! בהצלחה

‫הוצאת מימדים מבעיה‪:‬‬
‫משפט ‪ π‬של בקינגהאם‪:‬‬
‫שיטת פיתרון בעזרת בקינגהאם‪:‬‬
‫לכל משתנה מימדי‪ ,‬מחפשים‬
‫קומבינציה של פרמטרים שנותנת את‬
‫המימד שלו‪ ,‬ובעזרת חלוקה מגדירים‬
‫משתנה חדש חסר‪-‬מימד‪ .‬בעזרת כלל‬
‫השרשרת מציבים את המשתנים‬
‫החדשים לבעיה ולתנאי ההתחלה‪ .‬רצוי‬
‫לבחור צירוף של פרמטרים מאותו סדר‬
‫גודל כמו המשתנה שאותו מנרמלים‪.‬‬
‫נניח שקיימת תלות פיסיקלית בין ‪ n‬גורמים‬
‫בעלי מימד‪ ,‬מן הצורה‬
‫‪R1, …, Rn‬‬
‫רושמים את מטריצת המימדים‪ ,‬ובוחרים עמודות‬
‫בת"ל שלא כוללות את המשתנה אותו רוצים לחלץ‪,‬‬
‫מוצאים את כל הגורמים חסרי המימד‪ ,‬רושמים‬
‫ש"קיימת פונקציה ‪ F‬כך ש‪," F (π1, …, πn −r ) = 0 -‬‬
‫ולבסוף "לפי נתוני הבעיה ולפי משפט בקינגהאם ניתן‬
‫לחלץ את ‪ πi‬מתוך המשוואה"‪ ,‬ומקבלים‬
‫‪ . φ (R1, …, Rn ) = 0‬אזי הביטוי הנ"ל שקול‬
‫לביטוי מן הצורה ‪ , F (π1, …, πn −r ) = 0‬כאשר‬
‫‪ πi‬הם הגורמים חסרי המימד בבעיה ו‪ r -‬זו‬
‫הדרגה של מטריצת המימדים‪.‬‬
‫שיטת פיתרון בעזרת אנליזת דמיות‪:‬‬
‫‪:O Notation‬‬
‫‪. lim f (x ) / g (x ) = M‬‬
‫לבעיה בעזרת כלל השרשרת ומוצאים תנאים על ‪ a, b, c‬כדי שהבעיה תהיה אינווריאנטית ל‪ .scaling-‬אם נקבל שמבין שלושת הפרמטרים‬
‫‪x →x 0‬‬
‫האלה‪ ,‬רק אחד הוא בלתי תלוי )למשל ‪ ( a = c 2 , b = c‬אזי נוכל לצמצם את מספר המשתנים ב‪ . 1 -‬רושמים את משוואת האינווריאנטיות‬
‫ונאמר ש‪ f (x ) = o (g (x ))x →x 0 -‬אם‪:‬‬
‫‪ u (x , y ) = u (ax , by ) / c‬עבור אותם ‪ , a, b, c‬ומגדירים באופן מלאכותי ‪) a = 1/ x‬או ‪ ( b = 1/ y‬ומקבלים שהבעיה תלויה רק ב‪) y -‬או‬
‫‪. lim f (x ) / g (x ) = 0‬‬
‫‪x →x 0‬‬
‫‪ .( x‬נותנים למשתנה שנותר שם חדש‪ ,‬ומציבים את ) ‪ u (x , y‬החדשה למד"ח‪ ,‬ומקבלים מד"ר עבור הפונקציה ‪ φ‬במשתנה היחיד החדש‪.‬‬
‫בעיות ערכים עצמיים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫עבור ‪ , (A + εB ) v = λv‬רושמים את הערך העצמי‬
‫והוקטור העצמי של המטריצה המופרעת בתור טור חזקות ב‪-‬‬
‫‪ ε‬ומציבים למשוואה‪ .‬משתמשים במשפט לפיו למשוואה‬
‫‬
‫ ‬
‫‪ Mx = a‬קיים פיתרון לא טריוויאלי עבור ‪ x‬אם"ם‬
‫‬
‫†‬
‫מתקיים ש‪ . a ⊥ ker {M } -‬מתוך דרישה זו מקבלים את‬
‫המקדמים בפיתוח של הערך העצמי‪ ,‬ופותרים את המשוואה‬
‫המטריצית על מנת למצוא את המקדמים בפיתוח של‬
‫הוקטור העצמי‪ .‬תמיד נקבל דרגת חופש בבחירת המקדם‬
‫הנ"ל‪ ,‬ותמיד נזהה את הוקטור העצמי המקורי של ‪A‬‬
‫בפיתרון הנ"ל‪ ,‬ולכן נתעלם ממנו‪.‬‬
‫מציאת שורשים – פיתוח כללי‪:‬‬
‫רושמים פיתוח אסימפטוטי כללי לפיתרון מהצורה‬
‫… ‪ x (ε) = x1δ1 (ε) + x 2δ2 (ε) +‬תחת הדרישה שיתקיים‬
‫… ≫ ‪ δ1 ≫ δ2‬וכמו כן ‪ x i = O (1) , x i ≠ 0‬לכל ‪. i‬‬
‫מציבים למשוואה‪ ,‬ומשאירים אותה מסודרת )כלומר‪ ,‬לא‬
‫פותחים סוגרים ואוספים איברים(‪ .‬מכל מקדם לוקחים את‬
‫האיבר מהסדר המוביל‪ ,‬ומחפשים את כל הדרכים לקבוע את‬
‫‪ δ1‬כך שנקבל שני איברים לפחות מאותו סדר גודל וכל‬
‫השאר קטנים יותר‪ .‬בוחרים את ‪ , δ1‬מציבים ופותרים עבור‬
‫‪ . x 1‬לאחר מכן לוקחים את כל האיברים הבאים מכל קבוצה‪,‬‬
‫שעדיין לא השתמשנו בהם )כלומר‪ ,‬הם היו זניחים בפיתרון‬
‫הקודם שעשינו עבור ‪ ( x 1‬וחוזרים על התהליך‪.‬‬
‫פיתוח נפוץ‪:‬‬
‫עבור ) ‪ x = x 0 + x1ε + x 2 ε2 + O (ε 3‬מתקיים‪:‬‬
