Teoretični izpiti Mat 3/4

Test iz Analize II (1. semester), 21.2.2008
Priimek, ime, ˇsifra:
1.(a) Kdaj ima A ⊂ R2 mero 0?
(b) Naj bo D enotski krog in f : D → R taka, da je
RR
|f | dS = 0 . Kaj lahko reˇceˇs o funkciji f ?
D
2. a) Formuliraj izrek o vpeljavi novih spremenljivk v dvojni integral.
Naj bo T : R2 → R2 dana s T (x, y) = (2x + y, x − 2y).
(b) Ali je T linearna?
(c) Ali je T bijektivna?
ˇ je K = [0, 1] × [0, 1], nariˇsi T (K).
(d) Ce
ˇ je A ∈ R2 mnoˇzica s ploˇsˇcino 1, izraˇcunaj ploˇsˇcino mnoˇzice T (A).
(e) Ce
3. a) Napiˇsi definicijo ortonormirane baze v Hilbertovem prostoru H.
b) Napiˇsi ˇcim veˇc potrebnih in zadostnih pogojev za to, da je ONS
{en : n ∈ N} ONB za Hilbertov prostor H.
c) Zapiˇsi ONB za prostor L2 [0, 2π].
4. Razloˇzi metodo variacije konstante za nehomogeno linearno DE drugega reda.
5. Imamo homogen sistem linearnih DE prvega reda ~x˙ = A~x.
a) Kaj je osnovna matriˇcna reˇsitev takega sistema? Kratko zapiˇsi kako
tako reˇsitev.
b) Denimo, da lahko matriko A diagonaliziramo. Kako lahko v tem primeru zapiˇsemo sploˇsno reˇsitev sistema?
c) Kaj je korenski vektor viˇsine (reda) 2 za matriko A? Kako lahko s
takim vektorjem pridemo do reˇsitve sistema?
6. a) Napiˇsi Stokesovo formulo.
~ potencialno?
b) Kdaj je vektorsko polje A
~ = 0 na neki krogli G v R3 . Kaj lahko reˇceˇs o polju
c) Denimo, da je rotA
~ na G?
A
d) Napiˇsi formulo Ostrogradskega.
1
Test iz Matematike 3, 25. 2. 2011
Priimek, ime, vp. ˇst. :
1. a) Napiˇsi definicijo mnoˇzice z mero 0 v Rn .
Dokaˇzi neposredno po tej definiciji, da ima za a < b
daljica {(1, y)| a ≤ y ≤ b} v ravnini (dvorazseˇzno) mero 0.
b) Dokaˇzi, da ima premica v ravnini dvorazseˇzno mero 0. (Vzemi, da
je ta premica os x.)
c) Naj bo A ⊂ R2 in f : A → C funkcija.Naj bo
RR
|f | dS = 0. Kaj lahko sklepaˇs o funkciji f ?
A
2. Naj bo X prostor s skalarnim produktom, x ∈ X in Z linearen podprostor v X.
a) Napiˇsi definicijo pravokotne projekcije z = P x vektorja x na podprostor Z.
b) Dokaˇzi, da je z najboljˇsa aproksimacija vektorja x z elementi podprostora Z.
c) Naj bo A~x = ~b predoloˇcen sistem linearnih enaˇcb. Kaj je ustrezni
normalni sistem in kakˇsen pomen ima?
d) Napiˇsi definicijo Hilbertovega prostora. Napiˇsi definicijo ortonormirane baze takega prostora.
e) Naj bo {gn |n ∈ N} ortonormirana baza zaprtega podprostora Z.
Kako dobimo pravokotno projekcijo P x vektorja x na podprostor Z?
3. Napiˇsi kako ortonormirano bazo za:
a) Cn ;
b) L2 [−π, π];
c) ravnino {(x, y, z) ∈ R3 |x = y}.
d) Napiˇsi kar se da veliko potrebnih in zadostnih pogojev za to, da je
ONS {gn |n ∈ N} ONB za Hilbertov prostor H.
e) Razvij odsekoma zvezno in odsekoma odvedljivo funkcijo
f : (0, 4) → R v trigonometrijsko Fourierovo vrsto kot liho funkcijo s
periodo 8.
Kaj je vsota te vrste v:
f) 0;
1
g) 4;
h) toˇckah nezveznosti funkcije f ?
