מרחבי מכפלה פנימית

‫אוסף תרגילים באלגברה לינארית‬
‫אלכס גולדווד ולביא קרפ‬
‫מכללת אורט בראודה‬
‫המחלקה למתמטיקה‬
‫‪ .4‬מכפלה פנימית‬
‫סימונים‪:‬‬
‫‪ .1‬מכפלה פנימית‪.hu; vi :‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪p‬‬
‫נורמה‪hu; ui :‬‬
‫= ‪.kuk‬‬
‫‪fv 2 V : hv; wi = 0; 8w 2 W g‬‬
‫‪ .3‬משלים אורתוגונלי‪:‬‬
‫תת‪-‬מרחב של מרחב מכפלה פנימית ‪.V‬‬
‫=‬
‫? ‪ ,W‬כאשר ‪W‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .1‬נציב‬
‫‪; hx; yi = ax1 y1 + bx2 y2 + cx3 y3‬‬
‫‪ y = [y1 ; y2 ; y3 ]T ,x = [x1 ; x2 ; x3 ]T‬ונניח כי ‪ b ,a‬ו ‪ c‬מספרים חיוביים‪.‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הנוסחה )‪ (1‬מגדירה מכפלה פנימית ב ‪.R3‬‬
‫ב‪ .‬עבור ‪ b = 2 ,a = 3‬ו ‪ c = 5‬חשב את הנורמה של‬
‫המכפלה הפנימית )‪.(1‬‬
‫‬
‫‪ .2‬תהי‬
‫‪a b‬‬
‫‪b c‬‬
‫‬
‫‪1]T‬‬
‫; ;‬
‫‪[3 2‬‬
‫)‪(1‬‬
‫לפי‬
‫= ‪ A‬מטריצה עם מקדמים ממשיים‪ .‬הראה שאם ‪ ,a > 0‬ו‬
‫‪ ,det(A) > 0‬אז הביטוי‬
‫מהווה מכפלה פנימית ב ‪.R2‬‬
‫‪hx; yi = xT Ay‬‬
‫‪ .3‬קבע עבור איזה ממשי הביטוי‬
‫‪hx; yi = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + x2 y3 + x3 y2‬‬
‫מהווה מכפלה פנימית ב ‪.R3‬‬
‫‪1‬‬
‫מכפלה פנימית‬
‫‪ .4‬יהי ‪ V‬מרחב הפונקציות הרציפות בקטע ]‪ [0; 1‬עם המכפלה הפנימית‬
‫‪Z 1‬‬
‫‪f (t)g(t)dt‬‬
‫= ‪; hf; gi‬‬
‫‪0‬‬
‫‪:f; g 2 V‬‬
‫)‪(2‬‬
‫א‪ .‬הראה ש )‪ (2‬מגדירה אמנם מכפלה פנימית ב ‪.V‬‬
‫ב‪ .‬האם ) ‪ (t2 31‬ניצב ל ‪ 1‬במכפלה הפנימית )‪?(2‬‬
‫ג‪ .‬נרמל את הווקטור )פונקציה( ‪ et‬לפי המכפלה הפנימית )‪.(2‬‬
‫‪ .5‬יהי ‪ V‬מרחב הפונקציות הרציפות בקטע ] ; [ עם המכפלה הפנימית‬
‫ ‪Z‬‬
‫‪f (t)g(t)dt‬‬
‫= ‪; hf; gi‬‬
‫‬
‫‪:f; g 2 V‬‬
‫)‪(3‬‬
‫ידוע כי‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B = p ; p cos t; p cos 2t; : : : ; p sin t; p sin 2t; : : :‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫בסיס אורתונורמלי לפי המכפלה הפנימית )‪.(3‬‬
‫א‪ .‬חשב את מקדמי פורייה של ‪t‬‬
‫בבסיס ‪.B‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי ‪ t‬שווה‬
‫)‪nt‬‬
‫(‪cos‬‬
‫‪t‬‬
‫‪7 cos 2‬‬
‫‪1 ( 1)n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪t‬‬
‫‪2 sin 2 + 5 cos‬‬
‫‪+4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪= 5‬‬
‫)‪f (t‬‬
‫‪:‬‬
‫‪ .6‬יהי ‪ R22‬מרחב המטריצות הממשיות עם המכפלה הפנימית עם המכפלה‬
‫הפנימית‬
‫‪T‬‬
‫)‪(4‬‬
