הפונקציה הריבועית

‫דף עבודה במתמטיקה לכיתה ט – רמה א ■ הפונקציה הריבועית ■‬
‫‪04-8200929‬‬
‫‪28/01/2015‬‬
‫דף עבודה‬
‫הפונקציה הריבועית‬
‫)ייצוגים שונים(‬
‫)‪ ( i ) (1‬פשטו את הפונקציות הריבועיות הבאות ורשמו אותן בצורה‬
‫‪2‬‬
‫‪.( a  0 ) y  a x  b x  c‬‬
‫) ‪ ( ii‬רשמו מהם הפרמטרים ‪. c , b , a‬‬
‫‪y  3 ( x  3)2  2‬‬
‫)ב(‬
‫)‪y  (1  2 x)  2  ( 2  x‬‬
‫)ד(‬
‫‪y  2 ( x 2  5 x)  5 x 2‬‬
‫)ו(‬
‫)א(‬
‫)ג(‬
‫)ה(‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y  4 ( x  1)2  6‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪y  ( x  6)  1  ( x  6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y  42 x  721x  14‬‬
‫)‪ (2‬נתונה הפונקציה הריבועית‪. y  ( x  5)  3 :‬‬
‫)א( מהי משוואת ציר הסימטריה של הפרבולה ?‬
‫)ב( מהם שיעורי נקודת הקדקוד ?‬
‫)ג( האם הנקודה )‪ (6, 20‬נמצאת על גרף הפונקציה ? נמקו‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫)ד( רשמו את הפונקציה בצורה סטנדרטית ) ‪.( y  a x  b x  c‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ (3‬נתונה הפונקציה הריבועית‪. y  2 x  b x  4 :‬‬
‫הנקודה )‪ (1, 9‬נמצאת על גרף הפונקציה‪.‬‬
‫)א( חשבו את ‪. b‬‬
‫)ב( מהי נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה‪? y -‬‬
‫)ג( מהי משוואת ציר הסימטריה ?‬
‫)ד( מהם שיעורי נקודות האפס של הפונקציה ?‬
‫)ה( עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה יורדת ?‬
‫)ו( עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה חיובית ?‬
‫‪2‬‬
‫)‪ (4‬נתונה הפונקציה הריבועית ‪. y  x  2 x  c‬‬
‫הנקודה )‪ (3, 9‬נמצאת על גרף הפונקציה‪.‬‬
‫)א( חשבו את ‪ c‬ורשמו את הפונקציה המתקבלת אחרי הצבתו‪.‬‬
‫)ב( מהם שיעורי נקודת הקדקוד של הפרבולה ?‬
‫)ג( רשמו שיעורי שתי נקודות הנמצאות על גרף הפונקציה‪.‬‬
‫)ד( מהי משוואת ציר הסימטריה ?‬
‫)ה( באיזה רביע נמצאת נקודת הקדקוד של הפרבולה ?‬
‫)ו( מהם שיעורי נקודות האפס של הפונקציה ?‬
‫)ז( סרטטו גרף סכמתי של הפונקציה וסמנו את נקודות האפס במקומות המתאימים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪www.mishbetzet.co.il‬‬
‫‪04-8200929‬‬
‫‪9.3.0801.2013/2014‬‬
‫עמוד ‪ 1‬מתוך ‪5‬‬
‫דף עבודה במתמטיקה לכיתה ט – רמה א ■ הפונקציה הריבועית ■‬
‫‪04-8200929‬‬
‫)‪ (5‬נתונה פרבולה החותכת את ציר ה‪ x -‬בנקודות )‪. ( 10, 0) , (6, 0‬‬
‫קדקודה נמצא מעל לציר ה‪. x -‬‬
‫)א( האם הפרבולה "ישרה" או "הפוכה" ? נמקו‪.‬‬
‫)ב( מהו ערך ה‪ x -‬של קדקוד הפרבולה ?‬
‫)ג( עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה יורדת ?‬