‫) ‪x 2 = x 02 + 2x 0x 1ε + (x 12 + 2x 0x 2 ) ε2 + O (ε 3‬‬
‫) ‪x 3 = x 03 + 3x 02x 1ε + (3x 0x 12 + 3x 02x 2 ) ε2 + O (ε 3‬‬
‫) ‪x 4 = x 04 + 4x 03x 1ε + (6x 02x 12 + 4x 03x 2 ) ε2 + O (ε3‬‬
‫פיתרון בעיות רגולריות‪:‬‬
‫שיטת פואנקרה‪-‬לינדשטט‪:‬‬
‫מניחים שהפיתרון הוא טור חזקות ב‪, ε -‬‬
‫ומציבים למשוואה‪ .‬במקרה הצורך‪ ,‬מפתחים‬
‫גם את איברי המשוואה לטורי חזקות ב‪. ε -‬‬
‫לבסוף משווים מקדמים של חזקות זהות‪,‬‬
‫ומקבלים שורה של מד"רים‪ ,‬שאת תנאי‬
‫ההתחלה שלהם מקבלים מתוך הצבת טור‬
‫הפיתרון לתנאי ההתחלה של הבעיה‬
‫המקורית‪.‬‬
‫עבור משוואה מ הצורה ) ‪ y ′′ + ω02y = ε f (y, y ′, t‬מגדירים משתנה‬
‫‪dx‬‬
‫‪= tan x + C‬‬
‫‪cos2 x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪= − cot x + C‬‬
‫‪sin2 x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪x‬‬
‫‪= ln tan + C‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪2‬‬
‫זמן חדש ‪ , τ = ωt‬כאשר ‪ ω‬הוא טור חזקות ב‪ ε -‬עם איבר מוביל‬
‫‪ . ω0‬מציבים את משתנה הזמן החדש בעזרת כלל השרשרת ומקבלים‬
‫בעיה חדשה עבור ) ‪ . u (τ ) = y (t‬בזמן הפיתרון מאפסים את‬
‫האיברים הסקולריים )אלה שגוררים פתרונות לא מחזוריים או לא‬
‫חסומים( בעזרת בחירה חכמה של מקדמי ‪ ε‬בפיתוח של ‪. ω‬‬
‫מציאת שורשים – שיטת איטרציות‪:‬‬
‫מציאת שורשים – ‪:scaling‬‬
‫מגדירים לבעיה הנתונה משתנה חדש‬
‫‪ x = εαy‬ומציבים למשוואה‪ .‬עוברים‬
‫על כל זוגות המקדמים ומחפשים את‬
‫ערכי ‪ α‬כאלה שעבורם שני מקדמים‬
‫הם מאותו סדר גודל‪ ,‬וכל השאר מסדר‬
‫גודל קטן יותר – כל זאת בהנחה ש‪-‬‬
‫)‪ . y = O (1‬בהחלט ייתכן גם ש‪-‬‬
‫‪ α = 0‬מקיים את התנאי‪ ,‬זה פשוט‬
‫אומר שיש למשוואה גם שורשים‬
‫רגולריים )שהם מסדר יחידה בעצמם(‪.‬‬
‫מתבוננים במשוואה וחושבים האם ייתן פיתרון )‪, x = O (1‬‬
‫‪ . x ≪ 1 , x ≫ 1‬אם )‪ , x ≠ O (1‬מוצאים סדר הגודל הצפוי של הבעיה‪.‬‬
‫לכל מקרה בנפרד‪ ,‬בונים פונקציה )‪ f (x, ε‬מתאימה כך ש‪x = f (x, ε) -‬‬
‫וכך ש‪ f -‬תקיים את משפט נקודת השבת ‪ f ′ (x ) ≤ k -‬עבור ‪. 0 < k < 1‬‬
‫ניתן ורצוי וצריך להשתמש בסדר הגודל שמצאנו עבור ‪ x‬במציאת סדר‬
‫הגודל של הנגזרת‪ .‬בוחרים נקודת התחלה )השורה המשוער של המשוואה(‬
‫ומבצעים איטרציות‪ .‬את התיקון מעריכים בעזרת המשפט גם כן ‪-‬‬
‫) ‪. x − x n ≤ x1 − x 0 k n / (1 − k‬‬
‫הפרעות סינגולריות במד"ר – שכבות גבול‪:‬‬
‫הנחת היסוד‪ :‬ידוע שיש לבעיה פיתרון יחיד‪ .‬עבור הפיתרון החיצוני‪ ,‬מחוץ לשכבת הגבול‪ ,‬פותרים את הבעיה כבעיה רגולרית‬
‫לכל דבר‪ ,‬ונעזרים בתנאי השפה שנמצא מחוץ לשכבת הגבול )במקרה של בעיית התחלה‪ ,‬לפיתרון החיצוני בדרך כלל לא יהיו‬
‫תנאי התחלה(‪ .‬עבור הפיתרון הפנימי‪ ,‬מגדירים משתנה חדש )‪ , ξ = (x − a ) / δ (ε‬כאשר שכבת הגבול נמצאת ב‪x = a + -‬‬
‫)נהוג לבחור את ‪ ξ‬שיהיה חיובי(‪ .‬מציבים בעזרת כלל השרשרת ובוחרים את )‪ δ (ε‬על מנת לקבל בעיה רגולרית )שני‬
‫איברים לפחות מאותו סדר גודל‪ ,‬כל השאר קטנים יותר(‪ ,‬ופותרים תוך שימוש בתנאי השפה ששייך לשכבת הגבול )או בתנאי‬
‫ההתחלה(‪ .‬לפחות באחד מהפתרונות יישאר קבוע‪ ,‬שייקבע מתוך תפירת הפתרונות – רושמים את הפיתרון האסימפטוטי עד‬
