docפתרון מלא - מבחן 7
download 
Report Transcription
פתרון מלא - מבחן 7
ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 פתרון מלא -מבחן 7 שאלה :1 * שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר( נתון ראשון נסמן את המרחק בין Aל B-בתור .x לפי הנתון הראשון ,הרוכב מ B-פגש את הרוכב המהיר מA- במרחק 40ק"מ מ A-כפי שנראה בשרטוט. נסמן את זמן נסיעתם עד המפגש באמצעות ,tונחשב את מהירויותיהם ,על ידי חילוק הדרך בזמן. הרוכב המהיר שיצא מA- הרוכב שיצא מB- נתון שני לפי הנתון השני ,הרוכב מ B-פגש את הרוכב האיטי מ A-במרחק 25ק"מ מ A-כמתואר בשרטוט. מהירות הרוכב האיטי שיצא מA- זמן 40 t x − 40 t דרך t 40 t x − 40 מהירות זמן דרך )25( x − 40 )t( x − 25 )t( x − 25 x − 40 25 מהירותו של הרוכב שיצא מ B-נשארה זהה, ולכן הרוכב שיצא מB- נוכל לחשב את זמן הרכיבה שלו ,על ידי חילוק הדרך במהירות. זמן זה זהה לזמן הנסיעה של הרוכב האיטי שיצא מ ,A-ולכן נוכל לחשב כעת גם את מהירותו של הרוכב האיטי שיצא מ ,A-על ידי חלוקת הדרך בזמן. x − 40 t )t( x − 25 x − 40 x − 25 לפי הנתון השלישי ,בעת הפגישה הראשונה ,שהתרחשה במרחק 40ק"מ מ ,A-המרחק בין שני הרוכבים שיצאו מ A-היה 20ק"מ .כלומר ,הרוכב האיטי שיצא מ A-עבר 20ק"מ ) = (40-20בפרק זמן שאורכו ) tהזמן שחלף מרגע היציאה עד למפגש הראשון(. )25( x − 40 על פי מה שמצאנו עד כה ,מהירותו של הרוכב האיטי היא: )t( x − 25 .בזמן tהוא עבר 20ק"מ ,ולכן: )25( x − 40 100ק"מ = ⋅ t = 20 → 25( x − 40) = 20( x − 25) → 5x = 500 → x )t( x − 25 © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 → V ⋅T = S עמוד 1 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 שאלה :2 * שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר( א .הסדרה A nהיא סדרה הנדסית אינסופית יורדת .כמו בכל סדרה הנדסית ,גם כאן הנוסחה לאיבר הכללי היא: n −1 , An = A1 ⋅ qאך במקרה זה ,המנה qהיא שבר חיובי .כלומר מתקיים. 0 < q < 1 : כדי להוכיח כי שתי הסדרות החדשות ) ( C n , B nהן גם סדרות הנדסיות אינסופיות יורדות ,עלינו להראות שהמנה c b של כל אחת מהן היא ערך כלשהו בין 0ל .1-כלומר ,להראות שלכל nמתקיים 0 < n +1 < 1 :וכן . 0 < n +1 < 1 cn bn b נתחיל בסדרה , B nאשר מוגדרת על ידי הכלל . B n = An +1 ⋅ An + 3 :נבדוק אם המנה n +1היא מספר קבוע: bn n +1 n+3 q 2n+4 bn+1 an + 2 ⋅ an+ 4 a1 ⋅ q ⋅ a1 ⋅ q = = = 2 n + 2 = q 2 n + 4−( 2 n + 2 ) → q b = q 2 n n+2 bn a n+1 ⋅a n+3 a1 ⋅q ⋅a1 ⋅q q מצאנו כי המנה של הסדרה B nהיא למעשה = q 2 . qbמכיוון שידוע כי 0 < q < 1ניתן להסיק כי מתקיים גם: , 0 < q b < 1ומכאן שגם הסדרה B nהיא סדרה הנדסית אינסופית יורדת. נבצע את אותה בדיקה עבור הסדרה , C nהמוגדרת על ידי הכלל , C n = ( An ) :ולכן: 2 = q 2 n − ( 2 n − 2 ) → qc = q 2 a12 ⋅ q 2 n 2 n−2 a ⋅q 2 1 ) ) 2 = 2 ( ( 2 a1 ⋅ q n ) cn+1 (an +1 = = cn (a n )2 a1 ⋅q n−1 מכיוון שידוע כי 0 < q < 1ניתן להסיק כי מתקיים גם , 0 < q c < 1 :ומכאן שגם הסדרה C nהיא סדרה הנדסית אינסופית יורדת. ב .נתון כי סכום הסדרה C nגדול פי 16-מסכום הסדרה . B nנסמן . S c = 16 ⋅ S b :נשתמש בנוסחת הסכום a12 a ⋅a a → לסדרה הנדסית אינסופית יורדת S = 1ונקבל= 16 ⋅ 2 24 : 2 1− q 1− q 1− q 1 a12 = 16 ⋅ ( a1 ⋅ q ⋅ a1 ⋅ q 3 ) → a12 = 16 ⋅ a12 ⋅ q 4 = → 1 = 16 q 4 → q 4 → q = ± 0 .5 16 לפי הנתונים , 0 < q < 1ולכן. q = 0.5 : c1 b1 ⋅ = 16 1 − qc 1 − qb ג .התלמיד מחק איברים בסדרה מעבר לאיבר מסוים שמיקומו הסידורי אי זוגי .למעשה ,הסדרה הפכה מסדרה אינסופית ,לסדרה סופית בעלת מספר אי זוגי של איברים )הסדרה מתחילה באיבר שמיקומו אי זוגי ומסתיימת באיבר שמיקומו אי זוגי( .מכיוון שלא ידוע לנו מהו מיקומו של האיבר במקום האי זוגי שהפך להיות האיבר האחרון בסדרה החדשה נגדיר אותו כ . a 2 n +1 :נתון כי בסדרה החדשה )הסופית( האיבר הראשון גדול פי ארבעה מהאיבר האמצעי .כדי להקל על מציאת המיקום הסידורי של האיבר האמצעי בסדרה מומלץ לשרטט סקיצה של הסדרה: a1 = 4 ⋅ a n + 1 אם כן ,האיבר האמצעי בסדרה בת מספר אי זוגי של איברים ) ( 2 n + 1הוא , a n + 1ולכן: n נשתמש בנוסחת האיבר הכללי בסדרה A nונקבל: חשוב לשים לב שלמרות מחיקת אינסוף האיברים ,מנת הסדרה לא השתנתה ,ולכן: 1 n 2 n = (0 . 5 ) → (0 . 5 ) = (0 . 5 ) → n = 2 4 לסיכום :בסדרה החדשה )הסופית( יש 2 n + 1איברים ,ולכן סדרה זו מונה 5איברים . a1 = 4 ⋅ a1 ⋅ q → ) a 1 = 4 ⋅ a 1 ⋅ (0 . 5 © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 n עמוד 2 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 שאלה :3 ארכימדס -פתרונות למידה * שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר( א .השאלה עוסקת בשני אצנים )דן ושי( בעלי הסתברויות שונות לסיים בהצלחה מקצה ריצה ) pו ,q-בהתאמה(. מכיוון שכל אחד מהאצנים רץ שישה או שבעה מקצים )מספר חזרות גבוה( נעדיף להשתמש בנוסחת ברנולי .כדי לקבוע מי אצן מוכשר יותר עלינו למצוא את pו .q-מביניהם ,בעל ההסתברות הגבוהה יותר לסיים מקצה בהצלחה הוא האצן המוכשר יותר. דן :ההסתברות שדן יסיים בהצלחה בדיוק ארבעה מקצים ) ( k = 4מתוך שבעה ) ,( n = 7קטנה פי 3מההסתברות שיסיים בהצלחה בדיוק 3מקצים ׁ) ( k = 3מתוך השבעה ) .( n = 7מתקבלת משוואה עם נעלם אחד ) (pאותו נוכל למצוא: 7 7 4 3 3 3 3 3 ) 3 ⋅ ( p ) 4 (1 − p) 3 = ( p) 3 (1 − p) 4 → 105 ⋅ ( p ) (1 − p ) = 35 ⋅ ( p ) (1 − p → ) : 35 ⋅ ( p ) (1 − p 4 3 1 = 3 p = (1 − p ) → 4 p = 1 → p 4 3 3 שימו לב שיכולנו לחלק את שני האגפים בביטוי ) ( p ) (1 − pמכיוון ששני המרכיבים שלו אינם מתאפסים. שי :ההסתברות ששי יסיים בהצלחה שני מקצים ) ( k = 2מתוך שישה ) ( n = 6גבוהה פי 20מההסתברות שיסיים בהצלחה חמישה מקצים ) ( k = 5מתוך שישה ) .