docגלים ואופטיקה 77305
download 
Report Transcription
גלים ואופטיקה 77305
גלים ואופטיקה 77305
אור דגמיordigmi.org ,
אתר אינטרנטhttp://digmi.org :
סיכום הרצאות של ד"ר נדב כ"ץ בשנת לימודים 2012
23ביולי 2012
תוכן עניינים
מבנה הקורס . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
חד מימדיים
משוואת הגלים במיתר מתנדנד . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
הפתרון של דלאמבר ). . . . . . . . (Jean le Rond d'Alembert
גלים אורכיים במערך קפיצים )בגבול של מרווחים אינפיניטיסימלים(
אנרגיה בגל רוחבי )מיתר( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
פתרונות סינוסיאלים נעים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
עירור ועכבה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1עירור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2עכבה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
החזרה והעברה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1אנרגיה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
גלים "חסומים" ־ עומדים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
דיספרסיה )נפיצה( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
התקדמות חבילת גלים בתווך דיספרסיבי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
5
5
6
7
7
8
8
9
10
11
13
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
גלי קול
3.1מבוא לגלי קול בגז . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2אפקט דופלר החד מימדי בתווך . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
מקרה א' :מערכת ייחוס של המקור נייח )ותווך נייח( והצופה נע
3.2.0.1
מקרה ב' :מקור נע וצופה ותווך נייחים . . . . . . . . . . . . .
3.2.0.2
מקרה ג' :צופה נע ומקור נע בתווך נייח . . . . . . . . . . . . .
3.2.0.3
3.2.1דופלר יחסותי )גלי אור( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
15
17
17
17
17
18
4
גלי פני שטח במים
פתרון אנליטי
4.0.1.1
גבולות . . . .
4.0.1.2
4.1גלי מים ־ קפילריות )מתח פנים(
4.2אנרגיה . . . . . . . . . . . . .
4.3טסונמי . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
19
19
20
20
20
21
5
הסלינקי המצייץ
1
מבוא
1.1
2
גלים
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
22
6
משוואת התוף
על צלעות מקבילות ל. y :
6.0.0.3
על הצלעות המקבילות ל:x
6.0.0.4
לסיכום. . . . . . . . . . :
6.0.0.5
עבור תוף מלבני . . . . . .
6.0.0.6
6.1תוף עגול . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2מוליך גלים . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
23
23
23
23
24
25
26
7
גלים מישוריים
7.1חוק סנל עבור המשוואה האיקונלית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
28
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
תוכן עניינים
8
תוכן עניינים
משוואת הקרניים )אופטיקה גיאומטרית(
8.1עקרון פרמה . . . . . . . . . . .
8.2מיראז' . . . . . . . . . . . . . .
8.3פריזמה . . . . . . . . . . . . .
8.4עיקוב קרניים ). (Ray Traing
8.4.1מהלך חופשי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2עדשה דקה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.3מילון מטריצות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5דמות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1דמות בעדשה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
מקרים ותגובות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1.1
8.6בהירות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Brightness
8.7קאוסטיקות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caustis
8.7.1קאוסטיקה בספל קפה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.8טרנספורם ראדון )+טומוגרפיה ממוחשבת( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
31
32
33
34
35
35
37
38
38
39
39
40
41
42
9התאבכות
9.1התאבכות שני גלים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1התאבכות גלים מישוריים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2מקורות נקודתיים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1מקור דיפול . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
43
43
44
44
10עקיפה
10.1המשוואה הפארא־אקסיאלית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2עקרון הויגנס־פרנל . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1עקיפה בתלת מימד . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2בעיית המסך )חצי מישור( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3חריצים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4תכונות דיפרקציה של עדשה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5תורת הדיפרקציה של קירכהוף־זומרפלד . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.1דימות ) (imagingקוהרנטי ולא קוהרנטי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
47
48
49
49
50
53
54
55
אלקטרומגנטיים
בריק . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.1עוצמת אור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
בחומר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1הנחות ראשונות )לשבירה עתידית( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
קיטוב . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.1יחסי פרנל בהחזרה והעברה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.2מקטב לינארי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
שבירה כפולה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
עוצמת השדה והאימפדנס . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
השורשים המיקרוסקופיים של מקדם השבירה )איזוטרופי( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
57
57
58
58
59
59
60
60
60
61
.
.
.
.
11גלים
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
30/10/2011
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12תוספת?
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
63
2
פרק 1
מבוא
ההגדרה הקלאסית של גל היא:
הגדרה 1.0.1גל :הפרעה המתקדמת בתווך.
אבל אנו מכירים גלים שלא מתקדמים כגון נדנוד של קפיץ ,וכמו כן אנו מכירים גלים אשר אינם דורשים תווך
כגון גלים אלקטרומגנטים ,אז עם מה נשארנו? הפרעה.
1.1מבנה הקורס
אתר הקורס הוא בmoodle
מבנה הקורס הוא:
P
.1גלים ־ בחומר ,מימד ) .1נשתמש בהנחה של תנודות קטנות(
דוגמה : 1.1.1דוגמאות לגלים:
• א"מ )רדיו ,מיקרו ,אופטי ,x ,גאמא(.
• קול.
• כבידה.
• מים )מוזלים( ,מתח פנים וגלי עומק.
• קוונטים.
• סייסמים וצונאמי.
3
פרק 2
גלים חד מימדיים
2.1
משוואת הגלים במיתר מתנדנד
ρ־ מסה ליחידת אורך T ,מתיחות.
)α (x + ∆x
)α (x
x + ∆x
x
משוואת הגלים במקרה זה מחוק שני של ניוטון:
∂2ψ
))= T sin (α (x + ∆x)) − T sin (α (x
∂t2
· F = ma ⇒ ρ · ∆x
אבל בקירוב של זוויות קטנות אנו יודעים כי:
T
#
x
)∂ 2 ψ (x, t
T ∂2ψ
=
∂t2
ρ ∂x2
∂ψ
∂x
−
x+∆x
∂ψ
∂x
"
∂ψ
∂2ψ
= )sin (α) ≈ tan (α
= ⇒ ρ · ∆x · 2
∂x
∂t
→−
∆x→0
כמו כן ,המהירות מוגדרת ע"י
T
ρ
= .v 2כלומר קיבלנו:
ψ¨ = v 2 ψ ′′
1/11/2011
משוואה מסדר שני אשר למדנו לפתור במת"פ.
2.2הפתרון של דלאמבר )
le Rond d'Alembert
תנאי התחלה נתונים:
)f (x
)g (x
= )ψ (x, 0
∂ψ
= )(x, 0
∂t
הפתרון הכללי במקרה זה הוא:
)ψ (x, t) = F (x − vt) + G (x + vt
4
(Jean
פרק .2גלים חד מימדיים
.2.3גלים אורכיים במערך קפיצים )בגבול של מרווחים אינפיניטיסימלים(
הפתרון לפי דלאמבר הוא:
x+vt
ˆ
1
)f (x − vt) + f (x + vt
+
= )ψ (x, t
2
2v
g (q) dq
x−vt
גלים אורכיים במערך קפיצים )בגבול של מרווחים אינפיניטיסימלים(
2.3
נביט במערך הקפיצים הנתון בציון הנ"ל כאשר Kהוא קבוע הקפיץ ,אשר מסתו mו Ujהיא ההסחה אורכית
מנקודת שיווי משקל.
K
K
b
b
m
Uj+1
m
Uj
h
b
m
Uj−1
h
מחוק שני של ניוטון נקבל:
∂ 2 Uj
) = K (Uj+1 − Uj ) + K (Uj−1 − Uj
∂t2
m
נגדיר ליחידת אורך N ) L = N hמייצגת את כמות המסות בתוכה h ,זה אורך קפיץ בודד( M = N · mוכמו
K
כן:
.K′ = Nולכן נציב ונקבל:
2
∂ 2 Uj
K′ L2 Uj+1 − 2Uj + Uj−1
2 ∂ Uj
·
=
→−
v
h→0
∂t2
h2
∂x2
|M
} {z
v2
)ההשאפה של h → 0היא יוצאת קירוב נומרי לנגזרת ה.(2
אנרגיה בגל רוחבי )מיתר(
2.4
האנרגיה הקינטית נתונה ע"י:
ρdx
2
)∂ψ (x, t
∂t
{z
}
|
∞ˆ
מהירות התנודה המקומית=v6
1
=
2
Ekin
∞−
האנרגיה הפוטנציאלית נתונה ע"י) :בהנחה שהשינויים ב Tזניחים ביחס לשינוי ב(x
dx
dx
2
∂ψ
∂x
∞ˆ
∞−
1
T
≈
Taylor 2
)הקירוב טיילור של= 1 + 12 ε :
ולכן האנרגיה הכוללת:
−1
2 #1/2
1/2
)((1 + ε
5
∂ψ
∂x
1+
"
T
∞ˆ
∞−
= )T (ds − dx
∞ˆ
∞−
= Epot
פרק .2גלים חד מימדיים
.2.5פתרונות סינוסיאלים נעים
2
2 #
" ∞ˆ
∂ψ
∂ψ
dx
ρ
+T
∂t
∂x
∞−
2.5
1
=
2
Etot = Ekin + Epot
פתרונות סינוסיאלים נעים
)ψ (x, t) = A cos (kx ± ωt + ϕ
ולכן:
= −k 2 ψ
= −ω 2 ψ
∂2 ψ
∂x2
∂2 ψ
∂t2
(
ω = vkנקרא יחס הדיספרסיה ) kתדירות מרחבית ω ,תדירות זמנית( .נציב במשוואת הגלים ונקבל:
2
∂2ψ
2∂ ψ
=
v
∂t2
∂x2
06/11/2011
פתרונות ספציפיים של משוואת הגלים:
) ψ± (x, t) = A cos (kx ± ωt + ϕ±
⇒⇐| נציב במשוואת הגלים
{z } ω = vk
יפתור אם"ם
= −k 2 ψ
= −ω 2 ψ
∂2ψ
∂x2
∂2ψ
∂t
(
)ψ (x
2π
k
=λ
x
איור :2.1גרף ψכפונקציה של מיקום בזמן קבוע t = 0
6
.2.6עירור ועכבה
פרק .2גלים חד מימדיים
)ψ (t
t
2π
ω
= T
איור :2.2גרף ψכפונקציה של זמן בנקודה קבועה x = 0
λ
T
=v
נשים לב כי הפאזה של שני האיורים צריכה להיות זהה עד כדי סימן מינוס.
הערה 2.5.1כמו שלמדנו בחשמל ,אפשר לרשום את הפתרון:
a
)˜ei(kx±ωt
כאשר הפאזה נמצאת בקבוע המרוכב ˜.A
2.6
עירור ועכבה
2.6.1
עירור
נניח כי בנקודה x = 0מופעל כוח מחזוריF = F0 e−iωt :
מכיוון שאנו מניחים מתיחות Tקבועה ,משוואת שקול הכוחות:
∂ψ
= −T sin (α (x = 0)) ≈ −T tan (α (x = 0)) = −T
∂x x=0
ננחש בפתרון עמיד סינוציאלי ,כלומר:
)˜ i(kx−ωt
ψ (x, t) = Ae
הערה 2.6.1נשים לב כי בפתרון שנחשנו ,בתלות בזמן אין תדרים אחרים מהמעורר.
בנקודה :x = 0
כלומר:
∂ψ
)˜ i(k·0−ωt
= −ikT Ae
∂x x=0
F0 e−iωt = −T
−F0
F0 v
= ˜A
=−
ikT
iω T
7
F0 e−iωt
.2.7החזרה והעברה
פרק .2גלים חד מימדיים
ולכן קיבלנו כי:
)F0 v i(kx−ωt
e
iω T
ψ=−
וזה פותר את משוואת המערכת לערור מונוכרומטי בנקודה .x = 0
2.6.2
עכבה
כוח מופעל
F
=
∂ψ
מהירות בנקודה
=z
∂t
נציב פתרון ב :x = 0
v
v
∂ψ
)i(kx−ωt
e
=
F
e−iωt
=
F
0
0
∂t x=0
T
T
x=0
ולכן נקבל:
p
T
= ρv = T ρ
}v |{z
=z
T =ρv 2
08/11/2011
2.7
החזרה והעברה
)˜ i(k2 x−ωt
ψt = Ce
z1
)˜ i(k1 x−ωt
ψi = Ae
z2
)˜ i(k1 x−ωt
ψr = Be
איור :2.3החזרה והעברה של גל
תנאי השפה בנקודת המעבר בין z1ל :z2
.1רציפות ב ψ
.2רציפות ב
∂ψ
∂x
x<0
x>0
ψi + ψr
ψt
(
=ψ
מתנאי הרציפות ב ψנקבל:
˜˜ = C
A˜ + B
ומתנאי הרציפות בנגזרת ל xנקבל:
∂
ψt
∂x
ik2
˜
CT
e−iωt
T
C˜ ω
v2
T
∂
= ) (ψi + ψr
∂x
ik1 − BT
= ik1
˜
˜
AT
e−iωt
e−iωt
˜
AT
= ˜Tω
ω−B
v1
v1
T
8
פרק .2גלים חד מימדיים
.2.7החזרה והעברה
כיוון ש:
ω = v2 k2
וכיוון ש
T
v
ω = v1 k1 ,
= zנקבל:
˜˜ = z2 C
z1 A˜ − B
ומחיבור המשוואות על שני התנאים נקבל:
˜
B
z1 − z2
=
z1 + z2
˜A
2z1
˜C
=
z1 + z2
˜A
=
r
=
t
) tהוא מקדם העברה ,ו rשינוי בפזה(
מקרי קצה הם כאשר ∞ → z2נקבל .r = −1 ,t = 0
ואילו כאשר z2 → 0נקבל.t = 2 ,r = 1 :
2.7.1
אנרגיה
נניח גל מהצורה )˜ i(kx−ωt
.Aeנקבל שהאנרגיה ליחידת אורך היא) 21 ρω 2 A˜ :אנרגיה של אוסילטור הרמוני(.
