דף נוסחאות

‫דף נוסחאות בגלים (אוניברסיטת ת"א‪)2002 ,‬‬
‫‪-1‬‬‫זוויות הפאזה בין הכוח‬
‫המאלץ לאוסילטור‬
‫כללי‬
‫) ‪ f (0  ‬‬
‫‪2 2f‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f‬‬
‫נוכל לבטא תנועה סינוסיואודלית‪:‬‬
‫כווקטור בעל רכיב ממשי ומרוכב‪:‬‬
‫עכבה –מספר מרוכב‬
‫‪1‬‬
‫‪i / m‬‬
‫‪‬‬
‫‪Z 02   2  2i‬‬
‫‪F  ZV‬‬
‫הספק ממוצע באוסילטור‬
‫מאולץ‬
‫‪1 F0 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos V  12 V0 Z cos V‬‬
‫‪2 Z‬‬
‫‪ P  t  ‬‬
‫כאשר המקדם ‪ C‬הוא מרוכב‪ ,‬והחלק המרוכב שלו מסמל את הפאזה‪ .‬נוכל‬
‫לעבוד איתו אבל כאשר נמדוד את ערכו הפיסיקלי‪,‬נתייחס לחלק הממשי בלבד‪.‬‬
‫תדירות התנודה וזמן‬
‫המחזור‬
‫‪1‬‬
‫‪T‬‬
‫‪  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪T‬‬
‫עכבה חשמלית‬
‫אוסילטור הרמוני‬
‫תנועה מחזורית פשוטה‬
‫‪2  k / m‬‬
‫‪mx  kx  0‬‬
‫‪2  g / l‬‬
‫‪x  gl x  0‬‬
‫עבור מטוטלת‬
‫‪x  A cos t  B sin t‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪it‬‬
‫) ‪x  A 'cos(t  ‬‬
‫‪x  Re Ce‬‬
‫‪B  A 'sin ‬‬
‫אנרגיה באוסילטור חופשי‬
‫הפתרון ‪x t  x eit :‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫האנרגיה הפוטנציאלית‬
‫והקינטית הפוכות זו לזו‪,‬‬
‫כשאחת מקסימלית השנייה‬
‫מינימלית‬
‫‪A  A 'cos ‬‬
‫‪U  12 kx 2  12 k  Re x ‬‬
‫‪T  12 kx 2  12 k  Re i x ‬‬
‫‪E  U  T  12 kx0 2  const‬‬
‫‪mx  bx  kx  0‬‬
‫תנועה מרוסנת‬
‫‪ - B‬קבוע‬
‫ריסון חלש‬
‫‪02   2‬‬
‫) ‪x  Ae t ei (t ‬‬
‫ריסון חזק‬
‫‪02   2‬‬
‫‪x  c1e(   )t  c2e(   )t‬‬
‫ריסון קריטי‬
‫‪02   2‬‬
‫‪x  c1e t  c2te t‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪  b / 2m‬‬
‫‪  02   2‬‬
‫(לפעמים כותבים את הפתרון כ‪-‬‬
‫כש‪)   b / m -‬‬
‫) ‪ 12  t i (t ‬‬
‫‪e‬‬
‫‪0  k / m‬‬
‫‪x  Ae‬‬
‫הספק‬
‫‪P  E / T  2 E‬‬
‫‪(   )  ‬‬
‫‪Q   /   0 / ‬‬
‫‪E 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪E‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ m‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Q  2 E / E‬‬
‫מעגל ‪RCL‬‬
‫הקבלה ממכניקה לחשמל‪:‬‬
‫המהירות‪>-‬זרם‬
‫כח‪ >-‬מתח‬
‫העתק‪ >-‬מטען‬
‫‪LI  RI  C1 I  0‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2L‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪LC‬‬
‫‪0 2 ‬‬
‫) ‪mx  bx  kx  F0 cos( f t‬‬
‫‪x p  A sin( f t   ) ‬‬
‫) ‪A sin( f t )  B cos( f t‬‬
‫אמפליטודה בולעת‬
‫‪b‬‬
‫‪F0‬‬
‫‪m f‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪m (0   f )  ( mb ) 2  f 2‬‬
‫הקבוע האלסטי‬
‫(אין לו הספק)‬
‫‪0 2   f 2‬‬
‫‪F0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m (0   f 2 )2  ( mb ) 2  f 2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪m [( mb  f ) 2  (0 2   f 2 ) 2 ] 2‬‬
‫‪A‬‬
‫פונקצית התגובה –‬
‫אופני תנודה‬
‫ניתן לפרק תנועה מורכבת של אוסילטורים למספר אופני תנודה פשוטים‪ .‬כך‬
‫ניתן לבטא תנועה מורכבת כקומבינציה ליניארית של מספר תנועות פשוטות‪.‬‬
‫בד"כ אפשר לנחש אופני תנודה לפי המערכת‪ .‬למשל אופן תנודה סימטרי או‬
‫אופן תנודה א‪-‬סימטרי‪ .‬אחרת‪ ,‬אפשר למצוא בעזרת ע"ע‪.‬‬
‫ערכים עצמיים (תזכורת ממפי"ס ‪)2‬‬
‫איבר ‪ v‬נקרא וקטור עצמי של ‪ L‬אם קיים‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫תגובת המהירות לכח‬
‫‪  1‬‬
‫המאלץ‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫רוחב התהודה‬
‫‪ - ‬זמן התהודה של האוס'‬
‫החופשי המרוסן‬
‫‪  2   2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪R      f‬‬
‫‪ 2 f‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪R f‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫מקדמי החזרה והעברה‬
‫אם אין מסה ואין כוח חיצוני בנקודת המעבר‪ .‬מעבר מעכבה ‪ z‬ל ‪. z‬‬
‫‪1‬‬
‫מקדם החזרה לאמפליטודה‬
‫‪‬‬
‫כך ש‬
‫‪L (v )  v‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫באוסצילטור‪ .‬נמצא את מטריצת‬
‫‪Ck‬‬
‫‪kik‬‬
‫‪ik‬‬
‫כאשר האיבר ה‬
‫מקדם העברה לאמפליטודה‬
