כללי גזירה

‫כללי גזירה‬
‫נגזרות של פונקציות‬
‫(‪ n‬טבעי)‬
‫‪ .1‬נגזרת של פונקצית חזקה‬
‫‪n 1‬‬
‫‪ x   n  x‬‬
‫‪n‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ x   5 x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ ‬מקרה פרטי‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x   3x‬‬
‫‪ x   1‬‬
‫‪3‬‬
‫הסבר‪ :‬שיפוע הפונקציה הליניארית ‪f  x   x‬‬
‫הוא ‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫נגזרת הפונקציה ‪ . f  x   :‬ניעזר בחוק החזקות למעריך שלילי ‪ a  n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪:‬‬
‫זו‬
‫נגזרת‬
‫לזכור‬
‫כדאי‬
‫‪.‬‬
‫‪ x 1    x 11   x 2   2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ x‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ ‬נגזרת הפונקציה ‪ . f  x   x‬ניעזר בחוק ‪a m  a n‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪  2  1 2 1 1  2 1 1‬‬
‫‪x  x   x  x   1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2 2 x‬‬
‫‪  2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬דוגמה‪ :‬נגזרת הפונקציה‬
‫‪x x‬‬
‫‪n‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪ .‬כדאי לזכור נגזרת זו‪:‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪xx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪  32 ‬‬
‫‪3  32 1‬‬
‫‪3  52‬‬
‫‪3 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ x   5 ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪x    x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2x x‬‬
‫‪2 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫נגזרת של גודל קבוע ‪-‬‬
‫‪ C   0‬‬
‫הסבר‪ :‬שיפוע הפונקציה הליניארית ‪f  x   c‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ x  2‬‬
‫‪y‬‬
‫נהפוך תחילה את הפונקציה לפונקצית חזקה עם מעריך רציונאלי‬
‫ונגזור ‪-‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 100   0‬‬
‫‪,‬‬
‫הוא ‪( 0‬ישר אופקי)‬
‫‪f  x    5  0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.3‬‬
‫נגזרת הפונקציה המעריכית ‪ -‬הכלל‪:‬‬
‫‪ e x   e x‬‬
‫ובהכללה לכל בסיס ‪ a‬גדול מאפס ‪ a x   a x  ln a :‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫נגזרת הפונקציה הלוגריתמית ‪-‬‬
‫‪1‬‬
‫ובהכללה‪:‬‬
‫‪x ln a‬‬
‫‪log a x  ‬‬
‫‪ ln x  ‬‬
‫(ניתן להוכיח זאת בעזרת הנוסחה לשינוי בסיס)‬
‫כללי גזירה‬
‫‪ k  f   k  f ‬‬
‫א‪ .‬נגזרת של מכפלת פונקציה במס' קבוע ‪-‬‬
‫דוגמה‪ 30 x 5 :‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 5 x   5   x   5  6 x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫ב‪ .‬נגזרת של סכום‪/‬הפרש פונקציות ‪f   g  -‬‬
‫‪ f  g  ‬‬
‫‪ 5 x   7 x 3    5 x   21x 2  5‬‬
‫‪  ‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7x‬‬
‫‪1.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2.  x3  x 2  7 x  6   2 x 2  x  7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ln‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪  x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬נגזרת של מכפלת פונקציות ‪-‬‬
‫הכלל‪:‬‬
‫‪f   g  g  f‬‬
‫‪3.‬‬
‫‪ f  g  ‬‬
‫דוגמה‪ :‬נגזור את הפונקציה ‪ y  7 x 3   x 2  2 x  :‬ב‪ 2 -‬דרכים‪:‬‬
‫‪ .1‬נפתח תחילה סוגריים בנוסחה של ‪ , y‬ואח"כ נגזור את הסכום המתקבל לפי החוקים לעיל‪.‬‬
‫‪y  7 x 3   x 2  2 x   y  7 x 5  14 x 4  y   35 x 4  56 x 3‬‬
‫‪ .2‬נשתמש בכלל הגזירה הנתון למכפלת פונקציות‬
‫מקרא‪:‬‬
‫‪f   21x , g   2 x  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f  7 x , g  x  2x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y  7 x3   x 2  2 x   y  21x 2   x 2  2 x    2 x  2   7 x3 ‬‬
‫‪y  21x 4  42 x3  14 x 4  14 x3  35 x 4  56 x3‬‬
‫שים לב‪ ,‬שלא מתקיים ככלל ‪  f  g   f   g ‬כלומר נגזרת של מכפלה אינה מכפלת הנגזרות!‬
‫‪‬‬
‫‪)  x2   2x ‬‬
‫(למשל‪ x  x   11  1 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫דוגמה נוספת‪ ln x  2 x  ln x  x 2   2 x ln x  x  x  2ln x  1 :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ f  f   g  g   f‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪g‬‬
‫‪g‬‬
‫ד‪ .‬נגזרת של מנת פונקציות ‪ -‬הכלל‪:‬‬
‫דוגמה‪ :‬נגזור את הפונקציה ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪7 x3‬‬
‫‪y 2‬‬
‫‪x  2x‬‬
‫‪f   21x 2 , g   2 x  2‬‬
‫מקרא‪:‬‬
‫‪f  7 x3 , g  x 2  2 x‬‬
