3 תכונות חלוקה `

Comments

Transcription

3 תכונות חלוקה `
‫'חיזוקית' ‪ -‬תכונות חלוקה ‪3‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪ a‬הוא מספר ראשוני בין ‪ 10‬ל‪. 20 -‬‬
‫‪ b‬הוא מספר חיובי המתחלק ב‪ 6 -‬ללא שארית‪.‬‬
‫בכמה מספרים שלמים‪ ,‬חיוביים ושונים לכל הפחות מתחלק הביטוי ‪? a ⋅ b‬‬
‫)‪6 (1‬‬
‫)‪7 (2‬‬
‫)‪8 (3‬‬
‫)‪9 (4‬‬
‫__________________________________________________________________________‬
‫‪.2‬‬
‫תומי ‪" :‬כל מספר שמתחלק ללא שארית גם ב‪ 9 -‬וגם ב‪ 10 -‬מתחלק בהכרח ב‪" 90 -‬‬
‫קארין ‪":‬כל מספר שמתחלק ללא שארית גם ב‪ 6 -‬וגם ב‪ 12 -‬מתחלק בהכרח ב‪" 72 -‬‬
‫מה מהבאים נכון ?‬
‫)‪ (1‬נירה טועה וקארין צודקת‬
‫)‪ (2‬נירה צודקת וקארין טועה‬
‫)‪ (3‬שתיהן טועות‬
‫)‪ (4‬שתיהן צודקות‬
‫_________________________________________________________________________‬
‫‪.3‬‬
‫‪ a‬הוא שלם וחיובי המתחלק ללא שארית ב‪. 45 -‬‬
‫‪ b‬הוא שלם וחיובי המתחלק ללא שארית ב‪. 75 -‬‬
‫מהו המספר הגדול ביותר שהביטוי ) ‪ (a + b‬מתחלק בו בוודאות ?‬
‫)‪3 (1‬‬
‫)‪5 (2‬‬
‫)‪15 (3‬‬
‫)‪25 (4‬‬
‫__________________________________________________________________________‬
‫‪.4‬‬
‫‪ a‬ו‪ b -‬הם מספרים שלמים השונים מאפס‪.‬‬
‫נתון ‪ x :‬הוא מספר המתחלק ללא שארית ב‪ 2a -‬וב‪3b -‬‬
‫במה מהבאים ‪ x‬אינו בהכרח מתחלק ללא שארית ?‬
‫)‪3a (1‬‬
‫)‪2b (2‬‬
‫)‪6a (3‬‬
‫)‪a + b (4‬‬
‫__________________________________________________________________________‬
‫____________________________________________________________________‬
‫‪ x‬ו‪ y -‬הם מספרים שלמים וחיוביים‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫נתון ‪y = 7 x + 1 :‬‬
‫איזה מהביטויים הבאים מתחלק ב‪ 7 -‬ללא שארית ?‬
‫)‪7 x + y (1‬‬
‫)‪y − 8 (2‬‬
‫)‪7 y + 1 (3‬‬
‫‪7 y + 21‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪7‬‬
‫__________________________________________________________________________‬
‫‪.6‬‬
‫‪ x‬מתחלק ב‪ 7 -‬עם שארית ‪. 1‬‬
‫‪ y‬מתחלק ב‪ 14 -‬עם שארית ‪. 2‬‬
‫מה מהבאים לא יכולה להיות שארית החלוקה של ) ‪ ( x + y‬ב‪? 14 -‬‬
‫)‪ (4‬כל הנ"ל ייתכנו‬
‫)‪7 (3‬‬
‫)‪10 (2‬‬
‫)‪3 (1‬‬
‫__________________________________________________________________________‬
‫‪.7‬‬
‫‪ a‬הוא מספר שלם וחיובי המתחלק בשלושה מספרים שלמים וחיוביים בלבד ‪ :‬ב‪ , 1-‬ב‪ 5 -‬ובעצמו‪.‬‬
‫מה מהבאים בהכרח אינו מספר שלם ?‬
‫)‪5 ⋅ a (1‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪5‬‬
‫__________________________________________________________________________‬
‫‪.8‬‬
‫נתון ‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫הוא מספר זוגי‬
‫‪y‬‬
‫‪5‬‬
‫הוא מספר אי‪-‬זוגי‬
‫איזה מהביטויים הבאים הוא בהכרח אינו מספר שלם ?‬
‫‪y3‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪x −1‬‬
‫‪y2‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪( x − 2) 3‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪y +1‬‬
‫)‪ (4‬כל התשובות הנ"ל הינם מספרים שלמים‬
