מבחן מתכונת מספר 3 - אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי

‫מבחן מתכונת מספר ‪3‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה‬
‫נקודות‬
‫נקודות )‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬אופנוע עובר מידי יום את הדרך מ‪ A -‬ל‪ B -‬במשך ‪ 11‬שעות‪ .‬ביום מסוים עבר האופנוע ‪41%‬‬
‫מהדרך במהירות הגדולה פי ‪ 2‬ממהירותו הרגילה ואת יתר הדרך במהירות הקטנה ב‪ 21 -‬קמ"ש‬
‫ממהירותו הרגילה‪ .‬וכך‪ ,‬הגיע האופנוע ליעדו בדיוק לאחר ‪ 11‬שעות‪ ,‬כמידי יום‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מהירותו הרגילה של האופנוע‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע שהאופנוע יצא לדרכו ביום זה בשעה ‪ 6:11‬בבוקר‪ .‬מה היה המרחק בין האופנוע לבין העיר‬
‫‪ B‬בשעה ‪ 9:11‬בבוקר?‬
‫‪ .2‬המעגל‬
‫שמרכזו ברביע הראשון‬
‫‪y‬‬
‫עובר דרך ראשית הצירים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬ואת שטחו של המעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬בראשית הצירים עובר משיק למעגל המקביל למשיק נוסף‬
‫למעגל זה‪.‬‬
‫מצא את משוואות שני המשיקים הללו‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש שקדקודיו הם מרכז המעגל‪,‬‬
‫‪x‬‬
‫נקודות החיתוך עם ציר ה‪ y -‬של המשיק שמצאת בסעיף ב'‬
‫ונקודת החיתוך של משיק זה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪ .3‬בבית ספר מסוים ‪ 75%‬מהתלמידים נעזרים במורה פרטי למתמטיקה ו‪ -‬מהם מצליחים‬
‫בבחינות הבגרות במתמטיקה‪ .‬יתר התלמידים‪ ,‬אינם נעזרים במורה פרטי למתמטיקה ורק‬
‫מחציתם מצליחים בבחינות הבגרות במתמטיקה‪.‬‬
‫בוחרים תלמיד מבית הספר באופן אקראי‪ ,‬חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬התלמיד לא הצליח בבחינות הבגרות במתמטיקה‪.‬‬
‫ב‪ .‬התלמיד לא הצליח בבחינות הבגרות במתמטיקה‪ ,‬אם ידוע שאינו נעזר במורה פרטי למתמטיקה‪.‬‬
‫ג‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 5‬תלמידים מבית הספר ‪ ,‬מה ההסתברות שלפחות אחד מהם נעזר במורה פרטי‬
‫למתמטיקה ולפחות אחד מהם לא נעזר במורה פרטי למתמטיקה?‬
‫‪1‬‬
‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬
‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬
‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫נקודות‬
‫ענה על אחת מבין השאלות ‪ 21( 4-5‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחבתך‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ AD .4‬חוצה את הזווית ‪ BAC‬במשולש ‪,ABC‬‬
‫‪ BE‬חוצה את הזווית ‪ ABD‬במשולש ‪ABD‬‬
‫(ראה ציור)‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫א‪ .‬חשב את היחסים הבאים‪:‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫(‪)2‬‬
‫ב‪ .‬מנקודה ‪ E‬הועבר הקטע ‪ EF‬המקביל לצלע ‪BC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫של משולש ‪ F , ABC‬נקודה על הצלע ‪AB‬‬
‫(ראה ציור)‪.‬‬
‫(‪ )1‬הוכח כי משולש ‪ BFE‬שווה שוקיים‪.‬‬
‫(‪ )2‬חשב את היחס בין שטח המשולש ‪ AEF‬לבין שטח המשולש ‪.ADB‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ AB .5‬הוא קוטר במעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬
‫‪ AC‬מיתר במעגל‪ ,‬והזווית הכלואה בין ‪ AC‬לבין ‪AB‬‬
‫היא ‪ AD .α‬מיתר במעגל והזווית הכלואה בין ‪AD‬‬
‫לבין ‪ AB‬היא ‪ .β‬המיתר ‪ CD‬חותך את ‪ AB‬בנקודה ‪E‬‬
‫(ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע את גודלן של ‪ ∢ACD‬ו‪-‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪O‬‬
‫באמצעות ‪ α‬ו‪. β -‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי רדיוס המעגל הוא ‪ 7‬ס"מ‪ .‬הבע באמצעות ‪ α‬ו‪β-‬‬
‫את שטחו של משולש ‪. AEC‬‬
‫‪D‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי שטחו של המשולש שמצאת בסעיף ב' הוא‬