‫מקדם החזרה להספק‬
‫‪2‬‬
‫‪Pr‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ r 2  R2‬‬
‫‪Pi‬‬
‫‪Ai‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪F0‬‬
‫‪R    0.5  1  2  ‬‬
‫‪  21‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪  x  0  0‬‬
‫תנאי שפה של קצה קשור‬
‫אופני תנודה‬
‫ופותרים את מערכת המשוואות‪.‬‬
‫פתרון כללי‬
‫לאחר שמצאנו את הוקטורים העצמיים‪,‬‬
‫מש' התנועה תהיה סכום של כל אופני התנודה מהצורה‬
‫‪ n  0,1, 2,...‬‬
‫‪kn   n  1  / L‬‬
‫מיתר חופשי בשני קצותיו‬
‫‪kn  n / L‬‬
‫‪kn   n  12   / L‬‬
‫מיתר חצי קשור חצי חופשי‬
‫‪En  14 mn2  An2  Bn2 ‬‬
‫אנרגיה של אופן תנודה‬
‫‪x  t    C v ei t‬‬
‫גלי קול‬
‫‪‬‬
‫תנאי התחלה יקבעו את ערכי הקבועים ‪. C‬‬
‫‪ P0‬‬
‫‪0‬‬
‫מהירות הקול‬
‫גלים כלליים‬
‫משוואת הגלים‬
‫‪ 2‬‬
‫‪1  2‬‬
‫‪ 2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪v t‬‬
‫פתרון המשוואה‬
‫כאשר ‪ f‬מתאר גל המתקדם‬
‫בכיוון החיובי של ציר ‪x‬‬
‫ו‪ g-‬מתאר גל בכיוון השלילי‬
‫) ‪  x, t   f  x  vt   g ( x  vt‬‬
‫עכבה‬
‫‪dP  K BT‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪M‬‬
‫‪vf‬‬
‫מהירות הגל‬
‫‪k   / v  2 / ‬‬
‫עכבה‬
‫‪F  z v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dEk    ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪dx 2  t ‬‬
‫צפיפות אנרגיה כוללת‬
‫‪2‬‬
‫‪dEv T   ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪dx 2  x ‬‬
‫‪  dEv / dx  dEk / dx‬‬
‫‪ P  d / dt ‬‬
‫אנרגיה כוללת (במיתר)‬
‫‪P  12 z 2  v‬‬
‫‪Etotal   Pdt   dx‬‬
‫כוח מאלץ בצינור‬
‫בשטח חתך ‪( A‬בתנאים‬
‫אדיאבטיים)‬
‫‪d‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪F  PA   P0   P  A  1    P0 A‬‬
‫הספק רגעי יהיה‬
‫הספק ממוצע‬
‫עכבה‬
‫המתיחות‬
‫‪T  zvs‬‬
‫‪P  t   F  t ‬‬
‫‪P  t   dt ‬‬
‫הספק ממוצע (עבור גל‬
‫הרמוני)‬
‫‪t T‬‬
‫‪P  T1 ‬‬
‫‪t‬‬
‫‪P  12 0vs 2 A m2‬‬
‫עוצמה (גל הרמוני)‬
‫‪I  P / A  12 z 2 m2‬‬
‫במעבר תווך מתקיים‬
‫‪Ii  It  I r‬‬
‫עבור גל הרמוני‬
‫‪I  12 I max‬‬
‫‪d‬‬
‫‪1 d‬‬
‫‪AI‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪vs dt‬‬
‫‪vs‬‬
‫אנרגיה ממוצעת‬
‫ליחידות אורך‬
‫קבועים בתנאים‬
‫סטנדרטיים (‪)STP‬‬
‫טמפרטורה של ‪K333‬‬
‫‪P0  1.01105 N / m 2  1atm‬‬
‫‪0  1.29kg / m3‬‬
‫‪ air  1.4‬‬
‫‪vs  T / ‬‬
‫‪z  T‬‬
‫‪vs2 ‬‬
‫‪z  0vs   P0 0‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪v0 ‬‬
‫‪t‬‬
‫‪0‬‬
‫מיתר קשור בשני קצותיו‬
‫ניוון אלגברי ‪ -‬אם לפולינום יש ‪ 2‬שורשים זהים ‪ (x   ) 2‬אז יש לערך העצמי‬
‫‪ ‬ניוון אלגברי בגודל ‪ .2‬אפשר לבחור אופן תנודה אחד שרירותית כך שיתאים‬
‫למשוואות ואת השני למצוא מאורתוגונאליות‪.‬‬
‫צפיפות אנרגיה‬
‫קינטית ופוטנציאלית‬
‫‪r‬‬
‫‪Pt‬‬
‫‪z A‬‬
‫‪4 z1 z2‬‬
‫‪ 2 t2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Pi‬‬
‫‪z1 Ai‬‬
‫‪ z1  z2 ‬‬
‫במטריצה כופל את‬
‫‪‬‬
‫‪R‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2 z1‬‬
‫‪T  t  1 R ‬‬
‫‪Ai‬‬
‫‪z1  z2‬‬
‫תנאי שפה של קצה חופשי‬
‫של המסה ה‪ . i -‬את התדירויות נמצא ע"י ‪det mik 2I  kik  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Ar z1  z2‬‬
‫‪‬‬
‫‪Ai z1  z2‬‬
‫מקדם העברה להספק‬
‫מציאת תדירויות תנודה (ערכים עצמיים) של אוסילטורים מצומדים‬
‫ננחש פתרון בצורת ‪ x  t   C eit‬ונציב במשוואות עבור כל מסה‬
‫במיתר‪:‬‬
‫מהירות הגל‬
‫‪4 m‬‬
‫‪ - 2‬רוחב התהודה של האוס' המאולץ‬
‫‪ i  r   t x0‬‬
‫נקרא הערך העצמי של ‪.L‬‬
‫‪P  Fv‬‬
‫‪2‬‬
‫‪   i  r  ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪  t ‬‬
‫‪m 2 t  T2‬‬
‫‪  Fext‬‬
‫‪  T1‬‬
‫‪t‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ x  x 0 ‬‬
‫‪ x 0‬‬
‫אוסילטורים מצומדים‬
‫הספק‬
‫‪ f 2  02  2 2‬‬
‫הספק‬
‫‪‬אז הגל החוזר יהיה‬
‫‪ .2‬רציפות המיתר‪:‬‬
‫סופרפוזיציה – אם הכוח החיצוני הוא מחזורי ניתן להביע אותו כסכום של‬
‫סינוסים וקוסינוסים‪ ,‬והפתרון יהיה הסכום של הפתרונות עבור כל אחד‬
‫מהכוחות האוסילטוריים‪.‬‬
