docמבוא לאנליזה פונקציונלית ־ 104276 ־ תרגול 3
download 
Report Transcription
מבוא לאנליזה פונקציונלית ־ 104276 ־ תרגול 3
מבוא לאנליזה פונקציונלית ־ 104276־ תרגול 3
שלומי גובר ,אביב התשע"ה
14באפריל 2015
מערכות אורתונורמליות
תזכורת מההרצאה:
יהי Vמרחב מכפלה פנימית )לא בהכרח שלם(.
• מערכת אורתונורמלית היא קבוצה {ei }i∈I ⊂ Vהמקיימת .(ei , ej ) = δij
P
2
2
• עבור מערכת אורתונורמלית {ei }i∈Iמתקיים || i∈I |(x, ei )| ≤ ||xלכל x ∈ V
)אי שוויון בסל( .בסכום זה רק מספר בן מניה של מספרים שונה מאפס.
⊥
• מערכת אורתונורמלית שלמה היא מערכת אורתונורמלית המקיימת }.{ei }i∈I = {0
מערכת זו היא מקסימלית ביחס להכלה ונקראת בסיס אורתונורמלי .לכל מרחב מכפלה
פנימית קיים בסיס אורתונורמלי.
• כל הבסיסים האורתונורמלים של מרחב הילברט הם בעלי אותה עוצמה .עוצמה זו
נקראת מימד הילברט )או בקיצור המימד( של המרחב.
• מערכת אורתונורמלית נקראת סגורה אם היא מקיימת (x, ei ) ei
P
2
2
,x ∈ Vאו לחלופין |) i∈I |(x, ei
P
i∈I
= || ||xלכל ) x ∈ Vשוויון פרסבל(.
• במרחב הילברט מערכת שלמה היא אם"ם היא סגורה.
Marc-Antoine Parseval
Friedrich Wilhelm Bessel
1755 - 1836
1784 - 1846
1
= xלכל
תרגיל 1
הוכיחו כי שני מרחבים הילברט מעל אותו שדה הם איזומורפים )כלומר קיימת העתקה
ליניארית T : H → Gחח"ע ועל השומרת על המכפלה הפנימית( אם ורק אם הם בעלי אותו
מימד.
פתרון:
יהיו G, Hשני מרחבי הילברט מעל אותו שדה בעלי מימד שווה עם בסיסים א"נ {fi }i∈I , {ei }i∈I
P
P
נגדיר את ההעתקה T : H → Gע"י T i∈I ai ei = i∈I ai fiזו העתקה ליניארית חח"ע
ועל )מכיוון שהמרחבים מעל אותו שדה( אשר שומרת על המכפלה הפנימית:
!
!
!
X
X
X
X
X
X
X
T
ai ei , T
bi e i
=
ai fi ,
bi fi
=
= ai bi
ai ei ,
bi e i
H
i∈I
i∈I
i∈I
G
i∈I
i∈I
G
i∈I
i∈I
ולכן המרחבים איזומורפים.
יהיו G, Hמרחבים איזומורפים כלומר קיימת איזומטריה .T : H → Gיהי {ei }i∈Iבסיס
א"נ של Hנראה כי {T ei }i∈Iהוא בסיס א"נ של {T ei }i∈I .Gהיא א"נ כי Tשומרת על
⊥
⊥
המ"פ ,והיא שלמה כי } .{T ei }i∈I = T {ei }i∈I = {0כלומר ל־ G, Hיש בסיס א"נ עם
אותה עוצמה ולכן הם בעלי אותו מימד.
תרגיל 2
הוכיחו כי מרחב הילברט אינסוף מימדי הוא ספרבילי אם ורק אם הוא ממימד .ℵ0
פתרון:
־ כיוון ראשון ־ יהי Hמרחב הילברט ספרבילי ,קיימת בו קבוצה צפופה בת מניה } .Z = {zn
נגדיר } X = {xnעל ידי
• x1איבר עם אינדקס מינימלי ב־ Zששונה מ־.0
• x2איבר עם אינדקס מינימלי ב־ Zשאינו נפרש על ידי } .{x1
• x3איבר עם אינדקס מינימלי ב־ Zשאינו נפרש על ידי } .{x1 , x2
• xnאיבר עם אינדקס מינימלי ב־ Zשאינו נפרש על ידי } .{x1 , x2 , . . . , xn−1
נפעיל את תהליך גרם־שמידט על Xונקבל סדרה א"נ } .{eiסדרה זו היא שלמה כי
Span {ei } = SpanX = SpanZ = Hולכן איבר הניצב לכל eiנציב לכל איבר במרחב
ולכן הוא איבר האפס.
2
־ כיוון שני ־ אם Hמרחב הילברט ממימד ,ℵ0אז מתרגיל קודם הוא איזומורפי למרחב
`2שהוא ספרבילי ־ {en }n∈Nהיא קבוצה צפופה בו .בהינתן איזומטריה ,T : `2 → H
{T en }n∈Nצפופה ב־ Hמכיוון ש־ Tשומרת על המכפלה הפנימית ולכן
2
2
||x − en || → 0 ⇒ ||T x − T en || → 0
תרגיל 3
n
o
P
2
`2 (I) = x : I → C :עם המכפלה
|x
|
<
∞
תהי Iקבוצה כלשהי ונגדיר
i
i∈I
P
הפנימית .(x, y) = i∈I xi yiמהו המימד של מרחב זה? עבור אילו קבוצות Iהמרחב
ספרבילי?
פתרון:
נגדיר ei (j) = δijמתקיים ei (k) ej (k) = δij
k∈I
P
= ) (ei , ejולכן זו קבוצה א"נ .אם
(x, ei ) = xi = 0לכל iאז x = 0ולכן המערכת שלמה .עוצמת המערכת היא | |Iוזה
המימד של ) .`2 (Iהמרחב ספרבילי כאשר Iבת מניה .בפרט .`2 ([n]) = Cn
תרגיל 4
תהי {ei }i∈Iמערכת אורתונורמלית בממ"פ .Vהראו כי אם קיימת תת קבוצה S ⊆ Hכך
P
2
2
ש־ } S ⊥ = {0ולכל x ∈ Sמתקיים |) ||x|| = i∈I |(x, eiאז המערכת שלמה )כלומר
מספיק שהמערכת תהיה "סגורה על קבוצה שלמה" כדי שתהיה שלמה(.
פתרון:
o
n
⊥
y
יהי ,y ∈ {ei }i∈Iנניח בשלילה כי ,y 6= 0אז
|| ei , ||yהיא מערכת א"נ ולכן לפי אי שוויון
בסל לכל x ∈ Sמתקיים
2
y
1
2
|(x, ei )| + x,
= ||x|| +
|)2 |(x, y
||||y
||||y
2
X
2
≥ ||||x
i∈I
ולכן |(x, y)| = 0לכל .x ∈ Sומכאן y ∈ S ⊥ = {0} ⇒ y = 0בסתירה.
3
