פרק 2:

‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫פרק ‪ - 7‬עיונים נוספים בגרפים המילטוניים‬
‫מבוא לפרק‪:‬‬
‫בפרק זה‪ ,‬נמשיך את הדיון במעגלי ומסילות המילטון‪ .‬תחילה נגדיר ונכיר משפחה של גרפים‬
‫המילטוניים‪ ,‬הקוביה ה‪ n -‬מימדית‪. Qn ,‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫יהא ‪ n‬מספר טבעי‪ .‬הקוביה ה‪ n -‬מימדית‪ Qn ,‬מהווה גרף המוגדר באופן הבא‪:‬‬
‫}}‪ ai ∈ {0,1‬לכל ‪ , V (Qn ) = {(a1 , a2 ,....an ) |1 ≤ i ≤ n‬ושני קודקודים הם שכנים ב‪ Qn -‬אם ורק אם‬
‫הווקטורים ה ‪ n‬מימדים של הקודקודים שלהם זהים פרט לבשיעור אחד‪.‬‬
‫דוגמה ‪:‬‬
‫הקובייה התלת מימדית ) ‪ ,( n = 3‬מפרק ‪.1‬‬
‫נסמן את הקודקודים בהתאמה על ידי ‪:‬‬
‫קודקוד מספר ייצוג כווקטור תלת מימדי‬
‫‪1‬‬
‫)‪(1,0,0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬פרק ‪ - 7‬עמוד ‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(1,1,0‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(1,1,1‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪(1,0,1‬‬
‫‪5‬‬
‫)‪(0,0,0‬‬
‫‪6‬‬
‫)‪(0,1,0‬‬
‫‪7‬‬
‫)‪(0,1,1‬‬
‫‪8‬‬
‫)‪(0,0,1‬‬
‫בדקי‪ ,‬למשל שהקודקודים ‪ 1‬ו‪ 5-‬הם שכנים זה לזה‪ .‬ובכן‪ ,‬הייצוגים המתאימים‪ (1,0,0) ,‬ו‪ , (0,0,0) -‬שונים‬
‫זה מזה רק בשיעור הראשון שלהם‪ .‬כמו כן‪ 1 ,‬ו‪ 3 -‬אינם שכנים ‪,‬ואכן‪ ,‬הייצוג הווקטורי של ‪ (1,1,1) ,3‬הוא‬
‫שונה מ‪ (1,0,0) -‬בשני מקומות‪.‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ .1‬הוכיחי‪. V (Qn ) = 2 :‬‬
‫‪ .2‬הוכיחי‪ Qn :‬גרף רגולרי מדרגה ‪. n‬‬
‫טענה ‪7.1‬‬
‫‪E (Qn ) = n2 n−1‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫ממשפט ‪ , 1.1‬מתקיים‪:‬‬
‫) ‪∑ deg v = 2 E (Qn‬‬
‫‪ .‬מתרגילים ‪ , 1,2‬היות וכל אחד מ ‪ 2 n‬הקודקודים הוא‬
‫‪v∈V‬‬
‫‪n−1‬‬
‫מערכיות ‪ , n‬מקבלים ) ‪ , n.2 n = 2 E (Qn‬זאת אומרת ‪.■ E (Qn ) = n2‬‬
‫המילטוניות ‪: Qn‬‬
‫נראה איך בונים מעגל המילטוני בקובייה‪ V (Q1 ) = {(0), (1)} .‬והצלע היחיד בו > )‪ < (0), (1‬מהווה‬
‫מסילה המילטונית‪ .‬ניעזר במסילה זו כדי לבנות מעגל המילטוני ב ‪. Q2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬פרק ‪ - 7‬עמוד ‪2‬‬
