פולינומים ושלמים

‫גרסת ‪29.4.2015‬‬
‫פולינומים ושלמים‬
‫‪Pn‬‬
‫פולינום )‪ p(x‬במשתנה ‪ x‬מעל שדה ‪ F‬זה ביטוי ‪ai = an xn + . . . + a1 x1 + a0 x0‬‬
‫היכן ש־ ‪ ,an , . . . , a0 ∈ F‬ו־‪ .an 6= 0‬מעלת הפולינום היא ‪ .n‬ובנוסף פולינום האפס ‪ 0‬שאין‬
‫לו מעלה‪.‬‬
‫את הפולינום ‪ an xn + . . . + a1 x1 + a0 x0‬אפשר לכתוב גם‬
‫כ־ ‪ 0xn+k + 0xn+k−1 + . . . + 0xn+1 + an xn + . . . + a1 x1 + a0 x0‬ואפשר גם להשמיט‬
‫‪ 1xk P‬כותבים גם ‪ .xk‬את פולינום האפס אפשר‬
‫מחוברים שהמקדם שלהם הוא ‪ .0‬במקום‬
‫‪n‬‬
‫לכתוב כ־ ‪. i=0 0xi = 0xn + . . . + 0x0‬‬
‫פולינום כנ"ל שעבורו ‪ an = 1‬נקרא פולינום מתוקן‪.‬‬
‫כפונקציה‪ .‬לכל פולינום )‪ p(x‬מתאימה גם פונקציה שערכה עבור ‪a ∈ F‬‬
‫הפולינום‪Pn‬‬
‫הוא ‪ , i=0 ai ti‬ואנו מסמנים את הערך הזה ב־)‪ .p(t‬לפולינום האפס מתאימה הפונקציה‬
‫הקבועה ‪ .0‬לפולינום )‪p(x‬שאינו ‪ 0‬נראה ש־ ‪ p(t) 6= 0‬פרט לכל היותר למספר ‪t‬־ים שהוא‬
‫כמעלת )‪ .p(x‬בשדה סופי גם פולינום שאינו ‪ 0‬יכול לתת את פונקצית ה־‪ 0‬כמו ‪x2 + x‬‬
‫ב־ ‪.Z2‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪Pn‬‬
‫חיבור פולינומים‪ .‬אם שני פולינומים מוצגים כ־ ‪,q(x) = i=0 bi xi ,p(x) = i=0 ai xi‬‬
‫להציגם כך ע"י הוספת מחוברים עם המקדם ‪ ,0‬סכומם מוגדר כ־‪p(x) +‬‬
‫‪i‬ותמיד אפשר ‪Pn‬‬
‫= )‪ .q(x‬ברור שאם נגדיל את ‪ n‬ע"י הוספת מחוברים עם המקדם‬
‫‪i=0 (ai + bi ) x‬‬
‫קומוטטיבי‬
‫הוא‬
‫החיבור‬
‫כי‬
‫להוכיח‬
‫קל‬
‫הסכום‪.‬‬
‫את‬
‫ישנה‬
‫לא‬
‫זה‬
‫המחוברים‬
‫‪ 0‬לשני‬
‫‪Pn‬‬
‫‪i‬‬
‫הוא‬
‫‪(−a‬‬
‫)‬
‫‪x‬‬
‫והפולינום‬
‫שלו‬
‫הנייטרלי‬
‫האיבר‬
‫הוא‬
‫האפס‬
‫פולינום‬
‫ואסוציאטיבי‪.‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪Pn‬‬
‫מעלת סכום פולינומים‬
‫הנגדי ל־ ‪ . i=0 an xn‬לכל סקלר ‪ t‬קיים )‪= p(t) + q(t‬‬
‫)‪Pn.(p + q)(t‬‬
‫‪,an 6= 0 ,p(x) P‬‬
‫המעלות‪ ,‬כי אם ‪= i=0 ai xi‬‬
‫מעלות שונות היא הגדולה מבין שתי ‪Pm‬‬
‫בעלי ‪Pm‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ q(x) = i=0 bi xi‬ו־ ‪ n > m‬אז ) ‪p(x) + q(x) = i=m+1 (ai + 0) xi + i=0 (ai + bi‬‬
‫אז המחובר עם החזקה המקסימלית הוא ‪(an + 0) xn‬והמקדם שלו הוא ‪.an + 0 = an 6= 0‬‬
‫מעלת הסכום של שני פולינומים בעלי אותה מעלה היא לכל היותר המעלה הזאת‪ ,‬אבל היא‬
‫יכולה גם להיות קטנה יותר והסכום יכול גם להיות פולינום האפס‪.‬‬
