מבוא לבקרה (034040)

‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫מבוא לבקרה )‪(034040‬‬
‫תרגול מס' ‪ – 14‬כיוונון בקרי ‪ ,PID‬בקר עם שתי דרגות חופש – פתרון‬
‫בקרי ‪ PID‬הינם בקרים מהצורה‬
‫‪kd s ‬‬
‫‪ k‬‬
‫‪CPID ( s ) = k p  1 + i +‬‬
‫‪s 1 + kd s N ‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר מטרת הפרמטר ‪ N‬היא לאפשר מימוש לרכיב הגזירה ומקובל לבחור אותו בין ‪ 3‬ל ‪ .20‬באנליזה‪ ,‬לשם נוחות‪,‬‬
‫לוקחים ∞ → ‪ . N‬קיימת שיטה על שם זיגלר וניקולס לכוונון הפרמטרים של הבקר‪ ki , k p ,‬ו ‪. kd‬‬
‫שיטת הרגישות הגבולית‪:‬‬
‫משתמשים בשיטה עבור תהליכים ללא קטבים ב ‪ ,ORHP‬רצוי על מרוסנים‪ ,‬כאשר ניתן להביא את המערכת לסף‬
‫יציבות עם שני קטבים מדומים )אך רצוי ללא יציבות מותנית(‪ .‬שלבים עבור תהליך נתון‪:‬‬
‫‪ .1‬סוגרים את החוג עם בקר פרופורציונאלי ומחשבים את ההגבר הקריטי ‪ Ku‬ואת מחזור התנודות הקריטיות ‪. Tu‬‬
‫‪ .2‬מחשבים את פרמטרי הבקר מתוך הטבלה הבאה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫נתון התהליך‬
‫‪10‬‬
‫) ‪( s + 3) ( s 2 + 2s + 10‬‬
‫= ) ‪ . P ( s‬דרוש לבקר את התהליך בחוג סגור כך ששגיאות מצב מתמיד לכניסות‬
‫מדרגה באות הייחוס ובאות ההפרעה תתאפסנה‪.‬‬
‫א‪ .‬תכננו בקר ‪ PI‬ובקר ‪ PID‬בשיטת של זיגלר – ניקולס‪ .‬חשבו את עודפי היציבות עבור שני הבקרים וציירו את‬
‫תגובות החוג הסגור לכניסות מדרגה באות הייחוס ובהפרעה‪.‬‬
‫פתרון שאלה ‪ 1‬סעיף א'‬
‫ראשית נבדוק האם ניתן להשתמש בשיטת הרגישות הגבולית‪.‬‬
‫צריך שהחוג שייסגר עם התהליך הנתון ובקר פרופורציונאלי יהיה בעל תחום יציבות סופי‪ .‬נסמן על הבודה של‬
‫התהליך את מידת קרבת החוג לאי יציבות‪.‬‬
‫‪Gm = 14 dB (at 4 rad/s) , Pm = Inf‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-20‬‬
‫‪-60‬‬
‫)‪Magnitude (dB‬‬
‫‪-40‬‬
‫‪-80‬‬
‫‪-100‬‬
‫‪0‬‬
‫‪P‬‬
‫‪-180‬‬
‫)‪Phase (deg‬‬
‫‪-90‬‬
‫‪-270‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫איור ‪ :1‬עקום בודה של התהליך בשאלה ‪1‬‬
‫הערה‪ :‬עודפי היציבות המסומנים בבודה הם עבור הגברי בקר חיוביים‪ .‬לתהליך הנתון יש תחום יציבות גם עבור‬
‫הגברים שליליים‪ ,‬אך בסף יציבות מתקבל קוטב בודד בראשית‪ ,‬לכן לא נקבל תנודות קריטיות‪ ,‬אז נשאר עם ‪ K‬חיובי‪.‬‬
‫למערכת אמנם עודף פאזה אינסופי )כי הגבר התהליך קטן מ ‪ 1‬בכל תדר(‪ ,‬אך עודף ההגבר של המערכת סופי‪ ,‬ולכן יש‬
‫תחום סופי של בקרי הגבר ‪ K‬עבורם החוג הסגור יציב‪ .‬ההגבר הקריטי כמובן שווה לעודף ההגבר של התהליך‪.‬‬
