docלוגיקה ותורת הקבוצות ־ פתרון תרגיל בית 1 (2015־2016) ו"עשת ףרוח חלק
download 
Report Transcription
לוגיקה ותורת הקבוצות ־ פתרון תרגיל בית 1 (2015־2016) ו"עשת ףרוח חלק
לוגיקה ותורת הקבוצות ־ פתרון תרגיל בית 1
חורף תשע"ו )2016־(2015
.............................................................................................................
חלק ראשון :שאלות שאינן להגשה
.1נניח בשלילה שקיימת קבוצה Aכך ש־.P (A) ⊆ A
∈ .X = {a ∈ A | a
נתבונן בקבוצה } aקבוצה ו־/ a
מהגדרת הקבוצה Xמתקיים X ⊆ Aולכן מהגדרת קבוצת החזקה מתקיים ).X ∈ P (A
מהנחת השלילה P (A) ⊆ Aומהגדרת הכלה מתקיים .X ∈ A
כעת ,נבדוק האם :X ∈ X
∈ X־ סתירה.
)א( אם נניח כי X :X ∈ Xמקיימת את הגדרת הקבוצה ,Xכלומר X ∈ Aוגם / X
∈ X ∈ A :Xולכן מהגדרת Xצריך להתקיים X ∈ X־ סתירה.
)ב( אם נניח כי / X
∈ Xוזו סתירה ,ולכן לא קיימת קבוצה Aכך ש־.P (A) ⊆ A
כלומר ,קיבלנו כי לא ייתכן X ∈ Xוגם לא ייתכן / X
.2תהי Aקבוצה כלשהי ויהי R ⊆ A × Aיחס דו מקומי.
)א( יהיו S1 , S2 ⊆ A × Aכך ש־ S1 6= S2ו־ S1 , S2הם סגור־ αשל .R
מתכונה 3של סגור־ αשל Rעבור ,T = S2מתקיים .S1 ⊆ S2
מתכונה 3של סגור־ αשל Rעבור ,T = S1מתקיים .S2 ⊆ S1
מהכלה דו כיוונית ,S1 = S2 ,בסתירה לכך ש־ .S1 6= S2
כלומר ,לכל תכונה αיש לכל היותר סגור־ αאחד של .R
)ב( נוכיח ש־ R ∪ IAמקיים את שלושת תנאי הסגור הרפלקסיבי:
R∪IA .iרפלקסיבי :יהי ,a ∈ Aאזי עפ"י הגדרת הקבוצה IAנקבל (a, a) ∈ IAומהגדרת איחוד .(a, a) ∈ R∪IA
:ּR ⊆ R ∪ IA .iiיהי .(a, b) ∈ Rמהגדרת איחוד (a, b) ∈ R ∪ IAומהגדרת הכלה .R ⊆ R ∪ IA
.iiiיהי T ⊆ A × Aכך ש־ Tרפלקסיבי וגם .R ⊆ Tנראה ש־ :R ∪ IA ⊆ T
יהי .(a, b) ∈ R ∪ IAנפריד למקרים עפ"י הגדרת איחוד:
• אם (a, b) ∈ Rאז מההנחה ש־ R ⊆ Tומהגדרת הכלה נקבל .(a, b) ∈ T
• אם (a, b) ∈ IAאז a = bוגם .a, b ∈ Aמכך ש־ Tרפלקסיבי נקבל .(a, b) ∈ T
