מבחן מועד ב`- תשע"ג - אוניברסיטת בר-אילן

‫קורס‪ 86-115-01 :‬מכניקה‬
‫אוניברסיטת בר‪-‬אילן‬
‫תשע"ג סמסטר א'‬
‫מבחן מועד ב'‬
‫משך זמן הבחינה‪ :‬שלוש שעות‬
‫חומר עזר מותר‪ :‬מחשבון כיס ודף הנוסחאות המצורף לבחינה זו‪.‬‬
‫כל חומר עזר אחר – אסור לשימוש בבחינה‪.‬‬
‫מרצה‪ :‬ד"ר אלי סלוצקין‬
‫‪U‬‬
‫‪ .1‬במערכת הגלגלות שבציור‪ ,‬מסת הגלגלות והחוט – זניחה‪ .‬כוח החיכוך – זניח‪.‬‬
‫)‪(15%‬‬
‫א‪ .‬איזה כוח צריכה להפעיל היד שבציור‪ ,‬כדי שהכדור )בעל מסה ‪ (M‬ינוע במהירות‬
‫קבועה ‪ v‬למעלה?‬
‫ב‪ .‬כמה עבודה יש להשקיע‪ ,‬כדי להרים את המסה לגובה ‪.h‬‬
‫ג‪ .‬מהו ההספק שיש להפעיל‪ ,‬כדי להעלות את המסה למעלה במהירות ‪?v‬‬
‫ד‪ .‬מהי התשובה המספרית לסעיף א'‪ ,‬אם ‪ M=1kg‬ו‪?g≈10m/s2 -‬‬
‫‪ .2‬מסובבים חבל‪ ,‬בעל אורך ‪ L‬ומסה ‪ ,M‬במהירות זוויתית ‪ ,ω‬ללא גרוויטציה‪.‬‬
‫בקצה החבל מחוברת מסה ‪.mw‬‬
‫מישור הסיבוב מאונך לציר המרכזי‪ ,‬שאליו קשור התיל‪.‬‬
‫)‪(25%‬‬
‫א‪ .‬מהי המתיחות בנקודות שונות לאורך החבל?‬
‫ב‪ .‬ברגע זמן ‪ t0‬כלשהו‪ ,‬תוקעים יתד אנכי לתוך מישור התנועה‬
‫של החבל‪ ,‬במרחק ‪ ∆x‬מציר הסיבוב‪.‬‬
‫החבל פוגע ביתד; קצה החבל‪ ,‬באורך )‪ (L-∆x‬מתלפף על היתד‪.‬‬
‫האם האנרגיה של המסה ‪ mw‬נשמרת מזמן ‪ t0‬עד פגיעתה של מסה זו ביתד?‬
‫)‪(i‬‬
‫האם התנע הזוויתי של המסה ‪ mw‬נשמר מזמן ‪ t0‬עד פגיעתה של מסה זו ביתד?‬
‫)‪(ii‬‬
‫ג‪ .‬מהי המהירות של המסה ‪ mw‬ברגע הפגיעה ביתד‪.‬‬
‫)‪(30%‬‬
‫‪ .3‬כדור‪ ,‬בעל רדיוס ‪ R‬ומסה ‪ ,M‬מתגלגל בהשפעת כוח הכבידה של כדור הארץ על משטח שזווית השיפוע שלו‬
‫היא ‪ .α‬הכדור מתחיל את תנועתו ממצב מנוחה‪ .‬מקדם החיכוך בין הכדור למשטח המשופע הוא ‪.µ‬‬
‫צפיפות המסה של הכדור – אחידה‪.‬‬
‫א‪ .‬בטאו את מומנט ההתמד של הכדור דרך ‪ Μ‬ו‪.R -‬‬
‫‪1 5 2 2 3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫רמז‪∫ (A − x ) dx = 5 x − 3 A x + A x :‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪∫ sin θ dθ = − 3 sin θ cosθ − 3 cosθ‬‬
‫ב‪ .‬ציירו את דיאגרמת הכוחות הפועלים על הכדור‪.‬‬
‫ג‪ .‬מהו הטורק )‪ (torque‬השקול הפועל על הכדור?‬
‫ד‪ .‬מהו הערך המכסימאלי של ‪ ,α‬עבורו הכדור עדיין יוכל להתגלגל ללא שום החלקה?‬
‫‪ .4‬קטר מזרים חול אל קרונית בקצב של ‪ b‬ק"ג\שניה )ראה ציור(‪ .‬הקרונית איננה ממונעת‪ .‬מסת הקרונית ב‪t=0 -‬‬
‫היא ‪ .Mc‬הקטר והקרונית אינם מחוברים‪ .‬נהג הקטר מכוון את מהירותו באופן שהמרחק בין הקטר לקרונית –‬
‫קבוע‪ .‬מהירות החול ביחס לקטר היא ‪ .u‬על הקרונית פועל כוח חיכוך )כתוצאה מחיכוך באוויר( ‪ ,F=-kv‬כאשר ‪v‬‬
‫היא המהירות הרגעית של הקרונית ו‪ k -‬הוא קבוע נתון‪.‬‬
‫)‪(30%‬‬
‫א‪ .‬מצאו את מהירותה של הקרונית כפונקציה של הזמן‪,‬‬
‫אם נתון שהקרונית התחילה ממנוחה בזמן ‪.t=0‬‬
‫רמז‪ :‬פתרון משואה דיפרנציאלית‬
‫)‪ , ẋ = −x/(A + Ct‬כאשר ‪ A‬ו‪ C-‬הם קבועים כלשהם‪,‬‬
‫ניתן ע"י‪ ,x=E1(A+Ct) -1/C :‬כאשר ‪ E1‬הוא קבוע‪ ,‬הנקבע מתנאי ההתחלה‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪ .b=5 kg/s ;k=1 sec*N/m ;u=5 m/s :‬מצאו את מהירות הקרונית בזמן ∞→‪.t‬‬
‫בהצלחה!‬
‫דף משוואות‬
 A 2  B 2  2 AB cos 
C2
xˆ
 
