doc∑ ∏
download 
Report Transcription
∑ ∏
מתמטיקה דיסקרטית – גליון תרגילים מספר 1
a n +1 − 1
.1הוכיחו באינדוקציה את נוסחת הטור הגיאומטרי:
a −1
לכל מספר ממשי . a ≠ 0,1
n
= ∑ a i ≡ a 0 + a1 + L + a n
i =0
.2הוכיחו באינדוקציה :לכל nטבעי אי-זוגי ,ולכל aו bטבעיים ,הביטוי an+bnמתחלק בa+b
ללא שארית.
.3א .הוכיחו בעזרת אינדוקציה שלמה ,שכל מספר טבעי n>1ניתן לרשום כמכפלה של מספרים
ראשוניים.
n
ב .מספרי פרמה ) (Fermat numbersהם מהצורה , Fn = 2 2 + 1עבור ….n=0,1,2
n −1
הוכיחו באינדוקציה≡ F0 ⋅ F1 ⋅ K ⋅ Fn −1 = Fn − 2 :
∏F
k
k =0
ג .העזרו בסעיף ב' כדי להראות שעבור , m ≠ nל Fmול Fnאין מחלק משותף .הסיקו כי קיימים
אינסוף מספרים ראשוניים.
.4במלבן מעבירים מספר סופי של קוים ישרים ,ובכך מחלקים אותו לאזורים) .כל אחד מהקוים
חוצה את כל המלבן ,ואינו נעצר באמצע (.הוכח באינדוקציה שאפשר לצבוע כל אזור באחד
משני צבעים ,כך ששני אזורים שנוגעים לאורך קטע )לא נקודה( יהיו בצבעים שונים.
.5הוכח שלכל nמתקיים:
א) 11 | 10 2 n + 2 ⋅ 10 n + 1 .לכל nטבעי אי-זוגי(
ב7 | 5 ⋅ 3 4 n +1 − 2 2 n .
ג9 | 4 4 n − 3n − 1 .
2005 ,zihxwqic dwihnzna 1 libxz oexzt
:lawp
n=0
xear . n lr divwecpi`a zrvazn dgkedd .1
1 = a0 =
.n+1 xear dze` gikepe itivtq
a1 − 1
=1
a−1
n xear dpekp dprhdy gipp ,divwecpi`d alya
:okae
n+1
X
ai
n
X
=
ai + an+1
i=0
n+1
i=0
−1
+ an+1
a−1
an+1 − 1 + an+2 − an+1
an+2 − 1
=
a−1
a−1
a
=
=
.yweank
dze` gikepe itivtq
n
xear dpekp dprhdy gipp .dxexa dprhd , n
a=b
cibp ,mipey mdy gipdl xyt` okl .dheyt dprhd f`
:zrk .b
an+2 + bn+2
=
=
=
+ ba
=1
+2
(zeillkd zlabd `ll)
a + ba
wlgzn oey`xd iehiad zrk
wlgzn mekqd okl (.iaeig mb `ede)
a + ba
z` meyxl ozipy miiwzn , m
wlgzn
< n lkly gipp .divwecpi`a dgkedd
n xear dprhd z` gikep zrk .miipey`x ly dltknk m
xear n = m1 m2 miiwzn ,zxg` .wexit envrl deedn `ed f` ipey`x
xeza m2 z`e m1 z` meyxl ozip ,divwecpi`d zgpdn . m1 , m2 < n
.n ly wexit aipn m2 e m1 ly miwexitd xeyxy .miipey`x ly dltkn
n
xear .2
xear
(an + bn )a2 + bn+2 − a2 bn
(an + bn )a2 + bn (b2 − a2 )
(an + bn )a2 + bn (b − a)(a + b)
i`cea ipyd iehiade ,divwecpi`d zgpdn
.a
> ay
m` .n
.3
(a)
m` .envr
:wecap
0
1
F0 = 22 + 1 = 3 = 22 + 1 − 2 = F1 − 2
1
n=1
xear (b)
:okae . n
+1
xear dze` gikepe , n xear dprhd zepekp z` gipp zrk
n+1−1
Y
Fi
= Fn
i=0
n−1
Y
Fi
i=0
= (Fn − 2)Fn = Fn 2 − 2Fn
n
n
= (22 + 1)2 − 2 · (22 + 1)
n
n
n
= 22 ·2 + 2 · 22 + 1 − 2 · 22 − 2
n+1
= 22
− 1 = Fn+1 − 2
`ed if` ( i
< jy
Fi z` wlgn xy` mxeb yi m`
Qj−1
− k=0 Fk = 2 z` mb wlgn
(envr `edy okzii) cg` ipey`x mxeb zegtl yi Fi lkly o`kn .dfk mxeb
.miipey`x seqpi` yi okle mi Fi seqpi` yi .xg` Fj s` lv` riten epi`y
k"da gipp)
Fj
z`e
(c)
oi` okle miibefi` md mi Fi d lk la` . Fj
rvap
.dxexa dprhd (oalna exared miew 0 `"f) cg` xefi` mr oaln xear .4
,eze` lhap ,edylk cg` ew xgap jk myl .oalna miewd xtqn lr divwecpi`
mixef`d (.divwecpi`d zgpd jnq lr) eicrla mdy itk mixef`d z` ravpe
,eizgzny dl` ,ewd
“lrn”y
dl` :mibeq dyelyn cg`l miltep eply oalna
jetdp ;eidy itk x`yp ewd lrn xy` mixef`d lk z` .ewd i"r mivgpy dl`e
xy` mixefi`d z`e —jtdle oall xegyn —ewl zgzn mixef`d ly ravd z`
ravae ewd lrny ivga ixewnd rava ,ywaznd ote`a ravp ewd i"r mivgp
ik ,ewd i"r mivgpy mixef`a wx zexwl dleki dxizq .zgzny ivga jetdd
my oi` ok`y xexa diipadne ,divwecpi`d zgpdn oiwz `ed oalnd x`y lk
(.rav eze`n mikenq mixef` bef `"f) dxizq
.jynda lln ly menipin yi okle ,oeirx eze` ixg` zeawer zegkedd lk .5
(a)
n = 1 : 102 + 2 · 10 + 1 = 121 = 112
:n
→n+2
102n+4 + 2 · 10n+2 + 1 = 104 · (102n + 2 · 10n + 1) − 18 · 11 · 10n − 909 · 11
(b)
n = 0 : 5 · 31 − 20 = 14 = 2 · 7
:n
5 · 34n+5 − 22n+2
→n+1
= 34 · (5 · 34n+1 − 22n ) + (81 − 4)22n
= 34 · (5 · 34n+1 − 22n ) + 11 · 7 · 22n
2
(c)
n = 0 : 40 − 3 · 0 − 1 = 0
:n
44n+4 − 3(n + 1) − 1
→n+1
= 44 · (44n − 3n − 1) + 3 · (44 − 1)n − 3 − 1 + 44
= 44 · (44n − 3n − 1) + 85 · 9n + 28 · 9
3
תרגיל מס' 2במתמטיקה דיסקרטית
.1הוכיחו את הזהויות הבאות ,הן באמצעות ציור והן בכתיבה מפורשת:
א.A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) .
ב.A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) .
ג) A∩(B∆C) = (A∩B)∆(A∩C) .ראו הגדרה בשאלה .(3
ד.A∪(B\C) = (A∪B)\(C∩Ac) .
ה.A\(B\C) = (A\B)∪(A∩C) .
ו) (A∆B)×C = (A×C)∆(B×C) .ראו הגדרה בשאלה .(3
ז.(A×A)\(B×C) = (A\B)×(A\C) .
.2תהיינה .A⊆B , C⊆Dהוכיחו את הטענות הבאות:
א.A∪C ⊆ B∪D .
ב.A∩C ⊆ B∩D .
ג.A×C ⊆ B×D .
.3יהיו A,Bקבוצות .נגדיר את ההפרש הסימטרי ביניהן כך:
)A∆B = (A\B)∪(B\A
)כאשר }(A\B = {x: x∈A, x∉B
א .הוכיחו כי ).A∆B = (A∩Bc)∪(B∩Ac
ב .הוכיחו כי לכל שלוש קבוצות A,B,Cמתקיים.(A∆B)∆C = A∆(B∆C) :
ג .הוכיחו כי לכל nטבעי x∈A1∆A2∆…∆Anאם"ם xשייך למספר אי-זוגי של קבוצות .Ai
)לאור סעיף א' ,אכן השמטת הסוגריים בביטוי הנ"ל מוצדקת(.
.4יהיו A,B,Cקבוצות סופיות ,הוכיחו:
||A∪B∪C| = |A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|A∩C|+|A∩B∩C
)רשמו הוכחה מסודרת ,אל תסתפקו בציור!(.
.5יחס Rנקרא יחס שקילות על קבוצה Aאם הוא מקיים את 3התכונות הבאות:
) (iרפלקסיביות aRa :לכל .a∈A
) (iiסימטריות.bRa ⇐ aRb :
) (iiiטרנזיטיביות.aRc ⇐ bRc , aRb :
א .יהי n≥2מספר טבעי .נגדיר את היחס הבא על קבוצת המספרים השלמים aRb :Zאם"ם ).n|(a-b
הוכיחו כי Rיחס שקילות.
ב .נגדיר תת-קבוצה של A×Aע"י } .D={(a,a): a∈Aהוכיחו כי Dיחס שקילות.
ג .יחס Rנקרא אנטי-סימטרי אם .b=a ⇐ bRa , aRb
הוכיחו כי אם יחס R⊆A×Aהוא גם סימטרי וגם אנטי-סימטרי ,אזי .R⊆D
בהצלחה! ☺
פתרון תרגיל מס' 2במתמטיקה דיסקרטית
שאלה ) 1פתרונות לסעיפים נבחרים(:
סעיף א':A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) :
⇔ )x∈(A∩B)∪(A∩C) ⇔ x∈A∩B or x∈A∩C ⇔ (x∈A and x∈B) or (x∈A and x∈C
)x∈A and (x∈B or x∈C) ⇔ x∈A, x∈B∪C ⇔ x∈A∩(B∪C
סעיף ג':A∩(B∆C) = (A∩B)∆(A∩C) :
⇔ )x∈ A∩(B∆C) ⇔ x∈A and x∈B∆C ⇔ x∈A and (x∈B or x∈C and x∉B∩C
)x∈A∩B or x∈A∩C and x∉A∩B∩C ⇔ x∈(A∩B)∆(A∩C
סעיף ו':(A∆B)×C = (A×C)∆(B×C) :
⇔ (x,c)∈(A∆B)×C ⇔ x∈A∆B, c∈C ⇔ x∈A or x∈B and x∉A∩B , c∈C
)(x,c)∈A×C or (x,c)∈B×C and (x,c)∉(A∩B)×C ⇔ (x,c)∈(A×C)∆(B×C
שאלה :2תהיינה .A⊆B , C⊆D
א :A∪C ⊆ B∪D .אם A⊆Bאז ודאי ש A⊆B∪D -ובדומה ,C⊆B∪Dלכן.A∪C ⊆ B∪D :
ב) A∩C ⊆ B∩C ⊆ B∩D :A∩C ⊆ B∩D .ההכלה הראשונה נובעת מ A⊆B -והשנייה מ.(C⊆D -
ג :A×C ⊆ B×D .ניקח ,(a,c)∈A×Cבגלל ההכלות ינבע ש a∈B -ו ,c∈D -לכן .(a,c)∈B×D
שאלה :3
א:A∆B = (A∩Bc)∪(B∩Ac) .
די להראות כי ,A\B=A∩Bcוזה נכון כי:
x∈A\B ⇔ x∈A and x∉B ⇔ x∈A and x∈Bc ⇔ x∈A∩Bc
ב .לכל שלוש קבוצות A,B,Cמתקיים:(A∆B)∆C = A∆(B∆C) :
נוכיח למעשה כי שני האגפים שווים ל-
)(A∩B∩C) ∪ (A∩Bc∩Cc) ∪ (Ac∩B∩Cc) ∪ (Ac∩Bc∩C
נוכיח את השוויון בין הביטוי הנ"ל לאגף שמאל .השוויון השני יתקבל באופן דומה.
)(A∆B)∆C = ((A∩Bc)∪(B∩Ac))∆C = (((A∩Bc)∪(B∩Ac))∩Cc) ∪ (((A∩Bc)∪(B∩Ac))c∩C
נפתח את שני הביטויים האחרונים בנפרד ,ונשתמש בחוקי דה-מורגן ובסעיפי שאלה :1
)((A∩Bc)∪(B∩Ac))∩Cc = (A∩Bc∩Cc) ∪ (B∩Ac∩Cc
•
= )((A∩Bc)∪(B∩Ac))c∩C = ((Ac∪B)∩(Bc∪A))∩C = ((C∩Ac)∪(C∩B)) ∩ (Bc∪A
•
= )(((C∩Ac)∪(C∩B))∩Bc) ∪ (((C∩Ac)∪(C∩B))∩A
)(C∩Ac∩Bc) ∪ (C∩B∩Bc) ∪ (C∩Ac∩A) ∪ (C∩B∩A) = (C∩Ac∩Bc) ∪ (C∩B∩A
)כי שתי הקבוצות האחרות הן ריקות(.
ג .לכל nטבעי x∈A1∆A2∆…∆Anאם"ם xשייך למספר אי-זוגי של קבוצות :Ai
נוכיח באינדוקציה על .n
1
בסיס האינדוקציה :עבור x∈A1 ,n=1אם"ם xשייך לקבוצה אחת בלבד .עבור ,n=2מההגדרה
x∈A1∆A2אם"ם x∈A1או x∈A2אך xאינו בחיתוך שלהם ,לכן x∈A1∆A2אם"ם xשייך בדיוק
לקבוצה אחת .עבור ,n=3שימו לב כי הטענה נובעת מהנוסחא שקיבלנו בסעיף הקודם.
הנחת האינדוקציה x∈A1∆A2∆…∆An-1 :אם"ם xשייך למספר אי-זוגי של קבוצות .Ai
שלב האינדוקציה :נוכיח את הטענה עבור nקבוצות.
מצד-אחד ,נניח כי .x∈(A1∆A2∆…∆An-1)∆An
x∈(A1∆A2∆…∆An-1)∆Anאם"ם x∈(A1∆A2∆…∆An-1)/Anאו ).x∈An\(A1∆A2∆…∆An-1
במקרה הראשון ,מהנחת האינדוקציה x ,שייך למספר אי-זוגי של קבוצות ,(i=1,…,n-1) Aiולכן
למספר אי-זוגי של קבוצות .(i=1,…,n) Aiבמקרה השני x∈An ,ו ,x∉(A1∆A2∆…∆An-1) -לכן
מהנחת האינדוקציה xשייך למספר זוגי של קבוצות (i=1,…,n-1) Aiול ,An -ולכן בסה"כ למספר אי-
זוגי של קבוצות .(i=1,…,n) Ai
מצד שני ,נשים לב שאם xשייך למספר אי-זוגי של קבוצות ,(i=1,…,n) Aiאז או ש x∉An -ו x -שייך
למספר אי-זוגי של קבוצות (i=1,…,n-1) Aiולכן ,x∈(A1∆A2∆…∆An-1)/Anאו ש x∈An -ו x-שייך
למספר זוגי של קבוצות ,(i=1,…,n-1) Aiולכן ) ,x∈An\(A1∆A2∆…∆An-1לפי הנחת האינדוקציה.
