מבנים אלגבריים 80446 II

‫מבנים אלגבריים ‪80446 II‬‬
‫אור דגמי‪[email protected] ,‬‬
‫‪ 27‬במרץ ‪2012‬‬
‫אתר אינטרנט‪http://digmi.org :‬‬
‫סיכום הרצאות של פרופ׳ אלכס לובוצקי בשנת לימודים ‪2012‬‬
‫‪1‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫שדות‬
‫‪1.1‬‬
‫‪1.2‬‬
‫תזכורת מהעבר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫מרחבים וקטורים מעל שדות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1.3‬‬
‫‪1.4‬‬
‫איבר אלגברי ופולינום מינימלי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫שדה סגור אלגברית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪6‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1.5‬‬
‫שדות סופיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 1.5.1‬שורשים מרובים של פולינום ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫לבנות בעזרת סרגל ומחוגה‬
‫‪ 2.1‬לרבע את המעגל ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪16‬‬
‫‪16‬‬
‫‪2.2‬‬
‫פריקות של פולינומים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪21‬‬
‫‪2.3‬‬
‫קריטריון אייזנשטיין )‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Eisenstein‬‬
‫‪2.2.1‬‬
‫השדה ה ‪p‬־ציקלוטומי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪21‬‬
‫‪23‬‬
‫‪2‬‬
‫פרק ‪1‬‬
‫שדות‬
‫‪ 1.1‬תזכורת מהעבר‬
‫הגדרה ‪ 1.1.1‬שדה‪(F, +, ·, 0, 1) :‬‬
‫כך ש‪:‬‬
‫‪ (F, +, 0) .1‬־ חבורה אבלית‬
‫‪ (F\ {0} , ·, 1) .2‬־ חבורה אבלית‬
‫הערה ‪ 1.1.2‬מכאן מסיקים שאין שדה עם איבר אחד‪ ,‬כי הוצאנו את האפס ועדיין נשארה יחידה‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪∀a, b, c ∈ F, a · (b + c) = a · b + a · c‬‬
‫מה זה חבורה? אפשר לקרוא במבנים אלגבריים ‪ .1‬אבל בגדול‪:‬‬
‫הגדרה ‪ 1.1.3‬חבורה‪:‬‬
‫• מוגדרת פעולה‪.‬‬
‫• הפעולה היא אסוציאטיבית‪a (bc) = (ab) c :‬‬
‫• קיים הופכי‪∃a−1 , a · a−1 = 1 :‬‬
‫כמו כן‪ ,‬חבורה נקראת אבילת אם‪ab = bc :‬‬
‫‪∀a,‬‬
‫אנו מכירים הרבה דוגמאות לשדות‪ ,‬נצפה במספר דוגמאות‪:‬‬
‫דוגמה ‪ ,Q 1.1.4‬ראינו כבר כי זה שדה עוד באלגברה לינארית ‪.1‬‬
‫[‬
‫‬
‫‬
‫√‬
‫√‬
‫דוגמה ‪) Q (i) = a + b −1 | a, b ∈ Q 1.1.5‬כאשר ‪(i = −1‬‬
‫נבחין כי ‪ Q (i) ⊆ C‬לכן הפעולות אסוציאטיביות וקומוטטיביות‪ .‬נרצה להראות סגירות לכפל וכי קיים הופכי‪ .‬נבחין כי‪:‬‬
‫ √‬
‫√‬
‫ √‬
‫‪a + b −1 c + d −1 = (ac − bd) + (ad + bc) −1‬‬
‫ומסגירות ‪ Q‬לכפל וחיבור נקבל כי אכן המקדמים הם ב‪.Q‬‬
‫נראה הופכי‪:‬‬
‫בהנתן ‪ .a, b‬אנו מחפשים ‪ c, d‬כך ש‪:‬‬
‫‪ac − bd = 1‬‬
‫‪bc + ad = 0‬‬
‫‪3‬‬
‫(‬
‫פרק ‪ .1‬שדות‬
‫נסמן ‪d = y‬‬
‫‪ .1.1‬תזכורת מהעבר‬
‫‪ c = x,‬ונרצה לפתור מערכת משוואת‪:‬‬
‫‪ax − −by = 1‬‬
‫‪bx + ay = 0‬‬
‫(‬
‫נבחן את המערכת באופן מטריציוני‪:‬‬
‫ ‬
‫‪−b‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪a‬‬
‫‪y‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫נבחין כי‪:‬‬
‫‬
‫‪−b‬‬
‫‪= a2 + b 2‬‬
‫‪a‬‬
‫‬
‫‪a‬‬
‫‪det‬‬
‫‪b‬‬
‫כלומר‪ ,‬אם ‪ a 6= 0‬או ‪ b 6= 0‬המטריצה הפיכה ולכן קיימים ‪ x, y‬אשר יהיו ההופכי‪.‬‬
‫דרך יותר קלה לראות זאת היא לזכור כי‪:‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z·z‬‬
‫=‬
‫‪z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪kzk‬‬
‫= ‪z −1‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪a − bi‬‬
‫‪a2 + b 2‬‬
‫= ‪(a + bi)−1‬‬
‫אבל בכך אנחנו מניחים ששדה המרוכבים קיים‪.‬‬
‫הערה ‪ 1.1.6‬נבחין כי זה לא נכון באופן כללי‪ a + bi .‬כאשר ‪ a, b ∈ F‬שדה כלשהו לא בהכרח שדה‪.‬‬
‫כדי שזה כן יהיה נדרש כי ‪ a2 + b2 6= 0‬עבור ‪ a 6= 0‬או ‪ ,b 6= 0‬אבל זה לא קורה תמיד‪ .‬לדוגמה מעל ‪.C‬‬
‫דוגמה ‪ Q ⊆ R ⊆ C 1.1.7‬וכמו כן ‪.Fp = Z/pZ‬‬
‫דוגמה ‪ F 1.1.8‬שדה כלשהו‪ .‬ראינו כי ]‪ F [x‬הוא חוג הפולינומים מעל ‪.F‬‬
‫)‪ = F (x‬שדה המנות של ]‪ F [x‬כלומר‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫)‪f (x‬‬
‫]‪f (x) , g (x) ∈ F [X‬‬
‫|‬
‫= )‪F (x‬‬
‫)‪ g (x‬לא פולינום ה־‪0‬‬
‫)‪g (x‬‬
‫שדה זה נקרא שדה הפונקציות הרציונליות מעל ‪ F‬ואם עושים את זה פעם אין שום סיבה לא לעשות את זה פעמיים‪ .‬כלומר‬
‫)‪ (F (x)) (y‬כלומר‪ ,‬פונצקיות רציונליות ב ‪ y‬שהמקדמים שלהם פונקציות רציונליות ב ‪ .x‬נסמן‪:‬‬
‫)‪F (x, y) := (F (x)) (y‬‬
‫למעשה מדובר בפונקציות עם שני משתנים ‪.x, y‬‬
‫ובאינדוקציה ניתן לדבר על‪:‬‬
‫) ‪F (x1 , . . . , xn ) := (F (x1 , . . . , xn−1 )) (xn‬‬
‫דוגמה ‪ 1.1.9‬שדה המספרים הפיאדים‪:‬‬
‫לוקחים את המספרים הרציונליים‪ .‬מתבוננים בסדרות קושי מעל ‪ ,Q‬לא בהכרח קיים להם גבול )אנחנו לא מכירים את המספרים‬
‫האי רציונליים( נגיד כי שתי מחלקות קושי הם שקולות אם הן שואפות לאותו איבר‪ .‬כלומר אם היה להם גבול הן היו מתכנות לאותו‬
‫גבול‪ .‬לוקחים את את הסדרות קושי הנ״ל ולהם קוראים ‪.R‬‬
‫נבחין כי על המספרים הרציונליים אנחנו לא צריכים לדעת דבר פרט לכך שהם מרחב מרחב מטרי‪ .‬אבל אפשר להגדיר מרחב מטרי‬
‫נוסף על הרציונליים‪ .‬לכל ראשוני ‪ p‬אפשר להגדיר מטריקה על המספרים הרציונליים‪ .‬ואיכשהו לקבל שדה )לא הצלחתי לעקוב כמו‬
‫שצריך(‪ ,‬המספרים הפיאדים‪ ,‬כך ש ‪ Q‬יהיה צפוף בו‪.‬‬
‫זה נשמע כאילו אפשר לעשות את זה בדרכים נוספות‪ ,‬אך זה לא עובד‪ .‬יש משפט שאומר שזה ההגבלה‪ .‬אם יהיה זמן נגיע לזה‬
‫בהמשך‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .1.2‬מרחבים וקטורים מעל שדות‬
‫‪1.2‬‬
‫פרק ‪ .1‬שדות‬
‫מרחבים וקטורים מעל שדות‬
‫חלק גדול מהדוגמאות שראינו הופיעו בזוגות‪ ,‬כלומר שדה אחד הוא תת שדה של השדה השני‪.‬‬
‫ולכן אם ‪ F ⊂ E‬שדות אזי אפשר לראות את ‪ E‬כמרחב וקטורי מעל ‪ .F‬במובן שאם ‪ R ∈ F‬ו ‪ α ∈ E‬אזי‪:‬‬
‫=‬
‫‪Rα‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫מכלפה בשדה ‪E‬‬
‫נסמן )‪.degF E = [E : F] = dimF (E‬‬
‫טענה ‪1.2.1‬‬
‫‪Rα‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫מכפלת סקלר ‪R‬בוקטור ‪α‬‬
‫‪ F ⊆ E ⊆ K‬שדות‪ .‬אזי‪) [K : F] = [K : E] · [E : F] :‬כלומר המימד של ‪ K‬מעל ‪ F‬שווה למימד של ‪ K‬מעל ‪ E‬כפול המימד של ‪E‬‬
‫מעל ‪.(F‬‬
‫הערה ‪ 1.2.2‬לא הנחנו שהם סופיים‪ .‬נבחן אם ‪ E‬אינסופי‪ ,‬אז ברור כי גם ‪ K‬אינסופי‪ .‬ולכן אם אז גם ∞ = ]‪ .[K : F‬כמו כן אם ‪K‬‬
‫מעל ‪ E‬אינסופי‪ ,‬אז יש אינסוף איברים בלתי תלויים מעל ‪ E‬ובפרט מעל ‪.F‬‬
‫נניח בהוכחה כי זה סופי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ [K : E] = m ,[E : F] = n‬נוכיח כי‪.[K : F] = mn :‬‬
‫יהי ‪ α1 , . . . , αn ∈ E‬המהוים בסיס מעל ‪ .F‬ויהיו ‪ β1 , . . . , βm ∈ K‬מהוים בסיס ל ‪ K‬מעל ‪ .E‬נראה כי‬
‫בסיס ל ‪ K‬מעל ‪.F‬‬
‫נראה כי זו קבוצה בלתי תלוייה‪:‬‬
‫נניח ש‪:‬‬
‫‪ai,j αi βj = 0‬‬
‫‬
‫‪1≤i≤n‬‬
‫‪1≤j≤m‬‬
‫| ‪αi , βj‬‬
‫‬
‫‪m‬‬
