הורד את ספר הקורס

‫מתמטיקה ‪ 4‬יח"ל שאלון ‪ 804‬בחינות חזרה‬
‫‪1‬‬
‫תוכן העניינים‪:‬‬
‫בחינה מספר ‪4 ..................................................................................................................................... 1‬‬
‫בחינה מספר ‪7 ..................................................................................................................................... 2‬‬
‫בחינה מספר ‪10.................................................................................................................................... 3‬‬
‫בחינה מספר ‪13.................................................................................................................................... 4‬‬
‫בחינה מספר ‪16.................................................................................................................................... 5‬‬
‫בחינה מספר ‪19.................................................................................................................................... 6‬‬
‫בחינה מספר ‪22.................................................................................................................................... 7‬‬
‫בחינה מספר ‪25.................................................................................................................................... 8‬‬
‫בחינה מספר ‪28.................................................................................................................................... 9‬‬
‫בחינה מספר ‪31.................................................................................................................................. 10‬‬
‫בחינה מספר ‪34.................................................................................................................................. 11‬‬
‫בחינה מספר ‪37.................................................................................................................................. 12‬‬
‫בחינה מספר ‪40.................................................................................................................................. 13‬‬
‫בחינה מספר ‪43.................................................................................................................................. 14‬‬
‫בחינה מספר ‪46.................................................................................................................................. 15‬‬
‫בחינה מספר ‪49.................................................................................................................................. 16‬‬
‫בחינה מספר ‪52.................................................................................................................................. 17‬‬
‫בחינה מספר ‪55.................................................................................................................................. 18‬‬
‫בחינה מספר ‪58.................................................................................................................................. 19‬‬
‫בחינה מספר ‪61.................................................................................................................................. 20‬‬
‫בחינה מספר ‪64.................................................................................................................................. 21‬‬
‫בחינה מספר ‪67.................................................................................................................................. 22‬‬
‫בחינה מספר ‪70.................................................................................................................................. 23‬‬
‫בחינה מספר ‪73.................................................................................................................................. 24‬‬
‫בחינה מספר ‪76.................................................................................................................................. 25‬‬
‫תשובות סופיות‪79................................................................................................................................ :‬‬
‫בחינה ‪79........................................................................................................................................ :1‬‬
‫בחינה ‪79........................................................................................................................................ :2‬‬
‫בחינה ‪79........................................................................................................................................ :3‬‬
‫בחינה ‪80........................................................................................................................................ :4‬‬
‫בחינה ‪80........................................................................................................................................ :5‬‬
‫בחינה ‪80........................................................................................................................................ :6‬‬
‫בחינה ‪80........................................................................................................................................ :7‬‬
‫בחינה ‪81........................................................................................................................................ :8‬‬
‫בחינה ‪81........................................................................................................................................ :9‬‬
‫בחינה ‪81...................................................................................................................................... :10‬‬
‫בחינה ‪82...................................................................................................................................... :11‬‬
‫בחינה ‪82...................................................................................................................................... :12‬‬
‫‪2‬‬
‫בחינה ‪82...................................................................................................................................... :13‬‬
‫בחינה ‪83...................................................................................................................................... :14‬‬
‫בחינה ‪83...................................................................................................................................... :15‬‬
‫בחינה ‪83...................................................................................................................................... :16‬‬
‫בחינה ‪84...................................................................................................................................... :17‬‬
‫בחינה ‪84...................................................................................................................................... :18‬‬
‫בחינה ‪84...................................................................................................................................... :19‬‬
‫בחינה ‪85...................................................................................................................................... :20‬‬
‫בחינה ‪85...................................................................................................................................... :21‬‬
‫בחינה ‪86...................................................................................................................................... :22‬‬
‫בחינה ‪86...................................................................................................................................... :23‬‬
‫בחינה ‪87...................................................................................................................................... :24‬‬
‫בחינה ‪87...................................................................................................................................... :25‬‬
‫‪3‬‬
‫בחינה מספר ‪1‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬מחירו של מוצר א' גדול ב‪ 20-‬שקלים ממחירו של מוצר ב'‪.‬‬
‫מוצר א' התייקר ב‪ 5%-‬ומוצר ב' התייקר ב‪.50%-‬‬
‫המחיר הכולל של שני המוצרים לאחר ההתייקרות גדול ב‪ 25%-‬מהמחיר המקורי של שני המוצרים‪.‬‬
‫מהו המחיר המקורי של כל מוצר?‬
‫‪ .2‬הישרים‪ 9 y  11x  94 :‬ו‪ y  3x  14 -‬נחתכים בנקודה ‪.B‬‬
‫דרך נקודה זו עובר מעגל שמרכזו הוא‪. M  9,1 :‬‬
‫ידוע כי מעגל זה חותך את הישרים (חוץ מהנקודה ‪ )B‬בשתי‬
‫נקודות ‪ A‬ו‪( C-‬ראה איור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪ – A‬נקודת החיתוך של הישר‬
‫שמשוואתו‪ y  3x  14 :‬עם המעגל‪.‬‬
‫‪ .3‬בבית ספר בעיר מסוימת נערכו שני מבחנים‪ 80% .‬מהתלמידים עברו את המבחן הראשון‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫מבין התלמידים שעברו את המבחן הראשון עברו גם את השני ו‪ -‬מהתלמידים שנכשלו‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫במבחן הראשון נכשלו גם בשני‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים באקראי תלמיד‪ .‬מה ההסתברות שהוא עבר את אחד המבחנים בלבד?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 4‬תלמידים‪.‬‬
‫מה ההסתברות שבדיוק אחד מהם עבר את אחד המבחנים בלבד?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מבין התלמידים שנכשלו במבחן השני מהווה קבוצת התלמידים‬
‫שנכשלו גם במבחן הראשון?‬
‫‪4‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬מעבירים משיק ‪ AE‬למעגל הנתון באיור‪ .‬מנקודת ההשקה מעבירים את‬
‫המיתרים ‪ AB‬ו‪ AC-‬כך שנוצר המשולש ‪ .ABC‬ידוע כי‪. AC  BC :‬‬
‫המשך המיתר ‪ BC‬נפגש עם המשיק בנקודה ‪E‬‬
‫המיתר ‪ AB‬חוצה את זווית ‪. CBD‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הקטע ‪ BD‬מקביל למיתר ‪.AC‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ ABD CBA :‬וכתוב את יחס הדמיון‪.‬‬
‫‪DE BD‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪BE AB‬‬
‫‪ .5‬במשולש ‪ ABC‬אורך הצלע ‪ AC‬הוא ‪ 8‬ס"מ ואורך הצלע ‪ AB‬הוא ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא אמצע הצלע ‪ AC‬והנקודה ‪ D‬מקיימת‪ 3 :‬ס"מ = ‪.AD‬‬
‫‪DE 2‬‬
‫ידוע כי‪ :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪BC 5‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הקטע ‪.DE‬‬
‫ב‪ .‬חשב את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪.ADE‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המרובע ‪.BCED‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪kx‬‬
‫‪ k , f ( x) ‬פרמטר חיובי‪.‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪k  x2‬‬
‫א‪ .i .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? (בטא באמצעות ‪.) k‬‬
‫‪ .ii‬מהן האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬הראה כי הפונקציה עולה עבור כל ערך של ‪ k‬בתחום הגדרתה‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫(בטא באמצעות ‪.) k‬‬
‫ד‪ .‬המשיק אשר מצאת בסעיף הקודם חותך את אחת האסימפטוטות של הפונקציה בנקודה ‪. A‬‬
‫ידוע כי שטח המשולש הכלוא בין המשיק‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והאסימפטוטה הנ"ל הוא‪ 4 :‬סמ"ר ‪. S ‬‬
‫מצא את ‪. k‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ .7‬נתון מלבן שאורכי צלעותיו הם ‪ 8‬ס"מ ו‪ 12 -‬ס"מ כמתואר באיור‪.‬‬
‫מקצים קטעים באורכים של ‪ x‬ו‪ 4x -‬על צלעות המלבן כך שנוצרים‬
‫המלבנים המקווקווים‪.‬‬
‫מצא את ‪ x‬עבורו סכום שטחי המלבנים הוא מינימלי‪.‬‬
‫‪ .8‬נתונות הפונקציות‪ f ( x)   x  2  :‬ו‪ g ( x)    x  2  -‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫התאם בין הפונקציות לגרפים ‪ I‬ו‪.II-‬‬
‫מסמנים את השטחים שבין כל פונקציה‬
‫והצירים ב‪ S1 -‬ו‪ S 2 -‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫הראה כי השטחים ‪ S1‬ו‪ S 2 -‬שווים זה לזה‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪6‬‬
‫בחינה מספר ‪2‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬רכבת נוסעים נוסעת מדי יום מעיר א' לעיר ב'‪ ,‬שהמרחק בניהן הוא ‪ 360‬ק"מ‪.‬‬
‫רכבת משא יוצאת מעיר ב' לעיר א' גם היא על בסיס יומי ובאותן שעות היציאה של רכבת הנוסעים‪.‬‬
‫ידוע כי מהירות רכבת הנוסעים גדולה ב‪ 20%-‬ממהירות רכבת המשא‪.‬‬
‫יום אחד‪ ,‬רכבת הנוסעים התעכבה ויצאה מהתחנה שבעיר א' לאחר ‪ 40‬דקות אך הגיעה לתחנה‬
‫שבעיר ב' ‪ 20‬דקות לפני רכבת המשא‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הן המהירויות של שתי הרכבות?‬
‫ב‪ .‬כמה זמן נסעה רכבת הנוסעים מעיר א' לעיר ב'?‬
‫‪ .2‬במרובע ‪ ABCD‬ידוע כי שיפוע הצלע ‪ BC‬הוא ‪3‬‬
‫ושיעורי הנקודה ‪ A‬הם‪. 1, 4  :‬‬
‫א‪ .‬הסבר מדוע לא ניתן להסיק דבר על סוג המרובע ‪.ABCD‬‬
‫‪1‬‬
‫נתון גם‪, D  4,13 :‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪ .‬איזה מרובע הוא המרובע ‪ ABCD‬כעת? הראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫‪ mCD  ‬ו‪ -‬ס"מ ‪. BC  90‬‬
‫נתון גם‪. B  8, 7  :‬‬
‫ג‪ .‬איזה מרובע הוא המרובע ‪ ABCD‬כעת? הראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המרובע ‪.ABCD‬‬
‫‪ .3‬בתוך כד ישנם ‪ 8‬כדורים‪ ,‬חלקם אדומים וחלקם לבנים‪.‬‬
‫מוציאים באקראי כדור‪ ,‬מניחים אותו בצד ומוציאים כדור נוסף‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה כדורים יש בכד מכל צבע אם ידוע כי ההסתברות שהכדור‬
‫‪3‬‬
‫השני שהוצא הוא לבן היא ‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי הכדור השני שהוצא הוא לבן‪.‬‬
‫מה ההסתברות שהכדור הראשון שיצא הוא אדום?‬
‫‪7‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬נתון משולש ‪ .ABC‬על הצלע ‪ BC‬של המשולש ‪ ABC‬בונים משולש נוסף ‪.BDC‬‬
‫הצלעות ‪ DC‬ו‪ AB-‬נחתכות בנקודה ‪.M‬‬
‫הצלע ‪ AB‬חוצה את זווית ‪ B‬וידוע כי‪. 2 ACD  B :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ACM DBM :‬‬
‫‪AC AM‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC CM‬‬
‫‪AM 8‬‬
‫וכי אורך הצלע ‪ BD‬הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי‪ :‬‬
‫‪CM 5‬‬
‫סכום הצלעות ‪ AC‬ו‪ BC-‬הוא ‪ 19.5‬ס"מ‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫חשב את היחס‪. BDM :‬‬
‫‪S BMC‬‬
‫‪ .5‬נתון משולש ‪ .ABC‬הקודקודים ‪ B‬ו‪ C-‬של המשולש ‪ ABC‬נמצאים‬
‫על מעגל שמרכזו ‪ .O‬מרכז המעגל ‪ O‬מונח על הצלע ‪.AC‬‬
‫אורך הצלע ‪ AB‬הוא ‪ 12‬ס"מ ואורך הקטע ‪ AO‬הוא ‪ 4.5‬ס"מ‪.‬‬
‫זווית ‪ BAC‬היא ‪. 60‬‬
‫א‪ .‬חשב את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים את הקוטר ‪ BD‬ואת הקטע ‪ AD‬כך שנוצר‬
‫המשולש ‪ .ADB‬חשב את זווית ‪.ADB‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪x2  m‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪ax  4‬‬
‫ידוע כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך של הפרמטר ‪. m‬‬
‫ב‪ .‬הצב את הערך של ‪ m‬שמצאת בסעיף א' והבע באמצעות ‪ a‬את‪:‬‬
‫‪ .i‬תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .ii‬נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫‪ .iii‬האסימפטוטות לגרף הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה וסמן בה את נקודות הקיצון ואת משוואות האסימפטוטות‬
‫שהבעת באמצעות ‪ a‬בסעיף הקודם‪.‬‬
‫ד‪ .‬ידוע כי נקודת הקיצון שאינה על ציר ה‪ , y -‬נמצאת במרחקים שווים מהצירים‪.‬‬
‫מצא את הערך של הפרמטר ‪. a‬‬
‫ה‪ .‬נתון הישר‪ . y  k :‬מצא עבור אילו ערכים של ‪ k‬אין לישר ולגרף הפונקציה‬
‫נקודות משותפות כלל‪.‬‬
‫‪ a, m , y ‬פרמטרים קבועים כאשר‪. a  0 :‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ .7‬נתונים שלושה מספרים שסכומם הוא ‪ .36‬ידוע שמספר אחד זהה לשני‪.‬‬
‫א‪ .‬מה צריכים להיות שלושת המספרים כדי שמכפלתם תהיה מקסימלית?‬
‫ב‪ .‬כיצד תשתנה התוצאה אם מספר אחד יהיה גדול פי ‪ 2‬מהשני במקום זהה לו?‬
‫ג‪ .‬באיזה מקרה תהיה מכפלה גדולה יותר?‬
‫‪1‬‬
‫‪ .8‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫מעבירים שני אנכים לציר ה‪ x -‬והם‪ x  4 :‬ו‪.  t  4  , x  t -‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫‪ - S1‬השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה‪. x -‬‬
‫‪ - S 2‬השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והאנכים‪.‬‬
‫‪. f ( x)  1 ‬‬
‫ידוע כי‪ . 8S1  S2 :‬מצא את ‪. t‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪9‬‬
‫בחינה מספר ‪3‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬לרפי מטבח מלבני שמידותיו הם‪ 12 X 18 :‬מטרים ריבועיים (מ"ר)‪.‬‬
‫רפי מחלק את המטבח לשני מלבנים כך ששטח אחד גדול פי ‪ 2‬מהשטח של השני כמתואר באיור‪.‬‬
‫רפי רוצה לרצף את השטח הקטן ברצפת שיש יוקרתית (השטח הימני) לעומת השטח הגדול שאותו‬
‫ירצף ברצפה רגילה (השטח השמאלי)‪ .‬ידוע כי המחיר של מ"ר אחד מהרצפה הרגילה מהווה ‪60%‬‬
‫מהמחיר של מ"ר אחד מרצפת השיש היוקרתית‪.‬‬
‫רפי השקיע בריצוף המבטח סכום כולל של ‪.₪ 3168‬‬
‫כמה עולה מ"ר מכל סוג?‬
‫רצפת‬
‫שיש‬
‫יוקרתי‬
‫‪ .2‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מעוין‪.‬‬
‫ידוע כי שיעורי אחד מקדקודי המעוין הם‪.  0, 6  :‬‬
‫כמו כן‪ ,‬ידוע גם כי משוואת האלכסון ‪ AC‬היא‪y  1.5x  6 :‬‬
