x - GOOL

‫מתמטיקה ‪ 5‬יחידות שאלון ‪806‬‬
‫‪1‬‬
‫תלמידים יקרים‬
‫ספר תרגילים זה הוא פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהגשה לבחינות‬
‫הבגרות במתמטיקה הן בבתי הספר התיכוניים‪ ,‬הן בבתי הספר‬
‫הפרטיים והן במכינות האוניברסיטאיות‪.‬‬
‫שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את‬
‫הדרך הנכונה לעומדים בפני מקצוע חשוב זה‪.‬‬
‫הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד על פי תכנית‬
‫הלימודים של משרד החינוך‪ .‬הניסיון מלמד כי לתרגּול בקורס זה‬
‫חשיבות יוצאת דופן‪ ,‬ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים‬
‫המופיעים בו‪.‬‬
‫לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר ‪www.GooL.co.il‬‬
‫הפתרונות מוגשים בסרטוני וידאו המלווים בהסבר קולי‪ ,‬כך שאתם‬
‫רואים את התהליכים בצורה מובנית‪ ,‬שיטתית ופשוטה‪ ,‬ממש כפי‬
‫שנעשה בשיעור פרטי‪ .‬הפתרון המלא של השאלה מכוון ומוביל לדרך‬
‫חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה‪.‬‬
‫תקוותי היא שספר זה ישמש מורה‪-‬דרך לכם התלמידים ויוביל אתכם‬
‫להצלחה‪.‬‬
‫יוחאי טוויג‬
‫‪2‬‬
‫תוכן העניינים‬
‫פרק ‪ – 1‬טכניקה אלגברית‪8 ...................................................................................... :‬‬
‫פירוק הטרינום‪8 ................................................................................................................. :‬‬
‫משוואות‪9 .......................................................................................................................... :‬‬
‫משוואה ממעלה ראשונה‪9 ................................................................................................... :‬‬
‫מערכת שתי משוואות בשני נעלמים ממעלה ראשונה‪10............................................................. :‬‬
‫משוואות עם אינסוף פתרונות וללא פתרון‪11........................................................................... :‬‬
‫משוואה ממעלה שנייה‪11.................................................................................................... :‬‬
‫משוואות ממעלה שלישית ומשוואות דו‪-‬ריבועיות‪12................................................................ :‬‬
‫משוואות עם פרמטרים‪12.................................................................................................... :‬‬
‫משוואות עם שורשים‪13...................................................................................................... :‬‬
‫משוואות עם ערך מוחלט‪13................................................................................................. :‬‬
‫מערכת משוואות ממעלה שנייה‪14......................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪14.............................................................................................................. :‬‬
‫אי שוויוניים‪16 ................................................................................................................... :‬‬
‫אי‪-‬שוויונים ממעלה ראשונה‪16............................................................................................ :‬‬
‫אי‪-‬שוויונים ממעלה שנייה‪16............................................................................................... :‬‬
‫אי‪-‬שוויונים ממעלה שלישית‪17............................................................................................ :‬‬
‫אי‪-‬שוויונים עם מנה‪17........................................................................................................ :‬‬
‫אי‪-‬שוויונים כפולים ‪ -‬מערכת וגם‪17...................................................................................... :‬‬
‫שאלות מסכמות – אי‪-‬שוויונים‪18......................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪18.............................................................................................................. :‬‬
‫תחום הגדרה‪19................................................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪19.............................................................................................................. :‬‬
‫פרק ‪ – 2‬חקירת משוואות ממעלה ראשונה ושנייה‪20 ...................................................... :‬‬
‫חקירת משוואות ממעלה ראשונה‪20 .....................................................................................:‬‬
‫תשובות סופיות‪21.............................................................................................................. :‬‬
‫חקירת משוואות ממעלה שנייה‪22 ........................................................................................ :‬‬
‫תשובות סופיות‪22.............................................................................................................. :‬‬
‫פרק ‪ – 3‬בעיות מילוליות‪23 ...................................................................................... :‬‬
‫הקדמה כללית‪23 ................................................................................................................ :‬‬
‫שאלות יסודיות‪23.............................................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪23.............................................................................................................. :‬‬
‫בעיות תנועה‪24 ................................................................................................................... :‬‬
‫בעיות ללא אחוזים עם נעלם אחד ושניים‪24............................................................................ :‬‬
‫בעיות תנועה עם אחוזים‪25.................................................................................................. :‬‬
‫בעיות תנועה עם משפט פיתגורס‪26....................................................................................... :‬‬
‫מהירות מושפעת מזרמים‪26................................................................................................ :‬‬
‫‪3‬‬
‫מהירות ממוצעת‪26............................................................................................................ :‬‬
‫שאלות מסכמות‪27............................................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪29.............................................................................................................. :‬‬
‫בעיות הספק‪30 ................................................................................................................... :‬‬
‫שאלות שונות‪30................................................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪31.............................................................................................................. :‬‬
‫שאלות שונות‪32 .................................................................................................................. :‬‬
‫בעיות תנועה‪32.................................................................................................................. :‬‬
‫בעיות הספק‪36.................................................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪37.............................................................................................................. :‬‬
‫תירגול נוסף‪38 .................................................................................................................... :‬‬
‫בעיות תנועה שונות‪38......................................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪43.............................................................................................................. :‬‬
‫פרק ‪ – 4‬סדרות‪44 .................................................................................................. :‬‬
‫סדרה חשבונית‪44 ............................................................................................................... :‬‬
‫שאלות‪44.......................................................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪47.............................................................................................................. :‬‬
‫סדרה הנדסית‪48 ................................................................................................................. :‬‬
‫שאלות‪48.......................................................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪51.............................................................................................................. :‬‬
‫סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת‪52 .................................................................................... :‬‬
‫שאלות‪53.......................................................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪56.............................................................................................................. :‬‬
‫סדרת נסיגה‪57 ....................................................................................................................:‬‬
‫שאלות‪57.......................................................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪59.............................................................................................................. :‬‬
‫פרק ‪ - 5‬הסתברות קלאסית‪60 .................................................................................. :‬‬
‫הגדרות כלליות‪60.............................................................................................................. :‬‬
‫שאלות יסודיות‪61.............................................................................................................. :‬‬
‫שאלות עם שני ניסויים‪61.................................................................................................... :‬‬
‫שאלות עם הסתברות מותנית‪62........................................................................................... :‬‬
‫שאלות עם נעלמים‪63.......................................................................................................... :‬‬
‫שאלות הנפתרות באמצעות טבלה דו‪-‬מימדית‪64...................................................................... :‬‬
‫התפלגות בינומית ונוסחת ברנולי ‪ -‬שאלות יסודיות‪65.............................................................. :‬‬
‫התפלגות בינומית ונוסחת ברנולי ‪ -‬שאלות עם הסתברות מותנית‪66............................................ :‬‬
‫התפלגות בינומית ונוסחת ברנולי ‪ -‬שאלות עם נעלמים‪67.......................................................... :‬‬
‫שאלות מסכמות‪68............................................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪74.............................................................................................................. :‬‬
‫‪4‬‬
‫שאלות שונות לפי נושאים‪75 ................................................................................................:‬‬
‫כפל וחיבור הסתברויות – מאורעות בלתי תלויים‪75................................................................. :‬‬
‫כפל וחיבור הסתברויות – מאורעות תלויים‪76......................................................................... :‬‬
‫תרגילים הכוללים שימוש בדיאגרמת עץ‪78............................................................................. :‬‬
‫תרגילים עם נעלמים – כפל וחיבור הסתברויות‪ ,‬דיאגרמת עץ‪80................................................. :‬‬
‫התפלגות בינומית ונוסחת ברנולי‪83....................................................................................... :‬‬
‫טבלה דו מימדית‪89............................................................................................................ :‬‬
‫תרגילים בהסתברות מותנה ונוסחת בייס עם נעלם אחד‪93........................................................ :‬‬
‫תרגילים בהסתברות מותנה ונוסחת בייס עם שני נעלמים‪94...................................................... :‬‬
‫תרגילים הכוללים טבלה עם שלוש עמודות‪94.......................................................................... :‬‬
‫תרגילי חישוב הכוללים שימוש בנוסחאות בהסתברות‪95........................................................... :‬‬
‫תרגילי הוכחה בעזרת נוסחאות ההסתברות‪96........................................................................ :‬‬
‫תשובות סופיות‪98.............................................................................................................. :‬‬
‫פרק ‪ – 6‬גאומטריה אוקלידית‪100............................................................................................ :‬‬
‫רקע‪ ,‬קווים וזוויות‪ ,‬משולשים‪100........................................................................................ :‬‬
‫משולש כללי‪ ,‬משולש שווה שוקיים‪ ,‬משולש ישר זווית‪100..................................................... :‬‬
‫חפיפת משולשים‪102............................................................................................................ :‬‬
‫זווית חיצונית למשולש ומשולש ישר זווית‪103....................................................................... :‬‬
‫קטעים מיוחדים במשולש‪105............................................................................................... :‬‬
‫מרובעים‪106........................................................................................................................ :‬‬
‫המעגל‪113........................................................................................................................... :‬‬
‫פרופורציה דמיון‪118............................................................................................................ :‬‬
‫שאלות שונות‪129................................................................................................................. :‬‬
‫שאלות ללא פרופורציה‪129 .................................................................................................. :‬‬
‫שאלות הכוללות פרופורציה ודמיון‪132 .................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪141 ............................................................................................................ :‬‬
‫פרק ‪ – 7‬טריגונומטריה במישור‪142......................................................................................... :‬‬
‫משולש ישר זווית‪142........................................................................................................... :‬‬
‫זהויות טריגונומטריות‪145................................................................................................... :‬‬
‫משוואות טריגונומטריות‪148................................................................................................ :‬‬
‫טריגונומטריה במישור‪153................................................................................................... :‬‬
‫שאלות שונות‪169................................................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪177 ............................................................................................................ :‬‬
‫פרק ‪ – 8‬חשבון דיפרנציאלי‪179................................................................................................:‬‬
‫נגזרות ומשיקים‪179............................................................................................................ :‬‬
‫שאלות יסודיות – גזירת פונקציות‪180 ................................................................................... :‬‬
‫שאלות שונות – שימושי הנגזרת‪183 ...................................................................................... :‬‬
‫שאלות עם פרמטרים‪184 ..................................................................................................... :‬‬
‫‪5‬‬
‫תשובות סופיות‪186 ............................................................................................................ :‬‬
‫חקירת פונקצית פולינום‪188................................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪192 ............................................................................................................ :‬‬
‫חקירת פונקציות מנה ופונקציות שורש‪194............................................................................:‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪196 ..................................................................................................... :‬‬
‫מציאת נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה‪197 ....................................................................... :‬‬
‫מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪197 .......................................................................... :‬‬
‫חקירת פונקצית מנה‪199 ..................................................................................................... :‬‬
‫חקירת פונקצית שורש‪203 ................................................................................................... :‬‬
‫שאלות עם תחומי קעירות ונקודות פיתול‪208 ......................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪210 ............................................................................................................ :‬‬
‫חקירת פונקציות עם פרמטר‪216........................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪217 ............................................................................................................ :‬‬
‫חקירת פונקציות טריגונומטריות‪219.................................................................................... :‬‬
‫הגדרות כלליות‪219 ............................................................................................................ :‬‬
‫שאלות‪221 ........................................................................................................................ :‬‬
‫תשובות סופיות‪227 ............................................................................................................ :‬‬
‫פרק ‪ - 9‬בעיות קיצון‪230 .......................................................................................... :‬‬
‫בעיות קיצון עם מספרים‪230 ................................................................................................ :‬‬
‫בעיות בהנדסת המישור‪231 ................................................................................................. :‬‬
‫בעיות קיצון בפונקציות וגרפים‪234 ....................................................................................... :‬‬
‫בעיות קיצון בהנדסת המרחב‪236 .......................................................................................... :‬‬
‫בעית קיצון עם תנועה‪237 .................................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪238 ............................................................................................................ :‬‬
‫בעיות קיצון – שאלות שונות‪239........................................................................................... :‬‬
‫בעיות בהנדסת המישור‪239 ................................................................................................. :‬‬
‫בעיות בהנדסת המרחב‪241 .................................................................................................. :‬‬
‫בעיות בפונקציות וגרפים‪242 ................................................................................................ :‬‬
‫תשובות סופיות‪245 ............................................................................................................ :‬‬
‫פרק ‪ - 10‬חשבון אינטגרלי‪246 ................................................................................... :‬‬
‫סיכום כללי האינטגרציה‪246................................................................................................ :‬‬
‫הגדרה וחוקים יסודיים‪246 ................................................................................................. :‬‬
‫חישוב שטחים באמצעות האינטגרל (מקרים פרטיים)‪246 ......................................................... :‬‬
‫חישוב נפחים באמצעות האינטגרל‪247 ................................................................................... :‬‬
‫שאלות לפי נושאים‪247........................................................................................................ :‬‬
‫שאלות יסודיות – חישובי אינטגרלים‪247 ............................................................................... :‬‬
‫שאלות יסודיות – מציאת פונקציה קדומה‪250 ........................................................................ :‬‬
‫האינטגרל המסוים‪252 ....................................................................................................... :‬‬
‫חישובי שטחים – פונקציה פולינומית‪252 ............................................................................... :‬‬
‫‪6‬‬
‫שאלות עם פרמטר‪259 ........................................................................................................ :‬‬
‫חישובי שטחים כאשר נתונה נגזרת הפונקציה‪260 .................................................................... :‬‬
‫חישובי שטחים – פונקציה רציונאלית‪262 .............................................................................. :‬‬
‫חישובי שטחים – פונקצית שורש‪263 ..................................................................................... :‬‬
‫חישובי שטחים – פונקציות טריגונומטריות‪265 ....................................................................... :‬‬
‫מציאת נפח גוף סיבוב‪268 .................................................................................................... :‬‬
‫בעיות קיצון עם אינטגרלים‪268 ............................................................................................ :‬‬
‫תשובות סופיות‪269 ............................................................................................................ :‬‬
‫הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת‪273............................................................................ :‬‬
‫פרק ‪ – 11‬חשבון דיפרנציאלי ‪ -‬תרגילים מסכמים‪278............................................................... :‬‬
‫תרגילים העוסקים בפונקציה פולינומית‪278.......................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪288 ............................................................................................................ :‬‬
‫תרגילים העוסקים בפונקציה רציונאלית‪291......................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪301 ............................................................................................................ :‬‬
‫תרגילים העוסקים בפונקצית שורש (אי‪-‬רציונאלית)‪305......................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪325 ............................................................................................................ :‬‬
‫תרגילים העוסקים בפונקציות טריגונומטריות‪331................................................................. :‬‬
‫חקירות פונקציה טריגונומטרית‪339 ...................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪348 ............................................................................................................ :‬‬
‫פרק ‪ - 12‬בעיות מקסימום ומינימום ‪ -‬תרגילים מסכמים‪356.................................................... :‬‬
‫תרגילים העוסקים בפונקציה פולינומית‪356.......................................................................... :‬‬
‫תרגילים העוסקים בפונקציה רציונאלית‪360........................................................................ :‬‬
‫תרגילים העוסקים בפונקצית שורש‪366.................................................................................:‬‬
‫פרק ‪ – 13‬חשבון אינטגרלי ‪ -‬תרגילים מסכמים‪371 ........................................................ :‬‬
‫תרגילים העוסקים בפונקציה פולינומית‪371.......................................................................... :‬‬
‫תרגילים העוסקים בפונקציה רציונאלית‪381......................................................................... :‬‬
‫תרגילים העוסקים בפונקצית שורש‪386.................................................................................:‬‬
‫פרקי תרגול מבגרויות ונספחים ‪391...............................................................................‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪ .1‬הסקיצות בשאלות החקירה מופיעות בצורה מרוכזת בסוף דפי התשובות‪.‬‬
‫‪ .2‬כל פרק מורכב מחלק תיאורטי ותרגול אשר מופיעים בצורה מלאה ומפורטת‬
‫באתר‪ ,‬למעט החלקים הקרויים 'תירגול נוסף' ושאלות החזרה מבחינות‪.‬‬
‫‪ .3‬קישור לחוברת מתכונות‪.http://www.gool.co.il/Misc/806_exams_gool.pdf :‬‬
‫‪7‬‬
:‫ – טכניקה אלגברית‬1 ‫פרק‬
:‫פירוק הטרינום‬
:‫פרק את הביטויים הבאים לפי פירוק טרינום‬
2 x2  7 x  15
)2
4 x2  8x  3
)1
6 x2  5x  1
)4
3x2  11x  6
)3
x2  5x  4
)6
2 x2  x  6
)5
x2  33x  62
)8
x2  8x  15
)7
:‫פרק את הביטויים הבאים‬
4 x2  8x  3
)9
6 x2  5x  1 )10
x2  5x  4 )11
:‫תשובות סופיות‬
 3x  2 x  3 )3  2 x  3 x  5 )2  2 x  1 2 x  3 )1
 x  1 x  4 )6  x  2 2 x  3 )5  3x  1 2 x  1 )4
 2 x  1 2 x  3 )9  x  2 x  31 )8
 x  3 x  5 )7
.  x  1 x  4 )11  3x  1 2 x  1 )10
8
:‫משוואות‬
:‫משוואה ממעלה ראשונה‬
2 x  x  24
7  2x  7
.‫ג‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬1
.‫ב‬
6 x  2  8 .‫א‬
7 x  5  2 x  4 x 13
.‫ה‬
2x  6  8  x
.‫ד‬
2  5x  7  3x  8
.‫ז‬
6 x  3  5  7 x  x  5x  7
.‫ו‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬2
7 x  4 3  4x    x
.‫ב‬
3  x  1  4  2
.‫א‬
5x   3x  7  4  21
.‫ד‬
6  4  x    6  x   3x
.‫ג‬
.‫ו‬
x  x  5  x 2  7 x  8
.‫ה‬
 7  x 1  x    x  3
2
0
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬3
4 x 3x

1
15 10
5 x  1 6 x  1 3x  1


1
6
5
4
 x x
5    x  1
3 7
x x
  4 .‫א‬
3 9
2
4
7
.‫ג‬
x x  x
3
5
15
2
3
 x  3   4  x   x  2 . ‫ה‬
5
15
.‫ב‬
.‫ד‬
.‫ו‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬4
1
x

 0 .‫ב‬
2 x 1
5
4
.‫ד‬

2 x  1 3x  2
1 2
  0 .‫א‬
4 x
3
1
.‫ג‬

x x2
x5 1 1
.‫ה‬


3x 2 6 x x
9
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬5
x2  2
3x  1
.‫א‬

2
3x  5 x 9 x  15
3
5

 0 .‫ג‬
2
 2  x  12  3x 2
7
2
3


 0 .‫ב‬
2
x 1 x  1 2  2x
4 x 2  24 x  36
 12 .‫ד‬
x 3
:‫מערכת שתי משוואות בשני נעלמים ממעלה ראשונה‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬6
5 x  2 y  14
.‫ב‬

5 x  3 y  23
x  3y  5
.‫א‬

x  3y  3
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬7
5 x  2 y  2
.‫ג‬

x  4 y  4
3x  2 y  16
.‫ב‬

 x  5 y  14
3x  y  11
.‫א‬

y  5
y  x 3
.‫ה‬

 y  2x  4
2 x  3 y  5
.‫ד‬

5 x  7 y  11
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬8
 x  3 x  y y 1



16
4
.‫ב‬
 8
3  2 x  y   4 x  11  0

3 y  x  2  4 x  2  3 y
.‫א‬

2 x  3  y  5 y  4 x  3
3
 3x  1 2
 4  5  x  y   10  x  3

 x 1  y  1
 4
2
.‫ג‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬9
7

4 x  y  3

.‫ג‬

2
5 x   7

y
3 3
x  y  2

.‫ב‬

9
4
   7
 x y
10
3 1
x  y  4

.‫א‬

5
1
  4
 x y
‫‪ )10‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  y  2   y  xy  5‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x  y  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xy  20‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y  3x  4   20‬‬
‫‪5 x  4 xy  22‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪6 x  xy  20‬‬
‫משוואות עם אינסוף פתרונות וללא פתרון‪:‬‬
‫‪ )11‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫א‪6  x  2   2 x  5  4 x .‬‬
‫ב‪5 x  3  x  4 x  2 x  3 .‬‬
‫‪‬‬
‫‪2  x  y   4 y  1  x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪7‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x  2 y  1‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪4 x  8 y  5‬‬
‫משוואה ממעלה שנייה‪:‬‬
‫‪ )12‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫א‪x2  3x  10  0 .‬‬
‫ב‪ x  10 x  16  0 .‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪2 x 2  6 x  5  0 .‬‬
‫ג‪25x2  20 x  4  0 .‬‬
‫‪ )13‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫א‪4 x2  5x  7  4  x2  3 .‬‬
‫ב‪ x  x  5  1  3x 1  x   4 .‬‬
‫ג‪2  x  5   2 x  3  10 x  21 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )14‬פתור את המשוואות הבאות (משוואה חסרת ‪:) b‬‬
‫ב‪32 x2  18  0 .‬‬
‫א‪x2  36  0 .‬‬
‫‪ )15‬פתור את המשוואות הבאות (משוואה חסרת ‪:) c‬‬
‫ב‪5 x  x  0 .‬‬
‫א‪7 x2  14 x  0 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪11‬‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬16
4x 1 x  2 2
.‫א‬


3
2
x
3
2x  5
4


 0 .‫ג‬
2
2 x  2 2  x  1 1  x 2
x 9
 x  x 2  18 .‫ב‬
x3
2
:‫ריבועיות‬-‫משוואות ממעלה שלישית ומשוואות דו‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬17
x 4  3x 2  2  0 . ‫ב‬
5x4  3x2  8  0 .‫א‬
2 x3  5 x 2  2 x  5  0 . ‫ד‬
2 x3  7 x 2  7 x  2  0 . ‫ג‬
:‫משוואות עם פרמטרים‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬18
mx  3m  5x  1 .‫א‬
1
1
 a  3x    ax  3 .‫ב‬
3
a
 x  2a  x  2b   x2  2  a2  b2  .‫ג‬
m  1 m 1
.‫ד‬

x 1 x  1
x
1
ax  x
2
.‫ה‬

 3
 3
2
a  a 2a 2a  4a  2a a  2a 2  a
2
:‫) פתור את מערכות המשוואות הבאות‬19
ax  y  2
.‫ב‬

 x  ay  4
 x  my  1
.‫א‬

x  y  m

 m  1 x   2m  3 y  5
.‫ד‬


 m  2  x   2m  1 y  10m
x
 ym
.‫ג‬
m
 x  m2 y  1


 2a  b  x   2a  b  y  8ab
.‫ה‬

2
2

 2a  b  x   2a  b  y  8a  2b
12
:‫) פתור את המשוואות הריבועיות הבאות‬20
x2  2 x  4a  a 2  3 .‫ב‬
x2  2mx  m2  1  0 .‫א‬
1
1
1
 
 0 .‫ד‬
ax a ax
x2  m  x  10   2m2  5x .‫ג‬
a 1 x
  b
x b a
m
.‫ו‬
2
 1 x 2  m2 x  1  0 .‫ה‬
x
1 a b a b


x a b a b
.‫ז‬
:‫משוואות עם שורשים‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬21
x2  x
.‫ב‬
4x  3  5
.‫א‬
2 x  16  3 x  1
.‫ד‬
3x  1  x  13
.‫ג‬
x2  5x  12  2 6  x
.‫ו‬
3x  5  x  17
.‫ה‬
2x 1  3  7 x  1
.‫ח‬
x  1  2 x  5  11  x 2
.‫ז‬
2x  3  3  x  2
.‫י‬
9 x  8  3 x  4  2
.‫ט‬
2 x  2  5 x  4  3x  2
.‫יב‬
x  3  x  2  4 x  1 .‫יא‬
3 x 1  2 x  3  2 x  2
.‫יג‬
:‫משוואות עם ערך מוחלט‬
3x  24  x
.‫ב‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬22
2 x  11  7 .‫א‬
2 x  8  x  10
.‫ד‬
12  x  3x
.‫ג‬
14  3x  2 x  5
.‫ו‬
4 x  5  2 x  13
.‫ה‬
x  2  6  2x  4
.‫ח‬
x  7  2x
.‫ז‬
10  3x  x  4  2 x  6
.‫י‬
x  2  2x  6  4x  8
.‫ט‬
13
:‫מערכת משוואות ממעלה שנייה‬
:‫) פתור את מערכות המשוואות הבאות‬23
2
2

2 x  y  36
 2

 x  3 y  10
.‫ב‬
 x 2  y 2  20

x  y  6
.‫א‬
 x 2  2 y 2  17

 xy  10
.‫ד‬
2
2

3x  4 y  16
 2
2

5 x  3 y  17
.‫ג‬
2
2

 x  2 xy  8 y  8

2

3xy  2 y  4
.‫ו‬
 x 2  xy  20 y 2  0

x  6 y  1
.‫ה‬
16 x 2  y 2  391

4 x  y  23
.‫ח‬
 x 2  y 2  33

 x  y  11
.‫ז‬
.‫י‬
 x3  y 3  243

x  y  9
.‫ט‬
3
3

 x  y  91
 2
2

 x y  xy  30

 xy  24

2

 y  x   7  y  x   10  0
 x
y 10



x 3
 y
 2
2
 x  y  9 xy  25
3 5
 x  y  21

.‫יא‬

 8  1  13
 x y
.‫יב‬
2
2

 x y  xy  84
 2
2

 x  2 xy  y  5 x  5 y  24
.‫יד‬
.‫יג‬
:‫תשובות סופיות‬
1
.‫ ז‬x  3 .‫ ו‬x  2 .‫ ה‬x  2 .‫ ד‬x  8 .‫ ג‬x  0 .‫ ב‬x  1
2
1
1
. x  1 .‫ ו‬x  4 .‫ ה‬x  1 .‫ ד‬x  2 .‫ ג‬x  .‫ ב‬x  3
4
2
. x  21 .‫ ו‬x  10 .‫ ה‬x  1 .‫ ד‬x  1 .‫ ג‬x  30 .‫ ב‬x  18
. x  2 .‫ ה‬x  2 .‫ ד‬x  3 .‫ ג‬x  1 .‫ ב‬x  8
4
1
.   ,9  .‫ ב‬ 4,  .‫) א‬6 . x  6 , x  3 .‫ ד‬x  7 .‫ ג‬x  7 .‫ ב‬x  6
 5 
 3
.x
.‫) א‬1
.‫) א‬2
.‫) א‬3
.‫) א‬4
.‫) א‬5
.  7, 10  .‫ ה‬ 2,3 .‫ ד‬ 0,1 .‫ ג‬ 4, 2  .‫ ב‬ 2,5 .‫) א‬7
. 1,1 .‫ ג‬ 3,1 .‫ ב‬1,1 .‫) א‬9
14
 7, 2  .‫ ג‬ 7,1 .‫ ב‬ 6,5 .‫) א‬8
 2, 4  .‫ ג‬ 2,10  .‫ ב‬ 1, 3 .‫) א‬10
‫ אין פתרון למערכת המשוואות‬.‫ג‬
‫ אינסוף פתרונות‬.‫ אין פתרון ב‬.‫) א‬11
.‫ אינסוף פתרונות‬.‫ד‬
2
.‫ ג‬x1  2 , x2  8 .‫ ב‬x1  2 , x2  5
5
1
. x1  1 , x2  10 .‫ ג‬x1  1 , x2  1 .‫ ב‬x1  0 , x2  1
4
1
3
x1  0 , x2  .‫ ב‬x1  0 , x2  2 .‫) א‬15 x   .‫ ב‬x  6
5
4
. x1  0 , x2  5 .‫ ג‬x  5 , x  3 .‫ ב‬x1  2 , x2  1.2
.‫ אין פתרון למשוואה‬.‫ ד‬x 
.‫ ד‬x1  1 , x2  2 , x3 
.‫) א‬12
.‫) א‬13
.‫) א‬14
.‫) א‬16
1
.‫ ג‬x  1 .‫ ב‬x  1,  2 .‫) א‬17
2
1
. x1  1 , x2  1 , x3  2
2
a2  9
3m  1
.‫ ב‬m  5, x 
.‫) א‬18
6a
m5
m 1 
 2a  4 4a  2 
, 2
 2m  1, m  2 .‫ ד‬ m2  m  1,
 .‫ ב‬ m  1, 1 .‫) א‬19
 .‫ ג‬ 2
m 
 a 1 a 1 

. x  a  1 .‫ ה‬x  m .‫ ד‬x  a  b .‫ ג‬x 
x  m  5, 2m .‫ ג‬x  a  1,3  a .‫ב‬
x  m  1, m 1 .‫) א‬20
 2a  b, 2a  b  .‫ה‬
a b a b
a
1
.‫ ז‬b  0, x  , ab .‫ ו‬x  1,  2
.‫ ה‬a  0, x  a 3 .‫ד‬
,
a b a b
b
m 1
x  5 .‫ ח‬x  3 .‫ ז‬x  4, 3 .‫ ו‬x  6 .‫ ה‬x  5 .‫ ד‬x  8 .‫ ג‬x  2 .‫ ב‬x  7 .‫) א‬21
.x
8
9
. x  2 .‫ יג‬x  1 .‫ יב‬x  6 .‫ יא‬x  2, 2 .‫ י‬x  12 .‫ט‬
x  7 .‫ ז‬x  24,
4
1
.‫ ו‬x  9, 1 .‫ ה‬x  6 .‫ ד‬x  3 .‫ ג‬x  6,12 .‫ ב‬x  2,9 .‫) א‬22
5
3
1
. x  0 .‫ י‬x  0, 12 .‫ ט‬x  12, 1 .‫ח‬
3
.  5, 2 ,  5, 2  .‫ ד‬ 2, 1 .‫ ג‬ 4, 2  .‫ ב‬ 2, 4  ,  4, 2  .‫) א‬23
.  5, 3 .‫ ח‬ 7, 4  .‫ז‬
1
1  5 1 
 1 

 3,  ,  3,   ,  2,1 ,  2, 1 .‫ ו‬ 2,  ,  ,  .‫ה‬
2
2   11 11 
 2 

1 1
.  ,  .‫ יא‬ 6,5 ,  5, 6  .‫ י‬ 3,6  ,  6,3 .‫ט‬
 2 3
.  4,6 ,  6, 4 ,  3,8 ,  8, 3 .‫יב‬
.  1.65,6.35 ,  6.35,1.65  7, 4  ,  4, 7  .‫יג‬
.  5, 45 ,  5, 45 ,  45,5 ,  45, 5 .‫יד‬
15
‫אי שוויוניים‪:‬‬
‫מה מותר?‬
‫‪ .1‬לחבר או לחסר כל מספר או ביטוי‪.‬‬
‫‪ .2‬לכפול או לחלק בכל מספר או ביטוי חיובי‪.‬‬
‫מה אסור?‬
‫‪ .1‬לכפול או לחלק בביטוי שלא יודעים‬
‫את סימנו‪.‬‬
‫‪ .2‬להעלות בחזקה זוגית כשיש אגף‬
‫שלילי‪.‬‬
‫‪ .3‬לכפול או לחלק בכל מספר או ביטוי שלילי‬
‫תוך הפיכת סימן אי‪-‬השוויון‪.‬‬
‫‪ .4‬להעלות בחזקה אי זוגית‪.‬‬
‫‪ .5‬להעלות בחזקה זוגית אם שני אגפי‬
‫אי‪-‬השוויון אינם שליליים‪.‬‬
‫אי‪-‬שוויונים ממעלה ראשונה‪:‬‬
‫פתור את אי‪-‬השוויונים הבאים‪:‬‬
‫‪45x  26  109 )1‬‬
‫‪)3‬‬
‫‪)5‬‬
‫‪)7‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪6 x  2  3x  1‬‬
‫‪2  x  5 ‬‬
‫‪)4‬‬
‫‪ 4   x  2   20‬‬
‫‪8 x  4 9  x  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x6 x4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 12  x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪)6‬‬
‫‪4  6 x  8   8  3x  4 ‬‬
‫‪)8‬‬
‫‪7  x 3x  1 x  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪7‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 4x  6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  2‬‬
‫אי‪-‬שוויונים ממעלה שנייה‪:‬‬
‫פתור את אי‪-‬השוויונים הבאים‪:‬‬
‫‪)9‬‬
‫‪x 2  144‬‬
‫‪x  12 x  32 )10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  2 x  5  0 )11‬‬
‫‪ x  2 x  4  35 )12‬‬
‫‪ x2  13x  30  0 )13‬‬
‫‪ x  3 x  7   8x  56 )14‬‬
‫‪)15‬‬
‫‪ x  x  2   89‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  5‬‬
‫‪3x2  12 x  0 )17‬‬
‫‪)19‬‬
‫‪  x  1 x  6   x 2  3x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  3‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ 4  x  3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 5x  6‬‬
‫‪)16‬‬
‫‪2‬‬
‫‪)18‬‬
‫‪x2  10 x  25  0‬‬
‫‪)20‬‬
‫‪2 x2  2 x  24  0‬‬
:‫שוויונים ממעלה שלישית‬-‫אי‬
:‫השוויונים הבאים‬-‫פתור את אי‬
 x 1 x  2 x  3  0 )21
x  x 2  x  1  0 )22
x
2
x3  25x  0 )24
 2x
2
 3x  2   x  1  0
)23
 8x  20   3x  5  0 )26
x
2
 3x  5   x  2   0
)25
x
x3  6 x2  9 x  0 )28
2
 x  6   x  1  0
x
 x  2 x  4 x 1  0 )30
2
)27
 6   x  3  0 )29
:‫שוויונים עם מנה‬-‫אי‬
:‫השוויונים הבאים‬-‫פתור את אי‬
x 1
 0 )31
x2  9
x 1
 3 )32
3x  2
x 3
 0 )34
2 x  10 x  12
1
0
x  16
)33
1
0
3  x  1
2x 1
0
x 5
)35
2
2
)36
1
 0 )38
x  5x  6
x 1
 1 )37
x2
1
 0 )40
2
x  8 x  12
x2  7 x  6
 0 )39
 x 2  3x  7
2
:‫ מערכת וגם‬- ‫שוויונים כפולים‬-‫אי‬
0
0
6
1
 2 )42
x4
:‫השוויונים הבאים‬-‫פתור את אי‬
3  x  1  5 )41
8  3x
 4 )44
5  2x
2 x  10 7 x  20

)46
3
5
4 x  5 3x  8 9  x


 11 )48
15
5
3
17
1 
x 1
 1 )43
x 1
6x  38  x  3  5x  7 )45
1 
2x  6 x  2

4
3
)47
:‫שוויונים‬-‫שאלות מסכמות – אי‬
:‫השוויונים הבאים‬-‫פתור את אי‬
x  x  5  3x  15  2 x  1  x(4  x) )50
x
 x  5 3x  1  0 )52
 2  x  x  7 
 x  4  x  2   0 )51
x 1
 2 x  3 x  12   0 )53
 x  1 4  x 
x  x  3 2 x  5  0 )54
5  2x
 x  8
2
3
 2  x  5  0  x  8 )49
4
 x  6   x  1  0 )55
2
 0 )56
x2
x 3
 0 )57
x2  2
x  4x
 0 )58
x  2x  3
x7
 0 )60
2
x  x3
2
2
x2  6x  9
 0 )59
x3  x
x
1
1
)61


2
x 4 x2 x2
2 x2
x
x
)62


2
x  6x  8 x  4 x  2
3
2
1
1
 0 

)64
x 1 x
x  3 1 x
x2  3x  10  6  5x  x 2 )63
1
? g  x 
x 1
 2 )65
x4
x 1
x
‫ מעל הפונקציה‬f  x  
‫ נמצאת הפונקציה‬x ‫) לאלו ערכי‬66
x3
x 3
:‫תשובות סופיות‬
. x  13 )8 x  12 )7 x ‫) אף‬6 x  5 )5 x  2 )4 x ‫) אף‬3 x ‫) כל‬2 x  3 )1
. 9  x  3 )12 5  x  2 )11 x  4 , x  8 )10 12  x  12 )9
. 4  x  0 )16 4  x  8 )15 x  7 , x  11 )14 x  2 , x  15 )13
. x ‫) כל‬20 x  3 , x  5 )19 x  5 , x  5 )18 0  x  4 )17
1
)23 x  0 )22 1  x  2 ‫ או‬x  3
2
2
. x  3 )29 x  0 , x  3 )28 x  2 , 1  x  3 )27 x  1 )26 x  2
3
2
1
. x   , x   )32 3  x  1 , x  3 )31 x  1 , 2  x  4
3
2
1
. x  2 )37 x  1 )36  x  5 )35 2  x  3 , x  3 )34 x  4 , x  4
2
5  x  0 , x  5 )24 2  x  1 , x 
18
)21
)25
)30
)33
1
2
. x  0 )43 x  3 )42 2  x  4 )41 x  2 , x  6 )40 1  x  6 )39 2  x  3 )38
3
2
2
)49 .  )48 1  x  13 )47 x  10 )46 2.5  x  7 )45 x  2 , x  2 )44
5
3
4
1
x  7 ,   x  2 , 5  x )52 x  2 , 1  x  4 )51 x  4 )50
3
. x  1 , 2  x  6 , 6  x )55 x  3 , 0  x  2.5 )54 . 1  x  1.5 , 4  x  12 )53
. x  3 , 0  x  1 , x  4 )58 3  x )57 2.5  x  8 , 8  x )56
. x  2 , 2  x  4 )61 7  x )60 1  x  0 , 1  x  3 , 3  x )59
. x  7 )65 x  1 )64 x ‫) אף‬63 x  0 , 1  x  2 , 4  x )62
3
. 3  x   , 3  x )66
5
2  x  
:‫תחום הגדרה‬
:‫) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות‬1
f  x  2 x  3
.‫ב‬
f  x  x
.‫א‬
5x
x4
x2
.‫ד‬
f  x   3x 1  2 x
.‫ג‬
.‫ו‬
f  x   x 2  3x  10
.‫ה‬
x 1
x 2 x
.‫ז‬
f  x 
f  x 
x  9x
3
f  x 
:‫) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות‬2
f  x 
f  x 
1
x x6
.‫ב‬
x2  5x  6
x 1
.‫ד‬
f  x 
f  x 
x  2 3
.‫א‬
2x2  x  3
x2  5x  9
.‫ג‬
:‫תשובות סופיות‬
x  5 , x  2 .‫ ה‬x  4 .‫ ד‬x 
1
.‫ ג‬x  3 .‫ ב‬x  0 .‫) א‬1
2
. x  2 , 2  x  1 , 1  x  2 .‫ ז‬3  x  0 , x  3 .‫ו‬
1
2
. x  3 , 2  x  1 .‫ ד‬x  1 , x  1 .‫ ג‬6  x  2 .‫ ב‬x  7 .‫) א‬2
19
‫פרק ‪ – 2‬חקירת משוואות ממעלה ראשונה ושנייה‪:‬‬
‫חקירת משוואות ממעלה ראשונה‪:‬‬
‫שלבי עבודה‪:‬‬
‫‪ .1‬נפתור את המשוואה‪.‬‬
‫‪ .2‬נאתר את ערכי הפרמטר המאפסים את המכנה בכל שלבי הפתרון‪.‬‬
‫‪ .3‬נבדוק לכל ערך כזה בנפרד כמה פתרונות יש למשוואה על ידי הצבתו במשוואה‬
‫המקורית‪.‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬פתור את המשוואה‪. kx  6k  2x  3k 2 :‬‬
‫‪ )2‬פתור את המשוואה‪. a2  x  1  3ax  4  x  a  :‬‬
‫‪2kx  5 y  2k 2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )3‬פתור את מערכת המשוואות‪:‬‬
‫‪2 x  y  10‬‬
‫‪ )4‬נתונה המשוואה‪ . m  mx  2  3  2  3x  :‬מצא אלו ערכי ‪ m‬למשוואה‪:‬‬
‫א‪ .‬פתרון יחיד‪.‬‬
‫ב‪ .‬אף פתרון‪.‬‬
‫ג‪ .‬אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫‪ )5‬נתונה המשוואה‪k 2  5  2 x   3 15  2kx  :‬‬
‫א‪ .‬מצא לאלו ערכי ‪ k‬למשוואה‪:‬‬
‫‪ .1‬פתרון יחיד‪.‬‬
‫‪ .2‬אף פתרון‪.‬‬
‫‪ .3‬אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא לאלו ערכי ‪ k‬פתרון המשוואה‪:‬‬
‫‪ .1‬חיובי‪.‬‬
‫‪ .2‬מקיים את אי‪-‬השוויון‪2 x  3  x :‬‬
‫‪20‬‬
‫‪mx‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪6x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ )6‬נתונה המשוואה‪:‬‬
‫‪m  2 m  5 m  7m  10‬‬
‫‪ .‬מצא לאלו ערכי ‪ m‬למשוואה‪:‬‬
‫א‪ .‬פתרון יחיד‪.‬‬
‫ב‪ .‬אף פתרון‪.‬‬
‫ג‪ .‬אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4  a  x  3  2a  1 y  3‬‬
‫‪ )7‬נתונה מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  ay  1‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא לאלו ערכי ‪ a‬למערכת המשוואות‪:‬‬
‫‪ .1‬פתרון יחיד‪.‬‬
‫‪ .2‬אף פתרון‪.‬‬
‫‪ .3‬אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא לאלו ערכי ‪ a‬פ תרון מערכת המשוואות מקיים את אי ‪-‬השיוויון‪. 2 x  y  1 :‬‬
‫‪ x  3ay  a‬‬
‫‪ )8‬נתונה מערכת המשוואות‪:‬‬
‫‪ax  3 y  4a  3‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא לאלו ערכי ‪ a‬למערכת המשוואות‪:‬‬
‫‪ .1‬פתרון יחיד‪.‬‬
‫‪ .2‬אף פתרון‪.‬‬
‫‪ .3‬אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא לאלו ערכי ‪ a‬נקודת החיתוך בין הישרים‬
‫(המיוצגים על ידי המשוואות) נמצאת ברביע השלישי‪.‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪)2 x  3k )1‬‬
‫‪a 1‬‬
‫‪ )5‬א‪ k  3 .3 k  0 .2 k  0 , k  3 .1 .‬ב‪ 0  k .1 .‬או ‪ k  3‬וגם ‪k  3‬‬
‫‪ 0  k  15 .2‬וגם ‪. k  3‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ )6‬א‪ m  3, m  2, m  5 .‬ב‪ m  3, m  2, m  5 .‬ג‪ .‬אף ‪.‬‬
‫‪ )7‬א‪ a  1 .3 a  3 .2 a  3, a  1 .1 .‬ב‪ 3  a .‬או ‪ a  10‬וגם ‪. a  1‬‬
‫‪ )8‬א‪ a  1 .3 a  1 .2 a  1, a  1 .1 .‬ב‪. 1  a  0 .‬‬
‫‪ )4  k  5,2k  )3 x ‬א‪ m  3 .‬ב‪ m  3 .‬ג‪. m  3 .‬‬
‫‪21‬‬
‫חקירת משוואות ממעלה שנייה‪:‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬פתור את המשוואה‪. x2  mx 12m2  0 :‬‬
‫‪ )2‬פתור את המשוואה‪. 2 x2  5m2  11m  1 x  5m :‬‬
‫‪ )3‬נתונה המשוואה‪ . x2  mx  9  0 :‬מצא לאלו ערכי ‪ m‬למשוואה‪:‬‬
‫א‪ .‬שני פתרונות ממשיים שונים‪.‬‬
‫ב‪ .‬פתרון ממשי אחד‪.‬‬
‫ג‪ .‬אין פתרונות ממשיים כלל‪.‬‬
‫‪ .  3  m x2  4mx  2m  0‬מצא לאלו ערכי ‪ m‬למשוואה‪:‬‬
‫‪ )4‬נתונה המשוואה‪ m  3 :‬‬
‫א‪ .‬שני פתרונות ממשיים שונים‪.‬‬
‫ב‪ .‬פתרון ממשי אחד‪.‬‬
‫ג‪ .‬אין פתרונות ממשיים כלל‪.‬‬
‫‪ )5‬נתונה הפונקציה‪. y  2mx2  mx  1 :‬‬
‫מצא לאלו ערכי ‪ m‬הפונקציה אינה חותכת את ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪y   m 2  9  x 2   m  3 x  4‬‬
‫‪ )6‬נתונה הפונקציה‪ m  3 :‬‬
‫מצא לאלו ערכי ‪ m‬הפונקציה נמצאת מעל ציר ה‪ x -‬לכל ערך של ‪. x‬‬
‫‪ )7‬נתון אי השיוויון‪. mx2   m  4 x  1  x2 :‬‬
‫מצא לאלו ערכי ‪ m‬אי השיוויון מתקיים לכל ערך של ‪. x‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪m 1‬‬
‫‪)2 x1  3m , x2  4m )1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )3‬א‪ 6  m .‬או ‪ m  6‬ב‪ m  6 .‬ג‪. 6  m  6 .‬‬
‫‪ )4‬א‪ 0  m .‬או ‪ m  3‬וגם ‪ m  3‬ב‪ m  0, m  3 .‬ג‪. 3  m  0 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ m  3 )6 8  m  0 )5‬או ‪. m  0 )7 m  3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪. x1  5m , x2 ‬‬
‫‪22‬‬
‫פרק ‪ – 3‬בעיות מילוליות‪:‬‬
‫הקדמה כללית‪:‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫אחוז אחד הוא מאית השלם‪.‬‬
‫בעית תנועה‪:‬‬
‫זמן ‪ X‬מהירות = דרך‪.‬‬
‫בעית הספק‪:‬‬
‫הספק ‪ X‬זמן = עבודה‪.‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪ .1‬אם לא צוין אחרת‪ ,‬המהירויות בכל שאלה קבועות‪.‬‬
‫‪ .2‬אם לא צוין אחרת‪ ,‬ההספקים בכל שאלה קבועים‪.‬‬
‫שאלות יסודיות‪:‬‬
‫‪ )1‬א‪ .‬כמה הם ‪ 20%‬מ‪?300-‬‬
‫ב‪ .‬כמה הם ‪ 120%‬מ ‪?300-‬‬
‫ג‪ .‬מהו המספר הגדול מ‪ 300-‬ב ‪?20%-‬‬
‫‪ )2‬א‪ .‬חולצה עלתה ‪ ₪ 240‬והתייקרה ב‪ .30%-‬מה מחירה כעת?‬
‫ב‪ .‬נעליים עלו ‪ ₪ 450‬והוזלו ב‪ .40%-‬מה מחירם כעת?‬
‫‪ )3‬מכונית נסעה במהירות ‪ 80‬קמ"ש ואז הורידה את מהירותה ב ‪.20%-‬‬
‫מה מהירותה כעת?‬
‫‪ )4‬אופנוע נסע במהירות ‪ x‬והעלה את מהירותו ב‪.30%-‬‬
‫בטא באמצעות ‪ x‬את מהירותו כעת‪.‬‬
‫‪ )5‬צינור מילא בריכה בקצב של ‪ x‬ליטר בשעה‪.‬‬
‫לאחר מכן ירד הספק המילוי שלו ב‪ 20%-‬ולבסוף עלה הספק המילוי שלו ב‪.30%-‬‬
‫בטא באמצעות ‪ x‬את הספק המילוי שלו כעת‪.‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬א‪ 60 .‬ב‪ 360 .‬ג‪ )2 360 .‬א‪ ₪ 312 .‬ב‪ 64 )3 ₪ 270 .‬קמ"ש ‪. 1.04x )5 1.3x )4‬‬
‫‪23‬‬
‫בעיות תנועה‪:‬‬
‫בעיות ללא אחוזים עם נעלם אחד ושניים‪:‬‬
‫‪ )1‬מכונית נוסעת מ ‪ A-‬ל ‪ B-‬במהירות של ‪ 90‬קמ"ש‪ .‬בדרך חזרה נסעה המכונית‬
‫במהירות של ‪ 60‬קמ"ש‪ .‬בסה"כ נמשכה הנסיעה הלוך וחזור ‪ 20‬שעות‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה שעות נסעה המכונית לכל כיוון?‬
‫ב‪ .‬מהי הדרך שעברה המכונית?‬
‫‪ )2‬אוטובוס ומשאית יוצאים בו זמנית משני יישובים ‪ A‬ו‪ B-‬בהתאמה‪ .‬מהירות‬
‫האוטובוס היא ‪ 60‬קמ"ש ומהירות המשאית היא ‪ 80‬קמ"ש‪ .‬האוטובוס הגיע‬
‫ליישוב ‪ B‬שעה ו‪ 40-‬דקות מאוחר יותר מהזמן שלקח למשאית להגיע ליישוב ‪.A‬‬
‫א‪ .‬כמה זמן נסע האוטובוס וכמה זמן נסעה המשאית?‬
‫ב‪ .‬מהו המרחק בין שתי הערים?‬
‫‪ )3‬הולכת רגל יצאה לטיול במהירות מסוימת‪.‬‬
‫לאחר שעה וחצי יצא בעקבותיה מאותו מקום הולך רגל נוסף במהירות הגדולה‬
‫ממהירותה ב ‪ 4.5-‬קמ"ש‪ .‬הולך הרגל השיג את הולכת הרגל שעה לאחר שיצא לדרכו‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות ההליכה של הולכת הרגל?‬
‫ב‪ .‬מהו המרחק שעברו עד שנפגשו?‬
‫‪ )4‬שני רוכבי אופניים יוצאים בו זמנית מעיר א' לעיר ב'‪ .‬הרוכב הראשון נוסע‬
‫במהירות קבועה ומגיע לעיר ב' לאחר ‪ 5‬שעות‪ .‬הרוכב השני נוסע במשך‬
‫השעתיים הראשונות במהירות הקטנה ב ‪ 2-‬קמ"ש ממהירות הרוכב הראשון‪.‬‬
‫לאחר מכן הוא מגביר את מהירותו ב‪ 14-‬קמ"ש ומגיע לעיר ב' שעה ו‪ 20-‬דקות‬
‫לפני הרוכב הראשון‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות נסע הרוכב הראשון?‬
‫ב‪ .‬איזו דרך עבר הרוכב השני בכל חלק?‬
‫‪ )5‬משאית נוסעת מרחק של ‪ 245‬ק"מ בכל יום במהירות קבועה‪.‬‬
‫יום אחד נסעה המשאית במשך שעתיים וחצי במהירות הרגילה‪ ,‬לאחר מכן עצרה לתדלוק‬
‫במשך ‪ 24‬דקות ואז המשיכה בנסיעה במהירות הגדולה ב‪ 70-‬קמ"ש ממהירותה הקודמת‪.‬‬
‫המשאי ת הגיעה ליעדה שעה לפני השעה שהיא מגיעה בכל יום‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות נוסעת המשאית בכל יום?‬
‫ב‪ .‬כמה זמן לוקח למשאית להגיע ליעדה בכל יום?‬
‫‪ )6‬רוכב אופניים יצא בשעה ‪ 06:00‬לרכיבה במהירות ‪ 24‬קמ"ש‪ .‬בשעה ‪ 07:00‬יצא מאותו‬
‫מקום רוכב אופנוע באותו כיוון ובמהירות של ‪ 40‬קמ"ש‪.‬‬
‫באיזו שעה ובאיזה מרחק מנקודת היציאה ישיג רוכב האופנוע את רוכב האופניים?‬
‫‪24‬‬
‫‪ )7‬אוטובוס נוסע מעיר א' לעיר ב' הרחוקה ממנה ב‪ 800-‬ק"מ‪.‬‬
‫לאחר שעבר האוטובוס ‪ 135‬ק"מ במהירות קבועה הוא עצר להתרעננות במשך חצי שעה‪.‬‬
‫לאחר מכן המשיך האוטובוס את נסיעתו במהירות הגדולה ב‪ 43-‬קמ"ש ממהירותו‬
‫הקודמת עד לעיר ב'‪ .‬סך כל הזמן שהיה האוטובוס בדרך הוא ‪ 7‬שעות‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הייתה המהירות ההתחלתית של האוטובוס?‬
‫ב‪ .‬מה היה המרחק שעבר האוטובוס אחרי ההתרעננות עד לעיר ב'?‬
‫‪ )8‬המרחק בין ת"א לנצרת הוא ‪ 103‬ק"מ‪ .‬בשעה ‪ 08:00‬יצאה מכונית מנצרת לת"א‬
‫במהירות ‪ 90‬קמ"ש‪ .‬בשעה ‪ 08:20‬יצאה משאית מת"א לנצרת במהירות ‪ 56‬קמ"ש‪.‬‬
‫באיזו שעה ייפגשו המכונית והמשאית?‬
‫‪ )9‬משאית נסעה מדימונה לאילת‪ ,‬מרחק של ‪ 200‬ק"מ‪ 50 .‬דקות אחריה יצאה מכונית‬
‫מדימונה לאילת במהירות הגבוהה ב‪ 30-‬קמ"ש והגיעה לאילת ‪ 40‬דקות לפני המשאית‪.‬‬
‫מצא את מהירות המכונית‪.‬‬
‫בעיות תנועה עם אחוזים‪:‬‬
‫‪ )10‬מכונית נסעה במהירות מסוימת במשך שעתיים‪ .‬אחר כך העלתה את מהירותה ב ‪25%-‬‬
‫ונסעה עוד שעה וחצי‪ .‬בסך הכול עברה המכונית ‪ 310‬ק"מ‪.‬‬
‫מה הייתה מהירותה ההתחלתית של המכונית?‬
‫‪ )11‬מכונית נוסעת מעיר א' לעיר ב' מרחק של ‪ 480‬ק"מ במהירות קבועה‪.‬‬
‫בדרכה חזרה נסעה המכונית במשך שעה במהירות הקבועה‪.‬‬
‫לאחר מכן עצרה להתרעננות של ‪ 36‬דקות ואז הגבירה את מהירותה ב‪ 25%-‬ממהירותה‬
‫הקודמת והגיעה בחזרה לעיר א' ‪ 24‬דקות פחות מהזמן שלקח לה להגיע לעיר ב'‪.‬‬
‫באיזו מהירות נסעה המכונית מעיר א' לעיר ב'?‬
‫‪ )12‬רכבת משא ורכבת נוסעים יוצאות מעיר א' לעיר ב' מרחק של ‪ 360‬ק"מ‪.‬‬
‫מהירות רכבת הנוסעים גדולה ב‪ 20%-‬ממהירות רכבת המשא‪.‬‬
‫רכבת הנוסעים התעכבה ‪ 40‬דקות בתחנה‪ ,‬ולכן יצאה באיחור מהתחנה של עיר א'‪.‬‬
‫עם זאת היא הגיעה לעיר ב' ‪ 20‬דקות לפני רכבת המשא‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הן המהירויות של שתי הרכבות?‬
‫ב‪ .‬כ מה זמן נסעה רכבת הנוסעים מעיר א' לעיר ב'?‬
‫‪ )13‬מכונית ומונית נוסעות מנקודה ‪ A‬לנקודה ‪ .B‬המכונית נוסעת במהירות קבועה ומגיעה‬
‫לנקודה ‪ B‬כעבור ‪ 4‬שעות‪ .‬המונית נוסעת במשך ‪ 3‬שעות המהירות הקטנה ב ‪ 10-‬קמ"ש‬
‫ממהירות המכונית ולאחר מכן מגבירה את מהירותה ב ‪ 50%-‬ומגיעה לנקודה ‪ B‬יחד עם‬
‫המכונית‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות המכונית?‬
‫ב‪ .‬מהו המרחק בין נקודה ‪ A‬לנקודה ‪?B‬‬
‫‪25‬‬
‫בעיות תנועה עם משפט פיתגורס‪:‬‬
‫‪ )14‬שתי מכוניות יצאו מהעיר‪ ,‬האחת לכיוון מזרח והשנייה לכיוון צפון‪ .‬לאחר שלוש שעות‬
‫המרחק בין שתי המכוניות היה ‪ 300‬ק"מ‪ .‬מהירות מכונית אחת גדולה ב‪ 20-‬קמ"ש‬
‫ממהירות המכונית השנייה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהן המהירויות של שתי המכוניות?‬
‫ב‪ .‬מה היה המרחק של כל מכונית מהעיר לאחר שלוש שעות?‬
‫‪ )15‬שני הולכי רגל יוצאים משני יישובים ‪ A‬ו‪ B-‬המרוחקים זה מזה ‪ 13‬ק"מ‪.‬‬
‫היישוב ‪ A‬ממוקם בצפון מערב ביחס ליישוב ‪ B‬כמתואר באיור ממול‪.‬‬
‫הולך הרגל מיישוב ‪ A‬הולך דרומה והולך הרגל מיישוב ‪ B‬הולך מערבה‪ 13 .‬ק"מ‬
‫הולך הרגל מיישוב ‪ A‬יוצא שעתיים לפני הולך הרגל השני‪.‬‬
‫לאחר שלוש שעות מיציאתו נפגשו שני הולכי הרגל‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫מהירות הולך הרגל מיישוב ‪ B‬גדולה ב‪ 25%-‬ממהירות הולך הרגל השני‪.‬‬
‫באיזו מהירות הלך כל אחד משני הולכי הרגל?‬
‫‪A‬‬
‫‪ )16‬רוכב אופנוע יצא מביתו מזרחה במהירות מסוימת ונסע במשך חצי שעה‪ .‬לאחר מכן‪ ,‬פנה‬
‫צפונה‪ ,‬הגדיל את מהירותו ב ‪ 20%-‬ונסע כך שעה נוספת‪ .‬לאחר שעה זו פנה חזרה לכיוון‬
‫ביתו‪ ,‬העלה את מהירותו ל ‪ 65-‬קמ"ש ונסע (בקו ישר) עד שהגיע חזרה לביתו‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מהירותו של רוכב האופנוע ביציאה מביתו אם ידוע שעבר‬
‫בסך הכול ‪ 150‬ק"מ‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה הייתה מהירותו הממוצעת של רוכב האופנוע (בכל חלקי הדרך)?‬
‫מהירות מושפעת מזרמים‪:‬‬
‫‪ )17‬סירה שטה בנהר שבו מהירות הזרם היא ‪ 3‬קמ"ש עם כיוון זרם המים‪.‬‬
‫לאחר חצי שעה החליטו אנשי הסירה לשנות את כיוונם וחזרו במשך שעתיים‬
‫לנקודת המוצא שלהם‪ .‬מהירות הסירה במים עומדים קבועה במשך כל השייט‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מהירות הסירה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו המרחק הכולל ששטה הסירה?‬
‫מהירות ממוצעת‪:‬‬
‫‪ )18‬אופנוע עובר מרחק של ‪ 200‬ק"מ במהירות מסוימת‪ .‬לאחר מכן מאיץ האופנוע ומגדיל את‬
‫מהירותו ב‪ .40%-‬הוא נוסע במהירות זו ועובר מרחק של ‪ 280‬ק"מ‪ .‬המהירות הממוצעת‬
‫של האופנוע היא ‪ 96‬קמ"ש‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה זמן נסע האופנוע?‬
‫ב‪ .‬באיזו מהירות התחיל האופנוע את נסיעתו?‬
‫‪26‬‬
‫שאלות מסכמות‪:‬‬
‫‪ )19‬המרחק בין ת"א לקריית שמונה הוא ‪ 180‬ק"מ‪ .‬שני רוכבי אופנוע יצאו בו זמנית‪ ,‬האחד‬
‫מת"א לקריית שמונה והשני מקריית שמונה לת"א‪ .‬כעבור ‪ 45‬דקות הרוכבים עדיין לא‬
‫נפגשו והמרחק ביניהם היה ‪ 52.5‬ק"מ‪ .‬רוכב האופנוע שיצא מת"א הגיע ליעדו ‪ 15‬דקות‬
‫לפני שהרוכב השני הגיע ליעדו‪.‬‬
‫מצא את מהירויות רוכבי האופנוע‪.‬‬
‫‪ )20‬רכבת נוסעת בקו ת"א – ב"ש במשך שעה ורבע‪.‬‬
‫יום אחד‪ ,‬לאחר חצי שעת נסיעה‪ ,‬הייתה תקלה ברכבת והיא נאלצה לעצור ל‪ 10-‬דקות‬
‫עד שהתקלה תוקנה‪ .‬כדי לנסות ולהגיע ליעדה בזמן העלתה את מהירותה ב‪ 10-‬קמ"ש‬
‫בהמשך הדרך והגיעה ליעדה באיחור קל של ‪ 5‬דקות בלבד‪ .‬מצא את מהירות הרכבת‪.‬‬
‫‪ )21‬אדם הולך ברגל מביתו למקום העבודה שלו במהירות מסוימת‪.‬‬
‫יום אחד יצא מביתו מאוחר מאוד ולכן נאלץ להגביר את מהירות ההליכה שלו ב ‪ 3-‬קמ"ש‪.‬‬
‫הוא הגיע לעבודה בזמן והדרך ארכה מחצית מהזמן שבדרך כלל היא אורכת‪.‬‬
‫מצא את מהירות ההליכה של האדם (בשגרה)‪.‬‬
‫‪ )22‬שני הולכי רגל הולכים זה לקראת זה‪ ,‬האחד מנקודה ‪ A‬לנקודה ‪ B‬והשני מנקודה ‪B‬‬
‫לנקודה ‪ A‬הם נפגשים כעבור חצי שעה וממשיכים ליעדם‪ .‬הולך הרגל הראשון הגיע‬
‫לנקודה ‪ 25 B‬דקות לפני שהולך הרגל השני הגיע לנקודה ‪.A‬‬
‫מצא את היחס בין מהירויות הולכי הרגל‪.‬‬
‫‪ )23‬היישובים ‪ A‬ו ‪ B-‬נמצאים על גדת נהר בעל זרם קבוע‪.‬‬
‫יום אחד‪ ,‬יצאה ספינה מיישוב ‪ A‬ליישוב ‪ B‬במהירות מסוימת‪.‬‬
‫שעה לאחר מכן יצאה ספינה שנייה מיישוב ‪ B‬ליישוב ‪ A‬וכעבור שעתיים פגשה את‬
‫הספינה הראשונה‪ .‬הספינות המשיכו ליעדן וחזרו חזרה ליישוב המוצא באותו יום‪.‬‬
‫למחרת‪ ,‬שוב יצאה הספינה מיישוב ‪ A‬ליישוב ‪ B‬אך במהירות כפולה מביום הקודם‪.‬‬
‫הספינה מיישוב ‪ B‬יצאה גם היא במהירות כפולה לכיוון היישוב ‪ A‬אך הפעם רק חצי‬
‫שעה אחרי שיצאה הספינה הראשונה‪ .‬כעבור שעה עוד לא פגשה את הספינה הראשונה‬
‫אך הייתה במרחק של שני ק"מ ממנה‪.‬‬
‫מצא את עוצמת הזרם אם ידוע שכיוונו מיישוב ‪ A‬ליישוב ‪.B‬‬
‫‪ )24‬שלושה רוכבי אופנוע יצאו מירושלים לאילת ונסעו דרך עין גדי‪.‬‬
‫המרחק בין עין גדי לאילת הוא ‪ 240‬ק"מ‪ .‬שלושת הרוכבים יצאו מירושלים בהפרשי זמן‬
‫קבועים והגיעו לעין גדי באותו זמן‪ .‬הרוכב שיצא ראשון הגיע לאילת שעה אחרי שהגיע‬
‫לשם הרוכב שיצא שני‪ .‬הרוכב שיצא שלישי הגיע לאילת ומיד פנה חזרה ופגש את הרוכב‬
‫שיצא ראשון במרחק ‪ 80‬ק"מ מאילת‪ .‬מצא את מהירויות רוכבי האופנוע‪.‬‬
‫‪27‬‬
‫‪ )25‬מכונית ואופנוע יצאו באותו זמן מנקודה ‪ A‬לנקודה ‪.B‬‬
‫כשהאופנוע היה באמצע הדרך הייתה המכונית במרחק ‪ 16‬ק"מ מנקודה ‪.B‬‬
‫כשהאופנוע היה במרחק ‪ 6‬ק"מ מנקודה ‪ B‬המכונית הייתה במרחק ‪ 12‬ק"מ מנקודה ‪.B‬‬
‫א‪ .‬מצא את המרחק בין הנקודה ‪ A‬לנקודה ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬פי כמה גדולה מהירות האופנוע ממהירות המכונית?‬
‫‪ )26‬דן ורן עורכים מרוץ לאורך מסלול של ‪ 10‬ק"מ‪ .‬מהירותו של דן גדולה ב‪ 5-‬קמ"ש‬
‫ממהירותו של רן‪ .‬שניהם יצאו למרוץ באותו זמן ודן הגיע לקו הסיום יותר מ‪20-‬‬
‫דקות לפני רן‪ .‬מהו תחום המספרים בו נמצאת מהירותו של רן?‬
‫‪ )27‬רכבת נוסעת בקו ת"א – ב"ש במשך שעה ורבע‪ .‬יום אחד‪ ,‬לאחר חצי שעת נסיעה‪ ,‬הייתה‬
‫תקלה ברכבת והיא נאלצה לעצור ל‪ 10-‬דקות עד שהתקלה תוקנה‪ .‬כדי לנסות ולהגיע‬
‫ליעדה בזמן העלתה את מהירותה ב ‪ 10-‬קמ"ש בהמשך הדרך והגיעה ליעדה באיחור קל‬
‫שלא עלה על ‪ 5‬דקות (שים לב – הרכבת הגיעה באיחור‪ ,‬אך איחור זה לא עלה על ‪ 5‬דקות)‪.‬‬
‫מצא את תחום המספרים בו נמצאת מהירות הרכבת‪.‬‬
‫‪ )28‬שלושה חברים הלכו מבית הספר לספורטק בהליכה מהירה‪.‬‬
‫מהירותו של הראשון הייתה גדולה ב‪ 8-‬קמ"ש ממהירותו של השני וב ‪ m -‬קמ"ש‬
‫ממהירותו של השלישי‪ ,‬לכן‪ ,‬הגיע הראשון ‪ m‬שעות לפני השני ושעתיים לפני השלישי‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬את מהירותו וזמן הליכתו של החבר הראשון‪.‬‬
‫ב‪ .‬לאלו ערכים של ‪ m‬יש לבעיה פתרון?‬
‫‪28‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬א‪ 8 .‬שעות הלוך ו‪ 12-‬שעות חזור‪ .‬ב‪ 720 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ )2‬א‪ .‬אוטובוס – ‪ 6‬שעות ו ‪ 40-‬דקות‪ .‬משאית – ‪ 5‬שעות‪ .‬ב‪ 400 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ )3‬א‪ 3 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 7.5 .‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ )4‬א‪ 12 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 20 .‬ק"מ ו ‪ 40-‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ )5‬א‪ 50 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 4 .‬שעות ו‪ 54-‬דקות‪.‬‬
‫‪ 60 ,8:30 )6‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ )7‬א‪ 90 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 665 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪.8:50 )8‬‬
‫‪ 80 )9‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 80 )10‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 80 )11‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ )12‬א‪ 60 .‬קמ"ש ‪ 72‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 5 .‬שעות‪.‬‬
‫‪ )13‬א‪ 90 .‬קמ"ש ב‪ 360 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ )14‬א‪ 60 .‬קמ"ש ו‪ 80-‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 180 .‬ק"מ ו‪ 240-‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ 4 )15‬קמ"ש ו‪ 5-‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ )16‬א‪ 50 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 60 .‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ )17‬א‪ 5 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 8 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ )18‬א‪ 5 .‬שעות‪ .‬ב‪ 80 .‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 90 )19‬קמ"ש‪ 80 ,‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 80 )20‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 3 )21‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪.1.5 )22‬‬
‫‪ 4 )23‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 60 )24‬קמ"ש‪ 80 ,‬קמ"ש‪ 120 ,‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ )25‬א‪ 24 .‬ק"מ‪ .‬ב‪.1.5 .‬‬
‫‪ 10 )26‬קמ"ש ‪ 0  x ‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 80 )27‬קמ"ש ‪ 35  x ‬קמ"ש‪.‬‬
‫)‪2m(8  m‬‬
‫)‪8m(m  2‬‬
‫‪,v‬‬
‫‪ )28‬א‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m  16‬‬
‫‪m2  16‬‬
‫‪ t ‬ב‪. 4  m  8 .‬‬
‫‪29‬‬
‫בעיות הספק‪:‬‬
‫שאלות שונות‪:‬‬
‫‪ )1‬טבח הכין פנקייקים בקצב קבוע במשך שעתיים‪ .‬אחר כך העלה את קצב עבודתו‬
‫ב ‪ 25%-‬והכין פנקייקים עוד שעה וחצי בקצב החדש‪ .‬בסך הכול הכין הטבח ‪310‬‬
‫פנקייקים‪ .‬כמה פנקייקים בשעה הכין הטבח בשעתיים הראשונות לעבודתו?‬
‫‪ )2‬צינור ממלא בריכה בקצב קבוע‪ .‬לאחר שעתיים נפתח צינור נוסף הממלא את‬
‫הבריכה בקצב של ‪ 25%‬מהצינור הראשון‪ .‬לאחר עוד שעה וחצי התמלאה‬
‫הבריכה לאחר שנכנסו אליה בסה"כ ‪ 310‬ליטר מים‪.‬‬
‫כמה ליטרים לשעה מכניס הצינור הראשון לבריכה?‬
‫‪ )3‬צינור א' ממלא בריכה בשלוש שעות‪ .‬צינור ב' ממלא את אותה בריכה בשעתיים‪.‬‬
‫שני הצינורות נפתחו יחדיו בשעה ‪ .10:00‬באיזו שעה תהיה הבריכה מלאה?‬
‫‪ )4‬קבוצת פועלים סללה כביש‪ .‬את השליש הראשון של הכביש סללו בקצב של ‪ 10‬מטר‬
‫ביום‪ .‬את השליש השני של הכביש סללו בקצב הגדול ב ‪ 15-‬מטר ביום מהקצב בו סללו‬
‫את השליש השלישי של הכביש‪ .‬זמן סלילת הש ליש הראשון היה שווה לזמן סלילת‬
‫שאר הכביש‪ .‬מצא את קצב סלילת השליש האחרון של הכביש‪.‬‬
‫‪ )5‬למיכל שני ברזים‪ ,‬ברז א' ממלא אותו וברז ב' מרוקן אותו‪ .‬יום אחד כאשר‬
‫במיכל היו ‪ 20%‬מנפח הקיבול שלו‪ ,‬פתחו בטעות את שני הברזים בו זמנית‬
‫והמיכל התרוקן תוך ‪ 6‬דקות‪ .‬מצא בכמה זמן ממלא ברז א' לבדו את המיכל‬
‫כשהוא ריק אם ידוע שזמן זה ארוך ב‪ 5-‬דקות מהזמן הדרוש לברז ב' לרוקן את‬
‫המיכל כשהוא מלא‪.‬‬
‫‪ )6‬שתי קבוצות של חקלאים אספו מלונים משדה‪ .‬תחילה‪ ,‬עבדה רק הקבוצה‬
‫המהירה יותר ואספה מלונים משליש מהשדה‪ .‬אחר כך‪ ,‬עבדה רק הקבוצה‬
‫האיטית יותר ואספה מלונים מעוד שישית מהשדה‪ .‬לבסוף‪ ,‬הצטרפה הקבוצה‬
‫המהירה לעבודה ויחד אספו מלונים במשך ‪ 9‬ימים נוספים‪ .‬מתחילת איסוף‬
‫המלונים ועד סיומו עברו ‪ 29‬ימים‪ .‬מצא בכמה ימים יכולה הייתה הקבוצה‬
‫המהירה לאסוף את המלונים מכל השדה לו עבדה לבדה‪.‬‬
‫‪ )7‬מורה שברשותו היו מבחני המתמטיקה של כל השכבה‪ 224 ,‬במספר‪ ,‬תכנן לבדוק‬
‫אותם תוך מספר ימים מסוים‪ .‬הוא התחיל בעבודתו ואחרי ‪ 6‬ימי עבודה‪ ,‬קיבל‬
‫לידיו עוד ‪ 7‬מבחנים שנשכחו בבית הספר וקיבל הודעה כי עליו להחזיר את‬
‫הבחינות ‪ 3‬ימים לפני המועד שתכנן‪ .‬הוא חישב וגילה שכדי לעמוד ביעד עליו‬
‫לבדוק עוד ‪ 11‬מבחנים בכל יום‪.‬‬
‫בכמה ימים תכנן המורה לסיים את בדיקת המבחנים?‬
‫‪30‬‬
‫‪ )8‬למיכל שנפחו ‪ 300‬ליטר יש שני ברזים‪ :‬ברז אחד למילוי והשני להרקה‪ .‬מילוי‬
‫המיכל (כשהוא ריק) אורך ‪ 8‬דקות יותר מריקון המיכל (כשהוא מלא)‪ .‬יום אחד‪,‬‬
‫כשהמיכל היה מלא‪ ,‬פתחו בטעות את שני הברזים והמיכל התרוקן בפחות מחצי‬
‫שעה‪ .‬באיזה תחום מספרי נמצאת כמות המים הנכנסת למיכל בדקה מברז‬
‫המילוי?‬
‫‪ )9‬שני פועלים תכננו לבצע עבודה מסוימת כך שהראשון יעבוד ‪ 8‬ימים ואחריו השני‬
‫יעבוד ‪ 6‬ימים‪ .‬ואולם‪ 4 ,‬ימים אחרי תחילת העבודה חלה הפועל הראשוןוהפסיק‬
‫לעבוד והפועל השני נאלץ לעבוד ‪ m‬ימים לבדו וגם אז הסתיימה רק ‪ 75%‬מהעבודה‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬את הזמן שבו כל פועל היה מסיים את העבודה לו עבד לבדו‪.‬‬
‫ב‪ .‬לאלו ערכים של ‪ m‬יש לבעיה פתרון?‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ 80 )1‬פנקייקים‪.‬‬
‫‪ 80 )2‬ליטרים בשנה‪.‬‬
‫‪.11:12 )3‬‬
‫‪ 15 )4‬מטרים ליום‪.‬‬
‫‪ 15 )5‬דקות‪.‬‬
‫‪ 24 )6‬ימים‪.‬‬
‫‪ 14 )7‬ימים‪.‬‬
‫‪ )8‬בין ‪ 15‬ליטרים ל‪ 37.5-‬ליטרים‪.‬‬
‫)‪16(m  3‬‬
‫‪ )9‬א‪, 4m  12 .‬‬
‫‪2m  9‬‬
‫‪ .‬ב‪. m  3 .‬‬
‫‪31‬‬
‫שאלות שונות‪:‬‬
‫בעיות תנועה‪:‬‬
‫‪ )1‬בשעה ‪ 8 : 00‬בבוקר יצא הולך רגל מקיבוץ לכיוון חיפה‪ .‬באותה שעה יצא רוכב‬
‫קטנוע מחיפה לאותו הקיבוץ‪ .‬שניהם נעו באותו כביש ומהירויותיהם לא השתנו‬
‫בזמן התנועה‪ .‬מהירות רוכב הקטנוע הייתה גדולה ב‪ 12 -‬קמ"ש מזו של הולך‬
‫הרגל‪ 50 .‬דקות לאחר השעה ‪ 8 : 00‬הולך הרגל ורוכב הקטנוע טרם נפגשו וידוע‬
‫כי המרחק ביניהם היה ‪ 16‬ק"מ‪ 30 .‬דקות לאחר פגישתם הגיע רוכב הקטנוע‬
‫לקיבוץ‪ .‬מצא את מהירות הולך הרגל ואת המרחק בין הקיבוץ לעיר חיפה‪.‬‬
‫‪ )2‬סירת מנוע נעה בין שתי נקודות ציון‪ .‬הסירה עוברת את המרחק שבין הנקודות‬
‫הלוך ושוב במשך ‪ 14‬שעות‪ .‬המרחק בין שתי נקודות הציון הוא ‪ 48‬ק"מ‪ .‬ידוע‬
‫כי באותו הזמן שעוברת הסירה מרחק של ‪ 4‬ק"מ עם הזרם היא עוברת רק ‪3‬‬
‫ק"מ נגד הזרם‪ .‬מהי מהירות זרם המים בנהר ומהי מהירות הסירה במים‬
‫עומדים?‬
‫‪ )3‬אוטובוס יוצר לדרך שאורכה ‪ 500‬ק"מ‪ ,‬ומהירותו קבועה‪ .‬אחרי נסיעה של‬
‫שעתיים‪ ,‬הקטין נהג האוטובוס את המהירות‪ ,‬ולכן איחר בשעה אחת בדיוק‪.‬‬
‫לו היה נוסע הנהג במהירות הנמוכה לאורך כל הדרך היה מאחר ליעדו בשעה‬
‫וארבעים דקות‪ .‬מצא את מהירותו הרגילה של האוטובוס‪.‬‬
‫‪ )4‬שני רוכבי אופניים יצאו בבת אחת זה לקראת זה ממקומות ‪ A‬ו ‪ , B -‬האחד‬
‫מ‪ A -‬ל‪ B -‬והשני מ‪ B -‬ל ‪ . A -‬הם נפגשו בדרך וכל אחד מהם המשיך לנוע ליעד‬
‫בלי להתעכב‪ .‬רוכב האופניים מ ‪ A‬הגיע ל‪ 4 B -‬שעות לאחר הפגישה‪ ,‬ואילו‬
‫רוכב האופניים מ ‪ B -‬הגיע ל ‪ 9 A -‬שעות לאחר הפגישה‪ .‬מהירויות רוכבי‬
‫האופניים לא השתנו בשעות התנועה‪ .‬בכמה שעות עבר כל אחד מרוכבי‬
‫האופניים את המרחק בין המקומות ‪ A‬ו ‪. B -‬‬
‫‪ )5‬במגרש ספורט מדדו שני ספורט אים את אורכו של מסלול ריצה‪ .‬כשהם יוצאים‬
‫משני קצותיו‪ ,‬זה לקראת זה‪ .‬לאחר שצעדו כל אחד ‪ 50‬צעדים‪ ,‬נשאר ביניהם‬
‫מרחק של ‪ 17‬מטרים‪ .‬כל צעד של הספורטאי הראשון היה קצר ב‪ 10 -‬ס"מ‬
‫מצעדו של הספורטאי השני‪ .‬את המסלול כולו עובר הספורטאי הראשון ב‪24 -‬‬
‫מטרים יותר מאשר הספורטאי השנ י‪ .‬הצעדים של כל אחד מהספורטאים לא‬
‫השתנו באורכם במשך המדידה‪ .‬מהו אורך מסלול הריצה?‬
‫‪ )6‬המרחק מקיבוץ לחיפה הוא ‪ 40‬ק"מ‪ .‬בשעה ‪ 7‬בבוקר יצא טנדר ובו דברי דואר‬
‫מן הקיבוץ לחיפה‪ .‬כעבור ‪ 20‬דקות יצאה אחריו מכונית מן הקיבוץ במהירות‬
‫של ‪ 45‬קמ"ש כדי להוסיף את החבילה על דברי הד ואר‪ .‬היא הדביקה את הטנדר‬
‫וחזרה מיד לקיבוץ‪ .‬ברגע שעברה את מחצית הדרך ממקום הפגישה עם הטנדר‬
‫‪32‬‬
‫לקיבוץ‪ ,‬הגיע הטנדר לחיפה‪ .‬מהירות הטנדר ומהירות המכונית לא השתנו בזמן‬
‫הנסיעה‪ .‬מצא את מהירות הטנדר‪.‬‬
‫‪ )7‬שני תיירים יצאו ביחד מ‪ A -‬ל‪ . B -‬התייר הראשון לא התעכב בדרכו והגיע ל‪B -‬‬
‫‪1‬‬
‫לאחר ‪ 2‬שעות‪ .‬התייר השני‪ ,‬לאחר שעבר‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫מהדרך‪ ,‬חזר ל ‪ A -‬שהה שם‬
‫‪15‬‬
‫דקות ואחר ‪-‬כך הלך ל‪ . B -‬שני התיירים הגיעו ל‪ B -‬באותו זמן‪ .‬התייר השני עבר‬
‫כל קילומטר ‪ 4‬דקות פחות מהתייר הראשון‪ .‬מהירות ההליכה של שני התיירים‬
‫לא השתנתה בעת ההליכה‪ .‬מצא את מהירותו (בקמ"ש) של כל אחד מהתיירים‪.‬‬
‫‪ )8‬על שפת הנהר נמצאות שלוש תחנות של ספינות דיג‪ B , A :‬ו‪ . C -‬התחנה ‪B‬‬
‫נמצאת בין ‪ A‬ל‪ , C -‬במרחק ‪ 12‬ק"מ מ‪ . C -‬כיוון זרם המים בנהר הוא מ ‪A -‬‬
‫ל‪ . C -‬ספינ ת דיג שלה מנוע קטן עוברת את הדרך מ ‪ A -‬ל‪ C -‬ב ‪ 6 -‬שעות‪.‬‬
‫ספינת הדיג שלה מנוע גדול‪ ,‬שמהירותה גדולה פי‬
‫הקטן‪ ,‬עוברת את הדרך מ ‪ B -‬ל‪ C -‬ב‪ 45 -‬דקות‪.‬‬
‫מצא את מהירות זרם המים בנהר‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫ממהירות הספינה עם המנוע‬
‫‪ )9‬שלושה כלי רכב יצאו זה אחר זה בבוקר אחד מתל אביב לאילת‪ .‬אופנוע יצא‬
‫בשעה ‪ , 7 : 00‬מכונית משא ב ‪ 8 : 00 -‬ומונית ב‪ 24( 8 : 24 -‬דקות אחרי השעה ‪.)8 : 00‬‬
‫מהירויותיהם היו קבועות והן היו סדרה חשבונית‪ .‬המונית הדביקה את רוכב‬
‫האופנוע חצי שעה לאחר שהדביקה את מכונית המשא‪ ,‬ומכונית המשא הדביקה‬
‫את רוכב האופנוע במרחק ‪ 180‬ק"מ מתל אביב‪ .‬שלושת כלי הרכב נעו כולם באותו‬
‫מסלול‪ .‬מצא את מהירויות כלי הרכב‪.‬‬
‫‪ )10‬משאית יצאה מתל אביב למחנה צבאי בדרום‪ .‬אחריה יצא אוטובוס במהירות‬
‫הגדולה ב ‪ 12 -‬קמ"ש ממהירותה‪ ,‬והוא הגיע למחנה באותו הזמן שהיא הגיעה‪.‬‬
‫שעתיים וחצי לפני שהגיעו למחנה‪ ,‬וכשהאוטובוס היה כבר בנסיעה‪ ,‬יצא‬
‫לקראתם מן המחנה רוכב אופנוע שמהירותו גדולה פי ‪ 2‬ממהירות המשאית‪.‬‬
‫הוא פגש את המשאית ‪ 10‬דקות לפני שפגש את האוטובוס‪ .‬כל כלי הרכב נסעו‬
‫באותו כביש‪ ,‬ומהירויותיהם לא השתנו בזמן הנסיעה‪ .‬מצא את מהירותה של‬
‫המשאית‪.‬‬
‫‪ )11‬המרחק בין עיר ‪ A‬לעיר ‪ B‬הוא ‪ 300‬ק"מ‪ .‬משאית יצאה מעיר ‪ A‬ונסעה‬
‫במהירות קבוע של ‪ V‬קמ"ש לכיוון עיר ‪ . B‬בדרכה חזרה הגדילה המשאית את‬
‫מהירותה ב‪ U -‬קמ"ש‪ ,‬כלומר נסעה במהירות של ‪ U  V‬קמ"ש‪ .‬ידוע‬
‫שהמהירות הממוצעת של המשאית בכל דרכה (הלוך וחזור)‪ ,‬הייתה ‪ 60‬קמ"ש‪.‬‬
‫אילו המשאית הייתה חוזרת מעיר ‪ B‬לעיר ‪ A‬במהירות ‪ V  U‬קמ"ש‪ ,‬אזי‬
‫המהירות הממוצעת בכל הדרך (הלוך וחזור) הייתה רק‬
‫חשב את המהירויות ‪ V‬ו‪.U -‬‬
‫‪33‬‬
‫‪100‬‬
‫‪3‬‬
‫קמ"ש‪.‬‬
‫‪ )12‬המרחק בין הנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬הוא ‪ 64‬ק"מ‪ .‬רוכב אופניים יצא מנקודה ‪A‬‬
‫לכיוון נקודה ‪ B‬ונסע במהירות קבועה‪ 40 .‬דקות לאחר שיצא לדרכו‪ ,‬יצא‬
‫מנקודה ‪ A‬לכיוון נקודה ‪ B‬רוכב קטנוע שנסע במהירות קבועה של ‪ 36‬קמ"ש‪.‬‬
‫רוכב הקטנוע הדביק את רוכב האופניים בנקודה ‪ C‬ומיד הסתובב וחזר על‬
‫עקבותיו באותה מהירות לנקודה ‪ . A‬רוכב האופניים שהמשיך בנסיעתו בלי‬
‫עיכובים‪ ,‬הגיע לנקודה ‪ B‬ברגע שהקטנוע עבר את מחצית הדרך מ ‪ C -‬ל ‪. A -‬‬
‫מצא את מהירות רוכב האופניים‪.‬‬
‫‪ )13‬הזמן הדרוש לגוף ראשון לעבור ‪ 160‬ק"מ ארוך ב‪ 5 -‬שעות מן הזמן הדרוש לגוף‬
‫שני לעבור ‪ 90‬ק"מ‪ .‬מהירות הגוף הראשון גדולה ב‪ m -‬קמ"ש ממהירות הגוף‬
‫השני ( ‪.) m  0‬‬
‫א‪ .‬בטא באמצעות ‪ m‬את מהירות הגוף השני‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא לאלו ערכים של ‪ m‬יקבלו מהירויות הגופים ערכים חיוביים בלבד‪.‬‬
‫‪ )14‬שני כלי רכב יצאו מנקודה ‪ A‬בו זמנית בשעה ‪ 07:00‬בבוקר ונסעו לנקודה ‪, B‬‬
‫לפגישה שתוכננה להתקיים בשעה ‪ 10:00‬בבוקר‪ .‬הרכב הראשון הגיע לפגישה‬
‫בזמן והרכב השני שנסע במהירות הקטנה ב‪ 16-‬קמ"ש ממהירות הרכב הראשון‬
‫הגיע לפגישה ‪ 48‬דקות מאוחר יותר‪ .‬מצא את המרחק בין הנקודות ‪ A‬ו‪B -‬‬
‫וחשב את המהירות של כל אחד מכלי הרכב‪.‬‬
‫‪ )15‬המרחק בין ‪ A‬ל ‪ B -‬הוא ‪ 360‬ק"מ‪ .‬נהג משאית תכנן לעבור את כל הדרך מ ‪A -‬‬
‫‪1‬‬
‫מהדרך הגביר הנהג את‬
‫ל‪ B -‬במהירות קבועה של ‪ x‬קמ"ש‪ .‬לאחר שעבר‬
‫‪4‬‬
‫מהירותו ל ‪  x  15 -‬קמ"ש‪ ,‬ולכן הגיע לנקודה ‪ B‬שעה וחצי לפני המועד‬
‫המתוכנן‪ .‬חשב את ‪. x‬‬
‫‪ )16‬המרחק בין הנקודות ‪ A‬ל‪ B -‬בנהר הוא ‪ x‬ק"מ‪ .‬הנהר זורם מ‪ A -‬ל‪B -‬‬
‫במהירות של ‪ 6‬קמ"ש‪ .‬אדם שט מ‪ A -‬ל‪ B -‬וחוזר חזרה מ‪ B -‬ל ‪ . A -‬סך כל הזמן‬
‫שארך השיט היה ‪ 8‬שעות‪ .‬אלו לא היה זרם בנהר‪ ,‬האדם היה שט את הדרך‬
‫הלוך ושוב בזמן של ‪ 6‬שעות‪ .‬מה המרחק בין שתי הנקודות ‪ A‬ו ‪, B  x  ?  -‬‬
‫ומה הייתה מהירותו בלי מהירות זרם הנהר?‬
‫‪ )17‬המרחק בין שתי ערים הוא ‪ 450‬ק"מ‪ .‬משאית יצאה לדרכה מעיר אחת לשנייה‪.‬‬
‫לאחר שנסעה במהירות קבועה במשך שעתיים‪ ,‬נאלצה להתעכב במשך ‪ 40‬דקות‬
‫בגלל תקלה‪ .‬לאחר תיקון התקלה המשיכה המשאית מיד בדרכה‪ ,‬אך במהירות‬
‫קבועה הגדולה ב ‪ 5-‬ק"מ לשעה ממהירותה הקודמת‪ .‬המשאית הגיעה לעיר‬
‫השנייה ‪ 25‬דקות לאחר הזמן שתוכנן מראש‪ .‬מה הייתה מהירות המשאית לפני‬
‫התקלה?‬
‫‪34‬‬
‫‪ )18‬רכבת משא נוסעת מידי יום במהירות קבועה מתחנה ‪ A‬לתחנה ‪ . B‬המרחק בין‬
‫‪1‬‬
‫‪ A‬ל‪ B -‬הוא ‪ 180‬ק"מ‪ .‬יום אחד‪ ,‬אחרי שעברה‬
‫‪3‬‬
‫מהדרך‪ ,‬עצרה הרכבת עצירה‬
‫לא מתוכננת מראש למשך ‪ 30‬דקות‪ .‬כדי שהרכבת תספיק להגיע ל‪ B -‬על פי לוח‬
‫הזמנים הר גיל‪ ,‬היה צריך להגביר את מהירותה לאחר העצירה ב ‪ 20-‬קמ"ש‪.‬‬
‫מצא את המהירות הרגילה של הרכבת‪.‬‬
‫‪ )19‬בין הנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬מובילות שתי דרכים‪ .‬הדרך הראשונה אורכה ‪ 60‬ק"מ‪,‬‬
‫והדרך השנייה ארוכה ממנה ב‪ .20%-‬רוכב קטנוע נסע מ ‪ A -‬ל ‪ B -‬בדרך הקצרה‬
‫במהירות קבועה‪ ,‬וחזר בדרך הארוכה במהירות קבועה‪ ,‬הגדולה ב‪ 6-‬קמ"ש‬
‫ממהירותו הראשונה‪ .‬זמן הנסיעה בחזרה (מ‪ B -‬ל‪ ) A -‬היה ארוך ב‪ 5-‬דקות‬
‫מזמן הנסיעה מ‪ A -‬ל‪ . B -‬מצא את המהירות שבה נסע רוכב הקטנוע בכל כיוון‬
‫ואת זמן הנסיעה (הלוך ושוב)‪.‬‬
‫‪ )20‬רוכב אופניים עובר בדרך כלל את המרחק בין ‪ A‬ל‪ B -‬במהירות קבועה במשך ‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫שעות ו‪ 20-‬דקות‪ .‬באחד הימים יצא רוכב האופניים מ ‪ A -‬ועבר‬
‫‪4‬‬
‫של הדרך‬
‫במהירות הגדולה ב‪ 10-‬קמ"ש ממהירותו הרגילה‪ ,‬ולכך התעייף ואת שאר הדרך‬
‫עבר במהירות קטנה ב‪ 15-‬קמ"ש ממהירותו הרגילה‪ .‬ביום זה הוא הגיע ל‪B -‬‬
‫לאחר ‪ 5‬שעות ו‪ 40-‬דקות לאחר שיצא מ‪. A -‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירותו הרגילה של רוכב האופניים?‬
‫ב‪ .‬מהו המרחק בין ‪ A‬ל‪? B -‬‬
‫‪ )21‬המרחק בין שתי ערים א' ו ‪-‬ב' הוא ‪ 126‬ק"מ‪ .‬שני רוכבי אופניים‪ ,‬שיצאו בו‬
‫זמנית‪ ,‬האחד מעיר א' והשני מעיר ב'‪ ,‬ונסעו זה לקראת זה במהירויות קבועות‪,‬‬
‫נפגשו אחרי שלוש שעות‪ .‬הרוכב שיצא מעיר א' עבר את כל הדרך עד לעיר ב'‬
‫בשעה ו‪ 45-‬דקות פחות מהרוכב שיצא מעיר ב' לעיר א'‪.‬‬
‫מצא את המהירות של כל אחד מרוכבים האופניים‪.‬‬
‫‪ )22‬מ‪ A -‬ל‪ C -‬יש שתי דרכים‪ .‬הדרך הראשונה היא הדרך המישורית ‪ , AC‬שאורכה‬
‫‪ 24‬ק"מ‪ .‬הדרך השנייה מתחילה בעלייה ‪ AB‬של ‪ 8‬ק"מ‪ ,‬ואח"כ ירידה ‪ BC‬של‬
‫‪ 18‬ק"מ‪ .‬מהירותו של רוכב אופניים במישור היא ‪ x‬קמ"ש‪ ,‬בעלייה מהירותו‬
‫‪  x  4 ‬קמ"ש‪ ,‬ובירידה מהירותו ‪  x  6 ‬קמ"ש‪ .‬ידוע שאם רוכב האופניים‬
‫יבחר לנסוע מ‪ A -‬ל‪ C -‬בדרך הראשונה או בדרך השנייה‪ ,‬זמן הנסיעה יהיה‬
‫זהה‪ .‬חשב את ‪( x‬כמה פתרונות לבעיה?)‪.‬‬
‫‪35‬‬
‫‪ )23‬מונית נסעה מעיר א' לעיר ב' בכביש ראשי במהירות קבועה‪ .‬בדרך חזרה נסעה‬
‫המונית בדרך עפר הקצרה ב‪ 40%-‬מהכביש‪ ,‬אך מהירותה פחתה ב‪.20%-‬‬
‫א‪ .‬בכמה אחוזים התקצר או התארך זמן הנסיעה בדרך חזרה (לעומת הנסיעה‬
‫בכיוון הראשון)?‬
‫ב‪ .‬מה הייתה מהירות המונית בכיוון השעון‪ ,‬אם ידוע שאורך הכביש היה ‪360‬‬
‫ק"מ‪ ,‬וזמן הנסיעה בחזרה התקצר בשעה?‬
‫בעיות הספק‪:‬‬
‫‪ )24‬כתב יד נמסר להדפסה לשתי כתבניות‪ .‬הכתבנית השנייה ניגשה לעבודה שעתיים‬
‫אחרי הראשונה‪ 6 .‬שעות לאחר שהכתבנית הראשונה ניגשה לעבודה סיימו‬
‫שתיהן יחד את ההדפסה של ‪ 60%‬מכתב היד‪ .‬הן המשיכו בהדפסה וסיימו‬
‫אותה יחד‪ .‬לאחר סיום העבודה התברר שהכתבנית הראשונה ביצעה‬
‫‪3‬‬
‫‪10‬‬
‫מן‬
‫העבודה‪ .‬קצב העבודה של הכתבניות לא השתנה במשך העבודה‪.‬‬
‫בכמה שעות הייתה כל אחת מהכתבניות יכולה לבצע את העבודה לבדה?‬
‫‪ )25‬בבריכה שני פתחים‪ :‬פתח אחד גדול ופתח שני קטן יותר‪ .‬אם מכניסים לבריכה‬
‫הריקה מים רק דרך הפתח הקטן במשך ‪ 6‬שעות‪ ,‬ולאחר מכן במשך שעה ו‪12 -‬‬
‫דקות מכניסים מים דרך שני הפתחים יחד‪ ,‬הבריכה מתמלאת כולה‪ .‬כמו כן‬
‫ידוע‪ ,‬שאם מכניסים לבריכה הריקה מים רק דרך הפתח הגדול במשך ‪ 3‬שעות‬
‫ולאחר מכן ממשיכים להכניס מים דרך פתח זה במשך ‪ 9‬שעות‪ ,‬אך בו בזמן‬
‫מוציאים מים דרך הפתח הקטן‪ ,‬הבריכה כולה מתמלאת במים‪.‬‬
‫מצא בכמה שעות תתמלא הבריכה‪ ,‬אם יכניסו מים רק דרך הפתח הקטן‪.‬‬
‫‪ )26‬שני פועלים קיבלו על עצמם לבצע עבודה מסוימת‪ .‬ביום הראשון התחיל הפועל‬
‫הראשון לעבוד לבדו‪ .‬הפועל הראשון עבד במשך ‪ 3‬שעות‪ ,‬ואז הצטרף אליו‬
‫הפועל השני‪ .‬כעבור ‪ 6‬שעות נוספות של עבודה משותפת של שני הפועלים‪,‬‬
‫התברר שהם סיימו ‪ 55%‬מהעבודה‪ .‬ביום השני עבדו הפועלים יחדיו עד שסיימו‬
‫את כל העבודה‪ .‬לאחר סיום העבודה‪ ,‬התברר שכל אחד מהפועלים ביצע בדיוק‬
‫מחצית מהעבודה‪ .‬בכמה שעות היו שני הפועלים מסיימים את על העבודה אלו‬
‫עבדו כל הזמן ביחד?‬
‫‪ )27‬שני צינורות ממלאים מיכל כשהם פתוחים ביחד במשך ‪ 6‬שעות‪ .‬יום אחד‪,‬‬
‫כשהמיכל היה ריק‪ ,‬פתחו רק את הצינור הראשון למשך הזמן שלוקח לצינור‬
‫השני למלא מחצית מיכל‪ .‬סגרו את הצינור הראשון ופתחו רק את הצינור השני‬
‫למשך הזמן שלוקח לצינור הראש ון למלא שליש מיכל‪ .‬כתוצאה מכך התמלאו‬
‫בסך הכול ‪ 5/6‬מיכל‪ .‬מצא בכמה שעות יכול כל אחד מהצינורות למלא לבד מיכל‬
‫ריק‪.‬‬
‫‪36‬‬
‫‪ )28‬על שתי קבוצות פועלים הוטל לסלול כביש בין הערים ‪ A‬ו ‪ . B -‬במשך‬
‫הימים הראשונים עבדו הקבוצות בנפרד‪ .‬תחילה עבדה רק הקבוצה הראשונה‬
‫וסללה ‪ 1/4‬מהכביש‪ .‬לאחר מכן הפסיקה הקבוצה הראשונה את עבודתה‪ ,‬ורק‬
‫הקבוצה השנייה עבדה‪ .‬קבוצה זו סללה‪ ,‬עד לגמר היום ה ‪ 1/3 , 36 -‬מהכביש‪.‬‬
‫ביום ה‪ 37 -‬החלו שתי הקבוצות לעבוד במשותף‪ ,‬וסיימו את סלילת הכביש תוך‬
‫‪ 12‬ימים‪ .‬הספק הקבוצות לא השתנה במשך כל ימי עבודתן‪ .‬בכמה ימים הייתה‬
‫יכולה כל קבוצ ה לסלול את הכביש לבדה? כמה פתרונות לבעיה?‬
‫‪36‬‬
‫‪ )29‬שתי קבוצות פועלים עבדו בסלילת כביש משני קצותיו‪ .‬הקבוצה השנייה סללה‬
‫בכל יום ‪ 5‬מטר יותר מאשר הקבוצה הראשונה‪ ,‬ועבדה בסך הכול ‪ 2‬ימים יותר‪.‬‬
‫ידוע שהקבוצה השנייה סללה בסך הכול רק ‪ 16a‬מטרים ( ‪ a‬פרמטר חיובי)‪.‬‬
‫קצב העבודה של ש תי הקבוצות נשאר קבוע בכל זמן הסלילה‪.‬‬
‫סמן ב‪ x -‬את מספר המטרים שסללה הקבוצה הראשונה בכל יום‪ ,‬ומצא לאלו‬
‫ערכים של הפרמטר ‪ a‬יקבל ‪ x‬ערכים חיוביים בלבד‪.‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬מהירות הולך הרגל היא ‪ 6‬קמ"ש‪ .‬המרחק בין הקיבוץ לעיר חיפה הוא ‪ 36‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ )2‬מהירות הזרם היא ‪ 1‬קמ"ש‪ .‬מהירות הסירה במים עומדים היא ‪ 7‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 100 )3‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ )4‬הרוכב הראשון ב ‪ 10 -‬שעות והרוכב השני ב‪ 15 -‬שעות‪ 72 )5 .‬מטרים‪.‬‬
‫‪ 30 )6‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ )7‬מהירות התייר הראשון‪ 5 :‬קמ"ש‪ ,‬מהירות התייר השני‪ 7.5 :‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 1 )8‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 45 )9‬קמ"ש‪ 60 ,‬קמ"ש‪ 75 ,‬קמ"ש‪ 36 )10 .‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 25 )11‬קמ"ש ‪ 50 ,U ‬קמ"ש ‪ 24 )12 .U ‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪14  m  m2  100m  196‬‬
‫‪ )13‬א‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪. 0  m  2 .‬‬
‫‪ 45 )15‬קמ"ש‪ 36 )16 .‬ק"מ‪ 12 ,‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 228 )14‬ק"מ‪ 76 ,‬קמ"ש‪ 60 ,‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 75 )17‬קמ"ש‪ )18 .‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ )19‬הלוך ‪ 90‬קמ"ש וחזור ‪ 96‬קמ"ש‪ .‬זמן כולל ‪ 85‬דקות‪.‬‬
‫או‪ :‬הלוך‪ 48 :‬קמ"ש וחזור ‪ 54‬קמ"ש‪ .‬זמן כולל ‪ 155‬דקות‪.‬‬
‫‪ )20‬א‪ 30 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 160 .‬ק"מ‪ 24 )21 .‬קמ"ש‪ 18 ,‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 24 )22‬או ‪ 12‬קמ"ש‪ )23 .‬א‪ .25% .‬ב‪ 90 .‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ )24‬הכתבנית הראשונה ב‪ 30 -‬שעות‪ ,‬הכתבנית השנייה ב‪ -‬שעות‪)25 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 13 )26‬שעות‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 9‬שעות‪.‬‬
‫‪ )27‬הצינור הראשון ב ‪ 15 -‬שעות והצינור השני ב‪ 10 -‬שעות או‬
‫הצינור הראשון ב ‪ 12 -‬שעות והצינור השני ב‪ 12 -‬שעות‪.‬‬
‫‪ )28‬הקבוצה הראשונה‪ 48 :‬ימים והקבוצה השנייה‪ 72 :‬ימים‬
‫או הקבוצה הראשונה‪ 86.4 :‬והקבוצה השנייה‪ 43.2 :‬ימים‪.‬‬
‫‪. a  2.5 )29‬‬
‫‪37‬‬
‫תירגול נוסף‪:‬‬
‫בעיות תנועה שונות‪:‬‬
‫‪ )1‬רוכב אופניים נוסע מעיר א' לעיר ב' במהירות של ‪ 20‬קמ"ש‪.‬‬
‫שלוש שעות אחריו יוצא מאותו מקום רוכב אופנוע במהירות של ‪ 80‬קמ"ש‪.‬‬
‫רוכב האופנוע הגיע לעיר ב' שלוש שעות לפני רוכב האופניים‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה שעות נסע רוכב האופניים?‬
‫ב‪ .‬מהו המרחק בין שתי הערים?‬
‫‪ )2‬גלעד ורוני יוצאים בו זמנית משני ישובים ‪ A‬ו‪ B-‬בהתאמה והולכים זה לקראת‬
‫זה במהירות קבועה‪ .‬מהירות ההליכה של גלעד היא ‪ 4‬קמ"ש ומהירותו של רוני‬
‫היא ‪ 6‬קמ"ש‪ .‬ידוע כי רוני הגיעה ליישוב ‪ 4 A‬שעות לפני שגלעד הגיע ליישוב ‪.B‬‬
‫א‪ .‬מהו המרחק בין שני היישובים?‬
‫ב‪ .‬כמה זמן הלך כל אחד מהם?‬
‫‪ )3‬שני רוכבי אופניים יוצאים בו זמנית משני ישובים ‪ A‬ו‪ B-‬זה לקראת זה‪.‬‬
‫מהירות רוכב אחד גדולה ב ‪ 10-‬קמ"ש ממהירותו של הרוכב השני‪ .‬הרוכב המהיר‬
‫הגיע ליעדו לאחר ‪ 3‬שעות בעוד הרוכב השני הגיע רק אחרי ‪ 5‬שעות‪.‬‬
‫א‪ .‬מה המהירויות של שני רוכבי האופניים?‬
‫ב‪ .‬מהו המרחק שנסעו?‬
‫‪ )4‬שתי מכוניות נסעו יחד לטיול מהעיר לכפר‪ .‬המכונית הראשונה נסעה במהירות‬
‫קבועה והגיעה לכפר לאחר ‪ 8‬שעות‪ .‬המכונית השנייה נסעה במשך שעתיים‬
‫במהירות הקטנה ממהירות המכונית הראשונה ב‪ 10 -‬קמ"ש‪ ,‬לאחר מכן היא‬
‫עצרה להתרעננות במשך ‪ 40‬דקות וחזרה לנסיעה במהירות הגדולה ב‪ 54-‬קמ"ש‬
‫ממהירות המכונית הראשונה‪ .‬המכונית השנייה הגיעה לכפר שעתיים לפני‬
‫המכונית הראשונה‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות נסעה המכונית הראשונה?‬
‫ב‪ .‬מהו המרחק בין העיר לכפר?‬
‫‪ )5‬שני רוכבי אופנים המרוחקים זה מזה במרחק של ‪ 80‬ק"מ יצאו בו זמנית זה‬
‫לקראת זה‪ .‬מהירות רוכב אחד גדולה ב‪ 2-‬קמ"ש ממהירות הרוכב השני‪.‬‬
‫לאחר שעתיים של רכיבה המרחק בניהם היה ‪ 12‬ק"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות רכב כל רוכב?‬
‫ב‪ .‬האם לאחר עוד ‪ 20‬דקות הם ייפגשו?‬
‫‪38‬‬
‫‪ )6‬שתי מכוניות הנמצאות במרחק של ‪ 700‬ק"מ יצאו בו זמנית זו לקראת זו‪.‬‬
‫מכונית אחת מהירה מהשנייה ב ‪ 15-‬קמ"ש‪ .‬לאחר שלוש שעות היה מרחק בניהן ‪ 325‬ק"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות נסעו שתי המכוניות?‬
‫ב‪ .‬האם לאחר עוד ‪ 20‬דקות שתי המכוניות תפגשנה?‬
‫‪ )7‬רוכב אופניים והולך רגל יצאו ב ‪ 10:00-‬מנקודה ‪ A‬לנקודה ‪.B‬‬
‫מהירות ההליכה של הולך הרגל היא ‪ 7‬קמ"ש ומהירותו של רוכב האופניים היא ‪ 16‬קמ"ש‪.‬‬
‫רוכב האופניים הגיע לנקודה ‪ B‬לאחר שלוש וחצי שעות מזמן יציאתם‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזה שעה היה המרחק בניהם ‪ 27‬ק"מ?‬
‫ב‪ .‬מהו המרחק בין ‪ A‬ל‪.B-‬‬
‫ג‪ .‬לאחר כמה זמן הגיע הולך הרגל לנקודה ‪?B‬‬
‫‪ )8‬אופנוע יוצא מעיר א' לכיוון מערב במהירות של ‪ 50‬קמ"ש‪.‬‬
‫לאחר שעתיים יוצאת מכונית מעיר ב' הממוקמת מזרחה מעיר א' במרחק של ‪ 40‬ק"מ‬
‫אחרי האופנוע‪ .‬מהירות המכונית היא ‪ 120‬קמ"ש‪.‬‬
‫א‪ .‬לאחר כמה זמן השיגה המכונית את רוכב האופנוע מזמן יציאתה?‬
‫ב‪ .‬איזה מרחק נסע רוכב האופנוע עד שהשיגה אותו המכונית?‬
‫‪ )9‬מטוס טס מידי שבוע מיעד א' ליעד ב' המרוחק ממנו ‪ 5,000‬ק"מ במהירות קבועה‪.‬‬
‫שבוע א חד טס המטוס במשך שעתיים במהירות הרגילה‪ .‬לאחר מכן האט את מהירותו‬
‫ב ‪ 300-‬קמ"ש ולאחר כשעתיים האיץ בחזרה והגביר את מהירותו ב‪ 700-‬קמ"ש‪.‬‬
‫המטוס הגיע ליעד ב' ‪ 15‬דקות מוקדם יותר מאשר הגיע בכל שבוע‪.‬‬
‫באיזו מהירות טס המטוס בכל שבוע?‬
‫‪ )10‬שתי מכוניות יוצאות מעיר א' לכיוון עיר ב' הנמצאת במרחק של ‪ 560‬ק"מ ממנה‪.‬‬
‫מכונית אחת נסעה במהירות קבועה במשך כל הדרך‪ .‬המכונית השנייה נסעה במהירות‬
‫הגדולה ב ‪ 10-‬קמ"ש ממהירות המכונית הראשונה במשך שעתיים וחצי‪ .‬לאחר מכן היא‬
‫עצרה למשך חצי שעה ואז המשיכה בנסיעתה במהירות הגדולה ב ‪ 10-‬קמ"ש ממהירותה‬
‫הקודמת‪ .‬בסה"כ הגיעה המכונית השנייה לעיר ב' שעה לפני שהגיעה המכונית הראשונה‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות נסעה המכונית הראשונה?‬
‫ב‪ .‬כמה זמן נסעה המכונית השנייה מעיר א' לעיר ב'?‬
‫‪ )11‬מכונית נסעה מעיר א' לעיר ב' המרוחקת ממנה ‪ 760‬ק"מ במהירות מסוימת‪.‬‬
‫בדרכה חזור היא נסעה במשך שעתיים במהירות זו‪ ,‬לאחר מכן עצרה לתדלוק וארוחת‬
‫צהריים במשך שעה ואז המשיכה בדרכה במהירות הגדולה ממהירותה הקודמת ב‪19-‬‬
‫קמ"ש‪ .‬בסה"כ המכונית הגיעה ליער א' באותו הזמן שהגיעה לעיר ב'‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות נסעה המכונית מעיר א' לעיר ב'?‬
‫ב‪ .‬כמה זמן נסעה המכונית מעיר לעיר?‬
‫‪39‬‬
‫‪ )12‬רוכב אופניים יצא לדרך במהירות קבועה‪ .‬לאחר שעה וחצי יצא בעקבותיו ומאותה‬
‫הנקודה רוכב אופניים נוסף שמהירותו גדולה ממהירות הרוכב הראשון ב‪ 6-‬קמ"ש‪.‬‬
‫הרוכב השני השיג את הראשון במרחק של ‪ 70‬ק"מ מנקודת המוצא שלהם‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות נסעו שני רוכבי האופניים?‬
‫ב‪ .‬כמה זמן היה הרוכב הראשון על הדרך עד שהשיגו הרוכב השני?‬
‫‪ )13‬מכונית יוצאת מעיר א' לעיר ב' המרוחקת ממנה ‪ 360‬ק"מ‪ .‬לאחר שעתיים יוצאת‬
‫מכונית נוספת בעקבותיה‪ .‬מהירות המכונית השנייה גדולה ב‪ 30-‬קמ"ש ממהירות‬
‫המכונית הראשונה‪ .‬שתי המכוניות הגיעו לעיר ב' יחד‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות נסעה המכונית הראשונה?‬
‫ב‪ .‬כמה זמן נסעה המכונית השנייה?‬
‫‪ )14‬המרחק בין שתי ערים הוא ‪ 800‬ק"מ‪ .‬בשעה ‪ 8:00‬יצאה מכונית מעיר אחת לכיוון השנייה‪.‬‬
‫לאחר כשעה יצאה מהעיר השנייה מכונית נוספת כלפי המכונית הראשונה במהירות‬
‫הגדולה ב ‪ 20-‬קמ"ש ממהירותּה‪ .‬המכוניות נפגשו באמצע הדרך‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזה שעה נפגשו המכוניות?‬
‫ב‪ .‬באיזו מהירות נסעה כל מכונית?‬
‫‪ )15‬המרחק בין שתי ערים הוא ‪ 920‬ק"מ‪ .‬בשעה ‪ 6:00‬יוצאת משאית סחורה מעיר א' לכיוון‬
‫עיר ב'‪ .‬לאחר ‪ 46‬דקות יוצא אוטובוס מעיר ב' לכיוון עיר א'‪ .‬מהירות האוטובוס גדולה‬
‫ב ‪ 20-‬קמ"ש ממהירות המשאית‪ .‬שני הרכבים נפגשו באמצע הדרך‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו שעה נפגשו האוטובוס והמשאית?‬
‫ב‪ .‬באיזו מהירות נסע האוטובוס?‬
‫‪ )16‬מכונית ומשאית יוצאות בו זמנית משני מקומות שהמרחק בניהם הוא ‪ 570‬ק"מ‪.‬‬
‫המכונית והמשאית נפגשו לאחר ‪ 3‬שעות‪ .‬ידוע כי בזמן שהמכונית עוברת מרחק‬
‫של ‪ 300‬ק"מ‪ ,‬המשאית עוברת מרחק של ‪ 270‬ק"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות נסעה המכונית?‬
‫ב‪ .‬איזה מרחק נסעה המשאית עד לנקודת פגישתן?‬
‫‪ )17‬שתי מכוניות נוסעות זו לקראת זו משני קצוות של כביש מהיר שאורכו הוא ‪ 880‬ק"מ‪.‬‬
‫ידוע כי בזמן שמכונית אחת עוברת מרחק של ‪ 264‬ק"מ‪ ,‬המכונית השנייה עוברת ‪ 528‬ק"מ‪.‬‬
‫המכונית המהירה הגיעה לקצה הכביש ‪ 5‬שעות לפני שהמכונית השנייה הגיעה לקצה‬
‫הכביש השני‪.‬‬
‫א‪ .‬באילו מהירויות נסעו שתי המכוניות?‬
‫ב‪ .‬כמה זמן נסעה המכונית האיטית עד שהגיעה לקצה הכביש?‬
‫‪40‬‬
‫‪ )18‬מכונית נוסעת מעיר ‪ A‬לעיר ‪ C‬מרחק של ‪ 360‬ק"מ ועוברת דרך עיר ‪ B‬הנמצאת בין‬
‫שתי הערים‪ .‬המכונית נוסעת במהירות קבועה מעיר ‪ A‬עד לעיר ‪ B‬ולאחר מכן מגבירה‬
‫את מהירותה ב ‪ 20%-‬וממשיכה עד שמגיעה לעיר ‪ .C‬ידוע כי זמן הנסיעה של המכונית‬
‫מעיר ‪ A‬ל‪ B-‬הוא ‪ 3‬שעות וזמן הנסיעה מעיר ‪ B‬ל‪ C-‬הוא שעתיים וחצי‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את המהירות של המכונית בשני חלקי הדרך‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי העיר ‪ B‬נמצאת בדיוק באמצע הדרך בין שתי הערים ‪ A‬ו‪.C-‬‬
‫‪ )19‬משאית מביאה סחורה מידי יום מיישוב א' ליישוב ב' המרוחק ממנו ‪ 630‬ק"מ‪.‬‬
‫המשאית נוסעת במהירות קבועה בכל יום‪ .‬יום אחד נסעה המשאית במהירות הנמוכה‬
‫ממהירותה הרגילה ב ‪ .20%-‬לאחר ‪ 3‬שעות ראה נהג המשאית כי הוא עומד לאחר‪ ,‬ולכן‬
‫הגביר את מהירותו ב‪ 21-‬קמ"ש ממהירותו הנוכחית‪ .‬המשאית הגיעה ליעדה בדיוק‬
‫באותו הזמן שהיא מגיעה בכל יום‪ .‬באיזו מהירות נוסעת המשאית בכל יום?‬
‫‪ )20‬רוכב אופניים הנמצא במרחק של ‪ 140‬ק"מ מזרחה מהעיר יוצא בשעה ‪ 9:00‬לכיוון העיר‪.‬‬
‫לאחר ‪ 45‬דקות יוצא מהעיר רוכב אופניים נוסף שמהירותו קטנה ממהירות הרוכב‬
‫הראשון ב‪ 20-‬קמ"ש ונוסע לכיוון דרום‪ .‬לאחר שעתיים נוספות היה המרחק בין שני רוכבי‬
‫האופניים ‪ 50‬ק"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מהירות רוכב האופניים הראשון אם ידוע כי היא קטנה מ ‪ 40.1 -‬קמ"ש‪.‬‬
‫ב‪ .‬באיזה מרחק היה רוכב האופניים השני מהעיר כאשר הגיע הרוכב הראשון לעיר?‬
‫‪ )21‬אופנוע יוצא מהעיר בשעה ‪ 7:00‬דרומה‪ .‬לאחר שעה יוצאת מכונית מהעיר לכיוון מזרח‪.‬‬
‫מהירות האופנוע היא ‪ 50‬קמ"ש ומהירות המכונית היא ‪ 100‬קמ"ש‪.‬‬
‫לאחר פרק זמן מסוים המרחק בין המכונית לאופנוע הוא ‪ 250‬ק"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו שעה המרחק בין המכונית והאופנוע הוא ‪ 250‬ק"מ ?‬
‫ב‪ .‬באיזה מרחק הייתה המכונית מהעיר כאשר היא הייתה במרחק של ‪ 250‬ק"מ‬
‫מהאופנוע?‬
‫‪ )22‬מהירות סירה במים עומדים גדולה פי ‪ 4‬ממהירות זרם הנהר‪.‬‬
‫סירה שטה בנהר שאורכו ‪ 30‬ק"מ מתחילתו ועד סופו‪.‬‬
‫הסירה שטה את כל הנהר הלוך וחזור במשך ‪ 8‬שעות‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות תשוט הסירה במים עומדים?‬
‫ב‪ .‬כמה זמן שטה הסירה בכל כיוון?‬
‫‪41‬‬
‫‪ )23‬שתי סירות שמהירותן במים עומדים זהה יוצאות מאותה נקודה בנהר‪ ,‬האחת לכיוון‬
‫צפון והשנייה לכיוון דרום‪ .‬מהירות הזרם בנהר היא ‪ 20‬קמ"ש לכיוון צפון‪.‬‬
‫לאחר ‪ 4‬שעות היה המרחק בין שתי הסירות ‪ 240‬ק"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות שטות הסירות במים עומדים?‬
‫ב‪ .‬לאחר ‪ 4‬שעות‪ ,‬פי כמה היה גדול המרחק של הסירה ששטה צפונה מהמרחק של‬
‫הסירה השנייה?‬
‫‪ )24‬שלושה נערים יצאו לשייט בסירת מנוע בעלת מהירות קבועה‪ .‬במשך שעה הם שטו בנהר‬
‫שקט‪ .‬לאחר מכן עקב רוחות חזקות נוצר זרם בנהר שמהירותו היא ‪ 2‬קמ"ש לכיוון‬
‫המסלול של הנערים‪ .‬לאחר שעה נוספת השתנו הרוחות ומהירות הזרם נשארה ‪ 2‬קמ"ש‪,‬‬
‫אך נגד כיוון השייט שלהם‪ .‬הנערים שטו בת נאים אלו במשך שעה‪ .‬בסה"כ עברו הנערים‬
‫בשלוש שעות אלו מרחק של ‪ 18‬ק"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות משיט המנוע את הסירה במים עומדים?‬
‫ב‪ .‬מהו המרחק שעברה הסירה בכל שעה?‬
‫‪ )25‬מכונית נוסעת במהירות ממוצעת של ‪ 84‬קמ"ש‪ .‬את נסיעתה התחילה במהירות מסוימת‬
‫ולאחר שלוש שעות האיצה ב‪ 20-‬קמ"ש והמשיכה כך עוד ‪ 7‬שעות‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות נסעה המכונית בהתחלה?‬
‫ב‪ .‬איזה מרחק עברה המכונית?‬
‫‪ )26‬מכונית נוסעת במהירות ממוצעת של ‪ 80‬קמ"ש מרחק של ‪ 480‬ק"מ‪ .‬את החלק הראשון‬
‫של הנסיעה היא נסעה במהירות מסוימת ולאחר ‪ 4‬שעות האטה את מהירותה ב‪ 30-‬קמ"ש‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות נסעה המכונית בכל חלק של הנסיעה?‬
‫ב‪ .‬פי כמה גדולה הדרך שעברה המכונית ב ‪ 4-‬השעות הראשונות לעומת שאר הדרך‬
‫הנותרת?‬
‫‪ )27‬אופנוע עובר במשך ‪ 5‬שעות מרחק של ‪ 350‬ק"מ‪ .‬לאחר מכן מגביר נהג האופנוע את‬
‫מהירותו ונוסע במשך פרק זמן מסוים מרחק של ‪ 450‬ק"מ‪ .‬המהירות הממוצעת של‬
‫האופנוע בכל זמן נסיעתו היא ‪ 80‬קמ"ש‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה זמן נסע האופנוע לאחר שהגביר את מהירותו?‬
‫ב‪ .‬בכמה קמ"ש הגביר נהג האופנוע את מהירותו?‬
‫‪ )28‬אופנוע ומשאית יצאו יחד מעיר א' לכיוון עיר ב' הרחוקה ממנה ב‪ 240-‬ק"מ‪.‬‬
‫מהירות האופנוע גדולה ב‪ 15-‬קמ"ש ממהירות המשאית‪.‬‬
‫במהלך הדרך האופנוע עצר ל ‪ 48-‬דקות של התרעננות ולכן הגיע יחד עם המשאית לעיר ב'‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזו מהירות נסע האופנוע?‬
‫ב‪ .‬כמה זמן לקח למשאית להגיע לעיר ב'?‬
‫‪42‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬א‪ 8 .‬שעות‪ .‬ב‪ 160 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ )2‬א‪ 48 .‬ק"מ‪ .‬ב‪ .‬גלעד ‪ 12 -‬שעות ורוני‪ 8-‬שעות‪.‬‬
‫‪ )3‬א‪ 15 .‬קמ"ש ו‪ 25-‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 75 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ )4‬א‪ 60 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 480 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ )5‬א‪ 16 .‬קמ"ש‪ 18 ,‬קמ"ש‪ .‬ב‪ .‬לא‪.‬‬
‫‪ )6‬א‪ 55 .‬קמ"ש ו‪ 70-‬קמ"ש‪ .‬ב‪ .‬לא‪.‬‬
‫‪ )7‬א‪ .13:00 .‬ב‪ 56 .‬ק"מ ג‪ 8 .‬שעות‪.‬‬
‫‪ )8‬א‪ .‬שעתיים‪ .‬ב‪ 200 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ 800 )9‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ )10‬א‪ 70 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 7 .‬שעות‪.‬‬
‫‪ )11‬א‪ 95 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 8 .‬שעות‪.‬‬
‫‪ )12‬א‪ 14 .‬קמ"ש ו‪ 20-‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 5 .‬שעות‪.‬‬
‫‪ )13‬א‪ 60 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 4 .‬שעות‪.‬‬
‫‪ )14‬א‪ .13:00 .‬ב‪ 80 .‬קמ"ש ו‪ 100-‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ )15‬א‪ .10:36 .‬ב‪ 120 .‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ )16‬א‪ 100 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 270 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ )17‬א‪ 88 .‬קמ"ש ו‪ 176-‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 10 .‬שעות‪.‬‬
‫‪ )18‬א‪ 60 .‬קמ"ש ו‪ 72-‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 70 )19‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ )20‬א‪ 40 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 55 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ )21‬א‪ .10:00 .‬ב‪ 200 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ )22‬א‪ 8 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 3 .‬שעות ו‪ 5-‬שעות‪.‬‬
‫‪ )23‬א‪ 30 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ .‬פי ‪.5‬‬
‫‪ )24‬א‪ 6 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 6 .‬ק"מ ‪ 8 ,‬ק"מ ו ‪ 4-‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ )25‬א‪ 70 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 840 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ )26‬א‪ 90 .‬קמ"ש ו‪ 60-‬קמ"ש‪ .‬ב‪ .‬פי ‪.3‬‬
‫‪ )27‬א‪ 5 .‬שעות‪ .‬ב‪ 20 .‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ )28‬א‪ 75 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 4 .‬שעות‪.‬‬
‫‪43‬‬
‫פרק ‪ – 4‬סדרות‪:‬‬
‫סדרה חשבונית‪:‬‬
‫‪ .1‬נוסחת האיבר הכללי‪:‬‬
‫נוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית המתחילה באיבר ‪ a1‬והפרשּה הוא ‪d‬‬
‫נתונה ע"י‪ , an  a1  d  n  1 :‬כאשר‪ n :‬הוא מיקום האיבר שערכו ‪ an‬בסדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬כלל נסיגה של סדרה חשבונית‪:‬‬
‫כלל נסיגה של סדרה חשבונית ‪ an‬שהפרשּה הוא ‪ d‬ואיברּה הראשון הוא ‪a1‬‬
‫נתון ע"י‪. an1  an  d :‬‬
‫‪ .3‬נוסחת הסכום של סדרה חשבונית‪:‬‬
‫סכום ‪ n‬האיברים הראשונים של סדרה חשבונית ‪ an‬שהפרשּה הוא ‪ d‬ואיברּה‬
‫‪n  a1  an ‬‬
‫הראשון הוא ‪ a1‬נתון ע"י‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. Sn ‬‬
‫בהצבת נוסחת האיבר הכללי מקבלים‪:‬‬
‫‪n  2a1  d  n  1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. Sn ‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬נתונה הסדרה החשבונית‪. 17,11, 5, 1,  7,... :‬‬
‫מצא את האיבר האחרון בסדרה אם ידוע שיש בה ‪ 43‬איברים‪.‬‬
‫‪ )2‬בסדרה חשבונית האיבר השישי הוא ‪ 15‬והאיבר העשירי הוא ‪.31‬‬
‫מצא מהו האיבר הראשון בסדרה ומהו הפרש הסדרה‪.‬‬
‫‪ )3‬מצא כמה איברים יש בסדרה החשבונית‪:‬‬
‫‪. 2, 4 12 , 7, 9 12 , 12, 14 12 , ..., 49 12‬‬
‫‪ )4‬בסדרה חשבונית סכום האיברים השני‪ ,‬החמישי והשמיני הוא ‪ 87‬וההפרש בין‬
‫האיבר השנים ‪-‬עשר לאיבר השישי הוא ‪.24‬‬
‫מצא כמה איברים בסדרה אם ידוע שהאיבר האחרון בה הוא ‪.201‬‬
‫‪ )5‬תחביב אחה"צ של שימי הפרעוש הוא לקפוץ על טומי הכלב‪ .‬מנהגו של שימי‬
‫הוא לקפוץ בדקה הראשונה ‪ 4‬קפיצות ובכל דקה שאחריה לקפוץ ‪ 3‬קפיצות יותר‬
‫מדקה הקודמת‪ .‬כמה דקות אורך תחביב אחה"צ של שימי אם ידוע שבדקה‬
‫האחרונה הוא קופץ ‪ 46‬קפיצות?‬
‫‪44‬‬
‫‪ )6‬כמה מספרים תלת ספרתיים שמתחלקים ב‪ 6-‬יש בין ‪ 201‬ל‪?550-‬‬
‫‪ )7‬כמה איברים חיוביים ישנם בסדרה החשבונית‪. 91, 88, 85, 82, ... :‬‬
‫‪ )8‬מצא את ערכו של ‪ x‬אם ידוע שהאיברים הבאים הם איברים עוקבים בסדרה‬
‫חשבונית‪. x  3, 3x  4, x2  1 :‬‬
‫‪an 1  an  3‬‬
‫‪ )9‬נתונה סדרה המוגדרת באמצעות כלל הנסיגה הבא‪:‬‬
‫‪a1  5‬‬
‫‪.‬‬
‫הוכח שהסדרה חשבונית ומצא מהו האיבר התשעה ‪-‬עשר שלה‪.‬‬
‫‪ )10‬בסדרה חשבונית ‪ a1 , a2 , a3 ... an‬ידוע כי סכום ארבעת האיברים הראשונים‬
‫וסכום האיברים ה ‪ 6-‬עד ה‪ 9-‬הם מספרים נגדיים‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. a5  0 :‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ . a3  a11  24 :‬מצא את‪ a1 :‬ואת ‪. d‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מגדירים סדרה חשבונית חדשה ‪ bn‬המקיימת‪. bn  2an  3 :‬‬
‫מצא את ערך האיבר השלילי הראשון בסדרה ואת מיקומו הסידורי‪.‬‬
‫‪ )11‬מצא את סכום ארבעה‪-‬עשר האיברים הראשונים בסדרה החשבונית‪. 3, 2, 7,12,... :‬‬
‫‪ )12‬נתונה הסדרה החשבונית‪. 13,  7, 1, 5,.... :‬‬
‫כמה איברים יש לחבר בסדרה (החל מהראשון) כדי להגיע לסכום של ‪?987‬‬
‫‪ )13‬תחביב אחה"צ של מימי הפרעושה הוא לקפוץ על טומי הכלב‪ .‬מנהגה של מימי‬
‫הוא לקפוץ בדקה הראשונה ‪ 11‬קפיצות ובכל דקה שאחריה לקפוץ ‪ 2‬קפיצות‬
‫יותר מדקה הקודמת‪ .‬כמה דקות אורך תחביב אחה"צ של מימי אם ידוע שבכל‬
‫אחה"צ היא קפצה ‪ 416‬קפיצות?‬
‫‪ )14‬נתונה הסדרה החשבונית‪. 71,  67,  63,... :‬‬
‫כמה איברים לכל הפחות יש לחבר בסדרה כדי שהסכום המתקבל יהיה חיובי?‬
‫‪ )15‬נתונה הסדרה החשבונית‪. 4 , 13 , 22 , 31 ,... :‬‬
‫בסדרה יש ‪ 36‬איברים‪ .‬חשב את סכום ארבעה ‪-‬עשר האיברים האחרונים בסדרה‪.‬‬
‫‪ )16‬נתונה הסדרה החשבונית‪. 4, 9,14,19,...,599 :‬‬
‫מחקו כל איבר שלישי בסדרה‪ .‬מצא את סכום האיברים שנותרו‪.‬‬
‫‪ )17‬סכום ‪ n‬האיברים האחרונים בסדרה חשבונית בת ‪ 3n‬איברים גדול ב ‪1024 -‬‬
‫מסכום ‪ n‬האיברים הראשונים שבה‪.‬‬
‫א‪ .‬בטא את ‪ n‬באמצעות הפרש הסדרה‪. d ,‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי הפרש הסדרה הוא ‪ .8‬כמה איברים בסדרה?‬
‫‪45‬‬
‫‪ )18‬נתונה סדרה שבה ‪. Sn  2n2  4n‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערכם של שלושת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי הסדרה חשבונית ומצא את הפרשה‪.‬‬
‫‪ )19‬בסדרה חשבונית ידוע כי סכום האיברים העומדים במקומות ה‪ , 5-‬ה‪ 7-‬וה‪16 -‬‬
‫הוא אפס‪ .‬כמו כן ידוע כי סכום שלושת האיברים הראשונים הוא ‪.132‬‬
‫א‪ .‬מצא את האיבר הראשון בסדרה ואת הפרש הסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את האיבר השלילי הראשון בסדרה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא כמה איברים יש לחבר (החל מהאיבר הראשון) כדי לקבל סכום ‪.210‬‬
‫‪ )20‬נתונים שני טורים חשבוניים‪:‬‬
‫‪150 , 144 , 138 , .....‬‬
‫‪90 , 93 , 96 , .....‬‬
‫‪.‬‬
‫לשני הטורים אותו מספר איברים‪ .‬ידוע כי סכום האיברים האחרונים של שני הטורים‬
‫(האיבר האחרון מהטור הראשון והאיבר אחרון מהטור השני) הוא אפס‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מספר האיברים שבכל טור‪.‬‬
‫ב‪ .‬מחברים את ‪ n‬האיברים הראשונים מהטור הראשון יחד עם ‪ n‬האיברים‬
‫הראשונים מהטור השני‪ .‬ידוע כי חיבור הסכומים הוא ‪.3480‬‬
‫מצא את ‪ n‬אם ידוע שהוא קטן מ‪.20-‬‬
‫‪ )21‬נתונות שתי סדרות החשבוניות הבאות‪ an :‬שהפרשה הוא ‪ d1‬ו‪ bn -‬שהפרשה הוא ‪. d 2‬‬
‫ידוע כי‪. d1  2d2 :‬‬
‫סכום ‪ 50‬האיברים הראשונים של שתי הסדרות שווה והאיבר העומד במקום ה‪20-‬‬
‫בסדרה ‪ an‬גדול ב‪ 1-‬מהאיבר העומד במקום ה ‪ 37-‬בסדרה ‪. bn‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפרש הסדרה ‪. d1 - an‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי האיבר ‪ a10‬קטן ב‪ 1-‬מ‪ 5-‬פעמים האיבר ‪ . b50‬מצא את ‪ a1‬ואת ‪. b1‬‬
‫‪ )22‬נתונה הסדרה החשבונית‪. 21, 17, 13,... :‬‬
‫בסדרה יש ‪ 18‬איברים‪ .‬חשב את סכום האיברים הנמצאים במקומות‬
‫האי‪-‬זוגיים ואת סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים‪.‬‬
‫‪ )23‬בסדרה חשבונית שהפרשה ‪ d‬ובה ‪ 2n‬איברים סכום האיברים במקומות‬
‫האי‪-‬זוגיים הוא ‪ 552‬וסכום האיברים במקומות הזוגיים הוא ‪.612‬‬
‫הוכח כי ‪. nd  60‬‬
‫‪ )24‬בסדרה חשבונית‪ ,‬שבה מספר אי‪-‬זוגי של איברים‪ ,‬גדול סכום כל איברי הסדרה‬
‫‪14‬‬
‫פי‬
‫‪15‬‬
‫‪ 1‬מסכום איברי הסדרה הנמצאים במקומות האי‪-‬זוגיים‪.‬‬
‫כמה איברים יש בסדרה?‬
‫‪46‬‬
‫‪ )25‬לפניך שלושה איברים סמוכים בסדרה חשבונית‪. 2 x  23 , x 16 , x  5 :‬‬
‫א‪ .1 .‬מצא את ‪. x‬‬
‫‪ .2‬מצא את הפרש הסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי‪ . a12  0 :‬מצא את ‪. a1‬‬
‫ג‪ .‬האיבר האחרון בסדרה הוא‪. an  308 :‬‬
‫מצא את סכום כל האיברים החיוביים העומדים במקומות האי ‪-‬זוגיים‪.‬‬
‫‪ )26‬בסדרה חשבונית שבה מספר זוגי של איברים נתון כי סכום ריבועי האיברים‬
‫העומדים במקומות ה‪ 4-‬וה‪ 5-‬שווה לריבוע האיבר העומד במקום ה‪ .6-‬האיבר‬
‫הראשון אינו אפס‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח את הטענות הבאות‪:‬‬
‫‪. a1  4d .1‬‬
‫‪. S9  0 .2‬‬
‫ב‪ .‬האיבר העומד במקום ה ‪ 6-‬גדול ב‪ 2-‬מהאיבר העומד במקום ה‪.5-‬‬
‫מצא את ‪ a1‬ואת ‪. d‬‬
‫ג‪ .‬מצא את מספר איברי הסדרה אם ידוע כי סכום האיברים העומדים‬
‫במקומות הזוגיים הוא ‪.504‬‬
‫‪ )27‬בסדרה חשבונית שבה ‪ 2n‬איברים ידוע כי סכום כל האיברים גדול ב‪66-‬‬
‫מפעמיים סכום האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. dn  66‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי הפרש הסדרה הוא ‪ .3‬הבע באמצעות ‪ a1‬את סכום ‪ n‬האיברים הראשונים‪.‬‬
‫ג‪ .‬סכום ‪ n‬האיברים הראשונים הוא ‪ .187‬מצא את האיבר החיובי הקטן‬
‫ביותר בסדרה ואת מיקומו הסידורי בסדרה‪.‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ 20 )3 d  4 , a1  5 )2 a43  235 )1‬איברים ‪ 48 )4‬איברים ‪ 15 )5‬קפיצות‪.‬‬
‫‪ 58 )6‬מספרים ‪ 31 )7‬איברים חיוביים ‪. a19  59 )9 x  1 , x  4 )8‬‬
‫‪ )10‬ב‪ a1  12 , d  3 .‬ג‪ 21 )12 S14  413 )11 b5  3 .‬איברים‪ 16 )13 .‬דקות‪.‬‬
‫‪512‬‬
‫‪ 37 )14‬איברים‪ )17 23920 )16 3647 )15 .‬א‪.‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ )18‬א‪ a1  6, a2  10, a3  14 .‬ב‪. d  4 .‬‬
‫‪ n ‬ב‪ 24 .‬איברים‪.‬‬
‫‪ )19‬א‪ a1  50 , d  6 .‬ב‪ a10  4 .‬ג‪ )20 n  6 .‬א‪ n  81 .‬ב‪. n  16 .‬‬
‫‪ )21‬א‪ d1  4 .‬ב‪ )22 a1  52 , b1  95 .‬זוגיים‪ S  135 :‬זוגיים‪. S  99 :‬‬
‫‪ 29 )24‬איברים‪ )25 .‬א‪ x  50 .2 d  11 .1 .‬ב‪ a1  121 .‬ג‪. S  2156 .‬‬
‫‪ )26‬ב‪ a1  8 , d  2 .‬ג‪ )27 n  36 .‬ב‪ S  22a1  693 .‬ג‪. a9  1 .‬‬
‫‪47‬‬
‫סדרה הנדסית‪:‬‬
‫‪ .1‬נוסחת האיבר הכללי‪:‬‬
‫נוסחת האיבר הכללי של סדרה הנדסית המתחילה באיבר ‪ a1‬ומנתּה היא ‪ q‬נתונה‬
‫ע"י הנוסחה‪ , an  a1q n1 :‬כאשר‪ n :‬הוא מיקום האיבר שערכו ‪ an‬בסדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬כלל נסיגה של סדרה הנדסית‪:‬‬
‫כלל נסיגה של סדרה הנדסית ‪ an‬שמנתּה היא ‪ q‬ואיברּה הראשון הוא ‪ a1‬נתון‬
‫ע"י הקשר הבא‪. an1  an  q :‬‬
‫‪ .3‬נוסחת הסכום של סדרה הנדסית‪:‬‬
‫סכום ‪ n‬האיברים הראשונים של סדרה הנדסית ‪ an‬שמנתּה היא ‪ q‬ואיברּה‬
‫הראשון הוא ‪ a1‬נתון ע"י‪:‬‬
‫‪a1  q n  1‬‬
‫‪q 1‬‬
‫‪. Sn ‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬נתונה הסדרה ההנדסית‪. 1 , 1 , 1, 3,... :‬‬
‫‪9 3‬‬
‫מצא את האיבר האחרון בסדרה אם ידוע שיש בה ‪ 9‬איברים‪.‬‬
‫‪ )2‬מצא כמה איברים יש בסדרה ההנדסית‪:‬‬
‫‪. 9 , 3 , 1 ,..., 64‬‬
‫‪81‬‬
‫‪64 16 4‬‬
‫‪ )3‬בסדרה הנדסית האיבר השישי הוא ‪ 8‬והאיבר העשירי הוא ‪.128‬‬
‫מצא מהו האיבר הראשון בסדרה ומהי מנת הסדרה‪.‬‬
‫‪ )4‬בסדרה הנדסית ההפרש בין האיבר השביעי לאיבר החמישי הוא ‪ 432‬וההפרש בין‬
‫האיבר החמישי לשלישי הוא ‪ .48‬מצא מהו האיבר הראשון בסדרה ומהי מנת הסדרה‪.‬‬
‫‪ )5‬בסדרה הנדסית עולה ההפרש בין האיבר השמיני לאיבר הרביעי הוא ‪3120‬‬
‫וסכום האיברים השני והרביעי הוא ‪.5.2‬‬
‫מצא מהו האיבר הראשון בסדרה ומהי מנת הסדרה‪.‬‬
‫‪48‬‬
‫‪ )6‬תחביב אחה"צ של שימי הפרעוש הוא לקפוץ על טומי הכלב‪ .‬מנהגו של שימי הוא‬
‫לקפוץ בדקה הראשונה ‪ 4‬קפיצות ובכל דקה שאחריה לקפוץ פי ‪ 3‬קפיצות מדקה‬
‫הקודמת‪ .‬כמה דקות אורך תחביב אחה"צ של שימי אם ידוע שבדקה האחרונה‬
‫הוא קופץ ‪ 324‬קפיצות?‬
‫‪ )7‬מצא את ערכו של ‪ x‬אם ידוע שהאיברים הבאים הם איברים עוקבים בסדרה‬
‫הנדסית‪ . x  6, x  4, 4 x  1 :‬מצא גם את מנת הסדרה‪.‬‬
‫‪an 1  2an‬‬
‫‪ )8‬נתונה סדרה המוגדרת באמצעות כלל הנסיגה הבא‪:‬‬
‫‪a1  3‬‬
‫‪.‬‬
‫הוכח שהסדרה הנדסית ומצא מהו האיבר השמיני בה‪.‬‬
‫‪ )9‬מצא את סכום תשעת האיברים הראשונים בסדרה ההנדסית‪. 5,10, 20, 40,.... :‬‬
‫‪ )10‬תחביב אחה"צ של מימי הפרעושה הוא לקפוץ על טומי הכלב‪ .‬מנהגה של מימי‬
‫הוא לקפוץ בדקה הראשונה ‪ 2‬קפיצות ובכל דקה שאחריה לקפוץ פי ‪ 5‬קפיצות‬
‫מדקה הקודמת‪ .‬כמה דקות אורך תחביב אחה"צ של מימי אם ידוע שבכל‬
‫אחה"צ היא קפצה ‪ 1562‬קפיצות?‬
‫‪ )11‬סכום ‪ n‬האיברים האחרונים בסדרה הנדסית בת ‪ 3n‬איברים שמנתה ‪ ,2‬גדול‬
‫פי ‪ 256‬מסכום ‪ n‬האיברים הראשונים בה‪ .‬כמה איברים בסדרה?‬
‫‪ )12‬בסדרה הנדסית עולה שבה ‪ n‬איברים‪ ,‬סכום ‪ n  3‬האיברים האחרונים גדול‬
‫פי ‪ 8‬מסכום ‪ n  3‬האיברים הראשונים בה‪ .‬מצא את מנת הסדרה‪.‬‬
‫‪ )13‬סכום כל האיברים בסדרה הנדסית הוא ‪ .252‬האיבר האחרון בסדרה גדול‬
‫ב ‪ 120 -‬מהאיבר השני בה‪ .‬מצא כמה איברים יש בסדרה אם ידוע שמנתה ‪.2‬‬
‫‪ )14‬המספרים‪ x 13 , x  9 , 2x  3 :‬הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה‬
‫הנדסית עולה שכל איבריה חיוביים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. x‬‬
‫ב‪ .1 .‬כתוב את נוסחת האיבר הכללי בסדרה זו‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא שני איברים סמוכים בסדרה שסכומם הוא ‪.18750‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ידוע כי האיבר האחרון בסדרה הוא‪. an  511 :‬‬
‫מצא את סכום ‪ 7‬האיברים האחרונים בסדרה‪.‬‬
‫‪49‬‬
‫‪ )15‬נתונה הסדרה הבאה‪ . 4 , 12 , 36 ,...., an :‬מוסיפים לכל איבר בסדרה זו שישית‬
‫מהאיבר הבא אחריו ויוצרים סדרה חדשה ‪ bn‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪, b2  a2  3 , b3  a3  4 , ...... , bn  an  n1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪. b1  a1 ‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הסדרה ‪ bn‬היא סדרה הנדסית ומצא את מנתה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי היחס בין סכום ‪ n‬האיברים הראשונים של הסדרה ‪ an‬ובין‬
‫‪2‬‬
‫סכום ‪ n‬האיברים הראשונים של הסדרה ‪ bn‬הוא‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬מצא שני איברים סמוכים בסדרה ‪ bn‬שסכומם מהווה‬
‫‪9‬‬
‫מ‪. a8 -‬‬
‫‪ )16‬נתונה הסדרה ההנדסית‪. 7,14, 28,... :‬‬
‫בסדרה יש ‪ 8‬איברים‪ .‬חשב את סכום האיברים הנמצאים במקומות האי‪-‬זוגיים‬
‫ואת סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים‪.‬‬
‫‪ )17‬בסדרה הנדסית ובה ‪ 2n‬איברים סכום האיברים במקומות הזוגיים גדול פי ‪4‬‬
‫מסכום האיברים במקומות האי‪-‬זוגיים‪ .‬חשב את מנת הסדרה‪.‬‬
‫‪ )18‬נתונה סדרה הנדסית שמנתה ‪ q‬ובה מספר זוגי של איברים‪.‬‬
‫בטא באמצעות ‪ q‬את היחס בין סכום איברי הסדרה כולה לסכום האיברים‬
‫הנמצאים במקומות הזוגיים שבה‪.‬‬
‫‪ )19‬בסדרה הנדסית שבה ‪ 2n  1‬איברים‪ ,‬סכום ‪ n‬האיברים הראשונים קטן פי ‪9‬‬
‫מסכום ‪ n‬האיברים הבאים אחריהם‪ .‬האיבר האחרון בסדרה גדול ב ‪ 30-‬מהאיבר‬
‫הראשון שבה‪ .‬מצא את האיבר הראשון בסדרה‪.‬‬
‫‪ )20‬א‪ .‬הראה כי בסדרה הנדסית שבה ‪ 2n‬איברים היחס בין סכום האיברים‬
‫העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים לבין סכום כל איברי הסדרה תלוי במנת בסדרה‪.‬‬
‫בסדרה הנדסית שבה מספר זוגי של איברים ידוע כי סכום כי האיברים העומדים‬
‫במקומות האי ‪-‬זוגיים קטן פי ‪ 4‬מסכום כל איברי הסדרה‪ .‬האיבר הראשון בסדרה זו‬
‫קטן ב‪ 2-‬ממנת הסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב נוסחה לאיבר כללי של סדרה זו‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא שני איברים סמוכים בסדרה שסכומם הוא ‪.324‬‬
‫‪ )21‬בסדרה הנדסית שבה ‪ 12‬איברים סכום כל איברי הסדרה גדול פי ‪ 3‬מסכום האיברים‬
‫כאשר מחליפים את סימני כל האיברים העומדים במקומות האי ‪-‬זוגיים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מנת הסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי ההפרש בין האיבר החמישי לאיבר הרביעי בסדרה הוא ‪.8‬‬
‫מצא את האיבר הראשון בסדרה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את סכום כל האיברים העומדים במקומות הזוגיים בסדרה‪.‬‬
‫‪50‬‬
‫‪ )22‬באחת ממדינות המזרח היה מלך שאהב משחקי חשיבה‪ .‬לכבוד יום הולדתו הכין‬
‫לו השר הבכיר שבממלכתו משחק מיוחד המכיל ‪ 25‬משבצות ו‪ 2-‬חיילי משחק‪.‬‬
‫המלך‪ ,‬מרוב התלהבות ושמחה לא ידע כיצד לגמול לשר החכם ושאל אותו מה‬
‫ירצה בתמורה‪ .‬השר סרב לקבל דבר על מתנתו עד שלבסוף החליט המלך לתת‬
‫לשר מחצית מכל אוצרות הממלכה המונים כ‪ 40-‬מיליון אבנים יקרות‪ .‬לאחר‬
‫ששמע על כך השר‪ ,‬הוא החליט לאתגר את המלך והעלה את ההצעה הבאה‪:‬‬
‫תן לי אבן יקרה אחת והכפל אותה בכל משבצת שבמשבצות המשחק באופן הבא‪:‬‬
‫כנגד המשבצת הראשונה ‪ -‬אבן אחת‪,‬‬
‫כנגד השנייה ‪ -‬שתי אבנים‪,‬‬
‫כנגד השלישית ‪ -‬ארבע אבנים וכן הלאה‪...‬‬
‫המלך הסכים להצעה‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה אבנים המלך ייתן לשר כנגד המשבצת האחרונה במשחק?‬
‫ב‪ .‬העזר בכמות האבנים שברשותו של השר וקבע האם הצעתו שוות‪-‬ערך‬
‫יותר מהחלטת המלך לתת לו מחצית מאוצרות הממלכה‪.‬‬
‫ג‪ .‬סמוך לפני שנתן המלך את האבנים לשר‪ ,‬הציעה בתו של המלך הצעה‬
‫נוספת והיא‪ :‬תן עבור כל משבצת זוגית ‪ 2n‬אבנים‪,‬‬
‫כאשר ‪ n‬הוא מספר המשבצת‪ .‬האם כדאי למלך לקבל את הצעת בתו או‬
‫להישאר עם ההצעה המקורית של השר?‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪a9  729 )1‬‬
‫‪n  7 )2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪, q  2 )3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪a1  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪)4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. q  3, a1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 5 )6 q  5, a1 ‬דקות‪, x  11 q  3 )7 .‬‬
‫‪)5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪25‬‬
‫‪ 5 )10 S9  2555 )9 a8  384 )8‬דקות‪.n  6 )13 q  2 )12 . n  12 )11 .‬‬
‫‪.x    q  ‬‬
‫‪ )14‬א‪ x  14 .‬ב‪ .2 an  5n1 .1 .‬ג‪ a6 , a7 .‬ג‪. S7*  61, 034,375 .‬‬
‫‪ )15‬א‪ q  3 .‬ג‪ )16 b5 , b6 .‬אי‪-‬זוגיים‪ S  595 :‬זוגיים‪. q  4 )17 S  1190 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪q 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )20 a1  )19‬א‪.‬‬
‫‪)18‬‬
‫‪8‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q 1‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪Sn ( o‬‬
‫‪S2 n‬‬
‫ב‪ an  3n1 .‬ג‪. a5 , a6 .‬‬
‫‪ )21‬א‪ q  2 .‬ב‪ a1  1 .‬ג‪. S6( p )  2730 .‬‬
‫‪ )22‬א‪ a25  16,777, 216 .‬ב‪ .‬לפי הצעת השר יהיו לו ‪ 33,554,431‬אבנים ולפי הצעת‬
‫המלך יהיו לו ‪ 20,000,000‬אבנים ג‪. Sn  22,369,620 , 4,16,64,..., 224 .‬‬
‫‪51‬‬
‫סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת‪:‬‬
‫‪ .1‬הגדרה‪:‬‬
‫סדרה הנדסית ‪ an‬המקיימת‪  q  0 , q  1 :‬נקראת סדרה הנדסית אינסופית‬
‫מתכנסת‪.‬‬
‫‪ .2‬נוסחת הסכום של סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת‪:‬‬
‫הסכום של סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ‪ an‬ניתן לחישוב ע"י שימוש‬
‫בכלל‪ lim q n  0 :‬והצבתו בנוסחת הסכום של סדרה הנדסית‪.‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪a1‬‬
‫מתקבל הכלל הבא‪:‬‬
‫‪1 q‬‬
‫‪.S ‬‬
‫‪ .3‬סכום סופי של איברים בסדרה הנדסית אינסופית מתכנסת‪:‬‬
‫‪ ‬כאשר מתבקשים לחשב סכום של ‪ n‬איברים ראשונים בסדרה הנדסית‬
‫אינסופית מתכנסת יש להשתמש בנוסחת הסכום הרגילה‪:‬‬
‫‪a1  q n  1‬‬
‫‪q 1‬‬
‫‪. Sn ‬‬
‫‪ ‬כאשר מתבקשים לחשב סכום של ‪ n‬איברים בסדרה הנדסית אינסופית‬
‫מתכנסת המתחילים באיבר ‪ ak‬יש להשתמש בנוסחת הסכום הרגילה באופן‬
‫הבא‪:‬‬
‫‪ak  q n  1‬‬
‫‪q 1‬‬
‫‪. Sn ‬‬
‫‪52‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )1‬מצא את סכום כל איברי הסדרה ההנדסית הבאה‪. 12 , 4 , 1 , ... :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )2‬סכום כל איברי סדרה הנדסית אינסופית שמנתה‬
‫‪4‬‬
‫הוא ‪.32‬‬
‫מצא את האיבר הראשון בסדרה‪.‬‬
‫‪ )3‬נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת שסכומה ‪ .62.5‬ידוע כי האיבר השני‬
‫בסדרה הוא ‪ . 10‬מצא את האיבר הראשון ואת מנת הסדרה (שתי אפשרויות)‪.‬‬
‫‪ )4‬האיבר הראשון בסדרה הנדסית אינסופית יורדת הוא ‪ .14‬סכום האיברים‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫במקומות הזוגיים הוא ‪ . 9‬מצא את סכום האיברים במקומות האי ‪-‬זוגיים‪.‬‬
‫*הערה‪ :‬שתי השאלות הבאות מסכמות את סוגי הסכומים וייצוג סדרות שונות באמצעות סדרה‬
‫נתונה כפי שמקובל בנושא זה ואינן מייצגות אורך של שאלת בגרות‪.‬‬
‫‪ )5‬נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ‪ an‬שמנתּה ‪.  q  0 , q  1 , q‬‬
‫מגדירים שלוש סדרות חדשות‪ cn , bn :‬ו‪ d n -‬באופן הבא‪:‬‬
‫הסדרה‪:‬‬
‫‪bn‬‬
‫הכלל‪:‬‬
‫‪b3  a1  a2  a3‬‬
‫‪c3  a42  a32‬‬
‫‪bn  a1  a2  a3  ..  an  S a n ‬‬
‫‪cn  an21  an2‬‬
‫‪cn‬‬
‫‪dn‬‬
‫‪b1  a1‬‬
‫‪c1  a22  a12‬‬
‫‪d1  S a  a1‬‬
‫‪b2  a1  a2‬‬
‫‪c2  a  a‬‬
‫‪d 2  S a  a2‬‬
‫‪d3  S a  a3‬‬
‫‪d n  S a  an‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫הסכום ‪ S a‬הוא סכום הסדרה ‪ , an‬והסכום‪ Sa n :‬הוא סכום ‪ n‬האיברים‬
‫הראשונים של הסדרה ‪. an‬‬
‫א‪ .‬קבע אלו מבין הסדרות ‪ cn , bn‬ו ‪ d n -‬הן הנדסיות והבע את מנתן ע"י ‪. q‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ a1‬בלבד את סכום הסדרה ההנדסית שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫ג‪ .‬מסמנים את סכום ריבועי האיברים של הסדרה ההנדסית שמצאת בסעיף א'‬
‫ב ‪ . S S  -‬הוכח כי לא קיים ערך של ‪ q‬עבורו סכום ריבועי האיברים ‪ , S S  ,‬שווה‬
‫לסכום הסדרה הנ"ל בריבוע‪.‬‬
‫‪53‬‬
‫‪ )6‬נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת‪ an :‬שמנתה ‪. q‬‬
‫מגדירים סדרה חדשה ‪ bn‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪, b2  S2*  2 , b3  S3*  3 ,..., bn  Sn*  n ,..‬‬
‫‪1 q‬‬
‫‪1 q‬‬
‫‪1 q‬‬
‫‪1 q‬‬
‫כאשר‪ S n* :‬מייצג את סכום הסדרה ‪ an‬החל מהאיבר ‪( an‬ועד אינסוף)‪.‬‬
‫‪. b1  S1* ‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫ח‪.‬‬
‫הוכח כי הסדרה ‪ bn‬היא גם הנדסית אינסופית יורדת וכתוב את נוסחת‬
‫האיבר הכללי שלה באמצעות ‪ a1‬ו ‪. q -‬‬
‫ידוע כי סכום הסדרה ‪ bn‬הוא ‪ 126‬וכי סכום ‪ 8‬האיברים הראשונים‬
‫בסדרה ‪ an‬גדול פי ‪ 6560‬מהאיבר התשיעי בסדרה ‪ . bn‬מצא את ‪ a1‬ו‪. q -‬‬
‫היעזר בסעיף הקודם והוכח כי מתקיים‪. b2  b3  ...  bn  ...  42 :‬‬
‫חשב את סכום האיברים העומדים במקומות הזוגיים בסדרה ‪. bn‬‬
‫חשב את סכום האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים בסדרה ‪. bn‬‬
‫מחליפים את סימני האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים בסדרה ‪. bn‬‬
‫כך שנוצרת הסדרה‪ . bn* :‬חשב את סכום הסדרה *‪. bn‬‬
‫מחליפים את סימני האיברים העומדים במקומות הזוגיים בסדרה ‪. bn‬‬
‫כך שנוצרת הסדרה‪ . bn** :‬חשב את סכום הסדרה **‪. bn‬‬
‫מעלים בריבוע את כל איברי הסדרה ‪ . bn‬מסמנים את הסכום המתקבל ב‪S S  -‬‬
‫(מלשון‪ .)square :‬כמו כן‪ ,‬מסמנים את סכום הסדרה המקורית ‪ bn‬ב‪. Sb -‬‬
‫הראה כי‪. Sb2  S S  :‬‬
‫ט‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫הוכח כי היחס בין סכום איברי הסדרה ‪ an‬וסכום איברי הסדרה ‪ bn‬הוא‬
‫‪3‬‬
‫*הערה‪ :‬השאלות הבאות הינן שאלות מסכמות ברמת בגרות‪:‬‬
‫‪ )7‬נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת שסכומה ‪ .24‬מאיברי הסדרה הנתונה‬
‫יצרו את סדרה חדשה באופן הבא‪. a1  a2 , a2  a3 , a3  a4 , a4  a5 , ... :‬‬
‫א‪ .‬הוכח שהסדרה החדשה היא הנדסית אינסופית יורדת‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע שסכום כל איברי הסדרה החדשה הוא ‪.32‬‬
‫מצא את האיבר הראשון והמנה של הסדרה המקורית‪.‬‬
‫‪ )8‬בסדרה הנדסית אינסופית יורדת ‪ an‬ידוע כי סכום האיברים העומדים במקומות‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫האי‪-‬זוגיים גדול פי ‪ 1‬מסכום האיברים העומדים במקומות הזוגיים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מנת הסדרה‪.‬‬
‫מחברים כל שני איברים בסדרה הנתונה ויוצרים סדרה חדשה ‪. bn‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי הסדרה ‪ bn‬גם היא הנדסית יורדת ומצא את מנתה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הראה כי סכום הסדרה ‪ bn‬שווה לסכום הסדרה ‪. an‬‬
‫ד‪ .‬סכום שתי הסדרות יחד הוא ‪ .1000‬מצא את האיבר הראשון בסדרה ‪. an‬‬
‫‪54‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )9‬נתונה סדרה הנדסית אינסופית ‪ a1 , a2 , a3 , .....‬שמנתה היא ‪.  0  q  1 , q‬‬
‫נגדיר את הסכומים הבאים‪. T  a1  a2  a5  a6  a9  a10 , ... , V  a3  a7  a11  ... :‬‬
‫נתון כי‪. T  6V :‬‬
‫א‪ .‬מצא את מנת הסדרה ‪. q‬‬
‫ב‪ .‬פי כמה קטן ‪ V‬מסכום כל האיברים העומדים במקומות האי ‪-‬זוגיים בסדרה?‬
‫ג‪ .‬מצא את האיבר הראשון אם ידוע כי סכום האיברים העומדים במקומות‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫האי‪-‬זוגיים הוא ‪. 1365‬‬
‫‪ )10‬נתונה הסדרה ההנדסית הבאה‪ a1 , a2 , a3 , ..... , a2n :‬שמנתה היא ‪. q‬‬
‫בונים סדרה חדשה מריבועי כל האיברים הסדרה באופן הבא‪:‬‬
‫‪. a12 , a22 , a32 , ..... , a22n‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי היחס בין סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרת הריבועים ובין‬
‫סכום כל האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים בסדרה הנתונה תלוי רק‬
‫באיבר הראשון של הסדרה‪.‬‬
‫בסדרה הנדסית אינסופית יורדת שסכומה ‪ 640‬ידוע כי סכום ‪ 10‬האיברים‬
‫הראשונים כאשר מעלים אותם בריבוע גדול פי ‪ 320‬מסכום ‪ 10‬האיברים‬
‫הראשונים העומדים במקומות האי ‪-‬זוגיים בסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את מנת הסדרה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מחברים את כל איברי הסדרה החל מאיבר ‪ an‬כלשהו‪.‬‬
‫ידוע כי סכום זה קטן פי ‪ 16‬מסכום הסדרה המקורי‪.‬‬
‫מצא את האיבר ‪. an‬‬
‫‪ )11‬נתונה סדרה הנדסית אינסופית ‪ a1 , a2 , a3 , .....‬שמנתה היא ‪.  q  0 , q  1 , q‬‬
‫נגדיר את הסכומים הבאים‪. T  a1  a3  a6  a8  a11  a13 , ... , V  a2  a7  a12  ..... :‬‬
‫נתון כי‪. V  0.3T :‬‬
‫א‪ .‬מצא את מנת הסדרה ‪. q‬‬
‫מחליפים את הסימנים של כל האיברים העומדים במקומות האי ‪-‬זוגיים‬
‫ומתקבלת סדרה חדשה שסכומה הוא ‪.12‬‬
‫ב‪ .‬מצא את האיבר הראשון בסדרה המקורית‪.‬‬
‫ג‪ .‬מעלים את כל איברי הסדרה בריבוע‪ .‬חשב את סכום הסדרה כעת‪.‬‬
‫‪55‬‬
:‫תשובות סופיות‬
S  18
2
)4
3
4
1
1
q  , a1  12
‫ או‬q  , a1  50 )3
5
2
5
a1  24
)2 S  18 )1
: bn ‫ הסדרה‬.‫) א‬5
an 1  q n 1  1
an 1  q n 1  1
bn 1 Sn 1 Sn 1
q n 1  1
q 1





