– ג ע" תש `א מבחן מועד מבוא לקשר כימי

‫מבוא לקשר כימי – מבחן מועד א' תשע"ג‬
‫משך הבחינה‪ :‬שלוש שעות‪.‬‬
‫מרצה‪ :‬פרופ' רועי בר‬
‫ענו על שאלה ‪ 1‬ועל אחת משתי השאלות ‪ 2‬או ‪( 3‬כל שאלה ‪ 05‬נק')‪ .‬תוכלו להשתמש בדפי הנוסחאות המחולקים לכם‪.‬‬
‫שימו לב‪ :‬שאלון המבחן פרוס על שני עמודים‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫(חובה‪ 05 ,‬נק') נכון או לא נכון‪ .‬נמק (אין קשר בין הסעיפים)‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫(‪ 7‬נק') באפקט הפוטואלקטרי‪ ,‬האנרגיה הקינטית של אלקטרון הנפלט מהמתכת היא פונקציה לינארית של תדר האור‬
‫הפוגע‪ .‬שיפוע הפונקציה הלינארית הזו תלוי בסוג המתכת‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫(‪ 7‬נק') לפי מודל ניוטון‪ ,‬אור מתקדם במים (מקדם שבירה ‪ )1.1‬מהר יותר מאשר באויר (מקדם שבירה ‪.)1‬‬
‫ג‪.‬‬
‫(‪ 7‬נק') פונקציית הגל של שני אלקטרונים‪ ,‬שהם פרמיונים‪ ,‬תמיד אנטי‪-‬סימטרית מבחינה מרחבית אבל יכולה להיות גם‬
‫סימטרית וגם אנטי סימטרית מבחינת הספין‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫(‪ 8‬נק') באטום דמוי מימן‪ ,‬שבו לגרעין יש מטען חיובי‬
‫בפרופורציה ל‬
‫ה‪.‬‬
‫‪ ,‬מספר המצבים העצמיים (הקשורים) של אלקטרון גדל‬
‫‪.‬‬
‫(‪ 7‬נק') במצבים עצמיים קשורים עיקרון אי הודאות של הייזנברג‬
‫באשר‬
‫יכול להרשם כך‪:‬‬
‫האנרגיה הקינטית‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫(‪ 7‬נק') למערכת מסויימת המילטוניאן ̂ ‪ .‬מכינים אותה במצב‬
‫ומיד מתחילים בסדרת מדידות של גודל ‪ .‬בכל המדידות‬
‫מקבלים את אותה תוצאת מדידה‪ .‬כשחוזרים על הניסוי צופים באותה תופעה‪ .‬דבר זה ייתכן רק אם‪:‬‬
‫מצב עצמי של‬
‫האופרטור ̂ ‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫(‪ 7‬נק') להמילטוניאן ̂ מצב יסוד‬
‫⟩‬
‫|̂ |‬
‫‪ .‬אנרגיית מצב היסוד של ̂ גדולה מאנרגיית מצב היסוד של ̂‬
‫̂‬
‫̂ אם‬
‫⟨ ‪( .‬רמז‪ :‬בדוק בעזרת משפט הוריאציה)‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪.2‬‬
‫א‪.‬‬
‫לא נכון‪ .‬השיפוע הינו קבוע פלאנק‪ ,‬קבוע אוניברסלי‬
‫ב‪.‬‬
‫נכון‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫לא נכון‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫לא נכון (יש אינסוף מצבים קשורים)‬
‫ה‪.‬‬
‫נכון‪ .‬אי הודאות בתנע בריבוע חלקי פעמיים המסה שווה לאנרגיה הקינטית של המצב העצמי‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫נכון‬
‫ז‪.‬‬
‫נכון‪:‬‬
‫| |‬
‫⟩‬
‫⟩‬
‫⟨‬
‫| |‬
‫⟩‬
‫⟨‬
‫| |‬
‫⟨‬
‫(בחירה‪-‬חובה‪ 05 ,‬נק') אנרגיית מצב היסוד האלקטרוני של אטום חנקן היא‬
‫אופנהיימר עבור מצב היסוד של מולקולת ה‪-‬‬
‫⟩‬
‫|‬
‫|‬
‫⟨‬
‫ומסת הגרעין היא‬
‫‪ .‬עקום בורן‬
‫נתון בקרוב בנוסחה הבאה‪:‬‬
‫]‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫([‬
‫) (‬
‫א‪.‬‬