4. a) Napiˇsi eksistenˇcni izrek za diferencialno enaˇcbo prvega reda z zaˇcetnim
pogojem.
b) Kateri integralski enaˇcbi je enakovreden ta zaˇcetni problem? Napiˇsi
Picardove pribliˇzke.
c) Razloˇzi Eulerjevo metodo za numeriˇcno reˇsevanje takega zaˇcetnega
problema.
5. Zapiˇsi homogen sistem n linearnih diferencialnih enaˇcb prvega reda na
dolgo in v matriˇcni obliki.
a) Kaj je osnovna matriˇcna reˇsitev takega sistema?
Od zdaj naj ima sistem konstantne koeficiente.
b) Kratko (s tremi ˇcrkami) zapiˇsi kako tako osnovno matriˇcno reˇsitev.
c) Kratko ( s ˇstirimi ˇcrkami) zapiˇsi poljubno reˇsitev sistema.
d) Denimo, da lahko matriko sistema diagonaliziramo. Kako lahko v
tem primeru zapiˇsemo sploˇsno reˇsitev?
e) Kaj je korenski vektor reda 2 matrike sistema? Kako s takim vektorjem pridemo do reˇsitve sistema?
6. a) Zapiˇsi Greenovo formulo.
b) Dokaˇzi jo za primer, da je obmoˇcje pravokotnik v ravnini xy.
c) Zapiˇsi formulo, ki je v trirazseˇznem prostoru posploˇsitev Greenove.
Napiˇsi formulo za ploskev in njeno povrˇsino, ˇce je ploskev podana:
d) eksplicitno;
e) parametriˇcno.
2
Test iz Matematike 3, 24. 6. 2011
:
1. a) Napiˇsi izrek o uvedbi novih spremenljivk v dvojni integral.
Obmoˇcje E v ravnini je omejeno s krivuljama y = x−2 ,
s premicama y = x, y = 8x.
y = 8x−2 in
b) Skiciraj E.
c) Doloˇci spremenljivki u = u(x, y) in v = v(x, y), da bo E opisan kot
E = {(u, v); (u, v) ∈ H}, kjer je H pravokotnik.
d) Izrazi x, y z u, v in izraˇcunaj ustrezno Jacobijevo determinanto.
e) Izrazi
ZZ
f (x, y) dS
E
z integralom po H.
2. Naj bo Z linearen podprostor v prostoru X s skalarnim produktom in
x ∈ X.
a) Definiraj pravokotno projekcijo z vektorja x na Z. Ali lahko obstajata dve taki projekciji? Kakˇsno zvezo ima to z aproksimacijo? Dokaˇzi.
b) Denimo, da je Z konˇcno razseˇzen. Kaj potrebujemo v Z, da enostavno pridemo do vektorja z? Kakˇsna je formula za z?
c) Kaj je predoloˇceni sistem linearnih enaˇcb? Zapiˇsi kratko (s tremi
ˇcrkami in enaˇcajem) tak sistem. Kako se ga lotimo po metodi najmanjˇsih kvadratov in kaj pomeni reˇsitev po tej metodi?
d) Kaj je linearna regresija? Kako reˇsujemo problem linearne regresije?
3. Imamo DE 1. reda y 0 = f (x, y) z zaˇcetnim pogojem .
a) Pretvori ta zaˇcetni problem v ekvivalentno integralsko enaˇcbo. Kako
so definirani Picardovi pribliˇzki?
b) Napiˇsi eksistenˇcni izrek za ta zaˇcetni problem.
Imamo zaˇcetni problem y 0 = x + sin y,
y(0) = 0.
c) Pokaˇzi, da ima ta problem reˇsitev na [0, 2]. Doloˇci pravokotnik, v
katerem poteka graf reˇsitve. Ali je teh reˇsitev veˇc? Odgovore utemelji
z raˇcuni.
1
*d) Ali ima ta problem eno ali veˇc reˇsitev na [0, ∞]? Odgovor utemelji
z raˇcuni.
4. a) Napiˇsi Stokesov izrek.
b) Kdaj je vektorsko polje A potencialno? Koliko je rotor potencialnega
polja?
c) Napiˇsi izrek Ostrogradskega in Gaussa.
~ kjer je f skalarno in A vektorsko polje.
d) Izraˇcunaj div(f A),
e) Denimo, da je B brezvrtinˇcno na obmoˇcju D. Pri kakˇsnih pogojih
je B potencialno?
