docתורת המספרים ־ הרצאה 16
download 
Report Transcription
תורת המספרים ־ הרצאה 16
תורת המספרים ־ הרצאה 16
24בינואר 2015
תרגיל ,6שאלה 1
nמספר טבעי עבורו קיים שורש פרימיטיבי k .מספר טבעי a .שלם זר ל־ .n
)xk ≡ a ( mod n
תנאי הכרחי ומספיק לפתרון
)φ(n
)a gcd(k,φ(n)) ≡ 1 ( mod n
)∗(
ואז יש בדיוק )) gcd (k, φ(nפתרונות שונים מודולו .n
פתרון
ראשית ,כל פתרון xחייב להיות זר ל־ nכי aזר ל־ .nלכן ,התנאי הכרחי ,כי אם xפתרון ,אז
)φ(n
)φ(n
)a gcd(k,φ(n)) ≡ xk gcd(k,φ(n)) ≡ xt·φ(n) ≡ 1 ( mod n
כאשר ∈ Z
k
))gcd(k,φ(n
= ,tוהמעבר האחרון מתקיים כי xזר ל־ .n
נראה שהתנאי מספיק .נספור פתרונות .נסמן ב־ gשורש פרימיטיבי מודולו .nיהי rכזה ש־
)a ≡ g r ( mod n
1
נחפש פתרון
)x ≡ g t ( mod n
המשוואה נהיית
)g tk ≡ g r ( mod n
הדבר שקול ל־
)))tk ≡ r ( mod (ordn (g) = φ(n
ראשית ,נסמן ב־ )) .d = gcd (k, φ(nאז ,d|rכיוון שלפי )∗(
)φ(n
))≡ 0 ( mod φ(n
d
·r
כלומר,
)r · φ(n
)= l · φ(n
d
עבור lשלם .לכן .r|d
נותר לפתור
))t · k ≡ r ( mod φ(n
עבור המשתנה .t
למשוואה זו בדיוק dפתרונות שונים מודולו ) .φ(nכל פתרון שונה ל־ tמודולו ) φ(nנותן פתרון שונה
ל־ xמודולו .n
תרגיל ,6שאלה 4
נתון a ≥ 2טבעי .נראה שקיימים אינסוף nטבעיים פריקים כך ש־
)an−1 ≡ 1 ( mod n
2
)∗∗(
)כלומר nהוא ראשוני מדומה ,פסאודו־ראשוני לפי הבסיס .(a
ניקח p ≥ 3ראשוני כך ש־ pלא מחלק את .a, a − 1, a + 1בפרט .gcd(a, p) = 1 ,נגדיר
a2p − 1
n= 2
a −1
ונוכיח כי )∗∗( מתקיים.
א.
נראה כי nפריק.
פתרון
a2p − 1
ap − 1 a2 + 1
=
·
a2 − 1
a−1 a+1
=n
שני המוכפלים שלמים )נוסחאות לטור גיאומרטי(.
ב.
הוכח כי n − 1זוגי וכן כי .p|n − 1הסק ש־ 2p|n − 1
הוכחה
a2p − 1
n= 2
)= 1 + a2 + a4 + ... + a2(p−1
a −1
ואז
a is odd
a is even
(
)p − 1 ( mod 2
≡
0
)2(p−1
4
n − 1 = a + a + ... + a
נרשום
2p−2
a2p − a2
)− 1
2 (a
=
a
2
2
a −1
a −1
3
2
=n−1
ולכן
2
)a2 − 1 (n − 1) = a2 ap−1 − 1 ≡ 0 ( mod p
כי gcd(a, p) = 1ולכן ).ap−1 ≡ 1 ( mod p
כיוון ש־ p - a − 1, a + 1נובע .p|n − 1
ג.
הבחן ש־ ) ,a2p ≡ 1 ( mod nומכאן ש־ )∗∗( מתקיים.
