: אלגברה

‫דוגמאות לשאלות בבחינה‬
‫אלגברה‪:‬‬
‫= ‪x− y −w+ z‬‬
‫‪8 .1‬‬
‫= ‪y + w− x+ z‬‬
‫‪2‬‬
‫?= ‪z‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪10‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪−3‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ a .2‬הוא מספר שלם‪.‬‬
‫נתון‪a + 6 < 5 :‬‬
‫כמה ערכים שונים יכול ‪ a‬לקבל?‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪(2‬‬
‫)‪(3‬‬
‫)‪ (4‬אינסוף‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫= )‪( x − 3)( x − 4) − ( x + 4)( x − 4‬‬
‫‪? .3‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪(2‬‬
‫)‪(3‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪x 2 − 7 x + 28‬‬
‫‪28 − 7x‬‬
‫‪2 x − 28 x + 7‬‬
‫‪7 x − 28‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .4‬נתון‪2a < 3 x + 1 < −4a + 6 :‬‬
‫מה מתחייב מהנתון?‬
‫)‪a < x (1‬‬
‫)‪x > −2a + 6 (2‬‬
‫)‪a < 1 (3‬‬
‫)‪x < 0 (4‬‬
‫‪1700-720-800‬‬
‫כל הזכויות שמורות לפוקוס פסיכומטרי‬
‫‪www.fcs.co.il‬‬
‫דוגמאות לשאלות בבחינה‬
‫‪1‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪3‬‬
‫=‬
‫) ‪(3‬‬
‫‪x −2 x‬‬
‫)‪( x > 0‬‬
‫?=‪x‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪(2‬‬
‫)‪(3‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1700-720-800‬‬
‫כל הזכויות שמורות לפוקוס פסיכומטרי‬
‫‪www.fcs.co.il‬‬
‫דוגמאות לשאלות בבחינה‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫מפתח תשובות נכונות ‪:‬‬
‫מספר‬
‫שאלה‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫תשובה‬
‫נכונה‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪x− y −w+ z‬‬
‫‪8 .1‬‬
‫= ‪y + w− x+ z‬‬
‫‪2‬‬
‫?= ‪z‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪10‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪−3‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪5‬‬
‫התשובה הנכונה היא תשובה מספר )‪. (4‬‬
‫פתרון‪ :‬בשאלה קיבלנו מערכת של שתי משוואות עם ארבעה נעלמים‪ .‬ככלל על מנת‬
‫למצוא את כלל הנעלמים במערכת משוואות עלינו לקבל מספר משוואות כמספר‬
‫הנעלמים‪ .‬מכאן ניתן להסיק שאין אפשרות למצוא את ערכם של כל הנעלמים‪ ,‬אך אין‬
‫זה אומר שלא קיימת אפשרות למצוא את ערכו של אחד מהם‪.‬‬
‫נשאלנו על ערכו המספרי של ‪ , z‬מכא ששלושת הנעלמים האחרים מיותרים‪ ,‬ולכן ניפטר‬
‫מהם על ידי חיבור המשוואות‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫= ‪x − y − w + z‬‬
‫‪‬‬
‫‪z = 5 ⇐ 2 z = 10 ⇐ +‬‬
‫= ‪y + w− x + z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪:2‬‬
‫מאחר וכל הנעלמים מלבד ‪ z‬היו בסימן הפוך בשתי המשוואות )חיוביים ושליליים(‪,‬‬
‫הרי שבעת חיבור המשוואות נעלמים אלה התבטלו כליל ונתרנו רק עם ‪ z‬אותו חיפשנו‪.‬‬
‫לכן כאמור‪ ,‬התשובה הנכונה היא תשובה מספר )‪. (4‬‬
‫‪1700-720-800‬‬
‫כל הזכויות שמורות לפוקוס פסיכומטרי‬
‫‪www.fcs.co.il‬‬
‫דוגמאות לשאלות בבחינה‬
‫‪ a .2‬הוא מספר שלם‪.‬‬
‫נתון‪a + 6 < 5 :‬‬
‫כמה ערכים שונים יכול ‪ a‬לקבל?‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪(2‬‬
‫)‪(3‬‬
‫)‪ (4‬אינסוף‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫התשובה הנכונה היא תשובה מספר )‪. (3‬‬
‫פתרון‪ :‬בשאלה זו נתקלנו באי שוויון המשלב ערך מוחלט ואנו נשאלים על מספר‬
‫הערכים שיכול הנעלם ‪ a‬לקבל בהתבסס על אותו אי שוויון ובהנחה כי ‪ a‬הוא מספר‬
‫שלם‪.‬‬
‫על מנת לבדוק כמה ערכים יכול ‪ a‬לקבל עלינו לבדוק באיזה תחום נמצא ‪ , a‬זאת נעשה‬
‫על ידי שימוש בעקרונות שלמדנו בנוגע לאי שוויון עם ערך מוחלט‪.‬‬
‫כפי שלמדנו‪ ,‬כאשר מופיע אי שוויון עם ערך מוחלט ניתן לקבל שני אי שוויונים‪ ,‬הראשון‬
‫הוא אותו אי שוויון רק בלי ערך מוחלט והשני הוא אי שוויון הפוך ונגדי‪ ,‬משמע ‪ -‬יש‬
