פיזיקה 2

Comments

Transcription

פיזיקה 2
‫פיסיקה ‪ - 2‬מאגר שאלות ופתרונות מלאים‬
‫קיבול‪:‬‬
‫מצאו את הקיבול של מערכת המכילה שתי קליפות כדוריות מוליכות בעלות מרכז משותף ורדיוסים ‪ a‬ו‬
‫‪ . b‬נתון‪) . a < b :‬קבל כדורי(‬
‫פתרון‪:‬‬
‫השיטה למציאת קיבול היא להניח מטען חיובי‪ , + Q ,‬על אחת הקליפות‪ ,‬ומטען שלילי‪ , − Q ,‬על הקליפה‬
‫‪Q‬‬
‫= ‪ , C‬כדי לקבל את‬
‫השנייה‪ .‬לחשב את הפרש הפוטנציאלים בין הקליפות ואז לחלק עפ"י הנוסחה‪:‬‬
‫‪∆V‬‬
‫הקיבול‪ .‬שימו לב‪ ,‬שהקיבול אמור להיות חיובי ותלוי במימדי הקבל בלבד )רדיוסים( ולא במטען‪.‬‬
‫נניח מטען חיובי על הקליפה החיצונית‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ - kQ ‬‬
‫‪ kQ ‬‬
‫‪ kQ kQ  kQ kQ‬‬
‫‪b−a ‬‬
‫‪∆V = -∫  2 dr = −   = − ‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪= kQ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪a  a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ r a‬‬
‫‪ b‬‬
‫‪ ab ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫והקיבול הוא‪:‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ab‬‬
‫=‬
‫) ‪ b − a  k (b - a‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ab ‬‬
‫‪Q‬‬
‫=‬
‫‪∆V‬‬
‫=‪C‬‬
‫קיבול‬
‫שני כדורים מוליכים טעונים מרוחקים מאוד זה מזה‪ .‬הכדורים בעלי רדיוסים ‪ R1‬ו‪ R2 -‬ובמצב‬
‫ההתחלתי אינם טעונים כלל‪ .‬מחברים את הכדורים בחוט מוליך דק לסוללה כמוראה באיור‪ ,‬ונותנים‬
‫למערכת להתייצב )להגיע לשיווי משקל אלקטרוסטטי(‪ .‬מתח הסוללה הוא ‪ . V0‬נתונים‪. V0 , R1 , R2 :‬‬
‫א‪ .‬מהו המטען על כל כדור?‬
‫ב‪ .‬מהו הקיבול של מערכת‬
‫‪R1‬‬
‫‪R2‬‬
‫הכדורים המוליכים?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬הנעלמים הם המטען על כל אחד מהכדורים‪ ,‬לצורך העניין נקרא להם ‪ q1‬ו ‪. q 2‬‬
‫נחשב את הפוטנציאל על כל כדור‪ .‬הסוללה יוצרת הפרש פוטנציאלים ‪ V0‬בין הקליפות‪:‬‬
‫‪kq 2‬‬
‫‪R2‬‬
‫= ‪ϕ2‬‬
‫‪kq 2 kq1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪= V0‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪kq1‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪,‬‬
‫⇒‬
‫= ‪ϕ1‬‬
‫‪ϕ 2 − ϕ 1 = V0‬‬
‫סכום המטען של שתי הקליפות מתאפס )החלנו במצב שהוא שווה לאפס‪:‬‬
‫‪q1 + q 2 = 0‬‬
‫בסה"כ שתי משוואות עם שני משתנים‪ .‬נפתור‪:‬‬
‫‪ R + R1  V0‬‬
‫= ‪‬‬
‫‪⇒ q 2  2‬‬
‫‪ R1 R2  k‬‬
‫‪V RR‬‬
‫‪q1 = − 0 1 2‬‬
‫) ‪k (R2 + R1‬‬
‫‪kq 2 kq 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪= V0‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪,‬‬
‫⇒‬
‫‪q1 = − q 2‬‬
‫‪V0 R1 R2‬‬
‫) ‪k (R2 + R1‬‬
‫= ‪q2‬‬
‫ב‪ .‬כדי לחשב קיבול נניח תיאורטית מטען על כל אחד מהכדורים )המטען שווה בגודל והפוך בסימן(‬
‫ונחשב את הפרש הפוטנציאלים שנוצר בין הכדורים‪:‬‬
‫‪kq‬‬
‫‪R2‬‬
‫= ‪ϕ2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪kq‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪q 2 = q , q1 = − q ⇒ ϕ1 = −‬‬
‫) ‪kq kq kq (R2 + R1‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪R2 R1‬‬
‫‪R2 R1‬‬
‫= ‪∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1‬‬
‫כעת נמצא את הקיבול עפ"י הגדרת הקיבול‪:‬‬
‫‪R2 R1‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫=‬
‫=‬
‫) ‪∆ϕ kq (R2 + R1 ) k (R2 + R1‬‬
‫‪R2 R1‬‬
‫=‪C‬‬
‫קיבולשאלה ‪) 4‬שאלה ‪ 4.16‬מחוברת הקורס(‬
‫‪b‬‬
‫קבל גלילי בנוי ממוליך גלילי פנימי ארוך בעל רדיוס ‪ a‬הנתון בתוך חללו‬
‫‪a‬‬
‫של מוליך גלילי חיצוני שרדיוסו ‪) b‬ראו שרטוט(‪ .‬התווך בין הגלילים הינו‬
‫ריק‪ .‬אם נתון כי פוטנציאל המוליך הפנימי הוא ‪ V‬ופוטנציאל‬
‫‪L‬‬
‫המוליך הפנימי הוא אפס‪ ,‬חשבו את‪:‬‬
‫א‪ .‬צפיפות המטען האורכית )מטען ליחידת אורך( על כל אחד‬
‫ממוליכי הקבל‪.‬‬
‫ב‪ .‬השדה החשמלי במרחק ‪ r‬מציר האורך של המוליך הגלילי הפנימי‪.‬‬
‫ג‪ .‬את קיבול הקבל ליחידת אורך‪.‬‬
‫הדרכה‪ :‬חשבו קודם את הקיבול וממנו את צפיפות המטען באמצעות הגדרת הקיבול‪ .‬את השדה‬
‫החשמלי חשבו באמצעות חוק גאוס‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫ג‪ .‬נניח שהמטען הפנימי הוא החיובי‪ ,‬השדה בתווך שבין הגלילים הוא )חוק גאוס(‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪ε 0 L ⋅ 2πr‬‬
‫=‪⇒ E‬‬
‫'‪σ ⋅ 2 π aL' qL‬‬
‫=‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε 0L‬‬
‫= '‪⇒ E ⋅ 2 π rL‬‬
‫‪q‬‬
‫‪2 π aL‬‬
‫=‪σ‬‬
‫נחשב את הפרש הפוטנציאלים‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r r‬‬
‫∫ ‪∆V = − ∫ E ⋅ d r = −‬‬
‫‪qdr‬‬
‫‪-q‬‬
‫‪[ln(r )]ab = q ⋅ ln b ‬‬
‫=‬
‫‪ε L ⋅ 2 π r ε 0 L ⋅ 2π‬‬
‫‪ε 0 L ⋅ 2π‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b 0‬‬
‫הקיבול ליחידת אורך‪:‬‬
‫‪C 2 πε 0‬‬
‫=‬
‫‪L‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ln ‬‬
‫‪a‬‬
‫⇒‬
‫‪2 π Lε 0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ln ‬‬
‫‪a‬‬
‫=‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪b‬‬
‫‪⋅ ln ‬‬
‫‪ε 0 L ⋅ 2π‬‬
‫‪a‬‬
‫‪q‬‬
‫=‬
‫‪∆V‬‬
‫=‪C‬‬
‫א‪ .‬נחשב את צפיפות המטען‪:‬‬
‫‪2 π Lε 0‬‬
‫‪2πε 0‬‬
‫‪q‬‬
‫= = ‪⋅V ⇒ λ‬‬
‫‪⋅V‬‬
‫‪L‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ln ‬‬
‫‪ln ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫= ‪q = C ⋅ ∆V‬‬
‫ב‪ .‬השדה החשמלי )נציב את המטען בביטוי שקיבלנו בהתחלה(‪:‬‬
‫‪2 π Lε 0‬‬
‫‪q‬‬
‫‪1‬‬
‫‪V‬‬
‫‪=−‬‬
‫⋅‪⋅V‬‬
‫=‬
‫‪ε 0 L ⋅ 2πr‬‬
‫‪ε 0 L ⋅ 2πr‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ln ‬‬
‫‪ln  ⋅ r‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫=‪E‬‬
‫שאלה ‪) 2‬שאלה ‪ 4.5‬מחוברת הקורס(‬
‫שני כדורים מוליכים בעלי רדיוסים ‪ a‬ו‪ b -‬טעונים במטענים שווים ומנוגדים ‪ , ± q‬בהתאמה‪ .‬מרכזי‬
‫הכדורים מונחים על ציר ה‪ x -‬כאשר המרחק בין מרכזיהם הוא ‪ , d‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫נתונים ‪ . k , q , a , b‬הניחו כי המרחק בין הכדורים גדול כך שכדור אחד לא משפיע על משנהו‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו השדה החשמלי בנקודה )‪ p( x,0‬הנמצאת על קו המחבר בין מרכזי הכדורים ?‬
‫ב‪ .‬מהו הפרש הפוטנציאלים בין משטחי הכדורים ?‬
‫‪4π ε 0‬‬
‫הראו כי הקיבול של המערכת נתון בביטוי‬
‫‪1 1 2‬‬
‫‪+ −‬‬
‫‪a b d‬‬
‫ג‪.‬‬
‫)‪p( x,0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪x‬‬
‫≈ ‪ , C‬ובתנאי ש ‪. d >> a, b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪d‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬שדה חשמלי של כדור מוליך טעון מחוץ לכדור הוא כמו של מטען נקודתי‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪−q‬‬
‫= ˆ‪⋅ i‬‬
‫ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪4π ε 0 (d − x‬‬
‫) ‪4π ε 0 (d − x‬‬
‫‪1‬‬
‫ˆ ‪1 ‬‬
‫‪⋅i‬‬
‫‪ 2+‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪x‬‬
‫(‬
‫‪d‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪E2 = −‬‬
‫ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪,‬‬
‫‪q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4π ε 0 x‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪E1‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ q‬‬
‫‪‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪E p = E1 + E 2 = ‬‬
‫‪+‬‬
‫= ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪4π ε 0‬‬
‫‪4π ε 0 (d − x ) ‬‬
‫‪ 4π ε 0 x‬‬
‫ב‪ .‬את הפרש הפוטנציאלים נמצא ע"י אינטגרל על השדה‪:‬‬
‫‪d −b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪q‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪ 2+‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪4π ε 0  x‬‬
‫‪4π ε 0‬‬
‫‪(d − x ) ‬‬
‫‪d −b‬‬
‫‪r r‬‬
‫∫ ‪∆ϕ = − ∫ E ⋅ dr = −‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪ x − (d − x ) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪q‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪ d − b + (d − a ) − b − a ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪q‬‬
‫‪−‬‬
‫‪− +‬‬
‫=‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4π ε 0  d − b (d − d + b ) a (d − a )  4π ε 0‬‬
‫=‬
‫‪a‬‬
‫‪q‬‬
‫ג‪ .‬את הקיבול נמצא עפ"י הגדרת הקיבול‪:‬‬
‫‪4π ε 0‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+ −‬‬
‫‪−‬‬
‫) ‪b a (d − b ) (d − a‬‬
‫=‬
‫‪−q‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪− − ‬‬
‫‪‬‬
‫‪4π ε 0  (d − b ) (d − a ) b a ‬‬
‫‪q‬‬
‫‪−q‬‬
‫=‬
‫‪∆ϕ‬‬
‫=‪C‬‬
‫עבור המקרה בו מתקיים ‪: d >> a, b‬‬
‫‪4π ε 0‬‬
‫‪4π ε 0‬‬
‫=‬
‫‪1 1 1 1 1 1 2‬‬
‫‪+ − −‬‬
‫‪− −‬‬
‫‪b a d d b a d‬‬
‫≈‪C‬‬
‫קיבול‪:‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫השיטה לחישוב קיבול היא‪ ,‬להניח מטענים הפוכים על הלוחות )במקרה זה צפיפויות מטען הפוכות כי‬
‫הגלילים אינסופיים(‪ ,‬לחשב הפרש פוטנציאל בין שני הלוחות‪ ,‬ולחלק‪ .‬השרטוט המתאים מצורף‪:‬‬
‫‪+σ‬‬
‫‪−σ‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪x‬‬
‫‪D-x‬‬
‫‪x‬‬
‫תחילה נחשב את השדה שיוצר גליל אינסופי ע"י חוק גאוס‪:‬‬
‫‪r r q in‬‬
‫‪E‬‬
‫‪∫ ⋅ dS = ε 0‬‬
‫‪σ ⋅d‬‬
‫‪ε0r‬‬
‫=‪⇒ E‬‬
‫‪σ ⋅ 2πd ⋅ L‬‬
‫‪ε0‬‬
‫= ‪E ⋅ 2πr ⋅ L‬‬
‫השדה בין הגלילים מתקבל מסופרפוזיציה של השדות‪:‬‬
‫‪r  σ ⋅d‬‬
‫ˆ ‪σ ⋅d ‬‬
‫‪E = −‬‬
‫‪−‬‬
‫‪⋅i‬‬
‫‪ ε 0 x ε 0 (D - x ) ‬‬
‫שימו לב זה השדה על ציר ‪ x‬בלבד‪ ,‬וכיוונו מהגליל החיובי לגליל השלילי‪.‬‬
‫נחשב את הפרש הפוטנציאלים בין הלוחות‪:‬‬
‫‪D‬‬
‫‪−‬‬
‫‪d‬‬
‫‪D −d‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪ σ ⋅d‬‬
‫‪1‬‬
‫‪σ ⋅d ‬‬
‫‪σ ⋅d‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪∆V = − ∫ E ⋅ d r = − ∫ −‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫= ‪ dx‬‬
‫‪‬‬
‫∫‬
‫‪ε 0 x ε 0 (D - x ) ‬‬
‫‪ε 0 d  x (D - x ) ‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪σ ⋅d‬‬
‫= ]) ‪[ln(x ) − ln(D − x )]dD−d = σ ⋅d [ln(D − d ) − ln(d ) − ln(d ) + ln(D − d‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪2σ ⋅d  D − d ‬‬
‫‪⋅ ln‬‬
‫‪‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ d ‬‬
‫ובחשב את הקיבול ליחידת אורך‪:‬‬
‫‪σ ⋅ 2 πd ⋅ L‬‬
‫‪q‬‬
‫‪C σ ⋅ 2πd‬‬
‫=‪C‬‬
‫=‬
‫⇒‬
‫=‬
‫‪∆V‬‬
‫‪∆V‬‬
‫‪L‬‬
‫‪∆V‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0 π‬‬
‫‪σ ⋅ 2 πd‬‬
‫‪C‬‬
‫=‬
‫⋅ ‪= σ ⋅ 2 πd‬‬
‫=‬
‫‪L 2σ ⋅d  D − d ‬‬
‫‪D−d‬‬
‫‪D−d‬‬
‫‪⋅ ln‬‬
‫‪2σ ⋅d ⋅ ln‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ln‬‬
‫‪‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ d ‬‬
‫‪ d ‬‬
‫‪ d ‬‬
‫קיבול – חומר דיאלקטרי‬
‫נתון קבל לוחות‪ ,‬בין לוחות הקבל נמצאים חומרים דיאלקטרים כמשורטט‪:‬‬
‫‪2d‬‬
‫‪k2‬‬
‫‪k1‬‬
‫‪k3‬‬
‫‪d‬‬
‫מצאו את הקיבול של קבל זה‪.‬‬
‫המרחק בין לוחות הקבל הוא‪ .3d :‬שטח לוחות הקבל הוא‪. A :‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫קיבול של קבל לוחות עם חומר דיאלקטרי‪:‬‬
‫‪εA‬‬
‫‪d‬‬
‫=‪C‬‬
‫וניתן להתייחס לקבל הזה בצורה הבאה‪:‬‬
‫‪C3‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪C4‬‬
‫‪C2‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪ε1 A‬‬
‫= ‪C1‬‬
‫‪4d‬‬
‫‪ε3A‬‬
‫‪2d‬‬
‫= ‪C2 = C4‬‬
‫‪ε2A‬‬
‫‪4d‬‬
‫= ‪C3‬‬
‫ולפיכך הקיבול של קבל כזה יהיה‪:‬‬
‫‪ε3A ‬‬
‫‪ε1‬‬
‫‪ε2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2d  2ε 3 + ε 1 2ε 3 + ε 2 ‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪C3 C 4‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪C1 C 2‬‬
‫=‪C‬‬
‫קיבול – חומר דיאלקטרי‬
‫לקבל לוחות קיבול ‪ ,C 0‬מוסיפים חומר דיאלקטרי בין לוחות הקבל בעל קבוע דיאלקטרי שתלוי ב ‪: x‬‬
‫‪k (x ) = x + 1‬‬
‫וציר ה ‪ X‬מופיע בשרטוט‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫) ‪k (x‬‬
‫‪d‬‬
‫מצאו את הקיבול של הקבל‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫ניתן להתייחס לבעיה כאל אלמנטים קטנים של קבלי לוחות הנמצאים בטור ואז לסכום ע"י אינטגרציה‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪1‬‬
‫∫=‬
‫=‬
‫=‬
‫]) ‪[ln(1 + x )]0d = 1 [ln(1 + d‬‬
‫∫‬
‫‪ε0A‬‬
‫‪C 0 k ( x )ε 0 A ε 0 A 0 (1 + x ) ε 0 A‬‬
‫⇓‬
‫‪ε0A‬‬
‫) ‪ln (1 + d‬‬
‫=‪C‬‬
‫קיבול – חומר דיאלקטרי )שאלה ‪(4.15‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נתון חומר דיאלקטרי‪:‬‬
‫‪ε 2 − ε1‬‬
‫‪⋅y‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ε (y ) = ε 1 +‬‬
‫נחלק לאלמנטים דקים עפ"י השרטוט‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y=d‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪y=0‬‬
‫‪L‬‬
‫כל האלמנטים מחוברים בטור )חשוב לזהות את סוג החיבור כדי לדעת לבנות את האינטגרל נכון(‪ ,‬והגודל‬
‫הדיפרנציאלי בכל קבל דיפרנציאלי הוא המרחק בין הלוחות‪. dy ,‬‬
‫קיבול של קבל לוחות דיפרנציאלי‪:‬‬
‫‪ε − ε1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪⋅ y ⋅ ε0A‬‬
‫‪ ε1 + 2‬‬
‫‪ε 0 εA ‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪dC‬‬
‫=‬
‫‪dy‬‬
‫‪dy‬‬
‫ההופכי של השקול בחיבור טורי שווה לסכום ההופכיים של האלמנטים‪:‬‬
d
d
ε − ε 1 
1
1
dy
1  d

=∫
=∫
=
⋅ ln ε 1 + 2
⋅ y  =

ε 2 − ε1 
C
dC 0 
ε 0 A  ε 2 − ε1
d

 0
⋅ y ⋅ ε0A
 ε1 +
d


 