‫_____________________________________________________________________‬
‫‪.9‬‬
‫‪n‬‬
‫אם‬
‫‪2‬‬
‫זוגי‪ ,‬מהי השארית מחלוקת ‪ n‬ב‪? 4 -‬‬
‫)‪ (4‬לא ניתן לדעת‬
‫)‪2 (3‬‬
‫)‪1 (2‬‬
‫)‪0 (1‬‬
‫__________________________________________________________________________‬
‫‪.10‬‬
‫נתון ‪ x :‬מספר שלם וחיובי‪.‬‬
‫‪ 3 x‬הוא מספר המתחלק ב‪ 3 -‬ללא שארית‪.‬‬
‫מה מהבאים נכון בהכרח ?‬
‫)‪ 2 x (1‬מתחלק ב‪ 6 -‬ללא שארית‬
‫)‪ 4 x (2‬מתחלק ב‪ 6 -‬ללא שארית‬
‫)‪ 5 x (3‬מתחלק ב‪ 10 -‬ללא שארית‬
‫)‪ (4‬אף אחד מהנ"ל‬
‫__________________________________________________________________________‬
‫‪.11‬‬
‫‪ x‬הוא מספר שלם וחיובי‪.‬‬
‫נתון ‪ :‬ל‪ x -‬יש ‪ 3‬מחלקים שלמים חיוביים ושונים בלבד‪.‬‬
‫מה מהבאים נכון בוודאות לגבי ‪x‬‬
‫?‬
‫)‪ (1‬הוא מספר ראשוני‬
‫)‪ (2‬הוא מספר שאינו ראשוני‬
‫)‪ (3‬הוא מספר זוגי‬
‫)‪ (4‬הוא מספר אי‪-‬זוגי‬
‫__________________________________________________________________________‬
‫‪.12‬‬
‫‪ x‬הוא מספר חיובי‪.‬‬
‫נתון ‪ :‬ל‪ x 2 -‬יש רק ארבעה מחלקים חיוביים ושלמים השונים זה מזה‪.‬‬
‫מה מהבאים נכון בהכרח לגבי המספר ‪? x‬‬
‫)‪ (1‬הוא אינו מספר שלם‬
‫)‪ (2‬הוא מספר זוגי‬
‫)‪ (3‬הוא מספר אי‪-‬זוגי‬
‫)‪ (4‬אף אחד מהנ"ל אינו נכון בהכרח‬
‫__________________________________________________________________________‬
‫הסברים ומפתח תשובות – תכונות חלוקה ‪3‬‬
‫‪.1‬‬
‫שאלה‬
‫תשובה‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪4‬‬
‫‪11‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫התשובה הנכונה היא )‪.(3‬‬
‫נתונים ‪ a :‬הוא מספר ראשוני בין ‪ 10‬ל‪. 20 -‬‬
‫‪ b‬הוא מספר חיובי המתחלק ב‪ 6 -‬ללא שארית‪.‬‬
‫שואלים ‪ :‬בכמה מספרים שלמים‪ ,‬חיוביים ושונים לכל הפחות מתחלק הביטוי ‪? a ⋅ b‬‬
‫דרך א'‪' -‬הצבה פוסלת'‬
‫מאחר שבשאלה אין נתונים ממשיים אין כל מניעה להשתמש בטכניקת 'הצבה פוסלת'‪ ,‬מה גם‬
‫שאין תשובה )‪ (4‬מתחכמת‪ ,‬מה שאומר שנוכל להסתפק בהצבה אחת בלבד‪.‬‬
‫נציב‪ a = 11 :‬ו‪. b = 6 -‬‬
‫הביטוי ‪ab = 11 ⋅ 6 = 66‬‬
‫‪ 66‬מתחלק ב‪ 33 , 22 , 11 , 6 , 3 , 2 , 1 :‬ו‪ . 66 -‬כלומר‪ ,‬לפי דוגמה זו המספר מתחלק ב‪8 -‬‬
‫מספרים‪ .‬ולכן נוכל לפסול את כל התשובות ששונות מ‪ , 8 -‬ולסמן את תשובה )‪.(3‬‬
‫דרך ב'‪ -‬עקרונית‬
‫תזכורת‪ :‬עיקרון תחנות ה"א‪-‬ב‪-‬ג"‪ :‬כל מספר או מכפלה של מספרים מתחלק בהכרח –‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪ 1-‬ובעצמו‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫בכל אחד מגורמיו הראשוניים בנפרד‪.‬‬
‫בכל מכפלה פנימית בין גורמיו הראשוניים‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הערות חשובות מאוד‪ .1 :‬מעבר בתחנות הא‪-‬ב‪-‬ג ממצה את כל גורמיו של המספר‬
‫‪ .2‬לגורם ראשוני אסור להופיע במכפלה פנימית )תחנה ג'( יותר‬
‫ממספר הפעמים שהוא מופיע בפירוק הראשוני‪.‬‬
‫למשל‪ 42 :‬לא מתחלק ב‪ 9 -‬כי בשביל ‪ 9‬צריך את הגורם ‪3‬‬
‫פעמיים והוא מופיע בפירוק הראשוני של ‪ 42‬רק פעם אחת‪.‬‬
