מבחן מועד א

‫קורס‪ 86-115-01 :‬מכניקה‬
‫אוניברסיטת בר‪-‬אילן‬
‫תשע"ב סמסטר א'‬
‫מבחן מועד א'‬
‫משך זמן הבחינה‪ :‬שלוש שעות‬
‫חומר עזר מותר‪ :‬מחשבון כיס‪ ,‬דף הנוסחאות המצורף לבחינה זו‪ 3 ,‬עמודים מצולמים מספר אינטגרלים‪.‬‬
‫כל חומר עזר אחר – אסור לשימוש בבחינה‪.‬‬
‫מרצה‪ :‬ד"ר אלי סלוצקין‬
‫‪ .1‬חלקיק בעל מסה ‪ m‬נע במסלול מעגלי ואופקי‪ ,‬ללא חיכוך‪ ,‬בתוך חרוט‪.‬‬
‫הקונוס מוצב אנכית‪ ,‬כמו בציור‪ .‬כוח הכבידה של כדור הארץ מאונך למשטח‬
‫שעליו מוצב הקונוס הנ"ל‪ .‬המהירות המשיקית של החלקיק היא ‪.v0‬‬
‫)‪(30%‬‬
‫א‪ .‬ציירו את דיאגרמת הכוחות הפועלים על החלקיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את רדיוס המסלול‪ ,‬כאשר ‪ ‬ו‪ v0 -‬נתונים‪.‬‬
‫ג‪ .‬רשמו את התשובה המספרית לסע' ב'‪ ,‬אם נתון‪.=30o ,v0=1m/s :‬‬
‫‪ .2‬גוף בעל מסה ‪ M‬מחליק ממנוחה מראש משטח חצי‪-‬כדורי‪ .‬החיכוך בין הגוף למשטח איננו זניח‪ .‬המערכת‬
‫נמצאת תחת השפעת הכבידה של כדור הארץ )‪.(g=9.8 m/s2‬‬
‫כאשר הזווית ‪) ‬ראה ציור( מגיעה ל‪ ,30o -‬הגוף מתנתק מהמשטח החצי‪-‬כדורי‪.‬‬
‫)‪(25%‬‬
‫א‪ .‬בטאו את הכוח השקול הפועל על הגוף )לפני ההינתקות( דרך הכוח הנורמלי ‪ ,N‬מקדם החיכוך ‪ ,‬הזווית‬
‫‪ ‬ווקטורי היחידה‪ .‬יש להשתמש בקואורדינאטות פולאריות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו גודלו של הכוח הנורמלי ‪ ,N‬בעת ההינתקות של הגוף מהמשטח?‬
‫ג‪ .‬מהי העבודה הכוללת ‪ W‬שביצע כוח החיכוך ?‬
‫ד‪ .‬מהי התשובה המספרית לסעיף הקודם אם ‪ R=1m‬ו‪?m=1kg -‬‬
‫רמז‪ :‬שימו לב! אתם נשאלים בסע' ג'‪-‬ד' על העבודה הכוללת ‪ ,W‬בלבד‪ .‬מקדם החיכוך איננו נתון בבעיה והוא‬
‫איננו בהכרח קבוע לאורך המסלול‪.‬‬
‫)המשך המבחן מעברו השני של הדף(‬
‫)‪(25%‬‬
‫‪ .3‬בהתחלה‪ ,‬עגלה עם חול‪ ,‬בעלת מסה ‪) M‬כולל החול שבתוכה( נמצאת במנוחה‪.‬‬
‫בזמן ‪ t=0‬מתחילים להזרים לתוך העגלה חול מתוך משפך המוצב על‪-‬גבי הקרקע;‬
‫קצב הזרמת החול הוא ‪.b‬‬
‫במקביל‪ ,‬בזמן ‪ ,t=0‬מתחילים להזרים חול החוצה מתוך העגלה )ראה ציור(‪,‬‬
‫באותו הקצב כנ"ל‪ .b ,‬בו בזמן‪ ,‬מתחילים לדחוף את הקרונית בכוח ‪.F‬‬
‫‪F‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות הקרונית בזמן ‪? t‬‬
‫ב‪ .‬רשמו את התשובה המספרית לסע' ב'‪ ,‬אם נתון‪.t=2s ,F=1N ,M=5kg ,b=2 kg/s :‬‬
‫ג‪ .‬מה תהיה מהירות הקרונית כאשר ∞→‪? t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .4‬גוף בעל מסה ‪ m‬נע לאורך מסלול סגור בנוכחות כוח משיכה מרכזי ˆ‪ , F  kr 3 r‬כאשר ‪ k‬הוא קבוע‬
‫נתון‪ .‬התנע הזוויתי של הגוף הוא ‪.L‬‬
‫א‪ .‬בטאו את האנרגיה הפוטנציאלית של הגוף‪.U(r) ,‬‬
‫)‪(20%‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ :‬מסלול התנועה של גוף זה מתקרב אל ראשית הצירים עד מרחק ‪ .r0‬מרחקו המכסימאלי מהראשית‬
‫הוא ‪ .2r0‬מצאו את ‪ ,r0‬אם ‪ ,k ,L‬ומסת הגוף ‪ m‬ידועים‪.‬‬
‫רמז‪ :‬מומלץ )כמו בפתרון בעיית קפלר‪ ,‬שהוצג בהרצאה( להגדיר אנרגיה אפקטיבית )‪ .Ueff(r‬זה יאפשר‬
‫להציג את האנרגיה הכוללת באותה צורה כמו במערכת חד‪-‬ממדית‪ .‬התנע הזוויתי ‪ L‬צריך להופיע במקום‬
‫‪.d/dt‬‬
‫ג‪ .‬מצאו את ערכו המספרי של ‪ ,r0‬אם ‪ ,L=1 kg m2/s ,k=0.01 N/m3‬ומסת הגוף ‪.m=1kg‬‬
‫בהצלחה!‬
‫דף משוואות‬
 A 2  B 2  2 AB cos 
C2
xˆ
 