‫‪n X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1 j=1‬‬
‫כאשר ‪ . ai,j ∈ F‬נרצה להראות ש ‪ αi,j = 0‬לכל ‪ i‬ו‪.j‬‬
‫נכתוב את הנ״ל בצורה הבאה‪:‬‬
‫!‬
‫‪ai,j αi‬‬
‫‪βj‬‬
‫אבל נבחין כי האיבר ‪ai,j αi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫}‬
‫‪{z‬‬
‫‪E‬‬
‫‪n‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ‪αi,j αi βj‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪n X‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1 j=1‬‬
‫|‬
‫הוא ב ‪ . E‬אבל מאחר ו ‪ β1 , . . . , βm‬בת״ל מעל ‪ ,E‬אזי לכל ‪ j‬נקבל כי‪ai,j αi = 0 :‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ .‬כעת ה‬
‫‪i=1‬‬
‫‪ αi‬הם ב ‪ E‬וה ‪ ai,j‬הם ב ‪ ,F‬ומכיוון ש ‪ α1 , . . . , αn‬הם בלתי תלויים לינארית מעל ‪ F‬לכן ‪ αi,j = 0‬לכל ‪ i‬ולכל ‪ .j‬כלומר מדובר‬
‫בקבוצה בלתי תלויה‪.‬‬
‫הערה ‪ 1.2.3‬נבחין כי בהוכחה של האי תלות השתמשנו רק באי תלות של הקבוצה ולא בכך שהיא בסיס‪ .‬כלומר מכפלה של כל שתי‬
‫קבוצות בלתי תלויות באופן הנ״ל הייתה מניבה קבוצה בלתי תלויה‪.‬‬
‫‬
‫‪1≤i≤n‬‬
‫‪1≤j≤m‬‬
‫| ‪αi βj‬‬
‫‬
‫קבוצה פורשת כי אם ‪ γ ∈ K‬אזי קיימים ‪ e1 , . . . , em ∈ E‬כך ש ‪ej βj = γ‬‬
‫ועכשיו את ‪ ej‬אנו יכולים לרשום כצירוף לינארי מעל ‪ F‬של ‪ α1 , . . . , αn‬כי היא בסיס ולכן‪:‬‬
‫‪ai,j αi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪ej‬‬
‫‪i=1‬‬
‫עבור ‪ ai,j ∈ F‬כלשהו‪ .‬ובסה״כ קיבלנו כי‪:‬‬
‫‪ai,j αi βj‬‬
‫‪m X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪j=1 i=1‬‬
‫‪5‬‬
‫=‪γ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪P‬‬
‫‪j=1‬‬
‫מהיות ‪ β1 , . . . , βm‬בסיס‪.‬‬
‫פרק ‪ .1‬שדות‬
‫‪1.3‬‬
‫‪ .1.3‬איבר אלגברי ופולינום מינימלי‬
‫איבר אלגברי ופולינום מינימלי‬
‫הגדרה ‪ 1.3.1‬אם ‪ F ⊂ E‬שדות‪ ,‬ו ‪ α ∈ E‬נסמן‪ = F (α) :‬תת השדה המינימלי של ‪ E‬המכיל את ‪ F‬ואת ‪.α‬‬
‫למעשה‪ ,‬זה שווה לחיתוך כל התת־שדות של ‪ E‬המכילים את ‪ F‬ו ‪.α‬‬
‫טענה ‪1.3.2‬‬
‫אם ∞ < ]‪ [F (α) : F‬אזי קיים פולינום ]‪ f (x) ∈ F [x‬שונה מ־‪ 0‬כך ש ‪.f (α) = 0‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח ‪ [F (α) : F] = n‬נסתכל בקבוצה‪ .1, α, α2 , . . . , αn ∈ F (α) :‬אבל זו קבוצה בת ‪ n + 1‬איברים ולכן היא תלויה‬
‫לינארית מעל ‪ .F‬דהיינו‪ ,‬קיימים ‪ a0 , a1 , . . . , an‬כאשר לא כולם אפסים כך ש‪:‬‬
‫‪ai αi = 0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=0‬‬
‫)כאשר ‪ .(α0 = 1‬ולכן ‪ α‬שורש של הפולינום‪:‬‬
‫‪ai xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪i=0‬‬
‫וזה פולינום =‪. 06‬‬
‫הערה ‪ 1.3.3‬הוכחנו שאם ‪ [F (α) : F] = n‬אזי יש פולינום ממעלה ≥ ‪ n‬המאפס את ‪.α‬‬
‫הגדרה ‪ 1.3.4‬איבר אלגברי‪ α ∈ E , F ⊆ E :‬נקרא אלגברי מעל ‪ F‬אם קיים פולינום ]‪ 0 6= f (x) ∈ F [X‬כך ש ‪.f (α) = 0‬‬
‫הגדרה ‪ 1.3.5‬אם ‪ α‬אלגברי‪ ,‬אזי נסמן ב )‪ pα (x) = p (x‬את הפולינום המתקון מהמעלה הקטנה ביותר המאפס את ‪.α‬‬
‫הערה ‪ 1.3.6‬מתוקן‪ :‬המקדם הכי גבוה שלו הוא ‪) 1‬כלומר ‪.(an = 1‬‬
‫טענה ‪1.3.7‬‬
‫‪ .1‬הפולינום המינימלי של ‪ α‬יחיד ואי פריק‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ]‪ f (x) ∈ F [x‬פולינום כך ש ‪ f (α) = 0‬אזי‪.pα (x) | f (x) :‬‬
‫הוכחה‪ :‬יחידות‪:‬‬
‫אם יש שניים אזי הפרשם ממעלה קטנה יותר ומאפס‪ .‬ולכן חייב להיות פולינום ‪ .0‬ולכן הם שווים‪.‬‬
‫אי פריקות‪ :‬אם )‪ p (x) = h (x) g (x‬אזי‪ 0 = p (α) = h (α) g (α) :‬אבל ‪ h (α) , g (α) ∈ E‬ולכן לפחות אחד מהם הוא ‪ .0‬ולכן‬
‫אם‪ deg h, deg g < deg p :‬וזו סתירה למינימליות של ‪) .p‬כלומר אחד מהם חייב להתאפס על ‪ ,α‬ואם הוא שונה מפולינום האפס אזי‬
‫קיבלנו פולינום ממעלה נמוכה יותר אשר מתאפס על ‪ α‬וקיבלנו סתירה(‪.‬‬
‫נוכיח את החלק השני‪.‬‬
‫נחלק את )‪ f (x‬עם שארית ב )‪:p (x‬‬
‫)‪f (x) = q (x) p (x) + r (x‬‬
‫כאשר ‪) r (x) = 0‬פולינום האפס( או ))‪ deg (r (x)) < deg (p (x‬נציב ‪ α‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪0 = f (α) = q (α) p (α) + r (α‬‬
‫אבל ‪ p (α) = 0‬ולכן חייב להתקיים כי ‪ .r (α) = 0‬אבל דרגתו של ‪ r‬קטנה משל ‪ !p‬ולכן ממינימליות )‪ p (x‬נסיק כי ‪r (x) = 0‬‬
‫)פולינום האפס(‪ .‬ולכן אין שארית‪ ,‬דהיינו )‪ p (x) | f (x‬כנדרש‪.‬‬
‫משפט ‪1.3.8‬‬
‫‪ F ⊆ K‬ו‪ α ∈ K‬אזי ‪ α‬אלגברי מעל ‪.[F (α) : F] < ∞F‬‬
‫‪6‬‬
‫פרק ‪ .1‬שדות‬
‫‪ .1.3‬איבר אלגברי ופולינום מינימלי‬
‫הוכחה‪ :‬ראינו כיוון אחד‪ ,‬אם ∞ < ]‪ [F (α) : F‬אזי ‪ α‬אלגברי‪.‬‬
‫כיוון שני‪:‬‬
‫נניח ש ‪ α‬אלגברי ויהא )‪ p (x‬הפולינום המינימלי שלו‪ .‬נגדיר הומומורפיזם של חוגים‪ ϕ : F [x] → K :‬באופן הבא‪.ϕ (f (x)) = f (α) :‬‬
‫זהו הומומורפיזם מכיוון שאם ניקח סכום של הומומורפיזם של חוגים ־ בדוק(‬
‫הערה ‪ 1.3.9‬אם אני זוכר נכון ראינו את זה במבנים אלגבריים ‪. 1‬‬
‫נבחין כי‪:‬‬
‫))‪ker ϕ = {f (x) | f (α) = 0} = (p (x‬‬
‫)כלומר האידיאל הנוצר מ)‪ ,p (x‬מכיוון שהוא מאפס את ‪ ,α‬הכפולות שלו מאפסות את ‪ α‬ורק הן(‪.‬‬
‫ולכן ממשפט ההומומורפיזם הראשון‪:‬‬
‫∼ ‪Im ϕ‬‬
‫))‪= F[x]/(p(x‬‬
‫))‪F[x]/(p(x‬‬
‫אבל ))‪ (p (x‬אידיאל מקסימלי מאחר והוא פולינום אי פריק‪ .‬ולכן חוג המנה‬
‫שמימדו מעל ‪ F‬הוא ‪.deg p (x) = n‬‬
‫ולכן תמונת ‪ ϕ‬זה שדה המכיל את ‪ F‬ואת ‪ α‬ואת )הפולינום ‪ .α = ϕ (x‬כלומר‪ Im ϕ ⊃ F (α) ,‬ולכן ∞ < ]‪ [F (α) : F‬כנדרש‪.‬‬
‫הוא שדה )הראנו במבנים אלגבריים ‪(1‬‬
‫תזכורת ‪ 1.3.10‬תזכורת ממבנים אלגבריים ‪:1‬‬
‫‪ F‬שדה‪ R = F [x] ,‬־ חוג אוקלידי‪.‬‬
‫כל אידיאל ב ]‪ F [x‬הוא ראשי‪ .I = (f (x)) = Rf (x) ,I ⊳ F [x] ,‬אם )‪ g (x) | f (x‬אזי‪.(f (x)) ⊂ (g (x)) :‬‬
‫))‪ (g (x‬אידיאל מקסימלי ⇒⇐ )‪ g (x‬פולינום אי ־פריק‪.‬‬
‫באופן כללי‪ :‬חוג המנה‪ F[x]/(f (x)) :‬הוא מרחב וקטורי ממימד )‪) n = deg f (x‬כאשר ‪ 1, x, . . . , xn−1‬מהוים בסיס לחוג מנה זה מעל‬
‫‪.(F‬‬
‫כאשר )‪ f (x‬הוא פולינום אי פריק‪ ,‬אז ))‪ (f (x‬־ אידיאל מקסימלי ולכן‪ F[x]/(f (x)) :‬הוא שדה‪.‬‬
‫מסקנה ‪1.3.11‬‬
‫‪ Im ϕ‬הוא תת שדה של ‪.E‬‬
‫הערה ‪ 1.3.12‬זה קצת מפתיע‪ ,‬מה הוא ‪ ?Im ϕ‬זה לקחת את כל הפולינומים ולהציב בהם ‪ α‬כלומר‪:‬‬
‫)‬
‫‪) (n−1‬‬
‫‪( ℓ‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ai ∈ F‬‬
‫‪i‬‬
‫‪−i‬‬
‫‪ai x | ai ∈ F‬‬
‫=‬
‫| ‪ai α‬‬
‫= ‪Im ϕ‬‬
‫‪ℓ∈N‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪i=0‬‬
‫כאשר ‪ n‬היא הדרגה של הפולינום המינימלי המאפס את ‪ .α‬מה שמפתיע כאן הוא קיום ההופכי‪ .‬למה הוא מופיע?‬
‫נקח את הפולינום המתוקן האי־פריק המאפס את ‪:α‬‬
‫‪p (x) = a0 + a1 x + . . . + an−1 xn−1 + xn‬‬
‫כאשר ‪ .p (α) = 0‬נשים לב כי ‪) a0 6= 0‬אחרת הפולינום ‪ x‬היא מחלק אותו‪ ,‬אבל )‪ p (x‬אי־פריק(‪.‬‬
‫‪a0 + a1 α + . . . + an−1 αn−1 + αn = 0‬‬
