‬‬
‫בחינה מספר ‪3‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ )1‬בנהר מסוים עורכים תחרות בין סירות מרוץ‪.‬‬
‫בשעה ‪ ,10:00‬מוזנקת סירת מרוץ מנקודה ‪ A‬שבנהר‪ ,‬ושטה כלפי נקודה ‪ B‬נגד כיוון הזרם‪.‬‬
‫באותו הזמן משוחררת תיבת גופר בנקודה ‪ B‬אשר שטה עם כיוון הזרם של הנהר כלפי‬
‫הנקודה ‪ .A‬מהירות סירת המרוץ במים עומדים היא ‪ 24‬קמ"ש‪ .‬במסגרת התחרות‪,‬‬
‫הסירה צריכה להגיע לנקודה ‪ B‬ומיד לחזור לנקודה ‪.A‬‬
‫ידוע כי הסירה פגשה את תיבת הגופר בנהר לאחר שעה וכי שתיהן הגיעו לנקודה ‪ A‬יחדיו‪.‬‬
‫המקצה (שייט מנקודה ‪ A‬לנקודה ‪ B‬וחזרה לנקודה ‪?)A‬‬
‫באיזו שעה תסיים את הסירה את ִ‬
‫‪ )2‬נתונה סדרה הנדסית אינסופית ‪ a1 , a2 , a3 , .....‬שמנתה היא ‪.  0  q  1 , q‬‬
‫נגדיר את הסכומים הבאים‪:‬‬
‫‪T  a1  a2  a5  a6  a9  a10 , ...‬‬
‫‪V  a3  a7  a11  ...‬‬
‫נתון כי‪. T  6V :‬‬
‫א‪ .‬מצא את מנת הסדרה ‪. q‬‬
‫ב‪ .‬פי כמה קטן ‪ V‬מסכום כל האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים בסדרה?‬
‫ג‪ .‬מצא את האיבר הראשון אם ידוע כי סכום האיברים העומדים במקומות‬
‫‪1‬‬
‫האי‪-‬זוגיים הוא ‪. 1365‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )3‬בחדר יש פי ‪ 4‬נשים מגברים‪ .‬משחקים את המשחק הבא‪ :‬בוחרים באקראי אדם מהחדר‪.‬‬
‫אם נבחר גבר אז הוא יוצא מהחדר ואם נבחרה אישה אז היא נשארת‪.‬‬
‫לאחר מכן בוחרים אדם נוסף‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה גברים יש בחדר אם ידוע כי ההסתברות שייבחרו‬
‫‪236‬‬
‫‪.‬‬
‫שני אנשים שונים היא‪:‬‬
‫‪725‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי בפעם השנייה נבחר גבר‪ ,‬מה ההסתברות שגם בפעם הראשונה יבחר גבר?‬
‫ג‪ .‬משחקים את המשחק ‪ 4‬פעמים‪ .‬ידוע כי בכל ארבעת הפעמים נבחר גבר בפעם השנייה‪.‬‬
‫מה ההסתברות שברוב המקרים יצא גבר גם בפעם הראשונה?‬
‫‪10‬‬
‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על אחת מהשאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ )4‬המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪.‬‬
‫‪ A‬גובה לצלע ‪ BC‬ו‪ AE-‬קוטר במעגל‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BAD  EAC :‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי‪ 8 :‬ס"מ = ‪ 6 ,CD‬ס"מ = ‪AD‬‬
‫ו‪ 21 -‬ס"מ = ‪.CE‬‬
‫חשב את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪ )5‬מהנקודה ‪ A‬מעבירים את הקטעים ‪ AB‬ו‪.AC-‬‬
‫הנקודה ‪ D‬היא אמצע ‪ AC‬וממנה מעבירים את ‪ DE‬המקביל ל‪.AB-‬‬
‫הנקודות ‪ E , C‬ו‪ F-‬נמצאות על אותו הישר‪.‬‬
‫ידוע כי המשולשים ‪ DEF , ABD‬ו‪ DCE-‬הם‬
‫שווי שוקיים‪.  AB  BD , DC  CE , EF  DE  :‬‬
‫נתון כי‪ 8 :‬ס"מ = ‪.AD‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪.BF‬‬
‫ב‪ .‬מחברים את הנקודות ‪ B‬ו‪.C -‬‬