5. a) Imamo homogeno linearno DE drugega reda, pri kateri poznamo eno
reˇsitev y1 . Razloˇzi, kako pridemo do sploˇsne reˇsitve.
b ) Imamo nehomogeno linearno DE drugega reda, pri kateri poznamo
dve linearno neodvisni reˇsitvi y1 in y2 ustrezne homogene enaˇcbe. Razloˇzi, kako pridemo do partikularne reˇsitve nehomogene enaˇcbe.
c) Pretvori enaˇcbo iz b) v ekvivalenten sistem dveh linearnih enaˇcb
prvega reda.
d) Napiˇsi sploˇsno matriˇcno reˇsitev ustreznega homogenega sistema.
2
Test iz Matematike 3, 30. 6. 2011
Priimek, ime, vp. ˇst. :
1. a) Napiˇsi definicijo Hilbertovega prostora H.
b) Napiˇsi definicijo ortonormiranega sistema. Kaj pravi Besselova neenakost?
c) Napiˇsi definicijo ortonormirane baze prostora H.
Napiˇsi kako ortonormirano bazo za:
d) Cn ;
e) L2 [−π, π].
f) Napiˇsi kar se da veliko potrebnih in zadostnih pogojev za to, da je
ONS {gn |n ∈ N} ONB za Hilbertov prostor H.
2. a) Razloˇzi Eulerjevo metodo za numeriˇcno reˇsevanje DE prvega reda z
zaˇcetnim pogojem. Najprej napiˇsi samo enaˇcbo.
b) Navedi ˇse druge numeriˇcne metode in ocene za napako.
c) Napiˇsi eksistenˇcni izrek za sistem dveh linearnih DE prvega reda z
zaˇcetnima pogojema. Najprej napiˇsi tak sistem.
3. Zapiˇsi homogen sistem n linearnih diferencialnih enaˇcb prvega reda na
dolgo in v matriˇcni obliki.
a) Kaj je osnovna matriˇcna reˇsitev takega sistema?
Od zdaj naj ima sistem konstantne koeficiente.
b) Kratko (s tremi ˇcrkami) zapiˇsi kako tako osnovno matriˇcno reˇsitev.
c) Kratko ( s ˇstirimi ˇcrkami) zapiˇsi poljubno reˇsitev sistema.
d) Denimo, da lahko matriko A sistema diagonaliziramo. Kako lahko
v tem primeru zapiˇsemo sploˇsno reˇsitev?
e) Kaj je korenski vektor reda 3 matrike sistema? Kako s takim vektorjem pridemo do reˇsitve sistema?
4. a) Opiˇsi konstrukcijo paraboliˇcne B´ezierove krivulje in de Casteljaujev
algoritem.
Paraboliˇcna B´ezierova krivulja ima kontrolne toˇcke (0, 0),
b) Napiˇsi de Casteljaujev algoritem.
c) Napiˇsi parametriˇcno enaˇcbo te krivulje.
1
(0, 2),
(2, 0).
d) Izraˇcunaj toˇcko na tej krivulji za t = 12 .
d) Dopolni jo do zlepka s paraboliˇcno B´ezierovo krivuljo, ki se konˇca
v (4, 0) in ima v tej toˇcki tangento s smernim koeficientom 1. Napiˇsi
enaˇcbo te druge krivulje in skiciraj zlepek.
5. Napiˇsi formulo za gladko ploskev, njeno normalo in njeno povrˇsino, ˇce
je ploskev podana:
a) eksplicitno;
b) parametriˇcno.
c) Kako implicitno podamo ploskev? Doloˇci normalo na tako ploskev.
d) Napiˇsi Stokesov izrek.
f) Napiˇsi izrek Gaussa in Ostrogradskega.
2
Primeri teoretiˇcnih vpraˇsanj iz Matematike 4 za fizike
1. Kaj je izoperimetriˇcni problem v variacijskem raˇcunu? Kako se lotimo
reˇsevanja? Navedi primer izoperimetriˇcnega problema.
2. a) Kako in za kakˇsne funkcije je definirana Fourierova transformacija?
Kakˇsne so lastnosti transformiranke (vedenje v neskonˇcnosti itd.)
b) Napiˇsi formulo za inverzno transformacijo.
c) Kakˇsna je Fourierova transformiranka odvoda funkcije?
d) Ali ima Fourierova transformacija kako lastno funkcijo?
e) Napiˇsi Parsevalovo formulo za Fourierovo transformacijo.
3. a) Napiˇsi Cauchy-Riemannnov sistem enaˇcb za holomorfno funkcijo f .