‫(‪ 15‬נק') הסבירו בקצרה למה נועד קרוב בורן אופנהיימר‪ ,‬על מה הוא מתבסס ומה מייצג עקום בורן‪-‬אופנהיימר ) ( ‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫(‪ .‬ציירו סכמטית את העקום וציינו על האיור‬
‫(‪ 15‬נק') הסבירו את משמעות הפרמטרים השונים בעקום הנתון (‬
‫את הגדלים‬
‫ג‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫(‪ 15‬נק') היעזרו בקרוב ההרמוני ומצאו ביטוי לאנרגיית מצב היסוד של המולקולה ולתדירות הויברציה‪ .‬מה הקשר בין‬
‫תדירות הויברציה לחוזק הקשר הכימי?‬
‫ד‪.‬‬
‫(‪ 15‬נק') בספקטרום היוניזציה של חנקן מתקבלים שלושה פיקים הנתונים בטבלה‪ .‬הקונפיגורציה האלקטרונית של‬
‫במצב היסוד היא‪:‬‬
‫ציירו את הרמות האנרגיה האורביטליות של‬
‫‪,‬‬
‫האורביטליות הגבוהות‬
‫(כולל אכלוס אלקטרונים בכל רמה)‪ ,‬וקבעו מהן שלושת האנרגיות‬
‫במולקולה‪ ,‬תוך שימוש בעקרון ‪ ,Koopmans‬לפיו פוטנציאל היוניזציה של המולקולה‬
‫שווה לאנרגיה של האורביטלה ממנה מוציאים את האלקטרון‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫ה‪.‬‬
‫הינה‬
‫(‪ 15‬נק') תדירות הויברציה של‬
‫‪ .‬ראו טבלה למטה‪.‬‬
‫‪ , 2130‬מה ניתן לומר על אופי שלושת האורביטלים (קושר‪ ,‬לא קושר‪,‬‬
‫אנטי קושר) מהם יוצא האלקטרון? רמז‪ :‬השתמשו במסקנה מסעיף ג' לגבי הקשר בין תדר הויברציה וחוזק הקשר הכימי‪,‬‬
‫וכן‪ ,‬שהוצאת אלקטרון מאורביטלה מולקולרית קושרת מחלישה את הקשר והצאתו מאורביטלה מולקולרית אנטי‪-‬קושרת‬
‫מחזקת אותו‪.‬‬
‫פוטנציאל היוניזציה ]‬
‫תדירות הויברציה‬
‫[‬
‫]‬
‫[‬
‫יוניזציה למצב היסוד‬
‫של הקטיון‬
‫‪10.6‬‬
‫‪2125‬‬
‫יוניזציה למצב מעורר‬
‫אלקטרונית ‪ 2‬של הקטיון‬
‫‪11.1‬‬
‫‪2055‬‬
‫יוניזציה למצב מעורר‬
‫אלקטרונית ‪ 1‬של הקטיון‬
‫‪16.7‬‬
‫‪1105‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪1.0‬‬
‫‪0.0‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪V x 2eN v0‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪1.0‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a x x0‬‬
‫רואים כי‬
‫הפוטנציאל מתואר באיור לעיל‪ .‬כאשר‬
‫) ( ובאמת‬
‫) ( כלומר‪,‬‬
‫הערך של עקום בורן אופנהיימר ) ( שואף לאנרגיה של שני אטומי חנקן‪ .‬זה הגיוני כי כאשר שני הגרעינים‬
‫רחוקים מצב היסוד האלקטרוני הוא של שני אטומי חנקן במצה היסוד מבודדים (אין דחייה בין הגרעינים כשהם‬
‫מרוחקים)‪ ,‬כלומר‬
‫‪.‬‬
‫המינימום של העקום מתקבל כאשר‬
‫הערך המינימלי של העקום הוא‪:‬‬
‫) ( ‪ .‬מכאן‪,‬‬
‫( כלומר ב‬
‫)‬
‫)‬
‫‪.‬‬
‫) ( ( או‪ ,‬במילים אחרות‪ :‬האנרגיה המינימלית היא‬
‫היא עומק הבור או אנרגיית הקשר או האנתלפיה (ללא תיקון של אנרגיית‬
‫האפס הויברציונית)‪ .‬בקרוב ההרמוני התדר הויברציוני הינו‪:‬‬
‫)‬
‫√‬
‫(‬
‫היא האנרגיה המצומצמת‪ .‬רואים מהביטוי שככל שהקשר יציב יותר (‬
‫√‬
‫√‬
‫‪ ,‬באשר‬
‫גבוה יותר) כך הויברציה‬
‫גבוהה יותר‪.‬‬
‫מהטבלה ועיקרון קופמנס רואים כי האנרגיה של‬
‫היא‬
‫של‬
‫היא‬
‫היא‬
‫ושל‬
‫‪ .‬מכך שתדירות הויברציה של הקטיון קטנה מעט מזו של חנקן הנייטרלי וזו של המצב הקטיוני‬