‫חשב את אורך הצלע ‪.BC‬‬
‫‪11‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות שורש‪ ,‬של פונקציות רציונאליות‬
‫ושל פונקציות טריגונומטריות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪ )6‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2cos x  1‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הפונקציה היא זוגית וכי נגזרתּה אי‪-‬זוגית‪.‬‬
‫‪f ' x‬‬
‫‪. g  x ‬‬
‫ב‪ .‬מגדירים את הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪f  x‬‬
‫‪ f  x  ‬בתחום‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬האם ‪ g  x ‬היא פונקציה זוגית‪ ,‬אי‪-‬זוגית או שאינה זוגית ואינה אי‪-‬זוגית?‬
‫היעזר בסעיף הקודם‪ ,‬אין צורך לבצע חישוב מחדש‪.‬‬
‫‪tan x‬‬
‫‪. g  x  ‬‬
‫‪ .2‬הראה כי‪:‬‬
‫‪2cos x  1‬‬
‫ג‪ .‬היעזר ב‪ g  x  -‬וקבע באילו תחומים בתוך התחום הנתון הפונקציה ‪ f  x ‬היא‬
‫בעלת סימן שונה משל הנגזרת ‪. f '  x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )7‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫א‪ .‬ענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫‪ .2‬הראה כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫ב‪ .‬לפי ממציאך מהסעיף הקודם‪ ,‬קבע מה ניתן להסיק לגבי תחום ההגדרה‬
‫ותחומי העלייה והירידה של הפונקציה ‪ ? f  x  1‬נמק‪.‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫ג‪ .‬חשב את ערך האינטגרל הבא‪dx :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )8‬מגדלור ‪ A‬נמצא ‪ 0.5‬ק"מ דרומה מנקודה ‪ B‬על חוף הים‪ ,‬המשתרע ממזרח למערב‪.‬‬
‫‪ 3‬ק"מ מערבה מנקודה ‪ B‬נמצאת נקודה ‪ ,C‬המונחת גם היא על חוף הים‪.‬‬
‫אדם הנמצא במגדלור ומעוניין להגיע לנקודה ‪ C‬עוזב את המגדלור בסירה‬
‫במהירות ‪ 3‬קמ"ש ושט מ‪ A-‬בקו ישר לנקודה ‪ P‬שבין ‪ B‬ו‪ C-‬על החוף‪.‬‬
‫את המרחק מ‪ P-‬ל ‪ C-‬עובר האדם בהליכה במהירות של ‪ 3.25‬קמ"ש‪.‬‬
‫באיזה מרחק מ‪ B-‬חייב האדם לנחות על מנת להגיע בזמן המינימלי מ‪ A-‬ל‪?C-‬‬
‫בהצלחה! ‪‬‬
‫‪12‬‬
‫בחינה מספר ‪4‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ )1‬הולך רגל יצא מ‪ A-‬ובאותה השעה יצא רוכב אופניים מ‪.B-‬‬
‫הם התקדמו זה לקראת זה ונפגשו בדרך‪ .‬הולך הרגל הגיע ל‪ B-‬כעבור ‪ 5‬שעות מרגע‬
‫הפגישה ורוכב האופניים הגיע ל‪ A-‬כעבור ‪ 12‬דקות מרגע הפגישה‪.‬‬
‫הנח כי מהירויות הולך הרגל ורוכב האופניים קבועות‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את היחס בין המהירות של הולך הרגל למהירות של רוכב האופניים‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי המרחק בין ‪ A‬ל‪ B-‬קטן מ‪ 12-‬ק"מ‪ .‬מצא באיזה תחום מספרים נמצאת‬
‫המהירות של הולך הרגל ושל רוכב האופניים אם ידוע כי הולך הרגל הלך‬
