קבל הולך וקטן . המרחק הראשוני בין הלוחות מחובר למקור מתח V קבל לוחות בע

‫קבל הולך וקטן‬
‫קבל לוחות בעל לוחות עגולים ששטחם ‪ A‬מחובר למקור מתח ‪ .V‬המרחק הראשוני בין הלוחות‬
‫הוא ‪ .d‬מקרבים את הלוחות זה לקראת זה במהירות קבועה ‪.u‬‬
‫א‪ .‬מהו השדה המגנטי בין הלוחות?‬
‫ב‪ .‬מהו השדה המגנטי בין הלוחות אם לפני ההזזה הקבל נותק אך נשאר טעון?‬
‫א‪ .‬בין הלוחות ישנו שדה חשמלי‪:‬‬
‫ˆ‪⃗ = V z‬‬
‫‪E‬‬
‫‪d‬‬
‫אבל מקרבים אותן‪ ,‬כך שיש גם שינוי בשדה החשמלי‪:‬‬
‫˙ ‪V‬‬
‫⃗ ‪d‬‬
‫ˆ‪E = − 2 d‬‬
‫‪z‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪d‬‬
‫למזלנו השינוי הזה אחיד במרחב‪ .‬עם תוספת קלה של מקדמים ניתן לקרוא לזה זרם העתקה‪:‬‬
‫‪˙z‬‬
‫ˆ‪⃗ = − V d‬‬
‫‪⃗jd = 1 d E‬‬
‫‪4π dt‬‬
‫‪4πd2‬‬
‫בכל מקרה‪ ,‬גם אם קוראים לזה זרם העתקה וגם אם לא‪ ,‬משוואת מקסוול הרלוונטית היא‪:‬‬
‫⃗‬
‫)‪⃗ = 1 dE + 4π ⃗j = 4π (⃗jd + ⃗j‬‬
‫‪∇×B‬‬
‫‪c dt‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫על מנת לחשב את השדה המגנטי‪ ,‬ננצל את העובדה שלוחות הקבל עגולים ולכן יש סימטריה‬
‫סביב הציר‪ B .‬המושרה ניצב ל‪ .E‬ל ‪ B‬אין רכיב רדיאלי מכיוון ש ‪⃗ = 0‬‬
‫‪ ∇ · B‬ולכן הוא חייב‬
‫להיות בכיוון ‪ .φ‬כמוכן אין לו תלות בזווית‪ .‬ננצל את כל אלה יחד עם משפט סטוקס‪ ,‬לקבל‪:‬‬
‫∮‬
‫{‬
‫‪{ 4π‬‬
‫= ⃗‬
‫‪⃗ · dl‬‬
‫‪⃗ · dS‬‬
‫=⃗‬
‫⃗‬
‫‪B‬‬
‫)‪(∇ × B‬‬
‫‪(⃗jd + ⃗j)dS‬‬
‫‪c‬‬
‫‪⃗ · φˆ = 4π jd πr2‬‬
‫‪2πrB‬‬
‫‪c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⃗ · φˆ = jd πr‬‬
‫‪B‬‬
‫‪c‬‬
‫‪r‬‬
‫‪u‬‬
‫‪⃗ · φˆ = V r d˙ = V r‬‬
‫‪B‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2cd‬‬
‫‪2c (d0 − ut)2‬‬
‫ב‪ .‬אם מנתקים את מקור המתח‪ ,‬אז השדה החשמלי לא ישתנה כתלות בזמן‪ .‬דרך אחת לראות‬
‫זאת זה חישוב ישיר של שדה של שני לוחות טעונים‪ ,‬שכידוע לא תלוי במרחק‪ .‬דרך שניה היא‬
‫לחשב את השדה בהנחה ש ‪ Q‬נשאר קבוע‪:‬‬
‫‪V‬‬
‫‪Q‬‬
‫=‬
‫‪d‬‬
‫‪dC‬‬
‫אבל ‪ C‬יורד לינארית ב‪ ,d‬ולכן הצירוף ‪ dC‬נשאר קבוע‪.‬‬
‫א‬
‫=‪E‬‬
‫קבל הולך וקטן‬
‫קבל לוחות בעל לוחות עגולים ששטחם ‪ A‬ומרחק בין הלוחות ‪ d‬מחובר למקור מתח חילופין‪:‬‬
‫)‪V (t) = V0 cos(ωt‬‬
‫על הציר המרכזי של הקבל נמצא נגד דק מאוד ‪ R‬שמקצר בין הלוחות‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו הזרם העובר דרך הנגד?‬