‫מספר הגל‬
‫‪A‬‬
‫התדירות שבה‬
‫האמפליטודה מקסימאלית‬
‫‪i‬‬
‫‪ r   x  vt ‬‬
‫כדי לפתור מעבר בין שני תווכים‪ ,‬נתייחס אליהם כ‪ 2‬מיתרים אשר ביניהם‬
‫טבעת חסרת מסה‪ .‬במקרה הכללי יותר‪ ,‬לטבעת תהיה מסה ‪ m‬ויתכן כוח‬
‫חיצוני‪ .‬נעזר בשתי משוואות לפתור‪:‬‬
‫‪ .1‬משוואת כוחות על טבעת חופשית בין שני מיתרים‪:‬‬
‫‪V  t   V0eit‬‬
‫רזוננס כאשר‪ ,  f  0 :‬ואז ההספק מקסימאלי ‪P  F0 2 / 2b -‬‬
‫‪‬‬
‫האנרגיה האובדת במחזור‬
‫בריסון חלש מאוד‬
‫העברה והחזרה של גלים‬
‫‪LI  RI  C1 I  iV‬‬
‫‪zI 0  V0‬‬
‫‪z  L0 / C0‬‬
‫כאשר ‪ I‬היא מטריצת היחידה‪.‬‬
‫‪E  2 ET‬‬
‫תנועה מאולצת‬
‫הפתרון ההומוגני דועך‬
‫לאחר זמן נשאר רק הפתרון‬
‫הפרטי‬
‫מעגל ‪ RCL‬מאולץ‬
‫‪ -V‬המתח של מקור המתח‬
‫המשתנה‬
‫‪mik 2I  kik v  0‬‬
‫האנרגיה בריסון חלש‪:‬‬
‫האנרגיה בריסון חלש מאוד‬
‫גורם הטיב‬
‫‪Z  iL  R  1/ iC‬‬
‫‪vs  1/ L0C0‬‬
‫עכבה‬
‫‪ – C0‬קיבול ליח' אורך‬
‫אם הגל פוגע הוא ‪ x  vt ‬‬
‫מציאת אופני תנודה (וקטורים עצמיים)‬
‫לאחר שמצאנו את השורשים של הפולינום‪ ,‬מציב כ"א מהם במטריצה‪-‬‬
‫‪E  t   E0e2 t‬‬
‫‪b‬‬
‫‪m‬‬
‫‪tan V ‬‬
‫‪V  t   V0 cos  f t  V ‬‬
‫‪x  A cos(t   )  C1 cos t  C2 sin t‬‬
‫) ‪x  Ceit  Rei (t ‬‬
‫‪2‬‬
‫תנודות אלקטרומגנטיות במוליך גלים‪:‬‬
‫מהירות הגל‬
‫‪ – L0‬השראות ליח' אורך‬
‫‪vs STP  331m / s‬‬
‫* ‪ ‬תלוי במספר דרגות החופש‪,‬‬
‫בגז מונואטומי‬
‫‪ 53‬‬
‫‪   d  2 / d‬‬
‫‪ ‬בגז דו אטומי‬
‫‪  75‬‬
‫האוויר הוא בקירוב דו אטומי‬
‫אופני תנודה‪  :‬מתנהג כמו מיתר ו‪( P-‬לחץ) מתנהג ההיפך ממיתר‪.‬‬
‫בקפיץ מסיבי‪:‬‬
‫מהירות הגל‬
‫‪ –L‬אורך הקפיץ‬
‫‪vs  L K / m‬‬
‫עכבה‬
‫‪z  Km‬‬
‫תנאי שפה‪ :‬שפורפרת סגורה – קצה קשור‪ .‬פתוחה – קצה חופשי‪.‬‬
‫קווי תמסורת‬
‫הזרם הוא השינוי במטען‬
‫‪-1-‬‬
‫‪I‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪t‬‬
‫דף נוסחאות בגלים (אוניברסיטת ת"א‪)2002 ,‬‬
‫השינוי במתח כתוצאה‬
‫מהשראות‬
‫‪V‬‬
‫‪I‬‬
‫‪  L0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪t‬‬
‫משוואת הגלים לזרם‬
‫‪2 I‬‬
‫‪2 I‬‬
‫‪ C0 L0 2‬‬
‫‪x 2‬‬
‫‪t‬‬
‫משוואות הגלים למתח‬
‫‪ 2V‬‬
‫‪ 2V‬‬
‫‪ C0 L0 2‬‬
‫‪x 2‬‬
‫‪t‬‬
‫מהירות הגל‬
‫‪v  1/ C0 L0  c‬‬
‫בכבל קואקסיאלי‬
‫המתח‬
‫‪V   2 / r  dr  2 log  b / a ‬‬
‫‪C0  1/ 2log  b / a ‬‬
‫קיבול ליח' אורך‬
‫‪L0  2log  b / a  / c 2‬‬
‫השראות ליח' אורך‬
‫המהירות שווה למהירות האור‬
‫‪C0 L0  1/ c  v  c‬‬
‫‪-2-‬‬
‫החזרה ושבירה‬
‫גלי מים‬
‫נניח שעל קו השבירה יש יחס‬
‫ליניארי‪:‬‬
‫גלים דו‪-‬מימדיים‪ .‬נגדיר את ‪ y‬כאפס בגובה פני המים וכ ‪ -h‬בקרקעית‪.‬‬
‫נניח גלים הרמוניים ונקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ Ay  y  e‬‬
‫‪  y‬‬
‫‪i  kz t ‬‬
‫‪ z  ‬‬
‫‪ Az  y  e‬‬
‫התדירות משותפת לכל הגלים‬
‫כאשר האמפליטודות מרוכבות ו‪-‬‬
‫‪h  y  0‬‬
‫כאשר‬
‫‪i kz t‬‬
‫תכונות המים‬
‫‪ .1‬מים אינם דחיסים‬
‫‪" .2‬מים יבשים" – אין מערבולות ‪ v  0‬‬
‫‪ .3‬אין חיכוך (צמיגות) במים‪ .‬אם מתחילים ממצב ללא מערבולות‪ ,‬אז מצב זה‬
‫יישאר נכון לכל מהלך התנועה‬
‫‪ .4‬אין מערבולות‬
‫גובה קרקעית)‬
‫‪ .5‬תנאי שפה ‪) y  h -‬‬
‫‪ v  0‬‬
‫עכבה‬
‫עכבה (עם התנגדות)‪:‬‬
‫‪L0 ‬‬
‫‪R ‬‬
‫‪ 1  i 0 ‬‬
‫‪C0 ‬‬
‫‪2 L0 ‬‬
‫‪V‬‬
‫‪‬‬
‫‪I‬‬
‫הספק‬
‫‪P  VI‬‬
‫* ניתן להאט את מהירות הגל ע"י הכנסת חומר דיאלקטרי בעל מקדם ‪: ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪V‬‬
‫‪c2‬‬
‫‪ V ‬‬
‫‪ v2 ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Er ‬‬
‫תנאי שפה‬
‫כבל עם קצר בקצה‪ :‬המתח מתנהג כמו קצה קשור והזרם כמו קצה חופשי‪.‬‬
‫כבל עם נתק בקצה‪ :‬הזרם מתנהג כמו קצה קשור והמתח כמו קצה חופשי‪.‬‬
‫‪sinh  kh ‬‬
‫גלים עומדים ואופני תנודה של מיתר‪:‬‬
‫ניתן לתאר גל עומד כסכום של קוסינוסים וסינוסים (זהו פתרון של מש' הגלים)‪:‬‬
‫‪  x, t     An sin kn x  Bn cos kn x  cos nt   ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ Be ‬‬
‫‪i wt  kx ‬‬
‫תנאי שפה למיתר‬
‫מוחזק ב ‪x=0‬‬
‫‪ Ae ‬‬
‫‪i wt kx ‬‬
‫‪  A sin kx sin t   ‬‬