‫במהירות הגדולה מ‪ 1-‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪3an‬‬
‫‪ )2‬סדרה מוגדרת ע"י כלל הנסיגה הבא‪:‬‬
‫‪2an  3‬‬
‫‪4  7an‬‬
‫מגדירים סדרה חדשה לפי‪:‬‬
‫‪an‬‬
‫‪. a1  2 , an 1 ‬‬
‫‪. bn ‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הסדרה ‪ bn‬היא חשבונית ומצא את הפרשּה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הסכום הבא‪. b2  b4  b6  .....  b22 :‬‬
‫‪ )3‬בכד יש ‪ 12‬כדורים חלקם אדומים וחלקם שחורים‪.‬‬
‫מוציאים עם החזרה שני כדורים מהכד‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מספר הכדורים האדומים שבכד אם ידוע כי ההסתברות‬
‫ששני הכדורים שהוצאו הם שחורים היא ‪.4/9‬‬
‫ב‪ .‬חלק מהכדורים עשויים מעץ והשאר עשויים מפלסטיק‪.‬‬
‫ידוע כי ‪ 25%‬מהכדורים האדומים עשויים מעץ וכי ‪ 50%‬מהכדורים העשויים‬
‫מעץ הם אדומים‪ .‬מצא את ההסתברות לבחור כדור שחור העשוי מפלסטיק‪.‬‬
‫ג‪ .‬מוציאים מהכד ‪ 5‬כדורים בזה אחר זה עם החזרה‪.‬‬
‫מה ההסתברות להוציא ‪ 4‬כדורים אדומים העשויים מפלסטיק?‬
‫ד‪ .‬מוציאים מהכד ‪ 5‬כדורים בזה אחר זה עם החזרה‪.‬‬
‫ידוע כי כולם עשויים מפלסטיק‪ ,‬מה ההסתברות ש‪ 3-‬מהם בצבע אדום?‬
‫‪13‬‬
‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על אחת מהשאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ )4‬נתונים שני מעגלים בעלי רדיוס זהה ‪ M‬ו‪.N-‬‬
‫מעבירים שני משיקים למעגלים ‪ AB‬ו‪ CD-‬הנחתכים בנקודה ‪.K‬‬
‫מעבירים את הרדיוסים ‪ AN‬ו‪ DN-‬במעגל השמאלי ו‪ BM-‬ו‪ CM-‬במעגל הימני‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. KN  KM :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ ACMN‬הוא‬
‫טרפז שווה שוקיים‪.‬‬
‫ג‪ .‬רדיוס המעגלים הוא ‪ R‬וידוע כי‬
‫המשולש ‪ BKC‬הוא שווה צלעות‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ R‬את‬
‫היקף הטרפז ‪.ACMN‬‬
‫‪ )5‬מהנקודה ‪ O‬מעבירים את הקטעים ‪ OC , OB , OA‬ו‪.OD-‬‬
‫ידוע כי זווית ‪ AOB‬שווה לזווית ‪ COD‬והיא מסומנת ב‪.  -‬‬
‫המשולש ‪ COD‬הוא ישר זווית ‪.  CDO  90‬‬
‫נתונים האורכים‪. AO  8 , BO  9 , DO  10 :‬‬
‫מסמנים‪. BC  1.4m , CD  1.5m :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬את ‪. sin ‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי‪. AB  m :‬‬
‫מצא את ‪ m‬אם ידוע כי רדיוס המעגל החוסם‬
‫‪2‬‬
‫את המשולש ‪ AOB‬הוא ‪. 8‬‬
‫‪3‬‬
‫ג‪ .‬חשב את זווית ‪.BOC‬‬
‫‪14‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות שורש‪ ,‬של פונקציות רציונאליות‬
‫ושל פונקציות טריגונומטריות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ )6‬נתונה הפונקציה‪ b , f  x   x 2  6 x  b :‬פרמטר‪.‬‬
‫ידוע כי ערך הפונקציה ‪ f  x ‬וערך הנגזרת ‪ f '  x ‬שווים כאשר ‪. x  2‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. b‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬מגדירים את הפונקציה‪:‬‬
