803- פתרונות מלאים - אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי

‫תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה‬
‫מועד ב'‪ ,‬קיץ תשס"ט ‪ ,‬מיום ‪14/7/2009‬‬
‫שאלון‪035803 :‬‬
‫מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן‪.‬‬
‫שאלה מספר ‪1‬‬
‫נתון‪ .1 :‬הנקודות ‪ A‬ו – ‪ M‬מונחות על הישר‬
‫ברביע הרביעי‪.‬‬
‫‪ .2‬שיעור ה – ‪ x‬של הנקודה ‪ A‬הוא ‪.11‬‬
‫צ"ל‪ :‬א‪ (1) .‬מצא את שיעור ה – ‪ y‬של הנקודה ‪.A‬‬
‫)‪ (2‬מצא את מרחק הנקודה ‪ A‬מראשית הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬עוד נתון‪ .3 :‬מרחק הנקודה ‪ M‬מראשית הצירים הוא‬
‫√‪.‬‬
‫צ"ל‪ :‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.M‬‬
‫ג‪ .‬עוד נתון‪ .4 :‬מעגל שמרכזו ‪ M‬משיק לציר ה – ‪ x‬ולציר ה – ‪.y‬‬
‫צ"ל‪ (1) :‬מצא את רדיוס המעגל שמרכזו ‪.M‬‬
‫)‪ (2‬רשום את משוואת המעגל שמרכזו ‪.M‬‬
‫ד‪ .‬מצא את מרחק הנקודה ‪ A‬מהמרכז ‪.M‬‬
‫א‪ (1) .‬לפי נתונים ‪ 1‬ו – ‪:2‬‬
‫על מנת למצוא את שיעור ה – ‪ y‬של הנקודה ‪ A‬נציב‬
‫במשוואה‬
‫)‪ (2‬נקודת ראשית הצירים היא )‪.(0,0‬‬
‫נמצא את המרחק של הנקודה ‪ A‬מראשית הצירים בעזרת הנקודות‬
‫ו‪-‬‬
‫‪ ,‬ובעזרת הנוסחה למציאת מרחק‪:‬‬
‫√‬
‫המרחק בין הנקודה ‪ A‬לראשית הצירים הוא‬
‫√‬
‫√ יח'‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬
‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬
‫‪:‬‬
‫והמרחק מהנקודה ‪ M‬לראשית הצירים הוא‬
‫ב‪ .‬נתון ששיעורי הנקודה‬
‫√‪,‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫√‬
‫√‬
‫הנקודה ‪ M‬נמצאת‬
‫ברביע הרביעי‬
‫שיעורי הנקודה‬
‫√‬
‫‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫ג‪ (1) .‬המעגל משיק לציר ה – ‪ x‬בנקודה ‪.B‬‬
‫רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה ולכן ערכי הנקודה ‪B‬‬
‫הם )‪ ,(0,-5‬מכך נובע כי אורך הקטע ‪ BM‬שהוא רדיוס‬
‫המעגל שווה ‪.5‬‬
‫)‪ (2‬מצאנו ששיעורי נקודת מרכז המעגל ‪ M‬הם )‪(5,-5‬‬
‫ורדיוס המעגל הוא ‪ ,5‬לכן משוואת המעגל היא‪:‬‬
‫ד‪ .‬נמצא את המרחק ‪ AM‬בעזרת הנקודות‬
‫‪,‬‬
‫ו–‬
‫ובעזרת הנוסחה למציאת מרחק‪:‬‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫המרחק מהנקודה ‪ A‬למרכז המעגל‪ ,‬הנקודה ‪ M‬הוא‬
‫√ יח'‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬
‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬
‫שאלה מספר ‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫נתון‪.1 :‬‬
‫‪ .2‬הנקודה ‪ E‬היא אמצע הקטע ‪.AB‬‬
‫צ"ל‪ :‬א‪ (1) .‬מצא את השיעורים של הנקודה ‪.E‬‬