הוכחה
מהגדרת :n
)a2p = a2 − 1 n + 1 ⇒ a2p ≡ 1 ( mod n
לכן
)an−1 ≡ 1 ( mod n
כי .2p|n − 1
שארית ריבועית
הגדרה
עבור n ≥ 1טבעי a ,נקרא שארית ריבועית מודולו nאם aזר ל־ nוקיים פתרון ל־
)x2 ≡ a ( mod n
4
סמל לג'נדר
כאשר p ≥ 3ראשוני נסמן
a is a quadratic remainder modulo p
otherwise
(
1
a
=
p
−1
קריטריון אוילר
כאשר p ≥ 3ראשוני ,ו־ aזר ל־ p
p−1
a
)≡ a 2 ( mod p
p
טענה
עבור p ≥ 3ראשוני
(
p2 −1
1
)p ≡ 1, −1 ( mod 8
2
= = (−1) 8
p
)−1 p ≡ 3, −3 ( mod 8
חוק ההדדיות הריבועית של גאוס
לכל p, q ≥ 3ראשוניים
1
p
q
·
)= (−1) 4 (p−1)(q−1
q
p
שימושים
.1
נוכיח שיש אינסוף ראשוניים השווים ל־ −1מודולו .5
5
הוכחה
יהי n ≥ 1טבעי ,ונגדיר
N = 5 (n!)2 − 1
ראשית ,קיים מספר ראשוני המחלק את Nשאינו שווה ל־ 1מודולו ,5כי אחרת ,גם )N ≡ 1 ( mod 5
)שכן קל לוודא שמכפלה של מספרים מהצורה 1 + 5nנותנת מספרים מאותה הצורה( ,וזו סתירה.
שנית ,כל ראשוני pהמחלק את Nמתקיים .p > nכי אחרת) p|n! ,ולכן ,p|(n!)2ולכן ,(p|5(n!)2ולכן
לא את .N
נבחר (p > n ≥ 5) p > nראשוני המחלק את Nואינו שווה ל־ 1מודולו ) 5ראינו שקיים כזה(.
נשים לב לעובדה הבאה:
!
p
p
1
5
(n!)2 ∗∗ 5
=
=
= )·(−1) 4 (5−1)(p−1
·
=
{z
}
p
p
p
| 5
5
!
5 (n!)2
p
1 ∗ N +1
=
=1
=
p
p
=(−1)p−1 =1
כאשר ∗ נובע מהעובדה ש־ ,p|Nו־ ∗∗ נובע מהעובדה שבוודאי ש־ n!2היא שארית ריבועית מודולו .p
לכן pשארית ריבועית מודולו .5מכאן ש־ )) p ≡ 1, −1 ( mod 5קל לבדוק ש־ 2ו־ −2אינם שאריות
ריבועיות מודולו .(5
אבל הנחנו ) ,p 6≡ 1 ( mod 5ולכן ).p ≡ −1 ( mod 5
מצאנו לכל p > n ,nהמקיים ) ,p ≡ −1 ( mod nולכן יש אינסוף ראשוניים השווים ל־ −1מודולו .5
.2
נראה שימוש לחישוב של
2
p
.
א.
יהי q ≥ 3ראשוני כך ש־ p = 4q + 1גם ראשוני .אז 2הוא שורש פרימיטיבי מודולו .p
למשל 2 ,שורש פרימיטיבי מודולו ,13, 29, 53כי 53 = 4 · 13 + 1 ,29 = 4 · 7 + 1 ,13 = 4 · 3 + 1
הוכחה
נדון בסדר של .2צ"ל .ordp (2) = p − 1 = 4q
6
ידוע ש־ ,ordp (2)|p − 1 = 4qולכן
}ordp (2) ∈ {2, 4, q, 2q, 4q
)כי qראשוני(.
ראשית
)22 = 4 6≡ 1 ( mod p
כי
p = 4q + 1 ≥ 3
באותו אופן
)24 = 16 6≡ 1 ( mod p
כי אם
)16 ≡ 1 ( mod p
אז .p|15
נראה כעת כי
)22q 6≡ 1 ( mod p
וינבע
ordp (2) 6= q, 2q
ולכן
ordp (2) = 4q
7
כפי שרצינו.
אכן,
p2 −1
1
2
2
2
= (−1) 8 = (−1) 8 (16q +8q) = (−1)2q +q = −1
≡
p
1
)(p−1
2
כאשר המעבר האחרון מתקיים כי qאי זוגי ,ו־ 2q 2זוגי )ולכן סכומם אי זוגי(.
באופן דומה אפשר להוכיח כי:
ב.
נניח כי
)q ≡ 1 ( mod 4
ראשוני ו־ p = 2q + 1ראשוני ,אז 2הוא שורש פרימיטיבי מודול .p
ג.
נניח כי
)q ≡ −1 ( mod 4
ראשוני ו־ p = 2q + 1ראשוני ,אז ) (−2הוא שורש פרימיטיבי מודול .p
.3הסמל של יעקבי )(Jacobi
יהי nטבעי אי-זוגי ויהי aזר ל־ .nאם
n = p1 · ... · pl
כאשר piראשוניים ,לאו דווקא שונים.