שאלה :|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|A∩C|+|A∩B∩C| :4
ראשית ,נוכיח כי |:|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B
זאת משום ש ,A∪B = (A\(A∩B)) ∪ (B\(A∩B)) ∪ (A∩B) -וזהו איחוד של שלוש קבוצות זרות .לכן:
||A∪B| = (|A| - |A∩B|) + (|B| - |A∩B|) + |A∩B| = |A| + |B| - |A∩B
עתה ,נשתמש בכלל זה ובסעיפי שאלה 1על-מנת לחשב את |:|A∪B∪C
= |)|A∪B∪C| = |A∪B| + |C| - |(A∪B)∩C| = |A| + |B| - |A∩B| + |C| - |(A∩C) ∪ (B∩C
||A| + |B| - |A∩B| + |C| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C
שאלה :5
א .יהי n≥2מספר טבעי .נגדיר את היחס הבא על קבוצת המספרים השלמים aRb :Zאם"ם ).n|(a-b
אזי Rיחס שקילות:
) (iרפלקסיביות.n|(a-a)=0 :
) (iiסימטריות :אם ) n|(a-bאז ).n|(b-a
) (iiiטרנזיטיביות :אם ) n|(a-bו n|(b-c) -אזי )) n|((a-b)+(b-cלכן ).n|(a-c
ב .נגדיר תת-קבוצה של A×Aע"י } .D={(a,a): a∈Aאז Dיחס שקילות:
) (iרפלקסיביות (a,a)∈D :מההגדרה.
) (iiסימטריות :אם (a,b)∈Dאז a=bולכן גם .(b,a)∈D
) (iiiטרנזיטיביות :אם (a,b)∈Dו (b,c)∈D -אז a=b=cולכן גם .(a,c)∈D
ג .אם יחס R⊆A×Aהוא גם סימטרי וגם אנטי-סימטרי ,אזי :R⊆D
אם Rסימטרי אז לכל (a,b)∈Rגם .(b,a)∈Rמשום ש R -אנטי-סימטרי.a=b ,
2
תרגיל מס' 3במתמטיקה דיסקרטית
.1נתונות שתי הפונקציות הבאות:
2 x if x < 6
g : Z → Z, g ( x ) =
x + 6 if x ≥ 6
n if n even
f : N → N, f ( n ) = 2
n + 1 if n odd
האם הפונקציות f,gחח"ע? האם הן על? הוכיחו טענתכם.
.2יהיו A,B,Cקבוצות ותהיינה f:ABו g:BC -שתי פונקציות .הוכיחו או הפריכו )על-ידי דוגמא
נגדית( כל-אחת מהטענות הבאות:
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
ו.
אם f,gחח"ע אז גם g°fחח"ע.
אם f,gעל אז גם g°fעל.
אם g°fעל אז fעל.
אם g°fעל אז gעל.
אם g°fחח"ע אז fחח"ע.
אם g°fחח"ע אז gחח"ע.
.3יהיו Aו B -קבוצות ו Z-קבוצת המספרים השלמים ,עם חיבור רגיל.
בהינתן פונקציות ,f:AZ , g:BZנגדיר פונקציות חדשות כך:
))h1: A×BZ×Z , h1((a,b)) = (f(a),g(b
)h2: A×BZ , h2((a,b)) = f(a)+g(b
))h3: A Z×Z , h3(a) = (f(a),f(a
הוכיחו או הפריכו )על-ידי דוגמא נגדית( כל-אחת מהטענות הבאות:
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
ו.
ז.
אם f,gחח"ע אז h1חח"ע.
אם f,gעל אז h1על.
אם f,gחח"ע אז h2חח"ע.
אם gעל אז h2על.
אם fחח"ע אז h3חח"ע.
אם fעל אז h3על.
אם fחח"ע ו g-על אז h1על.
.4תהיינה U,Vשתי קבוצות ,ותהיינה A,B⊆Uו .C,D⊆V -תהי f:UVפונקציה.
הוכיחו או הפריכו )על-ידי דוגמא נגדית( כל-אחת מהטענות הבאות .במקרה שהטענה אינה נכונה,
האם קיימת הכלה באחד הכיוונים? הוכיחו טענתכם.
א.
ב.
ג.
ד.
).f(A∪B) = f(A)∪f(B
).f(A∩B) = f(A)∩f(B
-1
).f (C∪D) = f-1(C)∪f-1(D
).f-1(C∩D) = f-1(C)∩f-1(D
.5יהיה R⊆Z×Zהיחס הבא ,|a|≤|b| ⇔ aRb :האם Rיחס סדר?
.6תהי Aקבוצה ויהי ≤ יחס סדר חלקי על .Aלכל a∈Aנתאים את תת-הקבוצה הבאה של :A
}Sa = {x∈A: x≤a
הוכיחו כי a≤bבסדר החלקי אם"ם .Sa⊆Sb
בהצלחה! ☺
פתרון תרגיל מס' 3במתמטיקה דיסקרטית
שאלה :1
•
הפונקציה fהיא על :יהי nשלם ,אז 2nזוגי ,לכן nיתקבל ע"י .f(2n) = 2n/2 = n
•
הפונקציה fאינה חח"ע :דוגמא נגדית.4 = f(8) = f(3) :
•
הפונקציה gאינה על :דוגמא נגדית :כל המספרים האי-זוגיים עד 11אינם מתקבלים.
•
הפונקציה gחח"ע :תהי ] g1:(-∞,5](-∞,10המוגדרת ע"י ,g1(x)=2xותהי )∞g2:[6,∞)[12,
המוגדרת ע"י .g2(x)=x+6שתי הפונקציות הללו חח"ע )הוכיחו!( ומשום שהטווחים שלהן זרים,
הפונקציה gהיא חח"ע.
שאלה :2
א .אם f,gחח"ע אז גם g°fחח"ע – נכון:
) g°f(x) = g°f(yאם"ם )) f(x)=f(yכי gחח"ע( וזאת אם"ם ) x=yכי fחח"ע(.
ב .אם f,gעל אז גם g°fעל – נכון:
יהי ,c∈Cמשום ש g-על ,קיים b∈Bעם .g(b)=cמשום ש f -על קיים a∈Aעם ,f(a)=bלכן .g°f(a)=c
ג .אם g°fעל אז fעל – לא נכון:
דוגמא נגדית :הקבוצות .C={1} ,A=B=N -הפונקציות g(x)=1 -לכל f(x)=0 ,xלכל .xאז g°f(x)=1
לכל .xלכן g°f :היא על ,Cאך fאינה על .B=N
ד .אם g°fעל אז gעל – נכון:
יהי ,c∈Cמשום ש g°f -על ,קיים a∈Aעם ,g°f(a)=cלכן ) b=f(aמקיים .g(b)=c
ה .אם g°fחח"ע אז fחח"ע – נכון:
נניח ש .f(x)=f(y) -נפעיל את gעל שני האגפים ונקבל ) g°f .g°f(x) = g°f(yחח"ע לכן .x=y
ו .אם g°fחח"ע אז gחח"ע – לא נכון:
דוגמא נגדית :הקבוצות .A=B=C=N -הפונקציות f(x)=2x -לכל g(x)=x/2 ,xלכל ) xהערך השלם
של .(x/2אז gאינה חח"ע כי למשל .g(4)=g(5)=2 :אך g°f(x)=xלכל xוזו פונקציה חח"ע.
שאלה :3
א .אם f,gחח"ע אז h1חח"ע – נכון:
נניח ש (f(a),g(b))=(f(a`),g(b`)) -אז )` f(a)=f(aו .g(b)=g(b`) -מההנחה ש f,g -חח"ע נקבל שa=a` -
ו ,b=b` -לכן )`.(a,b)=(a`,b
ב .אם f,gעל אז h1על – נכון:
× ,(c,d)∈Zמשום ש f,g -על ,קיימים a,bכך ש .f(a)=c , g(b)=d -אזי ).h1(a,b)=(c,d
נניח ש×Z -
ג .אם f,gחח"ע אז h2חח"ע – לא נכון:
דוגמא נגדית f(x)=x ,A=B=Z :לכל g(y)=-y ,xלכל .yאז h2((a,a))=0לכל aשלם.
1
ד .אם gעל אז h2על – נכון:
יהי xשלם .יהי yשלם כלשהו בטווח של ,fאז קיים aעם g .f(a)=yעל ,לכן קיים bעם ,g(b)=x-y
אזי .h2((a,b)) = y+(x-y) = x
ה .אם fחח"ע אז h3חח"ע – נכון:
נניח ש ,(f(a),f(a)) = (f(a`),f(a`)) -אז )` .f(a)=f(aמשום ש f -חח"ע נקבל ש.a=a`-
ו .אם fעל אז h3על – לא נכון:
בטווח של h3לעולם לא נקבל איבר מהצורה ) (x,yכאשר x,yשונים.
ז .אם fחח"ע ו g-על אז h1על – לא נכון:
דוגמא נגדית f(x)=2x .A=B=Z :לכל xו g(x)=x -לכל .xאז fחח"ע ו g -על .אך ),h1(a,b)=(2a,b
ולכן בטווח של h1לעולם לא נקבל זוגות שהאיבר הראשון בהם אי-זוגי.
שאלה :4
א – f(A∪B) = f(A)∪f(B) .נכון:
נניח ש y∈f(A∪B) -ואז ) y=f(xלאיזה .x∈A∪Bאם x∈Aאז ) ,y=f(x)∈f(Aואם x∈Bאז
) ,y=f(x)∈f(Bלכן בכל מקרה.y∈f(A)∪f(B) ,
אם ) ,y∈f(A)∪f(Bנניח בה"כ ש ,y∈f(A) -ואז ) y=f(xלאיזה .x∈Aלכן בפרט x∈A∪Bו-
).y=f(x)∈f(A∪B
ב – f(A∩B) = f(A)∩f(B) .לא נכון:
דוגמא נגדית f(x)=|x| ,B=[-1,0] ,A=[0,1] :לכל .xאזי ].0 = f(A∩B) ≠ f(A)∩f(B) = [0,1
ההכלה ) f(A∩B) ⊆ f(A)∩f(Bנכונה A∩B ⊆ A :לכן ) ,f(A∩B) ⊆ f(Aבדומה ).f(A∩B) ⊆ f(B
מכאן נסיק ש.f(A∩B) ⊆ f(A)∩f(B) -
ג – f-1(C∪D) = f-1(C)∪f-1(D) .נכון:
) x∈f-1(C∪Dאם"ם f(x)∈C∪Dאם"ם f(x)∈Cאו f(x)∈Dאם"ם ) x∈f-1(Cאו ) x∈f-1(Dאם"ם
).x∈f-1(C)∪f-1(D
ד – f-1(C∩D) = f-1(C)∩f-1(D) .נכון:
) x∈f-1(C∩Dאם"ם f(x)∈C∩Dאם"ם f(x)∈Cוגם f(x)∈Dאם"ם ) x∈f-1(Cוגם ) x∈f-1(Dאם"ם
).x∈f-1(C)∩f-1(D
שאלה :5
Rאינו יחס סדר משום שאינו אנטי-סימטרי .דוגמא נגדית |2|≤|-2| :וגם | |-2|≤|2אך .-2≠2
שאלה :6
נניח ש a≤b -אז אם x≤aגם ) x≤bמהטרנזיטיביות של יחס הסדר החלקי( .לכן אם x∈Saגם ,x∈Sbולכן
.Sa⊆Sb
נניח ש a∈Sa .Sa⊆Sb -ולכן מההכלה .a∈Sbמהגדרת Sbנובע כי .a≤b
2
zihxwqic dwihnzna 4 libxz
e"qyz ,'` xhqnq
R ⊆ A × A ,dveaw A `dz
= {(a, b) | aRb ∧ bRa} i"r S ⊆ A × A
. A lr iaiqwltxe iaihifpxh qgi
qgi xicbp
.S
Sy
.zeliwy qgi `ed
z` dilr xicbpe
S
itl
A
ly zeliwyd zewlgn ly
B
.1
egiked (a)
dveawa opeazp (b)
:jk
T
qgid
[a]T [b] ⇔ ∃u ∈ [a], v ∈ [b] : uRv
xcq-mcwdn dxyeny xcq qgid `xwp
T)
.xcq qgi `ed
Ty
egiked
(.R
.B lr xcq qgi
Sy
lr xcq qgi `ed
RB e , A
0
egiked . aSa
lr xcq qgi
⇔ a0 RA a
,zexf zeveaw
B ,A
S ⊆ A × A qgi xicbp
RA mm` `ln `edye , A
i"r
.`ln
:i"r
RA
T ⊆ (A ∪ B) × (A ∪ B)
`dz .2
(a)
qgi xicbp (b)
xT y ⇔ (x ∈ A∧y ∈ B)∨(x ∈ A∧y ∈ A∧xRA y)∨(x ∈ B∧y ∈ B∧xRB y)
?`ln
:U, V, W
T
izn .xcq qgi
⊆ (A × B) × (A × B)
T
y egiked
miqgi dyely xicbp (c)
(a, b)W (a0 , b0 ) ⇔ (a 6= a0 ∧ aRA a0 ) ∨ (a = a0 ∧ bRB b0 )
(a, b)V (a0 , b0 ) ⇔ aRA a0 ∧ bRB b0
(a, b)U (a0 , b0 ) ⇔ aRA a0 ∨ bRB b0
.zicbp dnbec epz e` egiked ?xcq qgi cinz mdn eli`
S ⊆ A×A
miiwy egiked .dilr xcq qgi
R ⊆ A × A ,ziteq dveaw A `dz
⊆ S e A lr `ln xcq qgi S y jk
.3
.R
:jk
n+1
f (n) = (−1) ·
2
n
f :N→Z
.lre r"gg `id
n
egiked
+
.ynn miiaeigd miilpeivxd mixtqnd sqe` `ed Q
+
+
ly wexitd m` :jk g : N
→ Q xicbp .ynn miiaeigd
miirahd sqe` `ed
`ed miipey`xl
fy
xicbp .4
N
+
dxevdn
n = p1 a1 · p2 a2 · · · pk ak
xicbp f`
g(n) = p1 f (a1 ) · p2 f (a2 ) · · · pk f (ak )
.lre r"gg
1
gy
egiked
zihxwqic dwihnzna 4 libxz oexzt
e"qyz ,'` xhqnq
-ifpxhe
,ixhniq
,iaiqwltx
edy
d`xp
,zeliwy
qgi
`edy
ze`xdl
ick
.1
(a)
.iaih
.
aSa
okle
∀a ∈ A : aRa ∧ aRa
:zeiaiqwltx
:zeixhniq
∀a, b ∈ A : aSb ⇔ aRb ∧ bRA ⇔ bRa ∧ aRb ⇔ bSa
:zeiaihifpxh
∀a, b, c ∈ A : aSb ∧ bSc ⇔ aRb ∧ bRa ∧ bRc ∧ cRb ⇒ aRc ∧ cRa ⇔ aSc
-niqihp`e ,iaihifpxh ,iaiqwltx `edy d`xp ,xcq qgi
T
y ze`xdl ick
(b)
.ixh
.