‫)‪ (2‬מצא את משוואת האנך ל – ‪ AB‬העובר דרך‬
‫הנקודה ‪.E‬‬
‫ב‪ .‬עוד נתון‪ .3 :‬הישר ‪ y=8‬חותך את האנך בנקודה ‪.C‬‬
‫צ"ל‪ :‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫ג‪ .‬הראה כי‬
‫∢‪.‬‬
‫א‪ (1) .‬לפי נתון ‪:1‬‬
‫נמצא את שיעורי הנקודה ‪ E‬בעזרת הנקודות‬
‫‪ ,‬ובעזרת‬
‫ו‪-‬‬
‫הנוסחה לאמצע קטע‪:‬‬
‫)‪ (2‬נמצא תחילה את שיפוע הישר ‪ AB‬בעזרת הנקודות‬
‫‪,‬‬
‫ו‪-‬‬
‫ובעזרת הנוסחה למציאת שיפוע‪:‬‬
‫נתון שהישר ‪ CE‬אנך לישר ‪ AB‬לכן השיפועים של ישרים אלו הופכים ונגדיים זה‬
‫לזה‪ ,‬זאת אומרת‬
‫)‬
‫‪.‬‬
‫(‬
‫‪3‬‬
‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬
‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬
‫נמצא את משוואת האנך ‪ CE‬בעזרת השיפוע‬
‫חותך את האנך ‪ CE‬בנקודה ‪,C‬לכן נשווה בין משוואת האנך ‪CE‬‬
‫ב‪ .‬לפי נתון ‪ 3‬הישר‬
‫לבין הישר‬
‫והנקודה‬
‫‪:‬‬
‫‪:‬‬
‫ג‪ .‬נמצא את שיפוע הישר ‪ AC‬בעזרת הנקודות‬
‫ו‪-‬‬
‫‪ ,‬ובעזרת‬
‫הנוסחה למציאת שיפוע‪:‬‬
‫נמצא את שיפוע הישר ‪ CB‬בעזרת הנקודות‬
‫ובעזרת הנוסחה‬
‫ו‪-‬‬
‫למציאת שיפוע‪:‬‬
‫ניתן לראות שהשיפועים‬
‫תנאי הניצבות ולכן‬
‫)‬
‫הופכיים ונגדיים זה לזה‪ ,‬לכן הם מקיימים את‬
‫ו‪-‬‬
‫∢‪.‬‬
‫(‬
‫‪4‬‬
‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬
‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬
‫שאלה מספר ‪3‬‬
‫נתון‪ .1 :‬שמעון קנה שקיות במבה ושילם בסה"כ ‪ 61‬שקלים‪.‬‬
‫‪ .2‬ראובן קנה ‪ 6‬שקיות במבה יותר משקנה שמעון‪.‬‬
‫‪ .3‬ראובן קיבל הנחה של ‪ 5%‬על כל שקית במבה‪.‬‬
‫‪.4‬ראובן שילם בסך הכול ‪ 74.1‬שקלים‪.‬‬
‫צ"ל‪ :‬א‪ .‬כמה שקיות במבה קנה שמעון?‬
‫ב‪ .‬מהו מחיר כל שקית במבה (לפני ההנחה)?‬
‫א‪ .‬נסמן‪x :‬‬
‫מספר שקיות הבמבה שקנה שמעון‪.‬‬
‫לפי נתון ‪x+6 :2‬‬
‫מספר שקיות הבמבה שקנה ראובן‪.‬‬
‫לפי נתון ‪ 4‬ראובן שילם סה"כ ‪ 74.1‬שקלים‪.‬‬
‫נחשב את מחיר השקיות שקנו ראובן ושמעון ע"י פעולת חילוק‪ :‬מחיר‬
‫כמות (שקיות)‬
‫סה"כ‬
‫מחיר (שקית במבה)‬
‫שמעון‬
‫‪x‬‬
‫‪60‬‬
‫ראובן‬
‫‪x+6‬‬
‫‪74.1‬‬
‫לפי נתון ‪ 3‬ראובן קיבל הנחה של ‪ 5%‬על כל שקית במבה‪:‬‬
‫סה כ‬
‫כמות‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫כל שקית שראובן קנה היא ‪ 0.95‬ממחיר כל שקית ששמעון קנה‪ ,‬לכן‪:‬‬
‫שמעון קנה ‪ 21‬שקיות במבה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מחיר שקית במבה הוא‪:‬‬
‫שקלים‬
‫‪5‬‬
‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬
‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬
‫שאלה מספר ‪4‬‬
‫‪.‬‬