לכן ,סה"כ מהגדרת הכלה נקבל .R ∪ IA ⊆ T
לכן R ∪ IA ,הוא הסגור הרפלקסיבי של .R
−1
R ∪ RAמקיים את שלושת תנאי הסגור הסימטרי:
)ג( נוכיח ש־
R ∪ R−1 .iסימטרי :יהי .(a, b) ∈ R ∪ R−1נפריד למקרים עפ"י הגדרת איחוד:
• אם (a, b) ∈ Rאז עפ"י הגדרת היחס ההופכי (b, a) ∈ R−1ומהגדרת איחוד .(b, a) ∈ R ∪ R−1
• אם (a, b) ∈ R−1אז עפ"י הגדרת היחס ההופכי (b, a) ∈ Rומהגדרת איחוד .(b, a) ∈ R ∪ R−1
:R ⊆ R ∪ R−1 .iiיהי .(a, b) ∈ Rמהגדרת איחוד (a, b) ∈ R ∪ R−1ומהגדרת הכלה .R ⊆ R ∪ R−1
.iiiיהי T ⊆ A × Aכך ש־ Tסימטרי וגם .R ⊆ Tנראה ש־ :R ∪ R−1 ⊆ T
יהי .(a, b) ∈ R ∪ R−1נפריד למקרים עפ"י הגדרת איחוד:
• אם (a, b) ∈ Rאז מההנחה ש־ R ⊆ Tומהגדרת הכלה .(a, b) ∈ T
• אם (a, b) ∈ R−1אז עפ"י הגדרת היחס ההופכי ,(b, a) ∈ Rמהגדרת הכלה (b, a) ∈ Tומכך ש־ T
סימטרי נובע .(a, b) ∈ T
1
לכן ,סה"כ מהגדרת הכלה .R ∪ R−1 ⊆ T
לכן R ∪ R−1 ,הוא הסגור הסימטרי של .R
) .3א( הוכחה ע"י הכלה דו כיוונית:
⇔
הגדרת הרכבה
קיים b ∈ Bכך ש (b, d) ∈ R2 ◦ R3 :וגם (a, b) ∈ R1
⇔
הגדרת הרכבה
⇔
הגדרת הרכבה
) (a, d) ∈ R1 ◦ (R2 ◦ R3
קיימים b ∈ B, c ∈ Cכך ש (c, d) ∈ R3 :וגם (b, c) ∈ R2וגם (a, b) ∈ R1
(a, d) ∈ (R1 ◦ R2 ) ◦ R3
⇔
הגדרת הרכבה
קיים c ∈ Cכך ש (c, d) ∈ R3 :וגם (a, c) ∈ R1 ◦ R2
)ב( נוכיח באינדוקציה על :i
בסיס :עבור i = 1מתקיים ,Rn+1 = Rn ◦ Rמההגדרה הרקורסיבית הנתונה.
מעבר :עבור :i = k
Rn ◦ Rk
=
הגדרת Rn+1
Rn ◦ Rk−1 ◦ R
=
אסוציאטיביות )סעיף א'(
Rn ◦ Rk−1 ◦ R
=
הנחת האינדוקציה
Rn+k−1 ◦ R
=
הגדרת Rn+1
Rn+k
שימו לב Rn ◦ Rk−1 ◦ R = Rn ◦ Rk−1 ◦ R :נובע מאסוציאטיביות :אף שבנינו את Rn , Rk−1כהרכבות של
יחסים ,אפשר לראות אותם כיחסים חדשים ,שמתאימים ל־ R1 , R2מסעיף א'.
) .4א( נתון.R ⊆ S :
i
i
צ"ל :לכל R ⊆ S ⇐ R ⊆ S : i
נוכיח את הטענה באינדוקציה על
+
:i ∈ N
1
בסיס :עבור R = R ⊆ S = S 1 : i = 1מהנתון.