[a]T [a]
okle
∀a ∈ A : aRa
:zeiaiqwltx
:zeiaihifpxh
[a]T [b] ∧ [b]T [c] ⇒ ∃u ∈ [a], v ∈ [b], v 0 ∈ [b], w ∈ [c] : uRv ∧ v 0 Rw
⇒ uRv ∧ vRv 0 ∧ v 0 Rv ∧ v 0 Rw
⇒ uRv 0 ∧ v 0 Rw ⇒ uRw ⇒ [a]T [c]
:zeixhniqihp`
[a]T [b] ∧ [b]T [a] ⇒ ∃u, u0 ∈ [a]∃v, v 0 ∈ [b] : uRv ∧ v 0 Ru0
⇒ uRv ∧ vRv 0 ∧ v 0 Ru0 ∧ u0 Ru
⇒ uRv 0 ∧ v 0 Ru ⇒ [u] = [v 0 ] ⇒ [a] = [b]
S
∀a ∈ A : aRA a ⇒ ∀a ∈ A : aSa
aSb ∧ bSc ⇒ bRA a ∧ cRA b ⇒ cRA a ⇒ aSc
.zepekzd zyely z` wecap xcq qgi
y wecal ick
:zeiaiqwltx
:zeiaihifipxh
1
.2
(a)
aSb ∧ bSa ⇒ bRa ∧ aRb ⇒ a = b
RA
:`ln
:zeixhniqihp`
mm` `ln
S
y gikep
RA ⇔ ∀a, a0 ∈ A : aRA a0 ∨a0 RA a ⇔ ∀a0 , a ∈ A : a0 Sa∨aSa0 ⇔
`ln
`ln
.xcq qgi ly zepekzd zyely z` wecap ,ldepa
(.
x ∈ A ∧ x ∈ A ∧ xRA x
ik)
xT x
okle
xRA x
x∈A
x ∈ B ⇒ xT x
yT z xT y
f`
,
dnec ote`a
oezp :zeaihifpxh
x ∈ A, y ∈ A, z ∈ A
x ∈ A, y ∈ A, z ∈ B
x ∈ A, y ∈ B, z ∈ B
x ∈ B, y ∈ B, z ∈ B
RA
ly
zeiaihifpxhn
miraep
iv i
e
eli`e
T
(b)
m` :zeiaiqwltx
.
:mixwn drax`l lvtp .
S
zxcbdn
miiciin
md
:y al eniy .dn`zda
.
.
.
.
i
ii
iii
iv
iii ii
RB
e
e
xT y ⇒ (y ∈ A → x ∈ A)
dnec ote`ae
yT z ⇒ (z ∈ A → y ∈ A)
.dl` zrax`n ueg mixwn epkzii `l okle
:f` ,
xT y ∧ yT x
m` :zeixhniqihp`
x, y ∈ A ∨ x, y ∈ B
:zrk (.
x, y ∈ A ⇒
x, y ∈ B ⇒
B
a cg`e
A
a cg`y okzii `ly ewca)
xRA y ∧ yRA x ⇒ x = y
xRB y ∧ yRB x ⇒ x = y
a = a ∧ bRB b ⇒ (a, b)W (a, b)
W
a = a0 = a00
(a, b)W (a0 , b0 ) ∧ (a0 , b0 )W (a00 , b00 )
a0 6= a00
a 6= a0
RB
RA
a 6= a00 ∧ aRA a00
00 00
(a, b)W (a , b )
.
:zeiaiqwltx .xcq qgi
m`
e`
ipya
(.
ly
.
gipp
m`
.
zeiaihifpxhe
ly
zeiaihifpxhn
zeixhniqihp`n
zraep
zeiaihifpxh
raep)
.
:zeiaihifpxh
f`
f`
miiwzn mixwnd
zmcewd sirqd ly milewiydn :zeixhniqihp`
(a, b)W (a0 , b0 ) ∧ (a0 , b0 )W (a, b) ⇒ a = a0
RB
∀a ∈ A, b ∈ B : aRA a∧bRB b ⇒ (a, b)V (a, b)
.
.
ly zeixhniqihp`n zraep d`vezd zrke
2
:zeiaiqwltx .xcq qgi
V
(c)
:zeiaihifpxh
(a, b)V (a0 , b0 ) ∧ (a0 , b0 )V (a00 , b00 ) ⇒ aRA a0 ∧ bRB b0 ∧ a0 RA a00 ∧ b0 RB b00
⇒ aRA a00 ∧ bRB b00 ⇒ (a, b)V (a00 , b00 )
:zeixhniqihp`
(a, b)V (a0 , b0 ) ∧ (a0 , b0 )V (a, b) ⇒ aRA a0 ∧ bRB b0 ∧ a0 RA a ∧ b0 RB b
⇒ a = a0 ∧ b = b0 ⇒ (a, b) = (a0 , b0 )
f`
.
A = B = N, RA = RB =≤N
(3, 5) 6= (5, 3)
gwp
:dnbec
.
-ep
dprh
ziy`x
A
oaena
lr
d`xp
ilnipin
,dyrnl
xai`
.
miiw
A
A
a
mixai`d
,
lr
R
U
(3, 5)U (5, 3)U (3, 5)
.xcq
la`
xtqn
xcq
qgi
lr
qgi
`weec
e`l
divwecpi`a
lkl
dgkedd
:divwecpi`a
.3
ztq
:`ad
∃m ∈ A : ¬∃a ∈ A : a 6= m ∧ aRm
m
d
A
`ed
ly
ccead
xai`d)
dxexa
n+1
:meyxp .mixai`
dprhd
f`
,ccea
xai`
A
dlikn
m`
A
dlikn
y gipp ,divwecpi`a (.yweand
A = A0 ∪ {x}
R0
¬xRm0
lr
xcq
f`
qgi
m`
(!gked)
xai`
A
n+1
yi
A
A
A0
dxyn
,zrk
.
R
m0
lr
ly
m
lr ilnipin
xcq
qgi
ilnipin
.cala
xai`
mixwnd ipyae ,
n
mixai`
divwecpi`a
m=x
`vnp
xRm
f`
A0
dlikn
0
xy`k
A0
m = m0
(!gked)
m`e ,
l m` ,aey .divwecpi`a gikep mb dze`y ,zixewnd dprhl xearp zrk
A
l m` ,divwecpi`a (.`ln `ed xcq qgi lk) zil`iaixh dprhd ccea
:meyxp ,mixai`
A = A0 ∪ {m}
z`
:
aigxp
,divwecpi`a
S ⊆ A×A
.
A
ly
z` xicbp zrk .
edylk
A0
lr
S0
ilnipin
xai`
m
zeidl
`ln xcq qgil
A0
z`
xgap
lr dxyeny
xy`k
R0
qgid
S = S 0 ∪ {(m, a) : a ∈ A}
S
.`ln xcq qgi
weica
S
y
ik
.
`ed
,d`eeyd
S0
C = {m}
A = C, B = A0
x, y
y=m
x, y ∈ A0
f`
ick
ixa
,
xicbp
m`y
(.
oniq
oey`xd
y
.
ilra
xexa
mdipyy
i`pzdn
.
al
xear)
f`
itl d`eeyd ixa md okle
ddf
okl
S
ze`xdl
n
|n1 − n2 | < 2
1 +1
y
2
0
= n22+1
e`
raep
mdipyy
ipyd
e`
miyp
,xcq
2
x=m
A
T
dl`ya
,zxg` .
i`pzdn
f`
y
.
xcq
x, y ∈ A
gipp
m`
okl
`ed
l
oia
:
f
ly
.ddf
z = f (2z − 1)
f`
z<0
m` .
z = f (2z)
f`
3
,`ln
z≥0
m` .
z∈Z
m
r"gg
dnvere
yxtddy
.
.
n"r
qgid
a xai` lk mr d`eeyd xa
f`
.ibef
gikedl
xcbeny
f (n1 ) = f (n2 )
(−1)n1 = (−1)n2
n2 n1
e`
oke
m`
S
qgi
k
y wecap
raep
n1 = n2
idi :lr
f
zeid
.4
irah
xtqn
lkl
:wexitd
zecigia
ynzydl
jxhvp
,lre
r"gg
g
y
gikedl
n"r
bevii yi iaeig ilpeivx xtqn lkl ,sqepa .miipey`x ly dltknk cigi wexit yi
mixtqn ipy ,seqal (!gked) mixf miiaeig miirah mixtqn ipy ly dpnk cigi
.mixf md miipey`xl mdly miwexitd mm` mixf md
:meyxp ,
h(n) =
Y
n
xtqn xear
pi f (ai )
i=1...k,f (ai )≥0
Y
k(n) =
pi −f (ai )
i=1...k,f (ai )<0
miwexitd
ik
mixf
h(n), k(n)
mixtqnd
,
n
lkl
.
g(n) = h(n)/k(n)
dyrnl
:y miwiqn epgp` ,mcewn zexrdd itl ,o`kn .mixf miipey`xl mdly
g(n1 ) = g(n2 ) ⇔ h(n1 ) = h(n2 ) ∧ k(n1 ) = k(n2 )
:okl .
n2
ae
n1
a dpey ieaixa riten
p
y jk
p
miiw f` ,
n1 6= n2
m` ,zrk
h(n1 ) 6= h(n2 ) ∨ k(n1 ) 6= k(n2 )
g
okl
.
g(n1 ) 6= g(n2 )
y
o`kne
,ililyi`
e`
ilily
zeidl
aiig
n1
a
ieaixd
ik
.r"gg
izexixy ilpeivx xgap ,lr
g
y gikedl ick
Q k1
pi ai
x = Qki=1
2
bj
j=1 qj
{qj : j = 1 . . . k2 } {pi : i = 1 . . . k1 }
k1
k2
Y
Y
−1
−1
x = g pi f (ai ) ·
qj f (bj )
:f` .zexf
e
i=1
j=1
4
zeveawdyk
dybdl `l - zihxwqic dwihnzna 5 libxz
e"qyz ,'` xhqnq
.miilpeivxd mixtqnd lk zveaw `id
.miirahd mixtqnd lk zveaw `id
Q
.
(minrt
k ) Ak = N × N × · · · × N
A
dveawd ly znverd z` onqn
.
.
:jk
{1, 2, . . . , 10}
?
?mdipy z` `l la`
k lkly egiked
|Ak | = |N| miiwzn
xear ,iaeige irah
|N| = |Q × Q|y
dveawl yi
5
(a)
lcebn zeveaw-zz dnk .2
2
z` e`
1
z` dlikn odn zg` lky (a)
2
z` e`
1
z` dlikn odn zg` lky (b)
zeveaw-zzd xtqnl deey ibef lcebn
A
.1
egiked (b)
.dwix `le ziteq dveaw
A
N
|A|
A
idz .3
ly zeveaw-zzd xtqny e`xd (a)
ea dxwnl dprhd z` egiked :mzkazqd m`)
.ibefi` lcebn
A
ly
(.ibefi` lcebn
?
{1, 2, . . . , 101}
dveawd ly ibef lcebn zeveaw-zzd xtqn edn (b)
:ze`ad zeiedfd z` egiked .4
.
n, k > 0
lkl
.
n
k
n>0
1
=
lkl
n−1
n−1
+
k
k−1
Pn
2n
= 22n−1
i=0
2i
(a)
(b)
zihxwqic dwihnzna 5 libxz oexzt
e"qyz ,'` xhqnq
i:N→N
fk : Ak → N
zedfd zwzrd
.
y
al
eniy
r"gg
,okae
.
.
f :N→N×N
k
dwzrd
fk+1
dpap
r"gg dwzrd d`vxda epi`x
divwecpi`a
fk
gk : Ak × N → N × N
dwzrdd
i"r
lr
z`
dpap
;
.r"gg
dwzrdd
xicbp .
z`
i`cea
`id
epipay
gipp
.1
(a)
Ak+1 = Ak × N
gk (a, n) = (fk (a), i(n))
-pet
ly
dakxd
xeza
,r"gg
fk+1 fk+1 = f ◦ gk
.
xicbp
(?dnl)
gk
r"gg
.r"gg zeivw
`id
dk (n) = (n, n, . . . , n)
Ak → N
N → Ak
htyn
i"r zxcbend
t"r
.
mbe
.
dwzrddy
al
eniy
.
n ∈ Z, m ∈ N
dk : N → Ak
r"gg
zewzrd
dwzrdd ipy cvn
ep`vn
,xnelk
.r"gg
|Ak | = |N|
y lawp ,oiihypxa-xehpw
y
jk
n
m
dbvd
yi
ilpeivx
:i"r zxcbend
xtqn
lkl
(b)
s:Z→N×N
(
(n, 0),
n≥0
s(n) =
(−n, 1), n < 0
f : Q × Q → N × N × N × N × N × N = A6
dwzrdd
okl
.r"gg
`id
:i"r zxcbend
n1 n2
,
m1 m2
→ (s(n1 ), m1 , s(n2 ), m2 )
(?recn) r"gg `id
fk ◦ f : Q × Q → N
f6 : A6 → N
n → (n, n)
d : N → Q×Q
|Q × Q| = |N|
dwzrdd okl .
i"r
zxcbend
.
,mkezn
mixtqn
.mixai`
8
r"gg dwzrd yiy epi`x
dwzrdd
ok
enk
.r"gg
`id
oiihypxa-xehpw htyn itl okle r"gg
10
za
dveaw
dn cg` wx `l`
2
jezn
z` e`
1
mixtqn
5
xegal
mikxc
10
5
z` dlikn `l dxigad mixwn
yi
8
5
a
yi okl ;mixg`d
10
8
−
= 252 − 56 = 196
5
5
.
2
z` e`
1
z` dlikny dveaw xegal mikxc
1
.2
(a)
exzep
f`
2
1
z`e
z`
dlikn
8
3
.zigtdl jixvy mixwn
dveaw
yi okl ;
8
m`
,mcew
epwcay
mixwnd
jezn
(b)
jezn da xegal mixai` dyely cer
exzep okl
8
196 −
= 196 − 56 = 140
3
.zeiexyt`
ly
zeveaw-zzl
ibef
lcebn dveaw xear .
A
lcebn
a∈A
ly
zeveaw-zzn
xai` xgap ;dxiw `l
lre
r"gg
dwzrd
dpap
A
y gipp .ibefi` lcebn
:xicbp ,
.3
(a)
A
B⊆A
ibef
B
m`
(
B ∪ {a}, a 6∈ B
f (B) =
B \ {a}, a ∈ B
.
1
`ed
mdly
milcbd
yxtd
ik
,ibefi`
zeibef zeveaw-zz ly xtqn eze` yi
lcebn
f (B)
f`
,ibef
lcebn
A
l okl (!ewca) lre r"gg
f
,sqepa
.zeibefi`e
101
2
100
/2 = 2
yi
okle
,ibef
lcebn
odn
ivg
.zeveaw-zz
2
101
yi
[101]
l
(b)
.dl`k
:xiyi aeyiga dyrp dfd sirqd z`
n−1
n−1
+
k−1
k
=
=
=
=
=
xtqn
dyrnl
mircei epgp`
3
`ed
l`ny
cva
dl`yn la` .
