משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוס

‫משפט הסינוסים‬
‫בכל משולש קיים יחס קבוע בין כל צלע לסינוס הזווית מולה‪ ,‬יחס זה שווה לפעמים רדיוס המעגל‬
‫החוסם את המשולש‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2R‬‬
‫‪sin  sin  sin ‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ ABC‬משולש שחסום במעגל שרדיוסו ‪.R‬‬
‫‪a‬‬
‫נעביר קוטר ‪.BD‬‬
‫‪( ) ACD  90‬זווית היקפית הנשענת על הקוטר)‬
‫‪( ) ABD ) ADC  ‬זוויות היקפיות הנשענות על‬
‫אותה הקשת שוות)‬
‫ב‪BDC -‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪C‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ sin  ‬‬
‫‪ 2R‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪sin ‬‬
‫באופן דומה‪ ,‬ניתן להוכיח‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪ sin  ,‬‬
‫‪ sin ‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2R‬‬
‫‪sin  sin  sin ‬‬
‫משתי ההוכחות יחד נובע‪ :‬בכל משולש קיים יחס קבוע בין כל צלע לסינוס הזווית מולה‪ ,‬יחס זה‬
‫שווה לפעמים רדיוס המעגל החוסם את המשולש‪.‬‬
‫*‬
‫במשולש קהה זווית‪ ,‬שני הגבהים עוברים מחוץ למשולש ונשתמש בהוכחה בעובדה‪:‬‬
‫)‪.sin = sin (180‬‬
‫*‬
‫שימוש במשפט הסינוסים‪:‬‬
‫א‪ .‬כאשר נתונות שתי צלעות והזווית מול אחת מהן‪.‬‬
‫ב‪ .‬כאשר נתונה צלע ושתי זוויות‪.‬‬
‫*‬
‫יש לשים לב שהשימוש בנוסחה עם הקשר לרדיוס נכון רק כאשר המעגל חוסם את המשולש‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫תרגילים‬
‫‪.1‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬נתון‪. ) B  61 , ) C  63 ,AB = 46.3 :‬‬
‫חשבו את אורכי הצלעות ‪ AC‬ו‪.BC -‬‬
‫‪.2‬‬
‫שתי צלעות של משולש הן ‪ 5‬ס"מ ו‪ 7 -‬ס"מ הזווית מול הצלע של ‪ 5‬ס"מ היא ‪.34‬‬
‫א‪ .‬חשבו את שני הערכים האפשריים לזווית שמול הצלע השלישית‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חשבו את שני הערכים האפשריים לצלע השלישית‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫שתי צלעות של משולש הן ‪ 8‬ס"מ ו‪ 13 -‬ס"מ רדיוס המעגל החוסם את המשולש הוא ‪ 7‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשבו את הצלע השלישית אם נתון שהמשולש חד זווית‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את הצלע השלישית אם נתון שהמשולש קהה זווית‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.4‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים (‪.)AB=AC‬‬
‫‪E‬‬
‫את הזווית ‪ B‬חילקו ל‪ 3 -‬זוויות שוות‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫השוק שווה ל‪ 18 -‬ס"מ וזווית הראש ‪.48‬‬
‫‪C‬‬
‫חשבו את ‪ BE‬ו‪.BD -‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ ABC‬הוא משולש שווה שוקיים (‪ BD )AB=AC‬הוא תיכון לשוק‪ .‬נתון‪. ) BDA  110 :‬‬
‫חשבו את זווית הראש של המשולש‪.‬‬
‫‪.6‬‬
‫אורכו של רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ ABC‬הוא ‪ 18‬ס"מ‪ .‬שתים מזוויות המשולש הן‬
‫בנות ‪ . ) B  62 , ) A  67‬חשבו את צלעות המשולש‪.‬‬
‫‪.7‬‬