‫‪  A sin kx sin t   ‬‬
‫‪B  A‬‬
‫מוחזק ב ‪ x=0‬וב ‪x=L‬‬
‫‪kn  L  n  1‬‬
‫‪sin kL  0‬‬
‫תפוס בקצה אחד ‪+‬‬
‫התוצאה מהתנאי הנוסף‬
‫‪kn  L  n  1‬‬
‫‪sin kL  0‬‬
‫)‪(n  0,1,..‬‬
‫אנליזת פורייה‬
‫אורתוגונליות של פונקציות‬
‫הסינוס והקוסינוס‬
‫‪2L‬‬
‫‪sin  kn x  sin  km x  dx   mn‬‬
‫‪L 0‬‬
‫‪orcos km x  cos km x ‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin  kn x   cos  km x  dx  0‬‬
‫‪L 0‬‬
‫הגדרה של פונקציית דלתא‬
‫‪‬‬
‫‪ f  x    x  x  dx  f  x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫טרנפורם פורייה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f   e d ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪i t‬‬
‫‪‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ it‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f t  e‬‬
‫‪‬‬
‫‪f t  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f   ‬‬
‫‪2‬‬
‫* נ יתן להשתמש בטרנפורם פוריה כדי לקבל את ספקטרום התדרים של גל‪.‬‬
‫* כדי לייצג פונקציה של הפרעה נשתמש בד"כ בטורי פורייה‪ .‬ניתן לקבל תנאי‬
‫התחלה מהנגזרת של הפונקציה ב ‪ t‬או ב ‪ .x‬עבור פונק' סימטרית מסביב לאפס‬
‫מקדמי הסינוסים יתאפסו ועבור פ' א‪-‬סימטרית מקדמי הקוסינוסים יתאפסו‪.‬‬
‫נפיצות‬
‫קשר הנפיצה הוא הקשר ‪ k ‬‬
‫‪ . ‬כאשר אין נפיצות‬
‫‪  k   vk‬‬
‫ואז‬
‫מהירות פאזה‬
‫המהירות של גל באורך גל מסוים‬
‫רכיב מתוך חבורת גלים‬
‫‪ k ‬‬
‫‪k‬‬
‫מהירות חבורה‬
‫המהירות הכוללת של חבורת גלים‬
‫‪ k‬מתאים לאורך הגל המרכזי‬
‫‪d‬‬
‫‪dk‬‬
‫‪Vg ‬‬
‫כאשר יחס הנפיצה הוא‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪vg ‬‬
‫‪  2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ 4 ‬‬
‫‪ c2  2   4 ‬‬
‫‪t 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  eik  x vt ‬‬
‫‪ c 2 1   k 2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪n1 sin 1  n2 sin 2 n  c / v‬‬
‫‪n1  n2  sin c  n2 / n1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪kt  0  kt  i‬‬
‫‪ t  At eik r  At eik x e  z‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪v p  vg  gh‬‬
‫‪  17mm‬‬
‫באדוות‬
‫צריך להתחשב במתח הפנים‪,‬‬
‫אבל אפשר להזניח את‬
‫הכבידה‪ ,‬והמים תמיד עמוקים‬
‫‪v p  ( /  )k‬‬
‫‪3‬‬
‫‪  ( /  )k‬‬
‫‪vg  32 (  /  )k‬‬
‫במים סטנדרטיים‬
‫‪ ‬מתח הפנים‪  ,‬צפיפות המים‬
‫צופה נע‬
‫עבור ‪/ v  1‬‬
‫‪v0‬‬
‫שתי הנוסחאות זהות‬
‫מקור וצופה נעים‬
‫‪ v  vo cos  ‬‬
‫‪f ' f ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ v  vs cos  ‬‬
‫‪i‬‬
‫* כאשר ‪ ‬זווית משתנה בזמן‪ ,‬והיא הזווית ביניהם (בין מה בדיוק? המהירויות‬
‫אולי?) בזמן שליחת הגל שאותו מודדים‪.‬‬
‫אפקט דופלר היחסותי‬
‫בקו ישר‬
‫גלים במספר מימדים‬
‫משוואת הגלים ב‪3D‬‬
‫‪1   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪v 2 t 2 T t 2‬‬
‫פתרון המשוואה‬
‫‪ – n‬כיוון הקרן של הגל‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪k  kn‬‬
‫בתוף מלבני בעל מימדים ‪, Ly‬‬
‫ואז נקבל‪:‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪  Ae ‬‬
‫‪i t  k r‬‬
‫‪  0, y, t     x, 0, t   0‬‬
‫‪–L‬‬
‫‪x‬‬
‫‪  Lx , y, t     x, Ly , t   0‬‬
‫ת"ש הם שהגל מתאפס בדפנות‬
‫ננחש פתרון שניתן לבצע עבורו‬
‫הפרדת משתנים‪:‬‬
‫‪  x, y, t   X  x   Y  y   T  t ‬‬
‫‪ 1  2 X 1  2Y ‬‬
‫‪1  2T‬‬
‫‪ v2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪T t‬‬
‫‪Y y 2 ‬‬
‫‪ X x‬‬
‫‪v 2  k12  k22    2‬‬
‫‪T  t   A cos t   ‬‬
‫‪X  C sin k1 x  D cos k1 x‬‬
‫בום על‪-‬קולי‬
‫כאשר‬
‫‪vs  v‬‬
‫‪n, m  0,1,..‬‬
‫‪m‬‬
‫‪Ly‬‬
‫‪k2 ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Lx‬‬
‫‪m , n   / 2‬‬
‫‪m,n  v k12  k22‬‬
‫אופני תנודה מנוונים יתקבלו כאשר התוף הוא מרובע‪ .‬אז סכום של אופני תנודה יכול‬
‫לתת לנו קווי צומת מיוחדים‪.‬‬
‫כאשר ‪ J‬היא פונקצית בסל‪.‬‬
‫‪n,m 2  v 2 kn,m 2‬‬
‫בכיוון ההתקדמות הגוף כל הזמן יהיה עם חזית הגלים ושם‬
‫‪s‬‬
‫‪k1 ‬‬