‫יחידות הפולינום עבור פונקציה בשדה אינסופי‪ .‬אם )‪ p(x) 6= q(x‬אז ‪p(x) − q(x) 6= 0‬‬
‫ואז לכל ‪ ,d ∈ F‬פרט למספר סופי‪ p(t) − q(t) 6= 0 ,‬ו־)‪ p(t) 6= q(t‬ולכן בשדה אינסופי‬
‫)‪ p(x‬ו־)‪ q(x‬נותנים פונקציות שונות‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬ב־ ‪ Z2‬הפולינומים השונים ‪ x‬ו־ ‪ x2‬נותנים‬
‫אותה הפונקציה‪.‬‬
‫‪Pm‬‬
‫‪Pn‬‬
‫כפל פולינומים‪ .‬אם ‪ p(x) = i=0 ai xi‬ו־ ‪ q(x) = i=0 bi xi‬אז לכל סקלר ‪ c‬קיים‬
‫‪Pn+m P‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ .p(t)q(t) = k=0‬לכן אנו מגדירים‬
‫‪i+j=k ai bj t‬‬
‫‬
‫‬
‫‪Pn+m P‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ .p(x)q(x) = k=0‬ם אחד הכופלים הוא פולינום האפס אז המכפלה‬
‫‪i+j=k ai bj x‬‬
‫‪i=0‬‬
‫מוגדרת כאותו פולינום‪ .‬לכל סקלר ‪ t‬קיים )‪ .(pq)(t) = p(t)q(t‬מעלת המכפלה היא סכום‬
‫מעלות שני הפולינומים‪ .‬הכפל הוא קומוטטיבי ואסוציאטיבי‪ ,‬והוא דיסטריבוטיבי ביחס‬
‫הסקלר ‪ , a‬כלומר ‪ ax0‬אז ‪n = 0‬‬
‫)‪ p(x‬הוא‬
‫לחיבור‪.‬‬
‫‪ P‬אם ‬
‫‪Pm P‬‬
‫‪m‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ aq(x) = k=0‬והתוצאה היא פולינום כמו )‪q(x‬‬
‫ו־ ‪k=0 abx‬‬
‫= ‪i=0,j=k abj x‬‬
‫שכל מקדמיו נכפלו ב־‪ .a‬במיוחד הפולינום ‪ 1‬הוא האיבר הנייטרלי ביחס לכפל‪.‬‬
‫חוג‪ .‬הגדרת החוג היא כמו הגדרת השדה פרט לכך שבחוג איננו דורשים את חילופיות‬
‫הכפל ואת קיום ההופכי לכל איבר שונה מ־‪) 0‬בחלק מן הספרות גם לא דורשים קיום איבר‬
‫נייטרלי לכפל(‪ .‬חוג חילופי הוא חוג המקיים את חוק החילוף לכפל‪ .‬דוגמאות לחוג חילופי‪:‬‬
‫כל שדה‪ ,‬חוג המספרים השלמים‪ ,‬חוג הפולינומים מעל שדה כלשהו‪ ,‬חוג השאריות ‪ Zn‬לכל‬
‫‪1‬‬
‫‪ .n ≥ 1‬את האיבר הנייטרלי לכפל )והשונה מ־‪ (0‬מסמנים ב־‪ 1‬איבר ‪ a‬בחוג נקרא הפיך אם‬
‫קיים בחוג איבר ‪ b‬כך ש־ ‪.ab = 1‬‬
‫דוגמאות‪ :‬בחוג השלמים האיברים ההפיכים הם ‪ 1‬ו־‪ ,−1‬בחוג הפולינומים כל הפולינומים‬
‫ממעלה ‪ ,0‬כלומר כל הסקלרים פרט ל־‪ ,0‬בחוג ‪ Zn‬כל המספרים ‪ 1 ≤ k < n‬הזרים ל־‪.n‬‬
‫איבר ‪ a‬מחלק איבר ‪ b‬בחוג אם קיים איבר ‪ c‬כך ש ‪ .b = ac‬ברור כי איבר ‪ a‬הפיך מחלק‬
‫כל איבר בחוג‪ .‬איבר ‪ a 6= 0‬בחוג נקרא פריק אם אינו הפיך והוא מכפלה של שני איברים‬
‫לא הפיכים‪ .‬איבר ‪ a 6= 0‬בחוג נקרא אי פריק אם אינו הפיך ואינו פריק‪ .‬האיברים האי‬