‫לסדר ‪ n‬של הפיתרון החיצוני כפונקציה של ‪ , ξ‬ומפתחים לטור ב‪ ε -‬עד לסדר ‪ , m‬רושמים את הפיתרון האסימפטוטי עד‬
‫לסדר ‪ m‬של הפיתרון הפנימי כפונקציה של ‪ , x‬ומפתחים לטור ב‪ ε -‬עד לסדר ‪ . n‬לבסוף משווים את שני הטורים )לפי‬
‫המקדמים של ‪ ,( ε‬כאשר לוקחים בחשבון שניתן להזניח "איברים קטנים אקספוננציאלית" ‪ e −a / ε -‬עבור ‪ . a > 0‬איך‬
‫יודעים היכן שכבת הגבול? עבור בעיות מהצורה ‪ , εy ′′ + ay ′ + by = 0‬שכבת הגבול תהיה משמאל לתחום עבור ‪a > 0‬‬
‫ומימין עבור ‪ . a < 0‬אם המקדם של ‪ y ′‬מחליף סימן‪ ,‬שכבת הגבול תהיה בנקודת ההתאפסות )או שיש שתי שכבות גבול(‪.‬‬
‫אינטגרלים שכדאי לזכור‪:‬‬
‫זהויות טריגונומטריות‪:‬‬
‫∫‬
‫∫‬
‫∫‬
‫‪∫ ln xdx = x ln x − x + C‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪= arctan + C‬‬
‫‪x2 + a2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x −a‬‬
‫=‬
‫‪ln‬‬
‫‪+C‬‬
‫‪x 2 − a2‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪x +a‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪= ln x + x 2 ± a 2 + C‬‬
‫‪x2 ± a2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪x‬‬
‫‪= arcsin + C‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a2 − x 2‬‬
‫∫‬
‫∫‬
‫∫‬
‫∫‬
‫טורי טיילור‪:‬‬
‫‪x2 x4‬‬
‫‪cos x = 1 −‬‬
‫‪+‬‬
‫…‪+‬‬
‫!‪2! 4‬‬
‫‪x3 x5‬‬
‫‪sin x = x −‬‬
‫‪+‬‬
‫…‪+‬‬
‫!‪3! 5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x 5‬‬
‫‪tan x = x +‬‬
‫‪+‬‬
‫…‪+‬‬
‫‪3‬‬
‫‪15‬‬
‫עבור )) ‪: f (u (x‬‬
‫‪df‬‬
‫‪df du‬‬
‫=‬
‫‪dx‬‬
‫‪du dx‬‬
‫עפ"י בקינגהאם‪ ,‬תופעה‬
‫פיסיקלית נשלטת על ידי‬
‫הגורמים חסרי המימד‬
‫שבה‪ .‬לכן כל שתי בעיות‬
‫פיסיקליות יהיו שקולות‪,‬‬
‫אם ערכי הגורמים הנ"ל‬
‫יהיו זהים בשתיהן‪.‬‬
‫מגדירים משתנים חדשים ‪ x ′ = ax , y ′ = by, u ′ = cu‬עבור ‪ , a, b, c > 0‬כאשר )‪ . cu (x , y ) = cu (x ′ / a, y ′ / b ) = cu ′ (x ′, y ′‬מציבים‬
‫נאמר ש‪ f (x ) = O (g (x ))x →x 0 -‬אם‪:‬‬
‫כלל השרשרת‪:‬‬
‫) ‪. πi = f (π1, …, πn −r‬‬
‫מודלים מוקטנים וגם‬
‫מוגדלים‪:‬‬
‫‪x2 x3 x4‬‬
‫‪e =1+x +‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫…‪+‬‬
‫!‪2! 3! 4‬‬
‫‪x2 x3 x4‬‬
‫‪ln (1 + x ) = x −‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫…‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫…‪= 1 + x + x2 + x3 +‬‬
‫‪1−x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪tan u + 1‬‬
‫= ‪, cot2 u + 1‬‬
‫‪cos2 u‬‬
‫‪sin 2 u‬‬
‫‪ u + v ‬‬
‫‪ u − v ‬‬
‫‪sin u + sin v = 2 sin ‬‬
‫‪cos ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ u + v   u − v ‬‬
‫‪cos u − cos v = −2 sin ‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪ 2   2 ‬‬
‫‪1‬‬
‫]) ‪sin u sin v = [ cos (u − v ) − cos (u + v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫]) ‪cos u cos v = [ cos (u − v ) + cos (u + v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫]) ‪sin u cos v = [ sin (u + v ) + sin (u − v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫]) ‪cos u sin v = [ sin (u + v ) − sin (u − v‬‬
‫‪2‬‬
‫דוגמה להתאמת פתרונות בשכבת הגבול‪:‬‬
‫) ‪) = e (1 − εξ ) + εe + O (ε ) = ex + εe + O (ε‬‬