הגדרה 2.7.1שטף האנרגיה של )˜ i(k1 x−ωt
Aeהיא מהירות כפול אנרגיה ליחידת אורך ,דהיינו:
2
1 2 ˜2
1
˜ρω A v1 = z1 ω 2 A
2
2
כלומר השטף הנכנס שלנו במערכת הקודמת הוא:
2
1
˜z1 ω 2 A
2
מהו השטף היוצא? סכום השטפים של הגל העובר והגל המוחזר .כלומר:
2 1
2
1
˜
z1 ω 2 B
˜ + z2 ω 2 C
2
2
נציב
˜
B
˜
A
ואת:
˜
C
˜
A
2
ונקבל :
2
2
1אלגברה 1 2 ˜2 z1 (z1 − z2 ) + 4z12 z2
˜ 2
=
.
.
.
=
ω A
z
ω
A
1
2
2
2
) (z1 + z2
מקובל להגדיר |:R = |r
2
˜
2
אנרגיה מוחזרת
z1 B
z1 − z2
=
=
אנרגיה פוגעת
z1 ˜2
z1 + z2
A
} | {z
R
שימור אנרגיה:
2
˜
z
C
2
4z1 z2
אנרגיה מועברת
= = 2
= T
2
אנרגיה פוגעת
˜
(z
) 1 + z2
z1 A
R+T =1
9
=
.2.8גלים "חסומים" ־ עומדים
פרק .2גלים חד מימדיים
2.8גלים "חסומים" ־ עומדים
z1
l
0
∞ = z2
∞ = z2
איור 2 :2.4נקודות אחיזה של מיתר
נערר את המערכת הנ"ל בתדר יחיד.
−ikx
תנאי השפה שלנו:
ψ = e−iωt Aeikx + Be
))⇒ ψ = e−iωt (A2i · sin (kx
⇒ k = nπ
l
13/11/2011
nπ
כיוון שרק עבור l
nvπ
חייבים להיות:
l
A = −B
kl = n · π
(
ψ (0, t) = 0
ψ (l, t) = 0
⇒
(
= kהסינוס במשוואה הראשונה יתאפס .ולכן נקבל הגבלות על התדרים האפשריים כך שהם
= ωn
הערה 2.8.1תורת שטורם ליואויל:
+ q (x) ψ = λω (x) ψ
dψ
dx
)p (x
d
dx
−
ובהינתן תנאי שפה אזי:
• יש לנו מרחב פתרונות )יכול להיות דיסקרטי או רציף(.
• פונקציות אורתונורמליות מהוות בסיס שלכם לכל ערור אפשרי:
X
= )ψ (x, t
a˜n ψn (x) e−iωn t
n
כאשר:
– ωnתדרים עצמיים
– ψnאופני התנודה "מודים" )(modes
– a˜nמקדמי הפיתוח )לא תלוי זמן(
במפורש עבור משוואת הגלים החד ממדית:
)(2.1
∂2ψ
∂ 2ψ
תנאי שפה = v 2 2 +
2
∂t
∂x
נבצע הפרדת משתנים:
)ψ (x, t) = e−iωn t ψn (x
)ייתכן כי nהוא משתנה רציף ולא בהכרח דיסקרטי(
−ωn2 ψn e−iωn t
=
d2 ψn −iωn t
e
dx2
=
10
∂2ψ
∂t2
∂2ψ
∂x2
.2.9דיספרסיה )נפיצה(
פרק .2גלים חד מימדיים
נציב במשוואה ) (2.1ונקבל:
d2 ψn −iω
nt
e n t
e−iω
= v2
−ωn2 ψn
dx2
ω2
d2 ψn
=
−
ψn = −k 2 ψn
dx2
v2
הערה 2.8.2נשים לב כי הפתרונות עבור המשוואה להעיל הן:
eikx ,
e−ikx
15/11/2011
2.9
דיספרסיה )נפיצה(
עד עכשיו ראינו דיספרסיה לינארית .ω (k) = vk :אבל האם זה חייב להשאר כך?
התשובה היא כמובן לא.
בעבר ראינו את הדוגמה הבאה:
K
K
b
b
m
Uj+1
m
Uj
a
b
a
m
Uj−1
והגענו לביטוי:
2
m∂ Uj
T
) = (Uj+1 + Uj−1 − 2Uj
2
∂t
a
∂ 2 Uj
∂x2
.v 2
כאשר עשינו קירוב של a → 0קיבלנו למעשה כי החלק הימני הוא:
נרצה לדון במקרה ש .a 9 0
ננחש באופן מושכל )הנו מניחים גלים מונוכרומטים ,אם נכשל נאלץ לשנות את הנחה זו(:
)Ak ei(kx−ωt) = Ak ei(kja−ωt
ולאחר מעט אלגברה נקבל כי:
2
ika
ika
T ika
−4T
T
ka
= −mω 2
=
e 2 − e− 2
= e + e−ika − 2
sin2
a
a
a
2
ולכן:
ka
2
4T
sin2
ma
= ω2
)ω (k
k
π
a
π
a
איור :2.5גרף ωכפונקציה של k
התחום המסומן נקרא איזור ברילוואן הראשון ,האיזור היחידי של התדרים החוקיים.
11
פרק .2גלים חד מימדיים
.2.9דיספרסיה )נפיצה(
נשים לב כי בגבול בו k → 0נקבל:
T
4T k 2 a2
·
→ k2 → v2 k2
ma
4
ρ
= ω2
ρ = mצפיפות(.
)כאשר a
כלומר חזרנו לגבול |ω = v |k
נשים לב שלמערכת יש תדרים אשר היא תומכת בהם ,אם נחרוג מ πaאז הגביש המדובר )או במקרה שלנו,
המסות( לא יאפשרו לנו לדגום זאת ,וזה יראה כאילו זה תדר נמוך יותר .כיוון שאנו דוגמים דיסקרטית ולא קיצף,
לכן בתדירות כפולה לדוגמה ,אנו נמדוד את אותן נקודות דיסקרטיות ,והן ינועו באותו אופן.
P
דוגמה : 2.9.1בגביש עם נתונים:
15N/m
=
T
60 · 10−27 kg
≈
m
10−10 m
≈
a
נקבל כי:
ωmax
= νmax = 5 · 1012 Hz
2π
הערה 2.9.2נשים לב כי כאן ה Tשלנו הוא למעשה ביחידות N/mלכן הנוסחא תהא ללא aבמכנה.
)ω (k
k
איור :2.6דיספרסיות שונות
בכתום ־ דיספרסיה נורמלית .בכחול ־ דיספרסיה אנומלית .באדום ־ לינארית.
כאשר אנו מדברים על גלים מונוכרומטים הדיספרסיה לא באמת מעניינת אותנו .אבל כאשר אנו מדברים על גלים
בתדרים שונים העסק משתבש.
12
.2.10התקדמות חבילת גלים בתווך דיספרסיבי
P
פרק .2גלים חד מימדיים
דוגמה : 2.9.3שני גלים בעלי תדר קרוב:
)= aei(k1 x−ω1 t
)ψ1 (x, t
)= aei(k2 x−ω2 t
)ψ2 (x, t
נרצה לבחון את:
ψ = ψ1 + ψ2
k1 +k2
δk
נגדיר:
= 2 ⇐k
2
ω1 +ω2
דומה:
ובאופן
2
δkx δωt
−
2
2
כמו כן נסמן
δω
δk
δk = k2 − k1 , k1 = k − δk
2 , k2 = k +
δω
,
ω
=
ω
+
δω = ω2 − ω1 , ω1 = ω − δωולכן נקבל:
2
2
= 2 ⇐ω
ei(kx−ωt) 2a cos
=
h
i
δk
δk
δωt
δωt
) aei(kx−ωt) ei(− 2 x+ 2 ) + ei( 2 x− 2
=
ψ
= vg
)ψ (x
x
איור :2.7סופרפוזיציה של תדרים קרובים
אם נסתכל בספקטרום נקבל שני תדרים.ω1 , ω2 ,
2.10
התקדמות חבילת גלים בתווך דיספרסיבי
הערה 2.10.1חומר נוסף זמין ב:
http://en.wikipedia.org/wiki/Wave_paket
מה יקרה אם ניקח גביש ,ונכה בו עם פטיש ובכך נעורר בו כמה תדרים בו"ז?
נשתמש התור פורייה ונקבל:
a (k) ei(kx−ω(k)t) dk
∞ˆ
= )ψ (x, y
∞−
נתון תנאי התחלה ):ψ (x, 0
ψ (x, 0) e−ikx dx
∞ˆ
∞−
1
2π
= )a (k
)למעשה זוהי הכללה של כלל דלאמבר(.
נקח תנאי התחלה בבסיס :k
2
) (k−k0
−
A
2
a (k) = √ e 2σk
vk 2π
13
פרק .2גלים חד מימדיים
.2.10התקדמות חבילת גלים בתווך דיספרסיבי
כלומר תחום רציף של תדרים עם אנרגיות נתונות לפי גאוסיאן ברוחב 2σkעם מקסימום ב .k0
נקבל:
dk ′
+ik′ x
k′2
2σ2
k
−
e
∞ˆ
∞−
Aeik0 x
√
}dk |{z
=
σk 2π
′
ikx
e
(k−k0 )2
2σ2
k
−
k =k−k0
e
∞ˆ
∞−
A
√
σk 2π
=
)ψ (x, 0
הערה 2.10.2זהות אינטגרלית חשובה:
π η4ξ2
e
ξ
r
= dq
+ηq
2
e−ξq
∞ˆ
∞−
ולכן נקבל:
2
eik0 x
כאשר
1
σk
x
− 2σ
2
x
ψ (x, 0) = Ae
= σx
הערה .σx σk = 1 2.10.3אי ודאות של פורייה .עבור גאוסיאן אי הודאות מינימלית.
נחשב את השפעת הדיספרסיה .נפתח ) ω (kבטור טיילור:
1 ∂ 2 ω
2
2
· (k − k0 ) +
) (k − k0 ) = ω0 + vg (k − k0 ) + β (k − k0
2 ∂k 2 k0
2
) (k−k0
−
2
A
2
]√ e 2σk ei[kx−(ω0 +vg (k−k0 )+β(k−k0 ) )t
σk 2π
∞ˆ
k0
∂ω
ω (k) ≈ ω (k0 ) +
∂k
= )ψ (x, t
∞−
אלגברה:
• k 7→ k ′ = k − k0
• לסדר איברים לאינטגרל גאוסיאני
• לפתור לפי נוסחא
(x−vg!t)2
−
+iβt
1
2σ2
k
4
1
ei(kx−ω0 t) e
+ iβt
1
2
2σk
s
A
√
σk 2
= )ψ (x, t
אם β = 0אזי מדובר בחבילת גלים שאינה משנה את רוחבה ונעה במהירות .vg
אם β 6= 0הגל ישנה את רוחבו )בד"כ יתרחב( )כלומר הגאוסיאן יגדל ,והאמליפטודה תרד(
14
פרק 3
גלי קול
3.1
מבוא לגלי קול בגז
גלי קול הם גלים אורכיים )אין ,shearingאין שום מתיחות שתאפשר גלים רוחביים(.
שיווי משקל P0 :־ לחץ V0 .־ נפח יחידה ρ0 .־ צפיפות.
נבצע סטייה קטנה לכל איבר ונקבל:
= P0 + p
= V0 + v
P
V
= ρ0 + ρd
ρ
נגדיר סטיה יחסית:
v
=δ :
V0
ρd
s := ,
ρ0
הערה 3.1.1בגלי קול טיפוסיים s ≈ 10−3 :ונגדיר אמפליטודת לחץ לגל הקול:
pm ≈ 2 · 10−5 N/m2
)שזה 10−10יותר קטן מלחץ אטמוספרי( עדיין שומעים את זה ב1000Hz
20/11/2011
תרגיל :רצוי לקרוא לשיעור הבא :לקרוא אדיאבטי )אנטרופיה לא משתנה( ואיזוטרמי
בשיעור הזה אמרנו כי:
pm ≈ 10−10 Atm
)ρ0 V0 = ρV = ρ0 V0 (1 + s) (1 + δ
|
{z
}
=1
= 1כיוון ש s = −δבקירוב.δ, s ≪ 1 :
מודולוס האלסטי:
dP
dP
= −V
B := − dV
/V
dV
נדרוש שמעבר גלי הקול הוא תהליך אדיאבטי
15
.3.1מבוא לגלי קול בגז
פרק .3גלי קול
הערה 3.1.2תהליך אדיאבטי תמיד מקיים:
P V γ = const
כאשר γהוא מספר חסר מימדים שהוא היחס בין
נגזור את הביטוי נגזרת שלמה:
קיבולחוםבלחץקבוע
קיבול חום בנפח קבוע
=γ :
V γ dP + γP V γ−1 dV = 0
dP
= γP = Ba
dV
−V
כאשר aהוא מציין אדיאבטי(
במקרה שלנו:
−p
v/V0
= Ba
או:
p = −Ba · δ = Ba s
∂η
= −s
∂x
=
· ∆x
∂η
∂x
∆x
v
±
V0
=δ
כוחות:
∂Px
∂Px
= Px − Px +
∆x
=−
∆x
∂x
∂x
2
המסה היא ρ0 ∆x :והתאוצה היא . ∂∂t2η :מחוק שני של ניוטון נקבל:
∂2η
∂p
∆x = ρ0 ∆x 2
∂x
∂t
16
−
Px − Px+∆x
.3.2אפקט דופלר החד מימדי בתווך
פרק .3גלי קול
נזכור כי:
∂h
∂x
p = −Ba δ = −Ba
∂p
∂2η
∂2η
)∂ (−Ba δ
=−
= Ba 2 = ρ0 2
∂x
∂x
∂x
∂t
−
נשים לב כי:
נפח כוח
·
2מהירות =
מסה שטח
22/11/2011
=
Ba
γP
=
ρ0
ρ0
3.2אפקט דופלר החד מימדי בתווך
יש לנו 3מערכות יחוס ־ המקור הצופה והתווך.