.dl`k
22n−1
2n
.4
(a)
(n − 1)!
(n − 1)!
+
(n − k)!(k − 1)! (n − k − 1)!k!
(n − 1)!
1
1
+
(n − k − 1)!(k − 1)! n − k) k
(n − 1)!
k+n−k
(n − k − 1)!(k − 1)! k(n − k)
(n − 1)!n
(n − k − 1)!(n − k)(k − 1)!k
n!
n
=
(n − k)!k!
k
miywany
dn
:xvw
xetiq
mr
mrtde
lceba dveaw ly ibef lcebn zeveaw-zzd
yi okle ibef lcebn od zeveaw-zzdn ivg weicay
2
(b)
תרגיל מס' 6במתמטיקה דיסקרטית )להגשה(
.1בקורס יש 10קבוצות תירגול ו 10-מתרגלים.
א .בכמה דרכים ניתן לשבץ את המתרגלים לקבוצות התירגול?
ב .אם 4קבוצות תירגול הן בשעות הערב וישנם שני מתרגלים שאינם יכולים לעבוד בערב ,בכמה
דרכים ניתן לשבץ את המתרגלים?
.2א .יש 4קופסאות בצבעים שונים ו 17-כדורים זהים .כמה אפשרויות יש לשים את הכדורים
בקופסאות? כמה אפשרויות יש אם אסור שתישאר קופסא ריקה?
ב .כמה פתרונות שלמים אי-שליליים יש למשוואה ?X1+X2+X3+X4 = 17כמה פתרונות שלמים
חיוביים ממש יש?
.3א .נתונים שני ישרים מקבילים .על הראשון מסומנות nנקודות ועל השני מסומנות mנקודות .כמה
משולשים שונים יש שקדקודיהם על הנקודות המסומנות?
ב .נתונים 3ישרים מקבילים .מסומנות עליהם n,mו r-נקודות בהתאמה ,כך שכל 3נקודות שנלקחות
מ 3-הישרים אינן על ישר אחד .כמה משולשים שונים יש שקדקודיהם על הנקודות המסומנות?
ג .נתון ריבוע במישור .על כל צלע מסומנות 10נקודות שונות )שאינן קדקודי הריבוע( .כמה משולשים
שונים יש שקדקודיהם על הנקודות המסומנות?
ד .נתונים במישור nישרים מקבילים ועוד mישרים מקבילים בכיוון אחר .כמה מקביליות שונות
מתקבלות באמצעות חיתוכי הישרים הללו?
.4א .בכמה דרכים ניתן להושיב 14אנשים סביב שולחן עגול?
ב .בכמה דרכים ניתן להושיב סביב שולחן עגול 7נשים ו 7-גברים ,כך שכל אישה תשב בין שני גברים?
ג .בכמה דרכים ניתן להושיב 7זוגות נשואים סביב שולחן עגול ,כך שכל אישה תשב ליד בעלה?
ד .בכמה דרכים ניתן להושיב 14אנשים ,כך ש 8-אנשים יושבים סביב שולחן עגול והשאר על הספסל?
ה .בכמה דרכים ניתן להושיב 14אנשים ,כך ש 8-אנשים יושבים סביב שולחן עגול והשאר סביב שולחן
עגול שני?
)הערה :שני סידורים סביב שולחן עגול הם זהים אם האחד מתקבל מהשני ע"י סיבוב(.
.5הוכיחו את הזהויות הקומבינטוריות הבאות בשתי דרכים שונות )אלגברית וקומבינטורית(:
2n + 1
2n
א.
=2
k
k =0
n
∑
2
n
2n
ב = .
∑
k =0 k
n
n
n n −1 m
ג k = ∑ k − 1 .
m = k −1
.6יהי pמספר ראשוני ו c,k -מספרים שלמים חיוביים.
p
א .הוכיחו כי אם 0<k<pאז pמחלק את .
k
pc
ב) .רשות( הוכיחו כי אם 0<k<pcאז pמחלק את .
k
בהצלחה!
☺
פתרון תרגיל מס' 6במתמטיקה דיסקרטית
.1א10! .
ב6⋅5⋅8! .
17 + 4 − 1 20
.2א .מספר האפשרויות לחלק 17כדורים ל 4-קופסאות שונות = :
.
17 17
13 + 4 − 1 16
אם אסור שתישאר קופסא ריקה = :
.
13 13
ב .שימו לב שמדובר בדיוק באותה הבעיה מסעיף א' ,רק הניסוח שונה.
.3א .יש שתי דרכים לפתור את הבעיה:
דרך :1נבחר נקודה אחת על ישר אחד ושתיים על הישר השני .נקבל את הנוסחא:
m n m n
+
1 2 2 1
דרך :2נספור את כל שלשות הנקודות ,ונחסר את אלו שנמצאות על אותו ישר .נקבל את הנוסחא:
m + n m n
− −
3 3 3
שימו-לב ,שיש שוויון בין שתי הנוסחאות.
m + n + r m n r
ב − − − .
.
3
3 3 3
ג .יש שתי דרכים לפתור את הבעיה.
10
דרך :1נבחר את הנקודות על שתיים או שלוש צלעות ,ונקבל. 4 ⋅ 3 ⋅ ⋅ 10 + 4 ⋅ 10 3 = 9400 :
2
דרך :2נספור את כל שלשות הנקודות ,ונחסר את אלו שנמצאות על אותה הצלע .נקבל:
40
10
. − 4 ⋅ = 9400
3
3
m n
ד. .
2 2
.4א13! .
ב6!⋅7! .
ג6!⋅27 .
14
ד ⋅ 7!⋅6! .
8
1
14
ה ⋅ 7!⋅5! .
8
.5זהויות קומבינטוריות:
n
2n + 1
2n
: ∑
א = 2 .
k
k =0
2 n +1 2n + 1
2n + 1 2n + 1
=
) ∑ למה?( וגם ש -
הוכחה אלגברית :ידוע ש = 2 2 n +1 -
k
2
n
+
1
−
k
k
k =0
)למה?( .מכאן ניתן להסיק ש-
n
2n + 1 n 2n + 1 2 n +1 2n + 1
2 n + 1
=∑
+ ∑
= 2∑
k k =0 k k = n +1 k
k
k =0
k =0
2 n +1
∑
= 2 2 n +1
ולקבל את השוויון הדרוש.
הוכחה קומבינטורית :נספור את מספר תת-הקבוצות של } {1,2,…,2n+1שגודלן לכל היותר n
בשתי דרכים שונות .נשים לב ,שלכל תת-קבוצה בגודל k≤nיש תת-קבוצה משלימה בגודל
2 n + 1
.2n+1-k>nלכן ,מצד אחד ,מספרן הוא ,22n+1/2 = 22nומצד שני ,יש
תת-קבוצות
k
n
2n + 1
בגודל ,kולכן מספרן הוא
. ∑
k
k =0
2
n
2n
ב: ∑ = .
k =0 k
n
n
a + b n a b
= ∑
זהו מקרה פרטי של השוויון שהוכחתם בכיתה :
, עבור .a=b=n
n k =0 k n − k
ההוכחות האלגברית והקומבינטורית מחקות את אלו שנלמדו בשיעור.
n n −1 m
: = ∑
ג .
k m = k −1 k − 1
הוכחה אלגברית :באינדוקציה על .n
1 0 m 0
עבור :n=1אפשרי רק ש ,k=1-ואז = ∑ = = 1כנדרש.
1 m=0 0 0
נניח שהטענה נכונה עבור nונוכיח אותה עבור :n+1
n + 1 n n n n−1 m n m
=
+ =
+ ∑
= ∑
k k − 1 k k − 1 m= k −1 k − 1 m=k −1 k − 1
ע"י שימוש בזהות מתרגיל ,5שאלה -4ב' ובהנחת האינדוקציה.
n
הוכחה קומבינטורית :ידוע כי מספר תת-הקבוצות של } {1,…,nבגודל kהוא . עתה ,נספור
k
אותן באופן הבא .נתבונן באיבר הכי גדול בקבוצה )הוא חייב להיות לפחות (kונסמנו ב.m+1 -
m
שאר k-1אברי הקבוצה נבחרו מבין הקודמים לו ,ולכן יש עבורם
אפשרויות.
k − 1
2
p
!p
= : משום ש p -ראשוני p ,לא מופיע בפירוק לראשוניים במכנה ,אך מופיע במונה.
.6א.
!) k k!( p − k
pc
!pc
= :
ב.
c
!) k k!( p − k
הוכחה :1נספור כמה פעמים pמופיע במונה ובמכנה.
מספר הפעמים ש p-מופיע במונה.pc-1+pc-2+…+p+1 :
מספר הפעמים ש p-מופיע במכנה:
)( k/p+k/p +…+k/p ) + ((p -k)/p+(p -k)/p +…+(pc-k)/pc
2
c
c
c
2
נחבר את שני הסכומים איבר-איבר ,ונקבל שהסכום הוא לכל היותר:
pc/p+pc/p2+…+pc/pc = pc-1+pc-2+…+p+1
וזהו בדיוק הסכום שהתקבל במונה .אך כאשר חיברנו את הערכים השלמים ,איבדנו לפחות ,1
משום ש.k/pc = (pc-k)/pc = 0 -
הוכחה :2באינדוקציה על .c
עבור :c=1הטענה נכונה לפי סעיף א'.
k pc −k
x y
נניח שהטענה נכונה ל .c-נתבונן בביטוי:
p
pc
, ( x + y ) = ∑ kואז לכל ,0<k<pc
k =o
pc
c
pc
הגורם מתחלק ב.p-
k
נוכיח את הטענה עבור .c+1נתבונן בביטוי:
p
p pc
c
= ∑ x k y p − k
k =o k
c
p
)
p c +1 l p c +1 −l
c +1
c
= ( x + y ) p = ( x + y) p
∑
l x y
l =o
(
c +1
p
pc
p c +1
אז כל גורם מהצורה
הוא מכפלה של pגורמים מהצורה . אם לפחות עבור אחד
k
l
p c +1
pc
הגורמים הללו ,0<k<pc ,אז pיחלק את ולכן גם את
.
k
l
אחרת ,או שכל הגורמים הם עם ,k=0ואז נקבל ש ,l=0 -או שכל הגורמים הם עם ,k=pcואז נקבל
ש .l=pc+1 -בכל אופן ,הטענה נכונה לכל .0<l<pc+1
3
dybdl `l - zihxwqic dwihnzna 7 libxz
e"qyz ,'` xhqnq
:ze`ad zekxrnl yi minlya zepexzt dnk .1
.6
≤ i ≤ 10
lkl
xear
0 ≤ xi
xear
1 ≤ xi ≤ 4
mbe , 0
xi ≥ 2
mbe , 1
≤i≤5
lkl
xi ≥ 0
,
≤ x3 ≤ 1 ,1 ≤ i ≤ 2 xear 0 ≤ xi ≤ 2
mbe , 1
≤ i ≤ 5
xear
0 ≤ xi ≤ 3
,
,
P10
i=1
P10
xi = 20
i=1 xi
.4 ≤ i
= 20
≤ 10
P10
i=1 xi =
.6 ≤ i ≤
20
10
(a)
(b)
(c)
.2
?∀i
: f (i) 6= iy
zeidl xen` oexztd) ? ∀i
jk opyi
f : [n] → [n]
zekitd zeivwpet dnk (a)
: f (i) 6= iy jk opyi f : [n] → [n] zeivwpet dnk
(b)
(.dxebq dgqep `l ,mekq
.weica zelew
na
xzei xeavi `l
B
micnrendn cg` lk dkf
B
cnrenl
A
cnren oia zexigaa .3
aly meyay jk zelewd z` xetql ozip mikxc dnka (a)
?An zelew
A ii − 1d
lewd zxitq cry jk zelewd z` xetql ozip mikxc dnka (b)
aly meya (d`lde
id
lewd zxitqn `"f) k"g`e , B n zelew xzei xeavi
?B n zelew xzei xeavi `l
A
A
eil` cry mieqn aly yiy jk zelewd z` xetql ozip mikxc dnka (c)
lr liaei `l
A
mlerl k"g`e ,(d`lde oey`xd lewdn)
B
lr ynn liaei
?B
.4
`ly jk ze`qk
n
ly dxey jezn ze`qk
m
xegal ozip mikxc dnka (a)
?mikenq ze`qk ipy xgap
ogley aiaq mi`vnpd ze`qk
n jezn ze`qk m xegal ozip mikxc dnka
?dfl df mikenq ze`qk ipy xgap `ly jk lebr
1
(b)
zihxwqic dwihnzna 7 libxz oexzt
e"qyz ,'` xhqnq
.1
minlya zepexzt oial dpezpd d`eeynl zepexzt oia lre r"gg dn`zd yi (a)
P10
:dn`zdd jxc
i=1 yi = 10 zkxrnd ly miililyi`
(
xi ,
1≤i≤5
yi =
xi − 2, 6 ≤ i ≤ 10
.
19
9
.x3
xnelk , 10 jezn
10
ly zexfg mr dxigak `ed zepexztd xtqn okl
≥ 2 ,x2 ≥ 3 ,x1 ≥ 3 mday zepexztd z` cixedl yi zepexztd llkn
(b)
20−8+9
yi f` miniiwzn mi`pzd zyely lk m`
9
20−6+9
oey`xd e` mipexg`d miipyd m` ,zepexzt
yi f` mipey`xd
9
20−5+9
yi f` ipyd wx e` oey`xd wx m` ,zepexzt
yi f` oexg`de
9
20−2+9
20−3+9
-rn zrk .zepexzt
yi f` oexg`d wx m`e ,zeiexyt`
9
9
miipyd m` ,zepexzt
:`ed iteqd zepexztd xtqn ,dgcdde dlkdd oexw
26
26
27
23
24
24
21
29
−
+
+
+
+
+
−
= 2217348
9
9
9
9
9
9
9
9
dpezpd zkxrnl zepexzt oia lre r"gg dn`zd yi ,oey`xd sirqa enk (c)
zkxrnl zepexztl
10
X
yi = 15, ∀i : 0 ≤ yi ≤ 3
i=1
xtqnn xqgp ,mcewd sirql dneca ,dgcdde dlkdd oexwr jnq lr
ueli` yi mday zepexztd xtqn z` miveli` ila zkxrna zepexztd
.d`ld jke ,miveli` ipy yi mday zepexztd xtqn z` siqep ,ccea
mday mixwn cgi mkql lkep ,dpzyn s`l zcgein zernyn oi`y xg`n
xqgl lkep f` ,miniiwzn miveli`
j
m` .miiwzn miveli` xtqn eze`
1
zkxrnl zepexztd xtqn zeidl
Tk
xicbp .mini`znd mipzyn
P10
zi xy`k i=1
:f` .miililyi` minly
X
(−1)|A| T15−4|A|
A⊆[10]
.k
<0
xear
10
X
j dn 4
zi = k
10
T15−4j
j
j=0
24
20
10 16
10 12
=
− 10
+
−
9
9
2
9
3
9
= 116304
=
Tk = 0y
(−1)j
xg`n mixai` drax` ixg` xvrp mekqd
.2
f : [n] → [n]
k(A)a onqp , A ⊆ [n] xear
= (n − |A|)! f` .∀i ∈ A : f (i) = iy jk
zekitdd zeivwpetd xtqn z`
,dgcdde dlkdd oexwr itl . k(A)
(a)
:`id daeyzd
n
X
n
n
X
X
X
n
n!