ε − ε1 
d
d
ln ε 1 + 2
⋅ d  − ln (ε 1 ) =
[ln(ε 2 ) − ln(ε 1 )] =

ε 0 A (ε 2 − ε 1 )  
d

 ε 0 A (ε 2 − ε 1 )
=
ε
d
ln 2
ε 0 A(ε 2 − ε 1 )  ε 1
C=



:‫התשובה הסופית‬
ε 0 A (ε 2 − ε 1 )
ε
d ⋅ ln 2
 ε1
q = C⋅V =



ε 0 A(ε 2 − ε 1 )
ε 
d ⋅ ln 2 
 ε1 
:‫ מטען על לוחות הקבל‬.‫ב‬
⋅ V0
‫ יוצרים מעטפת גאוס קובייתית שפאה אחת נמצאת בתוך הקבל‬:‫ חישוב השדה החשמלי ע"י חוק גאוס‬.‫ג‬
.(‫ השדה מחוץ לקבל שווה לאפס‬,‫ופאה שנייה נמצאת מחוץ לקבל )להזכירכם‬
q
E⋅A =
⇒
ε 0ε
E=
(ε 2 − ε 1 )V0
ε A(ε 2 − ε 1 )
q
1
= 0
⋅ V0 ⋅
=
ε − ε1 
ε 0εA
ε 

ε 
ε − ε1 
ε 0 A ⋅ ε 1 + 2
⋅ y  d ⋅ ln 2  ⋅ ε 1 + 2
d ⋅ ln 2 
⋅ y


d
d



 ε1 
 ε1  
:‫ אותו תרגיל עם חומר דיאלקטרי אחר‬.‫ד‬
ε − ε1
ε (x ) = ε 1 + 2
⋅x
L
:‫ כך שהם מחוברים במקביל‬,‫מחלקים לאלמנטים מאונכים‬
x=0
x=L
dx
L
x
‫נניח ששטח הלוחות‪A = b ⋅ L :‬‬
‫השטח הוא שהופך להיות דיפרנציאלי עבור כל אלמנט‪:‬‬
‫‪ε − ε1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪⋅ x  ⋅ ε 0 ⋅ b ⋅ dx‬‬
‫‪ ε1 + 2‬‬
‫‪ε 0 ε ⋅ dA ‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪dC‬‬
‫=‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫ומכיוון שכל האלמנטים מחוברים במקביל‪ ,‬נמצא את השקול ע"י סכימה רגילה של האלמנטים‪:‬‬
‫‪ε 2 − ε1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪⋅ x  ⋅ ε 0 ⋅ b ⋅ dx‬‬
‫‪L  ε1 +‬‬
‫‪ε ⋅b L‬‬
‫‪ε − ε1 ‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪= 0 ∫  ε1 + 2‬‬
‫= ‪⋅ x  ⋅ dx‬‬
‫∫ = ‪C = ∫ dC‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d 0‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ε ⋅b ‬‬
‫‪ε ⋅b ‬‬
‫‪ε − ε1 2 ‬‬
‫‪ε − ε1 2  ε 0 ⋅ b ‬‬
‫‪ε − ε1 ‬‬
‫‪= 0 ε 1 x + 2‬‬
‫‪⋅ x  = 0 ε 1 L + 2‬‬
‫= ‪⋅L ‬‬
‫‪ε1L + 2‬‬
‫= ‪⋅ L‬‬
‫‪‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪2L‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪2L‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ε ⋅A‬‬
‫) ‪(ε 2 + ε 1‬‬
‫‪= 0‬‬
‫‪2d‬‬
‫קיבול )חומר דיאלקטרי( – שאלה ‪ 4.19‬מחוברת הקורס‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נתון חומר דיאלקטרי‪:‬‬
‫‪2d‬‬
‫‪z+d‬‬
‫= ) ‪ε (z‬‬
‫נחלק לאלמנטים דקים עפ"י השרטוט‪:‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z=d‬‬
‫‪dz‬‬
‫‪z=0‬‬
‫כל האלמנטים מחוברים בטור )חשוב לזהות את סוג החיבור כדי לדעת לבנות את האינטגרל נכון(‪ ,‬והגודל‬
‫הדיפרנציאלי בכל קבל דיפרנציאלי הוא המרחק בין הלוחות‪. dy ,‬‬
‫קיבול של קבל לוחות דיפרנציאלי‪:‬‬
‫‪ε εA ε 0 A 2d‬‬
‫=‬
‫⋅‬
‫‪dC = 0‬‬
‫‪dz‬‬
‫‪dz z + d‬‬
‫ההופכי של השקול בחיבור טורי שווה לסכום ההופכיים של האלמנטים‪:‬‬
d
z2

d2

(
1
1
z + d )dz
1
1
3d
=∫
=∫
=
⋅  + d ⋅ z =
⋅  + d2  =
C
dC 0 2ε 0 Ad
2ε 0 Ad  2
 0 2ε 0 Ad  2
 4ε 0 A
d
C=
2ε 0 A
3d
:‫ צפיפות מטען‬.‫ב‬
q = C ⋅ V0 =
σ=
4ε 0 A
⋅ V0
3d
q 4ε 0
=
⋅ V0
A 3d
.‫ג‬
:‫ האנרגיה האגורה בקבל‬.‫ד‬
1
1 4ε A
U C = q ⋅ V0 = ⋅ 0 ⋅ V02
2
2 3d
‫קיבול )חומר דיאלקטרי( – ‪ 4.17‬מחוברת הקורס‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬תחילה נחשב קיבול של קבל כדורי רגיל )ללא חומר דאלקטרי(‪:‬‬
‫השיטה למציאת קיבול היא להניח מטען חיובי‪ , + Q ,‬על אחת הקליפות‪ ,‬ומטען שלילי‪ , − Q ,‬על הקליפה‬
‫‪Q‬‬
‫= ‪ , C‬כדי לקבל את‬
‫השנייה‪ .‬לחשב את הפרש הפוטנציאלים בין הקליפות ואז לחלק עפ"י הנוסחה‪:‬‬
‫‪∆V‬‬
‫הקיבול‪ .‬שימו לב‪ ,‬שהקיבול אמור להיות חיובי ותלוי במימדי הקבל בלבד )רדיוסים( ולא במטען‪.‬‬
‫נניח מטען חיובי על הקליפה החיצונית‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ - kQ ‬‬
‫‪ kQ ‬‬
‫‪ kQ kQ  kQ kQ‬‬
‫‪b−a ‬‬
‫‪∆V = -∫  2 dr = −   = − ‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪= kQ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪a  a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ r a‬‬
‫‪ b‬‬
‫‪ ab ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫והקיבול הוא‪:‬‬
‫‪4 π ε 0 ab‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ab‬‬
‫=‬
‫=‬
‫) ‪ b − a  k (b - a ) (b - a‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ab ‬‬
‫‪Q‬‬
‫=‬
‫‪∆V‬‬
‫=‪C‬‬
‫נתון מקדם דיאלקטרי‪:‬‬
‫‪ε(r ) = B ⋅ r‬‬
‫נחלק את הקבל לאלמנטים של קבלים כדוריים דקים )העובי דיפרנציאלי(‪ .‬הקיבול של אלמנט‪:‬‬
‫‪b - a = dr‬‬
‫‪ab = r 2‬‬
‫‪4 πε 0 ε (r )r 2 4 π ε 0 Br 3‬‬
‫=‬
‫‪dr‬‬
‫‪dr‬‬
‫האלמנטים מחוברים בטור‪ ,‬ולפיכך נסכום על ההופכיים כדי לקבל את ההופכי של השקול‪:‬‬
‫= ‪dC‬‬
‫‪b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪1  1 ‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a 2 − b2‬‬
‫∫ = ‪= ∫ dC‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫⋅‬
‫=‬
‫‪3‬‬
‫‪C‬‬
‫‪4 π ε 0 B  2r 2  a‬‬
‫‪8 πε 0 B  b 2 a 2 ‬‬
‫‪8π ε 0 B a 2 b 2‬‬
‫‪a 4 π ε 0 Br‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b2 − a 2‬‬
‫=‬
‫‪8π ε 0 Ba 2 b 2‬‬
‫‪8πε 0 Ba 2 b 2‬‬
‫‪b2 − a 2‬‬
‫ב‪ .‬כדי למצוא את צפיפות המטען על כל אחד מהלוחות‪ ,‬נמצא את המטען על כל אחד מהלוחות ונחלק‬
‫בשטח‪:‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪8π ε 0 Ba b‬‬
‫= ‪Q = C ⋅ ∆V‬‬
‫‪⋅ V0‬‬
‫‪b2 − a 2‬‬
‫‪2ε 0 Ba 2‬‬
‫‪Q‬‬
‫=‬
‫‪⋅ V0‬‬
‫= ‪σb‬‬
‫‪4πb 2 b 2 − a 2‬‬
‫=‪C‬‬
‫‪2ε 0 Bb 2‬‬
‫‪Q‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪⋅ V0‬‬
‫‪4πa 2‬‬
‫‪b2 − a 2‬‬
‫הנחתי שהמטען החיובי על הלוח החיצוני‪ ,‬והמטען השלילי על הלוח הפנימי‪.‬‬
‫‪σa = −‬‬
‫חומר דיאלקטרי )שאלה ‪ 4.20‬מחוברת פיסיקה ‪(2‬‬
‫בקבל כדורי שרדיוס מוליכו הפנימי הוא ‪ a‬ורדיוסו החיצוני הוא ‪ , b‬כמתואר באיור‪,‬נפח הקבל ממולא‬
‫בחומר דיאלקטרי שקבועו היחסי משתנה עם המרחק ממרכז המערכת לפי הקשר‬
‫‪ε2‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪, ε r (r ) = ε 1 +‬‬
‫כאשר ‪ ε 1‬ו ‪ ε 2‬הם קבועים חיובים‪ .‬ידוע כי לקליפה הפנימית נטען מטען ‪ Q‬ואילו לקלפיה החיצונית‬
‫נטען מטען ‪ . − Q‬נתונים‪. k , Q , ε 1 , ε 2 :‬‬
‫א‪ .‬חשבו את עצמת השדה החשמלי במרחק ‪ r‬ממרכז המערכת ‪.‬‬
‫‪b‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את הפרש הפוטנציאלים בין מוליכי הקבל‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫ג‪ .‬חשבו את קיבול הקבל הכדורי‪.‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪dx‬‬
‫‪arctan α ⋅ x‬‬
‫=‬
‫הדרכה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪α‬‬
‫‪∫αx‬‬
‫‪εr‬‬
‫פתרון‪ :‬אפשר לפתור את הסעיפים לפי הסדר‪ ,‬אני מעדיף לחשב קיבול לפני הפרש מתחים‪.‬‬
‫א‪ .‬השדה החשמלי‪:‬‬
‫ˆ‪r‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ε ‬‬
‫‪‬‬
‫‪4π ε 0  ε 1 + 22 ‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪‬‬
‫= ˆ‪r‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪4π ε 0 ε r‬‬
‫‪r‬‬
‫=‪E‬‬
‫ג‪ .‬חשוב הקיבול יתבצע ע"י פירוק לקליפות כדוריות בעלות עובי דיפרנציאלי‪ ,‬האלמנטים מחוברים‬
‫בטור‪:‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪ε ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4π ε 0 ε 2  1 r 2 + 1‬‬
‫‪ ε 1 + 22 ε 0 4π r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4π ε 0 ε 1 r + ε 2‬‬
‫‪ε ε A‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪ε2‬‬
‫‪‬‬
‫‪dC = r 0 = ‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪dr‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dr‬‬
‫∫=‬
‫∫=‬
‫=‬
‫∫⋅‬
‫=‬
‫‪C‬‬
‫‪dC a‬‬
‫‪ ε1 2‬‬
‫‪ 4π ε 0 ε 2 a  ε 1 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ r + 1‬‬
‫‪4π ε 0 ε 2  r + 1‬‬
‫‪ε2‬‬
‫‪ε2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪1‬‬
‫‪⋅ arctan 1 ⋅ b  − arctan  1 ⋅ a ‬‬
‫=‬
‫= ‪⋅  2 ⋅ arctan 1 ⋅ r ‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪4π ε 0 ε 2  ε 1‬‬
‫‪ 2  a 4π ε 0 ε 1ε 2 ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4π ε 0 ε 1ε 2‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪arctan 1 ⋅ b  − arctan  1 ⋅ a ‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫ב‪ .‬את הפרש המתחים נמצא עפ"י הגדרת הקיבול‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫=‬
‫‪⋅ arctan 1 ⋅ b  − arctan 1 ⋅ a ‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪C 4π ε 0 ε 1ε 2 ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪∆V‬‬
‫=‪C‬‬
‫קיבול )חומר דיאלקטרי( ‪ -‬שאלה ‪ 4.18‬מחוברת הקורס‬
‫פתרון‪:‬‬
‫קיבול ליחידת אורך של קבל גלילי‪:‬‬
‫‪C 2πε 0‬‬
‫=‬
‫‪L‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ln ‬‬
‫‪a‬‬
‫נחלק את הקבל הנתון לשני אלמנטים גליליים הראשון עם חומר דיאלקטרי‪ ,‬והשני בלי חומר דיאלקטרי‪.‬‬
‫האלמנטים מחוברים בטור‪:‬‬
‫‪2πε 0‬‬
‫‪2πε 0‬‬
‫‪C1‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪L‬‬
‫) ‪ 10R  ln (2‬‬
‫‪ln‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 5R ‬‬
‫‪2 πε 0 ε r‬‬
‫‪2πε 0 ε r‬‬
‫‪C2‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪L‬‬
‫)‪ln (5‬‬
‫‪ 5R ‬‬
‫‪ln‬‬
‫‪‬‬
‫‪ R ‬‬
‫)‪ε ⋅ ln (2 ) + ln (5‬‬
‫‪L L‬‬
‫‪L‬‬
‫) ‪ln (2‬‬
‫)‪ln (5‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪= r‬‬
‫‪C C1 C 2 2 π ε 0 2 π ε 0 ε r‬‬
‫‪2πε 0 ε r‬‬
‫‪2πε 0‬‬
‫)‪ln (5‬‬
‫‪ln (2 ) +‬‬
‫‪εr‬‬
‫‪2πε 0 ε r‬‬
‫‪C‬‬
‫=‬
‫=‬
‫)‪L ε r ⋅ ln (2 ) + ln (5‬‬
‫חומר דיאלקטרי‬
‫עבור הקבל מתרגיל ‪ 4.18‬מחוברת הקורס‪ ,‬פתרו את הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫מחברים את הקבל לסוללה המספקת מתח קבוע ‪. V0‬‬
‫א‪ .‬מהי צפיפות המטען החופשי על כל מוליך ?‬
‫ב‪ .‬מהי צפיפות המטען הקשור בתוך החומר הדיאלקטרי ומהי צפיפות המטען הקשור בכל דופן של‬
‫החומר הדיאלקטרי ?‬
‫ג‪ .‬מהו שדה ההעתקה ?‬
‫ד‪ .‬מהו וקטור הקיטוב ?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2π ε 0‬‬
‫)‪ln (5‬‬
‫‪ln (2 ) +‬‬
‫‪εr‬‬
‫‪C‬‬
‫=‬
‫‪L‬‬
‫א‪ .‬צפיפות המטען החופשי‪:‬‬
‫‪2π ε 0 ⋅ V0‬‬
‫‪C ‬‬
‫= ‪=   ⋅ ∆ϕ‬‬
‫)‪ln (5‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ln (2 ) +‬‬
‫‪εr‬‬
‫‪r‬‬
‫ג‪ .‬תחילה נחשב את השדה החשמלי ) ‪( E 0‬שיוצר המטען החופשי במידה ואין חומר דיאלקטרי‬
‫‪Q free‬‬
‫)להזכירכם‪ :‬שדה חשמלי של גליל אינסופי מחוץ לגליל מתנהג כמו שדה חשמלי של תיל אינסופי(‪ .‬ע"י‬
‫‪r‬‬
‫שדה זה ניתן למצוא את שדה ההעתקה ) ‪:( D‬‬
r
λ free
Q free
E0 =
rˆ =
rˆ =
2π ε 0 r
2π ε 0 Lr
r
r
D = ε 0 E0 =
ε 0V0
2πε0 ⋅ V0
V0
1
⋅
rˆ =
rˆ
ln ( 5 ) 2π ε 0 Lr

ln ( 5 ) 
ln ( 2 ) +
 ln ( 2 ) +
 ⋅ Lr
εr
εr 


ln ( 5 ) 
 ln ( 2 ) +
 ⋅ Lr
εr 

rˆ
‫ ( ניתן למצוא ע"י ביצוע דיברגנס על‬ρ induced ) ‫ את צפיפות המטען המושרה בתוך בחומר הדיאלקטרי‬.‫ב‬
:‫השדה החשמלי‬
r
r
D
E ( R < r < 5R ) =
=
ε 0ε r
ρinduced
V0
rˆ

ln ( 5 ) 
 ln ( 2 ) +
 ⋅ ε r ⋅ Lr
ε
r










r r
r 
ε0 ∂ 
V0
V0

=0
rˆ =
= ε 0∇ ⋅ E = ε 0 ∇ ⋅
⋅ r⋅

 r ∂r  

ln ( 5 ) 
ln ( 5 ) 
  ln ( 2 ) +
  ln ( 2 ) +
 ⋅ ε r ⋅ Lr 
 ⋅ ε r ⋅ Lr 
εr 
εr 
 

 

ε r -‫ זה בגלל ש‬,‫שימו לב שיצא אפס‬,‫ יש לבצע את הדיברגנס המתאים לקורדינטות גליליות‬:‫)הערה‬
:‫ ( מוצאים באופן הבא‬σ induced ) ‫את צפיפות המטען בדופן של החומר הדיאלקטרי‬
E + ( r = 5R ) =
σ induced
=
V0
ln ( 5 ) 

 ln ( 2 ) +
 ⋅ 5 LR
εr 

, E − ( r = 5R ) =
.(‫קבוע‬
V0
ln ( 5 ) 

 ln ( 2 ) +
 ⋅ ε r ⋅ 5 LR
εr 





V0
V0
+
−

=
= ε 0 ∆E = ε 0 ( E − E ) = ε 0
−


ln ( 5 ) 
ln ( 5 ) 

  ln ( 2 ) +
 ⋅ 5 LR  ln ( 2 ) +
 ⋅ ε r ⋅ 5 LR 
εr 
εr 



ε 0V0

ε 0V0
1
ε r −1
1 −  =

ln ( 5 ) 
 ε r   ln 2 + ln ( 5 )  ⋅ 5 LR ε r
 ln ( 2 ) +
 ⋅ 5 LR
 ( )