3.2.0.1
מקרה א' :מערכת ייחוס של המקור נייח )ותווך נייח( והצופה נע
בהינתן גל אשר נע ימיני ומקורו נייח והתווך נייח ,נניח כי הצופה שלנו נע שמאלה ,הצופה שלנו יקבל את
המקסימות של הגל בתדירות מסויימת.
הצופה שלנו נע במהירות Uobואילו הגל נע במהירות .vברגע t = 0הצופה היה בנקודת מקסימום של הגל,
ואחרי τ ′הוא היה שוב בנקודת מקסימום כלומר:
Uob τ ′ + vτ ′ = λ
לכן התדר שהצופה ימדוד הוא:
Uob
Uob
v
1+
= f0 1 +
=
λ
v
v
1
v + Uob
=
τ′
λ
= f′
3.2.0.2מקרה ב' :מקור נע וצופה ותווך נייחים
נניח כי המקור היוצר גל בתדירות
1
τ0
= fונע במהירות .Usלכן האורך גל החדר ישי:
λ′ = λ − Us τ0
הצופה יראה גל באורך גל ,λ′שנע במהירות ) vכמובן(.
ולכן הצופה ימדוד:
!
!
1
1
= f0
1 − Usλτ0
1 − Uvs
v
v
v
=
=
λ′
λ − Us τ0
λ
3.2.0.3מקרה ג' :צופה נע ומקור נע בתווך נייח
אותו אופן חישוב...
!
Uob
v
− Uvs
1+
1
f ′ = f0
הערה 3.2.1שימו לב למינוסים!
כאשר המקור והצופה מתקרבים זה לזה ,התדר צריך לעלות.
17
= f′
.3.2אפקט דופלר החד מימדי בתווך
3.2.1
פרק .3גלי קול
דופלר יחסותי )גלי אור(
במקרה זה קיימת רק מהירות יחסית בין הצופה למקור )אין תווך/אחר(.
נניח vrביניהם .במערכת המקור נתון גל במחזור .τ0במערכת הצופה זמן המחזור מתארך בגלל
טרנספורמציית לורנץ של הזמן:
vr2
c2
τ0
τ′ = q
1−
המרחק )במערכת הצופה( שינוע המקור עד המקסימום הבא היא:
vr2
c2
τ0
vr · τ ′ = vr · q
1−
והזמן שיקח במערכ )במערכת הצופה( למקסימום להגיע אליו הוא:
vr
c2
vr τ0
p
c 1−
כך שסה"כ הזמן בין מקסימות )זמן המחזור( שימדוד הצופה הוא:
p
1 + vcr
vr
1
1
= p
q
+
τ0
τ ′ = τ0 q
c
v2
v2
1 − vcr
1 − cr2
1 − cr2
ולכן התדר שימדוד הצופה יהיה:
f0
vr
c
vr
c
וזהו הדופלר יחסותי לאור.
p
1−
p
= f0
1+
הערה 3.2.2שוב ,צריך לשים לב למינוסים
תדר עולה אם מתקרבים ,ויורד אם מתרחקים.
הערה 3.2.3בגבור ≪ 1
| |vr
c
בעזרת טור טיילור משחזרים את הביטוי הקלאסי.
18
פרק 4
גלי פני שטח במים
בשלב הראשון נדון במקרה ש:
• נזניח מתח פנים )כלומר ,אורכי גל גדולים⇐יש מעט עקמומיות(.
• תאוצה g
• עומק h
)η (x, t
0
−h
איור :4.1גלי מים
)η (x, t) = a cos (kx − ωt
√
אנליזת מימדים במקרה של גלי מים עמוקים ⇐ hלא משפיע.ω (k) = gk :
4.0.1.1
פתרון אנליטי
נניח כי מים בתחום הזה ־ נוזל לא דחיס ⇒⇐ ~ · ~u = 0
∇ )כאשר uזה זרימה של מים(.
כמו כן ,נניח אמפליטודות נמוכות.
נניח גם שהזרימה אינה מערבלותית~ × ~u = 0 :
∇.
ולכן ניתן לההגדיר פונקציית עזר מתמטית~ = ~u :
) ∇φפוטנציאל מהירות(.
∂φ
∂φ
= , uz
∂x
∂z
= ux
מכך ש ~ · ~u = 0
∇ נקבל כי:
∂2φ ∂2φ
+ 2 =0
∂x2
∂z
)אין מקורות ,משוואת לפלאס(
בקרקעית יש לנו תנאי שפה:
∂φ
=0
∂z z=−h
19
= uz |z=−h
פרק .4גלי פני שטח במים
.4.1גלי מים ־ קפילריות )מתח פנים(
)אין זרימה בקרקעית(.
מהירות על השפהz = η (x, t) :
משוואת ברנולי אומרת כי:
∂φ
∂η
=
)∂t z=η(x,t
)∂z z=η(x,t
∂φ
+ gη = 0
∂t
)z=η(x,t
הערה 4.0.4לא נוכיח את משוואת ברנולי )למעשה ליאניריזציה(
נגדיר לחץ 0על פני המשטח ייחוס +הנחת מהירויות נמוכות(
נציב את את ηונפתור עבור :φ
))ω cosh (k (z + h
a
}sin (kx − ωt) |{z
)⇒ ω 2 (k) = gk tanh (kh
k
)sinh (kh
=φ
ברנולי
27/11/2011
4.0.1.2גבולות
נרצה לבחון את הביטוי שקיבלנו בגבולות שונים וחשובים
√
1/2
. LT −2 · L−1
מים עמוקים ⇐ .h > 1/2λבמקרה זה .ω ≈ gk .tanh → 1מימדים= T1 V :
pg
ω
גלים במים עמוקים נקראים ־ "גלי גרביטציה" .מהירות הפאזה במקרה זה היא vph = k = k :ומהירות
pg
1
vg = ∂ωכלומר.vg 6= vph :
∂k = 2
החבורה היאk :
√
√
λ
.ω ≈ gh |k| ⇐h < 20במקרה זה נקבל דיספרסיה לינאריתvph = vh = gh :
מים רדודים
ביניים
λ
2
λ
<<h
. 20במצב זה נהיה חייבים להשתמש ב.tanh
4.1גלי מים ־ קפילריות )מתח פנים(
עבור kמסויים .g → g + γρ k 2 :כאשר γהוא מתח הפנים ) (N/mו ρצפיפות המים.
נקבל כי הדיספרסיה המלאה היא:
γk 2
)k tanh (kh
ω2 = g +
ρ
4.2
אנרגיה
אנרגיה ליחידת שטח ממוצע על מחזור:
1
1
}ρgη 2 (t) = ρg |{z
a2
2
4
= ρgzdz
אמפליטודה
ˆ0
ρgzdz −
ˆη
= E pot
−h
−h
והאנרגיה הקינטית שלנו היא:
1
1
= ρga2עבודה קשה = ρ vx2 + vz2 dx
2
4
20
ˆη
−h
= Ekin
.4.3טסונמי
כאשר:
ולכן:
∂φ
∂z
פרק .4גלי פני שטח במים
= vz
∂φ
∂x ,
= .vx
1
ρga2
2
29/11/2011
= Etot
את הפיתוחים הנ"ל ביצענו עבור גלי ) Airyכלומר גלים המקיימים את הדיפרסיה(ω 2 = gk tanh (kh) :
במידה ונוסיף קפילריות נקבל:
γ
1
Etot = ρ g + k 2 a2
2
ρ
4.3
טסונמי
∼ (hכתוצאה מתזוזה של לוחות טקטונים באורכי
טסונמי ,נוצר מרעידת אדמה בעומק האוקיינוס )= 4, 000 m
עשרות אם לא מאות קילומטרים.
לכן√אורך הגל הוא .λT S = 500 km :כלומר אנו נמצאים בקירוב של מים רדודים .לכן נקבל כיω = :
|. gh |k
ולכן נקבל כי המהירות שלנו במקרה זה היא:
p
vph = vg = gh ≈ 700 km/h
האמפליטודה של הגל בעת שהוא נוצר היא קטנה ,לצורך העניין כ .0.1 m :אבל כאשר הגל מגיע לחוף
שאורכו בסדר גודל של קילומטר )נזכיר ,כי אורך הגל הוא כ 500קילומטר( ולכן כאשר הוא מגיע לחוף ,הגל נבלם,
אבל כל הזמן זורמת עוד אנרגיה ,לכן האמפילטודה מתחילה לעלות )כל הזמן מגיעה עוד אנרגיה( ואנו נקבל כי
האמפליטודה החדשה תהא:
1/4
hd
as
≈
ad
hs
נשאלה שאלה בכיתה :למה בכלל יש עוד מים ,הרי גל זו התקדמות של הפרעה ולא של חומר .התשובה היא
שבחוף החוקים משתנים ומים כן מתחילים לזרום.
21
פרק 5
הסלינקי המצייץ
נתונה דיספרסיה של סלינקי )גל רוחבי(:
a2 2
k
c2
r
1+
|ω (k) = c |k
גבולות:
c
≪k
α
c
≫k
α
|⇒ ω ≃ c |k
⇒ ω ≃ αk 2
תופעת הציוץ בסלינקי נגרמה בגלל נקישה מקומית ,כלומר מספר גל יחסית גבוה ,ניקח את הגבול
c
α
≫ .k
vph (k) = αk
כלומר ,תדרים גבוהים נעים מהר מהתדרים הנמוכים ,בגלל זה הציוץ נשמע קודם בתדר גבוה ואז בתדר נמוך.
נקח תנאי התחלה של נקישה:
2
x
ψ (x, 0) = A exp − 2
2σ
∂ψ
(x, 0) = 0
∂t
a
˜ (k) ei(kx−ω(k)t) dk
∞ˆ
∞−
כאשר:
ψ (x, 0) eikx dx
∞ˆ
∞−
∝ )ψ (x, t
a
∝ )˜ (k
)עד כדי פקטור (2π
אחרי שנציב את ה ωונפתור את האינטגרל +תנאי ההתחלה נקבל:
−x2
Aσ
√
exp
= )ψ (x, t
)2 (σ 2 + 2iαt
2 σ 2 + 2iαt
נקח חלק ממשי:
)+ φ (t
04/12/2011
x2 αt
+ 4α2 t2
σ4
−σ 2 x2
cos
) 2 (σ 4 + 4α2 t2
1
2αt
φ (t) = arctan
2
σ2
22
· exp
4σ
1/4
) (σ 4 + 4α2 t2
=ψ
פרק 6
משוואת התוף
נרצה לחשב כח על מלבן ∆x∆y
6.0.0.3על צלעות מקבילות לy :
בנקודה:
∆x
2
:x ±
∆x
∂
ψ x±
,y
∂x
2
±T ∆y
פתוח מסדר ראשן )טיילור( ב ∆xנותן בקירוב:
)∂ 2 ψ (x, y, t
∆x
∂x2
T ∆y
6.0.0.4על הצלעות המקבילות ל:x
באופן דומה:
)∂ 2 ψ (x, y, t
∆y
∂y 2
6.0.0.5
T ∆x
לסיכום:
∂2ψ
∂2ψ
+
∂x2
∂y 2
∂2ψ
∼ ⊥= F
= T ∆x∆y
∂t2
ρ∆x∆y
נקבל כי משוואת התוף היא:
)∂ 2 ψ (x, y, t
)= c2 ∇2 ψ (x, y, t
∂t2
כאשר
T
ρ
q
= .cנשים לב למימדי Tו T ) .ρהוא כוח ליחידת אורך ,ואילו ρמסה ליחידת שטח(
23
פרק .6משוואת התוף
.1זיהוי אופני תנודה עצמיים של המערכת
הערה 6.0.1פתרון )עם תנאי התחלה( בשיטה הספקרטלית:
.2רישום הפתרון הכללי עבור ) ψ (x, y, tכצירוף לינארי של אופני התנודה וקביעת המקדמים לפי תנאי
התחלה.
.3קידום בזמן על סמך התדרים העצמיים
כלומר:
a˜j ψj (x, y) e−iωj t
X
= )ψ (x, y, t
j
6.0.0.6עבור תוף מלבני
תנאי שפה:
ψ (x, y, t)|(x,y)∈C = 0
כאשר Cהיא השפה של המלבן .וכמובן שבשטח המלבן מקיים את משוואת התוף.