‫ואחת ממשואות הצלעות היא‪. 5 y  x  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת האלכסון השני‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שאר קדקודי המעוין‪.‬‬
‫‪ .3‬מפעל מייצר שולחנות וכיסאות‪ .‬בוחרים ‪ 4‬רהיטים‪.‬‬
‫ידוע כי ההסתברות שכולם יהיו כיסאות זהה להסתברות שיהיה שולחן אחד בדיוק בניהם‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ההסתברות לבחור כיסא‪.‬‬
‫במפעל צובעים את הרהיטים בשחור או לבן‪.‬‬
‫רבע מהשולחנות נצבעים בשחור ורבע מהכיסאות נצבעים בלבן‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות לבחור כיסא שחור?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מבין הרהיטים הלבנים מהווים השולחנות?‬
‫‪10‬‬
‫רצפה‬
‫רגילה‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬נתון משולש ‪ .ABC‬על הצלע ‪ AB‬של המשולש ‪ ABC‬בונים משולש שווה צלעות ‪.ABD‬‬
‫הצלע ‪ AC‬חותכת את הצלע ‪ BD‬בנקודה ‪ E‬אשר ממנה מעבירים ישר ‪ EF‬המקביל לצלע ‪.BC‬‬
‫נתון כי‪. DCB  40 , DBC  80 :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המשולשים ‪ ABE‬ו‪ CDE-‬דומים‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. FC  CE  AE  DF :‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי‪. BC  1.5  EF :‬‬
‫‪AE 1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .i‬הוכח‪ :‬‬
‫‪CE 2‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ .ii‬חשב את יחס השטחים הבא‪. ABE :‬‬
‫‪SCDE‬‬
‫‪ .5‬המשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים ‪  AB  AC ‬החסום במעגל שרדיוסו ‪. R‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא אמצע הבסיס ‪ BC‬והנקודה ‪ D‬היא אמצע הקשת ‪. AB‬‬
‫ידוע כי זווית הבסיס של המשולש היא ‪. 80‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את הקטעים ‪ CD‬ו‪.DE-‬‬
‫ב‪ r .‬הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪.CED‬‬
‫הבע באמצעות ‪ R‬את ‪. r‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪xa‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את השיעורים של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה‬
‫עם ציר ה‪ x -‬ועם ציר ה‪. y -‬‬
‫ד‪ .i .‬מצא עבור אילו ערכים של ‪ a‬הפונקציה )‪ f ( x‬עולה לכל ‪ x‬בתחום ההגדרה‪.‬‬
‫‪ .ii‬ישר המשיק לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬בנקודה שבה ‪ x  a‬מקביל לישר המשיק‬
‫לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪. x  2 :‬‬
‫מצא את הערך של ‪ a‬אם נתון כי הפונקציה עולה לכל ‪. x‬‬
‫‪.  a  1 , f ( x) ‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ .7‬במשולש ישר הזווית ‪ AD  B  90  , ABC‬הוא תיכון לניצב ‪.BC‬‬
‫ידוע כי סכום אורכי הניצבים הוא ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫מצא מה צריכים להיות אורכי הניצבים עבורם‬
‫אורך התיכון ‪ AD‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪ .8‬נתונה פונקציה )‪ . f ( x‬משוואת המשיק לפונקציה )‪ f ( x‬בנקודה‬
‫שבה‪ x  2 :‬היא‪. y  x  13 :‬‬
‫הנגזרת של הפונקציה היא‪. f '( x)  4 x  7 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין המשיק‪ ,‬גרף הפונקציה‬
‫וציר ה‪( . y -‬ראה איור)‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪12‬‬
‫בחינה מספר ‪4‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתונה מנסרה שבסיסה הוא משולש שווה שוקיים‪ .‬ידוע כי שטח הפאה הבנויה על מקצוע‬
‫הבסיס של המשולש מהווה ‪ 80%‬משטח הפאה הסמוכה לה‪ .‬כמו כן ידוע כי אורך מקצוע‬
‫השוק במשולש הבסיס גדול ב‪ 4-‬ס"מ מאורך מקצוע הבסיס במשולש זה‪.‬‬
‫גובה המנסרה הוא ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מידות משולש הבסיס‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה שטח המעטפת של המנסרה?‬
‫ג‪ .‬מה יהיה סכום כל מקצועות המנסרה?‬
‫‪ .2‬נתון מעגל המשיק לציר ה‪ x -‬בנקודה ‪.A‬‬
‫מהנקודה ‪ E‬שעל ציר ה‪ x -‬מעלים אנך המשיק למעגל בנקודה ‪( B‬ראה איור)‪.‬‬
‫הקטע ‪ BC‬מקביל לציר ה‪ x -‬ו‪ O-‬היא נקודת ראשית הצירים‪.‬‬
‫יוצרים טרפז ישר זווית ‪ ABCO‬ששטחו הוא ‪ 170‬סמ"ר‪.‬‬
‫ידוע כי‪ C  0,10  :‬ו‪ 10 -‬ס"מ ‪. AE ‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ .i‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬
‫‪ .ii‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬
‫כתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫‪ .3‬בחדר יש פי ‪ 4‬נשים מגברים‪ .‬משחקים את המשחק הבא‪ :‬בוחרים באקראי אדם מהחדר‪.‬‬
‫אם נבחר גבר אז הוא יוצא מהחדר ואם נבחרה אישה אז היא נשארת‪.‬‬
‫לאחר מכן בוחרים אדם נוסף‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה גברים יש בחדר אם ידוע כי ההסתברות שייבחרו‬
‫‪236‬‬
‫‪.‬‬
‫שני אנשים שונים היא‪:‬‬
‫‪725‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי בפעם השנייה נבחר גבר‪ ,‬מה ההסתברות שגם בפעם הראשונה יבחר גבר?‬
‫ג‪ .‬משחקים את המשחק ‪ 4‬פעמים‪ .‬ידוע כי בכל ארבעת הפעמים נבחר גבר בפעם השנייה‪.‬‬
‫מה ההסתברות שברוב המקרים יצא גבר גם בפעם הראשונה?‬
‫‪13‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ AB .4‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪ .O‬מהנקודה ‪ C‬שעל היקף המעגל מעבירים את הרדיוס ‪CO‬‬
‫ואת המיתר ‪ CD‬החותך את הקוטר בנקודה ‪. E‬‬
‫מהנקודה ‪ D‬מעבירים את המיתרים ‪ BD‬ו‪.AD-‬‬
‫‪AD AE‬‬
‫‪ .‬נתון‪. AD  DE :‬‬
‫ידוע כי המיתר ‪ CD‬מקיים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪BD BE‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הרדיוס ‪ CO‬מאונך לקוטר ‪.AB‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. COE BDA :‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי אורך המיתר ‪ BD‬הוא ‪ 16.2‬ס"מ‬
‫ואורך הקטע ‪ CE‬הוא ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪ .5‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן‪ .‬מעבירים את האלכסון ‪ BD‬וממשיכים אותו עד לנקודה ‪ E‬שמחוץ למלבן‪.‬‬
‫מחברים את הנקודה ‪ E‬עם הקודקוד ‪.C‬‬
‫ידוע כי אורך הצלע ‪ AD‬של המלבן הוא ‪ 6‬ס"מ‬
‫וכי אורך הקטע ‪ BE‬הוא ‪ 9‬ס"מ‪ .‬הזווית ‪ CBE‬היא ‪.115‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הקטע ‪CE‬‬
‫(בתשובתך כתוב עד לשני מספרים אחרי הנקודה)‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורך האלכסון ‪.BD‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.DCE‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪x2  3‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה והישר הנמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואות המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח שנוצר בין המשיק והצירים‪.‬‬
‫‪ f ( x) ‬ונתון הישר‪. y  2 x :‬‬
‫‪14‬‬
‫‪ .7‬נתונות הפונקציות‪ f ( x)  x 2  12 :‬ו‪ g ( x)  2 x  x 2 -‬כמתואר באיור הסמוך‪.‬‬
‫הנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬נמצאות בהתאמה על הגרפים‬
‫של הפונקציות‪ f ( x) :‬ו‪ g ( x) -‬כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪A‬‬
‫כדי שאורך הקטע ‪ AB‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪ .8‬נתונה פונקציה )‪ f ( x‬שנגזרתּה היא‪. f '( x)  3x 2  6 x  9 :‬‬
‫ישר ששיפועו ‪ 15‬משיק לפונקציה ברביע הרביעי בנקודה שבה‪. y  20 :‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬האם יש עוד משיקים לגרף הפונקציה בעלי שיפוע ‪?15‬‬
‫‪x‬‬
‫אם כן‪ -‬מצא אותם‪.‬‬
‫ג‪ .i .‬הראה כי הנקודה שבה ‪ x  7‬משותפת למשיק‬
‫שמצאת בסעיף הקודם ולפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫‪ .ii‬מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה והמשיק שמצאת בסעיף הקודם‬
‫(ראה איור)‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪15‬‬
‫בחינה מספר ‪5‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬סוחר קנה שולחנות במחיר כולל של ‪.₪ 18,000‬‬
‫‪ 10‬שולחנות הוא מכר ברווח של ‪ 60%‬לשולחן‪ 20 ,‬שולחנות הוא מכר ללא רווח ואת שאר‬
‫השולחנות הוא מכר בהפסד של ‪ 15%‬לשולחן‪ .‬סה"כ הרוויח הסוחר בעסקאות אלו ‪.₪ 450‬‬
‫א‪ .‬כמה שולחנות קנה הסוחר?‬
‫ב‪ .‬מה המחיר ששילם הסוחר עבור כל שולחן?‬
‫‪ .2‬הנקודה )‪ A(17, 4‬נמצאת על המעגל שמשוואתו‪. ( x  7)2  ( y  4)2  R 2 :‬‬
‫הישר ‪ x  1‬חותך את המעגל בשתי נקודות ‪ B‬ו‪ C-‬כך‬
‫ש‪ B-‬נמצאת ברביע הרביעי‪ .‬מעבירים את הקטע ‪AD‬‬
‫המאונך לישר ‪ BC‬וידוע כי הנקודה ‪ D‬היא אמצע ‪.BC‬‬
‫א‪ .‬מצא את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ B‬ו‪.C-‬‬
‫ג‪ .i .‬חשב את מרחק הנקודה ‪ A‬מהישר‪. x  1 :‬‬
‫‪ .ii‬חשב את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪ .3‬בכד ישנם ‪ 12‬כדורים‪ ,‬חלקם לבנים וחלקם שחורים‪.‬‬
‫א‪ .‬אם מוציאים עם החזרה שני כדורים מהכד ההסתברות ששניהם‬
‫‪13‬‬
‫‪.‬‬
‫יהיו בעלי אותו הצבע היא‬
‫‪18‬‬
‫מה ההסתברות להוציא כדור שחור אם ידוע כי יש יותר כדורים שחורים?‬
‫על ‪ 40%‬מהכדורים השחורים רשום מספר ועל מחצית הכדורים הלבנים רשום מספר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות להוציא מהכד כדור שחור שרשום עליו מספר?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מבין הכדורים שרשום עליהם מספר מהווים הכדורים הלבנים?‬
‫‪16‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬המעגלים שמרכזם בנקודות ‪ M‬ו‪ N-‬משיקים זה לזה מבפנים בנקודה ‪A‬‬
‫כך שהיקף המעגל הפנימי עובר בנקודה ‪.M‬‬
‫דרך הנקודה ‪ A‬מעבירים משיק‪.‬‬
‫‪ AB‬הוא קוטר במעגלים ו‪ C-‬היא נקודה הנמצאת‬
‫על היקף המעגל הפנימי כך שהמיתר ‪ BD‬משיק‬
‫למעגל הפנימי בנקודה זו‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ ABD CBN :‬וחשב את יחס הדמיון‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪. AD  8 :‬‬
‫חשב את רדיוס המעגל הגדול‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכח‪. 2CD  BC :‬‬
‫‪ .5‬המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז ‪.  AB CD ‬‬
‫ממשיכים את השוקיים ‪ AD‬ו‪ BC-‬עד לפגישתם בנקודה ‪.E‬‬
‫ידוע כי‪. DE  CE :‬‬
‫מעבירים את האלכסון ‪ AC‬אשר חוצה את זווית ‪.C‬‬
‫מסמנים את הבסיס הגדול ‪ DC‬ב‪ k -‬ואת‪. ACD   :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את הבסיס הקטן‬
‫של הטרפז ‪.AB‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪ ABC‬כאשר‪ 12 ,   15 :‬ס"מ ‪. k ‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪ d ) , y  3x3  6 x 2  4 x  d :‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע כי הפונקציה חותכת של ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה‪. x  2 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. d‬‬
‫ב‪ .‬האם יש לפונקציה נקודות קיצון?‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה וירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ה‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫‪ .7‬ליוסי משטח פח אשר הוא רוצה לבנות תיבה ממנו שנפחה הכולל‬
‫הוא ‪ 225‬סמ"ק‪ .‬יוסי רוצה שאורך הבסיס יהיה גדול פי ‪ 5‬מרוחבו‬
‫כמתואר באיור הסמוך‪ .‬כמות הפח שיש בידי יוסי מוגבלת ולכן הוא‬
‫רוצה לדעת מה היא הכמות המינימלית‬
‫של פח שעליו להשתמש בכדי להשיג את מבוקשו‪.‬‬
‫מצאו את כמות הפח המינימלית‪.‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a  x2‬‬
‫‪ .8‬גרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה )‪.(6,0‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪,‬‬
‫ציר ה‪ x -‬והישר‪. x  2 :‬‬
‫‪ a) f ( x) ‬קבוע)‬
‫בהצלחה!‬
‫‪18‬‬
‫בחינה מספר ‪6‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬שני הולכי רגל יוצאים משני יישובים ‪ A‬ו‪ B-‬המרוחקים זה מזה ‪ 13‬ק"מ‪.‬‬
‫היישוב ‪ A‬ממוקם בצפון מערב ביחס ליישוב ‪ B‬כמתואר באיור ממול‪.‬‬
‫הולך הרגל מיישוב ‪ A‬הולך דרומה והולך הרגל מיישוב ‪ B‬הולך מערבה‪.‬‬
‫הולך הרגל מיישוב ‪ A‬יוצא שעתיים לפני הולך הרגל השני‪.‬‬
‫לאחר שלוש שעות מיציאתו של הולך הרגל מיישוב ‪ ,A‬נפגשו שני הולכי הרגל‪.‬‬
‫מהירות הולך הרגל מיישוב ‪ B‬גדולה ב‪ 25%-‬ממהירות הולך הרגל השני‪.‬‬
‫באיזו מהירות הלך כל אחד משני הולכי הרגל?‬
‫‪A‬‬
‫‪ 13‬ק"מ‬
‫‪B‬‬
‫‪ .2‬המשולש ‪ ABC‬הוא משולש שווה שוקיים ‪.  AB  AC ‬‬
‫מעבירים במשולש את הגובה לבסיס ‪ AD‬ומסמנים נקודה ‪ E‬על הבסיס ‪BC‬‬
‫כך שמתקיים‪ . BE  DE :‬קדקוד הראש ‪ A‬נמצא בראשית הצירים‬
‫ונתון כי‪. D(5,7) , E(8.5, 2.5) :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי שאר קדקודי המשולש‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת השוק ‪.AC‬‬
‫‪ .3‬במפעל גדול ההסתברות שמתוך ‪ 4‬עובדים לפחות אחד ירכיב משקפיים היא ‪.0.5904‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לבחור עובד שלא מרכיב משקפיים?‬
‫ידוע כי ‪ 40%‬מהפועלים שמרכיבים משקפיים הם מעשנים ו‪ 20%-‬מבין העובדים‬
‫המעשנים הם מרכיבים משקפיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות לבחור עובד שמרכיב משקפיים בלבד או מעשן בלבד?‬
‫ג‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 5‬עובדים‪ .‬מה ההסתברות שרוב העובדים שנבחרו הם מעשנים?‬
‫‪19‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ AB .4‬הוא קוטר במעגל‪ .‬מהנקודה ‪ A‬מעבירים מיתר ‪.AC‬‬
‫הנקודה ‪ D‬נמצאת מחוץ למעגל וממנה מעבירים משיק ‪CD‬‬
‫וישר חותך ‪ .DE‬ידוע כי הישר ‪ DE‬חותך את הקוטר ‪ AB‬בנקודה ‪G‬‬
‫ומאונך למיתר ‪ AC‬בנקודה ‪.H‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ACD  BGE :‬‬
‫‪S‬‬
‫‪AH‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ AHG  :‬חשב את היחס‪:‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪SGHCB 5‬‬
‫‪ .5‬נתונה מקבילית ‪ ABCD‬ובה מעבירים את האלכסונים ‪ AC‬ו‪BD-‬‬
‫אשר נחתכים בנקודה ‪ M‬כמתואר באיור‪ .‬מסמנים‪ACD   :‬‬
‫‪AC sin ‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי אלכסוני המקבילית מקיימים‪:‬‬
‫‪BD sin ‬‬
‫ב‪ .i .‬הבע באמצעות ‪  , ‬ו‪ k -‬את שטח המשולש ‪.DMC‬‬
‫‪ .ii‬הבע באמצעות ‪  , ‬ו‪ k -‬את שטח‬
‫המקבילית ‪.ABCD‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪ .‬הראה כי שטח המקבילית‬
‫ג‪ .‬נתון כי‪ 2 :‬‬
‫‪BD‬‬
‫‪4k 2 sin 2 ‬‬
‫‪.‬‬
‫הוא‪:‬‬
‫‪sin    ‬‬
‫‪BDC   ,‬‬
‫‪. AB  k ,‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪a2 x  4‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪2x2 1‬‬
‫ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪ x  1 :‬הוא‪. m  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את כל הערכים האפשריים עבור ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך בין המשיק הנתון ומשיק העובר דרך‬
‫נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫‪ a) , y ‬קבוע)‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫‪ .7‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪ f ( x)  x2  8x  18 :‬ו‪. g ( x)   x 2  4 x -‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬והנקודה ‪ B‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪g ( x‬‬
‫כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪ . y -‬מותחים אנכים מהנקודות ‪ A‬ו ‪ B-‬לציר ה‪y -‬‬
‫כך שנוצר מלבן (המסומן)‪ .‬נסמן את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬ב‪. t -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את שטח המלבן המסומן‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערכו של ‪ t‬עבורו שטח המלבן הוא מקסימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה שטח המלבן במקרה זה?‬
‫‪a‬‬
‫‪ .8‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪ f ( x)  2 x 2 :‬ו‪-‬‬
‫‪x2‬‬
‫בתחום‪ . x  0 :‬ידוע כי הגרפים נחתכים ברביע הראשון בנקודה הנמצאת‬
‫על הישר‪. y  4 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הגרפים ואת ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים‪ ,‬ציר ה‪x -‬‬
‫והישר‪. x  4 :‬‬
‫‪ a) , g ( x) ‬קבוע)‬
‫בהצלחה!‬
‫‪21‬‬
‫בחינה מספר ‪7‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬במלבן ‪ ABCD‬ידוע כי הצלע ‪ AD‬גדולה ב‪ 6-‬ס"מ מהצלע ‪.AB‬‬
‫על הצלע ‪ AB‬מקצים נקודות ‪ E‬ו‪ F-‬כך ששלושת הקטעים הנוצרים על צלע זו שווים‪.AF=EF=BE :‬‬
‫מעבירים אנכים לצלע ‪ AB‬דרך הנקודות ‪ E‬ו‪ F-‬עד לנקודות ‪ G‬ו‪ H-‬שבתוך המלבן כך שנוצר‬
‫מלבן פנימי ‪ .EFGH‬מרחק הצלע ‪ GH‬מהצלע ‪ DC‬הוא ‪ 3‬ס"מ‪.‬‬
‫ידוע כי שטח המלבן הפנימי מהווה ‪ 30%‬משטח המלבן ‪ .ABCD‬נסמן ב‪ x -‬את אורך הקטע ‪.EF‬‬
‫א‪ .i .‬הבע באמצעות ‪ x‬את צלעות המלבן ‪.ABCD‬‬
‫‪ .ii‬הבע באמצעות ‪ x‬את שטח המלבן ‪ABCD‬‬
‫ושטח המלבן הפנימי ‪.EFGH‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ x‬ואת צלעות המלבן ‪.ABCD‬‬
‫ג‪ .‬עבור ה‪ x -‬שמצאת מה יהיה שטח המלבן ‪?EFGH‬‬
‫‪ .2‬נתון משולש ‪ .ABC‬משוואות הצלעות ‪ AB‬ו‪ BC-‬במשולש ‪ ABC‬הן בהתאמה‪2 y  x  56 :‬‬
‫ו‪ . 8 y  x  104 -‬מעבירים גבהים לצלעות ‪ AB‬ו‪ BC-‬אשר נחתכים בנקודה )‪M(0, 2‬‬
‫שבתוך המשולש (ראה איור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואות הגבהים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המעגל שמרכזו בנקודה ‪ M‬ורדיוסו‬
‫הוא הקטע ‪.BM‬‬
‫‪ .3‬במפעל לייצור ברגים פועלים שני פסי ייצור – פס ייצור א' ופס ייצור ב'‪.‬‬
‫ידוע כי אם בוחרים ‪ 5‬ברגים אז ההסתברות ש‪ 3-‬מהם מיוצרים ע"י פס הייצור השני גדולה פי ‪4.5‬‬
‫מההסתברות שאחד מהם מיוצר ע"י פס הייצור הנ"ל‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ההסתברות לבחור בורג המיוצר ע"י פס הייצור הראשון‪.‬‬
‫מתוך כל ‪ 100‬ברגים שהמפעל מייצר ‪ 7‬פגומים ומתוך כל ‪ 10‬ברגים היוצאים מפס הייצור הראשון‬
‫אחד הוא פגום‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו אחוז הברגים התקינים שמיוצרים ע"י פס הייצור השני?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מבין הברגים הפגומים מהווים אלו שיוצאים מפס הייצור הראשון?‬
‫‪22‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬נתונים שני מעגלים בעלי רדיוס זהה ‪ M‬ו‪.N-‬‬