‫ב‪ .‬מהו זרם ההעתקה העובר דרך הקבל?‬
‫ג‪ .‬מהו הזרם הכולל שמספק מקור המתח למעגל?‬
‫ד‪ .‬חשבו את השדה המגנטי הנוצר בין לוחות הקבל‪.‬‬
‫א‪ .‬המתח על הנגד הוא )‪ , V (t‬ולכן הזרם הוא‪:‬‬
‫)‪V (t‬‬
‫‪V0‬‬
‫=‬
‫)‪cos(ωt‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫= )‪I(t‬‬
‫ב‪ .‬זרם ההעתקה הוא השינוי בשדה החשמלי‪ .‬נגזור את גודל השדה החשמלי בין הלוחות‪:‬‬
‫‪V‬‬
‫‪d‬‬
‫=‪E‬‬
‫˙‪V‬‬
‫‪1 d‬‬
‫)‪−ωV0 sin(ωt‬‬
‫=‪E‬‬
‫=‬
‫‪4π dt‬‬
‫‪4πd‬‬
‫‪4πd‬‬
‫= ‪jd‬‬
‫אבל זו צפיפות הזרם‪ .‬נחשב את הזרם כולו‪:‬‬
‫)‪⃗ = jd A = −ωA V0 sin(ωt‬‬
‫‪⃗jd · dS‬‬
‫‪4πd‬‬
‫נשתמש בביטוי לקיבול של קבל לוחות‬
‫‪A‬‬
‫‪4πd‬‬
‫‪x‬‬
‫= ‪Id‬‬
‫= ‪:C‬‬
‫)‪Id = −ωCV0 sin(ωt‬‬
‫ג‪ .‬בשביל הזרם הכולל צריך לחבר את שני הזרמים כפונקציה של הזמן‪) .‬זאת מכיוון שהזרם שנכנס‬
‫לקבל שווה לזרם ההעתקה(‪ .‬נשתמש בחשבון מרוכב כדי לפשט את המצב‪:‬‬
‫[‬
‫]‬
‫‪V0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪iwt‬‬
‫= ‪IR‬‬
‫‪cos(ωt) = ℜ‬‬
‫‪V0 e‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫[‬
‫]‬
‫‪Id = −ωCV0 sin(ωt) = ℜ iωCV0 eiwt‬‬
‫([‬
‫)‬
‫)‬
‫]‬
‫]‬
‫([‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪iwt‬‬
‫‪I = IR + Id = ℜ‬‬
‫‪+ iωC V0 e‬‬
‫)‪+ iωC V (t‬‬
‫‪=ℜ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫וקיבלנו למעשה את התוצאה הידועה מחישוב עכבות‪ ,‬שאם מחברים קבל ונגד במקביל צריך‬
‫לחבר את ההופכיים‪.‬‬
‫א‬
‫קבל נפרק‬
‫ישנו קבל לוחות בעל לוחות מעגליים עם רדיוס ‪ r1‬ומרחק ‪ d‬בין הלוחות‪ .‬מטעינים את את הקבל‬
‫למתח ‪ ,V‬ואז פורקים אותו דרך נגד ‪.R‬‬
‫א‪ .‬מצאו את השינוי באנרגיה האלקטרומגנטית האגורה בין לוחות הקבל‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את ההספק שבו הנגד מתחמם‪ ,‬והשוו לתוצאה הקודמת‪.‬‬
‫א‪ .‬בשביל השינוי באנרגיה האלקטרומגנטית נשתמש בוקטור פוינטינג‪.‬‬
‫גודל השדה החשמלי בתוך הקבל הוא‬
‫‪V‬‬
‫‪d‬‬
‫=‪E‬‬
‫ומכאן השינוי הוא‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫˙‪V‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪d‬‬
‫נמצא את השדה המגנטי בעזרת משוואת מקסוול וסטוקס‪:‬‬
‫∮‬
‫{‬
‫‪⃗ · d⃗l = 1‬‬
‫˙‬
‫‪B‬‬
‫‪EdS‬‬
‫‪c‬‬
‫˙‬
‫‪⃗ · φˆ = 1 πr2 V‬‬
‫‪2πrB‬‬
‫‪c‬‬
‫‪d‬‬
‫˙‬
‫‪φ‬‬
‫ˆ‬
‫‪V‬‬
‫‪⃗ = r‬‬
