1 Osnovni zakoni za plin

Univerza v Novi Gorici
Fakulteta za znanosti o okolju
Okolje (I. stopnja)
Meteorologija
2013/2014
Osnovni zakoni za plin
Temperatura zraka in zraˇcni tlak
Vlaga v zraku
1
Osnovni zakoni za plin
• plinska enaˇ
cba:
pV = mRT
oz.
p = ρRT
pV = nR∗ T
R∗ = 8, 314 J/molK – plinska konstanta za idealni plin
• plinska enaˇ
cba za suh zrak: p = ρRT
8,314 J/molK
R∗
=
= 287 J/kgK – plinska konstanta za zrak
R= M
28,97 g/mol
z
• plinska enaˇ
cba za vodno paro: e = ρv Rv T
8,314 J/molK
R∗
Rv = Mz = 18,02 g/mol = 461 J/kgK – plinska konstanta za vodno paro
= RRv = 0.622
• Boylov zakon: T = konst. → pV = konst. (izotermno)
• 1. Charlesov zakon: p = konst. →
• 2. Charlesov zakon: V = konst. →
T
V
T
p
= konst.
= konst.
• Daltonov zakon:
p=
X
pi
i
Tlak v meˇsanici plinov je enak vsoti tlakov posameznega plina v meˇsanici ob predpostavki, da ni kemijskih reakcij med posameznimi plini.
• plinska enaˇ
cba za vlaˇ
zen zrak: p = ρRTv
Plinsko konstanto za vlaˇzen zrak teˇzko doloˇcimo, saj se spreminja glede na koliˇcino
1
vodne pare v zraku. Zato namesto nove konstante R doloˇcimo virtualno temperaturo zraka Tv . To je temperatura, ki bi jo moral imeti suh zrak, da bi imel pri
konstantnem tlaku enako gostoto kot vlaˇzen zrak.
sz
• Izpeljava: ρ = mv +m
= ρv + ρsz
V
psz
ρsz = RT – gostota suhega zraka
ρv = Rve T – gostota vodne pare
ρ=
e
Rv T
+
p−e
RT
=
Re+Rv p−Rv e
RRv T
=
1
RT
T
p
=
e
ρR
1 − p (1 − )
Tv =
2
p − e(1 − ) – gostota vlaˇznega zraka
Temperatura zraka in zraˇ
cni tlak
• hidrostatiˇ
cna enaˇ
cba: dp = −ρgdz
ˇ
Ce upoˇstevamo ˇse plinsko enaˇcbo: p = ρRT → ρ =
• izotermna atmosfera (T = konst.):
g
p1 = p0 e− RT (z1 −z0 )
• Izpeljava:
g
dp
=−
dz
p
RT
Z p1
dp
g Z z1
=−
dz
RT z0
p0 p
g
p1
=−
(z1 − z0 )
ln
p0
RT
g
p1 = p0 e− RT (z1 −z0 )
• homogena atmosfera (ρ = konst.):
p1 = p0 − ρg(z1 − z0 )
• Izpeljava:
Z p1
dp = −ρg
Z z1
p0
dz
z0
p1 − p0 = −ρg(z1 − z0 )
p1 = p0 − ρg(z1 − z0 )
• realna atmosfera (ΓT = − dT
= konst.):
dz
p1 = p0
2
T 1
T0
g
RΓT
p
RT
pg
→ dp = − RT
dz
• Izpeljava:
dT
ΓT
dp
g dT
=
p
RΓT T
dz = −
g Z T1 dT
dp
=
p
RΓT T0 T
Z p1
p0
ln
p1
g
T1
=
ln
p0
RΓT T0
p1 = p0
T 1
g
RΓT
T0
• enaˇ
cba suho-adiabatnega temperaturnega gradienta:
Γd = −
dT
g
=
= 9, 8 K/km
dz
cp
• Izpeljava: adiabatni proces – ni spremembe toplote (dQ = 0)
dQ = dH + mdφ = mcp dT + mgdz = 0
mcp dT = −mgdz
−
3
g
dT
=
≡ Γd
dz
cp
Vlaga v zraku
3.1
Osnovni pojmi
• delni parni pritisk: e [mb]
• nasiˇ
ceni parni pritisk: es (T ) [mb]
• relativna vlaga: f (T ) =
• absolutna vlaga: ρv =
e
es (T )
e
Rv T
• specifiˇ
cna vlaga: q = pe =
[%]
[g/m3 ]
mv
mz
[g/kg]
e
• razmerje meˇ
sanosti: r = p−e
=
mv
mz −mv
• temperatura rosiˇ
sˇ
ca: Td [◦ C]
3
[g/kg]
3.2
Osnovne enaˇ
cbe
• Psihrometerska enaˇ
cba:
e(T ) = es (T 0 ) −
cp p
(T − T 0 )
hi T – temperatura suhega termometra
T 0 – temperatura mokrega termometra
cp = 1004 J/kgK – toplotna kapaciteta zraka
hi = 2, 5 MJ/kg – izparilna toplota vode
Enaˇcba se uporablja za izraˇcun parnega tlaka, ki ga dobimo iz meritev temperature suhega in mokrega termometra.