( n = 6מתקבלת משוואה עם נעלם אחד ) (qאותו נוכל למצוא: 6 2 6 → ) (q ) (1 − q) 4 = 20 ⋅ (q ) 5 (1 − q )1 → 15 ⋅ (q )2 (1 − q ) 4 = 120 ⋅ (q )5 (1 − q )1 / : 15 ⋅ (q )2 (1 − q 2 5 (1 − q )3 = 8 ⋅ (q )3 / 3 → 1 − q = 2q → 1 = 3q → q = 1 3 2 שימו לב שיכולנו לחלק את שני האגפים בביטוי ) (q ) (1 − qמכיוון ששני המרכיבים שלו אינם מתאפסים. 1 1 מההשוואה בין pל q-אנו רואים כי qגבוה יותר ) > ( ,כלומר ההסתברות ששי יסיים מקצה בהצלחה גבוהה 3 4 יותר ולכן שי אצן מוכשר יותר מדן. ב .סעיף זה בנוי משני שלבים ולכן נוכל לפתור אותו בעזרת תרשים עץ: קובייה 6− x x 6 6 שי 1 2 1 4 3 3 הצליח לא הצליח הצליח דן 3 4 לא הצליח כדי למלא את ההסתברויות בכל ענף עלינו להשתמש בתשובה של סעיף א' ובנתונים שקיבלנו: ראשית ,עלינו לגלות מהי ההסתברות שכל אחד מהאצנים יישלח לתחרות .החלטה זו נקבעת בהטלת קובייה .אם הקובייה תראה את הספרה xאו כל ספרה הקטנה ממנה יישלח שי )שנמצא בסעיף א' כאצן המוכשר יותר( .כלומר, x .חשוב להבין איך הגענו לכך ,ועל מנת לעשות זאת נבחר xלדוגמא.x=2 : ההסתברות ששי יישלח לתחרות הוא 6 במקרה זה תוצאות הקובייה שיגרמו לשליחתו של שי הן 1או .2כלומר קיימות 2אפשרויות מתוך ה ,6-ולכן x 2 .ההסתברות לשליחה של דן תהיה ההסתברות המשלימה לשליחתו של ובעצם ההסתברות לשליחתו תהיה 6 6 x 6− x = .1 − שי לתחרות: 6 6 © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 עמוד 3 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 ארכימדס -פתרונות למידה 1 1 ידוע מסעיף א' כי ההסתברות ששי יסיים מקצה בהצלחה היא ואילו זו של דן היא 4 3 נשתמש בנתון היחיד בו עדיין לא השתמשנו :ההסתברות שהמועמד שישתתף בתחרות העירונית יסיים את הריצה בהצלחה נמוכה ב 7 -מההסתברות שהוא לא יסיים אותו בהצלחה. .נציב זאת בעץ .כעת, 18 x 1 6− x 1 x 6− x ⋅ + ⋅ = + ההסתברות שהמועמד שנשלח )דן או שי( יסיים את הריצה בהצלחה ,לפי העץ ,היא: 6 3 6 4 18 24 x 2 6 − x 3 2 x 18 − 3x + = ⋅ . ⋅ + ההסתברות שהמועמד שנשלח )דן או שי( לא יסיים את הריצה בהצלחה היא: 24 6 3 6 4 18 נתון שההסתברות להצלחה נמוכה ב 7 -מההסתברות לכישלון ,ולכן: 18 x 6 − x 7 2x 18 − 3x 28 + 4x + 18 − 3x 54 − 9x + 8x + + = + → = → x + 46 = 54 − x → 2x = 8 → x = 4 18 24 18 18 24 72 72 © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 עמוד 4 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 שאלה 4 * שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר( א. (1 (2 (3 סעיף זה הינו סעיף קלאסי לתרגילים שעוסקים בפרופורציות במעגל .נתחיל בהגדרת כל הצלעות שמשתתפות בו. נתון AC = 2 AD נסמן AD = xולכן AC = 2 x נסמן rרדיוס המעגל R , O1רדיוס המעגל , O2ומכיוון שנתון כי S O2 = 25S O1נקבל: נוסחת שטח המעגל וחישוב 25πr 2 = πR 2 ⇒ R = 5r בתרגיל נתון כי הישרים AO2ו AO1 -חותכים את המעגלים .חשוב שנשים לב כי הישרים AO2ו AO1 -אמנם חותכים את המעגל בנקודה אחת ,אך אינם ה"חותכים" שעליהם מדובר במשפט "שני החותכים" של הפרופורציה במעגל ,כי אינם חותכים את המעגל בשתי נקודות .כדי שנוכל להשתמש במשפט זה ,נמשיך בבניית עזר את AO2 עד לנקודה , Mואת AO1עד לנקודה . N (4 DM = 2 R = 10 r קוטר במעגל O2ומסעיף )(3 (5 CN = 2r קוטר במעגל . O1 כעת נוכל להשתמש במשפט החותך והמשיק למעגל היוצאים מאותה נקודה ,עבור כל אחד מהמעגלים: אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק ,אז (6במעגל AC ⋅ AN = AB 2 : O1 מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק כנ"ל (7במעגל AD ⋅ AM = AB 2 : O2 כלל המעבר מ (6)-ו(7)- (8 AC ⋅ AN = AD ⋅ AM הצבה מסעיפים ) (4) ,(1ו(5)- (9 ) 2 x ⋅ (2 x + 2r ) = x( x + 10r (10 ⇓ x = 2r AC = 4r , AD = 2rמש"ל א מתוך ) (1ו(9)- © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 עמוד 5 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 ב .נתון כי שטח המרובע CDMNהוא 40סמ"ר ואנו מתבקשים לחשב את שטח המשולש . ∆ACDנשים לב כי סכום שני השטחים הללו הוא השטח הכולל של משולש . ∆AMNזהו רמז לשימוש ביחס הדמיון בין שטחי המשולשים. נתחיל בהוכחת הדמיון בין המשולשים ∆ACDו: ∆AMN - (11 (12 p NAM = p CAD AD AC 2r 4r 1 1 = → = = → AN AM 6r 12r 3 3 זווית משותפת קיים אותו היחס בין הצלעות המתאימות בשני המשולשים ⇓ (13 ∆AMN ~ ∆ACD 2 (14 (15 לפי משפט דמיון צ.ז.צ .נובע מ (11)-ו(12)- 2 S S ACD AD 2r = = ACD → S AMN S ACD + S CDMN AN 6r במשולשים דומים יחס הדמיון בריבוע שווה ליחס השטחים 2 S ACD S ACD 1 1 = → = S ACD + 40 9 S ACD + 40 3 ⇓ (16 5סמ"ר = S ACDמש"ל ב' ג .מצאנו ב (13)-שהמשולשים דומים. ∆AMN ~ ∆ACD : p AMN = p ACD = α (17 (18 p ACD+ p NCD = 1800 (19 p AMN+ p NCD = 1800 (22 ⇓ המרובע CDMNהוא בר חסימה מש"ל ג' נובע מ + (13)-סימון סכום זויות צמודות הוא 180 0 מ (17)-ו(18)- מרובע שבו סכום זוג זויות נגדיות הוא , 180 0ניתן לחסימה במעגל )בר חסימה( © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 עמוד 6 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 שאלה :5 ארכימדס -פתרונות למידה * שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר( א .בסעיף זה נשתמש בשלושה משתני עזר ,מכיוון שבאמצעותם קל יותר להביע יחסי פרופורציה .בכל שלב נצמצם את מספר המשתנים ברגע שנגלה את יחסי הפרופורציה. נתחיל ממשפט החותכים למעגל ,נמשיך לדמיון המשולשים , ∆BAE ~ ∆DACונסיים את הסעיף באמצעות תכונת מרובע החוסם מעגל. AE = BC = y (1 נתון +סימון נתון DE = 2.5 AB (2 נתון (3מרובע BCDEחסום מעגל סימון DE = 2.5x , AB = x (4 → AC ⋅ AB = AD ⋅ AE → (x + y )x = ( y + 2.5x) y שני חותכים למעגל היוצאים y y 2 2 x − 1.5xy − y = 0 → (x − 2 y ) x + = 0 → x = 2 y, x = −מאותה נקודה ,מכפלת חותך אחד (5 2 2 בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני. y )אורכים הם תמיד חיוביים ולכן פסלנו את הפתרון .( x = − 2 נובע מ (4)-ו(5)- DE = 5 y , AB = 2 y (6 זווית משותפת p BAE =p DAC (7 AB AE 2 y y 1 נובע מ (1)-ו - (6)-יחס הצלעות = = = → (8 לצידי הזוית המשותפת AD AC 6 y 3y 3 לפי משפט דמיון :1צ.