‫‪B‬‬
‫‪2c d‬‬
‫מכאן וקטור פוינטינג‪:‬‬
‫˙‪1 rV V‬‬
‫‪⃗= c E‬‬
‫‪⃗ ×B‬‬
‫ˆ‪⃗ = −‬‬
‫‪S‬‬
‫‪r‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪8π d2‬‬
‫השינוי בצפיפות האלקטרומגנטית נתון על ידי משפט פוינטינג‪:‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪⃗ + J⃗ · E‬‬
‫⃗‬
‫‪=∇·S‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪−‬‬
‫בין לוחות הקבל אין זרם‪ ,‬ולכן הרכיב השני מתאפס‪ .‬נחסוך את החישוב של הדיברגנס על‬
‫ידי שימוש במשפט גאוס‪ ,‬וחישוב השטף של ⃗‬
‫‪ S‬דרך המעטפת הגלילית שעוטפת את הקבל כדי‬
‫לקבל אינטגרל נפחי על שינוי האנרגיה‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y ∂u‬‬
‫˙‪1 r1 V V‬‬
‫‪⃗ · dA‬‬
‫=⃗‬
‫‪S‬‬
‫‪dzr1 dφ‬‬
‫‪dV = −‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪8π d2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫˙‪πr V V‬‬
‫˙‪r V V‬‬
‫‪˙ = −IV‬‬
‫‪= 1‬‬
‫‪= (C V˙ )V = QV‬‬
‫‪= 1‬‬
‫‪4d‬‬
‫‪4πd‬‬
‫= ‪P‬‬
‫כאשר בשורה השניה השתמשנו בחישוב של קיבול של קבל לוחות‪ ,‬ובהגדרה של זרם כנגזרת של‬
‫המטען‪ .‬סה"כ קיבלנו שכל ההספק שבו הנגד מתחמם‪ ,‬מגיע מירידה באנרגיה האלקטרומגנטית‬
‫שאגורה בין לוחות הקבל‪.‬‬
‫א‬
‫גלים על פני המים‬
‫נתון שדה חשמלי‪:‬‬
‫ˆ)‪⃗ = E0 f (ay − bt‬‬
‫‪E‬‬
‫‪z‬‬
‫כאשר )( ‪ f‬היא פונקציה כלשהי‪.‬‬
‫א‪ .‬מצאו תנאי עבורו השדה הוא פתרון של משוואת הגלים האלקטרומגנטית‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את מהירות הגל‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצאו את השדה המגנטי ‪.B‬‬
‫ד‪ .‬חשבו את צפיפות ההספק של הגל )הספק ליחידת שטח(‬
‫ה‪ .‬מציבים משטח ריבועי בעל שטח ‪ A‬במישור ‪ xz‬בנקודה ‪ .y = 0‬המשטח בולע את כל הגל‬
‫הפוגע בו‪ .‬רשמו ביטוי לכמות האנרגיה שתעבור אל המשטח עד לזמן ‪.t‬‬
‫ו‪ .‬נתון חלקיק הנמצא בראשית בזמן ‪ t = 0‬ומהירותו ˆ‪ .V⃗ = V0 y‬חשבו את הכח הפועל עליו‪.‬‬
‫א‪ .‬נציב את השדה לתוך משוואת הגלים של השדה החשמלי‪ ,‬בקואורדינטות קרטזיות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⃗ = 1 ∂ E‬‬
‫⃗‬
‫‪∇2 E‬‬
‫‪2 ∂t2‬‬
‫‪c‬‬
‫)‬
‫‪( 2‬‬
‫⃗ ‪1 ∂2‬‬
‫∂‬
‫‪∂2‬‬
‫⃗ ‪∂2‬‬
‫‪E‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪E‬‬
‫‪∂x2 ∂y 2 ∂z 2‬‬
‫‪c2 ∂t2‬‬
‫‪∂2‬‬
‫‪1 ∂2‬‬