‫כדי לדעת בכמה מספרים מתחלקת המכפלה ‪ a ⋅ b‬נפרק אותה תחילה לגורמיה הראשוניים‪.‬‬
‫‪ b‬מתחלק ב‪ , 6 -‬כלומר יש ל‪ b -‬את הגורמים הראשוניים ‪ 2 :‬ו‪. 3 -‬‬
‫‪ a‬הוא מספר ראשוני שגדול מ‪ , 10 -‬ולכן הגורם הראשוני שלו שונה מ‪ 2 -‬ו‪. 3 -‬‬
‫אם כך‪ ,‬הגורמים הראשוניים של המכפלה ‪ a ⋅ b‬הם‪2 ⋅ 3 ⋅ a :‬‬
‫תחנה א'‪a ⋅ b , 1 :‬‬
‫תחנה ב'‪a , 3 , 2 :‬‬
‫תחנה ג'‪6 , 3a , 2a :‬‬
‫כלומר‪ ,‬סה"כ ‪ 8‬מספרים‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫התשובה הנכונה היא )‪.(2‬‬
‫תומי ‪" :‬כל מספר שמתחלק ללא שארית גם ב‪ 9 -‬וגם ב‪ 10 -‬מתחלק בהכרח ב‪" 90 -‬‬
‫קארין ‪":‬כל מספר שמתחלק ללא שארית גם ב‪ 6 -‬וגם ב‪ 12 -‬מתחלק בהכרח ב‪" 72 -‬‬
‫תזכורת‪ :‬ה'סטוק המתחייב' ‪ /‬קיזוז גורמים ראשוניים חופפים‪ :‬אם יש מספר נתוני חלוקה לגבי‬
‫אותו הגורם במעבר מנתון חלוקה אחד למשנהו‪ -‬יש לצבור רק גורמים ראשוניים חדשים‬
‫שהנתונים הקודמים לא חשפו‪ ,‬ולקזז את הגורמים שכבר נחשפו‪.‬‬
‫ניתוח דברי תומי ‪ :‬מהעובדה שהמספר מתחלק ב‪ 9 -‬נוכל לצבור את הגורמים הראשוניים ‪:‬‬
‫‪ . 3 ⋅ 3‬מהעובדה שהמספר מתחלק גם ב‪ 10 -‬נצבור את הגורמים הראשוניים ‪ . 2 ⋅ 5‬ומאחר‬
‫שאין חפיפה בין הגורמים שעלו מהחלוקה ב‪ 9 -‬לבין אלו שעלו מהחלוקה ב‪ - 10 -‬אז אין מה‬
‫לקזז‪ ,‬והסטוק המתחייב של המספר מורכב מ‪ . 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 5 :‬ולכן המספר בוודאות מתחלק ב‪-‬‬
‫‪ , 90‬אם כך תומי צודקת‪.‬‬
‫ניתוח דברי קארין ‪ :‬מהעובדה שהמספר מתחלק ב‪ 6 -‬נוכל לצבור את הגורמים הראשוניים ‪:‬‬
‫‪ . 2 ⋅ 3‬מהעובדה שהמספר מתחלק גם ב‪ 12 -‬לא נצבור את כל הגורמים הראשוניים ‪, 2 ⋅ 2 ⋅ 3‬‬
‫כיוון שכפי שהוזכר בעיקרון 'הסטוק המתחייב' את הגורמים החופפים יש לקזז ולצבור רק‬
‫גורמים חדשים‪ .‬והגורם החדש היחיד הוא עוד פעם אחת ‪ . 2‬ולכן‪ ,‬הסטוק המתחייב של המספר‬
‫מורכב מ‪ . 2 ⋅ 2 ⋅ 3 :‬ולכן המספר אינו מתחלק ב‪ , 72 -‬אם כך קארין טועה‪.‬‬
‫לסיכום‪ :‬תומי צודקת וקארין טועה‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫התשובה הנכונה היא )‪.(3‬‬
‫נתונים ‪:‬‬
‫‪ a‬הוא שלם וחיובי המתחלק ללא שארית ב‪. 45 -‬‬
‫‪ b‬הוא שלם וחיובי המתחלק ללא שארית ב‪. 75 -‬‬
‫שואלים ‪ :‬מהו המספר הגדול ביותר שהביטוי ) ‪ (a + b‬מתחלק בו בוודאות ?‬
‫תזכורת‪ :‬סכום או הפרש מתחלק בוודאות בכל גורם שהוא גורם משותף של כל מרכיבי הביטוי‪.‬‬
‫למשל הביטוי‪:‬‬
‫‪ 12 x 2 y 3 − 16 x 4 y 2 + 40 x 3 y‬יתחלק בהכרח ב‪4 x 2 y -‬‬
‫כלומר‪ ,‬הסכום ) ‪ (a + b‬יתחלק בכל גורם שהוא גורם משותף גם של ‪ 45‬וגם של ‪. 75‬‬
‫נבצע פירוק ראשוני לשני המספרים‪ a = 3 ⋅ 3 ⋅ 5 :‬ו‪b = 3 ⋅ 5 ⋅ 5 -‬‬
‫אם כך‪ ,‬הגורמים המשותפים לשני המספרים הם‪ , 3 ⋅ 5 :‬ולכן המספר הגדול ביותר שהביטוי‬
‫‪ a ⋅ b‬מתחלק בו הוא‪15 :‬‬
‫‪.4‬‬
‫התשובה הנכונה היא )‪.(4‬‬
‫נתונים ‪ a :‬ו‪ b -‬הם מספרים שלמים השונים מאפס‪.‬‬
‫‪ x‬הוא מספר המתחלק ללא שארית ב‪ 2a -‬וב‪3b -‬‬
‫שואלים‪ :‬במה מהבאים ‪ x‬אינו בהכרח מתחלק ללא שארית ?‬
‫אם ‪ x‬מתחלק ב‪ 2a -‬הרי של‪ x -‬יש בהכרח את הגורמים ‪2 ⋅ a :‬‬