ז.צ ∆BAE ~ ∆DAC (9 BE 1 יחס דמיון = → BE = z → CD = 3z (10 נובע מ(9)- CD 3 במרובע החוסם מעגל ,סכום זוג צלעות נגדיות שווה לסכום זוג BE + CD = BC + DE → z + 3z = y + 5 y → z = 1.5 y (11 הצלעות הנגדיות השני. (12 CD 3 z 4.5 y 4.5 = = = AE y y נובע מ (10) ,(1)-ו(11)- מש"ל א' ב .על מנת שהישר BDיהיה קוטר המעגל ,הזווית ההיקפית הנשענת עליו , p BED ,מוכרחה להיות בת .900 נוכיח כי הדבר אינו אפשרי :אם p BEDהיא בת ,900אז המשולש ∆AEBהוא ישר זווית .נבדוק האם ? ? AE 2 + EB 2 = AB 2 → y 2 + 2.25 y 2 = 4 y 2 → 3.25 y 2 ≠ 4 y 2 מתקיים בו משפט פיתגורס: 0 ניתן לראות כי הדבר לא ייתכן ,ולכן הזוית p BEDאינה בת ,90ומכאן ש BD -אינו יכול להיות קוטר במעגל . מש"ל ב' ג .קל למצוא את יחס השטחים של שני משולשים בעלי גובה זהה :נוכיח כי יחס השטחים שלהם כיחס הבסיסים שלהם .לצורך כך נעביר את הגובה המשותף בבניית עזר: נתון 72 (13סמ"ר = S ∆ABD בניית עזר DF (14גובה לצלע AC © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 עמוד 7 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 (15 (16 ארכימדס -פתרונות למידה AB ⋅ DF 2 y ⋅ DF = → S ∆ABD → S ∆ABD = y ⋅ DF 2 2 y ⋅ DF BC ⋅ DF = S ∆BCD = → S ∆BCD 2 2 (17 = 2 → S ∆BCD = 36 (18 S ∆ABE = K 72 S ∆BCD →=2 y ⋅ DF y ⋅ DF 2 = S ∆ABD S ∆ABD = S ∆BCD חישוב שטח המשולש ∆ABD חישוב שטח המשולש ∆BCD נובע מ (15) ,(13)-ו(16)- סימון 2 S ∆ABE K 1 = = → 9 K = 108 → K = 12 (19 S ∆ADC 108 3 96 (20סמ"ר = S BCDE = 108 − 12 ד .בסעיף זה ,השאלה הופכת לבעיה טריגונומטרית. יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון חיסור שטחים מש"ל ג' y 2y y 4.5 y 5y זוויות צמודות משלימות ל180° - (21נסמן את הזווית , p ABD = βומכאן שp CBD = 180° − β : (23נביע כל אחד מהרדיוסים R1ו R2 -באמצעות משפט הסינוסים במשולשים ∆BCDו: ∆ABD - 4.5 y 2.25 y 6y 3y = = 2 R1 → R1 = = 2 R2 → R2 ) sin (180° − β sin β sin β sin β 2.25 y R1 3 R1 R 2.25 y sin β sin β = (24נחשב את היחס שבין שני הרדיוסים: = = → 1 ⋅ → R2 4 3y R2 R2 sin β 3y sin β מש"ל ד' © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 עמוד 8 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 שאלה 6 ארכימדס -פתרונות למידה * שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר( א (1 .הפונקציה מוגדרת כאשר הביטוי בתוך השורש a − xהוא אי שלילי .עם זאת ,מכיוון שהביטוי a − x מופיע גם במכנה ,עלינו לוודא שהוא אינו מתאפס .מכאן שהפונקציה מוגדרת כאשר a − x > 0ולאחר סידור. x < a : (2בטרם נגזור את הפונקציה ,נבצע תחילה מכנה משותף בכדי שיהיה נוח יותר לגזור: a − x +1 1 a−x 1 f ( x) = a − x + ⋅ → f ( x) = a − x + = )→ f ( x a−x a−x a−x a−x נגזור את הפונקציה: a − x +1 )− 1 ⋅ (a − x + 1 − a−x + 2 a−x a−x = )→ f ' ( x 2 a−x ) 2 − 1⋅ a − x − a−x = )f ' ( x ( נשווה את הנגזרת ל ,0-ונמצא את שיעורי נקודת הקיצון: a − x +1 − a−x + a − x +1 2 a−x =0→− a−x + → = 0 → −2(a − x ) + a − x + 1 = 0 a−x 2 a−x − 2a + 2 x + a − x + 1 = 0 → x − a + 1 = 0 → x = a − 1 ניעזר בטבלת עלייה וירידה ונמצא את סוגה של נקודת הקיצון: = )f ' ( x x=a a −1 < x < a x = a −1 x < a −1 אסימפטוטה x = a − 0 .5 קיצון x =a−2 שלילי חיובי Min תחום x נציב בנגזרת סימן הנגזרת הפונקציה עולה /יורדת נציב x = a − 1במשוואת הפונקציה ) f ( xונמצא את שיעור ה y-של נקודת הקיצון: 1 1 f (a − 1) = a − (a − 1) + = 1+ =2 )a − (a − 1 1 כלומר ,שיעורי נקודת המינימום של הפונקציה הם. min (a − 1,2) : (3נציב בפונקציה x = 0ונמצא את שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ה:y- 1 1 a +1 a +1 f (0) = a − 0 + → f (0) = a + = )→ f (0 → 0, a a−0 a a 1 0= a−x + נציב בפונקציה y = 0ונמצא את שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ה:x- a−x מכיוון שסכום של שני ביטויים חיוביים הוא בהכרח ביטוי חיובי ,הפונקציה אינה מתאפסת ולא קיימות נקודות חיתוך עם ציר ה.x- ב .כיוון שנתון , 1 < aהרי שנקודת הקיצון מתקבלת ברביע הראשון ולכן השרטוט: © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 עמוד 9 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 2 1 2 . g ( x) = a − x +נעלה בריבוע ג (1 .הפונקציה , g ( x ) = [ f ( x ) ] − 2לאחר הצבת ) f ( xהיא − 2 : a−x ונסדר את משוואת הפונקציה ): g ( x 2 1 1 1 ⋅+ 2 + = a − x + 2 + − 2 → g ( x) = a − x + a−x a−x a−x a−x (2הישר x = a − 1חותך את גרף הפונקציה בנקודת הקיצון שלה ,ולכן השטח הכלוא ברביע הראשון בין ישר זה ,לבין גרף ) g (xהוא השטח המסומן באפור בשרטוט: a−x ) 2 a−x ( = )g ( x x = a −1 בכדי להביע את נפח גוף הסיבוב נעלה בריבוע את הפונקציה ) , g ( xנבצע את האינטגרל ,ולבסוף נכפיל את התוצאה ב: π - ] [ a −1 1 2 ( ) (a − x )2 + 2 + (a − x )−2 dx a − x + 2 + dx → V = π ⋅ 2 ∫ (a − x ) 0 a −1 a −1 ∫ 0 2 1 a − x + ⋅ dx → V = π a− x a −1 ∫ ⋅ V =π 0 a −1 −1 (a − x )3 (a − x )3 ( a − x) 1 V =π ⋅ + 2x + →V = π ⋅ + 2x + → 1 a − x −3 0 −3 0 (a − a + 1)3 1 1 a3 1 a3 1 V =π ⋅ + 2(a − 1) + − − → V = π ⋅ − + 2a − 2 + 1 + − −3 a − a +1 − 3 a 3 a 3 a 4 + 6a 2 − 4a − 3 .V = π ⋅ נסדר באמצעות מכנה משותף ונקבל כי נפח גוף הסיבוב הוא : 3a לפי הנתון ,נפח גוף סיבוב זה שווה ל- )π ⋅ (a 3 + 13 3 .נשווה ונקבל: ) ( a 4 + 6a 2 − 4a − 3 π ⋅ a 3 + 13 → a 4 + 6a 2 − 4a − 3 = a 4 + 13a → 6a 2 − 17a − 3 = 0 = 3a 3 1 פתרונות המשוואה הם a = 3 :או . a = −לפי הנתון , a > 1נקבל שהפתרון הנכון הוא. a = 3 : 6 © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 π ⋅ עמוד 10 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 * שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר( שאלה 7 2 א .הפונקציה f ( x) = −2 xהיא פרבולה רציפה .