‫) ‪+ (c0 − 1) ξ + c0ξe −ξ ) + O (ε2 ) = … = (1 − c0 ) x + εc1 + O (ε2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos (u ± v ) = cos u cos v ∓ sin u sin v‬‬
‫‪tan u ± tan v‬‬
‫‪1 ∓ tan u tan v‬‬
‫‪sin (2u ) = 2 sin u cos u‬‬
‫= ) ‪tan (u ± v‬‬
‫‪ u + v   u − v ‬‬
‫‪sin u − sin v = 2 cos ‬‬
‫‪sin ‬‬
‫‪ 2   2 ‬‬
‫‪ u + v ‬‬
‫‪ u − v ‬‬
‫‪cos u + cos v = 2 cos ‬‬
‫‪cos ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫) ‪y in = e x + εxe x + O (ε2 ) = e 1− εξ + ε (1 − εξ )e 1− εξ + O (ε2 ) = e ⋅ e −εξ + εe ⋅ e −εξ + O (ε2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin (u ± v ) = sin u cos v ± cos u sin v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= e (1 − εξ ) + εe (1 − εξ ) + O (ε‬‬
‫‪−ξ‬‬
‫‪+ ε (c1 − c1e‬‬
‫‪−ξ‬‬
‫‪= 1 − c0 + c0e‬‬
‫‪out‬‬
‫‪y‬‬
‫‪cos (2u ) = cos2 u − sin2 u‬‬
‫‪= 2 cos u − 1 = 1 − 2 sin u‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 tan u‬‬
‫‪1 − tan 2 u‬‬
‫) ‪1 − cos (2u‬‬
‫= ‪sin 2 u‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪1 + cos (2u‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪cos u‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪1 − cos (2u‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪tan u‬‬
‫) ‪1 + cos (2u‬‬
‫= ) ‪tan (2u‬‬
‫בהצלחה!‬
‫סוכם על ידי‪:‬‬
‫חן אבינדב‬
‫נקודות שבת של מד"ר יחידה‬
‫דיאגרמת ביפורקציה‬
‫עזרים לציור שדה כיוונים‬
‫מיון נקודות שבת במערכת לינארית‬
‫עבור המשוואה ) ‪ N ′ = f (N‬מציירים גרף של ) ‪f (N‬‬
‫הציר האופקי הוא הפרמטר‬
‫שמשתנה‪ .‬לכל נקודת שבת‪,‬‬
‫מציירים עקום כשהציר‬
‫האנכי מציין את מיקומה‪.‬‬
‫נקודות יציבות ‪ -‬קו אחיד‪,‬‬
‫ולא יציבות ‪ -‬בקו מקווקו‪.‬‬
‫נולקלינות‪ ,‬העקומים שעליהם ‪ x ′ = 0‬או‬
‫‪ , y ′ = 0‬כיוון ששם החצים מקבילים לצירים‪.‬‬
‫כל נקודת חיתוך של הנולקלינות היא נקודת‬
‫שבת‪ .‬כמו כן כדאי לצייר את החצים על גבי‬
‫הצירים הראשיים‪ ,‬וכן על הוקטורים העצמיים‪,‬‬
‫משום ששם החצים מקבילים לכיוון הוקטורים‪.‬‬
‫עבור המערכת ‪ , r ′ = Ar‬כאשר )‪ (0, 0‬היא נקודת השבת היחידה‪.‬‬
‫רושמים את העקבה והדרמיננטה של המערכת‪ ,‬וכן את הביטוי‬
‫‪ . trace2 − 4 det‬סוג נקודת השבת נקבע מתוך הדיאגרמה הבאה‪:‬‬
‫ועל ציר ‪ N‬מציינים את בעזרת חץ את הסימן של‬
‫) ‪ f (N‬בכל תחום‪ .‬הנקודות שבהן ‪ f (N ) = 0‬הן‬
‫נקודות השבת‪ ,‬ואת היציבות שלהן קובע כיוון החצים‬
‫משמאל וימין להן‪.‬‬
‫שני טריקים‬
‫לינארזיציה‬
‫) ‪x ′ = f (x , y ) , y ′ = g (x , y‬‬
‫אנו מוצאים את כל נקודות השבת‬
‫) ‪ ( f = g = 0‬ובכל אחת מחשבים‪:‬‬
‫‪∂ ( f , g )  fx‬‬
‫‪= ‬‬
‫‪∂ (x , y ) gx‬‬
‫‪fy ‬‬
‫‪‬‬
‫‪gy ‬‬
‫עבור ‪ , f , g ∈ C 1‬אם מתקיים ש‪-‬‬
‫‪lim y (t ) = L2‬‬
‫∞→ ‪t‬‬
‫לאחר גזירה מקבלים את הקשרים‪:‬‬
‫∞→ ‪t‬‬
‫אפשרי‪ ,‬נקבל מד"ר עבור ) ‪ r (t‬או ) ‪θ (t‬‬
‫שאפשר לחקור או לפתור ומשם לראות כיצד‬
‫הפיתרון מתנהג בכלל‪ ,‬ואסימפטוטית בפרט‪.‬‬
‫‪ .2‬נניח ‪ f (x , y ) ≠ 0‬ונקבל המד"ר‪:‬‬
‫) ‪g (x , y‬‬
‫‪dy‬‬
‫=‬
‫‪dx‬‬
‫) ‪f (x , y‬‬
‫שיטת האנרגיה‬
‫‪u ′2 = 2F (u ) + C‬‬
‫נניח )‪ (0, 0‬נקודת שבת מבודדת של המערכת‪ ,‬ומוגדרת פונקציה ‪ V (x , y ) ∈ C 1‬בתחום ‪ D‬שמכיל את הראשית‪ ,‬כך ש‪-‬‬