‫})‪ . V (Q2 ) = {(0,0), (0,1), (1,1), (1,0‬נשים לב ששני הקודקודים הראשונים ברשימה של ) ‪ , V (Q2‬דהיינו‬
‫)‪ - (0,0), (0,1‬הם עותקים של קודקודי ‪ Q1‬עם "קידומת" ‪ ,0‬בעוד ששני הקודקודים האחרונים של‬
‫) ‪ V (Q2‬מהווים "תמונת ראי" של שנים הראשונים‪ ,‬אך ה"קידומת ‪ 0‬נהפכה ל‪ .1-‬בדרך זו‪ ,‬נוכל‬
‫"להעתיק" את המסילה ההמילטונית של ‪ Q1‬פעם למחצית הראשונה של הרשימה של ) ‪ , V (Q2‬פעם‬
‫למחצית השנייה של ) ‪ , V (Q2‬ולחבר את שתי החוליות באמצע‪- ,‬הרי )‪ (0,1), (1,1‬הם שכנים ב ‪. Q2‬‬
‫יתר על כן‪ ,‬המסילה נסגרת למעגל‪ ,‬היות ושתי הקצוות‪ (0,0), (1,0) ,‬שונות רק ב"קידומת"‪.‬‬
‫הענין מודגם באיור הבא‪ ,‬דרך המעגל ההמילטוני ‪. ABCDA‬‬
‫באותה אופן‪ ,‬המעגל המילטוני ב ‪ Q2‬ניתן לשימוש ביצירת מעגל המילטוני ב‪: Q3 -‬‬
‫הנה איך‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫חותכים את המעגל במקום כל שהוא על ידי מחיקת צלע וקודקוד קצה‪ .‬נשארת מסילת‬
‫המילטון של ‪. Q2‬‬
‫מוסיפים קידומת ‪ 0‬לכל ‪ 4‬הקודקודים ‪-‬נוצרה מסילה ביניהם‪.‬‬
‫כהמשך לאותם ‪ 4‬הקודקודים‪ ,‬מעתיקים את אותה הסידרה בסדר הפוך‪ ,‬אלא עם קידומות ‪1‬‬
‫במקום ‪ .0‬בכך‪ ,‬מסילה גם מחברת בין ‪ 4‬הקודקודים האחרונים‪.‬‬
‫נשים לב שכמו המעבר מ‪ Q1 -‬ל‪ 2 , Q2 -‬הקודקודים האמצעיים זהים פרט לקידומות שלהם‪,‬‬
‫והוא הדין ל‪ 2 -‬קודקודי הקצה‪ .‬לכן‪ ,‬נוצר מעגל המילטון מצירופם של ‪ 2‬החוליות יחד באמצע‬
‫ובקצוות‪.‬‬
‫לדוגמה‪:‬‬
‫נצא מהמעגל המילטון > )‪ ABCDA- < (0,0), (0,1), (1,1), (1,0), (0,0‬מהאיור‪.‬‬
‫‪ .1‬חותכים אותו על ידי מחיקת הצלע )‪.(DA) (1,0), (0,0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬פרק ‪ - 7‬עמוד ‪3‬‬
‫‪ .2‬מהמסילה > )‪, < (0,0), (0,1), (1,1), (1,0‬ממשיכים לפי ההוראות בסעיפים ‪ 2-4‬כדי ליצור את‬
‫המעגל‬
‫> )‪ , < (0,0,0), (0,0,1), (0,1,1), (0,1,0), (1,1,0), (1,1,1), (1,0,1), (1,0,0), (0,0,0‬הרי הוא המעגל ‪:‬‬
‫>‪< 5-8-7-6-2-3-4-1-5‬באיור הבא של ‪: Q3‬‬
‫משפט ‪7.2‬‬
‫‪ Q1 .1‬המילטוני למצחה‪.‬‬
‫‪ Qn .2‬המילטוני עבור ‪. n ≥ 2‬‬
‫באינדוקציה על ‪. n = V‬‬
‫™ את המקרים ‪, n = 1,23‬כבר הראינו מקודם‪.‬‬
‫™ נניח נכונות עבור ‪ , Qn -‬עלינו לבנות מעגל המילטון עבור ‪. Qn+1‬‬