כעת נתבונן בפונקציה ) : g ( x) = tan( x sin x 2 = ) , g(xומכאן שהיא אינה מוגדרת כאשר= 0 : הפונקציה ) , g ( x) = tan( x 2ניתנת לכתיבה כך: 2 cos x 2 ) ( ) ( ) ( . cos x 2 כלומר ,לגרף הפונקציה ) g ( x) = tan( x 2יש אסימפטוטות אנכיות. אכן ניתן לראות כי גרף 2הוא רציף ולגרף 1יש אסימפטוטות אנכיות .מכאן שגרף 1מתאים לפונקציה ) , g(x) = tan(x 2ואילו גרף 2מתאים לפונקציה . f ( x) = −2 x 2 ב .בנקודות Aו B-האסימפטוטות האנכיות של גרף הפונקציה ) g (xחותכות את ציר ה.x- ) ( ) ( sin x 2 = ) , g(xומכאן שהיא אינה מוגדרת כאשר= 0 : הפונקציה ) , g ( x) = tan( x 2ניתנת לכתיבה כך: 2 cos x פתרון המשוואה הוא+ πk : π 2 ) ( 2 . cos x = , x 2עם זאת מכיוון שברצוננו לקבל את שני הפתרונות הקרובים ביותר לראשית הצירים לפי השרטוט ,נשמיט את התוספת המחזורית : πk π )→ x = ±1.25 → A(− 1.25,0) , B(1.25,0 2 = x2 ג .נפתור סעיף זה בדרך גרפית .ניתן לראות בסקיצה כי הנקודה ) C (0.43π ,−3.67היא נקודת החיתוך של הגרפים f ( x) = −2 x 2ו , g ( x) = tan( x 2 ) -ומכאן ששיעוריה הם גם פתרון המשוואה המבוקשת בתחום הנתון ,ולכן: tan( x 2 ) = −2 x 2 → x = 0.43π בשרטוט ,ניכר כי הגרפים נחתכים גם בראשית הצירים ,והצבה של x=0מוכיחה את זה .לכן גם x=0הוא פתרון. )h(0) = 0 ⋅ sin(0 2 ) = 0 → (0,0 ד .1 .חיתוך עם ציר ה :y-נציב : x = 0 sin( x 2 ) = 0 → x 2 = πkאו 0 = x ⋅ sin( x 2 ) → x = 0 חיתוך עם ציר ה :x-נציב : y = 0 )x = πk → x = 1.77 → (1.77,0 מכיוון שהתחום הנתון הוא 0 ≤ x ≤ 2.1מספיק לבחור בפתרון החיובי: .2נגזור את הפונקציה ) h( x) = x ⋅ sin( x 2ונשווה ל:0- = 0 → sin x 2 = −2 x 2 cos x 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( → tan (x ) = −2 x ) ( h ' ( x) = sin x 2 + 2 x 2 cos x 2 ) ( ) ( 2 sin x 2 2 = −2 x 2 מכיוון ש , cos x 2 ≠ 0 :ניתן לחלק ב: cos x 2 - 2 cos x משוואה זו זהה למשוואה מסעיף ג' ,ולכן פתרונה בתחום 0 ≤ x ≤ 2.1הוא . x = 0.43π :נשים לב כי לפי השרטוט, וגם בהצבה ,מתקבל פתרון נוסף למשוואה כאשר . x = 0 :ניעזר בטבלת עליה וירידה למציאת סוג נקודת הקיצון: 0 < x < 0.43π תחום x x=0 x = 0.43π 0.43π < x < 2.1 x = 2.1 π π נציב בנגזרת קיצון בקצה קיצון בקצה קיצון =x =x התחום התחום 12 6 סימן הנגזרת חיובי שלילי הפונקציה Min Max Min עולה /יורדת נציב בפונקציה ) h(xאת שיעור ה x-של נקודת הקיצון הפנימית x = 0.43π :ונקבל . Max(0.43π ,1.31) : .3 © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 עמוד 11 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 ה .בכדי למצוא את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה לציר ה x-ברביע הראשון ,נחשב את האינטגרל: 1.77 )dx 2 ∫ x ⋅ sin( x =S 0 כדי לבצע אינטגרציה לביטוי ) x ⋅ sin( x 2נצטרך להשתמש בשיטת ההצבה .ראשית ,נסמן. u = x 2 : du du נגזור את שני אגפי המשוואה ונקבל= 2 x : = . dx .נבודד את dxונקבל: 2x dx du = : dx נחזור לאינטגרל לאחר הצבת S = ∫ x ⋅ sin(u ) dx :uונציב בו: 2x du ) sin (u ⋅ ) S = ∫ x ⋅ sin(u )dx → ∫ x ⋅ sin(u ∫→ du 2x 2 ) sin (u − cos u רק בשלב זה ,לאחר סידור האינטגרל עבור uנבצע את האינטגרציה עצמה: ∫ 2 du = 2 − cos x 2 . נציב בחזרה u = x 2ונקבל את האינטגרל הסופי של הביטוי ) x ⋅ sin( x 2והוא: 2 ) ( 1.77 כעת נחזור ונבצע את האינטגרל)dx : 2 ∫ x ⋅ sin( x = Sבמלואו: 0 1יח"ר = ) − − cos(0 ) = 0.5 + 0.5 → S 2 2 ( cos 1.77 2 → − 2 1.77 0 ) ( − cos x 2 = S = ∫ x ⋅ sin( x )dx → S 2 0 © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 1.77 2 עמוד 12 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 שאלה :8 * שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר( 30 א .זוהי בעיית קיצון .פונקציית המטרה היא זמן התנועה הכולל של הכדור .לאחר . ינימום הרכבת הפונקציה ,נגזור ונשווה את הנגזרת ל 0-בכדי למצוא את נקודת המ 15 את זמן תנועת הכדור נבטא באמצעות חילוק הדרך שעבר הכדור )הקטעים DF ו (FE -במהירות תנועתו 10 :מטר לשנייה. x 30-x נסמן , CF = x :ובהתאמה. FB = 30 − x : כעת נוכל להביע את אורכי הקטעים DFו FE -באמצעות משפט פיתגורס: DF = x 2 + 30 2 → DF = x 2 + 900 → FE = x 2 − 60 x + 1125 (30 − x )2 + 15 2 x 2 + 900 + x 2 − 60 x + 1125 10 כלומר ,פונקציית המטרה המתארת את זמן תנועת הכדור היא: = FE = ) f (x נגזור נשווה ל 0-ונעשה מכנה משותף: 1 2x ) 2( x − 30 = 0 → x x 2 − 60 x + 1125 + ( x − 30 ) x 2 + 900 = 0 ⋅ + 2 2 10 2 x + 900 2 x − 60 x + 1125 נעביר אגף ונעלה בריבוע כדי "להיפטר" מהשורש: 2 2 2 2 → x x − 60 x + 1125 = x − 60 x + 900 x + 900 → x 4 − 60 x 3 + 1125x 2 = x 4 + 900 x 2 − 60 x 3 − 54000x + 900 x 2 + 810000 → 675x 2 − 54000x + 810000 = 0 x 2 − 80 x + 1200 = 0 → x = 20 , x = 60 הפתרון x = 60נפסל ,מכיוון שהצלע CFלא יכולה להיות ארוכה מ 30-מטר. לאחר פתרון של משוואה אי רציונאלית ,עלינו לבדוק כי הפתרון שמצאנו אכן פותר את המשוואה המקורית .נבדוק כי הפתרון x = 20מקיים את המשוואה שלפני ההעלאה בריבוע: = ) f ' (x () ) ( ( ) 20 20 2 − 60 ⋅ 20 + 1125 + (20 − 30) 20 2 + 900 = 0 על ידי הצבה ניתן לראות כי מתקבל פסוק אמת. לבסוף ,נבדוק את סוג הנקודה x = 20באמצעות הצבה בטבלת עלייה וירידה: x = 30 קצה התחום 20 < x < 30 x = 20 x = 25 קיצון חיובי x = 0 0 < x < 20תחום x קצה נציב בנגזרת x = 10 התחום שלילי Min סימן הנגזרת הפונקציה עולה/יורדת כלומר זמן התנועה הכולל של הכדור הוא מינימלי כאשר 20מטר = . CF © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 עמוד 13 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 פתרון מלא -מבחן 8 שאלה 1 * שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר( א .הנתונים בשאלה זו מורכבים מהרגיל ,ולכן ניעזר בשרטוט עזר: נמלא בטבלה את הנתונים המתייחסים לפגישה הראשונה: נסמן את מהירות האופניים ב .x-נמלא תחילה את המהירות והדרך שעברו האופניים .