‫‪ V (0, 0) = 0‬ו‪ V -‬מוגדרת חיובית ב‪ . D -‬מחשבים את הביטוי ‪ , Vɺ = Vx f + Vy g‬ואם ‪ Vɺ‬מוגדרת שלילית ב‪ D -‬אזי‬
‫שני משפטים על פתרונות מחזוריים‬
‫טור פורייה‬
‫‪π‬‬
‫‪∫−π f (x ) sin nxdx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪π‬‬
‫∞‬
‫‪a0‬‬
‫‪+ ∑ an cos nx + bn sin nx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n =1‬‬
‫∞‬
‫‪cne inx‬‬
‫∑‬
‫‪∫−π‬‬
‫= ‪f (x ) cos nxdx , bn‬‬
‫∼ ) ‪dx ⇒ f (x‬‬
‫‪−inx‬‬
‫∞‪n =−‬‬
‫∼ ) ‪⇒ f (x‬‬
‫‪π‬‬
‫‪∫−π f (x )e‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫= ‪cn‬‬
‫זוהי נקודת שבת יציבה אסימפטוטית‪ .‬אם ‪ Vɺ‬מוגדרת אי‪-‬חיובית‪ ,‬זוהי נקודת שבת יציבה )אך לא אסימפטוטית(‪ .‬ואם‬
‫בכל סביבה של )‪ (0, 0‬יש לפחות נקודה אחת שבה ‪ V > 0, Vɺ > 0‬או ‪ V < 0, Vɺ < 0‬הנקודה לא יציבה‪ .‬לֶמה‪:‬‬
‫מתקיים גם‪:‬‬
‫‪c−n = cn‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪−ikx‬‬
‫∞‬
‫‪∫−∞ f (x )e‬‬
‫‪. F [af (x ) + bg (x )](k ) = aF (k ) + bG (k ) .1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪ .1‬תהיינה ‪ f , f ′‬רציפות למקוטעין בקטע ] ‪ , [−π, π‬אזי טור פורייה‬
‫שלה מתכנס נקודתית ל‪ f (x 0 ) -‬בכל נקודת רציפות פנימית ‪ x 0‬של‬
‫‪ , f‬ובנקודות שבהן היא לא רציפה הוא מתכנס נקודתית לממוצע בין‬
‫) ‪ . f (x 0+ ) , f (x 0−‬בקצוות הטור מתכנס לממוצע בין )‪ . f (−π) , f (π‬אם‬
‫הטור‬
‫בהכרח מתקיים ‪ . fɶ ≡ f‬תוספת‪ :‬אם הטור‬
‫‪. F [ f (x + b )](k ) = e ikb F (k ) .3‬‬
‫‪. F e icx f (x ) (k ) = F (k − c ) .4‬‬
‫‪ f‬רציפה‪ f ′ ,‬רציפה למקוטעין ו‪-‬‬
‫‪. F  f ′ (x ) (k ) = ikF (k ) : f , f ′ ∈ L1‬‬
‫‪ .7‬עבור‬
‫‪. F  f‬‬
‫רציפה למקוטעין ו‪: xf (x ) ∈ L -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f‬‬
‫) ‪. F [xf (x )](k ) = iF ′ (k‬‬
‫‪.8‬‬
‫עבור‬
‫‪f‬‬
‫) ‪f (x + ) + f (x −‬‬
‫‪2‬‬
‫)כתוצאה‬
‫רציפה‬
‫= ‪dk‬‬
‫מכך‪,‬‬
‫‪ikx‬‬
‫אם‬
‫ו‪: f ∈ L1 -‬‬
‫למקוטעין‬
‫∞‬
‫‪∫−∞ F (k )e‬‬
‫גם‬
‫‪. lim‬‬
‫∞→ ‪m‬‬
‫‪F (k ) ∈ L‬‬
‫‪1‬‬
‫נקבל‬
‫‪ .9‬זהות פלנשרל‪ :‬עבור ‪ f , g‬רציפות למקוטעין‬
‫ואינטגרביליות בריבוע מתקיים –‬
‫∞‬
‫‪∫−∞ f (x ) g (x )dx = ∫−∞ F (k )G (k )dk‬‬
‫)שימושי לחישוב אינטגרלים(‬
‫‪n cn‬‬
‫∑‬
‫מתכנס‪ ,‬אזי‬
‫שיוויון‬
‫∞‬
‫‪cn‬‬
‫∑‬
‫פרסבל‪:‬‬
‫= ‪f (x ) 2 dx‬‬
‫∞‪n =−‬‬
‫‪ .5‬משפט גיבס‪ :‬תהי‬
‫‪π‬‬
‫עבור‬
‫‪∫−π‬‬
‫) ‪(x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫) ‪f (x‬‬
‫רציפה‬
‫למקוטעין‪,‬‬
‫‪) . f‬שימושי לחישוב טורים(‬
‫‪ f‬גזירה ברציפות למקוטעין‪ ,‬ונניח שהיא לא‬
‫‪m‬‬
‫‪a0‬‬
‫‪+ ∑ an cos nx + bn sin nx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n =1‬‬
‫= ‪ , Sm‬אזי קיימת סדרת נקודות‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫התמרת פורייה בדידה‬
‫קונבולוציה בדידה‬
‫נתונות ‪ n‬דגימות של פונקציה‬
‫בנקודות ‪ . x j‬רוצים למצוא את‬
‫המקדמים ‪ ck‬כך שעבור הטור‪:‬‬
‫עבור שתי סדרות ‪ f , g‬באורך ‪ n‬נגדיר‬
‫‪f‬‬
‫) ‪f (x m ) − Sm (x m‬‬
‫מונוטונית ‪ x m → x 0‬כך ש‪≥ 0.089 -‬‬
‫‪jump of f (x ) at x 0‬‬
‫‪p (x ) = ∑ ck e‬‬
‫‪ . j = 0, 1, …, n − 1‬למשל עבור ‪n = 4‬‬