‫מעבירים שני משיקים למעגלים ‪ AB‬ו‪ CD-‬הנחתכים בנקודה ‪.K‬‬
‫מעבירים את הרדיוסים ‪ AN‬ו‪ DN-‬במעגל השמאלי ו‪ BM-‬ו‪ CM-‬במעגל הימני‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. KN  KM :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ ACMN‬הוא טרפז שווה שוקיים‪.‬‬
‫ג‪ .‬רדיוס המעגלים הוא ‪ R‬וידוע כי המשולש ‪BKC‬‬
‫הוא שווה צלעות‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ R‬את היקף הטרפז ‪.ACMN‬‬
‫‪ .5‬הקטע ‪ DE‬מקביל לצלע ‪ BC‬במשולש ‪ ABC‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫נתון כי‪. BD  129 , BC  15 , CE  13 :‬‬
‫ידוע כי זווית ‪ AED‬היא ‪. 60‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪ DE‬אם ידוע כי הוא קטן מ‪ 10-‬ס"מ‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.ADE‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪xk‬‬
‫‪, g ( x) ‬‬
‫‪ .6‬נתונות שתי הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪xk‬‬
‫ידוע כי הפונקציות חותכות זו את זו בנקודה שבה‪. x  0.8 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬האם הפונקציות נחתכות בנקודה נוספת מלבד לנקודה הנתונה? אם כן – מצא אותה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬בנקודה שבה‪. x  0.52 :‬‬
‫‪ k ) , f ( x) ‬פרמטר חיובי)‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .7‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬והנקודה ‪ B‬נמצאת על גרף הישר כך‬
‫שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬כדי שאורך‬
‫הקטע ‪ AB‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪ f ( x) ‬ונתון הישר‪. y   x  3 :‬‬
‫‪ .8‬באיור שלפניך חותך גרף הפונקציה‪ f ( x)  x 2 :‬את גרף הפונקציה )‪ g ( x‬בנקודה שבה ‪. x  2‬‬
‫הנגזרת של הפונקציה )‪ g ( x‬היא‪. g '( x)  2 x  8 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. g ( x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים וציר ה‪( x -‬המסומן)‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪24‬‬
‫בחינה מספר ‪8‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬במלבן שלפניך חסומים שני עיגולים וחצי בעלי רדיוס זהה‪.‬‬
‫השטח שנוצר בין העיגולים וצלעות המלבן הוא ‪. 250  62.5‬‬
‫א‪ .i .‬מצא את רדיוס העיגולים‪.‬‬
‫‪ .ii‬מצא את אורכי צלעות המלבן‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את סכום שטחי העיגולים‪.‬‬
‫‪ .2‬נתון משולש ‪ .ABC‬הנקודה ‪ D‬נמצאת על הצלע ‪ BC‬של המשולש ‪ ABC‬כך‬
‫שהקטע ‪ AD‬מחלק אותו לשני משולשים שווי שטח ‪ ABD‬ו‪.ACD-‬‬
‫הצלע ‪ BC‬מונחת על הישר‪ y  4 :‬וידוע כי שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ C‬הוא‪. xC  1 :‬‬
‫כמו כן נתון‪. mAB  2 , A(7,8) :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הצלע ‪.AB‬‬
‫ב‪ .i .‬איזה קטע הוא ‪ AD‬בתוך המשולש ‪?ABC‬‬
‫‪ .ii‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ B‬ו‪.D-‬‬
‫ג‪ .i .‬חשב את אורך הצלע ‪ BC‬ואת אורך הקטע ‪.AD‬‬
‫‪ .ii‬איזה משולש הוא המשולש ‪?ABC‬‬
‫‪ .3‬רפי קנה במכולת חבילה של מסטיק "מנטוס"‪.‬‬
‫ידוע כי יש בחבילה ‪ 10‬סוכריות‪ ,‬חלקן ורודות וחלקן צהובות‪.‬‬
‫רפי מוציא באקראי (ללא החזרה) שתי סוכריות מהחבילה שקנה‪.‬‬
‫ידוע כי ההסתברות ששתי הסוכריות תהיינה ורודות קטנה פי ‪ 4‬מההסתברות להוציא‬
‫סוכריות בצבעים שונים‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה סוכריות מכל צבע יש בכל חבילה?‬
‫רפי מחזיר את הסוכריות לחבילה ומוציא באקראי ‪ 3‬סוכריות (ללא החזרה)‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שכל הסוכריות שהוציא רפי הן צהובות?‬
‫שלומי‪ ,‬חברו הטוב של רפי‪ ,‬קנה ‪ 3‬חבילות "מנטוס"‪.‬‬
‫ג‪ .‬שלומי מוציא באקראי סוכרייה מכל חבילה‪.‬‬
‫האם ההסתברות של שלומי להוציא ‪ 3‬סוכריות צהובות גבוהה או נמוכה מזו של רפי?‬
‫ד‪ .‬שלומי מוציא מכל חבילה שתי סוכריות‪.‬‬
‫מה ההסתברות שלו להוציא מכל חבילה סוכרייה ורודה ואחר כך צהובה?‬
‫‪25‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬במשולש ‪ ABC‬הקטע ‪ BE‬חוצה את זווית ‪.B‬‬
‫הנקודה ‪ D‬היא אמצע הצלע ‪ AB‬ומקיימת‪. DE  CE :‬‬
‫ידוע כי‪. BC  6 , BE  8 , BD  9 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את זווית ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.ADE‬‬
‫‪ AB .5‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪.O‬‬
‫מהנקודה ‪ A‬מעבירים את המיתרים ‪ AC‬ו‪ AG-‬ואת המשיק ‪AD‬‬
‫כך שהמשולש ‪ ACD‬שווה שוקיים‪.‬‬
‫הישר ‪ CD‬חותך את היקף המעגל בנקודה ‪ ,E‬את‬
‫המיתר ‪ AG‬בנקודה ‪ F‬ועובר דרך מרכז המעגל ‪.O‬‬
‫המיתר ‪ BG‬מקביל לישר החותך ‪.CD‬‬
‫א‪ .‬חשב את זוויות המשולש ‪.ACD‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪. AF  FG :‬‬
‫ג‪ .‬רדיוס המעגל יסומן ב‪ . R -‬הוכח כי‪. DC  3R :‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪x 2  ax  6‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫ידוע שאחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך של ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬הצב את הערך של ‪ a‬שמצאת בסעיף א' ומצא‪:‬‬
‫‪ .i‬את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .ii‬את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫‪ .iii‬את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫‪ .iv‬את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫ג‪ .‬עבור אלו ערכי ‪ x‬הפונקציה שלילית?‬
‫ד‪ .‬נתון הישר‪ . y  k :‬עבור אלו ערכי ‪ k‬אין נקודות משותפות לישר ולגרף הפונקציה? נמק‪.‬‬
‫‪ a) , f ( x) ‬פרמטר)‪.‬‬
‫‪26‬‬
‫‪ .7‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)  36  x 2 :‬על גרף הפונקציה ברביע הראשון מסמנים נקודה ‪.A‬‬
‫מהנקודה ‪ A‬מעבירים ישר המקביל לציר ה‪ x -‬שחותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה ‪.C‬‬
‫הנקודה ‪ B‬היא נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪ x -‬ו‪ O-‬ראשית הצירים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬כדי ששטח‬
‫הטרפז ‪ ABCO‬יהיה מקסימלי?‬
‫ב‪ .‬מה יהיה שטח הטרפז במקרה זה?‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ f ( x) ‬ו‪-‬‬
‫‪ .8‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫מעבירים שני ישרים‪ x  k :‬ו‪ x  t -‬אשר חותכים של את הגרפים של הפונקציות‬
‫ויוצרים את הקטעים ‪ AB‬ו‪ .CD-‬ידוע כי‪. AB  2CD :‬‬
‫א‪ .‬הראה כי‪. k  4t :‬‬
‫ב‪ .‬השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות‬
‫והישרים‪ x  k :‬ו‪ x  t -‬הוא‪. S  12 :‬‬
‫מצא את ‪.t‬‬
‫‪. g ( x)  ‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪27‬‬
‫בחינה מספר ‪9‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬אוטובוס נוסע מעיר א' לעיר ב' הרחוקה ממנה ‪ 800‬ק"מ‪.‬‬
‫לאחר שעבר האוטובוס ‪ 135‬ק"מ במהירות קבועה הוא עצר להתרעננות של חצי שעה‪.‬‬
‫לאחר מכן המשיך האוטובוס את נסיעתו במהירות הגדולה ב‪ 43-‬קמ"ש ממהירותו הקודמת‬
‫עד לעיר ב'‪ .‬סך כל הזמן שהיה האוטובוס על הדרך הוא ‪ 7‬שעות‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הייתה המהירות ההתחלתית של האוטובוס?‬
‫ב‪ .‬מה היה המרחק שעבר האוטובוס אחרי ההתרעננות עד לעיר ב'?‬
‫‪ .2‬באיור שלפניך מתואר המעגל‪.  x  4    y  3  25 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫המעגל חותך את הצירים בנקודות ‪ B , A‬ו‪.O-‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של המעגל עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא נקודה ‪ C‬הנמצאת על היקף המעגל ברביע הראשון‬
‫כך שהמרובע ‪ ABCO‬יהיה מלבן‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את היקף המלבן‪.‬‬
‫‪ .3‬בעיר מסוימת נערכות בחירות‪ .‬ידוע כי אם בוחרים ‪ 4‬תושבים אז ההסתברות שלפחות אחד מהם‬
‫‪65‬‬
‫‪.‬‬
‫יצביע למועמד ב' היא‬
‫‪81‬‬
‫א‪ .‬איזה חלק מהתושבים הצביעו למועמד א'?‬
‫בעיר יש תושבים מבוגרים וצעירים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫ידוע כי מהצעירים הצביעו למועמד א' וכי ההסתברות לבחור מבוגר שהצביע למועמד ב' היא‬
‫‪15‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪ .‬מהו אחוז התושבים הצעירים שהצביעו למועמד ב'?‬
‫ג‪ .‬איזה אחוז מהווים התושבים הצעירים מבין אלו שהצביעו למועמד א'?‬
‫‪28‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬במעגל שרדיוסו הוא ‪ 10‬ס"מ המיתרים ‪ AB‬ו‪ BC-‬מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫הנקודה ‪ D‬היא אמצע הקשת ‪ . BC‬הקטע ‪ AD‬חותך את המיתר ‪BC‬‬
‫בנקודה ‪ .E‬אורך המיתר ‪ AB‬הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪.BE‬‬
‫ב‪ .‬מהנקודה ‪ D‬מעבירים מיתר החותך את המיתר ‪BC‬‬
‫בנקודה ‪ F‬ומקביל למיתר ‪.AB‬‬
‫הוכח כי מיתר זה עובר דרך מרכז המעגל‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪.FE‬‬
‫‪ .5‬נתון המעוין ‪.ABCD‬‬
‫אורך האלכסון הגדול במעוין ‪ AC‬גדול פי ‪ 1.8‬מצלע המעוין‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את זוויות המעוין‪.‬‬
‫מהקודקוד ‪ D‬מעבירים את הקטע ‪ DE‬שאורכו הוא ‪. m‬‬
‫הקטע ‪ DE‬חותך את האלכסון ‪ AC‬בנקודה ‪.G‬‬
‫הזווית ‪ EDC‬תסומן ב‪.  -‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬ו‪  -‬את אורך הקטע ‪.CE‬‬
‫ג‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬ו‪  -‬את שטח המשולש ‪.EGC‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪x2  2 x‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫א‪ .‬מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות קיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. -‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫‪29‬‬
‫‪x  12‬‬
‫‪ .7‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2  3‬‬
‫מקצים נקודה ‪ A‬על גרף הפונקציה וממנה מורידים אנכים לצירים‬
‫כך שנוצר המלבן ‪ ABCO‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬עבורם‬
‫שטח המלבן יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬עבורם שטח‬
‫המלבן יהיה מינימלי בתחום הנ"ל‪.‬‬
‫‪ f ( x) ‬בתחום‪. x  0 :‬‬
‫‪ .8‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)   x  2  :‬‬
‫מנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪ y -‬מעבירים משיק‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין המשיק‪ ,‬גרף הפונקציה וציר ה‪x -‬‬
‫(השטח המסומן)‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪30‬‬
‫בחינה מספר ‪10‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתונה תיבה שבסיסה הוא מלבן‪ .‬ידוע כי צלע אחת של המלבן גדול ב‪ 50%-‬מהצלע הסמוכה לה‪.‬‬
‫כמו כן גובה המלבן גדול ב‪ 50%-‬מצלע המלבן הגדולה‪.‬‬
‫סכום ארבעת הגבהים של המלבן גדול ב‪ 32-‬ס"מ מהיקף בסיס המלבן‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מידות המלבן‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המעטפת של התיבה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את נפח התיבה‪.‬‬
‫‪ .2‬המעגל‪ a  4 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  a    y  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ a  0 ,‬חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של המעגל הנתון עם המעגל‪ 10 :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫כתוב את משוואת הישר העובר דרך נקודות החיתוך של שני המעגלים‪.‬‬
‫חשב את שטח המשולש שיוצר הישר שמצאת בסעיף הקודם עם הצירים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.  x  1   y  2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .3‬בכד יש ‪ 9‬כדורים‪ ,‬חלקם כחולים והשאר לבנים‪.‬‬
‫מוציאים כדור מהכד‪ ,‬אם הוא כחול אז מחזירים אותו לכד ומוסיפים ‪ 4‬כדורים לבנים‬
‫ואם הוא לבן אז מחזירים אותו לכד ומוסיפים ‪ 4‬כדורים כחולים‪ .‬לאחר מכן מוציאים כדור נוסף‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪.‬‬
‫ידוע כי ההסתברות שהכדור הראשון שיצא הוא כחול אם ידוע כי הכדור השני כחול היא‬
‫‪11‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה כדורים כחולים יש בכד‪.‬‬
‫ב‪ .‬חוזרים על התהליך ‪ 6‬פעמים‪ ,‬כלומר בכל פעם מחזירים את המצב לקדמותו‪,‬‬
‫מוציאים באקראי כדור ופועלים בהתאם לחוקים‪.‬‬
‫מצא את ההסתברות שלפחות פעם אחת יבחרו שני כדורים כחולים בזה אחר זה‪.‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪.‬‬
‫‪ A‬גובה לצלע ‪ BC‬ו‪ AE-‬קוטר במעגל‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BAD  EAC :‬‬
‫נתון גם כי‪CE  21 , AD  6 , CD  8 :‬‬
‫ב‪ .‬חשב את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪31‬‬
‫‪ .5‬המרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל כמתואר באיור‪.‬‬
‫ידוע כי‪. AB  b , BC  a , CD  a , AD  3b :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬ו‪ b -‬את ‪. cos BCD‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי אם ‪ BD‬קוטר אז מתקיים‪. a  b 5 :‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי רדיוס המעגל הוא ‪ 3‬ס"מ‪.‬‬
‫הסתמך על סעיף ב' וחשב את שטח המרובע ‪.ABCD‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x4‬‬
‫א‪ .‬כתוב בצורה מפורשת את הפונקציה )‪. g ( x‬‬
‫ב‪ .‬לפניך מספר טענות המתייחסות לפונקציות )‪ f ( x‬ו‪. g ( x) -‬‬
‫קבע אילו מהטענות הבאות נכונות ואלו אינן נכונות‪.‬‬
‫הצדק את קביעותיך באמצעות חישוב מתאים‪:‬‬
‫‪ .i‬לפונקציות תחום הגדרה זהה‪.‬‬
‫‪ .ii‬שתי הפונקציות עולות בכל תחום הגדרתן‪.‬‬
‫‪ .iii‬שתי הפונקציות חותכות את ציר ה‪ x -‬באותה נקודה‪.‬‬
‫‪ .iv‬לשתי הפונקציות יש אסימפטוטה משותפת‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של כל פונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ד‪ .‬אסף פתר את סעיפים א' ו‪-‬ב' והחליט לטעון את הטענה הבאה‪:‬‬
‫היות והפונקציה )‪ g ( x‬מוגדרת להיות‪ g ( x)  f ( x) :‬אזי ניתן למצוא את שיעור‬
‫ה‪ y -‬של כל נקודה שעל גרף הפונקציה )‪ f ( x‬ע"י כך שנמצא תחילה את שיעור ה‪y -‬‬
‫של הנקודה בעלת אותו שיעור ‪ x‬על הגרף של )‪ g ( x‬ונעלה אותה בריבוע‪.‬‬
‫האם אסף צודק? נמק בצורה איכותית (חישובים אינם נדרשים) את שיקולך‪.‬‬
‫‪ . f ( x) ‬מגדירים פונקציה נוספת‪f ( x) :‬‬
‫‪ .7‬חיים הוא אחד מעובדי חברת "דפוס יהלום בע"מ"‪.‬‬
‫תפקידו של חיים הוא להדביק גלויות על משטחי קרטון בעלי שטח‬
‫מינימלי כך שיישארו רווחים של ‪ 3‬ס"מ מקצות הקרטון העליון‬
‫והתחתון‪ ,‬ו‪ 5-‬ס"מ מצידי הקרטון (ראה איור)‪.‬‬
‫יום אחד קיבל חיים שיחת טלפון מלקוח אנונימי ששאל‬
‫אותו את השאלה הבאה‪" :‬יש לי מגוון גדול של גלויות במידות שונות‬
‫אשר שטחן זהה והוא ‪ 60‬סמ"ר‪ .‬מה הן המידות של גלויה אשר שטח‬
‫משטח הקרטון שלה יהיה מינימלי?"‬
‫א‪ .‬עזור לחיים לענות ללקוח על שאלתו והראה דרך חישוב‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיו מידות הקרטון עבור הגלויה המסוימת?‬
‫‪32‬‬
‫‪. g ( x) ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .8‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x 2  6 x  12 :‬‬
‫ישר העובר בראשית הצירים חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה ‪ x  4‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הישר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך השנייה של הישר והפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין הישר‪ ,‬גרף הפונקציה‪,‬‬
‫ציר ה‪ x -‬והישר ‪. x  4‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪33‬‬
‫בחינה מספר ‪11‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬סוחר קנה כיסאות ב‪ .₪ 7,200-‬הסוחר השקיע ‪ ₪ 1,000‬בשיפוץ כל הכיסאות ואז מכר אותם‪.‬‬
‫‪ 20‬כיסאות הוא מכר ברווח של ‪ ₪ 70‬לכיסא‪ .‬את שאר הכיסאות הוא מכר בהפסד של ‪ ₪ 15‬לכיסא‪.‬‬
‫הסוחר הפסיד בעסקה ‪.₪ 650‬‬
‫א‪ .‬כמה כיסאות קנה הסוחר?‬
‫ב‪ .‬כמה שילם הסוחר עבור כל כיסא?‬
‫‪ .2‬המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז‪ .‬הנקודה ‪ E‬היא אמצע הבסיס ‪ AB‬וידוע כי היא נמצאת‬
‫על ציר ה‪ .x -‬שיעורי הנקודה ‪ B‬הם ‪  3, 2 ‬והצלע ‪ AD‬מונחת על הישר‪.x  5 :‬‬
‫אורך הקטע ‪ DE‬הוא ‪ 80‬כך ש‪ D-‬ברביע השלישי וכן‪. DEC  90 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ D , A‬ו‪.E-‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הקטע ‪CE‬‬
‫ואת משוואת הבסיס ‪.CD‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.DEC‬‬
‫‪ .3‬בסיטונאות מזון ידוע כי ‪ 40%‬מתוך הסכו"ם החד‪-‬פעמי הוא תוצרת חו"ל והשאר תוצרת הארץ‪.‬‬
‫‪ 40%‬מבין הסכו"ם המיובא מחו"ל הם צבעוניים והשאר שקופים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לבחור בסיטונאות המזון סכו"ם שקוף המיובא מחו"ל?‬
‫ב‪ .i .‬בוחרים ‪ 5‬כלים בחנות באופן אקראי‪.‬‬
‫מה ההסתברות שלכל היותר כלי אחד הוא כלי שקוף תוצרת חו"ל?‬
‫‪ .ii‬מה ההסתברות שבדיוק אחד מחמשת הכלים הוא כלי שקוף תוצרת חו"ל \‬
‫אם ידוע כי לכל היותר כלי אחד הוא שקוף תוצרת חו"ל?‬
‫ג‪ .‬בוחרים שני כלים באופן אקראי וידוע כי ההסתברות ששניהם שקופים היא ‪.0.4096‬‬
‫איזה חלק מהווים כלי הסכו"ם השקופים מבין כלי הסכו"ם תוצרת הארץ?‬
‫‪34‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬מהקדקוד ‪ C‬של המשולש ‪ BCD‬מעבירים את הקטע ‪ AC‬כך שהמשולש ‪ACD‬‬
‫הוא שווה שוקיים ‪ .  AC  AD ‬הנקודה ‪ F‬נמצאת על הצלע ‪CD‬‬
‫כך שמתקיים‪. D  CBF , 3  ACD  BEC :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הקטע ‪ BF‬חוצה את זווית ‪. B‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪.AEB FEC :‬‬
‫‪BE AE‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC FC‬‬
‫‪ .5‬המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל כמתואר באיור‪.‬‬
‫מעבירים את המיתר ‪ AD‬החוצה את זווית ‪.BAC‬‬
‫ידוע כי‪ . BAC  40 , ACB  60 :‬מסמנים‪. AD  k :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬את אורך המיתר ‪.BD‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי שטח המשולש ‪ ABD‬הוא ‪ 7.368‬סמ"ר‪.‬‬
‫מצא את ‪( k‬עגל למספר שלם)‪.‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪.6‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪9  x2‬‬