נחלק את הדרך במהירות ונקבל את זמן נסיעתם. נסמן את מהירות המשאית ב .y-נכפיל את המהירות בזמן ונקבל את הדרך שעברה המשאית עד הפגישה הראשונה. המשאית והאופניים נפגשו ולכן המרחק שבין שתי הערים הוא: 30y + 30 x ) . (I עד הפגישה הראשונה מהירות זמן אופניים x משאית y 30 x 30 x דרך 30 30 y x נמלא בטבלה את הנתונים המתייחסים לפגישה השנייה: האופניים נסעו 90דקות ) 1.5שעות( במהירות .xכלומר ,עברו מרחק של 1.5xק"מ .לפי השרטוט ניתן לראות כי במשך זמן נסיעת האופניים, מהפגישה נסעה המשאית 30ק"מ הראשונה מהירות זמן דרך לכיוון עפולה וחזרה בכדי לשנייה להשיג את האופניים. מכאן שהמרחק שעברה המשאית גדול ב 60-ק"מ מהמרחק שעברו האופניים. מתקבלת המשוואה: אופניים x 1.5 משאית y 1.5 y 1.5 1.5x 1.5 y = 1.5x + 60 → (II ) y = x + 40 נמלא בטבלה את הנתונים המתייחסים לפגישה השלישית: הדרך המשותפת שעברו המשאית והאופניים שווה למרחק שבין שתי הערים. A B C D E מהפגישה השנייה לשלישית מהירות זמן אופניים x משאית y 30 x 30 x דרך 30 30 y x 30y + 30 x CE = .כמו כן ,ניתן לראות כי. AC = 1.5x + 30 : ניתן לראות בשרטוט כי הקטע CEשווה 2 30y על ידי חיבור קטעים ניתן לראות כי AC + CE :שווה למרחק שבין שתי הערים + 30 = ) AEלפי .(Iולכן: x 30y + 30 30y 1 30y x = + 1.5x + 30 + 30 → + 30 = 1.5x + 30 2 x 2 x נציב את y = x + 40במשוואה ונפתור: © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 עמוד 14 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 )1 30( x + 40 )30( x + 40 → + 30 = 1.5x + 30 → + 30 = 3x + 60 → 30( x + 40) = 3x 2 + 30x 2 x x 2 2 30x + 1200 = 3x + 30x → x = 400 → x = 20 , x = −20 מכאן שמהירות האופניים היא 20קמ"ש ומהירות המשאית היא 60קמ"ש. ב .תחילה נמצא את המרחק שבין שתי הערים: 30 y 30 ⋅ 60 = + 30 120ק"מ = + 30 x 20 כעת נמלא את הנתונים בטבלה: המשאית והאופניים נוסעים זו לקראת זו ומכאן שהמהירות המשותפת שלהם היא סכום המהירויות של שניהם .נבטא את זמן נסיעתם עד הפגישה על ידי חלוקת המרחק בין הערים במהירות המשותפת. עד הפגישה מהירות זמן דרך אופניים+משאית ) (20 − k ) + (60 − k 120 80 − 2k 120 זמן הנסיעה קצר משעתיים ולכן: 120 120 ) 120 − 2(80 − 2k 4k − 40 < 0 → (4k − 40)(80 − 2k ) < 0 → <2 → −2< 0 → <0 80 − 2k 80 − 2k 80 − 2k 80 − 2k שני הערכים המאפסים הם k = 10 :ו . k = 40 -נמקם את המאפסים על ציר ונעביר דרכן את הפרבולה: פתרון אי השוויון הוא k > 40 :או . k < 10 התחום k > 40נפסל מכיוון שבמקרה זה מהירות האופניים תהיה שלילית .בנוסף , k > 0 ,ולכן תחום המספרים בו נמצא הפרמטר kהוא. 0 < k < 10 : © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 עמוד 15 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 שאלה 2 ארכימדס -פתרונות למידה * שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר( א .ניעזר בשרטוט ונראה כי אם נחסר מסכום הסדרה S nאת סכום n − 1האיברים הראשונים נישאר עם האיבר a nאותו אנו מחפשים: S n − S n −1 = n ⋅ (n + 2) − (n − 1) ⋅ (n + 1) = n 2 + 2n − n 2 + 1 → a n = 2n + 1 כדי להוכיח שהסדרה היא חשבונית ,נראה כי ההפרש בין כל שני איברים סמוכים anו a n−1 -קבוע ואינו תלוי ב:n- a n − a n −1 = 2n + 1 − (2(n − 1) + 1) = 2n + 1 − 2n + 1 → a n − a n −1 = 2 מכאן שהסדרה חשבונית והפרשה הוא .2 ב .נתבונן באיבר הכללי . Bn = An ⋅ ( −1) nכאשר nאי זוגי מתקיים , Bn = − Anכאשר nזוגי מתקיים. Bn = An : מכאן שהסדרה Bnהיא למעשה הסדרה Anשבה הפכו את סימני האיברים האי זוגיים. נשים לב :הסדרה Bnאינה סדרה חשבונית .עם זאת ,כל האיברים במקומות הזוגיים הם סדרה חשבונית ,וכל האיברים במקומות האי זוגיים הם סדרה חשבונית בעלת סימנים הפוכים .נחשב בנפרד את כל אחד מהסכומים, ונחבר אותם: סכום nהאיברים במקומות הזוגיים: האיבר הראשון , a 2 = 5 :ההפרש , 2d = 4 :מספר האיברים . n :נביע את הסכום: n n 2n = ) S = (2 ⋅ 5 + 4(n − 1)) = (4n + 6 (2n + 3) → S = 2n 2 + 3n 2 2 2 סכום nהאיברים במקומות האי זוגיים בעלי הסימנים ההפוכים: האיבר הראשון , − a1 = −3 :ההפרש , − 2d = −4 :מספר האיברים . n :נביע את הסכום: n n 2n = ) S = (2 ⋅ (− 3) − 4(n − 1)) = (− 4n − 2 (− 2n − 1) → S = −2n 2 − n 2 2 2 S B2 n = 2n 2 + 3n − 2n 2 − n = 2n סכום הסדרה B2 nכולה הוא חיבור של שני הסכומים שמצאנו: ג .נתבונן בסכומי כל אחת מהסדרות לאחר השינוי המתואר בשאלה: לכל אחד מאיברי הסדרה Bnהוסיפו ,mמכאן שסכום הסדרה B2 mהוא: ) S B 2 m = (B1 + m ) + (B2 + m ) + (B3 + m ) + ..... + (B2 m + m לאחר סידור ,נראה כי הסכום הוא גם: ) S B 2 m = (B1 + B2 + B3 + .... + B2 m ) + (m + m + m + .... + m 14444244443 144424443 2 mפעמים כלומר ,סכום הסדרה B2 mהוא: סכום הסדרה המקורית )S B 2 m = 2m + 2m → S B 2 m = 2m(m + 1 2 את כל אחד מאיברי הסדרה Anהכפילו פי ,m-מכאן שסכום הסדרה A2 mהוא: S A 2 m = A1 ⋅ m + A2 ⋅ m + A3 ⋅ m + .... + A2 m ⋅ m לאחר הוצאת גורם משותף נקבל כי הסכום הוא: ) S A 2 m = m ⋅ ( A1 + A2 + A3 + .... + A2 m 14444244443 סכום הסדרה המקורית כלומר ,סכום הסדרה A2 mהוא: )S A 2 m = m ⋅ (2m(2m + 2)) → S A 2 m = 4 m 2 (m + 1 לפי הנתון ,סכום הסדרה A2 mגדול פי שמונה מסכום הסדרה m) B2 mהוא מספר טבעי( ולכן: S A 2 m = 8S B 2 m → 4m 2 (m + 1) = 8 ⋅ 2m(m + 1) → m = 4 © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 עמוד 16 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 שאלה :3 ארכימדס -פתרונות למידה * שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר( א .