‫ואם ‪ x‬מתחלק גם ב‪ 3b -‬הרי של‪ x -‬יש בהכרח את הגורמים ‪3 ⋅ b :‬‬
‫כלומר‪ ,‬הגורמים של ‪ x‬הם‪2 ⋅ a ⋅ 3 ⋅ b :‬‬
‫ולכן ‪ x‬כן מתחלק ב‪ , 3a -‬ב‪ 2b -‬ו‪ , 6a -‬ואינו בהכרח מתחלק ב‪. a + b -‬‬
‫‪.5‬‬
‫התשובה הנכונה היא )‪.(2‬‬
‫נתונים ‪ x :‬ו‪ y -‬הם מספרים שלמים וחיוביים‪.‬‬
‫‪y = 7x +1‬‬
‫שואלים‪ :‬איזה מהביטויים הבאים מתחלק ב‪ 7 -‬ללא שארית ?‬
‫דרך א' – הצבה פוסלת'‬
‫מאחר שאין אף נתון ממשי בשאלה ניתן בהחלט להשתמש בטכניקת 'הצבה פוסלת'‪ ,‬מה גם שאין‬
‫תשובה )‪ (4‬מתחכמת‪.‬‬
‫נציב‪ , x = 2 :‬ומאחר ש‪y = 7 ⋅ 2 + 1 = 15 : y = 7 x + 1 :‬‬
‫תשובה )‪ , 7 ⋅ 2 + 15 = 29 ; 7 x + y :(1‬תשובה נפסלת‬
‫תשובה )‪ , 15 − 8 = 7 ; y − 8 :(2‬תשובה לא נפסלת‪.‬‬
‫תשובה )‪ . 7 ⋅ 15 + 1 = 106 ; 7 y + 1 :(3‬תשובה נפסלת‪.‬‬
‫‪7 ⋅ 15 + 21‬‬
‫‪7 y + 21‬‬
‫; ‪= 18‬‬
‫תשובה )‪:(4‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫תשובה נפסלת‪.‬‬
‫עתה‪ ,‬נוכל לסמן ללא חשש את תשובה )‪.(2‬‬
‫דרך ב'‪ -‬עקרונית‬
‫אם ‪ x‬הוא מספר שלם‪ ,‬הרי שהביטוי ‪ 7 x‬מתחלק ב‪) 7 -‬כיוון שאם נחלק את ‪ 7 x‬ב‪ 7 -‬נקבל‬
‫כתוצאה את ‪ x‬שהוא כזכור מספר שלם(‪ ,‬ולכן אם ‪ y = 7 x + 1‬הרי ש‪ y -‬הוא מספר שגדול ב‪1-‬‬
‫מכפולה של ‪ , 7‬כלומר ‪ y :‬מתחלק ב‪ 7 -‬עם שארית ‪. 1‬‬
‫תשובה )‪ ; 7 x + y :(1‬הביטוי ‪ 7 x‬מתחלק ב‪ . 7 -‬הביטוי ‪ y‬אינו מתחלק ב‪) 7 -‬אלא נותרת‬
‫שארית ‪ ,( 1‬ולכן סכומם אינו מתחלק ב‪ . 7 -‬תשובה נפסלת‪.‬‬
‫תשובה )‪ ; y − 8 :(2‬כאמור‪ y ,‬מתחלק ב‪ 7 -‬עם שארית ‪ . 1‬אם היינו מפחיתים מ‪ y -‬את‬
‫המספר ‪ , 7‬התוצאה שהייתה מתקבלת הייתה גם מתחלקת ב‪ 7 -‬עם שארית ‪ . 1‬כשמוסיפים או‬
‫מפחיתים את המספר שבו מחלקים השארית נשארת כפי שהייתה‪) .‬למשל‪ 22 :‬מתחלק ב‪7 -‬‬
‫עם שארית ‪ , 1‬ואם נפחית מ‪ 22 -‬את המספר ‪ 7‬נקבל‪ 15 :‬שהוא גם מתחלק ב‪ 7 -‬עם שארית ‪( 1‬‬
‫ולכן‪ ,‬אם נפחית מ‪ y -‬את המספר ‪ , 8‬נקבל מספר שמתחלק בדיוק ב‪ . 7 -‬תשובה נכונה‪.‬‬
‫שימו לב‪ ,‬ניתן לעצור את בדיקת התשובות בשלב זה – עיקרון 'מונית הכסף'‪ .‬נמשיך בהסבר‬
‫התשובות הנותרות לצורך לימוד‪.‬‬
‫תשובה )‪ ; 7 y + 1 :(3‬מאחר ש‪ y -‬הוא מספר שלם‪ ,‬הרי שהביטוי ‪ 7 y‬מתחלק ב‪ , y -‬אך אם‬
‫נגדיל אותו ב‪ 1 -‬כדי להגיע ל‪ 7 y + 1 :‬הוא כבר לא יתחלק ב‪ . 7 -‬תשובה נפסלת‪.‬‬
‫‪7 y + 21 7 y 21‬‬
‫‪7 y + 21‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫; ‪= y+3‬‬
‫תשובה )‪:(4‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ .‬כזכור‪ y ,‬מתחלק ב‪ 7 -‬עם‬
‫שארית ‪ , 1‬ואם נוסיף לו את המספר ‪ , 3‬הרי שהתוצאה תתחלק ב‪ 7 -‬עם שארית ‪ . 4‬תשובה‬
‫נפסלת‪.‬‬
‫‪.6‬‬
‫התשובה הנכונה היא )‪.(3‬‬
‫נתונים ‪ x :‬מתחלק ב‪ 7 -‬עם שארית ‪. 1‬‬
‫‪ y‬מתחלק ב‪ 14 -‬עם שארית ‪. 2‬‬
‫שואלים‪ :‬מה מהבאים לא יכולה להיות שארית החלוקה של ) ‪ ( x + y‬ב‪? 14 -‬‬
‫דרך א'‪' -‬הצבה פוסלת'‬
‫מאחר שלפנינו שאלת שאריות ללא נתונים ממשיים‪,‬אין כל בעיה בלפתור אותה בעזרת 'הצבה‬
‫פוסלת'‪.‬‬
‫שימו לב‪ :‬הנתון ‪ x :‬מתחלק ב‪ 7 -‬עם שארית ‪ . 1‬אינו נתון ממשי למרות הימצאותם של‬
