מבחן מועד א - אוניברסיטת בר אילן

‫קורס‪ 86-115-01 :‬מכניקה‬
‫מבחן מועד א'‬
‫אוניברסיטת בר‪-‬אילן‬
‫תשע"א סמסטר א'‬
‫משך זמן הבחינה‪ :‬שלוש שעות‬
‫חומר עזר מותר‪ :‬מחשבון כיס‪ ,‬דף הנוסחאות המצורף לבחינה זו‪.‬‬
‫כל חומר עזר אחר – אסור לשימוש בבחינה‪.‬‬
‫מרצה‪ :‬ד"ר אלי סלוצקין‬
‫‪ .1‬חרוז נע במהירות קבועה ‪ u‬לאורך חישור של אופן‪ .‬בזמן ‪ ,t=0‬האופן מתחיל להסתובב בתאוצה זוויתית‬
‫קבועה ‪ ,‬ממצב מנוחה‪ .‬בזמן ‪ t=0‬החישור מקביל לציר ה‪ ,x -‬והחרוז נמצא בראשית הצירים‪.‬‬
‫)‪(20%‬‬
‫)‪(25%‬‬
‫א‪ .‬מצאו את מהירותו ותאוצתו של החרוז בקואורדינאטות פולאריות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את הערך האבסולוטי של המהירות והתאוצה בזמן ‪,t=2 sec‬‬
‫כאשר נתון‪=0.1 rad/s2 ,u=2 cm/s :‬‬
‫‪ .2‬מסה )נקודתית( ‪ M‬מחליקה ממנוחה בגובה ‪ ,h‬לאורך השיפוע‪ ,‬בזווית ‪ ‬למישור‪ .‬אחרי זה‪ ,‬המסה ממשיכה‬
‫להחליק על המשטח הישר‪.‬‬
‫מקדם החיכוך בין המסה לכל אחד מהמשטחים הוא ‪.‬‬
‫א‪ .‬היכן‪ ,‬ביחס לסוף השיפוע‪ ,‬המסה תיעצר?‬
‫ב‪ .‬תנו תשובה מספרית לסע' הקודם‪,‬‬
‫אם נתון‪.=45o ,=0.5 ,h=1m :‬‬
‫‪ .3‬במערכת שבציור‪ ,‬שתי המסות זהות‪ .‬הגלגלת והחוטים הם חסרי מסה וחיכוך‪.‬‬
‫)‪(30%‬‬
‫א‪ .‬מהו מקדם החיכוך המכסימאלי במשטח האופקי ‪ ,‬שעבורו המערכת תנוע?‬
‫ב‪ .‬אם המערכת נעה )עבור ‪ ‬נתון כלשהו(‪ ,‬מהי המתיחות בחוט?‬
‫ג‪ .‬אם החיכוך בשולחן זניח ‪ ,=0‬אך שופכים על המסה הימנית חול מלמעלה‪,‬‬
‫בקצב של ‪ b‬ק"ג\שנייה‪ ,‬מהי המתיחות בחוט )כפונקציה של הזמן( ?‬
‫)המערכת משוחררת ממנוחה בזמן ‪ ;t=0‬באותו רגע מתחילים גם לשפוך על המסה‬
‫הימנית חול(‪.‬‬
‫רמז לסע' ג'‪ :‬הפתרון של משוואה דיפרנציאלית‪ x  Ax  C  0 :‬הוא‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ , xt    1 exp At   t  B2  0‬כאשר ‪ B1‬ו‪ B2-‬תלויים בתנאיי ההתחלה‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫)‪(25%‬‬
‫‪ .4‬שתי דיסקות‪ ,‬בעלות רדיוס ‪ R‬ומסה ‪ ,M‬מחוברות במוט חסר מסה‪ ,‬בעל אורך ‪.L‬‬
‫הדיסקה העליונה תלויה על ציר )חסר‪-‬חיכוך(‪ ,‬העובר דרך מרכזה‪ .‬המערכת מתנדנדת‬
‫כמטוטלת‪ ,‬כפי שמופיע בציור‪.‬‬
‫א‪ .‬מצאו את מומנט ההתמד של המערכת‪ ,‬עבור תנודות סביב הציר הנ"ל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את מחזור התנודות‪ ,‬בקירוב של זוויות ‪ ‬קטנות )כלומר‪.(sin ≈  ,‬‬
‫תזכורת‪ :‬פתרון משוואה דיפרנציאלית ‪ x   Ax‬הוא‪, x  C1 cos( At   ) :‬‬
‫כאשר ‪ C1‬ו‪  -‬הם קבועים‪ ,‬התלויים בתנאיי התחלה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצאו את הפתרון המספרי לסעיף ב'‪ ,‬אם ‪.R=0.2m ,L=1m‬‬
‫בהצלחה!‬
‫דף משוואות‬
 A 2  B 2  2 AB cos 
C2
xˆ
 
A  B  Ax
Bx
yˆ
:‫משפט קוסינוסים‬
zˆ
Ay
By
:‫מכפלה ווקטורית‬
Az 
Bz
 Ay B z  B y Az xˆ   Az B x  B z Ax  yˆ  Ax B y  B x A y zˆ
rˆ  cos  xˆ  sin  yˆ
ˆ   sin  xˆ  cos  yˆ
rˆ  ˆ
:‫וקטורי יחידה בקואורדינאטות פולאריות‬
:‫נגזרות של וקטורי יחידה בקואורדינאטות פולאריות‬
ˆ
  rˆ

r  rrˆ  rˆ
:‫מהירות בקואורדינאטות פולאריות‬

2
:‫תאוצה בקואורדינאטות פולאריות‬
r  r  r rˆ  2r  r ˆ
x (t )  f ( t ) g ( t )
x t   f t g t   f t g t 
: ‫כללי גזירה‬
x (t )  f ( g (t ))
x t   f  g t g t 
 Gm1 m2
:‫כוח משיכה‬
G=6.6710-11 Nm2/kg2
F
Rˆ12
2
R12

 


kq q
F   12 2 Rˆ12
R12
k=9109 Nm2/C2


 dP
F  ma 
dt
dL/dt = :‫שימור תנע‬
 = r×F
:‫כוח קולון‬
:‫חוק השני של ניוטון‬
L=mr×v :‫תנע זוויתי‬
r0
:‫משוואת האליפסה‬
1   cos 
2 EL2
L2
2
,

1
:‫בתנועה קפלרית‬
r0 


GMm 2
G 2 M 2 m3
=c/a

 U
U 
F  
xˆ 
yˆ 

x

y


,r0=b2/a
.r 
b
 
1 2 1 2
mvb  mv a   F  dr  U (ra )  U (rb ) :‫משפט עבודה אנרגיה‬
2
2
a