עופר מגיש מועמדות לשבעה מקומות עבודה סך הכל -שלושה באינטרנט וארבעה טלפונית. עלינו לחשב את ההסתברות שיקבל תשובה חיובית משישה מקומות מתוך השבעה. קיימים רק שני תרחישים אפשריים שבהם יקבל שש תשובות חיוביות: תרחיש :1עופר יקבל תשובה חיובית מארבע הפניות הטלפוניות וגם משתי פניות באינטרנט. או תרחיש :2עופר יקבל תשובה חיובית משלוש פניות טלפוניות וגם משלוש הפניות באינטרנט. מכיוון ששני התרחישים אפשריים נחשב את ההסתברות של כל אחד בנפרד ונחבר אותן: תרחיש :1עופר יקבל תשובה חיובית מארבע הפניות הטלפוניות וגם משתי פניות באינטרנט שימו לב! במקרים בהם אנו מעוניינים למצוא הסתברות למאורע אחד וגם למאורע אחר ,כאשר האירועים בלתי תלויים זה בזה ,עלינו לכפול בין ההסתברויות של כל אחד מהמאורעות: 4 (0.4) 4 (0.6) 0 = 0.0256 פניות טלפוניות: p=0.4 ,k=4 ,n=4 : 4 3 (0.2) 2 (0.8)1 = 0.096 פניות באינטרנט: p=0.2 ,k=2 ,n=3 : 2 לכן ,ההסתברות לקבל תשובה חיובית מארבע הפניות הטלפוניות וגם משתי פניות באינטרנט היא: . 0.0256 ⋅ 0.096 = 0.0024576 תרחיש :2עופר יקבל תשובה חיובית משלוש פניות טלפוניות וגם משלוש הפניות באינטרנט 4 (0.4) 3 (0.6)1 = 0.1536 פניות טלפוניות: p=0.4 ,k=3 ,n=4 : 3 3 (0.2) 3 (0.8) 0 = 0.008 פניות באינטרנט: p=0.2 ,k=3 ,n=3 : 3 לכן ,ההסתברות לקבל תשובה חיובית משלוש פניות טלפוניות וגם משלוש פניות באינטרנט היא: . 0.1536 ⋅ 0.008 = 0.0012288 מחיבור ההסתברויות של שני התרחישים האפשריים נקבל את ההסתברות הכללית להצלחתו של עופר: . 0.0024576 + 0.0012288 = 0.0036864 ב .סעיף זה מתחיל בביטוי "ידוע ש" .אשר מעיד על הסתברות מותנית ,ולכן עלינו לחשב את ההסתברות למאורע הרצוי מתוך ההסתברות הכללית של "העולם החדש" .במקרה זה: "העולם החדש" כולל את כל המקרים בהם עופר קיבלת תשובה חיובית בדיוק משישה מקומות עבודה. המאורע הרצוי הוא שכל הפניות הטלפוניות נענו בחיוב. חשוב לשים לב שבתרגיל זה ,בדומה לתרגילי הסתברות רבים אחרים ,סעיף ב' נסמך על סעיף א' ,אשר בו כבר מצאנו את ההסתברות למאורע הרצוי ) (0.0024576ואת ההסתברות הכוללת של "העולם החדש" ).(0.0036864 0.0024576 2 = כל שנותר לנו לעשות הוא לחלק ביניהן ולקבל: 0.0036864 3 . © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 עמוד 17 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 שאלה 4 א. (1 (2 (3 ארכימדס -פתרונות למידה * שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר( ° p ADC =p AEB = 90 p BAC =p DAC° ⇓ BE ,CDגבהים במשולש )נתון( זווית משותפת לפי משפט הדמיון השני ז.ז. ∆AEB ~ ∆ ADCמש"ל א' ב .ראשית ,נוסיף את הישר DEלשרטוט .שנית ,נבחן את המשולשים בהם אנו מעוניינים להוכיח דמיון .בכל אחד מהם יש שתי צלעות אשר הופיעו בדמיון שמצאנו בסעיף א' :במשולש ∆ADEהופיעו הצלעות AEו ,AD-ובמשולש ∆ ABCהופיעו הצלעות ABו .AC-הדבר מרמז לנו שנוכל להיעזר ביחס הדמיון שמצאנו בסעיף א' כדי להוכיח את הדמיון השני. (4 AE AB AE AD = → = לפי הדמיון שמצאנו בסעיף א'. AD AC AB AC זווית משותפת p BAC =p DAE (5 (6 ⇓ לפי משפט הדמיון הראשון צ.ז.צ ∆ADE ~ ∆ACB מש"ל ב' ג .גם כאן אנו רואים שהנתונים בנוגע לאורכי הצלעות שקיבלנו בסעיף זה תואמים לצלעות המשולשים שהוכחנו עבורם דמיון בסעיף ב .נציב את הנתונים ביחס הדמיון: AE AB 4 2 = → 12 (7ס"מ = = → AB AD AC AB 6 (8 10ס"מ = DB = AB − AD = 12 − 2 ⇒ DB מש"ל ג' ד .כדי לחשב את היקף המרובע BCEDעלינו למצוא את אורכי הצלעות DEו.BC- (9 AE AD DE 1 DE = = → = → CB = 3 DE יחס הדמיון בין המשולשים ∆ADEו- AB AC CB 3 CB ∆ACB P + 20 = P → AD + DE + AE + 20 = AB + BC + AC (10נתון ADE ABC שימוש באורכי צלעות נתונים ומסעיף )(9 4 (11ס"מ = 2 + DE + 4 + 20 = 12 + 3DE + 6 → DE מתוך ) (9ו(11)- 12 (12ס"מ = BC = 3ED → BC חישוב שטח מרובע 28 (13ס"מ = PBCED = 2 + 4 + 10 + 12 → PBCEDמש"ל ד' © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 עמוד 18 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 ארכימדס -פתרונות למידה שאלה 5 א. (1 נתון Eאמצע AB AE = BE נתון (2 CO = OE = OD = R נתון +סימון (3 AD = x → CD = 7 x שני חותכים למעגל היוצאים מאותה נקודה ,מכפלת חותך אחד בחלקו (4 AD ⋅ AC = AE ⋅ AB → x ⋅ 8 x = 2 AE 2 → AE = 2 x החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני נעביר את בניית העזר -הקטע .EDניצור את המשולש ישר הזווית ∆CDEבכדי להביע את xבאמצעות :R זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה (5 p CDE = 90 ° ל90 ° - (6 זוויות צמודות משלימות ל180 ° - p ADE = 90 ° 2 2 2 2 2 (7 משפט פיתגורס במשולש ∆ADE DE = AE − AD = 4 x − x → DE = 3x קוטר ,נובע מ(2)- (8 CE = 2 R 2 2 2 2 2 2 (9 CE = CD + DE → 4 R = 49 x + 3 x → x = 0.277 Rמשפט פיתגורס במשולש ∆CDE נובע מ (1)-ו .(9)-מ.ש.ל (10 AE = BE = 2 x → BE = 0.55 R ב .ניתן לחסום מעגל בתוך מרובע ,רק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות האחרות. נובע מ (7) ,(3)-ו(9)- (11 DE = 0.479 R , CD = 1.939 R ° זווית היקפית הנשענת על קוטר (12 p EBC = 90 (13 משפט פיתגורס במשולש ∆BCE BC = CE 2 − BE2 → 4R 2 − 0.3025R 2 → BC = 1.922R נבדוק האם סכום צלעות נגדיות במרובע BCDEשווה לסכום הצלעות הנגדיות השני: חיבור קטעים (14 BE + CD = 0.55 R + 1.939 R = 2.489 R חיבור קטעים (15 DE + BC = 0.479 R + 1.922 R = 2.041R נובע מ (14)-ו (15)-מ.ש.ל (16 לא ניתן לחסום מעגל בתוך המרובע CDEB ג .כדי לחשב את Rנשתמש במשפט הקוסינוסים במשולש . ∆BCFתחילה נחשב את צלעות המשולש ואת הזווית . p DCB נתון (17 1ס"מ = CF (18 BF + DE = DF + BE סכום צלעות נגדיות במרובע החוסם מעגל שווה לסכום הצלעות הנגדיות השני (19 DF = CD − CF → DF = 1.939 R − 1 (20 BF + 0.479 R = 1.939 − 1 + 0.55 R → BF = 2 R − 1 DE 0.479R (21 = sin p DCE → = 0.239 →p DCE = 13.857° טריגו במשולש ישר הזווית ∆CDE CE 2R BE 0.55R (22 = tan p ECB → = 0.286 →p ECB = 15.96° טריגו במשולש ישר הזווית ∆CBE BC 1.922R נובע מ (21)-ו .(24)-סכום זוויות (23 p DCB = 29.817 ° לאחר שמצאנו את הצלעות והזוויות במשולש , ∆BCFנשתמש במשפט הקוסינוסים כדי למצוא את :R 2 BF = CF 2 + BC 2 − 2 ⋅ CF ⋅ BC ⋅ cos p FCB → (2R − 1) 2 = 12 + (1.922R) 2 − 2 ⋅ 1 ⋅ 1.922R ⋅ cos p 29.817° בזהירות רבה ,נצמצם ,נכנס איברים ,נוציא Rכגורם משותף ונקבל 2.18 :ס"מ = Rמ.