q

bn
Sn
Sn
qn 1
an  q n  1
an  q n  1
q 1
.‫ היא אינה הנדסית‬n - ‫היות והיא תלויה ב‬
2 2
2
cn 1 an2 2  an21 an2 q 4  an2 q 2 an q  q  1
.
 2
 2 2
 2 2
 q 2 :‫ הנדסית‬cn :‫הסדרה‬
2
2
cn
an 1  an
an q  an
an  q  1
: d n ‫הסדרה‬
a1
a
a1 1  1  q  q n  q n  q n 1  1
bn 1 S  an 1 1  q n 1 a1  1  q  an 1




 n 1 n
n 1
a1
bn
S  an
a

1

q
a
q  q 1
a
1

1

q
q






1
n
1
 an
1 q
.‫ היא אינה הנדסית‬n - ‫היות והיא תלויה ב‬
. S c 
n
2
2
c1
a22  a12 a1  q  1



 a12 .‫ב‬
2
2
1  qc 1  q
1 q
. q  0, 1 :‫ מקבלים כי פתרון המשוואה הוא‬S( s )  S 2 :‫ מההשוואה‬.‫ג‬
.‫ היא שבר‬an ‫כולם נפסלים מכיוון שמנת הסדרה הנתונה‬
‫ עבורו‬q ‫ הסדרות אינן מתכנסות ולכן לא קיים ערך של‬q  1 ‫עבור‬
.‫ מש"ל‬.‫השיוויון יתקיים‬
-63 .‫ ז‬63 .‫ ו‬94.5 .‫ ה‬31.5 .‫ ד‬a1  56 , q 
a
1
.‫ ב‬bn  1 q n1 .‫) א‬6
1 q
3
.  b1  b2  ...  bn  .. :‫ משמעו‬S 2 :‫ הסכום‬.‫ ט‬7938 .‫ח‬
2
.‫ ברור כי הביטויים אינם שווים‬. b12  b22  ...  bn2  .. :‫ משמעו‬S( s ) :‫הסכום‬
. a1  200 .‫ד‬
1
bn1 a2 n1  a2 n 2

