הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל, הפקולטה להנדסת מכונות

‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫תורת הבקרה )‪(035188‬‬
‫תרגול מס' ‪ – 8‬בקרה אופטימאלית ‪ – LQR‬פתרון‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫נתון התהליך‪:‬‬
‫‪s 1‬‬
‫‪. P s ‬‬
‫א‪ .‬כתבו למערכת מימוש במרחב המצב ומצאו משוב מצב הממקם את קוטב החוג הסגור בנקודה ‪.-2‬‬
‫פתרון שאלה ‪ 1‬סעיף א'‬
‫מימוש אפשרי במרחב המצב‪:‬‬
‫‪x  x  u‬‬
‫‪ A  1, B  1, C  1, D  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪y  x‬‬
‫בדיקת קונטרולביליות‪:‬‬
‫‪MC  B  1  0‬‬
‫המערכת קונטרולבילית‪ .‬פולינום אופייני רצוי בחוג הסגור‪:‬‬
‫‪cl  s   s  2‬‬
‫משוב מצב‪:‬‬
‫הגבר משוב מצב לפי נוסחת אקרמן‪:‬‬
‫‪F  MC1cl  A   1  2  1‬‬
‫הערה‪ :‬במערכת סקלארית פשוטה כמו זו נוח לפתור גם ישירות מהשוואת מקדמים‪:‬‬
‫‪eig  A  BF   eig  1  1 F   1  F  2  F  1‬‬
‫‪1‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬מצאו משוב מצב הממזער את הקריטריון ‪( J c   u 2  t  dt‬כלומר‪ ,‬ייצוב המערכת במינימום מאמץ בקרה)‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫פתרון שאלה ‪ 1‬סעיף ב'‬
‫פתרון אינטואיטיבי‪:‬‬
‫כיוון שהתהליך יציב‪ ,‬לייצב את המערכת במינימום מאמץ בקרה פירושו לא להפעיל בקרה כלל‪ ,‬כלומר להשאיר את‬
‫החוג פתוח (וזה אומר ‪.) F  0‬‬
‫פתרון פורמאלי‪:‬‬
‫הצורה הכללית של קריטריון המזעור‪:‬‬
‫‪x ' t  Cz ' Cz x t   u 2 t  dt‬‬
‫‪‬‬
‫‪J ‬‬
‫‪0‬‬
‫פתרון ‪ P‬של משוואת ריקאטי‬
‫‪A ' P  PA  Cz ' Cz  1 PBB ' P  0‬‬
‫מייצב את החוג הסגור (והוא קיים אם ורק אם מתקיימים שני תנאים – בדקו!)‪ ,‬אם ‪ A  BF‬עם ‪ F  1 B ' P‬יציב‪.‬‬
‫כאן ‪ Cz  0‬ו ‪   1‬ולכן‪:‬‬
‫‪A ' P  PA  Cz ' Cz  1 PBB ' P  2P  P 2  P  2  P   0‬‬
‫‪‬‬
‫אם ‪ , P  2‬נקבל‪ F  1 B ' P  2  A  BF  1  1  2   1 :‬לא יציב‪.‬‬
‫‪‬‬
‫אם ‪ , P  0‬נקבל‪ F  1 B ' P  0  A  BF  1  1  0   1 :‬יציב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצאו משוב מצב הממזער את הקריטריון ‪ y 2 t   u 2 t  dt‬‬
‫‪‬‬
‫‪( J c  ‬משקל זהה למאמץ הבקרה ולביצועים)‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫פתרון סעיף ג'‬
‫כאן ‪ Cz  C  1  Cz x  Cx  y‬ולכן‪:‬‬
‫‪A ' P  PA  C z ' C z  1 PBB ' P  2P  1  P 2  0  P 2  2P  1  0  P1,2  1  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪A  BF  1  1  1  2  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪F1  1 B ' P1  1  2  A  BF1  1  1 1  2   2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪F2  1 B ' P2  1  2 ‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫הפתרון המייצב הוא לכן ‪ P  1  2‬שנותן משוב מצב ‪. F  1  2  0.414‬‬
‫הערה‪ :‬משוב זה ימקם את קוטב החוג הסגור בנקודה ‪ , A  BF   2  1.414‬לעומת הנקודה ‪ ,-2‬כמו שהזיז‬
‫המשוב ‪ F  1‬בסעיף א'‪ .‬כלומר‪ ,‬כאן הבקר "יתאמץ פחות" בהזזה של קוטב התהליך ש ב ‪ .-1‬מצד שני‪ ,‬התגובה עם‬
