מבחן באלגוריתמים, מועד א`

‫מס‪ .‬מחברת‬
‫ת‪.‬ז‪.‬‬
‫מבחן באלגוריתמים‪ ,‬מועד א'‬
‫סמסטר ב' תשע"ד‪ ,‬אוניברסיטת תל־אביב‬
‫מרצים‪ :‬פרופ' נוגה אלון‪ ,‬פרופ' רון שמיר‬
‫מתרגלים‪ :‬שי ורדי‪ ,‬אילן כהן‬
‫משך הבחינה‪ :‬שלוש שעות‪.‬‬
‫חומר עזר מותר‪ :‬דף ‪ A4‬אחד‪ ,‬כתוב משני הצדדים‪.‬‬
‫במבחן ‪ 5‬שאלות‪ .‬יש לענות על כולן‪.‬‬
‫• תשובות נכונות ומלאות על ‪ 4‬מהשאלות יזכו אותך ב־‪ 90‬נקודות‪ ,‬ותשובות נכונות ומלאות על‬
‫כל השאלות ב־‪ 100‬נקודות‪.‬‬
‫• על התשובה לכל שאלה להופיע במסגרת המתאימה‪ .‬יש להשתדל לקצר בהסברים ולא לחרוג‬
‫מן המסגרות שהוקצו להם‪.‬‬
‫• מחברת הבחינה משמשת כטיוטא בלבד ולא תיבדק‪ ,‬אך יש להגישה עם המבחן‪.‬‬
‫• ודאו היטב את תשובתכם לפני כתיבתה בטופס המבחן‪ .‬בסוף הטופס מצורף זוג מסגרות נוסף‪,‬‬
‫לשימוש במקרי "חירום"‪.‬‬
‫• התשובה לכל שאלה העוסקת באלגוריתם צריכה להיות יעילה ככל האפשר‪ ,‬ומלווה בהסבר‬
‫מתאים‪.‬‬
‫• בכל השאלות המתייחסות לגרפים‪ ,‬אם לא מצוין אחרת‪ ,‬הכוונה לגרף פשוט )בלי לולאות ובלי‬
‫קשתות מקבילות(‪ .‬בנוסף‪ ,‬אם לא מצוין אחרת‪ ,‬כל גרף מיוצג ע"י רשימת שכנויות‪.‬‬
‫ניקוד‬
‫שאלה‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫סה"כ‬
‫בהצלחה!‬
‫‪1‬‬
‫מס‪ .‬מחברת‬
‫ת‪.‬ז‪.‬‬
‫‪ .1‬יהא )‪ G(V, E‬גרף מכוון‪ ,‬יהיו ‪ C1 , C2‬רכיבי קשירות חזקה בו‪ ,‬ונניח כי יש קשת מכוונת‬
‫מצומת ‪ u ∈ C1‬לצומת‪ .v ∈ C2S‬הוכיחו כי בכל הרצה של ‪ DFS‬על ‪ G‬הצומת ‪ x‬עם‬
‫ערך ‪ f‬מירבי מבין ‪ C1 C2‬הוא ב ‪.C1‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫מס‪ .‬מחברת‬
‫ת‪.‬ז‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .2‬יהא )‪ G(V, E‬גרף מכוון‪ ,‬עם משקל ‪ w(e) ≥ 0‬לכל קשת ‪ ,e ∈ E‬ויהיו ‪ u, v ∈ V‬שני‬
‫צמתים שונים‪ .‬תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר שיקבע אם יש מסילה מכוונת מ־‪u‬‬
‫ל־‪ v‬שמספר קשתותיה מתחלק ב־‪ 2‬אך לא ב־‪ ,3‬ואם יש כזו מוצא את המסילה )עם‬
‫מספר קשתות המתחלק ב־‪ 2‬אך לא ב־‪ (3‬שסכום משקלי קשתותיה מינימאלי‪.‬‬
‫סיבוכיות‪:‬‬
‫אלגוריתם והסבר‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫מס‪ .‬מחברת‬
‫ת‪.‬ז‪.‬‬
‫‪ .3‬נתונה רשת זרימה )‪ G(V, E‬עם מקור ‪ s‬ובור ‪ t‬וזרימה ‪ f‬בה‪ .‬ערכי הקיבול והזרימה‬
‫שלמים‪ .‬תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר שימצא מסילה מגדילה ‪ p‬עם ערך מירבי‬
‫של קיבול שיורי )‪) ,Cf (p‬או שיודיע שאין מסילה מגדילה אם אין כזו(‪.‬‬
‫סיבוכיות‪:‬‬
‫אלגוריתם והסבר‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫מס‪ .‬מחברת‬
‫ת‪.‬ז‪.‬‬
‫‪ .4‬נתונים מספרים שלמים ‪ 1 ≤ x1 , x2 . . . xn ≤ n2‬ונתון מספר ‪ .k ≤ n‬תארו אלגוריתם‬
‫‪X‬קבוצות זרות}‪ I, J ⊂ {1, . . . , n‬כך ש ‪|I|+|J| = k‬‬
‫שיקבע אם יש זוג‬
‫יעיל ככל האפשר‪X‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫וכן ‪xi = n‬‬
‫וכך ש ‪xi = n2‬‬
‫‪i∈I‬‬
‫‪i∈J‬‬
‫סיבוכיות‪:‬‬
‫אלגוריתם והסבר‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫מס‪ .‬מחברת‬
‫ת‪.‬ז‪.‬‬
‫‪ .5‬יהא ‪ Σ‬א"ב סופי‪ P = P [1]P [2] . . . P [m] ∈ Σ∗ ,‬מחרוזת כלשהיא באורך ‪ ,m‬ויהא‬
‫∗‪ T = T [1]T [2] . . . T [n] ∈ Σ‬טקסט באורך ‪ .n‬תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר‬
‫שימצא לכל ‪ ,i‬את הערך ‪xi‬‬
‫|}‪xi = |{k|Pk A Ti , k is even, 0 < k ≤ m‬‬
‫סיבוכיות‪:‬‬
‫אלגוריתם והסבר‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫ת‪.‬ז‪.‬‬
‫מסגרת חירום לשאלה מספר‬
‫מס‪ .‬מחברת‬
‫‪:‬‬
‫‪7‬‬
‫ת‪.‬ז‪.‬‬
‫מסגרת חירום לשאלה מספר‬
‫מס‪ .‬מחברת‬
‫‪:‬‬
‫‪8‬‬