‫דגימות של הפונקציה‪ ,‬נקבל את מערכת‬
‫המשוואות‪:‬‬
‫‪1  c‬‬
‫‪ f (0) ‬‬
‫‪ 0  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪ω 3  c1   f (π / 2) ‬‬
‫‪  = ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪ω  c2   f (π) ‬‬
‫‪ c  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ω 9   3   f (3π / 2)‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ω2‬‬
‫‪ω4‬‬
‫‪ω6‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ω‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ω 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ω‬‬
‫‪1‬‬
‫מתקיים ‪Fn‬‬
‫‪n‬‬
‫זוגית‪:‬‬
‫יהיו ‪ f , g‬סדרות באורך ‪ , n‬כך ש‪) f = Fn fˆ, g = Fn gˆ -‬כלומר‪fˆ ,‬‬
‫ו‪ gˆ -‬הן התמרות פורייה הדיסקרטיות של ‪ f‬ו‪ ,( g -‬אזי מתקיים‪:‬‬
‫) ‪. f ∗ g = nFn ( fˆ gˆ) , fˆ ∗ gˆ = Fn−1 ( f g‬‬
‫‪x=0‬‬
‫‪−L ≤ x < 0‬‬
‫‪.‬‬
‫זהויות טריגונומטריות‬
‫‪sin (u ± v ) = sin u cos v ± cos u sin v‬‬
‫) ‪flip : ( f2 , f1 , f0‬‬
‫) ‪a 0 = ( f0 , f2 , f1 ) ⋅ (g 0 , g1 , g2‬‬
‫שימושי לצורך כפל פולינומים – למשל‬
‫אם נרצה לכפול את שני הפולינומים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f = f0 + f1x + f2 x , g = g 0 + g1x + g 2x‬‬
‫‪2‬‬
‫לצורך כך נגדיר את הסדרות החדשות‪:‬‬
‫)‪f = ( f0 , f1 , f2 , 0, 0) , g = (g 0 , g1 , g 2 , 0, 0‬‬
‫) ‪ f (x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪h (x ) =  0‬‬
‫‪‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪ f −x‬‬
‫המכפלה יהיה … ‪. a 0 + a1x + a2 x 2 +‬‬
‫ניתן גם להשתמש בשיטה זו כדי לכפול‬
‫מספרים גדולים כאשר מציבים ‪. x = 10‬‬
‫המשכה מחזורית‪:‬‬
‫‪−L < x < L‬‬
‫‪x = ±L‬‬
‫) ‪ f (x‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪F (x ) =  f (−L ) + f (L‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫וכן ) ‪. F (x + 2L ) = F (x‬‬
‫קונבולוציה‬
‫‪cos (u ± v ) = cos u cos v ∓ sin u sin v‬‬
‫‪tan u ± tan v‬‬
‫‪1 ∓ tan u tan v‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪, cot2 u + 1‬‬
‫‪cos2 u‬‬
‫‪sin2 u‬‬
‫‪ u + v ‬‬
‫‪ u − v ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪sin u sin v = [ cos (u − v ) − cos (u + v )] sin u + sin v = 2 sin  2  cos  2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ u + v   u − v ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ sin‬‬
‫‪‬‬
‫‪cos u cos v = [ cos (u − v ) + cos (u + v )] sin u − sin v = 2 cos ‬‬
‫‪2   2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ u + v ‬‬
‫‪ u − v ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪sin u cos v = [ sin (u + v ) + sin (u − v )] cos u + cos v = 2 cos ‬‬
‫‪ cos ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪u‬‬
‫‪+‬‬
‫‪v‬‬
‫‪u‬‬
‫‪−‬‬
‫‪v‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪cos u sin v = [ sin (u + v ) − sin (u − v )] cos u − cos v = −2 sin ‬‬
‫‪ 2  sin  2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪tan2 u + 1‬‬
‫) ‪ f (x‬‬
‫‪‬‬
‫‪g (x ) = ‬‬
‫) ‪ f (−x‬‬
‫אי‪-‬זוגית‪:‬‬
‫‪0<x ≤L‬‬
‫למשל עבור ‪ n = 3‬נבצע את חישוב את‬