‫‪ f ( x)  2‬יש נקודת קיצון שנמצאת על ציר ה‪. y -‬‬
‫הוכח כי לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x k‬‬
‫הוכח כי הפונקציה )‪ f ( x‬מוגדרת לכל ‪ x‬אם ידוע כי שיעור ה‪ y -‬של נקודת הקיצון הוא ‪.3‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה וקבע בכמה נקודות יחתוך אותו הישר ‪. y  1‬‬
‫נמק את תשובתך‪.‬‬
‫‪35‬‬
‫‪ .7‬באיור שלפניך מתוארים תיבה שבסיסה ריבוע וגליל החסום בתוך התיבה‪.‬‬
‫רדיוס הגליל יסומן ב‪ x -‬וגובהו ב‪ . h -‬ידוע כי הסכום של ‪ x‬ו‪ h -‬הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את אורך מקצוע הבסיס של התיבה‪.‬‬
‫ב‪ .i .‬הבע באמצעות ‪ x‬את נפח הגליל‪.‬‬
‫‪ .ii‬הבע באמצעות ‪ x‬את נפח התיבה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪ x‬עבורו הנפח הכלוא בין התיבה לגליל יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫‪x‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ .8‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והישר‪. x  9 :‬‬
‫‪ f ( x ) ‬ו ‪. g ( x)  2 x -‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪36‬‬
‫בחינה מספר ‪12‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬משאית מביאה סחורה מידי יום מיישוב א' ליישוב ב' המרוחק ממנו ‪ 630‬ק"מ‪.‬‬
‫המשאית נוסעת במהירות קבועה בכל יום‪.‬‬
‫יום אחד נסעה המשאית במהירות הנמוכה ממהירותה הרגילה ב‪.20%-‬‬
‫לאחר ‪ 3‬שעות ראה נהג המשאית כי הוא עומד לאחר ולכן הגביר את מהירותו ב‪ 21-‬קמ"ש‬
‫ממהירותו הנוכחית‪ .‬המשאית הגיעה ליעדה בדיוק באותו הזמן שהיא מגיעה בכל יום‪.‬‬
‫באיזו מהירות נוסעת המשאית בכל יום?‬
‫‪ .2‬הנקודות ‪ M‬ו‪ D-‬נמצאות על הישר‪. y  12 :‬‬
‫ידוע כי שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ M‬הוא ‪ 9‬וכי המרחק של הנקודה ‪ M‬מראשית הצירים גדול ב‪6 -‬‬
‫מהמרחק בין הנקודות ‪ D‬ו‪( M-‬ראה איור)‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫בונים מעגל שמרכזו נמצא בנקודה ‪ M‬ורדיוסו והוא האורך ‪.DM‬‬
‫א‪ .i .‬מצא את מרחק הנקודה ‪ M‬מראשית הצירים‪.‬‬
‫‪y  12‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ .ii‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪.D‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם המעגל הזה חותך את הצירים?‬
‫הראה חישוב מתאים לטענתך‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .3‬בכד יש פי ‪ 5‬כדורים כחולים מאדומים‪ .‬מוציאים מהכד כדור‪.‬‬
‫אם הוא כחול אז משאירים אותו בחוץ ואם הוא אדום אז מחזירים אותו לכד‪.‬‬
‫לאחר מכן מוציאים כדור נוסף מהכד‪.‬‬
‫‪175‬‬
‫‪.‬‬
‫ידוע כי ההסתברות להוציא שני כדורים בצבעים שונים היא‪:‬‬
‫‪612‬‬
‫א‪ .‬כמה כדורים מכל צבע יש בכד?‬
‫ב‪ .‬ידוע כי הכדור השני שנבחר הוא כחול‪ ,‬מה ההסתברות שהכדור הראשון שנבחר היה אדום?‬
‫ג‪ .‬חוזרים על התהליך ‪ 5‬פעמים‪.‬‬
‫ידוע כי בכל הפעמים הכדור השני שהוצא הוא כחול‪.‬‬
‫מה ההסתברות שברוב הפעמים הכדור הראשון שיצא הוא אדום?‬
‫‪37‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬הישרים ‪ AB‬ו‪ AC-‬חותכים את המעגל בנקודות ‪ D‬ו‪ E-‬בהתאמה כך שהמיתרים ‪ BD‬ו‪BC-‬‬
‫מאונכים זה לזה‪ .‬הקטע ‪ CG‬חוצה את הקשת הקטנה ‪ BGD‬וחותך את המיתר ‪ BD‬בנקודה ‪.F‬‬
‫‪AC 13‬‬
‫‪ .‬נסמן‪. AB  t :‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB 12‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את אורך המיתר ‪.BC‬‬
‫‪BF 3‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי רדיוס המעגל הוא ‪ 5‬ס"מ וכי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪DF 5‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪.AB‬‬
‫‪ .5‬המשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים ‪ .  AB  AC ‬ממשיכים את הצלע ‪ AC‬עד‬
‫לנקודה ‪ D‬כך שאורך שוק המשולש גדולה פי ‪ 3.8‬מהקטע ‪.AD‬‬
‫ידוע כי‪ . D  60 :‬אורך הקטע ‪ BD‬הוא ‪ 21‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הקטע ‪.AD‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 16 23‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ax  6‬‬
‫‪ a , f ( x) ‬פרמטר‪.‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪9  x2‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ידוע כי הוא מקביל לישר‪. 3 y  x  0 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬כתוב את התחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪38‬‬
‫‪9x‬‬
‫‪x 8‬‬
‫‪ f ( x) ‬והישר‪:‬‬
‫‪ .7‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪25‬‬
‫‪x 1‬‬
‫הנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬נמצאות על הגרפים של הפונקציות כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫מהנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬מותחים אנכים לציר ה‪ y -‬כך שנוצר המלבן ‪.ABCD‬‬
‫‪y‬‬
‫נסמן את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬ב‪. t -‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את היקף המלבן ‪.ABCD‬‬
‫מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ t‬עבורו היקף המלבן הוא‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪B‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה ההיקף במקרה זה?‬
‫‪.y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .8‬באיור שלפניך מתוארים גרף הפונקציה )‪ f ( x‬והישר‪. y  2 x :‬‬
‫נגזרת הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪ f '( x)  2 x  6 :‬וידוע הישר חותך את הפונקציה‬
‫בנקודה שבה ערך ה‪ y -‬הוא ‪.16‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬האם יש לגרף הפונקציה ולישר עוד נקודות חיתוך? אם כן מצא אותן‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה והישר‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪39‬‬
‫בחינה מספר ‪13‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪ 16 23‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬בעל חנות כלי נגינה קנה גיטרות ב‪ ,₪ 50,000-‬מחיר כל הגיטרות זהה‪.‬‬
‫בשבוע הראשון מכר בעל החנות ‪ 3‬גיטרות ברווח של ‪.85%‬‬
‫בשבוע השני מכר בעל החנות גיטרה אחת במחיר שקנה אותה ובשבוע השלישי והרביעי‬
‫מכר בעל החנות את שאר הגיטרות בהפסד של ‪.5%‬‬
‫סה"כ הרוויח בעל החנות מעסקי הגיטרות ‪.₪ 11,250‬‬
‫כמה גיטרות קנה בעל החנות ובאיזה מחיר לגיטרה?‬
‫‪ .2‬מעגל שמרכזו בנקודה ‪ M 15,12 ‬משיק לציר ה‪ y -‬בנקודה ‪ B‬וחותך את‬
‫ציר ה‪ x -‬בשתי נקודות ‪ A‬ו‪ C-‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬כתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫מהנקודה ‪ C‬מעלים אנך לציר ה‪ x -‬שחותך את המעגל בנקודה נוספת ‪.D‬‬
‫דרך הנקודה ‪ D‬עובר משיק למעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ C‬ו‪.D-‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה ‪.D‬‬
‫‪ .3‬לכבוד חנוכה קנתה סבתא תקווה לשתי נכדותיה‪ ,‬שני ושרון‪ ,‬סביבונים עם סוכריות בתוכם‪.‬‬
‫בכל סביבון יש ‪ 7‬סוכריות שוקולד ו‪ 4-‬סוכריות מנטה‪.‬‬
‫שרון לקחה סביבון אחד והוציאה ממנו באקראי (ללא החזרה) ‪ 4‬סוכריות‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שכל הסוכריות שהוציאה שרון הן סוכריות מנטה?‬
‫שני לקחה ‪ 4‬סביבונים (אחרים) והוציאה באקראי מכל סביבון סוכרייה אחת‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם ההסתברות ששני תוציא ‪ 4‬סוכריות מנטה גבוהה יותר או נמוכה יותר מההסתברות‬
‫שחשבת בסעיף א'? נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬שני הוציאה באקראי סוכרייה אחת מכל סביבון מתוך ארבעת הסביבונים שברשותה‪.‬‬
‫ידוע שבין הסוכריות שבידה יש יותר סוכריות מנטה‪.‬‬
‫מה ההסתברות שכל הסוכריות שיש לשני ביד יהיו בטעם מנטה?‬
‫‪40‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן‪ .‬הקטע ‪ DF‬חותך את הצלע ‪ BC‬בנקודה ‪ E‬כך‬
‫שהקטע ‪ CE‬גדול פי ‪ 2‬מהקטע ‪ F .BE‬נמצאת על המשך הצלע ‪ AB‬של המלבן‪.‬‬
‫מעבירים את הקטע ‪ MN‬המקביל לצלעות ‪ AD‬ו‪ BC-‬של המלבן ואת הקטע ‪MG‬‬
‫‪AM 3‬‬
‫‪.‬‬
‫המאונך לקטע ‪ .DF‬נתון‪ :‬‬
‫‪BM 5‬‬
‫א‪ .‬פי כמה גדול הקטע ‪ MN‬מהקטע ‪?BE‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי המשולשים ‪ MGN‬ו‪ FAD-‬דומים ‪.‬‬
‫‪DF‬‬
‫‪GN 3‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי‪:‬‬
‫‪ .‬הוכח‪ 90 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪BE‬‬
‫‪DF 40‬‬
‫‪ .5‬המשולש ‪ ABC‬הוא ישר זווית ‪C  90 ‬‬
‫‪‬‬
‫ובו‪. B  2 :‬‬
‫מעבירים מעגל שרדיוסו ‪ R‬דרך הקדקודים ‪ B‬ו‪ C-‬אשר חותך את צלעות‬
‫המשולש בנקודות ‪ D‬ו‪ .E-‬המיתר ‪ BE‬חוצה את זווית ‪.B‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬ו‪  -‬את שטח המשולש ‪.ABE‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי המשולש ‪ ABE‬הוא שווה שוקיים‬
‫ג‪ .‬וכי אורך המיתר ‪ CE‬הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪.ABE‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום הגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬כמה נקודות יש לגרף הפונקציה שהמשיק העובר דרכן מקביל לציר ה‪ ? x -‬מצא אותן‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואות המשיקים בנקודות שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫‪41‬‬
‫‪ .7‬המרובע ‪ ABCD‬הוא ריבוע‪ .‬הנקודה ‪ E‬נמצאת על הצלע ‪ AD‬של הריבוע והנקודה ‪G‬‬
‫נמצאת על המשך הצלע ‪ .AD‬מעבירים את הקטעים ‪ BE‬ו‪ BG-‬ומוסיפים את הנקודה ‪F‬‬
‫כך שהמרובע ‪ BEFG‬הוא מלבן כמתואר באיור‪ .‬הקטע ‪ AG‬גדול פי ‪ 2‬מהצלע ‪ BE‬של המלבן‬
‫והסכום של הצלע ‪ BE‬והאלכסון ‪ GE‬הוא ‪ 16‬ס"מ‪ .‬הקטע ‪ BE‬יסומן ב‪. x -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את אורך הקטע ‪.AE‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ x‬עבורו אורך צלע הריבוע תהיה מקסימלית‪.‬‬
‫(העזר במשולש ‪.)ABE‬‬
‫‪ .8‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)  kx  x 2 :‬הישר ‪ y  9‬חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות‪.‬‬
‫ידוע כי שיעור ה‪ x -‬של אחת מנקודות החיתוך הוא ‪. x  9‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך השנייה בין שני הגרפים‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪ ,‬הישר‬
‫וציר ה‪( x -‬השטח המסומן)‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪42‬‬
‫בחינה מספר ‪14‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתון ריבוע ‪ .ABCD‬בונים משולש ישר זווית ‪ EFC‬כך ש‪ E-‬ו‪ F-‬הן‬
‫נקודות על המשכי הצלעות ‪ BC‬ו‪ DC-‬של הריבוע בהתאמה‪.‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על יתר המשולש ‪.EF‬‬
‫הקטע ‪ BE‬מהווה ‪ 50%‬מצלע הריבוע והקטע ‪ FD‬גדול‬
‫פי ‪ 2‬מצלע הריבוע‪.‬‬
‫ידוע כי שטח המשולש ‪ EFC‬הוא ‪ 81‬סמ"ר‪.‬‬
‫מצא את אורך צלע הריבוע‪.‬‬
‫‪ AD .2‬ו‪ BE-‬הם בהתאמה גבהים לצלעות ‪ BC‬ו‪ AC-‬במשולש ‪.ABC‬‬
‫ידוע כי שיעורי נקודת פגישת הגבהים ‪ K‬הם‪. 1,3 :‬‬
‫שיעורי הנקודות ‪ D‬ו‪ E-‬הם‪. D  2, 4  , E  3,5 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את משוואת הגובה ‪ AD‬ואת משוואת הצלע ‪.AC‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪.A‬‬
‫מצא את משוואת הגובה ‪ BE‬ואת משוואת הצלע ‪.BC‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪.B‬‬
‫‪ .3‬בחדר יש ‪ x‬גברים ו‪ 3x -‬נשים‪ .‬משחקים את המשחק הבא‪ :‬בוחרים באקראי שני אנשים‬
‫מהחדר בזה אחר זה (ללא החזרה)‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫‪.‬‬
‫ידוע כי ההסתברות לבחור שני אנשים מאותו המין היא‬
‫‪22‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה נשים יש בחדר‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי האדם השני שנבחר הוא גבר‪ ,‬מה ההסתברות שגם הראשון שנבחר הוא גבר?‬
‫ג‪ .‬משחקים את המשחק ‪ 4‬פעמים‪.‬‬
‫י דוע כי בכל הפעמים נבחר גבר בפעם השנייה‪ ,‬מה ההסתברות שבדיוק ב‪ 3-‬פעמים‬
‫יבחר גבר גם בפעם הראשונה‪.‬‬
‫‪43‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬הטרפז ‪ ABCD‬הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫חוסמים מעגל בתוך הטרפז אשר משיק לו בנקודות ‪ F ,E‬ו‪ G-‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫הקטעים ‪ DF‬ו‪ CE-‬חוצים את זוויות הטרפז ונחתכים בנקודה ‪.M‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הנקודה ‪ M‬היא מרכז המעגל החסום‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זוויות הטרפז‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫ממשיכים את ‪ GF‬ואת ‪ AD‬כך שהם נפגשים בנקודה ‪.H‬‬
‫‪EM‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את היחס‬
‫‪FH‬‬
‫‪H‬‬
‫‪G‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ .5‬במקבילית ‪ ABCD‬אורך האלכסון ‪ AC‬הוא ‪ 79‬ס"מ‪.‬‬
‫היקף המקבילית הוא ‪ 20‬ס"מ וידוע כי‪. B  120 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורכי צלעות המקבילית‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המקבילית‪.‬‬
‫ג‪ .‬מסמנים נקודה ‪ E‬על האלכסון ‪ AC‬כך‬
‫שהמרובע ‪ CBED‬הוא בר חסימה‪.‬‬
‫חשב את רדיוס המעגל החוסם את המרובע ‪.CBED‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ax 2  20 x  28‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 2  2a‬‬
‫ידוע כי גרף הפונקציה חותך את האסימפטוטה האופקית שלו בנקודה ‪.  0.5,3‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪ a‬וכתוב את הפונקציה ואת תחום הגדרתה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ה‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ו‪ .‬העזר בגרף הפונקציה וקבע עבור אלו ערכים של ‪ k‬הישר‪ y  k :‬יחתוך את גרף‬
‫הפונקציה בנקודה אחת בלבד‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫‪44‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ .7‬נתון ריבוע בעל אורך צלע של ‪ 16‬ס"מ‪.‬‬
‫מקצים קטע שאורכו ‪ x‬על הצלע העליונה ושני קטעים שאורכם ‪2x‬‬
‫על הצלעות הצדדיות כמתואר באיור כך שנוצר המחומש המקווקו‪.‬‬
‫מצא מה צריך להיות ערכו של ‪ x‬עבורו שטח המחומש יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .8‬באיור שלפניך נתונה הפונקציה‪ x :‬‬
‫‪2x‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת המינימום שלה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מנקודת המינימום של הפונקציה מעבירים ישר‬
‫‪x‬‬
‫לנקודה‪  2, 0  :‬שעל ציר ה‪. x -‬‬
‫מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬הישר ואנך לציר ה‪x -‬‬
‫היוצא מהנקודה ‪  2, 0 ‬עד לנקודת החיתוך עם גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪45‬‬
‫בחינה מספר ‪15‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪ 16 23‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתונה מנסרה שבסיסה הוא משולש ישר זווית‪.‬‬
‫הניצב הגדול ארוך ב‪ 4 -‬ס"מ מהניצב הקטן‪ ,‬וקצר ב‪ 4-‬ס"מ מהיתר‪.‬‬
‫נפח המנסרה הוא ‪ 2880‬סמ"ק‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מידות משולש הבסיס‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את גובה המנסרה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שטח המעטפת של המנסרה‪.‬‬
‫‪ .2‬נתון מעוין ‪.ABCD‬ידוע כי הצלע ‪ CD‬מונחת על הישר ‪. y  7‬‬
‫‪y‬‬
‫אלכסוני המעוין ‪ AC‬ו‪ BD-‬נפגשים בנקודה‪. M  0.5, 3 :‬‬
‫‪B‬‬
‫שיפוע האלכסון ‪ AC‬הוא ‪.-4‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת האלכסון ‪.AC‬‬
‫‪M‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫‪C‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.BMC‬‬
‫(היעזר בתכונה כי אלכסוני המעוין מחלקים אותו ל‪ 4-‬משולשים שווי‪-‬שטח)‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .3‬בעיר מסוימת נערכו בחירות מקומיות‪ .‬ידוע כי אם בוחרים באקראי ‪ 4‬אזרחים ההסתברות‬
‫שתמַ צא אישה אחת ביניהם קטנה פי ‪ 16‬מההסתברות להיתקל באישה באופן אקראי‪.‬‬
‫ִ‬
‫א‪ .‬מה הוא אחוז הגברים בעיר?‬
‫‪1‬‬
‫בעיר שלושה מועמדים‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫מהמצביעים למועמד א' הם גברים‪ 60% ,‬מהמצביעים למועמד ב' הם‬
‫גברים ו‪ 25%-‬מהמצביעים למועמד ג' הם גברים‪ .‬אחוז המצביעים למועמד ג' הוא ‪.20%‬‬
‫ב‪ .‬איזה מועמד קיבל את רוב הקולות?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מבין כל הנשים מהווה קבוצת הנשים שהצביעו למועמד המנצח?‬
‫‪46‬‬
‫‪D‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬במשולש ‪ ABC‬הזווית ‪ C‬היא‪. 60 :‬‬
‫מעבירים את הקטע ‪ AD‬כך שנוצרים המשולשים ‪ ACD‬ו‪.ABD-‬‬
‫ידוע כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ ACD‬הוא‪ 3 :‬ס"מ ‪. R1 ‬‬
‫כמו כן רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ ABD‬הוא‪ 3 :‬ס"מ ‪. R2 ‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המשולש ‪ ABC‬הוא ישר זווית‪.‬‬
‫ב‪ .‬היקף המשולש ‪ ABC‬הוא‪ 12  4 3 :‬ס"מ ‪. P ‬‬
‫חשב את שטח המשולש‪.‬‬
‫‪ .5‬דרך הקדקודים ‪ C , A‬ו‪ D-‬של המקבילית ‪ ABCD‬מעבירים מעגל‪.‬‬
‫היקף המעגל חוצה את הצלע ‪ AB‬בנקודה ‪.  AE  BE  , E‬‬
‫נתון כי ‪ DC‬הוא קוטר במעגל וכי המיתר ‪ DE‬חוצה את זווית ‪.D‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המיתר ‪ CE‬חוצה את זוויות ‪.C‬‬
‫ב‪ .‬רדיוס המעגל יסומן ב‪. R -‬‬
‫הבע באמצעות ‪ R‬את היקף המקבילית‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את רדיוס המעגל אם ידוע כי שטח המקבילית‬
‫הוא ‪ 16 3‬סמ"ר‪.‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪5x  1‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x5‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נקודות קיצון וסוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬תחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫ד‪ .‬חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫ה‪ .‬מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ו‪ .‬סרטוט סקיצה‪.‬‬