‫)ד( עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה חיובית ? הסבירו‪.‬‬
‫)‪ (6‬עבור כל אחת מהפרבולות הבאות‪ ,‬מצאו את‪:‬‬
‫) ‪ ( i‬שיעורי נקודת הקדקוד‪.‬‬
‫) ‪ ( ii‬משוואת ציר הסימטריה‪.‬‬
‫) ‪ ( iii‬שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ה‪. y -‬‬
‫) ‪ ( iv‬שיעורי נקודות האפס של הפונקציה‪.‬‬
‫)א(‬
‫)ג(‬
‫‪y  ( x  80) 2‬‬
‫‪y  10 x 2  30 x‬‬
‫)ב(‬
‫)ד(‬
‫‪y  x 2  x  30‬‬
‫‪y  x 2  120‬‬
‫)‪ (7‬נתונה הפונקציה ‪. y  x  2 x  8‬‬
‫)א( מהן נקודות האפס של הפונקציה ?‬
‫)ב( כמה נקודות חיתוך יש לגרף הפונקציה עם הישר בכל אחד מהסעיפים הבאים‪:‬‬
‫) ‪y  10 ( iii‬‬
‫) ‪y  9 ( ii‬‬
‫) ‪y 1 ( i‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ (8‬פתרו את המשוואות הבאות על‪-‬ידי פירוק לגורמים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6 x  18 x  0‬‬
‫)א(‬
‫)ב(‬
‫‪12 x  48  0‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ (9‬פתרו את המשוואות הבאות על‪-‬ידי שימוש בנוסחת השורשים‪.‬‬
‫‪(2 x  1)( x  4)  2 x  8‬‬
‫)ב(‬
‫‪( x  6)( x  5)  10‬‬
‫)א(‬
‫)‪ (10‬עבור כל אחת מהפונקציות הבאות‪:‬‬
‫) ‪ ( i‬רשמו האם הפרבולה "ישרה" או "הפוכה"‪.‬‬
‫) ‪ ( ii‬רשמו את משוואת ציר הסימטריה‪.‬‬
‫) ‪ ( iii‬רשמו האם לפרבולה יש נקודת מינימום או מקסימום‪ ,‬ואת שיעורי הנקודה‪.‬‬
‫) ‪ ( iv‬רשמו את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫) ‪ ( v‬רשמו את שיעורי נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫)א(‬
‫)ג(‬
‫‪www.mishbetzet.co.il‬‬
‫‪y  x2  5x  6‬‬
‫‪y   x2  2 x‬‬
‫‪04-8200929‬‬
‫)ב(‬
‫)ד(‬
‫‪9.3.0801.2013/2014‬‬
‫‪y   x 2  144‬‬
‫‪y   x 2  4 x  12‬‬
‫עמוד ‪ 2‬מתוך ‪5‬‬
‫דף עבודה במתמטיקה לכיתה ט – רמה א ■ הפונקציה הריבועית ■‬
‫‪04-8200929‬‬
‫)‪ (11‬קבעו כמה נקודות חיתוך עם ציר ה‪ x -‬יש לכל אחת מהפרבולות הבאות‪ ,‬מבלי לחשב אותן‪.‬‬
‫נמקו‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y   x  3 x  10‬‬
‫)ב(‬
‫‪y  x  5x  9‬‬
‫)א(‬
‫)‪ (12‬השלימו את הטבלה הבאה עבור המאפניינים שניתן לקרוא מתוך הפונקציה ללא חישובים‪.‬‬
‫רשמו מהם‪.‬‬
‫)‪y  ( x  10) ( x  20‬‬
‫מאפיין‬
‫‪y  ( x  4) 2  5‬‬
‫‪y   x 2  12 x  32‬‬
‫פרבולה "ישרה"‪/‬‬
‫פרבולה "הפוכה"‬
‫שיעורי נקודת‬
‫הקדקוד של‬
‫הפרבולה‬
‫תחום העלייה‬
‫של הפונקציה‬
‫שיעורי נקודות‬
‫האפס‬
‫שיעורי נקודת‬
‫חיתוך עם ציר ה‪y -‬‬
‫התחום בו ערכי‬
‫הפונקציה שליליים‬
‫)‪ (13‬עבור אילו ערכי ‪ k‬יש למשוואות הבאות פתרון יחיד ?‬
‫‪2‬‬
‫‪4 x  12 x  k  0‬‬
‫)א(‬
‫‪2‬‬
‫‪9x  k x  4  0‬‬