ש.ל. חיסור קטעים .נובע מ(11)- נובע מ (18) ,(11) ,(10)-ו(19)- © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 עמוד 19 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 ארכימדס -פתרונות למידה * שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר( שאלה 6 2 x − mx f ( x) = 2יש אסימפטוטה אנכית אחת בלבד ,אך המכנה שלה מתאפס א .נתון כי לגרף הפונקציה: x − 10 x + 4m בשתי נקודות שונות .כלומר ,בנוסף לאסימפטוטה האנכית ,יש מאפס נוסף שאינו אסימפטוטה ולכן הוא בהכרח מצטמצם עם המונה וזוהי למעשה נקודת אי רציפות סליקה )"חור"( .נוציא גורם משותף במונה ונקבל: ) x(x − m f ( x) = 2 x − 10 x + 4m כדי שניתן יהיה לצמצם את אחד מכופלי המכנה עם המונה ,מוכרח להופיע במכנה הביטוי. ( x − m ) : משמעות הדבר היא ש x = m :בהכרח מאפס את המכנה .נציב x = mבמכנה ונשווה אותו ל:0- 2 m = 6או m − 10m + 4m = 0 → m 2 − 6m = 0 → m(m − 6) = 0 → m = 0 )x(x − 6 x 2 − 6x . f ( x) = 2נסדר את הפונקציה: ב .לפי הנתון , m = 6 ,ומכאן שהפונקציה היא: )(x − 6)(x − 4 x − 10x + 24 x = ). f ( x תחום ההגדרה של הפונקציה הוא , x ≠ 4 , x ≠ 6 :ולאחר צמצום הפונקציה היא: x−4 כדי להראות שגרף הפונקציה ) f (xיורד בכל תחום ההגדרה ,נגזור את הפונקציה: −4 x−4− x ) (− ) = (− f ' ( x ) = = )f ' ( x → → 2 2 ) (+ ) (x − 4 ) (x − 4 ניתן לראות כי המכנה הוא ביטוי ריבועי החיובי לכל x ≠ 4והמונה הוא מספר שלילי .מכאן שהנגזרת שלילית לכל x וגרף הפונקציה יורד בכל תחום ההגדרה. = )f ( x ג .מצורף שרטוט של נתוני השאלה לצורכי הסבר בלבד ,אין צורך לשרטט את הפונקציה בשביל לפתור את השאלה. הנקודה הנתונה ) N (0,9אינה על גרף הפונקציה ) , f (xולכן לא ניתן להשתמש בה ישירות .נסמן את נקודת ההשקה שכן נמצאת על גרף t . M t, הפונקציה באמצעות :t t − 4 כעת ניתן להביע את שיפוע המשיק בשני אופנים שונים ולהשוות ביניהם. תחילה נביע את שיפוע המשיק באמצעות שתי הנקודות Nו: M - )N (0,9 t M t, t −4 t ) t − 9(t − 4 −9 ) 4(9 − 2t y1 − y 2 t − 4 36 − 8t t−4 =m = =→m =→m =→m )t (t − 4 x1 − x1 t −0 t ) t (t − 4 t t ,בנגזרת ) : f ' ( x כעת נביע את שיפוע המשיק באמצעות הצבת שיעור ה x-של נקודת ההשקה t −4 −4 (t − 4)2 = ) f ' (t שני הביטויים מתארים את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה היוצא מהנקודה ) , ( 0 ,9ולכן נשווה ביניהם: ) 4(9 − 2t −4 = → (9 − 2t )(t − 4 ) = −t → 9t − 36 − 2t 2 + 8t + t = 0 → t 2 − 9t + 18 = 0 2 ) t (t − 4 ) (t − 4 פתרונות המשוואה הם t = 3 :ו . t = 6 -עם זאת ,הנקודה t = 6היא כאמור נקודת אי רציפות סליקה )"חור"( בפונקציה ,ומכאן שנקודת ההשקה היחידה היא ). M (3,−3 © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 עמוד 20 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 ארכימדס -פתרונות למידה x 2 − ax + b ד .לפונקציה x−c הנקודה Mהיא בהכרח נקודת אי רציפות סליקה )"חור" בפונקציה( .כלומר x = 3בהכרח מאפס את המכנה ולכן: 3−c = 0 → c = 3 כיוון שהנקודה Mהיא נקודת אי רציפות סליקה ,הרי שמוכרח להיות ביטוי במונה המצטמצם עם אותו הביטוי במכנה .בכדי שהמכנה x − 3יצטמצם עם המונה , x 2 − ax + bהמונה חייב להיות מהצורה. ( x − 3)( x − k ) : כלומר ,ניתן לכתוב את הפונקציה ) g (xכך(x − 3)(x − k ) : = ) , g ( xולאחר צמצום. g ( x) = x − k : x−3 −3 = 3− k → k = 6 נציב בפונקציה ) g (xאת שיעורי נקודת אי הרציפות הסליקה ) M (3,−3ונקבל: כעת ניתן להביע את הפונקציה ) g (xללא פרמטרים(x − 3)(x − 6) : = ) , g ( xולאחר פתיחת סוגריים: x−3 x 2 − 9 x + 18 = )g ( x x−3 מכאן ש b = 18 , a = 9 :וכמו שמצאנו. c = 3 : = ) g ( xאין אסימפטוטה אנכית והיא אינה מוגדרת רק בנקודה ) . M (3,−3כלומר © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 עמוד 21 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 שאלה 7 ארכימדס -פתרונות למידה * שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר( − sin x ≥ 0 → sin x ≤ 0 א (1 .הפונקציה מוגדרת כאשר הביטוי שבתוך השורש − sin xהוא אי שלילי: באמצעות מעגל היחידה אנו יודעים כי sin xשלילי ברביעים השלישי והרביעי ,כלומר ,בתחום 0 < x < 3πמתקיים: sin x ≤ 0כאשר 180° ≤ x ≤ 360°וברדיאנים. π ≤ x ≤ 2π : (2נגזור את הפונקציה )כנגזרת של מכפלה( ונשווה את הנגזרת לאפס: →=0 ) 2 − sin x ( ) − cos x ⋅ (1 + cos x ⋅ − sin x ⋅ − sin x = 0 → − cos x ⋅ (1 + cos x ) − 2 sin x ) 2 − sin x ( = )f ' ( x → − cos x − cos 2 x + 2 sin 2 x = 0 → − cos x − cos 2 x + 2 ⋅ 1 − cos 2 x = 0 → − cos x − cos 2 x + 2 − 2 cos 2 x = 0 − 3 cos 2 x − cos x + 2 = 0 2 באמצעות נוסחת השורשים נקבל שתי אפשרויות cos x = −1 :או = . cos xנפתור ונבדוק מי מהפתרונות נמצא 3 בתחום : π ≤ x ≤ 2π 2 cos x = −1 = cos x 3 x = π + 2πk x =π או x = 0.27π + 2πk x = −π + 2πk x =π או x = −0.27π + 2πk x = 1.73π אין פתרון בתחום למעשה ,ישנה נקודה פנימית אחת החשודה כקיצון , x = 1.73π :ובנוסף שתי נקודות קיצון קצה x = π :ו. x = 2π - ניעזר בטבלת עליה וירידה ונגלה את סוגן: x = 2π קיצון בקצה התחום 1.73π < x < 2π x = 1.73π π < x < 1.73π x = 1.8π קיצון x = 1.5π שלילי Min x =π קיצון בקצה התחום חיובי Min Max תחום x נציב בנגזרת סימן הנגזרת הפונקציה עולה /יורדת נציב את שלוש הנקודות בפונקציה ) f ( xונמצא את שיעורי ה y-שלהן: )f (π ) = − sin π ⋅ (1 + cos π ) = 0 → min (π ,0 )f (1.73π ) = − sin (1.73π ) ⋅ (1 + cos(1.73π )) = 1.43 → max (1.73π ,1.439 )f (2π ) = − sin 2π ⋅ (1 + cos 2π ) = 0 → min (2π ,0 (3למעשה ,אין צורך לחפש את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים מכיוון שכבר מצאנו אותן: תחום ההגדרה של הפונקציה הוא π ≤ x ≤ 2πולכן אין נקודת חיתוך עם ציר ה .y-את שתי נקודות החיתוך עם ציר ה x-כבר מצאנו והן (π ,0) :ו. (2π ,0) - (4על סמך טבלת העליה והירידה נוכל לקבוע :עליה , π < x < 1.73π :ירידה. 