‫‪f  x‬‬
‫‪. g  x ‬‬
‫‪ .1‬האם ל‪ g  x  -‬יש אסימפטוטות המקבילות לצירים? אם כן מהן? אם לא נמק‪.‬‬
‫‪ .2‬הראה כי אין ל‪ g  x  -‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫ג‪ .‬מגדירים בנוסף‪. h  x   g  x   3 :‬‬
‫‪ .1‬האם ל‪ h  x  -‬אותן אסימפטוטות כמו ל‪ ? g  x  -‬נמק‪.‬‬
‫‪ .2‬האם גם ל‪ h  x  -‬אין נקודות קיצון? נמק‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a cos x‬‬
‫‪ f  x  ‬בתחום‪:‬‬
‫‪ )7‬גרף הנגזרת של הפונקציה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b sin x  2‬‬
‫מופיע באיור הבא ( ‪ a, b‬פרמטרים)‪:‬‬
‫א‪ .‬היעזר בסקיצה וקבע האם הפרמטר ‪ b‬יכול להיות‪:‬‬
‫‪. b  1 .1‬‬
‫‪. b  4 .2‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ f '  x  dx   2‬‬
‫‪ .‬מצא את ‪. a‬‬
‫‪/2‬‬
‫ג‪ .‬מגדירים את הפונקציה‪. g  x   f  x    :‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪ .1‬הראה כי‪:‬‬
‫‪b sin x  2‬‬
‫‪. g  x ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪.g   ‬‬
‫‪ .2‬מצא את ‪ b‬אם נתון כי‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪15‬‬
‫‪0 x‬‬
‫‪ )8‬במעגל שרדיוסו ‪ R‬עובר מיתר במרחק ‪ 2‬ס"מ מהמרכז‪ .‬במקטע שנוצר חסום מלבן‪.‬‬
‫א‪ .‬סמן ב‪ x -‬את רוחב המלבן ורשום את שטח המלבן באמצעות ‪ R‬ו‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬הנח כי‪ 12 :‬ס"מ ‪ , R ‬ומצא את השטח המקסימלי של המלבן‪.‬‬
‫בהצלחה! ‪‬‬
‫‪16‬‬
‫בחינה מספר ‪5‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ )1‬משאבת לחץ הוציאה ‪ 18‬מ"ק שמן ממיכל תעשייתי בקצב קבוע‪.‬‬
‫לאחר הפסקה של ‪ 40‬דקות הגבירו את קצב השאיבה ב‪ 4-‬מ"ק לשעה‪.‬‬
‫בקצב המוגבר‪ ,‬שאבה המשאבה עוד ‪ 42‬מ"ק שמן מהמיכל‪.‬‬
‫הזמן שהמשאבה שאבה את השמן‪ ,‬כולל ההפסקה זהה לזמן שבו הייתה עובדת בקצב‬
‫הרגיל בכדי לשאוב ‪ 60‬מ"ק שמן מהמיכל‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את קצב השאיבה הרגיל של משאבת הלחץ‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬נתון בנוסף כי כאשר מפעילים את המשאבה בקצב הרגיל‪ ,‬היא מרוקנת ממיכל‬
‫‪4‬‬
‫מסוים במשך ‪ 10‬שעות‪ .‬מפעילים שתי משאבות זהות באותו הקצב‪.‬‬
‫ידוע כי קצב השאיבה שלהן גדול מקצב השאיבה הרגיל של המשאבה הראשונה‬
‫אך קטן מהקצב המוגבר‪ .‬באיזה תחום שעות יהיה הזמן שבו תרוקנה שתי‬
‫המשאבות את המיכל?‬
‫‪)2‬‬
‫א‪ .‬הראה כי בסדרה הנדסית שבה ‪ 2n‬איברים היחס בין סכום האיברים‬
‫העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים לבין סכום כל איברי הסדרה תלוי במנת בסדרה‪.‬‬
‫בסדרה הנדסית שבה מספר זוגי של איברים ידוע כי סכום כי האיברים העומדים‬