‫המעורר הראשון קטנה בהרבה‪ .‬מכך אנו למדים שהאורביטלה‬
‫קושרת וגם האורביטלה‬
‫(עוד יותר)‪ ,‬כי‬
‫הוצאת אלקטרון מאחת משתי האורביטלות הללו מחלישה את הקשר הכימי‪ .‬מאידך רואים שהקטיון במצב‬
‫המעורר השלישי הינו בעל תדר ויברציה גבוהה יותר‪ .‬משמעות הדבר שהקשר הכימי חזק יותר בקטיון זה‪.‬‬
‫רואים שהוצאת אלקטרון מ‬
‫מחזקת את הקשר‪ ,‬לכן האורביטלה‬
‫אנטי קושרת‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫(בחירה‪-‬חובה‪ 05 ,‬נק') חלקיק בעל מסה‬
‫מצוי בקופסא חד‪-‬מימדית‬
‫‪1.0‬‬
‫מכינים את‬
‫‪0.8‬‬
‫על ציר ‪ ,‬כמתואר באיור‪ .‬אורך הקופסא ‪ .‬בזמן‬
‫)‬
‫‪0.4‬‬
‫(‬
‫) (‬
‫{‬
‫‪0.2‬‬
‫אחרת‬
‫‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫(‪ 10‬נק') קבעו את מקדם הנרמול‬
‫ב‪.‬‬
‫(‪ 10‬נק') מודדים את האנרגיה‪ .‬אילו ערכים יכולים התקבל?‬
‫‪1.0‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.0‬‬
‫‪0.0‬‬
‫‪xL‬‬
‫רשמו ביטוי להסתברות למדידת כל ערך‪ .‬אילו ערכי אנרגיה ניתן לקבל‪ ,‬ועבור אילו ערכים מתאפס הסיכוי?‬
‫ג‪.‬‬
‫(‪ 15‬נק') רשמו ביטוי לפונקציית הגל בזמן‬
‫ד‪.‬‬
‫(‪ 15‬נק') הראו שערך התצפית של האנרגיה שווה לאחד מהערכים העצמיים של ההמילטוניאן‪ .‬איזהו?‬
‫ה‪.‬‬
‫נוסחאות עזר‪:‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫הביטוי‬
‫הערה‪ :‬כאשר‬
‫)‬
‫‪ ,‬כלומר ל‪) -‬‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫( ‪.‬‬
‫(‬
‫∫‬
‫)‬
‫‪,‬‬
‫(‬
‫)‬
‫( שווה ל ‪.‬‬
‫)‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נרמול פונקציית הגל‪:‬‬
‫)‬
‫כלומר √‬
‫(‬
‫∫‬
‫(‬
‫)‬
‫⟩ | ⟨‬
‫∫‬
‫‪.‬‬
‫הפונ' העצמיות והערכים העצמיים של ההמילטוניאן בחלקיק בקופסא הם‪:‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪ ,‬ו‪-‬‬
‫) (‬
‫√‬
‫‪.‬‬
‫באשר ) (‬
‫כעת נחשב את החפיפה בין מצב המערכת ובין כל אחד מהמצבים העצמיים של ההמילטוניאן ) (‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫√‬
‫∫‬
‫(‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫) ( )‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫∫ √‬
‫⟩ |‬
‫‪:‬‬
‫⟨‬
‫∫‬
‫מהאקסיומות של מכניקה קוונטית הפריסה של המצב הנתון לפי פונקציות עצמיות של ההמילטוניאן היא‪:‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫)‬
‫∑ √‬
‫) (‬
‫∑‬
‫) (‬
‫ובזמן ‪:‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫∑ √‬
‫לפי נוסחת ערך התצפית‪ ,‬ערך התצפית של האנרגיה הוא‬
‫) (‬
‫|‬
‫|‬
‫∑‬
‫∑‬
‫⟩ ̂ ⟨‪ ,‬נציב את ה‪-‬‬
‫)‬
‫(‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫(‬
‫∑‬
‫‪x N‬‬
‫החלקיק במצב המתואר באיור משמאל והנתון בנוסחה‪:‬‬
‫‪0.6‬‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫(∑‬
‫ערך התצפית של האנרגיה במצב הנתון שווה לערך העצמי ה‪ 11 -‬של ההמילטוניאן‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫⟩̂ ⟨‬