מעבר :נניח ש־ Ri ⊆ S iונוכיח־ .Ri+1 ⊆ S i+1
קיים b ∈ Bכך ש (b, c) ∈ R :וגם (a, b) ∈ Ri
(a, c) ∈ S i+1
⇒
הגדרת S i+1
(a, c) ∈ S i ◦S
⇒
הגדרת הרכבה
⇒
הגדרת הרכבה
(a, c) ∈ Ri ◦ R
⇒
הגדרת Ri+1
(a, c) ∈ Ri+1
קיים b ∈ Bכך ש (b, c) ∈ S :וגם (a, b) ∈ S i
)ב( נתון.R ⊆ S :
צ"ל :לכל .R ◦ Q ⊆ S ◦ Q :Q ⊆ A × A
יהי :Q ⊆ A × A
קיים b ∈ Aכך ש (b, c) ∈ Q :וגם (a, b) ∈ R
(a, c) ∈ S ◦ Q
⇒
⇒
(a, c) ∈ R ◦ Q
הגדרת הרכבה
קיים b ∈ Bכך ש (b, c) ∈ Q :וגם ⇒ (a, b) ∈ S
הגדרת הרכבה
מהנתון
2
⇒
מהנחת האינדוקציה ומהנתון
)ג( נתון R ⊆ A × A :טרנזיטיבי
צ"ל⊆ Rn ⊆ ... ⊆ R2 ⊆ R :
n+1
+
∀n ∈ N : R
נוכיח את הטענה באינדוקציה על :n
2
בסיס :עבור n = 1ראינו בתרגול 2שמתקיים = R ⊆ R
1+1
.R
מעבר :נניח שהטענה נכונה לכל kכך ש־ ,1 ≤ k < nונוכיח עבור :n
כלומר נניח ש־ Rn ⊆ Rn−1 ⊆ ... ⊆ R2 ⊆ Rונוכיח ש־ ⊆ ... ⊆ R2 ⊆ R
n−1
n
⊆R ⊆R
n+1
.R
מטרנזטיביות ההכלה מספיק להוכיח:Rn+1 ⊆ Rn :
מהנחת האינדוקציה ידועRn ⊆ Rn−1 :
מסעיף ב' נובע כי לכל ,Rn ◦ Q ⊆ Rn−1 ◦ Q :Q ⊆ A × Aובפרט עבור ,Q = Rכלומר.Rn ◦ R ⊆ Rn−1 ◦ R :
מהגדרת Rn+1נקבל ,Rn+1 ⊆ Rn :כנדרש.
) .5א( נוכיח כי ∗ Rטרנזיטיבי.
⇒
קיימים i, j ∈ N+כך ש (b, c) ∈ Rj :וגם (a, b) ∈ Ri
הגדרת הרכבה
∗(a, c) ∈ R
⇒
הגדרת ∗ Rואיחוד גדול
קיימים i, j ∈ N+כך ש(a, c) ∈ Ri+j :
⇒
הגדרת ∗ Rואיחוד גדול
∗(a, b) , (b, c) ∈ R
⇒ קיימים i, j ∈ N+כך ש(a, c) ∈ Ri ◦Rj :
שאלה 3ב'
)ב( נוכיח כי ∗.R ⊆ R
מהגדרת איחוד גדול ∗Ri = R
i∈N
S
⊆ .R = R1
)ג( נוכיח כי לכל יחס Tטרנזיטיבי המכיל את Rמתקיים כי .R∗ ⊆ T
טענת עזר :לכל :Ri ⊆ T ,i ∈ N+
לפי הנתון ,R ⊆ Tולפי שאלה 4א' מתקיים .Ri ⊆ T i
כמו־כן T ,טרנזיטיבי ,ולפי שאלה 4ג' מתקיים .T i ⊆ T
ובסה"כ Ri ⊆ T i ⊆ T ⇒ Ri ⊆ T
כעת נוכיח :R∗ ⊆ T
(a, b) ∈ T
⇒
Ri ⊆ Tמטענת העזר
קיים i ∈ N+כך ש(a, b) ∈ Ri :
⇒
הגדרת ∗ Rואיחוד גדול
∗(a, b) ∈ R
חלק שני :שאלות להגשה
) .6א( הוכיחו/הפריכו :לכל שתי קבוצות Aו־ Bמתקיים ).P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B