‫נעביר את ‪ a0‬אגפים ונקבל‪:‬‬
‫‪a0‬‬
‫⇒‬
‫‪α‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪an−1 n−2 αn−1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪α‬‬
‫‪− α...−‬‬
‫‪α‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪a0‬‬
‫‪a0‬‬
‫‪a0‬‬
‫‪a0‬‬
‫‪α‬‬
‫‪a1 α + . . . + an−1 αn + αn = −a0 ⇒ a1 + a2 α . . . + an−1 αn−2 + αn−1 = −‬‬
‫כלומר‪ ,‬קיבלנו פולינום שאם מציבים בו ‪ α‬נקבלים ‪.α−1‬‬
‫משפט ‪1.3.13‬‬
‫‪ α ∈ E ,F ⊂ E‬אלגברי מעל ‪ F‬אם״ם ∞ < ]‪ .[F (α) : F‬יתר על כן‪ [F (α) : F] = deg p (x) ,‬כאשר )‪ p (x‬הוא הפולינום המינימלי‬
‫של ‪.α‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ .1.3‬איבר אלגברי ופולינום מינימלי‬
‫פרק ‪ .1‬שדות‬
‫טענה ‪1.3.14‬‬
‫‪ F ⊂ E‬שדות‪ α, β ∈ E ,‬אלגבריים אזי‪ α ± β, α · β, α/β :‬גם הם אלגבריים )כאשר ‪ β 6= 0‬במנה(‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן )‪ ,K = F (α‬הוא תת־שדה של ‪) E‬ממעלה שווה ל)‪ deg pα (x‬־ הפולינום המינימלי שמאפס את ‪.(α‬‬
‫נתבונן ב‪) K (β) :‬כלומר‪ ,‬לוקחים את ‪ K‬ומספחים אליו את ‪ .(β‬אז זו הרחבה סופית של ‪ ,K‬כי ‪ β‬אלגברי מעל ‪ F‬ולכן אלגברי מעל‬
‫‪ .K‬ולכן‪:‬‬
‫))‪[K (β) : K] ≤ deg (pβ (x‬‬
‫)‪ pβ (x‬־ הפולינום המינימלי של ‪ β‬מעל ‪) F‬לא מעל ‪ K‬לכן זה ≤ ולא שיוויון(‪.‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫∞ < )‪[K (β) : F] = [K (β) : K] [K : F] = [K (β) : K] [F (α) : F] ≤ deg pβ (x) deg pα (x‬‬
‫לכן )‪ K (β‬הרחבה סופית של ‪ F‬המכילה את ‪ α/β ,α · β ,α ± β‬ולכן כולם אלגבריים‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.3.15‬סימון‪: :‬‬
‫)‪F (α, β) = F (α) (β‬‬
‫הגדרה ‪ F ⊂ E 1.3.16‬שדות‪ α ∈ E ,‬אלגברי‪ .‬נאמר ש ‪α‬־אלגברי ממעלה ‪ n‬אם הפולינום המינימלי של ‪ α‬מעל ‪ F‬הוא ממעלה ‪.n‬‬
‫מסקנה ‪1.3.17‬‬
‫אם ‪ α, β ∈ E‬אלגבריים ממעלות סופיות ‪ m‬ו‪ n‬בהתאמה‪ ,‬אזי ‪ α ± β, α · β, α/β‬אלגבריים ממעלה קטנה או שווה ל ‪.m · n‬‬
‫√‬
‫‪5‬‬
‫דוגמה ‪7 1.3.18‬‬
‫‪5+‬‬
‫√‬
‫‪7‬‬
‫אלגברי ממעלה הקטנה מ‪. 35‬‬
‫מסקנה ‪1.3.19‬‬
‫‪ F ⊂ E‬שדות‪ ,‬אזי אוסף האיברים של ‪ E‬שאלגבריים מעל ‪ ,F‬מהווה תת שדה של ‪.E‬‬
‫הערה ‪ 1.3.20‬נבחין כי כל איבר ב ‪ F‬הוא אלגברי מעל ‪) F‬לדוגמה‪ a ∈ F :‬הפולינום‪ a − x :‬מאפס את ‪(a‬‬
‫תזכורת ‪ F ⊂ E 1.3.21‬הרחבה של שדות‪.‬‬
‫‪ α ∈ E .1‬אלגברי )כלומר‪ ,‬קיים פולינום ]‪ 0 6= f (x) ∈ F [x‬כך ש ‪ (f (α) = 0‬אם״ם‪[F (α) : F] < ∞ :‬‬
‫‪ α, β 6= 0 .2‬אלגבריים אזי ‪ α/β ,α · β ,α ± β‬כולם אלגבריים‪.‬‬
‫ולכן אוסף האיברים האלגבריים מעל ‪ F‬ב‪ E‬הוא תת שדה של ‪.E‬‬
‫דוגמה ‪˜ 1.3.22‬‬
‫‪ = Q‬אוסף האיברים האלגבריים מעל ‪ Q‬ב ‪.C‬‬
‫∼ )‪.F (α‬‬
‫ראינו שאם ‪ α‬אלגברי‪ ,‬עם פולינום מינימלי )וראינו כי הוא אי־פריק( )‪ ,p (x‬אזי‪= F[x]/(p(x)) :‬‬
‫נשים לב שמכאן נובע שטפוס האיזומורפיזם של )‪ F (α‬תלוי רק בפולינום המינימלי שלו‪ .‬כלומר‪ ,‬אם ‪ α, β ∈ E‬יש את אותו פולינום‬
‫∼ )‪ .F (α‬והאיזומורפיזם הזה מעביר בין ‪ α‬ו‪ .β‬מכיוון שהראשון מעביר את ‪ x‬ל‪ α‬והשני את ‪ x‬ל‪.β‬‬
‫מינימלי אזי‪= F (β) :‬‬
‫יתר על כן‪ ,‬איזומורפיזם זה מקבע את אברי ‪ F‬במקומם )כלומר‪ ,‬כל איבר ‪ α ∈ F‬עובר להיות הפולינום הקבוע ‪ .(α‬ולכן גם‬
‫האיזומורפיזם בין ))‪ F[x]/(p(x‬ל )‪ F (α‬זו העתקה לינארית מעל ‪ .F‬אנו יכולים לחשוב עליה גם כהעתקה לינארית בין מרחבים‬
‫וקטורים‪ .‬כלומר ‪ ϕ : F [x] → E‬המוגדרת‪ ϕ (f (x)) = f (α) :‬משרה איזומורפיזם‪ϕ : F[x]/ker ϕ → Im ϕ = F (α) :‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫)‪ϕ a · f (x) = ϕ (a)ϕ (f (x)) = af (α) = aϕ f (x‬‬
‫כאשר ‪ .f (x) = f (x) + ker ϕ‬והמעבר האחד לפני אחרון הוא מההצבה של ‪ a‬בפולינום הקבוע‪.‬‬
‫ולכן גם האיזומורפיזם בין )‪ F (α‬ל )‪ F (β‬הוא ‪F‬־לינארי‪.‬‬
‫האם יכול להיות כי )‪ F (α‬ממש שווה ל )‪?F (β‬‬
‫‪8‬‬
‫פרק ‪ .1‬שדות‬
‫‪ .1.3‬איבר אלגברי ופולינום מינימלי‬
‫דוגמה ‪ p1 (x) = x2 + 1 1.3.23‬ו‪ p2 (x) = x2 + 4 :‬מעל ‪ .Q‬שניהם אי פריקים )אין להם שורשים‪ ,‬והם פולינומים ממעלה ‪ ,2‬לכן אי‬
‫פריקים(‬
‫השורשים של הפולינום הראשון הם ‪ .±i‬כלומר‪ ,‬אם ניקח את שדה ההרחבה‪Q (i) = {a + bi | a, b ∈ Q} :‬‬
‫רגע‪ ,‬למה זה שדה בכלל? כיוון ש‪:‬‬
‫‪a − bi‬‬
‫)‪(a + bi) (a − bi‬‬
‫= )‪(a + bi‬‬
‫והמכנה הוא ממשי לכן קיבלנו את אותו מבנה‪.‬‬
‫אבל עכשיו אנו מבינים את זה בדרך יותר קונספטואלי‪ .‬למעשה מדובר בהצבה של ‪ i‬בפולינומים מעל ‪ Q‬ממעלה עד ‪ .2‬כלומר‪:‬‬
‫∼ )‪Q (i‬‬
‫))‪= Q[x]/(p1 (x‬‬
‫ואילו הפולינום השני‪ ,‬השורשים שלו הוא ‪ ,±2i‬אבל מה זה שדה אשר מספחים אליו את ‪ ?2i‬זה בדיוק אותו שדה כמו שמספחים אליו‬
‫את ‪ .i‬כלומר )‪.Q (2i) = Q (i‬‬
‫עד כה עסקנו בשאלה הבאה‪ ,‬יש לנו שדה ‪ F‬ויש לנו שדה הרחבה ‪ E‬כך שיש איבר ‪ α ∈ F‬האם יש פולינום שמאפס אותו‪.‬‬
‫כעת אנו רוצים לעסוק בשאלה ההפוכה‪ ,‬כלומר האם יש שדה שעבורו פולינום נתון מתאפס‪.‬‬
‫משפט ‪1.3.24‬‬
‫יהי ‪ F‬שדה‪ f (x) ∈ F [x] ,‬פולינום לא קבוע )כלומר ממעלה הגדולה או שווה ל‪ (1‬אזי קיים שדה ‪ E‬המכיל את ‪ F‬שבו יש ל)‪ f (x‬שורש‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬בלי הגבלת הכלליות ניתן להניח ש )‪ f (x‬פולינום אי־פריק ב ]‪) F [x‬אחרת נפרק אותו לפולינומים אי פריקים‪ ,‬הם לא קבועים‬
‫מההגדרה‪ ,‬נקח אחד מהם ונמצא לו שורש(‪.‬‬
‫נסתכל בשדה ))‪ .E = F[x]/(f (x‬מאחר ו )‪ f (x‬אי פריק אזי זהו שדה‪ E .‬״מכיל״ את ‪) F‬עד כדי איזומורפיזם( כיוון שאנחנו לוקחעים‬
‫את ‪ F‬ואז‪:‬‬
‫))‪a ∈ F 7→ a + (f (x‬‬
‫לוקחים את ‪ a‬ומעבירים אותו למחלקה שמכילה את ‪ .a‬כלומר‪:‬‬
‫‪π‬‬
‫))‪F ֒→ F [x] −→ F[x]/(f (x‬‬
‫נסמן ‪ x‬להיות המחלקה‪ x + (f (x)) :‬נבחין כי ‪ .E ∈ x‬נטען כי ‪ x‬הוא שורש של )‪ .f (x‬נבחין כי‪:‬‬
‫‪ai xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪i=0‬‬
‫כאשר ‪ .ai ∈ F‬נציב את ‪:x‬‬
‫‪n‬‬
‫‬
‫‪ X‬‬
‫= ))‪ai xi + (f (x‬‬
‫= ))‪ai x + (f (x‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪ai xi + (f (x)) = f (x) + (f (x)) = 0 + (f (x)) = 0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i‬‬
‫= ‪ai x‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪i=0‬‬
‫וזהו האיבר ה‪ 0‬של ‪. E‬‬
‫כלומר מצאנו שדה שמרחיב את ‪ F‬ובתוכו מצאנו שורש אשר מאפס את הפולינום‪.‬‬
‫דוגמה ‪ 1.3.25‬נקח את ‪ .F = R‬ונקח ‪ .f (x) = x2 + 1‬מה למעשה עשינו פה?‬
‫נניח כי לא ידענו על קיומם של המרוכבים‪ .‬אם היינו מבצעים את תהליך ההוכחה‪ :‬נקח את ]‪ R [x‬ונחלק אותו ב ‪ x + 1‬כלומר‪:‬‬
‫)‪ .R[x]/(x2 +1‬אבל זה כל האיברים מהצורה ‪ .a + bx‬כלומר‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪R[x]/(x2 +1) = a + bx | a, b ∈ R‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫ואם נחשב מה הוא נקבל‪0 + 1x = (x) + 1 = 0 :‬‬