εr 
εr 


‫ בה נעזרים‬,‫ בסעיף הבא נראה שיטה קלה יותר‬.r=R ‫בצורה דומה ניתן למצוא את צפיפות המטען בדופן‬
.‫בווקטור הקיטוב‬
:‫ וקטור הקיטוב‬.‫ד‬
r
r
P = ε 0 (ε r − 1)E =
ε 0 (ε r − 1) ⋅ V0

ln (5) 
 ln (2 ) +
 ⋅ ε r ⋅ Lr
ε r 

rˆ
‫את צפיפות המטען הקשור ניתן למצוא גם מתוך ווקטור הקיטוב‪ :‬לוקחים את הערך של וקטור הקיטוב‬
‫הניצב לשטח )הוא‪ ,‬במקרה שלנו‪ ,‬גודל וקטור הקיטוב ממש(‪ ,‬ומציבים ‪ ,r=R --‬כדי לקבל את הערך‬
‫המוחלט של הצפיפות ב‪ ,r=R-‬ומציבים ‪ r=5R‬כדי לקבל את הצפיפות ב‪:r=5R-‬‬
‫‪ε 0 ( ε r − 1) ⋅V0‬‬
‫‪ln ( 5 ) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ln ( 2 ) +‬‬
‫‪ ⋅ ε r ⋅ LR‬‬
‫‪εr ‬‬
‫‪‬‬
‫= )‪) σ R = P⊥ (r = R‬הצפיפות מקום זה היא שלילית‪ ,‬אם הסוללה‬
‫מחוברת עם הדק חיובי ללוח הפנימי‪ ,‬ואז המטען על הלוח הפנימי הוא חיובי‪ ,‬ועל הדופן הדיאלקטרית‬
‫המטען הקשור המושרה הוא שלילי(‬
‫‪ε 0 ( ε r − 1) ⋅V0‬‬
‫‪ln ( 5 ) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ln ( 2 ) +‬‬
‫‪ ⋅ ε r ⋅ L ⋅ 5R‬‬
‫‪εr ‬‬
‫‪‬‬
‫= ) ‪ σ 5 R = P⊥ (r = 5 R‬השוו עם תוצאת הסעיף הקודם!‬
‫התנגדות סגולית‬
:‫פתרון‬
: dx ‫ חישוב ההתנגדות מתבצע ע"י אינטגרל על אלמנטים קטנים של דיסקות בעובי‬.‫א‬
dL
S
dL = dx
dR = ρ
S = π ⋅ r2
dR =
r=
b−a
x+a
L
 (b - a )

x + a
⇒ S = π⋅
 L

2
ρdx
b-a

π⋅
x + a
 L

2
L


L


1
ρdx
ρ  L 

 =
R = ∫ dR = ∫
=
−
⋅


2
(
)
b
a
π
b
a






 (b - a )

0
x + a

π⋅
x + a

 L
0

 L




1
1  ρ  L   1 1  ρ  L  b − a  ρL
ρ L 
− 
− = 
= 

 −

=
π  b - a    (b − a )L
 a  π  b - a   a b  π  b - a  ab  πab
+ a
  L




: a = b ‫ נבדוק את הגבול המתבקש‬.‫ב‬
ρL
ρL ρL
R=
=
=
πab πa 2
S
‫התנגדות סגולית )שאלה ‪ 5.8‬מחוברת הקורס(‪.‬‬
‫מוליך שהתנגדותו הסגולית ‪ ρ‬עוצב לצורה של חרוט קטום שהמרחק בין בסיסיו‬
‫‪b‬‬
‫‪ , L‬כמתואר באיור שמשמאל‪ .‬רדיוס בסיסי החרוט הם ‪ a‬ו‪ . b -‬תוכלו להניח כי‬
‫‪a‬‬
‫הזרם דרך כל שטח חתך מעגלי של החוט הקטום הוא זהה‪ .‬חשבו‪:‬‬
‫א‪ .‬את התנגדות הנגד בין בסיסיו‪.‬‬
‫ב‪ .‬השדה החשמלי כפונקציה של המרחק מהבסיס הגדול של החרוט‪ ,‬כאשר‬
‫הפרש הפוטנציאלים בין בסיסי החרוט הוא ‪. ∆V‬‬
‫‪l‬‬
‫ג‪ .‬הראו כי עבור ‪ a = b‬תצטמצם תשובתכם לנוסחה‬
‫‪S‬‬
‫‪L‬‬
‫‪.R = ρ‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬חישוב ההתנגדות מתבצע ע"י אינטגרל על אלמנטים קטנים של דיסקות בעובי ‪: dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b−a‬‬
‫) ‪ (b-a‬‬
‫‪‬‬
‫=‪, r‬‬
‫‪x + a ⇒ S = π ⋅‬‬
‫‪x + a‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ L‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dL = dx , S = π ⋅ r‬‬
‫‪ρdx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ b-a‬‬
‫‪‬‬
‫‪π ⋅‬‬
‫‪x + a‬‬
‫‪ L‬‬
‫‪‬‬
‫‪dL‬‬
‫=‬
‫‪S‬‬
‫‪dR = ρ‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ρdx‬‬
‫‪ρ  L ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪‬‬
‫∫ = ‪R = ∫ dR‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫⋅‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪π   b-a   (b-a‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ (b-a‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x + a‬‬
‫‪‬‬
‫‪π ⋅‬‬
‫‪x + a‬‬
‫‪‬‬
‫‪ L‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ L‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ρ L ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1  ρ  L   1 1  ρ  L  b − a  ρL‬‬
‫‪− ‬‬
‫‪− = ‬‬
‫‪= ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ −‬‬
‫‪‬‬
‫=‪‬‬
‫‪π  b-a    (b − a )L‬‬
‫‪ a  π  b-a   a b  π  b-a  ab  πab‬‬
‫‪+ a‬‬
‫‪  L‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬נמצא הזרם דרך הנגד )ע"י חוק אוהם(‪:‬‬
‫‪∆V πab ⋅ ∆V‬‬
‫=‬
‫‪R‬‬
‫‪ρL‬‬
‫=‪I‬‬
‫נחשב את ההתנגדות עד לנקודה מסוימת בנגד בתלות ב‪) x -‬זו ההתנגדות יחסית לנקודה בה נכנס הזרם(‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ρdx‬‬
‫‪ρ  L ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ρL‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫∫ = ) ‪R(x‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫⋅‬
‫=‬
‫⋅‬
‫‪−‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪π   b-a   (b-a‬‬
‫‪π (b − a )  a (b − a )x‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ (b-a‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪+ a ‬‬
‫‪x + a‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪π ⋅‬‬
‫‪x + a‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫‪ L‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ L‬‬
‫‪‬‬
:‫וע"י חוק אוהם נוכל לחשב את הפוטנציאל בנקודה זו‬


1

πab ⋅ ∆V
ρL
1
=
V ( x ) = ∆V − I ⋅ R( x ) = ∆V −
⋅
⋅ −
ρL
π (b − a )  a (b − a )x
+ a 


L




ab ⋅ ∆V  1
1

= ∆V −
⋅ −
(b − a )  a (b − a )x + a 
L


:‫את השדה החשמלי נמצא ע"י מינוס גרדיאנט על הפוטנציאל‬

r
r
∂ 
ab ⋅ ∆V
E = −∇ ⋅ V = − ∆V −
∂x 
(b − a )




1
1
 ⋅ iˆ =
⋅ −
 a (b − a )x + a 


L


ab ⋅ ∆V
1
1
(b − a ) ⋅ iˆ = ab ⋅ ∆V ⋅
=
⋅
⋅
⋅ iˆ
2
2
(b − a )  (b − a )x 
L
L
 (b − a )x

+ a
+ a


 L

 L

: a = b ‫ נבדוק את הגבול המתבקש‬.‫ג‬
R=
ρL
ρL ρL
= 2 =
πab πa
S
‫התנגדות סגולית‬
‫נגד שצורתו קונוס קטום בנוי מחומר בעל התנגדות סגולית ‪ ρ‬נתונה תלות הרדיוס ב ‪: x‬‬
‫‪r ( x ) = ax + b‬‬
‫‪x=0‬‬
‫‪x=L‬‬
‫א‪ .‬חשבו את ההתנגדות‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראו כי כאשר ‪ a = 0‬מקבלים ביטוי לנגד גלילי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה ההתנגדות אם ‪. ρ = π ⋅10 3 Ωm , b = 0.1m , a = 0.1 , L = 1m‬‬
‫ד‪ .‬הסבר את ההתנהגות בגבול ‪ b → 0‬ובגבול ∞ → ‪. a‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬חישוב ההתנגדות מתבצע ע"י אינטגרל על אלמנטים קטנים של דיסקות בעובי ‪: dx‬‬
‫‪dL‬‬
‫‪S‬‬
‫‪dR = ρ‬‬
‫‪dL = dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ρ  1 ‬‬
‫‪ρ  1‬‬
‫‪ρL‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=−‬‬
‫=‪− ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪π ⋅ a  ax + b  0‬‬
‫) ‪π ⋅ a  aL + b b  π ⋅ b(aL + b‬‬
‫‪=−‬‬
‫) ‪S = π ⋅ r 2 ( x ) = π (ax + b‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dR = ρ‬‬
‫‪π (ax + b )2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪π (ax + b‬‬
‫ב‪ .‬כאשר ‪: a = 0‬‬
‫‪L‬‬
‫‪R = ∫ dR = ∫ ρ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪r (x ) = b‬‬
‫כלומר‪ ,‬הרדיוס קבוע ובמילים אחרות זהו גליל‪ .‬נציב בביטוי עבור הנגד ונקבל‪:‬‬
‫‪ρL‬‬
‫‪π ⋅b2‬‬
‫=‪R‬‬
‫ג‪ .‬נציב את הערכים בביטוי עבור הנגד )סעיף א'(‪:‬‬
‫‪R = 50kΩ‬‬
‫ד‪ .‬נבדוק את הגבולות‪:‬‬
‫∞→‪b→0 ⇒ R‬‬
‫צורת הנגד תהיה קונוס עם שפיץ כך שקיימת נקודה בנגד שעבורה ההתנגדות היא אינסופית )השפיץ(‪.‬‬
‫במקרה השני‪:‬‬
‫‪a→∞ ⇒ R→0‬‬
‫כלומר שטח החתך של הנגד הוא אינסופי ולפיכך ההתנגדות תתאפס‪.‬‬
‫התנגדות סגולית‪ ,‬חוק אוהם דיפרנציאלי‬
‫תיל שאורכו ‪ L‬ושטח החתך שלו ‪ ,A‬מונח לאורך ציר ‪ .X‬התיל בנוי מחומר שהתנגדותו הסגולית משתנה‬
‫לאורך לפי הקשר ‪ , ρ = ρ 0 e x L‬כאשר הקצה השמאלי נמצא ב ‪. x = 0‬‬
‫א‪ .‬מהי התנגדותו של התיל?‬
‫ב‪ .‬מחברים הפרש פוטנציאלים ‪ V‬בין קצוות התיל‪ .‬חשבו איך משתנה הפוטנציאל לאורך התיל‬
‫)כפונקציה של ‪.( x‬‬
‫ג‪ .‬איך משתנה השדה החשמלי לאורך התיל?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬התנגדות התיל‪:‬‬
‫‪ρ = ρ0e x L‬‬
‫‪ρ0 L‬‬
‫]‪[e − 1‬‬
‫‪A‬‬
‫ב‪ .‬הפרש פוטנציאלים כפונקציה של ‪: x‬‬
‫=‬
‫]‬
‫‪L‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ρdL ρ 0 e x L dx‬‬
‫= ‪dR‬‬
‫=‬
‫‪S‬‬
‫‪A‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ρ e x L dx ρ0 L x L‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪R = ∫ dR = ∫ 0‬‬
‫=‬
‫‪e dx = 0 Le x L‬‬
‫∫‬
‫‪A‬‬
‫‪A 0‬‬
‫‪A‬‬
‫‪0‬‬
‫[‬
‫‪V‬‬
‫‪V‬‬
‫‪VA‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪R ρ0 L‬‬
‫]‪[e − 1] ρ0 L[e − 1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ρ x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪VA‬‬
‫‪V‬‬
‫‪V ex L −1‬‬
‫= ) ‪V = I ⋅ R (x‬‬
‫= ‪⋅ 0 ∫ e x L dx‬‬
‫= ‪ex L 0‬‬
‫]‪[e − 1‬‬
‫]‪[e − 1‬‬
‫‪ρ 0 L[e − 1] A 0‬‬
‫ג‪ .‬נמצא שדה חשמלי לפי חוק אוהם דיפרנציאלי‪:‬‬
‫‪j‬‬
‫‪I‬‬
‫‪1‬‬
‫‪I‬‬
‫⋅ = =‪E‬‬
‫=‬
‫‪ρ A ρ 0 e x L Aρ 0 e x L‬‬
‫=‪I‬‬
‫]‬
‫[‬
‫] [‬
‫התנגדות סגולית )שאלה ‪ 5.7‬מחוברת הקורס(‪.‬‬
‫ניתן לשנות את ההתנגדות הסגולית‪ , ρ ,‬של חצי מוליך על ידי הוספה של זיהומים‪ .‬מוט העשוי חומר‬
‫חצי מוליך מונח לאורך ציר ה‪ x -‬בין ‪ x = 0‬ל‪ . x = L -‬כתוצאה מההוספה של הזיהומים מציית המוט‬
‫לחוק אוהם והתנגדותו הסגולית משתנה לפי הקשר ‪ . ρ ( x ) = ρ 0 e − x L‬קצה המוט הנמצא בנקודה ‪x = 0‬‬
‫נמצא בפוטנציאל הגבוה ב ‪ V0‬מהקצה הנמצא ב ‪ . x = L‬נתון כי שטח החתך של המוט הוא ‪. A‬‬
‫א‪ .‬חשבו את התנגדותו של המוט‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את השדה החשמלי במוט כפונקציה של המרחק ‪ x‬הנמדד מקצהו השמאלי של המוט‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשבו את הפוטנציאל במוט ) ‪ V ( x‬כפונקציה של ‪. x‬‬
‫ד‪ .‬ציירו גרפים המתארים את ההשתנות של ) ‪ ρ ( x ) , E ( x ) , V ( x‬כפונקציה של ‪. x‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נחלק את המוט לפרוסות בעלות שטח חתך ‪ A‬ואורך דיפרנציאלי ‪ . dx‬התנגדות התיל‪:‬‬
‫‪ρ = ρ0 e − x L‬‬
‫‪ρdL ρ0 e − x L dx‬‬
‫=‬
‫‪S‬‬
‫‪A‬‬
‫‪L‬‬
‫‪−x L‬‬
‫‪ρ0 e dx ρ0 L x L‬‬
‫‪ρ‬‬
‫∫ = ‪R = ∫ dR‬‬
‫=‬
‫‪e dx = 0 − Le − x L‬‬
‫∫‬
‫‪A‬‬
‫‪A 0‬‬
‫‪A‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪dR‬‬
‫]‬
‫[‬
‫‪ρ0 L‬‬
‫‪1 − e −1‬‬
‫‪A‬‬
‫]‬
‫‪L‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫[‬
‫ג‪ .‬נחשב את הזרם דרך הנגד‪ .‬נחשב את התנגדות הנגד כפונקציה של ‪ x‬יחסית לנקודה בה נכנס הזרם‪.‬‬
‫את הפרש הפוטנציאלים כפונקציה של ‪ x‬נמצא ע"י חוק אוהם‪:‬‬
‫‪V0‬‬
‫‪V0 A‬‬
‫‪V‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪R ρ0 L‬‬
‫‪ρ0 L 1 − e −1‬‬
‫‪1 − e −1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ρ x‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪R( x ) = 0 ∫ e − x L dx = 0 − L ⋅ e − x L‬‬
‫‪A 0‬‬
‫‪A‬‬
‫]‬
‫)‬
‫()‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫‪ρ0 L‬‬
‫‪1 − e −x L‬‬
‫‪A‬‬
‫=‬
‫]‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫[‬
‫(‬
‫[‬
‫[‬
‫‪V0 A‬‬
‫‪ρ L‬‬
‫‪V0‬‬
‫‪⋅ 0 1 − e − x L = V0 −‬‬
‫‪⋅ 1 − e−x L‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ρ0 L 1 − e‬‬
‫‪1− e‬‬
‫]‬
‫]‬
‫=‪I‬‬
‫[‬
‫‪V ( x ) = V0 − I ⋅ R( x ) = V0 −‬‬
‫ב‪ .‬שדה חשמלי נמצא ע"י ביצוע גרדיאנט על הפוטנציאל‪:‬‬
‫ˆ ‪‬‬
‫= ‪ ⋅ i‬‬
‫‪−x L‬‬
‫‪) ⋅ iˆ = (1 −Ve )  L1 ⋅ e‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪V0‬‬
‫‪∂ ‬‬
‫‪E = −∇ ⋅ V = − V0 −‬‬
‫‪⋅ 1 − e−x L‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪∂x ‬‬
‫‪1− e‬‬
‫‪−x L‬‬
‫‪V ⋅e‬‬
‫‪= 0‬‬
‫ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪L 1 − e −1‬‬
‫()‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫ חוק אוהם דיפרנציאלי‬,‫התנגדות סגולית‬
:‫פתרון‬
:‫ נחלק לאלמנטים של דיסקות ונסכום טורית ע"י אינטגרל כדי לקבל התנגדות כוללת‬.‫א‬
σ0
σ=
1+
x
L
2
a
x

x

r = x + a = a  + 1  ⇒ S = π r 2 = πa 2  + 1 
L
L

L

1 dx
1 x
dx
dx

=
=
dR = ⋅
 + 1
2
σ S
σ0  L
x

 2 x

σ 0 π a 2  + 1
π a  + 1
L

L

L
dx
1
=
R=∫
 σ 0 πa 2
2 x
0
σ 0 π a  + 1
L


L
L ⋅ ln (2 )
x

 L ⋅ ln  L + 1   = σ π a 2 [ln (2 ) − ln (1)] = σ π a 2

 0

0
0
L
:‫ נמצא זרם ע"י חוק אוהם‬.‫ב‬
2
I=
∆Vσ 0 π a
∆V
∆V
=
=
L ⋅ ln (2 )
R
L ⋅ ln (2 )
2
σ 0 πa
: x ‫ נמצא צפיפות זרם ע"י חלוקת הזרם בשטח כפונקציה של‬.‫ג‬
2
I
j=
=
S(x )
E =σ ⋅ j=
∆Vσ 0 π a
L ⋅ ln(2)
x