‫)ב(‬
‫)‪ (14‬נתונה פרבולה מהצורה ‪. y  a x  b x  c‬‬
‫שיעור ה‪ x -‬של קדקוד הפרבולה הוא ‪. 7‬‬
‫‪2‬‬
‫אחד מפתרונות המשוואה ‪ a x  b x  c  0‬הוא ‪. x  6‬‬
‫)א( מהו הפתרון השני ?‬
‫)ב( האם ניתן למצוא את משוואת הפרבולה ?‬
‫אם לא‪ ,‬נמקו‪ .‬אם כן‪ ,‬מצאו את המשוואה ואת ערך ה‪ y -‬של קדקוד הפרבולה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ (15‬נתונה הפונקציה הריבועית )‪. y  ( 2 x  4)( x  6‬‬
‫)א( מהם שיעורי נקודת הקדקוד של הפרבולה ?‬
‫)ב( האם זו נקודת מינימום או מקסימום ?‬
‫)ג( מהי משוואת ציר הסימטריה ?‬
‫‪2‬‬
‫)ד( האם הפרבולה "צרה" ‪" /‬רחבה" יותר ביחס לפרבולה ‪ ? y  x‬נמקו‪.‬‬
‫)ה( רשמו את הפונקציה הנתונה בצורה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y  a ( x  p)  k‬‬
‫) ‪( ii‬‬
‫‪y  a x2  b x  c‬‬
‫)‪(i‬‬
‫‪www.mishbetzet.co.il‬‬
‫‪04-8200929‬‬
‫‪9.3.0801.2013/2014‬‬
‫עמוד ‪ 3‬מתוך ‪5‬‬
‫דף עבודה במתמטיקה לכיתה ט – רמה א ■ הפונקציה הריבועית ■‬
‫‪04-8200929‬‬
‫)‪ (16‬עבור אילו ערכי ‪ k‬יש למשוואה ‪ x  6 x  2 k  4  0‬שני שורשים שונים ?‬
‫‪2‬‬
‫)‪ (17‬עבור אילו ערכי ‪ m‬למשוואה ‪ x  5 x  m  0‬לא יהיו פתרונות כלל ?‬
‫‪2‬‬
‫)‪ (18‬עבור כל אחת מהפונקציות הבאות‪:‬‬
‫) ‪ ( i‬רשמו האם הפרבולה "ישרה" ‪" /‬הפוכה"‪.‬‬
‫) ‪ ( ii‬רשמו את שיעורי נקודת הקדקוד של הפרבולה‪.‬‬
‫) ‪ ( iii‬רשמו את משוואת ציר הסימטריה‪.‬‬
‫) ‪ ( iv‬רשמו את שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ה‪. y -‬‬
‫) ‪ ( v‬רשמו את שיעורי נקודות האפס של הפונקציה‪.‬‬
‫) ‪ ( vi‬רשמו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫) ‪ ( vii‬סרטטו סרטוט סכמתי של גרף הפונקציה‪ ,‬ורשמו בסרטוט את שיעורי נקודות החיתוך‬
‫עם הצירים ואת שיעורי נקודת הקדקוד‪.‬‬
‫‪y   x 2  16‬‬
‫‪y  x 2  22 x  121‬‬
‫‪y  x 2  17 x  70‬‬
‫)‪y  ( x  6)( x  4‬‬
‫)א(‬
‫)ג(‬
‫)ה(‬
‫)ז(‬
‫‪y   x 2  18 x‬‬
‫‪y   x 2  x  12‬‬
‫‪y  ( x  4) 2  4‬‬
‫)‪y  ( x  8)( x  8‬‬
‫)ב(‬
‫)ד(‬
‫)ו(‬
‫)ח(‬
‫בהצלחה!‬
‫תשובות סופיות‬
‫)ב( ‪y  4 x  8 x  10‬‬
‫)‪) ( i ) (1‬א( ‪y  3 x  18 x  29‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)ג( ‪y  3 x 2  5‬‬
‫)ד( ‪y  2 x 2  71‬‬
‫)ה( ‪y  3 x 2  10 x‬‬
‫)ו( ‪y  6 x 2  3 x  2‬‬
‫) ‪) ( ii‬א( ‪a  3 , b  18 , c  29‬‬
‫)ב( ‪a  4 , b  8 , c  10‬‬
‫)ג( ‪a  3 , b  0 , c  5‬‬
‫)ד( ‪a  2 , b  0 , c  71‬‬
‫)ה( ‪a  3 , b  10 , c  0‬‬
‫)‪) (2‬א( ‪x  5‬‬
‫)ב( )‪(5, 3‬‬
‫)‪) (3‬א( ‪b  7‬‬
‫)ב( )‪(0, 4‬‬
‫)ו(‬
‫)ד( ‪y   x 2  10 x  22‬‬
‫)ג( לא‪.‬‬
‫)ג(‬
‫‪ 1 34‬‬