‫‪ . f ( x)  1.5 x ‬חקור לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪ x‬ו‪ y -‬הם שני מספרים חיוביים המקיימים‪. x  6 y  60 :‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ y‬באמצעות ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬מה צריכים להיות המספרים ‪ x‬ו‪ y -‬כדי שמכפלת ריבועיהם תהיה מקסימלית?‬
‫ג‪ .‬מהי המכפלה הנ"ל?‬
‫‪47‬‬
‫‪32‬‬
‫‪ .8‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪ f ( x)  x 2 :‬ו‪-‬‬
‫‪x‬‬
‫מעבירים ישר ‪ x  a‬החותך את גרף הפונקציה )‪ g ( x‬ויוצר את השטח הכלוא בין שני הגרפים‪,‬‬
‫‪ g ( x) ‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ציר ה‪ x -‬והישר (השטח המסומן)‪ .‬ידוע כי שטח זה שווה ל‪. S  85 -‬‬
‫‪3‬‬
‫מצא את ‪. a‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x a‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪48‬‬
‫בחינה מספר ‪16‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬המחיר של ‪ 3‬מקלדות ו‪ 5-‬עכברים הוא ‪.₪ 490‬‬
‫לאחר חצי שנה חנות המחשבים יצאה למבצע והכריזה כי כל המקלדות בהנחה מיוחדת של ‪50%‬‬
‫וכל העכברים בהנחה של ‪ .10%‬כעת ניתן לקנות ‪ 4‬עכברים ו‪ 8-‬מקלדות במחיר של ‪.₪ 500‬‬
‫א‪ .‬מה היו המחירים של מקלדת ושל עכבר לפני ההנחה?‬
‫ב‪ .‬מה הם המחירים של מקלדת ושל עכבר לאחר ההנחה?‬
‫ג‪ .‬בכמה אחוזים גדול המחיר הראשוני של מקלדת מהמחיר הראשוני של עכבר?‬
‫‪ .2‬באיור שלפניך נתון מעגל שמרכזו בנקודה ‪.M‬‬
‫המעגל חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫מעבירים משיק למעגל‪ 6 x  7 y  191:‬דרך הנקודה ‪. C 12,17  :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫כתוב את משוואת הרדיוס ‪.MC‬‬
‫ידוע כי הנקודה ‪ M‬נמצאת על הישר‪. y  10 :‬‬
‫‪ .i‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.M‬‬
‫‪ .ii‬מצא את אורך רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪ .iii‬כתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה‪. y -‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪.AMB‬‬
‫‪y‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .3‬כדי להתקבל לעבודה בחברת "קוקה‪-‬קולה" יש לעבור שלושה ראיונות ע"י שלושה בעלי תפקידים‬
‫בסדר הבא‪:‬‬
‫אחראי משמרת‪ ,‬מנהל ראשי ומנכ"ל החברה‪ .‬כל בעל מקצוע נותן חוות דעת חיובית או שלילית בלבד‪.‬‬
‫כדי שמועמד יקבל עבודה בחברה עליו לעבור בהצלחה לפחות את אחד מהראיונות עם אחראי המשמרת‬
‫והמנהל הראשי אך הראיון עם המנכ"ל חייב לעבור בהצלחה (כדי שמועמד יקבל עבודה המנכ"ל צריך‬
‫‪1‬‬
‫לתת לו חוות דעת חיובית)‪ .‬ידוע כי אחראי המשמרת נותן חוות דעת חיובית ל‪-‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫המנהל הראשי קורא את חוות הדעת של אחראי המשמרת וב‪ -‬מהמקרים נותן חוות דעת הפוכה מזו‬
‫‪3‬‬
‫מהמועמדים‪.‬‬
‫של אחראי המשמרת‪ .‬מנכ"ל החברה נותן חוות דעת חיובית ל‪ 80%-‬מהמועמדים ללא קשר לחוות‬
‫הדעת הקודמות‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לקבל חוות דעת חיובית מהמנהל הראשי?‬
‫ב‪ .‬ידוע כי המנהל הראשי נתן חוות דעת חיובית‪ ,‬מה ההסתברות שגם אחראי‬
‫המשמרת נתן חוות דעת חיובית?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות להתקבל לחברה?‬
‫‪49‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬הקטע ‪ AB‬משיק למעגל בנקודה ‪.A‬‬
‫מהנקודה ‪ B‬מעבירים ישר חותך למעגל החותך אותו בנקודות ‪ C‬ו‪.D-‬‬
‫‪ E‬היא נקודה על המעגל כך ש‪. AEC  90 -‬‬
‫נתון כי המיתר ‪ AC‬חוצה את זווית ‪.BCE‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ABC EAC :‬‬
‫ב‪ .‬נסמן ב‪ R -‬את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪BC  CE‬‬
‫‪.R‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬איזה מרובע יהיה המרובע ‪ ADCE‬אם‬
‫יתקיים‪ . 2CE  BC :‬נמק‪.‬‬
‫‪ .5‬באיור שלפניך נתון משושה משוכלל ששטחו הכולל הוא‪. S :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ S‬את אורך צלע המשושה‪.‬‬
‫מעבירים אלכסונים במשושה כך שנוצר המלבן ‪.BFEC‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ S‬את שטח המלבן‪.‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .6‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪ f ( x)  x :‬ו‪. g ( x)  x 2 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬העובר‬
‫)‪g ( x‬‬
‫דרך נקודת החיתוך שמצאת הנמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך הנוספת של המשיק שמצאת עם‬
‫גרף הפונקציה )‪. g ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪50‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x  10‬‬
‫‪ .7‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫מסמנים נקודה ‪ A‬על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬ברביע הראשון ו‪ B-‬על‬
‫גרף המשיק כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪ A‬עבורן אורך הקטע ‪ AB‬הוא מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה אורך הקטע ‪ AB‬במקרה זה?‬
‫‪ .8‬נגזרת הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪. f '( x)  3x 2  8x  12 :‬‬
‫הישר ‪ y  5‬חותך את גרף הפונקציה )‪ f ( x‬על ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין הישר והפונקציה (ראה איור)‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪51‬‬
‫בחינה מספר ‪17‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬סוחר קנה שני סוגי בד במחיר כולל של ‪.₪ 900‬‬
‫את הבד מהסוג הראשון הוא מכר בהצלחה רבה ברווח של ‪72%‬‬
‫אך את הבד השני הוא מכר בהפסד של ‪.15%‬‬
‫הסוחר מכר את הבדים במחיר כולל של ‪.₪ 1,113‬‬
‫כמה שילם הסוחר עבור שני סוגי הבדים?‬
‫‪ .2‬נתון מרובע ‪ ABCD‬שקדקודיו הם‪. A(3,13) , B(2, 4) , C(9,3) , D(8,14) :‬‬
‫מורידים גבהים ‪ AE‬ו‪ CF-‬לאלכסון ‪.BD‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת האלכסון ‪ BD‬ואת אורכו‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ E‬ו‪.F-‬‬
‫ג‪ .‬מצא את אורכי הגבהים ‪ AE‬ו‪.CF-‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המרובע ‪.ABCD‬‬
‫‪ .3‬במדינה מסוימת‬
‫‪41‬‬
‫‪19‬‬
‫מהאזרחים הם גברים ו‪-‬‬
‫‪60‬‬
‫‪60‬‬
‫הן נשים‪.‬‬
‫‪ 30%‬מבין מרכיבי המשקפיים במדינה זו הם גברים ו‪ 40%-‬מבין אלו שלא מרכיבים משקפיים‬
‫הם גברים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות למצוא אישה במדינה זו שלא מרכיבה משקפיים?‬
‫ב‪ .‬בוחרים ‪ 4‬אנשים‪ .‬מה ההסתברות שבדיוק שניים מהם הם נשים שלא‬
‫מרכיבות משקפיים?‬
‫ג‪ .‬בוחרים אזרח‪ .‬ידוע כי הוא גבר‪ .‬מה ההסתברות שהוא מרכיב משקפיים?‬
‫‪52‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬במעגל שמרכזו ‪ O‬מעבירים את הקטרים ‪ AB‬ו‪ CD-‬המאונכים זה לזה‪.‬‬
‫‪ E‬היא נקודה על היקף המעגל המקיימת‪ 15 :‬ס"מ ‪. BE  DE ‬‬
‫מעבירים את המיתר ‪ .AE‬הקטע ‪ OM‬מאונך למיתר ‪AE‬‬
‫ושווה למיתר ‪.DE‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ OMEB‬הוא טרפז ישר זווית‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורך המיתר ‪.BE‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי שטח הטרפז הוא ‪ 90‬סמ"ר‪.‬‬
‫מצא את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪ .5‬המשולש ‪ ABC‬הוא ישר זווית ‪.  A  90 ‬‬
‫הקטעים ‪ AD‬ו‪ AE-‬הם בהתאמה גובה ליתר וחוצה זווית‪.‬‬
‫מסמנים‪. DAE   , DE  k :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪ABC‬‬
‫אם ידוע כי‪   30 :‬ו‪ k  2 -‬ס"מ‪.‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ax  4‬‬
‫‪ .6‬לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ f ( x) ‬יש נקודת קיצון שבה ‪. x  8‬‬
‫‪53‬‬
‫‪ .7‬הנקודות ‪ K , L , M , N‬מקצות קטעים שווים במלבן ‪ABCD‬‬
‫כך ש‪. BK  BL  DM  DN  x :‬‬
‫צלעותיו של המלבן הן ‪ 20‬ס"מ ו‪ 12-‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את סכום שטחי המשולשים‪:‬‬
‫‪. AKM  BKL  CLM  DNM‬‬
‫ב‪ .‬מצא מה צריך להיות ‪ x‬כדי ששטח‬
‫המרובע ‪ LKNM‬יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה הוא השטח של המרובע ‪ LKNM‬במקרה זה?‬
‫‪a  x2‬‬
‫‪ .8‬גרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪,‬‬
‫ציר ה‪ x -‬והישר‪. x  2 :‬‬
‫‪ f ( x) ‬חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה ‪.  6, 0 ‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪54‬‬
‫בחינה מספר ‪18‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬מכונית ומונית יוצאות בו זמנית מנקודה ‪ A‬לנקודה ‪ .B‬המכונית נוסעת במהירות‬
‫קבועה ומגיעה לנקודה ‪ B‬כעבור ‪ 4‬שעות‪ .‬המונית נוסעת במשך ‪ 3‬שעות במהירות הקטנה‬
‫ב‪ 10-‬קמ"ש ממהירות המכונית ולאחר מכן מגבירה את מהירותה ב‪ 50%-‬ומגיעה‬
‫לנקודה ‪ B‬יחד עם המכונית‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות המכונית?‬
‫ב‪ .‬מה המרחק בין הנקודה ‪ A‬לנקודה ‪?B‬‬
‫‪ .2‬באיור שלפניך נתון מעגל שמרכזו בנקודה ‪ M‬הנמצאת על ציר ה‪. x -‬‬
‫המעגל חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה ‪ .A‬מסמנים את ראשית הצירים ב‪.O-‬‬
‫ידוע כי ‪ A‬היא אמצע הקטע ‪ MO‬ושיעוריה הם‪. A  5, 0  :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫מצא את משוואת המעגל‪.‬‬
‫כתוב את משוואת הישר שעובר דרך הנקודה ‪ A‬ושיפועו הוא ‪.0.5‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך הנוספת של הישר שמצאת עם המעגל‪.‬‬
‫סמן את הנקודה שמצאת בסעיף הקודם ב‪ B-‬וחשב את שטח המשולש ‪.AMB‬‬
‫‪M‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .3‬כדי להתקבל לחברת היי‪-‬טק יש לעבור ראיונות משלושה בעלי תפקידים בסדר הבא‪:‬‬
‫מהנדס ראשי‪ ,‬אחראי משמרת ומנכ"ל החברה‪ .‬כל אחד מבעלי התפקידים נותן חוות דעת חיובית‬
‫או שלילית על המועמד לעבודה‪.‬‬
‫מועמד שמתקבל לחברה חייב לקבל חוות דעת חיובית משלושת בעלי התפקידים‪.‬‬
‫ידוע כי המהנדס הראשי נותן חוות דעת חיובית ל‪ 3/5-‬מהמועמדים‪.‬‬
‫אחראי המשמרת קורא את חוות הדעת של המהנדס הראשי וב‪ 1/6-‬מהמקרים נותן חוות דעת‬
‫הפוכה מזו של המהנדס הראשי‪ .‬מנכ"ל החברה קורא את חוות הדעת של אחראי המשמרת וב‪7/10-‬‬
‫נותן חוות דעת זהה לשלו‪.‬‬
‫א‪ .i .‬מה ההסתברות שמועמד יקבל חוות דעת חיובית מאחראי המשמרת?‬
‫‪ .ii‬ידוע כי אחראי המשמרת נתן חוות חיובית‪.‬‬
‫מה ההסתברות שהמהנדס הראשי נתן חוות דעת שלילית‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שמועמד יקבל עבודה בחברה?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שמועמד יקבל חוות דעת שלילית מהמנכ"ל?‬
‫ד‪ .‬לאחר העדר עובדים שינתה החברה את מדיניותה וקבעה כי כדי להתקבל לעבודה‬
‫יש לעבור לפחות שני ראיונות בהצלחה‪ ,‬אך חוות הדעת של המנכ"ל חייבת להיות חיובית‪.‬‬
‫מה ההסתברות כעת לקבל עבודה בחברה?‬
‫‪55‬‬
‫‪O‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז‪.  AB CD  ,‬‬
‫מעבירים את קטע האמצעים ‪ EF‬החותך את אלכסון הטרפז ‪BD‬‬
‫בנקודה ‪ .K‬ידוע כי הקטע ‪ AK‬מקביל לשוק ‪ BC‬של הטרפז‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ ABFK‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫ב‪ .‬נסמן‪. SBKF  S :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ S‬את שטח הטרפז ‪.ABCD‬‬
‫‪ .5‬המיתר ‪ AB‬הוא קוטר במעגל שרדיוסו‪ R‬ו‪ AD-‬הוא מיתר‪.‬‬
‫ממשיכים את המיתר ‪ BD‬ומעבירים משיק מהנקודה ‪.A‬‬
‫המשיק והמשך המיתר נפגשים בנקודה ‪.C‬‬
‫מסמנים‪. BAD   :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ R-‬את שטח המשולש ‪.ABD‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ R-‬את שטח המשולש ‪.ACD‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪ ‬אם ידוע כי שטח המשולש ‪ ABD‬קטן‬
‫פי ‪ 4‬משטח המשולש ‪.ACD‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬האם ניתן להעביר משיק לגרף הפונקציה המקביל לציר ה‪ ? x -‬נמק והראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המשולש הכלוא בין המשיק והצירים‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫‪56‬‬
‫‪ .7‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪ .‬מהקדקוד ‪ B‬מעבירים את הצלע ‪ EF‬הנפגשת‬
‫עם המשכי הצלעות ‪ DC‬ו‪.AD-‬‬
‫ידוע כי מידות המקבילית הן‪ 2 :‬ס"מ ‪ 8 , AB ‬ס"מ ‪. AD ‬‬
‫מסמנים את אורך הצלע ‪ DE‬ב‪. x -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את אורך הצלע ‪.DF‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ x‬עבורו סכום הצלעות ‪ DE‬ו‪ DF-‬הוא מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה הוא הסכום המינימלי?‬
‫‪ .8‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬המתוארת באיור שלפניך היא‪. f '( x)  3  2 x :‬‬
‫ישר ‪ AB‬שמשוואתו‪ y  6 :‬חותך את גרף הפונקציה )‪ f ( x‬בנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫מנקודות אלו מורידים אנכים לציר ה‪ x -‬כך שנוצר מלבן ‪.ABCD‬‬
‫ידוע ששיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬הוא ‪.4‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬המלבן וציר ה‪. x -‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪57‬‬
‫בחינה מספר ‪19‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ AH .1‬הוא גובה לצלע ‪ BC‬במשולש ‪ .ABC‬על הגובה ‪ AH‬מקצים נקודה ‪ D‬כך‬
‫שהקטע ‪ DH‬מהווה ‪ 40%‬מהקטע ‪ .AD‬כמוכן המשולש ‪ BDC‬הוא ישר‬
‫זווית ‪ D  90‬והניצב ‪ BD‬גדול ב‪ 2-‬ס"מ מהניצב ‪.CD‬‬
‫אורך הצלע ‪ BC‬הוא ‪ 10‬ס"מ ושטח המשולש ‪ ABC‬הוא ‪ 84‬סמ"ר‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורכי הקטעים ‪ AD‬ו‪.DH-‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הניצבים ‪ CD‬ו‪.BC-‬‬
‫ג‪ .‬העזר בשטחי המשולשים ‪ ABC‬ו‪ BCD-‬ומצא את‬
‫שטח המרובע ‪.ABDC‬‬
‫‪ .2‬באיור שלפניך נתון מעגל שמשוואתו היא‪.  x  4    y  2   8 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מסמנים את נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה‪ x -‬ב‪ A-‬ו‪( B-‬ראה איור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪Q‬‬
‫מעבירים אנך לציר ה‪ y -‬מנקודת מרכז המעגל ‪ M‬ומסמנים‬
‫את חיתוכם ב‪.P-‬‬
‫ב‪ .‬מצא נקודה ‪ Q‬כך שהמרובע ‪ AMPQ‬יהיה מקבילית‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת הישר ‪.PQ‬‬
‫ד‪ .‬הוכח כי הישר שמצאת בסעיף הקודם משיק למעגל בנקודה ‪.  2, 4 ‬‬
‫נמק את שיקוליך באמצעות חישוב מתאים‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ .3‬באוניברסיטה מסוימת ידוע כי חלק מהסטודנטים נעזרים בספרי לימוד חיצוניים להעשרת הידע שלהם‪.‬‬
‫ידוע כי ההסתברות לבחור ‪ 2‬סטודנטים הנעזרים בספרי לימוד חיצוניים קטנה ב‪ 0.1-‬מההסתברות‬
‫לבחור שני סטודנטים שלא נעזרים בספרי לימוד חיצוניים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו אחוז הסטודנטים שנעזרים בספרי לימוד חיצוניים?‬
‫האוניברסיטה מוכרת ספרי לימוד ב‪ 3-‬מקצועות לכלל הסטודנטים‪ :‬ספר א'‪ ,‬ספר ב' וספר ג'‪.‬‬
‫חלק מהסטודנטים נעזרים בנוסף בספרי לימוד חיצוניים‪.‬‬
‫ידוע כי כמות הסטודנטים שקנו את ספר א' וכמות הסטודנטים שקנו את ספר ג' זהות‪.‬‬
‫כמו כן‪ 6/7 ,‬מאלו שקנו את ספר ג' נעזרים גם בספרים חיצוניים‪.‬‬
‫‪ 1/3‬מהסטודנטים שקנו את ספר ב' נעזרים בספרי לימוד חיצוניים והסטודנטים שקנו את ספר א'‬
‫מהווים ‪ 1/9‬מכלל הסטודנטים שנעזרים בספרי לימוד חיצוניים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו אחוז הסטודנטים שקנו את ספר ב' ולא נעזרים בספרי לימוד חיצוניים?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מהווים הסטודנטים שקנו את ספר ג' מכלל הסטודנטים שלא נעזרים‬
‫בספרי לימוד חיצוניים?‬
‫ד‪ .‬בוחרים ‪ 4‬סטודנטים שלא נעזרים בספרי לימוד חיצוניים‪.‬‬
‫מה ההסתברות שאחד מהם קנה את ספר ג'?‬
‫‪58‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬המשולש‪ ABC‬הוא שווה שוקיים ‪  AB  AC ‬בעל זווית ראש ‪. 36‬‬
‫ידוע כי המשולש חסום במעגל בעל קוטר של ‪ 16‬ס"מ‪.‬‬
‫מעבירים את התיכון ‪ BD‬לשוק ‪.AC‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הבסיס ‪ BC‬במשולש‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך התיכון ‪.BD‬‬
‫ג‪ .‬מסמנים‪ - r1 :‬רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪.ABD‬‬
‫‪ - r2‬רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪.BCD‬‬
‫‪r‬‬
‫הוכח את היחס הבא‪. 1  2 cos 36 :‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪ .5‬המשולש ‪ ABC‬הוא שווה צלעות‪.‬‬
‫הקטע ‪ DE‬עובר דרך הקדקוד ‪ A‬כך שנוצרים‬
‫שני משולשים ‪ ABD‬ו‪.ACE-‬‬
‫ידוע כי ‪ AC‬חוצה את זווית ‪ DCE‬במשולש ‪.DCE‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. AB CE :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. BC  DE  DC  AE :‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪ 8 :‬ס"מ ‪ DC ‬וכי‪. AC  DE :‬‬
‫‪ .i‬חשב את שטח המשולש ‪.DCE‬‬
‫‪ .ii‬חשב את שטח המשולש ‪.ABD‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪2 x2  5x  2‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪4x‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫ג‪ .‬קביעת סוג הקיצון ותחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫ד‪ .‬חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫ה‪ .‬מציאת אסימפטוטה אנכית‪.‬‬
‫ו‪ .‬סרטוט סקיצה‪.‬‬
‫‪ . y ‬חקור לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪59‬‬
‫‪ .7‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪. f ( x)  6  3 x :‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון‪.‬‬
‫מהנקודה ‪ A‬מותחים אנכים לצירים אשר חותכים אותם‬
‫בנקודות ‪ B‬ו‪ C-‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫נסמן את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬ב‪. t -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את סכום הקטעים ‪.AC+AB‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערכו של ‪ t‬עבורו סכום הקטעים הנ"ל יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪2 1‬‬
‫א‪ .‬מבין כל המשיקים לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 2 x3‬‬
‫מצא את משוואת המשיק ששיפועו מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה והמשיק שמצאת בסעיף א'‪.‬‬
‫חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬המשיק ואנך לציר ה‪x -‬‬