πa  + 1
L 
2
2
=
∆Vσ 0 π a 2
2
=
∆Vσ 0
2
x

x

L ⋅ ln(2)πa  + 1
L ⋅ ln (2) + 1
L 
L 
:‫ שדה חשמלי ניתן למצוא עפ"י חוק אוהם הדיפרנציאלי‬.‫ד‬
∆Vσ 0
σ0
⋅
2
x

x
1 +  L ⋅ ln(2) + 1
 L
L 
2
‫התנגדות סגולית )שאלה ‪ 5.9‬מחוברת הקורס(‪ .‬חסר שרטוט!!!‬
‫מדיסקה חלולה שעובייה ‪ w‬ורדיוסיה הפנימי והחיצוני הם ‪ a‬ו‪ , b -‬מייצרים נגד על ידי חיתוך הדיסקה‬
‫החלולה לאורך קוטר באופן שמתקבלת צורה המזכירה פרסה )ראו איור משמאל(‪ .‬מוליכותה הסגולית של‬
‫הדיסקה ‪ . σ‬מחברים את הנגד בין שני המשטחים הקדמיים למקור המח המספק הפרש פוטנציאליים ‪. V0‬‬
‫תוכלו להניח כי הזרם זורם לאורך חצאי מעגלים‪ .‬חשבו‪:‬‬
‫א‪ .‬את התנגדות הנגד‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫ב‪ .‬את וקטור צפיפות הזרם ‪. j‬‬
‫ג‪ .‬את הפוטנציאל החשמלי כפונקציה של הזווית הקוטבית ‪ φ‬בהנחה כי הפוטנציאל החשמלי‬
‫בנקודה בה הזרם יוצא הוא אפס‪ .‬קחו את ‪ φ‬להיות אפס בנקודה בה הזרם נכנס‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬מחלקים לאלמנטים חצי מעגליים )רדיוס ‪ , r‬עובי ‪ ( dr‬בעלי שטח חתך דיפרנציאלי ואורך של חצי‬
‫מעגל‪ .‬האלמנטים מחוברים במקביל‪:‬‬
‫‪L =π r , dS = w ⋅ dr‬‬
‫‪πr‬‬
‫‪L‬‬
‫=‬
‫‪σ dS σ w ⋅ dr‬‬
‫⋅‬
‫‪π‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪dR‬‬
‫‪σ w ⋅ dr σ w  b ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫∫=‬
‫∫=‬
‫=‬
‫⇒ ‪⋅ ln ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪dR a π r‬‬
‫‪π‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫=‪R‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪σ w ⋅ ln ‬‬
‫ב‪ .‬מכיוון שהאלמנטים מחוברים במקביל ניתן לחשב את הזרם דרך כל אלמנט ע"י חוק אוהם‪ .‬את הזרם‬
‫על כל אלמנט נחלק בשטח החתך של האלמנט כדי לקבל את צפיפות הזרם‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ ‪dI ˆ V0σ‬‬
‫= ) ‪j (r‬‬
‫= ‪⋅φ‬‬
‫‪⋅φ‬‬
‫‪πr‬‬
‫‪dS‬‬
‫ˆ ‪V0 ˆ V0σ w ⋅ dr‬‬
‫= ‪⋅φ‬‬
‫⇒ ‪⋅φ‬‬
‫‪dR‬‬
‫‪πr‬‬
‫= ‪⇒ dI‬‬
‫‪πr‬‬
‫‪σ w ⋅ dr‬‬
‫= ‪dR‬‬
‫ג‪ .‬נחשב את הזרם דרך הנגד‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪V0 ⋅ σ w ⋅ ln ‬‬
‫‪V‬‬
‫‪a‬‬
‫= ‪I= 0‬‬
‫‪R‬‬
‫‪π‬‬
‫נחשב את הפוטנציאל בזווית מסוימת‪:‬‬
‫‪φ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪σ w ⋅ ln ‬‬
‫‪V0 ⋅ φ‬‬
‫‪π‬‬
‫‪= V0 −‬‬
‫‪φ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪σ w ⋅ ln ‬‬
‫= ‪⋅φ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪π‬‬
‫= ) ‪R(φ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪V0 ⋅ σ w ⋅ ln ‬‬
‫⋅‪a‬‬
‫‪V (φ ) = V0 − I ⋅ R(φ ) = V0 −‬‬
‫‪π‬‬
‫חוק לורנץ – תנועה מעגלית‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נמצא את מהירות האלקטרון משיקולי אנרגיה‪:‬‬
‫‪mv 2‬‬
‫‪2qV‬‬
‫=‪⇒ v‬‬
‫= ‪qV‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬
‫ב‪ .‬המרחק המבוקש שווה לפעמיים רדיוס התנועה המעגלית‪ .‬את רדיוס התנועה ניתן למצוא משיקולי‬
‫כוחות )של תנועה מעגלית (‪:‬‬
‫‪mv 2‬‬
‫‪= qvB‬‬
‫‪R‬‬
‫‪mv‬‬
‫=‪R‬‬
‫‪qB‬‬
‫‪2mv‬‬
‫= ‪D = 2R‬‬
‫‪qB‬‬
‫ג‪ .‬האלקטרון יאבד את האנרגיה הקינטית שלו לטובת פוטנציאלית‪ ,‬ומכיוון שזה אותו שדה חשמלי‪ ,‬אז‬
‫הוא יאבד את כל האנרגיה הקינטית שלו‪ ,‬כלומר‪ v = 0 :‬בנקודה ‪. O 2‬‬
‫ד‪ .‬תנועת האלקטרון בשדה המגנטי נמשכת חצי זמן מחזור של תנועה מעגלית‪:‬‬
‫‪T π‬‬
‫= = ‪tB‬‬
‫‪2 ω‬‬
‫‪v‬‬
‫=‪ω‬‬
‫‪R‬‬
‫‪πR‬‬
‫= ‪tB‬‬
‫‪v‬‬
‫לזה צריך להוסיף את זמן התנועה בשדה החשמלי‪ .‬הזמן הלוך שווה לזמן חזור בשדה החשמלי‪ .‬את הזמן‬
‫הזה ניתן למצוא באמצעות קינמטיקה‪:‬‬
qE
m
v = at
a=
v mv
=
a qEa
2mv
t E = 2t =
qEa
t=
:‫וזמן התנועה הכולל הוא‬
π R 2mv
tB + tE =
+
v
qEa
‫חוק לורנץ – תנועה מעגלית‬
‫אלומת פרוטונים‪ ,‬כל אחד בעל אנרגיה קינטית של‬
‫‪ , 1.6 ⋅ 10 −19 J‬מוכנסת לאזור בו שדה מגנטי הניצב לתנועתם‪.‬‬
‫אורך האזור בו מופעל השדה המגנטי הוא ‪ 10‬ס"מ‪ .‬ביציאה‬
‫מהאזור עם השדה המגנטי‪ ,‬האלומה מוסטת בזוית של ‪30 o‬‬
‫ביחס לכיוונה המקורי‪ .‬מה כיוונו ועוצמתו של השדה המגנטי?‬
‫‪v‬‬
‫‪30 o‬‬
‫‪v‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪10cm‬‬
‫‪v‬‬
‫‪30 o‬‬
‫‪x‬‬
‫‪v‬‬
‫‪R‬‬
‫‪30 o‬‬
‫‪10cm‬‬
‫במהלך המעבר בשדה המגנטי התנועה היא מעגלית במהירות קבועה‪ .‬לפיכך מתקיימת משוואת כוחות של‬
‫תנועה מעגלית‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪mv‬‬
‫‪mv‬‬
‫‪mv‬‬
‫‪∑ Fr = R ⇒ qvB = R ⇒ B = qR‬‬
‫את הרדיוס ניתן למצוא ע"י גיאומטריה של המעגל והזווית הנתונה )ראו שרטוט(‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0.1‬‬
‫= ‪= sin30 ⇒ R‬‬
‫=‬
‫‪= 0.2 m‬‬
‫‪R‬‬
‫‪sin30 0.5‬‬
‫את מהירות נמצא עפ"י האנרגיה הקינטית הנתונה‪:‬‬
‫‪2 ⋅ 1.6 ⋅ 10 -19‬‬
‫‪= 5.929 ⋅ 10 5 m s‬‬
‫‪-31‬‬
‫‪9.1 ⋅ 10‬‬
‫‪2E k‬‬
‫=‬
‫‪m‬‬
‫=‪v‬‬
‫⇒‬
‫‪mv 2‬‬
‫‪= Ek‬‬
‫‪2‬‬
‫והשדה המגנטי הוא‪:‬‬
‫‪−31‬‬
‫‪mv 9.1 ⋅ 10 ⋅ 5.929 ⋅ 10‬‬
‫=‬
‫‪= 1.686 ⋅ 10 −5 Tesla‬‬
‫‪−19‬‬
‫‪qR‬‬
‫‪1.6 ⋅ 10 ⋅ 0.2‬‬
‫‪5‬‬
‫=‪B‬‬
‫חוק לורנץ – תנועה ספירלית‬
‫‪r‬‬
‫פרוטון )מסה ‪ m‬מטען ‪ ( q‬נע בשדה מגנטי אחיד ˆ‪ , B = B 0 k‬כאשר הכוח המגנטי הוא הכוח היחיד‬
‫‪r‬‬
‫הפועל עליו‪ .‬מהירותו ההתחלתית של הפרוטון היא ˆ‪. v = v ˆi + v k‬‬
‫‪0z‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪0x‬‬
‫‪0‬‬
‫מצאו את הכוח הפועל על הפרוטון ברגע ההתחלתי‪.‬‬
‫מצאו את תאוצת הפרוטון‪ .‬היווכחו שהתנועה היא קומבינציה של תנועה מעגלית )כאשר‬
‫מסתכלים מ"למעלה" כלפי מישור ‪ ,(xy‬ותנועה במהירות קבועה בכיוון ‪.z‬‬
‫מצאו את רדיוס הסיבוב של הפרוטון‪.‬‬
‫מצאו את המהירות הזוויתית של הפרוטון‪.‬‬
‫מהו המרחק שעובר הפרוטון לאורך ציר ‪ Z‬במהלך זמן מחזור?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬הכוח הפועל בהתחלה‪:‬‬
‫) ()‬
‫(‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪F = qv 0 × B = q v 0x ˆi + v 0z kˆ × B 0 kˆ = qv 0x B 0 ˆj‬‬
‫ב‪ .‬תאוצת הפרוטון היא תאוצה רדיאלית בלבד‪ ,‬היות ובכיוון ציר ‪ Z‬לא פועל כוח‪:‬‬
‫‪qv‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪= 0x 0‬‬
‫=‪a‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫ג‪ .‬רדיוס הסיבוב‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪mv‬‬
‫‪mv‬‬
‫‪mv‬‬
‫‪∑ Fr = R ⇒ qv 0x B 0 = R0x ⇒ R = qB0x‬‬
‫‪0‬‬
‫ד‪ .‬מהירות זוויתית‪:‬‬
‫‪v 0x‬‬
‫‪v 0x‬‬
‫‪qB 0‬‬
‫‪qB 0‬‬
‫=‪ω‬‬
‫=‬
‫⋅ ‪= v 0x‬‬
‫=‬
‫‪mv 0x‬‬
‫‪R‬‬
‫‪mv 0x‬‬
‫‪m‬‬
‫‪qB 0‬‬
‫ה‪ .‬מרחק במהלך זמן מחזור‪:‬‬
‫‪2π 2π m‬‬
‫=‪T‬‬
‫=‬
‫‪ω qv 0x‬‬
‫‪2π mv 0z‬‬
‫‪qv 0x‬‬
‫= ‪z = v 0z ⋅ T‬‬
‫כוח על תיל נושא זרם בשדה מגנטי‬
‫במעגל חשמלי המורכב משני חצאי מעגל בעלי רדיוסים ‪ a‬ו‪) b-‬ראה‪/‬י‬
‫תרשים( זורם זרם ‪ .I‬המעגל החשמלי נמצא בשדה מגנטי אחיד ‪ B‬הניצב‬
‫למישור המעגל‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו הכוח השקול הפועל על חלק בתיל )הכוונה לכל אחת‬
‫מהקשתות וכל אחד משני המקטעים הישרים(?‬
‫ב‪ .‬מהו הכוח השקול הפועל על התיל?‬
‫‪I‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫⊗‪B‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫* הכוח הפועל על הקשת עם רדיוס הגדול )כיוון הזרם ניצב לשדה המגנטי(‪:‬‬
‫‪F1 = ILB = I ⋅ 2b ⋅ B‬‬
‫וכיוונו כלפי מעלה‪.‬‬
‫* הכוח הפועל על הקשת עם הרדיוס הקטן‪:‬‬
‫‪F2 = ILB = I ⋅ 2a ⋅ B‬‬
‫וכיוונו כלפי מטה‪.‬‬
‫* הכוח הפועל על התיל האופקי הימני‪:‬‬
‫‪F3 = ILB = I ⋅ (b - a ) ⋅ B‬‬
‫וכיוונו כלפי מטה‪.‬‬
‫*הכוח הפועל התיל האופקי השמאלי‪:‬‬
‫‪F4 = ILB = I ⋅ (b - a ) ⋅ B‬‬
‫וכיוונו כלפי מטה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הכוח השקול הוא‪:‬‬
‫‪F = F1 - F2 - F3 - F4 = 2IbB − 2IaB - I(b - a )B − I(b − a )B = 0‬‬
‫כוח על תיל נושא זרם בשדה מגנטי‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נחלק את התיל למספר קטעים ונרשום את הכוח לכל חלק‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪π‬‬
‫עבור החלקים האופקיים נקבל ˆ‪ F = IL × B = ILB sin = I 6 RB = −0.075 Ry‬את הכיוון נקבל‬
‫‪2‬‬
‫מכלל יד ימין‪.‬‬
‫עבור רבע המעגל נתבונן בכל רכיב של הכוח בנפרד‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪π‬‬
‫‪F = IL × B ⇒ dF = IdL × B = IBdL sin‬‬
‫‪2‬‬
‫‪IB cos θ Rdθ = − IBR‬‬
‫‪IB sin θ Rdθ = − IBR‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪2‬‬
‫∫‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪Fx = ∫ IBdL cos θ‬‬
‫‪3π‬‬
‫∫‬
‫‪π‬‬
‫= ‪Fy = ∫ IBdL sin θ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪π‬‬
‫עבור הקטע האנכי נקבל ˆ‪F = IL × B = ILB sin = I 2 RB = 2 IBRx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫עבור החלק המשופע נמצא תחילה את זווית השיפוע ‪⇒ θ = 35.36o‬‬
‫‪3R‬‬
‫= ‪sin θ‬‬
‫נמצא את רכיבי הכוח‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫ˆ‪= − IBRx‬‬
‫‪3‬‬
‫‪Fx = IBL sin θ = IB 3R‬‬
‫‪1‬‬
‫ˆ‪= − 2 IBRy‬‬
‫‪3‬‬
‫‪Fy = IBL cos θ = IB 3R‬‬
‫בכיוון ‪ x‬נקבל שסכום הכוחות הוא ‪) 0‬זה הגיוני מפני שיש סימטריה בציר התנועה האנכי של הזרם(‪,‬‬
‫ובכיוון ‪ y‬נקבל שסכום הכוח הוא‬
‫‪( −7 − 2 ) IBR = −1.05R‬‬
‫כוח על תיל נושא זרם בשדה מגנטי‬
‫נתונים שלשוה תיילים מקבילים היוצרים משולש שווה שוקיים‪ ,‬כך שבסיסו השווה ל ‪ 2‬ס"מ מקביל‬
‫לרצפה והקודקוד השלישי נמצא מרחק ‪ h‬מתחת לבסיס‪ .‬הזרמים על התיילים היוצרים את הבסיס הם‬
‫‪ 250‬אמפר‪ ,‬ואילו הזרם על התיל התחתון הוא ‪ 100‬אמפר‪ .‬ידוע כי צפיפות המסה של התיל התחתון היא‬
‫‪ 0.04‬ק"ג למטר וכי הכוח השקול הפועל עליו הוא אפס‪ .‬חשבו את ‪. h‬‬
‫‪250 A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪250 A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪h‬‬
‫‪100 A‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫כדי לפתור תרגיל זה יש לצייר את דיאגרמת הכוחות הפועלים על התיל‪ .‬יש בסה"כ שלושה כוחות‪ :‬כוח‬
‫כבידה‪ ,‬וכוחות משיכה אל שני התיילים האחרים )הממוקמים גבוה יותר(‪.‬‬
‫דורשים ששקול הכוחות יהיה אפס וממשוואת ציר ה ‪ Y‬ניתן לבודד את ‪.h‬‬
‫מצב זה הוא מצב יציב‪.‬‬
‫‪250 A‬‬
‫‪250 A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪h‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪θ θ‬‬
‫‪100 A‬‬
‫‪mg‬‬
‫הנתונים הם‪:‬‬
‫? = ‪I 2 = 100 A µ = 0.04 kg m h‬‬
‫‪I1 = 250 A‬‬
‫‪a = 0.01 m‬‬
‫נרשום משוואת כוחות שמתאפסת‪:‬‬
‫‪− µg = 0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪a + h2‬‬
‫‪2‬‬
‫⋅‬
‫‪2µ 0 I 1 I 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2π a + h‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒ ‪= 0 ⇒ 2Fcosθ − µg‬‬
‫‪πµgh 2 - µ 0 I1 I 2 h + πµga 2 = 0‬‬
‫קיבלנו משוואה ריבועית עם הנעלם ‪. h‬‬
‫‪∑F‬‬
‫‪y‬‬
‫‪µ 0 I1 I 2 h‬‬
‫⇒ ‪= µg‬‬
‫‪π a2 + h2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫שאלה ‪) 1‬שאלה ‪ 7.25‬מחוברת הקורס(‪.‬‬
‫תיל ישר באורך ‪ l‬הנושא זרם ‪ I‬במגמה המתוארת באיור‪ ,‬מונח לאורך ציר ה‪ . y -‬עובי התיל זניח‪.‬‬
‫א‪ .‬חשבו את השדה המגנטי בנקודה ‪ P‬הנמצאת על ציר ה‪ z -‬ובגובה ‪ z‬מעליו‪ .‬מרחקי האנך מן‬
‫הנקודה ‪ P‬לתיל‪ ,‬אל קצות התיל הם ‪. l 2 , l 1‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את השדה המגנטי במצב בו הנקודה ‪ P‬מעל אמצע החוט‪.‬‬
‫‪z‬‬
‫ג‪ .‬חשבו את השדה המגנטי במצב בו הנקודה ‪ P‬מעל אחד מקצות המוט‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫ד‪ .‬למה תצטמצם תוצאתכם לסעיף ב' עבור ‪? l >> z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪I‬‬
‫‪y‬‬
‫‪I‬‬
‫‪l2‬‬
‫‪l1‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נחלק את המוט לאלמנטים בעלי אורך דיפרנציאלי ונחשב את השדה המגנטי שיוצר כל אלמנט בנקודה‬
‫‪z‬‬
‫‪:P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪z‬‬
‫‪I‬‬
‫‪y‬‬
‫‪I‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪l2‬‬
‫‪z‬‬
‫ˆ‪⋅ k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y +z‬‬
‫‪y‬‬
‫‪⋅ ˆj +‬‬
‫‪2‬‬
‫= ˆ‪, r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y +z‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪ˆ ‬‬
‫⋅‬
‫‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪y + z 2 ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪− l1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y + z2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪d l = dy ⋅ ˆj , r = y ⋅ ˆj + z ⋅ kˆ , r‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪⋅ dy ⋅ ˆj × ‬‬
‫‪⋅ ˆj +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y +z‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ‪r µ 0 I ⋅ d l × r‬‬
‫‪µ0 I‬‬
‫= ‪dB‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4π r‬‬
‫‪4π y + z 2‬‬
‫(‬
‫ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪µ 0 I ⋅ z ⋅ dy‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪4π y + z‬‬
‫=‬
‫כדי למצוא את השדה נבצע את אינטגרל על כל התיל‪:‬‬
‫‪l2‬‬
‫‪‬‬
‫= ˆ‪ ⋅ i‬‬
‫‪‬‬
‫‪ −l1‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪ ⋅ i‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כיוון ציר ‪ x‬הוא כלפי חוץ‪.‬‬
‫‪µ 0 I ⋅ z ‬‬
‫‪y‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪⋅i‬‬
‫‪4π  z 2 y 2 + z 2‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪l1‬‬
‫‪ ⋅ iˆ = µ 0 I  l 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪‬‬
‫‪4π z  l 22 + z 2‬‬
‫‪l 12 + z 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r µ0 I ⋅ z l2‬‬
‫‪dy‬‬
‫= ‪B = ∫ dB‬‬
‫∫‬
‫‪2‬‬
‫‪4π −l1 y + z 2‬‬
‫(‬
‫‪− l1‬‬
‫‪µ 0 I  l 2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪4π z  l 22 + z 2‬‬
‫‪l 12 + z 2‬‬
‫‪‬‬
‫=‬
‫‪l‬‬
‫ב‪ .‬ניקח את קצות המוט להיות במרחק שווה מראשית הצירים‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ . l 1 = l 2‬נציב בביטוי‬
‫שקיבלנו בסעיף א'‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪µ0 I ⋅ l‬‬
‫ˆ ‪‬‬
‫ˆ‪⋅ i‬‬
‫= ‪⋅i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪l‬‬
‫‪‬‬
‫‪4π z‬‬
‫‪+ z2‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r µ0 I ‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫=‪B‬‬
‫‪+‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4π z‬‬
‫‪ 2 l + z2 2 l + z2‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬נזיז את ראשית הצירים לקצה השמאלי של המוט‪ ,‬כלומר‪ . l 2 = l , l 1 = 0 :‬נציב בביטוי שקיבלנו‬
‫בסעיף א'‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪µ0 I ⋅ l‬‬
‫= ˆ‪ ⋅ i‬‬
‫ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪π‬‬
‫‪z‬‬
‫‪l‬‬
‫‪+‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪r µ I‬‬
‫‪l‬‬
‫‪B = 0 ‬‬
‫‪4π z  l 2 + z 2‬‬
‫ד‪ .‬עבור ‪: l >> z‬‬
‫ˆ ‪µ0 I ⋅ l ˆ µ0 I‬‬
‫=‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪l‬‬
‫‪2π z‬‬
‫⋅ ‪4π z‬‬
‫‪2‬‬
‫שדה מגנטי של תיל אינסופי!‬
‫= ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪µ0 I ⋅ l‬‬
‫‪2‬‬
‫‪l‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4π z‬‬
‫≈ ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪µ0 I ⋅ l‬‬
‫‪2‬‬
‫‪l‬‬
‫‪+ z2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4π z‬‬
‫‪r‬‬
‫=‪B‬‬
‫חוק ביו‪-‬סבאר‪) :‬שאלה ‪ 7.26‬מחוברת הקורס(‪.‬‬
‫הראו כי גודל השדה המגנטי במרכזה של לולאה מלבנית )נק' ‪ ( P‬שאורכה ‪l‬‬