‫קוטב ב ‪ -2‬עולה ומתכנסת מהר יותר מהתגובה עם קוטב ב ‪ .-1.414‬משוב קטן מ ‪ 0.414‬ייתן מאמץ בקרה קטן עוד‬
‫יותר אך גם תגובה איטית יותר‪ .‬האופטימום‪ ,‬כאמור‪ ,‬הוא עם ‪. F  0.414‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫משוואות התנועה של מנוע ‪ DC‬המניע עומס דרך תמסורת גמישה הן‪:‬‬
‫(‬
‫)‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫)‬
‫̇‬
‫(‬
‫̇‬
‫הן הזוויות‬
‫הינו מומנט האינרציה של המנוע‪ ,‬הינו מומנט האינרציה של העומס‪,‬‬
‫כאשר‬
‫הם מקדמי הריסון והקשיחות של התמסורת‬
‫והמהירויות הזוויתיות של המנוע והעומס‪ ,‬בהתאמה‪ .‬הקבועים‬
‫הגמישה ו הוא קבוע הזרם של המנוע‪.‬‬
‫הכניסה למערכת הינה הזרם‪( ) ,‬‬
‫) ( והיציאה הינה מהירות סיבוב העומס‪( ) ,‬‬
‫) ( ‪.‬‬
‫עבור הערכים המספריים‪:‬‬
‫יחד עם ההגדרה‬
‫‪ ,‬נקבל מימוש במרחב המצב‪:‬‬
‫) ( ]‬
‫[‬
‫) (‬
‫]) (‬
‫) (‬
‫[‬
‫[]‬
‫) (‬
‫]) (‬
‫) (‬
‫‪3‬‬
‫[]‬
‫) ( ̇‬
‫]) ( ̇ [‬
‫) ( ̇‬
‫[‬
‫) (‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫א‪ .‬תכננו בקר אשר ממזער את הקריטריון‪:‬‬
‫)) (‬
‫) (‬
‫(∫‬
‫ציירו את התגובה למדרגה עבור ערכים שונים של המשקל על מאמץ הבקרה‪. ,‬‬
‫פתרון שאלה ‪ 2‬סעיף א'‬
‫ראשית נבדוק את הקונטרולביליות של המערכת‪ .‬מטריצת הקונטרולביליות הינה‪:‬‬
‫]‬
‫מתקבל‬
‫|‬
‫[‬
‫|‪ .‬המערכת קונטרולבילית ולכן היא גם ניתנת לייצוב‪.‬‬
‫נבדוק גם אובזרבביליות‪:‬‬
‫[‬
‫]‬
‫גם למטריצה זו דרגה מלאה‪ .‬המערכת אובזרבבילית ולכן אין לה מודים לא אובזרבבילים על הציר המדומה‪.‬‬
‫כיוון שאנו מעוניינים למזער רק את ) (‬
‫) (‬
‫מתוך ווקטור המצב‪ ,‬נגדיר‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫[‬
‫]‬
‫משוואת ריקאטי‪:‬‬
‫‪A ' P  PA  Cz ' Cz  1 PBB ' P  0‬‬
‫כאן משוואת ריקאטי היא משוואה מטריצית‪ .‬נפתור אותה בעזרת מאטלאב עם הפקודה )‬
‫עבור ערכים שונים של הפרמטר‬
‫(‬
‫ונקבל מטריצה שהיא פתרון מייצב ‪ . P‬משוב המצב האופטימאלי יהיה‬
‫) (‬
‫המערכת בחוג סגור תהיה (עם‬
‫) (‬
‫) (‬
‫מתאים)‪:‬‬
‫) (‬
‫(‬
‫) ( )‬
‫) (‬
‫‪4‬‬
‫) (̇‬
‫) (‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫עבור ערכים שונים של‬
‫נקבל תגובות של החוג הסגור לכניסת מדרגה באות הייחוס‪:‬‬
‫)‪Output y(t‬‬
‫‪1.4‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪ = 0.1‬‬
‫‪ = 0.01‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪25‬‬
‫‪20‬‬
‫‪5‬‬
‫‪10‬‬
‫‪15‬‬
‫)‪Time (Sec‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫תגובת החוג הסגור ‪y  t ‬‬
‫)‪Control effort u(t‬‬
‫‪10‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪ = 0.1‬‬
‫‪ = 0.01‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪15‬‬
‫‪5‬‬
‫‪10‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪Time (Sec‬‬
‫מאמץ הבקרה ‪u  t ‬‬
‫ככל שהמשקל של מאמץ הבקרה בקריטריון המזעור הוא גדול יותר‪ ,‬כך מקבלים ביצועים פחות טובים (אנרגיה גדולה‬
‫יותר של אות היציאה)‪ ,‬אך מאמץ בקרה יותר קטן (אנרגיה קטנה יותר של אות הבקרה)‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫ב‪ .‬תכננו בקר אשר ממזער את הקריטריון הבא‪:‬‬