A  B  Ax
Bx
yˆ
:‫משפט קוסינוסים‬
zˆ
Ay
By
:‫מכפלה ווקטורית‬
Az 
Bz
 Ay B z  B y Az xˆ   Az B x  B z Ax  yˆ  Ax B y  B x A y zˆ
rˆ  cos  xˆ  sin  yˆ
ˆ   sin  xˆ  cos  yˆ
rˆ  ˆ
:‫וקטורי יחידה בקואורדינאטות פולאריות‬
:‫נגזרות של וקטורי יחידה בקואורדינאטות פולאריות‬
ˆ
  rˆ

r  rrˆ  rˆ
:‫מהירות בקואורדינאטות פולאריות‬

2
:‫תאוצה בקואורדינאטות פולאריות‬
r  r  r rˆ  2r  r ˆ
x (t )  f ( t ) g ( t )
x t   f t g t   f t g t 
: ‫כללי גזירה‬
x (t )  f ( g (t ))
x t   f  g t g t 
 Gm1 m2
:‫כוח משיכה‬
G=6.6710-11 Nm2/kg2
F
Rˆ12
2
R12

 

kq q
F   12 2 Rˆ12
R12
k=9109 Nm2/C2


 dP
F  ma 
dt
dL/dt = :‫שימור תנע‬
 = r×F
=c/a
,r0=b2/a
.r 
r0
1   cos 
r0 

 U
U 
F  
xˆ 
yˆ 

x

y



:‫כוח קולון‬
:‫חוק השני של ניוטון‬
L=mr×v :‫תנע זוויתי‬
:(‫משוואת האליפסה )אחד המוקדים בראשית הצירים‬
2 EL2
L2
2
,

1


GMm 2
G 2 M 2 m3
:‫בתנועה קפלרית‬
b
 
1 2 1 2
mvb  mv a   F  dr  U (ra )  U (rb ) :‫משפט עבודה אנרגיה‬
2
2
a