‫‪9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .1.4‬שדה סגור אלגברית‬
‫‪1.4‬‬
‫פרק ‪ .1‬שדות‬
‫שדה סגור אלגברית‬
‫הגדרה ‪ 1.4.1‬שדה סגור אלגברית‪ :‬שדה ‪ K‬נקרא שדה סגור אלגברית אם לכל פולינום )‪ f (x‬ממעלה גדולה או שווה ל‪ 1‬ב∈ )‪f (x‬‬
‫]‪ K [x‬יש שורש ב‪.K‬‬
‫באופן שקול‪ :‬לכל פולינום אי פריק ב ]‪ K [x‬יש שורש‪.‬‬
‫ובאופן שקול‪ :‬כל פולינום ]‪ f (x) ∈ K [x‬ניתן לכתיבה כ‪:‬‬
‫) ‪f (x) = a (x − λ1 ) · . . . · (x − λn‬‬
‫כאשר ‪.a, λ1 , . . . , λn ∈ K‬‬
‫משפט ‪ 1.4.2‬המשפט היסודי של האלגברה‬
‫‪) C‬המרוכבים( הוא שדה סגור אלגברית‪.‬‬
‫לא נוכיח את המשפט הזה במסגרת הקורס‪ .‬למעשה‪ ,‬אין לו הוכחה אלגברית‪ .‬נוכיח את זה בפונקציות מרוכבות‪.‬‬
‫משפט ‪1.4.3‬‬
‫נסמן ˜‬
‫‪ = Q‬אוסף המספרים האלגבריים )מעל ‪ (Q‬ב ‪ .C‬הוא שדה סגור אלגברית‪.‬‬
‫בהוכחה נשתמש במשפט היסודי של האלגברה‪ ,‬ונקבל שדה סגור אלגברית שהוא בן מנייה )כבר ציינו כי ˜‬
‫‪ Q‬הוא בן מנייה(‪ .‬הוכחה‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫יהי ]‪˜ [x‬‬
‫‪ .ai ∈ Q‬צריך להוכיח שיש ˜‬
‫‪ f (x) ∈ Q‬פולינום ממעלה גדולה או שווה ל‪ .1‬נסמן‪ f (x) = P ai xi :‬כאשר ˜‬
‫‪ α ∈ Q‬כך ש‪:‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪.f (α) = 0‬‬
‫˜‬
‫יהי ‪ α‬שורשת של )‪ f (x‬ב‪) C‬קיום שורש כזה מובטח ע״י המשפט היסודי של האלגברה(‪ .‬צריך להוכיח ש ‪ .α ∈ Q‬כלומר ש‪ α‬עצמו‬
‫אלגברי מעל ‪) Q‬ולא רק מעל ˜‬
‫‪.(Q‬‬
‫נתבונן ב‪) Q (a0 , a1 , a2 , . . . , an , α) :‬כלומר ‪ Q‬אשר סיפחנו לו את המקדמים של הפולינום ואת ‪ (α‬נבחן את‪:‬‬
‫]‪[Q (a0 , . . . , an , α) : Q] = [Q (a0 , . . . , an , α) : Q (a0 , . . . , an )] [Q (a0 , . . . , an ) : Q‬‬
‫אבל ]) ‪ [Q (a0 , . . . , an , α) : Q (a0 , . . . , an‬סופי‪ ,‬כי ‪ α‬הוא אלגברי מעל ) ‪) Q (a0 , . . . , an‬הוא שורש של פולינום עם מקדמים ב‪:‬‬
‫) ‪ Q (a0 , . . . , an‬־ כלומר אלגברי מעל שדה זה ־ ואף ניתן להגיד כי ערכו קטן או שווה ל‪ n‬מכיוון שיש פולינום ממעלה ‪ n‬אשר מאפס‬
‫אותו אבל לא מובטח לנו שהוא אי־פריק(‪ .‬אבל גם ]‪ [Q (a0 , . . . , an ) : Q‬סופי‪ ,‬מכיוון ש ‪ a0 , . . . , an‬אלגבריים מעל ‪ Q‬לפי הגדרה‬
‫ולכן גם נקבל כי‪:‬‬
‫‪≤ n [Q (a0 , . . . , an ) : Q (a0 , . . . , an−1 )] [Q (a0 , . . . , an−1 ) : Q (a0 , . . . , an−2 )] . . .‬‬
‫אבל מכיוון ש ‪ an‬אלגברי מעל ‪ Q‬הוא בוודאי אלגברי מעל ) ‪ Q (a0 , . . . , an−1‬ולכן כל הכפולות הנ״ל הן סופיות‪.‬‬
‫הערה ‪ 1.4.4‬מסתתרת כאן למה כללית יותר‪:‬‬
‫אם ‪ a0 , . . . an ∈ E‬אלגבריים מעל ‪ F‬אזי‪.[F (a0 , . . . , an ) : F] < ∞ :‬‬
‫לסיכום‪ ,‬אם ניקח את )‪ Q (α) ⊆ Q (a0 , . . . , an , α‬ומאחר והשדה בצד ימין הוא ממימד סופי מעל ‪ Q‬קל וחומר ש ∞ < ]‪[Q (α) : Q‬‬
‫ולכן ‪ α‬אלגברי מעל ‪ Q‬ולכן ˜‬
‫‪ α ∈ Q‬כנדרש‪.‬‬
‫טענה ‪1.4.5‬‬
‫אם ]‪ f (x) ∈ R [x‬אי־פריק אזי ‪.1 ≤ deg (f (x)) ≤ 2‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח ]‪ f (x) ∈ R [x‬אי פריק‪ ,‬יש לו ‪) α ∈ C‬על פי המשפט היסודי( ולכן‬
‫‪ .‬אבל ‪ R ⊆ R (α) ⊆ C‬ולכן‪:‬‬
‫))‪R[x]/(f (x‬‬
‫הוא שדה אבל זה גם איזומורפי ל )‪R (α‬‬
‫‪1 ≤ dimR (R (α)) ≤ 2‬‬
‫ולכן‪ .deg (f (x)) = dim R[x]/(f (x)) ≤ 2 :‬כנדרש‪.‬‬
‫הערה ‪ 1.4.6‬אם ]‪ f (x) ∈ R [x‬ואם ‪ α‬שורש לא ממשי של )‪ f (x‬אז גם ‪) α‬הצמוד המרוכב של ‪ (α‬הוא שורש‪ .‬ולכן | )‪(x − α) (x − α‬‬
‫)‪ .f (x‬אבל מה זו המכפלה הזו? ‪.x2 − (α + α) x + α · α‬‬
‫מסקנה ‪1.4.7‬‬
‫כל פולינום לא קבוע ]‪ f (x) ∈ R [x‬מתפרק למכפלה של פולינומים ב]‪ R [x‬ממעלות ‪ 1‬או ‪.2‬‬
‫מיידי מהמסקנה הקודמת‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ .1.5‬שדות סופיים‬
‫פרק ‪ .1‬שדות‬
‫מסקנה ‪1.4.8‬‬
‫כל פולינום ]‪ f (x) ∈ R [x‬ממעלה אי־זוגית יש שורש ב‪.R‬‬
‫נבחין מהמסקנה הקודמת‪ ,‬לא יכול להיות שכל הפולינומים המפרקים אותו הם זוגיים מכיוון שאז המעלה הייתה יוצאת זוגית‪.‬‬
‫הוכחה נוספת היא בעזרת ‪ α‬ו‪ ,α‬הרי מעל ‪ C‬הוא פריק לגורמים לינארים‪ ,‬ואז יש לו לכל היותר ‪ n‬שורשים כאלה‪ ,‬כלומר לא לכל‬
‫אחד יש את הצמוד המרוכב שלו ־ אזי יש שם איבר ממשי‪.‬‬
‫הוכחה שלישית כמו שכבר ראינו באינפי‪ f (x) ∈ R [x] ,‬ממעלה אי זוגית )אפשר להניח שמתוקן( אזי‪ lim f (x) = ∞ :‬לעומת זאת‪:‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫∞‪lim f (x) = −‬‬
‫∞‪x→−‬‬
‫)מכיוון שהאיבר המוביל הוא החזקה הגדולה ביותר‪ ,‬האחרים הופכים לזניחים ביחס אליו( ואז ממשפט ערך‬
‫הביניים‪ ,‬מכך שפולינום הוא פונקציה רציפה‪ ,‬יש ‪ x ∈ R‬כך ש ‪.f (x) = 0‬‬
‫מסקנה ‪1.4.9‬‬
‫אם ]‪ f (x) ∈ F [x‬פולינום ממעלה ‪ ,n‬אזי ל‪ F‬הרחבה ‪ E‬ממעלה לכל היותר !‪ n‬שבה )‪ f (x‬מתפרק לגורמים לינארים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪:n‬‬
‫יש הרחבה ‪ E1‬ממעלה ‪ n‬שבה יש שורש ‪ .α‬לכן‪∈ E1 [x] :‬‬
‫או שווה ‪ n − 1‬שבה יש שורש ‪ β‬של‬
‫ונמשיך באינדוקציה‪.‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪x−α‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪x−α‬‬
‫כלומר‪∈ E2 [x] :‬‬
‫זה פולינום ממעלה ‪ n − 1‬ולכן יש הרחבה ‪ E2‬של ‪ E1‬ממעלה קטנה‬
‫)‪f (x‬‬
‫)‪. (x−α)(x−β‬‬
‫משפט ‪1.4.10‬‬
‫‪ F ⊆ F‬כך ש ˜‬
‫‪ ,F‬כלומר ˜‬
‫לכל שדה ‪ F‬יש הרחבה ˜‬
‫‪ F‬סגור אלגברית‪.‬‬
‫˜‬
‫יתר על כן‪ ,‬אם ‪ F‬אינסופי‪ ,‬אזי יש ‪ F‬מאותה עוצמה של ‪.F‬‬
‫בפרט אם ‪ F‬בן־מנייה אזי יש ˜‬
‫‪ F‬הוא בן מניה‪.‬‬
‫אנחנו לא אומרים שהיא יחידה )למרות שכן במובן מה(‪ ,‬לא נוכיח את זה במסגרת הקורס‪.‬‬
‫‪1.5‬‬
‫שדות סופיים‬
‫‪ |1 + .{z‬אזי ל־‪ n‬הקטן ביותר המקיים זאת נקרא‬
‫הגדרה ‪ 1.5.1‬מציין\קרקטריסטיקה‪ :‬אם ‪ F‬שדה וקיים ‪ 0 6= n ∈ N‬כך ש ‪. . + 1} = 0‬‬
‫‪n‬פעמים‬
‫המציין של ‪. F‬‬
‫הערה ‪ 1.5.2‬אם לא קיים ‪ n‬כנ״ל‪ ,‬נאמר שהמציין של ‪ F‬הוא ‪.0‬‬
‫טענה ‪1.5.3‬‬
‫המציין של ‪ F‬הוא מספר ראשוני‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ 1 + . . . + 1 = 0‬ו ‪ n = m · k‬אזי‪ 1 + . . . + 1 1 + . . . + 1 = 1 + . . . + 1 = 0 :‬אבל בשדה אין מחלקי אפס‪,‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪n‬פעמים‬
‫‪n‬פעמים‬
‫‪k‬פעמים‬
‫לכן אחד מ‪ 1 + . . . + 1:‬או ‪ 1 + . . . + 1‬חייב להיות אפס‪ ,‬בסתירה למינימליות של ‪.n‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪m‬פעמים‬
‫‪k‬פעמים‬
‫טענה ‪1.5.4‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ F‬שדה עם מציין ראשוני ‪ ,p‬אזי ‪ F‬מכיל את ‪) Fp‬כלומר מכיל שדה‬
‫איזומורפי ל ‪.(Fp‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ F‬שדה עם מציין ‪ ,0‬אזי מכיל את ‪.Q‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪11‬‬
‫‪m‬פעמים‬
‫פרק ‪ .1‬שדות‬
‫‪ .1.5‬שדות סופיים‬