‫‪Ku = 5‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒ ‪µ g = 14[dB ] ≈ 5‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫עם הגבר זה לחוג הסגור יהיה קוטב יציב אחד ושני קטבים על הציר המדומה בנקודות ‪ ± jω p = ±4 j‬ולחוג הסגור‪,‬‬
‫במצב מתמיד‪ ,‬תנודות קריטיות בתדר זה‪ .‬כלומר‪ ,‬תדר התנודות הקריטיות הוא ]‪ ωu = ωφ = 4[r s‬וזמן המחזור שלהן‬
‫‪2π‬‬
‫הוא ]‪⇒ Tu = 1.571[sec‬‬
‫‪4‬‬
‫=‬
‫‪2π‬‬
‫‪ωu‬‬
‫= ‪. Tu‬‬
‫נחשב את הפרמטרים של הבקרים ‪ PI‬ו ‪ PID‬מתוך הטבלה‪.‬‬
‫‪k p = 0.6 Ku = 0.6 ⋅ 5 = 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ ki‬‬
‫=‬
‫‪= 1.273‬‬
‫‪PID : ‬‬
‫‪Tu 1.571‬‬
‫‪‬‬
‫‪kd = Tu = 1.571 = 0.196‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪k p = 0.45Ku = 0.45 ⋅ 5 = 2.25‬‬
‫‪‬‬
‫‪PI : ‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪ki = T = 1.571 = 0.764‬‬
‫‪‬‬
‫‪u‬‬
‫הבקרים המתקבלים עבור התהליך הנתון‪ ,‬הינם‪:‬‬
‫‪ k‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1.273‬‬
‫‪‬‬
‫‪CPID ( s ) = k p  1 + i + kd s  = 3  1 +‬‬
‫‪+ 0.196s ‬‬
‫‪s‬‬
‫‪s‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ k ‬‬
‫‪ 0.764 ‬‬
‫‪CPI ( s ) = k p  1 + i  = 2.25  1 +‬‬
‫‪‬‬
‫‪s‬‬
‫‪s ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪50‬‬
‫‪-50‬‬
‫)‪Magnitude (dB‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-100‬‬
‫‪-45‬‬
‫‪L=CpiP‬‬
‫‪-90‬‬
‫‪L=CpidP‬‬
‫‪-180‬‬
‫)‪Phase (deg‬‬
‫‪-135‬‬
‫‪-225‬‬
‫‪-270‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫איור ‪ :2‬עקומי בודה של החוג הפתוח עם הבקרים בשאלה ‪1‬‬
‫נחשב את עודפי היציבות של החוג בשני המקרים‪ .‬עבור בקר ‪ ,PI‬מהבודה מקבלים‪:‬‬
‫)‬
‫]‪= 0.92[ r s‬‬
‫‪(ω‬‬
‫‪c‬‬
‫‪; µ ph = 112°‬‬
‫‪3‬‬
‫)‬
‫]‪= 3.72[ r s‬‬
‫‪(ω‬‬
‫‪φ‬‬
‫]‪CPI ( s ) : µ g = 4.82[dB‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫עבור בקר ‪ ,PID‬מהבודה מקבלים‪:‬‬
‫)‬
‫]‪= 3.38[ r s‬‬
‫‪(ω‬‬
‫‪c‬‬
‫‪; µ ph = 45.7°‬‬
‫)‬
‫]‪= 14.1[ r s‬‬
‫‪(ω‬‬
‫‪φ‬‬
‫] ‪CPID ( s ) : µ g = 30.1[ dB‬‬
‫הערה ‪ :1‬בפועל בקר ה‪ PID‬ימומש כסיבתי‪ ,‬לכן גם הפאזה שלו תתכנס ל ‪ −270°‬ועודפי היציבות יהיו קטנים יותר‪.‬‬
‫נצייר את תגובות המדרגה של החוג הסגור לכניסת מדרגה באות הייחוס ובהפרעה עבור שני הבקרים‪.‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪1.4‬‬
‫‪PI‬‬
‫‪PI‬‬
‫‪PID‬‬
‫‪PID‬‬
‫‪18‬‬
‫‪16‬‬
‫‪14‬‬
‫‪12‬‬