נגדיר
l
Y
a
pi
i=1
8
=
a
n
=2
2q
2
כאשר בצד שמאל זהו סמל יעקבי ,ומצד ימין מכפלה של סמלי לג'נדר.
נהוג להגדיר גם a1 := 1 :ואם gcd(a, n) > 1אז . na := 0
נדון בתכונות סמל יעקובי.
אם ) a ≡ b ( mod nאז = nb
a
n
כי לכל ראשוני pi |nמתקיים
) a ≡ b ( mod pi
ולכן
a
b
=
pi
pi
אם = −1
a
n
,אז aלא שארית ריבועית מודולו .nכי קיים pi |nכך ש־ , pai = −1ואילו
) x2 ≡ a ( mod n) ⇒ x2 ≡ a ( mod pi
אבל אם = 1
a
n
לא נוכל להסיק האם aשארית ריבועית או לא מודולו .n
דוגמה לכך
2
2
2
=
·
·
= (−1)1+3+6 = 1
3
5
7
אבל 2אינו שארית ריבועית מודולו ,105כי ,למשל= −1 ,
2
3
2
3·5·7
.
תכונות נוספות של סמל יעקובי
.1לכל a, bזרים ל־ n ,nאי-זוגי,
a b
n
n
נובע מיד מהתכונה המקבילה של סמל לג'נדר.
9
=
ab
n
=
2
105
.2לכל aזר ל־ ,m · nכאשר m · nאי-זוגי,
a a
a
=
m·n
m
n
נובע מהגדרת סמל יעקובי.
.3עבור nאי-זוגי,
1
)= (−1) 2 (n−1
−1
n
.4
1
2
2
)= (−1) 8 (n −1
n
.5עבור m, nזרים ,אי-זוגיים,
1
)= (−1) 4 (n−1)(m−1
m n
m
n
הוכחת 3,4ו־ 5מסתמכת על הטענה הבאה:
טענה
אם k, lאי-זוגיים אז
1
1
1
)(k · l − 1) ≡ (k − 1) + (l − 1) ( mod 2
2
2
2
הוכחה
נבחין ש־
1
1
1
))(k · l − 1) = (k · l − k − l + 1) = (k · l − 1 − (k − 1) − (k − 1
2
2
2
ולכן הטענה נובעת.
10
הוכחת 3
נרשום
n = p1 · ... · pl
עבור ראשוניים piלאו דווקא שונים.
l
Y
1
=
= )(−1) 2 (pi −1
l
Y
−1
i=1
1
)= (−1) 2 (n−1
)pi −1
Ql
i=1
1
( = (−1) 2
pi
=
i=1
−1
n
Pl
1
)i=1 2 (pi −1
)= (−1
כאשר המעבר הלפני-אחרון נובע מהטענה.
הוכחת 4
l
l
Y
Y
Pl
1
1
1
2
2
2
2
2
=
=
)(−1) 8 (pi −1) = (−1) i=1 8 (pi −1) = (−1) 8 (n −1
n
pi
i=1
i=1
כאשר המעבר האחרון נובע באותו אופן כמו הטענה:
1 2
1 2
1 2 2
≡ p1 · p2 − 1
p1 − 1 +
)p2 − 1 ( mod 2
8
8
8
הוכחת 5
נרשום
n = p1 · ... · pr
m = q1 · ... · qs
כאשר pi , qiראשוניים ,לאו דווקא שונים.
11
m n Y qi Y pj Y qi pj ∗
·
=
·
=
=
n
m
p
q
p
q
j
i
j
i
i,j
i,j
i,j
Y
P 1
1
(p
−1)(q
−1)
i
=
(−1) 4 j
= (−1) i,j 4 (pj −1)(qi −1) =
i,j
1
1
∗∗
= (−1)[ j 2 (pj −1)][ i 2 (qi −1)] =
1 Q
1 Q
1
1
= (−1)[ 2 ( j pj −1)][ 2 ( i qi −1)] = (−1) 2 (n−1)· 2 (m−1)
P
P
. ו־ ∗∗ נובע מהטענה הקודמת,כאשר ∗ זה שימוש בחוק ההדדיות
דוגמה
1711
997
1
357
714
2
357
(996·998)
·
=
=
·
= (−1) 8
=
{z
}
|
997
997
997
997
=−1
1
357
997
= −
=−
· (−1) 4 (356·996) = ... = 1
|
{z
}
997
357
=1
12