‫נתון‪ .1 :‬נתונה הפרבולה שמשוואתה‬
‫‪ .2‬הישר ‪ y=6‬חותך את הפרבולות בנקודות ‪ A‬ו – ‪.B‬‬
‫צ"ל‪ :‬א‪ .‬מצא את שיעורי ה – ‪ x‬של הנקודות ‪ A‬ו – ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬עוד נתון‪ .3 :‬העבירו ישר שמשוואתו ‪.y=x‬‬
‫‪ .4‬דרך הנקודות ‪ A‬ו – ‪ B‬העבירו ישרים‬
‫המקבילים לציר ה – ‪.y‬‬
‫צ"ל‪ :‬מצא את השטח המוגבל ע"י הפרבולה‪ ,‬על ידי הישר ‪, y=x‬‬
‫על ידי המקבילים לציר ה – ‪ y‬ועל ידי ציר ה – ‪x‬‬
‫(השטח המקווקו בציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬לפי נתונים ‪ 1‬ו – ‪:2‬‬
‫נשווה בין הפרבולה לישר ‪ y=6‬על מנת למצוא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו – ‪:B‬‬
‫√‬
‫ב‪ .‬נחלק את ‪ S‬השטח המבוקש ל – ‪ 2‬שטחים כאשר ציר ה – ‪ y‬מפריד בניהם‪:‬‬
‫‪:‬‬
‫השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה וע"י הישר‬
‫‪+‬‬
‫יח ר‬
‫*‬
‫)‬
‫∫‬
‫(‬
‫(‬
‫)‬
‫השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה וע"י ציר ה ‪:x -‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫‪+‬‬
‫*‬
‫∫‬
‫יח ר‬
‫יח ר‬
‫‪6‬‬
‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬
‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬
‫שאלה מספר ‪5‬‬
‫א‪ .‬מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה – ‪:x‬‬
‫על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה – ‪ x‬נציב ‪:y=0‬‬
‫ב‪ (1) .‬הוכחה כי המשיקים מקבילים זה לזה‪:‬‬
‫נמצא את שיפוע המשיקים בנקודות‬
‫‪:‬‬
‫על מנת למצוא את השיפוע נגזור את הפונקציה‪:‬‬
‫נמצא את משוואת הישרים‪:‬‬
‫והנקודה‬
‫והנקודה‬
‫‪:‬‬
‫‪:‬‬
‫ניתן לראות שהמשיקים מקבילים זה לזה מכיוון שהשיפועים שלהן שווים זה לזה‪,‬‬
‫וניתן גם לראות שאלו שתי משיקים נפרדים מכיוון שהמשוואות שונות זו מזו‪.‬‬
‫)‪ (2‬לפי סעיף ב' )‪ (1‬ניתן לראות שמשוואות המשיקים הם‪:‬‬
‫‪7‬‬
‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬
‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬
‫שאלה מספר ‪6‬‬
‫א‪ .‬מציאת שני המספרים שסכום הריבועים שלהם יהיה מינימלי‪.‬‬
‫נסמן‪x :‬‬
‫המספר הראשון‪.‬‬
‫המספר השני‪.‬‬
‫נבנה את פונקציית המטרה‪:‬‬
‫}‬
‫{‬
‫נמצא את המספר השני‪:‬‬
‫נבדוק את סוג הקיצון ע"י נגזרת שנייה‪:‬‬
‫שני המספרים שסכום הריבועים שלהם הוא מינימלי הם‪.5,5 :‬‬
‫ב‪ .‬סכום הריבועים המינימלי של שני המספרים הוא‪:‬‬
‫הסכום הריבועי המינימלי של המספרים הוא ‪.51‬‬
‫‪8‬‬
‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬
‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