ψ (0, y, t) = 0
ψ (ℓx , y, t) = 0
ψ (x, 0, t) = 0
ψ (x, ℓy , t) = 0
לכל 0 ≤ x ≤ ℓx ,0 ≤ y ≤ ℓyולכל .t
פתרון ננסה הפרדת משתנים:
ψ (x, y, t) = X (x) Y (y) e−iωt
נציב במשוואת התוף ונקבל:
ω2
) XY = ∇2 (XY
c2
−
וזו נקראת משוואת הלהולץ ).(∇2 U + k 2 U = 0
ω2
c2
=−
d2 Y
dy 2
Y
}|{z
2
−ky
+
d2 X
dx2
|X
} {z
2
−kx
מהפרדת משתנים ,כל שבר רכיב במשוואה הנ"ל חייב להיות קבוע .נקרא להם כפי שמסומן במשוואה .כלומר
קיבלנו 2משוואות מהצורה:
ω 2 = c2 kx2
+ ky2
( 2
d X
2
)(n
+
k
X
=
0
x
dx2
⇐⇒ X (x) = A sin kx x
d2 Y
2
)(m
dy 2 + ky Y = 0
Y (y) = B sin ky y
עבור תנאי השפה )ה cosנופל(
πm
ℓy
= )ky(m
24
πn
,
ℓx
= )kx(n
.6.1תוף עגול
פרק .6משוואת התוף
ונקבל:
ψnm (x, y) = A˜nm sin kx(n) x sin ky(m) y
כאשר:
= c ~k
2
mπ
ℓy
+
2
nπ
ℓx
s
q
(m)2
(n)2
=c
= c kx + ky
q
k = kx2 + k62
) ~k = (kx , ky
ולכן הפתרון הכללי של משוואת התוף המלבני היא:
A˜nm sin kx(n) x sin ky(m) y e−iωnm t
06/12/2011
X
= )ψ (x, y, t
∞ m = 1, . . . ,
∞ n = 1, . . . ,
ניוון :עבור ~k־ים שונים אותו .ω ~k
P
ωnm
דוגמה : 6.0.2תוף ריבועי )כמו שראינו בהרצאה ,תוף עם 3מלבנים של אמפליטודה ,אופקיים ואנכיים(
6.1תוף עגול
כלומר עם האילוץ:
ψ (l, θ, t) = 0
)בקואורדינטות גליליות(
∂2ψ
1 ∂ψ
1 ∂2ψ
+
+ 2 2
2
∂r
r ∂r
r ∂θ
∂2ψ
= c2
∂t2
נפתור ע"י הפרדת משתנים:
ψ (r, θ, t) = R (r) Θ (θ) e−iωt
מציבים ומקבלים:
משוואה זוויתית:
d2 Θ
+ n2 θ = 0 ⇒ Θ = Ae±inθ
dθ
המחזוריות ב θ → θ + 2πשל n ⇐ Θשלם
המשוואה הרדיאלית:
dR
r2 d2 R
+r
+ k 2 r 2 − n2 R = 0
2
dr
dr
נגדיר :z = kr
וזוהי משוואת בסל.
d2 R
dR
+z
+ z 2 − n2 R = 0
dz 2
dz
25
z2
.6.2מוליך גלים
6.2
פרק .6משוואת התוף
מוליך גלים
חסום במימד yופתוח לאינסוף ב.x
)(m
ˆ sin ky y :כאשר
הפרדת משתנים⇐פתרון ב y
mπ
ly
=
)(m
.ky
ˆ eikx x :כאשר:
פתרון בx
+ kx2
2
πm
ly
s
26
ωm (kx ) = c
פרק 7
גלים מישוריים
במקרה של גלים מישוריים אין שפה.
)~r = (x, y
))ψ (~r, t) = A exp (i (kx x + ky y − ωt
נסמן ) ~k = (kx , kyונקבל:
= A exp i ~k · ~r − ωt
אלו הם המצבים העצמיים )של העדר שפה(
בעזרת טרנספורם פורייה דו מימדי נקבל:
∞¨
a ~k exp i ~k · ~r − ω (k) t dkx dky
1
2
∞−
11/12/2012
)(2π
= )ψ (~r, t
הערה 7.0.1בשעת קבלה אנשים שאלו על טרנספורם דו מימדי ,נדב משלים:
∞¨
a ~k ei(kx x+ky y−ωt) dkx dky
1
2
∞−
)(2π
= )ψ (~r, t
כאשר a ~kהוא תנאי התחלה.
בתווך לא הומוגני ,נניח )) c (~rמהירות הגל תלויה במקום( .אנחנו מדברים על דיספרסיה לינארית אבל תלויה
במקום.
משוואת הגלים הרלוונטית היא:
ψ (~r, t) = ψj (~r) e−iωj t
הפרדת משתנים לזמן
→−
∂ 2ψ
= c2 (~r) ∇2 ψ
∂t2
ואילו עבור המיקום ,נקבל את המשוואה:
ψj = 0
2
ωj
)c (~r
∇2 ψj +
נרצה לראות מה קורה בגבול ∞ → ωj
))ψ (~r, t) = ψj (~r) e−iωj t = A exp (iωj (J (~r) − t
27
פרק .7גלים מישוריים
.7.1חוק סנל עבור המשוואה האיקונלית
נציב במשוואה ונקבל:
i
1
∇2 J = 2
ωj
)c (~r
−
2
∂J
∂y
+
2
∂J
∂x
הערה 7.0.2ה Jהנ"ל נקראת יקוניאן )או משהו בסגנון(
הערה 7.0.3מעניין אותנו המקרה של ∞ → ωjבגלל שאנחנו רוצים לדבר עם אורך גל מאוד קטן .לא מעניין
אותנו גלים באורך של חדר.
אם נרצה להתעסק בגלים של באורך של תת מיקרונים ,לא נרצה להתייחס למודולציות הקטנות שהם עושים,
אלא לתנועת הקרניים.
בקירוב ,נזניח את ∇2 J
i
ωj
ונקבל:
1
)(~r
c2
=
2
∂J
∂y
+
2
∂J
∂x
זוהי משוואת איקונל.
מה קורה עם משוואות איקונל בתווך הומוגני? כלומר ?c (~r) = r
נתחיל מפתרון המלא של משוואת הגלים )ללא קירוב(:
ψ (~r, t) = A exp i ~k · ~r − ωt + ϕ
במקרה זה:
+ t0
kx
ky
x+
k
k
1
1
= )(kx x + ky y + ϕ
ωj
c
= J
אם נציג kx = k cos θ :ו ky = k sin θ :נקבל:
1
)(x cos θ + y sin θ
c
= )J (~r
נציב המשוואת האיקונל ונקבל כי זה אכן פותר אותה.
למה זה טוב? מכאן נוכל לקבל את חוק סנל )הישן והטוב(.
7.1חוק סנל עבור המשוואה האיקונלית
בהינתן תווך המשתנה ב x = 0מ Cל ) C ′אנו מדברים בדו מימד(.
נשים לב כי זה המערכת איזוטרופית עבור x > 0ועבור x < 0אבל לא בניהם .האיקונל שלנו יהיה:
(
1
)(x cos θ + y sin θ
x<0
J (~r) = c1
′
′
(x
cos
θ
+
y
sin
θ
)
x≥0
c′
צריך לתפור ב x = 0לכל ,yבפרט :y = 0
1
1
1
1
′
′
) = ′ (x cos θ + y sin θ
⇒ sin θ = ′ sin θ′
)(x cos θ + y sin θ
c
c
c
c
x− →0
x+ →0
13/12/2011
וזהו חוק סנל.
28
פרק 8
משוואת הקרניים )אופטיקה גיאומטרית(
תזכורת 8.0.1בשיעור הקודם למדנו את משוואת אייקונל )) (Eikonalלפעמים נראה בספרות )S (~rמשוואת
המילטון יעקובי(
1
)c2 (~r
=
∂J
∂y
+
2
∂J
∂x
בתווך הומוגני:
1
)(x cos θ + y sin θ
c
= J
)גלים מישוריים(
נרצה לעקוב אחרי מהלך הקרניים.
מה הקשר לאיקונל?
נקרב בעזרת טיילור:
~ · δ~r + o δr2
ωJ (r~0 + δ~r) = ωJ (r~0 ) + ω ∇J
נקבל:
ω (r~0 + δ~r, t) = A exp i ~k (r~0 ) · δ~r − ωt + ϕ0 + o δr2
~
:~k (r0 ) = ω ∇J
כאשר הגדרנו:
)ψ (~r, t) = Aeiω(J (~r)−t
מתכונתי למספר הגל ) ~k (r~0המקומי.
כלומר ,הגרדיאנט של ) Jהאיקונל(
~
הצבה במשוואת איקונל תניב.ω = c (~r) k (~r) :
המטרה שלנו היא למצוא משוואה שתתאר את מסלול הקרניים בהינתן תנאי התחלה ו ).c (~r
נגדיר )) ~r (s) = (x (s) , y (sבתור מסלול הקרן כאשר הפרמטר sהוא "אורך הקשת"
29
פרק .8משוואת הקרניים )אופטיקה גיאומטרית(
y
s
b
b
x
ds
dy
dx
dx dy
,
ds ds
)d~r (s
=
ds
ולכן:
p
s 2 2
d~r
dx
dx
dx2 + dy 2
=
+
=
=1
ds
ds
ds
ds
~d
r
ds
כדי לקבל את ) ~r (sנדרוש ש:
)המשיק לקרן( יהיה זהה לוקטור יחידה בכיוון )).~k (~r (s
~
= c (~r (s)) ∇J
~
~= r
)r(s
ולכן:
~ ~ −1
)∇J ∇J (~r
~
~= r
)r(s
))~k (~r (s
=
~
))k (~r (s
d~r
1
~
= ∇J
c (~r (s)) ds
הערה 8.0.2
~
?= ∇J
נזכור כי ממשוואת האיקונל:
1
))c2 (~r (s
=
2
∂J
∂y
+
2
∂J
∂x
ולכן:
1
))c (~r (s
=
2
∂J
∂y
+
2
∂J
∂x
s
~
= ∇J
נגזור לפי Sונקבל:
~ ~ d~r
· ∇ ∇J
ds
~
~=r
)r (s
=
}|{z
כלל השרשרת
~ d
)∇J (~r
ds
~
~= r
)r(s
30
=
)d~r (s
1
c (~r (s)) ds
d
ds
.8.1עקרון פרמה
פרק .8משוואת הקרניים )אופטיקה גיאומטרית(
כעת נציב:
d~r
~
= c (~r (s)) ∇J
ds
נקבל:
=
}|{z
איקונל
2
~
~= r
)r(s
1
)c2 (~r) ~r=~r(s
~
∇J
~ ))c (~r (s
∇
2
=
∇ ~
~ ∇J
~
= c (~r (s)) ∇J
~
~=r
)r (s
~ ))c (~r (s
∇
2
)d~r (s
1
c (~r (s)) ds
כלומר ,נקבל:
P
~ −1
= 2
)∇c (~r
))c (~r (s
~
~= r
)r (s
)d~r (s
1
c (~r (s)) ds
d
ds
דוגמה : 8.0.3אם c (~r) = cאז:
)d2~r (x
= 0 ⇒ ~r (s) = r~0 + eˆs
ds2
כלומר ,תנועה בקו ישר.
בהקשר של גלי אור מקובל לרשום:
c
)c (~r
= )n (~r
כאשר cמייצג את מהירות האור בריק .ואז אם נציב את ) n (~rנקבל משהו קצת יותר סימפטי:
d
)d~r (s
~
))n (~r (s
= ∇n
ds
ds
~
~=r
)r (s
8.1
עקרון פרמה
עקרון פרמה קובע כי זמן מעבר האור )הגל( ,לאורך מסלול הקרן הינו אקסטרימום )כמעט תמיד מינימום(
במקרה של מעבר בין שני מקדמי שבירה ,נקבל כי האורך המינימלי יקבע בעזרת חוק סנל.
נגדיר דרך אופטית:
n (~r (τ )) ds
ˆτ1
=ℓ
τ0
או בסימון מלא בזמן:
ds
)) c (~r (τ
כאשרdτ :
2
dy
dτ
+
ds 2
dτ
r
ˆτ1
τ0
= ]) J [r (τ
} | {z
פונקציונל
= ds
נגדיר לגרנז'יאן )נדב סיים ללמד אותנו תרמית ,אז הוא התחיל אנליטית(...
r
2
dy
˙
ds 2
+
~r
dτ
dτ
˙
=
= L ~r, ~r
)c (~r
)c (~r
31
d
ds
.8.2מיראז'
פרק .8משוואת הקרניים )אופטיקה גיאומטרית(
כלומר:
ˆτ1
L ~r, ~r˙ dτ
τ0
= ]) J˜ [r (τ
אם נשתמש במשוואות אויילר לגרנז' על הפונקציונל הנ"ל נקבל:
~ −1
)d~r (s
1
= 2
)∇c (~r
c (~r (s)) ds
))c (~r (s
~
~= r
)r (s
8.2
d
ds
מיראז'
כאשר אנחנו נוסעים בקיץ על כביש ארוך שטוח וחם ,אנחנו רואים אשליה של שלולית מים על הכביש ,כלומר
אנחנו רואים השתקפות של השמים.
נשים לב שמתרמודינמיקה ,עביר גז אידיאלי אנו יודעים כי כיוון שהכביש חם ,הצפיפות יורדת )כפונקציה של
הטמרפטורה(
)n (z) = n0 (1 + αz
כיוון שהאוויר חם יותר ,ולכן דליל יותר ,מקדם השבירה יורד.