‫‪2µ 0 I ⋅ l 2 + w 2‬‬
‫ורוחבה ‪ w‬הנושאת זרם ‪ I‬שווה ל‪:‬‬
‫‪π lw‬‬
‫‪I‬‬
‫‪w‬‬
‫‪P‬‬
‫= ‪ . B‬למה תצטמצם‬
‫תוצאתכם בגבול ‪? l >> w‬‬
‫‪l‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫תחילה יש למצוא את השדה המגנטי שיוצר תיל סופי בנקודה הנמצאת בניצב למרכזו )באותו אופן כמו‬
‫בתרגיל ‪ 7.25‬סעיף ב'(‪ .‬נציב בביטוי של השדה המגנטי את הנתונים המתאימים לשאלה זו‪ .‬הצלע‬
‫העליונה ותחתונה יצורות את אותו שדה מגנטי והצלע הימנית והשמאלית יוצרות את אותו שדה מגנטי‪ .‬כל‬
‫ארבעת השדות באותו כיוון )כלפי חוץ(‪ .‬שדה מגנטי של צלע תחתונה )ששווה לזה של העליונה(‪:‬‬
‫ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪µ0 I ⋅ l‬‬
‫‪2‬‬
‫‪πw l +w‬‬
‫‪2‬‬
‫= ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪µ0 I ⋅ l‬‬
‫‪2‬‬
‫‪µ0 I ⋅ l‬‬
‫= ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪w l‬‬
‫‪w‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2 4 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪l‬‬
‫‪+ z2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪r‬‬
‫=‪B‬‬
‫‪w‬‬
‫⇒‬
‫‪2‬‬
‫‪4π z‬‬
‫=‪z‬‬
‫שדה מגנטי של צלע ימנית )ששווה לזה של השמאלית(‪:‬‬
‫ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪µ0 I ⋅ w‬‬
‫‪2‬‬
‫‪πl w +l‬‬
‫‪2‬‬
‫= ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪µ0 I ⋅ w‬‬
‫‪2‬‬
‫= ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪l w‬‬
‫‪l‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2 4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪µ0 I ⋅ l‬‬
‫‪2‬‬
‫‪l‬‬
‫‪+ z2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪r‬‬
‫=‪⇒ B‬‬
‫‪4π z‬‬
‫‪l‬‬
‫‪2‬‬
‫‪l=w ,‬‬
‫=‪z‬‬
‫השדה המגנטי הכולל במרכז המלבן‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪B = BUp + BDown + BRight + BLeft‬‬
‫= ˆ‪⋅ i‬‬
‫‪µ0 I ⋅ w‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⋅ iˆ +‬‬
‫‪µ0 I ⋅ w‬‬
‫‪⋅ iˆ +‬‬
‫‪µ0 I ⋅ l‬‬
‫‪⋅ iˆ +‬‬
‫‪µ0 I ⋅ l‬‬
‫‪πw l +w‬‬
‫‪πl w +l‬‬
‫‪πl w +l‬‬
‫‪2µ 0 I ⋅ w‬‬
‫‪2µ 0 I‬‬
‫ˆ ‪ l w‬‬
‫=‬
‫‪⋅ iˆ +‬‬
‫= ˆ‪⋅ i‬‬
‫= ‪ + ⋅i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪πw l +w‬‬
‫‪πl w +l‬‬
‫‪π w +l w l ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪πw l +w‬‬
‫‪2µ 0 I ⋅ l‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2µ 0 I‬‬
‫ˆ ‪ l 2 + w 2  ˆ 2µ 0 I w 2 + l 2‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪ ⋅ i‬‬
‫‪⋅i‬‬
‫‪π wl‬‬
‫‪π w 2 + l 2  wl ‬‬
‫=‬
‫בגבול ‪: l >> w‬‬
‫‪r 2µ 0 I w 2 + l 2‬‬
‫ˆ ‪2µ 0 I l 2 ˆ 2µ 0 I‬‬
‫ˆ‬
‫=‪B‬‬
‫≈ ‪⋅i‬‬
‫= ‪⋅i‬‬
‫‪⋅i‬‬
‫‪π wl‬‬
‫‪π wl‬‬
‫‪πw‬‬
‫‪w‬‬
‫זהו שדה מגנטי בנקודה הנמצאת בדיוק במרכז בין שני תילים אינסופיים )כאשר המרחק מכל תיל‬
‫‪2‬‬
‫(‪.‬‬
‫חוק ביו‪-‬סבאר‪) :‬שאלה ‪ 7.28‬מחוברת הקורס(‪.‬‬
‫תיל דק מקופל לצורת מצולע משוכלל בעל ‪ n‬צלעות החסום ע"י מעגל שרדיוסו ‪ . R‬ידוע כי התיל נושא‬
‫זרם ‪. I‬‬
‫‪µ 0 In‬‬
‫א‪ .‬הראו כי גודל השדה המגנטי במרכז המצולע נתון ע"י ) ‪tan (π n‬‬
‫‪2π R‬‬
‫= ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬הראו כי בגבול ∞ → ‪ n‬גודלו של השדה המגנטי במרכז המצולע הוא כגודלו של השדה המגנטי‬
‫במרכזה של לולאה מעגלית‪.‬‬
‫פתרון‪) :‬כללי‪ ,‬לאו דווקא למשושה(‬
‫א‪ .‬נוסחה לחישוב הזווית‪ , θ ,‬שהגדרתי בשרטוט המצולע‪:‬‬
‫‪π‬‬
‫‪n‬‬
‫=‪⇒ θ‬‬
‫‪2θ‬‬
‫‪2θ n = 2π‬‬
‫‪2θ‬‬
‫‪2θ‬‬
‫‪2θ‬‬
‫‪2θ‬‬
‫‪θ R‬‬
‫‪z‬‬
‫כאשר‪ ,‬במקרה של המצולע‪:‬‬
‫‪z = R ⋅ cosθ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪I‬‬
‫‪l = 2 R ⋅ sinθ‬‬
‫‪l‬‬
‫‪2‬‬
‫שדה מגנטי שיוצר תיל אחד באורך ‪ l‬בנקודה הנמצאת בניצב למרכז התיל‪ ,‬במרחק ‪ z‬ממרכז התיל‪:‬‬
‫‪µ0 I ⋅ l‬‬
‫‪l2‬‬
‫‪+ z2‬‬
‫‪4‬‬
‫=‪B‬‬
‫‪4π z‬‬
‫נציב בביטוי של השדה המגנטי‪ ,‬ונכפול ב‪ n -‬צלעות‪ ,‬כדי לקבל את השדה במרכז המצולע )שימו‪0‬לב‬
‫שכל הצלעות יוצרות שדה מגנטי באותו כיוון‪ ,‬לתוך הדף‪ ,‬ולכן נתין לחבר באופן פשוט(‪:‬‬
‫=‬
‫‪µ 0 In ⋅ tanθ‬‬
‫‪4π ⋅ R ⋅ sin 2 θ + R 2 ⋅ cos 2 θ‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪n ⋅ µ 0 I ⋅ R ⋅ sinθ‬‬
‫=‪B‬‬
‫‪4 R ⋅ sin θ‬‬
‫⋅ ‪4π R ⋅ cosθ‬‬
‫‪+ R 2 ⋅ cos 2 θ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪µ In ⋅ tanθ µ 0 In‬‬
‫‪= 0‬‬
‫=‬
‫) ‪tan (π n‬‬
‫‪4π R‬‬
‫‪2π R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬נשתמש בזהות‪θ << 1 ⇒ tanθ ≈ θ :‬‬
‫במקרה שלנו‪:‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π  π‬‬
‫≈ ‪→ 0 ⇒ tan  ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n n‬‬
‫‪µ In‬‬
‫‪µ In π µ In‬‬
‫‪B = 0 tan (π n ) ≈ 0 ⋅ = 0‬‬
‫‪2π R‬‬
‫‪2π R n‬‬
‫‪2R‬‬
‫הביטוי שאליו שואף השדה המגנטי הוא של שדה מגנטי של כריכה מעגלית‪.‬‬
‫⇒ ∞→‪n‬‬
‫חוק ביו‪-‬סבאר‪) :‬שאלה ‪ 7.41‬מחוברת הקורס(‪.‬‬
‫טבעת שרדיוסה ‪ R‬העשויה מחומר מבודד טעונה במטען כללי ‪ Q‬המפולג לאורכה בצורה אחידה‪.‬‬
‫הטבעת סובבת במהירות זוויתית קבועה ‪ ω‬מסביב לציר הניצב למישורה ועובר במרכזה‪.‬‬
‫א‪ .‬חשבו את השדה המגנטי שיוצרת הטבעת הסובבת בנקודה ‪ P‬הנמצאת על הציר בגובה ‪ z‬מעל‬
‫מישורה‪.‬‬
‫‪z‬‬
‫ב‪ .‬מה יקרה אם הטבעת תסתובב בכיוון הפוך?‬
‫‪ω‬‬
‫‪R‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫הזרם שיוצרת המטען בטבעת שנמצא בתנועה הוא )נסתכל על מחזור שלם של סיבוב(‪:‬‬
‫‪∆Q Q Qω‬‬
‫= =‬
‫‪∆t T‬‬
‫‪2π‬‬
‫=‪⇒ I‬‬
‫כעת נתייחס למצב שטבעת מעגלית שזורם בה הזרם שחישבנו‪ .‬מבט צד של המערכת‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪dB‬‬
‫‪dL = R ⋅ d ϕ , r = z 2 + R 2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪z‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪sinθ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪r‬‬
‫‪µ I ⋅ dL‬‬
‫‪µ I ⋅ R ⋅ dϕ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪dB z = 0 2 ⋅ cosθ ⋅ kˆ = 0 2‬‬
‫⋅‬
‫= ˆ‪⋅ k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4π r‬‬
‫‪4π z + R‬‬
‫‪z +R‬‬
‫‪2‬‬
‫ˆ ‪µ I ⋅ R ⋅ dϕ‬‬
‫‪= 0‬‬
‫‪⋅k‬‬
‫‪32‬‬
‫‪4π z 2 + R 2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪I‬‬
‫)‬
‫= ‪, cosθ‬‬
‫)‬
‫‪ω‬‬
‫‪z‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪P‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫(‬
‫(‬
‫‪2π‬‬
‫=‪T‬‬
‫‪z‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪I‬‬
‫‪R‬‬
‫שימו לב‪:‬‬
‫•‬
‫ישנן שתי זוויות‪ , θ :‬שהיא זווית קבועה‪ .‬ו‪ ϕ -‬שהיא זווית שמשתנה לפי מיקום האלמנט‬
‫בטבעת‪.‬‬
‫•‬
‫לא רשמתנו את הרכיבים האופקיים של השדה המגנטי מכיוון שלאחר האינטגרל הם יתאפסו‬
‫)משיקולי סימטריה(‪.‬‬
‫נבצע את האינטגרל לפי הזווית על כל הטבעת‪:‬‬
‫ˆ‪⋅ k‬‬
‫‪µ0 I ⋅ R 2‬‬
‫)‬
‫‪2 32‬‬
‫‪2π‬‬
‫(‬
‫‪2 z +R‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪⋅ kˆ ⋅ ∫ d ϕ‬‬
‫‪0‬‬
‫)‬
‫‪µ0 I ⋅ R 2‬‬
‫‪2 32‬‬
‫(‬
‫‪4π z + R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪B = ∫ dB z‬‬
‫נציב את הביטוי לזרם שקיבלנו בהתחלה ונקבל את התשובה הסופית‪:‬‬
‫‪µ 0 R 2 Qω‬‬
‫ˆ ‪Qω‬‬
‫= ‪⋅k‬‬
‫ˆ‪⋅ k‬‬
‫‪32‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪4π z + R‬‬
‫)‬
‫(‬
‫⋅‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫‪µ0 R 2‬‬
‫(‬
‫‪2 z2 + R2‬‬
‫= ˆ‪⋅ k‬‬
‫‪µ0 I ⋅ R 2‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫(‬
‫‪2 z2 + R2‬‬
‫‪r‬‬
‫=‪B‬‬
‫חוק ביו‪-‬סבאר‪:‬‬
‫נתון מוליך נושא זרם ‪ I‬על פי התרשים‪ a .‬הוא הרדיוס הפנימי ו ‪ b‬הרדיוס החיצוני‪ .‬מהו השדה המגנטי‬
‫בנקודה ‪?P‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫שדה מגנטי של קשת רדיוס ‪ R‬עם זוית ‪ α‬כלשהי במרכז המעגל‪:‬‬
‫‪µ 0I α‬‬
‫‪µ 0 Iα‬‬
‫‪R‬‬
‫⋅‬
‫‪d‬‬
‫‪α‬‬
‫=‬
‫‪4π R‬‬
‫‪4 π R 2 ∫0‬‬
‫=‪B‬‬
‫עפ"י ביטוי זה הקשת הגדולה יוצרת במרכז‪:‬‬
‫‪µ0I π µ0I‬‬
‫= ⋅‬
‫‪4 π b 3 12 b‬‬
‫= ‪Bb‬‬
‫וכיוון השדה לתוך הדף‪.‬‬
‫הקשת הקטנה יוצרת במרכז‪:‬‬
‫‪µ0I π µ0I‬‬
‫= ⋅‬
‫‪4 π a 3 12 a‬‬
‫= ‪Ba‬‬
‫וכיוון השדה מחוץ הדף‪.‬‬
‫שני התיילים הישרים לא יוצרים שדה מגנטי בנקודה ‪ ,P‬מכיוון שהיא נמצאת על המשכם )כך הזווית בין‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ dL‬ל ‪ r‬היא אפס או ‪ 180‬מעלות והמכפלה הוקטורית של חוק ביו‪-‬סבאר מתאפסת(‪.‬‬
‫השדה השקול‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪µ I µ I µ I1 1‬‬
‫‪B P = B a + B b = 0 − 0 = 0  − ‬‬
‫‪12 a 12 b 12  a b ‬‬
‫מחוץ לדף‪.‬‬
‫חוק ביו‪-‬סבאר )דומה לשאלות ‪ ,7.25‬ו ‪ 7.26‬מחוברת הקורס(‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נבנה את האינטגרל‪:‬‬
‫‪µ 0 Idl × rˆ µ 0 Idlsinθ‬‬
‫=‬
‫‪4πr 2‬‬
‫‪4π r 2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪r‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫‪r = x 2 + D2‬‬
‫= ‪sin θ‬‬
‫= ‪dB‬‬
‫‪dl = dx‬‬
‫‪µ 0 Idx‬‬
‫‪µ 0 IDdx‬‬
‫‪D‬‬
‫⋅‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4π x + D‬‬
‫‪x 2 + D 2 4π x 2 + D 2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪µ 0 IL‬‬
‫‪L2‬‬
‫‪+ D2‬‬
‫‪4‬‬
‫=‬
‫‪4 πD‬‬
‫)‬
‫= ‪dB‬‬
‫(‬
‫‪µ 0 IDdx‬‬
‫‪2 32‬‬
‫‪+D‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫ 4π(x‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪B‬‬
‫‪−‬‬
‫ב‪ .‬השדה המגנטי שיוצר קטע אנכי‪ ,‬מתקבל באותו אופן‪ ,‬כך שנותר רק לבצע את ההחלפה הבאה בביטוי‬
‫שקיבלנו בסעיף א'‪:‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪µ 0 I ⋅ 2D‬‬
‫→‪D‬‬
‫‪µ 0I ⋅ D‬‬
‫‪L2‬‬
‫‪4‬‬
‫=‬
‫‪πL D 2 +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L‬‬
‫‪+ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(2D )2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪L → 2D‬‬
‫=‪B‬‬
‫‪L‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪2‬‬
‫כל ארבעת הקטעים יוצרים שדה מגנטי באותו כיוון כך שהשדה במרכז הוא סכום של כולם‪:‬‬
‫=‬
‫‪2µ 0 ID‬‬
‫‪L2‬‬
‫‪πL‬‬
‫‪+ D2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪+‬‬
‫‪µ 0 IL‬‬
‫‪L2‬‬
‫‪2 πD‬‬
‫‪+ D2‬‬
‫‪4‬‬
‫=‬
‫‪µ0I ⋅ D‬‬
‫‪L2‬‬
‫‪πL‬‬
‫‪+ D2‬‬
‫‪4‬‬
‫⋅‪+ 2‬‬
‫‪µ 0 IL‬‬
‫⋅‪B = 2‬‬
‫‪L2‬‬
‫‪4 πD‬‬
‫‪+ D2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2µ 0 I‬‬
‫‪ L 2D ‬‬
‫‪ 2D + L ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪L2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪+D‬‬
‫‪4‬‬
‫חוק ביו‪-‬סבאר‪) :‬דומה לשאלה ‪ 7.33‬ו ‪ 7.41‬מחבורת הקורס(‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬משיקולי סימטריה כיוון השדה המגנטי יהיה בכיוון החיובי של ציר ‪ z‬עבור ‪ z‬חיובי‪ ,‬ובכיוון השלילי‬
‫של ציר ‪ , z‬עבור ‪ z‬שלילי‪.‬‬
‫נחתוך את הטבעת לאלמנטים דיפרנציאליים ונסכום‪:‬‬
‫‪µ 0 Idl‬‬
‫= ‪dB z‬‬
‫‪sinϕ‬‬
‫‪4π r 2‬‬
‫‪µ 0 Ia 2 dθ‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫(‬
‫‪4π z 2 + a 2‬‬
‫= ‪⇒ dB z‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫‪a‬‬
‫= ‪sinϕ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪µ 0 Ia 2‬‬
‫(‬
‫‪2 z2 + a 2‬‬
‫‪dl = adθ‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫‪+ a2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪µ 0 Ia 2 dθ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r =z +a‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪B = ∫ dB z‬‬
‫‪∫ 4π(z‬‬
‫‪0‬‬
‫ב‪ .‬גודל השדה המגנטי במרכז הטבעת‪:‬‬
‫‪µ0I‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫)‬
‫‪2 32‬‬
‫‪µ 0 Ia‬‬
‫‪2(0 2 + a‬‬
‫= )‪B(z = 0‬‬
‫נדרוש שהשדה יהיה חצי ונמצא את ‪: z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪µ 0I‬‬
‫‪4a‬‬
‫=‬
‫)‬
‫‪2 32‬‬
‫‪= 2a 3‬‬
‫‪= 3 4a 2‬‬
‫‪µ 0 Ia‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫‪+ a2‬‬
‫) (‬
‫‪23‬‬
‫(‬
‫‪2 z2 + a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(z‬‬
‫‪z 2 + a 2 = 2a 3‬‬
‫)‬
‫‪4 −1 a 2‬‬
‫)‬
‫‪4 −1 a 2‬‬
‫(‬
‫‪3‬‬
‫(‬
‫‪3‬‬
‫= ‪z2‬‬
‫‪z=±‬‬
‫ג‪ .‬נחשב את הרוטור של השדה המגנטי על ציר הסימטריה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ˆj = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ˆi − ∂  µ 0 Ia‬‬
‫‪ ∂x  2 z 2 + a 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫ˆ‪k‬‬
‫‪∂B z ˆ ∂B z ˆ ∂  µ 0 Ia 2‬‬
‫∂‬
‫=‬
‫‪i−‬‬
‫=‪j‬‬
‫‪∂z‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂y  2 z 2 + a 2‬‬
‫‪Bz‬‬
‫(‬
‫אחת ממשוואות מקסוול היא‪:‬‬
‫המשמעות היא שבנקודות על ציר ‪ z‬לא זורם זרם )הזרם הוא בנקודות אחרות(‪.‬‬
‫‪ˆj‬‬
‫∂‬
‫‪∂y‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ˆi‬‬
‫‪r r‬‬
‫∂‬
‫= ‪∇×B‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r 1 ∂E‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪∇ × B = µ0 j + 2‬‬
‫‪c ∂t‬‬
‫חוק ביו‪-‬סבאר‬
‫במעגל חשמלי המורכב משני חצאי מעגל בעלי רדיוסים ‪ a‬ו‪) b-‬ראה‪/‬י‬
‫‪I‬‬
‫תרשים( זורם זרם ‪ .I‬המעגל החשמלי נמצא בשדה מגנטי אחיד ‪ B‬הניצב‬
‫למישור המעגל‪.‬‬
‫‪b‬‬
‫‪r‬‬
‫‪B‬‬
‫ג‪ .‬מהו הכוח השקול הפועל על חלק בתיל )הכוונה לכל אחת‬
‫מהקשתות וכל אחד משני המקטעים הישרים(?‬
‫‪a‬‬
‫ד‪ .‬מהו הכוח השקול הפועל על התיל?‬
‫ה‪ .‬מהו השדה המגנטי )גודל‪+‬כיוון( הנוצר של ידי המעגל‬
‫החשמלי במרכז המערכת?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫הגדרתי מערכת הצירים כך‪ :‬ציר ‪ x‬החוצה מהדף‪ ,‬ציר ‪ y‬ימינה וציר ‪ z‬מעלה‪.‬‬
‫את הקשת העליונה סימנתי "‪ ,"1‬את הקטע הישר הימני "‪ ,"2‬את הקשת התחתונה "‪ ,"3‬ואת הקטע הישר‬
‫השמאלי "‪."4‬‬
‫א‪ .‬ניתן לחשב עפ"י המרחק בין קצוות כל חלק בתיל‪:‬‬
‫]‬
‫[‬
‫[‬
‫[‬
‫[‬
‫‪r‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ‪F1 = IL1 × B = I ⋅ 2b ⋅ j × B ⋅ iˆ = −2bIB ⋅ k‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ‪F2 = IL2 × B = I ⋅ − (b − a ) ⋅ j × B ⋅ iˆ = (b − a )IB ⋅ k‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ‪F3 = IL3 × B = I ⋅ − 2a ⋅ j × B ⋅ iˆ = 2aIB ⋅ k‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ‪F4 = IL4 × B = I ⋅ − (b − a ) ⋅ j × B ⋅ iˆ = (b − a )IB ⋅ k‬‬
‫]‬
‫]‬
‫]‬
‫ב‪ .‬הכוח השקול יתקבל ע"י חיבור וקטורי של כל הכוחות שחישבנו בסעיף א'‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪FTotal = F1 + F2 + F3 + F4 = −2bIB ⋅ kˆ + (b − a )IB ⋅ kˆ + 2aIB ⋅ kˆ + (b − a )IB ⋅ kˆ = 0‬‬
‫‪r µ I‬‬
‫ג‪ .‬נחשב את השדה המגנטי של כל חלק‪ .‬שדה מגנטי לכריכה מעגלית שלמה‪ . B = 0 :‬כל קשת יוצרת‬
‫‪2R‬‬
‫חצי מהשדה של כריכה מעגלית שלמה‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪µ I‬‬
‫ˆ‪B3 = 0 ⋅ i‬‬
‫‪a‬‬
‫‪,‬‬
‫‪r‬‬
‫‪µ I‬‬
‫ˆ‪B1 = 0 ⋅ i‬‬
‫‪b‬‬
‫התיילים הישרים מצריכים בניית אינטגרל )השדה שכל אחד מהן ייצור יהיה שווה לזה של התיל שני(‪.‬‬
‫להלן פתרון כללי של שדה בנקודה ליד מוט ישר נושא זרם‪:‬‬
‫נחלק את המוט לאלמנטים בעלי אורך דיפרנציאלי ונחשב את השדה המגנטי שיוצר כל אלמנט בנקודה‬
‫‪z‬‬
‫‪:P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪z‬‬
‫‪y‬‬
‫‪I‬‬
‫‪I‬‬
‫‪l2‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪y‬‬
‫‪l1‬‬
r
r
d l = dy ⋅ ˆj , r = y ⋅ ˆj + z ⋅ kˆ , r =
r
r µ 0 I ⋅ d l × rˆ
µ0 I
dB =
=
2
2
4π r
4π y + z 2
(
=
µ 0 I ⋅ z ⋅ dy
(
2
4π y + z
2
)
32
)
2
2
y + z2
y
, rˆ =
⋅ ˆj +
2
y +z