‫‪10‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪0.25‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪0.15‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.05‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪18‬‬
‫‪16‬‬
‫‪14‬‬
‫‪12‬‬
‫‪10‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-0.05‬‬
‫איור ‪ :3‬מע' בשאלה ‪ .1‬ימין – תגובת מדרגה באות הייחוס‪ ,‬שמאל – תגובת מדרגה בהפרעה‬
‫רואים כי בשני המקרים קיבלנו תגובות תנודתיות‪ ,‬אך עבור בקר ‪ PID‬הביצועים מעט טובים יותר‪ :‬מקבלים תגובה‬
‫מהירה יותר לכניסה באות הייחוס ) ‪ ωc‬גדול יותר( ותגובת יתר נמוכה יותר בתגובה להפרעה‪.‬‬
‫ב‪ .‬תכננו למערכת בקר עם שתי דרגות חופש כך שבנוסף הדרישות בסעיף א' הבקר ימזער את התנודות בתגובת החוג‬
‫הסגור לכניסת מדרגה באות הייחוס‪ .‬בחרו את הבקר בתוך החוג להיות אחד הבקרים שתכננתם בסעיף א'‪.‬‬
‫פתרון שאלה ‪ 1‬סעיף ב'‬
‫נבחר את הבקר בתוך החוג להיות ‪ CPID‬כי הוא נתן ביצועים טובים יותר‪ .‬חוג הבקרה עם שתי דרגות חופש יראה כך‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪P ( s‬‬
‫)‪C ( s‬‬
‫‪u‬‬
‫‪−‬‬
‫)‪K ( s‬‬
‫איור ‪ :4‬חוג בקרה עם שתי דרגות חופש בשאלה ‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪r‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫המפצה המקדים ) ‪ K ( s‬אינו משפיע על תגובת החוג להפרעה )בשביל זה יש את ) ‪ ( C ( s‬אך הוא כן משפיע על תגובת‬
‫החוג לאות הייחוס‪ .‬ניתן לבטל את תנודת התגובה לאות הייחוס בשני אופנים‪.‬‬
‫דרך אחת – צמצום הקטבים המרוכבים‪.‬‬
‫נרשום את תמסורת החוג הסגור ‪. y r‬‬
‫)‪C (s) P (s‬‬
‫) ‪5.88 ( s + 2.664 )( s + 2.438‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪= K (s‬‬
‫)‪(s) = K (s‬‬
‫‪r‬‬
‫)‪1+ C ( s) P ( s‬‬
‫‪( s + 2.974 )( s + 0.865) s 2 + 1.161s + 14.85‬‬
‫‬
‫(‬
‫)‬
‫‪p =−0.581±3.81i‬‬
‫למערכת בחוג סגור יש שני קטבים מרוכבים שיוצרים את התנודות‪ .‬נבחר את המפצה המקדים באופן הבא‪:‬‬
‫‪14.85 ⋅ 0.865‬‬
‫‪= 1 → k = 5.056‬‬
‫‪2.664 ⋅ 2.438 ⋅10‬‬
‫‪; k‬‬
‫)‬
‫) ‪+ 1.161s + 14.85 ( s + 0.865‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(s‬‬
‫‪K (s) = k‬‬
‫) ‪( s + 2.664 )( s + 2.438)( s + 10‬‬
‫‪y‬‬
‫‪29.73‬‬
‫= )‪(s‬‬
‫‪r‬‬
‫) ‪( s + 2.974 )( s + 10‬‬
‫⇒‬
‫ביטלנו את הקטבים התונדים של ‪ y r‬אך על הדרך‪ ,‬כדי ש ) ‪ K ( s‬יהיה ‪ ,proper‬צמצמנו את אפסי התהליך וגם‬
‫צמצמנו קוטב איטי ב ‪ -0.865‬ובמקומו הכנסנו קוטב מהיר ב ‪ .-10‬לא נשכח לשמור על הגבר סטטי ‪ 1‬של החוג הסגור‪.‬‬
‫דרך שנייה – תכנון פילטר שיסנן אות בתדר התנודה הלא רצויה‪.‬‬