‫‪a  6 , b  3 , c  2‬‬
‫‪x‬‬
‫)ד( )‪(4, 0) , ( 12 , 0‬‬
‫)ו( ‪x   12 , x  4‬‬
‫)ה( ‪x  1 34‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪) (4‬א( ‪) c  24 , y  x  2 x  24‬ב( )‪) ( 1, 25‬ג(‬
‫)ו( )‪(6, 0) , (4, 0‬‬
‫)ה( רביע ‪. III‬‬
‫)ד( ‪x  1‬‬
‫)ז(‬
‫בדקו עם המורה בכיתה‪.‬‬
‫בדקו עם המורה בכיתה‪.‬‬
‫)‪) (5‬א( "הפוכה"‪.‬‬
‫‪www.mishbetzet.co.il‬‬
‫)ב( ‪x  2‬‬
‫‪04-8200929‬‬
‫)ג( ‪x  2‬‬
‫)ד( ‪10  x  6‬‬
‫‪9.3.0801.2013/2014‬‬
‫עמוד ‪ 4‬מתוך ‪5‬‬
‫דף עבודה במתמטיקה לכיתה ט – רמה א ■ הפונקציה הריבועית ■‬
‫) ‪x  80 ( ii‬‬
‫)‪(80, 0‬‬
‫)‪) (6‬א( ) ‪( i‬‬
‫) ‪(0, 6400) ( iii‬‬
‫) ‪(80, 0) ( iv‬‬
‫)‪(0.5, 30.25‬‬
‫)ב( ) ‪( i‬‬
‫) ‪x  0.5 ( ii‬‬
‫) ‪(0, 30) ( iii‬‬
‫) ‪(6, 0) , (5, 0) ( iv‬‬
‫)‪(1.5, 22.5‬‬
‫)ג( ) ‪( i‬‬
‫) ‪x  1.5 ( ii‬‬
‫) ‪(0, 0) , (3, 0) ( iv‬‬
‫) ‪(0, 0) ( iii‬‬
‫) ‪x  0 ( ii‬‬
‫)‪(0,120‬‬
‫)ד( ) ‪( i‬‬
‫‪04-8200929‬‬
‫) ‪(0,120) ( iii‬‬
‫) ‪ ( iv‬אין נקודות אפס‪.‬‬
‫)‪) (7‬א( )‪(4, 0) , (2, 0‬‬
‫)ב( ) ‪ 2 ( i‬נקודות חיתוך‪.‬‬
‫) ‪ ( ii‬נקודת חיתוך אחת‪ 0 ( iii ) .‬נקודות חיתוך‪.‬‬
‫)‪) (8‬א( ‪x1  0 , x2  3‬‬
‫)‪) (9‬א( ‪x1  5 , x2  4‬‬
‫)‪) (10‬א( ) ‪( i‬‬
‫ישרה‪.‬‬
‫) ‪min (2.5, 12.25) ( iii‬‬
‫)ב( ) ‪( i‬‬
‫הפוכה‪.‬‬
‫) ‪max (0,144) ( iii‬‬
‫)ג( ) ‪( i‬‬
‫הפוכה‪.‬‬
‫) ‪max (1,1) ( iii‬‬
‫)ד( ) ‪( i‬‬
‫הפוכה‪.‬‬
‫) ‪max (2,16) ( ii‬‬
‫)‪) (11‬א( אין נקודות חיתוך‪.‬‬
‫)‪(12‬‬
‫)ב( ‪x1  2 , x2  2‬‬
‫)ב( ‪x1  4 , x2   12‬‬
‫) ‪x  2.5 ( ii‬‬
‫) ‪(1, 0) , (6, 0) ( iv‬‬
‫) ‪x  0 ( ii‬‬
‫) ‪(12, 0) , (12, 0) ( iv‬‬
‫) ‪x  1 ( ii‬‬
‫) ‪(0, 0) , (2, 0) ( iv‬‬
‫) ‪x  2 ( ii‬‬
‫) ‪(6, 0) , (2, 0) ( iv‬‬
‫)‪(0, 6‬‬
‫)‪(v‬‬
‫)‪(0,144‬‬
‫)‪(v‬‬
‫) ‪(0, 0) ( v‬‬
‫)‪(0,12‬‬
‫)‪(v‬‬
‫)ב( ‪ 2‬נקודות חיתוך‪.‬‬
‫בדקו עם המורה בכיתה‪.‬‬
‫)‪) (13‬א( ‪k  9‬‬
‫)ב( ‪k   12‬‬
‫)‪) (14‬א( ‪x  8‬‬
‫)ב(‬
‫)‪) (15‬א( )‪(2, 32‬‬
‫)ב( מינימום‪.‬‬
‫)ה( ) ‪y  2 x 2  8 x  24 ( i‬‬
‫בדקו עם המורה בכיתה‪.‬‬
‫)ג( ‪x  2‬‬
‫)ד( "צרה"‪.‬‬
‫) ‪y  2 ( x  2)2  32 ( ii‬‬
‫)‪k  2.5 (16‬‬
‫)‪m  6 14 (17‬‬
‫)‪) (18‬א( ) ‪( i‬‬
‫הפוכה‪.‬‬
‫) ‪(0,16) ( iv‬‬
‫) ‪max (0,16) ( ii‬‬
‫) ‪(4, 0) , (4, 0) ( v‬‬
‫) ‪ ( vi‬תחום עלייה‪ , x  0 :‬תחום ירידה‪. x  0 :‬‬
‫‪www.mishbetzet.co.il‬‬
‫‪9.3.0801.2013/2014‬‬
‫‪y‬‬
‫‪16‬‬
‫) ‪( vii‬‬
‫‪x‬‬
‫)ב( – )ח( בדקו עם המורה בכיתה‪.‬‬
‫‪04-8200929‬‬
‫) ‪x  0 ( iii‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫עמוד ‪ 5‬מתוך ‪5‬‬