הטענה נכונה .הוכחה ע"י הכלה דו כיוונית:
⇔ ∀x ∈ X : x ∈ A ∩ B
הגדרת חיתוך
⇔
הגדרת חיתוך
) X ∈ P (Bוגם )X ∈ P (A
X ⊆A∩B
⇔
הגדרת הכלה
⇔
הגדרת קבוצת חזקה
3
⇔
הגדרת קבוצת חזקה
X ⊆ Bוגם X ⊆ A
)X ∈ P(A) ∩ P(B
)X ∈ P(A ∩ B
⇔
הגדרת הכלה
x ∈ Bוגם ∀x ∈ X : x ∈ A
)ב( טענה P(A ∪ B) = P(A) ∪ P (B) :אם ורק אם A ⊆ Bאו .B ⊆ A
כיוון ראשון ־ נתון A ⊆ B :או .B ⊆ Aנפריד למקרים:
• אם : A ⊆ B
⇔
הגדרת קבוצת חזקה
X⊆B
X ⊆A∪B
⇔
:A⊆B⇒A∪B=Bתרגיל מתרגול +1נתון
)X ∈ P(A) ∪ P (B
⇒
הגדרת איחוד
⇒
X ⊆ Bאו X ⊆ A
הגדרת הכלה
)X ∈ P (A ∪ B
⇔
הגדרת קבוצת חזקה
⇔
הגדרת קבוצת חזקה
X ⊆A∪B
⇔
הגדרת קבוצת חזקה
)X ∈ P (B
) X ∈ P (Bאו )X ∈ P (A
⇔
)X ∈ P(A ∪ B
∀x ∈ X : x ∈ A ∪ B
הגדרת הכלה
⇔
הגדרת איחוד
⇔
הגדרת איחוד
)X ∈ P(A) ∪ P (B
x ∈ Bאו ∀x ∈ X : x ∈ A
• אחרת :B ⊆ A ,הוכחה דומה.
כיוון שני ־ נתון A 6⊆ B :וגם .B 6⊆ A
∈ .b
∈ aוכן קיים b ∈ Bכך ש־/ A
מהנתון קיים a ∈ Aכך ש־/ B
מהגדרת איחוד מתקיים ,a, b ∈ A∪Bמהגדרת הכלה {a, b} ⊆ A∪Bומהגדרת קבוצת חזקה ).{a, b} ∈ P(A∪B
נניח בשלילה שמתקיים ) ,P(A ∪ B) = P(A) ∪ P (Bאז נובע ).{a, b} ∈ P(A) ∪ P (B
מהגדרת איחוד מתקיים ) {a, b} ∈ P(Aאו ) .{a, b} ∈ P (Bנפריד למקרים:
• אם ) :{a, b} ∈ P(Aמהגדרת קבוצת חזקה ,{a, b} ⊆ A :מהגדרת הכלה b ∈ Aבסתירה לבחירתו.
• אם ) :{a, b} ∈ P(Bמהגדרת קבוצת חזקה ,{a, b} ⊆ B :מהגדרת הכלה a ∈ Bבסתירה לבחירתו.
לכן הנחת השלילה שגויה ומתקיים ) P(A ∪ B) 6= P(A) ∪ P (Bכנדרש.
)ג( הוכיחו/הפריכו A ∩ B = ∅ :אם ורק אם ).P(A \ B) ⊆ P(A) \ P(B
הטענה אינה נכונה ,נראה שאם נתון ∅ = A ∩ Bאז לא מתקיים ) P(A \ B) ⊆ P(A) \ P(Bע"י דוגמה נגדית:
• נבחר }.A = {1} , B = {2
• מתקיים ∅ = .A ∩ B
• מתקיים ∅ ⊆ A \ Bולכן מהגדרת קבוצת חזקה ).∅ ∈ P (A \ B
∈ ∅.
מתקיים גם ∅ ⊆ Aולכן ) ,∅ ∈ P (Aוכן ∅ ⊆ Bולכן ) ,∅ ∈ P (Bולכן מהגדרת הפרש )/ P(A) \ P(B
לכן ,מהגדרת הכלה.P(A \ B) 6⊆ P(A) \ P(B) ,
) .7א(
R .iרפלקסיבי :יהי .A ∈ Xמתקיים ,A ⊆ Aולכן לפי הגדרת (A, A) ∈ R ,Rו־ Rרפלקסיבי.
