פתרון מלא - מבחן 7

Transcription

פתרון מלא - מבחן 7
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫פתרון מלא ‪ -‬מבחן ‪7‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬
‫נתון ראשון‬
‫נסמן את המרחק בין ‪ A‬ל‪ B-‬בתור ‪.x‬‬
‫לפי הנתון הראשון‪ ,‬הרוכב מ‪ B-‬פגש את הרוכב המהיר מ‪A-‬‬
‫במרחק ‪ 40‬ק"מ מ‪ A-‬כפי שנראה בשרטוט‪.‬‬
‫נסמן את זמן נסיעתם עד המפגש באמצעות ‪ ,t‬ונחשב את‬
‫מהירויותיהם‪ ,‬על ידי חילוק הדרך בזמן‪.‬‬
‫הרוכב המהיר שיצא מ‪A-‬‬
‫הרוכב שיצא מ‪B-‬‬
‫נתון שני‬
‫לפי הנתון השני‪ ,‬הרוכב מ‪ B-‬פגש את הרוכב‬
‫האיטי מ‪ A-‬במרחק ‪ 25‬ק"מ מ‪ A-‬כמתואר‬
‫בשרטוט‪.‬‬
‫מהירות‬
‫הרוכב האיטי שיצא מ‪A-‬‬
‫זמן‬
‫‪40‬‬
‫‪t‬‬
‫‪x − 40‬‬
‫‪t‬‬
‫דרך‬
‫‪t‬‬
‫‪40‬‬
‫‪t‬‬
‫‪x − 40‬‬
‫מהירות‬
‫זמן‬
‫דרך‬
‫)‪25( x − 40‬‬
‫)‪t( x − 25‬‬
‫)‪t( x − 25‬‬
‫‪x − 40‬‬
‫‪25‬‬
‫מהירותו של הרוכב שיצא מ‪ B-‬נשארה זהה‪,‬‬
‫ולכן‬
‫הרוכב שיצא מ‪B-‬‬
‫נוכל לחשב את זמן הרכיבה שלו‪ ,‬על ידי חילוק‬
‫הדרך במהירות‪.‬‬
‫זמן זה זהה לזמן הנסיעה של הרוכב האיטי‬
‫שיצא מ‪ ,A-‬ולכן נוכל לחשב כעת גם את מהירותו של הרוכב האיטי שיצא מ‪ ,A-‬על ידי חלוקת הדרך בזמן‪.‬‬
‫‪x − 40‬‬
‫‪t‬‬
‫)‪t( x − 25‬‬
‫‪x − 40‬‬
‫‪x − 25‬‬
‫לפי הנתון השלישי‪ ,‬בעת הפגישה הראשונה‪ ,‬שהתרחשה במרחק ‪ 40‬ק"מ מ‪ ,A-‬המרחק בין שני הרוכבים שיצאו‬
‫מ‪ A-‬היה ‪ 20‬ק"מ‪ .‬כלומר‪ ,‬הרוכב האיטי שיצא מ‪ A-‬עבר ‪ 20‬ק"מ ) = ‪ (40-20‬בפרק זמן שאורכו ‪) t‬הזמן שחלף מרגע‬
‫היציאה עד למפגש הראשון(‪.‬‬
‫)‪25( x − 40‬‬
‫על פי מה שמצאנו עד כה‪ ,‬מהירותו של הרוכב האיטי היא‪:‬‬
‫)‪t( x − 25‬‬
‫‪ .‬בזמן ‪ t‬הוא עבר ‪ 20‬ק"מ‪ ,‬ולכן‪:‬‬
‫)‪25( x − 40‬‬
‫‪ 100‬ק"מ = ‪⋅ t = 20 → 25( x − 40) = 20( x − 25) → 5x = 500 → x‬‬
‫)‪t( x − 25‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫→ ‪V ⋅T = S‬‬
‫עמוד ‪1‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬
‫א‪ .‬הסדרה ‪ A n‬היא סדרה הנדסית אינסופית יורדת‪ .‬כמו בכל סדרה הנדסית‪ ,‬גם כאן הנוסחה לאיבר הכללי היא‪:‬‬
‫‪n −1‬‬
‫‪ , An = A1 ⋅ q‬אך במקרה זה‪ ,‬המנה ‪ q‬היא שבר חיובי‪ .‬כלומר מתקיים‪. 0 < q < 1 :‬‬
‫כדי להוכיח כי שתי הסדרות החדשות ) ‪ ( C n , B n‬הן גם סדרות הנדסיות אינסופיות יורדות‪ ,‬עלינו להראות שהמנה‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫של כל אחת מהן היא ערך כלשהו בין ‪ 0‬ל‪ .1-‬כלומר‪ ,‬להראות שלכל ‪ n‬מתקיים‪ 0 < n +1 < 1 :‬וכן ‪. 0 < n +1 < 1‬‬
‫‪cn‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪b‬‬
‫נתחיל בסדרה ‪ , B n‬אשר מוגדרת על ידי הכלל‪ . B n = An +1 ⋅ An + 3 :‬נבדוק אם המנה ‪ n +1‬היא מספר קבוע‪:‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪n +1‬‬
‫‪n+3‬‬
‫‪q 2n+4‬‬
‫‪bn+1 an + 2 ⋅ an+ 4 a1 ⋅ q ⋅ a1 ⋅ q‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪= 2 n + 2 = q 2 n + 4−( 2 n + 2 ) → q b = q 2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n+2‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪a n+1 ⋅a n+3‬‬
‫‪a1 ⋅q ⋅a1 ⋅q‬‬
‫‪q‬‬
‫מצאנו כי המנה של הסדרה ‪ B n‬היא למעשה ‪= q 2‬‬
‫‪ . qb‬מכיוון שידוע כי ‪ 0 < q < 1‬ניתן להסיק כי מתקיים גם‪:‬‬
‫‪ , 0 < q b < 1‬ומכאן שגם הסדרה ‪ B n‬היא סדרה הנדסית אינסופית יורדת‪.‬‬
‫נבצע את אותה בדיקה עבור הסדרה ‪ , C n‬המוגדרת על ידי הכלל‪ , C n = ( An ) :‬ולכן‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= q 2 n − ( 2 n − 2 ) → qc = q 2‬‬
‫‪a12 ⋅ q 2 n‬‬
‫‪2 n−2‬‬
‫‪a ⋅q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫)‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫(‬
‫‪2‬‬
‫‪a1 ⋅ q n‬‬
‫) ‪cn+1 (an +1‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪cn‬‬
‫‪(a n )2 a1 ⋅q n−1‬‬
‫מכיוון שידוע כי ‪ 0 < q < 1‬ניתן להסיק כי מתקיים גם‪ , 0 < q c < 1 :‬ומכאן שגם הסדרה ‪ C n‬היא סדרה הנדסית‬
‫אינסופית יורדת‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי סכום הסדרה ‪ C n‬גדול פי‪ 16-‬מסכום הסדרה ‪ . B n‬נסמן‪ . S c = 16 ⋅ S b :‬נשתמש בנוסחת הסכום‬
‫‪a12‬‬
‫‪a ⋅a‬‬
‫‪a‬‬
‫→‬
‫לסדרה הנדסית אינסופית יורדת ‪ S = 1‬ונקבל‪= 16 ⋅ 2 24 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1− q‬‬
‫‪1− q‬‬
‫‪1− q‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a12 = 16 ⋅ ( a1 ⋅ q ⋅ a1 ⋅ q 3 ) → a12 = 16 ⋅ a12 ⋅ q 4‬‬
‫= ‪→ 1 = 16 q 4 → q 4‬‬
‫‪→ q = ± 0 .5‬‬
‫‪16‬‬
‫לפי הנתונים ‪ , 0 < q < 1‬ולכן‪. q = 0.5 :‬‬
‫‪c1‬‬
‫‪b1‬‬
‫⋅ ‪= 16‬‬
‫‪1 − qc‬‬
‫‪1 − qb‬‬
‫ג‪ .‬התלמיד מחק איברים בסדרה מעבר לאיבר מסוים שמיקומו הסידורי אי זוגי‪ .‬למעשה‪ ,‬הסדרה הפכה מסדרה‬
‫אינסופית‪ ,‬לסדרה סופית בעלת מספר אי זוגי של איברים )הסדרה מתחילה באיבר שמיקומו אי זוגי ומסתיימת‬
‫באיבר שמיקומו אי זוגי(‪ .‬מכיוון שלא ידוע לנו מהו מיקומו של האיבר במקום האי זוגי שהפך להיות האיבר האחרון‬
‫בסדרה החדשה נגדיר אותו כ‪ . a 2 n +1 :‬נתון כי בסדרה החדשה )הסופית( האיבר הראשון גדול פי ארבעה מהאיבר‬
‫האמצעי‪ .‬כדי להקל על מציאת המיקום הסידורי של האיבר‬
‫האמצעי בסדרה מומלץ לשרטט סקיצה של הסדרה‪:‬‬
‫‪a1 = 4 ⋅ a n + 1‬‬
‫אם כן‪ ,‬האיבר האמצעי בסדרה בת מספר אי זוגי של איברים ) ‪ ( 2 n + 1‬הוא ‪ , a n + 1‬ולכן‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫נשתמש בנוסחת האיבר הכללי בסדרה ‪ A n‬ונקבל‪:‬‬
‫חשוב לשים לב שלמרות מחיקת אינסוף האיברים‪ ,‬מנת הסדרה לא השתנתה‪ ,‬ולכן‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪= (0 . 5 ) → (0 . 5 ) = (0 . 5 ) → n = 2‬‬
‫‪4‬‬
‫לסיכום‪ :‬בסדרה החדשה )הסופית( יש ‪ 2 n + 1‬איברים‪ ,‬ולכן סדרה זו מונה ‪ 5‬איברים ‪.‬‬
‫‪a1 = 4 ⋅ a1 ⋅ q‬‬
‫→ ) ‪a 1 = 4 ⋅ a 1 ⋅ (0 . 5‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫‪n‬‬
‫עמוד ‪2‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬
‫א‪ .‬השאלה עוסקת בשני אצנים )דן ושי( בעלי הסתברויות שונות לסיים בהצלחה מקצה ריצה )‪ p‬ו‪ ,q-‬בהתאמה(‪.‬‬
‫מכיוון שכל אחד מהאצנים רץ שישה או שבעה מקצים )מספר חזרות גבוה( נעדיף להשתמש בנוסחת ברנולי‪ .‬כדי‬
‫לקבוע מי אצן מוכשר יותר עלינו למצוא את ‪ p‬ו‪ .q-‬מביניהם‪ ,‬בעל ההסתברות הגבוהה יותר לסיים מקצה בהצלחה‬
‫הוא האצן המוכשר יותר‪.‬‬
‫דן‪ :‬ההסתברות שדן יסיים בהצלחה בדיוק ארבעה מקצים ) ‪ ( k = 4‬מתוך שבעה ) ‪ ,( n = 7‬קטנה פי ‪ 3‬מההסתברות‬
‫שיסיים בהצלחה בדיוק ‪ 3‬מקצים ׁ) ‪ ( k = 3‬מתוך השבעה ) ‪ .( n = 7‬מתקבלת משוואה עם נעלם אחד )‪ (p‬אותו נוכל‬
‫למצוא‪:‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫) ‪3 ⋅  ( p ) 4 (1 − p) 3 =  ( p) 3 (1 − p) 4 → 105 ⋅ ( p ) (1 − p ) = 35 ⋅ ( p ) (1 − p‬‬
‫→ ) ‪: 35 ⋅ ( p ) (1 − p‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪3 p = (1 − p ) → 4 p = 1 → p‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫שימו לב שיכולנו לחלק את שני האגפים בביטוי ) ‪ ( p ) (1 − p‬מכיוון ששני המרכיבים שלו אינם מתאפסים‪.‬‬
‫שי‪ :‬ההסתברות ששי יסיים בהצלחה שני מקצים ) ‪ ( k = 2‬מתוך שישה ) ‪ ( n = 6‬גבוהה פי ‪ 20‬מההסתברות שיסיים‬
‫בהצלחה חמישה מקצים ) ‪ ( k = 5‬מתוך שישה ) ‪ .( n = 6‬מתקבלת משוואה עם נעלם אחד )‪ (q‬אותו נוכל למצוא‪:‬‬
‫‪6 2‬‬
‫‪6‬‬
‫→ ) ‪ (q ) (1 − q) 4 = 20 ⋅  (q ) 5 (1 − q )1 → 15 ⋅ (q )2 (1 − q ) 4 = 120 ⋅ (q )5 (1 − q )1 / : 15 ⋅ (q )2 (1 − q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪(1 − q )3 = 8 ⋅ (q )3 / 3 → 1 − q = 2q → 1 = 3q → q = 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫שימו לב שיכולנו לחלק את שני האגפים בביטוי ) ‪ (q ) (1 − q‬מכיוון ששני המרכיבים שלו אינם מתאפסים‪.‬‬