 q 2 .‫ ב‬q  0.6 .‫) א‬8 . a1  16, q  .‫) ב‬7
3
bn
a2 n 1  a2 n
1
.‫) א‬9
2
1
. S  288 .‫ ג‬a1  16 .‫ ב‬q  .‫) א‬11
3
. a5  20 .‫ ג‬q  0.5 .‫) ב‬10 a1  1024 .‫ ג‬5 ‫ פי‬.‫ ב‬q 
56
‫סדרת נסיגה‪:‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪an 1  an  2n  11‬‬
‫‪ )1‬נתונה סדרה המוגדרת על פי כלל הנסיגה הבא‪:‬‬
‫‪a1  6‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את האיבר השלישי בסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי האיבר השלושה‪-‬עשר בסדרה הוא ‪ . 18‬מצא את ‪ a14‬ו ‪. a12 -‬‬
‫ג‪.‬‬
‫נתון כי האיבר השלושים ואחת בסדרה הוא ‪ . k‬הבע באמצעות ‪ k‬את ‪ a32‬ו‪. a30 -‬‬
‫ד‪ .‬מצא את מיקומם של שני איברים סמוכים בסדרה שההפרש ביניהם הוא ‪.113‬‬
‫ה‪ .‬הסבר מדוע אין שני איברים סמוכים בסדרה שההפרש ביניהם הוא ‪.62‬‬
‫‪an 1  an  2n‬‬
‫‪ )2‬נתונה סדרה המוגדרת על פי כלל הנסיגה הבא‪:‬‬
‫‪a1  0‬‬
‫‪.‬‬
‫נתון כי ‪ . ak  72‬הבע באמצעות ‪ k‬את ‪. ak  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪an 1  2an  n  31‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )3‬נתונה סדרה המוגדרת על פי כלל הנסיגה הבא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪a7  t‬‬
‫מצא את ערכו של ‪ t‬שבעבורו האיברים ‪ a7 , a8 , a9‬הם איברים עוקבים בסדרה חשבונית‪.‬‬
‫‪ )4‬סדרה שהאיבר הכללי בה הוא ‪ an‬מוגדרת על פי כלל הנסיגה הבא‪. an1  an  6n  2 :‬‬
‫מגדירים סדרה חדשה שהאיבר הכללי בה הוא ‪ bn‬באופן הבא‪. bn  an1  an :‬‬
‫א‪ .‬הוכח שהסדרה ‪ bn‬היא סדרה חשבונית ומצא את הפרשה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ‪. b1‬‬
‫‪ )5‬סדרה שהאיבר הכללי בה הוא ‪ an‬מוגדרת על פי כלל הנסיגה הבא‪. an1  3an  4 :‬‬
‫מגדירים סדרה חדשה שהאיבר הכללי בה הוא ‪ bn‬באופן הבא‪. bn  an  2 :‬‬
‫א‪ .‬הוכח שהסדרה ‪ bn‬היא סדרה הנדסית ומצא את מנתה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ . b5  162 :‬חשב את ‪. a1‬‬
‫‪ )6‬סדרה מוגדרת ע"י הכלל‪. a1  3 , an1  3an  10n  5 :‬‬
‫מגדירים סדרה חדשה המקיימת לכל ‪ n‬טבעי‪. bn  an  5n :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הסדרה ‪ bn‬היא סדרה הנדסית‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את האיבר ‪. b5‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הסכום‪. b2  b4  b6  .....  b12 :‬‬
‫‪57‬‬
‫‪ )7‬סדרה מוגדרת לכל ‪ n‬טבעי ע"י הנוסחה‪. a1  k , an1  8n  an  3 :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי סדרת האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים וסדרת האיברים‬
‫העומדים במקומות הזוגיים הן חשבוניות ומצא את הפרשן‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את סכום ‪ 20‬האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫‪3an‬‬
‫‪ )8‬סדרה מוגדרת ע"י כלל הנסיגה הבא‪:‬‬
‫‪2an  3‬‬
‫‪4  7an‬‬
‫מגדירים סדרה חדשה לפי‪:‬‬
‫‪an‬‬
‫‪. a1  2 , an1 ‬‬
‫‪. bn ‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הסדרה ‪ bn‬היא חשבונית ומצא את הפרשּה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הסכום הבא‪. b2  b4  b6  .....  b22 :‬‬
‫‪ )9‬אדם המעוניין לקנות רכב קיבל שתי הצעות מחיר‪.‬‬
‫ההצעה הראשונה‪:‬‬
‫לשלם בתשלום הראשון ‪ ₪ 1000‬ובכל תשלום שאחריו סכום‬
‫הגדול ב‪ ₪ 500-‬מהתשלום הקודם‪.‬‬
‫ההצעה השנייה‪:‬‬
‫לשלם בתשלום הראשון ‪ ₪ 7200‬ובכל תשלום שאחריו סכום‬
‫הקטן ב‪ ₪ 450-‬מהתשלום הקודם‪.‬‬
‫ידוע כי מספר התשלומים בהצעה השנייה קטן ב‪ 4-‬ממספר התשלומים‬
‫שבהצעה הראשונה‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה תשלומים יצטרך לשלם לפי כל הצעה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה מחיר הרכב?‬
‫‪ )10‬סדרה מקיימת את כלל הנסיגה‪. a1  1 , an1  3n  an  7 :‬‬
‫א‪ .‬חשב את ‪ 5‬האיברים הראשונים וקבע האם הסדרה היא חשבונית‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי לכל ‪ n‬טבעי מתקיים‪. an2  an  3 :‬‬
‫ג‪ .‬כתוב נוסחה לסכום ‪ n‬האיברים הראשונים העומדים במקומות‬
‫האי‪-‬זוגיים בסדרה‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את הסכום הבא‪. a1  a3  a5  .......  a17 :‬‬
‫‪58‬‬
‫‪ )11‬סדרה מוגדרת לפי כלל הנסיגה הבא‪. an1  an  2  3n  2 :‬‬
‫א‪ .1 .‬הבע את ‪ an  2‬באמצעות ‪. an‬‬
‫‪ .2‬מצא את מיקומו הסידורי של איבר הגדול ב‪ 652-‬מהאיבר העומד‬
‫שני מקומות לפניו‪.‬‬
‫ב‪ .‬הנוסחה לסכום ‪ n‬האיברים הראשונים של אחת מהסדרות המיוצגות ע"י‬
‫כלל הנסיגה הנ"ל היא‪. Sn  1.5  3n  n2  n  1.5 :‬‬
‫חשב את הסכום הבא‪. a6  a7  a8  ....  a11 :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מהו האיבר הראשון של הסדרה המיוצגת ע"י כלל הנסיגה ונוסחת הסכום הנ"ל?‬
‫‪2an‬‬
‫‪ )12‬סדרה מוגדרת ע"י כלל הנסיגה‪:‬‬
‫‪an  5‬‬
‫‪. a1  6 , an1 ‬‬
‫‪an  3‬‬
‫מגדירים סדרה חדשה ‪ bn‬המקיימת לכל ‪ n‬טבעי‪:‬‬
‫‪an‬‬
‫‪. bn ‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הסדרה ‪ bn‬היא הנדסית ומצא את מנתה‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב נוסחה ל‪ bn -‬באמצעות ‪ n‬בלבד‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חשב את הסכום הבא‪. b1  b2  b3  b4  .....  b10 :‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬א‪ a3  22 .‬ב‪ a12  5 , a14  33 .‬ג‪ a30  k  49 , a32  k  51 .‬ד‪. a62 , a63 .‬‬
‫‪ )4 t  33 )3 ak 2  74  4k )2‬א‪ . d  6 .‬ב‪ )5 b1  4 .‬א‪ . q  3 .‬ב‪. a1  0 .‬‬
‫‪ )6‬א‪ bn1  3bn .‬ב‪ b5  648 .‬ג‪. S  1594320 .‬‬
‫‪ )7‬א‪ a4  19  k , a3  k  8 , a2  11  k , a1  k .‬ב‪ 8 .‬ג‪.830 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )8‬ב‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )10‬א‪ a1  1 , a2  -5 , a3  4 , a4  -2 , a5  7 .‬ג‪ 1.5n2  0.5n .‬‬
‫‪ )9 S11 p   267‬א‪ 12 .‬לפני הראשונה ו‪ 8-‬לפני השנייה ב‪.₪ 45,000 .‬‬
‫)‪ Sn(o‬ד‪. S9(o)  117 .‬‬
‫‪ )11‬א‪ a4 .2 an2  an  8  3n  4 .1 .‬ב‪ S611  265458 .‬ג‪. a1  5 .‬‬
‫‪ )12‬א‪ q  2.5 .‬ב‪ bn  1.5  2.5n1 .‬ג‪. S10*  4086.74 .‬‬
‫‪59‬‬
‫פרק ‪ - 5‬הסתברות קלאסית‪:‬‬
‫הגדרות כלליות‪:‬‬
‫‪ .1‬ההסתברות להתרחשות מאורע ‪ : A‬מספר האפשרויות הרצוי ‪. P  A  ‬‬
‫מספר האפשרויות הכולל‬
‫‪ .2‬המאורע המשלים למאורע ‪. P  A   1  P  A :A‬‬
‫‪ .3‬חיתוך ואיחוד מאורעות ‪ A‬ו‪. P  A B  P  A   P  B  P  A B :B-‬‬
‫‪ .4‬מאורעות זרים הם מאורעות שלא יכולים להתקיים בו זמנית‪.‬‬
‫עבור מאורעות זרים ‪ A‬ו‪ B-‬מתקיים‪. P  A B  P  A   P  B , P  A B  0 :‬‬
‫‪ .5‬מאורעות נקראים בלתי תלויים אם קיום האחד מהם לא משפיע על‬
‫ההסתברות לקיומו של השני‪.‬‬
‫עבור מאורעות בלתי תלויים ‪ A‬ו‪ B-‬מתקיים‪. P  A B  P  A   P  B :‬‬
‫‪ .6‬אם מתקיים‪ P  A B  P  A   P  B :‬המאורעות תלויים‪.‬‬
‫‪P  A B‬‬
‫‪ .7‬הסתברות מותנית של מאורע ‪ A‬בהינתן מאורע ‪ B‬מוגדרת‪:‬‬
‫‪P  B‬‬
‫‪. P  A / B ‬‬
‫‪ .8‬צורה כללית של טבלת הסתברויות עבור מאורעות ‪ A‬ו‪:B-‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P  A B‬‬
‫‪P  A B‬‬
‫‪P  B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P  A B‬‬
‫‪P  A B‬‬
‫‪P  B‬‬
‫‪P A‬‬
‫‪P A‬‬
‫‪1‬‬
‫קשרים מידיים מהטבלה‪:‬‬
‫א‪. P  A B  P  A B  P  B .‬‬
‫ב‪. P  A B   P  A B   P  B  .‬‬
‫ג‪. P  A B   P  A B   P  A  .‬‬
‫ד‪. P  A B   P  A B   P  A  .‬‬
‫‪ .9‬התפלגות בינומית‪ :‬חישוב ‪ k‬הצלחות מתוך ‪ n‬ניסיונות בלתי תלויים כאשר‬
‫ההסתברות להצלחה בניסיון בודד היא ‪ p‬נתונה ע"י‪:‬‬
‫‪60‬‬
‫‪nk‬‬
‫‪n‬‬
‫‪. Pn  k     p k 1  p ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ ‬‬
‫שאלות יסודיות‪:‬‬
‫‪ )1‬בכד ‪ 3‬כדורים כחולים ו ‪ 7-‬כדורים לבנים‪.‬‬
‫מה ההסתברות להוצאת כדור כחול בהוצאה אקראית של כדור מהכד?‬
‫‪ )2‬בכד ‪ 2‬כדורים כחולים‪ 3 ,‬כדורים אדומים ו‪ 7-‬כדורים לבנים‪.‬‬
‫מה ההסתברות שבהוצאה אקראית של כדור מהכד לא ייצא כדור אדום?‬
‫‪ )3‬מהי ההסתברות שבסיבוב סביבון לא יתקבל "נס"?‬
‫‪ )4‬עבור שני מאורעות‪ A ,‬ו‪ B-‬נתון‪. P  A  B   0.4 , P  B   0.3 , P  A  0.6 :‬‬
‫מצא את ‪. P  A B‬‬
‫‪ )5‬עבור שני מאורעות‪ A ,‬ו‪ B-‬נתון‪. P  A  B   0.95 , P  B   0.5 , P  A   0.2 :‬‬
‫מצא את ‪. P  A B‬‬
‫‪ )6‬עבור שני מאורעות‪ A ,‬ו‪ B-‬נתון‪. P  A  B   0.65 , P  B   0.25 , P  A  0.8 :‬‬
‫קבע האם המאורעות זרים והאם הם תלויים‪.‬‬
‫‪ )7‬נתון כי שני מאורעות‪ A ,‬ו ‪ B -‬בלתי תלויים‪ .‬בנוסף נתון‪. P  B   0.4 , P  A  0.75 :‬‬
‫מצא את ‪. P  A B‬‬
‫שאלות עם שני ניסויים‪:‬‬
‫‪ )8‬בכד ‪ 3‬כדורים כחולים ו ‪ 7-‬כדורים אדומים‪ .‬אדם מוציא באקראי כדור מהכד‪,‬‬
‫ולאחריו מוציא עוד כדור‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות ששני הכדורים כחולים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות ששני הכדורים באותו צבע?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות ששני הכדורים אינם באותו צבע?‬
‫‪ )9‬בכד ‪ 3‬כדורים כחולים‪ 2 ,‬כדורים אדומים ו‪ 5-‬כדורים ירוקים‪ .‬אדם מוציא‬
‫באקראי כדור מהכד‪ ,‬מחזיר אותו לכד ואז מוציא עוד כדור‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות ששני הכדורים כחולים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות ששני הכדורים באותו צבע?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות ששני הכדורים אינם באותו צבע?‬
‫‪ )10‬בחדר ‪ 4‬גברים ו ‪ 5-‬נשים‪ .‬מוציאים באקראי שלושה אנשים מהחדר (בלי החזרה)‪.‬‬
‫מה ההסתברות שמתוך השלושה יש יותר גברים מנשים?‬
‫‪61‬‬
‫‪ )11‬נתונים שני כדים‪ :‬בכד א' שלושה כדורים כחולים ואחד לבן ובכד ב' שני‬
‫כדורים כחולים ושלושה לבנים‪ .‬לואיזה מטילה מטבע לא הוגנת שבה הסיכוי‬
‫לקבלת "עץ" כפול מהסיכוי לקבלת "פלי"‪ .‬אם יוצא "עץ" היא מוציאה כדור‬
‫מכד א' ואם יוצא "פלי" היא מוציאה שני כדורים מכד ב'‪.‬‬
‫מה ההסתברות שלא ייצא ללואיזה אף כדור לבן?‬
‫‪ )12‬ליואב יש בכיסו הימני ‪ 3‬גולות כחולות ו‪ 5-‬שחורות ובכיסו השמאלי ‪ 4‬גולות‬
‫כחולות ו‪ 4-‬שחורות ‪ .‬יואב מוציא גולה מכיסו הימני‪ .‬אם היא כחולה הוא‬
‫מחזיר אותה לכיס הימני ואם היא שחורה הוא מעביר אותה לכיס השמאלי‪.‬‬
‫אחר כך הוא מוציא גולה מכיסו השמאלי‪ .‬מה ההסתברות ששתי הגולות‬
‫שהוציא באותו צבע?‬
‫שאלות עם הסתברות מותנית‪:‬‬
‫‪ )13‬בכד ‪ 3‬כדורים כחולים ו ‪ 7-‬כדורים אדומים‪.‬‬
‫אדם מוציא באקראי כדור מהכד‪ ,‬ולאחריו מוציא עוד כדור‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות ששני הכדורים כחולים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות ששני הכדורים באותו צבע?‬
‫ג‪ .‬ידוע ששני הכדורים באותו צבע‪ .‬מה ההסתברות ששניהם כחולים?‬
‫‪ )14‬בכד ‪ 3‬כדורים כחולים‪ 2 ,‬כדורים אדומים ו‪ 5-‬כדורים ירוקים‪.‬‬
‫אדם מוציא באקראי כדור מהכד‪ ,‬מחזיר אותו לכד ואז מוציא עוד כדור‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות ששני הכדורים כחולים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות ששני הכדורים באותו צבע?‬
‫ג‪ .‬ידוע ששני הכדורים באותו צבע‪ .‬מה ההסתברות ששניהם כחולים?‬
‫‪ )15‬בחדר ‪ 4‬גברים ו ‪ 5-‬נשים‪ .‬מוציאים באקראי שלושה אנשים מהחדר (בלי החזרה)‪.‬‬
‫ידוע שמתוך השלושה יש יותר גברים מנשים‪ .‬מה ההסתברות שכולם גברים?‬
‫‪ )16‬נתונים שני כדים‪ :‬בכד א' שלושה כדורים כחולים ואחד לבן ובכד ב' שני‬
‫כדורים כחולים ושלושה לבנים‪ .‬לואיזה מטילה מטבע לא הוגנת שבה הסיכוי‬
‫לקבלת "עץ" כפול מהסיכוי לקבלת "פלי"‪ .‬אם יוצא "עץ" היא מוציאה כדור‬
‫מכד א ' ואם יוצא "פלי" היא מוציאה שני כדורים מכד ב'‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שלא ייצא ללואיזה אף כדור לבן?‬
‫ב‪ .‬ידוע שללואיזה לא יצא אף כדור לבן‪ ,‬מה ההסתברות שבהטלת המטבע יצא "עץ"?‬
‫‪ )17‬במשחק מזל הסיכוי להרוויח ‪ ₪ 10‬הוא ‪ 0.3‬והסיכוי להרוויח ‪ ₪ 20‬הוא ‪.0.2‬‬
‫ישנו סיכוי של ‪ 0.5‬לא להרוו יח כלל‪ .‬אדם שיחק במשחק פעמיים וידוע שהרוויח‬
‫יותר מ‪ .₪ 20-‬מה הסיכוי שהרוויח ‪?₪ 40‬‬
‫‪62‬‬
‫‪ )18‬כדי להתקבל לעבודה בחברת "קוקה‪-‬קולה" יש לעבור שלושה ראיונות ע"י‬
‫שלושה בעלי תפקידים בסדר הבא‪:‬‬
‫אחראי משמרת‪ ,‬מנהל ראשי ומנכ"ל החברה‪.‬‬
‫כל בעל מקצוע נותן חוות דעת חיובית או שלילית בלבד‪.‬‬
‫כדי שמועמד יקבל עבודה בחברה עליו לעבור בהצלחה לפחות את אחד‬
‫מהראיונות עם אחראי המשמרת והמנהל הראשי אך הראיון עם המנכ"ל חייב‬
‫לעבור בהצלחה (כדי שמועמד יקבל עבודה המנכ"ל צריך לתת לו חוות דעת‬
‫חיובית)‪ .‬ידוע כי אחראי המשמרת נותן חוות דעת חיובית ל ‪ 1/6-‬מהמועמדים‪.‬‬
‫המנהל הראשי קורא את חוות הדעת של אחראי המשמרת וב‪ 2/3-‬מהמקרים‬
‫נותן חוות דעת הפוכה מזו של אחראי המשמרת‪ .‬מנכ"ל החברה נותן חוות דעת‬
‫חיובית ל‪ 80%-‬מהמועמדים ללא קשר לחוות הדעת הקודמות‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לקבל חוות דעת חיובית מהמנהל הראשי?‬
‫ב‪ .‬ידוע כי המנהל הראשי נתן חוות דעת חיובית‪ ,‬מה ההסתברות שגם אחראי‬
‫המשמרת נתן חוות דעת חיובית?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות להתקבל לחברה?‬
‫שאלות עם נעלמים‪:‬‬
‫‪ )19‬בכד מספר מסוים של כדורים‪ 3 .‬כחולים והשאר אדומים‪.‬‬
‫הסיכוי להוציא שני כדורים אדומים מהכד (בלי החזרה) הוא ‪.5/14‬‬
‫כמה כדורים בכד?‬
‫‪ )20‬ההסתברות של צלף לפגוע במטרה בירייה הראשונה היא ‪ p‬והיא גדולה‬
‫מההסתברות שלו להחטיא‪ .‬אם הוא פוגע‪ ,‬עולה ההסתברות שלו לפגוע בירייה‬
‫הבאה ב ‪ 0.1-‬ואם הוא מחטיא היא יורדת ב ‪ .0.1-‬הצלף ירה למטרה פעמיים‪.‬‬
‫ההסתברות שפגע במטרה בדיוק בירייה אחת היא ‪.0.38‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. p‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שהצלף פגע פעמיים במטרה אם ידוע שהוא פגע בה‬
‫לפחות פעם אחת?‬
‫‪ )21‬רפי קנה במכולת חבילה של מסטיק "מנטוס"‪ .‬ידוע כי יש בחבילה ‪ 10‬סוכריות‪,‬‬
‫חלקן ורודות וחלקן צהובות‪.‬‬
‫רפי מוציא באקראי (ללא החזרה) שתי סוכריות מהחבילה שקנה‪.‬‬
‫ידוע כי ההסתברות ששתי הסוכריות תהיינה ורודות קטנה פי ‪ 4‬מההסתברות‬
‫להוציא סוכריות בצבעים שונים‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה סוכריות מכל צבע יש בכל חבילה?‬
‫ב‪ .‬רפי מחזיר את הסוכריות לחבילה ומוציא באקראי ‪ 3‬סוכריות (ללא החזרה)‪.‬‬
‫מה ההסתברות שכל הסוכריות שהוציא רפי הן צהובות?‬
‫‪63‬‬
‫שלומי‪ ,‬חברו הטוב של רפי‪ ,‬קנה ‪ 3‬חבילות "מנטוס"‪.‬‬
‫ג‪ .‬שלומי מוציא באקראי סוכרייה מכל חבילה‪ .‬האם ההסתברות של שלומי‬
‫להוציא ‪ 3‬סוכריות צהובות גבוהה או נמוכה מזו של רפי?‬
‫ד‪ .‬שלומי מוציא מכל חבילה שתי סוכריות‪ .‬מה ההסתברות שלו להוציא‬
‫מכל חבילה סוכרייה ורודה ואחר כך צהובה?‬
‫‪ )22‬בתוך כד ישנם ‪ 8‬כדורים‪ ,‬חלקם אדומים וחלקם לבנים‪ .‬מוציאים באקראי‬
‫כדור‪ ,‬מניחים אותו בצד ומוציאים כדור נוסף‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה כדורים יש בכד מכל צבע אם ידוע כי ההסתברות שהכדור‬
‫השני שהוצא הוא לבן היא ‪.3/8‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי הכדור השני שהוצא הוא לבן‪ ,‬מה ההסתברות שהכדור הראשון‬
‫שיצא הוא אדום?‬
‫‪ )23‬בכד ישנם ‪ 12‬כדורים‪ ,‬חלקם לבנים וחלקם שחורים‪ .‬אם מוציאים עם החזרה‬
‫שני כדורים מהכד ההסתברות ששניהם יהיו בעלי אותו הצבע היא ‪.13/18‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות להוציא כדור שחור אם ידוע כי יש יותר כדורים שחורים?‬
‫על ‪ 40%‬מהכדורים השחורים רשום מספר ועל מחצית הכדורים הלבנים רשום מספר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות להוציא מהכד כדור שחור שרשום עליו מספר?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מבין הכדורים שרשום עליהם מספר מהווים הכדורים הלבנים?‬
‫שאלות הנפתרות באמצעות טבלה דו‪-‬מימדית‪:‬‬
‫‪ 70% )24‬מאוהדי מכבי ת"א הם גברים והשאר נשים‪ 40% .‬מהאוהדים מעשנים‪.‬‬
‫נתון כי ‪ 45%‬מהאוהדים הם גברים שאינם מעשנים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו אחוז הנשים המעשנות מבין אוהדי מכבי?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי אוהד מכבי‪ .‬מה ההסתברות שהוא גבר או שהוא מעשן?‬
‫ג‪ .‬בוחרים באקראי אישה שאוהדת מכבי‪ .‬מה ההסתברות שהיא מעשנת?‬
‫ד‪ .‬האם מין האוהד והעובדה שהוא מעשן הם מאורעות תלויים?‬
‫‪ 65% )25‬מהפחיות המיוצרות במפעל משקאות הן רגילות והשאר דיאט‪ 80% .‬מהפחיות‬
‫המיוצרות תקינות והשאר פגומות‪ .‬נתון כי ‪ 7%‬מהפחיות הן פחיות דיאט פגומות‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים באקראי פחית‪ .‬מה ההסתברות שהיא פחית רגילה ותקינה?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי פחית דיאט‪ .‬מה ההסתברות שהיא פגומה?‬
‫ג‪ .‬בוחרים באקראי פחית פגומה‪ .‬מה ההסתברות שהיא דיאט?‬
‫ד‪ .‬האם סוג הפחית ותקינותה הם מאורעות תלויים?‬
‫‪64‬‬
‫‪ 80% )26‬מהתלמידים בכיתה עברו את המבחן בתנ"ך ו‪ 70%-‬עברו את המבחן‬
‫בהיסטוריה‪ 75% .‬מבין התלמידים שעברו את המבחן בתנ"ך עברו גם את‬
‫המבחן בהיסטוריה‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים באקראי תלמיד‪ .‬מה ההסתברות שהוא נכשל בשתי הבחינות?‬
‫ב‪ .‬תלמיד נכשל במבחן בהיסטוריה‪ .‬מה ההסתברות שהוא עבר את המבחן בתנ"ך?‬
‫ג‪ .‬ידוע שתלמיד עבר בדיוק מבחן אחד‪ .‬מה ההסתברות שזה המבחן בתנ"ך?‬
‫‪ )27‬בעיר גדולה ל‪ 80%-‬מהתושבים יש רישיון נהיגה‪ .‬מבין בעלי רישיון הנהיגה‬
‫‪ 30%‬הם גברים‪ 60% .‬מהגברים הם בעלי רישיון נהיגה‪ .‬בחרו באקראי שתי‬
‫נשים מהעיר‪ .‬מה ההסתברות שלשתיהן אין רישיון נהיגה?‬
‫‪ 10% )28‬מהאנשים באוכלוסייה עיוורי צבעים‪ .‬קיימת בדיקה הבוחנת אם אדם‬
‫הוא עיוור צבעים‪ .‬אם עיוור צבעים ניגש לבדיקה ישנו סיכוי של ‪ 80%‬שהבדיקה‬
‫תקבע שהוא עיוור צבעים‪ .‬אם אדם שאינו עיוור צבעים ניגש לבדיקה ישנו‬
‫סיכוי של ‪ 5%‬שהבדיקה תקבע שהוא עיוור צבעים‪ .‬מהם אחוזי האמינות של‬
‫הבדיקה (אחוז המקרים בהם הבדיקה מאבחנת נכונה את הנבדק)?‬
‫‪ )29‬בסניף "תנו לחיות לחיות" בירושלים יש כלבים וחתולים בלבד‪ ,‬בעלי פרווה‬
‫כהה או פרווה בהירה‪ 55% .‬מהחיות בסניף הם כלבים‪ .‬אחוז החתולים בעלי‬
‫הפרווה הכהה גדול פי ‪ 3‬מאחוז הכלבים בעלי הפרווה הבהירה‪.‬‬
‫מבין בעלי הפרווה הכהה ‪ 60%‬הם כלבים‪ .‬בוחרים באקראי חתול מהסניף‪.‬‬
‫מה ההסתברות שהוא בהיר פרווה?‬
‫‪ )30‬בית ספר תיכון מציע לתלמידיו ‪ 3‬מגמות ריאליות לבחירה‪ :‬פיזיקה‪ ,‬כימיה‬
‫ומחשבים‪ 40% .‬מתלמידי מגמות אלה הם בנים‪ .‬הבנים מהווים ‪ 2/5‬מתלמידי‬
‫הפיזיקה‪ 5/12 ,‬מתלמידי הכימיה ו ‪ 1/3-‬מתלמידי המחשבים‪.‬‬
‫‪ 1/4‬מהבנים הם תלמידי פיזיקה‪.‬‬
‫א‪ .‬האם יש תלות בין העובדה שתלמיד לומד פיזיקה למין התלמיד?‬
‫ב‪ .‬מהו אחוז לומדי המחשבים מקרב הבנים?‬
‫התפלגות בינומית ונוסחת ברנולי ‪ -‬שאלות יסודיות‪:‬‬
‫‪ )31‬אדם מסובב חמש פעמים סביבון‪ .‬מה ההסתברות שיקבל פעמיים "נס"?‬
‫‪ )32‬מה ההסתברות לקבלת ‪ 5‬פעמים "נס" בשמונה סיבובי סביבון?‬
‫‪ )33‬הסיכוי לעבור את מבחן התיאוריה הוא ‪ .0.7‬עשרה אנשים ניגשים למבחן‬
‫התיאוריה‪ .‬מהי ההסתברות שבדיוק שישה מהם יעברו?‬
‫‪65‬‬
‫‪ )34‬בכד ‪ 6‬כדורים כחולים ו ‪ 4-‬לבנים‪ .‬אדם מוציא מהכד כדור‪ ,‬מסתכל על צבעו‬
‫ומחזיר אותו לכד‪ .‬הוא חוזר על הפעולה ‪ 4‬פעמים נוספות‪.‬‬
‫מה ההסתברות שמתוך חמשת הכדורים הוציא‪:‬‬
‫א‪ .‬בדיוק ארבע יהיו כחולים?‬
‫ב‪ .‬חמישה יהיו כחולים?‬
‫ג‪ .‬לפחות ארבעה יהיו כחולים?‬
‫ד‪ .‬הרוב יהיו כחולים?‬
‫ה‪ .‬לפחות אחד יהיה כחול?‬
‫ו‪ .‬הראשון והאחרון בלבד יהיו כחולים?‬
‫‪ )35‬בכד ‪ 6‬כדורים כחולים ו ‪ 4-‬לבנים‪ .‬אדם מוציא מהכד כדור‪ ,‬מסתכל על צבעו‬
‫ומחזיר אותו לכד‪ .‬הוא חוזר על הפעולה ‪ 4‬פעמים נוספות‪ .‬ידוע שרוב הכדורים‬
‫שהוציא כחולים‪ .‬מה ההסתברות שכולם כחולים?‬
‫‪ )36‬יערה מצליחה לקלוע לסל בשלושה מכל ארבעה ניסיונות‪ .‬כדי להתקבל לנבחרת‬
‫הכדורסל של בית הספר עליה להצליח לקלוע ברוב הפעמים מתוך ‪ 6‬ניסיונות‬
‫קליעה לסל‪ .‬ידוע שיערה התקבלה לנבחרת הכדורסל‪ .‬מה ההסתברות‬
‫שהצליחה לקלוע את כל הקליעות?‬
‫התפלגות בינומית ונוסחת ברנולי ‪ -‬שאלות עם הסתברות מותנית‪:‬‬
‫‪ )37‬בכד יש ‪ 9‬כדורים‪ ,‬חלקם כחולים והשאר לבנים‪ .‬מוציאים כדור מהכד‪ ,‬אם הוא‬
‫כחול אז מחזירים אותו לכד ומוסיפים ‪ 4‬כדורים לבנים ואם הוא לבן אז‬
‫מחזירים אותו לכד ומוסיפים ‪ 4‬כדורים כחולים‪ .‬לאחר מכן מוציאים כדור‬
‫נוסף‪ .‬ידוע כי ההסתברות שהכדור הראשון שיצא הוא כחול אם ידוע כי הכדור‬
‫השני כחול היא ‪.6/11‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה כדורים כחולים יש בכד‪.‬‬
‫ב‪ .‬חוזרים על התהליך ‪ 6‬פעמים‪ ,‬כלומר בכל פעם מחזירים את המצב לקדמותו‪,‬‬
‫מוציאים באקראי כדור ופועלים בהתאם לחוקים‪.‬‬
‫מצא את ההסתברות שלפחות פעם אחת יבחרו שני כדורים כחולים בזה אחר זה‪.‬‬
‫‪ )38‬בסיטונאות מזון ידוע כי ‪ 40%‬מתוך הסכו"ם החד‪-‬פעמי הוא תוצרת חו"ל והשאר‬
‫תוצרת הארץ‪ 40% .‬מבין הסכו"ם המיובא מחו"ל הם צבעוניים והשאר שקופים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לבחור בסיטונאות המזון סכו"ם שקוף המיובא מחו"ל?‬
‫ב‪ .1 .‬בוחרים ‪ 5‬כלים בחנות באופ ן אקראי‪ .‬מה ההסתברות שלכל היותר‬
‫כלי אחד הוא כלי שקוף תוצרת חו"ל?‬
‫‪ .2‬מה ההסתברות שבדיוק אחד מחמשת הכלים הוא כלי שקוף תוצרת‬
‫חו"ל אם ידוע כי לכל היותר כלי אחד הוא שקוף תוצרת חו"ל?‬
‫‪66‬‬
‫ג‪.‬‬
‫בוחרים שני כלים באופן אקראי וידוע כי ההסתברות ששניהם שקופים‬
‫היא ‪ . 0.4096‬איזה חלק מהווים כלי הסכו"ם השקופים מבין כלי‬
‫הסכו"ם תוצרת הארץ?‬
‫‪ )39‬בחדר יש ‪ x‬גברים ו‪ 3x -‬נשים‪ .‬משחקים את המשחק הבא‪:‬‬
‫בוחרים באקראי שני אנשים מהחדר בזה אחר זה (ללא החזרה)‪.‬‬
‫ידוע כי ההסתברות לבחור שני אנשים מאותו המין היא ‪.13/22‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה נשים יש בחדר‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי האדם השני שנבחר הוא גבר‪ ,‬מה ההסתברות שגם הראשון‬
‫שנבחר הוא גבר?‬
‫ג‪ .‬משחקים את המשחק ‪ 4‬פעמים‪ .‬ידוע כי בכל הפעמים נבחר גבר בפעם‬
‫השנייה‪ ,‬מה ההסתברות שבדיוק ב‪ 3-‬פעמים יבחר גבר גם בפעם הראשונה‪.‬‬
‫התפלגות בינומית ונוסחת ברנולי ‪ -‬שאלות עם נעלמים‪:‬‬
‫‪ )40‬בוחרים שלושה גברים באקראי מעיר גדולה‪.‬‬
‫ההסתברות שכולם מעשנים היא ‪ .0.027‬מה ההסתברות שרובם מעשנים?‬
‫‪ )41‬בוחרים שלוש נשים מעיר גדולה‪ .‬ההסתברות ששתיים מהן מעשנות קטנה פי ‪4‬‬
‫מההסתברות ששתיים מהן לא מעשנות‪ .‬מה ההסתברות שכולן מעשנות?‬
‫‪ )42‬בכד ‪ 10‬כדורים‪ ,‬חלקם לבנים והשאר שחורים‪ .‬נמרוד מוציא ‪ 9‬פעמים כדור מהכד‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫(עם החזרה)‪ .‬הסיכוי שיצאו פי ‪ 2‬כדורים שחורים מלבנים גדול פי ‪ 3‬מהסיכוי‬
‫שיצאו פי ‪ 2‬כדורים לבנים משחורים‪ .‬מצא כמה כדורים מכל צבע בכד‪.‬‬
‫‪ )43‬מפעל מייצר שולחנות וכיסאות‪ .‬בוחרים ‪ 4‬רהיטים‪ .‬ידוע כי ההסתברות שכולם‬
‫יהיו כיסאות זהה להסתברות שיהיה שולחן אחד בדיוק בניהם‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ההסתברות לבחור כיסא‪.‬‬
‫במפעל צובעים את הרהיטים בשחור או לבן‪.‬‬
‫רבע מהשולחנות נצבעים בשחור ורבע מהכיסאות נצבעים בלבן‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות לבחור כיסא שחור?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מבין הרהיטים הלבנים מהווים השולחנות?‬
‫‪ )44‬בחדר ‪ x‬גברים ו ‪ 3x -‬נשים‪ .‬מוציאים באקראי שני אנשים מהחדר‪.‬‬
‫ההסתברות שהם יהיו מאותו מין היא ‪ .0.6‬מצא את גודלו של ‪. x‬‬
‫חוזרים על התהליך ‪ 4‬פעמים‪.‬‬
‫מה הסיכוי שבשלוש מתוך ‪ 4‬הפעמים ייצאו מהחדר שתי נשים?‬
‫‪67‬‬
‫‪ )45‬במבחן רב ברירה עם ‪ 5‬שאלות שוות ניקוד‪ ,‬לכל שאלה יש ‪ n‬תשובות מהן רק‬
‫אחת נכונה‪ .‬ישנו סיכוי של ‪ 50%‬ששי יידע את התשובה הנכונה לשאלה במבחן‪.‬‬
‫אם שי לא יודע את התשובה לשאלה הוא מנחש‪.‬‬
‫ההסתברות ששי יקבל במבחן ‪ 60‬גדולה פי ‪ 1 1‬מההסתברות שיקבל ‪.80‬‬
‫‪3‬‬
‫מצא את ערכו של ‪. n‬‬
‫‪ )46‬כדי להתקבל לקורס טיס יש לעבור גיבוש וראיון‪ .‬כל המועמדים ניגשים גם‬
‫לראיון וגם לגיבוש‪ 40% .‬מהניגשים לגיבוש עוברים אותו ו ‪ 35%-‬מהניגשים‬
‫לראיון עוברים אותו‪ 5/17 .‬מאלה שלא התקבלו לקורס טיס לא התקבלו בגלל‬
‫הריאיון בלבד‪ 3 .‬חברים ניסו להתקבל לקורס טיס‪ .‬ידוע שרובם התקבלו‪.‬‬
‫מה ההסתברות שכולם התקבלו?‬
‫שאלות מסכמות‪:‬‬
‫‪ )47‬כדי להתקבל לחברת היי‪ -‬טק יש לעבור ראיונות משלושה בעלי תפקידים בסדר‬
‫הבא‪ :‬מהנדס ראשי‪ ,‬אחראי משמרת ומנכ"ל החברה‪ .‬כל אחד מבעלי התפקידים‬
‫נותן חוות דעת חיובית או שלילית על המועמד לעבודה‪.‬‬
‫מועמד שמתקבל לחברה חייב לקבל חוות ד עת חיובית משלושת בעלי התפקידים‪.‬‬
‫ידוע כי המהנדס הראשי נותן חוות דעת חיובית ל‪ 3/5-‬מהמועמדים‪.‬‬
‫אחראי המשמרת קורא את חוות הדעת של המהנדס הראשי וב‪ 1/6-‬מהמקרים נותן‬
‫חוות דעת הפוכה מזו של המהנדס הראשי‪ .‬מנכ"ל החברה קורא את חוות הדעת של‬
‫אחראי המשמרת וב‪ 7/10-‬נותן חוות דעת זהה לשלו‪.‬‬
‫א‪ .1 .‬מה ההסתברות שמועמד יקבל חוות דעת חיובית מאחראי המשמרת?‬
‫‪ .2‬ידוע כי אחראי המשמרת נתן חוות חיובית‪ .‬מה ההסתברות‬
‫שהמהנדס הראשי נתן חוות דעת שלילית‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שמועמד יקבל עבודה בחברה?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שמועמד יקבל חוות דעת שלילית מהמנכ"ל?‬
‫לאחר העדר עובדים שינתה החברה את מדיניותה וקבעה כי כדי להתקבל לעבודה יש‬
‫לעבור לפחות שני ראיונות בהצלחה‪ ,‬אך חוות הדעת של המנכ"ל חייבת להיות חיובית‪.‬‬
‫ד‪ .‬מה ההסתברות כעת לקבל עבודה בחברה?‬
‫‪ )48‬במדינה מסוימת ‪ 19/60‬מהאזרחים הם גברים ו‪ 41/60-‬הן נשים‪ 30% .‬מבין מרכיבי‬
‫המשקפיים במדינה זו הם גברים ו‪ 40%-‬מבין אלו שלא מרכיבים משקפיים הם גברים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות למצוא אישה במדינה זו שלא מרכיבה משקפיים?‬
‫ב‪ .‬בוחרים ‪ 4‬אנשים‪ .‬מה ההסתברות שבדיוק שניים מהם הם נשים‬
‫שלא מרכיבות משקפיים?‬
‫ג‪ .‬בוחרים אזרח‪ .‬ידוע כי הוא גבר‪ .‬מה ההסתברות שהוא מרכיב משקפיים?‬
‫‪68‬‬
‫‪ )49‬בעיר מסוימת ההסתברות לבחור אדם מעשן גדולה פי ‪ 3‬מההסתברות לבחור אדם‬
‫המרכיב משקפיים‪.‬ידוע כי החלק של התושבים שמרכיבים משקפיים מבין כל‬
‫התושבים המעשנים הוא ‪.1/12‬‬
‫א‪ .‬מצא מהי ההסתברות לבחור מעשן מתוך כל מרכיבי המשקפיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי ‪ 15%‬מהתושבים הם מרכיבים משקפיים בלבד‪.‬‬
‫מצא את ההסתברות לבחור תושב שלא מרכיב משקפיים‪.‬‬
‫ג‪ .‬בוחרים ‪ 6‬תושבים באופן אקראי‪.‬‬
‫מה ההסתברות שמחצית מהם אינם מרכיבים משקפיים ואינם מעשנים?‬
‫‪ )50‬בבית ספר מסוים ישנם תלמידים המרכיבים משקפיים‪ .‬ידוע כי אם בוחרים ‪3‬‬
‫תלמידים אז ההסתברות ששלושתם מרכיבים משקפיים היא ‪.0.027‬‬
‫א‪ .‬מצא את אחוז מרכיבי המשקפיים בבית הספר‪.‬‬
‫בבית הספר ההסתברות להיתקל בתלמיד גדולה ב ‪ 0.1-‬מההסתברות להיתקל בתלמידה‬
‫ואחוז הבנים שמרכיבים משקפיים זהה לאחוז הבנות שמרכיבות משקפיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות להיתקל בחצר בית הספר בתלמיד שאינו מרכיב משקפיים?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מכלל הבנות בבית הספר מהוות הבנות שמרכיבות משקפיים?‬
‫ד‪ .‬בוחרים ‪ 4‬תלמידים‪ .‬ידוע כי כולן בנות‪ .‬מה ההסתברות כי אחת מהן תרכיב‬
‫משקפיים?‬
‫‪ )51‬כדי להתקבל לעבוד בחברת ההיי‪-‬טק ‪ Techno‬יש לעבור שני ראיונות משני בעלי‬
‫מקצוע‪ ,‬תחילה ע"י המהנדס הראשי ואחריו ע"י מנכ"ל החברה‪.‬‬
‫כל בעל מקצוע נותן חוות דעת חיובית‪ ,‬שלילית או שנמנע מלקבוע‪.‬‬
‫כדי שמועמד יתקבל לחברה עליו לעבור לפחות ראיון אחד עם חוות דעת חיובית‪.‬‬
‫ידוע כי המהנדס הראשי נותן חוות דעת חיובית ל‪ 1/5-‬מהמועמדים ו‪ 2/7-‬מהם הוא‬
‫משאיר ללא קביעה‪ .‬המנכ"ל קורא את חוות הדעת של המהנדס הראשי וקובע את‬
‫חוות הדעת שלו בצורה הבאה‪:‬‬
‫אם המהנדס נתן חוות דעת חיובית אז המנכ"ל ייתן גם חוות דעת חיובית ב‪60%-‬‬
‫מהמקרים‪ .‬אם המהנדס נתן חוות דעת שלילית אז המנכ"ל נמנע מלקבוע ב‪60%-‬‬
‫מהמקרים ובשאר המקרים הוא נותן חוות דעת חיובית‪ .‬אם המהנדס נמנע מלקבוע‬
‫אז המנכ"ל ייתן חוות דעת חיובית או שלילית בלבד‪ .‬הסיכוי שהמנכ"ל ייתן במקרה‬
‫זה חוות דעת חיובית גדול פי ‪ 3‬מהסיכוי שייתן חוות דעת שלילית‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לקבל חוות דעת חיובית מהמנכ"ל?‬
‫ב‪ .‬ידוע כי המנכ"ל נתן חוות דעת חיובית‪ ,‬מה ההסתברות שגם המהנדס‬
‫נתן חוות דעת חיובית?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות להתקבל לחברה?‬
‫ד‪ .‬ביום מסוים הגיעו ‪ 5‬מועמדים‪ .‬מה ההסתברות שבדיוק ‪ 3‬מהם קיבלו‬
‫עבודה באותו היום?‬
‫‪69‬‬
‫‪ )52‬בכד יש ‪ 12‬כדורים חלקם אדומים וחלקם שחורים‪.‬‬
‫מוציאים עם החזרה שני כדורים מהכד‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מספר הכדורים האדומים שבכד אם ידוע כי ההסתברות‬
‫ששני הכדורים שהוצאו הם שחורים היא ‪.4/9‬‬
‫ב‪ .‬חלק מהכדורים עשויים מעץ והשאר עשויים מפלסטיק‪.‬‬
‫ידוע כי ‪ 25%‬מהכדורים האדומים עשויים מעץ וכי ‪ 50%‬מהכדורים העשויים‬
‫מעץ הם אדומים‪ .‬מצא את ההסתברות לבחור כדור שחור העשוי מפלסטיק‪.‬‬
‫ג‪ .‬מוציאים מהכד ‪ 5‬כדורים בזה אחר זה עם החזרה‪.‬‬
‫מה ההסתברות להוציא ‪ 4‬כדורים אדומים העשויים מפלסטיק?‬
‫ד‪ .‬מוציאים מהכד ‪ 5‬כדורים בזה אחר זה עם החזרה‪.‬‬
‫ידוע כי כולם עשויים מפלסטיק‪ ,‬מה ההסתברות ש‪ 3-‬מהם בצבע אדום?‬
‫‪ )53‬בבית ספר בעיר מסוימת נערכו שני מבחנים‪ 80% .‬מהתלמידים עברו את המבחן‬
‫הראשון‪ 1/4 .‬מבין התלמידים שעברו את המבחן הראשון עברו גם את השני ו ‪1/2-‬‬
‫מהתלמידים שנכשלו במבחן הראשון נכשלו גם בשני‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים באקראי תלמיד‪.‬‬
‫מה ההסתברות שהוא עבר את אחד המבחנים בלבד?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 4‬תלמידים‪.‬‬
‫מה ההסתברות שבדיוק אחד מהם עבר את אחד המבחנים בלבד?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מבין התלמידים שנכשלו במבחן השני מהווה קבוצת‬
‫התלמידים שנכשלו גם במבחן הראשון?‬
‫‪ )54‬במפעל גדול ההסתברות שמתוך ‪ 4‬עובדים לפחות אחד ירכיב משקפיים היא ‪.0.5904‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לבחור עובד שלא מרכיב משקפיים?‬
‫ידוע כי ‪ 40%‬מהפועלים שמרכיבים משקפיים הם מעשנים ו‪ 20%-‬מבין העובדים‬
‫המעשנים הם מרכיבים משקפיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות לבחור עובד שמרכיב משקפיים בלבד או מעשן בלבד?‬
‫ג‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 5‬עובדים‪ .‬מה ההסתברות שרוב העובדים שנבחרו הם‬
‫מעשנים?‬
‫‪ )55‬במפעל לייצור ברגים פועלים שני פסי ייצור – פס ייצור א' ופס ייצור ב'‪.‬‬
‫ידוע כי אם בוחרים ‪ 5‬ברגים אז ההסתברות ש‪ 3-‬מהם מיוצרים ע"י פס הייצור‬
‫השני גדולה פי ‪ 4.5‬מההסתברות שאחד מהם מיוצר ע"י פס הייצור הנ"ל‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ההסתברות לבחור בורג המיוצר ע"י פס הייצור הראשון‪.‬‬
‫מתוך כל ‪ 100‬ברגים שהמפעל מייצר ‪ 7‬פגומים‪ .‬ומתוך כל ‪ 10‬ברגים היוצאים‬
‫מפס הייצור הראשון אחד הוא פגום‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו אחוז הברגים התקינים שמיוצרים ע"י פס הייצור השני?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מבין הברגים הפגומים מהווים אלו שיוצאים מפס הייצור הראשון?‬
‫‪70‬‬
‫‪ )56‬בכד יש פי ‪ 5‬כדורים כחולים מאדומים‪ .‬מוציאים מהכד כדור‪.‬‬
‫אם הוא כחול אז משאירים אותו בחוץ ואם הוא אדום אז מחזירים אותו לכד‪.‬‬
‫לאחר מכן מוציאים כדור נוסף מהכד‪.‬‬
‫ידוע כי ההסתברות להוציא שני כדורים בצבעים שונים היא‪.175/612 :‬‬
‫א‪ .‬כמה כדורים מכל צבע יש בכד?‬
‫ב‪ .‬ידוע כי הכדור השני שנבחר הוא כחול‪ ,‬מה ההסתברות שהכדור הראשון‬
‫שנבחר היה אדום?‬
‫ג‪ .‬חוזרים על התהליך ‪ 5‬פעמים‪ .‬ידוע כי בכל הפעמים הכדור השני שהוצא‬
‫הוא כחול‪ .‬מה ההסתברות שברוב הפעמים הכדור הראשון שיצא הוא‬
‫אדום?‬
‫‪ )57‬בחדר יש פי ‪ 4‬נשים מגברים‪ .‬משחקים את המשחק הבא‪ :‬בוחרים באקראי אדם‬
‫מהחדר‪ .‬אם נבחר גבר אז הוא יוצא מהחדר ואם נבחרה אישה אז היא נשארת‪.‬‬
‫לאחר מכן בוחרים אדם נוסף‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה גברים יש בחדר אם ידוע כי ההסתברות שייבחרו שני אנשים‬
‫שונים היא‪.236/725 :‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי בפעם השנייה נבחר גבר‪ ,‬מה ההסתברות שגם בפעם הראשונה‬
‫יבחר גבר?‬
‫ג‪ .‬משחקים את המשחק ‪ 4‬פעמים‪ .‬ידוע כי בכל ארבעת הפעמים נבחר גבר‬
‫בפעם השנייה‪ .‬מה ההסתברות שברוב המקרים יצא גבר גם בפעם‬
‫הראשונה?‬
‫‪ )58‬בעיר מסוימת נערכות בחירות‪ .‬ידוע כי אם בוחרים ‪ 4‬תושבים אז ההסתברות שלפחות‬
‫אחד מהם יצביע למועמד ב' היא ‪.65/81‬‬
‫א‪ .‬איזה חלק מהתושבים הצביעו למועמד א'?‬
‫בעיר יש תושבים מבוגרים וצעירים‪.‬‬
‫ידוע כי ‪ 2/3‬מהצעירים הצביעו למועמד א' וכי ההסתברות לבחור מבוגר שהצביע‬
‫למועמד ב' היא ‪.2/15‬‬
‫ב‪ .‬מהו אחוז התושבים הצעירים שהצביעו למועמד ב'?‬
‫ג‪ .‬איזה אחוז מהווים התושבים הצעירים מבין אלו שהצביעו למועמד א'?‬
‫‪ )59‬לכבוד חנוכה קנתה סבתא תקווה לשתי נכ דותיה‪ ,‬שני ושרון‪ ,‬סביבונים עם סוכריות‬
‫בתוכם‪ .‬בכל סביבון יש ‪ 7‬סוכריות שוקולד ו ‪ 4-‬סוכריות מנטה‪.‬‬
‫שרון לקחה סביבון אחד והוציאה ממנו באקראי (ללא החזרה) ‪ 4‬סוכריות‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שכל הסוכריות שהוציאה שרון הן סוכריות מנטה?‬
‫שני לקחה ‪ 4‬סביבונים (אחרים) והוציאה באקראי מכל סביבון סוכרייה אחת‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם ההסתברות ששני תוציא ‪ 4‬סוכריות מנטה גבוהה יותר או נמוכה‬
‫יותר מההסתברות שחשבת בסעיף א'? נמק‪.‬‬
‫‪71‬‬
‫ג‪ .‬שני הוציאה באקראי סוכרייה אחת מכל סביבון מתוך ארבעת‬
‫הסביבונים שברשותה‪ .‬ידוע שבין הסוכריות שבידה יש יותר סוכריות‬
‫מנטה‪ .‬מה ההסתברות שכל הסוכריות שיש לשני ביד יהיו בטעם מנטה?‬
‫‪ )60‬כדי לקבל עבודה בחברת ‪ Makido‬יש לעבור ראיונות משני בעלי מקצוע‪:‬‬
‫מהנדס ראשי ומנכ"ל החברה‪ .‬המהנדס הראשי נותן חוות דעת חיובית ברבע‬
‫מהמקרים‪ ,‬בשליש מהמקרים הוא נמנע מלתת חוות דעת ובשאר המקרים הוא נותן‬
‫חוות דעת שלילית‪ .‬מ נכ"ל החברה קורא את חוות הדעת של המהנדס וקובע את חוות‬
‫דעתו באופן הבא‪:‬‬
‫אם המהנדס נתן חוות דעת חיובית אז הוא נותן חוות דעת חיובית ב‪ 90%-‬מהמקרים‬
‫וב ‪ 10%-‬מהמקרים הוא נמנע מלתת חוות דעת‪ .‬אם המהנדס נמנע מלקבוע אז המנכ"ל‬
‫נותן חוות דעת שלילית במחצית המקרים או חיובית במחצית המקרים‪.‬‬
‫אם המהנדס נותן חוות דעת שלילית אז ההסתברות שהמנכ"ל ייתן חוות דעת חיובית‬
‫גדולה פי ‪ 2‬מההסתברות שימנע מלתת דעת וההסתברות שימנע מלתת חוות דעת‬
‫גדולה פי ‪ 2‬מההסתברות שייתן חוות דעת שלילית‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שמועמד יקבל חוות דעת חיובית לפחות באחד הראיונות?‬
‫ב‪ .‬אם ידוע כי מועמד קיבל חוות דעת חיובית אחת לפחות מה ההסתברות‬
‫שהמהנדס ימנע מלתת חוות דעת?‬
‫ג‪ .1 .‬מה ההסתברות שמתוך ‪ 5‬מועמדים לפחות אחד יקבל עבודה אם‬
‫ידוע כי כדי להתקבל לעבודה יש לקבל שתי חוות דעת חיוביות?‬
‫‪ .2‬כיצד תשתנה התוצאה של חלק ‪ 1‬אם כדי לקבל עבודה יש לקבל‬
‫לפחות חוות דעת חיובית אחת ואף חוות דעת שלילית?‬
‫‪ )61‬בעיר מסוימת נערכו בחירות מקומיות‪ .‬ידוע כי אם בוחרים באקראי ‪ 4‬אזרחים‬
‫שתמַ צא אישה אחת ביניהם קטנה פי ‪ 16‬מההסתברות להיתקל באישה‬
‫ההסתברות ִ‬
‫באופן אקראי‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הוא אחוז הגברים בעיר?‬
‫בעיר שלושה מועמדים‪ 1/11 .‬מהמצביעים למועמד א' הם גברים‪60% ,‬‬
‫מהמצביעים למועמד ב' הם גברים ו‪ 25%-‬מהמצביעים למועמד ג' הם גברים‪.‬‬
‫אחוז המצביעים למועמד ג' הוא ‪.20%‬‬
‫ב‪ .‬איזה מועמד קיבל את רוב הקולות?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מבין כל הנשים מהווה קבוצת הנשים שהצביעו למועמד המנצח?‬
‫‪ )62‬בחדר ‪ x‬גברים ו ‪ x  2 -‬נשים‪ .‬זורקים קוביית משחק מאוזנת‪.‬‬
‫אם מתקבל מספר הגדול מ ‪ 4-‬אז מוסיפים לחדר ‪ x‬גברים ואם מתקבל מספר הקטן או‬
‫שווה ל‪ 4-‬אז מוסיפים לחדר ‪ x‬נשים‪.‬‬
‫לאחר מכן מוציאים אדם מהחדר‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה נשים יש בחדר אם ידוע כי ההסתברות לבחור אישה היא ‪.21/33‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שתצא אישה מהחדר לאחר שנוספו לחדר נשים אם‬
‫ידוע כי וודאי יצאה אישה מהחדר?‬
‫‪72‬‬
‫אנשי החדר לובשים חולצות אדומות או לבנות בלבד‪ .‬ידוע כי החלק היחסי של‬
‫האנשים הלובשים חולצות לבנות בחדר גדול פי ‪ 16‬מהחלק היחסי של הגברים‬
‫הלובשים חולצות אדומות‪ .‬כמו כן ההסתברות של הגברים מבין כל אלו‬
‫שלובשים חולצות אדומות היא ‪.0.25‬‬
‫ג‪ .‬מצא מה ההסתברות לבחור גבר הלובש חולצה אדומה בחדר‪.‬‬
‫ד‪ .1 .‬בוחרים ‪ 5‬אנשים מהחדר (ללא הוצאה) וידוע כי כולם לובשים‬
‫חולצות אדומות‪ .‬מה ההסתברות שרובם נשים?‬
‫‪ .2‬מה ההסתברות שכל הנשים לובש ות חולצות אדומות אם ידוע‬
‫כי רוב הנשים לובשות חולצות אדומות?‬
‫‪ )63‬באוניברסיטה מסוימת ידוע כי חלק מהסטודנטים נעזרים בספרי לימוד חיצוניים‬
‫להעשרת הידע שלהם‪ ,‬וכי ההסתברות לבחור ‪ 2‬סטודנטים הנעזרים בספרי לימוד‬
‫חיצוניים קטנה ב‪ 0.1-‬מההסתברות לבחור שני סטודנטים שלא נעזרים בספרי לימוד‬
‫חיצוניים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו אחוז הסטודנטים שנעזרים בספרי לימוד חיצוניים?‬
‫האוניברסיטה מוכרת ספרי לימוד ב‪ 3-‬מקצועות לכלל הסטודנטים‪:‬‬
‫ספר א'‪ ,‬ספר ב' וספר ג'‪ .‬כל סטודנט יכול לקנות רק ספר אחד‪.‬‬
‫ידוע כי כמות הסטודנטים שקנו את ספר א' וכמות הסטודנטים שקנו את ספר ג'‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫זהות‪ .‬כמוכן‪ ,‬מאלו שקנו את ספר ג' נעזרים גם בספרים חיצוניים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫מהסטודנטים שקנו את ספר ב' נעזרים בספרי לימוד חיצוניים וכמות‬
‫‪1‬‬
‫הסטודנטים שקנו את ספר א' ונעזרים בספרי לימוד חיצוניים מהווים מכלל‬
‫‪9‬‬
‫הסטודנטים שנעזרים בספרי לימוד חיצוניים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו אחוז הסטודנטים שקנו את ספר ב' ולא נעזרים בספרי לימוד חיצוניים?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מהווים הסטודנטים שקנו את ספר ג' מכלל הסטודנטים‬
‫שלא נעזרים בספרי לימוד חיצוניים?‬
‫ד‪ .‬בוחרים ‪ 4‬סטודנטים שלא נעזרים בספרי לימוד חיצוניים‪.‬‬
‫מה ההסתברות שאחד מהם קנה את ספר ג'?‬
‫‪73‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪. P( A  B)  0.35 )5 . P( A  B)  0.9 )4 .0.75 )3 .0.75 )2 .0.3 )1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )6‬לא זרים ותלויים‪ )8 . P( A  B)  0.85 )7 .‬א‪ . .‬ב‪ . .‬ג‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15‬‬
‫‪1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪77‬‬
‫‪8‬‬
‫‪17‬‬
‫‪31‬‬
‫‪19‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ )13 .‬א‪ . .‬ב‪ . .‬ג‪. .‬‬
‫‪ .‬ב‪ . .‬ג‪)12 . )11 . )10 . .‬‬
‫‪ )9‬א‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15‬‬
‫‪144‬‬
‫‪15‬‬
‫‪42‬‬
‫‪100‬‬
‫‪50‬‬
‫‪50‬‬
‫‪1‬‬
‫‪15‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9‬‬
‫‪38‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ .‬ג‪ )16 . )15 . .‬א‪ . .‬ב‪. )17 . .‬‬
‫‪ .‬ב‪.‬‬
‫‪ )14‬א‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪16‬‬
‫‪15‬‬
‫‪17‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫‪38‬‬
‫‪26‬‬
‫‪1‬‬
‫‪11‬‬
‫‪21‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ 8 )19‬כדורים‪ )20 .‬א‪ . p  0.6 .‬ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ )18‬א‪.‬‬
‫‪45‬‬
‫‪11‬‬
‫‪18‬‬
‫‪40‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 27 1 ‬‬
‫ג‪ .‬גבוהה ‪ ‬‬
‫‪ ‬ד‪. P  0.0189 .‬‬
‫‪ )21‬א‪ 4 .‬ורודות ו‪ 6-‬צהובות ב‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ 125 6 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ )23‬א‪ P  .‬ב‪ P  .‬ג‪. .‬‬
‫‪ )22‬א‪ 5 .‬אדומים ו ‪ 3-‬לבנים ב‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ )24‬א‪ .15% .‬ב‪ . 0.85 .‬ג‪ . 0.5 .‬ד‪ .‬כן‪ )25 .‬א‪ . 0.52 .‬ב‪ . 0.2 .‬ג‪ . 0.35 .‬ד‪ .‬בלתי תלויים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. )29 . 93.5% )28 .‬‬
‫‪ )26‬א‪ . 0.1 .‬ב‪ . .‬ג‪)27 . .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪225‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )30‬א‪ .‬בלתי תלויים‪ .‬ב‪. 0.2001 )33 . 0.023 )32 . 0.264 )31 .12.5% .‬‬
‫‪ )34‬א‪ . 0.259 .‬ב‪ . 0.078 .‬ג‪ . 0.337 .‬ד‪ . 0.683 .‬ה‪ . 0.98976 .‬ו‪. 0.114 )35 . 0.023 .‬‬
‫‪ )37 . 0.214 )36‬א‪ 6 .‬כדורים כחולים ב‪.0.88989 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪30‬‬
‫‪ )38‬א‪ 0.24 .‬ב‪0.61224 .2 0.65389 .1 .‬‬
‫ג‪. 0.0196 .‬‬
‫‪ )39‬א‪ 9 .‬נשים ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫‪3‬‬
‫‪49‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 4 )42 . 0.008 )41 . 0.216 )40‬לבנים‪ 6 ,‬שחורים‪ )43 .‬א‪ P  0.8 .‬ב‪ P  0.6 .‬ג‪. .‬‬
‫‪7‬‬
‫‪32‬‬
‫‪71‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪17‬‬
‫‪5‬‬
‫ד‪. .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪ )44‬א‪ . x  4 .‬ב‪ )47 . )46 . n  5 )45 . 0.299 .‬א‪.1 .‬‬
‫‪150‬‬
‫‪20‬‬
‫‪17‬‬
‫‪75‬‬
‫‪30‬‬
‫‪90‬‬
‫‪1‬‬
‫‪15‬‬
‫‪ )49‬א‪ P B A  .‬ב‪ P(A)  0.8 .‬ג‪. P6  3  0.1318 .‬‬
‫‪ )48‬א‪ P  0.1 .‬ב‪ P  0.0486 .‬ג‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪19‬‬
‫‪31‬‬
‫‪2‬‬
‫‪27‬‬
‫‪32‬‬
‫‪1‬‬
‫ד‪. P  0.34414 .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ )51 P ‬א‪.‬‬
‫‪ )50‬א‪ 30% .‬ב‪ P  0.4 .‬ג‪ .‬ד‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪50‬‬
‫‪81‬‬
‫‪3‬‬
‫‪50‬‬
‫‪1‬‬
‫‪189‬‬
‫‪15‬‬
‫‪7‬‬
‫ג‪ 0.0146 .‬‬
‫‪ P ‬ג‪. .‬‬
‫ד‪ )53 0.1323 .‬א‪ P  0.7 .‬ב‪.‬‬
‫‪ )52‬א‪ 4 .‬כדורים ב‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2500‬‬
‫‪1024‬‬
‫‪12‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )54‬א‪ P  0.8 .‬ב‪ P  0.44 .‬ג‪ )55 P  0.31744 .‬א‪ P  0.4 .‬ב‪ 95% .‬ג‪. .‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ )56‬א‪ 15 .‬כחולים ו ‪ 3-‬אדומים ב‪ 17/101 .‬ג‪. 0.03645 .‬‬
‫‪25‬‬
‫‪ P 1 2 ‬ג‪. 0.0193 .‬‬
‫‪ )57‬א‪ 6 .‬גברים ו ‪ 24-‬נשים ב‪ .‬הסתברות לגבר בפעם הראשונה‪:‬‬
‫‪141‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 256‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬ג‪. .‬‬
‫ב‪ 20% .‬ג‪ )59 60% .‬א‪.‬‬
‫‪ )58‬א‪.‬‬
‫ב‪ .‬גבוהה יותר ‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪330‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 14641 330 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪14‬‬
‫‪55‬‬
‫ג‪ )61 0.9324 .2 0.7204 .1 .‬א‪ 25% .‬ב‪ .‬מועמד א' ג‪. .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ )60‬א‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪55‬‬
‫‪84‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪459‬‬
‫‪16‬‬
‫ד‪. P  0.2732 .‬‬
‫‪ )63‬א‪ 45% .‬ב‪ 20% .‬ג‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫ג‪ 0.05 .‬ד‪.1 .‬‬
‫‪ )62‬א‪ 5 .‬נשים‪ .‬ב‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫‪34‬‬
‫‪512‬‬
‫‪21‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪74‬‬
‫שאלות שונות לפי נושאים‪:‬‬
‫כפל וחיבור הסתברויות – מאורעות בלתי תלויים‪:‬‬
‫‪ )1‬בבניין העירייה יש שני מתקני הבטחה נגד פורצים‪.‬‬
‫ההסתברות שהמתקן הראשון יפעל בזמן אמת היא ‪ 0.92‬וההסתברות שהמתקן‬
‫השני יפעל בזמן אמת היא ‪.0.86‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שהמתקן הראשון יפעל והשני לא?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות ששני המתקנים יפעלו?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שאף מתקן לא יפעל?‬
‫‪ )2‬צובעים את הפאות של קובייה בת ‪ 8‬פאות כך‪ 3 :‬פאות כחולות‪ 2 ,‬פאות‬
‫אדומות‪ 2 ,‬פאות צהובות ופאה אחת ירוקה‪ .‬זורקים את הקובייה פעמיים‪.‬‬
‫חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬שתי הפאות הן בצבע ירוק‪.‬‬
‫ב‪ .‬שתי הפאות הן בצבע כחול‪.‬‬
‫ג‪ .‬שתי הפאות באותו הצבע‪.‬‬
‫‪ )3‬בכד יש ‪ 6‬כדורים שחורים ו‪ 4-‬לבנים‪ .‬מוציאים כדור מהכד ולאחר הסתכלות בצבעו‬
‫מחזירים אותו לכד ומוציאים כדור נוסף‪ .‬חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬ששני הכדורים שהוצאו הם שחורים‪.‬‬
‫ב‪ .‬ששני הכדורים הם מאותו הצבע‪.‬‬
‫ג‪ .‬שהכדור השני הוא לבן‪.‬‬
‫‪ )4‬בכד יש ‪ 4‬כדורים אדומים‪ 3 ,‬כדורים לבנים ו‪ 2-‬כדורים כחולים‪ .‬מוציאים שני‬
‫כדורים מהכד עם החזרה‪ ,‬דהיינו‪ ,‬לאחר הוצאת הכדור הראשון‪ ,‬מחזירים אותו‬
‫בחזרה לכד ורק אז מוציאים את הכדור השני‪ .‬חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬ששני הכדורים שהוצאו הם לבנים‪.‬‬
‫ב‪ .‬ששני הכדורים שהוצאו הם מאותו הצבע‪.‬‬
‫ג‪ .‬ששני הכדורים שהוצאו לא כחולים‪.‬‬
‫ד‪ .‬שהכדור השני הוא כחול‪.‬‬
‫‪ )5‬כדי לקבל תואר במכללת חולון יש לעבור לפחות שניים מתוך שלושה מבחנים‪.‬‬
‫ההסתברות שדורון יעבור את המבחן הראשון היא ‪ .0.9‬ההסתברות שיעבור את‬
‫המבחן השני היא ‪ 0.6‬וההסתברות שיעבור את המבחן השלישי היא ‪.0.8‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שדורון יעבור רק מבחן אחד?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שדורון יעבור את שלושת המבחנים?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שדורון יעבור לכל היותר שני מבחנים?‬
‫ד‪ .‬מה ההסתברות שדורון יקבל תואר?‬
‫‪75‬‬
‫‪ )6‬בתוך שקית ישנם ‪ 4‬קלפים אדומים‪ 3 ,‬קלפים צהובים וקלף אחד ירוק‪.‬‬
‫מוציאים עם החזרה שלושה קלפים מהשקית‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שבכל שלושת הפעמים יצא הקלף הירוק?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שיצאו שני קלפים צהובים?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שכל הקלפים יהיו בעלי אותו הצבע?‬
‫כפל וחיבור הסתברויות – מאורעות תלויים‪:‬‬
‫‪ )7‬תלמיד הרוצה להוציא רישיון לרכב צריך לעבור בחינה עיונית ולאחר מכן בחינה‬
‫מעשית‪ .‬ההסתברות שיעבור את הבחינה העיונית היא ‪ .0.7‬אם הוא עבר את‬
‫הבחינה העיונית אז ההסתברות שיעבור את הבחינה המעשית היא ‪ 0.9‬ואם הוא‬
‫נכשל בבחינה העיונית אז ההסתברות שיעבור את הבחינה המעשית היא ‪.0.5‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שיעבור התלמיד רק את הבחינה המעשית?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שהתלמיד ייכשל בשתי הבחינות?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שתלמיד יעבור את שתי הבחינות?‬
‫‪ )8‬בכד ‪ 5‬כדורים אדומים ו‪ 3-‬כדורים ירוקים‪ .‬מוציאים באקראי כדור מהכד‪ ,‬אם‬
‫הוא אדום אז מחזירים אותו חזרה לכד ומוציאים כדור נוסף‪ .‬אם הוא ירוק אז‬
‫משאירים אותו בחוץ ומוציאים כדור נוסף‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות ששני הכדורים שהוצאו הם ירוקים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שהכדור השני שהוצא הוא אדום?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות ששני הכדורים שהוצאו בעלי אותו הצבע?‬
‫‪ )9‬בתוך ארגז ישנם ‪ 7‬ספלים הממוספרים מ‪ 1-‬עד ‪.7‬‬
‫מוציאים ספל אחד‪ ,‬משאירים אותו בחוץ ומוציאים ספל נוסף‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות ששני הספלים שהוצאו הם בעלי מספרים זוגיים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות ששני הספלים שהוצאו הם בעלי מספרים המתחלקים ב‪?3-‬‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות ששני הספלים שהוצאו הם בעלי מספרים שסכומם גדול מ ‪?10-‬‬
‫‪ )10‬במעטפה יש ‪ 30‬בולים‪ ,‬מתוכם ‪ 6‬בולים פגומים‪.‬‬
‫מוציאים שני בולים בזה אחר זה מהמעטפה‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות ששני הבולים שהוצאו הם פגומים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שהבול הראשון שהוצא אינו פגום אך הבול השני פגום?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שהבול השני פגום?‬
‫ד‪ .‬מה ההסתברות ששני הבולים או פגומים או אינם פגומים?‬
‫‪76‬‬
‫‪ )11‬בכיתה ישנם ‪ 24‬בנים ו‪ 18-‬בנות‪ .‬מוציאים באקראי ‪ 3‬ילדים מהכיתה בזה אחר זה‪.‬‬
‫חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬שכל שלושת הילדים יהיו בנים‪.‬‬
‫ב‪ .‬שכל שלושת הילדים יהיו מאותו המין‪.‬‬
‫ג‪ .‬שתהיה בקבוצה לפחות בת אחת‪.‬‬
‫ד‪ .‬שיהיה בקבוצה לכל היותר בן אחד‪.‬‬
‫‪ )12‬בתוך שקית יש ‪ 6‬חטיפי "מקופלת" ו‪ 4-‬חטיפי "במבה"‪.‬‬
‫מוציאים באקראי ‪ 3‬חטיפים מהשקית בזה אחר זה‪ .‬חשב את‪:‬‬
‫א‪ .‬ההסתברות שיצאו ‪ 3‬חטיפי במבה‪.‬‬
‫ב‪ .‬ההסתברות שיצאו לכל היותר שני חטיפי במבה‪.‬‬
‫ג‪ .‬ההסתברות שיצאו לפחות שני חטיפי מקופלת‪.‬‬
‫‪ )13‬צלף יורה למטרה שלוש פעמים‪ .‬ההסתברות שיקלע בפעם הראשונה היא ‪.0.7‬‬
‫ההסתברות שיקלע לאחר מכן תלויה בקליעה הקודמת‪ .‬אם קלע הצלף בירייה‬
‫הקודמת אז ההסתברות שלו לקלוע שנית היא ‪ 0.8‬אך אם הוא החטיא אז‬
‫ההסתברות שלו לקלוע כעת היא ‪.0.6‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שיקלע בכל שלושת הפעמים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שיקלע בירייה השלישית בלבד?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שיקלע הקלע בירייה אחת בלבד?‬
‫ד‪ .‬מה ההסתברות שיקלע לכל היותר פעם אחת?‬
‫‪ )14‬שחקן כדורגל בועט לשער שלוש פעמים‪ .‬ההסתברות שיבקיע בפעם הראשונה‬
‫היא ‪ . 0.6‬ההסתברות שיבקיע לאחר מכן תלויה בבקיעה הקודמת‪ .‬אם השחקן‬
‫הבקיע אז ההסתברות שיבקיע שנית היא ‪ 0.8‬אך אם הוא החמיץ אז‬
‫ההסתברות שיחמיץ שנית היא ‪ .0.3‬חשב את‪:‬‬
‫א‪ .‬ההסתברות שיבקיע השחקן בכל שלושת הפעמים‪.‬‬
‫ב‪ .‬ההסתברות שיבקיע השחקן בפעם השנייה בלבד‪.‬‬
‫ג‪ .‬ההסתברות שיבקיע השחקן פעם אחת בלבד‪.‬‬
‫ד‪ .‬ההסתברות שיבקיע השחקן לפחות פעם אחת‪.‬‬
‫‪77‬‬
‫תרגילים הכוללים שימוש בדיאגרמת עץ‪:‬‬
‫‪ )15‬בעיר מסוימת ‪ 40%‬מהתושבים הם גברים והשאר נשים‪.‬‬
‫ידוע כי ‪ 40%‬מהגברים מרכיבים משקפיים ו‪ 60%-‬מהנשים לא מרכיבות‬
‫משקפיים‪ .‬בוחרים באקראי תושב מהעיר‪ .‬חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬שנבחר גבר שלא מרכיב משקפיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬שנבחרה אישה שמרכיבה משקפיים‪.‬‬
‫ג‪ .‬שהתושב שנבחר מרכיב משקפיים‪.‬‬
‫‪ )16‬צל ף יורה למטרה שלוש פעמים‪ .‬אם בירייה הקודמת הוא פגע אז ההסתברות‬
‫שיפגע שוב בירייה הבאה היא ‪ 0.8‬אך אם הוא החטיא בירייה הקודמת אז‬
‫ההסתברות שיפגע בירייה שאחריה היא ‪ .0.6‬הצלף החטיא בירייה הראשונה‪.‬‬
‫חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬הצלף יחטיא גם בשתי היריות הבאות‪.‬‬
‫ב‪ .‬הצלף יפגע בירייה השלישית‪.‬‬
‫ג‪ .‬הצלף יפגע בירייה אחת בלבד‪.‬‬
‫ד‪ .‬הצלף יחטיא בירייה השלישית‪.‬‬
‫‪ )17‬אם ביום מסוים יורד גשם אז ההסתברות שביום שאחריו לא ירד גשם היא ‪ 0.4‬אך‬
‫אם ביום מסוים לא יורד גשם ההסתברות שירד גשם ביום שאחריו היא ‪.0.9‬‬
‫ביום שלישי ירד גשם‪ .‬חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬ביום חמישי לא ירד גשם‪.‬‬
‫ב‪ .‬בימים‪ :‬שלישי‪ ,‬רביעי וחמישי ירד גשם‪.‬‬
‫ג‪ .‬בימים רביעי וחמישי לא ירד גשם‪.‬‬
‫‪ )18‬במפעל שמיכות שלושה פסי ייצור‪ .‬פס הייצור הראשון מייצר ‪ 40%‬מהמוצרים‪ ,‬פס‬
‫הייצור השני מייצר ‪ 30%‬מהמוצרים ופס הייצור השלישי מייצר את ה ‪30%-‬‬
‫הנותרים‪ 50% .‬מהמוצרים של פס הייצור הראשון‪ 10% ,‬מהמוצרים של פס הייצור‬
‫השני ו‪ 80%-‬ממוצרי הפס השלישי מיועדים ליצוא‪ .‬בוחרים באקראי מוצר‪ .‬חשב את‪:‬‬
‫א‪ .‬ההסתברות שהמוצר מיוצר על ידי פס הייצור השני ומיועד לייצוא‪.‬‬
‫ב‪ .‬ההסתברות שהמוצר מיועד ליצוא‪.‬‬
‫ג‪ .‬ההסתברות שהמוצר לא יוצר על ידי פס הייצור הראשון ואינו מיועד לייצוא‪.‬‬
‫‪ )19‬במשחק "חיש ‪-‬חש" אפשר לזכות ב‪ ₪ 50 ,₪ 100-‬או לא לזכות כלל‪.‬‬
‫ההסתברות לזכות במשחק בודד ב‪ ₪ 100-‬היא ‪ ,0.2‬ההסתברות לזכות ב ‪₪ 50-‬‬
‫היא ‪ 0.35‬וההסתברות לא לזכות כלל היא ‪ .0.45‬רועי משחק פעמיים‪ .‬חשב את‪:‬‬
‫א‪ .‬ההסתברות שרועי יזכה ב‪ ₪ 50-‬בסה"כ‪.‬‬
‫ב‪ .‬ההסתברות שרועי יזכה לפחות ב‪.₪ 100-‬‬
‫ג‪ .‬ההסתברות שרועי לא יזכה במשחק השני‪.‬‬
‫‪78‬‬
‫‪ )20‬בכד א' יש ‪ 5‬כדורים אדומים ו‪ 2-‬כדורים לבנים‪ .‬בכד ב' יש ‪ 4‬כדורים אדומים‬
‫ו‪ 6-‬כדורים לבנים‪ .‬בוחרים באקראי כד ומוציאים ממנו בזה אחר זה שני‬
‫כדורים בלי החזרה‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שיצאו שני כדורים בעלי אותו הצבע?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שהכדור השני הוא אדום?‬
‫ג‪ .‬מבין כל האפשרויות בהן הכדור השני הוא אדום‪ ,‬מה ההסתברות שגם‬
‫הכדור הראשון שיצא יהיה אדום?‬
‫‪ )21‬זורקים קוביית משחק פעם אחת‪ .‬אם היא מראה מספר המתחלק ב ‪ 3-‬בלי‬
‫שארית רושמים אותו אך אם היא מראה מספר אחר זורקים אותה שנית‪.‬‬
‫חוזרים על הת הליך פעם שנייה ושלישית כאשר בפעם השלישית רושמים את‬
‫המספר שהתקבל‪ .‬חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬המספר שנרשם הוא זוגי‪.‬‬
‫ב‪ .‬המספר שנרשם גדול מ‪.4-‬‬
‫ג‪ .‬המספר שנרשם מתחלק ב‪ 3-‬בלי שארית‪.‬‬
‫ד‪ .‬המספר שנרשם לא מתחלק ב‪.3-‬‬
‫‪ )22‬ישנם שני כדים‪ .‬בכד א' יש ‪ 4‬כדורים כחולים ו‪ 2-‬כדורים צהובים ובכד ב' יש ‪3‬‬
‫כדורים כחולים ו ‪ 6-‬כדורים צהובים‪ .‬זורקים קובייה‪ .‬אם מתקבל מספר‬
‫המתחלק ב ‪ 3-‬בלי שארית אז מוציאים כדור מכד א' ואם מתקבל מספר שאינו‬
‫מתחלק ב‪ 3-‬אז מוציאים כדור מכד ב'‪ .‬לאחר מכן זורקים את הקובייה שנית‬
‫וחוזרים על התהליך ומוציאים כדור שני‪( .‬ההוצאות הן בלי החזרה)‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שיבחרו שני כדורים כחולים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שיבחרו שני כדורים צהובים?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שיבחרו שני כדורים מאותו הצבע?‬
‫‪ )23‬בכד יש ‪ 4‬כדורים ירוקים ו‪ 2-‬כדורים לבנים‪ .‬מוציאים כדור מהכד‪ ,‬אם הוא‬
‫ירוק אז משאירים אותו בחוץ ומוציאים כדור נוסף ואם הוא לבן אז מחזירים‬
‫אותו לכד ולאחר מכן מוציאים כדור נוסף‪ .‬חוזרים על התהליך פעם שנייה‬
‫ולאחר מכן מוציאים כדור שלישי‪ .‬חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברויות ששלושת הכדורים שהוצאו יהיו ירוקים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות ששלושת הכדורים שהוצאו יהיו בעלי אותו הצבע?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שיצאו לפחות שני כדורים ירוקים?‬
‫ד‪ .‬מה ההסתברות שיצא בדיוק כדור לבן אחד?‬
‫‪ )24‬בכד יש ‪ 8‬כדורים שחורים ו‪ 5-‬כדורים סגולים‪ .‬מוציאים בלי החזרה ‪ 3‬כדורים‪.‬‬
‫מה ההסתברות שיצא לפחות כדור אחד סגול?‬
‫‪79‬‬
‫תרגילים עם נעלמים – כפל וחיבור הסתברויות‪ ,‬דיאגרמת עץ‪:‬‬
‫מציאת ההסתברות ‪:P‬‬
‫‪ )25‬קלע יורה למטרה פעמיים‪ .‬ההסתברות שיקלע בירייה בודדת היא ‪.)P < 0.5( P‬‬
‫מצא את ‪ P‬אם ידוע כי ההסתברות שיקלע פעם אחת בדיוק היא ‪.0.48‬‬
‫‪ 44% )26‬מעובדי מפעל הם מנהלים והשאר הם פועלים‪ .‬ההסתברות שפועל מעשן‬
‫היא ‪ 0.7‬וההסתברות שמנהל מעשן היא ‪ .P‬בוחרים באקראי עובד מהמפעל‪.‬‬
‫מצא את ‪ P‬אם ידוע כי ההסתברות שהעובד שנבחר מעשן היא ‪.0.48‬‬
‫‪ )27‬במפעל מסוים המונה ‪ 5000‬עובדים‪ 1500 ,‬הם מנהלים והשאר הם פועלים פשוטים‪.‬‬
‫ההסתברות שמנהל מעשן היא ‪ P‬וההסתברות שפועל מעשן היא ‪.2P+0.1‬‬
‫בוחרים באקראי עובד‪ .‬מצא את ההסתברות ‪ P‬אם ידוע כי ההסתברות שהעובד‬
‫שנבחר אינו מעשן היא ‪.0.59‬‬
‫‪ )28‬ההסתברות שקלע יפגע במטרה בירייה בודדת היא ‪ .P‬הקלע יורה שתי יריות‪.‬‬
‫מצא את ‪ P‬אם ידוע כי ההסתברות שיפגע בשתי הפעמים קטנה פי ‪16‬‬
‫מההסתברות שיחטיא בשתיהן‪.‬‬
‫‪ )29‬שני צלפים יורים למטרה ירייה אחת‪ .‬ידוע כי ההסתברות שהצלף הראשון יפגע‬
‫גדולה פי ‪ 3‬מההסתברות שהצלף השני יפגע‪ .‬מצא את ההסתברות של כל צלף‬
‫לפגוע בירייה בודדת אם ידוע כי ההסתברות שבדיוק אחד מהם יפגע היא ‪.0.66‬‬
‫‪ )30‬במשחק "חיש חש" אפשר לזכות ב ‪ ₪ 100 ,₪ 200-‬או בכלום‪ .‬ידוע כי‬
‫ההסתברות לזכות ב‪ ₪ 200-‬היא ‪ 0.1‬וההסתברות לזכות ב‪ ₪ 100-‬היא ‪.P‬‬
‫שחקן משחק שני משחקים‪ .‬ההסתברות שלא יזכה כלל גדולה פי ‪36‬‬
‫מההסתברות שיזכה ב‪.₪ 400-‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪.P‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ההסתברות של השחקן לזכות לפחות ב‪.₪ 200-‬‬
‫‪ )31‬שני שחקני שחמט משחקים שני משחקים‪ .‬ידוע כי ההסתברות של השחקן הראשון‬
‫לנצח במשחק בודד היא ‪ 0.36‬וההסתברות שינצח בתחרות כולה היא ‪.0.2304‬‬
‫א‪ .‬מצא את ההסתברות שהשחקן השני ינצח במשחק בודד‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ההסתברות שהתחרות כולה תסתיים בתיקו‪.‬‬
‫‪80‬‬
‫‪ )32‬שני שחקני שחמט משחקים שני משחקים‪ .‬ההסתברות של כל שחקן לנצח‬
‫במשחק בודד היא זהה‪ .‬ההסתברות שהשחקן הראשון ינצח לפחות במשחק‬
‫אחד היא ‪ . 0.64‬מצא את ההסתברות של כל שחקן לנצח במשחק בודד‪.‬‬
‫‪ )33‬צלף יורה שלוש יריות למטרה‪ .‬אם הצלף פוגע בירייה מסוימת אז ההסתברות‬
‫שיפגע גם בירייה הבאה היא ‪ .Q‬אם הצלף מחטיא בירייה מסוימת אז‬
‫ההסתברות שיפגע בירייה הבאה היא ‪ .P‬הצלף מחטיא בירייה הראשונה‪ .‬ידוע‬
‫כי ההסתברות שה צלף יפגע בירייה השנייה והשלישית היא ‪ 0.12‬וההסתברות‬
‫שהצלף יפגע בירייה השנייה ויחטיא בשלישית היא ‪.0.18‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ P‬ו‪.Q-‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ההסתברות שהצלף יפגע בירייה השלישית‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את ההסתברות שהצלף יפגע בירייה אחת לפחות‪.‬‬
‫‪ )34‬שני שחקני כדורסל זורקים זריקה אחת לסל‪ .‬ההסתברות שהשחקן הראשון‬
‫יקלע היא ‪ P‬וההסתברות שהשחקן השני יחטיא היא ‪.)Q < 0.5( Q‬‬
‫ידוע כי ההסתברות ששני השחקנים יקלעו היא ‪ 0.28‬וההסתברות ששני‬
‫השחקנים יחטיאו היא ‪ .0.18‬מצא את ‪ P‬ו‪.Q-‬‬
‫מציאת מספר ‪:x‬‬
‫‪ )35‬בכד יש ‪ x‬כדורים‪ 8 .‬מהם ירוקים והשאר כחולים‪ .‬מוציאים באקראי עם‬
‫החזרה שני כדורים מהכד‪ .‬מצא את ‪ x‬אם ידוע כי ההסתברות להוציא שני‬
‫כדורים ירוקים היא ‪.0.64‬‬
‫‪ )36‬בכד יש ‪ 12‬כדורים חלקם אדומים וחלקם שחורים‪ .‬מוציאים עם החזרה שני‬
‫כדורים מהכד‪ .‬מצא את מספר הכדורים האדומים שבכד אם ידוע כי‬
‫ההסתברות ששני הכדורים שהוצאו הם שחורים היא ‪.4/9‬‬
‫‪ )37‬במעטפה יש ‪ 8‬מכתבים‪ .‬רובם מיועדים להישלח בתוך הארץ והשאר לחו"ל‪.‬‬
‫מוציאים באופן אקראי מהמעטפה שני מכתבים בלי החזרה בזה אחר זה‪.‬‬
‫מצא את מספר המכתבים המיועדים להישלח לחו"ל אם ידוע כי ההסתברות‬
‫שהמכתב הראשון שהוצא מיועד לארץ והשני לחו"ל היא ‪.3/14‬‬
‫‪ )38‬בכד יש ‪ 8‬כדורים ירוקים והשאר כחולים‪ .‬מוציאים עם החזרה שני כדורים‬
‫מהכד‪ .‬מצא כמה כדורים יש בכד אם ידוע כי ההסתברות להוציא שני כדורים‬
‫בצבעים שונים היא ‪ 4/9‬ויש יותר כדורים ירוקים מכחולים‪.‬‬
‫‪ )39‬בתוך קלמר יש ‪ 5‬עפרונות ועוד ‪ x‬עטים‪ .‬מוציאים כלי כתיבה מהקלמר‪ ,‬אם‬
‫הוא עפרון אז מחזירים אותו לק למר ומוציאים כלי כתיבה נוסף‪.‬‬
‫אם הוא עט אז משאירים אותו בחוץ ומוציאים כלי כתיבה נוסף‪ .‬מצא כמה‬
‫עטים יש בקלמר אם ידוע כי ההסתברות להוציא שני עטים היא ‪.1/6‬‬
‫‪81‬‬
‫‪ )40‬בקופסא א' ישנם ‪ 5‬זוגות נעליים ו‪ 3-‬זוגות מגפיים‪.‬‬
‫בקופסא ב' יש ‪ 8‬פריטים ‪ x -‬זוג ות נעליים והשאר הם זוגות מגפיים‪.‬‬
‫מוציאים באקראי מקופסא א' זוג כלשהו ומעבירים אותו לקופסא ב'‪.‬‬
‫לאחר מכן מוציאים מקופסא ב' זוג‪ .‬כמה זוגות נעליים יש בקופסא ב' אם ידוע‬
‫כי ההסתברות להוציא בפעם השנייה זוג מגפיים היא ‪.17/24‬‬
‫‪ )41‬בקלמר יש ‪ 6‬עפרונות ו‪ 3-‬עטים‪ .‬בתיק יש ‪ 9‬כלי כתיבה ‪ x -‬עפרונות והשאר‬
‫עטים‪ .‬מוציאים באקראי מהקלמר כלי כתיבה ומכניסים אותו לתיק‪ .‬לאחר‬
‫מכן מוציאים מהתיק כלי כתיבה נוסף‪ .‬מצא כמה עפרונות יש בתיק אם ידוע כי‬
‫ההסתברות שכלי הכתיבה שהוצא מהקלמר שונה מכלי הכתיבה שהוצא‬
‫מהתיק היא ‪.13/30‬‬
‫‪ )42‬בתוך כד ישנם ‪ 8‬כדור ים‪ ,‬חלקם אדומים וחלקם לבנים‪ .‬מוציאים באקראי‬
‫כדור‪ ,‬מניחים אותו בצד ומוציאים כדור נוסף‪ .‬מצא כמה כדורים יש מכל צבע‬
‫אם ידוע כי ההסתברות שהכדור השני שהוצא הוא לבן היא ‪.3/8‬‬
‫‪ )43‬בתוך כד ישנם ‪ 10‬כדורים‪ ,‬חלקם צהובים וחלקם כחולים‪ .‬מוציאים באקראי‬
‫כדור‪ ,‬מתבוננים בו ולאחר מכן מוציאים כדור נוסף‪ .‬מצא כמה כדורים יש מכל‬
‫צבע בכד אם ידוע כי ההסתברות שיצא לפחות כדור אחד כחול היא ‪.44/45‬‬
‫‪ )44‬בתוך שק ישנם ‪ 9‬כדורים‪ ,‬חלקם סגולים וחלקם ירוקים‪ .‬מוציאים באקראי‬
‫כדור‪ ,‬אם הוא סגול אז משאירים אותו בחוץ ואם הוא ירוק אז מחזירים אותו‬
‫חזרה לכד‪ .‬לאח ר מכן מוציאים כדור נוסף‪ .‬מצא כמה כדורים מכל צבע יש בשק‬
‫אם ידוע כי ההסתברות שהכדור השני שיבחר יהיה סגול היא ‪.11/36‬‬
‫‪82‬‬
‫התפלגות בינומית ונוסחת ברנולי‪:‬‬
‫תרגילים יסודיים‪:‬‬
‫‪ )45‬צלף יורה למטרה‪ .‬ידוע כי מתוך ‪ 2000‬יריות הוא פוגע ב‪ 1200-‬מהן‪.‬‬
‫הצלף יורה ‪ 4‬יריות למטרה‪ .‬חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬שהצלף יפגע בדיוק פעמיים במטרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬שהצלף יפגע במטרה בכל ארבעת הפעמים‪.‬‬
‫ג‪ .‬שהצלף יפגע לפחות פעמיים במטרה‪.‬‬
‫ד‪ .‬שהצלף לא יפגע במטרה כלל‪.‬‬
‫‪ )46‬ב ‪ 70%-‬מהמכוניות יש רדיו‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 5‬מכוניות‪.‬‬
‫חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬בדיוק ב‪ 3-‬מתוך ‪ 5‬המכוניות יהיה רדיו‪.‬‬
‫ב‪ .‬בכל ‪ 5‬המכוניות יהיה רדיו‪.‬‬
‫ג‪ .‬ב ‪ 4-‬מתוך ‪ 5‬המכוניות יהיה רדיו‪.‬‬
‫ד‪ .‬לפחות ב‪ 3-‬מכוניות יהיה רדיו‪.‬‬
‫‪ )47‬במכללה המונה ‪ 20,000‬סטודנטים ישנם ‪ 6000‬בנים והשאר בנות‪.‬‬
‫בוחרים באקראי ‪ 5‬סטודנטים‪ .‬חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬מתוך ‪ 5‬הסטודנטים תהיה לכל היותר בת אחת‪.‬‬
‫ב‪ .‬מתוך ‪ 5‬הסטודנטים יהיה לכל היותר בן אחד‪.‬‬
‫ג‪ .‬יבחרו ‪ 3‬סטודנטים בנים מתוך החמישה‪.‬‬
‫ד‪ .‬יבחרו לכל היותר ‪ 3‬סטודנטים בנים‪.‬‬
‫‪ )48‬בבה"ס הספר ‪ 40%‬מהתלמידים הם בנים והשאר בנות‪.‬‬
‫בוחרים באופן אקראי ‪ 4‬תלמידים‪ .‬חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬שנבחרו ‪ 2‬בנים ו‪ 2-‬בנות‪.‬‬
‫ב‪ .‬שתבחר בת אחת‪.‬‬
‫ג‪ .‬שיבחרו יותר בנים מבנות‪.‬‬
‫ד‪ .‬שמספר הבנים שנבחרו יהיה שונה ממספר הבנות שנבחרו‪.‬‬
‫‪ )49‬רפי וגיל משחקים ‪ 4‬משחקי שש ‪-‬בש‪ .‬מתוך ‪ 60‬משחקים בודדים ששיחקו‬
‫השניים‪ ,‬ניצח רפי ב‪ 48-‬פעמים‪ .‬חשב את‪:‬‬
‫א‪ .‬ההסתברות שרפי ינצח במשחק אחד‪.‬‬
‫ב‪ .‬שגיל ינצח בתחרות‪.‬‬
‫ג‪ .‬שרפי ינצח בתחרות‪.‬‬
‫ד‪ .‬שהתחרות תסתיים בתיקו‪.‬‬
‫‪83‬‬
‫‪ )50‬ט נק יורה טיל על חומה‪ .‬ההסתברות שהטיל יפגע בחומה היא ‪.0.6‬‬
‫כדי להפיל את החומה יש לפגוע בה לפחות עם ‪ 3‬טילים‪ .‬הטנק יורה ‪ 4‬טילים‪.‬‬
‫מה ההסתברות שהטנק יפיל את החומה?‬
‫הוצאה עם החזרה‪:‬‬
‫‪ )51‬בתוך סל קניות יש ‪ 6‬תפוחים ו ‪ 4-‬תפוזים‪ .‬מוציאים עם החזרה ‪ 4‬פירות מהסל‪.‬‬
‫חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬להוציא שני תפוחים ושני תפוזים‪.‬‬
‫ב‪ .‬להוציא ‪ 3‬תפוחים ותפוז אחד‪.‬‬
‫ג‪ .‬רוב הפירות שמוציאים יהיו תפוחים‪.‬‬
‫ד‪ .‬לא להוציא תפוחים כלל‪.‬‬
‫‪ )52‬בתוך קופסה יש ‪ 4‬כדורים אדומים ו‪ 2-‬כדורים ירוקים‪.‬‬
‫מוציאים עם החזרה ‪ 4‬כדורים מהקופסה‪ .‬חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬שכל הכדורים שהוצאו הם מאותו הצבע‪.‬‬
‫ב‪ .‬שהוצאו לפחות שני כדורים ירוקים ולכל היותר ‪ 3‬כדורים ירוקים‪.‬‬
‫ג‪ .‬שהוצא לפחות כדור אחד אדום ולכל היותר ‪ 3‬כדורים אדומים‪.‬‬
‫‪ )53‬בתוך קלמר יש ‪ 8‬עפרונות ו‪ 2-‬עטים‪ .‬מוציאים עם החזרה ‪ 5‬כלי כתיבה מהקלמר‪.‬‬
‫א‪ .‬הראה כי ההסתברות להוציא ‪ 3‬עפרונות ו‪ 2-‬עטים גדולה פי ‪4‬‬
‫מההסתברות להוציא ‪ 2‬עפרונות ו‪ 3-‬עטים‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ההסתברות להוציא ‪ 5‬כלי כתיבה מאותו הסוג‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את ההסתברות להוציא כלי כתיבה שונים‪.‬‬
‫בעיות שונות – התפלגות בינומית אחת‪:‬‬
‫‪ )54‬זורקים קובייה ‪ 4‬פעמים‪ .‬חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬שיתקבל בכל פעם המספר ‪.4‬‬
‫ב‪ .‬שיתקבל בדיוק פעמיים המספר ‪.3‬‬
‫ג‪ .‬שיתקבל פעמיים מספר הקטן מ ‪.4-‬‬
‫ד‪ .‬שיתקבל בכל ארבעת הפעמים מספר המתחלק ב ‪ 3-‬בלי שארית‪.‬‬
‫‪ )55‬במבחן יש ‪ 5‬שאלות ולכל שאלה ‪ 3‬תשובות שרק אחת מהן נכונה‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לענות נכון בניחוש על כל השאלות?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות לקבל ציון של ‪ 60‬במבחן?‬
‫ג‪ .‬נניח שתלמיד יודע את התשובות הנכונות ל‪ 2-‬מתוך ‪ 5‬השאלות‪.‬‬
‫מה ההסתברות שתלמיד זה יקבל ‪ 100‬במבחן?‬
‫ד‪ .‬מה ההסתברות שהתלמיד בסעיף הקודם יקבל ציון של ‪ 60‬לפחות?‬
‫‪84‬‬
‫‪ )56‬ההסתברות ששחקן כדורסל יקלע לסל בזריקה בודדת היא ‪ .0.7‬השחקן זורק כדורים‬
‫עד שהוא קולע ‪ 4‬פעמים‪ .‬מה ההסתברות שהשחקן יזרוק בדיוק ‪ 6‬כדורים?‬
‫‪ )57‬זורקים קובייה עד שהמספר ‪ 5‬מתקבל בדיוק ‪ 4‬פעמים‪.‬‬
‫מה ההסתברות לזרוק את הקובייה בדיוק ‪ 5‬פעמים?‬
‫תרגילים הכוללים שתי התפלגויות בינומיות‪:‬‬
‫‪ )58‬בעיר מסוימת ‪ 40%‬מהגברים מרכיבים משקפיים ו‪ 30%-‬מהבנות מרכיבות משקפיים‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 4‬גברים‪ .‬מה ההסתברות שבדיוק ‪ 3‬מהם‬
‫מרכיבים משקפיים?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 5‬נשים‪ .‬מה ההסתברות שלכל היותר אישה‬
‫אחת תרכיב משקפיים?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שמבין ‪ 4‬הגברים ו‪ 5-‬הנשים שנבחרו יהיו בדיוק ‪3‬‬
‫גברים שמרכיבים משקפיים ואישה אחת לכל היותר שמרכיבה‬
‫משקפיים?‬
‫‪ 2 )59‬קלעים יורים למטרה‪ .‬ההסתברות שהקלע הראשון יפגע היא ‪ 0.9‬וההסתברות‬
‫שהקלע השני יפגע היא ‪ .0.6‬הקלע הראשון יורה ‪ 5‬יריות והקלע השני יורה ‪3‬‬
‫יריות‪ .‬חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬שהקלע הראשון יפגע בדיוק ב‪ 2-‬יריות והקלע השני יפגע רק בירייה‬
‫אחת במטרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬שני הקלעים יפגעו כל אחד ‪ 3‬פעמים במטרה‪.‬‬
‫ג‪ .‬שני הקלעים לא יפגעו כלל במטרה‪.‬‬
‫ד‪ .‬שני הקלעים יפגעו אותו מספר פגיעות כל אחד במטרה‪.‬‬
‫‪ )60‬בכד א' יש ‪ 4‬כדורים לבנים ו‪ 6-‬כדורים שחורים‪ .‬בכד ב' יש ‪ 8‬כדורים לבנים ו ‪2-‬‬
‫כדורים שחורים‪ .‬מוציאים באקראי ‪ 4‬כדורים עם החזרה מכד א' ו‪ 5-‬כדורים‬
‫עם החזרה מכד ב'‪.‬‬
‫א‪ .‬הראה כי ההסתברות להוציא שני כדורים לבנים ושני כדורים שחורים‬
‫מכד א' גדולה פי ‪ 54‬מההסתברות להוציא כדור לבן אחד ו ‪ 4-‬כדורים‬
‫שחורים מכד ב'‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ההסתברות להוציא ‪ 4‬כדורים שחורים מכד א' וגם מכד ב'‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את ההסתברות להוציא ‪ 3‬כדורים שחורים מכד א' וגם מכד ב'‪.‬‬
‫ד‪ .‬מה היא ההסתברות להוציא לפחות ‪ 3‬כדורים שחורים מכד א' וגם מכד ב'?‬
‫‪85‬‬
‫‪ )61‬במשפחה מרובת ילדים ‪ 40%‬מהבנים ו ‪ 30%-‬מהבנות היו בחופשה בחו"ל‪.‬‬
‫בוחרים באקראי ‪ 5‬בנים ו‪ 5-‬בנות‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את ההסתברות שבדיוק בן אחד ובת אחת היו בחו"ל‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ההסתברות שבדיוק שני בנים היו בחו"ל ואף אחת מהבנות‬
‫שנבחרו לא הייתה בחו"ל‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את ההסתברות שכל הבנים שנבחרו לא היו בחו"ל ו‪ 2-‬בנות היו בחו"ל‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את ההסתברות שבדיוק ‪ 2‬מתוך ‪ 10‬הילדים שנבחרו היו בחו"ל‪.‬‬
‫‪ )62‬זורקים שתי קוביות משחק – אחת ירוקה והשנייה כחולה‪ 4 ,‬פעמים כל אחת‪.‬‬
‫חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬שיתקבל מספר הגדול מ‪ 4-‬פעם אחת בקובייה הירוקה ו‪ 3-‬פעמים‬
‫בקובייה הכחולה‪.‬‬
‫ב‪ .‬שיתקבל המספר ‪ 5‬בשתי הקוביות בכל הזריקות שלהן‪.‬‬
‫ג‪ .‬שיתקבל מספר זוגי בקובייה הירוקה ב‪ 3-‬מתוך ‪ 4‬הזריקות שלה ומספר‬
‫אי‪-‬זוגי בקובייה הכחולה ב‪ 3-‬מתוך ‪ 4‬הזריקות שלה‪.‬‬
‫ד‪ .‬שיתקבל מספר הגדול מ‪ 3-‬לפחות ‪ 3‬פעמים בקובייה הירוקה ולכל‬
‫היותר ‪ 3‬פעמים בקובייה הכחולה‪.‬‬
‫תרגילים מורכבים – מציאת ההסתברות להצלחה בניסיון בודד‪:‬‬
‫‪ )63‬כדי להתקבל למגמת הנדסה במכללת חולון סטודנט צריך לעבור לפחות אחד משני‬
‫מבחנים‪ .‬ההסתברות להצליח במבחן הראשון היא ‪ 0.2‬וההסתברות להצליח‬
‫במבחן השני היא ‪ .0.5‬בוחרים ‪ 5‬סטודנטים שרוצים להתקבל למגמה הנ"ל‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שסטודנט בודד יתקבל למגמה?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות ששניים מתוך ‪ 5‬הסטודנטים יתקבלו למגמה?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שלפחות ‪ 2‬מתוך ‪ 5‬הסטודנטים יתקבל למגמה?‬
‫‪ )64‬בעיר מסוימת המונה ‪ 500,000‬תושבים‪ ,‬ישנם ‪ 300,000‬גברים והשאר נשים‪.‬‬
‫ידוע כי ‪ 40%‬מהגברים מעשנים ו‪ 90%-‬מהנשים מעשנות‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים תושב באופן אקראי‪ .‬מה ההסתברות שהוא תושב מעשן?‬
‫ב‪ .‬בוחרים ‪ 5‬מהתושבים הנ"ל‪.‬‬
‫‪ .1‬מה ההסתברות שלכל היותר תושב אחד הוא מעשן?‬
‫‪ .2‬מה ההסתברות שכל התושבים שנבחרו הם מעשנים?‬
‫‪86‬‬
‫‪ )65‬א‪ .‬מצא את ההסתברות שבמשפחה שבה ‪ 5‬ילדים יהיו בדיוק ‪ 3‬בנות אם ידוע כי‬
‫ההסתברויות להולדת בן ובת זהים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מבין כל המשפחות בעיר מסוימת בעלות ‪ 5‬ילדים ומתוכן ‪ 3‬בנות‪ ,‬בוחרים‬
‫באקראי ‪ 4‬משפחות‪.‬‬
‫‪ .1‬מה ההסתברות שבדיוק ל ‪ 3-‬מהמשפחות הנ"ל יהיו ‪ 3‬בנות?‬
‫‪ .2‬מה ההסתברות שלפחות ל‪ 3-‬משפחות מהמשפחות הנ"ל יהיו ‪ 3‬בנות?‬
‫‪ )66‬בכיתה שבה ‪ 45‬תלמידים ישנם ‪ 18‬בנים‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 3‬תלמידים מהכיתה‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שתבחרנה בדיוק שתי בנות?‬
‫ב‪ .‬חוזרים על התהליך הנ"ל כל חצי שנה‪.‬‬
‫מה ההסתברות שבמשך שנתיים יבחרו רק פעם אחת שתי בנות ובן?‬
‫תרגילים המכילים התפלגות שבה יותר משתי אפשרויות בניסיון בודד‪:‬‬
‫‪ 3 )67‬פאות של קובייה הן אדומות‪ .‬פאה אחת היא כחולה ועוד שתי פאות הן‬
‫צהובות‪ .‬זורקים את הקובייה ‪ 4‬פעמים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לקבל ב‪ 3-‬מתוך ‪ 4‬הזריקות צבע אדום?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות לקבל לכל היותר פעם אחת צבע כחול?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות לקבל בכל ‪ 4‬הזריקות את הצבע הצהוב?‬
‫ד‪ .‬מה ההסתברות לקבל צבע זהה בכל ‪ 4‬הזריקות?‬
‫‪ )68‬שחקן שחמט מנוסה מנצח ב ‪ 70%-‬מהמשחקים‪ ,‬ב‪ 20%-‬מהם הוא נשאר בתיקו‬
‫ובשאר הוא מפסיד‪ .‬השחקן משחק בטורניר ‪ 4‬משחקים ברצף‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שהשחקן ינצח ב‪ 3-‬מתוך ‪ 4‬המשחקים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שהשחקן יסיים בתיקו בכל ‪ 4‬המשחקים?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שהשחקן יפסיד לכל היותר במשחק אחד?‬
‫ד‪ .‬מה ההסתברות שהשחקן ינצח לפחות ב ‪ 3-‬משחקים?‬
‫‪ )69‬בכד יש ‪ 4‬כדורים שחורים‪ 3 ,‬כדורים לבנים ו‪ 3-‬כדורים כחולים‪.‬‬
‫מוציאים עם החזרה ‪ 5‬כדורים מהכד‪.‬‬
‫א‪ .‬הראה כי ההסתברות שבדיוק ‪ 2‬כדורים יהיו לבנים זהה להסתברות‬
‫שבדיוק ‪ 2‬כדורים יהיו כחולים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שבדיוק ‪ 4‬כדורים הם לבנים?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שבדיוק ‪ 4‬כדורים הם שחורים?‬
‫ד‪ .‬מה ההסתברות שבדיוק ‪ 4‬כדורים יהיו מאותו הצבע?‬
‫‪87‬‬
‫‪ )70‬אדם מתקשר לחברו‪ .‬ההסתברות שהחבר יענה לטלפון היא ‪ ,0.6‬ההסתברות‬
‫שהקו יהיה תפוס היא ‪ 0.3‬וההסתברות שלא יענה כלל היא ‪ .0.1‬מתקשרים ‪4‬‬
‫פעמים‪ .‬חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬פעמיים בדיוק הקו יהיה תפוס‪.‬‬
‫ב‪ .‬לכל היותר פעם אחת לא יענו‪.‬‬
‫ג‪ .‬החבר יענה לטלפון בכל ‪ 4‬הפעמים‪.‬‬
‫ד‪ .‬החבר יענה לשיחה לכל היותר ‪ 3‬פעמים‪.‬‬
‫‪ )71‬צובעים את הפאות של סביבון בעל ‪ 8‬פאות כך‪ 3 :‬פאות באדום‪ 2 ,‬פאות בכחול‪,‬‬
‫‪ 2‬פאות בירוק ופאה אחת בצהוב‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שמתוך ‪ 4‬פעמים שמסובבים את הסביבון הוא לא ייפול‬
‫אף פעם על פאה אדומה?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שמתוך ‪ 5‬פעמים שמסובבים את הסביבון הוא ייפול ‪4‬‬
‫פעמים על פאה כחולה?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שמתוך ‪ 3‬פעמים שמסובבים את הסביבון הוא ייפול‬
‫לפחות פעמיים על פאה צהובה?‬
‫ד‪ .‬מה ההסתברות שמתוך ‪ 4‬פעמים שמסובבים את הסביבון הוא ייפול פעם‬
‫אחת לכל היותר על פאה ירוקה?‬
‫תרגילים הכוללים נעלמים – התפלגות בינומית‪:‬‬
‫‪ )72‬אם מוציאים מתוך פס ייצור לקיסמי שיניים ‪ 4‬קיסמי שיניים ההסתברות‬
‫שכולם פגומים היא ‪.0.0001‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות להוציא קיסם שיניים פגום מפס הייצור?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שמתוך ‪ 4‬הקיסמים כולם יהיו תקינים?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שמתוך ‪ 4‬הקיסמים שניים בדיוק יהיו פגומים?‬
‫‪ )73‬מבדיקה של משרד הרישוי נמצא כי מתוך ‪ 2000‬נבחנים שעשו טסט ראשון‪,‬‬
‫‪ 1400‬עברו בהצלחה‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את ההסתברות להצליח לעבור את בחינת הנהיגה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ההסתברות לבחור ‪ 5‬תלמידים שמתוכם ‪ 3‬עברו את בחינת‬
‫הנהיגה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את ההסתברות לבחור ‪ 4‬תלמידים שמתוכם אף אחד לא עבר את‬
‫בחינת הנהיגה‪.‬‬
‫‪ )74‬אם בוחרים ‪ 4‬תושבים מעיר מסוימת אז ההסתברות שלפחות אחד מהם ירכיב‬
‫משקפיים היא ‪.0.8704‬‬
‫א‪ .‬חשב את ההסתברות שתושב אחד ירכיב משקפיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬בוחרים ‪ 5‬תושבים‪ .‬מה ההסתברות שלפחות ‪ 4‬מהם ירכיבו משקפיים?‬
‫‪88‬‬
‫‪ )75‬ההסתברות להוציא עפרון מקלמר היא ‪ P‬והיא יותר גדולה מההסתברות‬
‫להוציא כלי כתיבה אחר‪ .‬ידוע שמבין שני כלי כתיבה שמוציאים מהקלמר עם‬
‫החזרה ההסתברות שאחד מהם בדיוק יהיה עפרון היא ‪.0.32‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪.P‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ההסתברות שמתוך ‪ 5‬כלי כתיבה שמוציאים מהקלמר אף אחד‬
‫לא יהיה עפרון‪.‬‬
‫‪ )76‬קלע יורה למטרה ‪ 4‬פעמים‪ .‬ההסתברות שלו לפגוע בירייה בודדת היא ‪.P‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ P‬אם ידוע כי ההסתברות של הקלע לפגוע פעמיים שווה‬
‫להסתברות שלו לפגוע ‪ 3‬פעמים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ההסתברות של הקלע לפגוע פעם אחת במטרה‪.‬‬
‫‪ )77‬בעיר מסוימת ההסתברות שלמשפחה יהיה מחשב בבית היא ‪ .P‬בוחרים‬
‫באקראי ‪ 5‬משפחות מעיר זו‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ P‬אם ידוע כי ההסתברות שלשתי משפחות בדיוק יהיה מחשב‬
‫קטנה פי ‪ 4‬מההסתברות של‪ 3-‬משפחות יהיה מחשב‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי ההסתברות של‪ 4-‬משפחות בדיוק יהיה מחשב גדולה פי ‪2‬‬
‫מההסתברות של‪ 3-‬משפחות בדיוק יהיה מחשב‪.‬‬
‫‪ )78‬ההסתברות להצליח במבחן מסוים היא ‪ .P‬ידוע שאם בוחרים ‪ 3‬תלמידים אז‬
‫ההסתברות שלושתם יעברו את המבחן קטנה פי ‪ 16‬מ‪.P-‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪.P‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ההסתברות ששלושתם יכשלו במבחן‪.‬‬
‫טבלה דו מימדית‪:‬‬
‫תרגילים הכוללים הסתברות מותנה‪:‬‬
‫‪ )79‬בעיר מסוימת ‪ 70%‬מהתושבים תומכים בקיום פעילויות אחה"צ לילדים‪.‬‬
‫ל‪ 60%-‬מהתושבים יש ילדים בבית ול‪ 40%-‬אין ילדים כלל‪.‬‬
‫ל‪ 36%-‬מהתושבים יש ילדים והם תומכים בקיום פעילויות אחה"צ‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הוא אחוז התושבים שאינם תומכים בקיום פעילויות אחה"צ ויש להם ילדים?‬
‫ב‪ .‬מה הוא אחוז התומ כים בקיום הפעילויות מבין התושבים שיש להם ילדים?‬
‫ג‪ .‬מה הוא אחוז התושבים שאינם תומכים בקיום פעילויות אחה"צ לילדים מבין‬
‫התושבים שאין להם ילדים?‬
‫‪89‬‬
‫‪ )80‬במכללה המונה ‪ 16,000‬סטודנטים‪ ,‬נערכו שני מבחני סוף סמסטר‪.‬‬
‫‪ 9600‬סטודנטים עברו את המבחן הראשון ו‪ 20%-‬מהם עברו את השני‪.‬‬
‫‪ 1920‬סטודנטים עברו את שני המבחנים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הוא אחוז הסטודנטים שלא עברו אף מבחן?‬
‫ב‪ .‬מה הוא אחוז הסטודנטים שעברו את המבחן הראשון מבין אלו‬
‫שעברו את המבחן השני?‬
‫ג‪ .‬מה הוא אחוז הסטודנטים שעברו את המבחן השני מבין אלו שעברו‬
‫את המבחן הראשון?‬
‫ד‪ .‬מה הוא אחוז הסטודנטים שלא עברו אף מבחן מבין אלו שלא עברו‬
‫את המבחן הראשון?‬
‫‪ )81‬בחברה מסוימת מספר הנשים גדול פי ‪ 3‬ממספר הגברים‪ .‬ידוע כי ההסתברות‬
‫לבחור עובד שהוא מרכיב משקפיים היא ‪ 30% .0.4‬מבין העובדים שמרכיבים‬
‫משקפיים הם גברים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לבחור עובד שהוא אישה שאינה מרכיבה משקפיים?‬
‫ב‪ .‬בוחרים עובד באקראי‪ ,‬ידוע שנבחר גבר‪ .‬מה ההסתברות שהוא מרכיב משקפיים?‬
‫ג‪ .‬בוחרים עובד באקראי‪ ,‬ידוע שהעובד שנבחר מרכיב משקפיים‪.‬‬
‫מה ההסתברות שזו אישה?‬
‫‪ )82‬במדינה מסוימת ‪ 60%‬מהאזרחים בעד הממשלה ו‪ 40%-‬הם נגד‪.‬‬
‫‪ 48%‬מהאזרחים הם גמלאים ו ‪ 25%-‬מהגמלאים בעד הממשלה‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הוא אחוז האזרחים שאינם גמלאים מבין אלה שנגד הממשלה?‬
‫ב‪ .‬בוחרים אזרח באקראי‪ .‬ידוע כי הוא בעד הממשלה‪.‬‬
‫מה ההסתברות שהוא לא גמלאי?‬
‫ג‪ .‬בוחרים אזרח באקראי‪ .‬ידוע כי הוא נגד פעולות הממשלה‪.‬‬
‫מה ההסתברות שהוא גמלאי?‬
‫‪ )83‬מחצית מתלמידי התיכון נעזרים במורים פרטיים‪.‬‬
‫בסוף השנה נערך מבחן מסכם והתברר כי ‪ 60%‬מבין התלמידים שנעזרו‬
‫במורים פרטיים עברו את המבחן בהצלחה‪ 20% .‬מהתלמידים שלא נעזרו‬
‫במורים פרטיים נכשלו במבחן‪.‬‬
‫א‪ .‬איזה אחוז מתלמידי התיכון עברו את המבחן בהצלחה?‬
‫ב‪ .‬איזה אחוז מבין התלמידים שלא נעזרים במורים פרטיים עברו את המבחן?‬
‫ג‪ .‬בוחרים באופן אקראי תלמיד‪ .‬ידוע כי הוא נכשל במבחן‪.‬‬
‫מה ההסתברות שהוא לא נעזר במורים פרטיים?‬
‫‪90‬‬
‫‪ )84‬מספר הבנות במכללה גדול פי ‪ 1.5‬ממספר הבנים‪ 20% .‬מהבנים לומדים מקצוע‬
‫הומאני‪ ,‬ו ‪ 36%-‬מכלל הסטודנטים לומדים מקצוע ריאלי‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הוא אחוז הבנות שלומדות מקצוע ריאלי?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באופן אקראי סטודנט‪ .‬ידוע כי נבחרה בת‪.‬‬
‫מה ההסתברות שהיא לומדת מקצוע הומאני?‬
‫ג‪ .‬מה הוא אחוז הבנים מבין כל אלו שלומדים מקצוע הומאני?‬
‫תרגילים הניתנים לפתירה גם על ידי דיאגרמת עץ‪:‬‬
‫‪ )85‬במפעל מסוים‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫מהעובדים הם נשים ו‪ 4 -‬הם גברים‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ 70%‬מהנשים הן מעשנות ו ‪ 7 -‬מהגברים מעשנים‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫א‪ .‬מה הוא אחוז העובדים שלא מעשנים במפעל?‬
‫ב‪ .‬בוחרים עובד וידוע כי נבחר עובד מעשן‪ .‬מה ההסתברות שזו אישה?‬
‫ג‪ .‬מבין העובדים שלא מעשנים‪ ,‬מה ההסתברות לבחור גבר?‬
‫‪ )86‬בכפר מסוים‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫מהתושבים הם גברים ו ‪ 1 -‬הם נשים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫ידוע כי ‪ 60%‬מהגברים מרכיבים משקפיים ו‪ 25%-‬מהנשים לא מרכיבות משקפיים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות להיתקל בגבר שלא מרכיב משקפיים בכפר?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי תושב‪ .‬ידוע כי נבחרה אישה‪.‬‬
‫מה ההסתברות שהיא מרכיבה משקפיים?‬
‫ג‪ .‬בוחרים באקראי תושב‪.‬‬
‫‪ .1‬מה ההסתברות שהוא מרכיב משקפיים?‬
‫‪ .2‬פי כמה גדול אחוז הגברים שמרכיבים משקפיים מאחוז הנשים‬
‫שמרכיבות משקפיים?‬
‫‪ )87‬בכד יש ‪ 8‬כדורים כחולים ו ‪ 4-‬כדורים ירוקים‪ .‬מוציאים באקראי בלי החזרה‬
‫שני כדורים מהכד‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות להוציא שני כדורים כחולים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שהכדור השני שיצא הוא כחול?‬
‫ג‪ .‬אם ידוע שהכדור השני שהוצא הוא כחול‪ ,‬מה ההסתברות שהכדור‬
‫הראשון גם יהיה כחול?‬
‫‪ )88‬בכד יש ‪ 10‬כדורים צהובים ו ‪ 4-‬כדורים שחורים‪.‬‬
‫מוציאים באקראי בלי החזרה שני כדורים מהכד‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות להוציא שני כדורים צהובים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שהכדור השני שיצא הוא צהוב?‬
‫ג‪ .‬אם ידוע כי הכדור השני שהוצא הוא צהוב‪ ,‬מה ההסתברות שגם‬
‫הראשון הוא צהוב?‬
‫‪91‬‬
‫‪ )89‬בכד א' יש ‪ 5‬כדורים לבנים ו‪ 3-‬כדורים שחורים‪ .‬בכד ב' יש ‪ 4‬כדורים לבנים‬
‫וכדור אחד שחור‪ .‬מוציאים כדור מכד א'‪ .‬אם הוא שחור אז מוציאים כדורים‬
‫נוסף מכד א' ואם הוא לבן אז מוציאים כדור מכד ב'‪ .‬ידוע כי הכדור השני‬
‫שהוצא הוא שחור‪ .‬חשב את ההסתברות שהכדור הוצא מכד ב'‪.‬‬
‫‪ )90‬בכד א' יש ‪ 3‬כדורים ירוקים ו‪ 2-‬כדורים אדומים‪ .‬בכד ב' יש ‪ 4‬כדורים ירוקים‬
‫וכדור אחד אדום‪ .‬מוציאים כדור מכד א'‪ .‬אם הוא ירוק אז מוציאים כדור נוסף‬
‫מכד א' ואם הוא אדום אז מוציאים כדור מכד ב'‪ .‬ידוע שהכדור השני שהוצא‬
‫הוא אדום‪ .‬מה ההסתברות שהוא הוצא מכד א'?‬
‫‪ )91‬בכד יש ‪ 5‬כדורים אדומים‪ 3 ,‬כדורים כחולים ו‪ 2-‬כדורים צהובים‪.‬‬
‫מוציאים בלי החזרה שני כדורים מהכד‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות להוציא שני כדורים אדומים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות להוציא שני כדורים מאותו הצבע?‬
‫ג‪ .‬ידוע כי שני הכדורים שהוצאו הם מאותו הצבע‪ ,‬מה ההסתברות שהם‬
‫אדומים?‬
‫‪ )92‬בכד יש ‪ 6‬כדורים אדומים‪ 3 ,‬כדורים לבנים ו‪ 2-‬כדורים סגולים‪.‬‬
‫מוציאים בלי החזרה שני כדורים מהכד‪ .‬ידוע כי שני הכדורים שהוצאו הם‬
‫בעלי אותו הצבע‪ ,‬מה ההסתברות ששניהם סגולים?‬
‫‪ )93‬קלע יורה שתי יריות למטרה‪ .‬ההסתברות שיפגע בירייה הראשונה היא ‪.0.6‬‬
‫אם הוא פגע בירייה הראשונה אז ההסתברות ש יפגע גם בשנייה היא ‪.0.8‬‬
‫אם הוא החטיא בירייה הראשונה אז ההסתברות שיפגע בשנייה היא ‪.0.5‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שהקלע יפגע בירייה אחת בדיוק?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שהקלע יפגע בירייה השנייה?‬
‫ג‪ .‬ידוע כי הקלע פגע בירייה השנייה‪ ,‬מה ההסתברות שהוא פגע גם‬
‫בירייה הראשונה?‬
‫ד‪ .‬ידוע כי הקלע פגע בירייה השנייה‪ ,‬מה ההסתברות שהוא פגע במטרה‬
‫פעם אחת בדיוק?‬
‫‪ )94‬בארץ מסוימת כל יום הוא יום שמש או יום גשום‪.‬‬
‫ההסתברות ליום שמש לאחר יום שמש היא ‪ 0.4‬וההסתברות ליום גשום לאחר‬
‫יום גשום היא ‪ .0.7‬ביום ראשון היה גשום‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שהיום השלישי יהיה גם גשום?‬
‫ב‪ .‬ידוע כי היום השלישי הוא גשום‪ ,‬מה ההסתברות שהיום השני יהיה יום שמש?‬
‫‪92‬‬
‫תרגילים בהסתברות מותנה ונוסחת בייס עם נעלם אחד‪:‬‬
‫‪ )95‬בעיר מסוימת המונה ‪ 200,000‬תושבים ידוע כי ‪ 120,000‬מהם מרכיבים משקפיים‪.‬‬
‫מחצית מהתושבים שמעשנים הם מרכיבים משקפים ו‪ 20%-‬מהתושבים שמרכיבים‬
‫משקפיים הם מעשנים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו אחוז התושבים שמעשנים?‬
‫ב‪ .‬מהו אחוז התושבים שמעשנים ומרכיבים משקפיים?‬
‫ג‪ .‬מהו אחוז התושבים שלא מעשנים ולא מרכיבים משקפיים?‬
‫‪ 45% )96‬מהסטודנטים באוניברסיטה משתמשים במחשב נייד והשאר משתמשים‬
‫במחברות‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪9‬‬
‫מבין הסטודנטים שמשתמשים במחשב נייד אינם מרכיבים‬
‫משקפיים והסטודנטים שמשתמשים במחברות ולא מרכיבים משקפיים‬
‫מהווים ‪ 60%‬מכלל הסטודנטים שלא מרכיבים משקפיים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו אחוז הסטודנטים שמשתמשים במחשב נייד ולא מרכיבים‬
‫משקפיים?‬
‫ב‪ .‬מהו אחוז הסטודנטים שמשתמשים במחברות מבין אלו שמרכיבים‬
‫משקפיים?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות לבחור סטודנט שלא מרכיב משקפיים?‬
‫‪ )97‬בחברה מסוימת עובדים פי ‪ 4‬גברים מנשים‪.‬‬
‫ל‪ 75%-‬מהגברים אין תואר שני ו ‪ 6 -‬מבין העובדים בלי תואר שני הם גברים‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫א‪ .‬מהו אחוז הגברים בחברה בלי תואר שני?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי עובד‪ .‬ידוע כי יש לו תואר שני‪.‬‬
‫מה ההסתברות שזו אישה?‬
‫ג‪ .‬הראה כי ההסתברות להיתקל באקראי באישה העובדת בחברה זהה‬
‫להסתברות להיתקל בגבר עם תואר שני‪.‬‬
‫‪ )98‬במפעל מסוים יש פי ‪ 3‬עובדים גברים מנשים‪ .‬ל ‪ 2 -‬מהנשים יש רישיון נהיגה‬
‫‪7‬‬
‫ומספר הגברים בעלי הרישיון במפעל מהווים‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫מכלל העובדים עם רישיון‪.‬‬
‫א‪ .‬הראה כי למחצית מהעובדים יש רישיון נהיגה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות לבחור גבר מבין העובדים בלי רישיון נהיגה?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות לבחור אישה בלי רישיון מבין כל הנשים העובדות במפעל?‬
‫‪93‬‬
‫תרגילים בהסתברות מותנה ונוסחת בייס עם שני נעלמים‪:‬‬
‫‪ )99‬בעיר מסוימת ‪ 45%‬מהתושבים הם גברים ו‪ 55%-‬הם נשים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫מבין מרכיבי‬
‫המשקפים בעיר הם גברים ו‪ 50%-‬מהתושבים שאינם מרכיבים משקפיים הם נשים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו אחוז מרכיבי המשקפיים בעיר?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי תושב‪ .‬ידוע כי הוא גבר‪ .‬מה ההסתברות שהוא‬
‫מרכיב משקפיים?‬
‫ג‪ .‬פי כמה גדולה ההסתברות לפגוש אישה שלא מרכיבה משקפיים‬
‫מגבר שמרכיב משקפיים?‬
‫‪ )100‬במשחק כדורגל ‪ 27%‬מהצופים הם ילדים והשאר מבוגרים‪.‬‬
‫‪ 40%‬מבין האוהדים של קבוצה א' הם ילדים ו‪ 80%-‬מבין האוהדים של‬
‫קבוצה ב' הם מבוגרים‪ .‬לאיזו קבוצה יש יותר אוהדים?‬
‫תרגילים הכוללים טבלה עם שלוש עמודות‪:‬‬
‫‪ )101‬בארץ מסוימת יש ‪ 3‬מפלגות – מפלגה א'‪ ,‬ב' ו‪-‬ג'‪ .‬בבחירות מצביעים גברים ונשים‪.‬‬
‫ידוע כי ‪ 55%‬מהאזרחים הם גברים‪ 60% .‬מהאזרחים הצביעו למפלגה א'‪.‬‬
‫‪ 15%‬הצביעו למפלגה ב' ו‪ 25%-‬הצביעו למפלגה ג'‪ 75% .‬מבין המצביעים למפלגה א'‬
‫הם גברים ו‪ 80%-‬מבין המצביעים למפלגה ג' הם נשים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא איזה חלק מהגברים הצביע למפלגה א'‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא איזה חלק מהנשים הצביע למפלגה ב'‪.‬‬
‫‪ )102‬במפעל מסוים מייצרים שוקולד ווניל על ידי ‪ 3‬מכונות‪ .‬מכונה א' מייצרת ‪80%‬‬
‫מהמוצרים‪ .‬מכונה ב' מייצרת ‪ 6%‬מהמוצרים ומכונה ג' מייצרת ‪.14%‬‬
‫ידוע כי מכונה א' מייצרת ‪ 80%‬ממוצרי הווניל ומכונה ב' מייצרת פי ‪ 5‬יותר ממוצרי‬
‫הווניל מאשר מוצרי השוקולד‪ .‬סך כל מוצרי הווניל שהמפעל מייצר הם ‪76%‬‬
‫מכלל המוצרים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו אחוז מוצרי השוקולד המיוצרים על ידי מכונה ב' ?‬
‫ב‪ .‬איזה חלק מבין מוצרי השוקולד מיוצרים על ידי מכונה א' ?‬
‫ג‪ .‬איזה חלק מבין המוצרים של מכונה ג' מהווים מוצרי הווניל ?‬
‫‪ )103‬במשק יש תרנגולים‪ ,‬אפרוחים ואווזים מפוטמים‪ .‬עקב בצורת קשה ‪47%‬‬
‫מהעופות איבדו משקל רב‪ .‬אחוז האווזים במשק הוא ‪ .20%‬ידוע כי ‪75%‬‬
‫מהאפרוחים ומהאווזים ירדו במשקל ו ‪ 1/6-‬מהתרנגולות ירדו גם כן במשקל‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הוא אחוז התרנגולים במשק?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות לבחור תרנגול שלא איבד משקל כלל?‬
‫ג‪ .‬בוחרים עוף מהמשק‪ .‬ידוע כי הוא לא איבד משקל כלל‪.‬‬
‫מה ההסתברות שהוא אפרוח?‬
‫‪94‬‬
‫תרגילי חישוב הכוללים שימוש בנוסחאות בהסתברות‪:‬‬
‫‪ A )104‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בלתי תלויים בניסוי מקרי‪ .‬נתון‪. P(A)  0.9 , P(B)  0.4 :‬‬
‫חשב את‪ :‬א‪ P(A B) .‬ב‪. P(A B) .‬‬
‫‪ A )105‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בלתי תלויים בניסוי מקרי‪.‬‬
‫נתון‪ . P(A B)  0.3 , P(B)  0.5 :‬חשב את‪:‬‬
‫א‪. P(A) .‬‬
‫ב‪. P(A B) .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫)‪. P(A B‬‬
‫ד‪.‬‬
‫)‪( . P(A B‬רמז‪ :‬אם ‪ A‬ו‪ B-‬בלתי תלויים אז גם ‪ A‬ו ‪ B -‬בלתי תלויים)‪.‬‬
‫‪ A )106‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בלתי תלויים בניסוי מקרי‪.‬‬
‫נתון‪ . P(A B)  0.92 , P(A)  0.8 :‬חשב את‪:‬‬
‫א‪. P(B) .‬‬
‫ב‪. P(A B) .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הראה כי מתקיים התנאי‪. P(A B)  P(A) :‬‬
‫‪ A )107‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בניסוי מקרי‪.‬‬
‫נתון‪. P(A B)  0.1 , P(A)  0.4 , P(B)  0.75 :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המאורעות ‪ A‬ו‪ B-‬הם בלתי תלויים‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את‪. P(A B) :‬‬
‫(הסתמך על הטענה כי אם ‪ A‬ו ‪ B-‬בלתי תלויים אז גם ‪ A‬ו ‪ B -‬בלתי תלויים)‪.‬‬
‫‪ A )108‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בניסוי מקרי‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪, P( A ) ‬‬
‫נתון‪, P(B)  :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫א‪. P(A) .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ . P( B A) ‬חשב את‪:‬‬
‫)‪. P(A B‬‬
‫)‪. P(A B‬‬
‫‪ A )109‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בניסוי מקרי‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪P A‬‬
‫‪4‬‬
‫‪14‬‬
‫נתון‪B  1 :‬‬
‫‪. P(A B) ‬‬
‫‪, P(A B) ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15‬‬
‫‪2‬‬
‫‪P B‬‬
‫‪A‬‬
‫חשב את )‪ P(A‬ואת )‪. P(B‬‬
‫‪95‬‬
‫‪ A )110‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בניסוי מקרי‪.‬‬
‫נתון‪ B  2 :‬‬
‫‪P B  5‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P A‬‬
‫‪. P(A B)  0.15 , P(A B)  0.55 ,‬‬
‫חשב את )‪ P(A‬ואת )‪. P(B‬‬
‫‪ A )111‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בניסוי מקרי‪.‬‬
‫נתון‪. P(A)  P(B) , P(A B)  0.18 , P(A B)  0.72 :‬‬
‫חשב את )‪ P(A‬ואת )‪ P(B‬אם ידוע כי המאורעות ‪ A‬ו‪ B-‬הם בלתי תלויים‪.‬‬
‫‪ A )112‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בניסוי מקרי‪.‬‬
‫נתון‪. P(A)  P(B) , P(A B)  0.24 , P(A B)  0.86 :‬‬
‫חשב את )‪ P(A‬ואת )‪ P(B‬אם ידוע כי המאורעות ‪ A‬ו‪ B-‬הם בלתי תלויים‪.‬‬
‫תרגילי הוכחה בעזרת נוסחאות ההסתברות‪:‬‬
‫‪ A )113‬ו‪ B-‬הם מאורעות הניסוי מקרי‪ .‬נתון‪. A  B :‬‬
‫‪ ‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. P(A)  P A B  P(B) :‬‬
‫ב‪ A .‬ו‪ B-‬הם מאורעות תלויים‪.‬‬
‫‪ A )114‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בניסוי מקרי‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫א‪. P(A B)  P(A B)  P(A) .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. P(A B)  P(A) 1- P  B A ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ A )115‬ו ‪ B-‬הם שני מאורעות בניסוי מקרי‪ .‬הוכח‪. P A B  P A B  1 :‬‬
‫‪ A )116‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בניסוי מקרי‪ .‬נתון‪ . P(A)  0.7 , P(B)  0.9 :‬הוכח‪:‬‬
‫א‪. 0.9  P(A B)  1 .‬‬
‫ב‪. 0.6  P(A B)  0.7 .‬‬
‫‪ A )117‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בניסוי מקרי‪ .‬נתון‪ . P(A)  0.4 , P(B)  0.7 :‬הוכח‪:‬‬
‫א‪. 0.1  P(A B)  0.4 .‬‬
‫ב‪. 0.7  P(A B)  1 .‬‬
‫‪96‬‬
‫‪ )118‬בניסוי מקרי ההסתברות למאורע ‪ A‬היא‪ P(A)  0.4 :‬וההסתברות‬
‫למאורע ‪ B‬היא‪ . P(B)  0.2 :‬הוכח‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪. 0.4  P(A B)  0.6‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪. 0.8  P(A B)  1‬‬
‫‪ A )119‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בניסוי מקרי‪ .‬נתון‪ . P(A)  0.3 , P(B)  0.8 :‬הוכח‪:‬‬
‫א‪. 0.1  P(A B)  0.3 .‬‬
‫ב‪.  P  B A   1 .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.  P AB ‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ A )120‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בניסוי מקרי שמרחב המדגם שלו הוא ‪ . ‬הוכח‪:‬‬
‫‪.A B  -A B‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫)‪. P(A B)  1  P(A)  P(B)  P(A B‬‬
‫ג‪.‬‬
‫אם ‪ A‬ו‪ B-‬הם מאורעות בלתי תלויים אז גם ‪ A‬ו‪ B -‬יהיו בלתי תלויים‪.‬‬
‫‪ )121‬א‪ .‬הוכח בעזרת דיאגרמת וון את הנוסחה‪:‬‬
‫)‪. P(A B)  P(A)  P(B)  P(A B‬‬
‫ב‪ .‬הוכח בעזרת דיאגרמת וון כי כאשר ‪ A‬ו‪ B-‬הם קבוצות זרות‬
‫אז מתקיים‪. P(A B)  P(A)  P(B) :‬‬
‫‪ A )122‬ו‪ B-‬הם שני מאורעות בניסוי מקרי‪.‬‬
‫הוכח כי הנתונים הבאים הם בלתי אפשריים לקיום‪:‬‬
‫‪. P(A)  0.6 , P(B)  0.8 , P(A B)  0.7‬‬
‫‪97‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪)1‬‬
‫א‪ 0.1288 .‬ב‪0.7912 .‬‬
‫‪ )4‬א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ )6‬א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪512‬‬
‫‪ )9‬א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ )12‬א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪30‬‬
‫‪29‬‬
‫‪81‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪135‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪512‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪21‬‬
‫ב‪.‬‬
‫א‪0.384 .‬‬
‫‪)14‬‬
‫‪ )16‬א‪0.16 .‬‬
‫ג‪ )2 . 0.0112 .‬א‪.‬‬
‫‪49‬‬
‫‪81‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪ )5 . 2 .‬א‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪0.116‬‬
‫ג‪ )7 . 23 .‬א‪.‬‬
‫‪0.15‬‬
‫‪1‬‬
‫‪29‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪128‬‬
‫‪4‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫‪29‬‬
‫‪30‬‬
‫‪1‬‬
‫‪64‬‬
‫‪ )10‬א‪.‬‬
‫ג‪ )13 . 2 .‬א‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0.448‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫‪145‬‬
‫‪9‬‬
‫‪64‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪ )3 . 9 .‬א‪.‬‬
‫‪32‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪0.432‬‬
‫‪0.568‬‬
‫ג‪ 0.2.‬ד‪ )11 . 97 .‬א‪.‬‬
‫‪145‬‬
‫ב‪ 0.072 .‬ג‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫‪25‬‬
‫‪5‬‬
‫ד‪.0.876 .‬‬
‫ג‪ )8 .0.63 .‬א‪.‬‬
‫‪0.15‬‬
‫‪9‬‬
‫‪25‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪. 2 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪28‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪295‬‬
‫‪448‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪223‬‬
‫‪448‬‬
‫‪253‬‬
‫‪1435‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪71‬‬
‫‪287‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1182‬‬
‫‪1435‬‬
‫ד‪. 561 .‬‬
‫‪1435‬‬
‫ד‪.0.212 .‬‬
‫‪0.164‬‬
‫ב‪ 0.056 .‬ג‪ 0.176 .‬ד‪ )15 . 0.964 .‬א‪ 0.24 .‬ב‪ 0.24 .‬ג‪.0.4 .‬‬
‫ב‪ 0.72 .‬ג‪ 0.36 .‬ד‪ )17 . 0.28 .‬א‪ 0.28 .‬ב‪ 0.36 .‬ג‪.0.04 .‬‬
‫‪ )18‬א‪ 0.03 .‬ב‪0.47 .‬‬
‫ג‪ )19 . 0.33 .‬א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ )21‬א‪ .‬ב‪ 23 .‬ג‪ 19 .‬ד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪54‬‬
‫‪27‬‬
‫‪27‬‬
‫‪)25 . 115 )24‬‬
‫‪143‬‬
‫‪P  0.6‬‬
‫‪)26‬‬
‫‪0.315‬‬
‫‪ )22 .‬א‪.‬‬
‫‪P  0.2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪73‬‬
‫‪405‬‬
‫‪)27‬‬
‫‪0.4825‬‬
‫ג‪ )20 .0.45 .‬א‪.‬‬
‫‪52‬‬
‫‪105‬‬
‫‪118‬‬
‫‪405‬‬
‫ג‪ )23 . 191 .‬א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪P  0.2‬‬
‫‪405‬‬
‫‪)28‬‬
‫‪P  0.2‬‬
‫‪39‬‬
‫‪70‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪32‬‬
‫‪135‬‬
‫‪, P2  0.3‬‬
‫‪)29‬‬
‫ג‪. 64 .‬‬
‫‪117‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪52‬‬
‫‪75‬‬
‫ד‪. 37 .‬‬
‫‪75‬‬
‫‪. P1  0.9‬‬
‫‪ )30‬א‪ P  0.3 .‬ב‪ )31 .0.28.‬א‪ P  0.5 .‬ב‪. P  0.4 )32 .0.3796 .‬‬
‫‪ )33‬א‪ P  0.3 , Q  0.4 .‬ב‪ 0.33 .‬ג‪. x  10 )35 P  0.7 , Q  0.6 )34 .0.51 .‬‬
‫‪ 5 )42 . x  5 )41 . x  2 )40 . x  4 )39 .12 )38 .2 )37 .4 )36‬אדומים ו‪ 3-‬לבנים‪.‬‬
‫‪ 8 )43‬כחולים ו ‪ 2-‬צהובים‪ 3 )44 .‬סגולים ו‪ 6-‬ירוקים‪.‬‬
‫‪ )45‬א‪ 0.3456 .‬ב‪ 0.1296 .‬ג‪ 0.8208 .‬ד‪.0.0256 .‬‬
‫‪ )46‬א‪ 0.3087 .‬ב‪ 0.16807 .‬ג‪ 0.36015 .‬ד‪.0.83692 .‬‬
‫‪ )47‬א‪ 0.03078 .‬ב‪ 0.52822 .‬ג‪ 0.1323 .‬ד‪.0.96922 .‬‬
‫‪ )48‬א‪ 0.3456 .‬ב‪ 0.1536 .‬ג‪ 0.1792 .‬ד‪.0.6544 .‬‬
‫‪ )49‬א‪ 0.0256 .‬ב‪ 0.0272 .‬ג‪ 0.8192 .‬ד‪.0.4752 )50 .0.1536 .‬‬
‫‪ )51‬א‪ 0.3456 .‬ב‪ 0.3456 .‬ג‪ 0.4752 .‬ד‪ )52 .0.0256 .‬א‪.‬‬
‫‪ )53‬ב‪ 0.328 .‬ג‪ )54 .0.672 .‬א‪.‬‬
‫‪)57 .0.21609 )56‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1944‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1296‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪25‬‬
‫‪216‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫ג‪ . .‬ד‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪81‬‬
‫‪17‬‬
‫‪81‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪32‬‬
‫‪81‬‬
‫‪ )55 .‬א‪.‬‬
‫ג‪. 64 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪243‬‬
‫‪81‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪40‬‬
‫‪243‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪27‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫‪27‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )58 .‬א‪ 0.1536 .‬ב‪ 0.52822 .‬ג‪.0.08113 .‬‬
‫‪ )59‬א‪ 0.0023 .‬ב‪ 0.0157 .‬ג‪ 6.4 107 .‬ד‪ )60 .0.0193 .‬ב‪ 0.00082 .‬ג‪ 0.0176 .‬ד‪.0.02752 .‬‬
‫‪ )61‬א‪ 0.09335 .‬ב‪ 0.05808 .‬ג‪ 0.024 .‬ד‪.0.17543 .‬‬
‫‪)62‬‬
‫‪256‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪6561‬‬
‫‪ )64‬א‪.‬‬
‫‪)66‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪P  0.6‬‬
‫‪1053‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2365‬‬
‫‪5.95 107‬‬
‫ג‪ 0.0625 .‬ד‪.0.2929.‬‬
‫‪ )63‬א‪P  0.6 .‬‬
‫ב‪)65 .0.07776 .2 0.08704 .1 .‬‬
‫ב‪ )67 .0.304 .‬א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫ב‪ 0.86805 .‬ג‪.‬‬
‫‪ )68‬א‪ 0.4116 .‬ב‪ 0.0016 .‬ג‪ 0.9477 .‬ד‪.0.6517 .‬‬
‫‪98‬‬
‫‪1‬‬
‫‪81‬‬
‫‪P‬‬
‫ב‪ 0.2304 .‬ג‪.0.91296 .‬‬
‫ב‪.0.09346 .2 0.08392 .1 .‬‬
‫ד‪.0.0756 .‬‬
.0.1335 .‫ ד‬0.0768 .‫ ג‬0.02835 .‫) ב‬69
. 189 .‫ד‬
256
11
256
.‫ג‬
15
1024
625
4096
.‫ב‬
.‫) א‬71 .0.8074 .‫ ד‬0.1296 .‫ ג‬0.9477 .‫ ב‬0.2646 .‫) א‬70
P  0.1 .‫) א‬72
.0.0081 .‫ ג‬0.3087 .‫ ב‬P  0.7 .‫) א‬73 .0.0486 .‫ ג‬0.6561 .‫ב‬
.0.1536 .‫ ב‬P  0.6 .‫) א‬76 .0.00032 .‫ ב‬P  0.8 .‫) א‬75 .0.08704 .‫ב‬
.15% .‫ ג‬60% .‫ ב‬24% .‫) א‬79 . 27 .‫ב‬
P
64
1
4
P  0.4 .‫) א‬74
.‫) א‬78
P  0.8 .‫) א‬77
.0.7 .‫ ג‬0.48 .‫ ב‬0.47 .‫) א‬81 . 80% .‫ ד‬20% .‫ ג‬60% .‫ ב‬32% .‫) א‬80
P
.12.5% .‫ג‬
14
15
.1.6 .2
.P 
7
13
.‫ ב‬4% .‫) א‬84
P  0.65
.1 .‫ג‬
)89 . P 
9
13
1
.‫ ג‬80% .‫ ב‬70% .‫) א‬83 .0.9 .‫ג‬
3
P  0.75 .‫ב‬
.‫ג‬
P
5
7
.P 
. P  18 .‫ב‬
67
P  0.67
.‫ב‬
1
19
P
4
.‫א‬
15
P
45
91
)86 . P 
.‫) א‬88 . P 
)92 . P  5 .‫ג‬
7
.‫) א‬94 . P 
5
.‫ג‬
14
5
17
.‫ד‬
P
P
14
45
12
17
0.8 .‫ ב‬10% .‫) א‬82
P  0.375 .‫ב‬
7
.‫ ג‬P  2
11
3
.‫ב‬
.‫ג‬
P
2
9
.‫ב‬
20% .‫) א‬85
P
14
33
.‫) א‬87
.‫) א‬91 . P  15 )90
19
P  0.68
.‫ב‬
P  0.32
.‫) א‬93
. P  1 .‫ ב‬60% .‫) א‬97 . P  0.5 .‫ ג‬50% .‫ ב‬20% .‫) א‬96 .28% .‫ ג‬12% .‫ ב‬24% .‫) א‬95
3
.'‫) ב‬100 .2 ‫ פי‬.‫ג‬
. 8 .‫ג‬
53
P  0.4
P
1
3
.‫ ב‬40% .‫) א‬99 . P  5 .‫ג‬
.‫ ב‬48% .‫) א‬103 . 51 .‫ ג‬0.8 .‫ ב‬1% .‫) א‬102
70
7
P
2
9
.‫ב‬
P
P
9
14
9
11
.‫) ב‬98
.‫) א‬101
.0.48 .‫ ב‬0.6 .‫) א‬106 .0.7 .‫ ד‬0.2 .‫ ג‬0.8 .‫ ב‬0.6 .‫) א‬105 .0.94 .‫ ב‬0.36 .‫) א‬104
. P(A)  0.4 , P(B)  0.8 )109 .0.88 .‫ ג‬0.32 .‫ ב‬0.8 .‫) א‬108 .0.9 .‫) ב‬107
. P(A)  0.8 , P(B)  0.3 )112 P(A)  0.3 , P(B)  0.6 )111 . P(A)  0.2 , P(B)  0.5 )110
99
‫פרק ‪ – 6‬גאומטריה אוקלידית‪:‬‬
‫רקע‪ ,‬קווים וזוויות‪ ,‬משולשים‪:‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬נתון‪, CAB  DAC :‬‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫‪. EAB  80 , FAD  60‬‬
‫חשב את הזויות הבאות‪:‬‬
‫‪. FAB , EAC , CAB‬‬
‫‪FAE  2  EAD‬‬
‫‪ )2‬חשב את סכום הזויות הבאות (נמק)‪:‬‬
‫‪. 2 4 6‬‬
‫‪ )3‬מצא את זוגות הישרים המקבילים‬
‫בשרטוט הבא (נמק)‪.‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪FAB  120 , EAC  50 , CAB  30 )1‬‬
‫‪. d c , a c , e f )3 180 )2‬‬
‫משולש כללי‪ ,‬משולש שווה שוקיים‪ ,‬משולש ישר זווית‪:‬‬
‫משפטים כלליים במשולשים‪:‬‬
‫‪ .1‬סכום הזוויות במשולש הוא ‪.180O‬‬
‫‪ .2‬סכום שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית‪.‬‬
‫‪ .3‬במשולש מול הזווית הגדולה נמצאת הצלע הגדולה ולהפך‪.‬‬
‫במשולש מול הזווית הקטנה נמצאת הצלע הקטנה ולהפך‪.‬‬
‫במשולש מול זוויות שוות נמצאות צלעות שוות ולהפך‪.‬‬
‫‪100‬‬
‫משפטים במשולש שווה שוקיים‪:‬‬
‫‪ .1‬במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו‪.‬‬
‫(משפט הפוך) משולש שבו שתי זוויות שוות הוא משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪ .2‬במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש‪ ,‬הגובה לבסיס והתיכון לבסיס מתלכדים‪.‬‬
‫(משפט הפוך) משולש שבו חוצה זווית הוא גם גובה או חוצה זווית הוא גם‬
‫תיכון או גובה הוא גם תיכון הוא משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫משפטים במשולש שווה צלעות‪:‬‬
‫הגדרה‪ :‬משולש שבו כל הצלעות שוות הוא משולש שווה צלעות‪.‬‬
‫‪ .1‬במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות ‪. 60‬‬
‫‪( .2‬משפט הפוך) משולש שבו כל הזוויות שוות הוא משולש שווה צלעות‪.‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )4‬המשולש ‪ ABC‬שבציור הוא משולש שווה שוקיים )‪.(AB=AC‬‬
‫‪ AG‬חוצה את זווית ‪. A‬‬
‫‪ M‬היא נקודה כלשהי על ‪.AG‬‬
‫הוכח כי‪.BM = CM :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )5‬המשולש ‪ ABC‬שבציור הוא משולש שווה שוקיים )‪.(AB=AC‬‬
‫‪ AG‬ו‪ BP-‬חוצים את הזוויות ‪ A‬ו‪ ABC -‬בהתאמה‪.‬‬
‫הנקודה ‪ Q‬נמצאת על המשך ‪.AG‬‬
‫‪P‬‬
‫נתון‪.GM = GQ :‬‬
‫הוכח‪. B1  B3 :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪G‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪G‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪101‬‬
‫‪B‬‬
‫‪3‬‬
‫‪B‬‬
‫חפיפת משולשים‪:‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫משולשים חופפים הם משולשים ששווים זה לזה בכל צלעותיהם ובכל זוויותיהם‬
‫בהתאמה‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ AB  DE , AC  DF , BC  EF‬‬
‫‪ABC  DEF  ‬‬
‫‪ A D, B E, C  F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫משפטי החפיפה‪:‬‬
‫‪ .1‬משפט חפיפה צלע‪-‬זווית‪ -‬צלע (צ‪.‬ז‪.‬צ)‪ :‬אם בין שני משולשים שוות שתי צלעות‬
‫והזווית שביניהן בהתאמה אז המשולשים חופפים‪.‬‬
‫‪ .2‬משפט חפיפה זווית‪-‬צלע‪ -‬זווית (ז‪.‬צ‪.‬ז)‪ :‬אם בין שני משולשים שוות שתי זוויות‬
‫והצלע שביניהן בהתאמה אז המשולשים חופפים‪.‬‬
‫‪ .3‬משפט חפיפה צלע‪-‬צלע‪ -‬צלע (צ‪.‬צ‪.‬צ)‪ :‬אם בין שני משולשים שוות שלוש צלעות‬
‫בהתאמה אז המשולשים חופפים‪.‬‬
‫‪ .4‬משפט חפיפה צלע‪-‬צלע‪ -‬והזווית הגדולה (צ‪.‬צ‪.‬ז)‪ :‬אם בין שני משולשים שוות שתי‬
‫צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן בהתאמה אז המשולשים חופפים‪.‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )6‬בציור נתון‪. AC  EC , DC  BC :‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫א‪. CDE  CBA .‬‬
‫ב‪. ADE  ABE .‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )7‬בציור נתון‪. DBC  ACB , ABC  DCB :‬‬
‫הוכח‪. AB  DC :‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )8‬בציור נתון‪. AC  DE , AB  BE  AD :‬‬
‫הוכח‪ :‬הנקודה ‪ D‬היא אמצע הצלע ‪. BC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪102‬‬
‫‪E‬‬
‫זווית חיצונית למשולש ומשולש ישר זווית‪:‬‬
‫זווית חיצונית למשולש‪:‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫זווית חיצונית למשולש היא זווית הכלואה בין צלע‬
‫במשולש להמשך צלע הסמוכה לה‪.‬‬
‫משפט‪ :‬זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה‪.‬‬
‫משפטים במשולש ישר זווית‪:‬‬
‫‪ .1‬סכום הזוויות החדות במשולש ישר זווית הוא ‪. 90‬‬
‫‪ .2‬במשולש שזוויותיו ‪ , 30 , 60 , 90‬הניצב שמול הזווית של ה‪ 30 -‬שווה למחצית היתר‪.‬‬
‫‪( .3‬משפט הפוך ל‪ ) 2-‬אם במשולש ישר זווית אחד הניצבים שווה למחצית היתר‪,‬‬
‫אז הזווית שמול ניצב זה היא בת ‪. 30‬‬
‫‪ .4‬במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר‪.‬‬
‫‪( .5‬משפט הפוך ל‪ :) 4-‬אם במשולש תיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה‪,‬‬
‫אז המשולש ישר זווית (כאשר הזווית ממנה יוצא התיכון היא הזווית הישרה)‪.‬‬
‫‪ .6‬משפט פיתגורס‪ :‬במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר‪.‬‬
‫כלומר‪(2 :‬יתר) = ‪(2‬ניצב) ‪(2 +‬ניצב)‪.‬‬
‫‪( .7‬משפט הפוך למשפ ט פיתגורס) אם במשולש סכום ריבועי שתי צלעות שווה‬
‫לריבוע הצלע השלישית‪ ,‬אז המשולש ישר זווית‪.‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )9‬הוכח את המשפט‪" :‬זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות‬
‫הפנימיות שאינן צמודות לה"‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )10‬המשולש ‪ ABC‬שבציור הוא משולש שווה צלעות‪.‬‬
‫נתון‪.AN = BM :‬‬
‫הוכח‪. NQC  60o :‬‬
‫‪N‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫‪103‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )11‬המשולש ‪ ABC‬שבציור הוא משולש שווה שוקיים )‪.(AB = AC‬‬
‫נתון‪ 18 , ABD  30o , DAC  90o :‬ס"מ = ‪.BC‬‬
‫חשב את אורכו של הקטע ‪.BD‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )12‬המשולש ‪ ABC‬שבציור הוא משולש ישר זווית ( ‪.) ABC  90o‬‬
‫‪ BQ‬הוא הגובה ליתר ‪ AC‬ו‪ BP-‬הוא התיכון ליתר ‪.AC‬‬
‫‪B‬‬
‫נתון‪. BQ  12 BP :‬‬
‫חשב את גודלה של הזווית ‪. C‬‬
‫‪Q C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ )13‬המשולש ‪ BDC‬שבציור הוא משולש שווה שוקיים )‪.(BD=DC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ AC‬חוצה את הזווית ‪ . BAE‬נתון‪. DC AE :‬‬
‫חשב את גודלה של הזווית ‪. ACB‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ AD )14‬הוא גובה במשולש ‪.ABC‬‬
‫נתון‪. BC  25cm , AC  20cm , AB  15cm :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורכו של ‪ AD‬ואת שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫ב‪ .‬האם המשולש ‪ ABC‬ישר זווית? נמק‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )15‬המשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים ‪.  AB  AC ‬‬
‫על השוק ‪ AC‬ועל הבסיס ‪ BC‬בונים משולשים שווי‬
‫צלעות ‪ ACE‬ו‪.BCD-‬‬
‫מחברים את הנקודה ‪ D‬עם הקדקודים ‪ A‬ו‪.E-‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ABD  ACD :‬‬
‫ב‪ .‬ידוע גם כי‪. DE BC :‬‬
‫הוכח‪. ADE  90 :‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪C  75 )12 BD  6cm )11‬‬
‫‪ACB  90 )13‬‬
‫‪ )14‬א‪ SABC  150cm , AD  12cm .‬ב‪ .‬כן‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪104‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫קטעים מיוחדים במשולש‪:‬‬
‫קטע אמצעים במשולש‪:‬‬
‫הגדרה‪ :‬קטע המחבר אמצעי שתי צלעות במשולש נקרא קטע אמצעים במשולש‪.‬‬
‫‪ .1‬קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה‪.‬‬
‫‪( .2‬משפט הפוך ‪ :) 1‬קטע היוצא מאמצע צלע במשולש ומקביל לצלע השלישית‬
‫חוצה את הצלע השנייה (כלומר הוא קטע אמצעים במשולש)‪.‬‬
‫‪( .3‬משפט הפוך ‪ :) 2‬קטע המחבר שתי צלעות במשולש‪ ,‬מקביל לצלע השלישית‬
‫ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים במשולש‪.‬‬
‫מפגש התיכונים במשולש‪:‬‬
‫‪ .1‬שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת המחלקת כל תיכון‬
‫ביחס של ‪ 1:2‬כך שהחלק הקצר קרוב לצלע‪.‬‬
‫‪ .2‬אם נקודה מחלקת תיכון (אחד) במשולש ביחס של ‪ 1:2‬כך שהחלק הקצר קרוב‬
‫לצלע‪ ,‬נקודה זו היא מפגש התיכונים במשולש‪.‬‬
‫‪ .3‬נקודת מפגש התיכונים במשולש נקראת גם מרכז הכובד של המשולש‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )16‬הקטע ‪ MN‬הוא קטע אמצעים במשולש ‪. ABC‬‬
‫‪ AQ‬הוא גובה לצלע ‪.BC‬‬
‫‪1 N‬‬
‫‪2 3‬‬
‫הוכח‪. N1  N2 :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ AF )17‬הוא גובה לצלע ‪ BC‬ו‪ CG -‬הוא תיכון לצלע‬
‫במשולש ‪ . ABC‬הקטע ‪ GH‬מאונך לצלע ‪. BC‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BH  HF :‬‬
‫ב‪ .‬נתון בנוסף כי הגובה ‪ AF‬חוצה את‬
‫התיכון ‪ GC‬ושגודלו של ‪ AF‬הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. EF‬‬
‫‪ )16‬ב‪EF  3cm .‬‬
‫‪. MQ  3cm )17‬‬
‫‪105‬‬
‫‪B‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪A‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪G‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )18‬המשולש ‪ ABC‬שבציור הוא מש"ש ( ‪) AB  AC‬‬
‫שבו ‪ AH‬הוא הגובה לבסיס ‪ ,CD .BC‬התיכון‬
‫‪C‬‬
‫לשוק ‪ ,AB‬יוצר זווית של ‪ 30o‬עם הבסיס ‪.BC‬‬
‫נתון‪ . DQ BC , BC  12 3 cm :‬חשב את אורך הקטע ‪.MQ‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪P‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪H‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪H‬‬
‫‪B‬‬
‫מרובעים‪:‬‬
‫הגדרה‪ :‬מרובע הוא מצולע בעל ‪ 4‬צלעות‪.‬‬
‫משפט‪ :‬סכום הזוויות במרובע הוא ‪. 360o‬‬
‫מקבילית‪:‬‬
‫הגדרה‪ :‬מקבילית היא מרובע שבו שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות‪.‬‬
‫תכונות המקבילית‪:‬‬
‫‪ .1‬במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ .2‬במקבילית כל שתי זוויות נגדיות שוות‪.‬‬
‫‪ .3‬במקבילית סכום כל שתי זוויות סמוכות הוא ‪.180‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ .4‬במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה‪.‬‬
‫‪ .5‬היקף מקבילית ‪ ‬סכום הצלעות‪ ,‬שטח מקבילית ‪ ‬צלע ‪ ‬גובה לצלע‪.‬‬
‫כדי להוכיח כי מרובע הוא מקבילית נשתמש באחת הדרכים הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬מרובע שבו כל זוג צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪ .2‬מרובע שבו כל זוג צלעות נגדיות שוות הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪ .3‬מרובע שבו זוג צלעות שוות ומקבילות הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪ .4‬מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪ .5‬מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית‪.‬‬
‫מלבן‪:‬‬
‫הגדרה‪ :‬מלבן הוא מרובע שכל זוויותיו ישרות‪.‬‬
‫(מסקנה‪ :‬מלבן הוא סוג של מקבילית)‪.‬‬
‫תכונות המלבן (בנוסף לתכונות המקבילית)‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ .1‬ארבע זוויות המלבן שוות והן זוויות ישרות‪.‬‬
‫‪ .2‬האלכסונים במלבן שווים זה לזה‬
‫‪ .3‬היקף מלבן ‪ ‬סכום הצלעות‪ ,‬שטח מלבן ‪ ‬צלע ‪ ‬גובה לצלע‪.‬‬
‫‪106‬‬
‫כדי להוכיח כי מרובע הוא מלבן נשתמש באחת הדרכים הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬מרובע שבו שלוש זוויות ישרות הוא מלבן‪.‬‬
‫‪ .2‬מקבילית שבה זווית ישרה היא מלבן‪.‬‬
‫‪ .3‬מקבילית שבה האלכסונים שווים היא מלבן‪.‬‬
‫מעוין‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫הגדרה‪ :‬מעוין הוא מרובע שכל צלעותיו שוות‪.‬‬
‫(מסקנה‪ :‬מעוין הוא סוג של מקבילית)‪.‬‬
‫תכונות המעוין (בנוסף לתכונות המקבילית)‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ .1‬במעוין כל הצלעות שוות‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ .2‬במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫‪ .3‬במעוין האלכסונים הם חוצי זוויות‪.‬‬
‫‪ .4‬היקף מעוין ‪ ‬צלע ‪ ,4 ‬שטח מעוין ‪ ‬צלע ‪ ‬גובה לצלע ‪(/2 ‬אלכסון ‪ ‬אלכסון)‪.‬‬
‫כדי להוכיח כי מרובע הוא מעוין נשתמש באחת הדרכים הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬מרובע שבו כל הצלעות שוות הוא מעוין‪.‬‬
‫‪ .2‬מקבילית שבה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין‪.‬‬
‫‪ .3‬מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין‪.‬‬
‫‪ .4‬מקבילית שבה אלכסון חוצה זווית היא מעוין (מספיק אחד)‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫ריבוע‪:‬‬
‫הגדרה‪ :‬ריבוע הוא מרובע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו שוות‪.‬‬
‫(מסקנה‪ :‬ריבוע הוא סוג של מקבילית‪ ,‬סוג של מלבן וסוג של מעוין)‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫מכאן‪ ,‬שבנוסף לתכונות שבהגדרת הריבוע מתקיים כי אלכסוני הריבוע‬
‫חוצים זה את זה‪ ,‬שווים זה לזה‪ ,‬מאונכים זה לזה וחוצים את זוויות הריבוע‪.‬‬
‫היקף ריבוע ‪ ‬צלע ‪ ,4 ‬שטח ריבוע ‪(2 ‬צלע) ‪(2/2 ‬אלכסון)‬
‫כדי להוכיח כי מרובע הוא ריבוע נשתמש באחת הדרכים הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬מלבן שבו האלכסונים מאונכים הוא ריבוע‪.‬‬
‫‪ .2‬מלבן שבו אלכסון חוצה זווית הוא ריבוע‪.‬‬
‫‪107‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ .3‬מלבן שבו שתי צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע‪.‬‬
‫‪ .4‬מעוין שבו האלכסונים שווים הוא ריבוע‪.‬‬
‫‪ .5‬מעוין שבו זווית ישרה הוא ריבוע‪.‬‬
‫טרפז‪:‬‬
‫הגדרה ‪ :‬טרפז הוא מרובע שבו זוג אחד בלבד של צלעות נגדיות מקבילות‪.‬‬
‫היקף טרפז ‪ ‬סכום הצלעות‪ ,‬שטח טרפז ‪(/2 ‬גובה ‪ ‬סכום הבסיסים)‪.‬‬
‫טרפז כללי‪:‬‬
‫טרפז ישר זווית‪:‬‬
‫טרפז שווה שוקיים‪:‬‬
‫משפטים הנוגעים לטרפז שווה שוקיים‪:‬‬
‫‪ .1‬בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪( .2‬משפט הפוך) טרפז שבו הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪ .3‬בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה‪.‬‬
‫‪( .4‬משפט הפוך) טרפז שבו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים‪.‬‬
‫קטע אמצעים בטרפז‪:‬‬
‫הגדרה‪ :‬קטע אמצעים בטרפז הוא קטע המחבר את אמצעי השוקיים בטרפז‪.‬‬
‫‪ .1‬קטע אמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם‪.‬‬
‫‪( .2‬משפט הפוך) קטע היוצא מאמצע שוק אחת בטרפז‬
‫ומקביל לבסיסים‪ ,‬חוצה את השוק השנייה‬
‫(כלומר הוא קטע אמצעים בטרפז)‪.‬‬
‫‪108‬‬
‫‪A‬‬
‫דלתון‪:‬‬
‫הגדרה ‪ :‬דלתון הוא מרובע שבו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות‪.‬‬
‫(מסקנה‪ :‬דלתון הוא מרובע שניתן לפרק לשני משולשים‬
‫‪B‬‬
‫שווי שוקיים בעלי בסיס משותף)‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫תכונות האלכסונים בדלתון‪:‬‬
‫‪ .1‬האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זוויות הראש‪ ,‬חוצה את האלכסון המשני‬
‫ומאונך לו‪.‬‬
‫‪ .2‬האלכסון הראשי אינו בהכרח גדול מהאלכסון המשני‪.‬‬
‫‪ .3‬היקף דלתון ‪ ‬סכום הצלעות‪ ,‬שטח דלתון ‪(/2 ‬אלכסון ‪ ‬אלכסון)‪.‬‬
‫משפחת המרובעים‪:‬‬
‫‪109‬‬
‫‪A‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬המשולשים ‪ ABC‬ו‪ ACD -‬שבציור הם‬
‫משולשים שווי שוקיים ( ‪.) AB  AC  AD‬‬
‫נתון‪. BAD  80o :‬‬
‫חשב את גודלה של הזווית ‪. BCD‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )2‬נתונה מקבילית ‪ ABCD‬שאלכסוניה נפגשים בנקודה ‪. M‬‬
‫נתון‪. AC  20cm , BC  12 DB , DQ  AC :‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. AQ‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )3‬את הצלע ‪ AB‬במקבילית ‪ ABCD‬האריכו כאורכה עד לנקודה ‪. T‬‬
‫הוכח‪ BTCD :‬מקבילית‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )4‬נתון מלבן ‪ ABCD‬שבו ‪. DM  MC‬‬
‫הוכח‪. MAB  MBA :‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )5‬נתונה מקבילית ‪ ABCD‬ובה ‪ CM , BQ , AP‬ו‪ DN -‬הם‬
‫חוצי הזוויות ‪ C , B , A‬ו ‪ D -‬בהתאמה‪.‬‬
‫הוכח‪ TRLS :‬מלבן‪.‬‬
‫‪ )6‬נתון מעוין ‪ ABCD‬שאלכסוניו נפגשים בנקודה ‪. M‬‬
‫האריכו את הצלע ‪ AB‬עד לנקודה ‪ E‬כך‬
‫‪B‬‬
‫שמתקיים‪. ED  DB :‬‬
‫‪A‬‬
‫הוכח‪. AD  AE :‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ )7‬נתון מלבן ‪ ABCD‬שאלכסוניו נפגשים בנקודה ‪. M‬‬
‫האריכו את הצלע ‪ AB‬כאורכה עד לנקודה ‪ F‬ואת‬
‫הצלע ‪ AD‬כאורכה עד לנקודה ‪ E‬כמתואר בשרטוט‪.‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע‬
‫‪EBDF‬‬
‫‪E‬‬
‫הוא מעוין‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪110‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ )8‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית שבה אורך הצלע ‪AB‬‬
‫גדולה פי ‪ 2‬מהצלע ‪ .AD‬ממשיכים את הצלע ‪ AD‬עד‬
‫לנקודה ‪ K‬ומחברים אותה לקודקוד ‪.B‬‬
‫מעבירים את הקטע ‪ FE‬כך ש ‪ F-‬היא אמצע הקטע ‪.BK‬‬
‫‪ EF‬חותך את הצלע ‪ AB‬בנקודה ‪ G‬ומקביל לצלע ‪.AD‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ AGED‬הוא מעוין‪.‬‬
‫ב‪ .‬שטח המעוין ‪ AGED‬הוא ‪ 20‬סמ"ר‪.‬‬
‫חשב את שטח המרובע ‪DCBK‬‬
‫אם ידוע כי ‪ A‬היא אמצע הקטע ‪.DK‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )9‬בריבוע ‪ ABCD‬נתון כי ‪. AE  BF‬‬
‫הוכח‪. DE  AF :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )10‬נתון מעוין ‪ ABCD‬שאלכסוניו נפגשים בנקודה ‪. M‬‬
‫‪E‬‬
‫‪1‬‬
‫נתון‪. EBA  15o , MB  AB , AE  FC :‬‬
‫‪2‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע‬
‫‪EBFD‬‬
‫‪B‬‬
‫הוא ריבוע‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )11‬נתון טרפז ‪ ABCD‬שאורכי צלעותיו נתונים בשרטוט‪.‬‬
‫חשב את שטח הטרפז (פתור כתרגיל חישוב)‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪5cm‬‬
‫‪A‬‬
‫‪13cm‬‬
‫‪20cm‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪26cm‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )12‬נתון מלבן ‪ ABCD‬שאלכסוניו נפגשים בנקודה ‪. O‬‬
‫נתון‪. MN DC :‬‬
‫הוכח‪ DMNC :‬טרפז שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪N‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪111‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )13‬המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז ישר זווית ‪ .  A  90‬הנקודה ‪ M‬נמצאת על אמצע‬
‫האלכסון ‪ BD‬של הטרפז וממנה מעבירים את‬
‫הקטעים ‪ ME‬ו‪ MF-‬השווים זה לזה ומחברים‬
‫אותה עם הקודקוד ‪.A‬‬
‫נתון כי‪ ME  MF :‬וכי‪. DFM  90 :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. AFM  MBE :‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪. AE  FD  1 , BC  32 :‬‬
‫כמו כן‪. AM BC :‬‬
‫‪ .1‬מצא את אורך הקטע ‪.BE‬‬
‫‪ .2‬חשב את שטח הטרפז ‪.ABCD‬‬
‫‪ KN )14‬הוא קטע אמצעים בטרפז ישר זווית‬
‫( ‪ ) AD  AB , AB DC‬שאלכסוניו נפגשים בנקודה ‪. O‬‬
‫‪ABCD‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫נתון‪. AD  12cm , DC  2 AB , ADB  45O :‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. LM‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪K‬‬
‫‪L‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )15‬בדלתון ‪ ABCD‬האריכו את האלכסון המשני‬
‫משני צדיו כמתואר בשרטוט כך שמתקיים‪:‬‬
‫‪. KD  BL‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ ALCK‬הוא דלתון‪.‬‬
‫‪L‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪BCD  140 )1‬‬
‫‪ 186 )11‬סמ"ר = ‪S‬‬
‫‪ )8 AQ  5cm )2‬ב‪ 60 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ )13‬ב‪ 3 .1 .‬ס"מ‪ 24 .2 .‬סמ"ר‪. LM  6cm )14 .‬‬
‫‪112‬‬
‫‪D‬‬
‫‪K‬‬
‫המעגל‪:‬‬
‫הגדרות‪:‬‬
‫‪ ‬מעגל – המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מנקודה קבועה קבוע‪.‬‬
‫הנקודה הקבועה נקראת מרכז המעגל‪.‬‬
‫‪ ‬רדיוס – קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה על המעגל‪.‬‬
‫‪ ‬מיתר – קטע המחבר שתי נקודות שעל המעגל‪.‬‬
‫‪ ‬קוטר – מיתר העובר במרכז המעגל‪.‬‬
‫מרכז‬
‫המעגל‬
‫‪ ‬היקף מעגל = ‪. 2 R‬‬
‫מיתר‬
‫‪ ‬שטח מעגל = ‪.  R 2‬‬
‫‪ ‬קשת – חלק מהיקף המעגל‪.‬‬
‫‪ ‬גזרה – חלק משטח המעגל‪.‬‬
‫‪ ‬זווית מרכזית – זווית שקדקודה במרכז המעגל ושוקיה רדיוסים‪.‬‬
‫‪ ‬זווית היקפית – זווית שקדקודה על היקף המעגל ושוקיה מיתרים‪.‬‬
‫משפטים במעגל‪:‬‬
‫משפטים העוסקים במיתרים במעגל‪:‬‬
‫‪ .1‬מיתרים שווים נשענים על קשתות שוות ולהפך‪.‬‬
‫‪ .2‬על מיתרים שווים נשענות זוויות מרכזיות שוות ולהפך‪.‬‬
‫‪ .3‬מיתרים שווים נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל‪.‬‬
‫‪( .4‬משפט הפוך ל‪ ) 3-‬מיתרים הנמצאים במרחק שווה ממרכז המעגל שווים‪.‬‬
‫‪ .5‬אנך למיתר ממרכז המעגל חוצה את המיתר‪.‬‬
‫‪( .6‬משפט הפוך ל‪ ))1( 5-‬רדיוס החוצה מיתר מאונך לו‪.‬‬
‫‪( .7‬משפט הפוך ל‪ )) 2( 5-‬קטע היוצא מאמצע מיתר ומאונך לו‪ ,‬עובר במרכז המעגל‪.‬‬
‫‪113‬‬
‫משפטים העוסקים בזוויות במעגל‪:‬‬
‫‪ .8‬שתי זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת‪/‬קשתות שוות‪ ,‬שוות ביניהן‪.‬‬
‫‪( .9‬משפט הפוך ל‪ )8-‬זוויות היקפיות שוות נשענות על קשתות שוות‪.‬‬
‫‪ .10‬זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת‪.‬‬
‫‪ .11‬זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה‪.‬‬
‫‪( .12‬משפט הפוך ל‪ ) 11-‬מיתר עליו נשענת זווית היקפית ישרה הוא קוטר‪.‬‬
‫משפטים העוסקים במשיק למעגל ושני משיקים למעגל‪:‬‬
‫‪ .13‬משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה‪.‬‬
‫‪( .14‬משפט הפוך ל‪ )13-‬קטע המאונך לרדיוס בקצהו משיק למעגל‪.‬‬
‫‪ .15‬שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה‪.‬‬
‫‪ .16‬קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה שממנה יוצאים שני משיקים חוצה את‬
‫הזווית בין המשיקים‪.‬‬
‫‪ .17‬הזווית הכלואה בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני‪.‬‬
‫משפטים העוסקים בשני מעגלים‪:‬‬
‫‪ .18‬קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו‪.‬‬
‫‪ .19‬קטע המרכזים (או המשכו) של שני מעגלים משיקים עובר בנקודת ההשקה‪.‬‬
‫משפטים העוסקים במעגל חוסם ומעגל חסום‪:‬‬
‫‪ .20‬מרכז מעגל החוסם משולש הוא מפגש האנכים האמצעיים במשולש‪.‬‬
‫‪ .21‬מרכז מעגל החסום במשולש הוא מפגש חוצי הזווית במשולש‪.‬‬
‫‪ .22‬במרובע החסום במעגל‪ ,‬סכום כל שתי זוויות נגדיות הוא ‪.180o‬‬
‫‪( .23‬משפט הפוך ל‪ )22-‬אם במרובע סכום זוג זוויות נגדיות הוא ‪ ,180o‬המרובע‬
‫בר חסימה במעגל‪.‬‬
‫‪ .24‬במרובע החוסם מעגל סכום זוג צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני‪.‬‬
‫‪( .25‬משפט הפוך ל‪ ) 24-‬אם במרובע סכום זוג צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני‬
‫אז ניתן לחסום בתוכו מעגל‪.‬‬
‫‪ .26‬כל מצולע משוכלל ניתן לחסום במעגל וניתן לחסום בתוכו מעגל‪.‬‬
‫‪114‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ AB ,CD )1‬ו ‪ KL-‬הם מיתרים במעגל שמרכזו ‪ , O‬והם חותכים‬
‫את הקטע ‪ ,MG‬העובר במרכז המעגל‪ ,‬בנקודות ‪E ,F‬‬
‫ו‪ M-‬בהתאמה‪ .‬נתון‪. KL CD , CF  FD :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. KM  ML :‬‬
‫ב‪ .‬נתון בנוסף כי ‪, AB  MG‬‬
‫הוכח‪. MO  OE :‬‬
‫‪G‬‬
‫‪A‬‬
‫‪K‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O‬‬
‫‪E F‬‬
‫‪. ML  EB‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪L‬‬
‫‪B‬‬
‫‪550‬‬
‫‪ )2‬חשב את גודל הזוויות ‪ ‬ו‪  -‬במעגל הנתון‪.‬‬
‫‪β‬‬
‫‪500‬‬
‫‪400‬‬
‫‪ AB )3‬ו‪ BC-‬הם מיתרים במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫נתון‪. BA OC , AGC  60o :‬‬
‫חשב את גודלה של הזווית ‪. AOC‬‬
‫‪ BC ,AD ,AC ,AB )4‬ו‪ CD-‬הם מיתרים במעגל‬
‫שמרכזו ‪( O‬המיתר ‪ AD‬עובר ב‪.)O-‬‬
‫הקטע ‪ BE‬חותך את המיתר ‪ AC‬בנקודה ‪.G‬‬
‫נתון‪. BE CD , BG  GE :‬‬
‫הוכח‪. BC  CD :‬‬
‫‪ )5‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן החסום במעגל‪.‬‬
‫מהקדקוד ‪ D‬מעבירים את המיתר ‪ DF‬החותך‬
‫את הצלע ‪ AB‬בנקודה ‪ .E‬ידוע כי‪. AF  CF :‬‬
‫הצלע ‪ AD‬של המלבן תסומן ב‪. a -‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המשולש ‪ DAE‬הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי‪. BC  BF :‬‬
‫‪ .1‬הבע באמצעות ‪ a‬את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪ .2‬חשב את הזוויות המרכזיות של‬
‫הקשתות‪( AB ; BC :‬אין צורך לסרטט אותן)‪.‬‬
‫‪115‬‬
‫‪α‬‬
‫‪A‬‬
‫‪G‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪G‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )6‬מהנקודה ‪ A‬שעל היקף המעגל מעבירים את‬
‫המיתרים ‪ AC , AB‬ו ‪ .AD-‬הקטע ‪ BE‬חותך‬
‫את המיתר ‪ AD‬בנקודה ‪ E‬כך‬
‫שהקטעים ‪ DE‬ו‪ BC-‬שווים‪.‬‬
‫המיתרים ‪ AC‬ו‪ BD-‬שווים זה לזה‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ABC  BED :‬‬
‫ב‪ .1 .‬הוכח כי המשולש ‪ ABE‬הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪ .2‬הוכח כי‪. BAE  CBA  180 :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )7‬הצלעות ‪ AD ,AB‬ו‪ DC-‬של המקבילית ‪ ABCD‬משיקות‬
‫למעגל בנקודות ‪ L , B‬ו‪ K-‬בהתאמה (ראה שרטוט)‪.‬‬
‫נתון‪. KC  6cm , BC  14cm :‬‬
‫חשב את היקף המקבילית‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪L‬‬
‫‪C‬‬
‫‪K‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )8‬הצלעות ‪ AC‬ו‪ BC-‬של המשולש ‪ ABC‬משיקות‬
‫למעגל שמרכזו ‪ , O‬בנקודות ‪ K‬ו ‪ B-‬בהתאמה‪.‬‬
‫הצלע ‪ AB‬עוברת בנקודה ‪.O‬‬
‫נתון‪. AB  15cm , AK  KC :‬‬
‫א‪ .‬חשב את גודלה של זווית ‪. A‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורכו של רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪K‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪H‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )9‬הקדקודים ‪ B‬ו‪ C-‬של המלבן ‪ ABCD‬מונחים על מעגל‪.‬‬
‫הצלע ‪ AD‬משיקה למעגל בנקודה ‪ G‬והצלע ‪AB‬‬
‫חותכת את המעגל בנקודה ‪ .H‬הוכח‪. C2  C3 :‬‬
‫(הדרכה‪ :‬סמן ‪.) AGH  ‬‬
‫‪G‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ AB )10‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪.O‬‬
‫מהנקודה ‪ A‬מעבירים את המיתרים ‪ AC‬ו ‪ AG-‬ואת‬
‫המשיק ‪ AD‬כך שהמשולש‪ ACD‬שווה שוקיים‪.‬‬
‫הישר ‪ CD‬חותך את היקף המעגל בנקודה ‪ ,E‬את‬
‫המיתר ‪ AG‬בנקודה ‪ F‬ועובר דרך מרכז המעגל ‪.O‬‬
‫המיתר ‪ BG‬מקביל לישר החותך ‪.CD‬‬
‫א‪ .‬חשב את זוויות המשולש ‪.ACD‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪. AF  FG :‬‬
‫ג‪ .‬רדיוס המעגל יסומן ב‪ . R -‬הוכח כי‪. DC  3R :‬‬
‫‪116‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )11‬המעגלים שמרכזיהם ‪ M‬ו‪ G-‬משיקים מבחוץ זה לזה‬
‫ומשיקים מבפנים למעגל שמרכזו ‪.O‬‬
‫נתון כי רדיוס המעגל שמרכזו ‪ O‬הוא ‪. 8cm‬‬
‫חשב את היקף המשולש ‪. OMG‬‬
‫‪O‬‬
‫‪M‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ AD )12‬הוא התיכון לצלע ‪ BC‬במשולש ‪.ABC‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬אם מרכז המעגל החסום במשולש ‪ABC‬‬
‫נמצא על ‪ AD‬אז המשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬בהמשך לסעיף א'‪ ,‬האם מרכז המעגל החוסם את משולש ‪ ABC‬נמצא על ‪?AD‬‬
‫‪ )13‬חשב את גודלה של הזווית ‪ ‬בשרטוט הבא‪:‬‬
‫‪350‬‬
‫‪550‬‬
‫‪500‬‬
‫‪α‬‬
‫‪300‬‬
‫‪ )14‬בטרפז ישר זווית ‪ ABCD‬שבו השוק ‪ AD‬מאונכת‬
‫לבסיסים ‪ AB‬ו‪ DC-‬הנקודות ‪ K‬ו ‪ L-‬נמצאות על‬
‫הצלעות ‪ DC‬ו ‪ AD-‬בהתאמה‪ ,‬כך שהקטעים ‪ BK‬ו‪ CL-‬הם חוצי הזוויות‬
‫ו‪ C -‬בהתאמה‪ .‬חוצי הזוויות נפגשים בנקודה ‪.M‬‬
‫הוכח‪ :‬את המרובע ‪ DKML‬ניתן לחסום במעגל‪.‬‬
‫‪ )15‬המרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל‪.‬‬
‫המשכי המיתרים ‪ AB‬ו‪ ED-‬נפגשים בנקודה ‪.F‬‬
‫הקטע ‪ FD‬חותך את היקף המעגל בנקודה ‪ E‬כך‬
‫שמתקיים‪. AB  AE :‬‬
‫נתון כי הזווית ‪ BCD‬היא ישרה‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הקטע ‪ DF‬שווה לקוטר המעגל‪.‬‬
‫נתון כי‪ DF  BF :‬וכי רדיוס המעגל הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ AEDB‬הוא טרפז‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את היקף הטרפז ‪.AEDB‬‬
‫‪ )16‬חשב את גודלו של ‪ x‬בשרטוט הבא‪:‬‬
‫‪117‬‬
‫‪B‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪. AOC  40 )3   35 ,   95 )2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )5‬ב‪ 1.3a .1 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )8‬א‪A  30 .‬‬
‫‪  70 )13‬‬
‫‪AB  135 .2 R  a 1 ‬‬
‫; ‪BC  45‬‬
‫ב‪ 5 .‬ס"מ‪ )10 .‬א‪30 , 30 , 120  .‬‬
‫‪ 48 )7‬ס"מ = ‪. P‬‬
‫‪ 16 )11‬ס"מ = ‪. P‬‬
‫‪ )15‬ג‪ 60 .‬ס"מ‪. x  2 )16 .‬‬
‫פרופורציה דמיון‪:‬‬
‫פרופורציה‪:‬‬
‫משפט תאלס‪:‬‬
‫‪ .1‬שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים‬
‫פרופורציוניים‪.‬‬
‫‪ .2‬משפט הפוך‪ :‬אם שני ישרים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים‬
‫פרופורציוניים הישרים מקבילים‪.‬‬
‫‪AD AE‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .3‬משפט תאלס ‪ +‬ההפוך‪:‬‬
‫‪DB EC‬‬
‫‪E‬‬
‫‪. DE BC ‬‬
‫‪AD AE DE‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .4‬משפט תאלס המורחב ‪ +‬ההפוך‪:‬‬
‫‪AB AC BC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. DE BC ‬‬
‫‪BE AE AB‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .5‬משפט תאלס "שעון חול" ‪ +‬ההפוך‪:‬‬
‫‪ED EC DC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪. AB DC ‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫משפט חוצה הזווית‪:‬‬
‫‪ .6‬חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית ביחס‬
‫הזהה ליחס בין הצלעות שביניהן הוא כלוא ולהפך‪.‬‬
‫אם‪A1  A2 :‬‬
‫‪AB AC‬‬
‫אז‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪BD DC‬‬
‫ולהיפך‪.‬‬
‫‪118‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫דמיון משולשים‪:‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫משולשים דומים הם משולשים ששווים זה לזה בכל זוויותיהם ושצלעותיהם‬
‫שומרות בהתאמה על אותו יחס‪.‬‬
‫‪DEF‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E, C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ABC‬‬
‫‪D, B‬‬
‫‪AB AC BC‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪DE DF EF‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫משפטי הדמיון‪:‬‬
‫‪ .1‬משפט דמיון זווית‪ -‬זווית (ז‪.‬ז)‪ :‬אם בין שני משולשים שוות שתי זוויות אז‬
‫המשולשים דומים‪.‬‬
‫‪ .2‬משפט דמיון צלע ‪-‬זווית‪ -‬צלע (צ‪.‬ז‪.‬צ)‪ :‬אם בין שני משולשים שתי צלעות שומרות‬
‫על אותו יחס והזוויות שבניהן שווה אז המשולשים דומים‪.‬‬
‫‪ .3‬משפט דמיון צלע ‪-‬צלע ‪-‬צלע (צ‪.‬צ‪.‬צ)‪ :‬אם בין שני משולשים שלוש הצלעות‬
‫שומרות על אותו יחס אז המשולשים דומים‪.‬‬
‫‪ .4‬משפט דמיון צלע ‪-‬צלע ‪-‬והזווית הגד ולה (צ‪.‬צ‪.‬ז)‪ :‬אם בין שני משולשים שתי‬
‫לצעות שומרות על אותו יחס והזווית שמול הצלע הגדולה מביניהם שווה אז‬
‫המשולשים דומים‪.‬‬
‫יחס בין גדלים במשולשים דומים‪:‬‬
‫‪ .1‬בין שני משולשים דומים היחס בין הגבהים‪ ,‬התיכונים‪ ,‬חוצי הזווית‪ ,‬ההיקפים‪,‬‬
‫רדיוס המעגל החוסם ורדיוס המעגל החסום הוא כיחס הדמיון‪.‬‬
‫‪ .2‬היחס בין שטחי משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון‪.‬‬
‫‪119‬‬
‫פרופורציות במשולש ישר זווית‪:‬‬
‫‪ .1‬במשולש ישר זווית‪ ,‬הגובה ליתר בריבוע שווה למכפלת היטלי הניצבים על היתר‪.‬‬
‫‪ .2‬במשולש ישר זווית‪ ,‬ניצב בריבוע שווה למכפלת היתר והיטל הניצב על היתר‪.‬‬
‫‪( .3‬משפט הפוך ל‪ ) 1-‬אם במשולש גובה לצלע אחת בריבוע שווה למכפלת היטלי‬
‫הצלעות האחרות על צלע זאת‪ ,‬המשולש ישר זווית‪.‬‬
‫פרופורציות במעגל‪:‬‬
‫‪ .1‬אם שני מיתרים מחתכים במעגל‪ ,‬אז מכפלת קטעי המיתר האחד שווה‬
‫למכפלת קטעי המיתר השני‪.‬‬
‫‪ .2‬אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים שני חותכים למעגל‪ ,‬אז מכפלת חותך אחד‬
‫בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני‪.‬‬
‫‪ .3‬אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק למעגל‪ ,‬אז מכפלת החותך‬
‫בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק‪.‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬מצא את ערכו של ‪ x‬בשרטוטים הבאים‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪ )2‬בטרפז ‪ ABCD‬האלכסונים נפגשים בנקודה ‪.Q‬‬
‫בנקודה ‪ Q‬העבירו קטע המקביל לבסיסי הטרפז וחותך‬
‫את שוקי הטרפז בנקודות ‪ M‬ו‪ N-‬כמתואר בשרטוט‪.‬‬
‫נתון‪. QB  3cm , DQ  9cm , DC  18cm :‬‬
‫‪C‬‬
‫חשב את גודל הקטע ‪. MQ‬‬
‫‪120‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪N‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪AK MC AL‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )3‬בשרטוט נתון‪:‬‬
‫‪KC BM LB‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ KLMC‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪. BC  10cm , AL  1.5BL :‬‬
‫‪K‬‬
‫‪L‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪.LK‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪H‬‬
‫‪ )4‬הטרפז ‪ ABCD‬הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫חוסמים מעגל בתוך הטרפז אשר משיק לו‬
‫בנקודות ‪ F ,E‬ו‪ G-‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫הקטעים ‪ DF‬ו‪ CE-‬חוצים את זוויות הטרפז‬
‫ונחתכים בנקודה ‪.M‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הנקודה ‪ M‬היא מרכז‬
‫המעגל החסום‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זוויות הטרפז‪.‬‬
‫ג‪ .‬ממשיכים את ‪ GF‬ואת ‪ AD‬כך‬
‫שהם נפגשים בנקודה ‪.H‬‬
‫‪EM‬‬
‫חשב את היחס‬
‫‪FH‬‬
‫‪G‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )5‬במשולש ‪ ABC‬מעבירים את התיכונים ‪ BD‬ו‪CE-‬‬
‫אשר נפגשים בנקודה ‪ .M‬במשולש ‪ BDC‬מעבירים את‬
‫התיכונים ‪ CL‬ו‪ BK-‬הנפגשים בנקודה ‪.O‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. 3LM  BL :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪. AC MO :‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪ . SBLC  27 :‬חשב את שטח המשולש ‪.MOL‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )6‬הנקודות ‪ C ,B ,A‬ו‪ D-‬מונחות על היקפו של מעגל שמרכזו ‪.O‬‬
‫הרדיוס ‪ DO‬חוצה את הזווית ‪. BOC‬‬
‫נתון‪. BC  10cm , AC  12cm , AB  8cm :‬‬
‫חשב את אורכו של הקטע ‪.MN‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪121‬‬
‫‪N‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )7‬במעגל שרדיוסו הוא ‪ 10‬ס"מ המיתרים ‪ AB‬ו‪ BC-‬מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫הנקודה ‪ D‬היא אמצע הקשת ‪. BC‬‬
‫הקטע ‪ AD‬חותך את המיתר ‪ BC‬בנקודה ‪.E‬‬
‫אורך המיתר ‪ AB‬הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪.BE‬‬
‫מהנקודה ‪ D‬מעבירים מיתר החותך את המיתר ‪BC‬‬
‫בנקודה ‪ F‬ומקביל למיתר ‪.AB‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי מיתר זה עובר דרך מרכז המעגל‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪.FE‬‬
‫‪ )8‬נתון משולש ‪ .ABC‬הקטע ‪ AE‬חוצה את זווית ‪ A‬של המשולש‪.‬‬
‫ממשיכים את ‪ AE‬עד לנקודה ‪ D‬כך שנוצר המשולש ‪.BDC‬‬
‫‪ F‬היא נקודה על הצלע ‪ BC‬המקיימת‪. DF  FE  DC :‬‬
‫הצלע ‪ AB‬מקבילה לצלע ‪.DC‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. AC  EF :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪AB FE‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪BE CE‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הָ ְמשך את הקטע ‪ DF‬עד לנקודה ‪ H‬שעל הצלע ‪.AB‬‬
‫ידוע כי המרובע ‪ ACDH‬הוא בר חסימה‪.‬‬
‫חשב את זוויות המשולש ‪.DEF‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )9‬במשולש ‪ ABC‬העבירו את הקטע‬
‫הוכח‪. AKB ABC :‬‬
‫‪BK‬‬
‫כך ש‪. AKB  ABC -‬‬
‫‪A‬‬
‫‪K‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫הצלע ‪BK‬‬
‫‪ )10‬נתונה מקבילית ‪ . BKMC‬המשיכו את‬
‫הקטע ‪ AC‬חותך את הצלע ‪ KM‬בנקודה ‪. L‬‬
‫הוכח‪. LC  BC  LM  AC :‬‬
‫עד לנקודה ‪. A‬‬
‫‪L‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪122‬‬
‫‪K‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )11‬מעבירים משיק ‪ AE‬למעגל הנתון באיור‪.‬‬
‫מנקודת ההשקה מעבירים את המיתרים ‪ AB‬ו‪AC-‬‬
‫כך שנוצר המשולש ‪ .ABC‬ידוע כי‪. AC  BC :‬‬
‫המשך המיתר ‪ BC‬נפגש עם המשיק בנקודה ‪.E‬‬
‫המיתר ‪ AB‬חוצה את זווית ‪. CBD‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הקטע ‪ BD‬מקביל למיתר ‪.AC‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ ABD CBA :‬וכתוב את יחס הדמיון‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪DE BD‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪BE AB‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )12‬נתון משולש ‪ .ABC‬על הצלע ‪ AB‬של המשולש ‪ ABC‬בונים משולש שווה צלעות ‪.ABD‬‬
‫הצלע ‪ AC‬חותכת את הצלע ‪ BD‬בנקודה ‪ E‬אשר ממנה מעבירים ישר ‪ EF‬המקביל‬
‫לצלע ‪ .BC‬נתון כי‪. DCB  40 , DBC  80 :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המשולשים ‪ ABE‬ו‪ CDE-‬דומים‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. FC  CE  AE  DF :‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי‪. BC  1.5  EF :‬‬
‫‪AE 1‬‬
‫‪ .1‬הוכח‪ :‬‬
‫‪CE 2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪S ABE‬‬
‫‪ .2‬חשב את יחס השטחים‪:‬‬
‫‪SCDE‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )13‬מהקדקוד ‪ C‬של המשולש ‪ BCD‬מעבירים את הקטע ‪AC‬‬
‫כך שהמשולש ‪ ACD‬הוא שווה שוקיים ‪.  AC  AD ‬‬
‫הנקודה ‪ F‬נמצאת על הצלע ‪ CD‬כך שמתקיים‪:‬‬
‫‪. D  CBF , 3  ACD  BEC‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הקטע ‪ BF‬חוצה את זווית ‪. B‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪.AEB FEC :‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי‪:‬‬
‫‪BE AE‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC FC‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )14‬המעגלים שמרכזם בנקודות ‪ M‬ו‪ N-‬משיקים זה‬
‫לזה מבפנים בנקודה ‪ A‬כך שהיקף‬
‫המעגל הפנימי עובר בנקודה ‪.M‬‬
‫דרך הנקודה ‪ A‬מעבירים משיק‪.‬‬
‫‪ AB‬הוא קוטר במעגלים ו‪ C-‬היא נקודה‬
‫הנמצאת על היקף המעגל הפנימי כך‬
‫שהמיתר ‪ BD‬משיק למעגל הפנימי בנקודה זו‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ ABD CBN :‬וחשב את יחס הדמיון‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ . AD  8 :‬חשב את רדיוס המעגל הגדול‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכח‪. 2CD  BC :‬‬
‫‪123‬‬
‫‪ )15‬נתונים שני מעגלים בעלי רדיוס זהה ‪ M‬ו‪.N-‬‬
‫מעבירים שני משיקים למעגלים ‪ AB‬ו‪ CD-‬הנחתכים בנקודה ‪.K‬‬
‫מעבירים את הרדיוסים ‪ AN‬ו‪ DN-‬במעגל השמאלי ו‪ BM-‬ו‪ CM-‬במעגל הימני‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. KN  KM :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ ACMN‬הוא‬
‫טרפז שווה שוקיים‪.‬‬
‫ג‪ .‬רדיוס המעגלים הוא ‪ R‬וידוע כי‬
‫המשולש ‪ BKC‬הוא שווה צלעות‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ R‬את היקף הטרפז ‪.ACMN‬‬
‫‪ )16‬על הצלעות של המשולש ‪ ABC‬הקצו את הנקודות ‪ D‬ו‪ E-‬כך שהמרובע ‪AEDB‬‬
‫הוא בר חסימה‪ .‬הנקודה ‪ D‬מחלקת את הצלע ‪ BC‬כך‬
‫שהקטע ‪ BD‬גדול פי ‪ 3‬מהקטע ‪.DC‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ABC DEC :‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי‪. AC  CE  36 :‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪.DC‬‬
‫ג‪ .‬מעבירים מהקודקוד ‪ A‬את הקטע ‪ AF‬המקביל‬
‫לקטע ‪ .DE‬נתון כי‪. AC  9 :‬‬
‫‪DF‬‬
‫חשב את היחס‪:‬‬
‫‪BC‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )17‬הישרים ‪ AB‬ו‪ AC-‬חותכים את המעגל בנקודות ‪ D‬ו‪ E-‬בהתאמה כך שהמיתרים‬
‫‪ BD‬ו‪ BC-‬מאונכים זה לזה‪ .‬הקטע ‪ CG‬חוצה את הקשת הקטנה ‪ BGD‬וחותך‬
‫את המיתר ‪ BD‬בנקודה ‪.F‬‬
‫‪AC 13‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB 12‬‬
‫‪ .‬נסמן‪. AB  t :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את אורך המיתר ‪.BC‬‬
‫‪BF 3‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי רדיוס המעגל הוא ‪ 5‬ס"מ וכי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪DF 5‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪.AB‬‬
‫‪ )18‬המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪.‬‬
‫‪ A‬גובה לצלע ‪ BC‬ו‪ AE-‬קוטר במעגל‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BAD  EAC :‬‬
‫נתון גם כי‪. CE  21 , AD  6 , CD  8 :‬‬
‫ב‪ .‬חשב את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪124‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )19‬הקטע ‪ AB‬משיק למעגל בנקודה ‪ .A‬מהנקודה ‪ B‬מעבירים ישר חותך למעגל‬
‫החותך אותו בנקודות ‪ C‬ו‪.D-‬‬
‫‪ E‬היא נקודה על המעגל כך ש ‪. AEC  90 -‬‬
‫נתון כי המיתר ‪ AC‬חוצה את זווית ‪.BCE‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ABC EAC :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪BC  CE‬‬
‫נסמן ב‪ R -‬את רדיוס המעגל‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.R‬‬
‫איזה מרובע יהיה המרובע ‪ADCE‬‬
‫אם יתקיים‪ . 2CE  BC :‬נמק‪.‬‬
‫‪ )20‬במשולש ‪ ABC‬הנקודות ‪ D‬ו‪ E-‬נמצאות על הצלעות ‪ BC‬ו‪ AB-‬בהתאמה‪.‬‬
‫נתון כי‪. ADC  BED , DE AC :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המשולשים ‪ ADC‬ו ‪ BED-‬דומים‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. AD  BD  AB  DE :‬‬
‫ג‪ .‬ידוע כי הנקודה ‪ D‬מחלקת את‬
‫‪BD 4‬‬
‫הצלע ‪ BC‬באופן הבא‪ :‬‬
‫‪DC 5‬‬
‫וכי‪. AD  BD  16 :‬‬
‫חשב את המכפלה‪. AB  AC :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )21‬המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל שמרכזו ‪ . O‬הצלע ‪BC‬‬
‫היא קוטר המעגל‪ .‬הקטע ‪ BM‬מאונך לרדיוס ‪. OD‬‬
‫נתון‪. AC  2OM :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. AB  2BD :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪S BOM‬‬
‫חשב את היחס‪:‬‬
‫‪S BAC‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ ABC )22‬הוא משולש שווה שוקיים ( ‪ ) AB  AC‬שבו השוק גדולה‬
‫פי ‪ 2‬מהבסיס‪ .‬המשיכו את הבסיס משני צדדיו עד לנקודות ‪D‬‬
‫ו‪ E-‬כך שמתקיים ‪ BC  CE‬ו‪. D  CAE -‬‬
‫נתון‪. SABC  m :‬‬
‫בטא באמצעות ‪ m‬את שטח המשולש ‪.ADE‬‬
‫‪ )23‬המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז‪.  AB CD  ,‬‬
‫מעבירים את קטע האמצעים ‪ EF‬החותך את אלכסון‬
‫הטרפז ‪ BD‬בנקודה ‪.K‬‬
‫ידוע כי הקטע ‪ AK‬מקביל לשוק ‪ BC‬של הטרפז‪.‬‬
‫‪125‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ ABFK‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫ב‪ .‬נסמן‪ . SBKF  S :‬הבע באמצעות ‪ S‬את שטח הטרפז ‪.ABCD‬‬
‫‪ )24‬בין המשיקים המקבילים ‪ m‬ו‪ n -‬מעבירים‬
‫מעגל כך ש ‪ AB-‬הוא הקוטר היוצא משתי נקודות‬
‫ההשקה שלהם‪ .‬הנקודות ‪ D‬ו‪ C-‬נמצאות על‬
‫המשכי המשיקים כך שהמרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז‪.‬‬
‫אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה ‪ E‬שנמצאת‬
‫על היקף המעגל‪ .‬ידוע כי‪. SABC  3  SDAB :‬‬
‫שטח המשולש ‪ ADE‬יסומן ב ‪. S -‬‬
‫בטא באמצעות ‪ S‬את שטח הטרפז ‪.ABCD‬‬
‫‪ )25‬נתון משולש ‪ .ABC‬על הצלע ‪ BC‬של המשולש ‪ABC‬‬
‫בונים משולש נוסף ‪ .BDC‬הצלעות ‪ DC‬ו‪ AB-‬נחתכות‬
‫בנקודה ‪ .M‬הצלע ‪ AB‬חוצה את זווית ‪B‬‬
‫וידוע כי‪. 2 ACD  B :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ACM DBM :‬‬
‫‪AC AM‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC CM‬‬
‫‪AM 8‬‬
‫וכי אורך הצלע ‪ BD‬הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי‪ :‬‬
‫‪CM 5‬‬
‫‪.‬‬
‫‪S BDM‬‬
‫סכום הצלעות ‪ AC‬ו‪ BC-‬הוא ‪ 19.5‬ס"מ‪ .‬חשב את היחס‪:‬‬
‫‪S BMC‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ AB )26‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪ .O‬מהנקודה ‪ C‬שעל היקף המעגל מעבירים את‬
‫הרדיוס ‪ CO‬ואת המיתר ‪ CD‬החותך את הקוטר בנקודה ‪. E‬‬
‫מהנקודה ‪ D‬מעבירים את המיתרים ‪ BD‬ו ‪.AD-‬‬
‫‪AD AE‬‬
‫ידוע כי המיתר ‪ CD‬מקיים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪BD BE‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ .‬נתון‪. AD  DE :‬‬
‫הוכח כי הרדיוס ‪ CO‬מאונך לקוטר ‪.AB‬‬
‫הוכח‪. COE BDA :‬‬
‫נתון כי אורך המיתר ‪ BD‬הוא ‪ 16.2‬ס"מ‬
‫ואורך הקטע ‪ CE‬הוא ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ .1‬חשב את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪SCOE‬‬
‫‪ .2‬חשב את היחס‪:‬‬
‫‪S BDA‬‬
‫‪.‬‬
‫‪126‬‬
‫‪ AB )27‬הוא קוטר במעגל‪ .‬מהנקודה ‪ A‬מעבירים מיתר ‪.AC‬‬
‫הנקודה ‪ D‬נמצאת מחוץ למעגל וממנה מעבירים‬
‫משיק ‪ CD‬וישר חותך ‪ .DE‬ידוע כי הישר ‪ DE‬חותך את‬
‫הקוטר ‪ AB‬בנקודה ‪ G‬ומאונך למיתר ‪ AC‬בנקודה ‪.H‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ACD  BGE :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫‪AH‬‬
‫‪4‬‬
‫נתון כי‪ AHG  :‬חשב את היחס‪:‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪SGHCB 5‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ AB )28‬ו‪ CD-‬הם קטרים במעגל שמרכזו ‪.O‬‬
‫מעבירים מיתר החותך את ‪ AB‬בנקודה ‪ M‬כך שמתקיים‪2AM  BM :‬‬
‫ואת ‪ CD‬בנקודה ‪ F‬כך שמתקיים‪ . FM  CD :‬ידוע כי זווית ‪ BMF‬היא ‪. 30‬‬
‫מעבירים את המיתרים ‪ AC‬ו ‪ AD-‬כך שנוצר המשולש ‪.ACD‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. CAB  BMF :‬‬
‫ב‪ .1 .‬הוכח כי המשולשים ‪ ADC‬ו‪ FOM-‬דומים‪.‬‬
‫‪ .2‬פי כמה קטן הקטע ‪ FO‬מרדיוס המעגל?‬
‫ג‪ .‬מעבירים מהקדקוד ‪ D‬של המשולש ‪ ACD‬קטע‬
‫העובר דרך הנקודה ‪ M‬וחותך את המיתר ‪AC‬‬
‫בנקודה ‪ .G‬חשב פי כמה גדול שטח‬
‫המשולש ‪ DGC‬משטח המשולש ‪.MOF‬‬
‫‪ )29‬מצא את ערכם של ‪ x‬ו ‪ y -‬בשרטוט הבא‪:‬‬
‫‪ )30‬במשולש ישר זווית שאורכי ניצביו ‪ m‬ו‪ n -‬נתון כי אורך הגובה ליתר הוא ‪. h‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫הראה שמתקיים‪ 2  2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪m n‬‬
‫(אין צורך ברישום מסודר של הוכחה)‪.‬‬
‫‪ )31‬הוכח את המשפט‪ :‬אם במשולש גובה לצלע אחת בריבוע שווה למכפלת היטלי‬
‫הצלעות האחרות על צלע זאת‪ ,‬המשולש ישר זווית‪.‬‬
‫‪127‬‬
‫‪ )32‬חשב את גודלם של ‪ x‬ו ‪ y -‬בשרטוטים הבאים‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ )33‬הוכח את המשפט‪ :‬אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק למעגל‪,‬‬
‫מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק‪.‬‬
‫‪ )34‬הוכח את המשפט‪ :‬אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים שני חותכים למעגל‪,‬‬
‫מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני‪.‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬א‪x  2 .‬‬
‫ב‪x  1 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )3 MQ  4.5cm )2‬ב‪ )4 LK  6cm .‬ב‪ 60 ,120 .‬ג‪. .‬‬
‫‪ )5‬ג‪ )7 MN  1cm )6 3 .‬א‪ BE  6 .‬ג‪ )8 EF  2 .‬ג‪72 , 72 , 36 .‬‬
‫‪SABE 1‬‬
‫‪ )12‬ג‪ .2 .‬‬
‫‪SCDE 4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ )17‬א‪ BC  t .‬ב‪ )18 AB  14.4 .‬ב‪ 5.5 .‬ס"מ ‪ )19‬ג‪ .‬ריבוע‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫‪SBOM 1‬‬
‫‪ )23 SADE  6m )22‬ב‪. 16S )24 6S .‬‬
‫‪ )20‬ג‪ )21 AB  AC  36 .‬‬
‫‪SBAC 4‬‬
‫‪SCOE 25‬‬
‫‪AH 2‬‬
‫‪S‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )25‬ג‪ )26 BDM  0.8 .‬ג‪.2 R  9 .1 .‬‬
‫‪ )27‬ב‪ .‬‬
‫‪SBDA 81‬‬
‫‪AC 3‬‬
‫‪SBMC‬‬
‫‪BF 7‬‬
‫‪ )14‬ב‪ 4 .‬ס"מ‪ )15 .‬ג‪ )16 9R .‬ב‪ 3 .‬ס"מ ג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC 16‬‬
‫‪ )28‬ב‪ .2 .‬קטן פי ‪ 6‬ג‪ .‬שטח המשולש ‪ DGC‬גדול פי ‪ 18‬משטח המשולש ‪.MOF‬‬
‫‪ )32 y  6 , x  52 )29‬א‪ y  2 , x  3 .‬ב‪. x  5 , y  3 .‬‬
‫‪128‬‬
‫שאלות שונות‪:‬‬
‫שאלות ללא פרופורציה‪:‬‬
‫‪ )1‬במשולש ‪ ABC‬מעבירים את שלושת הגבהים‪. AD , BE , CF :‬‬
‫הגבהים נפגשים בנקודה ‪. Q‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ACF  ABE :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי מרובע ‪ QDCE‬הוא‬
‫מרובע בר‪-‬חסימה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הוכח‪. ADF  ADE :‬‬
‫‪ )2‬במשולש ‪ E , ABC‬אמצע ‪ F , AB‬על ‪ BC‬ו ‪ EF‬מקביל ל‪. AC -‬‬
‫‪ G‬על ‪ AC‬ו‪ EG -‬מקביל ל‪. BC -‬‬
‫בלי להשתמש במשפטים על קו אמצעים במשולש הוכח‪:‬‬
‫א‪ .‬המשולש ‪ AEG‬והמשולש ‪ EBF‬חופפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬על פי הסעיף הקודם‪ ,‬הוכח כי קטע במשולש החוצה צלע של המשולש‬
‫ומקביל לצלע השלישית במשולש הוא קטע אמצעים‪.‬‬
‫‪ )3‬במשולש שווה שוקיים ‪, ( AB  AC ) ABC‬‬
‫‪ BD‬הוא תיכון לשוק ‪. CBD  30 , AC‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי משולש ‪ ABC‬הוא משולש שווה צלעות‪.‬‬
‫(הדרכה‪ :‬הורד אנכים ‪ AF‬ו ‪ DE -‬לבסיס ‪BC‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫והוכח כי‪) DE   AF   BD :‬‬
‫ב‪ .‬אם נתון כי אורך התיכון ‪ BD‬הוא ‪ a‬ס"מ‪,‬‬
‫חשב אם אורך צלע המשולש ואת שטחו‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )4‬במשולש ‪ ) C  90 ( ABC‬הנקודה ‪ E‬מונחת‬
‫על היתר ‪ . AB‬מהנקודה ‪ E‬מעבירים אנך ליתר‪,‬‬
‫החותך את המשך הניצב ‪ BC‬בנקודה ‪ F‬ואת הניצב ‪AC‬‬
‫בנקודה ‪. D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫נתון כי‪ 10 :‬ס"מ ‪ 12 , AD ‬ס"מ ‪ 8 , EB ‬ס"מ ‪. AE ‬‬
‫הוכח כי‪. ADE  DFC :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪129‬‬
‫‪C‬‬
‫‪DF‬‬
‫‪ )5‬מנקודה ‪ M‬הנמצאת מחוץ למעגל מעבירים חותך ‪MPQ‬‬
‫‪M‬‬
‫ומשיק ‪ . MN‬מנקודה ‪ K‬הנמצאת בהמשך ‪ MPQ‬מעבירים‬
‫ישר מקביל למיתר ‪, QN‬החותך את המשך המשיק ‪MN‬‬
‫בנקודה ‪. L‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. QNL  NPQ :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ KPNL‬הוא בר‪-‬חסימה‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪N‬‬
‫‪K‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ )6‬נתונה מקבילית ‪. ABCD‬‬
‫על הצלע ‪ AB‬בונים ריבוע ‪ ABEF‬ועל‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫הצלע ‪ AD‬ריבוע ‪ . ADKM‬הוכח כי‬
‫‪M‬‬
‫המשולש ‪ KCE‬הוא משולש שווה‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫שוקיים וישר ‪-‬זווית‪.‬‬
‫‪)7‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪K‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫הוכח‪ :‬אם במשולש התיכון לצלע שווה‬
‫למחצית הצלע אותה הוא חוצה‪,‬‬
‫‪M‬‬
‫אזי המשולש הוא משולש ישר זווית‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫בציור הנתון‪ RS :‬הוא קטע אמצעים‬
‫‪R‬‬
‫‪S‬‬
‫‪O‬‬
‫במשולש ‪ NO . MNP‬הוא חוצה זווית ‪. MNP‬‬
‫הוכח כי‪. MON  90 :‬‬
‫‪P‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ )8‬הוכח כי‪ :‬במשולש ישר זווית‪ ,‬התיכון ליתר שווה למחצית היתר‪.‬‬
‫נסח והוכח את המשפט ההפוך למשפט שבסעיף א‪.‬‬
‫‪ )9‬בטרפז ‪. ( BC AD) ABCD‬‬
‫נתון כי‪ :‬נקודה ‪ E‬נמצאת באמצע אלכסון ‪AC‬‬
‫ונקודה ‪ F‬נמצאת באמצע אלכסון ‪. BD‬‬
‫א‪ .‬הסבר מדוע קטע האמצעים של הטרפז ‪ABCD‬‬
‫עובר דרך הנקודות ‪ E‬ו‪. F -‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ . AD  4  EF :‬הוכח כי‪. AD  2  BC :‬‬
‫‪ )10‬נתון מלבן ‪ MNPQ‬שבו ‪. QN  2  NP‬‬
‫אלכסוני המלבן נפגשים בנקודה ‪. O‬‬
‫האריכו את הקטע ‪ MQ‬כאורכו ) ‪. (MQ  QT‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. MO  OT :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪. OT  PQ :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪O‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪T‬‬
‫‪130‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ )11‬במעגל שבציור נתון כי המיתר ‪ AC‬מאונך למיתר ‪. BD‬‬
‫שני המיתרים נחתכים בנקודה ‪. F‬‬
‫דרך הנקודה ‪ F‬מורידים אנך למיתר ‪. AB‬‬
‫המשכו של האנך חותך את המיתר ‪ DC‬בנקודה ‪. E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫הוכח כי‪. DE  EC :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )12‬הוכח את המשפט‪ :‬שני משיקים למעגל היוצאים מנקודה אחת‬
‫חיצונית‪ ,‬שווים באורכם‪ AB .‬ו ‪ AC -‬הם שני משיקים למעגל‪.‬‬
‫‪ . AC  a‬נקודה ‪ M‬נמצאת על הקשת ‪. CB‬‬
‫‪ QP‬משיק למעגל בנקודה ‪. M‬‬
‫‪A‬‬
‫הוכח כי‪ :‬היקף המשולש ‪ APQ‬לא תלוי המקומה של‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫הנקודה ‪ M‬על הקשת ‪ CB‬והוא גודל קבוע השווה ל‪. 2a -‬‬
‫‪ )13‬טרפז ‪ ( AB DC) ABCD‬חסום במעגל כך שמרכז המעגל ‪ O‬נמצא מחוץ‬
‫לטרפז‪.‬‬
‫נתון כי‪ 9 :‬ס"מ ‪ 21 AB ‬ס"מ ‪ , CD ‬גובה הטרפז הוא ‪ 8‬ס"מ‪B .‬‬
‫רדיוס המעגל הוא ‪. R‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את המרחק ממרכז המעגל ‪: O‬‬
‫‪ .1‬לבסיס הקטן של הטרפז ‪. AB‬‬
‫‪ .2‬לבסיס הגדול של הטרפז ‪. CD‬‬
‫ב‪ .‬חשב את גודלו של רדיוס המעגל ‪. R‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )14‬במשולש ישר זווית ‪ , ( ABC  90 ) ABC‬חוסמים מעגל כך שנקודות‬
‫ההשקה הן‪ P , M :‬ו‪. Q -‬‬
‫‪M‬‬
‫כמו כן‪ ,‬נתון כי‪ AQ  2a :‬ו‪. QC  a -‬‬
‫הבע את היקף המשולש ‪ ABC‬באמצעות ‪. a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪131‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫שאלות הכוללות פרופורציה ודמיון‪:‬‬
‫‪ )15‬שני מעגלים משיקים זה לזה בנקודה ‪. M‬‬
‫רדיוס המעגל הגדול הוא ‪ R‬ורדיוס המעגל הקטן הוא ‪. r‬‬
‫מעבירים משיק משותף לשני המעגלים‪.‬‬
‫‪ MN‬הוא המרחק שבין נקודת ההשקה של שני‬
‫המעגלים לבין המשיק המשותף שלהם‪.‬‬
‫‪2R  r‬‬
‫הוכח כי‪:‬‬
‫‪Rr‬‬
‫‪M‬‬
‫‪R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪N‬‬
‫‪MN ‬‬
‫‪ )16‬א‪ .‬הוכח כי‪ :‬במשולש ישר זווית בעל זווית חדה בת ‪ , 30‬הניצב שמול‬
‫הזווית שווה למחצית היתר‪.‬‬
‫ב‪ .‬בטרפז שווה שוקיים ‪ ABCD‬האלכסונים ניצבים לשוקיים‪.‬‬
‫הוכח כי‪ :‬אם הזווית החדה בטרפז שווה ל‪ , 60 -‬אזי נקודת מפגש‬
‫האלכסונים מחלקת כל אלכסון ביחס ‪.1: 2‬‬
‫‪ KMN )17‬הוא משולש שווה שוקיים ) ‪ . ( KM  KN‬מנקודה‬
‫כלשהי ‪ P‬הנמצאת על הבסיס ‪ MN‬מורידים אנך לשוק ‪KM‬‬
‫‪K‬‬
‫ואנך לשוק ‪ KN‬החותכים אותן בנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬בהתאמה‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪ KAPB‬הוא מרובע בר חסימה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הסבר מדוע הנקודה ‪ E‬הנמצאת באמצע הבסיס ‪, MN‬‬
‫נמצאת על היקף המעגל החוסם את המרובע ‪. KAPB‬‬
‫‪ )18‬נסח והוכח את משפט קטע אמצעים בטרפז‪.‬‬
‫‪ MN‬הוא קטע אמצעים בטרפז ‪. ( AB CD) ABCD‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪N‬‬
‫‪E P‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫נסמן‪. CD  b , AB  a :‬‬
‫‪M‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫הוכח כי‪. EF   (a  b) :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )19‬שני מעגלים שווים‪ O1 ,‬ו ‪ , O2 -‬שמחוגיהם שווים ל ‪ 10 -‬ס"מ‪,‬‬
‫נחתכים בנקודות ‪ A‬ו‪ . B -‬מהנקודה ‪ C‬שעל המשך המיתר‬
‫המשותף ‪ AB‬של שני המעגלים יוצא המשיק ‪ CD‬לאחד‬
‫מהמעגלים‪ .‬נתון כי‪ 9  5 :‬ס"מ ‪ CD ‬ו ‪16 -‬ס"מ ‪. O1O2 ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. CB‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪O2‬‬
‫‪O1‬‬
‫‪A‬‬
‫(היעזר בעובדה ש ‪ AB -‬חוצה את הקטע ‪ O1O2‬ומאונך לו‪).‬‬
‫‪132‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ C , B , A )20‬ו ‪ D -‬הן נקודות על המעגל‪ K .‬היא נקודה‬
‫על ‪ BC‬כך ש‪ . BK  CD -‬נתון‪. AB  AD :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BAK  DAC :‬‬
‫ב‪ .‬המשך הקטע ‪ AK‬חותך את המעגל בנקודה ‪. N‬‬
‫הוכח‪. BN  CD :‬‬
‫‪K‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ )21‬במשולש ‪ MNP‬הגבהים ‪ NQ‬ו‪ PR -‬נפגשים בנקודה ‪. O‬‬
‫נתון כי‪. OR  OQ :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. NO  OP‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪ :‬משולש ‪ MNP‬שווה שוקיים‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי‪. MQ  MR :‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪R‬‬
‫‪N‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ )22‬א‪ .‬הוכח את המשפט‪ :‬שני מיתרים הנחתכים בתוך מעגל מחלקים זה את זה‪,‬‬
‫כך שמכפלת קטעי האחד שווה למכפלת קטעי האחר‪.‬‬
‫ב‪ .‬במעגל שרדיוסו ‪ , R‬הקוטר ‪ AB‬מאונך למיתר ‪. CD‬‬
‫הקוטר והמיתר נחתכים בנקודה ‪ . E‬נתון כי ‪. AE : EB  1: 4‬‬
‫הבע את שטח המשולש ‪ ADC‬באמצעות ‪. R‬‬
‫‪ )23‬א‪ .‬הוכח כי‪ :‬במרובע חסום במעגל‪ ,‬סכום הזוויות הנגדיות שווה ל‪.180 -‬‬
‫ב‪ .‬מרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל‪ AC .‬חוצה את הזווית ‪. DAB‬‬
‫בנקודה ‪ C‬מעבירים משיק למעגל‪ .‬המשכי הצלעות ‪ AB‬ו‪AD -‬‬
‫‪A‬‬
‫חותכים את המשיק בנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪ .1‬הוכח כי‪. CDF  ABC :‬‬
‫‪ .2‬הוכח כי‪. ABC CDF :‬‬
‫ג‪ .‬נתון ‪ 9‬ס"מ ‪ 4 , AB ‬ס"מ ‪. DF ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. BC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ )24‬מעגל ‪ O‬משיק לישר ‪ l‬בנקודה ‪ CD . E‬הוא קוטר במעגל‪.‬‬
‫בנקודה ‪ C‬מעבירים משיק למעגל החותך את הישר ‪ l‬בנקודה ‪. B‬‬
‫בנקודה ‪ D‬מעבירים משיר למעגל החותך את הישר ‪ l‬בנקודה ‪. A‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪AOB  90 :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪. AOE OBE :‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי‪ 6 :‬ס"מ ‪13 , R ‬ס"מ ‪. EB  AE , AB ‬‬
‫חשב את אורכי הקטעים ‪ EB‬ו‪. AE -‬‬
‫‪133‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪l‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )25‬במשולש ‪ ABC‬נתון כי‪ AD :‬הוא התיכון לצלע ‪. BC‬‬
‫‪ DE‬הוא חוצה הזווית ‪ DF , ADB‬הוא חוצה הזווית ‪ADC‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫(ראה ציור)‪ .‬הוכח כי‪. EF BC :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )26‬בריבוע ‪ ABCD‬נתון כי‪ :‬אלכסוניו נפגשים בנקודה ‪. M‬‬
‫‪ BE‬חוצה את הזווית ‪ DBA‬וחותך את‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫האלכסון ‪ AC‬בנקודה ‪( N‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪DE‬‬
‫‪MN‬‬
‫ואת היחס‬
‫א‪ .‬מצא את היחס‬
‫‪EA‬‬
‫‪NA‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪E‬‬
‫‪.‬‬
‫‪N‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי המשולש‪ ENA :‬הוא משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי‪. DE  2  MN :‬‬
‫‪ )27‬במשולש שווה שוקיים ‪ ABC‬נתון כי‪:‬‬
‫‪ 20‬ס"מ ‪ 24 , AC  BC ‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫במשולש זה חסום מעגל‪ ,‬המשיק לשתי השוקיים‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫בנקודות ‪ E‬ו ‪. F -‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪ EF :‬מקביל לבסיס‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪. EF‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )28‬במשולש ישר זווית ‪ ( PST  90) PST‬חסום חצי מעגל‬
‫שמרכזו ‪ O‬נמצא על יתר ‪. PT‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪ OS‬חוצה את הזווית ‪. PST‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ 18 :‬ס"מ ‪ PS ‬ו‪ 24 -‬ס"מ ‪. TS ‬‬
‫חשב את אורכי הקטעים ‪ OP‬ו‪. OT -‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P‬‬
‫‪O‬‬
‫‪N‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ )29‬במשולש ‪ , ABC‬בו ‪, B  90‬‬
‫נתון כי‪ 6 :‬ס"מ ‪12 , FC ‬ס"מ ‪16 , BC ‬ס"מ ‪AB ‬‬
‫הקטע ‪ FM‬מאונך ליתר ‪ , AC‬והקטע ‪ MN‬מקביל ליתר ‪. AC‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. MN‬‬
‫‪T‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )30‬משולש ‪ MPN‬חסום במעגל‪ .‬ישר ‪ NQ‬משיק למעגל זה בנקודה ‪. N‬‬
‫נתון כי‪( NP RQ :‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. QRN MRQ :‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ 5 :‬ס"מ ‪ MN ‬ו‪ 4 -‬ס"מ ‪. RN ‬‬
‫חשב את ‪. RQ‬‬
‫‪M‬‬
‫‪P‬‬
‫‪N‬‬
‫‪134‬‬
‫‪R‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )31‬בטרפז ‪. ( AB DC) ABCD‬‬
‫נתון כי‪ 9 :‬ס"מ ‪18 , DC ‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫דרך נקודת מפגש האלכסונים ‪ , E‬מעבירים ישר ‪MN‬‬
‫המקביל לבסיסי הטרפז‪.‬‬
‫מצא את אורכו של ‪. MN‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )32‬א‪ .‬הוכח‪ :‬חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית חלוקה פנימית‬
‫לפי היחס של שתי הצלעות הכולאות את הזווית‪.‬‬
‫ב‪ .‬המעגל החסום במשולש ‪ ABC‬משיק בנקודה ‪ F‬לצלע ‪. CB‬‬
‫‪A‬‬
‫נתון כי‪ 4 :‬ס"מ ‪ 7 BF ‬ס"מ ‪, AD .CF ‬‬
‫חוצה הזווית ‪ A‬מחלק את הקטע ‪ CB‬לשני קטעים‬
‫המתייחסים זה לזה כמו ‪. 3 : 2‬‬
‫חשב את אורכי הצלעות ‪ AC‬ו‪. AB -‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D F‬‬
‫‪ )33‬משולש שווה שוקיים ‪ ( AB  AC) ABC‬חסום במעגל‪.‬‬
‫דרך קדקוד ‪ B‬עובר משיק למעגל‪ .‬דרך קדקוד ‪ C‬עובר ישר‬
‫המקביל ל‪ , AB -‬וחותך את משיק בנקודה ‪( E‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪CBE‬‬
‫‪A‬‬
‫‪BAC‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ 27 :‬ס"מ ‪ AC ‬ו‪12 -‬ס"מ ‪. CE ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. BC‬‬
‫‪ )34‬בטרפז ‪ ( AB CD) ABCD‬נתון כי‪. AB  3  CD :‬‬
‫אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה ‪. O‬‬
‫דרך הנקודה ‪ A‬מעבירים מקביל ל ‪ , BD -‬החותך‬
‫את המשך הצלע ‪ CD‬בנקודה ‪( E‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נסמן את שטח המשולש ‪ DOC‬באמצעות ‪. S‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫הבע את שטח הטרפז ‪ ABCE‬באמצעות ‪. S‬‬
‫‪ ABCD )35‬הוא טרפז שווה שוקיים )‪. ( AD  BC , AB CD‬‬
‫‪ O‬הוא מרכז המעגל החסום בטרפז ו ‪ E -‬היא נקודת ההשקה של‬
‫השוק ‪ BC‬עם המעגל ‪( O‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. OE 2  BE  EC :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪ :‬הגובה בטרפז שווה שוקיים החוסם מעגל הוא‬
‫הממוצע ההנדסי של שני הבסיסים של הטרפז‪.‬‬
‫‪135‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )36‬במשולש ישר ‪-‬זווית ‪ ( PQR  90) PQR‬נתון‪:‬‬
‫‪ h‬הוא הגובה ליתר‪ x ,‬ו‪ y -‬הם הניצבים‪,‬‬
‫‪ a‬ו‪ b -‬הם היטלי הניצבים ‪ x‬ו‪ y -‬בהתאמה (ראה ציור)‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הגובה ליתר הוא ממוצע גאומטרי של‬
‫היטלי הניצבים על היתר‪. h  a  b :‬‬
‫‪R‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪x‬‬
‫‪h‬‬
‫‪N‬‬
‫‪P‬‬
‫‪M‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי כל ניצב הוא ממוצע גאומטרי של היתר‬
‫והיטל הניצב על היתר‪. y  b  (a  b) , x  a  (a  b) :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מקדקוד ‪ Q‬מעבירים חוצה זווית החותך את היתר ‪ PR‬בנקודה ‪. M‬‬
‫הוכח כי‪. PM : MR  a : b :‬‬
‫‪ )37‬במשולש ‪ ABC‬התיכון ‪ BE‬והקטע ‪ AL‬נחתכים בנקודה ‪. K‬‬
‫הקטע ‪ EF‬מקביל ל ‪( AL -‬ראה ציור)‪ .‬נתון כי‪. LC  5  BL :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. LF  2.5  BL :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪BK 2‬‬
‫הוכח כי‪ :‬‬
‫‪BE 7‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪K‬‬
‫‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ )38‬א‪ .‬הוכח את המשפט‪ :‬היחס בין השטחים של שני משולשים דומים שווה‬
‫לריבוע יחס הדימיון‪.‬‬
‫‪G‬‬
‫ב‪ .‬במקבילית ‪ ABCD‬נקודה ‪ E‬נמצאת על‬
‫הצלע ‪ , BC‬כך ש‪. BE : CE  2 : 3 -‬‬
‫המשך הקטע ‪ AE‬חותך את המשך הצלע ‪DC‬‬
‫‪E‬‬
‫בנקודה ‪ . G‬נתון ‪18‬סמ"ר ‪. SCEG ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ .1‬חשב את שטח המשולש ‪. ABE‬‬
‫‪ .2‬חשב את שטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )39‬א‪ .‬הוכח כי‪ :‬במשולשים דומים היחס בין הגבהים המתאימים‬
‫שווה ליחס הדמיון של המשולשים‪.‬‬
‫ב‪ .‬במשולש ‪ ABC‬חסום חצי מעגל שרדיוסו ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫קוטר המעגל ‪ PQ‬מקביל לצלע ‪ CD . AB‬הוא גובה במשולש‬
‫‪ ABC‬וחותך את הקוטר ‪ PQ‬בנקודה ‪( E‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון כי‪ 20 :‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. CE‬‬
‫‪B‬‬
‫‪136‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪E‬‬
‫‪P‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ ABCD )40‬הוא טרפז )‪ . ( BC AD‬הצלעות ‪ BC‬ו ‪ CD -‬הן מיתרים במעגל‪.‬‬
‫הצלע ‪ AB‬משיקה למעגל בנקודה ‪( B‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. ABD DCB :‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ 5 :‬ס"מ ‪12.8 , BC ‬ס"מ ‪. AD ‬‬
‫חשב את אורך האלכסון ‪. BD‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )41‬מנקודה ‪ A‬הנמצאת מחוץ למעגל שרדיוסו ‪ , R‬מעבירים חותך‬
‫וחותך ‪ , AOD‬שעובר דרך מרכז המעגל ‪, O‬‬
‫כך ש ‪. CDB  BDA  BAD   -‬‬
‫נתון גם‪. BC  n , AB  m :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ABC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫הוכח כי‪. DC 2  n2  m  n :‬‬
‫‪ )42‬א‪ .‬הוכח כי‪ :‬חותכים למעגל היוצאים מנקודה אחת מחוץ למעגל‬
‫יוצרים קטעים פרופורציוניים כך שמכפלת כל החותך בחלקו‬
‫מחוץ למעגל היא גודל קבוע‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫ב‪ .‬נתון משולש ‪ . ABC‬מעגל העובר דרך הקדקודים ‪ A‬ו‪, B -‬‬
‫חותך הצלעות ‪ AC‬ו ‪ BC -‬בנקודות ‪ F‬ו‪ M -‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ .1‬הוכח כי‪. ACM BCF :‬‬
‫‪ .2‬נתון כי‪ 48 :‬ס"מ ‪ 40 , BC ‬ס"מ ‪, AC ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪16‬ס"מ ‪ . AF ‬מצא את אורך המיתר ‪. BM‬‬
‫‪ )43‬בטרפז ‪ ABCD‬אורך הבסיס ‪ AB‬הוא ‪ a‬ואורך הבסיס ‪ CD‬הוא ‪.b‬‬
‫אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה ‪. O‬‬
‫דרך הנקודה ‪ O‬מעבירים מקביל לבסיסים החותך‬
‫את ‪ AD‬בנקודה ‪ E‬ואת ‪ BC‬בנקודה ‪. F‬‬
‫‪a b‬‬
‫הוכח כי מתקיים‪:‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪. EO  OF ‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪137‬‬
‫‪A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪O‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ )44‬מנקודה ‪ A‬מעבירים שני חותכים למעגל‪ ,‬חותך ‪ ABC‬וחותך ‪, ADE‬‬
‫כך שהנקודה ‪ B‬נמצאת באמצע הקשת ‪ , CD‬ו ‪CED  2 CAD -‬‬
‫(ראה ציור)‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ECB ACE :‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ 4 :‬ס"מ ‪ 9 ,CB ‬ס"מ ‪. AC ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. CE‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ MN )45‬הוא קטע במעגל שמרכזו ב‪. O -‬‬
‫‪ PK‬משיק למעגל בנקודה ‪ P‬ומאונך ל‪. NQ -‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪P‬‬
‫הנקודה ‪ Q‬נמצאת על המשך המיתר ‪( MP‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪K‬‬
‫‪N‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. MP  KN  PK  PN :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪. MP  PQ :‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )46‬בציור נתון כי‪. AB EF CD :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הוכח כי‪:‬‬
‫‪EF AB CD‬‬
‫‪M‬‬
‫‪E‬‬
‫‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )47‬א‪ .‬הוכח כי‪ :‬הגובה ליתר במשולש ישר‪-‬זווית מחלק את המשולש‬
‫לשני משולשים‪ ,‬שכל אחד מהם דומה למשלוש כולו‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫ב‪ .‬מעויין ‪ ABCD‬חוסם מעגל שמרכזו ב ‪. O -‬‬
‫נתון כי‪ :‬אורך הרדיוס המעגל ‪ OT‬הוא ‪ 24‬ס"מ‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫ואורך צלע המעויין הוא ‪ 50‬ס"מ‪.‬‬
‫מצא את אורך האלכסון ‪. ( BD  AC ) BD‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )48‬משולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪ .‬חוצה זווית ‪ BAC‬חותך‬
‫את המעגל בנקודה ‪ D‬ואת הצלע ‪ BC‬בנקודה ‪( F‬ראה ציור)‪.‬‬
‫מנקודה ‪ D‬הורד אנך על הצלע ‪ CB‬החותך אותה‬
‫בנקודה ‪ . E‬נתון כי‪. AB : AC  5 : 3 :‬‬
‫הוכח כי‪. BC  8  EF :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )49‬נקודה ‪ D‬היא אמצע היתר ‪ AC‬המשולש ישר זווית ‪. ( B  90) ABC‬‬
‫בנקודה ‪ D‬מעלים אנך לצלע ‪ AC‬החותך את הניצב ‪ AB‬בנקודה ‪E‬‬
‫(ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון כי‪ 8 :‬ס"מ ‪. AB  m , AC ‬‬
‫‪D‬‬
‫הבע את ‪ CE‬ו‪ BE -‬באמצעות ‪. m‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪138‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )50‬במשולש ‪ ABC‬נתון כי‪15 :‬ס"מ ‪, AB  AC ‬‬
‫‪18‬ס"מ ‪ . CB ‬דרך מרכז המעגל ‪ O‬החסום במשולש‬
‫עובר הקטע ‪ EF‬המקביל לבסיס ‪ FN . BC‬ו‪EM -‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫הם אנכים לבסיס ‪. BC‬‬
‫חשב את שטח המלבן ‪. EFNM‬‬
‫‪B‬‬
‫‪N‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ )51‬א‪ .‬הוכח כי‪ :‬הזווית הכלואה בין משיק ומיתר בעלי נקודה משותפת‪,‬‬
‫שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫ב‪ .‬שני מעגלים משיקים מבחוץ בנקודה ‪. A‬‬
‫‪F‬‬
‫דרך נקודה זו עוברים שני ישרים‪ ,‬החותכים‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫את המעגלים בנקודות ‪ M , E , F‬ו ‪. N -‬‬
‫הוכח כי‪. AMN AFE :‬‬
‫‪N‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ )52‬במשולש ישר ‪-‬זווית ‪, ( GEF  90) EFG‬‬
‫‪ EP‬הוא הגובה ליתר ‪. GF‬‬
‫נתון כי‪ 24 :‬ס"מ ‪ 32 , EF ‬ס"מ ‪. GE ‬‬
‫‪F‬‬
‫חשב את אורכי הקטעים‪ GP , PF , GF :‬ו‪. EP -‬‬
‫‪P‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ MQ )53‬הוא התיכון לבסיס במשולש שווה שוקיים ‪. (MN  MP) MNP‬‬
‫‪ S‬היא נקודה על המשך הצלע ‪. MN‬‬
‫‪M‬‬
‫המשך התיכון ‪ MQ‬חותך את הקטע ‪ PS‬בנקודה ‪. E‬‬
‫הקטע ‪ EF‬מקביל ל ‪( NP -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. MP : MS  NF : FS :‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ 20 :‬ס"מ ‪ 4 , MP ‬ס"מ ‪. NF ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. FS‬‬
‫‪P‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪E‬‬
‫‪N‬‬
‫‪F‬‬
‫‪S‬‬
‫‪139‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ NP )54‬הוא קוטר במעגל ‪ , MT , MN . O‬ו‪ SP -‬הם‬
‫משיקים למעגל ‪ O‬בנקודות ‪ T , N‬ו‪ P -‬בהתאמה‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. MOS  90 :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי רדיוס המעגל שווה ל‪. MN  SP -‬‬
‫‪T‬‬
‫‪O‬‬
‫‪S‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ DE )55‬הוא קוטר במעגל‪ .‬בנקודה ‪ D‬מעבירים משיק למעגל‪.‬‬
‫מנקודה ‪ , A‬שעל המעגל‪ ,‬מעבירים ישר המקביל לקוטר ‪. DE‬‬
‫הישר חותך את המשיק למעגל בנקודה ‪( F‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. AD2  AF  DE :‬‬
‫‪E‬‬
‫ב‪ .‬נתון ‪ 4‬ס"מ ‪ 9 , AF ‬ס"מ ‪. DE ‬‬
‫חשב את שטח הטרפז ‪. AFDE‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ )56‬א‪ .‬הוכח כי המחוג המאונך למיתר המעגל חוצה אותו‪.‬‬
‫ב‪ .‬בציור שלפניך המיתרים ‪ EF‬ו‪ MN -‬מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫‪O‬‬
‫נתון כי‪ 3 :‬ס"מ ‪8 , EB ‬ס"מ ‪ 4 , BF ‬ס"מ ‪. MB ‬‬
‫‪ .1‬חשב את אורך הקטע ‪. NB‬‬
‫‪ .2‬מצא את המרחק המיתר ‪ EF‬ממרכז המעגל ‪. O‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )57‬מעגל שמרכזו בנקודה ‪ O‬חסום במשולש ישר‪-‬זווית )‪. ( C  90‬‬
‫‪E‬‬
‫נתון כי‪ 30 :‬ס"מ ‪18 , AB ‬ס"מ ‪. AC ‬‬
‫‪D‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. ED‬‬
‫‪O‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )58‬במשולש ‪ PS MPQ‬חוצה את הזווית ‪. ST MP , MPQ‬‬
‫נתון כי‪ 27 :‬ס"מ ‪ 45 , MP ‬ס"מ ‪. QP ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. TP‬‬
‫‪M‬‬
‫‪S‬‬
‫‪P‬‬
‫‪T‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪140‬‬
:‫תשובות סופיות‬
1
3
.  3  a 2 :‫ שטח המשולש‬,
. a  (3  17) )14 . R  ‫ ס"מ‬10.625 .‫ב‬
. BC  ‫ ס"מ‬6 .‫) ג‬23
2
 3  a :‫ אורך צלע המשולש‬.‫) ב‬3
3
R 2  10.52 .2
. SACD 
8
25
R 2  4.52 .1 .‫) א‬13
R 2 .‫) ב‬22 . CB  ‫ ס"מ‬15 )19
MN
2
DE

,
 2 .‫) א‬26 . AE  ‫ ס"מ‬9 , EB  ‫ ס"מ‬4 .‫) ג‬24
NA
2
EA
OT 
‫ס"מ‬
120
90
, OP  ‫ס"מ‬
.‫) ב‬28 . EF  ‫ ס"מ‬9.6 .‫) ב‬27
7
7
. MN  ‫ ס"מ‬12 )31
1
. RQ  ‫ ס"מ‬6 .‫) ב‬30 . MN  ‫ ס"מ‬3 )29
3
. AC  ‫ ס"מ‬9 , AB  ‫ ס"מ‬6 .‫) ב‬32
. S ABCE  28  S )34 . BC  ‫ ס"מ‬18 .‫) ב‬33
.CE  ‫ ס"מ‬9 .‫) ב‬39 . SABC  ‫ סמ"ר‬20 .2 SABE  ‫ סמ"ר‬8 .1 .‫) ב‬38
. CE  ‫ ס"מ‬6 .‫) ב‬44 . BM  ‫ ס"מ‬28 .‫) ב‬42
. BD  ‫ ס"מ‬8 .‫) ב‬40
m2  32
32
, CE 
)49
m
m
. BD  ‫ ס"מ‬60 .‫) ב‬47
. BE 
. SEFNM  ‫ סמ"ר‬50.625 )50
. EP  ‫ ס"מ‬19.2 , GP  ‫ ס"מ‬25.6 , PF  ‫ ס"מ‬14.4 , GF  ‫ ס"מ‬40 )52
. S AFDE  ‫ סמ"ר‬29.07 .‫) ב‬55 . FS  ‫ ס"מ‬6 .‫) ב‬53
.TP = ‫ ס"מ‬16.875 )58 .DE = ‫ ס"מ‬3 )57 .‫ ס"מ‬1 .2
141
NB  ‫ ס"מ‬6 .1 .‫) ב‬56
‫פרק ‪ – 7‬טריגונומטריה במישור‪:‬‬
‫משולש ישר זווית‪:‬‬
‫הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות‪:‬‬
‫הניצב שמול הזווית‬
‫היתר‬
‫הניצב שליד הזווית‬
‫היתר‬
‫הניצב שמול הזווית‬
‫הניצב שליד הזווית‬
‫משפט פיתגורס‪. a2  b2  c2 :‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬מצא את ערכו של ‪  / x‬במשולשים ישרי הזווית הבאים‪:‬‬
‫‪750‬‬
‫‪400‬‬
‫‪700‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )2‬המשולש ‪ ABC‬שבציור הוא משולש ישר זווית ( ‪.) B  90o‬‬
‫‪ AD‬הוא התיכון לניצב ‪. BC‬‬
‫נתון‪. AB  6cm , C  28o :‬‬
‫מצא‪. AD  ? , BAD  ? :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )3‬המשולש ‪ ABC‬שבציור הוא משולש ישר זווית ( ‪.) B  90o‬‬
‫‪ BD‬הוא התיכון ליתר ו‪ AE -‬הוא חוצה הזווית ‪. A‬‬
‫נתון‪. BC  8cm , BD  5.6cm :‬‬
‫מצא‪. BE  ? , BAE  ? :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪142‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )4‬מצא את זויותיו של מעויין שאורכי אלכסוניו ‪ 24‬ס"מ ו ‪ 18-‬ס"מ‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )5‬המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל כך שהצלע ‪ AC‬היא קוטר המעגל‪.‬‬
‫המשיק למעגל בנקודה ‪ A‬והמשך הצלע ‪ CB‬נפגשים בנקודה ‪. D‬‬
‫נתון‪. DAB  32o , BD  4cm :‬‬
‫מצא את אורכו של רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )6‬במשולש שווה שוקיים שבו השוק ארוכה ב‪ 4 -‬ס"מ מהבסיס נתון כי זווית הראש‬
‫היא ‪ . 34.92o‬מצא את שטח המשולש‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )7‬המשולש ‪ ABC‬שבציור הוא משולש ישר זווית ( ‪.) B  90o‬‬
‫נתון‪. AB  a , A   :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ a -‬את היקף המשולש‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )8‬המשולש ‪ ABC‬שבציור הוא משולש ישר זווית ( ‪.) B  90o‬‬
‫‪ AD‬הוא התיכון לניצב ‪. BC‬‬
‫נתון‪. AB  b , C   :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ b -‬את אורכי הקטעים ‪ BD‬ו ‪. AD -‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )9‬במשולש ישר זווית אחת הזוויות החדות היא ‪ ‬ואורך חוצה זווית זו הוא ‪. k‬‬
‫הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ k -‬את שטח המשולש ואת אורך היתר‪.‬‬
‫‪ )10‬טרפז ‪ ABCD‬הוא טרפז ישר זווית ( ‪.) B  C  90o‬‬
‫הנקודה ‪ G‬נמצאת על השוק ‪ BC‬כך ש‪. AG  DG -‬‬
‫נתון‪. BAG   , AG  DG  m :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ m -‬את שטח הטרפז‪.‬‬
‫‪ )11‬המשולש ‪ ABC‬הוא ישר זווית ‪.  A  90‬‬
‫הקטעים ‪ AD‬ו‪ AE-‬הם בהתאמה גובה ליתר וחוצה זווית‪.‬‬
‫מסמנים‪. DAE   , DE  k :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪ABC‬‬
‫אם ידוע כי‪   30 :‬ו ‪. k  2 -‬‬
‫‪143‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪G‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )12‬במלבן ‪ ABCD‬מסמנים את הנקודות ‪ E‬ו ‪ F-‬הנמצאות‬
‫על הצלעות ‪ AB‬ו‪ BC-‬בהתאמה כך ש‪E-‬‬
‫מקיימת‪ 3AE  BE :‬ו ‪ F-‬היא אמצע הצלע ‪.BC‬‬
‫אורך הצלע ‪ AD‬שווה לאורך הקטע ‪.BE‬‬
‫מעבירים את הקטעים ‪ DF , EF‬ו‪ DE-‬כך‬
‫שנוצר במשולש ‪.DEF‬‬
‫א‪ .‬סמן ב‪ t -‬את אורך הקטע ‪ AE‬והבע באמצעות ‪t‬‬
‫את אורכי צלעות המשולש ‪.DEF‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זוויות המשולש ‪.EDF‬‬
‫‪ )13‬משולש שווה שוקיים שאורך שוקו ‪ k‬וזווית הבסיס שלו היא ‪ ‬חוסם מעגל‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ k -‬את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪ )14‬בטרפז ישר זווית חסום מעגל‪ .‬אורך השוק הארוכה בטרפז היא ‪ b‬והזווית שהיא‬
‫יוצרת עם הבסיס הגדול היא ‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ b -‬את אורכו של הבסיס‬
‫הגדול בטרפז ואת שטחו‪.‬‬
‫*הערה‪ :‬השאלות הבאות משלבות ידע בגיאומטריה ובטריגונומטריה יחד‪:‬‬
‫‪ )15‬דרך הקדקודים ‪ C , A‬ו‪ D-‬של המקבילית ‪ABCD‬‬
‫מעבירים מעגל‪ .‬היקף המעגל חוצה את הצלע ‪AB‬‬
‫בנקודה ‪ .(AE=BE) E‬נתון כי ‪ DC‬הוא קוטר במעגל‬
‫וכי המיתר ‪ DE‬חוצה את זווית ‪.D‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המיתר ‪ CE‬חוצה את זוויות ‪.C‬‬
‫ב‪ .‬רדיוס המעגל יסומן ב‪ . R -‬הבע באמצעות ‪ R‬את היקף המקבילית‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את רדיוס המעגל אם ידוע כי שטח המקבילית הוא ‪ 16 3‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ )16‬מהנקודה ‪ A‬שמחוץ למעגל מעבירים משיק ‪ AB‬וישר חותך ‪.ACD‬‬
‫מעבירים את המיתרים השווים ‪ BC‬ו ‪ .BE-‬כמו כן מעבירים‬
‫את המיתר ‪ .DE‬אורך המיתר ‪ CE‬שונה מאורך המשיק ‪.AB‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ ABEC‬הוא טרפז‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪. 2  BEC  EDC :‬‬
‫ג‪ .‬איזה מרובע יהיה המרובע ‪BEDC‬‬
‫אם יתקיים‪? EDC  90 :‬‬
‫ד‪ .‬נתונים‪ 6 , A  40 :‬ס"מ = ‪ 9 ,AC‬ס"מ = ‪ 8 , AB‬ס"מ = ‪.CE‬‬
‫חשב את שטח המרובע ‪.ABEC‬‬
‫‪144‬‬
:‫תשובות סופיות‬
.  29.745 .‫ ה‬  40.005 .‫ ד‬x  3.931cm .‫ ג‬x  8.114cm .‫ ב‬x  15.665cm .‫) א‬1
. BE  3.294cm , BAE  22.792 )3 AD  8.236cm , BAD  43.24 )2
. S  28.618cm )6 R  6.04cm )5 73.74, 73.74, 106.26, 106.26 )4
2
. AD  b2 
b2
4 tan 2 
b
2 tan 
, BD 

)8 P  a 1  tan  


1 
 )7
cos  

tan 
2
. AC 
,S 
)9
cos 
2
2
m sin   m cos  

k2
.‫ סמ"ר‬24 .‫ ב‬S 
.‫) א‬11
)10
2
cos 2 tan 2 
. 81.86 , 51 , 47.14 .‫ ב‬DE  t 10 , EF  t 11.25 , DF  t 18.25 .‫) א‬12
1
b sin 
1
1

2
, S  b2 sin  1  sin   )14 R  k cos  tan )13
b sin  

2
2
2
tan
2
.‫ סמ"ר‬34.43 .‫ ד‬.‫ ריבוע‬.‫) ג‬16 .‫ ס"מ‬4 .‫ ג‬6R .‫) ב‬15
k cos
2
k 2 cos 2
:‫זהויות טריגונומטריות‬
:‫זהויות של סכום והפרש זוויות‬
:‫זהויות היסוד‬
:‫זהויות של זווית כפולה‬
:‫המעגל הטריגונומטרי‬
‫המעגל הטריגונומטרי הוא מעגל היחידה‬
.)1 ‫(מעגל קנוני שרדיוסו‬
145
:‫טבלת ערכי הפונקציות הטריגונומטריות לזוויות המיוחדות‬

0
sin 
cos 

0  


1  

45
60
0

2 
30
1 
1
 

2  2 
2
2
3
2
4

2 
3
2
2
2
1
2

1
 

 2 
90

1  


0  

tan 
0
3
3
1
3

cot 

3
1
3
3
0
4

2 
0

2 
: 90 ‫ערכים עבור זוויות בכפולות של‬
sin 0o  0
cos 0o  1
tan 0o  0
sin 90o  1
cos 90o  0
tan 90o  
sin180o  0
cos180o  1
tan180o  0
sin 270o  1
cos 270o  0
tan 270o  
:‫הזהויות של המעגל הטריגונומטרי‬
tan 180o      tan 
cos 180o      cos 
sin 180o     sin 
tan 180o     tan 
cos 180o      cos 
sin 180o      sin 
tan      tan 
cos     cos 
sin      sin 
146
:‫שאלות‬
:‫) הוכח את הזהויות הבאות‬1
sin 
 tan 
sin  90     cos3 
3
o
tan 2   sin 2   tan 2  sin 2 
cos3   cos  sin 2   cos 
.‫ב‬
sin 2 
sin 2 

2
1  cos  1  cos 
.‫ד‬
. tan   tan  
sin    
cos  cos 
.‫א‬
.‫ג‬
:‫) הוכח את הזהות הבאה‬2
:‫) הוכח את הזהויות הבאות‬3
4sin  cos  cos 2  sin 4
 sin 3  cos3 
 sin   cos  
.‫ב‬
2
 1  sin 2
.‫א‬
 1  sin 6
.‫ד‬
cos4   sin 4   cos 2
.‫ג‬
cos  sin 