‫)‪E0 zˆ 2 f (ay − bt) = E0 zˆ 2 2 f (ay − bt‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪c ∂t‬‬
‫מכיוון שאיננו יודעים מה הנגזרת של ‪ ,f‬ננצל את כלל השרשרת‪ .‬נרשום‬
‫‪2‬‬
‫‪∂2‬‬
‫∂ ‪2‬‬
‫‪=a‬‬
‫‪∂α2‬‬
‫‪∂α2‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪∂α‬‬
‫‪∂y‬‬
‫(‬
‫‪α = ay − bt‬‬
‫‪2‬‬
‫∂‬
‫∂ ∂‬
‫∂ ‪∂ ∂α‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂y ∂y‬‬
‫‪∂y ∂y ∂α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∂2‬‬
‫∂ ‪2‬‬
‫=‬
‫‪b‬‬
‫‪∂t2‬‬
‫‪∂α2‬‬
‫ונראה שהתנאי לקיום משוואת הגלים הוא‪:‬‬
‫‪1 ∂2‬‬
‫‪∂2‬‬
‫‪f‬‬
‫‪(ay‬‬
‫‪−‬‬
‫)‪bt‬‬
‫=‬
‫)‪f (ay − bt‬‬
‫‪∂y 2‬‬
‫‪c2 ∂t2‬‬
‫‪∂2‬‬
‫‪b2 ∂ 2‬‬
‫)‪a2 2 f (α) = 2 2 f (α‬‬
‫‪∂α‬‬
‫‪c ∂α‬‬
‫|‪b = ±c|a‬‬
‫ב‪ .‬ישנו קו מסוים במרחב‪-‬זמן שלאורכו אין שינוי כלל בשדה‪ .‬בפרט‪ ,‬אם אין שינוי בארגומנט של‬
‫הפונקציה אין שינוי בפונקציה‪ .‬אז הדרישה שלנו היא שהארגומנט ישאר קבוע‪:‬‬
‫‪ay − bt = const‬‬
‫‪b‬‬
‫‪y = t + const‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪v = = ±c‬‬
‫‪a‬‬
‫א‬
‫גלים על פני המים‬
‫ג‪ .‬בשביל השדה המגנטי נשתמש באחת ממשואות מקסוול‪:‬‬
‫‪⃗ ×E‬‬
‫‪⃗ = −1 ∂ B‬‬
‫⃗‬
‫∇‬
‫‪c ∂t‬‬
‫⃗ ∂‪1‬‬
‫⃗ ∂‬
‫‪xˆ (E‬‬
‫‪· zˆ) = −‬‬
‫‪B‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪c ∂t‬‬
‫⃗ ∂‬
‫⃗ ∂ ‪b‬‬
‫‪xˆa (E‬‬
‫= )ˆ‪· z‬‬
‫‪B‬‬
‫‪∂α‬‬
‫‪c ∂α‬‬
‫‪⃗ = xˆ ac (E‬‬
‫‪⃗ · zˆ) = yˆ × E‬‬
‫⃗‬
‫‪B‬‬
‫‪b‬‬
‫ד‪ .‬מדובר בוקטור פוינטינג‪:‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪⃗= c E‬‬
‫‪⃗ ×B‬‬
‫‪⃗ = c E‬‬
‫ˆ( × ⃗‬
‫‪⃗ = c (E‬‬
‫ˆ)‪⃗ · E‬‬
‫‪⃗ y − (E‬‬
‫‪⃗ · yˆ)E‬‬
‫⃗‬
‫)‪y × E‬‬
‫‪S‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪c ⃗ 2‬‬
‫=‬
‫|‪yˆ|E‬‬
‫‪4π‬‬
‫ה‪ .‬מכיוון שהשטח ניצב לוקטור פוינטינג‪ ,‬רק צריך לכפול את גודלו בשטח‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪⃗ · dA‬‬
‫|‪⃗ = c |E‬‬
‫‪⃗ 2A‬‬
‫‪S‬‬
‫‪∫ t‬‬
‫‪∫ t4π‬‬
‫‪c ⃗ 2‬‬
‫=‪U‬‬
‫‪|E| Adt‬‬
‫= ‪P dt‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 4π‬‬
‫= ‪P‬‬
‫ו‪ .‬כוח לורנץ‪:‬‬
‫(‬
‫)‬
‫⃗‬
‫‪v‬‬
‫‪V‬‬
‫‪V‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪⃗ + × B‬‬
‫‪⃗ = q(E‬‬
‫)‪⃗ + yˆ × B‬‬
‫‪⃗ = qE‬‬
‫‪⃗ 1−‬‬
‫‪F⃗ = q(E‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫ב‬