‫המספרים‪ ,‬כיוון שהוא לא נותן מספר מדויק‪ ,‬וישנם למעשה אינסוף מספרים המקיימים תנאי‬
‫זה‪.‬‬
‫הצבה ‪ : I‬נציב )לפי הנתונים(‪ x = 8 :‬ו‪. y = 16 -‬‬
‫‪ . x + y = 8 + 16 = 24‬שארית החלוקה של ‪ 24‬ב‪ 14 -‬היא ‪ , 10‬ולכן תשובה )‪ (2‬נפסלת‪ ,‬כיוון‬
‫ששאלו מה לא יכולה להיות השארית ?‬
‫תזכורת‪ :‬עיקרון הצבות בשאלות שאריות‪ :‬ההצבה הראשונה יכולה להיות השארית עצמה‪ ,‬או‬
‫השארית ‪ +‬המספר שבו מחלקים‪ ,‬ובמידת הצורך )אם יש תשובה )‪ (4‬מתחכמת מכל סוג שהוא( –‬
‫נוסיף כל פעם את המספר שבו מחלקים‪.‬‬
‫הצבה ‪ : II‬נציב )לפי הנתונים והתזכורת(‪ x = 8 + 7 = 15 :‬ו‪. y = 16 + 14 = 30 -‬‬
‫‪ . x + y = 15 + 30 = 45‬שארית החלוקה של ‪ 35‬ב‪ 14 -‬היא ‪ , 3‬ולכן תשובה )‪ (1‬נפסלת‪.‬‬
‫הצבה ‪ : III‬נציב )לפי הנתונים והתזכורת(‪ x = 15 + 7 = 22 :‬ו‪. y = 30 + 14 = 44 -‬‬
‫‪ . x + y = 22 + 44 = 66‬שארית החלוקה של ‪ 66‬ב‪ 14 -‬היא ‪ , 10‬את השארית הזו כבר‬
‫קיבלנו‪ ,‬ולכן דוגמה זו אינה משנה דבר‪.‬‬
‫עצה טקטית חשובה !!!‪ :‬כאשר משתמשים בטכניקת 'הצבה פוסלת' עם שני נעלמים – במידה‬
‫ונאלצים לבצע הצבה שנייה )או יותר( מומלץ בחום להשאיר את ערכו של אחד הנעלמים זהה‬
‫להצבה הראשונה‪ ,‬ולשנות רק את ערכו של הנעלם האחר‪ .‬כך מגדילים משמעותית את סיכויי‬
‫הפסילה‪.‬‬
‫הצבה ‪ : IV‬נציב )לפי הנתונים התזכורת והעצה הטקטית(‪ x = 22 + 7 = 29 :‬ו‪ , y = 44 -‬כמו‬
‫בהצבה הקודמת )ראו עצה טקטית מעל(‬
‫‪ . x + y = 29 + 44 = 73‬שארית החלוקה של ‪ 73‬ב‪ 14 -‬היא ‪ , 3‬את השארית הזו כבר קיבלנו‪,‬‬
‫ולכן דוגמה זו אינה משנה דבר‪.‬‬
‫לסיכום‪ ,‬נראה כי השאריות היחידות שיכולות להתקבל הן של‪ 3 :‬או ‪ . 10‬והשארית ‪ 7‬אינה‬
‫אפשרית‪.‬‬
‫דרך ב'‪ -‬עקרונית‬
‫אם ‪ x‬מתחלק ב‪ 7 -‬עם שארית ‪ 1‬אזי כאשר נחלק אותו ב‪ 14 -‬השאריות האפשריות הן ‪ 1 :‬או‬
‫‪1+ 7 = 8‬‬
‫הסבר‪ :‬כדי להבין את הרעיון נדמיין שלקחנו מספר כלשהו ) ‪ ( a‬של חיילים שמתחלק ב‪-‬‬
‫‪ 7‬וחילקנו אותם לשביעיות‪ ,‬הרי שנקבל מספר שלם של שביעיות‪ .‬אם ברצוננו לחלק את המספר‬
‫) ‪ ( a‬ל‪ 14 -‬הרי שברצוננו לחלק את החיילים לקבוצות של ‪ , 14‬כלומר‪ ,‬כל שתי שביעיות הופכות‬
‫לקבוצה אחת של ‪. 14‬‬
‫אם במקור היה מספר זוגי של שביעיות‪ ,‬למשל ‪ 4‬שביעיות )שזה אומר ש‪ ( a = 28 :‬לא תהייה‬
‫שארית מהחלוקה ב‪ , 14 -‬אולם‪ ,‬אם במקור היה מספר אי‪-‬זוגי של שביעיות‪ ,‬למשל‪5 :‬‬
‫שביעיות )שזה אומר ש‪ ( a = 35 :‬אז ‪ 4‬מהשביעיות הפכו ל‪ 2 -‬קבוצות של ‪ , 14‬והשארית היא‬
‫‪ . 7‬כלומר‪ ,‬אם מספר מתחלק ב‪ , 7 -‬כאשר נחלק אותו ב‪ 14 -‬או שלא תהייה שארית כלל או‬
‫שהשארית תהייה ‪. 7‬‬
‫ולכן‪ ,‬אם ‪ x‬מתחלק ב‪ 7 -‬עם שארית ‪ , 1‬הרי שהשארית מחלוקת ‪ x‬ב‪ 14 -‬תישמר ותהייה ‪1‬‬
‫)כאשר יש מספר זוגי של שביעיות( או שהיא תגדל בדיוק ב‪ 7 -‬ותהייה ‪) 8‬כאשר יש מספר אי‪-‬‬
‫זוגי של שביעיות(‪.‬‬
‫תזכורת‪ :‬שארית של סכום היא סכום השאריות‪ .‬למשל‪ :‬אם השארית מחלוקת ‪ 10‬ב‪ 4 -‬היא‬
‫‪ , 2‬והשארית מחלוקת ‪ 9‬ב‪ 4 -‬היא ‪ , 1‬אזי השארית מחלוקת ‪) 9 + 10 = 19‬שהוא הסכום( ב‪-‬‬
‫‪ 4‬היא ‪ 3‬שהיא סכום השאריות‪.‬‬