 2cot 2
sin  cos 
.‫ו‬
cos 2  2sin 2  cos 2 1
 cot 2
sin 4
2
.‫ה‬
2
:‫) ענה בלי להשתמש במחשבון‬4
cos  45o  
tan 225o 
sin150o 
sin 510o 
cos930o 
sin 315o 
cos120o 
cos 210o 
tan120o 
tan  225o  
.
tan  30o  
sin 180o     sin  90o   
cos  2 

sin 330o 
1
:‫) הוכח את הזהות הבאה‬5
cos   sin 
147
‫משוואות טריגונומטריות‪:‬‬
‫תזכורת – פתרון כללי של משוואה טריגונומטרית‪:‬‬
‫פתרון כללי של המשוואה‪ sin x  sin  :‬הוא מהצורה‪. x1    2 k , x2      2 k :‬‬
‫פתרון כללי של המשוואה‪ cos x  cos :‬הוא מהצורה‪. x1,2    2 k :‬‬
‫פתרון כללי של המשוואה‪ tan x  tan  :‬הוא מהצורה‪. x     k :‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬פתור את המשוואות הבאות (כתוב פתרון כללי)‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪sin x ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin x  ‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin x ‬‬
‫‪sin x  ‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪tan x ‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪tan x  1‬‬
‫ט‪sin x  0.7 .‬‬
‫י‪.‬‬
‫‪cosx  0.6‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪cos x ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪cos x  ‬‬
‫יא‪tan x  5 .‬‬
‫‪ )2‬כתוב את הפתרון הכללי של המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin 3x ‬‬
‫ב‪2cos 2 x   3 .‬‬
‫ג‪tan5x  1 .‬‬
‫ד‪3sin 2 x  2 .‬‬
‫ה‪3cos3x  1 .‬‬
‫ו‪2 tan 4 x  1 .‬‬
‫‪148‬‬
:)‫) כתוב את הפתרון הכללי של המשוואות הבאות (זווית מורכבת‬3
cos  75  3x  
2
.‫ב‬
2
sin x  sin 3x .‫ד‬
sin x  sin 120  x 
sin  2 x  30   
3
.‫א‬
2
tan  50  x   1.3 .‫ג‬
.‫ו‬
sin 2 x  sin  x  30 .‫ה‬
cos x  cos  40  x  .‫ח‬
cos x  cos3x .‫ז‬
tan2 x  tan  60  x 
tan x  tan 3x .‫ט‬
.‫י‬
:‫) כתוב את הפתרון הכללי של המשוואות הבאות‬4
sin x  1 .‫ב‬
sin x  0 .‫א‬
cos x  0 .‫ד‬
sin x  1 .‫ג‬
cos x  1 .‫ו‬
cos x  1 .‫ה‬
tan x  1 .‫ח‬
tan x  0 .‫ז‬
:)‫) כתוב את הפתרון הכללי של המשוואות הבאות (טכניקה אלגברית‬5
sin 2 x 
1
.‫ב‬
4
cos 2 x 
3
.‫א‬
4
sin x cos3x  0 .‫ד‬
tan 2 2 x  3 .‫ג‬
2cos2 x  3 cos x  0 .‫ו‬
sin 2 x  2sin 2 2 x  0 .‫ה‬
3sin 2 x  sin x  2 .‫ח‬
2sin 2 x  sin x 1  0 .‫ז‬
cos2 x  2cos x  3 .‫י‬
6sin 2 x  sin x  1  0 .‫ט‬
tan 2 x  4 tan x  1 .‫יב‬
tan 2 x  3tan x  4  0 .‫יא‬
149
:)‫) כתוב את הפתרון הכללי של המשוואות הבאות (שימוש בזהויות יסוד‬6
sin x  cos  x  45 .‫ב‬
sin x  cos x .‫א‬
2cos2 x  3sin x .‫ד‬
2
cos x  sin 2 x .‫ג‬
3
1
.‫ה‬
sin 2 x  cos x 
4
cos2 x  sin 2 x  sin x
.‫ו‬
sin x  tan x  0 .‫ח‬
sin 2 x  2cos2 x  1.5 .‫ז‬
:)‫) כתוב את הפתרון הכללי של המשוואות הבאות (שימוש בזהויות ממעגל היחידה‬7
cos 2 x   cos3x .‫ב‬
sin x   sin 3x .‫א‬
sin 3x   cos 180  x  .‫ד‬


sin  x     cos x
6

.‫ג‬
:)‫ (כתוב פתרון כללי‬cos x -‫) פתור את המשוואות הבאות ע"י חלוקה ב‬8
3sin x  cos x .‫ב‬
sin x  2cos x .‫א‬
2sin x  5cos x .‫ד‬
4sin x  7cos x .‫ג‬
3sin 2 x  cos2 x
sin 2 x  8cos2 x .‫ה‬
.‫ו‬
:)‫) כתוב את הפתרון הכללי של המשוואות הבאות (שימוש בזהויות של זווית כפולה‬9
2 sin x  sin 2 x  0 .‫ב‬
sin x  sin 2 x  0 .‫א‬
2cos 2 x  sin 4 x  0 .‫ד‬
4cos x  sin 2 x .‫ג‬
cos 2 x  2sin x
.‫ו‬
3cos x  cos 2 x  0 .‫ה‬
2sin 2 x  cos 2 x  2 .‫ח‬
sin x  cos 2 x  1 .‫ז‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות בתחום המצוין לידן‬10
0  x   : cos 4 x  sin 2 x  1
.‫ג‬
180,180 : cos 4 x  1  3sin 2 x .‫ב‬
150
:‫תשובות סופיות‬
x1  45  360k , x2  135  360k .‫ב‬
x1  30  360k , x2  150  360k .‫) א‬1
x1  30  360k , x2  210  360k .‫ ד‬x1  60  360k , x2  240  360k .‫ג‬
. x  30  180k .‫ ז‬x1,2  150  360k .‫ ו‬x1,2  60  360k .‫ה‬
. x1  44.42  360k , x2  135.57  360k .‫ ט‬x  45  180k .‫ח‬
. x  78.69  180k .‫ יא‬x1,2  126.87  360k .‫י‬
. x1  75  180k , x2  105  180k .‫ ב‬x1  10  120k , x2  50  120k .‫) א‬2
x1  20.9  180k , x2  69.09  180k .‫ ד‬x  9  36k .‫ג‬
. x  6.64  45k .‫ ו‬x1,2  23.5  120k .‫ה‬
x1  10  180k , x2  40  180k .‫ ב‬x1  30  180k , x2  90  180k .‫) א‬3
. x1  45  90k , x2  180k .‫ ד‬x  2.431  180k .‫ג‬
. x  60  180k .‫ ו‬x1  30  360k , x2  50  120k .‫ה‬
. x  20  60k .‫ י‬x  90k .‫ ט‬x  20  180k .‫ ח‬x  90k .‫ז‬
x  90  180k .‫ ד‬x  270  360k .‫ ג‬x  90  360k .‫ ב‬x  180k .‫) א‬4
. x  45  180k .‫ ח‬x  180k .‫ ז‬x  180  360k .‫ ו‬x  360k .‫ה‬
x1,2  30  360k , x3,4  150  360k .‫) א‬5
x1  30  360k , x2  150  360k , x3  30  360k , x4  210  360k .‫ב‬
x1  180k , x2  30  60k .‫ ד‬x1  30  90k , x2  30  90k .‫ג‬
x1  90k , x2  15  180k , x3  75  180k .‫ה‬
x1  90  180k , x2,3  150  360k .‫ו‬
. x1  90  360k , x2  210  360k , x3  30  360k .‫ז‬
x1  90  360k , x2  41.8  360k , x3  221.8  360k .‫ח‬
x1  30  360k , x2  150  360k , x3  19.4  360k , x4  199.4  360k .‫ט‬
x1  75.96  180k , x2  45  180k .‫ יא‬x  360k .‫י‬
. x1  75  180k , x2  15  180k .‫יב‬
. x1,2  60  360k .‫ ג‬x  22.5  180k .‫ ב‬x  45  180k .‫) א‬6
. x1,2  60  360k .‫ ה‬x1  30  360k , x2  150  360k .‫ד‬
. x1  30  360k , x2  150  360k , x3  270  360k .‫ו‬
. x  180k .‫ ח‬. x1,2  45  360k , x3,4  135  360k .‫ז‬
x  120  180k .‫ ג‬x1  36  72k , x2  180  360k .‫ ב‬x  90k .‫) א‬7
. x1  22.5  90k , x2  45  180k .‫ד‬
x  60.25  180k .‫ ג‬x  18.43  180k .‫ ב‬x  63.43  180k .‫) א‬8
. x  30  180k .‫ ו‬x  70.52  180k .‫ ה‬x  68.19  180k .‫ד‬
151
x1  180k , x2,3  135  360k .‫ ב‬x1  360k , x2  60  120k .‫) א‬9
x1  45  90k , x2  135  180k .‫ ד‬x  90  180k .‫ג‬
x1  21.1  360k , x2  158.9  360k .‫ ו‬x1,2  106.3  360k .‫ה‬
. x1  180k , x2  30  360k , x3  150  360k .‫ז‬
. x1  60  360k , x2  120  360k , x3  60  360k , x4  240  360k .‫ח‬
. x  0,0.38 ,0.615 ,  .‫ ב‬x1,2,3,4  165, 105,15,75 .‫) א‬10
152
‫טריגונומטריה במישור‪:‬‬
‫משפט הסינוסים‪:‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫במשולש‪ ,‬צלע חלקי סינוס הזווית שמולה הוא גודל קבוע‬
‫והוא שווה לפעמיים רדיוס המעגל החוסם‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫בצורה מתמטית‪ 2 R :‬‬
‫‪sin  sin  sin ‬‬
‫‪.‬‬
‫משפט הקוסינוסים‪:‬‬
‫‪c2  a 2  b2  2ab cos ‬‬
‫או‬
‫‪a 2  b2  c 2‬‬
‫‪2ab‬‬
‫‪. cos  ‬‬
‫מתי נשתמש בכל משפט‪:‬‬
‫‪ ‬נשתמש במשפט הסינוסים כאשר‪:‬‬
‫א‪ .‬נתונות שתי זוויות וצלע‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתונות שתי צלעות והזווית מול אחת מהן‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון רדיוס המעגל החוסם וצלע‪/‬זווית נוספת‪.‬‬
‫‪ ‬נשתמש במשפט הקוסינוסים כאשר‪:‬‬
‫א‪ .‬נתונות שתי צלעות והזווית ביניהן‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתונות שלוש צלעות‪.‬‬
‫‪ ‬כאשר ישנם יותר נתונים מאשר בסעיפים שלהלן ייתכן שנוכל להשתמש בשני‬
‫המשפטים‪ .‬בבחירת המשפט שבו נשתמש כדאי לזכור שבמשפט הסינוסים‬
‫ייתכנושתי תשובות לזווית‪ ,‬גם אם בפועל רק אחת נכונה‪ ,‬ובמשפט הקוסינוסים‬
‫תתקבל בוודאות הזווית הנכונה‪.‬‬
‫שטחים של משולשים ומרובעים‪:‬‬
‫‪a  h ab sin  a sin  sin ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫שטח משולש ניתן לחישוב ע"י‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2sin ‬‬
‫‪k k sin ‬‬
‫‪.S  1 2‬‬
‫שטח מרובע ניתן לחישוב ע"י אלכסוניו‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪153‬‬
‫‪. S ‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬מצא את ערכו של ‪  / x / y‬במשולשים הבאים‬
‫(‪ R‬הוא רדיוס המעגל החוסם‪ ,‬נתוני הצלעות בס"מ)‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪1150‬‬
‫‪420‬‬
‫‪560‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪220‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪600‬‬
‫‪ )2‬מצא את ערכו של ‪  / x‬במשולשים הבאים‪:‬‬
‫‪ )3‬נתון משולש שווה שוקיים ‪ ) AB  AC ( ABC‬שאורך השוק שלו הוא ‪ 22‬ס"מ‬
‫וגודלה של זווית הבסיס בו הוא ‪ CD . 70o‬הוא חוצה זווית הבסיס ‪. C‬‬
‫מצא את אורכו של הקטע ‪. AD‬‬
‫‪154‬‬
‫‪ )4‬אלכסוני המלבן ‪ ABCD‬נפגשים בנקודה ‪. M‬‬
‫הנקודה ‪ G‬נמצאת על המשך הצלע ‪. AD‬‬
‫נתון‪. DG  1.2cm , AB  4cm , AD  3cm :‬‬
‫מצא את גודלו של הקטע ‪. GM‬‬
‫‪ )5‬מרובע שאורכי אלכסוניו ‪ 8‬ס"מ ו‪ 11-‬ס"מ חסום במעגל שאורך רדיוסו הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את זוויות המרובע‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )6‬הצלע ‪ AB‬במשולש ‪ ABC‬היא מיתר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫הצלע ‪ AC‬עוברת במרכז המעגל כמתואר בשרטוט‪.‬‬
‫נתון‪. BAC  38o , OC  3cm , BC  9cm :‬‬
‫מצא את אורכם של רדיוס המעגל ושל הצלע ‪. AB‬‬
‫‪O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )7‬אחד האלכסונים במקבילית יוצר זווית של ‪ 30o‬עם צלע אחת של המקבילית‬
‫וזווית של ‪ 61.05‬עם הצלע הסמוכה לה‪ .‬אחת מצלעות המקבילית גדולה ב‪3-‬‬
‫ס"מ מהצלע הסמוכה לה‪ .‬חשב את היקף המקבילית‪.‬‬
‫‪ )8‬המשולש ‪ ABD‬חסום במעגל שרדיוסו ‪ . R‬המשך‬
‫הצלע ‪ AD‬והמשיק למעגל בנקודה ‪ B‬נפגשים בנקודה ‪.C‬‬
‫נתון‪. ADB   , C   :‬‬
‫הבע באמצעות ‪  , R‬ו ‪  -‬את אורך הקטע ‪. BC‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ BE )9‬ו‪ CF-‬הם תיכונים במשולש ‪ ABC‬הנפגשים בנקודה ‪.M‬‬
‫מהנקודה ‪ F‬מעבירים קטע ‪ GD‬כך שמתקיים‪ AC  DC :‬ו‪. GD BE -‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪AG 3‬‬
‫הוכח‪ :‬‬
‫‪BD 4‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ 4 :‬ס"מ ‪ . ME ‬חשב את אורך הקטע ‪.DG‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי‪. ACD  48.189 :‬‬
‫הוכח כי המשולש ‪ DGC‬הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪ )10‬נתון משולש ‪ .ABC‬הקודקודים ‪ B‬ו‪ C-‬של המשולש ‪ ABC‬נמצאים‬
‫על מעגל שמרכזו ‪ .O‬מרכז המעגל ‪ O‬מונח על הצלע ‪.AC‬‬
‫אורך הצלע ‪ AB‬הוא ‪ 12‬ס"מ ואורך הקטע ‪ AO‬הוא ‪ 4.5‬ס"מ‪.‬‬
‫זווית ‪ BAC‬היא ‪. 60‬‬
‫א‪ .‬חשב את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים את הקוטר ‪ BD‬ואת הקטע ‪ AD‬כך‬
‫שנוצר המשולש ‪ .ADB‬חשב את זווית ‪.ADB‬‬
‫‪155‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )11‬המשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים ‪  AB  AC ‬החסום במעגל‬
‫שרדיוסו ‪ . R‬הנקודה ‪ E‬היא אמצע הבסיס ‪ BC‬והנקודה ‪D‬‬
‫היא אמצע הקשת ‪. AB‬‬
‫ידוע כי זווית הבסיס של המשולש היא ‪. 80‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את הקטעים ‪ CD‬ו‪.DE-‬‬
‫ב‪ r .‬הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪.CED‬‬
‫הבע באמצעות ‪ R‬את ‪. r‬‬
‫‪ AC ,AB )12‬ו ‪ AD-‬הם מיתרים במעגל המקיימים‪. BC  BD :‬‬
‫מהנקודה ‪ E‬שעל המעגל מעבירים את המיתרים ‪ AE‬ו ‪.BE-‬‬
‫המיתרים ‪ BE‬ו‪ AD-‬נחתכים בנקודה ‪.F‬‬
‫נתון כי‪. AC  AF  EF :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ABF  ABC :‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם‪. 3  CAB  DAE :‬‬
‫הוכח כי המשולש ‪ AFE‬הוא שווה צלעות‪.‬‬
‫‪ )13‬המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז שווה שוקיים ‪.  AB CD , AD  BC‬‬
‫מידות הטרפז הן‪ 12 :‬ס"מ ‪ 8 , CD ‬ס"מ ‪ 6 , BC ‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫א‪ .‬מצא את זווית ‪( C‬עגל למספר שלם)‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורך אלכסון הטרפז‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את רדיוס המעגל החוסם את הטרפז‪.‬‬
‫‪ )14‬המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז ישר זווית ‪.  AB CD , B  90‬‬
‫מסמנים את הבסיס‪ AB  t :‬וידוע כי‪. AD  3t , DC  1.6t :‬‬
‫היקף הטרפז הוא‪ 40 :‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את אורך האלכסון ‪.AC‬‬
‫ב‪ .‬ידוע גם כי‪. D  60 :‬‬
‫‪ .1‬חשב את אורך הקטע ‪.AC‬‬
‫‪ .2‬חשב את שטח הטרפז‪.‬‬
‫‪ )15‬המשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים ‪  AB  AC ‬בעל זווית ראש ‪ 36‬החסום‬
‫במעגל שקוטרו ‪ 16‬ס"מ‪ .‬מעבירים תיכון לשוק ‪.BD‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הבסיס ‪ BC‬במשולש‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך התיכון ‪.BD‬‬
‫ג‪ .‬מסמנים‪:‬‬
‫‪ - r1‬רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪.ABD‬‬
‫‪ - r2‬רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪.BCD‬‬
‫‪r1‬‬
‫הוכח את היחס הבא‪ 2cos 36 :‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪156‬‬
‫‪ )16‬המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז ‪.  AB CD ‬‬
‫מעבירים את האלכסון ‪ BD‬המקיים‪. BCD  ADB :‬‬
‫נתון כי‪ 20 :‬ס"מ ‪ 10 , CD ‬ס"מ ‪ 5 , AD ‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫כמו כן ידוע כי השוק ‪ BC‬גדולה פי ‪ 2‬מהאלכסון ‪.BD‬‬
‫א‪ .‬הראה כי השוק ‪ BC‬שווה לבסיס ‪.CD‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זווית ‪.C‬‬
‫ג‪ .‬ממשיכים את שוקי הטרפז ‪ AD‬ו ‪ BC-‬עד לנקודה ‪ E‬שמחוץ לטרפז‪.‬‬
‫חשב את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪.CDE‬‬
‫‪ )17‬באיור שלפניך נתון המרובע ‪ .ABCD‬ידוע כי‪ . D  90 :‬נסמן את הצלעות‬
‫באופן הבא‪. AB  6 x , BC  5x , CD  8x , AD  3x :‬‬
‫א‪ .‬חשב את זווית ‪.BDC‬‬
‫ב‪ E .‬היא נקודה הנמצאת על אמצע הצלע ‪.BC‬‬
‫מעבירים את הקטעים ‪ AE‬ו‪ DE-‬כך ש‪DE-‬‬
‫‪S ABE‬‬
‫מקביל ל‪ .AB-‬חשב את היחס הבא‪:‬‬
‫‪S ECD‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )18‬מהנקודה ‪ O‬מעבירים את הקטעים ‪ OC , OB , OA‬ו‪.OD-‬‬
‫ידוע כי זווית ‪ AOB‬שווה לזווית ‪ COD‬והיא מסומנת ב‪.  -‬‬
‫המשולש ‪ COD‬הוא ישר זווית ‪.  CDO  90‬‬
‫נתונים האורכים‪. AO  8 , BO  9 , DO  10 :‬‬
‫מסמנים‪. BC  1.4m , CD  1.5m :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬את ‪. sin ‬‬
‫(העזר במשולש ‪ COD‬ובטא תחילה את ‪.)CO‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי‪ . AB  m :‬מצא את ‪ m‬אם ידוע כי רדיוס המעגל החוסם את‬
‫‪2‬‬
‫המשולש ‪ AOB‬הוא‬
‫‪3‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫חשב את זווית ‪.BOC‬‬
‫‪ )19‬במשולש ‪ ABC‬הזווית ‪ A‬היא בת ‪. 60‬‬
‫מעבירים את הקטע ‪ AD‬כך שנוצרת זווית‪. ADB  60 :‬‬
‫ידוע כי ‪ AB  28‬וכי הצלע ‪ AD‬במשולש ‪ ABD‬גדולה פי ‪ 1.5‬מהצלע ‪.BD‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הצלע ‪.BD‬‬
‫ב‪ .‬היקף המשולש ‪ ABC‬הוא‪. P  5 7  7 :‬‬
‫‪ .1‬סמן‪ DC  t :‬והבע באמצעות ‪ t‬את אורך הצלע ‪.AC‬‬
‫‪ .2‬מצא את ‪. t‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪157‬‬
‫‪ )20‬מהנקודה ‪ A‬מעבירים את הקטעים ‪ AB‬ו‪ .AC-‬הנקודה ‪D‬‬
‫היא אמצע ‪ AC‬וממנה מעבירים את ‪ DE‬המקביל ל‪.AB-‬‬
‫הנקודות ‪ E , C‬ו ‪ F-‬נמצאות על אותו הישר‪.‬‬
‫ידוע כי המשולשים ‪ DEF , ABD‬ו‪ DCE-‬הם‬
‫שווי שוקיים‪.  AB  BD , DC  CE , EF  DE  :‬‬
‫נתון כי‪. AD  8 :‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪.BF‬‬
‫ב‪ .‬מחברים את הנקודות ‪ B‬ו‪.C -‬‬
‫חשב את אורך הצלע ‪.BC‬‬
‫‪ )21‬בשרטוט נתון‪. AD  5cm , AC  8cm , AB  6cm :‬‬
‫הנקודה ‪ D‬היא אמצע הצלע ‪. BC‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. BC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )22‬הצלע ‪ AC‬במשולש ‪ ABC‬גדולה פי ‪ 4‬מהצלע ‪. AB‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא אמצע הצלע ‪ AC‬והנקודה ‪ D‬נמצאת על הצלע ‪BC‬‬
‫כך שמתקיים ‪ . DC  2BD‬נתון‪. BC  b , AB  a :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ a‬ו‪ b -‬את אורך הקטע ‪. DE‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )23‬המשולש ‪ ABD‬חסום במעגל שרדיוסו ‪. R‬‬
‫המשך הצלע ‪ AD‬והמשיק למעגל בנקודה ‪ B‬נפגשים בנקודה ‪.C‬‬
‫נתון‪. ADB   , C   :‬‬
‫הבע באמצעות ‪  , R‬ו ‪  -‬את אורך הקטע ‪. BC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ AC )24‬ו‪ BD -‬הם מיתרים במעגל שרדיוסו ‪ , R‬שנפגשים בנקודה ‪. M‬‬
‫זווית ‪ B‬היא זווית ישרה‪.‬‬
‫נתון‪. DC  q , DM  p , AB  k :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ p , k , R‬ו‪ q -‬את אורך הקטע ‪. MC‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )25‬חשב את שטחי המשולשים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪240‬‬
‫‪320‬‬
‫‪480‬‬
‫‪158‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )26‬חשב את שטחו של טרפז שווה שוקיים שאורך האלכסון שלו ‪ 8‬ס"מ והוא יוצר‬
‫זווית של ‪ 15‬עם הבסיסים‪.‬‬
‫‪ )27‬אורכו של מלבן הוא ‪ m‬ורוחבו ‪ . n‬הזווית שבין אלכסוני המלבן היא ‪.‬‬
‫‪2mn‬‬
‫הוכח כי מתקיים‪:‬‬
‫‪m2  n 2‬‬
‫‪. sin  ‬‬
‫‪ )28‬במשולש ישר זווית ‪) B  90o ( ABC‬‬
‫נתון‪. A   , AB  m :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ m -‬את שטח המשולש ‪. BCD‬‬
‫‪BD‬‬
‫חוצה את הזווית‬
‫‪B‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )29‬באיור שלפניך נתון משושה משוכלל ששטחו הכולל הוא‪. S :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ S‬את אורך צלע המשושה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים אלכסונים במשושה כך שנוצר המלבן ‪.BFEC‬‬
‫ג‪ .‬הבע באמצעות ‪ S‬את שטח המלבן‪.‬‬
‫‪ )30‬המשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים בעל זווית ראש ‪.  AB  AC , ‬‬
‫אורך הבסיס ‪ BC‬הוא ‪ . k‬על השוק ‪ AB‬בונים משולש ישר זווית ‪ABD‬‬
‫ובו ‪. D  90‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את אורך שוק המשולש ‪.ABC‬‬
‫ב‪ .‬הניצב ‪ AD‬במשולש ‪ ABD‬שווה ל‪ 0.85k -‬וכי‪. ABD  40 :‬‬
‫מצא את זוויות המשולש ‪.ABC‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המרובע ‪ ABCD‬אם ידוע כי ‪. k  6‬‬
‫‪ )31‬במשולש ‪ ABC‬אורך הצלע ‪ AC‬הוא ‪ 8‬ס"מ ואורך הצלע ‪ AB‬הוא ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא אמצע הצלע ‪ AC‬והנקודה ‪ D‬מקיימת‪ :‬ס"מ ‪. AD  3‬‬
‫‪DE 2‬‬
‫ידוע כי‪ :‬‬
‫‪BC 5‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הקטע ‪.DE‬‬
‫ב‪ .‬חשב את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪.ADE‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המרובע ‪.BCED‬‬
‫‪ )32‬המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז ‪.  AB CD ‬‬
‫הקטע ‪ AC‬הוא אלכסון בטרפז‪.‬‬
‫מסמנים‪. AC  m , ACD   , ADC   :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪  , ‬ו‪ m -‬את אורך הבסיס הגדול ‪.DC‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪SADC‬‬
‫נתון כי האלכסון ‪ AC‬מקיים‪ 3 :‬‬
‫‪SABC‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חשב את שטח הטרפז אם ידוע כי‪   40 ,   60 :‬ו‪. m  8 -‬‬
‫‪159‬‬
‫‪ .‬הבע באמצעות ‪  , ‬ו‪ m -‬את הבסיס ‪.AB‬‬
‫‪ )33‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן‪ .‬מעבירים את האלכסון ‪BD‬‬
‫וממשיכים אותו עד לנקודה ‪ E‬שמחוץ למלבן‪.‬‬
‫מחברים את הנקודה ‪ E‬עם הקודקוד ‪.C‬‬
‫ידוע כי אורך הצלע ‪ AD‬של המלבן הוא ‪ 6‬ס"מ‬
‫וכי אורך הקטע ‪ BE‬הוא ‪ 9‬ס"מ‪ .‬הזווית ‪ CBE‬היא ‪.115‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הקטע ‪.CE‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורך האלכסון ‪.BD‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.DCE‬‬
‫‪ )34‬המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז ‪.  AB CD ‬‬
‫ממשיכים את השוקיים ‪ AD‬ו ‪ BC-‬עד לפגישתם בנקודה ‪.E‬‬
‫ידוע כי‪. DE  CE :‬‬
‫מעבירים את האלכסון ‪ AC‬אשר חוצה את זווית ‪.C‬‬
‫מסמנים את הבסיס הגדול ‪ DC‬ב ‪ k -‬ואת‪. ACD   :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את הבסיס הקטן של הטרפז ‪.AB‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪ ABC‬כאשר‪ 12 ,   15 :‬ס"מ ‪. k ‬‬
‫‪ )35‬נתונה מקבילית ‪ ABCD‬ובה מעבירים את האלכסונים ‪ AC‬ו‪ BD-‬אשר נחתכים‬
‫בנקודה ‪ M‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫מסמנים‪. AB  k , BDC   , ACD   :‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪AC sin ‬‬
‫‪‬‬
‫הוכח כי אלכסוני המקבילית מקיימים‪:‬‬
‫‪BD sin ‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .1 .‬הבע באמצעות ‪  , ‬ו‪ k -‬את שטח המשולש ‪.DMC‬‬
‫‪ .2‬הבע באמצעות ‪  , ‬ו‪ k -‬את שטח המקבילית ‪.ABCD‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪4k 2 sin 2 ‬‬
‫נתון כי‪ 2 :‬‬
‫‪ .‬הראה כי שטח המקבילית הוא‪:‬‬
‫‪BD‬‬
‫‪sin    ‬‬
‫‪ )36‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מעוין ובו ‪ . D  60‬מעבירים את‬
‫האלכסון ‪ AC‬ואת הקטע ‪ CE‬כך שהנקודה ‪ E‬נמצאת על‬
‫‪BE‬‬
‫הצלע ‪ AB‬ומחלקת אותה ביחס‪ 4 :‬‬
‫‪AE‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את זווית ‪.AEC‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי שטח המשולש ‪ AEC‬הוא ‪ 8.66‬סמ"ר‪.‬‬
‫חשב את שטח המעוין‪.‬‬
‫‪160‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )37‬הקטע ‪ DE‬מקביל לצלע ‪ BC‬במשולש ‪ ABC‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫נתון כי‪. BD  129 , BC  15 , CE  13 :‬‬
‫ידוע כי זווית ‪ AED‬היא ‪. 60‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪ DE‬אם ידוע כי הוא קטן מ‪ 10-‬ס"מ‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.ADE‬‬
‫‪ )38‬המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל כך ש ‪ AB-‬הוא קוטר‪.‬‬
‫הנקודה ‪ D‬היא אמצע הקשת ‪ BC‬וממנה מעבירים את‬
‫המיתרים ‪ AD‬ו ‪ BD-‬ומעלים גובה ‪ DE‬לצלע ‪. BC‬‬
‫מסמנים‪ DE  k :‬ונתון כי‪. ABC  10 :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬את שטח המשולש ‪.ABF‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪ k‬אם ידוע כי שטח המשולש ‪ ABF‬הוא ‪ 15.363‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ )39‬במשולש ‪ ABC‬הקטע ‪ BE‬חוצה את זווית ‪.B‬‬
‫הנקודה ‪ D‬היא אמצע הצלע ‪ AB‬ומקיימת‪. DE  CE :‬‬
‫ידוע כי‪. BC  6 , BE  8 , BD  9 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את זווית ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.ADE‬‬
‫‪ )40‬נתון המעוין ‪.ABCD‬אורך האלכסון הגדול במעוין ‪ AC‬גדול פי ‪ 1.8‬מצלע המעוין‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את זוויות המעוין‪.‬‬
‫מהקודקוד ‪ D‬מעבירים את הקטע ‪ DE‬שאורכו הוא ‪. m‬‬
‫הקטע ‪ DE‬חותך את האלכסון ‪ AC‬בנקודה ‪.G‬‬
‫הזווית ‪ EDC‬תסומן ב ‪. -‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬ו‪  -‬את אורך הקטע ‪.CE‬‬
‫ג‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬ו‪  -‬את שטח המשולש ‪.EGC‬‬
‫‪ )41‬המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל כמתואר באיור‪.‬‬
‫מעבירים את המיתר ‪ AD‬החוצה את זווית ‪.BAC‬‬
‫ידוע כי‪ . BAC  40 , ACB  60 :‬מסמנים‪. AD  k :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬את אורך המיתר ‪.BD‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי שטח המשולש ‪ ABD‬הוא ‪ 7.368‬סמ"ר‪.‬‬
‫מצא את ‪( k‬עגל למספר שלם)‪.‬‬
‫‪161‬‬
‫‪ )42‬המשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים ‪ .  AB  AC ‬ממשיכים את‬
‫הצלע ‪ AC‬עד לנקודה ‪ D‬כך שאורך שוק המשולש גדולה פי ‪3.8‬‬
‫מהקטע ‪ .AD‬ידוע כי‪ . D  60 :‬אורך הקטע ‪ BD‬הוא ‪ 21‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הקטע ‪.AD‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪ )43‬במקבילית ‪ ABCD‬אורך האלכסון ‪ AC‬הוא ‪ 79‬ס"מ‪.‬‬
‫היקף המקבילית הוא ‪ 20‬ס"מ וידוע כי‪. B  120 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורכי צלעות המקבילית‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המקבילית‪.‬‬
‫ג‪ .‬מסמנים נקודה ‪ E‬על האלכסון ‪ AC‬כך‬
‫שהמרובע ‪ CBED‬הוא בר חסימה‪.‬‬
‫חשב את רדיוס המעגל החוסם את המרובע ‪.CBED‬‬
‫‪ )44‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן החסום במעגל‪ .‬מהקדקוד ‪ D‬מעבירים‬
‫את המיתר ‪ DF‬החותך את הצלע ‪ AB‬בנקודה ‪.E‬‬
‫ידוע כי‪ . AF  CF :‬הצלע ‪ AD‬של המלבן תסומן ב‪. a -‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המשולש ‪ DAE‬הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי‪. BC  BF :‬‬
‫‪ .1‬הבע באמצעות ‪ a‬את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪ .2‬חשב את הזוויות המרכזיות של הקשתות‪AB ; BC :‬‬
‫(אין צורך לסרטט אותן)‪.‬‬
‫‪ )45‬המרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל כמתואר באיור‪.‬‬
‫ידוע כי‪. AB  b , BC  a , CD  a , AD  3b :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬ו‪ b -‬את ‪. cos BCD‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי אם ‪ BD‬קוטר אז מתקיים‪. a  b 5 :‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי רדיוס המעגל הוא ‪ 3‬ס"מ‪.‬‬
‫הסתמך על סעיף ב' וחשב את שטח המרובע ‪.ABCD‬‬
‫‪ )46‬המשולש ‪ ABC‬הוא ישר זווית ‪  C  90‬ובו‪. B  2 :‬‬
‫מעבירים מעגל שרדיוסו ‪ R‬דרך הקדקודים ‪ B‬ו‪ C-‬אשר חותך‬
‫את צלעות המשולש בנקודות ‪ D‬ו‪.E-‬‬
‫המיתר ‪ BE‬חוצה את זווית ‪.B‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬ו‪  -‬את שטח המשולש ‪.ABE‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי המשולש ‪ ABE‬הוא שווה שוקיים וכי אורך‬
‫המיתר ‪ CE‬הוא ‪ 6‬ס"מ‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.ABE‬‬
‫‪162‬‬
‫‪ )47‬במשולש שווה שוקיים ‪ ) AB  AC ( ABC‬שאורך השוק בו הוא ‪ k‬וזווית‬
‫‪AB‬‬
‫‪.‬‬
‫הבסיס שלו היא ‪ BE , ‬חוצה את זווית ‪ B‬ו‪ CD -‬הוא הגובה לשוק‬
‫‪‬‬
‫‪k 2 sin sin 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. SADE  ‬‬
‫הוכח כי שטח המשולש ‪ ADE‬הוא‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4sin‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )48‬נתון משולש שווה שוקיים ‪  AB  AC  ABC‬החסום במעגל‪.‬‬
‫מהקדקוד ‪ C‬מעבירים את המיתר ‪ CE‬החותך את השוק ‪AB‬‬
‫בנקודה ‪ .D‬ידוע כי ‪ E‬היא אמצע הקשת ‪ AB‬והיחס בין‬
‫הקטעים ‪ BD‬ו‪ CD-‬הוא ‪ .4:7‬מסמנים‪. ACD   :‬‬
‫א‪ .‬מצא את זוויות המשולש ‪( ABC‬עגל למספרים שלמים)‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך המיתר ‪ BE‬אם ידוע כי רדיוס המעגל‬
‫החוסם שווה ל‪ 8-‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ AC )49‬ו‪ BD-‬הם מיתרים במעגל שרדיוסו ‪ , R‬שנפגשים בנקודה ‪. M‬‬
‫זווית ‪ B‬היא זווית ישרה‪.‬‬
‫נתון‪. MCB   , MBC   :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪  , R‬ו ‪  -‬את שטח המשולש ‪. BDC‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ . SBDC  R 2 ,   2 :‬חשב את ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )50‬בטרפז שווה שוקיים‪ ,‬שאורך השוק שבו הוא ‪ b‬והזווית שליד הבסיס הגדול‬
‫היא ‪ ‬נתון שהאלכסונים מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ b -‬את אורכי בסיסי הטרפז‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ‪ ‬אם ידוע שהבסיס הגדול ארוך פי ‪ 3‬מהבסיס הקטן‪.‬‬
‫‪ )51‬המיתר ‪ AB‬הוא קוטר במעגל שרדיוסו‪ R‬ו‪ AD-‬הוא מיתר‪.‬‬
‫ממשיכים את המיתר ‪ BD‬ומעבירים משיק מהנקודה ‪.A‬‬
‫המשיק והמשך המיתר נפגשים בנקודה ‪.C‬‬
‫מסמנים‪. BAD   :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ R-‬את שטח המשולש ‪.ABD‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ R-‬את שטח המשולש ‪.ACD‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪ ‬אם ידוע כי שטח המשולש ‪ ABD‬קטן‬
‫פי ‪ 4‬משטח המשולש ‪.ACD‬‬
‫‪163‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )52‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪ .‬הקטע ‪ AE‬מקצה על‬
‫הצלע ‪ DC‬קטעים המקיימים‪. 3CE  DE :‬‬
‫מעבירים תיכון ‪ DF‬לצלע ‪ AE‬במשולש ‪.ADE‬‬
‫ידוע כי‪ . ADF  CDF   :‬מסמנים‪. CE  k :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את אורך הקטע ‪.AE‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים את האלכסון ‪.AC‬‬
‫הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את היקף המשולש ‪.ACE‬‬
‫ג‪ .‬היקף המשולש ‪ ACE‬הוא ‪ . 4.5k‬מצא את ‪. ‬‬
‫*הערה‪ :‬השאלות הבאות משלבות ידע בגיאומטריה ובטריגונומטריה יחד‪:‬‬
‫‪ )53‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן‪ .‬מעבירים את האלכסונים ‪ AC‬ו ‪.BD-‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על הצלע ‪ AB‬של המלבן ומחלקת אותה‬
‫כך ש ‪ . 2BE  AE -‬ידוע כי הקטע ‪ OE‬מאונך לאלכסון ‪AC‬‬
‫ושווה ל‪ .BE-‬הקטע ‪ CE‬חותך את האלכסון ‪ BD‬בנקודה ‪.G‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הקטע ‪ CE‬מאונך לאלכסון ‪.BD‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי מתקיים‪. 4GE  AE :‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי שטח המשולש ‪ BEG‬הוא ‪ 5‬סמ"ר‪.‬‬
‫חשב את שטח המלבן ‪.ABCD‬‬
‫‪ )54‬באיור שלפניך נתון מחומש משוכלל ‪ACBDE‬‬
‫(כל זוויותיו הן ‪ )108‬בעל אורך צלע ‪. a‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את אלכסון המחומש ‪.AD‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את רדיוס המעגל החוסם את המחומש‪.‬‬
‫ג‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את שטח המחומש‪.‬‬
‫ד‪ .‬אורך רדיוס המעגל החוסם את המחומש הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את שטח המחומש‪.‬‬
‫‪ )55‬במשולש ‪ ABC‬הזווית ‪ C‬היא‪. 60 :‬מעבירים את הקטע ‪ AD‬כך שנוצרים‬
‫המשולשים ‪ ACD‬ו‪.ABD-‬‬
‫ידוע כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ ACD‬הוא‪ 3 :‬ס"מ ‪. R1 ‬‬
‫כמו כן רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ ABD‬הוא‪ 3 :‬ס"מ ‪. R2 ‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המשולש ‪ ABC‬הוא ישר זווית‪.‬‬
‫ב‪ .‬היקף המשולש ‪ ABC‬הוא‪12  4 3 :‬ס"מ ‪. P ‬‬
‫חשב את שטח המשולש‪.‬‬
‫‪164‬‬
‫‪ )56‬המשולש ‪ ABC‬הוא שווה צלעות‪ .‬הקטע ‪ DE‬עובר דרך הקדקוד ‪ A‬כך שנוצרים‬
‫שני משולשים ‪ ABD‬ו ‪ .ACE-‬ידוע‬
‫כי ‪ AC‬חוצה את זווית ‪ DCE‬במשולש ‪.DCE‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. AB CE :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. BC  DE  DC  AE :‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪ 8 :‬ס"מ ‪ DC ‬וכי‪. AC  DE :‬‬
‫‪ .1‬חשב את שטח המשולש ‪.DCE‬‬
‫‪ .2‬חשב את שטח המשולש ‪.ABD‬‬
‫‪ )57‬מהנקודה ‪ A‬מעבירים את הקטעים ‪ AD , AC , AB‬ו‪ AE-‬כך‬
‫שמתקיים‪ BAC  CAD   :‬ו ‪. AB  AE -‬‬
‫מעבירים את האלכסון ‪ BE‬במחומש ‪.ABCDE‬‬
‫מתקיים‪ . BE CD :‬ידוע כי המרובע ‪ BCDE‬הוא בר חסימה‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ BCDE‬הוא טרפז שווה שוקיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי המשולש ‪ ACD‬הוא ש"ש ( ‪.) AC  AD‬‬
‫הוכח כי‪. ABD  ACE :‬‬
‫ג‪ .‬ידוע כי‪ ADC  3  2.5 :‬ו‪. ADE  3 10 -‬‬
‫הוכח כי משולש ‪ ADE‬הוא ישר זווית‪.‬‬
‫ד‪ .‬נסמן‪. AB  m :‬‬
‫‪ .1‬הבע באמצעות ‪ m‬את צלעות הטרפז ‪.BCDE‬‬
‫‪ .2‬הבע באמצעות ‪ m‬את שטח המחומש ‪.ABCDE‬‬
‫‪ .3‬מצא את ‪ m‬אם ידוע כי שטח המחומש ‪ ABCDE‬הוא ‪ 46.284‬סמ"ר‪.‬‬
‫(עגל למספר שלם)‪.‬‬
‫‪ )58‬הטרפז ‪ ABCD‬הוא שווה שוקיים‪ .‬חוסמים מעגל בתוך‬
‫הטרפז אשר משיק לו בנקודות ‪ F ,E‬ו‪ G-‬כמתוארבאיור‪.‬‬
‫הקטעים ‪ DF‬ו‪ CE-‬חוצים את זוויות הטרפז ונחתכים‬
‫בנקודה ‪.M‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הנקודה ‪ M‬היא מרכז המעגל החסום‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זוויות הטרפז‪.‬‬
‫ג‪ .‬ממשיכים את ‪ GF‬ואת ‪ AD‬כך שהם‬
‫‪EM‬‬
‫נפגשים בנקודה ‪ .H‬חשב את היחס‬
‫‪FH‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )59‬המרובע ‪ BDEC‬הוא טרפז ‪.  BC DE ‬‬
‫המשכי השוקיים ‪ BD‬ו‪ CE-‬נפגשים בנקודה ‪ A‬כך‬
‫שהמשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים ‪.  AB  BC‬‬
‫נתון‪ 18 :‬ס"מ ‪. ADE  30 , AB ‬‬
‫‪165‬‬
‫‪C‬‬
‫‪H‬‬
‫‪B‬‬
‫‪G‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫א‪ .‬סמן את אורך הבסיס ‪ DE‬ב‪ x -‬ואת שטח‬
‫הטרפז ‪ BDEC‬ב ‪ . S -‬הבע את ‪ S‬באמצעות ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬על הקטע ‪ AD‬בונים ריבוע‪ .‬ידוע כי שטחו קטן ב‪ 1-‬סמ"ר משטח הטרפז ‪.BDEC‬‬
‫‪S ADE‬‬
‫חשב את היחס‪:‬‬
‫‪S ABC‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )60‬במעגל שמרכזו ‪ O‬מעבירים את הקטרים ‪ AB‬ו‪ CD-‬המאונכים זה לזה‪.‬‬
‫‪ E‬היא נקודה על היקף המעגל המקיימת‪ 15 :‬ס"מ ‪. BE  DE ‬‬
‫מעבירים את המיתר ‪ .AE‬הקטע ‪ OM‬מאונך למיתר ‪AE‬‬
‫ושווה למיתר ‪.DE‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ OMEB‬הוא טרפז ישר זווית‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורך המיתר ‪.BE‬‬
‫נתון כי שטח הטרפז הוא ‪ 90‬סמ"ר‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את זווית ‪.B‬‬
‫‪ )61‬דרך הנקודה ‪ A‬מעבירים שני משיקים למעגל ‪ AB‬ו‪.AC-‬‬
‫הנקודות ‪ D‬ו‪ E-‬נמצאות על היקף המעגל ומהן מעבירים את המיתרים ‪ DE , DC‬ו ‪.BD-‬‬
‫ממשיכים את המיתר ‪ BE‬עד לנקודה ‪ F‬שמחוץ למעגל כך ש‪ DF-‬מאונך למיתר ‪BD‬‬
‫ושווה באורכו לרדיוס המעגל‪ .‬נתון כי‪. BFD  BDC :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. BFD  ABC :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ ADFB‬הוא טרפז‪.‬‬
‫אורך המשיק ‪ AC‬הוא ‪ 8‬ס"מ ואורך‬
‫המיתר ‪ CD‬הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח הטרפז‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את זוויות הטרפז‪.‬‬
‫‪ BD )62‬הוא אלכסון במרובע הבר‪-‬חסימה ‪ .ABCD‬הנקודות ‪ E‬ו ‪ F-‬הן בהתאמה‬
‫אמצעי הצלעות ‪ AD‬ו‪ AB-‬במרובע‪ .‬מעבירים את הקטעים ‪ BE‬ו‪CF-‬‬
‫כך ש‪ . BE CD :‬נתון כי הזוויות ‪ A‬ו‪ BFE -‬משלימות ל ‪.180 -‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BCD BFE :‬‬
‫‪1‬‬
‫נתון כי‪ BE  7.5 :‬וכי‪:‬‬
‫‪15‬‬
‫‪. GE  HD  17‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪.FE‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪BED‬‬
‫הוא‪ 4.001 :‬ס"מ = ‪ .R‬מצא את זווית ‪. EBD‬‬
‫‪166‬‬
:‫תשובות סופיות‬
  138.618 ‫ או‬  41.382 .‫ ג‬  34.231 .‫ ב‬x  18.585cm , y  22.199cm .‫) א‬1
.  73.898, x  3.606cm .‫ ה‬  24.474 ‫ או‬  155.526 .‫ד‬
. AD  13.064cm )3   90 .‫ ד‬  105.962 .‫ ג‬  20.742 .‫ ב‬x  5.646cm .‫) א‬2
. 66.444, 113.556, 41.810, 138.190 )5 GM  3.360cm )4
. R  5.395cm , AC  10.790cm )8 P  22cm )7 R  9.242cm , AB  14.56cm )6
24.32 .‫ ב‬.R = ‫ ס"מ‬10.5 .‫) א‬10
DG  18
.‫) ב‬9
. R  ‫ ס"מ‬6.29 .‫ ס"מ ג‬11.66 .‫ ב‬68 .‫) א‬13 . r  1.15R .‫ ב‬DE  1.48R CD  R 3 .‫) א‬11
.‫ סמ"ר‬78 .2 .‫ ס"מ‬13 .1 .‫ ב‬AC  32.36t 2  448t  1600 .‫) א‬14
R  13.77 .‫ ג‬C  28.9 .‫) ב‬16 ‫ ס"מ‬10.1 .‫ ס"מ ב‬9.4 .‫) א‬15
.56.89 .‫ ג‬m  16 .‫ ב‬sin  
1.5m
100  2.25m
2
.‫) א‬18 .
SABE
 0.934 .‫ ב‬37.72 .‫) א‬17
SECD
.‫ ס"מ‬17.19 .‫ ס"מ ב‬4.94 .‫) א‬20 S  18.18 .‫ ג‬3 .2 1.5 28  3  t .1 .‫ ב‬4 .‫) א‬19
. BC 
. S  16cm )26
2 R sin  sin     
sin 
)23 DE 
1 2
b  a 2 )22 BC  10cm )21
9
S  8.641cm2 .‫ ב‬S  75.801cm2 .‫) א‬25
2
2
3
. S .‫ב‬
2S
 0.62S .‫) א‬29
27
SBCD 
MC 
p2  q2 
pqk
)24
R
m2 tan 2  sin 45 cos 
2sin   45 
. S  37.18 .‫ ג‬44.4 , 67.78 , 67.78 .‫ב‬
)28
k
.‫) א‬30
2sin 2
. S  21.48 .‫ ג‬R  2 .‫ ב‬DE  1.6  1.26 .‫) א‬31
. SABCD  31.2 .‫ ג‬AB 
m sin    
m sin    
.‫ ב‬DC 
.‫) א‬32
3sin 
sin 
.‫ ס"מ‬63.05 .‫ ס"מ ג‬14.19 .‫ ס"מ ב‬12.75 .‫) א‬33
k 2 tan 2  sin 2
k tan 
.‫ב‬
.‫) א‬34
S  ‫ סמ"ר‬7.754 .‫ג‬
2
2 tan 2
tan 2
2k 2 sin  sin 
k 2 sin  sin 
. S  86.6 .‫ ב‬109.1 .‫) א‬36 .
.2
.1 .‫) ב‬35
sin    
2sin    
.‫ סמ"ר‬34.48 .‫ ס"מ ב‬7 .‫) א‬37
. k  6 .‫ ג‬S 
2
k sin10
k
 0.426k 2 .‫ ב‬R 
 1.21k .‫) א‬38
3
2sin 50sin 40
2sin 2 40
. S  12.52 .‫ ב‬40.72 .‫) א‬39
0.35m2 sin 2  sin 128.32   
.
.‫ ג‬1.27m sin  .‫ ב‬128.32 ; 51.68 .‫) א‬40
sin  25.84   
167
. S  172.77 .‫ ס"מ ב‬5 .‫) א‬42 k  7 .‫ ב‬BD 
.R 
k sin 20
.‫) א‬41
sin100
37
 .‫ ג‬S  ‫ סמ"ר‬18.18 .‫ ב‬AB= ‫ ס"מ‬7 - ‫ ו‬BC = ‫ ס"מ‬3 .‫) א‬43
3
. 45 , 135 .2 R  a 1 
. S  36 .‫ ב‬S  R tan 2 .‫) א‬46
2
2
 1.3a .1 .‫) ב‬44
2
a 2  5b2
.‫) א‬45
a 2  3b2
. BE  7.75 .‫ ב‬58 , 58 , 64 .‫) א‬48
‫ סמ"ר‬S  14.4 .‫ ג‬cos BCD 
.  22.5 .‫ ב‬S  2R2 sin  cos  sin  90      .‫) א‬49
.   75 .‫ב‬
b sin 135   
sin 45
,
b sin    45 
sin 45
.‫) א‬50
2R 2 cos3 
.  26.56 .‫ ג‬S 
.‫ ב‬S  R 2 sin 2 .‫) א‬51
sin 
  14.47 .‫ ג‬PACE  k  6k sin   k 25  24cos 2 .‫ ב‬AE  6k sin  .‫) א‬52
. S  8 3 .‫) ב‬55 . S  85.57 .‫ ד‬1.72a 2 .‫ ג‬0.85a .‫ ב‬1.618a .‫) א‬54 .‫ סמ"ר‬120 .‫) ג‬53
. SABD  4 3 .2 SCDE =16 3 .1 .‫) ג‬56
. BC  0.4663m , DE  0.4663m , CD  0.4776m , BE  1.2175m .1 .‫) ד‬57
.
2
.‫ג‬
3
60 ,120 .‫) ב‬58 m  ‫ ס"מ‬8 .3 0.7232m2 .2
. B=67.38 .‫ ד‬R  13 .‫ ג‬BE  10 .‫) ב‬60
.16.73 .‫ג‬
FE  4
S ADE 16

.‫ ב‬S  81  0.25x2 .‫) א‬59
S ABC 81
.‫) ב‬62 26.56,116.56,59.19,120.8 .‫) ד‬61
168
‫שאלות שונות‪:‬‬
‫‪ )1‬במשולש ‪ ABC‬חסום מעגל שרדיוסו ‪ . R‬נתון כי ‪. A   , B  ‬‬
‫א‪ .‬חשב את רדיוס המעגל החוסם במשולש בעזרת ‪. ,  , R‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ .     30 :‬חשב את רדיוס המעגל החסום במשולש בעזרת ‪. R‬‬
‫‪K‬‬
‫‪ )2‬במקבילית ‪ MNPQ‬נקודה ‪ E‬נמצאת על הצלע ‪PQ‬‬
‫כך ש ‪( MEN  90 -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ 12 :‬ס"מ ‪. MNE  40 , MQP  70 , MQ ‬‬
‫מצא את הגובה ‪ , MF‬ואת הגובה ‪. NK‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ )3‬במשולש ישר ‪-‬זווית ‪  P  90 PA MNP‬הוא גובה ליתר‬
‫ו‪ NF -‬חוצה את הזווית ‪. MNP‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ PA‬ו‪ NF -‬נחתכים בנקודה ‪( E‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ 24 :‬ס"מ ‪. MNP  40 , NP ‬‬
‫‪F‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הקטע ‪. NA‬‬
‫‪E‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורך הקטע ‪. EF‬‬
‫‪P‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪N‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ )4‬אלכסוני המלבן ‪ MNPQ‬נחתכים בנקודה ‪. O‬‬
‫מנקודה ‪ O‬מעלים אנך ל ‪ QN -‬החותך את ‪QP‬‬
‫‪a‬‬
‫בנקודה ‪( K‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. NP  a , MOQ  2 :‬‬
‫א‪ .‬הבע את אורך הקטע ‪ OK‬באמצעות ‪ ‬ו ‪. a -‬‬
‫‪P‬‬
‫ב‪ .‬הבע את היקף המשולש ‪ NOK‬באמצעות ‪ ‬ו ‪. a -‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ )5‬בטרפז ישר ‪-‬זווית ‪ ABCD‬חסום מעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫הנקודה ‪ M‬היא נקודת ההשקה של המעגל עם‬
‫השוק ‪ . AB‬נתון‪ 12 :‬ס"מ ‪. BAD   , AM ‬‬
‫א‪ .‬הבע את רדיוס המעגל בעזרת ‪.‬‬
‫ב‪ .‬הבע את היקף הטרפז בעזרת ‪.‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪M‬‬
‫‪O‬‬
‫‪2β‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪K‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪O‬‬
‫‪α‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )6‬במשולש ישר ‪-‬זווית ‪( ABC‬ראה ציור) נתון‪:‬‬
‫‪ 8‬ס"מ ‪. ABC   , ACB  90 , BC ‬‬
‫‪ CD‬הוא הגובה ליתר‪.‬‬
‫‪ CE‬הוא חוצה‪-‬הזווית ‪. ACD‬‬
‫הבע את אורך הקטע ‪ AE‬באמצעות ‪. ‬‬
‫‪169‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )7‬נתון מעגל שרדיוסו ‪ . R‬מצולע משוכלל בעל ‪ 9‬צלעות חוסם את המעגל הזה‪.‬‬
‫מצולע משוכלל אחר בעל ‪ 9‬צלעות חסום בתוך מעגל זה‪ .‬חשב את היחס בין‬
‫שטח המצולע החוסם את המעגל לשטח המצולע החסום במעגל זה‪.‬‬
‫‪)8‬‬
‫‪ABC‬‬
‫הוא משולש שווה ‪-‬שוקיים ‪  AB  AC ‬שאורך בסיסו ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ AD‬הוא הגובה לבסיס ‪ , BC‬ו‪ CE-‬הוא הגובה לשוק ‪.AB‬‬
‫שני הגבהים נחתכים בנקודה ‪ . O‬נתון‪.   45 ABC   :‬‬
‫א‪ .‬הבע את היחס ‪ AO : DO‬באמצעות ‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי בעבור ‪   60‬הביטוי שמצאת בסעיף א' מתאים לתכונות‬
‫הגאומטריות של משולש שווה‪-‬צלעות‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )9‬במשולש ‪ ABC‬חסום מעגל שמרכזו‬
‫‪ M‬ורדיוסי ‪( r‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. B  62 , C  46 :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ r‬את אורך הצלע ‪. BC‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ 16 :‬ס"מ ‪ . BC ‬מצא את ‪. r‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )10‬במחומש משוכלל ‪( ABCDE‬ראה ציור)‬
‫אורך האלכסון ‪ AC‬הוא ‪ 15‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את שטח המחומש‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )11‬מנקודה ‪ C‬הנמצאת מחוץ למעגל שמרכזו ‪ M‬ורדיוסו ‪R‬‬
‫מעבירים משיק ‪ CD‬וחותך ‪ CBA‬למעגל (ראה ציור)‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫נתון‪. CD  R :‬‬
‫‪5‬‬
‫א‪ .‬מצא את זוויות המשולש ‪. CAD‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את שטח המשולש ‪. BCD‬‬
‫‪ )12‬מנקודה ‪ , A‬הנמצאת מחוץ למעגל שמרכזו ‪, O‬‬
‫יוצאים שני משיקים למעגל‪ AB ,‬ו ‪( AC -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ 10 , BAC  2 :‬ס"מ ‪. AO ‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את ‪, S1‬‬
‫‪A‬‬
‫שטח המרובע ‪. ABOC‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את ‪, S 2‬‬
‫שטח המשולש ‪. BOC‬‬
‫ג‪ .‬הראה שאם ‪ ,   30‬אזי‪. S1  4 S2 :‬‬
‫‪170‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ ABCD )13‬הוא טרפז ישר‪-‬זווית ‪.  C  D  90‬‬
‫נקודה ‪ E‬נמצאת על הצלע ‪( DC‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ AE  BE  k , AEB  90 :‬ו ‪. CBE   -‬‬
‫הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את שטח הטרפז‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )14‬א‪ .‬במעושר משוכלל‪ ,‬ששטחו ‪ 100‬סמ"ר‪ ,‬חוסמים מעגל‪.‬‬
‫מצא את רדיוס המעגל החסום במעושר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מעושר משוכלל חסום במעגל‪ ,‬שאת רדיוסו מצאת בסעיף א'‪.‬‬
‫מצא את שטח המעושר המשוכלל הזה‪.‬‬
‫‪ ABC )15‬הוא משולש שווה ‪-‬שוקיים ‪  AB  AC ‬שבו זווית הראש היא זווית חדה‪.‬‬
‫נתון כי זווית הבסיס היא ‪ ‬ואורך הבסיס ‪ BC‬הוא ‪. 2a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ AD‬הוא הגובה לבסיס ‪ BC‬ו‪ CE -‬הוא הגובה לשוק ‪. AB‬‬
‫הגבהים ‪ AD‬ו‪ CE -‬נפגשים בנקודה ‪( O‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬ו‪  -‬את אורכי הקטעים ‪ CO‬ו ‪. CE -‬‬
‫‪CO‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את היחס‬
‫‪CE‬‬
‫‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪O‬‬
‫ג‪ .‬חשב את היחס שמצאת בסעיף ב' כאשר ‪,   60‬‬
‫והסבר מהי המשמעות הגאומטרית של התוצאה שקיבלת‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )16‬מנקודה ‪ A‬יוצאים שני משיקים למעגל שמרכזו ‪ , O‬שאורכם ‪m‬‬
‫(כלומר‪ .) AB  AC  m :‬נקודות ההשקה הן ‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫ו‪ , C -‬והזווית שבין המשיקים היא ‪BAC  ‬‬
‫‪α‬‬
‫(ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬ו‪  -‬את שטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬ו‪  -‬את שטח המשולש ‪. BOC‬‬
‫ג‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את היחס שבין שטחו של‬
‫המשולש ‪ BOC‬לבין שטחו של המשולש ‪. ABC‬‬
‫ד‪ .‬בדוק את תשובתך לסעיף ג' למקרה המיוחד שבו ‪.  90‬‬
‫‪ )17‬במשולש ישר ‪-‬זווית ‪ DAC‬נתון ‪. DAC  ‬‬
‫מאריכים את הניצב ‪ AC‬כך ש‪. AB  d -‬‬
‫נתון כי‪( DBA   :‬ראה ציור)‪.‬‬
‫סמן‪. AC  x :‬‬
‫הבע את ‪ x‬באמצעות ‪  , d‬ו‪.  -‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪β‬‬
‫‪α‬‬
‫‪C‬‬
‫‪171‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪d‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )18‬נתון משולש ישר‪-‬זווית ‪.  C  90 ABC‬‬
‫‪ CE‬הוא הגובה ליתר‪ AD .‬הוא חוצה‪-‬הזווית ‪. CAB‬‬
‫‪ CE‬ו‪ AD -‬נחתכים בנקודה ‪( P‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. CAB   , AC  m :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ m‬ו‪  -‬את‪:‬‬
‫א‪ .‬אורך הקטע ‪. AE‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪ .‬אורך הקטע ‪. PD‬‬
‫‪E‬‬
‫‪P‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )19‬בטרפז שווה‪-‬שוקיים ‪  AD  BC  ABCD‬האלכסונים‬
‫נפגשים בנקודה ‪( M‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪, DAC  DBC  90 :‬‬
‫‪ 11 , ADC  BCD  65‬ס"מ ‪. DC ‬‬
‫‪C‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪. AMD‬‬
‫‪ )20‬הקטעים ‪ AB‬ו‪ CD -‬נחתכים בנקודה ‪. O‬‬
‫נתון כי‪ 9 , OAC  60 :‬ס"מ ‪, CO ‬‬
‫‪ 6‬ס"מ ‪ 14 , AC ‬ס"מ ‪, OD ‬‬
‫‪ 10‬ס"מ ‪. OB ‬‬
‫חשב את ‪. ODB‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ )21‬במשולש ‪ MNP‬גודל הזווית ‪ M‬הוא ‪. 54‬‬
‫נתון כי אורך הצלע ‪ MN‬הוא ‪ 12‬ס"מ (ראה ציור)‪,‬‬
‫והצלע ‪ NP‬ארוכה ב‪ 7-‬ס"מ מהצלע ‪. MP‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך הצלע ‪. NP‬‬
‫ב‪ PA .‬הוא תיכון לצלע ‪. MN‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪. PAN‬‬
‫‪54°‬‬
‫‪M‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ )22‬המשולש שווה‪-‬שוקיים ‪  AB  AC  ABC‬חסום במעגל (ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ . ABC   :‬כמו כן ידוע שאורך רדיוס המעגל הוא ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע בעזרת ‪ ‬את שטח‬
‫המשולש ‪. ABC‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪ABC‬‬
‫בעבור ‪.   45‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )23‬במשולש‬
‫‪ABC‬‬
‫הזווית ‪ C‬היא בת ‪ , 60‬אורך הצלע ‪ AB‬הוא ‪ 13‬ס"מ‪,‬‬
‫והיקף המשולש הוא ‪ 7  13‬ס"מ‪ .‬חשב את שטח המשולש‪.‬‬
‫‪172‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )24‬בטרפז שווה‪-‬שוקיים‬
‫אורך הבסיס הגדול ‪ AB‬שווה לאורך הלאכסון‪.‬‬
‫זווית הבסיס היא ‪ ,)   60 ( ‬ראה ציור‪ .‬הבע‬
‫באמצעות ‪ ‬את היחס שבין שטח המשולש ‪ACD‬‬
‫לשטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫‪ABCD‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ AD  BC ‬‬
‫‪D‬‬
‫‪β‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )25‬הקדקודים ‪ A‬ו‪ B -‬של המשולש ‪ABD‬‬
‫נמצאים על היקף מעגל שאורך רדיוסו ‪ 12‬ס"מ ומרכזו ‪. O‬‬
‫הקדקוד ‪ D‬של המשולש ‪ ABD‬נמצא על הרדיוס ‪. OA‬‬
‫א‪ .‬הבע בעזרת ‪ ‬ו‪  -‬את שטח המשולש ‪. ABD‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪β‬‬
‫‪α‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O D‬‬
‫ב‪ .‬חשב את היחס שבין שטח המשולש‬
‫‪ ABC‬לשטח המשולש ‪. ABD‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ )26‬משולש ‪ MNP‬חסום במעגל‪.‬‬
‫המיתר ‪ NQ‬חוצה את הזווית ‪. MNP‬‬
‫נתון‪ MPN  70 , MNP  80 :‬ו‪ 12 -‬ס"מ ‪. NP ‬‬
‫חשב את אורך המיתר ‪. MQ‬‬
‫‪P‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ )27‬נתון טרפז ‪.) AB CD ( ABCD‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא נקודת המפגש של אלכסוני הטרפז‪.‬‬
‫נתון‪. CBD   , CEB   , BE  m , DC  BC :‬‬
‫הבע את אורכי בסיס הטרפז‪AB :‬‬
‫ו‪ CD -‬באמצעות ‪  , m‬ו ‪.  -‬‬
‫‪C‬‬
‫‪α‬‬
‫‪E‬‬
‫‪m‬‬
‫‪β‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )28‬במשולש ‪ RST‬נתון‪ QT :‬הוא חוצה‪-‬הזווית ‪, RTS‬‬
‫‪. TRQ  45 , RST   , RQ  2 , QS  m‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ sin ‬באמצעות ‪. m‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ . m ‬חשב את זוויות המשולש ‪. RST‬‬
‫‪S‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪T‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ )29‬במשולש שוום שוקיים ‪  AB  AC  ABC‬התיכון לשוק שווה באורכו לרדיוס‬
‫המעגל החוסם את המשולש‪ .‬חשב את זווית הבסיס של המשולש‪.‬‬
‫‪ )30‬נתון משולש שצלעותיו ‪. t , 2t , kt‬‬
‫א‪ .‬לאיזה ערכים של הקבוע ‪ k‬המשולש הוא קהה זווית?‬
‫ב‪ .‬נתון ‪ . k  7‬חשב את אורך חוצה הזווית ‪. BAC‬‬
‫‪173‬‬
‫‪ )31‬בתוך הריבוע ‪ ABCD‬נתון‪ ,‬העבירו ארבעה קטעים‬
‫היוצרים את אותה זווית ‪‬‬
‫עם צלעות הריבוע כך שהתקבל ריבוע פנימי ‪. PQRS‬‬
‫‪PQ‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪ cos   sin  :‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪B‬‬
‫‪α‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪.‬‬
‫‪α‬‬
‫ב‪ .‬לאיזו זווית ‪ ‬מתקיים‪. PR  AB :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P‬‬
‫‪R‬‬
‫‪α‬‬
‫‪S‬‬
‫‪α‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ PS )32‬הוא גובה במשולש ‪( PMQ‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. PS  h, MPS   , SPQ   :‬‬
‫א‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪PMQ‬‬
‫באמצעות ‪  , h‬ו‪.  -‬‬
‫‪F‬‬
‫‪Q‬‬
‫ב‪ .‬מעגל שקוטרו ‪ PS‬חותך את הצלעות ‪PM‬‬
‫‪S‬‬
‫ו‪ PQ -‬בנקודות ‪ E‬ו ‪ F -‬בהתאמה (ראה ציור)‪.‬‬
‫‪ .1‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את ‪. ESF‬‬
‫‪ .2‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את היחס בין שטח המשולש ‪ESF‬‬
‫לשטח המשולש ‪. PMQ‬‬
‫‪E‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ )33‬במשולש ‪ ABC‬הצלעות הן ‪ b , a‬ו ‪ c -‬והזוויות שמונחות מולן‬
‫הן‪  , :‬ו ‪  -‬בהתאמה‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע את אורך התיכון ‪( ma‬התיכון לצלע ‪ ) a‬באמצעות הצלעות ‪ b‬ו ‪c -‬‬
‫והזווית ‪‬‬
‫ב‪ .‬בדוק את הנוסחה שמצאת למקרה שבו המשולש ‪ ABC‬הוא שווה צלעות‪.‬‬
‫‪ )34‬במשולש שווה שוקיים ‪, ( AB  AC ) ABC‬‬
‫‪ BM‬הוא תיכון לשוק (ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ABC‬‬
‫הוא ‪ 10‬ס"מ וכן נתון ש ‪. BAC  50 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את גודל הזווית ‪. BMC‬‬
‫ב‪ .‬ממשיכים את ‪ BM‬עד לנקודה ‪ , D‬כך שרדיוס‬
‫המעגל החוסם את המשולש ‪ ABD‬הוא ‪14‬ס"מ‪.‬‬
‫מצא את שטח המשולש ‪. AMD‬‬
‫‪ )35‬משולש שווה שוקיים ‪ ( BC  BE) BCE‬חסום‬
‫במעגל שרדיוסו ‪ . R‬זווית הבסיס של המשולש ‪BCE‬‬
‫היא ‪ .‬בנקודה ‪ E‬העבירו משיק למעגל החותך את‬
‫המשך השוק ‪ BC‬בנקודה ‪( F‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬בטא את שטח המשולש ‪ BEF‬באמצעות ‪ R‬ו ‪. -‬‬
‫‪174‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הערך של ‪ ‬שבעבורו שטח המשולש‬
‫המשולש ‪. BEF‬‬
‫‪BCE‬‬
‫שווה לשטח‬
‫‪ )36‬בטרפז ‪ ( BC ED) BCDE‬אורך הבסיס ‪ BC‬הוא ‪ 12‬ס"מ‪ .‬הזווית שבין הבסיס‬
‫‪ BC‬לשוק ‪ DC‬היא ‪ .80‬אורך האלכסון ‪ BD‬הוא ‪ 16‬ס"מ‪ ,‬והוא חוצה את‬
‫הזווית ‪ . CBE‬חשב את היקף הטרפז‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )37‬במשולש ישר ‪-‬זווית ‪ APD‬מחלקים את הזווית‬
‫הישרה ‪ P‬לשלוש זוויות שוות‪.‬‬
‫כלומר‪. ( APB  BPC  CPD  30) :‬‬
‫נתון כי‪. PAD   PB  m :‬‬
‫א‪ .‬היעזר במשפט הסינוסים‪ ,‬והבע את ‪BD , AC , AB‬‬
‫ו‪ CD -‬באמצעות ‪ m‬ו ‪. -‬‬
‫‪AC  BD‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪ 3 :‬‬
‫‪AB  CD‬‬
‫‪α‬‬
‫‪B‬‬
‫‪m‬‬
‫‪C‬‬
‫‪30° 30°‬‬
‫‪30°‬‬
‫‪D‬‬
‫‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )38‬בטרפז שווה שוקיים ‪, ( AD  BC , AB DC ) ABCD‬‬
‫‪ F‬היא נקודה על השוק ‪ , BC‬כך ש ‪ DF -‬חוצה את‬
‫‪F‬‬
‫הזווית ‪ CDA‬ו‪ AF -‬חוצה את הזווית ‪( DAB‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. FAB   , AB  b :‬‬
‫‪C‬‬
‫הבע באמצעות ‪ b‬ו‪  -‬את אורך הבסיס ‪. DC‬‬
‫‪EFG‬‬
‫‪ )39‬משולש שווה צלעות‬
‫‪ M‬היא נקודה על המעגל‪.‬‬
‫נתון‪( MGE   :‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. ME  MF  MG :‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ ME  R‬מה תוכל לומר על‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫חסום במעגל שרדיוסו ‪. R‬‬
‫‪M‬‬
‫‪β‬‬
‫‪? MG‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ )40‬משולש שווה שוקיים ‪ . ( AD  AE ) ADE‬חסום במעגל שרדיוסו ‪. R‬‬
‫ישר המשיק למעגל בנקודה ‪ D‬חותך את המשך הצלע ‪ AE‬בנקודה ‪. F‬‬
‫נתון‪. (60    180) DAE   :‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ ADF‬באמצעות ‪ R‬ו‪. -‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את היחס שבין שטח‬
‫‪E‬‬
‫המשולש ‪ ADE‬ובין שטח המשולש ‪. ADF‬‬
‫ג‪ .‬חשב את ‪ ‬אם שטח המשולש ‪ ADE‬שווה‬
‫לשטח המשולש ‪. ADF‬‬
‫‪175‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )41‬במעוין ‪ ABCD‬הנקודה ‪ E‬היא אמצע הצלע ‪. CD‬‬
‫נתון‪( AEB   , ADC   :‬ראה ציור)‪.‬‬
‫הוכח כי‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪25  16cos 2 ‬‬
‫‪β‬‬
‫‪E‬‬
‫‪. cos  ‬‬
‫‪α‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )42‬נתון טרפז ‪ ABCD‬ונתון מעגל‪ .‬השוק ‪ DC‬הוא קוטר המעגל‪.‬‬
‫השוק ‪ AB‬משיקה למעגל‪ ,‬והבסיסים ‪ AD‬ו ‪BC -‬‬
‫משיקים גם הם למעגל בנקודות ‪ D‬ו‪ C -‬בהתאמה‪.‬‬
‫נתון כי‪. AB  d , B   :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ d‬את סכום בסיסיו של הטרפז‪.‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ d‬ו‪  -‬את היקף הטרפז‬
‫ואת השטח של הטרפז‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון שהיקף הטרפז ‪ 25‬ס"מ ושטחו ‪ 25‬סמ"ר‪.‬‬
‫חשב את הזווית החדה ‪. ‬‬
‫‪ )43‬במשולש שווה שוקיים‬
‫‪PMN‬‬
‫‪A‬‬
‫) ‪ A ( PM  PN‬היא‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪d‬‬
‫‪β‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫נקודה על הגובה ‪ , PB‬כך ש ‪. PA   PB -‬‬
‫הישר ‪ NA‬חותך את השוק ‪ PM‬בנקודה ‪( D‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ DNB   , DMN   :‬ו‪. BN  a -‬‬
‫א‪ .‬חשב את היחס ‪. tan  : tan ‬‬
‫‪N‬‬
‫ב‪ .‬חשב את היחס ‪. PM : DM‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪α‬‬
‫‪β‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )44‬במעגל שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪ R‬מעבירים שני קטרים ‪ AB‬ו‪ CD -‬הנחתכים‬
‫בזווית של ‪ . 60‬מיתר ‪ , AE‬היוצר זווית ‪ ‬עם הקוטר ‪, AB‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫חותך את הקוטר ‪ CD‬בנקודה ‪( F‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫א‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ ACF‬באמצעות ‪ R‬ו ‪. -‬‬
‫‪60° α‬‬
‫‪A‬‬
‫ב‪ .‬הוכח שכאשר ‪ ,  30‬שטח המשולש ‪ACF‬‬
‫‪O‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪B‬‬
‫הוא ‪.  3  R 2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪176‬‬
:‫תשובות סופיות‬


 
1
b) R )1
2
2
2
2
. KN  ‫ ס"מ‬21.52 , MF  ‫ ס"מ‬11.28 )2
. EF  ‫ ס"מ‬5.975 .‫ ב‬. NA  ‫ ס"מ‬18.385 .‫) א‬3
. a) 4R sin sin cos
.
a
2sin 

1 
 1  tg  
.‫ב‬
cos  

. OK 

. 24  1  tg  .‫ב‬
2

a
.‫) א‬4
2cos 
2
.2
.12  tg

2
.‫) א‬5

tg 20
1
 1 
1 

 1.132 )7 . AE  8sin   tg   tg      8tg   tg    )6
2
sin 40 cos 20
 2 
2 

. 2 
‫ (כלומר מפגש‬AO  2  DO :‫ מתקיים‬.‫ב‬
tg
cos 2

 tg 2  1 .‫) א‬8
2
tg 2
cos 
.)‫הגבהים הוא גם מפגש התיכונים‬
. r  16 /  tg 59  tg 67  ‫ ס"מ‬3.98 .‫ ב‬. BC  r   tg 59  tg 67  4.02  r .‫) א‬9
. S  ‫ סמ"ר‬147.86 )10
2
. S  0.0495  R .‫ ב‬. D  90 , A  16.7 , C  73.3 .‫) א‬11
. S1  100  sin   cos   50  sin 2 .‫) א‬12
. S2  50  sin 2   sin 180  2   50  sin 2   sin 2 .‫ב‬
1
2
.)‫ (או כל תשובה שקולה‬S  k 2  1  2sin  cos   )13
. S  ‫ סמ"ר‬90.45 .‫ב‬
2
:‫ היחס הוא‬.‫ג‬
3
.
CO
1

.‫ב‬
CE 2sin 2 
. r  ‫ ס"מ‬5.548 .‫) א‬14
. CE  2a  sin  , CO 
a
.‫) א‬15
sin 
.)‫(בדומה למפגש התיכונים במשולש‬
1
2
. SBOC  m2  sin   tg 2

2
.‫ב‬
1
2
. SABC  m2  sin  .‫) א‬16
. tg 2

2
:‫ יחס השטחים‬.‫ג‬
.  tg 2 45  1 1 -‫ ויחס השטחים שווה ל‬,‫ הוא ריבוע‬ABOC ‫ במקרה זה‬.‫ד‬
. AC  x  d 
. PD 
m  1  cos  
cos

2

2m  sin 2

tg 
)17
tg  tg 
2  2m  sin   tg  .‫ ב‬. AE  m  cos .‫) א‬18

2
2
cos
2
. ODB  44.7 )20 . S  ‫ סמ"ר‬9.07 )19
177
. SPAN  ‫ סמ"ר‬8.2 .‫ב‬
.‫ סמ"ר‬400 .‫ב‬
. NP  ‫ ס"מ‬10.38 .‫) א‬21
. S  800  sin 2   sin 2 .‫) א‬22
. SABC  3  3  ‫ סמ"ר‬5.196 )23
 sin 3 
2
  1  4cos  :‫) יחס השטחים הוא‬24
 sin  
.‫ או כל תשובה שקולה‬ 
.
. DC  m 
sin    
.‫ב‬
sin   cos 
. SABD  288 
sin   cos 2   sin 
.‫) א‬25
sin    
sin 
, AB  m  sin 
)27
sin    
sin    
. MQ  ‫ ס"מ‬15.43 )26
.  20.7 )29 . 45 , 60 , 75 ‫ או‬45 , 120 , 15 .‫ב‬
. sin  
1
.‫) א‬28
m
2
 t  0.667 .‫ ב‬. 1  k  3 ‫ או‬5  k  3 .‫) א‬30
3
1
ESF  180  (   ) .1 .‫ ב‬SMPQ   h2  (tan   tan  ) .‫) א‬32
2
1
. SEFS : SMPQ   sin 2  sin 2 .2
4
.  15 )31
. ma 
3
 b .‫ב‬
2
ma 
. SAMD  ‫סמ"ר‬
1
 b2  c 2  2  b  c  cos  .‫) א‬33
2
54.1
.‫ב‬
. PBCDE  51.09 )36 .  45 .‫ ב‬SBEF 
BD 
3m
2  cos 
, AB 
. DC 
BMC  79.5
2 R 2 sin 3  sin 2
sin 3
m
3  m  sin(30   )
, AC 
2  sin 
2  sin(60   )  sin 
b  tan 
)38
tan 3
. CD 
.   30 .‫ג‬
.‫) א‬35
.‫) א‬37
m  sin(30   )
2  sin(60   )  cos 
.‫הוא קוטר במעגל‬
S
cos(1.5 )
.  90 .‫ ג‬ADE  
.‫ב‬
S ADF
cos(0.5 )
.‫) א‬34
MG
.‫) ב‬39

SADF 
2 R 2  cos3  sin 
2
cos(1.5 )
.‫) א‬40
1
S  d 2  sin  P  2d  d sin  .‫ ב‬AD  BC  d .‫) א‬42
2
9
4
. PM : DM   1.125 .‫ ב‬tan  : tan    0.8 .‫) א‬43
8
5
.S 
178
3R 2  sin(30   )
.‫) א‬44
4  sin(60   )
‫פרק ‪ – 8‬חשבון דיפרנציאלי‪:‬‬
‫נגזרות ומשיקים‪:‬‬
‫פונקציות נפוצות‪:‬‬
‫הפונקציה ‪ : f  x   x 2‬הפונקציה ‪ : f  x   x3‬הפונקציה ‪: f  x   x‬‬
‫הפונקציה ‪: f  x   x‬‬
‫‪5 x3  4 x‬‬
‫‪: f  x  2‬‬
‫פונקציה עם מכנה‪ ,‬למשל‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫הנגזרת‪:‬‬
‫לכל פונקציה ‪ f  x ‬קיימת פונקציה‪ ,‬הנקראת פונקציית הנגזרת (או רק "הנגזרת")‬
‫ומסומנת ‪ , f '  x ‬המתקבלת ממנה על פי כללי הגזירה‪.‬‬
‫כללי הגזירה‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫כלל גזירה מס' ‪. f  x   xn  f '  x   n  x n1 :1‬‬
‫כלל גזירה מס' ‪( 2‬כפל בקבוע)‪. f  x   axn  f '  x   n  ax n1 :‬‬
‫כלל גזירה מס' ‪( 3‬נגזרת של קבוע)‪. f  x   a  f '  x   0 :‬‬
‫כלל גזירה מס' ‪( 4‬סכום והפרש)‪. f  x   u  v  f '  x   u '  v ' :‬‬
‫כלל גזירה מס' ‪( 5‬פונקציה מורכבת)‪. f  x   u n  f '  x   n  u n1  u ' :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .6‬כלל גזירה מס' ‪( 6‬נגזרת של )‪ f '  x    2 :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .7‬כלל גזירה מס' ‪( 7‬מכפלה)‪. f  x   u  v  f '  x   u ' v  v ' u :‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u 'v  v 'u‬‬
‫‪ .8‬כלל גזירה מס' ‪( 8‬מנה)‪:‬‬
‫‪ f ' x ‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪ .9‬כלל גזירה מס' ‪( 9‬שורש)‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪. f  x  x  f ' x ‬‬
‫‪179‬‬
‫שיפוע של פונקציה‪:‬‬
‫‪ .1‬השיפוע ( ‪ ) m‬של פונקציה ‪ f  x ‬בנקודה ‪ A  x1 , y1 ‬שעל הפונקציה הוא ערך‬
‫הנגזרת בנקודה ‪ , A  x1 , y1 ‬כלומר‪. m  f '  x1  :‬‬
‫‪ .2‬השיפוע של המשיק לפונקציה ‪ f  x ‬בנקודה ‪ A  x1 , y1 ‬שעל הפונקציה שווה‬
‫לשיפוע הפונקציה בנקודה ‪. A  x1 , y1 ‬‬
‫‪ .3‬משוואת המשיק לפונקציה ‪ f  x ‬בנקודה ‪ A  x1 , y1 ‬שעליה מתקבלת על ידי‬
‫הנוסחה למציאת ישר‪. y  y1  m  x  x1  :‬‬
‫שאלות יסודיות – גזירת פונקציות‪:‬‬
‫‪ )1‬גזור את הפונקציות הבאות (גזירה יסודית)‪:‬‬
‫ב‪f  x   x 7 .‬‬
‫א‪f  x   x3 .‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪f  x  x‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪f  x  x2‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪f  x   x 3‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪f  x   x 1‬‬
‫‪f  x  x3‬‬
‫ט‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ז‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪f  x   x2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪f  x  x4‬‬
‫‪ )2‬גזור את הפונקציות הבאות (כפל בקבוע)‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪f  x   2 x3‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪f  x   3x 7‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1 4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪x6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪f  x   8x‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪f  x   3x 2‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f  x   6x 2‬‬
‫ט‪.‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )3‬גזור את הפונקציות הבאות (נגזרת של קבוע)‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪f  x   12‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ )4‬גזור את הפונקציות הבאות (סכום והפרש של ביטויים פולינומים)‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪f  x   x3  2 x 2  3x  5‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪1 4 x3 3x 2‬‬
‫‪f  x  x   ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6 4 5‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪f  x   7 x 2  23x  6‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪f  x   6 x2  8x  4‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪x  x3‬‬
‫‪2‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪ 67‬‬
‫‪8‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪180‬‬
‫‪f  x ‬‬
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (פונקציה פולינומית מורכבת‬5
f  x   3 x  x

2 2
f  x    x3  6 
5
.‫ג‬
2  x  1
f  x 
3
.‫ב‬
f  x    5x  2
.‫א‬
.‫ה‬
5  x 

.‫ד‬
4
3
f  x
3
4
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (פונקצית מנה עם פולינום במכנה‬6
1
x2
2
f  x 
3 x
f  x 
f  x  
.‫ג‬
f  x 
.‫ו‬
2
.‫ב‬
x
1
.‫ה‬
x  3x
2
3
.‫א‬
x
3
f  x   3 .‫ד‬
x
6
.‫ז‬
f  x 
x5
f  x 
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (מכפלת פונקציות פולינום‬7
3
f  x    5x  1 x  3 .‫א‬
f  x    5x  1  x  3 .‫ב‬
f  x   3x 2  x
.‫ד‬
f  x   x3   6  x 
f  x   x   3x  7 
.‫ו‬
f  x   x 2  x3
.‫ה‬
f  x    x  2   2 x 2  3
.‫ח‬
f  x   3x3   3x  1
.‫ז‬
f  x    3x 4  4 x  2 x 2  5x  2 
.‫י‬
f  x    3x  2   x 2  10 x 
.‫ט‬
f  x   x  x  2  3x  4 
.‫יא‬
4
.‫ג‬
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (מכפלת פונקציות מורכבות‬8
2
2
f  x   2 x3  3x  5 
.‫ב‬
f  x    x2  4
.‫א‬
f  x    x 2  1  2 x  1
3
2
f  x    x3  2   x  1
2
.‫ד‬
3
.‫ג‬
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (פונקצית מנה עם פילונום במונה ובמכנה‬9
x2  1
f  x 
5 x  12
x2  8
f  x 
x 1
3
f  x  3
x
f  x
x

2
 3
f  x 
.‫ב‬
.‫א‬
.‫ה‬
.‫ח‬
x2 1
x2  3
1
f  x 
x
2
x  1

f  x 
x 1
.‫י‬
f  x 
x3  x 2
2 1  x 
.‫ט‬
f  x 
.‫ד‬
.‫ו‬
2
x2  2
x2
f  x  2
x 4
3x  1
1  2x
181
.‫ג‬
.‫ז‬
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (פונקצית שורש‬10
f  x   4 x  1 .‫ב‬
f  x   x .‫א‬
f  x   x 3  1 .‫ג‬
f  x 
x3
x
f  x   x2 x  3
.‫ו‬
f  x    3x  1 x
.‫ה‬
.‫ד‬
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (פונקציות משולבות‬11
f  x   2 x .‫ב‬
f  x   x  1 .‫א‬
f  x   10  3x
.‫ד‬
f  x   3x 2  1
.‫ג‬
f  x   3x 2  8 x
.‫ו‬
f  x   2x2  7 x
.‫ה‬
1
x
.‫ח‬
f  x   x2 1  2x
.‫ז‬
.‫י‬
f  x 
x x2  4
2
.‫ט‬
2 x3  x 2  x  5 x
x x
.‫יא‬
1  x2
1 x
.‫יג‬
f  x  x 
f  x 
f  x 
f  x 
f  x 
x3
1 x
2
3 x
x
x2  7
x2  5
x 1
x 1
f  x 
.‫יב‬
f  x 
.‫יד‬
f  x 
.‫טז‬
x
.‫טו‬
x 1
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (פרמטרים‬12
f  x 
x  2a
x  4a
f  x 
.‫ג‬
ax 2 x
  c .‫ב‬
3 b
f  x   ax 4  bx
.‫א‬
f  x   a bx 2  c
.‫ד‬
:‫) גזור פעמיים את הפונקציות הבאות‬13
x  5x  6
f  x 
2 x  10
x3
f  x  2
x 4
x2  2 x  4
f  x 
2x
2x2
f  x 
( x  1)2
2
 x 1
f  x  

 x 1
.‫ב‬
.‫ד‬
3
f  x 
.‫ו‬
182
x3
( x  1)2
.‫א‬
.‫ג‬
.‫ה‬
‫שאלות שונות – שימושי הנגזרת‪:‬‬
‫‪ )14‬מצא את שיפוע הפונקציה ‪ f  x   2 x3  7 x‬בנקודה ‪.  2, 2 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )15‬מצא את שיפוע הפונקציה‬
‫‪x 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ f  x  ‬בנקודה שבה ‪. x  2‬‬
‫‪ )16‬מצא את שיפוע המשיק לפונקציה ‪ f  x   4 x‬בנקודה שבה ‪. x  1‬‬
‫‪ )17‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה ‪ f  x   2  4 x  33‬בנקודה שבה ‪. x  1‬‬
‫‪ )18‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה ‪ f  x   8‬בנקודה שבה ‪. y  2‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ )19‬מצא את משוואות המשיקים לפונקציה ‪ f  x   x2  2 x  8‬בנקודות החיתוך‬
‫שלה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )20‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה ‪ f  x   x4  2 x‬ששיפועו ‪.2‬‬
‫‪x3  3x  1‬‬
‫‪ )21‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה‬
‫‪x2  2‬‬
‫‪ f  x  ‬בנקודה שבה ‪. x  1‬‬
‫‪ )22‬נתון כי הישר ‪ 2 y  3x  3‬משיק לגרף הפונקציה ‪. f  x   3 x‬‬
‫מצא את נקודת ההשקה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )23‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ f  x  ‬העובר בנקודה ‪.  3, 0 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )24‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה‪ f  x    x :‬בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫‪ )25‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה ‪ f  x   3x2  8 x‬בנקודה שבה‪. x  4 :‬‬
‫‪ )26‬נתונה הפונקציה הבאה‪. f  x   4 x  2 x :‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה המקביל לישר‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪183‬‬
‫‪. y  3x ‬‬
‫‪ )27‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה‪ f  x   1 :‬אם ידוע ששטח המשולש‬
‫‪x‬‬
‫שהוא יוצר עם הצירים הוא ‪ 4.5‬יחידות שטח‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )28‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ )29‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה‬
‫‪ f  x  ‬ששיפועו ‪.-2‬‬
‫‪x 3‬‬
‫‪x2  x  2‬‬
‫‪ f  x  ‬בנקודה שבה ‪. x  2‬‬
‫‪ )30‬מצא את משוואות המשיקים לפונקציה ‪ f  x   1 3‬היוצרים עם הכיוון החיובי‬
‫‪3x‬‬
‫של ציר ה‪ x -‬זווית של ‪.135o‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )31‬הפונקציות‬
‫‪x‬‬
‫מצא את ‪ k‬ואת נקודת ההשקה‪.‬‬
‫‪ y ‬ו ‪ y   x 2  k -‬משיקות זו לזו‪.‬‬
‫‪ )32‬מצא את משוואת המשיקים המשותפים לפונקציות‬
‫‪1‬‬
‫הבאות‪. y   x 2  5 , y  x 2 :‬‬
‫‪4‬‬
‫שאלות עם פרמטרים‪:‬‬
‫‪ )33‬שיפוע המשיק לפונקציה ‪ f  x   ax2  4 x‬בנקודה שבה ‪ x  3‬הוא ‪.8‬‬
‫מצא את ערכו של הפרמטר ‪ a‬ואת משוואת המשיק‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )34‬נתונה הפונקציה ‪ .  a  0 , f  x   ax‬המשיק לפונקציה בנקודה שבה‬
‫‪2‬‬
‫הוא בעל שיפוע ‪ .1‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )35‬נתונה הפונקציה‪ a) , y  x3  a x :‬פרמטר)‪ .‬שיפוע המשיק לגרף הפונקציה‬
‫בנקודה שבה ‪ x  1‬הוא ‪ .5‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )36‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫בנקודה שבה ‪ x  1‬הוא ‪ .2‬מצא את ערך הפרמטר ‪. A‬‬
‫‪ A) , y  2 x ‬פרמטר)‪ .‬שיפוע המשיק לגרף הפונקציה‬
‫‪184‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )37‬הישר ‪ y  4 x  b‬משיק לגרף הפונקציה ‪ 3‬‬
‫‪x2‬‬
‫מצא את ‪ b‬ואת נקודת ההשקה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )38‬שיפוע המשיק לפונקציה‬
‫‪ax  3‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ f  x  ‬בנקודה שבה ‪ y  2‬הוא ‪.-4‬‬
‫מצא את ערכו של הפרמטר ‪ a‬ואת משוואת המשיק‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )39‬הישר ‪ y  ax ‬משיק לגרף הפונקציה‬
‫‪xc‬‬
‫‪2‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪. c -‬‬
‫‪ g  x  ‬בנקודה ‪. x  0‬‬
‫‪ )40‬הישר ‪ y  3x‬משיק לגרף הפונקציה ‪. f  x   x x  b‬‬
‫מצא את ‪ b‬ואת נקודת ההשקה‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ )41‬שיפוע המשיק לפונקציה‬
‫‪bx  1‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪ b -‬ואת משוואת המשיק‪.‬‬
‫‪ f  x  ‬בנקודה ‪ 1, 6 ‬הוא ‪.-6‬‬
‫‪ )42‬לאילו ערכי ‪ k‬ישיק הישר ‪ y  5x  6‬לגרף הפונקציה ‪? f  x   x3  2 x2  4 x  k‬‬
‫לכל ערך כזה של ‪ k‬מצא את נקודת ההשקה‪.‬‬
‫‪x2  3‬‬
‫‪ )43‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ f  x  ‬ונתון הישר‪. y  2 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה והישר הנמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואות המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח שנוצר בין המשיק והצירים‪.‬‬
‫‪ )44‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪ f  x   x :‬ו‪. g  x   x 2 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה ‪ f  x ‬העובר‬
‫דרך נקודת החיתוך שמצאת הנמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך הנוספת של המשיק שמצאת‬
‫עם גרף הפונקציה ‪. g  x ‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )45‬א‪ .‬בטא באמצעות ‪ t‬את משוואת המשיק לפונקציה ‪ f  x   x2  1‬בנקודה שבה ‪. x  t‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערכיו של ‪ t‬אם נתון שהמשיק עובר בנקודה ‪.  1,1‬‬
‫‪185‬‬
:‫תשובות סופיות‬
. 43
.‫ט‬
. 32
.‫ט‬
4 x
1
3
3 x
9 x
1
.‫ח‬
2
2 x
.‫ ז‬
1
3
.‫ ו‬ 4 .‫ ה‬1 .‫ ד‬2x .‫ ג‬7x 6 .‫ ב‬3x 2 .‫) א‬1
2
x
x
6 x5
.‫ ד‬2x3 .‫ ג‬21x6 .‫ ב‬6x 2 .‫) א‬2
7
4
6
3
.‫ ח‬ 2 .‫ ז‬ 3 .‫ ו‬8 .‫ה‬
x
x
x
2
. 12 x  8 .‫ ד‬14 x  23 .‫ ג‬x3  x  3 .‫ ב‬3x2  4 x  3 .‫) א‬4 0 .‫ ב‬0 .‫) א‬3
2
4
. 0.5x3 .‫ ו‬x  3x2 .‫ה‬
4
8 x  1
3
. 
.‫ ה‬  5  x 2 .‫ ד‬6  x  x2  1  2 x  .‫ ג‬15x 2  x3  6  .‫ ב‬15  5x  2 2 .‫) א‬5
3
4
3
.
6
 x  5
2
2
.‫ז‬
3  x 
.‫ ו‬
2
2x  3
x
2
 3x 
.‫ ה‬
2
6 x2  8x  3 .‫ח‬
2
3
.‫ ב‬ 2 .‫) א‬6
2
x
x
.‫ג‬
.‫ ג‬ 5x  12  20 x  44  .‫ ב‬10 x  14 .‫) א‬7
. x2  6  x 3 18  7 x 
9 x2  56 x  20 .‫ט‬
9
2
.‫ ד‬ 3
4
x
x
6 x  7 .‫ו‬
36 x3  9 x 2 .‫ז‬
5x 4 .‫ ה‬9x 2 .‫ד‬
. 9 x2  20 x  8 .‫ יא‬36x5  75x4  24x3  24x2  40x  8 .‫י‬
. 3  x  12  x3  2 3x3  2 x2  2  .‫ ג‬30 x2  x  1 3x  5 .‫ ב‬4 x  x 2  4  .‫) א‬8
. 2  2 x  1  x2  1 8x 2  3x  2  .‫ד‬
2
.
8x
 x  4  x  2  .‫ד‬
.‫ג‬
2
2
 x  1
 x 2  3
1
.‫ה‬
x2
.
1
 x  2
x
x  5 x  12 
. x  3 .‫ו‬
.‫ה‬
2 x3
2x x
4x  7
2 2 x2  7 x
.‫ ה‬
3x  1
1  x 
2 1.5
 x2  2 x  1
2 1  x 
1.5
1  x2
.
.
2
 2
.‫ד‬
2 10  3x
x2  4
.‫ יג‬
abx
bx 2  c
2
3x 2  1
.‫ ט‬ 1
2x x
3
2 x 3x  x 2
x3
2  x  1
2
x 1
.‫ד‬
 x  1
1  2x 
.‫) א‬9
9
.‫ו‬
x4

.‫ז‬
2
2
.‫ ב‬1 .‫) א‬10
x 1
2 x
1
.‫) א‬11
2 x 1
1
.‫ב‬
2x
.‫ג‬
2 x  5x2
.‫ז‬
1 2x
2 x
2a
186
2
5
4
.‫ו‬
x
6x 
.‫ יב‬3 x  1  1  52 .‫יא‬
.‫ טז‬
 x  4a 
.‫ח‬
.‫ב‬
2
x2  2 x  3
.‫ח‬
2
9x  1
.‫ ד‬3x
.‫ג‬
2 x
2 x3  1
3x
3
x2  2
.‫י‬
 5 x  12 
2 x  x 2  3 x 2  7 
.‫ י‬ x .‫ט‬
2
5 x 2  24 x  5
2
x 1
2 x  x  1
.‫ג‬
2
.‫טו‬
2x x
x
x3  17 x
x
2
 5
1.5
2ax 1
.‫ ב‬4ax3  b

3
b
.‫יד‬
.‫) א‬12
2
. f '  x   2 x  20 x 262 , f ''  x  
 2 x  10
. f ' x 

x 2 x 2  12
. f ' x  

x2  4

6  x  1
2
,
f ''  x  
448
 2 x  10 

3
8 x  x 2  12

.‫ ב‬f '  x  
x2  4

3

.‫ ד‬f '  x  
 x  1 x  3 .‫ו‬
, f ''  x   12
4
5
 x  1
 x  1
2
f ' x 
1
1
y   x  3 )18 y  24 x  22 )17
2
2
1,3 )22
2 x2  8
4
, f ''  x   3 .‫) א‬13
2
4x
x
4x
, f ''  x  
 x  1
3
x 2  x  3
 x  1
3
4 1  2 x 
, f ''  x  
 x  1
4
6x
 x  1
4
.‫ג‬
.‫ה‬
m  2 )16 m  4 )15 m  17 )14
y  12 x  9 )21 y  2 x  3 )20 y  6 x  24, y  6 x  12 )19
1
1
1
1
y   x  2 )24 y   x  1 )23
2
2
2
2
1
3
11
15
. y  x  )29 y  2 x  8 )28 y   x  )27  1 , 0  .‫ ב‬y  3x  1 .‫) א‬26
16
8
16
4
3 
y  22 x  56 )25
1
1
y   x  1 , y   x  1 )30
3
3
a  2 )34 a  2 , y  8x  18 )33
. y  2x  1 , y  2 x  1 )32 1,1 , k  1.5 )31
. A  1 )36
a  4 )35
. a  2 , y  4x  2 )38  1,5 , y  4 x  9 )37
1
8
. b  2 , a  6 , y  6 x  12 )41 b  4 ,  4,12 )40 a   , c  4 )39
.k 
158
27
 1 13 
:  ,  :‫ או‬k  6 :1,1 )42
3 3 
1
.‫ ג‬y  1.5x  3.5 .‫ ב‬1, 2  .‫) א‬43
12
.  0.5, 0.25 .‫ ג‬y  0.5x  0.5 .‫ ב‬ 0, 0  , 1,1 .‫) א‬44
.S  4
. t  0 , t  2 .‫ ב‬y  2tx  t 2  1 .‫) א‬45
187
‫חקירת פונקצית פולינום‪:‬‬
‫נקודות קיצון (נקודות מינימום‪/‬מקסימום)‪:‬‬
‫מינימום או מקסימום מקומי (פנימי) ‪B, C, D -‬‬
‫מינימוםאו מקסימום קצה – ‪.A‬‬
‫מינימום או מקסימום מוחלט – ‪.D‬‬
‫נקודות קיצון מקומיות‪:‬‬
‫שיפוע המשיק לפונקציה בנקודות קיצון מקומיות הוא אפס‪.‬‬
‫בנקודה שבה שיפוע המשיק לפונקציה הוא אפס תיתכן נקודת קיצון מקומית –‬
‫נקודה כזו נקראת נקודה חשודה כקיצון‪ .‬ניתן לבדוק אם היא אכן נקודת קיצון‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון מקומיות‪:‬‬
‫א‪ .‬נגזור את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נשווה את הנגזרת לאפס ונחלץ את ערכי ה‪-‬‬
‫‪x‬‬
‫של הנקודות החשודות כקיצון‪.‬‬
‫ג‪ .‬נציב את ערכי ה‪ x -‬מסעיף ב' בפונקציה המקורית לקבלת ערכי ה‪. y -‬‬
‫ד‪ .‬נקבע אם הנקודה היא נקודת קיצון ונסווג את סוג הקיצון על ידי טבלה או‬
‫נגזרת שנייה‪.‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה ‪. f  x   10 x  x 2‬‬
‫‪ )2‬נתונה הפונקציה ‪. f  x   x3  12 x‬‬
‫א‪ .‬מהן נקודות הקיצון של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?‬
‫‪188‬‬
‫‪ )3‬נתונה הפונקציה‪. f  x   x4  10 x2  9 :‬‬
‫א‪ .‬מהן נקודות הקיצון של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?‬
‫‪ )4‬נתונה הפונקציה‪. f  x   x4  4 x3  32 :‬‬
‫א‪ .‬מהן נקודות הקיצון של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?‬
‫‪ )5‬לפונקציה‪ f  x   ax  x3  5 :‬יש נקודת קיצון בנקודה שבה ‪. x  1‬‬
‫מצא את ערכו של הפרמטר ‪. a‬‬
‫‪ )6‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   ax3  x 2 :‬ידוע שהנקודה ‪ x  1‬נקודת קיצון‪.‬‬
‫מצא את הקבוע ‪. a‬‬
‫‪ )7‬לפונקציה‪ f  x   Ax3  Bx2  1 :‬יש נקודת קיצון ששיעוריה‪.  2,3 :‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪. A , B‬‬
‫‪ )8‬לפונקציה‪ f  x   Ax3  Bx2  4 x :‬יש נקודת קיצון ב‪ x  1 -‬ו‪. x  4 -‬‬
‫מצא את הפרמטרים ואת שיעור ה‪ y -‬של שתי נקודות הקיצון‪.‬‬
‫‪ )9‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   ax3  bx2 :‬ידוע שהנקודה ‪ 1, 2 ‬נקודת קיצון‪.‬‬
‫מצא את הפרמטרים ‪. a, b‬‬
‫‪ )10‬לפונקציה‪ f  x   ax4  bx2  35 :‬יש נקודת קיצון ששיעוריה ‪.  2,3‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪. b -‬‬
‫‪ )11‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   10 x  x 2 :‬ענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪189‬‬
‫‪ )12‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   x3  12 x :‬חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )13‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   x4  10 x2  9 :‬חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )14‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   x4  4 x3  32 :‬חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )15‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   x3 :‬חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )16‬נתונה הפונקציה‪. f  x   2 x3  3ax2  54 x  50 :‬‬
‫א‪ .‬לאלו ערכים של הפרמטר ‪ a‬עולה הפונקציה בכל תחום הגדרתה?‬
‫ב‪ .‬הצב בפונקציה ‪ a  6‬וחקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪ :‬תחום‬
‫הגדרה‪ ,‬נקודות קיצון‪ ,‬תחומי עלייה וירידה‪ ,‬נקודת חיתוך עם ציר ה ‪ , y -‬סרטוט‪.‬‬
‫‪190‬‬
‫‪ )17‬נתונה הפונקציה‪ d ) , y  3x3  6 x2  4 x  d :‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע כי הפונקציה חותכת של ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה‪. x  2 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. d‬‬
‫ב‪ .‬האם יש לפונקציה נקודות קיצון?‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה וירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ה‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )18‬לפניך גרף הפונקציה‪f ( x)  x3  3x :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫ח‪.‬‬
‫מהו מספר הפתרונות של המשוואה ‪. f ( x)  5‬‬
‫מהו מספר הפתרונות של המשוואה ‪. f ( x)  2‬‬
‫מהו מספר הפתרונות של המשוואה ‪. f ( x)  0.5‬‬
‫עבור איזה ערך של ‪ k‬למשוואה ‪ f ( x)  k‬יש בדיוק פתרון אחד‪.‬‬
‫עבור איזה ערך של ‪ k‬למשוואה ‪ f ( x)  k‬יש בדיוק שני פתרונות‪.‬‬
‫עבור איזה ערך של ‪ k‬למשוואה ‪ f ( x)  k‬יש בדיוק שלושה פתרונות‪.‬‬
‫האם קיים ערך של ‪ k‬עבורו למשוואה ‪ f ( x)  k‬אין פתרון‪.‬‬
‫מצא את התחומים בהם הפונקציה היא חח"ע‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫) ‪(- ,‬‬
‫‪x‬‬
‫) ‪( ,-‬‬
‫‪191‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪max  5,25 )1‬‬
‫‪ )2‬א‪ 2, 16 min,  2,16 max .‬‬
‫ב‪ .‬עלייה‪ x  2 , x  2 :‬ירידה‪2  x  2 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )3‬א‪5, 16 min ,  5, 16 min .‬‬
‫‪‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ 0,9 max‬‬
‫ב‪ .‬עלייה‪ x  5 ,  5  x  0 :‬ירידה‪. x   5 , 0  x  5 :‬‬
‫‪ )4‬א‪ min  3,5 .‬ב‪ .‬עלייה‪ x  3 :‬ירידה‪. x  3 :‬‬
‫‪a  3 )5‬‬
‫‪a   23 )6‬‬
‫‪. A  -1 , B  3 )7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪, B  - ,  1, 2  ,  4, 18  )8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪6 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. a  2 , b  16 )10 b  6, a  4 )9‬‬
‫‪.A ‬‬
‫‪ )11‬א‪ .‬כל ‪ x‬ב‪  5,25 max .‬ג‪ .‬עלייה‪ x  5 :‬ירידה‪ x  5 :‬ד‪. 0,0 , 10,0  .‬‬
‫‪ )12‬א‪ .‬כל ‪ x‬ב‪ (2, 16)min ,  2,16  max .‬ג‪ .‬עלייה‪x  2 , x  2 :‬‬
‫ירידה‪ 2  x  2 :‬ד‪.  0,0 ,  12,0  ,   12,0  .‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )13‬א‪ .‬כל ‪ x‬ב‪5, 16 min ,  5, 16 min .‬‬
‫‪‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ 0,9 max‬‬
‫ג‪ .‬עלייה‪ . x  5 ,  5  x  0 :‬ירידה‪ 0  x  5 :‬או ‪x   5‬‬
‫ד‪.  0,9 ,  1,0 ,  3,0  .‬‬
‫‪ )14‬א‪ .‬כל ‪ x‬ב‪ min  3,5 .‬ג‪ .‬תחומי עלייה‪ x  3 :‬תחומי ירידה‪ x  3 :‬ד‪.  0,32  .‬‬
‫‪ )15‬א‪ .‬כל ‪ x‬ב‪ .‬אין‪ .‬ג‪ .‬עולה לכל ‪ x‬ד‪.  0,0  .‬‬
‫‪ )16‬א‪ 6  a  6 .‬ב‪ .‬תחום הגדרה‪ :‬כל ‪ . x‬נקודות קיצון‪:‬אין‪ .‬תחומי עלייה‪ :‬כל ‪. x‬‬
‫תחומי ירידה‪ :‬אין‪ .‬נקודת חיתוך עם הצירים‪.  0 , 50  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )17‬א‪ d  8 .‬ב‪ .‬לא ג‪ .‬יורדת בתחום‬
‫‪3‬‬
‫‪ x ‬ד‪.  0,8 .‬‬
‫‪ )18‬א‪ .1 .‬ב‪ .2 .‬ג‪ .3 .‬ד‪ k  2 , k  2 .‬ה‪k  2 .‬‬
‫ז‪ .‬לא‪ .‬ח‪. x  1 , 1  x  1 , x  1 .‬‬
‫‪192‬‬
‫ו‪ 2  k  2 .‬‬
‫סקיצות לשאלות החקירה‪:‬‬
‫‪)11‬‬
‫‪) 14‬‬
‫‪)16‬‬
‫‪) 12‬‬
‫‪) 13‬‬
‫‪)15‬‬
‫‪)17‬‬
‫‪193‬‬
‫חקירת פונקציות מנה ופונקציות שורש‪:‬‬
‫סעיפי חקירה מלאה של פונקציה‪:‬‬
‫‪ .1‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫‪ .3‬תחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫‪ .4‬נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .5‬אסימפטוטות מקבילות לצירים‪.‬‬
‫‪ .6‬נקודות פיתול‪.‬‬
‫‪ .7‬תחומי קעירות כלפי מעלה וקעירות כלפי מטה‪.‬‬
‫‪ .8‬סרטוט‪.‬‬
‫תחום הגדרה של פונקציה‪:‬‬
‫‪ .1‬כל פולינום מוגדר לכל ‪. x‬‬
‫‪ .2‬בפונקציה עם מכנה‪ ,‬אסור שיתקבל אפס במכנה‪.‬‬
‫‪ .3‬בפונקציה עם שורש‪ ,‬אסור שיתקבל מספר שלילי בתוך השורש‪.‬‬
‫אסימפטוטות‪:‬‬
‫‪ .1‬אסימפטוטה אנכית ‪ -‬הגדרה‪:‬‬
‫‪f  x‬‬
‫הישר‪ x  k :‬הוא אסימפטוטה אנכית של פונקציה מהצורה‪:‬‬
‫‪g  x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪f  x‬‬
‫אם הוא מקיים‪ g  k   0 :‬וגם‪ . f  k   0 :‬בצורה מתמטית‪ :‬אם‪  :‬‬
‫‪g  x‬‬
‫‪f  x‬‬
‫או‪  :‬‬
‫‪g  x‬‬
‫‪ lim‬או שניהם אז הישר‪ x  k :‬הוא אסימפטוטה אנכית‬
‫‪f  x‬‬
‫לפונקציה‬
‫‪g  x‬‬
‫‪.y ‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x k‬‬
‫‪x k‬‬
‫הסבר כללי‪:‬‬
‫בעבור ערכי ‪ x‬שמאפסים את המכנה‪ ,‬אבל לא את המונה יש אסימפטוטה אנכית‪.‬‬
‫כאשר ערך ‪ x‬מאפס את המכנה וגם את המונה יש לפרק את המונה והמכנה (על ידי‬
‫נוסחאות כפל מקוצר או טרינום למשל) ולצמצם‪ .‬אם אחרי הצמצום אותו ערך של ‪x‬‬
‫עדיין מאפס את המכנה תתקבל אסימפטוטה אנכית‪ ,‬אך אם ערך ‪ x‬זה לא מאפס את‬
‫המכנה אחרי שצומצם אין אסימפטוטה אנכית אלא נקודת אי הגדרה‪.‬‬
‫‪194‬‬
‫‪ .2‬אסימפטוטה אופקית ‪ -‬הגדרה‪:‬‬
‫‪f  x‬‬
‫ישר מהצורה‪ y  n :‬הוא אסימפטוטה אופקית לפונקציה מהצורה‪:‬‬
‫‪g  x‬‬
‫‪f  x‬‬
‫‪f  x‬‬
‫‪ lim‬או‪ n :‬‬
‫אם מתקיים‪ n :‬‬
‫‪x  g  x ‬‬
‫‪g  x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ lim‬או שניהם‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫אופן החישוב הכללי‪:‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪( f  x   ax n  ...‬יש בפונקציה קו שבר אחד!)‬
‫‪m‬‬
‫‪bx  ...‬‬
‫‪ ‬אם ‪ , m  n‬לפונקציה אין אסימפטוטה אופקית‪.‬‬
‫‪ ‬אם ‪ , m  n‬לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה ‪. y  a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ ‬אם ‪ , m  n‬לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה ‪. y  0‬‬
‫‪ .3‬חוקי גבולות לאינסוף‪:‬‬
‫במקרים רבים נרצה לדעת האם פונקציה מסוימת מתכנסת לערך כלשהו‬
‫כאשר ‪ x‬שואף לערכים ההולכים וגדלים (לאינסוף‪ ,‬או למינוס אינסוף)‪.‬‬
‫עבור ערכי ‪ x‬שהולכים וגדלים (או קטנים) נרשום‪ x   :‬או ‪ x  ‬בהתאמה‪.‬‬
‫ישנם ‪ 4‬מצבים בהם ערך הפונקציה בשאיפת ‪ x‬לאחד הקצוות ניתן לחישוב ישיר‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ ‬הגבול‪ " "  0 :‬‬
‫‪. lim‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬הגבול‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ lim‬ניתן לפיצול לשני מקרים‪:‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪ .‬אם‪( x  0 :‬מתקרב ל ‪ 0-‬מהכיוון החיובי) אז‪"   :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬אם‪( x  0 :‬מתקרב ל‪ 0-‬מהכיוון השלילי) אז‪ "  "   :‬‬
‫‪. xlim‬‬
‫‪0 x‬‬
‫‪0‬‬
‫"‪‬‬
‫‪. xlim‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬הגבול מהצורה ‪( ‬מכפלת שני ביטויים של ‪ x‬אשר כל אחד מהם שואף‬
‫לאינסוף בפני עצמו) מקיים‪.    :‬‬
‫‪ ‬הגבול מהצורה ‪(   ‬סכום שני ביטויים של ‪ x‬אשר כל אחד מהם שואף‬
‫לאינסוף בפני עצמו) מקיים‪.      :‬‬
‫ישנם ‪ 3‬מקרים בהם לא ניתן לדעת מהו ערך הפונקציה בלקיחת הגבול בצורה‬
‫ישירה והם‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬הגבול מהצורה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ‬הגבול מהצורה‪( :‬מנת שני ביטויים שהולכים וקטנים עם שאיפת ‪.) x‬‬
‫‪0‬‬
‫(מנת שני ביטויים שהולכים וגדלים עם שאיפת ‪.) x‬‬
‫‪ ‬הגבול מהצורה‪(    :‬הפרש של שני ביטויים שהולכים וגדלים עם שאיפת ‪.) x‬‬
‫במקרים אלו נעזר בפישוטים שהוצגו לעיל על מנת למצוא את ערך הגבול עצמו‪.‬‬
‫‪195‬‬
‫תחומי קמירות וקעירות ונקודות פיתול‪:‬‬
‫‪ .1‬תחומי קעירות – הגדרה‪:‬‬
‫פונקציה ‪ f  x ‬קעורה כלפי מטה (קמורה) בתחום ‪  x0 : x1 ‬אם לכל ‪ x‬בתחום‬
‫הנ"ל המשיק לפונקציה נמצא מעל לגרף הפונקציה‪.‬‬
‫כדי למצוא תחומי קעירות כלפי מטה יש למצוא תחום שבו‪. f ''  x   0 :‬‬
‫פונקציה ‪ f  x ‬קעורה כלפי מעלה (קעורה) בתחום ‪  x0 : x1 ‬אם לכל ‪ x‬בתחום‬
‫הנ"ל המשיק לפונקציה נמצא מתחת לגרף הפונקציה‪.‬‬
‫כדי למצוא תחומי קעירות כלפי מעלה יש למצוא תחום שבו‪. f ''  x   0 :‬‬
‫‪ .2‬נקודת פיתול – הגדרות‪:‬‬
‫‪ ‬נקודת פיתול היא נקודה שבה הפונקציה עוברת מתחום קעירות כלפי‬
‫מטה לקעירות כלפי מעלה ולהיפך‪.‬‬
‫‪ ‬נקודת פיתול מקיימת‪ f ''  x   0 :‬כאשר ערך הנגזרת השנייה משנה‬
‫את סימנו בתחום שלפני ואחרי הנקודה המאפסת אותו‪.‬‬
‫‪ ‬בנקודת פיתול המשיק לגרף הפונקציה חותך אותה ולא רק משיק לה‬
‫מכיוון אחד‪.‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪:‬‬
‫‪ )1‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪x .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f  x   x2 ‬‬
‫‪2x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪x 3‬‬
‫ז‪.‬‬
‫י‪.‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪f  x  2‬‬
‫‪x  x2‬‬
‫‪4x  1‬‬
‫‪f  x  2‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ 1 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f  x  2‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪x 4‬‬
‫‪f  x   4 x3  x 2 ‬‬
‫‪x2  1‬‬
‫‪f  x  2‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪x  2x  8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f  x  3‬‬
‫יא‪.‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪196‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪f  x   x3  x 2  4 x  1‬‬
‫‪5 x3  4 x‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪f  x  2‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪6‬‬
‫ט‪.‬‬
‫‪f  x  2‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x2‬‬
‫יב‪.‬‬
‫‪x3  4 x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ )2‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫ב‪f  x   2 x  3 .‬‬
‫א‪f  x   x .‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪f  x   3x 1  2 x‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪x4‬‬
‫י‪.‬‬
‫יג‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x3  9 x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ח‪.‬‬
‫יא‪.‬‬
‫יד‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪f  x  x  4‬‬
‫‪f  x   x 2  3x  10‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪f  x   x2  x  2‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫ט‪.‬‬
‫‪x2  5x  6‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪x x6‬‬
‫‪x  2 3‬‬
‫יב‪.‬‬
‫‪2x2  x  3‬‬
‫‪x2  5x  9‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪x 2 x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫מציאת נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה‪:‬‬
‫‪6x‬‬
‫‪ )3‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x  10 x  9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫א‪ .‬מהן נקודות הקיצון של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?‬
‫מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪:‬‬
‫‪ )4‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪. f  x   1  3 :‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪5x2  1‬‬
‫‪. f  x  2‬‬
‫‪ )5‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 9‬‬
‫‪2 x2  5x  2‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ )6‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪1  3x 2‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪ )7‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪x  2 x  15‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪6 x3  5 x  1‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ )8‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪1  2x2‬‬
‫‪ )9‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪. f  x   ax  b :‬‬
‫‪x b‬‬
‫‪197‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫‪ )10‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 2  3x  2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ )11‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪2 x2  4 x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ )12‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪. f  x   2x  1 :‬‬
‫‪x 4‬‬
‫‪ )13‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4 x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ )14‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪1 x‬‬
‫‪ )15‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪ )16‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪ )17‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2  5‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪x 2  16‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪4 x2  1‬‬
‫‪. f  x  2‬‬
‫‪ )18‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪ax  x  b‬‬
‫האסימפטוטה האופקית של הפונקציה ואחת האסימפטוטות האנכיות של‬
‫הפונקציה נפגשות בנקודה ‪ .  1, 2 ‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו‪. b -‬‬
‫‪ax  8‬‬
‫‪ )19‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪xb x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫הפונקציה חותכת את האסימפטוטה האופקית שלה בנקודה ‪. 16, 2 ‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪. b -‬‬
‫‪198‬‬
‫חקירת פונקצית מנה‪:‬‬
‫‪ )20‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   x  1 :‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )21‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   2 x  1 :‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪x 3‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪6x‬‬
‫‪ )22‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x  5x  4‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )23‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪ . f  x  ‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪x 2  3x‬‬
‫‪x2  3‬‬
‫‪ . f  x  ‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪199‬‬
‫‪6 x 2  10 x  6‬‬
‫‪ )24‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪3x 2  10 x  3‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪ . f  x  ‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מציאת אסימפטוטות המקבילות‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪2 x2  5x  2‬‬
‫‪ )25‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪4x‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫תחום הגדרה‪.‬‬
‫נקודות קיצון‪.‬‬
‫קביעת סוג הקיצון ותחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫מציאת אסימפטוטה אנכית‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה‪.‬‬
‫‪x2  5x  6‬‬
‫‪ )26‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 3‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪ . f  x  ‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪x 2  3x  2‬‬
‫‪ )27‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2 1‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪ . y ‬חקור לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ . f  x  ‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציא ת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪200‬‬
‫‪ax  4‬‬
‫‪ )28‬לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪ f ( x) ‬יש נקודת קיצון שבה ‪. x  8‬‬
‫מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪3x 2‬‬
‫‪. f ( x)  2‬‬
‫‪ )29‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪2x  8‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מהו תחום הגדרה של הפונקציה?‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫קבע את סוג הקיצון ותחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך עם הצירים של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪a2 x  4‬‬
‫‪ )30‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪2 x2 1‬‬
‫‪ a) , y ‬קבוע)‪ .‬ידוע כי שיפוע המשיק לגרף‬
‫הפונקציה בנקודה שבה‪ x  1 :‬הוא‪. m  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את כל הערכים האפשריים עבור ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך בין המשיק הנתון ומשיק העובר דרך נקודת‬
‫החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫‪5x  1‬‬
‫‪ )31‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x5‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪ . f  x   1.5x ‬חקור לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫תחום הגדרה‪.‬‬
‫נקודות קיצון וסוגן‪.‬‬
‫תחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה‪.‬‬
‫‪201‬‬
‫‪xa‬‬
‫‪ )32‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪.  a  1 , f  x  ‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את השיעורים של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה‬
‫עם ציר ה‪ x -‬ועם ציר ה ‪. y -‬‬
‫ד‪ .1 .‬מצא עבור אילו ערכים של ‪ a‬הפונקציה )‪ f ( x‬עולה לכל ‪ x‬בתחום ההגדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬ישר המשיק לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬בנקודה שבה ‪ x  a‬מקביל לישר המשיק‬
‫לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪. x  2 :‬‬
‫מצא את הערך של ‪ a‬אם נתון כי הפונקציה עולה לכל ‪. x‬‬
‫‪x 2  ax  6‬‬
‫‪ )33‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ a) , f  x  ‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע שאחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך של ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬הצב את הערך של ‪ a‬שמצאת בסעיף א' ומצא‪:‬‬
‫‪ .1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫‪ .3‬את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫‪ .4‬את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫ג‪ .‬עבור אלו ערכי ‪ x‬הפונקציה שלילית?‬
‫ד‪ .‬נתון הישר‪ . y  k :‬עבור אלו ערכי ‪ k‬אין נקודות משותפות לישר‬
‫ולגרף הפונקציה? נמק‪.‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪ )34‬נתונה הפונקציה‪ A :‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ A ( , y ‬פרמטר)‪.‬‬
‫גרף הפונקציה עובר בנקודה ‪.  3 A, A‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מצא את ערך הפרמטר ‪. A‬‬
‫כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫הוכח כי גרף הפונקציה יורד לכל ‪. x‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫נתון הישר‪ . y  k :‬האם קיים ערך של ‪ k‬עבורו הישר חותך את גרף‬
‫הפונקציה בשתי נקודות שונות? נמק‪.‬‬
‫‪202‬‬
‫‪ax 2  20 x  28‬‬
‫‪ )35‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 2  2a‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫ידוע כי גרף הפונקציה חותך את האסימפטוטה האופקית שלו בנקודה ‪.  0.5,3‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מצא את ערך הפרמטר ‪ a‬וכתוב את הפונקציה ואת תחום הגדרתה‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫העזר בגרף הפונקציה וקבע עבור אלו ערכים של ‪ k‬הישר‪ y  k :‬יחתוך את גרף‬
‫הפונקציה בנקודה אחת בלבד‪.‬‬
‫‪9  x2‬‬
‫‪ )36‬א‪ .‬הוכח כי לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2  k‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי הפונקציה ‪ f  x ‬מוגדרת לכל ‪ x‬אם ידוע כי שיעור ה ‪ y -‬של‬
‫‪ f  x  ‬יש נקודת קיצון שנמצאת על ציר ה ‪. y -‬‬
‫נקודת הקיצון הוא ‪.3‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ד‪ .‬מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה‪.‬‬
‫ה‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה וקבע בכמה נקודות יחתוך אותו הישר ‪. y  1‬‬
‫נמק את תשובתך‪.‬‬
‫חקירת פונקצית שורש‪:‬‬
‫‪ )37‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   x  3 :‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )38‬נתונה הפונקציה‪ . f  x    x  4 x  1 :‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪203‬‬
‫‪ )39‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   x 6  x :‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪4 x‬‬
‫‪ )40‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2  3‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪9  x2‬‬
‫‪ )41‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪ . f  x  ‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ . f  x  ‬חקור א ת הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪x2  2 x‬‬
‫‪ )42‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫מצא את נקודות קיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪204‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ )43‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫האם ניתן להעביר משיק לגרף הפונקציה המקביל לציר ה‪? x -‬‬
‫נמק והראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך נקודת החיתוך‬
‫שלה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫חשב את שטח המשולש הכלוא בין המשיק והצירים‪.‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪ )44‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום הגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬כמה נקודות יש לגרף הפונקציה שהמשיק העובר דרכן מקביל לציר ה‪? x -‬‬
‫מצא אותן‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואות המשיקים בנקודות שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )45‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   9  x :‬חקור לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )46‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪ax  6‬‬
‫‪ a , f  x  ‬פרמטר‪.‬‬
‫‪9 x‬‬
‫‪y‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה ‪. -‬‬
‫‪2‬‬
‫ידוע כי הוא מקביל לישר‪. 3 y  x  0 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬כתוב את התחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪205‬‬
‫‪x‬‬
‫‪xk‬‬
‫‪, g  x ‬‬
‫‪ )47‬נתונות שתי הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪xk‬‬
‫ידוע כי הפונקציות חותכות זו את זו בנקודה שבה‪. x  0.8 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. k‬‬
‫‪ k ) , f  x  ‬פרמטר חיובי)‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫האם הפונקציות נחתכות בנקודה נוספת מלבד לנקודה הנתונה? אם כן מצא אותה‪.‬‬
‫מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬בנקודה שבה‪. x  0.52 :‬‬
‫‪ )48‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪kx‬‬
‫‪k  x2‬‬
‫‪ k , f  x  ‬פרמטר חיובי‪.‬‬
‫‪ .1‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? (בטא באמצעות ‪.) k‬‬
‫‪ .2‬מהן האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה?‬
‫הראה כי הפונקציה עולה עבור כל ערך של ‪ k‬בתחום הגדרתה‪.‬‬
‫כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫(בטא באמצעות ‪.) k‬‬
‫המשיק אשר מצאת בסעיף הקודם חותך את אחת האסימפטוטות של‬
‫הפונקציה בנקודה ‪ .A‬ידוע כי שטח המשולש הכלוא בין המשיק‪ ,‬ציר ה ‪x -‬‬
‫והאסימפטוטה הנ"ל הוא ‪ 4‬סמ"ר ‪ . S‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ )49‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪ . f ( x) ‬מגדירים פונקציה נוספת‪. g ( x)  f ( x) :‬‬
‫א‪ .‬כתוב בצורה מפורשת את הפונקציה )‪. g ( x‬‬
‫ב‪ .‬לפניך מספר טענות המתייחסות לפונקציות )‪ f ( x‬ו‪ . g ( x) -‬קבע אילו‬
‫מהטענות הבאות נכונות ואלו אינן נכונות‪ .‬הצדק את קביעותיך‬
‫באמצעות חישוב מתאים‪:‬‬
‫‪ .1‬לפונקציות תחום הגדרה זהה‪.‬‬
‫‪ .2‬שתי הפונקציות עולות בכל תחום הגדרתן‪.‬‬
‫‪ .3‬שתי הפונקציות חותכות את ציר ה‪ x -‬באותה נקודה‪.‬‬
‫‪ .4‬לשתי הפונקציות יש אסימפטוטה משותפת‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של כל פונקציה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫אסף פתר את סעיפים א' ו‪-‬ב' והחליט לטעון את הטענה הבאה‪:‬‬
‫היות והפונקציה )‪ g ( x‬מוגדרת להיות‪ g ( x)  f ( x) :‬אזי ניתן למצוא את שיעור‬
‫ה ‪ y -‬של כל נקודה שעל גרף הפונקציה )‪ f ( x‬ע"י כך שנמצא תחילה את שיעור ה‪y -‬‬
‫של הנקודה בעלת אותו שיעור ‪ x‬על הגרף של )‪ g ( x‬ונעלה אותה בריבוע‪.‬‬
‫ד‪ .‬האם אסף צודק? נמק בצורה איכותית (חישובים אינם נדרשים) את שיקולך‪.‬‬
‫‪206‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )50‬לפניך הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪; g  x ‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫א‪ .‬קבע אילו מהטענות הבאות נכונות ואלו אינן נכונות‪.‬‬
‫הצדק את קביעותיך באמצעות חישוב מתאים‪:‬‬
‫‪ .1‬לשתי הפונקציות יש את אותו תחום ההגדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬לשתי הפונקציות יש נקודות קיצון הנמצאות על הישר‪. y  x :‬‬
‫‪ .3‬הפונקציות לא חותכות זו את זו‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫מגדירים פונקציה נוספת והיא‪. h  x    g  x   :‬‬
‫ב‪ .‬כתוב באופן מפורש את הפונקציה החדשה‪. h  x  :‬‬
‫ג‪ .‬האם תחום ההגדרה של הפונקציה ‪h  x ‬‬
‫ד‪.‬‬
‫זהה לשל ‪? g  x ‬‬
‫באיור הסמוך ישנם שני גרפים‪ .‬קבע על סמך‬
‫הסעיפים הקודמים איזו פונקציה כל גרף מתאר מבין‬
‫הפונקציות‪ . f  x  , g  x  , h  x  :‬נמק את בחירותיך‪.‬‬
‫‪k  x2‬‬
‫‪ )51‬לפניך שלוש פונקציות‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪; h  x ‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪k  x2‬‬
‫‪.  k  0 ; f  x   x2 k  x2 ; g  x  ‬‬
‫קבע אילו מהטענות הבאות נכונות ואלו אינן נכונות‪ .‬הצדק את קביעותיך‬
‫באמצעות חישוב מתאים‪:‬‬
‫‪ .1‬לפונקציות ‪ f  x ‬ו‪ g  x  -‬תחום הגדרה זהה‪ ,‬השונה מתחום‬
‫ההגדרה של‪. h  x  :‬‬
‫‪ .2‬קיימת פונקציה אשר אינה חותכת את ציר ה‪ x -‬כלל‪.‬‬
‫‪ .3‬הפונקציות‪ h  x  :‬ו‪ g  x  -‬הפוכות זו מזו בתחומי העלייה והירידה‬
‫שלהן (כאשר אחת עולה השנייה יורדת)‪.‬‬
‫‪ .4‬לפונקציה‪ f  x  :‬יש נקודת קיצון אחת בלבד‪.‬‬
‫מסמנים נקודה ‪ A  0, 12 ‬עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ידוע כי מרחקה מאחת מנקודות החיתוך של גרף‬
‫הפונקציה ‪ f  x ‬עם ציר ה‪ x -‬שאינה בראשית‬
‫הוא‪. d  6 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪. k‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של גרף‬
‫הפונקציה ‪ f  x ‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ד‪ .‬לפניך איור ובו מסורטטות הסקיצות של שלושת הפונקציות‪.‬‬
‫קבע עפ"י הסעיפים הקודמים איזה גרף שייך לכל פונקציה‪.‬‬
‫‪207‬‬
‫שאלות עם תחומי קעירות ונקודות פיתול‪:‬‬
‫‪ )52‬מצא את נקודות הפיתול ואת תחומי הקעירות של הפונקציה‪. f  x   x4  6 x3  12 x 2 :‬‬
‫‪ )53‬מצא את נקודות הפיתול ואת תחומי הקעירות של הפונקציה‪. f  x   3x 2 2 :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪ )54‬מצא את נקודות הקיצון והפיתול של הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ )55‬מצא את נקודות הקיצון והפיתול של הפונקציה‪. f  x   x  x  2 3 :‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ )56‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x b‬‬
‫הנקודה ‪  1,1‬היא נקודת פיתול של הפונקציה‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו‪. b -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ a , b , f  x  ‬פרמטרים‪.‬‬
‫‪ )57‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   1  12  2 :‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫ח‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫מציאת נקודות פיתול‪.‬‬
‫מציאת תחומי הקעירות כלפי מעלה ומטה‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪ )58‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x x‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ . f  x  ‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫מציאת נקודות פיתול‪.‬‬
‫מציאת תחומי הקעירות כלפי מעלה ומטה‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪208‬‬
‫‪ )59‬חקור את הפונקציות הבאות לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬מציאת נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .3‬מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫‪ .4‬מציאת נקודות קיצון וקביעת סוגן‪.‬‬
‫‪ .5‬מציאת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .6‬מציאת נקודות הפיתול של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .7‬מציאת תחומי הקמירות והקעירות של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .8‬סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪ x 1 ‬‬
‫‪f  x  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x 1 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪2 x2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪ x  1‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪ x  1‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪x2 1‬‬
‫‪ x  2  x  5‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫*ללא סעיפים ‪ 6‬ו‪.7-‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪x2  4 x  3‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫ח‪.‬‬
‫* ללא סעיפים ‪ 6‬ו‪.7-‬‬
‫‪209‬‬
‫‪x3  x 2‬‬
‫‪x2 1‬‬
‫‪f  x ‬‬
:‫תשובות סופיות‬
. x ‫ כל‬.‫י‬-‫ ט‬x  4, 2 .‫ ח‬x  1, 2 .‫ ז‬x  1 .‫ ו‬x  2 .‫ ה‬x  3 .‫ ד‬x ‫ כל‬:‫ ג‬- ‫) א‬1
. x  0,2, 2 .‫ יב‬x  0, 1 .‫יא‬
1
.‫ ד‬x  4 .‫ ג‬x  3 .‫ ב‬x  0 .‫) א‬2
2
. 3  x  0 , x  3 .‫ י‬x  1.5 , x  1 .‫ ט‬x  3 ,  2  x  1 , x  1 .‫ח‬
. x  4 .‫ ז‬2  x  1 .‫ ו‬5  x  2 .‫ ה‬x 
. x  7 .‫ יד‬1  x  1 .‫ יג‬x  1 , 1  x  2 .‫ יב‬6  x  2 , x  2 .‫יא‬




. x  3 , 3  x  9 :‫ יורדת‬x  1 , 3  x  3 :‫ עולה‬.‫ ב‬min  3,   , max  3, 1  .‫) א‬3
8
2
3

1



2
)6 x  3 , y  5 )5 x  2 , y  3 )4
3
.  2,4  :‫הגדרה‬-‫ נקודת אי‬, x  1 , y  1 )10 x  b , y  a )9
.‫) אין‬8 x  3 , x  5 , y  0 )7 y 
1
)11
2
x  2 , x  2 , y  3 )17 y  3 )16 x  1 , y  2 )15 . x  1 , y  1 )14
x  4 )13 x  2 , y  0 )12  0,0  :‫הגדרה‬- ‫ נקודת אי‬, x  2 , y 
min 1, 2  , max  1, 2 
. x  0 .‫ אין ה‬.‫ד‬
 1
 
.‫ ב‬x  0 .‫) א‬20
. b  1 , a  2 )19 b  3 , a  2 )18
x  0,  1  x  1 :‫ יורדת‬, x  1 ‫ או‬1  x :‫ עולה‬.‫ג‬
1
. y  2, x  3 .‫ ה‬  , 0  ,  0,   .‫ ד‬.‫ה‬.‫ הפונקציה יורדת בכל ת‬.‫ אין ג‬.‫ ב‬x  3 .‫) א‬21
3
 2  
, x  1,  2  x  2 :‫ תחומי עלייה‬.‫ג‬
2

min  2,   , max  2, 6  .‫ב‬
3

x  1, x  4 .‫) א‬22
. y  0, x  1, x  4 .‫ ה‬ 0, 0  .‫ ד‬x  2 ‫ או‬2  x  4 :‫תחומי ירידה‬
1
1


3  x  1 :‫ יורדת‬, x  3 ‫ או‬1  x :‫ עולה‬.‫ ג‬min 1,   , max  3,1  .‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬23
2
2


. y  1 .‫ ה‬ 3, 0  ,  0, 0  .‫ד‬
3
1
1


min  1,1  , max 1,   .‫ ב‬x  , x  3 .‫) א‬24
8
2
3


1
1
. x  3 , x  , y  2 .‫ ה‬ 0,2  .‫ ד‬x  1 ‫ או‬1  x  3 :‫ תחומי ירידה‬x  ‫וגם‬
3
3
x  1 , x  1 :‫ עולה‬.‫ ג‬Max  1, 2.25 , Min 1, 0.25 .‫ ב‬x  0 .‫) א‬25
1  x  1 :‫ תחומי עלייה‬.‫ג‬
. x  0 .‫ ה‬ 0.5,0 ,  2,0  .‫ ד‬x  0 , 1  x  1 :‫יורדת‬
 0, 2 ,  2, 0  .‫ הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה ד‬.‫ אין ג‬.‫ ב‬x  3 .‫) א‬26
.  3,1 ‫ יש נקודת אי הגדרה ששיעוריה‬,‫ אין‬.‫ה‬
 0, 2 ,  2, 0  .‫ הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה ד‬.‫ אין ג‬.‫ ב‬x  1 .‫) א‬27


1
. 1,   ‫ יש נקודת אי הגדרה ששיעוריה‬, y  1, x  1 .‫ה‬
2

210
x  8 , x  0 :‫ יורדת‬8  x  0 :‫ עולה‬.‫ ב‬f  x  
x4
, a  1 .‫) א‬28
x2
. x  0 , y  0 .‫ ד‬ 4, 0  .‫ג‬
 0, 0  .‫ ד‬x  0 , x  2 :‫ עולה‬x  0 , x  2 :‫ יורדת‬.‫ ג‬Max  0, 0  .‫ ב‬x  2 .‫) א‬29
. x  2 , y  1.5 .‫ה‬
. 1, 0  ‫ אשר עובר בנקודה‬y  4 x  4 :‫ המשיק‬.‫ ג‬1, 0  ,  0, 4  .‫ ב‬a  2 .‫) א‬30
x  9 , x  1 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  1, 0.5 , Max  9, 24.5 .‫ ב‬x  5 .‫) א‬31
. x  5 .‫ ה‬ 2,0 ,
 ,0 ,  0, 0.2 .‫ד‬
1
3
x  5 ,  9  x  1 :‫יורדת‬
. a  2 .2 a  1 .1 .‫ ד‬ a, 0  ,  0, a  .‫ ג‬x  1 , y  1 .‫ ב‬x  1 .‫) א‬32
. 3  k  5 .‫ ד‬x  2 .‫ ג‬x  2 .4 Max  3,0 , Min  4,5 .3  0, 3 .2 x  2 .1 .‫ ב‬a  3 .‫) א‬33
. x ‫ כל‬, f ( x) 
3x 2  20 x  28
, a  3 .‫) א‬35
x2  6
2  x  3
‫ לא‬.‫ ו‬ 0, 2.5 .‫ ד‬x  2 .‫ ב‬A  1 .‫) א‬34
:‫ יורדת‬x  2 , x  3 :‫ עולה‬.‫ ג‬Max  2,8 , Min  3,  13  .‫ב‬
. k  8,  13 ,3 .‫ ו‬ 2,0  ,  0, 4 23  ,  4 23 ,0  .‫ד‬
.‫ באף נקודה‬.‫ ה‬y  1 .‫ ד‬ 3, 0  ,  3, 0  .‫ ג‬k  3 .‫) ב‬36
.‫ אין‬.‫ ה‬ 3, 0  .‫ ד‬.‫ה‬.‫ הפונקציה עולה בכל ת‬.‫ קצה ג‬min  3,0  .‫ ב‬x  3 .‫) א‬37
.1  x  2 :‫ יורדת‬2  x :‫ עולה‬.‫ קצה ג‬max 1,0 , min  2, 2  .‫ ב‬x  1 .‫) א‬38
.‫ אין‬.‫ ה‬1,0  ,  4,0  .‫ד‬