‫היוצא מנקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה‪. x -‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪60‬‬
‫בחינה מספר ‪20‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬סוחר קנה שולחנות במחיר כולל של ‪.₪ 18,000‬‬
‫‪ 10‬שולחנות הוא מכר ברווח של ‪ 60%‬לשולחן‪ 20 ,‬שולחנות הוא מכר ללא רווח ואת שאר‬
‫השולחנות הוא מכר בהפסד של ‪ 15%‬לשולחן‪ .‬סה"כ הרוויח הסוחר בעסקאות אלו ‪.₪ 450‬‬
‫א‪ .‬כמה שולחנות קנה הסוחר?‬
‫ב‪ .‬מה המחיר ששילם הסוחר עבור כל שולחן?‬
‫ג‪ .‬השולחנות שמכר הסוחר במחיר שונה מזה שרכש נמכרו לשני בתי עסק‪.‬‬
‫בית העסק הראשון רכש כמות שולחנות במחיר הזול וכמות שולחנות במחיר היקר‪.‬‬
‫סך כל השולחנות שרכש בית העסק הראשון הוא ‪ 10‬שולחנות‪.‬‬
‫בית העסק השני רכש את שאר השולחנות‪ ,‬חלקם במחיר הזול וחלקם במחיר היקר‪.‬‬
‫ידוע כי בית העסק השני שילם ‪ ₪ 4650‬יותר מאשר בית העסק הראשון עבור הקנייה הנ"ל‪.‬‬
‫מצא כמה שולחנות קנה בית העסק הראשון במחיר היקר‪.‬‬
‫‪ .2‬על הישר ‪ y  5‬מסמנים את הנקודות‪. A  7, 5 ; B 2, 5 :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪y‬‬
‫הנקודה ‪ C‬נמצאת על הישר‪. y  x  5 :‬‬
‫נסמן את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ C‬ב‪. t -‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את שיעור ה‪ y -‬של הנקודה ‪.C‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי אורך הצלע ‪ AC‬הוא ‪ 17‬ס"מ‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ .i‬הבע באמצעות ‪ t‬את המרחקים של ‪ C‬מ‪ A-‬ומ‪.B-‬‬
‫‪ .ii‬מצא את ‪ t‬ואת אורך הצלע ‪.BC‬‬
‫ג‪ .‬מסמנים נקודה ‪ D‬על המשך הצלע ‪ .AB‬ידוע כי ‪ D‬נמצאת ברביע השלישי‪.‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪ D‬המקיימת ששטח המשולש ‪ DAC‬יהיה גדול ב‪16-‬‬
‫יחידות משטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪ .3‬בבית ספר מסוים ישנם תלמידים המרכיבים משקפיים‪.‬‬
‫ידוע כי אם בוחרים ‪ 3‬תלמידים אז ההסתברות ששלושתם מרכיבים משקפיים היא ‪.0.027‬‬
‫א‪ .‬מצא את אחוז מרכיבי המשקפיים בבית הספר‪.‬‬
‫בבית הספר ההסתברות להיתקל בבן גדולה ב‪ 0.1-‬מההסתברות להיתקל בבת ומספר הבנים‬
‫שמרכיבים משקפיים זהה למספר הבנות שמרכיבות משקפיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות להיתקל בתלמיד (בן) שאינו מרכיב משקפיים?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מכלל הבנות בבית הספר מהוות מרכיבות המשקפיים?‬
‫ד‪ .‬בוחרים ‪ 4‬תלמידים‪ .‬ידוע כי כולן בנות‪ .‬מה ההסתברות כי אחת מהן תרכיב משקפיים?‬
‫‪61‬‬
‫‪A‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ AB .4‬ו‪ CD-‬הם קטרים במעגל שמרכזו ‪.O‬‬
‫מעבירים מיתר החותך את ‪ AB‬בנקודה ‪ M‬כך שמתקיים‪2AM  BM :‬‬
‫ואת ‪ CD‬בנקודה ‪ F‬כך שמתקיים‪. FM  CD :‬‬
‫ידוע כי זווית ‪ BMF‬היא ‪. 30‬‬
‫מעבירים את המיתרים ‪ AC‬ו‪ AD-‬כך שנוצר המשולש ‪.ACD‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. CAB  BMF :‬‬
‫ב‪ .i .‬הוכח כי המשולשים ‪ ADC‬ו‪ FOM-‬דומים‪.‬‬
‫‪ .ii‬פי כמה קטן הקטע ‪ FO‬מרדיוס המעגל?‬
‫ג‪ .‬מעבירים מהקדקוד ‪ D‬של המשולש ‪ ACD‬קטע העובר‬
‫דרך הנקודה ‪ M‬וחותך את המיתר ‪ AC‬בנקודה ‪.G‬‬
‫חשב פי כמה גדול שטח המשולש ‪ DGC‬משטח‬
‫המשולש ‪.MOF‬‬
‫‪ .5‬המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז ‪.  AB CD ‬‬
‫מעבירים את האלכסון ‪ BD‬המקיים‪. BCD  ADB :‬‬
‫נתון כי‪ 20 :‬ס"מ ‪ 10 , CD ‬ס"מ ‪ 5 , AD ‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫כמוכן ידוע כי השוק ‪ BC‬גדולה פי ‪ 2‬מהאלכסון ‪.BD‬‬
‫א‪ .‬הראה כי השוק ‪ BC‬שווה לבסיס ‪.CD‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זווית ‪.C‬‬
‫ג‪ .‬ממשיכים את שוקי הטרפז ‪ AD‬ו‪ BC-‬עד‬
‫לנקודה ‪ E‬שמחוץ לטרפז‪.‬‬
‫חשב את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪.CDE‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪3x 2‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪2 x2  8‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום הגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודות החיתוך עם הצירים של הפונקציה‪.‬‬
‫ה‪ .‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪.‬‬
‫ו‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫‪62‬‬
‫‪ .7‬נתונה תיבה שבסיסה הוא מלבן שבו צלע אחת גדולה פי ‪ 2‬מהצלע‬
‫הסמוכה לה כמתואר באיור‪.‬‬
‫ידוע כי גובה התיבה ‪ h‬וצלע המלבן הקטנה ‪ x‬מקיימים‪. x  h  9 :‬‬
‫מצא מה צריכים להיות מידות בסיס התיבה כדי שנפחּה יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ .8‬באיור שלפניך מתוארת הפונקציה‪:‬‬
‫‪2x 1‬‬
‫מעבירים את הישרים המקבילים לצירים‪x  13 :‬‬
‫ו‪ y  3 -‬כך שנוצר המלבן ‪ ABCD‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫הישר ‪ y  3‬חותך את גרף הפונקציה בנקודה ‪.M‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.M‬‬
‫ב‪ .‬מסמנים את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‬
‫והישרים ב‪ S1 -‬ואת שטח המלבן ב‪. S 2 -‬‬
‫‪S‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. 1 ‬‬
‫הראה כי‪:‬‬
‫‪S2 13‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪63‬‬
‫בחינה מספר ‪21‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬מכונת כביסה עולה ‪.₪ 4,000‬‬
‫לאחר שנה עלה מחיר מכונת הכביסה ב‪ 20%-‬ושנה לאחר מכן עלה מחירה בעוד ‪.20%‬‬
‫א‪ .‬מה מחיר מכונת הכביסה לאחר שנתיים?‬
‫ב‪ .‬בכמה אחוזים מהמחיר המקורי התייקרה מכונת הכביסה?‬
‫ג‪ .‬בחנות למוצרי חשמל מוכרים מכונות כביסה במחיר מסוים‪.‬‬
‫רפי קנה ‪ 3‬מכונות כביסה למכבסה שברשותו‪ .‬ידוע כי לאחר שנה חלה התייקרות‬
‫ב‪ p -‬אחוזים וכך גם בשנה שאחריה‪ .‬בתום השנתיים‪ ,‬החליט רפי לקנות ‪ 2‬מכונות‬
‫כביסה נוספות‪ .‬מבדיקה שערך רפי‪ ,‬גילה כי המחיר הכולל ששילם בקנייה השנייה שווה‬
‫למחיר ששילם בקנייה הראשונה‪ .‬מהו ‪? p‬‬
‫‪ .2‬נתון מעגל שרדיוסו ‪  R  16  , R‬ומשיק לציר ה‪ x -‬בנקודה שבה‪. x  16 :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את משוואת המעגל וציין האם הוא חותך את ציר ה‪ y -‬או לא‪ .‬נמק‪.‬‬
‫מהנקודה ‪ A  22,18‬שעל המעגל מעבירים משיק‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫מצא את ‪ R‬וכתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫כתוב את משוואת המשיק למעגל בנקודה ‪.A‬‬
‫מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה ‪ B‬שבה‪xB  xM :‬‬
‫אם ידוע כי הוא המאונך למשיק הקודם‪.‬‬
‫המשיקים נחתכים בנקודה ‪.C‬‬
‫‪ .i‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .ii‬מצא את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪16, 0 ‬‬
‫‪ .3‬בחדר ‪ x‬גברים ו‪ x  2 -‬נשים‪ .‬זורקים קוביית משחק מאוזנת‪.‬‬
‫אם מתקבל מספר הגדול מ ‪ 4-‬אז מוסיפים לחדר ‪ x‬גברים ואם מתקבל מספר הקטן או שווה‬
‫ל‪ 4-‬אז מוסיפים לחדר ‪ x‬נשים‪ .‬לאחר מכן מוציאים אדם מהחדר‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה נשים יש בחדר אם ידוע כי ההסתברות לבחור אישה היא‪:‬‬
‫‪33‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי יצאה אישה מהחדר‪ .‬מה ההסתברות שהמספר בקובייה היה קטן או שווה ל‪?4-‬‬
‫אנשי החדר הנמצאים בו במקור (לפני זריקת הקובייה) לובשים חולצות אדומות או לבנות בלבד‪.‬‬
‫ידוע כי החלק היחסי של האנשים הלובשים חולצות לבנות בחדר גדול פי ‪ 16‬מהחלק היחסי של הגברים‬
‫הלובשים חולצות אדומות‪ .‬כמו כן‪ ,‬פרופורציית הגברים מבין כל אלו שלובשים חולצות אדומות היא ‪.0.25‬‬
‫ג‪ .‬מצא מה ההסתברות לבחור גבר הלובש חולצה אדומה בחדר‪.‬‬
‫ד‪ .‬בוחרים ‪ 5‬אנשים מהחדר (עם החזרה) וידוע כי כולם לובשים חולצות אדומות‪.‬‬
‫מה ההסתברות שרובם נשים?‬
‫‪64‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬במלבן ‪ ABCD‬מסמנים את הנקודות ‪ E‬ו‪ F-‬הנמצאות על הצלעות ‪ AB‬ו‪BC-‬‬
‫בהתאמה כך ש‪ E-‬מקיימת‪ 3AE  BE :‬ו‪ F-‬היא אמצע הצלע ‪.BC‬‬
‫אורך הצלע ‪ AD‬שווה לאורך הקטע ‪.BE‬‬
‫מעבירים את הקטעים ‪ DF , EF‬ו‪ DE-‬כך שנוצר במשולש ‪.DEF‬‬
‫א‪ .‬סמן ב‪ t -‬את אורך הקטע ‪ AE‬והבע באמצעות ‪ t‬את‬
‫אורכי צלעות המשולש ‪.DEF‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זוויות המשולש ‪.EDF‬‬
‫‪ .5‬מהנקודה ‪ A‬שעל היקף המעגל מעבירים את המיתרים ‪ AC , AB‬ו‪.AD-‬‬
‫הקטע ‪ BE‬חותך את המיתר ‪ AD‬בנקודה ‪ E‬כך‬
‫שהקטעים ‪ DE‬ו‪ BC-‬שווים‪ .‬המיתרים ‪ AC‬ו‪ BD-‬שווים זה לזה‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ABC  BED :‬‬
‫‪ .i‬הוכח כי המשולש ‪ ABE‬הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ .ii‬הוכח כי‪. BAE  CBA  180 :‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪k  x2‬‬
‫‪; h( x ) ‬‬
‫‪.  k  0  ; f ( x)  x k  x ; g ( x ) ‬‬
‫‪ .6‬לפניך שלוש פונקציות‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪k  x2‬‬
‫א‪ .‬קבע אילו מהטענות הבאות נכונות ואלו אינן נכונות‪.‬‬
‫הצדק את קביעותיך באמצעות חישוב מתאים‪:‬‬
‫‪ .i‬לפונקציות )‪ f ( x‬ו‪ g ( x) -‬תחום הגדרה זהה‪ ,‬השונה מתחום ההגדרה של )‪. h( x‬‬
‫‪ .ii‬קיימת פונקציה אשר אינה חותכת את ציר ה‪ x -‬כלל‪.‬‬
‫‪ .iii‬הפונקציות )‪ h( x‬ו‪ g ( x) -‬הפוכות זו מזו בתחומי העלייה והירידה שלהן‬
‫(כאשר אחת עולה השנייה יורדת)‪.‬‬
‫‪ .iv‬לפונקציה )‪ f ( x‬יש נקודת קיצון אחת בלבד‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫מסמנים נקודה ‪ A 0, 12‬על ציר ה‪. y -‬‬
‫ידוע כי מרחקה מאחת מנקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪f ( x‬‬
‫עם ציר ה‪ x -‬שאינה בראשית הוא‪. d  6 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪. k‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של גרף הפונקציה )‪ f ( x‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ד‪ .‬לפניך איור ובו משורטטות הסקיצות של שלושת הפונקציות‪.‬‬
‫קבע עפ"י הסעיפים הקודמים איזה גרף שייך לכל פונקציה‪.‬‬
‫‪65‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .7‬אלינה קיבלה משימה בשיעור מלאכה‪:‬‬
‫יש להכין מסגרת לתמונה מלוח עץ ששטחו הכולל הוא ‪ 242‬סמ"ר‬
‫כך שעובי המסגרת בצדדים יהיה ‪ 2‬ס"מ ובקצוות העליון והתחתון –‪ 4‬ס"מ (ראה איור)‪.‬‬
‫כדי לבחור את מידות לוח העץ‪ ,‬אלינה צריכה לדעת את השטח המקסימלי שעליה לנסר‬
‫עבור המקום לתמונה (השטח המסומן)‪.‬‬
‫א‪ .‬מה יהיו מידות לוח העץ שאלינה‬
‫צריכה להזמין עבור המשימה?‬
‫ב‪ .‬מה יהיה השטח המקסימלי לתמונה‬
‫עבור המידות שאלינה בחרה?‬
‫‪ .8‬באיור שלפניך מתוארות הפונקציות שנגזרותיהן‪. f '( x)  4  2 x , g '( x)  2 x  1 :‬‬
‫ידוע ששתי הפונקציות חותכות את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה ‪. x  4‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של שתי הפונקציות‬
‫וציר ה‪( x -‬המסומן)‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪66‬‬
‫בחינה מספר ‪22‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן שמידותיו הם‪.AB=12 , AD=20 :‬‬
‫על הצלע ‪ AB‬של המלבן ‪ ABCD‬מקצים את הנקודות ‪ E‬ו‪ F-‬כך‬
‫שנוצרים שלושה קטעים שווים ‪.AF=EF=BE‬‬
‫מותחים אנכים לצלע ‪ AB‬מהנקודות ‪ E‬ו‪ F-‬עד לנקודות ‪ G‬ו‪H-‬‬
‫שבתוך המלבן כך שנוצר מלבן פנימי ‪.EFGH‬‬
‫מרחק הצלע ‪ GH‬מצלע המלבן ‪ DC‬הוא ‪ L‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .i .‬חשב את שטח המלבן ‪.ABCD‬‬
‫‪ .ii‬הבע באמצעות ‪ L‬את שטח המלבן הפנימי ‪.EFGH‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ L‬אם ידוע כי שטח המלבן הפנימי ‪ EFGH‬מהווה ‪ 20%‬משטח המלבן ‪.ABCD‬‬
‫‪ .2‬המשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים ‪  AB  BC ‬ובו נתון‪ B  x, 6  , A  4,12  :‬ו‪-‬ו‪. C  4,8 -‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את ‪. x‬‬
‫הוכח כי המשולש הוא ישר זווית‪.‬‬
‫‪ .i‬מצא את משוואת הצלע ‪.AC‬‬
‫‪ .ii‬מסמנים את נקודת החיתוך של הצלע ‪ AC‬עם ציר ה‪ y -‬ב‪.D-‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪.D‬‬
‫‪ .i‬מצא נקודה ‪ E‬ברביע הראשון ‪  xE  5‬כך שהמשולש ‪DCE‬‬
‫יהיה גם שווה שוקיים וישר זווית ‪.  C  90 ‬‬
‫‪.ii‬‬
‫‪S DCE‬‬
‫חשב את יחס השטחים בין המשולשים‪:‬‬
‫‪S ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .3‬כדי להתקבל לעבוד בחברת ההיי‪-‬טק ‪ Techno‬יש לעבור שני ראיונות משני בעלי מקצוע‪ ,‬תחילה‬
‫ע"י המהנדס הראשי ואחריו ע"י מנכ"ל החברה‪.‬‬
‫כל בעל מקצוע נותן חוות דעת חיובית‪ ,‬שלילית או שנמנע מלקבוע‪.‬‬
‫כדי שמועמד יתקבל לחברה עליו לעבור לפחות ראיון אחד עם חוות דעת חיובית‪.‬‬
‫ידוע כי המהנדס הראשי נותן חוות דעת חיובית ל‪ 1/5-‬מהמועמדים ו‪ 2/7-‬מהם הוא משאיר ללא קביעה‪.‬‬
‫המנכ"ל קורא את חוות הדעת של המהנדס הראשי וקובע את חוות הדעת שלו בצורה הבאה‪:‬‬
‫אם המהנדס נתן חוות דעת חיובית אז המנכ"ל ייתן גם חוות דעת חיובית ב‪ 60%-‬מהמקרים‪.‬‬
‫אם המהנדס נתן חוות דעת שלילית אז המנכ"ל נמנע מלקבוע ב‪ 60%-‬מהמקרים ובשאר המקרים הוא‬
‫נותן חוות דעת חיובית‪ .‬אם המהנדס נמנע מלקבוע אז המנכ"ל ייתן חוות דעת חיובית או שלילית בלבד‪.‬‬
‫הסיכוי שהמנכ"ל ייתן במקרה זה חוות דעת חיובית גדול פי ‪ 3‬מהסיכוי שייתן חוות דעת שלילית‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לקבל חוות דעת חיובית מהמנכ"ל?‬
‫ב‪ .‬ידוע כי המנכ"ל נתן חוות דעת חיובית‪ ,‬מה ההסתברות שגם המהנדס נתן חוות דעת חיובית?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות להתקבל לחברה?‬
‫ד‪ .‬ביום מסוים הגיעו ‪ 5‬מועמדים‪ .‬מה ההסתברות שבדיוק ‪ 3‬מהם קיבלו עבודה באותו היום?‬
‫‪67‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬במשולש ‪ ABC‬מעבירים את התיכונים ‪ BD‬ו‪ CE-‬אשר נפגשים בנקודה ‪.M‬‬
‫במשולש ‪ BDC‬מעבירים את התיכונים ‪ CL‬ו‪ BK-‬הנפגשים בנקודה ‪.O‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. 3LM  BL :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪. AC MO :‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪ 27 :‬סמ"ר ‪ . SBLC ‬חשב את שטח המשולש ‪.MOL‬‬
‫‪ .5‬באיור שלפניך נתון המרובע ‪ .ABCD‬ידוע כי‪. D  90 :‬‬
‫נסמן את הצלעות באופן הבא‪. AB  6 x , BC  5x , CD  8x , AD  3x :‬‬
‫א‪ .‬חשב את זווית ‪.BCD‬‬
‫‪ E‬היא נקודה הנמצאת על אמצע הצלע ‪.BC‬‬
‫מעבירים את הקטעים ‪ AE‬ו‪.DE-‬‬
‫‪S ABE‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את היחס הבא‪:‬‬
‫‪S ECD‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪ A :‬‬
‫‪x2‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. A‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי גרף הפונקציה יורד לכל ‪. x‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ה‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ו‪ .‬נתון הישר‪ . y  k :‬האם קיים ערך של ‪ k‬עבורו הישר חותך את גרף הפונקציה‬
‫בשתי נקודות שונות? נמק‪.‬‬
‫‪ A ( , y ‬פרמטר)‪ .‬גרף הפונקציה עובר בנקודה‪.  3 A, A :‬‬
‫‪68‬‬
‫‪ .7‬נתונה תיבה שגובהה הוא ‪ h‬ובסיסה הוא ריבוע שאורך צלעו היא ‪. x‬‬
‫נתון כי צלע הריבוע וגובה התיבה מקיימים‪. 4 x  h  63 :‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ h‬באמצעות ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬הבע את שטח הפנים של התיבה באמצעות ‪. x‬‬
‫ג‪ .‬מה צריך להיות ערכו של ‪ x‬כדי ששטח הפנים יהיה מקסימלי?‬
‫‪ 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬אם ידוע ש‪. a  1 -‬‬
‫א‪ .‬מצא עבור איזה ערך של ‪ a‬יתקיים‪ 1dx  0 :‬‬
‫‪2x 1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪ 1 :‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫‪2x 1‬‬
‫מעבירים שני אנכים לציר ה‪ x -‬והם‪ x  1 :‬ו‪x  13 -‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪S2‬‬
‫כך שנוצרים השטחים‪ S1 :‬ו‪. S 2 -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .i .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה‪x -‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫והאנך ‪.  S1  , x  1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ .ii‬היעזר בתוצאה שקיבלת ובסעיף א' ומצא את השטח ‪ . S 2‬נמק את טענתך‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪69‬‬
‫בחינה מספר ‪23‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬אופנוע יוצא מהעיר בשעה ‪ 7:00‬דרומה‪ .‬לאחר שעה יוצאת מכונית מעיר לכיוון מזרח‪.‬‬
‫מהירות האופנוע היא ‪ 50‬קמ"ש ומהירות המכונית היא ‪ 100‬קמ"ש‪.‬‬
‫לאחר פרק זמן מסוים המרחק בין המכונית לאופנוע הוא ‪ 250‬ק"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו שעה המרחק בין המכונית והאופנוע הוא ‪ 250‬ק"מ ?‬
‫ב‪ .‬באיזה מרחק הייתה המכונית מהעיר כאשר היא הייתה במרחק של ‪ 250‬ק"מ מהאופנוע?‬
‫‪ .2‬באיור שלפניך נתון מעגל שמשוואתו‪ a,  x  a    y  1  5 :‬פרמטר‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ידוע כי המעגל חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה‪. A 10,0  :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬אם ידוע כי‪. a  10 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הנקודה ‪ - B‬נקודת החיתוך השנייה של המעגל‬
‫‪C‬‬
‫עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪M‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫הנקודה‬
‫דרך‬
‫העובר‬
‫הקוטר‬
‫משוואת‬
‫ג‪ .‬כתוב את‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫ומרכז המעגל ‪.M‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודת החיתוך השנייה של הקוטר עם המעגל‪.‬‬
‫ה‪ .‬מעבירים אנך מנקודת החיתוך שמצאת בסעיף הקודם לציר ה‪ y -‬בנקודה ‪.D‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא הנקודה בעלת שיעור ה‪ y -‬הגדול ביותר על המעגל‪.‬‬
‫מחברים את הנקודות ‪ E‬ו‪ D-‬כך שנוצר המחומש ‪ .DECBO‬חשב את שטחו‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ .3‬בכד יש ‪ 12‬כדורים חלקם אדומים וחלקם שחורים‪ .‬מוציאים עם החזרה שני כדורים מהכד‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מספר הכדורים האדומים שבכד אם ידוע כי ההסתברות ששני הכדורים‬
‫שהוצאו הם שחורים היא‪.4/9 :‬‬