נסמן את מסלול הקרן ב )) z (xנשים לב שהקרן שמגיעה מהשמיים בכלל לא פוגעת בכביש ,אלא מבצעת
פיתול(
נציב במשוואת הקרניים:
1
1 + αz
d
√
√
z˙ = α
1 + z˙ 2 dx
1 + z˙ 2
עבור z˙ 2 ≪ 1ונניח כי αz ≪ 1 :נקבל:
)d2 z (x
≈α
dx2
x
ˆx2 + tan θ0 x + x0 zˆ + x
18/12/2011
α
2
ˆ~r (x) = z (x) zˆ + x
=x
תזכורת 8.2.1בשיעור הקודם פתחנו את המשוואה:
)d~r (s
d
)~ (~r
))n (~r (s
= ∇n
ds
ds
~
~= r
)r(s
כאשר:
cvaum
)c (~r
= )n (~r
כמו כן ,הסבר על הפיתוח שעשינו בסוף השיעור הקודם:
d
1 + αz dz
1
n
d
d
0
√
=
n
√ =
√⇒
0α
ds
1 + z˙ dx
1 + z˙ 2 dx
1 + z˙ 2 dx
עבור αz ≪ 1וזוויות קטנות נקבל .z˙ 2 ≪ 1 :במקרה זה נזניח את z˙ 2ביחס ל ,1ונזנית את αzביחס ל 1ואז
נקבל:
d2
z=α
dx2
32
פרק .8משוואת הקרניים )אופטיקה גיאומטרית(
.8.3פריזמה
ומכאן נובע התנועה הפרבולית:
ˆx2 + tan θ0 · x + z0 z
α
2
ˆ~r = z zˆ + x
x
ולכן מתקבל המיראז'.
8.3פריזמה
נרצה למצוא את הקשר בין θ0ל .θ2
או בזום:
33
= )z (x
עיקוב קרניים )Traing
.8.4
(Ray
פרק .8משוואת הקרניים )אופטיקה גיאומטרית(
מחוק סנל:
n0
sin θ0
n1
θ0′ = arcsin
מגיאומטרית משולשים:
θ1 = θ0′ − α
ושוב:
n1
sin θ1
n2
כעת נניח.n1 = n .n0 = n2 = 1 :
1
sin θ0 − α
−α
n
arcsin
=
θ1′
θ1′ − α
=
θ2
δ = θ0 − θ2 = θ0 − arcsin n sin arcsin
בזויות קטנות:
sin x ≈ arcsin x ≈ x
כלומר:
1
θ0 − α
= (n − 1) α
δ = θ0 − α − n
n
כלומר ,תחת קירוב זוויות קטנות ־ קשר לינארי בין כניסה ליציאה.
8.4עיקוב קרניים )
Traing
(Ray
בקירוב פאראקיאלי ־ מטריצות .ABCD
B
x1
D
θ1
A
x2
=
C
θ2
34
.8.4
עיקוב קרניים )Traing
(Ray
פרק .8משוואת הקרניים )אופטיקה גיאומטרית(
)קירוב לינארי למעבר קרניים דרך אלמנט אופטי(
8.4.1
מהלך חופשי
כלומר ,אין שינוי ב.n
θ2 = θ1 ,x2 = x1 + d · θ1
נשים לב כי יש כאן קירוב זוויות קטנות ,השינוי ב xהוא tan θ1
1 d
0 1
= Sd
8.4.2עדשה דקה
התכונה הבולטת של עדשה היא מיקוד קרניים מקבילות לנקודה במרחק ,fנקרא לה אורך מוקד.
כמו כן ,העדשה יוצרת דמות.
נחפש איברי ABCDאשר מקיימים את הדרישות הנ"ל .נשים לב כי קרן העוברת דרך הראשית ,לא נשברת
וממשיכה.
לכן זה גורר כי .D = 1כמו כן ,העדשה דקה ,לכן ) A = 1כיוון שלא משנה באיזה xאנו עוברים ,אנחנו נצא
מאותו אחד כי זו עדשה דקה( ,ו ) B = 0כיוון שהזווית לא משפיעה על ה xאשר ממנו אנו יוצאים ,כיוון שהעדשה
דקה(.
נשאר להבין מה קורה עם ,cמתוך השיקול של מיקוד ,ומשיקולים טריגונומטרים ,נקבל כ.C = −1/f :
לכן ,קיבלנו כי:
0
1
1
− f1
= Lf
וכאמור מתקיים:
x1
x2
= Lf
θ1
θ2
35
.8.4
עיקוב קרניים )Traing
(Ray
פרק .8משוואת הקרניים )אופטיקה גיאומטרית(
20/12/2011
האם Lfו Sdקומוטטיביות?
0
1 − d/f d
=
1
−1/f
1
d
1
d
=
1
−1/f 1 − d/f
1
0
d
1
1
−1/f
1
0
1
−1/f 1
0
36
=
S ·L
=
L·S
.8.4
עיקוב קרניים )Traing
(Ray
פרק .8משוואת הקרניים )אופטיקה גיאומטרית(
8.4.3מילון מטריצות
תיאור
מהלך חופשי בתווך בעל מקדם קבוע
שבירה ממישור חלק
שבירה במעבר קמור\קעור
החזרה ממראה מישורית
החזרה ממראה כדורית
עדשת GRIN
A 2
2x
n = n0 1 −
ABCD
1 d
0 1
1
0
0 n1/n2
0
1
n1
n2
n1 −n2
R·n2
d־ מרחק
n1־ מקדם התחלתי
n2־ מקדם סופי
העברה לפי חוק סנל.
R־ רדיוס עקמומיות העדשה.
כאשר R > 0קמור
)כלומר מרכז העקמומיות
לאחר המעבר(
n1־ מקדם התחלתי.
n2־ מקדם סופי.
הערה :לא מדובר בעדשה
אלא רק במעבר אחד בין
מקדמי שבירה
1
0
0
1
0
1
הערות
צריך להפוך כיוון התקדמות
הציר האופטי
1
−2/R
R־ רדיוס המראה )בתמונה
המרחק בין Cל (P
אם R > 0קעור.
וגם צריך להפוך כיוון
התקדמות
√
√
√
Aℓ
A sin
Aℓ
cos
√
√
√
− A sin
Aℓ
cos
Aℓ
37
אורך כללי ℓ
הערה :בתוך העדשה ייתכן
כי קורות אוסילציות ולא רק
עיקום .למעשה בקירוב זהו
פוטנציאל הרמוני.
פרק .8משוואת הקרניים )אופטיקה גיאומטרית(
.8.5דמות
הערה :GRIN (Gradient Index) Lens 8.4.1התמונה שצויירה בכיתה:
r
~
~n d
וגם מתקייםds = ∇n :
8.5
d
ds
)וזה מקור שמה(
דמות
בהקשר של עדשה הזכרנו את המונח "דמות" )באנגלית נקרא לזה .(imaging
אם נניח עצם מול מראה )כל נקודה בו קורנת לכל ה הכיוונים(
הדמות היא המקום אשר נראה כאילו העצם נמצא גם שם .כלומר אם יש לנו צופה המתבונן דרך מראה הוא
יראה את העצם כמתואר בציור:
8.5.1
דמות בעדשה
הציור מהשיעור:
38
בהירות Brightness
.8.6
פרק .8משוואת הקרניים )אופטיקה גיאומטרית(
אם יש לנו אובייקט בקודה נתונה כלשהי ,הדמות שלו תווצר בנקודה בה כל הקרניים יפגשו.
נשים לב כי למעשה המערכת שלנו נראית כך Sv Lf Su :לכן:
v
1
0
1 u
1 v
1
u
1 − v/f u + uv/f
=
=
1
−1/f 1
0 1
0 1
−1/f 1 − u/f
−1/f
1 − u/f
1
0
המטרה שלנו היא למצוא את vבהנתן uו .f
=
0
כי:
נדרש
לכן
(x
לאותו
להגיע
צריכות
מסויים
נדרוש אי תלות ב ) θ1כל הקרניים מ x1
u + v − uvומכך
2
f
נקבל:
1
1
1
= +
u v
f
מהו ) x2של הדמות(? מדמיון משולשים נקבלx2 = − uv x1 :
8.5.1.1מקרים ותגובות
u → ∞ .1־ נקבל כי v → fולכן .x2 → 0
u > f .2־ נקבל כי v > 0
)א( x2 = −x1 ; v = 2f ⇐ u = 2f
x2 → ∞ ,v → ∞ ⇐u = f .3
v < 0⇐u < f .4ואז x2 :אותו סימן כמו .x1
מצבים 3־ 1נקראים דמות ממשית ,ואילו מצב 4נקרא דמות מדומה
הערה 8.5.1עדשה מפזרת ־ המשמעות היא פשוא fשלילי.
8.6
בהירות
Brightness
נשים לב כי אם מתחלים ב ni = 1ומסיימים ב ) nf = 1ועוברים דרך מערכת אופטית מורכבת ככל שתהיה(
תמיד נקבל det M = 1וזו תקרא הבהירות שלנו.
הערה 8.6.1תמיד כדאי לבדוק את הדטרמיננטה אם אנו מחשבים את המטריצה של מערכת אופטית אשר
מתחילה ומסיימת באוויר .אם היא שונה מ 1כנראה שיש טעות חישוב.
הערה 8.6.2נשאלה שאלה מה קורה עם החזרות ,הרי אם הדטרמיננה היא 1זה אומר שכל הקרן עברה
התשובה היא שביקרוב משוואות הקרניים אנחנו כלל לא מדברים על החזרות ,ובמקרה זה נצטרך לחזור
למשוואות יותר כלליות.
39
פרק .8משוואת הקרניים )אופטיקה גיאומטרית(
8.7קאוסטיקות
.8.7
קאוסטיקות Caustis
Caustis
מיקוד מסדר ראשון ,בניגוד למוקד )פוקוס( מושלם עבורו כל הסדרים ממקדים.
קרניים מקבילות יותאות ממקור Xופוגעות במראה שיש לה פרופיל ) f (xאנו נקבל מיקוד חלקי.
דוגמה כזו אנו רואים בבריכה עקב העקמומיות השונה של המים.
נרצה לחשב מה תהיה ) αהזוית של הקרן המוחזרת(
נקבל:
)y − f (x) = − tan α (x − X
זוהי משוואת הישר של הקרן המוחזרת
משיקולים גיאומטריים:
27/12/2011
π
2
= α + 2θ
df
= tan θ
)= f ′ (x
dx x=X
2
1 − tan2 θ
))1 − (f ′ (X
= − 2θ
=
2
2 tan θ
)2f ′ (X
π
40
tan α = tan
.8.7
קאוסטיקות Caustis
פרק .8משוואת הקרניים )אופטיקה גיאומטרית(
נציבבמשוואת הישר ,נכפיל ב ) 2f ′ (Xונעביר אגפים ונקבל:
2
2f ′ (X) (y − f (X)) + 1 − (f ′ (X)) (x − X) = 0
משוואה כנ"ל ניתן לכתוב כ .F (x, y; X) = 0 :לו היה לנו מוקד מושלם אזי המוקד ) (x, yלא היה תלוי ב . X
כלומר ,נגזרות מתאפסות בכל סדר )אינסוף תנאים( לא קורה בדר"כ.
קאוסטיקה ־ דרישה הרבה יותר חלשה )ונפוצה( ,דורשת רק את ההתאפסות רק של נגזרת ראשונה:
d
F (x, y; X) = 0
dX
נגזור ונקבל תנאי נוסף:
2
2f ′′ (X) (y − f (X) − f ′ (X) (x − X)) − 1 − (f ′ (X)) = 0
נחלץ את xו־:y
)f ′ (X
)f ′′ (X
= X−
x
= f (x) +
y
2
))1 − (f ′ (X
)2f ′′ (X
8.7.1קאוסטיקה בספל קפה
√
מראה צילינדרית l2 − x2
= ) .f (Xנציב במשוואת הקאוסטיקה .נחשב את הנגזרות:
−x
√
l2 − x2
−x2
(l2 − x2 ) /2
3
X = l cos φ
=
f′
=
f ′′
f (X) = l sin φ,
)הזווית φהיא הזווית בין הרדיוס המגיע לנקודת הפגיעה לבין הציר הניצב לקרן(
f ′ (X) = − cot φ
−1
= )f ′′ (X
l sin3 φ
הצבה בנוסחת הקאוסטיקה תניב:
= l cos3 φ
1
)= l sin φ 1 + cos (2φ
2
41
x
y
פרק .8משוואת הקרניים )אופטיקה גיאומטרית(
.8.8טרנספורם ראדון )+טומוגרפיה ממוחשבת(
צורה זו נקראת נפרואידה
8.8טרנספורם ראדון )+טומוגרפיה ממוחשבת(
אנו שולחים קרן )לצורך העניין (Xומקבלים פלט תלת מימדי של עצם לצורך העניין.
f (x, y) dy
∞ˆ
= )p (x
∞−
טרנספורם פורייה:
g (x, y) ei2π(fx x+fy y) dxdy
∞¨
= ) G (fx , fy
∞−
kx
) 2π
= fxו:
ky
2π
p (x) ei2πfx x dx
= (fy
∞ˆ
∞−
= dx
i2πfx x
g (x, y) dy e
∞ˆ
∞−
∞ˆ
∞−
= dxdy
)i2π(fx x
g (x, y) e
∞¨
= )s (fx ) := G (fx , 0
∞−
משפט 8.8.1
חיתוך פורייה ־ Fourier Slie Theorem
החתך במישור פורייה של ) (fy = 0) G (fX , fyהינו טרנפורם פורייה של ההיטל )p (x
לכן על מנת להשיג מודל של התמונה ,יש לדגום את ההטל בהרבה זוויות שונות.
נתבונן בבעיה עבור פונקציה עם סימטריה צילנדרית )לכן מספיקה דגימה אחת על מנת לקבל שחזור מלא(
ˆ
1
= )g (r, z
G (ky , z) J0 (ky r) dky
2
)(2π
כאשר ) G (ky , zהוא טרנספורם פורייה החד מימדי לאורך ציר yו J0פונקציית בסל מסדר .0
42
פרק 9
התאבכות
הפרשי עוצמה בגל הנובעים מקשר פאזה מוגדר בין רכיביו.