‫ללא ) ‪ , K ( s‬התמסורת ‪ y r‬מהווה מסנן שמעביר היטב את התדר שבו תונדת תגובת המדרגה‪ .‬ניתן למצוא תדר זה‬
‫מגרף תגובת המדרגה )איור ‪ 3‬ימין(‪ .‬נחשב את זמן מחזור התנודות על ידי חישוב מרחק בין שני פיקים‪.‬‬
‫‪2π‬‬
‫] ‪= 3.7[r s‬‬
‫‪T‬‬
‫=‪→ ω‬‬
‫]‪T ≈ 3.9 − 2.2 = 1.7[sec‬‬
‫נצייר עקום בודה של ‪) y r‬איור ‪5‬א'(‪ .‬הפיק קורה בדיוק בתדר שחישבנו )כצפוי(‪ .‬נתכנן את ) ‪ K ( s‬שיבצע הנחתה‬
‫טובה בתדר זה‪ .‬על מנת לבטל את התדר הנ"ל ניתן לתכנן מסנן בורר‪ .Notch Filter ,‬למסנן בורר אידיאלי יש אנטי‪-‬‬
‫פיק אינסופי בתדר הרצוי‪ ,‬ועל ידי כך הוא מנחית את התדר לחלוטין‪ .‬אנו נתכנן מסנן בורר עם אנטי‪-‬פיק סופי‪ ,‬כאשר‬
‫את רוחב האנטי‪-‬פיק )הפרמטר ‪ (β‬נקבע בניסוי וטעיה‪ .‬המסנן שנבחר הוא‬
‫‪, β = 1.1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪s 2 + β s + 3.7 2‬‬
‫‪( s + 3.7 )2‬‬
‫= )‪K (s‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Gyr‬‬
‫‪Kfilter‬‬
‫‪-10‬‬
‫‪K*Gyr‬‬
‫‪-30‬‬
‫‪-40‬‬
‫)‪Magnitude (dB‬‬
‫‪-20‬‬
‫‪-50‬‬
‫‪-60‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪-70‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪10‬‬
‫איור ‪5‬א'‪ :‬עקום בודה )הגבר( של החוג הסגור ‪ y r‬ללא מסנן ) ‪ K ( s‬ועם ) ‪ K ( s‬כמסנן בורר‬
‫ניתן לראות שביטלנו את הפיק‪ ,‬אך יצא שהקטנו את רוחב הסרט של החוג הסגור‪ .‬נתבונן כעת בעקום בודה של החוג‬
‫הסגור עם המפצה המקדים שתכננו בשיטת ביטול קטבים )איור ‪5‬ב'(‪ .‬אמנם התכנון היה משיקולי צמצום קטבים‬
‫ואפסים בלבד‪ ,‬במישור התדר יצא שביטלנו את הפיק ואף הגדלנו מעט את רוחב הסרט של החוג הסגור‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Gyr‬‬
‫‪-10‬‬
‫‪K*Gyr‬‬
‫‪-20‬‬
‫‪-30‬‬
‫)‪Magnitude (dB‬‬
‫‪Kpoles‬‬
‫‪-40‬‬
‫‪-50‬‬
‫‪-60‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪-70‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪10‬‬
‫איור ‪5‬ב'‪ :‬עקום בודה )הגבר( של החוג הסגור ‪ y r‬ללא מסנן ) ‪ K ( s‬ועם ) ‪ K ( s‬כמסנן מבטל קטבים‬
‫נראה את תגובת החוג הסגור למדרגה באות הייחוס עם המפצים המקדימים שתכננו‪ .‬התגובה עם המסנן‪-‬בורר יותר‬
‫איטית מהתגובה עם מסנן מבטל קטבים‪ .‬בשני המקרים התנודות בוטלו לחלוטין‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫ הפקולטה להנדסת מכונות‬,‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‬
TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering
1.4
no K
Kpoles
1.2
Kfilter