(−1)j
(−1)|A| k(A) =
(−1)j
(n−j)! =
(−1)j = n!
j
j!
j!
j=0
j=0
j=0
A⊆[n]
.∀i
∈ A : f (i) = iy
jk
f : [n] → [n]
:`id daeyzde
n
X
m(A)a onqp
m(A) = nn−|A| f`
zeivwpetd xtqn z`
(b)
n n−j
n
(−1)
j
j=0
mipey mikxr
n − 1l
j
xearl leki xtqn lky ze`xl mb xyt` xiyi ote`a
(n − 1)n yi okle (envrl hxt xtqn lk `"f)
iehiad zgizt .zeiexyt`
.xak epayigy daeyzd z` aey wtqz mepiad zxfra dfd
.3
xeyina idylk dcewpa dligzn xy` zecewp ly dxcq zeidl lelqn xicbp (a)
`l
B
oda zelewd zexitq .dlrnl e` dpini zg` dcigi aly lka drpe
A lr liaen
= x oeqkl`d z` zevgl ila (n, n)a miniizqne (0, 0)a
miligzn xy` milelqnl lre r"gg dn`zda od mrt s`
-gia dffd i"r ; y
-izqn , (1, 0)a miligzn xy` milelqnl dn`zd lawp ,dpini zg` dci
.oeqkl`a mirbep mpi`e , (n
+ 1, n)a mini
r"gg dn`zda md oeqkl`a mirbep ok xy` (n+1, n)l (1, 0)n milelqnd
(oekql`d z` miveg mlek xy`) (n + 1, n)l (0, 1)n milelqnd llkl lre
oeqkl`d mr oey`xd ybtnl cr z`vnp xy` dliqnd wlg sewiy i"r
(.(y, x)
(1, 0)n
dcewpa ztlgen dliqna (x, y) dcewpdy jkl dpeekd - sewiy)
2n
zeliqnd xtqn
n−1 `ed ,jk m` ,dl`d
2n
`ed miyweand milelqnd xtqn okle ;
n `ed (n + 1, n)l
milelqnd xtqn jq ;
2n
2n
2n
1
−
=
n+1 n
n
n−1
2
iy gipdl xyt`
i = 2j
letkle efd dcewpl cr oeqkl`a rbep `ly (j, j)l (0, 0)n lelqn
m` .oeqkl`l lrn mixaer `ly (n, n)l (j, j)n milelqnd xtqna
,( B l zeidl aiig xy`) ide (Al zeidl aiig xy`) oey`xd lewd z`
onqp .miiwzi yweandy jxc mey oi` zxg` ik ,ibef `ed
(b)
`evnl yi :zeira izyl mcewd sirqdn dirad z` epwxit zrk .
eze`
cixep
lawp
(0, 0)n zeliqnl dirad ly oey`xd wlgl zepexzt oia lre r"gg dn`zd
:`ed oexztd okl .oeqkl`d z` zeveg opi` xy` (j − 1, j − 1)l
1 2j − 2
1
2(n − j)
·
j j−1
n−j+1 n−j
dn`zd lawp ,oeieeyd zcewpl cr
B le Al
efl ddf daeyzd okle , A lr liaen cinz
mipzipy zelewd ztlgd i"r (c)
B
.
oday zexitql lre r"gg
2n
1
n+1 n ixw ,oey`xd sirqa
.4
`ly `qk yi xgapy `qk lkl oinin f` ,xgap `l xzeia ipnid `qkd m` (a)
ly zexiga oia lre r"gg dn`zd yi .dl`k micnv
m
xegal yie ,xgap
`qk lk ztlgd i"r ,l"pk zexigal ze`qk n − m mr dxeyn ze`qk m
n−m
.dl`k zeiexyt`
yi okl .epinin wix mewne `qk ly cnva xgapy
m
lk aey zrk .xgap `l el`nyny `qkd f` ,xgap xzeia ipnid `qkd m`
mewnd mdy ,zenewn ipy dyrnl `lnn mixg`d ze`qk m − 1dn cg`
n−1−(m−1)
:k"dqa .zeiexyt`
yi olke ,epinin mewnde ely
m−1
n−m
n−m
n−m+1
+
=
m−1
m
m
z` ravp .mipey okle mixtqenn lbrna ze`qikdy jkl dpeekd :dxdad (b)
wexid `qkdy jk dxeyl lbrnd z` gztpe ,wexia lbrna ze`qkd cg`
yi ,mcewd sirqa extqpy itk zeiexyt`d llk jezn .xzeia ipnid `ed
,exgap xzeia il`nyd mbe xzeia ipnid `qkd mb mda mixwnd z` xqgl
lre r"gg dn`zda md dl`d mixeciqd .lbrna miiweg `l mdy xg`n
ipni ikd `qkdy jk ze`qk
n−3
ly dxeyn ze`qk
m−2
zixga mr
miil`nyd ze`qkd ipy z` oke ,xzeia ipnid `qkd z` cixep) wix da
:`ed oexztd okl (.zixewnd dxeydn xzeia
n−m+1
n − 3 − (m − 2)
n−m+1
n−m−1
−
=
−
m
m−2
m
m−2
3
תרגיל מס' 8במתמטיקה דיסקרטית )להגשה(
.1א .נתונים 20כדורים ממוספרים .בכמה דרכים ניתן לחלק אותם ל 6-קופסאות בצבעים שונים ,כך
שאף קופסא לא תישאר ריקה?
ב .מצאו את מספר הפונקציות }) f:{1,2,..,m}{1,2,..,nכאשר (m≥nשהן על.
ג .מה התשובה לסעיף ב' כאשר ?m=20, n=6מה הקשר לסעיף א'?
.2בכמה דרכים ניתן לסדר את המספרים 1,...,2nבמטריצה 2×nכך שהמספרים עולים בכל שורה ובכל
עמודה? כלומר ,לכל איבר במטריצה האיברים מימינו )אם יש( ומעליו )אם יש( גדולים ממנו.
)רמז :השוו בעיה זו לבעיית הבחירות(.
.3הוכחתם בשיעור את המשפט הבא:
משפט ) :(Erdös-Szekeresבכל סדרה של n2+1מספרים ממשיים שונים זה מזה ,יש תת-סדרה של
לפחות n+1מספרים שהיא יורדת או עולה.
הוכיחו כי חסם זה הוא הדוק ,כלומר :תנו דוגמא לסדרה באורך n2שלא מכילה שום תת-סדרה עולה
או יורדת באורך .n+1
.4א .הוכיחו שאם } {a1,...,anמספרים שלמים שונים זה מזה ,אזי יש תת-קבוצה לא ריקה שלהם
שסכומה מתחלק ב.n-
ב .תהי } A={a1,...,a10קבוצת מספרים שלמים שונים זה מזה .האם בהכרח קיימת תת-קבוצה לא
ריקה של Aשסכומה מתחלק ב?11-
.5צלף יורה חצים על מטרה בצורת משולש שווה צלעות שאורך צלעו שווה ל.1-
א .הראו שאם הצלף יורה 5חצים )שכולם פוגעים במטרה( אז יש 2מהם שיפגעו במטרה במרחק של
לכל היותר ½ זה מזה) .רמז :חלקו את המשולש למשולשים שווי צלעות קטנים יותר(.
ב .הוכיחו שאם הצלף יורה n2+1חצים )שכולם פוגעים במטרה( אז יש 2מהם שיפגעו במטרה
במרחק של לכל היותר 1/nזה מזה) .רמז.(n2 = 1+3+...+(2n-1) :
.6א .יהיו m1,...,mnמספרים שלמים שממוצעם לפחות .kהוכיחו שקיים 1≤i≤nכך ש.mi≥k -
ב .נסדר את המספרים 1,...,10סביב מעגל בסדר כלשהו .הוכיחו שקיימים 3מספרים רצופים על
המעגל שסכומם לפחות .17
בהצלחה!
☺
פתרון תרגיל מס' 8במתמטיקה דיסקרטית
.1א .נגדיר את הקבוצות הבאות:
= Sקבוצת כל הסידורים האפשריים של 20הכדורים הממוספרים ב 6 -הקופסאות.
= Aiקבוצת כל הסידורים האפשריים של 20הכדורים כך שהקופסא ה i-נשארת ריקה ).(1≤i≤6
6
הפתרון המבוקש הוא:
UA
i
.S −
i =1
ברור כי .|S|=620על-מנת לחשב את גודל האיחוד ,נשתמש בעקרון ההכלה וההדחה:
Ai ∩ Aj ∩ Ak ∩ Al
∑
∑
Ai ∩ Aj ∩ Ak −
1≤ i < j < k <l ≤ 6
Ai ∩ Aj +
1≤ i < j < k ≤ 6
∑
6
6
1≤i < j ≤ 6
i =1
i =1
U Ai = ∑ Ai −
6
IA
i
∑
Ai ∩ Aj ∩ Ak ∩ Al ∩ Am −
+
1≤i < j < k < l < m ≤ 6
i =1
נחשב כ"א מהגורמים בנפרד .משיקולי סימטריה ,די לחשב את אחד הגורמים בכל סכום.
Ai = 520 , Ai ∩ A j = 4 20 , Ai ∩ Aj ∩ Ak = 320 , Ai ∩ Aj ∩ Ak ∩ Al = 220
6
=0
IA
i
Ai ∩ Aj ∩ Ak ∩ Al ∩ Am = 1 ,
i =1
6
6
6
התשובה הסופית היא לכן. 620 − 6 ⋅ 520 − ⋅ 420 + ⋅ 320 − ⋅ 2 20 + 6 ⋅1 :
2
3
4
ב .אפשר להתבונן בבעיה באופן הבא :ישנם mכדורים ממוספרים מ 1-עד mו n-קופסאות ממוספרות
מ 1-עד .nכל פונקציה fמשרה חלוקה של הכדורים לקופסאות באופן הבא f(i)=j :אם"ם הכדור ה i-נמצא
בקופסא ה f .j-על אם"ם אף קופסא לא נשארת ריקה.
כמו בסעיף א' ,נשתמש בעקרון ההכלה וההדחה .נגדיר את הקבוצות הבאות:
= Sקבוצת כל הסידורים האפשריים של mהכדורים הממוספרים ב n -הקופסאות.
= Aiקבוצת כל הסידורים האפשריים של mהכדורים כך שהקופסא ה i-נשארת ריקה ).(1≤i≤n
n
n −1
n
הפתרון המבוקש הוא , S − U Ai :והתשובה הסופית היא לכן. n m − ∑ (−1)i +1 (n − i) m :
i =1
i
i =1
ג .אותה התשובה מסעיף א'.
.2כזכור ,בעיית הבחירות הרגילה היא פונקציה } ,f:{1,..,2n}{1,-1כך שאם הפתק ה i-היה עבור
המועמד הראשון ,f(i)=1 ,ואם הוא היה עבור המועמד השני .f(i)=-1 ,הפונקציה fמקיימת את
התכונות הבאות:
k
2n
i =1
i =1
∑ f (i) = 0 , ∀k < 2n : ∑ f (i) ≥ 0
נראה כי כל פונקציה fכזו שקולה לסידור מטריצה כמבוקש ,ולכן מספר הדרכים לסידור המטריצה הוא
מספר קטלן .Cn
1
בהינתן פונקציה fכנ"ל ,נסדר את המספרים במטריצה באופן הבא :בשורה הראשונה נסדר בסדר עולה
את הקבוצה בגודל nהבאה } .{i: f(i)=-1בשורה השנייה נסדר בסדר עולה את הקבוצה בגודל nהבאה
} .{i: f(i)=1בדקו שהסידור הנ"ל מכבד את התנאי המבוקש.
בהינתן סידור חוקי של המספרים במטריצה ,נגדיר את הפונקציה fבאופן הבא :אם iנמצא בשורה
הראשונה אז ,f(i)=-1ואם iנמצא בשורה השנייה אז .f(i)=1בדקו ש f-מקיימת את התנאים הנדרשים.
.3דוגמא:
2
2
2
2
2
2
2
2
}{n -n+1,n -n+2,…,n -1,n , n -2n+1,n -2n+2,…,n -n-1,n -n, … , 1,2,…,n-1,n
כלומר n :בלוקים של nמספרים כ"א ,כך שבתוך כל בלוק המספרים עולים ממש ,ובין בלוקים שונים
המספרים יורדים ממש.
n
k
.4א .נתבונן בקבוצת הסכומים החלקיים . ∑ ai הקבוצה הזו היא בת nאיברים ,נסמן ב rk-את
i =1 k =1
k
השארית בחלוקה ב n-של הסכום החלקי , ∑ aiונשים לב ש .0≤rk≤n-1 -נתבונן בקבוצת השאריות
i =1
n
. {rk }k =1אם 0שייך לקבוצה הזו אז סיימנו )למה?( .אחרת ,לפי עקרון שובך היונים יש s<tכך ש-
t
,rs=rtואז
∑a
i
מתחלק ב n-בלי שארית )למה?(.
i = s +1
ב .הטענה לא נכונה .דוגמא נגדית :ניקח את הסדרה שבה .ai = 1+11⋅iנשים לב כי לכל ) B⊆Aלא
ריקה( השארית של סכום כל אברי Bבחלוקה ב 11-תהיה .1≤|B|≤10
.5א .נחלק את המשולש ל 4-משולשים שווי-צלעות קטנים ,שאורך צלעם ½ )כמו בציור(:
לפי עקרון שובך היונים ,לפחות 2חצים יפגעו באותו משולש קטן,
לכן המרחק ביניהם יהיה לכל היותר ½ )למה?(.
ב .באותה השיטה ,נחלק את המשולש הגדול למשולשים שווי-צלעות קטנים שאורך צלעם .1/nנשים
לב לכך שקיבלנו n2משולשים קטנים )לפי הרמז .(n2 = 1+3+...+2n-1 :לפי עקרון שובך היונים ,לפחות 2
חצים יפגעו באותו משולש קטן ,לכן המרחק ביניהם יהיה לכל היותר ) 1/nלמה?(.
.6א .אחרת ,אם כל ,mi<kאזי ,m1+...+mn<nkולכן הממוצע שלהם יהיה קטן ממש מ ,k-וסתירה.
ב .נסדר את המספרים 1,..,10במעגל .נסמן את המספרים בסדר שקיבלנו ב .a1,...,a10 -נתבונן
בסכומים הבאים:
m1=a1+a2+a3, m2=a2+a3+a4, … , m8=a8+a9+a10, m9=a9+a1+a2, m10=a10+a1+a2
נסכום את כל הסכומים הללו ,ונקבל ש) m1+...+m10 = 3(a1+a2+...+a10) = 3⋅55 -למה?(.