‫פריקים בחוג השלמים הם הראשוניים והנגדיים שלהם‪ .‬בחוג הפולינומים כל פולינום ממעלה‬
‫‪ 1‬הוא אי פריק‪ .‬בחוג ‪ Z4‬רק ‪ 2‬הוא אי פריק‪ ,‬בחוג ‪ Z6‬אין איברים אי פריקים ובחוג ‪Z8‬‬
‫האיברים האי פריקים הם ‪ 2‬ו־‪.6‬‬
‫ל־‪ a, b‬בחוג חילופי נסמן ‪ b ∼ a‬אם ‪ b‬היא כפולה של ‪ a‬באיבר הפיך‪ .‬יחס זה הוא יחס‬
‫שקילות‪ .‬אם ‪ b ∼ a‬אז נאמר ש־‪ a‬ו־‪ b‬חברים‪ .‬בשלמים ‪ a‬ו־‪ b‬חברים אםם |‪|b| = |a‬‬
‫ובפולינומים )‪ p(x‬ו־ )‪ q(x‬חברים אםם )‪ q(x‬הוא כפולה של )‪ p(x‬בסקלר שאנו ‪.0‬‬
‫צמצום‪ .‬בחוגים המספרים השלמים והפולינומים אין מחלקי אפס‪ ,‬כלומר אם ‪ ab = 0‬אז‬
‫‪ a = 0‬או ‪ .b = 0‬בחוגים שאין בהן מחלקי אפס אפשר לצמצם בכל איבר שונה מאפס‪ ,‬כי‬
‫אם ‪ c 6= 0‬ו־ ‪ ac = bc‬אז ‪ (a − b)c = 0‬ומכיוון ש־‪ a − b = 0 c 6= 0‬ולכן ‪.a = b‬‬
‫חילוק מספרים עם שארית‪ .‬לכל ‪ d 6= 0‬ו־‪ n‬קיימים ‪ q‬ו־‪ r‬כך ש־ |‪0 ≤ r < |d‬‬
‫ו־ ‪.n = qd + r‬‬
‫חילוק פולינומים עם שארית‪ .‬לפולינומים ‪ p(x), s(x) 6= 0‬קיימים פולינומים )‪)q(x‬המנה(‬
‫ו־)‪) r(x‬השארית( כך שמעלת )‪ r(x‬קטנה ממעלת )‪ s(x‬או ‪r(x) = 0‬‬
‫ו־ )‪ .p(x) = s(x)q(x) + r(x‬הוכחה באינדוקציה על מעלת )‪ .s(x‬האלגוריתם לחישוב )‪q(x‬‬
‫ו־)‪ r(x‬דומה מאוד לאלגוריתם החילוק הארוך של מספרים טבעיים בהצגה עשרונית‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬הסקלר ‪ a‬הוא שורש של הפולינום )‪ p(x‬אםם )‪ (x − a‬מחלק את )‪ ,p(x‬כי אם‬
‫)‪ p(x) = (x−a)q(x‬אז ‪ ,p(a) = (a−a)q(a) = 0‬ובכוון ההפוך‪ ,‬מכיוון שחילוק עם שארית‬
‫נותן ‪ ,p(x) = (x − a)q(x) + r‬היכן ש־‪ r‬סקלר‪ ,‬לכן ‪ p(a) = (a − a)q(a) + r = r‬ואם ‪a‬‬
‫שורש של )‪ p(x‬אז ‪ r = p(a) = 0‬ו־ )‪.p(x) = (x − a)q(x‬‬
‫הפולינומים האי פריקים מעל לשדות השונים‪.‬‬
‫בחוג הפולינומים מעל למרוכבים יש שורש ‪ a‬לכל פולינום )‪ p(x‬ממעלה ≤ ‪ 1‬ולכן הוא מתחלק‬
‫ב־)‪ ,(x − a‬ואם מעלת )‪ p(x‬היא ≤ ‪ 2‬אז )‪ p(x‬הוא פריק‪ .‬כך הפולינומים האי פריקים מעל‬
‫לשדה המספרים המרוכבים הם בדיוק הפולינומים ממעלה ‪.1‬‬
‫בחוג הפולינומים מעל לממשיים הפולינומים האי פריקים הם בדיוק הפולינומים ממעלה ‪1‬‬
‫והפולינומים הריבועיים בעלי דיסקרימיננטה שלילית‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬ברור שכל פולינום ממעלה ‪ 1‬הוא אי פריק‪ .‬פולינום ריבועי )‪ p(x‬עם דיסקרימיננטה‬
‫שלילית אינו פריק‪ ,‬כי אילו היה פריק היה מתפרק למכפלת שני פולינומים ממעלה ‪ 1‬שלהם‬