העוצמה ) (Intensityשל גל ניתנת ע"י:
E
D
I (r) = |ψ (r, t)|2
τ
) .τ ≫ 2πממוצע על זמן (τ
כאשרω :
נניח גל מונוכרומטי )או קרוב למונוכרומטי( בתדר .ωאם הגל מונוכרומטי ,אזי
2π
ω
= .τ
9.1התאבכות שני גלים
נתבונן במקרה של התאבכות של שני גלים ψ0ו.ψ1 :
ψ = ψ0 + ψ1
כאשר:
E
D
נגדיר
Ij = |ψj |2
)A0 exp (iφ0 (~r) − iωt
)A1 exp (iφ1 (~r) − iωt
=
=
ψ0
ψ1
τ
E
D
2
|I (~r) = |ψ
= = h[A1 exp (iφ1 (~r) − iωt) + A0 exp (iφ0 (~r) − iωt)] × c.c.iτ
τ
p
))I0 + I1 + I0 I1 cos (∆φ (~r
כאשר:
)∆φ = φ0 (~r) − φ1 (r
01/01/2012
נקבל I = 0אם I0 = I1וגם ⇐ ∆φ = πנקבלI = 2I ′ − 2I ′ = 0 :
9.1.1
התאבכות גלים מישוריים
במקרה של שני גלים מישוריים נקבל כי ה ψהכללי שלנו הוא:
ψ = A0 exp ik~0 · ~r − iωt + A1 exp ik~1 · ~r − iωt
במקרה זה אנו דנים במקרה בו התדירויות ωשוות .(ω = ω) .וכמו כן | ) |k0 | = |k1בתווך לא דיספרסיבי,
איזוטרופי פשוט(.
∆φ = φ0 − φ1 = k~0 − k~1 · ~r = ∆~k · ~r
43
.9.2מקורות נקודתיים
פרק .9התאבכות
נעשה פירוק ל :~r
⊥~r = ~r|| eˆ + ~r
ואז נקבל:
p
||I (~r) = I0 + I1 + 2 I0 I1 cos ∆kr
2π
כלומר ,קיבלנו גל עומד עם מחזור מרחבי
. ∆k
נניח I = I0 = I1ו~ = 2k~0 ⇐ k~0 = −k~1 :
.∆kונקבל:
||I (~r) = 2I ′ + 2I ′ cos 2k0 r
במקרה של שינוי בפאזה ,נקבל כי התמונת התאבכות רק זזה במרחב ,כמו כן ,אם ) k~0 = k~1זהים בגודל ובכיוון(
והשינוי בפאזה הוא πאזי נקבל התאפסות העוצמה בכל המרחב.
9.2
מקורות נקודתיים
במקרה של מקור נקודתי )כלומר נקודה הפולטת גלים לכל הכיוונים( נקבל כי משוואת הגלים היא:
)ψ2D = α (~r) exp (ikr − ωt
כאשר ה rהוא רדיאלי ו .k = ω/cמשימור אנרגיה נקבל כי:
|α|2 2πr = const
נרשום:
√a
kr
= )) α (~rכאשר (kr ≫ 1ונקבל:
a
)ψ2D = √ exp (ikr − iωt
kr
נבחין כי הפונקציה הנ"ל נכונה לשדה רחוק )במקרה של r → 0זה מתבדר(.
במקרה של תלת מימד:
a
)exp (ikr − iωt
kr
2
= ψ3D → |α (r)| 4πr2 = const ⇒ ψ3D
ושוב נדרש כי .kr ≫ 1
9.2.1מקור דיפול
03/01/2012
q
q
2
2
(x − ℓ/2) + y 2 , t − ψ2D
(x + ℓ/2) + y 2 , t
ψ = ψ2D
מינוס בגלל שזו פאזה הפוכה )כאמור ,דיפול(.
v
q
q
v
u
u
1
1
2
2
u
u
2
2
ℓ
ℓ
exp ik (x − /2) + y − iωt +at q
exp ik (x + /2) + y − iωt − iπ
= at q
2
2
k (x − ℓ/2) + y 2
k (x + ℓ/2) + y 2
הגורם −iπהוא בגלל המינוס של הדיפול.
איבר ההתאבכות נשלט ע"י הפרש הפאזה:
q
q
2
2
∆φ = k (k − ℓ/2) + y 2 − k (x + ℓ/2) + y 2 − π
עבור r ≫ ℓנפתח בסדר ראשות ב ℓונקבל:
kℓx
∆φ = − p
+ π = π − kℓ sin θ
x2 + y 2
44
.9.2מקורות נקודתיים
פרק .9התאבכות
וכמו כן ,עבור ℓ ≪ rנקבל גם כי:
v
v
u
u
1
1
1
u q
≈u
√ ≈
t q
t
2
2
kr
k (x − ℓ/2) + y 2
)k (x + ℓ/2
ואז מהצבה בעוצמת השדה נקבל:
∆φ
2
2
2
|4 |a
|2 |a
= ))(1 + cos (∆φ
cos2
kr
kr
= )I (~r
נציב את .∆φוגם נבצע קירוב ,עבור דיפול אטומי .ℓ ≈ 10−10 mוכמו כן≈ 10−6 m :
ולכן נקבל כי:
2π
k
= .kℓ ≪ 1 ⇐ λ
2
|a| k 2 ℓ2
sin2 θ
kr
= )I2D (~r
לאחר פיתוח לטור של :cos
הערה 9.2.1
אבל בגלל ה
π
2
π
kℓ
−
sin θ
2
2
2
|4 |a
cos2
kr
=
זה הופך לסינוס ,ואז קירוב לסדר ראשון באמת יניב את המבוקש.
במקרה של פאזה לא מנוגדת ,כלומר פאזה שונה מ:π
עדיין נבחר ) r ≫ ℓבעיקר בשביל נוחות החישוב(
q
q
2
2
2
2
ℓ
ℓ
(x − /2) + y − (x + /2) + y − δφ
∆φ = k
)במקרה הזה ,נדון במקרה הכללי יותר δφ ,כבר לא חייב להיות .πניקח δφ = 0בשביל הנוחות(.
תנאי התאבכות בונה:
q
q
∆φ ! 2πj
=
= λ·j
= (x − ℓ/2)2 + y 2 − (x + ℓ/2)2 + y 2
k
k
זה היה עבור דיפול .מה קורה כאשר ?kℓ > 1
במקרה של 2מקורות רחוקים )שווי פאזה (δφ = 0
45
.9.2מקורות נקודתיים
x
d
פרק .9התאבכות
שני מקורות kℓ > 1נמדוד על מסך הנמצא ב y = d :ונסתכל קרוב לראשית של xכלומר x ≪ d :אזי:
| 4|a2
∼ .sin θכאשר Imax = kd
= = tan θ
kℓ
2
Id = Imax cos
x
2d
I
λd
ℓ
= ∆x
x
איור :9.1גרף של Iכפונקציה של xכאשר y = d
46
פרק 10
עקיפה
10.1
המשוואה הפארא־אקסיאלית
טיפול בגלים מתקדמים .שימוש נפוץ באור.
1 ∂2ψ
c2 ∂t2
= ∇2 ψ
נניח שאפשר להגדיר "ציר אופטי" לאורך ) yכלומר כל הקרניים נעות פחות או יותר בכיוון ציר .(y
ˆ .ואז ה )) ~k = k (− sin θ, cos θהסיבה של המינוס היא שאנו
נמדוד לכל נקודה את הזווית θבין הקרן ל y
מודדים את θמהקרן אל ציר .(y
ולכן גל מישורי יהיה מהצורה:
)ψ (x, y, t) = A0 exp (iky cos θ − ikx sin θ − iωt
כאשר .ω = ckעבור :θ ≪ π
)ψ (x, y, t) = A (x, y) exp (iky − iωt
כאשר:
A (x, y) = a0 exp −i/2kθ2 y − ikθx
וגם עבור הנגזרת השניה נקבל:
) ∂A (x, y
|) ≪ |A (x, y
λ
∂y
2
∂ A
≪ k ∂A
∂y 2
∂y
נציב את ) ψ = A exp (iky − iωtבמשוואת הגלים )נזכור כי Aתלוי גם הוא ב ,(x, yנקבל:
) ∂A (x, yזניח *
)∂ 2 A (x, y) ∂ 2 A (x,y
+ 2
+ 2ik
∂x2
y
∂y
ולכן נקבל:
)∂A (x, y
)∂ 2 A (x, y
=
∂y
∂x2
08/01/2011
וזה נקרא משוואת הגלים הפארא־אקסיאלית.
47
−2ik
פרק .10עקיפה
10.2
.10.2עקרון הויגנס־פרנל
עקרון הויגנס־פרנל
משוואת הגלים הפארא־אקסיאלית היא מסדר ראשון ב⇐ .yמספיק רק תנאי התחלה )A (x, y)|y=0 = A (x, 0
כדי לפתור אותה.
נפתור בעזרת פורייה:
A˜ (q, y) exp (iqx) dq
∞ˆ
∞−
1
= )A (x, y
2π
נציב בזאת במשוואה הפארא־אקסיאלית .נקבל:
2
)˜ (q, y
−q
∂A
= q 2 A˜ (q, y) ⇒ A˜ (q, y) = A˜ (q, 0) exp
y
2ik
∂y
2k
כאשר ) A˜ (q, 0טרנספום פורייה של תנאי ההתחלה.
נציב בטרנספום ונקבל:
q2
A˜ (q, 0) exp −i y exp (iqx) dq
2k
∞ˆ
∞−
1
= )A (x, y
2π
יש לנו כאן פורייה הפוך של מכפלה ,כלומר קונוולוציה של פורייה הפוך .ואמרנו כי:
A˜ (q, 0) exp (iqx) dq
∞ˆ
1
= )A (x, 0
2π
∞−
2
exp − iqהוא:
ופורייה הפוך של 2k y
iq 2
y + iqx dq
exp −
2k
2
pπ
β
exp −αs2 + βs ds = α
נזכור כי:
exp − 4α
ikx2
iπ
−
2y
4
∞´
∞ˆ
∞−
1
2π
ולכן:
∞−
k
exp
y
s
1
√=
2π
ונקבל:
x2
iπ
k
exp ik
−
y
2y
4
10/01/2012
s
1
√ ⊗ )A (x, y) = A (x, 0
2π
⊗ ־ קונבולוציה.
בשיעור הבא נראה כי למעשה קיבלנו את עקרון הויגנס־פרנל :כל נקודה על חזית הגל מהווה מקור נקודתי
להמשך התבנית העקיפה
ψ (x′ , 0, 0) U2D (x − x′ , y, t) dx′
∞ˆ
∞−
= )ψ (x, y, t) = ψ (x, 0, 0) ⊗ U2D (x, y, t
כאשר:
iπ
k
x2
−
exp ik y +
− iωt
2πy
2y
4
48
s
= )U2D (x, y, t
.10.2עקרון הויגנס־פרנל
פרק .10עקיפה
הגדרה 10.2.1עיקרון הויגנס־פרנל :כל חזית גל מתנהגת כאוסף של מקורות נקודתיים.
נראה כי U2Dאכן מייצג מקור כדורי
נזכר בגל מתשפט:
p
כאשרx2 + y 2 :
k
iπ
exp ikr − iωt −
2πr
4
r
= ψ2D
= .rבקירוב הפארא־אקסיאלי נקבל כי ):(x ≪ y
s
x2
x2
r =y 1+ 2 ≈y+
y
2y
ולכן בגבול הפארא־אקסיאלי:
ψ2D → U2D
10.2.1עקיפה בתלת מימד
)פיתוח זהה(
אמפליטודה ב A (~r, 0) :z = 0כאשר ):~r = (x, y
¨
2
ik
~
~ 0 exp ik ~r − R
A (~r, z) = −
d2 R
A R,
2πz
2z
~ zt d2 R
~ 0, 0 U3D ~r − R,
ψ R,
r2
ik
− iωt
exp ik z +
2πz
2z
¨
= )ψ (~r, z, t
U3D (~r, z, t) = −
10.2.2בעיית המסך )חצי מישור(
גל מישורי אינסופי פוגע במשך החוסם חצי ממנו )המסך הוא חצי מישור(
תנאי ההתחלה שלנו הוא
(
A x≤0
= )ψ (x, 0, 0
0 x>0
)הסך נמצא על ציר ה(x
dx′
!
2
) ik (x − x′
2y
נחליף משתנה(x − x′ ) :
k
2πy
q
ˆ0 s
iπ
k
ψ (x, y, t) = exp iky − iωt −
exp
4
2πy
∞−
= ηנקבל:
s
!
iπ
k
A exp iky −
− iωt G
x
4
2y
exp iη 2 dη
49
∞ˆ
s
1
√
π
= )ψ (x, y, t
= )G (s
פרק .10עקיפה
.10.3חריצים
iπ
√i
exp is2
2 πs
s → −∞ → exp 4 +
→ 12 exp iπ
− √sπ
G (s) = |s| ≪ 1
4
√1 exp is2
∞→s
2 πs
ונקבל כי:
s
!2
k
x
I (x, y) = AG
2y
מסקנה 10.2.2
√
יש אור באיזור ה"המוצל" ,למשל עבור ) x ≫ λyהשדה הרחוק x ,חיובי(
λy
4π 2 x2
I (x, y) ≈ |A|2
מסקנה 10.2.3
בצד ה"מואר" יש תנודות די חזקות בעוצמה שדועכת לאט.
מסקנה 10.2.4
על ,x = 0העוצמה תמיד )לכל (y
2
||A
4
הערה 10.2.5ניתן למצוא גם פתרון מלא )בלי קירוב פרנל וכו'( של זומרפלד.