‫לשים סימן מינוס על התוצאה ולהפוך את סימן אי השוויון‪:‬‬
‫‪−6‬‬
‫‪a < −1 ⇐ a + 6 < 5‬‬
‫‪a+6 <5‬‬
‫‪−6‬‬
‫‪a > −11 ⇐ a + 6 > −5‬‬
‫על מנת להסיק מהו תחום הערכים של ‪ a‬נשלב בין התוצאות שקיבלנו‪:‬‬
‫‪a < −1‬‬
‫‪a > −11‬‬
‫‪‬‬
‫⇐ ‪−11 < a < −1‬‬
‫אם כך‪ ,‬הרי ש‪ a -‬הוא מספר שלם בין )‪ (−11‬ל‪) (−1) -‬לא כולל( ולכן הוא יכול לקבל‬
‫בסך הכל ‪ 9‬ערכים‪. −10, −9, −8, −7, −6, −5, −4, −3, −2 :‬‬
‫לכן כאמור‪ ,‬התשובה הנכונה היא תשובה מספר )‪. (3‬‬
‫‪1700-720-800‬‬
‫כל הזכויות שמורות לפוקוס פסיכומטרי‬
‫‪www.fcs.co.il‬‬
‫דוגמאות לשאלות בבחינה‬
‫= )‪( x − 3)( x − 4) − ( x + 4)( x − 4‬‬
‫‪? .3‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪(2‬‬
‫)‪(3‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪x 2 − 7 x + 28‬‬
‫‪28 − 7x‬‬
‫‪2 x 2 − 28 x + 7‬‬
‫‪7 x − 28‬‬
‫התשובה הנכונה היא תשובה מספר )‪. (2‬‬
‫פתרון‪ :‬בשאלה זו נתקלנו בביטוי שעלינו לפשט‪ .‬בשונה ממשוואה‪ ,‬ביטוי אינו ניתן‬
‫לפתרון‪ ,‬משמע ‪ -‬לא ניתן למצוא את ערך הנעלם וגם אין זו המטרה‪ .‬כל שניתן לעשות‬
‫עם ביטוי הוא לשנות את צורתו כך שיתאים לאחת התשובות‪.‬‬
‫ניתן לראות שבביטוי מופיעות שתי מכפלות וביניהן חיסור וישנו גורם משותף בכל אחת‬
‫מהמכפלות )‪ . ( x − 4‬את הגורם המשותף נבודד מכל אחת מהמכפלות ובכך נהפוך את‬
‫התרגיל מתרגיל חיסור לתרגיל כפל‪:‬‬
‫)‪( x − 4)( x − 3 − x − 4) ⇐ ( x − 4) [ ( x − 3) − ( x + 4) ] ⇐ ( x − 3)( x − 4) − ( x + 4)( x − 4‬‬
‫‪28 − 7x‬‬
‫⇓‬
‫⇒ )‪( x − 4)(−7‬‬
‫‪ .4‬נתון‪2a < 3 x + 1 < −4a + 6 :‬‬
‫מה מתחייב מהנתון?‬
‫)‪a < x (1‬‬
‫)‪x > −2a + 6 (2‬‬
‫)‪a < 1 (3‬‬
‫)‪x < 0 (4‬‬
‫התשובה הנכונה היא תשובה מספר )‪. (3‬‬
‫פתרון‪ :‬בשאלה זו נתקלנו באי שוויון משולש‪ .‬אי שוויון משולש ניתן לפיצול לשלושה אי‬
‫שוויונים רגילים‪ .‬במקרה זה אי השוויון שיספק את הפתרון לשאלה הוא אי השוויון בין‬
‫אגף ימין לאגף שמאל )ללא האגף האמצעי(‪:‬‬
‫‪+4a‬‬
‫‪:6‬‬
‫‪⇐ 6a < 6 ⇐ 2a < −4a + 6 ⇐ 2a < 3 x + 1 < −4a + 6‬‬
‫‪a <1‬‬
‫חשוב לשים לב‪ ,‬פיצול אי השוויון המשולש לאי שוויונים נוספים אינו טעות‪ .‬בתרגיל זה‬
‫הוא לא היה מוביל לתשובה נכונה‪ ,‬אך בהחלט ניתן לבצע פיצולים נוספים‪.‬‬
‫‪1700-720-800‬‬
‫כל הזכויות שמורות לפוקוס פסיכומטרי‬
‫‪www.fcs.co.il‬‬
‫דוגמאות לשאלות בבחינה‬
‫‪1‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪3‬‬
‫=‬
‫) ‪(3‬‬
‫‪x −2 x‬‬
‫)‪( x > 0‬‬
‫?=‪x‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪(2‬‬
‫)‪(3‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪8‬‬
‫התשובה הנכונה היא תשובה מספר )‪. (3‬‬
‫פתרון‪ :‬בשאלה זו נתונה משוואה בה הנעלם מופיע במעריך‪ .‬על מנת למצוא את ערכו של‬
‫הנעלם עלינו ליצור משוואה בין המעריכים על ידי מעבר לבסיסים שווים בשני האגפים‪.‬‬
‫בשלב הראשון נפתח סוגריים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫=‬
‫) ‪(3‬‬
‫‪x −2 x‬‬
‫‪1‬‬
‫⇐‬
‫‪3‬‬
‫= ‪3−2 x‬‬
‫‪2‬‬
‫בשלב השני "ניצור" את המצב הרצוי‪ ,‬בו שתי החזקות משני צידי השוויון הן באותו‬
‫בסיס‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 :−2‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪⇐ −2 x 2‬‬
‫= ‪−1 ⇐ 3−2 x = 3−1 ⇐ 3−2 x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪x2‬‬
‫כל שנותר הוא לפתור את המשוואה על ידי הפעלת שורש על שני האגפים*‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪⇐ x2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪x‬‬
‫* הפעלת שורש זוגי בדרך כלל תספק לנו שתי תשובות אפשריות‪ ,‬אחת חיובית והשנייה שלילית‪ ,‬אך לאור‬
‫תחום ההגדרה התשובה השלילית לא רלוונטית‪.‬‬
‫‪1700-720-800‬‬
‫כל הזכויות שמורות לפוקוס פסיכומטרי‬
‫‪www.fcs.co.il‬‬