לכן ,הממוצע של כל ה-mi-ים הוא .16.5לפי סעיף א' ,קיים ,mi≥16.5ומשום שכל ה-mi-ים הם מספרים
שלמים ,בעצם .mi≥17
2
dybdl `l - zihxwqic dwihnzna 9 libxz
e"qyz ,'` xhqnq
:mepihlen zel`y .1
.(x1
n
+ · · · + xl )
ly miixbeqd z` migzetyk
Ql
xi
i=1
mi
ly mcwnd `ed
n
m1 , . . . , ml
y e`xd (a)
:y ewiqd (b)
X
(i1 ,...,il ),(j1 ,...jl )
(
n
i1 , . . . , il
k
j1 , . . . , jl
) X
l
l
X
:
it = n ∧
jt = k ∧ ∀t : it + jt = mt =
t=1
t=1
n+k
m1 , . . . , ml
:y ,mcew libxza ritedy itk ,ewiqd (c)
n+k
t
ew yi f` , 1 erlv jxe`y reaix jeza
2n
=
t X
n
k
i
t−i
i=0
lecbd xahvn jxe` mr mirhw ly sqe` mixiivn m`y egiked .2
.mirhwdn miipy zegtl jzeg xy` reaixd zerlvn zg`l liawnd
an
ribdl ozip xnelk , bl
a
oia dliqn yi m`
bl
xeyw
ay xn`p
∼ ba df
.a
(.oeekn `l) sxba micewcew
(.sxbd ly zexiywd iaikx ze`xwp zeliwyd zewlgn) zeliwy qgi `ed
(.xiyw `xwp dfk sxb) ccea zexiyw aikx mr sxbl dnbece zexiyw iaikx
.dG (a)a dpnqpe , a z` zelikn xy`
a, b
eidi :dxcbd .3
qgi onqp .sxbd zerlv jxe`l dkild i"r
3
∼y
bl
egiked (a)
mr sxbl dnbec epz (b)
Ga zerlvd xtqn `id Ga a ly dbxcd . G oeekn `l sxba cewcew a idi
.dbxc ieey micewcew ipy yi iteq sxb lkay e`xd (a)
;dnbec epz ,ok m` .eicewcew zebxc zxcq idefy jk sxb miiw m` eraw ,ze`ad zexcqdn zg` lk iabl (b)
.oi` recn egiked ,`l m`
(2, 2, 3, 3, 4, 4)
(4, 4, 4, 4, 4)
(3, 3, 3, 3, 3, 3, 3)
(.minrt 100) (1, 1, 1, . . . , 1)
(0, 1, 2, 3, . . . , 19, 20)
1
.i
.ii
.iii
.iv
.v
.4
zihxwqic dwihnzna 9 libxz oexzt
e"qyz ,'` xhqnq
.1
-eqd zgizta ,mixgea epgp` xy`k oezpd mcwnl dnexz milawn ep` (a)
m2 a x2
xai`d z` ;k"dqa
jk mipey mi`z
`za
ml
ll
nd
m1 a x1
jezn mixwn
midf mixeck
n
mr ,d`ld jke ,ipyd `za
xai`d z` ,miixb
wlgl jixv `"f .d`ld jke ;mixwn
m2
,oey`xd `za mixeck
m1
eidiy
.mepihlend weica df .oexg`d
:y al eniy (b)
n
k
n+k
(x1 + · · · + xl ) (x1 + · · · + xl ) = (x1 + · · · + xl )
Q mi
z` mkql jxhvp l`ny sb`a ,
xi ly mcwnd z` lawl
t
-kna oey`xd xai`a xi i dxevdn mixai` ly mincwnd ly
m −t
z` heyt lawp oini sb`ae ;dltkna ipyd xai`dn xi i i
n"r ,zrk
zeltknd
lye ,dlt
iehiad weica edfy ze`xl xyt` miqwcpi`a diida hrn mr .mepihlend
.dl`ya meyxy
i2 =
i1 lr
mkql witqn ,okl . j2
lawp
t
z` mircei epgp` ,mcewd sirqdn
meyxp
i1
= k − j1
i1 ozpida . l = 2 df dxwna
j1 = m1 − i1 z` oke , n − i1
(c)
z`e
mewna m` .minepiad zltkn z` l`ny sb`a meyxle
.dl`ya meyxy iehiad z`
milhidd ipy jxe` jq .reaixd ly zekenq zerlv izy lr mirhwd z` lihp .2
cgi yleyn mixvei milhiddy xg`n ,envr rhwd jxe`k zegtl `ed rhw ly
rlvd jxe`n lecb cinz yleyna zerlv izy jxe` mekqe ,ixewnd rhwd mr
jex` lhidd dilry rlv yi okle , 2n lecb milhidd jxe` jqy ,o`kn .ziyilyd
zrk .zegtl zepey zerlv
2
i"r dqekny zerlvd zg`d lr dcewp yi ,okl . 1n
xy` rhw lk jzeg (diipyd rlvl liawne) rlvl avip xy` ef dcewp jxc xyid
.zegtl mirhw
2
jzeg `ed okle ,ef dcewp dqkn
.3
.dnvrl dcewp lk zxywn dwixd dliqnd :zeiaiqwltx (a)
oeeika zezywd lr zkll xyt` f` , bl
.al
.cl
an
bn
an
dliqn yi m` :zeixhniq
xefgle (oeekn epi` sxbdy xg`n) jetdd
dliqn aipi mxeyxy f` , cl
bne bl an
1
zeliqn yi m` :zeiaifipxh
lkl zg` ,zexiyw zewlgn
3
likn zezyw `lle zecewp yely mr sxbd (b)
:zilnxet .dcewp
V (G) = {1, 2, 3}, E(G) = ∅
-nxet .zccea zexiyw zwlgn likn zezyw `lle zccea dcewp mr sxbd
:zil
V (G) = {1}, E(G) = ∅
.4
yi .dpey dbxc cewcew lkl eay micewcew
n mr sxb epl yiy dlilya gipp
n
(a)
jk ,zexfg oi`y xg`n f` ; {0, 1, . . . , n−1} ixw ,dbxcl zepey zeiexyt`
cvn .n−1 dbxc mr cewcewe
0 dbxc mr cewcew yi okl
.zlvepn zexyt`
cewcewd oia zyw yi ik) zyw zxaer dl`d micewcewd ipy oia ,cg`
s` oi` ik ,zyw mdipia oi` ,ipy cvn ;(xg` cewcew lkl
n−1
dbxcn
.dxizq . 0 dbxcn cewcewd z` dlikny zyw
(b)
;V
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
:yi .i
E = {(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6)}
.zecewp 5 mr
K5
`lnd sxbd :yi . ii
· 3 = 21 `ed zebxcd mekq :oi` . iii
2 znxez zyw lky xg`n) zezywd xtqn miinrt `ed sxba
zebxcd mekq la` .ibefi` xtqn , 7
mekql
.ibef zeidl aiig `edy o`kne (zebxcd
.50 mdipia yxtdd mm` mixtqn ipy oia zyw yie , V
(?recn)
1
= [100]
:yi .iv
`id cewcew lk ly dbxcd f`
.dbxc ieey micewcew ipy zeidl miaiig ,mcewd sirqd t"r :oi` .
2
v
תרגיל מס' 10במתמטיקה דיסקרטית )להגשה(
הערה :בתרגיל זה ) G = (V , Eהוא גרף לא מכוון.
.1הגדרה :הגרף המשלים של Gהוא הגרף ) G = (V , Eכאשר קבוצת הקדקודים של Gזהה לזו של
, Gואילו שני קדקודים u,vהם שכנים ב G -אם"ם הם אינם שכנים ב. G -
א .הוכיחו כי אם Gלא קשיר ,אז Gקשיר והקוטר שלו הוא לכל היותר .2
ב .הוכיחו שאם ל G -יש קוטר גדול או שווה ל ,4-אזי הקוטר של Gהוא לכל היותר .2
ג .תנו דוגמא לגרף Gשקוטרו 3והקוטר של Gהוא גם-כן .3
.2נניח של G -יש nקדקודים ודרגת כל קודקוד היא לפחות .(n-1)/2הוכיחו כי Gקשיר והקוטר שלו
הוא לכל היותר .2
.3א .נסמן ב n -את מספר הקדקודים של , Gב e -את מספר הצלעות של Gוב c -את מספר רכיבי
הקשירות של . Gהוכיחו באינדוקציה על eכי.c ≥ n-e :
ב .הסיקו שבגרף קשיר בעל nקדקודים יש לפחות n-1צלעות.
.4א .הוכיחו כי אם הדרגה של כל קדקוד של Gהיא לפחות ,2אז יש בו מעגל.
ב .הוכיחו כי אם ב G -יש n≥3קודקודים ולפחות nצלעות ,אז יש בו מעגל.
)הדרכה :באינדוקציה על .(n
.5יהי Gגרף קשיר לא-מכוון שבו הדרגה של כל קדקוד היא זוגית .הראו שניתן לכוון את צלעות Gכך
שדרגת היציאה של כל קדקוד שווה לדרגת הכניסה שלו.
.6בתירגול הוכחנו את הטענה הבאה:
טענה :1בגרף קשיר לא-מכוון יש מסלול אוילר אם"ם יש בו 0או 2קדקודים בעלי דרגה אי-זוגית.
הוכיחו את הכללת הטענה הזו:
טענה :2נניח שבגרף קשיר לא מכוון יש kקדקודים מדרגה אי-זוגית .אזי kזוגי ,וניתן לפרק את
קבוצת הצלעות של הגרף ל k/2-מסלולים זרים בצלעות.
בהצלחה!
☺
פתרון תרגיל מס' 10במתמטיקה דיסקרטית
שאלה :1
א .נניח ש G -אינו קשיר ,אז יש ב G -לפחות 2רכיבי קשירות .יהיו u , vשני קדקודים .אם הם
שייכים לרכיבי קשירות שונים של , Gאז ודאי שיש ביניהם צלע ב . G -אם הם שייכים לאותו
רכיב קשירות ,ניקח קדקוד wברכיב קשירות אחר ,ואז ב G -יש מסלול . u , w, vלכןG ,
קשיר וקוטרו לכל היותר .2
ב .יהיו u , vשני קדקודים .אם , d G (u , v) > 1אזי {u , v} ∈ Eולכן . d G (u , v) = 1אחרת ,אם
, d G (u , v) = 1נוכיח כי קיים קדקוד wשאינו מחובר ב G -לאף-אחד מהקדקודים . u , v
)במקרה זה ,יש מסלול u , w, vב G -ולכן .( d G (u , v) = 2אם אין קדקוד wכנ"ל ,אזי בין כל
שני קדקודים x, yיש מסלול העובר דרך uאו דרך ) vאו דרך שניהם( שאורכו לכל היותר 3
)למה?( ,וזאת בסתירה להנחה שהקוטר של Gהוא לפחות .4
ג .דוגמא :הגרפים Gו G -הם הגרפים הבאים:
v3
v2
v3
v2
v4
v1
v4
v1
שאלה :2
נראה שבין כל 2קדקודים u , vקיים מסלול שאורכו לכל היותר .2
אם uו v -שכנים ,אז סיימנו .אחרת ,ל u -יש לפחות (n-1)/2שכנים ול v -יש לפחות (n-1)/2שכנים,
ולכן לפי עקרון שובך היונים יש להם שכן משותף )למה?( ,נסמנו ב . w -לכן ,קיים מסלול . u , w, v
שאלה :3ראו הוכחה בספר "מתמטיקה בדידה" ,עמ' ,171טענה .5.1.14
שאלה :4
א .יהי vקודקוד כלשהו בגרף ,נצא מ , v -ונטייל על צלעות הגרף באופן כלשהו ,כאשר אנו מקפידים
שלא לחזור מייד לצלע שממנה הגענו .מכיוון שהדרגה של כל קדקוד היא לפחות ,2אז לא ניתקע
באף קדקוד .מכיוון שהגרף סופי ,נגיע לבסוף לקדקוד שבו כבר ביקרנו ,ואז קיבלנו מעגל כנדרש.
ב .ראו הוכחה בספר "מתמטיקה בדידה" ,עמ' ,171טענה .5.1.15
שאלה :5
לפי משפט )אוילר( בגרף Gיש מעגל אוילר .נעקוב אחרי המעגל ונכוון את הצלעות בהתאם לו .מעגל
אוילר נכנס לכל קודקוד כמספר הפעמים שהוא יוצא ממנו )למה?( ,ולכן מתקבל כיוון של הצלעות כנדרש.
שאלה :6
לפי טענה שלמדתם בשיעור ,בגרף לא-מכוון מספר הקדקודים מדרגה אי-זוגית הוא תמיד זוגי.
נוסיף לגרף קדקוד נוסף , vונחבר את כל הקדקודים שדרגתם אי-זוגית בצלע ל . v -בגרף החדש ,לכל
הקדקודים דרגה זוגית )למה?( ,ולכן קיים בו מעגל אוילר .עתה נשמיט את הקדקוד ואת הצלעות החדשות
שהוספנו ,ונקבל k/2מסלולים זרים בצלעות.
1
תרגיל מס' 11במתמטיקה דיסקרטית )לא להגשה(
הגדרות :יהי ) G=(V,Eגרף לא מכוון.
מסלול שמבקר בכל צלע בגרף בדיוק פעם אחת נקרא מסלול אוילר .מעגל שמבקר בכל צלע בגרף בדיוק
פעם אחת נקרא מעגל אוילר) .שימו לב שהגדרה זו טובה גם לגרף מכוון(.
מסלול שמבקר בכל קדקוד בגרף בדיוק פעם אחת נקרא מסלול המילטון .מעגל שמבקר בכל קדקוד בגרף
בדיוק פעם אחת נקרא מעגל המילטון.
.1מצאו דוגמאות לגרף לא מכוון:
א .עם מעגל אוילר וללא מעגל המילטון.
ב .עם מעגל המילטון וללא מעגל אוילר.
.2סדרות .De Bruijnסדרו על מעגל סדרה באורך 2nשל אפסים ואחדים ,כך שכל סדרה באורך nשל
אפסים ואחדים תופיע כקטע רצוף של הסדרה המעגלית .הדרכה:
א .הגדירו גרף מכוון עם 2n-1קדקודים ,שקדקודיו הם כל הסדרות באורך n-1של אפסים ואחדים.
לכל קדקוד ) x=(x1,x2,...,xn-1נוסיף צלע מ x-ל (x2,x3,...,xn-1,0) -וצלע מ x-ל.(x2,x3,...,xn-1,1) -
ב .הוכיחו שבגרף המכוון הנ"ל יש מעגל אוילר.
ג .מצאו את הסדרה המעגלית הדרושה.
.3צופן .Grayגרף הקוביה ה-n -מימדית ,שיסומן ב ,Qn -הוא גרף לא מכוון ,שאוסף הקדקודים שלו
הוא אוסף כל הסדרות ) (a1,a2,...,anעם } ,ai∈{0,1ויש צלע בין כל שתי סדרות השונות זו מזו בדיוק
בקואורדינטה אחת.