‫‪ .1‬נסתכל ב‪ p‬האיברים‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1+1‬‬
‫‪1+1+1‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1 + 1 + ...+ 1 + 1‬‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫‪p − 1‬פעמים‬
‫יש כאן ‪ p‬איברים שחוקי החבור והכל בינהם מתנהגים בדיוק כמו ב‪ Fp = Z/pZ :‬המוכר‪.‬‬
‫עבןר החיבור הנ״ל ברור‪ ,‬עבור הכפל נובע מהדיסטרבטיביות ושוב ברור‪ .‬לכן יש באמת איזומורפיזם בין ‪ Fp‬אליו‪.‬‬
‫‪ .2‬לא נוכיח בשלב זה‪.‬‬
‫מסקנה ‪1.5.5‬‬
‫‪n‬‬
‫אם ‪ F‬שדה סופי‪ ,‬אזי קיים ראשוני ‪ p‬ושלם חיובי ‪ n‬כך ש ‪.|F| = p‬‬
‫הוכחה‪ :‬ברור שהמציין של ‪ F‬אינו ‪ ,0‬ולכן הוא ‪ p‬לאיזשהו ראשוני ‪.p‬‬
‫ולכן ‪ F‬מכיל את ‪ ,Fp‬ולכן ‪ F‬מרחב וקטורי מעל ‪ Fp‬ממימד סופי‪ ,‬ולכן כמרחב וקטורי הוא איזומורפי‬
‫ל ‪Fnp‬‬
‫‪n‬‬
‫ובפרט‪ |F| = p ,‬כנדרש‪.‬‬
‫‪ 1.5.1‬שורשים מרובים של פולינום‬
‫יהי ]‪ f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 ,f (x) ∈ F [x‬כאשר ‪.ai ∈ F‬‬
‫נגדיר את הנגזרת להיות‪:‬‬
‫‪f ′ (x) = nan xn−1 + (n − 1) an−1 xn−1 + . . . + 2a2 x + a1‬‬
‫כאשר עבור ‪ a ∈ F‬ו ‪ m ∈ N‬אנו מסמנים‪:‬‬
‫‪ma = a + a + . . . + a‬‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫‪m‬פעמים‬
‫הערה ‪ 1.5.6‬בניגוד לאינפי הנגזרת מוגדרת להיות כך‪ ,‬ולא עם גבולות‪.‬‬
‫אנו רגילים כי נגזרת של פולינום ממעלה ‪ n‬הוא פולינום ממעלה ‪ ,n − 1‬אבל הדבר לא בהכרח קורה בשדה עם מציין ‪ .p‬לדוגמה‪:‬‬
‫‪′‬‬
‫‪(1 · xp ) = p · 1xp−1 = 0‬‬
‫טענה ‪1.5.7‬‬
‫אם ]‪ f (x) , g (x) ∈ F [x‬אזי‪:‬‬
‫‪′‬‬
‫‪(f (x) + g (x)) = f ′ (x) + g ′ (x) .1‬‬
‫‪′‬‬
‫‪(f (x) · g (x)) = f ′ (x) g (x) + f (x) g ′ (x) .2‬‬
‫☎‬
‫✆ תרגיל‪ :‬להוכיח את הטענה הנ״ל‪.‬‬
‫✞‬
‫✝‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪. x−α‬‬
‫הגדרה ‪ 1.5.8‬שורש פשוט\שורש מרובה‪ :‬אם ]‪ f (x) ∈ F [x‬ו‪ α‬שורש של )‪ f (x‬יקרא שורש פשוט אם ‪ α‬אינו שורש של‬
‫)‪f (x‬‬
‫ו‪ α‬יקרא שורש מרובה אם ‪ α‬שורש גם של‬
‫‪. x−α‬‬
‫‪2‬‬
‫במקרה השני‪ ,‬נקבל כי )‪(x − α) | f (x‬‬
‫‪12‬‬
‫פרק ‪ .1‬שדות‬
‫‪ .1.5‬שדות סופיים‬
‫טענה ‪1.5.9‬‬
‫‪′‬‬
‫אם ]‪ f (x) ∈ F [x‬אזי כל השורשים של )‪ f (x‬הם פשוטים אם״ם‪) (f (x) , f (x)) = 1 :‬כלומר זרים‪ gcd ,‬שלהם הוא ‪(1‬‬
‫הערה ‪ 1.5.10‬כדי לבדוק אם הם זרים‪ ,‬אפשר בעזרת האלגוריתם של אוקלידס‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬ניח ‪ α‬שורש מרובה אזי‪ .(x − α)2 | f (x) :‬כלומר‪ f (x) = (x − α)2 g (x) :‬לאיזשהו )‪.g (x‬‬
‫נחשב את )‪:f ′ (x‬‬
‫‬
‫‪′‬‬
‫)‪f ′ (x) = (x − α)2 g (x‬‬
‫נשתמש בנוסחת המכפלה‪:‬‬
‫‪i′‬‬
‫‪h‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪f ′ (x) = (x − α) g (x) + (x − α) g ′ (x) = (x − α) (x − α) + (x − α) (x − α) g (x) + (x − α) g ′ (x‬‬
‫‪2‬‬
‫מכאן ש )‪ x − α | f ′ (x‬וכזכור )‪ (x − α) | f (x‬ולכן‪ x − α | (f (x) , f ′ (x)) :‬ובפרט‪.(f (x) , f ′ (x)) 6= 1 :‬‬
‫נניח כי ‪ (f (x) , f ′ (x)) 6= 1‬נרצה להראות כי יש שורש מרובה‪.‬‬
‫נניח שאין שורש מרובה אזי‪:‬‬
‫) ‪(x − λi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪f (x) = a‬‬
‫‪i=1‬‬
‫וכל ה ‪ λi‬שונים ו ‪.a 6= 0‬‬
‫אפשר לחשב את הנגזרת‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n Y‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪X‬‬
‫‪′‬‬
‫‪(x − λi )  (x − λj ) = a‬‬
‫) ‪(x − λj‬‬
‫‪j6=i‬‬
‫‪i=1 j6=i‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪f ′ (x) = a‬‬
‫‪i=1‬‬
‫ולכן עבור ‪ r = 1, . . . , n‬נקבל כי‪:‬‬
‫) ‪(λj − λr‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪f ′ (λr ) = a‬‬
‫‪j6=r‬‬
‫אם אין שורש מרובה הרי ‪ f ′ (λr ) 6= 0‬לכל ‪ .r = 1, . . . , n‬כלומר אין ל )‪ f (x‬ו )‪ f ′ (x‬שורשים משותפים באף שדה הרחבה‪ .‬ולכן‬
‫לא ייתכן שיהיה להם מחלק משותף‬
‫נשתמש בטענות הנ״ל באופן הבא‪:‬‬
‫יהיה ‪ F = Fp = Z/pZ‬השדה מסדר ‪ p) p‬ראשוני(‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫נקבע ‪ n ∈ N‬ונתבונן בפולינום ‪. f (x) = xp − x‬‬
‫ראשית נציין ש ‪ .f ′ (x) = −1‬בפרט‪ (f (x) , f ′ (x)) = 1 ,‬ולכן בשדה הרחבה ‪ E‬שבו )‪ f (x‬מתפצל לגורמים לינארים כל שורשי‬
‫)‪ f (x‬הם שונים זה מזה‪.‬‬
‫יהי ‪ E‬שדה שבו אכן )‪ f (x‬מתפרק לגורמים לינארים ונסמן ב ‪ K‬את אוסף שורשי )‪:f (x‬‬
‫‪n‬‬
‫‪o‬‬
‫‪n‬‬
‫‪K = α ∈ E | αp − α = 0‬‬
‫‪ K‬הנ״ל קבוצה מסדר ‪|K| = pn .pn‬‬
‫טענה ‪1.5.11‬‬
‫‪ K‬מהוה שדה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬ננבחין כי ‪.0, 1 ∈ K‬‬
‫יהיו ‪ .α, k ∈ K‬נבחין כי‪:‬‬
‫‪pn‬‬
‫)‪.(α + β‬‬
‫‪13‬‬
‫פרק ‪ .1‬שדות‬
‫‪ .1.5‬שדות סופיים‬
‫למה ‪1.5.12‬‬
‫יהי ‪ D‬שדה ממציין ‪ p‬ראשוני‪ .‬יהיו ‪ α, β ∈ D‬אזי‪:‬‬
‫‪(α + β)p = αp + β p .1‬‬
‫‪(α · β)p = αp · β p .2‬‬
‫הוכחה‪ 2 :‬ברור‪.‬‬
‫נראה את ‪ .1‬נבחין כי‪:‬‬
‫ ‪p‬‬
‫‪X‬‬
‫‪p i p−i‬‬
‫‪αβ‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i=0‬‬
‫אבל נשים לב שעבור ‪ p > i > 0‬מתקיים‬
‫‬
‫‪p‬‬
‫‪i‬‬
‫‪p‬‬
‫= )‪(α + β) = (α + β) (α + β) . . . (α + β‬‬
‫| ‪ p‬כיוון ש‪:‬‬
‫ ‬
‫!‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫=‬
‫!)‪i! (p − i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ p‬הוא ראשוני‪ ,‬אבל ‪ p > i > 0‬ולכן לא מופיע במכנה‪ ,‬ולכן הוא לא מצטמצם‪.‬‬
‫כלומר בסכום הנ״ל אנו צריכים להסתכל רק על הראשון והאחרון כיוון שאם אנו מחברים ‪ p‬פעמים את אותו איפה אנו מקבלים אפס‬
‫)זו המשמעות של מציין ‪ (p‬ולכן נקבל כי‪:‬‬
‫ ‬
‫ ‬
‫‪p 0 p−0‬‬
‫‪p p p−p‬‬
‫= ‪(α + β)p‬‬
‫‪α β‬‬
‫‪+‬‬
‫‪α ·β‬‬
‫‪= a0 β p + αp β 0 = αp + β p‬‬
‫‪0‬‬
‫‪p‬‬
‫כנדרש‪.‬‬
‫מסקנה ‪1.5.13‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ D‬שדה ממציין ‪ .0 < p‬אזי העתקה ‪ Φ : D → D‬המוגדרת באופן הבא‪ Φ (α) = α :‬היא הומומורפיזם של שדה הנקרא הומומורפיזם‬
‫של פרודיניוס‪.‬‬
‫נבדוק ש ‪ K‬סגור לחיבור\כפל ולקיחת הופכי‪.‬‬
‫לגבי החיבור‪ ,‬אם ‪ α, β ∈ K‬נבחין כי‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪(α + β)p = Φn (α + β) = Φn (α) + Φn (β) = αp + β p = α + β‬‬
‫הערה ‪ 1.5.14‬כאשר ‪ Φ‬זה ההומומורפיזם של פרודיניוס‪ .‬ולכן גם ‪ Φn‬הומומורפיזם‪.‬‬
‫הערה ‪.K = Fix (Φn ) 1.5.15‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪pn‬‬
‫אם ‪ ,α, β ∈ K‬נבחין כי גם‪= αp β p = αβ ⇒ α · β ∈ K :‬‬
‫‬
‫‪n −1‬‬
‫‪pn‬‬
‫‪ α−1‬כלומר‪∈ K ,‬‬
‫‪= αp‬‬
‫לבסוף‪ ,‬נבחין כי אם ‪ 0 6= α ∈ K‬אזי‪= α−1 :‬‬
‫)‪.(α · β‬‬
‫‪.α−1‬‬
‫מסקנה ‪1.5.16‬‬
‫לכל ‪ p‬ראשוני ולכל ‪ 1 ≤ n ≤ N‬יש שדה מסדר ‪.pn‬‬
‫מסקנה ‪1.5.17‬‬
‫לכל ‪ l | n′‬יש שדה ביניים יחיד בין ‪ Fp‬ל‪ K‬מסדר ‪.p‬‬
‫‪l‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראינו שיש ‪ L‬כזה‪ .‬מדוע הוא יחיד?‬