‫וידוע כי‪:‬‬
‫‪ .α‬הוכח כי‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬
‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬
‫‪A‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-8‬לכל שאלה‬
‫נקודות‬
‫נקודות )‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪.6‬‬
‫√‬
‫נתונות שתי הפונקציות‪:‬‬
‫√‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את תחומי העלייה והירידה של כל אחת מהפונקציות (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של כל אחת מהפונקציות עם הצירים‪.‬‬
‫ד‪ .‬במערכת צירים אחת סרטט בקו מלא (‬
‫וסרטט בקו מרוסק (‬
‫) סקיצה של גרף הפונקציה‬
‫) סקיצה של גרף הפונקציה‬
‫ה‪ .‬העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה‬
‫‪.‬‬
‫בנקודה שבה‬
‫והעבירו ישר אחר המשיק לגרף הפונקציה‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫בנקודה שבה‬
‫‪.‬‬
‫(‪ )1‬מצא את השיעורים של נקודת המפגש בין המשיקים‪.‬‬
‫(‪ )2‬מצא את שטח המשולש המוגבל על ידי המשיקים ועל ידי הישר‬
‫‪.7‬‬
‫א‪ .‬מבין כל המלבנים ששטחם‬
‫‪.‬‬
‫סמ"ר ‪ ,‬הבע באמצעות ‪ k‬את היקפו של המלבן שהיקפו מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי קוטר המעגל החוסם את המלבן שהיקפו מינימלי‪ ,‬הוא ‪ 8‬ס"מ‪.‬‬
‫מצא את הערך של ‪. k‬‬
‫‪ .8‬נתונות הפונקציות‬
‫ו‪√ -‬‬
‫√‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של כל אחת מהפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את תחומי העלייה והירידה של כל אחת מהפונקציות‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫נחתכות בנקודה ברביע הראשון ‪ ,‬הצג סקיצה של שתי הפונקציות הללו‬
‫ו‪-‬‬
‫ומצא את נקודת החיתוך שלהן ‪.‬‬
‫‪ ,‬ציר ה‪ , x-‬האנך לציר ה‪ x -‬היורד מנקודת החיתוך שמצאת‬
‫ד‪ .‬השטח המוגבל על ידי‬
‫הוא‬
‫בסעיף ג' והישר‬
‫השטח המוגבל על ידי‬
‫‪ ,‬ציר ה‪ , x-‬האנך לציר ה‪ x -‬היורד מנקודת החיתוך שמצאת‬
‫בסעיף ג' והישר‬
‫הוכח כי‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫הוא‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬
‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫א‪ .‬מהירותו הרגילה של האופנוע היא ‪ 81‬קמ"ש‪.‬‬
‫ב‪ 481 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪ 111 ,‬יח"ש = ‪. S‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫ג‪.‬‬
‫יח"ש‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .3‬א‪. .‬‬
‫ב‪. .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .4‬א‪.2 )1( .‬‬
‫(‪. )2‬‬
‫ב‪ )1( .‬הוכחה‪.‬‬
‫(‪. )2‬‬
‫‪ .5‬א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫∢‪.‬‬
‫∢‪,‬‬
‫‪S‬‬
‫ג‪ .‬הוכחה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬
‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬
‫‪.6‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה של שתי הפונקציות הוא‬
‫יורדת בכל תחום הגדרתה ו‪-‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫עולה בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫חותכת את ציר ה‪ y -‬בנקודות (‬
‫ו‪-‬‬
‫√‬
‫√ ) ו‪( -‬‬
‫) בהתאמה‪.‬‬
‫הנקודה המשותפת לשתי הפונקציות ולציר ה‪ x -‬היא (‪. )5,5‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫ה‪.)8,1( )1( .‬‬
‫(‪ 18 )2‬יח"ר‪.‬‬
‫‪.7‬‬
‫א‪.8k .‬‬
‫ב‪.k = √ .‬‬
‫‪ .8‬א‪ .‬תחום ההגדרה של‬
‫ב‪.‬‬
‫הוא‬
‫יורדת בכל תחום הגדרתה ו‪-‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ושל‬
‫הוא‬
‫‪.‬‬
‫עולה בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫נקודת החיתוך‪.)4,2( :‬‬
‫ד‪ .‬הוכחה‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬
‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