‫אם כך‪ ,‬השארית מחלוקת ‪ y‬ב‪ 14 -‬היא ‪ , 2‬והשארית מחלוקת ‪ x‬ב‪ 14 -‬היא‪ ,‬כאמור‪ 1 :‬או‬
‫‪ , 8‬ולכן השארית מחלוקת הסכום ) ‪ ( x + y‬ב‪ 14 -‬היא סכום השאריות‪ ,‬כלומר‪ 2 + 1 = 3 :‬או‬
‫‪ . 2 + 8 = 10‬ושארית של ‪ 7‬אינה אפשרית‪.‬‬
‫‪.7‬‬
‫התשובה הנכונה היא )‪.(3‬‬
‫נתון ‪ a :‬הוא מספר שלם וחיובי המתחלק בשלושה מספרים שלמים וחיוביים בלבד ‪ :‬ב‪ , 1-‬ב‪-‬‬
‫‪ 5‬ובעצמו‪.‬‬
‫שואלים‪ :‬מה מהבאים בהכרח אינו מספר שלם ?‬
‫הידעת ? אם מספר )שלם וחיובי( מתחלק ב‪ 3 -‬מספרים )שלמים וחיוביים ( בלבד – מספר זה‬
‫חייב להיות חזקה שנייה של מספר ראשוני‪.‬‬
‫למשל‪ 4 :‬שהוא חזקה שנייה של המספר הראשוני ‪ 2‬מתחלק בשלושה מספרים בלבד‪2 , 1 :‬‬
‫ו‪. 4 -‬‬
‫עוד דוגמה‪ 9 :‬שהוא חזקה שנייה של המספר הראשוני ‪ 3‬מתחלק בשלושה מספרים בלבד‪, 1 :‬‬
‫‪ 3‬ו‪. 9 -‬‬
‫ולכן‪ ,‬אם ‪ a‬הוא מספר שלם וחיובי המתחלק בשלושה מספרים שלמים וחיוביים בלבד ‪ :‬ב‪, 1-‬‬
‫ב‪ 5 -‬ובעצמו‪ ,‬הרי ש‪ . a = 25 :‬מאחר שב‪ 1 -‬ובעצמו הוא חייב להתחלק )ועצמו זה לא ‪ ( 5‬אזי‬
‫‪ 5‬הוא הראשוני שיש להעלותו בריבוע ולקבל ‪. 25‬‬
‫תשובה )‪ . 5 a = 5 ⋅ 25 = 5 ⋅ 5 = 25 ; 5 a :(1‬תשובה נפסלת‪ ,‬כיוון שכזכור‪ ,‬שאלו מי‬
‫אינו מספר שלם?‬
‫‪a‬‬
‫‪25 5‬‬
‫=‬
‫תשובה )‪= = 1 :(2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫תשובה נפסלת‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5 1‬‬
‫‪5‬‬
‫=‬
‫; =‬
‫תשובה )‪:(3‬‬
‫‪a 25 5‬‬
‫‪a‬‬
‫תשובה נכונה‪ .‬וכמובן שבבחינה אמיתית נעצור כאן‪.‬‬
‫‪a 25‬‬
‫‪a‬‬
‫=‬
‫; ‪=5‬‬
‫תשובה )‪:(4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫תשובה נפסלת‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫התשובה הנכונה היא )‪.(2‬‬
‫נתון ‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫הוא מספר זוגי‬
‫‪y‬‬
‫‪5‬‬
‫הוא מספר אי‪-‬זוגי‬
‫שואלים‪ :‬איזה מהביטויים הבאים הוא בהכרח אינו מספר שלם ?‬
‫תזכורות‪:‬‬
‫‪ .1‬אם שורש )שלם וחיובי( של מספר ‪ x‬נותן תוצאה זוגית – המספר ‪ x‬הוא זוגי‬
‫ואם שורש )שלם וחיובי( של מספר ‪ x‬נותן תוצאה אי‪-‬זוגית – המספר ‪ x‬הוא אי‪-‬זוגי‬
‫‪ .2‬כאשר מחלקים מספר אי‪-‬זוגי במספר זוגי ‪ :‬התוצאה המתקבלת היא בהכרח לא שלמה‪.‬‬
‫אי ‪ −‬זוגי‬
‫שבר =‬
‫זוגי‬
‫ולכן‪ ,‬אם ‪x‬‬
‫ואם ‪y‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫הוא מספר זוגי הרי שניתן להסיק כי ‪ x‬הוא זוגי‪.‬‬
‫הוא מספר אי‪-‬זוגי הרי שניתן להסיק כי ‪ y‬הוא אי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫אי ‪ −‬זוגי‬
‫ואם ברצוננו לקבל תוצאה שהיא בוודאות לא שלמה‪ ,‬עלינו לחפש ביטוי שהוא‪:‬‬
‫זוגי‬
‫‪y3‬‬
‫תשובה )‪:(1‬‬
‫‪x −1‬‬
‫; אם ‪ y‬הוא אי‪-‬זוגי‪ ,‬הרי שגם ‪ y 3‬הוא אי‪-‬זוגי )כזכור‪ ,‬בחזקות הבסיס‬
‫הוא "שקובע"(‪ .‬ואם ‪ x‬הוא זוגי‪ ,‬הרי ש‪ x − 1 :‬הוא אי‪-‬זוגי‪ .‬ולכן המצב שלפנינו הוא‪:‬‬
‫אי ‪ −‬זוגי‬
‫אי ‪ −‬זוגי‬
‫‪ .‬תשובה נפסלת‪.‬‬
‫תשובה )‪:(2‬‬
‫‪y2‬‬
‫; אם ‪ y‬הוא אי‪-‬זוגי‪ ,‬הרי שגם ‪ y‬הוא אי‪-‬זוגי‪ .‬ואם ‪ x‬הוא זוגי‪ ,‬הרי‬
‫‪( x − 2) 3‬‬
‫‪2‬‬
‫זוגי‬
‫ש‪ x − 2 :‬גם זוגי‪ ,‬ולכן גם ‪ ( x − 2) 3‬זוגי‪ .‬כלומר המצב שלפנינו הוא ‪:‬‬
