דיסטריבוטיביות של מכפלה וקטורית טענה 0.1 אם הוכחה. וב ביצנ .x לכל םייקתמ (

‫אלכס גולדוורד‪ ,‬לביא קרפ‬
‫דיסטריבוטיביות של מכפלה וקטורית‬
‫כל‬
‫טענה ‪ 0.1‬אם ‪ a · x = b · x‬לכל ‪ x ∈ R3‬אז ‪.a = b‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫‪a · x = b · x, a · x − b · x = 0, (a − b) · x = 0‬‬
‫נתון שהשוויון ‪ (a − b) · x = 0‬מתקיים לכל ‪ .x‬נציב בו ‪.x = a − b‬‬
‫הזכ‬
‫‪(a − b) · (a − b) = 0, |a − b|2 = 0, |a − b| = 0, a − b = 0, a = b‬‬
‫‬
‫טענה ‪ 0.2‬לכל ‪ u, v, w ∈ R3‬מתקיים )‪(u × v) · w = − ((u × w) · v‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫הוכחה‪ .‬המספר |‪ |(u × v) · w‬שווה לנפח של מקבילון שבנוי על הווקטורים‬
‫‪ .u, v, w‬גם המספר |‪ |(u × w) · v‬שווה לנפח של אותו מקבילון )כי זה אותם‬
‫וקטורים(‪ .‬מהגדרה של מכפלה וקטורית נובע שאם זווית בין הוקטורים ‪ u × v‬ו־‬
‫‪ w‬חדה אז הזווית בין הווקטורים ‪ u × w‬ו־ ‪ v‬קהה‪) .‬ראה ציור(‪.‬‬
‫שמ‬
‫טענה ‪ 0.3‬לכל ‪ a, b, c ∈ R3‬מתקיים ‪.a × (b + c) = a × b + a × c‬‬
‫הוכחה‪ .‬נוכיח שלכל ‪ x ∈ R3‬מתקיים‬
‫ות‬
‫ור‬
‫‪(a × (b + c)) · x = (a × b + a × c) · x‬‬
‫נשתמש בטענה הקודמת ובדיסטריבוטיביות של מכפלה סקלרית‪.‬‬
‫= ‪(a × (b + c)) · x = − (a × x) · (b + c) = − (a × x) · b − (a × x) · c‬‬
‫‪(a × b) · x + (a × c) · x = (a × b + a × c) · x‬‬
‫‪1‬‬