א .הוכיחו שאם ,n≥2אז יש מסלול המילטון על ) .Qnהדרכה :באינדוקציה על .(n
ב .לפניכם nנורות כבויות .ניתן להדליק או לכבות כל נורה ע"י לחיצה על מתג .עליכם לעבור על כל
2nהמצבים האפשריים של הנורות .איך תעשו זאת ע"י מספר מינימלי של לחיצות? הוכיחו
טענתכם.
.4א .אם כל kנשים מכירות ביחד לפחות 7kגברים ,הוכיחו כי קיים "שידוך" שבו זוכה כל אישה ב7-
גברים.
ב .אם כל kגברים מכירים לפחות k-3נשים ,הוכיחו שקיים שידוך הממצה את כל הגברים ,למעט לכל
היותר 3מתוכם.
.5א .בכנסת יש kועדות .רוצים לבחור בכל אחת מהועדות יושב-ראש ,כך שח"כ לא יכהן כיושב-ראש של
יותר מועדה אחת .מצאו תנאי הכרחי ומספיק לכך שהבחירה אפשרית .הוכיחו טענתכם.
ב .מחלקים את כל חברי הכנסת לפי שתי חלוקות שונות .A1∪...∪Ak = B1∪...∪Bkמצאו תנאי
הכרחי ומספיק לכך שניתן לבחור kנציגים ,x1,...,xkשיהיו נציגים של כל החלקים הן לפי החלוקה
הראשונה והן לפי החלוקה השניה.
בהצלחה!
☺
פתרון תרגיל מס' 11במתמטיקה דיסקרטית
.1ראו תרשים 5.3.9בעמ' 197בספר "מתמטיקה בדידה".
.2ראו דוגמא 5.3.7בעמ' 194-196בספר "מתמטיקה בדידה".
.3א .ראו דוגמא 5.3.10בעמ' 198בספר "מתמטיקה בדידה".
ב .ניתן לראות את 2nהמצבים האפשריים של הנורות כקדקודי הגרף .Qnמסלול המילטון שמצאתם
בסעיף א' ,עובר בכל-אחד מהמצבים הללו פעם אחת בדיוק .לכן ,ע"י 2n-1לחיצות ,ניתן לעבור על כל
2nהמצבים האפשריים של הנורות .ברור שזהו מספר הלחיצות המינימלי )למה?(.
.4א .נניח שלכל אישה יש 7בנות .נגדיר היכרות בין קבוצת הבנות לקבוצת הגברים באופן הבא :כל בת
מכירה את הגברים שמכירה אימה .נבדוק שמתקיימים תנאי משפט ,Hallכלומר שכל kבנות מכירות
לפחות kגברים .תהי Aקבוצה של kבנות ,ותהי Bקבוצת האמהות שלהן .ברור ש ,|B|≥k/7 -כי לכל
אמא יש בדיוק 7בנות .לכן ,לפי ההנחה ,הנשים ב B-מכירות לפחות kגברים ,מכאן שהבנות בA-
מכירות לפחות kגברים .ממשפט ,Hallקיים שידוך בין קבוצת הבנות לקבוצת הגברים שממצה את
כל הבנות .כעת ,נשדך לכל אישה את 7הגברים ששידכנו לבנותיה ,וסיימנו.
ב .נוסיף לקבוצת הנשים עוד 3נשים זרות .ונניח שכל-אחת מהנשים הזרות מכירה את כל הגברים.
כעת ,כל kגברים מכירים לפחות kנשים )לפחות k-3מהנשים המקוריות ואת 3הנשים הזרות( .לכן,
לפי משפט ,Hallקיים שידוך הממצה את כל הגברים .עתה ,נגרש את 3הנשים הזרות ,ואז מספר
הגברים שיאבדו את השידוך שלהם הוא לכל היותר .3
.5א .נשים לב לכך שאנו מחפשים זיווג בין חברי-הכנסת לוועדות ,כאשר הזיווג הוא בין ועדה ליושב-
הראש שלה .לפי משפט ,Hallתנאי הכרחי ומספיק לכך הוא שבכל איחוד של kועדות יש לפחות k
חברי-כנסת שמשתתפים בהן.
ב .התנאי :כל איחוד של r≤kתת-קבוצות מה-Ai-ים חותכות לפחות rתת-קבוצות מה-Bi-ים.
הסבר :נתבונן על ה-Ai-ים בתור " kגברים" ועל ה-Bi-ים בתור " kנשים" .תנאי ההיכרות בין גבר As
לאישה Btהוא שהחיתוך As∩Btאינו ריק .התנאי שכתוב לעיל שקול לתנאי Hallבמקרה זה .לפי
משפט ,Hallקיים זיווג מלא ,כך שכל Aiמזווג עם ) ,Bf(iונבחר את הנציגים x1,...,xkכך ש-
).xi∈Ai∩Bf(i
1
dybdl - zihxwqic dwihnzna
12
libxz
e"qyz ,'` xhqnq
.
1
dbxcn cewcew `ed ura dlr .milbrn xqge xiyw sxb `ed ur :dxcbd
:milewy mi`ad mi`pzdy egiked .1
.ur
`id dheyt dliqn) dcigi dheyt dliqn yi
Ga
micewcew
2
G
(a)
lk oia (b)
(.zg` mrt xzeid lkl riten cewcew lk day dliqn
xaegn ,oey`xl hxt ,cewcew lky jk dxcqa
G
icewcew z` xcql ozip (c)
.dxcqa eincewn cg` weical
Ga
(n > 1) micewcew n mr edylk ur ly P
zebxcd zxcq `id (d1 , . . . , dn ) y e`xd
n
.
i=1 di = 2n − 2 mbe ∀i : di > 0 mm`
.milr
2
zegtl yi micewcew
2
zegtl mr ur lkay e`xd .3
:y egiked .ur
G
jxe`a zeheytd zeliqnd lk ly jezigd f` ,ibef
jxe`a zeheytd zeliqnd lk ly jezigd f` ,ibefi`
G
mr micewcew
n+1
n
idi .4
diam(G)
ly xhewd m` (b)
.rlv likn
cewcew mr micewcew
G
ly xhewd m` (a)
.cewcew likn
.divwecpi`a ekiynd ?exhew dn .ur lawzny e`xd .
.2
diam(G)
Ga milrd lk z` enfb :fnx
lr zexrid xtqny e`xd .mivr ly xf cegi` `ed xri .5
lr mivrd xtqnl deey zexiyw aikxn lka cg` legk
.wexi cg` cewcew
1
zihxwqic dwihnzna 12 libxz oexzt
e"qyz ,'` xhqnq
.1
dliqn
mb
yi
okle
,dliqn
yi
2
micewcew
lk
↔
oia
G
xiyw
G
micewcew ipy lk oia zeheyt zeliqn izy yi f` ,lbrn
:a
↔
•
`
a yi m` .dheyt
-eyt zeliqn izy yi m` .lbrnd lr mipeeikd ipya zkll xyt` ik ,lbrna
i"r)
lbrn
odn
xevil
xyt`
ji`
ze`xl
lw
f`
,zecewp
izy
G
oia
a
zeh
(.mitzeynd miwlgd lehiae oxeyxy
v ∈ V (G)
cewcew
1
idi ;(3 dl`y e`x)
←
dbxcn cewcew yi ur lka :b
•
`
dxcq yi my .zegt cg` cewcew mr (?recn) ur lawpe eze` hinyp .dfk
lawpe
oexg`d
mewna
eply
cewcewd
z`
siqep
(v1 , . . . , vn−1 )
.
,yxcpk
.yweank dxcq
weical
dliqn
vi0
vi
xaegn
zniiwy
C
2
a oqnpe ,
micewcew
lky
dnly
zxg`
zebxcd
,yxcpk
a = (v1 , . . . , vn )
j <i
dxcq
divwecpi`a
raep
,hxta
.
yk
ik
mekq
vi0
a
,
f` .xzeia lecb
qwcpi` mr
,sqepa .
yi
2n
y
,zxg`
raep
zerlv
dpap
z`
n < 2n − 2
2
eplaiw
.
zexiywn
yi
uray
xagpe
ok
n=2
dprhd
2
enk
.eply
ezxbcy
xear
cewcewdn
mi`pzd
,ephnydy
z`
cewcewd
lr divwecpi`a gikep .dxexa dprhd
1
.
n
lr
G
a .milr
2
n
1
zniiwn
z`
siqep
2
n=2
•
b
cg`
lkn
ur
C
a
G
y
gipp
2(n − 1) = 2n − 2
1
xy`
,f`e
1
G
likn okle (?recn) ur oiicr `edy
lrtp
`ed
,jtdl
dbxc mr edylk
1
n−1
oke
,
;efd
dbxcn
cewcewd
jx`ea
zebxcd
,dycg
zxcqn
ur
epxqgd epnny cewcewd
a micewcewd xtqn
G0
n−1
yi
G
n
idi
ay xg`n .
n
sxb lawpe eze` hinyp
ly milrd ipyn cg`l xzeid lkl xaegn `ede ,dlr `ed ephnydy cewcewdy
.milr ipy zegtl yi
1
.2
micewcew
zegtl dbxc mr cewcew yi
xqgp
xear .
lr
divwecpi`a
dbxcn cewcew yi ,zncewd dl`ya enk ,f` ,zerlv
lawp
l
.miccean
zegtl od zebxcd lk m` ik ,
.ur eplaiw ok`y ze`xl lw .dbxcl
.
dn
a cewcewd z`
.micewcew
epi`x
zebxcd mekq zxg` ik ,
zegtl
,divwecpi`a
eil`
.dxexa
zegtl onekq f`
z` hinyp .
dxcq
C
←
:`
vj
v1 vi
dxcqa eincewn miipyl zegtl xaegn okle ,
∀i : di > 0
n−1
okle
i0
.
cewcew
idz
mi
lbrn sxba yiy dlilya gipp .xiyw sxbd okle ,
l xaegn
.dxizq .
yi
`"f
G
a mb okle ,
G0
.3
divwecpi`a
-niqkn
G0
a
jiynp
dliqn
zilniqkn
lky
.dxexa
xg`n
dliqn
lke
dprhd
.
G0
f`
sxb
(!gked)
diam(G) = 0
G
lawpe
dfd
ilr
mefibd
G
.divwecpi`a zraep dprhd ,mefib i"r
lk
e`
z`
jildz
diam(G) = 1
diam(G)
2
mefbp
i"r
a
.
zxvwzn
m`
zil
a zilniqkn dliqnn zlawzn
:zeveawd oia dn`zd zeiwvpet dpap
,cg` wexi cewcew siqep ep` ,zexiyw aikxn lka legk cewcew mr xri ozpda
.milegkd micewcewd rav z` gkype ,eil` milegkd micewcewd lk z` xagp
mipkyd
lk
z`
legka
rvap
,wexi
cewcew
mr
micewcew
n+1
lr
ur
ozpda
.eizerlv z`e wexid cewcewd z` wgnp f`e ,wexid cewcewd ly
zeni`zn
ody
zeveawd
okle
diipyl
zg`
zeketd
zeivwpetdy
wecal
lw
.dnver zeey odipia
2
.4
lr
.5
תרגיל מס' 13במתמטיקה דיסקרטית )לא להגשה(
.1א .הוכיחו את הטענה הבאה:
טענה :יהי Tעץ .נבנה גרף חדש ע"י הוספת קדקוד נוסף xוחיבור xלקדקוד אחד בדיוק ב .T-אז הגרף
החדש גם הוא עץ .יתר על כן ,כל עץ סופי מתקבל באופן זה ,כלומר ע"י הוספת קדקוד אחרי קדקוד,
וחיבור הקדקוד החדש לקדקוד קיים ע"י צלע.
ב .בעזרת הטענה לעיל ,סיפרו וציירו את כל העצים הלא מתוייגים עם 5 ,4 ,3 ,2ו 6-קדקודים.
.2סיפרו וציירו את כל העצים המתוייגים שדרגות קדקודיהם נתונות להלן:
א.(3,2,1,1,1) .
ב.(3,3,1,1,1,1) .
ג.(3,2,2,1,1,1) .
.3הוכיחו כי מספר העצים המתוייגים בעלי nקדקודים שבהם לקדקוד ה n-יש דרגה kהוא
n − 2
n − k −1
.
) (n − 1
k
−
1
.4נסמן ב fn -את מספר הסדרות של -0ים ו-1-ים באורך nשאינן מכילות שני -1ים רצופים.
א .חשבו במפורש את fnל) 0≤n≤5 -רשמו את כל הסדרות האפשריות(.
ב .הוכיחו את נוסחת הנסיגה הבאה) fn=fn-1+fn-2 :לכל .(n≥2
ג .הוכיחו את הזהות) fn-1fn+1-fn2 = (-1)n :באינדוקציה על nובעזרת סעיף ב'(.
הערה :המספר fnנקרא מספר פיבונאצ'י ה.n-
הערה :את השאלות הבאות תוכלו לפתור רק לאחר שתלמדו על מספרי רמזי.
.5הוכיחו כי מספרי רמזי מקיימים את נוסחת הנסיגה הבאה) R(s,t) ≤ R(s-1,t)+R(s,t-1) :לכל .(s,t≥3
.6הוכיחו כי .R(3,3)=6
.7הוכיחו כי .R(3,4)=9
הדרכה :א .הוכיחו כי R(3,4)≥9ע"י כך שתמצאו צביעה של צלעות ,K8שאין בה משולש כחול או K4
אדום )רמז :סדרו 8קדקודים על מעגל וצבעו בכחול את הצלעות המחברות ביו 2קדקודים מנוגדים או
סמוכים ,ובאדום את שאר הצלעות(.
ב .הוכיחו כי R(3,4)≤9באופן הבא .נניח שנתונה צביעה כלשהי של צלעות K9באדום וכחול.
• הראו שאם מאחד הקדקודים של K9יוצאות 4צלעות כחולות או יותר ,אז יש בגרף משולש כחול
או K4אדום.
• הראו שאם מאחד הקדקודים של K9יוצאות 6צלעות אדומות או יותר ,אז יש בגרף משולש כחול
או K4אדום.
• הסיקו כי במקרה הנותר יוצאות מכל קדקוד בדיוק 3צלעות כחולות ו 5-אדומות .האם מקרה זה
אפשרי?
.8הוכיחו כי .R(4,4)=18
הדרכה :א .הוכיחו כי R(4,4)≥18ע"י כך שתמצאו צביעה של צלעות K17שאין בה K4כחול או K4אדום.
)רמז :סדרו 17קדקודים במעגל ,וצבעו בכחול את הצלעות המחברות בין 2קדקודים שמרחקם על-גבי
המעגל הוא 1,2,4,8יחידות ,ובאדום את כל השאר(.
ב .הסיקו כי R(4,4)≤18משאלות 5ו.7-
בהצלחה!
☺
פתרון תרגיל מס' 13במתמטיקה דיסקרטית
.1א .נסמן את הגרף החדש המתקבל מהוספת הקדקוד xל T -ע"י .Gנסמן ב y-את הקדקוד היחיד של
Tשאליו מתחבר .xנוכיח כי Gקשיר וחסר מעגלים.