‫ב‪ .‬חלק מהכדורים עשויים מעץ והשאר עשויים מפלסטיק‪ .‬ידוע כי ‪ 25%‬מהכדורים‬
‫האדומים עשויים מעץ וכי ‪ 50%‬מהכדורים העשויים מעץ הם אדומים‪.‬‬
‫מצא את ההסתברות לבחור כדור שחור העשוי מפלסטיק‪.‬‬
‫ג‪ .‬מוציאים מהכד ‪ 5‬כדורים בזה אחר זה עם החזרה‪.‬‬
‫מה ההסתברות להוציא ‪ 4‬כדורים אדומים העשויים מפלסטיק?‬
‫‪70‬‬
‫‪D‬‬
‫‪O‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬במשולש ‪ ABC‬הנקודות ‪ D‬ו‪ E-‬נמצאות על הצלעות ‪ BC‬ו‪ AB-‬בהתאמה‪.‬‬
‫נתון כי‪. ADC  BED , DE AC :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המשולשים ‪ ADC‬ו‪ BED-‬דומים‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. AD  BD  AB  DE :‬‬
‫ג‪ .‬ידוע כי הנקודה ‪ D‬מחלקת את הצלע ‪ BC‬באופן‬
‫‪BD 4‬‬
‫וכי‪. AD  BD  16 :‬‬
‫הבא‪ :‬‬
‫‪DC 5‬‬
‫חשב את המכפלה‪. AB  AC :‬‬
‫‪ .5‬מהנקודה ‪ O‬מעבירים את הקטעים ‪ OC , OB , OA‬ו‪.OD-‬‬
‫ידוע כי זווית ‪ AOB‬שווה לזווית ‪ COD‬והיא מסומנת ב‪.  -‬‬
‫המשולש ‪ COD‬הוא ישר זווית ‪.  CDO  90‬‬
‫נתונים האורכים‪. AO  8 , BO  9 , DO  10 :‬‬
‫מסמנים‪. BC  1.4m , CD  1.5m :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬את ‪. sin ‬‬
‫(העזר במשולש ‪ COD‬ובטא תחילה את ‪.)CO‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי‪ . AB  m :‬מצא את ‪ m‬אם ידוע כי‬
‫‪2‬‬
‫רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ AOB‬הוא ‪. 8‬‬
‫‪3‬‬
‫ג‪ .‬חשב את זווית ‪.BOC‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪; g ( x) ‬‬
‫‪ .6‬לפניך הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫א‪ .‬קבע אילו מהטענות הבאות נכונות ואלו אינן נכונות‪.‬‬
‫הצדק את קביעותיך באמצעות חישוב מתאים‪:‬‬
‫‪ .i‬לשתי הפונקציות יש את אותו תחום ההגדרה‪.‬‬
‫‪ .ii‬לשתי הפונקציות יש נקודות קיצון הנמצאות על הישר‪. y  x :‬‬
‫‪ .iii‬הפונקציות לא חותכות זו את זו‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫מגדירים פונקציה נוספת והיא‪. h( x)   g ( x)  :‬‬
‫ב‪ .‬כתוב באופן מפורש את הפונקציה החדשה‪. h( x) :‬‬
‫ג‪ .‬האם תחום ההגדרה של הפונקציה‪ h( x) :‬זהה לשל‪ ? g ( x) :‬נמק‪.‬‬
‫ד‪ .‬באיור הסמוך ישנם שני גרפים‪.‬‬
‫קבע על סמך הסעיפים הקודמים איזו פונקציה כל גרף מתאר‬
‫מבין הפונקציות‪ . f ( x) , g ( x) , h( x) :‬נמק את בחירותיך‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫‪71‬‬
‫‪ .7‬במשולש ישר זווית סכום אורכי הניצבים הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מה צריך להיות אורך כל ניצב‪ ,‬כדי שטח המשולש יהיה מקסימלי?‬
‫ב‪ .‬מהו השטח המקסימלי?‬
‫ג‪ .‬מה יהיה אורך היתר במשולש במקרה זה?‬
‫‪ .8‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2 x  A‬‬
‫‪ A) , f  x  ‬פרמטר חיובי)‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫ידוע כי שיפוע הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪ y -‬הוא‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. A‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‬
‫בנקודת החיתוך עם ציר ה‪. y -‬‬
‫‪f  x‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬הראה כי המשיק חותך את גרף הפונקציה‬
‫בנקודה שבה‪. x  4.5 :‬‬
‫ד‪ .‬העבר ישר אופקי מנקודת החיתוך של המשיק וגרף הפונקציה מהסעיף הקודם‪.‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך הנוספת של ישר זה עם גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ה‪ .‬חשב את השטח כלוא בין המשיק‪ ,‬הישר וגרף הפונקציה (היעזר באיור)‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪72‬‬
‫בחינה מספר ‪24‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתונים שלושה ריבועים‪ ,‬אחד בתוך השני כך שצלע כל אחד מהם גדולה ב‪ 2-‬ס"מ מצלע‬
‫הריבוע שבתוכו (ראה איור)‪ .‬ידוע כי השטח של הקטן (המקווקו הפנימי) שווה לשטח הכלוא‬
‫בין שני הריבועים האמצעי והגדול (המקווקו בצורה 'מסגרת')‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מידות הצלעות של שלושת הריבועים‪.‬‬
‫ב‪ .‬כמה אחוזים מתוך השטח הכללי מהווה השטח הלבן?‬
‫‪ .2‬באיור שלפניך נתונה מקבילית ‪.ABCD‬‬
‫ידועים קדקודי המקבילית הבאים‪ A  1, y  :‬ו‪ x ( . B  x, 4  -‬ו‪ y -‬נעלמים)‪.‬‬
‫שיפוע הצלע ‪ CD‬הוא ‪ 0.2‬ואורכה הוא‪. dCD  104 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ x‬ו‪ y -‬אם ידוע כי ‪ B‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי הקדקוד ‪ C‬נמצא על ציר ה‪ x -‬בחלקו החיובי‬
‫וכי‪ . dBC  17 :‬מצא את שיעורי הקדקוד ‪C‬‬
‫(תן שתי אפשרויות)‪.‬‬
‫ג‪ .‬סמן את נקודת החיתוך של הצלע ‪ AB‬עם ציר ה‪ y -‬ב‪.E-‬‬
‫שטח המרובע ‪ EOCB‬הוא ‪ 25.9‬יחידות שטח‪.‬‬
‫מצא את האפשרות הנכונה עבור הנקודה ‪ C‬מבין אלו שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪ .3‬בעיר מסוימת ההסתברות לבחור אדם מעשן גדולה פי ‪ 3‬מההסתברות לבחור אדם המרכיב משקפיים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫ידוע כי החלק של התושבים שמרכיבים משקפיים מבין כל התושבים המעשנים הוא‬
‫‪12‬‬
‫א‪ .‬מצא מהי ההסתברות לבחור מעשן מתוך כל מרכיבי המשקפיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי ‪ 15%‬מהתושבים הם מרכיבים משקפיים בלבד‪.‬‬
‫מצא את ההסתברות לבחור תושב שלא מרכיב משקפיים‪.‬‬
‫ג‪ .‬בוחרים ‪ 6‬תושבים באופן אקראי‪ .‬מה ההסתברות שמחצית‬
‫מהם אינם מרכיבים משקפיים ואינם מעשנים?‬
‫‪73‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬בין המשיקים המקבילים ‪ m‬ו‪ n -‬מעבירים מעגל כך ש‪AB-‬‬
‫הוא הקוטר היוצא משתי נקודות ההשקה שלהם‪.‬‬
‫הנקודות ‪ D‬ו‪ C-‬נמצאות על המשכי המשיקים כך‬
‫שהמרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז‪.‬‬
‫אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה ‪ E‬שנמצאת על היקף המעגל‪.‬‬
‫ידוע כי‪ . SABC  3  SDAB :‬שטח המשולש ‪ ADE‬יסומן ב‪. S -‬‬
‫בטא באמצעות ‪ S‬את שטח הטרפז ‪.ABCD‬‬
‫‪ .5‬נתון משולש ‪ .ABC‬מעבירים את הקטע ‪ AD‬כך שנוצרת זווית‪. ADB  60 :‬‬
‫ידוע כי ‪ 28‬ס"מ ‪ AB ‬וכי הצלע ‪ AD‬במשולש ‪ ABD‬גדולה פי ‪ 1.5‬מהצלע ‪.BD‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הצלע ‪.BD‬‬
‫ב‪ .‬היקף המשולש ‪ ABC‬הוא‪ 5 7  7 :‬ס"מ ‪. P ‬‬
‫‪‬‬
‫‪.i‬‬
‫‪.ii‬‬
‫‪‬‬
‫סמן‪ DC  t :‬והבע באמצעות ‪ t‬את אורך הצלע ‪.AC‬‬
‫מצא את ‪. t‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪kx‬‬
‫‪ k  0 , f ( x) ‬פרמטר‪.‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪k  x2‬‬
‫א‪ .i .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? (בטא באמצעות ‪.) k‬‬
‫‪ .ii‬מהן האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬הראה כי הפונקציה עולה עבור כל ערך של ‪ k‬בתחום הגדרתה‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫(בטא באמצעות ‪.) k‬‬
‫ד‪ .‬המשיק אשר מצאת בסעיף הקודם חותך את האסימפטוטה החיובית של הפונקציה בנקודה ‪. A‬‬
‫ידוע כי שטח המשולש הכלוא בין המשיק‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והאסימפטוטה הנ"ל הוא‪. S  4 :‬‬
‫מצא את ‪. k‬‬
‫‪74‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .7‬נתונות שתי פונקציות‪ f  x   x 2 :‬ו‪. g  x    -‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫מסמנים נקודה ‪ A‬על גרף הפונקציה ‪ f  x ‬ונקודה ‪ B‬על גרף‬
‫הפונקציה ‪ g  x ‬כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬עבורן אורך הקטע ‪AB‬מינימלי‪.‬‬
‫‪ .8‬נתונה הפונקציה‪( f  x   3 x2  6 x  9 :‬ראה איור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מסמנים ב‪ A-‬את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪y -‬‬
‫וב‪ B-‬את נקודת החיתוך החיובית של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫מעבירים את הישר ‪.AB‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה והישר ‪.AB‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪75‬‬
‫בחינה מספר ‪25‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬סוחר קנה ‪ 60‬כיסאות זהים במחיר זהה לכיסא‪.‬‬
‫‪ 5‬כיסאות נשברו לו ואת שאר הכיסאות הוא מכר במחיר הגדול ב‪ ₪ 40-‬מהמחיר שקנה אותם‪.‬‬
‫בסה"כ הרוויח הסוחר בעסקה ‪.₪ 1950‬‬
‫א‪ .‬באיזה מחיר קנה הסוחר כל כיסא?‬
‫ב‪ .‬בעסקה אחרת‪ ,‬קנה הסוחר ‪ 60‬כיסאות אחרים במחיר זהה לכיסא‪.‬‬
‫ידוע כי המחיר של כיסא בודד גדול ב‪ 30%-‬מהמחיר של כיסא בודד‬
‫שרכש הסוחר בעסקה הראשונה‪ .‬במהלך ההובלה נגנבו ‪ 8‬כיסאות‪.‬‬
‫הסוחר רוצה להרוויח ממכירת הכיסאות הנותרים לפחות ‪ ₪ 2000‬בעסקה זו‪.‬‬
‫נסמן ב‪ p -‬את אחוז ההתייקרות שבו צריך למכור הסוחר כיסא בודד‪.‬‬
‫מצא את ‪ p‬המינימלי עבורו יעמוד הסוחר ביעדו‪.‬‬
‫‪ .2‬באיור שלפניך נתון מעגל שמשוואתו‪ R,  x  5   y  3  R 2 :‬רדיוס המעגל‪.‬‬
‫ידוע כי המעגל עובר בראשית הצירים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את רדיוס המעגל וכתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הנקודות ‪ A‬ו‪ - B -‬החיתוך של המעגל עם הצירים (ראה איור)‪.‬‬
‫ג‪ .‬מסמנים נקודה ‪ C‬על ציר ה‪ x -‬כך ש‪ A-‬היא אמצע הקטע ‪.CO‬‬
‫‪ .i‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .ii‬חשב את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪ .3‬כדי לקבל עבודה בחברת ‪ Makido‬יש לעבור ראיונות משני בעלי מקצוע‪ :‬מהנדס ראשי ומנכ"ל החברה‪.‬‬
‫המהנדס הראשי נותן חוות דעת חיובית ברבע מהמקרים‪ ,‬בשליש מהמקרים הוא נמנע מלתת חוות דעת‬
‫ובשאר המקרים הוא נותן חוות דעת שלילית‪ .‬מנכ"ל החברה קורא את חוות הדעת של המהנדס וקובע‬
‫את חוות דעתו באופן הבא‪:‬‬
‫אם המהנדס נתן חוות דעת חיובית אז הוא נותן חוות דעת חיובית ב‪ 90%-‬מהמקרים‬
‫וב‪ 10%-‬מהמקרים הוא נמנע מלתת חוות דעת‪.‬‬
‫אם המהנדס נמנע מלקבוע אז המנכ"ל נותן חוות דעת שלילית במחצית המקרים או חיובית במחצית המקרים‪.‬‬
‫אם המהנדס נותן חוות דעת שלילית אז ההסתברות שהמנכ"ל ייתן חוות דעת חיובית גדולה‬
‫פי ‪ 2‬מההסתברות שימנע מלתת חוות דעת וההסתברות שימנע מלתת חוות דעת גדולה פי ‪ 2‬מההסתברות‬
‫שייתן חוות דעת שלילית‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שמועמד יקבל חוות דעת חיובית לפחות באחד הראיונות?‬
‫ב‪ .‬אם ידוע כי מועמד קיבל חוות דעת חיובית אחת לפחות‪,‬מה ההסתברות שהמהנדס‬
‫ימנע מלתת לו חוות דעת?‬
‫ג‪ .i .‬מה ההסתברות שמתוך ‪ 5‬מועמדים לפחות אחד יקבל עבודה אם ידוע כי כדי להתקבל לעבודה‬
‫יש לקבל שתי חוות דעת חיוביות?‬
‫‪ .ii‬כיצד תשתנה התוצאה של חלק ‪ i‬אם כדי לקבל עבודה יש לקבל לפחות חוות דעת חיובית אחת‬
‫אך אף חוות דעת שלילית?‬
‫‪76‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור (‪ 20‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על שתי השאלות‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬המרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל‪ .‬המשכי המיתרים ‪ AB‬ו‪ ED-‬נפגשים בנקודה ‪.F‬‬
‫הקטע ‪ FD‬חותך את היקף המעגל בנקודה ‪ E‬כך שמתקיים‪. AB  AE :‬‬
‫נתון כי הזווית ‪ BCD‬היא ישרה‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הקטע ‪ DF‬שווה לקוטר המעגל‪.‬‬
‫נתון כי‪ DF  BF :‬וכי רדיוס המעגל הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ AEDB‬הוא טרפז‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את היקף הטרפז ‪.AEDB‬‬
‫‪ .5‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫הקטע ‪ AE‬מקצה על הצלע ‪ DC‬קטעים המקיימים‪. 3CE  DE :‬‬
‫מעבירים תיכון ‪ DF‬לצלע ‪ AE‬במשולש ‪.ADE‬‬
‫ידוע כי‪ . ADF  CDF   :‬מסמנים‪. CE  k :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את אורך הקטע ‪.AE‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים את האלכסון ‪.AC‬‬
‫הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את היקף המשולש ‪.ACE‬‬
‫ג‪ .‬היקף המשולש ‪ ACE‬הוא ‪ . 4.5k‬מצא את ‪. ‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום‪,‬‬
‫פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה – ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪ A . f ( x)  3x  A x :‬פרמטר‪.‬‬
‫שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪ x  25 :‬הוא ‪.0‬‬
‫א‪ .i .‬מה תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫‪ .ii‬מצא את ערך הפרמטר ‪. A‬‬
‫באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה מנקודת החיתוך שלו עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪350‬‬
‫כמו כן‪ ,‬מעבירים פרבולה‬
‫‪g  x    x 2  Bx ‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪15‬‬
‫‪3‬‬
‫כך שקדקודּה הוא נקודת הקיצון של )‪. f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. B‬‬
‫ד‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין המשיק‪ ,‬הפרבולה וציר ה‪. y -‬‬
‫‪77‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪ .7‬נתונה תיבה שבסיסה ריבוע ושטח פניה (ללא המכסה) הוא ‪ 75‬סמ"ר‪.‬‬
‫מצא את אורך צלע הבסיס של התיבה שנפחּה הוא מקסימלי‪.‬‬
‫‪x x 8‬‬
‫‪ .8‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬ענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ .i‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .ii‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪ .iii‬הראה כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫‪ . m ‬מצא את נקודת ההשקה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים משיק לגרף הפונקציה ששיפועו הוא‪:‬‬
‫‪16‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה‪ x -‬ואנך לציר ה‪ x -‬מנקודת‬
‫ההשקה שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪78‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫בחינה ‪:1‬‬
‫‪ ₪ 100 .1‬ו‪.₪ 80 -‬‬
‫‪ .2‬א‪  2,8 .‬ב‪ ( x  9)2  ( y  1)2  170 .‬ג‪.  4, 2  .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪189‬‬
‫‪ P ‬ג‪.‬‬
‫‪ .3‬א‪ P  0.7 .‬ב‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2500‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .5‬א‪ 2.53 .‬ס"מ = ‪ .DE‬ב‪ 2 .‬ס"מ‪ .‬ג‪ 21.48 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ .6‬א‪ . x   k .ii .  k  x  k .i .‬ב‪ .‬הנגזרת היא‪ 0 :‬‬
‫‪x  2.75 .7‬‬
‫‪k2‬‬
‫‪ k  x2 ‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪ . f '( x) ‬ג‪ . y  k x .‬ד‪. k  4 .‬‬
‫‪ .8‬א‪. II  g ( x) , I  f ( x) .‬‬
‫בחינה ‪:2‬‬
‫‪ .1‬א‪ 60 .‬קמ"ש ‪ 72 ,‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 5 .‬שעות‪.‬‬
‫‪ .2‬א‪ .‬לא ניתן להצביע על אף תכונה של מרובע מוגדר כלשהו‪.‬‬
‫ב‪ .‬מלבן‪ .‬ניתן להראות כי יש למרובע שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות ושוות וזווית ישרה‪.‬‬
‫ג‪ .‬ריבוע‪ .‬ניתן להראות כי קיימות זוג צלעות סמוכות שוות‪.‬‬
‫ד‪ 90 .‬יח"ש ‪. S ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ .5‬א‪ 10.5 .‬ס"מ = ‪ R‬ב‪. 24.32 .‬‬
‫‪ .4‬ג‪.0.8 .‬‬
‫‪ .3‬א‪ 5 .‬אדומים ו‪ 3-‬לבנים‪ .‬ב‪. .‬‬
‫‪7‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ .6‬א‪( m  0 .‬מתקבל‪ am  0 :‬וידוע כי‪ a  0 :‬לכן נותרנו עם הפתרון הנ"ל)‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 8 16 ‬‬
‫ב‪ . x  .iii . Max  0, 0  , Min  , 2  .ii . x  .i .‬ד‪ . a  2 .‬ה‪. 0  k  4 .‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a a ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. t  16 .8‬‬
‫‪ .7‬א‪ .12 , 12 , 12 .‬ב‪ .16 , 12 , 8 .‬ג‪ .‬מקרה א'‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪16‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪a‬‬
‫‪4‬‬
‫‪a‬‬
‫בחינה ‪:3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ₪ 20 .1‬ו‪.₪ 12-‬‬
‫‪ .2‬א‪x  1 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .4‬ג‪.0.25 .ii .‬‬
‫‪ .3‬א‪ P  0.8 .‬ב‪ P  0.6 .‬ג‪. .‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ .5‬א‪ DE  1.48R CD  R 3 .‬ב‪. r  1.15R .‬‬
‫‪ .6‬א‪ x  1 .‬ב‪ x  1 , y  1 .‬ג‪  a,0  , 0, a  .‬ד‪. a  2 .ii a  1 .i .‬‬
‫‪ . y ‬ב‪. (5,5) , (4,0) , (1,1) .‬‬
‫‪ 4 .7‬ס"מ ‪ 16 ,‬ס"מ‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .8‬א‪ . f ( x)  2 x2  7 x  5 .‬ב‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪79‬‬
‫‪.S 5‬‬
‫‪x‬‬
:4 ‫בחינה‬
.‫ ס"מ‬124 .‫ ג‬S  224 .‫ ב‬.‫ ס"מ‬20-‫ ס"מ ו‬16 .‫ א‬.1
2
.  x  22    y  10   100 .‫ ב‬. A  22, 0  .ii . B 12,10 .i .‫ א‬.2
2
25
.‫ב‬
.)‫ נשים‬24-‫ גברים (ו‬6 ‫ בחדר יש‬.‫ א‬.3
141
.‫ סמ"ר‬63.05 .‫ ס"מ ג‬14.19 .‫ ס"מ ב‬12.75 .‫ א‬.5
.‫ ס"מ‬9 .‫ ג‬.4
1
. A  0.5,12.25 .7
. S  ‫ יח"ש‬4 .‫ ג‬. y  1.5x  3.5 .‫ ב‬1, 2  .‫ א‬.6
12
. S  ‫ יח"ש‬546.75 .ii .  7,133 .i .‫ ג‬. y  15x  28 .‫ ב‬. f ( x)  x3  3x 2  9 x .‫ א‬.8
.0.0193 .‫ ג‬.
:5 ‫בחינה‬
. S  ‫ יח"ש‬128 .ii . d  16 .i .‫ ג‬. C(1,12) , B(1, 4) .‫ ב‬. R  10 .‫ א‬.2
.₪ 300 .‫ ב‬60 .‫ א‬.1
1
1
5
.‫ ס"מ‬4 .‫ ב‬2 .‫ א‬.4 . .‫ ג‬P  .‫ ב‬P  .‫ א‬.3
y
5
3
6
2
2
k tan  sin 2
k tan 
. S  ‫ יח"ש‬7.754 .‫ג‬
.‫ב‬
.‫ א‬.5
2
2 tan 2
tan 2
x
.‫( ה‬0,8) .‫ ד‬.‫ יורדת בכל תחום הגדרתה‬.‫ ג‬.‫ לא‬.‫ ב‬. d  8 .‫ א‬.6
36  x 2
, a  36 .‫ א‬.8
. S  8 .‫ ב‬f ( x) 
x2
.)‫ ס"מ‬5 - ‫ ס"מ ו‬15 , ‫ ס"מ‬3( .‫ סמ"ר‬270 .7
:6 ‫בחינה‬
. y  8 x .‫ ב‬. B(12, 2) , C(2,16) .‫ א‬.2
2k sin  sin 
.ii
sin    
2
.
2
k sin  sin 
.i .‫ ב‬.5 . .‫ ב‬.4
3
2sin    
2
.‫ קמ"ש‬5-‫ קמ"ש ו‬4 .‫ א‬.1
. P  0.31744 .‫ ג‬P  0.44 .‫ ב‬P  0.8 .‫ א‬.3
. 1, 0  ‫ אשר עובר בנקודה‬y  4 x  4 :‫ המשיק‬.‫ ג‬1,0  ,  0, 4  .‫ ב‬. a  2 .‫ א‬.6
. S  ‫ יח"ש‬8 .‫ ג‬. t  1 .‫ ב‬. S  2t 3  12t 2  18t .‫ א‬.7
1
. S  ‫ יח"ש‬13 .‫ ב‬ 2,8 , a  32 .‫ א‬.8
3
:7 ‫בחינה‬
. S  ‫ יח"ש‬216 .‫ ג‬.‫ ס"מ‬24-‫ ס"מ ו‬30 , x  8 .‫ ב‬. 9 x2  18x , 3x 2  3x .ii 3x , 3x  6 .i .‫ א‬.1
. x2  ( y  2)2  900 .‫ ג‬ 24,16  .‫ ב‬. y  8x  2 ; y  2 x  2 .‫ א‬.2
4
.‫ ג‬95% .‫ ב‬. P  0.4 .‫ א‬.3
7
. y  0.74 x  0.1352 .‫ ג‬ 0.6,0.57  .‫ כן‬.‫ ב‬k  0.48 .‫ א‬.6
.‫ סמ"ר‬34.48 .‫ ס"מ ב‬7 .‫ א‬.5
. A  2, 2  .7
. 9R .‫ ג‬.4
.