y

ˆ
⋅ dy ⋅ j × 
⋅ ˆj +
2

2

 y +z

2
z
2
y +z
⋅ kˆ
2

ˆ
⋅ k  =
2

y + z 2 
z
⋅ iˆ
:‫כדי למצוא את השדה נבצע את אינטגרל על כל התיל‬
r
r µ0 I ⋅ z l 2
dy
B = ∫ dB =
∫
2
4π −l1 y + z 2
(
=
µ 0 I  l 2
l1
−
4π z  l 22 + z 2
l 12 + z 2

)
32
µ I ⋅ z 
y
⋅ iˆ = 0
4π  z 2 y 2 + z 2

l2

 ⋅ iˆ =

 l1


l2
l1
 ⋅ iˆ = µ 0 I 
−

4π z  l 22 + z 2
l 12 + z 2



 ⋅ iˆ


.‫ הוא כלפי חוץ‬x ‫כיוון ציר‬
‫במקרה של אחד התיילים הישרים בשאלה המקורית נציב את מיקום קצוות התיל המתאימים הצבתי את‬
:‫מקיום הקצוות של התיל השמאלי‬
l 1 = − a , l 2 = −b ,
z=a
r
r
µ I  l2
l1
B4 = B2 = 0 
−
4π z  l 22 + z 2
l 12 + z 2

=

 ⋅ iˆ = µ 0 I  − b − − a

4π a  b 2 + a 2
a2 + a2


 ⋅ iˆ =


µ0 I  − b
1 ˆ

⋅i
+
4π a  b 2 + a 2 2 
:‫שדה מגנטי שקול במרכז‬
r
r r
r
r
r
r
r
µI
µ I  −b
µI
1
BTotal = B1 + B2 + B3 + B4 = B1 + 2 B2 + B3 = 0 ⋅ iˆ + 0 
+  ⋅ iˆ + 0 ⋅ iˆ =
a
b
4π a  b 2 + a 2 2 
=

µ 0 I  4π a
b
1
−
+ + 4π  ⋅ iˆ

4π a  b
b2 + a2 2

‫כוח על תיל נושא זרם בשדה מגנטי‬
‫פתרון‪:‬‬
‫הנתונים הם‪:‬‬
‫‪I1 = 2 A I 2 = 1 A L = 0.5 m d = 0.2 m‬‬
‫א‪ .‬בסעיף השדה המגנטי אחיד לכל אורך התיל )השדה המגנטי נוצר ע"י התיל האינסופי ותלוי במרחק‬
‫מהתיל האינסופי(‪:‬‬
‫‪µ 0 I1I 2 L‬‬
‫‪2πd‬‬
‫= ‪F = I 2 LB‬‬
‫ב‪ .‬בסעיף זה השדה משתנה לאורך התיל‪ ,‬כך שיש לחלק את התיל לאלמנטים לחשב את הכוח‬
‫הדיפרנציאלי על כל אלמנט ולבצע אינטגרל‪:‬‬
‫‪µ 0 I1‬‬
‫‪2π r‬‬
‫⋅ ‪dF = I 2 ⋅ dL ⋅ B = I 2 ⋅ dr‬‬
‫‪dr µ 0 I1 I 2  d + L ‬‬
‫=‬
‫‪ln‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪ d ‬‬
‫‪d+L‬‬
‫∫‬
‫‪d‬‬
‫‪µ II‬‬
‫‪F = ∫ dF = 0 1 2‬‬
‫‪2π‬‬
‫ג‪ .‬הכוח על הצלעות באורך ‪ a‬מתבטל )הכוח עליהן זהה בגודל והפוך בכיוון(‪ ,‬כך שצריך לחשב את‬
‫הכוחות על שתי הצלעות האחרות המקבילות לתיל האינסופי‪ ,‬ולסכום וקטורית‪:‬‬
‫‪µ 0 I1 I 2 L‬‬
‫‪2πd‬‬
‫‪µ 0 I1 I 2 L‬‬
‫) ‪2 π (d + a‬‬
‫‪µ 0 I1 I 2 L µ 0 I1 I 2 L‬‬
‫‪µ I I L1‬‬
‫‪1  µ 0 I1 I 2 La‬‬
‫=‪‬‬
‫‪−‬‬
‫‪= 0 1 2  −‬‬
‫‪2πd‬‬
‫) ‪2 π(d + a‬‬
‫) ‪2 π  d (d + a )  2 π d (d + a‬‬
‫= ‪Fd‬‬
‫= ‪Fd + a‬‬
‫= ‪FT = Fd − Fd + a‬‬
‫כוח על תיל נושא זרם בשדה מגנטי‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬הכוח על התיל הישר הימני הוא כלפי מטה וגודלו‪:‬‬
‫‪Fright = 2(b - a )IB‬‬
‫הכוח על התיל הישר השמאלי הוא כלפי מטה‪ ,‬וגודלו‪:‬‬
‫‪Fleft = 2(b - a )IB‬‬
‫ב‪ .‬הכוח על תיל ברדיוס ‪ a‬הוא כלפי מטה וגודלו‪:‬‬
‫‪Fa = 2aIB‬‬
‫הכוח על התיל ברדיוס ‪ b‬הוא כלפי מעלה וגודלו‪:‬‬
‫‪Fb = 2bIB‬‬
‫ג‪ .‬הכוח השקול הוא סכום וקטורי של כל הכוחות‪:‬‬
‫‪FT = Fb − Fa − Fright − Fleft = 0‬‬
‫ד‪ .‬הכוח השקול גם במקרה זה היה מתאפס‪.‬‬
‫כוח על מישור נושא זרם בשדה מגנטי‬
‫פתרון‪:‬‬
‫הנתונים הם‪:‬‬
‫‪B0 = 4 T‬‬
‫‪ρ = 1.7 ⋅ 10 −8 Ω ⋅ m ε = 5 ⋅ 10 -5 V‬‬
‫‪a = 0.5 m d = 0.002 m‬‬
‫‪B0 x‬‬
‫‪a‬‬
‫=‪B‬‬
‫א‪ .‬נחשב את התנגדות המסגרת‪:‬‬
‫‪ρL‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪d‬‬
‫=‪R‬‬
‫= ‪L = a S = a ⋅d ⇒ R‬‬
‫נחשב את הזרם ע"י חוק אוהם‪:‬‬
‫‪ε εd‬‬
‫=‬
‫‪R‬‬
‫‪ρ‬‬
‫=‪I‬‬
‫וצפיפות הזרם‪:‬‬
‫‪I‬‬
‫‪ε‬‬
‫=‬
‫‪ad ρd‬‬
‫ב‪ .‬נחשב את הכוח ע"י אינטגרל‪:‬‬
‫=‪j‬‬
‫‪dF = dI ⋅ L ⋅ B‬‬
‫‪B0 x‬‬
‫‪= jd ⋅ B 0 xdx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B0 x‬‬
‫‪a‬‬
‫⋅ ‪⇒ dF = jd ⋅ dx ⋅ a‬‬
‫‪a‬‬
‫=‪B‬‬
‫‪L=a‬‬
‫‪dI = jdS = jd ⋅ dx‬‬
‫‪x2 ‬‬
‫‪jd ⋅ B 0 a 2‬‬
‫= ‪F = ∫ dF = ∫ jd ⋅ B 0 xdx = jd ⋅ B 0  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2 0‬‬
‫‪0‬‬
‫כיוון הכוח יהיה ימינה )בכיוון החיובי של ציר ‪( X‬‬
‫ג‪ .‬גודל הכוח יישאר זהה‪ ,‬כיוון הכוח יהיה בכיוון ציר ‪. Y‬‬
‫‪a‬‬
‫כוח על תיל נושא זרם טבעת בעלת רדיוס ‪ R‬טעונה במטען כולל ‪ Q‬המפוזר אחיד לאורך‬
‫הטבעת‪ .‬הטבעת מסתובבת סביב מרכזה במהירות זוויתית קבועה ‪ .ω‬הטבעת נמצאת על "קו התפר"‬
‫בו משתנָה עוצמת השדה המגנטי מערך קבוע ‪) B1‬בתחום הימני( לערך קבוע אחר ‪) B2‬בצד שמאל(‪.‬‬
‫מישור הטבעת ניצב לשדות‪ ,‬חצייה באזור בו שורר ‪ B1‬וחצייה השני באזור בו שורר ‪.B2‬‬
‫א( מהו הזרם החשמלי ‪ I‬הנוצר על ידי תנועתה‬
‫הסיבובית של הטבעת?‬
‫‪B2‬‬
‫‪B1‬‬
‫ב( חשב‪/‬י את הכוח הכולל הפועל על טבעת‬
‫הזרם‪ .‬הראה‪/‬י תוך שימוש באיור סכמאטי את‬
‫‪ω‬‬
‫כיווני הכוחות הפועלים‪.‬‬
‫ג( מה הכוח הכולל הפועל על הטבעת במקרה ש‪-‬‬
‫‪?B1=B2‬‬
‫קו התפר בין השדות‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬את הזרם החשמלי נמצא ע"י הגדרת הזרם החשמלי‪ ,‬כלומר מטען ליחידת זמן‪ .‬נסתכל על נקודה‬
‫כלשהי‪ ,‬כמות המטען העוברת בסיבוב שלם היא ‪ , Q‬הזמן של סיבוב שלם הוא זמן מחזור‪:‬‬
‫‪∆q Q ωQ‬‬
‫= =‬
‫‪∆t T‬‬
‫‪2π‬‬
‫=‪I‬‬
‫⇒‬
‫‪2π‬‬
‫‪ω‬‬
‫=‪T‬‬
‫ב‪ .‬הכוח השקול על חצי המעגל הימני פועל שמאלה‪ .‬והכוח השקול על חצי התיל השמאלי פועל ימינה‪.‬‬
‫גודל הכוחות נקבע עפ"י המרחק בין קצות הקשת החצי מעגלית‪:‬‬
‫‪ω QB1 R‬‬
‫‪ωQ‬‬
‫= ‪⋅ B1 ⋅ 2 R‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪ω QB2 R‬‬
‫‪ωQ‬‬
‫= ‪F2 = I ⋅ B2 ⋅ 2 R‬‬
‫= ‪⋅ B2 ⋅ 2 R‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪π‬‬
‫= ‪F1 = I ⋅ B1 ⋅ 2 R‬‬
‫ג‪ .‬הכוח הכולל במקרה ש ‪: B1 = B2‬‬
‫‪ω QB1 R ω QB2 R‬‬
‫‪−‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫= ‪FT = F2 − F1‬‬
‫כוח על תיל נושא זרם‬
‫קובייה בעלת צלע ‪ ,a‬העשויה מחומר מוליך מושלם‪ ,‬נעה באזור עם שדה‬
‫מגנטי ‪ B‬היוצא מהדף‪ ,‬במהירות ‪ v‬המאונכת לשדה המגנטי‪ .‬בגלל הכוח‬
‫‪B‬‬
‫המגנטי הפועל על המטענים החופשיים במוליך הם נעים לכיוון אחת הפיאות‬
‫ויוצרים שדה חשמלי‪ .‬התהליך מפסיק )מצב שיווי משקל( כאשר הכוח הכולל‬
‫‪a‬‬
‫הפועל על כל אחד מהמטענים החופשיים במערכת מתאפס‪ .‬הכוח הוא כוח‬
‫לורנץ )מגנטי בגלל השדה המגנטי הנתון‪ ,‬וחשמלי בגלל היווצרות השדה‬
‫החשמלי הנ"ל(‪.‬‬
‫‪v‬‬
‫א‪ .‬מהו השדה החשמלי הנוצר במוליך כתוצאה מתנועה זו?‬
‫ב‪ .‬מצא‪/‬י את צפיפות המטענים בפאות הקוביה המוליכה‪ .‬הזניחו אפקטי‬
‫שפה‪ ,‬כלומר חשבו את הצפיפות בקירוב של שטח פאה אינסופי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מהו הפוטנציאל בין הפיאות?‬
‫ד‪ .‬מהי כמות האלקטרונים העודפים בפיאה הטעונה שלילית?‬
‫פתרון‪ :‬מערכת הצירים היא‪ :‬כיוון ‪ x‬ימינה‪ ,‬כיוון ‪ y‬לתוך הדף‪ ,‬וכיוון ‪ z‬כלפי מעלה‪.‬‬
‫א‪ .‬נחשב את הכוח המגנטי הפועל על חלקיק בתוך הקובייה )חוק לורנץ(‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ‪FB = −qvB ⋅ k‬‬
‫נחשב את הכוח שמפעיל השדה החשמלי על החלקיק‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪FE = qE‬‬
‫נדרוש שסכום הכוחות יתאפס כדי למצוא את גודל וכיוון השדה החשמלי‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ‪E = vB ⋅ k‬‬
‫‪r‬‬
‫⇒ ‪qE − qvB ⋅ kˆ = 0‬‬
‫ב‪ .‬השדה הוא אחיד כלומר בשכבה התחתונה יש צפיפות מטען חיובית ובשכבה העליונה יש צפיפות מטען‬
‫שלילית‪ .‬צפיפויות המטען שוות בגודל והפוכות בסימן )המטען החיובי שיצא מלמעלה הצטבר למטה(‪.‬‬
‫נתייחס לכל אחת מהשכבות כלוח אינסופי‪:‬‬
‫ˆ ‪σ‬‬
‫‪⋅ k = vB ⋅ kˆ ⇒ σ = ε 0 vB‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪r σ‬‬
‫=‪E‬‬
‫⇒ ˆ‪⋅ k‬‬
‫‪ε0‬‬
‫ג‪ .‬פוטנציאל של שדה קבוע )לוח עליון פחות לוח תחתון(‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪∆ϕ = − ∫ E ⋅ dr = − E ⋅ ∆z = −vBa‬‬
‫ד‪ .‬כמות האלקטרונים בפאה השלילית‪:‬‬
‫‪− ε 0 vBa ε 0 vBa‬‬
‫‪q‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪−e‬‬
‫‪−e‬‬
‫‪e‬‬
‫= ‪q = −σ a = −ε 0 vBa ⇒ ne‬‬
‫צפיפות זרם‬
‫נתונה צפיפות זרם העובר לאורכו של מוליך גלילי )רדיוס ‪:( a‬‬
‫ˆ ‪ b (r − a ) δ‬‬
‫‪⋅k‬‬
‫‪ ⋅e‬‬
‫‪j (r ) =  r‬‬
‫‪0‬‬
‫) ‪(0 ≤ r ≤ a‬‬
‫) ‪(r > a‬‬
‫כאשר ‪ b , a‬ו‪ δ -‬הם קבועים מספריים‪.‬‬
‫הביעו את הזרם הכולל דרך המוליך ) ‪ ,( I‬באמצעות ‪ b , a‬ו‪. δ -‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫=‬
‫]‬
‫‪a‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r r a b (r −a ) δ‬‬
‫‪I = ∫ j ⋅ dS = ∫ ⋅ e‬‬
‫‪⋅ 2π rdr = 2π b ⋅ ∫ e ( r −a ) δ dr = −2π b ⋅ δ ⋅ e (r −a ) δ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫[‬
‫)‬
‫(‬
‫]‬
‫[‬
‫‪= −2π b ⋅ δ ⋅ e 0 − e −a δ = 2π b ⋅ δ ⋅ e − a δ − 1‬‬
‫חוק אמפר‬
:‫פתרון‬
:(‫ חיובי למעלה‬y ‫ השדה המגנטי הוא סופר פוזיציה של השדות של התיל והגליל )ציר‬.‫א‬
r
 µ I
µ 0I  ˆ
B(x < d - b ) = − 0 −
⋅ j
 2 π x 2 π (d − x ) 
r
 µ I
B(d − a < x < d + a ) = − 0  ⋅ ˆj
 2π x 
r
 µ I
µ 0I  ˆ
B(d + b < x ) = − 0 +
⋅ j
 2 π x 2 π(d − x ) 
:‫ השדה המגנטי שיצור הגליל בתוכו‬.‫ב‬
r r
B
∫ ⋅ d l = µ 0 I in
r r
B
∫ ⋅ d l = B ⋅ 2πr
B ⋅ 2πr = µ 0 ⋅
) (
I
⋅ π r2 − a2
2
π b − a2
(
) (
µ I(r − a )
B=
(b − a )
µ 0 I in = µ 0 ⋅ jS = µ 0 ⋅
(
(
2
)
⇒
r
 µ I (x - d ) − a
B(d + a < x < d + b ) =  0
b2 − a 2