‫‪Fn,m  r ,   eim J n1  km,n r ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪s‬‬
‫‪M‬‬
‫‪-2-‬‬
‫‪c‬‬
‫‪sin c  v / vs‬‬
‫‪c   / 2   M‬‬
‫גלים אלקטרומגנטיים‬
‫משוואות מקסוול בריק‬
‫ב ‪cgs‬‬
‫‪  0, j  0‬‬
‫משוואות מקסוול בחומר‬
‫‪D   E B  H‬‬
‫‪P  E‬‬
‫‪  1  4‬‬
‫משוואת הגלים בחומר‬
‫‪1 B‬‬
‫‪c t‬‬
‫‪4 J 1 E‬‬
‫‪ B ‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c t‬‬
‫‪  E  4‬‬
‫‪ E  ‬‬
‫‪B  0‬‬
‫‪1 B‬‬
‫‪c t‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1 D‬‬
‫‪ B ‬‬
‫‪J free ‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c t‬‬
‫‪ E  ‬‬
‫‪  D  4 free‬‬
‫‪B  0‬‬
‫‪ 2 E‬‬
‫‪2‬‬
‫מהירות הגלים הא"מ בחומר‬
‫‪v2 ‬‬
‫‪v ‬‬
‫‪1  s ‬‬
‫‪c‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ v‬‬
‫‪‬‬
‫‪f '  f 1  s cos  ‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫"חרוט מאך"‪ .‬מחוץ לחרוט לא‬
‫שומעים כלום‪ .‬בשפה של החרוט‬
‫‪vs t‬‬
‫‪vs‬‬
‫מצטברים כל הגלים שצריכים היו‬
‫לנוע קדימה‪ .‬מקבלים אמפליטודות‬
‫‪c‬‬
‫גדולות ויש אי רציפות בצפיפות‬
‫‪M‬‬
‫האוויר ולכן שומעים בום גדול‬
‫‪vt‬‬
‫כששפת החרוט עוברת אותנו‪ .‬בתוך‬
‫החרוט שומעים את הגוף עם אפקט‬
‫דופלר רגיל‪.‬‬
‫מספר מאך הוא היחס בין המהירות למהירות הקול‪.‬‬
‫זווית מאך היא הזווית בין מרכז העיגול התחום על ידי החרוט לבין כיוון‬
‫התקדמות הגוף‪ . cos  v / v :‬זווית פתיחת החרוט היא ‪‬‬
‫‪n x‬‬
‫‪m y‬‬
‫‪  x, y, t    Am,n sin‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪cos m,nt  m,n ‬‬
‫‪Lx‬‬
‫‪Ly‬‬
‫‪m,n‬‬
‫אופן התנודה של‬
‫יריעה מעגלית ברדיוס ‪:a‬‬
‫‪ v   v ‬‬
‫‪f '  f 1  s  / 1  s ‬‬
‫‪c ‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫תצטבר אנרגיה רבה‪.‬‬
‫כאשר ‪ v  v‬יווצר חרוט שנקרא‬
‫‪Y  E sin k2 y  F cos k2 y‬‬
‫כאשר‬
‫‪i‬‬
‫אפקט דופלר היחסותי‬
‫אם יש ביניהם זווית ‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ v‬‬
‫‪‬‬
‫‪f '  f 1  s cos  ‬‬
‫‪ v‬‬
‫‪‬‬
‫* מהירות חיובית אומרת שהגופים מתקרבים זה לזה‬
‫* מהירות הגל היא ביחס לתווך ‪v  c / n‬‬
‫] ‪  1000 [kg / m3‬‬
‫]‪  0.073[ N / m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ v‬‬
‫‪‬‬
‫‪f '  f 1  o cos  ‬‬
‫‪v‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  gh  k‬‬
‫‪th  kh   kh‬‬
‫ומכאן ש‪-‬‬
‫‪kix  ktx  ki sin i  kt sin t‬‬
‫מקור נע‬
‫‪vp  g / k‬‬
‫במים רדודים‬
‫עבור הגל המועבר נקבל‬
‫‪vs  vsrc vo  vobserver‬‬
‫משוואת הגל עבור התוף היא‪:‬‬
‫‪Vp ‬‬
‫הפתרון‬
‫‪th  kh   1‬‬
‫‪i   r‬‬
‫אפקט דופלר‬
‫‪  gk‬‬
‫מת"ש ‪ D  F  0‬ולכן‬
‫לקבלת פתרון לא טריוויאלי‬
‫מהירות הפאזה שווה למהירות החבורה‪.‬‬
‫משוואת התנועה עבור מיתר‬
‫קשיח‬
‫במים עמוקים‬
‫‪ki  kr‬‬
‫אם מרחק המעבר קצר מספיק – הגל יכול להמשיך להתקדם מעבר השני של‬
‫המרווח‬
‫)‪ 2   gk  ( /  )k 3  tanh(kh‬‬
‫‪g/k /2‬‬
‫‪B  A‬‬
‫קצה חופשי ב ‪x=0‬‬
‫משוואת הנפיצה‬
‫‪2‬‬
‫ניקח את השורש השלילי‬
‫ונקבל את חוק ההחזרה‪:‬‬
‫ולכן ייצג גל שדועך‬
‫אקספוננציאלית (גל חולף)‪:‬‬
‫‪ x ( x, y, t )   A / kh  sin t  kx ‬‬
‫גלים עומדים‬
‫‪2‬‬
‫מעבר לזווית הקריטית נקבל‬
‫שהגל המועבר הוא בעל‬
‫‪ y ( x, y, t )  A 1  y / h  cos t  kx ‬‬
‫מים רדודים ‪kh  1‬‬
‫‪kix  krx  ktx ,‬‬
‫‪kiy  0  kry  kty  0‬‬
‫הזווית הקריטית‬
‫יש הפרש של ‪ 03‬מעלות בין האמפליטודות‪ :‬תנועה אליפטית‪.‬‬
‫מים עמוקים ‪kh  1‬‬
‫‪ x ( x, y, t )  Aeky sin t  kx ‬‬
‫‪kiy  kry  kty‬‬
‫ומכאן נקבל את חוק סנל‪:‬‬
‫‪Az  y   iA‬‬
‫‪ y ( x, y, t )  Aeky cos t  kx ‬‬
‫‪i‬‬
‫לכן הגל המוחזר יקיים‬
‫‪Ay  y   A‬‬
‫‪sinh  kh ‬‬
‫‪cosh  k  y  h  ‬‬
‫‪r‬‬
‫נניח שעבור הגל הנכנס‬
‫‪Ay  0   a sinh  kh   A‬‬
‫‪z ‬‬
‫‪  At e‬‬
‫‪ Ar e‬‬
‫‪ Ae‬‬
‫‪ i‬‬
‫‪ki  kr , vi ki  vt kt‬‬
‫נניח שהמישור המפריד הוא‬
‫במישור ‪ x-y‬ונקבל שעל המישור‪:‬‬
‫‪Ay (h)  0‬‬
‫‪sinh  k  y  h  ‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z  L0 / C0  V / I‬‬
‫‪it‬‬
‫‪ikt r‬‬
‫‪ikr r‬‬