10.3חריצים
!
"
#
2
π
) (x − x′
k
− i − iωt
exp ik y +
2πy
2y
4
s
= )U2D (x − x , y, t
נפתח את הסוגריים באקספוננט ונקבל:
ik ′2
k ′
= U2D (x, y, t) exp −i x x + x
y
2y
כאשר U2Dהוא קבוע על אינטגרל הקונבולוציה שעושים על משתנה המפתח .x′
50
′
פרק .10עקיפה
.10.3חריצים
P
דוגמה : 10.3.1עבור מבפתח√ ברוחב .2Wהאיבר השני באקספוננט הנ"ל )ההוא עם ה (x′2זניח אם:
k
k ′2
x ≤ 2y
W2 ≪ π
, 2yכלומר.W ≪ λy :
ואז במקרה כזה נקבל קירוב נוסף )פראונהופר(:
k
ψ (x′ , 0, 0) exp −i x′ x dx′
y
התמרת פורייה ביחס למשתנה
∞ˆ
= )ψ (x, y, t) = U2D (x, y, t
∞−
k
yx
בשלושה מימדים ־ קירוב פראונהופר≪ π :
k
2
2z Rmax
ונקבל:
~ · ~r d2 R
~ 0, 0 exp −i k R
ψ R,
z
51
∞ˆ
)ψ (~r, z, t) = U3D (~r, z, t
∞−
עקיפה.10 פרק
חריצים.10.3
:2D החריץ ב: 10.3.2 דוגמה
ψ (x, 0, 0) =
ψ (x, y, t) = AU2D (x, y, t)
ˆW
−W
(
A
0
|x| ≤ W
|x| > W
sin
ikx
exp −
x dx′ = 2AU2D (x, y, t)
y
P
′
kW
y
k
yx
x
: נקבלy = d עבור
I (x) = I0
sin2
kw
d x
2
kw
d x
I0 = |A|
= I0 sinc2
kw
x
d
:כאשר
2
2kω 2
πd
I(x)
I0
2W
λd
x
העוצמה במרחב:10.1 איור
1 נמצא בגובה0ה"פיק" ב
. ∼ מההספק90% ב"גבעה" הראשונה יש לנו כ
: ־ מפתח מלבני ומעגלי3D ב
:מלבני
ψ (~r, z, t) = AU3D (~r, z, t)
ˆW ˆh
−W −h
(
′
′
k ~
′
′
~ 0, 0 dy dx = A |x | ≤ W, |y | ≤ h
R − ~r
ψ R,
exp −i
z
0 אחרת
~ = (x′ , y ′ ) כאשר
.R
= AU3D (~r, z, t)
ˆW
−W
ˆh
k
kW
kh
k
exp −i x′ x dx′ exp −i y ′ y dy ′ ⇒ I = I0 sinc2
x sinc2
y
z
z
d
d
−h
2
2
2
.I0 = 4Kπ2Wd2 h |A|2 :כאשר
:(דיסקה )מפתח מעגלי
~ ≤ R0
A R
~
ψ R, 0, 0 =
0 R
~ > R0
52
ψ (~r, z, t) = AU3D (~r, z, t)
ˆR0
ˆ2π
0
0
R
ˆR0
k
k
exp −i Rr cos θ dθdR |{z}
= 2πAU3D (~r, z, t) RJ0
Rr dr =
z
z
מרוכבות
0
J1 kR0 r
פרק .10עקיפה
.10.4תכונות דיפרקציה של עדשה
kR0
r
d
Idisc = I0 Jinc2
k 2 R04
d2
I0 = |A|2
I
r
λd
r0 = 0.61 R
0
10.3.3 :
P
דוגמה
איור :10.2העוצמה במרחב
15/01/2012
למה צריך רמקולי טוויטר במערכות סאונד?
הבעיה היא לא שהרמקולים הגדולים לא יכולים ליצור את התדרים ,אלא שיש להם מפתח זוויותי.
λd
כאשר λ . R0קירוב פראונהופר נהיה רלוונטי ו:
,r0 = 0.61 Rולכן נקבל כי המפתח הזוויותי ) ∆θביחס
0
לציר הניצב למרכז הרמקול( נקבל כי:
r
λ
0
≈ 0.61
∆θ = a tan
d
r0
P
דוגמה : 10.3.4רמקול בקוטר 10ס"מ ,הצליל דו הכי גבוה בפסנתר הוא .λ = 8 cm ⇐ 4186 Hzולכן
◦.∆θ = 55
ולכן יש לחלק את התדרים כך שהתדרים הגבוהים ילכו לטוויטרים .למה צריך בכלל את הרמקולים הגודלים?
בגלל שיש תדר מינימלי אותו רמקול יכול לייצר .והטוויטרים לא יכולים לייצר את הצלילים הנמוכים.
10.4
תכונות דיפרקציה של עדשה
נחשב בקירוב העדשה הדקה .כלומר גל עובר את העדשה עם ).∆φ (x, y
))∆φ = k · n∆ (x, y) + k (∆0 − ∆ (x, y
כאשר ∆0זה העובי המקסימלי של העדשה )במרכז העדשה( ו ) ∆ (x, yזה העובי בנקודה ספציפית.
ולכן:
1
1
x2 + y 2
−
}∆ (x, y) |{z
= ∆0 −
2
R1
R2
קירוב טיילור
ניתן להגדיר:
1
1
−
R1
R2
1
):= (n − 1
f
הערה 10.4.1את נוסחה זו אנו מכירים מהתיכון.
53
.10.5תורת הדיפרקציה של קירכהוף־זומרפלד
פרק .10עקיפה
k
tℓ (x, y) = exp (ikn∆0 ) exp −i
x2 + y 2
2f
פונקציית העברה של עדשה )דקה(.
כעת נשתמש ב tℓכדי לחשב תמונה של מקור אור ) AtA (x, yהעומדת ליד צמצם )עדשה עם מפתח כלשהו(
)) P (x, yכל מה שמעבר אליו נזרק(.
החישוב יבוצע באופן הבא:
.1נכפיל ב )) P (x, yנקצוץ אור מחוץ לצמצם(
.2נכפיל tℓ
.3נקדם למרחק fלפי פרנל.
17/01/2012
מיד לאחר העדשה ,נקבל כי:
)) +y 2
2
AtA (x, y) · P (x, y) e(−i 2f (x
k
הערה 10.4.2הורדנו את ) exp (ikn∆0מכיוון שהוא קבוע שלא תלוי במיקום ,מדובר רק בפאזה כלללית של כל
הקרניים.
ומתקיים:
x2 + y 2 ≤ R02
x2 + y 2 > R02
1
0
(
= )P (x, y
נרצה לחשב כעקיפת פרנל למרחק .fכלומר נבצע קונבולוציה עם U3D
תזכורת 10.4.3
r2
−ik
− iωt
exp ik z +
= )U3D (~r, z, t
2πz
2z
נקבל:
k
AtA (x′ , y ′ ) P (x′ , y ′ ) exp −i (xx′ + yy ′ ) dx′ dy ′
f
∞
¨ x2 + y 2
ik
2f
2πz
∞−
נבחין כי האינטגרל הוא טרנספורם פורייה של מכפלת פונקציית הצמצם והגל הנכנס .AtA
הערה 10.4.4הנחנו כי העצם הוא על העדשה )ממש צמוד( והעדשה היא דקה.
הערה 10.4.5גבול הדיפרקציה )מקסימום רזולוציה( היא . λ2
10.5
תורת הדיפרקציה של קירכהוף־זומרפלד
qx2 + qy2 + qz2 = k 2
!
z −iωt
q2
+ ky2
2
qx
k2
1−
s
i qx x+qy y+k
2π
,
λ
=k
ψpw = ei(qx x+qy y+qz z)−iωt = e
הערה 10.5.1אנו יוצאים מהנחה שגלים נעים בכיוון ציר ה zהחיובי.
pw־plain wave
54
ik exp
פרק .10עקיפה
.10.5תורת הדיפרקציה של קירכהוף־זומרפלד
נבצע טרנספורם פורייה דו מימדי ב:x, y
¨
ψ (x, y, z, t) exp (−i (qx x + qy y)) dxdy
1
2
)(2π
= )A (qx , qy , z, t
וכמובן קיים טרנספורם הפוך כדי לחלץ את פונקציית הגל.
משוואת הלמהולץ )אחרי הפרדת הזמן( נקבל:
∇2 ψ˜ + k 2 ψ˜ = 0
הערה 10.5.2זו משוואה בשלושה מימדים ,לכן אנו לא עושים שום קירוב פאראקסייאלי.
ממשוואת המלמהולץ ,ובעזרת הטרנספום ההפוך נקבל:
A (qx , qy , z, t) = 0
!!
qy2
qx2
+ 2
2
k
k
1−
∂2A
+ k2
∂z 2
זוהי משוואה דיפרנציאלית אשר הפתרון שלה הוא כמובן:
#
qy2
qx2
)+ 2 z A (qX , qy , 0
k2
k
" s
1−
A (qx , qy , z) = exp ik
הערה 10.5.3קירוב פרנל אומר כי:
ולכן נקבל:
q q
y x
, ≪ 1
k
k
)z
(
2 +q2
i qx
y
2k
eikz−
וזו הייתה פונקצייה הקידום של פרנל .אבל הפתרון להעיל הוא מלא יותר ולא מניח את הקירוב של פרנל.
שאלה של פיינמן מלפני שנים רבות:
נניח שיש לנו אטום שפולט אור באורך גל 662ננומטר )אלפי פעמים גודל האטום(
מה היה קורה אם היינו לוקחים את הגל ,הופכים אותו ושולחים אותו חזרה .האם היינו יכולים לפקס אותה
עד לרזולוציה אטומית?
התשובה היא לא .מכיוון שמתי שהאור מתחיל להתכנס לגדלים הקטנים מאורך הגל הוא צריך גם את המקור
)???(
עבור qx2 + qy2 > k 2נקבל דעיכה אקספוננציאלית ב .zבספרים היה כתוב שזה לא נכון במשך שנים עד
שאהרון לואיס )ההוא שהרצה ברעיונות יסוד( הצליח לאסוף את הקרניים האלה(.
הגלים הנ"ל נקראים .evanesent wavesהם אינם נושאים אנרגיה לשדה הרחוק.
10.5.1
דימות ) (imagingקוהרנטי ולא קוהרנטי
נתבונן בגוף נקודתי הפולט אור הפוגע בעדשה )נמצא במרחק z0ומההעדשה ,ומתמקד במרחק ,ziהם לא על
אותו הציר אלא בסטייה קלה(
נפתור באופן הבא:
.1לקדם גל עד העדשה )מרחק (z0
.2להכפיל בפונקציית העברה )מרחבית( של עדשה
.3לקדם עד ל .zi
55
פרק .10עקיפה
.10.5תורת הדיפרקציה של קירכהוף־זומרפלד
לא נעשה זאת כאן ,הקרבה אלגברה .ניתן לקרוא בפרק 5+4של .Goodman
התמונה שנקבל היא לא תהא נקודתית ,אלא תמונת התאבכות.
פונקציית הגל היא:
h (x, y, x′ , y ′ ) ψ (x′ , y ′ , −z0 ) dx′ dy ′
∞¨
= ) ψ (x, y, zi
∞−
הנחת הדימות:
) κδ (x ± M x′ , y ± y ′
) g (x, y, x′ , y ′
≈
}|{z
עד כדי דיפרקציה
M, Kנקבעים על ידי תנאי הדמות )ואורך הגל(.
אבל הקירוב של הדימות הוא לא טוב ,מכיוון שהוא מתעלם לחלוטין מדיפרקציה .אחרי ביצוע החישוב המלא
שתואר לעיל נקבל כי:
¨
i
h ′
′
′′
′′
1
−ik zx + xz x′′ + zy + y
z y
0
0
i
dx′′ dy ′′
P (x′′ , y ′′ ) e
h (x, y, x′ , y ′ ) = 2
λ zi z0
אם נגדיר:M = − zz0i :
dx′′ dy ′′
] − zik [(x−Mx′ )x′′ +(y−My ′ )y ′′
i
P (x′′ , y ′′ ) e
¨
1
h (x, y, x , y ) = 2
λ zi z0
′
′
דוגמה לפונקציית הצמצם ברדיוס :R0
x′′2 + y ′′2 < R02
אחרת
1
0
(
′′
′′
= ) P (x , y
עוצמת האור ,קוהרנטי:
¨ *
2 +
′
′
′ ′
′
′
=
h (x − x , y − y ) ψ (x , y , −z0 ) dx dy
=
¨
¨
′
′
dx dy
dudvh (x − x′ , y − y ′ ) h∗ (x − u, y − v) hψ (x′ , y ′ , −z0 ) ψ ∗ (u, v, −z0 )i
הצבה בנוסחאות לעיל לאור קוהרנטי.
הערה 10.5.4אור לא קוהרנטי אומר שאין קשר פאזה בין נקודות שונות ,מכך נובע ש:
)hψ (x′ , y ′ , −z0 ) ψ ∗ (u, v, −z0 )i = κI (x′ , y ′ ) δ (x′ − u, y ′ − v
2
|h (x − x′ , y − y ′ )| I (x, y, −z0 ) dx′ dy ′
24.1.12
56
¨
I (x, y, zi ) = κ
E
2
D
|I = |ψ
פרק 11
גלים אלקטרומגנטיים
11.1בריק
~ ∝B
נזכיר את משוואות מקסוול בריק )כאשר בריק ~
:(H
)(Gauss
= 0
)(No magneti monopoles
~
∂H
)(Faraday
= −µ0
∂t
~
∂E
)(Ampere + x by Maxwell
= ε0
∂t
−12 F
/m
≈ 8.85 · 10
= 0
≡ 4π · 10−7 N/A2
~ ·E
~
∇
~ ·H
~
∇
~ ×E
~
∇
~ ×H
~
∇
ε0
µ0
היעד הבא הוא משוואת גלים .מה היעד הבא?