‫תרגיל‪ :‬המשיכי את ההוכחה!‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬פרק ‪ - 7‬עמוד ‪4‬‬
‫נפנה כעת לשאלה הבאה‪:‬‬
‫ראינו בפרק ‪ 6‬שהגרף השלם מסדר ‪ K n , n‬הוא גרף המילטוני‪.‬‬
‫השאלה היא‪ :‬כמה מעגלי המילטון זרים בצלעות )דהיינו ללא צלעות משותפות בין שני מעגלים‬
‫⎞‪⎛n‬‬
‫שונים( קיימים ב‪ . K n -‬בפרק ‪ 6‬שמנו לב שמעגל המילטון מכיל ‪ n‬צלעות בלבד מבין ⎟⎟ ⎜⎜ הצלעות‬
‫⎠‪⎝2‬‬
‫ב‪. K n -‬‬
‫⎞‪⎛n‬‬
‫⎟⎟ ⎜⎜‬
‫‪⎝ 2⎠ = n −1‬‬
‫‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬מספר המעגלים השונים לא יכול לעלות על‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫תרגיל‪ :‬הוכיחי חסם זה בדרך אחרת‪ :‬דוני בקודקוד כל שהוא‪ ,‬בכמה מעגלי המילטון שונים זרים‬
‫בצלעות הוא יכול להיות )לכל היותר(?‬
‫⎥‪⎢ n − 1‬‬
‫⎢ ? התשובה‬
‫נחזור לשאלה‪ :‬כמה מעגלי המילטון זרים בצלעות קיימים? האם באמת קיימים‬
‫⎦⎥ ‪⎣ 2‬‬
‫היא חיובית‪ ,‬כפי שנראה במשפט הבא‪.‬‬
‫נקדים בהגדרה‪:‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫•‬
‫יהא ‪ G‬גרף‪ .‬זיווג מושלם ב‪ G -‬הוא תת גרף של ‪ G‬המכיל את כל קודקודיו וכך שאין לשתי‬
‫צלעות ב‪ G -‬קודקוד משותף‪.‬‬
‫במילים אחרות‪ ,‬לכל קודקוד של ‪ G‬יש "בן זוג" אחד ויחיד‪ ,‬כמו הדוגמה הבאה‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬פרק ‪ - 7‬עמוד ‪5‬‬
‫נשים לב שלגרף ‪ G‬שרטטנו שלשה זיווגים מושלמים שונים‪ ,‬ויש עוד‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬פרק ‪ - 7‬עמוד ‪6‬‬
‫משפט ‪ 7.3‬יהא ‪ s‬טבעי‪ .‬אזי‪:‬‬
‫‪ K 2 s +1 .1‬מכיל ‪ s‬מעגלים המילטוניים זרים בצלעות‪ .‬מעגלים אלה מכסים את כל צלעות‬
‫‪. K 2 s +1‬‬
‫‪ K 2 s .2‬מכיל ‪ s − 1‬מעגלים המילטוניים זרים בצלעות‪ .‬מעגלים אלה מכסים את כל צלעות ‪K 2 s‬‬
‫פרט ל ‪ s‬צלעות‪ .‬צלעות אלו מהוות זיווג מושלם של ‪. K 2 s‬‬
‫דוגמאות‪ :‬לפנינו דוגמאות של ‪ K n‬עבור ‪. 3 ≤ n ≤ 6‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Kn‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 = 2.1 + 1‬‬
‫‪s =1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4 = 2.2‬‬
‫‪s=2‬‬
‫מספר מעגלי המילטון‬
‫איורים של המעגלים‬
‫זיווג מושלם‬
‫זרים בצלעות‬
‫‪ABCA‬‬