• Izpeljava: H = Wn + pV – entalpija.
Volumen in tlak sta konstantna, zato velja H = Wn . Notranja energija se spreminja,
ko se sistem ohlaja / segreva in pri faznih spremembah.
Sprememba entalpije:
dH = mz cpz dT + hi dmv = 0
Prvi ˇclen opisuje spremembo entalpije zaradi ohlajanja zraka okrog mokrega termometra, drugi ˇclen pa spremembo entalpije zaradi izhlapevanja vode na krpici
mokrega termometra. Spremembi morata biti nasprotno enaki, saj se entalpija za
izoliran sistem ohranja.
mz cpz dT = −hi dmv
Spremembo mase vode lahko opiˇsemo s pomoˇcjo enaˇcbe za specifiˇcno vlago:
q=
dmv mv
mv
→ dq =
− 2 dmz
mz
mz
mz
Drugi ˇclen z odvodom mase zraka lahko zanemarimo, saj se masa zraka pri procesu
ˇ enaˇcbo za spremembo specifiˇcne vlage zdruˇzimo z enaˇcbo
skoraj ne spremeni. Ce
ohranitve entalpije, dobimo:
mz cpz dT = −hi mz dq
cpz
Z T0
T
dT = −hi
Z q0
dq
q
cpz (T 0 − T ) = −hi (q 0 − q)
cp
q = q 0 − (T − T 0 )
hi
0
)
Upoˇstevamo ˇse, da velja q = e(Tp ) in q 0 = es (T
(zrak pri mokrem termometru je
p
nasiˇceno vlaˇzen) in tako dobimo konˇcno obliko psihrometerske enaˇcbe:
e(T ) = es (T 0 ) −
4
cp p
(T − T 0 )
hi • Clausius-Clayperonova enaˇ
cba:
!
1
hi 1
( − )
es = es0 exp
Rv T
T0
Enaˇcba se uporablja za izraˇcun nasiˇcenega parnega tlaka, pri ˇcemer potrebujemo
eno referenˇcno vrednost, torej podatek, kakˇsen je nasiˇcen parni tlak es0 pri temperaturi T0 .
• Izpeljava: dS =
dQ
T
– entropija.
∂S
∂V
!
=
T
∂p
∂T
!
V
Entropija se spreminja linearno s prostornino, saj sta dovedena toplota Q in sprememba volumna ∆V sorazmerni z mnoˇzino snovi, ki je prestala fazno spremembo:
∆S =
∆H
T
Velja tudi, da je ob prehodu med kapljevino in paro izparilni tlak odvisen le od
temperature:
!
dp
∂p
=
∂T V
dT
Tako lahko na novo zapiˇsemo enakost:
dp
∆H
=
dT
T ∆V
Upoˇstevamo ˇse plinsko enaˇcbo ∆V = Vp − Vk ≈ Vp = mRv Tp in entalpijo ob faznem
prehodu ∆H = hi m in tako dobimo
dp
mhi p
= 2
dT
T mRv
dp
hi dT
=
p
Rv T 2
Po integraciji od zaˇcetnega tlaka es0 do konˇcnega tlaka es in zaˇcetne temperature T0
do konˇcne temperature T dobimo Clausius-Clayperonovo enaˇcbo za nasiˇcen parni
tlak:
!
hi 1
1
es = es0 exp
( − )
Rv T
T0
5