R .iiסימטרי :יהי .(A, B) ∈ Rלפי הגדרת A ⊆ B ,Rאו ,B ⊆ Aלכן ,לפי הגדרת (B, A) ∈ R ,Rו־R
סימטרי.
R .iiiלא טרנזיטיבי :נראה דוגמה נגדית:
א' .נגדיר }}.X = {∅, {1} , {2
ב' .נראה שתנאי הטענה מתקיימים ,כלומר נראה ש־ Xמונוטונית:
• עבור } A = {1מתקיים ש־ ∅, {1} ⊆ Aושניהם שייכים ל־.X
• עבור } A = {2מתקיים ש־ ∅, {2} ⊆ Aושניהם שייכים ל־.X
• עבור ∅ = Aמתקיים ש־ ∅ ⊆ Aוהקבוצה הריקה שייכת ל־.X
ג' .נראה שמסקנת הטענה לא מתקיימת כלומר ש־ Rאינו טרנזטיבי.
לשם כך נראה שמתקיים ,({1} , ∅) , (∅, {2}) ∈ Rאבל שלא מתקיים .({1} , {2}) ∈ R
4
• מתקיים } ,∅ ⊆ {1לכן מהגדרת Rנקבל .({1} , ∅) ∈ R
• בדומה ,מתקיים } ,∅ ⊆ {2לכן .(∅, {2}) ∈ R
• נניח בשלילה שמתקיים :({1} , {2}) ∈ Rמהגדרת Rנובע כי } {1} ⊆ {2או } ,{2} ⊆ {1בסתירה לכך
שאף אחד משניהם לא מתקיים.
כעת נמצא את הסגור הטרנזיטיבי של Rבמפורש .נשתמש בכך שלפי שאלה ,5הסגור הטרנזיטיבי הוא = ?R
· · · ∪ .R ∪ R2 ∪ R3
טענה .R? = X 2 :נוכיח באמצעות הכלה דו כיוונית:
• R? :R? ⊆ X 2מוגדרת כרלציה בינארית מעל ,Xולכן ,R? ⊆ X 2כנדרש.
• ? :X 2 ⊆ Rיהי ,(A, B) ∈ X 2אז A ∈ Xו־.B ∈ X
מתקיים ∅ ⊆ Aולכן מכך ש־ Xמונוטונית נקבל ש־ .∅ ∈ X
מהגדרת Rנקבל ש־.(A, ∅) ∈ R
בדומה ,מתקיים גם ∅ ⊆ Bולכן (∅, B) ∈ Rמהגדרת .R
?
3
2
?
לכן ,מהגדרת הרכבה ולפי הגדרת .(A, B) ∈ R2 ,R2לפי הגדרת Rכאיחוד · · · ∪ ,R = R ∪ R ∪ R
נקבל ש־ ? ,(A, B) ∈ Rכנדרש.