‫יש שורשים ואלו היו גם שורשי )‪ .p(x‬בכיוון ההפוך‪ ,‬אם )‪ p(x‬הוא פולינום אי פריק ממעלה‬
‫≤ ‪ 2‬אז יש לו שורש מרוכב ‪ a‬שאינו ממשי ו־)‪ p(x) = (x − a)q(x‬עבור )‪ q(x‬מתאים‪.‬‬
‫הצבת הצמוד ‪ a‬של ‪ a‬ל־‪ x‬נותנת )‪ ,p(a) = (a − a)q(a‬ומכיון ש־‪ a − a 6= 0‬לכן ‪q(a) = 0‬‬
‫ו־‪ a‬הוא שורש של )‪ .q(x‬לכן ‪ x − a‬מחלק את )‪ q(x‬ו־)‪ (x − a)(x − a‬מחלק את )‪.p(x‬‬
‫‪ (x − a)(x − a) = x2 − (a + a)x + aa‬הוא פולינום ממשי ואם מעלת )‪ p(x‬היא ≤ ‪ 3‬אז‬
‫)‪ p(x‬הוא פריק‪.‬‬
‫בחוג הפולינומים מעל לשדה המספרים הרציונליים יש פולינומים אי פריקים מכל מעלה‪,‬‬
‫למשל ‪ xn − p‬כאשר ‪ p‬ראשוני‪ .‬ראה ‪.en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein's_criterion‬‬
‫מחלק משותף והמחלק המשותף המקסימלי )ממ"מ(‪ .‬יהיו ‪ a1 , . . . , ak‬איברים שונים‬
‫מאפס בחוג חילופי‪ d .‬נקרא מחלק משותף שלהם אם הוא מחלק כל אחד מהם‪ d .‬נקרא‬
‫מחלק משותף מקסימלי שלהם אם הוא מחלק משותף שלהם‪ ,‬וכל מחלק משותף ‪ c‬שלהם‬
‫מחלק את ‪ .d‬בחוגים חילופיים ללא מחלקי אפס הממ"מ של קבוצת איברים הוא יחיד עד‬
‫‪2‬‬
‫כדי כפל באיבר הפיך‪.‬‬
‫ממ"מ‪.‬‬
‫יש‬
‫‪0‬‬
‫את‬
‫מכילה‬
‫שאינה‬
‫שלמים‬
‫מספרים‬
‫משפט‪ .‬לכל קבוצת‬
‫‪Pk‬‬
‫הוכחה‪ .‬בהינתן ‪ a1 , . . . , ak‬יהי ‪ b‬המספר החיובי המזערי כך ש־ ‪ .b = i=1 ci ai‬ברור‬
‫שכל מחלק משותף של ‪ a1 , . . . , ak‬מחלק את ‪ .b‬לכל ‪ 1 ≤ j ≤ k‬קיימים ‪ q‬ו־|‪0 ≤ r < b‬‬
‫כך ש־ ‪ aj = qb + r‬ואם ‪ b‬אינו מחלק את ‪ aj‬אז ‪r > 0‬‬
‫ו־ ‪ ,0 < r = aj − qb = −qc1 a1 − . . . + (1 − qcj ) aj + . . . − qck ak‬בניגוד להנחת‬
‫מזעריות ‪.b‬‬
‫משפט‪ :‬לכל קבוצת פולינומים שאינה מכילה את פולינום האפס יש ממ"מ‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬בהינתן )‪ p1 (x), . . . , pk (x‬יהי ‪ s(x) 6= 0‬פולינום בעל המעלה הקטנה ביותר מבין‬
‫‪Pk‬‬
‫הפולינומים בעלי הצורה )‪ . i=1 gi (x)pi (x‬ברור שכל מחלק משותף של )‪p1 (x), . . . , pk (x‬‬
‫מחלק את )‪ .s(x‬לכל ‪ 1 ≤ j ≤ k‬קיימים פולינומים )‪ q(x‬ו־)‪ r(x‬כך ש־)‪ r(x‬הוא פולינום‬
‫האפס או פולינום ממעלה קטנה ממעלת )‪ s(x‬ו־ )‪ .pj (x) = q(x)s(x) + r(x‬אם ‪r(x) = 0‬‬
‫אז )‪ s(x‬מחלק את )‪ .pj (x‬אחרת קיים‬
‫)‪0 6= r(x) = pj (x) − q(x)s(x‬‬
‫)‪= −q(x)g1 (x)p1 (x) − . . . + (1 − gj (x)pj (x)) pj (x) − . . . − q(x)gk (x)pk (x‬‬