‫‪1 1‬‬
‫מההשוואה בין ‪ p‬ל‪ q-‬אנו רואים כי ‪ q‬גבוה יותר ) > (‪ ,‬כלומר ההסתברות ששי יסיים מקצה בהצלחה גבוהה‬
‫‪3 4‬‬
‫יותר ולכן שי אצן מוכשר יותר מדן‪.‬‬
‫ב‪ .‬סעיף זה בנוי משני שלבים ולכן נוכל לפתור אותו בעזרת תרשים עץ‪:‬‬
‫קובייה‬
‫‪6− x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫שי‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫הצליח‬
‫לא הצליח‬
‫הצליח‬
‫דן‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫לא הצליח‬
‫כדי למלא את ההסתברויות בכל ענף עלינו להשתמש בתשובה של סעיף א' ובנתונים שקיבלנו‪:‬‬
‫ראשית‪ ,‬עלינו לגלות מהי ההסתברות שכל אחד מהאצנים יישלח לתחרות‪ .‬החלטה זו נקבעת בהטלת קובייה‪ .‬אם‬
‫הקובייה תראה את הספרה ‪ x‬או כל ספרה הקטנה ממנה יישלח שי )שנמצא בסעיף א' כאצן המוכשר יותר(‪ .‬כלומר‪,‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .‬חשוב להבין איך הגענו לכך‪ ,‬ועל מנת לעשות זאת נבחר ‪ x‬לדוגמא‪.x=2 :‬‬
‫ההסתברות ששי יישלח לתחרות הוא‬
‫‪6‬‬
‫במקרה זה תוצאות הקובייה שיגרמו לשליחתו של שי הן ‪ 1‬או ‪ .2‬כלומר קיימות ‪ 2‬אפשרויות מתוך ה‪ ,6-‬ולכן‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .‬ההסתברות לשליחה של דן תהיה ההסתברות המשלימה לשליחתו של‬
‫ובעצם‬
‫ההסתברות לשליחתו תהיה‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪x 6− x‬‬
‫= ‪.1 −‬‬
‫שי לתחרות‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪3‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ידוע מסעיף א' כי ההסתברות ששי יסיים מקצה בהצלחה היא ואילו זו של דן היא‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫נשתמש בנתון היחיד בו עדיין לא השתמשנו‪ :‬ההסתברות שהמועמד שישתתף בתחרות העירונית יסיים את הריצה‬
‫בהצלחה נמוכה ב‪ 7 -‬מההסתברות שהוא לא יסיים אותו בהצלחה‪.‬‬
‫‪ .‬נציב זאת בעץ‪ .‬כעת‪,‬‬
‫‪18‬‬
‫‪x 1 6− x 1 x 6− x‬‬
‫‪⋅ +‬‬
‫‪⋅ = +‬‬
‫ההסתברות שהמועמד שנשלח )דן או שי( יסיים את הריצה בהצלחה‪ ,‬לפי העץ‪ ,‬היא‪:‬‬
‫‪6 3‬‬
‫‪6 4 18 24‬‬
‫‪x 2 6 − x 3 2 x 18 − 3x‬‬
‫‪+‬‬
‫= ⋅‬
‫‪. ⋅ +‬‬
‫ההסתברות שהמועמד שנשלח )דן או שי( לא יסיים את הריצה בהצלחה היא‪:‬‬
‫‪24‬‬
‫‪6 3‬‬
‫‪6 4 18‬‬
‫נתון שההסתברות להצלחה נמוכה ב‪ 7 -‬מההסתברות לכישלון‪ ,‬ולכן‪:‬‬
‫‪18‬‬
‫‪x 6 − x 7 2x 18 − 3x‬‬
‫‪28 + 4x + 18 − 3x 54 − 9x + 8x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+ = +‬‬
‫→‬
‫=‬
‫‪→ x + 46 = 54 − x → 2x = 8 → x = 4‬‬
‫‪18 24 18 18‬‬
‫‪24‬‬
‫‪72‬‬
‫‪72‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪4‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬
‫א‪.‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪(3‬‬
‫סעיף זה הינו סעיף קלאסי לתרגילים שעוסקים בפרופורציות במעגל‪ .‬נתחיל בהגדרת כל הצלעות שמשתתפות בו‪.‬‬
‫נתון ‪AC = 2 AD‬‬
‫נסמן ‪ AD = x‬ולכן ‪AC = 2 x‬‬
‫נסמן ‪ r‬רדיוס המעגל ‪ R , O1‬רדיוס המעגל ‪ , O2‬ומכיוון שנתון כי ‪ S O2 = 25S O1‬נקבל‪:‬‬
‫נוסחת שטח המעגל וחישוב‬
‫‪25πr 2 = πR 2 ⇒ R = 5r‬‬
‫בתרגיל נתון כי הישרים ‪ AO2‬ו‪ AO1 -‬חותכים את המעגלים‪ .‬חשוב‬
‫שנשים לב כי הישרים ‪ AO2‬ו‪ AO1 -‬אמנם חותכים את המעגל‬
‫בנקודה אחת‪ ,‬אך אינם ה"חותכים" שעליהם מדובר במשפט "שני‬
‫החותכים" של הפרופורציה במעגל‪ ,‬כי אינם חותכים את המעגל בשתי‬
‫נקודות‪ .‬כדי שנוכל להשתמש במשפט זה‪ ,‬נמשיך בבניית עזר את ‪AO2‬‬
‫עד לנקודה ‪ , M‬ואת ‪ AO1‬עד לנקודה ‪. N‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪DM = 2 R = 10 r‬‬
‫קוטר במעגל ‪ O2‬ומסעיף )‪(3‬‬
‫‪(5‬‬
‫‪CN = 2r‬‬
‫קוטר במעגל ‪. O1‬‬
‫כעת נוכל להשתמש במשפט החותך והמשיק למעגל היוצאים מאותה נקודה‪ ,‬עבור כל אחד מהמעגלים‪:‬‬
‫אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק‪ ,‬אז‬
‫‪ (6‬במעגל ‪AC ⋅ AN = AB 2 : O1‬‬
‫מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק‬
‫כנ"ל‬
‫‪ (7‬במעגל ‪AD ⋅ AM = AB 2 : O2‬‬
‫כלל המעבר מ‪ (6)-‬ו‪(7)-‬‬
‫‪(8‬‬
‫‪AC ⋅ AN = AD ⋅ AM‬‬
‫הצבה מסעיפים )‪ (4) ,(1‬ו‪(5)-‬‬
‫‪(9‬‬
‫) ‪2 x ⋅ (2 x + 2r ) = x( x + 10r‬‬
‫‪(10‬‬
‫⇓‬
‫‪x = 2r‬‬
‫‪ AC = 4r , AD = 2r‬מש"ל א‬
‫מתוך )‪ (1‬ו‪(9)-‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪5‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי שטח המרובע ‪ CDMN‬הוא ‪ 40‬סמ"ר ואנו מתבקשים לחשב את שטח המשולש ‪ . ∆ACD‬נשים לב כי סכום‬
‫שני השטחים הללו הוא השטח הכולל של משולש ‪ . ∆AMN‬זהו רמז לשימוש ביחס הדמיון בין שטחי המשולשים‪.‬‬
‫נתחיל בהוכחת הדמיון בין המשולשים ‪ ∆ACD‬ו‪: ∆AMN -‬‬
‫‪(11‬‬
‫‪(12‬‬
‫‪p NAM = p CAD‬‬
‫‪AD AC‬‬
‫‪2r 4r‬‬
‫‪1 1‬‬
‫=‬
‫→‬
‫=‬
‫= →‬
‫‪AN AM‬‬
‫‪6r 12r‬‬
‫‪3 3‬‬
‫זווית משותפת‬
‫קיים אותו היחס בין הצלעות המתאימות בשני‬
‫המשולשים‬
‫⇓‬
‫‪(13‬‬
‫‪∆AMN ~ ∆ACD‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(14‬‬
‫‪(15‬‬
‫לפי משפט דמיון צ‪.‬ז‪.‬צ‪ .‬נובע מ‪ (11)-‬ו‪(12)-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S ACD‬‬
‫‪ AD ‬‬
‫‪ 2r ‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪ = ACD →  ‬‬
‫‪S AMN‬‬
‫‪S ACD + S CDMN‬‬
‫‪ AN ‬‬
‫‪ 6r ‬‬
‫במשולשים דומים יחס הדמיון בריבוע שווה ליחס‬
‫השטחים‬
‫‪2‬‬
‫‪S ACD‬‬
‫‪S ACD‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= →‬
‫= ‪ ‬‬
‫‪S ACD + 40‬‬
‫‪9 S ACD + 40‬‬
‫‪ 3‬‬
‫⇓‬
‫‪(16‬‬
‫‪ 5‬סמ"ר = ‪ S ACD‬מש"ל ב'‬
‫ג‪ .‬מצאנו ב‪ (13)-‬שהמשולשים דומים‪. ∆AMN ~ ∆ACD :‬‬
‫‪p AMN = p ACD = α‬‬
‫‪(17‬‬
‫‪(18‬‬
‫‪p ACD+ p NCD = 1800‬‬
‫‪(19‬‬
‫‪p AMN+ p NCD = 1800‬‬
‫‪(22‬‬
‫⇓‬
‫המרובע ‪ CDMN‬הוא בר חסימה מש"ל ג'‬
‫נובע מ‪ + (13)-‬סימון‬
‫סכום זויות צמודות הוא ‪180 0‬‬
‫מ‪ (17)-‬ו‪(18)-‬‬
‫מרובע שבו סכום זוג זויות נגדיות הוא ‪ , 180 0‬ניתן‬
‫לחסימה במעגל )בר חסימה(‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪6‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫שאלה ‪:5‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬
‫א‪ .‬בסעיף זה נשתמש בשלושה משתני עזר‪ ,‬מכיוון שבאמצעותם קל יותר להביע יחסי פרופורציה‪ .‬בכל שלב‬
‫נצמצם את מספר המשתנים ברגע שנגלה את יחסי הפרופורציה‪.‬‬
‫נתחיל ממשפט החותכים למעגל‪ ,‬נמשיך לדמיון המשולשים ‪ , ∆BAE ~ ∆DAC‬ונסיים את הסעיף באמצעות‬
‫תכונת מרובע החוסם מעגל‪.‬‬
‫‪AE = BC = y (1‬‬
‫נתון‪ +‬סימון‬
‫נתון‬
‫‪DE = 2.5 AB (2‬‬
‫נתון‬
‫‪ (3‬מרובע ‪ BCDE‬חסום מעגל‬
‫סימון‬
‫‪DE = 2.5x , AB = x (4‬‬
‫→ ‪AC ⋅ AB = AD ⋅ AE → (x + y )x = ( y + 2.5x) y‬‬
‫שני חותכים למעגל היוצאים‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x − 1.5xy − y = 0 → (x − 2 y ) x +  = 0 → x = 2 y, x = −‬מאותה נקודה‪ ,‬מכפלת חותך אחד‬
‫‪(5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫בחלקו החיצוני שווה למכפלת‬
‫החותך השני בחלקו החיצוני‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)אורכים הם תמיד חיוביים ולכן פסלנו את הפתרון ‪.( x = −‬‬
‫‪2‬‬
‫נובע מ‪ (4)-‬ו‪(5)-‬‬
‫‪DE = 5 y , AB = 2 y (6‬‬
‫זווית משותפת‬
‫‪p BAE =p DAC (7‬‬
‫‪AB AE 2 y y 1‬‬
‫נובע מ‪ (1)-‬ו‪ - (6)-‬יחס הצלעות‬
‫=‬
‫= = →‬
‫‪(8‬‬
‫לצידי הזוית המשותפת‬
‫‪AD AC 6 y 3y 3‬‬
‫לפי משפט דמיון ‪ :1‬צ‪.‬ז‪.‬צ‬
‫‪∆BAE ~ ∆DAC (9‬‬
‫‪BE 1‬‬
‫יחס דמיון‬
‫‪= → BE = z → CD = 3z (10‬‬
‫נובע מ‪(9)-‬‬
‫‪CD 3‬‬
‫במרובע החוסם מעגל‪ ,‬סכום זוג‬
‫צלעות נגדיות שווה לסכום זוג‬
‫‪BE + CD = BC + DE → z + 3z = y + 5 y → z = 1.5 y (11‬‬
‫הצלעות הנגדיות השני‪.‬‬
‫‪(12‬‬