‫במשולש שווה שוקיים אורך השוק הוא ‪ 10‬ס"מ ואורך הבסיס הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫חשבו את האורך של חוצה זווית הבסיס‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫משפט הקוסינוס‬
‫ריבוע צלע במשולש שווה לסכום ריבועי שתי הצלעות האחרות‬
‫פחות פעמיים מכפלתן בקוסינוס הזווית הכלואה ביניהן‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪c2 = a2 + b2  2ab  cos‬‬
‫‪‬‬
‫‪b‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫נוריד גובה ‪ AD‬לצלע ‪.a‬‬
‫ב‪ABD -‬‬
‫‪c2 = AD2 + BD2‬‬
‫ב‪ADC -‬‬
‫‪b2 = AD2 + CD2‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪BD = a  CD‬‬
‫‪c2 = AD2 + a2  2a CD + CD2‬‬
‫‪c2 = a2 + b2  2a  CD‬‬
‫‪CD = b cos ‬‬
‫‪c2 = a2 + b2  2ab cos ‬‬
‫*‬
‫במשולש קהה זווית הגובה מחוץ למשולש ומתקיים‪cos(180) = cos  :‬‬
‫תרגילים‬
‫‪.1‬‬
‫אורכי הצלעות של משולש הם‪ 11 :‬ס"מ‪ 15 ,‬ס"מ ו‪ 19 -‬ס"מ‪.‬‬
‫חשבו את הזווית הגדולה במשולש‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫שני תיכונים לשתי צלעות במשולש אורכם ‪ 12‬ס"מ ו‪ 15 -‬ס"מ והזוויות ביניהן שמול הצלע‬
‫השלישית היא בת ‪ .135‬חשבו את צלעות המשולש‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪ CD‬הוא תיכון לצלע ‪ AB‬במשולש ‪ ABC‬נתון‪CD = 4 ,BC = 6 ,AB = 7 :‬‬
‫חשבו את הזווית ‪ ) ABC‬ואורך הצלע ‪.AC‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.4‬‬
‫צלע אחת במשולש גדולה ב‪ 1 -‬ס"מ מצלע שניה וקטנה ב‪ 5 -‬ס"מ מהצלע השלישית‪ .‬אחת‬
‫הזוויות במשולש היא בת ‪ .120‬חשבו את צלעות המשולש‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪ E‬נקודה בתוך ריבוע ‪ ABCD‬שצלעו ‪ 12‬ס"מ‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫נתון‪DE = 8 ,EC = 6 :‬‬
‫‪E‬‬
‫חשבו את ‪ BE‬ואת ‪. AE‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ BQ‬ו‪ AM -‬הם תיכונים במשולש ‪ ABC‬הנפגשים בנקודה ‪.P‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ 42‬ס"מ = ‪ 36 ,AM‬ס"מ = ‪. ∡BPM = 53º ,BQ‬‬
‫א‪ .‬חשבו את היקף המרובע ‪.PMCQ‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪P‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫מעגל חוסם מרובע שצלעותיו ‪ 4‬ס"מ‪ 5 ,‬ס"מ‪ 6 ,‬ס"מ‪ 7 ,‬ס"מ (בסדר זה)‪.‬‬
‫חשבו את זוויות המרובע‪ ,‬את שטחו ואת רדיוס המעגל החוסם אותו‪.‬‬
‫תרגילים נוספים‬
‫‪.1‬‬
‫הוכיחו ‪ :‬שטח משולש הוא ‪ , S  R 2  sin   sin   sin  :‬כאשר ‪ R‬הוא רדיוס המעגל‬
‫החוסם את המשולש‪ ,‬ו‪  ,  , -‬הן זוויות המשולש‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪k 1 k 2  sin ‬‬
‫הוכיחו ‪ :‬שטח מרובע הוא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ S ‬כאשר ‪ k 1‬ו‪ k 2 -‬הם אלכסוני המרובע‪ ,‬ו‪ -‬היא‬
‫הזווית בין האלכסונים‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪a 2  sin   sin ‬‬
‫‪ , S ‬כאשר ‪ a‬היא צלע במשולש‪ ,‬ו‪  ,  , -‬הן‬
‫הוכיחו ‪ :‬שטח משולש הוא ‪:‬‬
‫‪2 sin ‬‬
‫זוויות המשולש‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫הוכיחו ‪ :‬שטח משולש הוא ‪ , S = r ·p:‬כאשר ‪ = p‬מחצית היקף המשולש‪ = r ,‬רדיוס המעגל‬
‫החסום במשולש‪.‬‬
‫‪4‬‬