‫‪1‬‬
‫_______________‬
‫‪ABCDA‬‬
‫‪s −1 = 1‬‬
‫‪ABCDE‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5 = 2.2 + 1‬‬
‫‪s=2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬פרק ‪ - 7‬עמוד ‪7‬‬
‫של ‪ s = 2‬צלעות‪{ AC, BD} ,‬‬
_______________
ACEBD
,‫ צלעות‬s = 3 ‫של‬
ABCDEFA
{ AD, BE,CF}
2
ACEBFDA
8 ‫ עמוד‬- 7 ‫ פרק‬ 6 = 2.3
s=3
6
‫תרגיל‪ :‬בדקי שהמשפט מבטיח שהחסם מלעיל למספר המעגלים האפשריים של ‪ , K n‬דהיינו‬
‫⎥‪⎢ n − 1‬‬
‫⎢ אכן מתקבל!‬
‫⎦⎥ ‪⎣ 2‬‬
‫הוכחת משפט ‪ 7.3‬סעיף ‪:1‬‬
‫רעיון ההוכחה‪ :‬בונים מעגל המילטוני "בסיסי" אחד עבור ‪ 2s + 1‬הנקודות באיור הבא‪ .‬כל אחד מ‪-‬‬
‫‪ s − 1‬ה"סיבובים" שלו ‪,‬כל פעם בזווית מרכזית של‬
‫‪π‬‬
‫‪s‬‬
‫‪ ,‬מניב מעגל המילטוני שהוא זר בצלעות לכל‬
‫המעגלים הקודמים‪.‬‬
‫נ סמן את ‪ 2s + 1‬קודקודי ‪ K 2 s +1‬על ידי ‪ . v0 , v1,....v2 s‬נבנה גרף איזומורפי לגרף ‪ K 2 s +1‬באופן הבא‪:‬‬
‫נמקם את ‪ v0‬במרכז מעגל‪ ,‬ואת שאר הקודקודים ‪ v1 ,....v 2 s +1‬במרחקים שווים על היקף אותו מעגל‬
‫כמודגם באיור‪) .‬נזכור ש ‪ K 2 s +1‬מכיל את כל הצלעות בין כל הקודקודים‪ ,‬אך‪ ,‬לשם הבהרת האיור‪ ,‬לא‬
‫נראה את כולן(‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬פרק ‪ - 7‬עמוד ‪9‬‬
‫האיור מראה מעגל המילטוני אחד‪-‬המעגל > ‪ , < v0 , v1 , v 2 s , v 2 , v 2 s −1, ....v s , v s +1 , v0‬אותו נמסן על ידי ‪C1‬‬
‫)בדקי שנוצר בכך מעגל המילטון(‪ .‬את מהמעגלים הבאים נקבל מהמעגל ‪ C1‬באופן הבא‪:‬‬
‫לכל ‪ , 1 ≤ i ≤ s‬המעגל ‪ C i‬מתקבל מ‪ C1 -‬על ידי הגדלת כל אינדקס )פרט לאינדקס ‪ ( v0‬על ידי ‪i − 1‬‬
‫מודולו ‪ . 2s‬כך‪ ,‬למשל‪ ,‬המעגל ‪ C 2‬מתקבל מ‪ C1 -‬על ידי הגדלת כל אינדקס )פרט ל ‪ ( v0‬על ידי ‪1‬‬
‫מודולו ‪ , C 2 =< v0 , v 2 , v1 , v3 , v 2 s , ....v s +1 , v s + 2 , v 0 > . 2s‬וכמו כן‪,‬‬
‫> ‪ , C 3 =< v0 , v3 , v 2 , v 4 , v 2s +1, ....v s +2 , v s +3 , v 0‬וכו' ‪.‬‬
‫נשים לב‪:‬‬
‫בכל מעגל ‪ , C i‬סכום האינדקסים של כל שני קודקודים שכנים )פרט ל ‪ ( v0‬חופף או ל‪ 2i -‬או ל‪2i − 1-‬‬
‫מודולו ‪. 2s‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫‪ s‬מעגלי ההמילטון ‪ C1 ,...., C s‬זרים בצלעות‪.‬‬