‫במקומות האי‪-‬זוגיים קטן פי ‪ 4‬מסכום כל איברי הסדרה‪ .‬האיבר הראשון בסדרה זו קטן‬
‫ב‪ 2-‬ממנת הסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב נוסחה לאיבר כללי של סדרה זו‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא שני איברים סמוכים בסדרה שסכומם הוא ‪.324‬‬
‫‪ )3‬בבית ספר בעיר מסוימת נערכו שני מבחנים‪ 80% .‬מהתלמידים עברו את המבחן הראשון‪.‬‬
‫‪ 1/4‬מבין התלמידים שעברו את המבחן הראשון עברו גם את השני ו‪ 1/2-‬מהתלמידים‬
‫שנכשלו במבחן הראשון נכשלו גם בשני‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים באקראי תלמיד‪ .‬מה ההסתברות שהוא עבר את אחד המבחנים בלבד?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 4‬תלמידים‪ .‬מה ההסתברות שבדיוק אחד מהם עבר את אחד‬
‫המבחנים בלבד?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מבין התלמידים שנכשלו במבחן השני מהווה קבוצת התלמידים‬
‫שנכשלו גם במבחן הראשון?‬
‫‪17‬‬
‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על אחת מהשאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ )4‬בין המשיקים המקבילים ‪ m‬ו‪ n -‬מעבירים מעגל כך ש‪ AB-‬הוא הקוטר היוצא‬
‫משתי נקודות ההשקה שלהם‪ .‬הנקודות ‪ D‬ו‪ C-‬נמצאות על המשכי המשיקים כך‬
‫שהמרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז‪ .‬אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה ‪ E‬שנמצאת על היקף‬
‫המעגל‪ .‬ידוע כי‪. SABC  3  SDAB :‬‬
‫שטח המשולש ‪ ADE‬יסומן ב‪. S -‬‬
‫בטא באמצעות ‪ S‬את שטח הטרפז ‪.ABCD‬‬
‫‪ )5‬במשולש ‪ ABC‬הזווית ‪ A‬היא בת ‪. 60‬‬
‫מעבירים את הקטע ‪ AD‬כך שנוצרת זווית‪. ADB  60 :‬‬
‫ידוע כי ‪ 28‬ס"מ = ‪ AB‬וכי הצלע ‪ AD‬במשולש ‪ ABD‬גדולה פי ‪ 1.5‬מהצלע ‪.BD‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הצלע ‪.BD‬‬
‫ב‪ .‬היקף המשולש ‪ ABC‬הוא‪ 5 7  7 :‬ס"מ = ‪.P‬‬
‫‪ .1‬סמן‪ DC  t :‬והבע באמצעות ‪ t‬את אורך הצלע ‪.AC‬‬
‫‪ .2‬מצא את ‪. t‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪18‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות שורש‪ ,‬של פונקציות רציונאליות‬
‫ושל פונקציות טריגונומטריות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ax  12‬‬
‫‪ )6‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x  ax  9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ a , f  x  ‬פרמטר‪.‬‬
‫באיור שלפניך מופיע גרף הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬ואת האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מגדירים את הפונקציה הבאה‪. g  x   f  x  2  :‬‬
‫‪ .1‬כתוב במפורש את ‪. g  x ‬‬
‫‪ .2‬הראה כי ‪ g  x ‬עוברת בראשית הצירים‪.‬‬
‫‪ .3‬כתוב את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה ‪. g  x ‬‬