(
I
⋅ π r2 − a2
2
π b −a
2
2
)
2
)
2
0
2
) − − µ I  ⋅ ˆj
0
2 π x 
2
:‫ השדה המגנטי השקול בתוך הגליל‬.‫ג‬
‫חוק אמפר‬
‫צינור ארוך וחלול אשר רדיוסו החיצוני הינו ‪ R‬נושא זרם ‪) I‬מגמת הזרם לתוך הדף(‪ .‬במרחק ‪3R‬‬
‫ממרכז הצינור ובמקביל לו נמצא מוליך ארוך נושא זרם ‪ .i‬מה צריך להיות גדלו וכיוונו של הזרם ‪i‬‬
‫כדי שהשדה המגנטי בנקודה ‪) P‬במרחק ‪ 2R‬ממרכז הצינור( יהיה שווה בגדלו אך הפוך בכיוונו‬
‫מהשדה המגנטי במרכז הצינור )נקודה ‪.(C‬‬
‫ג‪P .‬‬
‫‪i‬‬
‫‪C R‬‬
‫ב‪R .‬‬
‫א‪R .‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪µ0I‬‬
‫= ‪ , B‬מתאים גם לשדה מגנטי של יתל אינסופי וגם לשדה המגנטי של גוף בעל סימטריה‬
‫הביטוי‪:‬‬
‫‪2πr‬‬
‫גלילית באזור המצא מחוץ לגליל‪.‬‬
‫השדה המגנטי שיצור הצינור‪:‬‬
‫‪µ0I‬‬
‫‪µ I‬‬
‫=‪B‬‬
‫‪= 0‬‬
‫‪2 π⋅ 2R 4 π R‬‬
‫וכיוונו כלפי מעלה )נתון ש ‪ I‬זורם לתוך הדף(‪.‬‬
‫השדה שיוצר התיל האינסופי צריך להיות כלפי מטה‪ ,‬כך שניתן לקבוע שכיוון הזרם בתיל צריך להיות‬
‫לתוך הדף‪ .‬נכתוב דרושה לגודלו של השדה ומתוכה נמצא את גודל הזרם‪:‬‬
‫‪µ i‬‬
‫‪µ I‬‬
‫‪I‬‬
‫‪B= 0 = 0‬‬
‫=‪⇒ i‬‬
‫‪2 π⋅ R 4 π R‬‬
‫‪2‬‬
‫חוק אמפר )שאלה ‪ 7.18‬מחוברת הקורס(‪.‬‬
‫צינור ארוך דק דפנות אשר רדיוסו החיצוני הינו ‪ R‬נושא זרם ‪ i0‬המפולג בצורה אחידה‪ .‬כיוון הזרם‬
‫בצינור הוא אל תוך הדף‪ .‬במרחק ‪ 3 R‬ממרכז הצינור מוצב תיל הנושא זרם חשמלי ‪ i‬במקביל לציר‬
‫הצינור ובאותו כיוון )ראה איור(‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את השדה המגנטי במרכז הצינור‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את השדה המגנטי בנקודה ‪ P‬הנמצאת במרחק ‪ 2 R‬ממרכז הצינור‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה צריך להיות היחס בין הזרמים ‪ i‬ו‪ i0 -‬על מנת שעצמת השדה המגנטי השקול בנקודה‬
‫‪ P‬תהיה שווה לזו שבמרכז הצינור אך הפוכה לו במגמה?‬
‫‪i‬‬
‫‪P‬‬
‫‪A‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫פתרון‪ :‬בחרתי את כיוון ציר ‪ z‬מעלה‪.‬‬
‫א‪ .‬השדה המגנטי במרכז הצינור מושפע רק מהתיל החיצוני ולא מהצינור עצמו‪ ,‬ניתן להסביר זאת ע"י‬
‫חוק אמפר‪:‬‬
‫‪B1 (r < R ) = 0‬‬
‫⇒ ‪B1 ⋅ 2π r = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪r‬‬
‫‪I‬‬
‫‪0 in‬‬
‫‪r‬‬
‫‪∫ B ⋅ dl = µ‬‬
‫⇒ ‪µ 0 I in = 0‬‬
‫⇒‬
‫) ‪(r < R‬‬
‫כך שבנקודה במרכז הצינור קיים שדה מגנטי של תיל אינסופי במרחק ‪ 3R‬מהתיל‪:‬‬
‫‪µ 0i‬‬
‫‪µi‬‬
‫ˆ‪⋅ kˆ = − 0 ⋅ k‬‬
‫) ‪2π (3 R‬‬
‫‪6π R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪BA = −‬‬
‫ב‪ .‬כל אחד מהגופים יוצר שדה של תיל אינסופי‪ ,‬נחשב ונחבר וקטורית כדי למצוא את השקול‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ ‪µ 0 i0 ˆ µ 0 i0‬‬
‫‪µi‬‬
‫= ‪⋅k‬‬
‫‪⋅k‬‬
‫‪,‬‬
‫ˆ‪B2 (r = R ) = − 0 ⋅ k‬‬
‫) ‪2π (2 R‬‬
‫‪4π R‬‬
‫‪2π R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪µi‬‬
‫‪µi‬‬
‫ˆ ) ‪µ (i − 2i‬‬
‫‪B P = B1 + B2 = 0 0 ⋅ kˆ − 0 ⋅ kˆ = 0 0‬‬
‫‪⋅k‬‬
‫‪4π R‬‬
‫‪2π R‬‬
‫‪4π R‬‬
‫‪r‬‬
‫= ) ‪B1 (r = 2 R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪µi‬‬
‫ג‪ .‬נדרוש‪ , B P = − B A = 0 ⋅ kˆ :‬נשווה לביטוי שקיבלנו בסעיף ב' ונבודד את הזרם‪: i ,‬‬
‫‪6π R‬‬
‫‪3i0 = 8i‬‬
‫⇒‬
‫‪⇒ 3i0 − 6i = 2i‬‬
‫‪i0 − 2i i‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫ˆ ‪µ 0 (i0 − 2i ) ˆ µ 0 i‬‬
‫= ‪⋅k‬‬
‫⇒ ‪⋅k‬‬
‫‪4π R‬‬
‫‪6π R‬‬
‫‪i 3‬‬
‫=‬
‫‪i0 8‬‬
‫חוק אמפר‬
‫גלילים מוליכים אינסופיים מקבילים זה לזה והמרחק ביניהם ‪ .d‬רדיוס הגליל השמאלי ‪ a‬ורדיוס הימני ‪,b‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫ודרכם זורמת צפיפות זרם אחידה ושווה ˆ‪ . J1 = J 2 = J 0 k‬נתונים‪ .x ,J0 ,b ,a ,D :‬כמו כן ידוע כי ‪.b>a‬‬
‫‪D=d‬‬
‫א‪ .‬מהו גודל השדה המגנטי הנוצר במרחב בין התיילים‪ ,‬במרחק ‪ x‬מהתיל השמאלי‬
‫) ‪?( a < x < d − b‬‬
‫‪ x‬נמדד ממרכז התיל השמאלי‪.‬‬
‫‪J1‬‬
‫‪J2‬‬
‫ב‪ .‬מטען חיובי ‪ q‬נע במהירות ‪ v‬במקביל לתילים‪,‬‬
‫‪q‬‬
‫‪v‬‬
‫בכיוון השלילי של ציר ‪) z‬ראה‪/‬י איור( בנקודה‬
‫‪ .x=d/2‬מהו כיוון הכוח המגנטי שפועל על המטען?‬
‫‪r‬‬
‫ג‪ .‬מהו השדה המגנטי ‪ B‬בנקודה הנמצאת במרחק‬
‫‪2a‬‬
‫‪3‬‬
‫ממרכז התיל השמאלי?‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪d‬‬
‫פתרון‪ :‬ציר ‪ x‬מוגדר ימינה‪ ,‬ציר ‪ y‬מוגדר לתוך הדף‪ ,‬ציר ‪ z‬מוגדר ימינה‪.‬‬
‫א‪ .‬תחילה נחשב את הזרם הכולל בכל גליל‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪, I 2 = j 2 ⋅ S = j0 ⋅ π b 2‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪I1 = j1 ⋅ S = j0 ⋅ π a 2‬‬
‫ציר ‪ x‬מוגדר‪ ,‬כך שראשיתו נמצאת במרכז הגליל השמאלי‪ ,‬וכיוונו החיובי ימינה‪ .‬נחשב את השדה‬
‫החשמלי שיוצר הגליל השמאלי מבחוץ ‪,‬בנקודה הנמצאת מצידו הימני )כמו תיל אינסופי(‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪µI‬‬
‫ˆ ‪µ j ⋅ π a 2 ˆ µ 0 j0 ⋅a 2‬‬
‫‪B1 (x ) = 0 1 ˆj = 0 0‬‬
‫=‪j‬‬
‫‪j‬‬
‫‪2π r‬‬
‫‪2π x‬‬
‫‪2x‬‬
‫נחשב את השדה החשמלי שיוצר הגליל הימני מבחוץ‪ ,‬בנקודה הנמצאת מצידו השמאלי )כמו תיל‬
‫אינסופי(‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪µI‬‬
‫ˆ ‪µ j ⋅ π b2‬‬
‫ˆ ‪µ j ⋅b 2‬‬
‫‪B2 ( x ) = − 0 2 ˆj = − 0 0‬‬
‫‪j=− 0 0‬‬
‫‪j‬‬
‫‪2π r‬‬
‫) ‪2π (d − x‬‬
‫) ‪2 (d − x‬‬
‫כדי לקבל את השדה השקול בנקודה הנמצאת בין הגלילים‪ ,‬נחבר את שני השדות שחישבנו באופן וקטורי‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪µ 0 j0 ⋅a 2 ˆ µ 0 j0 ⋅b 2 ˆ µ 0 j0  a 2‬‬
‫ˆ ‪b2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪⋅ j‬‬
‫= ) ‪B( x ) = B1 ( x ) + B2 ( x‬‬
‫‪j−‬‬
‫=‪j‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2x‬‬
‫) ‪2 (d − x‬‬
‫‪2  x (d − x ) ‬‬
:‫ באמצעות חוק לורנץ‬.‫ב‬
r
r
µ j
d
B x =  = − 0 0 b 2 − a 2 ⋅ ˆj
,
v = −v ⋅ kˆ
2
d

r
r
 µ j


r r
µ j qv
F = qv × B = q  − 0 0 b 2 − a 2 ⋅ ˆj  × − v ⋅ kˆ  = − 0 0 b 2 − a 2 ⋅ i
d

 d

(
)
(
)
(
)
(
)
:'‫ נציב תא הערך הנתון בביטוי של השדה המגנטי שמצאנו בסעיף א‬.‫ג‬


 2

2
r
b
2 a  µ 0 j0  a
 ⋅ ˆj = 3µ 0 j0
B x =
−
=

a
2
2a  
3 
2
2


d −  

3 
 3 
a
b2  ˆ
 −
 ⋅ j
(
)
2
d
−
2
a


‫חוק אמפר‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬את השדה המגנטי מוצאים ע"י חוק אמפר‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪∫ B ⋅ drl = µ I‬‬
‫‪r‬‬
‫‪∫ B ⋅ d l = B ⋅ 2π r‬‬
‫‪0 in‬‬
‫‪µ 0 Ir 2‬‬
‫‪a2‬‬
‫= ‪⇒ B ⋅ 2πr‬‬
‫‪µ 0 Ir 2‬‬
‫‪I‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪r‬‬
‫⋅‬
‫=‬
‫‪πa 2‬‬
‫‪a2‬‬
‫⋅ ‪µ 0 I in = µ 0 ⋅ jS = µ 0‬‬
‫⇒ ) ‪(0 < r < a‬‬
‫‪µ 0 Ir‬‬
‫‪2πa 2‬‬
‫‪(a < r < b ) ⇒ µ 0 I in = µ 0 I ⇒ B ⋅ 2 π r = µ 0 I‬‬
‫= ) ‪B(0 < r < a‬‬
‫‪µ 0I‬‬
‫‪2πr‬‬
‫‪(a < r < b ) ⇒ µ 0 I in = 0 ⇒ B ⋅ 2 π r = 0‬‬
‫= ) ‪B(a < r < b‬‬
‫‪B(a < r < b ) = 0‬‬
‫ב‪ .‬כיוון השדה המגנטי הוא בכיוון משיק לכיוון הרדיאלי‪ ,‬עפ"י חוק יד ימין‪.‬‬
‫חוק אמפר ‪ +‬ביו‪-‬סבאר‪:‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬עבור לולאה מלבנית שצלע אחת שלה )באורך ‪ ( L‬בתוך הסליל וצלע שנייה שלה מחוץ לסליל‬
‫)במרחק אינסופי מהסליל כך שניתן להניח שהשדה שם הוא אפס(‪ ,‬נרשום את חוק אמפר‪ .‬שימו לב‬
‫שעבור שתי הצלעות הצדדיות אינטגרל המסלול מתאפס מכיוון שהשדה ניצב למסלול‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪Amper' s Law : ∫ B ⋅ d l = µ 0 I in‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪B‬‬
‫‪∫ ⋅ d l = BL‬‬
‫‪µ 0 I in = µ 0 InL ⇒ BL = µ 0 InL ⇒ B = µ 0 In‬‬
‫ב‪.‬חישוב השדה המגנטי שיוצר סליל דק‪:‬‬
‫‪µ 0 NIdl‬‬
‫‪sinϕ‬‬
‫‪4πr 2‬‬
‫‪µ 0 NIR 2 dθ‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫(‬
‫‪4π x 2 + R 2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪⇒ dB z‬‬
‫= ‪sinϕ‬‬
‫‪µ 0 NIR 2‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫(‬
‫‪2 x2 + R 2‬‬
‫‪dl = adθ‬‬
‫‪r2 = z2 + a 2‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪µ 0 NIR 2 dθ‬‬
‫=‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫‪+ R2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪dB z‬‬
‫‪∫ 4π(x‬‬
‫= ‪B = ∫ dB z‬‬
‫‪0‬‬
‫ג‪ .‬צריך לבצע אינטגרל על שדה של סלילים דקים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪µ 0 nIdx ⋅ R‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪12 ‬‬
‫‪ − L‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪µ nIR  1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= 0‬‬
‫‪ 2⋅ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x + R2‬‬
‫‪ R‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪µ 0 NI‬‬
‫‪4L2 + R 2‬‬
‫)‬
‫‪32‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪+ R2‬‬
‫(‬
‫‪2 x2 + R 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫ (x‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪µ 0 nIR‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫)‬
‫‪2 32‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪µ 0 dI ⋅ R‬‬
‫(‬
‫‪2 x +R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪µ 0 nIdx ⋅ R‬‬
‫)‬
‫‪2 32‬‬
‫= ‪dB‬‬
‫‪+R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫ 2(x‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪B‬‬
‫‪−‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪µ 0 nI ‬‬
‫‪µ 0 nIL‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ 2 + R 2 ‬‬
‫‪+ R2‬‬
‫‪2 + R 2   2‬‬
‫‪‬‬
‫‪  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫חוק אמפר )שאלה ‪ 7.17‬מחוברת הקורס(‪.‬‬
‫פתרון‪ :‬בחרתי את כיוון ציר ‪ x‬לתוך הדף! נניח שבמוליך הפנימי הזרם פנימה ובחיצוני החוצה‪.‬‬
‫‪r r‬‬
‫בסימטריה המתקיימת במוליך גלילי אינסופי‪ ,‬ניתן להשתמש בחוק אמפר‪ . ∫ B ⋅ d l = µ 0 I in :‬לסימטריה‬
‫כזאת יוצרים לולאת אמפר מעגלית ברדיוס ‪ , r‬שמרכזה נמצא על ציר הסימטריה המרכזי‪ .‬הצד הימני של‬
‫חוק אמפר מתאים לכל רדיוס שנבחר )אינו תלוי באזורים השונים של השדה המגנטי אלא רק בסימטריה(‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪B‬‬
‫‪∫ ⋅ d l = B ⋅ 2π r‬‬
‫כדי למצוא את השדה באזורים השונים נשנה את רדיוס הלולאה כך שבכל פעם הא תהיה באזור אחר‪,‬‬
‫ונחשב בכל אזור את כמות הזרם העוברת דרך הלולאה‪:‬‬
‫) ‪(r > R3‬‬
‫‪⇒ µ 0 I in = I − I = 0‬‬
‫‪r r‬‬
‫⇒ ‪∫ B ⋅ d l = µ 0 I in ⇒ B ⋅ 2π r = 0‬‬
‫‪B (r > R3 ) = 0‬‬
‫‪ R32 − r 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪= µ 0 I − µ 0 j 2π r − R = µ 0 I  2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪−‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪µ I  R −r ‬‬
‫‪‬‬
‫‪⇒ B (R2 < r < R3 ) = 0 ⋅  23‬‬
‫‪2π r  R3 − R22 ‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪2‬‬
‫‪µ0 I‬‬
‫‪2π r‬‬
‫‪ R32 − r 2‬‬
‫‪⇒ B ⋅ 2π r = µ 0 I  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ R3 − R 2‬‬
‫‪⇒ µ 0 I in = µ 0 I‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪B‬‬
‫‪∫ ⋅ d l = µ 0 I in‬‬
‫= ) ‪B (R1 < r < R2‬‬
‫‪µ0 I r 2‬‬
‫‪R12‬‬
‫‪µ0 I r‬‬
‫‪2π R12‬‬
‫⇒‬
‫) ‪( R 2 < r < R3‬‬
‫‪µ 0 I in‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪I‬‬
‫= ‪j2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π R3 − R22‬‬
‫‪,‬‬
‫⇒‬
‫)‬
‫(‬
‫‪B ⋅ 2π r = µ 0 I‬‬
‫= ‪µ 0 I in = µ 0 j1 ⋅ π r‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪B (R1 < r < R2‬‬
‫⇒‬
‫‪µ0 I r 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪R‬‬
‫‪,‬‬
‫⇒‬
‫‪I‬‬
‫= ‪j2‬‬
‫‪π R12‬‬
‫= ‪B ⋅ 2π r‬‬
‫⇒‬
‫) ‪(R1 < r < R2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪I‬‬
‫‪0 in‬‬
‫‪r‬‬
‫‪∫ B ⋅ dl = µ‬‬
‫⇒‬
‫) ‪(r < R1‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪B‬‬
‫‪∫ ⋅ d l = µ 0 I in‬‬
‫חוק אמפר‪) :‬שאלה ‪ 7.23‬מחוברת הקורס(‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫במוליך גלילי ארוך שרדיוסו ‪ a‬נקדחו שני חללים לאורך ציר‬
‫‪Q‬‬
‫הסימטריה כולו‪ ,‬שקוטרם ‪ , a‬כמתואר באיור משמאל‪.‬‬
‫המוליך נושא זרם ‪ I‬בניצב למישור האיור ובמגמה החוצה‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a 2‬‬
‫א‪ .‬חשבו את השדה המגנטי בנקודה ‪ P‬הנמצאת על ציר‬
‫‪P‬‬
‫‪x‬‬
‫ה‪ x -‬במרחק ‪ r‬ממרכז הגליל‪.‬‬
‫‪a 2‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את השדה המגנטי בנקודה ‪ Q‬הנמצאת על ציר‬
‫ה‪ y -‬ובמרחק ‪ r‬ממרכז הגליל‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫הדרכה‪ :‬התייחסו לחללים הגלילים כאל מוליכים הנושאים‬
‫זרם באותה צפיפות אולם במגמה הפוכה‪.‬‬
‫פתרון‪ :‬ציר ‪ z‬לתוך הדף!‬
‫נמספר את ה"גופים"‪:‬‬
‫‪ .1‬גליל מלא רדיוס ‪ a‬שהזרם בו החוצה מהדף‪.‬‬
‫‪ .2‬הגליל החלול העליון‪ ,‬בעל רדיוס ‪ , a 2‬אליו נתייחס כמלא שהזרם בו לתוך הדף‪.‬‬
‫‪ .3‬הגליל החלול התחתון‪ ,‬בעל רדיוס ‪ , a 2‬אליו נתייחס כמלא שהזרם בו לתוך הדף‪.‬‬
‫כדי לחשב את השדות בנקודות השונות מחשב את השדה שיוצר כל "גוף" ונחבר וקטורית‪.‬‬
‫א‪ .‬נחשב את צפיפות הזרם במוליך‪ ,‬ובאמצעותה נחשב את ה"זרם" בכל אחד מה"גופים"‪:‬‬
‫ˆ ‪2I‬‬
‫‪⋅k‬‬
‫‪π a2‬‬
‫) ‪(in‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪I‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪π  a 2 −‬‬
‫‪(out ) ,‬‬
‫‪a ‬‬
‫‪ 2  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪π  a 2 − 2  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2I‬‬
‫‪I‬‬
‫‪a‬‬
‫= ‪⋅π  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪πa‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫= ‪I2 = I3 = − j ⋅ S2‬‬
‫= ˆ‪⋅ k‬‬
‫‪I‬‬
‫‪r‬‬
‫‪j =−‬‬
‫‪2I‬‬
‫‪⋅ π a 2 = 2I‬‬
‫‪2‬‬
‫‪πa‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪I 1 = j ⋅ S1‬‬
‫נחשב השדה המגנטי שיוצר כל אחד מה"גופים" )כמו תילים אינסופיים( בנקודה ‪ P‬ונחבר וקטורית‬
‫)הוספתי שני שרטוטים שמסבירים את הזוויות והכיוונים‪ ,‬של השדות שיוצרים כל אחד מהחללים(‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪r‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪θ P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪B3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪B2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a 2‬‬
r
µ I
µ I
B1 = 0 1 ⋅ ˆj = 0 ⋅ ˆj
πr
2π r