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
‫ תגובות מדרגה של החוג הסגור עם מפצים מקדימים שונים‬:6 ‫איור‬
2 ‫שאלה‬
. P=
0.1⋅ e−1.5s
s( s 2 + 0.05s + 1)
:‫נתון התהליך‬
.‫ בשיטת הרגישות הגבולית‬PID ‫תכננו בקר‬
2 ‫פתרון שאלה‬
:‫נסתכל על עקום בודה ועקום פולארי של התהליך‬
P
2
1.5
System: P
Phase Margin (deg): -18.8
Delay Margin (sec): -0.344
At frequency (rad/s): 0.952
Closed loop stable? Yes
1
0.5
0
-0.5
System: P
Gain Margin (dB): 5.11
At frequency (rad/s): 0.897
Closed loop stable? Yes
-1
-1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
7
0
0.5
1
1.5
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫)‪Gm = 5.11 dB (at 0.897 rad/s) , Pm = -18.8 deg (at 0.952 rad/s‬‬
‫‪20‬‬
‫‪-20‬‬
‫‪-40‬‬
‫‪-60‬‬
‫)‪Magnitude (dB‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-80‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪Phase (deg‬‬
‫‪-360‬‬
‫‪-720‬‬
‫‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪-1080‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫)‪Frequency (rad/s‬‬
‫ניתן לראות שאם נסגור את החוג עם בקר פרופורציונאלי‪ ,‬יהיה קיים הגבר שמביא את החוג לאי יציבות עם קטבים‬
‫מדומים‪ .‬זהו עודף ההגבר המינימאלי של המערכת‪ .‬נחלץ את הפרמטרים הדרושים לכוונון בעזרת זיגלר‪-‬ניקולס‪.‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪=7‬‬
‫‪0.897‬‬
‫=‬
‫‪2π‬‬
‫‪ωφ‬‬
‫= ‪Tu‬‬
‫‪,‬‬
‫‪Ku = µg = 5.11dB = 1.801‬‬
‫קבועי הבקר )על פי כיוונון פסן( הם‪:‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪T‬‬
‫‪, kd = u‬‬
‫‪Tu‬‬
‫‪6.7‬‬
‫= ‪k p = 0.7Ku , ki‬‬
‫נציב בנוסחה לבקר ‪:PID‬‬
‫‪ k‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.357‬‬
‫‪‬‬
‫‪C = k p 1 + i + kd s  = 1.26 1 +‬‬
‫‪+ 1.045s ‬‬
‫‪s‬‬
‫‪s‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נסתכל על דיאגרמת ניקוויסט של החוג הפתוח‬
‫‪8‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫ניתן לראות כי החוג הסגור אינו יציב‪ .‬תגובת החוג הסגור למדרגה עם הבקר שהתקבל‪:‬‬
‫‪80‬‬
‫‪60‬‬
‫‪40‬‬
‫‪20‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−20‬‬
‫‪−40‬‬
‫‪200‬‬
‫‪180‬‬
‫‪160‬‬
‫‪140‬‬
‫‪120‬‬
‫‪100‬‬
‫)‪Time (sec‬‬
‫‪80‬‬
‫‪60‬‬
‫‪40‬‬
‫‪20‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−60‬‬
‫כאמור‪ ,‬הבקר שהתקבל מוציא את החוג הסגור מיציבות‪ .‬שיטת זיגלר‪-‬ניקולס אינה מתאימה לכל סוגי התהליכים‪.‬‬
‫‪9‬‬