‫‪ )7‬במשולש שווה שוקיים ‪  AB  AC  ,ABC‬אורך הבסיס הוא ‪2a‬‬
‫מעבירים גובה מהקדקוד ‪ B‬לשוק ‪ ,AC‬אשר חותך אותה בנקודה ‪.D‬‬
‫מנקודה ‪ D‬מעבירים אנך לשוק ‪ ,AB‬החותך אותה בנקודה ‪.E‬‬
‫סמן את זווית הבסיס של המשולש ‪ ABC‬ב‪. x -‬‬
‫מה צריכה להיות זווית הבסיס על מנת שאורך הקטע ‪ BE‬יהיה מקסימלי?‬
‫בתשובתך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫‪ )8‬באיור שלפניך מתואר גרף הנגזרת‬
‫של הפונקציה‪ a , f  x   a  x :‬פרמטר‪.‬‬
‫א‪ .‬קבע על סמך גרף הנגזרת האם ‪ a‬הוא‬
‫חיובי או שלילי‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬סרטט באותה מערכת צירים את גרף‬
‫הפונקציה ‪ f  x ‬ואת גרף הנגזרת ‪. f '  x ‬‬
‫נמק את בחירתך‪.‬‬
‫‪25‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪ .  f '  x  dx  1 :‬מצא את ‪. a‬‬
‫‪4‬‬
‫בהצלחה! ‪‬‬
‫‪20‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫בחינה ‪:1‬‬
‫‪ )1‬א‪ .‬חצי שעה‪.‬‬
‫‪ )2‬א‪x  50 .2 d  11 .1 .‬‬
‫ב‪ 6 .‬שעות ו‪ 20-‬דקות‪.‬‬
‫ב‪a1  121 .‬‬
‫‪ )3‬א‪P  0.1 .‬‬
‫‪15‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ב‪P  0.0486 .‬‬
‫‪19‬‬
‫ג‪ .‬שטח המשולש ‪ DGC‬גדול פי ‪ 18‬משטח המשולש ‪.MOF‬‬
‫ב‪ 10.1 .‬ס"מ‪.‬‬
‫ג‪. S  2156 .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )4‬ב‪ .2 .‬קטן פי ‪6‬‬
‫‪ )5‬א‪ 9.4 .‬ס"מ‬
‫‪ )6‬א‪ .‬גרף ‪ I‬הוא של ‪ f  x ‬וגרף ‪ II‬הוא של ‪. f '  x ‬‬
‫ב‪ .1 .‬לפונקציה ‪ f  x ‬יש ‪ 3‬נקודות פיתול‪.‬‬
‫ב‪ .2 .‬סקיצה בצד‪ ,‬באדום גרף הנגזרת השנייה‪.‬‬
‫ג‪. min   1,  4 .2 .‬‬
‫ג‪. max 1, 4 .1 .‬‬
‫‪k  a  b‬‬
‫‪. Smax ‬‬
‫‪ )7‬השטח הגדול ביותר הוא‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ )8‬א‪ .1 .‬חישוב‪.‬‬
‫א‪ .2 .‬שתי הפונקציות מורכבות מסינוסים וקוסינוסים אשר מוגדרים לכל ‪. x‬‬
‫ב‪ .1 .‬לא‪ ,‬הפונקציה אינה מוגדרת לתחומים שבהם ‪. f '  x   sin 2 x  0‬‬
‫ב‪  .2 .‬יח"ק‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫בחינה ‪:2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )1‬א‪.‬‬
‫‪28‬‬
‫‪ )2‬א‪q  3 .‬‬
‫‪ - x  y ‬קצב העבודה של כל אחד מהם‪.‬‬
‫‪ )3‬א‪P  0.8 .‬‬
‫‪ )4‬ב‪ 3 .‬ס"מ‬
‫‪)5‬‬
‫‪)6‬‬
‫‪)7‬‬
‫‪)8‬‬
‫א‪ 10.5 .‬ס"מ = ‪. R‬‬
‫א‪ .‬סקיצה בצד‪.‬‬
‫א‪. a  0 .‬‬
‫‪. Smin  0.0265L2‬‬
‫ב‪ 28 .‬שעות‪.‬‬
‫ג‪. b5 , b6 .‬‬
‫ב‪P  0.44 .‬‬
‫‪BF 7‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC 16‬‬
‫ב‪. 24.32 .‬‬
‫ב‪. a  3 , b  3 .‬‬
‫ב‪. t  36 .2 .‬‬
‫‪21‬‬
‫ג‪. P  0.31744 .‬‬
‫בחינה ‪:3‬‬
‫‪ )1‬בשעה ‪.12:24‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )2‬א‪q  .‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬פי ‪5‬‬
‫‪ )3‬א‪ 6 .‬גברים ו‪ 24-‬נשים‬
‫ג‪. a1  1024 .‬‬
‫‪25‬‬
‫ב‪ .‬הסתברות לגבר בפעם הראשונה‪:‬‬