Kaj od tod sledi (ˇce ˇse enkrat odvajamo) za realni in imaginarni del
analitiˇcne funkcije?
b) Napiˇsi Cauchyjevo formulo za funkcijo f , holomorfno na krogu.
Kako od tod izpeljemo razvoj funkcije v potenˇcno vrsto znotraj kroga?
c) Napiˇsi sploˇsno Cauchyjevo formulo. Kaj je ovojno ˇstevilo?
4. a) Kaj je izolirana singularna toˇcka analitiˇcne funkcije f ?
b) Kakˇsne tipe izoliranih singularnih toˇck poznamo in kako so definirani? Kakˇsno je vedenje funkcije v bliˇzini take toˇcke?
Klasificiraj singularne toˇcke za f (z) =:
c) z −2 (ez − 1 − z);
d) exp(z −3 );
e) z −2 ez .
5. a) Kaj je izolirana singularna toˇcka analitiˇcne funkcije f ?
b) Kako je definiran residuum funkcije f v izolirani singularni toˇcki za
f?
Doloˇci residuum funkcije f (z) =:
d) 1/ sin(2z) v z = 0;
e) z −2 ez v z = 0.
e) Napiˇsi izrek o residuih.
1
6. a) Napiˇsi Besselovo DE. Kakˇsna je sploˇsna reˇsitev?
b) Kje je definirana Besselova funkcija? Kaj velja za Besselove funkcije
s celim indeksom in kakˇsna je rodovna funkcija zanje?
c) Ali je Neumannova funkcija omejena? V kateri toˇcki je problem?
7. Imamo linearni diferencialni operator drugega reda, definiran na
(podprostoru v) C 2 [a, b].
a) Kdaj je ta operator simetriˇcen? Navedi tri situacije, v katerih je to
res.
b) Kaj velja za lastne vrednosti in lastne funkcije simetriˇcnega operatorja in kako to dokaˇzemo?
*c) Kaj je regularni Sturm-Liouvillov problem in kaj lahko povemo v
tem primeru?
8. Napiˇsi valovno enaˇcbo za neskonˇcno struno. Kakˇsna je d’Alembertova
reˇsitev? Kako upoˇstevamo robne pogoje?
9. a) Napiˇsi Legendrov diferencialni operator. Na katerem intervalu in
zakaj je simetriˇcen? Kakˇsne so lastne vrednosti?
b) Napiˇsi Rodriguovo formulo za Legendrove polinome. Koliko je vrednost Legendrovih polinomov v 1?
c) Kaj lahko reˇceˇs o polinomih, ortogonalnih na intervalu [a, b] in njihovih niˇclah? Kaj to pomeni za Legendrove polinome?
R1
d) Denimo da je f ∈ L2 [−1, 1] in −1 f (x)Pn (x) dx = 0 za n = 0, 1, 2, ...
Kaj lahko reˇceˇs o funkciji f ?
10. Napiˇsi drugo Greenovo formulo. Kako iz nje dobimo tretjo Greenovo
formulo? Doloˇci divergenco polja toˇckastega naboja.
2
Test iz Matematike 4, 23. 6. 2011
Priimek, ime, vp. ˇst. :
1. a) Kakˇsne funkcionale obravnava variacijski raˇcun? Napiˇsi osnovni
problem. Kako se lotimo reˇsevanja in kakˇsna je Eulerjeva enaˇcba?
b) Kako je, ˇce funkcija ni eksplicitno odvisna od x?
c) Kako reˇsujemo, ˇce na enem od koncev intervala nimamo robnega
pogoja (prosti konec)?
d) Kako je ˇce v izrazu nastopa tudi drugi odvod iskane funkcije?
2. a) Kako in za kakˇsne funkcije je definirana Fourierova transformacija?
Kakˇsne so lastnosti transformiranke (vedenje v neskonˇcnosti itd.)?
b) Napiˇsi formulo za inverzno transformacijo. Kaj se zgodi, ˇce dvakrat
uporabimo Fourierovo transformacijo?
c) Kakˇsna je Fourierova transformiranka odvoda funkcije?
d) Ali ima Fourierova transformacija kako lastno funkcijo?
e) Napiˇsi Parsevalovo formulo za Fourierovo transformacijo.
ˇ
f) Cemu
je enak odvod Fourierove transformiranke?