‫‪iki r‬‬
‫הגל צריך להיות רציף במעבר דרך המישור המפריד‪ ,‬לכן המשוואות צריכות‬
‫להתקיים לכל ‪ r‬במישור המפריד‪k  r  k  r  k  r :‬‬
‫* על פני המים יש תנועה מעגלית של כל חלקיק‪ ,‬ככל שיורדים לעומק התנועה‬
‫יותר דומה לאליפסה והאמפליטודה הכללית יורדת‪ ,‬עד שבקרקעית יש רק‬
‫תנועה מחזורית בכיוון ציר ‪.x‬‬
‫* מים עמוקים\רדודים – ההגדרה תלויה ביחס בין אורך הגל לעומק‪.‬‬
‫* במים עמוקים ‪ -‬תנועה מעגלית עם אמפליטודה שיורדת אקספוננציאלית‬
‫בעומק‪ .‬במים רדודים ‪ -‬אליפסות מאוד שטוחות‪ A ,‬לא תלוי בעומק‪.‬‬
‫מכאן מקבלים את האמפליטודות‪:‬‬
‫‪ i  r   t‬‬
‫‪c t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪c‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 E ‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪v‬‬
‫דף נוסחאות בגלים (אוניברסיטת ת"א‪)2002 ,‬‬
‫‪E  z, t   E0e ‬‬
‫‪i kz  wt ‬‬
‫גל מישורי המתקדם בציר ‪Z‬‬
‫בגל מישורי מתקיים‬
‫‪-3-‬‬
‫‪‬‬
‫מקרה‬
‫השדה החשמלי מקוטב‬
‫במקביל למישור הפגיעה‬
‫‪B  nE E  B E  B || k‬‬
‫בגל מישורי המתקדם בריק‬
‫ב‪MKS-‬‬
‫‪k  E0   B0‬‬
‫‪k  E0  0‬‬
‫‪k  B0   c E0‬‬
‫‪k  B0  0‬‬
‫בגל מישורי מקוטב בכיוון ‪X‬‬
‫המתקדם בציר ‪ Z‬ב‪MKS-‬‬
‫‪Bx   1c Ey Bx  1c Ex‬‬
‫‪2n1 cos ‬‬
‫‪Ei  T Ei‬‬
‫‪n1 cos   n2 cos ‬‬
‫‪ET ‬‬
‫‪n1 cos   n2 cos ‬‬
‫‪Ei  R Ei‬‬
‫‪n1 cos   n2 cos ‬‬
‫‪ER ‬‬
‫זווית ברוסטר – בה הגל‬
‫המוחזר במקביל למישור‬
‫הכניסה מתאפס‬
‫‪   B  ER  0‬‬
‫‪‬‬
‫מקרה‬
‫השדה החשמלי בקיטוב‬
‫ניצב למישור הפגיעה‬
‫קיטוב‪ ,‬שבירה כפולה ופעילות אופטית‬
‫נגדיר את כיוון הקיטוב לפי השדה החשמלי‬
‫המקרה הכללי‬
‫קיטוב ליניארי‪ ,‬קווי כאשר‬
‫‪1  2  0, ‬‬
‫רכיבי האמפליטודה הם ממשיים‬
‫ˆ‪E0  E0 x xˆ  E0 y y‬‬
‫זוויות הקיטוב (הנמדדת מציר ‪:)x‬‬
‫‪tan   E0 y / E0 x‬‬
‫קיטוב מעגלי‬
‫‪1  2   2‬‬
‫‪Eox  E0 y‬‬
‫‪( RCP‬סיבוב ימינה)‬
‫ˆ‪E0  E0 xˆ  iE0 y‬‬
‫‪( LCP‬סיבוב שמאלה)‬
‫ˆ‪E0  E0 xˆ  iE0 y‬‬
‫קיטוב אליפטי‬
‫‪n1 cos   n2 cos ‬‬
‫‪n1 cos   n2 cos ‬‬
‫‪R ‬‬
‫‪ ,  0‬‬
‫חוק מלוס עבור מקטב אידיאלי‬
‫‪ - ‬הזויות בין הגל הקווי למקטב‬
‫שבירה כפולה‪ -‬חומר בעל מקדם‬
‫שבירה שונה לכל ציר‬
‫‪ -z‬עובי החומר שבו הגל עובר‬
‫‪ki  c ni‬‬
‫‪ k x  z  kz‬‬
‫‪y‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ n c z  n 2 z‬‬
‫לוח רבע גל‬
‫‪kz  2‬‬
‫נשים לב שזהו לוח רבע גל לאורך‬
‫גל מסוים‪ ,‬לאורך גל אחר הוא לא‬
‫ישמש כלוח רבע גל‪ .‬כנ"ל לגבי‬
‫לוח חצי גל‪.‬‬
‫לוח חצי גל‬
‫‪kz  ‬‬
‫גל מקוטב קווית יסובב בזוויות‬
‫‪ 2‬כאשר ‪ ‬היא הזוויות בין‬
‫מישור הקיטוב של הגל והציר‬
‫המהיר של הלוח‬
‫‪‬‬
‫‪circular‬‬
‫‪ xˆ  iyˆ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪circular ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ xˆ  iyˆ  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪linear‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ xˆ  yˆ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪LCP‬‬
‫‪ xˆ  iyˆ ‬‬
‫‪linear‬‬
‫‪ xˆ  yˆ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪RCP‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xˆ  iyˆ  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫התאבכות ‪ 2‬מקורות‬
‫הפרש הפאזה‬
‫‪ –r‬המרחק ממקור ‪ i‬לצופה‬
‫‪‬‬
‫‪linear‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ xˆ  yˆ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫פעילות אופטית‬
‫אינדקס שבירה שונה לקיטוב מעגלי ימני או שמאלי‪.‬‬
‫אור לינארי (‪ RCP+LCP‬באותה פאזה ותד') יצא לינארי כאשר מישור הקיטוב‬
‫יסובב בזוויות של ‪ . 1 ‬כאשר מכניסים גל מקוטב קווית בציר ‪:x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪in : xˆ  12  xˆ  iyˆ   12  xˆ  iyˆ   RCP  LCP‬‬
‫אנרגיה של גל א"מ‬
‫צפיפות האנרגיה‬
‫‪2‬‬
‫שטף האנרגיה – וקטור‬
‫‪poynting‬‬
‫‪S  4c E  B‬‬
‫שטף האנרגיה בגל מישורי‬
‫ˆ‪S  4c nE 2 k‬‬
‫שטף האנרגיה בגל סינוס –‬
‫קשר בין צפיפות אנרגיה לשטף‬
‫ˆ‪S  nc ukˆ  vuk‬‬