‫אם ‪ L‬שדה נוסף מסדר ‪ pl‬בתוך ‪ K‬אזי איברי ‪ L‬השונים מ‪ 0‬נמצאים ב }‪ (L ) = L \ {0‬זו חבורה סופית מסדר ‪ p − 1‬ולכן‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫מקימים ‪ .γ p −1 = 1‬ולכן ‪ γ p = γ‬כלומר שורשי הפולינום ‪ xp − x‬וכך גם ‪ ,0‬אזי ‪.L′ = L‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪14‬‬
‫∗ ‪′‬‬
‫‪l‬‬
‫פרק ‪ .1‬שדות‬
‫‪ .1.5‬שדות סופיים‬
‫הערה ‪ 1.5.18‬לשדה ‪ K‬מסדר ‪ pn‬יש בדיוק ‪ n‬אוטומואפיזם‪ .‬למעשה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪Aut (K) = Id, Φ, Φ2 , . . . , Φn−1‬‬
‫אם ‪ H‬חבורה חלקית של ‪ Φ‬אז ‪ H‬ציקלית ונוצרת ע״י ‪ Φr‬כאשר ‪ .r | n‬נסתכל על }‪˜ = {α ∈ K | ψ (α) = α ∀ψ ∈ H‬‬
‫‪ ,H‬זהו שדה‬
‫מסדר ‪.pr‬‬
‫‪15‬‬
‫פרק ‪2‬‬
‫לבנות בעזרת סרגל ומחוגה‬
‫נתונה קבוצת נקודות ‪ S‬במישור‪ .‬בידינו סרגל )הכוונה למוט ישר בלי סימוני קורדינטות עליו‪ ,‬ארוך כרצונינו(‬
‫ומחוגה‪ .‬מתוך הקבוצה ‪ S‬אפשר לבנות נקודות חדשות במישור באופן הבא‪:‬‬
‫בין כל ‪ 2‬נקודות ב ‪ S‬אפשר למתוח קו ישר ולהמשיכו לשני הצדדים כרצוננו‪.‬‬
‫כמו כן ניתן לפתוח את המחוגה כך שקצותיה יהיו בנדוקות ‪ s1 , s2 ∈ S‬ואז לצייר מעגל ברדיוס ) ‪ dist (s1 , s2‬מסביב הנקודה ‪.s3 ∈ S‬‬
‫הנקודות החדשות הן נקודות מפגש של קוים ומעגלים שנבנו כך מ‪.S‬‬
‫נבחין שעם נקודה אחת אני לא יכולים לעשות כלום‪.‬‬
‫לעומת זאת בעזרת ‪ 2‬נקודות אנו ראשית יכולים להעביר בניהם ישר‪ .‬וכמו כן לבנות מעגל כאשר הרדיוס שלו יהיה המרחק בניהם‬
‫סביב הנקודה הראשונה וסביב השניה )לא מדובר באותו מעגל!(‪.‬‬
‫יצרנו כאן ‪ 2‬נקודות חדשות‪ ,‬אם נעביר ישר בין הנקודות החדשות נקבל חיתוך עם הישר הראשון‪ ,‬אשר יחתוך אותו בדיוק באמצע‬
‫בין הנקודות‪.‬‬
‫כלומר בעזרת סרגל ומחוגה‪ ,‬ניתן לחלק כל קטע לחצי ואנו גם יכולים לבנות אנך )כיוון שהוא יהיה מאונך כי מתקבל מעויין למעשה(‪.‬‬
‫נבחין כי אנו מקבלים למעשה את כל השלים בצורה זו גם על ציר ה‪ x‬וגם על ציר ה‪) y‬החיתוך של הנוצר מהמחוגה עם הישר(‪.‬‬
‫ולכן אנו יכולים גם לקבל חלוקה ב‪ .n‬לדוגמה נשיג את ‪ 3‬בכך שנעביר ישר בין )‪ (0, 3‬ל )‪ .(1, 0‬ונעביר לו ישר מקביל העובר ב )‪(0, 1‬‬
‫ואז הוא יחתוך את ציר ה‪ x‬בשליש‪.‬‬
‫איך מעבירים מקביל?‬
‫נפתח מעגל סביב הנקודה הראשונה בקטע העובר בנקודה שבא אנו רוצים את המקביל‪ .‬באופן דומה עם הנקודה השניה‪ .‬מהקודקוד‬
‫החדש נקבל דלתון )האלכסונים ניצבים!(‪ .‬על מנת לקבל מקביל ניצור באופן דומה לבניית השלמים נקודה בהמשך הישר כך שנקבל‬
‫שהנקודה שלנו בדיוק במרכזו‪ ,‬ונשתמש בטכניקה ממקודם על מנת לקבל ניצב‪.‬‬
‫למעשה אנו יכולים לבנות כל מספר רציונליים‪ ,‬אבל לא רק!‬
‫√‬
‫√‬
‫לדוגמה ניתן גם לבנות את ‪ 2‬־ נבנה ריבוע‪ ,‬הרדיוס מ)‪ (0, 0‬ל )‪ (1, 1‬הוא ‪ , 2‬נבנה עיגול‪ ,‬החיתוך עם ציר ה‪ x‬הוא שורש ‪.2‬‬
‫‪2.1‬‬
‫לרבע את המעגל‬
‫נותנים לנו קטע בין ‪ 0‬ל‪ 1‬ובונים סביבו מעגל‪.‬‬
‫אנו מחפשים ריבוע שההקף שלו הוא כמו ההקף של המעגל‪ ,‬כלומר ריבוע שההקף שלו הוא ‪ ,2π‬כלומר צלע שהיא‬
‫לבנות את הנקודה ‪ . π2‬אבל ‪ π‬הוא לא אלגברי! לכן גם ‪ π2‬ולכן אין דרך להגיע לזה בעזרת סרגל ומחוגה!‬
‫‪. π2‬‬
‫דהיינו‪ ,‬הם רצו‬
‫הגדרה ‪ 2.1.1‬ניתן לבניה‪ :‬מספר ממש ‪ α‬נקרא ניתן לבניה אם להגיע ל)‪ (α, 0‬במספר סופי של צעדי בניה החל מ)‪ (0, 0‬ו)‪ (1, 0‬ע״י‬
‫סרגל ומחוגה‪.‬‬
‫הערה ‪ α 2.1.2‬ניתן לבניה אם״ם קיים ‪ β‬כך שניתן להגיע במספר סופי של צעדי בניה ל )‪ (α, β‬ואם״ם ניתן להגיע ל )‪.(0, α‬‬
‫ראינו כי כל מספר רציונלי הוא ניתן לבניה‪.‬‬
‫למה ‪2.1.3‬‬
‫אם ‪ α, β‬ניתנים ולבנייה אזי ‪ a + β‬ניתן לבניה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם אנו יודעים להגיע ל )‪ (α, 0‬ו)‪ (β, 0‬אז אנו שמים מחוגה בניהם ומגיעים ל ‪ α + β‬על ידי סיבוב ב‪ 180‬מעלות‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ .2.1‬לרבע את המעגל‬
‫פרק ‪ .2‬לבנות בעזרת סרגל ומחוגה‬
‫טענה ‪2.1.4‬‬
‫אם ‪ α‬מספר ממשי חיובי ניתן לבניה‪ ,‬אזי גם ‪α‬‬
‫√‬
‫ניתן לבניה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ α‬ניתן לבניה גם ‪ α + 1‬ניתן לבניה‪.‬‬
‫נצייר מעגל שקוטרו ‪.1 + α‬‬
‫הערה ‪ 2.1.5‬מוצאים את‬
‫‪α+1‬‬
‫‪2‬‬
‫ומשתמשים בו כרדיוס‪.‬‬
‫יש לנו גם את הנקודה )‪ (1, 0‬נעביר דרכה אנך‪ .‬ונסמן )‪ (1, β‬את הנקודת החיתוך עם המעגל‪.‬‬
‫המשולש )‪ (0, 0) , (1, β) , (α + 1, 0‬הוא ישר זווית )משולש שהיתר שלו הוא הקוטר הוא ישר זווית(‪.‬‬
‫כמו כן‪ ,‬האנך מפצל את המשולשים לדומים )קל להראות שהזוויות שוות(‬
‫ולכן נשמרים יחסים בין הצלעות‪ .‬ונקבל‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪β‬‬
‫‪= ⇒ β2 = α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪β‬‬
‫ולכן מצאנו שורש ל‪.α‬‬
‫טענה ‪2.1.6‬‬
‫אוסף המפרים הניתנים לבניה ‪ K‬הוא תת־שדה ש ‪.R‬‬
‫הוכחה‪ ,0, 1 ∈ K :‬ראינו שאם ‪ α, β ∈ K‬אזי ‪ .α + b ∈ K‬נראה שגם ‪.α · β ∈ K‬‬
‫נבחין כי אנו יודעים לבנות את )‪ ,(0, 1‬נעביר קו בין )‪ (α, 0‬ל )‪ .(0, 1‬נעביר דרך )‪ (β, 0‬מקביל לישר הקודם‪.‬‬
‫המשולשים שנוצרו על ידי הישרים והצירים דומים‪ .‬לנקודת החיתוך של הישר העובר דרך )‪ (β, 0‬נקרא )‪.(0, γ‬‬
‫‪β‬‬
‫נקראה שגם ‪∈ K‬‬
‫‪ . α‬נבחין כי‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪γ‬‬
‫=‬
‫‪β‬‬
‫‪α‬‬
‫‪β‬‬
‫‪ γ = α‬ו‪ γ :‬ניתן לבניה‪.‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫נראה ש ‪ .α · β ∈ K‬הפעם נמקם את ‪ β‬דווקא על ציר ‪.y‬‬
‫נעביר קו בין )‪ (α, 0‬ל )‪ (0, 1‬ונעביר גם בין )‪ (0, β‬ל)‪ (γ, 0‬קו מקביל לקודם‪.‬‬
‫נקבל שוב משולשם דומים‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪α‬‬
‫‪= ⇒γ = α·β‬‬
‫‪β‬‬
‫‪1‬‬
‫ולכן ‪ K‬אכן תת שדה‪.‬‬
‫נניח ש‪ 2‬נקודות )‪ (a, b‬ו )‪ (c, d‬במישור ניתנות בניה‪ ,‬אזי משוואת הישר בניהן היא‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪d−b‬‬
‫‪d−b‬‬
‫= )‪ℓ (x‬‬
‫‪x+b−‬‬
‫‪·a‬‬
‫‪c−a‬‬
‫‪c−a‬‬
‫מה שחשוב הוא‪ ,‬שהמקדמים של הישר ניתנים לבנייה‪.‬‬
‫אם ) ‪ (a, b) , (c, d) , (e, f‬ניתנים לבנייה אז אנו יכולים לקבל את המעגל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(x − e) + (y − f ) = r2‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪r2 = dist2 ((a, b) , (c, d)) = (a − c) + (b − d‬‬
‫‪17‬‬
‫‪ .2.1‬לרבע את המעגל‬
‫פרק ‪ .2‬לבנות בעזרת סרגל ומחוגה‬
‫ניתן לפתוח את זה‪ ,‬ולקב‪:‬‬
‫‪x2 + y 2 − 2ex − 2f y + g = 0‬‬
‫עבור ‪ g‬כלשהו‪.‬‬
‫לא כל־כך מעניין אותנו הדיוק‪ ,‬מה שמעניין אותנו הוא שהמעגל שיצרנו הוא מהצורה‪:‬‬
‫‪x2 + y 2 + αx + βγ + δ = 0‬‬
‫כאשר ‪ α, β, δ‬ניתנות לבנייה‪.‬‬
‫איך מקבלים נקודה חדשה הניתנת לבנייה )מתוך הנקודות שכבר בנינו בשלבים שלנו(‪.‬‬
‫נקודה חדשה שניתנת לבנייה מתקבלת ע״י‪:‬‬
‫‪ .1‬חיתוך ישר עם ישר‬