‫הוכחת הטענה‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬פרק ‪ - 7‬עמוד ‪10‬‬
‫כי‪ ,‬נניח בשלילה‪ ,‬נניח שקיימים שני מעגלי המילטון כאלה ‪ Ci , C k‬בעלי צלע משותפת ‪ . va vb‬אזי ‪ ,‬היות‬
‫‪⎧2i‬‬
‫ו‪ , va vb ∈ Ci -‬מתקיים )‪(mod 2s‬‬
‫⎨ ≡ ‪ , a + b‬והיות ו‪ , va vb ∈ C k -‬מתקיים‬
‫‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1‬‬
‫⎩‬
‫‪⎧2k‬‬
‫)‪(mod 2s‬‬
‫⎨ ≡ ‪.a+b‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪1‬‬
‫⎩‬
‫)‪⎧a + b ≡ 2i(mod 2s‬‬
‫⎨‬
‫בכל מקרה נובע )‪) , 2i ≡ 2k (mod 2s‬בדקי למה‪-‬למשל‪ ,‬האם ייתכן )‪ ,(? ⎩a + b ≡ 2k − 1(mod 2s‬ולכן‬
‫)‪ , i ≡ k (mod s‬זאת אומרת‪ ,‬המעגלים זהים‪.‬‬
‫לבסוף‪ ,‬העובדה ש‪ s -‬המעגלים הזרים בצלעות מכסים את כל ‪ , K 2 s +1‬נובעת מספירה פשוטה!‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫הוכיחי‪ :‬אם קיימים ‪ s‬מעגלי המילטון של ‪ K 2 s +1‬הזרים בצלעות ‪ ,‬אזי הם מכסים את כל ‪. K 2 s +1‬‬
‫הוכחת משפט ‪ 7.3‬סעיף ‪:2‬‬
‫⎞ ‪⎛ 2s‬‬
‫היות ול‪⎜⎜ ⎟⎟ K 2 s -‬‬
‫⎠ ‪⎝2‬‬
‫⎥ ⎞ ‪⎢ ⎛ 2s‬‬
‫⎥ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎢‬
‫צלעות‪ ,‬עיון בערך השלם של החסם העליון מראה ‪⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎥ = ⎢ 2s(2s − 1) ⎥ = s − 1‬‬
‫⎦⎥‬
‫⎣⎢ ⎥ ‪⎢ 2s‬‬
‫‪4s‬‬
‫⎢‬
‫⎥‬
‫⎢⎣‬
‫⎥⎦‬
‫‪ .‬מכאן ‪,‬אין אפשרות ליותר מ‪ s − 1 -‬מעגלי המילטון זרים בצלעות ב‪. K 2 s -‬‬
‫נצביע על ‪ s − 1‬מעגלי המילטון שונים ב‪ , K 2 s -‬ונראה שאכן הם אכן זרים בצלעות‪.‬‬
‫בדומה לסעיף א' מקודם‪ ,‬נסמן את ‪ 2s‬קודקודי ‪ K 2 s‬על ידי ‪ . v1 ,....v 2 s‬נבנה גרף איזומורפי לגרף ‪K 2 s‬‬
‫באופן הבא‪:‬‬
‫נמקם את הקודקודים ‪ v1 ,....v 2 s‬במרחקים שווים על היקף מעגל כמודגם באיור‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬פרק ‪ - 7‬עמוד ‪11‬‬
‫האיור מראה מעגל המילטון אחד‪-‬המעגל > ‪ , < v1 , v 2 s , v 2 , v 2 s −1, ....v s + 2 v s , v s +1 , v1‬אותו נמסן על ידי ‪C1‬‬
‫)בדקי שנוצר בכך מעגל המילטון(‪ .‬את מהמעגלים הבאים נקבל מהמעגל ‪ C1‬באופן הבא‪ :‬לכל‬
‫‪, 1 ≤ i ≤ s − 1‬המעגל ‪ C i‬מתקבל מ‪ C1 -‬על ידי הגדלת כל אינדקס על ידי ‪ i − 1‬מודולו ‪ . 2s‬כך‪ ,‬למשל‪,‬‬