‫‪  E  B   d A‬‬
‫‪P   S  da  4c‬‬
‫‪P  1v ukˆ  vS2‬‬
‫צפיפות התנע‬
‫עוצמה‬
‫‪sin(2 )  2sin  cos ‬‬
‫‪cos(2 )  cos 2   sin 2   2 cos 2   1‬‬
‫התאבכות בונה כאשר‬
‫‪ – d‬המרחק בין המקורות‬
‫‪sin(3 )  3sin   4sin 3 ‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪cos( A  B)  cos( A) cos( B) sin( A) sin( B‬‬
‫‪I  A1  A2  2 A1 A2 cos ‬‬
‫)‪sin   sin   2sin( a / 2   / 2) cos( a / 2   / 2‬‬
‫‪d sin   m‬‬
‫)‪sin   sin   2sin( a / 2   / 2) cos( a / 2   / 2‬‬
‫)‪cos   cos   2sin( a / 2   / 2) cos( a / 2   / 2‬‬
‫‪m  0,1, 2,...‬‬
‫‪2‬‬
‫‪d sin    m  12  ‬‬
‫התאבכות הורסת כאשר‬
‫)‪cos   cos   2sin( a / 2   / 2) cos( a / 2   / 2‬‬
‫‪sin  cos   1/ 2  sin( a   )  sin(   ) ‬‬
‫‪sin 2 N 12 ‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ I0 N 2‬‬
‫‪sin 2 12 ‬‬
‫עוצמת המקסימום הראשי‬
‫רוחב מקסימום ראשי‬
‫‪2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ 2 sin ‬‬
‫‪N‬‬
‫‪‬‬
‫‪sin   y / D‬‬
‫‪arcsin   arccos    / 2‬‬
‫משפט הקוסינוסים והסינוסים‪:‬‬
‫טורק‬
‫‪  r  F  I‬‬
‫משפט שטיינר‬
‫עקיפה מסדק וכושר הפרדה‬
‫עקיפה מסדק יחיד ברוחב‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ sin u ‬‬
‫‪I    I   0  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ u ‬‬
‫‪u  12 kL sin    L sin ‬‬
‫‪I  I cm  ma 2‬‬
‫מומנט אינרציה של מוט‬
‫‪ sin u1   sin u2 ‬‬
‫‪I  x , y   I  0, 0  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ u1   u2 ‬‬
‫עקיפה מסדק מעגלי בעל‬
‫פונק' בסל‬
‫קוטר ‪,D‬‬
‫‪Ji u ‬‬
‫‪2‬‬
‫מומנט אינרציה של דיסקית‬
‫‪f  x, y  eik sin x e‬‬
‫כוח עילוי‬
‫‪ gR3‬‬
‫‪Ji u ‬‬
‫‪u‬‬
‫‪I    I   0 ‬‬
‫כוח החיכוך לפי חוק סטוקס‬
‫פונקציות היפרבוליות‬
‫‪coshx   e x  e  x  / 2‬‬
‫כושר ההפרדה הספקטרלי‬
‫של סריג ‪ – n‬סדר העקיפה‬
‫‪ –N‬מספר החריצים‬
‫תנאי השפה‬
‫השדה החשמלי המקביל למישור‬
‫המגע בין ‪ 2‬החומרים רציף‬
‫השדה המגנטי הניצב למישור‬
‫המגע בין ‪ 2‬החומרים רציף‬
‫‪B1  B2 ‬‬
‫||‪H1||  H 2|| B1||  B2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪nN‬‬
‫‪D1  D2‬‬
‫משוואות פרנל – חלוקה של גל א"מ העובר בין תווכים (מ‪ n1‬ל‪)n2-‬‬
‫לסופרפוזיציה של ‪ 2‬מקרים‪ .‬מישור הפגיעה מוגדר ע"י האנך למשטח בנק'‬
‫הפגיעה והקרן הפוגעת‪ -  .‬זוויות הפגיעה ביחס לאנך ‪ - ‬זוויות השבירה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫* בכל המקרים מדובר בעקיפת פראונהופר‪ ,‬כלומר משדה רחוק‬
‫יחידות – ‪mks vs. cgs‬‬
‫‪coulomb 2‬‬
‫‪newton  m 2‬‬
‫‪newtons‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0  4 107‬‬
‫‪ 0 0  2‬‬
‫‪amper 2‬‬
‫‪c‬‬
‫‪ 0  8.854 1012‬‬
‫‪B‬‬
‫‪t‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ 0 J‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ E  ‬‬
‫‪E  ‬‬
‫‪  B   0 0‬‬
‫‪B  0‬‬
‫גודל שקול ב‪cgs-‬‬
‫‪102 cm‬‬
‫‪105 dyne‬‬
‫‪MKS‬‬
‫‪meter‬‬
‫‪Newton‬‬
‫סימן‬
‫‪s‬‬
‫‪F‬‬
‫גודל‬
‫מרחק‬
‫כוח‬
‫‪107 ergs‬‬
‫‪joule‬‬
‫‪W‬‬
‫עבודה‬
‫‪2.998 109 esu‬‬
‫‪2.998 109 esu / sec‬‬
‫‪1/ 299.8 statvolts‬‬
‫‪coulomb‬‬
‫‪ampere‬‬
‫‪volt‬‬
‫‪q‬‬
‫‪I‬‬
‫‪‬‬
‫‪1/ 29980 statvolts / cm‬‬
‫‪Volts/meter‬‬
‫‪E‬‬
‫מטען‬
‫זרם‬
‫פוטנציאל‬
‫חשמלי‬
‫שדה חשמלי‬
‫‪-3-‬‬
‫‪cosh 2 x  2 cosh 2 x  1  2sinh 2 x  1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪sinh x   e x  e  x  / 2‬‬
‫‪sinh x e x  e  x‬‬
‫‪‬‬
‫‪cosh x e x  e  x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cosh x  sinh x  1‬‬
‫‪sinh 2 x  2sinh x cosh x‬‬
‫‪ ‬‬
‫עבור סדק מעגלי‬
‫‪ – d‬קוטר הסדק‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪fball ‬‬
‫‪tanh x ‬‬
‫‪I    I   0   ‬‬
‫‪kL sin        / L‬‬
‫משוואות מקסוול ב‪MKS-‬‬
‫||‪E1||  E2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪I  mR‬‬
‫‪f  6 Rx‬‬
‫‪u1   L sin  x‬‬
‫‪  1.22 / d‬‬
‫קבועים‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f   waterVbody g‬‬