‫)‪:hA; B i = tr(B A‬‬
‫א‪ .‬הראה ש‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫;‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫בסיס אורתונורמלי של ‪.R22‬‬
‫‬
‫ב‪ .‬מצא מקדמי פורייה של‬
‫‬
‫ג‪ .‬חשב את הנורמה של‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‬
‫‪.‬‬
‫;‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫;‬
‫= ‪ A‬בבסיס ‪.F‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪F‬‬
‫מכפלה פנימית‬
‫‪ .7‬יהי ‪ V‬מרחב מכפלה פנימית‪ .‬הוכח את הטענות הבאות‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‬
‫כלל המקבילית‪.ku + vk2 + ku vk2 = 2 kuj2 + kvk2 :‬‬
‫אם ‪ S = fu1 ; :::; uk g‬קבוצה אורתוגונלית שאינה מכילה את וקטור‬
‫האפס‪ ,‬אז ‪ S‬בלתי תלויה לינארית‪.‬‬
‫אם ‪ B = fu1 ; :::; un g‬בסיס אורתונורמלי של ‪ V‬ו ‪ i = hx; ui i‬עבור‬
‫‪ ,i = 1; :::; n‬אז ‪.kxk2 = 21 + + 2n‬‬
‫אי שוויון בסל ‪ :Bessel‬אם ‪ S = fu1 ; :::; uk g‬קבוצה אורתונורמלית‬
‫ב‪ V -‬ו ‪ i = hx; ui i‬עבור ‪ ,i = 1; :::; k‬אז‬
‫‪:21 + + 2k kxk2‬‬
‫‪ .8‬תרגיל זה עוסק בהיטל אורתוגונלי במרחב בכפלה פנימית ‪.V‬‬
‫‪W‬‬
‫א‪ .‬יהי ‪ B = fw1 ; :::; wk g‬בסיס אורתונורמלי של תת‪-‬מרחב‬
‫הראה שההיטל האורתוגונלי של וקטור ‪ u‬על ‪ W‬ניתן על ידי‬
‫‪.V‬‬
‫‪:PW (u) = hu; w1 iw1 + + hu; wk iwk‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הנוסחה להיטל האורתוגונלי על ‪ W‬כאשר ‪B = fw1 ; :::; wk g‬‬
‫בסיס אורתוגונלי בלבד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ההיטל אורתוגונלי של ‪f (t) = t‬על‬
‫‪t; cos 2t; sin t; sin 2tg‬‬
‫;‪f‬‬
‫‪:= sp 1 cos‬‬
‫‪W‬‬
‫כאשר המכפלה הפנימית נתונה על ידי )‪.(3‬‬
‫‪ .9‬מצא בסיס עבור ? ‪,W‬‬
‫א‪ .‬כאשר ‪f ; ; ; ; ; g‬‬
‫על ידי ‪ ,hx; yi = xT Ay‬כאשר‬
‫‪= span [1 2 3]T [0 1 1]T‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ W‬והמכפלה הפנימית ב‪ R3 -‬נתונה‬
‫‪1 5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪:A = 4‬‬
‫ב‪ .‬כאשר ‪ R33 W‬זה אוסף המטריצות האלכסוניות והמכפלה הפנימית‬
‫נתונה על ידי )‪.hA; B i = tr(B T A‬‬
‫‪ .10‬יהי ‪ Rnn‬מרחב מכפלה פנימית של כל המטריצות הממשיות ‪ n n‬עם‬
‫המכפלה הפנימית )‪ .hA; B i = tr(B T A‬יהי ‪ S‬אוסף המטריצות הסימטריות‬
‫ו ‪ K‬אוסף המטריצות האנטי‪-‬סימטריות‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫מכפלה פנימית‬
‫א‪ .‬הראה ‪.Rnn = S K‬‬
‫‪1‬‬