)ב( הטענה לא נכונה .נראה דוגמה נגדית:
.iנגדיר }}.X = {∅, {1} , {2} , {3
.iiנראה שתנאי הטענה מתקיימים ,כלומר נראה ש־ Xמונוטונית :מהגדרת הקבוצה Xשהגדרנו נקבל שאם
A ∈ Xו־ B ⊆ Aאז B = Aאו ∅ = ,Bומכיוון ש־ ∅ ∈ Xנקבל שבכל מקרה .B ∈ X
S
.iiiנראה שמסקנת הטענה אינה מתקיימת כלומר ש־} X ∪ { Xלא מונוטונית:
S
S
S
∈ } ,{1, 2למרות ש־
מתקיים ש־} , X = {1, 2, 3כלומר } {1, 2, 3} ∈ X ∪ { Xאבל }/ X ∪ { X
}.{1, 2} ⊆ {1, 2, 3
) .8א( נוכיח את התנאים הנדרשים מהגדרת הסגור:
T
.iנראה כי Yמקיים את .α
T
מהגדרת Yמתקיים כי Rמקיים את Y ⊆ R ⊆ A2 | αומהנתון כי αנשמרת תחת חיתוך ,נקבל כי Y
מקיים את .α
T
.iiנראה כי .R ⊆ Y
יהי .(a, b) ∈ R
מהגדרת Yלכל S ∈ Yמתקיים כי R ⊆ Sולכן מהגדרת הכלה .(a, b) ∈ S
T
מהגדרת חיתוך גדול מתקיים (a, b) ∈ Y
T
.iiiנראה כי לכל Tהמקיים את αו־ R ⊆ Tמתקיים כי . Y ⊆ T
יהי Tהמקיים את αו־ .R ⊆ T
T
מהגדרת Yמתקיים כי ,T ∈ Yומהגדרת חיתוך גדול נקבל כי . Y ⊆ T
)ב( צריך להראות כי αנשמרת תחת חיתוך ,כלומר ,לכל Rמקיים את X ,X ⊆ R ⊆ A2 | α
T
T
לפי הנתון ,לכל יחס קיים סגור־ ,αובפרט ל־ , Xנסמנו ב־ Sונראה ש־ּ S = Xע"י הכלה דו כיוונית:
T
• : X ⊆ Sנובע מהגדרת הסגור.
T
T
• :S ⊆ Xמהגדרת סגור ,לכל Tהמקיים את αו־ X ⊆ Tמתקיים כי .S ⊆ T
T
לפי הגדרת ,Xכל R ∈ Xמקיים את ,αולפי הגדרת חיתוך גדול מתקיים . X ⊆ R
T
מקיים את .α
כלומר ,לכל .S ⊆ R ,R ∈ X
T
מהגדרת חיתוך גדול ,נקבל כי .S ⊆ X
T
T
משני אלו נובע כי X = Sולכן Xהוא סגור־ ,αובפרט הוא מקיים את α־ על־כן αנשמרת תחת חיתוך.
5
) .9א( Rרפלקסיבי :יהי איבר .x ∈ Nמכיוון ש־X = N
S
נקבל ש־X
S
∈ .x
מהגדרת איחוד נובע שקיים B ∈ Xכך ש־ x ∈ Bולפי הגדרת היחס Rמתקיים .(x, x) ∈ R
R .iסימטרי :יהיו ,(x, y) ∈ Rלכן מהגדרת Rקיים B ∈ Xכך ש־ x, y ∈ Bולכן גם y, x ∈ Bועל־כן מהגדרת
.(y, x) ∈ R ,R
R .iiלא טרנזיטיבי :נראה דוגמה נגדית:
א' .נגדיר }}X = {N \ {0} , N \ {1
S
ב' .נראה שמתקיימים התנאים ,כלומר ש־ . X = Nלשם כך נראה הכלה דו־כיוונית:
S
S
• :N ⊆ Xיהי .n ∈ Nאם n 6= 0אז } n ∈ N \ {0ומהגדרת איחוד גדול .n ∈ Xאחרתn = 0 ,
S
ואז } n ∈ N \ {1ומהגדרת איחוד גדול .n ∈ X
S
S
• : X ⊆ Nיהי ,x ∈ Xמהגדרת איחוד גדול x ∈ N \ {0} ,או } x ∈ N \ {1ובכל מקרה .x ∈ N
ג' .נראה שמסקנת הטענה אינה מתקיימת :נטען כי Rאינו טרנזיטיבי משום ש־ (1, 2) , (2, 0) ∈ Rאך
∈ ).(1, 0
∈ ) .(1, 0לשם כך נראה כי (1, 2) , (2, 0) ∈ Rאך / R
/R
• } 1, 2 ∈ N \ {0ולכן קיים } B = N \ {0שעבורו 1, 2 ∈ Bומהגדרת Rנקבל .(1, 2) ∈ R
• } 2, 0 ∈ N \ {1ולכן קיים } B = N \ {1שעבורו 2, 0 ∈ Bומהגדרת Rנקבל .(2, 0) ∈ R
• נניח בשלילה ש־ ,(1, 0) ∈ Rכלומר קיים B ∈ Xכך ש־ .1, 0 ∈ Bנפריד למקרים:
– אם } B = N \ {0אז } 0 ∈ N \ {0בסתירה להגדרת הפרש.