Gקשיר ,כי בהינתן 2קדקודים ,אם שניהם שונים מ ,x-אז יש ביניהם מסילה כבר ב .T -ובין xלכל
קדקוד אחר ,יש מסילה העוברת דרך .y
Gחסר מעגלים ,כי אם היה ב G-מעגל ,הוא היה צריך לעבור דרך הקדקוד החדש .xאך זה לא אפשרי,
כי xמדרגה .1
יתר על כן ,בהינתן עץ כלשהו ,Tאם נגזום ממנו עלה ,xאז } T\{xיישאר עץ )למה?( .לכן ,אם נגזום
מ T-עלה אחר עלה ,נקבל לבסוף עץ עם קדקוד אחד .עתה – נוסיף את העלים לפי הסדר ונקבל את
הבניה הנדרשת.
ב .יש עץ יחיד עם 2קדקודים ועם 3קדקודים .יש 2עצים עם 4קדקודים .יש 3עצים עם 5קדקודים.
יש 7עצים עם 6קדקודים.
.2על-מנת לספור את העצים עם הקדקודים המתויגים נשתמש בנוסחה שלמדתם בשיעור.
א.3!/(2!1!) = 3 :(3,2,1,1,1) .
ב.4!/(2!2!) = 6 :(3,3,1,1,1,1) .
ג.4!/(2!1!1!) = 12 :(3,2,2,1,1,1) .
.3עלינו לספור את העצים המתויגים בעלי nקדקודים שבהם לקדקוד ה n-יש דרגה .k
ראשית ,מספר העצים המתויגים בעלי nקדקודים שסדרת הדרגות שלהם d1,...,dnמקיימת,di≥1 :
dn=kו Σdi=2n-2 -הוא:
n−2
n − k −1
n − 2
d − 1, d − 1,K , d − 1, k − 1 =
d − 1, d − 1,K , d − 1
2
n −1
2
n −1
1
k −1 1
עתה ,נסכם את כל הדרגות האפשריות ,ונשתמש בנוסחת הבינום המוכללת של ניוטון:
n−2
n − k −1
n − 2
∑
=
=
d1 +K+ d n−1 = 2 n − 2 − k d1 − 1, d 2 − 1,K , d n −1 − 1, k − 1
k − 1 d1 +K+ d n−1 = 2 n − 2− k d1 − 1, d 2 − 1,K , d n −1 − 1
∑
di ≥1
di ≥1
n − k −1 n − 2
n − 2
n − k −1
=
∑
e , e ,K , e =
) ( n − 1
k − 1 e1 +K+ en−1 = n − k −1 1 2
n −1
k −1
ei ≥ 0
.4א) f0=1 .הסדרה הריקה(.f5=13 ,f4=8 ,f3=5 ,f2=3 ,f1=2 ,
ב .נוכיח את נוסחת הנסיגה הבאה) fn=fn-1+fn-2 :לכל .(n≥2
תהי ) (x1,...,xnסדרה חוקית של -0ים ו-1-ים ,כלומר כזו שאין בה שני -1ים רצופים .נגדיר:
= bnכל הסדרות החוקיות באורך nעם .xn=0
= cnכל הסדרות החוקיות באורך nעם .xn=1
נשים לב ש.fn=bn+cn -
1
עתה ,נתבונן בסדרה חוקית באורך .n-1אם ,xn-1=0אז ניתן להוסיף xn=0או .xn=1אם xn-1=1אז
ניתן להוסיף רק ,xn=0על-מנת שהסדרה המתקבלת תישאר חוקית.
לכן.fn = 2bn-1+cn-1 = bn-1+(bn-1+cn-1) = bn-1+fn-1 :
סדרה חוקית באורך n-1עם xn-1=0מתאימה בדיוק לסדרה חוקית אחת באורך .n-2לכן,bn-1=fn-2 :
ולכן fn=fn-1+fn-2 :כנדרש.
ג .נוכיח את הזהות fn-1fn+1-fn2 = (-1)n :באינדוקציה על .n
ראשית ,נבדוק את נכונות הטענה ל ,f0f2-f12 = 3-4 = -1 :n=1-ול.f1f3-f22 = 10-9 =1 :n=2 -
עתה ,נניח שהטענה נכונה ל n-ול ,n+1 -ונוכיח כי היא נכונה ל) n+2 -לכל .(n≥1
מההנחה שהטענה נכונה ל n+1 -נקבל את הזהות הבאה )ע"י שימוש בסעיף ב'(:
)*( (-1)n+1 = fnfn+2-fn+12 = fn(fn+fn+1)-fn+12 = fn2-fn+12+fnfn+1
עתה ,נוכיח את הטענה ל) n+2 -ע"י שימוש בסעיף ב' וב:((*)-
= = fn+12+fn+1fn+2-fn+22 = fn+12+fn+1(fn+fn+1)-(fn+fn+1)2
fn+1(fn+1+fn+2)-fn+22
=
fn+1fn+3-fn+22
fn+12+fnfn+1+fn+12-fn2-fn+12-2fnfn+1 = fn+12-fnfn+1-fn2 = -(-1)n+1 = (-1)n+2
.5נוכיח כי מספרי רמזי מקיימים את נוסחת הנסיגה הבאה.R(s,t) ≤ R(s-1,t)+R(s,t-1) :
נסמן ) r1=R(s-1,t), r2=R(s,t-1ו .n=r1+r2 -עלינו להראות שבכל צביעה של Knבשני צבעים ,קיים Ks
כחול או Ktאדום.
יהי xקדקוד כלשהו ב ,Kn -אז דרגתו היא .n-1לכן ,מ x-יוצאות לפחות r1צלעות כחולות או r2צלעות
אדומות )למה?(.
נניח בה"כ שמ x-יוצאות r1צלעות כחולות .נתבונן בתת-הגרף הנפרש r1הקדקודים השכנים הללו.
תת-הגרף הזה מכיל Ks-1כחול או Ktאדום .אם הוא מכיל Ktאדום – אז סיימנו .אחרת ,תת-הגרף
הנפרש ע"י Ks-1ו x-מהווה Ksכחול )למה?(.
.6נוכיח כי .R(3,3)=6
ראו משפט 5.7.3בעמ' 234בספר "מתמטיקה בדידה".
.7נוכיח כי .R(3,4)=9
א .נבנה את הגרף הבא :נסדר 8קדקודים על מעגל ונצבע בכחול את הצלעות המחברות בין 2
קדקודים מנוגדים או סמוכים ,ובאדום את שאר הצלעות .שימו לב ,שבגרף הזה אין K3כחול או
K4אדום .לכן.R(3,4)>8 :
ב .נוכיח כי R(3,4)≤9באופן הבא .נניח שנתונה צביעה כלשהי של צלעות K9באדום וכחול.
•
יהי xקדקוד ב K9 -שיוצאות ממנו 4צלעות כחולות ,המחברות את xלקדקודים .a,b,c,dנסתכל
בגרף הנפרש ע"י 4הקדקודים הללו .אם כל צלעותיו אדומות ,אז מצאנו K4אדום .אחרת ,קיימת
לפחות צלע כחולה אחת ,נניח } ,{a,bואז } {x,a,bפורשים K3כחול.
•
יהי xקדקוד ב K9 -שיוצאות ממנו 6צלעות אדומות ,ונסתכל על תת-הגרף הנפרש ע"י 6
הקדקודים השכנים הללו .מכיוון ש ,R(3,3)=6 -ניתן למצוא בגרף הזה K3כחול )ואז סיימנו( או
K3אדום ,שיחד עם xייצור K4אדום.
2
•
נסיק כי מכל קדקוד יוצאות בדיוק 3צלעות כחולות ו 5-אדומות .נחשוב על הצלעות האדומות
בתור הצלעות של גרף Gועל הצלעות הכחולות בתור הצלעות של הגרף המשלים של .Gאזי ,סכום
הדרגות של קדקודי Gהוא ,9⋅3שאינו מספר זוגי ,וסתירה!
.8נוכיח כי .R(4,4)=18
א .נבנה את הגרף הבא :נסדר 17קדקודים במעגל ,ונצבע בכחול את הצלעות המחברות בין 2קדקודים
שמרחקם על-גבי המעגל הוא 1,2,4,8יחידות ,ובאדום את כל השאר .שימו לב שבגרף הזה לא קיים K4
כחול ,כי אם נקבע קדקוד xונחבר אותו ל 3-קדקודים אחרים ב 3-צלעות כחולות ,אז אחד ההפרשים
בין הקדקודים שנקבל יהיה שונה מ) 1,2,4,8-למה?( ,ואז יש ביניהם צלע אדומה.
הצלעות האדומות מחברות בין קדקודים שמרחקם על-גבי המעגל הוא .3,5,6,7לכן ,משיקולי
סימטריה ,לא קיים K4אדום .לכן.R(4,4)>17 :
ב .נסיק משאלות 5ו 7-ש) R(4,4)≤R(3,4)+R(4,3)=9+9=18 -שימו לב שR(4,3)=R(3,4)=9 -
משיקולי סימטריה(.
3
dybdl `l - zihxwqic dwihnzna dxfg libxz
e"qyz ,'` xhqnq
.xcq qgi e`/e zeliwy qgi `ed m` eraw ,mi`ad miqgidn cg` lk xear .1
.v l
.v l
un
un
zpeekn dliqn yi m`
dliqn yi m`
uRv
:micewcewd lr qgi xicbp , G oeekn-`l sxba
uSv
:micewcewd lr qgi xicbp , G oeekn sxba
•
•
G oeekn ura •
uT v :micewcewd
lr qgi xicbp ,(oeekn-`l ur lawp zezywd ipeeik z` gkyp m`y jk oeekn sxb `"f)
.v l
un
zpeekn dliqn yi m`
?(x
?zay zecewp
?zay zecewp
yely e` zg` dbxcn e` miler crv lka m` zebxcn
n
k
k
+ y + z)100 a x30 y 50 z 20
weica mr
n
ly mcwnd dn .2
lceba yi zeivhenxt dnk .•3
weica mr yi
[n]l [n]n
zeivwpet dnk
•
liknd zebxcn mxba zelrl yi zepey mikxc dnk .4
.dxebq dgqepk ode diqxewx zgqepk od daeyzd z` eriad ?zebxcn
egiked . n zegtl mdizebxc mekq ,mipky mpi`y micewcew ipy lk xeary jk micewcew
n
mr
G
sxb oezp .5
.oehlind lelqn yi
zeveawa micewcew ipy lk oia . ne
m
lceba zeveaw izyl miwlegn ,micewcew
m+n
mr sxb `ed
Gly
Km,n
.6
.zyw zxaer `l dveaw dze`a micewcew ipy oiae ,zyw zxaer zepey
nd
z`e zepa
nn
.xlie` lbrn liki `edy jk
Km,n
lr witqne igxkd i`pz epz
.oehlind zliqn liki `edy jk
Km,n
lr witqne igxkd i`pz epz
mlrzdl xyt` m`d .zepa
mlrzdl xyt` ,xgapy zepa
n
2k
zegtl mixikn mipa
k
lky jk zepa
2ne
mipa
n
yiy gipp .7
ly sqe` lkl m`d ?ezbef-za z` xikn oa lky jk mipal mi`zdl exzepy
?mipal exzepy zepad z` mi`zdle odn
?m `id
2
cewcewd zbxce
k
`id
1
cewcewd zbxcy jk micewcew
n
lr yi mibiezn mivr dnk .8
:ze`ad zebxcd zeniyxl mini`znd (mibiezn `l) mivr epa .9
(1, 1, 1, 2, 3) •
(1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3) •
?dl mi`zny cg` ur wx yi m`d ,l"pd zeniyxdn zg` lkl
.n
1
≥2
lkl
R(n, 3) < n2
y egiked .10
zihxwqic dwihnzna dxfg libxz oexzt
e"qyz ,'` xhqnq
.cinz zeliwy qgi
R
(.zeixhniq oi`) zeliwy qgi epi` aexle ,mipeekn milbrn oi` m` xcq qgi
S
.milbrn oi` ura ik ,xcq qgi
T
.1 lceba zexiyw aikx lk m` wx xcq qgi
R
n
k
Pn−k
i=0
(−1)i
100
30, 50, 20
(n − k − i)!
n
n−k
(n − 1)
k
n−k
i
a0 = a1 = a2 = 1; an = an−1 + an−3
n
d`eeynd z` xeztl jxhvp f` , cx
.1
.2
.3
.4
dxevdn `id xcqdy ygpp m`
x3 = x2 + 1
1.46557 . . .y d`xn (ixnep) aeyig .
= 0.61149 . . . ozep oeaygna yeniye mipey`xd
mikxra davd zrk .yweand oexztd `ed
.c
.1952a
Dirac
i"r gkedy htyn ly lelky dyrnl edf :dxrd .5
,sxba zilniqkn dliqn gwp .xiyw sxbdy gipdl xyt`y ze`xl dyw `l
x0
. x0 x1
ly mipkyd lk ,zilniqkn `id dliqndy xg`n
Aa
· · · xk a
dpnqpe
xk e
B ae ,xi−1 ∈ A f` ,x0 ly oky xi m` ,`"f) x0 ly mipkydn
micewcew k < n wx yie , |A| + |B| ≥ ny mircei ep` . xk ly mipky mdy
yi okl (. B a `le Aa `l `vnp xk y okzi `ly xg`n) my `vndl milekiy
:jk d`xp xy` ,lbrnl eply dliqnd z` jetdp . B le Al szeyny xi cewcew
"dl`ny cg` crv" mdy micewcewd zveaw z`
onqnp ;da mi`vnp
micewcewd z`
x0 xi+1 xi+2 · · · xk xi xi−1 · · · x0
.dkeza dcewp lkn eply dliqnd z` ligzdl mileki ep` ,lbrn eplaiwy xg`n
oky `ede dliqna `vnp epi` xy`
jk ;y z` dil` sxvpe
xj a
y
cewcew yi ,xiyw sxbdy xg`n la`
dliqnd z` miiqp .dliqna `vnp oky
xj
cewcewl
.dxizqa ,dkex` xzei dliqn eplaiw
1
dveaway xg`n .zeibef zeidl zekixv zebxcd lk ,ipixlie` didi sxbdy n"r .6
ne my
`ed i`pzd , n md diipyd dveawae , m micewcewd zebxc dpey`xd
.miibef
.|m
− n| ≤ 2
lkl zbeefnd diipyd zadn mlrzp m` .oa lkl zepa
:zeipehlindl i`pzd
2 beefl xyt`y mircei ep`
nn mlrzp ,oa
.7
.mlyen beeif mr x`ype k"dqa zepa
,dnbecl .zepa
n
ly dveaw lkn mlrzdl lkep `l mixwnd aexa ,z`f znerl
.ely zexknd lkn mlrzdl lkep `l ,zepa
nn
zegt xikn cg` oa m`
n−2
k − 1, m − 1, n − k − m
.8
.miipy yi diipyl .mi`zn cg` ur wx yi diipyd dniyxl .9
:divwecpi`a .dxexa dprhd
n=2
xear .10
R(n, 3) ≤ R(n − 1, 3) + R(n, 2) < (n − 1)2 + n = n2 − 2n + 1 + n < n2
2
![1, .., sn] :טלק :Knapsack](http://s1.doczz.net/store/data/006635840_1-30b96d0b589007e12fb9061d866bc894-70x70.png "1, .., sn] :טלק :Knapsack")