‫רמז‪.A = 2 (A + AT ) + 12 (A AT ) :‬‬
‫ב‪ .‬הראה ‪ S ? K‬במכפלה הפנימית הנתונה‪.‬‬
‫רמז‪ :‬הראה תחילה ש )‪.tr(AB ) = tr(BA‬‬
‫ג‪ .‬הסק מסעיפים א׳ ו ב׳ ש ‪ S ? = K‬ו ‪.K ? = S‬‬
‫‪ .11‬באמצעות השלבים הבאים הוכח את אי שוויון קושי‪-‬שוורץ‪-‬בוניאקובסקי‪:‬‬
‫‪:jhu; vij kukkvk‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫)‪(5‬‬
‫וודא ש )‪ (5‬מתקיים כאשר ‪.u = 0‬‬
‫בשלבים הבאים נניח כי ‪.u 6= 0‬‬
‫יהי ‪ w = v u‬כאשר ‪. = hkuu;kv2i‬‬
‫הראה ש ‪ w‬אורתוגונלי ל ‪. .u‬‬
‫מסעיף ב׳ נובע כי ‪ .kvk = ku + wk‬הסבר מדוע‬
‫‪.jj2 kuk2 + kwk2 = kvk2‬‬
‫השתמש בסעיף ג׳ להראות ‪.jj2 kuk2 kvk2‬‬
‫הצב את לפי סעיף ב׳ באי שיוויון שבסעיף ד׳ וקבל מזה את )‪.(5‬‬
‫מה הוא התנאי שצריכים לקיים וקטורים על מנת שאי שוויון שהוכחנו‬
‫יהפוך לשוויון? הוכיחו את התשובה שלכם‪.‬‬
‫‪ .12‬בהסתמך על אי‪-‬שוויון קושי‪-‬שוורץ הראה את האי‪-‬שוויוניים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫!‬
‫‪b2i‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫!‬
‫‪i=1‬‬
‫‪! 21‬‬
‫‪a2i‬‬
‫‪a2i‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‬
‫‪!2‬‬
‫‪ai :bi‬‬
‫‪p‬‬
‫‪jai j n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪:ai 2 R‬‬
‫;‬
‫)) ‪; (tr(B T A))2 (tr(AT A))(tr(B T B‬‬
‫‪f 2 (t)dt‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f (t)tdt‬‬
‫‪4‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫;‬
‫‪:ai ; bi 2 R‬‬
‫;‬
‫‪:A; B 2 Rnn‬‬
‫]‪:f 2 C [0; 1‬‬
‫מכפלה פנימית‬
‫‪ .13‬יהי ]‪ V = P2 [x‬מרחב הפולינומים ממעלה קטנה או שווה לשניים עם‬
‫המכפלה הפנימית‬
‫‪Z 1‬‬
‫‪f (x)g(x)dx‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪; hf; gi‬‬
‫‪:f; g 2 V‬‬
‫השתמש בתהליך גרהם‪-‬שמידט על מנת למצוא פולינומים‬
‫שיהוו בסיס אורתוגונלי עבור ]‪.P2 [x‬‬
‫‪fp0 ; p1 ; p2 g‬‬
‫‪ .14‬יהי ]‪ V = P3 [x‬מרחב הפולינומים ממעלה קטנה או שווה לשלוש עם‬
‫המכפלה הפנימית‬
‫‪Z 1‬‬
‫‪f (x)g(x)dx‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪:f; g 2 V‬‬
‫= ‪; hf; gi‬‬
‫‪1‬‬
‫השתמש בתהליך גרהם‪-‬שמידט על מנת למצוא פולינומים‬
‫‪ fp0 ; p1 ; p2 ; p3 g‬שיהוו בסיס אורתוגונלי עבור ]‪.P3 [x‬‬
‫‪ .15‬יהי ]‪ V = P2 [x‬מרחב הפולינומים הממשיים ממעלה עד שניים עם המכפלה‬
‫הפנימית )‪ (6‬ותהי )‪.f (x) = sin( 2 x‬‬
‫‪x‬‬
‫) ‪= sin( 2‬‬
‫)‪ f (x‬על ‪ V‬באמצעות בסיס‬
‫א‪ .‬מצא היטל אורתוגונלי של‬