‫בסתירה למזעריות המעלה של )‪.s(x‬‬
‫חישוב הממ"מ של מספרים ופולינומים‪ .‬הממ"מ של שני מספרים חיוביים או פולינומים‬
‫מחושב בעזרת האלגוריתם של אוקלידס‪ ,‬שהוא חישוב ברקורסיה על הגדול שבין המספרים‪,‬‬
‫או בעל המעלה הגדולה מבין שני הפולינומים‪ .‬צעד הרקרסיה בנוי על חילוק עם שארית‪.‬‬
‫אם ‪ a > b‬או שמעלת ‪ a‬גדולה או שווה למעלת ‪ b‬אז עושים חילוק עם שארית ‪.a = bq + r‬‬
‫המחלקים המשותפים של ‪ b‬ו־‪ r‬הם בדיוק אלו של ‪ a‬ו־‪ b‬לכן הממ"מ של ‪ a‬ו־‪ b‬הוא הממ"מ‬
‫של ‪ b‬ו־‪ r‬וכך ירדנו במספר או במעלת הפולינום‪ .‬את הממ"מ של יותר משני מספרים או‬
‫פולינומים אמו מחשבים ברקורסיה על מספר המשתתפים‪ ,‬כי הממ"מ של ‪ a1 , . . . , an‬הוא‬
‫הממ"מ של ‪ a, . . . , an−1‬ו־ ‪.an‬‬
‫ראשוניות האיברים האי פריקים‪ .‬משפט‪ :‬בחוג חילופי בו יש ממ"מ לכל שני איברים כל‬
‫איבר אי פריק ‪ c‬הוא ראשוני במובן שאם ‪ c‬מחלק מכפלה ‪ ab‬אז הוא מחלק לפחות את אחד‬
‫הכופלים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬מכיוון ש־‪c‬הוא אי פריק כל מחלק שלו הוא חבר שלו או הפיך‪ .‬לכן אם ‪ c‬אינו‬
‫מחלק את ‪ a‬אז ממ"מ של ‪ c‬ו־‪a‬הוא ‪1‬ולכן קיימים ‪ d‬ו־‪ e‬בחוג כך ש־ ‪ .1 = da + ec‬לכן‬
‫‪ .b = dab + ecb‬מכיוון ש־‪ c‬מחלק את ‪ ab‬הוא מחלק את אגף ימין של שוויון זה‪ ,‬ולכן הוא‬
‫מחלק את ‪.b‬‬
‫‪Qn‬‬
‫ממשפט זה נובע‪ ,‬באינדוקציה על ‪ ,n‬שאם ‪ c‬מחלק את המכפלה ‪ i=1 ai‬אז הוא מחלק‬
‫לפחות את אחד הכופלים‪.‬‬
‫הפריקות היחידה לגורמים אי פריקים‪.‬‬
‫משפט‪ :‬בחוג המספרים השלמים כל מספר בעל ערך מוחלט גדול מ־‪ 1‬הוא מכפלה של אחד‬
‫או יותר מספרים ראשוניים‪ .‬ההוכחה היא באינדוקציה על הערך המוחלט של המספר‪.‬‬
‫משפט‪ :‬בחוג הפולינומים על פולינום ממעלה ‪ 1‬ומעלה הוא מכפלה של אחד או יותר פולינומים‬
‫אי פריקים‪ .‬ההוכחה היא באינדוקציה על מעלת הפולינום‪.‬‬
‫הוא מכפלה של איברים אי פריקים‬
‫משפט‪ :‬בכל חוג בו יש ממ"מ לכל שני‬
‫אם איבר ‪Qan‬‬
‫איברים‪Q‬‬
‫‪m‬‬
‫אז מכפלה זאת היא יחידה במובן שאם ‪ a = i=1 ai = i=1 bi‬ו־ ‪a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm‬‬
‫הם אי פריקים אז ‪ n = m‬וקיים סידור ‪ c1 , . . . , cn‬של ‪ b1 , . . . , bn‬כך שלכל ‪1 ≤ i ≤ n‬‬
‫‪ci ∼ ai‬‬
‫באינדוקציה על הקטן מבין ‪ n‬ו־‪ ,m‬נניח לה"כ שזה ‪ n‬אם ‪ n = 1‬אז מכיוון‬
‫הוכחה‪Qm :‬‬