‫‪ .2‬חיתוך ישר עם מעגל‬
‫‪ .3‬חיתוך מעגל עם מעגל‬
‫הערה ‪ 2.1.7‬בכל אחד מהמקרים מקדמי משוואת הישר או המעגל נמצאים בשדה הנוצר מעל ‪ Q‬בעזרת הנקודות שנבנו עד כה‪.‬‬
‫טענה ‪2.1.8‬‬
‫אם ‪ ρ ∈ R‬מספר ממשי ניתן לבניה בסדרה סופית של פעולות‪ ,‬אזי יש סדרה של שדות‪:‬‬
‫‪Q ⊆ K1 ⊆ K2 ⊆ . . . ⊆ Km‬‬
‫כך ש ‪ [Ki : Ki−1 ] ≤ 2‬לכל ‪ i = 1, . . . , m‬ו‪.ρ ∈ Km :‬‬
‫הוכחה‪ :‬בתהליך הבניה מתחילים בנקודות })‪ S0 = {(0, 0) , (1, 0‬וכל פעם בונים קבוצה גדולה יותר בנקודה אחת‪:‬‬
‫‪S0 ⊆ S1 ⊆ S2 ⊆ . . . ⊆ Sm‬‬
‫עד ‪.ρ ∈ Sm‬‬
‫הקורדנטות של ‪ S0‬נמצאות ב ‪ .Q‬בהוספת נקודה חדשה מ‬
‫נתבונן בנקודה חדשה שהתקבלה‪:‬‬
‫‪ Si−1‬ל ‪ Si‬מה עושים?‬
‫‪ .1‬חתוך של שני ישרים‪:‬‬
‫‪y = αx + β‬‬
‫‪y = α′ x + β ′‬‬
‫(‬
‫אם יש פתרון‪ ,‬אזי הוא לא יוצא מהשדה שבו מקדמי המשוואותץ‬
‫‪ .2‬חיתוך ישר ומעגל‪:‬‬
‫‪y = αx + β‬‬
‫‪x2 + y 2 + γx + δy + η = 0‬‬
‫(‬
‫מציבי את ‪ y‬מהמשוואה הראשונה בשניה ומקבלים‪:‬‬
‫‪x2 + (αx + β)2 + γx + δ (αx + β) + η = 0‬‬
‫לא מספיק מעניין לפתוח את זה‪ ,‬בגדול נקבל‪:‬‬
‫√‬
‫בשדה ‪∗ ±‬‬
‫=‬
‫∗‬
‫‪x1,2‬‬
‫יכול להיות שנחרוג מהשדה‪ ,‬כיוון שיכול להיות שהשורש לא בשדה‪ ,‬לכן כאן עלינו לכל היותר עלינו בשדה ב ‪ 2‬מעלות‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫פרק ‪ .2‬לבנות בעזרת סרגל ומחוגה‬
‫‪ .2.1‬לרבע את המעגל‬
‫‪ .3‬חיתוך מעגל עם מעגל‪ ,‬נקבל ‪ 2‬משוואות‪:‬‬
‫(‬
‫‪x2 + y 2 + αx + βy + δ = 0‬‬
‫‪x2 + y 2 + α′ x + β ′ y + δ ′ = 0‬‬
‫פתרון זוג משוואות זה שקול לפתרון של‪:‬‬
‫‪x2 + y 2 + αx + βy + δ = 0‬‬
‫‪(a − a′ ) x + (β − b′ ) y + (δ − d′ ) = 0‬‬
‫(‬
‫)הפחתנו את המשוואה השניה מהראשונה(‪ .‬אבל זו משוואה של ישר כבר‪ ,‬וזה מקרה ב׳‪.‬‬
‫טענה ‪2.1.9‬‬
‫‪ α ∈ R‬ניתן לבנייה אם״ם קיימת סדרת שדות‬
‫‪Q ⊆ K1 ⊆ K2 ⊆ . . . ⊆ Km‬‬
‫כך ש ‪ [Ki : Ki−1 ] ≤ 2‬לכל ‪ i = 1, . . . , m‬ו‪.α ∈ Km :‬‬
‫הערה ‪ 2.1.10‬נבחין כי הוכחנו את הטענה בכיוון ⇐ אנו כעת רוצים להראות כי זה אכן אם״ם‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬כאמור את הכיוון ⇐ ראינו‪.‬‬
‫נראה את ⇒‪ .‬נניח שיש סדרה כנ״ל‪ .‬וצריך להוכיח ש ‪ α‬ניתן לבנייה‪ .‬ראשית נוכיח את הלמה הבאה‪:‬‬
‫למה ‪2.1.11‬‬
‫ √‬
‫אם ‪ F‬שדה כלשהו ממציין =‪ 2 6‬ו‪ E :‬הרחבה של ‪ F‬כך ש ‪ [E : F] = 2‬אזי קיים ‪ β ∈ F‬כך ש ‪.E = F β‬‬
‫√‬
‫הערה ‪ 2.1.12‬זהירות‪ .‬זה לא נכון במציין ‪ .2‬למשל ‪ .F4‬נבחין את ‪ .[F4 : F2 ] = 2‬אבל כל ‪. β ∈ F2 β ∈ F2‬‬
‫∈ ‪ .γ‬יהא )‪ p (x‬הפולינום המתוקן המינימלי של ‪ γ‬מעל ‪.F‬‬
‫הוכחה‪ :‬נבחר ‪ γ ∈ E‬כך ש ‪/ F‬‬
‫‪ .deg p (x) = [E : F] = 2‬אזי‪ p (x) = x2 + bx + c :‬ושורשיו הם‪:‬‬
‫√‬
‫‪−b ± b2 − 4c‬‬
‫= ‪x1,2‬‬
‫‪2‬‬
‫ברור ש )‪.E = F (γ‬‬
‫אזי‪:‬‬
‫הערה ‪ 4 2.1.13‬זו המשמעות של ‪ ,4‬כלומר‪ .c + c + c + c :‬אבל מה זה אומר לחלק ב‪ ?2‬זה אומר לפתור את המשוואה‪.x + x = y :‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‬
‫‪p‬‬
‫‪−b + b2 − 4c‬‬
‫‬
‫‪−1‬‬
‫)‪= (1 + 1‬‬
‫√‬
‫ √‬
‫נקח‪ .F ∋ β = b2 − 4c :‬נבחין כי‪β = F (γ) = E :‬‬
‫‪.γ‬‬
‫√‬
‫נזכיר שהראנו שאם ‪ γ‬ניתן לבנייה אזי גם ‪ γ‬ניתן לבנייה‪ .‬ולכן באינדוקציה על ‪) m‬תוך שימוש בלמה( כל איברי‬
‫וכך גם ‪.α‬‬
‫אנו יכולים להגיד‪:‬‬
‫‬
‫‪p‬‬
‫‪βi−1‬‬
‫‪Ki = Ki−1‬‬
‫‪ .F‬כלומר‪ . γ = x1 ∨ x2 :‬וסיפוח ‪β‬‬
‫עבור ‪ βi−1 ∈ Ki−1‬כלשהו‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫יחד עם סגירות בשדה ⇐ סיפוח‬
‫‪ Km‬ניתנים לבניה‬
‫‪ .2.1‬לרבע את המעגל‬
‫פרק ‪ .2‬לבנות בעזרת סרגל ומחוגה‬
‫מסקנה ‪2.1.14‬‬
‫‪ℓ‬‬
‫אם ‪ α ∈ R‬ניתן לבנייה אזי ‪ α‬אלגברי ‪ [Q (α) : Q] = 2‬לאיזשהו }‪.ℓ ∈ N ∪ {0‬‬
‫הוכחה‪ :‬בסימונים הקודמים‪ Q (α) ⊆ Km :‬ולכן‪:‬‬
‫‪[Q (α) : Q] | [Km : K] | 2m‬‬
‫הערה ‪ 2.1.15‬יתכן כי ‪ [Q (α) : Q] = 2ℓ‬ו‪ α‬לא ניתן לבניה! )זהו לא תנאי הכרחי ומספיק(‪.‬‬
‫משפט ‪2.1.16‬‬
‫‪ .1‬אי אפשר לרבע את המעגל‪.‬‬
‫‪ .2‬אי אפשר לרבע את העיגול‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראשית נבחין כי‪:‬‬
‫‪ .1‬שקול לכך שלא ניתן לבנות את ‪. π2‬‬
‫√‬
‫‪ .2‬שקול לכך שלא ניתן לבנות את ‪. π‬‬
‫√‬
‫ושניהם נכונים בגלל משפט לינדנמם )אשם לא נוכיח( האומר כי‪ π :‬לא אלגברי‪ .‬ולכן ‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫ו‪2‬‬
‫לא אלגברי‪.‬‬
‫משפט ‪2.1.17‬‬
‫אי אפשר להכפיל את הקובייהץ‬
‫כלומר איננו יכולים לבנות ע״י סרגל ומחוגה צלע של קוביה שנפחה פעמיים נפח קוביה נתונהץ‬
‫√‬
‫הערה ‪ 2.1.18‬במילים אחרותץ לא ניתן לבנות את ‪. 3 2‬‬
‫√‬
‫הוכחה‪ :‬זה כך בגלל ש ‪ α = 3 2‬הוא שורש של ‪ x3 − 2‬אבל ‪ x3 − 2‬הוא פולינום אי־פריק מעל ‪ .Q‬בגלל שאין לו שורש רציונלי‪ ,‬אבל‬
‫הוא ממעלה ‪ ,3‬לכן אם היה פריק היה חייב להיות לו שורש‪.‬‬
‫משפט ‪2.1.19‬‬
‫אי אפשר לחלק זווית כללית לתונה ל‪ 3‬ע״י סרגל ומחוגה‪.‬‬
‫הערה ‪ 2.1.20‬למעשה נוכיח שאת הזווית ◦‪ 60‬אי אפשר לחלק ל‪ .3‬באופן שקול‪ :‬המספר הממשי ) ◦‪ cos (20‬לא ניתן לבנייה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬מטרתנו להוכיח כי ) ◦‪ cos (20‬לא ניתן לבנייה‪ .‬נסמן‪β = 2 cos (20◦ ) :‬ץ‬
‫זהות טריגונומטרית כללית‪ ψ :‬זוית כלשהי אזי מתקיים‪:‬‬
‫)‪cos (3ψ) = 4 cos3 (ψ) − 3 cos (ψ‬‬
‫נישם עבור ◦‪ .ψ = 20‬נבחין כי‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫) ◦‪= 4 cos3 (20◦ ) − 3 cos (20‬‬
‫‪2‬‬
‫כאמור‪:‬‬
‫‪β‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ◦‪ cos (20‬ולכן‪:‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪β‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪β‬‬
‫‪− 3 ⇒ = β 3 − β ⇒ β 3 − 3β − 1 = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪20‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2.2‬פריקות של פולינומים‬
‫פרק ‪ .2‬לבנות בעזרת סרגל ומחוגה‬
‫למה ‪2.1.21‬‬
‫הפולינום ‪ x3 − 3x − 1 = 0‬הוא פולינום אי־פריק‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נחליף את ‪ x‬ב ‪ x + 1‬ונקבל‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‬
‫= ‪(x + 1) x2 + 2x + 1 − 3x − 4‬‬
‫= ‪f (x + 1) = (x + 1) − 3 (x + 1) − 1‬‬
‫= ‪x3 + 2x2 + x + x2 + 2x + 1 − 3x − 4‬‬
‫‪x3 + 3x2 − 3‬‬
‫למה ‪2.1.22‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫הפולינום ‪ x + 3x − 3‬הוא אי פריק‪.‬‬
‫הערה ‪ 2.1.23‬למה ‪ ⇐ 2‬למה ‪ cos (20◦ ) ⇐ 1‬לא ניתן לבנייה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נגררת מיידית מקריטריון אייזנשטיין אשר נראה עוד רגע עבור ‪.p = 3‬‬
‫ובכך למעשה סיימנו את הוכחה המשפט מכיוון שמזה נובע כי‪:‬‬
‫]‪3 = [Q (β) : Q] = [Q (cos (20◦ )) : Q‬‬
‫וזה גורר כי ) ◦‪ cos (20‬לא ניתן לבנייה‪.‬‬
‫‪ 2.2‬פריקות של פולינומים‬
‫טענה ‪2.2.1‬‬