‫אורתוגונלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא היטל אורתוגונלי של )‪ f (x) = sin( 2 x‬על ‪ V‬על ידי פתרון של‬
‫המערכת הנורמלית‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא ‪ ; ; 2 R‬כך ש‬
‫‪ 12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x) dx‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫(‪sin‬‬
‫‪ + x + x2‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪1‬‬
‫יהי מינימלי‪.‬‬
‫‪ .16‬יהי ]‪P2 [x‬‬
‫הפנימית‬
‫=‬
‫‪ V‬מרחב הפולינומים הממשיים ממעלה עד שניים עם המכפלה‬
‫)‪; hf; gi = f (0)g(0) + f (1)g(1) + f (2)g(2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪:f; g 2 V‬‬
‫)‪(7‬‬
‫הראה ש )‪ (7‬מהווה מכפלה פנימית ב ]‪.P2 [x‬‬
‫האם )‪ (7‬מהווה מכפלה פנימית ב ]‪?P3 [x‬‬
‫מצא בסיס אורתונורמלי של ]‪ P2 [x‬במכפלה הפנימית )‪.(7‬‬
‫חשב את ההיטל של )‪ sin( 4 x‬על ]‪ P2 [x‬לפי המכפלה הפנימית )‪.(7‬‬
‫‪5‬‬
‫מכפלה פנימית‬
‫‪.17‬‬
‫יהי ‪ V = R22‬מרחב המטריצות עם מכפלה פנימית לפי )‪hA; B i = tr(B T A‬‬
‫ויהי ‪ V S‬אוסף המטריצות הסימטריות‪ .‬חשב את ההיטל האורתוגונלי‬
‫‪.18‬‬
‫יהי ‪ V = R32‬מרחב המטריצות הממשיות ‪ 2‬‬
‫)‪ .hA; B i = tr(B T A‬יהי‬
‫של ‪a b‬‬
‫‪c d‬‬
‫= ‪ A‬על ‪.S‬‬
‫‪9‬‬
‫=‬
‫‪3‬‬
‫;‪a; b; c 2 R‬‬
‫תת מרחב של ‪.V‬‬
‫‪0 5:‬‬
‫‪c‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪ .‬מצא היטל אורתוגונלי של‬
‫‪82‬‬
‫‪< 0‬‬
‫‪4 b‬‬
‫=‬
‫‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪W‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬מצא ‪ B 2 W‬כך ש‬
‫‪3‬‬
‫עם המכפלה הפנימית‬
‫‪ A = 4‬על ‪.W‬‬
‫‪: Cmin‬‬
‫‪kA C k = kA B k‬‬
‫‪2W‬‬
‫‪ .19‬יהיה ‪ V‬מרחב מכפלה פנימית ויהיו ‪ U‬ו‪ W -‬שני תת‪-‬מרחבים שלו כך ש‪-‬‬
‫‪ .W U‬יהיה ‪ f‬וקטור ב ‪ ,V‬ונסמן ב ‪ p‬את ההיטל של ‪ f‬על ‪ .U‬הוכח שאם‬
‫‪ ,f ? W‬אז גם ‪.p ? W‬‬
‫‪ .20‬יהיה ‪ V‬מרחב וקטורי של פונקציות רציפות בקטע ]‪a; a‬‬
‫פנימית‬
‫‪f (x)g(x) dx‬‬
‫‪Z a‬‬
‫‪a‬‬
‫[‬
‫עם מכפלה‬
‫= ‪hf; gi‬‬
‫א‪ .‬נסמן ב‪ A-‬קבוצה של פונקציות זוגיות מתוך ‪ V‬וב‪ B -‬קבוצה של‬
‫פונקציות אי‪-‬זוגיות־ מ‪ .V -‬הוכח ש‪ A-‬ו‪ B -‬תת מרחבים של ‪.V‬‬
‫ב‪ .‬הוכח ש־ ‪.A B = V‬‬
‫רמז‪:‬‬
‫)‪f (x) f ( x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫)‪f (x) + f ( x‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪:f (x‬‬
‫ג‪ .‬הוכח ש‪.A? = B -‬‬