1.73π < x < 2π : ב. © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 עמוד 22 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 ג. V2 2π V1 π x=a נביע את שני נפחי גוף הסיבוב :נעלה את הפונקציה בריבוע ,נבצע את האינטגרל ולבסוף נכפיל ב: π - ) a ( − sin x ⋅ (1 + cos x ) dx → V1 = π ∫ − sin x ⋅ (1 + cos x ) dx 2 2 π 2π ) − sin x ⋅ (1 + cos x ) dx → V2 = π ∫ − sin x ⋅ (1 + cos x ) dx 2 2 a a ∫ V1 = π π 2π (∫ V2 = π a למעשה ,בכדי לחשב את האינטגרל , ∫ − sin x ⋅ (1 + cos x ) dxניעזר בשיטת ההצבה: 2 ראשית ,נסמן. u = 1 + cos x : du du נגזור את שני אגפי המשוואה ונקבל= − sin x : .נבודד את dxונקבל: − sin x dx du נחזור לאינטגרל לאחר הצבת − sin x ⋅ u 2 dx :u = : dx ונציב בו: − sin x = . dx ∫ du = ∫ u 2 du − sin x ⋅ dx = ∫ − sin x ⋅ u 2 u3 3 רק בשלב זה ,לאחר סידור האינטגרל עבור uנבצע את האינטגרציה עצמה: 2 ∫ − sin x ⋅ u 2 = ∫ u du (1 + cos x )3 נציב בחזרה u = 1 + cos xונקבל את האינטגרל הסופי של הביטוי ∫ − sin x ⋅ (1 + cos x ) dxוהוא: 2 3 . כעת נחזור ונבצע את האינטגרלים במלואם: 3 ( ) 1 + cos a ⋅ =π 3 ) 8 − (1 + cos a 3 ) (1 + cos x ⋅ =π 3 a → V1 π 2π 3 ⋅ → V2 = π a 3 (1 + cos x )3 ⋅ =π 3 a V1 = π ∫ − sin x ⋅ (1 + cos x ) dx → V1 2 π 2π V2 = π ∫ − sin x ⋅ (1 + cos x ) dx → V2 2 a לפי הנתון 7V1 = V2 ,ולכן: ) 8 − (1 + cos a 3 3 3 → → 7(1 + cos a ) = 8 − (1 + cos a ) → 8(1 + cos a ) = 8 3 3 ) (1 + cos a 3 ⋅ =π 3 ⋅ 7π (1 + cos a )3 = 1 → 1 + cos a = 1 → cos a = 0 → a = π + πk 2 הפתרון היחיד בתחום π ≤ x ≤ 2πהוא) a = 1.5π :או במספרים.( a = 4.71 : © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 עמוד 23 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 שאלה 8 ארכימדס -פתרונות למידה * שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר( 1 1 א .נסדר את משוואת המשיק הנתון y = x + 3 ← 2 y − x − 6 = 0 :ונראה כי שיפועו 2 2 לגרף הפונקציה ) f (xבנקודת החיתוך שלה עם ציר ה ,y-כלומר כאשר . x = 0נשווה את הנגזרת ) f ' ( xלשיפוע 1 1− 0 1 1 1 → = )f ' (0 → = = → a =2→ a=4 המשיק ונציב : x = 0 2 a 2 − 02 + 2 ⋅ 0 + a 2 .לפי הנתון ,הוא משיק כלומר: 1− x − x 2 + 2x + 4 = ) . f ' ( xנציב במשוואת המשיק , x = 0ונקבל גם כי נקודת ההשקה היא. (0,3) : כעת ,נבצע על הנגזרת ) f ' ( xאינטגרל למציאת פונקציה קדומה ונמצא את הפונקציה ): f (x 1− x ∫ → f ' ( x )dx = f ( x) + c dx = f ( x ) + c − x 2 + 2x + 4 1− x ∫ ,ניעזר בשיטת ההצבה :ראשית ,נסמן. u = − x 2 + 2 x + 4 : כדי לחשב את האינטגרלdx : − x 2 + 2x + 4 du du נגזור את שני אגפי המשוואה ונקבל= −2 x + 2 : = . dx .נבודד את dxונקבל: ) 2(1 − x dx du 1− x ∫ ונציב בו: = : dx נחזור לאינטגרל לאחר הצבת dx :u ) 2(1 − x u 1− x 1− x 1 du ∫ = dx ⋅ ∫= du u ) u 2(1 − x 2 u du = u + c רק בשלב זה ,לאחר סידור האינטגרל עבור uנבצע את האינטגרציה עצמה: נציב בחזרה u = − x 2 + 2 x + 4ונקבל את האינטגרל הסופי: dx = − x 2 + 2 x + 4 + c 1 u ∫ ∫ ∫2 1− x − x + 2x + 4 2 ∫ כלומר ,הפונקציה הקדומה של ) f ' ( xהיא . f ( x ) = − x 2 + 2 x + 4 + c :בכדי למצוא את הפרמטר , cנציב בפונקציה את נקודת ההשקה שמצאנו (0,3) :ונקבל: 3 = − 02 + 2 ⋅ 0 + 4 + c → 3 = 2 + c → c = 1 לסיכום :הפונקציה ) f (xהיא. f ( x ) = − x 2 + 2 x + 4 + 1 : ב .זוהי בעיית קיצון .פונקציית המטרה היא היקף המלבן .לאחר הרכבת הפונקציה ,נגזור ונשווה את הנגזרת ל0- בכדי למצוא את נקודת המקסימום. ( ) תחילה ,נסמן את שיעורי הנקודה Aהנמצאת על גרף הפונקציה ) f (xבאמצעות . A t , − t 2 + 2t + 4 + 1 :t מכיוון שצלעות המלבן ABCDמקבילות לצירים ,ניתן לראות כי לנקודות Aו B -שיעור yזהה .כלומר שיעורי ( ) הנקודה Bהם . B x B , − t 2 + 2t + 4 + 1 :נציב בפונקציה ) f (xונמצא את שיעור ה x-של הנקודה :B − t 2 + 2t + 4 + 1 = − xB + 2 xB + 4 + 1 → − t 2 + 2t + 4 = − xB + 2 xB + 4 → xB − 2 xB + 2t − t 2 = 0 ניעזר בנוסחת השורשים בכדי להביע את xBבאמצעות :t 2 2 2 ) ( 2 ± 4 − 4 2t − t 2 ) 2 ± 4 − 8t + 4t 2 2 ± (2 − 2t ) 2 ± (2 − 2t = xB = = = → xB = t, xB = 2 − t 2 2 2 2 x = tהוא כמובן שיעור ה x-של הנקודה ,Aומכאן ששיעורי הנקודה Bהם. B 2 − t , − t 2 + 2t + 4 + 1 : כאמור ,צלעות המלבן ABCDמקבילות לצירים ולכן: 2 ) © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 ( עמוד 24 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 ארכימדס -פתרונות למידה אורך הצלעות ADו BC-הוא שיעור ה y-של הנקודות Aו:B- אורך הצלעות ABו CD-הוא הפרש שיעורי ה x-של הנקודות Aו:B- AD = BC = − t 2 + 2t + 4 + 1 AB = CD = t − (2 − t ) = 2t − 2 כעת נוכל להביע את פונקציית המטרה המתארת את היקף המלבן: ) ( P = 2 AD + 2 AB → P(t ) = 2 − t 2 + 2t + 4 + 1 + 2(2t − 2) → P(t ) = 2 − t 2 + 2t + 4 + 1 + 4t − 2 − 2t + 2 ⋅ P ' (t ) = 2 כדי למצוא את ערך tשעבורו היקף המלבן מקסימלי נגזור את הפונקציה ) + 4 : P(t 2 − t 2 + 2t + 4 נשווה את הנגזרת ל:0- − 2t + 2 + 4 = 0 → 2t − 2 = 4 − t 2 + 2t + 4 → 4t 2 − 8t + 4 = −16t 2 + 32t + 64 → t 2 − 2t − 3 = 0 2 − t + 2t + 4 פתרונות המשוואה הם t = 3 :ו) . t = −1 -הנקודה Aנמצאת ברביע הראשון ולכן הפתרון המתאים הוא.( t = 3 : ניעזר בנגזרת שניה מקוצרת של ' Pלבדיקת סוג הקיצון של הנקודה . t = 3 בנגזרת שניה מקוצרת ניעזר רק למציאת סוג הקיצון ונגזור רק את המונה: P ' ' (3) = −2 < 0 → Max סימן לבסוף נציב t = 3בפונקציה Pהמתארת את היקף המלבן 12 :יח' = P = 2 − 3 2 + 2 ⋅ 3 + 4 + 1 + 4 ⋅ 3 − 2 → P כלומר ,היקפו המקסימלי של המלבן הוא 12יחידות אורך. © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 806 עמוד 25