– אחרת B = N \ {1} ,ולכן } 1 ∈ N \ {1בסתירה להגדרת הפרש.
∈ ).(1, 0
כלומר קיבלנו סתירה ,ולכן בהכרח / R
)ב( הטענה נכונה .יהיו a, b, c ∈ Nכך ש־ ,(a, b) , (b, c) ∈ Rנוכיח .(a, c) ∈ R
לפי הגדרת היחס ,Rקיים Bi ∈ Xכך ש־ a, b ∈ Biוקיים Bj ∈ Xכך ש־ .b, c ∈ Bj
לכן ומהגדרת חיתוך נובע כי .b ∈ Bi ∩ Bj
נתון כי הקבוצות זרות הדדית ולכן אם Bi ∩ Bjאינה הקבוצה הריקה אז בהכרח ,Bi = Bjכלומר a, c ∈ Bi = Bj
ולפי הגדרת היחס .(a, c) ∈ R ,R
)ג( הטענה אינה נכונה .נראה דוגמה נגדית:
.iנגדיר }.X = {{0} , N
.iiנראה שתנאי הטענה מתקיימים:
S
א' .נראה ש־ X = Nע"י הכלה דו־כיוונית:
S
S
• :N ⊆ Xיהי ,n ∈ Nאז ) n ∈ N (∈ Xומהגדרת איחוד גדול .n ∈ X
S
S
• : X ⊆ Nיהי ,x ∈ Xמהגדרת איחוד גדול x ∈ N ,או } x ∈ {0ובכל מקרה .x ∈ N
ב' .נראה ש־ Rטרנזטיבי :יהי .(x, y) , (y, z) ∈ Rמהגדרת Rנקבל .(x, y) , (y, z) ∈ N × N
כלומר מהגדרת מכפלה קרטזית.x, y, z ∈ N ,
כלומר עבור B = Nנקבל ש־ x, z ∈ Bולכן מהגדרת Rנקבל .(x, z) ∈ R
.iiiנראה שמסקנת הטענה אינה מתקיימת ,כלומר נראה שקיימות שתי קבוצות ב־ Xשאינן זרות הדדית :נתבונן
ב־.{0} , N ∈ X
∈ (1וגם שהחיתוך אינו ריק שכן ,0 ∈ {0} ∩ Nלכן הקבוצות
מתקיים שהקבוצות שונות )כי 1 ∈ Nאבל }/ {0
האלו אינן זרות הדדית.
)ד( הסגור הטרנזיטיבי הוא .R∗ = N × N :נוכיח ע"י הכלה דו־כיוונית:
R∗ :R∗ ⊆ N × N .iמוגדר כיחס מעל Nכלומר ,R∗ ⊆ N × N ,כנדרש.
:N × N ⊆ R∗ .iiיהי .(x, y) ∈ N × Nמהגדרת מכפלה קרטזית .x, y ∈ N
S
S
מהנתון X = Nנקבל ש־ x, y ∈ Xומהגדרת איחוד גדול נובע שקיימים B1 , B2 ∈ Xכך ש־∈ x ∈ B1 , y
6
.B2
מהנתון מתקיים 0 ∈ B1 , 0 ∈ B2ולכן מהגדרת .(x, 0) ∈ R, (0, y) ∈ R ,R
∗
מהגדרת הרכבה נקבל (x, y) ∈ R2ומהגדרת ∗ Rנקבל שלכל n ∈ N+מתקיים ,R ⊆ Rכלומר R ⊆ R
ומהגדרת הכלה ∗ ,(x, y) ∈ Rכנדרש.
7
n
2