‫‪u  2 D sin ‬‬
‫כושר הפרדה‬
‫‪ – L‬רוחב המכשיר האופטי‬
‫‪I  121 ml 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪u2   L sin  y‬‬
‫‪ iky sin  y‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2r‬‬
‫‪sin sin  sin‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪c  a  b  2 ab cos ‬‬
‫כללי‬
‫* רוחב המקסימות המשניות הוא חצי מרוחב המקסימום הראשי‪.‬‬
‫* בין כל זוג מקסימות ראשיות יש ‪ N-1‬נקודות צומת ו‪ N-2-‬מקסימות משניות‪.‬‬
‫* מקסימות ראשיות יתקבלו ב ‪   2 m‬נקודות צומת ב ‪  2 m / N‬‬
‫עקיפה מסדק מלבני‬
‫שצלעותיו בגודל ‪a,b‬‬
‫‪cos  cos   1/ 2  cos( a   )  cos(   ) ‬‬
‫‪  2‬‬
‫* ‪ ‬הזויות בין הקו המחבר את הצופה לראשית (בין המקורות) לבין ציר ‪x‬‬
‫* ‪ - y‬הרוחב על המסך הקולט‪– D ,‬המרחק האופקי(!) בין הצופה למקורות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin  sin   1/ 2  cos( a   )  cos(   ) ‬‬
‫‪I  I0‬‬
‫‪I max  N 2 I 0‬‬
‫ˆ‪LCP : L ||  kˆ RCP : L || k‬‬
‫שבירה והחזרה של גל א"מ‬
‫‪1  tan 2   1/ cos 2 ‬‬
‫‪  kd sin ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪u  r   81  E  B   12 E  P‬‬
‫ההקבלה בחומר דיאלקטרי‪,‬‬
‫מבודד במקרה שבו‬
‫‪1  cot 2   1/ sin 2 ‬‬
‫הכללה לעקיפה בסדק ‪ 2D‬כאשר ‪ f‬פונק' ההעברה‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪cot(90   )  tan ‬‬
‫‪tan(90   )  cot ‬‬
‫‪sin 2   cos 2   1‬‬
‫‪cos(3 )  4 cos   3cos ‬‬
‫‪‬‬
‫תנע זוויתי‬
‫לגל מקוטב קווי אין ת‪.‬זוויתי‬
‫‪; cos   x   cos x‬‬
‫‪sin   x    sin x‬‬
‫)‪sin( A  B)  sin( A) cos( B)  cos( A) sin( B‬‬
‫‪out : 12  xˆ  iyˆ   12  xˆ  iyˆ  ei  ei / 2 xˆ cos 2  yˆ sin 2‬‬
‫הספק‬
‫‪sin  2  x   cos x ; cos  2  x   sin x‬‬
‫‪  k  r1  r2   2k  r1  r2 ‬‬
‫ההפרש הפאזה‬
‫במרחק רב מהמקורות‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪linear‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ xˆ  yˆ ‬‬
‫‪2‬‬
‫זהויות טריגונומטריות‬
‫‪sin   x   sin x ; cos   x    cos x‬‬
‫התאבכות‬
‫התאבכות מ ‪ N‬מקורות זהים‬
‫‪ - ‬הפרש הפאזה בין כל זוג‬
‫מקורות סמוכים‬
‫‪I    I 0 cos2 ‬‬
‫‪108 gauss  cm2‬‬
‫‪weber‬‬
‫‪‬‬
‫שטף מגנטי‬
‫‪sec/ cm‬‬
‫) ‪tan(2 )  2 tan  /(1  tan 2 ‬‬
‫בשאר המקרים‪.‬‬
‫דיכרואיזם – בליעה סלקטיבית‪ .‬העברה של הגל רק בקיטוב מסוים‪ .‬יעבור‬
‫רק ההיטל של וקטור הגל על הציר הקיטוב‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪2n1 cos ‬‬
‫‪n1 cos   n2 cos ‬‬
‫‪T ‬‬
‫‪104 gauss‬‬
‫‪tesla‬‬
‫‪B‬‬
‫שדה מגנטי‬
‫‪12‬‬
‫‪2n1‬‬
‫‪n n‬‬
‫‪T  T ‬‬
‫‪R  R  1 2‬‬
‫‪n1  n2‬‬
‫‪n1  n2‬‬
‫בכניסה ניצבת‬
‫‪E   E0 x cos  kz  t  1  , E0 y cos  kz  t  2 ‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪tan  B ‬‬
‫‪1.139 10‬‬
‫‪ohm‬‬
‫‪R‬‬
‫התנגדות‬
‫אינטגרלים חשובים‬
-4-
)2002 ,‫דף נוסחאות בגלים (אוניברסיטת ת"א‬
 sin x dx   cos x  c
 sinh x dx  cosh x  c
1
 cos
2
x
 cos x dx  sin x  c
 cosh x dx  sinh x  c
1
 sin
dx  tan x  c
2
x
dx   cot x  c
 tan x dx   ln cos x  c
 cot x dx  ln sin x  c
ax
 a dx  ln a  c
a
x
a
2
1
1 ax
dx  ln
c
 x2
2a a  x
2
1
1
x
dx  arctan    c
 x2
a
a
1
x
dx  arcsin    c
a
a2  x2
1
1
 1  x2 dx  tanh x  c

1
dx  ln x  x 2  a 2  c
x2  a2
1
1
1
1
 1  x2 dx  sin x  c
  1  x2 dx  cos x  c
1
1
1
1
 1  x2 dx  sinh x  c
 x2 1 dx  cosh x  c
1
1
2
2
 sin xdx  2  x  sin x cos x 
 cos xdx  2  x  sin x cos x 
1
n  1 n2
n
n 1
 sin xdx   n cos x sin x  n  sin xdx
1
n 1
n
n 1
n2
 cos xdx  n sin x cos x  n  cos xdx
1
1
2
2
 sinh xdx  2 sinh x cosh x  x   cosh xdx  2 sinh x cosh x  x 
cos ax x sin ax
sinax x cos ax
 x cos axdx  a2  a
 x sin axdx  a2  a

‫פיתוחי טיילור נפוצים‬
1  x 
1
 1  x  x ..
2
2
x
..
2!
3
x
x5
sin x  x   ..
3! 5!
x3 2 x5
tan x  x  
..
3 15
ex  1  x 
-4-
1  x 

 1   x  ...
x 2 x3 x 4
  ..
2 3 4
2
x
x4
cos x  1   ..
2! 4!
1 x x3
cot    ..
x 3 45
ln 1  x   x 