r
µ0 I 2
µ
I
a
r


0
B2 =
⋅ − cos θ ⋅ iˆ − sinθ ⋅ ˆj =
⋅−
⋅ iˆ −
⋅ ˆj  =
2
2
2
2
a
a 
a
a
2

2π r 2 +
4π r 2 +
r2 +
 2 r +

4
4 
4
4

µ0 I
µ0 I
 a

 a

=
⋅  − ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj  =
⋅  − ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj 
2
2
2

a   2
 π 4r + a  2

4π  r 2 + 
4 

(
)
(
)




r
µ0 I 3
µ
I
a
r


0
B3 =
⋅ cos θ ⋅ iˆ − sinθ ⋅ ˆj =
⋅
⋅ iˆ −
⋅ ˆj  =
2
2
2
2
a
a 
a
a
2

2π r 2 +
4π r 2 +
r2 +
2 r +

4
4 
4
4

µ0 I
µ0 I
a

a

⋅  ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj  =
⋅  ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj 
=
2
2
2

a  2
 π 4r + a  2

4π  r 2 + 
4 

r
r r
r
µ I
µ0 I
µ0 I
 a

a

⋅  − ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj  +
⋅  ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj  =
BP = B1 + B2 + B3 = 0 ⋅ ˆj +
2
2
2
2
πr
π 4r + a  2
 π 4r + a  2

(
)
(
(
)
)
(
)
=
µ0 I 
2r 2  ˆ µ 0 I 
2 r 2  ˆ µ 0 I  4r 2 + a 2 − 2r 2  ˆ
1 − 2


⋅ j =

⋅ j =
⋅
j
=
1
−
π r  4r + a 2 
π r  4r 2 + a 2 
π r  4r 2 + a 2 
=
µ 0 I  2r 2 + a 2  ˆ

⋅ j
π r  4r 2 + a 2 
:(‫ מכיוון שאין זוויות‬,‫ )היא יותר פשוטה‬Q ‫ באותו אופן לנקודה‬.‫ב‬
r
µ I
µ I
B1 = − 0 1 ⋅ iˆ = − 0 ⋅ iˆ
2π r
πr
r
B3 =
µ0 I 3
a

2π  r + 
2

⋅ iˆ =
r
B2 =
,
µ0 I
a

4π  r + 
2

r
r
r
r
µ I
B P = B1 + B2 + B3 = − 0 ⋅ iˆ +
πr
µ0 I 2
a

2π  r − 
2

⋅ iˆ =
µ0 I
a

4π  r − 
2

⋅ iˆ
⋅ iˆ




µ0 I
µ0 I
µ I
r
r
 ⋅ iˆ =
⋅ iˆ +
⋅ iˆ = 0  − 1 +
+

a
a
πr


a
a
4 r −  4 r +  

4π r −
4π r +
2
2
2
2



ar
ar 

− 4r 2 − a 2 + r 2 +
+ r2 − 

2
2
µ I
2
2  ⋅ iˆ = µ 0 I  − 2r − a
= 0 
πr 
π r  4r 2 − a 2
4r 2 − a 2





 ˆ
 ⋅ i

‫שדה מגנטי )סופרפוזיציה ע"י אינטגרל(‬
‫ברצועה דקה וארוכה )אינסופית( ברוחב ‪ , a‬זורם זרם אחיד ‪) I‬לתוך הדף(‪ .‬חשבו את השדה המגנטי‬
‫בנקודה ‪ , P‬הנמצאת במישור הרצועה‪ ,‬במרחק ‪ h‬מקצה הרצועה‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪a‬‬
‫‪h‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נחלק את הרצועה לאלמנטים דקים‪ ,‬ונתייחס לכל אלמנט כתיל איסופי‪ ,‬ונסכום על כל השדות שיוצרים כל‬
‫האלמנטים‪:‬‬
‫‪µ 0 ⋅ dI‬‬
‫= ‪dB‬‬
‫‪2πr‬‬
‫‪µ ⋅ I ⋅ dr‬‬
‫‪I‬‬
‫‪dr ⇒ dB = 0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2 π ar‬‬
‫‪µ 0 ⋅ I ⋅ dr µ 0 ⋅ I a + h dr µ 0 ⋅ I  a + h ‬‬
‫‪ln‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪‬‬
‫‪2 πar‬‬
‫‪2 πa ∫h r‬‬
‫‪2πa  h ‬‬
‫‪a+h‬‬
‫∫‬
‫‪h‬‬
‫= ‪dI = jdr‬‬
‫= ‪B = ∫ dB‬‬
‫חוק פאראדיי‪ -‬לנץ‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬ההתנגדות הכוללת‪:‬‬
‫‪L ρ ⋅ 3a‬‬
‫=‬
‫‪S‬‬
‫‪πd 2‬‬
‫‪R=ρ‬‬
‫ב‪ .‬השטף המקסימלי הוא כאשר השדה המגנטי ניצב למישור המשולש‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪3a 2‬‬
‫⋅ ‪ΦB = B ⋅ S = B‬‬
‫‪4‬‬
‫ג‪.‬נתון זמן המחזור ‪ , T‬ניתן למצוא את המהירות הזוויתית‪:‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪T‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪3a 2‬‬
‫⋅ ‪ΦB = B ⋅ S = B‬‬
‫) ‪sin (ωt‬‬
‫‪4‬‬
‫‪∂Φ B‬‬
‫‪3a 2‬‬
‫=‪ε‬‬
‫⋅ ‪= ωB‬‬
‫) ‪cos(ωt‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3a 2‬‬
‫⋅ ‪I max = ωB‬‬
‫‪4‬‬
‫=‪ω‬‬
‫חוק פאראדיי‪ -‬לנץ )‪ 8.43‬מחוברת הקורס(‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬השטף המגנטי‪:‬‬
‫‪r r d‬‬
‫‪αt 2 d 2‬‬
‫= ‪Φ B = ∫ B ⋅ dS = ∫ αt 2 d ⋅ ydy‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫ב‪ .‬הכא"מ המושרה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ = αd 2 t‬‬
‫‪‬‬
‫‪∂Φ B‬‬
‫‪∂  αt 2 d 2‬‬
‫‪= ‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪∂t  2‬‬
‫=‪ε‬‬
‫ג‪ .‬הספק החום‪:‬‬
‫‪ε 2 α 2d 4 t 2‬‬
‫=‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫=‪P‬‬
‫ד‪ .‬כמות האנרגיה שנפלטה בזמן הנתון‪:‬‬
‫‪T‬‬
‫‪α 2d 4 t 2‬‬
‫‪α 2d 4T3‬‬
‫= ‪dt‬‬
‫‪R‬‬
‫‪3R‬‬
‫‪0‬‬
‫∫ = ‪U = ∫ Pdt‬‬
‫חוק פאראדיי ‪ -‬לנץ‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נחשב עבור המקרה בו המסגרת נכנסת לתוך השדה המגנטי‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪r r d B0 x‬‬
‫‪B d2‬‬
‫∫ = ‪Φ B = ∫ B ⋅ dS‬‬
‫‪Ldx = B 0 ∫ xdx = 0‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫ב‪ .‬נחשב עבור המקרה בו המסגרת נעה כולה בתוך השדה המגנטי‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪B0 x‬‬
‫‪B0 2 d‬‬
‫‪B0 2‬‬
‫) ‪B 0 (2Ld − L2‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪Ldx‬‬
‫=‬
‫‪B‬‬
‫‪xdx‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫‪d‬‬
‫‪−‬‬
‫‪d‬‬
‫‪−‬‬
‫‪L‬‬
‫=‬
‫‪d−L‬‬
‫∫ ‪0‬‬
‫‪∫ L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪d -L‬‬
‫‪d -L‬‬
‫ג‪ .‬השטף גדל כך שכיוון הזרם יהיה כזה שנסה להקטין את השטף כלומר נגד כיוון השעון‪.‬‬
‫[‬
‫]‬
‫] [‬
‫‪d‬‬
‫‪r r‬‬
‫= ‪Φ B = ∫ B ⋅ dS‬‬
‫גודל הזרם‪:‬‬
‫‪ε B 0 Lv‬‬
‫=‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫=‪I‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪∂Φ B‬‬
‫‪∂ B 0 2Lvt − L2‬‬
‫=‬
‫‪= B 0 Lv‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪ε‬‬
‫‪d = vt‬‬
‫ד‪ .‬הספק חשמלי והספק מכני‪:‬‬
‫) ‪ε 2 (B 0 Lv‬‬
‫=‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪B 0 Lv‬‬
‫‪(B 0 L)2 v‬‬
‫‪ B 0 d B 0 (d − L ) ‬‬
‫‪−‬‬
‫‪F = IBL = IL ‬‬
‫= ‪ = IB 0 [d − (d − L )] = IB 0 L = R ⋅ B 0 L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ L‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪P‬‬
‫‪(B 0 Lv )2‬‬
‫‪R‬‬
‫= ‪P = Fv‬‬
‫חוק פאראדיי –לנץ‬
‫מסגרת מוליכה העשויה מתיל בצורת חצי מעגל והקוטר שלו מסתובבת סביב מרכז המעגל ‪ M‬נגד כיוון‬
‫השעון במהירות זוויתית ‪ . ω = 5 rad sec‬מתחת למישור העובר דרך קו ‪ CD‬ומאונך למסגרת שורר‬
‫שדה מגנטי אחיד ‪ , B = 0.4 T‬הנכנס לתוך דף השרטוט‪ .‬בזמן ‪ , t = 0‬הקוטר של חצי המעגל מתלכד עם‬
‫‪ .CD‬נתונים‪ :‬רדיוס המעגל ‪ , a = 2 m‬התנגדות המסגרת ‪. R = 10 Ω‬‬
‫א‪ .‬חשבו את השטף של השדה המגנטי דרך המסגרת כפונקציה של הזמן במשל חצי הסיבוב הראשון‬
‫של המסגרת‪ .‬מהו קטע הזמן שאליו מתאימה הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬חשבו את הזרם המושרה במסגרת במשך חצי הסיבוב הראשון )גודל וכיוון(‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשבו כיצד ישתנה השטף‪ ,‬וכיוונו וגודלו של הזרם המושרה בחצי הסיבוב השני‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬השטף כפונקציה של הזמן‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪Φ B = B ⋅ S = B ⋅ θa = B ⋅ aω t‬‬
‫‪T‬‬
‫החישוב נכון לקטע הזמן‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫< ‪.0 < t‬‬
‫ב‪ .‬נמצא את הכא"מ המושרה ואז מחוק אוהם את הזרם‪:‬‬
‫‪∂Φ B‬‬
‫∂‬
‫‪= (B ⋅ aω t ) = Baω‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪ε Baω‬‬
‫= =‪I‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫=‪ε‬‬
‫כיוון הזרם יהיה כזה שירצה להקטין את השטף )היות והשטף גדל( כלומר ליצור שדה מגנטי בכיוון‬
‫החוצה מהדף‪ ,‬כלומר נגד כיוון השעון‪.‬‬
‫ג‪ .‬בחצי השני‪:‬‬
‫‪ T‬‬
‫‪Φ B = B ⋅ πa - aω t - ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫הזרם יהיה הפוך לכיוון הקודם‪.‬‬
‫‪∂ ‬‬
‫‪ T ‬‬
‫‪B ⋅ π a - Baω t -  = − Baω‬‬
‫‪‬‬
‫‪∂t ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫=‪ε‬‬
‫‪− Baω‬‬
‫‪R‬‬
‫=‪I‬‬
‫השראות‪:‬‬
‫חשבו את השראותו של טורואיד בעל שטח חתך מלבני רדיוס פנימי ‪ , a‬רדיוס‬
‫חיצוני ‪ , b‬גובה ‪ h‬ומספר כריכותיו ‪ . n‬כלומר‪ :‬מימדי השטח החתך המלבני‬
‫הם‪. (b − a ) × h :‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫בצד שמאל מופיע שרטוט מערכת הזרמים כפי שהיא נראית במבט מלמעלה על‬
‫הטורואיד‪ .‬ניתן להסביר ע"י סימטריה בכיוון השדה החשמלי במרחב הוא בניצב‬
‫לרדיאלי‪ ,‬כלומר בכיוון משיק‪ .‬לולאת האמפר המתאימה היא לולאה מעגלית בעלת‬
‫רדיוס ‪) r‬הקו הכחול בשרטוט(‪ ,‬כך שהשדה המגנטי מקביל למסלול הלולאה‪.‬‬
‫נחשב את צד ימין של חוק אמפר המתאים לבעיה זו‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪B‬‬
‫‪∫ ⋅ d l = B ⋅ 2π r‬‬
‫נחשב את צד שמאל של חוק אמפר‪ ,‬כלומר את הזרם העובר דרך הלולאה‪:‬‬
‫‪µ 0 I in = µ 0 nI‬‬
‫נשווה בין הצדדים ונבודד את השדה המגנטי‪:‬‬
‫‪µ 0 nI‬‬
‫‪2π r‬‬
‫= ) ‪B(a < r < b‬‬
‫⇒‬
‫‪B ⋅ 2π r = µ 0 nI‬‬
‫⇒‬
‫‪r r‬‬
‫‪B‬‬
‫‪∫ ⋅ d l = µ0 I in‬‬
‫בצד שמאל מופיע שרטוט של חתך של הטורואיד במבט מהצד )הקו‬
‫‪h‬‬
‫המקווקו הוא ציר הסימטריה במרכז הטורואיד(‪.‬‬
‫השדה המגנטי דרך הכריכה הימנית בשרטוט הוא לתוך הדף‪ .‬נחשב את‬
‫השטף דרך כריכה אחת ואז נכפול במספר הכריכות כדי לקבל את השטף‬
‫‪b−a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b−a‬‬
‫הכולל דרך כל כריכות הטורואיד‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪µ 0 nI‬‬
‫‪µ 0 n 2 Ih b dr µ 0 n 2 Ih  b ‬‬
‫∫ ⋅ ‪Φ B = n ⋅ ∫ B ⋅ dS = n‬‬
‫= ‪⋅ h ⋅ dr‬‬
‫∫⋅‬
‫=‬
‫‪⋅ ln ‬‬
‫‪2π r‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫ניתן לחשב את ההשראות עפ"י ההגדרה‪:‬‬
‫‪Φ B µ0 n 2 h  b ‬‬
‫=‬
‫‪⋅ ln ‬‬
‫‪I‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪a‬‬
‫=‪L‬‬