‫‪CD 3 z 4.5 y 4.5‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪AE‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫נובע מ‪ (10) ,(1)-‬ו‪(11)-‬‬
‫מש"ל א'‬
‫ב‪ .‬על מנת שהישר ‪ BD‬יהיה קוטר המעגל‪ ,‬הזווית ההיקפית הנשענת עליו‪ , p BED ,‬מוכרחה להיות בת ‪.900‬‬
‫נוכיח כי הדבר אינו אפשרי‪ :‬אם ‪ p BED‬היא בת ‪ ,900‬אז המשולש ‪ ∆AEB‬הוא ישר זווית‪ .‬נבדוק האם‬
‫?‬
‫?‬
‫‪AE 2 + EB 2 = AB 2 → y 2 + 2.25 y 2 = 4 y 2 → 3.25 y 2 ≠ 4 y 2‬‬
‫מתקיים בו משפט פיתגורס‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫ניתן לראות כי הדבר לא ייתכן‪ ,‬ולכן הזוית ‪ p BED‬אינה בת ‪ ,90‬ומכאן ש‪ BD -‬אינו יכול להיות קוטר במעגל ‪.‬‬
‫מש"ל ב'‬
‫ג‪ .‬קל למצוא את יחס השטחים של שני משולשים בעלי גובה זהה‪ :‬נוכיח כי יחס השטחים שלהם כיחס‬
‫הבסיסים שלהם‪ .‬לצורך כך נעביר את הגובה המשותף בבניית עזר‪:‬‬
‫נתון‬
‫‪ 72 (13‬סמ"ר = ‪S ∆ABD‬‬
‫בניית עזר‬
‫‪ DF (14‬גובה לצלע ‪AC‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪7‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫‪(15‬‬
‫‪(16‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫‪AB ⋅ DF‬‬
‫‪2 y ⋅ DF‬‬
‫= ‪→ S ∆ABD‬‬
‫‪→ S ∆ABD = y ⋅ DF‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y ⋅ DF‬‬
‫‪BC ⋅ DF‬‬
‫= ‪S ∆BCD‬‬
‫= ‪→ S ∆BCD‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(17‬‬
‫‪= 2 → S ∆BCD = 36‬‬
‫‪(18‬‬
‫‪S ∆ABE = K‬‬
‫‪72‬‬
‫‪S ∆BCD‬‬
‫→‪=2‬‬
‫‪y ⋅ DF‬‬
‫‪y ⋅ DF‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪S ∆ABD‬‬
‫‪S ∆ABD‬‬
‫=‬
‫‪S ∆BCD‬‬
‫חישוב שטח המשולש ‪∆ABD‬‬
‫חישוב שטח המשולש ‪∆BCD‬‬
‫נובע מ‪ (15) ,(13)-‬ו‪(16)-‬‬
‫סימון‬
‫‪2‬‬
‫‪S ∆ABE‬‬
‫‪K 1‬‬
‫=‬
‫‪=   → 9 K = 108 → K = 12 (19‬‬
‫‪S ∆ADC 108  3 ‬‬
‫‪ 96 (20‬סמ"ר = ‪S BCDE = 108 − 12‬‬
‫ד‪ .‬בסעיף זה‪ ,‬השאלה הופכת לבעיה טריגונומטרית‪.‬‬
‫יחס השטחים של משולשים דומים‬
‫שווה לריבוע יחס הדמיון‬
‫חיסור שטחים‬
‫מש"ל ג'‬
‫‪y‬‬
‫‪2y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪4.5 y‬‬
‫‪5y‬‬
‫זוויות צמודות משלימות ל‪180° -‬‬
‫‪ (21‬נסמן את הזווית ‪ , p ABD = β‬ומכאן ש‪p CBD = 180° − β :‬‬
‫‪ (23‬נביע כל אחד מהרדיוסים ‪ R1‬ו‪ R2 -‬באמצעות משפט הסינוסים במשולשים ‪ ∆BCD‬ו‪: ∆ABD -‬‬
‫‪4.5 y‬‬
‫‪2.25 y‬‬
‫‪6y‬‬
‫‪3y‬‬
‫= ‪= 2 R1 → R1‬‬
‫= ‪= 2 R2 → R2‬‬
‫) ‪sin (180° − β‬‬
‫‪sin β‬‬
‫‪sin β‬‬
‫‪sin β‬‬
‫‪2.25 y‬‬
‫‪R1 3‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2.25 y sin β‬‬
‫‪sin β‬‬
‫=‬
‫‪ (24‬נחשב את היחס שבין שני הרדיוסים‪:‬‬
‫=‬
‫= ‪→ 1‬‬
‫⋅‬
‫→‬
‫‪R2 4‬‬
‫‪3y‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪R2 sin β‬‬
‫‪3y‬‬
‫‪sin β‬‬
‫מש"ל ד'‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪8‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫שאלה ‪6‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬
‫א‪ (1 .‬הפונקציה מוגדרת כאשר הביטוי בתוך השורש ‪ a − x‬הוא אי שלילי‪ .‬עם זאת‪ ,‬מכיוון שהביטוי ‪a − x‬‬
‫מופיע גם במכנה‪ ,‬עלינו לוודא שהוא אינו מתאפס‪ .‬מכאן שהפונקציה מוגדרת כאשר ‪ a − x > 0‬ולאחר סידור‪. x < a :‬‬
‫‪ (2‬בטרם נגזור את הפונקציה‪ ,‬נבצע תחילה מכנה משותף בכדי שיהיה נוח יותר לגזור‪:‬‬
‫‪a − x +1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a−x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f ( x) = a − x +‬‬
‫⋅ ‪→ f ( x) = a − x‬‬
‫‪+‬‬
‫= )‪→ f ( x‬‬
‫‪a−x‬‬
‫‪a−x‬‬
‫‪a−x‬‬
‫‪a−x‬‬
‫נגזור את הפונקציה‪:‬‬
‫‪a − x +1‬‬
‫)‪− 1 ⋅ (a − x + 1‬‬
‫‪− a−x +‬‬
‫‪2 a−x‬‬
‫‪a−x‬‬
‫= )‪→ f ' ( x‬‬
‫‪2 a−x‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪− 1⋅ a − x −‬‬
‫‪a−x‬‬
‫= )‪f ' ( x‬‬
‫(‬
‫נשווה את הנגזרת ל‪ ,0-‬ונמצא את שיעורי נקודת הקיצון‪:‬‬
‫‪a − x +1‬‬
‫‪− a−x +‬‬
‫‪a − x +1‬‬
‫‪2 a−x‬‬
‫‪=0→− a−x +‬‬
‫→ ‪= 0 → −2(a − x ) + a − x + 1 = 0‬‬
‫‪a−x‬‬
‫‪2 a−x‬‬
‫‪− 2a + 2 x + a − x + 1 = 0 → x − a + 1 = 0 → x = a − 1‬‬
‫ניעזר בטבלת עלייה וירידה ונמצא את סוגה של נקודת הקיצון‪:‬‬
‫= )‪f ' ( x‬‬
‫‪x=a‬‬
‫‪a −1 < x < a‬‬
‫‪x = a −1‬‬
‫‪x < a −1‬‬
‫אסימפטוטה‬
‫‪x = a − 0 .5‬‬
‫קיצון‬
‫‪x =a−2‬‬
‫שלילי‬
‫חיובי‬
‫‪Min‬‬
‫תחום ‪x‬‬
‫נציב בנגזרת‬
‫סימן הנגזרת‬
‫הפונקציה‬
‫עולה ‪/‬יורדת‬
‫נציב ‪ x = a − 1‬במשוואת הפונקציה )‪ f ( x‬ונמצא את שיעור ה‪ y-‬של נקודת הקיצון‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f (a − 1) = a − (a − 1) +‬‬
‫‪= 1+‬‬
‫‪=2‬‬
‫)‪a − (a − 1‬‬
‫‪1‬‬
‫כלומר‪ ,‬שיעורי נקודת המינימום של הפונקציה הם‪. min (a − 1,2) :‬‬
‫‪ (3‬נציב בפונקציה ‪ x = 0‬ונמצא את שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ה‪:y-‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a +1  a +1‬‬
‫‪‬‬
‫‪f (0) = a − 0 +‬‬
‫‪→ f (0) = a +‬‬
‫= )‪→ f (0‬‬
‫‪→  0,‬‬
‫‪a ‬‬
‫‪a−0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0= a−x +‬‬
‫נציב בפונקציה ‪ y = 0‬ונמצא את שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ה‪:x-‬‬
‫‪a−x‬‬
‫מכיוון שסכום של שני ביטויים חיוביים הוא בהכרח ביטוי חיובי‪ ,‬הפונקציה אינה מתאפסת ולא קיימות נקודות‬
‫חיתוך עם ציר ה‪.x-‬‬
‫ב‪ .‬כיוון שנתון ‪ , 1 < a‬הרי שנקודת הקיצון מתקבלת ברביע הראשון ולכן השרטוט‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪9‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . g ( x) =  a − x +‬נעלה בריבוע‬
‫ג‪ (1 .‬הפונקציה ‪ , g ( x ) = [ f ( x ) ] − 2‬לאחר הצבת )‪ f ( x‬היא‪ − 2 :‬‬
‫‪a−x‬‬
‫‪‬‬
‫ונסדר את משוואת הפונקציה )‪: g ( x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫⋅‪+ 2‬‬
‫‪+ ‬‬
‫‪ = a − x + 2 +‬‬
‫‪− 2 → g ( x) = a − x +‬‬
‫‪a−x‬‬
‫‪a−x‬‬
‫‪a−x  a−x‬‬
‫‪ (2‬הישר ‪ x = a − 1‬חותך את גרף הפונקציה בנקודת הקיצון שלה‪ ,‬ולכן‬
‫השטח הכלוא ברביע הראשון בין ישר זה‪ ,‬לבין גרף ) ‪ g (x‬הוא השטח‬
‫המסומן באפור בשרטוט‪:‬‬
‫‪a−x‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪a−x‬‬
‫(‬
‫= )‪g ( x‬‬
‫‪x = a −1‬‬
‫בכדי להביע את נפח גוף הסיבוב נעלה בריבוע את הפונקציה )‪ , g ( x‬נבצע את האינטגרל‪ ,‬ולבסוף נכפיל את התוצאה‬
‫ב‪: π -‬‬
‫]‬
‫[‬
‫‪a −1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪(a − x )2 + 2 + (a − x )−2 dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪dx‬‬
‫→‬
‫‪V‬‬
‫=‬
‫‪π‬‬
‫⋅‬
‫‪‬‬
‫‪2 ‬‬
‫∫‬
‫‪(a − x ) ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪a −1‬‬
‫‪a −1‬‬
‫∫‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪a − x +‬‬
‫⋅ ‪ dx → V = π‬‬
‫‪a− x‬‬
‫‪‬‬
‫‪a −1‬‬
‫∫‬
‫⋅ ‪V =π‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a −1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ (a − x )3‬‬
‫‪ (a − x )3‬‬
‫(‬
‫‪a − x) ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪V =π ⋅‬‬
‫‪+ 2x +‬‬
‫‪→V = π ⋅‬‬
‫‪+ 2x +‬‬
‫→‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a − x‬‬
‫‪ −3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ −3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ (a − a + 1)3‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a3 1 ‬‬
‫‪a3 1 ‬‬
‫‪V =π ⋅‬‬
‫‪+ 2(a − 1) +‬‬
‫‪−‬‬
‫‪−  → V = π ⋅  − + 2a − 2 + 1 +‬‬
‫‪− ‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪a − a +1 − 3 a‬‬
‫‪3 a‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a 4 + 6a 2 − 4a − 3 ‬‬
‫‪.V = π ⋅ ‬‬
‫נסדר באמצעות מכנה משותף ונקבל כי נפח גוף הסיבוב הוא‪ :‬‬