‫‪7 x 4  18 x 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪21x 4  42 x3  14 x 4  14 x3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪21x 2  x 2  2 x   2 x  2   7 x 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y ‬‬
‫‪ f  f ‬‬
‫‪   ‬כלומר נגזרת של מנה אינה מנת הנגזרות!‬
‫שים לב‪ ,‬שלא מתקיים ככלל‬
‫‪ g  g‬‬
‫‪ x3 ‬‬
‫‪ x3  3x 2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪)    x  2x    ‬‬
‫(למשל‪ 3x 2 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ex 2x 1  x2  1 2x  x2‬‬
‫‪ x 2  x   2 x  1 e  e x  x‬‬
‫דוגמה נוספת‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫נגזרת של פונקציה מורכבת‬
‫נחזור על נושא הרכבת פונקציות‬
‫פעולת ההרכבה היא פעולה על פונקציות שבה אנו מציבים פונקציה אחת במקום המשתנה הבלתי‬
‫תלוי של פונקציה אחרת‪ .‬למשל נניח כי ‪ f  x   x 2‬ו‪ . g  x   x  1 -‬אם נציב את ‪ g  x ‬במקום‬
‫‪ x‬בנוסחה עבור ‪ , f‬נקבל פונקציה חדשה‪. f  g  x     g  x     x  1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫הגדרה‪ :‬נתונות ‪ 2‬פונקציות ‪ f‬ו‪ . g -‬הפונקציה המוגדרת על ידי ‪ f  g  x  ‬נקראת‬
‫הפונקציה המורכבת של ‪ f‬על ‪. g‬‬
‫ואילו ‪ g  f  x  ‬נקראת הפונקציה המורכבת של ‪ g‬על ‪f‬‬
‫דוגמות נוספות‪.‬‬
‫‪ f  x   x 2  3‬ו‪ g  x   x -‬חשב את ‪ f  g  x  ‬ו‪g  f  x   -‬‬
‫דוגמה ‪ : 2‬נתונות הפונקציות‬
‫‪3 x3 , x  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x2  3‬‬
‫דוגמה ‪ :3‬בטא את ‪ h  x   ln  x 2  1‬כהרכבה של ‪ 2‬פונקציות‬
‫‪ f  g  x   f  g  x    ‬‬
‫‪ g  f  x   g  f  x   ‬‬
‫פתרון כדי למצוא את ‪ h  x ‬עבור ערך נתון של ‪ , x‬אפשר לחשב תחילה את ‪ x 2  1‬ולאחר מכן לחשב‬
‫את הלוגריתם של התוצאה‪ .‬הפונקציה הפנימית (הפעולה הראשונה) היא איפוא ‪g  x   x 2  1 -‬‬
‫הפונקציה החיצונית (הפעולה השניה) היא ‪f  x   ln x -‬‬
‫‪f  g  x    ln  x 2  1  h  x ‬‬
‫נבדוק‪:‬‬
‫נגזרת של פונקציה מורכבת‬
‫כלל‪:‬‬
‫‪ f  g  x     f   g  x    g   x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫נ‪.‬פנימית‬
‫נ‪.‬חיצונית‬
‫נגזרת של פונקציה מורכבת היא הנגזרת החיצונית לפי ‪ g  x ‬מוכפלת בנגזרת הפנימית‪.‬‬
‫כלל גזירה זה נקרא גם "כלל השרשרת" כי גוזרים בשרשרת‪.‬‬
‫דוגמה ‪ :1‬נגזרת הפונקציה ‪y   3 x  5  -‬‬
‫‪4‬‬
‫היא‪:‬‬
‫‪ 3x  5 4   4   3x  5 3  3  12   3 x  5 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמה ‪ :2‬נגזרת הפונקציה ‪y  ln  x 2  1 -‬‬
‫היא‪:‬‬
‫‪ln  x2  1  21   x2  1  21  2 x  22 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x 1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪4‬‬
‫לפניך טבלה ובה כללי גזירה לפונקציות מורכבות‬
‫דוגמה‬
‫נוסחה לחישוב הנגזרת‬
‫‪‬‬
‫‪  6 x  5‬‬
‫‪5 x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  e 3 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪5 x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ f  x ‬‬
‫‪1.‬‬
‫‪f  x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ f  x ‬‬
‫‪f  x‬‬
‫‪f  x‬‬
‫‪ln  f  x  ‬‬
‫‪2.‬‬
‫‪e f  x  f   x ‬‬
‫‪e f  x‬‬
‫‪3.‬‬
‫‪ f  x‬‬
‫‪ 3x  5 4   4   3x  5 3  3  12   3 x  5 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ln 3x2  5x   6 2x  5‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3x  5 x‬‬
‫‪ e3 x‬‬
‫‪‬‬
‫סוג‬
‫הפונקציה‬
‫‪n 1‬‬
‫‪n   f  x ‬‬
‫‪n‬‬
‫נגזרות מסדר גבוה‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫הנגזרת של פונקציה היא פונקציה‪ ,‬ולכן נוכל לגזור אותה‪ .‬למשל ‪f  x   x  f  x   3x -‬‬
‫‪3‬‬
‫אז הפונקציה הנגזרת של ‪ f ‬נתונה על ידי ‪ f   x    3 x 2   6 x -‬‬
‫נקרא לנגזרת של ‪ f ‬הנגזרת השנייה של הפונקציה ‪ , f‬ונסמנה ב‪f  -‬‬
‫‪3‬‬
‫באותו אופן‪  f   x    f    x  1‬וכו' ‪.‬‬
‫דוגמות נוספות‪:‬‬
‫מצא את הנגזרת ה – ‪ 3‬של הפונקציה ‪f  x   3x  2 x  x  4 x  2‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪f  x   3x 4  2 x3  x 2  4 x  2  f   x   12 x3  6 x 2  2 x  4‬‬
‫מצא את הנגזרת ה – ‪ 3‬של הפונקציה ‪f  x   ln x‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪f   x   36 x 2  12 x  2  f 3  x   72 x  12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ f   x    2   x 2 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f  x   ln x  f   x  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪f  3  x   2 x 3 ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ 1‬הסימון של נגזרות מסדר שלוש ומעלה ‪  n  3‬הוא ‪f  ‬‬
‫‪5‬‬