‫ד‪ .‬יהיה ‪ U‬תת מרחב של ‪ V‬עם תכונה הבאה‪ :‬לכל ‪ g (x) 2 U‬גם‬
‫‪ :g( x) 2 U‬הוכח שאם )‪ f (x‬פונקציה אי זוגית אז היטל שלה על ‪U‬‬
‫גם פונקציה אי זוגית‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫מכפלה פנימית‬
‫‪ .21‬יהי )]‪ C ([a; b‬מרחב הפונקציות הרציפות עם מכפלה פנימית‬
‫‪Z b‬‬
‫‪f (x)g(x)dx‬‬
‫‪a‬‬
‫= ‪:hf; gi‬‬
‫יהי ]‪ Pn [x‬מרחב הפולינומים ממעלה קטנה או שווה ל ‪ .n‬על סמך תהליך‬
‫גרהם שמידט לכל שלם חיובי ‪ n‬קיים בסיס אורתונורמלי ‪fp0 ; p1 ; :::; pn g‬‬
‫של תת המרחב ]‪.Pn [x‬‬
‫א‪ .‬הראה שאם ‪ q‬פולינום ממעלה ‪ ,n > m‬אז ‪.hq; pn i = 0‬‬
‫ב‪ .‬הראה שלפולינום ‪ pn‬יש ‪ n‬שורשים בקטע ]‪.[a; b‬‬
‫רמז‪ :‬נניח בשלילה של ‪ pn‬יש ‪ m < n‬שורשים ‪ fx1 ; :::; xm g‬בקטע‬
‫]‪ .[a; b‬נציב ) ‪ ,q (x) = (x x1 ) (x xm‬אז )‪ pn (x) = q (x)r(x‬כאשר‬
‫)‪ r(x‬פולינום ללא שורשים בקטע ]‪ .[a; b‬השתמש בסעיף )א( על מנת‬
‫לקבל סתירה‪.‬‬
‫‪ .22‬א‪ .‬יהיו ‪ a‬ו ‪ b‬וקטורים ב ‪ .Rn‬הראה ש‪.tr(abT ) = aT b -‬‬
‫ב‪ .‬יהי ‪ fu1 ; :::; un g‬בסיס אורתונורמלי של ‪ :Rn‬הראה שאוסף מטריצות‬
‫‪fui uTj g; i; j = 1; :::; n‬‬
‫מהווה בסיס אורתונורמלי של מרחב המטריצות ‪Rnn‬‬
‫פנימית‬
‫עם מכפלה‬
‫)‪hA; B i = tr(B T A‬‬
‫‪ .23‬הוכח שקבוצת פונקציות )הן נקראות פונקציות ‪(Rademacher‬‬
‫‪[2p x] ; p = 1; : : : n‬‬
‫)‪1‬‬
‫] ‪[2p‬‬
‫מסמן ערך שלם של ‪x‬‬
‫כאשר ‪x‬‬
‫מכפלה פנימית מוגדרת כך‬
‫‪2p‬‬
‫‪f (x)g(x) dx‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫( = )‪fp (x‬‬
‫היא קבוצה אורתונורמלית כאשר‬
‫‪Z‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪hf; gi‬‬
‫מכפלה פנימית‬
‫תשובות‬
p
40
.‫ב‬
jj < 1
p
pe22et1 .‫ג‬
3
,‫ כן‬.‫ב‬
f5; 1; 2; 0g
p
30
1
.‫ב‬
.‫ג‬
4
6
PW (u) = hkuw;w1 k12i w1 + + hkuw;wk kk2i wk .‫ ב‬8
2 4 cos(t) + cos(2t) .‫א‬
3
f(0; 1;
1)T
g
3 2
3 2
3 9
82
0 1 0
0 0 1
0 0 0
>
>
>
>
>
4 0 0 0 5 ; 4 0 0 0 5 ; 4 0 0 1 5 ;>
>
>
>
>
>
>
>
>
=
< 0 0 0
0 0 0
0 0 0
2
3 2
3 2
3
>
0 0 0
0 0 0
0 0 0 >
>
>
>
>
>
>
>
4 1 0 0 5 ; 4 0 0 0 5 ; 4 0 0 0 5>
>
>
>
>
;
:
0
0
0
1
0
0
0
1
0
f1; x 21 ; x2 x + 16 g
.f1; x; x2 13 ; x3 53 xg
= 122 ‫ = = ו‬0 .‫ג‬
p
, 122 x .‫ב‬
f p13 ; p12 (x 1); p32 (x2
p 1
(
2
B=4
8
1
14
, 122 x .‫ א‬15
x + 31 )g .‫ ג‬16
1 1 2
2 )x + ( 2 p2 )x .‫ד‬
a
b+c
0
13
2
2
.‫ א‬9
.‫ב‬
3
0
0 5
0
1
2
.‫ב‬
,4
2
0
b+c 2
d
1
17
3
0
0 5
0
1
.‫ א‬18