4  x  6 :‫ ירידה‬, x  4 :‫ עלייה‬.‫ קצה ג‬min  6,0  , max 4, 4 2 .‫ ב‬x  6 .‫) א‬39
‫ קצה‬min  0,0  , max 1,1 .‫ ב‬x  0 .‫) א‬40  0,0  ,  6,0  .‫ד‬
. y  0 .‫ ה‬ 0, 0  .‫ ד‬1  x :‫ יורדת‬0  x  1 :‫ עולה‬.‫ג‬
. x ‫ אף‬:‫ עולה‬.‫ קצה ג‬min  3,0  ,‫ קצה‬max  3,0  .‫ ב‬x  0 ‫ וגם‬3  x  3 .‫) א‬41
. x  0 .‫ ה‬ 3,0 ,  3,0  .‫ ד‬x  0 ,  3  x  3 :‫יורדת‬
 2, 0  .‫ג‬
1 

min  2, 0  , max  3,
 .‫ ב‬x  0 , x  2 .‫) א‬42
27 

S  4 2 .‫ ד‬y  2 2 x  4 2 .‫ לא ג‬.‫ב‬
 2, 0  .‫) א‬43
. y  6 .‫ ג‬ 9, 6  .‫ ב‬x  0 , x  1 .‫) א‬44
‫ קצה‬min  3,0  ,‫ קצה‬max  3,0  .‫ ב‬x  0 ‫ וגם‬3  x  3 .‫) א‬45
. x  0 .‫ ה‬ 3,0 ,  3,0  .‫ ד‬x  0 ,  3  x  3 :‫ יורדת‬, x ‫ אף‬:‫ עולה‬.‫ג‬
1.5  x  3
:‫ עולה‬ 3  x  1.5 :‫ יורדת‬.‫ ד‬ 1.5, 3  .‫ ג‬ 3  x  3 .‫ ב‬a  1 .‫) א‬46
. y  0.74 x  0.1352 .‫ ג‬ 0.6, 0.57  ,‫ כן‬.‫ ב‬k  0.48 .‫) א‬47
211
‫‪ )48‬א‪ x   k .2  k  x  k .1 .‬ב‪ 0 .‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ )49‬א‪.‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪k2‬‬
‫‪k  x ‬‬
‫‪2 1.5‬‬
‫‪ f '( x) ‬ג‪ y  k x .‬ד‪. k  4 .‬‬
‫‪ g ( x) ‬ב‪ .1 .‬לא נכון ‪ .2‬נכון ‪ .3‬נכון ‪ .4‬נכון‬
‫ג‪ .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪; g ( x) : 0,‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪f ( x) : 0, 12‬‬
‫‪x2‬‬
‫ד‪ .‬אסף צודק‪ )50 .‬א‪ .1 .‬לא נכון ‪ .2‬נכון ‪ .3‬נכון ב‪.‬‬
‫‪x 1‬‬
‫ד‪ )51 I  h( x) , II  f ( x) .‬א‪ .1 .‬לא נכון ‪ .2‬לא נכון ‪ .3‬נכון ‪ .4‬נכון ב‪k  24 .‬‬
‫‪ h( x) ‬ג‪ .‬לא‪h( x) : x  1 ,‬‬
‫ג‪  0, 0  Min ,  4,32 2  Max .‬ד‪. I  g ( x) , II  f ( x) , III  h( x) .‬‬
‫‪ , 1,7  ,  2,16  )52‬קעירות כלפי מעלה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫או ‪ , x  1‬קעירות כלפי מטה‪.1  x  2 :‬‬
‫‪ ,  2,1 )53‬קעירות כלפי מעלה‪ , x  2 :‬קעירות כלפי מטה‪. 0  x  2 :‬‬
‫‪27 ‬‬
‫‪ 8 ‬‬
‫‪ )55  4,‬קיצון‪ :‬‬
‫‪ )54‬קיצון‪ . min  2,4  :‬פיתול‪ :‬‬
‫‪16 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪)56‬‬
‫‪ )57 b  3 , a  4‬א‪x  0 .‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ min  , ‬פיתול‪. 1, 1 ,  2,0 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ max  2, 2  .‬ג‪ .‬עולה‪ 0  x  2 :‬יורדת‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x0, x2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ד‪  , 0  ,  1, 0  .‬ה‪, y  2 .‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫ז‪ .‬קעירות כלפי מעלה‪ , x  3 :‬קעירות כלפי מטה‪. 0  x  3 :‬‬
‫‪ )58‬א‪ 0  x  1 .‬ב‪ .‬אין‪ .‬ג‪ .‬יורדת בכל תחום הגדרתה‪ .‬ד‪ .‬אין‪.‬‬
‫‪x0‬‬
‫ו‪.  3, 2  .‬‬
‫‪9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫ה‪ x  1 , y  2 .‬נקודת אי הגדרה‪ .  0,0  :‬ו‪ , 1 .‬‬
‫‪9‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ז‪ .‬קעירות כלפי מעלה‪ x  1 :‬או ‪ , 0  x ‬קעירות כלפי מטה‪.  x  1 :‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫סקיצות לשאלות החקירה‪:‬‬
‫‪) 20‬‬
‫‪)21‬‬
‫‪) 22‬‬
‫‪)23‬‬
‫‪) 24‬‬
‫‪) 25‬‬
‫‪) 26‬‬
‫‪)27‬‬
‫‪212‬‬
‫‪.‬‬
)34
)31
)37
)41
)58
) 40
) 29
) 28
) 36
) 35
) 39
)57
)45
213
) 38
) 42
:59 ‫שאלה‬
. 0  x  2 :‫ עולה‬.5 max  2,0.25 .4 x  0 , y  0 .3 1, 0  .2 x  0 .1 .‫א‬


. x  3 :‫ קעורה כלפי מעלה‬.7  3,  .6 x  0 , x  2 :‫יורדת‬
 9
2
. x  0 , 0  x  3 :‫קעורה כלפי מטה‬
. x  1 , x  0 :‫ עולה‬.5 min  0,0  .4 x  1 , y  2 .3  0, 0  .2 x  1 .1 .‫ב‬
. x  1 ,  1  x 
1
1 2
:‫ קעורה כלפי מעלה‬.7  ,  .6 1  x  0 :‫יורדת‬
2
2 9
.x 
. min  12,5.2  , max   12, 5.2  .4
x  2 .3
1
:‫קעורה כלפי מטה‬
2
 0, 0  .2
x  2 .1 .‫ג‬
.  12  x  2 ,  2  x  2 , 2  x  12 :‫ יורדת‬x   12 , x  12 :‫ עולה‬.5
. 2  x  0 , x  2 :‫ קעורה כלפי מעלה‬.7 .  0, 0  .6
. x  2 , 0  x  2 :‫קעורה כלפי מטה‬
. x  3 , x  1 :‫ עולה‬.5 max  3, 6.75 .4 x  1 .3  0, 0  .2 x  1 .1 .‫ד‬
. x  0 :‫ קעורה כלפי מעלה‬.7  0, 0  .6 3  x  1 :‫יורדת‬
. x  1 , 1  x  0 :‫קעורה כלפי מטה‬
.‫ה‬.‫ יורדת בכל ת‬.5 .‫ אין‬.4 x  1 , y  1 .3  1,0 ,  0, 1 .2 x  1 .1 .‫ה‬
1

. x  1 ,  3  x  1 :‫ קעורה כלפי מעלה‬.7  3,  ,  1, 0  .6

8
. x  3 , 1  x  1 :‫קעורה כלפי מטה‬
x  2 , x  5 , y  1 .3
 0, 0.1 ,  1,0 , 1,0 .2
x  2,5 .1 .‫ו‬
. 0.359  x  2 , 2  x  2.78 :‫ עולה‬.5 min  0.359, 0.11 , max  2.78, 3.89 .4
. x  0.359 , 2.78  x  5 , x  5 :‫יורדת‬
.‫ אין‬.4 x  2 , y  1 .3  3,0 , 1,0  ,  0, 0.75 .2 x  2 .1 .‫ז‬
.‫ה‬.‫ יורדת בכל ת‬.5
214
‫ח‪. min  0,0 , max  2, 4  .4 x  1 .3  0, 0  .2 x  1 .1 .‬‬
‫‪ .5‬עולה‪ x  1 , x  2 , x  0 :‬יורדת‪. 2  x  1 , 1  x  0 :‬‬
‫‪ .6‬אין‪ .7 .‬קעורה כלפי מעלה‪ x  1 , x  1 :‬קעורה כלפי מטה‪. x  1 :‬‬
‫סקיצות‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪215‬‬
‫חקירת פונקציות עם פרמטר‪:‬‬
‫סיווג נקודות קיצון באמצעות '' ‪: y‬‬
‫אם הנקודה ‪ A  x1 , y1 ‬היא נקודה החשודה לקיצון אז‪:‬‬
‫‪ ‬אם ‪ f ''  x1   0‬הנקודה ‪ A  x1 , y1 ‬היא נקודת מינימום‪.‬‬
‫‪ ‬אם ‪ f ''  x1   0‬הנקודה ‪ A  x1 , y1 ‬היא נקודת מקסימום‪.‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬מצא וסווג את נקודות הקיצון של הפונקציה‪. f  x   x3  12 x :‬‬
‫‪ )2‬מצא וסווג את נקודות הקיצון של הפונקציה‪. f  x   x2  6 x  16 :‬‬
‫‪ )3‬מצא וסווג את נקודות הקיצון של הפונקציה‪ b  0 , f  x   x3  3b2 x :‬פרמטר‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪ )4‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪a  x2‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )5‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ .  a  0 ‬חקור לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪1  x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  b‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ .  b  1‬חקור לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪216‬‬
‫‪ )6‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪f  x   4 x b2  x 2‬‬
‫‪. b  0‬‬
‫חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מציאת תחום הגדרה‪.‬‬
‫מציאת נקודות קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪x2  m‬‬
‫‪ )7‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪ax  4‬‬
‫‪ a, m , y ‬פרמטרים קבועים כאשר‪. a  0 :‬‬
‫ידוע כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך של הפרמטר ‪. m‬‬
‫ב‪ .‬הצב את הערך של ‪ m‬שמצאת בסעיף א' והבע באמצעות ‪ a‬את‪:‬‬
‫‪ .1‬תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫‪ .3‬האסימפטוטות לגרף הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה וסמן בה את נקודות הקיצון ואת משוואות האסימפטוטות‬
‫שהבעת באמצעות ‪ a‬בסעיף הקודם‪.‬‬
‫ד‪ .‬ידוע כי נקודת הקיצון שאינה על ציר ה‪ , y -‬נמצאת במרחקים שווים מהצירים‪.‬‬
‫מצא את הערך של הפרמטר ‪. a‬‬
‫ה‪ .‬נתון הישר‪. y  k :‬‬
‫מצא עבור אילו ערכים של ‪ k‬אין לישר ולגרף הפונקציה נקודות משותפות כלל‪.‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪min  3, 25 )2 min  2, 16  , max  2,16  )1‬‬
‫‪min  b, 2b3  , max  b,2b3  )3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )4‬א‪ .‬כל ‪ x‬ב‪ max  a,  , min  a,   .‬ג‪ .‬עולה‪ , a  x  a :‬יורדת‪. x  a, x  a :‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ a‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ד‪  0,0  .‬ה‪. y  0 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1 ‬‬
‫‪ , x ‬יורדת‪ x  b :‬‬
‫‪ )5‬א‪ x  b .‬ב‪ max  , 2  .‬ג‪ .‬עולה‪ x  b :‬או‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ b b 1‬‬
‫‪1‬‬
‫ד‪ .‬‬
‫‪b2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1,0  ,  1,0   0,‬ה‪. x  b , y  1 .‬‬
‫‪‬‬
‫‪217‬‬
 b

 b

,2b2  , min  
, 2b2  .‫ ב‬b  x  b .‫) א‬6
2
 2



b
b
b
b
x
 x  b :‫ יורדת‬
. b  x  
,
:‫ עולה‬,‫ קצה‬min  b,0 
2
2
2
2
,‫ קצה‬max  b,0  , max 
.  b,0  ,  b,0  ,  0,0  .‫ד‬
. 0  k  4 .‫ ה‬a  2 .‫ ד‬x 
4
4
 8 16 
.3 Max  0, 0  , Min  , 2  .2 x  .1 .‫ ב‬m  0 .‫) א‬7
a
a
a a 
:‫סקיצות לשאלות‬
)5
)4
)7
218
)3
)6
‫חקירת פונקציות טריגונומטריות‪:‬‬
‫הגדרות כלליות‪:‬‬
‫תיאור גרפי של פונקצית הסינוס‪: y  sin x :‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫תיאור גרפי של פונקצית הקוסינוס‪: y  cos x :‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫תיאור גרפי של פונקצית הטנגנס‪: y  tan x :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪219‬‬
‫‪y‬‬
‫הנגזרות הטריגונומטריות היסודיות‪:‬‬
‫הפונקציה‬
‫הנגזרת‬
‫‪y  sin x‬‬
‫‪y '  cos x‬‬
‫‪y  cos x‬‬
‫‪y '   sin x‬‬
‫‪y  tan x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪cos 2 x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y'   2‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪y' ‬‬
‫‪y  cot x‬‬
‫זוגיות של פונקציות‪:‬‬
‫‪ .1‬פונקציה ‪ f  x ‬תקרא זוגית אם היא מקיימת את התכונה הבאה‪. f  x   f   x  :‬‬
‫‪ .2‬פונקציה ‪ f  x ‬תקרא אי‪-‬זוגית אם היא מקיימת את התכונה הבאה‪. f  x    f   x  :‬‬
‫‪ .3‬פונקציה אשר אינה מקיימת אף אחת מהתכונות הנ"ל אינה זוגית ואינה אי‪-‬זוגית‪.‬‬
‫מחזוריות של פונקציות‪:‬‬
‫‪ .1‬פונקציה ‪ f  x ‬תיקרא מחזורית במחזור ‪ T‬אם היא מקיימת‪:‬‬
‫‪ f  x  T   f  x ‬לכל ‪ x‬בתחום הגדרתה‪.‬‬
‫‪ .2‬מחזור של פונקציות טריגונומטריות‪:‬‬
‫‪ ‬הפונקציה ‪ f  x   sin x‬מחזורית במחזור ‪ T  2‬שכן‪. sin  x  2   sin x :‬‬
‫‪ ‬הפונקציה ‪ f  x   cos x‬מחזורית במחזור ‪ T  2‬שכן‪. cos  x  2   cos x :‬‬
‫‪ ‬הפונקציה ‪ f  x   tan x‬מחזורית במחזור ‪ T  ‬שכן‪. tan  x     tan x :‬‬
‫‪ ‬הפונקציה ‪ f  x   cot x‬מחזורית במחזור ‪ T  ‬שכן‪. cot  x     cot x :‬‬
‫‪ .3‬מחזור של פונקציות מהצורה‪( y  a  c  f  mx  n  :‬כאשר ‪ f  x ‬מחזורית‬
‫במחזור ‪ ) T‬תלוי רק במקדם של ‪ x‬והוא‪ .T / m :‬דוגמאות‪:‬‬
‫‪ ‬הפונקציה ‪ f  x   sin  3x ‬מחזורית במחזור ‪.T  2 / 3‬‬
‫‪ ‬הפונקציה ‪ f  x   5  2cos  2 x   ‬מחזורית במחזור ‪.T  ‬‬
‫‪ ‬הפונקציה ‪ f  x   tan  0.1x ‬מחזורית במחזור ‪.T   / 0.1  10‬‬
‫‪220‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬גזור את הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫א‪f  x   sin x  3cos x  x .‬‬
‫ב‪f  x   2 x sin x  4 tan x .‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪1  sin x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ )2‬גזור את הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫א‪f  x   sin 3x  2cos5x .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ )3‬גזור את הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫א‪f  x   sin 3 x .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪cos 2 x‬‬
‫‪1  sin 2 x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫ב‪f  x   2cos x .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪f  x   sin 2 x‬‬
‫ה‪f  x   cos2 2 x .‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪f  x   sin 3 2 x‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪f  x   tan 2 4 x‬‬
‫‪ )4‬גזור את הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪f  x   sin 3x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ )5‬גזור את הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫א‪f  x   sin 2 x  cos2 x .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪sin 2 x‬‬
‫‪cos 2 x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫ב‪f  x   sin 4 2 x  cos4 2 x .‬‬
‫‪f  x   sin 4 x  cos4 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )6‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה‪ f  x   cos x :‬בנקודה ‪. A   , 3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ )7‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה‪ f  x   sin 2 x :‬בנקודה שבה‬
‫‪ )8‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה‪ f  x   tan 3x :‬בנקודה שבה‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪.x ‬‬
‫‪.x ‬‬
‫‪ )9‬מצא את משוואות המשיקים לפונקציה‪ f  x   4sin 2 x :‬בנקודות החיתוך של‬
‫הפונקציה עם הישר ‪ y  1‬בתחום ‪. 0,  ‬‬
‫‪221‬‬
‫‪ )10‬שיפוע המשיק לפונקציה‪ a ( , f  x   sin x  a :‬פרמטר) בנקודה שבה ‪y  1‬‬
‫‪3‬‬
‫בתחום ‪ 0,  ‬הוא‬
‫‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ )11‬נתונה הפונקציה‪ a (, f ( x)  a sin 2 x  5sin x  ax :‬פרמטר) בתחום‪. 0  x   :‬‬
‫ידוע כי הישר‪ y  ax  2 :‬חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪.x ‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬מצא נקודה על גרף הפונקציה בתחום הנתון שבה שיפוע המשיק הוא‪. m  2 :‬‬
‫ג‪ .‬האם קיימות נקודות נוספות בתחום הנתון ששיפוע המשיק דרכן הוא ‪? 2‬‬
‫נמק את תשובתך‪.‬‬
‫ד‪ .‬כתוב את משוואת המשיק העובר דרך הנקודה שמצאת‪.‬‬
‫‪ )12‬נתונות הפונקציות הבאות‪ f ( x)  x2  cos2 x :‬ו‪. g ( x)  x2  sin 2 x -‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ההפרש‪ f ( x)  g ( x) :‬שווה ל ‪. cos 2x -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות בתחום‪.   x   :‬‬
‫ג‪ .‬ישר ‪  0  t  1 , x  t‬חותך את הגרפים בנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬ומהן מעבירים‬
‫משיקים לפונקציות‪ .‬ידוע כי ההפרש בין שיפוע המשיק של גרף‬
‫הפונקציה )‪ g ( x‬לשיפוע המשיק של גרף הפונקציה )‪ f ( x‬הוא ‪.1‬‬
‫מצא את כל הערכים האפשריים עבור ‪. t‬‬
‫‪ )13‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות בתחום הנתון‪:‬‬
‫א‪0, 2  .‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪1  cos 2 x‬‬
‫ג‪0, 2  .‬‬
‫‪f  x   tan x‬‬
‫ב‪  ,   .‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪sin x  cos x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ )14‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪ f  x   sin x  cos x :‬בתחום‪. 0 : 2  :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )15‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪ f  x   sin x  x :‬בתחום‪. 0 : 2  :‬‬
‫‪sin x  1‬‬
‫‪ )16‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪:‬‬
‫‪sin x  1‬‬
‫‪ f  x  ‬בתחום‪. 0 : 2  :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )17‬מצא את נקודות הקיצון המוחלטות של הפונקציה‪f  x   sin 5 x  sin 3 x  2sin x :‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫בתחום‪. 0 :1.5  :‬‬
‫‪222‬‬
‫‪ )18‬לפונקציה‪ a, b (, f  x   a sin x  b sin3 x :‬פרמטרים) יש נקודת קיצון‬
‫ששיעוריה ‪ .  7 , 1‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪. b -‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )19‬מצא את האסימפטוטות האנכיות לפונקציה‪:‬‬
‫‪sin 3x‬‬
‫‪ f  x  ‬בתחום‪. 0 :   :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )20‬מצא את האסימפטוטות האנכיות לפונקציה‪:‬‬
‫‪sin x cos x‬‬
‫‪ f  x  ‬בתחום‪. 0 :   :‬‬
‫‪ )21‬מצא את האסימפטוטות האנכיות לפונקציה‪ f  x   tan x :‬בתחום‪.  :   :‬‬
‫‪ )22‬מצא את האסימפטוטות האנכיות לפונקציה‪ f  x   sin 2 x  2sin x :‬בתחום‪. 0 : 2  :‬‬
‫‪ )23‬נתונה הפונקציה‪ f  x   x  2cos x :‬בתחום ‪ . 0, 2 ‬חקור לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות הקיצון של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫תחומי עלייה וירידה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )24‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪ f  x   1  1‬בתחום ‪ .  0,  ‬חקור לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪cos x‬‬
‫מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות הקיצון של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫תחומי עלייה וירידה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )25‬נתונה הפונקציה‪ f  x   4sin 2 x  2 :‬בתחום ‪. 0  x  ‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים בתחום הנתון‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה בתחום הנתון וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מעבירים את הישר ‪ . y  k‬היעזר בסקיצה ומצא לאילו ערכי ‪ k‬הישר‬
‫יחתוך את גרף הפונקציה בשתי נקודות בדיוק‪.‬‬
‫‪223‬‬
‫ה‪ .‬העבירו ישר המשיק לפונקציה בנקודת המקסימום המוחלט שלה‪ .‬כמו כן‬
‫העבירו מנקודה זו אנך לציר ‪. x‬‬
‫מצא את שטח המלבן הנוצר על ידי הצירים‪ ,‬המשיק והאנך‪.‬‬
‫‪ )26‬נתונה הפונקציה‪ f ( x)  cos2 x  cos x  2 :‬בתחום‪. 0  x  2 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של גרף הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ )27‬נתונה הפונקציה‪ m) , 1  m  3 , y  cos x  sin mx :‬פרמטר)‪.‬‬
‫הנגזרת של הפונקציה מתאפסת כאשר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.x  ‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. m‬‬
‫ב‪ .‬האם הנקודה שבה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  ‬היא נקודת קיצון? אם כן קבע את סוגה‪.‬‬
‫אם לא נמק מדוע‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא כמה נקודות קיצון מקומיות יש לגרף הפונקציה בתחום‪. 0  x  2 :‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪ x -‬בתחום הנתון‪.‬‬
‫‪ )28‬נתונה הפונקציה הבאה‪ y   sin x  1  cos x :‬בתחום‪. 0  x  1.5 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬כמה פתרונות יש למשוואה‪  sin x  1  cos x  1 :‬בתחום הנתון?‬
‫‪ )29‬נתונה הפונקציה‪. f  x   sin 2 x  cos x  1 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא בתחום ‪ 0,  ‬את נקודות החיתוך עם הצירים של הפונקציה ואת‬
‫נקודות הקיצון שלה‪.‬‬
‫הוכח שהפונקציה זוגית‪.‬‬
‫שרטט את הפונקציה בתחום ‪.   ,  ‬‬
‫‪224‬‬
‫‪ )30‬נתונה הפונקציה‪ f  x   4 x  3tan x :‬בתחום ‪.    , 2 ‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪ 6‬‬
‫חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מציאת נקודות הקיצון של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬תחומי עלייה וירידה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מציאת נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫ה‪ .‬מציאת אסימפטוטות אנכיות‪.‬‬
‫ו‪ .‬סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )31‬נתונה הפונקציה‪ f ( x)  tan 2 x  8sin 2 x :‬בתחום‪. 0.25  x  0.25 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים בתחום הנתון‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את האסימפטוטות האנכיות של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של גרף הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬
‫‪ )32‬נתונה הפונקציה‪ f  x   tan  x 2  4 x  :‬בתחום ‪.  0, 4‬‬
‫חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מציאת נקודות הקיצון של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )33‬נתונה הפונקציה‪ f ( x)  x cos x  x :‬בתחום‪. 3  x  3 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫ב‪ .1 .‬הראה כי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪ x -‬מאפסות‬
‫את הנגזרת של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ . 2‬קבע אלו נקודות מנקודות החיתוך הן נקודות קיצון ואלו אינן‬
‫נקודות קיצון ומצא את סוג הקיצון בכל מקרה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )34‬נתונה הפונקציה‪ k , y   cos x  k  :‬פרמטר‪ ,‬בתחום‪. 0  x  2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫הפונקציה חותכת את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה‬
‫‪3‬‬
‫‪.x ‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ k‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת המקסימום שאיננה מוחלטת בתחום הנתון‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם יש לגרף הפונקציה נקודות מינימום שאינן מוחלטות? אם כן מהן?‬
‫‪225‬‬
‫‪ )35‬נתונה הפונקציה‪ m ( , f ( x)  m sin x  k cos2 x :‬פרמטר)‪.‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪ x  ‬שמשוואתו‪. y  6 x  6  7 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ k‬ו ‪. m -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון בתחום‪. 0.5  x  1.5 :‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה וקבע עפ"י הסקיצה בכמה נקודות גרף‬
‫הפונקציה חותך את ציר ה‪ x -‬בתחום הנ"ל‪.‬‬
‫‪ )36‬נתונה הפונקציה‪ k ( , f ( x)  tan x  kx :‬פרמטר) בתחום‪. 0  x   :‬‬
‫א‪ .‬מצא את האסימפטוטה האנכית של הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬
‫הפונקציה‪ g ( x)  tan 2 x  kx :‬חותכת את הפונקציה )‪ f ( x‬בשתי נקודות‬
‫החיתוך שלה עם ציר ה ‪ x -‬בתחום הנתון‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה )‪ f ( x‬בתחום הנתון וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫‪ )37‬לפניך הפונקציות הבאות‪ f  x    cos x :‬ו‪. g  x   cos x  1 -‬‬
‫הפונקציה )‪ f ( x‬מוגדרת בתחום ‪ 0.5  x  1.5‬והפונקציה )‪ g ( x‬מוגדרת‬
‫בתחום ‪. 0  x  2‬‬
‫א‪ .‬האם הגרפים חותכים את ציר ה ‪ x -‬בתחום הנתון? הראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם הגרפים חותכים זה את זה בתחום הנתון? אם כן מצא את נקודות החיתוך‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה )‪ f ( x‬בתחום הנתון וקבע את סוגה‪.‬‬
‫ד‪ .‬לפניך ארבעה איורים‪ III , II , I :‬ו‪.IV-‬‬
‫קבע על סמך הסעיפים הקודמים איזה איור מתאר את הגרף של )‪f ( x‬‬
‫ואיזה מתאר את הגרף של )‪ . g ( x‬נמק‪.‬‬
‫‪226‬‬
:‫תשובות סופיות‬
.
cos x
1  sin x 
2
2sin x  2 x cos x 
.‫ג‬
.
.
4
.‫ב‬
cos2 x
cos x  3sin x  1
.‫) א‬1
2
.‫ ב‬3cos3x  10sin5x .‫) א‬2
1  sin 2x
8 tan 4 x
.‫ ו‬2sin 4x .‫ ה‬6sin 2 2 x cos2 x .‫ ד‬sin 2x .‫ ג‬8cos3 x sin x .‫ ב‬3sin 2 x  cos x .‫) א‬3
2
cos 4 x
3cos3x
cos 2 2 x  1
.  sin 4x .‫ג‬
4sin 4x
.‫ב‬
. y  12 x 
2sin 2x
.‫) א‬5
4
 3 )8
3
.a 
.‫ב‬
cos 2 x cos 2 x
y  2 x   )7
2 sin 3x
.‫) א‬4
1

3
y  x 
)6
2
12 2
1
 3
5 3
)10 . y  2 3x 
 1 , y  2 3x 
 1 )9
2
3
3



. y  2 x  3 .‫ ד‬.‫ לא‬.‫ ג‬ ,   3  .‫ ב‬f ( x)  2sin 2 x  5sin x  2 x , a  2 .‫) א‬11
2

. t1,2 
 3
  
 
  3

.‫ ג‬  , 6.05  ,   ,1.11 ,  ,1.11 ,  , 6.05  .‫) ב‬12
12 12
 4
  4
 4
  4

 5
,
3
 3
‫ וגם‬  x   .‫ ב‬x  ,
‫ וגם‬0  x  2 .‫) א‬13
4
4
2 2
 3
.x  ,
‫ וגם‬0  x  2 .‫ג‬
2 2
 5



.‫ קצה‬max  2 .1 ,  ,  2  min , max  , 2  ,‫ קצה‬min  0,1 )14
 4

4


.x  ,
 5
.‫ קצה‬max  2 ,   , min 
 3
3
,
3 5

2
6

 3  
  ,‫ קצה‬min  0,0  )15
 , max  ,

3 2 6

3






. b  4 , a  3 )18 max  ,2  min  , 2  )17 .‫ מוחלט‬max  ,0  )16
15 
 2 15 
2
 2 
x

2
,x

2
)21
2
x0, x

2
2
, x   )20
. 0  x  2 .‫) א‬23
 
2
, x   )19
3
3
 7 1   11 1 
,1  , 
,1  )22

4
 6 4  6
x0, x

, x
5 5




.‫ קצה‬min  0,2  , max  ,  3  , min  ,  3  ,‫ קצה‬max  2 ,2  2  .‫ב‬
6 6

 6 6

.  0,2  .‫ד‬

6
5

:‫ תחומי ירידה‬0  x 
‫או‬
6
6

3
x
:‫ קעירות כלפי מעלה‬.‫ז‬
2
2
x
227
5
 x  2 :‫ תחומי עלייה‬.‫ג‬
6
     3 3 
 ,  ,  ,  .‫ ו‬.‫ אין‬.‫ה‬
2 2  2 2 
.0  x 

‫או‬
2
. min 
3
 x  2 :‫קעירות כלפי מטה‬
2


, 2 2
4

x
.‫ב‬

‫ וגם‬0  x   .‫) א‬24
2



 3 
:‫ תחומי ירידה‬x 
‫ וגם‬ x   :‫ תחומי עלייה‬.‫ג‬
 ,0  .‫ ד‬0  x 
4
4
2
 4 
.x  0 , x 


2
, x   :‫ אנכית‬.‫ה‬

3
5
. min  0, 2  , max  , 2  min  , 6  , max  , 2  .‫ ב‬.  0, 2  ;  , 0  ;  , 0  .‫) א‬25
 12 
 12 
4 
 4

.

.‫ ה‬k  2 ‫ וגם‬6  k  2 .‫ד‬
2


Max  0, 2  , Min  , 2.25  , Max  , 0  .‫ ב‬ , 0  ,  0, 2  .‫) א‬26
3


2
 x   , 1   x  2 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min 1 23  , 2.25 , Max  2 , 2 
3
3

2
. 0  x  ,   x  1  :‫יורדת‬
3
3


.  0.5 , 0  , 1.5 , 0  .‫ נקודות ד‬2 .‫ נקודת פיתול ג‬.‫ ב‬m  2 .‫) א‬27


3
 5

,
, 1.29  , 1.5 , 0  .‫ ב‬ ,0  ,  ,0  , 0,1  .‫) א‬28
 6

2   2 
 1
 
.‫ קצה‬min  0,0  , max  ,  ,‫ קצה‬min  , 2  :‫ קיצון‬ ,0  ,  0,0  :‫ חיתוך‬.‫) א‬29
2 
 3 4


.‫ פתרונות‬2 .‫ ד‬ 0,1 ,  ,1.29 
6


2


2




, max  ,0.36  ,‫ קצה‬min  ,13.57  .‫ ב‬x 
‫ וגם‬  x 
6
3
2
6

 3


6

x
2
3
2
3


6
6
:‫ תחומי ירידה‬,   x 
.‫) א‬30



:‫ תחומי עלייה‬.‫ קצה ג‬min   , 0.36 
 6



:‫ אנכית‬.‫ ה‬ 0,0  .‫ ד‬. x 
‫וגם‬
2
2
2


.0  x 
:‫ קעירות כלפי מטה‬,   x  0 ‫או‬
2
6


 

. Min  ,  27  , Max   , 27  .‫ ג‬x  0.25 .‫ ב‬ 0,0 ,  0.23 ,0  .‫) א‬31
6

 6

.‫ קצה‬max  4,0  , min  2, 1.16  ,‫ קצה‬max  0,0  .‫ ב‬x  0.44 , x  3.56 ‫ וגם‬0  x  4 .‫) א‬32
x
:‫ קעירות כלפי מעלה‬.‫ ז‬ 0,0  .‫ ו‬x 
.‫ פיתול‬ 0, 0  .2  0,0 , Max  2 ,0  , Min  2 ,0  .1 .‫ ב‬ 0, 0 ,  2 , 0  ,  2 , 0  .‫) א‬33
.‫ לא‬.‫ ג‬ , 0.25 .‫ ב‬y   cos x  0.5 , k  0.5 .‫) א‬34
2
.‫ בשתי נקודות‬.‫ ג‬.  0.5 , 6 ,  0.5 ,6  , 1.5 , 6  .‫ ב‬m  6 , k  7 .‫) א‬35
228
4
. k    1.27 .‫ ב‬x  0.5 .‫) א‬36

. Max  0,0 , Min  0.15 , 0.07  , Max  0.84 , 3.9  , Min  , 4  .‫ג‬
 2 1 
,

2
 3
.
 4 1 
, ,
 .‫ כן‬.‫ ב‬g ( x) :  , 0  , f ( x) :  0.5 , 0  , 1.5 , 0  .‫ כן‬.‫) א‬37
2
 3
. f ( x) - II ‫ איור‬. g ( x) - I ‫ איור‬.‫ ד‬Min  0.5 ,0  , Max  ,1  , Min 1.5,0  .‫ג‬
229
‫פרק ‪ - 9‬בעיות קיצון‪:‬‬
‫שלבי עבודה‪:‬‬
‫‪ .1‬נגדיר את אחד הגדלים בשאלה כ‪. x -‬‬
‫‪ .2‬נבטא את שאר הגדלים בשאלה באמצעות ‪. x‬‬
‫‪ .3‬נבנה פונקציה שמבטאת את מה שרצו שיהיה מינימלי‪/‬מקסימלי‪.‬‬
‫‪ .4‬נגזור את הפונקציה‪ ,‬נשווה לאפס ונחלץ את ערך‪/‬ערכי ה‪. x -‬‬
‫‪ .5‬נוודא שערך ה‪ x -‬מסעיף ד' הוא אכן מינימום‪/‬מקסימום באמצעות '' ‪( y‬או טבלה)‪.‬‬
‫‪ .6‬ננסח את התשובה לשאלה המקורית‪.‬‬
‫בעיות קיצון עם מספרים‪:‬‬
‫‪ )1‬מבין כל זוגות המספרים שסכומם ‪ 14‬מצא את הזוג שמכפלתו מקסימלית‪.‬‬
‫‪ )2‬נתונים שלושה מספרים שסכומם ‪ .24‬המספר הראשון שווה למספר השני‪.‬‬
‫מצא מהם המספרים אם ידוע שמכפלתם מקסימלית‪.‬‬
‫‪ )3‬מצא את המספר החיובי שאם נוסיף לו את המספר ההופכי לו הסכום המתקבל‬
‫יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪ )4‬נתונים שלושה מספרים שסכומם הוא ‪ .36‬ידוע שמספר אחד זהה לשני‪.‬‬
‫א‪ .‬מה צריכים להיות שלושת המספרים כדי שמכפלתם תהיה מקסימלית?‬
‫ב‪ .‬כיצד תשתנה התוצאה אם מספר אחד יהיה גדול פי ‪ 2‬מהשני במקום שווה לו?‬
‫ג‪ .‬באיזה מקרה תהיה מכפלה גדולה יותר?‬
‫‪ x )5‬ו‪ y -‬הם שני מספרים המקיימים‪. x  6 y  60 :‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ y‬באמצעות ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬מה צריכים להיות המספרים ‪ x‬ו ‪ y -‬כדי שמכפלת ריבועיהם תהיה מקסימלית?‬
‫ג‪ .‬מהי המכפלה הנ"ל?‬
‫‪ )6‬נתונים שני מספרים חיוביים ‪ p‬ו‪ q -‬שסכומם ‪. a‬‬
‫‪p n‬‬
‫‪‬‬
‫הראה שכאשר מתקיים‬
‫‪q m‬‬
‫ערך הביטוי ‪ n ( p n q m‬ו ‪ m -‬טבעיים) מקסימלי‪.‬‬
‫‪230‬‬
‫בעיות בהנדסת המישור‪:‬‬
‫‪ )7‬מבין כל המשולשים שווי השוקיים שהיקפם ‪ 24‬ס"מ מצא את אורך בסיסו של‬
‫המשולש בעל השטח הגדול ביותר‪.‬‬
‫‪ )8‬א‪ .‬מבין כל המשולשים שווי השוקיים שהיקפם ‪ a‬מצא את בסיסו של המשולש‬
‫בעל השטח הגדול ביותר‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ :‬מבין כל המשולשים שווי השוקיים בעלי אותו היקף המשולש בעל‬
‫השטח הגדול ביותר הוא משולש שווה צלעות‪.‬‬
‫‪ )9‬במשולש ישר זווית סכום אורכי הניצבים הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מה צריך להיות אורך כל ניצב‪ ,‬כדי שטח‬
‫המשולש יהיה מקסימלי?‬
‫ב‪ .‬מהו השטח המקסימלי?‬
‫ג‪ .‬מה יהיה אורך היתר במשולש במקרה זה?‬
‫‪A‬‬
‫‪ )10‬במשולש ישר זווית ‪ ) B  90o ( ABC‬הנקודה ‪ E‬נמצאת‬
‫על היתר ‪ AC‬כך שהמרובע ‪ EDBF‬הוא מלבן‪.‬‬
‫נתון‪. BC  16cm , AB  20cm :‬‬
‫מצא את שטחו של המלבן בעל השטח הגדול ביותר‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )11‬במשולש ישר זווית ‪ ) B  90o ( ABC‬הנקודה ‪ E‬נמצאת‬
‫על היתר ‪ AC‬כך שהמרובע ‪ EDBF‬הוא מלבן‪.‬‬
‫נתון‪. BC  b , AB  a :‬‬
‫מצא את שטחו של המלבן בעל השטח הגדול ביותר‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )12‬במשולש ישר הזווית ‪ AD  B  90 , ABC‬הוא‬
‫תיכון לניצב ‪ .BC‬ידוע כי סכום אורכי הניצבים הוא ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫מצא מה צריכים להיות אורכי הניצבים עבורם אורך‬
‫התיכון ‪ AD‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪231‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )13‬נתון מלבן שאורכי צלעותיו הם ‪ 8‬ס"מ ו‪ 12 -‬ס"מ כמתואר באיור‪.‬‬
‫מקצים קטעים באורכים של ‪ x‬ו‪ 4x -‬על צלעות המלבן כך‬
‫שנוצרים המלבנים המקווקווים‪.‬‬
‫מצא את ‪ x‬עבורו סכום שטחי המלבנים הוא מינימלי‪.‬‬
‫‪ )14‬נתון ריבוע בעל אורך צלע של ‪ 16‬ס"מ‪ .‬מקצים קטע‬
‫שאורכו ‪ x‬על הצלע העליונה ושני קטעים שאורכם ‪2x‬‬
‫על הצלעות הצדדיות כמתואר באיור כך שנוצר המחומש‬
‫המקווקו‪ .‬מצא מה צריך להיות ערכו של ‪ x‬עבורו שטח‬
‫המחומש יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪ )15‬הנקודות ‪ K , L , M , N‬מקצות קטעים שווים במלבן ‪ABCD‬‬
‫כך ש‪. BK  BL  DM  DN  x :‬‬
‫צלעותיו של המלבן הן ‪ 20‬ס"מ ו‪ 12-‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את סכום שטחי המשולשים‪:‬‬
‫‪. AKN  KBL  CLM  DNM‬‬
‫ב‪ .‬מצא מה צריך להיות ‪ x‬כדי ששטח‬
‫המרובע ‪ LKNM‬יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה הוא השטח של המרובע ‪ LKNM‬במקרה זה?‬
‫‪ )16‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪ .‬מהקדקוד ‪ B‬מעבירים את הצלע ‪ EF‬הנפגשת‬
‫עם המשכי הצלעות ‪ DC‬ו ‪ .AD-‬ידוע כי מידות המקבילית‬
‫הן‪ 2 :‬ס"מ ‪ 8 , AB ‬ס"מ ‪ . AD ‬מסמנים את אורך הצלע ‪ DE‬ב ‪. x -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את אורך הצלע ‪.DF‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ x‬עבורו סכום הצלעות ‪ DE‬ו‪ DF-‬הוא מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה הוא הסכום המינימלי?‬
‫‪ )17‬חיים הוא אחד מעובדי חברת "דפוס יהלום בע"מ"‪.‬‬
‫תפקידו של חיים הוא להדביק גלויות על משטחי קרטון בעלי שטח מינימלי כך‬
‫שיישארו רווחים של ‪ 3‬ס"מ מקצות הקרטון העליון והתחתון‪ ,‬ו‪ 5-‬ס"מ מצידי‬
‫הקרטון (ראה איור)‪ .‬יום אחד קיבל חיים שיחת טלפון מלקוח‬
‫אנונימי ששאל אותו את השאלה הבאה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫"יש לי מגוון גדול של גלויות במידות שונות אשר שטחן‬
‫‪5‬‬
‫זהה והוא ‪ 60‬סמ"ר‪ .‬מה הן המידות של גלויה אשר שטח‬
‫‪3‬‬
‫משטח הקרטון שלה יהיה מינימלי?"‬
‫א‪ .‬עזור לחיים לענות ללקוח על שאלתו והראה דרך חישוב‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיו מידות הקרטון עבור הגלויה המסוימת?‬
‫‪232‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ )18‬אלינה קיבלה משימה בשיעור מלאכה‪ :‬יש להכין מסגרת‬
‫לתמונה מלוח עץ ששטחו הכולל הוא ‪ 242‬סמ"ר כך שעובי‬
‫המסגרת בצדדים יהיה ‪ 2‬ס"מ ובקצוות העליון‬
‫והתחתון –‪ 4‬ס"מ (ראה איור)‪ .‬כדי לבחור את מידות לוח‬
‫העץ‪ ,‬אלינה צריכה לדעת את השטח המקסימלי שעליה‬
‫לנסר עבור המקום לתמונה (השטח המסומן)‪.‬‬
‫א‪ .‬מה יהיו מידות לוח העץ שאלינה צריכה להזמין‬
‫עבור המשימה?‬
‫ב‪ .‬מה יהיה השטח המקסימלי לתמונה עבור המידות שאלינה בחרה?‬
‫‪ )19‬במעגל שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪ 10 5 cm‬העבירו מיתר ‪AB‬‬
‫שמרחקו ממרכז המעגל הוא ‪. 4cm‬‬
‫במקטע שיוצר המיתר חסום מלבן כמתואר בשרטוט‪.‬‬
‫מצא את היקפו של המלבן בעל ההיקף הגדול ביותר‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪ )20‬במעגל שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪ R‬העבירו מיתר ‪AB‬‬
‫שמרחקו ממרכז המעגל הוא ‪. a‬‬
‫במקטע שיוצר המיתר חסום מלבן כמתואר בשרטוט‪.‬‬
‫מצא את היקפו של המלבן בעל ההיקף הגדול ביותר‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪ )21‬שני הולכי רגל יוצאים בו זמנית לדרכם‪ ,‬האחד מעיר ‪ A‬מערבה‬
‫לעיר ‪ B‬והשני מעיר ‪ B‬דרומה לעיר ‪.C‬‬
‫המרחק בין הערים ‪ A‬ו‪ B-‬הוא ‪ 20‬ק"מ‪.‬‬
‫מהירות הרוכב שיצא מ ‪ A-‬היא ‪ 4‬קמ"ש ומהירות‬
‫הרוכב השני ‪ 2‬קמ"ש‪ .‬כעבור כמה זמן מיציאת הרוכבים‬
‫יהיה המרחק ביניהם מינימלי?‬
‫מצא גם את המרחק המינימלי‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫גלידריה‬
‫‪ )22‬אדם נמצא על אי במרחק ‪ 0.5‬ק"מ מהחוף‪ .‬על‬
‫החוף‪ ,‬במרחק של ‪ 3‬ק"מ מהנקודה הקרובה ביותר‬
‫לאי‪ ,‬נמצאת גלידריה‪ .‬האדם שוחה במהירות של ‪8‬‬
‫קמ"ש ורץ על החוף במהירות של ‪ 10‬קמ"ש‪ .‬לאיזה מרחק‬
‫מהגלידריה עליו לשחות כדי להגיע לגלידריה בזמן הקצר ביותר?‬
‫‪D‬‬
‫‪ )23‬אדם מתכנן לבנות מרפסת בביתו ורוצה להציב מעקה‬
‫סביב המרפסת‪ .‬שטח המרפסת המתוכנן הוא ‪ 24‬מ"ר‪.‬‬
‫מחיר מעקה בחזית המרפסת ( ‪ ) BC‬הוא ‪ ₪ 120‬למטר‬
‫‪C‬‬
‫ומחיר מעקה בצידי המרפסת הוא ‪ ₪ 40‬למטר‪.‬‬
‫מה צריכים להיות ממדי המרפסת כדי שמחיר המעקה יהיה מינימלי?‬
‫‪233‬‬
‫אי‬
‫בית‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫בעיות קיצון בפונקציות וגרפים‪:‬‬
‫‪ )24‬נתונה הפונקציה ‪ . f  x   6 x  x2‬מנקודה ‪ A‬שעל הפונקציה‬
‫ברביע הראשון הורידו אנכים לצירי השיעורים כך שנוצר מלבן‬
‫כמתואר בסרטוט‪ .‬מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬כדי‬
‫ששטח המלבן יהיה מקסימלי?‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )25‬נתונות הפונקציות‪ f  x   x2  12 :‬ו‪ g  x   2 x  x 2 -‬כמתואר‪:‬‬
‫הנקודות ‪ A‬ו ‪ B-‬נמצאות בהתאמה על הגרפים של‬
‫הפונקציות‪ f  x  :‬ו‪ g  x  -‬כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬כדי‬
‫שאורך הקטע ‪ AB‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪ )26‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪ f  x   x2  8x  18 :‬ו‪. g  x    x 2  4 x -‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה ‪ f  x ‬והנקודה ‪ B‬נמצאת על גרף הפונקציה ‪g  x ‬‬
‫כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪ . y -‬מעבירים אנכים‬
‫מהנקודות ‪ A‬ו ‪ B-‬לציר ה‪ y -‬כך שנוצר מלבן (המסומן)‪.‬‬
‫נסמן את שיעור ה ‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬ב ‪. t -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את שטח המלבן המסומן‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערכו של ‪ t‬עבורו שטח המלבן הוא מקסימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה שטח המלבן במקרה זה?‬
‫‪ )27‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)  36  x2 :‬על גרף הפונקציה ברביע הראשון מסמנים נקודה ‪.A‬‬
‫מהנקודה ‪ A‬מעבירים ישר המקביל לציר ה ‪ x -‬שחותך את ציר‬
‫ה ‪ y -‬בנקודה ‪ .C‬הנקודה ‪ B‬היא נקודת החיתוך של הפונקציה‬
‫עם ציר ה‪ x -‬ו‪ O-‬ראשית הצירים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬כדי ששטח‬
‫הטרפז ‪ ABOC‬יהיה מקסימלי?‬
‫ב‪ .‬מה יהיה שטח הטרפז במקרה זה?‬
‫‪4‬‬
‫‪ )28‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ f ( x) ‬ונתון הישר‪ . y   x  3 :‬הנקודה ‪A‬‬
‫נמצאת על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬והנקודה ‪ B‬נמצאת על גרף הישר‬
‫כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪ . y -‬מצא מה צריכים להיות‬
‫שיעורי הנקודה ‪ A‬כדי שאורך הקטע ‪ AB‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪234‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )29‬נתונות שתי פונקציות‪ f  x   x 2 :‬ו ‪. g  x    -‬‬
‫מסמנים נקודה ‪ A‬על גרף הפונקציה ‪ f  x ‬ונקודה ‪ B‬על גרף‬
‫הפונקציה ‪ g  x ‬כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה ‪. y -‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬עבורן אורך הקטע ‪AB‬מינימלי‪.‬‬
‫‪9x‬‬
‫‪x 8‬‬
‫‪ f  x  ‬והישר‪:‬‬
‫‪ )30‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪25‬‬
‫‪x 1‬‬
‫הנקודות ‪ A‬ו ‪ B-‬נמצאות על הגרפים של הפונקציות כך‬
‫שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪ . y -‬מהנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬מותחים‬
‫אנכים לציר ה ‪ y -‬כך שנוצר המלבן ‪.ABCD‬‬
‫נסמן את שיעור ה ‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬ב ‪. t -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את היקף המלבן ‪.ABCD‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ t‬עבורו היקף המלבן הוא מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה ההיקף במקרה זה?‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )31‬נתונה הפונקציה ‪ f  x   2‬והישר ‪ . y  2 x‬בין הישר והפונקציה ברביע‬
‫‪x 1‬‬
‫הראשון חסמו מלבן‪ .‬מצא את מידות המלבן שהיקפו מינימלי‪.‬‬
‫‪x  12‬‬
‫‪ )32‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2  3‬‬
‫‪ f ( x) ‬בתחום‪. x  0 :‬‬
‫מקצים נקודה ‪ A‬על גרף הפונקציה וממנה מורידים אנכים‬
‫לצירים כך שנוצר המלבן ‪ ABCO‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬עבורם‬
‫שטח המלבן יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬עבורם שטח‬
‫המלבן יהיה מינימלי בתחום הנ"ל‪.‬‬
‫‪x  10‬‬
‫‪ )33‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ . f ( x) ‬מעבירים משיק לגרף הפונקציה‬
‫דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫מסמנים נקודה ‪ A‬על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬ברביע הראשון‬
‫ו‪ B-‬על גרף המשיק כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה ‪. y -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪ A‬עבורן אורך הקטע ‪ AB‬הוא מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה אורך הקטע ‪ AB‬במקרה זה?‬
‫‪235‬‬
‫‪.y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )34‬נתונה הפונקציה ‪ . f  x   13‬מצא שיעורי נקודה על הפונקציה ברביע הראשון‪,‬‬
‫‪x‬‬
‫שסכום הקטעים שהמשיק בה מקצה על הצירים הוא מינימלי‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )35‬נתונות הפונקציות ‪ f  x   2 x‬ו‪. g  x   1 x3 -‬‬
‫‪A‬‬
‫‪3‬‬
‫את הנקודה‬
‫‪A‬‬
‫שעל ‪ f  x ‬חיברו עם הנקודה ‪, B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫שנמצאת מתחתיה על ‪ g  x ‬כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬כדי שאורך הקטע ‪ AB‬יהיה מקסימלי?‬
‫‪ )36‬המשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים )‪.(AB=AC‬‬
‫באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪. f ( x)  6  3 x :‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון‪.‬‬
‫מהנקודה ‪ A‬מותחים אנכים לצירים אשר חותכים‬
‫אותם בנקודות ‪ B‬ו‪ C-‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫נסמן את שיעור ה ‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬ב ‪. t -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את סכום הקטעים ‪.AC+AB‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערכו של ‪ t‬עבורו סכום הקטעים הנ"ל יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪ )37‬נתונות הפונקציות ‪ f  x   1  x 2‬ו‪ .) b  0 ( g  x   bx 2 -‬הפונקציות נחתכות בנקודות ‪A‬‬
‫ו‪ .B-‬מצא את ערכו של ‪ b‬שבעבורו הקטע ‪ AO‬מינימלי (‪ –O‬ראשית הצירים)‪.‬‬
‫בעיות קיצון בהנדסת המרחב‪:‬‬
‫‪ )38‬נתונה תיבה שבסיסה ריבוע ושטח הפנים שלה הוא ‪ 96‬סמ"ר‪.‬‬
‫מצא את מידות התיבה שנפחה מקסימלי‪.‬‬
‫‪ )39‬נתונה תיבה שבסיסה ריבוע ושטח פניה (ללא המכסה) הוא ‪ 75‬סמ"ר‪.‬‬
‫מצא את אורך צלע הבסיס של התיבה שנפחּה הוא מקסימלי‪.‬‬
‫‪ )40‬נתונה תיבה שבסיסה הוא מלבן שבו צלע אחת גדולה פי ‪ 2‬מהצלע‬
‫הסמוכה לה כמתואר באיור‪ .‬ידוע כי גובה התיבה ‪ h‬וצלע המלבן‬
‫הקטנה ‪ x‬מקיימים‪ . x  h  9 :‬מצא מה צריכים להיות מידות‬
‫בסיס התיבה כדי שנפחּה יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪236‬‬
‫‪ )41‬נתונה תיבה שגובהה הוא ‪ h‬ובסיסה הוא ריבוע שאורך צלעו היא ‪. x‬‬
‫נתון כי צלע הריבוע וגובה התיבה מקיימים‪. 4 x  h  63 :‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ h‬באמצעות ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬הבע את שטח הפנים של התיבה באמצעות ‪. x‬‬
‫ג‪ .‬מה צריך להיות ערכו של ‪ x‬כדי ששטח הפנים יהיה מקסימלי?‬
‫‪ )42‬ליוסי משטח פח אשר הוא רוצה לבנות תיבה ממנו שנפחה הכולל‬
‫הוא ‪ 225‬סמ"ק‪ .‬יוסי רוצה שאורך הבסיס יהיה גדול פי ‪ 5‬מרוחבו‬
‫כמתואר באיור הסמוך‪ .‬כמות הפח שיש בידי יוסי מוגבלת ולכן הוא‬
‫רוצה לדעת מה היא הכמות המינימלית של פח שעליו להשתמש בכדי‬
‫להשיג את מבוקשו‪ .‬מצאו את כמות הפח המינימלית‪.‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )43‬לבניית תיבה שנפחה ‪ 144‬סמ"ק ואורך בסיסה גדול פי ‪ 2‬מרוחב בסיסה דרושים‬
‫שני חומרים להם שני מחירים שונים‪ :‬החומר לבסיס התחתון יקר פי ‪ 3‬מהחומר‬
‫לפאות הצדדיות והבסיס העליון‪ .‬מהן מידות התיבה הזולה ביותר שניתן לבנות?‬
‫‪ )44‬מכל הגלילים הישרים שהיקף פרישת המעטפת שלהם הוא ‪ k‬מצא את נפחו של‬
‫הגליל בעל הנפח המקסימלי‪.‬‬
‫‪ )45‬באיור שלפניך מתוארים תיבה שבסיסה ריבוע וגליל החסום בתוך התיבה‪.‬‬
‫רדיוס הגליל יסומן ב ‪ x -‬וגובהו ב ‪ . h -‬ידוע כי הסכום של ‪ x‬ו‪ h -‬הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את אורך מקצוע הבסיס של התיבה‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫ב‪ .1 .‬הבע באמצעות ‪ x‬את נפח הגליל‪.‬‬
‫‪ .2‬הבע באמצעות ‪ x‬את נפח התיבה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪ x‬עבורו הנפח הכלוא בין התיבה לגליל יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )46‬נתונה פירמידה מרובעת‪ ,‬משוכללת וישרה‪ .‬אורך מקצוע צדדי בפירמידה הוא ‪k‬‬
‫ושטח המעטפת שלה הוא ‪ . S‬הוכח‪. S  2k 2 :‬‬
‫‪ )47‬הוכח שמכל החרוטים הישרים שנפחם ‪  k‬סמ"ק‪ ,‬החרוט בעל שטח המעטפת‬
‫המינימלי הוא זה שגובהו ‪ 3 6k‬ס"מ‪.‬‬
‫(שטח מעטפת של חרוט הוא ‪ ,  R‬כאשר הוא הקו היוצר של החרוט)‪.‬‬
‫בעית קיצון עם תנועה‪:‬‬
‫‪ )48‬מהירותו של רכב היא ‪ v‬קמ"ש ועליו לנסוע דרך של ‪ S‬ק"מ‪.‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪v‬‬
‫‪ ₪‬לכל ק"מ נסיעה ו‪ 48 -‬‬
‫לרכב יש הוצאות נסיעה של‬
‫‪200‬‬
‫‪400‬‬
‫‪ ₪‬לכל שעת נסיעה‪.‬‬
‫הראה שכדי שהוצאותיו יהיו מינימליות על הרכב לנסוע במהירות של ‪ 80‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪237‬‬
:‫תשובות סופיות‬
.'‫ מקרה א‬.‫ ג‬16 ,12 ,8 .‫ ב‬12 ,12 ,12 .‫) א‬4 1 )3
8,8,8 )2 7,7 )1
. M  22500 .‫ ג‬x  30 , y  5 .‫ ב‬y  10 
x
.‫) א‬5
6
.‫ ס"מ‬6 2  8.48 .‫ סמ"ר ג‬18 .‫ ס"מ ב‬6-‫ ס"מ ו‬6 .‫) א‬9 .‫ ס"מ‬2.5 .‫) א‬8 .‫ יח"ר‬8 )7
.‫ ס"מ‬16 ,‫ ס"מ‬4 )12 .‫יחידות שטח‬
ab
)11 S  ‫ סמ"ר‬80 )10
4
. S  ‫ סמ"ר‬128 .‫ ג‬x  8 .‫ ב‬2 x2  32 x  240 .‫) א‬15 x  6 )14 x  2.75 )13
. L  18 .‫ ג‬x  6 , L 
x2  6 x
8x
.‫ ב‬DF 
.‫) א‬16
x2
x2
.‫ ס"מ‬20 X ‫ ס"מ‬12 .‫ ס"מ ב‬10 X ‫ ס"מ‬6 .‫) א‬17
. S  98 .‫ ס"מ ב‬22 ‫ ס"מ על‬11 .‫) א‬18
.‫ ק"מ‬80 :‫ המרחק‬,‫ שעות‬4 )21 .‫ יחידות אורך‬2 5R  2a )20 ‫ ס"מ‬92 )19
. A  0.5,12.25 )25 . A  4,8 )24 .4X6 )23 .‫ ק"מ‬2
1
)22
3
. S  128 .‫ ב‬A  2,32  .‫) א‬27 S  8 .‫ ג‬t  1 .‫ ב‬S  2t 3 12t 2  18t .‫) א‬26
 1


. A 1,  , B 1, 1 )29 A  2, 2  )28
2
.2 X 1 )31 ‫ ס"מ‬P  12.88 .‫ ג‬t  4
1.28t 2  0.72t  16
3
P

.‫ב‬
.‫) א‬30
t 1
4
. AB  24 .‫ ג‬A  4, 7  .‫ ב‬y  3x  5 .‫) א‬33 A  0, 4  .‫ ב‬A  2, 2  .‫) א‬32

1 
. b  1 )37 t  2.25 .‫ ב‬l  t  6  3 t .‫) א‬36 A 1, 2  )35  3,
 )34
3 3

.‫ ס"מ‬3 :‫ גובה‬.‫ ס"מ‬12 ,‫ ס"מ‬6 :‫) בסיס‬40 .‫ ס"מ‬5 )39 4X4X4 )38
.‫ ס"מ‬5-‫ ס"מ ו‬15 ,‫ ס"מ‬3 )42 x  9 .‫ ג‬p  14 x2  252 x .‫ ב‬h  63  4 x .‫) א‬41
.V
 ‫יחידות נפח‬
k3
)44 .‫ ס"מ‬8X6X3 )43
216
. x  8 .‫ ג‬V  48x2  4 x3 .2 V  12 x2   x3 .1 .‫ ב‬2x .‫) א‬45
238
‫בעיות קיצון – שאלות שונות‪:‬‬
‫בעיות בהנדסת המישור‪:‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )1‬בטרפז שווה‪-‬שוקיים ‪ )AB||CD( ABCD‬אורך‬
‫השוק הוא ‪ 4‬ס"מ ואורך הבסיס הקטן הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ DE‬הוא הגובה מקדקוד ‪( D‬ראה ציור)‪.‬‬
‫מה צריך להיות אורך הקטע ‪ AE‬כדי ששטח‬
‫הטרפז יהיה מקסימלי?‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )2‬נתון מלבן ‪ . ABCD‬נסמן ב‪ x -‬את אחת מצלעות‬
‫המלבן (ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬אם היקף המלבן הוא ‪ 60‬ס"מ בטא‬
‫באמצעות ‪ x‬את שטח המלבן‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬אם היקף המלבן הוא ‪ p‬מצא מה צריכות‬
‫להיות אורכי צלעות המלבן כדי ששטחו יהיה מקסימלי (הבע את אורכי‬
‫הצלעות באמצעות ‪.) p‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )3‬נתון מלבן ‪ ABCD‬כך ש‪5 -‬ס"מ = ‪, AD = BC‬‬
‫‪10‬ס"מ = ‪ . AB = CD‬על צלעות המלבן מקצים‬
‫קטעים ‪( AP  AQ  CS  CR  x :‬ראה ציור)‪.‬‬
‫מה צריך להיות ערכו של ‪ x‬כדי ששטח‬
‫המקבילית ‪ PQRS‬יהיה מקסימלי?‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪P‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪S‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪R‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ )4‬במשולש ישר זווית ‪ ( C  90 ) ABC‬סכום אורכי‬
‫הניצבים הוא ‪ 8‬ס"מ‪ .‬על היתר ‪ AB‬בונים ריבוע ‪.ABDE‬‬
‫מה צריכים להיות אורכי הניצבים‪,‬‬
‫כדי ששטח המחומש ‪ AEDBC‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )5‬בחצי עיגול שרדיוסו ‪ 8‬ס"מ חוסמים‬
‫מלבן ‪ , ABCD‬כך שהצלע ‪ AB‬של המלבן‬
‫מונחת על הקוטר‪ ,‬והקדקודים ‪ C‬ו‪ D -‬מונחים‬
‫על הקשת (ראה ציור)‪ .‬מה צריך להיות אורך‬
‫הצלע ‪ AB‬כדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי?‬
‫‪A‬‬
‫‪ )6‬במשולש ישר ‪-‬זווית ‪ , ( B  90 ) ABC‬סכום אורכי‬
‫הניצבים הוא ‪ 30‬ס"מ‪ AD.‬הוא תיכון לניצב ‪.BC‬‬
‫חשב מה צריכים להיות אורכי הניצבים‪,‬‬
‫על מנת שריבוע אורך התיכון יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪239‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ )7‬בחוברת פרסום‪ ,‬שטח כל עמוד הוא ‪ 600‬סמ"ר‪.‬‬
‫רוחב השוליים בראש העמוד ובתחתיתו הוא ‪ 8‬ס"מ‪,‬‬
‫ורוחב השוליים בצדדים הוא ‪ 3‬ס"מ‪.‬‬
‫מצא מה צריך להיות האורך והרוחב של כל עמוד‬
‫כדי שהשטח המיועד לדפוס יהיה מקסימלי (השטח המקווקו בציור)‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪3‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ )8‬בריבוע ‪ ABCD‬הנקודות ‪ G , F , E‬נמצאות על‬
‫הצלעות ‪ DC , BC , AB‬בהתאמה‪,‬‬
‫‪F‬‬
‫כך ש ‪( CF = CG , BE = BF -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון כי האורך של צלע הריבוע הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬סמן ב‪ x -‬את ‪ BF‬ואת ‪ , BE‬והבע באמצעות ‪ x‬את‬
‫הסכום של שטחי המשולשים ‪ EBF‬ו‪FCG -‬‬
‫‪C‬‬
‫(השטח המקווקו בציור)‪.‬‬
‫ב‪ .1 .‬מצא את ‪ x‬שעבורו סכום שטחי המשולשים הוא מינימלי‪.‬‬
‫‪ .2‬חשב את הסכום המינימלי של שטחי המשולשים‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )9‬נתון ריבוע ‪ ABCD‬שאורך צלעו ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ E‬היא נקודה כלשהי מחוץ לריבוע‪ ,‬כך שהמשולש ‪DEC‬‬
‫הוא שו"ש (‪ .)ED = EC‬שוקי המשולש חותכות את‬
‫הצלע ‪ AB‬בנקודות ‪ M‬ו‪( N -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫מצא מה צריך להיות אורך הקטע ‪ AM‬כדי שהסכום‬
‫של שטחי המשולשים ‪ BNC , AMD , EMN‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫‪E‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )10‬נתון מעגל שרדיוסו ‪ . R‬במעגל זה חסום טרפז שו"ש‪ ,‬כך‬
‫שהבסיס הגדול של הטרפז הוא קוטר במעגל (ראה ציור)‪.‬‬
‫מבין כל הטרפזים החסומים באופן זה‪ ,‬הבע באמצעות ‪R‬‬
‫את אורך הבסיס הקטן בטרפז ששטחו מקסימלי‪.‬‬
‫‪ )11‬נתונה גזרה של רבע עיגול שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫בונים מלבן ‪ ,ABCD‬כך שרבע המעגל משיק לצלע ‪DC‬‬
‫בנקודת האמצע שלה‪ ,‬והקודקודים ‪ A‬ו‪ B -‬נמצאים על‬
‫הרדיוסים התוחמים את הגזרה (ראה ציור)‪.‬‬
‫מבין כל האלכסונים של המלבנים ‪ ABCD‬שנוצרים‬
‫באופן זה‪ ,‬מצא את אורךהאלכסון הקצר ביותר‪.‬‬
‫‪O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪240‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ ABCDE )12‬הוא מחומש המורכב‬
‫ממשולש ‪ ABE‬וממלבן ‪( EBCD‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ 2 :‬ס"מ = ‪ 4 , BC‬ס"מ = ‪. AB = AE‬‬
‫מצא את השטח של המחומש ששטחו מקסימלי‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )13‬מתבוננים בכל המשולשים ישרי הזווית ‪ABC‬‬
‫החוסמים חצי מעגל שרדיוסו ‪ R‬כמתואר בציור‪.‬‬
‫מהן זוויות המשולש שסכום הניצבים שלו הוא מינימלי?‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )14‬במעגל שרדיוסו ‪ R‬חסומים משולשים כך שהגודל של‬
‫‪2‬‬
‫הזווית בכל אחד מהמשולשים הוא‬
‫‪5‬‬
‫‪.‬‬
‫מצא את הזוויות במשולש בעל ההיקף המקסימלי‪.‬‬
‫בעיות בהנדסת המרחב‪:‬‬
‫‪ )15‬גובהו של "מגדל" הבנוי משתי קוביות (לאו דווקא שוות)‬
‫הוא ‪ 8‬ס"מ‪.‬מה צריך להיות אורך המקצוע של הקובייה התחתונה‬
‫כדי שנפח המגדל (סכום נפחי הקוביות) יהיה מינימלי?‬
‫‪ )16‬בונים תיבה שגובהה ‪ y‬ס"מ‪ ,‬ובסיסה ריבוע‪,‬‬
‫שאורך צלעו ‪ x‬ס"מ (ראה ציור)‪ ,‬כך שההיקף של כל אחת‬
‫מהדפנות הצדדיות שווה ל‪ 12 -‬ס"מ‪ .‬מה צריך להיות‬
‫אורך צלע הבסיס כדי שנפח התיבה יהיה מקסימלי?‬
‫‪ )17‬יש לבנות תיבה פתוחה מלמעלה‪ ,‬שבסיסה ריבוע ושטח פניה ‪ 75‬סמ"ר‬
‫(במקרה זה שטח הפנים מורכב מבסיס אחד ומארבע פאות צדדיות)‪.‬‬
‫מכל התיבות שאפשר לבנות‪ ,‬מצא את ממדי התיבה (צלע הבסיס וגובה)‬
‫שנפחה מקסימלי‪.‬‬
‫‪ )18‬יש להכין מחוט תיל "שלד" (מסגרת) של תיבה‪ ,‬שבסיסה‬
‫ריבוע ונפחה ‪ 1000‬סמ"ק‪.‬‬
‫מהו האורך המינימלי של החוט הנחוץ ליצירת התיבה?‬
‫‪ )19‬מחוט שאורכו ‪ a‬ס"מ יש לבנות מנסרה משולשת ישרה‪,‬‬
‫‪241‬‬
‫‪B‬‬
‫‪72‬‬
‫שבסיסה הוא משולש שווה צלעות‪.‬‬
‫מצא איזה חלק מאורך החוט יש להקצות לצלע‬
‫הבסיס ‪ x‬ואיזה חלק לגובה ‪ y‬כדי שיתקיים (בטא ע"י ‪:) a‬‬
‫א‪ .‬שטח המעטפת של המנסרה יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬נפח המנסרה יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪ )20‬מכל הפירמידות המרובעות‪ ,‬המשוכללות והישרות‪ ,‬שאורך המקצוע הצדדי‬
‫שלהן הוא ‪ , a‬מצא את נפחה של הפירמידה בעלת הנפח המקסימלי‪.‬‬
‫‪ )21‬מכל הפירמידות הישרות ‪ ,‬שבסיסן ריבוע ושטח‬
‫הפנים שלהן הוא ‪ 200‬סמ"ר‪ ,‬חשב את נפחה של‬
‫הפירמידה בעלת הנפח המקסימלי‪.‬‬
‫‪ )22‬אלכסון החתך הצירי של גליל ישר הוא ‪ 12‬ס"מ (ראה ציור)‪.‬‬
‫מצא מה צריכים להיות גובה הגליל ורדיוס בסיסו‬
‫כדי שנפחו יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ )23‬נתון מיכל גלילי פתוח מלמעלה שקיבולו ‪ 64‬מ"ק‪.‬‬
‫המיכל עשוי כולו מפח‪ .‬הראה כי שטח הפח הוא מינימלי‬
‫כאשר רדיוס הבסיס הוא‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫מטר‪.‬‬
‫‪ )24‬מבין כל החרוטים שאורך הקו היוצר שלהם הוא ‪ 10‬ס"מ (ראה ציור)‪,‬‬
‫מהו נפח החרוט שנפחו מקסימלי?‬
‫‪10‬‬
‫בעיות בפונקציות וגרפים‪:‬‬
‫‪ )25‬מנקודה ‪ , A‬הנמצאת על גרף הפונקציה ‪ , y   x2  5x‬מורידים אנכים לצירים‬
‫כך שנוצר מלבן ‪( ABOC‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬כדי שהיקף‬
‫המלבן יהיה מקסימלי?‬
‫ב‪ .‬מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬כדי שהיקף‬
‫המלבן יהיה מינימלי?‬
‫‪242‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )26‬בפרבולה ‪ y  9  x2‬חוסמים מלבן ‪ , ABCD‬כך שהצלע ‪AB‬‬
‫מונחת על ציר ה ‪( x -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫מה צריך להיות אורך הצלע ‪ CD‬כדי ששטח‬
‫‪x‬‬
‫המלבן יהיה מקסימלי?‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )27‬טרפז ‪ ABCD‬חסום בין גרף הפרבולה ‪y  9  x 2‬‬
‫לבין ציר ה‪( x -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬כדי ששטח‬
‫הטרפז ‪ ABCD‬יהיה מקסימלי?‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המקסימלי של טרפז ‪.ABCD‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )28‬נתונה הפרבולה ‪ . y   x 2  12‬ישר המקביל לציר ה‪x -‬‬
‫‪y‬‬
‫חותך את הפרבולה בנקודות ‪ A‬ו‪( B -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫מחברים את הנקודות ‪ A‬ו ‪ B -‬עם ראשית הצירים‪.O ,‬‬
‫א‪ .‬מה צריך להיות אורך הקטע ‪ AB‬כדי ששטח‬
‫המשולש ‪ AOB‬יהיה מקסימלי?‬
‫ב‪ .‬מהו השטח המקסימלי של המשולש ‪? AOB‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )29‬נתונים הגרפים של שתי פרבולות‪. y   x 2  3x , y  x 2  7 :‬‬
‫קו מקביל לציר ה ‪ y -‬חותך את שתי הפרבולות‬
‫בנקודות ‪ P‬ו‪( Q -‬ראה ציור)‪ .‬מבין כל הקטעים‬
‫המתקבלים באופן זה‪ ,‬מצא את האורך המינימלי‬
‫של הקטע ‪.PQ‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )30‬נתון גרף הפונקציה ‪ . y  x‬על ציר ה‪ x -‬נתונה‬
‫הנקודה )‪( A(4.5,0‬ראה ציור)‪.‬‬
‫מצא על גרף הפונקציה נקודה ‪,M‬‬
‫כך שריבוע המרחק ‪ AM‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪M‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪.,‬‬
‫(‪A‬‬
‫‪ )31‬מצא על הישר ‪ f ( x)  3x  4‬את הנקודה הקרובה ביותר לנקודה )‪. (0,1‬‬
‫‪243‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )32‬בציור שלפניך מתוארים הגרפים של‬
‫הפונקציות‪. g ( x)  36  6 x , f ( x)  3x :‬‬
‫מלבן חסום בין הגרפים של הפונקציות ובין ציר ה‪, x -‬‬
‫כמתואר בציור‪ .‬מצא את השטח הגדול ביותר האפשרי‬
‫למלבן שחסום באופן זה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )33‬דרך איזו נקודה על הפרבולה ‪ y   x2  2 x‬צריך‬
‫להעביר משיק‪ ,‬כדי ששטח הטרפז‪ ,‬הנוצר על ידי‬
‫המשיק והישרים‪ x  0 , x  1 :‬ו‪y  0 -‬‬
‫(השטח המקווקו שבציור) יהיה מינימלי?‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )34‬נקודה ‪ B‬נמצאת על גרף הפונקציה ‪ y  x 2‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪ A‬היא הנקודה )‪ (0, a‬כאשר ידוע כי ‪( a  0.5‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬בטא באמצעות ‪ a‬את שיעורי הנקודה ‪ ,B‬שעבורה‬
‫המרחק ‪ AB‬הוא מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא עבור איזה ערך של ‪ a‬המרחק המינימלי הוא ‪.2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )35‬נתונה הפרבולה ‪ , y  x 2‬ונתון משיק לפרבולה‬
‫שמשוואתו היא ‪ . y  6 x  9‬בנקודה ) ‪ (t , t 2‬שעל‬
‫הפרבולה מעבירים משיק נוסף לפרבולה‪.‬‬
‫המשיקים נחתכים בנקודה ‪( M‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע את משוואת המשיק הנוסף באמצעות ‪. t‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ t‬שעבורו אורך הקטע‪ ,‬המחבר את‬
‫הנקודה ‪ M‬עם קודקוד הפרבולה יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫) ‪(t,t‬‬
‫‪x‬‬
‫‪M‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )36‬במערכת צירים נתונות הנקודות )‪ A(2, 2‬ו‪. B(2, 2) -‬‬
‫ראשית הצירים היא בנקודה ‪ M .O‬היא נקודה על‬
‫ציר ה ‪ x -‬בתחום ‪ . x  0‬מה צריכים להיות שיעורי‬
‫הנקודה ‪ ,M‬כדי שהסכום‪OM + MA + MB :‬‬
‫יהיה מינימלי?‬
‫‪244‬‬
‫) ‪A( ,‬‬
‫‪x‬‬
‫‪M‬‬
‫‪O‬‬
‫) ‪B( ,-‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪. AE  1.7cm )1‬‬
‫‪)4‬‬
‫‪)7‬‬
‫‪)8‬‬
‫‪)9‬‬
‫‪ )2‬א‪ . x  30  x  .‬ב‪ .‬כל צלע שווה ל‪. 0.25 p -‬‬
‫‪. x  3.75cm )3‬‬
‫‪ 24 )6 . AB  2 32 cm )5 . AC  BC  4cm‬ס"מ = ‪ 6 ,BC‬ס"מ = ‪.AB‬‬
‫אורך‪ 40 :‬ס"מ‪ ,‬רוחב‪ 15 :‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ . S  x2  6 x  18 .‬ב‪ . x  3 .1.‬ב‪ 9 .2 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ )10 . AM  5 / 2‬בסיס קטן = ‪ 12 3 )12 4 5 cm )11 . R‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪3 3 2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪)14 . 45 , 45 , 90 )13‬‬
‫‪10 10 5‬‬
‫‪ 4 )15‬ס"מ‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )17‬צלע הבסיס‪ 5 :‬ס"מ‪ .‬גובה‪ 2.5 :‬ס"מ‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )19‬א‪a , y  a .‬‬
‫‪12‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ . x ‬ב‪. x  y  a .‬‬
‫‪ 4 )16‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ 120 )18‬ס"מ‪.‬‬
‫‪4 3 3‬‬
‫‪a )20‬‬
‫‪27‬‬
‫‪.‬‬
‫‪500‬‬
‫‪)21‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )22‬גובה‪ 48 :‬ס"מ‪ .‬רדיוס‪ 24 :‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ 403.1 )24‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪ )25‬א‪ . A(3, 6) .‬ב‪ A(0, 0) .‬או ‪. A  5, 0 ‬‬
‫‪. CD  2 3 )26‬‬
‫‪ )27‬א‪ . A(1,8) .‬ב‪ )28 .32 .‬א‪ . AB  4 .‬ב‪. SAOB  16 .‬‬
‫‪.8 )32 . (1.5,0.5) )31 . M (4, 2) )30 . PQ  4 )29‬‬
‫‪(0.5,0.75) )33‬‬
‫‪ )34‬א‪ B( (2a 1) / 2, (2a 1) / 2) .‬ב‪. 4.25 .‬‬
‫‪ )35‬א‪ . y  2t  x  t 2 .‬ב‪. M (0.845,0) )36 . t  3 / 37 .‬‬
‫‪245‬‬
‫סמ"ק ‪.‬‬
‫פרק ‪ - 10‬חשבון אינטגרלי‪:‬‬
‫סיכום כללי האינטגרציה‪:‬‬
‫הגדרה וחוקים יסודיים‪:‬‬
‫כלל האינטגרציה של פונקציה פולינומית‪ n  1 :‬‬
‫‪ax n1‬‬
‫עבור מקדם קבוע ‪ a‬נקבל‪ c :‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪x n 1‬‬
‫‪c ,‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪.  x n dx ‬‬
‫‪.  n  1 ,  ax n dx ‬‬
‫חישוב שטחים באמצעות האינטגרל (מקרים פרטיים)‪:‬‬
‫‪ .1‬שטח הכלוא בין גרף פונקציה וציר ה‪: x -‬‬
‫‪b‬‬
‫‪S   f  x  dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ .2‬שטח הכלוא בין שני גרפים כך שגרף אחד כולו מעל השני‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪S1    g  x   f  x   dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪S 2    f  x   g  x   dx‬‬
‫‪b‬‬
‫‪S  S1  S2‬‬
‫‪ .3‬שטח הכלוא בין שני גרפים וציר ה ‪: x -‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪S   f  x  dx   g  x  dx‬‬
‫‪c‬‬
‫‪246‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫חישוב נפחים באמצעות האינטגרל‪:‬‬
‫‪ .1‬נפח הגוף שנוצר עקב סיבוב הפונקציה ‪ f  x ‬סביב ציר‬
‫ה ‪ x -‬בגבולות‪ x  a :‬ו‪ x  b -‬נתון ע"י האינטגרל הבא‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪. V     f  x   dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ .2‬בפרט עבור גוף הנוצר ע"י בסיס שטח הכלוא בין הגרפים‬
‫של הפונקציות ‪ f  x ‬ו‪ g  x  -‬נקבל את הנוסחה הבאה‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. V     f  x     g  x    dx‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫אינטגרלים טריגונומטריים‪:‬‬
‫‪  cos x  dx  sin x  c‬‬
‫‪dx  cot x  c‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫;‬
‫‪  sin‬‬
‫‪  sin x  dx   cos x  c‬‬
‫; ‪dx  tan x  c‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ cos‬‬
‫שאלות לפי נושאים‪:‬‬
‫שאלות יסודיות – חישובי אינטגרלים‪:‬‬
‫‪ )1‬מצא את האינטגרלים הבאים‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪ x dx  .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪dx ‬‬
‫‪4‬‬
‫ה‪ 2 x5 dx  .‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫ז‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪5 4‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪16‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4 x  dx ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )2‬מצא את האינטגרלים הבאים‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪ x dx  .‬‬
‫‪12x dx ‬‬
‫‪ 2x dx ‬‬
‫‪ 7dx ‬‬
‫‪  4 x3‬‬
‫‪‬‬
‫‪2ax‬‬
‫‪2‬‬
‫ח‪  5  ax  b  b dx  .‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ 1 dx  .‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3 a x‬‬
‫‪ 1‬‬
‫ג‪  2  4  3  dx  .‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x a‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 2 x  x  2 dx ‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪‬‬
‫‪247‬‬
:‫) מצא את האינטגרלים הבאים‬3

x dx  .‫ב‬
x
 4

 3 x dx  .‫ד‬

 x

1
2
dx  .‫א‬
 1
dx 

 x
.‫ג‬
:‫) מצא את האינטגרלים הבאים‬4

18
dx 
2

  6 x  5
.‫ג‬
 3  2  7x 

4
  5x 1 dx 
dx  .‫ב‬
3
.‫א‬
1

dx  .‫ד‬

 6x  3
ax  b dx  .‫ה‬
:‫) מצא את תוצאת החילוק‬5
x 4  x3  x 2  14 x  3

x3
.‫ג‬
x3  x 2  3x  5
 .‫ב‬
x 1
x 2  5 x  14
 .‫א‬
x2
x3  5 x 2  4 x  20
 .‫ה‬
x5
x3  4 x 2  9
 .‫ד‬
x 3
:‫) מצא את האינטגרלים הבאים‬6
2
 x  5 x  14 dx 
.‫א‬

x2

 x  x  3x  5 dx 
.‫ב‬

x 1

3
2
3
2
 x  4 x  9 dx  .‫ד‬

x 3

5
4
2
 2 x  x  4 x  1 dx 

2x 1

4
3
2
 x  x  x  14 x  3 dx 

x3

.‫ג‬
3
2
 x  5 x  4 x  20 dx  .‫ה‬

x5

.‫ו‬
:‫) מצא את האינטגרלים הבאים‬7

x2
dx 
 2
2
  x  4 x  1
.‫ג‬

x2
dx  .‫ב‬

2
 3
  x  6
2
 8x  x  1 dx 
.‫ו‬
 6x  3
dx  .‫ה‬

 x  x2
3

2x
dx  .‫א‬
 2
2
  x  1



x
x2  2
  2  x  6x  x 
2
248
3 2
dx 
.‫ד‬
dx 
.‫ז‬
:‫) חשב את האינטגרלים הבאים‬8
4 

  cos3x  2sin 4 x  cos2 3x  dx .‫ב‬
4


sin
x

3cos
x

 5  dx .‫א‬

2

cos x


1  cos 2 x 
  sin   x   cos2 x  dx .‫ג‬
:)‫) חשב את האינטגרלים הבאים (שימוש בזהויות‬9
 sin 3x cos3x  dx
  2sin x cos x  dx
.‫ב‬
 sin
  sin x  dx  .‫ד‬
2
4
.‫א‬
x  cos 4 x  dx .‫ג‬
:‫) חשב את האינטגרלים הבאים‬10
  sin x 

 dx 
2
  cos x 
  cos x 

 dx 
  sin x 
.‫ב‬
.‫א‬
  cos x sin x  dx  .‫ג‬
2
:‫) חשב את האינטגרלים הבאים‬11
1
 cos
  cos
2
  sin 2 x  4cos 3 dx
.‫א‬
x  sin 2 x dx
.‫ד‬
 sin
1
dx
10 x
.‫ג‬
x  sin 4 x dx

.‫ה‬
 sin x cos x cos  2 x  dx
.‫ז‬
4x

 tan
2
2
dx
xdx
 sin  7 x  cos 5x  dx
4
x
.‫ב‬
 sin x  cos x 
 sin

dx
2

x  cos 4 x dx
 sin
 sin
 sin
  cos
.‫ו‬
.‫ח‬
1
.‫י‬
.‫יב‬
4
2
  sin x cos x 
dx
.‫ט‬
  cos x cos 2 x  sin x sin 2 x  dx
.‫יא‬
2
4xdx
.‫יד‬
 cos
3
4xdx
.‫טז‬
 cos
4
2xdx
.‫יח‬
 cos
249
2
2
xdx
.‫יג‬
3
xdx
.‫טו‬
4
xdx
.‫יז‬
‫‪1  cos 2 x‬‬
‫‪sin 5 x  sin x‬‬
‫יט‪.‬‬
‫‪ 1  cos 2 x dx‬‬
‫כ‪.‬‬
‫‪ sin 4 x  sin 2 x dx‬‬
‫כא‪.‬‬
‫‪sin 3 x‬‬
‫‪ 1  cos x dx‬‬
‫כב‪.‬‬
‫‪1  cos3 x‬‬
‫‪ cos2 x dx‬‬
‫‪2‬‬
‫כג‪.‬‬
‫‪x cos4 xdx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ sin‬‬
‫שאלות יסודיות – מציאת פונקציה קדומה‪:‬‬
‫‪ )12‬נתונה נגזרת של פונקציה‪. f '  x   3x2  7 :‬‬
‫מצא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה ‪.  2, 1‬‬
‫‪ )13‬נתונה נגזרת של פונקציה‪. f '  x   2 x  6 :‬‬
‫ערך הפונקציה בנקודת הקיצון שלה הוא ‪ .5‬מצא את הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )14‬הנגזרת של פונקציה ‪ f  x ‬היא‪ . f '  x   x2  8x  2 :‬נתון‪. f  2   1 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. f  x ‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x  1‬‬
‫‪ )15‬נתונה הנגזרת של פונקציה ‪. f '  x   9 x2  4 : f  x ‬‬
‫ערך הפונקציה בנקודה ‪ x  1‬הוא ‪.3‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪. f  x ‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של המשיק עם הצירים‪.‬‬
‫‪ )16‬הנגזרת של פונקציה ‪ f  x ‬היא‪. f '  x   2 x  3 :‬‬
‫לפונקציה משיק ששיפועו הוא ‪.- 3‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של נקודת ההשקה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ f  x ‬אם ידוע כי ערך הפונקציה באותה הנקודה הוא ‪.7‬‬
‫‪250‬‬
‫‪ )17‬הנגזרת של פונקציה ‪ f  x ‬היא‪. f '  x   6 x  5 :‬‬
‫המשיק לפונקציה בנקודה ‪ A‬יוצר זווית של ‪ 45‬עם הכיוון החיובי של ציר ה‪. x -‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ f  x ‬אם ידוע כי ערך הפונקציה באותה הנקודה הוא ‪.- 6‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫‪ )18‬הנגזרת של פונקציה ‪ f  x ‬היא‪. f '  x   3x  4 :‬‬
‫הישר ‪ y  2 x  5‬משיק לגרף הפונקציה‪ .‬מצא את ‪. f  x ‬‬
‫‪ )19‬נתונה הנגזרת השנייה של פונקציה‪ . f ''  x   6 x  6 :‬שיפוע הפונקציה בנקודת‬
‫הפיתול שלה הוא ‪ - 12‬וערך הפונקציה בנקודה זו הוא ‪ .1‬מצא את הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )20‬נתונה הנגזרת השנייה של הפונקציה ‪. f ''  x   8x  6 : f  x ‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ f '  x ‬אם ידוע כי לפונקציה יש נקודת קיצון ב ‪. x  2 -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ f  x ‬אם ידוע כי ערך הפונקציה בנקודת הקיצון הוא ‪.2/3‬‬
‫‪ )21‬נתונה הנגזרת השנייה של הפונקציה ‪. f ''  x   2 x  3 : f  x ‬‬
‫א‪ .‬שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה שבה ‪ x  1‬הוא ‪ .4‬מצא את ‪. f '  x ‬‬
‫ב‪ .‬ערך הפונקציה בנקודת ההשקה הוא ‪ .5‬מצא את ‪. f  x ‬‬
‫‪ )22‬נתונה הנגזרת השנייה של פונקציה‪. f ''  x   1  83 :‬‬
‫‪x‬‬
‫המשיק לפונקציה בנקודת הפיתול שלה הוא הישר ‪ . y  4‬מצא את הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )23‬נתונה נגזרת של פונקציה‪. f '  x   x  2  x  1  2 :‬‬
‫שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה שבה ‪ y  5 2‬הוא ‪ .3‬מצא את הפונקציה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )24‬נתונה נגזרת של פונקציה‪. f '  x   cos x  4sin 2 x :‬‬
‫‪ 1‬‬
‫מצא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה ‪.  ,1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ )25‬נתונה הנגזרת השנייה של פונקציה‪. f ''  x   4sin 2 x  cos x :‬‬
‫שיפוע הפונקציה בנקודה ‪  ,  ‬הוא ‪ .3‬מצא את הפונקציה‪.‬‬
‫‪251‬‬
‫‪ )26‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪. f '( x)  cos x  sin x :‬‬
‫א‪ .‬ידוע כי הפונקציה המקורית עוברת בראשית הצירים‪.‬‬
‫הוכח כי הנגזרת )‪ f '( x‬והפונקציה המקורית )‪ f ( x‬מקיימות את‬
‫המשוואה‪. f ( x)  f '( x)  2sin x  1 :‬‬
‫ב‪ .‬מגדירים פונקציה חדשה )‪ g ( x‬באופן הבא‪. g ( x)  f ( x)  f '( x) :‬‬
‫‪ .1‬מצא את נקודת המקסימום הנמצאת ברביע הראשון והקרובה‬
‫ביותר לציר ה ‪ y -‬של הפונקציה )‪. g ( x‬‬
‫‪ .2‬מצא את נקודת המקסימום הנמצאת ברביע הראשון והקרובה‬
‫ביותר לציר ה ‪ y -‬של הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫‪ .3‬כתוב את משוואת הישר העובר דרך שתי הנקודות שמצאת‪.‬‬
‫האינטגרל המסוים‪:‬‬
‫‪ )27‬בסרטון זה מוסבר האינטגרל המסוים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫חשב את האינטגרל המסוים הבא‪.   x 2  6 x  1 dx :‬‬
‫‪2‬‬
‫חישובי שטחים – פונקציה פולינומית‪:‬‬
‫‪ )28‬בסרטון זה מוסבר כיצד להשתמש באינטגרל המסוים‬
‫כדי לחשב שטחים‪.‬‬
‫נתונה הפונקציה‪. y  2 x  4 :‬‬
‫חשב את השטח המוגבל שמתחת הישר‪,‬‬
‫ציר ה ‪ x -‬והישרים ‪ x  1‬ו ‪. x  2 -‬‬
‫‪ )29‬חשב את השטח המוגבל בין גרף‬
‫הפונקציה‪ , f ( x)  x 2  2 x  3 :‬ציר ה‪x -‬‬
‫והישרים ‪ x  1‬ו ‪. x  3 -‬‬
‫‪ )30‬נתונה הפונקציה ‪. y   x  3‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה לצירים‪.‬‬
‫‪252‬‬
‫‪ )31‬נתונה הפונקציה‪. y   x2  4 x  5 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה‬
‫עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪,‬‬
‫ציר ה ‪ x -‬וציר ה‪. y -‬‬
‫‪ )32‬נתונה הפונקציה ‪. y   x2  4‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה לציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )33‬מצא את השטח המוגבל תחת הפונקציה‪f ( x)  x3  2 x 2  x :‬‬
‫וציר ה‪ x -‬כמתואר באיור‪:‬‬
‫‪ )34‬נתונה הפונקציה ‪. y  x2  4 x  8‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין גרף‬
‫הפונקציה‪ ,‬הצירים וקדקוד הפרבולה‪.‬‬
‫‪ )35‬בסרטון זה מוסבר כיצד לחשב שטח שמתחת לציר ה‪. x -‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪. y  x2  x  6‬‬
‫חשב את השטח המוגבל שמתחת‬
‫לפונקציה ולצירים שברביע הרביעי‪.‬‬
‫‪ )36‬נתונה הפונקציה ‪. f ( x)  x  4  x 2 ‬‬
‫חשב את השטח המוגבל שמתחת‬
‫הפונקציה וציר ה‪ x -‬שברביע השלישי‪.‬‬
‫‪253‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )37‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x 4  2 x 2 :‬‬
‫חשב את השטח המוגבל שבין הפונקציה לציר ה‪. x -‬‬
‫‪ )38‬חשב את האינטגרל המסוים של‬
‫הפונקציה ‪ y  x2  6 x  5‬בין ‪ 0‬ל‪.5-‬‬
‫האם התוצאה מייצגת את סכום השטחים‪? S1  S2 :‬‬
‫אם כן‪ ,‬הסבר‪ .‬אם לא‪ ,‬נמק וחשב את סכום זה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )39‬א‪ .‬חשב את ערך האינטגרל הבא‪.    x3  1 dx :‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה‪. f  x    x3  1 :‬‬
‫מעבירים ישרים‪ x  2 :‬ו‪ x  2 -‬כך‬
‫שנוצרים השטחים ‪ S1‬ו‪ S 2 -‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫חשב את סכום השטחים‪ S1  S2 :‬והסבר‬
‫מדוע תוצאת החישוב שונה מסעיף א'‪.‬‬
‫‪ )40‬נתונה הפונקציה‪. y  x3  x2  2 x :‬‬
‫יוצרים את השטחים ‪ S1‬ו‪ S 2 -‬בין גרף הפונקציה‬
‫וציר ה‪ x -‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה‪. x -‬‬
‫‪ )41‬נתונות הפונקציות‪f  x   x 2  1 , g  x   7  x 2 :‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין הגרפים של‬
‫הפונקציות הנ"ל‪.‬‬
‫‪ )42‬נתונות הפונקציות‪. y   x  9 ; y   x  3 :‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪254‬‬
‫‪ )43‬נתונות הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪. f  x   x2  4 x  12 , g  x   x  6‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין הגרפים‬
‫של הפונקציות הנ"ל‪.‬‬
‫‪ )44‬נתונה הפונקציה‪. y  3x2  6 x  9 :‬‬
‫א‪ .‬מצא נקודות חיתוך של הפונקציה‬
‫עם הצירים (נסמנן ב‪ A-‬ו‪.)B-‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה לישר ‪.AB‬‬
‫‪ )45‬נתונה הפרבולה‪ y   x2  6 x :‬והישר ‪. y  5‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין גרף הפרבולה לישר‪.‬‬
‫‪ )46‬חשב את השטח המוגבל בין גרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪. y  x2  4 x ; y   x2  6‬‬
‫‪ )47‬נתונה הפונקציה‪. f  x   x3 :‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪,‬‬
‫הישר ‪ y  8‬וציר ה‪ y -‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫‪ )48‬נתונות הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪. g  x    x  4 ; f  x    x2  4 x‬‬
‫מסמנים את השטח הכלוא בין שני הגרפים וציר ה ‪ y -‬ב‪, S1 -‬‬
‫ואת המשך השטח הכלוא בין הגרפים ב‪ S 2 -‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪S1‬‬
‫חשב את היחס שבין השטחים‪:‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪255‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )49‬נתונה הפונקציה‪ f ( x)  x3  4 x  5 :‬והישר ‪. y  5‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה והישר‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל ביניהן‪.‬‬
‫‪ )50‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x3  3x2  3x :‬‬
‫הישר ‪ AC‬חותך את גרף הפונקציה‬
‫בנקודות הבאות‪. A  0, 0 , B 1,1 , C  2, 2  :‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה לישר ‪.AC‬‬
‫‪ )51‬נתונות הפונקציות‪ f  x    x  2 :‬ו‪ g  x     x  2  -‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬התאם בין הפונקציות לגרפים ‪ I‬ו‪.II-‬‬
‫ב‪ .‬מסמנים את השטחים שבין כל פונקציה והצירים ב ‪S1 -‬‬
‫ו‪ S 2 -‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫הראה כי השטחים ‪ S1‬ו‪ S 2 -‬שווים זה לזה‪.‬‬
‫‪ )52‬בסרטון זה מוסבר כיצד לחשב שטח של פונקציה ללא גרף נתון‪.‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות‪. f  x   x3 , g  x   x :‬‬
‫‪ )53‬חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה ‪ f  x   x3  4 x‬לציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )54‬מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪y  x 2 :‬‬
‫לבין גרף הפונקציה‪. y  2 x  x2 :‬‬
‫‪ )55‬בסרטון זה מוסבר מהו שטח מורכב‪.‬‬
‫נתונות שתי פונקציות‪:‬‬
‫‪. f  x   x2  2x  1 , g  x   x2  6x  9‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות‬
‫ובין ציר ה‪. x -‬‬
‫‪256‬‬
‫‪ )56‬הפונקציות המתוארות בשרטוט הן‪. y  3x ; y  x2  4x  6 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את קדקוד הפרבולה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא נקודת חיתוך של הפרבולה עם הישר‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המסומן שבשרטוט‪.‬‬
‫‪ )57‬נתונות הפונקציות‪. y  x2  4x  14 , y  x2  4 x  6 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי ה‪ x -‬של קדקודי הפרבולות‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את נקודת החיתוך בין שתי הפונקציות‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המסומן בשרטוט‪.‬‬
‫‪ )58‬נתונות הפונקציות‪. f ( x)  ( x  3)2 , g ( x)  ( x  3)2 :‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות וציר ה ‪. x -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )59‬נתונות שתי הפונקציות‪, y   x  2  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.y x‬‬
‫א‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות לציר ה ‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות לציר ה ‪. y -‬‬
‫‪ )60‬נתונות הפונקציות‪. y  x2 , y  8  x2 :‬‬
‫חשב את השטח המוגבל על ידי שתי הפונקציות‬
‫וציר ה‪ x -‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪ )61‬נתונה הפרבולה‪. y   x2  4 x  3 :‬‬
‫מעבירים ישר המקביל לציר ה ‪ x -‬מקדקוד הפרבולה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי קדקוד הפרבולה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין גרף‬
‫הפונקציה‪ ,‬הישר והצירים‪.‬‬
‫‪257‬‬
‫‪ )62‬נתונות הפרבולות הבאות‪:‬‬
‫‪. f ( x )   x 2  5 x , g ( x)   x 2  3 x‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין הגרפים‬
‫של הפרבולות וציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )63‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)  x2  6 x  12 :‬ישר העובר בראשית הצירים‬
‫חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה ‪ x  4‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הישר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך השנייה של הישר והפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין הישר‪ ,‬גרף הפונקציה‪,‬‬
‫ציר ה ‪ x -‬והישר ‪. x  4‬‬
‫‪ )64‬נתונה הפונקציה‪. y  2 x2 :‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה מהנקודה‪. A 1, 2  :‬‬
‫המשיק חותך את ציר ה ‪ x -‬בנקודה ‪.B‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה‪ ,‬המשיק וציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )65‬נתונה הפונקציה‪. y  3x2  2 :‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה (‪.)1,5‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה‪ ,‬המשיק וציר ‪. y‬‬
‫‪ )66‬נתונה הפונקציה‪. f  x    x  2 :‬‬
‫מנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪ y -‬מעבירים משיק‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין המשיק‪ ,‬גרף הפונקציה‬
‫וציר ה‪( x -‬השטח המסומן)‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )67‬נתונה הפונקציה ‪. y   x2  4‬‬
‫בנקודה (‪ )1,3‬העבירו משיק‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין הפונקציה‪,‬‬
‫המשיק וציר ה ‪. y -‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה‪,‬‬
‫המשיק וציר ה ‪. x -‬‬
‫‪258‬‬
‫‪ )68‬משוואת הפרבולה היא‪. f ( x)  2 x2  3x  2 :‬‬
‫הנקודות ‪ B  2, 0  , C  0, 2 ‬הן נקודות חיתוך של הפרבולה‬
‫עם הצירים‪ .‬המשיק לפרבולה בנקודה ‪ D‬מקביל לישר ‪.BC‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין הפרבולה‪ ,‬המשיק וציר ה ‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין הפרבולה‪ ,‬המשיק וציר ה ‪. y -‬‬
‫‪ )69‬נתונה הפונקציה‪. y   x  4  :‬‬
‫‪2‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה דרך הנקודה שבה‪. x  6 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי גרף‬
‫הפונקציה‪ ,‬המשיק וציר ה ‪. x -‬‬
‫שאלות עם פרמטר‪:‬‬
‫‪ )70‬נתונה הפרבולה‪. y  ax2  8 :‬‬
‫שיפוע המשיק לגרף הפרבולה בנקודה שבה ‪ x  2‬הוא ‪.-2‬‬
‫א‪ .‬חשב את ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי המשיק‪,‬‬
‫הפרבולה וציר ‪. y‬‬
‫‪y  ax 2‬‬
‫‪ a ( ,‬פרמטר)‪.‬‬
‫‪ )71‬הפונקציה המתוארת בשרטוט היא‪:‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא ריבוע‪.‬‬
‫הקדקוד ‪ B‬נמצא על גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ידוע כי אורך צלע הריבוע היא ‪ 2‬יחידות‪.‬‬
‫מצא את ערך הפרמטר ‪ a‬ואת השטח המסומן בסרטוט‪.‬‬
‫‪ )72‬נתונה הפונקציה ‪. y  x3‬‬
‫מעבירים אנך לציר ה‪ a ( x  a : x -‬פרמטר חיובי) כך שנוצר‬
‫שטח הכלוא בין האנך‪ ,‬גרף הפונקציה וציר ה‪. x -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את השטח המקווקו בציור‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ‪ a‬אם ידוע כי שטח זה שווה ל ‪. a 2 -‬‬
‫‪259‬‬
‫‪ )73‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   kx  x2 :‬הישר ‪ y  9‬חותך את גרף‬
‫הפונקציה בשתי נקודות‪.‬‬
‫ידוע כי שיעור ה‪ x -‬של אחת מנקודות החיתוך הוא ‪. x  9‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך השנייה בין שני הגרפים‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪,‬‬
‫הישר וציר ה‪( x -‬השטח המסומן)‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫חישובי שטחים כאשר נתונה נגזרת הפונקציה‪:‬‬
‫‪ )74‬נגזרת הפונקציה ‪ f  x ‬היא‪. f '  x   3x2  8x  12 :‬‬
‫הישר ‪ y  5‬חותך את גרף הפונקציה ‪ f  x ‬על ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל בין הישר והפונקציה‪.‬‬
‫‪ )75‬הנגזרת של הפונקציה ‪ f  x ‬המתוארת באיור שלפניך היא‪. f '  x   3  2 x :‬‬
‫ישר ‪ AB‬שמשוואתו‪ y  6 :‬חותך את גרף הפונקציה ‪ f  x ‬בנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫מנקודות אלו מורידים אנכים לציר ה ‪ x -‬כך שנוצר מלבן ‪.ABCD‬‬
‫ידוע ששיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬הוא ‪.4‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪,‬‬
‫המלבן וציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )76‬באיור שלפניך מתוארות הפונקציות שנגזרותיהן‪:‬‬
‫‪. f '  x   4  2 x , g '  x   2 x  1‬‬
‫ידוע ששתי הפונקציות חותכות את ציר ה‪ x -‬כאשר‪. x  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של שתי‬
‫הפונקציות וציר ה‪( x -‬המסומן)‪.‬‬
‫‪260‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ )77‬נתונה פונקציה ‪ . f  x ‬משוואת המשיק לפונקציה ‪ f  x ‬בנקודה‬
‫שבה‪ x  2 :‬היא‪. y  x  13 :‬‬
‫הנגזרת של הפונקציה היא‪. f '  x   4 x  7 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין המשיק‪ ,‬גרף הפונקציה וציר ה ‪. y -‬‬
‫‪ )78‬נתונה פונקציה ‪ f  x ‬שנגזרתּה היא‪. f '  x   3x2  6 x  9 :‬‬
‫ישר ששיפועו ‪ 15‬משיק לפונקציה ברביע הרביעי בנקודה שבה‪. y  20 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪ .‬האם יש עוד משיקים לגרף הפונקציה בעלי שיפוע ‪?15‬‬
‫אם כן ‪ -‬מצא אותם‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .1 .‬הראה כי הנקודה שבה ‪ x  7‬משותפת למשיק שמצאת‬
‫בסעיף הקודם ולפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫‪ .2‬מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה והמשיק שמצאת‬
‫בסעיף הקודם (ראה איור)‪.‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ )79‬באיור שלפניך חותך גרף הפונקציה‪ f ( x)  x2 :‬את גרף‬
‫הפונקציה )‪ g ( x‬בנקודה שבה ‪. x  2‬‬
‫הנגזרת של הפונקציה )‪ g ( x‬היא‪. g '( x)  2 x  8 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. g ( x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים וציר ה‪( x -‬המסומן)‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ )80‬באיור שלפניך מתוארים גרף הפונקציה ‪ f  x ‬והישר‪. y  2 x :‬‬
‫נגזרת הפונקציה ‪ f  x ‬היא‪ f '  x   2 x  6 :‬וידוע הישר חותך את‬
‫הפונקציה בנקודה שבה ערך ה‪ y -‬הוא ‪.16‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ב‪ .‬האם יש לגרף הפונקציה ולישר עוד נקודות חיתוך? אם כן מצא אותן‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה והישר‪.‬‬
‫‪261‬‬
‫חישובי שטחים – פונקציה רציונאלית‪:‬‬
‫‪ )81‬נתונות שתי פונקציות‪. f  x   12 , g  x   x :‬‬
‫‪x‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות‪,‬‬
‫הישר ‪ x  2‬וציר ה‪. x -‬‬
‫‪)82‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪‬‬
‫מבין כל המשיקים לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 2 x3‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪y‬‬
‫מצא את משוואת המשיק ששיפועו מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה‬
‫והמשיק שמצאת בסעיף א'‪ .‬חשב את השטח הכלוא‬
‫בין גרף הפונקציה‪ ,‬המשיק ואנך לציר ה‪ x -‬היוצא‬
‫מנקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2  2x‬‬
‫‪,‬‬
‫‪g‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )83‬נתונות שתי פונקציות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x2‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות‪,‬‬
‫הישר ‪ x  2‬וציר ה‪. x -‬‬
‫‪ )84‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪f  x   2 x 2 :‬‬
‫‪a‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ a) , g  x  ‬קבוע) בתחום‪ . x  0 :‬ידוע כי הגרפים נחתכים‬
‫ברביע הראשון בנקודה הנמצאת על הישר‪. y  4 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הגרפים ואת ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והישר‪. x  4 :‬‬
‫‪a  x2‬‬
‫‪ )85‬גרף הפונקציה‪ a) f ( x)  2 :‬קבוע) חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה ‪.  6, 0 ‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪,‬‬
‫ציר ה ‪ x -‬והישר‪. x  2 :‬‬
‫‪262‬‬
‫‪ )86‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2 x  A‬‬
‫‪ A) , f  x  ‬פרמטר)‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫ידוע כי שיפוע הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪ y -‬הוא‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. A‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪f  x‬‬
‫כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת‬
‫החיתוך עם ציר ה‪. y -‬‬
‫הראה כי המשיק חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה‪. x  4.5 :‬‬
‫העבר ישר אופקי מנקודת החיתוך של המשיק וגרף הפונקציה מהסעיף הקודם‪.‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך הנוספת של ישר זה עם גרף הפונקציה‪.‬‬
‫חשב את השטח כלוא בין המשיק‪ ,‬הישר וגרף הפונקציה (היעזר באיור)‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫חישובי שטחים – פונקצית שורש‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )87‬באיור שלפניך נתונה הפונקציה‪ x :‬‬
‫‪x‬‬
‫מעבירים ישר‪ y  4 x :‬החותך את גרף הפונקציה‬
‫‪. f  x ‬‬
‫בנקודה ‪ A‬המסומנת באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ‪, f  x ‬‬
‫הישר ‪ , y  4 x‬ציר ה‪ x -‬ואנך לציר ה‪. x  4 : x -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )88‬באיור שלפניך נתונה הפונקציה‪ x :‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת המינימום שלה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מנקודת המינימום של הפונקציה מעבירים ישר‬
‫‪x‬‬
‫לנקודה‪  2, 0  :‬שעל ציר ה‪ . x -‬מצא את השטח‬
‫הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬הישר ואנך לציר ה‪ x -‬היוצא‬
‫מהנקודה ‪  2, 0 ‬עד לנקודת החיתוך עם גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ )89‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ f  x  ‬ו‪. g  x   2 x -‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים‪ ,‬ציר ה‪x -‬‬
‫והישר‪. x  9 :‬‬
‫‪263‬‬
‫‪ )90‬נתונה הפונקציה‪ . f  x    x  6 x :‬חשב את גודל השטח הכלוא בין‬
‫הפונקציה‪ ,‬המשיק לפונקציה בנקודת המינימום שלה וציר ה‪. y -‬‬
‫‪ )91‬נתונה הפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫‪ f  x  ‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪2‬‬
‫לפונקציה העבירו משיק העובר בראשית הצירים‪.‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה‪ ,‬המשיק והישר ‪. x  3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )92‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫מעבירים שני אנכים לציר ה‪ x -‬והם‪ x  4 :‬ו‪.  t  4  , x  t -‬‬
‫‪. f  x  1‬‬
‫נסמן‪ - S1 :‬השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ - S 2‬השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה ‪ x -‬והאנכים‪.‬‬
‫ידוע כי‪ . 8S1  S2 :‬מצא את ‪. t‬‬
‫‪x x 8‬‬
‫‪ )93‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫א‪ .‬ענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪ .3‬הראה כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים משיק לגרף הפונקציה ששיפועו הוא‪:‬‬
‫‪16‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה‪ x -‬ואנך לציר ה‪x -‬‬
‫‪ . m ‬מצא את נקודת ההשקה‪.‬‬
‫מנקודת ההשקה שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪x  b , g  x   2x‬‬
‫‪ )94‬נתונות שתי פונקציות‪:‬‬
‫גודל השטח הכלוא בין הפונקציות וציר ה‪x -‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪b  0‬‬
‫הוא ‪ 2 2‬יחידות שטח‪ .‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪. b‬‬
‫‪3‬‬
‫‪32‬‬
‫‪ )95‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪ f  x   x 2 :‬ו‪-‬‬
‫‪x‬‬
‫‪g  x ‬‬
‫ברביע הראשון‪ .‬מעבירים ישר ‪ x  a‬החותך את גרף הפונקציה ‪g  x ‬‬
‫ויוצר את השטח הכלוא בין שני הגרפים‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והישר‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫ידוע כי שטח זה שווה ל ‪ . S  85 -‬מצא את ‪. a‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪264‬‬
‫‪x a‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ f ( x ) ‬ו‪-‬‬
‫‪ )96‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫מעבירים שני ישרים‪ x  k :‬ו ‪ x  t -‬אשר חותכים של את הגרפים של הפונקציות‬
‫‪. g ( x)  ‬‬
‫ויוצרים את הקטעים ‪ AB‬ו‪ .CD-‬ידוע כי‪. AB  2CD :‬‬
‫א‪ .‬הראה כי‪. k  4t :‬‬
‫ב‪ .‬השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות‬
‫והישרים‪ x  k :‬ו‪ x  t -‬הוא‪ . S  12 :‬מצא את ‪.t‬‬
‫‪)97‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬מצא עבור איזה ערך של ‪ a‬יתקיים‪ 1dx  0 :‬‬
‫‪2x 1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪ .‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪ 1 :‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪2x 1‬‬
‫מעבירים שני אנכים לציר ה‪ x -‬והם‪ x  1 :‬ו ‪ x  13 -‬כך‬
‫‪a‬‬
‫‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪S1‬‬
‫שנוצרים השטחים‪ S1 :‬ו‪. S 2 -‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .1 .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והאנך ‪.  S1  , x  1‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ . 2‬היעזר בתוצאה שקיבלת ובסעיף א' וקבע לכמה שווה השטח‪. S 2 :‬‬
‫נמק את טענתך‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ )98‬באיור שלפניך מתוארת הפונקציה‪:‬‬
‫‪2x 1‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫מעבירים את הישרים המקבילים לצירים‪x  13 :‬‬
‫ו‪ y  3 -‬כך שנוצר המלבן ‪ ABCD‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫הישר ‪ y  3‬חותך את גרף הפונקציה בנקודה ‪.M‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.M‬‬
‫ב‪ .‬מסמנים את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‬
‫‪S1 2‬‬
‫והישרים ב ‪ S1 -‬ואת שטח המלבן ב‪ . S 2 -‬הראה כי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪S2 13‬‬
‫חישובי שטחים – פונקציות טריגונומטריות‪:‬‬
‫‪ )99‬נתונות הפונקציות‪f  x   sin x , g  x   cos x :‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות‬
‫לציר ה ‪ y -‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪265‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )100‬נתונה הפונקציה‪. f  x   x  2sin x :‬‬
‫בתחום שבין ראשית הצירים לנקודת המקסימום‬
‫הראשונה מימינה העבירו לפונקציה משיק ששיפועו ‪.1‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה‪,‬‬
‫המשיק וציר ה ‪ x -‬ברביעים הראשון והשני‪.‬‬
‫‪sin 2 x  1‬‬
‫‪ )101‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ f ( x) ‬בתחום‪. 0.25  x  1.75 :‬‬
‫מעבירים משיק ‪ AB‬דרך נקודת המקסימום של הפונקציה ומעלים אנך לציר ה‪x -‬‬
‫מנקודת החיתוך הראשונה של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪ x -‬בתחום הנתון המסומנת‬
‫ב ‪ C -‬כך שנוצר המלבן ‪.ABCO‬‬
‫השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה ‪ x -‬יסומן ב‪( S1 -‬המקווקו)‪.‬‬
‫השטח הכלוא בין צלעות המלבן‪ ,‬גרף הפונקציה וציר ה ‪ y -‬יסומן ב‪. S 2 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הצלע ‪ AB‬של המלבן‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪S1‬‬
‫חשב את היחס‪:‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )102‬באיור שלפניך נתונה הפונקציה‪ y  sin x  x :‬בתחום‪. 0  x  2 :‬‬
‫א‪ .‬האם יש לפונקציה נקודות קיצון פנימיות בתחום הנתון?‬
‫ב‪ .‬מורידים אנך מגרף הפונקציה לציר ה‪ x -‬בנקודה‬
‫שבה‪ . x  2 :‬מעבירים ישר המקביל לציר ה ‪ x -‬מהנקודה‬
‫שמאפסת את הנגזרת‪ .‬הראה כי השטחים ‪ S1‬ו‪S 2 -‬‬
‫המסומנים בסרטוט שווים‪.‬‬
‫‪ )103‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה הבאות‪:‬‬
‫‪ f ( x)  cos2 x‬ו‪ g ( x)  sin 2 x  cos x -‬בתחום‪. 0  x   :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הגרפים בתחום הנתון‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים‪.‬‬
‫השתמש בזהות‪cos 2  cos2   sin 2  :‬‬
‫‪266‬‬
‫‪ )104‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪. f '( x)   cos 2 x  sin x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי ה‪ x -‬של הנקודות המקיימות‪ f '( x)  0 :‬בתחום‪. 0  x  2 :‬‬
‫ידוע כי הנקודה המקיימת ‪ f '( x)  0‬אשר אינה קיצון נמצאת על ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ג‪ .‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬
‫חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה והצירים‪.‬‬
‫‪ )105‬א‪ .‬נתונה הפונקציה‪. y   x2 cos x  2 x sin x  2cos x :‬‬
‫הוכח כי הנגזרת של הפונקציה היא‪. y '  x2 sin x :‬‬
‫באיור שלפניך נתונה הפונקציה‪f ( x)  x 2 sin x :‬‬
‫בתחום‪.   x   :‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי גרף הפונקציה עובר בראשית הצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה‪ x -‬בתחום הנתון‪.‬‬
‫‪ )106‬נתונה הפונקציה‪ a, b , f  x   a cos x  b sin x :‬פרמטרים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הפונקציה חותכת את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה ‪ x ‬והיא חיובית בתחום ‪. 0, ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫גודל השטח הכלוא מתחת לפונקציה בתחום ‪ 0, ‬הוא ‪. 2 2  2‬‬
‫‪ 4‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪. b -‬‬
‫‪267‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫מציאת נפח גוף סיבוב‪:‬‬
‫‪ )107‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   x2  1 :‬השטח הכלוא בין הפונקציה‪,‬‬
‫הישר ‪ x  3‬והצירים מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬
‫חשב את נפח גוף הסיבוב המתקבל באופן זה‪.‬‬
‫‪ )108‬בשרטוט נתונות הפונקציות ברביע הראשון‪. f  x   x , g  x   1 :‬‬
‫‪x‬‬
‫מצא את נפח גוף הסיבוב שנוצר‪ ,‬כאשר השטח הכלוא‬
‫בין הפונקציות והישר ‪ x  2‬מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )109‬נתונות הפונקציות‪, g  x   cos x :‬‬
‫‪cos x‬‬
‫השטח הכלוא בין הפונקציות לישר‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ x ‬המסתובב סביב‬
‫ציר ה ‪ . x -‬חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬
‫בעיות קיצון עם אינטגרלים‪:‬‬
‫‪2 a 1‬‬
‫‪ )110‬מצא את ערכו של‬
‫‪a‬‬
‫שבעבורו ערך האינטגרל‬
‫‪  2 x  1 dx‬‬
‫מינימלי‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b 1‬‬
‫‪ )111‬בשרטוט נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪. 1  b  2 ‬‬
‫לאיזה ערך של ‪ b‬השטח הכלוא בין הפונקציה‪,‬‬
‫הישרים ‪ x  b‬ו‪ x  2 -‬וציר ה ‪ x -‬מקסימלי?‬
‫‪ )112‬בשרטוט נתונות הפונקציות‪:‬‬
‫‪f  x   2x , g  x   6  x‬‬
‫מהנקודות ‪ A‬ו ‪ ,B-‬הנמצאות על ציר ה ‪ x -‬והמרחק ביניהן‬
‫הוא ‪ ,2‬העלו אנכים לציר ה‪ . x -‬השטח הכלוא בין האנכים‪,‬‬
‫שתי הפונקציות וציר ה‪ x -‬מסתובב סביב ציר ה ‪. x -‬‬
‫מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬כדי שנפח‬
‫גוף הסיבוב המתקבל באופן זה יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪268‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
:‫תשובות סופיות‬
x6
x4
x5
x4
 c .‫ה‬
 c .‫ד‬
 c .‫ ג‬2x6  c .‫ב‬
 c .‫) א‬1
5
9
2
4
. 7x  c ‫ו‬
x 4 ax3 ax 2


 bx  c .‫ח‬
5
3
b
.
x5
x3
1
 4 x 4   2 x 2  x  c .‫ז‬
6
6
3
x 2
1 1
a
x2
1

 c .‫) א‬2
  3  2   c .‫ ג‬ 2  c .‫ב‬
2
x x 2 x 2a
2x
x1.5
2 3
3
 c .‫) א‬3
x  c .‫ב‬
. 8 x  2 x  c .‫ ד‬2 x  c .‫ג‬
1.5
3
1 1
. 2x   2  c .‫ד‬
x x
3 2  7 x

 c .‫ב‬
35
5
3

 c .‫ג‬
6x  5
.
x 4
2
3
.‫ ה‬x  x  3
2
3
cos 4 x
2

6x  3
 c .‫ד‬
3
x5
x3
2

x

x

c
 4 x .‫ה‬
.
.‫ו‬
5
3
1
1
 c .‫) א‬7
 c .‫ ב‬2
.‫ ג‬ 3
x 1
3 x  6
1
c
2  x  4 x  1

 c .‫ה‬
x3 2 x 2
x2


5
x

c
 7 x  c .‫) א‬6
.‫ג‬
.‫ב‬
3
2
2
2
.  2  x 2  6 x  x3 
sin  3x 
3
 c .‫) א‬4
2
x
x
x 4 2 x3 5 x 2


3
x


xc
.
.‫ד‬
3 2
4
3
2
.
 ax  b 
20
4
3a
.‫ ד‬x  2 x  5x  1 .‫ ג‬x2  2 x  5 .‫ ב‬x  7 .‫) א‬5
3
2
. x 2  2  c .‫ ד‬
2
 5 x  1
2
4 tan 3x
3
.‫ז‬
x
2
 1  c
4
.‫ ו‬6 x  x2  c .‫ה‬
 c .‫ ב‬ cos x  3sin x  4tan x  5x  c
.‫) א‬8
sin 2 x
cos6 x
1
 c .‫ ג‬
 c .‫ ב‬ cos 2 x  c .‫) א‬9 cos(  x)  tan x  x  c .‫ג‬
2
12
2
1
1
1
1
 c .‫ ב‬2 sin x  c .‫) א‬10
x  sin 2 x  c .‫ד‬
. sin 3 x  c .‫ג‬
3
cos x
2
4
1
1
1
x
 cot 10 x   c .‫ג‬
tan  4 x   c .‫ ב‬ cos 2 x  12sin  c .‫) א‬11
10
4
2
3
1
1
1
1
 cos 4 x  c .‫ ז‬x  cos 2 x  c .‫ו‬
sin 2 x  c .‫ה‬
sin 2 x  c .‫ד‬
16
2
2
2
1
1
 cos12 x  cos 2 x  c .‫ י‬tan x  cot x  c .‫ ט‬tan x  x  c .‫ח‬
24
4
1
1
1
1
3
1
x  sin 4 x  c .‫ יב‬sin x  c .‫יא‬
. x  sin 8 x  c .‫ יד‬x  sin 2 x  c .‫יג‬
2
16
2
4
4
16
3
1
3
1
 cos 4 x  cos12 x  c .‫טז‬
sin x  sin 3x  c .‫טו‬
16
48
4
12
.
269
3
8
1
1
3
1
1
sin 8 x 
sin16 x  c .‫יח‬
x  sin 2 x  sin 4 x  c .‫יז‬
16
128
8
4
32
1
.  cos x  cos 2 x  c .‫ כא‬2sin x  c .‫ כ‬ cot x  x  c .‫יט‬
4
1
1
1
1
1
sin 6 x  c .‫ כג‬3x  sin 2 x  2sin x  c .‫כב‬
. x  sin 2 x  sin 4 x 
16
64
64
192
2
. x
. f ( x)  x2  6 x  14 )13 f ( x)  x3  7 x  5 )12
x3
2
 4 x 2  2 x  23 .‫) א‬14
3
3
3
.  0, 2 ,  0.4,0  .‫ ג‬f  x   3x  4 x  4 .‫ ב‬y  5x  2 .‫) א‬15
. y  5x  27 .‫ ב‬f  x  
. f  x   x2  3x  7 .‫ ב‬x  0 .‫) א‬16
. f  x 
3x 2
 4 x  11 )18
2
y  x  5 .‫ ג‬. f  x   3x 2  5x  8 .‫ ב‬x  1 .‫) א‬17
. f ( x)  x3  3x2  9 x  10 )19
4 x3
 3x 2  4 x  6 .‫ ב‬f '  x   4 x 2  6 x  4 .‫) א‬20
3
x3 3
1
. f  x    x 2  6 x  .‫ ב‬f '  x   x2  3x  6 .‫) א‬21
3 2
6
2
2
3
3
x2 4
. f ( x)   x  2    x  1  2 x  3 )23 f  x     x  6 )22
3
3
2 x
. f ( x)  sin 2 x  cos x  x  1 )25 f ( x)  sin x  2cos2x  2 )24
. f  x 
.15 )27
. y  0.746 x  4.172 .3  0.75 , 2  1 .2  0.5 ,3 .1 .‫) ב‬26
.‫ יח"ש‬9 .‫ ב‬ 3, 0  .‫) א‬30 .‫ יח"ש‬10
2
)29 .‫ יח"ש‬15 )28
3
2
1
.‫ ב‬ 2,0 ,  2,0 .‫) א‬32 .‫ יח"ש‬33 .‫ ב‬ 1,0 ,  5,0  .‫) א‬31
3
3
1
4
2
1
. 8 )38 .‫ יח"ש‬4 )37 ‫ יח"ש‬4 )36 ‫ יח"ש‬13.5 )35 ‫ יח"ש‬10 )34 ‫) יח"ש‬33
3
12
15
3
1
1
.‫ יח"ש‬21 )41 .‫ יח"ש‬3 .‫ ב‬ 1,0 ,  0,0  ,  2,0  .‫) א‬40 ‫ יח"ש‬9.5 .‫ ב‬4 .‫) א‬39
3
12
1
2
5
.‫ יח"ש‬10 )45 .‫ יח"ש‬13.5 .‫ ב‬A  0, 9  , B 3,0  .‫) א‬44 ‫ יח"ש‬57 )43 ‫ יח"ש‬20 )42
6
3
6
1
5
. 2 .‫ ב‬1,3 ,  4,0  .‫) א‬48 .‫ יח"ש‬12 )47 .‫ יח"ש‬21 )46
3
11
1
.‫) יח"ש‬50 .‫ יח"ש‬8 .‫ ב‬ 2,5 ,  0,5 ,  2,5 .‫) א‬49
2
1
.‫) יח"ש‬54 .‫ יח"ש‬8 )53 ‫ יח"ש‬0.5 )52 . II  g  x  , I  f  x  .‫) א‬51
3
.‫יח"ש‬10
270
2
5
.‫ ג‬1,3 .‫ ב‬ 2, 2  .‫) א‬56 ‫) יח"ש‬55
6
3
1
.‫ יח"ש‬18 )58 .‫ יח"ש‬65 .‫ ג‬1,11 .‫ ב‬x  2 , x  2 .‫) א‬57
3
5
7
4
.‫ יח"ש‬4 )60 ‫ יח"ש‬1 .‫ יח"ש ב‬.‫) א‬59
12
12
3
1
4
.‫ יח"ש‬16 )62 ‫ יח"ש‬.‫ ב‬ 2,1 .‫) א‬61
3
3
5
1
.‫ יח"ש‬1 )65 .‫יח"ש‬
)64 .‫ יח"ש‬7 .‫ ג‬ 3,3 .‫ ב‬y   x .‫) א‬63
6
6
2
7
1
.‫יח"ש‬
.‫ ג‬.‫ יח"ש‬.‫ ב‬y  2 x  5 .‫) א‬67 .‫ יח"ש‬.‫ ג‬1, 0  .‫ ב‬y  4 x  4 .‫) א‬66
3
12
3
2
2
2
.‫ יח"ש‬.‫ ב‬y  4 x  20 .‫) א‬69 .‫ יח"ש‬.‫ ג‬.‫ יח"ש‬2 .‫ ב‬y   x  4 .‫) א‬68
3
3
3
2
1
4
1
.‫ יח"ש‬2 , a  )71 .‫ יח"ש‬.‫ ב‬a   .‫) א‬70
3
2
3
2
.‫ יח"ש‬3
.‫יח"ש‬81
a4
1
.‫ ג‬1,9  .‫ ב‬k  10 .‫) א‬73 . a  2 .‫ב‬
.‫) א‬72
4
3
1
.‫יח"ש‬189 .‫ ב‬f  x   x3  4 x2  12 x  5 .‫) א‬74
3
1
.‫ יח"ש‬27 .‫ ב‬f  x    x2  3x  10 .‫) א‬75
6
.‫ יח"ש‬46.5 .‫ ב‬f  x   4 x  x2 , g  x    x2  x  12 .‫) א‬76
.‫ יח"ש‬5
1
.‫ ב‬f  x   2 x2  7 x  5 .‫) א‬77
3
.‫ יח"ש‬546.75 .2  7,133 .1 .‫ ג‬y  15x  28 .‫ ב‬f  x   x3  3x2  9 x .‫) א‬78
.‫ יח"ש‬5
2
1
.‫ ב‬g  x    x  4  .‫) א‬79
3
1
.‫ ג‬ 0, 0  .‫ ב‬f  x   x2  6 x .‫) א‬80
3
1
. ‫ יח"ש‬1 )83 ‫ יח"ש‬.‫ ב‬y   x  2 .‫) א‬82
8
‫ יח"ש‬1 )81 .‫ יח"ש‬85
.‫ יח"ש‬8 .‫ ב‬f  x  
36  x 2
1
, a  36 .‫) א‬85 ‫ יח"ש‬13 .‫ ב‬ 2,8 , a  32 .‫) א‬84
2
x
3
5
1
1
2

.‫ יח"ש‬.‫ ה‬ 1.5,  .‫ ד‬y   x  .‫ ב‬A  6 .‫) א‬86
8
9
6
3

271
‫ יח"ש‬1.75 .‫ ב‬Min  0.5,1.5 .‫) א‬88 ‫ יח"ש‬15.5 .‫ ב‬A 1, 4  .‫) א‬87
. t  16 )92
‫ יח"ש‬0.5 )91 .‫ יח"ש‬2.26 )90 ‫ יח"ש‬48 .‫ ב‬ 4,8 .‫) א‬89
. ‫ יח"ש‬88 .‫ ג‬16,14  .‫ ב‬f '  x   1 
4
x x
 0 .3
 4, 0  .2
x0
. S2  S1  2 .2 S1  2 .1 .‫ ג‬ 5, 0  .‫ ב‬a  13 .‫) א‬97 . t  1 .‫) ב‬96 a  9 )95
.1 .‫) א‬93
b2
)94
.‫ יח"ש‬ .‫ ב‬y  x  2 .‫) א‬100 ‫ יח"ש‬0.41 )99 . M  5,3 .‫) א‬98
.
S1 3  2

 1.538 .‫ ב‬y  1 .‫) א‬101
S2 3  2
. S  0.5 2  2  2.934 .‫ ב‬.‫ היא נקודת פיתול‬ ,   ‫ הנקודה‬,‫ אין נקודת קיצון‬.‫) א‬102
3
 2 1 
,  .‫) א‬103
 1.299 .‫ ב‬ 0,1 , 
2
 3 4
1
 7 11
1
,
.‫ יח"ש‬.‫ ג‬f ( x)   sin 2 x  cos x .‫ ב‬x  ,
.‫) א‬104
2
2
6
6
2
. S  1.5
. b  2 , a  2 )106
S  2  2  4  11.74 .‫) ג‬105
.V  ‫ יח"נ‬0.243 )109 V  ‫ יח"נ‬ )108
V 
3
5
‫ יח"נ‬69  )107
. A 1 , 0  )112 b  1 )111 a   )110
9
2
3
4
1

272

1
‫הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת‪:‬‬
‫חוקים כלליים עבור נגזרת ראשונה‪:‬‬
‫‪ .1‬כאשר ‪ f  x ‬עולה‪ f '  x  ,‬חיובית ולהיפך‪.‬‬
‫‪ .2‬כאשר ‪ f  x ‬יורדת‪ f '  x  ,‬שלילית ולהיפך‪.‬‬
‫‪ .3‬כאשר ל‪ f  x  -‬יש נקודת קיצון‪,‬‬
‫‪f ' x‬‬
‫מחליפה סימן (חותכת את ציר ה‪ ) x -‬ולהיפך‪.‬‬
‫חוקים כלליים עבור נגזרת שנייה‪:‬‬
‫‪ .4‬כאשר ‪ f '  x ‬עולה אז ‪ f ''  x ‬חיובית ו‪ f  x  -‬קעורה כלפי מעלה‪.‬‬
‫‪ .5‬כאשר ‪ f '  x ‬יורדת אז ‪ f ''  x ‬שלילית ו‪ f  x  -‬קעורה כלפי מטה‪.‬‬
‫‪ .6‬כאשר ל‪ f '  x  -‬יש קיצון‪ ,‬אז ‪ f ''  x ‬מחליפה סימן (חותכת את ציר ה ‪ ) x -‬ולהיפך‪.‬‬
‫דוגמא עבור הפונקציה‪. f  x   x3  12 x :‬‬
‫נגזרת הפונקציה היא‪. f '  x   3x2 12 :‬‬
‫הנגזרת השנייה היא‪. f ''  x   6 x :‬‬
‫ניתן לראות את חוקים ‪ 1-6‬לעיל באיור הסמוך‪.‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬נתון גרף של פונקציה‪.‬‬
‫צייר על אותה מערכת צירים את גרף הנגזרת‪.‬‬
‫נמק את שיקוליך בסרטוט‪.‬‬
‫‪ )2‬נתון גרף של פונקציה‪.‬‬
‫צייר על אותה מערכת צירים את גרף הנגזרת‪.‬‬
‫נמק את שיקוליך בסרטוט‪.‬‬
‫‪ )3‬נתון גרף הנגזרת של פונקציה‪.‬‬
‫צייר על אותה מערכת צירים את גרף הפונקציה‬
‫אם ידוע שהיא עוברת בראשית הצירים‪.‬‬
‫נמק את שיקוליך בסרטוט‪.‬‬
‫‪273‬‬
‫‪ )4‬נתון גרף הנגזרת של פונקציה‪.‬‬
‫צייר על אותה מערכת צירים את גרף הפונקציה‬
‫אם ידוע שהיא עוברת בראשית הצירים‪.‬‬
‫נמק את שיקוליך בסרטוט‪.‬‬
‫‪ )5‬נתון גרף הנגזרת של פונקציה‪ .‬צייר על אותה מערכת צירים‬
‫את גרף הפונקציה אם נתון‪. f  0   0 :‬‬
‫נמק את שיקוליך בשרטוט‪.‬‬
‫‪ )6‬נתון גרף הנגזרת של פונקציה‪ .‬צייר על אותה מערכת צירים‬
‫את גרף הפונקציה ואת גרף הנגזרת השנייה אם נתון‪. f  0   0 :‬‬
‫נמק את שיקוליך בשרטוט‪.‬‬
‫‪ )7‬נתון גרף הנגזרת של פונקציה‪ .‬צייר על אותה מערכת צירים‬
‫את גרף הפונקציה ואת גרף הנגזרת השנייה אם נתון‪. f  0   0 :‬‬
‫נמק את שיקוליך בשרטוט‪.‬‬
‫‪ )8‬נתונה הפונקציה‪. f  x   x2  6 x  5 :‬‬
‫א‪ . 1 .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪ f  x ‬ושל גרף הנגזרת ‪. f '  x ‬‬
‫‪ )9‬נתונה הפונקציה‪. f  x   x3  3x :‬‬
‫א‪ . 1 .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪ f  x ‬ושל גרף הנגזרת ‪. f '  x ‬‬
‫‪274‬‬
‫‪ )10‬לפונקציה ‪ f  x ‬יש נקודת קיצון אחת‪.‬‬
‫הערך המקסימלי שלה מתקבל בנקודה שבה‪. x  2 :‬‬
‫א‪ .‬מהו סימן הנגזרת עבור‪? x  2 :‬‬
‫ב‪ .‬מהו סימן הנגזרת עבור‪? x  2 :‬‬
‫ג‪ .‬איזה מבין הגרפים הנ"ל יכול לתאר את גרף הנגזרת‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )11‬נתונה הפונקציה‪. f  x   x3  x 2  15x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬איזה מבין הגרפים הבאים מתאר סקיצה של הנגזרת ‪ ? f '  x ‬נמק‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪275‬‬
‫‪ )12‬נתונה הפונקציה‪. f  x   x4  4 x3 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬סרטט באמצעות נתונים אלו את הגרף של נגזרת הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )13‬ענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬סרטט את גרף פונקצית הנגזרת ‪ , f '  x  ,‬של ‪ , f  x ‬אם ידוע כי ל‪f  x  -‬‬
‫יש שתי נקודות קיצון‪ :‬מקסימום כאשר‪ x  1 :‬ומינימום כאשר‪. x  3 :‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה ‪ f  x ‬ולה ‪ 3‬נקודות קיצון‪ :‬מקסימום כאשר‪x  0,5 :‬‬
‫ומינימום כאשר‪ . x  2 :‬סרטט את גרף הנגזרת של הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ג‪ .‬סרטט את גרף הנגזרת ‪ , f '  x  ,‬של ‪ , f  x ‬אם ידוע כי היא יורדת לכל ‪. x‬‬
‫והנגזרת שלה מתאפסת בנקודה שבה‪. x  3 :‬‬
‫‪ )14‬בשרטוט נתונים הגרפים של פונקציה ושל נגזרתה‪.‬‬
‫א‪ .‬קבע איזה מהגרפים‪ I ,‬או ‪ ,II‬שייך לפונקציה ואיזה לנגזרת‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬כמה נקודות פיתול יש לפונקציה? נמק וסמן אותן על השרטוט‪.‬‬
‫‪I‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪. Q  2,1 , P  2, 4  :‬‬
‫מצא את גודלו של השטח הכלוא בין גרף ‪I‬‬
‫לציר ה ‪( x -‬השטח המקווקו בשרטוט)‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪II‬‬
‫‪276‬‬
:‫תשובות סופיות‬
)4
)3
)2
)1
)7
)6
)5
. min  3, 4 .2  5, 0 , 1, 0 ,  0,5 .1 .‫) א‬8
. min 1, 2 , max  1, 2 .2  0, 0 ,

 