‫ש־ ‪ a1 = i=1 bi‬ו־ ‪ a1‬אי פריק לכן ‪ m = 1‬ו־ ‪ .a1 = b1‬אם ‪ an n > 1‬מחלק את‬
‫‪3‬‬
‫‪Qm‬‬
‫‪ , i=1 bi‬ולכן‪ ,‬לפי מה שהוכחנו‪ ,‬קיים ‪ 1 ≤ j ≤ m‬כך ש־ ‪ an‬מחלק את ‪ .bj‬מכיוון ש־ ‪bj‬‬
‫אי פריק אז ‪ bj = dan‬היכן ש־‪ d‬הפיך‪ .‬יהיו ‪ b1 , . . . , bm e1 , . . . , em−1‬ללא ‘‪ bj‬ואז‬
‫‪Qm−1‬‬
‫‪Qn−1‬‬
‫‪Qn−1‬‬
‫‪ . i=1 ei · bj = i=1 ai · an = i=1 ai · d−1 bj‬צמצום ‪ bj‬משני אגפי שיוויון זה נותן‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪m−1‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪n−2‬‬
‫‪ . i=1 ei = i=1 ai ·d−1 = i=1 ai ·an−1 d−1‬מכיוון שגם ‪ an−1 d−1‬אי פריק אז‪ ,‬לפי‬
‫הנחת האינדוקציה‪ m − 1 = n − 1 ,‬ולכן ‪ .m = n‬בנוסף‪ ,‬לפי הנחת האינדוקציה קיים סידור‬
‫‪ g1 , . . . , gm−1‬של ‪ ,e1, , . . . , , em−1‬שהם ‪ b1 , . . . , bm‬ללא ‘‪ ,bj‬כך שלכל ‪1 ≤ i ≤ m − 2‬‬
‫‪ gi ∼ ai‬ו־ ‪ .gm−1 ∼ an−1 d−1 ∼ an−1‬לכן ‪ g1 , . . . , gm−1 , bj‬הוא סידור של ‪b1 . . . . , bm‬‬
‫כך שלכל ‪ gi ∼ ai 1 ≤ i ≤ m − 1‬ו־ ‪ ,bj ∼ an‬כנדרש‪.‬‬
‫שורשי הפולינום בהצגתו‪ .‬משפט‪ .‬יהיו ‪ c1 , . . . , cm‬שורשים שונים זה מזה של פולינום‬
‫מתוקן )‪ ,p(x‬אז קיימים שלמים חיוביים ‪ k1 , . . . , km‬יחידים ופולינום )‪ q(x‬שאינו מתחלק‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫באף ) ‪(x − ci‬יחיד כך ש־ )‪ .p(x) = (x − c1 ) 1 · · · (x − cm ) m q(x‬עבור ‪1 ≤ i ≤ m‬‬
‫‪ ki‬נקרא הריבוי של השורש ‪ ci‬של )‪ .p(x‬במיוחד‪ ,‬מספר השורשים של פולינום הוא לכל‬
‫היותר כמעלת הפולינום‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי )‪ p(x) = r1 (x) · · · rl (x‬פרוק לגורמים אי פריקים מתוקנים של )‪ .p(x‬מכיוון‬
‫שהגורמים הם מתוקנים פרוק זה הוא יחיד‪ ,‬עד כדי הסדר‪ .‬מכיוון שלכל שורש ‪ c‬של )‪p(x‬‬
‫‪ x − c‬הוא מחלק אי פריק של )‪ p(x‬לכן לכל ‪ (x − ci ) 1 ≤ i ≤ m‬הוא אחד ה־ ‪rj‬־ם‪ .‬יהי‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ ki ≥ 1‬מספר ה־ ‪rj‬־ים שהם ) ‪(x − ci‬לכן )‪ ,p(x) = (x − c1 ) 1 · · · (x − cm ) m q(x‬היכן‬
‫ש־)‪ q(x‬הוא המכפלה של אותם ה־ ‪rj‬־ים השונים מכל אחד מ־ ) ‪.(x − c1 ) , . . . , (x − cm‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫יחידות ההצגה )‪ p(x) = (x − c1 ) 1 · · · (x − cm ) m q(x‬נובעת מיחידות הפרוק של )‪p(x‬‬
‫לפולינומים מתוקנים אי פריקים‪.‬‬
‫‪4‬‬