‫המעגל ‪ C 2‬מתקבל מ‪ C1 -‬על ידי הגדלת כל אינדקס על ידי ‪ 1‬מודולו ‪. 2s‬‬
‫> ‪ , C 2 =< v 2 , v1 , v3 , v 2 s , ....v s +1 , v s + 2 , v 2‬וכמו כן‪ , C 3 =< v3 , v 2 , v 4 , v 2 s +1, ....v s + 2 , v s +3 , v3 > ,‬וכו' ‪.‬‬
‫נשים לב‪ :‬בכל מעגל ‪ , C i‬סכום האינדקסים של כל שני קודקודים שכנים חופף ל‪ 2i -‬או ל‪ 2i − 1 -‬מודולו‬
‫‪. 2s‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫‪ s − 1‬מעגלי ההמילטון ‪ C1 ,...., C s −1‬זרים בצלעות‪.‬‬
‫כי‪ ,‬נניח בשלילה‪ ,‬נניח שקיימים שני מעגלי המילטון כאלה ‪ Ci , C k‬בעלי צלע משותפת ‪ . va vb‬אזי ‪ ,‬היות‬
‫‪⎧2i‬‬
‫ו‪ , va vb ∈ Ci -‬מתקיים )‪(mod 2s‬‬
‫⎨ ≡ ‪ , a + b‬והיות ו‪ , va vb ∈ C k -‬מתקיים‬
‫‪⎩2i − 1‬‬
‫‪⎧2k‬‬
‫)‪(mod 2s‬‬
‫⎨ ≡ ‪.a+b‬‬
‫‪⎩2k − 1‬‬
‫בכל מקרה נובע )בדקי למה!!(‪ , 2i ≡ 2k (mod 2s) ,‬ולכן )‪ , i ≡ k (mod s‬זאת אומרת‪ ,‬המעגלים זהים‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬פרק ‪ - 7‬עמוד ‪12‬‬
‫בכך הוכחנו ש ב‪ s − 1 , K 2 s -‬מעגלי המילטונין זרים בצלעות‪.‬‬
‫מספר הצלעות שנותרו הוא‪ ,‬אם כן‪:‬‬
‫‪= s(2s − 1) − 2s( s − 1) = s‬‬
‫)‪− 2s( s − 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪424‬‬
‫‪3‬‬
‫סךהצלעות במעגלים‬
‫⎞ ‪⎛ 2s‬‬
‫⎟⎟ ⎜⎜‬
‫⎠ ‪2‬‬
‫{⎝‬
‫‪.‬‬
‫מספר הצלעות בגרף השלם‬
‫טענה‪ s :‬הצלעות }‪ , {v1v2 s −2 , v2 v2 s −1 ,......., v s v s −1‬דהיינו אותם צלעות ‪ va vb‬כך ש‬
‫)‪ a + b ≡ 2s − 1(mod s‬לא נמצאות באף אחד מבין המעגלים ‪. C1 ,...., C s −1‬‬
‫הוכחה‪ :‬תרגיל!‬
‫אם כך‪ s ,‬הצלעות }‪ {v1v2 s −2 , v2 v2 s −1 ,.......v s v s −1‬מהווית זיווג מושלם של‬
‫‪■. K 2s‬‬
‫טענה‪ :‬כל בניה של ‪ s − 1‬מעגלי המילטון זרות בצלעות ב‪ K 2 s -‬משאיר זיווג מושלם של ‪. K 2 s‬‬
‫הוכחה‪ :‬תרגיל!‬
‫הדרכה‪ :‬דוני בקודקוד כל שהוא של ‪ K 2 s‬וכן במעגלי המילטון שעוברים דרכו‪....‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬פרק ‪ - 7‬עמוד ‪13‬‬
‫סיכום נושאים ומונחים מפרק ‪:7‬‬
‫•‬
‫הקובייה ‪Qn‬‬
‫•‬
‫המילטוניות הקובייה ‪Qn‬‬
‫•‬
‫זיווג מושלם‬
‫•‬
‫מספר המעגלים ההמילטוניים הזרים בצלעות ב‪K n -‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬פרק ‪ - 7‬עמוד ‪14‬‬