3, 0 ,  3, 0 .1 .‫) א‬9
.1 .‫ ג‬. f '  x   0 .‫ ב‬. f '  x   0 .‫) א‬10
. x  0 , 0  x  3 :‫ יורדת‬x  3 :‫ עולה‬.‫) א‬12 .1 .‫ ב‬. 5  x  3 :‫יורדת‬
.‫ יח"ש‬3 .‫ ג‬.‫ נקודות‬3 .‫ ב‬I : f '  x  , II : f  x  .‫) א‬14
x  5 , x  3 :‫ עולה‬.‫) א‬11
)10
.‫) ג‬13
277
)9
:‫סקיצות לשאלות‬
)8
.‫) ב‬13
.‫) א‬13
:‫ תרגילים מסכמים‬- ‫ – חשבון דיפרנציאלי‬11 ‫פרק‬
:‫תרגילים העוסקים בפונקציה פולינומית‬
:‫תרגילים העוסקים בנגזרות יסודיות‬
:‫גזור את הפונקציות הבאות‬
y   x  1
y  x 3  4 x 2  4 x  3 )3
y  x 2  2 x  1
y
2
4 x2  2 x  6
2
x  x  7
y
2
)6
)2
y  x2
)1
y   x 2  1 x 2  3
)5
y  3x 3  3x
)4
5 7 4 x5 1
x 
 x
7
5 2
)8
1 2 1
x  x4
2
3
)7
y
)9
2
y
)12
x3  9 x
y  x 1
)11
3
x3  3x 2  6 x  9
y
)10
5
y   4 x  5 )15
y   3x  2  )14
y   x  1 )13
2
4
4
. y '  4 x  4 x )5
8
y '  3 x  8 x  4 )3
1
1
. y '  4 x  1 )9 y '  5 x 6  4 x 4  )8 y '  x  )7
2
3
3
y '  9 x  3 )4
6
2
.y' 
2
3x 2  28 x  49
)12
2
:‫תשובות סופיות‬
y '  2 x  2 )2 y '  2 x )1
y '  16 x3  12 x2  2 x )6
y '  4 x3  x2  3 )11
. y '  16  4 x  5 )15
3
y '  24  3x  2  )14
7
y' 
3x 2  6 x  6
)10
5
y '  6  x  1 )13
5
. f '  x0   m :‫תרגילים העוסקים במציאת שיפוע המשיק לגרף הפונקציה לפי הכלל‬
:‫) חשב את שיפוע המשיק לגרפים של הפונקציות הבאות בנקודות הרשומות לידן‬16
x  7 , f ( x)  x 3  5 x 2  5 x . ‫ב‬
x  1 , f ( x)  2 x2  x .‫א‬
x5  15 x3  20 x  4
x  2 , f ( x) 
.‫ד‬
5
x  1 , f ( x)  x  x  3  x 2  1
.‫ו‬
x  1 , f ( x)  x  4 x  3
x  0 , f ( x) 
278
2
.‫ג‬
1 7 1 6 1 5 1 4
x  x  x  x .‫ה‬
7
6
5
4
‫‪ )17‬לפניך מספר פונקציות‪ .‬לכל פונקציה מצא את שיעורי הנקודות עבורם שיפוע‬
‫המשיק הוא המצוין לידה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ב ‪m  0 , f ( x)  x  x  2  .‬‬
‫א‪m  13 , f ( x)  5x2  3x .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪m  6 , f ( x)   x 2  6   x  2  .‬‬
‫‪m  20 , f ( x)  2 x3  14 x‬‬
‫‪ )18‬א‪ .‬מצא נקודה על גרף הפונקציה‪ y  3x2  x  2 :‬אשר המשיק העובר‬
‫דרכה מקביל לישר‪. y  5x  2 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא נקודה על גרף הפונקציה‪ y  x3  3x2  2 x :‬אשר המשיק העובר‬
‫דרכה מקביל לישר‪. y  x  3 :‬‬
‫‪ )19‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  3x2  12 x :‬‬
‫הראה כי שיפוע המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות החיתוך שלה עם ציר ה‪x -‬‬
‫הם מספרים נגדיים‪.‬‬
‫תרגילים העוסקים במציאת משוואת משיק לפי הנוסחה‪, y  y1  m  x  x1  :‬‬
‫כאשר‪ -  x1 , y1  :‬נקודת ההשקה ו‪ m -‬שיפוע המשיק‪.‬‬
‫‪ )20‬מצא את משוואת המשיק לגרפים של הפונקציות הבאות בנקודות הרשומות לידן‪:‬‬
‫ב‪x  1 , y  x3  4 x .‬‬
‫א‪x  3 , y  x2  4 x  5 .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x  0 , y  x  x  5‬‬
‫‪x3  6 x 2  9 x‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫ד ‪x  1 , y  3x 4  4 x 3  5 x .‬‬
‫‪x  3 , y ‬‬
‫ו‪.‬‬
‫ז‪x  0 , y   3x 2  4   6  x  .‬‬
‫‪4 x7 2 x10‬‬
‫‪‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x 1 , y ‬‬
‫ח‪x  2 , y  x  x  1 3x  8 .‬‬
‫‪ )21‬נתונה הפונקציה‪ . y  x3  3x  12 :‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‬
‫העובר דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫‪ )22‬נתונה הפונקציה‪ . y  x2  7 x  10 :‬מצא את משוואות המשיקים לגרף‬
‫הפונקציה העוברים דרך נקודות החיתוך שלה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪279‬‬
‫‪ )23‬נתונה הפונקציה‪ y  2 x2  5x  3 :‬ונתון הישר‪. y  4 x  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה והישר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות החיתוך שמצאת‪.‬‬
‫‪ )24‬נתונה הפונקציה‪ y  4 x3 :‬ונתון הישר‪. y  4 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה והישר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות החיתוך שמצאת‪.‬‬
‫‪ )25‬נתונות הפונקציות‪ f ( x)  x2  3x  4 :‬ו‪. g ( x)  5x  x2 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לכל הפונקציה העוברים דרך הנקודה שבה ‪. x  1‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של שני המשיקים שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪ )26‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x3  4 x2  3x  3 :‬‬
‫הישר ‪ y  3‬חותך את גרף הפונקציה )‪ f ( x‬בשלוש נקודות‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך בין הפונקציה והישר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואות המשיקים בנקודות החיתוך‪.‬‬
‫תרגילים העוסקים במציאת משוואת המשיק כאשר נתון מידע הקשור לשיפוע‪:‬‬
‫‪ )27‬א‪ .‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  4 x2  x  3 :‬‬
‫מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה ששיפועו‪. m  9 :‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x3  2 x2 :‬‬
‫מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה ששיפועם‪. m  1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x  x  4  :‬‬
‫מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה ששיפועם‪. m  0 :‬‬
‫‪ )28‬א‪ .‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x4  12 x  4 :‬‬
‫מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה המקביל לישר‪. y  44 x  1 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה‪f ( x)   x 2  1  x  1 :‬‬
‫המקבילים לישר‪. 3 y 12 x  5 :‬‬
‫‪ )29‬א‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה‪f ( x)  x3  1.5x2  4 x  1 :‬‬
‫בעלי שיפוע ‪.2‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה‪y  2 x  3x  10 x  3 :‬‬
‫ששיפועם הוא‪. m  2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪280‬‬
‫‪3‬‬
‫תרגילים עם פרמטרים‪:‬‬
‫‪ )30‬נתונה הפונקציה‪ . y  ax2  4 x  5 :‬ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה‬
‫בנקודה שבה ‪ x  2‬הוא ‪ .8‬מצא את ‪. a‬‬
‫‪ )31‬נתונה הפונקציה‪. y  x2  a :‬‬
‫ידוע כי לגרף הפונקציה יש משיק שמשוואתו‪. y  2 x  2 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת ההשקה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪. a‬‬
‫‪ )32‬נתונה הפונקציה‪ . y  x3  6 x2  ax :‬ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה‬
‫בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה ‪ y -‬הוא ‪ .5‬מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ )33‬נתונה הפונקציה‪. y   8 x  20 :‬‬
‫‪A‬‬
‫ידוע כי משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך אחת מנקודות החיתוך‬
‫שלה עם ציר ה ‪ x -‬היא‪. y  12 x  24 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק העובר דרך נקודת החיתוך השנייה של‬
‫הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪ )34‬נתונה הפונקציה הבאה‪. f ( x)   x  1  x 2  a  :‬‬
‫ידוע כי‪ . f '(1)  2 :‬מצא את ‪. a‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪ )35‬נתונה הפונקציה‪ 2 x3  4 x 2  4 :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ . f ( x) ‬ידוע כי המשיק לגרף הפונקציה‬
‫בנקודה שבה ‪ x  2‬מקביל לציר ה ‪. x -‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬האם יש לגרף הפונקציה משיקים נוספים המקבילים לציר ה ‪ ? x -‬אם כן‪,‬‬
‫מצא את המשוואות שלהם‪.‬‬
‫‪ )36‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x5  Bx3  4 x :‬‬
‫המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪ x  1‬מקביל לישר‪. y  24 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם יש משיק נוסף לגרף הפונקציה המקביל לישר ‪? y  24 x‬‬
‫במידה וכן מצא את משוואתו‪.‬‬
‫‪281‬‬
‫‪ )37‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)  Ax2  Bx  5 :‬ידוע כי‪ f (1)  12 :‬וגם‪. f '(1)  8 :‬‬
‫מצא את ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫‪ )38‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  3x3  4 x2  Ax  C :‬‬
‫ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה ‪ y -‬בנקודה שבה‪. y  5 :‬‬
‫שיפוע המשיק לגרף הפונקציה דרך נקודה זו הוא ‪ .4‬מצא את ‪ A‬ו‪.C-‬‬
‫‪ )39‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  Ax3  Bx2  8 :‬‬
‫משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך הנקודה שבה ‪ x  2‬היא‪. y  12 x  28 :‬‬
‫מצא את ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫‪ )40‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)  Ax4  Bx2  10 :‬שיפוע הפונקציה בנקודה ‪ 1,18‬הוא ‪.18‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי הפונקציה אינה חותכת את ציר ה‪. x -‬‬
‫‪ )41‬נתונות הפונקציות‪ f ( x)  3x2  Ax :‬ו‪. g ( x)  x2  B -‬‬
‫ידוע כי הפונקציות נחתכות בנקודה שבה‪ x  1 :‬ולשתיהן יש את אותו השיפוע‬
‫בנקודה שבה ‪ . x  0.25‬מצא את ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫‪ )42‬נתונות הפונקציות‪ f ( x)  Ax2  10 x :‬ו‪. g ( x)  x2  Bx  16 -‬‬
‫ידוע כי הפונקציות נחתכות בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫כמו כן לשתי הפונקציות יש את אותו השיפוע בעבור ‪ . x  8.5‬מצא את ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫תרגילים שונים – שימושי הנגזרת‪:‬‬
‫‪ )43‬באיור שלפניך נתונה הפונקציה‪. y   x  6 x  16 :‬‬
‫הנקודה ‪ A‬היא נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה ‪ y -‬והנקודה ‪B‬‬
‫היא נקודת החיתוך החיובית של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המיתר העובר דרך הנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה המקביל לישר‬
‫שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪282‬‬
‫‪ )44‬נתונה הפרבולה‪. f ( x)   x2  8x  12 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬דרך נקודות החיתוך של גרף הפרבולה עם ציר ה ‪x -‬‬
‫מעבירים משיקים‪ .‬מצא את משוואות המשיקים הללו‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של שני המשיקים‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המשולש הנוצר בין שני המשיקים וציר ה‪. x -‬‬
‫‪ )45‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x3  27 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות שהמשיק העובר דרכן מקביל לציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואות המשיקים העוברים דרך הנקודות שמצאת‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המלבן הנוצר בין שני המשיקים שמצאת והאנכים לציר‬
‫ה ‪ x -‬היוצאים מנקודות ההשקה‪.‬‬
‫‪ )46‬נתונות הפונקציות‪ f ( x)  8  x2 :‬ו‪. g ( x)  Ax2  15.5x 1 -‬‬
‫ידוע כי הגרפים של הפונקציות נחתכים בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי המשיקים לכל פונקציה בנקודת החיתוך שבה ‪ x  1‬מאונכים‬
‫זה לזה‪( .‬תזכורת‪ :‬השיפועים ‪ m1 , m2‬של שני ישרים מאונכים‬
‫מקיימים‪ - m1  m2  1 :‬מכפלתם שווה ל ‪.)-1-‬‬
‫‪ )47‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪. f ( x)  2 x2 10 x  13 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך‬
‫הנקודה שבה ‪. x  2‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הנורמל לפונקציה העובר דרך נקודת‬
‫ההשקה של המשיק שמצאת‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש הנוצר בין הנורמל‪ ,‬המשיק והצירים‪.‬‬
‫(היעזר באיור)‪.‬‬
‫‪ )48‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)  Ax2  6 x  9 :‬שיפוע הפונקציה בנקודה שבה ‪ x  3‬הוא אפס‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי הפונקציה משיקה לציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬מעבירים את הישר ‪ y  1‬החותך את הפונקציה )‪ f ( x‬בשתי נקודות‪.‬‬
‫מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם הישר‪.‬‬
‫‪283‬‬
‫‪ )49‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)   2 x  5 :‬‬
‫‪8‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה )‪f ( x‬‬
‫בנקודה שבה‪. x  2 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של משיק זה עם הישר ‪. y  17 x‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש שנוצר בין המשיק‪ ,‬הישר‬
‫וציר ה‪( y -‬ראה איור)‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )50‬נתונה הפונקציה‪ . a, b  0 , f ( x)  a  x  b  :‬ידוע כי ערך הנגזרת הוא אפס‬
‫כאשר ‪ . x  1‬כמו כן הישר ‪ y  15x  27‬משיק לפונקציה בנקודה שבה‪. x  2 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪. b -‬‬
‫‪5‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא שתי נקודות על הפונקציה )‪ f ( x‬ועל הפונקציה‪g ( x)  7.5  x  1  24 :‬‬
‫‪4‬‬
‫בעבורה שיפוע המשיק זהה לשני הגרפים‪.‬‬
‫תרגילים העוסקים במציאת נקודות קיצון לפי הכלל‪ , f '  x   0 :‬סיווגן‬
‫ומציאת תחומי עלייה וירידה‪:‬‬
‫‪ )51‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫ב ‪y  x  4 x  3x  8 .‬‬
‫א‪y  x2  6 x  8 .‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪y  x5  80 x .‬‬
‫‪y  x  x  3‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪x5 26 x3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 25 x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )52‬לפניך מספר פונקציות‪ .‬רשום בעבור כל פונקציה את תחומי העלייה והירידה‬
‫שלה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪y  x  7 x  10 .‬‬
‫ב‪y  x  12 x .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫ג‪y  x 2  x  1 .‬‬
‫‪y  16  x  2 x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y  x3  x 2  2 x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫ו‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪y   2 x  5‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪x3  6 x 2  15 x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪y  4  x‬‬
‫‪ )53‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  x4  3x3  4 x :‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הנקודה שבה‪ x  2 :‬היא נקודת קיצון‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את הנגזרת השנייה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬קבע על פי הנגזרת השנייה את סוג הקיצון של נקודה זו‪.‬‬
‫‪284‬‬
‫‪ )54‬נתונה הפונקציה‪. y  x3  6 x 2 :‬‬
‫א‪ .‬הראה כי יש לפונקציה נקודת קיצון על ציר ה‪ x -‬וקבע את סוגה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון הנוספות של הפונקציה וכתוב את תחומי העלייה‬
‫והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )55‬א‪ .‬מצא את הערך הגדול ביותר של הפונקציה‪. y  27  x2 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הערך הקטן ביותר של הפונקציה‪. y  x4  8x2  10 :‬‬
‫‪ )56‬נתונה הפונקציה‪. y  4 x3  x :‬‬
‫א‪ .‬הראה כי אין לפונקציה נקודות קיצון‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי הפונקציה עולה תמיד‪.‬‬
‫תרגילים העוסקים במציאת נקודות קיצון מוחלטות כאשר נתונה פונקציה בקטע‬
‫מסוים‪:‬‬
‫‪ )57‬מצא את נקודות הקיצון המוחלטות בעבור כל פונקציה בתחום הנתון לידה‪:‬‬
‫ב‪4  x  4 , y  16  x2 .‬‬
‫א‪1  x  7 , y  x2  2 x .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪1  x  5 , y   x3  7.5x2  12 x .‬‬
‫‪2  x  4 , y  x3  3x2  9 x‬‬
‫ה‪6  x  6 , y  x4  50 x2  3 .‬‬
‫‪ )58‬נתונה הפונקציה‪ y   x3  6 x2  9 x  6 :‬בתחום הסגור‪.  0;5 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות קיצון הקצה בתחום הסגור הנ"ל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון המקומיות בתחום הנ"ל‪.‬‬
‫ג‪ .‬קבע אלו נקודות הן נקודות הקיצון המוחלטות‪.‬‬
‫‪ )59‬נתונה הפונקציה‪ f ( x)  x3  36 x :‬בתחום‪. 8;6 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי נקודות קיצון הקצה בתחום הנתון‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי נקודות הקיצון המקומיות‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא אלו נקודות הן נקודות הקיצון המוחלטות בתחום הנתון‪.‬‬
‫‪285‬‬
‫תרגילים העוסקים בחקירה מלאה של פונקציה פולינומית‪:‬‬
‫‪ )60‬חקור את הפונקציות הבאות לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .3‬קביעת סוג הקיצון ומציאת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .4‬מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (במידה ויש)‪.‬‬
‫‪ .5‬סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫א‪y  x 2  8x  12 .‬‬
‫ב‪y  x3  12 x .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪y  x  x  12  2 x  9  .‬‬
‫‪y  x  x  8‬‬
‫ה‪y  x 4  4 x .‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪y   3x  1‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪x4 x2 1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪4 2 4‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪y  6  x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪8‬‬
‫תרגילים שונים העוסקים בחקירות‪:‬‬
‫‪ )61‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)  x  ax2  3x  3 :‬הישר ‪ y  5‬חותך את גרף הפונקציה‬
‫בנקודה שבה ‪. x  2‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הנקודות המקיימות ‪. f '( x)  0‬‬
‫ג‪ .‬האם יש לפונקציה נקודות קיצון?‬
‫ד‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )62‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x4  3x3  x2  a :‬‬
‫ידוע כי הפונקציה עוברת בראשית הצירים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )63‬נתונה הפונקציה‪. y   x  2  x  1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה וירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪286‬‬
‫‪ )64‬נתונה הפונקציה‪. y   x  3 2  x  :‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )65‬נתונה הפונקציה‪. a  6 , y  2 x2  x  a  :‬‬
‫ידוע שלפונקציה יש נקודת קיצון שבה ‪. x  4‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מצא את הפרמטר ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫האם יש לפונקציה עוד נקודות קיצון? אם כן‪ ,‬מצא אותן‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא האם יש לפונקציה נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )66‬לגרף הפונקציה‪ f ( x)  x3  4 x2  kx :‬מעבירים משיק ‪ y  21x  6‬החותך‬
‫אותו בנקודה שבה ‪. x  6‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מצא את ‪. k‬‬
‫מצא את נקודת ההשקה של המשיק עם הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫האם יש לגרף הפונקציה נקודות קיצון?‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫‪ )67‬נתונה הפונקציה‪. y  3x3  6 x2  4 x  d :‬‬
‫ידוע שהפונקציה חותכת את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה ‪. x  2‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. y‬‬
‫ב‪ .‬האם יש לפונקציה נקודות קיצון?‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ה‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )68‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  3  3x  5 :‬‬
‫‪4‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪287‬‬
:‫תשובות סופיות‬
 2, 0  23 ,1 275  .‫ ב‬1,8 .‫) א‬17 .-18 .‫ ו‬0 .‫ ה‬-16 .‫ ד‬105 .‫ ג‬212 .‫ ב‬3 .‫) א‬16
m  12
)19  1, 0  .‫ ב‬1, 0  .‫) א‬18 .  0.  12   43 , 5 275  .‫ ד‬1,16  1, 16  .‫ג‬
y  6 x
.‫ ה‬y  29 x 17 .‫ ד‬y  25x .‫ ג‬y   x  2 .‫ ב‬y  2 x  20 .‫) א‬20
y  3x  12 )21 y  48x  68 .‫ ח‬y  4 x  24 .‫ ז‬y  356 .‫ו‬
 1,0 ,  0.5,6  .‫) א‬23 y  3x  6 , y  3x 15 )22
y  0 , y  12x  8 , y  12x  8 .‫ ב‬ 0,0  , 1, 4  ,  1, 4  .‫) א‬24
 0,3 , 1,3 , 3,3 .‫) א‬26  3,10  .‫ ב‬y  5x  5 , y  3x  1 .‫) א‬25
y  x  1 , y  7 x  2.5 .‫ב‬
y   x , y   x  274 .‫ ב‬y  9 x  1 .‫) א‬27 y  3x  3 , y  2 x  5 , y  6 x  15 .‫ב‬
y  4 x  4 , y  4 x  5 13
y  44 x  44 .‫) א‬28 y  0 , y  9 13
27 .‫ב‬
27 .‫ג‬
a 1
)30 y  2x  10 ; y  2x 17 .‫ ב‬y  2x  9 , y  2 x  4.5 .‫) א‬29
a  5 , y  x3  6 x 2  5x )32 a  1 .‫ ב‬1, 0  .‫) א‬31
. y  4 ,‫ כן‬.‫ב‬
.‫) א‬35 a  1 )34 y  12 x  120 .‫ ב‬A  1 .‫) א‬33
y  24 x  14 ,‫ כן‬.‫ ג‬y  24 x  14 .‫ ב‬B  5 .‫) א‬36
A  1 , B  7 .‫) א‬40 A  2 , B  3 )39 A  4 , C  5 )38 A  1 , B  6 )37
y  -2 x  32 .‫ ב‬y  -2 x  16 .‫) א‬43 A  2 , B  -7 )42 A  1 , B  3 )41
A4
16 .‫ ג‬ 4,8 .ii y  -4 x  24 , y  4 x-8 .i.‫ ב‬ 2,0  ,  6,0  .‫) א‬44
.‫) א‬46 .648 .‫ ג‬y  54 .‫ ב‬ 3, 54 ,  3,54 .‫) א‬45
y  2 x  5 , y  2 x  7 .‫ ג‬A  1 .‫) א‬48 .1.25 .‫ ג‬y  0.5x .‫ ב‬y  2 x  5 .‫) א‬47
A  7.5
 3,96  ,1,0  .‫ב‬
a  3 , b  1 .‫) א‬50 .16.5 .‫ ג‬1,17  .‫ ב‬y  16 x  33 .‫) א‬49
.‫ אין קיצון‬.‫ ד‬ 3,0  1, 4  .‫ ג‬ 3, 10    13 ,8 1427  .‫ ב‬ 3, 1 .‫) א‬51
.  5, 333 13  ,  5,333 13  , 1,16 158  ,  1, 16 158  .‫ה‬
2  x  2
:‫ יורד‬x  2 , x  2 :‫ עולה‬.‫ ב‬x  3.5 :‫ יורד‬x  3.5 :‫ עולה‬.‫) א‬52
0.5  x  0 , x  0.5 :‫ עולה‬.‫ ד‬0  x 
:‫ יורד‬x  0 , x  23 :‫ עולה‬.‫ג‬
. x ‫ עולה לכל‬.‫ ו‬1  x  2 :‫ יורד‬x  1 , x  2 :‫ עולה‬.‫ ה‬x  0.5 , 0  x  0.5 :‫יורד‬
2
3
.Min .‫ ג‬f ''( x)  12 x2 18x .‫) ב‬53 . x ‫ יורד לכל‬.‫ ח‬x  2.5 :‫ יורד‬x  2.5 :‫ עולה‬.‫ז‬
4  x  0
:‫ יורד‬x  4 , x  0 :‫ עולה‬Max  4,32  .‫ ב‬Min  0,0  .‫) א‬54
.- 6 .‫ ב‬.27 .‫) א‬55
.‫ מוחלט‬Max  7,35 .‫ מוחלט‬Min 1, 1 .‫) א‬57
.‫ מוחלט‬Max  0,16  .‫ מוחלט‬Min  4, 0  .‫ב‬
.‫ מוחלט‬Max  1,5 .‫ מוחלט‬Min  3,  27  .‫ג‬
288
.‫ מוחלט‬Max  1, 20.5 .‫ מוחלט‬Min 1, 5.5 .‫ד‬
.‫ מוחלט‬Max  0,3 .‫ מוחלט‬Min  5, 622  .‫ה‬
. Min 1,  10 , Max  3,  6 .‫ ב‬ 0, 6 ,  5, 26  .‫) א‬58
.‫ מוחלט‬Max  0,  6 , Max  3,  6  .‫ מוחלט‬Min  5, 26  .‫ג‬

 

12, 83.13 ,  12,83.13 .‫ב‬
 8, 224 ,  6,0  .‫) א‬59
. Mint  8, 224 , Maxt   12,83.13 .‫ג‬
:4 ‫ עד‬1 ‫ תשובות לסעיפים‬.60
. 0,12 ,  6,0  ,  2,0  .4 . x  4 :‫ יורד‬x  4 :‫ עולה‬.3 . Min  4, 4  .2 . x ‫ כל‬.1 .‫א‬
. 2  x  2 :‫ יורד‬x  2 , x  2 :‫ עולה‬.3 . Min  2, 16 , Max  2,16  .2 . x ‫ כל‬.1 .‫ב‬
2
23
. Min  -2 3 ,-75 27  , Max  -8,0 .2 . x ‫ כל‬.1 .‫ ג‬.  0,0  ,   12,0  .4
2
:‫ עולה‬.3
3
. 2  x  9 :‫ יורד‬x  2 , x  9 :‫ עולה‬.3 . Min  9, 243 , Max  2,100 .2
. x ‫ כל‬.1 .‫ ד‬.  0,0 ,  8,0  .4 . 8  x  2 23 :‫ יורד‬x  8, x  2
. x  1 :‫ יורד‬x  1 :‫ עולה‬.3 . Min 1, 3 .2 . x ‫ כל‬.1 .‫ ה‬.  0,0 , 12,0  ,  4.5,0  .4
. Min  1,0 , Max  0,0.25 .4 + 2 . x ‫ כל‬.1 .‫ ו‬.  0,0  ,  3 4,0  .4
. Min  13 , 0  .2 . x ‫ כל‬.1 .‫ ז‬x  1 , 0  x  1 :‫ יורד‬1  x  0 , x  1 :‫ עולה‬.3
. Min  6, 0  .2 . x ‫ כל‬.1 .‫ ח‬.  13 , 0  ,  0,1 .4 . x  13 :‫ יורד‬x  13 :‫ עולה‬.3
.  6, 0  ,  0, 68  .4 . x  6 :‫ יורד‬x  6 :‫ עולה‬.3
:‫סקיצות‬
. x  1 -‫ עולה בכל תחום הגדרתה חוץ מ‬.‫ ד‬.‫ לא‬.‫ ג‬. (1, 4) .‫ ב‬. a  3 .‫) א‬61
5
) , Min(0,0) .‫ ב‬. a  0 .‫) א‬62
, 2  x   14 , x  0 :‫ עולה‬.‫ ג‬. Min(-2,-4) , Max(- 14 , 256
. x  2 ,  14  x  0 :‫יורדת‬
. 1  x  1 :‫ יורדת‬, x  1 , x  1 :‫ עולה‬.‫ ב‬Max  1,0 , Min 1, 4 .‫) א‬63
289
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ )64 .  1,0  ,  2,0  ,  0, 2  .‬א‪Max(2, 0) , Min 2 23 ,  274 .‬‬
‫ב‪ .‬עולה‪ , x  2 , x  2 23 :‬יורדת‪ . 2  x  2 23 :‬ג‪.  2,0 ,  3,0  ,  0, 12  .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )65‬א‪ y  2 x2  x  4 , a  4 .‬ב‪ .  0,0 ,  2,32  ,  4,0  .‬ג‪ .‬עולה‪, 0  x  2 , x  4 :‬‬
‫יורדת‪ . x  0 , 2  x  4 :‬ד‪.  4,0  ,  0,0  .‬‬
‫‪ )66‬א‪ k  10 .‬ב‪  1, 15 .‬ג‪ .  0, 0  .‬ד‪ .‬לא‪ .‬ה‪ .‬עולה בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫‪ )67‬א‪ . d  8 .‬ב‪ .‬לא‪ .‬ג‪ .‬יורדת בכל תחום הגדרתה‪ .‬ד‪. (0,8) .‬‬
‫‪ )68‬א‪ . Min 1 23 , 0  .‬ב‪ .‬עולה בתחום‪ . x  1 23 :‬יורדת בתחום‪. x  1 23 :‬‬
‫ג‪. 1 23 , 0  , (0,1875) .‬‬
‫סקיצות של שאלות ‪:63-68‬‬
‫‪290‬‬
:‫תרגילים העוסקים בפונקציה רציונאלית‬
:‫תרגילים העוסקים בנגזרות יסודיות‬
:‫גזור את הפונקציות הבאות‬
y
x 6

)3
6 x
 x  3
y
)6
x6
)9
x2  6
y
x
x2
2
 4
4x 1
)2
x
y
x 2  3x  4
y
)5
x2
2
x2
y
y
y
6
)8
x  8 x  12
y
3x
)7
2x 1
y
2
x2  6 x  8
y 2
)10
x  2x 1
2
2
)1
x2  5x  4
y
)4
x
 x  9
y  3
)11
2
 x  9
)12
1
x
x 2  7 x  12
)14
x4
x3  x
)13
x2 1
y
:‫תשובות סופיות‬
.y' 
3 8
 )5
x 2 x3
y '  1
. y'  
. y' 
x
4
)4
x2
6  2 x  8
2
 8 x  12 
36  x  9 
 x  9
3
2
)11 y ' 
2 x 2  21x  48
.y'  
)14
x5
y' 
1 6

)3
6 x2
)8
y' 
3
 2 x  1
8 x 2  14 x  22
x
2
 2 x  1
y' 
291
y' 
)10
2
x4  4 x2 1
x
2
 1
2
2
)13
1
)2
x2
)7
y'  
y'  
y' 
1
)1
x2
y'  
6 18
 )6
x 2 x3
x 2  12 x  6
x
2
 6
2
2x  4  x2 
x
2
 4
3
)9
)12
‫תרגילים העוסקים במציאת שיפוע המשיק לגרף הפונקציה לפי הכלל‪. f '  x0   m :‬‬
‫‪ )15‬חשב את שיפוע המשיק לגרפים של הפונקציות הבאות בנקודות‬
‫הרשומות לידן‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x  1 , f ( x) ‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x  2 , f ( x)  2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪3x  2‬‬
‫‪ x  1‬‬
‫‪x 2  3x  5‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪3x 2  x  2‬‬
‫‪x  2 , f ( x) ‬‬
‫‪x  0 , f ( x) ‬‬
‫‪ )16‬לפניך מספר פונקציות‪ .‬מצא את הנקודות שבהן שיפוע הפונקציה הוא ‪: m‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪m  3 , f ( x) ‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪x 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪m‬‬
‫‪, f ( x)  2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪36‬‬
‫‪x 8‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪, f ( x)  x ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x  16‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m  4 , f ( x)  x 2  4 x ‬‬
‫תרגילים העוסקים במציאת משוואת משיק לפי הנוסחה‪, y  y1  m  x  x1  :‬‬
‫כאשר‪ -  x1 , y1  :‬נקודת ההשקה ו‪ m -‬שיפוע המשיק‪.‬‬
‫‪ )17‬מצא את משוואת המשיק לגרפים של הפונקציות הבאות בנקודות הרשומות‬
‫לידן‪:‬‬
‫‪2x  5‬‬
‫‪x2 , y 2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x 5‬‬
‫‪x2  2x‬‬
‫‪x  1 , y ‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪x3‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x6‬‬
‫‪x  12 x  36‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x  7 , y  3x ‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪ )18‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪ x  3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪2x  4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  1‬‬
‫‪x3 ,‬‬
‫‪ y ‬העובר דרך נקודת‬
‫החיתוך שלה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )19‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.y  ‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה‬
‫עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪292‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )20‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫מעבירים לגרף הפונקציה משיק בנקודה שבה ‪. x  3‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של המשיק עם הצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש הכלוא בין המשיק לצירים‪.‬‬
‫‪x4 5 1‬‬
‫‪ )21‬נתונה הפונקציה‪  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 x‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫א‪ .‬האם יש לגרף הפונקציה נקודות חיתוך עם ציר ה‪? x -‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫ג‪ .‬האם יש לגרף הפונקציה משיק נוסף המקביל למשיק שמצאת בסעיף‬
‫הקודם? אם כן – כתוב את משוואתו‪.‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ )22‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪.y ‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך‬
‫שלה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש הכלוא בין המשיק שמצאת לצירים‪.‬‬
‫‪4x  2‬‬
‫‪ )23‬נתונות הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪. g ( x)  x 3  2 , f ( x ) ‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לכל פונקציה העוברים‬
‫דרך הנקודה הנמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫תרגילים העוסקים במציאת משוואת המשיק כאשר נתון מידע הקשור לשיפוע‪:‬‬
‫‪4x  6‬‬
‫‪ )24‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה שהשיפוע שלהם הוא ‪.6‬‬
‫ב‪ .‬מצא את המרחק בין שתי נקודות החיתוך של שני המשיקים עם ציר ה‪. y -‬‬
‫‪)25‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫לישר‪. y  3x  10 :‬‬
‫‪x2‬‬
‫מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫לישר‪. y  3x  10 :‬‬
‫‪293‬‬
‫‪ f ( x) ‬המקבילים‬
‫‪ f ( x) ‬המקבילים‬
‫תרגילים עם פרמטרים‪:‬‬
‫‪x 2  kx  5‬‬
‫‪ )26‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ . f ( x) ‬הישר ‪ y  6 x  14‬משיק לגרף הפונקציה‬
‫בנקודה שבה ‪. x  1‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬האם קיים עוד משיק לגרף הפונקציה המקביל למשיק זה? אם כן‪ ,‬מצא‬
‫את משוואתו‪.‬‬
‫‪x2  3‬‬
‫‪ )27‬המשיק לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪xA‬‬
‫‪ f ( x) ‬בנקודה שבה ‪ x  1‬מקביל לציר ה ‪. x -‬‬
‫מצא את ‪.A‬‬
‫‪2 x 2  kx  3‬‬
‫‪ )28‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫ידוע כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה ‪. x  1‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬האם גרף הפונקציה חותך את ציר ה ‪ x -‬בעוד נקודות?‬
‫אם כן‪ ,‬מצא אותן‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות החיתוך‬
‫עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ )29‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪9  ax 2‬‬
‫הישר ‪ x  3‬הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬האם יש לגרף הפונקציה עוד אסימפטוטות?‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x  0‬‬
‫‪8x  4‬‬
‫‪ )30‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2  a‬‬
‫הישר ‪ x  4‬הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬האם יש לגרף הפונקציה עוד אסימפטוטות?‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלו עם‬
‫הישר‪ 4 y  2 x  1  0 :‬הנמצאת על ציר ה‪. x -‬‬
‫‪294‬‬
‫‪mx 2  2 x  3‬‬
‫‪ )31‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2  1‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫ידוע כי לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית‪. y  3 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. m‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם‬
‫האסימפטוטה האופקית ‪. y  3‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ )32‬נתונה הפונקציה‪ A :‬‬
‫‪x2  3‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫ידוע כי לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית‪. y  3 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם‬
‫האסימפטוטה האופקית ‪. y  3‬‬
‫‪2 x2  1‬‬
‫‪ )33‬נתונה הפונקציה‪ A :‬‬
‫‪x2  2‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫ידוע כי לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית‪. y  5 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי הפונקציה אינה חותכת את האסימפטוטה האופקית שלה‪.‬‬
‫‪Ax 2  1‬‬
‫‪ )34‬נתונה הפונקציה‪ B :‬‬
‫‪x2  1‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫ידוע כי לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית‪. y  1 :‬‬
‫כמו כן‪ ,‬שיפוע הפונקציה בנקודה שבה ‪ x  1‬הוא ‪.1‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ A‬ואת ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי הפונקציה אינה חותכת את האסימפטוטה האופקית שלה‪.‬‬
‫‪295‬‬
‫תרגילים שונים – שימושי הנגזרת‪:‬‬
‫‪2x2‬‬
‫‪ )35‬באיור שלפניך נתונות הפונקציה‪:‬‬
‫‪2x  3‬‬
‫‪ f ( x) ‬והישר‪. y  8 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הישר והפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה )‪f ( x‬‬
‫העוברים דרך נקודות החיתוך שלה עם הישר‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של שני המשיקים‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המשולש הנוצר בין שני המשיקים לישר ‪. y  8‬‬
‫‪10 x‬‬
‫‪ )36‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2  1‬‬
‫שבה ‪ . x  2‬חשב את שטח המשולש הנוצר בין המשיק לצירים‪.‬‬
‫‪ . f ( x) ‬מעבירים לפונקציה משיק בנקודה‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ )37‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הפונקציה עולה תמיד‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק המאונך לישר‪ y  9 x :‬העובר דרך נקודת‬
‫ההשקה הנמצאת ברביע ראשון‪.‬‬
‫‪ )38‬א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x2  3‬‬
‫מצא את שיפוע המשיק לפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ f ( x) ‬בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫‪x2  4 x‬‬
‫מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪g ( x) ‬‬
‫המקבילים למשיק שאת שיפועו מצאת בסעיף א'‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x2  1‬‬
‫מצא את משוואות המשיקים לפונקציה‪:‬‬
‫‪x7‬‬
‫‪ h( x) ‬המאונכים‬
‫למשיק שאת שיפועו מצאת בסעיף א'‪.‬‬
‫תרגילים העוסקים בחקירה מלאה של פונקציה רציונאלית‪:‬‬
‫חקור את הפונקציות שבעמוד הבא לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬קביעת סוג הקיצון ומציאת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (במידה ויש)‪.‬‬
‫ה‪ .‬מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ו‪ .‬סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪296‬‬
‫‪16 x 2  3x  4‬‬
‫‪)39‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2 x2  5x  2‬‬
‫‪)40‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x 2  10 x  25‬‬
‫‪y‬‬
‫‪)41‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪)43‬‬
‫‪x x2‬‬
‫‪y  5‬‬
‫‪3x 12 1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪)45‬‬
‫‪5 5 x‬‬
‫‪)42‬‬
‫‪4 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪x x2‬‬
‫‪)44‬‬
‫‪6 8‬‬
‫‪y  1  2‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪y  1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪)46‬‬
‫‪x  10 x  25‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪)47‬‬
‫‪3x  6 x  9‬‬
‫‪y‬‬
‫‪6‬‬
‫‪)48‬‬
‫‪x 9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪)49‬‬
‫‪x2 x3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪)50‬‬
‫‪x 1 x  5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫חקור את הפונקציות הבאות לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬קביעת סוג הקיצון ומציאת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (במידה ויש)‪.‬‬
‫ה‪ .‬מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ו‪ .‬סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪2 x2  8x  8‬‬
‫‪f ( x)  2‬‬
‫‪)51‬‬
‫‪x  5x  4‬‬
‫‪5x  1‬‬
‫‪)53‬‬
‫‪x5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪)52‬‬
‫‪ x  4‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫‪3x  5‬‬
‫‪3x 2‬‬
‫‪)54‬‬
‫‪2 x2  8‬‬
‫‪f ( x)  1.5 x ‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫‪9 1‬‬
‫‪ )55‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪2 x‬‬
‫‪ a ( , y  ax  ‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע כי גרף הפונקציה עובר בנקודה ‪.  3, 7.5‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪297‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ )56‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪10  ax  2 x 2‬‬
‫‪.y ‬‬
‫ידוע כי יש לפונקציה אסימפטוטה אנכית‪. x  5 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬האם יש לפונקציה עוד אסימפטוטות? אם כן‪ ,‬מהן?‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫ד‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ )57‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪2x  5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ a ( , y ‬פרמטר)‪.‬‬
‫בנקודה שבה ‪. y  2‬‬
‫ידוע שהפונקציה חותכת את ציר ה‪-‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬מה תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫ד‪ .‬האם יש לפונקציה נקודות חיתוך עם ציר ה‪ ? x -‬אם כן – מצא אותן‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )58‬ענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪9  x2‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2  k‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫שנמצאת על ציר ה‪. y -‬‬
‫ידוע כי שיעור ה‪ y -‬של נקודת הקיצון הוא ‪.3‬‬
‫הוכח כי הפונקציה )‪ f ( x‬מוגדרת לכל ‪. x‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה וקבע בכמה נקודות יחתוך‬
‫אותו הישר ‪ . y  1‬נמק את תשובתך‪.‬‬
‫‪ax  4‬‬
‫‪ )59‬לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪ f ( x) ‬יש נקודת קיצון‬
‫‪ a ( , f ( x) ‬פרמטר) יש נקודת קיצון שבה ‪. x  8‬‬
‫מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪298‬‬
‫‪ax 2  20 x  28‬‬
‫‪ )60‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 2  2a‬‬
‫‪ a ( , f ( x) ‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע כי גרף הפונקציה חותך את האסימפטוטה האופקית שלו בנקודה ‪.  0.5,3‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מצא את ערך הפרמטר ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫היעזר בגרף הפונקציה וקבע לאלו ערכים של ‪ k‬הישר‪ f ( x ) :‬יחתוך את‬
‫גרף הפונקציה בנקודה אחת בלבד‪.‬‬
‫‪ax  30‬‬
‫‪ )61‬הפונקציה‪:‬‬
‫‪x  6x  a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ a ( , f ( x) ‬פרמטר) מוגדרת לכל ‪. x‬‬
‫ידוע כי לפונקציה יש נקודת קיצון שבה ‪. x  2‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם יש לפונקצ יה נקודות קיצון נוספות? אם כן מצא אותן‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ה‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪a2 x  4‬‬
‫‪ a ( , y  2‬פרמטר)‪.‬‬
‫‪ )62‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪2x 1‬‬
‫ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪ x  1‬הוא ‪. m  4‬‬
‫א‪ .‬מצא את כל הערכים האפשריים בעבור ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך בין המשיק הנתון ומשיק העובר דרך נקודת‬
‫החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫‪x 2  ax  6‬‬
‫‪ )63‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ a ( , f ( x) ‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע שאחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך של הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬הצב את הערך של ‪ a‬שמצאת בסעיף א' ומצא‪:‬‬
‫‪ .1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫‪ .3‬את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫‪ .4‬את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫‪299‬‬
‫ג‪ .‬לאלו ערכי ‪ x‬הפונקציה שלילית?‬
‫ד‪ .‬נתון הישר‪ . y  k :‬לאלו ערכי ‪ k‬אין נקודות משותפות לישר ולגרף‬
‫הפונקציה? נמק‪.‬‬
‫‪xa‬‬
‫‪ )64‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪ a  1 , f ( x) ‬פרמטר‪.‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ a‬את השיעורים של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם‬
‫ציר ה ‪ x -‬ועם ציר ה‪. y -‬‬
‫‪ .1‬מצא לאלו ערכים של ‪ a‬הפונקציה )‪ f ( x‬עולה לכל ‪ x‬בתחום ההגדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬ישר המשיק לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬בנקודה שבה ‪ x  a‬מקביל לישר‬
‫המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x  2‬‬
‫מצא את הערך של ‪ a‬אם נתון כי הפונקציה עולה לכל ‪. x‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪ )65‬נתונה הפונקציה‪ A :‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ A ( , y ‬פרמטר)‪.‬‬
‫גרף הפונקציה עובר בנקודה‪.  3 A, A :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מצא את ערך הפרמטר ‪. A‬‬
‫כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫הוכח כי גרף הפונקציה יורד לכל ‪. x‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫נתון הישר‪ . y  k :‬האם קיים ערך של ‪ k‬בעבורו הישר חותך את גרף‬
‫הפונקציה בשתי נקודות שונות? נמק‪.‬‬
‫‪x2  m‬‬
‫‪ )66‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪ax  4‬‬
‫‪ m , a  0 , y ‬פרמטרים‪.‬‬
‫ידוע כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך של הפרמטר ‪. m‬‬
‫ב‪ .‬הצב את הערך של ‪ m‬שמצאת בסעיף א' והבע באמצעות ‪ a‬את‪:‬‬
‫‪ .1‬תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫‪ .3‬האסימפטוטות לגרף הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה וסמן בה את נקודות הקיצון ואת משוואות האסימפטוטות‬
‫שהבעת באמצעות ‪ a‬בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪300‬‬
‫ נמצאת במרחקים‬, y -‫ ידוע כי נקודת הקיצון שאינה על ציר ה‬.‫ד‬
. a ‫ מצא את הערך של הפרמטר‬.‫שווים מהצירים‬
‫ אין לישר ולגרף הפונקציה‬k ‫ מצא לאלו ערכים של‬. y  k :‫ נתון הישר‬.‫ה‬
.‫נקודות משותפות כלל‬
:‫תשובות סופיות‬
 2,3  .‫ ב‬ 4.5,13.5 , 1.5, 1.5
1
3
.‫) א‬16 
1
1
2
.‫ ד‬ .‫ ג‬
.‫ ב‬- 1 .‫) א‬15
4
9
25
  

2
4
1
1
y   x  1 .‫ ב‬y  x  .‫) א‬17  2,19  .‫ ד‬2, 16 , 2,  16 .‫ג‬
9
9
4
4
4
y  2 x  4 )18 y   x  8 .‫ד‬
y  28x  188 .‫ג‬
3
y  1.5x  3 .‫ב‬
 2, 0  .‫) א‬19
. y  2 x  3 .‫ ג‬y  2 x  7 .‫ ב‬.‫ לא‬.‫) א‬21 .8 .‫ ג‬ 4,0  ,  0, 4  .‫ ב‬y  4  x .‫) א‬20
1
.‫ ב‬y  2 x  1 .‫) א‬22
4
.24 .‫ ב‬y  6x  8 , y  6x  16 .‫) א‬24
y  3x , y  4  x .‫ ב‬1,3 ,  1,1 .‫) א‬23
. y  3x  2 , y  3x  18 .‫ ב‬y  3x  1 , y  3x  9 )25
A  1 )27 . y  6 x  6 .‫ כן‬.‫ ג‬ 5,0  ,  1,0  .‫ ב‬k  4 .‫) א‬26
. y   x  1 , 9 y  4 x  6 .‫( ג‬1.5, 0) .‫ כן‬.‫ ב‬k  5 .‫) א‬28
. y  43 .‫ ג‬y  0 , x  3 .‫ כן‬.‫ ב‬. a  1
y  2 x  3 .‫ ב‬m  3 .‫) א‬31 63 y  32 x  16  0 .‫ ג‬y  0 , x  4 .‫ ב‬a  16
A  3 .‫) א‬33 y  0.5x  2.5 .‫ ב‬A  3
 2.4, 4.8 .‫ ג‬y  8x  24 , 9y  8x  24 .‫ ב‬ 2,8 ,  6,8 .‫) א‬35 A  3 , B  2
‫ ולכן‬f '( x) 
1
 x  2
2
 0 :‫ מתקיים‬x ‫ לכל‬.‫) א‬37 S  17
.‫) א‬29
.‫) א‬30
.‫) א‬32
.‫) א‬34
1
)36 .6.4 .‫ד‬
15
9 y  x  5 .‫ ב‬.‫הפונקציה עולה תמיד‬
. y  0.5x  0.5 , y  0.5x  20.5 .‫ ג‬y  2 x , y  2 x  8 .‫ ב‬- 2 .‫) א‬38
x  0 ,  0.5  x  0.5 :‫ עולה‬.‫ ג‬Max  0.5, 13 , Min  0.5,19  .‫ ב‬x  0 .‫) א‬39
. x  0 .‫ ה‬.‫ אין‬.‫ ד‬. x  0.5 , x  0.5 :‫יורדת‬
x  1 , x  1 :‫ עולה‬.‫ ג‬Max  1, 9  , Min 1, 1 .‫ ב‬x  0 .‫) א‬40
. x  0 .‫ ה‬ 0.5,0 ,  2,0  .‫ד‬
. x  0 , 1  x  1 :‫יורדת‬
x  5 , x  5 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  5, 20  , Max  5,0  .‫ ב‬x  0 .‫) א‬41
301
. x  0 .‫ ה‬ 5, 0  .‫ ד‬. x  0 ,  5  x  5 :‫יורדת‬
0  x  2.5 :‫ עולה‬.‫ ג‬max  2.5,1.8 .‫ ב‬x  0 .‫) א‬42
. x  0 , y  1 .‫ ה‬ 5,0  , 1,0  .‫ ד‬. x  0 , x  2.5 :‫יורדת‬
. x  0 , x  3 :‫ יורדת‬0  x  3 :‫ עולה‬.‫ ג‬Max  3,5 13  .‫ ב‬x  0 .‫) א‬43


 1,0 ,  0.6,0  .‫ד‬
Min 2 23 ,  18 .‫ ב‬x  0 .‫) א‬44 . x  0 , y  5 .‫ה‬
. x  0 , y  1 .‫ ה‬ 2,0  ,  4,0  .‫ ד‬. 0  x  2 23 :‫ יורדת‬x  0 , x  2 23 :‫ עולה‬.‫ג‬
.‫ עולה בכל תחום הגדרתה‬.‫ ג‬.‫ אין נקודות קיצון‬.‫ ב‬x  0 .‫) א‬45
. x  0 .‫ ה‬ 2,0 ,  2,0 .‫ד‬
 0,0.12  .‫ד‬
x  5 :‫ יורדת‬x  5 :‫ עולה‬.‫ ג‬.‫ אין נקודות קיצון‬.‫ ב‬x  5 .‫) א‬46

x  1 , x  1 :‫ עולה‬.‫ ג‬Max 1,  13

.‫ ב‬x  1,3 .‫) א‬47 . y  0, x  5 .‫ה‬
. y  0 x  1,3 .‫ ה‬.  0,  94  : y - ‫ חיתוך עם ציר ה‬.‫ ד‬x  1 , x  3 :‫יורדת‬


x  0 , x  3 :‫ יורדת‬x  3 , x  0 :‫ עולה‬.‫ ג‬Max 0,  23 .‫ ב‬x  3 .‫) א‬48
. y  0 x  3 .‫ ה‬.  0,  23  : y -‫ חיתוך עם ציר ה‬.‫ד‬
.‫ יורדת בכל תחום הגדרתה‬.‫ ג‬.‫ אין נקודות קיצון‬.‫ ב‬x  3, 2 .‫) א‬49
y  0 , x  3, 2
.‫ ה‬ 0.5, 0  ,  0,  16  .‫ד‬
x  1 , x  3 :‫ יורדת‬x  5 , x  3 :‫ עולה‬.‫ ג‬Max  3, 1 .‫ ב‬x  1, 5 .‫) א‬50
. y  0 , x  1, 5 .‫ ה‬ 0, 0.8 .‫ד‬
:39-50 ‫סקיצות של שאלות‬
. x  1 ,  2  x  2 :‫ עולה‬.‫ ג‬Max  2, 0 , Min  2,1 197  .‫ ב‬x  1, 4 .‫) א‬51
. x  1, 4 , y  2 .‫ ה‬.  0, 2 ,  2,0  .‫ ד‬. x  4 , x  2 , x  2 :‫יורדת‬
. x  4 , x  7 13 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  7 13 , 7 95  , Max  4, 0  .‫ ב‬x  53 .‫) א‬52
. x  53 .‫ ה‬ 0, 3.2 ,  4, 0  .‫ ד‬. x  53 ,  4  x  7 13 :‫יורדת‬
302
. x  9 , x  1 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  1, 0.5 , Max  9, 24.5 .‫ ב‬x  5 .‫) א‬53
. x  5 .‫ ה‬ 2, 0 ,
 0, 0  .‫ ד‬.
 , 0 ,  0, 0.2
x  0 , x  2 :‫עולה‬
1
3
.‫ ד‬. x  5 ,  9  x  1 :‫יורדת‬
. x  0 , x  2 :‫ יורדת‬.‫ ג‬Max  0,0  .‫ ב‬x  2 .‫) א‬54
. x  2 , y  1.5 .‫ה‬
:51-54 ‫סקיצות של שאלות‬
9 1
, a  2 .‫) א‬55
2 x
. x  0 , -1.5  x  1.5 :‫יורדת‬
, x  -1.5 , x  1.5 :‫ עולה‬.‫ ג‬Max  -1.5,-6 , Min 1.5,6 .‫ ב‬. y  2 x  
. x  1 , x  2 :‫ עולה‬.‫ ד‬Max  2, 0.5 .‫ ג‬y  0 , x  1 .‫ כן‬.‫ ב‬a  8 .‫) א‬56
Max(0, 2) .‫ ג‬x ‫ כל‬.‫ ב‬a  10 .‫) א‬57 . x  5 , x  2 :‫יורדת‬
. 3,0  ,  3,0  .‫ ג‬. k  3 :‫ מתקבל‬.‫) ב‬58 . x -‫ אין חיתוך עם ציר ה‬.‫ד‬
.‫ הגרף שואף לישר ואינו חותך אותו‬.‫ באף נקודה‬.‫ ה‬. y  1 .‫ד‬
.  4, 0  .‫ ג‬. x  8 , x  0 :‫ יורדת‬, 8  x  0 :‫ עולה‬.‫ ב‬. f ( x) 
. Max  2,8 , Min  3,  13  .‫ ב‬. f ( x) 
x4
, a  1 .‫) א‬59
x2
3x 2  20 x  28
, a  3 .‫) א‬60
x2  6
.  2, 0  ,  0, 4 23  ,  4 23 , 0  .‫ ד‬. 2  x  3 :‫ יורדת‬x  2 , x  3 :‫ עולה‬.‫ג‬
. k  8,  13 ,3 .‫ו‬
.  4,5 - ‫ כן‬.‫ ב‬.)‫ נפסל‬a  6 :‫ (הפתרון‬y 
10 x  30
, a  10 .‫) א‬61
x  6 x  10
2
.  0, 3 ,  3,0  .‫ ד‬. x  2 , x  4 :‫ יורדת‬2  x  4 :‫ עולה‬.‫ג‬
. 1, 0  ‫ אשר עובר בנקודה‬y  4 x  4 :‫ המשיק‬.‫ ג‬1,0  ,  0, 4  .‫ ב‬. a  2 .‫) א‬62
. x  2 .4 Max  0, 3 , Min  4,5 .3  0, 3 .2 x  2 .1 .‫ ב‬. a  3 .‫) א‬63
 a,0 ,  0, a  .‫ג‬
x  1 , y  1 .‫ ב‬x  1 .‫) א‬64 . 3  k  5 .‫ ד‬. x  2 .‫ג‬
. a  2 .2 a  1 .1 .‫ד‬
303
‫‪ )65‬א‪ . A  1 .‬ב‪ . x  2 .‬ג‪ .‬הנגזרת בנויה ממנה של מספר שלילי בחיובי ולכן תמיד‬
‫‪ ( ) ‬‬
‫שלילית‪ :‬שלילי ‪   ‬‬
‫‪ () ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  2‬‬
‫‪ . y ' ‬ד‪.  0, 2.5 .‬‬
‫ו‪ .‬לא‪ .‬אין נקודות על גרף הפונקציה בעלות שיעור ‪ y‬זהה‪.‬‬
‫‪ )66‬א‪( m  0 .‬מתקבל‪ am  0 :‬וידוע כי‪ a  0 :‬לכן נותרנו עם הפתרון הנ"ל)‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 8 16 ‬‬
‫ב‪.3 . Max  0, 0  , Min  , 2  .2 . x  .1 .‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a a ‬‬
‫סקיצות של שאלות‪ 58-61 :‬ו‪:65-66 -‬‬
‫‪304‬‬
‫‪ . x ‬ד‪ . a  2 .‬ה‪. 0  k  4 .‬‬
:)‫רציונאלית‬-‫תרגילים העוסקים בפונקצית שורש (אי‬
y  x 2  16 x
)3
x 1
x
)6
y  x 2  3x  2
)9
y
y
x2
x2
x 1
:‫תרגילים העוסקים בנגזרות יסודיות‬
:‫גזור את הפונקציות הבאות‬
y  x  3 x )2
y  x )1
y  x2 x
)5
y  2x 1  x  2
)8
y
y  x x4  6x2  8
)18
y   3x  1
1
x
)21
x2  x  1
y x
)4
x 1
x 1
)7
y
y   x 2  4  x  2 )11
)12
)15
y
y   2 x  1 x
x
y  x 5x  2 )10
y
)14
x2  4
y  x
1
x
1
y
)20
)13
x2  4
y   x  10 
x 2  x )17
8
2
6
x
)16
x 1
x2
)19
:‫תשובות סופיות‬
.y'  2 x 
2x 1
)4
2 x
y '  2x 
8
)3
x
y '  1
y' 
x 1
)6
2x x
2
. y '   3x  4 x x 21 )7
2 x  x 2  1
. y '  5x  2 
.y'  
x
5x
2x  3
)10 . y ' 
)9
2 5x  2
2 x 2  3x  2
x
2
 4 x2  4
)13 . y ' 
 x  10  )16 . y ' 
. y '  6  x  10  x 
8  3x
)12
2 x3 x  2
6
1 x
5
2 x
y' 
3x 4  12 x 2  8
x4  6 x2  8
. y' 
x 1
)21
2x x
x
2
 x  1
3
)18 y '  24  3x  1
y' 
x2 1
2x2 x 
305
1
x
3
2 x
y' 
)2
. y '  2x x 
1
2 x
)1
x2
)5
2 x
1
1

)8
2x 1 2 x  2
y' 
y '  2x x  2 
)15 y '  
x
x2  4
)11
2 x2
4
2
 4 x2  4
 2 x  1 3x  1
x
)14
8
7
)20
x
2
2 x2  x
y'  
3
2  x  2
2
)17
x2
)19
x 1
‫תרגילים העוסקים במציאת תחום ההגדרה של פונקציות‪:‬‬
‫‪ )22‬לפניך מספר פונקציות‪ ,‬מצא את תחום ההגדרה שלהן‪ .‬תזכורת‪:‬‬
‫‪ ‬תחום הגדרה של פונקציה המכילה ביטוי עם שורש‪ y  f ( x) :‬הוא‪f ( x)  0 :‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ ‬תחום הגדרה של פונקציה אי‪-‬רציונאלית‪:‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪ y ‬הוא‪. g ( x)  0 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪y x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪y  x 5‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪y  7  2x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪y  x2 1‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪y  x2  2x‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪y  x2  4 x  5‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪y  x2  3 x‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪y  x 3  3x 2  4 x‬‬
‫ט‪.‬‬
‫‪y  2x 2  x‬‬
‫י‪.‬‬
‫‪y   x 2  3 x 2  x‬‬
‫יא‪.‬‬
‫‪4 x‬‬
‫‪x2‬‬
‫יב‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x 5‬‬
‫‪y‬‬
‫יג‪.‬‬
‫‪x2  4 x  4‬‬
‫‪x 2  16‬‬
‫יד‪.‬‬
‫‪x6‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫טו‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪3x  8‬‬
‫יז‪.‬‬
‫יט‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪81  4 x 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫טז‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x 2  25‬‬
‫יח‪.‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x3‬‬
‫כ‪.‬‬
‫‪25 x  x 2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )23‬א‪ .‬נתונה הפונקציה הבאה‪ k ( , y  kx2  18 :‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע כי תחום ההגדרה שלה הוא‪ . x  3 , x  3 :‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה הבאה‪ k ( , y  k  3x 2 :‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע כי תחום ההגדרה שלה הוא‪ . 1  x  1 :‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪xk‬‬
‫‪ k ( , y ‬פרמטר)‪.‬‬
‫לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית‪ . x  7 :‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ד‪ .‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫‪x2  k‬‬
‫‪ k ( , y ‬פרמטר)‪.‬‬
‫לפונקציה יש אסימפטוטות אנכיות‪ . x  4 :‬מצא את ‪. k‬‬
‫‪306‬‬
‫‪ )24‬נתונה הפונקציה הבאה‪ a , b ( , y  ax  x  b :‬פרמטרים) ידוע כי הפונקציה‬
‫עוברת בנקודה‪  2, 2  :‬וכי תחום הגדרתה הוא‪ . x  2 :‬מצא את ‪ a‬ואת ‪. b‬‬
‫‪ )25‬נתונה הפונקציה הבאה‪ a , b ( , y  ax2 bx  3 :‬פרמטרים)‪ .‬ידוע כי הפונקציה‬
‫עוברת בנקודה‪ 1, 4  :‬וכי תחום הגדרתה הוא‪ . x  3 :‬מצא את ‪ a‬ואת ‪. b‬‬
‫‪ )26‬נתונה הפונקציה‪ a , b ( , y  ax2  bx  12 :‬פרמטרים)‪ .‬ידוע כי הפונקציה‬
‫אינה מוגדרת בתחום‪ . 4  x  3 :‬מצא את ‪ a‬ואת ‪.b‬‬
‫תרגילים העוסקים במציאת שיפוע המשיק לגרף הפונקציה לפי הכלל‪. f '  x0   m :‬‬
‫‪ )27‬חשב את שיפוע המשיק לגרפים של הפונקציות הבאות‬
‫בנקודות הרשומות לידן‪:‬‬
‫ב ‪x  4 , f ( x)   x  2  x .‬‬
‫א‪x  1 , f ( x)  3x  x .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x  9 , f ( x)   x 2  4  x‬‬
‫‪2x  3‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪x  3 , f ( x) ‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪x  1 , f ( x) ‬‬
‫‪x  2 , f ( x)  x x 2  4 x  8‬‬
‫‪ )28‬לפניך מספר פונקציות‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות עבורם שיפוע המשיק‬
‫הוא המצוין לידה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪, f ( x )  4 x  7 .‬‬
‫‪5‬‬
‫א‪m  1.5 , f ( x)  3x  2 .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪, f ( x)  x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫ד‪m  2 , f ( x)  x 2  12 .‬‬
‫ה ‪m  2 , f ( x)  x x  1 .‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪m  5, f  x    x  3 x‬‬
‫‪ )29‬א‪ .‬מצא נקודה על גרף הפונקציה‪ y  2 x 4 x  5 :‬אשר המשיק העובר‬
‫דרכה מקביל לישר‪. y  2 x  2 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא נקודה על גרף הפונקציה‪ y  3x  3x2  24 :‬אשר המשיק העובר‬
‫דרכה מקביל לישר‪. y  4 x  7 :‬‬
‫‪307‬‬
‫‪ )30‬א‪ .‬נתונה הפונקציה הבאה‪. f ( x)  x2  24 :‬‬
‫מצא את שיפוע הפונקציה בנקודה שבה‪. x  2 :‬‬
‫ב‪ .‬מגדירים פונקציה נוספת‪. g ( x)  3x2  240 :‬‬
‫מצא נקודה על גרף הפונקציה שבה שיפוע המשיק העובר דרכה שווה‬
‫לשיפוע הפונקציה שמצאת בסעיף א'‪.‬‬
‫האם קיימת יותר מנקודה אחת? אם כן‪ ,‬מצא את כולן‪ .‬אם לא‪ ,‬נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬הראה כי לשתי הפונקציה יש את אותו השיפוע בעבור‪. x  0 :‬‬
‫מהו השיפוע?‬
‫‪ )31‬נתונות שתי הפונקציות הבאות‪ f ( x)  x  3 :‬ו‪. g ( x)  2  5  x -‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬בעבורו לשתי הפונקציות יש את אותו השיפוע‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי הפונקציות גם נחתכות בנקודה זו‪.‬‬
‫‪ )32‬נתונות שתי הפונקציות הבאות‪ f ( x)  2 x  6 :‬ו‪. g ( x)  6  9  x -‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬בעבורו לשתי הפונקציות יש את אותו השיפוע‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי הפונקציות גם נחתכות בנקודה זו‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )33‬נתונה הפונקציה הבאה‪36 x  27 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. f ( x)  5 4 x  3 ‬‬
‫מצא נקודה על גרף הפונקציה ששיפוע המשיק העובר דרכה שווה ל‪.12-‬‬
‫הנחייה‪ :‬לאחר הגזירה הוצא גורם משותף בתוך השורש שבמכנה השני‬
‫וסמן‪ t  4 x  3 :‬ופתור משוואה בעבור ‪. t‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )34‬מצא שתי נקודות על גרף הפונקציה‬
‫‪x 1‬‬
‫דרכן הוא‪. m  1 :‬‬
‫‪ y ‬ששיפוע המשיק העובר‬
‫תרגילים העוסקים במציאת משוואת משיק לפי הנוסחה‪, y  y1  m  x  x1  :‬‬
‫כאשר‪ -  x1 , y1  :‬נקודת ההשקה ו‪ m -‬שיפוע המשיק‪.‬‬
‫‪ )35‬מצא את משוואת המשיק לגרפים של הפונקציות הבאות בנקודות‬
‫הרשומות לידן‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪x  1 , y  3x 2  x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x  7 , y  2x  5‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x  4 , y   2 x 2  8 x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪, y  x2  2x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪308‬‬
‫‪x2‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪x  2 , y  x x2  5‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x2‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪x6 , y‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪x6‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x3 , y ‬‬
‫‪x 2  3x  4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x 1 , y ‬‬
‫‪ )36‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  x  4 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך‬
‫שלה עם ציר ה ‪ x -‬שאינה בראשית הצירים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )37‬נתונה הפונקציה הבאה‪x :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. y  2x ‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך‬
‫שלה עם ציר ה ‪ x -‬שאינה בראשית הצירים‪.‬‬
‫‪ )38‬לגרף הפונקציה‪ f ( x)  x  2 x :‬מעבירים משיק בנקודה שבה ‪. y  3‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של משיק זה עם הצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש שנוצר בין המשיק לצירים‪.‬‬
‫‪ )39‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  x2  4 x  9 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך‬
‫שלה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫‪ )40‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  3x  25  2 x2  1 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך‬
‫שלה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫‪ )41‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x2  x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך‬
‫שלה עם ציר ה ‪ x -‬הנמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫ג‪ .‬מהנקודה ‪ A‬שנמצאת על המשיק מורידים אנך לציר ה ‪x -‬‬
‫‪309‬‬
‫כך שנוצר משולש בין המשיק‪ ,‬האנך וציר ה ‪( x -‬ראה איור)‪.‬‬
‫ידוע כי שטח המשולש הוא ‪ . S  12‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬
‫‪ )42‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  x x 2  4 :‬‬
‫מעבירים לגרף הפונקציה משיק בנקודה ‪. x  1.5‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫ג‪ .‬מעבירים אנך לציר ה‪ y -‬מנקודת ההשקה של המשיק‪.‬‬
‫חשב את שטח המשולש הנוצר בין המשיק‪ ,‬האנך וציר ה‪. y -‬‬
‫‪ )43‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)   x2  8x  12 :‬‬
‫א‪ .‬מה תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬הראה כי המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪x  3‬‬
‫עובר בראשית הצירים‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )44‬נתונה הפונקציה‪2 x  3 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪. x  11 :‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המשיק הנ"ל‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם יש לגרף הפונקציה משיק נוסף המקביל למשיק שמצאת בסעיף‬
‫הקודם? אם כן – כתוב את משוואתו‪.‬‬
‫‪3x  1‬‬
‫‪ )45‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש הכלוא בין המשיק שמצאת לצירים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )46‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪2x 1‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש הנוצר בין המשיק שמצאת לצירים‪.‬‬
‫‪310‬‬
‫‪x2  3‬‬
‫‪ )47‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫ונתון הישר‪a :‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה והישר הנמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫הנחייה‪ :‬השווה בין שני הביטויים והעלה בריבוע את המשוואה ופתור‬
‫משוואה דו‪-‬ריבועית על ידי סימון‪. x 2  t :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואות המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שמצאת בסעיף‬
‫הקודם‪.‬‬
‫תרגילים העוסקים במציאת משוואת המשיק כאשר נתון מידע הקשור לשיפוע‪:‬‬
‫תזכורת‪:‬‬
‫בחלק מהתרגילים יש לה יעזר בתכונות השיפועים של ישרים מקבילים ומאונכים‪:‬‬
‫‪ ‬ישרים מקבילים הם בעלי אותו השיפוע ולהפך‪.‬‬
‫‪ ‬מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים תמיד ‪.- 1‬‬
‫כגון שני ישרים בעלי שיפועים‪ m1 , m2 :‬אזי‪. m1  m2  1 :‬‬
‫‪ )48‬א‪ .‬כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪f ( x)  4 x  2 :‬‬
‫המקביל לישר‪. 2 y  x  3 :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪f ( x)  10 x  7 :‬‬
‫המקביל לישר‪. y  5x :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪f ( x)  3x  x :‬‬
‫המאונך לישר‪. 4 y  5  x :‬‬
‫ד‪ .‬כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪f ( x)  4 x  3  2 x :‬‬
‫המאונך לישר‪. y  x :‬‬
‫‪ )49‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  8 x  x :‬‬
‫א‪ .‬מצא על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬נקודה שבה שיפוע המשיק‬
‫העובר דרכה הוא ‪.3‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת הישר העובר דרך הנקודה שמצאת בסעיף א'‬
‫ונקודת החיתוך עם ציר ה ‪ x -‬שאינה ראשית הצירים‪.‬‬
‫‪ )50‬נתונה הפונקציה‪ f ( x)  x  10 x :‬באיור הסמוך‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪ - B-‬נקודות החיתוך של‬
‫הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪ C‬המקיימת‪. f '( x)  0 :‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה המקביל לישר ‪.BC‬‬
‫‪311‬‬
‫‪ )51‬נתונות הפונקציה הבאות‪. g ( x)  4 2 x  3 , f ( x)  x2 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬בעל השיפוע ‪. m  20‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של המשיק שמצאת בסעיף הקודם‬
‫והפונקציה )‪. g ( x‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה )‪ g ( x‬בנקודת החיתוך‬
‫שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪ )52‬נתונות הפונקציות הבאות‪. f ( x)  4 3x  2 , g ( x)  2 x x  3 :‬‬
‫הראה כי לשתי הפונקציות משיק משותף ששיפועו הוא ‪.3‬‬
‫‪ )53‬נתונה הפונקציה הבאה‪. f ( x)  4 x 10  x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה המאונך לישר‪. y  0.5x  51 :‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי הישר הנתון בסעיף הקודם הוא נורמל לפונקציה‬
‫בנקודת ההשקה‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ )54‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x3‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫מצא את הנקודה אשר שיפוע המשיק לגרף הפונקציה העובר דרכה הוא ‪.0‬‬
‫כתוב את משוואת הישר העובר דרך הנקודות שמצאת בסעיפים ב' ו‪-‬ג'‪.‬‬
‫‪4 x‬‬
‫‪ )55‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬האם הפונקציה חותכת את ציר ה ‪ ? x -‬אם כן‪ ,‬באיזו נקודה?‬
‫ג‪ .‬הראה כי לא קיים ישר המשיק לגרף הפונקציה ומקביל לישר‪. y  6 :‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪ )56‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום הגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬כמה נקודות יש לגרף הפונקציה ששיפוע המשיק העובר דרכן מקביל‬
‫לציר ה ‪ ? x -‬מצא אותן‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואות המשיקים בנקודות שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪312‬‬
‫‪ )57‬נתונות הפונקציות הבאות‪. f ( x)  x , g ( x)  3  3x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של שתי הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי הגרפים מאונכים זה לזה בנקודת החיתוך שמצאת‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לכל פונקציה בנקודת החיתוך שמצאת‪.‬‬
‫ד‪ .‬מהנקודות ‪ A‬ו ‪ B-‬הנמצאות על הגרפים של הפונקציות )‪ f ( x‬ו‪g ( x) -‬‬
‫בהתאמה מעבירים ישר המקביל לציר ה‪ . y -‬ידוע כי הפונקציות מאונכות‬
‫זו לזו בנקודות ‪ A‬ו‪ .B-‬מצא את הנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫‪ )58‬נתונות הפונקציות הבאות‪. f ( x)  2 x  2 x  2 , g ( x)  2 x  2 10  x :‬‬
‫מסמנים נקודה ‪ A‬על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬ונקודה ‪ B‬על גרף‬
‫הפונקציה )‪ g ( x‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫ידוע כי הישר ‪ AB‬מקביל לציר ה ‪. y -‬‬
‫מעבירים מהנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬משיקים לכל פונקציה‪.‬‬
‫ידוע כי המשיקים מקבילים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואות המשיקים‪.‬‬
‫תרגילים עם פרמטרים‪:‬‬
‫‪ )59‬ענה על השאלות הבאות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬נתונה הפונקציה‪ A( , f ( x)  A x  3x :‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪ x  4 :‬הוא ‪.25‬‬
‫מצא את ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה‪ A( , f ( x)  2 5x  A :‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪ x  2 :‬הוא ‪.1‬‬
‫מצא את ‪.A‬‬
‫ג‪ .‬נתונה הפונקציה‪ A( , f ( x)  x2  Ax  25 :‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר‬
‫ה ‪ y -‬הוא ‪ .2‬מצא את ‪.A‬‬
‫ד‪ .‬נתונה הפונקציה‪ A( , f ( x)   x  A  x  1 :‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע כי שיפוע הפונקציה בנקודה שבה‪ x  3 :‬הוא ‪ .3‬מצא את ‪.A‬‬
‫‪x‬‬
‫ה‪ .‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪xA‬‬
‫‪ A( , f ( x) ‬פרמטר)‪ .‬ידוע כי שיפוע הפונקציה‬
‫‪1‬‬
‫בנקודה שבה‪ x  1 :‬הוא‬
‫‪18‬‬
‫‪ .‬מצא את ‪ .A‬הבחן בין שני מקרים‪.‬‬
‫‪313‬‬
‫ו‪ .‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x 2  Ax  4‬‬
‫‪ A( , f ( x) ‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע כי שיפוע הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪ y -‬הוא ‪.4‬‬
‫מצא את ‪.A‬‬
‫‪ )60‬נתונה הפונקציה הבאה‪ A , B ( , f ( x)  2 x  A  Bx :‬פרמטרים)‪.‬‬
‫משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪y -‬‬
‫היא‪ . y  3x  1 :‬מצא את ‪ A‬ואת ‪.B‬‬
‫‪ )61‬נתונה הפונקציה הבאה‪ A , B ( , f ( x)  x2  Ax  B :‬פרמטרים)‪.‬‬
‫משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת שבה‪ x  1 :‬היא‪. y  x  2 :‬‬
‫מצא את ‪ A‬ואת ‪.B‬‬
‫‪ )62‬נתונה הפונקציה‪ a , f ( x)  a x  3 :‬פרמטר‪.‬‬
‫ידוע כי הפונקציה עוברת ב‪. A 12, a  4  -‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה ‪.A‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח שנוצר בין המשיק לצירים‪.‬‬
‫‪ )63‬נתונה הפונקציה‪ a , f ( x)  a 3x  16 :‬פרמטר‪.‬‬
‫ידוע כי הישר ‪ y  2 x  8‬חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x  11‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫ג‪ .‬האם הישר חותך את גרף הפונקציה בעוד נקודה? אם כן‪ ,‬מהי?‬
‫ד‪ .‬האם הישר הנתון הוא המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שמצאת בסעיף א'?‬
‫אם כן‪ ,‬נמ ק‪ .‬אם לא‪ ,‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫‪ )64‬הגרפים של הפונקציות‪ f ( x)  x2  2 x  5 :‬ו ‪ k ( , g ( x)  x2  k x -‬פרמטר)‬
‫נחתכים בנקודה שבה‪. x  6.25 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה )‪? g ( x‬‬
‫ג‪ .‬האם הגרפים של הפונקציות )‪ f ( x‬ו ‪ g ( x) -‬נחתכים בעוד נקודות?‬
‫אם כן – מצא אותן‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לגרפים של שתי הפונקציות‬
‫בנקודות החיתוך שלהם‪.‬‬
‫‪314‬‬
‫‪x‬‬
‫‪xk‬‬
‫‪ )65‬נתונות שתי הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪, g ( x) ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪xk‬‬
‫ידוע כי הפונקציות חותכות זו את זו בנקודה שבה‪. x  0.8 :‬‬
‫‪ k ( , f ( x) ‬פרמטר)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬האם הפונקציות נחתכות בנקודה נוספת מלבד לנקודה הנתונה?‬
‫אם כן – מצא אותה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬בנקודה שבה‪. x  0.52 :‬‬
‫‪xA‬‬
‫‪ )66‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪xB‬‬
‫‪ A , B ( , f ( x) ‬פרמטרים)‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה‪ 0,  13 :‬הוא‪:‬‬
‫‪18‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ A‬ואת ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪ y -‬והראה כי בעבור‬
‫שני המקרים מתקבלת אותה הנקודה‪.‬‬
‫‪ )67‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪Ax 2  Bx‬‬
‫‪ A , B ( , f ( x) ‬פרמטרים)‪.‬‬
‫שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1, 12‬הוא‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ .‬מצא את ‪ A‬ואת ‪.B‬‬
‫‪ )68‬נתונה הפונקציה הבאה‪ . f ( x)  x Ax  3 :‬ידוע כי‪. f '(1)  2.25 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת הישר המאונך לגרף הפונקציה ועובר דרך נקודת‬
‫ההשקה הנ"ל (נורמל לפונקציה)‪.‬‬
‫‪x7‬‬
‫‪ )69‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ A , f ( x) ‬פרמטר‪.‬‬
‫ידוע כי לגרף הפונקציה יש אסימפטוטה אנכית‪. x  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ A‬ואת האסימפטוטה האנכית הנוספת של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה‪. x  2 :‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של המשיק והאסימפטוטה‪. x  4 :‬‬
‫‪315‬‬
‫תרגילים שונים – שימושי הנגזרת‪:‬‬
‫‪ )70‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪ f ( x)  x :‬ו‪. g ( x)  x2 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬העובר‬
‫דרך נקודת החיתוך שמצאת הנמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך הנוספת של המשיק שמצאת עם‬
‫גרף הפונקציה )‪. g ( x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )71‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪x 5‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫ו‪. g ( x)  x  3.5 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את הנקודה ‪ - A‬נקודת החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לכל גרף העוברים דרך‬
‫נקודת החיתוך‪.‬‬
‫ג‪ .‬המשיקים חותכים את ציר ה‪ x -‬בנקודות ‪ B‬ו‪ C-‬כך‬
‫שנוצר המשולש ‪ .ABC‬חשב את שטח המשולש‪.‬‬
‫‪kx  x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ . f ( x) ‬ידוע כי‪:‬‬
‫‪ )72‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪. f '(9) ‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ k‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך נקודת‬
‫החיתוך שבה ‪ x‬חיובי שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪ )73‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫‪ A , f ( x) ‬פרמטר‪.‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הפונקציה אינה חותכת את ציר ה‪ x -‬כלל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ A‬אם ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה ‪y -‬‬
‫בנקודה שבה ‪. y  5‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך‬
‫שלה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫‪A B‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )74‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ A , B ( , f ( x) ‬פרמטרים)‪.‬‬
‫מעבירים לגרף הפונקציה שני משיקים‪ .‬משיק אחד עובר דרך הנקודה‬
‫‪3‬‬
‫שבה ‪ x  4‬ושיפועו הוא‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫שבה ‪ x  1‬וידוע כי הוא מקביל לישר‪ . 2 y  5x  3 :‬מצא את ‪ A‬ואת ‪.B‬‬
‫‪ . m ‬משיק שני מעבירים דרך הנקודה‬
‫‪316‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ )75‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הפונקציה אינה חותכת את הצירים כלל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא נקודה על גרף הפונקציה ששיפוע המשיק העובר הוא ‪.0‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x  5‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫‪ )76‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫האם ניתן להעביר משיק לגרף הפונקציה המקביל לציר ה‪? x -‬‬
‫נמק והראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך‬
‫נקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫חשב את שטח המשולש הכלוא בין המשיק לצירים‪.‬‬
‫תרגילים העוסקים במציאת נקודות קיצון לפי הכלל‪ , f '  x   0 :‬סיווגן‬
‫ומציאת תחומי עלייה וירידה‪:‬‬
‫‪ )77‬לפניך הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון שלהן(כולל נקודות קיצון קצה במידה וישנן)‬
‫וקבע את סוגן (זכור למצוא תחילה את תחום ההגדרה ולפסול נקודות‬
‫שאינן נמצאות בו)‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪y  x x  2 .‬‬
‫א‪y  x  x .‬‬
‫ג‪y  x 2  4 x  25 .‬‬
‫ד‪y  x 4  8x 2  16 .‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪y‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3x  x  2‬‬
‫‪2‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x 3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )78‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  x2  3x  4 :‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מהן נקודות הקיצון של הפונקציה (כולל נקודות קיצון קצה)?‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪317‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )79‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  x2  3x  4.5 :‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מהן נקודות הקיצון של הפונקציה (כולל נקודות קיצון קצה)?‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )80‬נתונה הפונקציה‪. y  x2  3x  x :‬‬
‫א‪ .‬כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי אין לפונקציה נקודות קיצון מקומיות כלל‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫תרגילים העוסקים בחקירה מלאה של פונקציה אי‪-‬רציונאלית‪:‬‬
‫חקור את הפונקציות הבאות לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬קביעת סוג הקיצון ומציאת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (במידה ויש)‪.‬‬
‫ה‪ .‬מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ו‪ .‬סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪y  2 x  x )81‬‬
‫‪16 x  1‬‬
‫‪y  2x ‬‬
‫‪)82‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y  x 2 4 x  5 )83‬‬
‫‪y  x3  x )84‬‬
‫‪y  x x 2  5x  7 )85‬‬
‫‪y  x  8  x  1 )86‬‬
‫‪x‬‬
‫‪)87‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x 8‬‬
‫‪)89‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪)91‬‬
‫‪x‬‬
‫‪)88‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪3x 2‬‬
‫‪x2  3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪)90‬‬
‫‪10  x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪)92‬‬
‫‪318‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫‪9  x2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )93‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  16 x  x 2 :‬‬
‫א‪ .‬מה תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה (מקומיים וקצוות)‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )94‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  2 36 x  x 2 :‬‬
‫א‪ .‬מה תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה (מקומיים וקצוות)‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )95‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x2  5x  4 :‬‬
‫א‪ .‬מה תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה (מקומיות וקצוות)‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ה‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )96‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x2  24 x  25 :‬‬
‫א‪ .‬מה תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬כתוב את נקודות קיצון הקצה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )97‬נתונה הפונקציה‪ k , f ( x)   x2  10 x  16  k :‬פרמטר‪.‬‬
‫ידוע כי לפונקציה יש נקודת מקסימום הנמצאת על ציר ה‪. x -‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם יש לפונקציה עוד נקודות קיצון כלשהן? אם כן‪ ,‬מצא אותן‪.‬‬
‫אם‪ ,‬לא נמק מדוע והראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫ד‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪319‬‬
‫‪ )98‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  k 9  x 2 :‬‬
‫ידוע כי לפונקציה נקודת קיצון שבה‪. y  12 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם יש לפונקציה עוד נקודות קיצון כלשהן? אם כן‪ ,‬מצא אותן‪ .‬אם לא‪,‬‬
‫נמק מדוע והראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫ד‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )99‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x  1  2 x  1 :‬‬
‫א‪ .‬מה תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ד‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )100‬נתונה הפונקציה‪ k , f ( x)  x  k  11  2 x :‬פרמטר‪.‬‬
‫ידוע כי הפונקציה עוברת בנקודה )‪. (5, 6‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מה תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ג‪ .‬האם יש לפונקציה נקודות קיצון כלשהן?‬
‫אם כן‪ ,‬מצא אותן ואם לא‪ ,‬נמק מדוע‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪ )101‬נתונה הפונקציה‪ k , f ( x)  3x  k x :‬פרמטר‪.‬‬
‫ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה ‪ x -‬בנקודה שבה ‪. x  16‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )102‬נתונה הפונקציה‪ k , f ( x)  k x  x :‬פרמטר‪.‬‬
‫ידוע כי הישר ‪ y  3‬חותך את הפונקציה בנקודה שבה ‪. x  9‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬האם הישר ‪ y  3‬חותך את גרף הפונקציה בעוד נקודות?‬
‫אם כן‪ ,‬מצא אותן‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪320‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ )103‬נתונה הפונקציה‪ 4 x :‬‬
‫‪8‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫מה תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )104‬נתונה הפונקציה‪ k . f ( x)  kx  k x  4 :‬פרמטר‪.‬‬
‫ידוע כי הפונקציה עוברת בנקודה‪. (4, 4k ) :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬האם יש לפונקציה נקודות קיצון?‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ה‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )105‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x  16  x :‬‬
‫א‪ .‬מה תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )106‬נתונה הפונקציה‪ k . f ( x)  kx  4  x :‬פרמטר‪.‬‬
‫ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה ‪ x -‬בנקודה שבה ‪. x  2‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם הפונקציה חותכת את ציר ה ‪ x -‬בעוד נקודות?‬
‫אם כן‪ ,‬מצא אותן ואם לא נמק‪.‬‬
‫ד‪ .‬האם יש לפונקציה נקודות קיצון? אם כן‪ ,‬מצא אותן ואם לא‪ ,‬נמק‪.‬‬
‫‪ )107‬נתונה הפונקציה‪ m , f ( x)  x  9  2 x  m :‬פרמטר‪.‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪ m‬אם ידוע כי הפונקציה עוברת בנקודה )‪. (3, 2‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודות קיצון הקצה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪321‬‬
‫‪ )108‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x  16  x2 :‬‬
‫א‪ .‬מה תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )109‬נתונה הפונקציה‪ k , f ( x)  8  x2  kx :‬פרמטר‪.‬‬
‫הישר ‪ y  2 x  4‬משיק לפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪x2 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )110‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪16‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪.y ‬‬
‫כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫האם יש לגרף הפונקציה נקודות קיצון מקומיות (פנימיות)?‬
‫אם כן‪ ,‬מצא אותן‪.‬‬
‫מצא את נקודת קיצון הקצה של הפונקציה‪.‬‬
‫האם יש לגרף הפונקציה נקודות חיתוך עם הצירים? אם כן‪ ,‬מצא אותן‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫נתון הישר‪ . y  m :‬לאלו ערכים של ‪ m‬יש לישר ולגרף הפונקציה‬
‫נקודה משותפת אחת בלבד?‬
‫‪x2  2 x‬‬
‫‪ )111‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫מצא את נקודת קיצון של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪322‬‬
‫‪ )112‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪ax  6‬‬
‫‪9  x2‬‬
‫‪ a , f ( x) ‬פרמטר‪.‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫ידוע כי הוא מקביל לישר‪. 3 y  x  0 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬כתוב את התחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )113‬לפניך שלוש פונקציות‪:‬‬
‫‪; h( x)  x x  k‬‬
‫‪x‬‬
‫‪xk‬‬
‫‪.  k  0  ; f ( x )  x  k ; g ( x) ‬‬
‫א‪ .‬קבע אלו מהטענות הבאות נכונות ואלו לא נכונות והצדק את קביעותיך‬
‫באמצעות חישוב מתאים‪:‬‬
‫‪ .1‬לכל הפונקציות יש את אותו תחום ההגדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬כל הפונקציות עולות בכל תחום הגדרתן‪.‬‬
‫‪ .3‬כל הפונקציות חותכות את ציר ה‪ x -‬פעם אחת בלבד‪.‬‬
‫מעבירים משיקים לגרפים של הפונקציות‪ f ( x) :‬ו‪ g ( x) -‬בנקודת החיתוך‬
‫שלהם עם ציר ה‪ . y -‬ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה‪ g ( x) :‬גדול‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫ב ‪ -‬משיפוע המשיק לגרף הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .1 .‬בטא באמצעות ‪ k‬את שיפועי המשיקים לכל פונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא את ‪. k‬‬
‫ג‪ .‬לפניך ‪ 4‬איורים‪ ,‬קבע איזה איור מייצג כל פונקציה‪ .‬נמק את בחירותיך‪.‬‬
‫‪323‬‬
‫*הערה‪ :‬בשאלה הבאה נדרש ידע בפתרון אי‪-‬שוויונים ממעלה גבוהה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )114‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬גזור את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫מגדירים פונקציה נוספת )‪ g ( x‬המקיימת‪. g ( x)   f ( x)  :‬‬
‫‪2‬‬
‫לפי כללי הגזירה של פונקציה מורכבת ניתן לכתוב את הנגזרת‬
‫של )‪ g ( x‬באופן הבא‪. g '( x)  2  f ( x)  f '( x) :‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את הנגזרת של הפונקציה )‪ g ( x‬לפי המכפלה הנ"ל‬
‫וצמצמם במידת האפשר‪.‬‬
‫הראה כי הביטוי הסופי של הנגזרת הוא‪:‬‬
‫‪4  x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. g '( x)  ‬‬
‫ד‪ .‬באופן כללי‪ ,‬לפי כלל הגזירה הנ"ל‪ ,‬אלו נקודות על גרף הפונקציה )‪f ( x‬‬
‫הן נקודות החשודות לקיצון בעבור )‪? g ( x‬‬
‫ה‪ .1 .‬האם לגרף הפונקציה )‪ g ( x‬יש נקודות קיצון במקרה שלנו?‬
‫נמק על פי הסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪ .2‬מה ניתן לומר על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬לפי זה?‬
‫ו‪ .‬לפניך שתי סקיצות‪:‬‬
‫קבע איזו סקיצה מתארת את גרף הפונקציה )‪ . f ( x‬נמק את בחירתך‪.‬‬
‫‪324‬‬
:‫תשובות סופיות‬
x  2 , x  0 .‫ ה‬x  1 , x  1 .‫ ד‬x  3.5 .‫ ג‬x  5 .‫ ב‬x  0 .‫) א‬22
x  1 , x  0 .‫ י‬x  2 .‫ ט‬. 1  x  0 , x  4 .‫ ח‬x  0 .‫ ז‬x  1 , x  5 .‫ו‬
2
.‫ טו‬x  0 .‫ יד‬x  4 .‫ יג‬x  5 , x  0 .‫ יב‬x  0 .‫יא‬
3
x  2 , 0  x  25 .‫ כ‬x  0 .‫ יט‬x  3 , x  1 .‫ יח‬4.5  x  4.5 .‫יז‬
. x  5 , x  5 .‫ טז‬x  2
a  1 , b  7 )26 a  2 , b  1 )25 a  1 , b  2 )24
.
-16 .‫ ד‬- 7 .‫ ג‬3 .‫ ב‬2 .‫) א‬23
2
1
5
28
.‫ ו‬ .‫ה‬
.‫ ד‬66 .‫ ג‬3.5 .‫ ב‬3.5 .‫) א‬27
9
16
6
20


. 9,36  ,  ,  .‫ ו‬ 2, 2 
 9 27 
1 
 10 10 
 1
,  ,  .‫ ה‬ 4, 2  .‫ ד‬ ,   .‫ ג‬ 8,5  .‫ ב‬1,1 .‫) א‬28
 9 27 
 36 72 
2
‫ נפסלת‬x  2 ‫ הנקודה‬. 2, 252 .‫ ב‬m 
.‫) א‬30  2,12  .‫ ב‬ 1, 2  .‫) א‬29
28
1 28


1, 6  )33  5, 4  .‫) א‬32  4,1 .‫) א‬31
m  0 .‫ ג‬.‫עקב העלאה בריבוע‬
1
3
2
.‫ ב‬y  5.5x  3.5 .‫) א‬35 .  0,0 ,  2.25, 4.5 )34
3
1
2
5
5
y   x  1 .‫ ו‬y  4 x  2 .‫ ה‬y  1.25x  2 .‫ד‬
3
3
18
6
. y  38x  104 .‫ ג‬y  x 
. y  0.5x-8 .‫ ב‬16,0  ,  0,0  .‫) א‬36 . y  2 x  4 .‫ ח‬y  3.75x  4.5 .‫ז‬
1
 1 
.‫ ב‬ , 0   0, 0  .‫) א‬37
36
 36 
2
.  0,0  , 1,0  .‫) א‬41 y  3x  4 .‫ ב‬ 0, 4  .‫) א‬40 y   x  3 .‫ ב‬ 0,3 .‫) א‬39
3
2
3
.6.75 .‫ ג‬ 0,-3 ,  4.5,0  .‫ ב‬y  x-3 .‫) א‬38 y  x-
3.825. .‫ ג‬ 0, 1.35 .‫ ב‬y  3.4 x 1.35 .‫) א‬42 . A(5, 6) .‫ ג‬y  1.5x 1.5 .‫ב‬
.‫ הגרף עובר בראשית הצירים‬. y 
3
3
x :‫ משוואת המשיק‬.‫ ב‬2  x  6 .‫) א‬43
1
.‫ ב‬m  2.4 .‫) א‬44
15
1
1
.0.5.‫ ג‬y   x  1 .‫ ב‬ 0,1 .‫) א‬46 4.225.‫ ב‬y  1 x  3 .‫) א‬45
4
4
.‫ מתקבל פתרון שנפסל עקב העלאה בריבוע‬.‫ לא‬.‫ ג‬y  2.4 x  8
y  4 x  0.25 .‫ ג‬y  5x  4 .‫ ב‬y  0.5x  6 .‫) א‬48 . y  1.5x  3.5 .‫ב‬
y
.‫) א‬47
. 9 y  x  64 .‫ ג‬ 0,0 ,  64,0  .‫( ב‬1, 7) .‫) א‬49 y   x  1.75 .‫ד‬
 3,12  .‫ ב‬y  20 x  48 .‫) א‬51
 2, 0  .‫ב‬
y
x
 37.5 .‫ג‬
3
 25, 25 .‫ ב‬ 0,0 , 100,0 .‫) א‬50
4
x  8 .‫ג‬
3
 4, 0  .‫ ב‬x  4 , x  0 .‫) א‬55 . y  0.5x  1 .‫ ד‬ 1,0.5 .‫ג‬
x  2 .‫) א‬54 y  2 x  36 .‫) א‬53 y  3x  2 )52 y 
325
.  0.75, 0.75  .‫) א‬57 . y  6 .‫ ג‬ 9, 6  .‫ ב‬x  0 , x  1 .‫) א‬56
. A  0.25,0.5 , B  0.25,1.5 .‫ ד‬y 
x
3

, y   3x  1.25 3 .‫ג‬
3 4
 1 1
 1 1
  x  6 1 , y  
  x  6  7 .‫ ב‬A 6, 2 6  4 , B 6, 2 6  4 .‫) א‬58
 6 2
 6 2
. A  B  4 )61 A  1 , B  2 )60 .-64 .‫ ו‬2,5 .‫ ה‬1 .‫ ד‬20 .‫ ג‬15 .‫ ב‬4 .‫) א‬59

.y 
 

. 7 y  3x  65 .‫ ד‬.‫ לא‬.‫ ג‬a  2 .‫( ב‬11,14) .‫) א‬63 . S  6 .‫ ג‬y  13 x  2 .‫ ב‬a  2 .‫) א‬62
.‫ אין עוד נקודות חיתוך בניהם‬.‫ ג‬x  0 .‫ ב‬k  3 .‫) א‬64
. y  11.9x  42.8125 , y  10.5x  34.0625 .‫ד‬
. y  0.74 x  0.1352 .‫ ג‬ 0.6, 0.57  .‫ כן‬.‫ ב‬k  0.48 .‫) א‬65
1

. A  B  2 )67  0,   .‫ ב‬A  9 , B  9 .‫) א‬66

4
9
3
4
9
. y   x  2 .‫ ג‬y  2.25x  0.25 .‫ ב‬A  1 .‫) א‬68


.  4,   .‫ג‬. y   x  .‫ ב‬x  4 , A  16 .‫) א‬69
72
18
9
4

1

.
.S 
7
y
.‫ ג‬y  0.5x  0.5 .‫ ב‬ 0,0  , 1,1 .‫) א‬70


5
x
3
, y  6.5 2  2 x .‫ ב‬A 5.5, 2 .‫) א‬71
.‫ ג‬y  
2
8 4 2
y  5 .‫ ג‬A  10 .‫) ב‬73 y  0.25x  0.25 .‫ ג‬ 0,0  , 1,0  .‫ ב‬k  1 , f ( x) 
 2, 0  .‫) א‬76
x x
.‫) א‬72
2
 4 
y  0.125x  2.375 .‫ ג‬ 3,
 .‫) ב‬75 A  1 , B  7 )74
2

4
x  4 2 .‫ ג‬. f '( x)  0 :‫ מאחר שאין פתרון למשוואה‬,‫ לא‬.‫ב‬
2
Min(0,0) , Max(1.6,1.619) , Min(2,0) .‫ ב‬Max(0,0) , Min(0.25,-0.25) .‫) א‬77
. S  4 2 .‫ ד‬y 
. Min(0, 0) , Max  3, 1  .‫ ה‬Max(0, 4) , Min(2,0) , Min(-2,0) .‫ ד‬Min(2, 21) .‫ג‬
2 3




. Max  -4,
 .‫ ח‬.‫ אין קיצונים כלל‬.‫ ז‬Max(0, 0) .‫ו‬
50 

-4
. x  4 :‫ יורדת‬x  1 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  4,0 , Min 1,0  .‫ ב‬x  4 , x  1 .‫) א‬78
. x  1.5 :‫ יורדת‬x  1.5 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  1.5,1.5 .‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬79
. x  3 :‫ יורדת‬x  0 :‫ עולה‬.‫ ג‬x  3 , x  0 .‫) א‬80
. x  1 :‫ יורדת‬0  x  1 :‫ עולה‬.‫ ג‬Max 1,1 , Min  0,0 .‫ ב‬x  0 .‫) א‬81
.‫ אין‬.‫ ה‬.  0,0  ,  4,0  .‫ד‬
326
.
1
1
1
1
 1 1
1 
 x  :‫ יורדת‬x  :‫ עולה‬.‫ ג‬Max  ,  , Min  , 0  .‫ ב‬x 
.‫) א‬82
16
8
8
16
 16 8 
8 


.‫ אין‬.‫ ה‬ , 0  .‫ד‬
8
1

5
 5 
-  x  -1 , x  0 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  - ,0 
4
 4 

5
,Max  -1,1 ,Min  0,0  .‫ ב‬x  - .‫) א‬83
4


.‫ אין‬.‫ ה‬.  - , 0   0, 0  .‫ ד‬-1  x  0 :‫יורדת‬
4
5


. Min  1,0 , Min  0,0  , Min 1,0  , Max  -0.57,0.62  .‫ ב‬1  x  0 , x  1 .‫) א‬84
.  0,0 , 1,0 ,  1,0  .‫ ד‬0.57  x  0 :‫ יורדת‬1  x  0.57 , x  1 :‫ עולה‬.‫ג‬
.‫ אין‬.‫ה‬
Max  2, 2  ,Min  1.75, 2.004  .‫ ב‬. x ‫ כל‬.‫) א‬85
.‫ אין‬.‫ ה‬.  0, 0  .‫ ד‬2  x  1.75 :‫ יורדת‬x  2 , x  1.75 :‫ עולה‬.‫ג‬
.‫ אין‬.‫ ה‬.‫ אין‬.‫ ד‬.‫ עולה בכל תחום הגדרתה‬.‫ ג‬Min 1,3 .‫ ב‬x  1 .‫) א‬86

. x  2 :‫ יורדת‬0  x  2 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  0, 0  , Max  2,

2
 .‫ ב‬x  0 .‫) א‬87
4 
.‫ אין‬.‫ ה‬.  0, 0  .‫ד‬
. x  2 .‫ ה‬.  0, 0  .‫ ד‬.‫ יורדת בכל תחום הגדרתה‬.‫ ג‬Max  0,0  .‫ ב‬x  0 , x  2 .‫) א‬88
x  0 :‫ יורדת‬8  x  0 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  8, 0  .‫ ב‬x  8 , x  0 .‫) א‬89
. x  0 .‫ ה‬.  8,0  .‫ד‬
x  10 .‫ ה‬ 0, 0  .‫ ד‬.‫ עולה בכל תחום הגדרתה‬.‫ ג‬.‫ אין קיצון‬.‫ ב‬x  10 .‫) א‬90
.‫ אין‬.‫ ה‬. 0, 0  .‫ ד‬x  0 :‫ יורדת‬x  0 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  0, 0  .‫ ב‬. x ‫ כל‬.‫) א‬91
4

3  x  0 :‫ יורדת‬0  x  3 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  0,   .‫ ב‬3  x  3 .‫) א‬92
3

4

. x  3 .‫ ה‬ 0,   ,  2, 0  .‫ד‬
3

327
‫סקיצות של שאלות ‪:81-92‬‬
‫‪ )93‬א‪ 0  x  16 .‬ב‪ Min(0,0) , Min(16,0) , Max(8,8) .‬ג‪ .‬עולה‪. 0  x  8 :‬‬
‫יורדת‪. 8  x  16 :‬‬
‫‪ )94‬א‪ 0  x  36 .‬ב‪Max(0,0) , Max(36,0) , Min(18, 36) .‬‬
‫ג‪ .‬עולה‪ .18  x  36 :‬יורדת‪. 0  x  18 :‬‬
‫‪ )95‬א‪ x  1 , x  4 .‬ב‪ Min(1,0) , Min(4,0) .‬ג‪ .‬עולה‪ . x  4 :‬יורדת‪ . x  1 :‬ד‪. (0, 2) .‬‬
‫‪ )96‬א‪ x  25 , x  1 .‬ב‪ Min(1,0) , Min(25,0) .‬ג‪ .‬עולה‪ . x  1 :‬יורדת‪. x  25 :‬‬
‫סקיצות של שאלות‪:93-96 :‬‬
‫‪ )97‬א‪ k  3 .‬ב‪ 2  x  8 .‬ג‪ .‬כן – ישנן נקודות קיצון קצה‪. Min  2, 3 , Max 8, 3 :‬‬
‫ד‪ .‬עולה‪ . 2  x  5 :‬יורדת‪. 5  x  8 :‬‬
‫‪ )98‬א‪ k  4 .‬ב‪ 3  x  3 .‬ג‪ .‬כן – ישנן נקודות קיצון קצה‪. Min  3,0 , Max  3,0  :‬‬
‫ד‪ .‬עולה‪ . 3  x  0 :‬יורדת‪. 0  x  3 :‬‬
‫‪ )99‬א‪ x  1 .‬ב‪ Max(1,0) , Min(0, 1) .‬ג‪.  1,0 ,  3,0  .‬‬
‫ד‪ .‬עולה‪ . x  0 :‬יורדת‪. 1  x  0 :‬‬
‫‪ )100‬א‪ . k  2 .‬ב‪ . x  5.5 .‬ג‪ .‬כן – ישנה נקודת קיצון קצה‪. (5.5, 7.5) :‬‬
‫לא קיימת נקודת קיצון מקומית מאחר ש ‪ x  5 -‬המתקבל בעת השוואת‬
‫הנגזרת לאפס נפסל כי אינו מקיים את המשוואה המקורית‪ .‬ד‪. (1, 0) .‬‬
‫הנקודה שבה ‪ x  7‬אינה מקיימת את המשוואה המקורית ולכן נפסלת‪.‬‬
‫‪ )101‬א‪ . k  12 .‬ב‪ . Min(4, 12) , Max(0,0) .‬ג‪ .‬עולה‪ . x  4 :‬יורדת‪. 0  x  4 :‬‬
‫‪ )102‬א‪ . k  4 .‬ב‪ . (1,3) .‬ג‪ . Min(0,0) , Max(4, 4) .‬ד‪.  0,0 , 16,0  .‬‬
‫‪ )103‬א‪ . x  0 .‬ב‪ . Min(4, 6) , Max(0,0) .‬ג‪ .‬עולה‪ x  4 :‬יורדת‪. 0  x  4 :‬‬
‫ד‪.  0, 0  ,  3 1024, 0  .‬‬
‫‪328‬‬
‫‪ )104‬א‪ . k  2 .‬ב‪ .‬יש קיצון קצה ‪ . (0, 4) -‬ג‪ .‬עולה בכל תחום הגדרתה‪ .‬ד‪. (1, 0) .‬‬
‫‪ )105‬א‪ . 0  x  16 .‬ב‪Min(0, 4) , Max(8, 2 8) , Min(16, 4) .‬‬
‫ג‪ .‬עולה‪ , 0  x  8 :‬יורדת‪. 8  x  16 :‬‬
‫‪ )106‬א‪ . k  1 .‬ב‪ . 0  x  4 .‬ג‪ .‬לא‪ .‬ד‪ .‬אין קיצונים‪.‬‬
‫‪ )107‬א‪ .‬יש להראות כי הנגזרת מורכבת מחיבור של שני ביטויים שחיוביים‬
‫תמיד ומכאן שסימן הנגזרת חיובי והפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫‪ -  f '( x ) 2 1 x  91 2 x ‬הנגזרת בנויה משני ביטויים חיוביים‪.‬‬
‫ב‪ . 0  x  4.5 .‬ג‪ . m  2 .‬ד‪. Min(0, 1) , Max(4.5, 2  4.5) .‬‬
‫‪ )108‬א‪ . 4  x  4 .‬ב‪ . Min(4, 4) , Max( 8, 2 8) , Min(4, 4) .‬ג‪.  0, 4  ,   8, 0  .‬‬
‫‪ )109‬א‪ . k  1 .‬ב‪ .  8  x  8 .‬ג‪. Min   8, 8  , Max  2, 4  , Min  8,  8  .‬‬
‫ד‪ .‬עולה‪ ,  8  x  2 :‬יורדת‪. 2  x  8 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )110‬א‪ x  2 .‬ב‪ .‬אין נקודות קיצון‪ .‬ג‪ .  2,  .‬ד‪ .‬אין נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪.m ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . Min  2 , 0 , Max  3,‬ג‪.  2, 0  .‬‬
‫‪ )111‬א‪ . x  0 , x  2 .‬ב‪ .‬‬
‫‪27 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )112‬א‪ . a  1 .‬ב‪ . 3  x  3 .‬ג‪. 1.5, 3  .‬‬
‫ד‪ .‬יורדת‪ . 3  x  1.5 :‬עולה‪. 1.5  x  3 :‬‬
‫סקיצות של שאלות ‪( 101-111‬אלו שיש בהן גרף)‪:‬‬
‫‪329‬‬
‫‪ )113‬א ‪ .1‬הטענה אינה נכונה‪.‬‬
‫תחומי ההגדרה הם‪. f ( x) : x  k ; g ( x) : x  k ; h( x) : x  k :‬‬
‫‪ .2‬הטענה אינה נכונה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫הפונקציה‪ f ( x) :‬עולה תמיד שכן‪ 0 :‬‬
‫‪2 xk‬‬
‫‪x  2k‬‬
‫‪g '( x) ‬‬
‫הפונקציה‪ g ( x) :‬גם עולה תמיד שכן‪ 0 :‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪x  k‬‬
‫‪. f '( x) ‬‬
‫כי הנקודה ‪ x  2k‬אינה בתחום ההגדרה וערך הנגזרת בתחום ההגדרה‬
‫חיובי‪ .‬לפונקציה‪ h( x) :‬יש נקודת מינימום ב ‪ x   23 k -‬אשר בתוך תחום‬
‫הגדרתה ולכן היא יורדת בעבור‪. k  x   23 k :‬‬
‫‪ .3‬הטענה אינה נכונה‪.‬‬
‫נקודות החיתוך‪. f ( x) :  k ,0  ; g ( x) :  0,0  ; h( x) :  k,0  , 0,0  :‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪.1 .‬‬
‫‪k‬‬
‫‪, g '(0) ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 k‬‬
‫‪ )114‬א‪ . 2  x  0 , x  2 .‬ב‪.‬‬
‫‪ . k  4 .2 . f '(0) ‬ג‪. I  g ( x) , II  f ( x) , IV  h( x) .‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2  x  4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. f '( x)  ‬‬
‫ד‪ .‬נקודות החיתוך של )‪ f ( x‬עם ציר ה ‪ x -‬ונקודות המאפסות‬
‫את הנגזרת של )‪. f ( x‬‬
‫ה‪ .1 .‬לא‪ .‬ל‪ f ( x) -‬אין נק' קיצון והנקודה ‪  0, 0 ‬אינה קיצון בעבור )‪. g ( x‬‬
‫‪ .2‬יורדת בכל תחום הגדרתה‪ .‬ו‪.I .‬‬
‫‪330‬‬
‫תרגילים העוסקים בפונקציות טריגונומטריות‪:‬‬
‫מעבר בין מעלות לרדיאנים‪:‬‬
‫להלן נוסחאות המעבר בין זווית הנתונה במעלות לזווית הנתונה ברדיאנים ולהיפך‪:‬‬
‫‪‬‬
‫ממעלות לרדיאנים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫מרדיאנים למעלות‪:‬‬
‫‪R‬‬
‫‪180‬‬
‫‪180‬‬
‫‪‬‬
‫‪R ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ )1‬לפניך מספר זוויות הנתונות ברדיאנים‪ ,‬כתוב את ערכן במעלות‪:‬‬
‫א‪ .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫ט‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪7‬‬
‫יא‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫ו‪.‬‬
‫י‪.‬‬
‫‪‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫‪7‬‬
‫יב‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ )2‬לפניך מספר זוויות הנתונות במעלות‪ ,‬כתוב את ערכן ברדיאנים‪:‬‬
‫א‪90 .‬‬
‫ו‪115 .‬‬
‫ג‪30 .‬‬
‫ח‪225 .‬‬
‫ב‪45 .‬‬
‫ז‪135 .‬‬
‫ה‪10 .‬‬
‫י‪345 .‬‬
‫ד‪20 .‬‬
‫ט‪315 .‬‬
‫‪ )3‬חשב את ערכי הביטויים הבאים‪:‬‬
‫‪ 3 ‬‬
‫ב‪sin   .‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ 3 ‬‬
‫ו‪cos   .‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ 3 ‬‬
‫י‪tan   .‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫א‪sin   .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ ‬‬
‫ה‪cos   .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ ‬‬
‫ט‪tan   .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ ‬‬
‫ד‪sin   .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ ‬‬
‫ח‪cos   .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ ‬‬
‫יב‪tan   .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ ‬‬
‫ג‪sin   .‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ ‬‬
‫ז‪cos   .‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ ‬‬
‫יא‪tan   .‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ )4‬הצב בכל פונקציה את הערכים שלידה וחשב (הזווית נתונה ברדיאנים)‪:‬‬
‫‪2 5‬‬
‫‪,‬‬
‫א‪: y  2sin x .‬‬
‫‪3 2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪: y  sin 2 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪,‬‬
‫‪x   ,  ,‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪12 3‬‬
‫ה‪: y  3sin x  cos3x .‬‬
‫‪2 5‬‬
‫‪,‬‬
‫ב‪: y  3cos x .‬‬
‫‪3 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x   ,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪3 2‬‬
‫ד‪: y  cos 2 x .‬‬
‫‪x   , 0, ‬‬
‫‪331‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪,‬‬
‫‪x   ,  ,‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪12 3‬‬
‫‪x   ,‬‬

x   ,  , 0,

x   ,  , 0,
x   ,  , 0,


4
x   ,  , 0,

4

4
,
,
4


4
,
4 3
 
4 3
,
4 3
,
,
4 3
 
,
4 3
,
4 3
4 3
 
,
4 3
,
,
,
3 2
 
3 2
3 2
,
3 2
,
3 2
 
3 2
,
 
,
3 2
 
3 2
 
,
3 2
,
,
,
2 2
 3
,
2 2
,
3
: y  cos 2 2 x
2
 3
2 2
 3
,
2 2
,
2 2
 3
 3
,
,
 3
2 2
3
: y  cos 2 x .‫ח‬
2
3
: y  sin 2 2 x .‫ט‬
2
2 2
,
,
,
.‫ז‬
,
,
,
3
: y  sin 2 x
2
2 2
 3
.‫ו‬
,
,
 3
,
,
,
,
,
3
: y  4cos x  sin 4 x
2
 3
,
,
,
,
 
,
 
 
,
,
,
 
 
 
2 2
 
,
,
,
,
,
4 3
 3
,
,
,
,
4
x   ,  , 0,
x   ,  , 0,

 
 
,
x   ,  , 0,
2
 
,
4
x   ,  , 0,
,
4

x   ,  , 0,
x   ,  , 0,
4
,
,
2 2
,
.‫י‬
3
: y  tan x .‫יא‬
2
,
3
: y  tan 2 x .‫יב‬
2
,
3
: y  tan 2 x .‫יג‬
2
,
3
: y  sin x  tan x .‫יד‬
2
,
3
: y  cos x  tan x .‫טו‬
2
:)‫) חשב את ערכי הביטויים הבאים (הזווית נתונה ברדיאנים‬5
x  1, 2,3 : y  cos x .‫ב‬
x  1, 2,3 : y  sin x .‫א‬
x  -1,-2.5,-5 : y  sin x .‫ד‬
x  -1,-2.5,-5 : y  tan x
x  1, 2,3 : y  tan x
.‫ג‬
x  -1,-2.5,-5 : y  cos x .‫ה‬
.‫ו‬
x  -1,-0.5,3 : y  cos 2 x  sin 2 x .‫ח‬
x  2,4,5 : y  tan 2 x  sin 3x
.‫ז‬
:)‫) הצב בפונקציות הבאות את ערכי הזוויות שלידן (הזויות ברדיאנים‬6
x  0,1, 2 : y  x  cos x .‫ב‬
x  0,1, 2 : y  x  sin x .‫א‬
x  1.5, 2.5, 3 : y  x2  cos x .‫ד‬
x  6, 0.3, 0.25 : y   x  sin x 
2
x  1.5, 2.5, 3 : y  x2  sin x
.‫ג‬
x  1, 3,0.5 : y  x2  tan x  1 .‫ה‬
.‫ו‬
332
x  -0.5,1, 2.6 : y   2 x  cos 2 x 
x  1, 2,3 : y  x sin x .‫ח‬
x  1, 1, 2, 2,3, 3 : y  x tan x
2
.‫ז‬
.‫י‬
x  1, 2,3 : y  x cos x .‫ט‬
x  1, 1, 2, 2,3, 3 : y  x2 cos x .‫יב‬
x  1, 1, 2, 2,3, 3 : y  x2 sin x .‫יא‬
:‫תרגילים העוסקים בנגזרות יסודיות‬
:‫) גזור את הפונקציות הבאות‬7
y  2cos x .‫ב‬
y  cos x  5sin x .‫ד‬
y  tan x  3sin x
.‫ו‬
y  x 2  2cos x .‫ח‬
y  sin x  3cos x  x
.‫י‬
y  3sin x .‫א‬
y  2 tan x
.‫ג‬
y  4sin x  3cos x .‫ה‬
y  sin x  2 x
.‫ז‬
y  3x  3tan x .‫ט‬
:‫) גזור את הפונקציות הבאות‬8
y  cos 4 x .‫ב‬
y  sin 3x  2cos5x .‫ד‬
y  tan 5x  sin 3x
.‫ו‬
y  3x  3cos 2 x .‫ח‬
y  cos  0.4  4 x 
.‫י‬
y  sin 3x .‫א‬
y  tan 2 x
.‫ג‬
y  4sin 3x  cos 2 x .‫ה‬
y  sin 3x  x2  3x
.‫ז‬
y  sin  3x    .‫ט‬
:‫) גזור את הפונקציות הבאות‬9
y  x cos x .‫ב‬
y  x 2 cos x .‫ד‬
y  x  3  sin x 
.‫ו‬
y   cos x  1   sin x  2  .‫ח‬
y   cos x  1   tan x  1
y  x sin x .‫א‬
y  2 x tan x
.‫ג‬
y  2 x sin x  4 tan x .‫ה‬
y  cos x  sin x
.‫ז‬
.‫י‬
y  cos x  sin x  1 .‫ט‬
y   x 2  3 tan 4 x .‫יב‬
y  sin 3x   cos 2 x  1 .‫יא‬
333
y
sin x
.‫יד‬
cos x  2
y
sin x
.‫טז‬
sin x  5
y
cos x
.‫טו‬
tan x  3
cos 2 x
.‫יח‬
1  sin 2 x
y
cos x  2
.‫יז‬
sin x
sin x
.‫כ‬
sin x  1
y
cos 3x  1
.‫יט‬
sin x  2
y
y
y
sin x
.‫יג‬
x
:‫) גזור את הפונקציות הבאות‬10
y  cos2 x .‫ב‬
y  sin 2 x .‫א‬
y  sin 3 x .‫ד‬
y  tan 2 x .‫ג‬
.‫ו‬
y  2cos4 x .‫ה‬
y  cos2 2 x .‫ח‬
y  sin 3 2 x .‫ז‬
y  tan 2 4 x
y  x sin 2 x .‫י‬
y   x cos x 
2
.‫ט‬
y  sin 2 x  cos2 x .‫יב‬
y  x2 sin x  cos2 x .‫יא‬
y  sin 4 2 x  cos4 2 x .‫יד‬
y  sin 4 x  cos4 x .‫יג‬
y  x  3  sin x  .‫טז‬
y   x  sin x  .‫טו‬
2
y
sin x
.‫יח‬
cos 2 x  1
2
y
cos 2 x  1
.‫יז‬
sin x
:‫שאלות העוסקות בשימושי הנגזרת‬
:‫ בנקודות הבאות‬y  sin x :‫) מצא את שיפוע הפונקציה‬11
x   .‫ב‬
x  0.5 .‫ג‬
x  0 .‫א‬
:‫ בנקודות הבאות‬y  3cos 2 x :‫) מצא את שיפוע הפונקציה‬12
x   .‫ג‬
x  0.5 .‫ב‬
x  0 .‫א‬
334
‫‪ )13‬מצא את שיפוע הפונקציה‪ y  tan x  cos x :‬בנקודות הבאות‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪x0‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.x‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )14‬מצא את שיפוע הפונקציה‪ y  x  sin 3x :‬בנקודות הבאות‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.x ‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )15‬חשב את הזווית הנוצרת בין שיפוע המשיק לגרף הפונקציה‪ cos 2 x :‬‬
‫‪2‬‬
‫בנקודה שבה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ x ‬וציר ה‪. x -‬‬
‫‪ )16‬חשב את הזווית הנוצרת בין שיפוע המשיק לגרף הפונקציה‪y  sin x  tan x :‬‬
‫‪‬‬
‫בנקודה שבה‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ x ‬והכיוון החיובי של ציר ה‪. x -‬‬
‫‪ )17‬מצא את הזווית הנוצרת בין המשיק לגרף הפונקציה‪ y  sin x  cos x :‬בנקודות‬
‫הבאות והכיוון החיובי של ציר ה‪: x -‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪x0‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )18‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪ y  cos x :‬בנקודה שבה‪:‬‬
‫‪ )19‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪ y  sin 2 x :‬בנקודה שבה‪:‬‬
‫‪ )20‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪ y  tan 3x :‬בנקודה שבה‪:‬‬
‫‪sin x  1‬‬
‫‪ )21‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪.x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ y ‬בנקודה שבה‪:‬‬
‫‪ )22‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪ y  tan 3x  x :‬בנקודה שבה‪:‬‬
‫‪335‬‬
‫‪.x ‬‬
‫‪.x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.x ‬‬
‫‪ )23‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪ y  x2 cos x :‬בנקודה שבה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.x ‬‬
‫‪ )24‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪ y   sin x  cos x  :‬בנקודה שבה‪. x   :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪ )25‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪sin x  1‬‬
‫‪2sin x  2‬‬
‫‪ )26‬באיור שלפניך נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ y ‬בנקודה שבה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.x ‬‬
‫‪ f  x  ‬בתחום‪.   :   :‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה ‪f  x ‬‬
‫מנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי נקודת החיתוך‬
‫של הפונקציה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של‬
‫המשיק עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ )27‬נתונה הפונקציה‪ f  x   x cos2 x :‬בתחום‪.   :  :‬‬
‫‪ 2 2‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה ‪f  x ‬‬
‫מהנקודה שבה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.x ‬‬
‫א‪ .‬כתוב את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של‬
‫המשיק עם הצירים‪.‬‬
‫‪ )28‬מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה‪ f  x   4sin 2 x :‬בנקודות החיתוך‬
‫של הפונקציה עם הישר ‪ y  1‬בתחום‪.0 :   :‬‬
‫‪ )29‬נתונות הפונקציות‪ f  x   4cos x :‬ו‪ g  x   sin 2 x -‬בתחום‪. 0  x  2 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך שלהן בתחום הנתון‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה ‪ f  x ‬העוברים דרך נקודות‬
‫החיתוך שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪336‬‬
‫‪ )30‬נתונות הפונקציות‪ f  x   2sin 2 x :‬ו‪ g  x   sin x  1 -‬בתחום‪. 0  x  1.5 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך שלהן בתחום הנתון‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה ‪ f  x ‬העוברים דרך נקודות‬
‫החיתוך שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪ )31‬מצא את משוואות המשיקים לגרפים של הפונקציות הבאות בעלי השיפוע הנתון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ m  2 ; f  x   2sin x .‬בתחום‪. 0 :  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ m  2 ; f  x   sin 4 x .‬בתחום‪. 0 :  :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ m  2 ; f  x   3x  cos x .‬בתחום‪.   :  :‬‬
‫‪ 2 2‬‬
‫‪‬‬
‫ד‪ m  1.5 3 ; f  x   sin 2 x  cos 2 x .‬בתחום‪. 0 :  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )32‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   1  sin 2 x :‬מצא עבור אלו ערכים של ‪ x‬בתחום‪0 : 2  :‬‬
‫שיפוע המשיק לגרף הפונקציה הוא ‪.-1‬‬
‫‪ )33‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪f  x   cos 2 x  3 :‬‬
‫המקביל לישר‪ y  x 3   :‬בתחום‪.0 :   :‬‬
‫‪ )34‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪f  x   3tan x  2 :‬‬
‫המקביל לישר‪ y  3x  2 :‬בתחום‪. 0 :   :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )35‬מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה‪f  x   sin 4 x  cos 2 x :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫בתחום‪ 0 :   :‬בעלי השיפוע ‪.-1‬‬
‫שאלות עם פרמטרים – שימושי הנגזרת‪:‬‬
‫‪ )36‬נתונה הפונקציה‪ a ( f  x   a sin x  cos3x :‬פרמטר) בתחום‪.0 : 2  :‬‬
‫שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪:‬‬
‫‪337‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ x ‬הוא ‪ .2‬מצא את ‪. a‬‬
‫‪ )37‬נתונה הפונקציה‪ a ( f  x   a cos 2 x  cos3x :‬פרמטר) בתחום‪.0 : 2  :‬‬
‫שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ x ‬הוא ‪ . 3‬מצא את ‪. a‬‬
‫‪ )38‬שיפוע המשיק לגרף הפונקציה‪ f  x   a tan x :‬בנקודה שבה ‪ x  ‬הוא ‪.3‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x  ‬‬
‫‪ )39‬לגרף הפונקציה‪ a ( f  x   sin x  a cos x :‬פרמטר) מעבירים משיק מנקודת‬
‫החיתוך שלה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ a‬אם ידוע כי שיפוע המשיק הוא ‪ 1‬וכתוב את משוואת המשיק‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )40‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪sin x  k‬‬
‫‪ k ( f  x  ‬פרמטר חיובי)‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫ידוע כי שיפוע הפונקציה בנקודה שבה‪ x  :‬הוא‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ k‬וכתוב את משוואת המשיק‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של המשיק עם הצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש שהמשיק יוצר עם הצירים‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ )41‬נתונה הפונקציה הבאה‪ 2sin 2 x :‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪ k ( f  x  ‬פרמטר חיובי)‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.x ‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬את שיפוע המשיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬המשיק מאונך לישר‪ . 8 y  x  4 :‬מצא את ‪. k‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת המשיק‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )42‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪a tan x‬‬
‫‪ a ( f  x  ‬פרמטר)‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬הראה כי נגזרת הפונקציה היא‪:‬‬
‫‪a sin 2 x‬‬
‫‪. f ' x  ‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫מצא את ‪. a‬‬
‫‪338‬‬
‫‪ x  ‬הוא ‪.-4‬‬
‫חקירות פונקציה טריגונומטרית‪:‬‬
‫תחומי הגדרה‪:‬‬
‫‪ )43‬כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות בתחום ‪:0 : 2 ‬‬
‫א‪y  sin 2 x  5 .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ב‪y  3 cos x .‬‬
‫ד‪y  tan x  sin x .‬‬
‫‪y  tan x‬‬
‫ה‪y  tan 2 x  2cos x .‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪sin 2 x‬‬
‫‪3‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫ט‪.‬‬
‫‪sin x  1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪cos x‬‬
‫יא‪.‬‬
‫‪4sin 2 x  3‬‬
‫י‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x 2  4sin x  cos x‬‬
‫יג‪.‬‬
‫‪sin 2 x  1‬‬
‫‪12‬‬
‫טו‪.‬‬
‫‪tan x‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪y  tan 2 x  tan x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪sin 2 x  0.5‬‬
‫‪cos x  2‬‬
‫יב‪.‬‬
‫‪cos 2 x  1‬‬
‫‪6‬‬
‫יד‪.‬‬
‫‪cos x  4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪7‬‬
‫טז‪.‬‬
‫‪tan 2 x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫יח‪.‬‬
‫‪sin x cos x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )44‬הפונקציה‪ a ( y  tan ax  3 :‬פרמטר) אינה מוגדרת עבור‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )45‬הפונקציה‪:‬‬
‫‪sin x  a‬‬
‫‪ a ( y ‬פרמטר) אינה מוגדרת עבור‪:‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪ )46‬הפונקציה‪:‬‬
‫‪a  cos 2 x‬‬
‫מצא את ‪. a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫יז‪.‬‬
‫‪sin x cos x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ . x ‬מצא את ‪. a‬‬
‫‪ . x ‬מצא את ‪. a‬‬
‫‪ a ( y ‬פרמטר חיובי) אינה מוגדרת עבור‪. x  0 :‬‬
‫נקודות קיצון‪:‬‬
‫‪ )47‬מצא את נקודות הקיצון המקומיות של הפונקציות הבאות בתחום הנתון‪:‬‬
‫א‪[0 : 2 ] : y  sin x .‬‬
‫ב‪[0 : 2 ] : y  cos x .‬‬
‫ג‪[ :  ] : y  tan x .‬‬
‫ד‪[0 :  ] : y  2sin 2 x .‬‬
‫ה‪[0 : 0.5 ] : y  2cos3x  3x .‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪339‬‬
‫‪[0 :  ] : y  2sin x  x 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )48‬מצא את נקודות הקיצון המקומיות של הפונקציה‪:‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪ y ‬בתחום‪. [0 : 2 ] :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )49‬מצא את נקודות הקיצון המקומיות של הפונקציה‪:‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪ y ‬בתחום‪. [ :  ] :‬‬
‫‪ )50‬מצא את נקודות הקיצון המקומיות של הפונקציה‪ y  sin 2 x :‬בתחום‪. [0 :  ] :‬‬
‫‪ )51‬מצא את נקודות הקיצון המקומיות של הפונקציה‪ y  cos2 x  2 :‬בתחום‪. [0 :  ] :‬‬
‫‪ )52‬מצא את נקודות הקיצון (מקומיות וקצה) של הפונקציה‪y  sin x  cos x :‬‬
‫בתחום‪ [0 : 2 ] :‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )53‬מצא את נקודות הקיצון (מקומיות וקצה) של הפונקציה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫בתחום‪ [0 : 2 ] :‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫‪y  sin x ‬‬
‫‪ )54‬מצא את נקודות הקיצון המקומיות וקיצון הקצה של הפונקציות הבאות בתחום הנתון‪:‬‬
‫א‪[0 :  ] : y  3sin 2 x .‬‬
‫ב‪[0 :  ] : y  2cos x  x .‬‬
‫ג‪[0 :  ] : y  sin 2 x  5 .‬‬
‫ד‪[0 :  ] : y  cos2 x  cos x .‬‬
‫‪ )55‬מצא את נקודות הקיצון המקומיות וקיצון הקצה של הפונקציות הבאות בתחום‬
‫הנתון וקבע את סוגן‪.‬‬
‫א‪[0 : 0.5 ] : y  cos 4 x  3 .‬‬
‫ב‪[0 :  ] : y  sin x  cos x .‬‬
‫ג‪[0 :  ] : y  sin 2 x  2cos x .‬‬
‫ד‪[0 : 0.5 ] : y  cos2 x  2 sin x .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )56‬מצא את נקודות הקיצון המוחלטות של הפונקציה‪ f  x   sin 2 2 x  x :‬בתחום‪. [0 :  ] :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )57‬מצא את נקודות הקיצון המוחלטות של הפונקציה‪f  x   sin 5 x  sin 3 x  2sin x :‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫בתחום‪. [0 :1.5 ] :‬‬
‫‪sin x  1‬‬
‫‪ )58‬מצא את נקודות הקיצון המוחלטות של הפונקציה‪:‬‬
‫‪sin x  1‬‬
‫‪340‬‬
‫‪ f  x  ‬בתחום‪. [0 : 2 ] :‬‬
‫‪ )59‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪ f  x   sin 2 x :‬בתחום‪. 0 :   :‬‬
‫‪cos x  1‬‬
‫‪ )60‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ f  x  ‬בתחום‪. 0 :   :‬‬
‫‪ )61‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪ f  x   tan x  sin x :‬בתחום‪. 0  x   :‬‬
‫‪ )62‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪ f  x   cos2 x :‬בתחום‪.   :   :‬‬
‫‪ )63‬הוכח כי הפונקציה‪ f  x   tan x  sin x :‬אינה יורדת כלל‪.‬‬
‫‪ )64‬הוכח כי הפונקציה‪ f  x   sin x  2 x :‬יורדת לכל ‪. x‬‬
‫‪ )65‬נתונה הפונקציה‪ a ( f  x   sin x  ax :‬פרמטר)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא תחום ערכים של ‪ a‬עבורם הפונקציה תמיד עולה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא תחום ערכים של ‪ a‬עבורם הפונקציה תמיד יורדת‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם בקצוות התחומים שמצאת עבור ‪ a‬בסעיפים הקודמים‪ ,‬הנקודות‬
‫שמקיימות‪ f '  x   0 :‬הן נקודות קיצון?‬
‫‪ )66‬נתונה הפונקציה‪ a ( f  x   a cos x  x 3 :‬פרמטר)‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫לפונקציה יש נקודת קיצון שבה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ . x ‬מצא את ‪. a‬‬
‫‪ )67‬נתונה הפונקציה‪ a ( f  x   a sin 2 x  cos x :‬פרמטר)‪.‬‬
‫לפונקציה יש נקודת קיצון שבה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ . x ‬מצא את ‪. a‬‬
‫‪ 7‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )68‬לפונקציה‪ f  x   a sin x  b sin 3 x :‬יש נקודת קיצון ששיעוריה הם‪, 1 :‬‬
‫‪ 6‬‬
‫‪‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪.b -‬‬
‫‪.‬‬
‫‪341‬‬
‫אסימפטוטות אנכיות‪:‬‬
‫‪ )69‬מצא את האסימפטוטות האנכיות לפונקציות הבאות בתחום המצוין לידן‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪sin 3x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪. [0 :  ] : f  x  ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪sin x cos x‬‬
‫‪. [0 :  ] : f  x  ‬‬
‫ג‪.[ :  ] : f  x   tan x .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )70‬לפונקציה‪:‬‬
‫‪sin ax  0.5‬‬
‫‪ a ( f  x  ‬פרמטר בתחום‪ )  0 : 3 :‬אסימפטוטה אנכית‪:‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי אם האסימפטוטה הייתה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪18‬‬
‫‪ x ‬אז היה מתקבל ערך‬
‫‪a‬‬
‫הגדול פי‬
‫‪ 3‬מזה שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )71‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪cos 2 x  a‬‬
‫‪ a ( f  x  ‬פרמטר)‪.‬‬
‫א‪ .‬הסבר מדוע עבור‪ a  1 :‬הפונקציה מוגדרת לכל ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬האם הפונקציה מוגדרת לכל ‪ x‬עבור תחום ערכים נוסף של ‪ ? a‬אם כן –‬
‫מהו? אם לא – נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪ a‬אם ידוע כי לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית‪. x  0.5 :‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪ )72‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪a sin 2 x  3‬‬
‫‪ a ( f  x  ‬פרמטר) בתחום‪. 0.5 : 0.5  :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬אם ידוע כי לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית‪:‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית הנגדית ל‪-‬‬
‫‪342‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.x ‬‬
‫‪ x ‬בתחום הנתון‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪.x ‬‬
‫חקירות חלקיות שונות ללא פרמטרים‪:‬‬
‫‪ )73‬נתונה הפונקציה‪ f  x   x 3  2sin 2 x :‬בתחום‪. 0.5 : 0.5  :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי נגזרת הפונקציה היא‪. f '  x   3  2sin 2 x :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה (מקומיות וקצה) וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )74‬נתונה הפונקציה‪ f  x   x cos x  x :‬בתחום‪. 3 : 3  :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪ x -‬מאפסות את‬
‫הנגזרת של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬קבע אלו נקודות מנקודות החיתוך הן קיצון ואלו אינן קיצון‪ .‬מצא את סוג‬
‫הקיצון בכל מקרה‪.‬‬
‫‪ )75‬נתונה הפונקציה‪ f  x   2sin 2 2 x  sin 4 x :‬בתחום‪.0 :   :‬‬
‫א‪ .‬בכמה נקודות חותך גרף הפונקציה את ציר ה‪ x -‬בתחום הנתון?‬
‫ב‪ .‬כמה נקודות קיצון יש לגרף הפונקציה בתחום הנתון? מצא אותן וקבע את‬
‫סוגן‪.‬‬
‫‪sin 2 x  1‬‬
‫‪ )76‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ f  x  ‬בתחום‪. 0.5 : 0.5  :‬‬
‫א‪ .‬מצא את כל הנקודות על גרף הפונקציה בתחום הנתון ששיפוע המשיק‬
‫‪3‬‬
‫העובר דרכן הוא‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי הערך המקסימלי של הפונקציה בתחום הנתון הוא ‪.1‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת המשיק העובר דרך נקודת המקסימום המוחלטת של‬
‫הפונקציה בתחום הנתון ודרך הנקודה שמצאת בסעיף א' הנמצאת ברביע השני‪.‬‬
‫‪ )77‬נתונה הפונקציה‪. f  x    sin x  cos x  :‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הנגזרת של הפונקציה היא‪. f '  x   2cos 2 x :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי גרף הפונקציה לא יורד מתחת לציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪x -‬‬
‫בתחום‪.  2 : 2  :‬‬
‫‪343‬‬
‫‪ )78‬נתונה הפונקציה‪. f  x    x  sin x  x  sin x  :‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הנגזרת של הפונקציה היא‪. f '  x   2 x  sin 2 x :‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי הנקודה שבה ‪ x  0‬היא נקודת מינימום של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ‪ f  x ‬עם גרף‬
‫הפרבולה‪ g  x   x 2 :‬בתחום‪. 1.2 :1.2  :‬‬
‫‪ )79‬נתונות הפונקציות הבאות‪. g  x   x2  sin 2 x ; f  x   x 2  cos2 x :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ההפרש‪ f  x   g  x  :‬שווה ל ‪. cos 2x -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות בתחום‪.   :   :‬‬
‫ג‪ .‬ישר ‪ t ( x  t‬פרמטר בתחום‪ ) 0  t  1 :‬חותך את הגרפים של הפונקציות‬
‫‪ f  x ‬ו‪ g  x  -‬בנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬בהתאמה‪ .‬דרך הנקודות ‪ A‬ו ‪ B-‬מעבירים‬
‫משיקים לפונקציות‪ .‬ידוע כי ההפרש בין שיפוע המשיק לגרף הפונקציה‬
‫‪ f  x ‬ושיפוע המשיק לגרף הפונקציה ‪ g  x ‬הוא ‪ .1‬מצא את כל הערכים‬
‫האפשריים עבור ‪. t‬‬
‫חקירות חלקיות שונות עם פרמטרים‪:‬‬
‫‪ )80‬נתונה הפונקציה‪ a ( f  x   a cos 2 x  2sin x :‬פרמטר) בתחום‪.0 :   :‬‬
‫ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ x ‬הוא‪. m  2  2 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון (מקומיות וקצה) של הפונקציה בתחום הנתון‬
‫וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )81‬נתונה הפונקציה‪ a ( , f  x   sin 2 x  a sin x :‬פרמטר) בתחום‪.0 :   :‬‬
‫ידוע כי לגרף הפונקציה יש נקודת קיצון שבה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.x ‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שאר נקודות הקיצון של הפונקציה בתחום הנתון וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪ x -‬בתחום הנתון‪.‬‬
‫‪344‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ )82‬נתונה הפונקציה‪ a ( f  x    sin x  cos ax :‬פרמטר שלם ושונה מ‪.)0-‬‬
‫‪x ‬‬
‫הוא ‪.0.5‬‬
‫ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪:‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת הקיצון המקומית של גרף הפונקציה בתחום‪. 0  x   :‬‬
‫‪ )83‬נתונה הפונקציה‪ k ( f  x   sin3 x  k sin x :‬פרמטר) בתחום‪.  :   :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪ x  :‬הוא‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה בתחום הנתון וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬היעזר בסעיפים הקודמים וקבע האם יש למשוואה‪sin3 x  3sin x  3 :‬‬
‫יש פתרון‪ .‬אם כן מהו?‬
‫‪1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ )84‬נתונה הפונקציה‪, f  x   cos x  sin mx :‬‬
‫‪m‬‬
‫פרמטר בתחום‪. 1  m  3 :‬‬
‫הנגזרת של הפונקציה מתאפסת כאשר‪. x  0.5 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. m‬‬
‫ב‪ .‬האם הנקודה שבה‪ x  0.5 :‬היא נקודת קיצון? אם כן קבע את סוגה‪.‬‬
‫אם לא נמק מדוע‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא כמה נקודות קיצון מקומיות יש לגרף הפונקציה בתחום‪. 0  x  2 :‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪ x -‬בתחום‪. 0  x  2 :‬‬
‫‪ )85‬נתונה הפונקציה‪ a ( f  x   a sin 2 x  5sin x  ax :‬פרמטר) בתחום‪.0 :   :‬‬
‫ידוע כי הישר‪ y  ax  2 :‬חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪.x ‬‬
‫מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫מצא נקודה על גרף הפונקציה בתחום הנתון שבה שיפוע המשיק הוא ‪.2‬‬
‫האם קיימות נקודות נוספות בתחום הנתון ששיפוע המשיק העובר דרכן‬
‫הוא ‪ ?2‬נמק את תשובתך‪.‬‬
‫כתוב את משוואת המשיק העובר דרך הנקודה שמצאת‪.‬‬
‫חקירת מלאות‪:‬‬
‫‪ )86‬חקור את הפונקציות הבאות בתחום המצוין לידן לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬תחום הגדרה‪ .2 .‬נקודות קיצון (מקומיות וקצה)‪ .3 .‬תחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫‪ .4‬נקודות חיתוך עם הצירים (במידה ויש) ‪ .5‬אסימפטוטות אנכיות ‪ .6‬שרטוט‪.‬‬
‫‪345‬‬
‫* הערה‪ :‬אין צורך למצוא נקודות חיתוך עם ציר ה‪ x -‬בסעיפים א' ו‪-‬ג'‪.‬‬
‫א‪0 : 2  : f  x   x  2cos x .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ב‪  :   : f  x   sin 2 x  cos x 1 .‬‬
‫‪  2 ‬‬
‫‪  6 : 3  : f  x   4 x  3tan x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪cos x sin x‬‬
‫‪0 :   : f  x  ‬‬
‫‪ )87‬נתונה הפונקציה‪ f  x   x  1  2sin x :‬בתחום‪.0 : 2  :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות הקיצון (מקומיות וקצה) של הפונקציה בתחום הנתון‬
‫וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )88‬נתונה הפונקציה‪ f  x   2sin 2 x  sin x  1 :‬בתחום‪.0 :1.5  :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים בתחום הנתון‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון (מקומיות וקצה) של הפונקציה בתחום הנתון‬
‫וקבע את סוגן‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )89‬נתונה הפונקציה‪ f  x   cos2 x  cos x  2 :‬בתחום‪.0 : 2  :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון (מקומיות וקצה) של הפונקציה בתחום הנתון‬
‫וקבע את סוגן‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ 3 5 ‬‬
‫‪:‬‬
‫‪ )90‬נתונה הפונקציה‪ f  x   sin 2 x  cos 2 x :‬בתחום‪:‬‬
‫‪ 8 8 ‬‬
‫‪. ‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪x -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון (מקומיות וקצה) של הפונקציה בתחום הנתון‬
‫וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪346‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )91‬נתונה הפונקציה‪ f  x   sin 3x  x 2 :‬בתחום‪. 0  x   :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון המקומיות של גרף הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬
‫האם גרף הפונקציה חותך את ציר ה ‪ x -‬בתחום הנתון?‬
‫היעזר בסעיפים הקודמים וקבע כמה פתרונות יש‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫למשוואה‪? sin 3x  x 2  1 :‬‬
‫‪ )92‬נתונה הפונקציה‪ f  x    sin x  1 cos x :‬בתחום‪. 0 :1.5  :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון (מקומיות וקצה) של גרף הפונקציה‬
‫בתחום הנתון וקבע את סוגן‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫כמה פתרונות יש למשוואה‪  sin x  1 cos x  1 :‬עבור ‪ x‬בתחום הנתון?‬
‫‪sin x‬‬
‫‪ )93‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪sin x  2‬‬
‫‪ f  x  ‬בתחום‪.   x   :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות הקיצון המקומיות של הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪sin 2 x  1‬‬
‫‪ )94‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪ f  x  ‬בתחום‪. 0.5  x  0.5 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את האסימפטוטה אנכית של גרף הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי גרף הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתו בתחום הנתון‪.‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪347‬‬
:‫תשובות סופיות‬
.‫י‬
270
.
.1 .‫יב‬
75
.‫ט‬
.‫ח‬
20
.‫ז‬
30
.‫ו‬
36
.‫ ה‬45 .‫ד‬
60
.‫ ג‬90 .‫ ב‬180 .‫) א‬1
. 210 .‫ יב‬420 .‫יא‬
23
7
5
23