‫המקדמים באופן הציקלי הבא‪:‬‬
‫) ‪f = ( f0 , f1 , f2‬‬
‫נחשב את המקדמים ‪ , ak‬ואז פולינום‬
‫הרחבות של פונקציות‬
‫‪−L ≤ x ≤ 0‬‬
‫‪i + j =0‬‬
‫) ‪(mod n‬‬
‫) ‪a 2 = ( f2 , f1, f0 ) ⋅ (g 0 , g1, g2‬‬
‫= ‪ Fn−1‬וכך למעשה ניתן‬
‫‪0≤x ≤L‬‬
‫∑‬
‫= ‪a0‬‬
‫) ‪a1 = ( f1 , f0 , f2 ) ⋅ (g 0 , g1 , g 2‬‬
‫כאשר ‪ ω = e iπ / 2‬שורש היחידה מסדר‬
‫‪ . 4‬אם נסמן את המטריצה ‪ , Fn‬אזי‬
‫‪. lim‬‬
‫נגדיר‪. ( f0 , f1 , …, fn−1 )(g 0 , g1 , …, gn −1 ) = ( f0 g 0 , f1g1 , …, fn −1gn−1 ) :‬‬
‫… ‪fi g j ,‬‬
‫∑‬
‫= ‪fi g j , a1‬‬
‫‪i + j =1‬‬
‫) ‪(mod n‬‬
‫‪k =0‬‬
‫∞→ ‪m‬‬
‫) ‪ f ∗ g = (a 0 , a1, …, an −1‬כאשר‪:‬‬
‫‪n −1‬‬
‫למצוא את המקדמים ‪. ck‬‬
‫משפט הקונבולוציה הדיסקרטית‬
‫‪( F [F (k )] (x ) = f (−x ) / 2π‬‬
‫∞‬
‫‪k‬‬
‫∞‬
‫רציפה בנקודה ] ‪ . x 0 ∈ [−π, π‬נסמן ב‪ Sm -‬את הסכום החלקי‬
‫‪‬‬
‫של ‪ 2L‬ודוגמים אותה בתדירות גדולה מ‪ 2L -‬ניתן לבצע שחזור מדוייק ומלא שלה‪.‬‬
‫יתקיים השיוויון ) ‪ p (x j ) = f (x j‬לכל‬
‫∞‪n =−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪cne inx‬‬
‫∞‬
‫∑‬
‫∞‪n →±‬‬
‫) ‪(x ) (k‬‬
‫)‪ n π  sin (Lx − n π‬‬
‫⋅ ‪ . f (x ) = ∑ f  ‬כלומר‪ ,‬אם לפונקציה יש רוחב פס‬
‫‪ , k ≥ L‬אזי‬
‫‪L‬‬
‫‪Lx − n π‬‬
‫∞‪n =−‬‬
‫מתכנס במ"ש לפונקציה רציפה ) ‪ , fɶ (x‬כשלא‬
‫‪ .3‬הלֶמה של רימן‪-‬לבג‪ :‬עבור ) ‪ f (x‬רציפה למקוטעין‪. lim cn = 0 ,‬‬
‫) ‪(m‬‬
‫∞‬
‫‪ikx‬‬
‫הטור פורייה הנ"ל מתכנס במ"ש ל‪ fɶ ∈ C k -‬לכל הפחות‪.‬‬
‫= ) ‪. F [ f (ax )](k‬‬
‫‪ .6‬באופן דומה‪= (ik ) F (k ) :‬‬
‫‪cn‬‬
‫∑‬
‫מתכנס אז‬
‫∞‪n =−‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪ .5‬עבור‬
‫∞‬
‫‪ .2‬יהיו ‪ cn‬מקדמי פורייה של ) ‪ , f (x‬אם הטור‬
‫‪ F (k ) .0‬רציפה בכל ‪ ℝ‬ודועכת באינסוף לאפס‪.‬‬
‫‪1  k ‬‬
‫‪F ‬‬
‫‪a a ‬‬
‫משפטים של פורייה וחברים‬
‫משפט הדגימה של נייקוויסט‬
‫∞‪n =−‬‬
‫= ) ‪F [ f (x )](k ) = F (k‬‬
‫אם"ם‬
‫שלילית‬
‫תהי ) ‪ f (x‬רציפה למקוטעין ואינטגרבילית בהחלט‪ ,‬ונניח שמתקיים ‪ F (k ) = 0‬לכל‬
‫גם )‪ , f (π) = f (−π‬הטור פורייה יתכנס במ"ש בכל הקטע‪.‬‬
‫התמרת פורייה‬
‫חיובית‬
‫‪b 2 − ac < 0, a > 0‬‬
‫ומוגדרת‬
‫אם"ם‬
‫‪. b 2 − ac < 0, a < 0‬‬
‫שמוכל ממש בקטע הזה‪ .‬אם הפונקציה רציפה בכל ] ‪ [−π, π‬ומתקיים‬
‫עבור ) ‪ f (x‬רציפה למקוטעין ואינטגרבילית‬
‫בהחלט מגדירים את התמרת פורייה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪V (x , y ) = ax 2 + 2bxy + cy 2‬‬
‫מוגדרת‬
‫‪ f‬רציפה בקטע כלשהו‪ ,‬אז הטור פורייה מתכנס במ"ש בכל קטע‬
‫‪1‬‬
‫‪cn = (an − ibn ),‬‬
‫‪2‬‬
‫קיום ויחידות של מסלולים‬
‫עבור ‪ , f , g ∈ C 1‬דרך כל נקודה ) ‪ (x 0 , y 0‬במישור הפאזה עובר פיתרון‬
‫יחיד‪ .‬דרך ההוכחה‪ :‬מניחים בשלילה ששני פתרונות עוברים שם‬
‫בזמנים שונים‪ ,‬מבצעים הזזה של פיתרון אחד כך ששניהם יעברו שם‬
‫באותו הרגע‪ ,‬ומקבלים סתירה למשפט קיום ויחידות של מד"ר‪.‬‬
‫פונקציית ליאפונוב‬
‫‪ .1‬כל מסלול מחזורי ‪ C‬שמתאר פיתרון מחזורי של המערכת חייב להקיף לפחות נקודת שבע‬
‫אחת‪.‬‬
‫‪ .2‬פואנקרה‪-‬בנדיקסון‪ D :‬תחום סגור וחסום שלא מכיל אף נקודת שבת‪ .‬אם מסלול פיתרון‬
‫מוכל ב‪ D -‬לכל ‪ , t ≥ t0‬אז או שהוא מסלול סגור )ו מחזורי(‪ ,‬או שהוא מתקרב למסלול פיתרון‬