‫אי ‪ −‬זוגי‬
‫נכונה‪.‬‬
‫‪ .‬תשובה‬
‫‪.9‬‬
‫התשובה הנכונה היא )‪.(1‬‬
‫‪n‬‬
‫נתון ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫זוגי‪.‬‬
‫שואלים‪ :‬מהי השארית מחלוקת ‪ n‬ב‪? 4 -‬‬
‫דרך א'‪' -‬הצבה פוסלת'‬
‫מאחר שאין בשאלה נתונים ממשיים‪ ,‬נוכל להיעזר בטכניקת הצבה פוסלת'‪.‬‬
‫שימו לב‪ ,‬העובדה שיש בשאלה – תשובה )‪ (4‬מתחכמת תאלץ אותנו לבצע יותר מהצבה אחת‪.‬‬
‫הצבה ‪ : I‬נחפש מספר שאם נחלק אותו ב‪ 2 -‬נקבל תוצאה זוגית‪ ,‬למשל‪. n = 12 :‬‬
‫השארית מחלוקת ‪ 12‬ב‪ 4 -‬היא ‪. 0‬‬
‫לפי הצבה זו נוכל לפסול את תשובות )‪ (2‬ו‪ (3) -‬כיון שההצבה הנ"ל הוכיחה שהן לא בהכרח‬
‫נכונות‪.‬‬
‫כאמור‪ ,‬בשל העובדה שיש תשובה )‪ (4‬מתחכמת‪ ,‬נאלץ להציב שוב‪.‬‬
‫הצבה ‪ : II‬נציב‪. n = 20 :‬‬
‫השארית מחלוקת ‪ 20‬ב‪ 4 -‬היא ‪. 0‬‬
‫הצבה ‪ : III‬נציב‪. n = 16 :‬‬
‫השארית מחלוקת ‪ 16‬ב‪ 4 -‬היא ‪. 0‬‬
‫כמובן‪ ,‬ששלוש הצבות אינן מבטיחות כי זו התשובה הוודאית‪ ,‬אך כדי לא להשקיע יותר מדי זמן‪,‬‬
‫ככל הנראה נוכל לעצור כאן ולסמן את תשובה )‪ ,(1‬או לחילופין נמנע מלפתור את השאלה ב'הצבה‬
‫פוסלת'‬
‫דרך ב' – עקרונית‬
‫‪n‬‬
‫לפי הנתון ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫זוגי‪ .‬כלומר‪ ,‬אחרי שנחלק את ‪ n‬ב‪ , 2 -‬עדיין יישאר לו גורם ‪ , 2‬ומכאן שבמקור‬
‫היו ל‪ n -‬את הגורם ‪ 2‬פעמיים‪ ,‬או במילים אחרות‪ n :‬מתחלק ב‪. 4 -‬‬
‫‪.10‬‬
‫התשובה הנכונה היא )‪.(4‬‬
‫נתונים ‪ x :‬מספר שלם וחיובי‪.‬‬
‫‪ 3 x‬הוא מספר המתחלק ב‪ 3 -‬ללא שארית‬
‫אם ‪ x‬הוא מספר שלם‪ ,‬הרי שהביטוי ‪ 3 x‬מתחלק בהכרח ב‪) 3 -‬כיוון שאם נחלק את ‪ 3 x‬ב‪3 -‬‬
‫נקבל את התוצאה ‪ x‬שהוא מספר שלם(‪ ,‬כלומר הנתון השני למעשה אינו מוסיף דבר על הנתון‬
‫הראשון‪ .‬ולכן הדבר היחידי שאנו יודעים למעשה הוא ש‪ x -‬מספר שלם וחיובי‪.‬‬
‫תשובה )‪ 2 x :(1‬מתחלק ב‪ 6 -‬ללא שארית ; כאמור‪ ,‬אין שום מידע על ‪ x‬ולכן לא ניתן‬
‫להתחייב כי ‪ 2 x‬מתחלק ב‪ 6 -‬ללא שארית ‪ ,‬הצהרה זו תהייה נכונה רק אם ‪ x‬מתחלק ב‪-‬‬
‫‪), 3‬למשל‪ :‬אם ‪ x = 3‬אז ‪ 2 x = 6‬שהוא אכן מתחלק ב‪ ( 6 -‬אך אין אנו יודעים זאת בוודאות‪.‬‬
‫תשובה נפסלת‪.‬‬
‫תשובה )‪ 4 x :(2‬מתחלק ב‪ 6 -‬ללא שארית ; כאמור‪ ,‬אין שום מידע על ‪ x‬ולכן לא ניתן‬
‫להתחייב כי ‪ 2 x‬מתחלק ב‪ 6 -‬ללא שארית ‪ ,‬הצהרה זו תהייה נכונה רק אם ‪ x‬מתחלק ב‪-‬‬
‫‪), 3‬למשל‪ :‬אם ‪ x = 3‬אז ‪ 4 x = 12‬שהוא אכן מתחלק ב‪ ( 6 -‬אך אין אנו יודעים זאת בוודאות‪.‬‬
‫תשובה נפסלת‪.‬‬
‫תשובה )‪ 5 x :(3‬מתחלק ב‪ 10 -‬ללא שארית ; כאמור‪ ,‬אין שום מידע על ‪ x‬ולכן לא ניתן‬
‫להתחייב כי ‪ 5 x‬מתחלק ב‪ 10 -‬ללא שארית ‪ ,‬הצהרה זו תהייה נכונה רק אם ‪ x‬מתחלק ב‪-‬‬
‫‪), 2‬למשל‪ :‬אם ‪ x = 2‬אז ‪ 5 x = 10‬שהוא אכן מתחלק ב‪ ( 10 -‬אך אין אנו יודעים זאת‬
‫בוודאות‪ .‬תשובה נפסלת‪.‬‬
‫עתה‪ ,‬נוכל לסמן בבטחה את תשובה )‪.(4‬‬
‫‪.11‬‬
‫התשובה הנכונה היא )‪.(1‬‬
‫נתונים ‪ x :‬הוא מספר שלם וחיובי‪.‬‬
‫ל‪ x -‬יש ‪ 3‬מחלקים שלמים חיוביים ושונים בלבד‪.‬‬
‫הידעת ? אם מספר )שלם וחיובי( מתחלק ב‪ 3 -‬מספרים )שלמים וחיוביים ( בלבד – מספר זה‬