‫)) (‬
‫(‬
‫) ( ̇ )‬
‫) (‬
‫(∫‬
‫ציירו את התגובה למדרגה עבור ערכים שונים של המשקל ‪.‬‬
‫פתרון שאלה ‪ 2‬סעיף ב'‬
‫כעת קריטריון המזעור כולל משקל קבוע על מאמץ הבקרה ומשקל יחסי על התגובה (מהירות סיבוב העומס) ומידת‬
‫החלקות שלה (תאוצת סיבוב העומס)‪ .‬ידוע כי‪:‬‬
‫) (‬
‫) (‬
‫נגזור ונקבל‬
‫) (‬
‫) (‬
‫⏟‬
‫) (̇‬
‫) (‬
‫) ( ̇‬
‫לכן‪ ,‬על מנת לקבל‬
‫‪x ' Cz ' Cz x  kx ' C ' Cx  1  k  x ' A ' C ' CAx  x '  kC ' C  1  k  A ' C ' CA  x‬‬
‫נגדיר‪] :‬‬
‫√‬
‫√‬
‫[‬
‫ואז ]‬
‫√‬
‫√‬
‫[] )‬
‫(‬
‫נפתור את משוואת ריקאטי עבור ערכים שונים של הפרמטר‬
‫√‬
‫√[‬
‫‪.‬‬
‫ומצייר את תגובת החוג הסגור לכניסת מדרגה‪.‬‬
‫)‪Output y(t‬‬
‫‪1.4‬‬
‫‪k = 0.1‬‬
‫‪k = 0.2‬‬
‫‪k = 0.5‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪15‬‬
‫‪5‬‬
‫‪10‬‬
‫)‪Time (Sec‬‬
‫תגובת החוג הסגור ‪y  t   l  t ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫)‪Control effort u(t‬‬
‫‪8‬‬
‫‪k = 0.1‬‬
‫‪k = 0.2‬‬
‫‪k = 0.5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫‪15‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫)‪Time (Sec‬‬
‫מאמץ הבקרה ‪u  t ‬‬
‫ככל שהמשקל על התאוצה הזוויתית גדול יותר ( קטן יותר)‪ ,‬כך התגובה חלקה יותר (ללא קפיצות ותנודות)‪ ,‬ולהיפך‪.‬‬
‫כמו כן‪ ,‬ככל ש מתקרב יותר ל ‪ ,1‬כך המשקל היחסי על מאמץ הבקרה קטן יותר ומקבלים מאמץ בקרה גדול יותר‪.‬‬
‫ג‪ .‬תכננו בקר אשר ממזער את הקריטריון‬
‫)) (‬
‫) (‬
‫) ( ̇‬
‫∫‬
‫(‬
‫ציירו את התגובה למדרגה עבור ערכים שונים של הפרמטר ‪.‬‬
‫פתרון שאלה ‪ 2‬סעיף ג'‬
‫קריטריון כנ"ל מבטיח כי וקטור המצב ‪ x  t ‬מתכנס בקצב מהיר יותר מ ‪( e t‬כי החלק הממשי של כל קטבי החוג‬
‫הסגור יהיה שלילי יותר מ ‪ . ‬כאן‪ ,‬לקבלת צורה סטנדרטית‪ ,‬עלינו להגדיר‬
‫את המשקל‬
‫√[‬
‫√‬
‫נגדיר כמו בסעיף הקודם‪] ,‬‬
‫נקבל את מטריצת המשקל ]‬
‫√‬
‫√‬
‫[] )‬
‫(‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫√[‬
‫√‬
‫‪ .‬כעת עלינו לפתור את משוואת ריקאטי‬
‫הבאה‪:‬‬
‫)‬
‫‪7‬‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫והמשוב האופטימאלי יהיה‪:‬‬
‫) (‬
‫נפתור עבור ערכים שונים של פרמטר הדעיכה האקספוננציאלית‬
‫) (‬
‫) (‬
‫ונקבל את תגובות המרגה הבאות‪:‬‬
‫)‪Output y(t‬‬
‫‪1.4‬‬
‫‪ = 0.1‬‬
‫‪ = 0.5‬‬
‫‪ = 1.5‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪15‬‬
‫‪5‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪Time (Sec‬‬
‫תגובת החוג הסגור ‪y  t   l  t ‬‬
‫)‪Control effort u(t‬‬
‫‪40‬‬
‫‪ = 0.1‬‬
‫‪ = 0.5‬‬
‫‪ = 1.5‬‬
‫‪20‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-20‬‬
‫‪-40‬‬
‫‪15‬‬
‫‪5‬‬
‫‪10‬‬
‫‪-60‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪Time (Sec‬‬
‫מאמץ הבקרה ‪u  t ‬‬
‫על ידי בחירת פרמטר מתאים אפשר לקבל תגובה מהירה יותר וגם מרוסנת יותר (ללא תגובת יתר ותנודות)‪ .‬מאידך‪,‬‬
‫תגובה מהירה מצריכה מאמץ בקרה גדול‪.‬‬
‫‪8‬‬