3
 .‫ י‬ .‫ ט‬ .‫ ח‬ .‫ז‬
 .‫ו‬
.‫ה‬
.‫ד‬
.‫ג‬
.‫ב‬
.‫) א‬2
12
36
18
4
4
9
6
4
2
4
3
.‫ יא‬ .‫י‬
3
.1,
15
3 .‫ט‬
2
.‫ח‬
2
3
1
.‫ ז‬0 .‫ו‬
.‫ה‬
2
2
2
1
.‫ד‬
.‫ ג‬1 .‫ב‬
2
2
3
.‫) א‬3
2
3 1 2
1 3
2
, ,
.‫ ד‬. 0, , , 
.‫ ג‬. - 3 , -3 , -1.5 , 0 .‫ ב‬. 0, 0, 3 , 2 .‫) א‬4
2 2
2
2
2 2
.-4 , -4 , 4 , 0 , 0 , 0 , 0 .‫ו‬
1 1 1 1
2 2 4 4
1 1
. 1,1,1, 0, 0, , , 0, 0, 0, 0 .‫י‬
4 4
1 , - 1 , -1.59 , 3 , -3 .‫ה‬
1 1 3 3
2 2 4 4
3 3
0, 0, 0,1,1, , , 0, 0, 0, 0
4 4
.1,1,1, , , , , 0, 0, 0, 0 .‫ ח‬0, 0, 0, , , , ,1,1,1,1 .‫ז‬
.‫ט‬
. 0,0,0,  ,  ,  3 , 3 ,0,0,0,0 .‫ יב‬0,0,0,1, 1, 3 ,  3 ,  ,  ,  ,  .‫יא‬
. 0,0,0,1.707, 1.707, 2.59,  2.59,  ,  ,  ,  .‫ יד‬. 0,0,0,1,1,3,3,  ,  ,  ,  .‫יג‬
. 1, 1,1,1.707,  0.2928, 2.23, 1.23,  ,  ,  ,  .‫טו‬
.1.55,  2.18,  0.142 .‫ ג‬0.54,  0.416,  0.989 .‫ ב‬0.841,0.9,0.141 .‫) א‬5
. 1.55,0.747,3.38 .‫ ו‬0.54,  0.801,0.283 .‫ ה‬0.841,  0.598,0.958 .‫ד‬
. 1.325,  0.301,0.68 .‫ ח‬1.43,  6.26,0 .‫ז‬
. 2.179,7.05,9.989 .‫ ד‬1.252,5.651,9.14 .‫ ג‬1,1.54,1.583 .‫ ב‬0,1.84, 2.909 .‫) א‬6
. 0.841,1.818,0.423 .‫ ח‬0.211, 2.5,32.132 .‫ ז‬39.43,0,0 .‫ ו‬3.55,10.14,1.796 .‫ה‬
.1.557,1.557,  4.37,  4.37,  0.427,  0.427 .‫ י‬0.54,  0.832,  2.969 .‫ט‬
. 0.54,0.54, 1.66, 1.66,  8.9,  8.9 .‫ יב‬0.84,  0.84,3.63,  3.63,1.27, 1.27 .‫יא‬
2
.‫ ג‬y '  2sin x .‫ ב‬y '  3cos x .‫) א‬7
cos 2 x
1
. y '  cos x  2 .‫ ז‬y '  2  3cos x .‫ ו‬y '  4cos x  3sin x .‫ה‬
cos x
3
. y '  cos x  3sin x  1 .‫ י‬y '  3  2 .‫ ט‬y '  2 x  2sin x .‫ח‬
cos x
. y '   sin x  5cos x .‫ ד‬y ' 
348
2
.‫ ג‬y '  4sin 4 x .‫ ב‬y '  3cos3x .‫) א‬8
cos 2 2 x
5
 3cos 3x .‫ ו‬y '  12cos3x  2sin 2 x .‫ה‬
y '  3cos3x  2 x  3 .‫ ז‬y ' 
cos 2 5 x
. y '  4sin  0.4  4 x  .‫ י‬y '  3cos  3x    .‫ ט‬y '  3  6sin 2 x .‫ח‬
y '  3cos3x  10sin 5x .‫ ד‬y ' 
2x
.‫ ג‬y '  cos x  x sin x .‫ ב‬y '  sin x  x cos x .‫) א‬9
cos 2 x
4
y '  2  sin x  x cos x  
.‫ ה‬y '  2 x cos x  x2 sin x .‫ד‬
2
cos x
y '  cos 2 x  cos x  2sin x .‫ ח‬y '  cos 2 x .‫ ז‬y '  3  sin x  x cos x .‫ו‬
y '  2 tan x 
y '  cos x 
y '  2 x tan 4 x 
. y' 
4  x 2  3
cos 2  4 x 
3sin x cos x  sin 2 x  1
cos x  tan x  3
. y '  2
. y' 
sin 2 x  1
1  sin 2 x 
cos x
 sin x  1
2
.‫ יב‬y '  3cos3x  cos 2 x 1  2sin 3x sin 2 x .‫יא‬
.‫ טו‬y ' 
2
2
1
 sin x .‫ י‬y '  cos 2 x  sin x .‫ט‬
cos2 x
1  2cos x
 cos x  2 
.‫ יח‬y '  
.‫ כ‬. y '  
2
.‫ יד‬y ' 
x cos x  sin x
.‫יג‬
x2
1  2cos x
5cos x
.‫ יז‬y ' 
.‫טז‬
2
2
sin x
 sin x  5
3sin 3x sin x  6sin 3x  cos x cos 3x  cos x
 sin x  2 
2
.‫יט‬
2sin x
.‫ ג‬y '   sin 2 x .‫ ב‬y '  sin 2 x .‫) א‬10
cos3 x
8sin 4 x
. y '  6sin 2 2 x cos 2 x .‫ ז‬y '  3
.‫ ו‬y '  8cos3 x sin x .‫ה‬
cos 4 x
. y '  3sin 2 x cos x .‫ ד‬y ' 
. y '  x sin 2 x  sin 2 x .‫ י‬y '  2  x cos x  cos x  x sin x  .‫ט‬
y '  2sin 4 x .‫ח‬
. y '   sin 4 x .‫ יג‬. y '  2sin 2 x .‫ יב‬. y '  2 x sin x  x2 cos x  sin 2x .‫יא‬
. y '  2  x  sin x 1  cos x  .‫ טו‬. y '  4sin 4 x .‫יד‬
. y'  
sin 2 x sin x  cos3 x  cos x
2
.‫ יז‬. y '   3  sin x   2 x  3  sin x  cos x .‫טז‬
2
sin x
. y' 
349
cos3 x  cos x  sin 2 x sin x
 cos
2
x  1
2
.‫יח‬
.2.7 .‫ ג‬4.866 .‫ ב‬1 .‫) א‬13
.0 .‫ ג‬0 .‫ ב‬0 .‫) א‬12
.127.72 )16
1
2
.y   x
.y 

12

. 65.86 )15
.0 .‫ ג‬-1 .‫ ב‬1 .‫) א‬11
-1.12 .‫ ג‬4 .‫ ב‬1 .‫) א‬14
3
)18 . 53.8 .‫ ד‬54.73 .‫ ג‬45 .‫ ב‬45 .‫) א‬17
2
2
4
x  0.603 )21 . y  12 x  3   )20 . y  2 x   )19
4
3
. y  2 x  1  2 )24 . y  
2
3
. 1, 0  .‫ ג‬y  x 
2
4
x
3
8
)23 . y  5x 1 1.5 )22
2
 2
.‫ ב‬ 0,  .‫) א‬26
3
 3
. y  0.2426 x  0.2236 )25
 2.164, 0 ,  0, 0.6168 .‫ ב‬y  0.285x  0.6168 .‫) א‬27
y  2 3x  0.813, y  2 3x  10.06 )28
   3

y  4 x  6 , y  4 x  2 .‫ ב‬ , 0  ,   , 0  .‫) א‬29
 2  2

   7 1
y  2 , y  x 3  5.848 .‫ ב‬ , 2  ,   ,  .‫) א‬30
 2  6 2
. y  1.5 3x  3.97, y  1.5 3x 1.51 .‫ ד‬y  2 x  0.5 .‫ ג‬y  2 x 
. y  3x  1.034, y  3x  2.5 
3 

.‫ ב‬y  2 x .‫) א‬31
2 6
 5
2
 )33
3
.x ,
6 6
)32
. y  3x  2, y  3x  3  2 )34
. y  3x  3 .‫ ב‬a  3 .‫) א‬38 a  1 )37 a  4 )36
y   x  0.009, y   x  1.657 )35
. a  2, y  x  2 .‫ ב‬y  x  a .‫) א‬39
S  0.868
.‫ ג‬ 0, 0.613 ,  2.83, 0  .‫ ב‬y  
. y  8 x 
3
1
3
x 
 , k  1.5 .‫) א‬40
8
2 48
16
 3 3 .‫ ג‬k  3 .‫ ב‬2 k 3  1 .‫) א‬41
3

350

 3
5
4
7
4
 3
 3
2 2
2 2
. x  ,  ,  ,  .‫ ה‬x  ,  .‫ ד‬x  ,  .‫ ג‬x ‫ כל‬.‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬43 . a  2 .‫) ב‬42
4 4
.x 
 3

 3

3
.‫ ט‬x  ,  .‫ ח‬x  0, ,  , , 2 .‫ ז‬x  ,  .‫ו‬
2 2
2 2
2
2
 2 4 5
19 7 23 11
,
,
,
. x ‫ כל‬.‫ יג‬x  0,  , 2 .‫ יב‬x  ,  ,  ,  .‫ יא‬x 
.‫י‬
3 3 3 3
12 12 12 12
2
. x  0,0.5 ,  ,1.5 , 2 .‫ טז‬x  0,  , 2 .‫ טו‬x ‫ כל‬.‫יד‬
. x  0,0.5 ,  ,1.5 , 2 .‫ יח‬x  0,0.5 ,  ,1.5 , 2 .‫יז‬
 0,1 ,  2 ,1 ,  , 1 .‫ב‬
3
  
  , 1 ,  ,1 .‫) א‬47 . a  1 )46
2
 2 
a
1
)45
2
a2
)44


7

   3

 , 0.09  .‫ ו‬  , 5.39  .‫ ה‬ , 2  ,   , 2  .‫ אין ד‬.‫ג‬
6

 18

 4  4

 
 ,1 ,  0, 0  ,  , 0  )50
2 
 3
  
 , 2  ,  , 2  )48
 2
 2 
  , 4 ,  , 4 ,  0, 4  )49



.  , 2  ,  ,3 ,  0,3 )51
2


 5



,  2  , max  , 2  ,‫ קצה‬min  0,1 )52
 4

4

.‫ קצה‬max  2 ,1 , min 
 5
.‫ קצה‬max  2 ,   , min 
 3
,
3 5

2
6

 3  
  ,‫ קצה‬min  0, 0  )53
 , max  ,
3
2
6







.‫ קצה‬min  0, 0  , max  ,3  , min   , 3  , ‫ קצה‬max  , 0  .‫) א‬54
4
4
3









.‫ קצה‬min  0, 2  , max  , 2.25  , min   , 0.886  , ‫ קצה‬max  ,   2  .‫ב‬
6

6

5



.‫ קצה‬min  0, 5 , max  , 4  , ‫ קצה‬min  , 5 .‫ג‬
2




.‫ קצה‬max  0, 0  , min  ,   , ‫ קצה‬max  , 2  .‫ד‬
 3 4

1



.‫ קצה‬max  , 4  , min  , 2  , ‫ קצה‬max  0, 4  .‫) א‬55
2 
4 
351



.‫ קצה‬min  , 1 ,‫ קצה‬min  0,1 , max  , 2  .‫ב‬
4

.‫ קצה‬max  , 2  , ‫ קצה‬min  0, 2  .‫ג‬






.‫ קצה‬min  0,1 , max  ,1.5  , ‫ קצה‬min  , 2  .‫ד‬
4

2
13

5




, 1.63  .‫ מוחלט‬max  , 0.28  )56
.‫ מוחלט‬min 
24
24




 3 
, 0  )58
 2 

‫ מוחלט‬max   , 2
3
2
.‫ מוחלט‬max 
3
3

 x   :‫ יורדת‬,   x   , 0  x  :‫) עולה‬59
4
4
4
4

.‫) יורדת בכל התחום‬60
3
4
2
2

 ,‫ מוחלט‬min  , 2  )57
15 
15 
2
 
 3
2 4
2 4
,   x   ,  x  ,   x   :‫) עולה‬62 .‫) עולה בכל התחום‬61
 
3
4
3
4
.‫ לא‬.‫ ג‬a  1 .‫ ב‬a  1 .‫) א‬65   x    , 0  x  ,  x   :‫יורדת‬
4 2
. b  4, a  3 )68 a  
 
.x   ,
2 2
1
)67
2

 2
2
3 3
a2
)66
.‫ ג‬x  0, ,  .‫ ב‬x  0, ,  .‫) א‬69
. a  4 .‫) א‬72 a  1 .‫) ג‬71 a  3 .‫ ב‬a  1 .‫) א‬70




. min   , 4.72  , max  , 0.4  , min  , 0.314  , max  , 0.72  .‫) ב‬73
 2

6

3

2



6
3
. x

 

2
6 3
2
:‫ יורדת‬  x  ,  x 
:‫ עולה‬.‫ג‬
.‫ פיתול‬ 0, 0 , max  2 , 0 , min  2 , 0  .‫ ג‬ 0, 0 ,  2 , 0  ,  2 , 0  .‫) א‬74
.‫ נקודות שונות‬5 .‫) א‬75


5

9

 13

, 0.414  , max   , 2.41 , min   , 0.414  , max   , 2.41 .‫ב‬
 16

 16

 16

 16

. min 
.y 
352
9
5
  1   3
x
.‫ ג‬  ,  ,  ,  .‫) א‬76
7
14
 12 4   12 4 
.  ,  2  ,   ,  2  .‫) ג‬78  1.25 ,0 ,  0.25 ,0  ,  0.75 ,0  , 1.75 ,0  .‫) ג‬77
.t 
5

  3

 .‫ ג‬ ,1.11 ,   , 6.05  .‫) ב‬79
12 12
4
  4


,


 
5

min  0,1 , max  ,1.5  , min  ,1 , max   ,1.5  , min  ,1 .‫ ב‬a  1 .‫) א‬80
6

2 
6


 5
 
5
 x  ,   x   :‫ יורדת‬0  x  ,  x   :‫ עולה‬.‫ג‬
6
2 6
6 2
6
. f ( x)  sin 2 x  2 sin x , a   2 .‫) א‬81
1
 1


3
. max  0, 0  , min  ,   , max  , 0.414  , min   ,   , max  , 0  .‫ב‬
4
2
2

4
2
.  0, 0  ,  , 0  .‫ג‬
.  0.5 , 1.5 .‫ ג‬y  0.5x  0.57 .‫ ב‬a  2 .‫) א‬82
.‫ לא‬.‫ ג‬min   ,0 , max  0.5 , 2  , min  0.5 , 2  , max  ,0  .‫ ב‬k  3 .‫) א‬83
‫ נקודות‬2 .‫ ג‬.‫ הנגזרת חיובית לפניה ואחריה‬.‫ פיתול‬.‫ ב‬m  2 .‫) א‬84
 0.5 ,0 , 1.5 ,0  .‫ד‬


2
y  2 x  3 .‫ ד‬.‫ לא‬.‫ ג‬ ,   3  .‫ ב‬f ( x)  2sin x  5sin x  2 x , a  2 .‫) א‬85
2


. 0  x  2 .1 .‫) א‬86
.6


, min   ,   3  , ‫ קצה‬max  2 , 2  2  .2
5
6
5
6

 


.‫ קצה‬min  0, 2  , max  ,  3 
6 6

.‫ אין‬.5 .  0, 2  .4
5
 5
 x   :‫ יורדת‬0  x  ,   x  2 :‫ עולה‬.3
6
6
6 6
 1
.6 , max  ,  , ‫ קצה‬min  , 2  .2   x   .1 .‫ב‬
 3 4

  1
‫ קצה‬min   , 2  , max   ,  , min  0, 0 
 3 4


3
 x  0,

3
 x   :‫ יורדת‬  x  

3
,0  x 


 2
 2

3
:‫ עולה‬.3

 

.‫ אין‬.5   , 0  ,  , 0  ,  0, 0  .4
353



2
 2

,13.57  .2 x 
‫ וגם‬  x 
.1 .‫ג‬
6
3
2
 3

.6 , ‫ קצה‬min 






‫ קצה‬min   , 0.36  , max  , 0.36 
 6
x

2
‫וגם‬

6
x
6


2


:‫ יורדת‬  x  :‫ עולה‬.3
3
6
6
x

2
.5  0, 0  .4



min  , 2 2  .2 x 
‫ וגם‬0  x   .1 .‫ד‬
2
4

.6
0 x

4
:‫ יורדת‬x 

2
‫וגם‬
. x

4

 x   :‫ עולה‬.3
3

.5   , 0  .4
2
4

5



, max   , 7.96  , min  2 , 7.28  max  0,1 , min  , 0.315  .‫) א‬87
3

3

 5

5
. 0  x  ,   x  2 :‫ יורדת‬ x   :‫ עולה‬.‫ב‬
3 3
3
3
.‫ג‬

5
.  0, 1 ,  , 0  ,  , 0  , 1.5 , 0  .‫) א‬88
6   6 
.‫ ד‬. min  0, 1 , max  0.5 , 2  , min 1.08 , 1.24  , max 1.5 ,0  .‫ב‬
0.5  x  1.08 :‫ יורדת‬0  x  0.5 ,1.08  x  1.5 :‫ עולה‬.‫ג‬
3

max  , 0  , min   , 2.25  , max  2 , 2  .‫ ב‬.  , 0  ,  0, 2  .‫) א‬89
2

3


 x   ,   x  2 :‫ עולה‬.‫ ג‬max  0, 2  , min  , 2.25 
3
2
3



3
2
. 0  x  ,   x   :‫יורדת‬
.‫ד‬
3
 3      5

  , 0  ,  , 0  ,   , 0  .‫) א‬90
 8   8  8

.‫ג‬
 

3

min   , 1.41 , max   ,1.41 .‫ב‬
 8

8

354
.‫ב‬


 5

 11

max  ,1.58  , min  ,1.38  , max 
, 4.54  .‫) א‬91
4

 12

 12

.‫ פתרון אחד‬.‫ ד‬.‫ לא‬.‫ג‬
.‫ג‬
 5

, min 
, 1.29  , max 1.5 , 0  .‫ ב‬ 0.5 ,0  , 1.5 ,0  .‫) א‬92
 6




.‫ פתרונות‬2 .‫ ד‬min  0,1 , max  ,1.29 
6

.‫ג‬
 0, 0  .‫ב‬

1

min  0.5 , 1 , max  0.5 ,  .‫) א‬93
3

x0
.‫ג‬
355
.‫) א‬94
‫פרק ‪ - 12‬בעיות מקסימום ומינימום ‪ -‬תרגילים מסכמים‪:‬‬
‫תרגילים העוסקים בפונקציה פולינומית‪:‬‬
‫‪ )1‬נתונים שלושה מספרים שסכומם הוא ‪ .45‬ידוע שמספר אחד זהה לשני‪.‬‬
‫א‪ .‬מה צריכים להיות שלושת המספרים כדי שמכפלתם תהיה מקסימלית?‬
‫ב‪ .‬כיצד תשתנה התוצאה אם מספר אחד יהיה גדול פי ‪ 2‬מהשני‬
‫(במקום זהה לו)?‬
‫ג‪ .‬באיזה מקרה (א' או ב') המכפלה תהיה גדולה יותר? הראה דרך חישוב‪.‬‬
‫‪)2‬‬
‫א‪.‬‬
‫מבין כל המספרים המקיימים‪ 3x  y  60 :‬מצא את המספרים ‪ x‬ו‪y -‬‬
‫שמכפלת ריבועיהם מקסימלית‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהי המכפלה הנ"ל?‬
‫‪ )3‬סכום שלושה מספרים הוא ‪ .11‬ידוע כי המספר הראשון גדול ב‪ 4-‬מהמספר‬
‫השני‪ .‬הראה כי המספרים שמכפלתם היא מקסימלית מקיימים‪:‬‬
‫א‪ .‬מכפלת שני המספרים הקטנים שווה למספר הגדול‪.‬‬
‫ב‪ .‬ערך המכפלה של שלושת המספרים שווה לריבוע המספר הגדול מבניהם‪.‬‬
‫‪ )4‬סכום שלושה מספרים הוא ‪ .26‬מספר אחד גדול פי ‪ 3‬מהשני‪.‬‬
‫מצא את שלושת המספרים שסכום ריבועיהם הוא מינימלי‪.‬‬
‫‪ )5‬במלבן שצלעותיו הן ‪ 6‬ס"מ ו ‪ 18-‬ס"מ חסומים שני‬
‫מלבנים מקווקווים‪ .‬אורך אחד המלבנים‬
‫המקווקווים גדול פי ‪ 3‬מרוחב המלבן השני‪.‬‬
‫א‪ .‬מה צריך להיות האורך ‪ x‬כדי שסכום שטחי‬
‫שני המלבנים יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬בעבור ה‪ x -‬שמצאת מהו סכום השטחים הללו?‬
‫‪ )6‬יוסי רוצה לקנות דף מחשב צבעוני ומיוחד בעל היקף‬
‫של ‪ 60‬ס"מ כדי להכין ברכה ליום הולדתה של‬
‫חברתו רחל‪ .‬המדפסת של יוסי אינה מדפיסה עד‬
‫גבולות הדף אלא משאירה מרחק של ס"מ אחד‬
‫מקצות הדף העליון והתחתון‪ ,‬ומרחק של ‪ 2‬ס"מ‬
‫מצידי הדף (ראה איור)‪ .‬יוסי רוצה לבחור דף שבו‬
‫השטח שהמדפסת תוכל להדפיס יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫מה הן מידות הדף שיוסי צריך לקנות כדי‬
‫שהשטח המודפס יהיה מקסימלי?‬
‫‪356‬‬
‫‪ )7‬בריבוע ‪ ABCD‬חסומים שני משולשים ישרי ‪-‬זווית ‪GBE‬‬
‫ו‪ ECF -‬כמתואר באיור‪ .‬ידוע שאורך הקטע ‪ AG‬הוא ‪ 5‬ס"מ‬
‫ואורך צלע הריבוע ‪ ABCD‬הוא ‪ 13‬ס"מ‪.‬‬
‫המשולש ‪ ECF‬הוא משולש ישר זווית וש"ש (‪.)CE=CF‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריך להיות אורך שוק המשולש ‪ECF‬‬
‫בעבורו סכום שטחי שני המשולשים הנ"ל יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה השטח הלבן במקרה זה?‬
‫‪ )8‬במלבן שצלעותיו הן ‪ 30‬ס"מ ו ‪ 25 -‬ס"מ חסומים שני‬
‫ריבועים ומלבן (המסומנים) כמתואר באיור‪.‬‬
‫מסמנים את צלע הריבוע ב‪. x -‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריך להיות אורך צלע הריבוע כדי‬
‫שסכום השטחים של שני הריבועים והמלבן יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬בעבור אורך הצלע שמצאת מהו סכום השטחים המינימלי?‬
‫‪ )9‬במלבן שמידותיו הן ‪ 12‬ס"מ ו‪ 10 -‬ס"מ חסומים בצדדים‬
‫למעלה שני ריבועים ומלבן מתחתיהם במרכז‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריך להיות אורך צלע הריבוע כדי‬
‫‪10‬‬
‫שסכום השטחים של שני הריבועים והמלבן‬
‫יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה השטח שלהם במקרה זה?‬
‫‪12‬‬
‫‪ )10‬במלבן ‪ ABCD‬שמידותיו הן ‪ 40‬ס"מ ו ‪ 16-‬ס"מ מקצים נקודות על צלעות‬
‫המלבן כך שמתקיים‪. AE  BF  CG  DH  x :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את שטחי ארבעת‬
‫המשולשים‪. AEH  BEF  CGF  DGH :‬‬
‫ב‪ .‬מצא מה צריך להיות ‪ x‬בעבורו שטח‬
‫המרובע ‪ EFGH‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה שטח המרובע ‪ EFGH‬במקרה זה ?‬
‫‪ )11‬נתון מלבן שמידותיו הן ‪ 8‬ס"מ על ‪ 40‬ס"מ‪.‬‬
‫מעבירים ישרים המקבילים לצלעות המלבן כך שנוצרים ‪ 4‬מלבנים‪.‬‬
‫מסמנים צלע אחת של המלבן הימני ב‪ , x -‬כך שהצלע הסמוכה לה‬
‫גדולה פי ‪ 4‬ממנה כמתואר באיור ובמלבן השמאלי בונים משולש‪.‬‬
‫א‪ .‬בטא באמצעות ‪ x‬את סכום השטחים של המלבן‬
‫והמשולש המקווקווים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא מה צריכות להיות מידות המלבן הימני כדי‬
‫שסכום השטחים הנ"ל יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה השטח הלבן במקרה זה?‬
‫‪357‬‬
‫‪ )12‬נתון ריבוע בעל אורך צלע של ‪ 16‬ס"מ‪ .‬מקצים קטע שאורכו ‪x‬‬
‫על הצלע העליונה ושני קטעים שאורכם הוא ‪ 2x‬על הצלעות‬
‫‪2x‬‬
‫‪x‬‬
‫הצדדיות כמתואר באיור‪ ,‬כך שנוצר המחומש המקווקו‪.‬‬
‫מצא מה צריך להיות ערכו של ‪ x‬בעבורו שטח המחומש‬
‫יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪ )13‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪. f ( x)  16  2 x3 , g ( x)  6 x2 18x‬‬
‫מסמנים נקודה ‪ A‬על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬ברביע השני‬
‫ומותחים ממנה ישר המקביל לציר ה‪ y -‬שחותך את גרף‬
‫‪x‬‬
‫הפונקציה )‪ g ( x‬בנקודה ‪.B‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪ A‬בעבורם אורך הקטע ‪ AB‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה אורך הקטע ‪ AB‬במקרה זה?‬
‫‪y‬‬
‫‪ )14‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪. f ( x)  x 3  8 , g ( x )  x 2  x  6‬‬
‫מסמנים נקודה ‪ A‬על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬ומורידים‬
‫ממנה ישר המקביל לציר ה ‪ y -‬שחותך את גרף הפונקציה‬
‫)‪ g ( x‬בנקודה ‪.B‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪A‬‬
‫כדי שאורך הקטע ‪ AB‬יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה האורך המקסימלי?‬
‫‪ )15‬באיור שלפניך מתוארות הפונקציות‪. f ( x)  x2  3 , g ( x)  20x  x2 :‬‬
‫מעבירים קטע ‪ AB‬המקביל לציר ה‪ y -‬כך שהנקודה ‪ A‬נמצאת על‬
‫גרף הפונקציה )‪ g ( x‬והנקודה ‪ B‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫א‪ .‬נסמן את שיעור ה ‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬ב ‪. t -‬‬
‫הבע באמצעות ‪ t‬את אורך הקטע ‪.AB‬‬
‫ב‪ .‬מה צריך להיות ‪ t‬כדי שאורך הקטע ‪AB‬‬
‫יהיה מקסימלי?‬
‫ג‪ .‬מהו האורך ‪ AB‬במקרה זה?‬
‫‪ )16‬מעבירים ישר ‪ AB‬המקביל לציר ה‪ x -‬כך שהנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬נמצאות‬
‫על גרף הפונקציה ‪ . f ( x)  48  x2‬מהנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬מורידים אנכים‬
‫לציר ה ‪ x -‬כך שנוצר מלבן ‪.ABCD‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ B‬בעבורם‬
‫שטח המלבן ‪ ABCD‬יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬בעבור שיעורי הנקודה ‪ B‬שמצאת מה יהיה השטח?‬
‫‪358‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪ )17‬באיור שלפניך נתונות הפונקציות‪f ( x)  x3  8 :‬‬
‫ו‪ g ( x)  6 x2  24 -‬הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף‬
‫הפונקציה )‪ f ( x‬והנקודה ‪ B‬נמצאת על גרף‬
‫הפונקציה )‪ g ( x‬כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה ‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪ A‬בתחום‪xA  4 :‬‬
‫בעבורם הקטע ‪ AB‬יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה אורך הקטע ‪ AB‬במקרה זה?‬
‫‪ )18‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪f ( x)  x2  x  7 :‬‬
‫ו‪ . g ( x)  2 x  5 -‬הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬ונקודה ‪ B‬נמצאת‬
‫על גרף הפונקציה )‪ g ( x‬כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫נסמן את שיעור ה ‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬ב‪. t -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ t‬בעבורו אורך הקטע ‪ AB‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬בעבור הערך של ‪ t‬שמצאת בסעיף הקודם‪ ,‬מה‬
‫יהיה אורך הקטע ‪?AB‬‬
‫‪ )19‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה ‪. f ( x)   x2  7 x‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון‪.‬‬
‫מהנקודה ‪ A‬מורידים אנכים לצירים כך שנוצר מלבן‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬בעבורם‬
‫היקף המלבן יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬בעבורם‬
‫היקף המלבן יהיה מינימלי?‬
‫‪ )20‬נתונה תיבה שבסיסה הוא ריבוע‪ .‬ידוע כי סכום כל המקצועות‬
‫הוא ‪ 60‬ס"מ‪.‬נסמן את אורך צלע הבסיס ב‪ x -‬ואת גובה התיבה ב ‪. h -‬‬
‫‪h‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ h‬באמצעות ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את מידות התיבה עבורן נפחה הוא מקסימלי‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬מה הוא הנפח המקסימלי של התיבה?‬
‫‪ )21‬נתון גליל שרדיוס בסיסו הוא ‪ r‬וגובהו ‪. h‬‬
‫ידוע כי סכום הרדיוס והגובה הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫מצא את מידות רדיוס הגליל וגובהו בעבורם‬
‫נפח הגליל יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪359‬‬
‫‪x‬‬
‫‪h‬‬
‫‪r‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬א‪ .15 , 15 , 15 .‬ב‪ .15 , 20 , 10 .‬ג‪ .‬מקרה א'‪ )2 .‬א‪ . x  10 , y  30 .‬ב‪. M  90000 .‬‬
‫‪ )3‬המספרים‪ )5 .12 , 10 , 4 )4 . 6 , 3 , 2 :‬א‪ . x  3 .‬ב‪. S  54 .‬‬
‫‪ 14 )6‬ס"מ ‪ 16 ,‬ס"מ‪ )7 .‬א‪ 4 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ )8 . S  125 .‬א‪ . x  10 .‬ב‪. S  350 .‬‬
‫‪ )9‬א‪ 4 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ )10 . S  56 .‬א‪ . 2 x2  56 x .‬ב‪ . x  14 .‬ג‪. S  248 .‬‬
‫‪ )11‬א‪ . 6 x2  36 x  160 .‬ב‪ 3 .‬ס"מ על ‪ 12‬ס"מ‪ .‬ג‪. x  6 )12 . S  214 .‬‬
‫‪26‬‬
‫‪ . A   13 , 7 27‬ב‪. AB  14 275 .‬‬
‫‪ )13‬א‪ . A(1,18) .‬ב‪ )14 .6 .‬א‪ .‬‬
‫‪ )15‬א‪ . 2t 2  20t  3 .‬ב‪ . t  5 .‬ג‪ )16 . AB  47 .‬א‪ . B(4,32) .‬ב‪. S  256 .‬‬
‫‪ )17‬א‪ . A(0,8) .‬ב‪ )18 . AB  32 .‬א‪ . B(t , 2t  5) .‬ב‪ . t  0.5 .‬ג‪. AB  11.75 .‬‬
‫‪ )19‬א‪ . A(4,12) .‬ב‪ )20 . A(0,0) .‬א‪ . h  15  2 x .‬ב‪ .5X5X5 .‬ג‪.V  125 .‬‬
‫‪. r  4 , h  2 )21‬‬
‫תרגילים העוסקים בפונקציה רציונאלית‪:‬‬
‫‪ )1‬נתונים שני מספרים ‪ x‬ו ‪ y -‬שמקיימים‪. 2 x2 y  27 :‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ y‬באמצעות ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬מה צריכים להיות המספרים כדי שסכומם יהיה מינימלי?‬
‫‪)2‬‬
‫א‪ .‬מבין כל המשולשים שווי השוקיים ששטחם הוא ‪ 128‬סמ"ר מצא את‬
‫אורך הבסיס ואורך גובהו במשולש שבו סכום אורך הבסיס וגבהו‬
‫הוא מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה הסכום במשולש זה?‬
‫‪ )3‬מכפלת שלושה מספרים היא ‪ .27‬ידוע כי המספר הראשון זהה לשני‪.‬‬
‫נסמן ב‪ x -‬את המספר הראשון‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את המספר השלישי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שלושת המספרים שסכומם מינימלי‪.‬‬
‫‪ )4‬נתונים שני מספרים חיוביים‪ .‬ידוע כי המספר הראשון גדול פי ‪ 4‬מהמספר‬
‫השני‪ .‬מחברים את המספר השני עם ההופכי של המספר הראשון‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא מה יהיו המספרים בעבורם חיבור זה יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה הוא ערך החיבור?‬
‫‪360‬‬
‫‪ )5‬נתונים שלושה מספרים חיוביים כך שהמספר השני גדול פי ‪ 3‬מהמספר הראשון‬
‫והמספר השלישי גדול פי ‪ 9‬מהמספר הראשון‪ .‬המספר הראשון יסומן ב‪. x -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את המספרים השני והשלישי‪.‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את הסכום בין המספר הראשון למספרים ההופכיים‬
‫של המספרים השני והשלישי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שלושת המספרים בעבורם הסכום שהבעת בסעיף הקודם הוא‬
‫מינימלי‪.‬‬
‫‪ )6‬נתונים שני מספרים‪ .‬ידוע כי המספר הראשון גדול ב ‪ 14 -‬מהמספר השני‪.‬‬
‫סמן ב‪ x -‬את המספר הקטן‪ .‬מצא את המספרים בעבורם ההפרש בין המספר‬
‫ההופכי של המספר הקטן למספר ההופכי של המספר הגדול הוא מקסימלי‪.‬‬
‫‪ x )7‬ו‪ y -‬הם שני מספרים חיוביים המקיימים‪. xy  y  16 :‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ y‬באמצעות ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬מצא מה צריכים להיות ‪ x‬ו‪ y -‬בעבורם הסכום‪ x  y :‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה הסכום במקרה זה?‬
‫‪ )8‬בבית הדפוס "עמירן" רוצים לעצב גלויה על גבי קרטון ששטחו הכולל‬
‫הוא ‪ 242‬סמ"ר‪ .‬הנהלת החברה החליטה שיש להשאיר רווחים של ס"מ אחד‬
‫מקצות הדף העליון והתחתון ו‪ 2-‬ס"מ מצידי הדף‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריכות להיות מידות הקרטון‬
‫כדי שהשטח של התמונה יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה השטח במקרה זה?‬
‫‪ )9‬בחלון מלבני ששטחו הכולל הוא ‪ 192‬מ"ר בונים סורגי מתכת‬
‫מ‪ 7-‬מוטות‪ 3 :‬מאונכים ו‪ 4-‬אופקיים (ראה איור)‪.‬‬
‫מצא מה צריכים להיות אורכי המוטות המינימליים שיחסמו‬
‫את חלון זה‪.‬‬
‫‪ )10‬נתון מלבן ששטחו ‪ 1176‬סמ"ר‪ .‬מקצים בצדדי המלבן העליון‬
‫והתחתון קטעים שאורכם ‪ 2‬ס"מ ובצדדי המלבן הימניים קטעים‬
‫שאורכם ‪ 6‬ס"מ כך שנוצרים שישה מלבנים‪ .‬מסמנים שלושה‬
‫מלבנים כמתואר באיור‪ .‬חשב מה צריכות להיות מידות המלבן‬
‫כדי שסכום שטחי המלבנים המסומנים יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪ )11‬בתור תשתית לקיר עץ‪ ,‬קנו רפי וחבריו מוטות מתכת‪.‬‬
‫מחיר המוטות נקבע בהתאם לאורכם‪.‬‬
‫החבורה העמידה ‪ 10‬מוטות מתכת מאונכים‬
‫ולאחר מכן תפסו אותם עם שלושה מוטות‬
‫נוספים אופקים כמתואר בתרשים‪.‬‬
‫‪361‬‬
‫אחד מחבריו של רפי מדד וגילה ששטח המלבן שנוצר הוא ‪ 120‬מ"ר‪.‬‬
‫רפי בתגובה שמח ואמר "איזה יופי! עכשיו אני יודע שהשקעתנו הייתה‬
‫מינימלית "‪ .‬מצא מה צריכים להיות אורכי המוטות המינימליים בעבור‬
‫השטח שמדד חברו של רפי‪.‬‬
‫‪ )12‬לרותי צבעי מים ומשטח עץ ששטחו הכולל הוא ‪ 162‬סמ"ר‪.‬‬
‫רותי רוצה לצייר מלבן במרכז המשטח כך שמרחקו מצידי‬
‫המשטח ‪ 2‬ס"מ ומהקצוות העליון והתחתון של המשטח ‪ 4 -‬ס"מ‪2 .‬‬
‫רותי ראתה שהמשטח שברשותה לא עומד בתנאים אלו ולכן‬
‫החליטה לקנות משטח חדש‪ .‬כשהגיעה רותי לנגר הוא אמר לה‬
‫שמחיר העץ נקבע לפי מידו תיו‪ .‬איזה מידות רותי צריכה לבקש‬
‫כדי לקבל משטח שבו היא תוכל לצייר מלבן בעל שטח מקסימלי לפי‬
‫דרישותיה?‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )13‬נתון מלבן ששטחו הוא ‪ 135‬סמ"ר‪.‬‬
‫מעבירים ישרים המקבילים לצלעות המלבן ומקצים עליהם‬
‫קטעים באורכים של ‪ 6‬ו‪ 10-‬ס"מ (ראה איור)‪ .‬על ידי הקצאת‬
‫קטעים אלו נוצרים מלבנים נוספים המסומנים באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריכות להיות מידות המלבן הנתון בעבורם‬
‫סכום שטחי מלבנים אלו יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה השטח הלבן במקרה זה?‬
‫‪ )14‬לדני גלויה מלבנית במידות לא ידועות ששטחה הכולל הוא ‪ 12‬סמ"ר‪.‬‬
‫דני רוצה לקנות קרטון כדי להדביק את הגלויה במרכזו‪.‬‬
‫כשהלך דני לחנות כלי מלאכה אמר לו המוכר שניתן לבחור‬
‫קרטון על פי שטח‪ .‬דני הדגיש למוכר שהוא רוצה שהגלויה‬
‫‪1‬‬
‫תהיה מודבקת במרכז הקרטון כך שמרחקה מצידי הקרטון‬
‫יהיה ‪ 1‬ס"מ בלבד ומרחקה מהקצוות העליון והתחתון‬
‫יהיה ‪ 3‬ס"מ‪ .‬המוכר נתן לדני קרטון בעל שטח מינימלי בעבור‬
‫הגלויה שלו‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הן מידות הגלויה בעבורן שטח הקרטון הוא מינימלי?‬
‫ב‪ .‬מה הוא שטח הקרטון שנתן המוכר לדני?‬
‫‪ )15‬לרבקה קרטון מלבני ששטחו הכולל הוא ‪ 162‬סמ"ר‪.‬‬
‫רבקה רוצה לחתוך מלבן במרכז הקרטון כדי שתוכל להשתמש‬
‫בשארית הקרטון כמסגרת לתמונה‪ .‬כדי שהקרטון לא יקרע‬
‫רבקה צריכה לשמור על רווחים של ‪ 2‬ס"מ מצידי הקרטון‬
‫ו‪ 4-‬ס"מ מקצותיו העליון והתחתון‪ .‬מה הן מידות הקרטון‬
‫בעבורן שטח המלבן שרבקה תחתוך יהיה מקסימלי?‬
‫‪362‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫גלויה‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )16‬במשולש הישר זווית ‪ ABC‬חוסמים מלבן ‪ BDEF‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫מידות המלבן הן‪. DE  6 , EF  12 :‬‬
‫מסמנים את אורך הצלע ‪ AB‬ב‪. x -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את אורך הצלע ‪.BC‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורכי הניצבים ‪ AB‬ו‪ BC-‬של המשולש בעל השטח המינימלי?‬
‫‪x2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )17‬נתונות הפונקציות‪, g ( x)  2 :‬‬
‫‪16‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f ( x)  ‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪ g ( x‬והנקודה ‪B‬‬
‫נמצאת על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪ A‬בעבורם אורך‬
‫הקטע ‪ AB‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה אורך הקטע ‪ AB‬במקרה זה?‬
‫‪16‬‬
‫‪ )18‬הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה‬
‫‪x3‬‬
‫‪ f ( x)  x ‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫מהנקודה ‪ A‬מורידים אנכים לצירים כפי שמתואר באיור כך‬
‫שנוצר המלבן ‪ .ABOC‬מצא מה צריכים להיות שיעורי‬
‫הנקודה ‪ A‬כדי ששטח המלבן יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ )19‬באיור שלפניך נתונה הפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫‪O‬‬
‫‪ f ( x)  x ‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫מנקודה ‪ A‬שעל גרף הפונקציה מורידים אנכים לצירים כך‬
‫שמתקבל מלבן ‪.ABOC‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬כדי‬
‫שהיקף המלבן ‪ ABOC‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה הוא ההיקף המינימלי?‬
‫‪1‬‬
‫‪ )20‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫מעבירים ישר המקביל לציר ה ‪ y -‬שחותך את גרף הפונקציה )‪f ( x‬‬
‫‪ f ( x) ‬ו‪. g ( x)  4 x2  1 -‬‬
‫בנקודה ‪ A‬ואת גרף הפונקציה )‪ g ( x‬בנקודה ‪.B‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬בעבורם‬
‫אורך הקטע ‪ AB‬יהיה בעל אורך מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה האורך ‪ AB‬במקרה זה והיכן תמוקם הנקודה ‪? B‬‬
‫‪363‬‬
‫‪O‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ )21‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ f ( x)  x ‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה וממנה מורידים אנכים לצירים‬
‫שיוצרים את המלבן ‪- O( ABOC‬ראשית הצירים)‪.‬‬
‫נסמן ב‪ t -‬את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪.A‬‬
‫א‪ .‬בטא באמצעות ‪ t‬את שיעור ה‪ y -‬של הנקודה ‪A‬‬
‫ואת שטח המלבן ‪.ABOC‬‬
‫ב‪ .‬מצא מה צריך להיות ערכו של ‪ t‬בעבורו שטח המלבן יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה שטח המלבן במקרה זה?‬
‫‪ )22‬באיור שלפניך נתון גרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪f  x  x ‬‬
‫ברביע הראשון‪.‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫מנקודה זו מורידים אנכים לצירים כך שנוצר מלבן‬
‫(בעל השטח המקווקו)‪.‬‬
‫הנקודה ‪ A‬תסומן ב‪-‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪t2‬‬
‫‪‬‬
‫‪. A  t ,t ‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את היקף המלבן‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערכו של ‪ t‬בעבורו היקף המלבן יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬בעבור הערך של ‪ t‬שמצאת בסעיף הקודם‪ ,‬מה יהיה שטחו של המלבן?‬
‫‪x5‬‬
‫‪ )23‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ f ( x) ‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫מהנקודה ‪ A‬שעל גרף הפונקציה מורידים אנכים לצירים כך‬
‫שנוצר המלבן ‪ .ABOC‬מצא מה צריכים להיות שיעורי‬
‫הנקודה ‪ A‬כדי ששטח המלבן יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )24‬נתונה תיבה שבסיסה מלבן ונפחה הוא ‪.V  288‬‬
‫ידוע כי אורך הבסיס גדול פי ‪ 3‬מרוחבו (ראה איור)‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫מסמנים ב‪ x -‬את מקצוע המלבן הקטנה וב ‪ h -‬את גובה התיבה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ h‬באמצעות ‪. x‬‬
‫‪3x‬‬
‫ב‪ .‬הבע את שטח הפנים של התיבה באמצעות ‪. x‬‬
‫ג‪ .‬מצא את מידות התיבה בעבורם שטח הפנים של התיבה יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪ )25‬נפח תיבה שבסיסה ריבוע הוא ‪ 729‬סמ"ר‪.‬‬
‫נסמן ב‪ x -‬את אורך מקצוע הבסיס וב ‪ h -‬את גובה התיבה‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ h‬באמצעות ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬הבע את שטח הפנים של התיבה באמצעות ‪. x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬מה צריך להיות ‪ x‬בעבורו שטח הפנים של התיבה יהיה מינימלי?‬
‫‪364‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O‬‬
‫‪ )26‬נפח קופסה בצורת תיבה הפתוחה מלמעלה הוא ‪ 36‬סמ"ר‪.‬‬
‫בסיס הקופסה הוא מלבן שרוחבו גדול פי ‪ 2‬מאורכו‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מידות בסיס הקופסה בעבורן‬
‫שטח הפנים שלה יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה גובה הקופסה במקרה זה?‬
‫‪x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪ )27‬נתון גליל שרדיוסו ‪ r‬וגובהו ‪. h‬‬
‫ידוע כי רדיוס הגליל וגובהו מקיימים‪. r 2  h  128 :‬‬
‫‪h‬‬
‫א‪ .1 .‬הבע באמצעות ‪ r‬את גובה הגליל‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ .2‬הבע באמצעות ‪ r‬את שטח הפנים של הגליל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורך הרדיוס בעבורו שטח הפנים של הגליל יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה נפח הגליל במקרה זה?‬
‫‪ )28‬הנפח של קופסת עפרונות בצורת גליל הוא ‪.V  512‬‬
‫ידוע כי הקופסה פתוחה מלמעלה‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫רדיוס הקופסה יסומן ב ‪ x -‬וגובה הקופסה יסומן ב‪. h -‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את גובה הקופסה ואת שטח הפנים שלה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את רדיוס הקופסה בעבורו שטח הפנים שלה יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה שטח הפנים של הקופסה במקרה זה?‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪27‬‬
‫‪27‬‬
‫‪ )1‬א‪ . y  2 .‬ב‪ )2 . x  3 , y  1.5 .‬א‪ .16 , 16 .‬ב‪32 .‬‬
‫‪ )3 .‬א‪2 .‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . S  x  ‬ג‪. 7 , -7 )6 . , 2 , 6 .‬‬
‫‪ )4‬א‪ . , 2 .‬ב‪ )5 .1 .‬א‪ . 3x , 9 x .‬ב‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3x 9 x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ . y ‬ב‪ . x  3 , y  4 .‬ג‪ )8 . S  7 .‬א‪ 11 .‬ס"מ ו‪ 22 -‬ס"מ‪ .‬ב‪. S  162 .‬‬
‫‪ )7‬א‪.‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ .‬ב‪.3 , 3 , 3 .‬‬
‫‪ 12 )9‬ו‪ 16-‬מטרים ‪ 14 )10 .‬ס"מ ו ‪ 84 -‬ס"מ ‪ 6 )11 .‬ו‪ 20-‬מטרים‪.‬‬
‫‪ 9 )12‬ס"מ על ‪ 18‬ס"מ‪ )13 .‬א‪ 15 .‬ס"מ על ‪ 9‬ס"מ‪ .‬ב‪. S  75 .‬‬
‫‪6x‬‬
‫‪ )14‬א‪ 2.‬ס"מ על ‪ 6‬ס"מ‪ .‬ב‪ )15 . S  48 .‬א‪.‬‬
‫‪x  12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 9 )16‬ס"מ על ‪ 18‬ס"מ‪ )17 .‬א‪ . A(2,0.25) .‬ב‪. A(2, 4) )18 . AB  .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ BC ‬ב‪ 12 .‬ס"מ ו‪ 24-‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ )19‬א‪ . A(2,6) .‬ב‪ )20 . p  16 .‬א‪ . A  0.5, 2  .‬ב‪ , AB=2 .‬הנקודה ‪ B‬על ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )21‬א‪ . S  t 2  16t . t  162 .‬ב‪ .t  2 .‬ג‪. S  12 .‬‬
‫‪t‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ )22‬א‪ 6 .‬‬
‫‪t2‬‬
‫‪ . P  4t ‬ב‪ . t  2 .‬ג‪. A 10,2.5  )23 . S  14 .‬‬
‫‪365‬‬
‫‪768‬‬
‫‪96‬‬
‫‪ )24‬א‪ . h  2 .‬ב‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2916‬‬
‫‪729‬‬
‫‪ . S  2 x 2 ‬ג‪ )26 . x  9 .‬א‪ . 3 , 6 .‬ב‪. h  2 .‬‬
‫‪ )25‬א‪ . h  2 .‬ב‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪256‬‬
‫‪128‬‬
‫‪ )27‬א‪ 2 r 2 .2 . h  2 .1 .‬‬
‫‪ . S ‬ב‪ . r  4 .‬ג‪.V  128 .‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪1024‬‬
‫‪512‬‬
‫‪ )28‬א‪  x 2 , h  2 .‬‬
‫‪ . S ‬ב‪ . x  8 .‬ג‪. S  192 .‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ . S  6 x 2 ‬ג‪. x  4  4 , 12 , 6 .‬‬
‫תרגילים העוסקים בפונקצית שורש‪:‬‬
‫‪ x )1‬ו‪ y -‬הם שני מספרים המקיימים‪. x  y  15 :‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ y‬באמצעות ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ x‬ו ‪ y -‬בעבורם סכום השורשים שלהם יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪ )2‬נתונים שני מספרים חיוביים ‪ x‬ו‪ y -‬המקיימים‪. 3x  y  36 :‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ y‬באמצעות ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את המספרים בעבורם סכום השורשים שלהם מקסימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה סכום השורשים שלהם במקרה זה?‬
‫‪ )3‬נתון המעוין ‪ .ABCD‬ידוע כי סכום אורכי האלכסונים של המעוין‬
‫הוא ‪ 80‬ס"מ‪ .‬הנקודה ‪ O‬היא נקודת פגישת האלכסונים במעוין‪.‬‬
‫הקטע ‪ AO‬יסומן ב ‪. x -‬‬
‫א‪ .‬הבע את אורכי האלכסונים באמצעות ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬מה צריך להיות ערכו של ‪ x‬בעבורו אורך צלע המעוין‬
‫היא מינימלית?‬
‫‪ )4‬באיור שלפניך מתואר טרפז ישר זווית ‪ ABCD‬המחולק למלבן ומשולש‬
‫ישר זווית‪ .‬גובה הטרפז ‪ BC‬גדול פי ‪ 3‬מהבסיס הקטן ‪AB‬‬
‫ואורך השוק הארוכה ‪ AD‬הוא ‪. 360‬‬
‫הבסיס הקטן יסומן ב‪. x -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את אורך הבסיס הגדול ‪.DC‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערכו של ‪ x‬בעבורו אורך הבסיס ‪DC‬‬
‫יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪366‬‬
‫‪ )5‬המשולש ‪ ABC‬הוא משולש ישר זווית‪ .‬הנקודה ‪ D‬נמצאת על‬
‫הניצב ‪ BC‬כך שהקטע ‪ BD‬גדול פי ‪ 2‬מהקטע ‪.CD‬‬
‫ידוע כי סכום הניצבים הוא ‪ 13‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורכי הניצבים בעבורם אורך הקטע ‪AD‬‬
‫יהיה מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה אורך היתר ‪ AC‬במקרה זה?‬
‫‪ )6‬המשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים )‪.(AB=AC‬‬
‫הקטע ‪ AE‬הוא גובה לבסיס ‪.BC‬‬
‫ידוע כי סכום אורכי הבסיס והגובה הוא ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫הגובה ‪ AE‬יסומן ב‪. x -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את היקף המשולש ‪.ABC‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ x‬בעבורו ההיקף שהבעת בסעיף הקודם הוא מינימלי‪.‬‬
‫ג‪ .‬בעבור הערך של ‪ x‬שמצאת בסעיף הקודם מה הוא השטח של המשולש?‬
‫‪ )7‬המרובע ‪ ABCD‬הוא ריבוע‪ .‬הנקודה ‪ E‬נמצאת על הצלע ‪ AD‬של הריבוע‬
‫והנקודה ‪ G‬נמצאת על המשך הצלע ‪ .AD‬מעבירים את הקטעים ‪BE‬‬
‫ו‪ BG-‬ומוסיפים את הנקודה ‪ ,F‬כך שהמרובע ‪ BEFG‬הוא מלבן‬
‫כמתואר באיור‪ .‬הקטע ‪ AG‬גדול פי ‪ 2‬מהצלע ‪ BE‬של‬
‫המלבן וסכום הצלע ‪ BE‬ואלכסון המלבן ‪ GE‬הוא ‪ 16‬ס"מ‪.‬‬
‫הקטע ‪ BE‬יסומן ב‪. x -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את אורך הקטע ‪.AE‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ x‬בעבורו אורך צלע הריבוע תהיה‬
‫מקסימלית (היעזר במשולש ‪.)ABE‬‬
‫‪ )8‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪ .‬הנקודה ‪ O‬היא פגישת האלכסונים ‪ AC‬ו‪.BD-‬‬
‫ידוע כי האלכסון ‪ BD‬מאונך לצלעות ‪ BC‬ו ‪ AD-‬של המקבילית‪.‬‬
‫כמו כן האלכסון ‪ AC‬גדול ב ‪ 27 -‬ס"מ מהצלע ‪.BC‬‬
‫סמן את הצלע ‪ BC‬ב‪ x -‬וענה על השאלות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את אורך הקטע ‪.CO‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את אורך הקטע ‪.BO‬‬
‫ג‪ .‬מצא בעבור איזה ערך של ‪ x‬יהיה אורך הקטע ‪ BO‬מקסימלי‪.‬‬
‫‪367‬‬
‫‪ )9‬המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז שווה שוקיים‪.‬‬
‫מורידים את הגבהים לטרפז ‪ AE‬ו‪ BF-‬כך‬
‫שהמרובע ‪ ABFE‬הוא ריבוע‪ .‬ידוע כי אורך שוק‬
‫בטרפז הוא ‪ 5‬ס"מ‪ .‬מצא מה צריך להיות אורך‬
‫הבסיס הקטן ‪ AB‬בעבורו אורך הבסיס ‪ DC‬יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪ )10‬באיור שלפניך נתונים הגרפים של הפונקציות‪f ( x)  x  3 :‬‬
‫‪y‬‬
‫ו‪ . g ( x)  4 x -‬מסמנים נקודה ‪ A‬על גרף הפונקציה )‪g ( x‬‬
‫ונקודה ‪ B‬על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬כך שהקטע ‪ AB‬מקביל‬
‫לציר ה ‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ A‬עבורם‬
‫אורך הקטע ‪ AB‬יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה יהיה אורך הקטע ‪ AB‬במקרה זה?‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪A‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )11‬נתונים הגרפים של הפונקציות‪ f ( x)  2 x2  30 :‬ו‪. g ( x)  8 x -‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬והנקודה ‪ B‬נמצאת על גרף‬
‫הפונקציה )‪ g ( x‬כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה ‪. y -‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫נסמן את שיעור ה ‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬ב ‪. t -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את‪:‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪ .1‬שיעורי הנקודה ‪.B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .2‬אורך הקטע ‪.AB‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ t‬בעבורו אורך הקטע ‪ AB‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )12‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)  2 4  x :‬הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪f ( x‬‬
‫ברביע הראשון‪ .‬מורידים אנכים לצירים כך שנוצר המלבן המסומן‪.‬‬
‫מסמנים את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬ב‪. t -‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את היקף המלבן‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ t‬בעבורו היקף המלבן יהיה מינימלי‪.‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה היקף המלבן במקרה זה?‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )13‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)  4 5  x :‬הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪f ( x‬‬
‫ברביע הראשון‪ .‬מורידים אנכים לצירים כך שנוצר המלבן המסומן‪.‬‬
‫מסמנים את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ A‬ב‪. t -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את היקף המלבן‪.‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ t‬בעבורו היקף המלבן יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה היקף המלבן במקרה זה?‬
‫‪368‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )14‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪. f ( x)  6  x 2 :‬‬
‫א‪ .‬מצא נקודה על גרף הפונקציה ברביע הראשון שמרחקה‬
‫מראשית הצירים הוא מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם קיימת נקודה על גרף הפונקציה שמרחקה מראשית ‪x‬‬
‫הצירים הוא מקסימלי? אם כן היכן היא ממוקמת?‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )15‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪. f ( x)  x 2 :‬‬
‫‪A‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫הנקודה )‪ A(0,6‬נמצאת על ציר ה ‪ y -‬והנקודה ‪ B‬היא‬
‫נקודה כלשהי על גרף הפונקציה ברביע השני‪.‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪ B‬בעבורם המרחק‬
‫בין ‪ A‬ל‪ B-‬יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ )16‬נתון גרף הפונקציה‪. f ( x)  2 x :‬‬
‫מצא נקודה על גרף הפונקציה ברביע‬
‫הראשון שמרחקה מהנקודה )‪ A(6,0‬מינימלי‪.‬‬
‫‪ )17‬נתון גרף הפונקציה‪. f ( x)  3 x :‬‬
‫מצא נקודה על גרף הפונקציה ברביע‬
‫הרביעי שמרחקה מהנקודה )‪ A(5.5,0‬הוא מינימלי‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )18‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪. f ( x)  8 x  2 x :‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫מהנקודה ‪ A‬מותחים אנכים לצירים ‪ AB‬ו ‪AC-‬‬
‫כמתואר באיור‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪ A‬בעבורם‬
‫‪x‬‬
‫סכום הקטעים ‪ AB  AC‬יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪369‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪B‬‬
:‫תשובות סופיות‬
. x  y  7.5 .‫ ב‬. y  15  x .‫) א‬1
. 4 3 6.92 .‫ ג‬. x  3 , y  27 .‫ ב‬. y  36  3x .‫) א‬2
. x  20 .‫ ב‬. AC  2 x , BD  80  2 x .‫) א‬3
. x  2 .‫ ב‬. DC  x  3 40  x2 .‫) א‬4
. AC  97 .‫ ב‬. AB  4 , BC  9 .‫) א‬5
. 48 .‫ ג‬. x  8 .‫ ב‬. P  2 1.25x2 10 x  100  20  x .‫) א‬6
. x  6 .‫ ב‬. AE  16  3x .‫) א‬7
3x 2 27 x
1

 182 .‫ ב‬. CO  0.5x  13.5 .‫) א‬8
. x  9 .‫ ג‬. BO  
4
2
4
. AB  1 )9
. AB  1 .‫ ב‬. A(4,8) .‫) א‬10
. t  1 .‫ ב‬. AB  2t 2  8 t  30 .1 . B(t ,8 t ) .1 .‫) א‬11
. P  10 .‫ ג‬. t  3 .‫ ב‬. P  2t  4 4  t .‫) א‬12
. P  18 .‫ ג‬. t  1 .‫ ב‬. P  2t  8 5  t .‫) א‬13
. y - ‫( והיא נמצאת על ציר ה‬0,6.75) ‫ הנקודה‬,‫ כן‬.‫ ב‬. A(2.5,0.5) .‫) א‬14
. (16,0) )18 . (1, 3) )17 . (4, 4) )16 . B(4, 4) )15
370
‫פרק ‪ – 13‬חשבון אינטגרלי ‪ -‬תרגילים מסכמים‪:‬‬
‫תרגילים העוסקים בפונקציה פולינומית‪:‬‬
‫מציאת פונקציה קדומה‪:‬‬
‫‪3x  1‬‬
‫‪ )1‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ g ( x) ‬ונתונה הנגזרת של הפונקציה )‪: f ( x‬‬
‫‪ k ( , f '( x)  kx2  3x‬פרמטר)‪ .‬ידוע ששיפוע המשיק לפונקציה )‪ g ( x‬בנקודה‬
‫‪1‬‬
‫שבה‬
‫‪2‬‬
‫‪ x ‬זהה לשיפוע המשיק לפונקציה )‪ f ( x‬בנקודה שבה ‪. x  4‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה )‪ f ( x‬אם ידוע שהפונקציות נחתכות בנקודה‬
‫שבה ‪. x  1‬‬
‫‪ )2‬נתונה הנגזרת של הפונקציה )‪ k , f '( x)  kx  2 : f ( x‬פרמטר‪.‬‬
‫‪6x 1‬‬
‫ידוע כי הפונקציה )‪ f ( x‬חותכת את הפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫‪ g ( x) ‬בנקודה‬
‫שבה ‪ y  5‬וכי שיפוע המשיק לפונקציה )‪ f ( x‬בנקודת החיתוך שלהן‬
‫הוא ‪. m  4‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫‪4x 1‬‬
‫‪ )3‬הפונקציה )‪ f ( x‬משיקה לפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. g ( x) ‬‬
‫בנקודת ההשקה העבירו משיק שמשוואתו ‪. y  x  2‬‬
‫הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪. f '( x)  x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת ההשקה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫‪ )4‬נתונה הנגזרת של הפונקציה ‪ a , b , f '( x)  ax2  5x  b f ( x) :‬פרמטרים‪.‬‬
‫לפונקציה יש קיצון בנקודה שבה ‪ . x  1‬ידוע ששיפוע המשיק לגרף‬
‫‪3x  16‬‬
‫הפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫‪ g ( x) ‬בנקודה שבה ‪ x  2‬זהה לשיפוע המשיק של גרף‬
‫הפונקציה )‪ f ( x‬באותה נקודה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬ואת ‪. b‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה )‪ f ( x‬אם ידוע שהיא עוברת בראשית הצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬הראה שאין לפונקציה )‪ f ( x‬עוד נקודות חיתוך עם ציר ה ‪ x -‬מלבד‬
‫ראשית הצירים‪.‬‬
‫‪371‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )5‬נגזרת הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4x  4‬‬
‫‪ g ( x) ‬יש משיק משותף בנקודה שבה ‪. x  4‬‬
‫לפונקציה )‪ f ( x‬ולפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫‪ k , f '( x)  kx  7‬פרמטר‪ .‬ידוע כי‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ג‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫‪ )6‬נתונה הנגזרת של הפונקציה )‪ a , f '( x)  ax2  3x : f ( x‬פרמטר‪.‬‬
‫משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪ x  1‬היא ‪. y  3x  8.5‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ג‪ .‬האם יש לגרף הפונקציה עוד משיקים בעלי שיפוע זהה למשיק זה?‬
‫אם כן – מצא אותם‪ ,‬אם לא‪ ,‬נמק‪.‬‬
‫‪ )7‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪ a , b , f '( x)  ax3  bx :‬פרמטרים‪.‬‬
‫ידוע כי משוואת המשיק לפונקציה באחת מנקודות החיתוך שלה עם ציר‬
‫ה ‪ x -‬היא‪. y  16 x  32 :‬‬
‫כמו כן מתקיים גם‪. f '(1)  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪. b -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫‪ )8‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪ k , f '( x)  3x2  kx  3 :‬פרמטר‪.‬‬
‫ידוע כי ערך הנגזרת בנקודה שבה ‪ x  1‬הוא ‪.-4‬‬
‫כמו כן הישר ‪ y  4‬חותך את גרף הפונקציה בנקודת החיתוך של עם ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ג‪ .‬האם הישר ‪ y  4‬חותך את גרף הפונקציה בעוד נקודות? אם כן‪ ,‬מהן?‬
‫‪ )9‬הנגזרת השנייה של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪. f ''( x)  12 x :‬‬
‫לפונקציה יש נקודת קיצון על ציר ה‪ x -‬שבה ‪. x  2‬‬
‫א‪ .‬האם יש לפונקציה עוד נקודות קיצון?‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫‪372‬‬
‫חישובי שטחים (ללא מציאת פונקציה קדומה)‪:‬‬
‫‪ )10‬לפניך הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪. y  13x  1 , f ( x)  x3  12x  1‬‬
‫הוכח‪. S1  S2 :‬‬
‫‪ )11‬לפניך נתונות שתי הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪. g ( x)  3x2 12 x , f ( x)  1.5x2  3x  36‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הנוצר בין שתי הפונקציות‪.‬‬
‫‪ )12‬נתונות הפונקציה‪f ( x)  x 2  16 :‬‬
‫והישר‪. y   x  14 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין הגרפים ברביע‬
‫הראשון‪.‬‬
‫‪ )13‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)   x3  4 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬הוכח שציר ה ‪ x -‬מחלק את השטח הכלוא בינו לבין‬
‫הפונקציה לשני חלקים שווים‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ )14‬לגרף הפונקציה‪ 8 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ f ( x)  ‬מעבירים ישר העובר דרך‬
‫נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים ושיפועו שלילי‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הישר‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה לישר‪.‬‬
‫‪ )15‬לגרף הפונקציה‪ f ( x)  x2  3x  4 :‬מעבירים משיק‬
‫בעל שיפוע חיובי דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר‬
‫ה ‪ x -‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪S1‬‬
‫חשב את יחס השטחים‬
‫‪S2‬‬
‫המסומנים באיור‪.‬‬
‫‪373‬‬
‫‪ )16‬לגרף הפונקציה‪ f ( x)   x2  2 x  3 :‬מעבירים‬
‫משיק בנקודה שבה‪( x  2 :‬ראה איור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪,‬‬
‫המשיק וציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )17‬באיור שלפניך מתוארים גרף הפונקציה‪f ( x)  4 x  x3 :‬‬
‫והישר‪. y  4 x  8 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך בין שני הגרפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין הפונקציה‪,‬‬
‫הישר וציר ה‪( . y -‬המסומן)‪.‬‬
‫‪ )18‬באיור שלפניך מתוארים גרף הפונקציה‪f ( x)  x3  8 :‬‬
‫והישר‪. y  x  8 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך בין שתי הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין שתי הפונקציות‬
‫‪ )19‬הישר ‪ y  4‬חותך את גרף הפונקציה‪f ( x)  ( x  1)2 :‬‬
‫בנקודה ‪ A‬שברביע הראשון‪.‬‬
‫חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪,‬‬
‫הישר וציר ה‪( y -‬המסומן)‪.‬‬
‫‪ )20‬באיור שלפניך מתוארות הפונקציות‪:‬‬
‫‪ f ( x)  16  x2‬ו‪. g ( x)  x2  2 x  4 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים לציר ה‪. x -‬‬
‫‪ )21‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)   x2  10 x :‬הישר‪ y  9 :‬חותך‬
‫את גרף הפונקציה בשתי נקודות ‪ A‬ו‪ B-‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫מנקודות אלו מורידים אנכים לציר ה ‪ x -‬כך שנוצר מלבן ‪.ABCD‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הישר ‪ y  9‬עם‬
‫גרף הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שטח המלבן ‪.ABCD‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪,‬‬
‫המלבן וציר ה ‪( x -‬השטח המסומן)‪.‬‬
‫‪374‬‬
‫‪ )22‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)   x 2  6 x  5 :‬מעבירים ישר ששיפועו‪m  1 :‬‬
‫וחותך את ציר ה‪ x -‬שנקודה שבה‪ . x  8 :‬מישר זה‬
‫מורידים אנך לגרף הפונקציה לנקודת המקסימום‬
‫שלה ומעלים אנך מנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הישר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי הישר וגרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )23‬נתונות הפונקציות‪ f ( x)  x3  2 x2  2 :‬ו‪, g ( x)  2 x2  bx  2 -‬‬
‫( ‪ b‬פרמטר)‪ .‬הפונקציות נחתכות בנקודה שבה‪. x  2 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. b‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שאר נקודות החיתוך של שתי הפונקציות‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי‬
‫הפונקציות (השטח המתואר באיור)‪.‬‬
‫‪ )24‬לגרף הפונקציה‪ f ( x)   x2  4 x  21 :‬מעבירים משיקים בנקודות‬
‫שבהן‪ y  9 :‬כמתואר באיור‪ .‬משיקים אלו נחתכים בנקודה ‪.A‬‬
‫א‪ .‬כתוב את משוואות המשיקים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי המשיקים לגרף‬
‫הפונקציה (השטח המסומן)‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ )25‬א‪ .‬חשב את האינטגרל הבא‪.   x 2  8 x  12 dx :‬‬
‫‪0‬‬
‫ב‪ .‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪. f ( x)  x  8x  12 :‬‬
‫חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה ‪y -‬‬
‫וציר ה ‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬הסבר מדוע התוצאה שקיבלת אינה תואמת את זו של סעיף א'‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )26‬נתונה הפונקציה‪ . f ( x)  9  x2 :‬מהנקודה ‪ A 1,8‬שעל הגרף‬
‫הפונקציה מעבירים ישרים לנקודות החיתוך של‬
‫הפונקציה עם ציר ה‪ B x -‬ו‪ C-‬כך שנוצר המשולש ‪.ABC‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ B‬ו‪.C-‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‬
‫למשולש ‪( ABC‬השטח המסומן)‪.‬‬
‫‪375‬‬
‫‪ )27‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)   x3  3x2  18x  40 :‬‬
‫ידוע כי לפונקציה יש נקודת חיתוך עם ציר ה‪x -‬‬
‫שבה ‪ . x  5‬מנקודה זו מעבירים ישר החותך את‬
‫הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪( y -‬ראה איור)‪.‬‬
‫א‪ .‬כתוב את משוואת הישר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה לישר (השטח המסומן)‪.‬‬
‫‪ )28‬נתונות הפונקציות‪f ( x)  x2  7 x  10 :‬‬
‫ו‪. g ( x)  x2  7 x  12 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של שתי הפונקציות עם‬
‫ציר ה ‪? x -‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות לציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )29‬באיור שלפניך מתוארות הפונקציות‪f ( x)   x2  2 x  k :‬‬
‫ו‪ . g ( x)  4 x  x 2 -‬ידוע כי אחת מנקודות החיתוך של הפונקציות‬
‫עם ציר ה‪ x -‬היא זהה ואינה ראשית הצירים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים‬
‫של הפונקציות וציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )30‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x3  6 x2  9 x  3 :‬‬
‫מהנקודה ‪  3, 0 ‬שעל ציר ה ‪ x -‬מעבירים ישר החותך את‬
‫גרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הישר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה‪ ,‬הישר שמצאת בסעיף א'‬
‫ואנכים לציר ה ‪ x -‬מנקודות הקיצון‪.‬‬
‫‪ )31‬באיור שלפניך מתוארת הפונקציה‪. f ( x)   x  1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫מנקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪ y -‬מעבירים ישר ‪l1‬‬
‫ששיפועו הוא ‪ . m  2‬כמו כן מעבירים ישר נוסף ‪ l2‬המקביל‬
‫לישר ‪ l1‬וחותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x  5‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואות הישרים ‪ l1‬ו ‪. l2 -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שאר נקודות החיתוך של הישרים הנ"ל עם הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪ ,‬הישרים וציר ה ‪x -‬‬
‫(השטח המסומן)‪.‬‬
‫‪376‬‬
‫חישובי שטחים (כולל מציאת פונקציה קדומה)‪:‬‬
‫‪ )32‬נתונה הנגזרת‪. f '( x)  6 x :‬‬
‫ידוע שהפונקציה חותכת את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה‪. x  5 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה לציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )33‬לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬שנגזרתה היא‪ f '( x)   x2  x  2 :‬מעבירים‬
‫משיק מנקודת המקסימום שלה‪ .‬ידוע שמשיק זה חותך את גרף הפונקציה‬
‫בעוד נקודה והיא ‪.  2.5,3‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת המקסימום‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה למשיק‬
‫(עגל לשתי ספרות אחרי הנקודה)‪.‬‬
‫‪ )34‬הנגזרת של פרבולה מרחפת )‪ f ( x‬היא‪. f '( x)  2 x :‬‬
‫מהנקודה ‪  2,10 ‬שעל גרף הפרבולה מעבירים ישר ‪y‬‬
‫המאונך למשיק שם (נורמל) (ראה איור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הפרבולה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הישר ‪. y‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפרבולה‪ ,‬הישר והצירים‪.‬‬
‫‪ )35‬נתונה הנגזרת‪. f '( x)  2 x  3 :‬‬
‫ידוע שגרף הפונקציה חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה שבה‪. y  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה לצירים‪.‬‬
‫‪ )36‬הנגזרת השנייה של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪. f ''( x)  4 :‬‬
‫לפונקציה יש נקודת מינימום ‪. 1, 8‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה לציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )37‬משוואת המשיק לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬בנקודה שבה‪x  2 :‬‬
‫היא‪ . y   x  3 :‬נגזרת הפונקציה היא‪. f '( x)  x  3 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין המשיק לגרף הפונקציה‬
‫(ראה איור)‪.‬‬
‫‪377‬‬
‫‪ )38‬הישר ‪ y   x  16‬משיק לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬בנקודה שבה‪. x  4 :‬‬
‫נגזרת הפונקציה היא‪. f '( x)   x  3 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין המשיק‪ ,‬גרף הפונקציה‬
‫וציר ה‪( x -‬ראה איור)‪.‬‬
‫‪ )39‬הנגזרות של הגרפים )‪ f ( x‬ו ‪ g ( x) -‬הן‪. f '( x)  2 x , g '( x)  10  2 x :‬‬
‫הפונקציות חותכות זו את זו בנקודה )‪. (2.5,18.75‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציות )‪ f ( x‬ו‪. g ( x) -‬‬
‫ב‪ .‬היעזר באיור וחשב את השטח המוגבל בין‬
‫שתי הפונקציות וציר ה‪. y -‬‬
‫‪ )40‬הישר ‪ y  2 x  5‬משיק לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫נגזרת הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪. f '( x)  2 x  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪ ,‬המשיק‪,‬‬
‫ציר ה ‪ x -‬והישר‪( . x  3 :‬ראה איור)‬
‫‪ )41‬הנגזרת של הפרבולה )‪ f ( x‬היא‪. f '( x)  2 x  6 :‬‬
‫ידוע שהפרבולה חותכת את ציר ה‪ y -‬בנקודה שבה ‪. y  5‬‬
‫מנקודה זו מעבירים משיק לגרף הפרבולה (ראה איור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את )‪. f ( x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח מוגבל בין גרף הפרבולה‪ ,‬המשיק‬
‫וישר היוצא מנקודת הקיצון של הפרבולה (ראה איור)‪.‬‬
‫‪378‬‬
:‫תשובות סופיות‬
1
3
1
.‫ ב‬. k  1 .‫) א‬1
6
1
1
. f ( x)  x3  2.5x2  2x .‫ ב‬a  3 , b  2 .‫) א‬4 . f ( x)  x 2  2 .‫ב‬. 1,3 .‫) א‬3
2
2
3
. f ( x)   x 2  7 x  10 .‫ ג‬. k  2 .‫ ב‬. y  0.25x  6 .‫) א‬5
4
1
. y  3x  5 . ‫ כן‬.‫ ג‬. f ( x)  2 x3  1.5x2  6 .‫ ב‬. a  6 .‫) א‬6
8
. f ( x)  x2  2 x  2 .‫ ב‬. k  2 .‫) א‬2 . f ( x)  x3  1.5x 2 
. f ( x)  x4  4 x2 .‫ ב‬. a  4 , b  8 .‫) א‬7
.  3, 4  ,  1, 4  .‫ כן‬.‫ ג‬. f ( x)  x3  2 x2  3x  4 .‫ ב‬. k  4 .‫) א‬8
.‫ יח"ש‬162 .‫ ב‬ 4, 0 ,  2,36  .‫) א‬11 . f ( x)  2 x3  24 x  32 .‫ ב‬.‫ כן‬.‫) א‬9
5
6
.  2,0 ,  0,0  ,  2,0  .‫) א‬13 . S  44 .‫ ב‬.  6, 20  ,  5,9  .‫) א‬12
.S  5
1
.‫ ג‬. y  2 x  8 .‫ ב‬.  0,8 ,  4, 0 ,  4, 0  .‫) א‬14
3
S
7
. 1  .‫ ב‬. y  5x  20 .‫) א‬15
S2 8
.‫ יח"ש‬12 .‫ ב‬.  2, 0  .‫) א‬17 . S 
7
.‫ ב‬. y  2 x  7 .‫) א‬16
12
1
.‫ ב‬.  1,7  ,  0,8 , 1,9  .‫) א‬18
2
2
. S  43 .‫ ב‬.  3, 7  ,  2,12  .‫) א‬20
3
.‫ יח"ש‬9 )19 . S 
2
.‫ ג‬. SABCD  72 .‫ ב‬. 1,9  ,  9,9  .‫) א‬21
3
2
. S  2 .‫ ג‬. Max  3, 4  .‫ ב‬. y   x  8 .‫) א‬22
3
. S  4 .‫ ג‬.  0, 2 ,  2, 14  .‫ ב‬b  4 .‫) א‬23
. S  94
2
.‫ ג‬. A  2, 41 .‫ ב‬. y  8x  57 , y  8x  25 .‫) א‬24
3
1
.‫ האינטגרל של סעיף א' מכיל ערכים חיוביים ושליליים יחדיו‬.‫ ג‬. S  21 .‫ ב‬.0 .‫) א‬25
3
. S  42
‫פעולת האינטגרל מחסרת בין השניים ומכיוון שהגדלים החיוביים והשליליים‬
.0 ‫שווים בערך מוחלט (וזאת ניתן לראות לפי החישוב של סעיף ב') התקבל הסכום‬
3
4
. S  93 .‫ ב‬. y  8x  40 .‫) א‬27 . S  12 .‫ ב‬. C  3, 0 , B  3, 0  .‫) א‬26
. S  25
1
1
.‫ ב‬. k  8 .‫) א‬29 . S  4 .‫ ב‬.  2, 0 ,  3, 0  ,  4, 0  , 5, 0  .‫) א‬28
3
3
379
. S  8 .‫ ג‬. Max 1, 7  , Min  3,3 .‫ ב‬. y  3  x .‫) א‬30
.S  6
1
.‫ ג‬. 1, 4 ,  4,9  .‫ ב‬. yl2  2 x  6 , yl1  2 x  1 .‫) א‬31
12
. S  500 .‫ ב‬. f ( x)  3x2  75 .‫) א‬32
‫ ולכן משוואתו תהיה‬x -‫ משיק בנקודת המקסימום מקביל לציר ה‬.  2,3 .‫) א‬33
‫ ניתן להבין שמשוואת‬ 2.5,3 ‫ מאחר שהנקודה הנוספת היא‬. y  k ‫מהסוג‬
.  2,3 ‫ ולכן נקודת המקסימום תהיה‬y  3 ‫המשיק היא‬
x3 x 2
1
25
. S  11  11.391 .‫ ג‬. f ( x)     2 x  .‫ב‬
3 2
3
64
2
. S  214 .‫ ג‬. 4 y  x  42 .‫ ב‬. f ( x)  x2  6 .‫) א‬34
3
5
. S  20 .‫ ב‬. f ( x)   x2  3x  4 .‫) א‬35
6
1
. S  21 .‫ ב‬. f ( x)  2 x2  4 x  6 .‫) א‬36
3
1
1
. S  1 .‫ ב‬. f ( x)  x 2  3x  5 .‫) א‬37
3
2
2
1
. S  42 .‫ ב‬. f ( x)   x 2  3x  8 .‫) א‬38
3
2
1
. S  31 .‫ ב‬. f ( x)  25  x2 , g ( x)  10 x  x2 .‫) א‬39
4
5
. S  2 .‫ ב‬f ( x)  x2  4 x  6 .‫) א‬40
12
. S  9 .‫ב‬
380
f ( x)  x 2  6 x  5 .‫) א‬41
‫תרגילים העוסקים בפונקציה רציונאלית‪:‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ )1‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪ 3 :‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪. f '( x) ‬‬
‫ידוע כי משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה‬
‫הנמצאת ברביע הראשון היא‪. y  15x  16 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫מעבירים ישר ‪ y  2.75x‬החותך את גרף הפונקציה‬
‫בנקודה ‪ A‬הנמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה לישרים‪ y  2.75x :‬ו‪. x  4 -‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ )2‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪. f ( x)  2 ‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה‪x -‬‬
‫והישר‪. x  4 :‬‬
‫‪27‬‬
‫‪ )3‬א‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪ 3x  1 :‬‬
‫‪x2‬‬
‫בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬המשיק והישר‪. x  4 :‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ )4‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪ f ( x)  8 ‬בתחום‪ a ( , x  0 :‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע כי משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה‬
‫שבה‪ x  1 :‬היא‪. y  3x  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה‪ ,‬המשיק והצירים‪.‬‬
‫‪a  x2‬‬
‫‪ )5‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ a) , f  x  ‬פרמטר חיובי)‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ידוע כי שיפוע הפונקציה בנקודה שבה‪ x  a :‬הוא‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬כתב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x  a‬‬
‫ג‪ .‬היעזר בסרטוט שבצד וחשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬המשיק‬
‫ואנך לציר ה‪ x -‬מנקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪381‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ )6‬הנגזרת של פונקציה ‪ f  x ‬היא‪:‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪ . f '  x   4 ‬ידוע כי משוואת המשיק‬
‫לגרף הפונקציה בנקודה הנמצאת ברביע הראשון היא‪. y  10 x  6 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫מעבירים את הפונקציה‪ . g  x   64 x2  4 x  2 :‬הגרפים נחתכים בנקודה ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי גרף הפונקציה ‪ f  x ‬שלילי עבור ‪x  0.7‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫וכי גרף הפונקציה ‪ g  x ‬שלילי עבור‪. x  0.25 :‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪ .‬היעזר בסקיצה שבצד וחשב את השטח הכלוא בין‬
‫שני הגרפים‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והישרים‪ x  0.7 :‬ו ‪. x  0.25 -‬‬
‫‪1 2 1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ )7‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x 2 x3 x 4‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה‪ x -‬ואנך לציר ה‪x -‬‬
‫היוצא מנקודת המקסימום של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )8‬נתונה הפונקציה הבאה‪ x  2  :‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה ‪ x -‬בנקודת הקיצון שלו‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫מעבירים את הישר‪:‬‬
‫‪81‬‬
‫‪ y ‬החותך את גרף הפונקציה בנקודה ‪ A‬ברביע השני‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬
‫ד‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬הישר‬
‫ואנך לישר מנקודת המקסימום של הפונקציה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )9‬נתונה הפונקציה הבאה‪ x  1 :‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫מעבירים פרבולה‪ A) , g  x   Ax2 :‬פרמטר) דרך נקודת הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. A‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪382‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ S1‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מעבירים אנך לציר ה‪ , x  3 : x -‬כך שנוצרים השטחים‪:‬‬
‫‪  S1‬שבין הגרפים של הפונקציות ‪ f  x  , g  x ‬וציר ה ‪. x -‬‬
‫‪  S2‬שבין הגרפים של הפונקציות ‪ f  x  , g  x ‬והאנך‪.‬‬
‫‪S2‬‬
‫חשב את יחס השטחים‪:‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪80‬‬
‫‪ )10‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ k ) , f  x   k ‬פרמטר)‪.‬‬
‫גרף הפונקציה חותך את ציר ה‪ x -‬בשתי נקודות שהמרחק בניהן הוא ‪ 4‬יחידות‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. k‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת הנורמל לפונקציה בנקודת‬
‫)‪f ( x‬‬
‫החיתוך שלה עם ציר ה ‪ x -‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬היעזר באיור שלפניך וחשב את השטח הכלוא בין‬
‫גרף הפונקציה‪ ,‬הנורמל והישר‪. x  4 :‬‬
‫‪162‬‬
‫‪ )11‬נתונות הפונקציות הבאות‪ 2 :‬‬
‫‪3x3‬‬
‫‪. g  x   6 x3  50 , f  x  ‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬היעזר באיור שלפניך וחשב את השטח הכלוא‬
‫בין הגרפים של הפונקציות‪ ,‬הצירים‬
‫והאנך‪. x  2 :‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ )12‬נתונות הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪x3‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ a) , g  x   2 x , f  x  ‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע כי הפונקציות נחתכות בנקודה שבה ‪. x  2‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬האם הגרפים של הפונקציות נחתכים בנקודות‬
‫נוספות? אם כן מצא אותן‪.‬‬
‫ג‪ .‬מעבירים אנך ‪ k ) x  k‬חיובי) החותך את הגרפים‬
‫של שתי הפונקציות ויוצר את השטח ‪. S‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪7‬‬
‫היעזר באיור שלפניך ומצא את ‪ k‬עבורו מתקיים‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫‪383‬‬
‫‪.S  2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )13‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪ a) , f  x   a ‬פרמטר)‪ .‬מעבירים לגרף הפונקציה‬
‫משיק מנקודת החיתוך שלו עם ציר ה ‪ . x -‬מסמנים נקודה ‪ A‬על המשיק‬
‫ונקודה ‪ B‬על גרף הפונקציה ומעבירים את הישר ‪.AB‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪ a‬אם ידוע כי לפונקציה ‪f  x ‬‬
‫יש אסימפטוטה אופקית‪. y  3 :‬‬
‫‪A‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המשיק‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬ידוע כי ‪. x B  3 , xA  2 :‬‬
‫היעזר באיור שלפניך וחשב את השטח הכלוא‬
‫בין גרף הפונקציה‪ ,‬המשיק והישר ‪.AB‬‬
‫‪4 x3  kx  1‬‬
‫‪ )14‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪ k ) , f  x  ‬פרמטר)‬
‫ידוע כי לפונקציה נקודת קיצון שבה‪. x  0.5 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪ k‬וקבע את סוג הקיצון‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי לגרף הפונקציה אין נקודות קיצון נוספות‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה והאסימפטוטה האופקית שלו‪.‬‬
‫מעבירים אנך לאסימפטוטה דרך נקודת הקיצון‪.‬‬
‫)‪y f ( x‬‬
‫חשב את השטח הנוצר באופן זה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪384‬‬
‫‪y‬‬
:‫תשובות סופיות‬
. S  1.125 .‫ ג‬A  2,5.5 .‫ ב‬f ( x)  
4
 3x .‫) א‬1
x3
. S  2.5 .‫ ב‬ 2, 0  .‫) א‬2
. S  182.25 .‫ ב‬y  51x  82 .‫) א‬3
. S  3 .‫ ב‬f ( x)  8 
1
, a  1 .‫) א‬4
x3
2
2
.‫ ג‬y   x  2 .‫ ב‬a  3 .‫) א‬5
3
9
2
. S  2.537 .‫ ד‬A  0.5, 12  .‫ ב‬y  4 x  3  2 .‫) א‬6
x
1
 1
.S 
.‫ ד‬.‫ סקיצה למטה‬.‫ ג‬x  0 , y  0 .‫ ב‬min 1, 0  , max  2,  .‫) א‬7
24
 16 
.S  2
.S 
4
1 
125


 0.0964 .‫ ד‬ 1.5,  .‫ ג‬min  2, 0  , max  4,  .‫) ב‬8
1296
81 
64 


S
13
. 2
.‫ ג‬A  1 .‫ ב‬. min  2, 4  .‫) א‬9
S1 41
.S 
437
 7.283 .‫ ג‬y  0.1x  0.2 .‫ ב‬. k  5 .‫) א‬10
60
. S  73.75 .‫ ב‬.  2, 4  , 1,56  .‫) א‬11
. k  3 .‫ ג‬ 2, 4  - ‫ כן‬.‫ ב‬a  32 .‫) א‬12
7
.‫ ג‬y  9 x  9 .‫ ב‬a  3 .‫) א‬13
9
. S  0.5 .‫ ד‬y  4 .‫ ג‬k  3 .‫) א‬14
.S  5
:7 ‫סקיצה לשאלה‬
y
f ( x)
385
x
‫תרגילים העוסקים בפונקצית שורש‪:‬‬
‫‪ )1‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪ 2 x :‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2 x‬‬
‫‪ k , f '( x) ‬פרמטר‪.‬‬
‫ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪ x  4 :‬הוא‪. m  7.75 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה )‪ f ( x‬אם ידוע כי המשיק לגרף הפונקציה משיק‬
‫לה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )2‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ k , f '( x)  kx ‬פרמטר‪.‬‬
‫נתונה הפונקציה‪ . g ( x)  2 x 2  9 x  4 :‬ידוע כי המשיק לגרף הפונקציה )‪g ( x‬‬
‫בנקודה שבה‪ x  3 :‬מקביל למשיק לגרף הפונקציה )‪ f ( x‬בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה )‪ f ( x‬אם ידוע כי היא חותכת את גרף‬
‫הפונקציה )‪ g ( x‬בנקודה שבה‪. y  77 :‬‬
‫‪ )3‬א‪.‬‬
‫מצא על גרף הפונקציה‪ g ( x)  2 x :‬נקודה שבה שיעור ה ‪x -‬‬
‫שווה לשיעור ה‪. y -‬‬
‫ב‪ .‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 x‬‬
‫‪. f '( x)  1 ‬‬
‫ידוע כי הפונקציה )‪ f ( x‬חותכת את הפונקציה )‪ g ( x‬בנקודה שמצאת‬
‫בסעיף הקודם‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ג‪ .‬האם הגרפים של הפונקציה )‪ f ( x‬ו ‪ g ( x) -‬נחתכים בנקודות נוספות?‬
‫אם כן‪ ,‬מצא אותן‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )4‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪ k :‬‬
‫‪x‬‬
‫ידוע כי גרף הפונקציה עולה בתחום‪ 0  x  4 :‬ויורד בתחום‪. x  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫‪ k , f '( x) ‬פרמטר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה אם ידוע כי ערכה המרבי הוא‪.8 :‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪386‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫‪ )5‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫ו‪2 -‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. g ( x) ‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים את הישרים‪ x  4 :‬ו ‪ y  4 -‬כך שנוצר ריבוע‪.‬‬
‫‪ .1‬חשב את השטח הכלוא בין הישרים הנ"ל‬
‫והגרפים של שתי הפונקציות‪.‬‬
‫‪ .2‬חשב את היחס בין השטח שמצאת בסעיף‬
‫הקודם לשטח הריבוע‪.‬‬
‫‪64k‬‬
‫‪ )6‬נתונות הפונקציות הבאות‪; g  x   kx :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ k ) , f  x  ‬פרמטר) ‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬את שיעורי נקודת החיתוך של הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות‪ ,‬ציר ה ‪x -‬‬
‫והאנך‪ x  25 :‬הוא ‪ .1024‬מצא את ‪. k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9 1‬‬
‫‪ )7‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪; g  x    2 :‬‬
‫‪16 x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫ברביע הראשון‪ .‬מנקודת החיתוך של הגרפים מעבירים משיק לפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הגרפים נחתכים בנקודה שבה‪. x  4 :‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ג‪ .‬מנקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה‪x -‬‬
‫מעלים אנך החותך את הגרפים של הפונקציות‬
‫בנקודות ‪ A‬ו‪ .B-‬חשב את השטח הכלוא בין‬
‫הגרפים של הפונקציות והישר ‪.AB‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪; g  x  ‬‬
‫‪ )8‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫מעבירים שני ישרים‪ x  k :‬ו ‪  k  t  , x  t -‬אשר חותכים את הגרפים של‬
‫הפונקציות ויוצרים את הקטעים ‪ AB‬ו‪ .CD-‬ידוע כי‪. AB  3CD :‬‬
‫א‪ .‬הראה כי‪. k  9t :‬‬
‫ב‪ .‬השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות‬
‫‪C‬‬
‫והישרים‪ x  k :‬ו‪ x  t -‬הוא‪. S  80 :‬‬
‫‪xk‬‬
‫‪x‬‬
‫‪D‬‬
‫מצא את ‪. k‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪xt‬‬
‫‪B‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪387‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )9‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪2x 1‬‬
‫‪. f  x   16 x ‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬מעבירים אנך לציר ה‪ y -‬ומנקודת הקיצון‪.‬‬
‫חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬האנך וציר ה‪. y -‬‬
‫‪32‬‬
‫‪ )10‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f  x   x2 ‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת‬
‫החיתוך שלה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬המשיק‬
‫והאנך ‪ x  9‬כמתואר באיור שלפניך‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ )11‬א‪ .‬מצא עבור איזה ערך של ‪ a‬יתקיים‪:‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a  3) ,  1 ‬פרמטר)‪.‬‬
‫‪dx  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪2x  5‬‬
‫מעבירים שני אנכים לציר ה‪ x -‬והם‪ x  3 :‬ו‪ x  7 -‬כך שנוצרים‬
‫השטחים‪ S1 :‬ו ‪. S 2 -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .1 .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה ‪x -‬‬
‫‪. f ( x)  1 ‬‬
‫והאנך ‪.  S1  , x  3‬‬
‫‪ . 2‬היעזר בתוצאה שקיבלת ובסעיף א' וקבע לכמה שווה השטח ‪. S 2‬‬
‫נמק את טענתך‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ )12‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪ f ( x)  6 x2 :‬ו‪-‬‬
‫‪x‬‬
‫ברביע הראשון‪ .‬מעבירים ישר ‪ a) , x  a‬פרמטר)‬
‫החותך את גרף הפונקציה ‪ g  x ‬ויוצר את השטח‬
‫הכלוא בין שני הגרפים‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והישר‬
‫(השטח המסומן)‪.‬‬
‫ידוע כי שטח זה שווה ל ‪. S  14 -‬‬
‫מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x a‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪388‬‬
‫‪g ( x) ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x x k‬‬
‫‪ )13‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ k ) , f  x  ‬פרמטר)‪.‬‬
‫עבור‪ x  1 :‬מתקיים כי‪. f 2 1  676 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪ k‬אם ידוע כי ידוע כי הפונקציה עולה‬
‫בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את השטח כלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והאנך‪. x  36 :‬‬
‫‪k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )14‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪ k ) , f  x  ‬פרמטר)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי גרף הפונקציה לא חותך את הצירים לכל ערך של ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫מעבירים את האנכים‪ x  4 , x  8 :‬כך שנוצר השטח‬
‫המסומן‪ .‬ידוע כי השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪,‬‬
‫‪x‬‬
‫האנכים וציר ה‪ x -‬שווה ל‪ . 42 2  44 :‬מצא את ‪. k‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )15‬הנגזרת של פונקציה‪ f  x  :‬היא‪:‬‬
‫‪6x  5‬‬
‫חותך את ציר ה ‪ x -‬בנקודה הנמצאת על הישר‪.18 y 12 x  10 :‬‬
‫‪ . f '  x  ‬ידוע כי גרף הפונקציה‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה‪. f  x  :‬‬
‫מגדירים פונקציה חדשה‪ . g  x    f  x    f '  x  :‬ענה על השאלות הבאות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את הפונקציה ‪ g  x ‬בצורה מפורשת‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ‪ , g  x ‬ציר ה ‪x -‬‬
‫והאנכים‪ x  1 :‬ו ‪. x  5 -‬‬
‫‪389‬‬
:‫רציונאלית‬-‫תשובות סופיות – פונקציה אי‬
. f ( x)  x  x2  14 .‫ ב‬k  1 .‫) א‬1
. f  x   2 x2  2 x  79 .‫ ב‬k  4 .‫) א‬2
.  9, 6  - ‫ כן‬.‫ ג‬f ( x)  x  3 x  6 .‫ ב‬ 4, 4  .‫) א‬3
.  0,0 , 16,0  .‫ ג‬f ( x)  8 x  2 x .‫ ב‬k  2 .‫) א‬4
.
1
3
. S  8  4 3  1.405 .‫ ג‬y  
11
.2 S  11 .1 .‫ב‬
16
1
3
x  .‫) ב‬7 . k  4 .‫ב‬
16
4
1,1 .‫) א‬5
16,16k  .‫) א‬6
5
.‫ ג‬min  0.375, 2 .‫ ב‬x  0.5 .‫) א‬9 . k  36 .‫) ב‬8
8
2
. S  32 .‫ ג‬y  10 x  40 .‫) ב‬10
3
1
1
. a  4 )12 . S2  .2 . S1  .1 .‫ ג‬.  4.5, 0  .‫ ב‬. a  7 .‫) א‬11
2
2
.S 
. S  445.5 .‫ ד‬.‫ סקיצה בצד‬.‫ ג‬ 9, 0  .‫ ב‬k  27 .‫) א‬13
. S  56 .‫ ג‬g  x   6 x  5 
3
.‫ב‬
6x  5
f  x   6 x  5 .‫) א‬15 . k  10 .‫) ב‬14
:13 ‫סקיצה לשאלה‬
390
‫תוכן עניינים – בגרויות משנים קודמות ונספחים‪:‬‬
‫פרק ‪ – 12‬בעיות מילוליות – תרגול מבגרויות‪392 ...................................................................... :‬‬
‫בעיות תנועה‪392 ................................................................................................................ :‬‬
‫בעיות הספק‪395 ................................................................................................................ :‬‬
‫תשובות סופיות‪397 ........................................................................................................... :‬‬
‫פרק ‪ – 13‬סדרות – תרגול מבגרויות‪398 ................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪400 ........................................................................................................... :‬‬
‫פרק ‪ – 14‬הסתברות – תרגול מבגרויות‪401 ............................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪408 ........................................................................................................... :‬‬
‫פרק ‪ – 15‬גיאומטריה אוקלידית – תרגול מבגרויות‪409 .............................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪418 ........................................................................................................... :‬‬
‫פרק ‪ – 16‬טריגונומטריה – תרגול מבגרויות‪419 ....................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪426 ........................................................................................................... :‬‬
‫פרק ‪ – 17‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי – תרגול מבגרויות‪427 .................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪446 ........................................................................................................... :‬‬
‫נספח ‪ – 1‬משפטים בגאומטריה‪452 ...................................................................................... :‬‬
‫נספח ‪ – 2‬דף ההוראות הרשמי לשאלון ‪459 ........................................................................:806‬‬
‫נספח ‪ – 3‬עקרונות מנחים לבדיקת בחינות הבגרות‪460 .............................................................. :‬‬
‫‪391‬‬
‫פרק ‪ – 14‬בעיות מילוליות – תרגול מבגרויות‪:‬‬
‫בעיות תנועה‪:‬‬
‫‪ )1‬רוכב אופניים יצא בשעה ‪ 08 : 00‬מעיר ‪ , A‬ורוכב אופניים שני יצא‬
‫בשעה ‪ 09 : 00‬מעיר ‪ . A‬כל אחד מהרוכבים רכב במהירות קבועה לעיר ‪. B‬‬
‫המרחק בין ‪ A‬ל ‪ B -‬הוא ‪ 45‬ק"מ‪ .‬כאשר הרוכב הראשון הגיע לעיר ‪ , B‬הרוכב‬
‫השני עדיין לא הגיע לעיר ‪ B‬והיה במרחק של ‪ 25‬ק"מ ממנה‪.‬‬
‫מהירות הרוכב הראשון גדולה ב ‪ m -‬קמ"ש ממהירות הרוכב השני‪ ,‬וידוע כי ‪. 0  m  5‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬את שני הפתרונות האפשריים למהירות הרוכב השני‪.‬‬
‫ב‪ .‬נסמן את שני הפתרונות שהבעת בסעיף א ב ‪ x1 -‬וב‪. x2 -‬‬
‫מצא עבור אילו ערכי ‪ m‬מתקיים ‪. x1  x2  11‬‬
‫‪ )2‬הולך רגל יוצא כל בוקר להליכה‬
‫לאורך מסלול שאורכו הכולל הוא ‪ 24‬ק"מ‪.‬‬
‫הוא יוצא מביתו לכיוון מזרח והולך ‪ m‬ק"מ‪.‬‬
‫אחר כך הוא פונה צפונה והולך ‪ 1.5‬שעות‪.‬‬
‫לאחר מכן הוא חוזר לביתו בדרך הקצרה ביותר (ראה ציור)‪.‬‬
‫בדרכו חזרה הוא הולך ‪ 60‬דקות פחות מהזמן שבו הוא הולך‬
‫בשני הכיוונים יחד‪ ,‬מזרח וצפונה‪ .‬בכל קטעי הדרך הוא הולך באותה מהירות קבועה‪.‬‬
‫חשב את ‪. m‬‬
‫‪ )3‬רוכב אופניים אחד יצא ממקום ‪ A‬אל מקום ‪ , B‬ובאותה שעה בדיוק יצא רוכב‬
‫אופניים אחד ממקום ‪ B‬אל מקום ‪( . A‬המהירויות של רוכבי האופניים אינן‬
‫משתנות)‪ .‬כעבור ‪ 4‬שעות נפגשו רוכבי האופניים‪ .‬הזמן‪ ,‬שנדרש לרוכב האופניים‬
‫שיצא מ‪ A -‬לעבור את הדרך שבין ‪ A‬ל‪ , B -‬גדול ב‪ 108 -‬דקות מהזמן שנדרש לרוכב‬
‫האופניים שיצא מ ‪ B -‬לעבור דרך זו‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את היחס בין המהירות של רוכב האופניים שיצא מ‪ B -‬לבין‬
‫המהירות של רוכב האופניים שיצא מ‪. A -‬‬
‫ב‪ .‬מצא בכמה שעות עבר כל אחד מרוכבי האופניים את הדרך שבין ‪ A‬ל ‪. B -‬‬
‫‪ )4‬רוכב אופניים רכב מעיר ‪ A‬לעיר ‪. B‬‬
‫במסלול שבין שתי הערים יש תחילה עלייה‬
‫ואחר כך ירידה (ראה ציור)‪.‬‬
‫מהירות הרוכב בירידה היא קבועה‪ ,‬וגדולה‬
‫ב ‪ 10 -‬קמ"ש ממהירותו בעלייה‪.‬‬
‫הרוכב עבר את הדרך מה‪ A -‬ל ‪ B -‬ב ‪ 4.5‬שעות‪,‬‬
‫ואת הדרך מ‪ B -‬ל‪ A -‬עבר ב‪ 6 -‬שעות‪.‬‬
‫מהירות הרוכב בעלייה שבדרך מ‪ A -‬ל‪ B -‬שווה למהירות הרוכב בעלייה שבדרך‬
‫מ‪ B -‬ל‪ , A -‬וגם מהירות הרוכב בירידה בכל אחת מהדרכים היא אותה מהירות‪.‬‬
‫אורך המסלול בין שתי הערים הוא ‪ 70‬ק"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מהירות הרוכב בעלייה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורך המסלול מ‪ E -‬ל‪. B -‬‬
‫‪392‬‬
‫‪ )5‬נהג יצא מעיר ‪ A‬לכיוון עיר ‪ . B‬המרחק בין שתי הערים הוא ‪ 120‬ק"מ‪.‬‬
‫בהתחלה נסע הנהג במהירות קבועה כפי שתכנן‪ ,‬אבל כעבור ‪ 3/4‬שעה מתחילת‬
‫נסיעתו הייתה תקלה ברכבו‪ .‬הנהג חזר מיד לכיוון ‪ , A‬ונסע ‪ 10‬ק"מ במהירות‬
‫של ‪ 50‬קמ"ש עד למוסך הנמצא בדרך ל ‪ . A -‬המוסך טיפל בתקלה במשך ‪ 33‬דקות‪,‬‬
‫ומיד לאחר הטיפול יצא הנהג לכיוון ‪ B‬במהירות הקטנה ב‪ 10 -‬קמ"ש ממהירות‬
‫נסיעתו עד התקלה‪ .‬הוא הגיע ל ‪ B -‬באיחור של שעה אחת לעומת השעה המתוכננת‪.‬‬
‫מה הייתה מהירות הנסיעה של הנהג עד התקלה?‬
‫‪ )6‬רוכב אופניים יצא ממושב ‪ A‬אל מושב ‪ , B‬ולאחר ‪ 1/2‬שעה יצא רוכב אופניים שני‬
‫ממושב ‪ B‬אל מושב ‪ . A‬הרוכבים נפגשו לאחר שהרוכב השני עבר ‪ 1/4‬מהמרחק‬
‫שבין ‪ B‬ל‪ . A -‬ביום אחר‪ ,‬יצא רוכב האופניים הראשון ממושב ‪ A‬אל מושב ‪B‬‬
‫‪ 1/2‬שעה אחרי שרוכב האופניים השני יצא ממושב ‪ B‬אל מושב ‪. A‬‬
‫הרוכבים נפגשו באמצע הדרך שבין ‪ A‬ל‪ . B -‬מהירויות הרוכבים לא השתנו‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את היחס בין מהירות הרוכב הראשון ובין מהירות הרוכב השני‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע שאם שני הרוכבים יוצאים באותו רגע זה לקראת זה‪ ,‬הם נפגשו‬
‫במרחק ‪ b‬ק"מ מאמצע הדרך שבין ‪ A‬ל ‪. B -‬‬
‫הבע באמצעות ‪ b‬את הדרך שבין ‪ A‬ל‪. B -‬‬
‫‪ )7‬משאית יצאה מעיר ‪ A‬לעיר ‪ . B‬בדיוק באותו רגע יצאה מכונית מעיר ‪ B‬לעיר ‪. A‬‬
‫כאשר הגיעה המכונית ל‪ A -‬היא חזרה מיד ל‪ , B -‬וכאשר הגיעה ל‪ B -‬היא מיד שוב‬
‫יצאה ל‪ . A -‬המכונית פגשה בדרכה את המשאית ‪ 3‬פעמים‪ ,‬לפני שהמשאית הגיעה ל ‪. B -‬‬
‫הפגישה הראשונה הייתה כעבור ‪ 2‬שעות מרגע היציאה של המכונית והמשאית לדרך‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫הפגישה השנייה הייתה כעבור‬
‫‪3‬‬
‫‪ 4‬שעות מרגע היציאה‪.‬‬
‫הפגישה השלישית הייתה במרחק ‪ 40‬ק"מ מ ‪. B -‬‬
‫מצא את המהירות של המשאית‪( .‬המהירויות של המשאית והמכונית אינן משתנות)‪.‬‬
‫‪ )8‬רוכב אופנוע יצא מ‪ , A -‬ובאותה שעה יצא רוכב אופניים מ‪ . B -‬הם רכבו זה לקראת‬
‫‪1‬‬
‫זה ונפגשו בדרך‪ .‬רוכב האופנוע הגיע ל ‪ B‬כעבור‬
‫‪4‬‬
‫האופניים הגיע ל ‪ A -‬כעבור ‪ 4‬שעות מרגע הפגישה‪( .‬מהירויות הרוכבים היו קבועות)‪.‬‬
‫שעה מרגע הפגישה‪ ,‬ורוכב‬
‫א‪ .‬מצא את היחס בין המהירות של רוכב האופנוע למהירות של רוכב האופניים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא באיזה תחום מספרים נמצאת המהירות של כל אחד מהרוכבים‪.‬‬
‫(מהירות רוכב האופנוע אינה עולה על ‪ 120‬קמ"ש)‪.‬‬
‫‪393‬‬
‫‪ )9‬דן יצא מתל אביב להרצליה על אופניו‪ ,‬ורכב במהירות קבועה של ‪ v‬קמ"ש‪.‬‬
‫כעבור ‪ 1/2‬שעה מרגע היציאה של דן‪ ,‬גם אילנית יצאה על אופניה מתל אביב‬
‫להרצליה‪ ,‬ורכבה באותו מסלול במהירות הגדולה ב ‪ 2 -‬קמ"ש ממהירותו של דן‪.‬‬
‫א ילנית ודן נפגשו בדרך להרצליה ו ‪ 1/2-‬שעה לאחר הפגישה הגיעה אילנית להרצליה‪.‬‬
‫מצא באיזה תחום מספרים נמצאת המהירות ‪ , v‬אם נתון כי מסלול הרכיבה‬
‫מתל אביב להרצליה קטן מ‪ 25 -‬ק"מ וגדול מ ‪ 9 -‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ )10‬נמל ‪ A‬ונמל ‪ B‬נמצאים על אותה גדה של נהר‪ ,‬שכיוון הזרם שלו הוא מ‪ A -‬ל‪. B -‬‬
‫רפסודה הפליגה בשעה ‪ 9 : 00‬בבוקר מנמל ‪ A‬אל נמל ‪ B‬והיא נישאה על גבי הזרם של‬
‫הנהר כך שמהירות הרפסודה היא מהירות הזרם‪ .‬באותה שעה הפליגה סירה‬
‫מנמל ‪( B‬נגד כיוון הזרם) לכיוון נמל ‪ . A‬מהירות הסירה במים עומדים היא ‪ 15‬קמ"ש‪.‬‬
‫הסירה הגיעה לנמל ‪ , A‬ומיד חזרה אל נמל ‪. B‬‬
‫ידוע כי הרפסודה והסירה יגיעו לנמל ‪ B‬באותה שעה‪.‬‬
‫נתון כי הרפסודה והסירה נפגשו לראשונה כעבור ‪ 5‬שעות מרגע הפלגתן‪.‬‬
‫האם הסירה והרפסודה יגיעו לנמל ‪ B‬עד לשעה ‪ 9 : 00‬בערב באותו היום? נמק‪.‬‬
‫מהירות הזרם ומהירות הסירה במים עומדים הן קבועות‪.‬‬
‫הערה‪ :‬בחישוביך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬
‫‪ )11‬משאית יצאה מעיר ‪ , A‬וכעבור ‪ 6‬שעות מרגע יציאתה הגיעה לעיר ‪. B‬‬
‫זמן מה אחרי יציאת המשאית יצאה מכונית מעיר ‪ , A‬והגיעה לעיר ‪ 2 B‬שעות לפני‬
‫המשאית‪ .‬המשאי ת והמכונית נפגשו כעבור שעה מרגע היציאה של המכונית‪.‬‬
‫המהירויות של המשאית ושל המכונית היו קבועות‪.‬‬
‫מצא כמה שעות אחרי רגע היציאה של המשאית יצאה המכונית (מצא את שני הפתרונות)‪.‬‬
‫‪ )12‬רץ ‪ I‬ורץ ‪ II‬יצאו באותו רגע מאותו מקום‪ .‬הם רצו במהירות קבועה ובאותו כיוון‪.‬‬
‫המהירות של רץ ‪ I‬הייתה ‪ 6‬קמ"ש‪ ,‬והמהירות של רץ ‪ II‬הייתה ‪ 7.5‬קמ"ש‪.‬‬
‫כעבור ‪ 20‬דקות מרגע היציאה של שני הרצים‪ ,‬יצא רץ ‪ III‬מאותו מקום ובאותו כיוון‬
‫והוא רץ במהירות קבועה‪.‬‬
‫רץ ‪ III‬פגש בדרך את רץ ‪ I‬ושעה אחר כך הוא פגש את רץ ‪. II‬‬
‫מצא כמה שעות עברו מרגע היציאה של רץ ‪ III‬עד לפגישתו עם רץ ‪. II‬‬
‫‪394‬‬
‫בעיות הספק‪:‬‬
‫‪ )13‬שני צינורות‪ ,‬צינור ‪ I‬וצינור ‪ , II‬ממלאים יחד במים את כל הנפח של בריכה במשך ‪6‬‬
‫שעות‪( .‬קצב הזרמת המים של כל אחד מהצינורות אינו משתנה‪).‬‬
‫יום אחד‪ ,‬צינור ‪ I‬מילא לבדו רבע מנפח הבריכה‪ ,‬וצינור ‪ II‬מילא לבדו עוד רבע מנפח‬
‫הבריכה וכך התמלא חצי מנפח הבריכה במשך ‪ m‬שעות‪.‬‬
‫א‪ )1( .‬הבע באמצעות ‪ m‬את הזמן הדרוש לצינור ‪ I‬למלא את כל נפח הבריכה לבדו‪.‬‬
‫(‪ )2‬מצא עבור איזה ערך של ‪ m‬יש פתרון אחד לבעיה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי כאשר כמות המים בבריכה היא ‪ 70%‬מנפח הבריכה‪ ,‬צינור ‪ I‬ממלא‬
‫לבדו את נפח הבריכה הנותר במשך ‪ 3‬שעות‪ .‬מצא את ‪ m‬במקרה זה‪.‬‬
‫‪ )14‬במפעל לייצור מחשבונים עובדים פועלים ותיקים ופועלים חדשים‪.‬‬
‫פועל ותיק ופועל חדש התבקשו להרכיב מחשבונים‪ .‬לו פועל ותיק היה‬
‫עובד ‪ 1/3‬מהזמן שנדרש לעובד חדש לבצע לבד עבודה זו‪ ,‬ופועל חדש‬
‫היה עובד ‪ 1/3‬מהזמן שנדרש לעובד ותיק לבצע לבד עבודה זו‪ ,‬אז יחד הם‬
‫היו מבצעים ‪ 13/18‬מעבודה זו‪.‬‬
‫פועל ותיק מבצע לבד את העבודה במספר שעות קטן יותר מזה הדרוש לפועל חדש‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא פי כמה גדול מספר השעות הדרוש לפועל חדש לבצע לבד את‬
‫העבודה‪ ,‬ממספר השעות הדרוש לפועל ותיק לבצע לבד את העבודה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי פועל ותיק מרכיב ‪ 9‬מחשבונים בשעה‪ .‬בצוות עבודה יש פועל אחד‬
‫חדש ושני פועלים ותיקים‪ .‬מצא בכמה שעות הצוות מרכיב ‪ 168‬מחשבונים‪.‬‬
‫‪ )15‬צינור הזרים לבריכה ‪ 10‬מ"ק בקצב קבוע‪ .‬לאחר הפסקה של ‪ 1/3‬שעה הוגבר קצב‬
‫ההזרמה של הצינור ב‪ 3 -‬מ"ק לשעה‪ .‬בקצב המוגבר הזרים הצינור עוד ‪ 20‬מ"ק מים‪.‬‬
‫הזמן שהצינור הזרים את המים‪ ,‬כולל ההפסקה‪ ,‬זהה לזמן שהיה נדרש לצינור‪ ,‬לו‬
‫היה מזרים ‪ 30‬מ"ק מים בלי הפסקה בקצב שלפני ההגברה‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב כמה זמן הזרים הצינור את המים עד ההפסקה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי הצינור ממלא ‪ 1/3‬מנפח בריכה ריקה ב ‪ 18 -‬שעות‪ ,‬כאשר הוא‬
‫מזרים מים בקצב שלפני ההגברה‪ .‬שני צינורות מזרימים יחד מים לבריכה‬
‫הריקה באותו קצב‪ .‬קצב זה קטן מהקצב המוגבר של הצינור נתון וגדול‬
‫מהקצב שלפני ההגברה‪ .‬באיזה תחום שעות יהיה הזמן שבו שני הצינורות‬
‫ימלאו את הבריכה?‬
‫‪395‬‬
‫‪ )16‬פועל ‪ I‬ופועל ‪ II‬עובדים במפעל לייצור חלקי חילוף‪.‬‬
‫שני הפועלים מבצעים יחד עבודה מסוימת‪.‬‬
‫קצב העבודה הרגיל של פועל ‪ I‬שונה מקצב העבודה הרגיל של פועל ‪. II‬‬
‫אם כל אחד מהפועלים יגביר את קצב העבודה הרגיל שלו ב‪ , 50% -‬ההפרש בין זמן‬
‫העבודה של שני הפועלים יחד בקצב הרגיל ובין זמן העבודה שלהם יחד בקצב המוגבר‬
‫יהיה ‪ 2/15‬מהזמן הנדרש לפועל ‪ I‬לבצע לבד את העבודה בקצב הרגיל שלו‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את היחס בין הזמן שבו פועל ‪ I‬מבצע לבד את העבודה ובין הזמן שבו‬
‫פועל ‪ II‬מבצע לבד עבודה זו‪.‬‬
‫ב‪ .‬העבודה ששני הפועלים מבצעים יחד היא הכנה של ‪ 300‬חלקי חילוף‪.‬‬
‫הפועלים ביצעו יחד עבודה זו בקצב הרגיל שלהם ב ‪ 6 -‬ימים‪.‬‬
‫כמה חלקי חילוף ביום מכין לבד פועל ‪ I‬בקצב הרגיל שלו?‬
‫‪ )17‬ראובן ושמעון חופרים יחד תעלה אחת ב ‪ 12 -‬שעות‪.‬‬
‫אם ראובן חופר לבד ‪ 1/3‬מהתעלה‪ ,‬ולאחר שהוא מסיים את חלקו שמעון חופר‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫לבד את יתר התעלה‪ ,‬החפירה מסתיימת כעבור ‪ 23‬שעות‪.‬‬
‫כמה תעלות שלמות לכל היותר יחפור ראובן לבד בפחות מ‪ 100 -‬שעות?‬
‫התעלות זהות לתעלה הנתונה‪ .‬הספקי העבודה של שמעון ושל ראובן אינם משתנים‪.‬‬
‫‪396‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪25  m  m2  130m  625‬‬
‫‪25  m  m2  130m  625‬‬
‫‪, x2 ‬‬
‫‪ )1‬א‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪. 4  m  5 .‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪)3‬‬
‫‪)4‬‬
‫‪)5‬‬
‫‪. x1 ‬‬
‫‪ 8‬ק"מ ‪. m ‬‬
‫א‪ .‬היחס הוא‪ .1.25 :‬ב‪ 9 .‬שעות ו ‪ 7.2-‬שעות‪.‬‬
‫א‪ 10 .‬קמ"ש ב‪ 50 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ 80‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ )6‬א‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪. 8b .‬‬
‫‪ 40 )7‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ )8‬א‪ 4 .‬ב‪ .‬מהירות רוכב האופנוע גדולה מ‪ 72 -‬וקטנה או שווה ל‪ 120 -‬קמ"ש‪.‬‬
‫מהירות רוכב האופניים גדולה מ‪ 18 -‬קמ"ש וקטנה או שווה ל‪ 30 -‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪. 4  v  8 )9‬‬
‫‪ )10‬לא‪ .‬הם יגיעו לנמל ‪ 12.07 B‬שעות לאחר יציאתם‪.‬‬
‫‪ )11‬שעה או ‪ 2‬שעות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 1 )12‬שעות‪.‬‬
‫‪ )13‬א‪ m  6 )2( 2m  2 m2  6m , m  6 )1( .‬ב‪. m  6.25 .‬‬
‫‪ )14‬א‪ .‬פי ‪ 1.5‬ב‪ 7 .‬שעות‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ )15‬א‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫שעות ב‪ .‬בין ‪ 21‬שעות ל‪ 27 -‬שעות‪.‬‬
‫‪ )16‬א‪ 1.5 .‬ב‪ 20 .‬חלקי חילוף‪.‬‬
‫‪ )17‬לכל היותר ‪ 3‬תעלות שלמות‪.‬‬
‫‪397‬‬
‫פרק ‪ – 15‬סדרות – תרגול מבגרויות‪:‬‬
‫‪ )1‬נתונה סדרה חשבונית שיש בה ‪ n‬איברים‪ .‬האיבר הראשון בסדרה הוא ‪a1‬‬
‫(שונה מאפס)‪ ,‬והפרש הסדרה הוא ‪ . d‬בונים סדרה חדשה שגם בה ‪ n‬איברים‪.‬‬
‫האיבר הראשון בסדרה החדשה גדול פי ‪ 4‬מהאיבר הראשון בסדרה הנתונה‪ ,‬והפרש‬
‫הסדרה החדשה גם הוא ‪ . d‬סכום הסדרה החדשה גדול פי ‪ 2‬מסכום הסדרה הנתונה‪.‬‬
‫א‪ .‬בטא את ‪ a1‬באמצעות ‪ d‬ו‪. n -‬‬
‫ב‪ .‬אם מגדילים את הפרש הסדרה הנתונה ב ‪( 3 -‬בלי לשנות את ‪ a1‬ואת ‪ ,) n‬מקבלים‬
‫סדרה חשבונית שסכומה גדול פי ‪ 2‬מסכום הסדרה הנתונה‪.‬‬
‫הראה כי הפרש הסדרה הנתונה הוא ‪. 2‬‬
‫‪ an )2‬ו‪ ak -‬הם שני איברים בסדרה חשבונית במקום ה ‪ n -‬ובמקום ה‪ k -‬בהתאמה‪.‬‬
‫הפרש הסדרה הוא ‪ , d‬והאיבר הראשון בסדרה הוא ‪. a1  md‬‬
‫‪ - m‬מספר טבעי‪. d  0 ,‬‬
‫א‪ )1( .‬הראה כי מתקיים ‪. an  ak  a1  d  n  k  m  2‬‬
‫(‪ )2‬הבע באמצעות ‪ k , n‬ו‪ m -‬את המקום בסדרה של איבר השווה לסכום‬
‫של שני האיברים ‪ an‬ו‪. ak -‬‬
‫ב‪ )1( .‬הבע באמצעות ‪ d , a1‬ו‪ m -‬את הסכום ‪. a34  a65‬‬
‫(‪ )2‬נתון‪ . a34  a65  a109 :‬סכום ‪ 79‬האיברים הראשונים בסדרה הוא ‪. 7900‬‬
‫מצא את ‪ d‬ואת ‪. a1‬‬
‫‪ )3‬נתונה סדרה הנדסית אין ‪-‬סופית יורדת‪ .‬כל איבר בסדרה זו קטן פי ‪ 2‬מסכום כל‬
‫האיברים שאחריו‪ .‬סכום הסדרה ההנדסית הנתונה הוא ‪. 4‬‬
‫מצא את סכום כל האיברים שאחרי האיבר העשירי‪.‬‬
‫‪ )4‬נתונה סדרה חשבונית שאיבריה הם‪58,62,66,...,  4n  6  :‬‬
‫הבע את סכום הסדרה באמצעות ‪.  n  12  n‬‬
‫‪ )5‬נתונה סדרה ‪ . an‬סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה הוא‪:‬‬
‫‪Sn  n2  5n  2  6  10  ...   4n  2 ‬‬
‫א‪ .‬מצא נוסחה לאיבר הכללי ‪ an‬בסדרה הנתונה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מתבוננים באיברים של הסדרה הנתונה‪ ,‬שערך כל אחד מהם קטן מ ‪. 102 -‬‬
‫חשב את הערך הגדול ביותר שיכול להתקבל עבור סכום מסוים של איברים כאלה‬
‫(לאו דווקא הסכום של כל האיברים)‪.‬‬
‫‪398‬‬
‫‪ )6‬נתונה סדרה ‪: an‬‬
‫ונתונה סדרת הסכומים ‪: Sn‬‬
‫‪. a1 , a2 , a3 ,..., an ,...‬‬
‫‪. S1 ,S2 ,S3 ,...,Sn ,...‬‬
‫‪ Sn‬הוא סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה ‪. an‬‬
‫סדרת הסכומים ‪ Sn‬מקיימת לכל ‪ n‬טבעי‪. b  0 , S1  3 , Sn1  b  Sn  3 :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הסדרה ‪ an‬היא סדרה הנדסית שהמנה שלה היא ‪. b‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי ‪ . b  1‬בונים מהסדרה ‪ an‬שתי סדרות הנדסיות ‪ I‬ו‪: II -‬‬
‫‪II. a1 ,  a3 , a5 ,  a7 ,...‬‬
‫‪I. a3 , a7 , a11 , a15 ,...‬‬
‫‪ T‬הוא הסכום של אין‪-‬סוף איברי הסדרה ‪, I‬‬
‫‪ M‬הוא סכום של אין‪ -‬סוף איברי הסדרה ‪. II‬‬
‫‪M‬‬
‫הבע באמצעות ‪ b‬את היחס‬
‫‪T‬‬
‫‪ .‬פשט את הביטוי ככל האפשר‪.‬‬
‫‪ )7‬נתונה סדרה הנדסית אין סופית יורדת‪. a1 , a2 , a3 , a4 , ... :‬‬
‫סכום כל איברי הסדרה בלי האיבר הראשון הוא ‪. 6‬‬
‫מחליפים את הסימנים של כל האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה‪,‬‬
‫‪. a1 ,  a2 , a3 ,  a4 ,...‬‬
‫ומתקבלת סדרה הנדסית חדשה‪:‬‬
‫סכום כל איברי הסדרה החדשה בלי האיבר הראשון הוא ‪. 3‬‬
‫מהאיברים של הסדרה נתונה בנו סדרה שלישית‪:‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪, , , ...‬‬
‫‪a2 a3 a4‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הסדרה השלישית היא סדרה הנדסית‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה השלישית הוא ‪ . 273.25‬מצא את ‪. n‬‬
‫‪ )8‬בסדרה חשבונית יש ‪ 3n‬איברים‪.‬‬
‫סכום ‪ n‬האיברים האחרונים גדול פי ‪ 2‬מסכום ‪ n‬האיברים הקודמים להם‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח שסכום ‪ n‬האיברים הראשונים הוא ‪. 0‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם שסכום האיברים החמישי והשביעי הוא ‪. 0‬‬
‫סכום כל איברי הסדרה הוא ‪. 726‬‬
‫מצא את הפרש הסדרה‪.‬‬
‫‪ )9‬נתונה סדרה חשבונית ‪ . a1 , a2 , a3 ,...‬שלושה איברים עוקבים בסדרה ‪an , an1 , an2‬‬
‫מקיימים‪an22  an2  216 , an  an1  an2  54 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את האיבר ‪. an‬‬
‫ב‪ .‬לקחו חלק מהאיברים בסדרה הנתונה ובנו סדרה חשבונית חדשה‪:‬‬
‫‪a5 , a9 , a13 ,..., a4k 1‬‬
‫סכום כל האיברים בסדרה החדשה הוא ‪. 450‬‬
‫האיבר הראשון בסדרה הנתונה בפתיח הוא ‪ . a1  21‬מצא את הערך של ‪. k‬‬
‫‪399‬‬
:‫תשובות סופיות‬
d  n  1
.‫) א‬1
4
. a1  22 , d  2 )2( a1   97  m  d )1( .‫ ב‬n  k  m 1 )2( .‫) א‬2
. a1 
.S 
4096
)3
59049
. 2  n  16  n  12  )4
. 884 .‫ ב‬an  6n  8 .‫) א‬5
.
M 1  b2
 2 .‫) ב‬6
T
b
. n  7 .‫) ב‬7
. d  2 .‫) ב‬8
. k  10 .‫ ב‬an  15 .‫) א‬9
400
‫פרק ‪ – 16‬הסתברות – תרגול מבגרויות‪:‬‬
‫‪ )1‬ידוע כי בכפר מסוים ‪ 20%‬מהתושבים חולים במחלת מעיים‪.‬‬
‫רופא הכפר בדק את כל התושבים‪ 90% .‬מהחולים בכפר אובחנו על ידו כחולים‪,‬‬
‫ו‪ 10% -‬מהבריאים בכפר אובחנו על ידו כחולים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו אחוז התושבים בכפר שלגביהם הרופא ביצע אבחנה שגויה?‬
‫הרופא נתן תרופה לכל מי שאובחן על ידו כחולה‪.‬‬
‫התרופה גרמה לפריחה אצל ‪ 60%‬מהחולים שאובחנו כחולים‪,‬‬
‫ואצל ‪ 25%‬מהבריאים שאובחנו כחולים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שתושב בכפר הוא חולה‪ ,‬אם ידוע שיש לו פריחה?‬
‫‪ )2‬בשכבה י"א יש שתי כיתות‪ :‬י"א ‪ 1‬ו‪ -‬י"א ‪. 2‬‬
‫בכיתה י"א ‪ 1‬יש ‪ 40‬תלמידים‪ ,‬ולמחציתם יש מחשב נישא‪.‬‬
‫בכיתה י"א ‪ 2‬יש ‪ 35‬תלמידים‪ ,‬ול‪ 40% -‬מהם יש מחשב נישא‪.‬‬
‫א‪ .‬בחרו באקראי תלמיד משכבה י"א‪ ,‬ונמצא שיש לו מחשב נישא‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שהוא לומד בכיתה י"א ‪? 2‬‬
‫ב‪ .‬בחרו באקראי בזה אחר זה (בלי החזרה) ‪ 2‬תלמידים בכיתה י"א ‪ , 1‬ובאותו אופן‬
‫בחרו ‪ 2‬תלמידים מכיתה י"א ‪ . 2‬מהי ההסתברות של‪ 2 -‬התלמידים בכיתה י"א ‪1‬‬
‫וגם ל ‪ 2 -‬התלמידים מכיתה י"א ‪ 2‬אין מחשב נישא?‬
‫‪ )3‬בוחרים באקראי ‪ 3‬אנשים מעיר גדולה‪ .‬ההסתברות ששלושתם הם בעלי השכלה‬
‫גבוהה היא ‪ . 0.064‬ההסתברות לבחור באקראי אדם שמרכיב משקפיים מבין בעלי‬
‫השכלה גבוהה בעיר קטנה פי ‪ 2‬מההסתברות לבחור באקראי אדם שמרכיב‬
‫משקפיים מבין אלו שאינם בעלי השכלה גבוהה‪.‬‬
‫א‪ .‬ידוע שאדם מהעיר מרכיב משקפיים‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שהוא בעל השכלה גבוהה?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 4‬אנשים מבין תושבי העיר שאינם בעלי השכלה גבוהה‪.‬‬
‫‪81‬‬
‫ההסתברות שארבעתם אינם מרכיבים משקפיים היא‬
‫‪256‬‬
‫‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שאדם בעיר מרכיב משקפיים והוא גם בעל השכלה גבוהה?‬
‫‪401‬‬
‫‪ )4‬באחד הדוכנים בלונה פארק אפשר להשתתף במשחק שבו מסובבים שני‬
‫גלגלים‪ A ,‬ו‪ . B -‬כל גלגל מחולק ל‪ 20 -‬גזרות שוות (לכל אחת מהגזרות יש אותה‬
‫הסתברות שהגלגל ייעצר עליה‪ ,‬והגלגל אינו נעצר בגבול שבין הגזרות)‪.‬‬
‫בגלגל ‪ A‬יש ‪ 2‬גזרות אדומות והשאר שחורות‪.‬‬
‫בגלגל ‪ B‬יש ‪ 4‬גזרות אדומות והשאר שחורות‪.‬‬
‫תור אחד במשחק מורכב משני שלבים‪:‬‬
‫בשלב הראשון – משתתף במשחק מסובב את הגלגל ‪. A‬‬
‫בשלב השני – אם הגלגל ‪ A‬נעצר על גזרה אדומה בשלב הראשון‪ ,‬המשתתף מסובב‬
‫את הגלגל ‪ . B‬אם הגלגל ‪ A‬נעצר על גזרה שחורה בשלב הראשון‪ ,‬המשתתף מסובב‬
‫שוב את הגלגל ‪. A‬‬
‫א‪ .‬ידוע שבתור אחד בשלב הראשון נעצר הגלגל ‪ A‬על גזרה אדומה‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שבתור זה התקבלה בשלב השני גזרה שחורה?‬
‫ב‪ ) 1( .‬מהי ההסתברות שבתור אחד תתקבל לפחות גזרה אדומה אחת?‬
‫(‪ ) 2‬אם ידוע כי בתור אחד הייתה לפחות אחת מהגזרות אדומה‪ ,‬מהי ההסברות‬
‫שבתור זה התקבלה רק גזרה אדומה אחת?‬
‫ג‪ .‬משתתף משחק ‪ n‬תורות‪ .‬הבע באמצעות ‪ n‬את ההסתברות שלא תתקבל‬
‫כלל גזרה אדומה‪.‬‬
‫‪ )5‬ברשותנו שתי קוביות משחק הנראות זהות‪ .‬קובייה אחת מאוזנת והאחרת לא מאוזנת‪.‬‬
‫בהטלת הקובייה המאוזנ ת ההסתברות לקבל אחד מהמספרים הרשומים על פאות‬
‫הקובייה היא אותה הסתברות עבור כל אחד מהמספרים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫בהטלת הקובייה הלא ‪ -‬מאוזנת ההסתברות לקבל את המספר ‪ 6‬היא‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ )1( .‬זורקים ‪ 3‬פעמים את הקובייה המאוזנת‪.‬‬
‫מהי ההסתברות לקבל בדיוק ‪ 2‬פעמים את המספר ‪? 6‬‬
‫(‪ )2‬זורקים ‪ 3‬פעמים את הקובייה הלא ‪ -‬המאוזנת‪.‬‬
‫מהי ההסתברות לקבל בדיוק ‪ 2‬פעמים את המספר ‪? 6‬‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי אחת משתי קוביות‪ ,‬וזורקים ‪ 3‬פעמים את הקובייה שבוחרים‪.‬‬
‫(‪ )1‬מהי ההסתברות לקבל בדיוק ‪ 2‬פעמים את המספר ‪? 6‬‬
‫(‪ )2‬ידוע כי המספר ‪ 6‬התקבל בדיוק ‪ 2‬פעמים‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שנבחרה הקובייה הלא – מאוזנת?‬
‫ג‪ .‬זורקים ‪ n‬פעמים את הקובייה הלא – מאוזנת‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ n‬את ההסתברות לקבל לפחות פעם אחת את המספר ‪. 6‬‬
‫‪402‬‬
‫‪ )6‬משפחה יצאה לטיול במכונית הנוסעת על ‪ 4‬גלגלים חדשים‪.‬‬
‫בתא המטען של המכונית יש גלגל רזרבי אחד‪.‬‬
‫ההסתברות שיהיה נקר (פנצ'ר) בגלגל חדש בזמן הטיול היא ‪. 0.05‬‬
‫ההסתברות שיהיה נקר בגלגל הרזרבי בזמן הטיול היא ‪. 0.25‬‬
‫א‪ .‬מהי ההסתברות שיהיה נקר בדיוק בגלגל אחד מבין ארבעת הגלגלים החדשים?‬
‫ב‪ .‬בתחילת הטיול היה נקר בגלגל אחד‪ ,‬והמשפחה החליפה את הגלגל בגלגל הרזרבי‪.‬‬
‫(‪ )1‬מהי ההסתברות שאחרי ההחלפה יהיה נקר רק בגלגל הרזרבי‬
‫מבין ארבעת הגלגלים?‬
‫(‪ )2‬מהי ההסתברות שאחרי ההחלפה יהיה נקר רק בגלגל אחד מבין‬
‫ארבעת הגלגלים?‬
‫(‪ )3‬ידוע כי אחרי ההחלפה היה נקר רק בגלגל אחד מבין ארבעת הגלגלים‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שהנקר היה בגלגל הרזרבי?‬
‫‪ )7‬בחברת תקשורת גדולה נבדקו הרגלי הצפייה של הלקוחות‪ .‬נמצא כי מספר הלקוחות‬
‫שצופים בערוצי אקטואליה גדול פי ‪ 4‬ממספר הלקוחות שאינם צופים בהם‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ 75%‬מהלקוחות שאינם צופים בערוצי סרטים‪ ,‬צופים בערוצי אקטואליה‪.‬‬
‫מהלקוחות שצופים בערוצי סרטים‪ ,‬צופים בערוצי אקטואליה‪.‬‬
‫בוחרים באקראי לקוח מבין הלקוחות שהרגלי הצפייה שלהם נבדקו‪.‬‬
‫ההסתברות שהוא צופה בערוצי סרטים היא ‪. p‬‬
‫א‪ )1( .‬הבע באמצעות ‪ p‬את ההסתברות שהלקוח שנבחר צופה בערוצי‬
‫סרטים וגם בערוצי אקטואליה‪.‬‬
‫(‪ )2‬מצא את ‪. p‬‬
‫ב‪ ) 1( .‬נמצא שהלקוח שנבחר אינו צופה בערוצי סרטים‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שהוא אינו צופה בערוצי אקטואליה?‬
‫(‪ ) 2‬מבין הלקוחות שאינם צופים בערוצי סרטים בחרו באקראי ‪ 5‬לקוחות‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שלפחות ‪ 1‬מהם צופה בערוצי אקטואליה?‬
‫‪403‬‬
‫‪ )8‬בקבוצה של ‪ 40‬אנשים יש ‪ 16‬גברים והשאר נשים‪.‬‬
‫ל‪ 12 -‬גברים בקבוצה יש רישיון נהיגה‪ ,‬ול ‪ 16 -‬נשים בקבוצה יש רישיון נהיגה‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים באקראי אדם מהקבוצה‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שייבחר אדם שיש לו רישיון נהיגה‪.‬‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי אדם מהקבוצה‪ .‬לאחר שהאדם חוזר לקבוצה שוב בוחרים‬
‫באקראי אדם מהקבוצה‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שלפחות פעם אחת ייבחר אדם שיש לו רישיון נהיגה?‬
‫ג‪ .‬האם המאורע "לבחור מהקבוצה גבר" והמאורע "לבחור מהקבוצה אדם‬
‫שיש לו רישיון נהיגה" הם מאורעות בלתי תלויים? נמק‪.‬‬
‫ד‪ .‬לכמה נשים בקבוצה צריך שיהיה רישיון נהיגה כדי לקבוע שבקבוצה הנתונה‬
‫רישיון נהיגה אינו תלוי במ ין האדם? (מספר הגברים והנשים בקבוצה אינו‬
‫משתנה‪ ,‬ומספר הגברים בעלי רישיון אינו משתנה‪).‬‬
‫‪ )9‬חברה מייצרת טלפונים ניידים חדשניים עם "מסך תלת ממד"‪.‬‬
‫כדי לבדוק את הביקוש לטלפונים אלה‪ ,‬ערכה החברה סקר טלפוני‪.‬‬
‫בסקר השתתפו צעירים ומבוגרים‪ .‬חלק מהמשתתפים בסקר הצהירו שלא יקנו את‬
‫הטלפון החדשני והשאר הצהירו שיקנו אותו‪ .‬נמצא כי ‪ 50%‬מהמבוגרים הצהירו‬
‫כי יקנו את הטלפון החדשני‪.‬‬
‫‪ 2/3‬מבין אלה שהצהירו כי לא יקנו את הטלפון החדשני‪ ,‬היו צעירים‪.‬‬
‫‪ 1/5‬מהמשת תפים בסקר היו צעירים שגם טענו כי לא יקנו את הטלפון החדשני‪.‬‬
‫א‪ .‬בסקר השתתפו ‪ 2000‬איש‪.‬‬
‫כמה צעירים השתתפו בסקר?‬
‫ב‪ .‬כמה צעירים‪ ,‬מבין הצעירים שהשתתפו בסקר‪ ,‬הצהירו שיקנו את הטלפון החדשני?‬
‫‪ )10‬ענה על שני הסעיפים הבלתי תלויים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬מחלקים ‪ 2‬כדורים לבנים וכדור אחד שחור בין שני כדים‪.‬‬
‫בכל כד חייב להיות לפחות כדור אחד‪.‬‬
‫בוחרים באקראי כד ומוציאים ממנו כדור אחד‪.‬‬
‫מצא באיזה אופן צריך לחלק את הכדורים בין שני הכדים‪.‬‬
‫כדי שהסיכוי להוציא כדור לבן יהיה הגדול ביותר?‬
‫ב‪ .‬בכד אחד יש ‪ 5‬כדורים‪ 2 :‬לבנים ו ‪ 3 -‬שחורים‪.‬‬
‫(‪ )1‬מוציאים באקראי ‪ 5‬פעמים כדור מהכד עם החזרה (בכל פעם מחזירים‬
‫לכד את הכדור שהוצא)‪ .‬מהי ההסתברות להוציא בדיוק פעמיים כדור לבן?‬
‫(‪ )2‬מוציאים באקראי ‪ 6‬פעמים כדור מהכד עם החזרה‪ .‬מהי ההסתברות להוציא‬
‫בדיוק ‪ 3‬פעמים כדור לבן כך שהכדור הלבן השלישי יוצא בפעם השישית?‬
‫‪404‬‬
‫‪ )11‬נערך סקר בקרב מספר גדול של סטודנטים (בנים ובנות)‪.‬‬
‫חצי מהסטודנטים המשתתפים בסקר היו בנים‪ .‬בסקר נמצא כי מספר הבנות‬
‫הסובלות מרעש גדול פי ‪ 3‬ממספר הבנים הסובלים מרעש‪.‬‬
‫נמצא גם כי ‪ 5%‬מבין הבנים סובלים מרעש‪.‬‬
‫א‪ .‬ידוע כי אחד מהמשתתפים בסקר שנבחר באקראי‪ ,‬סובל מרעש‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שהנבחר הוא בת?‬
‫ב‪ .‬בחרו באקראי ‪ 5‬סטודנטים מבין משתתפי הסקר‪.‬‬
‫ידוע כי לכל היותר ‪ 2‬מבין ‪ 5‬הסטודנטים שנבחרו באקראי‪ ,‬סובלים מרעש‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שבדיוק אחד מהם סובל מרעש?‬
‫‪ )12‬בחדר ‪ I‬נמצאים ‪ k‬נשים ו‪ k -‬גברים ‪ .  k  1‬בחדר ‪ II‬נמצאים ‪ k‬נשים ו‪ 3k -‬גברים‪.‬‬
‫מטילים קובייה מאוזנת‪ .‬אם מתקבל מספר המתחלק ב ‪ , 3 -‬בוחרים בזה אחר זה בלי‬
‫החזרה‪ 2 ,‬אנשים מחדר ‪ . I‬אם מתקבל מספר שאינו מתחלק ב‪ , 3 -‬בוחרים בזה אחר‬
‫זה בלי החזרה‪ 2 ,‬אנשים מחדר ‪ . II‬כאשר בוחרים באופן זה‪ ,‬ההסתברות‬
‫לבחור ‪ 2‬נשים מחדר ‪ I‬גדולה פי ‪ 15/7‬מההסתברות לבחור ‪ 2‬נשים מחדר ‪. II‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ההסתברות לבחור ‪ 2‬נשים באופן שתואר‪.‬‬
‫ג‪ .‬ידוע שנבחר לפחות גבר אחד באופן שתואר‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שנבחרו בדיוק ‪ 2‬גברים מחדר ‪? I‬‬
‫‪ )13‬הוועדה המארגנת של התחרות "נולד לשיר" מתלבטת אם ישפוט בתחרות‬
‫רק שופט א' או יצטרפו אליו שני שופטים נוספים‪ :‬שופט ב' ושופט ג'‪.‬‬
‫ההצבעה של שופט א' לא תשתנה אם הוא ישפוט לבד או אם ישפוט עם האחרים‪.‬‬
‫ההצבעה של כל אחד מהשוטפים אינה תלויה בהצבעה של השופטים האחרים‪.‬‬
‫אם ישפוט בתחרות רק שופט א' ‪ -‬יעבור המתחרה לשלב נוסף בתחרות אם השופט‬
‫יצביע בעדו‪ .‬אם ישפטו שלושת השופטים – יעבור המתחרה לשלב נוסף בתחרות‬
‫אם לפחות ‪ 2‬מהשופטים יצביעו בעדו‪ .‬יוסי הוא אחד המתמודדים בתחרות‪.‬‬
‫נתון כי ההסתברות ששופט א' יצביע בעד יוסי שווה להסתברות ששופט ב' יצביע בעדו‪.‬‬
‫ההסתברות ששופט ג' יצביע בעד יוסי היא ‪. 0.5‬‬
‫א‪ .‬האם ההסתברות שיוסי יעבור לשלב נוסף בתחרות אם ישפוט בתחרות רק‬
‫שופט א'‪ ,‬שווה להסתברות שיוסי יעבור לשלב נוסף בתחרות אם ישפטו‬
‫בתחרות שלושת השופטים? נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬לבסוף הוחלט שבתחרות ישפטו שלושת השופטים‪.‬‬
‫נתון כי ההסתברות‪ ,‬ששופט א' הצביע בעד יוסי אם ידוע כי יוסי עבר לשלב‬
‫נוסף בתחרות גדולה מ‪. 0.8 -‬‬
‫מצא את תחום הערכים של ההסתברות ששופט א' הצביע בעד יוסי‪.‬‬
‫‪405‬‬
‫‪ )14‬מבין כל תלמידי י"ב בעיר מסוימת מאתרים תלמידים שיתאימו לקורס ייחודי‪.‬‬
‫הקורס מתאים רק לתלמידים שיש להם יכולת טכני‪.‬‬
‫הבוחנות מאבחנות ‪ 80%‬מבין התלמידים שאכן יש להם יכולת כבעלי יכולת טכנית‪,‬‬
‫ומאבחנות ‪ 10%‬מבין התלמידים שאין להם יכולת טכנית כבעלי יכולת טכנית‪.‬‬
‫מבין התלמידים שאובחנו כבעלי יכולת טכנית‪ ,‬אחוז התלמידים שאכן יש להם יכולת‬
‫טכנית גדול פי ‪ 4‬מאחוז התלמידים (בקבוצה זו) שאין להם יכולה זו‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי ההסתברות שלתלמיד י"ב בעיר זו אכן יש יכולת טכנית?‬
‫ב‪ .‬באותה עיר כל אלה שאובחנו כבעלי יכולת טכנית השתתפו בקורס ורק הם‪.‬‬
‫בעיר יש ‪ 600‬תלמידי י"ב‪.‬‬
‫מבין המשתתפים בקורס לכמה תלמידים אין יכולת טכנית?‬
‫‪ )15‬בעיר מסוימת יש תושבים המשתתפים בחוג לריקודי עם‪ ,‬יש תושבים המשתתפים‬
‫בחוג לתאטרון ויש תושבים המשתתפים בשני החוגים‪ .‬נמצא כי המאורע "תושב העיר‬
‫משתתף בחוג לריקודי עם" והמאורע "תושב העיר משתתף בחוג לתאטרון" הם‬
‫מאורעות בלתי תלויים‪ .‬מספר התושבים שמשתתפים בחוג לריקודי עם גדול‬
‫פי ‪ 2‬ממספר התושבים שמשתתפים בחוג לתיאטרון‪.‬‬
‫מבין התושבים שמשתתפים בחוג לתאטרון‪ 60% ,‬משתתפים בחוג לריקודי עם‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו אחוז התושבים בעיר שמשתתפים בחוג לריקודי עם וגם בחוג לתאטרון?‬
‫ב‪ .‬יום אחד נערך בעיר כנס שהשתתפו בו כל התושבים המשתתפים לריקודי עם‪ ,‬ורק‬
‫הם‪ .‬עיתונאי ראיין ‪ 6‬משתתפים בכנס שנבחרו באקראי‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שלפחות ‪ 2‬מהם משתתפים בחוג לתאטרון?‬
‫‪ )16‬אבא ודני משחקים בזריקת כדור לסל‪ .‬בכל משחק שני סיבובים‪ .‬המנצח בסיבוב מקבל‬
‫נקודה אחת‪ .‬אם הסיבוב מסתיים בתיקו‪ ,‬כל אחד מקבל חצי נקודה‪.‬‬
‫נתון‪ :‬ההסתברות שדני ינצח בסיבוב היא ‪, 0.1‬‬
‫ההסתברות שאבא ינצח בסיבוב היא ‪. 0.2‬‬
‫ההסתברות שהסיבוב יסתיים בתיקו היא ‪. 0.7‬‬
‫הסיבובים אינם תלויים זה בזה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי ההסתברות שאבא יצבור בשני הסיבובים יותר מנקודה אחת?‬
‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שדני יצבור בשני הסיבובים לפחות נקודה אחת?‬
‫ג‪ .‬ידוע כי דני צבר בשני הסיבובים לפחות נקודה אחת‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שאחד הסיבובים הסתיים בתיקו והאחר הסתיים בניצחון של דני?‬
‫ד‪ .‬אבא ודני משחקים ‪ 4‬פעמים את המשחק שמתואר בפתיח (בכל משחק שני‬
‫סיבובים)‪ .‬מהי ההסתברות שדני יצבור לפחות נקודה אחת ‪ 2‬פעמים בדיוק?‬
‫‪406‬‬
‫‪ )17‬בעיר גדולה כל אחד מתלמידי כיתה י"ב בשנה מסוימת בוחר באחד משני‬
‫המסלולים לטיול שנתי‪ :‬מסלול א' או מסלול ב'‪.‬‬
‫נמצא‪ 75% :‬מן התלמידים שבחרו במסלול א' הן בנות‪.‬‬
‫‪ 10%‬מן הבנות בחרו במסלול ב'‪.‬‬
‫‪ 40%‬מן התלמידים הן בנות‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים באקראי תלמיד י"ב (בן‪/‬בת)‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שהוא בחר במסלול א'?‬
‫ב‪ .‬כאשר בוחרים באקראי תלמיד י"ב (בן‪/‬בת)‪ ,‬האם המאורע "התלמיד הוא בת"‬
‫והמאורע "התלמיד (בן‪/‬בת) בחר במסלול א'" הם מאורעות בלתי תלויים? נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬בחרו באקראי כמה בנות מבין התלמידים‪.‬‬
‫נמצא שההסתברות שלפחות אחת מהן בחרה במסלול א' היא ‪. 0.99‬‬
‫(הבחירות של המסלולים על ידי הבנות שנבחרו הן בלתי תלויים)‪.‬‬
‫כמה בנות נבחרו?‬
‫‪407‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪)1‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪)3‬‬
‫‪)4‬‬
‫‪27‬‬
‫א‪ 10% .‬מהמקרים בוצעה אבחנה שגויה‪ .‬ב‪.‬‬
‫‪32‬‬
‫‪19‬‬
‫‪7‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪221‬‬
‫‪17‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪.0.05 .‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪17‬‬
‫ג‪. 0.81n .‬‬
‫א‪ 0.8 .‬ב‪)2( .0.19 )1( .‬‬
‫‪19‬‬
‫‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪16‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫ג‪.1    .‬‬
‫(‪)2‬‬
‫ב‪)1( .‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪ )5‬א‪)1( .‬‬
‫‪72‬‬
‫‪6859‬‬
‫‪ )6‬א‪.‬‬
‫‪40000‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ )7‬א‪p )1( .‬‬
‫‪6‬‬
‫‪9‬‬
‫‪21‬‬
‫‪48‬‬
‫‪3‬‬
‫‪19‬‬
‫‪2527‬‬
‫‪6859‬‬
‫‪.‬‬
‫(‪)3‬‬
‫(‪)2‬‬
‫ב‪)1( .‬‬
‫‪8000‬‬
‫‪32000‬‬
‫‪28‬‬
‫‪1023‬‬
‫‪.‬‬
‫(‪ 0.6 )2‬ב‪)2( 0.25 )1( .‬‬
‫‪1024‬‬
‫‪ )8‬א‪ 0.7 .‬ב‪ 0.91 .‬ג‪ .‬לא‪ .‬ד‪. 18 .‬‬
‫‪ )9‬א‪ 1600 .‬ב‪.1200 .‬‬
‫‪432‬‬
‫‪216‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪ )10‬א‪ .‬כד א'‪ 1 :‬לבן‪ ,‬כד ב'‪ 1 :‬לבן ו‪ 1 -‬שחור‪ .‬ב‪)1( .‬‬
‫‪3125‬‬
‫‪625‬‬
‫‪45‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ )11‬א‪.‬‬
‫‪136‬‬
‫‪4‬‬
‫‪15‬‬
‫‪11‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ )12‬א‪ k  4 .‬ב‪.‬‬
‫‪188‬‬
‫‪105‬‬
‫‪ )13‬א‪ .‬ההסתברות שווה‪ .‬ב‪. 0.6  p  1 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )14‬א‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪ 40 .‬תלמידים‪.‬‬
‫‪ )15‬א‪ 18% .‬ב‪. 0.58798 .‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ )16‬א‪ 0.32 .‬ב‪ 0.68 .‬ג‪.‬‬
‫‪34‬‬
‫ד‪. 0.284 .‬‬
‫‪ )17‬א‪ 0.48 .‬ב‪ .‬המאורעות הם בלתי תלויים ג‪ .‬שתי בנות‪.‬‬
‫‪408‬‬
‫‪.‬‬
‫פרק ‪ – 17‬גיאומטריה אוקלידית – תרגול מבגרויות‪:‬‬
‫‪ ABC )1‬הוא משולש שווה צלעות החסום במעגל‪.‬‬
‫‪ N‬ו‪ P -‬הו נקודות על המעגל‪.‬‬
‫‪ BN‬ו‪ AP -‬נפגשים בנקודה ‪( S‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. PC BN :‬‬
‫הוכח כי‪:‬‬
‫א‪ .‬המשולש ‪ BSP‬הוא שווה צלעות‪.‬‬
‫ב‪ .‬המרובע ‪ SPCN‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫ג‪. AN  PC .‬‬
‫‪ ABCD )2‬הוא דלתון שבו ‪ AB  AD‬ו ‪. BC  DC -‬‬
‫‪ E‬נקודה על הצלע ‪ , BC‬ו ‪ F -‬נקודה על הצלע ‪. DC‬‬
‫כך ש ‪ DE -‬חוצה את הזווית ‪, ADC‬‬
‫ו‪ BF -‬חוצה את הזווית ‪. ABC‬‬
‫‪ BF‬ו‪ DE -‬נפגשים בנקודה ‪( G‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫(‪. GB  GD )1‬‬
‫(‪. BGE  DGF )2‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ DBEF‬הוא טרפז שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪ )3‬במשולש שווה שוקיים ‪ABC‬‬
‫‪ AC  AB‬‬
‫חסום מלבן ‪ GFED‬כך שהקדקודים ‪ D‬ו‪E -‬‬
‫מונחים על הצלע ‪ , AB‬והקדקודים ‪ F‬ו‪G -‬‬
‫מונחים על הצלעות ‪ BC‬ו‪ CA -‬בהתאמה‪.‬‬
‫נקודה ‪ , L‬הנמצאת על צלע המלבן ‪, GF‬‬
‫היא מפגש התיכונים במשולש ‪. ABC‬‬
‫דרך הנקודה ‪ L‬העבירו אנך לצלע ‪, BC‬‬
‫החותך את ‪ BC‬בנקודה ‪( K‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. KAB ~ KLF ~ EFB‬‬
‫אם ‪ 15‬ס"מ ‪ 18 , AB ‬ס"מ ‪ , BC ‬חשב‪:‬‬
‫ב‪ .‬את אורך הקטע ‪ . KF‬נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬את אורך הקטע ‪ . FE‬נמק‪.‬‬
‫‪409‬‬
‫‪ )4‬במעגל המיתר ‪ AB‬חותך את הקוטר ‪CD‬‬
‫בנקודה ‪ , G‬ואת הקוטר ‪ FE‬בנקודה ‪( H‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬אם ‪ 2‬ס"מ ‪ 5.5 , AG  BH ‬ס"מ ‪, GB ‬‬
‫ורדיוס המעגל הוא ‪ 6‬ס"מ‪ ,‬מצא את האורך‬
‫של הקטע ‪ GC‬ואת האורך של הקטע ‪. HE‬‬
‫נמק‪ GC ( .‬ו‪ HE -‬קטנים מרדיוס המעגל)‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי ‪. AC  BE‬‬
‫‪ )5‬במעגל שמרכזו ‪ O‬חסום מרובע ‪. ABCD‬‬
‫‪ DC‬הוא קוטר‪ .‬המשכי הצלעות ‪ DA‬ו‪CB -‬‬
‫נפגשים בנקודה ‪( E‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. BOC   , OB DE :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את ‪. ABO‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי שטח המשולש ‪ OBC‬שווה לשטח‬
‫המשולש ‪ . BEA‬הוכח כי ‪. OBC  BEA‬‬
‫‪ )6‬נתון ריבוע ‪. ABCD‬‬
‫דרך הקדקוד ‪ B‬העבירו ישר ‪. TR‬‬
‫‪ AR‬ו‪ CT -‬מאונכים לישר זה (ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. AR  CT  TR :‬‬
‫ב‪ .‬הבע את שטח המרובע ‪ACTR‬‬
‫באמצעות ‪. TR‬‬
‫‪ )7‬נתון משולש ‪ ABC‬חד זווית‪.‬‬
‫‪ BE‬הוא גובה לצלע ‪, AC‬‬
‫ו‪ AD -‬הוא גובה לצלע ‪. BC‬‬
‫הגבהים נפגשים בנקודה ‪. N‬‬
‫‪ FM‬הוא אנך אמצעי לצלע ‪, AC‬‬
‫ו‪ GM -‬הוא אנך אמצעי לצלע ‪( BC‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫(‪. BAC  GFC )1‬‬
‫(‪. ABN  MFG )2‬‬
‫(‪. ANB ~ GMF )3‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪BN‬‬
‫מצא את היחס‬
‫‪FM‬‬
‫‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪410‬‬
‫‪ )8‬נתון משולש חד‪-‬זווית ‪. ABC‬‬
‫‪ CE‬הוא גובה לצלע ‪ BA‬ו ‪ BD -‬הוא גובה לצלע ‪. AC‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫(‪ )1‬המשולש ‪ DBC‬חסום במעגל‬
‫החוסם את המשולש ‪. EBC‬‬
‫(‪. DBC  DEC )2‬‬
‫‪ BF‬ו‪ CG -‬מאונכים להמשכי הקטע ‪ ED‬כמתואר‪.‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫ב‪. DCB ~ FEB .‬‬
‫ג‪. DGC ~ BEC .‬‬
‫‪ )9‬נתון טרפז שווה שוקיים ‪.  BC AD  ABCD‬‬
‫דרך הקדקוד ‪ D‬העבירו אנך ל‪ AD -‬וישר‬
‫המקביל לשוק ‪ . AB‬האנך חותך את המשך‬
‫האלכסון ‪ AC‬בנקודה ‪ , M‬והישר המקביל‬
‫חותך את המשך האלכסון בנקודה ‪( F‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נסמן ‪. CAD   , BAC  ‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. ABC ~ FDA‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי ‪. CDM  MDF‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪AC MC‬‬
‫הוכח כי‬
‫‪‬‬
‫‪AF MF‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )10‬שני מעגלים‪ ,‬שיש להם אותו רדיוס ‪, R‬‬
‫משיקים זה לזה בנקודה ‪. M‬‬
‫מעבירים מיתר ‪ MB‬במעגל שמרכזו ‪, O 2‬‬
‫ומיתר ‪ MA‬במעגל שמרכזו ‪O1‬‬
‫כך ש ‪( AMB  90 -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ )1( .‬נמק מדוע ‪. O1MO2  180‬‬
‫(‪ )2‬הוכח כי ‪. AO1 BO2‬‬
‫ב‪ .‬במשולש ‪ AMB‬העבירו תיכון לצלע ‪. AB‬‬
‫הבע באמצעות ‪ R‬את אורך התיכון‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪411‬‬
‫‪ )11‬מנקודה ‪ A‬יוצאים למעגל חותך ‪AF‬‬
‫וישר המשיק למעגל בנקודה ‪. N‬‬
‫החותך נפגש עם המעגל בנקודות ‪ D‬ו‪. E -‬‬
‫מנקודה ‪ F‬יוצא ישר המשיק למעגל בנקודה ‪, M‬‬
‫ונפגש עם המשך המשיק ‪ AN‬בנקודה ‪( B‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. AD  DE  EF :‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫א‪. AN  MF .‬‬
‫ב‪. ADN  FEM .‬‬
‫ג‪ .‬במרובע ‪ MNDE‬יש שתי צלעות מקבילות זו לזו‪.‬‬
‫‪ )12‬נתון משולש ‪ . ABC‬הנקודות ‪ E , D‬ו ‪F -‬‬
‫נמצאות על הצלעות ‪ AC , AB‬ו ‪ BC -‬בהתאמה‬
‫כך ש ‪ DE BC -‬ו ‪( FE BA -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬נתון‪ :‬שטח המשולש ‪ ADE‬הוא ‪, S1‬‬
‫שטח המשולש ‪ EFC‬הוא ‪. S2‬‬
‫‪BF‬‬
‫הבע באמצעות ‪ S1‬ו‪ S2 -‬את היחס‬
‫‪FC‬‬
‫‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי שטח המשולש ‪ BEF‬שווה ל‪. S1  S2 -‬‬
‫‪ )13‬במשולש ישר זווית ‪CAB  90 CAB‬‬
‫‪‬‬
‫הניצב ‪ AB‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫היתר ‪ BC‬חותך את המעגל גם בנקודה ‪. P‬‬
‫המשיק למעגל בנקודה ‪ P‬חותך את‬
‫הניצב ‪ CA‬בנקודה ‪( E‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. CE  EA‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪CP 2‬‬
‫אם נתון כי ‪‬‬
‫‪EA 3‬‬
‫המשולש ‪ CPE‬הוא ‪ 2‬סמ"ר‪,‬‬
‫מצא את שטח המשולש ‪ . PAB‬נמק‪.‬‬
‫‪ ,‬וכי שטח‬
‫‪412‬‬
‫‪ )14‬במשולש ישר זווית ‪ACB  90 ABC‬‬
‫‪‬‬
‫‪ AF‬הוא תיכון לצלע ‪. BC‬‬
‫התיכונים במשולש נפגשים בנקודה ‪. M‬‬
‫דרך הנקודה ‪ M‬העבירו ישר המקביל לצלע ‪, BC‬‬
‫וחותך את הצלעות ‪ AB‬ו‪ AC -‬בנקודות ‪ D‬ו ‪E -‬‬
‫בהתאמה (ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪DE‬‬
‫חשב את היחס‬
‫‪BC‬‬
‫‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי ‪ DC‬הוא חוצה זווית ‪. ACB‬‬
‫חשב את גודל הזוויות החדות במשולש ‪. ABC‬‬
‫‪ )15‬במשולש ‪ ABC‬הנקודות ‪ D‬ו‪ E -‬נמצאות על הצלעות ‪ AB‬ו‪AC -‬‬
‫בהתאמה כך ש‪ CD . DE BC -‬ו‪ BE -‬נחתכים בנקודה ‪. F‬‬
‫‪ AF‬חותך את ‪ DE‬בנקודה ‪ , M‬והמשכו חותך את ‪ BC‬בנקודה ‪( N‬ראה ציור)‪.‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪DM EM‬‬
‫=‬
‫‪BN CN‬‬
‫‪EM DM‬‬
‫‪.‬‬
‫=‬
‫‪BN CN‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ DM=EM‬ו‪. BN=CN -‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ BA )16‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫דרך ‪ O‬העבירו אנך ל ‪. BA -‬‬
‫המשיק למעגל בנקודה ‪ P‬חותך את‬
‫האנך בנקודה ‪ . L‬המשך המיתר ‪AP‬‬
‫חותך את האנך בנקודה ‪ , K‬והמיתר ‪BP‬‬
‫חותך את האנך בנקודה ‪( M‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. KL=LM‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ 24 :‬ס"מ =‪ , BP‬רדיוס המעגל הוא ‪ 13‬ס"מ‪.‬‬
‫המשיק למעגל בנקודה ‪ P‬חותך את המשך‬
‫הקוטר ‪ BA‬בנקודה ‪ . F‬מצא את אורך הקטע ‪. AF‬‬
‫‪413‬‬
‫‪ )17‬נתון כי במשולש ‪ AEF‬חוצה זווית ‪EAF‬‬
‫הוא ‪ D . AD‬היא נקודת ההשקה של הצלע ‪EF‬‬
‫למעגל‪ ,‬החותך את הצלעות ‪ AE‬ו ‪AF -‬‬
‫בנקודות ‪ B‬ו ‪ C -‬בהתאמה‪.‬‬
‫המעגל עובר גם דרך קדקוד ‪( A‬ראה ציור)‪.‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫א‪. BC EF .‬‬
‫ב‪. ABD ~ DCF .‬‬
‫ג‪. AD  BD  DF  AB .‬‬
‫‪ )18‬נתונה מקבילית ‪ E . ABCD‬ו‪ H -‬הן נקודות‬
‫על המשכי הצלעות ‪ CD‬ו ‪ AB -‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪ EH‬חותך את ‪ AD‬ואת ‪ BC‬בנקודות ‪ F‬ו ‪G -‬‬
‫בהתאמה (ראה ציור)‪ .‬נתון ‪. ED=EF‬‬
‫א‪ )1( .‬הוכח כי ‪. HG=HB‬‬
‫(‪ )2‬הוכח כי ‪. AGH  FBH‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם‪ 2 :‬ס"מ =‪ 3 , FD‬ס"מ =‪, EF‬‬
‫‪ 7‬ס"מ =‪ 4 , BG‬ס"מ =‪. AB‬‬
‫(‪ )1‬מצא את האורך של ‪. BH‬‬
‫‪AF‬‬
‫(‪ )2‬מצא את היחס‬
‫‪GC‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )19‬שני מעגלים ‪ I‬ו‪ II -‬נחתכים בנקודות ‪ G‬ו‪. F -‬‬
‫הישר ‪ ST‬משיק למעגל ‪ I‬בנקודה ‪, S‬‬
‫ולמעגל ‪ II‬בנקודה ‪. T‬‬
‫המשך ‪ SF‬חותך את מעגל ‪ II‬בנקודה ‪, B‬‬
‫והמשך ‪ TF‬חותך את מעגל ‪ I‬בנקודה ‪A‬‬
‫(ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪ST TB‬‬
‫הוכח כי‬
‫=‬
‫‪AS ST‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ )1( .‬הוכח כי ‪. AGF  SFA  SAF‬‬
‫(‪ )2‬הוכח כי אם הנקודות ‪ G , A‬ו ‪ B -‬נמצאות על ישר אחד‪ ,‬אז ‪SFA  60‬‬
‫‪414‬‬
‫‪ )20‬הצלעות ‪ CA‬ו ‪ CB -‬של המשולש ‪ ABC‬משיקות למעגל‬
‫בנקודות ‪ D‬ו ‪ B -‬בהתאמה‪ .‬קוטר המעגל ‪ FB‬מונח על‬
‫הצלע ‪ . AB‬נקודה ‪ E‬נמצאת על הצלע ‪ AC‬כך ש‪EF -‬‬
‫משיק למעגל (ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬האם המרובע ‪ FEDB‬הוא בר חסימה במעגל? נמק‪.‬‬
‫נתון‪ 15 :‬ס"מ =‪ 5 , EC‬ס"מ =‪. AE‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪. CB+EF=ED+CD :‬‬
‫ג‪ .‬חש את האורך של ‪ . EF‬נמק‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את גודל הזוויות במשולש ‪. FDB‬‬
‫‪ )21‬נתון משולש ‪ . KHE‬נקודות ‪ M‬ו‪ G -‬נמצאות‬
‫על הצלעות ‪ KH‬ו‪ EH -‬בהתאמה כך ש‪. GM EK -‬‬
‫נקודה ‪ F‬נמצאת על הצלע ‪ . EH‬המשכי הקטעים ‪GM‬‬
‫ו‪ FK -‬נפגשים בנקודה ‪( L‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. KML  KFH :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. KHE ~ FLG‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪EF 3‬‬
‫נתון גם‪ :‬‬
‫‪GE 5‬‬
‫‪ 12.5 ,‬ס"מ =‪ 5 , EH‬ס"מ =‪. LG‬‬
‫(‪ )1‬מצא את האורך של ‪. EK‬‬
‫‪MH‬‬
‫(‪ )2‬מצא את היחס‬
‫‪KH‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )22‬משולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪ .‬המיתר ‪ AF‬חותך‬
‫את ‪ BC‬בנקודה ‪ . G‬המיתר ‪ AE‬חותך את ‪BC‬‬
‫בנקודה ‪( D‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. BAF  CAE , BF  BG :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. AGB  ACE‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם‪ 2 :‬ס"מ =‪ 5 , CE‬ס"מ =‪ 6 , AC‬ס"מ =‪. GC‬‬
‫חשב את האורך של המיתר ‪. AE‬‬
‫‪415‬‬
‫‪ )23‬ענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי אם במשולש שני תיכונים שווים זה לזה‬
‫המשולש הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬במשולש ‪ ABC‬הנקודות ‪ M , L‬ו ‪ K -‬הן אמצעי‬
‫הצלעות ‪ CA , CB‬ו‪ AB -‬בהתאמה‪ .‬הנקודה ‪P‬‬
‫היא נקודת מפגש של התיכונים במשולש‪ ,‬ונתון‬
‫שהיא נמצאת על מעגל העובר דרך הנקודות ‪M , L‬‬
‫ו‪( C -‬ראה ציור)‪ .‬נתון גם כי ‪. AL=BM‬‬
‫(‪ )1‬הוכח כי ‪. BM  AC‬‬
‫(‪ )2‬הוכח כי ‪. AK=AM‬‬
‫‪ )24‬מרובע ‪ AKLM‬חסום במעגל‪ AM .‬הוא קוטר‪ .‬אלכסוני‬
‫המרובע נפגשים בנקודה ‪( F‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ 30 :‬ס"מ =‪ a , ML‬ס"מ =‪FL‬‬
‫שטח המשולש ‪ ALK‬קטן פי ‪ 3‬משטח המשולש ‪. ALM‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך הגובה לצלע ‪ LA‬במשולש ‪. ALK‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את אורך הקטע ‪. KF‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי ‪. AFM ~ KFL‬‬
‫ד‪ .‬נתון גם ‪ 42.5‬ס"מ =‪. ML  a , AF‬‬
‫מצא את ‪. a‬‬
‫‪ )25‬נתונה מקבילית ‪ . ABCD‬הצלע ‪ AB‬משיקה‬
‫למעגל שמרכזו ‪ O‬בנקודה ‪ . F‬המשך הצלע ‪CB‬‬
‫משיק למעגל בנקודה ‪( G‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. AF=AD :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הנקודה ‪ F‬נמצאת על הישר ‪. DG‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם‪. FC  DC , BO=BC :‬‬
‫(‪ )1‬הוכח כי ‪. OF=FC‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪ )2‬הוכח כי ‪. FB= BO‬‬
‫‪416‬‬
‫‪ )26‬משולש שווה צלעות ‪ ABC‬חסום במעגל‪ .‬נקודות ‪ D‬ו‪L -‬‬
‫נמצאות על המעגל כך ש‪ . BD LC -‬המיתרים ‪AL‬‬
‫ו‪ BD -‬נחתכים בנקודה ‪( E‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ LEDC‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫ב‪ )1( .‬הוכח כי ‪ ADE‬הוא משולש שווה צלעות‪.‬‬
‫(‪ )2‬הוכח כי ‪. LC+LB=LA‬‬
‫‪ )27‬מנקודה ‪ A‬יוצא ישר המשיק למעגל בנקודה ‪, B‬‬
‫ויוצא ישר אחר החותך את המעגל בנקודות ‪ C‬ו‪. D -‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא אמצע המיתר ‪. DC‬‬
‫הנקודה ‪ M‬היא מרכז המעגל (ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ AEMB‬הוא בר חסימה במעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬אלכסוני המרובע ‪ , AEMB‬שהוא בר חסימה במעגל‪,‬‬
‫נפגשים בנקודה ‪. T‬‬
‫נתון כי הנקודה ‪ T‬היא מפגש התיכונים במשולש ‪. BDC‬‬
‫הוכח כי ‪. TB2  2MT  TA‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫ס"מ =‪ 1 , TE‬ס"מ =‪. MT‬‬
‫מצא את רדיוס המעגל החוסם את המרובע ‪. AEMB‬‬
‫‪ AC )28‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O1‬‬
‫‪ BD‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O 2‬‬
‫ישר משיק למעגלים ‪ O1‬ו‪O 2 -‬‬
‫בנקודות ‪ A‬ו ‪ B -‬בהתאמה‪.‬‬
‫המשיק חותך את קטע המרכזים ‪O1O2‬‬
‫בנקודה ‪( E‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ :‬רדיוס המעגל ‪ O1‬הוא ‪ 30‬ס"מ‪.‬‬
‫רדיוס המעגל ‪ O 2‬הוא ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫אורך קטע המרכזים ‪ O1O2‬הוא ‪ 90‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪O1E‬‬
‫(‪ )1‬מצא את היחס‬
‫‪O2C‬‬
‫‪ .‬נמק‪.‬‬
‫(‪ )2‬הוכח כי ‪. EO1C ~ EO2 D‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי הנקודה ‪ E‬נמצאת על הישר ‪. CD‬‬
‫‪417‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪)3‬‬
‫‪)4‬‬
‫‪)5‬‬
‫‪)6‬‬
‫ב‪ 3 .‬ס"מ‪ .‬ג‪ 4.8 .‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ 1 .‬ס"מ‪ 1 ,‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪. ABO  90 - 0.5 .‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪. 0.5  TR  .‬‬
‫‪ )7‬ב‪.2 .‬‬
‫‪ )10‬ב‪. R .‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪ )12‬א‪.‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )13‬ב‪ 32 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )14‬א‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪55‬‬
‫‪ 5‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ )16‬ב‪.‬‬
‫‪119‬‬
‫ב‪. 26.57 , 63.43 .‬‬
‫‪29‬‬
‫‪ )18‬ב‪ 10.5 )1( .‬ס"מ (‪)2‬‬
‫‪14‬‬
‫‪ )20‬א‪ .‬לא‪ .‬ג‪ 3 .‬ס"מ ד‪. 26.57 , 90 , 63.43 .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪MH 2‬‬
‫‪ )21‬ב‪ 7.5 )1( .‬ס"מ (‪)2‬‬
‫‪‬‬
‫‪KH 5‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )22‬ב‪ 41 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪ )24‬א‪ 10 .‬ס"מ ב‪a  900 .‬‬
‫‪3‬‬
‫ס"מ ד‪. a  7.5 .‬‬
‫‪ )27‬ג‪ 3 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ )28‬א‪)1( .‬‬
‫‪5‬‬
‫‪.‬‬
‫‪418‬‬
‫פרק ‪ – 18‬טריגונומטריה – תרגול מבגרויות‪:‬‬
‫‪ )1‬בטרפז שווה שוקיים ‪DC  ABCD‬‬
‫‪ AB‬‬
‫אורך הבסיס הגדול ‪ CD‬הוא ‪, a‬‬
‫אורך הבסיס הקטן ‪ AB‬הוא ‪b‬‬
‫ואורך השוק הוא ‪. d‬‬
‫הזווית ליד הבסיס הגדול ‪ DC‬היא ‪( ‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי אורך אלכסון הטרפז הוא ‪. ab  d 2‬‬
‫ב‪ .‬הזווית בין אלכסון הטרפז ובין הבסיס הגדול של הטרפז היא ‪. ‬‬
‫‪sin ‬‬
‫‪a 2  ab‬‬
‫הוכח כי אם ‪     90‬אז‬
‫‪‬‬
‫‪sin     ‬‬
‫‪2b 2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )2‬בטרפז שווה שוקיים ‪ABCD‬‬
‫הזווית ליד הבסיס הגדול היא ‪. ‬‬
‫‪ E‬היא נקודה על השוק ‪ AD‬כך ש‪ECD   -‬‬
‫(ראה ציור)‪ .‬נתון כי אורך השוק של הטרפז שווה‬
‫לאורך הבסיס הקטן ‪. AB‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את היחס בין השטח המשולש ‪ DEC‬לשטח‬
‫‪ SDEC ‬‬
‫המשולש ‪ BDC‬‬
‫‪ SBDC ‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון ‪ , AEC  90‬אורך אלכסון הטרפז גדול פי ‪ 1.5‬מאורך הבסיס הקטן ‪. AB‬‬
‫‪SDEC‬‬
‫חשב את היחס‬
‫‪SBDC‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ B , A )3‬ו‪ C -‬הן נקודות על מעגל שמרכזו ‪. M‬‬
‫‪ AC‬ו‪ BM -‬נחתכים בנקודה ‪( D‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪, CBM  2 ACB :‬‬
‫שטח המשולש ‪ CBD‬גדול פי ‪ 1.5‬משטח המשולש ‪. CDM‬‬
‫חשב את ‪. CBM‬‬
‫‪419‬‬
‫‪ )4‬בטרפז ‪BC  ABCD‬‬
‫‪ AD‬‬
‫נתון‪, BC  b , AB  a , AC  BD :‬‬
‫‪.  d  b  AD  d , CD  c‬‬
‫אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה ‪( O‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. a2  c2  b2  d 2 :‬‬
‫ב‪ .‬דרך קדקוד ‪ B‬מעבירים ישר המקביל לשוק ‪. CD‬‬
‫הישר חותך את הבסיס ‪ AD‬בנקודה ‪. M‬‬
‫‪bd‬‬
‫נתון ‪ , ABM  ‬הוכח כי‪:‬‬
‫‪ac‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪. cos  ‬‬
‫הבע באמצעות ‪ b , ‬ו‪: d -‬‬
‫(‪ )1‬את שטח המשולש ‪. ABM‬‬
‫(‪ )2‬את שטח הטרפז ‪. ABCD‬‬
‫‪ )5‬בציור שלפניך טרפז שווה שוקיים ‪.  AD BC  ABCD‬‬
‫נתון‪. BDC   , CAD   :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי היחס בין שטח‬
‫המשולש ‪ AED‬לשטח‬
‫‪2‬‬
‫‪SAED sin  2   ‬‬
‫‪.‬‬
‫המשולש ‪ BEC‬הוא‬
‫‪‬‬
‫‪SBEC‬‬
‫‪sin 2 ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪SAED 1‬‬
‫נתון גם‪,   30 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪SBEC 4‬‬
‫‪ .‬מצא את ‪. ‬‬
‫‪ )6‬הנקודה ‪ O‬היא מרכז המעגל החסום‬
‫במשולש ‪ . ABC‬המעגל משיק לצלע ‪BC‬‬
‫בנקודה ‪ D‬ולצלע ‪ AB‬בנקודה ‪. F‬‬
‫המשיכו את ‪ OD‬עד ‪ K‬ואת ‪ OF‬עד ‪P‬‬
‫כך ש ‪ OD  DK -‬ו ‪. OF  FP -‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. FD  BO‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי ‪. BO  PK‬‬
‫ג‪ .‬נסמן‪ :‬רדיוס המעגל החסום הוא ‪, r‬‬
‫‪. ABC  2 , BAC  2‬‬
‫הבע באמצעות ‪  , ‬ו‪ r -‬את שטח המשולש ‪. BOC‬‬
‫‪420‬‬
‫‪ )7‬משולש חד זווית ‪ ABC‬חסום במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫‪ CF‬הוא קוטר במעגל‪ ,‬והמשך הרדיוס ‪BO‬‬
‫חותך את הצלע ‪ AC‬בנקודה ‪ , D‬כמתואר בציור‪.‬‬
‫נתון‪ABD   :‬‬
‫הקשת ‪ BC‬ארוכה פי ‪ 2‬מהקשת ‪. FB‬‬
‫א‪ .‬חשב את גודל הזווית ‪. BAC‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את היחס בין שטח המשולש ‪ BAD‬לשטח המשולש ‪. BAC‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪AD 2‬‬
‫נתון גם כי ‪‬‬
‫‪AB 3‬‬
‫‪ .‬מצא את ‪. ‬‬
‫‪ )8‬נתון טרפז שווה שוקיים ‪.  AB CD , AB  CD  ABCD‬‬
‫הנקודות ‪ E‬ו ‪ F -‬הן אמצעי הצלעות ‪AB‬‬
‫ו‪ CD -‬בהתאמה (ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪ EF‬מאונך ל‪. CD -‬‬
‫ב‪ .‬על ‪ BC‬כקוטר בנו מעגל‬
‫שמרכזו ‪ . O‬נתון כי ‪ EF‬משיק‬
‫למעגל בנקודה ‪( G‬ראה ציור)‪.‬‬
‫הוכח‪. EB  FC  2GO :‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪ - R , BC  2R , GCB   :‬רדיוס המעגל‪.‬‬
‫הבע את גובה הטרפז ‪ ABCD‬באמצעות ‪ ‬ו ‪. R -‬‬
‫‪ )9‬לשני מעגלים משיק משותף‬
‫המשיק לשניהם בנקודה ‪. P‬‬
‫נקודות ‪ C‬ו‪ D -‬נמצאות על מעגל אחד‬
‫ונקודות ‪ A‬ו‪ B -‬נמצאות על המעגל האחר‬
‫כך שהקטעים ‪ AD‬ו‪ CB -‬נפגשים בנקודה ‪P‬‬
‫(ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ :‬רדיוס המעגל העובר דרך הנקודות ‪ D , C‬ו ‪ P -‬הוא ‪ 4.5‬ס"מ‪,‬‬
‫‪CD 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB 2‬‬
‫‪. DCP   , BAP   ,‬‬
‫א‪ .‬מצא את רדיוס המעגל העובר דרך הנקודות ‪ B , A‬ו‪. P -‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את אורך הקטע ‪. BD‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪PD 3‬‬
‫אם נתון גם כי ‪‬‬
‫‪PB 2‬‬
‫‪ ,‬הראה כי ‪. BD  3sin   1  24sin 2 ‬‬
‫( ‪ ‬ו ‪  -‬הן זוויות חדות)‪.‬‬
‫‪421‬‬
‫‪ )10‬נתון טרפז שווה שוקיים ‪DC ABCD‬‬
‫‪ AB‬‬
‫החוסם מעגל שמרכזו ‪ AB . O‬ו ‪ DC -‬משיקים למעגל‬
‫בנקודות ‪ E‬ו ‪ F -‬בהתאמה‪ EF .‬הוא קוטר במעגל‬
‫(ראה ציור)‪ .‬האורך של שוק הטרפז הוא ‪. b‬‬
‫‪2‬‬
‫נתון כי ‪.  sin C   sin  90  C ‬‬
‫הבע באמצעות ‪: b‬‬
‫א‪ .‬את רדיוס המעגל החסום בטרפז‪.‬‬
‫ב‪ .‬את אורך הבסיס הקטן ‪. AB‬‬
‫בתשובותיך השאר שלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬
‫‪ )11‬במשולש ישר זווית ‪AFC  90 AFC‬‬
‫‪‬‬
‫הנקודה ‪ K‬נמצאת על הגובה ליתר כך ש‪ FAK   -‬ו‪. KAC   -‬‬
‫‪ B‬היא נקודה על היתר ‪ AC‬כך ש‪( AKB  90 -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ AFC‬הוא ‪R‬‬
‫ורדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ AKB‬הוא ‪. r‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪AF‬‬
‫(‪ )1‬הבע באמצעות ‪ ‬ו ‪  -‬את היחס‬
‫‪AK‬‬
‫‪R‬‬
‫(‪ )2‬הבע באמצעות ‪ ‬ו ‪  -‬את היחס ‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬ו‪ r -‬בלבד את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪. AKF‬‬
‫‪ )12‬טרפז שווה שוקיים ‪  DC AB ABCD‬חסום‬
‫במעגל שמרכזו ‪ . M‬הבסיס ‪ AB‬הוא קוטר‬
‫במעגל זה‪ .‬אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה ‪. L‬‬
‫המשך ‪ ML‬חותך את ‪ DC‬בנקודה ‪( K‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪KL‬‬
‫נתון כי ‪ . BAD  ‬הבע באמצעות ‪ ‬את היחס‬
‫‪LM‬‬
‫‪ )13‬נתון מעוין ‪ E . ABCD‬ו‪ F -‬הן נקודות על‬
‫הצלעות ‪ AD‬ו ‪ AB -‬בהתאמה כך ש‪AE=AF -‬‬
‫ו‪ . FB  2AF -‬נתון כי ‪. DCB  60‬‬
‫א‪ .‬מצא את גודל הזווית ‪. FCB‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי אורך האלכסון ‪ AC‬הוא ‪. b‬‬
‫הבע באמצעות ‪ b‬את היקף המרובע ‪. AECF‬‬
‫‪422‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )14‬נתון משולש שווה צלעות ‪ . ABC‬נקודה ‪T‬‬
‫נמצאת בתוך המשולש (ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ n TBC   :‬ס"מ =‪, CT‬‬
‫‪ d‬ס"מ =‪ t , BT‬ס"מ =‪. AT‬‬
‫אורך צלע המשולש הוא ‪ 2‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪n2  t 2‬‬
‫הוכח כי‬
‫‪4d‬‬
‫‪. sin   30  ‬‬
‫ב‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ ATC‬באמצעות ‪ ‬ו ‪. d -‬‬
‫‪ )15‬הנקודה ‪ O‬היא מרכז המעגל החסום במשולש ‪. ABC‬‬
‫המשך ‪ AO‬חותך את הצלע ‪ BC‬בנקודה ‪. E‬‬
‫המשך ‪ CO‬חותך את הצלע ‪ AB‬בנקודה ‪( F‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. ABC   , BAC   :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪AE‬‬
‫הבע באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את היחס‬
‫‪CF‬‬
‫‪AE 1‬‬
‫‪.   60 ,‬‬
‫נתון גם ‪‬‬
‫‪CF 2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫הראה כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ ACB‬שווה ל‪. BC -‬‬
‫‪ )16‬מרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל‪ .‬המיתר ‪BD‬‬
‫חוצה את הזווית ‪( ABC‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. ADC  120 , BC=3 3 , AB= 3 :‬‬
‫א‪ )1( .‬מצא את גודל הזווית ‪. ABD‬‬
‫(‪ )2‬מצא את אורך המיתר ‪. BD‬‬
‫ב‪ .‬נקודה ‪ K‬נמצאת על המיתר ‪ BD‬כך‬
‫ש‪ ABK ~ DBA -‬בהתאמה‪.‬‬
‫מצא את שטח המשולש ‪. ABK‬‬
‫‪423‬‬
‫‪ )17‬נתון טרפז שווה שוקיים ‪.  AD=BC  ABCD‬‬
‫השוק ‪ AD‬היא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫השוק ‪ BC‬משיקה למעגל בנקודה ‪. F‬‬
‫המעגל חותך את הבסיס ‪ DC‬בנקודה ‪( E‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. BCD   :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את גודל הזווית ‪. FOD‬‬
‫ב‪ )1( .‬הבע באמצעות ‪ ‬את גודל הזווית ‪. ODF‬‬
‫‪DE‬‬
‫(‪ )2‬הבע באמצעות ‪ ‬את היחס‬
‫‪DC‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )18‬במשולש ‪ ABC‬האנך האמצעי לצלע ‪ BA‬חותך את‬
‫הצלעות ‪ BC‬ו ‪ BA -‬בנקודות ‪ E‬ו‪ D -‬בהתאמה (ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. ABC   , BAC   :‬‬
‫א‪ )1( .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו ‪  -‬את ‪. EAC‬‬
‫‪CE‬‬
‫(‪ )2‬הבע באמצעות ‪ ‬ו ‪  -‬את היחס‬
‫‪EB‬‬
‫‪.‬‬
‫נתון גם‪ AE :‬חוצה זווית ‪ 10 , BAC‬ס"מ ‪.   40 , AC ‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הרדיוס של המעגל החסום במשולש ‪. ABC‬‬
‫‪ )19‬שני מעגלים‪ ,‬גדול וקטן‪ ,‬משיקים מבפנים בנקודה ‪. A‬‬
‫נקודה ‪ F‬נמצאת על המעגל הגדול כך שקטע המרכזים‬
‫של שני המעגלים נמצא על ‪ AF . AF‬חותך את המעגל‬
‫הקטן בנקודה ‪ . E‬דרך נקודה ‪ B‬שעל המעגל הקטן‬
‫העבירו ישר המקביל למשיק המשותף לשני המעגלים‪.‬‬
‫המקביל חותך את המעגל הגדול בנקודה ‪( C‬ראה ציור)‪.‬‬
‫רדיוס המעגל הגדול הוא ‪ , R‬ורדיוס המעגל הקטן‬
‫הוא ‪ . r‬נתון‪. FAB   , BAC   :‬‬
‫א‪ )1( .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו ‪  -‬את ‪ . BCA‬נמק‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪AC‬‬
‫(‪ )2‬הבע רק באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את היחס‬
‫‪AB‬‬
‫‪R‬‬
‫הבע באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את היחס ‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫‪424‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )20‬במשולש שווה שוקיים ‪ AB=AC ABC‬‬
‫‪ BM‬הוא תיכון לשוק (ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. BAC  50 :‬‬
‫א‪ .‬חשב את גודל הזווית הקהה ‪. AMB‬‬
‫ממשיכים את ‪ BM‬עד הנקודה ‪. D‬‬
‫נתון גם‪:‬‬
‫רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ ABC‬הוא ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ ABD‬הוא ‪ 14‬ס"מ‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זוויות המשולש ‪. AMD‬‬
‫‪ )21‬במשולש ישר זווית ‪ACB=90 ACB‬‬
‫‪‬‬
‫נקודה ‪G‬‬
‫היא אמצע הניצב ‪ . AC‬נקודה ‪ P‬נמצאת על ‪ GB‬כך‬
‫ש ‪( BG  4  PG‬ראה ציור)‪.‬‬
‫רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ CGB‬הוא ‪. R‬‬
‫נתון‪. GC=BC :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את רדיוס המעגל החוסם‬
‫את המשולש ‪. ACB‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את מרחק הנקודה ‪ P‬ממרכז‬
‫המעגל החוסם את המשולש ‪. ACB‬‬
‫‪425‬‬
:‫תשובות סופיות‬
sin1.5  sin 
.‫) א‬2
sin 0.5  sin    
.0.1562 .‫ב‬
. 41.41 )3
.
bd tan a  d  b 
bd tan 
)2(
)1( .‫) ג‬4
2
2 d  b
.106.1 .‫) ב‬5
r  tan      cot  
.‫) ג‬6
2
sin  cos 
. 40.89 .‫ג‬
.‫ ב‬60 .‫) א‬7
sin  30    sin 120   
2
. SBOC 
. 2R sin 2 .‫) ג‬8
. BD  36sin 2   81sin 2   108sin  sin  cos     .‫ ב‬r  3 .‫) א‬9
. 0.382b .‫ ב‬0.393b .‫) א‬10
. R r .‫ב‬
R
cos 2 
AF
cos 