‫‪3a‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫לפי הנתון‪ ,‬נפח גוף סיבוב זה שווה ל‪-‬‬
‫)‪π ⋅ (a 3 + 13‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .‬נשווה ונקבל‪:‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪ a 4 + 6a 2 − 4a − 3  π ⋅ a 3 + 13‬‬
‫‪→ a 4 + 6a 2 − 4a − 3 = a 4 + 13a → 6a 2 − 17a − 3 = 0‬‬
‫=‪‬‬
‫‪3a‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫פתרונות המשוואה הם‪ a = 3 :‬או ‪ . a = −‬לפי הנתון ‪ , a > 1‬נקבל שהפתרון הנכון הוא‪. a = 3 :‬‬
‫‪6‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫‪π ⋅‬‬
‫עמוד ‪10‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬
‫שאלה ‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬הפונקציה ‪ f ( x) = −2 x‬היא פרבולה רציפה‪ .‬כעת נתבונן בפונקציה ) ‪: g ( x) = tan( x‬‬
‫‪sin x 2‬‬
‫= )‪ , g(x‬ומכאן שהיא אינה מוגדרת כאשר‪= 0 :‬‬
‫הפונקציה ) ‪ , g ( x) = tan( x 2‬ניתנת לכתיבה כך‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪2‬‬
‫) (‬
‫) (‬
‫) (‬
‫‪. cos x 2‬‬
‫כלומר‪ ,‬לגרף הפונקציה ) ‪ g ( x) = tan( x 2‬יש אסימפטוטות אנכיות‪.‬‬
‫אכן ניתן לראות כי גרף ‪ 2‬הוא רציף ולגרף ‪ 1‬יש אסימפטוטות אנכיות‪ .‬מכאן שגרף ‪ 1‬מתאים לפונקציה‬
‫) ‪ , g(x) = tan(x 2‬ואילו גרף ‪ 2‬מתאים לפונקציה ‪. f ( x) = −2 x 2‬‬
‫ב‪ .‬בנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬האסימפטוטות האנכיות של גרף הפונקציה )‪ g (x‬חותכות את ציר ה‪.x-‬‬
‫) (‬
‫) (‬
‫‪sin x 2‬‬
‫= )‪ , g(x‬ומכאן שהיא אינה מוגדרת כאשר‪= 0 :‬‬
‫הפונקציה ) ‪ , g ( x) = tan( x 2‬ניתנת לכתיבה כך‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos x‬‬
‫פתרון המשוואה הוא‪+ πk :‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫) (‬
‫‪2‬‬
‫‪. cos x‬‬
‫= ‪ , x 2‬עם זאת מכיוון שברצוננו לקבל את שני הפתרונות הקרובים ביותר לראשית‬
‫הצירים לפי השרטוט‪ ,‬נשמיט את התוספת המחזורית ‪: πk‬‬
‫‪π‬‬
‫)‪→ x = ±1.25 → A(− 1.25,0) , B(1.25,0‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪x2‬‬
‫ג‪ .‬נפתור סעיף זה בדרך גרפית‪ .‬ניתן לראות בסקיצה כי הנקודה )‪ C (0.43π ,−3.67‬היא נקודת החיתוך של הגרפים‬
‫‪ f ( x) = −2 x 2‬ו‪ , g ( x) = tan( x 2 ) -‬ומכאן ששיעוריה הם גם פתרון המשוואה המבוקשת בתחום הנתון‪ ,‬ולכן‪:‬‬
‫‪tan( x 2 ) = −2 x 2 → x = 0.43π‬‬
‫בשרטוט‪ ,‬ניכר כי הגרפים נחתכים גם בראשית הצירים‪ ,‬והצבה של ‪ x=0‬מוכיחה את זה‪ .‬לכן גם ‪ x=0‬הוא פתרון‪.‬‬
‫)‪h(0) = 0 ⋅ sin(0 2 ) = 0 → (0,0‬‬
‫ד‪ .1 .‬חיתוך עם ציר ה‪ :y-‬נציב ‪: x = 0‬‬
‫‪ sin( x 2 ) = 0 → x 2 = πk‬או ‪0 = x ⋅ sin( x 2 ) → x = 0‬‬
‫חיתוך עם ציר ה‪ :x-‬נציב ‪: y = 0‬‬
‫)‪x = πk → x = 1.77 → (1.77,0‬‬
‫מכיוון שהתחום הנתון הוא ‪ 0 ≤ x ≤ 2.1‬מספיק לבחור בפתרון החיובי‪:‬‬
‫‪ .2‬נגזור את הפונקציה ) ‪ h( x) = x ⋅ sin( x 2‬ונשווה ל‪:0-‬‬
‫‪= 0 → sin x 2 = −2 x 2 cos x 2‬‬
‫) (‬
‫) (‬
‫) (‬
‫) (‬
‫) (‬
‫‪→ tan (x ) = −2 x‬‬
‫) (‬
‫‪h ' ( x) = sin x 2 + 2 x 2 cos x 2‬‬
‫) (‬
‫) (‬
‫‪2‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= −2 x 2‬‬
‫מכיוון ש‪ , cos x 2 ≠ 0 :‬ניתן לחלק ב‪: cos x 2 -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos x‬‬
‫משוואה זו זהה למשוואה מסעיף ג'‪ ,‬ולכן פתרונה בתחום ‪ 0 ≤ x ≤ 2.1‬הוא‪ . x = 0.43π :‬נשים לב כי לפי השרטוט‪,‬‬
‫וגם בהצבה‪ ,‬מתקבל פתרון נוסף למשוואה כאשר‪ . x = 0 :‬ניעזר בטבלת עליה וירידה למציאת סוג נקודת הקיצון‪:‬‬
‫‪0 < x < 0.43π‬‬
‫תחום ‪x‬‬
‫‪x=0‬‬
‫‪x = 0.43π 0.43π < x < 2.1‬‬
‫‪x = 2.1‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫נציב בנגזרת‬
‫קיצון בקצה‬
‫קיצון בקצה‬
‫קיצון‬
‫=‪x‬‬
‫=‪x‬‬
‫התחום‬
‫התחום‬
‫‪12‬‬
‫‪6‬‬
‫סימן הנגזרת‬
‫חיובי‬
‫שלילי‬
‫הפונקציה‬
‫‪Min‬‬
‫‪Max‬‬
‫‪Min‬‬
‫עולה ‪/‬יורדת‬
‫נציב בפונקציה )‪ h(x‬את שיעור ה‪ x-‬של נקודת הקיצון הפנימית‪ x = 0.43π :‬ונקבל ‪. Max(0.43π ,1.31) :‬‬
‫‪.3‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪11‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫ה‪ .‬בכדי למצוא את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה לציר ה‪ x-‬ברביע הראשון‪ ,‬נחשב את האינטגרל‪:‬‬
‫‪1.77‬‬
‫‪)dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫ x ⋅ sin( x‬‬
‫=‪S‬‬
‫‪0‬‬
‫כדי לבצע אינטגרציה לביטוי ) ‪ x ⋅ sin( x 2‬נצטרך להשתמש בשיטת ההצבה‪ .‬ראשית‪ ,‬נסמן‪. u = x 2 :‬‬
‫‪du‬‬
‫‪du‬‬
‫נגזור את שני אגפי המשוואה ונקבל‪= 2 x :‬‬
‫= ‪. dx‬‬
‫‪ .‬נבודד את ‪ dx‬ונקבל‪:‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪du‬‬
‫= ‪: dx‬‬
‫נחזור לאינטגרל לאחר הצבת ‪ S = ∫ x ⋅ sin(u ) dx :u‬ונציב בו‪:‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪du‬‬
‫) ‪sin (u‬‬
‫⋅ ) ‪S = ∫ x ⋅ sin(u )dx → ∫ x ⋅ sin(u‬‬
‫∫→‬
‫‪du‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪sin (u‬‬
‫‪− cos u‬‬
‫רק בשלב זה‪ ,‬לאחר סידור האינטגרל עבור ‪ u‬נבצע את האינטגרציה עצמה‪:‬‬
‫‪∫ 2 du = 2‬‬
‫‪− cos x 2‬‬
‫‪.‬‬
‫נציב בחזרה ‪ u = x 2‬ונקבל את האינטגרל הסופי של הביטוי ) ‪ x ⋅ sin( x 2‬והוא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫) (‬
‫‪1.77‬‬
‫כעת נחזור ונבצע את האינטגרל‪)dx :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫ x ⋅ sin( x‬‬
‫= ‪ S‬במלואו‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 1‬יח"ר = ‪)  −  − cos(0 )  = 0.5 + 0.5 → S‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫(‬
‫‪ cos 1.77 2‬‬
‫‪→  −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1.77‬‬
‫‪0‬‬
‫) (‬
‫‪− cos x 2‬‬
‫= ‪S = ∫ x ⋅ sin( x )dx → S‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫‪1.77‬‬
‫‪2‬‬
‫עמוד ‪12‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫שאלה ‪:8‬‬
‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬
‫‪30‬‬
‫א‪ .‬זוהי בעיית קיצון‪ .‬פונקציית המטרה היא זמן התנועה הכולל של הכדור‪ .‬לאחר‬
‫‪.‬‬
‫ינימום‬
‫הרכבת הפונקציה‪ ,‬נגזור ונשווה את הנגזרת ל‪ 0-‬בכדי למצוא את נקודת המ‬
‫‪15‬‬
‫את זמן תנועת הכדור נבטא באמצעות חילוק הדרך שעבר הכדור )הקטעים ‪DF‬‬
‫ו‪ (FE -‬במהירות תנועתו‪ 10 :‬מטר לשנייה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪30-x‬‬
‫נסמן‪ , CF = x :‬ובהתאמה‪. FB = 30 − x :‬‬
‫כעת נוכל להביע את אורכי הקטעים ‪ DF‬ו‪ FE -‬באמצעות משפט פיתגורס‪:‬‬
‫‪DF = x 2 + 30 2 → DF = x 2 + 900‬‬
‫‪→ FE = x 2 − 60 x + 1125‬‬
‫‪(30 − x )2 + 15 2‬‬
‫‪x 2 + 900 + x 2 − 60 x + 1125‬‬
‫‪10‬‬
‫כלומר‪ ,‬פונקציית המטרה המתארת את זמן תנועת הכדור היא‪:‬‬
‫= ‪FE‬‬
‫= ) ‪f (x‬‬
‫נגזור נשווה ל‪ 0-‬ונעשה מכנה משותף‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪2x‬‬
‫) ‪2( x − 30‬‬
‫‪ = 0 → x x 2 − 60 x + 1125 + ( x − 30 ) x 2 + 900 = 0‬‬
‫‪⋅ ‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10  2 x + 900 2 x − 60 x + 1125 ‬‬
‫נעביר אגף ונעלה בריבוע כדי "להיפטר" מהשורש‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫→ ‪x x − 60 x + 1125 = x − 60 x + 900 x + 900‬‬
‫→ ‪x 4 − 60 x 3 + 1125x 2 = x 4 + 900 x 2 − 60 x 3 − 54000x + 900 x 2 + 810000 → 675x 2 − 54000x + 810000 = 0‬‬
‫‪x 2 − 80 x + 1200 = 0 → x = 20 , x = 60‬‬
‫הפתרון ‪ x = 60‬נפסל‪ ,‬מכיוון שהצלע ‪ CF‬לא יכולה להיות ארוכה מ‪ 30-‬מטר‪.‬‬
‫לאחר פתרון של משוואה אי רציונאלית‪ ,‬עלינו לבדוק כי הפתרון שמצאנו אכן פותר את המשוואה המקורית‪ .‬נבדוק‬
‫כי הפתרון ‪ x = 20‬מקיים את המשוואה שלפני ההעלאה בריבוע‪:‬‬