3. a) Kdaj lahko analitiˇcno funkcijo razvijemo v Laurentovo vrsto? Kakˇsno
obliko ima ta vrsta in kje konvergira?
b) Razvij v Laurentovo vrsto okrog 0 funkcijo
f (z) =
1
.
z(2 − z)
Kje konvergira dobljena vrsta? Koliko je mogoˇcih razvojev?
4. a) Kaj je M¨obiusova transformacija? Kje je definirana? Kaj je zaloga
vrednosti? Ali je konformna in kako to dokaˇzemo? Doloˇci njen inverz.
b) Na kakˇsne geometrijske transformacije lahko razstavimo linearno
transformacijo? Opiˇsi te transformacije.
c) Kaj ohranja Moebiusova transformacija?
d) Katere Moebiusove transformacije ohranjajo enotski krog?
e) Napiˇsi konformno preslikavo, ki notranjost enotskega kroga preslika
na polravnino Re z > 0.
1
5. Imamo linearni diferencialni operator drugega reda, definiran na
(podprostoru v) C 2 [a, b].
a) Kdaj je ta operator simetriˇcen? Navedi tri situacije, v katerih je to
res.
b) Kaj velja za lastne vrednosti in lastne funkcije simetriˇcnega operatorja in kako to dokaˇzemo?
c) Pri kakˇsnih robnih pogojih so lastni podprostori enorazseˇzni in kako
to dokaˇzemo?
*d) Kaj je regularni Sturm-Liouvillov problem in kaj lahko povemo v
tem primeru?
2
Test iz Matematike 4, 4. 7. 2011
Priimek, ime, vp. ˇst. :
1. a) Kaj je izoperimetriˇcni problem v variacijskem raˇcunu (v ˇsirˇsem smislu)? Kako se lotimo reˇsevanja?
b) Navedi primer izoperimetriˇcnega problema in reˇsitev.
c) Kaj je vezani ekstrem v variacijskem raˇcunu? Kako se lotimo reˇsevanja?
d) Navedi primer vezanega ekstrema.
2. a) Kako in za kakˇsne funkcije je definirana konvolucija na R?
b) Kakˇsne so lastnosti konvolucije? Ali ima konvolucija enoto (natanˇcno in morda v bolj ohlapnem smislu)?
c) Koliko je Fourierova transformiranka konvolucije? Kako smo to dokazali?
3. a) Kdaj ima analitiˇcna funkcija f v toˇcki a niˇclo stopnje n? Kakˇsen
je potem Taylorjev razvoj za f okrog a? Kako lahko v tem primeru
zapiˇsemo f kot produkt dveh faktorjev ?
b) Kaj od tod velja za niˇclo n−te stopnje analitiˇcne funkcije in kako to
dokaˇzemo?
c) Funkcija f je analitiˇcna na obmoˇcju D in ima na njem niˇclo neskonˇcne stopnje. Kaj od tod sledi za f ? Kaj lahko torej povemo za
niˇcle nekonstantne analitiˇcne funkcije na D?
ˇ sta funkciji f in g analitiˇcni na obmoˇcju D in se ujemata ....
d) Ce
*e) Zapiˇsi izrek o odprti preslikavi in princip maksima.
4. a) Kaj je izolirana singularna toˇcka funkcije f ?
b) Kakˇsne tipe izoliranih singularnih toˇck poznamo in kako so definirani? Kakˇsno je vedenje funkcije v bliˇzini take toˇcke?
Doloˇci in klasificiraj singularne toˇcke za f (z) =:
c) z −3 (sin z − z);
d) sin(z −2 );
e) z −3 cos z. V tem zadnjem primeru doloˇci ˇse residuum v singularni
toˇcki.
1
5. a) Napiˇsi Legendrov diferencialni operator. Na katerem intervalu in
zakaj je simetriˇcen? Kakˇsne so lastne vrednosti? Kaj so ustrezne lastne
funkcije?
b) Napiˇsi Rodriguovo formulo za Legendrove polinome. Koliko je vrednost Legendrovih polinomov v 1?
c) *Koliko je ||Pn ||2 ? Izraˇcunaj ||P5 + P9 ||2 ali to vsaj izrazi s ||P5 ||2 in
||P9 ||2 .
d) Naj bo {Qn |n ∈ N} zaporedje polinomov, ortogonalnih na intervalu
[a, b]. Pri tem naj ima Qn stopnjo n. Kaj lahko reˇcemo o polinomih
Qn in njihovih niˇclah? (Povedali smo tri izreke.) Kaj to pomeni za
Legendrove polinome?
2