A  B  Ax
Bx
yˆ
:‫משפט קוסינוסים‬
zˆ
Ay
By
:‫מכפלה ווקטורית‬
Az 
Bz
 Ay B z  B y Az xˆ   Az B x  B z Ax  yˆ  Ax B y  B x A y zˆ
rˆ  cos  xˆ  sin  yˆ
ˆ   sin  xˆ  cos  yˆ
rˆ  ˆ
:‫וקטורי יחידה בקואורדינאטות פולאריות‬
:‫נגזרות של וקטורי יחידה בקואורדינאטות פולאריות‬
ˆ
  rˆ

r  rrˆ  rˆ
:‫מהירות בקואורדינאטות פולאריות‬

2
:‫תאוצה בקואורדינאטות פולאריות‬
r  r  r rˆ  2r  r ˆ
x (t )  f ( t ) g ( t )
x t   f t g t   f t g t 
: ‫כללי גזירה‬
x (t )  f ( g (t ))
x t   f  g t g t 
 Gm1 m2
:‫כוח משיכה‬
G=6.6710-11 Nm2/kg2
F
Rˆ12
2
R12

 

kq q
F   12 2 Rˆ12
R12
k=9109 Nm2/C2


 dP
F  ma 
dt
dL/dt = :‫שימור תנע‬
 = r×F
=c/a
,r0=b2/a
.r 
r0
1   cos 
r0 

 U
U 
F  
xˆ 
yˆ 

x

y



:‫כוח קולון‬
:‫חוק השני של ניוטון‬
L=mr×v :‫תנע זוויתי‬
:(‫משוואת האליפסה )אחד המוקדים בראשית הצירים‬
2 EL2
L2
2
,

1


GMm 2
G 2 M 2 m3
:‫בתנועה קפלרית‬
b
 
1 2 1 2
mvb  mv a   F  dr  U (ra )  U (rb ) :‫משפט עבודה אנרגיה‬
2
2
a