‫= ) ‪f ' (x‬‬
‫()‬
‫)‬
‫(‬
‫( )‬
‫‪20 20 2 − 60 ⋅ 20 + 1125 + (20 − 30) 20 2 + 900 = 0‬‬
‫על ידי הצבה ניתן לראות כי מתקבל פסוק אמת‪.‬‬
‫לבסוף‪ ,‬נבדוק את סוג הנקודה ‪ x = 20‬באמצעות הצבה בטבלת עלייה וירידה‪:‬‬
‫‪x = 30‬‬
‫קצה‬
‫התחום‬
‫‪20 < x < 30‬‬
‫‪x = 20‬‬
‫‪x = 25‬‬
‫קיצון‬
‫חיובי‬
‫‪ x = 0 0 < x < 20‬תחום ‪x‬‬
‫קצה נציב בנגזרת‬
‫‪x = 10‬‬
‫התחום‬
‫שלילי‬
‫‪Min‬‬
‫סימן‬
‫הנגזרת‬
‫הפונקציה‬
‫עולה‪/‬יורדת‬
‫כלומר זמן התנועה הכולל של הכדור הוא מינימלי כאשר ‪ 20‬מטר = ‪. CF‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪13‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫פתרון מלא ‪ -‬מבחן ‪8‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬
‫א‪ .‬הנתונים בשאלה זו מורכבים מהרגיל‪ ,‬ולכן ניעזר בשרטוט עזר‪:‬‬
‫נמלא בטבלה את הנתונים המתייחסים לפגישה הראשונה‪:‬‬
‫נסמן את מהירות האופניים ב‪ .x-‬נמלא תחילה את המהירות והדרך שעברו‬
‫האופניים‪ .‬נחלק את הדרך במהירות ונקבל את זמן נסיעתם‪.‬‬
‫נסמן את מהירות המשאית ב‪ .y-‬נכפיל את המהירות בזמן ונקבל את הדרך‬
‫שעברה המשאית עד הפגישה הראשונה‪.‬‬
‫המשאית והאופניים נפגשו ולכן המרחק שבין שתי הערים הוא‪:‬‬
‫‪30y‬‬
‫‪+ 30‬‬
‫‪x‬‬
‫) ‪. (I‬‬
‫עד הפגישה‬
‫הראשונה‬
‫מהירות זמן‬
‫אופניים‬
‫‪x‬‬
‫משאית‬
‫‪y‬‬
‫‪30‬‬
‫‪x‬‬
‫‪30‬‬
‫‪x‬‬
‫דרך‬
‫‪30‬‬
‫‪30 y‬‬
‫‪x‬‬
‫נמלא בטבלה את הנתונים המתייחסים לפגישה השנייה‪:‬‬
‫האופניים נסעו ‪ 90‬דקות )‪ 1.5‬שעות( במהירות ‪ .x‬כלומר‪ ,‬עברו מרחק של ‪ 1.5x‬ק"מ‪ .‬לפי השרטוט ניתן לראות כי‬
‫במשך זמן נסיעת האופניים‪,‬‬
‫מהפגישה‬
‫נסעה המשאית ‪ 30‬ק"מ‬
‫הראשונה מהירות זמן דרך‬
‫לכיוון עפולה וחזרה בכדי‬
‫לשנייה‬
‫להשיג את האופניים‪.‬‬
‫מכאן שהמרחק שעברה‬
‫המשאית גדול ב‪ 60-‬ק"מ‬
‫מהמרחק שעברו האופניים‪.‬‬
‫מתקבלת המשוואה‪:‬‬
‫אופניים‬
‫‪x‬‬
‫‪1.5‬‬
‫משאית‬
‫‪y‬‬
‫‪1.5 y 1.5‬‬
‫‪1.5x‬‬
‫‪1.5 y = 1.5x + 60 → (II ) y = x + 40‬‬
‫נמלא בטבלה את הנתונים המתייחסים לפגישה השלישית‪:‬‬
‫הדרך המשותפת שעברו המשאית והאופניים שווה למרחק שבין שתי‬
‫הערים‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫מהפגישה‬
‫השנייה‬
‫לשלישית‬
‫מהירות זמן‬
‫אופניים‬
‫‪x‬‬
‫משאית‬
‫‪y‬‬
‫‪30‬‬
‫‪x‬‬
‫‪30‬‬
‫‪x‬‬
‫דרך‬
‫‪30‬‬
‫‪30 y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪30y‬‬
‫‪+ 30‬‬
‫‪x‬‬
‫‪CE‬‬
‫=‬
‫‪ .‬כמו כן‪ ,‬ניתן לראות כי‪. AC = 1.5x + 30 :‬‬
‫ניתן לראות בשרטוט כי הקטע ‪ CE‬שווה‬
‫‪2‬‬
‫‪30y‬‬
‫על ידי חיבור קטעים ניתן לראות כי‪ AC + CE :‬שווה למרחק שבין שתי הערים ‪+ 30‬‬
‫= ‪) AE‬לפי ‪ .(I‬ולכן‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪30y‬‬
‫‪+ 30‬‬
‫‪30y‬‬
‫‪1  30y‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫= ‪+ 1.5x + 30‬‬
‫‪+ 30 → ‬‬
‫‪+ 30 = 1.5x + 30‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2 x‬‬
‫‪‬‬
‫נציב את ‪ y = x + 40‬במשוואה ונפתור‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪14‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫)‪1  30( x + 40‬‬
‫)‪30( x + 40‬‬
‫‪‬‬
‫→ ‪+ 30 = 1.5x + 30‬‬
‫→ ‪+ 30 = 3x + 60 → 30( x + 40) = 3x 2 + 30x‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪30x + 1200 = 3x + 30x → x = 400 → x = 20 , x = −20‬‬
‫מכאן שמהירות האופניים היא ‪ 20‬קמ"ש ומהירות המשאית היא ‪ 60‬קמ"ש‪.‬‬
‫ב‪ .‬תחילה נמצא את המרחק שבין שתי הערים‪:‬‬
‫‪30 y‬‬
‫‪30 ⋅ 60‬‬
‫= ‪+ 30‬‬
‫‪ 120‬ק"מ = ‪+ 30‬‬
‫‪x‬‬
‫‪20‬‬
‫כעת נמלא את הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫המשאית והאופניים נוסעים זו לקראת זו ומכאן‬
‫שהמהירות המשותפת שלהם היא סכום המהירויות‬
‫של שניהם‪ .‬נבטא את זמן נסיעתם עד הפגישה על ידי‬
‫חלוקת המרחק בין הערים במהירות המשותפת‪.‬‬
‫עד הפגישה‬
‫מהירות‬
‫זמן‬
‫דרך‬
‫אופניים‪+‬משאית‬
‫) ‪(20 − k ) + (60 − k‬‬
‫‪120‬‬
‫‪80 − 2k‬‬
‫‪120‬‬
‫זמן הנסיעה קצר משעתיים ולכן‪:‬‬
‫‪120‬‬
‫‪120‬‬
‫) ‪120 − 2(80 − 2k‬‬
‫‪4k − 40‬‬
‫‪< 0 → (4k − 40)(80 − 2k ) < 0‬‬
‫→ ‪<2‬‬
‫→ ‪−2< 0‬‬
‫→ ‪<0‬‬
‫‪80 − 2k‬‬
‫‪80 − 2k‬‬
‫‪80 − 2k‬‬
‫‪80 − 2k‬‬
‫שני הערכים המאפסים הם‪ k = 10 :‬ו‪ . k = 40 -‬נמקם את המאפסים על ציר ונעביר דרכן את הפרבולה‪:‬‬
‫פתרון אי השוויון הוא‪ k > 40 :‬או ‪. k < 10‬‬
‫התחום ‪ k > 40‬נפסל מכיוון שבמקרה זה מהירות האופניים תהיה שלילית‪ .‬בנוסף‪ , k > 0 ,‬ולכן תחום המספרים בו‬
‫נמצא הפרמטר ‪ k‬הוא‪. 0 < k < 10 :‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪15‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬
‫א‪ .‬ניעזר בשרטוט ונראה כי אם נחסר מסכום הסדרה ‪ S n‬את סכום‬
‫‪ n − 1‬האיברים הראשונים נישאר עם האיבר ‪ a n‬אותו אנו מחפשים‪:‬‬
‫‪S n − S n −1 = n ⋅ (n + 2) − (n − 1) ⋅ (n + 1) = n 2 + 2n − n 2 + 1 → a n = 2n + 1‬‬
‫כדי להוכיח שהסדרה היא חשבונית‪ ,‬נראה כי ההפרש בין כל שני איברים סמוכים ‪ an‬ו‪ a n−1 -‬קבוע ואינו תלוי ב‪:n-‬‬
‫‪a n − a n −1 = 2n + 1 − (2(n − 1) + 1) = 2n + 1 − 2n + 1 → a n − a n −1 = 2‬‬
‫מכאן שהסדרה חשבונית והפרשה הוא ‪.2‬‬
‫ב‪ .‬נתבונן באיבר הכללי ‪ . Bn = An ⋅ ( −1) n‬כאשר ‪ n‬אי זוגי מתקיים ‪ , Bn = − An‬כאשר ‪ n‬זוגי מתקיים‪. Bn = An :‬‬
‫מכאן שהסדרה ‪ Bn‬היא למעשה הסדרה ‪ An‬שבה הפכו את סימני האיברים האי זוגיים‪.‬‬
‫נשים לב‪ :‬הסדרה ‪ Bn‬אינה סדרה חשבונית‪ .‬עם זאת‪ ,‬כל האיברים במקומות הזוגיים הם סדרה חשבונית‪ ,‬וכל‬
‫האיברים במקומות האי זוגיים הם סדרה חשבונית בעלת סימנים הפוכים‪ .‬נחשב בנפרד את כל אחד מהסכומים‪,‬‬
‫ונחבר אותם‪:‬‬
‫סכום ‪ n‬האיברים במקומות הזוגיים‪:‬‬
‫האיבר הראשון‪ , a 2 = 5 :‬ההפרש‪ , 2d = 4 :‬מספר האיברים‪ . n :‬נביע את הסכום‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2n‬‬
‫= ) ‪S = (2 ⋅ 5 + 4(n − 1)) = (4n + 6‬‬
‫‪(2n + 3) → S = 2n 2 + 3n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫סכום ‪ n‬האיברים במקומות האי זוגיים בעלי הסימנים ההפוכים‪:‬‬
‫האיבר הראשון‪ , − a1 = −3 :‬ההפרש‪ , − 2d = −4 :‬מספר האיברים‪ . n :‬נביע את הסכום‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2n‬‬
‫= ) ‪S = (2 ⋅ (− 3) − 4(n − 1)) = (− 4n − 2‬‬
‫‪(− 2n − 1) → S = −2n 2 − n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S B2 n = 2n 2 + 3n − 2n 2 − n = 2n‬‬
‫סכום הסדרה ‪ B2 n‬כולה הוא חיבור של שני הסכומים שמצאנו‪:‬‬
‫ג‪ .‬נתבונן בסכומי כל אחת מהסדרות לאחר השינוי המתואר בשאלה‪:‬‬
‫לכל אחד מאיברי הסדרה ‪ Bn‬הוסיפו ‪ ,m‬מכאן שסכום הסדרה ‪ B2 m‬הוא‪:‬‬
‫) ‪S B 2 m = (B1 + m ) + (B2 + m ) + (B3 + m ) + ..... + (B2 m + m‬‬
‫לאחר סידור‪ ,‬נראה כי הסכום הוא גם‪:‬‬
‫) ‪S B 2 m = (B1 + B2 + B3 + .... + B2 m ) + (m + m + m + .... + m‬‬
‫‪14444244443 144424443‬‬
‫‪ 2 m‬פעמים‬
‫כלומר‪ ,‬סכום הסדרה ‪ B2 m‬הוא‪:‬‬
‫סכום הסדרה המקורית‬
‫)‪S B 2 m = 2m + 2m → S B 2 m = 2m(m + 1‬‬
‫‪2‬‬
‫את כל אחד מאיברי הסדרה ‪ An‬הכפילו פי‪ ,m-‬מכאן שסכום הסדרה ‪ A2 m‬הוא‪:‬‬
‫‪S A 2 m = A1 ⋅ m + A2 ⋅ m + A3 ⋅ m + .... + A2 m ⋅ m‬‬
‫לאחר הוצאת גורם משותף נקבל כי הסכום הוא‪:‬‬
‫) ‪S A 2 m = m ⋅ ( A1 + A2 + A3 + .... + A2 m‬‬
‫‪14444244443‬‬
‫סכום הסדרה המקורית‬
‫כלומר‪ ,‬סכום הסדרה ‪ A2 m‬הוא‪:‬‬
‫)‪S A 2 m = m ⋅ (2m(2m + 2)) → S A 2 m = 4 m 2 (m + 1‬‬
‫לפי הנתון‪ ,‬סכום הסדרה ‪ A2 m‬גדול פי שמונה מסכום הסדרה ‪ m) B2 m‬הוא מספר טבעי( ולכן‪:‬‬
‫‪S A 2 m = 8S B 2 m → 4m 2 (m + 1) = 8 ⋅ 2m(m + 1) → m = 4‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪16‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬
‫א‪ .‬עופר מגיש מועמדות לשבעה מקומות עבודה סך הכל ‪ -‬שלושה באינטרנט וארבעה טלפונית‪.‬‬
‫עלינו לחשב את ההסתברות שיקבל תשובה חיובית משישה מקומות מתוך השבעה‪.‬‬
‫קיימים רק שני תרחישים אפשריים שבהם יקבל שש תשובות חיוביות‪:‬‬
‫תרחיש ‪ :1‬עופר יקבל תשובה חיובית מארבע הפניות הטלפוניות וגם משתי פניות באינטרנט‪.‬‬
‫או‬
‫תרחיש ‪ :2‬עופר יקבל תשובה חיובית משלוש פניות טלפוניות וגם משלוש הפניות באינטרנט‪.‬‬
‫מכיוון ששני התרחישים אפשריים נחשב את ההסתברות של כל אחד בנפרד ונחבר אותן‪:‬‬
‫תרחיש ‪ :1‬עופר יקבל תשובה חיובית מארבע הפניות הטלפוניות וגם משתי פניות באינטרנט‬
‫שימו לב! במקרים בהם אנו מעוניינים למצוא הסתברות למאורע אחד וגם למאורע אחר‪ ,‬כאשר האירועים בלתי‬
‫תלויים זה בזה‪ ,‬עלינו לכפול בין ההסתברויות של כל אחד מהמאורעות‪:‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪ (0.4) 4 (0.6) 0 = 0.0256‬‬
‫פניות טלפוניות‪: p=0.4 ,k=4 ,n=4 :‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ (0.2) 2 (0.8)1 = 0.096‬‬
‫פניות באינטרנט‪: p=0.2 ,k=2 ,n=3 :‬‬
‫‪ 2‬‬
‫לכן‪ ,‬ההסתברות לקבל תשובה חיובית מארבע הפניות הטלפוניות וגם משתי פניות באינטרנט היא‪:‬‬
‫‪. 0.0256 ⋅ 0.096 = 0.0024576‬‬
‫תרחיש ‪ :2‬עופר יקבל תשובה חיובית משלוש פניות טלפוניות וגם משלוש הפניות באינטרנט‬
‫‪ 4‬‬
‫‪ (0.4) 3 (0.6)1 = 0.1536‬‬
‫פניות טלפוניות‪: p=0.4 ,k=3 ,n=4 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪ (0.2) 3 (0.8) 0 = 0.008‬‬
‫פניות באינטרנט‪: p=0.2 ,k=3 ,n=3 :‬‬
‫‪ 3‬‬
‫לכן‪ ,‬ההסתברות לקבל תשובה חיובית משלוש פניות טלפוניות וגם משלוש פניות באינטרנט היא‪:‬‬
‫‪. 0.1536 ⋅ 0.008 = 0.0012288‬‬
‫מחיבור ההסתברויות של שני התרחישים האפשריים נקבל את ההסתברות הכללית להצלחתו של עופר‪:‬‬
‫‪. 0.0024576 + 0.0012288 = 0.0036864‬‬
‫ב‪ .‬סעיף זה מתחיל בביטוי "ידוע ש"‪ .‬אשר מעיד על הסתברות מותנית‪ ,‬ולכן עלינו לחשב את ההסתברות למאורע‬
‫הרצוי מתוך ההסתברות הכללית של "העולם החדש"‪ .‬במקרה זה‪:‬‬
‫"העולם החדש" כולל את כל המקרים בהם עופר קיבלת תשובה חיובית בדיוק משישה מקומות עבודה‪.‬‬
‫המאורע הרצוי הוא שכל הפניות הטלפוניות נענו בחיוב‪.‬‬
‫חשוב לשים לב שבתרגיל זה‪ ,‬בדומה לתרגילי הסתברות רבים אחרים‪ ,‬סעיף ב' נסמך על סעיף א'‪ ,‬אשר בו כבר מצאנו‬
‫את ההסתברות למאורע הרצוי )‪ (0.0024576‬ואת ההסתברות הכוללת של "העולם החדש" )‪.(0.0036864‬‬
‫‪0.0024576 2‬‬
‫=‬
‫כל שנותר לנו לעשות הוא לחלק ביניהן ולקבל‪:‬‬
‫‪0.0036864 3‬‬
‫‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪17‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪(3‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬
‫‪°‬‬
‫‪p ADC =p AEB = 90‬‬
‫‪p BAC =p DAC°‬‬
‫⇓‬
‫‪ BE ,CD‬גבהים במשולש )נתון(‬
‫זווית משותפת‬
‫לפי משפט הדמיון השני ז‪.‬ז‪.‬‬
‫‪ ∆AEB ~ ∆ ADC‬מש"ל א'‬
‫ב‪ .‬ראשית‪ ,‬נוסיף את הישר ‪ DE‬לשרטוט‪ .‬שנית‪ ,‬נבחן את המשולשים בהם אנו מעוניינים להוכיח דמיון‪ .‬בכל אחד‬
‫מהם יש שתי צלעות אשר הופיעו בדמיון שמצאנו בסעיף א'‪ :‬במשולש ‪ ∆ADE‬הופיעו הצלעות ‪ AE‬ו‪ ,AD-‬ובמשולש‬
‫‪ ∆ ABC‬הופיעו הצלעות ‪ AB‬ו‪ .AC-‬הדבר מרמז לנו שנוכל להיעזר ביחס הדמיון שמצאנו בסעיף א' כדי להוכיח את‬
‫הדמיון השני‪.‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪AE AB‬‬
‫‪AE AD‬‬
‫=‬
‫→‬
‫=‬
‫לפי הדמיון שמצאנו בסעיף א'‪.‬‬
‫‪AD AC‬‬
‫‪AB AC‬‬
‫זווית משותפת‬
‫‪p BAC =p DAE (5‬‬
‫‪(6‬‬
‫⇓‬
‫לפי משפט הדמיון הראשון צ‪.‬ז‪.‬צ‬
‫‪∆ADE ~ ∆ACB‬‬
‫מש"ל ב'‬
‫ג‪ .‬גם כאן אנו רואים שהנתונים בנוגע לאורכי הצלעות שקיבלנו בסעיף זה תואמים לצלעות המשולשים שהוכחנו‬
‫עבורם דמיון בסעיף ב‪ .‬נציב את הנתונים ביחס הדמיון‪:‬‬
‫‪AE AB‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫→‬
‫‪ 12 (7‬ס"מ = ‪= → AB‬‬
‫‪AD AC‬‬
‫‪AB 6‬‬
‫‪(8‬‬
‫‪ 10‬ס"מ = ‪DB = AB − AD = 12 − 2 ⇒ DB‬‬
‫מש"ל ג'‬
‫ד‪ .‬כדי לחשב את היקף המרובע ‪ BCED‬עלינו למצוא את אורכי הצלעות ‪ DE‬ו‪.BC-‬‬
‫‪(9‬‬
‫‪AE AD DE‬‬
‫‪1 DE‬‬
‫=‬
‫=‬
‫→‬
‫=‬
‫→‬
‫‪CB‬‬
‫=‬
‫‪3‬‬
‫‪DE‬‬
‫יחס הדמיון בין המשולשים ‪ ∆ADE‬ו‪-‬‬
‫‪AB AC CB‬‬
‫‪3 CB‬‬
‫‪∆ACB‬‬
‫‪ P + 20 = P → AD + DE + AE + 20 = AB + BC + AC (10‬נתון‬
‫‪ADE‬‬
‫‪ABC‬‬
‫שימוש באורכי צלעות נתונים ומסעיף )‪(9‬‬
‫‪ 4 (11‬ס"מ = ‪2 + DE + 4 + 20 = 12 + 3DE + 6 → DE‬‬
‫מתוך )‪ (9‬ו‪(11)-‬‬
‫‪ 12 (12‬ס"מ = ‪BC = 3ED → BC‬‬
‫חישוב שטח מרובע‬
‫‪ 28 (13‬ס"מ = ‪ PBCED = 2 + 4 + 10 + 12 → PBCED‬מש"ל ד'‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪18‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪(1‬‬
‫נתון ‪ E‬אמצע ‪AB‬‬
‫‪AE = BE‬‬
‫נתון‬
‫‪(2‬‬
‫‪CO = OE = OD = R‬‬
‫נתון ‪ +‬סימון‬
‫‪(3‬‬
‫‪AD = x → CD = 7 x‬‬
‫שני חותכים למעגל היוצאים מאותה‬
‫נקודה‪ ,‬מכפלת חותך אחד בחלקו‬
‫‪(4‬‬
‫‪AD ⋅ AC = AE ⋅ AB → x ⋅ 8 x = 2 AE 2 → AE = 2 x‬‬
‫החיצוני שווה למכפלת החותך השני‬
‫בחלקו החיצוני‬
‫נעביר את בניית העזר ‪ -‬הקטע ‪ .ED‬ניצור את המשולש ישר הזווית ‪ ∆CDE‬בכדי להביע את ‪ x‬באמצעות ‪:R‬‬
‫זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה‬
‫‪(5‬‬
‫‪p CDE = 90 °‬‬
‫ל‪90 ° -‬‬
‫‪(6‬‬
‫זוויות צמודות משלימות ל‪180 ° -‬‬
‫‪p ADE = 90 °‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(7‬‬
‫משפט פיתגורס במשולש ‪∆ADE‬‬
‫‪DE = AE − AD = 4 x − x → DE = 3x‬‬
‫קוטר‪ ,‬נובע מ‪(2)-‬‬
‫‪(8‬‬
‫‪CE = 2 R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(9‬‬
‫‪ CE = CD + DE → 4 R = 49 x + 3 x → x = 0.277 R‬משפט פיתגורס במשולש ‪∆CDE‬‬
‫נובע מ‪ (1)-‬ו‪ .(9)-‬מ‪.‬ש‪.‬ל‬
‫‪(10‬‬
‫‪AE = BE = 2 x → BE = 0.55 R‬‬
‫ב‪ .‬ניתן לחסום מעגל בתוך מרובע‪ ,‬רק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות האחרות‪.‬‬
‫נובע מ‪ (7) ,(3)-‬ו‪(9)-‬‬
‫‪(11‬‬
‫‪DE = 0.479 R , CD = 1.939 R‬‬
‫‪°‬‬
‫זווית היקפית הנשענת על קוטר‬
‫‪(12‬‬
‫‪p EBC = 90‬‬
‫‪(13‬‬
‫משפט פיתגורס במשולש ‪∆BCE‬‬
‫‪BC = CE 2 − BE2 → 4R 2 − 0.3025R 2 → BC = 1.922R‬‬
‫נבדוק האם סכום צלעות נגדיות במרובע ‪ BCDE‬שווה לסכום הצלעות הנגדיות השני‪:‬‬
‫חיבור קטעים‬
‫‪(14‬‬
‫‪BE + CD = 0.55 R + 1.939 R = 2.489 R‬‬
‫חיבור קטעים‬
‫‪(15‬‬
‫‪DE + BC = 0.479 R + 1.922 R = 2.041R‬‬
‫נובע מ‪ (14)-‬ו‪ (15)-‬מ‪.‬ש‪.‬ל‬
‫‪(16‬‬
‫לא ניתן לחסום מעגל בתוך המרובע ‪CDEB‬‬
‫ג‪ .‬כדי לחשב את ‪ R‬נשתמש במשפט הקוסינוסים במשולש ‪ . ∆BCF‬תחילה נחשב את צלעות המשולש ואת‬
‫הזווית ‪. p DCB‬‬
‫נתון‬
‫‪(17‬‬
‫‪ 1‬ס"מ = ‪CF‬‬
‫‪(18‬‬
‫‪BF + DE = DF + BE‬‬
‫סכום צלעות נגדיות במרובע החוסם מעגל‬
‫שווה לסכום הצלעות הנגדיות השני‬
‫‪(19‬‬
‫‪DF = CD − CF → DF = 1.939 R − 1‬‬
‫‪(20‬‬
‫‪BF + 0.479 R = 1.939 − 1 + 0.55 R → BF = 2 R − 1‬‬
‫‪DE 0.479R‬‬
‫‪(21‬‬
‫= ‪sin p DCE‬‬
‫→‬
‫‪= 0.239 →p DCE = 13.857°‬‬
‫טריגו במשולש ישר הזווית ‪∆CDE‬‬
‫‪CE‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪BE‬‬
‫‪0.55R‬‬
‫‪(22‬‬
‫= ‪tan p ECB‬‬
‫→‬
‫‪= 0.286 →p ECB = 15.96°‬‬
‫טריגו במשולש ישר הזווית ‪∆CBE‬‬
‫‪BC 1.922R‬‬
‫נובע מ‪ (21)-‬ו‪ .(24)-‬סכום זוויות‬
‫‪(23‬‬
‫‪p DCB = 29.817 °‬‬
‫לאחר שמצאנו את הצלעות והזוויות במשולש ‪ , ∆BCF‬נשתמש במשפט הקוסינוסים כדי למצוא את ‪:R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪BF = CF 2 + BC 2 − 2 ⋅ CF ⋅ BC ⋅ cos p FCB → (2R − 1) 2 = 12 + (1.922R) 2 − 2 ⋅ 1 ⋅ 1.922R ⋅ cos p 29.817°‬‬
‫בזהירות רבה‪ ,‬נצמצם‪ ,‬נכנס איברים‪ ,‬נוציא ‪ R‬כגורם משותף ונקבל‪ 2.18 :‬ס"מ = ‪ R‬מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬
‫חיסור קטעים‪ .‬נובע מ‪(11)-‬‬
‫נובע מ‪ (18) ,(11) ,(10)-‬ו‪(19)-‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪19‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬
‫שאלה ‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x − mx‬‬
‫‪ f ( x) = 2‬יש אסימפטוטה אנכית אחת בלבד‪ ,‬אך המכנה שלה מתאפס‬
‫א‪ .‬נתון כי לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x − 10 x + 4m‬‬
‫בשתי נקודות שונות‪ .‬כלומר‪ ,‬בנוסף לאסימפטוטה האנכית‪ ,‬יש מאפס נוסף שאינו אסימפטוטה ולכן הוא בהכרח‬
‫מצטמצם עם המונה וזוהי למעשה נקודת אי רציפות סליקה )"חור"(‪ .‬נוציא גורם משותף במונה ונקבל‪:‬‬
‫) ‪x(x − m‬‬
‫‪f ( x) = 2‬‬
‫‪x − 10 x + 4m‬‬
‫כדי שניתן יהיה לצמצם את אחד מכופלי המכנה עם המונה‪ ,‬מוכרח להופיע במכנה הביטוי‪. ( x − m ) :‬‬
‫משמעות הדבר היא ש‪ x = m :‬בהכרח מאפס את המכנה‪ .‬נציב ‪ x = m‬במכנה ונשווה אותו ל‪:0-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ m = 6‬או ‪m − 10m + 4m = 0 → m 2 − 6m = 0 → m(m − 6) = 0 → m = 0‬‬
‫)‪x(x − 6‬‬
‫‪x 2 − 6x‬‬
‫‪ . f ( x) = 2‬נסדר את הפונקציה‪:‬‬
‫ב‪ .‬לפי הנתון‪ , m = 6 ,‬ומכאן שהפונקציה היא‪:‬‬
‫)‪(x − 6)(x − 4‬‬
‫‪x − 10x + 24‬‬
‫‪x‬‬
‫= )‪. f ( x‬‬
‫תחום ההגדרה של הפונקציה הוא‪ , x ≠ 4 , x ≠ 6 :‬ולאחר צמצום הפונקציה היא‪:‬‬
‫‪x−4‬‬
‫כדי להראות שגרף הפונקציה )‪ f (x‬יורד בכל תחום ההגדרה‪ ,‬נגזור את הפונקציה‪:‬‬
‫‪−4‬‬
‫‪x−4− x‬‬
‫) ‪(− ) = (−‬‬
‫‪f‬‬
‫'‬
‫(‬
‫‪x‬‬
‫)‬
‫=‬
‫= )‪f ' ( x‬‬
‫→‬
‫→ ‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪(+‬‬
‫) ‪(x − 4‬‬
‫) ‪(x − 4‬‬
‫ניתן לראות כי המכנה הוא ביטוי ריבועי החיובי לכל ‪ x ≠ 4‬והמונה הוא מספר שלילי‪ .‬מכאן שהנגזרת שלילית לכל ‪x‬‬
‫וגרף הפונקציה יורד בכל תחום ההגדרה‪.‬‬
‫= )‪f ( x‬‬
‫ג‪ .‬מצורף שרטוט של נתוני השאלה לצורכי הסבר בלבד‪ ,‬אין צורך לשרטט‬
‫את הפונקציה בשביל לפתור את השאלה‪.‬‬
‫הנקודה הנתונה )‪ N (0,9‬אינה על גרף הפונקציה )‪ , f (x‬ולכן לא ניתן‬
‫להשתמש בה ישירות‪ .‬נסמן את נקודת ההשקה שכן נמצאת על גרף‬
‫‪t ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. M  t,‬‬
‫הפונקציה באמצעות ‪ :t‬‬
‫‪ t − 4‬‬
‫כעת ניתן להביע את שיפוע המשיק בשני אופנים שונים ולהשוות ביניהם‪.‬‬
‫תחילה נביע את שיפוע המשיק באמצעות שתי הנקודות ‪ N‬ו‪: M -‬‬
‫)‪N (0,9‬‬
‫‪t ‬‬
‫‪‬‬
‫‪M  t,‬‬
‫‪‬‬
‫‪ t −4‬‬
‫‪t‬‬
‫) ‪t − 9(t − 4‬‬
‫‪−9‬‬
‫) ‪4(9 − 2t‬‬
‫‪y1 − y 2 t − 4‬‬
‫‪36 − 8t‬‬
‫‪t−4‬‬
‫=‪m‬‬
‫=‬
‫=‪→m‬‬
‫=‪→m‬‬
‫=‪→m‬‬
‫)‪t (t − 4‬‬
‫‪x1 − x1‬‬
‫‪t −0‬‬
‫‪t‬‬
‫) ‪t (t − 4‬‬
‫‪t ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  t ,‬בנגזרת ) ‪: f ' ( x‬‬
‫כעת נביע את שיפוע המשיק באמצעות הצבת שיעור ה‪ x-‬של נקודת ההשקה ‪‬‬
‫‪ t −4‬‬
‫‪−4‬‬
‫‪(t − 4)2‬‬
‫= ) ‪f ' (t‬‬
‫שני הביטויים מתארים את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה היוצא מהנקודה ) ‪ , ( 0 ,9‬ולכן נשווה ביניהם‪:‬‬
‫) ‪4(9 − 2t‬‬
‫‪−4‬‬
‫=‬
‫‪→ (9 − 2t )(t − 4 ) = −t → 9t − 36 − 2t 2 + 8t + t = 0 → t 2 − 9t + 18 = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪t (t − 4 ) (t − 4‬‬
‫פתרונות המשוואה הם‪ t = 3 :‬ו‪ . t = 6 -‬עם זאת‪ ,‬הנקודה ‪ t = 6‬היא כאמור נקודת אי רציפות סליקה )"חור"(‬
‫בפונקציה‪ ,‬ומכאן שנקודת ההשקה היחידה היא )‪. M (3,−3‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪20‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫‪x 2 − ax + b‬‬
‫ד‪ .‬לפונקציה‬
‫‪x−c‬‬
‫הנקודה ‪ M‬היא בהכרח נקודת אי רציפות סליקה )"חור" בפונקציה(‪ .‬כלומר ‪ x = 3‬בהכרח מאפס את המכנה ולכן‪:‬‬
‫‪3−c = 0 → c = 3‬‬
‫כיוון שהנקודה ‪ M‬היא נקודת אי רציפות סליקה‪ ,‬הרי שמוכרח להיות ביטוי במונה המצטמצם עם אותו הביטוי‬
‫במכנה‪ .‬בכדי שהמכנה ‪ x − 3‬יצטמצם עם המונה ‪ , x 2 − ax + b‬המונה חייב להיות מהצורה‪. ( x − 3)( x − k ) :‬‬
‫כלומר‪ ,‬ניתן לכתוב את הפונקציה )‪ g (x‬כך‪(x − 3)(x − k ) :‬‬
‫= )‪ , g ( x‬ולאחר צמצום‪. g ( x) = x − k :‬‬
‫‪x−3‬‬
‫‪−3 = 3− k → k = 6‬‬
‫נציב בפונקציה )‪ g (x‬את שיעורי נקודת אי הרציפות הסליקה )‪ M (3,−3‬ונקבל‪:‬‬
‫כעת ניתן להביע את הפונקציה )‪ g (x‬ללא פרמטרים‪(x − 3)(x − 6) :‬‬
‫= )‪ , g ( x‬ולאחר פתיחת סוגריים‪:‬‬
‫‪x−3‬‬
‫‪x 2 − 9 x + 18‬‬
‫= )‪g ( x‬‬
‫‪x−3‬‬
‫מכאן ש‪ b = 18 , a = 9 :‬וכמו שמצאנו‪. c = 3 :‬‬
‫= )‪ g ( x‬אין אסימפטוטה אנכית והיא אינה מוגדרת רק בנקודה )‪ . M (3,−3‬כלומר‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪21‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫שאלה ‪7‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬
‫‪− sin x ≥ 0 → sin x ≤ 0‬‬
‫א‪ (1 .‬הפונקציה מוגדרת כאשר הביטוי שבתוך השורש ‪ − sin x‬הוא אי שלילי‪:‬‬
‫באמצעות מעגל היחידה אנו יודעים כי ‪ sin x‬שלילי ברביעים השלישי והרביעי‪ ,‬כלומר‪ ,‬בתחום ‪ 0 < x < 3π‬מתקיים‪:‬‬
‫‪ sin x ≤ 0‬כאשר ‪ 180° ≤ x ≤ 360°‬וברדיאנים‪. π ≤ x ≤ 2π :‬‬
‫‪ (2‬נגזור את הפונקציה )כנגזרת של מכפלה( ונשווה את הנגזרת לאפס‪:‬‬
‫→‪=0‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪− sin x‬‬
‫(‬
‫) ‪− cos x ⋅ (1 + cos x‬‬
‫⋅ ‪− sin x ⋅ − sin x = 0 → − cos x ⋅ (1 + cos x ) − 2 sin x‬‬
‫)‬
‫‪2 − sin x‬‬
‫(‬
‫= )‪f ' ( x‬‬
‫→ ‪− cos x − cos 2 x + 2 sin 2 x = 0 → − cos x − cos 2 x + 2 ⋅ 1 − cos 2 x = 0 → − cos x − cos 2 x + 2 − 2 cos 2 x = 0‬‬
‫‪− 3 cos 2 x − cos x + 2 = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫באמצעות נוסחת השורשים נקבל שתי אפשרויות‪ cos x = −1 :‬או = ‪ . cos x‬נפתור ונבדוק מי מהפתרונות נמצא‬
‫‪3‬‬
‫בתחום ‪: π ≤ x ≤ 2π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos x = −1‬‬
‫= ‪cos x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x = π + 2πk‬‬
‫‪x =π‬‬
‫או‬
‫‪x = 0.27π + 2πk‬‬
‫‪x = −π + 2πk‬‬
‫‪x =π‬‬
‫או‬
‫‪x = −0.27π + 2πk‬‬
‫‪x = 1.73π‬‬
‫אין פתרון בתחום‬
‫למעשה‪ ,‬ישנה נקודה פנימית אחת החשודה כקיצון‪ , x = 1.73π :‬ובנוסף שתי נקודות קיצון קצה‪ x = π :‬ו‪. x = 2π -‬‬
‫ניעזר בטבלת עליה וירידה ונגלה את סוגן‪:‬‬
‫‪x = 2π‬‬
‫קיצון בקצה‬
‫התחום‬
‫‪1.73π < x < 2π‬‬
‫‪x = 1.73π‬‬
‫‪π < x < 1.73π‬‬
‫‪x = 1.8π‬‬
‫קיצון‬
‫‪x = 1.5π‬‬
‫שלילי‬
‫‪Min‬‬
‫‪x =π‬‬
‫קיצון בקצה‬
‫התחום‬
‫חיובי‬
‫‪Min‬‬
‫‪Max‬‬
‫תחום ‪x‬‬
‫נציב בנגזרת‬
‫סימן הנגזרת‬
‫הפונקציה‬
‫עולה ‪/‬יורדת‬
‫נציב את שלוש הנקודות בפונקציה )‪ f ( x‬ונמצא את שיעורי ה‪ y-‬שלהן‪:‬‬
‫)‪f (π ) = − sin π ⋅ (1 + cos π ) = 0 → min (π ,0‬‬
‫)‪f (1.73π ) = − sin (1.73π ) ⋅ (1 + cos(1.73π )) = 1.43 → max (1.73π ,1.439‬‬
‫)‪f (2π ) = − sin 2π ⋅ (1 + cos 2π ) = 0 → min (2π ,0‬‬
‫‪ (3‬למעשה‪ ,‬אין צורך לחפש את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים מכיוון שכבר מצאנו אותן‪:‬‬
‫תחום ההגדרה של הפונקציה הוא ‪ π ≤ x ≤ 2π‬ולכן אין נקודת חיתוך עם ציר ה‪ .y-‬את שתי נקודות החיתוך עם ציר‬
‫ה‪ x-‬כבר מצאנו והן‪ (π ,0) :‬ו‪. (2π ,0) -‬‬
‫‪ (4‬על סמך טבלת העליה והירידה נוכל לקבוע‪ :‬עליה‪ , π < x < 1.73π :‬ירידה‪. 1.73π < x < 2π :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪22‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪V2‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪V1‬‬
‫‪π‬‬
‫‪x=a‬‬
‫נביע את שני נפחי גוף הסיבוב‪ :‬נעלה את הפונקציה בריבוע‪ ,‬נבצע את האינטגרל ולבסוף נכפיל ב‪: π -‬‬
‫)‬
‫‪a‬‬
‫(‬
‫‪− sin x ⋅ (1 + cos x ) dx → V1 = π ∫ − sin x ⋅ (1 + cos x ) dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2π‬‬