‫אם ]‪ f (x) ∈ F [x‬פולינום ו‪ a ∈ F :‬אזי )‪ f (x‬אי פריק אם״ם )‪ f (x + a‬אי פריק‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬מספיק להוכיח שאם )‪ f (x‬פריק אזי גם )‪ f (x + a‬פריק‪.‬‬
‫הערה ‪ 2.2.2‬כי אם )‪ f (x + a) = g (x‬אזי‪.f (x) = g (x − a) :‬‬
‫וזה טריוויאלי כי‪ f (x) = h (x) k (x) :‬אז‪.f (x + a) = h (x + a) k (x + a) :‬‬
‫‪2.2.1‬‬
‫קריטריון אייזנשטיין )‪(Eisenstein‬‬
‫משפט ‪ 2.2.3‬קריטריון אייזנשטיין‬
‫אם ‪ f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0‬פולינום ב]‪ Q [x‬עם מקדמים שלמים ‪.ai ∈ Z‬‬
‫נניח שקיים ‪ p‬ראשוני כך ש‪:‬‬
‫‪p ∤ an .1‬‬
‫‪ p | ai .2‬לכל ‪i = 0, . . . , n − 1‬‬
‫‪p2 ∤ a0 .3‬‬
‫אזי )‪ f (x‬פולינום אי־פריק ב ]‪.Q [x‬‬
‫למה ‪ 2.2.4‬למת גאוס‬
‫אם ]‪ f (x) ∈ Z [x‬אי פריק ב]‪ Z [x‬אזי הוא גם אי פריק ב ]‪.Q [x‬‬
‫או‪ :‬אם קיימים פולינומים ]‪ h (x) , g (x) ∈ Q [x‬לא קבועים כך ש‪ f (x) = g (x) h (x) :‬אזי קיימים ]‪ g ′ (x) , h′ (x) ∈ Z [x‬לא קבועים‬
‫כך ש )‪.f (x) = g ′ (x) h′ (x‬‬
‫‪21‬‬
‫‪ .2.2‬פריקות של פולינומים‬
‫פרק ‪ .2‬לבנות בעזרת סרגל ומחוגה‬
‫הוכחה‪ :‬נניח )‪ f (x) = g (x) h (x‬כאשר ]‪ g (x) , h (x) ∈ Q [x‬פוינומים לא קבועים‪.‬‬
‫ע״י הכפלה במכנה המשותף הקטן ביותר )נסמנו ‪ (m‬של כל המכנים של כל מקדמי )‪ g (x) , h (x‬אפשר להניח ש‪mf (x) = :‬‬
‫)‪ .g (x) h (x‬כך ש ‪ m ∈ N‬ו‪:‬‬
‫]‪g (x) , h (x) ∈ Z [x‬‬
‫נניח ש‪ p‬מחלק את ‪ .m‬נוכיח שעבור או )‪ g (x‬או )‪ h (x‬הוא גם מחלק את כל המקדמים שלהם‪ .‬וזה יסיק את ההוכחה‪.‬‬
‫נניח בשלילה כי ‪ p‬אינו מחלק את כל מקדמי )‪ g (x‬ואינו מחלק את כל מקדמי )‪.h (x‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫‪ai xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪mf (x‬‬
‫‪i=1‬‬
‫ואילו‪:‬‬
‫‪bi xi‬‬
‫‪k‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪g (x‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪ci xi‬‬
‫‪l‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪h (x‬‬
‫‪i=0‬‬
‫יהיו ‪ i0 , j0‬האינדקסים הקטנים ביותר כך ש‪ p ∤ bi0 :‬ו‪ .p ∤ cj0 :‬נבחין כי‪:‬‬
‫‪ai0 +j0 = b0 ci0 +j0 + b1 · ci0 +j0 −1 + . . . + bi0 cj0 + bi0 +1 cj0 −1 + . . . + bi0 +j0 c0‬‬
‫אבל נבחין כי כולם פרט למסומן מתחלקים ב‪ p‬מכיוון שהנחנו כי ‪ i0 , j0‬הם הראשונים שלא מחלקים‪.‬‬
‫כלומר רק ‪ bi0 cj0‬לא מתחלק ב‪ p‬ולכן ‪ p ∤ ai0 +j0‬וזו סתירה‪.‬‬
‫כעת יש לנו את הכלים להוכיח את קריטריון אייזנשטיין‪:‬‬
‫משפט ‪ 2.2.5‬קריטריון אייזנשטיין‬
‫אם ‪ f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0‬פולינום ב]‪ Q [x‬עם מקדמים שלמים ‪.ai ∈ Z‬‬
‫נניח שקיים ‪ p‬ראשוני כך ש‪:‬‬
‫‪p ∤ an .1‬‬
‫‪ p | ai .2‬לכל ‪i = 0, . . . , n − 1‬‬
‫‪p2 ∤ a0 .3‬‬
‫אזי )‪ f (x‬פולינום אי־פריק ב ]‪.Q [x‬‬
‫הוכחה‪ :‬על פי למת גאוס‪ ,‬מספיק להוכיח שאי אפשר לכתוב את )‪ f (x) = g (x) h (x‬כאשר ]‪ g (x) , h (x) ∈ Z [x‬פולינומים לא‬
‫קבועים‪.‬‬
‫נניח שכן‪ ,‬נכתוב‪:‬‬
‫‪bi xi‬‬
‫‪k‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪g (x‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪ci xi‬‬
‫‪l‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪h (x‬‬
‫‪i=0‬‬
‫כאשר ‪.bi , ci ∈ Z ,n > k, l ≥ 1‬‬
‫נשים לב כי‪:‬‬
‫‪a0 = b 0 c0‬‬
‫‪22‬‬
‫פרק ‪ .2‬לבנות בעזרת סרגל ומחוגה‬
‫‪ .2.3‬השדה ה ‪p‬־ציקלוטומי‬
‫ועל פי ההנחה ‪ p2 ∤ b0 c0‬ו‪ p | b0 c0 :‬לכן אחד מ ‪ b0 c0‬מתחלק ב‪ p‬אבל לא שניהם‪ .‬בלי הגבלת הכלליות‪ ,‬נניח ‪ p | b0‬ו‪.p ∤ c0 :‬‬
‫נשים לב שלא ייתכן ש ‪ p | bi‬לכל ‪ i = 0, . . . , k‬כי ‪.p ∤ an‬‬
‫יהא ‪ i0‬האינדקס הראשון כך ש ‪.i0 ≤ k n p ∤ bi0‬‬
‫נחשב את ‪:ai0‬‬
‫‪ai0 = b0 ci0 + b1 ci0 −1 + . . . + bi0 −1 c1 + bi0 c0‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫מתחלק ב‪p‬‬
‫ואילו האיבר הממוסגר אינו מתחלק ב‪) p‬כיוון שהנחנו בה״כ כי ‪ p ∤ bi0‬וגם ‪.(p ∤ bi0‬‬
‫וזו סתירה להנחה ש ‪) p ∤ ai0‬נזכור ש ‪.( i0 < k‬‬
‫דוגמה ‪ 2.2.6‬לכן ‪ xn − p‬הוא אי פריק‪ ,‬וגם ‪ xn + px + p‬ועוד רבים אחרים‪...‬‬
‫מסקנה ‪2.2.7‬‬
‫‪ .1‬לכל ‪ n‬יש פולינום אי פריק ממעלה ב]‪. Q [x‬‬
‫‪ .2‬וכמו כן‪ ,‬לכל ‪ n‬יש ל‪ Q‬הרחבה ‪ E‬כך ש ‪.[E : Q] = n‬‬
‫‪ .3‬לכל ‪ ,n‬יש ל‪ Q‬הרחבה ‪ E ⊂ C‬ממעלה ‪.n‬‬
‫‪ .4‬לכל ‪ n ∈ N‬יש ‪ E ⊆ R‬הרחבה של ‪ Q‬עם ‪.[E : Q] = n‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫√‬
‫נקח ‪n p‬‬
‫‪ .4‬יהי ‪ p > 0 ,p (x) = xn − p‬ראשוני ב ‪.Z‬‬
‫‪[E : Q] = deg (p (x)) = n‬‬
‫= ‪) α‬השורש הממשי של ‪ .(p‬ואז ‪ E = Q (α) ⊂ R‬ומתקיים‬
‫טענה ‪2.2.8‬‬
‫‪p‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫יהא ‪ p‬מספר ראשוני‪ .‬נתבונן בפולינום‪ .x − 1 :‬נפרק אותו‪+ . . . + x + x + 1 :‬‬
‫‪p−1‬‬
‫‪P i‬‬
‫‪p−1‬‬
‫= ‪ f (x) = xx−1‬הוא אי־פריק‪.‬‬
‫אזי ‪x‬‬
‫‪p−2‬‬
‫‪+x‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p−1‬‬
‫‪x − 1 = (x − 1) x‬‬
‫‪i=0‬‬
‫הוכחה‪ :‬נתבונן ב )‪.f (x + 1‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫ ‬
‫‪p p−1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p 1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p−2‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+ ...+‬‬
‫‪x +‬‬
‫‪1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p−1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ i‬‬
‫‪x −1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪p‬‬
‫‪i‬‬
‫‪p‬‬
‫‪P‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪p‬‬
‫‪(x + 1) − 1‬‬
‫=‬
‫= )‪f (x + 1‬‬
‫‪(x + 1) − 1‬‬
‫‬
‫הנ״ל‪ ,‬אפשר להפעיל את קריטריון אייזנשטיין‪ ,‬מאחר ו‪ p | pi :‬לכל ‪) 0 < i < p‬ואלה בדיוק מופיעים שם(‪ .‬ו‪:‬‬
‫נבחין כי על הפולינום ‬
‫‪ .p ∤ pp = 1‬וגם‪ .p2 ∤ p1 = p :‬ולכן מקריטריון אייזנשטיין נקבל כי )‪ f (x + 1‬אי פריק‪ ,‬ולכן גם )‪ f (x‬אי פריק וסיימנו‪.‬‬
‫‪2.3‬‬
‫השדה ה ‪p‬־ציקלוטומי‬
‫‪ p‬ראשוני‪ .‬נסתכל ב‪ p‬שורשי היחידה של ‪ 1‬ב‪:C‬‬
‫‪o‬‬
‫‪| k = 0, . . . , p − 1‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪p k‬‬
‫‪n‬‬
‫‪µ (p) = ei‬‬
‫נרצה לספח את כולם‪.‬‬
‫נסמן ))‪ .E = Q (µ (p‬נשים לב שמאחר ו ‪ p‬ראשוני‪ ,‬אז אם )‪ 1 6= λ ∈ µ (p‬אזי ))‪ .Q (λ) = Q (µ (p‬בגלל ש)‪ µ (p‬היא למעשה‬
‫חבורה ציקלית מסדר ראשוני‪ ,‬וכל איבר ‪ λ 6= 1‬בתוכה יוצר אותה‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫‪ .2.3‬השדה ה ‪p‬־ציקלוטומי‬
‫הפולינום‪:‬‬
‫‪ .λ‬ולכן‪:‬‬
‫‪xp −1‬‬
‫‪x−1‬‬
‫פרק ‪ .2‬לבנות בעזרת סרגל ומחוגה‬
‫= ‪ 1 + x + x2 + . . . + xp−1‬הוא אי פריק‪ ,‬לפי הטענה האחרונה‪ .‬הוא מאפס את ‪ λ‬ולכן זה הפולינום המינימלי של‬
‫‪[Q (µ (p)) : Q] = [Q (λ) : Q] = p − 1‬‬
‫‪24‬‬