)2(
)1( .‫) א‬11

2
r cos    
AK cos    
.  cos 2 )12
. 2.063b .‫ ב‬23.41 .‫) א‬13
. 3  d sin  60     sin   .‫) ב‬14
   
sin     cos 

AE
 2  .‫) א‬15
.

CF


sin     sin 
2


.‫יח"ר‬
.
3 3
.‫ ב‬4 )2( 30 )1( .‫) א‬16
16
sin 2
)2(   45 )1( .‫ ב‬270  2 .‫) א‬17
1  sin 2
sin    
.‫ ס"מ‬3.42 .‫ב‬
)2(    )1( .‫) א‬18
sin    
cos 2 
cos 
. 2
.‫ב‬
)2( 90      )1( .‫) א‬19
cos    
cos    
. 40.34 , 79.44 , 60.22 .‫ ב‬100.56 .‫) א‬20
.
426
R
.‫ב‬
2
10
R .‫) א‬21
2
‫פרק ‪ – 19‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי – תרגול מבגרויות‪:‬‬
‫‪ )1‬בציור שלפניך מוצגות סקיצות של שני‬
‫גרפים‪ :‬גרף ‪ I‬וגרף ‪. II‬‬
‫אחד הגרפים הוא של פונקציית הנגזרת ‪, f '  x ‬‬
‫והגרף האחר הוא של פונקציית הנגזרת‬
‫השנייה ‪. f ''  x ‬‬
‫א‪ .‬איזה גרף הוא של ‪ f '  x ‬ואיזה‬
‫גרף הוא של ‪ ? f ''  x ‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הקיצון של הפונקציה ‪ . f  x ‬נמק‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הפיתול של הפונקציה ‪ . f  x ‬נמק‪.‬‬
‫ד‪ .‬הוכח שהשטח המוגבל על ידי גרף ‪ II‬וציר ה‪( x -‬השטח המקווקו בציור) שווה‬
‫לשטח המוגבל על ידי גרף ‪ II‬והצירים (השטח המנוקד בציור)‪.‬‬
‫‪sin  2 x ‬‬
‫‪ )2‬נתונה הפונקציה‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬הראה כי ‪. f '  x   2sin 2 x‬‬
‫‪. f  x  x ‬‬
‫ב‪ )1( .‬האם לפונקציה ‪ f  x ‬יש נקודות קיצון? נמק‪.‬‬
‫(‪ )2‬האם לפונקציה ‪ f  x ‬יש נקודות פיתול? נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬בציור שלפניך מוצג הגרף של‬
‫הפונקציה ‪g  x   x  sin 2 x‬‬
‫בתחום ‪.   x  ‬‬
‫בתחום הנתון מצא את כל השטח‬
‫המוגבל על ידי הגרף של ‪g  x ‬‬
‫ועל ידי הישר ‪. y  x‬‬
‫‪ )3‬נתון משולש שאחת מצלעותיו היא ‪ 10‬ס"מ‪ ,‬וגובה המשולש לצלע זו הוא ‪ 5‬ס"מ‪.‬‬
‫(המשולש אינו קהה‪-‬זווית)‪.‬‬
‫א‪ .‬מבין כל המשולשים שהם כאלה‪ ,‬מצא את צלעות המשולש שהיקפו מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה הן תכונות המשולש שאת צלעותיו מצאת בסעיף א?‬
‫‪427‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪ )4‬נתונה הפונקציה‬
‫‪1  sin x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫בתחום ‪(   x ‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודת‬
‫החיתוך של הגרף עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה‪,‬‬
‫על ידי המשיק ועל ידי ציר ה‪. x -‬‬
‫‪xa‬‬
‫‪ )5‬נתונה הפונקציה‬
‫‪x b‬‬
‫‪. a  b , a ,b  0 , f  x ‬‬
‫המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות החיתוך עם הצירים מקבילים זה לזה‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. a  2b‬‬
‫הצב ‪ a  2b‬וענה על סעיפים ב ‪-‬ז שלפניך (הבע באמצעות ‪ b‬במידת הצורך)‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה ‪ f  x ‬המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ‪( f  x ‬אם יש כאלה)‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא נקודות חיתוך של הפונקציה ‪ f  x ‬עם הצירים‪.‬‬
‫ה‪ .‬מצא תחומי קעירות כלפי מעלה ‪ ‬וכלפי מטה ‪. ‬‬
‫ו‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ז‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה עבור ‪ . b  0‬נמק את שיקוליך בסרטוט הגרף‬
‫עבור תחומי עלייה וירידה ועבור תחומי קעירות כלפי מעלה וכלפי מטה‪.‬‬
‫‪ )6‬נתונה הפונקציה ‪. f  x   x 2  24‬‬
‫העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה ‪A‬‬
‫שבה ‪ . x  t‬בנקודה ‪ A‬העבירו ישר המקביל‬
‫לציר ה ‪ x -‬וחותך את גרף הפונקציה בנקודה ‪. B‬‬
‫בנקודה ‪ B‬העבירו עוד משיק לגרף הפונקציה‪.‬‬
‫המשיקים נפגשים בנקודה ‪ C‬שעל ציר ה‪( y -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הפונקציה זוגית‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הערך של ‪ t‬שעבורו שטח המשולש ‪ABC‬‬
‫הוא מינימלי‪.‬‬
‫‪428‬‬
‫‪ )7‬נתונה הפונקציה ‪ x  b ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x 4‬‬
‫‪. b  2 , f  x ‬‬
‫א‪ .‬מצא (הבע באמצעות ‪ b‬במידת הצורך)‪:‬‬
‫(‪ )1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה‪ ,‬ואת האסימפטוטות‬
‫שלה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫(‪ )2‬את השיעורים של נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫(‪ )3‬את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ב‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬על פי הסקיצה של גרף הפונקציה‪ ,‬מצא את התחום שבו פונקציית הנגזרת‬
‫‪ f '  x ‬שלילית וגם פונקציית הנגזרת השנייה ‪ f ''  x ‬שלילית‪ ,‬אם ידוע‬
‫כי ל‪ f  x  -‬יש נקודת פיתול אחת בלבד‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2 cos 2    1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ f  x  ‬בתחום ‪. 3  x  3‬‬
‫‪ )8‬נתונה הפונקציה‬
‫‪2 x‬‬
‫‪2 cos  ‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הפונקציה ‪ f  x ‬היא זוגית‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬
‫ג‪ .‬לפונקציה יש שלוש נקודות מקסימום בתחום הנתון‪.‬‬
‫מצא את השיעורים של נקודות אלה‪.‬‬
‫ד‪ .‬העבירו ישר דרך נקודות המקסימום של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא בתחום ‪   x  ‬את השטח המוגבל על ידי הישר‪ ,‬על ידי גרף‬
‫הפונקציה‪ ,‬על ידי שתי האסימפטוטות של הפונקציה ועל ידי ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )9‬נתונה הפונקציה ‪. a  0 , f  x   ax‬‬
‫מנקודה ‪ B  b, 0 ‬העבירו אנך לציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ C‬היא נקודה כלשהי על גרף הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫מנקודה ‪ C‬העבירו ישר המקביל לציר ה‪x -‬‬
‫וחותך את האנך בנקודה ‪. D‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא אמצע הקטע ‪( BD‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון כי עבור ‪ C  2, 4 ‬שטח המשולש ‪CBE‬‬
‫הוא מקסימלי‪ .‬מצא את הערך של ‪ a‬ואת הערך של ‪. b‬‬
‫‪429‬‬
‫‪2 x 4  4 x3  2 x 2  8‬‬
‫‪. x  2 , f  x  ‬‬
‫‪ )10‬נתונה הפונקציה‬
‫‪x2‬‬
‫א‪ .‬בציור מוצגת סקיצה של גרף הפונקציה ‪ f  x ‬עבור ‪. x  0‬‬
‫מעבירים ישר המשיק לגרף הפונקציה ‪ f  x ‬בנקודה‬
‫שבה ‪ . x  1‬מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף‬
‫של ‪ , f  x ‬על ידי המשיק ועל ידי ציר ה‪ y -‬עבור ‪. x  0‬‬
‫ב‪ )1( .‬מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה ‪( f  x ‬אם יש כאלה)‬
‫עבור כל תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫(‪ ) 2‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה עבור כל תחום ההגדרה שלה‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתונה הפונקציה ‪. g  x   f  x ‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪. g  x ‬‬
‫‪ )11‬נתונה הפונקציה ‪ f  x   2  cos x  sin 2 x‬בתחום ‪.   x  ‬‬
‫עבור התחום הנתון ענה על סעיפים א‪-‬ד‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ‪ f  x ‬עם הצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה ‪ , f  x ‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ )1( .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫(‪ )2‬סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת ‪. f '  x ‬‬
‫( ‪ f  x ‬גזירה גם בקצות התחום הנתון)‪.‬‬
‫ד‪ .‬נתון כי גרף הפונקציה ‪ g  x   a  cos x  sin 2 x‬משיק לציר ה‪ x -‬בתחום הנתון‬
‫בנקודה אחת בלבד‪ .‬מהו הערך של ‪ ? a‬נמק‪.‬‬
‫‪x 2  6 x  12‬‬
‫‪ )12‬נתונה הפונקציה‬
‫‪x2  6 x  9‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫א‪ )1( .‬מצא את האסימפטוטות המקבילות של‬
‫הפונקציה ‪ f  x ‬המקבילות לצירים‪.‬‬
‫(‪ )2‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ‪ f  x ‬עם הצירים‬
‫(אם יש כאלה)‪.‬‬
‫(‪ ) 3‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫(‪ )4‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ב‪ ) 1( .‬מצא את האסימפטוטות של פונקציית הנגזרת ‪ f '  x ‬המקבילות לצירים‪.‬‬
‫(‪ )2‬סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת ‪ . f '  x ‬נמק‪.‬‬
‫‪430‬‬
‫‪ )13‬נתונה הפונקציה ‪ f  x   sin x‬בתחום ‪( 0  x  ‬ראה ציור)‪.‬‬
‫מעבירים שני ישרים שמשוואותיהם‪, x  a :‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.x a‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.0  a ‬‬
‫‪ S1‬הוא השטח המוגבל על ידי שני הישרים‪ ,‬על ידי גרף הפונקציה ‪f  x ‬‬
‫ועל ידי ציר ה ‪( x -‬השטח המקווקו בציור)‪ S2 .‬הוא‬
‫סכום של שני שטחים‪ ,‬שכל אחד מהם מוגבל על ידי‬
‫גרף הפונקציה ‪ , f  x ‬על ידי אחד הישרים ועל ידי‬
‫ציר ה ‪( x -‬סכום השטחים המנוקדים בציור)‪.‬‬
‫‪S1‬‬
‫מצא עבור איזה ערך של ‪ a‬היחס‬
‫‪S2‬‬
‫הוא מקסימלי‪.‬‬
‫‪x2  a‬‬
‫‪ )14‬נתונה הפונקציה ‪ 1‬‬
‫‪ a . f  x   2‬הוא פרמטר‪. a  0 ,‬‬
‫‪x  3a‬‬
‫א‪ .‬מצא (הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך)‪:‬‬
‫(‪ )1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫(‪ )2‬תחומי עלייה וירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫(‪ )3‬את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הפיתול של הפונקציה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫(‪ )4‬נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫(‪ )5‬אסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫ב‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ג‪ .‬הסבר את השינויים בגרף הפונקציה ‪ f  x ‬עבור ‪ a  0‬לעומת גרף הפונקציה‬
‫עבור ‪: a  0‬‬
‫(‪ )1‬בתחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫(‪ )2‬בנקודות הפיתול של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )15‬נתונות הפונקציות‪. g  x    x  4 , f  x    x  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של כל אחת‬
‫מהפונקציות הנתונות‪.‬‬
‫לפונקציות יש משיק משותף‪ ,‬המשיק לגרף הפונקציה ‪ f  x ‬בנקודה שבה ‪. x  x0‬‬
‫ב‪ )1( .‬הבע באמצעות ‪ x0‬את השיעורים של הנקודה שבה המשיק המשותף‬
‫משיק לגרף הפונקציה ‪. g  x ‬‬
‫(‪ ) 2‬מצא את השיעורים של נקודת ההשקה שהבעת בתת סעיף ב (‪)1‬‬
‫(ערכים מספריים)‪.‬‬
‫ג‪ .‬השטח המוגבל על ידי המשיק המשותף‪ ,‬על ידי גרף הפונקציה ‪g  x ‬‬
‫ועל ידי ציר ה ‪ , x -‬מסתובב סביב ציר ה ‪ . x -‬מצא את נפח של גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬
‫‪431‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )16‬נתונה הפונקציה ‪ f  x   2 tan 2 x‬בתחום‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬בתחום הנתון‪:‬‬
‫(‪ )1‬מצא את ערכי ה‪ x -‬שעבורם הפונקציה ‪ f  x ‬אינה מוגדרת‪.‬‬
‫(‪ )2‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה ‪ f  x ‬המקבילות לצירים‬
‫(אם יש כאלה)‪.‬‬
‫(‪ )3‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה ‪ , f  x ‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫(‪ )4‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫(‪ )1‬מצא את פונקציית הנגזרת של הפונקציה ‪. g  x   tan x  x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫(‪ )2‬בתחום ‪ 0  x ‬מצא את השטח המוגבל על ידי הישר‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫הישר‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ , y ‬על ידי‬
‫‪ , x ‬על ידי הגרף של הפונקציה ‪ f  x ‬ועל ידי ציר ה‪. x -‬‬
‫היעזר בפונקציית הנגזרת של ‪. g  x ‬‬
‫‪ )17‬נתונה הפונקציה‬
‫‪ax‬‬
‫‪x  a2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ a . f  x  ‬הוא פרמטר שונה מאפס‪.‬‬
‫א‪ .‬עבור ‪ a  0‬מצא (הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך)‪:‬‬
‫(‪ )1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫(‪ )2‬את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫(‪ )3‬תחומי עלייה וירידה של הפונקציה (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫(‪ )4‬נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫ב‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה עבור ‪. a  0‬‬
‫ג‪ .‬נתונה הפונקציה ‪. a  0 , g  x   f  x   a‬‬
‫(‪ )1‬מה הן האסימפטוטות של הפונקציה ‪( ? g  x ‬הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך)‪.‬‬
‫(‪ )2‬מה הם הערכים שהפונקציה ‪ g  x ‬יכולה לקבל?‬
‫(הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך)‪.‬‬
‫‪ )18‬נתונה הפונקציה ‪ f  x   cos  x 2  2 x ‬בתחום ‪. 0.5  x  2.5‬‬
‫א‪ .‬בתחום הנתון מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של‬
‫הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ב‪ .‬בתחום הנתון סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬בתחום ‪ 0  x  2‬מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית‬
‫הנגזרת ‪ f '  x ‬ועל ידי ציר ה‪ . x -‬תוכל להיעזר בסקיצה של פונקציית‬
‫הנגזרת ‪ . f '  x ‬דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬
‫‪432‬‬
‫‪ )19‬נתונה מדשאה בצורת מלבן ‪ . ABCD‬לאורך צלעות‬
‫המלבן ‪ BA‬ו‪ CD -‬יש שבילי הליכה‪ .‬אורך הצלע ‪BA‬‬
‫הוא ‪ 0.4‬ק"מ‪ ,‬ואורך הצלע ‪ CD‬הוא ‪ 0.3‬ק"מ‪ .‬אדם עומד‬
‫בקדקוד ‪ C‬של המדשאה ורוצה להגיע לקדקוד ‪. A‬‬
‫הוא הולך לאורך הקטע ‪ CE‬שעל השביל ‪ , CD‬אחר כך‬
‫הולך לאורך הקטע ‪ EF‬שעל המדשאה וממשיך לאורך‬
‫הקטע ‪ FA‬שעל השביל ‪( BA‬ראה ציור)‪.‬‬
‫האדם הולך במהירות של ‪ 6‬קמ"ש לאורך השבילים‪ ,‬ועל המדשאה הוא הולך‬
‫במהירות של ‪ 4‬קמ"ש‪ .‬מה צריך להיות אורך הקטע ‪ EF‬כדי שהאדם יגיע‬
‫ל‪ A -‬בזמן הקצר ביותר? דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )20‬נתונה הפונקציה‬
‫‪cos x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫א‪ .‬מצא אם הפונקציה ‪ f  x ‬היא זוגית‪ ,‬אי זוגית או לא זוגית ולא אי זוגית‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬בתחום ‪: 0  x  2‬‬
‫(‪ )1‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪ ,‬ואת האסימפטוטות של הפונקציה‬
‫המקבילות לצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫(‪ )2‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪ .‬נמק‪.‬‬
‫(‪ )3‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪ .‬ציין ערכים על ציר ה ‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬לסרטוט שסרטטת בתת סעיף ב (‪ )3‬הוסף סקיצה של גרף הפונקציה ‪f  x ‬‬
‫בתחום ‪ . 2  x  0‬ציין ערכים על ציר ה‪. x -‬‬
‫ד‪ .‬השטח ברביע הראשון המוגבל על ידי הגרף של ‪ , f  x ‬על ידי הישר ‪, y  2‬‬
‫על ידי הישר‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ , x ‬על ידי ציר ה‪ x --‬ועל ידי ציר ה‪ , y -‬מסתובב סביב ציר ה ‪. x -‬‬
‫מצא את הנפח של גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬
‫ה‪ .‬בתחום שבין ‪ ‬ל‪ ,  -‬רשום בצורה כללית את השיעורים‪:‬‬
‫(‪ )1‬של נקודות המינימום של הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫(‪ )2‬של נקודות המקסימום של הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫‪433‬‬
‫‪ )21‬נתונה הנגזרת השנייה של הפונקציה ‪: f  x ‬‬
‫‪6 x 2  3x  3‬‬
‫‪1  x ‬‬
‫‪2 5‬‬
‫‪. f ''  x  ‬‬
‫הפונקציה ‪ f  x ‬מוגדרת לכל ‪. x‬‬
‫א‪ .‬מבין הגרפים ‪ IV , III , II , I‬שלפניך‪ ,‬איזה גרף מתאר את פונקציית‬
‫הנגזרת ‪ ? f '  x ‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ )1( .‬מצא תחומי קעירות כלפי מטה ‪ ‬ותחומי קעירות כלפי מעלה ‪ ‬של‬
‫הפונקציה ‪ ? f  x ‬נמק‪.‬‬
‫(‪ )2‬היעזר בגרף של ‪ f '  x ‬שבסעיף א‪ ,‬ומצא בין אילו שני מספרים שלמים עוקבים‬
‫נמצא שיעור ה ‪ x -‬של נקודת הקיצון של ‪ . f  x ‬נמק‪.‬‬
‫(‪ )3‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪ , f  x ‬אם ידוע כי הגרף חותך את ציר ה‪x -‬‬
‫רק בנקודה אחת שבה ‪. x  3‬‬
‫לפניך סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת השלישית ‪. f '''  x ‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף ‪, f '''  x ‬‬
‫על ידי ציר ה‪ x -‬וציר ה ‪ y -‬ועל ידי הישר ‪x  2‬‬
‫בתחום ‪. x  0‬‬
‫‪ )22‬נתונות משוואות של שתי פרבולות ‪. g  x   x2  x , f  x   a 2 x 2‬‬
‫‪ a‬הוא פרמטר שונה מ‪. 0 -‬‬
‫הפרבולות נפגשות בנקודות ‪ O‬ו ‪ - O ( A -‬הוא ראשית הצירים)‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את השיעורים של הנקודה ‪. A‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השיעורים של הנקודה ‪ A‬שעבורה השטח‪ ,‬המוגבל על ידי הגרף ‪, f  x ‬‬
‫על ידי ציר ה‪ x -‬ועל ידי האנך לציר ה‪ x -‬העובר דרך הנקודה ‪ , A‬הוא מקסימלי‪.‬‬
‫‪434‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )23‬נתונה הפונקציה‬
‫‪2x  2‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫א‪ )1( .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫(‪ ) 2‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫(‪ ) 3‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫(‪ )4‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫(‪ )5‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה ‪ , g  x ‬המוגדרת בתחום ההגדרה של ‪. f  x ‬‬
‫הנגזרת של ‪ g  x ‬מקיימת‪. g '  x   f  x   f '  x  :‬‬
‫מצא את תחום הירידה של הפונקציה ‪ . g  x ‬נמק‪.‬‬
‫‪ CD )24‬הוא קוטר במעגל שרדיוסו ‪. R‬‬
‫‪ AB‬הוא מיתר במעגל המאונך לקוטר ‪CD‬‬
‫וחותך אותו בנקודה ‪ E‬כך ש‪( CE  R -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ R‬את השטח המקסימלי‬
‫של המשולש ‪. ABC‬‬
‫‪ )25‬ענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬נתון כי הפונקציה ‪ f  x ‬היא פונקציה רציונלית המקיימת‪:‬‬
‫ לפונקציה יש שלוש אסימפטוטות‪. y  0 , x  1 , x  4 :‬‬‫ הפונקציה מוגדרת לכל ‪x  4 , x  1‬‬‫ ‪f  0  0‬‬‫‪f 1.5  0 -‬‬
‫ ‪ f '  x   0‬רק עבור ‪. 1  x  4‬‬‫ ‪ f  x   0‬עבור ‪ x  4‬ו‪ f  x   0 -‬עבור ‪. x  1‬‬‫(‪ )1‬על פי הנתונים שבסעיף זה‪ ,‬סרטט סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫(‪ )2‬על פי הגרף שסרטט‪ ,‬הראה כי לפונקציית הנגזרת ‪ f '  x ‬יש נקודת קיצון‬
‫בתחום ‪ , 1  x  4‬וקבע את סוגה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫אין צורך למצוא את השיעורים של נקודות הקיצון‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי הפונקציה ‪ f  x ‬מקיימת‬
‫‪3a  3bx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x2  ax  4‬‬
‫‪ a‬ו‪ b -‬הפרמטרים‪ .‬מצא את הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫‪435‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ )26‬נתונה הפונקציה ‪ f  x   4sin 2 x  cos2 x‬בתחום ‪. 0  x  ‬‬
‫בתחום הנתון‪:‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ‪ f  x ‬עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה ‪ , f  x ‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪ )1( .‬נתונה הפונקציה ‪. g  x   x  sin  4 x ‬‬
‫הראה כי ‪. g '  x   f  x ‬‬
‫(‪ ) 2‬בתחום הנתון מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ‪f  x ‬‬
‫ועל ידי ציר ה‪. x -‬‬
‫‪ )27‬ישר המשיק לפרבולה ‪ y  x 2‬בנקודה שבה ‪. 0  x  1‬‬
‫המשיק יוצר משולש עם ציר ה‪ x -‬ועם הישר ‪. x  1‬‬
‫מצא את השטח המקסימלי של המשולש הנוצר באופן שתואר‪.‬‬
‫‪ )28‬נתונה הפונקציה ‪ , f  x   cos3  3x   ‬המוגדרת לכל ‪. x‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫בתחום‬
‫‪3‬‬
‫‪ 0  x ‬מצא‪:‬‬
‫(‪ )1‬את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫(‪ )2‬את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ב‪ )1( .‬הוכח כי הפונקציה זוגית‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪ )2‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫רשום את משוואת הישרים המשיקים לגרף הפונקציה בתחום‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫ומאונכים לציר ה‪. y -‬‬
‫‪436‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ )29‬נתונה הפונקציה‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x2  9‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫א‪ .‬מצא‪:‬‬
‫(‪ )1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫(‪ )2‬את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫(‪ )3‬את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫(‪ )4‬את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪t‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את הסימן של האינטגרל המסוים ‪ ,  k  t   f '  x  dx‬אם נתון‬
‫‪k‬‬
‫כי ‪ k‬ו ‪ t‬גדולים מ‪ . 3 -‬נמק‪.‬‬
‫‪ )30‬הפונקציה ‪ f  x ‬היא פונקציית מנה המוגדרת‬
‫עבור ‪ . x  1‬בציור מוצג הגרף של פונקציית‬
‫הנגזרת ‪. f '  x ‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחומי הקעירות כלפי מעלה ‪‬‬
‫וכלפי מטה ‪ ‬של הפונקציה ‪ . f  x ‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי לפונקציה ‪ f  x ‬יש שתי אסימפטוטות‬
‫בלבד‪ . y  1 , x  1 :‬גרף הפונקציה ‪ f  x ‬חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה‬
‫שבה ‪ . y  1‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪ , f  x ‬על פי תשובתך‬
‫לסעיף א ועל פי הנתונים שבסעיף ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ax  b‬‬
‫נתון גם‬
‫‪cx  d‬‬
‫‪ c , b , a‬ו ‪ d -‬הם פרמטרים שונים באפס‪.‬‬
‫(‪ )1‬הבע באמצעות ‪ a‬את ‪ c , b‬ו‪. d -‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫(‪ )2‬חשב את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת ‪ , f '  x ‬על‬
‫ידי הישר ‪ x  1‬ועל ידי הצירים‪.‬‬
‫‪437‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ )31‬נתונה הפונקציה‬
‫‪x  3a 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ a . f  x  ‬הוא פרמטר‪. a  0 ,‬‬
‫א‪ .‬מצא (הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך)‪:‬‬
‫(‪ )1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫(‪ )2‬את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ‪ f  x ‬עם הצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫(‪ )3‬את האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה ‪( f  x ‬אם יש כאלה)‪.‬‬
‫(‪ )4‬את נקודות הקיצון של הפונקציה ‪( , f  x ‬אם יש כאלה)‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ב‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ידוע שלפונקציה ‪ f  x ‬יש שתי נקודות פיתול בלבד ובהן ‪. x  a‬‬
‫(‪ )1‬היעזר בגרף של ‪ , f  x ‬והבע באמצעות ‪ a‬את התחום שבו פונקציית‬
‫הנגזרת השנייה ‪ f ''  x ‬חיובית‪ ,‬ואת התחום שבו היא שלילית‪ .‬נמק‪.‬‬
‫(‪ )2‬הבע באמצעות ‪ a‬את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הקיצון של ‪f '  x ‬‬
‫וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ד‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ‪ , f '  x ‬על ידי‬
‫הישר ‪ x  a‬ועל ידי ציר ה ‪ . x -‬סמן במערכת צירים את השטח המבוקש‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )32‬נתונה הפונקציה ‪ f  x    sin x  sin x‬בקטע ‪. 0  x  3‬‬
‫א‪ .‬בקטע הנתון מצא‪:‬‬
‫(‪ )1‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה מוגדרת‪.‬‬
‫(‪ )2‬את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ב‪ )1( .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בקטע הנתון‪.‬‬
‫(‪ ) 2‬מצא משוואת ישר המשיק לגרף הפונקציה בשתי נקודות בדיוק‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם יש ערכים של ‪ x‬בקטע הנתון שעבורם מתקיים‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫האי שוויון ‪ . sin x  sin x‬נמק‪.‬‬
‫‪ )33‬מחלקים חוט שאורכו ‪ k‬לשני חלקים (לאו דווקא חלקים שווים)‪.‬‬
‫מחלק אחד של החוט יוצרים מעגל ומהחלק השני יוצרים ריבוע‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫סכום השטחים של שתי הצורות הוא מינימלי כאשר היקף המעגל הוא‬
‫‪ 4‬‬
‫מצא את הערך של ‪. k‬‬
‫‪438‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ )34‬נתונה הפונקציה ‪ g  x   sin   x ‬בתחום‬
‫‪3‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪.0  x ‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ‪ g  x ‬עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השיעורים של נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ‪ g  x ‬עם גרף‬
‫הפונקציה ‪. f  x   sin x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה ‪ g  x ‬והנקודה ‪ B‬נמצאת על גרף‬
‫הפונקציה ‪ f  x ‬כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה ‪. y -‬‬
‫(‪ )1‬מצא את האורך המקסימלי של הקטע ‪. AB‬‬
‫(‪ )2‬כמה קטעים כמו ‪ AB‬שאורכם מקסימלי מתקבלים בתחום הנתון? נמק‪.‬‬
‫‪ )35‬נתונות שתי פונקציות‪g  x    x2  c , f  x   x 2  4 x  b :‬‬
‫‪ b‬ו‪ c -‬הם פרמטרים גדולים מ‪. 0 -‬‬
‫לגרפים של שתי הפונקציות יש משיק משותף בנקודה משותפת ‪. P‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪( b‬במידת הצורך) את השיעורים של הנקודה ‪. P‬‬
‫ב‪ .‬סרטט במערכת צירים אחת סקיצה של גרף הפונקציה ‪ f  x ‬וסקיצה של גרף‬
‫הפונקציה ‪ , g  x ‬אם ידוע כי ‪. b  4‬‬
‫הישר ‪ x  a‬חותך את המשיק המשותף בנקודה ‪ , D‬את הגרף של ‪ f  x ‬בנקודה ‪A‬‬
‫ואת הגרף של ‪ g  x ‬בנקודה ‪ , A , D ( B‬ו ‪ B -‬הן שלוש נקודות שונות)‪.‬‬
‫ג‪ .‬הראה כי הישר ‪ PD‬הוא תיכון במשולש ‪. PAB‬‬
‫ד‪ .‬השטח המוגבל על ידי הגרף ‪ , f  x ‬על ידי המשיק המשותף ועל ידי הישרים ‪x  a‬‬
‫ו‪ , x  a -‬הוא ‪ . S‬הבע באמצעות ‪ S‬את השטח המוגבל על ידי הגרף של ‪, f  x ‬‬
‫על ידי הגרף של ‪ g  x ‬ועל ידי הישרים ‪ x  a‬ו‪. x  a -‬‬
‫‪ )36‬נתון כי הפונקציה הזוגית ‪ f  x   8  ax  bx 2  c‬מוגדרת בתחום ‪ 2  x  2‬בלבד‪.‬‬
‫‪ b , a‬ו‪ c -‬הם פרמטרים ‪. c  0‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך של הפרמטר ‪ a‬ואת הערך של הפרמטר ‪. b‬‬
‫הצב את הערך של ‪ a‬ואת הערך של ‪ , b‬וענה על הסעיפים ב ‪-‬ג‪.‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים ישר המשיק לגרף הפונקציה ‪ f  x ‬בנקודה שבה ‪ , x  2‬ומעבירים‬
‫ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x   2‬‬
‫‪49 2‬‬
‫השטח המוגבל על ידי שני המשיקים ועל ידי ציר ה ‪ x -‬הוא‬
‫‪2‬‬
‫מצא את הערך של הפרמטר ‪. c‬‬
‫‪439‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫בתחום ‪ 2  x  2‬נתונה הפונקציה ‪ g  x ‬המקיימת ‪. g  x    f  x ‬‬
‫מעבירים ישר המשיק לגרף הפונקציה ‪ g  x ‬בנקודה שבה ‪ , x  2‬ומעבירים‬
‫ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x   2‬‬
‫מהו סוג המרובע שנוצר על ידי שני הישרים המשיקים לגרף הפונקציה ‪f  x ‬‬
‫ושני הישרים המשיקים לגרף הפונקציה ‪ ? g  x ‬נמק‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )37‬נתונה הפונקציה‬
‫‪2‬‬
‫‪ f  x   x 2  cos‬בתחום ‪. 2  x  5‬‬
‫א‪ ) 1( .‬מצא תחומי עלייה וירידה של פונקציית הנגזרת ‪f '  x ‬‬
‫(אם יש כאלה) בתחום הנתון‪.‬‬
‫(‪ )2‬הראה כי פונקציית הנגזרת ‪ f '  x ‬חיובית בתחום הנתון‪.‬‬
‫(‪ )3‬רק על פי התשובות לתת סעיפים (‪ )1‬ו‪ ,) 2( -‬סרטט סקיצה של פונקציית‬
‫הנגזרת ‪ f '  x ‬בתחום הנתון‪.‬‬
‫(‪ )4‬כמה פתרונות יש למשוואה ‪ f '  x   40‬בתחום הנתון? נמק‪.‬‬
‫ב‪ ) 1( .‬רשום את הערך המקסימלי של פונקציית הנגזרת השנייה ‪ f ''  x ‬בתחום הנתון‪.‬‬
‫(‪ ) 2‬האם השטח‪ ,‬המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת ‪ f '  x ‬ועל ידי הגרף‬
‫של פונקציית הנגזרת השנייה ‪ f ''  x ‬בתחום הנתון‪ ,‬שווה לערך של האינטגרל‬
‫‪5‬‬
‫המסוים‪ ?   f '  x   f ''  x  dx :‬נמק‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )38‬נתונה הפונקציה ‪ f  x ‬המוגדרת לכל ‪ x‬ונתונה הפונקציה ‪. g  x ‬‬
‫‪1‬‬
‫נתון‪ k ,  g  x  dx  0 , g  x   k  2 x :‬הוא פרמטר‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ‪ g  x ‬עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי בתחום ‪ x  0‬מתקיים‪. f  0   k , f ''  x   0 , f  x   g  x  :‬‬
‫סרטט באותה מערכת צירים סקיצה של הפונקציה ‪ g  x ‬וסקיצה של‬
‫הפונקציה ‪ f  x ‬בתחום ‪ . x  0‬נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬בתחום ‪ x  0‬איזה שטח גדול יותר‪ :‬השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ‪f  x ‬‬
‫והצירים או השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ‪ , g  x ‬על ידי ציר ה ‪ x -‬ועל ידי‬
‫הישר ‪ ? x  1‬נמק‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪ .‬נתון גם‪ a , f  x   x  3x  ax  f  0 :‬הוא פרמטר‪.‬‬
‫הגרף של ‪ g  x ‬משיק לגרף ‪ f  x ‬בנקודה הנמצאת בתחום ‪. x  0‬‬
‫מצא את הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫‪440‬‬
‫‪ )39‬דני יצא מנקודה ‪ A‬הנמצאת בשדה‬
‫במרחק ‪ 1‬ק"מ מהכביש ‪ . BC‬הוא‬
‫הלך בשדה בקו אלכסוני במהירות‬
‫קבועה ‪ , v‬והגיע לכביש ‪BC‬‬
‫בנקודה כלשהי ‪( N‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫דני הלך בכביש במהירות הגדולה פי‬
‫‪12‬‬
‫בכביש‪ .‬המרחק בין ‪ B‬ל‪ C -‬הוא ‪ 6‬ק"מ‪.‬‬
‫מהו אורך המסלול ‪ ANC‬אם ידוע שדני עבר אותו בזמן המינימלי?‬
‫מהמהירות שבה הלך בשדה והגיע לנקודה ‪C‬‬
‫‪x2  x  a‬‬
‫‪ a . f  x   2‬הוא פרמטר גדול מ ‪. 1 -‬‬
‫‪ )40‬נתונה הפונקציה‬
‫‪x xa‬‬
‫הפונקציה ‪ f  x ‬מוגדרת לכל ‪. x‬‬
‫א‪ )1( .‬מצא את האסימפטוטות של ‪ f  x ‬המקבילות לצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫(‪ ) 2‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של ‪ , f  x ‬וקבע את סוגן‪( .‬הבע‬
‫באמצעות ‪ a‬במידת הצורך)‪.‬‬
‫(‪ )3‬ידוע כי גרף הפונקציה ‪ f  x ‬חותך את ציר ה ‪ x -‬בשתי נקודות בדיוק‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ב‪ .‬בתחום ‪ , x  0‬השטח המוגבל על ידי הגרף של ‪ , f '  x ‬על ידי הישר ‪x  1‬‬
‫‪1‬‬
‫ועל ידי ציר ה ‪ , x -‬שווה ל ‪ . -‬חשב את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ‪f  x ‬‬
‫‪2‬‬
‫עם ציר ה‪( x -‬מצא ערכים מספריים)‪.‬‬
‫‪ )41‬במשולש שווה שוקיים ‪  AB=AC ABC‬אורך השוק הוא ‪. b‬‬
‫‪ BD‬הוא גובה לשוק ‪ DE . AC‬הוא אנך לבסיס ‪. BC‬‬
‫סמן ‪ BAC=2x‬ומצא מה צריך להיות הגודל של ‪ , BAC‬כדי שאורך האנך ‪DE‬‬
‫יהיה מקסימלי‪ .‬בתשובתך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬
‫‪441‬‬
‫‪ )42‬בטבלה שלפניך מוצגים ערכים מסוימים של הפונקציה ‪ f  x ‬בקטע ‪. 1  x  2‬‬
‫‪1.4‬‬
‫‪1.43‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1.28‬‬
‫‪1.3‬‬
‫‪1.36‬‬
‫‪1.1‬‬
‫‪1.19‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f  x‬‬
‫הפונקציה ‪ f  x ‬חיובית בקטע הנתון‪ ,‬ואין לה נקודות קיצון פנימיות בקטע זה‪.‬‬
‫נתון כי פונקציית הנגזרת השנייה ‪ f ''  x ‬שלילית בקטע הנתון‪.‬‬
‫א‪ .‬קבע מהו הסימן של ‪ . f ' 1.2 ‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬קבע אם הטענה ‪ f ' 1.3  f ' 1.2   f ' 1.1‬נכונה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪ g  x   f  x ‬בקטע ‪.1  x  2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫בקטע הנתון מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה ‪( g  x ‬אם יש כאלה)‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ד‪ .‬הראה כי בתחום ‪ 1.1  x  1.3‬אין פתרון למשוואה ‪. g '  x   f '  x ‬‬
‫‪ )43‬נתונות הפונקציות ‪ , g  x   sin  2 x  , f  x   2sin 2 x‬בתחום ‪. 0  x  ‬‬
‫א‪ .‬בתחום הנתון מצא‪:‬‬
‫(‪ )1‬את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות החיתוך בין הגרפים של שתי הפונקציות‪.‬‬
‫(‪ )2‬את נקודות החיתוך של כל אחת משתי הפונקציות עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪sin  2 x ‬‬
‫(‪ )1‬נתונה הפונקציה‬
‫‪2‬‬
‫(‪ )2‬בתחום ‪ 0  x  ‬מצא את השטח הכלוא בין הגרפים של שתי‬
‫‪ . h  x   x ‬הראה כי ‪. h '  x   f  x ‬‬
‫הפונקציות ‪ f  x ‬ו‪. g  x  -‬‬
‫‪442‬‬
‫‪ )44‬נתונה הפונקציה ‪ a . f  x   ax 2  9‬הוא פרמטר גדול מ ‪. 0 -‬‬
‫א‪ )1( .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה ‪? f  x ‬‬
‫(‪ )2‬הראה כי לפונקציה ‪ f  x ‬אין נקודות פיתול‪.‬‬
‫ב‪ )1( .‬מהו תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת ‪? f '  x ‬‬
‫(‪ )2‬הבע באמצעות ‪ a‬את האסימפטוטות האופקיות של פונקציית הנגזרת ‪. f '  x ‬‬
‫(‪ ) 3‬מצא תחומי עלייה וירידה של פונקציית הנגזרת ‪( f '  x ‬אם יש כאלה)‪.‬‬
‫(‪ )4‬סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת ‪. f '  x ‬‬
‫ג‪.‬‬
‫השטח‪ ,‬המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת ‪ , f '  x ‬על ידי ציר ה‪x -‬‬
‫ועל ידי הישר ‪ x  4‬שווה ל‪ . 2 -‬בלי לחשב את הערך של ‪ , a‬חשב את הערך‬
‫המספרי של ‪ f  4 ‬ואת הערך המספרי של ‪. f  4 ‬‬
‫‪ )45‬בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת ‪. f '  x ‬‬
‫האסימפטוטה היחידה של הפונקציה ‪ f  x ‬היא ‪. x  0‬‬
‫נתון כי יש פתרון אחד בלבד למשוואה ‪f  x   2‬‬
‫ופתרון אחד בלבד למשוואה ‪. f  x   2‬‬
‫א‪ .‬רק על פי נתוני השאלה‪ ,‬סרטט סקיצה של הפונקציה ‪ . f  x ‬נמק‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ax 2  b‬‬
‫‪. f ' x ‬‬
‫נתון גם כי פונקציית הנגזרת ‪ f '  x ‬היא‪:‬‬
‫‪ax 2‬‬
‫‪ a‬ו‪ b -‬הם פרמטרים שונים מ ‪. 0 -‬‬
‫מצא את הפונקציה ‪( f  x ‬בלי פרמטרים)‪.‬‬
‫‪443‬‬
‫‪ )46‬נתונות שתי פונקציות‪. g  x   8x 2  x 4 , f  x   x 8  x2 :‬‬
‫א‪ )1( .‬לשתי הפונקציות יש אותו תחום הגדרה‪ .‬מצא את תחום ההגדרה‪.‬‬
‫(‪ ) 2‬מצא את נקודות החיתוך של כל אחת מהפונקציות ‪ f  x ‬ו‪ g  x  -‬עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון המוחלט של כל אחת מהפונקציות‬
‫וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬על פי הסעיפים א ו ‪-‬ב‪ ,‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪ , f  x ‬וסרטט‬
‫סקיצה של גרף הפונקציה ‪. g  x ‬‬
‫ד‪ .‬לפניך ארבע גרפים ‪. IV-I‬‬
‫איזה מהגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת ‪ ? g '  x ‬נמק‪.‬‬
‫‪ )47‬נתונה הפונקציה ‪ x  2 ‬‬
‫‪. f  x  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x 1‬‬
‫א‪ )1( .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫(‪ )2‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה ‪ f  x ‬המקבילות לצירים‪.‬‬
‫(‪ )3‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ‪ f  x ‬עם הצירים‪.‬‬
‫(‪ ) 4‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה ‪ , f  x ‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ב‪ .‬רק על פי סעיף א‪ ,‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ג‪.‬‬
‫רק על פי הסקיצה של גרף הפונקציה ‪ f  x ‬שסרטטת‪,‬‬
‫מצא את התחום שבו מתקיים‪:‬‬
‫פונקציית הנגזרת ‪ f '  x ‬שלילית ופונקציית הנגזרת השנייה ‪ f ''  x ‬חיובית‪.‬‬
‫נמק‪.‬‬
‫‪444‬‬
‫‪ )48‬נתון מלבן ‪. ABCD‬‬
‫הצלע ‪ DC‬מונחת על הקוטר של חצי מעגל‬
‫שהרדיוס שלו ‪ R‬ומרכזו ‪ M‬כך ש‪. DC  R -‬‬
‫הצלע ‪ AD‬משיקה לחצי המעגל בנקודה ‪, D‬‬
‫והקדקוד ‪ B‬נמצא על המעגל (ראה ציור)‪.‬‬
‫נסמן ‪ - S  x  , BMC  x‬שטח המלבן ‪. ABCD‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריך להיות ‪ , x‬כדי ששטח המלבן ‪ S  x ‬יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ‪ S  x ‬ועל ידי‬
‫ציר ה ‪ x -‬בתחום‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.0  x ‬‬
‫‪445‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬א‪ f ''  x   II , f '  x   I .‬ב‪ x  0, 1 .‬ג‪. x  0.6,0.4,1 .‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪)3‬‬
‫‪)4‬‬
‫‪)5‬‬
‫‪)6‬‬
‫ב‪ )1( .‬לא‪ )2( .‬כן‪ .‬ג‪  .‬יח"ר ‪. S ‬‬
‫א‪ 10 .‬ס"מ‪ 5 2 ,‬ס"מ‪ 5 2 ,‬ס"מ‪ .‬ב‪ .‬משולש ישר זווית וש"ש‪.‬‬
‫א‪ 3  2 2 .‬יח"ר ‪. S ‬‬
‫ב‪ x  b , y  1 .‬ג‪ .‬עולה בכל ת‪.‬ה‪ .‬ד‪.  2b, 0  ,  0, 2  .‬‬
‫ה‪ .‬קעורה כלפי מטה‪ , x  b :‬כלפי מעלה‪ . x  b :‬ו‪ .‬סקיצה בסוף‪ .‬ז‪ .‬סקיצה בסוף‪.‬‬
‫ב‪. t  6 .‬‬
‫‪b2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )7‬א‪ )1( .‬ת‪.‬ה‪ , x  2 :‬אסימפטוטות‪.  b, 0 ,  0,  )2( . x  2 , y  1 :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪b2 ‬‬
‫(‪,1  )3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ . min  b , 0 , max‬ב‪ .‬סקיצה סוף‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪b‬‬
‫ג‪.  x  2 .‬‬
‫‪ )8‬ב‪ x   , 3 .‬ג‪  2 ,0.5 ,  0,0.5 ,  2 ,0.5 .‬ד‪ 2 .‬יח"ר ‪. S ‬‬
‫‪. a  8 , b  6 )9‬‬
‫‪ )10‬א‪ 1.5 .‬יח"ר ‪ S ‬ס‪ )1( .‬עולה עבור‪ )2( . x  2 , x  2 :‬סקיצה בסוף ג‪ .‬סקיצה בסוף‪.‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪ )11‬א‪  0,1 .‬ב‪ max   ,3 .‬מוחלט‪ min   ,  ,‬מוחלט‪ .‬ג‪ .‬סקיצות בסוף‪ .‬ד‪. a  1 .‬‬
‫‪3 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )12‬א‪ )3(  0,1  )2( y  1 , x  3 )1( .‬עלייה‪ 3.5  x  3 :‬ירידה‪ x  3 :‬או ‪. x  3.5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫(‪ )4‬סקיצה בסוף‪ .‬ב‪ )2( y  0 , x  3 )1( .‬סקיצה בסוף‪.‬‬
‫‪ )13‬א‪ x  15 .‬או ‪ x   15‬ב‪y  1 , y  1 , x   15 , x  15 .‬‬
‫‪3‬‬
‫ג‪ .‬סקיצה בסוף‪ .‬ד‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪.k ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )14‬א‪ )1( .‬כל ‪ )2( x‬עלייה‪ , x  0 :‬ירידה‪ 0, 1  )4( x   a , x  a )3( x  0 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫(‪ y  0 )5‬ב‪ .‬סקיצה בסוף‪ .‬ג‪ )2( x   3a , x  3a )1( .‬אין נקודות פיתול‪.‬‬
‫‪ )15‬א‪ x  4 : g  x  , x  4 : f  x  .‬ב‪ 8, 2  )2(   x0 ,  x0  4  )1( .‬ג‪. 2  .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪)2( x   , x   , x  , x ‬‬
‫‪ )16‬א‪)1( .‬‬
‫‪, x , x , x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫(‪ )4( min  , 0 , min 0, 0 , , min  , 0 )3‬סקיצה בסוף‪.‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪)2( g '  x   tan 2 x )1( .‬‬
‫‪3 9‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )17‬א‪ x  a )1( .‬או ‪ )3( y  a , y  a , x  a , x  a )2( x  a‬ירידה‪x  a , x  a :‬‬
‫עלייה‪ :‬אין‪ )4( .‬אין‪.‬‬
‫ב‪ .‬סקיצה בסוף‪.‬‬
‫‪446‬‬
. g  x   2a ‫ או‬g  x   0 )2( x  a , x  a , y  2a , y  0 )1( .‫ג‬
min  2.5,0.315 , max  2,1 , min 1,0.54  , max  0,1 , min  0.5,0.315 .‫) א‬18
. 0.92 .‫ סקיצה בסוף ג‬.‫ב‬
.‫ ק"מ‬0.4025 )19
3

, x  , 0  x  2 :‫) תחום הגדרה‬1( .‫ ב‬.‫ זוגית‬f  x  ‫ הפונקציה‬.‫) א‬20
2
2
3

‫) סקיצה בסוף‬3( min  2 ,1 , max  , 1 , min  0,1 )2( x 
, x  :‫אסימפטוטות‬
2
2
2
. max   2 k , 1 )2( min  2 k ,1 )1( .‫ ה‬ 2  3  12.02 .‫ סקיצה בסוף ד‬.‫ג‬
3
1
1
. 0 -‫ ל‬1 ‫) בין‬2( x  1 ‫ או‬x  :  1  x  :  )1( .‫ ב‬IV ‫ גרף‬.‫) א‬21
2
2
. 4.638 .‫ ג‬.‫) סקיצה בסוף‬3(
x
.‫) סקיצה בסוף‬5( min  8, 4 , max  0, 0 )4(  0, 0  )3( x  2 )2( x  2 , x  0 )1( .‫) א‬22
. 2  x  8 .‫ב‬
.a 
1



7
.‫ ג‬0 .‫ ב‬.   x  )2(  x 
)1( .‫) א‬23
2
6
2
2
6
.
. f  x 
9  6x
 x 2  3x  4 
2
3 3 2
R )24
4
.‫) נקודת קיצון מסוג מקסימום ב‬2( .‫) סקיצה בסוף‬1( .‫) א‬25
 3 
 
 
 
max  ,1 , min  , 0  , max  ,1 , min  0, 0  , min  , 0  .‫ ב‬ , 0  ,  , 0  ,  0, 0  .‫) א‬26
 4 
2 
4 
2 

. )2( .‫ סקיצה בסוף ד‬.‫ג‬
2
8
. )27
27
 2

 
   
min 
, 1 , max  ,1 ,  0,  1 )2(  , 0  ,  , 0  ,  0, 1 )1( .‫) א‬28
 3

3 
2  6 
. y  0 , y  1 , y  1 .‫ ג‬.‫) סקיצה בסוף‬2( .‫ב‬
y  1 , y  1 , x  3 , x  3 )3( ‫) אין‬2( x  3 ‫ או‬x  3 )1( .‫) א‬29
.‫ שלילי‬.‫ סקיצה בסוף ג‬.‫ ב‬. 9  x  3 ‫ או‬x  3 :‫ ירידה‬x  9 :‫) עלייה‬4(
. 1 )2( d  a , c  a , b  a )1( .‫ סקיצה בסוף ג‬.‫ ב‬x  1:  , x  1:  .‫) א‬30
‫ סקיצה בסוף‬.‫ ב‬max  0, 2  )4( y  0 )3(  0, 2  )2( x ‫) כל‬1( .‫) א‬31
 a 
 a 
. a  x  a ‫ כאשר‬f ''  x   0 x  a ‫ או‬x  a ‫ כאשר‬f ''  x   0 )1( .‫ג‬
2
2
.
447
1
.‫ד‬
2a 2
xmin  a , xmax  a )2(
1
1
max  , 0  , min   ,   , max  0, 0  )2( 2  x  3 ‫ או‬0  x   )1( .‫) א‬32
2
2
1
1
1
.‫ לא‬.‫ ג‬y   )2( ‫) סקיצה בסוף‬1( .‫ ב‬max  3 , 0  , min  2  ,   , max  2 , 0 
2
2
 2
. k  5 )33
 7 3   4
3   3 
3
 5   2  
,
,
, 0  ,  0,

 , 
 ,  ,
 .‫ ב‬ , 0  , 
 .‫) א‬34
3
2
3
2
3
2
3
3
2





 
 



.‫) שני קטעים‬2( 1 )1( .‫ג‬
. 2S .‫ סקיצה בסוף ד‬.‫ ב‬ 1, b  3 .‫) א‬35
.‫ מעוין‬.‫ ג‬c  3 .‫ ב‬b  2 , a  0 .‫) א‬36
‫) אין פתרונות בתחום הנתון‬4( .‫) סקיצה בסוף‬3( .‫ אין‬:‫ ירידה‬, 2  x  5 :‫) עלייה‬1( .‫) א‬37
.‫) כן‬2( 2.25 )1( .‫ב‬
‫ על ידי ציר‬, g  x  ‫ השטח המוגבל על ידי הפונקציה‬.‫ סקיצה בסוף ג‬.‫ ב‬ , 0  ,  0, 1 .‫) א‬38
2 
3
2
. f  x   x  3x  2 x  1 .‫ ד‬x  1 ‫ ועל ידי הישר‬x - ‫ה‬
.‫ ק"מ‬6.2 )39
1
4a  1

.  2,0  , 1,0  .‫) סקיצה בסוף ב‬3( max  2a,
 , min  0, 1 )2( y  1 )1( .‫) א‬40
4a  1


. 109.47 )41
.‫ אין‬:‫ ירידה‬1  x  2 :‫ עלייה‬.‫ הטענה נכונה ג‬.‫ חיובי ב‬.‫) א‬42



, 0  ,  0, 0  : g  x  ,  , 0  ,  0, 0 : f  x  )2( x   , x  , x  0 )1( .‫) א‬43
4
2 
 , 0  , 
2

2
)2( .‫ב‬
‫ אין‬:‫ ירידה‬, x ‫ כל‬:‫) עלייה‬3( y   a , y  a )2( x ‫) כל‬1( .‫ ב‬x ‫) כל‬1( .‫) א‬44
. f  4  5 , f  4  5 .‫) סקיצה בסוף ג‬4(
1
.‫ סקיצה בסוף ב‬.‫) א‬45
x
)2(  8  x  8 )1( .‫) א‬46
. f  x  x 


8, 0 ,  0, 0 ,




8, 0 :g  x  ,  8, 0 ,  0, 0 ,
min  0, 0 , min




8, 0 : f  x 
, min  2, 4  , max  2, 4  : f  x  .‫ב‬


8, 0 , min  8, 0 , max   2, 4 , max 2, 4 :g  x 
. I ‫ גרף‬.‫ ד‬.‫ סקיצה בסוף‬.‫ג‬
1

max  ,  3 , min 2, 0 )4(
2

 2, 0 ,  0, 4 )3(
y  1, x  1, x  1 )2( x  1, x  1 )1( .‫) א‬47
.1  x  2 .‫ סקיצה בסוף ג‬.‫ב‬
1
2
.1 R 2 .‫ב‬
448

.‫) א‬48
3
‫סרטוטים עבור השאלות בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‪.‬‬
‫‪ )7‬ב‬
‫‪ )5‬ו‬
‫‪ )5‬ז‬
‫‪ )10‬ב (‪)2‬‬
‫‪ )10‬ג‬
‫‪ )11‬ג (‪)1‬‬
‫‪ )11‬ג (‪)2‬‬
‫‪ )12‬א (‪)4‬‬
‫‪ )12‬ב (‪)2‬‬
‫‪ )13‬ג‬
‫‪ )14‬ב‬
‫‪ )16‬א (‪)4‬‬
‫‪449‬‬
‫‪ )17‬ב‬
‫‪ )20‬ב (‪)3‬‬
‫‪ )18‬ב‬
‫‪ )20‬ג‬
‫‪ )23‬א (‪)5‬‬
‫‪ )21‬ב (‪)3‬‬
‫‪ )26‬ג‬
‫‪ )25‬א (‪)1‬‬
‫‪ )29‬ב‬
‫‪ )28‬ב (‪)2‬‬
‫‪450‬‬
‫‪ )30‬ב‬
‫‪ )31‬ב‬
‫‪ )32‬ב (‪)1‬‬
‫‪ )35‬ב‬
‫‪ )37‬א (‪)3‬‬
‫‪ )40‬א (‪)3‬‬
‫‪ )44‬ב (‪)4‬‬
‫‪ )45‬א‬
‫‪ )47‬ב‬
‫‪ )46‬ג‬
‫‪451‬‬
‫נספח ‪ – 1‬משפטים בגאומטריה‪:‬‬
‫רשימת משפטים בגאומטריה שניתן לצטט בבחינת הבגרות בלי הוכחה‪:‬‬
‫הערות כלליות‪:‬‬
‫‪ .1‬בשאלות בגאומטריה יש לנמק כל שלב בפתרון על ידי כתיבת המשפט הגאומטרי‬
‫המתאים‪ .‬משפטים ידועים ניתנים לציטוט על ידי ציון שמם‪ .‬את כל יתר המשפטים‬
‫יש לנסח במדויק‪ .‬המשפטים שאותם ניתן לרשום על ידי ציון שמם הם‪:‬‬
‫משפט פיתגורס‪ ,‬משפט תאלס‪ ,‬המשפט ההפוך למשפט תאלס‪ ,‬משפט תאלס המורחב‪,‬‬
‫משפט חוצה הזווית‪ ,‬ארבעה משפטי החפיפה‪ :‬צ‪.‬ז‪.‬צ‪ ,.‬ז‪.‬צ‪.‬ז‪ ,.‬צ‪ .‬צ‪ .‬צ‪ ,.‬צלע‪ ,‬צלע‬
‫והזווית מול הצלע הגדולה (ורק משפטים אלה)‪ ,‬משפטי הדמיון‪ ,‬צ‪.‬ז‪.‬צ‪ ,.‬ז‪.‬ז‪ ,.‬צ‪ .‬צ‪ .‬צ‪,.‬‬
‫זווית בין משיק ומיתר‪.‬‬
‫‪ .2‬סדר המשפטים המופיע ברשימה זו אינו לפי סדר הוכחתם‪.‬‬
‫‪ .3‬במהלך פתרון שאלה בבחינת הבגרות‪ ,‬אין צורך להוכיח את המשפטים ברשימה‪ ,‬אלא‬
‫אם יש בשאלה דרישה מפורשת לכך‪.‬‬
‫‪ .4‬אין לחפוף משולשים על ידי צ‪.‬ז‪.‬ז‪ .‬אלא להראות שוויון הזווית השלישית ולהשתמש‬
‫במשפט ז‪.‬צ‪.‬ז‪.‬‬
‫‪ .5‬ניתן להשתמש בנוסחאות הבאות לחישוב שטחים‪:‬‬
‫א‪ .‬שטח מקבילית שווה למכפלת צלע המקבילית בגובה לצלע זו‪.‬‬
‫ב‪ .‬שטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לצלע זו‪.‬‬
‫ג‪ .‬שטח מעוין שווה למחצית מכפלת האלכסונים‪.‬‬
‫ד‪ .‬שטח טרפז שווה למכפלת הגובה במחצית סכום הבסיסים‪.‬‬
‫ה‪ .‬שטח עיגול שרדיוסו ‪ r‬שווה ל‪. r -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪452‬‬
‫המשפטים‪:‬‬
‫‪ .1‬זוויות צמודות משלימות זו את זו ל‪.180 -‬‬
‫‪ .2‬זוויות קודקודיות שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .3‬במשולש‪ ,‬מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות‪.‬‬
‫‪ .4‬במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .5‬סכום כל שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית‪.‬‬
‫‪ .6‬במשולש שווה שוקיים‪ ,‬חוצה זווית הראש‪ ,‬התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים‪.‬‬
‫‪ .7‬אם במשולש חוצה זווית הוא גובה‪ ,‬אז המשולש הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪ .8‬אם במשולש חוצה זווית הוא תיכון‪ ,‬אז המשולש הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪ .9‬אם במשולש גובה הוא תיכון‪ ,‬אז המשולש הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪ .10‬במשולש (שאינו שווה צלעות)‪ ,‬מול הצלע הגדולה יותר מונחת זוית גדולה יותר‪.‬‬
‫‪ .11‬במשולש (שאינו שווה זוויות)‪ ,‬מול הזווית הגדולה יותר מונחת צלע גדולה יותר‪.‬‬
‫‪ .12‬סכום הזוויות של משולש הוא ‪.180‬‬
‫‪ .13‬זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה‪.‬‬
‫‪ .14‬קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה‪.‬‬
‫‪ .15‬ישר החוצה צלע אחת במשולש ומקביל לצלע שניה‪ ,‬חוצה את הצלע השלישית‪.‬‬
‫‪ .16‬קטע שקצותיו על שתי צלעות משולש‪ ,‬מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה הוא‬
‫קטע אמצעים‪.‬‬
‫‪ .17‬משפט חפיפה צ‪.‬ז‪.‬צ‪.‬‬
‫‪ .18‬משפט חפיפה ז‪.‬צ‪.‬ז‪.‬‬
‫‪ .19‬משפט חפיפה צ‪.‬צ‪.‬צ‪.‬‬
‫‪ .20‬משפט חפיפה שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מבין השתיים‪.‬‬
‫‪ .21‬האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זוויות הראש‪ ,‬חוצה את האלכסון השני ומאונך לו‪.‬‬
‫‪ .22‬שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי‪ .‬אם יש זוג זוויות מתאימות שוות‪ ,‬אז שני‬
‫הישרים מקבילים‪.‬‬
‫‪ .23‬שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי‪ .‬אם יש זוג זוויות מתחלפות שוות אז שני‬
‫הישרים מקבילים‪.‬‬
‫‪453‬‬
‫‪ .24‬שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי‪ .‬אם סכום זוג זוויות חד ‪-‬צדדיות‬
‫הוא ‪ 180‬אז שני הישרים מקבילים‪.‬‬
‫‪ .25‬אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז‪:‬‬
‫א‪ .‬כל שתי זוויות מתאימות שוות זו לזו‪.‬‬
‫ב‪ .‬כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו‪.‬‬
‫ג‪ .‬סכום כל זוג זוויות חד‪-‬צדדיות הוא ‪.180‬‬
‫‪ .26‬במקבילית כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .27‬במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .28‬במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה‪.‬‬
‫‪ .29‬מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪ .30‬מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪ .31‬מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ושוות הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪ .32‬מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪ .33‬במעוין האלכסונים חוצים את הזוויות‪.‬‬
‫‪ .34‬מקבילית שבה אלכסון הוא חוצה זווית היא מעוין‪.‬‬
‫‪ .35‬במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫‪ .36‬מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין‪.‬‬
‫‪ .37‬אלכסוני המלבן שווים זה לזה‪.‬‬
‫‪ .38‬מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן‪.‬‬
‫‪ .39‬בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .40‬טרפז בו הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪ .41‬בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה‪.‬‬
‫‪ .42‬טרפז בו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪ .43‬קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם‪.‬‬
‫‪ .44‬בטרפז ‪ ,‬ישר החוצה שוק אחת ומקביל לבסיסים‪ ,‬חוצה את השוק השנייה‪.‬‬
‫‪ .45‬שלושת התיכונים במשולש נחתכים בנקודה אחת‪.‬‬
‫‪ .46‬נקודת חיתוך התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס ‪.2:1‬‬
‫(החלק הקרוב לקדקוד הוא פי ‪ 2‬מהחלק האחר)‪.‬‬
‫‪ .47‬כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחקים שווים משוקי זווית זו‪.‬‬
‫‪454‬‬
‫‪ .48‬אם נקודה נמצאת במרחקים שווים משני שוקי זווית אז היא נמצאת על‬
‫חוצה הזווית‪.‬‬
‫‪ .49‬שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת שהיא מרכז המעגל‬
‫החסום במשולש‪.‬‬
‫‪ .50‬בכל משולש אפשר לחסום מעגל‪.‬‬
‫‪ .51‬כל נקודה‪ ,‬הנמצאת על האנך האמצעי של קטע‪ ,‬נמצאת במרחקים שווים‬
‫מקצות הקטע‪.‬‬
‫‪ .52‬כל נקודה ‪,‬הנמצאת במרחקים שווים מקצות קטע‪ ,‬נמצאת על האנך‬
‫האמצעי לקטע‪.‬‬
‫‪ .53‬כל משולש ניתן לחסום במעגל‪.‬‬
‫‪ .54‬במשולש‪ ,‬שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אח שהיא מרכז‬
‫המעגל החוסם את המשולש‪.‬‬
‫‪ .55‬שלוש ת הגבהים במשולש נחתכים בנקודה אחת‪.‬‬
‫‪ .56‬ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל‪.180 -‬‬
‫‪ .57‬מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום‬
‫שתי הצלעות הנגדיות האחרות‪.‬‬
‫‪ .58‬כל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל‪.‬‬
‫‪ .59‬בכל מצולע משוכלל אפשר לחסום מעגל‪.‬‬
‫‪ .60‬דרך כל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד עובר מעגל אחד ויחיד‪.‬‬
‫‪ .61‬במעגל‪ ,‬שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שתי הקשתות‬
‫המתאימות להן שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .62‬במעגל‪ ,‬שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שני המיתרים‬
‫המתאימים להן שווים זה לזה‪.‬‬
‫‪ .63‬במעגל‪ ,‬מיתרים שווים זה לזה אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להם‬
‫שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .64‬מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל‪.‬‬
‫‪ .65‬מיתרים במעגל אחד הנמצאים במרחקים שווים ממרכזו שווים זה לזה‪.‬‬
‫‪ .66‬במעגל‪ ,‬אם מרחקו של מיתר ממרכז המעגל קטן יותר ממרחקו של מיתר‬
‫אחר‪ ,‬אז מיתר זה ארוך יותר מהמיתר האחר‪.‬‬
‫‪455‬‬
‫‪ .67‬האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר‪ ,‬חוצה את הזווית המרכזית המתאימה‬
‫למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר‪.‬‬
‫‪ .68‬קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר‪.‬‬
‫‪ .69‬במעגל‪ ,‬זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת‪.‬‬
‫‪ .70‬במעגל‪ ,‬לזוויות היקפיות שוו ת קשתות שוות ומיתרים שווים‪.‬‬
‫‪ .71‬במעגל‪ ,‬לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות‪.‬‬
‫‪ .72‬במעגל‪ ,‬כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר‬
‫שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .73‬זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה ( ‪.) 90‬‬
‫‪ .74‬זווית היקפית בת ‪ 90‬נשענת על קוטר‪.‬‬
‫‪ .75‬במעגל‪ ,‬זווית פנימית שווה למחצית סכום שתי הקשתות הכלואות בין‬
‫שוקי הזווית ובין המשכיהן‪.‬‬
‫‪ .76‬במעגל‪ ,‬זווית חיצונית שווה למחצית הפרש שתי הקשתות הכלואות בין‬
‫שוקי הזווית ובין המשכיהן‪.‬‬
‫‪ .77‬המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה‪.‬‬
‫‪ .78‬ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל‪.‬‬
‫‪ .79‬זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני‪.‬‬
‫‪ .80‬שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה‪.‬‬
‫‪ .81‬קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל‪ ,‬חוצה‬
‫את הזווית שבין המשיקים‪.‬‬
‫‪ .82‬קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים‪ ,‬חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו‪.‬‬
‫‪ .83‬נקודת ההשקה של שני מעגלים המשיקים זה לזה‪ ,‬נמצאת על קטע המרכזים או על‬
‫המשכו‪.‬‬
‫‪ .84‬משפט פיתגורס‪ :‬במשולש ישר זווית‪ ,‬סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר‪.‬‬
‫‪ .85‬משפט פיתגורס ההפוך‪ :‬משולש בו סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע הצלע‬
‫השלישית הוא ישר זווית‪.‬‬
‫‪ .86‬במשולש ישר זווית ה תיכון ליתר שווה למחצית היתר‪.‬‬
‫‪ .87‬משולש בו התיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה הוא משולש ישר זווית‪.‬‬
‫‪ .88‬אם במשולש ישר זוית ‪,‬זוית חדה של ‪ , 30‬אז הניצב מול זוית זו שווה למחצית היתר‪.‬‬
‫‪456‬‬
‫‪ .89‬אם במשולש ישר זוית ניצב שווה למחצית היתר‪ ,‬אז מול ניצב זה זוית‬
‫שגודלה ‪. 30‬‬
‫‪ .90‬משפט תאלס‪ :‬ש ני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית‪ ,‬מקצים‬
‫עליהם קטעים פרופורציוניים‪.‬‬
‫‪ .91‬משפט תאלס המורחב‪ :‬ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות‬
‫האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים‪.‬‬
‫‪ .92‬משפט הפוך למשפט תאלס‪ :‬שני ישרים המקצים על שוקי זווית ארבעה קטעים‬
‫פרופורציוניים הם ישרים מקבילים‪.‬‬
‫‪ .93‬חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים אשר‬
‫היחס ביניהם שווה ליחס הצלעות הכולאות את הזווית בהתאמה‪.‬‬
‫‪ .94‬ישר העובר דרך קדקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קדקוד זה חלוקה פנימית ביחס‬
‫של שתי הצלעות האחרות (בהתאמה) הוא חוצה את זווית המשולש שדרך קדקודה הוא‬
‫עובר‪.‬‬
‫‪ .95‬חוצה זווית חיצונית במשולש‪ ,‬שאינו מקביל לצלע המשולש‪ ,‬מחלק את הצלע שמול‬
‫הזווית הצמודה לה חלוקה חיצונית ביחס של שתי הצלעות הכולאות את הזווית‬
‫הפנימית הצמודה לה‪.‬‬
‫‪ .96‬ישר העובר דרך קדקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קדקוד זה חלוקה חיצונית‬
‫כיחס הצלעות האחרות (בהתאמה) הוא חוצה את הזווית החיצונית שדרך קודקודה‬
‫הוא עובר‪.‬‬
‫‪ .97‬משפט דמיון צ‪.‬ז‪.‬צ‪.‬‬
‫‪ .98‬משפט דמיון ז‪.‬ז‪.‬‬
‫‪ .99‬משפט דמיון צ‪.‬צ‪.‬צ‪.‬‬
‫‪ .100‬במשולשים דומים‪:‬‬
‫א‪ .‬יחס גבהים מתאימים שווה ליחס הדמיון‪.‬‬
‫ב‪ .‬יחס חוצי זוויות מתאימות שווה ליחס הדמיון‪.‬‬
‫ג‪ .‬יחס תיכונים מתאימים שווה ליחס הדמיון‪.‬‬
‫ד‪ .‬יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון‪.‬‬
‫ה‪ .‬יחס הרדיוסים של המעגלים החוסמים שווה ליחס הדמיון‪.‬‬
‫ו‪ .‬יחס הרדיוסים של המעגלים החסומים שווה ליחס הדמיון‪.‬‬
‫ז‪ .‬יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון‪.‬‬
‫‪457‬‬
‫‪ .101‬הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא ממוצע הנדסי של היטלי הניצבים‬
‫על היתר‪.‬‬
‫‪ .102‬סכום הזוויות הפנימיות של מצולע קמור הוא )‪.180(n  2‬‬
‫‪458‬‬
‫נספח ‪ – 2‬דף ההוראות הרשמי לשאלון ‪:806‬‬
‫‪459‬‬
‫נספח ‪ – 3‬עקרונות מנחים לבדיקת בחינות הבגרות‪:‬‬
‫מטרת מסמך זה היא להביא לידיעת המורים את השגיאות השכיחות ואת אופן הערכתן‬
‫בבדיקת השאלות בבחינת הבגרות‪ .‬במסמך נרשום כמה אחוזים מורידים על שגיאות רק‬
‫במקרים כלליים שאינם תלויים בשאלה ספציפית‪ ,‬בשאר המקרים רק נתאר את השגיאה‪.‬‬
‫עקרונות כלליים‬
‫‪ ‬שאלות בבחינה ייבדקו על פי סדר הופעתן בלבד‪ .‬נבחן חייב לציין איזה חלק מהבחינה‬
‫הוא טיוטה‪ .‬כל שאלה שנבחן התחיל לפתור ולא מחק‪ ,‬לא רשם "טיוטה" או לא רשם‬
‫"לא לבדוק"‪ ,‬תיבדק לפי סדר הופעתה ולא יתקבל ערעור בעניין זה‪.‬‬
‫‪ ‬החלטה על מספר נקודות שמורידים על טעות תלויה באופי השגיאה‪ ,‬ביכולת לבדוק את‬
‫המשך השאלה‪ ,‬ברמת הקושי שנוצרה עקב השגיאה וכדומה‪ .‬בכל מקרה‪ ,‬אם נבחן טעה‬
‫טעות גסה (ראה בהמשך דוגמאות)‪ ,‬יקבל נקודות רק לסעיפים שאינם קשורים בטעות‬
‫זו‪ .‬למשל‪ ,‬קבלת הסתברות גדולה מ ‪ 1-‬ושימוש בתוצאה זו גם בהמשך השאלה יגרום‬
‫לפסילת כל השאלה‪ ,‬אך אם בהמשך הנבחן אינו משתמש בתוצאה זו הרי שרק עבור‬
‫הסעיף השגוי לא יינתנו נקודות‪.‬‬
‫‪ ‬ניקוד סעיפי השאלות בבחינת הבגרות אינו מתחלק שווה בשווה בין הסעיפים אלא‬
‫תלוי ברמת המורכבות של הסעיף‪ ,‬ברמת הקושי של הסעיף יחסית לסעיפים אחרים‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שביצע פעולה לא חוקית במהלך הפתרון ייקנס גם אם קיבל תשובה נכונה‪.‬‬
‫למשל‪ :‬חילק ב‪ x -‬את המשוואה ‪ x 2 - x = 0‬ללא ציון ‪ , x  0‬ייקנס גם אם פתרון הבעיה‬
‫הוא ‪ x=1‬בלבד‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שהעתיק בצורה שגויה מהשאלון ביטוי או נתון‪ ,‬ייקנס בצורה משמעותית אם‬
‫שינה את רמת הקושי של השאלה‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שהניח הנחה שגויה‪ ,‬המפשטת את כל השאלה‪ ,‬לא יקבל נקודות לשאלה זו‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שרשם ישירות תשובה‪ ,‬בלי לרשום את הדרך‪ ,‬לא יקבל נקודות לסעיף גם במקרים‬
‫שהתשובה מתקבלת בחישוב פשוט‪ .‬ייתכן שהוא יוחשד בהעתקה (פרט למקרים‬
‫פשוטים של פתרון משוואה ריבועית)‪.‬‬
‫‪ ‬בכל מקרה רלוונטי על הנבחן לסמן יחידות מידה בתשובה‪ .‬למשל‪ ,‬בזוויות יש לסמן‬
‫מעלות ליד המספר‪ ,‬אחרת מדובר במידת הזווית ברדיאנים‪.‬‬
‫‪ ‬על טעות ברישום סדר האיברים בזוג סדור מורידים ‪.5%‬‬
‫‪ ‬על טעות חשבונית מורידים בין ‪ 5%‬ל‪( 15% -‬תלוי באופי השגיאה)‪.‬‬
‫‪460‬‬
‫‪ ‬בשאלה מילולית מכל סוג תלמיד חייב להגדיר את המשתנים באופן ברור (מילולי)‬
‫ולרשום בסוף תשובה מילולית‪.‬‬
‫‪ ‬אם נבחן לא פסל תוצאות שיש לפסול‪ ,‬ייקנס בהתאם לאופי הטעות‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שפתר שאלה המנוסחת באופן כללי‪ ,‬עבור מקרה פרטי‪ ,‬לא יקבל ניקוד לשאלה‪.‬‬
‫לדוגמה‪ :‬במקום פרמטר נבחן הציב מספר קבוע ופתר את השאלה למקרה זה‪.‬‬
‫‪ ‬מותר להגיע לתשובה על ידי ניסוי וטעייה‪ ,‬בתנאי שהנבחן מראה את כל הניסיונות‪,‬‬
‫ובתנאי שלא צוין שעל הנבחן לפתור את השאלה על סמך סעיפים קודמים‪ .‬אם נבחן לא‬
‫מראה את כל הניסיונות הוא עשוי להיחשד בהעתקה‪.‬‬
‫‪ ‬בסעיפים בהם נרשם "נמק"‪ ,‬יש לנמק באמצעים מקובלים כגון באופן אלגברי ו‪/‬או‬
‫באופן מילולי‪ .‬ללא נימוק‪ ,‬הנבחן לא יקבל נקודות לסעיף זה‪.‬‬
‫‪ ‬שימוש בטכניקות או בידע שאינו חלק מתוכנית הלימודים חייב הסבר של הנבחן‪,‬‬
‫שיכלול את מהות הטכניקה ומדוע אפשר להשתמש בה במקום שבו השתמש‪ .‬לא‬
‫מספיק לרשום ביטוים כגון‪" :‬שיטת הקרוס"‪" ,‬מכפלה ווקטורית"‪" ,‬משפט גרין" ועוד‪.‬‬
‫נבחן שלא ייתן הסבר משכנע‪ ,‬לא יקבל נקודות בסעיף זה‪.‬‬
‫עצם השימוש בנוסחאות או בטכניקות שאינן בתוכנית הלימודים איננו פסול ובתנאי‬
‫שהנבחן יראה הבנה בתהליכים אלה‪.‬‬
‫‪ ‬הנחיות חשובות בנוגע לשעתוק‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫יש לשלוח למרב"ד שתי מחברות‪ :‬מחברת המקור והמחברת המשועתקת‪.‬‬
‫ המחברת המשועתקת חייבת להיות זהה למקור‪.‬‬‫ סדר השאלות ותוכנן חייב להיות זהה למקור‪.‬‬‫‪-‬‬
‫אם אין התאמה מלאה בין מחברת המקור לבין המחברת המשועתקת‪ ,‬הנבחן‬
‫ייחשד באי שמירה על טוהר הבחינות והבחינה תטופל בהליך המקובל למחברות‬
‫חשודות בהעתקה‪.‬‬
‫‪461‬‬
‫דגשים בהתאם לנושאי הלימוד‬
‫‪ .1‬שאלות מילוליות‬
‫‪ ‬על הנבחן להגדיר את הנעלמים ולרשום תשובה סופית ברורה‪.‬‬
‫‪ ‬אם נבחן טעה ביחידות מידה כגון ביחידות זמן‪ ,‬ביחידות מרחק וכד'‪ ,‬ההורדה היא‬
‫משמעותית‪.‬‬
‫‪ ‬אם נבחן תרגם מושגים כגון "גדול ב" או "קטן ב" בצורה שגויה‪ ,‬ההורדה היא‬
‫משמעותית‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שבנה טבלה מסודרת ומלאה ולא המשיך בתהליך הפתרון‪ ,‬יקבל ציון חלקי‬
‫בלבד‪.‬‬
‫‪ .2‬אינדוקציה מתמטית‬
‫‪ ‬אם נבחן לא רשם נכון את הנחת האינדוקציה או לא רשם נכון את מה שצריך‬
‫להוכיח‪ ,‬מפסיקים לבדוק את השאלה‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שרשם בהנחת האינדוקציה "נניח לכל ‪ n‬טבעי"‪ ,‬נקנס ב‪.20% -‬‬
‫‪ ‬חובה לרשום משפט סיכום‪.‬‬
‫‪ .3‬אלגברה‬
‫‪ ‬בסדרות מותר לרשום את כל איברי הסדרה הרלוונטיים וכך להגיע לתשובה‪ ,‬אך‬
‫אם שגה בדרך פתרון זו בחישוב אחד האיברים או בסכומם לא יקבל נקודות‬
‫לסעיף‪.‬‬
‫‪ ‬בשאלת גידול ודעיכה אם נבחן פתר לפי גדילה במקום דעיכה או להפך לא יקבל‬
‫נקודות לשאלה‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שטעה בחוקי חזקות לא יקבל נקודות על הסעיף ועל סעיפים הנובעים ממנו‬
‫(למשל‪ ,‬רשם ‪.) 3  5x  15x , (53 )x =15x‬‬
‫‪ ‬אם נבחן השתמש בחוקי לוגריתמים באופן שגוי‪ ,‬לא יקבל נקודות על הסעיף‬
‫(למשל‪ ,‬רשם כי לוגריתם של מכפלה שווה למכפלת הלוגריתמים או כל טעות‬
‫דומה)‪.‬‬
‫‪462‬‬
‫‪ .4‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫‪ ‬אם נבחן מציב במקום פרמטר ערך מסוים קבוע‪ ,‬במקום שבו היה עליו להביע‬
‫פתרונות באמצעות הפרמטר‪ ,‬מפסיקים לבדוק את השאלה‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שטעה בחישוב תחום ההגדרה ובעקבות שגיאה זו הפתרון השתנה בצורה‬
‫משמעותית‪ ,‬ייקנס לא רק בסעיף תחום ההגדרה אלא גם בסעיפים נוספים בהם‬
‫טעות זו הקלה על הפתרון‪.‬‬
‫למשל‪ :‬אם בשל טעות בתחום ההגדרה התקבלה פונקציה ללא אסימפטוטה אנכית‪,‬‬
‫וכתוצאה מכך השתנה גרף הפונקציה באופן משמעותי‪ ,‬הנבחן ייקנס גם בסעיפים‬
‫נוספים בהתאם לשאלה‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שקיבל תוצאות שאינן מתיישבות עם הנתון בשאלה‪ ,‬ייקנס בכל הסעיפים‬
‫המושפעים מתשובתו‪.‬‬
‫למשל‪ :‬אם נתון בשאלה כי לפונקציה יש נקודת קיצון ובעקבות טעות בתחום‬
‫ההגדרה קיבל הנבחן כי לפונקציה אין נקודות קיצון‪ ,‬במקרה זה ייקנס הנבחן על‬
‫תחומי עליה וירידה וכד'‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שציין תחום הגדרה ולא התייחס לנקודות אי הגדרה‪ ,‬לא יקבל נקודות על‬
‫תחום ההגדרה וכן על הסעיפים הקשורים‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שרשם בתחום ההגדרה אי שוויון חזק במקום אי שוויון חלש או להפך‪ ,‬לא‬
‫יקבל נקודות לסעיף זה‪.‬‬
‫‪ ‬בחקירה של פונקציה טריגונומטרית אין להשאיר את התשובה במעלות‪.‬‬
‫‪ ‬אם בגזירה של פונקציה מורכבת נבחן לא התייחס לפונקציה הפנימית‪ ,‬במרבית‬
‫המקרים מפסיקים לבדוק את הסעיף ולפעמים אפילו את השאלה כולה (אם‬
‫הפתרון בנוי על הגזירה)‪ .‬החלטה על מספר נקודות שמורידים על הטעות תלויה‬
‫באופי השגיאה‪ ,‬ביכולת לבדוק את המשך השאלה‪ ,‬ברמת הקושי שנוצרה ועוד‪ .‬בכל‬
‫מקרה‪ ,‬אם נבחן טעה טעות גסה בנגזרת‪ ,‬יקבל נקודות רק לסעיפים שאינם‬
‫קשורים לנגזרת‬
‫‪ ‬אם נבחן שרטט אסימפטוטות לא נכונות‪ ,‬או שרטט גרף מחוץ לתחום ההגדרה‪ ,‬או‬
‫שרטט גרף החותך את ציר ה ‪ x -‬בצורה שגויה‪ ,‬או חותך אסימפטוטה אנכית‪ ,‬לא‬
‫יקבל נקודות לסעיף‪.‬‬
‫‪463‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬טעות נפוצה בשרטוט גרפים עם אסימפטוטות‪:‬‬
‫‪ ‬אם בפונקציית מנה‪ ,‬נבחן כפל את הפונקציה במכנה‪ ,‬ו"קיבל" פונקציה ללא מכנה‬
‫(למשל‪ ,‬פולינום)‪ ,‬לא יקבל נקודות לכל השאלה‪.‬‬
‫‪ ‬בבדיקת סוג הקיצון של פונקציית מנה‪ ,‬נבחן חייב להסביר מדוע מספיק לגזור את‬
‫המונה בלבד‪ .‬אין לרשום את נגזרת המונה כנגזרת השנייה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ ‬כאשר לפונקציה אין נקודות קיצון בתחום מסוים‪ ,‬על הנבחן לנמק את‬
‫העלייה‪/‬הירידה של הפונקציה בתחום זה‪.‬‬
‫‪ ‬בפונקציות בעלות תחום סגור יש להתייחס לקצות התחום בעת רישום נקודות‬
‫קיצון‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן ששגה בפתרון של אי שוויון‪ ,‬לא יקבל נקודות לסעיף זה ולסעיפים הקשורים‪.‬‬
‫‪ ‬במציאת פונקציה קדומה‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫אם הטעות היא רק ברמה של מקדם קבוע‪ ,‬מורידים נקודות רק על הפונקציה‬
‫הקדומה וממשיכים לבדוק על פי השגיאה‪.‬‬
‫ בכל מקרה אחר של טעות‪ ,‬מפסיקים לבדוק את הסעיף הרלוונטי‪.‬‬‫ במקרה שנבחן טעה טעות גסה במציאת הפונקציה הקדומה‪ ,‬לא יקבל נקודות‬‫על הסעיף ועל סעיפים הנובעים ממנו‬
‫‪e x 1‬‬
‫(למשל רשם‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪.)  e x dx ‬‬
‫‪ ‬נבחן שלא רשם בכתיבת האינטגרל ‪ , dx‬לא רשם סוגריים במקום הנכון וכדומה‪,‬‬
‫ייקנס ב ‪.5% -‬‬
‫‪464‬‬
‫‪ ‬בעת חישוב האינטגרל חייבים לרשום את הצבת הגבולות בפונקציה הקדומה‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שטעה בזיהוי השטח הנדרש בשאלה וחישב שטח אחר מהמבוקש‪ ,‬יקבל‬
‫נקודות רק עבור מציאת הפונקציה הקדומה‪.‬‬
‫‪ ‬בחשבון אינטגרלי של פונקציות טריגונומטריות על הנבחן לעבוד ברדיאנים‪ ,‬אחרת‬
‫לא יקבל ניקוד עבור החישוב‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שקיבל שטח שלילי ורשם בשרשרת השוויונות ערך מוחלט רק על התוצאה‬
‫הסופית יקבל נקודות רק עבור מציאת הפונקציה הקדומה‪.‬‬
‫אם השאיר את תוצאת השטח כמספר שלילי לא יקבל נקודות לסעיף זה‪.‬‬
‫‪ ‬אם במציאת נפח גוף סיבוב נבחן רשם ריבוע ההפרש של פונקציות במקום הפרש‬
‫הריבועים‪ ,‬מפסיקים לבדוק את הסעיף הרלוונטי‪.‬‬
‫‪ ‬אם נבחן שכח לרשום ‪ π‬במציאת נפח גוף סיבוב‪ ,‬מורידים ‪.10%‬‬
‫‪ .5‬בעיות ערך קיצון‬
‫‪ ‬בניית הפונקציה הנכונה מהווה כ ‪ 50% -‬מהשאלה‪.‬‬
‫‪ ‬אם יש טעות חמורה בגזירה‪ ,‬מפסיקים לבדוק את השאלה‪.‬‬
‫‪ ‬אי בדיקת מינימום‪/‬מקסימום גורמת להורדה של עד ‪.10%‬‬
‫‪ ‬נבחן ששגה משמעותית בבניית הפונקציה‪ ,‬לא יקבל נקודות לכל השאלה‪.‬‬
‫‪ .6‬טריגונומטריה במישור ובמרחב‬
‫‪ ‬נבחן שהשתמש בזהויות טריגונומטריות שגויות‪ ,‬לא יקבל ניקוד על הסעיף‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שהשתמש במשפט הסינוסים עם רדיוס של מעגל שאיננו חוסם את המשולש‬
‫שעבורו השתמש במשפט‪ ,‬מפסיקים לבדוק את השאלה‪.‬‬
‫‪ ‬מפסיקים לבדוק תשובה שבה הפתרון מבוסס על הנחת יסוד שגויה‪ .‬למשל‪ ,‬שימוש‬
‫בשיקול גיאומטרי שגוי כגון‪ :‬תיכון הוא חוצה זווית‪....‬‬
‫‪ ‬אין להשאיר תשובה מהצורה )‪ sin(90-α‬או )‪ cos(π-α‬וכד'‪.‬‬
‫‪ ‬בטריגונומטריה במישור ובמרחב‪ ,‬נבחן חייב לרשום באיזה משולש הוא מבצע‬
‫תהליך‪ .‬אם לא רשם את המשולש ולא ברור לאיזה משולש הכוונה‪ ,‬הוא לא יקבל‬
‫נקודות לסעיף‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שטעה בפונקציה טריגונומטרית או במשפט הסינוסים‪ ,‬או במשפט‬
‫הקוסינוסים‪ ,‬לא יקבל נקודות לסעיף‪.‬‬
‫‪ ‬אם נבחן שגה בזיהוי של זווית במרחב מפסיקים לבדוק את השאלה‪.‬‬
‫‪465‬‬
‫במקרים רבים בחירת הזווית נעשית על ידי גישה אינטואיטיבית ולא על פי הגדרה‬
‫ומכך נובעות מרבית הטעויות‪ ,‬בפרט אם יש צורך לזהות זווית במקרים פחות‬
‫סטנדרטיים‪.‬‬
‫לדוגמה‪ :‬מועד ב' מיוחד תשס"ז‬
‫טעות נפוצה בפתרון שאלה זו‪ ,‬היא זיהוי שגוי של הזווית המסומנת בשרטוט ב‪.)*( -‬‬
‫‪ .7‬סטטיסטיקה והסתברות‬
‫‪ ‬נבחן שרשם עץ מלא ונכון ולא המשיך‪ ,‬יקבל נקודות עבור העץ‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שחישב מקרים אפשריים וחיבר ביניהם ושכח מקרה אחד יקבל‪ ,‬בדרך כלל‪,‬‬
‫חלק מנקודות הסעיף‪ .‬אם שכח יותר ממקרה אחד לא יקבל נקודות על הסעיף‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שקיבל הסתברות גדולה מ ‪ 1-‬או הסתברות שלילית לא יקבל נקודות על‬
‫הסעיף‪ .‬השתמש בכך גם בהמשך לא יקבל נקודות לשאלה כולה‪.‬‬
‫‪ ‬על הנבחן להגדיר בבירור את המאורעות ולפרט את כל תהליך הפתרון כולל הצבות‪.‬‬
‫‪ ‬כדי לקבל נקודות לפתרון שאלה בהת פלגות נורמלית יש למלא במחברת את הגרף‬
‫בשלמות (המשתנה והאחוזים)‪ ,‬או לחילופין להסביר כל סעיף בנפרד‪ .‬תשובה סופית‬
‫בלבד לא תזכה בנקודות‪.‬‬
‫‪466‬‬
‫‪ .8‬גיאומטרית המישור‬
‫‪ ‬יש לנמק כל שלב גיאומטרי על ידי ציטוט משפט מתאים‪.‬‬
‫כל נימוק חסר ייקנס ב‪.10%-‬‬
‫‪ ‬מותר להשתמש רק במשפטים הנמצאים ברשימת המשפטים שפורסמה באתר‬
‫המפמ"ר‪ .‬שימוש בטענה שאיננה נמצאת ברשימת המשפטים מחייבת הוכחה‪.‬‬
‫היעדר הוכחה במקרה כזה ייחשב כדילוג על שלבים בהוכחה‪.‬‬
‫‪ .9‬גיאומטריה אנליטית‬
‫‪ ‬לא יתקבל פתרון על פי שרטוט בלבד‪.‬‬
‫‪ .10‬וקטורים‬
‫‪ ‬אם נבחן צמצם וקטורים במכפלה סקלרית‪ ,‬מפסיקים לבדוק את השאלה‪.‬‬
‫‪ ‬אם נבחן חילק וקטור בווקטור‪ ,‬הנבחן ייקנס גם אם לטעות אין השפעה על הפתרון‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שלא סימן ווקטורים בצורה תקנית ייקנס‪.‬‬
‫‪ .11‬מספרים מרוכבים‬
‫‪ ‬טיפול שגוי של נבחן בערך המוחלט של מספר מרוכב‪ ,‬מביא להפסקת הבדיקה‪.‬‬
‫אירמה ג'ן‬
‫מפמ"ר מתמטיקה‬
‫‪467‬‬
‫נספח ‪ – 4‬הנחיות לרישום לאתר הבגרויות של ‪:GOOL‬‬
‫‪ .1‬כניסה לאתר‬
‫‪ .2‬מומלץ לצפות בסרטון ההדרכה "איך מתחילים"‪:‬‬
‫‪http://bagrut.gool.co.il/‬‬
‫‪Academic/FreeChapter/1/co.il.http://bagrut.gool‬‬
‫‪ .3‬בעמוד הראשי יש ללחוץ על "קורס הכנה לבגרות לתלמידי קידום"‬
‫(לפי ‪ 3/4/5‬יחידות)‪.‬‬
‫‪ .4‬ללחוץ על מלבן ירוק מצד ימין למעלה‪:‬‬
‫"לחץ כאן לרכישת קורס מלא ושלם ‪ ₪ X‬במקום ‪."₪ Y‬‬
‫‪ .5‬יש לוודא שהקורס הנכון בעגלה‪.‬‬
‫יש להירשם לאתר ולמלא פרטים אישיים ע"פ ההנחיות‪.‬‬
‫‪ .6‬יש לסמן את הקובייה ‪" -‬קראתי את התקנון ואני מאשר"‬
‫ולאחר מכן ללחוץ על "המשך"‪.‬‬
‫‪ .7‬לאחר הרישום ייפתח עמוד הקופה‪ .‬יש לסמן ‪ V‬בתיבת "יש לי קופון" ולרשום את‬
‫מספר תעודת הזהות שלכם (ללא ‪ 0‬בהתחלה)‬
‫‪ .8‬ללחוץ על "הפעל"‪.‬‬
‫‪ .9‬הסכום לתשלום יהיה ‪ ,₪ 0‬ללחוץ על "הוסף הזמנה ‪ -‬ללא תשלום"‪.‬‬
‫‪ .10‬ספר התרגילים נמצא בעמוד ממנו רכשתם את הקורס‪.‬‬
‫הורידו למחשבכם ו‪/‬או הדפיסו אותו‪.‬‬
‫‪ .11‬בכל בעיה יש לפנות דרך "צור קשר" באתר‪:‬‬
‫‪Home/ContactUs/http://bagrut.gool.co.il‬‬
‫ולציין שם מלא‪ ,‬סניף הלימודים בקידום‪ ,‬מספר ת‪.‬ז‪ ,‬מייל ומס' טלפון‪.‬‬
‫במידה וקיבלתם הודעה "קופון לא קיים במערכת" אנא פנו להנהלת סניף קידום בו אתם‬
‫לומדים כדי שהם ישלחו אלינו מייל עם מס' ת‪.‬ז שלכם המאשר את היותכם רשומים‬
‫בקידום‪.‬‬
‫זהו‪ ...‬תתחדשו‪ ,‬יש לכם מנוי באתר ‪!!!GOOL‬‬
‫השיעורים יופיעו לכם ב"הקורסים שלי"‪.‬‬
‫מאחלים לכם הצלחה‪ ,‬צוות אתר ‪GOOL‬‬
‫‪468‬‬