1
. S  ‫ יח"ש‬5 .‫ ב‬. g ( x)  ( x  4)2 .‫ א‬.8
3
80
‫בחינה ‪:8‬‬
‫‪ .1‬א‪ 5 .i .‬ס"מ‪ 10 .ii .‬ס"מ ו‪ 50-‬ס"מ‪ .‬ב‪ 62.5 .‬סמ"ר ‪. S ‬‬
‫‪ .2‬א‪ . y  2 x  22 .‬ב‪ .i .‬תיכון ‪-‬קטע במשולש שחוצה אותו לשני משולשים שווי שטח הוא תיכון‬
‫‪. B(9, 4) , D(4, 4) .ii‬‬
‫ג‪. AD  5 , BC  10 .i .‬‬
‫‪ .ii‬משולש ישר זווית – אם במשולש יש תיכון לצלע ששווה למחציתה אז המשולש הוא ישר זווית‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 27 1 ‬‬
‫‪ ‬ד‪. P  0.0189.‬‬
‫‪ .3‬א‪ 4 .‬ורודות ו‪ 6-‬צהובות‪ .‬ב‪ .‬ג‪ .‬גבוהה ‪ ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ 125 6 ‬‬
‫‪ .5‬א‪. 30,30,120 .‬‬
‫‪ .4‬א‪ 40.72 .‬ב‪. S  12.52 .‬‬
‫‪ .6‬א‪ . a  3 .‬ב‪ . x  2 .iv Max  3,0  , Min  4,5 .iii  0, 3 .ii x  2 .i .‬ג‪ . x  2 .‬ד‪. 3  k  5 .‬‬
‫‪ .7‬א‪ . A(2,32) .‬ב‪ 128 .‬יח"ש ‪ .8 . S ‬ב‪. t  1 .‬‬
‫בחינה ‪:9‬‬
‫‪ .1‬א‪ 90 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 665 .‬ק"מ‪ .2 .‬א‪ O  0,0  , A  0,6  , B 8,0  .‬ב‪ C  8, 6  .‬ג‪ 28 .‬יח"ש ‪. S ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .3‬א‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪ 20% .‬ג‪ .4 .60% .‬א‪ 6 .‬ס"מ‪ .‬ג‪ 2 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪0.35m2 sin 2  sin 128.32   ‬‬
‫‪ .5‬א‪ 128.32 ; 51.68 .‬ב‪ 1.27m sin  .‬ג‪.‬‬
‫‪sin  25.84   ‬‬
‫‪ .6‬א‪. x  0 , x  2 .‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪Min(2,0) . Max  3,‬‬
‫ב‪ .‬‬
‫‪27 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .7‬א‪ A  2, 2  .‬ב‪.A(0,4) .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ 2, 0 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .8‬א‪ . y  4 x  4 .‬ב‪ . 1, 0  .‬ג‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫ד‪.‬‬
‫יח"ש ‪. S ‬‬
‫‪x‬‬
‫בחינה ‪:10‬‬
‫‪ .1‬א‪ 8X12X18 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ S  720 .‬ג‪ 1728 .‬סמ"ק ‪. V ‬‬
‫‪ .2‬א‪ a  1 .‬ב‪  0, 1 ,  2,3  .‬ג‪ y  2 x  1 .‬ד‪ 0.25 .‬יח"ש ‪. S ‬‬
‫‪ .3‬א‪ 6 .‬כדורים כחולים‪ .‬ב‪ .4 .0.88989 .‬ב‪ 5.5 .‬יח"א‪.‬‬
‫‪a 2  5b2‬‬
‫‪ .5‬א‪.‬‬
‫‪a 2  3b2‬‬
‫‪ cos BCD ‬ג‪ 14.4 .‬סמ"ר ‪. S ‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ .6‬א‪.‬‬
‫‪x4‬‬
‫ב‪ .i .‬הטענה אינה נכונה‪ .‬תחומי ההגדרה הם‪. f ( x) : x  4 ; g ( x) : x  4 , x  2 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ f ( x ) ‬ו‪ 0 -‬‬
‫‪ .ii‬הטענה נכונה‪ .‬הנגזרות חיוביות‪ 0 :‬‬
‫‪. g ( x) ‬‬
‫‪2 x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  4 x4‬‬
‫‪ x  4‬‬
‫‪. g ( x) ‬‬
‫‪ .iii‬הטענה נכונה‪ .‬הנקודה היא‪.  2, 0  :‬‬
‫‪ .iv‬הטענה נכונה‪ .‬לפונקציות שתי אסימפטוטות משותפות‪ x  4 :‬ו‪. y  1-‬‬
‫ג‪ .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪; g ( x) : 0,‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪. f ( x) : 0, 12‬‬
‫ד‪ .‬אסף צודק שכן מכוח ההגדרה‪f ( x) :‬‬
‫‪ g ( x) ‬ניתן לראות כי עבור כל ערך של ‪ x0‬בחיתוך‬
‫‪81‬‬
‫תחום ההגדרה המשותף קיימות שתי נקודות‪ A  x0 , f ( x0 )  :‬ו‪( B  x0 , g ( x0 )  -‬אחת על כל גרף כמובן)‬
‫ושיעורי ה‪ y -‬שלהן מקיימים‪f ( x0 ) :‬‬
‫‪. g ( x0 ) ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ .8‬א‪ . y   x .‬ב‪ .  3,3 .‬ג‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ .7‬א‪ 6 .‬ס"מ ‪ 10 X‬ס"מ‪ .‬ב‪ 12 .‬ס"מ ‪ 20 X‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ 7‬יח"ש ‪. S ‬‬
‫בחינה ‪:11‬‬
‫‪ .1‬א‪ .90 .‬ב‪.₪ 80 .‬‬
‫‪ .2‬א‪. D  5, 8 , A  5, 2  , E  1,0  .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ . CE : y   x  , CD : y  x  5 .‬ג‪. C  5, 3 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k sin 20‬‬
‫‪2‬‬
‫‪30‬‬
‫‪ . BD ‬ב‪. k  7 .‬‬
‫‪ .5‬א‪.‬‬
‫ג‪. .‬‬
‫‪ .3‬א‪ 0.24 .‬ב‪0.61224 .ii 0.65389 .i .‬‬
‫‪sin100‬‬
‫‪3‬‬
‫‪49‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ .6‬ג‪ .  3,0  ,  3,0  .‬ד‪ . y  1 .‬ה‪ .‬באף נקודה‪ .‬הגרף שואף לישר ואינו חותך אותו‪.‬‬
‫ד‪ 30 .‬יח"ש = ‪. SDEC‬‬
‫‪ .7‬א‪ . 2x .‬ב‪. V  12 x2   x3 .i .‬‬
‫‪ .8‬א‪  4,8 .‬ב‪ 48 .‬יח"ש ‪. S ‬‬
‫‪. V  48x2  4 x3 .ii‬‬
‫ג‪. x  8 .‬‬
‫‪x‬‬
‫בחינה ‪:12‬‬
‫‪ 70 .1‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ .2‬א‪ . x  18 .ii d  15 .i .‬ב‪. ( x  9)  ( y  12)  81 .‬‬
‫ג‪ .‬המעגל אינו חותך את ציר ה‪ – x -‬כאשר מציבים ב‪ y -‬אפס מתקבלת משוואה ריבועית ללא פתרון‪.‬‬
‫המעגל חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה אחת – )‪.(12,0‬‬
‫‪17‬‬
‫ג‪. 0.03645 .‬‬
‫‪ .3‬א‪ 15 .‬כחולים ו‪ 3-‬אדומים‪ .‬ב‪.‬‬
‫‪101‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ .5‬א‪ 5 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 172.77 .‬סמ"ר ‪. S ‬‬
‫‪ .4‬א‪ BC  t .‬ב‪ 14.4 .‬ס"מ = ‪.AB‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ .6‬א‪ .a  1 .‬ב‪ .  3  x  3 .‬ג‪ . 1.5, 3 .‬ד‪ .‬יורדת‪ . 3  x  1.5 :‬עולה‪. 1.5  x  3 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1.28t 2  0.72t  16‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ P ‬ב‪.‬‬
‫‪ .7‬א‪.‬‬
‫‪t 1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ t  4‬ג‪ P  12.88 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .8‬א‪ f ( x)  x2  6 x .‬ב‪ .  0,0  .‬ג‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 85‬סמ"ר ‪. S ‬‬
‫בחינה ‪:13‬‬
‫‪ 10 .1‬גיטרות ב‪.₪ 5,000-‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2‬א‪ .  x  15   y  12   225 .‬ב‪ . C  24,0  , D  24, 24  .‬ג‪. y   x  42 .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 256‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬ג‪ .4 . .‬א‪ .‬פי ‪.2.25‬‬
‫‪ .3‬א‪.‬‬
‫ב‪ .‬גבוהה יותר ‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪330‬‬
‫‪ 14641 330 ‬‬
‫‪ .5‬א‪ S  R 2 tan 2 .‬ב‪ 36 .‬סמ"ר ‪ .6 . S ‬א‪ x  0 , x  1 .‬ב‪  9, 6  .‬ג‪. y  6 .‬‬
‫‪ .7‬א‪ . AE  16  3x .‬ב‪. x  6 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .8‬א‪ . k  10 .‬ב‪ . 1, 9 .‬ג‪ 81 .‬סמ"ר ‪. S ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪82‬‬
:14 ‫בחינה‬
1
1
. AD : y   x  3 , AC : y   x  8 .‫ א‬.2
.‫ ס"מ‬6 .1
3
3
. B  4, 2  .‫ ד‬. BE : y  x  2 , BC : y  3x  10 .‫ ג‬. A  7,1 .‫ב‬
.
.R 
:‫ סקיצה‬.‫ה‬
2
.‫ ג‬120,60 .‫ ב‬.4 . 0.0196 .‫ג‬
3
37
 ‫ ס"מ‬3.511 .‫ ג‬. S  ‫ סמ"ר‬18.18 .‫ב‬
3

. Max  2,8 , Min 3, 
y
1
3

2
.‫ ב‬.‫ נשים‬9 .‫ א‬.3
11
.AB= ‫ ס"מ‬7 -‫ ו‬BC = ‫ ס"מ‬3 .‫ א‬.5
3x 2  20 x  28
, a  3 .‫ א‬.6
.‫ ב‬. x ‫ כל‬, f ( x) 
x2  6
. 2  x  3 :‫ יורדת‬x  2 , x  3 :‫ עולה‬.‫ג‬

 

. k  8,  13 ,3 .‫ ו‬.  2,0  , 0, 4 23 , 4 23 ,0 .‫ד‬
. S  ‫ סמ"ר‬1.75 .‫ ב‬Min  0.5,1.5 .‫ א‬.8
x
. x  6 .7
:15 ‫בחינה‬
.‫ סמ"ר‬S  1440 .‫ ג‬.‫ ס"מ‬30 .‫ ב‬.‫ ס"מ‬20-‫ ס"מ ו‬16 ,‫ ס"מ‬12 .‫ א‬.1
. SBMC  SDMC  ‫ סמ"ר‬34 .‫ ג‬C  0.5, 7  .‫ ב‬y  4 x  5 .‫ א‬.2
2
.‫ ג‬.'‫ מועמד א‬.‫ ב‬25% .‫ א‬.3
3
.‫ ס"מ‬4 .‫ ג‬. 6R .‫ ב‬.5
Min  1, 0.5 , Max  9, 24.5 .‫ ב‬x  5 .‫ א‬.6
. x  5 ,  9  x  1 :‫ יורדת‬. x  9 , x  1 :‫ עולה‬.‫ג‬
. S  8 3 .‫ ב‬.4
y
x
.
.‫ סקיצה בצד‬.‫ ו‬. x  5 .‫ ה‬ 2,0  ,
. a  9 .8
 ,0 ,  0, 0.2 .‫ד‬
1
3
. M  22500 .‫ ג‬. x  30 , y  5 .‫ ב‬. y  10 
x
.‫ א‬.7
6
:16 ‫בחינה‬
.42 .‫ ד‬A  0,17 
.60%.‫ ג‬₪ 45-‫ ו‬₪ 40 .‫ ב‬₪50-‫ ו‬₪ 80 .‫ א‬.1
7
2
2
; B  0,3 .‫ ג‬.  x  6    y  10   85 .iii . 85 .ii . M  6,10  .i .‫ ב‬. y  x  3 .‫ א‬.2
6
2
26
1
11
2S
. S .‫ב‬
.‫ג‬
.‫ב‬
.‫ א‬.3
 0.62S .‫ א‬.5 .‫ ריבוע‬.‫ ג‬.4 .
3
45
11
18
27
.  0.5,0.25  .‫ ג‬y  0.5 x  0.5 .‫ ב‬ 0, 0 , 1,1 .‫ א‬.6
. AB  24 .‫ ג‬A  4, 7  .‫ ב‬y  3x  5 .‫ א‬.7
. S  ‫ יח"ש‬189
83
1
.‫ ב‬f ( x)  x3  4 x 2  12 x  5 .‫ א‬.8
3
:17 ‫בחינה‬
.₪ 500 –‫ ו‬₪ 400 .1
 200 , y  x  6 .‫ א‬.2
. SABCD  80 .‫ ד‬. dCF  72 , dAE  8 .‫ ג‬. E(5,11) , F(3,9) .‫ ב‬. dBD
15
.13 .‫ ג‬.BE = 10 .‫ ב‬.4 . .‫ ג‬P  0.0486 .‫ב‬
19
. S  ‫ סמ"ר‬24 .‫ ב‬S 
P  0.1 .‫ א‬.3
k2
k2

.‫ א‬.5
2
2sin  45    sin  45    tan  cos 2 tan 2 
x4
, a  1 .‫ א‬.6
x2
. S  ‫ סמ"ר‬128 .‫ ג‬. x  8 .‫ ב‬. 2 x2  32 x  240 .‫ א‬.7
36  x 2
. S  ‫ סמ"ר‬8 .‫ ב‬f ( x) 
, a  36 .‫ א‬.8
x2
:‫ סקיצה‬.‫ ד‬.  4, 0  .‫ ג‬. x  8 , x  0 :‫ יורדת‬, 8  x  0 :‫ עולה‬.‫ ב‬. f ( x) 
y
x
:18 ‫בחינה‬
.‫ ק"מ‬360 .‫ קמ"ש ב‬90 .‫ א‬.1
2
. SAMB  ‫ יח"ש‬10 .‫ ד‬. B 13, 4  .‫ ג‬. y  0.5x  2.5 .‫ ב‬.  x  10   y 2  25 .‫ א‬.2
17
32
71
7
2
. SABCD  6S .‫ ב‬.4 .
.‫ד‬
.‫ג‬
.‫ב‬
.ii
.i .‫ א‬.3
30
150
20
17
75
2R 2 cos3 
.   26.56 .‫ ג‬S 
.‫ ב‬S  R 2 sin 2 .‫ א‬.5
sin 
. S  ‫ יח"ש‬4 2 .‫ ד‬y  2 2 x  4 2 .‫ ג‬. f '( x)  0 :‫ היות ואין פתרון למשוואה‬,‫ לא‬.‫ ב‬ 2, 0 .‫ א‬.6
. L  18 .‫ ג‬. x  6 :‫ הפתרון הוא‬. L 
x2  6 x
8x
:‫ מתקבלת הפונקציה‬.‫ ב‬DF 
.‫ א‬.7
x2
x2
1
. S  ‫ יח"ש‬27 .‫ ב‬. f ( x)   x2  3x  10 .‫ א‬.8
6
:19 ‫בחינה‬
. S  ‫ סמ"ר‬60 .‫ ג‬.‫ ס"מ‬6-‫ ס"מ ו‬8 .‫ ב‬.‫ ס"מ‬12-‫ ס"מ ו‬4.8 .1
. y  x  2 .‫ ג‬. Q  2, 0  .‫ ב‬. A  2,0  ; B  6,0  .‫ א‬.2
.‫ ס"מ‬10.1 .‫ ב‬.‫ ס"מ‬9.4 .‫ א‬.4
. P  0.2732 .‫ד‬
. SABD  ‫ יח"ש‬4 3 .i
1
.‫ ג‬20% .‫ ב‬45% .‫ א‬.3
11
SCDE  ‫ יח"ש‬16 3 .i .‫ ג‬.5
. x  0 ,  1  x  1 :‫ יורדת‬x  1 , x  1 :‫ עולה‬.‫ ג‬Max  1, 2.25 , Min 1, 0.25 .‫ ב‬x  0 .‫ א‬.6
.‫ סקיצה בצד‬.‫ ו‬. x  0 .‫ ה‬ 0.5,0  ,  2,0  .‫ד‬
y
. t  2.25 .‫ ב‬. l  t  6  3 t .‫ א‬.7
1
. S  ‫ יח"ש‬.‫ ב‬y   x  2 .‫ א‬.8
8
x
84
‫בחינה ‪:20‬‬
‫‪ .1‬א‪ 60 .‬ב‪ .₪ 300 .‬ג‪ .‬בית העסק הראשון רכש ‪ 6‬שולחנות במחיר היקר (‪.)₪ 480‬‬
‫‪ .2‬א‪ . C  t , t  5 .‬ב‪ 10 .ii . AC  2t 2  14t  49 ; BC  2t 2  4t  4 .i .‬ס"מ ‪. t  8 ; BC ‬‬
‫‪32 1‬‬
‫ג‪ .3 . D  20, 5  .‬א‪ 30% .‬ב‪ . P  0.4 .‬ג‪ .‬ד‪.‬‬
‫‪81 3‬‬
‫‪ .4‬ב‪ .ii .‬פי ‪ .6‬ג‪ .‬פי ‪ .5 .18‬ב‪ C  28.9 .‬ג‪. R  13.77 .‬‬
‫‪ .6‬א‪ x  2 .‬ב‪ Max  0, 0  .‬ג‪ .‬עולה‪ . x  0 , x  2 :‬יורדת‪. x  0 , x  2 :‬‬
‫‪.P ‬‬
‫ד‪  0, 0  .‬ה‪ . x  2 , y  1.5 .‬ו‪ .‬סקיצה בצד‪.‬‬
‫‪ 6 .7‬ס"מ ‪ 12 ,‬ס"מ ‪ 3 ,‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ .8‬א‪. M  5,3 .‬‬
‫בחינה ‪:21‬‬
‫‪ .1‬א‪ ₪ 5760 .‬ב‪ .44% .‬ג‪.22.4% .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2‬א‪ ,  x  16    y  R   R 2 .‬המעגל אינו חותך את ציר ה‪ . y -‬ב‪ 100 , R  10 .‬‬
‫ג‪y   34 x  34 12 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  16   y  10‬‬
‫‪2‬‬
‫ה‪ 50 .ii . C 14, 24  .i .‬יחידות שטח‪.‬‬
‫ד‪y  43 x  5 13 .‬‬
‫‪459‬‬
‫‪16‬‬
‫ג‪ 0.05 .‬ד‪.‬‬
‫‪ .3‬א‪ 5 .‬נשים‪ .‬ב‪.‬‬
‫‪512‬‬
‫‪21‬‬
‫‪ .4‬א‪ DE  t 10 , EF  t 11.25 , DF t 18.25.‬ב‪. 81.86 , 51 , 47.14 .‬‬
‫‪ .6‬א ‪ .i‬הטענה אינה נכונה‪ .‬תחומי ההגדרה‪:‬‬
‫‪f ( x) : - k  x  k ; g ( x) : - k  x  k ; h( x) : - k  x  k , x  0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .ii‬הטענה אינה נכונה‪ .‬נקודות החיתוך הן‪. f  x  :  k ,0 ,  0,0  ; g  x  :  0,0  ; h  x  :  k ,0 :‬‬
‫‪ .iii‬הטענה נכונה‪ .‬עבור )‪ g ( x‬נקבל‪:‬‬
‫‪2 kx  x3‬‬
‫‪ k  x2 ‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪ g '( x) ‬ולכן‪ x  0 :‬נקודת מינימום‪.‬‬
‫(הנקודות ‪ x   2k‬נפסלות)‪ .‬עבור )‪ h( x‬נקבל‪:‬‬
‫‪x3  2 kx‬‬
‫‪ k  x2 ‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪ h '( x) ‬ולכן‪ x  0 :‬נקודת מקסימום‪.‬‬
‫(הנקודות ‪ x   2k‬נפסלות)‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .iv‬הטענה אינה נכונה‪ .‬לפונקציה יש ‪ 3‬נקודות קיצון‪k :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪.x0 ,x‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ . k  24 .‬ג‪ .  0,0  Min , 4,32 2 Max, ( 24,0) Min .‬ד‪. I  g ( x) , II  f ( x) , III  h( x) .‬‬
‫‪ .7‬א‪ 11 .‬ס"מ על ‪ 22‬ס"מ‪ .‬ב‪ 98 .‬סמ"ר ‪. S ‬‬
‫‪ .8‬א‪ . f ( x)  4 x  x2 , g ( x)   x2  x  12 .‬ב‪ 46.5 .‬יח"ש ‪. S ‬‬
‫‪85‬‬
‫בחינה ‪:22‬‬
‫‪ .1‬א‪ 240 .i .‬סמ"ר‪ . 4  20  L  .ii .‬ב‪. L  8 .‬‬
‫‪ .2‬א‪ . x  2 .‬ג‪D  0,10  .ii . y  0.5x  10 .i .‬‬
‫‪SDCE 1‬‬
‫ד‪ .ii . E  2, 4  .i .‬‬
‫‪SABC 2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪31‬‬
‫‪2‬‬
‫‪27‬‬
‫‪SABE‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ .3‬א‪.‬‬
‫ד‪ .4 . P  0.34414 .‬ג‪ 3 .‬סמ"ר‪ .5 .‬א‪ 64.04 .‬ב‪ 0.817 .‬‬
‫‪9‬‬
‫‪50‬‬
‫‪50‬‬
‫‪SECD‬‬
‫‪ .6‬א‪ . A  1 .‬ב‪ . x  2 .‬ג‪ .‬הנגזרת בנויה ממנה של מספר שלילי בחיובי ולכן תמיד שלילית‪:‬‬
‫‪ ( ) ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪y‬‬
‫שלילי ‪   ‬‬
‫ה‪ .‬סקיצה‪:‬‬
‫‪. y ' ‬ד‪.  0, 2.5 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  2   () ‬‬
‫ו‪ .‬לא‪ .‬אין נקודות על גרף הפונקציה בעלות שיעור ‪ y‬זהה‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .7‬א‪ . h  63  4 x .‬ב‪ . p  14 x 2  252 x .‬ג‪. x  9 .‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬נקבל כי‪S1  S2  0 :‬‬
‫‪ .8‬א‪ . a  13 .‬ב‪  5, 0  .‬ג‪ .ii . S1  2 .i .‬לפי ‪ 1dx  0‬‬
‫‪2x 1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫ולכן‪. S2  S1  2 :‬‬
‫‪13‬‬
‫בחינה ‪:23‬‬
‫‪ .1‬א‪ .10:00 .‬ב‪ 200 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ .2‬א‪ . a  8 .‬ב‪ . B  6,0  .‬ג‪ . y  0.5x  3 .‬ד‪ . 10, 2  .‬ה‪ 11  5 5 .‬סמ"ר ‪‬‬
‫‪. SDECBO‬‬
‫‪15‬‬
‫‪7‬‬
‫ג‪ 0.0146 .‬‬
‫‪ .3‬א‪ 4 .‬כדורים‪ .‬ב‪.‬‬
‫‪1024‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1.5m‬‬
‫‪ sin  ‬ב‪ m  16 .‬ג‪. 56.95 .‬‬
‫‪ .5‬א‪.‬‬
‫‪100  2.25m2‬‬
‫‪ .6‬א‪ .i .‬הטענה אינה נכונה‪ .‬תחומי ההגדרה הם‪. f ( x) : x  0 , x  1 ; g ( x) : x  1 :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .4‬ג‪.36 .‬‬
‫‪ .ii‬הטענה נכונה‪ .‬ל‪ f ( x) -‬יש נקודת קיצון ‪  4, 4 ‬וב‪  0, 0  -‬ול‪ g ( x) -‬יש קיצון ‪.  2, 2 ‬‬
‫שתיהן נמצאות על הישר ‪. y  x‬‬
‫‪ .iii‬הטענה נכונה‪ .‬מתקבלים‪ x  0,1 :‬אשר שניהם נפסלים מחמת תחום ההגדרה של הפונקציות‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x 1‬‬
‫ג‪ 6 2  8.48 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ .7‬א‪ 6 .‬ס"מ ו‪ 6-‬ס"מ‪ .‬ב‪ 18 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .8‬א‪ . A  6 .‬ב‪ y   x  .‬ד‪  1.5,  .‬ה‪ .‬יח"ש ‪. S ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . h( x) ‬ג‪ .‬לא‪ . h( x) : x  1 .‬ד‪. I  h( x) , II  f ( x) .‬‬
‫‪86‬‬
:24 ‫בחינה‬
.28% .‫ ב‬.‫ ס"מ‬6-‫ ס"מ ו‬8 , ‫ ס"מ‬10 .‫ א‬.1
. C  8, 0  .‫ ג‬. C 8,0  , C 10,0  .‫ ב‬. x  9 ; y  2 .‫ א‬.2
. 1.5 28  3 t .i.‫ ב‬.4 .‫ א‬.5 . 16S .4 .0.1318 .‫ ג‬.0.8 .‫ ב‬.0.25 .‫ א‬.3
k2
. k  4 .‫ ד‬. y  k x .‫ ג‬. f '( x) 
 0 :‫ הנגזרת היא‬.‫ ב‬. x   k .ii .  k  x  k .i .‫ א‬.6
2 1.5
k

x


.3 .ii
.‫ יח"ר‬13.5 .‫ב‬
 1,0 , 3,0 ,  0, 9 .‫ א‬.8
 1
. A 1,  , B 1, 1 .7
 2
:25 ‫בחינה‬
.74.55% .‫ ב‬.₪ 50 .‫ א‬.1
. A 10,0  ; B  0,6  .‫ ב‬.  x  5   y  3  34 , R  ‫ ס"מ‬34 .‫ א‬.2
2
2
. SABC  ‫ סמ"ר‬30 .ii . C  20, 0 .i .‫ג‬
14
55
.‫ ב‬.
.‫ א‬.3
55
84
.‫ ס"מ‬60 .‫ ג‬.4
.   14.47 .‫ ג‬PACE  k  6k sin   k 25  24cos 2 .‫ ב‬AE  6k sin  .‫ א‬.5
7
10
. S  ‫ יח"ש‬1377 .‫ ד‬. B 
.‫ ג‬. y  1.5x  150 .‫ ב‬. A  30 .ii x  0 .i .‫ א‬.6
9
3
.‫ ס"מ‬5 .7
.‫ יח"ש‬88 .‫( ג‬16,14) .‫ הנגזרת תמיד חיובית ב‬.iii (4, 0) .ii x  0 .i .‫ א‬.8
.0.9324 .ii
87
0.7204 .i .‫ג‬