‫‪ 2   141‬‬
‫‪P 1‬‬
‫ג‪. 0.0193 .‬‬
‫‪ )4‬ב‪ 5.5 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ )5‬א‪ 4.94 .‬ס"מ‬
‫ב‪ 17.19 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )6‬ב‪ .1 .‬אי‪-‬זוגית‪ .‬ג‪. 0  x  .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )7‬א‪x  1 .1 .‬‬
‫ב‪ .‬הפונקציה ‪ f  x  1‬היא הזזה של ‪ f  x ‬צעד אחד שמאלה‪.‬‬
‫לכן תחום הגדרתה הוא‪ x  2 :‬וגם היא תעלה לכל ‪ x‬בת‪.‬ה‪.‬‬
‫ג‪.3 .‬‬
‫‪ 1.2 )8‬ק"מ‪.‬‬
‫בחינה ‪:4‬‬
‫‪)1‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪)3‬‬
‫‪)4‬‬
‫‪)5‬‬
‫‪)6‬‬
‫‪)7‬‬
‫‪x 1‬‬
‫א‪ .‬‬
‫‪y 5‬‬
‫ב‪( 1  x  2 , 5  y  10 .‬הגדלים ביחידת של קמ"ש)‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪. S11 p   267 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪15‬‬
‫‪7‬‬
‫ג‪ 0.0146 .‬‬
‫ד‪.0.1323 .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫א‪ 4 .‬כדורים‬
‫‪1024‬‬
‫‪12‬‬
‫ג‪. 9R .‬‬
‫‪1.5m‬‬
‫‪sin  ‬‬
‫ג‪. 56.89 .‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪m  16 .‬‬
‫‪100  2.25m2‬‬
‫ב‪ .1 .‬כן‪x  3 , y  0 :‬‬
‫א‪b  9 .‬‬
‫ג‪ .2.‬כן‪.‬‬
‫ג‪ .1 .‬לא‪ .‬כי כעת‪( x  3 , y  3 :‬האופקית שונה)‬
‫א‪ .1 .‬עבור זה נקבל כי לגרף הפונקציה אין אסימפטוטות אנכיות ולכן הוא יכול להיות‪.‬‬
‫א‪ .2 .‬עבור ערך זה נקבל אסימפטוטות אנכיות ולכן הוא לא יכול להיות כי מגרף הנגזרת‬
‫מקבלים כי עבור ‪ x  0.5‬יש ערך סופי‪.‬‬
‫ג‪. b  0.5 .2 .‬‬
‫ב‪a  1 .‬‬
‫‪ ,‬כאשר‪- x :‬מהירות הולך הרגל ו‪- y -‬מהירות רוכב האופניים‪.‬‬
‫‪ )8‬א‪S  x R 2  0.25x 2  2 x .‬‬
‫ב‪ 42 7 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫בחינה ‪:5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫ב‪ .‬בין ‪ 15‬שעות (‪ 15‬שעות ו‪ 33 -‬דקות) בקצב המירבי‪ ,‬ל‪20-‬‬
‫‪ )1‬א‪ 14 .‬מ"ק לשעה‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫שעות בקצב האיטי‪ .‬אם נסמן את הזמן הכולל של שניהם ב‪ t -‬אז‪. 15  t  20 :‬‬
‫‪9‬‬
‫) ‪Sn ( o‬‬
‫‪1‬‬
‫ג‪. a5 , a6 .‬‬
‫‪ )2‬א‪.‬‬
‫ב‪an  3n1 .‬‬
‫‪‬‬
‫‪S2 n q  1‬‬
‫‪189‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2500‬‬
‫‪ )3‬א‪P  0.7 .‬‬
‫‪)4‬‬
‫‪1‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪P‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.16S‬‬
‫‪ )5‬א‪4 .‬‬
‫ב‪1.5 28  3  t .1 .‬‬
‫ג‪. S  18.18 .‬‬
‫ב‪3 .2 .‬‬
‫‪6x‬‬
‫‪ g  x  ‬ב‪. x  1 , y  0 .2.‬‬
‫‪ )6‬א‪x  3 , y  0 , a  6 .‬‬
‫ב‪.1 .‬‬
‫‪. x  54.73 )7‬‬
‫‪ )8‬א‪ a  0 .‬ות‪.‬ה‪ .‬הוא‪. x  a :‬‬
‫ג‪. a  1 .‬‬
‫ב‪ .‬להלן סקיצה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪23‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  1‬‬