נעשה רוטור על משוואת פאראדיי ונקבל:
∇ × ~
~ ×E
∇ ∂ ~ = −µ0
~ ×H
~
∇
∂t
∇ × ~
~ ×S
∇= ~
∇ ~
~ ·S
~ − ∇2 S
נשתמש בזהות ~
∇ ,ונציב את משוואות גאוס ואמפר־מקסוול:
~
1 ∂2E
=0
c2 ∂t2
~−
∇2 E
כאשר .c = √ε10 µ0 ≡ 2.99792458 · 108 m/s
מניפולציה דומה תיתן משוואה זהה עבור ~
.Hאם נתעלם מהוקטוריות ,ונתייחס לגודלו של השדה כסקלר ־
אזי זו משוואת גלים רגילה ,וכל הפיתוחים שעשינו עד כה תקפים לשדה החשמלי )וגם המגנטי(.
11.1.1
עוצמת אור
~=E
~ ×H
נגדיר תחילה את שדה שטף האנרגיה ־ שדה פוינטינג~ :
,Sונגדיר את העוצמה:
I ≡ h|S|i
2 2
~ ~
.B
כאשר הממוצע הוא על "זמן ארוך" .זה נגזר מתוך חישוב על צפיפות האנרגיה לפי Eו־
57
.11.2בחומר
11.2
פרק .11גלים אלקטרומגנטיים
בחומר
משוואות מקסוול ,ללא מטענים וזרמים חופשיים:
0
0
=
=
~ ·D
~
∇
~ ·B
~
∇
−
=
~ ×E
~
∇
=
~ ×H
~
∇
≡
~
D
~
B
~
∂B
∂t
~
∂D
∂t
~ + P~ ≈ ε0 (1 + χe ) E
~
ε0 E
~ +M
~
µ0 H
11.2.1
≡
הנחות ראשונות )לשבירה עתידית(
.1לינאריות והעדר נפיצה ־ χקבוע ולא תלוי תדר
.2הומוגניות ־ χלא תלוי ב־~r
.3איזוטרופיות ־ אין כיוון מועדף ⇒⇐ ~
P~ k E
.4החומר אינו מגנטי =⇐~ = 0
M
גזירה והצבה זהים למה שעשינו בריק יובילו למשוואה
~2
1 ∂ E
=0
v 2 ∂t2
~−
∇2 E
√
כאשר .v = nc , n = εr
אפשר בקואורדינטות קרטזיות לקבל פיתרון נפרד לכל רכיב .הפיתרון בכיוון ~kעבור גל מישורי עם תדר
אחד:
~ (~r, t) = E~0 exp i~k · ~r − iωt
E
כאשר יש דיספרסיה לינארית ולכן .ω = v ~kנרצה למצוא את E~0ו־ ,~kואז נפתור את הבעיה.
נעבור להצגת פורייה תדר/זמן:
~
= −iωε0 εr E
~
= iωµ0 H
~ ×H
~
∇
~ ×E
~
∇
עבור גל מישורי~ ≡ i~k ,
∇:
~
−ωε0 εr E
~
ωµ0 H
=
=
~k × H
~
~k × E
~
~ kS
E,ניצבים זה לזה )וכמובן ~
~ H,
ש־~ K
~
.(K
ניתן לראות
עבור ,Hנקבל:
~0 exp i~k · ~r − iωt
= H
ωε ε
k
0 r
E0
= E0
=
ωµ0
k
58
~
H
H0
פרק .11גלים אלקטרומגנטיים
.11.3קיטוב
11.3קיטוב
הקיטוב מוגדר לפי כיוון השדה החשמלי.
נניח ציר אופטי ˆ.~k k z
E~0
E0x
ˆ= E0x xˆ + E0y y
= |E0x | eiφx
= |E0y | eiφy
E0y
נעבור רגע להצגה ממשית:
) |E0x | cos (kz − ωt + φx
) |E0y | cos (kz − ωt + φy
=
Ex
=
Ey
קצת אלגברה על הצגה זו ,ונקבל:
sin2 φ
= cos φ
2 |E0x | |E0y | cos φ
= tan α
2
2
| |E0x | + |E0y
Ex Ey
| |E0x | |E0y
−2
2
Ey
| |E0y
+
2
Ex
| |E0x
xהיא .αכאשר
ˆ ,כאשר הזוית בין xל־ˆ
xו־ y
כאשר .φ = φx − φyנקבל אליפסה עם צירים ראשיים על ˆ
2
2
Ey
x
+
α = 0נקבל = 1
. |EE0x
|
| |E0y
11.3.1יחסי פרנל בהחזרה והעברה
נניח מעבר מתווך n1לזה ב־ ,n2ונניח זווית פגיעה ,θiונשאל מהן .θr , θt
עבור ,θi = 0נקבל בעיה חד מימדית בה הקיטוב לא משנה ,ואפשר להשתמש בכל מה שעשינו במיתר.
במקרה הכללי ,נגדיר מישור פגיעה כמישור שיוצרות הקרניים .איך פותרים :רושמים שדה חשמלי ומגנטי )עם
רכיבי קיטוב במקביל ובניצב למישור הפגיעה( ודורשים ש־ ⊥ Hk , Ek , B⊥ , Dעוברים ברציפות .כמו כן ,לפי סנל
θi = θrוכן .n1 sin θi = n2 sin θt
עבור קיטוב Sניצב למישור הפגיעה ,מקדמי ההחזרה וההעברה הם:
n1 cos θi − n2 cos θt
n1 cos θi + n2 cos θt
2n1 cos θi
n1 cos θ1 + n2 cos θ2
=
rs
=
ts
עבור קיטוב Pמקביל למישור הפגיעה:
n1 cos θt − n2 cos θi
n1 cos θt + n2 cos θi
2n1 cos θi
n1 cos θt + n2 cos θi
29/01/2012
ˆ:+
עבור גל המתקדם בכיוון z
E0x
E0y
59
= ~0
E
=
rp
=
tp
.11.4שבירה כפולה
פרק .11גלים אלקטרומגנטיים
0
0
.1קיטוב לינארי .בציר ~ 0 = E0x : x
= ~0
Eכאשר E0xממשי .בציר ,y
(.
) Eאו מנורמל
1
0
E0y
בשביל הנוחות ,מעכשיו הכיתוב יוצג~ 0 = |E0 | normalized :
E
cos α
1
√12ואז .|E0x |2 + |E0y |2 = 1ובאופן כללי עבור קיטוב לינארי
קיטוב ב ◦:45
sin α
1
1
.2קיטוב מעגלי :ימני ־ ) RCPבורג שמאלי אם הגל מתקדם אלינו ,לאורך ציר (z
, √12ושמאלי ־ LCP
−i
1
)בורג ימני(...
. √12אזהרה :יש 2קונוונציות לשמות אלו שתלויות במיקום הצופה )שרירותי ,עניין של
i
הגדרה(.
11.3.2מקטב לינארי
לאורך הצירים:
1 0
E0x
E0x
=
0 0
0
E0y
cos θ sin θ
ובזווית כלשהי ־ נעבוד בבסיס אחר ואז נחזור .נגדיר מטריצת סיבוב:
− sin θ cos θ
של אלמנט )אופרטור( קיטוב Tθהינו ) Tθ .Tθ = R (−θ) T R (θהנו האופרטור Tאחרי שסובב בזווית .θ
אופרטור נוסף
1 0
= Dη
0 eiη
= ) R (θאזי פעולתו
כאשר יש חומר שמקטב אור אחרת בצירים שונים.
11.4
שבירה כפולה
עבור קיטוב ) Sניצב למישור( מתקבל שבירה לפי חוק סנל על ) sin θi = nz sin θo .nzאנו מניחים שהקרן הגיעה
מ ,n1 = 1ובזוית ,θiמחוק סנל היא תצא בזווית .((ordinary) θo
עבור קיטוב ) Pמקביל למישור(
n (θe ) = ny cos θe + nx sin θe
ואז חוק סנל כבר אינו ניתן לפתרון אנליטי פשוט )עבור קיטוב זה(:
) sin θi = n (θe ) sin (θe
11.5
עוצמת השדה והאימפדנס
E0
. Hכאמור כבר אמרנו כי:
נדון בגל מישורי בתווך איזוטרופי והומוגני ,נרצה לבחון את היחס
0
∆
= ηאימפדנס =
1
n
}|{z
r
µ0
ε0
} | {z
E0
ωµ0
µ0 c
=
=
=
H0
k
n
מקדם שבירה ≈377 Ω
)לא אותה ηממטריצת ג'ונס(
אמרנו שעוצמת האור )הגל( היא השדה בריבוע ,אבל נרצה להפוך את זה להספק ליחידת שטח ,לכן ההגדרה
הנכונה היא:
E02
2η
∆
=I
60
.11.6השורשים המיקרוסקופיים של מקדם השבירה )איזוטרופי(
פרק .11גלים אלקטרומגנטיים
עבור אמפליטודה ממשית של השדה ,אם אנחנו עובדים בהצגה מרוכבת ,חסר פקטור ,2כלומר עבור E˜0מרוכב:
2
2 E˜0
=I
η
P
)פקטור 4כי השדה בריבוע(
דוגמה : 11.5.1מהי אמפליטודת השדה של נורת להט 100 Wבמרחק .2.5 cm
הנצילות האנרגתית ) 2.5%כלומר רק 2.5%הופכים לאור ,כל היתר הופך לחום(.
הספק
2.5 W
≈ 0.0318 W/cm2
=
יחידת שטח
4π · 2.52 cm2
p
2ηI ≈ 4.9 V/cm
11.6
= עוצמה
= E0
השורשים המיקרוסקופיים של מקדם השבירה )איזוטרופי(
נרצה לדבר על מערכת ברוחב ) ∆zלוחית דיאלקטרית( אשר מלאה באלקטרונים בעלי פוטנציא הרמוני כלשהו
)הנגרם מהמולקולות אשר בהם הם יושבים( .בהינתן גל מישורי המתקדם בכיוון ) ,zשדה (E~sנרצה לבחון את
השדה לאחר המערכת .E~f = E~s + E~a
E~s = E0 x
ˆeikz−iωt
נרצה למצוא את :E~f
∆z
E~f = E0 x
) ˆeikz−iω(t−(n−1) c
כאשר אנחנו מניחים כי זה יגיב כמו מקדם שבירה .n
למעשה יש לנו הזזת פאזה הנגרמת מהמעבר בחומר הדיאלקטרי בעובי .∆zאם n = 1נבחין כי זה מתאפס,
ונשאר עם מעבר נקי.
נבצע קירוב טיילור ונקבל:
)(n − 1
∆zE0 eikz−iωt
c
{z
}
E~a
≈ E0 x
ˆeikz−iωt + iω
|
{z
}
|
~
Es
נניח שישנו אלקטרון בתווך הדיאלקטרי שאחוז בפוטנציאל הרמוני:
2
d x
2
+
ω
x
= F ≈ qe E0 e−iωt
me
0
dt2
הפתרון למשוואה הנ"ל היא:
x0 e−iωt
qe E0
) me (ω02 − ω 2
= x
=
x0
כלומר:
qe E0
e−iωt
) me (ω02 − ω 2
ואלו הן התנודות במצב עמיד.
61
=x
.11.6השורשים המיקרוסקופיים של מקדם השבירה )איזוטרופי(
פרק .11גלים אלקטרומגנטיים
הערה 11.6.1ה ω0האופייני הוא עמוק בתוך האולטרה סגול ,באזור ה .100 nm
כעת יש לנו מישור של אלקטורנים שכולם מתנדנדים מעלה ומטה .ברור שנוצר מכך שדה אלקטרומגנטי .איזה
שדה זה יוצר? נלמד בחשנ"ל לכן בינתיים נאלץ להאמין למרצה.
התוצאה היא:
σqe x
ˆ
qe E0
= E~a
iω
eikz−iωt
2ε0 c
) m (ω02 − ω 2
לכן המקדם השבירה ) nהמאקרוסקופי( יתקבל ע"י התאמה בין התבנית המאקרוסקופית ל E~aלבין התבנית
המיקרו שקיבלנו עתה ונקבל:
σqe2
) 2ε0 m (ω02 − ω 2
= (n − 1) ∆z
N qe2
) 2ε0 me (ω02 − ω 2
n=1+
כאשר Nהיא הצפיפות הנפחית המתקבלת ע"י:
σ
∆z
=N
σהיא הצפיפות משטחית מספרית )כלומר .(1/m2
אנו מניחים כי ∆zקטן מאורך הגל ,לכן אין חשיבות במיקרו עבור .∆z
מה קורה כאשר ω → ω0הרי ב ω0הדבר הנ"ל מתבדר.
נבחין כי גלי רדיו למשל כמעט ואינם מרגישים חומרים מכיוון ש ωשלהם מאוד קטן .אבל מה קורה כאשר
אנחנו שואפים לרזוננס?
קרוב לרזוננס ,צריך להוסיף איבר דיסיפציה )כלומר ,זה יפול למתחת ל 1ואז ישאף אסימפטוטית ל.1
62
פרק 12
תוספת?
מה המשמעות של ?n < 1מסתבר שזה קורה.
ראשית מדובר בפאזה ולא במהירות החבורה .מהירות החבורה תמיד קטנה ממהירות האור.
זה נושא מתקדם ולא באמת נדון בו.
63