‫חייב להיות חזקה שנייה של מספר ראשוני‪.‬‬
‫למשל‪ 4 :‬שהוא חזקה שנייה של המספר הראשוני ‪ 2‬מתחלק בשלושה מספרים בלבד‪2 , 1 :‬‬
‫ו‪. 4 -‬‬
‫עוד דוגמה‪ 9 :‬שהוא חזקה שנייה של המספר הראשוני ‪ 3‬מתחלק בשלושה מספרים בלבד‪, 1 :‬‬
‫‪ 3‬ו‪. 9 -‬‬
‫אם כך‪ ,‬אם ל‪ x -‬יש שלושה מחלקים שלמים וחיוביים בלבד‪ ,‬הרי ש‪ x -‬הוא ריבוע של מספר‬
‫ראשוני‪ .‬למשל ‪ x = 2 2 = 4 :‬או ‪ x = 3 2 = 9‬וכו'‪.‬‬
‫ולכן‪ ,‬אם נוציא ממנו שורש‪ ,‬נקבל ש‪x -‬‬
‫‪.12‬‬
‫הוא מספר ראשוני‪.‬‬
‫התשובה הנכונה היא )‪.(1‬‬
‫נתונים ‪ x :‬הוא מספר חיובי‪.‬‬
‫ל‪ x 2 -‬יש רק ארבעה מחלקים חיוביים ושלמים השונים זה מזה‪.‬‬
‫דרך א'‪' -‬הצבה פוסלת' )ניסוי וטעייה(‬
‫ננסה למצוא מספרים שיש להם ‪ 4‬מחלקים שלמים וחיוביים בלבד‪ -‬למשל ‪ . 6 :‬ארבעת מחלקיו‬
‫הם‪ 3 , 2 , 1 :‬ו‪ . 6 -‬כלומר‪ x 2 = 6 :‬ולכן ‪. x = 6‬‬
‫תשובה )‪ :(1‬הוא אינו מספר שלם ; תשובה לא נפסלת‪.‬‬
‫תשובה )‪ :(2‬הוא מספר זוגי ; תשובה נפסלת‪.‬‬
‫תשובה )‪ :(3‬הוא מספר אי‪-‬זוגי ; תשובה נפסלת‪.‬‬
‫מאחר שיש תשובה )‪ (4‬מתחכמת נאלץ לבצע הצבה שנייה‪ ,‬וכמובן שנבדוק רק את התשובות‬
‫שטרם נפסלו‪.‬‬
‫נציב ‪ , x 2 = 15 :‬ל‪ 15 -‬ישנם ‪ 4‬מחלקים שלמים וחיוביים בלבד‪ .‬ארבעת מחלקיו הם‪, 3 , 1 :‬‬
‫‪ 5‬ו‪ . 15 -‬כלומר‪ x 2 = 15 :‬ולכן ‪. x = 15‬‬
‫ניתן לראות כי תשובה )‪ (1‬שוב לא נפסלה‪ .‬בשלב זה עלינו להניח כי ככל הנראה תשובה )‪ (1‬היא‬
‫הנכונה‪ ,‬וישנה כאן חוקיות מורכבת שאיננו מודעים לה‪ ,‬אך ההחלטה הטובה ביותר כעת היא‬
‫לסמן את תשובה )‪.(1‬‬
‫דרך ב' – עקרונית‬
‫תזכורת‪ :‬עיקרון תחנות ה"א‪-‬ב‪-‬ג"‪ :‬כל מספר או מכפלה של מספרים מתחלק בהכרח –‬
‫א‪ .‬ב‪ 1-‬ובעצמו‪.‬‬
‫ב‪ .‬בכל אחד מגורמיו הראשוניים בנפרד‪.‬‬
‫ג‪ .‬בכל מכפלה פנימית בין גורמיו הראשוניים‪.‬‬
‫הערות חשובות מאוד‪ .1 :‬מעבר בתחנות הא‪-‬ב‪-‬ג ממצה את כל גורמיו של המספר‬
‫‪ .2‬לגורם ראשוני אסור להופיע במכפלה פנימית )תחנה ג'( יותר‬
‫ממספר הפעמים שהוא מופיע בפירוק הראשוני‪.‬‬
‫למשל‪ 42 :‬לא מתחלק ב‪ 9 -‬כי בשביל ‪ 9‬צריך את הגורם ‪3‬‬
‫פעמיים והוא מופיע בפירוק הראשוני של ‪ 42‬רק פעם אחת‪.‬‬
‫כאמור‪ :‬ל‪ x 2 -‬יש רק ארבעה מחלקים‪.‬‬
‫מתחנה א'‪ :‬הראשונה נגיע לשני מחלקים ‪ 1 :‬ועצמו ) ‪( x 2‬‬
‫אם ‪ x 2‬היה מורכב רק משני מספרים ראשוניים זהים‪ ,‬למשל‪ , 9 = 3 ⋅ 3 :‬הרי שבתחנה ב' היה‬
‫עוד מחלק אחד בלבד )בדוגמה שלעיל ‪ ( 3 :‬ומתחנה ג' לא היה אף מחלק נוסף )כיוון ש‪ 9 -‬כבר‬
‫מוצה בתחנה א'(‪ .‬כלומר‪ ,‬לא ייתכן שלמספר ‪ x 2‬יש שני גורמים ראשוניים זהים אלא ששני‬
‫גורמיו הראשוניים חייבים להיות שונים )אגב‪ ,‬לא ייתכנו יותר משני גורמים כי אז בתחנה ב'‬
‫לבדה יהיו לפחות שלושה גורמים ובתחנה ג' יהיו עוד הרבה קומבינציות נוספות(‪ .‬למשל‪:‬‬
‫‪. x 2 = 2 ⋅ 5 = 10‬‬
‫ולכן‪ ,‬אם נוציא מ‪ x 2 -‬שורש‪ ,‬כדי להגיע ל‪ x -‬שעליו שואלים‪ ,‬למעשה נקבל מכפלת שורשים של‬
‫שני מספרים ראשוניים )אם ‪ x 2 = 2 ⋅ 5‬אז ‪2 ⋅ 5‬‬
‫מספר לא שלם‪ ,‬ולכן מכפלתם היא גם מספר לא שלם‪.‬‬
‫= ‪ ,( x‬שורש של כל מספר ראשוני הוא‬