‫סגור עבור ∞ → ‪) . t‬בשביל להשתמש במשפט זה‪ ,‬מגדירים בדרך כלל טבעת סביב נקודת שבת(‬
‫‪π‬‬
‫= ‪λ1,2‬‬
‫ונזכור שאנחנו לא מתעסקים במקרים שבהם ‪ det = 0‬משום שאז לא‬
‫מדובר כבר בנקודת שבת מבודדת‪ .‬על הפרבולה ניתן גם לקבל קרניים‬
‫ישרות‪ ,‬אם לע"ע הבודד יש שני ו"ע שונים‪ .‬כללי אצבע‪ :‬הראשית‬
‫יציבה אסימפטוטית אם"ם לכל הע"ע יש חלק ממשי שלילי‪ .‬היא‬
‫תהיה לא יציבה אם"ם יש לפחות ע"ע אחד עם חלק ממשי חיובי‪ .‬היא‬
‫תהיה יציבה )אך לא אסימפטוטית( אם לכל הע"ע יש חלק ממשי אי‪-‬‬
‫חיובי‪ ,‬ולכל הע"ע המדומים טהורים יש ר"א שווה ל‪-‬ר"ג‪.‬‬
‫ש‪ (ρ f )x + (ρg )y -‬בעל סימן קבוע‪ ,‬אז‬
‫בתחום זה לא קיים פיתרון מחזורי‪.‬‬
‫ומציירים את ‪ u ′‬כפונקציה של ‪ u‬על מישור הפאזה‪ ,‬עבור קבועים שונים‪ .‬בגלל שיש שני‬
‫ענפים לכל קבוע‪ ,‬נקבל תמיד אוכפים ומוקדים‪ ,‬ולא ספירלות‪ .‬חשוב לבחור ערכים "מעניינים"‬
‫של ‪) C‬שבמחינה פיסיקלית‪ ,‬אגב‪ ,‬מייצג את האנרגיה(‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪π‬‬
‫‪trace± trace2 − 4 det‬‬
‫‪2‬‬
‫אם הסימן של הביטוי ‪ fx + gy‬הוא בעל‬
‫סימן קבוע בתחום מסויים‪ ,‬אזי בתחום זה‬
‫לא קיים אף פיתרון מחזורי‪.‬‬
‫וריאציה‪ :‬אם קיימת פונקציה ‪ ρ ∈ C 1‬כך‬
‫עבור בעיות מהצורה ) ‪ , u ′′ = f (u‬כופלים המשוואה ב‪ u ′ -‬ומבצעים אינטגרציה‪:‬‬
‫= ‪an‬‬
‫הערכים העצמיים הם‪:‬‬
‫קריטריון בנדיקסון‬
‫שאולי אפשר לפתור‪) .‬אם ‪ f = 0‬נעשה להיפך‪,‬‬
‫אם גם ‪ g = 0‬אז זו נקודת שבת ואין בעיה‪(.‬‬
‫‪⇒ u ′ = ± 2F (u ) + C‬‬
‫∞→ ‪t‬‬
‫לכן‪ ,‬אם‬
‫מונוטוניות‬
‫) ‪N 1 (t ) , N 2 (t‬‬
‫וחסומות‪ ,‬זה אומר שקיים הגבול שלהן עבור‬
‫שהן‬
‫אומר‬
‫וזה‬
‫∞→ ‪,t‬‬
‫חייבות לשאוף לנקודת שבת שבה‬
‫‪ . Nɺ 1 = Nɺ 2 = 0‬כך ניתן להוכיח בשלילה‬
‫שפיתרון לא יכול להישאר חסום בתחום‬
‫כלשהו כאשר ) ‪ N1 (t ) , N 2 (t‬מונוטוניות‪,‬‬
‫אם אין בתחום זה נקודת שבת יציבה‪.‬‬
‫מציבים את מערכת המשוואות שלנו ומנסים‬
‫להביע את אגף ימין כפונקציה של ‪ . r, θ‬אם זה‬
‫וממשיכים בניתוח לפי מיון של נקודות‬
‫שבת במערכת לינארית‪ .‬משפט‪ :‬אם‬
‫במערכת הלינארית קיבלנו נקודת שבת‬
‫מסוג צומת‪ ,‬אוכף או ספירלה גם‬
‫למערכת הלא‪-‬לינארית יש נקודת שבת‬
‫מסוג דומה באותה נקודה‪ .‬בפרט‪ ,‬אם‬
‫הנקודה היא יציבה אסימפטוטית‬
‫במערכת הלינארית‪ ,‬היא תהיה כזו גם‬
‫במערכת הלא‪-‬לינארית‪.‬‬
‫‪lim x (t ) = L1,‬‬
‫∞→ ‪t‬‬
‫‪⇒ lim x ′ (t ) = lim y ′ (t ) = 0‬‬
‫‪rr ′ = xx ′ + yy ′, r 2 θ ′ = xy ′ − x ′y‬‬
‫= ‪J‬‬
‫‬
‫הוכחת חסימות של פתרונות‬
‫‪ .1‬מערכת לקואורדינטות פולריות‪:‬‬
‫) ‪r 2 = x 2 + y 2 , θ = tan−1 (y / x‬‬
‫בהינתן המערכת הלא‪-‬לינארית‪:‬‬
‫‬
‫= ) ‪tan (u ± v‬‬
‫תהיינה ‪ f , g‬מוגדרות בכל הישר‪ ,‬הקונבולוציה של ‪ f‬עם ‪ g‬היא‪:‬‬
‫∞‬
‫‪∫−∞ f (x − t ) g (t )dt‬‬
‫= ) ‪( f ∗ g )(x‬‬
‫עבור ‪ f , g‬רציפות למקוטעין ואינטגרביליות בהחלט‪ ,‬הפונקציה‬
‫‪ f ∗ g‬קיימת‪ ,‬והיא רציפה ואינטגרבילית בהחלט‪ .‬תכונות‪:‬‬
‫) ‪( f + g ) ∗ h = f ∗ h + g ∗ h, ( f ∗ g ) ∗ h = f ∗ (g ∗ h‬‬
‫) ‪f ∗ g = g ∗ f , (α f ) ∗ g = f ∗ (αg ) = α ( f ∗ g‬‬
‫משפט הקונבולוציה‪ :‬אם ‪ f , g ∈ L1‬רציפות למקוטעין מתקיים ‪-‬‬
‫) ‪F [ f ∗ g ](k ) = 2πF (k )G (k‬‬