‫)‬
‫‪− sin x ⋅ (1 + cos x ) dx → V2 = π ∫ − sin x ⋅ (1 + cos x ) dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫∫ ‪V1 = π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2π‬‬
‫(∫‬
‫‪V2 = π‬‬
‫‪a‬‬
‫למעשה‪ ,‬בכדי לחשב את האינטגרל ‪ , ∫ − sin x ⋅ (1 + cos x ) dx‬ניעזר בשיטת ההצבה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫ראשית‪ ,‬נסמן‪. u = 1 + cos x :‬‬
‫‪du‬‬
‫‪du‬‬
‫נגזור את שני אגפי המשוואה ונקבל‪= − sin x :‬‬
‫‪ .‬נבודד את ‪ dx‬ונקבל‪:‬‬
‫‪− sin x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪du‬‬
‫נחזור לאינטגרל לאחר הצבת ‪− sin x ⋅ u 2 dx :u‬‬
‫= ‪: dx‬‬
‫ונציב בו‪:‬‬
‫‪− sin x‬‬
‫= ‪. dx‬‬
‫∫‬
‫‪du‬‬
‫‪= ∫ u 2 du‬‬
‫‪− sin x‬‬
‫⋅ ‪dx = ∫ − sin x ⋅ u 2‬‬
‫‪u3‬‬
‫‪3‬‬
‫רק בשלב זה‪ ,‬לאחר סידור האינטגרל עבור ‪ u‬נבצע את האינטגרציה עצמה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫ − sin x ⋅ u‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪∫ u du‬‬
‫‪(1 + cos x )3‬‬
‫נציב בחזרה ‪ u = 1 + cos x‬ונקבל את האינטגרל הסופי של הביטוי ‪ ∫ − sin x ⋅ (1 + cos x ) dx‬והוא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫כעת נחזור ונבצע את האינטגרלים במלואם‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫(‬
‫) ‪1 + cos a‬‬
‫⋅ ‪=π‬‬
‫‪3‬‬
‫) ‪8 − (1 + cos a‬‬
‫‪3‬‬
‫) ‪(1 + cos x‬‬
‫⋅ ‪=π‬‬
‫‪3 a‬‬
‫‪→ V1‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪3‬‬
‫⋅ ‪→ V2 = π‬‬
‫‪a‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(1 + cos x )3‬‬
‫⋅ ‪=π‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a‬‬
‫‪V1 = π ∫ − sin x ⋅ (1 + cos x ) dx → V1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪V2 = π ∫ − sin x ⋅ (1 + cos x ) dx → V2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫לפי הנתון‪ 7V1 = V2 ,‬ולכן‪:‬‬
‫) ‪8 − (1 + cos a‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫→ ‪→ 7(1 + cos a ) = 8 − (1 + cos a ) → 8(1 + cos a ) = 8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫) ‪(1 + cos a‬‬
‫‪3‬‬
‫⋅ ‪=π‬‬
‫‪3‬‬
‫⋅ ‪7π‬‬
‫‪(1 + cos a )3 = 1 → 1 + cos a = 1 → cos a = 0 → a = π + πk‬‬
‫‪2‬‬
‫הפתרון היחיד בתחום ‪ π ≤ x ≤ 2π‬הוא‪) a = 1.5π :‬או במספרים‪.( a = 4.71 :‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪23‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫שאלה ‪8‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪ .‬נסדר את משוואת המשיק הנתון‪ y = x + 3 ← 2 y − x − 6 = 0 :‬ונראה כי שיפועו‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫לגרף הפונקציה )‪ f (x‬בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪ ,y-‬כלומר כאשר ‪ . x = 0‬נשווה את הנגזרת )‪ f ' ( x‬לשיפוע‬
‫‪1‬‬
‫‪1− 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫→ = )‪f ' (0‬‬
‫→ =‬
‫‪= → a =2→ a=4‬‬
‫המשיק ונציב ‪: x = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a 2‬‬
‫‪− 02 + 2 ⋅ 0 + a 2‬‬
‫‪ .‬לפי הנתון‪ ,‬הוא משיק‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪1− x‬‬
‫‪− x 2 + 2x + 4‬‬
‫= )‪ . f ' ( x‬נציב במשוואת המשיק ‪ , x = 0‬ונקבל גם כי נקודת ההשקה היא‪. (0,3) :‬‬
‫כעת‪ ,‬נבצע על הנגזרת )‪ f ' ( x‬אינטגרל למציאת פונקציה קדומה ונמצא את הפונקציה )‪: f (x‬‬
‫‪1− x‬‬
‫∫ → ‪f ' ( x )dx = f ( x) + c‬‬
‫‪dx = f ( x ) + c‬‬
‫‪− x 2 + 2x + 4‬‬
‫‪1− x‬‬
‫∫ ‪ ,‬ניעזר בשיטת ההצבה‪ :‬ראשית‪ ,‬נסמן‪. u = − x 2 + 2 x + 4 :‬‬
‫כדי לחשב את האינטגרל‪dx :‬‬
‫‪− x 2 + 2x + 4‬‬
‫‪du‬‬
‫‪du‬‬
‫נגזור את שני אגפי המשוואה ונקבל‪= −2 x + 2 :‬‬
‫= ‪. dx‬‬
‫‪ .‬נבודד את ‪ dx‬ונקבל‪:‬‬
‫) ‪2(1 − x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪du‬‬
‫‪1− x‬‬
‫∫ ונציב בו‪:‬‬
‫= ‪: dx‬‬
‫נחזור לאינטגרל לאחר הצבת ‪dx :u‬‬
‫) ‪2(1 − x‬‬
‫‪u‬‬
‫‪1− x‬‬
‫‪1− x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪du‬‬
‫∫ = ‪dx‬‬
‫⋅‬
‫∫=‬
‫‪du‬‬
‫‪u‬‬
‫) ‪u 2(1 − x‬‬
‫‪2 u‬‬
‫‪du = u + c‬‬
‫רק בשלב זה‪ ,‬לאחר סידור האינטגרל עבור ‪ u‬נבצע את האינטגרציה עצמה‪:‬‬
‫נציב בחזרה ‪ u = − x 2 + 2 x + 4‬ונקבל את האינטגרל הסופי‪:‬‬
‫‪dx = − x 2 + 2 x + 4 + c‬‬
‫‪1‬‬
‫‪u‬‬
‫∫‬
‫∫‬
‫‪∫2‬‬
‫‪1− x‬‬
‫‪− x + 2x + 4‬‬
‫‪2‬‬
‫∫‬
‫כלומר‪ ,‬הפונקציה הקדומה של )‪ f ' ( x‬היא‪ . f ( x ) = − x 2 + 2 x + 4 + c :‬בכדי למצוא את הפרמטר ‪ , c‬נציב‬
‫בפונקציה את נקודת ההשקה שמצאנו‪ (0,3) :‬ונקבל‪:‬‬
‫‪3 = − 02 + 2 ⋅ 0 + 4 + c → 3 = 2 + c → c = 1‬‬
‫לסיכום‪ :‬הפונקציה )‪ f (x‬היא‪. f ( x ) = − x 2 + 2 x + 4 + 1 :‬‬
‫ב‪ .‬זוהי בעיית קיצון‪ .‬פונקציית המטרה היא היקף המלבן‪ .‬לאחר הרכבת הפונקציה‪ ,‬נגזור ונשווה את הנגזרת ל‪0-‬‬
‫בכדי למצוא את נקודת המקסימום‪.‬‬
‫(‬
‫)‬
‫תחילה‪ ,‬נסמן את שיעורי הנקודה ‪ A‬הנמצאת על גרף הפונקציה )‪ f (x‬באמצעות ‪. A t , − t 2 + 2t + 4 + 1 :t‬‬
‫מכיוון שצלעות המלבן ‪ ABCD‬מקבילות לצירים‪ ,‬ניתן לראות כי לנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬שיעור ‪ y‬זהה‪ .‬כלומר שיעורי‬
‫(‬
‫)‬
‫הנקודה ‪ B‬הם‪ . B x B , − t 2 + 2t + 4 + 1 :‬נציב בפונקציה )‪ f (x‬ונמצא את שיעור ה‪ x-‬של הנקודה ‪:B‬‬
‫‪− t 2 + 2t + 4 + 1 = − xB + 2 xB + 4 + 1 → − t 2 + 2t + 4 = − xB + 2 xB + 4 → xB − 2 xB + 2t − t 2 = 0‬‬
‫ניעזר בנוסחת השורשים בכדי להביע את ‪ xB‬באמצעות ‪:t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪2 ± 4 − 4 2t − t 2‬‬
‫) ‪2 ± 4 − 8t + 4t 2 2 ± (2 − 2t‬‬
‫) ‪2 ± (2 − 2t‬‬
‫= ‪xB‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪→ xB = t, xB = 2 − t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x = t‬הוא כמובן שיעור ה‪ x-‬של הנקודה ‪ ,A‬ומכאן ששיעורי הנקודה ‪ B‬הם‪. B 2 − t , − t 2 + 2t + 4 + 1 :‬‬
‫כאמור‪ ,‬צלעות המלבן ‪ ABCD‬מקבילות לצירים ולכן‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫)‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫(‬
‫עמוד ‪24‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫אורך הצלעות ‪ AD‬ו‪ BC-‬הוא שיעור ה‪ y-‬של הנקודות ‪ A‬ו‪:B-‬‬
‫אורך הצלעות ‪ AB‬ו‪ CD-‬הוא הפרש שיעורי ה‪ x-‬של הנקודות ‪ A‬ו‪:B-‬‬
‫‪AD = BC = − t 2 + 2t + 4 + 1‬‬
‫‪AB = CD = t − (2 − t ) = 2t − 2‬‬
‫כעת נוכל להביע את פונקציית המטרה המתארת את היקף המלבן‪:‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪P = 2 AD + 2 AB → P(t ) = 2 − t 2 + 2t + 4 + 1 + 2(2t − 2) → P(t ) = 2 − t 2 + 2t + 4 + 1 + 4t − 2‬‬
‫‪− 2t + 2‬‬
‫⋅ ‪P ' (t ) = 2‬‬
‫כדי למצוא את ערך ‪ t‬שעבורו היקף המלבן מקסימלי נגזור את הפונקציה ) ‪+ 4 : P(t‬‬
‫‪2 − t 2 + 2t + 4‬‬
‫נשווה את הנגזרת ל‪:0-‬‬
‫‪− 2t + 2‬‬
‫‪+ 4 = 0 → 2t − 2 = 4 − t 2 + 2t + 4 → 4t 2 − 8t + 4 = −16t 2 + 32t + 64 → t 2 − 2t − 3 = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪− t + 2t + 4‬‬
‫פתרונות המשוואה הם‪ t = 3 :‬ו‪) . t = −1 -‬הנקודה ‪ A‬נמצאת ברביע הראשון ולכן הפתרון המתאים הוא‪.( t = 3 :‬‬
‫ניעזר בנגזרת שניה מקוצרת של ' ‪ P‬לבדיקת סוג הקיצון של הנקודה ‪. t = 3‬‬
‫בנגזרת שניה מקוצרת ניעזר רק למציאת סוג הקיצון ונגזור רק את המונה‪:‬‬
‫‪P ' ' (3) = −2 < 0 → Max‬‬
‫סימן‬
‫לבסוף נציב ‪ t = 3‬בפונקציה ‪ P‬המתארת את היקף המלבן‪ 12 :‬יח' = ‪P = 2 − 3 2 + 2 ⋅ 3 + 4 + 1 + 4 ⋅ 3 − 2 → P‬‬
‫כלומר‪ ,‬היקפו המקסימלי של המלבן הוא ‪ 12‬יחידות אורך‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬
‫עמוד ‪25‬‬